Exercicis de matrius

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

1

TEMA 2 – MATRICES OPERACIONES CON MATRICES  5 4 2    EJERCICIO 1 : Dada la matriz A   2  1 1  , comprueba que A2 = 2A – I, siendo I la matriz identidad. Usando la   4 4  1   4 fórmula anterior, calcula A .

2   5  4 2  9  8 4       1   2 1 1   4  3 2     4 4  1   4 4 1    8 8  3        2  Solución: Comprobamos que A = 2A - I:    10  8 4   1 0 0   9  8 4        2A  I   4  2 2    0 1 0    4  3 2     8 8  2   0 0 1    8 8  3        Utilizando que A2 = 2A  - I, calculamos A4: A4 = (A2)2 = (2A - I)2 = 4A2 - 4AI + I2 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I +  4A - I = 4A - 3I  5

 A2   2

 5

4 1

4 

4

 Por tanto: A 4  4A  3I  4  2

4 1

Son iguales.

2   1 0 0   20  16 8   3 0 0   17  16 8           1   30 1 0   8 4 4    0 3 0    8 7 4    16 16  7   1  0 0 1    16 16  4   0 0 3   

 1 2  Satisface la igualdad A2 + xA + yI = 0, halla los valores numéricos de x e y (I EJERCICIO 2 : Si la matriz A    3 4   representa la matriz identidad de orden 2.

Solución:  1 2  1 2    5 10       Calculamos A 2 : A 2     3 4   3 4    15 10  10  2x   0 0    5 10   1 2 1 0   5  x  y   x   y        Así: A 2  xA  yI     15 10    3 4  0 1    15  3x 10  4x  y   0 0 

 5  x  y  0  10  2x  0 Luego, ha de ser:   15  3x  0 10  4x  y  0



y  5  x  5   5 10

 

x  5 x  5



y  10  4x  10  20  10

Por tanto: x = 5; y = 10  2 3  , halla el valor que deben tener “x” para que A2 - xA + EJERCICIO 3 : Si I es la matriz identidad de orden 2 y A =    2 1 yI = 0

Solución: Calculamos A 2  xA  yI e igualamos a 0:  2 3   2 3   2 9        A 2     2 1   2 1   6  5  9  3x   0 0   2 9   2 3  1 0    2  2x  y   x    y       A 2  xA  yI    5  x  y   0 0    6  5   2 1  0 1    6  2x

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato  2  2x  y  0  9  3x  0  Así, tenemos que ha de ser:   6  2x  0  5  x  y  0

2



y  2  2x  2  6  8

 

x 3 x 3



y  5  x  5  3  8

Por tanto: x = 3, y = 8

 0 1 0  EJERCICIO 4 : Dada la matriz: A   1 0 1

a) Calcula A t A y AA t , donde A t denota la matriz traspuesta de A.  x b) Encuentra las matrices de la forma X    , tales que : AAt X  X y a   c) Encuentra todas las matrices de la forma Y   b  , tales que : At AY  Y c   Solución: a) La matriz transpuesta de A es:  0 1   A t   1 0 . Por tanto:  0 1   0 1 1 0 1   0 1 0   t    0 1 0  A A   1 0   0 1 1 0 1 1 0 1      0 1  1 0 0 1 0    1 0     AA t   1 0 1   0 1  0 2   b) Imponemos la condición dada: 1 0  x   x   x  x x  x               AA t X  X   0 2 y y 2 y y          2 y  y  y  0 x Por tanto: X    , donde x  R. 0

c) A t AY  Y



1 0 1  a  a  c  a         0 1 0 b   b   b 1 0 1  c  a  c  c        



a  c  a  b  b a  c  c 

 

c0

 0   Por tanto: Y   b  , donde b  R.  0 a0  

PROBLEMAS CON MATRICES EJERCICIO 5 : Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B. a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial. b) ¿Qué información nos da el elemento c 34 de la matriz producto?

PAN

AGUA LECHE

F1  450 800 650    A  F2  500 810 620  F3  200 500 600 

1997 1998 1999 2000

 85 90 90 95    B  AGUA  28 30 30 35    LECHE  70 72 75 80  PAN

Solución: a) La matriz A es 3  3 y la B es 3  4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

Por tanto, el producto B · A no se puede hacer, pero el A · B sí.

