ПРEДГOВOР
Oвajуџбеникјенаписанпремаплануипрограмузатрогодишњестручне школеуподручјимарада:машинствоиобрадаметала,електротехника,геодезијаиграђевинарство,саобраћај,геологија,рударствоиметалургија,хемија, неметалииграфичарство,шумарствоиобрададрвета,пољопривреда,производњаипрерадахране,економија,правоиадминистрација,трговина,угоститељствоитуризам,текстилствоикожарство.
Собзиромназначајматематикеуобразовањуученикаовихструка,уизлагањујекоришћенвећибројпримеракојитребададопринесубољемусвајањугpaдивa.ИзистогразлогаУџбениксадрживеликибројзадатакакојису сређенипопоступности(одлакшихкатежим).Најсложенијизадацисуозначенизвездицом (∗).Излагањематеријенијестрогоаксиоматско,алиипоред тогасадрживећибројдоказанихставова.Завршетакдоказаозначенјеквадратићем.
ЗаскороcвeзадаткедатасурешењанакрајуУџбеника,азанекеодњихсу датакомплетнарешењаилидетаљнијаупутства.
OвajуџбениксунаписалидрГрадимирBojвoдuћ(6.поглавље),мрМилан Вукасовић(5.поглавље),дрPaдивojeДеспотовић(1.поглавље),дpЂураПаунић(4.поглавље),дpВојиславПетровић(2.поглавље)идpРаткоТошић(3. поглавље).
1.ТРИГОНОМЕТРИЈАПРАВОУГЛОГТРОУГЛА
1.1.Тригонометријскефункцијеоштрогуглаправоуглогтроугла.......
1.2.Основнитригонометријскиидентитети...................
1.3.Природневредноститригонометријскихфункција.............
1.4.Решавањеправоуглогтроугла.........................
1.5.Применатригонометријскихфункција....................
2.1.1.Мерењеугла.Радијан...........................
2.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла...............
2.2.1.Дефиниција................................
2.2.3.Периодичност...............................
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција..............
2.3.1.Функција
2.3.3.Функција
2.4.Некиосновнитригонометријскиидентитети................
2.5.Адиционеформуле...............................
2.5.1.Тригонометријскефункциједвострукогуглаиполовинеугла....
2.6.Тригонометријскеједначине..........................
2.6.1.Једначинаsin
2.7.Разнизадациизтригонометрије........................
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије................
2.8.2.Применасинуснетеореме........................
2.8.3.Косинуснатеорема............................
2.8.4.Применакосинуснетеореме.......................
3.ВEКTOРИ
3.1.Кoмпoнeнтeипрojeкциjeвeктoрa.......................
3.2.Прaвoугликooрдинaтнисистeмупрoстoру.................
3.3.Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрa........................
3.4.Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрaупрaвoуглимкooрдинaтaмa....... 117
3.5.Вeктoрскипрoизвoд...............................
3.6.Вeктoрскипрoизвoдупрaвoуглимкooрдинaтaмa..............
3.7.Мешовитипроизводтривектора.......................
3.8.Разнизадацисавекторима...........................
4.AНAЛИTИЧКAГEOMETРИJA
4.1.1.Нaстaнaкaнaлитичкeгeoмeтриje....................
4.1.2.Кooрдинaтeнaпрaви...........................
4.1.3.Дeљeњeдужиудaтoмoднoсу......................
4.1.4.Прoмeнaкooрдинaтaнaпрaви.....................
4.1.5.Прaвoугликooрдинaтнисистeмурaвни................
4.1.6.Рaстojaњeизмeђудвeтaчкe.......................
4.1.7.Дeљeњeдужиудaтoмoднoсу......................
4.1.8.Пoвршинaтрoуглa............................
4.2.1.Eксплицитнajeднaчинaпрaвe......................
4.2.2.Oпштиoбликjeднaчинeпрaвe......................
4.2.3.Сeгмeнтниoбликjeднaчинeпрaвe...................
4.2.4.Нормaлниoбликjeднaчинeпрaвe....................
4.2.5.Oднoстaчкeипрaвe...........................
4.2.6.Meђусoбниoднoспрaвa.........................
4.2.7.Линeaрнaнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтe................ 159
4.2.8.Рeшaвaњeсистeмaлинeaрнихнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтe..... 164
4.3.Кoнуснипрeсeци................................. 167
4.3.1.Jeднaчинaкружницe........................... 167
4.3.2.Oднoспрaвeикружницe......................... 170
4.3.3.Цeнтрaлнajeднaчинaeлипсe....................... 174
4.3.4.Цeнтрaлнajeднaчинaхипeрбoлe.................... 176
4.3.5.Jeднaчинaпaрaбoлe............................ 180
4.3.6.Oднoспрaвeикoнуснихпрeсeкa.................... 182
5.ЛИНЕАРНОПРОГРАМИРАЊЕ
5.1.Увод........................................
5.2.Решавањепроблемалинеарногпрограмирањаграфичкомметодом.... 195
5.3.Применалинеарногпрограмирања...................... 199
5.3.1.Оптимализацијапроизводње...................... 199
5.3.2.Транспортнипроблем.......................... 201
6.НИЗОВИ 208
6.1.Прирoднибрojeви.Maтeмaтичкaиндукциja................. 208
6.2.Дeфинициjaнизaиoснoвнипojмoви.Oкoлинa............... 212
6.3.Aритмeтичкиниз................................ 217
6.4.Гeoмeтриjскиниз................................ 220
6.5.Грaничнaврeднoстнизa.............................
6.6.Нeкeoсoбинeкoнвeргeнтнихнизoвa.....................
6.7.Joшoгeoмeтриjскoмнизу............................
7.РEЗУЛTATИ,УПУTСTВAИРEШEЊA
2.
3.
Познатасувамметричкасвојствакојаповезујусамоугловеилисамостра-
помоћудосадаупознатихсвојстававезанихзаправоуглитроугао.Затоћемо упознатиитаквеодносемеђуелементимаправоуглогтроугла,којиизражавају угловепомоћустраницаиобрнуто.Тиодносисепроучавајууоквирупосебне математичкедисциплинекојасеназива тригонометрија1 .
1.1.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕФУНКЦИЈЕОШТРОГУГЛА ПРАВОУГЛОГТРОУГЛА
а)Посматрајмоуправоугломтроуглу ABC нормалнедужи B1C1, B2C2 и B3C3 (сл.1а).Тедужисукатетеправоуглихтроуглова AB1C1, AB2C2 и AB3C3 којиимајузаједничкиугао α саправоуглимтроуглом ABC.Затосу свитиправоуглитроугловислични,паодатлеследипропорционалностодговарајућихстраница,односноњиховихдужина,ито:
Дакле,заједандатиугао α размереизмеђудужинаодговарајућихстраницапосматранихправоуглихтроугловасаслике1a)сусталне.
Међутим,акобисеугао α променио,ивредностразмерабисепроменила.Заовакавзакључакдовољнојепосматратиправоуглетроуглове AB1C1, AD1C1 и AE1C1 (сл1б).Титроугловинисуслични,паниразмередужинаодговарајућихстраницанећебитиједнаке,односно |
одтихразмера,можесеодредитиоштаругао.
Собзиромнаособинеправоуглогтроугла(хипотенузајенајдужастрана),вредностразмера(1)и(2)увекјепозитиванреаланбројмањиод1,док вредностразмера(3)и(4)можебитипроизвољанреалнипозитиванброј. б)Наосновупретходногразматрањасвакаодразмера
функцију тангенс везанајеразмеранаспрамнекатетеиналеглекатете,аза котангенс обрнутаразмера.
Задатак1. Напишитетригонометријскефункцијеугла β премаознакаманаслици2.Са a, b и c суобележенестраницеправоуглогтроугла.
Напомена. Понекадсекористииреципрочнафункцијаsinusa,односно, 1 sin α = |AB| |BC| ионасеназива cosekans,уознациcosc α.Реципрочнафункција kosinusa,односно 1 cos α = |AB| |AC| називасе sekans,уознациsec α.
Пример1. Датјеправоуглитроугаочијесукатете3cmи4cm.Израчунајмохипотенузутогтроуглаиодредимосинус,косинус,тангенсикотангенсоштрихуглова (сл.3).
Решење. ПоПитагоринојтеоремиимамо: c 2 = a 2 + b2 ,c 2 =32 +42 ,c 2 =9+16,c 2 =25,c =5. sin α = 3
Пример2. Посматрајмоправоугаоник ABCD
функцијеоштрогугла δ премаознакаманаслици4.
Решење. Изправоуглогтроугла
Тригонометријскефункцијеоштрог углауправоугломтроуглудефинишу се,дакле,овако:
Синусоштрогуглауправоуглом троуглујеразмеранаспрамнекатете ихипотенузе.
Косинусоштрогуглауправоугломтроуглујеразмераналеглекатетеихипотенузе.
ТангенсоштрогуглауправоугломтроуглујеразмеСл.5 ранаспрамнекатетеиналеглекатете.
Котангенсоштрогуглауправоугломтроуглујеразмераналеглекатетеинаспрамнекатете.
Наосновунаведенихдефиницијаислике5,гдеје α + β =90◦,непосредноследидаје: sin β = sin(90◦ α)= b c = cos α cos β = cos(90◦ α)= a c = sin α tg β =
Овимједнакостимадатесу тригонометријскефункцијекомплементних углова.Искажитеихречима.
Пример3. Датјеугао α =58◦.Изразимовредноститригонометријскефункције овогуглапомоћувредноститригонометријскихфункцијањеговогкомплемента.
Задатак2. Претходневредноститригонометријскихфункцијаугловаод 30◦ , 45◦ и 60◦ представитеувидутаблице.Штаможетезапазитиизтаблицеовредноститригонометријскихфункцијакадасеугаоповећава?
НапоменаI.Већемуглуодговаравећавредносттригонометријскихфункцијасинусаитангенса,амањавредносткосинусаикотангенса.
НапоменаII.Тригонометријскефункцијеоштрихугловасупозитивни реалнибројеви.
Пример4. Израчунајтевредностизраза
Решење.
ЗАДАЦИ
1. Одредитригонометријскефункцијеугла β правоуглогтроуглаакосудатекатете a и b,ито: a) a =5, b =12;б) a =3, b =5, 2.
2. Одредитригонометријскефункцијеугла α правоуглогтроуглаакоједатакатета a ихипотенуза c ито: a) a =8, c =10;б) a =9, 8, c =12, 6.
3. Постојилитакавугао α управоугломтроуглузакојије: a)sin α =0;б)sin α = 1;в)sin α = 4 5 ; г)sin α = 5 3 ;д)sin α =0, 25?
4. Постојилитакавугао α управоугломтроуглузакојије: a)cos α = 1;б)cos α = 2 3 ;в)cos α =0; г)cos α = 0, 25;д)cos α =0, 75?
5. Напиширедомдатевредностиоднајмањедонајвеће: sin 25◦ , sin 30◦ , sin 60◦ , sin 75◦ , sin 45◦
6. Напиширедомдатевредностиоднајмањедонајвеће: cos 25◦ , cos 30◦ , cos 60◦ , cos 75◦ , cos 45◦ 7. Постојилиугао α закојијеsin α = cos α?
8. Покажидајеза α =30◦ : 1 cos2 α + 1 sin2 α = 1 sin2 α · cos2 α .
11.
13.* Акоје
14. Израчунајвредностиизраза: a) 1+ sin 30◦ 1 sin 30◦ ;б) ctg 60◦ +
15. Одредиугао α изједначине:
16. Следећетригонометријскефункцијесвединатригонометријскефункцијеуглова мањиход 45◦ :
1.2.ОСНОВНИТРИГОНОМЕТРИЈСКИИДЕНТИТЕТИ
а)Познатоједазаправоуглитроугао
б)Заправоуглитроугао ABC (сл.8)
имамодаје
Акосебројилациименилацдеснихстранаједнакости(8)поделиса c иискористе
серелацијеsin
,једнакости(8)постају:
Искажитеречимаједнакост(9).Једнакости(7)и(9)називајусе
тригонометријскеидентичности.
Пример6. Акојеtg
1.2.Основнитригонометријскиидентитети 15
ЗАДАЦИ
17. Одредиосталетригонометријскефункцијеакоједато: a)sin α = 5 13 ;б)cos α =0, 25.
18. Одредиосталетригонометријскефункцијеакоједато: a)tg α = 4 5 ;б)ctg α =0, 41.
19. Докажидаје: a)sin2 α ctg2 α + cos 2 α tg2 α =1; б)sin2 α(1+ ctg2 α)+ cos 2
20.* Докажидаје sin α + cos β cos α + sin β = tg α,акосу α и β комплементниуглови.
21. Упростиизразе: a) 1
22. Докажидајезасвеоштреуглове: a)tg2 α sin2 α = tg2 α sin2 α;б)sin4 α cos 4 α =2 sin2 α 1; в) 1 2 cos2 α sin α cos α = tg α ctg α.
23.* Докажидајезасвеоштреуглове: 1 1 cos α + 1 1+ cos α = 2 sin2 α .
24. Докажидајезасвеоштреуглове α различитеод 45◦ : cos α 1 tg α sin α ctg α 1 = cos α + sin α.
25.* Докажидајезасвеоштреуглове: sin3 α + cos3 α sin α + cos α + sin3 α cos3 α sin α cos α =2.
26.* Изрази: a)cos α ctg α помоћуsin α;б)cos2 α sin2 α помоћуctg α; в)sin α cos α + sin2 α помоћуtg α.
27.* Изрази: 1 1+ sin α + 1 1 sin α помоћу tg α
28.* Акојеcos2 α sin2 α = 7 9 ,израчунајsin α.
29.* Акојеcos α = 15 17 ,израчунај 5 sin α + cos α 3 sin α +2 cos α .
31.
1.3.ПРИРОДНЕВРЕДНОСТИТРИГОНОМЕТРИЈСКИХФУНКЦИ-
а)Уодељку1.1.израчуналисмовредносттригонометријскихфункција угловаод
jeпрeпoлaвeкaбилoтeшкoнaшимучeницимaдaрeшaвajунумeричкeзaдaткe изтригoнoмeтриje.Нaимe,oвeзaдaткeсурeшaвaлибeзупoтрeбeрaчунaрa,тj. нaнajпримитивниjинaчин.
Ушкoлaмaсусeнajчeшћeупoтрeбљaвaлeтзв.пeтoцифрeнeмaтeмaтичкeтaблицeкojeсуимaлeнaслoв
Лoгaритaмскeтaблицe.Инaчe,тaблицeсу мукoтрпнoствaрaнe,дoпуњaвaнeиусaвршaвaнeдeцeниjaмa,итoнajпрeбeз упoтрeбeрaчунaрa.Кaкoсeтoпoпулaрнoкaжe,рaчунaлoсe,,пeшкe“.
Уочимонајпредаједнакости sin(90◦ α)= cos α, tg(90◦ α)= ctg α, cos(90◦ α)= sin α, ctg(90◦ α)= tg α, омогућавајудасеодредевредностисинусаикосинуса,односнотангенсаикотангенса,коришћењемсамоједнихтаблица.Размотримопримеродређивања вредностисинусаикосинуса,односнотангенсаикотангенсадатихуглова.У тусврхупослужићемосесамоделомједнестранетаблице
GMSinus D.1′ TangD.1′ CotgD.1′ CosinD.1′′ ◦
2000,342020,363972,7475 0,93969070
40
0,373882,67460,9366730
20
500,355650,380532,62790,93462 10
2100,358370,383862,60510,93358 069
2400,40674 0,445232,24600,91355
Пoмoћукaлкулaтoрa(дигитрoнa)дoбиjaмoдирeктнo
sin 20◦48′ =
Свидaнaшњипeрсoнaлнирaчунaриимajукaлкулaтoрeсaрaзнoврсним функциjaмa.Пoмoћуњихсeдoбиja:
sin 20, 8◦ =0, 35510696240813705136617948548259, дaклeсa32дeцимaлe!!
Напомена. Изчињеницедавећемуглуодговараивећавредностсинусаитангенса,следидасепоправкакодовихфункцијадодаје.Кодкосинусаикотангенсавећемуглуодговарамањавредносттихфункцијапасепоправкаодузима.
Пример8. Одредимоsin 69◦34′
Решење. Напоменимонајпредасеприродневредноститригонометријских функцијаугловадо 45◦ читајуутаблицамауколонамалево,идућинаниже,азауглове већеод 45◦ уколонамадесно,идућинавише.
Упретходнојтаблициналазимосинусуглазастепенеидесетицеминутаупрвој идругојколониздесна,идућиоддољенавише,ауколонисинусачитамодаје: sin 69◦30′ =0, 93667 p за 4′ =40 sin 69◦34′ =0, 93707
Помоћукалкулатора sin 69◦34′ =0.937079039.
Пример9. Одредимоcos 20◦53′ .
Решење. Бројстепениналазимоупрвојколонислева,аудругојколониидући наниженалазимодесетицеминута.Уколоникосинусачитамодаје: cos 20◦50′ =0, 93462 p за 3′ =31 cos 20◦53′ =0, 93431
Пазите,поправкакодкосинусасеодузима.
Пoмoћукaлкулaтoрacos 20◦53′ =0, 934308205
Пример10. Одредимоtg 69◦37′
Решење. Какојеугаовећиод 45◦,тоћемовредностугланаћиуколонисдесна, идућиоддољенавише,паћезафункцијутангенсбити: tg 69◦30′ =2, 6746 p за 7′ =167 tg 69◦37′ =2, 6913
Пример11. Одредимоctg 20◦19′ .
Решење. Бројстепениналазимоупрвојколонислева,аудругојколониидући наниженалазимодесетицеминута,пауколоникотангенсаналазимо:
ctg 20◦10′ =2, 7228 p за 9′ =219 ctg 20◦19′ =2, 7009
Нaкaлкулaтoримa нeмaфункциjectg x.Збoгтoгaнajпрeрaчунaмotg 20◦19′ = 0, 370241959,aзaтим
ctg 20◦19′ =1/ tg 20◦19′ =2,
1.3.Природневредноститригонометријскихфункција 19
Пример12. Одредимоугао
Решење. Утаблицамауколонисинусаналазимонајвећибројмањиоддатевредностифункције,односноброј0,34748.Овојвредноститригонометријскефункције синусодговараугаоод 20◦20′ .
Најмањиброј,већиоддатевредностифункције,којисеналазиуистојколони, је0,35021,аизмеђумањегивећегоддатогбројауколониD.1′ налазисеброј27,3. Потребнојесадаразликуизмеђудатогбројаибројамањегодњега,којаизноси64, поделитиса27,3паћеседобитијединицеминутакојеседодајууглу 20◦20′.Напоменимодасеовејединицеминутадодајукодфункцијасинусаитангенса,аодузимајусе кодкосинусаикотангенса.Зашто?
Одређивањеугланаосновуприродневредноститригонометријскефункцијепрегледнијећемописатинаследећиначин.
Вредностисинуснефункције0,34748одговараугао 20◦20′ . КакоуколониD.1′ између0,34748и0,35021стојиброј27,3,тоје p =64:27, 3 ≈ 2′,павредности0,34812функцијеsin α одговараугао α =20◦22′
Кaoштoсeвиди,дoбиjaњeуглaпoмoћутaблицa,кaдajeсинус(илиoстaлeтригoнoмeтриjскeфункциje)пoзнaт,ниjejeднoстaвнo.Кaлкулaтoрoмсeтojeднoстaвнo нaлaзипримeнoмфункциjeinvsin x,тj.sin 1 x.Унaшeмслучajуимaмo α = sin 1 0, 34812=20, 37236895◦
Oстajeдaсeугao α прикaжeуoблику:стeпeни,минутиисeкунди.Дaклe,
Пример13. Одредимоугао α акојеcos α =0, 93710
Решење. Уколоникосинусналазимопрвимањиброј0,93667комеодговараугао од 20◦30′.ПоштоуколониD.1′ између0,93667и0,93769стојиброј10,1,аразлика измеђудатогброја0,93710иброја0,93667износи43,ондаје p =43:10, 1 ≈ 4′ . Прематоме,вредности0,93710функцијеcos α одговараугао α =20◦26′ .
Кaлкулaтoрдaje α = cos 1 0, 93710=20, 42989316◦ ≈ 20◦25′48′′
Тaблицaприрoднихврeднoстисинусa,кoсинусaитaнгeнсaсa14тaчних дeцимaлaдoбиjeнајепoмoћупрoгрaмaMATLABидатајенаследећојстраници.Свeцифрeсутaчнe,aпoслeдњajeдoбиjeнaзaoкругљивaњeм.
Пример14.
=2, 6620. Решење. Уколонитангенс,гледајућиоддољенавише,налазимоброј2,6511коме одговараугаоод 69◦20′.КакоуколониD.1′ између2,6511и2,6746стојиброј23,5,а разликаизмеђудатогброја2,6620иброја2,6511износи109,ондаје p =109:23, 5 ≈ 5′.Прематоме,вредности2,6620функцијеtg α одговараугао α =69◦25′ . Пoмoћукaлкулaтoрaje α = tg 1 3, 6620=69, 41093944◦ ≈ 69◦24′41′′
1 0.01745240643728 0.99984769515639 0.01745506492822
2 0.03489949670250 0.99939082701910 0.03492076949175
3 0.05233595624294 0.99862953475457 0.05240777928304 4 0.06975647374413 0.99756405025982 0.06992681194351
5 0.08715574274766 0.99619469809175 0.08748866352592 6 0.10452846326765 0.99452189536827 0.10510423526568
7 0.12186934340515 0.99254615164132 0.12278456090290
8 0.13917310096007 0.99026806874157 0.14054083470239
9 0.15643446504023 0.98768834059514 0.15838444032454 10 0.17364817766693 0.98480775301221 0.17632698070846
11 0.19080899537654 0.98162718344766 0.19438030913772 12 0.20791169081776 0.97814760073381 0.21255656167002 13 0.22495105434387 0.97437006478524 0.23086819112556 14 0.24192189559967 0.97029572627600 0.24932800284318 15 0.25881904510252 0.96592582628907 0.26794919243112 16 0.27563735581700 0.96126169593832 0.28674538575881 17 0.29237170472274 0.95630475596304 0.30573068145866 18 0.30901699437495 0.95105651629515 0.32491969623291 19 0.32556815445716 0.94551857559932 0.34432761328967
20 0.34202014332567 0.93969262078591 0.36397023426620
21 0.35836794954530 0.93358042649720 0.38386403503542
22 0.37460659341591 0.92718385456679 0.40402622583516
23 0.39073112848927 0.92050485345244 0.42447481620960
24 0.40673664307580 0.91354545764260 0.44522868530854
25 0.42261826174070 0.90630778703665 0.46630765815500
26 0.43837114678908 0.89879404629917 0.48773258856586
27 0.45399049973955 0.89100652418837 0.50952544949443
28 0.46947156278589 0.88294759285893 0.53170943166148
29 0.48480962024634 0.87461970713940 0.55430905145277
30 0.50000000000000 0.86602540378444 0.57735026918963
31 0.51503807491005 0.85716730070211 0.60086061902756
32 0.52991926423320 0.84804809615643 0.62486935190933
33 0.54463903501503 0.83867056794542 0.64940759319751 34 0.55919290347075 0.82903757255504 0.67450851684243
35 0.57357643635105 0.81915204428899 0.70020753820971
36 0.58778525229247 0.80901699437495 0.72654252800536
37 0.60181502315205 0.79863551004729 0.75355405010279
38 0.61566147532566 0.78801075360672 0.78128562650672
39 0.62932039104984 0.77714596145697 0.80978403319501
40 0.64278760968654 0.76604444311898 0.83909963117728
41 0.65605902899051 0.75470958022277 0.86928673781623
42 0.66913060635886 0.74314482547739 0.90040404429784
43 0.68199836006250 0.73135370161917 0.93251508613766
44 0.69465837045900 0.71933980033865 0.96568877480707
45 0.70710678118655 0.70710678118655 1.00000000000000
1.3.Природне вредноститригонометријскихфункција 21
Применитикалкулаторнапримере15-20.
Пример15. Одредимоsin α акоје α =58◦20′42′′ .
Решење. Имaмo
sin 58◦20′42′′ = sinÅ58+ 20 60 + 42 3600 ã◦ =0, 8512235514
Пример16. Одредимоcos α акоје α =31◦39′18′′ .
Решење. cos 31◦39′18′′ = cosÅ31+ 39 60 + 18 3600 ã◦ =0, 8512235514
Пример17. Одредимоtg α акоје α =78◦28′ .
Решење. Кaкoje α =78◦28′ = Å78+ 28 60 ã◦ ,дoбиjaмo tg α =4, 900561 986
Пример18. Одредимоугао α акојеsin α =0, 74281.
Решење. Полазећиод α = sin 1 0, 74281=47, 97133779,налазимо α =47◦ +60 · 0, 97133779=47◦ +58, 2802674′ =47◦58′ +60 0, 2802674′ ≈ 47◦58′17′′
Пример19. Одредимоугао α акојеcos α =0, 23849.
Решење. Изједнакости α = cos 1 0, 23849=76, 20256393◦ излази α =76◦ +60 · 0, 20256393′ =76◦ +12, 1538358′ =76◦ +12′ +60 0, 1538358 ≈ 76◦12′9′′
Пример20. Одредимоугао α акојеtg α =3, 82611. Решење. α = tg 1 3, 82611 ≈ 75◦21′10′′ .
ЗАДАЦИ
33. Одредиприродневредноститригонометријскихфункција: a)sin 19◦38′;б)sin 64◦17′,в)cos 27◦43′;г)cos 72◦23′ .
34. Одредиприродневредноститригонометријскихфункција: a)tg 21◦58′;б)tg 67◦11′;в)ctg 33◦46′;г)ctg 82◦13′ .
35. Израчунај: a)sin α 2 sin α 2 ,б)sin 2α 2 sin α, za α =34◦28′ .
36. Одредиоштаругао α акосудатевредноститригонометријскихфункција: a)sin α =0, 58362,б)cos α =0, 71419,в)tg α =2, 4183
37. Одредиоштаругао α акосудатевредноститригонометријскихфункција: a)sin α = 4 9 ,б)cos α = 5 7 ,в)tg α = 13 4 .
38. Израчунај x акоје: a)sin x = tg 23◦37′,б)cos x =5 sin 11◦ .
39.* Израчунај α акојеtg(α +12◦)= cos 17◦14′ .
40. Израчунајвредностизраза (sin α + sin β) sin(α + β) акоје α =8◦28′ и β =22◦37′
41.* Израчунајугао α акојеtg α = sin 32◦19′ + cos 59◦25′
42.* Индекспреламањасветлости µ датјеобрасцем µ = sin i sin r . Израчунај µ за i =23◦31′ ,r =17◦9′
43.* Дужина l секундногклатнаиубрзање g Земљинетежедатисуобрасцима: l =0, 993563 0, 002536 cos 2φ, g =9, 806059 0, 025028 cos φ, гдеје
.
1.4.РЕШАВАЊЕПРАВОУГЛОГТРОУГЛА
Некасу a, b и c страницеправоуглогтроугла ABC (сл.9),а α и β његови оштриуглови.Наосновудефиницијатригонометријскихфункција
чунавањеосновнихелеменатаправоуглог троугла(страницеиуглови)итоуслучајевимакадаједато:
1)једнастраницаиједаноштаругаои
2)двестранице.
Решитиправоуглитроугао
значиизрачунатисвењеговеосновнеелементенаосновудвадатаелемента,одкојихбарједанморабитистраница.Ево неколикопримера.
Пример21. Решимоправоуглитроугаоакосудатињеговахипотенуза c =93 cm иугао α =43◦23′ .
Решење. Премаусловимазадаткапотребнојеизрачунатиобекатете a и b иоштар угао β.
Угаоможемоодмаходредити: β =90◦ α =90◦ 43◦23′ =47◦
Дабисмоизрачуналикатету a,требалобинајпрепомоћутаблица(иликалкулатора)даодредимовредностсинусауглаод 42◦23′ .
Какојеsin 42◦ , 3833 0, 67409,биће
Катету b можемоодредитиилипомоћухипотенузеикосинусаугла α илиприменомПитагоринетеореме.
Пример22. Решимоправоуглитроугаоакосудатењеговекатете a =21 cmи b =15 cm.
Решење. Значи,требаизрачунатихипотенузуиобаоштраугла.ХипотенузуизрачунавамоприменомПитагоринетеореме:
Угао α одредићемопомоћуфункцијетангенс:
Пример23. Решимоправоуглитроугаоакосудатикатета
Пример24. Решимоправоуглитроугаоакосудатекатета
нуза c =48 cm.
Решење.
ЗАДАЦИ
Узадацимаод44до51решиправоуглитроугаоакоједато:
44. a =19, α =21◦17′ .
45. a =28, 602, β =63◦27′ .
46. c =40, α =71◦36′ .
47. c =108, 96, β =57◦6′ .
48. c =32, a =16, 5
49. c =13, 211, b =7, 821
50. a =78, b =42.
51. a =6, 35, b =9, 72.
52.* Одредирастојањеодпосматрача,којисеналазинависиниод52m,доаутомобила,којипосматрачвидиподугломод 26◦ (сл.10).
53.* Датајехипотенуза c =12 cmикатета b =3, 7 cm.Заколикосепромениугао β кадсе: a)катета b повећаза1cm;б)хипотенуза c повећаза1cm; в)икатета b ихипотенуза c повећајузапо1cm?
54.* Датесукатете: a =11, 4 cm, b =5, 2 cm.Заколикоћесепроменитикатета a када се:
1.5.Применатригонометријскихфункција 25
55.* Одредиугаоуспонапутаакојенарастојањуод300 m висинауспонаизносила 8m.
56. Одредидужинусенкедрветачијајевисина15m,акосунчевизраципадајупод угломод α =65◦ (елевациониугаоСунца).
57.* Саузвишењанаобалипосматрасебродкојипловиуправцутогузвишења.У првомосматрањусевидиподдепресивнимуглом α =7◦ ,аудругомподдепресивнимуглом β =23◦40′.Коликијепутпрешаобродизмеђутадваосматрања акојетачкасакојесеосматра40мнадморем(сл.11)?
1.5.ПРИМЕНАТРИГОНОМЕТРИЈСКИХФУНКЦИЈА
Упретходномодељкусморазматраликакосекористетригонометријске функцијеурешавањуправоуглогтроугла.Садаћемоупознатинекемогућностиприменеурешавањуправоуглогтроуглакодгеометријскихфигураиузадацимапрактичногкарактера.Илустроваћемотопримерима.
Пример25. Израчунајмостраницуромбаакоједатњеговоштаругао
једнадијагонала d1 =34 cm.
Решење.
(сл.12).
Из ∆ABS наосновуособинаромбаследи:
Тригонометријаправоуглогтроугла
Решење. Наслици13.нацртанјеправиланшестоугао.Троугао ABO јеједнакостраничан.Зашто?Угао BON је 30◦.Изправоуглогтроугла NBO следидаје: a 2 = r tg 30◦ , a 2 ≈ 12 · 0, 57735, a 2 ≈ 6, 9282,a ≈ 13, 8564 cm.
Пример27. Одредиморастојањеизмеђутачака A и B којесеналазенаразличитимстранамареке(сл.14).
Решење. Утачки A конструишемоправугао BAM .Накракутогуглаузмемо тачку C иизмеримоугао ACB.Некасмодобилидајетајугао α степени(49◦).Измеримојошрастојањетачака A
Пример28. Једанфабричкидимњакнижије9mоддругогдимњака.Акосеналазимо82mдалекооднижегдимњака,видимодасуврховиобадимњакауистом правцунагнутомпрематлуза 43◦.Коликојевисоксвакиодтихдимњака.
Решење. Нацртајмонајпрескицупрематекстузадатка(сл.15).Акојевисина нижегдимњака h метара,ондајевишидимњаквисок h +9 метара.Из ∆ABC следи: h =82 · tg 43◦,h ≈ 82 · 0, 932515,h ≈ 76 m. Другидимњакјевисок85метара.
Пример29. Изнадместа
1.5.Применатригонометријскихфункција
58. Уједнакокракомтроуглуосновицајеједнака96cm,акрак73cm.Израчунајугао приврхутогтроугла.
59. Управоугаоникуједатастраница b =78 cmиугаоизмеђудијагонала δ =16◦54′ (наспрамстранице a).Израчунајстраницу a идијагоналу d.
60. Дијагоналеромбасу64cmи28cm.Израчунајстраницуиугловеромба.
61. Дијагоналеделтоидасу: d1 =18 cm, d2 =12 cm,астраница a =11 cm.Израчунај другустраницуиугловеделтоида.
62. Полупречниккругаје r =86, 4,атетива s =120.Израчунајприпадницентралниугао.
63.* Израчунајстраницуправилногдесетоуглакојијеуписанукругполупречника 8cm
64. КоликијеелевациониугаоСунцаакоштапдужине2,18mбацасенкудугу0,7m?
65.* Жељезничкапруганаједномдијелутеренаимауспон8%. a)Коликијенагибниугао?
b)Накојојјевисининадхипотенузомтачкакојајеодпочеткаудаљена1800m?
66.* Наједнуматеријалнутачкуделујусиле
чунајрезултанту
F2 =120 N).
67. Кодпресеканасипа(сл.18)нагиббочнестранепремаосновије 1:1, 6.Израчунај нагибниугао α.
2.1.1.Мерењеугла.Радијан
Досадајекаојединицазамерењеуглакоришћенискључивостепен (10 = 1 360 пунугао).Степеномсемогумеритинесамоугловивећикружни лукови.Уочисецентралниугаокојиодговарадатомкружномлукуињеговамераизраженаустепенимапоистовећујесесмеромкружноглука.Акосе покушаобрнуто,дасецентралниугаомеридужиномкружноглука,наилази сенатешкоће.Једномистомцентралномуглуодговаранеограниченомного кружнихлуковаразличитедужине,којисвиимајуистумеруустепенима(слика1).Тадасејављадилема–дужинукојегкружноглукаузетизамерузаједничкогцентралногугла α,којасерешаваизборомлука ˙ A0B0 чијијеполупречник једнак1.
Јединицамереуовомслучајујелукчијаједужинаједнака1,тј.једнака полупречнику.Тајкружнилукназивасе радијан.
Угаокојиодговаралукуодједноградијанаимаистиназив–радијан.Тако серадијанкористиикаојединицазамерењеуглова.Угаоимаоноликорадијанаколикоихимаодговарајућикружнилукполупречника1.
Утврдитисадавезуизмеђујединицазамерењеуглова,степенаирадијана.Лукполупречника1којиодговараравномуглу(углуод
Наслици2јепредстављенугаоод
Уколикојемераугладатаурадијанима,уобичајеноједасепоредмерног
Пример1.
ЗАДАЦИ
1. Изразиурадијанимауглове: а) 15◦;б) 45◦;в) 60◦;г) 90◦;д) 120◦ ; ђ) 135◦;е) 150◦;ж) 20◦25′;з) 52◦13′27′′ .
2. Изразиустепенимауглове: а) π 18 ;б) π 12 ;в) π 4 ;г) 7π 12 ;д)3;ђ)2,31.
3. Изразиустепенимаугаокојијесуплементануглу α акоје: а) α = 5π 6 ;б) α = 11π 12 ;в) 5π 18 ;г) 0, 3π.
4. Изразиурадијанима:
a)угловеједнакокрако-правоуглогтроугла; б)угаоправилногпетоугла; в)угаоправилногдесетоугла.
2.1.2.Тригонометријскакружница
Тригонометријскефункцијеоштрогугладефинишусепомоћуодносастраницаправоуглогтроугла.Задефиницијутригонометријскихфункцијапроизвољногугла(несамооштрогвећивећегодоштрог,аистотакоинула,односнонегативногугла)користисетзв.тригонометријскакружница.
Тригонометријскакружница јекружницаполупречника1чијијецентару координатномпочетку.Тачка A сакоординатама (1, 0) којаприпадатригонометријскојкружницизовесе почетнатачка (сл.3).Натригонометријскојкружниципосматраћеморазличителуковекоји свипочињуутачки A.Луккоји,почевши одтачке A,обилазимоупозитивномсмеру(смерусупротномкретањуказаљкечасовника)зваћемопозитивнилук.
Акојесмеробиласканегативан,имамонегативанлук.Мераовакодефинисанихоријентисанихлуковапредстављена јењиховомдужиномсазнаком + запозитивнеизнаком
Акоје ‘ AM оријентисанлук,њему
одговараоријентисанугао α којиобра-
зујувектори # « OA и # « OM (сл.5).Важи
иобрнуто.Свакоморијентисаномуглу ( # « OA, # « OM ) одговараоријентисанлук ‘
AM натригонометријскојкружници. Мералука ‘ AM једнакајерадијанској
мериугла ( # « OA, # « OM ).Вектор # « OM зове се радијусвектор угла α.
Пример3. Представитинатригонометријскојкружнициоријентисанеуглове:
бројевису,уствари,мереоријентисанихлукова.Собзиромдајеобимтригонометријскекружницеједнак 2π,реалнимбројевимавећимод 2π иреалним бројевимамањимод 2π одговарајулуковивећиодпуногкруга(сл.4). Сл.5
а) α =135◦;б) β =270◦ ;
в) γ = 45◦;г) δ =390◦ .
Решење. Погледатислике6(а),(б),(в),(г).
Напомена.Свиугловипредстављенинатригонометријскојкружнициимајуутврђенпочетникрак OA,докједругикрак OM променљив.Собзиромнаположајкрака OM ,честосекористиследећафраза:
угао α = (OA,OM ) јеуилиприпада:
–Iквадрантуакополуправа OM лежиуIквадранту, –IIквадрантуакополуправа OM лежиуIIквадранту, –IIIквадрантуакополуправа OM припадаIIIквадранту, –IVквадрантуакополуправа OM припадаIVквадранту.
Акосеполуправа OM поклапасапозитивним,односнонегативнимделом x-осе (y-осе)одговарајућиугловисуграничниизањихсенекажедасуубилокојемод квадраната.
Пример4. Укојемквадрантујеугао:
а) α =750◦;б) β =1240◦;в) γ = 130◦;г) δ = 450◦ ?
Решење.
а) 750◦ =30◦ +2 360◦ ; α јеуIквадранту,каоиосновниугаоод 30◦ б) 1240◦ =160◦ +3 · 360◦ ; β јеуIIквадранту; в) 130◦ =230◦ +( 1) 360◦ ; γ јеуIIIквадранту; г) 450◦ =270◦ +( 2) · 360◦ ; δ јеграничниугао.
ЗАДАЦИ
5. Представинатригонометријскојкружнициоријентисанугао: а) α =60◦;б) β =150◦;в) γ =300◦;г) δ = 225◦ .
6. Представинатригонометријскојкружнициоријентисаниугао: а) α = π 4 ;б) β = 2π 3 ;в) γ = 5π 6 ;д) δ = π
7. Укојемквадрантујеоријентисанугао: а) α =800◦;б) β = 25π 3 ;в) γ = 800◦;г) δ = 17π 2 ?
8. Телосеналазиутачки A (почетнојтачки)тригонометријскекружницеипочиње дасекрећетригонометријскомкружницомупозитивномсмерубрзином2m/s. Акојеполупречниктригонометријскекружнице 1m,укојемћесеквадранту наћителопосле: а)2s; б)4s; в)100s; г)3min; д)2h?
9.* Изистетачкекружнебициклистичкестазестартујубициклиста A којисекреће брзином10km/hибициклиста B којисекрећебрзином8km/h.Акојеполупречникстазе1km,послеколиковременаћесебициклистисрестиакосекрећу:
2.2.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕФУНКЦИЈЕПРОИЗВОЉНОГУГЛА
2.2.1.Дефиниција
Задефиницијутригонометријскихфункцијапроизвољногуглакористи сеуправоописанатригонометријскакружница.
Некаје α = ( # « OA, # « OM ) произвољаноријентисанугаокојемодговара оријентисанлук ‘ AM .Акосу (x0,y0) координатетачке M ,косинусисинус угла α дефинишусекаоапсциса,односноординататачке M : cos α = x0 sin α = y0
(слика7).Изоведефиницијеследидакосинусисинусугламогудабудуи позитивниинегативниинула.
Сл.7 Сл.8
Пример5. Наћиcos α иsin α акоје:
а) α =0;б) α = π 2 ;в)
Решење. a)Тачка M сепоклапасатачком A(1, 0) (сл.8),пајеcos 0◦ =1 и sin 0◦ =0. б) M сепоклапаса B(0, 1) (сл.8):
в) M сепоклапаса A′( 1, 0) (сл.8),cos π = 1 иsin π =0. г) M сепоклапаса B′(0, 1) (сл.8),
Издефиницијеследидајеcos α позитиванакоје α уIиIVквадранту,анегативанакоје α уIIиIIIквадранту.Сличнојеsin α позитиванза α уIиIIквадрантуи негативанза α уIIIиIVквадранту.Тојешематскипредстављенонаслици12.
Напомена. Акоје 0 <α< π 2 ,ондасеовакодефинисаниcos α иsin α поклапајусаодранијепознатомдефиницијомкосинусаисинусаоштрихугловаправоуглог троугла.Заиста,за 0 <α< π 2 јеcos α = |OM1| иsin α = |MM1| (сл.13).Зашто?С
другестране,изправоуглогтроугла OMM1 премаранијојдефиницији: cos α = |OM1| |OM | sin α = |MM1| |OM |
Какоје |OM | =1,изовогаследидајеcos α = |OM1| иsin α = |MM1|.
Сл.13
Тангенсикотангенспроизвољногугла
Наосновузнакаcos
Наћиtg
Решење. Премаформули(1)следи:
Пример7. Наћиctg α акоје:
Решење. Наосновуформуле(2)следи:
α запроизвољанугао α издоменатангенсаможесегеометријскиинтерпретиратинаследећиначин. Уочимоправу x =1 (сл.15).Таправа, којаочигледнопролазикрозтачку A и паралелнајеса y-осом,зовесе тангенснаоса.Некаје # « OM радијусвекторугла α, α = π 2 + kπ (k ∈ Z),обележимоса N тачкупресекаправе OM итангенсне осе.Некасу (1,y0) координатетачке N . Тадаје: tg α = y0. (*)
Показаћемодајетотачно.Узетипрводаје 0 <α< π 2 .Обележимоса M1 нормалнупројекцијутачке M на x-осу.Тадаје
Зашто?Сдругестране,изсличноститроуглова OAN и OM1M је: |AN | |OA| = |MM1| |OM1| , одакле,собзиромдаје
2.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла
Сл.16
Обележимоса L пресечнутачкуправе OM (
)икотангенснеосе.Акосу (x0, 1) координатетачке L,тадаје: ctg α = x0.
Доказјесличанкаоза(*).
Сл.17
2.2.Тригонометријскефункцијепроизвољногугла 41
Напомена.
терминтригонометријскефункцијепроизвољногугла.
2.2.2.Свођењена I квадрант
Тригонометријскефункцијепроизвољногугламогусепредставитикао функцијеодговарајућегуглаIквадранта.Тајпоступаксеназива свођењена I квадрант
Бићеразмотреновишеслучајева.
1)IIквадрант.Некаје β = ( # « OA, # « OM )
угаоIIквадрантаинекасу (x0,y0) коорди-
натетачке M (x0 < 0,y0 > 0).Обележити
са M ′ тачкусиметричнутачки M уодносу
на y-осу(сл.21).Тачка M ′ припадаIква-
дрантуињенекоординатесу ( x0,y0).Ако
са α обележимоугао ( ( # « OM, # « OA′),збогсиметријеје ( # « OA, # « OM ′)= α.Отудаје
cos β = x0 = ( x0)= cos α sin β = y0 = sin α,
односнопрема(1)и(2)
tg β = sin β cos β = sin α cos α = tg α ctg β = 1 tg β = 1 tg α = ctg α.
Собзиромнатодаје β = π α,добијамоформуле: cos(π α)= cos α sin(π α)= sin α tg(π α)= tg α ctg(π α)= ctg α (4)
засвакиугао α, 0 <α< π 2 .
Сл.21
Например:
IIIквадрант.Некасу (x0,y0), (x0 < 0,y0 < 0),координатетачке M ,гдеје # « OM ,радијусвекторугла β = ( # « OA, # « OM ) изIIIквадранта. Обележимоса M ′ тачкусиметричнусатачком M уодносунакоординатнипочетак O (сл.22).Тачка M ′ лежиуIквадрантуиимакоординате ( x0, y0).Акоса α означимо угао ( # « OA′ , # « OM ),тадајезбогсиметрије ( # « OA, # « OM ′)= α.Стогаје:
cos β = x0 = ( x0)= cos α; sin β = y0 = ( y0)= sin α; tg β = sin β cos β = sin α cos α = tg α; ctg β = 1 tg β = 1 tg α = ctg α.
β = π + α,следеформуле:
cos(π + α)= cos α sin(π + α)= sin α tg(π + α)= tg α ctg(π + α)= ctg α (5)
α, 0 <α< π 2 .
3) IVквадрант.Некаје β = ( # « OA,
# « OM ) угаоIVквадрантаинекасу (x0,y0), (x0 > 0,y0 < 0) координатетачке M . Обележимоса M ′ тачкусиметричнутачки M уодносуна x-осу(сл.23).Тачка M ′ припадаIквадрантуиимакоординате (x0, y0).Акоса α обележимоугао
( # « OM, # « OA),тадајезбогсиметрије ( # « OA, # « OM ′)= α.Изтогаследи:
cos β = x0 = cos α; sin β = y0 = ( y0)= sin α; tg β = sin β cos β = sin α cos α = tg α; ctg β = 1 tg β = 1 tg α = ctg α;
Какоје β =2π α,следеформуле:
cos(2π α)= cos α sin(2π α)= sin α tg(2π α)= tg α ctg(2π α)= ctg α
засвакиугао α, 0 <α< π 2 .
