REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIONUNIVERSITARIA, CIENCIA Y TECNOLOGIA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” EXTENSION MARACAY
MATEMÁTICA III ACTIVIDAD DEL 10% 2DO CORTE
Profesor:
Autores :
Ing. William Morillo
Bryan Lombano C. I: 30.082.479 Materia: Matemática Sección A Escuela 45: Ing. Industrial
Maracay, 27 de NOVIEMBRE del 2021
TEOREMA DE CAMBIO DE VARIABLE A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes. Si se utiliza una transformación que siga la relación:
Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral
Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.
A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO En matemáticas, el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (véase también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial. De manera precisa el teorema enuncia que si F es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b) entonces existe un punto C en (a,b) tal que la recta tangente en el punto
C es paralela a la recta secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)), esto es
Ejemplo 1 Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,1]:
En primer lugar, debemos comprobar si se cumplen las condiciones para que se pueda aplicar el teorema del valor medio. Debemos comprobar si la ecuación es continua en [0,1] y derivable en (0,1) Continuidad: La función es continua en todo R, al ser una función polinómica, por lo que también será continua en el intervalo [0,1]. Derivabilidad: La función es derivable en (0,1) si su derivada es continua en ese intervalo. La derivada de la función es:
Que es continua en todo R al ser una función polinómica, por tanto f(x) es derivable. Es continua en [0,1] y derivable en (0,1), por tanto, existe un valor de c en ese intervalo tal que:
Vamos a pasar a calcular el punto c del teorema. Calculamos lo que vale la función en los extremos del intervalo:
Y calculamos f'(c):
Por otro lado, calculamos f'(c) a partir de f'(x):
Sustituyendo la x por la c:
Igualamos ambos resultados de f'(c) y nos queda una ecuación que depende de c y de donde podemos despejarla y encontrar el valor de c que nos están pidiendo:
Ejemplo 2 Calcula el punto c que satisface el teorema del valor medio para la siguiente función en el intervalo [0,4]:
Tenemos que comprobar que la función es continua y devirable en ese intervalo. Tenemos un punto crítico en el punto x=2, por lo que vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en ese punto (ambos tramos son continuos y derivables por ser polinomios). Continuidad: Para ver si la función es continua en x=2, tenemos que comprobar que sus límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden. El límite por la izquierda de x=2 es:
El límite por la derecha:
Y el valor de la función:
Los límites laterales y el valor de la función en x=2 coinciden:
Por lo que la función es continua en x=2 Ahora vamos a ver si la función es derivable en x=2 Para ello, obtenemos la derivada de f(x):
Y ahora comprobamos si f'(x) es continua en x=2. El límite por la izquierda es:
El límite por la derecha:
Y el valor de f'(x) en x=2 es:
Los límites laterales y el valor de f'(x) coinciden:
Por tanto f'(x) es continua para x=2 y f(x) es derivable para x=2. Cumplen las dos condiciones obligatorias, luego se puede aplicar el teorema del valor medio y existirá un punto c en el intervalo [0,4] tal que:
Calculamos el valor de la función en los extremos:
Y calculamos el valor de f'(c):
Por otro lado, obtenemos f'(c), a partir de f'(x), sustituyendo la x por la c:
En el primer tramo no obtenemos ningún valor de c, pero en el segundo tramo, depende de c, que lo igualamos al valor de f'(c) calculado anteriormente y obtenemos lo que vale c:
TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y DESIGUALDAD DE CAUCHY - SCHWARTZ En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir de este puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones o
.
Caso General
El teorema de Cauchy o teorema del valor medio generalizado, dice que: Si
y
son funciones continuas en
entonces existe un punto
con
y derivables en
tal que:
.
El valor del primer miembro es constante, por lo que:
,
La interpretación geométrica del teorema de Cauchy nos dice que existen dos puntos
y
de las curvas
que la pendiente de la tangente a la curva es
y
, tales
en el primer punto
veces la pendiente de la tangente a la curva
en el segundo punto.
Al teorema de Cauchy también se le suele denominar teorema del valor medio generalizado.
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones
y
son continuas y derivables en
polinómincas, luego, en particular, son continuas en en
.
2 Además se cumple que
.
por ser
y derivables
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son
Como
y
, concluimos que el valor buscado es
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo
a las funciones:
En caso afirmativo, aplicarlo.
1 Las funciones
y
son continuas y
derivables en toda la recta real y en particular son continuas en el intervalo
y derivables en
2 Además se cumple que
.
Por lo tanto se verifica el teorema de Cauchy:
3 Aplicamos el teorema de Cauchy, para esto calculamos las derivadas de ambas funciones
Evaluamos en la fórmula
Las raíces son
Como
, concluimos que el valor buscado es
TEOREMA DE RIEMANN - LIBERGUE
En matemáticas, el Lema de Riemann-Lebesgue recibe el nombre en honor a los matemáticos Bernhard Riemann y Henri Lebesgue, y es de importancia en análisis armónico y análisis asintótico. Este resultado es en realidad un resultado bastante profundo, debido a que es un elemento crucial en la prueba de la convergencia puntual de las series de Fourier. El Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes, llamado así en honor al matemático alemán Riemann, dice que si una serie infinita de números reales es condicionalmente convergente, entonces sus términos pueden ser permutados de modo que la nueva serie converja a un número real arbitrario, o diverja.
La serie 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 + ... , por ejemplo, converge a 0, pero si se toma la serie en valor absoluto, es decir, reemplazando cada término con su valor absoluto, se obtiene la serie 1 + 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + ... , que diverge. Por ello la serie original es condicionalmente convergente, y puede ser reordenada para dar una serie que converge a una suma diferente, como por ejemplo: 1 + 1/2 – 1 + 1/3 + 1/4 – 1/2 + ... = ln 2. En general, utilizando este procedimiento con p positivos seguido por q negativos da la suma ln(p/q). Otras reordenaciones pueden sumar un número real distinto, o infinito. Sea
una sucesión de números reales,
una
serie condicionalmente convergente, y M un número real dado. Existe una permutación tal que
También existe una permutación
que cumple
En otras palabras, los términos de la suma pueden reordenarse para que esta converja a cualquier número real o diverja.
Esto implica que la función f no es Riemann integrable en [−1,1], ya que no es acotada en [−1,1]. Por consiguiente, la función f no satisface la segunda versión del Teorema Fundamental del Cálculo en [−1,1].
TEOREMA DE FUBINI
En matemáticas el teorema de Fubini, llamado así en honor del matemático italiano Guido Fubini, afirma que si:
la integral respecto al producto cartesiano de dos intervalos en el espacio
AxB puede ser escrita como:
Las primeras dos integrales son simples, mientras que la tercera es una integral en el producto de dos intervalos. Por otra parte si:
entonces:
Por lo tanto la integral doble es reducible al producto de dos integrales simples.
BIBLIOGRAFÍA
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http://www.mat.ucm.es/~dazagrar/docencia/cap7.pdf
2.
https://es.wikipedia.org/wiki/Integral_m%C3%BAltiple
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https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_valor_medio
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https://ekuatio.com/teorema-del-valor-medio-ejercicios-
resueltos/
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https://www.ugr.es/~rpaya/documentos/AnalisisI/2017-
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https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/d
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https://es.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Riemann-Lebesgue
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https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Riemann_(series)
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https://ocw.unican.es/pluginfile.php/608/course/section/577/MCP
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