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato PAN AGUA LECHE

1997 1998 1999 2000

3 1997

1998

1999

2000

F1  450 800 650  PAN  85 90 90 95  F1  106150 111300 113 250 122 750        A  B  F2  500 810 620   AGUA  28 30 30 35    F2 108 580 113140 115 800 125 450  F3  200 500 600  LECHE  70 72 75 80  F3  73 000 76 200 78 000 84 500  La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a 2000. b) El elemento c 34  84 500, correspond e a la familia tercera en el año 2000; es decir, nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.

EJERCICIO 6 : En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:

Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C. Solución: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos: A

B

C

CHATARRA  8

6 6  A  6 CHATARRA  90       6 4   B  4  CARBÓN  72        ALEACIONES  2 1 3  C  3  ALEACIONES  25  Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones. 

CARBÓN  6

EJERCICIO 7 : En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:

Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.

Solución: Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos: SILLA MECED. SOFÁ

1 1 SILLAS 1  100  MADERA  400        PLÁSTICO  1 1 2  MECEDORAS  100   PLÁSTICO  600    200  ALUMINIO 1 500  ALUMINIO  2 3 5  SOFÁS     Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio.

MADERA

EJERCICIO 8 : Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1; 1,5 y 2 cm con los precios respectivos siguientes: Clavos A: 0,20 0,30 0,40 céntimos de euro Clavos Q: 0,30 0,45 0,60 céntimos de euro Clavos H: 0,40 0,60 0,80 céntimos de euro Sabiendo que en un minuto se producen: De 1 cm de longitud: 100A 50Q 700H De 1,5 cm de longitud: 200A 20Q 600H De 2 cm de longitud: 500A 30Q 400H Se pide:

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

4

a) Resume la información anterior en dos matrices: M y N. M que recoja la producción por minuto, y N que recoja los precios. b) Calcula el elemento a11 de la matriz M · N y da su significado. c) Calcula el elemento a11 de la matriz N · M y da su significado.

Solución: 1

a) Unidades producidas por minuto:

1,5

2

A  100 200 500    Q  20 20 30   M H  700 600 400  A Q H

1  0, 20 0,30 0,40    1,5  0,30 0,45 0,60   N 2  0, 40 0,60 0,80  b) a11 = 100 · 0,20  200 · 0,30  500 · 0,40 = 280 céntimos.

Precios (en céntimos de euro):

Producen 280 céntimos de euro de clavos de aluminio por minuto. c) a11 = 0,20 · 100  0,30 · 50  0,40 · 700 = 315 céntimos.

Producen 315 céntimos de euro de clavos de 1cm por minuto.

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Buscar alguna sin inversa EJERCICIO 9 : Calcula la inversa de las siguientes matrices: 6  0  1 3 1 2 2  3 1        A  2 1 7 .

B = 2 1 2  C   2 1  1  1  2  1  0 5  2 0 2 0       Solución: 1 2

3 1

6 7

1 0

0 1

0   0  1 

a

3 6 1 0 0   1    2  2 1  0  5  5  2 1 0   a a  1  2 1 0 0 3 1  0  5  7 1 0 1  a a 1 0 0  1  33  1 3 0 4 3 3     a a 2 1 0    22 53  0  10 0 9 7 5   a  0 1  1 1  3 0 2 1 1 1   1 13 9 15 a  1  1 0 0  a a 10 10 10 10 10  1  3  2  10 0 0 13  9 15     1 9 7 5 a  a  2 0  10 0  9 7  5     2 0 1 0     10 10 10 10 a  0 3 0 2 1 1 1  1 a  1 1 1   3  0 0 1   2 2 2 2   13  9 15   1  1 Por tanto, A   9  7 5 .