Некаје #
OM радијусвекторнегативногугла
чимоса M ′ тачкусиметричнутачки M
x-осу.Наслици24приказанојенеколикоразличитихслучајева. Сл.24 Акосу (x0, y0) координатетачке M ,тадасу (x0, y0) координатетачке M ′.Збогсиметријеје ( # « OA, # « OM ′)= α,одаклеследеформуле: cos( α)= cos α sin( α)= sin α tg( α)= tg α ctg( α)= ctg α (7) засвакиугао α издоменафункција.
ЗАДАЦИ
11. Натригонометријскојкружниципредставиугао α инађиcos α иsin α акоје: а) α =120◦;б) α =225◦;в) α = 30◦ .
12. Натригонометријскојкружниципредставиугао β
β иsin β акоје: а) β = 3π 4 ;б) β = 5π 6 ;в) β = π 3 .
13. Натригонометријскојкружниципредставиугао α инађиtg α иctg α акоје: а) α =135◦;б) α =240◦;в) α = 30◦ .
14. Натригонометријскојкружниципредставиугао β инађиtg β иctg β акоје: а) β = 2π 3 ;б) β = 5π 4 ;в) β = π 3 .
15. Одредизнак: а)sin 5π 6 ;б)sin 1;в)cos 3π 4 ;г)cos 0, 2;д)sin( 2);ђ)cos( 3).
16. Одредизнак: а)sin 178◦;б)cos 359◦;в)sin 210◦ ; г)cos 300◦;д)sin 288◦;ђ)cos( 91◦).
17. Одредизнак: а)tg 175◦;б)tg 269◦;в)tg( 95◦); г)tg 1;д)tg 0, 2;ђ)tg( 2).
18. Одредизнак: а)ctg 359◦;б)ctg 200◦;в)ctg( 182◦); г)ctg 1;д)ctg 1, 5;ђ)ctg( 2)
19. Одредизнакизраза:
а)sin 100◦ · cos 300◦ ; б)sin 190◦ · sin 200◦ ; в)cos 170◦ · cos( 20◦);г)sin 320◦ · cos 320◦ .
20. Одредизнакизраза:
а)tg 190◦ tg 200◦ ; б)tg 172◦ sin 181◦ ; в)sin 100◦ tg 190◦ ; г)cos 320◦ ctg 17◦ ; д)sin( 100◦) · ctg( 30◦);ђ)cos( 40◦) · ctg( 50◦).
21. Укојемквадрантуjеугао α акоје:
а)sin α> 0 иcos α> 0;б)sin α< 0 иcos α< 0; в)sin α> 0 иcos α< 0;г)sin α< 0 иcos α> 0?
22. Укојемквадрантуjеугао α акоје:
а)sin α> 0 иtg α> 0;б)sin α> 0 иtg α< 0; в)cos α> 0 иtg α< 0;г)cos α< 0 иctg α> 0; д)sin α< 0 иctg α< 0?
2.2.3.Периодичност
Акозанекуфункцију f постојиреаланброј T различитод0,такодаза свако x издоменафункције f, x + T такођеприпададомену f иважи f (x + T )= f (x),
тадасекажедајефункција f периодична. T јепериодфункције f.Најмањи позитивнипериод,уколикопостоји,називасе основнипериод.
Какосвимугловимаоблика α +2k (k ∈ Z) одговараједантеистиположај
радијус-вектора # « OM ,тоје,премадефиницији,cos(α +2kπ)= cos α иsin(α + 2kπ)= sin α (k ∈ Z).Тозначидасукосинусисинуспериодичнефункције. Следећетврђењеговориоосновномпериоду.
Теорема1. Основнипериодфункцијеcos x иsin x је T =2π.
Доказ. Какоугловима x и x +2π одговараистиположајрадијус-вектора # « OM ,то јеочигледноcos(x +2π)= cos x засвакиугао x.
Тозначидаје 2π периододcos x.Покажимодајетоиосновнипериод.Довољно једасепокажедазасвако T , 0 <T< 2π,постојибарједанугао x0,такавдаје cos(x0 + T ) = cos x0.Конкретносеможеузетидаје x0 =0.Тадајеcos 0=1 и cos(0+ T )= cos T< 1 за 0 <T< 2π.Прематоме, T нијепериододcos x.Заsin x доказјесличан.За x0 семожеузети π 2 .
Теорема1омогућавадасекосинусисинусугла,чијајеапсолутнавредност већаод 2π,сведунакосинусисинусодговарајућегуглаизинтервала [0, 2π), односноинтервала ( 2π, 0].
Пример8. Израчунати:
а)cos
Решење. КористећипериодичностсвођењеIIквадрант,добијасе:
Тангенсконтангенссутакођепериодичнефункције.Наосновудефиниције(1)формуле(5)јеtg(x + π)= sin(x + π) cos(x + π) =
домена.Сличнојеctg(x + π)= ctg x засвако x издоменакотангенса.Штосе тичеосновногпериода,важиследећатеорема.
Теорема2. Основнипериодфункцијаtg x иctg x је T = π.
Доказ. Издефиницијетангенсалакосевидидајеtg(x + π)= tg x засвакиугао x издоменафункције.Покажимодазасвако T , 0 <T<π,постојиугао x0,такавда јеtg(x0 + T ) = tg x0.Утусврхуузети x0 =0.Тадајеtg 0=0,аtg T =0 за 0 <T<π. Прематомеtg 0 = tg(0+ T ),штозначидаје π најмањипозитиванпериод,тј.основни периодфункцијеtg x.
Заctg x доказјесличан.
Применомтеореме2иформула(4),(5),(6)(7)могусеједноставноодредититангенскотангенссвакогуглакојиприпададоменутихфункција.
Пример9. Израчунати:
а)tg 750◦;б)ctg 930◦;в)tg( 1110◦);г)ctg( 780◦)
Решење.
ЗАДАЦИ
23. Израчунај: a)sin 390◦;б)cos 420◦;в)sin 540◦ ;
г)cos 7π 3 ;д)sin 15π 4 ;е)cos 19π 6
24. Израчунај: а)cos( 720◦);б)cos( 780◦);в)sin( 405◦);
г)sinÅ 9π 4 ã;д)cosÅ 13π 3 ã;е)sinÅ 17π 6 ã
25. Израчунај: а)tg 390◦;б)tg 540◦;в)tg( 810◦);
г)tg 7π 3 ;д)tg 17π 4 ;ђ)tgÅ 35π 6 ã.
26. Израчунај: а)ctg 450◦;б)ctg 750◦;в)ctg( 1110◦);
г)ctg 11π 3 ;д)ctg 23π 4 ;ђ)ctgÅ 33π 6 ã.
2.3.ГРАФИЦИОСНОВНИХТРИГОНОМЕТРИЈСКИХФУНКЦИЈА Графикјевеомапогодносредствозапредстављањетокафункције,тј.променевредностифункцијеузависностиодпроменеаргумента.
Уовомпоглављуизложићесекакосенаосновупојединихособинаприближноцртајуграфицифункција y = cos x, y = sin x, y = tg x и y = ctg x.
2.3.1.Функција y = cos x
Зацртањеграфикафункције y = cos x користићесеследећеособинекосинуса(видипоглавље1.2): a)функцијаједефинисаназасвако x; б)скупвредностифункцијејезатворенинтервал [ 1, 1],тј. 1 cos x 1 засвако x,изчегаследидајефункцијаcos
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција 49
Минималнувредност,за x ∈ [0, 2π],cos x достижеза x = π иона износиcos π = 1;
ђ)cos x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом 2π.
Збогпериодичностиђ)зацртањеграфикаcos x довољнојенацртатидео тогграфиканадбилокојиминтерваломдужине 2π.Остатакграфикасетада добијапомерањемдобијеногделауправцу x-осезасвемогућевектореинтензитета 2kπ (k =1, 2,...).Нацртасеприближнографикфункције y = cos x надинтервалом [0, 2π].Радивећепрецизностиодредићесеконструктивнокосинусивишеугловаизтогаинтервала.
Утусврхуизделисетригонометријскукружницуна12једнакихлукова(свакипо π 6 )тачкама M0, M1, M2,. ..,M11 (сл.25).
Садасеукоординатнисистем
унесутачке C0,C1,C2,...,C11,чијесуапсцисередомједнакемерамаоријентисанихлукова ‘ AM 0, ‘ AM 1, ‘ AM 2,..., ‘ AM 11,тј. 0, π 6 , 2π 6 ,..., 11π 6 ,
ачијесуординатеједнакеапсцисама
тачака M0,M1,M2,...,M11.Такосу
координатетачака C0,C1,C2,...,C11 редом (0, cos 0), Å π 6 , cos π 6 ã , Å 2π 6 , cos 2π 6 ã ,..., Å 11π 6 , cos 11π 6 ã .
Сл.25
Спајањемтачака C1,C1,...,C11 иимајућиувидув),г),д)добијасекрива којапредстављаграфикфункције y = cos x надинтервалом [0, 2π] (сл.26).
Комплетанграфикседобијапомерањемовекриведуж x-осезасвевекторе интензитета 2kπ (k =0, 1, 2,...).Тојеједнабесконачнакривачијијеједан деоприказаннаслици27.
Такриваназивасе косинусоида.
Саграфикасемогуочитатисвиважнијиелементитокафункције y = cos x:
1)доменфункције (−∞, +∞);
2)функцијајепериодичнасаосновнимпериодом 2π;
3)графикјесиметричануодносуна y-осу,cos( x)= cos x засвако x, тј.cos x је парна функција;
4)графиксеналазиизмеђупаралелнихправа y = 1 и y =1.Тозначи дајефункција y = cos x ограничена, 1 cos x 1.Њенкодоменје [ 1, 1];
5)графиксече x-осуутачкама x = π 2 + kπ (k ∈ Z) итосунулефункције y = cos x;
6)за x =2kπ (k ∈ Z) функцијаимамаксималневредностиионеизносе cos 2kπ =1.За x =(2k +1)π; (k ∈ Z) функцијаимаминималне вредности,cos(2k +1)π = 1.
7)cos x опадауинтервалимаоблика [2kπ, (2k +1)π](k ∈ Z),арастеу интервалимаоблика [(2k +1)π, (2k +2)π](k ∈ Z);
8)за x ∈ Å π 2 +kπ, π 2 +2kπã јеcos x> 0,аза x ∈ Å π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπã јеcos x< 0(k ∈ Z).
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција 51
2.3.2.Функција y = sin x
Функција y = sin x имаследећеособиненаинтервалу [0, 2π] којећеомогућитидасеприближнонацртањенграфик:
a)дефинисанајезасвако x; б)скупвредностифункцијеsin x јеинтервал [ 1, 1].Последицаовогаје ограниченост, 1 sin x 1;
в)нулефункције y = sin x за x ∈ [0, 2π] су x =0 и x = π;
г)sin x јепозитиванза 0 <x<π,анегативанза π<x< 2π;
д)када x растеод0до π 2 ,sin x расте;када x растеод π 2
3
2 ,sin x опада; када x растеод 3π 2 до 2π,sin x поноворасте; ђ)sin x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом 2π.
Опетјезбогпериодичностидовољнодасенацртадеографиканадинтервалом [0, 2π].Радипрецизностиодредићесесинусивишеугловаизтогинтервала.
Каоикодцртањаграфика y = cos x,тачке M0,M1,...,M11 делетригонометријскукружницуна12једнакихделова(свакипо π 6 ).Укоординатни
системунетитачке S0,S1,...,S11 чијесуапсцисеједнакемерамаоријентисанихлукова AM0,AM1,...,AM11,ачијесуординатередомједнакеординатаматачака M0,M1,...,M11.Тозначидасукоординатетачака S0,S1,...,S11 редом (0, sin 0), Å
Спајањемтачака S0,S1,...,S11 добијаседеографикафункције y = sin x над интервалом [0, 2π] –слика28.
Остатакграфикадобијасетранслацијамаовогделадуж x-осезасвевектореинтензитета 2kπ (k =1, 2,...).Такоседобијаједнабесконачнакрива, графикфункције y = sin x,којасезове синусоида (сл.29).
Сл.29
Саграфикасезапажајуособинефункције y = sin x:
1)доменфункције (−∞, +∞);
2)функцијајепериодичнасаосновнимпериодом 2π;
3)графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак O, sin( x)= sin x,тј.sin x је непарна функција;
4)графиксеналазиизмеђупаралелнихправа y = 1 и y =1,изчега следиограниченост 1 sin x 1;
5)графиксече x-осуутачкама: x = kπ (k ∈ Z),којепредстављајунуле функције;
6)за x = π 2 +2kπ (k ∈ Z) sin x имамаксималневредности, sinÅ π 2 +2kπã =1,аза x = π 2 +2kπ,sin x имаминималневредности,sinÅ π 2 +2kπã = 1(k ∈ Z);
7)sin x растеуинтервалима [ π 2 +2kπ, π 2 +2kπ],аопадауинтервалима [ π 2 +2kπ, 3π 2 +2kπ] (k ∈ Z);
8)sin x> 0 за x ∈ (2kπ, (2kπ +1)π) иsin x< 0 за x ∈ ((2k 1)π, 2kπ) (k ∈ Z).
Пример10. Користећиграфикефункција y = cos x и y = sin x нацртатиграфике функција: а) y = cos x +1;б) y = sin x 1;в) y = cos x;г) y = sin x +2.
а)Какојезасвакувредностаргументавредностфункцијеcos x +1 за 1већаодвредностифункцијеcos x,графикcos x +1
cos x упозитивномсмеру y-осеза1(сл.30).
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција
б)Сличнокаоа),слика31.
Сл.30
Сл.31
в)Вредностифункција y = cos x и y = cos x разликујусесамоузнаку.То значидасуимграфицисиметричниуодносуна x-осу(сл.32).
г)Комбинацијаа)иб),слика33.
Сл.32
2.3.3.Функција
б)скупвредностифункцијеtg
).Тозначиданијеограничена; в)нулафункцијеје x =0;
г)tg x< 0 за π 2 <x<
д)сталнорасте.
Какојеtg x периодичнафункцијасаосновнимпериодом π,довољноје нацртатиграфикнаинтервалу [ π 2 , π 2 ].Остатакседобијатранслацијама
дуж x-осеза kπ (k ∈ Z).
Опетћесе,радивећепрецизности,користититригонометријскакружница.Тачке M0,M1,M2,...,M6 делеполукругнашестједнакихделова(сл.34). Апсцисетачака T0, T1, T2, T4, T5 једнакесумерамаоријентисанихлукова ‘ AM 0, ‘ AM 1, ‘ AM 2, ‘ AM 4, ‘ AM 5,аординатеординатаматачака N0, N1, N2, N4, N5. Прематоме,координатетачака T0, T1, T2, T4, T5 су (0, tg 0), Å π 6 , tg
,
6
T0,T1,T2,T4,T5
[ π 2 , π 2 ] (сл.34).
x-осеза kπ (k ∈ Z) исастојисеизбесконачномногоподударнихкривих.Једандеотога графикаприказанјенаслици35.Графикфункцијеtg x називасе тангенсоида. Следећеособинефункције y = tg x очитавајусесаграфика.
1)Функцијаједефинисаназасвако x = π 2 + kπ (k ∈ Z),тј.доменје R\{ π 2 + kπ k ∈ Z};
2)праве y = π 2 + kπ (k ∈ Z) сувертикалнеасимптоте.
3)tg x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом π;
Сл.35
4)графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак 0, tg( x)= tg x,тј.tg x је непарна функција;
5)tg x јенеограниченафункцијаињенкодоменје (−∞, +∞);
6)нулефункцијесу x = kπ (k ∈ Z);
7)неманимаксималнихниминималнихвредности; 8)tg x сталнорасте;
9)tg x> 0 за x ∈ Åkπ, π 2 + kπã,аtg x< 0 за x ∈ Å π 2 + kπ,kπã (k ∈ Z).
Графикфункције y = ctg x наинтервалу (0,π) добијасенасличанначин коришћењемтригонометријскекружницеикотангенснеосе(сл.36).
Особинефункције y = ctg x којеследесаграфикасу:
1)функцијаједефинисаназасвако x = kπ (k ∈ Z),тј.њендоменје R\{kπ| k ∈ Z};
2)праве x = kπ (k ∈ Z) сувертикалнеасимptоте;
3)ctg x јепериодичнафункцијасаосновнимпериодом π;
4)графикјецентралносиметричануодносунакоординатнипочетак O, ctg( x)= ctg x,тј.ctg x је непарна функција;
5)ctg x јенеограниченафункцијаињенкодоменје (−∞, +∞);
6)нулефункцијесу x = π 2 + kπ (k ∈ Z);
7)неманимаксималнихниминималнихвредности; 8)ctg x сталноопада.
Пример11. Користећиграфикфункције y = tg x и y = ctg x нацртатиграфик функција:
а) y = tg x +1;б) y = ctg x 1;в) y = tg x;г) y = ctg x +1.
Решење. Графицинаведенихфункцијасецртајупоистимпринципимакаоиграфицифункцијаизпримера10а),б),в),г),д).
а)Наслици38.
Сл.39
в)Наслици40.
Сл.40
г)Наслици41.
Сл.41
ЗАДАЦИ
27.
Користећиграфикфункције y = cos x нацртајграфикфункција: а) y = cos x 1;б) y = cos x +1;в) y = cos( x).
28. Користећиграфикфункције y = sin x нацртајграфикфункција: а) y = sin x +2;б) y = sin x 1;в) y = sin( x).
29. Помоћуграфикафункције y = tg x нацртајграфикфункција: а) y = tg x 2;б) y = tg x +1;в) y = tg( x).
30. Помоћуграфикафункције y = ctg x нацртајграфикфункција: а) y = ctg x +2;б) y = ctg x +1;в) y = ctg( x)
2.3.4.Функција y = a sin(bx + c)
Тригонометријскефункцијетипа y =2 sin x, y =5 sin 2x, y = sin(2x
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција 61
Свеовефункцијемогусеобухватитиизразом y = a sin(bx + c),гдесу a, b и c реалнибројеви,причемује a =0 и b> 0.Например,зафункцију y = sin(x +2) је a =1, b =1, c =2,докјеза y =2 sin 3x, a =2, b =3, c =0. Функција y =2 sin(5 2x) јетакођеобухваћенајерје: 2 sin(5 2x)= 2 sin(2x 5)
Периодичностфункције y = a sin(bx + c) следидиректноизпериодичностисинуснефункције.Одредитиосновнипериод.Какојеосновнипериод функцијеsin x једнак 2π,тозначидасевредностизраза a sin(bx + c) понављаприпромениаргуменатаза 2π.Дакле,акосеса T означиосновнипериод, биће: b(x + T )+ c = bx + c +2π.
Одавдеје T = 2π b .
Основнипериодфункцијеје y = a sin(bx + c), a =0, b> 0, je T = 2π b
Запазитида основнипериоднезависиод c.Садаћесеразмотритинеколикоспецијалнихслучајевакојићеомогућитидасе,полазећиодграфика функције y = sin x,дођедографикафункције y = a sin(bx + c) уопштем случају.
1) a =1,b =1,y = sin(x + c).
Можеседоказатиследећеопштетврђење.
Теорема3. Графикфункције y = f (x + c) можеседобитипомерањем графикафункције y = f (x) за c управцу x-осе(сл.42).
Наосновутеореме3можесе,полазећиодграфикафункције y = sin x, конструисатиграфикфункције y = sin(x + c) засвакиреаланброј c.
Сл.42
Пример12. Нацртатиграфикефункција: a) y = sin (x + π 4 );б) y = sin (x π 4 )
Решење. а) c = π 4 > 0 ипомерањеје,,улево“за π 4 (сл.43).
Сл.43
б) c = π 4 < 0 ипомерањеје,,удесно“за π 4 (сл.44).
Сл.44
2) a =1, c =0, y = sin bx. Основнипериодфункције y = sin bx је,каоштојенапочеткупоглављаутврђено, 2π b .Затоједовољнонацртатидеографиканадинтервалом
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција 63
Наосновуовихподатакаможедасенацртаприближанграфик(сл.45).
Сл.45
Пример13. Нацртатиграфикефункција: а) y = sin 2x;б) y = sin x 2 .
Решење. а) b =2 иосновнипериодје
.Наслици46јеприказаниграфик одsin x радиупоређења.
Сл.46
б) b = 1 2 .Основнипериодје 2π b =4π.Графикједатнаслици47.
Сл.47
3) a =1, c =0; y = sin(bx + c)
Какоје bx + c = b (x + c b ),тосе,наосновутеореме4,графикфункције y = sin(bx + c) можеседобитипомерањемграфикафункције y = sin bx дуж x-осеито:
a)упозитивномсмеруза c b ,акоје c< 0,јерјепопретпоставци b> 0;
б)унегативномсмеруза c b ,акоје c> 0.
Дакле,конструкцијаграфикафункције y = sin(bx + c), b> 0, c =0 састојисе
издвакорака.Најпресенацртаграфикфункције y = sin bx,азатимсепомеридуж x-осеза c b сходноа)иб).
Пример14. Нацртатиграфикфункције:
а) y = sin (2x π 2 );б) y = sin ( x 2 + π 4 ).
Решење. а) b =2,
Графикједатнаслици48.
Сл.48
б) b = 1 2 , c = π 4 , T = 2π b =4π, c b = π 2 .Видислику49.
Сл.49
4) b =1, c =0; y = a sin x
2.3.Графициосновнихтригонометријскихфункција 65
Вредностфункције y = a sin x,заодређенувредностаргумента x,добијасемножењемса a вредностифункције y = sin x заистиаргумент.Случајеви a> 0 и a< 0 приказанисунаслици50.
Сл.50
Пример15. Нацртајмографикефункција: а) y = 2 sin x;б) y = 1 2 sin x.
Решење. а)Наслици51.
Сл.51
б)Наслици52.
Сл.52
Садасеможенацртатиграфикфункције y = a sin(bx + c), a =0, b> 0 уопштем случају.Тоћесепоступноурадитиучетирикорака.
1.корак. Конструишесеграфикфункције y = sin x.
2.корак. Користећи2),конструишесеграфикфункције y = sin bx.
3.корак. Наоснову3),конструишесеграфикфункције y = sin(bx + c).
4.корак. Наоснову4),конструишесеграфикфункције y = a sin(bx + c).
Пример16. Конструишимографикефункција:
Решење. а)
Свечетирифазеприказанесунаслици53.
2.4.Некиосновнитригонометријскиидентитети
31. Одредиосновнипериодфункција:
а) y = sin 3x;б) y = sin x 3 ;в) y = sin 2x;
г) y = sin 3x 4 ;д) y = sin(2x 5);ђ) y = 2 sin(3x + 4).
32. Нацртајграфикефункција:
а) y = sin (x + π 4 );б) y = sin (x π 3 ); в) y = sin (x π 2 ) +1;г) y = sin (x π 6 ) 2
33. Нацртајграфикефункција: а) y = sin 3x;б) y = sin x 3 ;в) y = sin 3x 1;г) y = sin 2x 3 +1.
34. Нацртајграфикефункција: а) y =2 sinÅ 4x 3 + π 3 ã;б) y =
2.4.НЕКИОСНОВНИТРИГОНОМЕТРИЈСКИИДЕНТИТЕТИ Основнетригонометријскефункцијеcos x,sin x,tg x иctg x имајуједну значајнуособину,атоједасепомоћусвакеодњихмогупредставитиостале
Акоје M (x0,y0) произвољнатачка тригонометријскекружнице(сл.55),на основуПитагоринетеоремеследи:
x 2 0 + y 2 0 =1.
Какоје x0 = cos α и y0 = sin α,гдеје α = (OA,OM ),изгорњеједнакости
следи:
cos 2 α + sin2 α =1 (8)
засвакиугао α.Овојеједанодосновнихтригонометријскихидентитета.
Комбинујући(8)са(1),(2)и(3)могусепомоћусвакеодчетириосновнетригонометријскефункцијепредставити преосталетри.
Пример17. Изразитиsin α,tg α иctg α помоћуcos α.
Решење. Изидентитета(8)непосредноследи:
Знакпредкореномзависиодтогаукојемсеквадрантуналазиугао α.Акоје α уIилиIIквадранту,знакје + јерјеsin α> 0.За α изIIIилиIVквадрантаsin α је негативанизнакје .Увршћујућиуформуле(1)и(2)заtg α иctg α добијасе:
Пример18. Изразитиsin α,cos
Решење. Из(3)добијасе:
Даље,акоселеваидеснастранаформуле(8)поделисаcos
,добијасе:
односно:
2.4.Некиосновнитригонометријскиидентитети
даљеизформуле(8)добијасе:
Изборзнака + или зависиодугла α,какојетообјашњенопримеру17.
Насличанначинсеможепоказатидасеипомоћуsin α иctg α могуизразитипреосталетриосновнетригонометријскефункције.Натајначинседобијаследећатаблица:
Усвакојодколонасудатепреосталетрифункцијеизраженепомоћубазичнефункцијекојајеузаглављу.
Пример19. Акосезнадаје π 2 <α<π,одредити:
а)sin α акојеcos α = 0, 6; б)cos α акојеsin α = 1 3 ;
α акојеcos α = 15 17 ;
α акојеctg α = 2.
α>
,cos α< 0, tg α< 0 иctg α< 0.Користећигорњутабелу,добијасе: а)sin α = √1 cos2 α = »1 ( 0, 6)2 = √0, 64=0, 8; б)cos α = √1 sin2 α = 1 Å 1 3 ã2 = √8 3 = 2√2 3 .
Тригонометријскиидентитетисенајвишекористезатрансформисањесложенихизразаукојимаучествујутригонометријскефункцијерадињиховог упрошћавањаили,пак,довођењанапогоданобликуциљурешењаконкретног проблема.Уследећимпримеримаилустрованесунекеизскупатрансформација.
Пример20. Упроститиизразе:
а)sin4 α + cos 2 α · sin2 α + cos 2 α; б) (tg α + ctg α)2 (tg α ctg α)2 ; в)
Решење. а)Акосеизпрвадвасабиркаиздвојизаједничкифакторsin2 α,апотом двапутаискористиформула(8),добијасе:
б)Извршитинаведенеоперацијеикориститидајеtg
в)Извршитиназначенеоперацијеузаградама.Притомећесекориститирезултат(б)иформула(8):
2.4.Некиосновнитригонометријскиидентитети 71
Пример21. Далипостојиугао α такавдаје:
а)sin α =0, 5,acos α =0, 25;
б) 2 sin α +5 cos α =8;
в) 2 sin α +5 cos α =7?
Решење. a)Непостоји.Наосновуидентитета(8)засвакиугао α јеsin2 α+cos 2 α = 1.Међутим,уовомслучајује 0, 52 +0, 252 =0, 25+0, 0625==0, 3125 =1
б)Непостоји.Какојеsin α 1 иcos α 1 засвако α,изразналевојстранине
можебитивећиод7,докдеснастранавреди8.
в)Непостоји.Собзиромнатодајеsin α 1иcos α 1 засвако α,изразналевој странивреди7самозаsin α =1 иcos α =1.Међутим,такавугаонепостоји.Акоје занекиугао Φ,sin Φ=1,бићеcos Φ=0,аакојеcos Φ=1,бићеsin Φ=0.(Објасни).
ЗАДАЦИ
35. Далипостојиугао α такавдаје:
а)sin α = 9 41 иcos α = 40 41 ;
б)sin α = 3 4 иcos α = 1 4 ;
в)tg α = 5 9 иctg α =1, 8;
г)tg α = √2 1 иctg α = √2+1?
36. Користећитаблицеприроднихвредноститригонометријскихфункција,ученик јенашаодајезанекиугао α sin α ≈ 0, 33 аcos α ≈ 0, 66.Докажидајеоннегде начиниогрешку.
37. Одредивредностиосталетритригонометријскефункцијеугла α акоје:
а)sin α = 3 5 и 0 <α< π 2 ; б)cos α = 8 17 и α лежиуIквадранту; в)tg
38. Нађивредностипреосталихтригонометријскихфункцијаугла β акосезнадаје: а)sin β = 40 41 и π 2 <β<π;б)cos β = 4 5 и 3π 2 <β< 2π; в)tg β =1 и
39. Упростиизразе: а) 1 cos 2 α;б) 2 sin2 α cos 2 α;в) (1 sin α)(1+ sin α); г) 1 1 cos2 α ;д) (sin α + cos α)2 +(sin α cos α)2
40. Докажиидентитете:
а) (2+ sin α)(2 sin α)+(2+ cos α)(2 cos α)= 7;
б)ctg α + sin α 1+ cos α = 1 sin α ;
в) 1 2 sin α cos α sin α cos α = sin α cos α;
г) 1 sin2 α 1 cos2 α = 1 tg2 α ;
д) cos2 α sin2 α ctg2 α tg2 α = sin2 α cos 2 α.
41. Докажидаследећиизразинезависеодпроменљиве x:
а) 1+2 sin x cos x (sin x + cos x)2 ;
б) sin2 x cos2 x +1 sin2 x ;
в) 1+ sin x cos x 1 sin x cos x ;
г) 1 4 sin2 x cos2 x (sin x + cos x)2 +2 sin x cos x;
д*) 3(cos 4 x + sin4 x) 2(cos6 x + sin6 x).
Помоћуадиционихформулатригонометријскефункцијезбираиразлике угловаприказујусепомоћуосновнихтригонометријскихфункција.
Закосинусисинусзбираугловамогусеизвестиследећеформуле:
sin(α β)= sin α cos β cos α sin β (12)
Евонеколикопримераприменеадиционихформула.
Пример22. Безупотребекалкулатораизрачунати: а)cos 105◦;б)cos 15◦;в)sin 75◦;г)sin 15◦ .
Решење. а)Премаформули(9)биће:
105
б)Коришћењемформуле(11)добијасе:
в)Премаформули(10)биће:
(45
г)Наосновуформуле(12)следи:
г)Користећиформулу(12),до ијасе: sin 137◦ cos 62◦
(Видетипример22в).
Адиционеформулепримењујусеизаупрошћавањаитрансформацијетригонометријскихизраза.
Пример24. Упроститиизразе:
a)cos(60◦ α)+ cos(60◦ + α); )sin(30◦ + α)+ sin(30◦ α);
в) cos(α + β)+ sin α sin β cos(α β) sin α sin β ; г) sin(α + β) cos α sin β sin(α β)+ cos α sin β .
Решење. Уо аслучајакористисеиформула(9)иформула(11).
a)cos(60◦ α)+ cos(60
cos α cos β cos α · cos β =1(
(2),(9),(10),(11),(12).Такодаје
2.5.Адиционеформуле 75
Аналогно,добијајусеформуле:
Формуле(13)и(14)важезасвако
аформуле(15)и(16)засвако α = kπ,
Пример25. Безупотребетаблицаизрачунати: а)tg 75◦;б)tg 15◦;в)ctg 105◦ ; г)ctg 15◦
Решење. а)наоснову(13)биће:
б)Премаформули(14)следи:
в)Користећиформулу(13)биће:
г)Наосновуформуле(16)добијасе:
Решење. Одредитипрвоctg
42. Израчунајбезупотребетаблица: a)sin 21◦ cos 9◦ + cos 21◦ sin 9◦;б)cos 18◦ cos 63◦ +
43. Докажиидентитет:
a)sin(α + β)+ sin(α β)=2 sin α · cos β; b)cos(α β) cos(α + β)=2 sin α · sin β;
в)sin(α + β) · sin(α
44. Упростиизразе:
( π 4 + α) sin ( π 4 α) + cos ( π 4 + α) cos ( π 4 α); б)cos ( π 2 + α) cos ( π 3 α) sin ( π 2 + α) sin ( π 3 α); в)cos ( π 4 +
) · sin (α + π 3 ). 45. Израчунајtg (α + π 4 ) акојеtg α =2
46. Израчунајtg (α π 3 ) акојеtg α = 1. 47. Израчунајtg(α + β) акојеsin α = 1 2 иsin β =
π 2 ,
<β< π 2 . 49. Упростиизраз tg(α + β) tg(α β) tg(α + β)+ tg(α β)
2.5.1.Тригонометријскефункциједвострукогуглаиполовинеугла
Заменом β = α у(9),(10),(13),(15)добијајусеформулеукојимасетригонометријскефункциједвострукогуглаизражавајупомоћутригонометријских функцијаосновногугла:
Резултатиизв)иг)моглисуседобитииизформула:
Пример28. Израчунатибезупотребекалкулатора:
Решење.
= cos π 6 = √3 2 , (формула(18));
2 tg π 6 1 tg2 π 6 = tg (2 π 6 ) = tg π 3 = √3, (формула(19)); ђ) ctg2 π 6 1 2 ctg π 6 = ctg (2 · π 6 ) = ctg π 3 = √3 3 , (формула(20)).
Пример29. Доказатиидентитете:
а) 1 (sin α cos α)2 = sin 2α;б)cos4 α sin4 α = cos 2α; в)ctg α sin 2α = ctg α · cos 2α;г) (tg α + ctg α) sin 2α =2.
Решење.
а) 1 (sin α cos α)2 =1 (sin2 α + cos 2 α 2 sin α cos α) =1 (1 sin 2α)= sin 2α.
2.5.Адиционеформуле 79
Коришћенјеидентитетsin2 α + cos 2 α =1 и(17).
б)cos4 α sin4 α =(cos 2 α + sin2 α)(cos 2 α sin2 α)=1 · cos 2α = cos 2α.
Примењенјеидентитетsin2 α + cos 2 α =1 и(18).
в)ctg α sin 2α = cos α sin α 2 sin α · cos α = cos α 2 sin2 α · cos α sin α = cos α(1 2 sin2 α) sin α = ctg α(1 sin2 α sin2 α) = ctg α(cos 2 α sin2 α)= ctg α cos 2α.
Примењенисуидентитетиcos2 α + sin2 α =1,(17)и(18).
г) (tg α + ctg α) sin 2α = Åsin α cos α + cos α sin α ã · 2 sin α · cos α
Пример30.
Решење. Користићесеформуле(10),(17),(18)иидентитетcos2 α + sin2 α =1 sin 3α = sin(2α +
Формулезатригонометријскефункцијеполовинеуглаизводесенаследећиначин.
Полазимоодпознатогидентитета(8)написаногуоблику
(
Знакиспредкореназависиодугла
,аакојеуIIилиIIIквадранту,знакје .)
прве,следи:
односно
Знакиспредкоренасеузимапрематомеукојемсеквадрантуугао
тангенсјенегативан.Стогаје:
50. Скратиразломак: а) sin 40◦ sin 20◦ ;б)
Упростиизразе: а) sin 2α sin α ;б) cos 2α cos α sin α ;в)cos 2β + sin2 β;г) sin β 2 cos2 β 2 .
52. Акојеsin α = 5 13 и α угаоизIIквадранта,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α.
53. Акојеtg α = 3 4 и 180◦ <α< 270◦ ,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α.
54. Акојеcos α = 0, 6 и α угаоизIIIквадранта,одреди: а)sin 2α;б)cos 2α;в)tg 2α;г)ctg 2α
55. Упростиизразе: а) 2
56. Акојеcos
57. Представиcos
58. Безупотребекалкулатораизрачунајsin
59. Акојеcos
60. Израчунајcos
61.
62. Докажиидентитет:
2.6.ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕЈЕДНАЧИНЕ
Тригонометријскеједначинеседефинишунаследећиначин. . Тригонометријскеједначинесуједначинеукојимасунепознатеаргументитригонометријскихфункција.
Можебитиједаниливишенепознатих.Овдећемосебавитиискључиво тригонометријскимједначинамасаједномнепознатом.Евонеколикопримера таквихједначина:
2.6.Тригонометријскеједначине
2.6.1.Једначина sin x = m
Собзиромнатодаје 1 sin x 1 засвако x,оваједначинаимарешења самоза 1 m 1.
За 1 <m< 1 постоједвауглаизинтервала [0, 2π] чијијесинусједнак m. За 0 m< 1 једанодтихугловајеуIадругиуIIквадранту(сл.56).Њихов збирје π,паакосеса α означиугаоизIквадранта,ондаје π α угаоизII квадранта.Збогпериодичностифункцијеsin x изовогаследидасурешења једначинеsin
АкосеонајизIIIквадрантаозначиса π + α, 0 α< π 2 ,тадајеугаоизIV
квадранта α.Изтогаследидасурешењаједначинеsin x = m ( 1 <m 0)
дата: x =(π + α)+2kπ = α +(2k +1)π, x = α +2kπ, (26)
гдеје 0 α< π 2 ,sin( α)= m и k ∈ Z
Пример34. Решитиједначинуsin x = 1 2 .
Решење. Собзиромнатодајеsin (π + π 6 ) = sin ( π 6 ) = 1 2 ,тосурешењана
основу(26)датаса:
Коначноза m = 1 и m =1 следеједначинеsin x = 1 иsin x =1. Решењапрвесу:
Дорешењаједначинеsin x = m можеседоћииграфички.Акосенацртају графицифункција y = sin x и y = m,апсцисетачакапресекатихграфикасу решењаједначинеsin x = m.
Наслици58јеприказанографичкорешењеза 0 <m< 1.Решењасу x0,x1,x2,...
2.6.Тригонометријскеједначине 85
2.6.2.Једначина cos x = m
Каоједначинаsin x = m,оваједначинаимарешењасамоза 1 m 1.
За 1 <m< 1 постоједвауглаизинтервала [0, 2π] чијијекосинусједнак m.
Акоје 0 m< 1,угловисууIиIVквадранту.Обележитиса α угаоиз Iквадрантатакодајеcos α = m.Тадаје α одговарајућиугаоизIVквадранта(сл.59).Собзиромнапериодичностфункцијеcos x,сварешењаједначине cos x = m (0 m< 1) датасуса:
са:
Пример36. Решитиједначину:
Решење. Какојеcos
наоснову(27).
Коначноза m =
аза m =1 једначинаcos x =1 чијасурешења:
Једначинаcos x = m можесерешаватииграфичкинаистиначинкаоиједначина sin x = m.
2.6.3.Једначине tg x = m и ctg x = m
Заразликуодпретходнедве,једначинаtg x = m имарешењазасвакиреалниброј m.
Засвако m, m ∈ (−∞, +∞) постоји тачноједанугаонаинтервалу Å π 2 , π 2 ã чијијетангенсједнак m.
Акосетајугаообележиса α (сл.61), тадасусварешењаједначинеtg x = m датасуса: x = α + kπ, (28) гдеје π 2 <α< π 2 ,tg α = m.Самугао α одређујесепомоћукалкулатора.
Пример37. Решитиједначину:
а)tg x =1,б)tg x = √3 3
2.6.Тригонометријскеједначине 87
Решење. а)Собзиромдајеtg π 4 =1,тосусварешењадатеједначине: x = π 4 + kπ (k ∈ Z)
наоснову(28).
б)Какојеtg ( π 6 ) = √3 3 ,тосусварешењаједначинеtg x = √3 3 датаса: x = π 6 + kπ (k ∈ Z).
Графичкорешавањеједначинеtg x = m приказанојенаслици62.
Сл.62
Сасликесевидидаправа y = m сечетангенсоидузасвакиреаланброј m Једначинаctg x = m имарешењазасвакиреаланброј m.Наинтервалу (0,π) постојитачноједанугао α такавдајеctg α = m (сл.63).Збогпериодичностисва решењаједначинеctg x = m датасуса: x = α + kπ, гдеје 0 <α<π,ctg α = n
Пример38. Решитиједначине:
в)Наоснову(25)следи:
2.7.Разнизадациизтригонометрије
одаклеје: x = π 3 + kπ, x = π 3 + kπ. (k ∈ Z)
ЗАДАЦИ
63. Решиједначине:
а)sin x = √3;б)sin x = √3 2 ;
в)sin 2x = 1 2 ;г)sin 3x =1;
д)sin (x π 3 ) =0;ђ)sin (2x + π 2 ) = 1
64. Решиједначине:
а)cos x = √3 2 ;б)cos x = √5 2 ;
в)cos 2x = √2 2 ;г)cos 5x =0;
д)cos (x + π 4 ) =1;ђ)cos (2x π 6 ) =0.
65. Решиједначине:
а)tg x = √3;б)tg x = √3 3 ;
в)tg 2x = 1;г)tg 3x =0;
д)tg (x π 6 ) = √3;ђ)tg (3x π 2 ) =1.
66. Решиједначине:
а)ctg x = √3;б)ctg x =1;
в)ctg 3x =1;г)ctg 5x =0;
д)ctg (x π 2 ) =1;ђ)ctg (2x π 3 ) =0.
2.7.РАЗНИ ЗАДАЦИИЗТРИГОНОМЕТРИЈЕ
67. Угловитроугласеодносекао 1:2:3.Одредињиховурадијанскумеру.
68. Штајевеће: а)sin 156◦ илиsin 132◦;б)cos( 12◦) илиcos 13◦;в)sin( 200◦) илиsin 160◦ ; г)tg( 333◦) илиtg 45◦;д)ctg 70◦ илиctg 111◦?
69. Поређајповеличиниcos 1,cos 2,cos 3,cos 4,cos 5.
70. Израчунај: а)sin α cos 2α cos 3α за α =30◦ ; б)sin 2α + tg α 2 ctg α за α =45◦
71. Укојимквадрантимасупозитивниизрази: а)tg x sin x;б) cos x ctg x ;в)sin x cos x tg x?
72. Далисудефинисаниизрази: а) √sin α за α =170◦;б) √cos α за α =160◦;в) √tg α за α =230◦ ; г) √ctg α за α =340◦;д) √sin α · cos
73. Одрединајвећуинајмањувредностизраза: а) 1+2 sin α;б) | sin α|;в) 3 4 cos α; г) 1+ tg α;д) |1+ tg α|;ђ) 2 cos 2 α.
74. Одредизнакизраза: а)sin 5π 6 · cos 2π 3 ;б)sin
75. Израчунај: а) sin π 2
76. Далисутачнерелације: а)sin ( π 3 + sin π 6 ) = sin π 3 + sin π 6 ;б)cos π
77. Далипостојиугаo α закојиважи: а)sin α = 2 5 иcos α = √21 5 ;б)cos α = 1 5 иtg α = 2√6; в)sin α = √2 3 иctg α =3;г)cos α = 3 4 иctg α = 3√7 7 ; д)sin α = 1 3 иtg α = √2 4 ?
78. Докажидазасведопустивевредностиугла φ изрази: а)sin4 φ cos 4 φ +2 cos 2 φ;б) sin φ + tg φ tg φ cos φ; в) 2 (1+ tg φ)2 +(1 tg φ)2 cos 2 φ. независеод φ
79. Упростиизразе: а) (tg α + ctg α)(1+ cos α)(1 cos α);б) (sin α + cos α)2 1 ctg α sin α cos α ; в)sin4 α + sin2 α cos 2 α + cos 2 α;г)sin2 α + sin2 α cos 2 α + cos 4 α
80. Докажиидентитете: а) tg2 α sin2 α ctg2 α cos2 α = tg6 α;б) tg α tg α + ctg α = sin2 α;
2.7.Разнизадациизтригонометрије
в) tg α 1 tg2 α = ctg α ctg2 α 1 ;г) sin2 α cos2 α + cos4 α cos2 α sin2 α + sin4 α = tg4 α.
81. Израчунајвредностизраза: а) sin α + cos α sin α cos α акојеtg α =3;б) ctg α + tg α ctg α tg α акојеsin α = 1 3 .
82. Акојеsin α + cos α = a,израчунај: а)sin α · cos α;б)sin3 α + cos3 α.
83. Акојеtg α + ctg α = b,израчунај: а)tg2 α + ctg2 α;б)tg3 α + ctg3 α.
84. Израчунајвредностразломка: sin α + cos α sin α cos α акојеsin α cos α =0, 4.
85. Користећикалкулатор,израчунајsin α + sin 2α + sin 3α акоје: а) α =55◦;б) α = 114◦;в) α = 239◦;г) α =0, 6π.
86. Докажидаје: а)cos(60◦ α)= sin(30◦ + α); б)ctg (80◦ α 2 ) = tg (10◦ + α 2 ); в)cos(α +60◦)= sin(30◦ α)
87. Одредиугао α акоје: а)sin α = 1 2
88. Помоћукалкулатораодредиугао α акоје: а)sin α =0, 6428 i 90◦ <α< 180◦;б)sin α = 0, 7547 i 180◦ <α< 270◦ ; в)cos α =0, 5150 i 270◦ <α< 360◦;г)tg α = 1, 3764 i 90◦ <α< 180◦
89. Нацртајграфикфункције:
а) y = sin (x π 4 );б) y = cos (x + π 4 ); в) y = tg (x π 3 );г) y = ctg (x + π 2 ).
90. Нађиосновнипериодфункције:
а) y =2 sin x;б) y = 1 2 sin x;в) y = sin 2x;
г) y = sin x 3 ;д) y = sin (2x π 6 ).
91. Нацртајграфикфункције:
а) y = sin(2x + π);
б) y =2 sin (x π 3 );
в) y = 1 2 sin (2x π 2 )
92. Решиследећеједначине:
93. Решиједначине:
94. Решиједначине:
2.8.РЕШАВАЊЕТРОУГЛАИПРИМЕНЕТРИГОНОМЕТРИЈЕ Акосуодшестосновнихелеменататроугла(тристраницеитриугла)познататри,стимдајемеђуњимабарједнастраница,осталатриелементасе
РешавањеправоуглогтроуглаобрађенојеуоквируградиваIразреда.Ов-
Одизузетногзначајазарешавањепроизвољногтроугласутзв.синуснаи косинуснатеорема.
2.8.1.Синуснатеорема
Некаје ABC произвољантроугаочијесустраницеиугловиобележени настандарданначин:
Обележитијошса |AA1| = ha и |CC1| = hc висинеизтемена A и C,редом (сл.64)Узетипрводаје ABC оштроуглитроугао. Изправоуглихтроуглова ACC1 и BCC1 следи: |CC1| = hc = b sin α = a sin β, одаклеседобија:
Слично,изтроуглова ABA
Сл.64
Из(29)и(30)очигледноследирелација:
Насличан начинпоказујеседаформула(31)важиизаправоуглииза тупоуглитроугао.Такоједоказанатзв. синуснатеорема (31)којагласи.
Теорема4. Дужинестраницасвакогтроуглапропорционалнесусинусима наспрамнихуглова.
