دروس و تطبيقات في الرياضات

‫جامعة العقٌد الحاج لخضر ‪ -‬باتنة‬ ‫كلٌة العلوم اإلقتصادٌة والتجارٌة وعلوم التسٌ​ٌر‬ ‫قسم التسٌ​ٌر‬

‫دروس وتطبٌقات‬

‫مقٌاس الرٌاضٌات ‪I‬‬ ‫للسنة األولى تسٌ​ٌر‬ ‫السداسً األول‬

‫من إعداد األساتذة‪:‬‬ ‫د‪ .‬بركــــــــــــات الخٌر‬ ‫د‪ .‬بوضٌاف نعٌـــــــمة‬ ‫أ‪ .‬مخلوف ساســـــــٌة‬ ‫أ‪ .‬شطوح كرٌــــــــمة‬ ‫أ‪ .‬حــــــــــدوش وردة‬ ‫أ‪ .‬بن جاب هللا الطاهر‬ ‫أ‪ .‬الوافً هـشـــــــــام‬

‫السنة الجامعٌة‪2014 -- 2013 :‬‬

‫‪1‬‬

‫الفهرس العام‬ ‫الفصل األول‪:‬‬

‫الفصل الثانً‪:‬‬

‫الفصل الثالث‪:‬‬

‫الدوال ذات متغٌر‬ ‫سلسلة التطبٌقات‬

‫‪ .......................................... 2‬ص ‪32‬‬

‫الدوال ذات عدة‬

‫متغٌرات ‪ ................................‬ص ‪33‬‬

‫سلسلة التطبٌقات‬

‫‪ .......................................... 3‬ص ‪42‬‬

‫التفاضل‬

‫والتكامل ‪ ..........................................‬ص ‪43‬‬

‫سلسلة التطبٌقات‬ ‫الفصل الرابع‪:‬‬

‫حقٌقً ‪ .................................‬ص ‪03‬‬

‫المعادالت‬

‫التفاضلٌة ‪ .......................................‬ص ‪63‬‬

‫سلسلة التطبٌقات‬ ‫الفصل الخامس‪:‬‬

‫‪ .......................................... 4‬ص ‪62‬‬

‫‪ .......................................... 5‬ص ‪71‬‬

‫المتتالٌات والسالسل‬

‫سلسلة التطبٌقات‬

‫العددٌة ‪ .........................‬ص ‪72‬‬

‫‪ .......................................... 6‬ص ‪82‬‬

‫ إمتحان السداسً األول ‪ ................................2013-2012‬ص ‪83‬‬‫‪ -‬تصحٌح امتحان السداسً األول ‪ ......................2013-2012‬ص ‪84‬‬

‫‪2‬‬

‫اٌفصــــــــــــــــً األ‪ٚ‬ي‬

‫اندوال ذاث متغير حميمي‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫النهاٌات واالستمرار‬ ‫اإلشتقاق‬ ‫دراسة الدوال األسٌة واللوغارٌتمٌة‬ ‫النشر المحدود‬

‫‪3‬‬

‫الدوال ذات متغٌر حقٌقً‬ ‫‪ – 1‬عمومٌات على الدوال‬ ‫التطبٌق المعرف من 𝐼 نحو ‪ ٛ٘ ℝ‬عثازج عٓ عاللح ذستط ت‪ ٓ١‬عٕاصس 𝐼 ‪ ،ℝ ٚ‬تح‪١‬ث وً عٕصس ِٓ ‪ٌٗ I‬‬ ‫ص‪ٛ‬زج ‪ٚ‬ح‪١‬دج ف‪. ℝ ٟ‬‬ ‫‪ - 1 - 1‬تعرٌف‪:‬‬ ‫الدالة ‪ ƒ‬بمتغٌر حقٌقً هً عبارة عن تطبٌق من مجال ( ‪ ) 𝐼 ⊆ ℝ‬نحو ‪ ، ℝ‬نرمز لمجموعة‬ ‫الدوال المعرفة من 𝐼 نحو ‪ ℝ‬بالرمز ( ‪( ℱ ) ,ℝ‬هذا ٌعنً أن‪) ƒ :𝐼 → ℝ :‬‬ ‫{ )𝑥(‪ ƒ‬معرفة ‪Dƒ = } 𝑥 ∈ ℝ /‬‬

‫المجموعة ‪ Dƒ‬هً مجال تعرٌف الدالة ‪ ƒ‬حٌث ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪Dƒ = ℝ‬‬ ‫‪/1‬‬ ‫*‬

‫‪ƒ: ℝ → ℝ‬‬

‫من أجل‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬

‫= )𝑥(‪𝑥 ↦ ƒ‬‬

‫‪ Dƒ = ]1, +∞[ /2‬من أجل ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬

‫‪ƒ: ℝ → ℝ‬‬

‫= )𝑥(‪𝑥 ↦ ƒ‬‬

‫المجموعة ‪ 𝐂ƒ‬هً بٌان الدالة ‪ ƒ‬ح‪١‬ث ‪:‬‬

‫} ‪Cƒ = { 𝑥, 𝑓 𝑥 / 𝑥 𝜖 Dƒ‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪ƒ: ℝ → ℝ‬‬ ‫‪𝑥 ↦ ƒ(𝑥) = 𝑥 2 + 1‬‬

‫من أجل‬

‫‪Cƒ‬‬

‫‪4‬‬

‫‪ 2-1‬عالقة الترتٌب‬ ‫تعرٌف‪:‬‬

‫) ‪𝑔 , ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝ‬‬

‫نقول أن 𝑔 ≤ ‪ ƒ‬إذا كان )𝑥(𝑔 ≤ 𝑥 ‪∀𝑥 ∈ 𝐼, ƒ‬‬

‫تمرٌن ‪:1‬‬ ‫أوجد مجال تعرٌف الدوال التالٌة‪:‬‬ ‫‪,‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪𝑥2 + 4 𝑥 + 9‬‬

‫‪ƒ1 𝑥 = −3 𝑥 2 + 5 𝑥 − 6 ,‬‬

‫= 𝑥 ‪ƒ2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪𝑥+3‬‬

‫= 𝑥 ‪ƒ3‬‬

‫الحل ‪:‬‬ ‫[∞‪𝐷ƒ3 =] − 3, +‬‬

‫‪,‬‬

‫[∞‪𝐷ƒ2 =] − ∞, +‬‬

‫‪,‬‬

‫[∞‪𝐷ƒ1 =] − ∞, +‬‬

‫‪ 3-1‬الدوال الفردٌة والدوال الزوجٌة‬ ‫لتكن ) ‪ ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝ‬نقول أن ‪:‬‬ ‫‪ ƒ ‬دالة زوجٌة هذا ٌعنً أن‪∀𝑥 ∈ 𝐷ƒ, ƒ 𝑥 = ƒ −𝑥 :‬‬ ‫ومنه بٌان ‪ ƒ‬متناظر بالنسبة للمستقٌم )𝑦𝑜(‬

‫‪ ƒ ‬دالة فردٌة وهذا ٌعنً أن‪∀𝑥 ∈ 𝐷ƒ, ƒ 𝑥 = −ƒ −𝑥 :‬‬ ‫ومنه بٌان الدالة ‪ ƒ‬متناظر بالنسبة لنقطة المبدأ ‪0‬‬ ‫‪ 4-1‬الدوال الدورٌة‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪:‬‬ ‫لتكن ) ‪ ƒϵ ℱ (ℝ , ℝ‬نقول أن ‪ ƒ :‬دورٌة ودورها ⊤)‪ (⊤ > 0‬إذا كان ‪:‬‬ ‫‪5‬‬

‫‪∀𝑥 ∈ ℝ,‬‬

‫𝑥 ‪ƒ 𝑥+⊤ =ƒ‬‬ ‫مثال‪:‬‬

‫‪ ‬الدوال 𝑥 ‪ sin‬و 𝑥 ‪ cos‬هً عبارة عن دوال دورٌة دورها ‪⊤ = 2π‬‬ ‫‪ ‬كل دالة ثابتة فهً دالة دورٌة‬ ‫‪ 5-1‬الدوال المحدودة‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪ :‬لتكن ) ‪ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝ‬‬ ‫‪ ‬نقول أن ‪ ƒ‬محدودة من األعلى على 𝐼 إذا كان ‪∂M ∈ ℝ /∀𝑥 ∈ 𝐼 , ƒ 𝑥 ≤ 𝑀 :‬‬ ‫‪ ‬نقول أن ‪ ƒ‬محدودة من األسفل على 𝐼 إذا كان ‪∂m ∈ ℝ /∀𝑥 ∈ 𝐼 , ƒ 𝑥 ≥ m :‬‬ ‫‪ ‬نقول عن ‪ ƒ‬أنها محدودة على 𝐼 إذا كان‪∂m, M ∈ ℝ , ∀𝑥 ∈ 𝐼 , m ≤ ƒ 𝑥 ≤ 𝑀 :‬‬ ‫‪ 6-1‬عملٌات على الدوال‪:‬‬ ‫لتكن )‪ 𝑔 ∈ ℱ 𝐼 ′ , ℝ , ƒ ∈ ℱ(𝐼, ℝ‬لدٌنا‪:‬‬ ‫‪)a‬‬

‫𝑥 𝑔‪ƒ+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +‬‬

‫‪)b‬‬

‫𝑥 𝑔 ‪ƒ. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 .‬‬

‫‪)c‬‬ ‫‪)d‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥 𝑓‬

‫= 𝑥‬

‫‪1‬‬ ‫𝑓‬

‫إذا كان ‪𝑓 𝑥 ≠ 0 :‬‬

‫إذا كان لدٌنا ‪ 𝑓(𝐼) ⊆ 𝐼 ′ ⊆ ℝ‬فإن‪𝑔 ∘ ƒ 𝑥 = 𝑔[𝑓(𝑥)] :‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪𝑓 :ℝ → ℝ‬‬

‫من أجل ‪، 𝐷ƒ = ℝ :‬‬

‫‪𝑥 ↦ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1‬‬ ‫‪+‬‬

‫‪𝑔 :ℝ → ℝ‬‬ ‫[∞‪𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 = 𝑥 , 𝐷𝑔 = [0, +‬‬

‫لدٌنا‪:‬‬

‫[∞‪𝑓 𝐷𝑓 = 1, +∞ ⊆ 𝐷 𝑔 = [0, +‬‬

‫إذن‪= 𝑔 𝑥 2 + 1 = 𝑥 2 + 1 :‬‬

‫𝑥 𝑓 𝑔 = 𝑥 ‪𝑔∘ƒ‬‬

‫‪6‬‬

‫‪ -7-1‬الدوال الرتٌبة‪:‬‬ ‫تعرٌف‪:‬‬ ‫لتكن )‪ 𝑓 ∈ ℱ(𝐼, ℝ‬نقول أن ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫𝑓‬ ‫𝑓‬ ‫𝑓‬ ‫𝑓‬

‫متزاٌدة على 𝐼 فً ‪ ℝ‬إذا كان ‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 :‬‬ ‫متناقصة على 𝐼 فً ‪ ℝ‬إذا كان‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 :‬‬ ‫متزاٌدة تماماعلى 𝐼 فً ‪ ℝ‬إذا كان ‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑦 :‬‬ ‫متناقصة تماما على 𝐼 فً ‪ ℝ‬إذا كان‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 :‬‬

‫النهاٌات واالستمرار‪:‬‬ ‫‪ 1-2‬النهاٌات‪:‬‬ ‫تعرٌف‪ :‬لتكن ‪ 𝑓 ∈ ℱ 𝐼, ℝ , 𝑎 ∈ 𝐼 ∩ ℝ‬و)‪ (ℓ∈ ℝ‬نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة ‪ ℓ‬عند النقطة 𝑎 إذا‬ ‫كان من أجل عدد ‪ٌ ، 𝜀 > 0‬وجد عدد حقٌقً ‪ 𝛿 > 0‬بحٌث من أجل كل 𝑥 من 𝐼 العالقة‬ ‫𝛿 ≤ ⎸𝑎 ‪ ⎸𝑥 −‬تستلزم 𝜀 ≤ ⎸‪ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ‬أي‬ ‫𝜀 ≤ ⎸‪∀𝜀 > 0 ∂δ > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼; ⎸𝑥 − 𝑎⎸ ≤ 𝛿 ⇒ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ‬‬ ‫‪𝑓(𝑥) → ℓ‬‬ ‫فً حالة وجود النهاٌة فهً وحٌدة وتكتب 𝑓 𝑎‪ lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ℓ = lim‬أو‬ ‫𝑥‬ ‫𝑎 →‬

‫مالحظة‪ :‬إذا كانت 𝑓 معرفة عند 𝑎 و كانت النهاٌة موجودة إذن‪:‬‬ ‫)𝑎(𝑓 = 𝑥 𝑓 ‪lim‬‬

‫𝑎→𝑥‬

‫𝑓𝐶‬ ‫‪ℓ+ℰ‬‬ ‫‪ℓ‬‬

‫نهاٌة 𝑓 عند 𝑎‬

‫‪ℓ−ℰ‬‬

‫𝛿‪𝑎+‬‬

‫𝑎‬

‫𝛿‪𝑎−‬‬

‫𝛿‪−‬‬ ‫‪7‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫‪𝑓: ℝ → ℝ‬‬

‫لتكن ‪:‬‬ ‫‪𝑥 2 +𝑥−2‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬

‫= 𝑥 𝑓⟼𝑥‬ ‫[∞‪𝐷𝑓 =] − ∞, 1 ∪ 1, +‬‬

‫نبحث عن نهاٌة الدالة 𝑓 من أجل ‪𝑥 = 1‬‬ ‫لدٌنا‪:‬‬ ‫)‪𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2‬‬ ‫من أجل ‪ 𝑥 ≠ 1‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪𝑥2 + 𝑥 − 2‬‬ ‫)‪(𝑥 − 1)(𝑥 + 2‬‬ ‫= 𝑥 𝑓‬ ‫=‬ ‫‪=𝑥+2‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫⎸‪⎸𝑓 𝑥 − 3⎸ = ⎸𝑥 + 2 − 3⎸ = ⎸𝑥 − 1‬‬ ‫𝜀 ≤ ⎸‪∀ε > 0, ∂𝛿 = 𝜀 > 0 ̸ ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : ⎸𝑥 − 1⎸ ≤ 𝛿 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − 3⎸ = ⎸𝑥 − 1‬‬ ‫ومنه نستنتج أن‪:‬‬ ‫‪lim𝑥→1 𝑓 𝑥 = 3‬‬ ‫تعرٌف ‪ :2‬تعرٌف النهاٌة من الٌمٌن والنهاٌة من الٌسار‬ ‫لتكن )‪𝑓 ∈ ℱ(𝐼, ℝ‬‬ ‫نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة من الٌسار عند ‪ 𝑥0‬إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝜀 ≤ ⎸ 𝑑‪∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0, 𝑥0 − 𝓃𝜀 < 𝑥 < 𝑥0 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ‬‬ ‫ونكتب‪lim 𝑓 𝑥 = ℓ𝑑 :‬‬

‫‪𝑥→𝑥 0‬‬ ‫‪𝑥>𝑥 0‬‬

‫أو‬

‫𝑑‪lim 𝑓 𝑥 = ℓ‬‬

‫‪𝑥→𝑥 0+‬‬

‫نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة من الٌمٌن عند ‪ 𝑥0‬إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً‪:‬‬ ‫𝜀 ≤ ⎸ 𝑔‪∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0, 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝓃𝜀 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ‬‬ ‫‪8‬‬

‫ونكتب‪lim 𝑓 𝑥 = ℓ𝑔 :‬‬

‫أو‬

‫‪𝑥→𝑥 0‬‬ ‫‪𝑥<𝑥 0‬‬

‫𝑔‪lim 𝑓 𝑥 = ℓ‬‬

‫‪𝑥→𝑥 0−‬‬

‫𝑑‪ℓ‬‬ ‫𝑓𝐶‬ ‫𝑔‪ℓ‬‬

‫‪𝑥0‬‬

‫مالحظة‪:‬‬ ‫إذا كانت )‪𝑓 ∈ ℱ(𝐼\ 𝑎 , ℝ‬‬

‫و‬

‫‪lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = ℓ‬‬ ‫‪𝑥<𝑥 0‬‬

‫‪𝑥>𝑥 0‬‬

‫إذن‪ :‬نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة ‪ ℓ‬عند 𝑎‬ ‫النهاٌات الغٌر المنتهٌة‬ ‫تعرٌف ‪1‬‬ ‫من أجل كل عدد حقٌقً ‪ 𝑎 𝜖 ℝ‬و ∞‪ ℓ = ±‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪lim𝑥⟶a 𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ ∀ 𝐴 > 0, ∂ 𝛿 > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 :‬‬

‫‪1/‬‬

‫) 𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ 𝛿 ≤ ⎸ 𝑎 – 𝑥⎸‬ ‫‪2/ lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ (∀ 𝐵 < 0 , ∂ 𝛿 > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼):‬‬ ‫𝐵≤ 𝑥 𝑓⟹ 𝛿 ≤⎸𝑎‪⎸𝑥−‬‬

‫تعرٌف ‪2‬‬ ‫من أجل ∞ ‪ 𝑎 = ±‬و ∞ ‪ ℓ = ±‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ ‪1. lim𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ (∀ 𝐴 > 0 , ∂ 𝐴′ > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≥ 𝐴′‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫𝐵 ≤ 𝑥 𝑓 ⟹ ‪2. lim 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ ∀ 𝐵 < 0, ∂ 𝐴′ > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≥ 𝐴′‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫‪9‬‬

‫) 𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ ‪3. lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ (∀ 𝐴 > 0, ∂ 𝐵 ′ < 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≤ 𝐵 ′‬‬ ‫) 𝐵 ≤ 𝑥 𝑓 ⟹ ‪4. lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ (∀ 𝐵 < 0, ∂ 𝐵 ′ < 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼: 𝑥 ≤ 𝐵 ′‬‬

‫‪ 1-2-2‬عملٌات على النهاٌات‪:‬‬ ‫‪lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ℓ‬‬

‫إذا كان ‪:‬‬

‫‪lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = ℓ‬‬

‫و‬

‫إذن‪:‬‬ ‫‪lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = ℓ + ℓ‬‬ ‫‪lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = ℓ. ℓ‬‬ ‫‪ 𝑔 ≠ 0‬إذن‪:‬‬ ‫و‬ ‫إذا كان‪ℓ ≠ 0 :‬‬

‫‪)1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪)3‬‬

‫‪ℓ‬‬ ‫‪ℓ‬‬

‫=‬

‫)𝑥(𝑓‬ ‫)𝑥(𝑔‬

‫𝑎→𝑥‪lim‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫إذا كانت‬ ‫إذا كانت‬ ‫إذن‬

‫𝑥 ‪sin‬‬ ‫𝑥‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫)𝑥‪𝑙𝑛 (1+2‬‬ ‫𝑥‬

‫إذن‬

‫= 𝑥 𝑔‬

‫‪=1‬‬ ‫إذن‬

‫𝑥 𝑚𝑖𝑠‬ ‫𝑥‬

‫‪=2‬‬

‫‪lim𝑥→0‬‬

‫⁡ ‪ln‬‬ ‫)𝑥‪(1+2‬‬ ‫𝑥‬

‫‪lim𝑥→0‬‬

‫‪lim𝑥→0 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 3‬‬ ‫‪lim𝑥→0 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫)𝑥(𝑓‬ ‫)𝑥(𝑔‬

‫‪lim𝑥→0‬‬

‫‪ 2-1-2‬حاالت عدم التعٌ​ٌن‪:‬‬ ‫‪ ‬فً حساب النهاٌات نعرف حالة عدم التعٌ​ٌن ( التً نرمز لها بالرمز ح‪.‬ع‪.‬ت ) وكل‬ ‫وضعٌة تقودنا إلى حالة أٌن نستخدم كل العملٌات على النهاٌات وال نجد النهاٌة‪.‬‬ ‫‪ ‬بعض حاالت عدم التعٌ​ٌن المتداولة والمهمة هً ‪:‬‬ ‫∞‪0 ±‬‬ ‫‪,‬‬ ‫… ‪, 0 × ∞, −∞ + ∞, 1∞ , 00 , 0∞ , ∞0 ,‬‬ ‫∞‪0 ±‬‬ ‫مثال‪ :‬إذا كان‬ ‫𝑥 ‪ 𝑓 𝑥 = sin‬و 𝑥 = 𝑥 𝑔 إذن ‪ lim 𝑓 𝑥 = 0‬و ‪lim 𝑔 𝑥 = 0‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫‪10‬‬

‫‪x→0‬‬

‫نقول أن‬ ‫و‬

‫)𝑥(𝑓‬ ‫)𝑥(𝑔‬

‫𝑥 ‪sin‬‬ ‫𝑥‬

‫‪= lim𝑥→0‬‬

‫)𝑥(𝑓‬ ‫)𝑥(𝑔‬

‫‪ lim𝑥→0‬هً حالة عدم التعٌ​ٌن من الشكل‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ٌ lim𝑥→0‬تم تحدٌدها باإلشتقاق‬

‫‪ 2-2‬االستمرار‪:‬‬ ‫تعرٌف‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓 دالة حقٌقٌة معرفة على مجال 𝐼 و 𝐼 ∈ ‪𝑥0‬‬ ‫‪ ‬نقول أن 𝑓 مستمرة عند ‪ 𝑥0‬إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝜀𝓃 ≤ ‪lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0; 𝑥 − 𝑥0‬‬

‫‪𝑥→𝑥 0‬‬

‫𝜀 ≤ ‪⇒ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪ ‬نقول أن 𝑓 مستمرة من الٌمٌن عند ‪ 𝑥0‬إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً ‪:‬‬ ‫) ‪limx→x 0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪x>x 0‬‬

‫‪ ‬نقول أن 𝑓 مستمرة من الٌسار عند ‪ 𝑥0‬إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً ‪:‬‬ ‫) ‪lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪x→x‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪x<x 0‬‬

‫‪ ‬نقول أن 𝑓 مستمرة على مجال 𝑏 ‪ ,‬إذا كانت مستمرة على كل نقطة 𝑏 ‪𝑥 ∈ 𝑎,‬‬ ‫ومستمرة على ٌمٌن 𝑎 ومستمرة على ٌسار 𝑏 ‪.‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫إذا كانت الدالة‬

‫مستمرة من ٌمٌن ومن ٌسار ‪ 𝑥0‬إذن 𝑓 مستمرة عند ‪𝑥0‬‬

‫تمرٌن‬ ‫برهن أن الدالة 𝑓المعرفة كما ٌلً ‪:‬‬ ‫‪𝑒𝑥 − 1‬‬ ‫‪𝑠𝑖 𝑥 < 0‬‬ ‫= 𝑥 𝑓‬ ‫𝑥‬ ‫‪3𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0‬‬ ‫مستمرة عند ‪0‬‬ ‫‪ 1- 2-2‬عملٌات على الدوال المستمرة‬ ‫إذا كانت ‪ 𝑓 :‬و𝑔 دوال مستمرة عند ‪ 𝑥0‬اذن ‪:‬‬ ‫‪ 𝑔 + 𝑓 / 1‬و 𝑔 ‪ 𝑓.‬هً عبارة عن دوال مستمرة عند ‪𝑥0‬‬ ‫‪11‬‬

‫‪ / 2‬إذا كان ‪ , 𝑔 𝑥0 ≠ 0‬اذن‬

‫𝑓‬ ‫𝑔‬

‫مستمرة عند ‪𝑥0‬‬

‫‪ / 3‬إذا كانت 𝑓 مستمرة عند ‪ 𝑥0‬و 𝑔 مستمرة عند ) ‪ 𝑓 ( 𝑥0‬اذن ‪:‬‬ ‫𝑓 ‪ 𝑔ο‬مستمرة عند ‪𝑥0‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪ / 1‬الدوال كثٌرات الحدود هً عبارة عن دوال مستمرة على ‪ℝ‬‬ ‫‪ / 2‬الدوال المثلثٌة هً عبارة عن دوال مستمرة على مجال تعرٌفها ‪.‬‬ ‫إذا كان ‪ 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 :‬من اجل ‪ 𝑥0‬و 𝑥 فً ‪ℝ‬‬ ‫لدٌنا‪:‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 + 𝑥0‬‬ ‫(‪sin 𝑥 − sin 𝑥0=2 sin‬‬ ‫(‪) cos‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومن جهة أخرى لدٌنا‬ ‫𝑥 ≤ 𝑥 ‪∀𝑥 ∈ ℝ, sin‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 + 𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫𝑛𝑖𝑠‪sin 𝑥 − sin 𝑥0 ≤ 2‬‬ ‫𝑠𝑜𝑐‬ ‫𝑛𝑖𝑠 ‪≤ 2.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪≤2‬‬ ‫‪≤ 𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫𝜀 ≤ ‪∀𝜀 > 0, ∂𝑛 = 𝜀; 𝑥 − 𝑥0 ≤ 𝓃 ⟹ sin 𝑥 − sin 𝑥0‬‬ ‫إذن نستنتج أن الدالة 𝑥 ‪ sin‬هً مستمرة على ‪ℝ‬‬ ‫التمدٌد باإلستمرار‪:‬‬ ‫تعرٌف‪ :‬إذا كانت 𝑓 دالة معرفة على مجال ‪ ، 𝐼\ 𝑥 0‬و ‪ ، lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = ℓ‬الدالة 𝑔 المعرفة‬ ‫𝑥 𝑓‬ ‫‪𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑥0‬‬ ‫= 𝑥 𝑔‬ ‫كما ٌلً ‪:‬‬ ‫‪ℓ‬‬ ‫‪𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0‬‬ ‫هً تمدٌد لــ 𝑓 باستمرار ‪.‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫لتكن 𝑔 دالة معرفة كما ٌلً‪:‬‬ ‫𝑥 ‪sin‬‬ ‫‪𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0‬‬ ‫𝑥 = 𝑥 𝑔‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑖𝑠‬ ‫‪𝑥=0‬‬ ‫𝑥 ‪sin‬‬ ‫= 𝑥 𝑓‬ ‫𝑔 هً تمدٌد باالستمرار للدالة 𝑓 المعرفة على ‪ ℝ\ 0‬بـ‪:‬‬ ‫𝑥‬

‫‪ 2-2-2‬نظرٌة القٌم المتوسطة‪:‬‬ ‫لنظرٌة القٌم المتوسطة أشكال عدٌدة من أهمها نظرٌة بولزانو التً تنص على ما ٌلً‪:‬‬ ‫‪12‬‬

‫نظرٌة‪:‬‬ ‫إذا كانت 𝑓 دالة مستمرة على مجال محدود 𝑏 ‪ 𝑎,‬وكان الجداء ‪ 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0‬إذن توجد نقطة‬ ‫𝑏 ‪ 𝑐 ∈ 𝑎,‬بحٌث ‪𝑓 𝑐 = 0‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫لتكن المعادلة‬

‫‪𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0‬‬

‫لدٌنا‪:‬‬ ‫𝑓 دالة مستمرة على ‪، ℝ‬‬

‫‪−1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫=( )𝑓و‬

‫‪79‬‬

‫‪3‬‬

‫‪64‬‬

‫‪4‬‬

‫= ( )𝑓‬

‫إذْ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝑓( ( 𝑓 ) ( < 0‬‬ ‫بتطبٌق نظرٌة القٌم المتوسطة ٌوجد[‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪.‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫] 𝜖‪c‬‬ ‫‪𝑓 𝑐 =0‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذن 𝑐 هو تقرٌب كل المعادلة ‪ 𝑓 𝑥 = 0‬على المجال [ ‪,‬‬ ‫‪4‬‬

‫بدقة ‪ 25%‬الن ‪= 0,25‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫=‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪-‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫]‬

‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ -_ 4‬الدوال العكسٌة‬ ‫تذكـــٌر‬ ‫لتكن 𝑓 دالة معرفة على المجال 𝐼 نقول أن‪:‬‬ ‫𝑓 متزاٌدة تماما ⟺ )𝑦(𝑓 < )𝑥(𝑓 ⟹ 𝑦 < 𝑥 ; 𝐼𝜖𝑦 ‪∀𝑥 ,‬‬ ‫𝑓 متناقصة تماما ⟺ )𝑥(𝑓 < )𝑦(𝑓 ⟹ 𝑦 < 𝑥 ; 𝐼𝜖𝑦 ‪∀𝑥 ,‬‬ ‫مالحظة‪:‬‬ ‫إذا كانت 𝑓 مستمرة و متزاٌدة تماما على ]𝑏 ‪ [𝑎,‬من ‪ℝ‬‬ ‫𝑏 𝑓 ≤ 𝑥 𝑓 ≤ 𝑎 𝑓 ⟹ 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ‪∀𝑥 𝜖[𝑎,b] ,‬‬ ‫بحٌث‪ 𝑓(𝑎) :‬هو الحد األدنى لـ )𝑥(𝑓 𝑚 = 𝑎‬ ‫و)𝑏(𝑓 ٌمثل الحد األقصى لـ )𝑥( 𝑓 𝑀 = 𝑏 𝑓‬

‫‪13‬‬

‫إذن] 𝑏 ‪[ 𝑓 𝑎 , 𝑓 (𝑏)] = 𝑚, 𝑀 = 𝑓 [ 𝑎,‬‬ ‫بنفس الطرٌقة إذا كانت 𝑓 مستمرة ومتناقصة تماما على ]𝑏 ‪[𝑎,‬‬ ‫من ‪ ℝ‬لدٌنا )]𝑏 ‪[𝑓 𝑏 , 𝑓 𝑎 ] = 𝑚, 𝑀 = 𝑓 ([𝑎,‬‬ ‫نظرٌة‬ ‫إذا كانت 𝑓 دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما ( متناقصة تماما ) على مجال ]𝑏 ‪[𝑎,‬‬

‫إذن 𝑓 دالة تقابلٌة على ]𝑏 ‪ [𝑎,‬نحو ])𝑏(𝑓 ‪ ( [𝑓 𝑏 , 𝑓 (𝑎)]) [𝑓 𝑎 ,‬على التوالً ‪.‬‬

