А. К. Альжанов
ҰБТ - ға дайындаламыз
Астана – 2013
1
УДК 373.167-1 ББК 221.72 А 49
«Білім-2050» шығармашыл педагогтерінің одағы» қоғамдық бірлестігі отырысының шешімімен ұсынылған (2013 жылғы 2 тамыздағы № 5 хаттама) А 49
Альжанов А. К. ҰБТ-ға дайындаламыз: Жалпы білім беретін мектептердің 10-11 сынып оқушыларына арналған ҰБТ-ға дайындық негізінде жасалған оқу-әдістемелік құрал. / А. К. Альжанов. – Астана: ЖШС «Самғай біл», 2013. – 260 бет. ISBN 978-601-300-183-8
Ұсынылып отырған бұл оқу құралында Қазақстан Республика Ғылым және Білім министрлігінің жалпыға бірдей міндетті оқу бағдарламасы мен ҰБТ-ға қойылатын талаптар басшылыққа алынған. Тест тапсырмаларына байланысты тақырыптар оңайдан қиынға, жеңілден күрделіге принципі сақталады. Математика курсын қамтитын ҰБТ тақырыптарына берілген сабақтар модуль бойынша топтастырылып, оқушы өзара ұқсас немесе өзара байланысты немесе келесі материалды меңгеруге негіз болатын сабақтарды топтастырылып оқытады. Модуль тақырып мазмұнын сабақтастықта өткізуге мүмкіндік береді. Сонымен бірге, оқушы білімі мен біліктілігін анықтайтын негізгі тест тапсырмаларын орындау нәтижесінде мұғалім оқушының қай тақырыпты меңгере алмай қалғанын анықтай алады және бірден оны жою – жетілдіру жолдары бойынша жекелей жұмыс жасай алады. Сондай-ақ бұл оқу құралында соңғы жылдары ұсынылатын параметрлі есептермен логикалық есептер және оларды шешу жолдарымен тәсілдері көрсетілген. Оқу құралы арнайы және жоғары оқу орнына түсушілерге, тестке өз бетінше даярлануды мақсат еткен талапкерлерге және мектеп мұғалімдеріне арналаған. Ұйымдастырушысы мен үйлестірушісі – Оразова Г. Қ.
УДК 373.167-1 ББК 221.72 Ескерту: Бұл алғашқы қосымша оқу құралы болғандықтан оқу құралын пайдаланушылар тарапынан болатын сын-пікірлер мен ұсыныстарды bilim-2050@mail.ru электрондық поштасына жіберуіңізді сұраймыз. «Самғай біл» ЖШС басып шығарған «ҰБТ-ға дайындаламыз» атты оқу құралын заңсыз көшіріп алуға, басып шығаруға, таратуға тыйым салынады.
ISBN 978-601-300-183-8
© «Самғай біл» ЖШС, 2013
2
АЛҒЫ СӨЗ Математика орта мектеп пәндерінің ішінде нақты ғылымдар пәніне жататынын білеміз. Сол нақтылыққа негізделген тақырыптардың бірін толық меңгере алмай қалған жағдайда оқушыда математика бойынша мектеп бағдарламасын мүмкіндігінше меңгеруге деген қызығушылығы төмендейді. Ұсынылып отырған бұл оқу құралында Қазақстан Республика Білім және Ғылым министрлігінің ҰБТ-ға қойылатын талаптары басшылыққа алынып, тест тапсырмаларына байланысты тақырыптар оңайдан қиынға, жеңілден күрделіге принципі сақталады. 