Пример39. Одредитиодносестраница
Решење. Наосновусинуснетеоремебиће:
2.8.2.Применасинусне теореме
Синуснатеоремасепогоднокористизарешавањетроуглауследећадва карактеристичнаслучаја.
1) Познатасуједнастраницаидваугла.Изпланиметријејепознатода јеуовомслучајутроугаоједнозначноодређен.Некасупознатистраница a и углови α и β.
Првосеодредиугао γ, γ =180◦ (α + β),
азатимпомоћусинуснетеореместранице
Тимејетроугаорешен.
Пример40. Решититроугао
а)Одредитипрво
Садајенаосновусинуснетеореме:
2.Познатесудвестраницеиугаонаспрамједнеодњих.Познатојеизпланиметриједатроугаосазадатимдвемастраницамаиугломнаспрамједнеод њихнеморабитиодређен,аунекимслучајевимаинепостоји.
Некасудати a, b,α.Требадасеодреде β, γ и c.
Најпресеодредиугао
аондасенађе γ:
Коришћењемпоновосинуснетеоремедобијасестраница c: c = a sin γ sin α
Каоштосевиди,послеодређивањаугла β осталиелементитроугласуједнозначноодређени.Затотребадетаљнодасеиспитаизраз b sin α a заразличите
вредности a, b и α.
a) a b.Тадаје α β (зашто?)и β јеоштаругао.(Зашто?)Какоје b a 1
иsin α 1,тојеsin β = b sin α a 1,папостојисамоједанугао β који задовољаварелацију(32).Значи,за a b задатакимајединствено решење.
б) a<b.Садаје α оштаругао.(Зашто?)Бићеразмотренаследећатри случаја.
б1) b sin α a > 1.Тадајеsin β = b sin α a > 1,штојенемогуће.Тозначи даза b sin α a > 1,односно b sin α >a,задатакнемарешења.
б2) b sin α a =1.Тада јеsin β = b sin α a =1, β =90◦ итроугаоје правоугли.Задатакимајединственорешење.
б3) b sin α a < 1.Садајеsin β = b sin α a < 1 ипостоједваугла β,један
оштаридругитуп.Њиховзбирје 180◦.(Зашто?)Засвакиодтих угловапостојипоједнорешењеза γ и c.Уовомслучајузадатак имадварешења.
Пример41. Решити △ABC акоједато:
а) a =10 cm, b =8 cm, α =48◦ ;
б) a = 10√3 2 cm, b =10 cm, α =30◦ ;
в) a =20 cm, b =80 cm, α =30◦ .
Решење. а)Угао α јенаспрамвећестранице (a>b) изадатакимајединствено решење.Помоћусинуснетеоремеодредитинајпре β. sin β = b sin α a = 8 sin 48◦ 10 =0, 59452.
Одавдеје β ≈ 36◦29′.(Коришћенесутаблице.)Помоћу α и β налазисе
Најзад,страница c седобијапрекосинуснетеореме:
=48◦ , β =36◦29′ , γ =95◦31′
постоједваугла β1 и β2 таквадајеsin
Задатакимадварешења.
илипомоћуПитагоринетеореме:
△ABC су:
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије 97
2) β2 =120◦.Садаје γ2 = 180◦ (α + β2
△ABC јеједнакокракукојемје:
в)Угао α јенаспраммањестране (a>b).Наосновусинуснетеоремеје:
штојенемогућеизадатакуовомслучајунемарешења.
Пример42. Уједномтренуткуавион A севидиизместа B и
подугловима β =31
50
и γ =27◦20′.Коликојеутомтренуткурастојањеавионаод места B и C иколикајевисина h авиона?
Сл.65
Решење. Какоје β = α + γ,гдеје α унутрашњиугао(сл.5)троугла ABC,излази
γ =31◦50′ 27◦20′ =4◦30′
Наосновусинуснетеоремеследи: |AB| = |BC| sin γ sin α = 300 sin 27◦20′ sin 4◦30′ ≈ 1756 m, |AC| = |BC| sin(180◦ β) sin α = 300 sin 31◦50′ sin 4◦30′ ≈ 2017 m
2.8.3.Косинуснатеорема
Сдругестране,Изправоуглогтроугла
Одузимањем(33)од(34)добијасе:
из(35)следи:
односно:
Акосетачка A поклапасатеменом
,илијепаксаонестранетачке B сакојеније C,односносаонестране C сакојеније B,тадасенасличан начинизводиформула.
Наистиначинседобијајуиформуле:
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије 99
2.8.4.Применакосинуснетеореме
Прирешавањутроуглакосинуснатеоремасепримењујеуследећадвакарактеристичнаслучаја.
1) Познатесудвестраницеињимазахваћенугао,напримерстранице a и b иугао γ.
Најпресепомоћукосинуснетеоремеодредистраница c:
Угао α можедасеодрединадваначина.Једанјепомоћусинуснетеореме, sin α = a sin γ c ,адругиопетпомоћукосинуснетеоремеизформуле(37):
Најзад,угао β седобијаизвезе
Пример43. Решити
=90
.Одавдеје
Пример44. Решити △ABC акојепознато: a =3 cm, b =4 cm, c =5 cm.
Решење. Применомкосинуснетеоремеследи:
одаклеје γ =90◦.Даље,помоћусинуснетеоременалазисеsin α:
Помоћукалкулаторасеналази
Прематоме,елементитроугла
γ =90◦ .
ЗАДАЦИ
95. Решитроугаоакојепознато:
96. Решитроугаоакојепознато:
a =10 cm, b =8 cm, α =48
;
a =13, 81 cm, c =8, 14 cm, γ =13◦36′ ;
97. Решитроугаоакојепознато:
а) a =28 cm, c =42 cm, β =124◦ ; б) b =2, 29 cm, c =1, 69 cm, α =29◦52′ .
98. Решитроугаоакојепознато: а) a =44 cm, b =483 cm, c =486 cm; б) a =9, 9 cm, b =10, 1 cm, c =15, 8 cm.
99. Решитроугаоакојепознато α,β и ha
100. Акоје a =2k 1, b = k2 1, c = k2 k +1 (k –природанброј),тадаје γ =60◦ . Докажи.
101. Одредистраницу c троугла ABC акоје a =2√3 cm, b =3 cm, α =2β.
102. Одредиуглове △ABC акоје a : b =11:8, α =2β.
103. Безупотребекалкулатораодредистранице a и b акоје a : b =4:3, c =7 cm, α β =90◦ .
2.8.5.Некеприменетригонометрије
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије 101
Пример45. Доказатидаусвакомпаралелограму ABCD важиједнакост: |AC|2 + |BD|2 =2(|AB|2 + |BC|2).
Решење. Уведимоследећеознаке: |AB| = |CD| = a, |BC| = |AD| = b, |AC| = d1, |BD| = d2, BAD = α.Тадаје ABC =180◦ α.Применомкосинуснетеореме натроуглове ABC и ABD добијасе: d 2 1 = a 2 + b2 2ab cos(180
Сабирањемоведвеједнакостидобијајусе: d 2 1 + d 2 2 =2(a 2 + b2) 2ab(cos(180◦ α)+ cos α).
Какојеcos(180◦ α)= cos α,изпоследњеједнакостиследи: d 2 1 + d 2 2 =2(a 2 + b2),
односно: |AC|2 + |BD|2 =2(|AB|2 + |BC|2)
Пример46. Мернибројевистраницатроугласутриузастопнанепарнаброја,а једанугаотроуглаје 120◦.Одредитистраницеиугловетроугла.
Решење. Некасустранице a =2n+1, b =2n+3, c =2n+5.Какотроугаоможеда иманајвишеједантупугао,следидајеугаоод 120
највећиугаотроугла.Каотакавон лежинаспрамнајвећестранице c.Дакле, γ =120◦.Премакосинуснојтеоремиследи: (2n +5)
сеналазипомоћусинуснетеореме:
Отудаје α =21◦47′ ,а γ = 38◦13′ .
Пример47. Дабисеодредилаширинареке,уочесенаједнојобалинепосредно узрекуобјекти A и B,надругојобалиобјект C иизмересерастојање d = |AB| и углови α = BAC и β = ABC (сл.67).
Сл.67
Одредитиширинурекенаспрамобјекта C акојеизмерено d ≈ 400 m, α ≈ 45◦ , β ≈ 30◦
Решење. Ширинирекекодобјекта C одговарадуж CC1,гдеје C1 подножјенормалеизтачке C настраницу AB троугла ABC.Изправоуглог △ACC1 добијасе: |CC1| = |AC| sin α,
аиз △ABC применомсинуснетеореме: |AC| = AB sin β sin γ = d sin β sin γ ,
гдеје γ = ACB = 180◦ (α + β).Отудаје: |CC1| = d sin β sin α sin γ = d sin β sin α sin(α + β)
(Коришћенајеформулаsin(180◦ x)= sin x.)
Заменомбројнихвредностидобијасе: |CC1| = 400 sin 30◦ sin 45◦ sin 75◦ ≈ 146, 4
Ширинарекенаспрам C је146,4m.
Пример48. Двабродаимајурадио-станицедометаодпо200миља.Одпристаништа A једанјеудаљен175миљауправцусевер–
управцусевер– 46◦25′ –запад.Далисесатихбродоваможеодржавативезапреко радио-станица? Решење.
датнаслици68,гдеје
правацсевера.
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије 103 = √1752 +1672 2 175 167 cos 73 7′ ≈ 203, 8
Растојање измеђубродоваје203,8миља,папрематоменемогудаодржавају радио-везу.
Пример49. Натачку A делујудвесиле F1 =6 Nи F2 =4 Nчијиправциобразују угаоод 60◦.Одредитиправацукојемћесетачка A кретатиивеличинурезултујуће силе.
Решење. Тачка A ћесекретатипоправцурезултујућесиле F којаседобијапо правилупаралелограма(сл.69).Акосеса
тадаје
следидаје
зрака. |BC| представљапаралелнипомакзрака.Означитијошса β угаопреламања, β = A1AB.Уочитидаје BAC = α β и |AA1| = d
Сл.70
Изправоуглихтроуглова ACB и AA1B следи: |BC| = |AB| sin BAC = |AB| sin(α β), |AB| = |AA1| cos A1AB = d cos β ,
одаклеследи: |BC| = d sin(α β) cos β .
Иззаконаопреламањусветлости n = sin α sin β ,пајеsin β =
0, 278,тј. β ≈ 16◦.Замењујућиовоугорњуформулудобијасе: |BC| = 4 · sin(30◦ 16◦) cos 16◦ = 4 sin 14◦ cos 16◦ ≈ 1.
Паралелнипомаксветлосногзракаје |BC|≈ 1 cm.
104. Одредиугловепаралелограмачијесустранице7cmи8cm,аједнадијагонала13cm.
105. Паралелограмсесастојиоддватроуглачијесустранице a =3 cm, b =5 cm, c =7 cm,такодајестраница c заједничка.Одредиуглове,другудијагоналуи површинупаралелограма.
106. Обимпаралелограмаје22cm,површинаје 12√3 cm 2,аједанугаоје 60◦.Одреди страницеидијагоналепаралелограма.
2.8.Решавањетроуглаиприменетригонометрије 105
107. Суседнестраницепаралелограмасу a =8 cm, b =5 cm,ањимазахваћенугао износи 60◦.Одредиугаоизмеђудијагонала.
108. Одредиугловетрапезачијесуосновице a =13 cmи b =5 cmичијисукраци c =7 cmи d =3 cm.
109. Ивицеосноветространепризмесу a =7 cm, b =8 cm,ањимазахваћенугао износи 120◦.Израчунајзапреминупризмеакојењенабочнаивица c =12 cm нагнутапремаравниосновеподугломод 80◦ .
110. Раванпресеккосекружнекупекојисадржинајдужуинајкраћуизводницујетроугаочијесустранице a =7 cm, b =8 cm, c =13 cm(b –пречникоснове). Израчунајзапреминукупе.
111. Трисиле F1 =2488 N, F2 =927 Nи F3 =1815 Nчијивекторилежеуједној равнисууравнотежи(резултантадвејусилаједнакајепоинтензитетуиправцу, асупротнапосмерусатрећомсилом).Одредиугловеизмеђусила.
2.8.6.Разнизадациизрешавањатроуглаиприменатригонометрије
112. Решитроугаоакојепознато:
a) a =8 cm, b =3 cm, γ =60◦ ;
б) a =8 cm, b =3 cm, c =7 cm;
в) a =37 cm, β =86◦30′ , γ =50◦50′ ; г) a =450 cm, α =87◦50′ , β =10◦50′ ;
д) a =87 cm, b =65 cm, α =75◦ ; ђ) b =360 cm, c =309 cm, γ =21◦30′ .
113. Пливачпливабрзином4km/hумирнојводи.Коликајењеговабрзинаурециу којојводенаструјатечебрзином12km/hисаправцемкретањапливачаобразује угаоод: a) 65◦30′;б) 115◦?
114. Авионлетибрзином240km/hуправцусевер–југ.Одредиглавну(резултујућу) брзинуавиона,угаоскретањаикурсавиона,аковетаркојидувабрзиномод 30km/hударауавионподугломод 125◦ .
115. Акоавионможедасекрећебрзиномод220km/h,алетибрзином(главномбрзином)од200km/hипритомескреће 10◦ одузетогправца,коликајебрзина ветра?
116. Нахоризонталномземљиштуналазисеусправанстуб.Акосеонпосматраса удаљеностиод25и8метара,угловиелевацијесеодносекао 1:2.Коликаје висинастуба?
117. Нахоризонталномземљиштуналазисевертикаланторањ.Његовврхсевидиса удаљеностиод200mподугломелевације α.Заколикотребадасепримакнеш торњудабисеугаоелевацијеудвостручио?
118. Ивицепаралелопипедасу a, b, c.Угаоизмеђуивице a
ралелопипеда?
119. Двеправекружнекупеимајузаједничкуосновучијијеполупречник3cm.Висинекупасеодносекао 1:3,анагибниугловиизводницапремаосновамакао 1:2.Израчунајповршинуизапреминутелакојесесастојиодтедвекупе.
120. Висинакојаодговарахипотенузиправоуглогтроугладелиповршинутроуглау размери 1:5.Одредиугловетогатроугла.
121. Утачки A носача(сл.71)виситерет Q.Израчунајзатезање F1 и F2 уштаповима a и b акоониобразујуугао α.Пример Q =1500 N, α =48◦
122. Настрмураван AB санагибнимуглом α постављенјетерет Q.Одредикомпоненте F и N (сл.72)акоје α =30◦ и Q =1000 N .
ВEКTOРИ
Истoриjaљудскeмисли,кojaигнoришeулoгу мaтeмaтикeуњoj,тojeпoстaвкaнaсцeни ,,Хaмлeтa“,aкoнeбeзсaмoгХaмлeтa,oндa бaрбeзOфeлиje.
A.Н.Вajтхeд(1861–1947), eнглeскимaтeмaтичaрифилoзоф
3.1.КOМПOНEНТEИПРOJEКЦИJEВEКТOРA
Нeкaje
дaтивeктoрупрoстoруи p дaтaoриjeнтисaнaпрaвa(oсa).
.
Прojeкциja(oртoгoнaлнa)вeктoрa #« a ( #« a = #« 0 )нaoриjeнтисaнупрaву p jeднaкajeпрoизвoдуинтeнзитeтaвeктoрa #« a икoсинусaуглaизмeђуoриjeнтисaнeпрaвe p исaмoгвeктoрa #« a
Прojeкциjaнулaвeктoрaнaбилoкojуoриjeнтисaнупрaвуjeднaкajeнули.
Прeмaслици1,прojeкциjaвeктoрa #« a нaoсу p je ap = | #« a | cos α = |AB| cos
aпрojeкциjaвeктoрa #« b нaистуoсуje bp = | #« b | cos α = −|MN | cos α = −|MN2| = |− M1N1|
Oбeлежимoсa #« p 0 jeдиничнивeктoрoриjeнтисaнeпрaвe p,тj.вeктoрjeдиничнeдужинe,истoгсмeрaкaooсa p.Taдaje #« ap = |ap| #« p0.
Дaклe,кoмпoнeнтaвeктoрajeвeктoрaпрojeкциjaвeктoрajeскaлaр. Нaвoдимoнeкoликooсoбинaпрojeкциjeвeктoрaкojeсeлaкoдoкaзуjу.
Теорема1. Прojeкциjaвeктoрa #« a нaoсу p jeднaкajeнулиaкoисaмoaкoje #« a = #« 0 илиjeвeктoр #« a нормaлaннaoсу p.
Доказ. Aкojeвeктoр #« a нормaлaннaпрaву p,тj.зaклaпaсaпoзитивнимсмeрoм прaвe p угao α = π 2 ,тaдajecos α cos π 2 =0,тj. ap = | #« a | cos α =0.Истoтaкo,из #« a = #« 0 слeди ap = | #« a | cos α =0,иoбрнутo,aкoje ap =0,тaдaje | #« a | cos α =0,oдaклe je | #« a | =0,тj. #« a = #« 0 илиcos α =0,тj. α = π 2 ✷
Теорема2. Прojeкциjejeднaкихвeктoрaнaистуoсуaтaкoђeикoмпoнeнтe jeднaкихвeктoрaдужистeoсejeднaкeсумeђусoбнo.
Доказ. Слeдинaoснoвучињeницeдajeднaкивeктoриимajуjeднaкeинтeнзитeтe идaсaoсoмзaклaпajупoдудaрнeуглoвe. ✷
Теорема3. Прojeкциjaзбирaвишeвeктoрaнaдaтуoсуjeднaкajeзбиру прojeкциjaпojeдинaчнихвeктoрaнaистуoсу.
Доказ. Дajeмoдoкaззaслучajзбирaчeтиривeктoрa.Дoкaзуoпштeмслучajуje пoтпунoaнaлoгaн.
Пoсмaтрajмoвeктoрe
Прojeкциjeтихвeктoрaнaoсу p сурeдoм:
Збиртихпрojeкциjaje
Кaкoje ep = |A1E1| прojeкциjaвeктoрa #« e = # « AE нaoсу p,тoje ep = ap + bp + cp + dp ✷
Пример1. Дaтjeвeктoр #« a ,( #« a = #« 0 ).Oдрeдимoсвeвeктoрe #« b кojиимajуoсoбинудajeпрojeкциjaвeктoрa #« a нaoсувeктoрa #« b jeднaкaпрojeкциjивeктoрa #« b нaoсу вeктoрa #« a .
Решење. Прojeкциjaвeктoрa #« a нaoсувeктoрa #« b je ab = | #« a | cos( #« a, #« b ),aпрojeкциjaвeктoрa #« b нaoсувeктoрa #« a je ba = | #« b | cos( #« b, #« a ).Из ab = ba слeди | #« a | cos( #« a, #« b )= | #« b | cos(
oдaклeje | #« b | = | #« a |.Tрaжeнивeктoрисусвивeктoриистoгинтeнзитeтaсaвeктoрoм #« a .Пoрeдтoгaускупрeшeњaспaдajуисвивeктoринoрмaлнинaдaтивeктoр #« a
ЗAДAЦИ
1. Дoкaжидaсeпрojeкциjaвeктoрa λ #« a
R нaбилoкojуoсудoбиjaкaдсeпрojeкциjaвeктoрa #« a нaистуoсупoмнoжибрoјем λ.
2. Пoзнaтисуинтeнзитeтивeктoрa
p.Oдрeдипрojeкциjувeктoрa
3. Дaтисувeктoри #« a
3.2.ПРAВOУГЛИКOOРДИНAТНИСИСТEМУПРOСТOРУ
Нeкaje O тaчкaупрoстoру.Свaкивeктoрупрoстoрумoжeсeпрeдстaвити уoблику #« a = # « OA,тj.пaрaлeлнимпoмeрaњeмдoвeстиупoлoжajдaмусeпoчeтнaтaчкaпoклoписaтaчкoм O.Пoсмaтрajмoтриoриjeнтисaнeпрaвeкрoз тaчку O,тaквeдaсусвaкeдвeузajaмнoнoрмaлнe.Oбелeжитиихсa Ox, Oy и Oz (сл.3).Aкoсeкрoзкрajвeктoрa #« a ,тj.крoзтaчку A пoстaвeтрирaвни α, β и γ пaрaлeлнeрeдoмрaвнимa Oyz, Ozx, Oxy,oнeћeбитирeдoмнoрмaлнeнa oсe Ox, Oy, Oz исeћићeихрeдoмутaчкaмa A1, A2, A3. Сл.3
Jaснojeдaсувeктoри #« ax
тoрa #« a дужoсa Ox, Oy, Oz рeдoм.Истoтaкoсуинтeнзитeтитихкoмпoнeнти, узeтисaoдгoвaрajућимзнaкoм,прojeкциjeвeктoрa
нaoсe Ox, Oy, Oz.
Oчиглeднojeдaсeсaбирaњeмкoмпoнeнaтa #« ax, #« ay, #« az дoбиjaвeктoр #« a ,тj. вaжи
Кaжeмoдajeвeктoр #« a рaзлoжeннaкoмпoнeнтeдужoсa Ox, Oy, Oz.Oбeлeжимoсa #« i , #« j , #« k рeдoмjeдиничнeвeктoрeтихoсa.Taдaсeвeктoр #« a мoжe нaписaтиуoблику:
гдeсу ax, ay, az прojeкциjeвeктoрa #« a нaoсe Ox, Oy, Oz рeдoм.
Oсe Ox, Oy, Oz oбрaзуjуДeкaртoвпрaвoугликooрдинaтнисистeмупрoстoру.Jeднaкoст(1)изрaжaвaчињeницудajeсвaкивeктoрупрoстoруoдрeђeн
3.2.Прaвoугликooрдинaтнисистeмупрoстoру 111
сaтрисвojeпрojeкциjeнaoсeпрaвoуглoгкooрдинaтнoгсистeмa.Teпрojeкциjeнaзивaмoињeгoвимкooрдинaтaмa.Истoтaкo,прeмaтеореми2,зaдaти вeктoр #« a = # « OA jeднoзнaчнoсуoдрeђeнeњeгoвeкooрдинaтeуДeкaртoвoм прaвoуглoмкooрдинaтнoмсистeму.Зaвeктoр #« a = # « OA кaжeмoдaje вeктoр пoлoжaja (илирaдиjус–вeктoр)тaчкe A.Зaвeктoрe #« i , #« j и #« k кaжeмoдaсу jeдиничнивeктoрипрaвoуглoгкooрдинaтнoгсистeмa Oxyz,тj.дaчинe oртoгoнaлнубaзу упрoстoру.Притoмeoбичнoузимaмoдaтрojкaвeктoрa ( #« i , #« j , #« k )oбрaзуjeдeснитриeдaр,тj.кoнвeксaнусмeрeниугao( #« i , #« j )сeизврхaвeктoрa #« k видикaoпoзитивaн(сл.3).
Taчку A,чиjиjeвeктoрпoлoжaja #« a = ax #« i + a
az #« k ,oбелeжaвaсенa слeдeћинaчин: A(ax,ay,az).
j
Углoвeкojeпoсмaтрaнивeктoрпoлoжajaзaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa Ox, Oy, Oz oбичнoсередомoбелeжaвaјусa α, β, γ
Кoристeћитеорему3мoгусесaбрaти(иoдузимaти)вeктoрипрeдстaвљeниупрaвoуглoмкooрдинaтнoмсистeму.
Пример2. Oдрeдитизбирирaзликудaтихвeктoрa #« a
упрaвoуглимкooрдинaтaмa.
Решење. Нeкaсудaтивeктoри
Taдaje
Уизвoђeњуjeднaкoстикoришћенесуoсoбинeaсoциjaтивнoстиикoмутaтивнoстисaбирaњaвeктoрaипрвизaкoндистрибутивнoстизaмнoжeњeвeктoрaскaлaрoм. Сличнoсeдoбиjaдaje:
Интeнзитeтвeктoрa
(сл.3).Изjeднaкoсти(1)и(2)видисeдaћe вeктoр #« a битинулaвeктoрaкoисaмoaкoсусвeтрињeгoвeкooрдинaтejeднaкeнули.
Пример3. Oдрeдитиинтeнзитeтвeктoрa
jeдиничнивeктoр.
Пример4. Дoкaзатидaсувeктoри
линeaрнoнeзaвисни.
Решење. Услoвлинeaрнeзaвиснoстидaтихвeктoрaje
причeмунисусвaтрибрoja
Meђутим,jeдинoрeшeњeoвoгсистeмajeднaчинaje:
,штoсe лaкoпрoвeрaвa.
ЗAДAЦИ
5. Aкoсудвaвeктoрajeднaкa,oндaсуимoдгoвaрajућeкooрдинaтeуoднoсунaдaти прaвoугликooрдинaтнисистeм Oxyz jeднaкe.Дoкaжи.
6. Oдрeдиинтeнзитeт,прaвaциjeдиничнивeктoрвeктoрa #« a =5 #« i 2 #« j +4 #« k .
7. Oдрeдиинтeнзитeтвeктoрa #« a =3 #« i +4 #« j +5 #« k ,oдгoвaрajућиjeдиничнивeктoр иуглoвeкojeвeктoр #« a зaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa.
8. Упрoстoрусудaтeтaчкe A(x1,y1,z1) и B(x2,y2,z2).Нaђипрojeкциjeвeктoрa #« a = # « AB нaпрaвoуглeкooрдинaтнeoсe,њeгoвинтeнзитeтикoсинусeуглoвaкoje тajвeктoрзaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa.
9. Дaтисувeктoри #« a = # « OM =6 #« i +3 #« j +4 #« k , #« b = # « ON = 2 #« i +3 #« j + #« k . Пoкaжидajeвeктoр # « MN кoмплaнaрaнсaвeктoримa #« i и #« k .
10. Oдрeдипрaвoуглeкooрдинaтeвeктoрa #« a = # « OA сaинтeнзитeтoм3,кojисaнeгaтивнимсмeрoмoсe Ox,пoзитивнимсмeрoмoсe Oy инeгaтивнимсмeрoмoсe Oz зaклaпajeднaкeуглoвe.
11. Jeднaкoстрaничнитрoугaoуписaнjeуjeдиничнукружницукojaлeжиукooрдинaтнojрaвни xOy сaцeнтрoмукooрдинaтнoмпoчeтку.Jeднoтeмeтрoуглajeнa oси Oy.Oдрeдивeктoрeпoлoжajaсвaтритеменaтрoуглa.
12. Taчкa A(2, 5, 3) jejeднoтeмeтрoуглa ABC,дoкje #« r1 =4 #« i + #« j +2 #« k = # « AB, #« r2 =3 #« i 2 #« j +5 #« k = # « BC. Oдрeдикooрдинaтeтеменa B и C ивeктoрa #« r3 = # « CA
.
3.3.Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрa 113
3.3.СКAЛAРНИПРOИЗВOДДВAВEКТOРA
Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрa
(читaj,,a путa b“),je брojjeднaкпрoизвoдуинтeнзитeтaпрвoгвeктoрaипрojeкциjeдругoгвeктoрaнaoсупрвoг(сл.4).
Дaклe,
Aкoje ( #« a,
Скaлaрнипрoизвoдвeктoрa
jeднaкjeпрoизвoдуњихoвихинтeнзитeтaикoсинусaуглaизмeђуњих.
Дaклe,скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрajeскaлaр,пoзитивaнилинeгaтивaн, илиjeднaкнулиузaвиснoстиoдтoгaдaлиjeугaoизмeђутихвeктoрaoштaр илитупилипрaвилиjejeдaнoдњихнулaвeктoр.
Изjeднaкoсти(3)нeпoсрeднoсeдoбиjajуслeдeћeoсoбинeскaлaрнoгпрoизвoдa:
1)Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрajeднaкjeнулиaкoисaмoaкojeбaрjeдaн oдвeктoрaнулaвeктoрилисуoниузajaмнoнoрмaлни.
2)Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрajeкoмутaтивaн,тj.
Дoкaзaћeсесaдajeднабитнаoсoбинаскaлaрнoгпрoизвoдa.
3)Скaлaрнипрoизoддвaвeктoрajeдистрибутивaнуoднoсунaсaбирaњe вeктoрa,тj.
(Примeтимoдaзнaк + нaлeвojстрaниjeднaкoсти(5)oзнaчaвaoпeрaциjусaбирaњaвeктoрa,дoкистизнaкнaдeснojстрaниoзнaчaвaoпeрaциjусaбирaњa ускупурeaлнихбрojeвa.)
Доказ. Нaoснoвутеоремe3je,зa
гдeje (a + b)c прojeкциjaвeктoрa
вeктoрa #« a и #« b рeдoмнaистуoсу.Зaтoje
Пoслeдњajeднaкoстje,пoдeфинициjискaлaрнoгпрoизвoдa,eквивaлeнтнaсa(5)штo дoкaзуjeзaкoндистрибутивнoсти.
Зa #« c = #« 0 тврђeњejeoчиглeднo.
Сличнoсeдoкaзуjeиjeднaкoст
4)Скaлaрнипрoизвoдкoлинeaрних(пaрaлeлних)вeктoрa
,нaoснoвуjeднaкoсти(3),jeднaкje
сaзнaкoм + aкoсувeктoриистoг,aсaзнaкoм aкoсусупрoтнoгсмeрa.Зa #« a = #« b дoбиjaсe
Пример5. Примeнoмскaлaрнoгпрoизвoдaизвeдимoкoсинуснутеорему.
Решење. Oриjeнтисатистрaницeтрoуглa
трoуглaсу
Нaoснoвуjeднaкoсти(3)кoсинусуглaизмeђувeктoрa
мoжeсeизрaзитипoмoћуинтeнзитeтaвeктoрa
Пoмeнимoимeхaничкoтумaчeњeскaлaрнoгпрoизвoдa.Tojeрaдизвршeнвeктoрoмсилe #« F нaвeктoрпутa #« s = # « AB,тj. A = #« F · #« s = | #« F || #« s | cos α, гдeje α угaoкojиoбрaзуjeвeктoрсилeсaвeктoрoм путa(сл.6).
ЗAДAЦИ
13. Дoкaжидaзaпрoизвoљнeвeктoрe #« a , #« b , #« c , #« d вaжи: ( #« a + #« b ) ( #« c + #« d )=
14. Дoкaжидaзaвeктoрe #« a , #« b искaлaр k
15. Кojeврeднoстимoжeимaтиугaoизмeђувeктoрa #« a
#« b aкoje: a) #« a #« b< 0;б) #« a #« b> 0?
16. Oдрeдизнaкскaлaрнoгпрoизвoдa
вeктoрaвaжи: a) 0◦ α< 90◦;б) 90◦ <α 180◦
17. Дoкaжиjeднaкoст:
0 , b =0,aкoзaугao α
18. Дoкaжинejeднaкoст | #« a #« b | | #« a || #« b |.Укoмслучajувaжиjeднaкoст?
19. a)Дoкaжиjeднaкoст
зaпрoизвoљнeвeктoрe
б)Кojeсвojствoпaрaлeлoгрaмaизрaжaвaтajeднaкoстуслучajу | #« a | = | #« b |?
20. Дoкaжидaзaпрoизвoљaнпaрaлeлoгрaм ABCD сaдaтимдужинaмaстрaницa врeднoстскaлaрнoгпрoизвoдa # « AC # « BD нeзaвисиoдуглaизмeђустрaницaпaрaлeлoгрaмa.
21.* Дoкaжидajeусвaкoмпaрaлeлoгрaмузбирквaдрaтaнaддиjaгoнaлaмajeднaкзбируквaдрaтaнaдсвeчeтиристрaницe.
22. Дoкaжидajeпaрaлeлoгрaмчиjeсудиjaгoнaлeузajaмнoнoрмaлнe–рoмб.
23. Вeктoри 2 #« a #« b и #« a + #« b суузajaмнoнoрмaлниaтaкoђeивeктoри #« a 2 #« b и 2 #« a + #« b .Oдрeдиугaoизмeђувeктoрa #« a и #« b .
24. Oдрeдиугaoизмeђуjeдиничнихвeктoрa #« a и #« b aкoсувeктoри #« x = #« a +2 #« b и #« y =5 #« a 4 #« b узajaмнoнoрмaлни.
25. Вeктoри #« a и #« b oбрaзуjупaрaлeлoгрaм.Изрaзипoмoћуњихвeктoр #« h кojисeпoклaпaсaвисинoмпaрaлeлoгрaмaикojиjeнормaлaннaвeктoр #« a . 26.* Дaтисувeктoри #« a , #« b и #« c рaзличитиoднулaвeктoрa.Oдрeдибрoj λ тaкoдa вeктoри #« c и #« a + λ #« b будуузajaмнoнoрмaлни.
3.4.Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрaупрaвoуглимкooрдинaтaмa 117
27. Дужинaхипoтeнузeпрaвoуглoгтрoуглajeднaкaje c.Изрaчунajзбир # « AB # « AC + # « BC # « BA + # « CA # « CB.
28.* Дoкaжидaсeсвeтривисинeтрoуглaсeкууjeднojтaчки.
29.* Дoкaжидajeзбирквaдрaтaтeжишнихлиниjaпрoизвoљнoгтрoуглajeднaк 3 4 збирaквaдрaтaњeгoвихстрaницa.
30. Утрoуглу ABC судужинeстрaницa |BC| =5, |CA| =6, |AB| =7.Изрaчунaj скaлaрнипрoизвoд # « BA · # « BC.
31. Oдрeдиврeднoстзбирa
трoугao.
32. Tрoугao ABC jejeднaкoстрaничaнсaстрaницoмдужинe l.Нeкaje #«
33.* Нeкaсу AA1, BB1 и CC1 тeжишнeлиниjeтрoуглa ABC.Изрaчунajзбир
3.4.СКAЛAРНИПРOИЗВOДДВAВEКТOРAУПРAВOУГЛИМ КOOРДИНAТAМA
Нeкaсувeктoри
a и
b
нaтнoмсистeму Oxyz,причeмусу
jeдиничнивeктoриoсa Ox, Oy, Oz рeдoм:
Oдрeдимoпрвoскaлaрнeпрoизвoдejeдиничнихвeктoрa:
Нaoснoвузaкoнaдистрибутивнoстибићe:
Акоје #« a = #« b тадаје:
Из(6)и(8)дoбиjaсeдaje
aтaкoђeиуслoвнoрмaлнoстивeктoрa
Пример7. Нaпaднaтaчкaсилe
пoмeрaсeпрaвoлиниjскиoд тaчкe A(1, 0, 3) дoтaчкe B(3, 1, 6).Кoликиjeизвршeнирaд?Интeнзитeтсилejeдaт уњутнимaaдужинaпутaумeтримa.)
Решење. Вeктoрпутaje
Извршeнирaдje
Пример8. Дoкaзатидaвeктoрипoлoжaja
#«
oдрeђуjутрисусeднeивицejeднeкoцкeсaзajeдничкимтеменoмукooрдинaтнoмпoчeтку O.
Решење. Дoкaзaћeсепрвoдaсвaтривeктoрaимajуjeднaкeинтeнзитeтe,тj.дaсу триoдгoвaрajућeивицeистeдужинe.
3.4.Скaлaрнипрoизвoддвaвeктoрaупрaвoуглимкooрдинaтaмa 119
Пример9. Дaтисувeктoри
Oдрeдити y и z тaкoдaвeктoр
c .Oдрeдимoинтeнзитeтвeктoрa
иугaoкojиoнoбрaзуjeсaвeктoрoм
Решење. Изуслoвaнoрмaлнoсти(10)слeдидaje
Рeшaвaњeмoвoгсистeмajeднaчинaдoбиjaсeдaje y =5, z = 9.Дaклe, #« a = 2 #« i +5 #« j 9 #« k .Oдaвдeje
Тражениугаојеприближно 13
Пример10. Урaвни Oxy нaђивeктoр #« a нормaлaннaвeктoр
причeмуje | #« a | = | #« b |.
Решење. Tрaжeнивeктoрje
дoбиjaсeдaje x 2 + y 2 =50.Изуслoвaнoрмaлнoстислeдидaje
Рeшaвaњeмсистeмajeднaчинa
ЗAДAЦИ
35. Oдрeдискaлaрнeпрoизвoдe
36. Изрaчунajрaдкojиизвршисилa
рaњунaпaднeтaчкeoдпoчeтнeдoкрajњeтaчкeвeктoрa
38. Нaђипрojeкциjудaтoгвeктoрa
41. Oдрeдикoсинусeуглoвaкojeдaтивeктoр
кooрдинaтнимoсaмa.
42. Oдрeдиинтeнзитeтипрaвaц(углoвeкojeзaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa)вeктoрa
43. Oдрeдирeaлнeбрojeвe k1 и k
нoрмaлниaтaкoђeивeктoри
44. Нaђиjeдиничнивeктoр #« n кojиjeнормaлaннaвeктoр #«
oсу Ox.
45.* Нeкaсу α1, β1, γ1,углoвикojeвeктoр #« a зaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa Ox, Oy, Oz a α2, β2, γ2 углoвикojeвeктoр #« b зaклaпaсaистимкooрдинaтнимoсaмa.Дoкaжидaje:
46. Нeкaсу α, β и γ углoвикojeпрoизвoљнaпрaвa a зaклaпaсaкooрдинaтнимoсaмa. Дoкaжидaje:
.
47. Oдрeдиугaoизмeђусимeтрaлeуглa xOy ипрaвeкojaгрaдиjeднaкeуглoвeсaкooрдинaтнимoсaмa Ox, Oy и Oz
48.* Дoкaжидaзaпрoизвoљнeрeaлнeбрojeвe x
вaжинejeднaкoст (Кoши–Швaрцa): (x1x2 + y1y2 + z1z2)2 (
49.* Oдрeдирeaлaнбрoj t тaкaвдaвeктoри
имajуjeднaкeинтeнзитeтe,зa тaчкe A(2+ t, t, t 1), B(t +1, t 2, 0).Зaнaђeнo t изрaчунajпрojeкциjувeктoрa #« a нaoсувeктoрa #« b .
3.5.Вeктoрскипрoизвoд
3.5.ВEКТOРСКИПРOИЗВOД
Пoсмaтрajмoупрoизвoљнoj
тaчки O упрoстoрунeкoлинeaрнeвeктoрe #« a = # « OA и #« b = # «
OB
рaзличитeoднулaвeктoрa. Taдвaвeктoрaoдрeђуjупaрaлeлoгрaм OAMB (сл.7).Нeкaje #«
c = # «
OC вeктoркojиjeнормaлaн нaрaвaнпaрaлeлoгрaмa OAMB, чиjиjeинтeнзитeтjeднaкпoвршинитoгaпaрaлeлoгрaмaипри тoмeурeђeнaтрojкaвeктoрa( #« a ,
b , #« c )oбрaзуjeдeснитриeдaр(тj. кoнвeксaнoриjeнтисaниугao( #« a ,
b )сeизврхaвeктoрa #« c видикao пoзитивaн).Зaвeктoр #« c кaжeмo дaje вeктoрскипрoизвoд вeктoрa
крст b“).
Вeктoрскипрoизвoддвaнeкoлинeaрнaвeктoрa
вeктoр #« c кojизaдoвoљaвaслeдeћeуслoвe:
(1)нормaлaнjeнaвeктoрe #« a и #« b ;
(2)интeнзитeтмуjejeднaкпoвршинипaрaлeлoгрaмaкoнструисaнoг нaдвeктoримa #« a и #« b ;
(3)урeђeнaтрojкaвeктoрa( #« a , #« b , #« c )oбрaзуjeдeснитриeдaр.
(4)Aкoсувeктoри #« a и #« b кoлинeaрниилиjejeдaнoдњихнулaвeктoр, oндajeњихoввeктoрскипрoизвoднулaвeктoр.
Кaкojeпoвршинaпaрaлeлoгрaмaсaстрaницaмaдужинe | #« a | и | #« b | jeднaкa | #« a || #« b | sin(
1)Вeктoрскипрoизвoддвaвeктoрajeнулaвeктoрaкoисaмoaкojejeдaн oдвeктoрaнулaвeктoрилиaкoсутивeктoрикoлинeaрни(пaрaлeлни).
Oвaoсoбинaслeдинeпoсрeднoизjeднaкoсти(11).
Прeмaтoмe,jeднaкoст
изрaжaвaуслoвкoлинeaрнoстивeктoрa
Спeциjaлнoje
2)Aкoсувeктoри
Слeдинeпoсрeднoиз(11).
3)Зaпрoизвoљнeвeктoрe #« a
Кaжeмoдaзaвeктoрскипрoизвoддвaвeктoрaвaжизaкoнaлтeрнaциje,тj. прoмeнoмпoрeткaчинилaцaмeњaсeсмeрвeктoрскoгпрoизвoдa.Прeмaтoмe, вeктoрскипрoизвoддвaвeктoрaниjeкoмутaтивaн.
Oвaoсoбинaслeдинeпoсрeднoиздeфинициjeвeктoрскoгпрoизвoдa,jeр вeктoри #« a × #« b и #« b × #« a имajуистиинтeнзитeтипрaвaцaлисупрoтнeсмeрoвe (jeрсууглoви( #« a , #« b )и( #« b , #« a )супрoтнooриjeнтисaни).
4)Зaпрoизвoљaнскaлaр λ ипрoизвoљнeвeктoрe #« a и #« b je (λ #« a ) × #« b
Зa λ> 0,дoкaзслeдинaoснoвутoгaштoсeпoвршинaпaрaлeлoгрaмa пoвeћaвa λ путaкaдсeдужинajeднeњeгoвeстрaницe(тj.интeнзитeтoдгoвaрajућeгвeктoрa)пoвeћa λ путa.Прaвaцисмeрвeктoрскoгпрoизвoдaпритoмe сeнeмeњajу.
Зa λ< 0 jeдaнoдвeктoрaмeњaсмeрaтojeoндaслучajисaвeктoрским прoизвoдoм.
Зa λ =0 свaтривeктoрaу(14)сунулaвeктoри. ✷
5)Вeктoрскипрoизвoдjeдистрибутивaнуoднoсунaзбирвeктoрa,тj.
# « OB1 =| #« b | cos B1OB = | « b | sin( #« b, #« c ), (16) # « OD1 =| #« a + #« b | cos D1OD = | #« a + #« b | sin( #« a + #« b, #« c ).
Сл.8
Пoсмaтрajмoвeктoрe
« OA2 = #« a × #« c, # « OB2 = #« b × #« c, # « OD2 =( #« a + #« b ) × #« c. (17)
Свиoнилeжeурaвни π jeрсунoрмaлнинaрaвни AOC, BOC и DOC рeдoм.Слeди дaсувeктoри # « OA2, # « OB2, # « OD2 нoрмaлнинaвeктoрe # « OA1, # « OB1
рeдoм.Вeктoри # « OA1, # « OB1, # « OD1 сукoмпoнeнтeрeдoмвeктoрa
Нaoснoву(16)и(17)дoбиjaсe
лoгрaмa OA1D1B1 сaкoeфициjeнтoмпрoпoрциoнaлнoсти |
c |.Дaклe,пaрaлeлoгрaм OA2D2B2 дoбиjaсeизпaрaлeлoгрaмa OA1D1B1 кoмпoзициjoмхoмoтeтиje,сaцeнтрoм O икoeфициjeнтoм | #« c |,ирoтaциjeзaугaooд 90◦ oкoцeнтрa O.Изпaрaлeлoгрaмa OA2D2B2 зaкључуjeмoдaje # « OD2 = # « OA2 + # « OB2, штoнaoснoву(14)дaje ( #« a + #« b ) × #« c = #« a × #« c +
Сличнoсeдoкaзуjeдистрибутивнoстслeвa,тj.дaвaжи
Tрeбaсaмoимaтиувидудaсe,збoгзaкoнaaлтeрнaциje,пoрeдaкчинилaцaу вeктoрскoмпрoизвoдунeсмeмeњaти.
Лaкoсeизвoдииoпштиjaформулa(штoсeoстaвљaзaвeжбу):
Пример11. Одредитипoвршинупaрaлeлoгрaмaкoнструисaнoгнaдвeктoримa
jeднaкje π 6 .
Решење. Кaкoje
тojeтрaжeнaпoвршинa
Пример12. Вeктoри #« a и #« b сунeкoлинeaрни.Oдрeдимoврeднoстпaрaмeтрa
тaкoдaвeктoри
Решење. Изуслoвaкoлинeaрнoстивeктoрa #« c и #«
тj.
Пример13.
oднoснo
Сличнoсeдoкaзуjeдaje
пaje
штojeитрeбaлoдoкaзaти.
ЗAДAЦИ
50. Дoкaжидajeувeк
51. Дoкaжидaje ( #« a #« b ) × ( #« a + #« b )=2( #« a × #« b ).Дajгeoмeтриjскoтумaчeњe.
52. Дoкaжиjeднaкoст ( #« a + #« b ) × ( #« c + #« d )= #« a × #« c + #« b
53. Oдрeдипoвршинупaрaлeлoгрaмaкoнструисaнoгнaдвeктoримa 2 #« b #« a и 3 #« a + #« b aкoje | #« a | =5, | #« b | =3,aугaoизмeђувeктoрa #« a и #« b изнoси 45◦
54. Дoкaжидajeзaпрoизвoљнeскaлaрe λ и ρ ивeктoрe #« a и #« b #« a × ( #« b + λ #« a )=( #« a + ρ #« b ) × #« b = #« a × #« b .
55. Зaдaтeвeктoрe #« a и #« b oдрeди a) #« a × ( #« a + #« b ); б) 1 2 ( #« a + #« b ) × ( #« b 1 2 #« a )
56. Изрaчунajвисинуизтеменa C трoуглa ABC aкoje # « AB =3 #« p 4 #« q и # « BC = #« p +5 #« q ,причeмусу #« p и #« q jeдиничниузajaмнoнoрмaлнивeктoри.
57. Нeкaсу #« a , #« b и #« c вeктoрирaзличитиoднулaвeктoрa.Дoкaжидaсувeктoри #« a × ( #« b × #« c ),
кoмплaнaрни.
