matematica actuarial guia euded

Universidad Nacional

Federico Villarreal

GUÍA ACADÉMICA MATEMÁTICA ACTUARIAL ECONOMÍA III CICLO

ECON. CARMEN VALDIVIA ARENAS

Euded Escuela Universitaria

Educación a distancia

MATEMATICA ACTUARIAL

INDICE Presentación .......................................................................................................................................... 5 Introducción a la asignatura ................................................................................................................ 6 Orientaciones generales de estudio .................................................................................................. 7 Tutorías .................................................................................................................................................. 7 Cronograma ........................................................................................................................................... 7 Evaluación ............................................................................................................................................. 9 Medios y recursos didácticos .............................................................................................................. 9 Objetivos generales .............................................................................................................................. 9 UNIDAD I ............................................................................................................................................ 10 Desarrollo de la unidad I .................................................................................................................... 10 1.1

Ámbito de aplicación de la matemática actuarial. ............................................................. 10

1.2

Evolución histórica de los seguros ....................................................................................... 11

1.3

Aspectos económicos de los seguros ................................................................................. 11

1.4

Terminología de seguros ....................................................................................................... 13

1.5

Seguros de vida y no-vida ..................................................................................................... 18

1.5.1

Seguros de personas ......................................................................................................... 18

1.5.2

Seguros patrimoniales ....................................................................................................... 19

1.5.3

Elementos diferenciadores de los seguros de vida y no-vida ..................................... 20

1.5.4

Modalidades de seguro de vida ....................................................................................... 21

1.6

Introducción a las probabilidades ......................................................................................... 22

1.6.1

Historia de las probabilidades ........................................................................................... 22

1.6.2

Cálculo de probabilidades ................................................................................................. 23

1.6.3

Utilización de probabilidades en seguros ....................................................................... 26

1.7 Interrelación entre leyes probabilísticas y leyes financieras como base del cálculo actuarial. ............................................................................................................................................... 27 1.8

Tablas de mortalidad .............................................................................................................. 27

1.8.1

Contenido e interpretación ................................................................................................ 28

1.8.2

Aplicaciones de la tabla de mortalidad o supervivencia ............................................... 29

1.8.3

Tasa central de mortalidad ................................................................................................ 30

1.8.4

Vida media o esperanza de vida ...................................................................................... 30

1.8.5

Vida probable: ..................................................................................................................... 31

1.8.6

Tasa bruta de mortalidad ................................................................................................... 31

UNIDAD II ........................................................................................................................................... 33 2.1 2.1.1

Operaciones demográfico-financieras. ............................................................................... 33 Factor de capitalización demográfico-financiera. .......................................................... 34 Página 2

MATEMATICA ACTUARIAL 2.1.2

Factor de actualización demográfico financiera ............................................................ 34

2.2

Caso seguro personal de sobrevivencia. Símbolo de conmutación Dx ......................... 34

2.3

Seguros de fallecimiento por n años. Símbolo de Conmutación Mx .............................. 35

2.4

Seguros de pensiones. Símbolos de conmutación Nx. .................................................... 37

2.5

Seguros dotales ...................................................................................................................... 39

UNIDAD III ......................................................................................................................................... 42 3.1

Seguros de sobrevivencia y fallecimiento........................................................................... 42

3.2

Seguros de pensiones. .......................................................................................................... 44

3.3

Primas comerciales o de tarifa. Cálculo y componentes de costos. .............................. 45

UNIDAD IV ......................................................................................................................................... 50 4.1

Reservas matemáticas. Componentes. .............................................................................. 50

4.2

Valores garantizados ............................................................................................................. 52

4.2.1

Reserva modificada mediante la fórmula de Zillmer ..................................................... 53

4.2.2

Capital de rescate ............................................................................................................... 53

4.2.3

Seguro saldado ................................................................................................................... 53

4.2.4

Seguro prorrogado o prolongado ..................................................................................... 53

4.3

Seguros previsionales. Pensiones de jubilación y beneficiarios en AFP´s .................. 54

4.3.1

Captación de recursos por las administradoras de fondos de pensiones ................. 54

4.3.2

Bono de reconocimiento .................................................................................................... 55

4.3.3

Pensión de jubilación ......................................................................................................... 55

4.3.4

Anualidades vitalicias con pagos mensuales durante el año ...................................... 55

4.3.5

Tablas de mortalidad .......................................................................................................... 56

4.3.6

Simbología para el cálculo de seguros previsionales y rentas vitalicias: .................. 56

4.3.7

Funciones para el cálculo de seguros previsionales y renta vitalicia ......................... 56

4.4

Mecanismos de intermediación financiera para el caso de seguros .............................. 58

4.4.1

FODA del mercado asegurador peruano ........................................................................ 58

4.4.2

Riesgos del sistema asegurador peruano ...................................................................... 59

4.4.3

Microseguros ....................................................................................................................... 60

4.4.4

Seguros obligatorios en el Perú ....................................................................................... 61

ANEXO: TABLAS DE MORTALIDAD ............................................................................................. 67

Índice de talleres Taller Nº 1: Autoevaluación ............................................................................................................... 32 Taller Nº 2: Autoevaluación ............................................................................................................... 40 Taller Nº 3: Autoevaluación ............................................................................................................... 48 Taller Nº 4: Autoevaluación ............................................................................................................... 49 Taller Nº 5: Autoevaluación ............................................................................................................... 65 Página 3

MATEMATICA ACTUARIAL Taller Nº 6: Autoevaluación ............................................................................................................... 66

Índice de solucionarios Solucionario Nº 1: Unidad I .............................................................................................................. 74 Solucionario Nº 2: Unidad II .............................................................................................................. 75 Solucionario Nº 3: Unidad III ............................................................................................................. 76 Solucionario Nº 4: Unidad III ............................................................................................................. 77 Solucionario Nº 5: Unidad IV ............................................................................................................ 79 Solucionario Nº 6: Unidad IV ............................................................................................................ 81

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MATEMATICA ACTUARIAL

Presentación

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MATEMATICA ACTUARIAL Introducción a la asignatura El presente curso de Matemática actuarial forma parte de los nuevos cursos que se han incorporado a la currícula moderna de la carrera de Economía. Es importante porque el campo actuarial tiene que ver con el aspecto de seguridad de las personas sobre sí mismas y sobre sus bienes. Tiene que ver con la previsión sobre el futuro del individuo y sus familias. En Europa, Estados Unidos y otros países desarrollados el mercado de los seguros es amplio y con mucho crecimiento. En este mercado participan los economistas con el análisis previsional sobre las decisiones que deben tomarse en un contexto determinado. El mercado de seguros en países emergentes como el nuestro, se encuentra en un proceso de expansión y lamentablemente no tenemos profesionales actuarios que cuenten con el perfil necesario para gerenciar el mismo. Es por ello que los economistas deben conocer de cerca los elementos básicos que se toman en cuenta en este sistema actuarial que se encuentra conexo con el sistema financiero.

Esta guía tiene el propósito de contribuir con la formación de este curso, siendo un material de consulta efectivo para los estudiantes de la carrera bajo la modalidad de educación a distancia. Contiene términos básicos, ejercicios propuestos y los elementos a tomar en cuenta para el desarrollo de los ejercicios.

Es necesario tomar en cuenta, que no basta una guía para tener una preparación adecuada en el curso. Es por ello necesario recurrir a los textos que se recomiendan, las noticias relacionadas, los videos con reportes de situaciones del mercado e incluso las modificaciones legales al tratamiento de seguros.

Otro aspecto a considerar es que en este país existen dos sistemas previsionales; el público (ONP) y el privado (SPP), es por ello que se verán casos de previsión en el marco de las empresas administradoras de fondos de pensiones en el Perú.

Siendo que todos al final necesitaremos contar con una forma de sobrevivencia para los últimos años de nuestra vida o, si no se tiene esa suerte tendremos la preocupación por nuestros familiares, es necesario entender que la sociedad debe tomar decisiones en el presente. Todas las decisiones que se toman deben estar basadas en un análisis previo para ser consistentes. De eso se trata este curso.

Econ. Carmen Valdivia Arenas

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MATEMATICA ACTUARIAL

Orientaciones generales de estudio

Tutorías Las tutorías se desarrollan mediante la programación de un calendario de tutorías en la modalidad presencial – virtual.

Cronograma Se debe mostrar el cronograma de la signatura indicando su inicio y final, de cada unidad, fecha de entrega de trabajos, fecha de los foros, fecha de tutorías presenciales.

CRONOGRAMA Tutorías presenciales

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MATEMATICA ACTUARIAL Cantidad de horas académicas Horas Horas Horas videopresenciales virtuales conferencia

Tutorías presenciales y virtuales

Semana 1 2 2.5 Semana 2 2 2.5 UNIDAD II Semana 3 2 2.5 Semana 4 2 2.5 EVALUACIÓN PARCIAL VIRTUALES UNIDADES I-II Semana 5 2 2.5 UNIDAD III Semana 6 2 2.5 UNIDAD IV Semana 7 2 2.5 Semana 8 2 2.5 EVALUACIÓN FINAL UNIDADES III –IV 16 20 TOTAL 60 horas académicas UNIDAD I

3 3 3 3 3 3 3 3 24

Cronograma de entrega de trabajos

Fecha de tutorías presenciales UNIDAD I UNIDAD II UNIDAD III UNIDAD IV

Fecha de foros

Presentación trabajo ejercicios

Semana 1

11/01/15

Semana 2 Semana 3

18/01/15 25/01/15

25/01/15

Semana 4 Semana 5

01/02/15 08/02/15

08/02/15

Semana 6 Semana 7

15/02/15 22/02/15

Semana 8

01/03/15

01/03/15

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MATEMATICA ACTUARIAL Evaluación El promedio final de la asignatura en la modalidad Presencial - Virtual se obtiene aplicando los siguientes pasos porcentuales:  Evaluación de trabajos académicos  Evaluación interacción virtual  Evaluación Final

(TA): (40%) (IV): (20%) (EF): (40%)

PF = TA (0,4) + IV (0,2) + EF (0,4)

El estudiante que abandona la asignatura tendrá promedio 00 (cero) en el acta final, debiendo registrar nuevamente su matrícula.

El examen parcial será virtual y se realizara en la 4ª semana del módulo. El examen final será presencial y se realizara en la 8ª semana del módulo. También se presentara un trabajo monográfico la última semana de clase.

Medios y recursos didácticos Introducción al cálculo actuarial Hugo E. Palacios. Editorial MAPFRE Textos complementarios

Plataforma virtual

 Curso de matemática financiera y actuarial Eugenio Levi – Edit. Barcelona  Matemática actuarial Ubaldo Nieto Alga Edit. Mapfre Madrid España  Elementos de calculo actuarial González Gale, José, 5a ed.

Tabla de mortalidad: https://www.youtube.com/watch?v=8UtuK9U22ZE Uso de tablas de mortalidad:https://www.youtube.com/watch?v=GqAjoElxnY0 Transparencia de cálculo: https://www.youtube.com/watch?v=xT3El273RDs AFP: https://www.youtube.com/watch?v=JN-c5rfQwIY

Objetivos generales 

 



Capacitar al estudiante en el dominio de las técnicas actuariales para la toma de decisiones.

Desarrollar habilidades para reconocer los parámetros y principios fundamentales en que se basan la matemática actuarial en especial la incertidumbre y el riesgo.

Capacitar al estudiante para que se encuentre en condiciones de resolver con buen criterio, las operaciones actuariales que se presentan en el mercado asegurador.

Capacitar al estudiante para que calcule los primas, sumas aseguradas, rentas, reservas entre otros cálculos del sistema.

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MATEMATICA ACTUARIAL

UNIDAD I

NOCIONES BÁSICAS

Objetivos específicos.  Conocer los términos básicos del sistema asegurador.  Analizar los aspectos económicos relacionados con el mercado asegurador.  Analizar la interrelación entre las ciencias básicas de las que se nutre el cálculo actuarial.  Conocer a las tablas de mortalidad como instrumento de ayuda en el cálculo actuarial.

Contenido temático:  Ámbito de aplicación de la matemática actuarial.  Aspecto económicos del seguro de vida  Terminología de seguros:  Clasificación de seguros personales de vida y no vida  Interrelación entre leyes probabilísticas y leyes financieras como base del cálculo actuarial.  Introducción a las probabilidades  Tablas de mortalidad. Contenido e interpretación.  Construcción de una tabla de mortalidad. Nueva tabla peruana.

Desarrollo de la unidad I 1.1

Ámbito de aplicación de la matemática actuarial.

La ciencia actuarial es la rama del conocimiento que trata con las matemáticas de los seguros y las pensiones, y que tiene por objeto determinar la correcta evaluación de los riesgos y la suficiencia de las primas, aportaciones y provisiones necesarias para el pago de obligaciones y beneficios futuros.

