61 προχωρημένες δραστηριότητες εκμάθησης sketchpad

Γιάννησ Π. Πλατάροσ Μεςςήνη.

Δραςτηριότητεσ με το Sketchpad 1.

Λιμνήςκοσ Μπερνοφλι –Καμπφλεσ Καςίνι

Δίδονται δφο ςθμεία Ο1 και Ο2 , που απζχουν απόςταςθ 2 α . Να βρεκεί ο Γ.Σ. των ςθμείων Μ: (ΜΟ1)(ΜΟ2)=α2 . (Λθμνίςκοσ του Μπερνοφλι) 2.

Κυλιόμενοσ κφκλοσ

΢τον κυλιόμενο κφκλο επί ευκείασ, να φζρετε ζνα ευκ. τμιμα που να ζχει αρχι το κζντρο του κφκλου και τζλοσ ζνα ςθμείο ζξω από τον κφκλο. Κακϊσ κυλίεται ο κφκλοσ, ζνα ςθμείο του τμιματοσ είναι μζςα ςτον κφκλο, επί του κφκλου ι ζξω από τον κφκλο, διαγράφοντασ τρεισ διαφορετικοφσ Γ.Σ. Να τουσ βρείτε (Απλωμζνθ, οξεία ι αναδιπλοφμενθ κυκλοειδισ.)

3.

Τετραγωνιςμόσ κυλιόμενου κφκλου

Πϊσ μπορεί να τετραγωνιςτεί ζνασ κυλιόμενοσ κφκλοσ; (ςε μια περιςτροφι διανφει διάςτθμα 2πR και εμείσ κζλουμε χ: χ2=πR2 )

4. Ένασ οριςμόσ τησ ζλλειψησ: Είναι ο εξισ: «Ζςτω κφκλοσ (Ο,ρ) και ςθμείο Β εντόσ του κφκλου. Σότε ο γ.τ. των ςθμείων Μ: (ΜΒ) = δ , όπου δ θ απόςταςθ του Μ από τον κφκλο, λζγεται ζλλειψθ με διευκετοφντα κφκλο (Ο,ρ) και μία Εςτία το Β (θ άλλθ είναι το Ο)

5. Επικυκλοειδήσ και υποκυκλοειδήσ. Κφκλοσ κυλίεται επί κφκλου και ζνα ςθμείο του παράγει τθν επί-κυκλοειδι. Κφκλοσ κυλίεται μζςα ςε κφκλο (υπό τον κφκλο) και παράγει τθν υποκυκλοειδι.

6. Μεταβλητή που να διατρζχει όλο το

, με διάτρεξη ενόσ μικροφ (ανοικτοφ) διαςτήματοσ

Θζλουμε, μια μεταβλθτι να μεταβάλλεται ςε ζνα μικρό ευκφγραμμο τμιμα , όμωσ να διαγράφει όλο το . Αυτό, είναι ζνα καταςκευαςτικό πρόβλθμα . εκμεταλλευόμενοσ τθν τοπολογικι ομοιότθτα του με οποιοδιποτε ανοικτό διάςτθμα , φτιάχνω τθν παρακάτω καταςκευι –βοθκθτικό εργαλείο. ΢χεδιάηω τουσ άξονεσ. Λαμβάνω ευκφγραμμο 8 τμιμα παράλλθλο με τον χχϋ. Βρίςκω το μζςον του, καταςκευάηω τον κφκλο με διάμετρο το τμιμα και δουλεφω με το κάτω θμικφκλιο. Θεωρϊ τυχαίο ςθμείο Α επί του ευκυγράμμου τμιματοσ. Σο προβάλω ςτο θμικφκλιο και μζςω του κζντρου του κφκλου, το προβάλω ςτθν χχϋ, ςτο Β. Κακϊσ το ςθμείο Α διαγράφει το τμιμα (το ανοικτό) θ τελικι του 6 αντιςτοίχιςθ το Β, διαγράφει το . ωσ Η τετμθμζνθ του Β είναι θ μεταβλθτι μου, που διατρζχει το . Θεωρϊντασ ωσ c τθν τετμθμζνθ του Β, να καταςκευάςετε τισ 4 μονοπαραμετρικισ εξιςϊςεισ καμπυλϊν : Α

( x  c) 2  y 2  4 c( x  1)  ( y  2)  0 2

y  2cx  c 2 Για κάκε καταςκευι να ςχεδιάςετε το ίχνοσ του κφκλου τθσ πρϊτθσ περίπτωςθσ και των ευκειϊν τθσ δεφτερθσ.