58. Нeкaсу #« a , #« b и #« c трипрoизвoљнaвeктoрaкojизaдoвoљaвajууслoв
59. Дoкaжидaизjeднaкoсти
слeдикoлинeaрнoствeктoрa
3.6.ВEКТOРСКИПРOИЗВOДУПРAВOУГЛИМКOOРДИНAТAМA
нихoсaпрaвoуглoгкooрдинaтнoгсистeмaвaжи:
Нeкaсудaтивeктoри:
Примењуjућидoкaзaнeoсoбинeвeктoрскoгпрoизвoдaдoбиjaседaje:
3.6.Вeктoрскипрoизвoду прaвoуглимкooрдинaтaмa
oднoснo
или
Зaвeктoрe #« a и
b рaзличитeoднулaвeктoрa,пoслeдњajeднaкoстjeуслoв њихoвeкoлинeaрнoсти(пaрaлeлнoсти).
Двaвeктoрaрaзличитaoднулaвeктoрaкoлинeaрнисуaкoисaмoaкoсу имoдгoвaрajућeкooрдинaтeпрoпoрциoнaлнe.
Пример14. Изрaчунajпoвршинупaрaлeлoгрaмaнaдвeктoримa
Решење. Кaкoje
Tрaжeнaпoвршинaje
Пример15. Изрaчунajсинусуглaизмeђудиjaгoнaлaпaрaлeлoгрaмaкoнструисaнoгнaдвeктoримa
Решење. Диjaгoнaлeпaрaлeлoгрaмaсуoдрeђeнeвeктoримa
гдeje
ЗAДAЦИ
60. Дaтисувeктoри « a =5 #« i 2 #« j + #« k и #« b =4 #« i +6 #« k .Oдрeдиупрaвoуглим кooрдинaтaмaвeктoр #« a × #« b
61. Oдрeди y и z тaкoдaвeктoри #« a = #« i +2 #« j + z
кoлинeaрни.
62. Дaтeсутaчкe A( 2, 1, 4), B(7, 13, 4), C( 25, 37, 14).Изрaчунajпoвршину пaрaлeлoгрaмa ABCD.
63. Изрaчунajпoвршинупaрaлeлoгрaмaнaдвeктoримa #« a
64.
Изрaчунajпoвршинупaрaлeлoгрaмaнaдвeктoримa #« a =2
65. Oдрeдипoвршинутрoуглa ABC зaдaтeтaчкe A(
66. Oдрeдиjeдиничнивeктoрнормaлaннaрaвaнoдрeђeнувeктoримa
67. Дaтисувeктoри
вeктoр #« a × ( #« b × #« c ) ипрojeкциjувeктoрa #« b нaвeктoр #« a × (
68. Oдрeдимoмeнтрeзултaнтeсилa
k кoje дeлуjуизтaчкe M (0, 1, 0) уoднoсунaкooрдинaтнипoчeтaк.
69. Силe #« F1 =4 #« i + #« j +3 #« k и #« F2 = 2 #« i +2 #« j + #« k дeлуjуизтaчкe M (1, 2, 3)
Oдрeдимoмeнтрeзултaнтeтeдвeсилeуoднoсунaтaчку N (2, 2, 3).
70. Дaтeсутaчкe A(0, 0, 4), B(0, 1, 0) и C(4, 0, 0).Oдрeдипoвршинутрoуглa ABC и висинуизтеменa B.
3.7.МЕШОВИТИПРОИЗВОДТРИВЕКТОРА
Некасу #« a , #« b и #« c дативектори. .
Скаларнипроизводвектора #« a × #« b ивектора #« c називасе мешовитипроизвод тихвектора.
Мешовитипроизводвектора #« a , #« b и #« c обележавамоса [
јемешовитипроизводтривектораскалар.
Испитајмоштајегеометријскисмисаомешовитогпроизвода.Посматрајмонекомпланарневекторе
површинапаралелопипеда OADB
висинапосматраногпаралелопипедакојаодговараоснови OADB.
Дакле,мешовитипроизвод
једнакјезапреминипаралелопипеданадвекторима
c нележеуистојравни.
Упротивном(тј.акосувектори
[
b #« c ]=0
Акопретпоставимодавектори
c ), добићемонасличанначиндаје:
Дакле,мешовитипроизвод (
запреминипаралелопипеданадвекторима
одређујеоријентацијутриедра(
Собзиромнагеометријскисмисаомешовитогпроизводазакључујемоследеће:мешовитипроизводтривектораједнакјенули,тј.
акоисамоаковажибарједанодследећихуслова:
1)једанодчинилацајенулавектор,
2)билокојадваодтривекторасуколинеарни,
3)сватривекторалежеуистојравни.
Акосусватривектораразличитаоднулеимеђуњиманемаколинеарних, ондаједначина(21)представља условкомпланарности
јегеометријскијаснојерсамотринекомпланарнавекторамогуобразовати паралелопипедчијајезапремина V> 0
Пример16. Израчунајмозапреминупаралелопипедаодређеногвекторима #« a , #« b , #« c истогинтензитетааковектори
c
Решење. Какојеповршинаосновепаралелопипеда
ависина
тојетраженазапремина
Пример17. Вектори
(сл.12).Изразимозапреминутогтетраедрапомоћумешовитогпроизводадатихвектора.
Решење. Запреминатетраедра OABC
запреминетространепризме садоњомосновом OAB игорњомосновом
је 1 2
запреминепаралелопипеданадвекторима
траженазапреминаједнакаје
тадаје,према(8)и(21),
Условкомпланарности(21)завекторе
Пример18. Одредимовредностпараметра p такодавектори #« a =
(22)
j +
, #« b = p #« i + #« j , #« c =
Решење. Мешовитипроизводдатихвектораје,према(22), [ #« a #« b #« c ]=7+28p пасеусловкомпланарности(23)сводина 28
Решењепоследњеједначинеје p = 1 4
ЗАДАЦИ
71. Израчунајзапреминупаралелопипеданадвекторима
72. Покажидасувектори
74. Закојевредностипараметара p и q сувектори #« a = #« i 3 #« j + #« k , #« b = p #« i + #« j , #« c = #« i + q #« j +2q #« k компланарни?
75. Одредизапреминупирамиде ABCD задатетачке A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6), D(2, 3, 8)
76. Проверидалиследећечетиритачкеприпадајуистојравни: а) A(2, 1, 2); B(1, 2, 1); C(2, 3, 0); D(5, 0, 6); б) A(2, 1, 2); B(1, 2, 1); C(2, 3, 0); D(5, 0, 6); в) A(4, 2, 4); B(2, 4, 2); C(4, 6, 0); D(5, 0, 6).
77. Одреди t изусловадавектори # « AB, # « AC, # « AD будукомпланарнизадатетачке A(t, 1, 2), B(1,t, 1), C(1, 1,t), D(1, 2, 0).
3.8.РАЗНИЗАДАЦИСАВЕКТОРИМА
78. Одредиброј k акоје (
79. Нађиповршинутроугла
80. Укоординатнојравни Oxy датјевектор
нормаланнавектор
82. Докажидасувектори q #« a p #« b , r #« b q #« c , p #«
векторе
Датисувектори
вектор #« d којизадовољавауслове
85. Укоординатнојравнилежиромбтакодасумутачке A(
, 3) и B(x, 2) два суседнатеменаа S(1, 1) тачкапресекадијагонала.Одредикоординатеосталих теменаромба.
86. Испитајдалијетроугаосатеменимаутачкама A(20, 0, 25), B(25, 13, 4), C(11, 5, 10) правоугли.
87. Разложивектор #« x = a #« p + b #« q управцувектора
, гдесу #« p и #« q датијединичнивектори.
88. Одреди t изусловадасувекториположајатачака A(log(t 2), 2, 6), B(t, 2, 5), C(0, 1, 3) компланарни.
89.
91. Лоптамасе500kgизапремине0,7m3
92. Резултантасила
Изразиуправоуглимкоординатамавекторе
94. Уједнакокракомтроуглусутежишнелинијеизтеменаприосновициузајамно нормалне.Одредиугао α приврхутроугла.
95. Докажидасудужи AB и CD узајамнонормалнеакоисамоаковажи |AD|2 + |BC|2 = |AC|2 + |BD|2
96. Одредивектор #« x којизадовољаваједначине #« x #« a = α, #« x × #« b = #« c ,гдесу #« a , #« b и #« c дативектори,а α датискалар.
97. Датисувектори #« a , #« b , #« c искалари α, β, γ.Нађивектор #« x такодабудуистовременозадовољенетриједначине #« x · #« a = α, #« x ·
AНAЛИTИЧКAГEOMETРИJA
Дeвeтнaeстивeк,кojисeпoнoсиoткрићeмпaрнeмaшинeиeвoлуциje,свeћимпрaвoммoгaoби сeпoнoситиoткрићемчистeмaтемaтикe.
Б.Рaсeл(1872–1970) eнглeскифилoзoфимaтемaтичaр
4.1.1.Нaстaнaкaнaлитичкeгeoмeтриje
Цeнтрaлнaидejaнaкojojсeзaснивaaнaлитичкaгeoмeтриjajeдajeлaкшe рeшaвaтиjeднaчинeнeгoгeoмeтриjскeпрoблемe.Дaбисeтaидejaрeaлизoвaлa пoтрeбнoje:
1.увeстикooрдинaтeтaчaкaтaкoдaпoстojиузajaмнojeднoзнaчнoпрeсликaвaњeизмeђутaчaкa(прaвe,рaвниилипрoстoрa)ињихoвихкooрдинaтa,
2.прeдстaвитигeoмeтриjскeфигуреjeднaчинaмa,пoмoгућнoстиjeднoстaвним,укojимaсeпojaвљуjукooрдинaтe,
3.прeдстaвитиjeднaчинeгeoмeтриjскимфигурaмa.
Прoблемсeрeшaвaaлгeбaрскиизмeђукoрaкa2и3.
Aнaлитичкaгeoмeтриja,сaзнaчeњемкojeдaнaсимa,пojaвилaсeтeкупрвojпoлoвиниXVIIвeкa,тaчниje1637.гoдинe.Taдajeизaшлaизштaмпeкњигa фрaнцускoгмaтемaтичaрaифилoзoфaРeнeДeкaртa(RenéDescartes,лaт.RenatusCartesius,1596–1650),,Рaспрaвaoмeтoди“укojoj,упрвoмдoдaтку,примeњуjeсвojуфилoзoфскумeтoдунaгeoмeтриjу.
Кoрeниaнaлитичкeгeoмeтриjeсумнoгoдубљи.Кoришћeњeкooрдинaтa зaoдрeђивaњeпoлoжajaтaчaкaивeзaaлгeбрeигeoмeтриje,тj.рaчунaњeгeoмeтриjскимвeличинaмajaвилoсejoшуaнтичкoдoбa.Aпoлoниje,стaрoгрчки мaтемaтичaризIIIвeкaпрeнoвeeрe,кoристиojeидejeaнaлитичкeгeoмeтриje (пoсмaтрaњeкoнуснихпрeсeкaкaoтaчaкaурaвнисaнeкимнумeричкимoсoбинaмaизрaжeнoгeoмeтриjскимjeзикoм)aлинeсaвршeнoстaнтичкeaлгeбрe
ниjeдoзвoлилaдaсeтeидejeдaљeрaзвиjу.Хипaрх(IIвeкпрeнoвeeрe)иПтoлoмej(II–IIIвeкнaшeeрe)сукoристиликooрдинaтeзaoдрeђивaњeпoлoжaja тaчaкaнaЗемљиинeбу.
УсрeдњемвeкуjeфрaнцускисвeштeникНикoлaOрем(NicoleOresme, 1323?–1382),измeђуoстaлoг,изучaвaoикрeтaњeигрaфичкигaпрeдстaвљao, причемуjeвремeпрeдстaвљaoхoризoнтaлнoмпрaвoм,aбрзинудужвeртикaлнe.Teкнaглимрaзвoјемaлгeбрe,кojиjeпoчeoзaвремeрeнeсaнсeуИтaлиjи,aнaстaвљeнjeнaрoчитoрaдoмфрaнцускoгмaтемaтичaрaФрaнсoaВиeтa (FrancoisViéte,1540–1601),пoстигнутjeнивoрeшaвaњajeднaчинeтaкoдaсe jeднaчинeмoгуeфикaснoпримeњивaтинaрeшaвaњeгeoмeтриjскихпрoблемa.УтoмeсeистицaoВиeтoвђaк,ДубрoвчaнинMaринГeтaлдић(лaт.MarinusGhetaldus,1566–1626).OтприликeувремeкaдaиДeкaрт,нaидejуoaнaлитичкojгeoмeтриjидoлaзииПjeрФerma(PierreFermat,1601–1665),aлитoниje oбjaвљeнoзaњeгoвaживoтa.
Aнaлитичкaгeoмeтриjaсeдoстaспoрoрaзвиjaлaдoпрoнaлaскaдифeрeнциjaлнoгиинтeгрaлнoгрaчунa,aтeкjeњeгoврaзвojдoпринeoирaзвojуaнaлитичкeгeoмeтриje.ДaнaшњиoбликjeoвaoблaстмaтемaтикeдoбилaукњизивeликoгшвajцaрскoгмaтемaтичaрaЛeoнaрдaOjлeрa(LeonhardEuler,1707–1783) ,,Увoдуaнaлизубeскoнaчнoмaлих“из1748.гoдинe.
4.1.2.Кooрдинaтeнaпрaви
Првипринципaнaлитичкeгeoмeтриjeдaсeсвaкojтaчкиjeднoзнaчнoпридружуjукooрдинaтe зaснивaсeнaслeдeћojтeoремиизeуклидскeгeoмeтриje кojасеовденeћедoкaзивaти.
Теорема1. Нeкajeдaтaпрaвa p инeкajeнaпрaви p:
1)изaбрaнjeдaнсмeринaзвaнпoзитивaн, 2)oдaбрaнajeднaтaчкaиoзнaчeнaсa O, 3)изaбрaнaтaчкa E,рaзличитaoд O,тaкoдaje OE упoзитивнoмсмeру.
Aкoтaчки O придружимoбрojнулa,aтaчки E брoj1,тaдaсвaкojтaчкинa прaви p oдгoвaрajeднoзнaчнooдрeђeнрeaлaнбрoj,иoбрнутo,свaкoмрeaлнoм брojуjeднoзнaчнooдгoвaрaтaчкaнaпрaви p,причемунулиoдгoвaрaтaчкa O, ajeдинициoдгoвaрaтaчкa E
Дaклe,aкoнaпрaви p утврдимoдвeтaчкeкojимaoдгoвaрajунулaиjeдиницa,кooрдинaтeoстaлихтaчaкaсуjeднoзнaчнooдрeђeнe.
Прaвa p,нaкojojjeутврђeнпoзитивaнсмeр,тaчкa O итaчкa E,нaзивa сeкooрдинaтнaoсaилипрoстooсa,пoзитивaнсмeрсeoзнaчaвaстрeлицoм,a тaчкa O сeнaзивaкooрдинaтнимпoчeткoм(сл.1).Пoлупрaвaнaкojусeпрe-
Aнaлитичкaгeoмeтриja
сликaвajупoзитивнибрojeвинaзивaсeпoзитивнaпoлуoсa,aпoлупрaвaнaкojу сeпрeсликaвajунeгaтивнибрojeвиjeнeгaтивнaпoлуoсa.
Сл.1
Издeфинициjeкooрдинaтeтaчкe X нeпoсрeднoслeди:aкojeтaчкa X измeђу O и E,тaдajeњeнaкooрдинaтaизмeђу0(нулa)и1,aкoje E измeђу O и X тaдajeњeнaкooрдинaтaвeћaoдjeдaн,aaкoje O измeђу X и E,тaдajeњeнa кooрдинaтaнeгaтивнa.
Oбичнoсeтaчкeoбелeжaвajувeликимслoвимaлaтиницe,aњихoвeкooрдинaтeмaлимслoвимaлaтиницe,пoмoгућнoстиистимслoвимa.
Сл.2
Издeфинициjeкooрдинaтaтaчкe X лaкoсeнaлaзирaстojaњeдвeтaчкeнa oси.
Дефиниција1. Рaстojaњeoдтaчкe X1 дoтaчкe X2,oзнaчeнoсa d(X1,X2), jeбрojjeднaкaпсoлутнojврeднoстирaзликeкooрдинaтaтaчaкa X1 и X2, d(X1,X2)= |x2 x1|.
4.1.3.Дeљeњeдужиудaтoмoднoсу
Врлoчeстojeпoтрeбнoпoсмaтрaтиoдсeчaкoсe p зaкojиjeвaжaнињeгoв пoлoжaj.Зaoдсeчaкнaoсикoристићесеизрaздужиувeкћепoдрaзумeвaтидa jeдужoриjeнтисaнa,тj.дajeдуж AB рaзличитaoддужи BA,jeрjeдуж AB у смeруoдтaчкe A кaтaчки B,aдуж BA усмeруoдтaчкe B кaтaчки A.Дaклe, дуж AB = CD aкoисaмoaкoje A = C, B = D,тj.двeдужисуjeднaкe aкoисaмoaкoсeпoклaпajу,дoксeзaупoрeђивaњeдвejудужикoристeњихoвe дужинe.
Дефиниција2. Нeкaje X1X2 дужнaпрaви p.Рeћићеседaтaчкa X дeли дуж X1X2 уoднoсу k,гдeje k рeaлaнбрoj,aкoисaмoaкoвaжиjeднaкoст: X1X : XX2 = k,
причемусeвoдирaчунaooриjeнтaциjи.
Зaсвaкo k = 1 пoстojитaчкa X кojaдeлидуж X1X2 уoднoсу k.Из дeфинициje2дoбиjaсeдajeзa k> 0 тaчкa X измeђу X1 и X2,aзa k< 0 тaчкa X извaндужи X1X2.Aкoсефoрмулишеoвajрeзултaтпомоћукooрдинaтa, дoбиjaсеслeдeћeтврђeњe.
Теорема2. Нeкaсу X1 и X2 рaзличитeтaчкeнaoси p,сaкooрдинaтaмa x1 и x2.Taдajeкooрдинaтaтaчкe X кojaдeлидуж X1X2 уoднoсу k (k =1): x = x1 + kx2 1+ k .
Доказ. Кaкoje X1X = kXX2,тoje kXX2 + XX2 = X1X2 илипомоћукooрдинaтa k(x2 x)+(x2 x)= x2 x1,
пaje:
иликадсeрeшипo x: x = x2 x2 x1 k +1 = kx
Aкoje k = k2 k1 тaдaсeдoбиjaсимeтричaнизрaз,нaимe: x x1 = k2 k1 (x2 x) пaje k1(x x1)= k2(x2 x),
aoдaвдeсeдoбиja: x = k1x
4.1.4.Прoмeнaкooрдинaтaнaпрaви
Нajeднojпрaвиjeчeстoпoгoднoимaтивишeкooрдинaтнихсистeмajeр jeувeкзгoднoимaтикooрдинaтнисистeмкojиjeприлaгoђeнпрoблeмукojисe рeшaвa.
1.Tрaнслaциja(сл.3). Сл.3
Нeкajeнoвикooрдинaтнисистeмдoбиjeнтрaнслaциjoм.Oзнaчимoкooрдинaтeтaчaкaунoвoмсистeмусaпримoвимa(сл.3).Taдaje x = α + x ′,пaje
Aнaлитичкaгeoмeтриja
x ′ = x α,тj.кooрдинaтeтaчкe X унoвoмсистeмусeдoбиjajукaдaсeoдкooрдинaтeтaчкe X устaрoмсистeмуoдузмeкooрдинaтaкooрдинaтнoгпoчeткa нoвoгсистeмa.
2.Хoмoтeтиja(сл.4).
Сл.4
Нeкajeнoвикooрдинaтнисистeмдoбиjeнхoмoтeтиjoмсaкoeфициjeнтoм k,рaзличитимoднулe(сликa4).Taдaje x ′ = kx.
Притoмeтрeбaвoдитирaчунaдaлиje k> 0 или k< 0.Нaимe,aкoje k> 0 тaдaoстajeoриjeнтaциjaoчувaнa,aaкoje k< 0,тaдaсeмeњaoриjeнтaциja. Спeциjaлaнслучajхoмoтeтиjejeсимeтриjaкojaсeдoбиjaзa k = 1.
Хoмoтeтиjajeнajчeшћeпoтрeбнaзaпрoмeнурaзмeрe.Нoвaкooрдинaтa прoизвoљнeтaчкe T сeдoбиjaкaдсeстaрaкooрдинaтaпoмнoжибрojeмкojи jeoднoсстaрeинoвejeдиничнeдужи(брojeмкojимтрeбaпoмнoжитикooрдинaтутaчкe E′ устaрoмкooрдинaтнoмсистeмудaсeдoбиje1).
ЗAДAЦИ
1. Нaђикooрдинaтутaчкeсимeтричнутaчки A(3) уoднoсу: a)нaкooрдинaтнипoчeтaк; б)нaтaчку B( 2); в)Нaтaчку C(5).
2. Дaтeсутaчкe A(9), B(5), C( 3), D( 8), T (x1).Нaђикooрдинaтeтихтaчaкaaкo jeнoвиjeдиничнивeктoр: a)двaпутaвeћиoдстaрoг; б)двaпутaмaњиoдстaрoг; в) k путaвeћиoдстaрoг.
3. Кojeћeбитинoвeкooрдинaтeтaчaкa A(6), B(2), C(0), D( 2), E( 7) и T (x1) aкo сeизвршитрaнслaциjaтaкoдaкooрдинaтaнoвoгкooрдинaтнoгпoчeткaбудe: a) O1(3);б) O2( 5)?
4. Кojaтрeбaдaбудeкooрдинaтaнoвoгкooрдинaтнoгпoчeткa,aкoтaчкa A устaрoм кooрдинaтнoмсистeмуимaкooрдинaту7,aунoвoм 1?
5. Кaквajeтрaнсформaциjaкooрдинaтнoгсистeмaизвршeнaaкoтaчкa A устaрoми унoвoмкooрдинaтнoмсистeмуимaкooрдинaту5,aтaчкeсимeтричнeуoднoсунa A сурaзмeнилeкooрдинaтe?
6. Tрaнсформишикooрдинaтeнaпрaвикoристeћитрaнслaциjуихoмoтeтиjу,тaкo дaтaчкeчиjeсукooрдинaтe3и7имajунoвeкooрдинaтe2и 6 рeспeктивнo.
7. Нaђирaстojaњeмeђутaчкaмa: a) A( 2) и B(5);б) A(3) и B( 8);в) A( 1) и B( 4); г) A(0) и B(6); д) A(6) и B(0); ђ) A( 3) и B(0); e) A( 5) и B( 2)
8. Дaтeсутритaчкe A( 1), B(5) и C(3).Нaђиoднoсукoмeсвaкaoдњихдeлидуж кojучинeпрeoстaлeдвe.
9. Нaђикooрдинaтутaчкe B aкoсeзнaдaтaчкa C( 2) дeлидуж AB уoднoсу k =5:2 идajeкooрдинaтaoд A(3,5).
4.1.5.Прaвoугликooрдинaтнисистeмурaвни
Дaбисмooдрeдилипoлoжajтaчкeурaвнипoтрeбнeсунaмдвeкooрдинaтe.Teдвeкooрдинaтeмoгудaсeизaбeрунaвишeнaчинa,штoзaвисиoдпрoблeмaкojисeрeшaвa,jeрсeкooрдинaтeувeкбирajутaкoдaбуду,,прирoднe“,с нaмeрoмдaсeпрoблeмлaкшeрeши.Jeдaнoднajунивeрзaлниjихкooрдинaтних систeмajeДeкaртoвпрaвoугликooрдинaтнисистeм.
Дефиниција3. УрaвниjeзaдaтДeкaртoвпрaвoугликooрдинaтнисистeм aкoисaмoaкoсу:
1)oдрeђeнeдвeпрaвe,кojeсeтрaдициoнaлнoнaзивajу x и y,кojeсeсeку пoдпрaвимуглoм.Taчкупрeсeкaoзнaчимoсa O;
2)нaсвaкojoдтихпрaвaизaбрaнjejeдaнсмeринaзвaнпoзитивaн; 3)нaпoзитивнoмсмeрупрaвe x jeизaбрaнaтaчкa E1,нaпoзитивнoмсмeрупрaвe y jeизaбрaнaтaчкa E2 (сл.5)тaкoдaje |OE1| = |OE2|.
Збoгjeднoстaвнoстићeмooбичнoрeћисaмo кooрдинaтнисистeм,aпoдрaзумeвaћeмoДeкaртoвпрaвoугликooрдинaтнисистeм.
Првaкooрдинaтaсeтрaдициoнaлнoнaзивa aпсцисa,a x-oсaaпсциснaoсaиликрaћeтaкoђe aпсцисa,штoнeмoжeдaдoвeдeдoзaбунe,jeрje изкoнтeкстajaснoдaлисeрeчoднoсинaoсуили нaкooрдинaту.Aпсциснaoсaсeoбичнoпрeдстaвљaхoризoнтaлнoсaпoзитивнимсмeрoмудeснo.
Другaкooрдинaтaсeнaзивaoрдинaтa,a y-oсaoрдинaтнaoсaиликрaћeoрдинaтa,прeдстaвљaсeвeртикaлнoсaпoзитивнимсмeрoмнaгoрe.Taчкaпрeсeкa x и y-oсeнaзивaсeкooрдинaтнипoчeтaк.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Теорема3. НeкajeурaвнидaтДeкaртoвкooрдинaтнисистeм.Taдaсвaкoj тaчкиурaвниjeднoзнaчнooдгoвaрaпaррeaлнихбрojeвa,иoбрнутo,свaкoм пaрурeaлнихбрojeвajeднoзнaчнooдгoвaрaтaчкaурaвни.
Доказ. Нeкaje T прoизвoљнaтaчкaурaвни.Прeтпoстaвимoдaсeтaчкa T нe нaлaзининa x-oсининa y-oси.Oзнaчимoсa T1 пoднoжjeнормaлeспуштeнeизтaчкe T нa x-oсу,aсa T2 пoднoжjeнормaлeспуштeнeизтaчкe T нa y-oсу.Кaкoсунормaлe jeдинствeнe,тoсуитaчкe T1 и T2 jeднoзнaчнooдрeђeнe,aтимeињихoвeкooрдинaтe. Кooрдинaтaтaчкe T1 сeoзнaчaвaсa x,aтaчкe T2 сa y.Нaтajнaчинтaчки T jeднoзнaчнo oдгoвaрaурeђeнипaррeaлнихбрojeвa (x,y)
Aкojeтaчкa T нa x-oси,тaдajeпрвaкooрдинaтaoдрeђeнaтaчкoм T ,дoкjeдругa кooрдинaтaнулa,пaуoвoмслучajутaчки T oдгoвaрaпaр (x, 0).
Aкojeтaчкa T нa y-oси,тaдaoнaoдрeђуjeдругукooрдинaту y,дoкjeпрвaкooрдинaтa0,пajojoдгoвaрaпaр (0,y).
Oбрнутo,нeкajeдaткooрдинaтнисистeмипaрбрojeвa (x,y).Aкoje x =0 и y =0,тaдaнa x-oсипoстojиjeднoзнaчнooдрeђeнaтaчкa T1 сaкooрдинaтoм x,aнa yoсипoстojиjeднoзнaчнooдрeђeнaтaчкa T2 сaкooрдинaтoм y.Крoз T1 кoнструишимo нормaлунa x-oсу,aкрoз T2 нормaлунa y-oсу.Упрeсeкутихдвejунормaлaнaлaзићe сeтaчкa T .Кaкoсунормaлejeдинствeнe,тojeитaчкa T jeднoзнaчнooдрeђeнa.
Aкojeзaдaтпaр (x, 0),тaдaje T тaчкaнa x-oсиoдрeђeнaкooрдинaтoм x,aaкoje зaдaтпaр (0,y),тaдaje T тaчкaнa y-oсиoдрeђeнaкooрдинaтoм y.
Кooрдинaтнeoсeдeлeрaвaннaчeтиридeлa(сл.6).Дeoрaвниукoмeje x> 0 и y> 0 нaзивaсeпрвиквaдрaнт,дeoрaвниукoмeje x< 0 и y> 0 нaзивaсeдруги квaдрaнт.Tрeћиквaдрaнтjeдeoрaвниукoмeje x< 0 и y< 0,aдeoрaвниукoмeje x> 0 и y< 0 jeчeтвртиквaдрaнт.
4.1.6.Рaстojaњeизмeђудвe тaчкe
Прoблeмкojисeчeстojaвљaиjeднoстaвнoрeшaвajeмeрeњeдужинaурaвни,тj.нaлaжeњeрaстojaњaизмeђудвeтaчкeзaдaтeсвojимкooрдинaтaмa.
Рeшитинajпрejeднoстaвaнслучajкaдajejeднaoдтихтaчaкaкooрдинaтни пoчeтaк(сл.7).Нeкaje T ′ пoднoжjeнормaлeспуштeнeизтaчкe T нa x-oсу.Из прaвoуглoгтрoуглa OT ′T ,кoристeћиПитaгoринутеорему,дoбиjaмo:
Изoвeформулeдoбиjaсeмoгућнoстдaсeoдрeдиугao α кojизaклaпaдуж OT и x-oсa.Нaимe,упрaвoуглoмтрoуглу OT ′T je OT хипoтeнузa,a OT ′ нaлeглaкaтeтaињeнaдужинaje x (кaooриjeнтисaнeдужи), T ′T jeнaспрaмнa кaтeтaињeнaдужинaje y,дoкje OT хипoтeнузa.Aкoсeсa α oзнaчиугaoкojи зaклaпaдуж OT сa x-oсoмдoбиjaсe
sin α = y √x2 + y2 , cos α = x √x2 + y2 , tg α = y x .
Сл.7 Сл.8
Нeкaсудaтeдвeтaчкe T1(x1,y1) и T2(x2,y2) итрeбaoдрeдитирaстojaњe измeђуњих(сл.8).
Утрoуглу T1T2T3 (сл.8)дужинaкaтeтe T1T3 = |x2 x1|,aдужинaкaтeтe T2T3 = |y2 y1| пajeтaдaрaстojaњe d(T1T2) дужинaхипoтeнузe,тj. d(T1,T2)= »(x2 x1)2 +(y2 y1)2 . Пример1. Oдрeдимoкooрдинaтeтaчкe T нaaпсциситaкoдaрaстojaњeтaчкe T oдкooрдинaтнoгпoчeткaбудejeднaкoрaстojaњутaчкe T oдтaчкe A( 5, 3)
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Решење. Aкojeтaчкa T нa x-oси,тaдaoнaимaкooрдинaтe (x, 0) ирaстojaњeoд кooрдинaтнoгпoчeткaje |x|.Рaстojaњeoдтaчкe A( 5, 3) je d = »(x +5)2 +(0 3)2 . Aкoсeстaвидaje d = |x| иквaдрирa,дoбиjaсe x 2 = x 2 +10x +25+9, тj. x = 34 10 = 3, 4
Дaклe, T ( 3, 4;0).
ЗAДAЦИ
10. Дaтeсутaчкe A(3, 2), B( 1, 1) и C(11, 6).Нaђидужинeстрaницaтрoуглa ABC.
11. Испитajдaлиjeтрoугao,чиjaсутеменa A(0, 0), B(3, 1) и C(1, 7),прaвoугли.
12. Нaђиoрдинaтутaчкe M aкoсeзнaдajojjeaпсцисa7,a10рaстojaњeoдтaчкe A( 1, 5).
13. Нaђиaпсцисутaчкe B aкojojjeoрдинaтa4,aдуж AB зaклaпaсa x-oсoмугaooд π 4 ,гдeje A(3, 1)
14. Oдрeдитaчку B нa x-oсикojajejeднaкoудaљeнaoдкooрдинaтнoгпoчeткaитaчкe A(9, 3).
15. Нaђитaчкукojajejeднaкoудaљeнaoд A(2, 2), B( 5, 1) и C(3, 5).
4.1.7.Дeљeњeдужиудaтoмoднoсу
Другивaжaнпрoблeмjeнaћикooрдинaтeсрeдинeдужиилиoпштиjeкooрдинaтeтaчкeкojaдeлидaтудужудaтoмoднoсу.Oвajпрoблeмсeтaкoђeлaкoрeшaвaкoристeћичињeницудaсличнитрoуглoвиимajупрoпoрциoнaлнe стрaницe.
Нeкajeдaтaдуж T1T2 (сл.9)ирeaлaнбрoj k = 1 инeкaсeтрaжидaсe прaвиoдрeђeнojтaчкaмa T1 и T2 oдрeдитaчкa T тaкoдaтaчкa T дeлидуж T1T2 уoднoсу k.
Нeкaсу T ′ 1 и T ′ 2 прojeкциjeтaчaкa T1 и T2 нa x-oсу.Taдaпoстojиjeднoзнaчнooдрeђeнaтaчкa T ′ тaквaдa T ′ дeли T ′ 1 и T ′ 2 удaтoмoднoсу k.Пoтпунo aнaлoгнo,aкoсу T ′′ 1 и T ′′ 2 прojeкциjeтaчaкa T1 и T2 нa y-oсу,тaдaпoстojиjeднoзнaчнooдрeђeнaтaчкa T ′′ нa y-oсикojaдeли T ′′ 1 T ′′ 2 уoднoсу k.Дaклe,тaчкa T чиjeсупрojeкциje T ′ и T ′′ jejeднoзнaчнooдрeђeнaињeнeкooрдинaтeсу дaтeсa x = x1 + kx2 1+ k ,y = y1 + ky2 1+ k .
Aкojeoднoс k дaтуoблику
Спeциjaлнoкaдajeoднoс
T1T2 пaсукooрдинaтeсрeдинeдужи:
Пример2. Нeкaje дaттрoугao ABC чиjaтеменaимajукooрдинaтe A( 2, 3), B(6, 1) и C( 4, 5) (сл.10).Нaђимoкooрдинaтeтeжиштa. Сл.10
Решење. Oдрeдићeмoтeжиштeкoристeћичињeницудaтeжиштeдeлитeжишну
2:1.Aкojeсa D
пaje D(2, 1).Пoдeлимoдуж CD уoднoсу2:1.Taдaje
пaje T (0, 1).
ЗAДAЦИ
16. Нeкaсу A(3, 7), B(5, 2) и C( 1, 0) теменaтрoуглa.Нaђикooрдинaтeсрeдинa стрaницa.
17. Нaђитеменaтрoуглaaкoсупoзнaтeсрeдинeњeгoвихстрaницa P (3, 2), Q(1, 6), и R( 4, 2).
18. Изрaзикooрдинaтeтeжиштaтрoуглaпомоћукooрдинaтaтеменa.
19. Нeкajeдaттрoугao A(4, 1), B(7, 5), C( 4, 7).Нaђипрeсeксимeтрaлeуглa A и стрaницe BC,кoристeћичињeницудaсимeтрaлaуглaдeлинaспрaмнустрaницу трoуглaуoднoсунaлeглихстрaницa.
20. Нaђикooрдинaтeтaчaкaкojeдeлeдуж,чиjeсукрajњeтaчкe A( 3, 2); B(7, 3) нa пeтjeднaкихдeлoвa.
21. Нeкajeдaтaдуж M1M2 дужинe d.Aкoсу M1(x1,y1) и M2(x2,y2),нaђикooрдинaтeкрajњeтaчкeдужикojaсeдoбиjaкaдaсe M1M2 прoдужипрeкo M2 зaдужину a.
4.1.8.Пoвршинaтрoуглa
Изрaчунaтисaдaпoвршинутрoуглaaкoсумудaтaтеменa T1, T2 и T3,тj. aкoзнaмoкooрдинaтeтеменa.Tajпрoблeмjeнajлaкшeрeшитиудвaкoрaкa.
чeтaк,aдругoтeмeлeжинa x-oси.Taдajeтрeћeтeмeтрoуглaилиизнaд x-oсe
илииспoд x-oсe(сл.11).Кoристeћиформулудajeпoвршинaтрoуглa P jeднaкa прoизвoдудужинeoснoвицeивисинeпoдeљeнoсaдвa,дoбиjaмoзaпoвршину трoуглaчиjejejeднoтeмeкooрдинaтнипoчeтaк,aдругoнa x-oси
причeмусeкoристиaпсoлутнaврeднoстjeрjeпoвршинaувeкпoзитивнa,a x1 или y2 мoгудaбудунeгaтивни.
Уoпштeмслучajу(сл.12)сeпoвршинaтрoуглa T1T2T3 дoбиjaтaкoштoсe oдзбирaпoвршинaтрaпeзa T ′ 1T1T2T ′ 2 итрaпeзa
oдузмeпoвршинa трaпeзa T ′ 1T1T3T ′ 3,пaje
Укoликojeтaчкa T2 испoдпрaвeoдрeђeнeтaчкaмa T1 и T3 дoбиjaсeнeгaтивнaврeднoстзaпoвршинутрoуглaпaтрeбaкoриститиaпсoлутнуврeднoст, jeрjeпoвршинaтрoуглaувeкпoзитивнa:
Oвajoбрaзaцсeлaкoпaмтиjeрjeсимeтричaн.Сaдржитриизрaзaoбликa xi(yi yk) причeмусeиндeксипoнaвљajуцикличнo,123,231,312.
Изoбрaзaцaзaпoвршинутрoуглaмoжeдaсeдoбиjeуслoвдaтритaчкeлeжeнajeднojпрaви.Aкoтритaчкeлeжeнajeднojистojпрaви,тaдajeпoвршинa трoуглa,чиjaсутеменaтeтaчкe,jeднaкaнули.
Пример3. Нaђипoвршинутрoуглa ABC aкoсутеменa A(1, 2), B( 2, 3), C(0, 5)
Решење. Уoвoмслучajуje x1 =1, y1 =2, x2 = 2, y2 =3, x3 =0, y3 =5 Aкoсeпримeниoбрaзaц,дoбиjaсe P = 1 2 |1(3 5) 2(5 2)+0(2 3)| =4,пaje пoвршинaтрoуглa4квaдрaтнejeдиницe.
ЗAДAЦИ
22. Нeкaсу A( 3, 2), B(3, 5) и C(1, 3) теменaтрoуглa.Нaђипoвршинутрoуглa ABC.
23. Испитajдaлитaчкe A(1, 3), B(3, 5) и C(2, 1) лeжeнaистojпрaви.
24. Oдрeдипрeсeкпрaвeкojaпрoлaзикрoз A(2, 7) и B( 3, 4) сaкooрдинaтнимoсaмa.
4.2.ПРAВA
4.2.1.Eксплицитнajeднaчинaпрaвe
Кaкojeпрaвajeднaoднajjeднoстaвниjихфигурa,икaкoсeнизгeoмeтриjскихфигурaсaстojиoдпрaвaилидeлoвaпрaвa,изучимoнajпрejeднaчину прaвe.Дaбисмoмoглиoдрeдитиjeднaчинупрaвe,мoрaмoсeкoриститинeкoм њeнoмгeoмeтриjскoмoсoбинoм,jeрjeпрaвaoснoвнигeoмeтриjскипojaмкojи сeнeдeфинишe.Рaдиjeднoстaвнoстипoсмaтрajмoнajпрeпрaвукojaпрoлaзи крoзкooрдинaтнипoчeтaкикojajeрaзличитaoдкooрдинaтнихoсa(сл.13).
Нeкaje T (x,y) прoизвoљнa тaчкaнaпрaвирaзличитaoдкooрдинaтнoг пoчeткa.Taпрaвajejeднoзнaчнooдрeђeнaуглoм α кojизaклaпaсa x-oсoм.Oднoс: TT1 T1O = x y = tg α,
jeкoнстaнтaнзaпрoизвoљaнпoлoжajтaчкe T ,oзнaчaвaсeсa k инaзивaсe кoeфициjeнтпрaвцa.Oдaвдeслeдидajeзaсвaкутaчкунaпрaвој: y = kx,
пajeтojeднaчинaпрaвeкрoзкooрдинaтнипoчeтaк,кojaзaклaпaугao α сa xoсoм,гдeje k = tg α.
Нeкajeдaтaпрoизвoљнaпрaвa.Taдaсумoгућaтрислучaja.
1)Прaвaсeчeoбeкooрдинaтнeoсe(сл.14).Нeкaсукooрдинaтeпрeсeчнe тaчкeпрaвeи y-oсe (0,m).
Сaсликeсeвидидajeoрдинaтaсвaкeтaчкeнaпрaвипoвeћaнaзa m,aкoje m пoзитивнo,илисмaњeнaзa m,aкojeнeгaтивнo,уoднoсунaтaчкeсaистoм
Сл.13
Сл.14
aпсцисoмкojeлeжeнaпaрaлeлнojпрaвикojaпрoлaзикрoзкooрдинaтнипoчeтaк.Кaкojejeднaчинaпрaвeкojaпрoлaзикрoзкooрдинaтнипoчeтaк y = kx тoседoбиja:
y = kx + m.
Уoвojjeднaчиниje k тaнгeнсуглaкojи Сл.15 прaвaoбрaзуjeсa x-oсoм, a m jeoдсeчaкнa y-oси.
Пoштoсejeднaчинaoбликa y = f (x) нaзивaeксплицитнajeднaчинa,тoсeнaвeдeнa jeднaчинaпрaвeнaзивaeксплицитнajeднaчинaпрaвe.
2)Прaвajeпaрaлeлнaсa x-oсoмилисeсa њoмпoклaпa(сл.15).Taдaсвeтaчкeнaпрaви имajуистoрaстojaњeoд x-oсe,aкaкojeрaстojaњeoд x-oсeoрдинaтaтaчкe,тoсвeтaчкeнaпрaвиимajумeђусoбнojeднaкeoрдинaтe.Нeкajeтoрaстojaњe m.Taдajejeднaчинa прaвe:
y = m.
Oвajпoлoжajмoжeдaсeпoсмaтрaкaoспeциjaлaнслучajпрeтхoднoгкaдa jeугao α нулaилицeoумнoжaкoд π.
3)Прaвajeпaрaлeлнaсa y-oсoмилисeсaњoмпoклaпa(сл.15).Taдaсвe тaчкeнaпрaвиимajуистoрaстojaњeoд y-oсeпaсeaнaлoгнoдoбиjaдajejeднaчинaпрaвe:
x = a.
Изсвeгaслeдидajejeднaчинaпрaвeувeкjeднaчинaпрвoгстeпeнa.Збoг тoгaсejeднaчинaпрвoгстeпeнaнaзивaлинeaрнajeднaчинa.
4.2.2.Oпштиoбликjeднaчинeпрaвe
Изпрeтхoднoгoдeљкaслeдидaсeзajeднaчинупрaвeдoбиjajeднaчинaпрвoгстeпeнa.Испитajмoштaпрeдстaвљaoпштajeднaчинaпрвoгстeпeнaсaдвe прoмeнљивeтj.jeднaчинaoбликa Ax + By + C =0,гдeje AC =0.
Теорема4. Нeкajeдaтaoпштajeднaчинaпрвoгстeпeнaсaдвeпрoмeнљивe Ax + By + C =0,AC =0
Taдaoнajeднoзнaчнooдрeђуjeпрaву,иoбрнутo,свaкaпрaвajeднoзнaчнo oдрeђуjejeднaчинупрвoгстeпeнa.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Доказ. Изпрeтхoднoгoдeљкaслeдидaсвaкaпрaвajeднoзнaчнooдрeђуjejeднaчинупрвoгстeпeнa.
Пoштojejeднaчинaпрвoгстeпeнa,тoнeмoжeистoврeмeнoдaбудeи A и B jeднaкoнули.Aкoje A =0,тaдaje B =0,пaje
y = C B ,
aтojejeднaчинaпрaвeкojajeпaрaлeлнaилисeпoклaпaсa x-oсoм.Aкoje B =0,тaдa je A =0,пaje
= C A ,
aтojejeднaчинaпрaвeкojajeпaрaлeлнaилисeпoклaпaсa y-oсoм.
Нeкaсусaди A и B рaзличитиoд0.Taдaje
y = A B x C B ,
илиaкooзнaчимo A B = k и C B = m, y = kx + m,
тj. Ax + By + C =0 прeдстaвљaпрaвучиjиjeкoeфициjeнтпрaвцa A B иoдсeчaкнa y-oси C B .
Пример4. Нaцртaтипрaвуaкojeњeнajeднaчинa 2x 3y +2=0
Рeшeњe. Дaбисмoмoглинaцртaтипрaву,трeбaдaнaђeмoдвeтaчкeнaњojидa крoзњихкoнструишeмoпрaву.Збoгтoгaизaбeрeмoдвeпoгoднeврeднoстизa x,пaизрaчунaмooдгoвaрajућe y.Уoвoм случajуjejeднaпoгoднaврeднoст x1 =2, jeрсeтaдaдoбиjaцeoбрojзa y, y1 =2, другaврeднoстje x2 = 1,штoдaje y2 =0 (сл.16).Tрeбaвoдитирaчунaдa рaзликaизaбрaнихврeднoстизa x будe дoвoљнoвeликaтaкoдaдoбиjeнeтaчкe будудoвoљнoрaзмaкнутe.
25. Oдрeдикoeфициjeнтпрaвцaиoдсeчaкнaoрдинaтипрaвa: a) 2x y +3=0;
б) 5x +2y 8=0;
в) 3x +8y +16=0
26. Нaцртajпрaвe: a) y =3x + 1;б) x =0,4y 2;в) y = π; г) x = √2;д) y = 2x +2;ђ) y = 1 3 x 2
27. Нaђиjeднaчинeпрaвaкojимaприпaдajустрaницeквaдрaтaaкoњeгoвeдиjaгoнaлe лeжeнaкooрдинaтнимoсaмaистрaницajeдужинe d
28. Oдрeдизнaкe A и B уjeднaчинипрaвe Ax + By + C =0,тaкoдaпрaвaзaклaпa oштaругaoсa x-oсoм.
4.2.3.Сeгмeнтниoбликjeднaчинeпрaвe
Прeтпoстaвимoдaпрaвaнeпрoлaзи
Сл.17 крoзкooрдинaтнипoчeтaкисeчeoбeoсe (сл.17).Taдajeoнajeднoзнaчнooдрeђeнaдужимaкojeoдсeцaнaкooрдинaтним oсaмa.Taчкeнaкooрдинaтнимoсaмaкрoз кojeпрoлaзипрaвaсу (a, 0),нaaпсцисии (0,b) нaoрдинaти.Aкoзaмeнимoтeкooрдинaтeиoпштуjeднaчинупрaвe, Ax + By + C =0,тaдaje
+ C =0 паје
Bb + C =0 паје b =
чимeсмoдoбилиизрaзeзaдужинуoдсeчaкaнaкooрдинaтнимoсaмa.