136 (68 сағ – І б., 68 сағ – ІІ б.) сағаттық күнтізбелік-тақырыптық жоспар пән мұғалімдерінің оқушымен жұмысына бағыт - бағдар бола алады. Бұл жоспар Қазақстан Республика Білім және Ғылым министрлігінің мемлекеттік жалпыға білім беру стандарты мен білім бағдарламасына сәйкес құрылған. Оқу құралының І бөліміне енгізілген тақырыптар: Санды өрнектер мен алгебралық рационал өрнектерді түрлендіру, алгебралық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу, мәтінді есептер, арифметикалық және геометриялық прогрессия және планиметрия. Математиканың күрделі тараулары оқу құралының ІІ бөлімінде қарастырылған, ол тригонометриядан басталады. Мұндағы негізгі тақырыптар: Көрсеткіш және логарифмдік өрнектер, функция және оның қасиеттері, координаталық әдіспен векторға берілген есептер. «Қорытынды тест жинағы» деп аталатын оқу құралында осы І, ІІ бөлім бойынша алынған тақырыптық теориялық білімдерін бақылап, бағалайтын, білім деңгейін тексеретін тест тапсырмалары жинақталған. Тест материалдары осы жылдар кезеңінде шыққан ҰБТ есептерін толық қамтиды. Сондықтан бұл оқу құралы талапкерлерге нәтижелі жетістікке қол жеткізуге толық мүмкіндік береді. Математика курсы қамтитын ҰБТ тақырыптарына берілген сабақтар модуль бойынша топтастырылып, оқушы өзара ұқсас немесе өзара байланысты немесе келесі материалды меңгеруге негіз болатын сабақтарды топтастырылып оқытады. Модуль тақырып мазмұнын сабақтастықта өткізуге мүмкіндік береді. 136 (68 сағ – І б., 68 сағ – ІІ б.) сағаттық «ҰБТ-ға дайындаламыз» оқу құралы 10-11 сыныптарға арналған деп құрастырылғанымен, мұғалім жұмысының шеберлігіне байланысты, І бөлімді бірыңғай 10 сыныпта, ІІ бөлімді 11 сыныпта оқытуы мүмкін немесе бірыңғай 136 сағатты аптасына 4 сабақтан қойып 11 сыныпта жеделдетілген түрде оқытуға болатынын ескертеміз. Екі жағдайда да тақырыптардың модуль бойынша топтастырылуы, теориялық материалдардың ықшамды, нақты анықтамалар мен формулалар арқылы берілуі оқу құралының тиімділігін арттырады деген ойдамыз. Сонымен бірге, оқушы білімі мен біліктілігін анықтайтын негізгі тест тапсырмаларын орындау нәтижесінде мұғалім оқушының қай тақырыпты меңгере алмай қалғанын анықтай алады және бірден оны жою – жетілдіру жолдары бойынша жекелей жұмыс жасай алады. Сондай-ақ бұл оқу құралында соңғы жылдары ұсынылатын параметрлі есептермен логикалық есептер және оларды шешу жолдары мен тәсілдері көрсетілген. Оқу құралы арнайы және жоғары оқу орнына түсушілерге, тестке өз бетінше даярлануды мақсат еткен талапкерлерге және мектеп мұғалімдеріне арналған.
3
Математика пәнінен ҰБТ-ға дайындық курсының күнтізбелік – тақырыптық жоспары 2013 – 2014 оқу жылы Сағат саны
2-Блок. Жай бөлшектер 4-Блок. Теріс және қарама- 3-Блок. Ондық қарсы сандар бөлшектер.