‫نستنتج أن ‪:‬‬ ‫إذا كانت 𝑓دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما (متناقصة تماما) من )]𝑀 ‪([𝑎, 𝑏 ] ⟶ [𝑚,‬‬ ‫𝑓 تقبل دالة عكسٌة تقابلٌة ترمز لها بالرمز ‪ 𝑓 −1‬معرفة‬ ‫]𝑏 ‪𝑓 −1 [𝑚, 𝑀] ⟶ [𝑎,‬‬ ‫𝑥 = 𝑦 ‪𝑦 ⟼ 𝑓 −1‬‬ ‫‪ 1 -_4‬بٌان الدالة العكسٌة‬ ‫بٌان الدالة ‪ 𝑓 −1‬متناظر مع بٌان الدالة 𝑓 بالنسبة للمستقٌم )𝑥 = 𝑦(‬ ‫مثـــال‪:‬‬ ‫𝜋‬

‫الدالة العكسٌة للدالة 𝑥 ‪ 𝑓 𝑥 = sin‬على المجال ] ‪,‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫[‬

‫هً الدالة 𝑥 ‪ 𝑓 −1 )𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sin‬هً عبارة عن دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما على ]‪[−1,1‬‬ ‫لدٌنا‪] ⟶ [−1, 1 ] :‬‬ ‫]‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫‪sin 𝑥 : [−‬‬

‫‪Arc sin 𝑥 : [−1 , 1 ] ⟶ [−‬‬

‫‪14‬‬

‫𝑦 ‪𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sin‬‬

‫𝑥 ‪𝑦 = sin‬‬

‫‪−1 ≤ 𝑦 ≤ 1‬‬

‫𝜋‬ ‫𝜋‬ ‫≤ 𝑥≤‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫بعــض التمـــارٌن التدعٌمٌـــة‬ ‫التمــــرٌــــن ‪:1‬‬ ‫عٌن مجال تعرٌف الدوال التالٌــة‬ ‫)‪𝑥(𝑥 − 1‬‬

‫= 𝑥 𝑔 )𝑏‬

‫⎸‪6−⎸𝑥−2‬‬

‫‪𝑥2 + 4‬‬ ‫‪𝑎) 𝑓 𝑥 = 3‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥‪𝑥 + 𝑥 2 + 2‬‬

‫= 𝑥 𝑔 )𝑑‬

‫‪1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫⎸ 𝑥⎸ ‪1 −‬‬

‫التمـــرٌــن ‪: 2‬‬ ‫احسب نهاٌات الدوال التالٌة ‪:‬‬ ‫‪𝑥 3 − 7𝑥 + 6‬‬ ‫‪𝑏) lim 2‬‬ ‫‪𝑥→3 𝑥 + 2𝑥 − 3‬‬

‫𝑥‪9+‬‬ ‫𝑥‬

‫‪3−‬‬

‫𝑥 ‪1 − cos‬‬ ‫𝑥‪cos 𝑥 sin‬‬

‫‪𝑑) lim‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫‪𝑓) lim‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫‪(𝑥 + 1)2 − 1‬‬ ‫= ‪𝑎) lim‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫𝑥‬

‫‪𝑥 2 − 3𝑥 + 2‬‬ ‫‪𝑐) lim 2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪𝑥→+∞ 𝑥 + 𝑥 − 6‬‬

‫𝑥‪sin ²‬‬ ‫‪,‬‬ ‫𝑥 ‪1 + cos‬‬

‫‪lim‬‬

‫𝜋→𝑥‬

‫‪15‬‬

‫)𝑒‬

‫= 𝑥 𝑓 )𝑐‬

‫‪−‬‬

‫التمـــرٌــن ‪:3‬‬ ‫لتكن 𝑓 دالة معرفة كما ٌلً ‪:‬‬ ‫‪𝑥<0‬‬ ‫‪𝑥>0‬‬

‫𝑥 ‪sin‬‬

‫𝑖𝑠‬

‫𝑥‪2‬‬

‫‪(𝑥 + 𝑐)2‬‬

‫𝑖𝑠‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫أوجد 𝑐 بحٌث تكون )𝑥(𝑓 ‪ lim𝑥→0‬موجودة ‪ ،‬ماهً قٌمة النهاٌة ؟‬ ‫التمـــرٌــن ‪:4‬‬ ‫باستخدام تعرٌف النهاٌة برهن أن‪lim𝑥→2 𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 3 :‬‬ ‫التمــرٌــن ‪:5‬‬ ‫كٌف نعرف )𝑎(𝑓 بحٌث تكون الدالة 𝑓 مستمرة عند 𝑎‬ ‫‪, 𝑎=1‬‬ ‫‪𝑥<1 𝑎=1‬‬ ‫‪𝑥>1‬‬

‫𝑖𝑠‬ ‫𝑖𝑠‬

‫‪𝑥 2 −1‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬

‫‪𝑥2 + 1‬‬ ‫‪𝑥+3‬‬ ‫‪𝑎=0‬‬

‫‪,‬‬

‫‪𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1‬‬ ‫𝑥 ‪sin‬‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫)𝑎‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫)𝑏‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫)𝑐‬

‫التمــرٌــن ‪:6‬‬ ‫برهن أن المعادالت التالٌة تقبل على األقل حل حقٌقً‪:‬‬ ‫‪=0‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑓 𝑥 = cos 𝑥 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥+1‬‬

‫)𝑎‬

‫‪𝑥 3 − 3𝑥 2 + 15𝑥 − 7 = 0‬‬ ‫‪1 + sin 𝑥 − 𝑥 2 = 0‬‬

‫)𝑏‬ ‫)𝑐‬

‫التمــرٌــن ‪:7‬‬ ‫‪ )a‬لتكن 𝑓 دالة معرفة كما ٌلً ‪:‬‬ ‫‪2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0‬‬ ‫‪𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0‬‬ ‫أدرس استمرارٌة الدالة 𝑓‬ ‫‪ )b‬نفس السؤال من أجل الدالة‬

‫‪16‬‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫‪1‬‬

‫𝑎 < ⎸𝑥⎸ ‪si‬‬ ‫𝑎 ≥ ⎸𝑥⎸‬

‫‪2 −𝑎 2‬‬

‫‪si‬‬

‫𝑥𝑒‬ ‫‪0‬‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫بحٌث ‪𝑎 ∈ ℝ+‬‬

‫‪ -5‬الدالة المشتقة والتفسٌر الهندسً للمشتق‪:‬‬ ‫‪ -1-5‬االشتقاق‪:‬‬ ‫تعرٌف‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓 دالة معرفة على مجال 𝐼 و 𝐼 ∈ ‪𝑥0‬‬ ‫نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق عند النقطة ‪ ، 𝑥0‬إذا كان ‪= 𝑓 (𝑥0 ) :‬‬ ‫نقول عن ) ‪ 𝑓′(𝑥0‬العدد المشتق للدالة 𝑓 عند‬

‫‪0‬‬

‫) ‪𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0‬‬ ‫‪𝑥−𝑥 0‬‬

‫‪lim𝑥→𝑥 0‬‬

‫أو مشتق𝑓 فً النقطة ‪𝑥0‬‬

‫مالحظات‪:‬‬ ‫‪ٌ .1‬وضع 𝑕 ‪𝑥 = 𝑥0 +‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫) ‪= 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪𝑕→0‬‬ ‫𝑕‬

‫‪𝑥 → 𝑥0 ⇔ 𝑕 → 0 𝑒𝑡 lim‬‬

‫‪ .2‬إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق فً النقطة ‪ 𝑥0‬إذن ‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫)𝑕(𝜀 ‪= 𝑓 𝑥0 +‬‬ ‫𝑕‬

‫مع‬

‫‪𝜀(𝑕) → 0‬‬ ‫‪𝑕→0‬‬

‫ولدٌنا‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪𝜀(𝑕) → 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪𝑕→0‬‬ ‫𝑕‬ ‫‪𝑕→0‬‬

‫‪𝑓 𝑥0 = lim‬‬

‫وإذا كان‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥0 + 𝑕 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪𝜀(𝑕) → 0‬‬ ‫‪⇒ lim‬‬ ‫) ‪= 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪𝑕→0‬‬ ‫𝑕‬ ‫‪𝑕→0‬‬ ‫قضٌة‪ :‬إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق عند النقطة ‪ 𝑥0‬إذن𝑓 مستمرة عند ‪𝑥0‬‬ ‫‪17‬‬

‫عكس هذه القضٌة غٌر صحٌح على العموم‪.‬‬ ‫‪ -2-5‬التفسٌر الهندسً للمشتق‪:‬‬ ‫لتكن) 𝑎 𝑓 ‪ 𝐴(𝑎,‬و ))𝑕 ‪ 𝑀(𝑎 + 𝑕, (𝑎 +‬نقطتٌن من البٌان𝑓 على التوالً ‪ ،‬معامل توجٌه‬ ‫المستقٌم)𝑀𝐴( هو‬

‫)𝑎(𝑓‪𝑓 𝑎 +𝑕 −‬‬ ‫𝑕‬

‫من أجل ‪ 𝑕 → 0‬النقطة 𝑀 تؤول نحو النقطة 𝐴 والمستقٌم‬

‫)𝑀𝐴( ٌمثل إذن مماس للبٌان 𝑓 ومعامل توجٌه هو ‪:‬‬ ‫)𝑎(𝑓 ‪𝑓 𝑎 + 𝑕 −‬‬ ‫)𝑎( 𝑓 =‬ ‫‪𝑕→0‬‬ ‫𝑕‬ ‫‪lim‬‬

‫)‪C(f‬‬ ‫)‪𝑓(a+h‬‬ ‫‪T‬‬

‫)‪𝑓(a‬‬

‫‪p‬‬ ‫‪a+h‬‬

‫‪a‬‬

‫نعرف إذن معادلة المماس 𝑇 للبٌان )𝑓(𝐶 فً النقطة 𝑎 ‪ (:‬هذا المماس ٌمر على النقطة ) 𝑎 𝑓 ‪𝐴(𝑎,‬‬ ‫)𝑎(𝑓 ‪𝑦 = 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 +‬‬ ‫ومعامل توجٌهه هو ))𝑎(‪ 𝑓′‬بـ ‪:‬‬

‫‪ -1-2-5‬المشتق من الٌمٌن والمشتق من الٌسار‪:‬‬

‫تعرٌف‪:‬‬ ‫‪ ‬نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌسار عند ‪ 𝑥0‬إذا كانت‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫) ‪= 𝑓𝑔 (𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪18‬‬

‫) ‪𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0‬‬ ‫‪𝑥−𝑥 0‬‬

‫‪lim‬‬ ‫<‬ ‫‪𝑥→𝑥 0‬‬

‫‪ lim‬موجودة ونكتب‪:‬‬ ‫<‬ ‫‪𝑥→𝑥 0‬‬

‫) ‪𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0‬‬

‫‪ ‬بنفس الطرٌقة نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌمٌن إذا كانت‬ ‫وتكتب‪= 𝑓𝑑 (𝑥0 ) :‬‬

‫) ‪𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0‬‬ ‫‪𝑥−𝑥 0‬‬

‫‪ lim‬موجودة‬ ‫>‬

‫‪𝑥−𝑥 0‬‬

‫‪𝑥→𝑥 0‬‬

‫‪lim‬‬ ‫>‬ ‫‪𝑥→𝑥 0‬‬

‫‪ ‬نقول أن 𝑓 دالة قابلة لإلشتقاق على [‪ ]a,b‬إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق على كل نقطة‬ ‫𝑏 ‪𝑥 ∈ 𝑎,‬‬ ‫و 𝑓 قابلة لإلشتقاق على ٌسار ‪ b‬وقابلة لالشتقاق على ٌمٌن ‪. a‬‬

‫مالحظة‪:‬‬ ‫إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌمٌن والٌسار وإذا كان ) ‪ 𝑓𝑔 𝑥0 = 𝑓𝑑 (𝑥0‬إذن نقول أن 𝑓 قابلة‬ ‫لإلشتقاق عند ‪𝑥0‬‬ ‫‪ -2-2-5‬عملٌات على المشتقات‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓 و 𝑔 دوال حقٌقٌة قابلة لإلشتقاق على 𝐼 و 𝑘 ثابت حقٌقً لدٌنا ‪:‬‬ ‫المشتق‬

‫الدالة‬

‫قابلة لالشتقاق على 𝐼‬

‫𝑔‪𝑓+‬‬

‫𝑔‪𝑓+‬‬

‫قابلة لالشتقاق على 𝐼‬

‫𝑓𝑘‬

‫𝑓 ‪𝑘.‬‬

‫قابلة لالشتقاق على 𝐼‬

‫𝑓𝑔 ‪𝑓 𝑔 +‬‬

‫𝑔 ‪𝑓.‬‬

‫قابلة لالشتقاق على 𝐼 ‪ ،‬إذا كان ‪𝑓 ≠ 0‬‬ ‫على 𝐼‬

‫𝑓‪−‬‬ ‫‪𝑓2‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑓‬

‫قابلة لالشتقاق على 𝐼 ‪ ،‬إذا كان ‪𝑔 ≠ 0‬‬ ‫على 𝐼‬

‫𝑓𝑔 ‪𝑓𝑔 −‬‬ ‫‪𝑔2‬‬

‫𝑓‬ ‫𝑔‬

‫‪ -3-2-5‬الدوال المألوفة‪:‬‬

‫مجال قابلٌة االشتقاق‬

‫الدالة المشتقة )𝑥( 𝑓‬

‫)𝑥(𝑓‬

‫‪ℝ‬‬

‫‪0‬‬

‫𝑒𝑡𝑐 = 𝑘‬

‫‪19‬‬

𝑥 𝑝 (𝑝 ∈ ℤ)

𝑝𝑥 𝑝−1

ℝ 𝑠𝑖 𝑝 > 0 ∗

ℝ 𝑠𝑖 𝑝 < 0 1 1 −1 𝑥𝑞 𝑞

ℝ+

sin 𝑥

cos 𝑥

ℝ

cos 𝑥

− sin 𝑥

ℝ

tan 𝑥

1 cos ²𝑥

𝜋 ℝ − { + 𝜅𝜋, 𝜅 𝜖 ℤ} 2

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛

1

𝐼 =] − 1 , 1 [

1 𝑞 𝑥 (𝑞

∈

𝑄+∗ )

1 − 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠

−1

𝐼 =] − 1 , 1 [

1 − 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥

1 1 + 𝑥2

ℝ

𝑒𝑥

𝑒𝑥

ℝ

ln 𝑥

1 𝑥

𝑒 𝑥 − 𝑒𝑥 𝑠𝑕 𝑥 = 2

𝑐𝑕 𝑥

ℝ

𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 𝑐𝑕 𝑥 = 2

𝑠𝑕 𝑥

ℝ

1 𝑐𝑕2 𝑥

ℝ

𝑡𝑕𝑥 = =

𝑒 2𝑥 𝑒 2𝑥

𝑠𝑕𝑥 𝑐𝑕𝑥 −1 +1

20

ℝ

∗ +

‫‪ 4-2-5‬مشتق الدالة المركبة‬ ‫تعرٌف‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓 و 𝑔 دوال معرفة كما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝐽 ⟶𝐼 ∶𝑓‬ ‫𝐾 ⊂ 𝐽‪𝑔 ∶ 𝐾 ⟶ ℝ ,‬‬ ‫إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة لالشتقاق عند النقطة ‪ ، 𝑥0 ∈ I‬وإذا كانت الدالة 𝑔 قابلة لالشتقاق عند النقطة‬ ‫𝐽𝜖 ‪ , 𝑦0 = 𝑓 𝑥0‬إذن ‪ 𝑔 𝜊 𝑓 :‬قابلة لالشتقاق عند النقطة ‪ 𝑥0‬ولدٌنا ‪:‬‬ ‫) ‪× 𝑓′(𝑥0‬‬

‫‪𝑥0 = 𝑔′ 𝑓 𝑥0‬‬

‫‪′‬‬

‫𝑓𝜊𝑔‬

‫مثال ‪:‬‬ ‫‪ 𝑓, 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 /1‬دالة قابلة لالشتقاق على ‪ ℝ‬و لدٌنا‬ ‫𝑥 ‪𝑓 ′ 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 × (− sin 𝑥) = −3 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2‬‬ ‫‪ 𝑓, 𝑓 𝑥 = cos (𝑥 2 + 1) /2‬دالة قابلة لالشتقاق ولدٌنا‬ ‫)‪𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 (−𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 + 1)) = −2 𝑥 sin(𝑥 2 + 1‬‬ ‫‪/3‬‬

‫‪2 +1‬‬

‫𝑥 𝑒 = 𝑥 𝑓 ‪ 𝑓 ,‬دالة قابلة لالشتقاق على ‪ℝ‬‬

‫ولدٌنا‪:‬‬ ‫‪2 +1‬‬

‫𝑥 𝑒 𝑥 ‪𝑓′ 𝑥 = 2‬‬

‫‪ : 5-2-5‬مشتق الدالة العكسٌة‬ ‫لتكن 𝑓 دالة معرفة ‪ ،‬مستمرة ورتٌبة تماما على ]‪ [a,b‬و ‪ 𝑓 −1‬دالتها العكسٌة‬ ‫إذا كان 𝑓 دالة قابلة لالشتقاق عند ‪ 𝑥0‬و ‪𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪ 𝑓 −1 /1‬قابلة لالتقاق عند ) ‪𝑦0 = 𝑓 (𝑥0‬‬ ‫‪ /2‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑓′ο𝑓 −1‬‬

‫=‬

‫‪21‬‬

‫‪′‬‬

‫‪𝑓 −1‬‬

‫‪1‬‬ ‫) ‪𝑓 ′ (𝑓 −1 y‬‬

‫= ‪𝑦0‬‬

‫‪′‬‬

‫‪𝑓 −1‬‬

‫مثــــال ‪:‬‬ ‫‪ 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 /1‬هً دالة تقابلٌة قابلة لالشتقاق من‬ ‫[‪ − 1,1‬الى‬

‫𝜋 𝜋‬

‫‪] − ,‬و‬

‫‪2 2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1− 𝑥 2‬‬

‫=‬

‫‪′‬‬

‫𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑐𝑟𝑎‬

‫‪ 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 /2‬هً دالة تقابلٌة قابلة لالشتقاق على ‪ ℝ‬إلى[‬

‫𝜋‬ ‫‪2‬‬

‫‪,‬‬

‫𝜋‪−‬‬ ‫‪2‬‬

‫]و‬

‫‪1‬‬ ‫‪1+𝑥 2‬‬

‫=‬

‫‪′‬‬

‫𝑥 ‪𝑎𝑟𝑐 tan‬‬

‫‪ 6-2-5‬مشتق الدوال من الرتب العالٌة ‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓دالة قابلة لالشتقاق على𝐼 و مشتقتها هً ‪ . 𝑓 ′‬إذا كانت ‪ 𝑓′‬قابلة لالشتقاق على 𝐼مشتقتها هً‬ ‫‪، 𝑓′′‬‬ ‫نقول أن ‪ 𝑓′′‬هً المشتق الثانً لـ 𝑓‬ ‫بصفة عامة المشتق حتى الدرجة 𝑛 لـ 𝑓 هو مشتق من الرتبة 𝑛 وهو معرف بالعالقة التراجعٌة التالٌة ‪:‬‬ ‫𝑓 = )‪, ∀ n ≥ 0 , 𝑓 (0‬‬

‫‪′‬‬

‫‪n−1‬‬

‫𝑓 = )‪𝑓 (n‬‬

‫مثــــال‪:‬‬ ‫من اجل‬ ‫𝜋𝑛‬ ‫𝑁 𝜖𝑛 و‪𝑥 𝜖 ℝ‬لدٌنا‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥 = sin 𝑥 +‬‬

‫𝑛‬

‫𝑛𝑖𝑠‬

‫𝑥𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑓‬

‫𝜋‬ ‫) ‪𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = sin(𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⋮‬ ‫𝜋‬ ‫⁡‪𝑓 𝑛 𝑥 = sin‬‬ ‫) 𝑛 ‪(𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ /2‬من اجل كل‬ ‫𝜋𝑛‬ ‫‪ 𝑛 𝜖 ℕ‬و ‪ 𝑥 𝜖ℝ‬لدٌنا‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥 = cos 𝑥 +‬‬

‫‪-6‬استخدامات المشتقات‪:‬‬ ‫‪ 2-6‬التقعر و التحدب ‪:‬‬ ‫‪22‬‬

‫𝑛‬

‫𝑠𝑜𝑐‬

‫تعرٌف ‪:‬‬ ‫لتكن 𝑓 دالة حقٌقٌة معرفة على مجال نقول ان 𝑓 دالة محدبة هذا ٌعنً ان ‪:‬‬ ‫)𝑦(𝑓 𝑡 ‪∀𝑥, 𝑦𝜖𝐼, ∀𝑡 𝜖 0,1 ; 𝑓 𝑡𝑥 + 1 − 𝑡 𝑦 ≤ 𝑡𝑓 𝑥 + 1 −‬‬

‫التفسٌر الهندسً للتحـــدب‬

‫𝑦‬ ‫)𝑦(𝑓‬

‫𝑄‬

‫𝑁‬

‫)𝑦(𝑓 𝑡 ‪𝑡𝑓 𝑥 + 1 −‬‬ ‫)𝑦 𝑡 ‪𝑓(𝑡𝑥 + 1 −‬‬

‫𝑀‬

‫)𝑥(𝑓‬ ‫𝑝‬ ‫𝑦 𝑡 ‪𝑡𝑥 + 1 −‬‬

‫𝑦‬

‫𝑥‬

‫𝑥‬

‫خصائص‪:‬‬ ‫لتكـن 𝑓 دالة معرفة على مجال حقٌقً 𝐼‬ ‫القضاٌا التالٌة متكافئة‬ ‫(‪ ) 1‬الدالة 𝑓محدبة على 𝐼‬ ‫(‪)2‬‬

‫𝑥 𝑓‪𝑓 𝑧 −‬‬ ‫𝑥‪𝑧−‬‬

‫)𝑦(𝑓‪𝑓 𝑧 −‬‬ ‫𝑦‪𝑧−‬‬

‫≤‬

‫𝑥 𝑓‪𝑓 𝑦 −‬‬ ‫𝑥‪𝑦 −‬‬

‫⟹ 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 ‪∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖𝐼,‬‬

‫≤‬

‫(‪ ) 3‬من اجل كل 𝐼𝜖 ‪ ، 𝑥0‬التطبٌق المعروف بـ ‪application pente en 𝑥0‬‬ ‫معرفة على } ‪ 𝐼 ̸{𝑥0‬بـ ‪:‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪𝑥 − 𝑥0‬‬ ‫‪23‬‬

‫⟼𝑥‬

‫هو عبارة عن تطبٌق متزاٌد‬ ‫(‪) 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑧 ≥0‬‬ ‫)𝑧(𝑓 )𝑦(𝑓 )𝑥(𝑓‬

‫‪3‬‬

‫⟹ 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 ‪∀ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 𝜖𝐼 :‬‬

‫قاعدة لوبٌطال )‪(règle de l’hôpital‬‬ ‫لتكن 𝑓و𝑔 دالتان معرفتان ‪ ،‬مستمرتان وقابلتان لالشتقاق بجوار نقطة ‪ 𝑥0‬اذن‬ ‫)𝑥( ‪𝑓 ′‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪lim ′‬‬ ‫‪= 𝑙 ⇒ lim‬‬ ‫𝑙=‬ ‫)𝑥( 𝑔 ‪𝑥⟶𝑥 0‬‬ ‫) ‪𝑥⟶𝑥 0 𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑥0‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑓 ′‬‬ ‫) ‪𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0‬‬ ‫‪lim ′‬‬ ‫‪= ∞ ⇒ lim‬‬ ‫∞=‬ ‫)𝑥( 𝑔 ‪𝑥⟶𝑥 0‬‬ ‫) ‪𝑥⟶𝑥 0 𝑔 𝑥0 − 𝑔(𝑥0‬‬ ‫إذا كانت‬

‫)𝑥( ‪𝑓 ′‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑔 ′‬‬

‫‪ lim𝑥⟶𝑥 0‬غٌر موجودة ال نستطٌع استنتاج النهاٌة‬

‫مثــــال‪:‬‬ ‫‪sin x−x‬‬ ‫‪x3‬‬

‫‪( limx⟶0‬هً عبارة عن حالة عدم التعٌ​ٌن من الشكل‬

‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥 ⇒ 𝑓 0 = 0‬‬ ‫‪𝑔 𝑥 = 𝑥3 ⇒ 𝑔 0 = 0‬‬ ‫)‪𝑓 𝑥 − 𝑓(0‬‬ ‫𝑥 ‪𝑠𝑖𝑛𝑥 −‬‬ ‫=‬ ‫)‪𝑔 𝑥 − 𝑔(0‬‬ ‫‪𝑥3‬‬ ‫‪𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2‬‬ ‫)𝑥( ‪𝑓 ′‬‬ ‫‪𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1‬‬ ‫‪lim ′‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫)𝑥( 𝑔 ‪𝑥⟶0‬‬ ‫‪𝑥⟶0‬‬ ‫‪3𝑥 2‬‬ ‫للمرة الثانٌة نجد ‪:‬‬ ‫نطبق قاعدة لوبٌطال َ‬ ‫‪𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 − 1 ⇒ 𝑓 ′ 0 = 0‬‬ ‫‪𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2 ⇒ 𝑔′ 0 = 0‬‬ ‫‪24‬‬

‫𝑥‪𝑓 ′ ′ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑒𝑡 𝑔′′ 𝑥 = −6‬‬ ‫ولدٌنا‪:‬‬ ‫‪− cos x −1‬‬ ‫‪−sinx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪⇒ lim‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪x⟶0‬‬ ‫‪x⟶0‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪lim‬‬

‫‪𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑥⟶0‬‬ ‫‪3𝑥 2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪⇒ lim‬‬

‫𝑥 ‪𝑠𝑖𝑛 𝑥 −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑥⟶0‬‬ ‫‪𝑥2‬‬ ‫‪6‬‬

‫‪⇒ lim‬‬

‫تمـــرٌــــن ‪:‬‬ ‫أحسب النهاٌات التالٌة ‪:‬‬ ‫‪𝑥 2 +1−x+2‬‬ ‫‪x+3‬‬

‫∞‪(1) lim𝑥⟶±‬‬

‫)𝑎 ثابت حقٌقً (𝑥𝑎 ‪2 lim𝑥⟶±∞ 𝑥 2 + 𝑥 + 1 −‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x 3 −1‬‬ ‫‪x−1‬‬

‫𝑥𝑔𝑡 ‪−‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑠𝑜𝑐‬

‫‪(3) lim𝑥⟶1‬‬ ‫𝜋⟶𝑥 ‪4 lim‬‬

‫‪2‬‬

‫𝑥𝜋‬

‫) ( 𝑔𝑡 ) ‪(5) lim𝑥⟶𝑎 (𝑎2 − 𝑥 2‬‬ ‫𝑎‪2‬‬

‫الدالة اللوغارٌتمٌة ‪:‬‬ ‫تعرٌف‪:‬‬ ‫نعرف اللوغارٌتم النٌبٌري ‪ ،‬ونرمز له بالرمز 𝑛𝑙‪،‬الدالة الوحٌدة المعرفة على [∞‪ ]0, +‬نحو‬ ‫‪ ℝ‬بحٌث‪, ln 1 = 0 :‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥‬

‫= ‪∀ 𝑥 𝜖 ]0, +∞[, (ln 𝑥)′‬‬

‫خصائص ‪:‬‬ ‫الدالة 𝑛𝑙 هً عبارة عن دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما على المجال [∞‪ ]0, +‬باالضافة الى‬ ‫‪25‬‬

‫‪ /1‬من اجل كل𝑦 ‪ 𝑥,‬عددٌن موجبٌن تماما لدٌنا ‪:‬‬ ‫𝑦 ‪𝑎) ln 𝑥𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + ln‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪= − ln‬‬ ‫𝑥‬

‫‪𝑏) ln‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑦 ‪= 𝑙𝑛𝑥 − ln‬‬ ‫𝑦‬

‫‪𝑐) ln‬‬

‫𝑥𝑛𝑙𝛼 = 𝛼 𝑥 ‪𝑑) ln‬‬ ‫‪ /2‬من اجل‪𝑙𝑛𝑥 ≤ 𝑥 − 1, 𝑥 > 0 :‬‬ ‫‪ /3‬لدٌنا بعض النهاٌات المتداولة ‪:‬‬ ‫∞‪𝑎) lim ln 𝑥 = −∞, lim ln 𝑥 = +‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫𝑥 ‪ln 1 +‬‬ ‫𝑥 ‪ln 1 +‬‬ ‫‪= 0, lim‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫∞‪𝑥→+‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬

‫‪𝑏) lim‬‬

‫𝑥 ‪ln‬‬ ‫‪= 0+; ∝> 0‬‬ ‫∝‬ ‫𝑥 ∞‪𝑥→+‬‬ ‫‪lim‬‬

‫)𝑐‬

‫𝑥 ∝‪ln 1+‬‬ ‫𝑥∝‬ ‫= ‪= ∝, lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫𝑥‬ ‫⁡‪ln‬‬ ‫)𝑥 ∝‪(1+‬‬

‫‪𝑑) lim‬‬

‫‪𝑒) lim 𝑥 ∝ ln 𝑥 = 0; ∝> 0‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫تعرٌف ‪:‬‬ ‫لٌكن [∞‪ 𝑎 𝜖 ]0 , 1 ∪ 1, +‬اللوغارٌتم ذو األساس 𝑎‪،‬‬

‫‪26‬‬

‫التطبٌق المعرف على [∞‪ ]0, +‬بـ ‪:‬‬ ‫⁡‪ln‬‬ ‫)𝑥(‬ ‫⁡‪ln‬‬ ‫)𝑎(‬

‫= 𝑥 𝑎𝑔𝑜𝑙 ‪∀ 𝑥 > 0,‬‬

‫حساب مــــرونة "تابع"‬ ‫𝑓 دالة و 𝐸 مرونة التابع فاِن ‪:‬‬ ‫ومنه ‪:‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑥 𝑓‬

‫𝑥 𝑓 𝑛𝑙𝑑‬ ‫𝑥𝑛𝑙𝑑‬

‫=𝐸‬

‫‪𝐸 = 𝑓′ 𝑥 .‬‬

‫(المرونة = النسبة بٌن التغٌ​ٌر النسبً للتابع و التغٌ​ٌر النسبً للمتحول )‬ ‫مثــــــال‬ ‫اوجد (احسب ) مرونة التكالٌف بالنسبة لإلنتاج عندما تكون كمٌة اإلنتاج ‪𝑥 = 12‬‬ ‫إذا كانت دالة التكالٌف هً ‪𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 10 :‬‬ ‫لدٌنــــــا ‪:‬‬ ‫‪𝑥 = 12‬‬ ‫𝑥‬ ‫⋯=‬ ‫𝑦‬