El campo actuarial tiene que ver con el negocio de seguros, los sistemas de pensiones y programas de beneficios para empleados, la seguridad social, los sistemas previsionales de salud y, en forma más general, con negocios en los que se requiere administrar financieramente el riesgo.

El campo actuarial tiene una base matemática y un economista con conocimiento sobre esta materia puede desempeñarse profesionalmente en las compañías de seguros y reaseguros, compañías de pensiones, administradoras de fondos de retiro, grupos financieros, instituciones de seguridad social, corporaciones médicas, firmas de consultoría, departamentos o comisiones de seguros y pensiones de los gobiernos, centros de investigación, universidades, y en cualquier empresa o institución que maneje la incertidumbre y el riesgo con un enfoque financiero.

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MATEMATICA ACTUARIAL 1.2

Evolución histórica de los seguros La noticia más antigua de una institución semejante en algo al seguro de vida procede de Egipto, encontramos una especie de legados, corporativamente organizados a favor de los familiares del fallecido.

En la Edad Media, era común la captura de naves, tripulaciones y pasajeros por los cuales se pedían valiosos rescates. Ante este peligro, los capitanes de barcos y los pasajeros, antes de zarpar, buscaban a personas que estaban dispuestas a asumir el pago del rescate a cambio de recibir previamente una cantidad de dinero que les quedaba de ganancia si el rescate los pedía.

De ahí surgió la idea de algunos comerciantes de aceptar previamente el pago de una módica cantidad de dinero a cambio de garantizar el pago de una suma sustancialmente mayor en caso de que muriera el viajero o tripulante durante la travesía. Si la muerte no ocurría, el dinero originalmente recibido quedaba en su poder. La cantidad pagada por el “asegurado” es la que hoy conocemos como prima.

De esta forma se fue condicionando el seguro de vida a la duración del viaje, para luego extenderlo a la muerte ocurrida al margen del viaje, aunque la duración del seguro acostumbraba ser corta.

Estas operaciones semejantes a las contrataciones del seguro de vida moderno se incrementaron. Con el tiempo pasaron a llamarse suscriptores los comerciantes que acostumbraban reunirse en los lugares más frecuentados por los marinos y viajeros con el fin de encontrar clientes dispuestos a participar en sus operaciones.

En la baja Edad Media era ya usual registrar por escrito los seguros marítimos en un documento llamado póliza, que luego fue utilizado para estipular las condiciones del contrato, con las variantes del caso, en todas las ramas del seguro. En el desarrollo histórico del contrato de seguro desempeña un papel importantísimo la creación y desarrollo de la forma jurídica de la póliza.

A lo largo de la historia se fueron agregando elementos de cálculo a los seguros, se utilizaron las probabilidades y las tasas de interés así como los censos poblacionales.

Todo esto ayudó a la conformación de los seguros como un instrumento de previsión.

Sin embargo, no es sino hasta finales del siglo XVII que arranca la historia moderna del seguro con la creación en Londres de la primera asociación profesional de aseguradores, cuyas primeras actuaciones se concentraron sobre seguro marítimo.

Sin embargo, para ver los primeros intentos en seguro de vida hay que esperar hasta bien avanzado el siglo XVIII. Durante el siglo XX se produce la internacionalización y generalización del seguro, hasta el punto de considerarse uno de los pilares actuales del sistema económico y un indicador del nivel de progreso y desarrollo alcanzado por una sociedad.

1.3

Aspectos económicos de los seguros El contrato de seguro aparece en numerosas escrituras notariales, redactadas en italiano, ya no en latín como el préstamo a la gruesa, inaugurando una época, en que el seguro pasa a ser una institución específica autónoma, que no es juego o apuesta, ni ahorro ni operación de banca, aunque en cierto modo reúne estos tres elementos.

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MATEMATICA ACTUARIAL En la Pizza da Banchi de Génova se formó el primer sistema de cálculo de los riesgos, lo mismo que se conformó una primera comunidad de riegos y de ganancias, con participación de toda la clase capitalista.

La venta o especulación sobre los capitales asegurados fue también un mercado que hacía las veces de moderno cálculo matemático de la prima. Precisamente el gusto por la especulación hizo que las primeras intervenciones legislativas en la regulación del contrato de seguro tuvieran por finalidad prohibir el aseguramiento por encima del valor de los bienes asegurados, e incluso poner forzosamente una parte de su valor (franquicia) a cargo del propietario.

Otro factor socioeconómico que, influyó en el origen y expansión del seguro fue el individualismo, en el sentido de independencia económica del individuo respecto de los grupos sociales que en etapas anteriores tenían la función de previsión y cobertura de los riesgos de sus miembros. La disgregación de la familia agnaticia, y la soledad e inseguridad de la familia conyugal o celular moderna originará la viva necesidad de asegurar infortunios, en el marco de las crecientes aglomeraciones urbanas.

Por último, no debe olvidarse otro factor que influyó en la aparición del contrato de seguro como institución autónoma: la prohibición del préstamo a interés o usura por la Decretal del Papa Gregorio II que obligó a separar entre restitución del mismo capital, sin interés, y el cobro de una indemnización por el riesgo asumido, en muy diversos contratos.

El incendio de Londres de 1666, con la pérdida de 13,000 casas, obligó a imponer el seguro de incendios, que en las ciudades de la Europa continental fue concebido como un impuesto (sobre todo, tras el incendio de Hamburgo, en las ciudades alemanas). Se produce así la expansión del seguro terrestre, con un mayor peso de la intervención pública y de las formas mutualísticas o asociativas.

El progreso de las matemáticas, con el cálculo de probabilidades de vida a partir de los libros de las parroquias, donde se inscribían los nacimientos y fallecimientos, siendo elaborada la primera tabla de mortalidad por HALLEY en 1693, que convertía la generalizada tendencia a las apuestas sobre la vida humana en algo más que apuesta.

En el siglo XIX aparecen nuevos factores: el fomento del seguro por el Estado y la aparición de nuevos riesgos asegurables, como la responsabilidad civil por daños a terceros.

Paralelamente a la expansión de los ferrocarriles, se produce también la expansión de los seguros de accidentes; y en especial el seguro de accidentes laborales, con la imposición, primero jurisprudencial y luego legal, de la responsabilidad civil objetiva del empresario por los accidentes de sus trabajadores, lo que constituiría también el embrión de los futuros seguros sociales o públicos.

La consolidación del sector de los seguros en el siglo XX se caracteriza por tres fenómenos económicos, que no han dejado de intensificarse:  

La concentración de las sociedades de seguros.

La expansión del reaseguro y su internacionalización.

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MATEMATICA ACTUARIAL 

La intervención o control del Estado en la empresa y actividad aseguradora privada, junto a la conversión en servicio público de los seguros sociales y parte de los privados.

Otro factor muy importante es la progresiva asegurabilidad de la culpa del asegurado o tomador del seguro y la de sus empleados o personas por las que responde civilmente.

Todos estos factores hacen que las entidades de seguros, como intermediarios financieros, ocupen un lugar decisivo en el sistema financiero, junto a las instituciones del mercado de valores y al sistema bancario.

1.4

Terminología de seguros La actividad aseguradora tiene su propia terminología, la misma que es utilizada en las diversas áreas de esta actividad. Estas áreas pueden clasificarse como: la institución del seguro, el contrato de seguros, las ramas del seguro y los principios del seguro.

Los siguientes términos nos permiten entender los distintos aspectos de los cálculos de seguros y toma de decisiones en torno a los mismos. a)

Seguro

Como institución es un sistema de protección del hombre y de su patrimonio frente a diversos hechos que amenazan su integridad, su vida, su interés y su propiedad. Los hechos nocivos que causan pérdidas o daños son inciertos pero previsibles. El seguro garantiza el resarcimiento de un capital para reparar o cubrir la pérdida o daño que aparezca en cualquier momento, recibiendo como contraprestación, un precio (denominado Prima) por adelantado por el servicio de protección que ofrece.

Como contrato, el seguro es el convenio entre dos partes, la compañía o entidad aseguradora y el asegurado o contratante, mediante el cual la primera se compromete a cubrir económicamente la pérdida o daño que el segundo puede sufrir durante la vigencia del contrato. La obligación del asegurado o contratante es pagar, al firmar el contrato, el precio del seguro, parcial o totalmente. b) Riesgo Es la posibilidad de pérdida o daño, es decir, la constante amenaza que pesa sobre el hombre y su patrimonio, el hombre como tal está sometido al riesgo desde que nace hasta que muere, ya sea por enfermedad, accidente, etc. Los bienes igualmente pueden sufrir incendios, robo, merma, deterioro, toda clase de eventos dañinos. El seguro tiene por finalidad primera y última proteger al hombre contra estos riesgo ofreciéndole indemnizarlo con una suma equitativa previamente convenida. c)

Siniestro

Es la materialización del riesgo, como el robo de una mercancía, la caída de un avión, la rotura de una máquina, la muerte del que sostiene un hogar, etc. En este momento que el seguro también materializa su acción de protección e indemnización. d) Asegurador Es la persona jurídica llamada compañía, o entidad aseguradora, representada por su personal y apoderados. Esta cubre el riesgo, suscribiendo en forma previa un contrato y recibiendo la contraprestación por adelantado.

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MATEMATICA ACTUARIAL e)

Asegurado

Es la persona natural o jurídica que recibe el servicio de protección contra el riesgo cubierto por el asegurador, puede llamarse también contratante o tomador del seguro, que, a veces por ser éste – en todo caso- quien está protegido, mas no el contratante, que es la persona que toma el seguro y paga su precio, aunque el contrato esté a favor de otro. f)

Beneficiario

Es la persona que recibirá la indemnización en caso de siniestro. Generalmente es el mismo asegurado o contratante. En el caso de seguros de vida, al fallecer el asegurado, el beneficiario puede ser algún miembro de su familia, sus herederos legales o cualquier persona previamente designada en el contrato por el asegurado o contratante. g) Agente de seguros Es la persona que actúa de intermediario entre el asegurador y el asegurado o contratante. Toma el nombre de productor de seguros, corredor, broker o comisionista, y tiene la misión no sólo de poner en contacto al asegurado con el asegurador y obtener un contrato de seguros a su favor, sino de asesorar al asegurado con su amplio conocimiento técnico, comercial y de administración de riesgos. Por su trabajo, cobra del asegurador una comisión o proporción del precio o prima que pague el asegurado. h) Sistema asegurador Es un conjunto de cinco vocablos referidos a igual número de personas u organismos íntimamente ligados a la actividad aseguradora, los cuales (desde su ámbito de acción) forman un engranaje para un equilibrado funcionamiento del sistema:  Asegurado: necesita la protección del seguro, recibe el servicio y paga su precio  Agente: asesora al primero y propone las mejores formas de aseguramiento del riesgo, en las condiciones más ventajosas.  Asegurador: acepta el riesgo y conviene en las condiciones de su función de protección e indemniza el siniestro.  Ajustador: evalúa el daño por encargo del asegurador, opina sobre la procedencia o improcedencia del reclamo, por tanto puede recomendar o no el pago del siniestro.  Autoridad: Es la Superintendencia de Seguro quien aprueba las condiciones y tarifas del seguro, controla la idoneidad del agente, asegurador y ajustador, cuida la equidad que estos deben mantener con el asegurado y controla el funcionamiento más correcto del sistema. i)

Póliza

Es el contrato de seguros, mediante el cual una de las partes, el asegurador, se compromete a cubrir el riesgo que pesa sobre el asegurado, garantizándole (a cambio de recibir una prima) el pago de una suma predeterminada o el valor de la pérdida al producirse el siniestro amparado por el riesgo.

La póliza consta básicamente de tres partes o grupos de disposiciones o acuerdos entre los contratantes:

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MATEMATICA ACTUARIAL  Condiciones generales.- Disposiciones impresas sobre deberes y derechos de las partes, formas de atención de siniestros, riesgos cubiertos y excluidos, materias de orden jurídico y general.  Condiciones particulares.- Contienen las particularidades del propio asegurado, como son el objeto especifico del seguro, ubicación del riesgo, suma asegurada, vigencia del seguro y otras referidas a la materia concreta del riesgo cubierto.

También se pueden incluir limitaciones de cobertura.  Condiciones especiales o cláusulas.- Generalmente adheridas como volantes o apéndices que tratan de materias o coberturas no contempladas en las disposiciones generales. Estas condiciones también deben ser mencionadas en las condiciones particulares.

Las condiciones de la póliza son aprobadas por el organismo de control mediante resolución especial, sea para uso del asegurador proponente o para uso general de todas las entidades aseguradoras del mercado, a solicitud generalmente de la entidad asociativa que las agrupa, siendo en este caso Póliza única. j)

Prima

Es el precio del seguro que paga el asegurado, contratante o tomador en el momento de la emisión de la póliza. La prima es por lo general para una vigencia anual del seguro, aunque puede excepcionalmente pagarse la prima por una sola vez, para una cobertura de varios años (prima única en seguros de vida) y también por una vigencia menor de un año (prima a corto plazo, como para el caso de un viaje, seguro de transporte de mercancías, etc).

