جامعة العقٌد الحاج لخضر -باتنة كلٌة العلوم اإلقتصادٌة والتجارٌة وعلوم التسٌٌر قسم التسٌٌر
دروس وتطبٌقات
مقٌاس الرٌاضٌات I للسنة األولى تسٌٌر السداسً األول
من إعداد األساتذة: د .بركــــــــــــات الخٌر د .بوضٌاف نعٌـــــــمة أ .مخلوف ساســـــــٌة أ .شطوح كرٌــــــــمة أ .حــــــــــدوش وردة أ .بن جاب هللا الطاهر أ .الوافً هـشـــــــــام
السنة الجامعٌة2014 -- 2013 :
1
الفهرس العام الفصل األول:
الفصل الثانً:
الفصل الثالث:
الدوال ذات متغٌر سلسلة التطبٌقات
.......................................... 2ص 32
الدوال ذات عدة
متغٌرات ................................ص 33
سلسلة التطبٌقات
.......................................... 3ص 42
التفاضل
والتكامل ..........................................ص 43
سلسلة التطبٌقات الفصل الرابع:
حقٌقً .................................ص 03
المعادالت
التفاضلٌة .......................................ص 63
سلسلة التطبٌقات الفصل الخامس:
.......................................... 4ص 62
.......................................... 5ص 71
المتتالٌات والسالسل
سلسلة التطبٌقات
العددٌة .........................ص 72
.......................................... 6ص 82
إمتحان السداسً األول ................................2013-2012ص 83 -تصحٌح امتحان السداسً األول ......................2013-2012ص 84
2
اٌفصــــــــــــــــً األٚي
اندوال ذاث متغير حميمي
النهاٌات واالستمرار اإلشتقاق دراسة الدوال األسٌة واللوغارٌتمٌة النشر المحدود
3
الدوال ذات متغٌر حقٌقً – 1عمومٌات على الدوال التطبٌق المعرف من 𝐼 نحو ٛ٘ ℝعثازج عٓ عاللح ذستط ت ٓ١عٕاصس 𝐼 ،ℝ ٚتح١ث وً عٕصس ِٓ ٌٗ I صٛزج ٚح١دج ف. ℝ ٟ - 1 - 1تعرٌف: الدالة ƒبمتغٌر حقٌقً هً عبارة عن تطبٌق من مجال ( ) 𝐼 ⊆ ℝنحو ، ℝنرمز لمجموعة الدوال المعرفة من 𝐼 نحو ℝبالرمز ( ( ℱ ) ,ℝهذا ٌعنً أن) ƒ :𝐼 → ℝ : { )𝑥( ƒمعرفة Dƒ = } 𝑥 ∈ ℝ /
المجموعة Dƒهً مجال تعرٌف الدالة ƒحٌث : مثال: Dƒ = ℝ /1 *
ƒ: ℝ → ℝ
من أجل 1 𝑥
= )𝑥(𝑥 ↦ ƒ
Dƒ = ]1, +∞[ /2من أجل : 1 𝑥−1
ƒ: ℝ → ℝ
= )𝑥(𝑥 ↦ ƒ
المجموعة 𝐂ƒهً بٌان الدالة ƒح١ث :
} Cƒ = { 𝑥, 𝑓 𝑥 / 𝑥 𝜖 Dƒ
مثال: ƒ: ℝ → ℝ 𝑥 ↦ ƒ(𝑥) = 𝑥 2 + 1
من أجل
Cƒ
4
2-1عالقة الترتٌب تعرٌف:
) 𝑔 , ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝ
نقول أن 𝑔 ≤ ƒإذا كان )𝑥(𝑔 ≤ 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝐼, ƒ
تمرٌن :1 أوجد مجال تعرٌف الدوال التالٌة: ,
3 𝑥2 + 4 𝑥 + 9
ƒ1 𝑥 = −3 𝑥 2 + 5 𝑥 − 6 ,
= 𝑥 ƒ2
1 𝑥+3
= 𝑥 ƒ3
الحل : [∞𝐷ƒ3 =] − 3, +
,
[∞𝐷ƒ2 =] − ∞, +
,
[∞𝐷ƒ1 =] − ∞, +
3-1الدوال الفردٌة والدوال الزوجٌة لتكن ) ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝنقول أن : ƒ دالة زوجٌة هذا ٌعنً أن∀𝑥 ∈ 𝐷ƒ, ƒ 𝑥 = ƒ −𝑥 : ومنه بٌان ƒمتناظر بالنسبة للمستقٌم )𝑦𝑜(
ƒ دالة فردٌة وهذا ٌعنً أن∀𝑥 ∈ 𝐷ƒ, ƒ 𝑥 = −ƒ −𝑥 : ومنه بٌان الدالة ƒمتناظر بالنسبة لنقطة المبدأ 0 4-1الدوال الدورٌة: تعرٌف : لتكن ) ƒϵ ℱ (ℝ , ℝنقول أن ƒ :دورٌة ودورها ⊤) (⊤ > 0إذا كان : 5
∀𝑥 ∈ ℝ,
𝑥 ƒ 𝑥+⊤ =ƒ مثال:
الدوال 𝑥 sinو 𝑥 cosهً عبارة عن دوال دورٌة دورها ⊤ = 2π كل دالة ثابتة فهً دالة دورٌة 5-1الدوال المحدودة: تعرٌف :لتكن ) ƒϵ ℱ ( 𝐼 , ℝ نقول أن ƒمحدودة من األعلى على 𝐼 إذا كان ∂M ∈ ℝ /∀𝑥 ∈ 𝐼 , ƒ 𝑥 ≤ 𝑀 : نقول أن ƒمحدودة من األسفل على 𝐼 إذا كان ∂m ∈ ℝ /∀𝑥 ∈ 𝐼 , ƒ 𝑥 ≥ m : نقول عن ƒأنها محدودة على 𝐼 إذا كان∂m, M ∈ ℝ , ∀𝑥 ∈ 𝐼 , m ≤ ƒ 𝑥 ≤ 𝑀 : 6-1عملٌات على الدوال: لتكن ) 𝑔 ∈ ℱ 𝐼 ′ , ℝ , ƒ ∈ ℱ(𝐼, ℝلدٌنا: )a
𝑥 𝑔ƒ+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +
)b
𝑥 𝑔 ƒ. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
)c )d
1 𝑥 𝑓
= 𝑥
1 𝑓
إذا كان 𝑓 𝑥 ≠ 0 :
إذا كان لدٌنا 𝑓(𝐼) ⊆ 𝐼 ′ ⊆ ℝفإن𝑔 ∘ ƒ 𝑥 = 𝑔[𝑓(𝑥)] :
مثال: 𝑓 :ℝ → ℝ
من أجل ، 𝐷ƒ = ℝ :
𝑥 ↦ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 +
𝑔 :ℝ → ℝ [∞𝑥 ↦ 𝑔 𝑥 = 𝑥 , 𝐷𝑔 = [0, +
لدٌنا:
[∞𝑓 𝐷𝑓 = 1, +∞ ⊆ 𝐷 𝑔 = [0, +
إذن= 𝑔 𝑥 2 + 1 = 𝑥 2 + 1 :
𝑥 𝑓 𝑔 = 𝑥 𝑔∘ƒ
6
-7-1الدوال الرتٌبة: تعرٌف: لتكن ) 𝑓 ∈ ℱ(𝐼, ℝنقول أن :
𝑓 𝑓 𝑓 𝑓
متزاٌدة على 𝐼 فً ℝإذا كان ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 : متناقصة على 𝐼 فً ℝإذا كان∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 : متزاٌدة تماماعلى 𝐼 فً ℝإذا كان ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑥 < 𝑓 𝑦 : متناقصة تماما على 𝐼 فً ℝإذا كان∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐼 , 𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ 𝑓 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥 :
النهاٌات واالستمرار: 1-2النهاٌات: تعرٌف :لتكن 𝑓 ∈ ℱ 𝐼, ℝ , 𝑎 ∈ 𝐼 ∩ ℝو) (ℓ∈ ℝنقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة ℓعند النقطة 𝑎 إذا كان من أجل عدد ٌ ، 𝜀 > 0وجد عدد حقٌقً 𝛿 > 0بحٌث من أجل كل 𝑥 من 𝐼 العالقة 𝛿 ≤ ⎸𝑎 ⎸𝑥 −تستلزم 𝜀 ≤ ⎸ ⎸𝑓 𝑥 − ℓأي 𝜀 ≤ ⎸∀𝜀 > 0 ∂δ > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼; ⎸𝑥 − 𝑎⎸ ≤ 𝛿 ⇒ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ 𝑓(𝑥) → ℓ فً حالة وجود النهاٌة فهً وحٌدة وتكتب 𝑓 𝑎 lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ℓ = limأو 𝑥 𝑎 →
مالحظة :إذا كانت 𝑓 معرفة عند 𝑎 و كانت النهاٌة موجودة إذن: )𝑎(𝑓 = 𝑥 𝑓 lim
𝑎→𝑥
𝑓𝐶 ℓ+ℰ ℓ
نهاٌة 𝑓 عند 𝑎
ℓ−ℰ
𝛿𝑎+
𝑎
𝛿𝑎−
𝛿− 7
مثال: 𝑓: ℝ → ℝ
لتكن : 𝑥 2 +𝑥−2 𝑥−1
= 𝑥 𝑓⟼𝑥 [∞𝐷𝑓 =] − ∞, 1 ∪ 1, +
نبحث عن نهاٌة الدالة 𝑓 من أجل 𝑥 = 1 لدٌنا: )𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2 من أجل 𝑥 ≠ 1لدٌنا : 𝑥2 + 𝑥 − 2 )(𝑥 − 1)(𝑥 + 2 = 𝑥 𝑓 = =𝑥+2 𝑥−1 𝑥−1 ⎸⎸𝑓 𝑥 − 3⎸ = ⎸𝑥 + 2 − 3⎸ = ⎸𝑥 − 1 𝜀 ≤ ⎸∀ε > 0, ∂𝛿 = 𝜀 > 0 ̸ ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 : ⎸𝑥 − 1⎸ ≤ 𝛿 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − 3⎸ = ⎸𝑥 − 1 ومنه نستنتج أن: lim𝑥→1 𝑓 𝑥 = 3 تعرٌف :2تعرٌف النهاٌة من الٌمٌن والنهاٌة من الٌسار لتكن )𝑓 ∈ ℱ(𝐼, ℝ نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة من الٌسار عند 𝑥0إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً : 𝜀 ≤ ⎸ 𝑑∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0, 𝑥0 − 𝓃𝜀 < 𝑥 < 𝑥0 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ ونكتبlim 𝑓 𝑥 = ℓ𝑑 :
𝑥→𝑥 0 𝑥>𝑥 0
أو
𝑑lim 𝑓 𝑥 = ℓ
𝑥→𝑥 0+
نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة من الٌمٌن عند 𝑥0إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً: 𝜀 ≤ ⎸ 𝑔∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0, 𝑥0 < 𝑥 < 𝑥0 + 𝓃𝜀 ⟹ ⎸𝑓 𝑥 − ℓ 8
ونكتبlim 𝑓 𝑥 = ℓ𝑔 :
أو
𝑥→𝑥 0 𝑥<𝑥 0
𝑔lim 𝑓 𝑥 = ℓ
𝑥→𝑥 0−
𝑑ℓ 𝑓𝐶 𝑔ℓ
𝑥0
مالحظة: إذا كانت )𝑓 ∈ ℱ(𝐼\ 𝑎 , ℝ
و
lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = ℓ 𝑥<𝑥 0
𝑥>𝑥 0
إذن :نقول أن 𝑓 تقبل نهاٌة ℓعند 𝑎 النهاٌات الغٌر المنتهٌة تعرٌف 1 من أجل كل عدد حقٌقً 𝑎 𝜖 ℝو ∞ ℓ = ±لدٌنا : lim𝑥⟶a 𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ ∀ 𝐴 > 0, ∂ 𝛿 > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 :
1/
) 𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ 𝛿 ≤ ⎸ 𝑎 – 𝑥⎸ 2/ lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ (∀ 𝐵 < 0 , ∂ 𝛿 > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼): 𝐵≤ 𝑥 𝑓⟹ 𝛿 ≤⎸𝑎⎸𝑥−
تعرٌف 2 من أجل ∞ 𝑎 = ±و ∞ ℓ = ±لدٌنا : 𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ 1. lim𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ (∀ 𝐴 > 0 , ∂ 𝐴′ > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≥ 𝐴′
∞𝑥→+
𝐵 ≤ 𝑥 𝑓 ⟹ 2. lim 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ ∀ 𝐵 < 0, ∂ 𝐴′ > 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≥ 𝐴′
∞𝑥→+
9
) 𝐴 ≥ 𝑥 𝑓 ⟹ 3. lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = +∞ ⟺ (∀ 𝐴 > 0, ∂ 𝐵 ′ < 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼 ∶ 𝑥 ≤ 𝐵 ′ ) 𝐵 ≤ 𝑥 𝑓 ⟹ 4. lim𝑥→−∞ 𝑓 𝑥 = −∞ ⟺ (∀ 𝐵 < 0, ∂ 𝐵 ′ < 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼: 𝑥 ≤ 𝐵 ′
1-2-2عملٌات على النهاٌات: lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ℓ
إذا كان :
lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = ℓ
و
إذن: lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = ℓ + ℓ lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = ℓ. ℓ 𝑔 ≠ 0إذن: و إذا كانℓ ≠ 0 :
)1 )2 )3
ℓ ℓ
=
)𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔
𝑎→𝑥lim
مثال: إذا كانت إذا كانت إذن
𝑥 sin 𝑥
= 𝑥 𝑓
)𝑥𝑙𝑛 (1+2 𝑥
إذن
= 𝑥 𝑔
=1 إذن
𝑥 𝑚𝑖𝑠 𝑥
=2
lim𝑥→0
ln )𝑥(1+2 𝑥
lim𝑥→0
lim𝑥→0 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = 3 lim𝑥→0 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = 2 1 2
=
)𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔
lim𝑥→0
2-1-2حاالت عدم التعٌٌن: فً حساب النهاٌات نعرف حالة عدم التعٌٌن ( التً نرمز لها بالرمز ح.ع.ت ) وكل وضعٌة تقودنا إلى حالة أٌن نستخدم كل العملٌات على النهاٌات وال نجد النهاٌة. بعض حاالت عدم التعٌٌن المتداولة والمهمة هً : ∞0 ± , … , 0 × ∞, −∞ + ∞, 1∞ , 00 , 0∞ , ∞0 , ∞0 ± مثال :إذا كان 𝑥 𝑓 𝑥 = sinو 𝑥 = 𝑥 𝑔 إذن lim 𝑓 𝑥 = 0و lim 𝑔 𝑥 = 0 𝑥→0
10
x→0
نقول أن و
)𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔
𝑥 sin 𝑥
= lim𝑥→0
)𝑥(𝑓 )𝑥(𝑔
lim𝑥→0هً حالة عدم التعٌٌن من الشكل
0 0
ٌ lim𝑥→0تم تحدٌدها باإلشتقاق
2-2االستمرار: تعرٌف: لتكن 𝑓 دالة حقٌقٌة معرفة على مجال 𝐼 و 𝐼 ∈ 𝑥0 نقول أن 𝑓 مستمرة عند 𝑥0إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً : 𝜀𝓃 ≤ lim 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 ⟺ ∀𝜀 > 0, ∂𝓃𝜀 > 0; 𝑥 − 𝑥0
𝑥→𝑥 0
𝜀 ≤ ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 نقول أن 𝑓 مستمرة من الٌمٌن عند 𝑥0إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً : ) limx→x 0 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 x>x 0
نقول أن 𝑓 مستمرة من الٌسار عند 𝑥0إذا وفقط إذا تحقق ما ٌلً : ) lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥0 x→x 0
x<x 0
نقول أن 𝑓 مستمرة على مجال 𝑏 ,إذا كانت مستمرة على كل نقطة 𝑏 𝑥 ∈ 𝑎, ومستمرة على ٌمٌن 𝑎 ومستمرة على ٌسار 𝑏 . مالحظة: إذا كانت الدالة
مستمرة من ٌمٌن ومن ٌسار 𝑥0إذن 𝑓 مستمرة عند 𝑥0
تمرٌن برهن أن الدالة 𝑓المعرفة كما ٌلً : 𝑒𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 = 𝑥 𝑓 𝑥 3𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 مستمرة عند 0 1- 2-2عملٌات على الدوال المستمرة إذا كانت 𝑓 :و𝑔 دوال مستمرة عند 𝑥0اذن : 𝑔 + 𝑓 / 1و 𝑔 𝑓.هً عبارة عن دوال مستمرة عند 𝑥0 11
/ 2إذا كان , 𝑔 𝑥0 ≠ 0اذن
𝑓 𝑔
مستمرة عند 𝑥0
/ 3إذا كانت 𝑓 مستمرة عند 𝑥0و 𝑔 مستمرة عند ) 𝑓 ( 𝑥0اذن : 𝑓 𝑔οمستمرة عند 𝑥0 مثال: / 1الدوال كثٌرات الحدود هً عبارة عن دوال مستمرة على ℝ / 2الدوال المثلثٌة هً عبارة عن دوال مستمرة على مجال تعرٌفها . إذا كان 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 :من اجل 𝑥0و 𝑥 فً ℝ لدٌنا: 𝑥 − 𝑥0 𝑥 + 𝑥0 (sin 𝑥 − sin 𝑥0=2 sin () cos ) 2 2 ومن جهة أخرى لدٌنا 𝑥 ≤ 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ, sin 𝑥 − 𝑥0 𝑥 + 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑛𝑖𝑠sin 𝑥 − sin 𝑥0 ≤ 2 𝑠𝑜𝑐 𝑛𝑖𝑠 ≤ 2. 2 2 2 𝑥 − 𝑥0 ≤2 ≤ 𝑥 − 𝑥0 2 إذن: 𝜀 ≤ ∀𝜀 > 0, ∂𝑛 = 𝜀; 𝑥 − 𝑥0 ≤ 𝓃 ⟹ sin 𝑥 − sin 𝑥0 إذن نستنتج أن الدالة 𝑥 sinهً مستمرة على ℝ التمدٌد باإلستمرار: تعرٌف :إذا كانت 𝑓 دالة معرفة على مجال ، 𝐼\ 𝑥 0و ، lim𝑥→𝑥 0 𝑓 𝑥 = ℓالدالة 𝑔 المعرفة 𝑥 𝑓 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑥0 = 𝑥 𝑔 كما ٌلً : ℓ 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥0 هً تمدٌد لــ 𝑓 باستمرار . مثال: لتكن 𝑔 دالة معرفة كما ٌلً: 𝑥 sin 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0 𝑥 = 𝑥 𝑔 1 𝑖𝑠 𝑥=0 𝑥 sin = 𝑥 𝑓 𝑔 هً تمدٌد باالستمرار للدالة 𝑓 المعرفة على ℝ\ 0بـ: 𝑥
2-2-2نظرٌة القٌم المتوسطة: لنظرٌة القٌم المتوسطة أشكال عدٌدة من أهمها نظرٌة بولزانو التً تنص على ما ٌلً: 12
نظرٌة: إذا كانت 𝑓 دالة مستمرة على مجال محدود 𝑏 𝑎,وكان الجداء 𝑓 𝑎 . 𝑓 𝑏 < 0إذن توجد نقطة 𝑏 𝑐 ∈ 𝑎,بحٌث 𝑓 𝑐 = 0 مثال: لتكن المعادلة
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 2 + 3𝑥 + 2 = 0
لدٌنا: 𝑓 دالة مستمرة على ، ℝ
−1
1
2
2
=( )𝑓و
79
3
64
4
= ( )𝑓
إذْ : 3
1
4
2
𝑓( ( 𝑓 ) ( < 0 بتطبٌق نظرٌة القٌم المتوسطة ٌوجد[
3 4
.
1 2
] 𝜖c 𝑓 𝑐 =0 3
إذن 𝑐 هو تقرٌب كل المعادلة 𝑓 𝑥 = 0على المجال [ , 4
بدقة 25%الن = 0,25
1 4
=
1 2
-
1 2
]
3 4
-_ 4الدوال العكسٌة تذكـــٌر لتكن 𝑓 دالة معرفة على المجال 𝐼 نقول أن: 𝑓 متزاٌدة تماما ⟺ )𝑦(𝑓 < )𝑥(𝑓 ⟹ 𝑦 < 𝑥 ; 𝐼𝜖𝑦 ∀𝑥 , 𝑓 متناقصة تماما ⟺ )𝑥(𝑓 < )𝑦(𝑓 ⟹ 𝑦 < 𝑥 ; 𝐼𝜖𝑦 ∀𝑥 , مالحظة: إذا كانت 𝑓 مستمرة و متزاٌدة تماما على ]𝑏 [𝑎,من ℝ 𝑏 𝑓 ≤ 𝑥 𝑓 ≤ 𝑎 𝑓 ⟹ 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 ∀𝑥 𝜖[𝑎,b] , بحٌث 𝑓(𝑎) :هو الحد األدنى لـ )𝑥(𝑓 𝑚 = 𝑎 و)𝑏(𝑓 ٌمثل الحد األقصى لـ )𝑥( 𝑓 𝑀 = 𝑏 𝑓
13
إذن] 𝑏 [ 𝑓 𝑎 , 𝑓 (𝑏)] = 𝑚, 𝑀 = 𝑓 [ 𝑎, بنفس الطرٌقة إذا كانت 𝑓 مستمرة ومتناقصة تماما على ]𝑏 [𝑎, من ℝلدٌنا )]𝑏 [𝑓 𝑏 , 𝑓 𝑎 ] = 𝑚, 𝑀 = 𝑓 ([𝑎, نظرٌة إذا كانت 𝑓 دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما ( متناقصة تماما ) على مجال ]𝑏 [𝑎,
إذن 𝑓 دالة تقابلٌة على ]𝑏 [𝑎,نحو ])𝑏(𝑓 ( [𝑓 𝑏 , 𝑓 (𝑎)]) [𝑓 𝑎 ,على التوالً .