1-Модуль. Сандар және бөлшектер
1-Блок. Натурал сандар
Қамтылған тақырыптар 1-сабақ. Натурал сандардың оқылуы және жазылуы 2-сабақ. Натурал сандарды салыстыру 3-сабақ. Натурал сандарды қосу. Қосудың заңдары 4-сабақ. Натурал сандарды азайту 5-сабақ. Натурал санның бөлгіші. Натурал санның еселігі 6-сабақ. Ең кіші ортақ еселік және оны табу тәсілдері 7-сабақ. Ең үлкен ортақ бөлгіш 8-сабақ. 2, 5 және 10 сандарына бөлінгіштік белгілері 9-сабақ. 3-ке және 9-ға бөлінгіштік белгілері 10-сабақ. Жай және құрама сандар 11-сабақ. Құрама сандарды жай көбейткіштерге жіктеу 1-сабақ. Бөлу және жай бөлшек 2-сабақ. Жай бөлшектерді салыстыру 3-сабақ. Жай бөлшектің негізгі қасиеті. Жай бөлшекті қысқарту 4-сабақ. Жай бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге келтіру 5-сабақ. Жай бөлшектерді қосу 6-сабақ. Жай бөлшектерді азайту 7-сабақ. Бөлшектерді көбейту. Өзара кері сандар 8-сабақ. Жай бөлшекті жай бөлшекке бөлу 1-сабақ. Бөлшек сандардың ондық жазылуы 2-сабақ. Ондық бөлшектерді қосу 3-сабақ. Ондық бөлшектерді азайту 4-сабақ. Ондық бөлшектерді көбейту 5-сабақ. Ондық бөлшектерді бөлу 6-сабақ. Бірнеше санның арифметикалық ортасы 1-сабақ. Теріс сандар 2-сабақ. Қарама-қарсы сандар 3-сабақ. Санның модульі 4-сабақ. Сандарды салыстыру 5-сабақ. Екі теріс санды қосу 6-сабақ. Таңбалары әр түрлі екі санды қосу 7-сабақ. Азайту 8-сабақ. Екі санды көбейту 9-сабақ. Көбейтудің ауыстырымдылық және терімділік заңдары 10-сабақ. Бөлу 1 - модуль бойынша тест мысалдары 1 - модуль бойынша тест
2
2
2
2
2
2
4
1-Блок. Бір айнымалысы бар өрнектер және теңдеулер 2-Блок. Екі айнымалысы бар теңдеулер және олардың жүйелері.
2-Модуль. Айнымалысы бар өрнектер және теңдеулер
жалпы
16
1-сабақ. Айнымалысы бар өрнек. Айнымалысы бар өрнектің сандық мәні 2-сабақ. Бiр айнымалысы бар сызықтық теңдеу
2
3-сабақ. Есептерді теңдеу құрып шығару
1-сабақ. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер. 2-сабақ. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигі. 3-сабақ. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері. 4
2
3-Блок. Сызықтық теңдеулер жүйелерін шешу. 1-Блок. Функциялар және олардың графиктерi
2-сабақ. Қосу тәсілі.
2
3-сабақ. Теңдеулер жүйесін құру арқылы есептер шығару 1-сабақ. Функция деген не? 2-сабақ. Функция мәндерiн формула бойынша есептеп табу 2 3-сабақ. Функцияның графигi
2-Блок. Сызықты функция
1-сабақ. Сызықты функция және оның графигi 2-сабақ. Тура пропорционалдық.
2
3-сабақ. Сызықтық функциялар графиктерiнiң өзара орналасуы
1-сабақ. 1-Блок. 3-Блок. Квадрат Квадрат 2-Блок. 1-Блок. Дәреже Функциялартеңдеулердi теңдеу және Бірмүжәне оның дың негізгі формула оның шелер. қасиеттері. қасиеттері бойынша шешу түбiрлерi. 1-Блок. Арифметикалық прогрессия 2-Блок. Геометриялық прогрессия
3-Модуль. Функциялар 4-Модуль. Натурал көрсеткішті дәреже 5-Модуль. Квадрат теңдеулер. 6-Модуль. Прогрессиялар
1-сабақ. Ауыстыру тәсілі.
1-сабақ. Жұп және тақ функциялар. 2-сабақ. Периодты функциялар. 3-сабақ. Функциялардың өсуі және кемуі. 4-сабақ. Тригонометриялық функциялардың өсуі және кемуі. 5-сабақ. Экстремумдар.
4
1-сабақ. Натурал көрсеткішті дәреженің анықтамасы. Микрокалькулятордың көмегімен дәреженің мәнін табу. 2-сабақ. Дәрежелерді көбейту мен бөлу.
1
3-сабақ. Көбейтіндіні және дәрежені дәрежеге шығару. 1-сабақ. Бірмүше және оның стандарт түрі. 1 2-сабақ. Бірмүшелерді көбейту. Бірмүшені дәрежеге шығару. 1-сабақ. Квадрат теңдеудiң анықтамасы. Толымсыз квадрат теңдеулер.