La prima se determina mediante bases estadísticas referidas a la frecuencia, intensidad y probabilidad de pérdidas o daños frente a un cúmulo de bienes o personas expuestas al riesgo. El concepto de esperanza matemática como precio justo de una eventualidad da una idea acerca del concepto de prima.

k) Suma asegurada Es la cantidad fijada en las condiciones particulares de la póliza y representa la valorización riesgo cubierto o suma hasta cuyo límite está obligado el asegurador a indemnizar en caso de pérdida total del bien u objeto asegurado. En los seguros de cosas o daños, esta suma debe ser el valor real del objeto asegurado, aunque es posible que en una economía inflacionaria este valor se deteriore para cuyo caso existen fórmulas de actualización de la suma asegurada; mientras que en los seguros de personas (sujetas a accidentes, enfermedades o muerte) la suma asegurada no tiene límite (porque la vida de un ser humano no tiene precio, de modo que el limite asegurado fijado en la póliza es en efecto solo la responsabilidad máxima de asegurador.

l)

Indemnización

Es el desembolso monetario que efectúa el asegurado al producirse un siniestro amparado por la póliza. Cuando la suma asegurada en la póliza sea menor del valor real de los bienes afectados en el momento del siniestro, se trata de un típico caso de “infraseguro”. En este caso la indemnización se reducirá en la misma proporción del infraseguro mediante la aplicación de la fórmula: I = Valor asegurado Valor real

x importe de la pérdida

Página 15

MATEMATICA ACTUARIAL m) Vigencia del seguro Es el tiempo durante el cual está cubierto la materia del seguro, generalmente es un año, aunque puede contratarse por menor o mayor tiempo, como se ha indicado antes.

Al término de la vigencia anual, la renovación por otro periodo igual puede producirse mediante la emisión de un simple certificado de renovación si las condiciones del seguro anterior no han variado.

n) Coaseguro Es la distribución del riesgo entre dos o más aseguradores. El que emite la póliza se llama entidad líder o administradora y las demás son coaseguradoras. Generalmente hay tres tipos de Coaseguros.

 Coaseguro típico o puro: Cuando el propio asegurado es quien solicita por escrito que el riesgo sea distribuido en Coaseguro, señalando las proporciones respectivas, en cuyo caso cobrará de cada coasegurador el importe proporcional del siniestro que ocurra.  Coaseguro interno: Resulta de la iniciativa o convenio de la entidad líder y demás coaseguradoras. El asegurado no conoce este convenio y se entiende únicamente con quien emitió la póliza.  Coaseguro pactado: Es una distribución del riesgo entre el asegurador y el propio asegurado, con el objeto de obtener una rebaja en la prima según normas tarifarias.

Se encuentran fórmulas como de 80/20, 70/30, etc. donde el asegurado se convierte en su propio asegurador por una proporción generalmente menor del riesgo.

o) Deducible Es un importe primario de cada siniestro a cargo del propio asegurado. Puede ser expresado en unidades monetarias o valores absolutos o en una proporción sea del siniestro o de la suma asegurada, con límites mínimos y máximos que se estipulan en las pólizas. También se le conoce como franquicia. Ejemplo: el caso de la reparación de un automóvil asegurado en donde el 10% de los gastos que se gasten primero corren por cuenta del asegurado o propietario del vehículo. Este concepto tiene generalmente la función de hacer participar al asegurado en las pérdidas a fin de que asuma una conciencia de responsabilidad.

p) Apéndice o suplemento Es un documento que el asegurador emite durante la vigencia de la póliza para modificar las condiciones del contrato otorgado, sea para ampliar o restringir la cobertura, incluir una materia asegurada nueva, suprimir, o para cualquier alteración del objeto y condiciones del seguro. Este documento puede generar cobro o devolución de prima, según sea el caso, o simplemente modificación sin vinculación con el costo del seguro. q) Reaseguro Es la cesión del riesgo que efectúa el asegurador a otra entidad llamada reaseguradora, según las prescripciones señaladas en un convenio especial llamado tratado de reaseguro. Una participación del Coaseguro puede también reasegurarse, es decir el reaseguro es la distribución vertical del riesgo. La porción asumida por el asegurado o coasegurador se llama retención. El reasegurador asume el excedente conjuntamente con la prima que corresponde a este exceso. El reaseguro es conocido Página 16

MATEMATICA ACTUARIAL como el seguro del seguro y es toda una institución internacional sujeta a normas técnicas, jurídicas, comerciales y doctrinas propias.

r)

Reservas

Son conceptos que utiliza el seguro para señalar derechos de terceros, es decir, obligaciones unas veces exigibles y concretas y otras abstractas del asegurador.

Como por ejemplo:  Reservas para siniestros pendiente de liquidación y/o pago: son importes estimados que el asegurador debe registrar en su contabilidad para siniestros ocurridos y aun no pagados.  Reservas para riesgos en curso o primas no devengadas:  Reserva matemática de vida: Es la proporción de primas pagadas por los asegurados del ramo de vida, en exceso de la que cada año necesita el asegurador. Estos importes en poder del asegurador generan intereses a favor del asegurado y sirven para continuar con la cobertura de riesgo. Esta reserva no puede ser de libre disponibilidad del asegurador, sino estar invertido según normas legales sobre el particular.

s)

Ramos de seguros

Son las diferentes modalidades, formas o especialidades del seguro, según la naturaleza, objeto o materia de la cobertura. Lo general es la clasificación por seguros de vida y de no vida. t)

Principios del seguro

Son los fundamentos doctrinarios en los que se basa la institución del seguro. 

Principio de mutualidad: Las pérdidas de pocos son cubiertas por la contribución de muchos. Según este principio, las primas pagadas por una colectividad de asegurados sirve para reponer, reparar o indemnizar las pérdidas de quienes sufran siniestros.



Principio de buena fe: Según este principio tanto el asegurado como el asegurador tiene que obrar sólo con la verdad; el primero describiendo o exponiendo el riesgo tal cual es, sin eludir ni ocultar nada, a fin de que el asegurador lo cubra con equidad. Es obligación también del asegurador obrar de buena fe en la atención del siniestro.



Principio de indemnización: Se debe tener presente que el seguro no es para ganar, el seguro es para no perder. Según el contrato de seguro una pérdida o daño que ocurra, obliga al asegurador a resarcirlo o indemnizarlo a fin de poner el bien en las mismas condiciones en que se encontraba inmediatamente antes del siniestro. Lo que busca un asegurado no es lucrar sino no perder.



Principio de interés asegurable: No se puede asegurar ningún evento incierto que no cause daño o pérdida, si tal evento ocurre. Por ejemplo no se puede pensar en asegurar la compra de un boleto de la Tinka. Los seguros de daños son de estricta indemnización y es preciso que, para su validez, en el momento de su contratación, exista un interés asegurado.

Página 17

MATEMATICA ACTUARIAL 

Principio de contribución: En el caso de que un mismo bien tenga dos o más coberturas, en aplicación de los principios c y d, el resarcimiento de la pérdida o daño será efectuado por todos los aseguradores en proporción a los capitales por cada uno contratados, de modo que la contribución total no sobrepase la máxima pérdida sufrida por el asegurado.



Principio de subrogación: Mediante este principio, el asegurador tiene el derecho de cobrarle a un tercero responsable, si lo hay, el importe de la indemnización pagada, es decir, se subroga en los derechos del asegurado y recobra el valor de los daños del causante responsable. Por la aplicación de este principio, el asegurador es también dueño de las recuperaciones de los robos, restos de un salvamento o producto de la venta de estos.

u) Seguros patrimoniales Son aquellos que dan cobertura ante riesgos sobre las cosas o los bienes, tales como seguros de incendio, seguros contra robos, transporte, etc. v)

Seguros de personas

Comprende las diferentes modalidades de los seguros vinculados con el individuo tales como: fallecimientos, supervivencia, enfermedades, accidentes personales, invalidez, etc. w) Seguros de vida Es aquel en el que se realiza el pago al beneficiario de una cantidad previamente acordada frente al fallecimiento o supervivencia del asegurado en un momento determinado. x)

Actuario

Individuo que, en posesión de la titulación académica correspondiente, está capacitado para abordar las cuestiones técnicas, estadísticas, financieras, matemáticas, etc. relacionadas con las operaciones de seguros.

1.5

1.5.1

Seguros de vida y no-vida Las agrupaciones y clasificación del mundo de los seguros son muy variadas, considerando tanta como ramas específicas pueden ser consideradas. Sin embargo por sus especiales características diferenciadoras y en el caso de este curso, agruparemos a las coberturas en: seguros de vida y seguros de no-vida.

Seguros de personas Comprende las diferentes modalidades de los seguros sobre la vida y otros vinculados a la persona humana, tales como la enfermedad, la asistencia sanitaria o médica, los accidentes personales, la invalidez, etc. se caracterizan por contratarse por sumas aseguradas variables y prácticamente ilimitadas.

a) Seguro de vida Por razones de orden psicológico y comercial no se coloca su verdadero nombre como es seguro contra el riesgo de muerte prematura, generalmente la palabra muerte se elimina en toda la póliza.

Página 18

MATEMATICA ACTUARIAL Este seguro garantiza el pago de un capital a los deudos o beneficiarios del asegurado en el momento en que este fallece. Hay diferentes formas, modalidades en este tipo de seguros.

b) Seguro contra accidentes personales Cubre los daños que una persona puede sufrir sólo por causa de accidente, desde la desmembración o pérdida de los miembros, pasando por los gastos de curación, hasta la incapacidad total o muerte, por un capital o límite fijado. En caso de pérdidas parciales, una escala de porcentaje del capital máximo, se aplica para efectos de indemnización. c) Seguro de asistencia sanitaria Es una especie de seguro supletorio de la seguridad social (ESSALUD), con la característica de ser ésta sólo para trabajadores asociados. Hay casos de estos en nuestro país donde se afilian a determinadas clínicas de salud especializadas. Cubre los riesgos de enfermedad, gastos hospitalarios y médicos, extendiéndose a los familiares o dependientes del asegurado titular.

1.5.2

Seguros patrimoniales Se refiere a la cobertura de bienes o cosas, tales como protección contra incendio, robo, cascos, transportes marítimos, etc., se caracterizan por tener un límite de suma asegurada hasta su valor real, estos de daños son de estricta indemnización, siendo preciso para su validez que en el momento de contratación exista un interés asegurable.

a) Seguro contra incendio Cubre los daños que ocasione el fuego o llama, se extiende a cubrir, bajo la misma póliza, una gama de otras coberturas adicionales llamadas líneas aliadas, desde explosión, terremoto, daños por agua, daños por humo, inundación, hasta huelgas y conmociones civiles, daño malicioso y vandalismo, impacto de vehículos, terrorismo, etc.

b) Seguro de transporte Llamado también seguro de carga, los utilizan sobre todo en el comercio internacional. Cubre las mercancías o carga conducida por la nave si es transporte marítimo. También la carga cubierta por el seguro puede ser aérea, terrestre, fluvial o lacustre. Los riesgos inherentes al transporte abarcan todo daño o pérdida, falta de entrega, merma, robo, etc. desde el almacén de origen hasta el del importador.

c) Seguro de cascos marítimos Cubre los riesgos de las naves, buques, yates y toda embarcación en el mar. Estos riesgos pueden ser naufragio o hundimiento, varadura, encallamiento o choque con elementos naturales; la colisión, abordaje o choque con otra nave, incendio, etc. d) Seguro de robo y/o asalto El robo o apropiación ilícita de un bien por un tercero debe reunir ciertas características para que el acto sea tal: violencia, fractura (rotura de puertas, paredes, etc.) amenaza, escalamiento o penetración furtiva (caso de llaves o ganzúas en las cerraduras). En algunos casos puede ser objeto de cobertura el hurto (robo con malicia).

e) Seguros de ingeniería Agrupa a varias coberturas vinculadas a las obras o instalaciones con intervención de ingenieros o especialistas, tales como todo riesgo de construcción (CAR), todo Página 19

MATEMATICA ACTUARIAL riesgo de montaje (EAR); rotura de maquinaria, todo riesgo de equipo de contratistas (TREC); equipos electrónicos. Cada una de estas ramas tiene sus propias coberturas, condiciones y tarifas. f) Seguros de fidelidad Llamado también contra deshonestidad frente a la empresa, manejo, infidelidad de empleados, fianza, cubre los actos deshonestos que un empleado puede incurrir en perjuicio de su empleador, tal como la apropiación de fondos o bienes. Se extiende a cubrir bajo la modalidad 3D otros riesgos como destrucción, desaparición, deshonestidad.

g) Seguros de responsabilidad civil Cubre los daños que una persona o empresa pueda causar a terceros, para lo cual aquella fija en la póliza un límite de cobertura hasta el cual puede la entidad aseguradora indemnizar a la víctima por el daño que el asegurado le ha causado.