نستنتج أن : إذا كانت 𝑓دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما (متناقصة تماما) من )]𝑀 ([𝑎, 𝑏 ] ⟶ [𝑚, 𝑓 تقبل دالة عكسٌة تقابلٌة ترمز لها بالرمز 𝑓 −1معرفة ]𝑏 𝑓 −1 [𝑚, 𝑀] ⟶ [𝑎, 𝑥 = 𝑦 𝑦 ⟼ 𝑓 −1 1 -_4بٌان الدالة العكسٌة بٌان الدالة 𝑓 −1متناظر مع بٌان الدالة 𝑓 بالنسبة للمستقٌم )𝑥 = 𝑦( مثـــال: 𝜋
الدالة العكسٌة للدالة 𝑥 𝑓 𝑥 = sinعلى المجال ] , 2
𝜋 2
[
هً الدالة 𝑥 𝑓 −1 )𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sinهً عبارة عن دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما على ][−1,1 لدٌنا] ⟶ [−1, 1 ] : ]
𝜋 2
,
𝜋 2
𝜋 2
,
𝜋 2
sin 𝑥 : [−
Arc sin 𝑥 : [−1 , 1 ] ⟶ [−
14
𝑦 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sin
𝑥 𝑦 = sin
−1 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝜋 𝜋 ≤ 𝑥≤ 2 2
بعــض التمـــارٌن التدعٌمٌـــة التمــــرٌــــن :1 عٌن مجال تعرٌف الدوال التالٌــة )𝑥(𝑥 − 1
= 𝑥 𝑔 )𝑏
⎸6−⎸𝑥−2
𝑥2 + 4 𝑎) 𝑓 𝑥 = 3 , 𝑥𝑥 + 𝑥 2 + 2
= 𝑥 𝑔 )𝑑
1 , ⎸ 𝑥⎸ 1 −
التمـــرٌــن : 2 احسب نهاٌات الدوال التالٌة : 𝑥 3 − 7𝑥 + 6 𝑏) lim 2 𝑥→3 𝑥 + 2𝑥 − 3
𝑥9+ 𝑥
3−
𝑥 1 − cos 𝑥cos 𝑥 sin
𝑑) lim 𝑥→0
𝑓) lim 𝑥→0
(𝑥 + 1)2 − 1 = 𝑎) lim , 𝑥→0 𝑥
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝑐) lim 2 , 𝑥→+∞ 𝑥 + 𝑥 − 6
𝑥sin ² , 𝑥 1 + cos
lim
𝜋→𝑥
15
)𝑒
= 𝑥 𝑓 )𝑐
−
التمـــرٌــن :3 لتكن 𝑓 دالة معرفة كما ٌلً : 𝑥<0 𝑥>0
𝑥 sin
𝑖𝑠
𝑥2
(𝑥 + 𝑐)2
𝑖𝑠
= 𝑥 𝑓
أوجد 𝑐 بحٌث تكون )𝑥(𝑓 lim𝑥→0موجودة ،ماهً قٌمة النهاٌة ؟ التمـــرٌــن :4 باستخدام تعرٌف النهاٌة برهن أنlim𝑥→2 𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 3 : التمــرٌــن :5 كٌف نعرف )𝑎(𝑓 بحٌث تكون الدالة 𝑓 مستمرة عند 𝑎 , 𝑎=1 𝑥<1 𝑎=1 𝑥>1
𝑖𝑠 𝑖𝑠
𝑥 2 −1 𝑥−1
𝑥2 + 1 𝑥+3 𝑎=0
,
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥−1 𝑥 sin
= 𝑥 𝑓
)𝑎
= 𝑥 𝑓
)𝑏
= 𝑥 𝑓
)𝑐
التمــرٌــن :6 برهن أن المعادالت التالٌة تقبل على األقل حل حقٌقً: =0
2
1 1 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 − 2 𝑥+1
)𝑎
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 15𝑥 − 7 = 0 1 + sin 𝑥 − 𝑥 2 = 0
)𝑏 )𝑐
التمــرٌــن :7 )aلتكن 𝑓 دالة معرفة كما ٌلً : 2𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0 أدرس استمرارٌة الدالة 𝑓 )bنفس السؤال من أجل الدالة
16
= 𝑥 𝑓
1
𝑎 < ⎸𝑥⎸ si 𝑎 ≥ ⎸𝑥⎸
2 −𝑎 2
si
𝑥𝑒 0
= 𝑥 𝑓
بحٌث 𝑎 ∈ ℝ+
-5الدالة المشتقة والتفسٌر الهندسً للمشتق: -1-5االشتقاق: تعرٌف: لتكن 𝑓 دالة معرفة على مجال 𝐼 و 𝐼 ∈ 𝑥0 نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق عند النقطة ، 𝑥0إذا كان = 𝑓 (𝑥0 ) : نقول عن ) 𝑓′(𝑥0العدد المشتق للدالة 𝑓 عند
0
) 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0 𝑥−𝑥 0
lim𝑥→𝑥 0
أو مشتق𝑓 فً النقطة 𝑥0
مالحظات: ٌ .1وضع 𝑥 = 𝑥0 + إذن: ) 𝑓 𝑥0 + − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 →0
𝑥 → 𝑥0 ⇔ → 0 𝑒𝑡 lim
.2إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق فً النقطة 𝑥0إذن : ) 𝑓 𝑥0 + − 𝑓(𝑥0 )(𝜀 = 𝑓 𝑥0 +
مع
𝜀() → 0 →0
ولدٌنا: ) 𝑓 𝑥0 + − 𝑓(𝑥0 𝜀() → 0 ⇒ →0 →0
𝑓 𝑥0 = lim
وإذا كان: ) 𝑓 𝑥0 + − 𝑓(𝑥0 𝜀() → 0 ⇒ lim ) = 𝑓(𝑥0 →0 →0 قضٌة :إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق عند النقطة 𝑥0إذن𝑓 مستمرة عند 𝑥0 17
عكس هذه القضٌة غٌر صحٌح على العموم. -2-5التفسٌر الهندسً للمشتق: لتكن) 𝑎 𝑓 𝐴(𝑎,و )) 𝑀(𝑎 + , (𝑎 +نقطتٌن من البٌان𝑓 على التوالً ،معامل توجٌه المستقٌم)𝑀𝐴( هو
)𝑎(𝑓𝑓 𝑎 + −
من أجل → 0النقطة 𝑀 تؤول نحو النقطة 𝐴 والمستقٌم
)𝑀𝐴( ٌمثل إذن مماس للبٌان 𝑓 ومعامل توجٌه هو : )𝑎(𝑓 𝑓 𝑎 + − )𝑎( 𝑓 = →0 lim
)C(f )𝑓(a+h T
)𝑓(a
p a+h
a
نعرف إذن معادلة المماس 𝑇 للبٌان )𝑓(𝐶 فً النقطة 𝑎 (:هذا المماس ٌمر على النقطة ) 𝑎 𝑓 𝐴(𝑎, )𝑎(𝑓 𝑦 = 𝑓′ 𝑎 𝑥 − 𝑎 + ومعامل توجٌهه هو ))𝑎( 𝑓′بـ :
-1-2-5المشتق من الٌمٌن والمشتق من الٌسار:
تعرٌف: نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌسار عند 𝑥0إذا كانت: ) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓𝑔 (𝑥0 𝑥 − 𝑥0 18
) 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0 𝑥−𝑥 0
lim < 𝑥→𝑥 0
limموجودة ونكتب: < 𝑥→𝑥 0
) 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0
بنفس الطرٌقة نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌمٌن إذا كانت وتكتب= 𝑓𝑑 (𝑥0 ) :
) 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥 0 𝑥−𝑥 0
limموجودة >
𝑥−𝑥 0
𝑥→𝑥 0
lim > 𝑥→𝑥 0
نقول أن 𝑓 دالة قابلة لإلشتقاق على [ ]a,bإذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق على كل نقطة 𝑏 𝑥 ∈ 𝑎, و 𝑓 قابلة لإلشتقاق على ٌسار bوقابلة لالشتقاق على ٌمٌن . a
مالحظة: إذا كانت 𝑓 قابلة لإلشتقاق من الٌمٌن والٌسار وإذا كان ) 𝑓𝑔 𝑥0 = 𝑓𝑑 (𝑥0إذن نقول أن 𝑓 قابلة لإلشتقاق عند 𝑥0 -2-2-5عملٌات على المشتقات: لتكن 𝑓 و 𝑔 دوال حقٌقٌة قابلة لإلشتقاق على 𝐼 و 𝑘 ثابت حقٌقً لدٌنا : المشتق
الدالة
قابلة لالشتقاق على 𝐼
𝑔𝑓+
𝑔𝑓+
قابلة لالشتقاق على 𝐼
𝑓𝑘
𝑓 𝑘.
قابلة لالشتقاق على 𝐼
𝑓𝑔 𝑓 𝑔 +
𝑔 𝑓.
قابلة لالشتقاق على 𝐼 ،إذا كان 𝑓 ≠ 0 على 𝐼
𝑓− 𝑓2
1 𝑓
قابلة لالشتقاق على 𝐼 ،إذا كان 𝑔 ≠ 0 على 𝐼
𝑓𝑔 𝑓𝑔 − 𝑔2
𝑓 𝑔
-3-2-5الدوال المألوفة:
مجال قابلٌة االشتقاق
الدالة المشتقة )𝑥( 𝑓
)𝑥(𝑓
ℝ
0
𝑒𝑡𝑐 = 𝑘
19
𝑥 𝑝 (𝑝 ∈ ℤ)
𝑝𝑥 𝑝−1
ℝ 𝑠𝑖 𝑝 > 0 ∗
ℝ 𝑠𝑖 𝑝 < 0 1 1 −1 𝑥𝑞 𝑞
ℝ+
sin 𝑥
cos 𝑥
ℝ
cos 𝑥
− sin 𝑥
ℝ
tan 𝑥
1 cos ²𝑥
𝜋 ℝ − { + 𝜅𝜋, 𝜅 𝜖 ℤ} 2
𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑖𝑛
1
𝐼 =] − 1 , 1 [
1 𝑞 𝑥 (𝑞
∈
𝑄+∗ )
1 − 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
−1
𝐼 =] − 1 , 1 [
1 − 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥
1 1 + 𝑥2
ℝ
𝑒𝑥
𝑒𝑥
ℝ
ln 𝑥
1 𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒𝑥 𝑠 𝑥 = 2
𝑐 𝑥
ℝ
𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 𝑐 𝑥 = 2
𝑠 𝑥
ℝ
1 𝑐2 𝑥
ℝ
𝑡𝑥 = =
𝑒 2𝑥 𝑒 2𝑥
𝑠𝑥 𝑐𝑥 −1 +1
20
ℝ
∗ +
4-2-5مشتق الدالة المركبة تعرٌف: لتكن 𝑓 و 𝑔 دوال معرفة كما ٌلً : 𝐽 ⟶𝐼 ∶𝑓 𝐾 ⊂ 𝐽𝑔 ∶ 𝐾 ⟶ ℝ , إذا كانت الدالة 𝑓 قابلة لالشتقاق عند النقطة ، 𝑥0 ∈ Iوإذا كانت الدالة 𝑔 قابلة لالشتقاق عند النقطة 𝐽𝜖 , 𝑦0 = 𝑓 𝑥0إذن 𝑔 𝜊 𝑓 :قابلة لالشتقاق عند النقطة 𝑥0ولدٌنا : ) × 𝑓′(𝑥0
𝑥0 = 𝑔′ 𝑓 𝑥0
′
𝑓𝜊𝑔
مثال : 𝑓, 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 /1دالة قابلة لالشتقاق على ℝو لدٌنا 𝑥 𝑓 ′ 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 × (− sin 𝑥) = −3 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑓, 𝑓 𝑥 = cos (𝑥 2 + 1) /2دالة قابلة لالشتقاق ولدٌنا )𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 (−𝑠𝑖𝑛(𝑥 2 + 1)) = −2 𝑥 sin(𝑥 2 + 1 /3
2 +1
𝑥 𝑒 = 𝑥 𝑓 𝑓 ,دالة قابلة لالشتقاق على ℝ
ولدٌنا: 2 +1
𝑥 𝑒 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 2
: 5-2-5مشتق الدالة العكسٌة لتكن 𝑓 دالة معرفة ،مستمرة ورتٌبة تماما على ] [a,bو 𝑓 −1دالتها العكسٌة إذا كان 𝑓 دالة قابلة لالشتقاق عند 𝑥0و 𝑓 ′ 𝑥0 ≠ 0 إذن : 𝑓 −1 /1قابلة لالتقاق عند ) 𝑦0 = 𝑓 (𝑥0 /2لدٌنا : 1 𝑓′ο𝑓 −1
=
21
′
𝑓 −1
1 ) 𝑓 ′ (𝑓 −1 y
= 𝑦0
′
𝑓 −1
مثــــال : 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 /1هً دالة تقابلٌة قابلة لالشتقاق من [ − 1,1الى
𝜋 𝜋
] − ,و
2 2
1 1− 𝑥 2
=
′
𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑐𝑟𝑎
𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 /2هً دالة تقابلٌة قابلة لالشتقاق على ℝإلى[
𝜋 2
,
𝜋− 2
]و
1 1+𝑥 2
=
′
𝑥 𝑎𝑟𝑐 tan
6-2-5مشتق الدوال من الرتب العالٌة : لتكن 𝑓دالة قابلة لالشتقاق على𝐼 و مشتقتها هً . 𝑓 ′إذا كانت 𝑓′قابلة لالشتقاق على 𝐼مشتقتها هً ، 𝑓′′ نقول أن 𝑓′′هً المشتق الثانً لـ 𝑓 بصفة عامة المشتق حتى الدرجة 𝑛 لـ 𝑓 هو مشتق من الرتبة 𝑛 وهو معرف بالعالقة التراجعٌة التالٌة : 𝑓 = ), ∀ n ≥ 0 , 𝑓 (0
′
n−1
𝑓 = )𝑓 (n
مثــــال: من اجل 𝜋𝑛 𝑁 𝜖𝑛 و𝑥 𝜖 ℝلدٌنا 2
𝑥 = sin 𝑥 +
𝑛
𝑛𝑖𝑠
𝑥𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 𝑓
𝜋 ) 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 = sin(𝑥 + 2 ⋮ 𝜋 𝑓 𝑛 𝑥 = sin ) 𝑛 (𝑥 + 2
/2من اجل كل 𝜋𝑛 𝑛 𝜖 ℕو 𝑥 𝜖ℝلدٌنا 2
𝑥 = cos 𝑥 +
-6استخدامات المشتقات: 2-6التقعر و التحدب : 22
𝑛
𝑠𝑜𝑐
تعرٌف : لتكن 𝑓 دالة حقٌقٌة معرفة على مجال نقول ان 𝑓 دالة محدبة هذا ٌعنً ان : )𝑦(𝑓 𝑡 ∀𝑥, 𝑦𝜖𝐼, ∀𝑡 𝜖 0,1 ; 𝑓 𝑡𝑥 + 1 − 𝑡 𝑦 ≤ 𝑡𝑓 𝑥 + 1 −
التفسٌر الهندسً للتحـــدب
𝑦 )𝑦(𝑓
𝑄
𝑁
)𝑦(𝑓 𝑡 𝑡𝑓 𝑥 + 1 − )𝑦 𝑡 𝑓(𝑡𝑥 + 1 −
𝑀
)𝑥(𝑓 𝑝 𝑦 𝑡 𝑡𝑥 + 1 −
𝑦
𝑥
𝑥
خصائص: لتكـن 𝑓 دالة معرفة على مجال حقٌقً 𝐼 القضاٌا التالٌة متكافئة ( ) 1الدالة 𝑓محدبة على 𝐼 ()2
𝑥 𝑓𝑓 𝑧 − 𝑥𝑧−
)𝑦(𝑓𝑓 𝑧 − 𝑦𝑧−
≤
𝑥 𝑓𝑓 𝑦 − 𝑥𝑦 −
⟹ 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖𝐼,
≤
( ) 3من اجل كل 𝐼𝜖 ، 𝑥0التطبٌق المعروف بـ application pente en 𝑥0 معرفة على } 𝐼 ̸{𝑥0بـ : ) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 𝑥 − 𝑥0 23
⟼𝑥
هو عبارة عن تطبٌق متزاٌد () 4 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 ≥0 )𝑧(𝑓 )𝑦(𝑓 )𝑥(𝑓
3
⟹ 𝑧 < 𝑦 < 𝑥 ∀ 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 𝜖𝐼 :
قاعدة لوبٌطال )(règle de l’hôpital لتكن 𝑓و𝑔 دالتان معرفتان ،مستمرتان وقابلتان لالشتقاق بجوار نقطة 𝑥0اذن )𝑥( 𝑓 ′ ) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 lim ′ = 𝑙 ⇒ lim 𝑙= )𝑥( 𝑔 𝑥⟶𝑥 0 ) 𝑥⟶𝑥 0 𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑥0 )𝑥( 𝑓 ′ ) 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0 lim ′ = ∞ ⇒ lim ∞= )𝑥( 𝑔 𝑥⟶𝑥 0 ) 𝑥⟶𝑥 0 𝑔 𝑥0 − 𝑔(𝑥0 إذا كانت
)𝑥( 𝑓 ′ )𝑥( 𝑔 ′
lim𝑥⟶𝑥 0غٌر موجودة ال نستطٌع استنتاج النهاٌة
مثــــال: sin x−x x3
( limx⟶0هً عبارة عن حالة عدم التعٌٌن من الشكل
0 0
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥 ⇒ 𝑓 0 = 0 𝑔 𝑥 = 𝑥3 ⇒ 𝑔 0 = 0 )𝑓 𝑥 − 𝑓(0 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − = )𝑔 𝑥 − 𝑔(0 𝑥3 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2 )𝑥( 𝑓 ′ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 lim ′ = lim )𝑥( 𝑔 𝑥⟶0 𝑥⟶0 3𝑥 2 للمرة الثانٌة نجد : نطبق قاعدة لوبٌطال َ 𝑓 ′ 𝑥 = cos 𝑥 − 1 ⇒ 𝑓 ′ 0 = 0 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥 2 ⇒ 𝑔′ 0 = 0 24
𝑥𝑓 ′ ′ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑒𝑡 𝑔′′ 𝑥 = −6 ولدٌنا: − cos x −1 −sinx 1 = ⇒ lim =− x⟶0 x⟶0 6 6 6 6 lim
𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 1 = − 𝑥⟶0 3𝑥 2 6
⇒ lim
𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = − 𝑥⟶0 𝑥2 6
⇒ lim
تمـــرٌــــن : أحسب النهاٌات التالٌة : 𝑥 2 +1−x+2 x+3
∞(1) lim𝑥⟶±
)𝑎 ثابت حقٌقً (𝑥𝑎 2 lim𝑥⟶±∞ 𝑥 2 + 𝑥 + 1 − 1
x 3 −1 x−1
𝑥𝑔𝑡 −
1 𝑥𝑠𝑜𝑐
(3) lim𝑥⟶1 𝜋⟶𝑥 4 lim
2
𝑥𝜋
) ( 𝑔𝑡 ) (5) lim𝑥⟶𝑎 (𝑎2 − 𝑥 2 𝑎2
الدالة اللوغارٌتمٌة : تعرٌف: نعرف اللوغارٌتم النٌبٌري ،ونرمز له بالرمز 𝑛𝑙،الدالة الوحٌدة المعرفة على [∞ ]0, +نحو ℝبحٌث, ln 1 = 0 :
1 𝑥
= ∀ 𝑥 𝜖 ]0, +∞[, (ln 𝑥)′
خصائص : الدالة 𝑛𝑙 هً عبارة عن دالة مستمرة ومتزاٌدة تماما على المجال [∞ ]0, +باالضافة الى 25
/1من اجل كل𝑦 𝑥,عددٌن موجبٌن تماما لدٌنا : 𝑦 𝑎) ln 𝑥𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 + ln 1 𝑥 = − ln 𝑥
𝑏) ln
𝑥 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − ln 𝑦
𝑐) ln
𝑥𝑛𝑙𝛼 = 𝛼 𝑥 𝑑) ln /2من اجل𝑙𝑛𝑥 ≤ 𝑥 − 1, 𝑥 > 0 : /3لدٌنا بعض النهاٌات المتداولة : ∞𝑎) lim ln 𝑥 = −∞, lim ln 𝑥 = + 𝑥→0
∞𝑥→+
𝑥 ln 1 + 𝑥 ln 1 + = 0, lim = 1 ∞𝑥→+ 𝑥→0 𝑥 𝑥
𝑏) lim
𝑥 ln = 0+; ∝> 0 ∝ 𝑥 ∞𝑥→+ lim
)𝑐
𝑥 ∝ln 1+ 𝑥∝ = = ∝, lim =1 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 ln )𝑥 ∝(1+
𝑑) lim
𝑒) lim 𝑥 ∝ ln 𝑥 = 0; ∝> 0 𝑥→0
تعرٌف : لٌكن [∞ 𝑎 𝜖 ]0 , 1 ∪ 1, +اللوغارٌتم ذو األساس 𝑎،
26
التطبٌق المعرف على [∞ ]0, +بـ : ln )𝑥( ln )𝑎(
= 𝑥 𝑎𝑔𝑜𝑙 ∀ 𝑥 > 0,
حساب مــــرونة "تابع" 𝑓 دالة و 𝐸 مرونة التابع فاِن : ومنه :
𝑥 𝑥 𝑓
𝑥 𝑓 𝑛𝑙𝑑 𝑥𝑛𝑙𝑑
=𝐸
𝐸 = 𝑓′ 𝑥 .
