ISSN: 2241-6781
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ"
20ό Τεύχος
Σεπτέμβριος 2020
Το «γιατί», το «πώς» και το «διότι» όλων των αποδείξεων ότι 0,999…=1 και η αντίληψη για το άπειρο και το απειροστό. Γιάννης Π. Πλατάρος plataros@gmail.com
Περίληψη: Η ισότητα 0,999…=1 είναι αντικείμενο παγκόσμιων συζητήσεων στο διαδίκτυο, μεταξύ φοιτητών και όχι μόνον. Αυτή η ισότητα αμφισβητείται πεισματικά. Ακόμα και συγκεκριμένες μαθηματικές αποδείξεις, δεν πείθουν όλους, παρ΄ό,τι διαθέτουν την στοιχειώδη μαθηματική παιδεία της αποδοχής μιας απόδειξης. Η «ενσώματη» (πεπερασμένη) διαίσθηση περί μη αποδοχής υπερτερεί. Διαφαίνεται έτσι η δυσκολία στην διαισθητική κατανόηση του απείρου, διαφαίνονται τα όρια της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου, τα όρια των «ενσώματων μαθηματικών», ενώ παράλληλα, αναδεικνύεται η ίδια η δύναμη και η πρακτική αξία των μαθηματικών αποδείξεων που μας καθοδηγεί για το εκάστοτε σωστό στα πλαίσια των αξιωμάτων των Μαθηματικών. Εισαγωγή: Το αποτέλεσμα ότι 0.999…=1, («Why is 0.999… equal to 1 ?», «A Friendly Chat About Whether 0.999… = 1», « 0.999...») όσες αποδείξεις και να παραθέσουμε, δεν γίνεται κατανοητό-πλήρως αποδεκτό από την ανθρώπινη πεπερασμένη διάσταση που νομίζει ότι εύκολα «κατανοεί» και το άπειρο, όσο κι αν «κατανοεί» τα μαθηματικά εργαλεία της λογικής και της απόδειξης. Προτείνω να παρακολουθήσουμε τις στοιχειώδεις και μη αποδείξεις (το «πώς» και το «γιατί») και στο τέλος θα επιχειρήσουμε να δώσουμε το κλειδί για πλήρη κατανόηση και να το εξηγήσουμε από όλες τις υπάρχουσες οπτικές του. Όταν κάτι είναι εξηγημένο και αποδεδειγμένο από όλες τις υπάρχουσες μαθηματικές οπτικές και ο συνομιλητής δεν πείθεται ή τουλάχιστον «δεν συμφωνεί που διαφωνεί» ενώ διαθέτει μαθηματική κουλτούρα, τότε μπορούμε να μοιράσουμε την αιτία ανάμεσα στην ίδια της δυσκολία της έννοιας του απείρου και στην ειδική διδακτική του ιδίου του άπειρου. 1 1 0.111111111... Οπότε 1 9 9 0,111111.... 0,99999999...... 9 9 1 1 Ομοίως γνωρίζουμε ότι 0,33333..... Οπότε 1 3 3 0,333... 0,999... Επίσης: 3 3 2/3 = 0,666666... 1/3 + 2/3 = 0,999999... = 1.
Απόδειξη1:
ή