Hay diferentes modalidades de este tipo de riesgo: general, de productos, patronal, es decir, de tipo contractual o extracontractual.

h) Seguro de automóviles Cubre los riesgos a los que está sometido un vehículo de motor con motivo de su circulación por vías oficialmente autorizadas.

Los daños cubiertos pueden ser al propio vehículo (choque o vuelco accidental, incendio, rotura de cristales, robo) y daños a terceros (personales o materiales.

El capital asegurado por daño propio debe ser hasta por el valor real o comercial del vehículo, mientras que para daños a terceros puede ser una suma convenida, independiente del valor de vehículo. Este tipo de seguros puede ser voluntario u obligatorio. En nuestro país es obligatorio. i) Seguro de lucro cesante Generalmente es una cobertura complementaria de otra de daños y cubre la pérdida de benéficos por interrupción de la explotación, por cualquier causa eventual señalada en la póliza, un incendio o rotura de maquinaria puede paralizar la producción y consecuentemente la venta de productos y la obtención del beneficio.

El seguro repone la ganancia no obtenida por causa de interrupción.

1.5.3

Elementos diferenciadores de los seguros de vida y no-vida Profundizando en los elementos diferenciadores que distinguen a los seguros de vida y no-vida, encontramos además de diferencias basadas en cuestiones de base técnico-estadística, disparidades de otra naturaleza. Estas son algunas de ellas: 



La necesidad de valorar la vida humana que comporta un seguro de vida y toda la dificultad que conlleva su cuantificación en términos económicos. Esto posibilita, en contraste con seguros de no-vida, que teóricamente no exista límite en cuanto a la compensación en un seguro de vida y en cuanto al número de seguros suscritos para cubrir un mismo riesgo.

La denominada cláusula de indisputabilidad, por la que transcurrido un año de la firma de la póliza, la compañía no podrá disputar las declaraciones sobre edad, sexto, profesión, costumbres, estado civil, estado de salud, etc. Que sirven de base para determinar la prima, salvo que haya mediado mala fe probada por parte del contratante, el tomador o el asegurado.

Página 20

MATEMATICA ACTUARIAL  

   



  

1.5.4

En general, lo seguro de no vida se caracterizan por su corto plazo por lo que el tipo de interés no juega un papel tan básico como en los seguro de vida.

Los seguros de vida llevan implícito un componente de ahorro que no se da en seguros de no-vida donde la prima habitualmente, cubre el riesgo por un periodo corto.

En el seguro de vida para el caso de muerte el beneficiario es, obviamente, una persona física o jurídica distinta del asegurado.

El capital asegurado en un seguro de vida para el caso de muerte no puede ser embargado.

No se puede contratar un seguro de vida para caso de muerte sin el consentimiento por escrito, del sujeto sobre el que se cubre el riesgo.

En seguros de vida en general, la magnitud de las prestaciones o indemnizaciones están delimitadas de antemano mientras en no-vida vienen determinadas por la cuantía del daño que viene definida por una variable aleatoria con características diferentes a la variable aleatoria edad de muerte que aparece en seguro de vida.

El principal factor para determinar las distribuciones de probabilidad en seguros de vida es la edad, mientras que en no-vida confluyen una mayor cantidad de factores lo que incrementa su complejidad a la hora de fijar la prima. Por ejemplo en el seguro del automóvil existen otros factores de riesgo, además de los datos del conductor que se emplean para determinar la prima como la categoría y clase de vehículo, el color del vehículo, la zona de circulación, el uso a que se destina, etc.

Los seguros de vida presentan mayor estabilidad que los no-vida al presentar menores fluctuaciones en torno a sus valores medios.

Los seguros de vida están menos influenciados por el entorno socioeconómico en determinados ramos de robos, responsabilidad civil, etc.

El uso de tablas de mortalidad y la necesidad de las reservas matemáticas introducen en lo seguros de vida unas características muy particulares en aspectos como el cálculo de probabilidades asociadas a los riesgos y la selección de los instrumentos financieros adecuados para la inversión de las primas.

Modalidades de seguro de vida Los seguros de vida pueden agruparse en dos principales: de fallecimiento y de supervivencia pudiendo ser tanto temporales como de vida entera (perpetuidad), inmediatos o diferidos, de cobro único o renta vitalicia, con cobro anticipado o vencido, de prima única o temporal, etc. así como, para un único individuo o para varios pudiendo en este caso propiciarse multitud de combinaciones.

Por ejemplo, un individuo de edad x contrata un seguro de vida para que la compañía aseguradora pague una cantidad K a su beneficiario en caso de que fallezca entre una edad x+m y x+m+n. En este caso se trataría de un seguro de vida para el caso de muerte pero con un tiempo diferido (pues protege el riesgo m años después de suscrito), temporal (pues el riesgo solo está cubierto durante n años) y de pago único (se abona una cantidad K en el momento del fallecimiento).

Otro caso es el de un individuo de edad x que suscribe una póliza por la que debe hacer aportaciones anuales hasta la edad x+m (si vive hasta esa edad). Al llegar Página 21

MATEMATICA ACTUARIAL hasta x+m+n empezará a recibir cada principio de año una cantidad fija (R) hasta su fallecimiento. Esto solo ocurrirá si no fallece antes de llegar a x+m+n. Este sería un seguro de vida de sobrevivencia con prima anual fraccionada (los pagos de primas son anuales desde la edad x hasta la edad x+m), de renta vitalicia o de vida entera (el asegurado percibe una renta hasta el fallecimiento) y de cobro anticipado (la cantidad es percibida al inicio de cada año).

Un ejemplo en el que está implicado más de una persona puede ser un individuo de edad x que suscribe un contrato de seguros para que su cónyuge de edad y reciba una cantidad anual R tras su fallecimiento y durante n años. Salvo que el cónyuge fallezca antes de los n años siguientes al fallecimiento del individuo, para lo cual realizará aportaciones anuales hasta el momento de su fallecimiento o el de su cónyuge. Obsérvese que, en este caso para el cónyuge tendríamos un seguro de vida de supervivencia (pues si no sobrevive no recibirá las compensaciones) de renta temporal y cobro anticipado, condicionado a la ocurrencia del fallecimiento del suscriptor.

1.6

Introducción a las probabilidades En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se produce la experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas veces resultará cara y otras cruz. Estos fenómenos, denominados aleatorios, se ven afectados por la incertidumbre. En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidumbre.

1.6.1

Historia de las probabilidades En la actividad diaria nos encontramos con ciertos tipos de fenómenos que se pueden reproducir un gran número de veces, en condiciones similares dando lugar a un conjunto de dos o más posibles resultados. Estos fenómenos pueden ser de dos tipos: determinísticos y aleatorios.

La teoría de Probabilidades comienza a partir de una disputa entre jugadores en 1654. Los dos matemáticos que participaron de tales discusiones fueron Blaise Pascal y Pierre de Fermat, y su intercambio de correspondencia sentó las bases de la teoría de Probabilidades. Un matemático holandés, Christian Huygens tomó contacto con esa correspondencia y escribió el primer libro sobre Probabilidades en 1657, el cual trataba fundamentalmente sobre problemas relacionados con los juegos de azar.

Durante el siglo XVIII la teoría se desarrolló y se enriqueció con los aportes de Jacob Bernoulli y Abraham de Moivre. En 1812 Pierre de Laplace introdujo una serie de nuevas ideas y técnicas matemáticas en su libro Theorie Analytique des Probabilités y fundamentalmente sacó a la teoría del marco exclusivo de los juegos de azar y aplicó las ideas a muchos problemas científicos y prácticos. Algunas de las importantes aplicaciones desarrolladas en el siglo XIX fueron: teoría de errores, matemática actuarial y mecánica estadística.

Página 22

MATEMATICA ACTUARIAL Una de las dificultades para el desarrollo de la teoría matemática de las probabilidades fue llegar a una definición de probabilidad matemáticamente rigurosa, pero al mismo tiempo amplia para permitir su aplicación a un amplio rango de fenómenos. En el siglo XX se llegó a una definición axiomática de las Probabilidades (Kolmogorov, 1933).

1.6.2

Cálculo de probabilidades Una de las bases técnicas del cálculo actuarial y en especial de los seguros de vida es la teoría de probabilidades, es decir, la determinación previa (en términos matemáticos), de cómo una persona de cualquier edad puede saber aproximadamente que probabilidad tiene de supervivencia o fallecimiento para establecer el precio justo que ha de pagar para acogerse a los beneficios de un seguro.

La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porque proporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asociadas con eventos futuros de razones entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. ¿Qué es probabilidad? Es una medida numérica de la posibilidad de que ocurrirá un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.

La gente a menudo habla de probabilidad pero no tienen una idea clara de su significado. Se afirma a veces que en términos de probabilidad, un acontecimiento tiene una posibilidad mayor o menor que otro. Si se lanza una moneda, la probabilidad de obtener “cara” es igual a la de obtener “sello”, la de obtener un total de 12 puntos es menor que la posibilidad de obtener 4 puntos si se lanzan dos dados.

Se observa que al lanzar una moneda las caras posibles son dos; al lanzar un dado son 6; y al lanzar dos dados a la vez son 36. Así se llega a la definición matemática, teniendo en cuenta el número de casos posibles de cada experimento. Luego es necesario observar cuantos son los casos favorables al evento esperado. Si se lanza una moneda y se espera que salga del lado del “sello” se tendrá solo un caso favorable a ese evento, si se lanza un dado y se desea que muestre el lado del “as” se sabe que solo uno de los lados cumple esa condición.

En razón de lo indicado, la probabilidad se define:

a)

Límites de la probabilidad

Toda probabilidad es una fracción propia con valores entre cero y uno, puesto que los casos favorables son el número inferior, a lo sumo igual a los casos posibles, es decir: 0≤p≤1 El cero indica que un evento es imposible y el resultado 1 es un evento cierto. Si se lanza un dado normal, la probabilidad de obtener una cara con el número 7 es cero (imposible) y la de la obtener cualquier cara de 1 a 6 es un evento cierto es decir, 1.

Página 23

MATEMATICA ACTUARIAL La función para determinar la probabilidad tomando en cuenta los casos favorables y posibles es:

Simbología: A = evento buscado p(A) = probabilidad del evento A n(A) = número de casos favorables al evento A n(S) = número total de casos posibles S = Experimento b) Probabilidad contraria En algunos casos se tienen dos resultados posibles con distintos grados de probabilidad pero, si uno de ellos ocurre el otro no puede ocurrir. A esto se le llama probabilidad contraria. En los cursos de inferencia estadística hay una distribución de probabilidad que recoge esta condición, es la distribución binomial. Se señala que la probabilidad a favor se indica con la letra p y la probabilidad en contra se indica con la letra q. Ambas sumadas nos darán el total de las probabilidades de los eventos. p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso p + q =1, entonces p = 1 - q así como q = 1 - p

c)

Clases de probabilidad

La probabilidad es la medida de la incertidumbre, los eventos inciertos pueden clasificarse en dos grupos: 

Probabilidad matemática o pura Es la que se refiere a eventos cuya ocurrencia no necesita una experiencia previa sobre su comportamiento. Es el caso del lanzamiento de un dado o una moneda. Sin hacer el experimento puede deducirse cuales son las posibilidades de los eventos.



Probabilidad estadística Es la que mide el resultado de un evento referido a un fenómeno social, económico, histórico, ambiental, etc. Para ello se debe contar con datos históricos cuantitativos, es decir estadísticas. Si en una determinada localidad se dice que 6 de cada 10 accidentes son causados por irresponsabilidad del conductor. Luego entonces, si ocurre un accidente en la zona diremos que la probabilidad de que sea culpa del conducto es de 6/10 lo que sería igual al 60%.

d) Principios de las probabilidades Para desarrollar los ejercicios de probabilidades se debe aplicar los principios o teoremas. En el caso particular de los seguros solo haremos uso de una distribución sencilla con dos teoremas.

Página 24

MATEMATICA ACTUARIAL 

Principio de probabilidades compuestas La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos dependientes o independientes entre sí es el producto de las probabilidades concurrentes.

Ejemplos: o Se lanza un dado dos veces y se pretende ver la probabilidad de que en ambos casos tengamos un “as”. De acuerdo a la función se trabajaría de la siguiente manera.

Enunciado: Se tiene el experimento de lanzamiento de dos dados. Sea el evento A la probabilidad de tener dos “ases”.

0.0277

Estos son eventos independientes

o

De un ánfora que contiene 4 fichas blancas y 6 fichas negras, la probabilidad de extraer sucesivamente dos fichas blancas (sin reposición) es: 4 10

3 9

2 15

Estos son eventos dependientes 

Principio de probabilidades totales Cuando un evento se presenta bajo distintas modalidades mutuamente incompatibles, la probabilidad del evento es el total de las probabilidades correspondientes a aquellas modalidades. También se dice que la probabilidad de dos o más eventos mutuamente excluyentes, incompatibles o alternativos, es la suma de las probabilidades de los eventos concurrentes.