(المرونة = النسبة بٌن التغٌٌر النسبً للتابع و التغٌٌر النسبً للمتحول ) مثــــــال اوجد (احسب ) مرونة التكالٌف بالنسبة لإلنتاج عندما تكون كمٌة اإلنتاج 𝑥 = 12 إذا كانت دالة التكالٌف هً 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 7𝑥 + 10 : لدٌنــــــا : 𝑥 = 12 𝑥 ⋯= 𝑦
𝐸 = 𝑦′
/8الـــدالة األسٌة : تعرٌف :الدالة األسٌة ذات األساس 𝑎 𝑎 > 0هً معرفة كما ٌلً : 𝑓: ℝ → ℝ
27
)𝑎( 𝑛𝑙𝑥 𝑒 = 𝑥 𝑎 = 𝑥 𝑓 = 𝑦 ⟼ 𝑥 هذه الدالة عبارة عن دالة مستمرة على ℝومشتقتها كما ٌلً : 𝑥 𝑎 𝑎 = ln 𝑎 𝑒 𝑥𝑙𝑛 (𝑎) = ln
′
𝑎
𝑛𝑙𝑥 𝑒 =
′
𝑥𝑎
حالـــــــة خاصـــــة الدالة األسٌة ذات األساس 𝒆 خصائص : ∎ 𝑒0 = 1 𝑥 = 𝑥 𝑒 ∎∀ 𝑥 𝜖 ℝ , ln 𝑥 = )𝑥( ∎∀ 𝑥 𝜖 ℝ+ , 𝑒 ln 𝑦 𝑒 × 𝑥 𝑒 = 𝑦∎∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2 , 𝑒 𝑥+ 𝑥𝑒 𝑦𝑒
1 𝑥𝑒
= 𝑦∎∀ 𝑥, 𝑦 𝜖 ℝ2 , 𝑒 𝑥−
= 𝑥∎∀ 𝑥 𝜖 ℤ , (𝑒 𝑥 )𝑥 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑒 − )𝑥(𝑢 𝑒 𝑥 )′ = 𝑢′
𝑥
𝑢 𝑒( ∀∎
بعــــض النهــاٌــات المعــــــروفة : ex − 1 ∎ lim =1 𝑥→0 x
28
∞∎ lim ex = + ∞𝑥→+
∎ lim ex = 0 ∞𝑥→−
𝑥𝑒 ∎ lim 𝛼 = + ∞; 𝛼 ∈ ℤ 𝑥 ∞→𝑥
قضٌـــــــة : 1 من اجل كل عددٌن حقٌقٌٌن𝑐 و𝑏 لدٌنا : ∗ 1b = 1 ∗ 𝑥 𝑏+𝑐 = 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐 , (𝑥 𝑏 )𝑐 = 𝑥 𝑏𝑐 𝑠𝑖 𝑥 > 0 إذا كان 𝑥 > 0و
𝑦>0
لدٌنا: 𝑐 𝑦 𝑐 𝑥 = 𝑐)𝑦𝑥(
إذا كان 𝑥 > 0لدٌنا: 1 𝑐𝑥 قضٌـــــة : 2
𝛼<0 𝛼 =0 𝛼 >0
𝑖𝑠 𝑖𝑠 𝑖𝑠
0 1/ lim 𝑥 = 1 ∞𝑥→+ ∞+ 𝛼
29
= 𝑐𝑥 −
𝛼<0 𝛼 =0 𝛼 >0
𝑖𝑠 𝑖𝑠 𝑖𝑠
∞+ 2/ lim 𝑥 = 1 𝑥→0 0 𝛼
النشــــــــر المحــــــدود : تعرٌـــــف: لٌكن 𝑥0 𝜖 ℝو𝐼 مجال منٌ ℝحوي
, 𝐼 ≠ 𝑥0 ، 𝑥0ولتكن 𝑓 دالة معرفة على 𝐼 او
} 𝐼 ∖ {𝑥0 )𝑓 غٌر معرفة عند . ) 𝑥0لتكن ، 𝑛 𝜖 ℕتقول أن 𝑓 تقبل نشر محدود من الرتبة 𝑛 بجوار 𝑥0 إذا وجد 𝑛𝑎 𝑥0 ,𝑎1 , … ,أعداد حقٌقٌة و 𝜖: 𝐼 → ℝ بحٌث : )∝( 𝜖 𝑛) + (𝑥 − 𝑥0
𝑛
∀ 𝑥 𝜖 𝐷, 𝑓 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 − 𝑥0 + 𝑎 , , +𝑎𝑛 𝑥 − 𝑥0
مع lim𝑥→𝑥 0 𝜖 𝑥 = 0 من اجل 𝑥0معدوم نتحصل على نشر "ماك لوران" مثـــــــــال: ) 𝑛 𝑥(+ 0
30
𝑛
𝑥 𝑛 !𝑥 𝑛=0
1 𝑒 𝑥 𝑥→0
+ 0 𝑥 2𝑛+1
+ 0 𝑥 2𝑛+2
𝑛𝑥 2
𝑛
! 𝑛2
𝑥 2𝑛 +1
−1
𝑥
𝑛 𝑥 𝑥 𝑛+ + 0
−1
! 2𝑛 +1
∝−1 −−− ∝−𝑛+1 !𝑛
𝑛 𝑛=0
∝
𝑛 𝑛=0
𝑛 𝑛=1
حـــــاالت خــــــاصة: لدٌنــــــا: 𝟎≥∝∗ ∝ −1 − − − ∝ −𝑛 + 1 = C∝n !𝑛
∝
𝟏∗ ∝ = − 𝑘
∝ −1 − − − ∝ −𝑛 + 1 = −1 !𝑛
∝
إذن: 𝑛
𝑘𝑥 𝑥𝑘 + 0
𝑘
−1 𝑛 =0
1 = 1 + xx→0
ونستنتج أٌضا : n
xk + 0 xk n= 0
31
1 = 1 − 𝑥x→0
= 2 cos(𝑥)𝑥→0
=𝑥→0
=
∝ 𝑥→0
𝑥 3 sin
𝑥4 1+
ا م ت ان ت وانت هيت ال هىو ا لت
ممي ش انر ي ث ت ون LMD
ر ت و هىو انت يير ان ه هت 2
ر
:1عّٛ ِ ٓ١عح ذ س٠
اٌدٚاي اٌراٌ١ح 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 -1 :
𝑓 𝑥 = ln (𝑙𝑛𝑥) -3
ر
:2
ر
:3
-1
حعة إٌٙا٠اخ اٌراٌ١ح :
،
x2 x2 4
-4
𝑥 𝑥 1+
= 𝑥 𝑓 .
1 1 1 -2 ، 2 x x
lim x 2
-3
-2 ،
1 lim 1 x 0 1 e x
𝑥1− 1−𝑥 2
lim x 0
1 1 1 x2 x
،
.
زض اظرّساز اٌرٛات اٌراٌ١ح عٕد x0ف ٟوً حاٌح :
𝑥≠0
-a
𝟐𝒙𝟏−
𝟏+𝒙𝟐 − 𝒙
𝑥=0 -b
ً٘ اٌداٌح
fاٌّ سفح تاٌ ىً اٌراٌ: ٟ 2
1−𝑥 2
−
ذمثً ذّد٠دا تا ظرّساز عٕد . 𝑥 = −1 ٚ 𝑥 = 1
= 𝑥 𝑓 ِ
1
1
𝑥1−
𝑥0 = 0
= 𝑥 𝑓
ر
:4
حعة ِ رماخ اٌرٛات اٌراٌ١ح :
ر
:5
ر
:6ع ٓ١اٌم ُ١اٌحس ح ٌٍرات اٌراٌ ُ ٟا رثس س اٌسذثح اٌ أ١ح ٌر ٓ١١إٌٙا٠اخ اٌ
-1
𝑥𝑠𝑜𝑐
1+𝑐𝑜𝑠 2
=)-2 ، 𝑓(x
sin x
f (x ) x
-3 ،
-4 ، f ( x ) x x
f ( x ) 3 . x 1.cos x
تئظر ّاي لاعدج ٌٛت ١اي احعة إٌٙا٠اخ اٌراٌ١ح :
) -1
𝑥 𝑒1+ 𝑥
( ∞، lim𝑥→+
-2
)𝑥𝑛𝑙 lim𝑥→+∞ (𝑒 −𝑥 𝑥 2 ّ ٚ ٝاٌص س: ٜ
Y x 4 36x 3 28x 2 17
ر
= 𝑥 𝑓 ،
حعة اٌّ رك ف ٟوً ِٓ اٌدٚاي اٌ ّٕ١ح اٌراٌ١ح :
:7
5x 4 y 3 x 2 y 0 .1 3x 3 x 2 log y 12 0 .2
ر
:8
ر
:9
1 2x 3
حعة اٌّ رمح ِٓ اٌسذثح nفّ١ا -1 : ٍٟ٠
.1
ٔ س اٌرات
.2
ٔ س اٌرات
1 2𝑥 −3
Y
-2 ،
= 𝑥 𝑓 ت ٛاز ِٓ x0 2اٌسذثح ِ nوراتح تالٟ
𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2ت ٛاز اٌصفس ِٓ اٌسذثح n 32
Y sin 2 x
سأ .
2
2
x
اٌفصــــــــــــــــً اٌ أٟ
اندوال ذاث دة مت ى ث
مفاهٌم عامة المشتقات الجزئٌة من المرتبة األولى المشتقات الجزئٌة من المرتبة الثانٌة تفاضل الدوال ذات عدة متحوالت القٌم الحدٌة للدوال ذات عدة متحوالت
33
الدوال ذات عدة متغٌرات مفاهٌم عامة : تعرٌف :1نسمً دالة ذات عدة متغٌرات حقٌقٌة كل دالة معرفة من جزء 𝐸 من 𝑛 ℝأو كل 𝑛 ℝفً .ℝ صورة نقطة 𝑀 ذات اإلحداثٌات ) 𝑛𝑥 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,هً عدد حقٌقً نرمز له بــ 𝑓(𝑀) :أو ) 𝑛𝑥 f(𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,أي : 𝑓 ∶ 𝐸 ⊑ ℝ𝑛 → ℝ (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) → 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) ∈ ℝ مثال : 2
𝑓∶ℝ →ℝ 𝑥 2 +𝑦 2 2
= 𝑦 𝑥, 𝑦 → 𝑓 𝑥,
تعرٌف :2مجموعة تعرٌف دالة هً مجموعة العناصر ) 𝑛𝑥 (𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,من 𝑛 ℝالتً لها صورة فعلٌة وفق 𝑓 ،و نرمز لها بـ 𝐷𝑓 ( 𝐷𝑓 :هً جزء من 𝑛 ℝأو 𝑛 ℝكلها ). مثال : 2
𝑓∶ℝ →ℝ
-1 𝑦𝑥
𝑥 2 +𝑦 2
0,0
→ 𝑦 𝑥,
فإن :
𝐷𝑓 = ℝ2 − 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ
-2
) 1 − (𝑥 2 + 𝑦 2
→ 𝑦 𝑥,
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1
فإن : = 𝑓𝐷
النهاٌات و االستمرار : تعرٌف :1لتكن 𝑓 معرفة بجوار ، 𝑀0 = (𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0 ) 𝑀0ربما غٌر معرفة عند .𝑀0 نسمً : 𝑛𝑥 lim(𝑥 1 ,𝑥 2 ,...,𝑥 𝑛 )→(𝑥 10 ,𝑥 20 ,…,𝑥 𝑛0 ) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , . . . ,إن وجدت بنهاٌة 𝑓 عند .𝑀0 مثال: 34
1 𝑦𝑥
𝑛𝑖𝑠 ، 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑦 2فإن : lim(𝑥,𝑦 )→(0,0) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0
تعرٌف :2نقول أن
مستمرة عند 𝑥0إذا كانت :
𝑓- 1معرفة عند ) .𝑀0 = (𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0 .lim(𝑥 1 ,𝑥 2 ,...,𝑥 𝑛 )→(𝑥 10 ,𝑥 20 ,…,𝑥 𝑛0 ) 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑥10 , 𝑥20 , … , 𝑥𝑛0 )- 2 مثال : )(𝑥0 , 𝑦0 ) = (0,0
، 𝑥, 𝑦 ≠ 0,0
𝑖𝑠
𝑥, 𝑦 = 0,0
si
1 𝑦𝑥
𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 + 𝑦 2 0
= 𝑦 𝑓 𝑥,
𝑓 -1معرفة عند ( )0,0و لدٌنا : ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 𝑦2
lim
)𝑥,𝑦 →(0,0
1 𝑦𝑥
𝑛𝑖𝑠 𝑥 2 + 𝑦 2
≤ 𝑦 𝑓 𝑥,
≤ − 𝑥2 + 𝑦2
lim
)𝑥,𝑦 →(0,0
𝑓 𝑥, 𝑦 = 0 = 𝑓 0,0
)→(0,0
− 𝑥2 + 𝑦2
≤
lim
)𝑥,𝑦 →(0,0
𝑦⟹ lim 𝑥,
إذن 𝑓 مستمرة عند . 0,0 المشتقات الجزئٌة: - 1المشتقات الجزئٌة من الرتبة األولى :إذا كان 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,فإن المشتقات الجزئٌة من المرتبة االولى هً: 𝑍𝜕 𝑥𝜕
إذا كان
= 𝑥𝑓 ′ 𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑍′
𝑡 𝑍 = 𝑓 𝑥, 𝑦,فإن المشتقات الجزئٌة لـ 𝑍 من المرتبة االولى هً: 𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑥𝑍′
،
𝑍𝜕 𝑦𝜕
= 𝑦𝑍′
مثال : -1
و
𝑍𝜕
𝑦𝜕 = 𝑦.𝑓 ′ 𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑍′
𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2
فإن : 35
،
𝑍𝜕 𝑡𝜕
= 𝑡. 𝑍′
=3𝑥 2 − 3𝑦 2 -2
𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑥 𝑍′و
𝑦𝑥=−6
𝑍𝜕 𝑦𝜕
= 𝑦𝑍′
𝑦𝑠𝑜𝑐𝑥 𝑍 = 𝑥 2 𝑒 −𝑡 +فإن : 𝑦𝑠𝑜𝑐 = 2𝑥𝑒 −𝑡 +
𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑥= −𝑥𝑠𝑖𝑛𝑦 ، 𝑍′ 𝑡= −𝑥 2 𝑒 −
𝑍𝜕
𝑍𝜕 𝑦𝜕
= 𝑦𝑍′
و
= 𝑡. 𝑍′
𝑡𝜕
-2المشتقات الجزئٌة من الرتبة الثانٌة :لٌكن 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,قابال للتفاضل فإن
𝑍𝜕 𝑥𝜕
هً
أٌضا قابلة للتفاضل و نحصل على المشتقة الجزئٌة من الرتبة الثانٌة كما ٌلً: 𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
و اٌضا إذا كان
𝑍𝜕 𝑦𝜕
=
𝑍𝜕
𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑍𝜕2
و
𝑥𝜕𝑦𝜕
=
𝑍𝜕
𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
قابال للتفاضل نحصل على : 𝑍𝜕2 𝑦𝜕𝑥𝜕
=
𝑍𝜕
𝜕
𝑦𝜕
𝑥𝜕
و
𝑍𝜕2
إذا كان التابع 𝑓 و مشتقاته مستمرة فإن :
𝑍𝜕2
𝑥𝜕𝑦𝜕
=
𝜕𝑦 2 𝑍𝜕2 𝑦𝜕𝑥𝜕
=
𝑍𝜕
𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
.فً الحالة العامة المساواة غٌر صحٌحة.
مثال : 𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2
𝑦=−6
𝑍𝜕2 𝑥𝜕 𝑦𝜕
=
فإن :
𝑍𝜕
𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
و
𝑦=−6
𝑍𝜕2 𝑦𝜕𝑥𝜕
=
𝑍𝜕
𝜕
𝑦𝜕
𝑥𝜕
التفاضل الكلً : العبارة 𝑑𝑥 𝑍 =𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑍𝑥 ′𝑑𝑥 :تسمى تفاضل التابع 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,بالنسبة للمتغٌر ،𝑥 :و نسمً 𝑑𝑦 𝑍 =𝑑𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑍𝑦 ′𝑑𝑦 :بتفاضل التابع 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,بالنسبة للمتغٌر ،𝑦 :و منه نحصل على التفاضل الكلً لـ 𝑍 :حسب العبارة التالٌة : 𝑦𝑑𝑑𝑦 = 𝑍𝑥 ′𝑑𝑥 + 𝑍𝑦 ′ مثال : 𝑍 = 𝑥 3 − 3𝑥𝑦 2
فإن : 36
𝑍𝜕 𝑦𝜕
𝑑𝑥 +
𝑍𝜕
𝑥𝜕 = 𝑍𝑑 .
𝑍𝜕
𝑦𝑑)𝑦𝑥𝑑𝑦 = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 𝑑𝑥 + (−6
𝑦𝜕
𝑑𝑥 +
𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑍𝑑
المشتق الكلً :إذا كان 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,و كانت 𝑥 و 𝑦 تتعلقان بمتغٌر و لٌكن 𝑡 أي 𝑥 = 𝑔 (𝑡) :و )𝑡( = 𝑦 فإن المشتق الكلً لــ 𝑍 ٌكتب بالشكل التالً : = 𝑍𝑥′ . 𝑥′ + 𝑍𝑦′ . 𝑦′
𝑦𝑑 𝑡𝑑
.
𝑍𝜕 𝑦𝜕
+
𝑥𝑑 𝑡𝑑
.
𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑍′
مثال : 𝑥 𝑍 = 𝑥𝑦 +
حٌث 𝑛𝑖𝑠 = 𝑥 و 𝑡𝑠𝑜𝑐 = 𝑦.
𝑡𝑛𝑖𝑠 = 𝑦 + 1 . 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑥.
فإن :
𝑦𝑑 𝑡𝑑
.
𝑍𝜕 𝑦𝜕
+
𝑥𝑑 𝑡𝑑
.
𝑍𝜕 𝑥𝜕
= 𝑍′
الدوال المحدبة و الدوال المقعرة : تعرٌف :1لتكن 𝐸 مجموعة جزئٌة من 𝑛 𝑅 .تكون 𝐸 مجموعة محدبة إذا كان : 𝐸 ∈ 𝑦 ∝∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ∀∝∈ [0,1] , ∝ 𝑥 + 1− تعرٌف 𝑓 :2دالة معرفة على مجموعة 𝐸 محدبة من 𝑛𝑅 . 𝑓 - 1دالة محدبة ) (convexeعلى 𝐸 إذا كان من اجل كل ] ∝∈ [0,1و من اجل كل 𝐸 ∈ 𝑦 ٌ 𝑥,كون : )𝑦(𝑓 ∝𝑓(∝ 𝑥 + 1−∝ 𝑦 ≤∝ 𝑓 𝑥 + 1− إذا كانت المتراجحة اقل تماما (< ) نقول أن 𝑓 محدبة تماما. 𝑓 - 2دالة مقعرة ) (concaveعلى 𝐸 إذا كان : )𝑦(𝑓 ∝𝑓(∝ 𝑥 + 1−∝ 𝑦 ≥∝ 𝑓 𝑥 + 1− ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ∀∝∈ [0,1] ، إذا كانت المتراجحة اكبر تماما (> ) نقول أن 𝑓 مقعرة تماما. مالحظة : - 1إذا كانت الدالة 𝑓 محدبة فإن النقطة التً تحقق ∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 0تعٌن نقطة حدٌة صغرى 𝑦𝜕𝑓 𝑥,
للتابع 𝑓( .
𝑥𝜕 𝑦𝜕𝑓 𝑥,
= 𝑦 )∇𝑓 𝑥,
𝑦𝜕
- 2إذا كانت الدالة 𝑓 مقعرة فإن النقطة التً تحقق ∇ 𝑥, 𝑦 = 0تعٌن نقطة حدٌة عظمى للتابع 𝑓. أمثلٌة الدوال المتعددة المتغٌرات (القٌم الحدٌة للدوال المتعددة المتغٌرات) :
37
تعرٌف :نقول عن التابع 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,أنه ٌأخذ قٌمة عظمى محلٌة 𝑍 من اجل القٌم )𝑦 (𝑥 ,إذا كان تغٌٌر قٌمة أي واحد من المتغٌرات ٌجعل قٌمة الدالة 𝑍 أقل من قٌمتها 𝑍 و بنفس الطرٌقة نعرف النهاٌة المحلٌة الصغرى للتابع. الشرط الالزم و الكافً لوجود النهاٌة المحلٌة ( العظمى و الصغرى ) : 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,تقبل نهاٌة محلٌة فً النقطة ) 𝑎(𝑎1 , 𝑎2إذا تحقق : 𝑎 =0 -1
𝑍𝜕 𝑦𝜕
𝑍𝜕
= 𝑎
،و ٌسمى بشرط المرتبة األولى.
𝑥𝜕
- 2شرط المرتبة الثانٌة : 𝑍𝜕2
إذا كان 𝑎 > 0 :
و 𝑎 >0
𝜕𝑥 2 𝑍𝜕2
𝑎 >0
𝑍𝜕2
𝑥𝜕𝑦𝜕
𝑎 .
𝑍𝜕2
و كان
𝜕𝑦 2
𝑍𝜕2
𝑎 -
𝑦𝜕𝑥𝜕
𝜕𝑦 2
𝑎 .
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
نقول أن 𝑎 تعٌن
نهاٌة محلٌة صغرى. 𝑍𝜕2
إذا كان 𝑎 < 0 : 𝑎 >0
𝑍𝜕2 𝑥𝜕𝑦𝜕
و 𝑎 <0
𝜕𝑥 2 𝑍𝜕2
𝑎 .
𝑎 -
𝑦𝜕𝑥𝜕
𝑍𝜕2 𝜕𝑦 2
𝑍𝜕2
و كان
𝜕𝑦 2
𝑎 .
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
نقول أن 𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة
عظمى. مالحظة :1
𝑍𝜕2
إذا كان 𝑎 < 0
سرج ،أما إذا كان
𝑎 .
𝑥𝜕𝑦𝜕 𝑍𝜕2
𝑎 =0
𝑍𝜕2
𝑥𝜕𝑦𝜕
𝑎 .
𝑎 −
𝑦𝜕𝑥𝜕 2 𝑍 𝜕
𝑦𝜕𝑥𝜕
𝑍
𝑎 .
𝜕𝑦 2 𝑍𝜕2
𝑎 −
𝜕𝑦 2
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2 𝑍𝜕2
𝑎 .
نسمً النقطة
بنقطة
فإن االختبار غٌر
𝜕𝑥 2
حاسم. مالحظة ٌ :2مكن كتابة الشروط السابقة بالصٌغة التالٌة :اي تكون 𝑎 نهاٌة محلٌة للتابع 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,إذا تحقق : = 0 )1
)𝑎( )𝑎(
)2إذا كان
𝑍𝜕 𝑥𝜕 𝑍𝜕
𝑎 =0
=)𝑎(𝑍∇ أي
𝑍𝜕
و 𝑎 =0
𝑥𝜕
𝑍𝜕 𝑦𝜕
.