‫‪𝐸 = 𝑦′‬‬

‫‪ /8‬الـــدالة األسٌة ‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪ :‬الدالة األسٌة ذات األساس 𝑎 ‪ 𝑎 > 0‬هً معرفة كما ٌلً ‪:‬‬ ‫‪𝑓: ℝ → ℝ‬‬

‫‪27‬‬

‫)𝑎( 𝑛𝑙𝑥 𝑒 = 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑓 = 𝑦 ⟼ 𝑥‬ ‫هذه الدالة عبارة عن دالة مستمرة على ‪ ℝ‬ومشتقتها كما ٌلً ‪:‬‬ ‫𝑥 𝑎 𝑎 ‪= ln 𝑎 𝑒 𝑥𝑙𝑛 (𝑎) = ln‬‬

‫‪′‬‬

‫𝑎‬

‫𝑛𝑙𝑥 𝑒 =‬

‫‪′‬‬

‫𝑥𝑎‬

‫حالـــــــة خاصـــــة‬ ‫الدالة األسٌة ذات األساس 𝒆‬ ‫خصائص ‪:‬‬ ‫‪∎ 𝑒0 = 1‬‬ ‫𝑥 = 𝑥 𝑒 ‪∎∀ 𝑥 𝜖 ℝ , ln‬‬ ‫𝑥 = )𝑥(⁡ ‪∎∀ 𝑥 𝜖 ℝ+ , 𝑒 ln‬‬ ‫𝑦 𝑒 × 𝑥 𝑒 = 𝑦‪∎∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2 , 𝑒 𝑥+‬‬ ‫𝑥𝑒‬ ‫𝑦𝑒‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑒‬

‫= 𝑦‪∎∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2 , 𝑒 𝑥−‬‬

‫= 𝑥‪∎∀ 𝑥 𝜖 ℤ , (𝑒 𝑥 )𝑥 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑒 −‬‬ ‫)𝑥(𝑢 𝑒 𝑥 ‪)′ = 𝑢′‬‬

‫𝑥‬

‫𝑢 𝑒( ∀∎‬

‫بعــــض النهــاٌــات المعــــــروفة ‪:‬‬ ‫‪ex − 1‬‬ ‫‪∎ lim‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪28‬‬

‫∞‪∎ lim ex = +‬‬ ‫∞‪𝑥→+‬‬

‫‪∎ lim ex = 0‬‬ ‫∞‪𝑥→−‬‬

‫𝑥𝑒‬ ‫‪∎ lim 𝛼 = + ∞; 𝛼 ∈ ℤ‬‬ ‫𝑥 ∞→𝑥‬

‫قضٌـــــــة ‪: 1‬‬ ‫من اجل كل عددٌن حقٌقٌ​ٌن𝑐 و𝑏 لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪∗ 1b = 1‬‬ ‫‪∗ 𝑥 𝑏+𝑐 = 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐 , (𝑥 𝑏 )𝑐 = 𝑥 𝑏𝑐 𝑠𝑖 𝑥 > 0‬‬ ‫إذا كان ‪ 𝑥 > 0‬و‬

‫‪𝑦>0‬‬

‫لدٌنا‪:‬‬ ‫𝑐 𝑦 𝑐 𝑥 = 𝑐)𝑦𝑥(‬

‫إذا كان ‪ 𝑥 > 0‬لدٌنا‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐𝑥‬ ‫قضٌـــــة ‪: 2‬‬

‫‪𝛼<0‬‬ ‫‪𝛼 =0‬‬ ‫‪𝛼 >0‬‬

‫𝑖𝑠‬ ‫𝑖𝑠‬ ‫𝑖𝑠‬

‫‪0‬‬ ‫‪1/ lim 𝑥 = 1‬‬ ‫∞‪𝑥→+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫𝛼‬

‫‪29‬‬

‫= 𝑐‪𝑥 −‬‬

‫‪𝛼<0‬‬ ‫‪𝛼 =0‬‬ ‫‪𝛼 >0‬‬

‫𝑖𝑠‬ ‫𝑖𝑠‬ ‫𝑖𝑠‬

‫∞‪+‬‬ ‫‪2/ lim 𝑥 = 1‬‬ ‫‪𝑥→0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝛼‬

‫النشــــــــر المحــــــدود ‪:‬‬ ‫تعرٌـــــف‪:‬‬ ‫لٌكن ‪ 𝑥0 𝜖 ℝ‬و𝐼 مجال من‪ٌ ℝ‬حوي‬

‫‪ , 𝐼 ≠ 𝑥0 ، 𝑥0‬ولتكن 𝑓 دالة معرفة على 𝐼 او‬

‫} ‪𝐼 ∖ {𝑥0‬‬ ‫)𝑓 غٌر معرفة عند ‪ . ) 𝑥0‬لتكن‪ ، 𝑛 𝜖 ℕ‬تقول أن 𝑓 تقبل نشر محدود من الرتبة 𝑛 بجوار ‪𝑥0‬‬ ‫إذا وجد 𝑛𝑎 ‪ 𝑥0 ,𝑎1 , … ,‬أعداد حقٌقٌة و ‪𝜖: 𝐼 → ℝ‬‬ ‫بحٌث ‪:‬‬ ‫)∝( 𝜖 𝑛) ‪+ (𝑥 − 𝑥0‬‬

‫𝑛‬

‫‪∀ 𝑥 𝜖 𝐷, 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎 , , +𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0‬‬

‫مع ‪lim𝑥→𝑥 0 𝜖 𝑥 = 0‬‬ ‫من اجل ‪ 𝑥0‬معدوم نتحصل على نشر "ماك لوران"‬ ‫مثـــــــــال‪:‬‬ ‫) 𝑛 𝑥(‪+ 0‬‬

‫‪30‬‬

‫𝑛‬

‫𝑥‬ ‫𝑛‬ ‫!𝑥 ‪𝑛=0‬‬

‫‪1 𝑒 𝑥 𝑥→0‬‬

‫‪+ 0 𝑥 2𝑛+1‬‬

‫‪+ 0 𝑥 2𝑛+2‬‬

‫𝑛‪𝑥 2‬‬

‫𝑛‬

‫! 𝑛‪2‬‬

‫‪𝑥 2𝑛 +1‬‬

‫‪−1‬‬

‫𝑥‬

‫𝑛 𝑥 ‪𝑥 𝑛+ + 0‬‬

‫‪−1‬‬

‫! ‪2𝑛 +1‬‬

‫‪∝−1 −−− ∝−𝑛+1‬‬ ‫!𝑛‬

‫𝑛‬ ‫‪𝑛=0‬‬

‫∝‬

‫𝑛‬ ‫‪𝑛=0‬‬

‫𝑛‬ ‫‪𝑛=1‬‬

‫حـــــاالت خــــــاصة‪:‬‬ ‫لدٌنــــــا‪:‬‬ ‫𝟎≥∝∗‬ ‫‪∝ −1 − − − ∝ −𝑛 + 1‬‬ ‫‪= C∝n‬‬ ‫!𝑛‬

‫∝‬

‫𝟏‪∗ ∝ = −‬‬ ‫𝑘‬

‫‪∝ −1 − − − ∝ −𝑛 + 1‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫!𝑛‬

‫∝‬

‫إذن‪:‬‬ ‫𝑛‬

‫𝑘𝑥 ‪𝑥𝑘 + 0‬‬

‫𝑘‬

‫‪−1‬‬ ‫‪𝑛 =0‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 + xx→0‬‬

‫ونستنتج أٌضا ‪:‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪xk + 0 xk‬‬ ‫‪n= 0‬‬

‫‪31‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1 − 𝑥x→0‬‬

‫= ‪2 cos(𝑥)𝑥→0‬‬

‫=‪𝑥→0‬‬

‫=‬

‫∝‬ ‫‪𝑥→0‬‬

‫𝑥 ‪3 sin‬‬

‫𝑥‪4 1+‬‬

‫ا‬ ‫م ت ان‬ ‫ت وانت‬ ‫هيت ال هىو ا لت‬

‫ممي ش انر ي ث‬ ‫ت ون ‪LMD‬‬

‫ر‬ ‫ت و هىو انت يير‬ ‫ان ه هت ‪2‬‬

‫ر‬

‫‪ :1‬ع‪ّٛ ِ ٓ١‬عح ذ س‪٠‬‬

‫اٌد‪ٚ‬اي اٌراٌ‪١‬ح ‪𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 -1 :‬‬

‫⁡‪𝑓 𝑥 = ln‬‬ ‫‪(𝑙𝑛𝑥) -3‬‬

‫ر‬

‫‪:2‬‬

‫ر‬

‫‪:3‬‬

‫‪-1‬‬

‫حعة إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬اخ اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫‪،‬‬

‫‪x2‬‬ ‫‪x2  4‬‬

‫‪-4‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑥 ‪1+‬‬

‫= 𝑥 𝑓 ‪.‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪  1  -2 ،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬

‫‪lim‬‬ ‫‪x 2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ -3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪-2 ،‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1 e x‬‬

‫𝑥‪1−‬‬ ‫‪1−𝑥 2‬‬

‫‪‬‬ ‫‪lim ‬‬ ‫‪x 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪1 1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪x2 x‬‬

‫‪،‬‬

‫‪.‬‬

‫زض اظرّساز اٌر‪ٛ‬ات اٌراٌ‪١‬ح عٕد ‪ x0‬ف‪ ٟ‬وً حاٌح ‪:‬‬

‫‪𝑥≠0‬‬

‫‪-a‬‬

‫𝟐𝒙‪𝟏−‬‬

‫‪𝟏+𝒙𝟐 −‬‬ ‫𝒙‬

‫‪𝑥=0‬‬ ‫‪-b‬‬

‫ً٘ اٌداٌح‬

‫‪ f‬اٌّ سفح تاٌ ىً اٌراٌ‪: ٟ‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1−𝑥 2‬‬

‫‪−‬‬

‫ذمثً ذّد‪٠‬دا تا ظرّساز عٕد ‪. 𝑥 = −1 ٚ 𝑥 = 1‬‬

‫= 𝑥 𝑓 ِ‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑥‪1−‬‬

‫‪𝑥0 = 0‬‬

‫= 𝑥 𝑓‬

‫ر‬

‫‪:4‬‬

‫حعة ِ رماخ اٌر‪ٛ‬ات اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫ر‬

‫‪:5‬‬

‫ر‬

‫‪ :6‬ع‪ ٓ١‬اٌم‪ ُ١‬اٌحس ح ٌٍرات اٌراٌ‪ ُ ٟ‬ا رثس س اٌسذثح اٌ أ‪١‬ح ٌر ‪ ٓ١١‬إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬اخ اٌ‬

‫‪-1‬‬

‫𝑥𝑠𝑜𝑐‬

‫‪1+𝑐𝑜𝑠 2‬‬

‫=)‪-2 ، 𝑓(x‬‬

‫‪sin x‬‬

‫‪f (x ) x‬‬

‫‪-3 ،‬‬

‫‪-4 ، f ( x )  x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪f ( x )  3 . x  1.cos x‬‬

‫تئظر ّاي لاعدج ٌ‪ٛ‬ت‪ ١‬اي احعة إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬اخ اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫‪) -1‬‬

‫𝑥 𝑒‪1+‬‬ ‫𝑥‬

‫( ∞‪، lim𝑥→+‬‬

‫‪-2‬‬

‫)𝑥𝑛𝑙 ‪lim𝑥→+∞ (𝑒 −𝑥 𝑥 2‬‬ ‫ّ‪ ٚ ٝ‬اٌص س‪: ٜ‬‬

‫‪Y  x 4  36x 3  28x 2  17‬‬

‫ر‬

‫= 𝑥 𝑓 ‪،‬‬

‫حعة اٌّ رك ف‪ ٟ‬وً ِٓ اٌد‪ٚ‬اي اٌ ّٕ‪١‬ح اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫‪:7‬‬

‫‪5x 4 y 3  x 2  y  0 .1‬‬ ‫‪3x 3  x 2 log y  12  0 .2‬‬

‫ر‬

‫‪:8‬‬

‫ر‬

‫‪:9‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2x  3‬‬

‫حعة اٌّ رمح ِٓ اٌسذثح ‪ n‬ف‪ّ١‬ا ‪-1 : ٍٟ٠‬‬

‫‪.1‬‬

‫ٔ س اٌرات‬

‫‪.2‬‬

‫ٔ س اٌرات‬

‫‪1‬‬ ‫‪2𝑥 −3‬‬

‫‪Y ‬‬

‫‪-2 ،‬‬

‫= 𝑥 𝑓 ت ‪ٛ‬از ‪ ِٓ x0  2‬اٌسذثح ‪ ِ n‬وراتح تال‪ٟ‬‬

‫𝑥 ‪ 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2‬ت ‪ٛ‬از اٌصفس ِٓ اٌسذثح ‪n‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪Y  sin 2 x‬‬

‫سأ ‪.‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪x‬‬

‫اٌفصــــــــــــــــً اٌ أ‪ٟ‬‬

‫اندوال ذاث دة مت ى ث‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫مفاهٌم عامة‬ ‫المشتقات الجزئٌة من المرتبة األولى‬ ‫المشتقات الجزئٌة من المرتبة الثانٌة‬ ‫تفاضل الدوال ذات عدة متحوالت‬ ‫القٌم الحدٌة للدوال ذات عدة متحوالت‬

‫‪33‬‬

‫الدوال ذات عدة متغٌرات‬ ‫مفاهٌم عامة ‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪ :1‬نسمً دالة ذات عدة متغٌرات حقٌقٌة كل دالة معرفة من جزء 𝐸 من 𝑛‪ ℝ‬أو كل 𝑛‪ ℝ‬فً‬ ‫‪.ℝ‬‬ ‫صورة نقطة 𝑀 ذات اإلحداثٌات ) 𝑛𝑥 ‪ (𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,‬هً عدد حقٌقً نرمز له بــ ‪ 𝑓(𝑀) :‬أو‬ ‫) 𝑛𝑥 ‪ f(𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,‬أي ‪:‬‬ ‫‪𝑓 ∶ 𝐸 ⊑ ℝ𝑛 → ℝ‬‬ ‫‪(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) → 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑓∶ℝ →ℝ‬‬ ‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑦 ‪𝑥, 𝑦 → 𝑓 𝑥,‬‬

‫تعرٌف ‪ :2‬مجموعة تعرٌف دالة هً مجموعة العناصر ) 𝑛𝑥 ‪ (𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,‬من 𝑛‪ ℝ‬التً لها صورة‬ ‫فعلٌة وفق 𝑓‪ ،‬و نرمز لها بـ‪ 𝐷𝑓 ( 𝐷𝑓 :‬هً جزء من 𝑛‪ ℝ‬أو 𝑛‪ ℝ‬كلها )‪.‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑓∶ℝ →ℝ‬‬

‫‪-1‬‬ ‫𝑦𝑥‬

‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬

‫‪0,0‬‬

‫→ 𝑦 ‪𝑥,‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫‪𝐷𝑓 = ℝ2 −‬‬ ‫‪𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ‬‬

‫‪-2‬‬

‫) ‪1 − (𝑥 2 + 𝑦 2‬‬

‫→ 𝑦 ‪𝑥,‬‬

‫‪𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1‬‬

‫فإن ‪:‬‬ ‫= 𝑓𝐷‬

‫النهاٌات و االستمرار ‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪ :1‬لتكن 𝑓 معرفة بجوار ‪ ، 𝑀0 = (𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0 ) 𝑀0‬ربما غٌر معرفة عند ‪.𝑀0‬‬ ‫نسمً ‪:‬‬ ‫𝑛𝑥 ‪ lim(𝑥 1 ,𝑥 2 ,...,𝑥 𝑛 )→(𝑥 10 ,𝑥 20 ,…,𝑥 𝑛0 ) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,‬إن وجدت بنهاٌة 𝑓 عند ‪.𝑀0‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫‪34‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑥‬

‫𝑛𝑖𝑠 ‪ ، 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2‬فإن ‪:‬‬ ‫‪lim(𝑥,𝑦 )→(0,0) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0‬‬

‫تعرٌف ‪ :2‬نقول أن‬

‫مستمرة عند‪ 𝑥0‬إذا كانت ‪:‬‬

‫‪ 𝑓- 1‬معرفة عند ) ‪.𝑀0 = (𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0‬‬ ‫‪.lim(𝑥 1 ,𝑥 2 ,...,𝑥 𝑛 )→(𝑥 10 ,𝑥 20 ,…,𝑥 𝑛0 ) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0 )- 2‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫)‪(𝑥0 , 𝑦0 ) = (0,0‬‬

‫‪،‬‬ ‫‪𝑥, 𝑦 ≠ 0,0‬‬

‫𝑖𝑠‬

‫‪𝑥, 𝑦 = 0,0‬‬

‫‪si‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑥‬

‫𝑛𝑖𝑠 ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬ ‫‪0‬‬

‫= 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬

‫‪ 𝑓 -1‬معرفة عند (‪ )0,0‬و لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪≤ 𝑥2 + 𝑦2‬‬ ‫‪+ 𝑥2 + 𝑦2‬‬

‫‪lim‬‬

‫)‪𝑥,𝑦 →(0,0‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑦𝑥‬

‫𝑛𝑖𝑠 ‪𝑥 2 + 𝑦 2‬‬

‫≤ 𝑦 ‪𝑓 𝑥,‬‬

‫≤ ‪− 𝑥2 + 𝑦2‬‬

‫‪lim‬‬

‫)‪𝑥,𝑦 →(0,0‬‬

‫‪𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 = 𝑓 0,0‬‬

‫)‪→(0,0‬‬

‫‪− 𝑥2 + 𝑦2‬‬

‫≤‬

‫‪lim‬‬

‫)‪𝑥,𝑦 →(0,0‬‬

‫𝑦‪⟹ lim 𝑥,‬‬

‫إذن 𝑓 مستمرة عند ‪. 0,0‬‬ ‫المشتقات الجزئٌة‪:‬‬ ‫‪ - 1‬المشتقات الجزئٌة من الرتبة األولى ‪ :‬إذا كان 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬فإن المشتقات الجزئٌة من‬ ‫المرتبة االولى هً‪:‬‬ ‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫إذا كان‬

‫= 𝑥‪𝑓 ′ 𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑍′‬‬

‫𝑡 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥, 𝑦,‬فإن المشتقات الجزئٌة لـ 𝑍 من المرتبة االولى هً‪:‬‬ ‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= 𝑥‪𝑍′‬‬

‫‪،‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫= 𝑦‪𝑍′‬‬

‫مثال ‪:‬‬ ‫‪-1‬‬

‫و‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝑦𝜕 = 𝑦‪.𝑓 ′ 𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑍′‬‬

‫‪𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2‬‬

‫فإن ‪:‬‬ ‫‪35‬‬

‫‪،‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑡𝜕‬

‫= 𝑡‪. 𝑍′‬‬

‫‪=3𝑥 2 − 3𝑦 2‬‬ ‫‪-2‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= 𝑥‪ 𝑍′‬و‬

‫𝑦𝑥‪=−6‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫= 𝑦‪𝑍′‬‬

‫𝑦𝑠𝑜𝑐𝑥 ‪ 𝑍 = 𝑥 2 𝑒 −𝑡 +‬فإن ‪:‬‬ ‫𝑦𝑠𝑜𝑐 ‪= 2𝑥𝑒 −𝑡 +‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= 𝑥‪= −𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 ، 𝑍′‬‬ ‫𝑡‪= −𝑥 2 𝑒 −‬‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫= 𝑦‪𝑍′‬‬

‫و‬

‫= 𝑡‪. 𝑍′‬‬

‫𝑡𝜕‬

‫‪ -2‬المشتقات الجزئٌة من الرتبة الثانٌة ‪ :‬لٌكن 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬قابال للتفاضل فإن‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫هً‬

‫أٌضا قابلة للتفاضل و نحصل على المشتقة الجزئٌة من الرتبة الثانٌة كما ٌلً‪:‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫و اٌضا إذا كان‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫=‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫و‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫=‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫قابال للتفاضل نحصل على ‪:‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫=‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫و‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫إذا كان التابع 𝑓 و مشتقاته مستمرة فإن ‪:‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫=‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫=‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫‪ .‬فً الحالة العامة المساواة غٌر صحٌحة‪.‬‬

‫مثال ‪:‬‬ ‫‪𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2‬‬

‫𝑦‪=−6‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬

‫=‬

‫فإن ‪:‬‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫و‬

‫𝑦‪=−6‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫=‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝜕‬

‫𝑦𝜕‬

‫𝑥𝜕‬

‫التفاضل الكلً ‪:‬‬ ‫العبارة ‪ 𝑑𝑥 𝑍 =𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑍𝑥 ′𝑑𝑥 :‬تسمى تفاضل التابع 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬بالنسبة‬ ‫للمتغٌر ‪ ،𝑥 :‬و نسمً ‪ 𝑑𝑦 𝑍 =𝑑𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑍𝑦 ′𝑑𝑦 :‬بتفاضل التابع 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬بالنسبة‬ ‫للمتغٌر ‪ ،𝑦 :‬و منه نحصل على التفاضل الكلً لـ ‪ 𝑍 :‬حسب العبارة التالٌة ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‪𝑑𝑦 = 𝑍𝑥 ′𝑑𝑥 + 𝑍𝑦 ′‬‬ ‫مثال ‪:‬‬ ‫‪𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2‬‬

‫فإن ‪:‬‬ ‫‪36‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫‪𝑑𝑥 +‬‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝑥𝜕 = 𝑍𝑑 ‪.‬‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝑦𝑑)𝑦𝑥‪𝑑𝑦 = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 𝑑𝑥 + (−6‬‬

‫𝑦𝜕‬

‫‪𝑑𝑥 +‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= 𝑍𝑑‬

‫المشتق الكلً ‪ :‬إذا كان 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬و كانت 𝑥 و 𝑦 تتعلقان بمتغٌر و لٌكن 𝑡‬ ‫أي ‪ 𝑥 = 𝑔 (𝑡) :‬و )𝑡(𝑕 = 𝑦 فإن المشتق الكلً لــ 𝑍 ٌكتب بالشكل التالً ‪:‬‬ ‫‪= 𝑍𝑥′ . 𝑥′ + 𝑍𝑦′ . 𝑦′‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬

‫‪.‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫‪+‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬

‫‪.‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= ‪𝑍′‬‬

‫مثال ‪:‬‬ ‫𝑥 ‪𝑍 = 𝑥𝑦 +‬‬

‫حٌث 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 و 𝑡𝑠𝑜𝑐 = 𝑦‪.‬‬

‫𝑡𝑛𝑖𝑠 ‪= 𝑦 + 1 . 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑥.‬‬

‫فإن ‪:‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬

‫‪.‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫‪+‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑡𝑑‬

‫‪.‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬

‫= ‪𝑍′‬‬

‫الدوال المحدبة و الدوال المقعرة ‪:‬‬ ‫تعرٌف ‪ :1‬لتكن 𝐸 مجموعة جزئٌة من 𝑛 𝑅‪ .‬تكون 𝐸 مجموعة محدبة إذا كان ‪:‬‬ ‫𝐸 ∈ 𝑦 ∝‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ∀∝∈ [0,1] , ∝ 𝑥 + 1−‬‬ ‫تعرٌف ‪ 𝑓 :2‬دالة معرفة على مجموعة 𝐸 محدبة من 𝑛𝑅 ‪.‬‬ ‫‪ 𝑓 - 1‬دالة محدبة )‪ (convexe‬على 𝐸 إذا كان من اجل كل ]‪ ∝∈ [0,1‬و من اجل كل‬ ‫𝐸 ∈ 𝑦 ‪ٌ 𝑥,‬كون ‪:‬‬ ‫)𝑦(𝑓 ∝‪𝑓(∝ 𝑥 + 1−∝ 𝑦 ≤∝ 𝑓 𝑥 + 1−‬‬ ‫إذا كانت المتراجحة اقل تماما (< ) نقول أن 𝑓 محدبة تماما‪.‬‬ ‫‪ 𝑓 - 2‬دالة مقعرة )‪ (concave‬على 𝐸 إذا كان ‪:‬‬ ‫)𝑦(𝑓 ∝‪𝑓(∝ 𝑥 + 1−∝ 𝑦 ≥∝ 𝑓 𝑥 + 1−‬‬ ‫‪∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ∀∝∈ [0,1] ،‬‬ ‫إذا كانت المتراجحة اكبر تماما (> ) نقول أن 𝑓 مقعرة تماما‪.‬‬ ‫مالحظة ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬إذا كانت الدالة 𝑓 محدبة فإن النقطة التً تحقق ‪ ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 0‬تعٌن نقطة حدٌة صغرى‬ ‫𝑦‪𝜕𝑓 𝑥,‬‬

‫للتابع 𝑓‪( .‬‬

‫𝑥𝜕‬ ‫𝑦‪𝜕𝑓 𝑥,‬‬

‫= 𝑦 ‪)∇𝑓 𝑥,‬‬

‫𝑦𝜕‬

‫‪ - 2‬إذا كانت الدالة 𝑓 مقعرة فإن النقطة التً تحقق ‪ ∇ 𝑥, 𝑦 = 0‬تعٌن نقطة حدٌة عظمى للتابع‬ ‫𝑓‪.‬‬ ‫أمثلٌة الدوال المتعددة المتغٌرات (القٌم الحدٌة للدوال المتعددة المتغٌرات) ‪:‬‬

‫‪37‬‬

‫تعرٌف‪ :‬نقول عن التابع 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬أنه ٌأخذ قٌمة عظمى محلٌة 𝑍 من اجل القٌم )𝑦 ‪ (𝑥 ,‬إذا‬ ‫كان تغٌ​ٌر قٌمة أي واحد من المتغٌرات ٌجعل قٌمة الدالة 𝑍 أقل من قٌمتها 𝑍 و بنفس الطرٌقة نعرف‬ ‫النهاٌة المحلٌة الصغرى للتابع‪.‬‬ ‫الشرط الالزم و الكافً لوجود النهاٌة المحلٌة ( العظمى و الصغرى ) ‪:‬‬ ‫𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬تقبل نهاٌة محلٌة فً النقطة ) ‪ 𝑎(𝑎1 , 𝑎2‬إذا تحقق ‪:‬‬ ‫‪𝑎 =0 -1‬‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫𝑍𝜕‬

‫= 𝑎‬

‫‪ ،‬و ٌسمى بشرط المرتبة األولى‪.‬‬

‫𝑥𝜕‬

‫‪ - 2‬شرط المرتبة الثانٌة ‪:‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪𝑎 > 0 :‬‬

‫و ‪𝑎 >0‬‬

‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 >0‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫و كان‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 -‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫نقول أن 𝑎 تعٌن‬

‫نهاٌة محلٌة صغرى‪.‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪ ‬إذا كان ‪𝑎 < 0 :‬‬ ‫‪𝑎 >0‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫و ‪𝑎 <0‬‬

‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫‪𝑎 -‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫و كان‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫نقول أن 𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة‬

‫عظمى‪.‬‬ ‫مالحظة ‪:1‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫إذا كان ‪𝑎 < 0‬‬

‫سرج‪ ،‬أما إذا كان‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 =0‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫‪𝑎 −‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑍 𝜕‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫𝑍‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 −‬‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫نسمً النقطة‬

‫بنقطة‬

‫فإن االختبار غٌر‬

‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫حاسم‪.‬‬ ‫مالحظة ‪ٌ :2‬مكن كتابة الشروط السابقة بالصٌغة التالٌة ‪ :‬اي تكون 𝑎 نهاٌة محلٌة للتابع‬ ‫𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬إذا تحقق ‪:‬‬ ‫‪= 0 )1‬‬

‫)𝑎(‬ ‫)𝑎(‬

‫‪ )2‬إذا كان‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑍𝜕‬

‫‪𝑎 =0‬‬

‫=)𝑎(𝑍∇ أي‬

‫𝑍𝜕‬

‫و ‪𝑎 =0‬‬

‫𝑥𝜕‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬

‫‪.‬‬

‫𝑦𝜕‬

‫)𝑎(‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫)𝑎(‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑎 >0 ‬‬

‫𝑦𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫‪(𝑎) > 0‬‬

‫)𝑎(‬ ‫)𝑎(‬

‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫= )𝑎( 𝑓𝐻‬

‫)‪ ( Hessienne‬و‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫‪𝑎 +‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫=‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫𝑎 𝑓𝐻 𝑟𝑡 و‬

‫‪𝑎 −‬‬

‫𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة صغرى‪.‬‬

‫‪38‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫‪𝑎 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫=‬

‫𝑎 𝑓𝐻 ‪det‬‬

‫نقول أن‬

‫‪<0 ‬‬

‫𝑎 𝑓𝐻 𝑟𝑡 و ‪ det(𝐻𝑓 (𝑎)) > 0‬نقول أن 𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة عظمى‪.‬‬

‫مثال ‪:1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 ، 𝑍 = 𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2‬لدٌنا ‪ 𝑍 ∈ ∁2 :‬و‬ ‫‪3‬‬

‫𝑍𝜕‬

‫‪= 𝑥2 + 𝑦 = 0‬‬

‫𝑥𝜕‬

‫‪= 𝑥 + 2𝑦 = 0‬‬ ‫فنحصل على النقاط الحرجة التالٌة ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫𝑦𝜕‬

‫)‪ (0,0‬و ) ‪.( , −‬‬

‫= 𝑦 ‪ 𝐻𝑓 𝑥,‬و منه ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬

‫=‬

‫‪=1>0‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪,−‬‬

‫‪,−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪2‬‬

‫‪4‬‬

‫‪,−‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑓𝐻 𝑟𝑡 و‬

‫𝑓𝐻 ‪ det‬اذن ) ‪ ( , −‬تعٌن نهاٌة محلٌة صغرى‪.‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ −1 < 0‬اذن )‪ (0,0‬نقطة سرج‪.‬‬ ‫مثال ‪ :2‬نأخذ التابع ‪:‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑓𝐻 و منه ‪= 3 > 0‬‬

‫= ‪ 𝐻𝑓 0,0‬و منه ‪= 2 > 0‬‬

‫‪ 𝑡𝑟 𝐻𝑓 0,0‬و =‬

‫‪det 𝐻𝑓 0,0‬‬

‫𝑡𝑥 ‪ ، 𝑍 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑡 2 − 𝑥𝑦 −‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫‪= 2𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 0‬‬ ‫‪= 2𝑦 − 𝑥 = 0‬‬ ‫‪= 2𝑡 + 𝑥 = 0‬‬