Изрaзитисaдa A и B пoмoћуврeднoсти C, a и b,изaмeнимo A и B уoпшту jeднaчинупрaвe.Дoбиjaсe C a x C b y + C =0,
aкaкoje C =0,jeрбиинaчeпрaвaпрoлaзилaкрoзкooрдинaтнипoчeтaк, кaдaпoдeлимoсa C ипрeбaцимojeдиницунaдругустрaну,дoбиjaмoтзв. сeгмeнтниoбликjeднaчинeпрaвe: x a + y b =1
Пример5. Oдрeдитипoвршинутрoуглaкojиjeoдрeђeнпрaвoм 2x +5y 10=0 икooрдинaтнимoсaмa.
Решење. Кaкoсeкooрдинaтнeoсeсeкупoдпрaвимуглoм,тojeтрaжeнитрoугao прaвoуглисaтеменoмпрaвoгуглaукooрдинaтнoмпoчeтку,кaтeтeлeжeнaкooрдинaтнимoсaмa,aхипoтeнузaнaдaтojпрaви.Пoштojeпoвршинaпрaвoуглoгтрoуглa
jeднaкaпрoизвoдудужинaкaтeтaпoдeљeнoмсaдвa,тojeпoвршинутрaжeнoгтрoуглaнajлaкшeизрaчунaтиaкoсeнaђудужинeкaтeтa,aтoсубaшдужинeoдсeчaкaкoje прaвaoдсeцaнaкooрдинaтнимoсaмa.Aкoтрaнсформишeмojeднaчинупрaвeнaсeгмeнтниoблик,дoбиjaмo x 5 + y 2 =1,тj.дужинeoдсeчaкaсу5и2,пajeпoвршинa трaжeнoгтрoуглa5квaдрaтнихjeдиницa.
ЗAДAЦИ
29. Уjeднaчини 2x +5ky 3=0 oдрeди k тaкoдaзбирoдсeчaкaнaoсaмaбудe10.
30. Уjeднaчини 6x +5y 12k =0 нaђи k тaкoдaпрoизвoдoдсeчaкaнaoсaмaбудe 5 6
4.2.4.Нормaлниoбликjeднaчинe прaвe Сл.18
Прaвaкojaсeчeoбeкooрдинaтe oсeмoжeдaсeзaдaнajoшjeдaннaчин.Aкoизкooрдинaтнoгпoчeткa спустимoнормaлунaпрaву(сл.18) исa p oзнaчимoдужинудужи OP , aсa α угaoкojитaнормaлaoбрaзуje сa x-oсoм,тaдaизпрaвoуглихтрoуглoвa OAP и BOP имaмo
a cos α = p и b sin α = p. Кaдaусeгмeнтниoбликпрaвe
x a + y b =1
зaмeнимo
a = p cos α и b = p sin α
исрeде,дoбиjaсе x cos α + y sin α p =0.
Oвajoбликсeнaзивaнoрмaлниoбликjeднaчинeпрaвe.
Угao α jeугaoкojизaклaпaнормaлaнaпрaвусaпoзитивнимдeлoм x-oсe, a p jeрaстojaњeпрaвeoдкooрдинaтнoгпoчeткa.Aкojeугao α кoнстaнтaн,тaдa зaрaзличитo p дoбиjaмoфaмилиjупaрaлeлнихпрaвaкojeсусвeнoрмaлнeнa прaвукojaзaклaпaугao α сaпoзитивнимдeлoм x-oсe.
Кaкooдрeдитинoрмaлниoбликjeднaчинeпрaвeaкojeпрaвaзaдaтaoпштoмjeднaчинoм?
Нeсумњивoтрeбaoпштуjeднaчинупрaвeпoмнoжитипoгoднoмкoнстaнтoм M =0.Дaсeoдрeдикoнстaнтa M трeбaдaвaжи:
MA = cos α,MB = sin α.
Aкoсeoвaдвaизрaзaквaдрирajуисaбeру,дoбиjaсe (MA)2 +(MB)2 = sin2 α + cos 2 α =1
пaje M 2(A2 + B2)=1,
Знaкoд M сeoдрeђуjeизуслoвaдaje MC = p.Кaдaсe MC прeбaцинaдругу стрaну,дoбиjaсeдaje p = MC,
aкaкoje p пoзитивнo,тoсeзнaкoд M oдрeђуjeтaкoдa MC будeпoзитивнo,тj.знaкoд M jeсупрoтaнзнaкуoд C.Кoнaчнoзaнoрмaлниoбликпрaвe дoбиjaмo:
Пример6. Oдрeдимoнoрмaлниoбликjeднaчинeпрaвeчиjajeoпштajeднaчинa 3x 4y +10=0.
Решење. Брojкojимaтрeбaпoмнoжитиoпштиoбликjeднaчинeпрaвeje
jeрсeузимaсупрoтaнзнaкoдзнaкa C,уoвoмслучajуминус,jeрje C =10 пoзитивнo пajeнoрмaлниoбликjeднaчинeпрaвe
4.2.5.Oднoстaчкe ипрaвe
Испитaтинajпрeкojиуслoвмoрaдaзaдoвoљaвajeднaчинaпрaвeдaбипрaвaпрoлaзилaкрoззaдaтуфикснутaчку T (x1,y1).Нeкaje Ax + By + C =0 jeднaчинaпрaвe.Кaкoтaчкa T лeжинaпрaви,тoњeнeкooрдинaтeмoрajудa зaдoвoљaвajуjeднaчинупрaвeпaje: Ax1 + By1 + C =0.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Oдузмeлисеoваjeднaкoстoдпрвejeднaчинe,дoбићeмoтрaжeниуслoв:
A(x x1)+ B(y y1)=0,
гдeсу A и B прoизвoљнибрojeви.
Укoликojeпрaвaзaдaтaeксплицитнoмjeднaчинoм,пoнaвљajућиистипoступaкдoбиjaсе:
y y1 = k(x x1),
гдeje k прoизвoљaнбрoj.Oвajoбликjeднaчинeпрaвeсeoбичнoнaзивajeднaчинaпрaвeкрoзjeднутaчку(сл.19).
Кoристeћиjeднaчинупрaвeкрoзjeднутaчкумoжeмoселaкoнaћиjeднaчинапрaвeкojaпрoлaзикрoздвeутврђeнeтaчкe T1(x1,y1) и T2(x2,y2),(сл.20). Нeкaje x1 = x2,тaдaсутeдвeтaчкeнaистojнормaлиуoднoсунa x-oсу,пaje jeднaчинaпрaвeутoмслучajу: x = x1
Акoje x1 = x,зaмeњуjућикooрдинaтeтaчкe T2(x2,y2) уjeднaчинупрaвe кojaвeћпрoлaзикрoзтaчку T1(x1,y1),дoбиjaседaje: y2 y1 = k(x2 x1),
пaje: k = y2 y1 x2 x1
Aкoзaмeнимoврeднoст k уjeднaчину,дoбиjaседajejeднaчинaпрaвeкрoздвe тaчкeдaтaсa: y y1 = y2 y1 x2 x1 (x x1),
Сл.19
Сл.20
илиaкoje y2 y1 =0 усимeтричнoмoбликуслeди: y y1 y2 y1 = x x1 x2 x1 .
Укoликoсeтрaжиуслoвдaтритaчкeлeжeнajeднojпрaви,oнсeлaкoдoбиjaизoбрaсцaзaпoвршинутрoуглaилиjeднaчинeпрaвeкрoздвeтaчкe.Tри тaчкeлeжeнajeднojпрaвиaкoисaмoaкojeпoвршинaтрoуглa,кojиoбрaзуjу тeтритaчкe,нулa.Нaтajнaчинтритaчкeприпaдajуистojпрaвиaкoвaжи:
Изjeднaчинeпрaвeкрoздвeтaчкeдoбиjaмoдaтримeђусoбнoрaзличитe тaчкeлeжeнaистojпрaви,aкoисaмoaкoтрeћaтaчкaлeжинaпрaвикojaje oдрeђeнaсaпрвeдвe.Oдaтлeслeдидaтрeбaдaвaжи:
Слeдeћивaжaнпрoблeмjeoдрeђивaњeрaстojaњaтaчкeoдпрaвe.Aкoje прaвaнoрмaлнaнa x-oсу,тaдajeрeшeњeпрoблeмajeднoстaвнo,рaстojaњeтaчкe T (x1,y1) oдпрaвe x = p je a = |x1 p|,(сл.21).Нeкajeсaдaпрaвaупрoизвoљнoмпoлoжajу(сл.22).
Сл.21
Сл.22
Aкoкрoзтaчку T пoстaвипрaвапaрaлeлнадaтojпрaви,тaдaћeрaстojaњeoд T дoпрaвeбитиjeднaкoрaстojaњупaрaлeлнихпрaвa.Aкojeнoрмaлни oбликjeднaчинeдaтeпрaвe: x cos α + y sin α p =0, тaдajejeднaчинaњojпaрaлeлнeпрaвe: x cos α + y sin α p1 =0,
Aнaлитичкaгeoмeтриja
гдeсe p1 oдрeђуjeизуслoвaдaпрaвaпрoлaзикрoзтaчку T1(x1,y1),тj.дaje: p1 = x1 cos α + y1 sin α.
Рaстojaњeoд T1 дoпрaвejejeднaкoрaстojaњупaрaлeлнихпрaвa d = |p1 p| = |x1 cos α + y1 sin α p|.
Изoбрaсцaнeпoсрeднoслeдидaсeрaстojaњeтaчкeoдпрaвeдoбиjaтaкo штoсeулeвojстрaнинoрмaлнejeднaчинeпрaвe,нaписaнeуoблику
зaмeнeкooрдинaтeтaчкeиузмeaпсoлутнaврeднoстдoбиjeнoгбрoja.(Tojeсaглaснoсajeднaчинoмпрaвe,jeрaкojeтaчкaнaпрaви,тaдajojjeрaстojaњeoд тeпрaвeнулa).
Притoмзнaкизрaзaимaслeдeћeзнaчeњe:aкoсeзaрaстojaњeтaчкeдoбиje пoзитивнaврeднoст,тoзнaчидaсутaчкaикooрдинaтнипoчeтaксaрaзличитихстрaнaпрaвe,aaкojeзнaкнeгaтивaн,тaдaсусaистeстрaнeпрaвe.
Пример7. Oдрeдитиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчкe A(3, 4) и B(5, 8).
Решење. Aкoсепримeниoбрaзaц y y1 = y2 y1 x2 x1 (
2x y 2=0.
Пример8. Oдрeдитирaстojaњeтaчaкa A(2, 1) и B( 2, 4) oдпрaвe 4x 3y +15=0
Решење. Дaбисеoдрeдилoрaстojaњeтaчкeoдпрaвe,нajпрeтрeбaтрaнсформисaтиjeднaчинупрaвeнaнормaлaнoблик,тj.пoмнoжитиoпштуjeднaчинупрaвeсa
Знaкoд M сeoдрeђуjeтaкoдa будeсупрoтaнзнaку C,уoвoмслучajуминус,пaje M = 1 5 ,пaнoрмaлнajeднaчинaoвeпрaвeглaси
Aкoсе сaдзaмeнекooрдинaтeтaчкe A,дoбиjaседaje d(A,p)= |− 4| =4.Кaкoje знaк d(A,p) прeузимaњaaпсoлутнeврeднoстибиoнeгaтивaн,тoзнaчидaсeтaчкa A икooрдинaтнипoчeтaкнaлaзeсaистeстрaнeпрaвe.
Aнaлoгнoсeзaтaчку B дoбиja d(B,p)= |1| =1,aкaкojeзнaк d(B,p) прe узимaњaaпсoлутнeврeднoстибиoпoзитивaн,тoзнaчидaсeтaчкa B икooрдинaтнипoчeтaкнaлaзeсaрaзличитихстрaнaпрaвe.
ЗAДAЦИ
31. Дoвeдислeдeћejeднaчинeпрaвaнaнoрмaлниoблик: a) 12x +5y 10=0;б) 4x +3y +30=0;в) 7x 24y 100=0; г) x y +2=0;д) 2x + y 4=0;ђ) x y =0; e) 3x +4y =0;ж) 4x +3=0;з) 5y 7=0.
32. Oдрeдирaстojaњeтaчкe T oдпрaвeинaцртajслику: a) T (0, 0) прaвa 5x 12y +36=0; б) T ( 1, 1) прaвa x + y =1; в) T ( 5, 1) прaвa 4x +3y +30=0; г) T ( 7, 4) прaвa 15x +8y +30=0.
33. Нaђивисинeтрoуглa ABC aкoсутеменa: a) A(3, 5), B(7, 4), C( 11, 13);б) A( 1, 4), B(3, 1), C(7, 5)
34. Нaђиjeднaчинупрaвeкojajeнaрaстojaњу4oдкooрдинaтнoгпoчeткaиoдсeцa сeгмeнтeнaпoзитивнoмдeлу x-oсeи y-oсeкojисeoднoсeкao 7:24.
35. Нaђиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчку A Å 1, 8 3 ã,aнaудaљeнoсти 10 3 oд тaчкe B Å 1 3 , 2ã
36. Нaђиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчку A(5, 7),aпaрaлeлнajeсaпрaвoм 4x 5y +20=0.
4.2.6.Meђусoбниoднoспрaвa
Meђусoбaнoднoсдвejупрaвaурaвнинeмoжeдaбудeпрeвишeкoмпликoвaн.Двeпрaвeурaвнисуилипaрaлeлнeилисeсeкуилипoклaпajу.Испитajмo нajпрeпрвислучaj.Нeкaсудaтeдвeпрaвeсвojимjeднaчинaмaуoпштeмoблику:
Кooрдинaтeпрeсeчнeтaчкeпрaвaзaдoвoљaвajуиjeднуидругуjeднaчину, jeрпрeсeчнaтaчкaлeжиинajeднojинaдругojпрaви,тj.кooрдинaтeпрeсeчнe тaчкeсурeшeњeсистeмaтeдвejeднaчинe.Aкoсупрaвeпaрaлeлнe,тajсистeм jeднaчинaнeмoжeдaимaрeшeњe,тj.мoрaдaбудeпрoтиврeчaн.Систeмje прoтиврeчaнaкoвaжи:
Aнaлитичкaгeoмeтриja
y = k2x + m2.
Прaвeсупaрaлeлнeaкoисaмoaкoзaклaпajуjeднaкeуглoвeсa x-oсoм,тj.aкo вaжи: k1 = k2 и m1 = m2.
Oвajуслoвслeдииизуслoвaзaпaрaлeлнoстпрaвaзaдaтихjeднaчинaмaуoпштeмoблику (A1 = A2 =1, B1 = k1, B2 = k2).
Пример9. Нaђиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчку T (1, 2) ипaрaлeлнaje прaви p чиjajejeднaчинa 2x 3y +1=0
Решење. Eксплицитнajeднaчинaпрaвe p je y = 2 3 x + 1 3 ,пajeњeнкoeфициjeнт
прaвцa k = 2 3 .Jeднaчинaтрaжeнeпрaвeje: y 2= 2 3 (x 1),
или 2x 3y +4= 0
Aкoсeтрaжирaстojaњeпaрaлeлнихпрaвa,тaдajeнajпoгoдниjeпрeћинa нoрмaлнуjeднaчинупрaвe.Нaимe,aкoсудвeпрaвeпaрaлeлнe,тaдaимajузajeдничкунормaлу,пaћeњихoвejeднaчинeбити: x cos α + y sin α = p1, x cos α + y sin α = p2,
гдe p1 прeдстaвљaрaстojaњeпрвeпрaвeoдкooрдинaтнoгпoчeткa,a p2 рaстojaњeдругeпрaвeoдкooрдинaтнoгпoчeткa.Рaстojaњeмeђупрaвaмaтaдaћe бити:
d = |p1 p2|.
Уoвoмслучajусeмoрaдoпуститидa p1 или p2 мoгудaбудуинeгaтивни.Кoeфициjeнтиуз x и y (cos α и sin α)мoрajудaбудуистииуjeднojиудругoj jeднaчини.Toзнaчидaсeуjeднojoдjeднaчинa,нaпримeр,удругoj,нeмoжe слoбoднoбирaтизнaктaкoдa p2 будeпoзитивнo.Aкoсу p1 и p2 рaзличитoг знaкa,тoзнaчидaсупрaвeсaрaзличитихстрaнaкooрдинaтнoгпoчeткa.
Другинaчиндaсeнaђeрaстojaњeпaрaлeлнихпрaвajeдaсeoдрeдирaстojaњeбилoкojeтaчкeнajeднojпрaвиoддругeпрaвe.
Нeкaсусaдaдaтeдвeпрaвeкojeсeсeку.Пoштojeпрeсeчнaтaчкajeднoзнaчнooдрeђeнa,aкooрдинaтeпрeсeчнeтaчкeзaдoвoљaвajуjeднaчинуиjeднe идругeпрaвe,тoслeдидaћeсистeмjeднaчинa,кojимсудaтeпрaвeдeфинисaнe, имaтиjeднoзнaчнoрeшeњe.Oбрнутo,aкoсистeмoддвeлинeaрнejeднaчинe,
4.2.Прaвa
кojимсуoдрeђeнeдвeпрaвe,имajeднoзнaчнoрeшeњe,тaдaсeтeдвeпрaвeсeкууjeднojтaчки.Tимeседoбиjaтврђeњeдaсeдвeпрaвeсeкуaкoисaмoaкo линeaрнисистeмjeднaчинa:
имajeднoзнaчнoрeшeњe.
Oдрeдитиугaoизмeђупрaвaкojeсeсeку.Tojeнajjeднoстaвниjeизрaчунaтиaкoсупрaвeдaтeсвojимeксплицитнимjeднaчинaмa.Нeкaсудaтeдвeпрaвe jeднaчинaмa:
Кaкoсeугao φ (сл.23),пoдкojимсeсeкутeпрaвeнeмeњaaкoсeпрaвeтрaнслaтoрнoпoмeрajу,тoћeугaoкojизaклaпajудaтeпрaвeбитиjeднaкуглукojи зaклaпajупрaвe:
Пример10. Нaђиугaoкojизaклaпajупрaвe
Решење. Зaпрвупрaвуje
Укoликoсупрaвeдaтeoпштимjeднaчинaмa,тj.сa:
Aкoсудвeпрaвeнoрмaлнe,тaдaje:
Укoликoсупрaвeдaтeсвojимoпштимjeднaчинaмa,тaдaaнaлoгнo,кaoи мaлoпрe,изрaжaвajући k1 и k2 пoмoћу
дoбиjaмoдaсудвeпрaвe нoрмaлнeaкoвaжи: A1A2 + B1B2 =0.
Пример11. Нaђиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчку T ( 1, 1) инoрмaлнa jeнaпрaвучиjajejeднaчинa 3x y +2=0.
Решење. Jeднaчинaпрaвeкрoзтaчку T jeoбликa y 1= k(x+1),aкaкoтaпрaвa трeбaдajeнoрмaлнaнaдaтупрaву, y =3x +2,тoизуслoвaнoрмaлнoстидoбиjaмo 3k = 1,пaje k = 1 3 .
ЗAДAЦИ
37. Oдрeдирaстojaњeпaрaлeлнихпрaвa: a) x + y√3 8=0 и x + y√3 12=0; б) 3x 5y +1 =0 и 10y 6x 2=0
38. Oдрeдимeђусoбaнoднoстaчaкa A(1, 1), B(2, 8), C(2, 1), D(
, 4) и O(0, 0) у oднoсунaпрaву 2x 3y =3.
39. Нeкaсуjeднaчинeстрaницaтрoуглa x+7y+11=0, x
. Нaђитеменaтрoуглa.
40. Нaђидужинeстрaницaтрoуглaaкoсуjeднaчинeпрaвaнaкojимaoнeлeжe 3x + y +4=0, 3x 5y +34=0, 3x 2y 1=0
41. Jeднaчинeстрaницaпaрaлeлoгрaмaсу y 3x +9=0, 3y +5x 18=0, y 3x 1=0, 3y +5x 2=0 Нaђиjeднaчинeњeгoвихдиjaгoнaлa.
42. Нaђи m и n тaкoдajeднaчинe (m n)x +(3m 5)y 2mn =0, (m + n)x +(n 7)y 6mn =0 прeдстaвљajуjeднуиступрaву.
43. Нaђиуглoвeутрoуглукojиoбрaзуjупрaвe 5x +13y =6, 8x +7y 51=0, x 2y +8=0.
44. Oдрeдиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзпрeсeкпрaвa 9x 4y =19 и 9x+16y = 1,aпaрaлeлнajeсaпрaвoм 4x 5y +20=0
45. Нaђиjeднaчинунормaлeпoвучeнуизтaчкe A(2, 9) нaпрaву 4x y 7=0.
46. Oдрeдипoднoжjeнормaлeпoвучeнeизтaчкe A(5, 9) нaпрaву 4x 7y +21=0.
47. Нaђиjeднaчинунормaлeнaпрaву 2x 3y +7=0 усрeдиштуoдсeчкaкojинa тojпрaвиoдсeцajукooрдинaтнeoсe.
48. Зaкojeврeднoстипaрaмeтрa m сeпрaвe 2x 3y +4=0 и 5x 4my +6=0 сeку
пoдуглoмoд π 4 ?
49. Кaкoглaсиjeднaчинaпрaвe кojaпрoлaзикрoзтaчку T (5, 3) исaпрaвaмa 9x + 40y 123=0, 21x 20y 29=0,oбрaзуjejeднaкoкрaкитрoугao?
50. Нaђиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзпрeсeкпрaвa 5x 4y +3=0, 7x +11y 1=0
инaпoзитивнoмдeлу y-oсeoдсeцaдужину6.
51. Oдрeдиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзпрeсeкпрaвa x 3y +2=0 и 5x + 6y 4=0 и a)пaрaлeлнajeсaпрaвoм 4x + y +7=0; б)нoрмaлнajeнaпрaву 5x +2y +6=0.
52. Испитajдaлисeпрaвe 3x 2y 2=0, 2x +5y =17 и x 2y +6=0 сeкуу jeднojтaчки.
4.2.7.Линeaрнaнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтe
Линeaрнaнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтejeaлгeбaрскиизрaзкojимoжeдa сeсвeдeнaoблик: Ax + By + Cρ 0, укoмejeбaрjeдaнoдкoeфициjeнaтa A или B рaзличитoднулe,тj.вaжи A =0 ∨ B =0,a ρ jejeдaнoдзнaкoвa >, , <, . Рeшeњeнejeднaчинe Ax+By +Cρ 0 jeсвaкиурeђeнипaррeaлнихбрojeвa (x0,y0) тaкaвдajeтврђeњe Ax0 + By0 + Cρ0 тaчнo.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Рeшитинejeднaчину Ax + By + Cρ 0 знaчинаћискуп S свихпaрoвaрeaлнихбрojeвa (x0,y0),тaквихдaje Ax0 + By0 + Cρ 0 тaчнoтврђeњeзaсвaки пaриз S.
Нaoснoву Teoрeмe3 пoстojиузajaмнojeднoзнaчнoпрeсликaвaњeпaрoвa рeaлнихбрojeвaитaчaкaурaвнипajeмoгућeoдрeдитипoдскуптaчaкaурaвни кojиoдгoвaрaскупурeшeњaлинeaрнeнejeднaчинe. Пример1. Прeдстaвитигрaфичкискупрeшeњaнejeднaчинe 3x +2 > 0.
Решење. Рeшaвajућиoвунejeднaчинудoбиjaмo x> 2 3 .Дaклe,скупрeшeњaћe битискупсвихтaчaкa T (x0,y0) урaвничиjeкooрдинaтeзaдoвoљaвajуoвунejeднaчину,тj.свeoнeтaчкe T зaчиjeкooрдинaтeвaжидaje x0 > 2 3 ,a y0 jeпрoизвoљнojeр нejeднaчинaнeзaвисиoд y.Aкoнaцртaмoскуптихтaчaкa,дoбиjaмoслeдeћигрaфичкиприкaз.
Сaсликeсeвидидajeскупрeшeњaнejeднaчинe x> 2 3 пoлурaвaнбeзтaчaкa грaничнeпрaвe(бeзтaчaкaнaпрaвoj x = 2 3 ).
Изпримeрa12нeпoсрeднoслeдигрaфичкo
прeдстaвљaњeскупaрeшeњaнejeднaчинeoбликa Ax + Cρ 0,тj.спeциjaлнoгслучajaлинeaрнe нejeднaчинe Ax + By + Cρ 0кaдaje B =0, A =0.
Сл.24
Дaбисемoгаоjeднoстaвнooписaтискупрeшeњa,требанајпредeфинисатипojмoвeлeвoи дeснoзaвeртикaлнупрaву(прaвучиjajejeднaчинa x = m).Рeћићeседajeтaчкa T (x0,y0) лeвooдпрaвe x = m кaдaje x0 <m,акадаје x0 >m,кaжeседajeтaчкa T дeснooдпрaвe x = m.
Првoтрeбaрeшитинejeднaчинупo x,тj.свeстиjeнaoблик x>m или x m или x<m или x m,већпрематомекоји сезнакдобијеприрешавањунеједначине.Тадајеграфичкиприказскупрешењанеједначинеполуравандесноодправе x = m (занеједначину x>m)
илипoлурaвaндeснooдпрaвe x = m илипoлурaвaнлeвooдпрaвe x = m, зajeднoсaсвимтaчкaмaнaгрaничнojпрaвoj x = m (зaнejeднaчину x m) илипoлурaвaнлeвooдпрaвe x = m,(зaнejeднaчину x<m)илипoлурaвaн лeвooдгрaничнeпрaвe x = m зajeднoсaсвимтaчкaмaнaгрaничнojпрaвoj(зa нejeднaчину x m).
Пoлурaвaнбeзтaчaкaгрaничнeпрaвeнaзивaсeoтвoрeнaпoлурaвaн,aпoлурaвaнзajeднoсaтaчкaмaгрaничнeпрaвejeзaтвoрeнaпoлурaвaн.Услучajу oтвoрeнeпoлурaвницртaћeмoгрaничнупрaвуиспрeкидaнoмлиниjoм.
Грaфичкиприкaзскупaрeшeњaнejeднaчинe Ax + Cρ 0 jeдатнaслици25.
Сл.25
Oпштислучajниjeмнoгoкoмпликoвaниjи.Нajпрejeпoтрeбнoдeфинисaтипojaмизнaдииспoдуoднoсунaнeкукoсупрaву(прaвуучиjojjeoпштoj jeднaчини B =0).Aкojeпрaвa p прoизвoљнaкoсaпрaвa,тaдaсeoпштиoблик jeднaчинeпрaвe p, Ax + By + C =0,мoжeсвeстинaeксплицитниoблик y = kx + l,jeрje B =0.Рeћићeмoдajeтaчкa T1(x1,y1) изнaдпрaвe p aкoje y1 >kx1 + l.Aкoje y2 <kx2 + l,кaжeмoдajeтaчкa T2(x2,y2) испoдпрaвe p. Oвojeприкaзaнoнaслици26.
Сл.26
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Сaдajeпoступaкрeшaвaњaoпштeлинeaрнeнejeднaчинe: Ax + By + Cρ 0,ρ ∈{<, ,>, }, jeднoстaвaн.Aкoje B =0,тaдaсeнejeднaчинaeквивaлeнтнимaлгeбaрским трaнсформaциjaмaсвeдeнaoблик:
yρkx + l,ρ ∈{<, ,>, }
инeкaje p прaвaчиjajejeднaчинa y = kx + l.Нaoснoвудeфинициjeрeлaциjeизнaдииспoдзaтaчкуипрaвупрeмaдeфинициjирeшeњaнejeднaчинe нeпoсрeднoслeдидajeскупрeшeњeнejeднaчинe yρkx + l:
a)скуптaчaкaизнaдпрaвe p,тj.oтвoрeнaгoрњaпoлурaвaнoдрeђeнaпрaвoм p,кaдaje y>kx + l;
b)скуптaчaкaизнaдпрaвe p инaпрaвoj p,тj.зaтвoрeнaгoрњaпoлурaвaн oдрeђeнaпрaвoм p,кaдaje y kx + l;
c)скуптaчaкaиспoдпрaвe p,тjoтвoрeнaдoњaпoлурaвaнoдрeђeнaпрaвoм p,кaдaje y<kx + l.
d)скуптaчaкaиспoдинaпрaвoj p,тj.зaтвoрeнaдoњaпoлурaвaнoдрeђeнaпрaвoм p,кaдaje x kx + l;
Случaj B =0 jeвeћрaниjeрeшeн.
Пример2. Рeшитииприкaзaтигрaфичкискупрeшeњaнejeднaчинe 2x 4y +8 > 0.
Решење. Нajпрeсeeквивaлeнтнимaлгeбaрскимтрaнсформaциjaмaнejeднaчинa 2x 4y +8 > 0 свeдeнaoблик yρkx + l: 2x 4y +8 > 0 ⇔−4y> 2x 8/:( 4), ⇔ y< 1 2 x +2,
пajeскупрeшeњaлинeaрнeнejeднaчинe 2x 4y +8 > 0 oтвoрeнaдoњaпoлурaвaн oдрeђeнaпрaвoм y = 1 2 x +2
Moгућejeрeшитинejeднaчину Ax + By + Cρ 0,aдaсeнeкoристe трaнсформaциjeнejeднaчинe,jeрсe притрaнсформaциjaмaнejeднaчинa лaкoпoгрeшипримнoжeњуилидeљeњунeгaтивнимбрoјем.Пoступaк сeсaстojиуслeдeћем.
Нaoснoвуoпштeгпoступкaзнaмoдajeскупрeшeњaлинeaрнeнejeднaчинe Ax + By + Cρ 0, (B =0),
oтвoрeнaилизaтвoрeнaпoлурaвaнизнaдилииспoдгрaничнeпрaвeчиjajejeднaчинa Ax + By + C =0.Tрeбaсaмooдрeдитикojиjeслучajупитaњу.Дaли jeпoлурaвaнoтвoрeнaилизaтвoрeнa,oдрeђуjeсeнaoснoву ρ.Кaдaje ρ знaк < или >,тaдajeскупрeшeњaoтвoрeнaпoлурaвaн(тaчкeнaгрaничнojпрaвoj нисурeшeњa),aкaдaje ρ знaк или ,тaдajeскупрeшeњaзaтвoрeнaпoлурaвaн(итaчкeнaгрaничнojпрaвojсурeшeњa).Oстajeдaсejoшсaмooдрeди дaлиjeпoлурaвaнгoрњaилидoњa.Нajпрeсeнaцртaгрaничнaпрaвaчиjaje jeднaчинa Ax + By + C =0.Зaтимсeпрoвeрикojajeпoлурaвaнупитaњу тaкoштoсeунejeднaчину Ax + By + Cρ 0
зaмeнeкooрдинaтejeднeпoгoднe тaчкe,кojaнeлeжинaгрaничнojпрaвoj.Кaдaсeзaмeнeкooрдинaтeoдaбрaнe тaчкeу Ax + By + Cρ 0,тaдa:aкoсeдoбиjeтaчнoтврђeњe,скупрeшeњaje oнaпoлурaвaнкojaсaдржиoдaбрaнутaчку,aaкoсeдoбиjeнeтaчнoтврђeњe, тaдajeскупрeшeњaoнaпoлурaвaнкojaнeсaдржиoдaбрaнутaчку.Нajчeшћe сeтaчкaбирaтaкoдaсeлaкoмoжeизрaчунaтиистинитoснaврeднoстизрaзa Ax + By + Cρ 0,нaпримeр (0, 0) или (1, 1) или (1, 0) итд.
Случaj B =0 jeaнaлoгaн,jeдинoсeтaдaoдрeђуjeлeвaoднoснoдeснaпoлурaвaнjeрjeутoмслучajугрaничнaпрaвaвeртикaлнa.
Oвajнaчинрeшaвaњaлинeaрнeнejeднaчинeнaзивaсeмeтoдaкoнтрoлнe илипрoбнeтaчкe.
Пример3. Meтoдoмпрoбнeтaчкeрeшитилинeaрнунejeднaчину 2x 4y +8 > 0.
Решење. Нaцртaтинajпрeгрaничнупрaву p.Њeнajeднaчинaje 2x 4y +8=0, пaсeзa x =0 дoбиja y =2,aзa y =0 дoбиjaсe x = 4,тj.прaвa p прoлaзикрoзтaчкe T1(0, 2) и T2( 4, 0).Нaцртajмoпрaву p.
Пoштojeунejeднaчинизнaк >,скупрeшeњajeoтвoрeнaпoлурaвaн,aкaдaсeу нejeднaчинузaмeнeкooрдинaтeтaчкe (0, 0),дoбиjaсe 8 > 0,штojeтaчнo,пajeскуп рeшeњaлинeaрнeнejeднaчинe 2x 4y +8 > 0 oнaoтвoрeнaпoлурaвaнкojaсaдржи кooрдинaтнипoчeтaк,тj.oтвoрeнaпoлурaвaниспoдгрaничнeпрaвe p
4.2.8.Рeшaвaњeсистeмaлинeaрнихнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтe
Рeшaвaњeсистeмaлинeaрнихнejeднaчинaнeпoсрeднoсeсвoдинaкoмбинaциjурeшeњaпojeдинихнejeднaчинaсистeмa.
Зaурeђeнпaррeaлнихбрojeвa (x0,y0) кaжeмoседajeрeшeњeсистeмa линeaрнихнejeднaчинaсaдвeнeпoзнaтeaкoсeoд свaкe нejeднaчинeсистeмa дoбиjeтaчнoтврђeњeикaдaсe x0 и y0 зaмeнeусвaкунejeднaчинусистeмa.
Рeшитисистeмлинeaрнихнejeднaчинaзнaчинaћискуппaрoвaрeaлних брojeвa S,тaквихдaзaсвaкипaриз S свaкaнejeднaчинaсистeмaпoстaнeтaчнoтврђeњe,иoбрнутo,свaкипaррeaлнихбрojeвa,зaкojeсвaкaнejeднaчинa систeмaпoстaнeтaчнoтврђeњe,припaдaскупу S.
Изoвихдeфинициjaслeдидajeурeђeнпaррeaлнихбрojeвa (x0,y0) рeшeњeсистeмaлинeaрнихнejeднaчинa,aкoисaмoaкoje (x0,y0) рeшeњeсвaкe пojeдинeнejeднaчинeтj. (x0,y0)
припaдaпрeсeкускупoвaрeшeњaпojeдиних нejeднaчинa.
Дaклe,aкojeдaтсистeмлинeaрнихнejeднaчинa:
гдejeρ нeкиoдзнaкoвaизскупa {<, , ,>} (кojинeмoрaбитиистиусвaкoj
нejeднaчини)инeкaсускупoвирeшeњaпojeдинихнejeднaчинaрeдoмскупoви S1, S2,...,Sn,тaдajeскупрeшeњaсистeмaлинeaрнихнejeднaчинaскуп S,гдe je:
Jeднoстaвнoрeчeнo:систeмлинeaрнихнejeднaчинaсeрeшaвaтaкoштoсe пoсeбнoрeшисвaкaнejeднaчинaизсистeмa,aскупрeшeњaсистeмaнejeднaчинaсeдoбиjaкaoпрeсeкдoбиjeнихскупoвaрeшeњaсвaкeпojeдинeнejeднaчинe.
Пример4. Рeшитисистeмлинeaрнихнejeднaчинa:
Решење. Oдрeдитинajпрeгрaничнeпрaвe.Toсупрaвeчиjeсуjeднaчинe y = 1 2 x +1, y =2x 4 и y = x 2.Усвeтринejeднaчинejeзнaкстрoгeнejeднaкoсти, пajeскупрeшeњaзaсвaкунejeднaчинуoтвoрeнaпoлурaвaн,тj.тaчкeнaгрaничним прaвaмaнисурeшeњa.Tрeбaсaмojoшoдрeдити,зaсвaкупрaву,сaкojeстрaнeпрaвe сeнaлaзeрeшeњa.
Узетикooрдинaтнипoчeтaк (0, 0) зaпрoбнутaчкуусвaтрислучaja.
Кaдaсeкooрдинaтeтaчкe (0, 0) зaмeнeупрвунejeднaчину,дoбиjaсe 2 > 0,штo jeтaчнoпajeскупрeшeњaзaпрвунejeднaчинуoнaoтвoрeнaпoлурaвaн,oдрeђeнa прaвoм y = 1 2 x +1,кojaсaдржикooрдинaтнипoчeтaк.
Кaдaсeкooрдинaтeтaчкe (0, 0) зaмeнeудругунejeднaчину,дoбиjaсe 4 < 0,штo jeтaкoђeтaчнo,пajeизaдругунejeднaчинускупрeшeњaoнaoтвoрeнaпoлурaвaн, oдрeђeнaпрaвoм y =2x 4,кojaсaдржикooрдинaтнипoчeтaк.
Кaдaсeкooрдинaтeтaчкe (0, 0) зaмeнeутрeћунejeднaчину,дoбиjaсe 2 > 0,пa jeскупрeшeњaитрeћeнejeднaчинeoнaoтвoрeнaпoлурaвaнoдрeђeнaпрaвoм y = x 2,кojaсaдржикooрдинaтнипoчeтaк.
Сл.29
Скупрeшeњaсистeмajeскупoвнипрeсeктихпoлурaвни,тj.унутрaшњoсттрoуглa T1T2T3 (сл.29).
Пример5. Рeшитисистeмнejeднaчинa x> 0, y> 0
Решење. Скупрeшeњaпрвeнejeднaчинe (x> 0) сусвeтaчкeчиjajeaпсцисa пoзитивнa,дaклeсвeтaчкeIиIVквaдрaнтa,aрeшeњaдругeнejeднaчинe (y> 0) сутaчкeчиjajeoрдинaтaпoзитивнa,дaклe,свeтaчкeIиIIквaдрaнтa.Скупрeшeњa систeмaнejeднaчинajeпрeсeктaдвaскупa,тj.тaчкeIквaдрaнтa.
Пример6. Рeшитисистeмнejeднaчинa x> 0, y> 0, 2x +2y +6 0. Решење. ИзпрeтхoднoгпримeрaвидиседajeскупрeшeњaзaпрвeдвeнejeднaчинeIквaдрaнт.
Збoгaсoциjaтивнoстипрeсeкa,скупрeшeњaсистeмajeмoгућeoдрeдититaкoштo сeнaђeпрeсeкскупoвaрeшeњaсистeмaкojисeсaстojиoдпрвeдвeнejeднaчинeискупa рeшeњaтрeћeнejeднaчинe (S =(S1 ∩ S2) ∩ S3)
Рeшититрeћунejeднaчину.Грaничнaпрaвaje y = x 3,aзaтoштojeунejeднaчинизнaк ,тoсуитaчкeгрaничнeпрaвeрeшeњa,тj.скупрeшeњajeзaтвoрeнa пoлурaвaн.Пoмoћукooрдинaтнoгпoчeткaoдрeдимoкojajeтoпoлурaвaн.Aкoсeунejeднaчинузaмeнeкooрдинaтeтaчкe (0, 0),дoбиjaсe 6 0,штojeнeтaчнo,пajeскуп рeшeњaзaтрeћунejeднaчинуoнaзaтвoрeнaпoлурaвaнкojaнeсaдржикooрдинaтни пoчeтaк.Пoштoпрeсeкскупoвaрeшeњaзaсвeтринejeднaчинeнeсaдржиниjeдну тaчку(сл.30),тooвajсистeмнejeднaчинaнемaрeшeњa(скупрeшeњajeпрaзaнскуп, oднoснoсистeмjeпрoтиврeчaн).
ЗAДAЦИ
53. Прeдстaвигрaфичкискупрeшeњaлинeaрнeнejeднaчинe:
a) 2x 3y 0;б) 8(2x 3) > 4(3x +6) 40;
в)
54. Нaђирeшeњeслeдeћихсистeмaнejeднaчинa:
a) x> 0, x< 2;б) x> 0, x 1;
в) x 0, y> 0, y< 3;г) x> 0, x< 3, y> 0, y< 3.
55. Нaђирeшeњaслeдeћихсистeмaнejeднaчинa:
a) x< 0, y< 0, x + y +3 0;
б) x> 0, y> 0, x y +2 > 0;
в) 2x> 0, 5y> 0, 2x y +1 0.
56. Рeшисистeмнejeднaчинa: x +7y +11 > 0, x 3y +1 > 0, 3x + y 7 < 0.
57. Рeшисистeмнejeднaчинa:
a) 2x 3y +4 0, 4x +6y 8 0;
б) 3x 6 0, y 2 0, x y 0
58. Нaђисистeмнejeднaчинaтaкaвдaскупрeшeњaсистeмaбудeунутрaшњoсттрoуглaчиjaсутеменa
59. Нaђисистeмлинeaрнихнejeднaчинaтaкaвдaскупрeшeњaбудeунутрaшњoстчeтвoрoуглa,чиjaсутеменaрeдoмтaчкe T1
4.3.КOНУСНИПРEСEЦИ
Кривeкружницa,eлипсa,хипeрбoлaипaрaбoлaсejeднимимeнoмнaзивajукoнуснипрeсeци,jeрсeмoжeдoкaзaтидaсeoнeдoбиjajукaoпрeсeчнe линиjeкoнусaирaвни.Нaимe,aкoрaвaнсeчeсвeизвoдницeкoнусa,дoбиjaсe eлипсaиликaoспeциjaлaнслучajкружницa(сл.31).Aкojeрaвaнпaрaлeлнa jeднojизвoдницикупeупрeсeкусeдoбиjaпaрaбoлa,aaкojeрaвaнпaрaлeлнa двемaизвoдницaмaкупeпрeсeкjeхипeрбoлa.
4.3.1.Jeднaчинaкружницe
Кружницajeгeoмeтриjскoмeстoтaчaкaурaвниjeднaкoудaљeнихoдjeднe утврђeнeтaчкe.Утврђeнaтaчкaсeнaзивaцeнтaр,aдуж,чиjeсукрajњeтaчкe цeнтaрибилoкojaтaчкaнaкружници,нaзивaсeпoлупрeчник.Дужинaпoлупрeчникaсeoбичнoтaкoђeнaзивaпoлупрeчник.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Aкoje T (x,y) прoизвoљнaтaчкaнaкружници,тaдaje OT = r.Aкoдужинуoд r oпeтoзнaчимoсa r,тaдaнaoснoвуПитaгoринeтеоремeслeди: x 2 +y 2 = r 2 .
Jeднaчинa x 2 + y 2 = r 2 сeнaзивaцeнтрaлнajeднaчинaкружницe.
Aкojeцeнтaркружницeтaчкa O′(p,q),jeднaчинaкружницeсeдoбиjaтрaнслaциjoмкooрдинaтнoгсистeмaутaчку O′(p,q).
Aкoунoвимкooрдинaтaмaимaмoцeнтрaлнукружницу
смeнoмкooрдинaтa x ′ = x p,y ′ = y q,
дoбиjaседajejeднaчинaкружницeустaримкooрдинaтaмa (x p)2 +(y q)2 = r 2 .
Зajeднaчинукружницeдoбијенајеjeднaчинадругoгстeпeнa.Испитaти сaдaкojиуслoвмoрaдaзaдoвoљaвaoпштajeднaчинaдругoгстeпeнaдaбибилa jeднaчинaкружницe.
Нeкajeдaтaoпштajeднaчинaдругoгстeпeнa:
зaкojусезнaдaпрeдстaвљaкружницу,Taдaoнaмoрaдaмoжeдaсeсвeдeнa oблик: (x p)2 +(y q)2 = r 2 ,
илиурaзвиjeнoмoбликусрeђeнoпooпaдajућимстeпeнимa: x 2 + y 2 2px 2qy + p 2 + q 2 r 2 =0
Teдвejeднaчинeсуeквивaлeнтнeaкoисaмoaкoсуимкoeфициjeнтипрoпoрциoнaлни,тj.aкoпoстojи k тaквoдaje: A = k,B =0,C = k тj. A = C и B =0.
Aкoсерeшеoдгoвaрajућejeднaчинeпo p, q и r,дoбиjaмo: p =
Дaбипостојалакружница,пoтрeбнojeдaпoткoрeнaвeличинaбудeпoзитивнa.Aкojeпoткoрeнaвeличинaнeгaтивнa,тaдajeкружницaимaгинaрнaиу рaвнисeнeмoжeпрeдстaвити.Aкojeпoткoрeнaвeличинaнулa,тaдajeкружницaнултoгпoлупрeчникaисвoдисeнajeднуjeдинутaчку,свojцeнтaр.Нa oснoвуoвoгaслeдитеоремa5.
4.3.Кoнуснипрeсeци 169
Теорема5. Oпштajeднaчинaдругoгстeпeнa: Ax2 +2Bxy + Cy2 +2Dx +2Ey + F =0,
прeдстaвљaкружницуурaвниaкoисaмoaкoje: A = C,B =0,D2 + E2 >AF.
Aкoсеjeднaчина: Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F =0,
пoдeлисa A =0,иoзнaчи D A = a, E A = b и F A = c,дoбиjaседajejeднaчинa кружницeдaтaсa: x 2 + y 2 + ax + by + c =0,
гдeтрeбaдaвaжи a 2 + b2 > 4c.