𝑦𝜕
)𝑎(
𝑍𝜕2 𝑥𝜕𝑦𝜕 𝑍𝜕2
)𝑎( 2
𝑎 >0
𝑦𝜕 𝑍𝜕2 𝜕𝑦 2
(𝑎) > 0
)𝑎( )𝑎(
𝜕𝑥 2 𝑍𝜕2
𝑦𝜕𝑥𝜕
= )𝑎( 𝑓𝐻
) ( Hessienneو
𝑦𝜕𝑥𝜕
𝑎 +
𝑍𝜕2
𝑍𝜕2
𝑎 .
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
=
𝑍𝜕2 𝑥𝜕𝑦𝜕
𝑎 𝑓𝐻 𝑟𝑡 و
𝑎 −
𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة صغرى.
38
𝑍𝜕2 𝜕𝑦 2
𝑎 .
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
=
𝑎 𝑓𝐻 det
نقول أن
<0
𝑎 𝑓𝐻 𝑟𝑡 و det(𝐻𝑓 (𝑎)) > 0نقول أن 𝑎 تعٌن نهاٌة محلٌة عظمى.
مثال :1 1
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 ، 𝑍 = 𝑥 3 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2لدٌنا 𝑍 ∈ ∁2 :و 3
𝑍𝜕
= 𝑥2 + 𝑦 = 0
𝑥𝜕
= 𝑥 + 2𝑦 = 0 فنحصل على النقاط الحرجة التالٌة : 1 2
𝑥2 1
1 2
1
1
4
2
𝑦𝜕
) (0,0و ) .( , −
= 𝑦 𝐻𝑓 𝑥,و منه : 1 1
=
=1>0
1 4
1 4
,−
,−
1 2
1
1
1
2
4
2
4
,−
1 2
𝑓𝐻 𝑟𝑡 و
𝑓𝐻 detاذن ) ( , −تعٌن نهاٌة محلٌة صغرى.
0 1 1 2 −1 < 0اذن ) (0,0نقطة سرج. مثال :2نأخذ التابع :
1
𝑓𝐻 و منه = 3 > 0
= 𝐻𝑓 0,0و منه = 2 > 0
𝑡𝑟 𝐻𝑓 0,0و =
det 𝐻𝑓 0,0
𝑡𝑥 ، 𝑍 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑡 2 − 𝑥𝑦 −لدٌنا : = 2𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = 0 = 2𝑦 − 𝑥 = 0 = 2𝑡 + 𝑥 = 0
الحرجة
𝑍𝜕
𝑍𝜕 𝑥𝜕 𝑍𝜕 𝑦𝜕 𝑍𝜕 𝑡𝜕
،فنحصل على النقاط
𝑎 = 0,0,0و منه : −1 1 = 2 0 0 2
2 = −1 1
𝑍𝜕2
𝑍𝜕2
𝑥𝜕𝑡𝜕 𝑍𝜕2
𝑥𝜕𝑦𝜕 𝑍𝜕2
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2 𝑍𝜕2
𝑦𝜕𝑡𝜕 𝑍𝜕2
𝜕𝑦 2 𝑍𝜕2
𝑦𝜕𝑥𝜕 𝑍𝜕2
𝜕𝑡 2
𝑡𝜕𝑦𝜕
𝑡𝜕𝑥𝜕
𝐻𝑓 0,0,0 لنحسب : 39
= 𝑡 𝐻𝑓 𝑥, 𝑦,
−2 =0
2
𝜆2− −1 1 det −1 𝜆2− 𝜆0 = 2− 1 0 𝜆2−
𝜆2−
فنحصل على λ1 = 2و λ2 = 2 + 2و . λ3 = 2 − 2بما أن λi > 0من اجل 𝑖 = 1,2,3فإن التابع 𝑍 ٌقبل نهاٌة حدٌة صغرى عند النقطة 0,0,0و هً صغرى كلٌة. مالحظة :إذا كانت λi < 0من اجل كل 𝑖 فإن التابع 𝑍 ٌقبل نهاٌة حدٌة عظمى عند النقطة 𝑎 و هً عظمى كلٌة. النهاٌات الحدٌة المقٌدة بقٌود التساوي (مضاعف الغرانج ): )(Lagrange إذا كانت الدالة
𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,خاضعة للقٌد g 𝑥, 𝑦 = 0فإنه ٌمكن كتابة المسألة بالشكل : )𝑦 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆𝑔(𝑥,
و تسمى الدالة 𝜆 𝐿 𝑥, 𝑦,بدالة الغرانج حٌث 𝑦 𝑓 𝑥,تسمى بدالة الهدف و )𝑦 𝑔(𝑥,هو القٌد الذي وضع مساوٌا للصفر و بالتالً اضافة 𝜆𝑔 𝑥, 𝑦 = 0ال تغٌر من قٌمة دالة الهدف. مثال :لتكن المسألة : 𝑍 = 𝑥𝑦 2 تحت القٌد 𝑥−𝑦 =1 تعٌٌن القٌم الحدٌة و بٌان نوع كل منها ,لدٌنا : )𝑦 𝐿 𝑥, 𝑦, 𝜆 = 𝑥𝑦 2 + 𝜆(1 − 𝑥 +و منه : 𝐿′𝑥 = 𝑦 2 − 𝜆 = 0 𝐿′𝑦 = 2𝑥𝑦 + 𝜆 = 0 𝐿′𝜆 = 1 − 𝑥 + 𝑦 = 0 2 4
1
3 9
3
و منه نحصل على نقطتٌن حرجتٌن هما )1,0,0( :و ( .) , − , اختبار النقطتٌن الحرجتٌن و لذلك ٌجب حساب : 2𝑦 − 1 𝑥2 1 1 0
0 𝑦= 2 −1
𝐿𝜕2
𝐿𝜕2
𝐿𝜕2
𝑥𝜕𝜆𝜕 𝐿𝜕2
𝑥𝜕𝑦𝜕 𝐿𝜕2
𝜕𝑥 2 𝐿𝜕2
𝑦𝜕𝜆𝜕 𝐿𝜕2
𝜕𝑦 2 𝐿𝜕2
𝑦𝜕𝑥𝜕 𝐿𝜕2
𝜕𝜆 2
𝜆𝜕𝑦𝜕
𝜆𝜕𝑥𝜕
40
= 𝜆 𝐻𝐿 𝑥, 𝑦,و منه :
0 0 −1 ، detإذن النقطة ( )1,0,0تعٌن (𝐻𝐿 (1,0,0)) = 𝑑𝑒𝑡 0 2 1 = −2 < 0 −1 1 0 2 نهاٌة حدٌة صغرى للمسألة و .min 𝑥𝑦 = 0 −1
4 3 2
−
0
2 4
1
، detإذن النقطة (𝐻𝐿 ( , − , )) = 𝑑𝑒𝑡 − 4 1 =2>0 3 3 9 3 3 −1 1 0 4 1 2 4 2 ) ( , − ,تعٌن نهاٌة حدٌة عظمى للمسألة و = 𝑦𝑥 .max 3 9
27
3
النهاٌات الحدٌة المقٌدة بقٌود التباٌن : نظرٌة ( :شروط كون تاكر ) ( )Karush, Kuhn et Tucker إذا كان التابع 𝑦 𝑍 = 𝑓 𝑥,الخاضع للقٌود 𝑔𝑖 𝑥, 𝑦 ≤ 0حٌث 𝑚 ، 𝑖 = 1, … ,قابلة كلها لالشتقاق باستمرار ،فإن الشرط الالزم حتى تكون ) (𝑥0 , 𝑦0نهاٌة حدٌة حسب ) (K.K.Tهو ٌ :وجد 𝑖 = 1, … , 𝑚 ، 𝜆𝑖 ≥ 0تسمً مضاعفات الغرانج بحٌث : 𝑚 ∇𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑖=1 𝜆𝑖 ∇𝑔𝑖 𝑥0 , 𝑦0 = 0 𝑚 𝜆𝑖 𝑔𝑖 𝑥0 , 𝑦0 = 0 , 𝑖 = 1, … ,
𝑻 𝑲. 𝑲.
إذا كان 𝑓 و 𝑖𝑔 محدبة فإن الشروط السابقة تكون الزمة و كافٌة لــ ) (𝑥0 , 𝑦0حتى تكون ) (𝑥0 , 𝑦0نقطة حدٌة كلٌة. مثال :حل المسألة التالٌة :
𝑦min 𝑍 = 𝑥 2 + 3 تحت القٌد 2𝑥 − 𝑦 ≤ −3
،أي أن 𝑔 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 + 3 ≤ 0
و منه : 2𝑥 + 2𝜆 = 0 3−𝜆 =0 𝜆(2𝑥 − 𝑦 + 3) = 0
𝑻 𝑲. 𝑲.
فنحصل على 𝑥0 = 𝑦0 = −3 :و 𝑚𝑖𝑛(𝑥 2 + 3𝑦) = 0و ذلك من اجل 𝜆 = .3
41
م ت ان ميد ان هيت ال هىو ا لت ت وانت
ا
ممي ش انر ي ث ت ون LMD
ر ت و هىو انت يير ان ه هت 3
ر
:1
حعة اٌرفا ً اٌىٌٍٍ ٟرٛات اٌراٌ١ح : t
.1
ر
ر
Z yx y
،
.2
.1
* تفس
.2
تفس
y
ْ :
x
Z xy xeتس٘ٓ ْ :
xy 2 ْ : x y
Z Z . x y xy Z x y
2Z 2 2 Z 6xy 2 x 2 y . x x y 3
Z تس٘ٓ ْ :
.
:3حعة اٌّ رماخ اٌىٍ١ح ٌٍرٛات اٌراٌ١ح : x cos t , y sin t
:4
* .2
. Z
Z xy
/
.
ُ Zحعة لّ١رٗ عٕد ٘رٖ إٌما
. Z 5x 2 8x 2xy 6 y 4 y 2 27 . Z x 2 4 y 2 2x 4 y . Z x 3xy 15x 12 y
.3
2
3
𝑥 2 +𝑦 2
.4 :5تاظر ّاي اٌح
.2
/
x2y2
زض إٌٙا٠اخ اٌّحٍ١ح ( إٌٙا٠اخ اٌحد٠ح ) ٌٍرات
* .1
.1
1
x e t , y e t
.2
ر
.3
:2
.1
ر
Z xy t
،
2
Z x y y tt x
x . Z xy * .4 ، y
*
سأ
𝑒=𝑍 .
ع ٓ١اٌم ُ١اٌحد٠ح ٌٍرٛات اٌراٌ١ح ُ حعة لّ١ح : Z
Z x 2 y 2 xy x y . S.C x y 3 𝑍 = 𝑥2 + 𝑦3 𝑆. 𝐶 2𝑥 − 2𝑦 = −1
م ح ت :األظ ٍح اٌر ٟعٍٙ١ا * ذرسن ٌٍ ٍثح .
42
:
اٌفصــــــــــــــــً اٌ اٌث
انتكـــــــــــ مم وانتفــــــــــ التفاضل التكامل
43
م
انتف
م
ٔ ٍُ ٔٗ إذا واْ اٌرات y = 𝑓(𝑥):فاْ ِ رك ٘را اٌرات ٘:ٛ
dy dx
=
Δy Δx ′
𝑓 ′ 𝑥 = y ′ = lim△𝑥→0
ح١ث ٛ٘ dyذفا ً اٌرات dxٚذفا ً اٌّرحٛي ٘را 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 ْ ٟٕ ٠ .I
ف
م ي بع ِا ٘ ٛإ حاصً دا ء ِ رك ٘را اٌرات ف ٟذفا ً اٌّرحٛي اٌّر ٍك تٗ. 𝑦 = x 2 + 2x − 1
ِ اي :ذفا ً اٌرات
٘𝑑𝑦 = (2x + 2)dx : ٛ .II
ف م بع انت بع: ٌ١ىٓ اٌرات 𝑢 𝑓 = 𝑦 ح١ث 𝑥 𝑔 = 𝑢 ٔ ٍُ ْ ِ رك اٌرات yتإٌعثح ي 𝑥 ٘𝑢 . 𝑢′𝑥 :ٛ
𝑢 𝑦′𝑥 = 𝑓 ′
ت سب اٌ سف ٓ١فٔ d 𝑥 ٟحصً عٍ𝑦′𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 ′ 𝑢 𝑢 . 𝑢′𝑥 . 𝑑𝑥 :ٝ .III
𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑢 𝑢 . 𝑑𝑢 :ِٕٗ ٚ ىاص انتف م: 𝑑 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑑𝑣 + 𝑑𝑤 )1 𝑑 𝑢. 𝑣 = 𝑣. 𝑑𝑢 + 𝑢. 𝑑𝑣 )2 𝑑 𝑐. 𝑢 = 𝑐. 𝑑𝑢 )3ح١ث 𝑐 اتد )4
.IV
𝑣𝑑𝑢𝑣𝑑𝑢 − 𝑣²
=
𝑢 𝑣
𝑑 ح١ث 𝑣 ≠ 0
ح١ث 𝑤 ٟ٘ 𝑢, 𝑣,ذٛات لاتٍح ٌٍّفا ٍح تإٌعثح ٌّر ١س ِا 𝑥 ث ان تت نيت: انتف ٌ١ىٓ اٌرفا ً 𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥 :ح١ث ٔ رثس َٚا 𝑥 dاترا ا ر١از٠ا ف ١ّ ٟاٌحعاتاخ. فئذا فا ٍٕا ٘را اٌرسو١ة حصٍٕا عٍ ٝاٌرفا ً اٌ أٔٚ ٟسِص ٌٗ ب :ٞ d²y 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑑 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑑²𝑦 = 𝑦 ′′ . 𝑑𝑥. 𝑑𝑥 = 𝑦 ′′ . 𝑑𝑥² ٘ٚىرا فئْ 𝑑 3 y = 𝑦 ′′′ . 𝑑𝑥 3 . . . 𝑛 𝑥𝑑 )𝑛( 𝑦 = 𝑦 𝑛 𝑑 𝑦 = 2𝑥 4 − 𝑥 + 1
ِ اي ٚ :د اٌرفا ً ِٓ اٌّسذثح اٌ اٌ ح ٌٍرات فئْ 𝑑 3 y = 48𝑥. 𝑑𝑥 3 : م ح ت ٞ 𝑑𝑥² = 𝑑𝑥. 𝑑𝑥 :وّ١ح ِست ح تّٕ١ا 𝑦 ٛ٘𝑑²زِص.
44
انتك مم انت بع ا صهي :زظٕا ظاتما و ٔ ١د اٌرات اٌّعّ ِ ٝرك ذات ِفسٚاٌ ىع١ح ٟ٘ٚو١ف١ح إ ٠ا ذىاًِ ذات ِ رمٗ ذات ِ ٍ.َٛ
ٔٚأذ ٟاٌ ْ٢دزاظح اٌّعأٌح
ر ف :اٌرات األصٌٍٍ ٟرات ) ٛ٘ f(xذٌه اٌرات ) F(xاٌر ِ ٞرمٗ ٠عا ٞٚاٌرات اٌّ :ٞ f(x) ٝ )٠ ٚ F ′ x = f(xعّ F(x) ٝتاٌرات األصٌٍ ٟـ ).f(x ِ ايِ :ا ٘ ٛاٌرات األصٌٍٍ ٟرات 𝑥 = y ٔالحظ ْ
′
x² 2
= 𝑥 ٘ٚىرا فئْ
ٌ١ط ٚح١دا فٕ د ِ ال + 3 :
𝑥² 2
𝑥² 2
− 3,
𝑥 = ٚ yت ىً عاَ ّ٠ىٕٕا ْ ٔىرة ٘ٚىرا فئْ ٌىً ذات ِعرّس ٛ٠د
٘ ٛاٌرات األصٌٍٍ ٟرات = yإ 1 𝑥²
− ,
2 2
𝑐+
𝑥² 2
𝑥² 2
ٕٔا ٔالحظ ْ ٘را
ٟ٘ٚ … ,ذٛات صٍ١ح ٌٍرات
ح١ث cاتد و١فٟ
ٔٙا٠ح ِٓ اٌرٛات األصٍ١ح اٌر ٟذخرٍ
عٓ ت
ٙا
اٌث ض تّمداز اتد ا ر١از ٞفئذا واْ ) ٛ٘ F(xاحد٘ا فئْ ِ ّٛعح اٌرٛات األصٍ١ح ٌـ F(x)+c ٟ٘ f xح١ث ٠ىِ ْٛحمما𝐹(𝑥) + 𝑐 ′ = F’(x)=f(x) :
انتك مم غير ان د ر فٔ :عّ ٟعٍّ١ح اٌثحث عٓ اٌرات األصٍ ٟتاٌّىاٍِح ١س اٌّحد ج ِ .ا اٌ ثازج اٌر ٟذّ ً اٌرات األصٌٍ ٟـ ) f(xفرعّ ٝاٌرىاًِ ١س اٌّحد ٌٍرات )ٔٚ f(xسِص ٌٙا تـ ٔٚ ∫ f x . dxعّf(x) ٝ اٌرات اٌّىاًِ ِا xف١عِّ ٝر ١ساٌّىاٍِحٔٚ ،ىرة∫ f x dx = F x + c :
انتك مم ان د انتك مم ان د ٘ ٛحعاب اٌّعاحح اٌّحصٛزج ذحد إٌّحٕ y=f(x) ٝعٕدِا ٠ى ِ ْٛاي ذ ١س ٛ٘ x 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎. ٌٚمد تم١د ِعأٌح حعاب اٌّعاحح اٌّحصٛزج ا ً إٌّحٕ ٝص ثح دا ،حر ٝاءخ اٌرىاًِ اٌّحد ٌٍ اٌُ 45
زّ٠اْ اٌر ٞحً ٘رٖ اٌّ ىٍح . فئذا واْ اٌّ ٍٛب حعاب اٌّعاحح اٌّحصٛزج ت ٓ١اٌّحٛز األفمٚ ox ٟاٌّعرمx=aٚ x=bٓ١ّ١ ٚإٌّحٕ ٝاٌر ِ ٞا ٌرٗ ) ،y=f(xفئٕٔا ٔمعُ اٌّ اي 𝑏 𝑎,ت د ِٓ إٌمط xiإٌ ٝعد ِٓ x اٌّ ا خ اٌ صئ١ح تح١ث : x0 = a < x1 < ⋯ < xi < xi+1 < ⋯ < xn = b إذا حعثٕا اّٛ ِ ْ٢ع ِعاحاخ اٌّعر ١الخ اٌّثٕ١ح ف ٟاٌ ىً حصٍٕا عٍ ٝلّ١ح ذمس٠ث١ح ٌٍّعاحح S
فئذا اش ا عد ٔمط اٌرمع ُ١إٌِ ٝا ٔٙا٠ح تح١ث ٕ٠رٛ ٟٙي ِ اي صئ ٟإٌ ٝاٌصفس ٚأر ٝٙعٕدئر ِ ّٛع ِعاحاخ اٌّعر ١الخ إٌٙٔ ٝا٠ح ِحد ٚج .فئْ ٘رٖ إٌٙا٠ح ذّ ً اٌّعاحح اٌّ ٍٛتح ٔ ٚثس عٓ ذٌه تاٌ ىً : n−1
f xi . ∆xi
n−1
= yi xi+1 − xi i=0
=S i=0
ٚتأ ر ٔٙا٠ح اٌّ ّٛع عٕدِا ٔٚ 0 ← ∆xiد: n−1
S′ = lim
f xi . ∆xi i=0
ذ س٠
∆x i →0
ٔ :عّ ٟإٌٙا٠ح ) S′إْ ٔٚدخ) اٌرىاًِ اٌّحد ٌٍرات ) a ِٓ f(xإٌ ٔ ٚ b ٝثس عٓ ذٌه تاٌ ىً n−1
f xi . ∆xi
b
f x dx = lim
i=0
∆x i →0
ٔ ٚعّ b , a ٟحد ٞاٌرىاًِ األ ٔ ٚ ٝاألعٍ ٝعٍ ٝاٌرسذ١ة. 46
=I a
9
مث ل :حعة اٌرىاًِ − = 8 2
25 2
=
5
x²
2 3
=
5 ∫3 𝑥. dx
ىاص انتك مم ان د إذا واْ ) g(x),f(xاٌرِ ٓ١عرّسذ ٓ١ف ِ ٟاي اٌر ١١س 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 فئْ: b
a
1. ∫a 𝑓(𝑥). dx = − ∫b 𝑓(𝑥). dx a
c
b
2. ∫a 𝑓(𝑥). dx = 0 b
𝑏 3. ∫a 𝑓(𝑥). dx = ∫a 𝑓 𝑥 . dx + ∫c 𝑓(𝑥). dx , 𝑐 ∈ 𝑎, b
b
b
𝑥 𝑔𝛽 4. ∫a 𝛼𝑓 𝑥 ±
. dx = α ∫a 𝑓 𝑥 . dx ± β ∫a 𝑔 𝑥 . dx ح١ث α‚βاتراْ
إذا واْ 𝑏 5. 𝑓 𝑥 ≥ 0 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, b
فئْ ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≥ 0 إذا واْ 𝑏 6. 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔(𝑥) , ∀𝑥 ∈ 𝑎, b
b
فئْ ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ ∫a 𝑔 𝑥 . dx
b
b
7. ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ ∫a 𝑓 𝑥 . dx , a<b إذا واْ 𝑏 8. 𝑚 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑀 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, b
فئْ𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫a 𝑓 𝑥 . dx ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎): انتك مم غير ان د :ورثٕا ف ٟاٌعاتك ْ ٠ٚ ∫ 𝑓 𝑥 . dx = 𝐹 𝑥 + 𝑐 :مس اٌ سف األ٠عس اٌرىاًِ ١س اٌّحدٌٍ ٚرفا ً ٠ٚ 𝑓 𝑥 . dxعّ ٝاٌ د اٌ اتد cاٌّ ٛ ٛف ٟاٌ سف اٌ أٟ ت اتد اٌرىاًِ. ِالح ح :إذا ع ٕ١ا اٌّ رك فئْ 𝑥 𝑓 = 𝑦 ′فئْ ذات ٗ األصٍٚ ،𝐹 𝑥 + 𝑐 ٟإذا ع ٕ١ا اٌرفا ً فئْ ذىاٍِٗ 𝑦 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx = 𝐹 𝑥 + 𝑐 : انتك م ث انشهيرة:
= ∫ 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑛 . dx
)2
∫
)3
+ c , ∀n \ n ≠ −1 + c , a ≠ 0, ∀n \ n ≠ −1
𝑎𝑥 +𝑏 𝑛 +1 a n+1
𝑥 𝑛 +1
= ∫ 𝑥 𝑛 . dx
)1
n+1
= log x + c 47
dx x
𝑐 ∫ 𝑒 𝑥 . dx = 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑎
)4
∫ 𝑎 𝑥 . dx = 𝑙𝑜𝑔𝑎 + 𝑐 \𝑎 > 0
)5
∫
)6
∫
)7
𝑐 ∫ 1+𝑥² = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +
)8
∫
)9
∫
)10
∫
)11
∫ 1−𝑥² = 𝑎𝑟𝑔𝑡𝑥 + 𝑐 = 2 log
)12
𝑐 ∫ sin 𝑥 . dx = − cos 𝑥 + 𝑐, ∫ cos 𝑥 . dx = sin 𝑥 +
)13
𝑐 ∫ cos ² 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐 , ∫ sin ² 𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 +
)14
∫ ch 𝑥 . dx = sh x + c , ∫ sh 𝑥 . dx = ch x + c
)15
𝑐 ∫ ch ² 𝑥 = 𝑡 𝑥 + 𝑐, ∫ 𝑥+𝑎 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑎 +
)16
∫ ∫ tg 𝑥 . dx = ∫ cos 𝑥 dx = −
)17
∫ = ∫ ctg 𝑥 . dx = ∫ sin 𝑥 dx
)18
∫
)19
𝑐 ∫ sin 𝑥 = log tg 2 +
)20
∫ cos 𝑥 = log tg
)21
𝑐 = arcsin 𝑥 + 𝑐 = arccos 𝑥 +
𝑐 = 𝑎𝑟𝑔𝑠 𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑟𝑔𝑐 𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐+
𝑥1+ 𝑥1−
1
𝑥𝑑
2 𝑎
=
𝑥𝑑 1−𝑥² 𝑥𝑑− 1−𝑥² 𝑥𝑑 𝑥𝑑
1+𝑥 2 𝑥𝑑 𝑥²−1 𝑥𝑑 𝑏𝑎𝑥 + 𝑥𝑑
𝑥𝑑
𝑥𝑑
𝑐 = − log cos 𝑥 +
𝑥 𝑑 cos
𝑐 = − log sin 𝑥 +
𝑥 𝑛𝑖𝑠
𝑥 cos 𝑥 𝑑 sin 𝑥 sin
𝑥𝑑
𝑥 𝑠𝑜𝑐
𝑐 =2 𝑥 + 𝑥
𝑐+
ىاص انتك م ث غير ان
𝜋 4
+
𝑥 2
𝑥𝑑
𝑥 𝑥𝑑
𝑥𝑑
دو ة :
ّ٠ .1ىٓ إ ساج عاًِ اتد ِٓ ذحد إ ازج اٌرىاًِ ٚتاٌ ىط ْ ْٚذر ١س إٌر ١ح : ٞ , ∫ 𝐴𝑓 𝑥 . dx = A ∫ 𝑓 𝑥 . dxح١ث Aاتد. .2ذىاًِ اٌّ ّٛع اٌ ثس ٌ ٞدج ذٛات ٠عا ٞٚاٌّ ّٛع اٌ ثسٌ ٞرىاِالخ ٘رٖ اٌرٛات :ٞ 𝑔 𝑥 . dx
انطرق ان مت في ا
𝑓 𝑥 . dx ±
= 𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) . dx
تك ل :
ظرىّاي ذات عٍٕ١ا ف ٟاٌثدا٠ح ْ ٕٔ س ٌص ١رٗ فستّا واْ ِ ً ّ٠رما ٌرات ِ ٍ َٛفئْ واْ األِس ورٌه اظرٕر ٕا ذات ٗ األصٍٚ ٟإ فئٕٔا ٔ رّد عٍ ٝت ض اٌ سق اٌر ٟذس اٌرىاًِ اٌّفس ٚذىاًِ ِ سٚف 48
٘ ُ٘ ٚرٖ اٌ سق ا ٕراْ: .1طر مت غيير ان ت ىل "انتك مم ب نت ى ض" ٌحعاب اٌرىاًِ ٔ 𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dxس ٞذح٠ٛال ِٕاظثا ٌٍّر ١س اٌر ٞذرُ اٌّىاٍِح تإٌعثح ٌٗ فٕ x = φ tح١ث φ tذات ِعرّس ٚلاتً ٌال رماق ،عٕدئر ٚ 𝑑𝑥 = φ′ t . dt :تاٌر ٠ٛض فٟ اٌرىاًِ ٔ د 𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dx = ∫ 𝑓 φ t . φ′ t . dt φ tب .x
ت د إ ٠ا اٌرىاًِ ٔ ٛ ِ اي ) :( 1حعة اٌرىاًِ
3dx 5𝑥 − 1 تفس
=𝐼
ْ 𝑑𝑡 = 5𝑑 ⇐ t=5x-1 dt 5
= 𝑥𝑑
إذْ 3 3 I = log t + c = log 5x − 1 + c, log = ln 5 5 ِ اي :2حعة اٌرىاًِ 𝑥𝑑 1 − 𝑥².