10     5 5  5  La inversa de B: 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 1 2 0 1 0 0          2  1 2 0 1 0  F2  F2  2F1  0  5 2  2 1 0  F3  F3  F2  0  5 2  2 1 0   0 5  2 0 0 1 0 5  2 0 0 1 0 0 0  2 1 1       No tiene inversa porque la tercera fila es nula. a 1 0 0  1 1 0 0   2 3 1  2 3 1     a  La inversa de C:  2 1 1 0 1 0   2  1a  0 4  2 1 1 0   a  0  0 2 0 0 0 1  3 2 0 0 0 1       La inversa de A:    a 1 3 6  1  a  2  0 5 5 a a  3 2  0 0 2

1

a

a

       

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato 1



2

a a

a

23 2

a

3 1 4 2

 2   0  0 

0

1 1

2

0 1

1 a

1 3



2 3

a

a a

8  0 0 

0 4 0

0 0 2

2 0 1

2 0 1

a

0   0   2 

1

1

2  2 2 



8 1 4 1

5

4 1  3 2 a

2 3 3 1

2

a

3

a

a

a

  1   0    0 

a

2

a

 8   0  0 

0 4

2 0

1 0

3 0

0

2

1

1

0

0

1 4

1 4

1

0

0

0

0

1

1 2



1 2

0   2  2 



1 4 1 2

  1 1 1   Así, C 1  1  0 0 2  .    4   2  2 4   1  

CALCULAR LA POTENCIA N-ÉSIMA DE UNA MATRIZ 0 a b    EJERCICIO 10 : Se considera la matriz: A   0 0 c  , donde a, b y c son tres números reales arbitrarios. 0 0 0   



a) Encuentra An para todo natural n.



2

b) Calcula A 35  A .

Solución: a) A1  A 0 a b 0 a b  0    0 c 0 0 c   0 0 0 0 0 0 0  0      0 0 ac   0 a   A3  A 2A   0 0 0  0 0 0 0 0  0 0    A2  0

0 ac   0 0 0 0  b  0 0 0    c   0 0 0 0   0 0 0 

Por tanto, como A 3  0, tenemos que A n  0 para n  3.



b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a): A 35  A

 0 0 ac   0 0 0 0 0   

2  0  A2   A 2  A 2   0

RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES  2 0 1   EJERCICIO 11 : Dadas las matrices: A   1 3 0   5 1 3   1  3  9  1 a) Comprueba que A 1    3 1 1  4    14  2 6  Solución:

y

 1 1   B =  2 1  0 3  

b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.

a) Se trata de probar que A A 1  I, donde I es la matriz identidad de orden 3. Efectuamos el producto: 1  3 1  3 2 0 1  9 2 0 1  9 4 0 0 1 0 0   1  1   1    1 1   1 3 0   3 1 1    0 4 0     0 1 0  , como queriamos demostrar.  1 3 0    3  5 1 3  4   14  2 6  4  5 1 3    14  2 6  4  0 0 4  0 0 1           

b) Despejamos X en la igualdad AX  B, multiplicando por la izquierda por A 1: A 1 AX  A 1B  IX  A 1B  X  A 1B  3  1 1   11    1 1   2 1   1 4    4   18   14  2 6   0 3    9

1 Por el apartado a), conocemos A 1 ; luego: X    3

1 1

1   11 / 4 1 / 4     1    1 / 4 1 / 4  2    9 / 2 1 / 2 

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

6

 3 0 1  1      EJERCICIO 12 : Halla la matriz X que verifica BX = A, siendo B   1 0 2  y A    2  .  0 1 0  4     

Solución: Despejamos X multiplicando por la izquierda por B-1: B 1BX  B 1 A

a



2 3

a a

Como B

1

a

 15   0  0 

0 1

0 0

6 0

0

5

1

 6 1    0 15   3

3 0   0 15  , 9 0 

X  B 1 A

a 1 0 1 1 0 0  3 0 1 1 0 0  3     a a  3 0 1 0 0 0 1   2 1 0 0 0 1   0 a  a a   2 1 0 2 0 1 0 3 3 1  0 0 5 1 3 0  6 3   1 0 0 0  a  1  1 15 15 3 0   6 3 0    15   a 1 1    0 1   2 0 1 0 0 0 1  B   0 0 15   15  1 a   3 0   3  1 3  3 9 0  5 0 0 1  0   5 5    6  3 0  1   12   4 / 5      1  1  X 0 15    2  . Así: X   0  60   X   4  15  15   7 / 5 0   4   3 9   21  

3 0 1 1 0 0   1 Hallamos B :  1 0 2 0 1 0  0 1 0 0 0 1   5 1  3



1

a

 1 2  3  1  y B    .