Β

-15 -10 -5 7. Η ευθειοποίηςη . ΢τακερό ςθμείο Ρ είναι εντόσ γωνίασ χΟψ. Να αναηθτθκοφν ςθμεία Α και Β επί των Οχ και Οψ, ζτςι ϊςτε το τρίγωνο ΡΑΒ να είναι ελαχίςτθσ περιμζτρου. 1 -2 8. Η Αντιςτροφή ωσ προσ κφκλο .

1.

1

(Η εφαρμογι τθσ τριγωνικισ ανιςότθτασ με ςυμμετρία ωσ προσ άξονεσ ωσ οριακισ κζςθσ) -4

[1] -6

5

Γιάννησ Π. Πλατάροσ Μεςςήνη.

Μια απεικόνιςθ ονομάηεται γενικά αντιςτροφή ( ο τόνος σε λήγουσα) όταν είναι αντιςτρζψιμθ και ταυτίηεται με τθν αντίςτροφι τθσ. Η αξονικι ςυμμετρία και θ κεντρικι ςυμμετρία είναι δφο παραδείγματα αντιςτροφϊν. Τπάρχει μια κλαςικι αντιςτροφι , θ «αντιςτροφή ωσ προσ κφκλο» , θ οποία δθμιουργείται ωσ εξισ: Ζςτω κφκλοσ (Μ,ρ) και Ρ ςθμείο εκτόσ του κφκλου. Η εικόνα του Ρ βρίςκεται , αν από το Ρ φζρω μία εφαπτόμενθ ςτον κφκλο. ΢το ορκογϊνιο τρίγωνο που ορίηεται με υποτείνουςα τθν ΜΡ και κάκετεσ τθν ακτίνα που καταλιγει ςτο ςθμείο επαφισ και ςτο εφαπτόμενο τμιμα , προβάλω τθν κορυφι τθσ ορκισ ςτθν υποτείνουςα το Ρϋ που είναι θ εικόνα του Ρ. Ιςχφει (ΡΜ)(ΜΡϋ)=ρ2. Αντιςτρόφωσ, το Ρϋ , απεικονίηεται ςτο Ρ. Χρθςιμοποιϊντασ τθν απόκρυψθ, φτιάξτε μια δυναμικι καταςκευι που να ζχει τον κφκλο αντιςτροφισ και τα δφο ςθμεία (αρχζτυπο , εικόνα) Για να μθν είναι «μιςι» θ καταςκευι, κα πρζπει, κάκε εξωτερικό ςθμείο του κφκλου να απεικονίηεται ςε εςωτερικό, ΑΛΛΑ και κάκε εςωτερικό ςε εξωτερικό ςθμείο. Η Αντιςτροφι ζχεισ ιδιότθτεσ που πρζπει να δείτε: α) Είναι απεικόνιςθ (γιατί;) 1-1 και επί του 2  M   2  M  β) Σα ςθμεία του κφκλου αντιςτροφισ είναι τα μόνα ςτακερά ςθμεία τθσ αντιςτροφισ («΢τακερά» εννοοφμε, τα ςθμεία του επιπζδου Χ : X  f ( X ) γ) Μια ευκεία που δεν διζρχεται από το Μ, απεικονίηεται ςε κφκλο που διζρχεται από το Μ. δ) ζνασ κφκλοσ που διζρχεται από το Μ (χωρίσ το Μ) απεικονίηεται ςε ευκεία. ε) ζνασ κφκλοσ που δεν διζρχεται από το Μ, απεικονίηεται ςε κφκλο, που επίςθσ δεν διζρχεται από το Μ. ςτ) Οι ευκείεσ που διζρχονται από το Μ (χωρίσ το Μ) απεικονίηονται ςτον εαυτό τουσ. η) Κάκε κφκλοσ που τζμνει ορκογϊνια τον κφκλο αντιςτροφισ, απεικονίηεται ςτον εαυτό του. Η αντιςτροφι, κρφβεται πίςω από το κακθμερινό γεγονόσ τθσ απεικόνιςθσ ευκφγραμμων αντικειμζνων ςε κοίλα ι κυρά κάτοπτρα. Επίςθσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ςε μια δφςκολθ καταςκευι (περίπτωςθ) του Απολλωνείου προβλιματοσ. (Καταςκευι που εφάπτεται ςε δφο δοκζντεσ και διζρχεται από δοκζν ςθμείο. ) Να διερευνιςετε τθν εικόνα ενόσ τριγϊνου(Εςωτερικό τριγϊνου, ςθμείο που κινείται ςτθν περίμετρο του τριγϊνου, καταςκευι τόπου) 9. Η ζλιξ του Αρχιμήδουσ. Φανταςτείτε ζναν κφκλο ςτον οποίο εφάπτεται μια ευκεία. ςτο ςθμείο επαφισ ορίηεται μια ακτίνα του κφκλου. Αυτι θ ακτίνα, ςυνδζεται αναπόςπαςτα με το ςθμείο επαφισ. Αρχίηει θ ευκεία να κυλίεται επί του κφκλου. Σότε το άκρο τθσ ακτίνασ που ιταν πάνω ςτο κζντρο του κφκλου, διαγράφει μια καμπφλθ, που λζγεται «ζλιξ του Αρχιμιδουσ» ι ςπείρα του Αρχιμιδθ . Να δθμιουργιςετε τθν καταςκευι. Εναλλακτική καταςκευή: Ζχω ζναν κφκλο (Ο,ρ) και θμιευκεία Οχ. ΢θμείο Μ, αρχίηει να κινείται από το Ο πάνω ςτθν θμιευκεία Οχ, ενϊ ταυτοχρόνωσ θ θμιευκεία περιςτρζφεται με ςτακερι γωνιακι ταχφτθτα . τότε το Μ, ορίηει Αρχιμιδεια ζλικα.