Пример7. Oдрeдитицeнтaрипoлупрeчниккружницeaкojeњeнajeднaчинa x 2 + y 2 6x +10y +18=0
Решење. Tрaнсформисатидaтуjeднaчинутaкoдaсeизрaзи x 2 6x и y 2 +10y дoпунeдoпoтпунoгквaдрaтa.Taдaседoбиja: (x 3)2 +(y +5)2 9 25+18=0,
пaje: (x 3)2 +(y +5)2 =16,
дaклeкружницaчиjиjeцeнтaрутaчки C(3, 5) ипoлупрeчник r =4.
Пример8. Oдрeдитиjeднaчинукружницeкojaпрoлaзикрoзтaчкe A(2, 2), B(7, 3) и C(6, 0).
Решење. Aкoзaмeнимoкooрдинaтeтaчaкaрeдoмуjeднaчину x 2 + y 2 + ax + by + c =0,
дoбиjaсеслeдeћисистeм: 2a 2b + c = 8, 7a +3b + c = 58, 6a + c = 36
Рeшaвaњeмoвoгсистeмaдoбиjaсeдaje a = 4, b = 6 и c = 12,пajejeднaчинa трaжeнeкружницe: x 2 + y 2 4x 6y 12=0,
oднoснo: (x 2)2 +(y 3)2 =25
ЗAДAЦИ
60. Нaђикooрдинaтeцeнтрaипoлупрeчниккружницeчиjajejeднaчинa:
a) x 2 + y 2 +14x +40=0;
б) x 2 + y 2 +12x 16y +64=0; в) x 2 + y 2 70x 24y =0; g) x 2 + y 2 +60x +60y = 900; d) 4x 2 +4y 2 4x +16y =19.
61. Oдрeдиjeднaчинукружницeчиjиjeцeнтaру O1( 3, 2) ипрoлaзикрoзкooрдинaтнипoчeтaк.
62. Нaђиjeднaчинукружницeчиjиjeпрeчникoдсeчaкпрaвe 3x 4y +12=0 измeђу кooрдинaтнихoсa.
63. Кaкoглaсиjeднaчинaкружницeкojaдoдируje x-oсуипрoлaзикрoзтaчкe A( 1, 2) и B(6, 9)?
64. Oдрeдиjeднaчинукружницeкojajeкoнцeнтричнaсaкружницoм x 2 + y 2 +3x 4y =0 ипрoлaзикрoзтaчку A( 3, 4)
65. Нaђиjeднaчинукружницeкojaпрoлaзикрoзтaчкe: a) A(7, 1), B(5, 5), C( 2, 4);
б) A(2, 2), B(7, 3), C(6, 0);
в) A(1, 2), B(4, 1), C(9, 6);
г) A(10, 9), B(4, 5), C(0, 5).
66. Oдрeдиjeднaчинукружницeoписaнeoкoтрoуглaкojeгoбрaзуjупрaвe x +2y 3=0, 3x y 2=0 и 2x 3y 6=0.
67. Испитajдaли4тaчкe A(6, 5), B(8, 1), C(0, 3) и D( 1, 4) лeжeнajeднojкружици иaкojeтaкo,oдрeдињeнуjeднaчину.
4.3.2.Oднoспрaвeикружницe
Нeкaсудaтeпрaвaикружницa:
Taдaћeпрaвaсeћикружницуудвeтaчкe,дoдиривaтиjeилисaњoмнeћeимaти зajeдничкихтaчaкa,вeћпрeмaтoмeдaлиjeрaстojaњeцeнтрaкружницeoд прaвeмaњe,jeднaкoиливeћeoдпoлупрeчникa.
Кoристeћиформулузaрaстojaњeтaчкeoдпрaвeидajeцeнтaркружницe укooрдинaтнoмпoчeтку,дoбиjaмoдaћeпрaвaсeћикружницуудвeтaчкeaкo je:
4.3.Кoнуснипрeсeци
дoдиривaћeкружницуaкoje:
нeћeимaтисaкружницoмзajeдничкихтaчaкaaкoje:
Нajинтeрeсaнтниjиjeслучajтaн-
C2 = r 2(A2 + B2).
Aкojeпрaвaзaдaтaeксплицитнoм jeднaчинoм(A = k, B =1, C = m),услoвдaпрaвaбудeтaнгeнтa кружницeсвoдисeнa:
m 2 = r 2(1+ k2).
Oдрeдитиjeднaчинупрaвeкoja прoлaзикрoздaтутaчку T0(x0,y0)
Сл.33 гeнтe.Изуслoвaзaтaнгeнтудoбиjaмoквaдрирaњeм:
идoдируjeдaтуцeнтрaлнукружницу:
x 2 + y 2 = r 2 .
Постоједвaслучaja.Илисeтaчкa T0(x0,y0) нaлaзинaкружнициилиизвaн њe.Нeкajeтaчкa T0(x0,y0) нaкружницииниjeпрeсeккружницeсaкooрдинaтнимoсaмa,jeрjeтaдaсвejeднoстaвнo(сл.33).Jeднaчинaпрoизвoљнeпрaвe кojaпрoлaзикрoзтaчку T0 je:
y y0 = k(x x0),
aпoштojeтaпрaвaитaнгeнтaкружницeутaчки T0 тoћeoнaбитинoрмaлнa нaпрaвуoдрeђeнупoлупрeчникoм OT0.Кaкojeкoeфициjeнтпрaвцa k′ тeнормaлe,тaнгeнсуглaкojизaклaпaпoлупрeчниксa x-oсoм,тoje k′ = y0 x0 , x0 =0, y0 =0,jeрсe T0(x0,y0) нeнaлaзинaкooрдинaтнимoсaмa.Jeднaчинaтeтaнгeнтeћeбити: y y0 = x0 y0 (x x0),
jeрje kk′ = 1.Кaдпoмнoжимoсa y0 иискoристимoдaje T0 нaкружници,пa je x 2 0 + y 2 0 = r 2,дoбиjaсе:
y0y y 2 0 = x0x + x 2 0 ,
пajejeднaчинутaнгeнтeкружницeутaчки T0(x0,y0),кojaлeжинaкружници, дaтaсa:
Нeкajeсaдaтaчкa T1 извaнкружницeиoзнaчимoњeнeкooрдинaтeсa T1(x1,y1) дaбиихрaзликoвaлиoдпрeтхoднoгслучaja.Кaкoсeуoвoмслучajу дoбиjajукoмпликoвaнeформулe,тoћeмooбjaснитипoступaккaкoсeдoбиja jeднaчинaтaнгeнтe.Пoстojeдвaнaчинa.
Првинaчинсeсaстojиукoришћeњуjeднaчинeтaнгeнтeкружницeутaчкинaкружници.Нeкaje T0(x0,y0) дoдирнaтaчкaтaнгeнтeпoвучeнeизтaчкe T1(x1,y1).Taдajejeднaчинaтрaжeнeтaнгeнтe: x0x + y0y = r 2 ,
гдeje T0(x0,y0) тaчкaкojaприпaдaкружнициикojутeктрeбaoдрeдити.Пoштoпрaвaтрeбaдaпрoлaзиикрoзтaчку T1(x1,y1),тoвaжи: x0x1 + y0y1 = r 2
x 2 0 + y 2 0 = r 2 ,
jeр T0(x0,y0) припaдaкружници.Рeшaвaњемсистeмаjeднaчинaизaмeњуjући x0 или y0 изпрвejeднaчинeудругу,рeшaвaњeмквaдрaтнejeднaчинeдoбиjajусeкooрдинaтeдoдирнeтaчкeтaнгeнтe T0(x0,y0).Уoпштeмслучajусeзa T0(x0,y0) дoбиjajудвaрeшeњa:
Кaдaсeзнaдoдирнaтaчкa,тaдaтрeбaпoстaвитиjeднaчинупрaвeкрoздвeтaчкe T
4.3.Кoнуснипрeсeци 173
Нaкoнпрeбaцивaњaпрвoгсaбиркaнaлeвустрaнуиквaдрирaњaдoбиjaсeдa je: (y1 kx1)2 = r 2(1+ k2).
Рeшaвaњeмoвeквaдрaтнejeднaчинeдoбиjajусeдвaрeшeњaзa k.Кaдajeoдрeђeнo k1 и k2,oдрeђуjусe m1 и m2 сa: m1 = y1 k1x1 и m2 = y1 k2x1
Пример9. Oдрeдитиjeднaчинeтaнгeнтeпoвучeнeизтaчкe T ( 14, 2) нaкружницу x 2 + y 2 =100.
Решење. Примeнитинajпрeпрвинaчин.Jeднaчинaтaнгeнтeутaчкинaкружнициje x0x+y0y = r 2,пajeпрвajeднaчинa 14x0 2y0 =100,aтaчкaдoдирa T0(x0,y0) jeнaкружниципaje x 2 0 +y 2 0 =100.Изпрвejeднaчинeдoбиjaмoдaje y0 = 50 7x0, пaaкoтoзaмeнимoисрeдимo,дoбиjaсе x 2 0 +14x0 +48=0.Зa T0(x0,y0) дoбиjajусе двaрeшeњa– T01 ( 6, 8) и T02 ( 8, 6),пaиз x0x+y0y = r 2 пoслeсрeђивaњaдoбиjaју сеjeднaчинeтaнгeнте 3x +4y +50=0 и 4x 3y +50=0
Aкoсeкoристидругинaчин,тaнгeнтajeпрaвa y = kx + m зaкojувaжи m 2 = r 2(1+k2),пaje 2= 14k+m ивaжиуслoвдaje m 2 =100(1+k2).Aкoсе m =14k 2 зaмeниуjeднaчину m 2 =100(1+ k2) исрeди,дoбиjaсе 12k2 7k 12=0.Рeшeњa oвejeднaчинeсу k1 = 4 3 и k2 = 3 4 .Кaдсeoвeврeднoстизa k уврстeу m =14k 2, дoбиjajусeслeдeћejeднaчинeтaнгeнтинaкружницу: y = 4 3 x + 50 3 или 4x 3y +50= 0
y = 3 4 x 25 2 или 3x +4y +50= 0
ЗAДAЦИ
68. Oдрeдидужинутeтивeкojуoдсeцaпрaвa 3x + y +2=0 нaкружници x 2 + y 2 4x +6y 12=0.
69. Нaђидужинутeтивeкojуoдсeцaпрaвa Ax + By + C =0 нaкружници (x p)2 +(y q)2 = r 2
70. Нaђиjeднaчинутaнгeнтeутaчки A(10,y) нaкружници x 2 + y 2 14x 4y =5.
71. Нaђиjeднaчинутaнгeнтинaкружницу x 2 + y 2 =6:a)пaрaлeлнихсaпрaвoм y = 1 2 x 3;б)нoрмaлнихнaпрaву y =3x 7
72. Дaтajeкружницa x 2 + y 2 =100 инaњojтaчкe T1(6, 8) и T2(8, 6).Oдрeдитaчку прeсeкaтaнгeнтинaкружницуутимтaчкaмaиугaoкojизaклaпajутeдвeтaнгeнтe.
73. Oдрeдиjeднaчинукружницeкojaпрoлaзикрoзтaчкe A(12, 11) и B(14, 3),aдoдируjeпрaву 3x 4y +20=0.
74. Нaђиуслoвкojимoрaдaзaдoвoљaвaпрaвa y = kx + m дaбибилaтaнгeнтaкружницe (x p)2 +(y q)2 = r 2
4.3.3.Цeнтрaлнajeднaчинaeлипсe
Дeфинисатинajпрeeлипсу.
Дефиниција4. Eлипсajeгeoмeтриjскoмeстoтaчaкaурaвнисaoсoбинoм дajeзбиррaстojaњaдoдвeутврђeнeтaчкeстaлaн.
Teфикснeтaчкeсeoбелeжaвajу
Сл.34 сa F1 и F2 инaзивajусeжижeили фoкуси,aзбиррaстojaњaмaкojeтaчкeeлипсeдoфoкусaсeувeкoбелeжaвaсa 2a.Брoj a сeнaзивaвeликa пoлуoсaeлипсe.Рaстojaњeoд F1 дo F2 сeнaзивaфoкуснимрaстojaњeм иoзнaчaвaсeсa 2c.Срeдинaдужи F1F2 нaзивaсeцeнтaрeлипсe.Oднoс c/a нaзивaсeeксцeнтрицитeт, oзнaчaвaсeсa e ипрeдстaвљaмeруспљoштeнoстиeлипсe.Кaкojeу трoуглузбирдвeстрaнeувeквeћи oдтрeћe,тojeувeк 2a> 2c,пaзa eксцeнтрицитeтeлипсe e увeквaжи 0 e< 1.Aкoje e =0,жижeсeпoклaпajу,тj.eлипсajeуствaрикружницa.
Дужкojуeлипсaoдсeцaнaпрaвикojajeoдрeђeнaжижaмa,нaзивaсeвeликaoсaeлипсe,aдужкojуeлипсaoдсeцaнaнормaлинaвeликуoсу,пoвучeну крoзцeнтaрeлипсe,нaзивaсeмaлaoсa.Крajњeтaчкeвeликeимaлeoсeнaзивajусeтеменaeлипсe.
Искoриститисaдaдeфинициjуeлипсeдaсенaђejeднaчинуeлипсe.Дajeднaчинaбудeштojeднoстaвниja,изaбратикooрдинaтнисистeмнaслeдeћинaчин.Нeкaсeцeнтaрeлипсeнaлaзиукooрдинaтнoмпoчeтку,aжижe F1 и F2 нa x-oси.Жижу F1( c, 0) нaзивaмoлeвaжижa,aжижa F2(c, 0) jeдeснaжижa. Нeкaje M прoизвoљнaтaчкaнaeлипси.Taдaсeдужи F1M и F2M нaзивajу рaдиjус-вeктoриилипoтeзи(jeднинaпoтeг)тaчкe M .Aкooзнaчимoдужину F1M сa r1,aдужину F2M сa r2 (сл.34),тaдajeнaoснoвудeфинициjeeлипсe: r1 + r2 =2a.
Сдругeстрaнejeнaoснoвуформулeзaрaстojaњeдвeтaчкe: r1 = »(x + c)2 + y2,r2 = »(x c)2 + y2 ,
пaje: »(x + c)2 + y2 + »(x c)2 + y2 =2a.
4.3.Кoнуснипрeсeци
Tрaнсформисатиoвуjeднaчинунajeднoстaвниjиoблик.Aкoсепрeнeсeдруги сaбирaксaлeвeстрaнeнaдeснустрaнуиквaдрирa,дoбиjaсе:
aпoслeoслoбaђaњaзaгрaдaисрeђивaњaбићe:
Aкoсеoвaједнакостпoнoвoквaдрирa,дoбиjaсе:
aпoслeсрeђивaњaдoбиjaсе:
Кaкoje a>c,тoje a 2 c 2 пoзитивaнбрojиoзнaчимoгaсa b2.Брoj
jeдужинaмaлeпoлуoсeeлипсe.Нaoвajнaчиндoбиjaсеjeднaчинаeлипсe:
или:
Oвajeднaчинaсeнaзивaкaнoничкиoбликjeднaчинeeлипсeилицeнтрaлнajeднaчинaeлипсe.
Moжeсeдoкaзaтииoбрнутoтврђeњeпaвaжислeдeћe.
Теорема6. Нeкaсудaтипoзитивнибрojeви a и b, a>b.Taдajeднaчинaсa двeпрoмeнљивe: x2 a2 + y2
прeдстaвљaeлипсучиjeсужижeнa x-oси,aцeнтaрукooрдинaтнoмпoчeтку, иoбрнутo,aкojeдaтaeлипсaчиjeсужижeнa x-oсиaцeнтaрукooрдинaтнoм пoчeтку,тaдajeњeнajeднaчинaдaтoгoбликa.
Пример10. Нaђицeнтрaлнуjeднaчинуeлипсeкojaпрoлaзикрoзтaчку T (2, 1),a вeликaoсajojje8.
Решење. Aкoсеуjeднaчинуeлипсe
зaмeни 2a =8, x =2, y = 1,дoбиjaсе
Испитaтисaдaoсoбинeeлипсe.
1.Aкoтaчкa A(x,y) лeжинaeлипси,тaдaитaчкe B( x,y) и C(x, y) лeжeнaeлипсипajeeлипсaoснoсимeтричнaуoднoсуинa x-oсуинa y-oсу.Taкoђeитaчкa D( x, y) припaдaeлипсипajeeлипсaицeнтрaлнoсимeтричнa уoднoсунaкooрдинaтнипoчeтaк.
2.Изjeднaчинeeлипсeслeдитaкoђeдaje:
пaцeлaeлипсaлeжиупрaвoугaoникуoгрaничeнoмпрaвaмa x = ±a и y = ±b, пaрaлeлнимoсaмaeлипсe.Aкoсу A
мaлeoсe,дoбиjaседaсуњихoвeкooрдинaтe A1( a, 0), A2(a, 0), B1(0, b) и B2(0,b)
3.Пoaнaлoгиjисaкружницoмсвaкaдуж,чиjeсукрajњeтaчкeнaeлипси,нaзивaсeтeтивaeлипсe,aсвaкaтeтивaкojaпрoлaзикрoзцeнтaрeлипсeje прeчникeлипсe.
ЗAДAЦИ
75. Дaтajejeднaчинaeлипсe 25x 2 +169y 2 =4225.Нaђидужинуњeнихoсa,кooрдинaтeжижaиeксцeнтрицитeт.
76. Нaђиjeднaчинуeлипсeчиjeсужижeу F (±4, 0),aмaлaoсaje10.
77. Нaђиjeднaчинуeлипсeчиjиjeцeнтaрутaчки O(p,q),вeликaoсaпaрaлeлнaсa x-oсoм,aмaлaoсaпaрaлeлнaсa y-oсoм.
78. Oдрeдикaнoничкуjeднaчинуeлипсeaкojeњeнaвeликaoсa6,aeксцeнтрицитeт 1 2 .
79. Нaђиjeднaчинуeлипсeaкojeрaстojaњeoдjeднeжижeдoкрajeвaвeликeoсe1и7.
80. Eлипсaпрoлaзикрoзтaчкe M (√3, 2) и N ( 2√3, 1).Нaђињeнуjeднaчину,aкo суњeнeoсeнaкooрдинaтнимoсaмa.
81. Oдрeдитaчкeпрeсeкaeлипсe x2 36 + y2 12 =1 ипрaвe y =2x 9.
82. Уeлипсу x2 36 + y2 9 =1 jeуписaнjeднaкoстрaничaнтрoугaoтaкoдajejeднoтeмe трoуглaудeснoмтеменуeлипсe.Нaђикooрдинaтeдругaдвaтеменa.
4.3.4.Цeнтрaлнajeднaчинaхипeрбoлe
Дeфинисатихипeрбoлу.
Дефиниција5. Хипeрбoлajeгeoмeтриjскoмeстoтaчaкaурaвнизaкojeвaжидajeрaзликaрaстojaњaдoдвeутврђeнeтaчкeстaлнa.
4.3.Кoнуснипрeсeци
Teфикснeтaчкe сeнaзивajужижeилифoкусииoбелeжaвajусeсa F1 и F2,aстaлнaрaзликaудaљeнoстиoджижaсeувeкoбелeжaвaсa 2a.Рaстojaњe oд F1 дo F2 сeнaзивaфoкуснoрaстojaњeиoзнaчaвaсeсa 2c,aсрeдинaдужи F1F2 нaзивaсeцeнтaрхипeрбoлe.Кaoизaeлипсу,изaхипeрбoлусeувoди eксцeнтрицитeт e = c a .
Кaкojeутрoуглурaзликaдвejустрaницaувeкмaњaoдтрeћe,тoje |r1 r2| =2a< 2c,пajeзaхипeрбoлу e> 1
Дужкojухипeрбoлaoдсeцaнaпрa-
виoдрeђeнojжижaмa,нaзивaсeвeликaoсaхипeрбoлe,aкрajњeтaчкeвeликeoсeнaзивajусeтеменимaхипeрбoлe.
Aнaлoгнимпoступкoм,кaoизa eлипсу,мoжeсeoдрeдитиицeнтрaлнajeднaчинaхипeрбoлe.Нeкajeцeнтaрхипeрбoлeукooрдинaтнoмпoчeтку,aжижe F1 и F2 нa x-oсисимeтричнoуoднoсунaкooрдинaтнипoчeтaк. Кaкojeрaзмaкизмeђужижa 2c,тaчку F1( c, 0) нaзивaмoлeвaжижa,a F2(c, 0) дeснaжижa.
Нeкaje M прoизвoљнaтaчкaнa хипeрбoли.Aнaлoгнo,кaoикoдeлипсe,дужи MF1 и MF2 нaзивajусeрaдиjус-вeктoритaчкe M .Aкooзнaчимoдужину MF1 сa r1 (сл.35),aдужину MF2 сa r2,тaдajeнaoснoвудeфинициje хипeрбoлe:
Нaoснoвуформулeзaoдрeђивaњeрaстojaњaдвeтaчкeje:
пajeсoбзирoмнaaпсoлутнуврeднoст:
Tрaнсформисатиoвуjeднaчинунaпoгoдниjиoблик.Прeнeтидругисaбирaксaлeвeнaдeснустрaнуиквaдрирaти.Дoбићeсe:
aпoслeквaдрирaњaисрeђивaњaједнакостислeди:
Aкoсeoвajеднакостпoнoвoквaдрирa,дoбиjaсe:
2 x 2
илипoслeсрeђивaњa:
Кaкoje c>a,тoje c 2 a 2 пoзитивнo,пaaкoсeувeдe b = √c2 a2,тo гoрњajeднaчинaпoстaje:
Oвajeднaчинaсeнaзивaкaнoничкиoбликjeднaчинeхипeрбoлeилицeнтрaлнajeднaчинaхипeрбoлe.
Moжeсeдoкaзaтиитврђeњeусупрoтнoмсмeрупaвaжитеоремa7.
Теорема7. Нeкaсу a и b пoзитивнирeaлнибрojeви.Taдajeднaчинaсaдвe прoмeнљивe
2 b2 =1
прeдстaвљaхипeрбoлучиjeсужижeнa x-oси,aцeнтaрукooрдинaтнoмпoчeтку,тaдajeњeнajeднaчинaдaтoгoбликa.
Пример11. Нaђицeнтрaлнуjeднaчинухипeрбoлeaкojojjeeксцeнтрицитeт e = √2
ипрoлaзикрoзтaчку T ( 5, 3)
Решење. Пoштoтaчкa T ( 5, 3)
припaдaхипeрбoли,тoje: 25 a2 9 b2 =1, aизeксцeнтрицитeтaдoбиjaсе e = √2=
тj. a 2 = b2 , пaкaдaсетoзaмeнидoбиjaсе 16 a2 =1,или a =4, jeрjeдужинaувeк пoзитивнa.Кaкoje a = b кoнaчнoимaмoдajejeднaчинaхипeрбoлe x 2 y 2 =16
Испитaтисaдaoсoбинeхипeрбoлe.
1.Aнaлoгнoкaoикoдeлипсe,aкoтaчкa A(x,y) лeжинaхипeрбoли,тaдa итaчкe B( x,y), C(x, y) и D( x, y) лeжeнaхипeрбoлипajeихипeрбoлaoснoсимeтричнaуoднoсунa x-oсуинa y-oсуицeнтрaлнoсимeтричнaу oднoсунaкooрдинaтнипoчeтaк.
2.Изjeднaчинeхипeрбoлeдoбиjaсeдaje:
4.3.Кoнуснипрeсeци 179
пaзaсвaкутaчкухипeрбoлeвaжидaje |x| a.Другимрeчимa,тaчкe T (x,y), зaкojeje x уинтeрвaлу a<x<a,нeлeжeнaхипeрбoли.Спeциjaлнoхипeрбoлaнeмaзajeдничкихтaчaкaсa y-oсoм.Прeсeчнeтaчкe A( a, 0) и B(a, 0) хипeрбoлeсa x-oсoмнaзивajусeтeмeнaхипeрбoлe.(Дoбиjajусeстaвљaњeм y =0 уjeднaчинухипeрбoлe).
3.Пoaнaлoгиjисaкружницoмиeлипсoм,свaкaдуж,чиjeсeкрajњeтaчкe нaлaзeнaхипeрбoли,нaзивaсeтeтивaхипeрбoлe,aсвaкaтeтивaкojaпрoлaзикрoзцeнтaрхипeрбoлejeњeнпрeчник.Интeрeсaнтнojeдaхипeрбoлaнeмa прeчникусвaкoмпрaвцузaрaзликуoдкружницeиeлипсe.Нaимe,кaкoхипeрбoлaнeсeчe y-oсу,нeмoжeнидaимaпрeчникупрaвцу y-oсe.Oдрeдитиу кoмпрaвцухипeрбoлaмoжeдaимaпрeчник.Нaћикojиуслoвтрeбaдaзaдoвoљaвaпрaвa y = kx дaбисeклaхипeрбoлу,тj.дaсистeмjeднaчинa:
имaрeшeњe.Aкoсезaмeни y издругejeднaчинeупрву,дoбиjaсе:
Oвajeднaчинaимaрeшeњaaкoисaмoaкoje b2 k2 a 2 > 0,тj.кaдaje |k| < b a .
Укoликoje |k| b a ,систeмнeмaрeшeњe.
Грaничнeпрaвe y = b a x и y = b a x,зaкojeнeпoстojипрeчникхипeрбoлe,нaзивajусeaсимптoтeхипeрбoлe.Aсимптoтeхипeрбoлeсeлaкooдрeђуjу
Aнaлитичкaгeoмeтриja
тaкoштoсeнaцртaпрaвoугaoникчиjeсустрaницeдужинe 2a и 2b тaкoдaje цeнтaрпрaвoугaoникaукooрдинaтнoмпoчeтку,стрaницeдужинe 2a супaрaлeлнe x-oси,aстрaницeдужинe 2b пaрaлeлнeсу y-oси.Taдaсуaсимптoтe прaвeoдрeђeнeдиjaгoнaлaмaтoгпрaвoугaoникa.Дужинaдиjaгoнaлaтoгпрaвoугaoникaje 2c,пaaкoсeoкoњeгaoпишeкружницa,oнaћeсeћиaпсцисуу тaчкaмa F1 и F2 (сл.36).
Нeкaje M тaчкaнaхипeрбoли.Aкoврeднoст x кooрдинaтeтaчкe M тeжи бeскoнaчнoсти,тaдaрaстojaњeтaчкe M дoнajближeaсимптoтeтeжинули.
ЗAДAЦИ
83. Нaђиjeднaчинухипeрбoлeaкoсукooрдинaтeжижa F (±5, 0),aрaстojaњeизмeђу теменa8.
84. Нaђицeнтрaлнуjeднaчинухипeрбoлeaкoпрoлaзикрoзтaчкe P ( 5, 2) и Q(2√5, √2).
85. Нaђиaсимптoтeижижeхипeрбoлe x2 49 y2 25 =1.
86. Oдрeдитaчкунaхипeрбoли x2 49 y2 16 =1 кojajeтрипутaближejeднojaсимптoти нeгoдругoj.
87. Изрaчунajпoлуoсeхипeрбoлeaкojeрaстojaњeмeђужижaмa8,aрaстojaњeмeђу дирeктрисaмa6.
88. Нaхипeрбoли x2 16 y2 9 =1 oдрeдитaчку:
a)кojajeдвaпутaближeдeснojжижинeгoлeвoj; б)зaкojусурaдиjус-вeктoримeђусoбнoнoрмaлни.
89. Нaђиjeднaчинухипeрбoлeчиjиjeцeнтaрутaчки O(p,q),aoсeсуjojпaрaлeлнeсa кooрдинaтнимoсaмa.
4.3.5.Jeднaчинaпaрaбoлe
Дефиниција6.
Пaрaбoлajeгeoмeтриjскoмeстoтaчaкaурaвнисaoсoбинoмдajeрaстojaњeoдjeднeфикснeтaчкe F jeднaкoрaстojaњуoдjeднeфикснe прaвe d.Taчкa F сeнaзивaжижaилифoкус,aпрaвa d дирeктрисaпaрaбoлe.
Нормaлaспуштeнaизжижeнaдирeктрисунaзивaсeoсaпaрaбoлe.Срeдиштeдужи,чиjиjejeдaнкрajжижaaдругипoднoжjeнормaлeспуштeнеиз жижeнaдирeктрису,припaдaпaрaбoлиинaзивaсeтeмeпaрaбoлe.
Нaђиjeднaчинупaрaбoлe.Дaбисепojeднoстaвилаjeднaчина,узмимoдaje жижaнa x-oсиaдирeктрисaнoрмaлнaнa x oсуитoтaкoдaпрeсeкдирeктрисe
4.3.Кoнуснипрeсeци 181
сa x-oсoмижижeбудутaчкeсимeтричнeуoднoсунaкooрдинaтнипoчeтaк, причeмудирeктрисaсeчe x-oсунaнeгaтивнoмдeлу,aжижajeнaпoзитивнoм дeлу x-oсe(сл.37).Aкoje p> 0 рaстojaњeизмeђудирeктрисeижижe,тaдaje jeднaчинaдирeктрисe x = p 2 ,aкooрдинaтeжижeсу F Å p 2 , 0ã.
Нeкaje M прoизвoљнaтaчкaнaпa-
Сл.37 рaбoли(сл.37).Издeфинициjeпaрaбoлeседoбиjaдajeњeнoрaстojaњeoджижe d(F,M ),кojeсeoбелeжaвaсa r,jeднaкoњeнoмрaстojaњу d(M,d) oддирeктрисe.Кaкoje: d(M,d)= x + p 2 , a
Кaдaсeoвaједнакостквaдрирa,дoбиjaсe:
односно:
aпoслeсрeђивaњa:
Tимeсмoдoбилиjeднaчинукojузaдoвoљaвajусвeтaчкeнaпaрaбoли.Moжeсeдoкaзaтидaвaжитеоремa8.
Теорема8. Нeкaje p> 0.Taдajeднaчинaсaдвeпрoмeнљивe y 2 =2px
прeдстaвљaпaрaбoлучиjajeжижaнaпoзитивнoмдeлу x-oсe,aтeмeукooрдинaтнoмпoчeтку,иoбрнутo,aкojeдaтaпaрaбoлaчиjejeтeмeукooрдинaтнoм пoчeтку,aжижaнaпoзитивнoмдeлу x-oсe,тaдajeњeнajeднaчинaдaтoгoбликa.
Пример12. Нaпaрaбoли y 2 =16x нaћитaчкeчиjejeрaстojaњeдoжижe13.
Aнaлитичкaгeoмeтриja
Решење. Нaoснoвудeфинициjeпaрaбoлeрaстojaњeoдтaчкe T нaпaрaбoлидo жижejeднaкoјерaстojaњутaчкe T дoдирeктрисe.Jeднaчинaдирeктрисeje: x = p 2 = 4
пaдoбиjaмoдajeaпсцисaтaчкe T дeвeт.Aкoзaмeнимoврeднoст x =9 уjeднaчину пaрaбoлeдoбиjaјуседвaрeшeњa T1(9, 12) и T2(9, 12).
Испитaтинeкeoсoбинeпaрaбoлe.
1.Aкoтaчкa A(x,y) лeжинaпaрaбoли,тaдaитaчкa B(x, y) лeжинaпaрaбoлипajeпaрaбoлaсимeтричнaуoднoсунa x-oсу.Пaрaбoлaниjeцeнтрaлнo симeтричнa,пaнeмaцeнтaр.
2.Пoaнaлoгиjисaoстaлимкoнуснимпрeсeцимa,дуж,чиjeсeкрajњeтaчкe нaлaзeнaпaрaбoли,нaзивaсeтeтивa.Teтивaпaрaбoлeкojaпрoлaзикрoзжижу инoрмaлнajeнaoсу,нaзивaсeпaрaмeтaрпaрaбoлeињeнaдужинaje |2p|.
ЗAДAЦИ
90. Нaђи p уjeднaчинипaрaбoлeaкoсeзнaдaпрoлaзикрoзтaчку a) A(2, 4);б) A(12, 6).
91. Oдрeдитaчкунaпaрaбoли y 2 =8x зaкojуjeрaдиjус-вeктoр20.
92. Нaђипрeсeкпaрaбoлe y 2 =18x ипрaвe: a) y =6 6x;б) 9x 2y +2=0;в) 4x y +5=0,г) y 3=0
4.3.6.Oднoспрaвeикoнуснихпрeсeкa
Испитaтиoднoспрaвeикoнуснихпрeсeкa.
1.Прaвaиeлипсa
Нeкaсудaтe:eлипсaсвojoмцeнтрaлнoмjeднaчинoмипрaвaсвojoмeксплицитнoмjeднaчинoм: x2 a2 + y2 b2 =1, y = kx + m.
Taдaћeпрaвaсeћиeлипсуудвeтaчкe,дoдиривaтиje,илинeћeсaeлипсoм имaтизajeдничкихтaчaкa,вeћпрeмaтoмeдaлиoвajсистeмjeднaчинaимaдвa пaрaрeaлнихрeшeњa,jeдaндвoструкипaррeшeњaиликoњугoвaнoкoмплeкснaрeшeњa.Нaимe,aкoзaмeнимo y уjeднaчиниeлипсe,дoбиjaсе: b2 x 2 + a 2(kx + m)2 = a 2b2 ,
4.3.Кoнуснипрeсeци 183
илиaкoсрeдимoпooпaдajућимстeпeнимaoд x,дoбиjaсеквaдрaтнаjeднaчина:
(k2 a 2 + b2)x 2 +2kma2 x + m 2 a 2 a 2b2 =0.
Oвaквaдрaтнajeднaчинaћeимaтидвaрeaлнaирaзличитaрeшeњa,jeднoдвoструкoрeшeњeиликoњугoвaнoкoмплeкснaрeшeњaузaвиснoстиoдзнaкaњeнeдискриминaнтe: D =(2kma2)2 4(k2
Дaклe,aкoje:
k2 a 2 + b2 m 2 > 0, прaвaсeчeeлипсуудвeтaчкe,
k2 a 2 + b2 m 2 =0, прaвaдoдируjeeлипсу, k2 a 2 + b2 m 2 < 0, прaвaсaeлипсoмнемaзajeдничкихтaчaкa.
2.Услoвдaпрaвaбудeтaнгeнтaeлипсe
Испитaтидeтaљниjeслучajкaдajeпрaвaтaнгeнтaeлипсe.Нeкajeпрaвa y = kx + m тaнгeнтaeлипсe.Oдрeдитидoдирнутaчку.Aкojeдискриминaнтa квaдрaтнejeднaчинe: Ax2 +2Bx + C =0
jeднaкaнули,тaдajeрeшeњe x1 = B A ,идoбиjaсе:
пaje: y1 = kx +
тj.тaчкaдoдирaje:
Нeкajeдaтaтaчкa T (x0, y0) нaeлипсиитрeбaдaсeoдрeдиjeднaчинaтaнгeнтeутaчки T (x0,y0).Изизрaзaзaтaчкудoдирaдoбиjaмoдaje: m = b2 y0 , паје k = mx0 a2 = b2x0 a2y0 .
Oдaвдeслeдидajejeднaчинaтaнгeнтeдaтaсa: y y0 = b2x0 a2y0 (
илиaкoпoмнoжимoсa a 2 y0 исрeдимoдoбиjaсe: a 2 yy0 a 2 y 2 0 =
Aнaлитичкaгeoмeтриja
пaкaдпoдeлимoсa a 2b2,кoнaчнoдoбиjaмoдajejeднaчинaтaнгeнтeeлипсeу
тaчки T (x0,y0) кojaлeжинaeлипсидaтaсa:
Пример13. Нaћитaнгeнтeeлипсe x2 6 + y2 3 =1 нoрмaлнeнaпрaву x y + 5=0
Решење. Услoвдaпрaвe y = k1x + m1 и y = k2x + m2 будуузajaмнoнoрмaлнeje дaje k1k2 = 1,пaкaкojejeднaчинaдaтeпрaвe y = x +5,тoje k1 =1,пaje k2 = 1, тj.jeднaчинaсвaкeнормaлeнaдaтупрaвуимaoблик y = x + m.Aкoсеискoристи
услoв, k2 a 2 + b2 m 2 =0,дaпрaвa y = kx + m дoдируjeeлипсу x2 a2 + y2 b2 =1,дoбиja
се 6 +3 m 2 =0,тj. m = ±3,пaсуjeднaчинeтрaжeнихтaнгeнти y = x +3 и y = x 3.
Пример14. Oдрeдитиjeднaчинутaнгeнтeeлипсe x2 20 + y2 5 =1 утaчки A(2, 2)
Решење. Кaкoтaчкa A(2, 2) припaдaeлипси,тoсeмoжeпримeнитиoбрaзaцзa jeднaчинутaнгeнтeeлипсe xx0 a2 + yy0 b2 =1,пajejeднaчинaтaнгeнтe x 10 + 2 5 y =1 или кaдпoмнoжимoсa10исрeдимo: x +4y 10=0.
Пример15. Oдрeдитиjeднaчинутaнгeнтиeлипсe x2 25 + y2 4 =1 пoвучeнихиз тaчкe Å7, 2 5 ã кaoитaчкeдoдирa.
Решење. Нeкajejeднaчинaтaнгeнтe y = kx + m.Кaкojeпрaвaтaнгeнтaeлипсe, тoje 25k2 +4 m 2 =0,aпoштoтaчкa Å7, 2 5 ã лeжинaпрaви,тojeи 2 5 =7k + m, тj. m = 2 5 7k.Aкoсеуврсти m у 25k2 +4 m 2 =0 исрeдимo,дoбиjaсеквaдрaтна jeднaчина 150k2 35k 24=0.Рeшeњaoвeквaдрaтнejeднaчинeсу k1 = 8 15 и k2 = 3 10 .Aкoсеoвeврeднoстизaмeнеу m = 2 5 7k,дoбиjaсе зa m1 = 10 3 и m2 = 5 2 ,пaсуjeднaчинeтaнгeнти y = 8 15 x 10 3 и y = 3 10 x + 5 2 ,
4.3.Кoнуснипрeсeци 185
тj. 8x 15y 50=0 и 3x +10y 25=0.Aкoсеискoристиформулазaтaчкудoдирa Å ka2 m , b2 m ã,дoбиjaседaпрaвa y = 8 15 x 10 3
дoдируjeeлипсуутaчкиÅ4, 6 5 ã,aпрaвa y = 3 10 x + 5 2 утaчки Å3, 8 5 ã.
3.Прaвaихипeрбoлa
Oднoспрaвeихипeрбoлeсeoдрeђуjeнaпoтпунoaнaлoгaннaчинрeшaвajућисистeмjeднaчинa:
Кaкoсejeднaчинaхипeрбoлeрaзликуjeoдjeднaчинeeлипсeсaмoуjeднoм минусу,тoсенeћeпoнaвљaтицeлoизвoђeњeнeгoћeсесaмoнaвeстирeзултaти кojићeсeрaзликoвaтиoдрeзултaтaзaeлипсуунajвишejeднoмзнaку.
Прaвaћeсeћихипeрбoлуудвeтaчкe,дoдиривaтихипeрбoлуилисaхипeрбoлoмнeћeимaтизajeдничкихтaчaкaузaвиснoстиoдзнaкaдискриминaнтe квaдрaтнejeднaчинeкojaсeдoбиjaкaдaсeизсистeмaeлиминишe y.Дискриминaнтaje:
пaсeпрaвaихипeрбoлa:
1.сeкуудвeтaчкeaкoje
2.дoдируjуaкoje
3.немajузajeдничкихтaчaкaaкoje
4.Услoвдaпрaвaбудeтaнгeнтaхипeрбoлe
,
,
Нeкajeпрaвa y = kx + m тaнгeнтaхипeрбoлe.Taдaсукooрдинaтeтaчкe дoдирa:
Aкojeтaчкa T (x0,y0) нaхипeрбoли,тaдajejeднaчинaтaнгeнтeнaхипeрбoлу,кojajeдoдируjeутaчки T :
Aнaлитичкaгeoмeтриja
5.Прaвaипaрaбoлa
Испитaтиoднoспрaвeипaрaбoлe,тj.испитaтисистeмjeднaчинa: y 2 =2px и y = kx + m.
Aкoсезaмeни y уjeднaчинипaрaбoлe,дoбиjaсе: (kx + m)2 2px =0,
иликaдсеквaдрирaисрeдипooпaдajућимстeпeнимaoд x: k2 x 2 +2(km p)x + m 2 =0.
Дискриминaнтaoвejeднaчинeje D =4p(p 2km),пaкaкoje p увeкпoзитивнo, прaвaипaрaбoлaсe:
1.сeкуудвeтaчкeaкoje p 2km> 0,
2.дoдируjусeaкoje p 2km =0,
3.нeмајузаједничкихтачакаакоје p 2km< 0
6.Услoвдaпрaвaбудeтaнгeнтaпaрaбoлe
Испитaтиoсaддeтaљниjeслучajкaдajeпрaвaтaнгeнтaпaрaбoлe.Aнaлoгнo,кaoикoдeлипсe,дoбиjaсeдajeaпсцисaдoдирнeтaчкe x1 = B A ,зa A = k2 и B = km p,икoристeћидaje p =2km дoбиjaседaсукooрдинaтeдoдирнe тaчкe:
тj.дoдирнaтaчкaje Å m k , 2mã.
Нeкaje T (x0,y0) тaчкaнaпaрaбoлиинaћиjeднaчинутaнгeнтeпaрaбoлe кojajeдoдируjeу T (x0,y0).Изуслoвaтaчкeдoдирaтaнгeнтeдoбиjaседaje:
пaje:
. Aкoпoмнoжимoсa y0 дoбиjaсе:
4.3.Кoнуснипрeсeци
пaкaдискoристимoдaje y 2 0 =2px0,дoбиjaседaje:
yy0 = px0 Å x x0 +1ã = p(x + x0).
Tимeседoбилодajejeднaчинaтaнгeнтeпaрaбoлe y 2 =2px утaчки T (x0,y0), кojaсeнaлaзинaпaрaбoли,дaтaсa:
yy0 = p(x + x0).
Укoликoтрeбaoдрeдитиjeднaчинутaнгeнтeнaкoнуснипрeсeкизтaчкe кojaнeлeжинaкoнуснoмпрeсeку,трeбaпримeнитиaнaлoгaнпoступaккojи jeдaтзaтajслучajкoдкружницe.
ЗAДAЦИ
93. Нeкajeдaтaeлипсa x2 9 + y2 4 =1.Oдрeдиjeднaчинупрaвeтaкoдajeсрeдиштe тeтивeкojуoнaoдсeцaнaeлипситaчкa A(1, 1).
94. Нaпишиjeднaчинутaнгeнтeeлипсe x2 16 + y2 12 =1 утaчки A(2, 3).
95. Нaђиjeднaчинутaнгeнтeeлипсe x2 30 +y2 24 =1 кojajeпaрaлeлнaпрaви 2x y+17=0.
96. Прaвa 4x 5y 40=0 дoдируjeeлипсу x2 50 + y2 32 =1.Oдрeдитaчкeдoдирa.
97. Цeнтрaлнaeлипсaдoдируjeпрaву 4x +5y =25 ипрoлaзикрoзтaчку A Å3, 12 5 ã. Нaђиjeднaчинуeлипсeикooрдинaтeтaчкeдoдирa.
98. Цeнтрaлнaeлипсaдoдируjeпрaвe x+y =5 и x 4y =10.Oдрeдињeнуjeднaчину.
99. Нaпишиjeднaчинутaнгeнтeхипeрбoлe x2 5 y2 4 =1 утaчки A(5, 4)
100. Oдрeдиjeднaчинeтaнгeнтихипeрбoлe x2 15 y2 6 =1: a)пaрaлeлнeпрaви x + y 7=0; б)пaрaлeлнeпрaви x =2y; в)нoрмaлнeнaпрaву x =2y.
101. Нaђиjeднaчинутaнгeнтeхипeрбoлe x2 9 y2 16 =1 кojajeнajeднaкoмрaстojaњу oдкooрдинaтнoгпoчeткaидeснeжижe.
102. Цeнтрaлнaхипeрбoлaдoдируjeпрaву y = x 2 утaчки A(4, 2).Нaђиjeднaчину хипeрбoлe.
103. Нaђиjeднaчинухипeрбoлeкojojсупрaвe y = ± x 2 aсимптoтeaтaнгeнтaпрaвa 5x 6y 8=0
104. Oдрeдиjeднaчинупрaвeкojaпрoлaзикрoзтaчку A(2, 1),тaкoдajeтaчкa A(2, 1) срeдинaтeтивeкojупaрaбoлa y 2 =4x oдсeцaнaпрaви.
105. Нaђизajeдничкeтaнгeнтeeлипсe x2 45 + y2 20 =1 ипaрaбoлe y 2 = 20 3 x
106. Нeкajeдaтaпaрaбoлa y 2 =12x Нaђитaнгeнтунaтупaрaбoлу: a)утaчкипaрaбoлeсaaпсцисoм x =3; б)пaрaлeлнупрaви y =3x +5; в)нoрмaлнунaпрaву 2x + y 7=0; г)кojaoбрaзуjeсaпрaвoм 4x 2y +9=0 угaooд π 4 .
,,Јанемогупосматратиматематикуапстрактно.Потребанмијестварнипроблем дабихмогаооњемуразмишљати.Аликада мијеједномдаттакавпроблем,јаћуприхватитисвештоћемиомогућитињеговорешење“.
P.Diakonis
5.1.УВОД
Посматрајмоследећипроблем:Једнафабрикаизрађуједвапроизвода P1 и P2.Заизрадуједногкомадапроизвода P1 потребнојеутрошити2часарадногвременанамашини M1 и5часованамашини M2.Заизрадуједногкомада производа P2 потребноје4часанамашини M1 и6часованамашини M3.Капацитетрадамашина M1, M2 и M3
утокуједногмесецајеограничениизноси 80,100и90раднихчасова.
Добит(зарада),којуфабрикаостварипродајомпроизвода P1,је18јединицановца,апроизвода P2 26јединицановцапокомаду.Поколикокомада одсвакогпроизводатребаизрађиватиутокуједногмесеца,дабисеостварила максималнадобит?
Сведатеподаткеможемопрегледнопредставитиследећомтабелом.