‫الحرجة‬

‫𝑍𝜕‬

‫𝑍𝜕‬ ‫𝑥𝜕‬ ‫𝑍𝜕‬ ‫𝑦𝜕‬ ‫𝑍𝜕‬ ‫𝑡𝜕‬

‫‪ ،‬فنحصل على النقاط‬

‫‪ 𝑎 = 0,0,0‬و منه ‪:‬‬ ‫‪−1 1‬‬ ‫= ‪2 0‬‬ ‫‪0 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪1‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑡𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑦𝜕𝑡𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬ ‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪𝜕𝑡 2‬‬

‫𝑡𝜕𝑦𝜕‬

‫𝑡𝜕𝑥𝜕‬

‫‪𝐻𝑓 0,0,0‬‬ ‫لنحسب ‪:‬‬ ‫‪39‬‬

‫= 𝑡 ‪𝐻𝑓 𝑥, 𝑦,‬‬

‫‪−2 =0‬‬

‫‪2‬‬

‫𝜆‪2−‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪det −1‬‬ ‫𝜆‪2−‬‬ ‫𝜆‪0 = 2−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫𝜆‪2−‬‬

‫𝜆‪2−‬‬

‫فنحصل على ‪ λ1 = 2‬و ‪ λ2 = 2 + 2‬و ‪ . λ3 = 2 − 2‬بما أن ‪ λi > 0‬من اجل‬ ‫‪ 𝑖 = 1,2,3‬فإن التابع 𝑍 ٌقبل نهاٌة حدٌة صغرى عند النقطة ‪ 0,0,0‬و هً صغرى كلٌة‪.‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬إذا كانت ‪ λi < 0‬من اجل كل 𝑖 فإن التابع 𝑍 ٌقبل نهاٌة حدٌة عظمى عند النقطة 𝑎 و‬ ‫هً عظمى كلٌة‪.‬‬ ‫النهاٌات الحدٌة المقٌدة بقٌود التساوي (مضاعف الغرانج )‪: )(Lagrange‬‬ ‫إذا كانت الدالة‬

‫𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬خاضعة للقٌد ‪ g 𝑥, 𝑦 = 0‬فإنه ٌمكن كتابة المسألة بالشكل ‪:‬‬ ‫)𝑦 ‪𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆𝑔(𝑥,‬‬

‫و تسمى الدالة 𝜆 ‪ 𝐿 𝑥, 𝑦,‬بدالة الغرانج حٌث 𝑦 ‪ 𝑓 𝑥,‬تسمى بدالة الهدف و )𝑦 ‪ 𝑔(𝑥,‬هو القٌد‬ ‫الذي وضع مساوٌا للصفر و بالتالً اضافة ‪ 𝜆𝑔 𝑥, 𝑦 = 0‬ال تغٌر من قٌمة دالة الهدف‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬لتكن المسألة ‪:‬‬ ‫‪𝑍 = 𝑥𝑦 2‬‬ ‫تحت القٌد‬ ‫‪𝑥−𝑦 =1‬‬ ‫تعٌ​ٌن القٌم الحدٌة و بٌان نوع كل منها‪ ,‬لدٌنا ‪:‬‬ ‫)𝑦 ‪ 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑥𝑦 2 + 𝜆(1 − 𝑥 +‬و منه ‪:‬‬ ‫‪𝐿′𝑥 = 𝑦 2 − 𝜆 = 0‬‬ ‫‪𝐿′𝑦 = 2𝑥𝑦 + 𝜆 = 0‬‬ ‫‪𝐿′𝜆 = 1 − 𝑥 + 𝑦 = 0‬‬ ‫‪2 4‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3 9‬‬

‫‪3‬‬

‫و منه نحصل على نقطتٌن حرجتٌن هما ‪ )1,0,0( :‬و ( ‪.) , − ,‬‬ ‫اختبار النقطتٌن الحرجتٌن و لذلك ٌجب حساب ‪:‬‬ ‫‪2𝑦 − 1‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪0‬‬ ‫𝑦‪= 2‬‬ ‫‪−1‬‬

‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝜆𝜕‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫‪𝜕𝑥 2‬‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝑦𝜕𝜆𝜕‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬ ‫𝐿‪𝜕2‬‬

‫‪𝜕𝜆 2‬‬

‫𝜆𝜕𝑦𝜕‬

‫𝜆𝜕𝑥𝜕‬

‫‪40‬‬

‫= 𝜆 ‪ 𝐻𝐿 𝑥, 𝑦,‬و منه ‪:‬‬

‫‪0 0 −1‬‬ ‫⁡‪ ، det‬إذن النقطة (‪ )1,0,0‬تعٌن‬ ‫‪(𝐻𝐿 (1,0,0)) = 𝑑𝑒𝑡 0 2 1 = −2 < 0 ‬‬ ‫‪−1 1 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫نهاٌة حدٌة صغرى للمسألة و ‪.min 𝑥𝑦 = 0‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−‬‬

‫‪0‬‬

‫‪2 4‬‬

‫‪1‬‬

‫⁡‪ ، det‬إذن النقطة‬ ‫‪(𝐻𝐿 ( , − , )) = 𝑑𝑒𝑡 − 4‬‬ ‫‪1 =2>0 ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪ ( , − ,‬تعٌن نهاٌة حدٌة عظمى للمسألة و = 𝑦𝑥 ‪.max‬‬ ‫‪3 9‬‬

‫‪27‬‬

‫‪3‬‬

‫النهاٌات الحدٌة المقٌدة بقٌود التباٌن ‪:‬‬ ‫نظرٌة ‪ ( :‬شروط كون تاكر ) ( ‪)Karush, Kuhn et Tucker‬‬ ‫إذا كان التابع 𝑦 ‪ 𝑍 = 𝑓 𝑥,‬الخاضع للقٌود ‪ 𝑔𝑖 𝑥, 𝑦 ≤ 0‬حٌث 𝑚 ‪ ، 𝑖 = 1, … ,‬قابلة كلها‬ ‫لالشتقاق باستمرار‪ ،‬فإن الشرط الالزم حتى تكون ) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬نهاٌة حدٌة حسب )‪ (K.K.T‬هو ‪ٌ :‬وجد‬ ‫‪ 𝑖 = 1, … , 𝑚 ، 𝜆𝑖 ≥ 0‬تسمً مضاعفات الغرانج بحٌث ‪:‬‬ ‫𝑚 ‪∇𝑓 𝑥0 , 𝑦0 +‬‬ ‫‪𝑖=1 𝜆𝑖 ∇𝑔𝑖 𝑥0 , 𝑦0 = 0‬‬ ‫𝑚 ‪𝜆𝑖 𝑔𝑖 𝑥0 , 𝑦0 = 0 , 𝑖 = 1, … ,‬‬

‫𝑻 ‪𝑲. 𝑲.‬‬

‫إذا كان 𝑓 و 𝑖𝑔 محدبة فإن الشروط السابقة تكون الزمة و كافٌة لــ ) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬حتى تكون‬ ‫) ‪ (𝑥0 , 𝑦0‬نقطة حدٌة كلٌة‪.‬‬ ‫مثال‪ :‬حل المسألة التالٌة ‪:‬‬

‫𝑦‪min 𝑍 = 𝑥 2 + 3‬‬ ‫تحت القٌد‬ ‫‪2𝑥 − 𝑦 ≤ −3‬‬

‫‪ ،‬أي أن ‪𝑔 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 + 3 ≤ 0‬‬

‫و منه ‪:‬‬ ‫‪2𝑥 + 2𝜆 = 0‬‬ ‫‪3−𝜆 =0‬‬ ‫‪𝜆(2𝑥 − 𝑦 + 3) = 0‬‬

‫𝑻 ‪𝑲. 𝑲.‬‬

‫فنحصل على ‪ 𝑥0 = 𝑦0 = −3 :‬و ‪ 𝑚𝑖𝑛(𝑥 2 + 3𝑦) = 0‬و ذلك من اجل 𝜆 = ‪.3‬‬

‫‪41‬‬

‫م ت ان ميد ان‬ ‫هيت ال هىو ا لت ت وانت‬

‫ا‬

‫ممي ش انر ي ث‬ ‫ت ون ‪LMD‬‬

‫ر‬ ‫ت و هىو انت يير‬ ‫ان ه هت ‪3‬‬

‫ر‬

‫‪:1‬‬

‫حعة اٌرفا ً اٌىٍ‪ٌٍ ٟ‬ر‪ٛ‬ات اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪.1‬‬

‫ر‬

‫ر‬

‫‪Z  yx y‬‬

‫‪،‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪.1‬‬

‫* تفس‬

‫‪.2‬‬

‫تفس‬

‫‪y‬‬

‫ْ ‪:‬‬

‫‪x‬‬

‫‪ Z  xy  xe‬تس٘ٓ ْ ‪:‬‬

‫‪xy 2‬‬ ‫ْ ‪:‬‬ ‫‪x y‬‬

‫‪Z‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪. x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ xy  Z‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬

‫‪2Z‬‬ ‫‪2 2 Z‬‬ ‫‪6xy 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x 2  y . x  x  y 3‬‬

‫‪ Z ‬تس٘ٓ ْ ‪:‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ :3‬حعة اٌّ رماخ اٌىٍ‪١‬ح ٌٍر‪ٛ‬ات اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫‪x  cos t , y  sin t‬‬

‫‪:4‬‬

‫‪* .2‬‬

‫‪. Z ‬‬

‫‪Z xy‬‬

‫‪/‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ ُ Z‬حعة ل‪ّ١‬رٗ عٕد ٘رٖ إٌما‬

‫‪. Z  5x 2  8x  2xy  6 y  4 y 2  27‬‬ ‫‪. Z  x 2  4 y 2  2x  4 y‬‬ ‫‪. Z  x  3xy  15x  12 y‬‬

‫‪.3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3‬‬

‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬

‫‪.4‬‬ ‫‪ :5‬تاظر ّاي اٌح‬

‫‪.2‬‬

‫‪/‬‬

‫‪x2y2‬‬

‫زض إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬اخ اٌّحٍ‪١‬ح ( إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬اخ اٌحد‪٠‬ح ) ٌٍرات‬

‫‪* .1‬‬

‫‪.1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪x  e t , y  e t‬‬

‫‪.2‬‬

‫ر‬

‫‪.3‬‬

‫‪:2‬‬

‫‪.1‬‬

‫ر‬

‫‪Z  xy t‬‬

‫‪،‬‬

‫‪2‬‬

‫‪Z  x y y tt x‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪. Z   xy   * .4 ،‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬

‫*‬

‫سأ‬

‫𝑒=𝑍 ‪.‬‬

‫ع‪ ٓ١‬اٌم‪ ُ١‬اٌحد‪٠‬ح ٌٍر‪ٛ‬ات اٌراٌ‪١‬ح ُ حعة ل‪ّ١‬ح ‪: Z‬‬

‫‪ Z  x 2  y 2  xy  x  y‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪S.C x  y  3‬‬ ‫‪𝑍 = 𝑥2 + 𝑦3‬‬ ‫‪𝑆. 𝐶 2𝑥 − 2𝑦 = −1‬‬

‫م ح ت‪ :‬األظ ٍح اٌر‪ ٟ‬عٍ‪ٙ١‬ا * ذرسن ٌٍ ٍثح ‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫‪:‬‬

‫اٌفصــــــــــــــــً اٌ اٌث‬

‫انتكـــــــــــ مم وانتفــــــــــ‬ ‫‪ ‬التفاضل‬ ‫‪ ‬التكامل‬

‫‪43‬‬

‫م‬

‫انتف‬

‫م‬

‫ٔ ٍُ ٔٗ إذا واْ اٌرات ‪ y = 𝑓(𝑥):‬فاْ ِ رك ٘را اٌرات ٘‪:ٛ‬‬

‫‪dy‬‬ ‫‪dx‬‬

‫=‬

‫‪Δy‬‬ ‫‪Δx‬‬ ‫‪′‬‬

‫‪𝑓 ′ 𝑥 = y ′ = lim△𝑥→0‬‬

‫ح‪١‬ث ‪ ٛ٘ dy‬ذفا ً اٌرات ‪ dxٚ‬ذفا ً اٌّرح‪ٛ‬ي ٘را ‪𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 ْ ٟٕ ٠‬‬ ‫‪.I‬‬

‫ف‬

‫م ي بع ِا ٘‪ ٛ‬إ حاصً دا ء ِ رك ٘را اٌرات ف‪ ٟ‬ذفا ً اٌّرح‪ٛ‬ي اٌّر ٍك تٗ‪.‬‬ ‫‪𝑦 = x 2 + 2x − 1‬‬

‫ِ اي ‪ :‬ذفا ً اٌرات‬

‫٘‪𝑑𝑦 = (2x + 2)dx : ٛ‬‬ ‫‪.II‬‬

‫ف م بع انت بع‪:‬‬ ‫ٌ‪١‬ىٓ اٌرات 𝑢 𝑓 = 𝑦 ح‪١‬ث 𝑥 𝑔 = 𝑢‬ ‫ٔ ٍُ ْ ِ رك اٌرات ‪ y‬تإٌعثح ي 𝑥 ٘‪𝑢 . 𝑢′𝑥 :ٛ‬‬

‫𝑢 ‪𝑦′𝑥 = 𝑓 ′‬‬

‫ت سب اٌ سف‪ ٓ١‬ف‪ٔ d 𝑥 ٟ‬حصً عٍ‪𝑦′𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ 𝑢 𝑢 . 𝑢′𝑥 . 𝑑𝑥 :ٝ‬‬ ‫‪.III‬‬

‫‪𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑢 𝑢 . 𝑑𝑢 :ِٕٗ ٚ‬‬ ‫ىاص انتف م‪:‬‬ ‫‪𝑑 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤 )1‬‬ ‫‪𝑑 𝑢. 𝑣 = 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣 )2‬‬ ‫‪ 𝑑 𝑐. 𝑢 = 𝑐. 𝑑𝑢 )3‬ح‪١‬ث 𝑐 اتد‬ ‫‪)4‬‬

‫‪.IV‬‬

‫𝑣𝑑𝑢‪𝑣𝑑𝑢 −‬‬ ‫‪𝑣²‬‬

‫=‬

‫𝑢‬ ‫𝑣‬

‫𝑑 ح‪١‬ث ‪𝑣 ≠ 0‬‬

‫ح‪١‬ث 𝑤 ‪ ٟ٘ 𝑢, 𝑣,‬ذ‪ٛ‬ات لاتٍح ٌٍّفا ٍح تإٌعثح ٌّر ‪١‬س ِا 𝑥‬ ‫ث ان تت نيت‪:‬‬ ‫انتف‬ ‫ٌ‪١‬ىٓ اٌرفا ً ‪ 𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 :‬ح‪١‬ث ٔ رثس ‪ َٚ‬ا 𝑥 ‪ d‬اترا ا ر‪١‬از‪٠‬ا ف‪ ١ّ ٟ‬اٌحعاتاخ‪.‬‬ ‫فئذا فا ٍٕا ٘را اٌرسو‪١‬ة حصٍٕا عٍ‪ ٝ‬اٌرفا ً اٌ أ‪ٔٚ ٟ‬سِص ٌٗ ب ‪:ٞ d²y‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑥𝑑 ‪𝑑 𝑑𝑦 = 𝑦 ′‬‬ ‫‪𝑑²𝑦 = 𝑦 ′′ . 𝑑𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑦 ′′ . 𝑑𝑥²‬‬ ‫‪٘ٚ‬ىرا فئْ‬ ‫‪𝑑 3 y = 𝑦 ′′′ . 𝑑𝑥 3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫𝑛 𝑥𝑑 )𝑛( 𝑦 = 𝑦 𝑛 𝑑‬ ‫‪𝑦 = 2𝑥 4 − 𝑥 + 1‬‬

‫ِ اي‪ ٚ :‬د اٌرفا ً ِٓ اٌّسذثح اٌ اٌ ح ٌٍرات‬ ‫فئْ ‪𝑑 3 y = 48𝑥. 𝑑𝑥 3 :‬‬ ‫م ح ت‪ ٞ 𝑑𝑥² = 𝑑𝑥. 𝑑𝑥 :‬وّ‪١‬ح ِست ح ت‪ّٕ١‬ا 𝑦‪ ٛ٘𝑑²‬زِص‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫انتك مم‬ ‫انت بع ا صهي‪ :‬زظٕا ظاتما و‪ ٔ ١‬د اٌرات اٌّعّ‪ ِ ٝ‬رك ذات ِفس‪ٚ‬‬‫اٌ ىع‪١‬ح ‪ ٟ٘ٚ‬و‪١‬ف‪١‬ح إ‪ ٠‬ا ذىاًِ ذات ِ رمٗ ذات ِ ٍ‪.َٛ‬‬

‫‪ٔٚ‬أذ‪ ٟ‬ا‪ٌ ْ٢‬دزاظح اٌّعأٌح‬

‫ر ف‪ :‬اٌرات األصٍ‪ٌٍ ٟ‬رات )‪ ٛ٘ f(x‬ذٌه اٌرات )‪ F(x‬اٌر‪ ِ ٞ‬رمٗ ‪٠‬عا‪ ٞٚ‬اٌرات اٌّ ‪:ٞ f(x) ٝ‬‬ ‫)‪٠ ٚ F ′ x = f(x‬عّ‪ F(x) ٝ‬تاٌرات األصٍ‪ٌ ٟ‬ـ )‪.f(x‬‬ ‫ِ اي‪ِ :‬ا ٘‪ ٛ‬اٌرات األصٍ‪ٌٍ ٟ‬رات 𝑥 = ‪y‬‬ ‫ٔالحظ ْ‬

‫‪′‬‬

‫‪x²‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑥 ‪٘ٚ‬ىرا فئْ‬

‫ٌ‪١‬ط ‪ٚ‬ح‪١‬دا فٕ د ِ ال ‪+ 3 :‬‬

‫‪𝑥²‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥²‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪− 3,‬‬

‫𝑥 = ‪ ٚ y‬ت ىً عاَ ‪ّ٠‬ىٕ​ٕا ْ ٔىرة‬ ‫‪٘ٚ‬ىرا فئْ ٌىً ذات ِعرّس ‪ ٛ٠‬د‬

‫٘‪ ٛ‬اٌرات األصٍ‪ٌٍ ٟ‬رات = ‪ y‬إ‬ ‫‪1 𝑥²‬‬

‫‪− ,‬‬

‫‪2 2‬‬

‫𝑐‪+‬‬

‫‪𝑥²‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥²‬‬ ‫‪2‬‬

‫ٕٔا ٔالحظ ْ ٘را‬

‫‪ ٟ٘ٚ … ,‬ذ‪ٛ‬ات صٍ‪١‬ح ٌٍرات‬

‫ح‪١‬ث ‪ c‬اتد و‪١‬ف‪ٟ‬‬

‫ٔ‪ٙ‬ا‪٠‬ح ِٓ اٌر‪ٛ‬ات األصٍ‪١‬ح اٌر‪ ٟ‬ذخرٍ‬

‫عٓ ت‬

‫‪ٙ‬ا‬

‫اٌث ض تّمداز اتد ا ر‪١‬از‪ ٞ‬فئذا واْ )‪ ٛ٘ F(x‬احد٘ا فئْ ِ ّ‪ٛ‬عح اٌر‪ٛ‬ات األصٍ‪١‬ح‬ ‫ٌـ ‪ F(x)+c ٟ٘ f x‬ح‪١‬ث ‪٠‬ى‪ِ ْٛ‬حمما‪𝐹(𝑥) + 𝑐 ′ = F’(x)=f(x) :‬‬

‫انتك مم غير ان د‬ ‫ر ف‪ٔ :‬عّ‪ ٟ‬عٍّ‪١‬ح اٌثحث عٓ اٌرات األصٍ‪ ٟ‬تاٌّىاٍِح ‪١‬س اٌّحد ج ‪ِ .‬ا اٌ ثازج اٌر‪ ٟ‬ذّ ً اٌرات‬ ‫األصٍ‪ٌ ٟ‬ـ )‪ f(x‬فرعّ‪ ٝ‬اٌرىاًِ ‪١‬س اٌّحد ٌٍرات )‪ٔٚ f(x‬سِص ٌ‪ٙ‬ا تـ ‪ٔٚ ∫ f x . dx‬عّ‪f(x) ٝ‬‬ ‫اٌرات اٌّىاًِ ِا ‪ x‬ف‪١‬عّ‪ِ ٝ‬ر ‪١‬ساٌّىاٍِح‪ٔٚ ،‬ىرة‪∫ f x dx = F x + c :‬‬

‫انتك مم ان د‬ ‫انتك مم ان د ٘‪ ٛ‬حعاب اٌّعاحح اٌّحص‪ٛ‬زج ذحد إٌّحٕ‪ y=f(x) ٝ‬عٕدِا ‪٠‬ى‪ ِ ْٛ‬اي ذ ‪١‬س ‪ٛ٘ x‬‬ ‫𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎‪.‬‬ ‫‪ٌٚ‬مد تم‪١‬د ِعأٌح حعاب اٌّعاحح اٌّحص‪ٛ‬زج ا ً إٌّحٕ‪ ٝ‬ص ثح دا‪ ،‬حر‪ ٝ‬اءخ اٌرىاًِ اٌّحد ٌٍ اٌُ‬ ‫‪45‬‬

‫ز‪ّ٠‬اْ اٌر‪ ٞ‬حً ٘رٖ اٌّ ىٍح ‪.‬‬ ‫فئذا واْ اٌّ ٍ‪ٛ‬ب حعاب اٌّعاحح اٌّحص‪ٛ‬زج ت‪ ٓ١‬اٌّح‪ٛ‬ز األفم‪ٚ ox ٟ‬اٌّعرم‪x=aٚ x=bٓ١ّ١‬‬ ‫‪ ٚ‬إٌّحٕ‪ ٝ‬اٌر‪ ِ ٞ‬ا ٌرٗ )‪ ،y=f(x‬فئٕٔا ٔمعُ اٌّ اي 𝑏 ‪ 𝑎,‬ت د ِٓ إٌمط ‪ xi‬إٌ‪ ٝ‬عد ‪ِٓ x‬‬ ‫اٌّ ا خ اٌ صئ‪١‬ح تح‪١‬ث ‪:‬‬ ‫‪x0 = a < x1 < ⋯ < xi < xi+1 < ⋯ < xn = b‬‬ ‫إذا حعثٕا ا‪ّٛ ِ ْ٢‬ع ِعاحاخ اٌّعر ‪١‬الخ اٌّث‪ٕ١‬ح ف‪ ٟ‬اٌ ىً حصٍٕا عٍ‪ ٝ‬ل‪ّ١‬ح ذمس‪٠‬ث‪١‬ح ٌٍّعاحح ‪S‬‬

‫فئذا اش ا عد ٔمط اٌرمع‪ ُ١‬إٌ‪ِ ٝ‬ا ٔ‪ٙ‬ا‪٠‬ح تح‪١‬ث ‪ٕ٠‬ر‪ٛ ٟٙ‬ي ِ اي صئ‪ ٟ‬إٌ‪ ٝ‬اٌصفس ‪ٚ‬أر‪ ٝٙ‬عٕدئر‬ ‫ِ ّ‪ٛ‬ع ِعاحاخ اٌّعر ‪١‬الخ إٌ‪ٙٔ ٝ‬ا‪٠‬ح ِحد‪ ٚ‬ج‪ .‬فئْ ٘رٖ إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬ح ذّ ً اٌّعاحح اٌّ ٍ‪ٛ‬تح ‪ ٔ ٚ‬ثس عٓ ذٌه‬ ‫تاٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪n−1‬‬

‫‪f xi . ∆xi‬‬

‫‪n−1‬‬

‫= ‪yi xi+1 − xi‬‬ ‫‪i=0‬‬

‫=‪S‬‬ ‫‪i=0‬‬

‫‪ٚ‬تأ ر ٔ‪ٙ‬ا‪٠‬ح اٌّ ّ‪ٛ‬ع عٕدِا ‪ ٔٚ 0 ← ∆xi‬د‪:‬‬ ‫‪n−1‬‬

‫‪S′ = lim‬‬

‫‪f xi . ∆xi‬‬ ‫‪i=0‬‬

‫ذ س‪٠‬‬

‫‪∆x i →0‬‬

‫‪ٔ :‬عّ‪ ٟ‬إٌ‪ٙ‬ا‪٠‬ح‪ ) S′‬إْ ‪ ٔٚ‬دخ) اٌرىاًِ اٌّحد ٌٍرات )‪ a ِٓ f(x‬إٌ‪ ٔ ٚ b ٝ‬ثس عٓ ذٌه تاٌ ىً‬ ‫‪n−1‬‬

‫‪f xi . ∆xi‬‬

‫‪b‬‬

‫‪f x dx = lim‬‬

‫‪i=0‬‬

‫‪∆x i →0‬‬

‫‪ٔ ٚ‬عّ‪ b , a ٟ‬حد‪ ٞ‬اٌرىاًِ األ ٔ‪ ٚ ٝ‬األعٍ‪ ٝ‬عٍ‪ ٝ‬اٌرسذ‪١‬ة‪.‬‬ ‫‪46‬‬

‫=‪I‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪9‬‬

‫مث ل‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪− = 8‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪25‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬

‫‪x²‬‬

‫‪2 3‬‬

‫=‬

‫‪5‬‬ ‫‪∫3 𝑥. dx‬‬

‫ىاص انتك مم ان د‬ ‫إذا واْ )‪ g(x),f(x‬اٌر‪ِ ٓ١‬عرّسذ‪ ٓ١‬ف‪ ِ ٟ‬اي اٌر ‪١١‬س 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 فئْ‪:‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪a‬‬

‫‪1. ∫a 𝑓(𝑥). dx = − ∫b 𝑓(𝑥). dx‬‬ ‫‪a‬‬

‫‪c‬‬

‫‪b‬‬

‫‪2. ∫a 𝑓(𝑥). dx = 0‬‬ ‫‪b‬‬

‫𝑏 ‪3. ∫a 𝑓(𝑥). dx = ∫a 𝑓 𝑥 . dx + ∫c 𝑓(𝑥). dx , 𝑐 ∈ 𝑎,‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫𝑥 𝑔𝛽 ‪4. ∫a 𝛼𝑓 𝑥 ±‬‬

‫‪. dx = α ∫a 𝑓 𝑥 . dx ± β ∫a 𝑔 𝑥 . dx‬‬ ‫ح‪١‬ث ‪ α‚β‬اتراْ‬

‫إذا واْ 𝑏 ‪5. 𝑓 𝑥 ≥ 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑎,‬‬ ‫‪b‬‬

‫فئْ ‪∫a 𝑓 𝑥 . dx ≥ 0‬‬ ‫إذا واْ 𝑏 ‪6. 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑎,‬‬ ‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫فئْ ‪∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ ∫a 𝑔 𝑥 . dx‬‬

‫‪b‬‬

‫‪b‬‬

‫‪7. ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ ∫a 𝑓 𝑥 . dx , a<b‬‬ ‫إذا واْ 𝑏 ‪8. 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 , ∀𝑥 ∈ 𝑎,‬‬ ‫‪b‬‬

‫فئْ‪𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎):‬‬ ‫انتك مم غير ان د ‪ :‬ورثٕا ف‪ ٟ‬اٌعاتك ْ ‪٠ٚ ∫ 𝑓 𝑥 . dx = 𝐹 𝑥 + 𝑐 :‬مس اٌ سف األ‪٠‬عس‬ ‫اٌرىاًِ ‪١‬س اٌّحد‪ٌٍ ٚ‬رفا ً ‪٠ٚ 𝑓 𝑥 . dx‬عّ‪ ٝ‬اٌ د اٌ اتد ‪ c‬اٌّ‪ ٛ ٛ‬ف‪ ٟ‬اٌ سف اٌ أ‪ٟ‬‬ ‫ت اتد اٌرىاًِ‪.‬‬ ‫ِالح ح ‪ :‬إذا ع ‪ٕ١‬ا اٌّ رك فئْ 𝑥 𝑓 = ‪ 𝑦 ′‬فئْ ذات ٗ األصٍ‪ٚ ،𝐹 𝑥 + 𝑐 ٟ‬إذا ع ‪ٕ١‬ا اٌرفا ً‬ ‫فئْ ذىاٍِٗ ‪𝑦 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx = 𝐹 𝑥 + 𝑐 :‬‬ ‫انتك م ث انشهيرة‪:‬‬

‫= ‪∫ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛 . dx‬‬

‫)‪2‬‬

‫∫‬

‫)‪3‬‬

‫‪+ c , ∀n \ n ≠ −1‬‬ ‫‪+ c , a ≠ 0, ∀n \ n ≠ −1‬‬

‫‪𝑎𝑥 +𝑏 𝑛 +1‬‬ ‫‪a n+1‬‬

‫‪𝑥 𝑛 +1‬‬

‫= ‪∫ 𝑥 𝑛 . dx‬‬

‫)‪1‬‬

‫‪n+1‬‬

‫‪= log x + c‬‬ ‫‪47‬‬

‫‪dx‬‬ ‫‪x‬‬

‫𝑐 ‪∫ 𝑒 𝑥 . dx = 𝑒 𝑥 +‬‬ ‫𝑥𝑎‬

‫)‪4‬‬

‫‪∫ 𝑎 𝑥 . dx = 𝑙𝑜𝑔𝑎 + 𝑐 \𝑎 > 0‬‬

‫)‪5‬‬

‫∫‬

‫)‪6‬‬

‫∫‬

‫)‪7‬‬

‫𝑐 ‪∫ 1+𝑥² = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +‬‬

‫)‪8‬‬

‫∫‬

‫)‪9‬‬

‫∫‬

‫)‪10‬‬

‫∫‬

‫)‪11‬‬

‫‪∫ 1−𝑥² = 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑕𝑥 + 𝑐 = 2 log‬‬

‫)‪12‬‬

‫𝑐 ‪∫ sin 𝑥 . dx = − cos 𝑥 + 𝑐, ∫ cos 𝑥 . dx = sin 𝑥 +‬‬

‫)‪13‬‬

‫𝑐 ‪∫ cos ² 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 , ∫ sin ² 𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 +‬‬

‫)‪14‬‬

‫‪∫ ch 𝑥 . dx = sh x + c , ∫ sh 𝑥 . dx = ch x + c‬‬

‫)‪15‬‬

‫𝑐 ‪∫ ch ² 𝑥 = 𝑡𝑕 𝑥 + 𝑐, ∫ 𝑥+𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑎 +‬‬

‫)‪16‬‬

‫∫ ‪∫ tg 𝑥 . dx = ∫ cos 𝑥 dx = −‬‬

‫)‪17‬‬

‫∫ = ‪∫ ctg 𝑥 . dx = ∫ sin 𝑥 dx‬‬

‫)‪18‬‬

‫∫‬

‫)‪19‬‬

‫𝑐 ‪∫ sin 𝑥 = log tg 2 +‬‬

‫)‪20‬‬

‫‪∫ cos 𝑥 = log tg‬‬

‫)‪21‬‬

‫𝑐 ‪= arcsin 𝑥 +‬‬ ‫𝑐 ‪= arccos 𝑥 +‬‬

‫𝑐 ‪= 𝑎𝑟𝑔𝑠𝑕 𝑥 +‬‬ ‫𝑐 ‪= 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑕 𝑥 +‬‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑥 + 𝑏 +‬‬ ‫𝑐‪+‬‬

‫𝑥‪1+‬‬ ‫𝑥‪1−‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑥𝑑‬

‫‪2‬‬ ‫𝑎‬

‫=‬

‫𝑥𝑑‬ ‫‪1−𝑥²‬‬ ‫𝑥𝑑‪−‬‬ ‫‪1−𝑥²‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪1+𝑥 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥²−1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑏‪𝑎𝑥 +‬‬ ‫𝑥𝑑‬

‫𝑥𝑑‬

‫𝑥𝑑‬

‫𝑐 ‪= − log cos 𝑥 +‬‬

‫𝑥 ‪𝑑 cos‬‬

‫𝑐 ‪= − log sin 𝑥 +‬‬

‫𝑥 𝑛𝑖𝑠‬

‫𝑥 ‪cos‬‬ ‫𝑥 ‪𝑑 sin‬‬ ‫𝑥 ‪sin‬‬

‫𝑥𝑑‬

‫𝑥 𝑠𝑜𝑐‬

‫𝑐 ‪=2 𝑥 +‬‬ ‫𝑥‬

‫𝑐‪+‬‬

‫ىاص انتك م ث غير ان‬

‫𝜋‬ ‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥𝑑‬

‫𝑥‬ ‫𝑥𝑑‬

‫𝑥𝑑‬

‫دو ة ‪:‬‬

‫‪ّ٠ .1‬ىٓ إ ساج عاًِ اتد ِٓ ذحد إ ازج اٌرىاًِ ‪ ٚ‬تاٌ ىط ‪ ْ ْٚ‬ذر ‪١‬س إٌر‪ ١‬ح ‪: ٞ‬‬ ‫‪ , ∫ 𝐴𝑓 𝑥 . dx = A ∫ 𝑓 𝑥 . dx‬ح‪١‬ث ‪ A‬اتد‪.‬‬ ‫‪ .2‬ذىاًِ اٌّ ّ‪ٛ‬ع اٌ ثس‪ ٌ ٞ‬دج ذ‪ٛ‬ات ‪٠‬عا‪ ٞٚ‬اٌّ ّ‪ٛ‬ع اٌ ثس‪ٌ ٞ‬رىاِالخ ٘رٖ اٌر‪ٛ‬ات ‪:ٞ‬‬ ‫‪𝑔 𝑥 . dx‬‬

‫انطرق ان مت في ا‬

‫‪𝑓 𝑥 . dx ±‬‬

‫= ‪𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) . dx‬‬

‫تك ل ‪:‬‬

‫ظرىّاي ذات عٍ‪ٕ١‬ا ف‪ ٟ‬اٌثدا‪٠‬ح ْ ٕٔ س ٌص‪ ١‬رٗ فستّا واْ ‪ ِ ً ّ٠‬رما ٌرات ِ ٍ‪ َٛ‬فئْ واْ األِس ورٌه‬ ‫اظرٕر ٕا ذات ٗ األصٍ‪ٚ ٟ‬إ فئٕٔا ٔ رّد عٍ‪ ٝ‬ت ض اٌ سق اٌر‪ ٟ‬ذس اٌرىاًِ اٌّفس‪ ٚ‬ذىاًِ ِ س‪ٚ‬ف‬ ‫‪48‬‬

‫‪٘ ُ٘ ٚ‬رٖ اٌ سق ا ٕراْ‪:‬‬ ‫‪ .1‬طر مت غيير ان ت ىل "انتك مم ب نت ى ض"‬ ‫ٌحعاب اٌرىاًِ ‪ ٔ 𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx‬س‪ ٞ‬ذح‪٠ٛ‬ال ِٕاظثا ٌٍّر ‪١‬س اٌر‪ ٞ‬ذرُ اٌّىاٍِح تإٌعثح ٌٗ فٕ‬ ‫‪ x = φ t‬ح‪١‬ث ‪ φ t‬ذات ِعرّس ‪ٚ‬لاتً ٌال رماق‪ ،‬عٕدئر ‪ ٚ 𝑑𝑥 = φ′ t . dt :‬تاٌر ‪٠ٛ‬ض ف‪ٟ‬‬ ‫اٌرىاًِ ٔ د ‪𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx = ∫ 𝑓 φ t . φ′ t . dt‬‬ ‫‪ φ t‬ب ‪.x‬‬

‫ت د إ‪ ٠‬ا اٌرىاًِ ٔ ‪ٛ‬‬ ‫ِ اي )‪ :( 1‬حعة اٌرىاًِ‬

‫‪3dx‬‬ ‫‪5𝑥 − 1‬‬ ‫تفس‬

‫=𝐼‬

‫ْ ‪𝑑𝑡 = 5𝑑 ⇐ t=5x-1‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪5‬‬

‫= 𝑥𝑑‬

‫إذْ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪I = log t + c = log 5x − 1 + c, log = ln‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ِ اي ‪ :2‬حعة اٌرىاًِ‬ ‫𝑥𝑑 ‪1 − 𝑥².‬‬

‫𝑡 ‪ِٕٗ ٚ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 ⇐ 𝑥 = sin‬‬

‫تّا ْ ‪ّ٠ x‬ىٓ ْ ذر ا‪ٚ‬ش ‪ٌ 1‬رٌه ‪ّ٠‬ىٓ ْ ٔفس‬ ‫𝑡𝑑 ‪𝑑𝑥 = cos 𝑡.‬‬ ‫𝑡𝑑 ‪cos 𝑡 . cos 𝑡 .‬‬

‫=𝐼‬

‫= 𝑡𝑑 ‪1 − sin2 𝑡 . cos 𝑡 .‬‬

‫𝑡‪1 + cos 2‬‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑡𝑑 ‪cos² 𝑡 .‬‬

‫=𝐼‬ ‫=‬

‫𝑡‪𝑡 1 sin 2‬‬ ‫𝑡 ‪𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 2 sin 𝑡 cos‬‬ ‫‪+ .‬‬ ‫= 𝑐‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑐‪+‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫𝑥 𝑥 ‪𝑎𝑟𝑐 sin‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑐 ‪1 − 𝑥² +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .2‬طر مت انتك مم ب نت سئت‪:‬‬

‫‪49‬‬

‫=‬

‫=‬

‫إذا واْ اٌ ٕصس اٌرفا ٍ‪ ٟ‬ف‪ ٟ‬اٌرىاًِ ‪ ِٓ 𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx‬اٌ ىً 𝑣𝑑 ‪ّ٠ ٚ 𝑢.‬ىٓ ‪ٚ‬‬

‫ٗ ت‪ٙ‬را اٌ ىً‬

‫ح‪١‬ث ‪ u‬ذات ‪ v ٚ‬ذات آ س‪ ،‬ف‪ّ١‬ىٓ ا ظرفا ج ِٓ ظر‪ٛ‬ز ذفا ً داء ذات ‪: ٓ١‬‬ ‫𝑢𝑑𝑣 ‪𝑑 𝑢. 𝑣 = 𝑢. 𝑑𝑣 +‬‬ ‫ح‪١‬ث ‪ّ٠‬ىٓ وراترٗ تاٌ ىً‪:‬‬ ‫𝑢𝑑𝑣 ‪𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢. 𝑣 −‬‬ ‫‪ٚ‬تأ ر ذىاًِ اٌ سف‪ٔ ٓ١‬حصً عٍ‪ ٝ‬اٌمأ‪:ْٛ‬‬ ‫𝑢𝑑𝑣‬

‫‪𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 −‬‬

‫‪ ٚ‬ت‪ٙ‬رٖ اٌ س‪٠‬مح ٔى‪ ْٛ‬لد أرمٍٕا ِٓ حعاب اٌرىاًِ 𝑣𝑑 ‪ ∫ 𝑢.‬اٌر‪٠ ٞ‬ى‪ ْٛ‬عا ج لً ص ‪ٛ‬تح ِٓ األ‪ٚ‬ي إذا‬ ‫حعٕا ا ر‪١‬از اٌرات ‪.u,v ٓ١‬‬ ‫ذعر ًّ ٘رٖ اٌ س‪٠‬مح و ‪١‬سا ظ‪ّ١‬ا ف‪ ٟ‬اٌحا خ ا‪٢‬ذ‪١‬ح‪:‬‬ ‫‪ ‬ان نت ا ون ‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‪𝐼 = ∫ 𝑥 𝑛 . 𝑒 𝑎𝑥 . 𝑑𝑥 :‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑢 = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑛𝑥 (𝑛 −1) .‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ٔفس‬ ‫𝑥𝑎 𝑒 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = 𝑒 𝑎𝑥 .‬‬ ‫𝑎‬

‫𝑥‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ 𝑥𝑑 ‪𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑒 .‬‬ ‫𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 = 𝑢‬ ‫𝑥 𝑒 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 .‬‬ ‫𝑐 ‪𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 +‬‬

‫‪𝐼 = 𝑥𝑒 𝑥 −‬‬

‫‪ ‬ان نت انث نيت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‪:‬‬ ‫‪𝑥 𝑛 . cos 𝑤𝑥 . dx‬‬ ‫ٔفس‬

‫ا‪𝑥 𝑛 . sin 𝑤𝑥 . dx ٚ‬‬

‫𝑥𝑑 ‪𝑢 = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑛. 𝑥 (𝑛 −1) .‬‬ ‫𝑥𝑤 ‪sin‬‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = cos 𝑤𝑥.‬‬ ‫𝑤‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ∶ ‪𝐼 = ∫ 𝑥. sin 2𝑥 . dx‬‬ ‫𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 = 𝑢‬ ‫𝑥‪cos 2‬‬ ‫‪𝑑𝑣 = sin 2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝐼 = ∫ 𝑥. sin 2𝑥 . dx = − cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥 . dx‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑥‪1 sin 2‬‬ ‫‪= − cos 2𝑥 +‬‬ ‫𝑐‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪50‬‬

‫‪ ‬ان نت انث نثت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‪𝐼 = ∫ 𝑥 𝑛 . log 𝑥 . 𝑑𝑥 :‬‬ ‫‪ ٞ‬إذا واْ اٌ ٕصس اٌرفا ٍ‪٠ ٟ‬ر ّٓ ذات ا ‪١‬س عا ‪….., arc sin 𝑥, log𝑥 ً ِ ٞ‬‬ ‫رك ذات ا ثس‪٠‬ا‪ ،‬ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ٔفس‬ ‫‪ ٚ‬واْ ِ ٖ‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 ‪𝑢 = log‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥 𝑛+1‬‬ ‫𝑛‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = 𝑥 .‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ‪𝐼 = ∫ 𝑥. log 𝑥 . 𝑑𝑥:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫ٔفس‬

‫‪2‬‬

‫= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 ‪𝑢 = log‬‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = 𝑥.‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪log 𝑥 − ∫ dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑐‪+‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪log 𝑥 −‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑥𝑑 ‪𝐼 = ∫ 𝑥. log 𝑥 .‬‬

‫= 𝑐‪+‬‬

‫‪1 𝑥2‬‬

‫‪log 𝑥 −‬‬

‫‪2 2‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ∶ ‪𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . dx‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥²+1‬‬ ‫‪𝑥2‬‬

‫ٔفس‬

‫‪2‬‬ ‫‪𝑥².‬‬

‫= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 = 𝑢‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = 𝑥.‬‬

‫‪1‬‬

‫∫ ‪𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 −‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2 𝑥²+1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪𝑥2‬‬

‫= ‪𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . dx‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪𝑥²+1−1‬‬ ‫‪𝑥²+1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫∫ ‪𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫∫ ‪𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫ dx +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 𝑥²+1‬‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 +‬‬

‫‪𝑥2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 +‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫=‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪ ‬ان نت انراب ت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‪:‬‬ ‫‪ ∫ 𝑒 𝑎𝑥 . cos 𝑤𝑥 . dx‬ا‪∫ 𝑒 𝑎𝑥 . sin 𝑤𝑥 . dx ٚ‬‬ ‫ٔفس‬

‫𝑥𝑑 ‪𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑎. 𝑒 𝑎𝑥 .‬‬ ‫𝑥𝑤 ‪sin‬‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = cos 𝑤𝑥 .‬‬ ‫𝑤‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ‪𝐼 = ∫ 𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 . dx:‬‬ ‫ٔفس‬

‫𝑥𝑑 ‪𝑢 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 .‬‬ ‫𝑥‪sin 2‬‬ ‫= 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 ‪𝑑𝑣 = cos 2𝑥 .‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 . dx‬‬

‫‪sin 2𝑥 1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪51‬‬

‫‪𝐼 = 𝑒𝑥.‬‬

‫𝑥‪𝐼1 = ∫ 𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 . d‬‬

‫ٔ‬

‫‪ٔ ِٕٗ ٚ‬فس‬

‫𝑥𝑑 ‪𝑢1 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢1 = 𝑒 𝑥 .‬‬

‫𝑥‪cos 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑑𝑣1 = sin 2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣1 = −‬‬

‫‪𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 . dx‬‬ ‫‪=I‬‬

‫‪cos 2𝑥 1‬‬ ‫‪𝑒 . sin 2𝑥 . dx = −𝑒 .‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥‬

‫𝑥‬

‫‪sin 2𝑥 1‬‬ ‫‪cos 2𝑥 1‬‬ ‫‪− −𝑒 𝑥 .‬‬ ‫‪+ I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪𝐼1‬‬

‫‪𝐼 = 𝑒𝑥.‬‬

‫‪5‬‬ ‫𝑥 ‪sin 2𝑥 1‬‬ ‫‪𝐼 = 𝑒𝑥.‬‬ ‫𝑥‪− 𝑒 . cos 2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 1‬‬

‫‪4 1‬‬

‫‪5 4‬‬

‫‪5 2‬‬

‫𝑐 ‪I= . 𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 + . 𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 +‬‬ ‫𝑐 ‪2 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 +‬‬ ‫‪ ‬ان نت انخ م ت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‪:‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑛 ‪1+ 𝑥²‬‬

‫𝑥𝑒‬ ‫‪5‬‬

‫=‬

‫∫ = ‪In‬‬

‫إلٔ اش ٘را اٌرىاًِ ِا ‪٠‬عّ‪ ٝ‬ت س‪٠‬مح اٌرسا ‪ٌ ٞ ،‬حعاب اٌرىاًِ ٔثد تحعاب ‪I1‬‬ ‫𝑐 ‪= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫‪1 + 𝑥²‬‬

‫= ‪I1‬‬

‫حر‪ٔ ٝ‬صً إٌ‪ ٝ‬حعاب ‪ٚ In‬ذٌه تئ‪ ٠‬ا عاللح ذستط ت‪ ِٓ In−1 ٚ In ٓ١‬ذ ث‪١‬ك ظر‪ٛ‬ز اٌر صئح‬ ‫عٍ‪ ٝ‬اٌرىاًِ‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫= ‪In−1‬‬ ‫‪1 + 𝑥² 𝑛−1‬‬ ‫ٔ‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪2(1 − 𝑛)𝑥.‬‬ ‫⇒‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫=‬ ‫‪1 + 𝑥² 𝑛−1‬‬ ‫𝑛 ‪1 + 𝑥²‬‬ ‫𝑥 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 = 𝑣𝑑‬

‫=𝑢‬

‫𝑥‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑥².‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑛(‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪1 + 𝑥² 𝑛−1‬‬ ‫𝑛 ‪1 + 𝑥²‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥² + 1 − 1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑛(‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1 + 𝑥² 𝑛−1‬‬ ‫𝑛 ‪1 + 𝑥²‬‬

‫= ‪In−1‬‬

‫‪52‬‬

=

𝑥 1 + 𝑥²

= In =

𝑑𝑥 1 + 𝑥²

+ 2(𝑛 − 1) 𝑛−1

2n−3 2(n−1)

𝑥 1 + 𝑥²

𝑛−1

. In−1 +

− 𝑛−1

𝑑𝑥 1 + 𝑥²

𝑛

+ 2(𝑛 − 1) In−1 − In 𝑥

2(𝑛 −1) 1+ 𝑥² 𝑛 −1

+ c :ْ‫إذ‬ ًِ‫ حعة اٌرىا‬:‫ِ اي‬

𝑑𝑥 1 + 𝑥²

I3 =

3

2.3 − 3 𝑥 . I2 + 2(3 − 1) 2(3 − 1) 1 + 𝑥² 2 3 𝑥 = I2 + 4 4 1 + 𝑥² 2 2.2 − 3 𝑥 I2 = . I1 + 2 2−1 2 2 − 1 1 + 𝑥2 1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 2 2 1 + 𝑥2

I3 =

ْ‫إذ‬ I3 =

3 1 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 4 2 2 1 + 𝑥2

I3 =

𝑥 4 1 + 𝑥²

+ 2

+

𝑥 4 1 + 𝑥²

2

3𝑥 3 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 8 1 + 𝑥2 8

𝐼 = ∫ sinn 𝑥 . dx ٚ‫ ∫ = 𝐼ا‬cos n 𝑥 . dx :ً‫ إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ى‬:‫ت‬

‫ ان نت ان‬

cos 2 𝑥 ً‫ىرة اٌرىاًِ تاٌ ى‬٠ ‫ ٘رٖ اٌحاٌح‬ٟ‫ف‬ 𝑢 = cos n−1 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = ⋯ 𝑑𝑣 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = ⋯

‫ٔفس‬

𝐼 = ∫ cos 3 𝑥 . dx ًِ‫ حعة اٌرىا‬: ‫ِ اي‬ 𝐼=

cos 2 𝑥. cos 𝑥 . dx 𝑢 = cos 2 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −2 cos 𝑥. sin 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = sin 𝑥

𝐼 = sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + 2 53

cos 𝑥. sin2 𝑥 . dx

‫ٔفس‬

‫𝑥 ‪sin2 𝑥 . d sin‬‬

‫‪= sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + 2‬‬

‫‪2‬‬ ‫𝑐 ‪𝐼 = sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + sin3 𝑥 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑑 ‪𝐼 = ∫ 1 − sin² 𝑥 .‬‬

‫‪ ٚ‬ت س‪٠‬مح ذ ‪١١‬س اٌّرح‪ٛ‬ي‬ ‫ٔفس‬ ‫𝑐‪+‬‬

‫𝑥𝑑 ‪𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥.‬‬

‫𝑥 ‪sin 3‬‬

‫𝑢‬

‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪𝐼 = ∫ 1 − 𝑢² . 𝑑𝑢 = 𝑢 − + 𝑐 = sin 𝑥 −‬‬

‫م ح ت ‪ :‬إل‪ ٠‬ا اٌرىّالخ لد ذخرٍ‬ ‫ف‪ّ١‬ا ت‪ٕٙ١‬ا‪.‬‬

‫األ ‪ٛ‬تح ىال تا رالف اٌ سق اٌّرث ح ‪ٌٚ‬ىٓ ٘رٖ األ ‪ٛ‬تح ِرىاف ح‬

‫ك مم انك ى ان طمت‬ ‫ٔمصد تاٌىعس إٌا ك وعسا تع ٗ ‪ِٚ‬ماِٗ و ‪١‬س حد‪ٔٚ ٚ‬سِص ٌٗ ب‬ ‫‪ ٠‬رّد ف‪ ٟ‬اٌدز ح األ‪ ٌٝٚ‬عٍ‪ ٝ‬ذفس‪٠‬مٗ إٌ‪ ٝ‬وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح ِٓ اٌ ىً‬

‫)𝑥(𝑓‬

‫‪ٚ ،‬اظرىّاي اٌىعس إٌا ك‬

‫)‪g(x‬‬ ‫𝐴‬

‫‪ ِٓ ٚ‬اٌ ىً‬

‫‪𝑥−a n‬‬

‫𝑏‪𝐴𝑥+‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪𝑥²+p𝑥+q‬‬

‫ح‪١‬ث ‪ r ,n‬عد اْ ِ‪ ٛ‬ثاْ صح‪١‬حاْ‪.‬‬ ‫‪ ٠ٚ‬رس ف‪ ٟ‬اٌىعس اٌ أ‪٠ ْ ٟ‬ى‪ِ ْٛ‬ماِٗ ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح (و ‪١‬س حد‪) ٚ‬‬ ‫ب ض ان‬

‫‪٠‬مثً ر‪ٚ‬زا حم‪١‬م‪١‬ح‪.‬‬

‫ث انخ صت ‪:‬‬

‫‪ ‬ان نت ا ون ‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫=𝐼‬ ‫‪k2 + 𝑥 2‬‬ ‫ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ٔىرة اٌرىاًِ ِٓ تاٌ ىً‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑘‬ ‫𝑘‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑘 ‪𝑘 1+ 𝑥 ²‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k²‬‬ ‫‪ ‬ان نت انث نيت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫=𝐼‬ ‫𝑞 ‪𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫ح‪١‬ث اٌّماَ‬

‫‪٠‬مثً ر‪ٚ‬زا حم‪١‬م‪١‬ح‪.‬‬ ‫‪54‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑘‬

‫=𝐼‬

‫ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ٔ ‪ ٔ ٚ ١‬سح اٌّمداز إلذّاَ إٌ‪ِ ٝ‬ست واًِ‪ٚ ،‬ت د اإلصالح ‪٠‬صثح اٌّماَ عٍ‪ ٝ‬ىً‬ ‫ِ ّ‪ٛ‬ع ِست ‪ ٟ‬حد‪: ٞ ٓ٠‬‬

‫𝑞‪+‬‬ ‫𝑝‬ ‫‪²‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ٔفس‬

‫𝑝‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑝 2‬‬ ‫𝑝‬ ‫‪x 2 + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=𝐼‬

‫𝑥𝑑‬

‫‪/k² = q −‬‬ ‫‪+ 𝑘2‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫𝑝‬ ‫‪2‬‬

‫‪x+‬‬

‫‪ٚ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = x +‬تاٌراٌ‪ ٟ‬فئْ‪:‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬ ‫‪+c‬‬ ‫𝑘 ‪k 2 + 𝑢2‬‬ ‫‪k‬‬

‫=𝐼‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪x 2 − 2𝑥 + 5‬‬ ‫ٔ‬

‫=𝐼‬

‫‪ِٕٗٚ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = x − 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫=‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪x − 1 2 + 42 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫=‪I‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 =‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ان نت انث نثت‪ :‬إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً‬ ‫‪A𝑥 + B‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑞 ‪𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬‬

‫=𝐼‬

‫ح‪١‬ث اٌّماَ ‪٠‬مثً ر‪ٚ‬زا حم‪١‬م‪١‬ح‪.‬‬ ‫𝑞 ‪𝑑𝑢 = 2𝑥 + 𝑝 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫ٔفس‬ ‫‪ِٕٗٚ‬‬ ‫𝑥𝑑𝑝 ‪𝑑𝑢 −‬‬ ‫= 𝑥𝑑𝑥‬ ‫‪2‬‬ ‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ٔ د‪:‬‬ ‫𝑥𝑑𝑝 ‪𝑑𝑢 −‬‬ ‫‪A‬‬ ‫𝑥𝑑‪+ B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=𝐼‬ ‫‪u‬‬ ‫‪٠‬ىرة ٘را اٌرىاًِ تاٌ ىً‬ ‫‪55‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑞 ‪+ 𝑝𝑥 +‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑞 ‪𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫‪ ٚ‬اٌرىاًِ اٌّ‪ ٛ ٛ‬ف‪ ٟ‬اٌ‬ ‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪:‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑝𝐴‬ ‫‪+ 𝐵−‬‬ ‫𝑢‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝑥2‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝑝𝐴‬ ‫‪𝐼 = log 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سف األ‪ٌ ّٓ٠‬مد عاٌ ٕٗ ف‪ ٟ‬اٌحاٌح اٌ أ‪١‬ح ‪.‬‬

‫‪2𝑥 + 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥 2 − 2𝑥 + 5‬‬ ‫ٔفس‬

‫𝐴‬ ‫‪2‬‬

‫=𝐼‬

‫=𝐼‬

‫‪𝑑𝑢 + 2𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5‬‬

‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ٔ د‪:‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑑𝑢 + 2𝑑𝑥 +‬‬ ‫=‬ ‫‪u‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪+3‬‬ ‫𝑢‬ ‫‪𝑥 2 − 2𝑥 + 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑥−1‬‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 ‪= log 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 +‬‬ ‫‪+c‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫م ح ت ‪ :‬إذا واْ اٌّماَ 𝑞 ‪ 𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬ف‪ ٟ‬اٌحاٌر‪ ٓ١‬اٌ أ‪١‬ح ‪ ٚ‬اٌ اٌ ح ‪٠‬مثً رز‪ ٓ٠‬حم‪١‬م‪ٓ١‬‬ ‫فعٕس‪ ْ ٜ‬وال اٌىعس‪٠ ٓ٠‬حًٍ إٌ‪ّٛ ِ ٝ‬ع وعس‪ِ ٓ٠‬ماَ وً ِٕ‪ّٙ‬ا ِٓ اٌدز ح األ‪ ٕ٠ٚ ٌٝٚ‬ص‬ ‫ذىاٍِٗا تع‪ٌٛٙ‬ح‬ ‫فر ك ر ن طك إن م ىع ى ب يطت‪.‬‬ ‫ٌ‪١‬ىٓ اٌىعس إٌا ك‬

‫)𝑥(𝐹‬

‫=𝐼‬

‫ٌرفس‪٠‬مٗ إٌ‪ّٛ ِ ٝ‬ع وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح‪ ،‬فٍرفس‪٠‬مٗ إٌ‪ّٛ ِ ٝ‬ع وع‪ٛ‬ز‬

‫)𝑥(‪g‬‬

‫تع‪ ١‬ح ‪ ٕٔ ,‬س إٌ‪٘ ٝ‬را اٌىعس فئْ وأد ل‪ٛ‬ج اٌثعط وثس ‪٠ ٚ‬عا‪ ٞٚ‬ل‪ٛ‬ج اٌّماَ فئٕٔا ٔمعُ اٌثعط‬ ‫عٍ‪ ٝ‬اٌّماَ ‪٠ ٚ‬ىرة ٘را اٌىعس تاٌ ىً‪:‬‬ ‫)𝑥(𝐹‬ ‫)𝑥(𝑓‬ ‫‪=Q 𝑥 +‬‬ ‫)𝑥(‪g‬‬ ‫)𝑥(‪g‬‬ ‫ح‪١‬ث ‪ Q x‬حاصً اٌمعّح‪ 𝑓(𝑥)،‬اٌثال‪ٚ ، ٟ‬ذى‪ ْٛ‬ز رٗ الً ِٓ ز ح اٌّماَ تدز ح ‪ٚ‬احدج‬ ‫عٍ‪ ٝ‬األلً‪.‬‬ ‫)𝑥(𝐹‬

‫)𝑥(𝑓‬

‫)𝑥(‪g‬‬

‫)𝑥(‪g‬‬

‫‪ٔٚ‬الحظ ْ اظرىّاي اٌىعس‬

‫‪٠‬ؤ‪ٚ‬ي إٌ‪ ٝ‬اظرىّاي اٌىعس‬

‫ألْ ذىاًِ و ‪١‬س اٌحد‪ ٚ‬ظ‪ٚ ًٙ‬‬

‫ِ س‪ٚ‬ف‪.‬‬ ‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪:‬‬ ‫‪𝑥4 − 𝑥3 + 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥− 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥− 1‬‬

‫‪𝑥 3 d𝑥 −‬‬

‫=𝐼‬

‫‪1‬‬ ‫= 𝑥𝑑‬ ‫‪𝑥− 1‬‬

‫‪56‬‬

‫‪𝑥3 −‬‬

‫=𝐼‬

‫‪𝑥4‬‬ ‫=‬ ‫‪− log 𝑥 − 1 + c‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)𝑥(𝑓‬ ‫‪ ٠‬ة ْ ٔحًٍ )𝑥(‪ g‬إٌ‪ ٝ‬داء ع‪ٛ‬اًِ ِٓ اٌدز ح األ‪ٚ ٌٝٚ‬ع‪ٛ‬اًِ‬ ‫‪ٌٚ‬ى‪ ٔ ٟ‬د اٌرىاًِ‬ ‫)𝑥(‪g‬‬

‫ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح ٌ‪١‬ط ٌ‪ٙ‬ا ر‪ٚ‬ز حم‪١‬م‪١‬ح‪.‬‬ ‫‪١ّٔٚ‬ص اٌحا خ ا‪٢‬ذ‪١‬ح‪:‬‬ ‫‪ ‬ان نت ا ون ‪ :‬إذا وأد ع‪ٛ‬اًِ اٌّماَ ّ‪ٙ ١‬ا ِٓ اٌدز ح األ‪١ ٚ ٌٝٚ‬س ِىسزج ِ ً‬ ‫‪ٛ٠ 𝑥 − a‬افمٗ وعس تع‪١‬ط ِٓ اٌ ىً‬

‫𝐴‬ ‫‪𝑥− a‬‬

‫ح‪١‬ث ‪ A‬عد اتد‪.‬‬

‫ِ اي ‪:‬فسق اٌىعس إٌ‪ّٛ ِ ٝ‬ع وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح ‪:‬‬ ‫‪2𝑥 + 3‬‬ ‫=‪Y‬‬ ‫‪𝑥 𝑥− 1 𝑥+2‬‬ ‫‪٠ ٚ‬ىرة تاٌ ىً‬ ‫‪2𝑥 + 3‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪= +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥 𝑥− 1 𝑥+2‬‬ ‫‪𝑥 𝑥− 1 𝑥+2‬‬ ‫ت د ذ‪ٛ‬ح‪١‬د اٌّماِاخ ف‪ ٟ‬اٌ سف األ‪ِٚ ّٓ٠‬مازٔح اٌثعط إٌاذ ف‪ ٟ‬اٌ سف األ‪٠‬عس ِ تعط اٌ سف األ‪ّٓ٠‬‬ ‫‪ٚ‬إ‪ ٠‬ا ل‪A, B, C ُ١‬‬