𝑡 ِٕٗ ٚ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 ⇐ 𝑥 = sin
تّا ْ ّ٠ xىٓ ْ ذر اٚش ٌ 1رٌه ّ٠ىٓ ْ ٔفس 𝑡𝑑 𝑑𝑥 = cos 𝑡. 𝑡𝑑 cos 𝑡 . cos 𝑡 .
=𝐼
= 𝑡𝑑 1 − sin2 𝑡 . cos 𝑡 .
𝑡1 + cos 2 𝑡𝑑 2
= 𝑡𝑑 cos² 𝑡 .
=𝐼 =
𝑡𝑡 1 sin 2 𝑡 𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 2 sin 𝑡 cos + . = 𝑐+ + 𝑐+ 2 2 2 2 4 𝑥 𝑥 𝑎𝑟𝑐 sin + 𝑐 1 − 𝑥² + 2 2 .2طر مت انتك مم ب نت سئت:
49
=
=
إذا واْ اٌ ٕصس اٌرفا ٍ ٟف ٟاٌرىاًِ ِٓ 𝐼 = ∫ 𝑓 𝑥 . dxاٌ ىً 𝑣𝑑 ّ٠ ٚ 𝑢.ىٓ ٚ
ٗ تٙرا اٌ ىً
ح١ث uذات v ٚذات آ س ،فّ١ىٓ ا ظرفا ج ِٓ ظرٛز ذفا ً داء ذات : ٓ١ 𝑢𝑑𝑣 𝑑 𝑢. 𝑣 = 𝑢. 𝑑𝑣 + ح١ث ّ٠ىٓ وراترٗ تاٌ ىً: 𝑢𝑑𝑣 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢. 𝑣 − ٚتأ ر ذىاًِ اٌ سفٔ ٓ١حصً عٍ ٝاٌمأ:ْٛ 𝑢𝑑𝑣
𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 −
ٚتٙرٖ اٌ س٠مح ٔى ْٛلد أرمٍٕا ِٓ حعاب اٌرىاًِ 𝑣𝑑 ∫ 𝑢.اٌر٠ ٞى ْٛعا ج لً ص ٛتح ِٓ األٚي إذا حعٕا ا ر١از اٌرات .u,v ٓ١ ذعر ًّ ٘رٖ اٌ س٠مح و ١سا ظّ١ا ف ٟاٌحا خ ا٢ذ١ح: ان نت ا ون :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً𝐼 = ∫ 𝑥 𝑛 . 𝑒 𝑎𝑥 . 𝑑𝑥 : 𝑥𝑑 𝑢 = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑛𝑥 (𝑛 −1) . 1 ٔفس 𝑥𝑎 𝑒 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑎𝑥 . 𝑎
𝑥
ِ اي :حعة اٌرىاًِ 𝑥𝑑 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑒 . 𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 = 𝑢 𝑥 𝑒 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 . 𝑐 𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 +
𝐼 = 𝑥𝑒 𝑥 −
ان نت انث نيت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً: 𝑥 𝑛 . cos 𝑤𝑥 . dx ٔفس
ا𝑥 𝑛 . sin 𝑤𝑥 . dx ٚ
𝑥𝑑 𝑢 = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑛. 𝑥 (𝑛 −1) . 𝑥𝑤 sin = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = cos 𝑤𝑥. 𝑤
ِ اي :حعة اٌرىاًِ∶ 𝐼 = ∫ 𝑥. sin 2𝑥 . dx 𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 = 𝑢 𝑥cos 2 𝑑𝑣 = sin 2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = − 2 𝑥 1 𝐼 = ∫ 𝑥. sin 2𝑥 . dx = − cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥 . dx 2
2
𝑥 𝑥1 sin 2 = − cos 2𝑥 + 𝑐+ 2 2 2 50
ان نت انث نثت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً𝐼 = ∫ 𝑥 𝑛 . log 𝑥 . 𝑑𝑥 : ٞإذا واْ اٌ ٕصس اٌرفا ٍ٠ ٟر ّٓ ذات ا ١س عا ….., arc sin 𝑥, log𝑥 ً ِ ٞ رك ذات ا ثس٠ا ،ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ٔفس ٚواْ ِ ٖ 𝑥𝑑 = 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 𝑢 = log 𝑥 𝑥 𝑛+1 𝑛 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑥 . 𝑛+1 ِ اي :حعة اٌرىاًِ𝐼 = ∫ 𝑥. log 𝑥 . 𝑑𝑥: 𝑥𝑑 𝑥 𝑥2
ٔفس
2
= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 𝑢 = log = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑥. 𝑥2
1
log 𝑥 − ∫ dx 2 2 𝑐+
𝑥2 4
log 𝑥 −
𝑥2 2
𝑥2 2
= 𝑥𝑑 𝐼 = ∫ 𝑥. log 𝑥 .
= 𝑐+
1 𝑥2
log 𝑥 −
2 2
𝑥2 2
=
ِ اي :حعة اٌرىاًِ∶ 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . dx 𝑥𝑑 𝑥²+1 𝑥2
ٔفس
2 𝑥².
= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 = 𝑢 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = 𝑥.
1
∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − dx 2 𝑥²+1 dx 𝑥𝑑
𝑥2
= 𝐼 = ∫ 𝑥. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 . dx
2 𝑥²+1−1 𝑥²+1
1
1
∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − 2 1
∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫ dx + 2 2 𝑥²+1 𝑐 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 +
𝑥2
1
1
2
2
𝑥2 2
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 +
2
=
=
𝑥2 2
=
ان نت انراب ت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً: ∫ 𝑒 𝑎𝑥 . cos 𝑤𝑥 . dxا∫ 𝑒 𝑎𝑥 . sin 𝑤𝑥 . dx ٚ ٔفس
𝑥𝑑 𝑢 = 𝑒 𝑎𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑎. 𝑒 𝑎𝑥 . 𝑥𝑤 sin = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = cos 𝑤𝑥 . 𝑤
ِ اي :حعة اٌرىاًِ𝐼 = ∫ 𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 . dx: ٔفس
𝑥𝑑 𝑢 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 . 𝑥sin 2 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 𝑑𝑣 = cos 2𝑥 . 2
𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 . dx
sin 2𝑥 1 − 2 2 51
𝐼 = 𝑒𝑥.
𝑥𝐼1 = ∫ 𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 . d
ٔ
ٔ ِٕٗ ٚفس
𝑥𝑑 𝑢1 = 𝑒 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢1 = 𝑒 𝑥 .
𝑥cos 2 2
𝑑𝑣1 = sin 2𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣1 = −
𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 . dx =I
cos 2𝑥 1 𝑒 . sin 2𝑥 . dx = −𝑒 . + 2 2 𝑥
𝑥
sin 2𝑥 1 cos 2𝑥 1 − −𝑒 𝑥 . + I 2 2 2 2
= 𝐼1
𝐼 = 𝑒𝑥.
5 𝑥 sin 2𝑥 1 𝐼 = 𝑒𝑥. 𝑥− 𝑒 . cos 2 4 2 4 4 1
4 1
5 4
5 2
𝑐 I= . 𝑒 𝑥 . sin 2𝑥 + . 𝑒 𝑥 . cos 2𝑥 + 𝑐 2 sin 2𝑥 + cos 2𝑥 + ان نت انخ م ت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً:
𝑥𝑑 𝑛 1+ 𝑥²
𝑥𝑒 5
=
∫ = In
إلٔ اش ٘را اٌرىاًِ ِا ٠عّ ٝت س٠مح اٌرسا ٌ ٞ ،حعاب اٌرىاًِ ٔثد تحعاب I1 𝑐 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 +
1
𝑥𝑑 1 + 𝑥²
= I1
حرٔ ٝصً إٌ ٝحعاب ٚ Inذٌه تئ ٠ا عاللح ذستط ت ِٓ In−1 ٚ In ٓ١ذ ث١ك ظرٛز اٌر صئح عٍ ٝاٌرىاًِ 𝑥𝑑 = In−1 1 + 𝑥² 𝑛−1 ٔ 1 𝑥𝑑 2(1 − 𝑛)𝑥. ⇒ 𝑢𝑑 = 1 + 𝑥² 𝑛−1 𝑛 1 + 𝑥² 𝑥 = 𝑣 ⇒ 𝑥𝑑 = 𝑣𝑑
=𝑢
𝑥 𝑥𝑑 𝑥². + 𝑛(2 − )1 1 + 𝑥² 𝑛−1 𝑛 1 + 𝑥² 𝑥 𝑥² + 1 − 1 = + 𝑛(2 − )1 𝑥𝑑 1 + 𝑥² 𝑛−1 𝑛 1 + 𝑥²
= In−1
52
=
𝑥 1 + 𝑥²
= In =
𝑑𝑥 1 + 𝑥²
+ 2(𝑛 − 1) 𝑛−1
2n−3 2(n−1)
𝑥 1 + 𝑥²
𝑛−1
. In−1 +
− 𝑛−1
𝑑𝑥 1 + 𝑥²
𝑛
+ 2(𝑛 − 1) In−1 − In 𝑥
2(𝑛 −1) 1+ 𝑥² 𝑛 −1
+ c :ْإذ ًِ حعة اٌرىا:ِ اي
𝑑𝑥 1 + 𝑥²
I3 =
3
2.3 − 3 𝑥 . I2 + 2(3 − 1) 2(3 − 1) 1 + 𝑥² 2 3 𝑥 = I2 + 4 4 1 + 𝑥² 2 2.2 − 3 𝑥 I2 = . I1 + 2 2−1 2 2 − 1 1 + 𝑥2 1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 2 2 1 + 𝑥2
I3 =
ْإذ I3 =
3 1 𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 4 2 2 1 + 𝑥2
I3 =
𝑥 4 1 + 𝑥²
+ 2
+
𝑥 4 1 + 𝑥²
2
3𝑥 3 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝑐 8 1 + 𝑥2 8
𝐼 = ∫ sinn 𝑥 . dx ٚ ∫ = 𝐼اcos n 𝑥 . dx :ً إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ى:ت
ان نت ان
cos 2 𝑥 ًىرة اٌرىاًِ تاٌ ى٠ ٘رٖ اٌحاٌحٟف 𝑢 = cos n−1 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = ⋯ 𝑑𝑣 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = ⋯
ٔفس
𝐼 = ∫ cos 3 𝑥 . dx ًِ حعة اٌرىا: ِ اي 𝐼=
cos 2 𝑥. cos 𝑥 . dx 𝑢 = cos 2 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = −2 cos 𝑥. sin 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = sin 𝑥
𝐼 = sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + 2 53
cos 𝑥. sin2 𝑥 . dx
ٔفس
𝑥 sin2 𝑥 . d sin
= sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + 2
2 𝑐 𝐼 = sin 𝑥 . cos 2 𝑥 + sin3 𝑥 + 3 𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑑 𝐼 = ∫ 1 − sin² 𝑥 .
ٚت س٠مح ذ ١١س اٌّرحٛي ٔفس 𝑐+
𝑥𝑑 𝑢 = sin 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = cos 𝑥.
𝑥 sin 3
𝑢
3
3
𝐼 = ∫ 1 − 𝑢² . 𝑑𝑢 = 𝑢 − + 𝑐 = sin 𝑥 −
م ح ت :إل ٠ا اٌرىّالخ لد ذخرٍ فّ١ا تٕٙ١ا.
األ ٛتح ىال تا رالف اٌ سق اٌّرث ح ٌٚىٓ ٘رٖ األ ٛتح ِرىاف ح
ك مم انك ى ان طمت ٔمصد تاٌىعس إٌا ك وعسا تع ٗ ِٚماِٗ و ١س حدٔٚ ٚسِص ٌٗ ب ٠رّد ف ٟاٌدز ح األ ٌٝٚعٍ ٝذفس٠مٗ إٌ ٝوعٛز تع ١ح ِٓ اٌ ىً
)𝑥(𝑓
ٚ ،اظرىّاي اٌىعس إٌا ك
)g(x 𝐴
ِٓ ٚاٌ ىً
𝑥−a n
𝑏𝐴𝑥+ r
𝑥²+p𝑥+q
ح١ث r ,nعد اْ ِ ٛثاْ صح١حاْ. ٠ٚرس ف ٟاٌىعس اٌ أ٠ ْ ٟىِ ْٛماِٗ ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح (و ١س حد) ٚ ب ض ان
٠مثً رٚزا حم١م١ح.
ث انخ صت :
ان نت ا ون :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً 𝑥𝑑 =𝐼 k2 + 𝑥 2 ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ٔىرة اٌرىاًِ ِٓ تاٌ ىً 𝑥𝑑 1 𝑥𝑑 1 1 𝑥 𝑘 𝑘 = = 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 +c 2 𝑥 𝑘 𝑘 1+ 𝑥 ² k 1+ k k² ان نت انث نيت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً 𝑥𝑑 =𝐼 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + ح١ث اٌّماَ
٠مثً رٚزا حم١م١ح. 54
1 𝑘
=𝐼
ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ٔ ٔ ٚ ١سح اٌّمداز إلذّاَ إٌِ ٝست واًِٚ ،ت د اإلصالح ٠صثح اٌّماَ عٍ ٝىً ِ ّٛع ِست ٟحد: ٞ ٓ٠
𝑞+ 𝑝 ² 2 ٔفس
𝑝 2
2
𝑥𝑑 𝑝 2 𝑝 x 2 + 𝑝𝑥 + − 2 2
=𝐼
𝑥𝑑
/k² = q − + 𝑘2
2
=
𝑝 2
x+
ٚ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = x +تاٌراٌ ٟفئْ: 𝑢𝑑 1 u = 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 +c 𝑘 k 2 + 𝑢2 k
=𝐼
ِ اي :حعة اٌرىاًِ: 𝑥𝑑 x 2 − 2𝑥 + 5 ٔ
=𝐼
ِٕٗٚ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = x − 1 𝑥𝑑 1 u = 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 +c x − 1 2 + 42 2 2
=I
1 𝑥−1 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 = +c 2 2 ان نت انث نثت :إذا واْ اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً A𝑥 + B 𝑥𝑑 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 +
=𝐼
ح١ث اٌّماَ ٠مثً رٚزا حم١م١ح. 𝑞 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 𝑝 𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + ٔفس ِٕٗٚ 𝑥𝑑𝑝 𝑑𝑢 − = 𝑥𝑑𝑥 2 تاٌر ٠ٛض ٔ د: 𝑥𝑑𝑝 𝑑𝑢 − A 𝑥𝑑+ B 2 =𝐼 u ٠ىرة ٘را اٌرىاًِ تاٌ ىً 55
𝑥𝑑 𝑞 + 𝑝𝑥 + 𝑥𝑑 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + ٚاٌرىاًِ اٌّ ٛ ٛف ٟاٌ ِ اي :حعة اٌرىاًِ :
𝑢𝑑 𝑝𝐴 + 𝐵− 𝑢 2
𝑥2 𝐴 𝑝𝐴 𝐼 = log 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐵 − 2 2 سف األٌ ّٓ٠مد عاٌ ٕٗ ف ٟاٌحاٌح اٌ أ١ح .
2𝑥 + 1 𝑥𝑑 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 ٔفس
𝐴 2
=𝐼
=𝐼
𝑑𝑢 + 2𝑑𝑥 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇐ 𝑢 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 5
تاٌر ٠ٛض ٔ د: 𝑥𝑑 𝑑𝑢 + 2𝑑𝑥 + = u
𝑢𝑑 𝑥𝑑 +3 𝑢 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 3 𝑥−1 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 = log 𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + +c 2 2 م ح ت :إذا واْ اٌّماَ 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 +ف ٟاٌحاٌر ٓ١اٌ أ١ح ٚاٌ اٌ ح ٠مثً رز ٓ٠حم١مٓ١ فعٕس ْ ٜوال اٌىعس٠ ٓ٠حًٍ إٌّٛ ِ ٝع وعسِ ٓ٠ماَ وً ِّٕٙا ِٓ اٌدز ح األ ٕ٠ٚ ٌٝٚص ذىاٍِٗا تعٌٛٙح فر ك ر ن طك إن م ىع ى ب يطت. ٌ١ىٓ اٌىعس إٌا ك
)𝑥(𝐹
=𝐼
ٌرفس٠مٗ إٌّٛ ِ ٝع وعٛز تع ١ح ،فٍرفس٠مٗ إٌّٛ ِ ٝع وعٛز
)𝑥(g
تع ١ح ٕٔ ,س إٌ٘ ٝرا اٌىعس فئْ وأد لٛج اٌثعط وثس ٠ ٚعا ٞٚلٛج اٌّماَ فئٕٔا ٔمعُ اٌثعط عٍ ٝاٌّماَ ٠ ٚىرة ٘را اٌىعس تاٌ ىً: )𝑥(𝐹 )𝑥(𝑓 =Q 𝑥 + )𝑥(g )𝑥(g ح١ث Q xحاصً اٌمعّح 𝑓(𝑥)،اٌثالٚ ، ٟذى ْٛز رٗ الً ِٓ ز ح اٌّماَ تدز ح ٚاحدج عٍ ٝاأللً. )𝑥(𝐹
)𝑥(𝑓
)𝑥(g
)𝑥(g
ٔٚالحظ ْ اظرىّاي اٌىعس
٠ؤٚي إٌ ٝاظرىّاي اٌىعس
ألْ ذىاًِ و ١س اٌحد ٚظٚ ًٙ
ِ سٚف. ِ اي :حعة اٌرىاًِ : 𝑥4 − 𝑥3 + 1 𝑥𝑑 𝑥− 1 1 𝑥𝑑 𝑥− 1
𝑥 3 d𝑥 −
=𝐼
1 = 𝑥𝑑 𝑥− 1
56
𝑥3 −
=𝐼
𝑥4 = − log 𝑥 − 1 + c 4 )𝑥(𝑓 ٠ة ْ ٔحًٍ )𝑥( gإٌ ٝداء عٛاًِ ِٓ اٌدز ح األٚ ٌٝٚعٛاًِ ٌٚى ٔ ٟد اٌرىاًِ )𝑥(g
ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح ٌ١ط ٌٙا رٚز حم١م١ح. ١ّٔٚص اٌحا خ ا٢ذ١ح: ان نت ا ون :إذا وأد عٛاًِ اٌّماَ ّٙ ١ا ِٓ اٌدز ح األ١ ٚ ٌٝٚس ِىسزج ِ ً ٛ٠ 𝑥 − aافمٗ وعس تع١ط ِٓ اٌ ىً
𝐴 𝑥− a
ح١ث Aعد اتد.