EJERCICIO 13 : Resuelve la ecuación matricial XA = B, siendo A    0 1 0 2 

Solución: Despejamos X multiplicando por A-1 por la derecha: XAA 1  BA 1 F  2F2  1  1 2 1 0   1  Hallamos A 1:  F2 0 1 0 1  0  3  1  1  2  3  7     X    Así: X   0 2 0 1    0 2 

0

1

1

0

 2  1 





X  BA 1

1  2  A 1   0 1 

1 2 1  5      EJERCICIO 14 : Halla la matriz X que verifica AX + B = 0, siendo A   2 4 3  , B    2  y 0 la matriz nula.  3 5 2  1     

Solución: Despejamos X: AX  B



A 1 AX  A 1  B  

a a 2  2 1   1 2 1 1 0 0    Calculamos la inversa de A:  2 4 3 0 1 0    a a   3 5 2 0 0 1 3  3 1    2 1 1 0 0   1   a a Intercambiamos las filas 2 y 3 :  0  1  1  3 0 1   0 0 1 2 1 0   a a 0 1 5 0 2  1  3 1 0 0  7  1      0 1 1 3 0  1  2 a  3 a  0 1 0 5 a  0 0 0 1  2 0 1 2 1 0  3     7 1 2   5   35   35         X   5  1  1   2    26   X    26    2 1 0   1   12   12        

IX   A 1B 1 0

2 0

1 1

0

1 a



X   A 1B

1 2

0 1

1  3

0

2  1   2  0 1 a  3  0 0 1 2   1  1 Por tanto, 1 0  1

a

1 1 1 A 1

0   0  1  1 3

0 0

0  a  1  2  2a 1  2 1 0  2  7 1     5  1  1 .  2 1 0  

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

7

RESOLVER SISTEMAS MATRICIALES 5  4 0  7    EJERCICIO 15 : Resuelve el siguiente sistema matricial: 3 X  2Y   5 9 0  ; 2X  Y    6  15  4 4   10    Solución: 5  4 1 2  0  7 3 X  2 X  A     Llamamos: A   5 9 0  y B   6 6 7  Así, el sistema queda:  2 X  X  B  X 15  4 4   10  5  2      1 3 X  2 B  2 X   A  3 X  2B  4 X  A  7 X  A  2B  X  A  2B  7 2 2 4 3 2 1 Y  B  2 X  B  A  2B   B  A  B  B  A  3B  2 A 7 7 7 7 7 7 Por tanto:  0 5  4 1 2  7 0 1 0  7  14  2    1     1 1  X  A  2B  5 9 0   2  6 6 7     7 21 14      1 3 2  7 7   0  5  2  7  35  14 0   5  2 0 15  4 4           7 1 2   1 1  Y  3B  2A  3   6 6 7 2 7 7    10  5  2  

5  4  0  21  7 14   3 1 2    1     9 0     28 0 21      4 0 3  5 15  4 4  7  0  0  1  2  7  14      

EJERCICIO 16 : Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos, 0  2  1  1   verificando: 5 X  3Y   3 X  2Y     4 15  2 9  Solución: 0  2  1  1  y B    . Tenemos que resolver el sistema: Llamamos A     4 15   2 9  a 5X  3Y  A  3 1 a   15X  9Y  3A 2 1  10X  6Y  2A  a a 3X  2Y  B  52  15X  10Y  5B 32   9X  6Y  3B Sumando: Y  5B  3A Sumando: X  2A  3B Por tanto: 0   2  1  4 0   3  3  1 3  2   3           X  2   4 15    2 9    8 30    6 27    2 3   5  6 0    1  5  1  1  2 0   5   3           Y  5 0    2 9    4 15    10 45    12 45   2 Calculamos X 2 e Y 2 :  1 3   1 3    5 12   1  5  1  5   9 5       ; Y 2      X 2   0   2 0    2  10    2 3   2 3   8 3  2 5    14 17    5 12    9        Luego: X 2  Y 2     8 3    2  10    10  7 