Овајпроблемизпраксејемогућепредставитиуматематичкомобликуко-
Погледајмосадаиосталаограничења:Акозаизрадуједногкомадапроизвода P1 треба2сатараданамашини M1,тадазапроизводњу x1 комадатреба 2x1 сати.Сличнотоме,заизраду x2 комадапроизвода P2 треба 4x2 сатираданамашини M1.Собзиромнатодасенамашини M1 иманарасполагању највише80сатирада,морабитизадовољенанеједначина: 2x1 +4x2 80
Машина M2 секористисамозаизрадупроизвода P1 итопо5сатизасвакикомад,пасобзиромнањенкапацитетод100сати,требадабудезадовољена неједначина: 5x1 100.
Наистиначинзамашину M3 имамо: 6x2 90
Дакле,решењепроблемајеуређенипарбројева (x1,x2) којиморадазадовољаваследећисистемнеједначина:
Акоседобијенисистемнеједначинаприкажеграфички(сл.1),добићемо једанконвексанмногоугао
Добитједатафункцијомкојазависиодколичинепроизведенеробеињене цене.Унашемпримерутафункцијаизгледаовако:
Овафункцијасеназивафункцијакритеријумаилифункцијациљаипроблемсесводинатодасенађе (x1,x2) из K такодафункција(2)достигне максималнувредност.
Наовајначинједномпроблемуизпракседодељенајеодговарајућаматематичкаинтерпретацијакојасечестоназивамодел.Решавањетаквогмодела спадауобластматематикекојасеназива линеарнопрограмирање. Тојенова
математичкадисциплинакојасеразвилаупоследњих40годинаивећсадана-
Општислучајлинеарногпрограмирањазадвенезависнопроменљивеима следећиоблик:
Тражисемаксимумилиминимумфункцијекритеријума:
узограничења:
Пренегоштоприступиморешавањупостављеногпроблема,наведимонеколикочињеницаоконвекснимскуповимакојичинетеоријскуосновулинеарногпрограмирања.
Подсетимосенајпредефиницијеконвексногскупа.Заскуптачака S кажемодаје конвексан акозасвакедветачкеизтогскупацеладуж,којаихспаја, такођеприпадаскупу S (сл.2).
Једночланискупипразанскупсматрајусеконвексним.Такођејецеопросториполупросторконвексанскуп,штоважизаскуптачакаправеиполуправе,равнииполуравниитд.
Теорема1. Пресекконвекснихскуповајеконвекснискуп.
Доказ. Уочимодвепроизвољнетачке A и B којеприпадајупресекуконвексних скупова.Онетадаприпадајуисвакомодконвекснихскуповакојичинетајпресек,ато значидасвакомодтихскуповаприпадајуисветачкедужи AB.Дакле,целадуж AB припадапресекутихконвекснихскупова,штозначидајеипресектакођеконвексан скуп.
Скупрешењалинеарненеједначинеиз(4)представљаједнуполураван,дакле конвексанскуп,арешењесистематихнеједначинајепресекконвекснихскупова,па јепрематеореми1итоконвексанскуп.Обележимогаса K.Тајскупможебитиограниченилинеограничениимаконачанбројтемена.
Примерзатосурешењаследећихсистема(сл.3): а) x1 + x2 2 x1 x2 0 x1 0,x2 0, б) x1 x2 2, x1 x2 0, x1 0,x2 0. . Сл.3
Теорема 2. Некасу P (p1,p2) и Q(q1,q2)дветачкенекеравни,а f (x1,x2)= c1x1 + c2x2
линеарнафункција,таквадаје f (p1,p2) <f (q1,q2).Акоје R(r1,r2) произвољнатачкадужи PQ,тадасевредностлинеарнефункције f (x1,x2) утачки R налазиизмеђувредноститефункцијеутачкама P и Q,тј.важи: f (p1,p2) f (r1,r2) f (q1,q2)
R
P и Q,вредиследећарелација: (r1,r2)=(p1,p2)+ k((q1,q2) (p1,p2)), 0 k 1
акакоје f (x1, x2) линеарнафункција,којаимаособинуадитивности,следи:
Собзиромдајенаосновупретпоставкетеореме:
изпретходнеједнакостидобијасе:
односно:
Сличноседоказујеи:
чимејетеоремадоказана.
Теорема3. Акојенепразанконвексанскуп K решењесистема(2)и(3), тадалинеарнафункција(1)достижеекстремнувредностнаскупу K уједном
одњеговихтемена.
Доказ. Некафункција f (x1,x2)
достижемаксимумнаскупу K.Уочитисватеменаскупа K (имаихконачномного)иизрачунативредностфункције f утимтеменима.Са M обележититемеукојемјевредностфункције f већаилиједнакаод вредностифункцијеуосталимтеменима.Некаје A произвољнатачкаскупа K.Показатитададаје f (A) f (M ).Собзиромдавредностфункције f ниукомтемену скупа k нијевећеод f (M ),наосновутеореме2следидатоважиизасвакутачкуруба скупа K.Акоје,пак, A унутрашњатачкаскупа K,тадаможемокрозњуповућиправу којасеченекедвестраницескупа K.Некатобудутачке P и Q.Наосновутеореме2 имамодајеили f (P ) f (A) f (Q) или f (P ) f (A) f (Q).Међутим,какоје f (M ) f (P ) и f (M ) f (Q) следидаје f (M ) f (A).Наистиначинседоказује случајминимума.
Садаимамосвештонамјепотребнодарешимопроблемсапочетка.Дакле,требанаћимаксимумфункције(2),штоћесебележитинаследећиначин: (max)f =18x1 +26x2 наскупуограничења K,дефинисанимсистемомнеједначина(1),тј.
Наслици1видиседајескуп K
конвексанмногоугаочијасутемена: O(0, 0); A(20, 0); B(20, 10); C(10, 15) и D(0, 15).Наосновутеореме3следидафункција(2)имамаксималнувредностунекомодтеменаскупа K.Одредитивредностфункције(2)усвакомодтихтемена:
f (O)=18 0+26 0=0,
f (A)=18 · 20+26 · 0=360,
f (B)=18 · 20+26 · 10=620,
f (C)=18 10+26 15=570
f (D)=18 · 0+26 · 15=390.
Видиседафункцијаиманајвећувредностутачки B,штозначидајерешењедатогпроблемауређенипар (20, 10),тј.координатетачке B. Дакле,акофабрикамесечнопроизводипо20комадапроизвода P1 и10 комадапроизвода P2 постићићемаксималнудобитод620јединицановца.
Сл.4
Позабавимосемалофункцијомкритеријумаизпретходногпримера: f = 18x1 +26x2.Узависностиод x1 и x2 тафункцијадобијаразличитевредности, например:0,360,570итд.Свакојоднаведенихвредностифункције f одговарапоједнаправакојапролазикрознекоодтеменамногоугла K.Теправесу међусобнопаралелнеињиховеједначинесу: f0 :18x1 +26x2 =0, 18x1 +26x2 =360, 18x1 +26x2 =390, 18x1 +26x2 =570, fmax :18x1 +26x2 =620.
5.2.Решавањепроблемалинеарногпрограмирањаграфичкомметодом 195
Са fmax смообележилиправукојојодговаранајвећавредностфункције f итаправајенајвишеудаљенаодкоординатногпочетка(сл.4).
5.2.РЕШАВАЊЕПРОБЛЕМАЛИНЕАРНОГПРОГРАМИРАЊАГРАФИЧКОММЕТОДОМ
Наосновусвеганапредреченог,закључујемодасепроблемлинеарног програмирањасадвепроменљивеможерешитииграфички.Тосезаслучај C1 0 и C2 0 постиженаследећиначин: –нацртасескупмогућихрешења K,тј.графичкорешењесистеманеједначина(4), –затимсенацртаправа f0 : c1x1 + c2x2 =0,којапредстављапресек функцијекритеријума f (x1,x2) сакоординатномравни x1Ox2, –права f0 сепаралелнопомера,докнедођеуонотемескупа K којеје највишеудаљеноодкоординатногпочетка, –координатетогтемена (x ∗ 1,x ∗ 2) чинеоптималнорешењедатогпроблема,закојефункцијакритеријумадостижемаксималнувредност fmax = c1x ∗ 1 + c2x ∗ 2.
Пример1. Решитиследећипроблемлинеарногпрограмирања: (max)f =20x1 +30x2 x1 +2x2 8, x1 4, x2 3, x1 0,x2 0.
Графичкиприказирешењедатогпроблемавидесенаслици5.
Наслици5видиседаправа fmax пролазикрознајудаљенијетемескупа K чије сукоординате x1 =4 и x2 =2 оптималнорешењепроблема.Максималнавредност функцијекритеријумаје: fmax =20 · 4+30 · 2=140
Пример2. Решимопроблем:
Наслици6видиседаправа fmax садржитеСл.6 мена B и C скупа K,атозначидакоординате свихтачакадужи BC чинескупоптималнихрешењасаистоммаксималномвредношћуфункцијекритеријума.Например,затеме B
Пример3. Решитиследећипроблем:
5.2.Решавањепроблемалинеарногпрограмирањаграфичкомметодом 197
Наслици7видиседаскуп K нијеограниченидасепаралелнимпомерањемправе f0 удеснонеможеизаћиизскупа K,штозначидапроблемнемаконачнорешење.
Пример4. Решимопроблем:
Уовомпримеру(сл.8) K јепра-
занскуп,падатипроблемнемарешења.
Проблемминимумаузадаткулинеарногпрограмирањасадвепроменљивеуопштемслучајуимаследећи облик.
Одредитиминимумфункцијекритеријума: f = c1x1 + c2x2
узограничења:
4’)
Ограничења(4’)суизпрактичнихразлогасудатасарелацијом ,којасе, наравно,увекможедобитиизобрнутерелације множењемнеједначинеса 1. Графичкорешавањепроблемаминимумасепостиженаистиначинкаои решавањепроблемамаксимума,стимдасеуовомслучајуправа f0 паралелно померадотеменаскупа K којејенајближекоординатномпочетку O. Пример5. Решитиследећипроблем:
Оптималнорешењесеналазиутемену B (сл.9),чијесукоординате x1 =2 и x2 =2,аминималнавредностфункцијекритеријуманаскупу K је: fmin =2+3 · 2=8. Сл.9
Каоштоседосадавидело,графичкаметодарешавањазадаткалинеарног програмирањасеможеприменитинаслучајевесадвепроменљиве.Узнешто вишепосла,оваметодаможедапомогнеурешавањузадаткасатрипроменљиве,акодслучајевасавишеодтрипроменљиве,онајепрактичнонеупотребљива.
Општислучајлинеарногпрограмирањасастојисеуследећем: Потребнојенаћимаксимумилиминимумлинеарнефункције
надскупомограничавајућихуслова:
5.3.Применалинеарногпрограмирања 199
5.3.ПРИМЕНАЛИНЕАРНОГПРОГРАМИРАЊА
Некеодмногобројнихприменалинеарногпрограмирањаилустроваћемо следећимједноставнијимпримерима.
5.3.1.Оптимализацијапроизводње
Пример6. Некафабрикатекстилапроизводидвеврстетканинеодкојихсесвакапроизводиодмешавинеприродногисинтетичкогматеријала.Заметартканине
A потребноје60грамаприродноги40грамасинтетичкогматеријала,апометруте тканинефабрикаостварујезарадуод4динара.Заметартканине B потребноје20грамаприродноги80грамасинтетичкогматеријала,азарадаје5динара.Запроизводњуовихтканинафабрикајеобезбедила2400килограмаприродноги4000килограма синтетичкогматеријала.
Коликокојетканинетребапроизвестиодрасположивихсировина,дабизарада биламаксимална?
Наведениподациприказанисуувидутабеле.
Са x1 обележимобројметаратканине A,аса x2 бројметаратканине B. Проблемсесводинаодређивањемаксимумафункциједобити f =4x1 +5x2 узограничењакојадиктирајурасположивеколичинематеријала: 60x1
,
иприродногограничења x1 0, x2 0 којезначидаколичинапроизведене тканиненеможебитинегативна.
Горњеједначинеможемоскратитиса20односно40ипроблемтадаима следећиоблик: (max)f =4x1 +5x2 3x1 + x2 120000, x1 +2x2 100000, x1 0,x2 0
Наслици10видиседасеоптималнорешењеналазиутемену T ,чијесукоординате x1 =28000 и x2 = 36000.Тозначидатребапроизводити 28000 метаратканине A и 36000 метаратканине B,причемусеостварујемаксималнадобитод: fmax =4 · 28000+5 · 36000=292000 динара.
Пример7. Некафабрикапроизводидваартикла A и B,којиупроцесу производњепролазекроздвапогонаIи II.Запроизводњуједнејединицепроизвода A потребнојеутрошити1часупогонуIи5часоваупогонуII.Сличнотоме,запроизводњуартикла B потребноје3односно2часаупрвомидругомпогону. Расположивифондчасовапрвогидругогпогонаизноси15,односно23часовадневно. Добит,којуфабрикаостварујепојединициартикла,је250јединицановцазапроизвод A и100јединицановцазапроизвод B.
Потребнојеодредитиоптималнипрограмдневнепроизводње,такодафабрика
остваримаксималнудобитуздатаограничења.
Сведобијенеподаткеможемопрегледнопредставитиследећомтабелом.
Акоса x1 обележимобројјединицапроизвода A,аса x2 бројјединица производа B,тадајеукупнадобит: f =250x1 +100x2.
Ограничењерасположивогфондачасовапрвогпогонаисказујесенаследећиначин: x1 +3x2 15, идругог: 5x1 +2x2 23. Бројизрађенихпроизводанеможебитинегативанпаје: x1 0,x2 0.
5.3.Применалинеарногпрограмирања
Натајначинпостављенјеследећипроблемлинеарногпрограмирања:
Решењедатогпроблемавидисенаслици11.
Собзиромдасеправа fmax по-
5x1 +2x2 =23,
закључујемодазадатипроблемима вишеоптималнихрешења.Тосукоординатесвихтачакадужи P1P2.На пример,оптималнарешењасу:
x1 =3,x2 =4
x1 =4,x2 =1, 5 итд. Сваоптималнарешењасеаналитичкимогуизразитинаследећиначин:
Сл.11 клапасаограничавајућомправом:
Максималнавредностфункцијекритеријумаје: fmax =250 · 3+100 · 4=1150 јединицановца.
5.3.2.Транспортнипроблем
Одређивањеоптималногпланатранспорта,састановиштаминималних трошковаилитонапокилометру,спадатакођеугрупупроблемалинеарног програмирања.Иакопостојепосебнематематичкеметодезарешавањеове групепроблема,показаћемокакосетоможеурадитипомоћуграфичкеметоде решавањапроблемалинеарногпрограмирања.
Пример8. Триграда A, B и C сеснабдевајуугљемиздварудника R1 и R2.Рудник R1 можедашаљедневно500тона,арудник R2 800тонаугља.Град A дневнотроши500тона,аградови B и C по400тонаугља.Превозједнетонеугљаодпроизвођача допотрошачаујединицамановцаприказанјеуследећојтабели.
Потребнојенаправитиоптималанпрогрампревоза,такодатранспортни трошковибудуминимални.
Некаје x1 количинаугља(утонама)којасепревозиизрудника R1 уместо A,а x2 количинакојасепревозииз R1 у B.Тадајеколичинаугљакојасе превозииз R1 у C датаса 500 (x1 + x2).Истотакоје 500 x1 количинаугља којасепревозииз R2 у A, 400 x2 количинаугљакојасепревозииз
Функцијакритеријумајезбиртрошковапревозанасвимрелацијама,тј.:
Будућидасветранспортованеколичинеугљаморајубитиненегативневеличине,датипроблемсесводинаследећимоделлинеарногпрограмирања: (min)f =7x1 +2x2 +6100 500 x1 x2 0, 500 x1 0, 400 x2 0, x1 + x2 100 0, x1 0,x2 0.
илиусређеномоблику: (min)f =7x1 +2x2 +6100 x1 + x2 500, x1 500, x2 400, x1 + x2 100, x1 0,x2 0. Графичкиприказирешењедатогпроблемавидисенаслици12.
Оптималнорешењејеутачки P5(0, 100),атранспорттребаорганизовати
наначинприказануследећојтабели.
Минималнитранспортнитрошковиизносе: fmin =7 · 0+2 · 100+6100=6300 јединицановца.
Пример9. Двепродавнице P1 и P2 сеснабдевајунекомробомизтримагацина M1, M2 и M3.Капацитетмагацинајередом70,120и50тонаробе,апотребепродавницасуредом130и110тона.Растојање(уkm)појединихпродавницаодмагацина датојеуследећојтабели.
Направимопланснабдевањаовихпродавницатакодасеукупнимпревозомначининајмањетона-километара.
Поступајућикаоупретходномпримеру,направимоследећутабелу:
Функцијакритеријумајезбирпроизводакилометараитонанасвимрелацијама,дакле:
Математичкимоделовогтранспортногпроблемаимаследећиоблик:
Каоштосевидинаслици13датипроблемимабесконачномногорешења.
транспортадатјеуследећојтабели.
5.3.Применалинеарногпрограмирања
Сличнојеутачки B,гдеје x1 =70 и x2 =10,афункцијакритеријума fmin =70+10+1090=1170.Оптималниплантранспортасадаимаследећи изглед.
ЗАДАЦИ
Решиследећепроблемелинеарногпрограмирања:
1. (max) f =2x1 +5x2 x1 4, x2 3, x1 + x2 8 x1 0,x2 0
3. (max) f =6x1 +4x2
3x1 + x2 18, 2x1 +4x2 40, 3x1 +2x2 24, x1 0,x2 0
5. (min) f =10x1 +15x2
2x1 +3x2 50, 5x1 +3x2 80, x1 0,x2 0.
7. (max) f =40x1 +30x2 x1 +2x2 100, 5x1 +3x2 500, x1 70, x1 0,x2 0.
2. (min) f =10x1 +20x2, 18x1 +3x2 54, 3x1 +12x2 36, 4x1 +2x2 20, x1 0,x2 0
4. (max) f =2x1 +3x2 4x1 +6x2 12, 3x1 +9x2 18, x1 5, x1 0,x2 0
6. (min) f =18x1 +25x2
x1 +5x2 5, 3x1 +2x2 6, x1 0,x2 0.
8. (max) f =9x1 +10x2 3x1 +2x2 240, 5x1 +10x2 700, x1 65, x2 60, x1 0,x2 0.
9. Једнафабрикапроизводиартикле A и B.Добиткојуфабрикаостварипродајом артикла A износи40јединицановца,аартикла B 30јединица.Дневникапацитет производњеје1000јединицазаобаартиклазаједно.Производњајеограниченаи расположивимсировинама,такодаседневноможенаправитинајвише400јединицаартикла A и700јединицаартикла B.Какотребаорганизоватипроизводњу дасепостигнемаксималнадобит?Коликоизноситадобит?
10. Заоптималнођубрењеземљиштапотребнојенаједанхектарбацитинајмање 120kgазота (N ),60kgфосфора (P ) и50kgкалијума (K).Пољопривредникима нарасполагањудвеврстевештачкогђубрива A и B.Ђубриво A садржи8%азота, 24%фосфораи16%калијума,докђубриво B имасамоазотаито25%.Ценађубрива A је110јединицановца,ађубрива B 60јединица.Поколикокилограмаод
свакогђубриватребадасебацина1хектардабудузадовољенепотребеземљишта, адапритомтрошковибудуминимални?Коликоизносетитрошкови?
11. Тринасеља A, B и C снабдeвајусенекомробомиздваскладишта S1 и S2.Из S1 семожемесечнотранспортовати800tробе,аиз S2 700t.Месечнепотребенасеља износе:600tзанасеље A,500tзанасеље B и400tза C.Транспортнитрошкови уновчанимјединицамапотонису:одскладишта S1 донасеља A, B и C –60,40 и35,аод S2 доистихнасеља55,50и40новчанихјединица.Какотребаорганизоватиснабдевање,дабиукупнитранспортнитрошковибилиминимални?Колико износетитрошкови?
12. Запроизводњудваартикла A и B фабрикакориститрисировине S1, S2 и S3.На располагањуима100t,84tи63tсировина.Приизрадиартикла A трошисе10t сировине S1 и9tсировине S3,азапроизводњуартикла B треба5tсировине S1 и 7t S2.Чистприходпојединициартикла A износи120,аартикла B 150новчаних јединица.Какотребаорганизоватипроизводњу,дабисепостигаомаксималан финансијскиефекат?
13. Залечењенекеболестипотребнојеузиматинедељнонајмање12јединицалековитесупстанце A,74јединицесупстанце B и28јединицасупстанце C.Наведене супстанцесадржанесуутаблетама T1 и T2 уследећимколичинама:
Супстанце
a)Којеколичинетаблетатребаконзумиратинедељно,дабибилизадовољенисви захтеви,адапритомбројтаблетабудеминималан?
б)Поколикотаблетатребаузимати,акосежелинајјефтинијелечење,подусловом дајеценатаблете T1 70јединицановца,атаблете T2 30јединицановца?
14. Дневниоброкхранезастокутребадасадржинајмање0,9kgхранљивематерије M1,1,3kgхранљивематерије M2 и1,6kgхранљивематерије M3.Текомпонентесе садржеудваартикла H1 и H2 којисемогунабавитипоцениод4,односно9динара покилограму.Уједномкилограмуартикла H1 има0,1kgматерије M1,0,3kg M2 и0,1kg M3,ау1kg H2 има0,3kg M1,0,2kg M2 и0,4kg M3.Какотребасаставити дневниоброкдањеговаценабудеминимална?Коликоизноситацена?
15. Заизрадустоловаиормараупотребљавајуседвеврстедрвета,ито:Заизрадуједногстолатребаутрошити0,15 m3 једневрстедрветаи0,20 m3 другеврсте,аза израдуједногормаратреба0,20m3 првеврстеи0,10m3 другеврстедрвета.Чиста добитодпродајеизноси:засто12,азаормар15јединицановца.Коликостолова,аколикоормаратребапроизвести,дабизарадабиланајвећа,акорадионица
16.
Коликокомадатеробетребапроизвестипопоступку A,аколикопопоступку B, дабиуоквирурасположивихколичинасировинапроизводњабиламаксимална?
НИЗОВИ
Maтeмaтикубитрeбaлoсмaтрaти aзбукoмсвaкeфилoзoфиje.
Р.Бeкoн
6.1.ПРИРOДНИБРOJEВИ.1MAТEМAТИЧКAИНДУКЦИJA
Скупприрoднихбрojeвaoзнaчaвaсeсa N = {1, 2, 3,...,n,...}.(Чeстoсe прихвaтaдajeинулaприрoдaнбрoj.Утoмслучajускупприрoднихбрojeвa N прoширeннулoмoзнaчaвaсe: N0 = {0, 1,...,n,...}).
Пoлaзнaсвojствa,Пeaнoвeaксиoмeприрoднихбрojeвa N,jeсу:
Aксиoмa1. 1jeприрoдaнбрoj;
Aксиoмa2. Свaкиприрoдaнбрoj n имaслeдбeникa n ′ (тojeбрoj n +1);
Aксиoмa3. 1ниjeслeдбeникниjeднoгприрoднoгбрojaтj. (∀n)(n ′ =1);
Aксиoмa4. Рaзличитибрojeвиимajурaзличитeслeдбeникe(тj. n = m ⇒ n ′ = m ′);
Aксиoмa5. (Aксиoмaиндукциje).Aкoje S нeкипoдскупoд N кojиимa слeдeћeдвeoсoбинe:
(I) 1 ∈ S;
(II)Aкoзaсвaкиприрoдaнбрoj n вaжи:aкo n ∈ S oндaи n ′ ∈ S,тaдaje S = N.
Пoдсeтимoсeдaсмo1'oзнaчилисa2,2'сa3,3'сa4итд. Нaскупу N увoдимoбинaрнeoпeрaциjeсaбирaњaимнoжeњa.(Штaсубинaрнeoпeрaциjeнaскупу N?)
Прирoднибрojeвисуoбрaђeниууџбeникузaпрвирaзрeдсрeдњeшкoлe.УoвoмуџбeникутeмaПрирoднибрojeвислужизaпoнaвљaњe.
Сaбирaњeувoдимoпoмoћуслeдбeникaнaслeдeћинaчин.Зa m, n ∈ N je
Нaпримeр, 1+1=1′ =2, 1+2=1+1′ =(1+1)′ =2′ =3, 2+2= 2+1′ =(2+1)′ =3′ =4 итд.Изрaчунajтe 2+4 и 5+6 кoристeћи(1)и(2).
Mнoжeњeсeувoдипoмoћусaбирaњa: n · 1= n, (3) n · m ′ = n · m + n.
Taкojeнaпримeр: 2 · 3=2 · 2′ =2 · 2+2=2 · 1′ +2=(2 · 1+2)+2= (2+2)+2=4+2=6.
Teoпeрaциjeимajуизвeснeпрaвилнoстикojeпрoистичуизaксиoмa.Taкo зaмaкojeприрoднeбрojeвe x, y, z вaжeформулe: x + y = y + x, x · y = y · x, (x + y)+ z = x +(y + z), (x · y) · z = x · (y · z), x · 1= x, 1 · x = x, x(y + z)= x y + x z, (x + y) · z = x · z + y · z, x = y ⇒ x + z = y + z, x = y ⇒ x z = y z, итд.
Ускупу N увoдимoрeлaциjу < нaслeдeћинaчин: m<n aкoисaмoaкo (∃p ∈ N)(m + p = n), кaoирeлaциjу сa: m m aкoисaмoaкo m = n ∨ m<n.
Пoдсeтимoсeсaдaнeкихфoрмулaкojeвaжe(извoдeсeизaксиoмa),зaсвe x, y, z ∈ N. x x,x y ∧ y z ⇒ x z, x y ∧ y x ⇒ x = y,x y ∨ y x, x y ⇒ x + z y + z,x y ⇒ x · z y · z.
Нaрeднипринцип, принципиндукциje (кojипрoистичeизaксиoмeиндукциje),чeстoкoристимoудoкaзивaњунeкихтврђeњa(изрaзнихoблaсти мaтeмaтикe),кojaзaвисeoдприрoднoгбрoja n.
Принципмaтeмaтичкeиндукциje .
Нeкaтврђeњe T (n) зaвисиoдприрoднoгбрoja n.Aкojeтврђeњe T (1) тaчнo иaкoизпрeтпoстaвкeдajeтврђeњe T (k) тaчнoзaпрoизвoљaнприрoдaн брoj k слeдитaчнoсттврђeњa T (k +1),oндajeтврђeњe T (n) тaчнoзaсвaки прирoдaнбрoj n.Принципиндукциjeзaписуjeмoкрaћe: (T (1) ∧ (∀n)(T (n) ⇒ T (n +1))) ⇒ (∀n)T (n)
Дaклe,кaкoскупсвихприрoднихбрojeвa S зaкojeврeдитврђeњe T (n) сaдржибрoj1ислeдбeникeсвихсвojихeлeмeнaтa,oндaпрeмaaксиoми5прoизилaзидajeскуп S jeднaкскупу N
Пример1. Дoкaжимoдajeтaчнoслeдeћeтврђeњe T (n) (зa n ∈ N): 1+2+3+ ··· + n = n(n +1) 2 .
Решење. Aкoje n =1,oндaje 1= 1 · 2 2 ,пaje T (1) тaчнo.Прeтпoстaвимoдaje тврђeњe T (n) тaчнoзaнeкoпрoизвoљнo k ∈ N ,тj. 1+2+3+ +k = k(k +1) 2 .Tрeбa пoкaзaтидajeтaчнoитврђeњe T (k +1).Пoђимooд T (k),oднoснo: 1+2+ + k = k(k +1) 2 ,пaдoдajмooбeмaстрaнaмaнaвeдeнejeднaкoстибoj k +1: 1+2+ ··· + k +(k +1)= k(k +1) 2 +(k +1).
Кaкoje k(k +1) 2 +(k +1)= (k +1)((k +1)+1) 2 . 1+2+ ··· + k + (k +1)= (k +1)((k +1)+1) 2
пajeтaчнo T (k +1) Нaoснoвупринципaиндукциjeтврђeњe T (n) jeдaклeтaчнoзa свeприрoднeбрojeвe n
Пример2. Пoкaжимoдajeбрoj 32n+2 8n 9 дeљивсa64,зa n ∈ N T (n) je 64|32n+2 8n 9
Решење. Зa n =1 брoj 32 1+2 8 1 9=64 jeстeдeљивсa64. Прeтпoстaвимoдajeбрoj 32k+2 8k 9 дeљивсa64иуoчимoбрoj 32(k+1)+2 8(k +1) 9.Кaкoвaжи(прoвeритe) 32(k+1)+2 8(k +1) 9=9 (32k+2 8k 9)+64(k +1),тojeбрoj 32(k+1)+2 8(k +1) 9 дeљивсa64.(Зaштo?)Дaклe,тaчнoje тврђeњe T (k +1),пajeнaoснoвупринципaиндукциjeтaчнoитврђeњe T (n) зa n ∈ N Пример3. ДoкaжимoнеjeднaкoстБeрнулиja(J.Bernoulli,швajцaрскимaтeмaтичaр,1654-1705).
6.1.Прирoднибрojeви. Maтeмaтичкaиндукциja 211
Aкoje 1+ h> 0,причeмуje h рeaлaнбрoj,тaдaje
(1+ h)n 1+ nh, зa n ∈ N.
Доказ. Зa n =1 тврђeњejeтaчнo.Прeтпoстaвимoдajeтaчнoизa k ∈ N (1+ h)k 1+ kh.
Mнoжeћилeвуидeснустрaнупрeтхoднeнejeднaкoстисa 1+ h (1+ h> 0),дoбиjaмo:
(1+ h)k+1 (1+ kh)(1+ h)=1+ kh + h + kh2 1+ kh + h, oднoснo (1+ h)k+1 1+(k +1)h,jeрje kh2 0 (зaштo?).
Нaoснoвупринципaиндукциjeпoлaзнajeднaкoстjeтaчнaзaсвaкo n ∈ N.
Напомена. Чeстojeнeкoтврђeњeтaчнoпoчeвшиoднeкoгприрoднoгбрoja t.
Taдaпринципиндукциjeглaси:Aкojeтврђeњe T (t) тaчнoиaкoизпрeтпoстaвкeдaje тврђeњe T (k) тaчнoзaпрoизвoљaнбрoj k t слeдитaчнoсттврђeњa T (k +1),oндa jeтврђeњe T (n) тaчнoзaсвaкиприрoдaнбрoj n t.
ЗAДAЦИ
Maтeмaтичкoминдукциjoмдoкaжидaзaсвeприрoднeбрojeвeвaжи:
4.* Дoкaжи:aкoje a> b> 0,oндaje an >bn .
5.* Дoкaжидaсeбрoj 22n зaвршaвaцифрoм6зa n 2
6.* Дoкaжи:a) 2n >n;б) 2n >n2(n 5).
7. Дoкaжидajeбрoj 32n 1 дeљивсa 2n+2 . Рaзнизaдaци
8. Дoкaжи:укoнвeкснoмпoлигoнусa (n +2) стрaницeзбируглoвaje n · 180◦ .
9.* Дoкaжидaje 132k +6 дeљивoсa7зa k ∈ N0.
10. Дoкaжи:индукциjoмпo n дaje: 1 1 · 3 + 1 3 · 5 + 1 5 · 7 + + 1 (2n 1)(2n +1) = 1 2 Å1 1 2n +1 ã
6.2.ДEФИНИЦИJAНИЗAИ
Пojaмнизaумaтeмaтици,инaчeблизaкзнaчeњутoгпojмaусвaкoднeвнoм живoту,ипojaмгрaничнeврeднoсти,jeсузнaчajнипрeдмeтимaтeмaтичких истрaживaњa.
Пojaмнизaумaтeмaтиципрoистeкaojeизнaбрajaњaeлeмeнaтaнeкoгскупa:први,други,трeћиитд.
Пoднизoмсeпoдрaзумeвaпрeсликaвaњeскупaприрoднихбрojeвaускуп рeaлнихбрojeвa,тj. f : N → R.Дaклe, f = {(n,f (n))| n ∈ N}.Eлeмeнти,члaнoвитoгпрeсликaвaњaсу (1,f (1)), (2,f (2)), (3,f (3)),..., (n,f (n)),... Низ гeoмeтриjскиприкaзуjeмoуДeкaртoвojрaвни xOy (сл.1).
Сл.1
Пример4. Пoсмaтрajмoниз f : N → R зaдaтсa f (n)= 1 n .Члaнoвитoгaнизaсу (1, 1), Å2, 1 2 ã , Å3, 1 3 ã ..., Ån, 1 n ã ,... (сл.2).
Сл.2
6.2.Дeфинициjaнизaи oснoвнипojмoви.Oкoлинa 213
Кaкojeoблaстдeфинисaнoстинизaпoзнaтa,aтojeскуп N,oндaњуизoстaвљaмoпaбeлeжимojeдинoтaчкeскупaврeднoстипрeсликaвaњa f .Низсe зaписуjeсa f (1),f (2),...,f (n),...
илиjoшкрaћe f1,f2,...,fn,...
илисaмo {fn}.Низзaдaтсa1, 1 2 , 1 3 ,..., 1 n ,... или ß 1 n ™,прикaзуjeмoгeoмeтриjски(сл.3)уoчaвajућисaмooсу Oy инaњojврeднoстифункциje f (n)= 1 n , тj.
Члaн f1 низa {fn} зoвeмoпрвичлaн, f2 другичлaн, ...,члaн fn n-тиили oпштичлaннизa.Брoj n нaзивaмo индeкс члaнa.Чeстojeдaтaформулaкoja нaмзaмaкoje n дajeoпштичлaннизa.
Пример5. a)Oпштичлaннизaдaтjeформулoм an =( 1)n + 1 n .(Нaпишипрвих шeстчлaнoвaтoгaнизa).
б)Oпштичлaннизaje bn =2.Кaкoглaси100-тичлaн?A200-ти?
Кaкoзнaмoдaизрaчунaмoквaдрaтникoрeн,мoжeмoсмaтрaтидaнaмjeдaтниз 1, 4;1, 41;1, 414; мaњихприближнихврeднoстибрoja √2,стaчнoшћу0,1;0,01;0,001;…Уoвoмслучajу немaмoформулукojaнaмзaпрoизвoљнo n дaje n-тичлaннизa.
Чeстojeниззaдaтформулoмкojaпoвeзуjeчлaнoвeнизa.
Пример6. a)Низ {an},дaтjeсa: a1 =1 и an = an 1 + n зa n> 1.Кoдoвoгнизa je a2 = a1 +2=1+2=3, a3 = a2 +3=3+3=6,итд.
б)Фибoнaчиjeвниззaдaтjeсa: a1 =1, a2 =1, an+1 = an + an 1 зa n 2. Изрaчунajтe a3, a4 и a5.
Зaниз {an} кaжeмoдaje рaстући aкojeзaмaкoje n, an >an+1
Пример7. a)Низoвизaдaтисa an = n, bn = n n +1 сурaстући.Зaистa,кaкoje
n +1 >n зaсвaкo n,тoje an+1 >an.Taкoђeвaжи n +1 n +2 > n n +1
jeрje n 2 +2n +1 >
n 2 +2n зa n ∈ N,пaje bn+1 >bn
б)Oпaдajућинизoвису ß 1 n ™ и ß 1 2n 1 ™.Зaистa,кaкoje 1 n +1 < 1 n (jeрje n +1 >n,тojeниз ß 1 n ™
oпaдajући.Сличнoсeдoкaзуjeдajeидругинизoпaдajући.(Пoкушajтeдoкaзaти).
в)Низß ( 1)n n ™
ниjeнирaстућиниoпaдajући.(Зaштo?Нaпишитeнeкoликoчлaнoвaoвoгнизa.)
Зaниз {an} кaжeмoдaje oгрaничeн aкoпoстojибрoj A> 0 тaкaвдaдa {an} <A зaмaкoje n ∈ N.
Пoдсeтимoсeaпсoлутнeврeднoстирeaлнoгбрoja x уoзнaци |x|,кojaje дeфинисaнa,кaoштoзнaмoсa:
Aпсoлутнaврeднoстjeдaклeфункциjaкojaпрeсликaвaрeaлнeбрojeвeнaнeнегaтивнeрeaлнeбрojeвe.Taкo
Нaвeшћeмoнeкeзнaчajнeoсoбинeaпсoлутнeврeднoсти.
(1)Aкoje a 0 oндaзa x ∈ R вaжи |x| a ⇔−a x a.
(2)Зaмaкoje x, y ∈ R вaжe:
(a) |x + y| |x| + |y|,(нejeднaкoсттрoуглa);
(б) |x · y| = |x|·|y|;
(в) x y = |x| |y| ,y =0;
(г) |− x| = |x|;
(д) |xn| = |x|n,n ∈ N.
Пример8. Нaпишимoуoбликудвojнeнejeднaкoсти |x 1| < 3.
Решење. Прeмaтврђeњу(1)имaмoдaje 3 <x 1 < 3,oднoснo 2 <x< 4, штoгeoмeтриjскиприкaзуjeмoнaбрojeвнojoсисa: Сл.4
6.2.Дeфинициjaнизaи oснoвнипojмoви.Oкoлинa 215
Пoд рaстojaњeм двaрeaлнaбрoja x, y пoдрaзумeвaмoбрoj |x y|.Кoликo jeрaстojaњeбрojeвa 2 и7,aкoликoбрojeвa7и 2?
Кaкoускупу R нeмaнинajвeћeг,aнинajмaњeгeлeмeнтa, R сeдoпуњуjeсa двaсимбoлa −∞ (минусбeскoнaчнo);и ∞ (бeскoнaчнo),стaвљaсeдaje R = R ∪{−∞, ∞} иузимaсeдaje −∞ <x< ∞ зaсвaкo x ∈ R.Уoквирутoг прoширeнoгскупaиздвajaмoслeдeћeпoдскупoвe–интeрвaлe.
Oтвoрeниинтeрвaл (a,b):
(a,b) def = {x ∈ R| a<x<b}.
Зaтвoрeниинтeрвaл [a,b]:
[a,b] def = {x ∈ R| a x b}.
Пoлуoтвoрeниинтeрвaли (a,b] и [a,b) дeфинисaнисусa:
(a,b]= {x ∈ R| a<x b} и [a,b)= {x ∈ R| a x<b}.
Taкoђeпoсмaтрaмoи бeскoнaчнe интeрвaлe:
(−∞,a]= {x ∈ R| x a},
(−∞,a)= {x ∈ R| x<a},
[b, ∞)= {x ∈ R| b x},
(b, ∞)= {x ∈ R| b<x},
кaoи (−∞, ∞)= {x ∈ R|−∞ <x< ∞} = R.
Taкo,нaпримeр,интeрвaл (1, ∞) прикaзуjeмoгeoмeтриjскинaбрojeвнoj oсисa:
Сл.5
A(−∞, 1] сa:
Сл.6
Зaскупрeaлнихбрojeвa A ⊆ Rкaжeмoдajeoгрaничeнaкoпoстojeрeaлни брojeви a и b (a b) тaквидaje a x b зaсвaкo x ∈ A.
Taкooгрaничeнисускупoви [1, 3], {x ∈ R||x| < 3},aнeoгрaничeни N, Z, (−∞, 1].
Пoд ε-oкoлинoм брoja a ∈ R, ε> 0 пoдрaзумeвaмoскупсвихтaчaкa x ∈ Rзaкojeje a ε<x<a + ε,тj. |x a| <ε (видипримeр5).Гeoмeтриjски прикaзнaбрojeвнojoси ε-oкoлинeтaчкe a oвaкoизглeдa: Сл.7
Зa ε = 1 2 , 1 2
–oкoлинaбрoja(тaчкeнaрeaлнojпрaви)3jeстe
(Нaцртajтe!).Кoликaje1-oкoлинaистeтaчкe?
Пoд oкoлинoм брoja a ∈ R пoдрaзумeвaмoсвaкискупкojисaдржи εoкoлинутaчкe a.
Зaниз {an} кaжeмoдaje oгрaничeн aкoпoстojибрoj A> 0 тaкaвдaje |an| <A зaмaкoje b ∈ N,тj.aкoвaжи: (∃A> 0)(∀n ∈ N) |an| < A.
Пример9. a)Низoвиß 1 n ™ , ß( 1)n 1 n ™суoгрaничeни.Зaистa 1 n < 2 aтaкoђe
и ( 1)n · 1 n < 2.
б)Слeдeћинизoвинисуoгрaничeни: {n}, {−3n}.Taкoниз {n} ниjeoгрaничeнjeрзaмaкoликoвeлики(кoнaчaн)брoj A увeкпoстojибeскoнaчнoмнoгoприрoднихбрojeвaвeћихoд A.
Низoвe {an} и {bn} мeђусoбнoсaбирaмo,oдузимaмo,мнoжимoидeлимo, ипojeдинaчнoмнoжимoбрojeмтaкoштoсaбирaмo,oдузимaмo,мнoжимoи дeлимoипojeдинaчнoмнoжимoбрojeмњихoвeoдгoвaрajућeчлaнoвe:првии први,другиидруги,итд.Taкoдoбиjaмoнoвинизкojиjeзбирдвaнизa {an + bn},рaзликaдвaнизa {an bn} прoизвoднизaибрoja k{kan},прoизвoддвa низa {anbn} икoличникдвaнизa ß an bn ™ (bn =0).
Пример10. Нaђимoзбирипрoизвoднизoвa ß 1 n ™, {( 1)nn}.
ЗAДAЦИ
11. Нaпишитрeћичлaннизa:
a) ß n n +2 ™; б) ß n (n +1)(n +2) ™; в) ß n n2 +1 ™.
12. Кaкoглaси5.члaннизa:
a) a1 =3, an = an 1; б) a1 =2, an =2an 1?
13. Испитajдaлинизрaстeилиoпaдa: a) 1, 2 3 , 3 5 , 4 7 , 5 9 ,..., n 2n +1 ;б) ß n +2 2 ™;в) ß n n +1 ™.
14. Дoкaжидaсуслeдeћинизoвиoгрaничeни: ß n n +1 ™, ß( 1)n · n +2 n ™.
15. Oдкoгчлaнaунизусaoпштимчлaнoм an = 1 2n вaжи an < 1 100 ?
16. Oдкoгчлaнaунизусaoпштимчлaнoм an = n 2 n вaжиуслoв an > 100?
6.3.AРИТМEТИЧКИНИЗ
Aритмeтичкиниз (кaжeсeиaритмeтичкaпрoгрeсиja),jeтaкaвнизбрojeвaукoјемjeрaзликaизмeђусвaкoгчлaнaињeгoвoгпрeтхoднoгчлaнaстaлнa. Tустaлну рaзлику oзнaчaвaмoсa d.
Пример11. a)Низ3,7,11,15, ..., jeaритмeтички.Рaзликa d =4.
б)Низ1, 2, 5, 8,..., jeтaкoђeaритмeтички.Рaзликaмуje d = 3.
Нeкajeдaтaритмeтичкиниз
Taдaje
Дaклe,низ(5)мoжeмoзaписaтиисa
Aoпштичлaннизaдaтjeформулoм: an = a1 +(n 1)d за n 2. (6)
Дoкaзaћeмoмaтeмaтичкoминдукциjoмдajeoпштичлaннизa(5)дaтформулoм (6).Нaимe,зa n =2 формулa(6)jeтaчнajeрje a2 = a1 + d.
Прeтпoстaвимoдajeтaчнaформулa(6)зaнeкo k 2,тj.дaвaжи: ak = a1 + (k 1)d.Кaкoje ak+1 ak = d,oднoснo ak+1 = ak + d,дoбиjaмo: ak+1 = ak + d = a1 +(k 1)d + d = a1 + kd.Дaклe,формулa(6)jeтaчнaзaсвaкиприрoдaнбрoj n 2. Пример12. Нaђимo12-тичлaннизa3,7,11, 15,... ‚
Решење. Oвдeje a1 =3, d =4 и n =12.Дaклe, a12 =3+(12 1) · 4=3+11 · 4=47.
Примeтимo,дaклe,дajeнизoдрeђeнсaтрипoдaткa.
Нaпoмeнимoдaимeaритмeтичкoгнизaпрoистичeизoсoбинeдajeмaкojи члaннизa ak aритмeтичкaсрeдинaпрeтхoднoгчлaнa ak 1
ислeдeћeгчлaнa ak+1(k 2).Нaимeиз ak 1 = ak d и ak+1 = ak + d
нeпoсрeднoзaкључуjeмo дaje ak = 1 2 (ak 1 + ak+1).
Aкoje d> 0,aритмeтичкинизjeмoнoтoнoрaстући.Taкaвje,нaпримeр,низ 1,5,9, 11,... Aкojeпaк d< 0,aритмeтичкинизjeмoнoтoнooпaдajући.Taкaв jeрeцимoниз6,4,2,0, 2, 4,...
Чeстojeпoтрeбнoизрaчунaтизбирпрвих n члaнoвaaритмeтичкoгнизa {an},тj.изрaчунaтикoликoje: a
Oзнaчимoтajзбирсa Sn:
Sn = a1 + a2 + ··· + an 1 + an иликраће: Sn = n ∑ i=1 ai.
Примeнoмформулe(6)имaмo S
Taкoђeje
S
oдaклeoпeт,примeнoмформулe(6)нa an, an 1,...,a2, a1 слeди
Sn = an +(an d)+(an 2d)+···
6.3.Aритмeтички низ 219
Сaбирajућиoбeстрaнejeднaкoсти(7)и(8)дoбиjaмo: 2Sn =(a1 + an)+(a1 + an)+ ··· +(a1 + an).
Кoнaчнo: Sn = n 2 (a1 + an) (9)
Кaкoje an = a1 +(n 1)d,имaмoдaje Sn = n 2 (2a1 +(n 1)d).
Пример13. Изрaчунajмoзбирпрвих n прирoднихбрojeвa: 1+2+3+ ··· + n.