ِ اي :فسق اٌىعس إٌّٛ ِ ٝع وعٛز تع ١ح : 2𝑥 + 3 =Y 𝑥 𝑥− 1 𝑥+2 ٠ ٚىرة تاٌ ىً 2𝑥 + 3 A B C = + + 𝑥 𝑥− 1 𝑥+2 𝑥 𝑥− 1 𝑥+2 ت د ذٛح١د اٌّماِاخ ف ٟاٌ سف األِٚ ّٓ٠مازٔح اٌثعط إٌاذ ف ٟاٌ سف األ٠عس ِ تعط اٌ سف األّٓ٠ ٚإ ٠ا لA, B, C ُ١
1
5
3
6
3
2
𝐴 = − ,𝐵 = ,𝐶 = −
ِٕٗٚ 3 5 1 + − 2𝑥 3 𝑥 − 1 6 𝑥+2 ان نت انث نيت :إذا وأد عٛاًِ اٌّماَ ّٙ ١ا ِٓ اٌدز ح األ ٚ ٌٝٚت ٙا ِىسز ،فٟ ٛ٠افك ٖ ٘رٖ اٌحاٌح وً عاًِ ِٓ اٌدز ح األِ ٚ ٌٝٚىسز ِ n ,سج ِ ً 𝑥 − a n ِ ّٛع nوعستط ٞا ِٓ اٌ ىً : 𝐴1 𝐴2 𝑛𝐴 + + ⋯ + 𝑥− a n 𝑥 − a n−1 𝑥− a ح١ث 𝑛 , …,𝐴2 , 𝐴1 ,عدا اترح. Y=−
ِ اي :فسق اٌىعس ا٢ذ ٟإٌّٛ ِ ٝع وعٛز تع ١ح :
𝑥 3 +1 𝑥 𝑥− 1 3
ٌدٕ٠ا 𝑥3 + 1 A B C D = + + + 𝑥 𝑥 𝑥− 1 3 𝑥− 1 3 𝑥− 1 2 𝑥− 1 بذٛح١د اٌّماِاخ ف ٟاٌ سف األ ٚ ّٓ٠صاء اٌّمازٔح ِ اٌ سف األ٠عس ٔ 𝐴 = −1, 𝐵 = 2, 𝐶 = 1, 𝐷 = 2 :ٞ
57
𝑥3 + 1 −1 2 1 2 = + + + 3 3 2 𝑥 𝑥− 1 𝑥 𝑥− 1 𝑥− 1 𝑥− 1 ان نت انث نثت :إذا وأد عٛاًِ اٌّماَ ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح ١ ٚس ِىسزج ِ ً ٛ٠افك وعستط ِٓ ٞاٌ ىً : ٖ 𝑟 𝑥² + 𝑝𝑥 + A𝑥 + B 𝑞 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + ِ اي :فسق اٌىعس ا٢ذ ٟإٌ ٝوعٛز تع ١ح : 4 𝑥 𝑥4 + 4 ٠ ٚىرة ٘را اٌىعس تاٌ ىً: 4 A B𝑥 + C = + 𝑥 𝑥4 + 4 𝑥 𝑥4 + 4 بذٛح١د اٌّماِاخ ٚاٌّمازٔح ٔ : 𝐴 = 1, 𝐵 = −1, 𝐶 = 0 إذْ: 4 1 𝑥 = − 𝑥 𝑥4 + 4 𝑥 𝑥4 + 4 ان نت انراب ت :إذا وأد عٛاًِ اٌّماَ ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح األ ٚ ٌٝٚت ٙا ِىسز ،فٟ ٛ٠افك ٖ ٘رٖ اٌحاٌح وً عاًِ ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح ِ ٚىسز ِ nسج ِ ً 𝑛 𝑟 𝑥² + 𝑝𝑥 + ِ ّٛع nوعستط ٞا ِٓ اٌ ىً : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑛𝐵 𝐴𝑛 𝑥 + + + ⋯ + 𝑛 𝑟 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑟 n−1 𝑟 𝑥² + 𝑝𝑥 + ِ اي :فسق اٌىعس ا٢ذ ٟإٌ ٝوعٛز تع ١ح: 3 2 𝑥 +𝑥 +2 A𝑥 + B C𝑥 + D = + 𝑥2 + 2 𝑥² + 2 2 𝑥2 + 2 ² بذٛح١د اٌّماِاخ ٚاٌّمازٔح ٔ : 𝐴 = −2, 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 𝐷 = 1 𝑥3 + 𝑥2 + 2 𝑥2 𝑥+1 = − + 𝑥2 + 2 𝑥² + 2 2 𝑥2 + 2 ²
ك مم انتىابع ان ثهثيت ( اندائر ت) انطر مت ان مت ١ٌ :ىٓ اٌرىاًِ ∫ 𝑓 sin 𝑥, cos 𝑥, 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 :فاٌ س٠مح اٌ اِح ٌحعاتٗ ٘ٚ ٟ ىً ذىاًِ وعسٔ ٞا ك ٚذٌه تاٌر ث١س عٓ إٌعة اٌّ ٍ ١ح تد ٌح ٔفس
𝑥 2
𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎⇐ 𝑥 = 2
𝑡𝑑2 1+𝑡²
58
= 𝑥𝑑
𝑥
2
𝑔𝑡 .
ٗ عٍٝ
2
ُ ٔعرثدي إٌعة اٌّ ٍ ١ح تمّٙ١ا حعة اٌدظاذ١س:
1−𝑡²
= 𝑥 𝑔𝑡 ,
1−𝑡² 1+𝑡²
= 𝑥 , cos
𝑡2 1+𝑡²
= 𝑥 sin
م ح ت 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑡𝑔 𝑥, 𝑥 = arcsin sin 𝑥 , 𝑥 = arccos 𝑐𝑜𝑠𝑥 : ِ اي :حعة اٌرىاًِ : 𝑥𝑑 sin 𝑥 . = 𝑥 1 + sin
sin 𝑥 + 1 − 1 𝑥𝑑 𝑥 1 + sin 𝑥𝑑 𝑥 1 + sin ٔفس
𝑥 2
𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐
𝑡𝑑2 1+𝑡²
=
= 𝑥𝑑 𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑡 ,
𝑡𝑑 1 + 𝑡 2 1 + 𝑡 2 2 + 2𝑡 1 + 𝑡 2
2
𝑑𝑥 −
=𝐼
=𝑥−2
𝑡𝑑 𝑡2 1+ 1 + 𝑡2
𝑡2
1+
𝑡𝑑 1 + 𝑡 2 =𝑥−2 1 + 𝑡 2 2 1 + 2𝑡 + 𝑡 2
𝑡𝑑 1 + 𝑡2
2 2 +𝑐 =𝑥+ 𝑐𝑥+ 𝑡1+ 𝑔𝑡 1 + 2
𝐼 =𝑥−2
=𝑥−2
=𝑥+
ان نت انث نيت :اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً∶ 𝑥𝑑 𝑥 ∫ 𝑓 sin² 𝑥, cos² 𝑥, 𝑡𝑔² 𝑥, sin 𝑥 cos ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ٔ ثس عٓ ّ ١اٌحد ٚتد ٌح 𝑥𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎𝑥 = 2 ِ اٌ ٍُ ْ :
𝑥𝑡𝑔 ² 𝑥 1+𝑡𝑔 ²
= 𝑥 , sin²
1 𝑥 1+𝑡𝑔 ²
= 𝑥 cos²
ِ اي :حعة اٌرىاًِ : 𝑥𝑑 𝑡𝑔2 𝑥. 𝑥 sin² 𝑥 + 3 cos² ٔفس ٌدٕ٠ا
𝑥𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎⇐ 𝑥 = 2 𝑥𝑡𝑔 ² 𝑥 1+𝑡𝑔 ²
= 𝑥 , sin²
1 𝑥 1+𝑡𝑔 ²
𝑡𝑑𝑡 2 + 3 − 3 3 + 𝑡2
𝑡𝑑 1+𝑡²
=𝐼
= 𝑥𝑑
= 𝑥 cos² 𝑡𝑑 𝑡 2 1 + 𝑡2 . = 1 + 𝑡2 3 + 𝑡2
𝑡𝑑 𝑡 2 = 3 + 𝑡2
59
=𝐼
𝑐+
𝑡 3
𝑡𝑑 3 =𝑡− 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 𝑡² + 3 3 𝑥𝑔𝑡
𝑐+
3
𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎
3 3
= 𝑡𝑔𝑥 −
ك مم انتىابع ان .I
𝑑𝑡 − 3
=
ء
ٔالحظ ْ: 𝑥𝑑 1 𝑘𝑥+ = log + 𝑐…….. 1 𝑘𝑘 2 − 𝑥 2 2 𝑘𝑥− 𝑥𝑑 1 𝑥 = 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎 + 𝑐…….. 2 𝑘 𝑘2 + 𝑥2 𝑘 𝑥𝑑 1 𝑘𝑥− = log + 𝑐…….. 3 𝑘𝑥 2 − 𝑘 2 2 𝑘𝑥+
٘ٚرٖ اٌرىاِالخ ذعّ ٝتاٌرىاِالخ اٌ ١ٙسج. .II
اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً : 𝑥𝑑
=𝐼
𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + ْعٍُ ْ ال ٟاٌحد ٚاٌّ ٛ ٛذحد إ ازج اٌ رٚز ّ٠ىٓ وراترٗ عٍ ٝىً ِ ّٛع ِست ٟوّ١رٓ١ ٚفسق ِست ٟوّ١رٌٙٚ ٓ١را ّٔ١ص زت ح حا خ :
.III
(1بفس
ٔٗ ز إٌ ٝاٌ ىً
(2بفس
ٔٗ ز إٌ ٝاٌ ىً
(3بفس
ٔٗ ز إٌ ٝاٌ ىً
(4بفس
ٔٗ ز إٌ ٝاٌ ىً
𝑢𝑑 𝑘 2 −𝑢 2 𝑢𝑑 𝑢 2 +𝑘² 𝑢𝑑
𝑢 +𝑘 ²
∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم 1أعاله .
∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم 2أعاله ∫ :ٞ
𝑢𝑑 𝑢 2 −𝑘 2
𝑢𝑑 𝑘𝑢 +
∫ = 𝐼 = 𝑐 :log 𝑢 + 𝑘 +
∫وإلنجازه انظر إلى العالقة رقم 3أعاله
.اٌرىاًِ ِٓ اٌ ىً : Ax + B
ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ْفس
=𝐼
𝑥𝑑 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + ∶ 𝑢𝑑 = 𝑥𝑑𝑏 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑢 ⇒ 2𝑎𝑥 +
60
𝑥𝑑𝑏 𝑑𝑢 − 𝑎2
= 𝑥𝑑 𝑥.
𝑥𝑑𝑏 𝑑𝑢 − 𝑥𝑑𝐵 + 𝑢𝑑 𝐴 𝑏𝐴 dx 𝑎2 = + 𝐵− 𝑎2 𝑎2 𝑢 𝑢 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝐴 𝑏𝐴 𝑥d = .2 𝑢 + 𝐵 − 𝑎2 𝑎2 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝐴 𝑏𝐴 𝑥d 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝐵 − 𝑎2 𝑎2 𝑐 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 +
𝐴.
=𝐼
ك مم انتىابع انمط يت ظرىّاي اٌرٛات اٌم ١ح ٔعرف١د ِٓ ظاذ١س اٌّ ٍ اخ اٌم ١ح ،وّا ٔعرف١د ِٓ اظرخداَ 𝑥 𝑒 وّرحٛي د٠د ف ٟت ض األح١اْ. ِ اي :حعة اٌرىاًِ : 𝑥𝑑 𝑥𝑠 ٔفس
𝑥 2
𝑔𝑡 = 𝑡 ⇐ 𝑡 𝑔𝑡𝑐𝑟𝑎⇐ 𝑥 = 2
ٚحعة اٌدظرٛز
𝑡2
1−𝑡²
=𝐼
𝑡𝑑2 1−𝑡²
= 𝑥𝑑
= 𝑥𝑠 𝑡𝑑 𝑐 = log 𝑡 + 𝑡
2𝑑𝑡 1 − 𝑡² . = 𝑡1 − 𝑡² 2
𝑥 𝑐+ 2
𝑡 = log
61
=𝐼
ممي ش انر ي ث LMD ت ون
ر ا و انت يير
م ت ان ميد ان هيت هىو ا لت و انت ة
4 ه هـــــــت : ح١ٌي) حعة اٌرىاِالخ اٌراٛس اٌّرح١١ ( ذ:1 ر e log(1 x ) ، * ، I dx )2 I dx * )1 x tge 1 x dx dx ، I )5 * ، )4 I 2 x 2x 8 16 9x 2 x
، I x 1 x dx )3 . I 1 x 2 dx )6 *
I log(1 x ) dx
)3
،
) (اٌرىاًِ تاٌر صئح: ح١ٌ حعة اٌرىاِالخ اٌرا:2 ر I x log x dx * )2 ، I (2x 1)2 cos x dx * )1
I Arctgx dx
)6 ،
2
I e 3x cos 2x dx
)5 ،
I x 2 sin xdx
)4
0
1 x 2
. I (0) 2 : ٟ ِ اٌ س ا تردائ، I 3e dx * )7 ) Q (x )e x .dx ً (اٌرىاًِ ِٓ اٌ ى: ح١ٌ حعة اٌرىاِالخ اٌرا:3 .
I (3x 3 2x 2 x 4)e x dx
I (2x 5 3x 4 5x 3 x 2 2x 1)e x dx
.
ر )1 )2 *
:4 ٓ١ّ١ اٌّعرمٚ ًاصٛز اٌفٛ ِحٚ ٚ y 5x 2 10x 3 ٚ
y x 2x 3 2
ر
اٌراتٕٝٓ ِٕح١زج تٛ * حعة اٌّعاحح اٌّحص.1 . x 2 3 ٚ x 1 1
y 4x 2 8x 7
اٌراتٕٝٓ ِٕح١زج تٛ * حعة ِعاحح اٌع ح اٌّحص.2 . x 2 2 ٚ x 1 0 ٓ١ّ١اٌّعرم : اٌفرسج اٌّحد جٟاخ ف١ٕٓ إٌّح١ح ُ لدز اٌّعاحح ت١ٌات اٌراٛ ٌٍرٟٔا١ * زظُ اٌ ىً اٌث.3 . y1 x , y 2 3 , x1 0 , x 2 5
. y 1 6x , y 2 2x 2 8x 12 , x 1 0 , x 2 3 * 3 . y 1 x 2 , y 2 12 x , x 1 0 , x 2 6 2 : ح١ٌ ) حعة اٌرىاِالخ اٌراٞ ( ذىاًِ ذات وعس:5 ر 2x 3 x 1 dx )1 * I 2 .dx )3 ، I 2 .dx )2 * ، I 2 x 4x 3 x 2x 2 x 4x 8 x 6 2 x 6 .dx ) 5 ، I (1) log 2 : ٟ ِ اٌ س ا تردائ، I dx )4 . I 2 x (x 3) x( x 3)( x 2)
. ا عالِح * ذرسن ٌٍ ٍثحٙ١ٍ عٟٓ اٌر٠ اٌرّاز: م ح ت 62
اٌفصــــــــــــــــً اٌسات
ان ـ
ث انتف
ــــهيت
المعادالت التفاضلٌة من المرتبة األولى المعادالت التفاضلٌة من المرتبة الثانٌة
63
ث انتف هيت ٟ٘ :اٌّ ا خ اٌر ٟذح ٞٛعٍ ٝذفا الخ ِ ٚرماخ ٚذىرة عٍ ٝاٌ ىً : .1ان 𝑦𝑑 ا𝑦 ′ = 2𝑥 + 3 ٚ = 2𝑥 + 3 … . . 1 𝑥𝑑 𝑦𝑑² 𝑦𝑑 ا𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 5 = 0 ٚ 𝑥+ + 5 = 0….. 2 𝑥𝑑 𝑑𝑥² مر بت ان نت انتف هيتِ ٟ٘ :سذثح عٍ ِ ٝرمح ٌٚرٌه فئْ اٌّ ا ٌح ( )1ذعّ ِ ٝا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح األِ ٌٝٚا اٌّ ا ٌح ( )2ذعّ ِ ٝا ٌح ذفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح ٚوال اٌّ ا ٌرّ٘ ٓ١ا ِٓ اٌدز ح األ.ٌٝٚ ت ان نت انتف هيتٔ:عّ ٝز ح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ،لٛج عٍ ٝزذثح ِ رك فٙ١ا ،فاٌّ ا ٌح ِ ٟ٘ 𝑦 ′′ ² = 1 + 𝑦 ′ 3ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌدز ح اٌ أ١ح ٚاٌّسذثح اٌ أ١ح . ٌٚحً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ٠ة ِىاٍِح اٌّ ا ٌح عدج ِساخ ٔ ،رّد عٍِ ٝسذثح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ٚ اٌحً ٠حر ٞٛعٍٛ ٝاتد ١ ٠س إٌِ ٝسذثح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ٠ : ٞح ٞٛاٌحً اٌ اَ ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح عد ا ِٓ اٌ ٛاتد ِعا٠ٚا ٌسذثح اٌّ ا ٌح اٌّدزٚظح. مث ل ( : )1ت ْ ٓ١اٌ اللاخ اٌ ثس٠ح : 𝑥 𝑥 𝑥 1) 𝑦 = 2𝑒 ; 2) 𝑦 = 3𝑥; 3) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 + 𝑐2 ح١ث ٛ 𝑐1 , 𝑐2اتد. ٘ ٟحٍٛي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح𝑦 ′′ 1 − 𝑥 + 𝑦 ′ 𝑥 − 𝑦 = 0 … 1 : اٌحً : 𝑥 ′ 𝑥 𝑥 𝑒1) 𝑦 = 2𝑒 ⇒ 𝑦 = 2𝑒 ⇒ 𝑦" = 2 𝑥 إذْ 2𝑒 1 − 𝑥 + 2𝑒 𝑥 𝑥 − 2𝑒 𝑥 = 0 ٚتاٌراٌ ٟفئْ اٌّ ا ٌح ( ٟ٘ )1حً ِٓ حٍٛي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ()1 2) 𝑦 = 3𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 3 ⇒ 𝑦" = 0 إذْ اٌّ ا ٌح ( ٟ٘ )2حً ِٓ حٍٛي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ()1 𝑥 𝑒 3) 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑦" = 𝑐1 𝑐1 𝑒 𝑥 1 − 𝑥 + 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥 − 𝑐1 𝑒 𝑥 − 𝑐2 𝑥 = 0 إذْ اٌّ ا ٌح ( ٟ٘ )3حً ِٓ حٍٛي ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح (.)1 و ْٛاٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح اٌر ٟذمثً 1) 𝑦 = 𝑐𝑥² − 𝑥; 2) 𝑦 = 𝑐1 𝑥² + 𝑐2 𝑥 : مث ل))2 َ حٌٍٙ ٛا. اٌحً: 𝑦′ + 1 = 𝑐 ⇒ 1) 𝑦 = 𝑐𝑥² − 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 2𝑐𝑥 − 1 𝑥2 تر ٠ٛض لّ١ح cف ٟاٌّ ا ٌح (ٔ )1حصً عٍ:ٝ ′ 𝑦 +1 2 =𝑦 𝑥. 𝑥 − 𝑥 ⇒ 2𝑦 = 𝑦 ′ 𝑥 + 𝑥 − 2 𝑥2 ⇒ 𝑦 ′ 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥 = 0 ٟ٘ٚاٌّ ا ٌح اٌّ ٍٛتح. 64
2) 𝑦 = 𝑐1 𝑥² + 𝑐2 𝑥 ⇒ 𝑦 ′ = 2𝑐1 𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑦" = 2𝑐1 𝑥"𝑦 𝑥 + 𝑐2 ⇒ 𝑐2 = 𝑦 ′ −
"𝑦 2
y , 𝑦 ′ = 2.