1
2-Блок. Квадрат теңдеудiң түбiрлерiнiң формуласы
1
2-сабақ. Квадрат теңдеулердi пайдаланып есептер шығару
1
3-сабақ. Виет теоремасы
1
2-5 - модуль бойынша тест мысалдары 2-5 - модуль бойынша тест
2
жалпы 1-сабақ. Тізбектер 2-сабақ. Арифметикалық прогрессияның анықтамасы. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы 3-сабақ. Арифметикалық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы 1-сабақ. Геометриялық прогрессияның анықтамасы. Геометриялық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы 2-сабақ. Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы 3-сабақ. Шексіз геометриялық прогрессияның /q/<1 болғандағы қосындысы 6 - модуль бойынша тест мысалдары 6 - модуль бойынша тест жалпы 5
22
2
2
2 6
1-Блок. Қарапайым геометриялық фигуралар 2-Блок. Түзулер 3-Блок. Үшбұрыштар 4-Блок. Үшбұрыштағы метрикалық қатыстар 5-Блок. Төртбұрыштар 7-Блок. Векторлар
6-Блок. Шеңбер
7-Модуль. Планиметрия элементтері
1-сабақ. Нүкте және түзу 2-сабақ. Екі түзудің өзара орналасуы 3-сабақ. Кесінді. Кесіндіні өлшеу 4-сабақ. Жарты жазықтық. Сәуле 5-сабақ. Кесіндіні өлшеп салу 6-сабақ. Бұрыш. Бұрышты өлшеу 7-сабақ. Бұрышты өлшеп салу 8-сабақ. Сыбайлас бұрыштар 9-сабақ. Вертикаль бұрыштар 1-сабақ. Перпендикуляр түзулер 2-сабақ. Нүктеден түзуге түсірілген перпендикуляр 3-сабақ. Түзулердің параллельдігі 4-сабақ. Екі түзуді үшінші бір түзу қиғанда пайда болатын бұрыштар 5-сабақ. Түзулердің параллельдік белгілері 1-сабақ. Үшбұрыш. Берілген үшбұрышқа тең үшбұрыштың бар болуы 2-сабақ. Ұшбұрыштардың түрлері 3-сабақ. Үшбұрыштың биіктігі, медианасы, биссектрисасы, тамаша нүктелері 4-сабақ. Үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі 5-сабақ. Үшбұрыштар теңдігінің екінші белгісі 6-сабақ. Тең бүйірлі үшбұрыштың қасиеттері. Кері теорема 7-сабақ. Үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі. 1-сабақ. Тікбұрышты үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы, косинусы және тангенсі 2-сабақ. Пифагор теоремасы 3-сабақ. Негізгі тригонометриялық тепе-теңдік. 30°, 45°, 60°-тық бұрыштардың синусының, косинусының, тангенсінің мәндері 4-сабақ. Синус және косинус тригонометриялық функциялары 5-сабақ. Синустар теоремасы 6-сабақ. Косинустар теоремасы 1-сабақ. Төртбұрыш 2-сабақ. Параллелограмм 3-сабақ. Тіктөртбұрыш 4-сабақ. Ромб 5-сабақ. Квадрат 6-сабақ. Үшбұрыштың орта сызығы 7-сабақ. Трапеция 1-сабақ. Шеңбер және оның элементтері 2-сабақ. Шеңбер мен түзудің өзара орналасуы 3-сабақ. Шеңберге жүргізілген жанама 4-сабақ. Екі шеңбердің өзара орналасуы 5-сабақ. Хордаға перпендикуляр диаметр 6-сабақ. Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер 7-сабақ. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбер 1-сабақ. Вектор ұғымы 2-сабақ. Бағыттас векторлар. Векторлардың теңдігі 3-сабақ. Қарама-қарсы бағытталған векторлар 4-сабақ. Векторларды қосу 5-сабақ. Векторлар айырымы 6-сабақ. Векторды санға көбейту 7 - модуль бойынша тест мысалдары 7 - модуль бойынша тест жалпы
БАРЛЫҒЫ
6
4
3
3
2
2
2
2
2
2
1 1 24 68