HALLAR LAS MATRICES QUE COMUTAN CON UNA DADA EJERCICIO 17 : 2 0  , hallar las matrices que conmutan con A. a) Dada A    1 0 b) Escribe una matriz que conmute con A. Solución:

1 6

2   7   5  2 

 B  2X

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato  2 0 a   a)  1 0  c 2a  2a  b   2b  0   a  2c  d   b0

b  a b   2 0    d   c d   1 0 

b0 a  2c  d



8

 2a 2b   2a  b 0     b   2c  d 0  a

 2c  d 0   c, d  R Por tanto, X   d   c

3 0  b) Por ejemplo, si c  1 y d  1: X   1 1 

COMBINACIÓN LINEAL. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA DE VECTORES EJERCICIO 18 : Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:    u1  1, 1,  1, 1; u 2  2, 3,  2, 1; u3  1, 3,  1,  1 Solución: Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores linealmente independientes. a a 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1   1  1 1       a a a 3  2 1   2  2 1  0 1 0 1  2 1 0  1  2 0 a a a a   1  3  1  1  3 1  0 2 0  2  3 22  0 0 0 0   Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir como combinación lineal de los otros dos.    Los tres vectores u1, u 2 , u 3 son linealmente dependient es.

RANGO DE UNA MATRIZ EJERCICIO 19 : Halla el rango de las siguientes matrices: 3 0   1  4 2  5 2 1     1  2 1 2  1 1 0 1 a) M   b) A   1 8  6 19  1 8 9  6     3 1    2 1    5  10 15  6  1 1  3 0  2 3 1  1      1 1  1 1   1 0 2 1  d) A   e) M   1 2  3 1 4 9 7  1       2  1 2 0  7 9 1  4     Solución: a a 0 1  2 1  1 1  1  4 2  5     a a a 1  2  5 1 1  4 2 1 1  1 0 a)    a  a a 1 8  6 19  8  6 19  3 1 3 1     a  a a 3 1 2 1  1 2 1  4 3 4  31  a 1  1 1  1 0   a 2 0  3 2  6   . Por tanto, ran M  3. a a 0 0 0 0  3  32   a a  0 14  30  3  4  4  2 0 0  2 1 3   2 1 2  1 b)  1  8 9  6    5  10 15  6   



a

2 1 2  1   a 1 3 0  1 2 a  9  6 3 1 8   a   4  5  10 15  6  2

1  1 1 0   0  3 2  6   0 9  6 18    0 4 2  2  



a

2 1 2  1   5 5 4 2  2  1 0 a a  0  10 10  8  3 1   a a   4  5  1  0  20 20  16  1

a



0 2  4 7   1 0  1 0 c) A   2 7 2 2     1  7 1  2  

a



Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato a

1 2  2 0  5  a a  0 3 22 0  a a  0 4  4  2 0 0 2  4 7   1 0  1 0 c)  2 7 2 2    1  7 1  2   a 1 1 0 1  a 2 0 7  4  a a  0 3 2 0 0  a a  4  2 0 0  4 1

a

1  3 0   1 1 1 d)  1 2 3   2 1 2  a 1 1  a 2  0  a a  0 3 2  a a  4 2  0

e)  2  1  4   7 



1

2   5  4 . Por tanto, ran A  2.

0 0   0 0  a a 0 1 0  2 1 1   a a a 7 0 2  1 4 2  4 1  a  a a 7 2 2  3 2 3  2 1   a  a a 1  2  4 1  7 4 1 0  2 . Por tanto, ran A  3.

0  0 

1  1  1  0  1 1 3 0

4 0

0

0

1  0 2 1  9 7 1  9 1  4  a 1 1  a 2  0 a a  0 3 32  a a  4 32  0 3 1

2



9

1 3 4

0 2 3 5 0 0 0 0

a a a a

a 1  1 1 1 1   a a 0 1 1 1  3 2  3 1  a  a a 1 2  3 1 3 3 1   a  a a 2 0  4  2 1 4  2 1 1    2 . Por tanto, ran A  2.