‫‪1‬‬

‫‪5‬‬

‫‪3‬‬

‫‪6‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝐴 = − ,𝐵 = ,𝐶 = −‬‬

‫‪ِٕٗٚ‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2𝑥 3 𝑥 − 1‬‬ ‫‪6 𝑥+2‬‬ ‫‪ ‬ان نت انث نيت‪ :‬إذا وأد ع‪ٛ‬اًِ اٌّماَ ّ‪ٙ ١‬ا ِٓ اٌدز ح األ‪ ٚ ٌٝٚ‬ت ‪ٙ‬ا ِىسز‪ ،‬ف‪ٟ‬‬ ‫‪ٛ٠‬افك‬ ‫ٖ‬ ‫٘رٖ اٌحاٌح وً عاًِ ِٓ اٌدز ح األ‪ِ ٚ ٌٝٚ‬ىسز ‪ِ n ,‬سج ِ ً ‪𝑥 − a n‬‬ ‫ِ ّ‪ٛ‬ع ‪ n‬وعستط‪ ٞ‬ا ِٓ اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪𝐴1‬‬ ‫‪𝐴2‬‬ ‫𝑛𝐴‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⋯‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥− a n‬‬ ‫‪𝑥 − a n−1‬‬ ‫‪𝑥− a‬‬ ‫ح‪١‬ث ‪ 𝑛 , …,𝐴2 , 𝐴1 ,‬عدا اترح‪.‬‬ ‫‪Y=−‬‬

‫ِ اي ‪:‬فسق اٌىعس ا‪٢‬ذ‪ ٟ‬إٌ‪ّٛ ِ ٝ‬ع وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح ‪:‬‬

‫‪𝑥 3 +1‬‬ ‫‪𝑥 𝑥− 1 3‬‬

‫ٌد‪ٕ٠‬ا‬ ‫‪𝑥3 + 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑥 ‪𝑥 𝑥− 1 3‬‬ ‫‪𝑥− 1 3‬‬ ‫‪𝑥− 1 2 𝑥− 1‬‬ ‫بذ‪ٛ‬ح‪١‬د اٌّماِاخ ف‪ ٟ‬اٌ سف األ‪ ٚ ّٓ٠‬صاء اٌّمازٔح ِ اٌ سف األ‪٠‬عس ٔ‬ ‫‪𝐴 = −1, 𝐵 = 2, 𝐶 = 1, 𝐷 = 2‬‬ ‫‪:ٞ‬‬

‫‪57‬‬

‫‪𝑥3 + 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 𝑥− 1‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥− 1‬‬ ‫‪𝑥− 1‬‬ ‫‪𝑥− 1‬‬ ‫‪ ‬ان نت انث نثت‪ :‬إذا وأد ع‪ٛ‬اًِ اٌّماَ ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح ‪١ ٚ‬س ِىسزج ِ ً‬ ‫‪ٛ٠‬افك وعستط‪ ِٓ ٞ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫ٖ‬ ‫𝑟 ‪𝑥² + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫‪A𝑥 + B‬‬ ‫𝑞 ‪𝑥 2 + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫ِ اي ‪ :‬فسق اٌىعس ا‪٢‬ذ‪ ٟ‬إٌ‪ ٝ‬وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑥 𝑥4 + 4‬‬ ‫‪٠ ٚ‬ىرة ٘را اٌىعس تاٌ ىً‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B𝑥 + C‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥 𝑥4 + 4‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥4 + 4‬‬ ‫بذ‪ٛ‬ح‪١‬د اٌّماِاخ ‪ ٚ‬اٌّمازٔح ٔ ‪:‬‬ ‫‪𝐴 = 1, 𝐵 = −1, 𝐶 = 0‬‬ ‫إذْ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑥 𝑥4 + 4‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪𝑥4 + 4‬‬ ‫‪ ‬ان نت انراب ت‪ :‬إذا وأد ع‪ٛ‬اًِ اٌّماَ ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح األ‪ ٚ ٌٝٚ‬ت ‪ٙ‬ا ِىسز‪ ،‬ف‪ٟ‬‬ ‫‪ٛ٠‬افك‬ ‫ٖ‬ ‫٘رٖ اٌحاٌح وً عاًِ ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح ‪ِ ٚ‬ىسز ‪ِ n‬سج ِ ً 𝑛 𝑟 ‪𝑥² + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫ِ ّ‪ٛ‬ع ‪ n‬وعستط‪ ٞ‬ا ِٓ اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪𝐴1 𝑥 + 𝐵1‬‬ ‫‪𝐴2 𝑥 + 𝐵2‬‬ ‫𝑛𝐵 ‪𝐴𝑛 𝑥 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⋯‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑛 𝑟 ‪𝑥² + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫‪𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑟 n−1‬‬ ‫𝑟 ‪𝑥² + 𝑝𝑥 +‬‬ ‫ِ اي ‪ :‬فسق اٌىعس ا‪٢‬ذ‪ ٟ‬إٌ‪ ٝ‬وع‪ٛ‬ز تع‪ ١‬ح‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑥 +𝑥 +2‬‬ ‫‪A𝑥 + B‬‬ ‫‪C𝑥 + D‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥2 + 2‬‬ ‫‪𝑥² + 2 2‬‬ ‫‪𝑥2 + 2 ²‬‬ ‫بذ‪ٛ‬ح‪١‬د اٌّماِاخ ‪ ٚ‬اٌّمازٔح ٔ ‪:‬‬ ‫‪𝐴 = −2, 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 𝐷 = 1‬‬ ‫‪𝑥3 + 𝑥2 + 2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪𝑥2 + 2‬‬ ‫‪𝑥² + 2 2‬‬ ‫‪𝑥2 + 2 ²‬‬

‫ك مم انتىابع ان ثهثيت ( اندائر ت)‬ ‫انطر مت ان مت ‪١ٌ :‬ىٓ اٌرىاًِ ‪∫ 𝑓 sin 𝑥, cos 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 :‬فاٌ س‪٠‬مح اٌ اِح ٌحعاتٗ ٘‪ٚ ٟ‬‬ ‫ىً ذىاًِ وعس‪ٔ ٞ‬ا ك ‪ٚ‬ذٌه تاٌر ث‪١‬س عٓ إٌعة اٌّ ٍ ‪١‬ح تد ٌح‬ ‫ٔفس‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‪⇐ 𝑥 = 2‬‬

‫𝑡𝑑‪2‬‬ ‫‪1+𝑡²‬‬

‫‪58‬‬

‫= 𝑥𝑑‬

‫𝑥‬

‫‪2‬‬

‫𝑔𝑡 ‪.‬‬

‫ٗ عٍ‪ٝ‬‬

‫‪2‬‬

‫ُ ٔعرثدي إٌعة اٌّ ٍ ‪١‬ح تم‪ّٙ١‬ا حعة اٌدظاذ‪١‬س‪:‬‬

‫‪1−𝑡²‬‬

‫= 𝑥 𝑔𝑡 ‪,‬‬

‫‪1−𝑡²‬‬ ‫‪1+𝑡²‬‬

‫= 𝑥 ‪, cos‬‬

‫𝑡‪2‬‬ ‫‪1+𝑡²‬‬

‫= 𝑥 ‪sin‬‬

‫م ح ت ‪𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡𝑔 𝑥, 𝑥 = arcsin sin 𝑥 , 𝑥 = arccos 𝑐𝑜𝑠𝑥 :‬‬ ‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪sin 𝑥 .‬‬ ‫=‬ ‫𝑥 ‪1 + sin‬‬

‫‪sin 𝑥 + 1 − 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥 ‪1 + sin‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥 ‪1 + sin‬‬ ‫ٔفس‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐‬

‫𝑡𝑑‪2‬‬ ‫‪1+𝑡²‬‬

‫=‬

‫= 𝑥𝑑 ‪𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 ,‬‬

‫𝑡𝑑 ‪1 + 𝑡 2‬‬ ‫‪1 + 𝑡 2 2 + 2𝑡 1 + 𝑡 2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪𝑑𝑥 −‬‬

‫=𝐼‬

‫‪=𝑥−2‬‬

‫𝑡𝑑‬ ‫𝑡‪2‬‬ ‫‪1+‬‬ ‫‪1 + 𝑡2‬‬

‫‪𝑡2‬‬

‫‪1+‬‬

‫𝑡𝑑 ‪1 + 𝑡 2‬‬ ‫‪=𝑥−2‬‬ ‫‪1 + 𝑡 2 2 1 + 2𝑡 + 𝑡 2‬‬

‫𝑡𝑑‬ ‫‪1 + 𝑡2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+𝑐 =𝑥+‬‬ ‫𝑐‪𝑥+‬‬ ‫𝑡‪1+‬‬ ‫𝑔𝑡 ‪1 +‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪𝐼 =𝑥−2‬‬

‫‪=𝑥−2‬‬

‫‪=𝑥+‬‬

‫ان نت انث نيت‪ :‬اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً∶ 𝑥𝑑 𝑥 ‪∫ 𝑓 sin² 𝑥, cos² 𝑥, 𝑡𝑔² 𝑥, sin 𝑥 cos‬‬ ‫ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ٔ ثس عٓ ّ‪ ١‬اٌحد‪ ٚ‬تد ٌح 𝑥𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‪𝑥 = 2‬‬ ‫ِ اٌ ٍُ ْ ‪:‬‬

‫𝑥‪𝑡𝑔 ²‬‬ ‫𝑥 ‪1+𝑡𝑔 ²‬‬

‫= 𝑥 ‪, sin²‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪1+𝑡𝑔 ²‬‬

‫= 𝑥 ‪cos²‬‬

‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑡𝑔2 𝑥.‬‬ ‫𝑥 ‪sin² 𝑥 + 3 cos²‬‬ ‫ٔفس‬ ‫ٌد‪ٕ٠‬ا‬

‫𝑥𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‪⇐ 𝑥 = 2‬‬ ‫𝑥‪𝑡𝑔 ²‬‬ ‫𝑥 ‪1+𝑡𝑔 ²‬‬

‫= 𝑥 ‪, sin²‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥 ‪1+𝑡𝑔 ²‬‬

‫𝑡𝑑‪𝑡 2 + 3 − 3‬‬ ‫‪3 + 𝑡2‬‬

‫𝑡𝑑‬ ‫‪1+𝑡²‬‬

‫=𝐼‬

‫= 𝑥𝑑‬

‫= 𝑥 ‪cos²‬‬ ‫𝑡𝑑 ‪𝑡 2‬‬ ‫‪1 + 𝑡2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪1 + 𝑡2 3 + 𝑡2‬‬

‫𝑡𝑑 ‪𝑡 2‬‬ ‫=‬ ‫‪3 + 𝑡2‬‬

‫‪59‬‬

‫=𝐼‬

‫𝑐‪+‬‬

‫𝑡‬ ‫‪3‬‬

‫𝑡𝑑‬ ‫‪3‬‬ ‫‪=𝑡−‬‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬ ‫‪𝑡² + 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑥𝑔𝑡‬

‫𝑐‪+‬‬

‫‪3‬‬

‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬

‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= 𝑡𝑔𝑥 −‬‬

‫ك مم انتىابع ان‬ ‫‪.I‬‬

‫‪𝑑𝑡 − 3‬‬

‫=‬

‫ء‬

‫ٔالحظ ْ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑘‪𝑥+‬‬ ‫=‬ ‫‪log‬‬ ‫‪+ 𝑐…….. 1‬‬ ‫𝑘‪𝑘 2 − 𝑥 2 2‬‬ ‫𝑘‪𝑥−‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥‬ ‫=‬ ‫𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‬ ‫‪+ 𝑐…….. 2‬‬ ‫𝑘 ‪𝑘2 + 𝑥2‬‬ ‫𝑘‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑘‪𝑥−‬‬ ‫=‬ ‫‪log‬‬ ‫‪+ 𝑐…….. 3‬‬ ‫𝑘‪𝑥 2 − 𝑘 2 2‬‬ ‫𝑘‪𝑥+‬‬

‫‪٘ٚ‬رٖ اٌرىاِالخ ذعّ‪ ٝ‬تاٌرىاِالخ اٌ ‪١ٙ‬سج‪.‬‬ ‫‪.II‬‬

‫اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬

‫=𝐼‬

‫𝑐 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +‬‬ ‫ْعٍُ ْ ال ‪ ٟ‬اٌحد‪ ٚ‬اٌّ‪ ٛ ٛ‬ذحد إ ازج اٌ ر‪ٚ‬ز ‪ّ٠‬ىٓ وراترٗ عٍ‪ ٝ‬ىً ِ ّ‪ٛ‬ع ِست ‪ ٟ‬وّ‪١‬ر‪ٓ١‬‬ ‫‪ ٚ‬فسق ِست ‪ ٟ‬وّ‪١‬ر‪ٌٙٚ ٓ١‬را ّٔ‪١‬ص زت ح حا خ ‪:‬‬

‫‪.III‬‬

‫‪ (1‬بفس‬

‫ٔٗ ز إٌ‪ ٝ‬اٌ ىً‬

‫‪ (2‬بفس‬

‫ٔٗ ز إٌ‪ ٝ‬اٌ ىً‬

‫‪ (3‬بفس‬

‫ٔٗ ز إٌ‪ ٝ‬اٌ ىً‬

‫‪ (4‬بفس‬

‫ٔٗ ز إٌ‪ ٝ‬اٌ ىً‬

‫𝑢𝑑‬ ‫‪𝑘 2 −𝑢 2‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪𝑢 2 +𝑘²‬‬ ‫𝑢𝑑‬

‫‪𝑢 +𝑘 ²‬‬

‫∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم ‪ 1‬أعاله ‪.‬‬

‫∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم ‪ 2‬أعاله‬ ‫∫ ‪:ٞ‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫‪𝑢 2 −𝑘 2‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑘‪𝑢 +‬‬

‫∫ = 𝐼 = 𝑐 ‪:log 𝑢 + 𝑘 +‬‬

‫∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم ‪ 3‬أعاله‬

‫‪ .‬اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪Ax + B‬‬

‫ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ْفس‬

‫=𝐼‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +‬‬ ‫∶ 𝑢𝑑 = 𝑥𝑑𝑏 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑢 ⇒ 2𝑎𝑥 +‬‬

‫‪60‬‬

‫𝑥𝑑𝑏 ‪𝑑𝑢 −‬‬ ‫𝑎‪2‬‬

‫= 𝑥𝑑 ‪𝑥.‬‬

‫𝑥𝑑𝑏 ‪𝑑𝑢 −‬‬ ‫𝑥𝑑𝐵 ‪+‬‬ ‫𝑢𝑑 𝐴‬ ‫𝑏𝐴‬ ‫‪dx‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪+ 𝐵−‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝑢‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝑏𝐴‬ ‫𝑥‪d‬‬ ‫=‬ ‫‪.2 𝑢 + 𝐵 −‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +‬‬ ‫𝐴‬ ‫𝑏𝐴‬ ‫𝑥‪d‬‬ ‫‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝐵 −‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑎‪2‬‬ ‫𝑐 ‪𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +‬‬

‫‪𝐴.‬‬

‫=𝐼‬

‫ك مم انتىابع انمط يت‬ ‫ظرىّاي اٌر‪ٛ‬ات اٌم ‪١‬ح ٔعرف‪١‬د ِٓ ظاذ‪١‬س اٌّ ٍ اخ اٌم ‪١‬ح ‪ ،‬وّا ٔعرف‪١‬د ِٓ اظرخداَ 𝑥 𝑒‬ ‫وّرح‪ٛ‬ي د‪٠‬د ف‪ ٟ‬ت ض األح‪١‬اْ‪.‬‬ ‫ِ اي‪ :‬حعة اٌرىاًِ ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑕𝑠‬ ‫ٔفس‬

‫𝑥‬ ‫‪2‬‬

‫𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎‪⇐ 𝑥 = 2‬‬

‫‪ٚ‬حعة اٌدظر‪ٛ‬ز‬

‫𝑡‪2‬‬

‫‪1−𝑡²‬‬

‫=𝐼‬

‫𝑡𝑑‪2‬‬ ‫‪1−𝑡²‬‬

‫= 𝑥𝑑‬

‫= 𝑥𝑕𝑠‬ ‫𝑡𝑑‬ ‫𝑐 ‪= log 𝑡 +‬‬ ‫𝑡‬

‫‪2𝑑𝑡 1 − 𝑡²‬‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫𝑡‪1 − 𝑡² 2‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑐‪+‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑕𝑡 ‪= log‬‬

‫‪61‬‬

‫=𝐼‬

‫ممي ش انر ي ث‬ LMD ‫ت ون‬

‫ر‬ ‫ا‬ ‫و انت يير‬

‫م ت ان ميد ان‬ ‫هيت هىو ا لت‬ ‫و انت ة‬

4 ‫ه هـــــــت‬ : ‫ح‬١ٌ‫ي) حعة اٌرىاِالخ اٌرا‬ٛ‫س اٌّرح‬١١ ‫ ( ذ‬:1 ‫ر‬ e log(1  x ) ، * ، I  dx )2 I  dx * )1 x tge 1 x dx dx ، I  )5 * ، )4 I  2 x  2x  8 16  9x 2 x

، I   x 1  x dx )3 . I   1  x 2 dx )6 *

I   log(1  x ) dx

)3

،

) ‫ (اٌرىاًِ تاٌر صئح‬: ‫ح‬١ٌ‫ حعة اٌرىاِالخ اٌرا‬:2 ‫ر‬ I   x log x dx * )2 ، I   (2x  1)2 cos x dx * )1 



I   Arctgx dx

)6 ،

2

I   e 3x cos 2x dx

)5 ،

I   x 2 sin xdx

)4

0

1 x 2

. I (0)  2 : ٟ‫ ِ اٌ س ا تردائ‬، I   3e dx * )7 )  Q (x )e x .dx ً‫ (اٌرىاًِ ِٓ اٌ ى‬: ‫ح‬١ٌ‫ حعة اٌرىاِالخ اٌرا‬:3 .

I   (3x 3  2x 2  x  4)e x dx

I   (2x 5  3x 4  5x 3  x 2  2x  1)e x dx

.

‫ر‬ )1 )2 *

:4 ٓ١ّ١‫ اٌّعرم‬ٚ ً‫اص‬ٛ‫ز اٌف‬ٛ‫ ِح‬ٚ ٚ y  5x 2  10x  3 ٚ

y  x  2x  3 2

‫ر‬

‫ اٌرات‬ٕٝ‫ٓ ِٕح‬١‫زج ت‬ٛ‫ * حعة اٌّعاحح اٌّحص‬.1 . x 2  3 ٚ x 1  1

y  4x 2  8x  7

‫ اٌرات‬ٕٝ‫ٓ ِٕح‬١‫زج ت‬ٛ‫ * حعة ِعاحح اٌع ح اٌّحص‬.2 . x 2  2 ٚ x 1  0 ٓ١ّ١‫اٌّعرم‬ :‫ اٌفرسج اٌّحد ج‬ٟ‫اخ ف‬١ٕ‫ٓ إٌّح‬١‫ح ُ لدز اٌّعاحح ت‬١ٌ‫ات اٌرا‬ٛ‫ ٌٍر‬ٟٔ‫ا‬١‫ * زظُ اٌ ىً اٌث‬.3 . y1  x , y 2  3 , x1  0 , x 2  5 

. y 1  6x , y 2  2x 2  8x  12 , x 1  0 , x 2  3 *  3 . y 1  x  2 , y 2  12  x , x 1  0 , x 2  6  2 : ‫ح‬١ٌ‫ ) حعة اٌرىاِالخ اٌرا‬ٞ‫ ( ذىاًِ ذات وعس‬:5 ‫ر‬ 2x  3 x 1 dx )1 * I  2 .dx )3 ، I   2 .dx )2 * ، I  2 x  4x  3 x  2x  2 x  4x  8 x 6 2 x  6 .dx ) 5 ، I (1)  log 2 : ٟ‫ ِ اٌ س ا تردائ‬، I   dx )4 . I  2 x (x  3) x( x  3)( x  2)

. ‫ا عالِح * ذرسن ٌٍ ٍثح‬ٙ١ٍ‫ ع‬ٟ‫ٓ اٌر‬٠‫ اٌرّاز‬: ‫م ح ت‬ 62

‫اٌفصــــــــــــــــً اٌسات‬

‫ان ـ‬

‫ث انتف‬

‫ــــهيت‬

‫‪ ‬المعادالت التفاضلٌة من المرتبة األولى‬ ‫‪ ‬المعادالت التفاضلٌة من المرتبة الثانٌة‬

‫‪63‬‬

‫ث انتف هيت ‪ ٟ٘ :‬اٌّ ا خ اٌر‪ ٟ‬ذح‪ ٞٛ‬عٍ‪ ٝ‬ذفا الخ ‪ ِ ٚ‬رماخ ‪ٚ‬ذىرة عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ان‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫ا‪𝑦 ′ = 2𝑥 + 3 ٚ‬‬ ‫‪= 2𝑥 + 3 … . . 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦‪𝑑²‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫ا‪𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 5 = 0 ٚ‬‬ ‫𝑥‪+‬‬ ‫‪+ 5 = 0….. 2‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥²‬‬ ‫مر بت ان نت انتف هيت‪ِ ٟ٘ :‬سذثح عٍ‪ ِ ٝ‬رمح ‪ٌٚ‬رٌه فئْ اٌّ ا ٌح (‪ )1‬ذعّ‪ ِ ٝ‬ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‬ ‫ِٓ اٌّسذثح األ‪ِ ٌٝٚ‬ا اٌّ ا ٌح (‪ )2‬ذعّ‪ ِ ٝ‬ا ٌح ذفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح ‪ٚ‬وال اٌّ ا ٌر‪ّ٘ ٓ١‬ا‬ ‫ِٓ اٌدز ح األ‪.ٌٝٚ‬‬ ‫ت ان نت انتف هيت‪ٔ:‬عّ‪ ٝ‬ز ح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‪ ،‬ل‪ٛ‬ج عٍ‪ ٝ‬زذثح ِ رك ف‪ٙ١‬ا‪ ،‬فاٌّ ا ٌح‬ ‫‪ ِ ٟ٘ 𝑦 ′′ ² = 1 + 𝑦 ′ 3‬ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌدز ح اٌ أ‪١‬ح ‪ٚ‬اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح ‪.‬‬ ‫‪ٌٚ‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪ ٠‬ة ِىاٍِح اٌّ ا ٌح عدج ِساخ‪ ٔ ،‬رّد عٍ‪ِ ٝ‬سذثح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪ٚ‬‬ ‫اٌحً ‪٠‬حر‪ ٞٛ‬عٍ‪ٛ ٝ‬اتد ‪١ ٠‬س إٌ‪ِ ٝ‬سذثح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪٠ : ٞ‬ح‪ ٞٛ‬اٌحً اٌ اَ ٌٍّ ا ٌح‬ ‫اٌرفا ٍ‪١‬ح عد ا ِٓ اٌ ‪ٛ‬اتد ِعا‪٠ٚ‬ا ٌسذثح اٌّ ا ٌح اٌّدز‪ٚ‬ظح‪.‬‬ ‫مث ل (‪ : )1‬ت‪ ْ ٓ١‬اٌ اللاخ اٌ ثس‪٠‬ح ‪:‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥 ‪1) 𝑦 = 2𝑒 ; 2) 𝑦 = 3𝑥; 3) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2‬‬ ‫ح‪١‬ث ‪ٛ 𝑐1 , 𝑐2‬اتد‪.‬‬ ‫٘‪ ٟ‬حٍ‪ٛ‬ي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‪𝑦 ′′ 1 − 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑥 − 𝑦 = 0 … 1 :‬‬ ‫اٌحً ‪:‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪′‬‬ ‫𝑥‬ ‫𝑥‬ ‫𝑒‪1) 𝑦 = 2𝑒 ⇒ 𝑦 = 2𝑒 ⇒ 𝑦" = 2‬‬ ‫𝑥‬ ‫إذْ ‪2𝑒 1 − 𝑥 + 2𝑒 𝑥 𝑥 − 2𝑒 𝑥 = 0‬‬ ‫‪ٚ‬تاٌراٌ‪ ٟ‬فئْ اٌّ ا ٌح (‪ ٟ٘ )1‬حً ِٓ حٍ‪ٛ‬ي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح (‪)1‬‬ ‫‪2) 𝑦 = 3𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 3 ⇒ 𝑦" = 0‬‬ ‫إذْ اٌّ ا ٌح (‪ ٟ٘ )2‬حً ِٓ حٍ‪ٛ‬ي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح (‪)1‬‬ ‫𝑥 𝑒 ‪3) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑦" = 𝑐1‬‬ ‫‪𝑐1 𝑒 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥 − 𝑐1 𝑒 𝑥 − 𝑐2 𝑥 = 0‬‬ ‫إذْ اٌّ ا ٌح (‪ ٟ٘ )3‬حً ِٓ حٍ‪ٛ‬ي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح (‪.)1‬‬ ‫و‪ ْٛ‬اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌر‪ ٟ‬ذمثً ‪1) 𝑦 = 𝑐𝑥² − 𝑥; 2) 𝑦 = 𝑐1 𝑥² + 𝑐2 𝑥 :‬‬ ‫مث ل)‪)2‬‬ ‫َ‬ ‫حٍ‪ٌٙ ٛ‬ا‪.‬‬ ‫اٌحً‪:‬‬ ‫‪𝑦′ + 1‬‬ ‫= 𝑐 ⇒ ‪1) 𝑦 = 𝑐𝑥² − 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 2𝑐𝑥 − 1‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫تر ‪٠ٛ‬ض ل‪ّ١‬ح ‪ c‬ف‪ ٟ‬اٌّ ا ٌح (‪ٔ )1‬حصً عٍ‪:ٝ‬‬ ‫‪′‬‬ ‫‪𝑦 +1 2‬‬ ‫=𝑦‬ ‫𝑥‪. 𝑥 − 𝑥 ⇒ 2𝑦 = 𝑦 ′ 𝑥 + 𝑥 − 2‬‬ ‫𝑥‪2‬‬ ‫‪⇒ 𝑦 ′ 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 = 0‬‬ ‫‪ ٟ٘ٚ‬اٌّ ا ٌح اٌّ ٍ‪ٛ‬تح‪.‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪2) 𝑦 = 𝑐1 𝑥² + 𝑐2 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 2𝑐1 𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑦" = 2𝑐1‬‬ ‫𝑥"𝑦 ‪𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑐2 = 𝑦 ′ −‬‬

‫"𝑦‬ ‫‪2‬‬

‫‪y , 𝑦 ′ = 2.‬‬

‫"𝑦‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪𝑐1‬‬

‫إذْ ‪. 𝑥² + 𝑦 ′ − 𝑦"𝑥 𝑥 ⇒ 2𝑦 = 𝑦"𝑥² + 2𝑦′𝑥 − 2𝑦"𝑥²‬‬

‫"𝑦‬ ‫‪2‬‬

‫=𝑦‬

‫‪𝑦"𝑥² − 2𝑦′𝑥 + 2𝑦 = 0‬‬ ‫‪ ٟ٘ٚ‬اٌّ ا ٌح اٌّ ٍ‪ٛ‬تح‪.‬‬ ‫‪ .2‬حم ان نت انتف هيت م ان ر بت ا ون ‪:‬‬ ‫‪ .A‬إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح األ‪ ٌٝٚ‬عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫)‪𝑓1 𝑥 . 𝑔2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥 . 𝑔2 𝑦 𝑑𝑦 = 0 … . (1‬‬ ‫ٌحً ِ ً ٘رٖ اٌّ ا خ ‪ ٠‬ة فصً اٌّر ‪١‬ساخ اٌّر ات‪ٙ‬ح و ًٌ عٍ‪ ٝ‬حد‪.ٜ‬‬ ‫فثمعّح اٌّ ا ٌح (‪ )1‬عٍ‪ ٝ‬اٌّمداز 𝑦 ‪ٔ 𝑓2 𝑥 . 𝑔1‬حصً عٍ‪ٝ‬‬ ‫𝑥 ‪𝑓1‬‬ ‫𝑦 ‪𝑔2‬‬ ‫‪. 𝑑𝑥 +‬‬ ‫‪. 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑥 ‪𝑓2‬‬ ‫𝑦 ‪𝑔2‬‬ ‫‪ٌٚ‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪ ٠‬ة ِىاٍِح وً حد ِٓ حد‪٘ ٚ‬ا عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫𝑥 ‪𝑓1‬‬ ‫𝑦 ‪𝑔2‬‬ ‫‪. 𝑑𝑥 +‬‬ ‫‪. dy = c‬‬ ‫𝑥 ‪𝑓2‬‬ ‫𝑦 ‪𝑔1‬‬ ‫مث ل (‪ :)1‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪= 0:‬‬

‫‪1+𝑦 3‬‬

‫‪𝑥𝑦 2 1+𝑥 2‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪1 + 𝑦 3 . 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 2 1 + 𝑥 2 . 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫تمعّح سف‪ ٟ‬اٌّ ا ٌح عٍ‪ٔ 𝑥 1 + 𝑥 2 1 + 𝑦 3 ٝ‬حصً عٍ‪ٝ‬‬ ‫‪𝑦²‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪1 + 𝑦3‬‬ ‫‪𝑥 1 + 𝑥2‬‬ ‫‪ٚ‬بِىاٍِح اي سف‪ ٔ ٓ١‬د‬ ‫‪𝑦²‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑘=‪= 0‬‬ ‫‪1 + 𝑦3‬‬ ‫‪𝑥 1 + 𝑥2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝐴.‬‬ ‫𝐶 ‪𝐵𝑥 +‬‬ ‫‪log 1 + 𝑦 3 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑘 = 𝑥𝑑‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑥‬ ‫‪1 + 𝑥2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑘 = ‪log 1 + 𝑦 3 + log 𝑥 − log 1 + 𝑥 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦 ‪𝑐𝑜𝑠 ²‬‬ ‫=‬ ‫مث ل (‪ :)2‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫𝑥𝑑‬