1- модуль. Сандар және бөлшектер 1-Блок. Натурал сандар 1-сабақ. Натурал сандардың оқылуы және жазылуы Нәрселерді санағанда қолданылатын сандар 1, 2, 3... натурал сандар деп аталады. Олар мынадай он цифр арқылы жазылады: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Разрядтардың, төменнен бастала отырып, солдан оңға қарай аталуы: бірлік, ондық, жүздік, мыңдық, ... . Егер санда қандай да бір разряд жоқ болса, онда оның орнында 0 цифры тұрады. Мысалы, 307 898 санында 8 бірлік, 9 ондық, 8 жүздік, 7 мыңдық, 0 он мыңдық және 3 жүз мыңдық бар. Бұл санды разрядтық қосылғыштар түрінде жазуға болады: 307 898=300 000+7 000+800+90+8. 1, 10, 100, 1000, ... сандары разрядтық бірліктер деп аталады. 1 - бірлік разряд бірлігі, 10 - ондық разряд бірлігі, 100 - жүздік разряд бірлігі, 1000 - мыңдық разряд бірлігі т.с.с. 10=1*10, 100=10*10, 1000=100*10 екенін ескертеміз. Бұдан кез келген разрядтың әрбір 10 бірлігі бұдан жоғары разрядтың жаңа бірлігін құрайтыны шығады. Натурал сандардың осыған негізделіп жазылу тәсілі ондық жүйе деп аталады. Әрбір цифрдың мәні санның жазылуындағы цифрдың алып тұрған орнына (позициясына) байланысты. Мысалы, 777 санында оң жақтағы бірінші орындағы 7 цифры - бірліктер санын, екінші орындағы - ондықтар санын, үшінші орындағы жүздіктер санын көрсетеді. Сонымен, 777 санында 7 цифры үш түрлі позиция алады. Сондықтан сандарды ондық жүйеде жазғанда жергілікті (позициялық) принцип қолданылады делінеді. Сандардың жазылуында разрядтар, оң жақтан бастап, әрқайсысында үш-үштен разряды бар кластарға топталады. Бірінші үш разряд (бірліктер, ондыңтар, жүздіктер) бірліктер класын, келесі үш разряд (мыңдар, он мыңдар, жүз мыңдар) мыңдар класын жасайды. Сен бұған дейін миллионға дейінгі натурал сандарды оқып үйренгенсің. Алайда миллионнан үлкен сандар жиі кездеседі. Мысалы, Қазақстанда тұратын халықтардың саны миллионнан артық санмен өрнектеледі. Енді осы сандармен танысайық. Милиондардың разряд бірлігі 1 000 000 (бір миллион деп оқылады) болып табылады. Осындай он бірлік жаңа разряд бірлігін - он миллиондарды құрайды. Егер оны цифрмен жазатын болсақ, онда мынадай санды аламыз: 10 000 000. Миллиондар, он миллиондар және жүз миллиондар разрядтары сандардың үшінші класын — миллиондар класын құрайды. Мысалы, 513 000 392 санын былай оқимыз: бес жүз он үш миллион үш жүз тоқсан екі. Осы санды разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде жазайық: 513 000 392 = 500 000 000+10 000 000+3 000 000 + 300+ 90 + 2. Егер он жүз миллиондарды алсақ, онда жаңа разряд бірлігін - бір миллиардты аламыз; оның цифрмен жазылуы: 1 000 000 000. Осындай бірліктердің оны - он миллиардтарды, он миллиардтың оны келесі бірлікті - жүз миллиардты береді. Миллиардтар, он миллиардтар және жүз миллиардтар - бұлар төртінші класты миллиардтар класын құрайтын разрядтар. Мысалы, 783 502 197 048 санын былай оқимыз: жеті жүз сексен үш миллиард бес жүз екі миллион жүз тоқсан жеті мың қырық сегіз. Бұл сан разрядтық қосылғыштардың қосындысы түрінде былай