0   0 

2

a

a

1   2  4  7  1  1 .

0  0 

0 2

1   3 1  1 9 7  1  9 1  4 

a



a

 1  2  2 1  0 a a  0 3  4 1  a a  4  7 1  0 1

a

1 0  1 0   0 7  4 2  0 7  4 2    0  7 0  2  



 1 1 1 1     0  3 4  2  0 3 4 2     0  3 4  2  



0

2

1  3 5 1 9 15 3   9 15 3 



Por tanto, ran M  2.

EJERCICIO 20 : Halla el rango de las siguientes matrices: 7 0   1 4 2   4     0   2 1 3   1  1 0 1 0 1     B 1 2 1 2  C   A 1 8  6 2 7  2  1  8 9  6        3  1 7 1  1 2    

 3  D   1  1 

0 1

1 1

2

3

1   2   1  E  1  4 1  

3 0

1 2

9

7

 1  1   1 

Solución:     A       B  

a a 2  1 0  2  1 1  1 1     a a a 1 1 0  4 2  3 1  1 2 1  0  a  a a    1 8 6 1 8 6 0 9 3 3 1     a  a a    3 1 2  1 2  4 4  3 4  3 1  0 a a 2 1 3 0  2  1 2 1 2  1      1 2  1 2   1a  2  1 3 0   2 a  2 1a  a  a a  1  8 9  6  3  1  8 9  6  3 1  Por tanto, ran (B) = 2.

1

4

a 0  1  1 1 0     a 2  2  0 3 2    ran (A) = 3. a a  0  6 0 0  3  3 2    a a  2  0 14  3 4  4 2  0 a 1 2 1 2  1 2 1 2   1    a 0 5 5 4   2 0  5 5  4   a a  0  10 10  8  3  22  0 0 0 0 

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

10

a a 0  0 1  0 1  2  1 1  1      a a a 0 1  7 0  7  4 1  4 2  4 1  0  a  a   a  7  2 2 7  2 0 7  4 3 3  2 1      a  a a   7 1   7 1   7 0  4  1 4 1  0 a a 0 1 1  2  1 1 1 1  1  1 1 1     a a a 1 1 1   1  3 0 1 1   2  3 1  0  3 4 a  a a  2  3 1  3  1 2  3 1  3 1  0 3 4 ran (D) = 2. a a 3 1  1 2 1 0 2 1 1 2 1 1 0     a a a 0 2 1  1  2 3 1  1  2  2  1  0 3 5 1 a  a a    9 7  1 3  4 9 7  1 3  4 1  0 9 15 3 ran (E) =2.

 4   1  C 2   1   3   D  1  1  Por tanto,  2   E1  4  Por tanto,

7

a

  2  a a  3 2  a  4  1    2  2  1

a

    

1

0

1   0 7  4  ran (C) = 3.

0 0 0   0  7 0  a 1  1 1 1 1    a 2  0  3 4  2 a a  3 2  0 0 0 0  1



2

a a

a

3  3 2

a

 1  0 0 

0 3

2 5

0

0

1  1 0 

EJERCICIO 21 : 0  1  2    1 1 3   a) Halla el rango de la matriz: A   3 1 4     4  2 1   b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:    u1  2,  1, 3, 4 ; u 2  0, 1, 1, 2  y u3   1, 3, 4, 1

Solución: a)  2   1 3  4 

a a  1 3 2  1 1 1  1 1 3       a a a 1 3 0  1 2 5 1  2 2  2 1  0    a  a a  1 4 3 1 4 0 4 13  3 3  3 1      a a a  2 1  2 1  6 13  4  4 4  4 1  0 a a 3  3 1 1  1 1 1 1     a a 2 5  2 5 2 2  0  0  a  . Por tanto, ran A  3. a  a  0 0 0 3  0 3 3 22 3     a a  a a  0  2  0 0  4 32  0 34  23  0    b) Observamos que las columnas de la matriz A coinciden con los vectores u1 , u 2 , u 3 .

El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.