‫𝑥 ‪𝑠𝑖𝑛 ²‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑘 = 𝑥 𝑔𝑡𝑜𝑐 ‪⇒ 𝑡𝑔 𝑦 +‬‬ ‫𝑦 ‪𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑐𝑜𝑠²‬‬ ‫‪ .B‬ف‪ ٟ‬حاٌح ‪ ِ ٛ ٚ‬ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح األ‪ِٚ ٌٝٚ‬ر أعح ‪:‬‬ ‫‪𝑁 𝑥, 𝑦 . 𝑑𝑥 + 𝑀 𝑥, 𝑦 . 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫‪ٌٚ‬ىٓ ِٓ اٌص ‪ٛ‬تح دا اٌفصً ت‪ ٓ١‬اٌّر ‪١‬ساخ ‪. x,y‬‬ ‫ف‪٘ ٟ‬رٖ ايحاٌح ْع‪ ٛ‬عٓ ‪ y‬تـ ‪𝑦 = 𝑣𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣: ٞ vx‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪ٚ‬اٌر‪ ٟ‬ذح‪ٛ‬ي اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح إٌ‪ ِ ٝ‬ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِر أعح ‪٠‬ع‪ ًٙ‬فصً ِر ‪١‬ساذ‪ٙ‬ا ‪.‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪2𝑥𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑥 2 − 𝑦 2 . 𝑑𝑥 :‬‬ ‫اي ‪٠ٛ‬ض تـ 𝑥𝑣 = 𝑦 ⇐ 𝑣𝑑𝑥 ‪𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 +‬‬ ‫بذ‬ ‫إذْ‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪2𝑥 𝑣𝑥 . (𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) = 𝑥 − 𝑣²𝑥² .‬‬ ‫‪3𝑥²𝑣²𝑑𝑥 − 𝑥²𝑑𝑥 + 2𝑥 3 𝑣𝑑𝑣 = 0‬‬ ‫‪𝑥 2 3𝑣 2 − 1 𝑑𝑥 + 2𝑥 3 𝑣𝑑𝑣 = 0‬‬ ‫‪ٚ‬بلعّح اي سف‪ ٓ١‬عٍ‪ٔ 𝑥 2 3𝑣 2 − 1 ٝ‬حصً عٍ‪= 0ٝ‬‬

‫𝑣‪2𝑣.d‬‬ ‫‪3𝑣²−1‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑥‪d‬‬ ‫𝑥‬

‫‪ٚ‬بِىاٍِح اي سف‪ ٔ ٓ١‬د‬

‫‪.I‬‬

‫‪dx 1 3.2v. dv‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪=c‬‬ ‫‪x 3 3v 2 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐 = ‪log 𝑥 + log 3v 2 − 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اي ‪٠ٛ‬ض عٓ ‪ ٔ v‬د ‪:‬‬ ‫بذ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y²‬‬ ‫𝑐 ‪log 𝑥 + log 3 − 1 = log‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x²‬‬ ‫‪1‬‬ ‫𝑐 ‪log 𝑥 + [log 3y² − x² − log 𝑥² ] = log‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑐 ‪log 𝑥 + log 3y² − x² − log 𝑥² = 3 log‬‬ ‫𝑘 = ‪3𝑥𝑦² − 𝑥 3‬‬ ‫ث انتف هيت م ان ر بت ا ون ‪:‬‬ ‫ح ث صت في حم ان‬ ‫إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح األ‪ٚ ٌٝٚ‬اٌر‪ّ٠ ٟ‬ىٓ حٍ‪ٙ‬ا تاٌ سق اٌّرو‪ٛ‬زج ظاتما‬ ‫( ‪ّ٠‬ىٓ فصً اٌّر ‪١‬ساخ تع‪ٌٛٙ‬ح عٓ ت ‪ٙ‬ا ‪ ٌٛٚ‬ع‪ٕ ٛ‬ا عٓ 𝑥𝑣 = 𝑦 ) ‪٘ ،‬را إٌ‪ٛ‬ع ِٓ‬ ‫اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪٠‬ىرة عٍ‪ ٝ‬اٌص‪ٛ‬زج‪:‬‬ ‫‪𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑥 = 0‬‬ ‫ٌحً ٘رٖ اٌّ ا خ ٔ ً اٌحد‪𝑓 𝑥 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑥 = 0:‬‬ ‫‪ٚ‬ذ س‪ ٜ‬عٍّ‪١‬ح اٌرىاًِ ُ ٔ ّ ذىاًِ اٌحد‪ ٚ‬ثس‪٠‬ا ‪ٚ‬ذعّ‪٘ ٝ‬رٖ اٌ س‪٠‬مح تاٌرىاًِ اٌّسوص‪ٞ‬‬ ‫ٌٍحد‪. ٚ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 . 𝑑𝑦 = 0 :‬‬ ‫‪𝑥². 𝑑𝑥 + 𝑦. 𝑑𝑥 + 𝑦 3 . 𝑑𝑦 + 𝑥. 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫ٔأ ر‪𝑦. 𝑑𝑥 + 𝑥. 𝑑𝑦 = 0‬‬ ‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪+‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫𝑅=‬ ‫𝑥‬ ‫𝑦‬ ‫𝑥‬ ‫𝑦‬ ‫𝑐 ‪log 𝑥 + log 𝑦 = log 𝑐 ⇒ log 𝑥. 𝑦 = log‬‬ ‫)‪⇒ 𝑥. 𝑦 = 0 … . . (1‬‬ ‫‪𝑥 2 . 𝑑𝑥 + 𝑦 3 . 𝑑𝑦 = 𝑐 ′‬‬ ‫‪66‬‬

‫‪𝑥3 𝑦4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪= 𝑐 ′ … . (2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.II‬‬

‫ٔ د𝑘 = ‪+ 𝑥𝑦 = 𝑐 + 𝑐 ′‬‬

‫ٔ ّ‬

‫) ‪(2),(1‬‬

‫ان‬

‫ث انتف هيت انخطيت ‪:‬‬

‫‪𝑦4‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝑥3‬‬ ‫‪3‬‬

‫إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح األ‪ ِٓ ٌٝٚ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫)‪+ 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑄 𝑥 … . (1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫ح‪١‬ث ‪ p , Q‬ذات اْ ِعرّساْ ٌّرح‪ٛ‬ي ‪ٚ‬ح‪١‬د 𝑥 ‪.‬‬ ‫ب ىً )‪: 𝑦 = 𝑢. 𝑣 … . ; (2‬‬ ‫ٔثحث عٓ حً اٌّ ا ٌح اٌ‬ ‫ح‪١‬ث وً ِٓ ‪ u, v‬ذات ٌٍّرح‪ٛ‬ي 𝑥‪.‬‬ ‫ٌٕ رك اٌرات ‪:‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪+ 𝑣.‬‬

‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪= 𝑢.‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫⇒ 𝑣 ‪𝑦 = 𝑢.‬‬

‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ف‪ ٔ )1( ٟ‬د‪+ 𝑝 𝑥 . 𝑢. 𝑣 = 𝑄 𝑥 :‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪+ 𝑣.‬‬

‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪𝑢.‬‬

‫𝑣𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪+ 𝑝 𝑥 . 𝑣 + 𝑣.‬‬ ‫)‪= 𝑄 𝑥 … . (3‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫ٔ ‪ ٓ١‬اٌرات 𝑣 تح‪١‬ث ‪٠‬حمك اٌّ ا ٌح 𝑥𝑑 ‪+ 𝑝 𝑥 . 𝑣 = 0 ⇒ = −𝑝 𝑥 .‬‬ ‫‪𝑢.‬‬

‫𝑣‬

‫‪ٚ‬تّىاٍِح اٌ سف‪ ٔ ٓ١‬د‪= − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ log 𝑣 = − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 :‬‬ ‫𝑥𝑑‪𝑥 .‬‬

‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ف‪ ٔ )3( ٟ‬د‪. 𝑑𝑥 :‬‬ ‫𝑥 𝑄‬ ‫𝑐 ‪. 𝑑𝑥 +‬‬ ‫𝑥 𝑉‬

‫𝑥 𝑉‬

‫= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 𝑄 =‬

‫𝑥 𝑄‬ ‫= 𝑢 ⇒ 𝑥𝑑 ‪.‬‬ ‫𝑥 𝑉‬

‫𝑐 ‪. 𝑄 𝑥 . 𝑑𝑥 +‬‬

‫𝑥𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫∫‬

‫𝑝 ∫ ‪⇒ 𝑣 = 𝑒−‬‬

‫𝑥 𝑄‬

‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ف‪ ٔ )2( ٟ‬د 𝑐 ‪. 𝑑𝑥 +‬‬

‫𝑣𝑑‬

‫‪:‬‬

‫𝑢𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪𝑣.‬‬

‫= 𝑢𝑑‬

‫𝑥 𝑄‬ ‫𝑥‬

‫∫ ‪:𝑦 = 𝑉 𝑥 .‬‬ ‫𝑉‬

‫𝑥𝑑‪𝑥 .‬‬

‫𝑝 ∫𝑒‬

‫𝑥𝑑‪𝑥 .‬‬

‫𝑝 ∫ ‪= 𝑒−‬‬

‫‪ ٛ٘ ٚ‬اٌحً اٌ اَ ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‪.‬‬ ‫ٔعّ‪ 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 ٝ‬ت اًِ اٌرىاًِ‪.‬‬ ‫‪ٕ٘ٚ‬ان س‪٠‬مح أ‪١‬ح ٌحً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌخ ‪١‬ح ( اٌراِح) ‪ْ ٞ‬حً اٌّ ا ٌح تد‪ ْٚ‬سف أ‪ٟ‬‬ ‫‪= − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ٞ‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‬

‫∫ ⇒ ‪+ 𝑝 𝑥 .𝑦 = 0‬‬

‫𝑐 ‪𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 + log‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪log 𝑦 = −‬‬

‫‪ c‬اتد‪.‬‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑝 𝑥 .‬‬

‫‪log 𝑦 − log 𝑐 = −‬‬

‫‪67‬‬

‫𝑦‬ ‫𝑦‬ ‫𝑥𝑑‪= − 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ = 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .‬‬ ‫𝑐‬ ‫𝑐‬ ‫𝑥𝑑‪− ∫ 𝑝 𝑥 .‬‬ ‫𝑒 ‪⇒ 𝑦 = 𝑐.‬‬ ‫)‪… . (4‬‬ ‫‪ٕ٘ٚ‬ا ٔ رثس ‪ِ c‬ر ‪١‬سا تإٌعثح ٌٍّرح‪ٛ‬ي ‪ ٔٚ x‬س‪ِ ٞ‬ا‪:ٍٟ٠‬‬

‫‪log‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫‪= 𝑐 ′ . 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 + 𝑐(𝑐. 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 )′‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫ُ ٔ د ل‪ّ١‬ح ‪ ٛ ٔ ٚ c‬عٓ ‪ c‬تم‪ّ١‬رٗ ف‪ ٟ‬اٌّ ا ٌح (‪ )4‬ح‪ ٕ١‬ر ٔ د اٌحً إٌ‪ٙ‬ائ‪ ٌٍّ ٟ‬ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‬ ‫اٌخ ‪١‬ح (اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌراِح)‪.‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً ت س‪٠‬مر‪ِ ٓ١‬خرٍفر‪ ٓ١‬اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫𝑦‪2‬‬ ‫‪𝑦′ −‬‬ ‫‪= 𝑥+1 3‬‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫انطر مت ا ون ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫)‪= 𝑥 + 1 3 … (1‬‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 1‬‬ ‫ْ حً اٌّ ا ٌح ٘‪𝑦 = 𝑢. 𝑣 … (2) : ٛ‬‬ ‫ٔفس‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫⇒ 𝑣 ‪𝑦 = 𝑢.‬‬ ‫‪= 𝑢.‬‬ ‫‪+ 𝑣.‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪𝑢.‬‬ ‫‪+ 𝑣.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪𝑢. 𝑣 = 𝑥 + 1 3‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 1‬‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪𝑢.‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪. 𝑣 + 𝑣.‬‬ ‫‪= 𝑥+1 3‬‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⇒ ‪.𝑣 = 0‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 1‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫𝑣𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑑𝑥 ⇒ log 𝑣 = 2 log 𝑥 + 1 = log 𝑥 + 1 ²‬‬ ‫𝑣‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫‪⇒ 𝑣 = (𝑥 + 1)²‬‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫𝑢𝑑‬ ‫‪𝑥+1 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪𝑣.‬‬ ‫⇒ ‪= 𝑥+1‬‬ ‫=‬ ‫‪=𝑥+1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 (𝑥 + 1)²‬‬ ‫‪𝑥²‬‬ ‫𝑐 ‪𝑑𝑢 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑢 = + 𝑥 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذْ ‪:‬‬ ‫‪𝑥²‬‬ ‫= 𝑣 ‪𝑦 = 𝑢.‬‬ ‫‪+ 𝑥 + 𝑐 (𝑥 + 1)²‬‬ ‫‪2‬‬ ‫انطر مت انث نيت ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦‪2‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⇒‪=0‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥 𝑥 + 1‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫𝑐 ‪𝑑𝑥 ⇒ log 𝑦 = 2 log 𝑥 + 1 + log‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫‪68‬‬

‫𝑐 ‪= log 𝑥 + 1 ² + log‬‬ ‫𝑦‬ ‫‪log‬‬ ‫‪= log 𝑥 + 1 ² ⇒ 𝑦 = 𝑐 𝑥 + 1 ²‬‬ ‫𝑐‬ ‫تاعرثاز ْ ‪ِ c‬ر ‪١‬سا‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪= 𝑐 ′ 𝑥 + 1 ² + 2𝑐 𝑥 + 1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫تاٌر ‪٠ٛ‬ض ف‪ ٟ‬اٌّ ا ٌح األصٍ‪١‬ح ٔ د‬ ‫‪2 𝑥+1 ²‬‬ ‫‪𝑐 ′ 𝑥 + 1 ² + 2𝑐 𝑥 + 1 −‬‬ ‫‪= 𝑥+1 3‬‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫𝑐𝑑‬ ‫‪𝑥+1‬‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑)‪= 𝑥 + 1 ⇒ 𝑑𝑐 = (𝑥 + 1‬‬ ‫‪𝑑𝑥 (𝑥 + 1)²‬‬ ‫‪𝑥²‬‬ ‫𝑘‪⇒𝑐 = +𝑥+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذْ ‪:‬‬ ‫‪𝑥²‬‬ ‫=𝑦‬ ‫‪+ 𝑥 + 𝑘 (𝑥 + 1)²‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ث انتف هيت م ان ر بت انث نيت ‪:‬‬ ‫حم ان‬ ‫ٕ٘ان عدج ص‪ٛ‬ز ٌىراتح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫ان نت ا ون ‪ :‬إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ذىرة عٍ‪ ٝ‬اٌص‪ٛ‬زج ‪:‬‬ ‫𝑦‪𝑑²‬‬ ‫= "𝑦‬ ‫)𝑥(𝑓 =‬ ‫‪𝑑𝑥²‬‬ ‫‪ٌٚ‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ٔىاًِ اٌّ ا ٌح ِسذ‪ ٠ ٚ ٓ١‬ة اٌحص‪ٛ‬ي عٍ‪ ٝ‬عد ِٓ اٌ ‪ٛ‬اتد ‪٠‬عا‪.2 ٞٚ‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫𝑦‪𝑑²‬‬ ‫𝑥 ‪= 𝑥𝑒 𝑥 + cos‬‬ ‫‪𝑑𝑥²‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑑 ⇒ 𝑥 ‪= 𝑥𝑒 𝑥 + cos‬‬ ‫𝑥𝑑 𝑥 ‪= 𝑥𝑒 𝑥 + cos‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑑‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑 𝑥 ‪𝑥𝑒 𝑥 + cos‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫‪= 𝑥𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 + cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐1‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑 ‪𝑑𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐1‬‬ ‫𝑥𝑑‬

‫‪sin x . dx + 𝑐1‬‬

‫‪𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 +‬‬

‫‪𝑥𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 −‬‬

‫= 𝑦𝑑‬

‫‪𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2‬‬ ‫‪𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑥 − 2 − cos 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2‬‬ ‫ان نت انث نيت ‪ :‬إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪69‬‬

‫𝑦‪𝑑²‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫) ‪= 𝑓(𝑥,‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪𝑑𝑥²‬‬ ‫ٌحً ٘رٖ اٌّ ا خ ٔفس‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑝𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫⇒𝑝=‬ ‫=‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪ٕ٘ٚ‬ان حا خ س‪ٌ ٜ‬حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح ِ ً‪:‬‬ ‫‪𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’, 𝑦") = 0‬‬ ‫‪ (1‬إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً )‪𝑦" − 𝑤²𝑦 = 0, (𝑤 ≠ 0‬‬ ‫فئْ حً ٘رٖ اٌّ ا ٌح ٘‪ 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑤𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑤𝑥 :ٛ‬ح‪١‬ث ‪ٛ 𝑐2, 𝑐1‬اتد‪.‬‬ ‫مث ل‪𝑤 = ∓2 ⇐ 𝑤 = 4 ⇐ 𝑦" − 4𝑦 = 0:‬‬ ‫𝑑‬

‫إذْ ‪𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 :‬‬ ‫‪ (2‬إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً )‪𝑦" + 𝑤²𝑦 = 0, (𝑤 ≠ 0‬‬ ‫فئْ حً ٘رٖ اٌّ ا ٌح ٘‪ 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑤𝑥 + 𝑐2 sin 𝑤𝑥 :ٛ‬ح‪١‬ث ‪ٛ 𝑐2, 𝑐1‬اتد‪.‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‪𝑦" + 16𝑦 = 0 :‬‬ ‫⇐ ‪𝑤 = ∓4 ⇐ 𝑤 = 16‬‬ ‫𝑥‪𝑦 = 𝑐1 cos 4𝑥 + 𝑐2 sin 4‬‬ ‫‪(3‬إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ‪١‬ح عٍ‪ ٝ‬اٌ ىً ‪:‬‬ ‫‪ 𝑦" + 𝑎𝑦 + 𝑏 = 0‬ح‪١‬ث ‪ a ,b‬عدا اترح‪.‬‬ ‫ف‪٘ ٟ‬رٖ اٌحاٌح ٔحً اٌّ ا ٌح‪𝑚² + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0‬‬ ‫ٔ د اٌّ​ّ‪١‬ص∆ ح‪١‬ث𝑏‪∆= 𝑎² − 4‬‬ ‫ٔالحظ ٕ٘ا ٔٗ إذا واْ ‪:‬‬ ‫‪ ٛ٠ ∆> 0 ‬د رز‪ ٌٍّ 𝑚2, 𝑚1 ٓ٠‬ا ٌح )‪٠ٚ (1‬ى‪ ْٛ‬اٌحً وا‪٢‬ذ‪:ٟ‬‬ ‫𝑥 ‪𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚 2‬‬ ‫‪ ٛ٠ ∆= 0 ‬د رز ِ اع ٌٍّ ا ٌح )‪٠ٚ (1‬ى‪ ْٛ‬اٌحً وا‪٢‬ذ‪:ٟ‬‬ ‫‪𝑚1 = 𝑚2 , 𝑦 = 𝑒 𝑚 1 𝑥 𝑐1 𝑥 + 𝑐2‬‬ ‫‪ ٛ٠ ∆< 0 ‬د رز‪ ٌٍّ 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖𝑤, 𝑚1 = 𝛼 + 𝑖𝑤 ٓ٠‬ا ٌح )‪٠ٚ (1‬ى‪ْٛ‬‬ ‫اٌحً وا‪٢‬ذ‪:ٟ‬‬ ‫𝑥𝛼‬ ‫𝑥𝑤 ‪𝑦 = 𝑒 𝑐1 cos 𝑤𝑥 + 𝑐2 sin‬‬ ‫مث ل‪ :‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح‪: 𝑦" + 2𝑦′ + 5𝑦 = 0‬‬ ‫‪∆= 4 − 20 = −16 < 0‬‬ ‫𝑥‪𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 sin 2‬‬

‫‪70‬‬

‫ممي ش انر ي ث‬ ‫ت ون ‪LMD‬‬

‫ر‬ ‫ا‬ ‫م ت ان‬ ‫و انت يير‬ ‫هيت هىو ا لت‬ ‫و انت ة‬ ‫ه هـــــــت ‪5‬‬

‫ر‬

‫*‬

‫‪ :1‬حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫‪= 𝑥𝑦 2‬‬

‫ر‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫)‪= 0 , e‬‬

‫𝑦‪1+‬‬ ‫𝑥‪1+‬‬

‫‪−‬‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫𝑦‬

‫)‪, d‬‬

‫‪𝑥+1‬‬

‫=‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫* )‪, c‬‬

‫𝑦‬ ‫𝑥‬

‫=‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫* )‪, b‬‬

‫𝑥‬ ‫𝑦‬

‫=‬

‫𝑦𝑑‬ ‫𝑥𝑑‬

‫* )‪a‬‬

‫‪ :2‬حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌراِح اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑒)𝑥𝑠𝑜𝑐 ‪, c) 𝑦 ′ − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑥 +‬‬

‫𝑥‪, b) 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 3𝑥𝑒 −2‬‬

‫‪𝑦 = (𝑥 + 1)3‬‬ ‫ر‬

‫‪2‬‬ ‫‪𝑥+1‬‬

‫‪ :3‬حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح ِٓ اٌسذثح اٌ أ‪١‬ح اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬ ‫𝑦𝑑‬

‫‪− 4 − 5𝑦 = 0‬‬ ‫𝑥𝑑‬ ‫‪′′‬‬ ‫‪. 𝑦 + 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 0‬‬ ‫‪. 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 8𝑦 = 0‬‬ ‫‪. 𝑦 ′′ + 9𝑦 = 0‬‬

‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪* .3‬‬ ‫‪* .4‬‬ ‫ر‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪.5‬‬

‫𝑦‪𝑑 2‬‬ ‫‪𝑑𝑥 2‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ :4‬و‪ ْٛ‬اٌّ ا خ اٌرفا ٍ‪١‬ح اٌر‪ ٟ‬ذمثً اٌّ ا خ اٌراٌ‪١‬ح حٍ‪ٌٙ ٛ‬ا ‪:‬‬

‫∗‬ ‫*‬ ‫*‬

‫‪. 𝑦 = 𝑐𝑥 2 + 1‬‬ ‫𝑐 ‪. 𝑥𝑦 = 𝑥 3 −‬‬ ‫‪𝑦 = 𝑐𝑥 2 + 𝑐 2‬‬ ‫𝑥‪y = c1 e−𝑥 + c2 e2‬‬ ‫‪. 𝑦 = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 3‬‬

‫‪.‬‬

‫م ح ت‪ :‬األظ ٍح اٌر‪ ٟ‬عٍ‪ٙ١‬ا * ذرسن ٌٍ ٍثح ‪.‬‬

‫‪71‬‬

‫‪d) * 𝑦 ′ −‬‬

‫‪1‬‬ ‫𝑥𝑒‬

‫= 𝑦 ‪a) * 𝑦 ′ +‬‬

‫اٌفصــــــــــــــــً اٌخاِط‬

‫ان تت نيــــــــــــــ ث و ان‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫ـــــــــــــم‬

‫المتتالٌــات الحسابٌة و الهندسٌة‬ ‫السالســـل الحسابٌة و الهندسٌة‬ ‫السالسـل العددٌة ذات الحدود الموجبة‬ ‫معاٌ​ٌر التقارب‬ ‫‪ ‬معٌار المقارنة‬ ‫‪ ‬معٌار دالمبٌر‬ ‫‪ ‬معٌار كوشً‬

‫‪72‬‬

‫‪ 1‬المتتــــــالٌات‬

‫‪‬‬

‫ــــ ر ف‪:‬‬ ‫ٔعّ‪ِ ٟ‬رراٌ‪١‬ح عد ‪٠‬ح‬

‫𝑛𝑈 وً ذ ث‪١‬ك ِٓ ‪( IN‬ا‪ ٚ‬صء ‪ٔ )IN ِٓ I‬ح‪.IR ٛ‬‬

‫نرمز عادة لمتتالٌة بــــ‪:‬‬

‫‪n≥0‬‬

‫‪Un‬‬

‫‪Un‬‬

‫او اختصارا‬

‫‪.‬‬

‫ٌسمً الحد ‪ Un‬بالحد العام للمتتالٌة ‪. Un‬‬

‫اِ ٍح‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫الٌك بعض العبارات التً تعرف متتالٌات‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪; Un = 2n − 3; Un‬‬ ‫‪n+2‬‬ ‫‪n+2‬‬

‫‪.2‬‬

‫لدٌنا‬ ‫‪ )a‬الحد من المرتبة ‪ 0‬لـ‬ ‫(الحد من المرتبة ‪)3‬‬

‫‪ )c‬الحد االول لـ‬

‫‪n≥0‬‬

‫‪1‬‬

‫‪ )b‬الحد الثالث لـ‬

‫‪ ‬ا‬

‫‪Un = n; Un = −‬‬

‫‪𝑛 n≥1‬‬ ‫‪2p‬‬ ‫‪3𝑛 n≥1‬‬

‫‪ 2𝑛 − 3‬هو ‪، −3‬الحد الرابع هو ‪3‬‬

‫هو‬ ‫هو‬

‫𝑝‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ ،‬و لـ‬

‫‪2p‬‬ ‫‪3𝑛 𝑝≥0‬‬

‫هو ‪0‬‬

‫ه غير متتــــــ نيت‪:‬‬ ‫نقول عن متتالٌة ‪ Un‬انها متزاٌدة (متناقصة ‪،‬على الترتٌب ) اذا كان‬ ‫( ‪ ∀ n ∈ IN; Un ≥ Un+1‬على‬ ‫‪∀ n ∈ IN; Un ≤ Un+1‬‬ ‫الترتٌب)‬

‫اِ ٍح‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫‪n‬‬

‫‪2 3 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−1‬‬

‫‪<0‬‬

‫لدٌنا ‪:‬‬ ‫ومنه‪:‬‬ ‫‪.2‬‬

‫‪1‬‬

‫‪1 1 1‬‬

‫المتتالٌة التالٌة ‪ 1, , , , … , , ….‬متناقصة تماما‪.‬‬

‫المتتالٌة‬

‫‪n n+1‬‬

‫= ‪−‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n+1‬‬

‫= ‪∀𝑛 ≥ 1; Un+1 − Un‬‬

‫‪∀ n ≥ 1; Un+1 < Un‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪−1‬‬

‫غٌر رتٌبة‪ ،‬المتتالٌة ‪n‬‬

‫‪ ‬ان تتــــــــ ني ث ان دو ة‪:‬‬

‫‪73‬‬

‫متزاٌدة ‪ ،‬المتتالٌة‬

‫‪1‬‬ ‫‪n+2‬‬

‫متناقصة‪.‬‬

‫نقول عن متتالٌة ‪ Un‬انها محدودة من االعلى اذا وجد عدد حقٌقً ‪ M ∈ IR‬بحٌث ‪:‬‬ ‫‪∀ n ∈ IN; Un ≤ M‬‬ ‫نقول عن متتالٌة ‪ Un‬انها محدودة من االسفل اذا وجد عدد حقٌقً ‪ m ∈ IR‬بحٌث ‪:‬‬ ‫𝑚 ≥ ‪∀ n ∈ IN; Un‬‬ ‫نقول عن متتالٌة ‪ Un‬محدودة اذا كانت محدودة من االعلى و من االسفل أي‪:‬‬ ‫‪∀ n ∈ IN; m ≤ Un ≤ M‬‬

‫اِ ٍح‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫المتتالٌة‬

‫‪.2‬‬

‫المتتالٌة‬

‫‪1‬‬

‫‪ 3 −‬محدودة من االسفل بـ ‪ 2‬و من االعلى بـــ ‪، 3‬اذن هً متتالٌة محدودة‬

‫‪n 𝑛 ≥1‬‬ ‫‪n≥0‬‬

‫𝑛‪+ 2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪−1‬‬

‫هً محدودة من االسفل بـ ‪ 1‬و لكن لٌست محدودة من االعلى‪.‬‬

‫‪ ‬ان تت ني ث ان تمـــــــــ بت‪:‬‬ ‫المتتالٌة ‪ Un‬متقاربة نحو ‪ α ∈ IR‬اذا كان‬ ‫𝜀 < ‪∀𝜀 > 0, ∂n0 ∈ IN: ∀n ≥ n0 , Un − α‬‬ ‫و نكتب‪:‬‬

‫‪limUn = α‬‬

‫إذا وأد ِرراٌ‪١‬ح ٌ‪١‬عد ِرمازتح ف‪ِ ٟٙ‬رثاعدج‪.‬‬

‫ِالح اخ‪:‬‬ ‫‪ )a‬اذا وجدت نهاٌة متتالٌة فهً وحٌدة‪.‬‬ ‫‪ )b‬كل متتالٌة متقاربة محدودة‪.‬‬ ‫‪ ‬ان تت ني ث ان‬

‫ــــــــ بيت‪:‬‬

‫نسمً متتالٌة حسابٌة ذات االساس ‪ r‬كل متتالٌة ‪ Un‬تحقق ‪:‬‬ ‫‪∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = Un + r‬‬ ‫عبارة الحد العام‪:‬‬

‫‪. Un = U0 + nr‬‬

‫مجموع ‪ n‬حـد االولً للمتتالٌة ‪:‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪n n−1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬

‫‪u0 + un−1 = nu0 + r‬‬

‫‪2‬‬

‫=‬

‫‪n−1‬‬ ‫𝑘𝑈 ‪k=0‬‬

‫اِ ٍح‪:‬‬ ‫‪ Un‬المعرفة بــ‬

‫‪ 𝑈0 = 2, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = Un + 3‬و المتتالٌة‬

‫‪ )a‬المتتالٌة‬ ‫المعرفة بــ‬ ‫‪ ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Vn = 4 − 5n‬هً متتالٌات حسابٌة‪.‬‬

‫= ‪1 + 100‬‬

‫‪ )b‬المجموع ‪ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100‬هو‬

‫‪100‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪5050‬‬

‫=‬

‫‪𝑉n‬‬

‫‪100‬‬ ‫𝑘 ‪𝐾=1‬‬

‫‪ ‬ان تت ني ث انه د يــــــــت‪:‬‬ ‫‪ Un‬متتالٌة هندسٌة اذا وجد عدد حقٌقً غٌر معدوم ‪ q‬بحٌث‬ ‫‪ٌ q ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = 𝑞Un‬سمً اساس المتتالٌة‪.‬‬ ‫‪. Un = U0 qn‬‬

‫عبارة الحد العام‪:‬‬ ‫‪ ‬حتً تكون متتالٌة‬

‫‪ Un‬هندسٌة ٌلزم و ٌكفً ان ٌوجد ‪ a, b ∈ IR‬بحٌث‪:‬‬ ‫𝑛 𝑏𝑎 = ‪∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un‬‬