жазылады: 783 502 197 048 = 700 000 000 000 + 80 000 000 000 + 3 000 000 000 + 500 000 000 + 2 000 000 + 100 000 + 90 000 + 7 000 + 40 + 8 Миллиард туралы түсінігімізді мына мысал арқылы кеңіте түсуге болады: жер шарының тұрғындары шамамен 5 миллиард адамға тең. Бұл санның алыптығы соншалық, егер біз 1-ден 5 миллиардқа дейін санап шыққымыз келсе, санау кезінде әрбір санды 1 секунд ішінде атап отырғанның өзінде, бізге шамамен 160 жыл уақыт қажет болар еді. 7
Миллиардтан кейінгі кластар - триллиондар, квадриллиондар, квинтиллиондар, ... Бұл кластардың атаулары сирек пайдаланылады. Оларды еске сақтау міндетті емес. 2-сабақ. Натурал сандарды салыстыру Екі әртүрлі натурал санға қатысты олардың қайсысының артық, қайсысының кем екенін айта аламыз. Мұның өзі натурал сандарды салыстыруға болатынын білдіреді. Салыстыру нәтижесі < (кем) және > (артық) деген таңбалар арқылы теңсіздік түрінде жазылады. Мысалы, 2 < 5 (екі бестен кем деп оқылады) немесе 5 > 2 (бес екіден артық деп оқылады). Көп таңбалы натурал сандарды салыстырғанда мына ережелерді басшылыққа алған жөн: 1. Егер екі натурал санның таңбаларының (цифрларының) саны әр түрлі болса, онда таңбалары көп сан артық болады. Мысалы, 3421 > 803; 5703 < 21 844. 2. Егер екі натурал санның таңбаларының саны бірдей болса, ең жоғарғы разрядтағы бірліктері көп сан артық болады. Егер бұл разрядта бірліктер саны бірдей болса, онда бір басқыш төмен тұрған разрядтар салыстырылады және т. с. с. Мысалдар. 1. 42 567 > 37 298, өйткені 42 567 санында 4 ондық мың, ал 37 298 санында 3 ондық мың бар. 2. 372 569<373 478, өйткені бұл сандарда жүздік мың (3-тен) бірдей және ондық мың (7-ден), бірақ 373 478 санында (3) мыңдар 372 589 санына (2) қарағанда артық. Ең кіші натурал сан - бірлік (1) Ең үлкен натурал сан деген жоқ: кез келген берілген натурал сан үшін осы берілген саннан артық натурал санды атауға болады. Сондыңтан 1, 2, 3... натурал сандардың қатары шектелмеген делінеді. 0 саны кез келген натурал саннан кем. Кез келген натурал сан 0 санынан артық. 3-сабақ. Натурал сандарды қосу. Қосудың заңдары Мектептің екі төртінші класында: 4А класында 32 оқушы және 4Б класында 29 оқушы бар. Екі класта барлығы қанша оқушы барын білу үшін кластарды біріктіру керек те барлық оқушыларды санап шығу керек. Алайда мұның оңай жолы - 32 және 29 сандарын қосу: 32 + 29 = 61. Бұл 32 мен 29 сандарының орнында басқа да сандардың болуы мүмкін. Сондықтан әріптерді қолдана отырып, былай пайымдауға болады: егер бір класта а оқушы, ал екінші класта b оқушы болса, онда екі кластағы оқушылар саны а+b болады. Осы санды с әрпімен белгілеп, а+b=с теңдігін аламыз. Сен а және b санының қосылғыштар деп аталатынын бұрыннан білесің. с саны, сондай-ақ а+b өрнегі а және b сандарының қосындысы деп аталады. Екі кластың оқушыларының жалпы саны 32-ге 29-ды қосамыз ба немесе 29-ға 32-ні қосамыз ба оған байланысты емес: 32 + 29 = 29 + 32. Осыдан қосудың ауыстырымдылық заңы келіп шығады: қосылғыштардың орнын ауыстырғаннан қосынды өзгермейді. Әріптік түрде бұл заң былай жазылады: а+b=b+а Мектепте үш төртінші класс болсын: 4А класында 32 оқушы 4Б класында 29 оқушы және 4В класында 26 оқушы бар делік. Бізге осы үш төртінші кластағы барлық оқушылардың қанша екенін табу керек. Алдымен, екі класта қанша оқушы барын тауып, нәтижесіне тағы бір кластың оқушылар санын қосуға болады. Жалпы нәтиже біздің алдымен екі санның қайсысын қосқанымызға байланысты болмайды: 8