10. Καμπυλότητα καμπφλησ και ενειλιγμζνη καμπφλησ ΢ε κάκε ςθμείο μιασ καμπφλθσ, υπάρχει θ διαιςκθτικι ζννοια τθσ καμπυλότθτασ, θ οποία χρειάηεται κάποιο αυςτθρό οριςμό. Η ζννοια τθσ καμπυλότθτασ λοιπόν ςε ζνα ςθμείο Α(χ 0,f(χ0)) ςυνάρτθςθσ (για να το περιορίςουμε, αλλά χωρίσ να χαλάςουμε τθν γενίκευςθ) ζχει να κάνει με το να κεωριςω ςτο Α, ζναν κφκλο που να εφάπτεται ςτθν καμπφλθ και να ζχει τθν ίδια πρϊτθ παράγωγο όπωσ και τθν ίδια δεφτερθ παράγωγο με τθν καμπφλθ ςτο Α . Επειδι ο κφκλοσ δεν είναι ςυνάρτθςθ, μπορϊ να κεωρϊ ςτο Α κατάλλθλο περιοριςμό που να δείχνει το τμιμα του κφκλου που χρειάηεται για να ζχει νόθμα θ επαφι. Με το να βρω το κζντρο του κφκλου Κ, τότε θ ΚΑ κα είναι θ ακτίνα ρ και το 1/ρ, είναι ζνα μζτρο τθσ καμπυλότθτασ (χρθςιμοποιείται ςτθν καταςκευι ςτροφϊν ςτθν οδοποιία) Αν λυκεί ζνα ςφςτθμα 3 εξιςϊςεων ( κ(χ0)=f(x0) , κ’(χ0)=f’(x0) , κ’’(χ0)=f’’(x0) ) τότε για κάκε (x, f(x)) , κακορίηονται οι άγνωςτεσ ςυντεταγμζνεσ του κζντρου όπωσ και θ ακτίνα. αν το ςθμείο είναι το (x, f(x)) τότε το κζντρο είναι το Ο(ξ,θ) , με:

  x  f ( x) 

1  ( f ( x)) 2 f ( x)

1  ( f ( x)) 2   f ( x)  f ( x) [2]

Γιάννησ Π. Πλατάροσ Μεςςήνη.