‫المجموع‬ ‫‪ Un‬ذات االساس‬

‫‪p+N−1‬‬ ‫‪Uk‬‬ ‫‪k=p‬‬

‫لــ ‪ N‬حد متتابع ‪ UP , … , Up+N−1‬لمتتالٌة هندسٌة‬ ‫‪1−q N‬‬

‫‪ 𝑞 ≠ 1 q‬هو‬

‫‪1−q‬‬

‫‪UP + ⋯ + Up+N−1 = UP‬‬

‫اِ ٍح‪:‬‬ ‫‪ Un‬المعرفة بــ‬

‫‪ 𝑈0 = 3, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = −5Un‬و المتتالٌة ‪𝑉n‬‬

‫‪ )a‬المتتالٌة‬ ‫المعرفة بــ‬ ‫‪ ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Vn = 2 −3 n‬هً متتالٌات هندسٌة‪.‬‬ ‫‪)b‬‬

‫‪= 2047‬‬

‫‪1−211‬‬ ‫‪1−2‬‬

‫‪= 1 + 2 + 22 + ⋯ + 210 = 1‬‬

‫‪75‬‬

‫‪10‬‬ ‫𝑘‬ ‫‪𝐾=0 2‬‬

‫‪ 2‬اٌعالظــــــــــً‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫ــــــ ر ف ‪:‬‬ ‫لتكن‬ ‫‪ Sn‬المعرفة بــ‬ ‫‪n≥0‬‬

‫‪n∈IN‬‬

‫‪ Un‬متتالٌة حقٌقٌة ‪،‬السلسلة ذات الحد العام ‪ Un‬هً المتتالٌة‬

‫‪ 𝑆𝑁 = U0 + U1 + ⋯ + UN , N ∈ IN‬و ٌرمز لها بــ‬

‫𝑛𝑈 ‪𝑛≥0‬‬

‫او‬

‫𝑛𝑈‬ ‫‪ٌ SN‬سمً المجموع الجزئً من المرتبة ‪ N‬للسلسلة ذات الحد العام ‪.Un‬‬ ‫‪‬‬

‫مـــ ب ه ــــهت‪:‬‬ ‫نقول عن السلسة 𝑛𝑈‬

‫انها متقاربة اذا كانت متتالٌة المجامٌع الجزئٌة ‪ Sn‬متقاربة ‪.‬‬

‫ٌسمً العدد ‪ lim+∞ Sn = S‬بمجموع السلسلة و نرمز له بــ‬

‫∞‪+‬‬ ‫𝑛𝑈 ‪𝑛=0‬‬

‫= 𝑆 أي‬

‫⋯ ‪𝑆 = U0 + U1 + U2 + ⋯ + Un +‬‬

‫ِالح ــاخ ‪:‬‬ ‫‪ )a‬نقول عن سلسلة غٌر متقاربة انها متباعدة ‪.‬‬ ‫‪ٌ )b‬قصد بدراسة طبٌعة سلسلة دراسة تقاربها من تباعدها ‪.‬‬

‫اِ ـــٍح‪:‬‬ ‫‪ Un‬المعرفة بــ ‪، Un = n‬السلسلة ذات الحد العام ‪ Un‬هً المتتالٌة‬

‫‪ )a‬لتكن المتتالٌة‬ ‫‪n n+1‬‬ ‫𝑁𝐼∈ 𝑛‬

‫‪2‬‬

‫الن المجموع الجزئً للسلسلة‪:‬‬ ‫‪.‬‬

‫‪𝑁 𝑁+1‬‬ ‫‪2‬‬

‫= 𝑁 ‪𝑆𝑁 = U0 + U1 + ⋯ + UN = 0 + 1 + ⋯ +‬‬

‫‪ )b‬لندرس طبٌعة السلسلة المعرفة بحدها العام‬

‫‪1‬‬ ‫‪n n+1‬‬

‫= ‪ Un‬بحٌث ∗ ‪ n ∈ N‬نعٌن طبٌعة‬

‫المتتالٌة ‪Sn‬‬ ‫لدٌنا‪:‬‬ ‫= ‪𝑆𝑛 = U1 + U2 + ⋯ + Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑘 𝑘+1‬‬

‫𝑛‬

‫‪𝑘=1‬‬

‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪𝑘 𝑘+1‬‬ ‫‪76‬‬

‫𝑛‬

‫=‬ ‫‪𝑘=1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ − + ⋯+ −‬‬ ‫‪=1−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 3‬‬ ‫‪n n+1‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪ lim+∞ Sn = 1‬اي ان السلسلة‬

‫اذن‬

‫‪= 1.‬‬

‫𝑛𝑈‬

‫‪= 1−‬‬

‫متقاربة و مجموعها‬

‫∞‪+‬‬ ‫𝑛𝑈 ‪𝑛=0‬‬

‫‪ ‬انشــرط ان زو نهتمــــ ب‪:‬‬ ‫متقاربة فان ‪lim+∞ 𝑈n = 0‬‬

‫اذا كانت السلسلة 𝑛𝑈‬ ‫و منه ‪:‬‬

‫‪ lim+∞ 𝑈n ≠ 0‬فان 𝑛𝑈‬

‫اذا كانت‬

‫متباعدة‪.‬‬

‫ِ ـــاي ‪:‬‬ ‫𝑛‬ ‫‪𝑛≥1 𝑛+1‬‬

‫لتكن السلسلة ‪:‬‬

‫‪=1 ≠ 0‬‬

‫هذه السلسلة متباعدة الن‪:‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪4‬‬

‫‪3‬‬

‫=⋯‪+ + + +‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n+1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬

‫∞‪lim+∞ 𝑈n = lim‬‬

‫‪ ‬ان ه هـــت انه د يـــت‪:‬‬ ‫نسمً سلسلة هندسٌة السلسلة ذات الحد العام 𝑛 𝑞𝑎 ‪ ،‬الحد العام لمتتالٌة المجامٌع الجزئٌة‬ ‫‪1 − qn+1‬‬ ‫‪aq = a‬‬ ‫‪1−q‬‬

‫‪N‬‬

‫‪n‬‬

‫تكون‬

‫𝑛 𝑞𝑎‬

‫و مجموعها‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪n=0‬‬

‫متقاربة اذا وفقط اذا كان ‪𝑞 < 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1−q‬‬

‫هيـــــ ث هي ان‬

‫= ‪SN‬‬

‫‪lim+∞ Sn = S = a‬‬

‫ـــم‪:‬‬

‫لتكن السلسلتٌن 𝑛𝑈‬

‫و 𝑛𝑉‬

‫و لٌكن العدد الحقٌقً ‪λ‬‬

‫‪ )1‬اذا تقاربت السلسلتان 𝑛𝑈 و 𝑛𝑉‬ ‫𝑛𝑉 ‪𝑛≥0 𝑈𝑛 + 𝑛 ≥0‬‬ ‫‪77‬‬

‫فان السلسلة 𝑛𝑉 ‪𝑈𝑛 +‬‬ ‫= 𝑛𝑉 ‪𝑛≥0 𝑈𝑛 +‬‬

‫متقاربة و لدٌنا‬

‫‪ )2‬اذا تقاربت السلسلة 𝑛𝑈‬ ‫𝑛𝑈‬

‫فان السلسلة 𝑛𝑈𝜆‬

‫متقاربة و لدٌنا‪:‬‬

‫𝜆 = 𝑛𝑈𝜆‬ ‫‪𝑛 ≥0‬‬

‫‪𝑛 ≥0‬‬

‫‪ )3‬اذا تقاربت السلسلة 𝑛𝑈‬ ‫𝑛𝑉 ‪ 𝑈𝑛 +‬متباعدة‪.‬‬

‫وكانت السلسلة 𝑛𝑉‬

‫متباعدة فان السلسلة‬

‫ِالح ـــــــــح‪:‬‬ ‫و 𝑛𝑉‬

‫اذا كانت السلسلتان 𝑛𝑈‬

‫متباعدتٌن فال ٌمكن البت فً طبٌعة السلسلة 𝑛𝑉 ‪𝑈𝑛 +‬‬

‫‪.‬‬

‫ِ ـــــٍح‪:‬‬ ‫‪ )a‬السلسلة‬ ‫‪ )b‬من اجل‬

‫‪3‬‬ ‫𝑛‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫𝑛𝑉 ‪𝑈𝑛 +‬‬ ‫‪ )c‬من اجل‬ ‫‪ ‬ان‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫متقاربة ‪،‬هً جداء السلسلة الهندسٌة المتقاربة‬ ‫= ‪ Un‬و‬

‫‪−1‬‬ ‫‪n‬‬

‫= ‪ Vn‬فان السلسلتٌن 𝑛𝑈‬

‫𝑛 ‪1‬‬

‫بالعدد الحقٌقً ‪.3‬‬

‫‪2‬‬

‫و 𝑛𝑉‬

‫متباعدتان فً حٌن السلسلة‬

‫متقاربة (مجموعها معدوم)‬ ‫= ‪ Un‬و‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫= ‪ Vn‬فان السالسل 𝑛𝑈 ‪𝑉𝑛 ،‬‬

‫و 𝑛𝑉 ‪𝑈𝑛 +‬‬

‫متباعدة ‪.‬‬

‫ـــــــــــم ذاث ان دو ان ى بــــــــــــت‪:‬‬ ‫𝑛𝑈‬

‫‪∀𝑛 ≥ 0 ; Un ≥0‬‬

‫ظٍعٍح ذاخ حد‪ ِٛ ٚ‬ثح ِ ٕاٖ ‪:‬‬

‫‪ ‬ن ــــــر ت ‪:‬‬ ‫تكون السلسة 𝑛𝑈 ذات الحدود الموجبة متقاربة اذا وفقط اذا كان‬ ‫المجامٌع الجزئٌة محدودة من االعلى‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫ه هــــــــــت‬

‫ـ ن‪:‬‬

‫نسمً سلسلة رٌمان ‪،‬السلسلة ذات الحدود الموجبة‬ ‫السلسلة‬

‫‪1‬‬ ‫𝛼𝑛‬

‫‪n∈IN‬‬

‫‪ Sn‬متتالٌة‬

‫‪1‬‬ ‫𝛼𝑛‬

‫بحٌث ‪.α ∈ IR‬‬

‫متقاربة اذا وفقط اذا كان ‪.α > 1‬‬

‫من اجل ‪،α = 1‬السلسلة المتباعدة‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪ ‬ن ــــــر ت ان م نت‪:‬‬

‫‪78‬‬

‫تسمً سلسلة توافقٌة‪.‬‬

‫لتكن 𝑛𝑈‬

‫و 𝑛𝑉‬

‫‪∀ n ∈ IN; Un ≤ Vn‬‬

‫سالسل ذات حدود موجبة بحٌث‪:‬‬

‫اذن‪:‬‬ ‫‪ )1‬اذا كانت 𝑛𝑉‬

‫متقاربة فان 𝑛𝑈‬

‫‪ )2‬اذا كانت 𝑛𝑈‬

‫متباعدة فان 𝑛𝑉‬

‫متقاربة‪.‬‬ ‫متباعدة‪.‬‬

‫اِ ـــــــٍح‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫من اجل السلسلة ‪:‬‬ ‫الحد العام لهذه السلسلة هو‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪𝑛≥1 𝑛 2 +3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 +3‬‬

‫=⋯‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫و لدٌنا‬

‫‪𝑛2‬‬

‫<‬

‫‪1‬‬

‫‪19‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬

‫‪7‬‬

‫;‪. ∀𝑛 ≥ 1‬‬

‫‪𝑛 2 +3‬‬

‫‪، α = 2 > 1‬اذن حسب نظرٌة المقارنة‬

‫سلسلة رٌمان متقاربة‬

‫‪𝑛2‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 2 +3‬‬

‫‪+ ⋯+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫‪+ +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪𝑛 2 +3‬‬

‫متقاربة‪.‬‬

‫‪.2‬‬

‫‪𝑛 2 +1‬‬

‫من اجل السلسلة ‪:‬‬

‫الحد العام لهذه السلسلة ‪:‬‬

‫‪𝑛≥1 𝑛 3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪1‬‬

‫‪𝑛3‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬

‫نالحظ ‪:‬‬ ‫و‬

‫𝑛‬

‫‪1‬‬

‫‪= +‬‬

‫>‬

‫‪𝑛3‬‬

‫‪+‬‬

‫‪𝑛3‬‬ ‫‪𝑛 2 +1‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬

‫‪𝑛3‬‬

‫‪64‬‬

‫‪27‬‬

‫‪8‬‬

‫= ‪Un‬‬

‫;‪∀𝑛 ≥ 1‬‬

‫سلسلة توافقٌة متباعدة‬

‫‪n‬‬

‫‪𝑛 2 +1‬‬

‫اذن‬

‫=⋯‪+‬‬

‫‪𝑛 2 +1‬‬

‫‪+⋯+‬‬

‫‪17‬‬

‫‪+‬‬

‫‪10‬‬

‫‪+‬‬

‫‪5‬‬

‫‪2+‬‬

‫متباعدة ‪.‬‬

‫‪𝑛3‬‬

‫‪ ‬لــــىا د انتمـــــــ ب‪:‬‬

‫‪ )1‬م يــــ‬

‫ىشــي‪:‬‬ ‫ظٍعٍح ذاخ حد‪ ِٛ ٚ‬ثح ‪ ٚ‬اذا واْ ‪Un = ℓ‬‬

‫لتكن 𝑛𝑈‬

‫اذا كان ‪ ،ℓ < 1‬السلسلة متقاربة‪.‬‬ ‫اذا كان ‪ ،ℓ > 1‬السلسلة متباعدة‪.‬‬ ‫اذا كان ‪ ،ℓ = 1‬الٌمكن االستنتاج‪.‬‬

‫‪.a‬‬ ‫‪.b‬‬ ‫‪.c‬‬

‫‪ )2‬م يـــ‬

‫𝑛‬

‫∞‪ lim+‬فاْ‪:‬‬

‫ان بـيــــــــر‪:‬‬ ‫𝑛𝑈‬

‫من اجل‬ ‫‪.a‬‬

‫ظٍعٍح ذاخ حد‪ ِٛ ٚ‬ثح ‪ ،‬اذا واْ ‪= ℓ‬‬ ‫اذا كان ‪ ،ℓ < 1‬السلسلة متقاربة‪.‬‬ ‫‪79‬‬

‫‪𝑈n +1‬‬ ‫‪Un‬‬

‫∞‪ lim+‬فاْ‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫اذا كان ‪ ،ℓ > 1‬السلسلة متباعدة‪.‬‬ ‫اذا كان ‪ ،ℓ = 1‬الٌمكن االستنتاج‪.‬‬

‫‪.b‬‬ ‫‪.c‬‬

‫اِ ــــٍح‪:‬‬ ‫‪.1‬‬

‫𝑛‬

‫السلسلة‬

‫‪n‬‬

‫‪ ،‬لدٌنا حسب كـــوشً ‪:‬‬

‫‪2n+1‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪= <1‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2n+1‬‬

‫‪= lim‬‬

‫𝑛‬

‫‪n‬‬ ‫‪2n+1‬‬

‫𝑛‬

‫∞‪lim+‬‬

‫اذن السلسلة متقاربة‪.‬‬ ‫‪.2‬‬

‫!𝑛‬ ‫𝑛 ‪𝑛≥1 4‬‬

‫السلسلة‬

‫=⋯‪+‬‬

‫!𝑛‬ ‫! ‪𝑛+1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪U‬‬ ‫=‬ ‫‪n+1‬‬ ‫𝑛‪4‬‬ ‫‪4𝑛+1‬‬ ‫‪𝑈n+1‬‬ ‫‪𝑛 + 1 ! 4𝑛 𝑛 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫=‬ ‫‪Un‬‬ ‫!𝑛 ‪4𝑛+1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪𝑈n+1‬‬ ‫‪𝑛+1‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫∞=‬ ‫‪+∞ Un‬‬ ‫∞‬ ‫‪4‬‬ ‫= ‪Un‬‬

‫بمان‬

‫‪ ℓ > 1‬اذن السلسلة متباعدة ‪.‬‬

‫‪80‬‬

‫!𝑛‬ ‫𝑛‪4‬‬

‫‪+ ⋯+‬‬

‫!‪2‬‬ ‫‪42‬‬

‫‪+‬‬

‫!‪1‬‬ ‫‪4‬‬

‫ذّــــــــس‪:ٓ٠‬‬ ‫‪ )1‬اثبت ان السلسلة ذات الحد العام‬ ‫" ارشاد اكتب ‪ Un‬علً الشكل‬

‫‪1‬‬ ‫‪n n+1 n+2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n+2‬‬

‫= ‪ Un‬متقاربة و احسب مجموعها‪.‬‬

‫‪+‬‬

‫‪b‬‬ ‫‪n+1‬‬

‫‪+‬‬

‫‪a‬‬ ‫‪n‬‬

‫"‬

‫‪ )2‬عٌن طبٌعة السالسل التالٌة‪:‬‬ ‫𝑛 ‪ln‬‬ ‫‪𝑛3‬‬ ‫𝑛 ‪1‬‬ ‫𝑛‬

‫‪sin‬‬

‫!𝑛‬

‫∎‬

‫𝑛𝑛‬ ‫‪2‬‬

‫∎‬

‫‪𝑛 𝑛 2 −1‬‬

‫‪81‬‬

‫∎‬ ‫∎‬

‫م ت ان ميد ان‬ ‫هيت هىو ا لت‬ ‫و انت ة‬

‫ممي ش انر ي ث‬ ‫ت ون ‪LMD‬‬

‫ر‬ ‫ا‬ ‫و انت يير‬ ‫ه هـــــــت ‪6‬‬

‫‪ِ U n  :1‬رراٌ‪١‬ح عد ‪٠‬ح ِ سفح وّا ‪: ٍٟ٠‬‬ ‫ثد ْ ‪n  N , 0  U n  3 . :‬‬ ‫ثد ْ ‪ِ U n  :‬رصا‪٠‬دج ‪.‬‬ ‫زض ذمازب ‪ ُ U n ‬حعة ‪. lim U n :‬‬

‫* ر‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬

‫‪U 0 =1 ، n  N * , U n1  U n  6‬‬

‫‪n ‬‬

‫‪ ٚ‬د اٌّرراٌ‪١‬ح اٌحعات‪١‬ح اٌر‪ّٛ ِ ٟ‬ع ‪ n‬حدا ِٓ حد‪٘ ٚ‬ا األ‪ِّٙ n(3n+1) ٛ٘ ٌٝٚ‬ا ذىٓ ‪. n‬‬

‫* ر‬

‫‪:2‬‬

‫* ر‬

‫‪ :3‬ع‪ ٓ١‬اٌّرراٌ‪١‬ح اٌ‪ٕٙ‬دظ‪١‬ح ‪ U n ‬اٌّرٕالصح ‪ ٚ‬ذاخ اٌحد‪ ٚ‬اٌّ‪ ٛ‬ثح اٌّ سفح عٍ‪ 𝑁 ∗ ٝ‬اٌر‪ ٟ‬ذحمك ‪:‬‬ ‫‪. U 1 U 2 U 3  63 ٚ U 1U 3  144‬‬

‫ر‬

‫زض ذمازب اٌّرراٌ‪١‬ح ‪ U n ‬ف‪ ٟ‬وً حاٌح‪:‬‬

‫‪:4‬‬ ‫‪* )1‬‬

‫‪3𝑛−5‬‬ ‫‪𝑛+2‬‬

‫= 𝑛𝑈 ‪،‬‬

‫𝑛‪3𝑛 2 −4‬‬

‫‪* )2‬‬

‫‪، 𝑈𝑛 = n + 1 − n )4‬‬

‫‪2𝑛 −1‬‬

‫= 𝑛𝑈 ‪،‬‬

‫𝑛‪2𝑛 +2.3𝑛 +3.5‬‬

‫‪)5‬‬

‫𝑛‪3𝑛 +3.4 𝑛 +5.5‬‬

‫‪* )3‬‬

‫= 𝑛𝑈‬

‫𝑛)‪2𝑛 +(−2‬‬ ‫𝑛‪2‬‬

‫= 𝑛𝑈‬

‫‪.‬‬

‫‪2‬‬ ‫ر ‪ِ ( Un ) :5‬رراٌ‪١‬ح عد ‪٠‬ح ِ سفح تحد٘ا اٌ اَ ‪:‬‬ ‫)‪( 2n  1)( 2n  3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ .1‬ع‪ ٓ١‬ل‪ّ١‬ر‪ ٟ‬اٌ د ‪ ٓ٠‬اٌحم‪١‬م‪ a,b ٓ١١‬تح‪١‬ث ‪٠‬ى‪: ْٛ‬‬ ‫‪n  N , U n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n  1 2 n  3‬‬ ‫‪ .2‬اظرٕر ص‪ ١‬ح تع‪ ١‬ح ٌٍّ ّ‪ٛ‬ع ‪:‬‬ ‫‪S n  U 0 U 1  ... U n‬‬ ‫‪n  N , U n ‬‬

‫‪ .3‬ت‪ ٓ١‬ث‪ ١‬ح اٌعٍعٍح اٌر‪ ٟ‬حد٘ا اٌ اَ ‪ ٚ U n‬حعة ِ ّ‪ٛ‬ع‪ٙ‬ا إْ ‪ ٚ‬د‪.‬‬ ‫‪ :6‬ا زض ذمازب اٌعالظً ذاخ اٌحد اٌ اَ اٌراٌ‪١‬ح ‪:‬‬

‫ر‬ ‫‪)1‬‬

‫‪* )4‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫!‪n‬‬

‫= ‪، Un‬‬ ‫= ‪Un‬‬

‫‪* )2‬‬ ‫‪،‬‬

‫‪)5‬‬

‫‪2n −1‬‬ ‫‪2n‬‬

‫= ‪، Un‬‬

‫)‪n 2 (n+1‬‬ ‫!‪n‬‬

‫‪82‬‬

‫= ‪. Un‬‬

‫‪)3‬‬

‫‪n‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n 2 +1‬‬

‫= ‪، Un‬‬

‫ممي ش انر ي ث‬ ‫ت ون ‪LMD‬‬

‫ر‬ ‫ا‬ ‫م ت ان ميد ان‬ ‫ت و انت ـــ ت‬ ‫هيت ان هىو ا لت‬ ‫و هىو انت يير‬ ‫امت ـــ ن ان دا ي ا ول‬ ‫‪2013/2012‬‬ ‫ر‬

‫‪ 8 ( :1‬نم ط)‬

‫ع‪ ٓ١‬اٌم‪ ُ١‬اٌحس ح ٌٍرات‬ ‫ر‬

‫‪ ٚ‬ت‪ٛٔ ٓ١‬ع وً ِٕ‪ٙ‬ا ح‪١‬ث ‪:‬‬ ‫𝑦𝑥‪𝑍 = 𝑥 + 𝑦 − 3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪3‬‬

‫‪ 6( :2‬نم ط)‬ ‫‪ .1‬احعة اٌرىاًِ اٌراٌ‪: ٟ‬‬

‫‪1‬‬

‫𝑥𝑑 𝑥 𝑒𝑥 ‪.I = ∫0‬‬

‫‪ .2‬حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ‪١‬ح ‪.𝑦 ′ + 𝑥 2 𝑦 = 0 :‬‬ ‫ر‬

‫‪ 6( :3‬نم ط)‬ ‫) ‪ِ ( Un‬رراٌ‪١‬ح عد ‪٠‬ح ِ سفح تحد٘ا اٌ اَ ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪2n+1 (2n+3‬‬

‫= 𝑛𝑈 ‪∀n ∈ N ،‬‬

‫‪ .1‬ع‪ ٓ١‬ل‪ّ١‬ر‪ ٟ‬اٌ د ‪ ٓ٠‬اٌحم‪١‬م‪ a,b ٓ١١‬تح‪١‬ث ‪٠‬ى‪: ْٛ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n  1 2 n  3‬‬

‫‪n  N , U n ‬‬

‫‪ .2‬اظرٕر ص‪ ١‬ح تع‪ ١‬ح ٌٍّ ّ‪ٛ‬ع ‪:‬‬ ‫‪S n  U 0 U 1  ... U n‬‬

‫ُ احعة 𝑛𝑆 ∞‪.limn→+‬‬ ‫‪ .3‬ع‪ ٓ١‬ث‪ ١‬ح اٌعٍعٍح ذاخ اٌحد‪ ٚ‬اٌّ‪ ٛ‬ثح ‪:‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪+∞ n‬‬ ‫!‪𝑛=0 n‬‬

‫‪.‬‬

‫مـــــــــــــــىفـــــمي‬

‫‪83‬‬

‫ي امت ـــ ن ان دا ي ا ول‬ ‫‪2013/2012‬‬ ‫ر ‪ :1‬إٌما اٌحس ح ٘‪ ٟ‬اٌر‪ ٟ‬ذحمك ‪:‬‬ ‫𝑦 = ‪𝑥2‬‬ ‫‪𝑥4 − 𝑥 = 0‬‬

‫)‪(0.25‬‬ ‫)‪𝑥 = 1 (0.5‬‬ ‫)‪𝑦 = 1 (0.5‬‬ ‫إٌما اٌحس ح ٘‪(0.25) : ٟ‬‬ ‫‪ٌ ٚ‬د‪ٕ٠‬ا ‪:‬‬

‫)‪(0.5‬‬

‫( ‪(0.25)، ) 0,0‬‬

‫‪= −3‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫)‪(0.5‬‬ ‫)‪(0.5‬‬

‫)‪(0.5‬‬

‫‪( 1,1 ) = 27 > 0‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫‪(0.5) ,‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫‪0,0 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫𝑥‪= 6‬‬

‫‪0,0 -‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫( ‪. ) 1,1‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫‪ ِٕٗ ٚ‬إٌم ح ( ‪ ) 1,1‬ذ ‪ٔ ٓ١‬م ح حد‪٠‬ح ص س‪(0.5) . ٜ‬‬ ‫ر ‪:2‬‬ ‫‪ٔ )1‬ىاًِ تاٌر صئح‪ ،‬ت‪ٛ‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫‪( 1,1 ) -‬‬

‫‪0,0 .‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

‫‪( 1,1 ) .‬‬

‫‪:‬‬ ‫)‪𝑢 = 𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (0.5‬‬ ‫)‪𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 = 𝑒 𝑥 (0.5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪𝐼 = 𝑢. 𝑣 10 − ∫0 𝑣𝑑𝑢 (0.5‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪)2‬‬

‫)‪(1‬‬

‫)‪⟹ 𝐼 = 𝑥𝑒 𝑥 10 − ∫0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 (0.5‬‬ ‫)‪= 1 (1‬‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫𝑦𝑑‬ ‫⟹ ‪𝑦′ + 𝑥2𝑦 = 0‬‬ ‫⟹ ‪+ 𝑥2𝑦 = 0‬‬ ‫‪+ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0‬‬ ‫𝑦‬

‫𝑥𝑑‬

‫‪1‬‬

‫|𝑐|⁡‪⟹ ln 𝑦 + 𝑥 3 = ln‬‬

‫‪1‬‬

‫‪3‬‬

‫‪𝑥3‬‬

‫‪⟹ y = c𝑒 − 3‬‬

‫‪1‬‬ ‫ر ‪:3‬‬ ‫‪)1‬‬

‫)‪(0.5‬‬ ‫)‪(0.5‬‬

‫‪6‬‬ ‫)‪2n+1 (2n+3‬‬

‫‪𝑎= 3‬‬ ‫‪𝑏 = −3‬‬

‫=‬

‫𝑏‪2𝑎 +2𝑏 𝑛+3𝑎+‬‬ ‫)‪2n+1 (2n+3‬‬

‫⟹‬

‫‪−3‬‬ ‫‪2n+3‬‬

‫‪84‬‬

‫=‬

‫𝑏‬ ‫‪2n+3‬‬

‫‪+‬‬

‫𝑎‬ ‫‪2n+1‬‬

‫‪2𝑎 + 2𝑏 = 0‬‬ ‫‪3𝑎 + 𝑏 = 6‬‬

‫)‪(0.5‬‬ ‫)‪(0.5‬‬

‫‪∂Y‬‬

‫‪𝜕𝑦 2‬‬

‫𝑥𝜕𝑦𝜕‬

‫‪ ِٕٗ ٚ‬إٌم ح ( ‪ ) 0,0‬ذ ‪ٔ ٓ١‬م ح ظسج ‪(0.5) .‬‬ ‫ِٓ ً إٌم ح ( ‪ٌ ) 1,1‬د‪ٕ٠‬ا ‪:‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬

‫‪0,0 = −9 < 0‬‬

‫⟹‬

‫‪∂X‬‬ ‫‪∂Z‬‬

‫𝑦 = ‪𝑥2‬‬ ‫⟹‬ ‫‪𝑥(𝑥 3 − 1) = 0‬‬

‫)‪(0.25‬‬

‫‪= −3‬‬

‫‪=6‬‬

‫ِٓ ً إٌم ح ( ‪ٌ ) 0,0‬د‪ٕ٠‬ا ‪:‬‬

‫)‪= 3𝑦 2 − 3𝑥 = 0 (0.5‬‬

‫( ‪. ) 1,1‬‬

‫‪(0.5) ,‬‬

‫𝑦𝜕𝑥𝜕‬

‫)‪= 3𝑥 2 − 3𝑦 = 0 (0.5‬‬

‫⟹‬

‫)‪𝑥 = 0 (0.5‬‬ ‫)‪𝑦 = 0 (0.5‬‬

‫‪∂Z‬‬

‫‪+‬‬

‫‪3‬‬ ‫‪2n+1‬‬

‫⟹‬

‫= 𝑛𝑈 ⟹‬

‫= 𝑛𝑈‬

‫𝑍‪𝜕2‬‬ ‫‪𝜕𝑥 2‬‬

𝑆𝑛 = 𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 3 3 3 3 = − + − +⋯+( 1

3

3

⟹ 𝑆𝑛 = 3 −

5

3

n→+∞

𝑈𝑛

lim

=

(n +1)3 (n +1)! n3 n!

𝑈𝑛 +1

n→+∞ 𝑈𝑛

=

(n+1)3

3−

.

n!

n!(n+1) n 3

= lim

n→+∞

2n+1

−

)2

3 2n+3

)

(0.5)

(1)

2n+3

limn→+∞ 𝑆𝑛 = lim 𝑈𝑛 +1

3

(n+1)2 n3

3 2n+3

=

=3

(n+1)2 n3

(0.5)

(1)

)3 : ‫ٕا‬٠‫س ٌد‬١‫ٔ ثك لاعدج اٌّث‬

=0<1

(0.5) 0.5

85

.‫س فئْ اٌعٍعٍح ِرمازتح‬١‫ ِٕٗ حعة اٌّث‬ٚ