0

EJERCICIO 22 : Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores       u1  2,  1, 0, 1; u2   1, 0, 2, 1; u3  5,  4, 6, 7 y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u2 , u3 .

Solución:    Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son u1 , u 2 , u 3 : a 1  2  1 0 2 1   2 1 0     a 2 1   1  2 1 0 1    1 0 a   5 4 6 7  3  5 4 6 7  

1

a

a

a

a

a

2  2 1 3  51

 1 0   0 1  0 4 

2 4 16

1   3  12 



a

2 1  1 0   0  1 4 3  . Por tanto, el rango de la matriz es 2.  a a  3 42  0 0 0 0  Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el tercero depende de ellos.

1



2

a

EJERCICIO 23 : Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente 2 1 2   3   independientes: A    1 1 1  2  1 6 5 6    Solución:

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato

11

Calculamos el rango de la matriz dada: a a 2 1 2  2  1 1 1  2 1  3     1  2   1a  3 2 1 2   2 a  3  1a  1 1 a a a  1 6 5 6   3  1  6  5 6  3 1   a 1 1  2  1 1   a  2 5 4  4  . Por tanto, ran A  2.  0 a a  3 2  0 0 0 0  Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A;

1  2  1 1   5 4  4  0  0 5 4 4   



las otras dos dependen linealmente de ellas.

EJERCICIO 24 : Estudiar el rango de las siguientes matrices, en función de los valores de los parámetros: a   1 0  3  1 1 a  2       a a  1 3   1 a   A   B  2 a 1  C   3 2 0 D   E 1 a  1 .

4 2   a  2 a  1  3 2  a  1 a 1  0 a  1       Solución:  1  A: Aplicamos el método de Gauss:   a a  2 Hacemos 4  a 2  0  a  2 1 2 1  o Si a  2,   0 0 0  1 2 o Si a  2,  0  0 o Si a  2, ran C = 2. 1   B: Aplicamos el método de Gauss:  2 3  a  7  Hacemos  a 2  9a  14  0  a  2

a  1  2 

a 4



  2  a 1   1



a

a

a

1 0

a 4a2

a  1   a  a  2  2

ran A  1

3   4 



ran A  2

0  3  a 1   2  a 

1

a

a

a

a

a

2  2 1 3  3 1

Si a  7 y a  2, ran B = 3  1 0  3   o Si a  7,  0 7 7   ran B  2 0 0 0    a 1 1 1 a     C: Aplicamos el método de Gauss:  3 2 0   2 a  3  1 a a a 1 a 1  3 1   a  1 Hacemos  3a 2  2a  1  0  a  1 / 3

3  1 0   7   0 a 0 2  a  9  

1 2

a a

a

a 3  22

a

3 1 0    7 0 a   0 0  a 2  9a  14   

o

o

1  1 1   Si a  1,  0  1  3  0 0 0  



 1 0  3   Si a  2,  0 2 7  0 0 0    a 1 a  1 1   a 2  0  1  3a   a a 0 a 1 1 a  3  a  12  

o

a 3 Hacemos a 2  a  6  0  a  2

a 1 1     3a  0 1   0 0  3a 2  2a  1  

1  1 1   3 1  Si a   ,  0  1 1  3  0 0 0     

ran C  2

1 Si a  1 y a   , ran C  3.

3 3  a    D: Aplicamos el método de Gauss:   2 a  1

 ran B  2

a

3 a    2 a  2  2  1 0 a  a  6 1

a

a



ran C  2

Tema 2 – Matrices – Matemáticas II – 2º Bachillerato o o

12   2 3  Si a  2,   0 0

 3 3   ran D  1 Si a  3,  0 0 Si a  3 y a  2, ran D = 2.



ran D  1

a

1

a  a   2  2     a a  E: Aplicamos el método de Gauss:  1 a  1  2  2  1  0 a  2 a  0  0 a  1 3 a  1    La tercera fila se anula si a = 1 y la segunda, si a = 2. Estudiamos estos dos casos: 2 1  2    o Si a  1,  0 3   ran E  2 Si a  2,  0 0 0  0    Por tanto, ran D = 2 cualquiera que sea el valor de a.

 2  0   3 



ran E  2