(32+29)+26=32+(29+26). Осыдан қосудың екінші заңы - терімділік заңы келіп шығады: екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін бірінші санға екінші сан мен үшінші санның қосындысын қосуға болады. Мұны әріптік түрде былай жазуға болады: (а+b)+с=а+(b+с) Бұл заңдардан: бірнеше санды қосуды кез келген реттілікпен орындауға болатындығы шығады. Әдетте есептеуді қалай да оңайлату үшін қосылғыштарды топтайды. Мысал. 22+17+41+8+9 = (22+8)+(41+9)+17 = 30+50+17 = 97. Екі натурал санның қосындысы қосылғыштардың әрқайсысынан үлкен болады. Бірақ, егер қосылғыштардың біреуі нөлге тең болса, бұлай болмай шығады. Бұл жағдайда қосынды екінші қосылғышқа тең. Демек, егер а кез келген натурал сан немесе нөл болса, онда а + 0=а және 0+а = а. 4-сабақ. Натурал сандарды азайту х + 5 = 11 теңсіздігіне екі санның қосындысы (11 саны) және бір қосылғыш (5 саны) белгілі. Екінші қосылғыштың 6-ға тең екенін оңай табуға болады. Шындығында да, 6 + 5=11. Қосынды мен екі қосылғыштың бірі арқылы екінші қосылғышты табу амалы азайту деп аталады. Ол былай жазылады: х=11 - 5. х = 6 екені айқын. Жалпы түрде, егер х + b = а болса, онда х = а - b, мұндағы а азайғыш, b - азайтқыш. х саны, сол сияқты а - b өрнегі айырма деп аталады. Керісінше, егер х = а - b болса, онда х + b = а. Жалпы алғанда, а санынан b санын азайту дегеніміз, х + b = а болатындай үшінші х санын табу. Қосу мен азайту - өзара кері амалдар. Сондықтан азайтуды ылғи да қосумен тексеруге болады: айырма мен азайтқыштың косындысы азайғышқа тең болуы керек. Мысалы, 10 – 7 = 3 және 3 + 7 = 10. Керісінше, қосуды азайтумен тексеруге болады: екі қосылғыштың қосындысынан бір қосылғышты азайтқанда екінші қосылғыш шығуға тиіс. Мысалы, 6 + 7 = 13 және 13 - 7 = 6 (немесе 13 - 6 = 7). Сен кез келген а саны үшін а + 0 = а теңдігінің тура болатынын білесің. Бұдан а - 0=а және а - а = 0 екені шығады. Саннан қосындыны азайту ережесі мен қосындыдан санды азайту ережесінің маңызы ерекше. 1-мысал. Сыныпта 29 оқушы бар, ондағы 5 ер бала және 7 қыз бала «4» пен «5»-ке оқиды. Сыныптағы қанша оқушының «4»-тен төмен бағасы бар? Жауабын әр түрлі тәсілмен табуға болады: 1) 29 - (5 + 7) = 29- 12 = 17; 2) (29 - 5) - 7 = 24 - 7 = 17; 3) (29 - 7) - 5 = 22 – 5 = 17. Саннан қосындыны азайту үшін, одан қосылғыштың бірін азайтып, содан кейін шыққан нәтижеден екінші қосылғышты азайту керек. Әріптер арқылы былай жазылады: а - (b + с) = (а - b) - с. Немесе: а - (b + с) = (а - с) - b. (а - b) - с өрнегіндегі жақшалардың мағынасы жоқ, оларды алып тастауға да болады. Мысалы, (12 - 7) - 3 = 12 - 7 - 3 = 5 - 3 = 2.