Se tienen las siguientes funciones:

Ejemplos: o

o

Se lanza un dado y se quiere ver la probabilidad de que salga un 6 o un “as”. Sea A el evento de que salga un 6 y B el evento de que salga un “as”.

1 1 2 6 6 6 Una pareja de esposos desea celebrar sus bodas de oro matrimoniales.

Se sabe que la probabilidades de sobrevivir los próximos años para ella es de 40% y para él es de 30%. Calcule las probabilidades que se indican: Página 25

MATEMATICA ACTUARIAL       

Que ambos lleguen con vida Que ninguno llegue con vida Que solo él llegue con vida Que solo ella llegue con vida Que solo uno de ellos llegue con vida Que por lo menos uno de ellos llegue con vida Que por lo menos muera uno de ellos antes de la fecha.

Solución Coloque la información que se entrega en una matriz como la siguiente.

Luego procedemos con el cálculo  Que ambos lleguen con vida p1= 0.30 x 0.4 = 0.12  Que ninguno llegue con vida p2= 0.70 x 0.6 =0.42  Que solo él llegue con vida p3= 0.30 x 0.6 =0.18  Que solo ella llegue con vida p4= 0.70 x 0.4 =0.28  Que solo uno de ellos llegue con vida p5= p3 + p4 = 0.18 +0.28 =0.46  Que por lo menos uno de ellos llegue con vida p6= p3 + p4 + p1 = 0.18 +0.28 + 0.12 = 0.58  Que por lo menos muera uno de ellos antes de la fecha Aquí se puede utilizar la probabilidad contraria. p7= 1 – p6 = 1 - 0.58 =

1.6.3

Utilización de probabilidades en seguros Hemos visto la utilidad de las estadísticas para conocer las probabilidades de ocurrencia de los eventos. Cuando se trata de calcular el valor de las primas se debe considerar el concepto de esperanza matemática que involucra a las probabilidades en su concepción.

La esperanza matemática es un concepto que indica el precio de un evento aleatorio y, como tal, debe estar expresado en unidades monetarias. Se le conoce como el precio justo que debe pagar una persona que interviene o espera la realización de un evento incierto o sujeto al azar. En forma matemática, es el producto de la

Página 26

MATEMATICA ACTUARIAL probabilidad de la ocurrencia del evento incierto por una suma de dinero que la compañía entregará si este ocurre. Su función es: E=pK Este es un concepto básico en la matemática actuarial porque explica el sentido de la prima de seguros. Veamos los siguientes ejemplos.

1.7



Una persona organiza una rifa emitiendo 500 boletos. La suma a pagarse al ganador es de S/.1,000. Si se compra un solo número la probabilidad de ganar es igual a 1/500 que multiplicado por S/.1000 da un valor de 2. Este es el precio justo que ha de pagarse por cada rifa. Es evidente que cuando alguien organiza una rifa tiene que considerar un margen de ganancia, pero aquí solo estamos viendo cual sería el precio justo sin esa consideración. Cuando se venden los 500 boletos a S/.2 se habrá recaudado S/1,000, lo suficiente para pagarle al ganador de la rifa.



Una cooperativa compuesta por 2000 personas decide que cuando algún miembro de esta fallezca se le entregue a su familia el valor de S/.2,500. En esta cooperativa se cuenta con información estadística que señala que de cada 500 personas fallecen 2 al año en promedio. ¿Cuál será el aporte anual que debe hacer cada socio para hacer frente a este sistema?. Resuelva.

Leyes probabilísticas y leyes financieras como base del cálculo actuarial.

Para realizar el análisis de los seguros debemos considerar a la matemática financiera y a la estadística. La matemática financiera provee de conceptos tales como la tasa de interés, el valor futuro, el valor presente, el valor de las rentas, etc. La simbología que se maneja es la siguiente: Matemática financiera Tasa de interés Valor actual o valor presente o capital Valor futuro Anualidades o rentas

i C SoM R

Matemática actuarial Tasa de interés técnico Prima Suma asegurada Pensiones o rentas

i U K R

En cuanto a la estadística hemos visto que se utiliza el concepto de probabilidad para determinar qué tan posible es la ocurrencia de un hecho y cobrar por ello un valor que corresponda a esa posibilidad, este es el precio justo o esperanza matemática.

Para el caso del ramo de seguros patrimoniales, se debe tener estadísticas confiables sobre la incidencia de los siniestros en una determinada zona geográfica, en este caso si se trata del cálculo en cualquier zona del Perú, se toman en cuenta las estadísticas nacionales promediadas. Si se trata del ramo de vida, se toma en cuenta las tablas de mortalidad.

1.8

Tablas de mortalidad Este es un registro estadístico de sobrevivientes de una determinada colectividad social, representada por una sucesión numérica de personas que, a una edad x de años enteros, se encuentran con vida.

Página 27

MATEMATICA ACTUARIAL Se supone que deben extractarse de una determinada realidad, es decir de la población real. Para elaborarse con propiedad se tendría que contar con una observación estadística superior a un siglo, pero también puede realizarse teniendo como base unos cuantos años de observación que es como generalmente se hace.

En países como el nuestro no se puede contar con tablas tan elaboradas como en otros países desarrollados, por tanto por razones de estudio en esta primera parte, trabajaremos con un modelo norteamericano. En el caso de las tablas que se utilizan en las AFP tomaremos en cuenta las tablas que actualmente utiliza el sistema en el Perú. La SBS se encuentra en estos últimos años tratando de terminar nuestra propia tabla puesto que la actual es una adaptación de las tablas chilenas de hace muchos años atrás.

1.8.1

Contenido e interpretación Esta tabla debe ser elaborada por la gente interesada como son las distintas compañías aseguradoras, sea que se trate de seguros de vida o seguro sanitario.

Existen algunas edades en las cuales se producen una mayor cantidad de fallecimientos y, hay que tomar en cuenta que de la mayor o menor aceleración de fallecimientos que reducen el grupo depende que la prima para el caso de seguros por deceso sea respectivamente, más alta o más baja, aparte de otros factores técnicos independientes de los efectos de la estadística de mortalidad.

Tabla de sobrevivencia (Datos de una población X) Edad al Nº de los que viven al comenzar el año comenzar el año Edad (x) Ix 18 9698230.0 19 9681840.0 20 = lx-1 – dx-1 21

Nº de los que mueren durante el año dx 16390.0 = lx – lx+1

Probabilidad anual del fallecimiento qx 0.00169 = dx/lx

Probabilidad anual de supervivencia px 0.99831 =1- qx ó =(lx+1)/lx

La tabla está dividida en columnas denominadas como sigue: Columna x Representa la edad alcanzada por los sobrevivientes. Comienza a la edad que interese a la compañía determinar puede ser 0 años o más. En este caso hemos considerado comenzar a la edad de 18 años que la edad mínima en donde se hacen contratos de seguros por lo general. A la edad en que empieza se le conoce como la edad inicial.

Columna lx Indica el número de supervivientes a cada edad x. Esta cantidad va reduciéndose progresivamente año tras año, por efecto de muerte, hasta llegar a un número reducido de sobrevivientes.

Columna dx Es el número de personas que fallecen a la edad x y se representa por la diferencia entre el número de supervivientes a las edades consecutivas x y x+1 Es el número de individuos de x años cumplidos que fallecen antes de alcanzar el (x+1) aniversario. Se entiende que son fallecidos a lo largo del año que se analiza.

Columna px Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de vivir un año más, es decir, de alcanzar la edad siguiente x + 1.

Página 28

MATEMATICA ACTUARIAL Columna qx Es la probabilidad que tiene una persona de edad x de fallecer dentro del año, es decir, de no alcanzar la edad siguiente x+1. Es contraria a px.

1.8.2

Aplicaciones de la tabla de mortalidad o supervivencia Utilizando la teoría de probabilidades resolveremos algunos ejercicios. 

Determinar la probabilidad de que una persona de edad actual x viva n años, es decir, que alcance la edad x + n.

Se trabaja con:

Donde: n = plazo de vida x = edad actual Ejm. Se puede responder a la pregunta ¿Qué probabilidad tiene una persona de 18 años de triplicar su edad?

36 18 Simplificando: 36 18 A continuación se busca en la tabla los valores correspondientes a l54 y l18. Se reemplazan los valores y se obtiene la probabilidad.

36 18 

169768 2638397

6.4%

Determinar la probabilidad de que una persona de edad actual x fallezca en el curso de los próximos n años, es decir, no alcance la edad x + n Se trabaja con: 1



0.064

1

Determinar la probabilidad de que una persona de x años fallezca entre las edades x + m y x + m + n. Depende de dos eventos mutuamente independientes que deben ocurrir en un orden dado:  tiene que estar con vida al cabo de m años; 1

1

Donde: / = punto de partida del intervalo dentro del cual debe producirse el fallecimiento n = años en los cuales puede ocurrir el deceso m = plazo de retraso para la ocurrencia del hecho de muerte 

alcanzada la edad x + m debe fallecer en los n años sucesivos /

1

1 Página 29

MATEMATICA ACTUARIAL Pero la manera más práctica es utilizar la fórmula que resulta de combinar las dos anteriores: / Ejemplo: Halle la probabilidad que tiene una persona de 25 años de fallecer entre las edades 50 y 60 10/25 25 Luego esto se busca en la tabla, se reemplaza y se obtiene el resultado en decimales o en tanto por ciento. 

¿Qué probabilidad hay de que dos individuos de edades x ,y, respectivamente: 

fallezcan en el curso de los próximos n años /nqx,y = nqx * nqy



Por lo menos una fallezca en los próximos n años.

1 – npx,y = 1 – lx+n * ly+n lx *ly



1.8.3

Sólo una viva n años.

Resulta de la suma de los siguientes eventos incompatibles: (i) que muera el primero y viva el segundo; (ii) que muera el segundo y sobreviva el primero.

Tasa central de mortalidad Es una función biométrica que no figura en forma directa en la tabla de mortalidad y se determina dividiendo el número de fallecidos a la edad x entre el número de personas vivientes a la edad x + ½, siendo estos los lx vivientes menos la mitad de los van a fallecer dentro del año. Representa el tanto por ciento de mortalidad correspondiente a una población considerada o censada a la mitad del año civil y equivale a la hipótesis de que la población está distribuida uniformemente a lo largo de la edad x. Se utiliza la siguiente función: mx =

1.8.4

dx = dx = 2qx = lx+1/2 lx- dx/2 2 – qx

Donde: qx = 2mx .

2 + mx

Vida media o esperanza de vida Es el número de años que en promedio podrá vivir una persona de edad actual x. La suma de todos los años vividos en conjunto por todo el grupo inicial de personas dividido entre los componentes del mismo permite determinar la vida media o esperanza de vida o el promedio de años a vivir en el futuro.

Función: ex = lx+1 +lx+2 + lx+3 + … lw lx

Página 30

MATEMATICA ACTUARIAL Ejemplo: una persona de 70 años desea saber el número promedio de años que posiblemente puede vivir en adelante.

1.8.5

Vida probable: Se basa en que una persona de edad actual x tiene la misma probabilidad de vivir o fallecer durante los próximos t años. También se puede entender como el periodo t de años en que sus coterráneos se reducen a la mitad. Su función es: Si

lx +t = tpx = ½  tqx = 1 – tpx = ½ lx

La tabla de mortalidad presentada tiene 9575636 sobrevivientes de 25 años. ¿Cuál es la vida probable o esperanza de vida a esa edad.    1.8.6

Dividir el número de sobrevivientes de 25 años entre 2 = 9575636/2 =4787818 Buscar el valor encontrado en la columna lx de la tabla. En este caso este número se encuentra en la edad aproximada de 73 años.

Encontrar la vida probable que resultará de =73 – 25 = 48 años

Tasa bruta de mortalidad Según el INEI, la tasa bruta de mortalidad es el indicador más utilizado en la medición de la mortalidad. Se obtiene de la relación entre el número de defunciones ocurridas en un período de tiempo determinado (generalmente un año) y una estimación de la población expuesta al riesgo de morir en el mismo período. La estimación de la población supone calcular el tiempo vivido por aquella durante dicho período. Dadas las dificultades que presenta su cálculo, se estima la población a mitad de periodo. Así:

La tasa multiplicada por mil, representa la frecuencia relativa con la que ocurren las defunciones en una población durante un año.

Ejemplo: .

Así, se puede afirmar que en 1999, por cada Mil fallecieron un poco más de 6 personas.

