34 ο αστεροειδής του ceres

Γιάννης Πλατάρος

Ο Αστρονόµος Piazzi

Σελίδα 1

Ο Αστεροειδής Ceres

Αστεροειδής Ceres Τον Ιανουάριο του 1801 ο αστρονόµος Piazzi παρατήρησε για λίγο έναν νέο πλανήτη, και αµέσως τον έχασε (σήµερα είναι γνωστό οτι επρόκειτο για τον αστεροειδή Ceres). Οι προσπάθειες των αστρονόµων να τον εντοπίσουν παρέµειναν άκαρπες. Τον ∆εκέµβριο του ίδιου έτους ο Gauss υπέδειξε, που να τον αναζητήσουν και µάλιστα προέβλεψε και την µελλοντική του θέση σε κάθε χρονική στιγµή. Τότε ο Gauss δεν είχε αποκαλύψει την µέθοδό του και έφτασε να κατηγορηθεί ακόµα και για µαγεία. Μόνο το 1809 αποκάλυψε οτι κατάφερε να τον εντοπίσει, υποθέτοντας ελλειπτική τροχιά και αναπτύσσοντας συστηµατικά την µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων του Legendre. Υποθέτουµε οτι η εξίσωση της ελλειπτικής του τροχιάς, αναφέρεται στους κύριους άξονες της και οτι (xi, yi), i=1, 2, ..., ν είναι οι συντεταγµένες του πλανήτη στο επίπεδο όπου αυτός παρατηρήθηκε. Να βρεθεί µε χρήση γενικευµένου αντιστρόφου η λύση ελαχίστων τετραγώνων για την τροχιά του, αν γνωρίζουµε τις 4 συντεταγµένες (1, 1), (0, 2), (-1,

1), (-1, 2)

Λύση Αφού η εξίσωση της ελλειπτικής τροχιάς αναφέρεται στους κύριους άξονες της, θεωρούµε ότι η έλλειψη αυτή, έχει εξίσωση της µορφής

c:

x2 a2

θέτουµε

2

+ by2 = 1

(1)

1 1 = k και 2 = l οπότε η (1) γίνεται: 2 b a

c : kx 2 + ly 2 = 1

(2) Όµως τα σηµεία Α(1, 1), Β(0, 2), Γ(-1, 1) και ∆(-1, 2) ανήκουν στην έλλειψη συνεπώς οι συντεταγµένες τους θα επαληθεύουν την (2). ∆ηλαδή :

k + l = 1 A ∈ c k + l = 1 0k + 4l = 1 B ∈ c    ⇔ 0k + 4l = 1 ⇔ ⇔   k + 4l = 1 k + l = 1 G ∈ c  k + 4l = 1 D ∈ c

 1 1 1 k   0 4    l  = 1 ⇔ AX = B  1 4   1

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 2

1 1   όπου A = 0 4 , X = 1 4

k  l   

Ο Αστεροειδής Ceres

1 , B = 1 . 1

k = 34 k + l = 1 ⇔ 1  0 k 4 l 1 + =  l = 4

Όµως

και το ζεύγος

3 1 (k, l) = ( , ) δεν επαληθεύει την εξίσωση k + 4l = 1.

4 4

Άρα το σύστηµα AX = B είναι αδύνατο. Γνωρίζουµε οτι η λύση ελαχίστων τετραγώνων *** ενός µη συµβιβαστού συστήµατος AX = B , mxn, ικανοποιεί την εξίσωση

A T A X = A TB .

T Aν οι στήλες του πίνακα A είναι γραµµικά ανεξάρτητες, τότε ο πίνακας A A −1 T T αντιστρέφεται και ισχύει οτι: X = ( A A ) A B .

 1 1   Εξετάζουµε αν οι στήλες του πίνακα A = 0 4 είναι γραµµικά ανεξάρτητες.  1 4 1  0 c 1 + c 2 = 0 1  c 1 = 0        Έστω c 1, c 2 ∈ R : c 1 0 + c 2 4 = 0 ⇔ 0c 1 + 4c 2 = 0 ⇔  c 2 = 0 4 0 c 1 + 4c 2 = 0 1  Συνεπώς οι στήλες του

A

είναι γραµµικά ανεξάρτητες, δηλαδή ο 2x2 τετραγωνικός T

⊥

πίνακας A A αντιστρέφεται, και ο γενικευµένος αντίστροφος του ( A A ) ταυτίζεται µε T

T

−1

τον συνήθη αντίστροφό του ( A A ) .

1 1  1 1 0 1  1 0 1      0 4 X = 1 4 4 1 ⇔ Τότε A A X = A B ⇔  1 4 4 1 4    1    5 2 2 X=  (3) 5  33  9 T Όµως det( A A ) = 66 − 25 = 41 ≠ 0 T

T

⊥

T Άρα ο A A αντιστρέφεται και ( A A ) = ( A A )

T

( A T A ) ⊥ = ( A T A ) −1 = Συνεπώς η (3) γράφεται:

1 33 − 5 .

41 − 5 2 

T

−1

=

33 − 5 1  ⇒ det( A T A ) − 5 2 

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 3

Ο Αστεροειδής Ceres

2 5 2 1 33 − 5 2 5 1 33 − 5 2 X X = ⇔ = 5 33 9 41− 5 2 5 33 41− 5 2 9 ⇔         21  41 1 21 I2 X = ⇔ X =  .

41  8  8  41 21   k = 41 Συνεπώς η εκτίµηση ελαχίστων τετραγώνων για τους k , l είναι η  l = 8  41

y2 x2 21 2 8 2 x2 y2 + = 1⇔ + = 1. x + y = 1⇔ Συνεπώς η (2) γράφεται: 2 2 41 41 41 41  41   41      21 8  21   8      Άρα η λύση ελαχίστων τετραγώνων για την ελλειπτική τροχιά του αστεροειδούς είναι η

c:

x2  41     21   

2

+

y2  41     8   

2

=1

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 4 Ουρανογραφικά στοιχεία του Ceres

Ο Αστεροειδής Ceres

Γιάννης Πλατάρος

Σελίδα 5

Ο Αστεροειδής Ceres

Προσδιορισµός-µεταβολή της µάζας του Ceres µε τα έτη και µε την µέθοδο µέτρησης.