9
2-мысал. Үстелге алма салынған екі тәрелке қойылған. Тәрелкенің бірінде 10 алма, екіншісінде 14 алма бар. Шешесі одан Нағимаға 5 алма алып берді. Тәрелкелерде неше алма қалды? Жауабын әр түрлі тәсілмен табуға болады: 1) (10 + 14) – 5 = 24 – 5 = 19 2) (10 + 14) – 5 = (10 – 5)+14 = 5+14 = 19. 3) (10 + 14) – 5 = (14 – 5) + 10 = 9 + 10 = 19. Қосындыдан санды азайту үшін оны қосылғыштың бірінен азайтып, шыққан нәтижеге екінші қосылгышты қосуға болады. Әріптік түрде өрнектесек: (а + b) - с = (а - с) + b (егер а > с немесе а = с болса); (а + b) - с = (b - с) + а (егер b > с немесе b = с болса). Бұл ережелерді ауызша есептеулерде пайдалану ыңғайлы. 3-мысал. 100 – 67 = 100 – (60 + 7)= 100 – 60 – 7 = 40 – 7 = 33. 4-мысал. 68 – 40 = (60 + 8) – 40 = (60 – 40) + 8 = 20 + 8 = 28. 5-сабақ. Натурал санның бөлгіші. Натурал санның еселігі 1-мысал. 6 алманы 2 балаға тең етіп бөліп беруге болады. Балалардың әрқайсысы 3 алмадан алады. Енді 6 алманы 4 балаға тең бөлу керек дейік. Онда балалардың әрқайсысы 1 алмадан алады да, 2 алма артық қалады. Демек, 6 саны 2-ге қалдықсыз бөлінеді де, 4-ке қалдықсыз бөлінбейді, яғни 6-ны 4-ке бөлсек, 2 қалдық қалады. Бұл жағдайда 2 саны 6 санының бөлгіші болады, ал 4 саны 6 санының бөлгіші емес дейміз. 6 санының бөлгіштері: 1, 2, 3 және 6. 5 санының бөлгіштері: 1 және 5. 8 санының бөлгіштері: 1, 2, 4 және 8. Жалпы түрде берілген санды а әрпімен, бөлгішті b әрпімен белгілесек, а:b=с, а - бөлінгіш, b - бөлгіш, с - бөлінді. Натурал сан а-ның бөлгіші деп осы а саны қалдықсыз бөлінетін санды атайды. Кез келген натурал сан 1-ге бөлінетіндіктен, 1 саны кез келген натурал санның бөлгіші болады. Берілген натурал санның ең үлкен бөлгіші сол санның өзі болады. Енді b саны бөлгіші болатындай натурал сандарды қарастырайық. 2-мысал. b=3 дейік. 3 саны бөлгіші болатындай натурал сандар: 3, 6, 9, 12, ... . 3 саны бөлгіші болатындай 3, 6, 9, 12,... сандарын алу үшін, 3 санын 1, 2, 3, 4,... сандарына көбейту жеткілікті. Сонда сәйкес 3, 6, 9, 12 ... сандары шығады. Бұл сандардың ортақ бір қасиеті бар: олардың бәрі де 3-ке бөлінеді. 3:3=1, демек, 3 санында бір 3 бар немесе 3 саны 3-тің бір еселігі. 6:3=2, демек, 6 санында екі 3 бар немесе 6 саны 3-тің екі еселігі. 9:3=3, демек, 9 санында үш 3 бар немесе 9 саны 3-тің үш еселігі. 12:3=4, демек, 12 санында төрт 3 бар немесе 12 саны 3-тің төрт еселігі. Сонда 3, 6, 9, 12, ... сандары 3 санына еселік сандар. Натурал b санына еселік сан деп сол b санына қалдықсыз бөлінетін натурал санды атайды. а : b = с, мұндағы а - b-ға еселік сан және а = b · с.
10