Normalmente, hay factores que producen variaciones aleatorias en el número de defunciones registradas en las estadísticas vitales. Deben suavizarse, calculando el numerador como un promedio de las defunciones de tres años consecutivos, uno anterior, uno posterior y el año para el cual se quiere calcular dicha tasa bruta de mortalidad, la cual se expresa como sigue: /

Página 31

MATEMATICA ACTUARIAL Como la mortalidad es un “proceso de salidas”, la tasa bruta de mortalidad expresa la reducción relativa anual de una población, que se atribuye a los fallecimientos de una parte de la población.

Esta medida, sirve para conocer la evolución de la mortalidad de un país en períodos cortos. Sin embargo, no permite hacer comparaciones entre poblaciones diferentes y tampoco es útil cuando se intenta hacer alguna afirmación sobre el nivel de la mortalidad. También hay que decir que está afectada por la estructura por edades de la población, Los valores de la tasa bruta de mortalidad varía entre 4 y 30 por mil.

Cuando la mortalidad es muy elevada, la tasa generalmente presenta valores altos.

Pero suele suceder que en países con baja mortalidad, se presenten casos de alta mortalidad Taller Nº 1: Autoevaluación Objetivo: verificar los conceptos aprendidos en la unidad mediante la resolución de ejercicios de probabilidad y probabilidad de tabla de mortalidad como base del cálculo actuarial. 

Tres jugadores A, B y C juegan con una baraja de casino de 52 cartas levantando una carta cada uno de ellos. A escoge los ases, B las figuras y C el resto de las cartas. El ganador obtendrá un pozo de S/.400 ¿Cuánto deberá aportar cada jugador al pozo?



En una caja se tienen 6 esferas rojas y 4 azules. Si se extrae dos de ellas (sin reposición), cual es la probabilidad que: o Salgan dos esferas rojas o Salgan una azul y otra roja o Por lo menos salga una roja



¿Cuál es la probabilidad de sobrevivencia por 40 años que tiene actualmente una persona si actualmente tiene 30 años de edad?



Determine la probabilidad de fallecimiento entre las edades 70 y 85 de una persona que actualmente cuenta con 50 años de edad.

Página 32

MATEMATICA ACTUARIAL

UNIDAD II CALCULO DE SEGUROS DE VIDA. PRIMA UNICA

Objetivos específicos.     

Operacionalizar las funciones demográfico-financieras.

Realizar cálculos de seguros de sobrevivencia bajo prima única utilizando símbolos de conmutación.

Realizar cálculos de seguros de fallecimiento bajo prima única utilizando símbolos de conmutación.

Realizar cálculos de seguros de rentas bajo prima única utilizando símbolos de conmutación.

Conocer el uso de las tablas de mortalidad e intereses técnicos en el cálculo actuarial.

Contenido temático:      

Operaciones demográfico-financieras.

Factor de capitalización demográfico-financiera.

Caso seguro personal de sobrevivencia. Símbolo de conmutación Dx Caso seguro personal de muerte. Conmutación Cx. Seguros de fallecimiento por n años. Símbolo de Conmutación Mx Seguros de pensiones. Símbolos de conmutación Nx.

Desarrollo de la unidad II: 2.1 Operaciones demográfico-financieras.

Estas son las operaciones de las que se vale el cálculo actuarial para determinar el valor de las pólizas de seguros o las sumas aseguradas con respecto a un caso específico del ramo de vida.

Las operaciones consideran estadísticas poblacionales y sus probabilidades de sobrevivencia y fallecimiento a distintas edades, pero también se tiene que tomar en cuenta los valores monetarios en términos de prima y asegurada asi como la tasa de interés del sistema asegurador.

Si se trabaja con la nomenclatura financiera y probabilística los cálculos pueden resultar muy complejos, es por ello que se recurre a los llamados símbolos de conmutación. Estos resultan de unas relaciones matemáticas artificiosas que ayudan a simplificar el desarrollo de los problemas actuariales. Sus valores son calculados en base a una determinada tabla de mortalidad y una tasa de interés denominado tasa de interés técnico que no es otra cosa sino un interés fijado por la entidad financiera que se supone constante para determinadas transacciones actuariales. Es de notar que el

Página 33

MATEMATICA ACTUARIAL interés influye en el cálculo de la prima de seguro de cualquier tipo ya que a mayor tasa la prima será menor y viceversa.

2.1.1

Factor de capitalización demográfico-financiera.

En este caso se trata de hallar la suma asegurada que es un valor futuro. Para ello ha sido necesario colocar al inicio el valor de la prima del seguro. Es mayor al factor de capitalización financiera pura porque se considera que los sobrevivientes se benefician con los montos depositados por los individuos que fallecieron antes del término n fijado.

1 Donde: K= Suma asegurada U= Prima única (1 + i)n = factor de capitalización Npx= probabilidad de sobrevivencia

Se puede observar que se trabaja con el mismo factor de actualización simple que se utiliza en matemática financiera y también se toma en cuenta la probabilidad de ocurrencia del hecho, en este caso es una probabilidad de sobrevivencia.

Ejemplo: Una persona de 30 años de edad ha contratado un seguro con la esperanza de cobrarlo a la edad de 65 años. ¿Cuánto recibirá si se encuentra con vida a la edad fijada si se sabe que la tasa de interés se está fijando en 16% y la prima asciende a $1,500?

Reemplazando los datos: 500 1 2.1.2

0.16

0.7173

/.64,672.2

Factor de actualización demográfico financiera Es el caso más utilizado en las operaciones actuariales. Se trata de hallar el valor de la prima que debe pagarse para una situación específica como vida o muerte. La función es: 1 Si reemplaza los datos anteriores tendrá el valor de la prima.

2.2 Caso seguro personal de sobrevivencia. Símbolo de conmutación Dx En este caso se trata de verificar que una persona cumpla con la condición de sobrevivir n años luego de la firma del contrato. Es decir, la suma asegurada se paga al cumplirse el plazo estipulado. Para el cálculo se utiliza el símbolo de conmutación Dx. Al símbolo de conmutación Dx se le define en forma técnica como el número de sobrevivientes descontados a una determinada tasa de Interés anual por un tiempo equivalente a su edad. Está dado por: Dx = lx /(1+i)x

Página 34

MATEMATICA ACTUARIAL Donde: Dx = Símbolo de conmutación lx = número de sobrevivientes a la edad x (1+i)x= factor de interés técnico de capitalización x= edad del postulante al seguro Esto nos permite expresar el factor de actualización demográfico financiero sobre la base del interés técnico del sistema actuarial. Por tanto el nuevo cálculo para el pago de la prima única sería: U = Dx + n * K Dx Ejemplo: Si una persona de 23 años desea recibir $10,000 al cumplir 45 años de edad ¿Cuánto debe depositar hoy como prima si la tasa de interés es de 7.5%?

U = D23 +22 * $10,000 D23

U = D45 * $10,000 = 0.1732=17.32% D23

Para calcular esta función, se debe buscar en la tabla de sobrevivencia el valor de D45 y D23. Estos valores encontrados deben ser reemplazados en la función y luego multiplicado por el valor de la suma asegurada. El resultado es el valor de la prima necesaria para tener derecho a la cobertura del mismo.

2.3 Seguros de fallecimiento por n años. Símbolo de Conmutación Mx Son aquellos que se pagan al fallecer el titular de un seguro de muerte. La entidad aseguradora garantiza a una persona de edad actual x el pago de una cantidad en caso de que el fallecimiento de esta última ocurra dentro -o en el curso de- un plazo previamente establecido. Hay varias clases de seguros de fallecimiento.

Como en el caso anterior del seguro de vida, aquí también se utilizan símbolos de conmutación. Este es el símbolo Cx. Es necesario aclarar que solo se utiliza este símbolo cuando se trata de cálculo de un año. Cuando se tienen tiempos mayores a un año se trabaja con el símbolo Mx. 

Símbolo Cx: Se le define como el Nº de fallecidos a la edad x descontados por un plazo equivalente a su edad más un año. Su función es: Cx = dx / (1 + i) x+1



Símbolo Mx Para ayudar al cálculo que se realizan en n años se utiliza el símbolo de conmutación denominado Mx, que se halla con la función: Mx = Cx + Cx+1 +Cx+2 + Cx+3 +.... + Cw

Estos dos símbolos nos ayudarán en el cálculo de los siguientes tipos de ejercicios: a) Seguros por un año Es aquel que garantiza el pago de un capital si el deceso de una persona de edad x se produce dentro del año, es decir antes de alcanzar la edad x+1. Se tienen las siguientes alternativas:  Que el capital sea pagadero sólo al final del año, cualquiera que sea el momento del fallecimiento del asegurado. La función es: U1 = qx (1+i)-1*K Página 35

MATEMATICA ACTUARIAL  Que la actualización sea por ½ año suponiendo que en promedio el fallecimiento se produce a los 6 meses. El pago del capital se hará en cualquier momento después de comprobar el fallecimiento. Se tiene la siguiente función: U2 = qx (1+i)-0.5*K  Que se aplique sólo la probabilidad de muerte sin actualización del capital. En este sistema se paga el monto en cualquier momento del siniestro. Su función es: U3 = qx *K Ejemplo.- Un asegurado de 40 años desea conocer el valor de la prima que tendría que pagar por un capital de S/.15,000 al 8% de interés. Considere Ud. todas las primas puras que son posibles. Si fuera Ud. el agente del asegurado que tipo de cálculo le aconsejaría? b) Seguro de vida entera o caso vitalicio Se trata de hallar la prima única o valor actual que debe pagar una persona de edad actual x para el caso de que su fallecimiento ocurra desde esta edad y no tiene límite de tiempo. Es decir hasta que efectivamente se produzca su muerte.

Se tienen los siguientes casos:  Seguro de fallecimiento de vida entera, inmediato U = Mx * K Dx Ejemplo: ¿Qué prima pagará hoy una persona de 35 años que quiere asegurar un capital de S/.100,000 en el caso de fallecer desde la fecha? (i=7.5%) U = M35 * $ 100,000= D35 U = 80959 * $.100,000 = $10,855.38 745796  Seguro de fallecimiento de vida entera, diferido U = Mx + m * K Dx Ejemplo: ¿Qué prima pagará hoy una persona de 25 años por un capital de $20,000 pagadero a sus deudos si su deceso ocurre transcurridos 25 años desde la fecha? c) Seguros temporales Son aquellos que tienen una cobertura por n años. Pueden ser coberturas inmediatas o diferidas. Se tienen los siguientes casos:  Seguro de fallecimiento temporal, inmediato En este caso el fallecimiento debe ocurrir antes que se cumpla el periodo x+n.

U = Mx- Mx+n * K Dx Página 36

MATEMATICA ACTUARIAL Ejemplo: ¿Qué Prima única debe pagar una persona de 45 años por un capital de S/.3,000 pagadero a su fallecimiento siempre que éste ocurra antes de cumplir 60 años?  Seguro de fallecimiento temporal, diferido En este caso el fallecimiento debe ocurrir después del periodo x+m U =Mx+m  Mx+m+n * K Dx Ejemplo: Una persona de 40 años toma un seguro para el caso de que su muerte ocurra después de cumplir 60 años pero antes de cumplir 80? La suma asegurada es de $10,000 2.4 Seguros de pensiones. Símbolos de conmutación Nx. No todos los seguros son pagados en una sola ocasión, algunos de ellos pueden ser cobrados en forma de pagos periódicos. Este es el caso de las anualidades (si se pagan anualmente) o rentas (si se pagan en otro periodo de tiempo). En este caso se considera el pago anual.

Se representan por una serie de cobros anuales que efectúa una persona de edad actual x que ha contratado un seguro para una cobertura futura en donde pueda percibir una pensión. Generalmente se emplea para pensiones de jubilación. La renta puede ser hasta el último año de vida o puede ser temporal.

Se tienen dos clases de rentas o anualidades. Esto depende de su tiempo de vigencia y de las condiciones de pago ya sea anticipado o vencido. Se tienen las siguientes:  Perpetuas o de vida entera o vitalicia: o Inmediatas: Dentro de estas pueden ser: de pago vencido o pago anticipado o Diferidas: También pueden ser: de pago vencido o pago anticipado  Temporales o Inmediatas: Dentro de estas pueden ser: de pago vencido o pago anticipado o Diferidas: También pueden ser: de pago vencido o pago anticipado

Página 37

MATEMATICA ACTUARIAL a)

Hallando Valor Actual de rentas de vida entera o vitalicia Es el valor único o prima que debe pagar hoy una persona de edad x que desea percibir una renta anual mientras viva. Se debe tener en cuenta que el valor actual en todos los casos, es la suma de los valores actuales individuales de la cuota anual trasladados desde el momento de su pago hasta el momento inicial de su operación que se da en una edad x.

Se debe considerar todo el tiempo que transcurre entre la edad x y la edad máxima w.

Como en los otros casos, también trabajamos con un símbolo de conmutación.