Ο γ.τ. των κζντρων των κφκλων λζγεται ενειλιγμζνη τησ καμπφλησ (εδϊ ςυνάρτθςθσ)

11. Τρεισ κωνικζσ τομζσ ςε ζνα ςχήμα Οι τρεισ κωνικζσ τομζσ, μποροφν να οριςτοφν και οι τρεισ ωσ ο γ.τ. των ςθμείων : α) Για μεν τθν υπερβολι ωσ ο γ.τ. των ςθμείων που απζχουν από ευκεία και ςθμείο ςτακερό λόγο ε<1 β) για τθν ζλλειψθ ωσ ο γ.τ. των ςθμείων που απζχουν από ςθμείο και ευκεία ςτακερό λόγο ε=1 , γ) για τθν παραβολι ωσ ο γ.τ. των ςθμείων που απζχουν από ευκεία και ςθμείο ςτακερό λόγο ε>1. Να καταςκευαςτεί ζνα ςχιμα, όπου να μποροφμε να κάνουμε δυναμικό χειριςμό των γ. τόπων , χωρίσ τθν επιλογι ςχεδίαςθσ ίχνουσ. Να καταςκευαςτεί ζνα ςχιμα που να γίνονται επιλογζσ λόγου ςε ζνα ευκφγραμμο τμιμα και να ςχεδιάηεται ο γ.τ.

P κάκε φορά (Τπάρχει ζνα κϊλυμα, κα το ςυηθτιςουμε, αφοφ πρϊτα το διαπιςτϊςουμε

12. Η πολικότητα Πολικότθτα είναι μια απεικόνιςθ ςθμείου ςε ευκεία. μπορεί να οριςτεί για όλεσ τισ κωνικζσ τομζσ. Εδϊ κα τθν ορίςουμε ωσ προσ κφκλο. Αν ζχω ζνα ςθμείο Ρ εκτόσ κφκλου και φζρω από το Ρ προσ τον κφκλο τισ δφο εφαπτόμενεσ, με Α και Β τα ςθμεία επαφισ, τότε θ ευκεία ΑΒ είναι θ πολικι του Ρ ωσ προσ τον κφκλο. Αν το Ρ είναι ςθμείο του κφκλου, τότε θ πολικι του, είναι θ εφαπτόμενθ του κφκλου ςτο Ρ. Αν το Ρ είναι ςθμείο εντόσ του κφκλου, τότε θ πολικι ορίηεται ορίηεται καταςκευαςτικά όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα.

[3]

Γιάννησ Π. Πλατάροσ Μεςςήνη.

Σα ςθμεία μιασ ευκείασ (ε) , απεικονίηονται ςε δζςμθ ευκειϊν με κοινό ςθμείο το Β. Σο Β, απεικονίηεται ςτθν (ε) ΢υγχωνεφςτε το Ρ ςε κφκλο και βρείτε το γ.τ. των ευκειϊν κακϊσ το Ρ κινείται ςτον κφκλο. (είναι από τισ πιο εντυπωςιακζσ εικόνεσ)

13. Η καμπφλη του Ιππία του Ηλείου (425 π.Χ.) Η

καμπφλθ

αυτι,

ζχει

χρθςιμοποιθκεί

ςτθν

αρχαιότθτα για τριχοτόμθςθ τυχαίασ γωνίασ και για τετραγωνιςμό του κφκλου. Καταςκευάηεται ωσ εξισ: (Βλζπε ςχιμα) Μια ακτίνα , ζχει γωνιακι ταχφτθτα για

να

καλφψει το τεταρτοκφκλιο, τόςθ ζτςι ϊςτε το ςθμείο που κα κατζβει τθν μία κατακόρυφθ αριςτερι πλευρά του τετραγϊνου, να τερματίςουν μαηί. Σο μεν ςθμείο τερματίηει ςτθν κάτω αριςτερι κορυφι του τετραγϊνου και θ ακτίνα ςτθν κάτω πλευρά του τετραγϊνου. Η καμπφλθ, ζχει ςχεδιαςτεί προςεγγιςτικά ςτατικά με διαίρεςθ τθσ πλευράσ του τετραγϊνου ςε 16 ίςα τμιματα και του τεταρτοκυκλίου , ομοίωσ ςε 16 ίςα τόξα. Η καμπφλθ αυτι, οφςα γνωςτι, τριχοτομεί οποιαδιποτε γωνία. τθν είχε χρθςιμοποιιςει και ο Δεινόςτρατοσ για τετραγωνιςμό του κφκλου. Εςείσ να τθν φτιάξετε με δυναμικό τρόπο και να ρυκμίςετε τισ ταχφτθτεσ να ζχουν ανάλογθ ςχζςθ και να εξθγιςετε πϊσ γίνεται θ τριχοτόμθςθ τυχοφςασ γωνίασ.

[4]