"𝑦 2
= 𝑐1
إذْ . 𝑥² + 𝑦 ′ − 𝑦"𝑥 𝑥 ⇒ 2𝑦 = 𝑦"𝑥² + 2𝑦′𝑥 − 2𝑦"𝑥²
"𝑦 2
=𝑦
𝑦"𝑥² − 2𝑦′𝑥 + 2𝑦 = 0 ٟ٘ٚاٌّ ا ٌح اٌّ ٍٛتح. .2حم ان نت انتف هيت م ان ر بت ا ون : .Aإذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح األ ٌٝٚعٍ ٝاٌ ىً : )𝑓1 𝑥 . 𝑔2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓2 𝑥 . 𝑔2 𝑦 𝑑𝑦 = 0 … . (1 ٌحً ِ ً ٘رٖ اٌّ ا خ ٠ة فصً اٌّر ١ساخ اٌّر اتٙح و ًٌ عٍ ٝحد.ٜ فثمعّح اٌّ ا ٌح ( )1عٍ ٝاٌّمداز 𝑦 ٔ 𝑓2 𝑥 . 𝑔1حصً عٍٝ 𝑥 𝑓1 𝑦 𝑔2 . 𝑑𝑥 + . 𝑑𝑦 = 0 𝑥 𝑓2 𝑦 𝑔2 ٌٚحً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ٠ة ِىاٍِح وً حد ِٓ حد٘ ٚا عٍ ٝاٌ ىً : 𝑥 𝑓1 𝑦 𝑔2 . 𝑑𝑥 + . dy = c 𝑥 𝑓2 𝑦 𝑔1 مث ل ( :)1حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح = 0:
1+𝑦 3
𝑥𝑦 2 1+𝑥 2
+
𝑦𝑑 𝑥𝑑
1 + 𝑦 3 . 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 2 1 + 𝑥 2 . 𝑑𝑦 = 0 تمعّح سف ٟاٌّ ا ٌح عٍٔ 𝑥 1 + 𝑥 2 1 + 𝑦 3 ٝحصً عٍٝ 𝑦² 𝑥𝑑 𝑦𝑑 + =0 1 + 𝑦3 𝑥 1 + 𝑥2 ٚبِىاٍِح اي سف ٔ ٓ١د 𝑦² 𝑥𝑑 𝑦𝑑 + 𝑘== 0 1 + 𝑦3 𝑥 1 + 𝑥2 1 𝑥𝑑 𝐴. 𝐶 𝐵𝑥 + log 1 + 𝑦 3 + + 𝑘 = 𝑥𝑑 3 𝑥 1 + 𝑥2 1 1 𝑘 = log 1 + 𝑦 3 + log 𝑥 − log 1 + 𝑥 2 3 2 𝑦𝑑 𝑦 𝑐𝑜𝑠 ² = مث ل ( :)2حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح : 𝑥𝑑
𝑥 𝑠𝑖𝑛 ²
𝑥𝑑 𝑦𝑑 = 𝑘 = 𝑥 𝑔𝑡𝑜𝑐 ⇒ 𝑡𝑔 𝑦 + 𝑦 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑐𝑜𝑠² .Bف ٟحاٌح ِ ٛ ٚا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح األِٚ ٌٝٚر أعح : 𝑁 𝑥, 𝑦 . 𝑑𝑥 + 𝑀 𝑥, 𝑦 . 𝑑𝑦 = 0 ٌٚىٓ ِٓ اٌص ٛتح دا اٌفصً ت ٓ١اٌّر ١ساخ . x,y ف٘ ٟرٖ ايحاٌح ْع ٛعٓ yتـ 𝑦 = 𝑣𝑥 ⇒ 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣: ٞ vx 65
ٚاٌر ٟذحٛي اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح إٌ ِ ٝا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِر أعح ٠ع ًٙفصً ِر ١ساذٙا . مث ل :حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح 2𝑥𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑥 2 − 𝑦 2 . 𝑑𝑥 : اي ٠ٛض تـ 𝑥𝑣 = 𝑦 ⇐ 𝑣𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑𝑥 + بذ إذْ 2 𝑥𝑑 2𝑥 𝑣𝑥 . (𝑣𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑣) = 𝑥 − 𝑣²𝑥² . 3𝑥²𝑣²𝑑𝑥 − 𝑥²𝑑𝑥 + 2𝑥 3 𝑣𝑑𝑣 = 0 𝑥 2 3𝑣 2 − 1 𝑑𝑥 + 2𝑥 3 𝑣𝑑𝑣 = 0 ٚبلعّح اي سف ٓ١عٍٔ 𝑥 2 3𝑣 2 − 1 ٝحصً عٍ= 0ٝ
𝑣2𝑣.d 3𝑣²−1
+
𝑥d 𝑥
ٚبِىاٍِح اي سف ٔ ٓ١د
.I
dx 1 3.2v. dv + =c x 3 3v 2 − 1 1 𝑐 = log 𝑥 + log 3v 2 − 1 3 اي ٠ٛض عٓ ٔ vد : بذ 1 y² 𝑐 log 𝑥 + log 3 − 1 = log 3 x² 1 𝑐 log 𝑥 + [log 3y² − x² − log 𝑥² ] = log 3 𝑐 log 𝑥 + log 3y² − x² − log 𝑥² = 3 log 𝑘 = 3𝑥𝑦² − 𝑥 3 ث انتف هيت م ان ر بت ا ون : ح ث صت في حم ان إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح األٚ ٌٝٚاٌرّ٠ ٟىٓ حٍٙا تاٌ سق اٌّروٛزج ظاتما ( ّ٠ىٓ فصً اٌّر ١ساخ تعٌٛٙح عٓ ت ٙا ٌٛٚعٕ ٛا عٓ 𝑥𝑣 = 𝑦 ) ٘ ،را إٌٛع ِٓ اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ٠ىرة عٍ ٝاٌصٛزج: 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑥 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑥 = 0 ٌحً ٘رٖ اٌّ ا خ ٔ ً اٌحد𝑓 𝑥 . 𝑑𝑦 + 𝑓 𝑦 . 𝑑𝑥 = 0: ٚذ س ٜعٍّ١ح اٌرىاًِ ُ ٔ ّ ذىاًِ اٌحد ٚثس٠ا ٚذعّ٘ ٝرٖ اٌ س٠مح تاٌرىاًِ اٌّسوصٞ ٌٍحد. ٚ 2 3 مث ل :حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 + 𝑥 . 𝑑𝑦 = 0 : 𝑥². 𝑑𝑥 + 𝑦. 𝑑𝑥 + 𝑦 3 . 𝑑𝑦 + 𝑥. 𝑑𝑦 = 0 ٔأ ر𝑦. 𝑑𝑥 + 𝑥. 𝑑𝑦 = 0 𝑦𝑑 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑦𝑑 + ⇒=0 + 𝑅= 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑐 log 𝑥 + log 𝑦 = log 𝑐 ⇒ log 𝑥. 𝑦 = log )⇒ 𝑥. 𝑦 = 0 … . . (1 𝑥 2 . 𝑑𝑥 + 𝑦 3 . 𝑑𝑦 = 𝑐 ′ 66
𝑥3 𝑦4 + )= 𝑐 ′ … . (2 3 4 .II
ٔ د𝑘 = + 𝑥𝑦 = 𝑐 + 𝑐 ′
ٔ ّ
) (2),(1
ان
ث انتف هيت انخطيت :
𝑦4 4
+
𝑥3 3
إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح األ ِٓ ٌٝٚاٌ ىً : 𝑦𝑑 )+ 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑄 𝑥 … . (1 𝑥𝑑 ح١ث p , Qذات اْ ِعرّساْ ٌّرحٛي ٚح١د 𝑥 . ب ىً ): 𝑦 = 𝑢. 𝑣 … . ; (2 ٔثحث عٓ حً اٌّ ا ٌح اٌ ح١ث وً ِٓ u, vذات ٌٍّرحٛي 𝑥. ٌٕ رك اٌرات :
𝑢𝑑 𝑥𝑑
+ 𝑣.
𝑣𝑑 𝑥𝑑
= 𝑢.
𝑦𝑑 𝑥𝑑
⇒ 𝑣 𝑦 = 𝑢.
تاٌر ٠ٛض ف ٔ )1( ٟد+ 𝑝 𝑥 . 𝑢. 𝑣 = 𝑄 𝑥 :
𝑢𝑑 𝑥𝑑
+ 𝑣.
𝑣𝑑 𝑥𝑑
𝑢.
𝑣𝑑 𝑢𝑑 + 𝑝 𝑥 . 𝑣 + 𝑣. )= 𝑄 𝑥 … . (3 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑣𝑑 ٔ ٓ١اٌرات 𝑣 تح١ث ٠حمك اٌّ ا ٌح 𝑥𝑑 + 𝑝 𝑥 . 𝑣 = 0 ⇒ = −𝑝 𝑥 . 𝑢.
𝑣
ٚتّىاٍِح اٌ سف ٔ ٓ١د= − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ log 𝑣 = − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 : 𝑥𝑑𝑥 .
تاٌر ٠ٛض ف ٔ )3( ٟد. 𝑑𝑥 : 𝑥 𝑄 𝑐 . 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑉
𝑥 𝑉
= 𝑢𝑑 ⇒ 𝑥 𝑄 =
𝑥 𝑄 = 𝑢 ⇒ 𝑥𝑑 . 𝑥 𝑉
𝑐 . 𝑄 𝑥 . 𝑑𝑥 +
𝑥𝑑 𝑣𝑑 𝑥𝑑
∫
𝑝 ∫ ⇒ 𝑣 = 𝑒−
𝑥 𝑄
تاٌر ٠ٛض ف ٔ )2( ٟد 𝑐 . 𝑑𝑥 +
𝑣𝑑
:
𝑢𝑑 𝑥𝑑
𝑣.
= 𝑢𝑑
𝑥 𝑄 𝑥
∫ :𝑦 = 𝑉 𝑥 . 𝑉
𝑥𝑑𝑥 .
𝑝 ∫𝑒
𝑥𝑑𝑥 .
𝑝 ∫ = 𝑒−
ٛ٘ ٚاٌحً اٌ اَ ٌٍّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح. ٔعّ 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 ٝت اًِ اٌرىاًِ. ٕ٘ٚان س٠مح أ١ح ٌحً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح اٌخ ١ح ( اٌراِح) ْ ٞحً اٌّ ا ٌح تد ْٚسف أٟ = − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ٞ
𝑦𝑑 𝑦
∫ ⇒ + 𝑝 𝑥 .𝑦 = 0
𝑐 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 + log
𝑦𝑑 𝑥𝑑
log 𝑦 = −
cاتد. 𝑥𝑑 𝑝 𝑥 .
log 𝑦 − log 𝑐 = −
67
𝑦 𝑦 𝑥𝑑= − 𝑝 𝑥 . 𝑑𝑥 ⇒ = 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑐 𝑐 𝑥𝑑− ∫ 𝑝 𝑥 . 𝑒 ⇒ 𝑦 = 𝑐. )… . (4 ٕ٘ٚا ٔ رثس ِ cر ١سا تإٌعثح ٌٍّرحٛي ٔٚ xسِ ٞا:ٍٟ٠
log
𝑦𝑑 = 𝑐 ′ . 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 + 𝑐(𝑐. 𝑒 − ∫ 𝑝 𝑥 .𝑑𝑥 )′ 𝑥𝑑 ُ ٔ د لّ١ح ٛ ٔ ٚ cعٓ cتمّ١رٗ ف ٟاٌّ ا ٌح ( )4ح ٕ١ر ٔ د اٌحً إٌٙائ ٌٍّ ٟا ٌح اٌرفا ٍ١ح اٌخ ١ح (اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح اٌراِح). مث ل :حً ت س٠مرِ ٓ١خرٍفر ٓ١اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح : 𝑦2 𝑦′ − = 𝑥+1 3 𝑥+1 انطر مت ا ون : 𝑦𝑑 𝑦2 − )= 𝑥 + 1 3 … (1 𝑑𝑥 𝑥 + 1 ْ حً اٌّ ا ٌح ٘𝑦 = 𝑢. 𝑣 … (2) : ٛ ٔفس 𝑦𝑑 𝑣𝑑 𝑢𝑑 ⇒ 𝑣 𝑦 = 𝑢. = 𝑢. + 𝑣. 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑣𝑑 𝑢𝑑 2 𝑢. + 𝑣. − 𝑢. 𝑣 = 𝑥 + 1 3 𝑥𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 1 𝑣𝑑 2 𝑢𝑑 𝑢. − . 𝑣 + 𝑣. = 𝑥+1 3 𝑑𝑥 𝑥 + 1 𝑥𝑑 𝑣𝑑 2 𝑣𝑑 2 − ⇒ .𝑣 = 0 = 𝑥𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 1 𝑣 𝑥+1 𝑣𝑑 2 = 𝑑𝑥 ⇒ log 𝑣 = 2 log 𝑥 + 1 = log 𝑥 + 1 ² 𝑣 𝑥+1 ⇒ 𝑣 = (𝑥 + 1)² 𝑢𝑑 𝑢𝑑 𝑥+1 3 3 𝑣. ⇒ = 𝑥+1 = =𝑥+1 𝑥𝑑 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)² 𝑥² 𝑐 𝑑𝑢 = 𝑥 + 1 ⇒ 𝑢 = + 𝑥 + 2 إذْ : 𝑥² = 𝑣 𝑦 = 𝑢. + 𝑥 + 𝑐 (𝑥 + 1)² 2 انطر مت انث نيت : 𝑦𝑑 𝑦2 𝑦𝑑 2 − ⇒=0 = 𝑥𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 1 𝑦 𝑥+1 𝑦𝑑 2 = 𝑐 𝑑𝑥 ⇒ log 𝑦 = 2 log 𝑥 + 1 + log 𝑦 𝑥+1 68
𝑐 = log 𝑥 + 1 ² + log 𝑦 log = log 𝑥 + 1 ² ⇒ 𝑦 = 𝑐 𝑥 + 1 ² 𝑐 تاعرثاز ْ ِ cر ١سا 𝑦𝑑 = 𝑐 ′ 𝑥 + 1 ² + 2𝑐 𝑥 + 1 𝑥𝑑 تاٌر ٠ٛض ف ٟاٌّ ا ٌح األصٍ١ح ٔ د 2 𝑥+1 ² 𝑐 ′ 𝑥 + 1 ² + 2𝑐 𝑥 + 1 − = 𝑥+1 3 𝑥+1 3 𝑐𝑑 𝑥+1 = 𝑥𝑑)= 𝑥 + 1 ⇒ 𝑑𝑐 = (𝑥 + 1 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)² 𝑥² 𝑘⇒𝑐 = +𝑥+ 2 إذْ : 𝑥² =𝑦 + 𝑥 + 𝑘 (𝑥 + 1)² 2 ث انتف هيت م ان ر بت انث نيت : حم ان ٕ٘ان عدج صٛز ٌىراتح اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح : ان نت ا ون :إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ذىرة عٍ ٝاٌصٛزج : 𝑦𝑑² = "𝑦 )𝑥(𝑓 = 𝑑𝑥² ٌٚحً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ٔىاًِ اٌّ ا ٌح ِسذ ٠ ٚ ٓ١ة اٌحصٛي عٍ ٝعد ِٓ اٌ ٛاتد ٠عا.2 ٞٚ مث ل :حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح : 𝑦𝑑² 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 + cos 𝑑𝑥² 𝑦𝑑 𝑑 𝑦𝑑 𝑥𝑑 𝑑 ⇒ 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 + cos 𝑥𝑑 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 + cos 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑦𝑑 𝑑 = 𝑥𝑑 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 + cos 𝑥𝑑 𝑦𝑑 = 𝑥𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 + cos 𝑥 . 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐1 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑑𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐1 𝑥𝑑
sin x . dx + 𝑐1
𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 +
𝑥𝑒 𝑥 . 𝑑𝑥 −
= 𝑦𝑑
𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 − cos 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑥 − 2 − cos 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 ان نت انث نيت :إذا وأد اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح عٍ ٝاٌ ىً : 69
𝑦𝑑² 𝑦𝑑 ) = 𝑓(𝑥, 𝑥𝑑 𝑑𝑥² ٌحً ٘رٖ اٌّ ا خ ٔفس 𝑦𝑑 𝑦𝑑 𝑝𝑑 𝑥𝑑 ⇒𝑝= = 𝑥𝑑 𝑥𝑑 𝑥𝑑 ٕ٘ٚان حا خ سٌ ٜحً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح ِ ً: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦’, 𝑦") = 0 (1إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح عٍ ٝاٌ ىً )𝑦" − 𝑤²𝑦 = 0, (𝑤 ≠ 0 فئْ حً ٘رٖ اٌّ ا ٌح ٘ 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑤𝑥 + 𝑐2 𝑒 −𝑤𝑥 :ٛح١ث ٛ 𝑐2, 𝑐1اتد. مث ل𝑤 = ∓2 ⇐ 𝑤 = 4 ⇐ 𝑦" − 4𝑦 = 0: 𝑑
إذْ 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 : (2إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح عٍ ٝاٌ ىً )𝑦" + 𝑤²𝑦 = 0, (𝑤 ≠ 0 فئْ حً ٘رٖ اٌّ ا ٌح ٘ 𝑦 = 𝑐1 cos 𝑤𝑥 + 𝑐2 sin 𝑤𝑥 :ٛح١ث ٛ 𝑐2, 𝑐1اتد. مث ل :حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح𝑦" + 16𝑦 = 0 : ⇐ 𝑤 = ∓4 ⇐ 𝑤 = 16 𝑥𝑦 = 𝑐1 cos 4𝑥 + 𝑐2 sin 4 (3إذا وأد اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌّسذثح اٌ أ١ح عٍ ٝاٌ ىً : 𝑦" + 𝑎𝑦 + 𝑏 = 0ح١ث a ,bعدا اترح. ف٘ ٟرٖ اٌحاٌح ٔحً اٌّ ا ٌح𝑚² + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0 ٔ د اٌّّ١ص∆ ح١ث𝑏∆= 𝑎² − 4 ٔالحظ ٕ٘ا ٔٗ إذا واْ : ٛ٠ ∆> 0 د رز ٌٍّ 𝑚2, 𝑚1 ٓ٠ا ٌح )٠ٚ (1ى ْٛاٌحً وا٢ذ:ٟ 𝑥 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑚 2 ٛ٠ ∆= 0 د رز ِ اع ٌٍّ ا ٌح )٠ٚ (1ى ْٛاٌحً وا٢ذ:ٟ 𝑚1 = 𝑚2 , 𝑦 = 𝑒 𝑚 1 𝑥 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 ٛ٠ ∆< 0 د رز ٌٍّ 𝑚2 = 𝛼 − 𝑖𝑤, 𝑚1 = 𝛼 + 𝑖𝑤 ٓ٠ا ٌح )٠ٚ (1ىْٛ اٌحً وا٢ذ:ٟ 𝑥𝛼 𝑥𝑤 𝑦 = 𝑒 𝑐1 cos 𝑤𝑥 + 𝑐2 sin مث ل :حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح: 𝑦" + 2𝑦′ + 5𝑦 = 0 ∆= 4 − 20 = −16 < 0 𝑥𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑐1 cos 2𝑥 + 𝑐2 sin 2
70
ممي ش انر ي ث ت ون LMD
ر ا م ت ان و انت يير هيت هىو ا لت و انت ة ه هـــــــت 5
ر
*
:1حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح اٌراٌ١ح :
= 𝑥𝑦 2
ر
𝑦𝑑 𝑥𝑑
)= 0 , e
𝑦1+ 𝑥1+
−
𝑦𝑑 𝑥𝑑
𝑦
), d
𝑥+1
=
𝑦𝑑 𝑥𝑑
* ), c
𝑦 𝑥
=
𝑦𝑑 𝑥𝑑
* ), b
𝑥 𝑦
=
𝑦𝑑 𝑥𝑑
* )a
:2حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح اٌراِح اٌراٌ١ح : 2
𝑥𝑛𝑖𝑠 𝑒)𝑥𝑠𝑜𝑐 , c) 𝑦 ′ − 𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥 = (𝑥 +
𝑥, b) 𝑦 ′ + 2𝑥𝑦 = 3𝑥𝑒 −2
𝑦 = (𝑥 + 1)3 ر
2 𝑥+1
:3حً اٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح ِٓ اٌسذثح اٌ أ١ح اٌراٌ١ح : 𝑦𝑑
− 4 − 5𝑦 = 0 𝑥𝑑 ′′ . 𝑦 + 2𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 . 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 8𝑦 = 0 . 𝑦 ′′ + 9𝑦 = 0
.1 .2 * .3 * .4 ر .1 .2 .3 .4 .5
𝑦𝑑 2 𝑑𝑥 2
.
:4و ْٛاٌّ ا خ اٌرفا ٍ١ح اٌر ٟذمثً اٌّ ا خ اٌراٌ١ح حٌٍٙ ٛا :
∗ * *
. 𝑦 = 𝑐𝑥 2 + 1 𝑐 . 𝑥𝑦 = 𝑥 3 − 𝑦 = 𝑐𝑥 2 + 𝑐 2 𝑥y = c1 e−𝑥 + c2 e2 . 𝑦 = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 3
.
م ح ت :األظ ٍح اٌر ٟعٍٙ١ا * ذرسن ٌٍ ٍثح .
71
d) * 𝑦 ′ −
1 𝑥𝑒
= 𝑦 a) * 𝑦 ′ +
اٌفصــــــــــــــــً اٌخاِط
ان تت نيــــــــــــــ ث و ان
ـــــــــــــم
المتتالٌــات الحسابٌة و الهندسٌة السالســـل الحسابٌة و الهندسٌة السالسـل العددٌة ذات الحدود الموجبة معاٌٌر التقارب معٌار المقارنة معٌار دالمبٌر معٌار كوشً
72
1المتتــــــالٌات
ــــ ر ف: ٔعِّ ٟرراٌ١ح عد ٠ح
𝑛𝑈 وً ذ ث١ك ِٓ ( INا ٚصء ٔ )IN ِٓ Iح.IR ٛ
نرمز عادة لمتتالٌة بــــ:
n≥0
Un
Un
او اختصارا
.
ٌسمً الحد Unبالحد العام للمتتالٌة . Un
اِ ٍح: .1
الٌك بعض العبارات التً تعرف متتالٌات: n 1 = ; Un = 2n − 3; Un n+2 n+2
.2
لدٌنا )aالحد من المرتبة 0لـ (الحد من المرتبة )3
)cالحد االول لـ
n≥0
1
)bالحد الثالث لـ
ا
Un = n; Un = −
𝑛 n≥1 2p 3𝑛 n≥1
2𝑛 − 3هو ، −3الحد الرابع هو 3
هو هو
𝑝2 3
1 3
،و لـ
2p 3𝑛 𝑝≥0
هو 0
ه غير متتــــــ نيت: نقول عن متتالٌة Unانها متزاٌدة (متناقصة ،على الترتٌب ) اذا كان ( ∀ n ∈ IN; Un ≥ Un+1على ∀ n ∈ IN; Un ≤ Un+1 الترتٌب)
اِ ٍح: .1
n
2 3 4 1 −1
<0
لدٌنا : ومنه: .2
1
1 1 1
المتتالٌة التالٌة 1, , , , … , , ….متناقصة تماما.