Este es el símbolo Nx. Para calcularlo se toma en cuenta: Nx es la suma de los valores Dx hasta el Dw. Es decir, Nx = Dx + Dx+1 +Dx+2 + Dx+3 +.... + Dw Los casos son los siguientes: 

Prima única o Valor actual de renta de vida entera inmediata de pago anticipado En este caso, se trata de hallar la prima que se debe pagar por una pensión futura. Hay que considerar que el pago es inmediato. Su función es: U = Nx * R Dx .

Ejemplo: Una persona de 40 años contrata un seguro que le permitirá percibir (abona la entidad aseguradora) $2,000 cada comienzo de año. Esta percepción será por toda la vida del asegurado desde la edad x y a partir de la suscripción de la póliza. Para esto se debe pagar una prima. ¿Cuánto tendría que desembolsar el asegurado? Trabaje con su tabla al 8%



Prima única o Valor actual de renta de vida entera inmediata de pago vencido Observe que aquí cambia la función. Se le agrega un periodo al símbolo. La razón es que se tiene un periodo más en el tiempo. El pago es inmediato pero se empieza a pagar cuando ha transcurrido un año de la firma del contrato.

U = Nx + 1 * R Dx .

Calcule el ejercicio anterior considerando el pago vencido.



Prima única o Valor actual de renta de vida entera diferida de pago anticipado Aquí se incorpora un término que ya es conocido en el sistema financiero, el tiempo diferido. El tiempo diferido es aquel que transcurre entre el momento de la transacción y el cobro de la obligación. El número de periodos diferidos es variable y depende de las condiciones específicas del contrato. Su función es: U = Nx + m * R Dx .

Página 38

MATEMATICA ACTUARIAL Ejemplo: Un estudiante universitario de 22 años desea contratar un seguro que le permitirá percibir una renta anual de $16,800 cada inicio de año durante toda su vida, comenzando a cobrar dicha renta a partir de los 60 años. El estudiante está considerando seriamente si podrá cubrir el pago de la prima ya que se encuentra trabajando desde el mes de Enero del 2010 y éste le permite ahorrar cada mes S/.200. ¿En Enero del 2016 podrá pagar la prima que le solicitarán? 

Prima única o Valor actual de renta de vida entera, diferida de pago vencido En este caso se adicionará un periodo más por tratarse de un pago vencido.

U = Nx + m + 1* R Dx .

Ejemplo: ¿Qué prima única debe pagar hoy una persona de 30 años si desea recibir, mientras viva una renta anual de S/.14,000 cuando hayan transcurrido 35 años de la firma del contrato?. Considere el tipo de cambio actual.

b) Hallando Valor Actual de Rentas temporales La diferencia con las anteriores radica en su tiempo de vigencia. Se tienen las siguientes: 

Valor Actual de renta Inmediata de pago anticipado U = Nx – Nx+n * R Dx .



Valor actual de renta inmediata de pago vencido U = Nx+1 – Nx+ n + 1 * R Dx .



Valor actual de renta diferida de pago anticipado U = Nx +m – Nx+ m + n * R Dx .



Valor actual de renta diferida de pago vencido U= Nx+m+1 – Nx+m+n+1 * R Dx Ejemplo: Una persona de 45 años desea contratar un seguro que le pagará una renta de S/. 10,000 anuales, para ello debe pagar hoy una suma que desea conocer. La persona recibirá su primer pago cada fin de año a partir de los 65 años y este pago será por 15 años.

2.5 Seguros dotales Los seguros dotales consideran el pago de una de dos coberturas. Si el plazo de fallecimiento transcurrió y no se produjo el deceso de la persona, la compañía no Página 39

MATEMATICA ACTUARIAL pagará la suma asegurada porque el siniestro no se ha producido. En ese caso se pierden todas las aportaciones. Pero, si se ha contratado un seguro dotal, al cumplirse el plazo se pagará la suma asegurada correspondiente a un seguro de sobrevivencia.

Un seguro dotal también denominado mixto, garantiza el pago de un capital en el caso de que una persona de edad actual x fallezca antes de cumplir la edad x+n y en caso que este deceso no se hubiera producido al cabo de n años, la misma persona percibirá en vida el capital asegurado. Es entonces un seguro temporal inmediato para el caso de muerte y capital diferido o seguro para el caso de vida. Se tienen las siguientes clases de seguro dotal:

a)

Seguro dotal simple Este considera capitales iguales para el caso de vida (Cv) y de muerte (Cf). Su función es la siguiente: U =Mx  Mx+n + Dx+n * K Dx

b) Seguro dotal generalizado.

Aquí se tienen capitales diferentes para el caso de vida y de muerte.

U = (Mx  Mx+n)Cf + (Dx+n)Cv Dx c) Seguro dotal anticipado Consiste en distribuir el pago del capital de vida en dos o más partes de modo que cada una sea entregada en cualquier momento convenido, dentro de la vigencia del seguro, y la última parte, al término del plazo dotal.

U = (Mx  Mx+n) + 50% (Dx+n/2 +Dx+n) * K Dx d) Seguro dotal a término fijo Esta es una operación cierta ya que se realiza el pago transcurrido un plazo fijo, ya sea que el asegurado haya fallecido o no. Su función es: U1 = K(1+i)n Taller Nº 2: Autoevaluación Objetivo: verificar los conceptos aprendidos en la unidad mediante la resolución de ejercicios de seguros bajo prima única (temporales y vitalicios) 

Calcule el valor de la prima a pagar por una persona de 42 años que desea una cobertura de seguro de sobrevivencia por 30 años. Considere que la tasa de interés técnico es del 7.5%

Página 40

MATEMATICA ACTUARIAL 

Se le pide calcular el valor de la suma asegurada a la que tendrá derecho un familiar de la persona que contrata el seguro de fallecimiento por vida entera. El titular tiene actualmente 55 años. La tasa de interés técnico es del 7.5%. la prima con la que cuenta es de $2,000.



Si una persona tiene 38 años y desea contratar un seguro dotal simple por 10 años en forma inmediata por una suma asegurada de $50,000 al 7.5% ¿Cuál será la prima a pagar?



Calcule la prima única a pagar por una pensión de sobrevivencia para una persona de 45 años con un tiempo diferido de 20 años. La renta a percibir por la persona es de $5,000 anuales. La tasa de interés técnico es de 7.5%. El pago será adelantado.



¿Cuál será la prima a pagar por una renta anual de $8,000 durante 20 años por una persona que actualmente cuenta con 35 años y el contrato tiene un tiempo diferido de 30 años.

Página 41

MATEMATICA ACTUARIAL

UNIDAD III CALCULO DE SEGUROS DE VIDA. PRIMA ANUAL Objetivos específicos:  Realizar cálculos de seguros de sobrevivencia bajo primas anuales con símbolos de conmutación.  Realizar cálculos de seguros de fallecimiento bajo primas anuales con símbolos de conmutación.  Realizar cálculos de seguros de rentas bajo primas anuales con símbolos de conmutación.  Realizar cálculos de primas de tarifa para seguros bajo primas anuales con símbolos de conmutación.

Contenido:  Seguros de sobrevivencia y fallecimiento.  Seguros de pensiones.  Primas comerciales o de tarifa. Cálculo y componentes de costos.

Desarrollo de la unidad III: Cuando se contrata un seguro ya sea de vida o muerte se puede realizar el pago del derecho (Prima) mediante dos sistemas: pagando una prima única mediante cuotas escalonadas anuales y en algunos casos mensuales. Estos pagos desde luego, deben ser hechos por adelantado y deben ser iguales. Significa que una persona de edad x está asegurada por n años contra el riesgo de muerte y también en casos de vida, y se compromete a pagar primas anuales adelantadas (P) durante p años.

Se trata de repartir el valor de la prima única en una serie de pagos continuos de forma que: P=

U .

Nx – Nx+p Dx

La función que se emplee diferirá según sea el caso de vida o muerte. El cambio sustancial en el cálculo se da en el denominador. Ya no se trata de un pago en un único momento del tiempo sino en un rango de tiempo. Para esto se utiliza el símbolo de comnutacion Nx. En los ejercicios pasados hemos colocado este símbolo en el numerador. En este caso se le coloca en el denominador porque el pago se da en un horizonte de tiempo conocido como p (p minúscula). A continuación veremos los casos de primas anuales.

3.1 Seguros de sobrevivencia y fallecimiento.

En el caso de sobrevivencia es el mismo que se vio antes, pero el pago de la prima se da a través de cuotas.

Página 42

MATEMATICA ACTUARIAL  Sobrevivencia con primas temporales Se tiene la siguiente función: P = Dx + n *K Nx – N+p Siendo P = Prima anual  Seguro de fallecimiento con primas temporales En este caso de fallecimiento se tiene la siguiente función: P =. Mx - Mx+n Nx – Nx+p

*K

Este es un caso de cobertura temporal por fallecimiento con pago de primas temporales.

P =. Mx *K Nx – Nx+p Este es un caso de cobertura vitalicia por fallecimiento con pago de primas temporales.

 Seguro de fallecimiento con primas vitalicias P =. Mx * K Nx Este es un caso de cobertura vitalicia con pago de primas en forma vitalicia.  Seguro dotal con primas anuales

P = Mx – Mx+n +Dx+n * K Nx – Nx+n

Aplicación de la Ley de los Grandes números trabajando con primas anuales en grandes grupos de asegurados.

Ejemplo: Se trata de determinar cuál será la prima dotal anual pagadera a 8 años por el grupo de asegurados comprometidos para pagar las primas por 5 años, suponiendo que la edad del grupo es de 30 años y el monto que desean recibir como contraprestación es de $10 y a una tasa de interés del 8% anual en promedio. El capital a recibir será el mismo para el caso de vida y de muerte. x=30

n=5

i=0.08 K =1,000

U =((M30 - M37 + D37)/(N30 - N35))*K

U= 1.26543128

Página 43

MATEMATICA ACTUARIAL Edad

Lx

Total de primas

Mas fondo existente

Mas Intereses

Siniestros pagados

fondo a fin de año

30

9480358

11996741.6

----

12956480.9

201930

12754550.9

31

9460165

11971188.7

24725739.6

26703798.7

207180

26496618.7

32

9439447

11944971.5

38441590.2

41516917.5

212390

41304527.5

33

9418208

11918095.0

53222622.5

57480432.2

218500

57261932.2

34

9396358

11890445.3

69152377.6

74684567.8

225510

74459057.8

35

9373807

----

74459057.8

80415782.4

235280

80180502.4

36

9350279

----

80180502.4

86594942.6

246850

86348092.6

37

9325594

----

86348092.6

93255940.0

93255940

0.0

38

9299482

3.2 Seguros de pensiones.

En este caso se tiene el pago de las sumas aseguradas a través de pagos periódicos.

Esto ya se vio también como prima única. Todos los casos que se vieron de rentas se trabajan también con pagos anuales. a)

Prima de rentas de vida entera o vitalicia Los casos son los siguientes: 

Prima anual de vida entera inmediata de pago anticipado, con pago de primas perpetuas P = Nx * R Nx .



Prima anual de vida entera inmediata de pago vencido, con pago de primas perpetuas P = Nx + 1 * R Nx .

Calcule el ejercicio anterior considerando el pago vencido.



Prima anual de vida entera diferida de pago anticipado, con pago de primas perpetuas P = Nx + m * R Nx .



Prima anual de vida entera diferida de pago vencido, con pago de primas perpetuas P = Nx + m + 1* R Nx .

Página 44

MATEMATICA ACTUARIAL b) Hallando Valor Actual de Rentas temporales La diferencia con las anteriores radica en su tiempo de vigencia. Se tienen las siguientes: 

Prima anual de renta temporal inmediata de pago anticipado, pago de primas temporales.

P = Nx – Nx+n * R Nx – Nx+p



Prima anual de renta temporal inmediata de pago vencido, pago de primas temporales.

P = Nx+1 – Nx+ n + 1 * R Nx – Nx+p



Valor actual de renta diferida de pago anticipado P = Nx +m – Nx+ m + n * R Dx .



Valor actual de renta diferida de pago vencido U= Nx+m+1 – Nx+m+n+1 * R Dx Ejemplo: Una persona de 45 años desea contratar un seguro que le pagará una renta de S/. 10,000 anuales, para ello debe pagar hoy una suma que desea conocer. La persona recibirá su primer pago cada fin de año a partir de los 65 años y este pago será por 15 años.

3.3 Primas comerciales o de tarifa. Cálculo y componentes de costos.

Todo asegurador privado o social afronta determinados gastos que permiten administrar el seguro, estos gastos tienen que considerarse en el cálculo de las primas a pagarse. En los cálculos efectuados hasta ahora (U y P) sólo se han considerado las probabilidades de vida y muerte y el interés técnico. Si se añaden los recargos provenientes del trabajo de la aseguradora tendremos lo que se conoce como Prima bruta o comercial o de tarifa.