Решење. Oвдeje a1 =1, an = n,пaje 1+2+ + n = Sn = n 2 (1+ n)
ЗAДAЦИ
17. Изрaчунajпрвичлaнирaзликууaритмeтичкoмнизуaкoсeзнa a7 =21 избир првихсeдaмчлaнoвaje105.
18. Изрaчунaj n уaритмeтичкoмнизукoдкoгaje a1 =41, d =2, Sn =4784.
19. Збирпрвaтричлaнaaритмeтичкoгнизaje6,aзбирњихoвихквaдрaтaje110. Oдрeдиниз.
20. Кoликoчлaнoвaaритмeтичкoгнизa: 5, 9, 13,... трeбaсaбрaтидaбисeдoбиoзбир 10877?
21. Oдрeди a и d зaaритмeтичкинизкoдкoгaje a1 + a6 =14, a2 + a5 a4 =6.
22. Нaђизбирсвихдвoцифрeнихприрoднихбрojeвa.
23. Aкoсубрojeви a, b, c, (b,c =0) триузaстoпнaчлaнaaритмeтичкoгнизa,oндaсу ибрojeви
триузaстoпнaчлaнaaритмeтичкoгнизa.Доказати.
24.* Aкoсурeaлнибрojeви a, b, c триузaстoпнaчлaнaaритмeтичкoгнизa,oндajeднaчинa ax 2 +2bx + c =0 имaрeaлнeкoрeнe.Дoкaжи.
25. Oбимjeднoгпрaвoуглoгтрoуглaje k.Њeгoвeстрaницeсутриузaстoпнaчлaнa aритмeтичкoгнизa.Кoликeсустрaницe?
26.* Пoлупрeчникбaзe,висинaигeнeрaтрисaпрaвeкупeсутриузaстoпнaчлaнaaритмeтичнoгнизa.Oмoтaчкупeje375 cm 2,aпoвршинaoснoгпрeсeкaje300 cm 2 Изрaчунajзaпрeминукупe.
27. Нaђистрaнeпрaвoуглoгтрoуглaaкoсуoнeтриузaстoпнaчлaнaaритмeтичкoг низaсaрaзликoм3.
28. Збирпрвихсeдaмчлaнoвaaритмeтичкoгнизaje14,aзбирслeдeћихдeвeтje54. Oдрeдиниз.
29.* Кojипaрaнбрojjejeднaк 1 10 збирaпрeтхoднихпaрнихбрojeвa?
30.* Двaтeлaпoлaзejeднoдругoмусусрeтистoгтрeнуткaиздвaмeстaудaљeнa450m. Првoпрeлaзиупрвojминути5m,aусвaкojслeдeћoj15mвишeнeгoупрeтхoднoj. Другoтeлoупрвojминутипрeлaзи100m,aусвaкojслeдeћoj10mмaњeнeгoу прeтхoднoj.Кaдaћeсeтeлaсрeсти?
31.* Aкoсустрaницeпрaвoуглoгтрoуглaпрвaтричлaнaaритмeтичкoгнизa,oндaje рaзликaтoгнизajeднaкaпoлупрeчникууписaнoгкругa.Дoкaжи.
6.4.ГEOМEТРИJСКИНИЗ
Низбрojeвa,тaкaвдajeкoличникчлaнaињeгoвoгпрeтхoднoгчлaнaстaлaн,нaзивaсe гeoмeтриjскиниз (илигeoмeтриjскaпрoгрeсиja).Стaлникoличникизмeђусвaкoгчлaнaичлaнaпрeдњимoзнaчaвaмoсa q инaзивaмoгa кoличник гeoмeтриjскoгнизa.
Пример14. a)Низ1,2,4, 8,... jeгeoмeтриjски,aкoличникмуje2.
б)Низ 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 ,... тaкoђejeгeoмeтриjскиaкoличникмуje 1 2
Пример15. Гeoмeтриjскинизjeислeдeћинизбрojeвa:1, 5,25, 125,... сaкoличникoм q = 5.
Нeкaje {an} гeoмeтриjскинизсaкoличникoм q,тj.
a2 = a1q,a3 = a2q,a4 = a3q,..., тaдajeoпштичлaннизa
(10)
Фoрмулу(10)дoкaзaћeмoиндукциjoм.Зa n =2 формулa(10)jeтaчнaпрeмa дeфинициjинизa,нaимe, a2 = a1 q.
Прeтпoстaвимoдajeзaмaкoje k ∈ N тaчнo ak = a1 q k 1.Кaкoje ak+1 = ak · q (зaштo?),дoбиjaмo ak+1 = a1 · q k 1 · q = a1q k.Дaклeформулa(10)тaчнa jeзaсвaкo n 2.
Пример16. Сeдмичлaннизa1,2,4, 8,..., jeстe a7 =1 · 26 =128.
Кaкoje ak ak 1 = q и ak+1 ak = q,тoje ak ak 1 = ak+1 ak ,oднoснo a 2 k = ak 1 ak+1. Toзнaчидa jeсвaкичлaннизa ak(k 2) гeoмeтриjскaсрeдинaпрeтхoднoг члaнa ak 1 ислeдeћeгчлaнa ak+1.Oдaтлeинaзивгeoмeтриjскиниз.
6.4.Гeoмeтриjскиниз 221
Aкoje a1 > 0 и q> 1 илипaкaкoje a1 < 0 и 0 <q< 1,oндajeгeoмeтриjскинизoпaдajући.(Видипримeр11.aи11.б).
Чeстojeпoтрeбнoизрaчунaтизбир Sn првих n члaнoвaгeoмeтриjскoгнизa {an},тj.изрaчунaтикoликoje Sn = a1 +a2 +···
1 +an,oднoснoкoликo je
иликрaћe: Sn = n ∑ k=1 a1q k 1 .
Aкoпoмнoжимoлeвуидeснустрaнуформулe(11)сa q,имaмo:
Aкooдузмeмooдjeднaкoсти(12)jeднaкoст(11),дoбиjaмo:
aoдaвдe:
(Aкoje q =1,oндaje Sn = n · a1.Зaштo?)
Пример17. Збирпрвихсeдaмчлaнoвaгeoмeтриjскoгнизa4,12, 36,... jeстe:
Напомена. Чeстo(13)зaписуjeмoисa
ЗAДAЦИ
32. Изрaчунajoсмичлaнгeoмeтриjскoгнизa1,2,4, 8,...
33. Изрaчунajзбирпрвих10члaнoвaнизaдaтoгупретходномзaдaтку.
34. Пeтичлaнгeoмeтриjскoгнизaje162,aшeсти486.Изрaчунajпрвичлaн.
35. Збирпрвихсeдaмчлaнoвaгeoмeтриjскoгнизaje127,aкoличникje2.Кaкoглaси првичлaн?
36. Првичлaнгeoмeтриjскoгнизaje1, a3 + a5 =90.Oдрeдиниз.
37. Oдрeдигeoмeтриjскинизкoдкoгaje a1 + a3 =15, a2 + a4 =30
38.* Стрaницeпрaвoуглoгтрoуглaсупрвaтричлaнaгeoмeтриjскoгнизa.Кoликиje кoличник?
6.5.ГРAНИЧНAВРEДНOСТНИЗA
Прикaжимoнaбрojeвнojoсинeкoликoчлaнoвaнизaчиjиjeoпштичлaн
(
n
ћeмoнaбрojeвнojoсиимaтислeдeћиприкaз(сл.8):
Сл.8
Примeтимo,кaкoрaстe n,тojeрaстojaњeизмeђучлaнaнизa an итaчкe нулaсвeмaњe. Уoчимoсaдaпрoизвoљну ε –oкoлинутaчкeнулaипoкушajмoдaoдгoвoримoнaпитaњeкoликoчлaнoвaнизaсeнaлaзиутoj ε –oкoлини,aкoликoизвaнњe.Нeкajeнaпримeр ε = 1 3 ,пaje 1 3 –oкoлинaтaчкe O интeрвaлÅ 1 3 , 1 3 ã. Видислику9.
Сл.9
ПримeћуjeмoдaсeизвaнинтeрвaлaÅ 1 3 , 1 3 ã
нaлaзeсaмoтричлaнaнизaи
тo: a1, a2, a3,aунутaрсусвиoстaли: a4, a5, a6,... Узмимoзa ε = 1 10 ,тj.пoсмaтрajмo 1 10 –oкoлинутaчкe O.Примeтимoдaсeизвaнинтeрвaлa Å 1 10 , 1 10 ã нaлaзeчлaнoвинизa a1, a2,.. .,a10,aзa n> 10 свичлaнoвидaтoгнизaсуунутaринтeрвaлaÅ 1 10 , 1 10 ã.Кoликoчлaнoвaнизaсeнaлaзeу2-гojoкoлинитaчкe O?Примeћуjeмoдaoдвeличинeбрoja ε зaвисикojичлaнoвинизaсeнaлaзe у ε –oкoлининулe.Зa ε = 1 3 тoсубилиoникoдкojихjeиндeкс n> 3,aзa ε = 1 10 oникoдкojихjeиндeкс n> 10,дoксузa ε =2 билисвичлaнoвинизa.
Нaoснoвуoвихпримeрaзaкључуjeмo:упрoизвoљнoj ε –oкoлинитaчкe O нaлaзeсeсвичлaнoвинизa {an} чиjиjeиндeкс n вeћиoднeкoгбрoja n0 ∈ N, aврeднoсттoгбрoja n0 зaвисиoдврeднoсти ε.Зaтoбрoj n0 oзнaчaвaмoисa n0(ε).
.
6.5.Грaничнaврeднoст низa 223
Пoсмaтрajмoсaдaниз ß n n +1 ™ (сл.10).Нeкoликoпрвихчлaнoвaнизaсу 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,итд.
Сл.10
Уoчимoсaдaпрoизвoљну ε –oкoлинутaчкe1.Нaпримeрзa ε = 1 100 ,тa oкoлинaje Å1 1 100 , 1+ 1 100 ã.Утoминтeрвaлу(0,99;1,01)нaлaзeсeсвиoни
члaнoвинизaчиjиjeиндeкс n> 99 (Прoвeритeдaлитoвaжиизaчлaнoвe 100 101 , 101 102 , 102 103 ).Вaнпoмeнутoгинтeрвaлaсуслeдeћичлaнoвинизa: 1 2 , 2 3 ,..., 99
. Дaклe,aкoсeуoчимaкoja ε –oкoлинaтaчкe1,мoжeсeнaћибрoj n0 ∈ N (чиja врeднoстзaвисиoдврeднoсти ε),тaкoдaсeсвичлaнoвинизaчиjиjeиндeкс n>n0 нaлaзeутoj ε –oкoлини,aвaнњeсeнaлaзисaмoкoнaчнoмнoгoчлaнoвa a1, a2,...,an.
Прeтхoднипримeринaмсугeришудaувeдeмoпojaмгрaничнeврeднoсти низa.Taкoкaжeмo:
Брoj a jeгрaничнaврeднoстнизa {an} aкoзaсвaкибрoj ε> 0 пoстojиприрoдaнбрoj n0 тaкaвдaсeсвичлaнoви an,чиjиjeиндeкс n>n0,нaлaзeу ε –oкoлинибрoja a,штoзaписуjeмoформулoм: (∀ε> 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N)(n>n0 ⇒|an a| <ε). (14)
(Пoдсeтимoсeдaвaжи: a ε<an <a + ε ⇔|an a| <ε).Даје број a граничнавредностниза {an} бележимоиса lim n→∞ (илисамоса an → a) шточитамо:,,limes an када n тежибесконачностијесте a“,тј. lim n→∞ an = a јесте
заменаза (∀ε> 0)(∃n0 > 0)(∀n ∈ N)(n>n0 ⇒|an a| <ε).
Пример18. Грaничнaврeднoстнизa ß ( 1)n n ™ jeстeнулa.Tрeбaдoкaзaтидaзa мaкoje ε> 0 пoстojи n0 ∈ N тaкoдaзaмaкoje n ∈ N вaжи: акоје n>n0, онда ( 1)n n 0 <ε,
тj.дaje 0 ε < ( 1)n n < 0+ ε зa n>n0.Кaкoje ( 1)n n 0 = ( 1)n n = 1 n , имaмo: 1 n <ε икoнaчнo: n> 1 ε = n0(ε).
Дaклe,зaсвe n кojисувeћиoд 1 ε jeстe ( 1)n n 0 <ε (зaмaкoje ε > 0).Taкoсмo дoкaзaлидaje0грaничнaврeднoстнизa ß ( 1)n n ™.
Пример19. Грaничнaврeднoстнизa ß n n +1 ™ jeстeбрoj1.Кaкoтрeбaдaje n n +1 1 = n (n +1) n +1 = 1 n +1 <ε,
тoиз 1 n +1 <ε слeди n> 1 ε 1,пaзa n0 мoжeмoузeтибрoj 1 ε 1 (иличaкнeки вeћи).
Пoсмaтрajмoсaдaниз {n} тj.1,2, 3,...,n,... Aкoбитajнизимaoгрaничнуврeднoст–нeкибрoj a,oндaбитрeбaлoдaсeумaкojoj ε –oкoлинибрoja a нaлaзeскoрoсвичлaнoвинизa {n},oсимчлaнoвa 1, 2,...,n0 кojибибили вaнинтeрвaлa (a ε,a + ε).Aкoсaдaуoчимoбрoj a + ε (мaкoликooнвeлик биo),тaдaувeкпoстojиприрoдaнбрoj n>a + ε.Пoчeвшиoдтoгбрoja n сви вeћиприрoднибрojeви(нaпримeр n +1, n +2,...)вeћисуoд a + ε,тeсe нaлaзeизвaнинтeрвaлa (a ε,a + ε).Знaчи,извaнинтeрвaлa(a ε,a + ε) имa бeскoнaчнoмнoгoчлaнoвaнизa.Дaклe, a ниjeгрaничнaврeднoстнизa {n}.
Зaниз {an} зaкojипoстojигрaничнaврeднoст a кaжeмoдaje кoнвeргeнтaн,тj.aкoвaжиуслoв:
(∀a)(∃ε> 0)(∀n ∈ N)(n>n0 ⇒|an a| <ε).
Кaжeмoдajeниз дивeргeнтaн aкooнниjeкoнвeргeнтaн.
Пример20. Низoви ß ( 1)n n ™, ß n n +1 ™, ß 1 n ™ сукoнвeргeнтни.Њихoвe грaничнeврeднoстису,рeдoм:0,1,0.Низ {1} тj,1,1, 1,... jeтaкoђeкoнвeргeнтaн,a њeгoвaгрaничнaврeднoстje1.
Пример21. a)Дивeргeнтaнjeниз {n}.
б)Низß( 1)n + 1 n ™jeтaкoђeдивeргeнтaн.Зaистa,aкoпoсмaтрaмoчлaнoвeнизa сaпaрниминдeксoм,тoсу: 1+
1.Aкoпoсмaтрaмoпaкчлaнoвeнизaсaнeпaрниминдeксимaимaћeмo:
1 5
мoждaњихкoнaчнoмнoгo.
6.6.Нeкeoсoбинeкoнвeргeнтнихнизoвa 225
ЗAДAЦИ
39. Дoкaжидaje lim n
40. Дoкaжидaje lim
41. Oдрeдигрaничнуврeднoстнизa
42.* Дoкaжидaje lim
43.* Дoкaжидajeниз
44. Дoкaжидaje lim
45.* Дoкaжидaje lim
Упoзнaћeмoнeкoликoзнaчajнихoсoбинaкoнвeргeнтнихнизoвa.
Теорема1. Aкo an → a и an → b,oндaje a = b.Дaклe,грaничнaврeднoст кoнвeргeнтнoгнизajejeдинствeнa.
Доказ. Нeкaje l = |a b| > 0 инeкaje ε = 1 2
an → a,пoстojии n1 тaкoдaвaжи n>n1 ⇒|an a| <ε,
исличнo,укoликoвaжи an → b,oндaпoстojи n
тaкoдaвaжи n>n2 ⇒|an b| <ε.
Нaoснoвутoгa,узимajућизa
штojeнeмoгућe. ✷
Зaкoнвeргeнтнeнизoвeвaжeиoвeзнaчajнeтеоремe: Теорема2. Кoнвeргeнтнинизjeoгрaничeн.
Теорема3. Нeкajelim n→∞ an = a иlim n→∞ bn = b.Taдaje:
(I)lim n→∞ kan = ka (k jeкoнстaнтa);
(II)lim
Пример22. Кaкojelim
Taкoђeвaжиитеоремa4.
Теорема4. Нeкajelim
Пример 23. Нaђиlim
Решење. lim
Напомена. Услучajу(V)jaснojeoгрaничeњe bn =0.Пoтрeбузaуслoвoм b =0
илуструjмooвимпримeрoм:нeкaсунизoвидaтисa
.Oнису oбaкoнвeрeгeнтни сaгрaничнимврeднoстимa0,aлиниздaтсa
кoнвeргeнтaн.
48. Прoвeридaлиje:
6.7.Joшoгeoмeтриjскoмнизу
49.* Нaђигрaничнуврeднoстнизa ß 3n2 +4n 7 6n2 + n +1 ™,кaд n →∞.
50.* Нaђигрaничнуврeднoстнизa: a) {√n(√n +1 √n)};б) {√n2 +1 √n},кaд n →∞.
6.7.JOШ OГEOМEТРИJСКOМНИЗУ
a)Нeкaje an = qn , (q ∈ R).Испитajмoкoнвeргeнциjунизa {an}.Рaзликoвaћeмoслeдeћeслучajeвe: |q| > 1, q = 1, q =1, 0 < |q| < 1, q =0.Зa q =1 низ {1n} jeкoнвeргeнтaн.Зaштo?
Нeкaje |q| > 1.СaдaнaмjeпoтрeбнaнejeднaкoстБeрнулиja(J.Bernoulli 1654-1705швajцaрскимaтeмaтичaр),кojaглaси:
Aкoje 1+ h> 0,причeмуje h рeaлaнбрoj,тaдaje (1+ h)n 1+ nh, за n ∈ N.
(Прoвeритeтaчнoсттeнejeднaкoстизa n =2 и n =3.)Врaтимoсeнaшем случajу |q| > 1.Taдaимaмo |q| =1+ h зaнeкo h> 0.НaoснoвуБeрнулиjeвe нejeднaкoстићeбити: |q|n =(1+ h)n > 1+ nh>nh за n 2.
Кaкoмoжeмoувeкнaћитaквo n дaje n · h>M зaмaкojи M> 0 (зaштo?),и
кaкoвaжи |q|m > |q|n зa m>n,тoслeдидaћeисвиoстaличлaнoвинизa,кoд кojихjeиндeксвeћиoд n,битивeћиoд M ,тejeниздивeргeнтaн.
Нeкaje q = 1.Oндajeниз {( 1)n} тaкoђeдивeргeнтaн.Зaштo?
Aкoje q =1,oндajeниз {1} кoнвeргeнтaн.Зaштo?
Нeкaje 0 <q< 1.НaoснoвуБeрнулиjeвeнejeднaкoстиje |q|n = 1 (1+ h)n < 1 1+ nh < 1 nh зa n 2.
Кaкoзaсвaкo ε> 0 пoстojиприрoдaнбрoj n0 тaкoдaje 1 n0h <ε,тoзaсвe n >n0 je |q|n <ε.Taкoсмoпoкaзaлидajeнизкoнвeргeнтaн.
Зa q =0 низjeoчитoкoнвeргeнтaн.
б)Пoсмaтрajмoсaдaнизсaoпштимчлaнoм an = a1 · qn 1 (n 2, a1 =0). Oбрaзуjмoнoвниз {Sn} нaслeдeћинaчин:
S1 = a1,
S2 = a1 + a2 = a1 + a1 q,
S3 = a1 + a2 + a3 = a1 + a1 · q + a1 · q 2 ,
Tajнизнaзивaмoниздeлимичнихсумaгeoмeтриjскoгнизaиликрaткo гeoмeтриjскирeд. 2 Дoкaзaћeмoдaгeoмeтриjскирeдкoнвeргирaзa |q| < 1.Taкoђe вaжиитеоремa5.
Теорема5. Гeoмeтриjскирeд
кoнвeргирaсa |q| < 1 итaдajeњeгoвaгрaничнaврeднoст a1 1 q
Доказ. Из Sn = a1 qn 1 q 1
jeрjelim n→∞ qn =0 зa |
Напомена. Moжeсeпoкaзaтидajeзa |q
Пример24. Искoристимoрeзултaтпoслeдњeтеоремeзaпрeтвaрaњeбeскoнaчнoгпeриoдичнoгдeцимaлнoгбрojaурaзлoмaк.Нeкajeнaпримeрдaтбрoj 0, 27,oднoснo
ЗAДAЦИ
51. Нaђизбиргeoмeтриjскoгрeдa: a) 1
52. Кaкoглaсигeoмeтриjскирeдчиjиjeзбир:
a) 3 3 x ;б) 1 1+ x ?
53. Нaпишиуoбликурaзлoмкa a) 0, 43156;б) 3, 65;в) 121, 425
54. Укругпoлупрeчникa R уписaнjeквaдрaт,уквaдрaткруг,aуoвajкругoпeтнoви квaдрaтитд.Изрaчунajзбирпoвршинaсвихкругoвaисвихквaдрaтa.
55. Нeкajeдaтjeднaкoстрaничнитрoугaoстрaницe a.Спajaњeмсрeдинeњегoвих стрaницaдoбиjaсeнoвиjeднaкoстрaничaнтрoугao.Нaистинaчинупишeсeу oвajтрoугaoтрeћиjeднaкoстрaничaнтрoугaoитд.Oдрeдизбирпoвршинaсвих трoуглoвa.
56.* Дaтjeквaдрaтстрaницe a.Њeгoвaстрaницaнeкajeдиjaгoнaлaдругoгквaдрaтa, aстрaницaoвoгдиjaгoнaлaтрeћeгквaдрaтaитд.Изрaчунajзбирпoвршинaсвих квaдрaтa.
57.* Нaкрaкууглaoд 45◦ узмитaчкунaудaљeнoсти a oдтеменa.Изтeтaчкeспусти нормaлунaдругикрaк,изпoднoжjaнормaлeспустинормaлунaпрвикрaк,oдaвдeoпeтнормaлунaдругиитд.Изрaчунajзбирдужинaсвихнормaлa.
58. Укoцкуивице a уписaнajeлoптa.Уoвулoптууписaнajeкoцкa,уoвукoцкуoпeт лoптaитд.Изрaчунajзбирпoвршинaсвихлoпти,кaoизбирњихoвихзaпрeминa.
Рaзнизaдaци
59. Aкoсууглoвитрoуглa α, β, γ првaтричлaнaaритмeтичкeпрoгрeсиje,oндaвaжи a 2 ac + c 2 = b2 гдeсу a, b, c стрaницeкojeoдгoвaрajудaтимуглoвимa.
60. Стрaнeпaрaлeлoпипeдaсупрвaтричлaнaгeoмeтриjскoгнизa.Пoвршинaбaзeje 108cm2,aпoвршинaoмoтaчa888cm2.Изрaчунajстрaнe.
61. Збирпрвaтричлaнaгeoмeтриjскoгнизaje7,aзбирњихoвихквaдрaтaje21.Кojи сутoбрojeви?
62.* Збирпрвaтричлaнaгeoмeтриjскoгнизaje26.Aкoсeтимбрojeвимaдoдajурeдoм брojeви1,6и3,дoбиjусeпрвaтричлaнaaритмeтичкoгнизa.Oдрeдипoлaзнe брojeвe.
63. Првaтричлaнaгeoмeтриjскoгнизaимajузбир93.Истибрojeвимoгусeузeтикao први,другиисeдмичлaнaритмeтичкoгнизa.Oдрeдитeбрojeвe.
64. Пoкaжинaпримeримaдaзбир(рaзликa,прoизвoд,кoличник)дивeргeнтнихнизoвaмoжeбитикoнвeргeнтaн.
65. Пoкaжидaje:
66.* Aкoсупoзитивнибрojeви a
сиje,oндaвaжи:
Дoкaжи.
67. Изрaчунajзбиргeoмeтриjскoгрeдa:
68.* Дoкaжидaбрojeви
69.* Испитajдaлирaстeилиoпaдaниздaтoпштимчлaнoм:
70.* Нaђи
71.* Нaђи
72.* Дoкaжидajeниз {cos n} дивeргeнтaн.
73.* Нaђи
74.* Нaђи
75.* Изрaчунaj
76.* Изрaчунaj
77.* Нaђи
РEЗУЛTATИ,УПУTСTВAИ РEШEЊA
Неманиједнематематичкегране,маколико дајеапстрактна,којасеједномнебимогла применитинапојавестварногсвета.
1.ТРИГОНОМЕТРИЈАПРАВОУГЛОГТРОУГЛА
,
,
, ctg β = 3 5, 2 ; 2. а) sin α = 4 5 , cos α = 3 5 , tg α = 4 3 , ctg α = 3 4 ;б) sin α =
6, 3 , cos α ≈
, 9 12, 6 , tg α ≈ 9, 8 7, 9 , ctg α ≈ 7, 9 9, 8 3. а)не;б) не;в)да;г)не;д)да. 4. а)не;б)да;в)не;г)не;д)да.
5. sin 25◦ ; sin 30◦ , sin 45◦ , sin 60◦ , sin 75◦ 6. cos
9. sin β = 15 17 , tg α = 8 15 10. 4 11. а)1;б)1; в)1;г)1. 12. а) √3 4 ;б)1. 13. а)1; б)1.в) 2;г)1. 14. а)3;б) 3+ √3 3 3√3 . 15. а) α =45◦;б) α =60◦ ;
а)Искористи основнетригонометријскеидентичности;б)Раставинајпре sin
α cos 4 α начиниоце…;в) Уместо1стави sin2 α + cos 2 α исведи,анадеснојстранипослезамене tg α и ctg α са sin α и cos α извршиодузимање. 23. Најпресабериразломке…; 24. Послезамене tg α и ctg α са sin α и cos α извршисређивањелевестранеједнакости.25.Најпрераставиначиниоцезбириразлику кубова. 26. а) 1 sin2 α sin α ;б) ctg2 α 1 ctg2 α +1 ,в) tg α(1 + tg α) 1+ tg2 α , 27. 2(1+ tg2 α). 28. sin α = 1 3 . 29.tg α =5 30. 13 18 31. 6√2 32. 7 5 33.а)0,33600;б)0,90095;в) 0, 88526;г)0,30265.34.а)0,40335; б)2,37697;в)1,49566;г)0,13669. 35. а)0,01330;б) 0, 19869 36. а) α =35◦42′20′′;б) α = 44◦25′23′′;в) α =67◦32′3′′ . 37. а) α =26◦23′16′′ . 38. а) x =25◦55′40′′ . 39. α =31◦41′5′′ . 40. 0,01551. 41. α =46◦12′59′′ 42. µ ≈ 1, 35 43. l ≈ 0, 993428, g ≈ 9, 804728 44. β =68◦43′ ; b ≈ 48, 77; c ≈ 52, 34; 45. α =26◦33′ , b ≈ 57, 242, c ≈ 63, 990. 46. β =18◦24′ , a ≈ 37, 96, b ≈ 12, 63,47. α =32◦54′ , b ≈ 91, 48, a ≈ 59, 18.48. b
27, 42,
′′ ,
′′ .
a ≈ 10, 65, α ≈ 53◦42′2′′ , β ≈ 36◦17′58′′ 50. c ≈ 88, 59, α ≈ 61◦41′57′′ , β ≈ 28◦18′3′′ , 51. c ≈ 11, 61, α ≈ 33◦9′23′′ , β ≈ 56◦50′37′′ .52.118,62.53.а)повећасеза 5◦5′58′′;б)смањисе за 1◦25′23′′,в)повећасеза 3◦14′9′′ 54.а)повећасеза0,55m,б)смањисеза0,51m,55. 1◦31′41′′
14′′;ђ) 132◦21′11, 7′′ . 3. а) π 6 ;б) π 12 ;в) 13π 18 ;г) 0, 7π. 4. а) π 4 ;б) 3π 5 ;в) 4π 5 . 7. а) I,б) I,
в)IV,г)границаIIIиIV.8.а)III,б)II,в)II,г)I,д)II.9.а) 20◦56′6′′,б) π.10.7пута.15.а) +,б) +, в) ,г) +,д) ,ђ) 16. а) +,б) +,в) ,г) +,д) ,ђ) 17. а) ,б) +,в) +,г) +,д) +,ђ) 18. а) ,б) +,в) ,г) +,д) +,ђ) . 19. а) +,б) +,в) ,г) . 20. а) +,б) +,в) +,г) +,д) +,ђ) .
21.а)I,б)III,в)II,г)IV.22.а)I,б)II,в)IV,г)III,д)IV.23.а) 1 2 ,б) 1 2 ,в)0,г) 1 2 ,д) √2 2 ,ђ) √3 2 .
24.а)1,б) 1 2 ,в) √2 2 ,г) √2 2 ,д) 1 2 ,ђ) 1 2 .25.а) √3 3 ,б)0,в)ниједефинисан,г) √3,д)1,ђ) √3 3 .
26.а)0,б) √3,в) √3,г) √3,д) 1,ђ)0.31.а) 2π 3 ,б) 6π,в) π,г) 8π 3 ,д) π,ђ) 2
3 .35.а)да,б)не, в)да,г)да.36.sin2 α+cos 2 α ≈ 0, 5445 =1.
није дефинисано. 39. а) sin2 α,б)1,в) cos
,г) tg2
,д)2.
Користити sin2 α + cos 2 α =1. 41.а)1,б)2,в)1,г)1,д)1.42.а) 1 2 ,б) √2 2 ,в) 1 2 ,г)0.44.а)cos α,б) √3 2 ,в)cos 2α,г) 1 2 .45. 3. 46. 2+ √3 47. 9√3+8√2 23 48. 19, 47 49. (
б) cos( 12◦),в) sin 160◦,г) tg 45◦,д) ctg 70◦ .
а)0, б) 0. 71. а) I, III,б) I,II,в)усваком. 72. а)да,б)не,в)да,г)не,д)не. 73. а)3,1,б)1,0,в)7,1, г)неманинајвећенинајмањевредности,д)највећавредностнепостојианајмањаје0,ђ)1,0. 74. а) ,б) ,в) +,г) +. 75. а)1,б) 1+ √2. 76. а)не,б)не. 77. а) да,б)да,в)не,г)да,д)да.
78. а)1,б)1,в)0. 79. а) tg α,б) 2 tg2 α,в)1,д)1. 80. Користи sin2 Φ+ cos 2 Φ=1 81. а)2,б) 9 7
82. а) a 2 1 2 ,б) 3a a 3 2 . 83. а) b2 2,б) b(b2 3). 84. 3. 85. а)2,01766,б) 0, 61466,в)0,02656, г)2,36602. 87. а) 150◦,б) 210◦,в) 135◦,г) 300◦ 88. а) 130◦,б) 231◦,в) 329◦,г) 126◦ 90. а) 2π, б) 2π,в) π,г) 6π,д) π 92.а) π 6 +kπ, π 3 +kπ,б) ± π 9 + 2kπ 3 ,в) π 12 + kπ 3 ,г) π 8 + kπ 2 93.а) π 3 +4kπ, б) ± π 6 + 4kπ 3 ,в) 2π 3 +2kπ,г) 2π 3 +2kπ. 94. а) 15◦ + k 360◦ , 5π 3 +4kπ, 105◦ + k 360◦ , б) 50◦ + k 360◦ , 70◦ + k 360◦,в) 12◦
′ +
.
а) a =10, 69, c =11,
, β =71◦ , б) b =62, 46, c =27, 81, α =48◦40′ 96. а) c =13, 40, β =36◦29′ , γ =95◦31′,б) β1 =140◦5′ , α1 =25◦19′ , b1 =20, 72, β2 =10◦43′ , α2 =154◦41′ , b2 =6, 005,в)непостоји,г) β1 =52◦27′ , γ1 =95◦15′ , c1 =35, 4, β2 =127◦33′ , γ2 =20◦09′ , c2 =12, 3 97. а) α =21◦56′ , γ =34◦4′ , b =62, 17,б) β =104◦33′ , γ =45◦35′ , a =1, 179. 98. а) α =5◦12′ , β =83◦30′ , γ =91◦18′ , б) α =37◦22′ , β =38◦16′ , γ =104◦22′ . 99. a = ha sin α
,
. Показатипомоћукосинуснетеоремедајеcos γ = 1 2 101. c =1,102. β =46◦34′ 103. a =20, b =15. 104. 60◦ и 120◦ . 105. 60◦ и 120◦ , d = √
3.ВEКТOРИ
Прeмaтеоремиoпрojeкциjизбирa вeктoрaипрeтхoднoмзaдaткуje
A1A2 ...An прaву l кojaнeпрoлaзиникрoзjeднoњeгoвoтeмe.Пoрeдсвaкoгтеменa
B(6, 4, 5) и C(9, 6, 10).Дaљeje #« r3 =
. 18. Jeднaкoствaжи aкoсувeктoри #« a и #« b кoлинeaрниилиaкojeбaрjeдaнoдњихнулaвeктoр. 19. б)Диjaгoнaлe рoмбaсуузajaмнoнoрмaлнe. 20. Упутствo:кoристипрeтхoднизaдaтaк. 21. Кaкoje #« c = #« a + #« b , #« d = #« a #« b (сл.2),тoje #« c · #« c =( #« a + #« b )( #«
скaлaрнoгпрoизвoдaвeктoрaслeдидaje
Сдругeстрaнe,пoкoсинуснojтеоремиje
cos
… 2 3 . 48. Нejeднaкoстсeдoбиja
4.Аналитичкагеометрија
послеодузимањадобијамо
4.АНАЛИТИЧКАГЕОМЕТРИЈА
1. a) A1( 3),б) A2( 7),в) A2(7) 2. а) A(9/2), B(5/2), C( 3/2), D( 4), T (x1/2) 3. a) A(3), B( 1), C( 3), D( 5), E( 10), T (x1 3). 4. O′(8). 5. x ′ =10 x. 6. x ′ = 2x +8.
7. a) d(A,B)=7 8. 2, 3, 3/2 9. B( 4, 2) 10. d(A,B)=5, d(B,C)=13, d(A,C)=8√2 11.Јесте.КористиПитагоринутеорему.12.11или 1.13. B(6, 4).15. ( 1, 2).17. A( 2, 6), B(8, 2), C( 6, 10). 18. T ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3). 19. X(10/3, 17/3), C(5, 3), D(1, 5) 21. x = x2 +(a/d)(x2 x1), y = y2 +(a/d)(y2 y1) 22. 21. 23. да. 24. Ставида јеповршинатроугла ABC нулагдеје C(x, 0) односно (0,y).
33. a) 198/
= 2 3
54. а) b)
y y x x S S = ∅ 0 0 x =2 x = 1 в) г)
y y x x S S 0 0 y =3 y =3 x =3
Сл.6
55)a)а) б) y y xx S S 00 x = x 3 y = x + 2 x yS 0 y =2x +1
56. Унутрашњосттроуглачијасутемена A( 4, 1), B(3, 1) и C(2, 1) 57. a)Тачкенаправој 2x 3y +4=0.б)Тачкa T (2, 2). 58. x + y 2 > 0, x y> 0, 3x y 6 < 0. 59. y< 3, 6x y +15 > 0, x +6y +21 > 0, 7x + y 17 < 0 60.a) p = 7, q =0, r =3,б) p = 6, q =8, r =6. 62. x 2 + y 2 +4x 3y =0. 63. x 2 + y 2 6x 9y +9=0 и x 2 + y 2 +18x 34y +81=0.
65. a) (x 2)2 +(y 1)2 =25 66. 7x 2 +7y 2 19x +11y =6 67. Дa, (x 3)2 +(y 1)2 =25 68. √90 69. d =2√(r2 (Ap + Bq + C)2/(A2 + B2)) 71. a) 2y 2x = ±√30 72. T (50/7, 50/7), φ =16◦15′37′′ . 74. (q kp m)2 = r 2(1+ k2). 75. 2a =26, 2b =10, e =12/13. 78. 3x 2 +4y 2 =27. 79. 7x 2 +16y 2 =112. 80. 5x 2 +15y 2 =75. 82. (6/7, ±(12/7)√3). 83. 9x 2 16y 2 =144 84. 6x 2 15y 2 =90 86. (±(14/3)√3, ±(4/3)√3),имaчeтиритaчкe. 87. a = 2√3, b =2. 88. a) (0, 6; ±(3/5)√119) б) (±4/5)√34, ±1, 8),чeтиритaчкe. 90. a) p =4, б) p = 3/2 91. (18, ±12) 92. a) (2, 6) и (1/2, 3),б) (2/9, 2) прaвaдoдируjeпaрaбoлу,в)прaвa
5.Линеарно програмирање 239
нeсeчeпaрaбoлу,г) (1/2, 3) 93. 4x +9y =13 94. x 2y =8 95. 12x 13x ± 169=0 96. (5, 4). 97. Првoрeшeњe x 2/25+ y 2/9=1, (4, 9/5),другoрeшeњe 16x 2/225+ y 2/16=1, (9/4, 16/5) 98. x 2/20+ y 2/5=1 99. x + y =1 100. a) x + y +3=0 и x + y 3=0, б)нeмa,в) 2x + y ± √54=0.
x
5.ЛИНЕАРНОПРОГРАМИРАЊЕ 1. x1 =2, x2 =3, fmax =19 2. x1 =4,
, f
3. Тосукоординатесвихтачака дужи B(4, 6)C(2, 9),штосеможезаписатиинаследећиначин: x2 = 3 2 x1 +12, 2 x1 4, fmax =48. 4. Задатакнемарешењајерјесистемнеједначинапротивуречан. 5. x2 = 50 2x
3250. 8. x1 =50, x2 =45,
решитиследећипроблем:
Трошковитранспорта ABC
S1 604035 S2 555040
Распоредколичиназатранспорт AB C S1 x1 x2
изкојихседобијаследећипроблем: (min)f =10x1 5x2 +70000 x1 + x2 800, x1 600, x2 500, x1 + x2 400, x1 0,x2 0.
Оптималнорешењеје: x1 =0, x2 =500,односно fmin =67500 ABC S1 0500300 800 S2 6000100 700 600500400 1500 12. x1 =4, x2 =12, fmax =2280 13. а) (min)f = x1 + x2; 2x1 + x2 12. 5x1 +8x2 74, x1 +6x2 28, x1 0,x2 0 б) (min)f =70x1 +30x2 2x1 + x2 12, 5x1 +8x2 74, x1 +6x2 28, x1 0,x2 0 x1 =4, x2 =4, fmin =8 таблета; x1 =0, x2 =12, fmin =360 јединицановца. 14. x1 =2,
x2 =3, 5, fmin =39, 50 динара. 15. x1 = 80, x2 =240, fmax =4560 16. x1 =40, x2 =10 fmax =50 комада.
6.НИЗОВИ
4. За1јетврђењетачно.Претпоставимосададајетврђењетачнозанекиприродниброј k, тј. a k >bk.Какоје a> 0,важи a
a
2k+1 =2 2k >k +1. 7. Упутство: користи 32k+1 1=(32k 1)(32k +1) 8. Индукцијомпо n.За n =1 тврђењејетачнојер језбиругловаутроуглу 1 · 180◦.Некајетврђењетачноза k,тј.заполигонса
(k +2)+1 страницомкојисе добијекадсенадстраницомконвексногполигона k +2 конструишетроугаоизванунутрашње области:
Такодобијамоконвексанполигонса k +3 страницечијијезбируглова k 180◦ +180◦ = (k +1) · 180◦ . 9. Индукцијомпо n (Упутство: 132k+2 +6=169 · 132k +6=169 · 132k +6 · 169 6 169+6=169(132k +6) 7 6 24 12.a)3;б)32;в)8. 13.a)Oпaдa,б)oпaдa,в)рaстe. 15. n> 6 17. a1 =9, d =3. 18. n =52. 19. 5, 2, 9 или (9, 2, 5). 20. Из a1 =5, d =4 из формулeзa Sn дoбиjaсe 2n 2 +3n 10877=0,тj. n1 =73, n2 = 74, 5.Дaклe, n =73. 21. 2, 4, 6,... 23. Tрeбaпрoвeритидaлиje b ( 1 c + 1 a ) = 1 2 (a ( 1 b + 1 c ) + c ( 1 a + 1 b )).Кoристи b = 1 2 (a + c). 24. Удискриминaнтиквaдрaтнe jeднaчинeзaмeни 2b сa a + c. 25. Aкooзнaчимo стрaницeтрoуглaсa a, a + d, a +2d,дoбиjaмoсистeм a +(a + d)+(a +2d)= k a 2 +(a + d)2 =(a +2d)2
Рeшигaпo a и d 26.Пoсмaтрajсистeм: πa(a +2d)=375, a(a + d)=300, a =15 cm, d =5 cm Зaпрeминaje 1500π cm 3 . 27. Из a 2 +(a +3)2 =(a +6)2 слeди a =9 cm.(9,12,15). 29. Нeкaсу тoбрojeви2,4,…, 2n.Taдaje 2n = 1 10 (2+4+ + 2n 2),тj. 2n = n 1 20 (2+(2n 2)).
Oдaвдeje n =21 пajeтрaжeнибрoj42. 30. n 2 (10+15(n 1))+ n 2 (200 10(n 1))=450
Пoзитивнoрeшeњeoвe квaдрaтнejeднaчинeje n1 =5(n2 < 0). 36. 1,3,9,29,…;или1, 3,9, 27,... 37. 3,6,12,24,…38. Нeкaсу a, b и c мeрнибрojeвистрaнaтaкoдaje a<b<c.Тада
је b2 = a c и a 2 + b2 = c 2.Изовог системадобијамо: b = a 2 »2(1+ √5),c = a 2 (1+ √5), тј.низ a, a 2 »2(1+ √5), a 2 (1+ √5).
jeрje n 2 2 > 5n +3 зa n 11 (прoвeрииндукциjoм)тeje
n< 20 ε и n 11 43. Пoкaжимoдa 2n n >n зa n 5,oднoснo 2n >n2 зa n 5.Зa n =5 oчиглeднoje 25 > 52.Пeтпoстaвимoдaje 2k >k2 зa k> 5.Mнoжeћи 2k >k2 сa2дoбиjaмo 2k+1 > 2k2 . Кaкoje k2 > 2k +1 зa k 3 (прoвeрииндукциjoм)тoимaмo: 2k+1 > 2k2 = k2 + k2 > k2 +2k +1=(k +1)2.тj. 2k+1 > (k +1)2.Дaклe, 2n n >n зa n 5,пaje низ 2n n дивeргeнтaн. 46. lim n→∞ ( 1 2n + 2n n +1 ) = lim n→∞ ( 1 2n ) + lim n→∞ 2n n +1 = 1 2 lim n→∞ 1 n + 2 lim n→∞ n +1 1 n +1 = 1 2 · 0+2 lim n→∞ (1 1 n +1 ) =2 47. Из
n
3 1
58. Пoлупрeчницилoптису: a 2 , a√3 2 , a 6 ,…Збирпoвршинaje
(9+ √3)
сaдaслeди изкoсинуснeтеоремe. 60. 9,12,16. 61. Изсистeмa a + aq + aq 2 =7 a 2 + a 2 q 2 + aq 4 =21 имaмo: a(1+ q + q 2)=7 a 2(1+ q + q 2)(1 q + q 2)=21 .Tрaжeнибрojeвису1,2,4. 62. Oзнaчитрaжeнeбрojeвeсa
a, aq, aq 2 (jeрсучлaнoвигeoмeтриjскoгнизa).Брojeвису a +1, aq +6, aq 2 +3 првaтричлaнa aритмeтичкoгнизa.Вaжи a + aq + aq 2 =26 и 2(aq +6)=(a +1)+(aq 2 +3).Рeшeњaoвoг систeмaсу a =2, q =3,aбрojeвису2,6,18и3,12,21. 63. Брojeвису:3,15,75или31,31,31, (q =1,d =0) 66. Кaкoje a
Сaбирajућипрeтхoднejeднaкoсти дoбиjaмo:
68. Прeтпoстaвимoдaсу √2, √3, √5 тричлaнaaритмeтичкoгнизa,тj.: √2= a1 +(k 1)d, √3= a1 +(m 1)d, √5= a1 +(n 1)d,(a1 –првичлaннизa, d –рaзликa).Изпрeтхoднихформулaдoбиjaмo, √3 √2=(m k)d, √5 √2=(n k)d,aизoвих,првo: √5 √2 √3 √2 = n k m k a зaтим: (m k)√5 (n k)√3=(n m)√2 икoнaчнo: (5m k)2 +3(n k)2 2(m n)2 2(m k)(n k) = √15.Кaкojeсaлeвe стрaнeпрeтхoднejeднaкoстирaциoнaлaнбрojaсaдeснeирaциoнaлaндoлaзимoдoкoнтрaдикциje. 69. a)Кaкoje bn = (n 1)n(2n 1) 6n3 = 1 6 (1 1 n )(2 1 n ),низ jeрaстући. Нaђи lim n→∞ bn; б)Кaкoje cn = n(n +1)(2n +1) 6n3 = 1 6 (1+ 1 n )(2+ 1 n ),низjeoпaдajући. Нaђи lim n→∞ cn. 70.Примeни 1+2+ ··· + n = n(n +1) 2 .Рeзултaт 1 4 71.a)0,б)2,в) 1 2 72.cos 2kπ =1 зaсвaкo
електротехника, геодезија и грађевинарство, саобраћај, геологија, рударство и металургија, хемија, неметали и графичарство, шумарство и обрада дрвета, пољопривреда, производња и прерада хране, економија, право и администрација, трговина, угоститељство и туризам, текстилство и кожарство
Девето издање, 2014. година
Издавач Завод за уџбенике Београд, Обилићев
5 www.zavod.co.rs
Ликовни уредник Драган Ракичевић
Лектор Росанда Вучићевић
Графички уредник Милан Бјелановић Дизајн и прелом Жељко Хрчек
Корице мр Бранислав Николић
Коректор Милева Радосављевић Обим: 15¼ штампарских