المتتالٌة
n n+1
= − n
1 n+1
= ∀𝑛 ≥ 1; Un+1 − Un
∀ n ≥ 1; Un+1 < Un n
−1
غٌر رتٌبة ،المتتالٌة n
ان تتــــــــ ني ث ان دو ة:
73
متزاٌدة ،المتتالٌة
1 n+2
متناقصة.
نقول عن متتالٌة Unانها محدودة من االعلى اذا وجد عدد حقٌقً M ∈ IRبحٌث : ∀ n ∈ IN; Un ≤ M نقول عن متتالٌة Unانها محدودة من االسفل اذا وجد عدد حقٌقً m ∈ IRبحٌث : 𝑚 ≥ ∀ n ∈ IN; Un نقول عن متتالٌة Unمحدودة اذا كانت محدودة من االعلى و من االسفل أي: ∀ n ∈ IN; m ≤ Un ≤ M
اِ ٍح: .1
المتتالٌة
.2
المتتالٌة
1
3 −محدودة من االسفل بـ 2و من االعلى بـــ ، 3اذن هً متتالٌة محدودة
n 𝑛 ≥1 n≥0
𝑛+ 2
n
−1
هً محدودة من االسفل بـ 1و لكن لٌست محدودة من االعلى.
ان تت ني ث ان تمـــــــــ بت: المتتالٌة Unمتقاربة نحو α ∈ IRاذا كان 𝜀 < ∀𝜀 > 0, ∂n0 ∈ IN: ∀n ≥ n0 , Un − α و نكتب:
limUn = α
إذا وأد ِرراٌ١ح ٌ١عد ِرمازتح فِ ٟٙرثاعدج.
ِالح اخ: )aاذا وجدت نهاٌة متتالٌة فهً وحٌدة. )bكل متتالٌة متقاربة محدودة. ان تت ني ث ان
ــــــــ بيت:
نسمً متتالٌة حسابٌة ذات االساس rكل متتالٌة Unتحقق : ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = Un + r عبارة الحد العام:
. Un = U0 + nr
مجموع nحـد االولً للمتتالٌة : 74
n n−1 2
n
u0 + un−1 = nu0 + r
2
=
n−1 𝑘𝑈 k=0
اِ ٍح: Unالمعرفة بــ
𝑈0 = 2, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = Un + 3و المتتالٌة
)aالمتتالٌة المعرفة بــ ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Vn = 4 − 5nهً متتالٌات حسابٌة.
= 1 + 100
)bالمجموع 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100هو
100 2
5050
=
𝑉n
100 𝑘 𝐾=1
ان تت ني ث انه د يــــــــت: Unمتتالٌة هندسٌة اذا وجد عدد حقٌقً غٌر معدوم qبحٌث ٌ q ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = 𝑞Unسمً اساس المتتالٌة. . Un = U0 qn
عبارة الحد العام: حتً تكون متتالٌة
Unهندسٌة ٌلزم و ٌكفً ان ٌوجد a, b ∈ IRبحٌث: 𝑛 𝑏𝑎 = ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un
المجموع Unذات االساس
p+N−1 Uk k=p
لــ Nحد متتابع UP , … , Up+N−1لمتتالٌة هندسٌة 1−q N
𝑞 ≠ 1 qهو
1−q
UP + ⋯ + Up+N−1 = UP
اِ ٍح: Unالمعرفة بــ
𝑈0 = 3, ∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Un+1 = −5Unو المتتالٌة 𝑉n
)aالمتتالٌة المعرفة بــ ،∀𝑛 ∈ 𝐼𝑁; Vn = 2 −3 nهً متتالٌات هندسٌة. )b
= 2047
1−211 1−2
= 1 + 2 + 22 + ⋯ + 210 = 1
75
10 𝑘 𝐾=0 2
2اٌعالظــــــــــً:
ــــــ ر ف : لتكن Snالمعرفة بــ n≥0
n∈IN
Unمتتالٌة حقٌقٌة ،السلسلة ذات الحد العام Unهً المتتالٌة
𝑆𝑁 = U0 + U1 + ⋯ + UN , N ∈ INو ٌرمز لها بــ
𝑛𝑈 𝑛≥0
او
𝑛𝑈 ٌ SNسمً المجموع الجزئً من المرتبة Nللسلسلة ذات الحد العام .Un
مـــ ب ه ــــهت: نقول عن السلسة 𝑛𝑈
انها متقاربة اذا كانت متتالٌة المجامٌع الجزئٌة Snمتقاربة .
ٌسمً العدد lim+∞ Sn = Sبمجموع السلسلة و نرمز له بــ
∞+ 𝑛𝑈 𝑛=0
= 𝑆 أي
⋯ 𝑆 = U0 + U1 + U2 + ⋯ + Un +
ِالح ــاخ : )aنقول عن سلسلة غٌر متقاربة انها متباعدة . ٌ )bقصد بدراسة طبٌعة سلسلة دراسة تقاربها من تباعدها .
اِ ـــٍح: Unالمعرفة بــ ، Un = nالسلسلة ذات الحد العام Unهً المتتالٌة
)aلتكن المتتالٌة n n+1 𝑁𝐼∈ 𝑛
2
الن المجموع الجزئً للسلسلة: .
𝑁 𝑁+1 2
= 𝑁 𝑆𝑁 = U0 + U1 + ⋯ + UN = 0 + 1 + ⋯ +
)bلندرس طبٌعة السلسلة المعرفة بحدها العام
1 n n+1
= Unبحٌث ∗ n ∈ Nنعٌن طبٌعة
المتتالٌة Sn لدٌنا: = 𝑆𝑛 = U1 + U2 + ⋯ + Un 1 1 − = 𝑘 𝑘+1
𝑛
𝑘=1
1 = 𝑘 𝑘+1 76
𝑛
= 𝑘=1
1 1 1 1 1 1 + − + ⋯+ − =1− 2 2 3 n n+1 n+1 lim+∞ Sn = 1اي ان السلسلة
اذن
= 1.
𝑛𝑈
= 1−
متقاربة و مجموعها
∞+ 𝑛𝑈 𝑛=0
انشــرط ان زو نهتمــــ ب: متقاربة فان lim+∞ 𝑈n = 0
اذا كانت السلسلة 𝑛𝑈 و منه :
lim+∞ 𝑈n ≠ 0فان 𝑛𝑈
اذا كانت
متباعدة.
ِ ـــاي : 𝑛 𝑛≥1 𝑛+1
لتكن السلسلة :
=1 ≠ 0
هذه السلسلة متباعدة الن:
4
3
2
5
4
3
=⋯+ + + + n n+1
1 2
∞lim+∞ 𝑈n = lim
ان ه هـــت انه د يـــت: نسمً سلسلة هندسٌة السلسلة ذات الحد العام 𝑛 𝑞𝑎 ،الحد العام لمتتالٌة المجامٌع الجزئٌة 1 − qn+1 aq = a 1−q
N
n
تكون
𝑛 𝑞𝑎
و مجموعها:
n=0
متقاربة اذا وفقط اذا كان 𝑞 < 1 1 1−q
هيـــــ ث هي ان
= SN
lim+∞ Sn = S = a
ـــم:
لتكن السلسلتٌن 𝑛𝑈
و 𝑛𝑉
و لٌكن العدد الحقٌقً λ
)1اذا تقاربت السلسلتان 𝑛𝑈 و 𝑛𝑉 𝑛𝑉 𝑛≥0 𝑈𝑛 + 𝑛 ≥0 77
فان السلسلة 𝑛𝑉 𝑈𝑛 + = 𝑛𝑉 𝑛≥0 𝑈𝑛 +
متقاربة و لدٌنا
)2اذا تقاربت السلسلة 𝑛𝑈 𝑛𝑈
فان السلسلة 𝑛𝑈𝜆
متقاربة و لدٌنا:
𝜆 = 𝑛𝑈𝜆 𝑛 ≥0
𝑛 ≥0
)3اذا تقاربت السلسلة 𝑛𝑈 𝑛𝑉 𝑈𝑛 +متباعدة.
وكانت السلسلة 𝑛𝑉
متباعدة فان السلسلة
ِالح ـــــــــح: و 𝑛𝑉
اذا كانت السلسلتان 𝑛𝑈
متباعدتٌن فال ٌمكن البت فً طبٌعة السلسلة 𝑛𝑉 𝑈𝑛 +
.
ِ ـــــٍح: )aالسلسلة )bمن اجل
3 𝑛2 1 n
𝑛𝑉 𝑈𝑛 + )cمن اجل ان
1 n
متقاربة ،هً جداء السلسلة الهندسٌة المتقاربة = Unو
−1 n
= Vnفان السلسلتٌن 𝑛𝑈
𝑛 1
بالعدد الحقٌقً .3
2
و 𝑛𝑉
متباعدتان فً حٌن السلسلة
متقاربة (مجموعها معدوم) = Unو
1 n
= Vnفان السالسل 𝑛𝑈 𝑉𝑛 ،
و 𝑛𝑉 𝑈𝑛 +
متباعدة .
ـــــــــــم ذاث ان دو ان ى بــــــــــــت: 𝑛𝑈
∀𝑛 ≥ 0 ; Un ≥0
ظٍعٍح ذاخ حد ِٛ ٚثح ِ ٕاٖ :
ن ــــــر ت : تكون السلسة 𝑛𝑈 ذات الحدود الموجبة متقاربة اذا وفقط اذا كان المجامٌع الجزئٌة محدودة من االعلى.
ه هــــــــــت
ـ ن:
نسمً سلسلة رٌمان ،السلسلة ذات الحدود الموجبة السلسلة
1 𝛼𝑛
n∈IN
Snمتتالٌة
1 𝛼𝑛
بحٌث .α ∈ IR
متقاربة اذا وفقط اذا كان .α > 1
من اجل ،α = 1السلسلة المتباعدة
1 n
ن ــــــر ت ان م نت:
78
تسمً سلسلة توافقٌة.
لتكن 𝑛𝑈
و 𝑛𝑉
∀ n ∈ IN; Un ≤ Vn
سالسل ذات حدود موجبة بحٌث:
اذن: )1اذا كانت 𝑛𝑉
متقاربة فان 𝑛𝑈
)2اذا كانت 𝑛𝑈
متباعدة فان 𝑛𝑉
متقاربة. متباعدة.
اِ ـــــــٍح: .1
من اجل السلسلة : الحد العام لهذه السلسلة هو 1
1 𝑛≥1 𝑛 2 +3 1 2 +3
=⋯+
1
و لدٌنا
𝑛2
<
1
19
1 12
7
;. ∀𝑛 ≥ 1
𝑛 2 +3
، α = 2 > 1اذن حسب نظرٌة المقارنة
سلسلة رٌمان متقاربة
𝑛2
1 𝑛 2 +3
+ ⋯+
1
+
1
+ + 1 𝑛 2 +3
متقاربة.
.2
𝑛 2 +1
من اجل السلسلة :
الحد العام لهذه السلسلة :
𝑛≥1 𝑛 3 1
1
𝑛3 1
n 1
نالحظ : و
𝑛
1
= +
>
𝑛3
+
𝑛3 𝑛 2 +1
1 n
𝑛3
64
27
8
= Un
;∀𝑛 ≥ 1
سلسلة توافقٌة متباعدة
n
𝑛 2 +1
اذن
=⋯+
𝑛 2 +1
+⋯+
17
+
10
+
5
2+
متباعدة .
𝑛3
لــــىا د انتمـــــــ ب:
)1م يــــ
ىشــي: ظٍعٍح ذاخ حد ِٛ ٚثح ٚاذا واْ Un = ℓ
لتكن 𝑛𝑈
اذا كان ،ℓ < 1السلسلة متقاربة. اذا كان ،ℓ > 1السلسلة متباعدة. اذا كان ،ℓ = 1الٌمكن االستنتاج.
.a .b .c
)2م يـــ
𝑛
∞ lim+فاْ:
ان بـيــــــــر: 𝑛𝑈
من اجل .a
ظٍعٍح ذاخ حد ِٛ ٚثح ،اذا واْ = ℓ اذا كان ،ℓ < 1السلسلة متقاربة. 79
𝑈n +1 Un
∞ lim+فاْ:
1 4
اذا كان ،ℓ > 1السلسلة متباعدة. اذا كان ،ℓ = 1الٌمكن االستنتاج.
.b .c
اِ ــــٍح: .1
𝑛
السلسلة
n
،لدٌنا حسب كـــوشً :
2n+1 1
= <1 2
n 2n+1
= lim
𝑛
n 2n+1
𝑛
∞lim+
اذن السلسلة متقاربة. .2
!𝑛 𝑛 𝑛≥1 4
السلسلة
=⋯+
!𝑛 ! 𝑛+1 , U = n+1 𝑛4 4𝑛+1 𝑈n+1 𝑛 + 1 ! 4𝑛 𝑛 + 1 = . = Un !𝑛 4𝑛+1 4 𝑈n+1 𝑛+1 lim = lim ∞= +∞ Un ∞ 4 = Un
بمان
ℓ > 1اذن السلسلة متباعدة .
80
!𝑛 𝑛4
+ ⋯+
!2 42
+
!1 4
ذّــــــــس:ٓ٠ )1اثبت ان السلسلة ذات الحد العام " ارشاد اكتب Unعلً الشكل
1 n n+1 n+2 c n+2
= Unمتقاربة و احسب مجموعها.
+
b n+1
+
a n
"
)2عٌن طبٌعة السالسل التالٌة: 𝑛 ln 𝑛3 𝑛 1 𝑛
sin
!𝑛
∎
𝑛𝑛 2
∎
𝑛 𝑛 2 −1
81
∎ ∎
م ت ان ميد ان هيت هىو ا لت و انت ة
ممي ش انر ي ث ت ون LMD
ر ا و انت يير ه هـــــــت 6
ِ U n :1رراٌ١ح عد ٠ح ِ سفح وّا : ٍٟ٠ ثد ْ n N , 0 U n 3 . : ثد ْ ِ U n :رصا٠دج . زض ذمازب ُ U n حعة . lim U n :
* ر .1 .2 .3
U 0 =1 ، n N * , U n1 U n 6
n
ٚد اٌّرراٌ١ح اٌحعات١ح اٌرّٛ ِ ٟع nحدا ِٓ حد٘ ٚا األِّٙ n(3n+1) ٛ٘ ٌٝٚا ذىٓ . n
* ر
:2
* ر
:3ع ٓ١اٌّرراٌ١ح إٌٙدظ١ح U n اٌّرٕالصح ٚذاخ اٌحد ٚاٌّ ٛثح اٌّ سفح عٍ 𝑁 ∗ ٝاٌر ٟذحمك : . U 1 U 2 U 3 63 ٚ U 1U 3 144
ر
زض ذمازب اٌّرراٌ١ح U n ف ٟوً حاٌح:
:4 * )1
3𝑛−5 𝑛+2
= 𝑛𝑈 ،
𝑛3𝑛 2 −4
* )2
، 𝑈𝑛 = n + 1 − n )4
2𝑛 −1
= 𝑛𝑈 ،
𝑛2𝑛 +2.3𝑛 +3.5
)5
𝑛3𝑛 +3.4 𝑛 +5.5
* )3
= 𝑛𝑈
𝑛)2𝑛 +(−2 𝑛2
= 𝑛𝑈
.
2 ر ِ ( Un ) :5رراٌ١ح عد ٠ح ِ سفح تحد٘ا اٌ اَ : )( 2n 1)( 2n 3 a b .1ع ٓ١لّ١ر ٟاٌ د ٓ٠اٌحم١م a,b ٓ١١تح١ث ٠ى: ْٛ n N , U n 2n 1 2 n 3 .2اظرٕر ص ١ح تع ١ح ٌٍّ ّٛع : S n U 0 U 1 ... U n n N , U n
.3ت ٓ١ث ١ح اٌعٍعٍح اٌر ٟحد٘ا اٌ اَ ٚ U nحعة ِ ّٛعٙا إْ ٚد. :6ا زض ذمازب اٌعالظً ذاخ اٌحد اٌ اَ اٌراٌ١ح :
ر )1
* )4
n 2n+1 n2 !n
= ، Un = Un
* )2 ،
)5
2n −1 2n
= ، Un
)n 2 (n+1 !n
82
= . Un
)3
n
n n 2 +1
= ، Un
ممي ش انر ي ث ت ون LMD
ر ا م ت ان ميد ان ت و انت ـــ ت هيت ان هىو ا لت و هىو انت يير امت ـــ ن ان دا ي ا ول 2013/2012 ر
8 ( :1نم ط)
ع ٓ١اٌم ُ١اٌحس ح ٌٍرات ر
ٚتٛٔ ٓ١ع وً ِٕٙا ح١ث : 𝑦𝑥𝑍 = 𝑥 + 𝑦 − 3 3
3
6( :2نم ط) .1احعة اٌرىاًِ اٌراٌ: ٟ
1
𝑥𝑑 𝑥 𝑒𝑥 .I = ∫0
.2حً اٌّ ا ٌح اٌرفا ٍ١ح .𝑦 ′ + 𝑥 2 𝑦 = 0 : ر
6( :3نم ط) ) ِ ( Unرراٌ١ح عد ٠ح ِ سفح تحد٘ا اٌ اَ : 6 )2n+1 (2n+3
= 𝑛𝑈 ∀n ∈ N ،
.1ع ٓ١لّ١ر ٟاٌ د ٓ٠اٌحم١م a,b ٓ١١تح١ث ٠ى: ْٛ a b 2n 1 2 n 3
n N , U n
.2اظرٕر ص ١ح تع ١ح ٌٍّ ّٛع : S n U 0 U 1 ... U n
ُ احعة 𝑛𝑆 ∞.limn→+ .3ع ٓ١ث ١ح اٌعٍعٍح ذاخ اٌحد ٚاٌّ ٛثح :
3 +∞ n !𝑛=0 n
.
مـــــــــــــــىفـــــمي
83
ي امت ـــ ن ان دا ي ا ول 2013/2012 ر :1إٌما اٌحس ح ٘ ٟاٌر ٟذحمك : 𝑦 = 𝑥2 𝑥4 − 𝑥 = 0
)(0.25 )𝑥 = 1 (0.5 )𝑦 = 1 (0.5 إٌما اٌحس ح ٘(0.25) : ٟ ٌ ٚدٕ٠ا :
)(0.5
( (0.25)، ) 0,0
= −3
𝑍𝜕2
)(0.5 )(0.5
)(0.5
( 1,1 ) = 27 > 0
𝑥𝜕𝑦𝜕
(0.5) ,
𝑍𝜕2 𝑥𝜕𝑦𝜕
0,0 .
𝑍𝜕2 𝑦𝜕𝑥𝜕
𝑥= 6
0,0 -
𝑍𝜕2
( . ) 1,1
𝑦𝜕𝑥𝜕
ِٕٗ ٚإٌم ح ( ) 1,1ذ ٔ ٓ١م ح حد٠ح ص س(0.5) . ٜ ر :2 ٔ )1ىاًِ تاٌر صئح ،تٛ
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
𝑍𝜕2 𝜕𝑦 2
( 1,1 ) -
0,0 .
𝑍𝜕2 𝜕𝑦 2
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
( 1,1 ) .
: )𝑢 = 𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (0.5 )𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 = 𝑒 𝑥 (0.5 1 )𝐼 = 𝑢. 𝑣 10 − ∫0 𝑣𝑑𝑢 (0.5 1
)2
)(1
)⟹ 𝐼 = 𝑥𝑒 𝑥 10 − ∫0 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 (0.5 )= 1 (1 𝑦𝑑 𝑦𝑑 ⟹ 𝑦′ + 𝑥2𝑦 = 0 ⟹ + 𝑥2𝑦 = 0 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 0 𝑦
𝑥𝑑
1
|𝑐|⟹ ln 𝑦 + 𝑥 3 = ln
1
3
𝑥3
⟹ y = c𝑒 − 3
1 ر :3 )1
)(0.5 )(0.5
6 )2n+1 (2n+3
𝑎= 3 𝑏 = −3
=
𝑏2𝑎 +2𝑏 𝑛+3𝑎+ )2n+1 (2n+3
⟹
−3 2n+3
84
=
𝑏 2n+3
+
𝑎 2n+1
2𝑎 + 2𝑏 = 0 3𝑎 + 𝑏 = 6
)(0.5 )(0.5
∂Y
𝜕𝑦 2
𝑥𝜕𝑦𝜕
ِٕٗ ٚإٌم ح ( ) 0,0ذ ٔ ٓ١م ح ظسج (0.5) . ِٓ ً إٌم ح ( ٌ ) 1,1دٕ٠ا :
𝑍𝜕2
𝑍𝜕2
𝑍𝜕2
0,0 = −9 < 0
⟹
∂X ∂Z
𝑦 = 𝑥2 ⟹ 𝑥(𝑥 3 − 1) = 0
)(0.25
= −3
=6
ِٓ ً إٌم ح ( ٌ ) 0,0دٕ٠ا :
)= 3𝑦 2 − 3𝑥 = 0 (0.5
( . ) 1,1
(0.5) ,
𝑦𝜕𝑥𝜕
)= 3𝑥 2 − 3𝑦 = 0 (0.5
⟹
)𝑥 = 0 (0.5 )𝑦 = 0 (0.5
∂Z
+
3 2n+1
⟹
= 𝑛𝑈 ⟹
= 𝑛𝑈
𝑍𝜕2 𝜕𝑥 2
𝑆𝑛 = 𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑛 3 3 3 3 = − + − +⋯+( 1
3
3
⟹ 𝑆𝑛 = 3 −
5
3
n→+∞
𝑈𝑛
lim
=
(n +1)3 (n +1)! n3 n!
𝑈𝑛 +1
n→+∞ 𝑈𝑛
=
(n+1)3
3−
.
n!
n!(n+1) n 3
= lim
n→+∞
2n+1
−
)2
3 2n+3
)
(0.5)
(1)
2n+3
limn→+∞ 𝑆𝑛 = lim 𝑈𝑛 +1
3
(n+1)2 n3
3 2n+3
=
=3
(n+1)2 n3
(0.5)
(1)
)3 : ٕا٠س ٌد١ٔ ثك لاعدج اٌّث
=0<1
(0.5) 0.5
85
.س فئْ اٌعٍعٍح ِرمازتح١ ِٕٗ حعة اٌّثٚ