Función:

B = P + recargos

Donde: B= Prima comercial o bruta P= Prima neta Recargos.- Son básicamente los siguientes: a) Gastos de adquisición del seguro: Son aquellos relacionados con la gestión realizada para la suscripción de la póliza. Son de dos tipos: 

Gastos médicos (m).- Es proporcional al capital asegurado. Se paga por la revisión médica realizada al postulante al seguro.

Página 45

MATEMATICA ACTUARIAL 

Gastos por comisión al agente o corredor de seguros (G ).- Es proporcional a la primera prima anual comercial, generalmente se paga por una sola vez.

Estos gastos se calculan con la función: = m + G b)

c)

Gastos de administración: (A).- Se relacionan con las necesidades técnicas y administrativas para el funcionamiento de la entidad aseguradora. Entre ellas: sueldos de trabajadores y gastos generales. Este valor es proporcional al capital asegurado.

Gastos de cobranza ( c): Las gestiones que se realizan para el pago de la prima por parte del asegurado originan estos gastos. Esta es la comisión que se paga a los cobradores y se cobra todo el tiempo de pago de las primas.

Gráficamente los pagos y obligaciones se representan de la siguiente manera:

La prima comercial se determina mediante: Bäx-p =P äx-p + m + G + A äx-n + cBäx-p Simbología: Bäx p = Valor actual de primas comerciales pagaderas por p años Päx p = Valor actual de primas netas pagaderas por p años P = Prima anual m = Honorarios médicos (una sola vez) G = Comisión de agente (una sola vez) Aäx- n = Gastos de administración pagaderos por n años cBäx- p = Comisión de cobranza pagadera por p años.

Convirtiendo para efecto de pago de prima por el asegurado y siendo que estas pueden ser anuales o únicas. ä ä

ä 1

ä

Fórmulas necesarias para el cálculo de la prima de tarifa: a) äx - p = (Nx – Nx+ p)/Dx b) äx - n = (Nx – Nx+ n)/Dx c) P = (( Mx – Mx+n + Dx+n )* K)/ (Nx – Nx+p) Ejemplo: Una persona de 35 años de edad toma un seguro dotal a 20 años por un capital de $100,000. Calcule Ud. la prima comercial que pagará durante 15 años y a cuánto ascenderá el recargo total, asumiendo que tendrá los siguientes recargos: Comisión de agente (G): 80% Gastos de administración (A): 0.02% anual Gastos médicos (m): 0.05% Gastos de cobranza (c): 5% Página 46

MATEMATICA ACTUARIAL Solución: Datos: x=35 p=15 n=20 k= 80%= 0.8 A= 0.02%=0.002 = $20 m= 0.05%=0.005 =$50 c= 5%=0.05 K=$100,000 Hallando P: P = M35 – M55 + D55 * $100,000 = $2,914 N35 – N50 Equivalente a lo siguiente P= ((Mx – Mx+n +Dx+n) / (Nx – Nx+p))*K Hallando äx - p äx - p = N35 – N50 = 9.56 D35

Equivalente a: äx - p = Nx – Nx+p = Dx

Hallando äx - n äx - n = N35 – N55 = 11.02 D35

Equivalente a lo siguiente: äx - n = Nx – Nx+n = Dx

Hallando B = $2,914 * 9.56 + 50 + 20*11.02 = 28,128.24 =$3,396.3 aprox.

9.56*(1- 0.8 – 0.05) 8.282 9.56 Hallando el recargo total: R total = B – 1 = 3,399.3 -1 = 0.1655 = 16.55% de recargo total sobre la prima neta P 2,914 Fórmula simplificada Sucede algunas veces que el plazo de cobertura del seguro (n) es igual al plazo de pago (p). Además, dado que el sistema de seguros tiende a generalizarse, hay ciertos gastos que se incluyen dentro de los gastos administrativos por tanto se puede utilizar una fórmula simplificada como la siguiente: ä 1 B= 1–

ä

2,914 + 20 . = $3,343.95 aprox.

0.8 – 0.05 11.02

En algunos mercados de seguros, el organismo de control fija ciertos límites mínimos y máximos para el pago de los recargos. Por ejemplo: Recargos por gastos de Administración Cobranza adquisición

A C G

Vida entera y dotales Mínimo Máximo 0.5% 0.7% 5% 7% 5% por cada p máximo 100%

Seguros temporales Mínimo Máximo 0.2% 0.3% 5% 7% 3% por cada p máximo 100%

Página 47

MATEMATICA ACTUARIAL Ejemplo: ¿Qué prima anual pagará una persona de 50 años por un seguro de muerte con los recargos mínimos autorizados?

Taller Nº 3: Autoevaluación Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los cálculos de los distintos casos de seguros bajo primas anuales (temporales y vitalicias).

Resolver los siguientes problemas: 

Una persona de 36 años desea saber cuánto debe depositar durante 10 años para las siguientes prestaciones: o Una renta cierta de $10,000 anuales durante los siguientes 14 años después de terminar el pago de las primas anuales o Un seguro para el caso de muerte en fecha posterior al plazo antes indicado por $10,000 o Un capital de $5,000 a cobrar si está con vida a los 75 años de edad.



Calcular la prima anual pagadera durante 20 años por un seguro a favor de una persona de 30 años cuya prestación garantiza un capital de $10,000 si sobrevive por un plazo de 30 años y un seguro para el caso de muerte por 20,000 si el fallecimiento ocurre desde que el asegurado ha cumplido los 40 años de edad



Para una persona de 45 años se desea calcular la prima anual pagadera durante 10 años por un seguro de 10,000 para el caso de muerte.



Una persona de 30 años desea recibir un capital de 25,000 si llega con vida a los 50 años, con tal objeto se compromete a pagar primas anuales durante 12 años. Calcular el importe de dicha prima.



Calcular una prima anual para las siguientes prestaciones para una persona de 30 años de edad. o Un seguro por S/.45,000 para el caso que su muerte ocurra antes de los 60 y después de los 40. o Una renta de vida entera de S/.14,000 comenzando al cumplir los 65 años.



José de 35 años contrata un seguro de fallecimiento en donde se compromete a pagar la prima a través de una renta anual adelantada de aquí en adelante. El monto por el que se desea asegurar es de $10,000 suponiendo una tasa de aproximadamente 8% en promedio. ¿Cuál será el valor de la renta?



Una persona de 30 años desea contratar un seguro que le permita cobrar una suma de $20,000 en caso de fallecimiento a partir de los 50 años y necesita saber cuál será el valor de la prima si la paga en forma escalonada.



¿Cuál será la prima anual a pagar por una persona de 50 años durante 10 años para recibir las siguientes prestaciones: a) si fallece antes de los 60 años de edad desea recibir un monto de $15,000 y b) si no ha fallecido hasta los 65 años al cumplirlos quiere recibir el 80% del monto pactado por fallecimiento? La prima se pagará durante los primeros 15 años.

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MATEMATICA ACTUARIAL Taller Nº 4: Autoevaluación Objetivo: Verificar la comprensión acerca de los cálculos de las primas comerciales para los distintos casos de seguros bajo primas anuales (temporales y vitalicios).



¿Qué prima comercial debe cobrarse a un asegurado de 32 años para ofrecerle un seguro para el caso de fallecimiento hasta los 50 años de edad y luego una renta anual equivalente al 10% del capital de muerte, considerando un recargo global de 18% en la prima comercial para gastos de adquisición y administración? K=$15,000 (p=10)



Una persona de 40 años toma un seguro por $50,000 para el caso de muerte que pueda ocurrir en los próximos años, comprometiéndose a pagar primas anuales durante 20 años. Calcular la prima comercial anual, considerando los siguientes recargos: Comisión de agente 60%; gastos de examen médico 0.4%; gastos de administración 0.3% y gastos de cobranza 4%.



Una persona de 40 años contrata un seguro para el caso de muerte por $25,000 pagando primas anuales vitalicias. Transcurridos 10 años, el asegurado decide interrumpir sus pagos. Calcular su valor de rescate, el importe del capital reducido por seguro saldado y el plazo del seguro prorrogado manteniendo el mismo capital original.

Considere un recargo total de 15% en la prima comercial. .

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MATEMATICA ACTUARIAL

UNIDAD IV RESERVAS Y VALORES GARANTIZADOS Objetivos específicos.  Calcular el valor de las reservas y los elementos de su cálculo  Realizar ejercicios sobre los valores garantizados de los distintos tipos de seguros revisados.  Analizar las implicancias de los valores garantizados en el sistema asegurador.  Analizar los sistemas pensionarios tanto privados como públicos y los elementos de cálculo en cada uno de ellos.  Conocer y analizar los mecanismos de intermediación financiera.  Revisar los casos de las compañías más importantes del sistema peruano.

Contenido temático:   

Reservas matemáticas. Componentes.

Valores garantizados. Capital de rescate. Seguro saldado. Seguro prorrogado Seguros previsionales. Cálculo de pensiones de jubilación y beneficiarios en AFP´s Mecanismos de intermediación financieras. Caso de empresas nacionales, Rimac, Pacífico, Generally. MAPFRE

Desarrollo de la unidad IV: 4.1

Reservas matemáticas. Componentes.

Se le conoce como reserva o provisión a los excesos pagados por los asegurados cuando se efectúan pagos en forma anual por un seguro ya sea de vida o muerte. Estos excesos se producen porque las probabilidades de vida o muerte cambian durante todo el tiempo pero la cuota resulta siendo la misma al iniciar como al finalizar el tiempo de pago. El exceso conjuntamente con los intereses que generan son las que constituyen una reserva matemática o reserva técnica.

Si un asegurado deseara interrumpir su pago es decir no continuar con el seguro, puede exigir la devolución de lo que le corresponde por excesos pagados mas los intereses, a esta cantidad se le conoce como capital de rescate. Obviamente a este capital se le debe descontar los costos de administración y otros que le han generado a la aseguradora.

Existen dos métodos para realizar el cálculo de la reserva: el método prospectivo y el método retrospectivo. En ambos casos se debe tomar en cuenta lo siguiente: x = Edad inicial del asegurado n = plazo del seguro temporal p = plazo de pagos de primas anuales t = cualquier plazo transcurrido dentro de las obligaciones de ambas partes. n – t = Plazo residuo de la vigencia del seguro p – t = plazo residuo de la vigencia del periodo de pago de primas

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MATEMATICA ACTUARIAL Gráficamente:

a)

Método prospectivo.

Las obligaciones tanto del asegurado (P) como del asegurador (K) varían con el correr de los años y el análisis se ubica en el tiempo t (es decir durante o después de t).

Se define como: diferencia entre el valor actual de las obligaciones pendiente del segurador y el valor actual de las primas por pagar del asegurado, entendiéndose que ambos valores actuales son determinados a la edad x+t alcanzada y por los respectivos plazos residuos de ambas obligaciones Función: tVx =: tVx = K*ax+t, x+n – P*ax+t,x+p Ejemplo: Calcule la reserva matemática de una persona que tomo un seguro por $5,000 a la edad de 30 años para el caso de fallecer antes de los 50, se comprometió a pagar primas anuales durante 15 años. Haga el cálculo transcurridos 10 años.

Hallando P = M30 – M50 * $5,000 N30 – N45 10V30

= M40 – M50 * $5,000 – P * N40 – N45 D40 D40

Ejemplo 2: A los 28 años una persona tomó un seguro para el caso de muerte con primas anuales. Cuando tiene 40 años decide saber cuál es el monto de su reserva matemática. El monto asegurado fue de $20,000 P= M28 * $20,000 N28 12V28 = M40 *$20,000 – P * N40 D40 D40 b) Método retrospectivo Se sitúa en el momento t y considera el tiempo transcurrido desde la contratación del seguro. Se define como: diferencia entre el valor final de los pagos efectuados por el asegurado y el valor final de riesgo corrido por el asegurador, ambos calculados al final de tiempo transcurrido desde la estipulación del seguro.

Función: tVx = P*ax,x+t – ax,x+t *K Página 51

MATEMATICA ACTUARIAL t Vx = P

* Nx – Nx+t Dx+t

- Mx – Mx+t * K Dx+t

Ejemplo : x = 30, n =20, p=15 10V30

4.2

K=$5,000

t = 10

P=

= P * N30 – N40 – M30 – M40 * K D40 D40

Valores garantizados Estos son valores que se encuentran garantizados en la póliza de seguros y toman en cuenta las primas de riesgo y primas de ahorro La prima que se paga anualmente está compuesta de dos partes: la primera destinada a que el asegurador cubra el riesgo de muerte desde el inicio hasta el final de cada año; a esta se le conoce como prima de riesgo. La segunda es la parte complementaria denominada prima de ahorro, esta se destina a formar la reserva ganando intereses al mismo tipo de interés técnico de los símbolos de conmutación de las tablas de mortalidad. También sirve para compensar cuando la prima de riesgo es deficitaria como producto de la mayor edad del asegurador.

Se debe analizar el proceso de pagos de primas para poder comprender el concepto de gastos por parte de las compañías aseguradoras y acumulación de aportes de cada prima anual. En primer lugar, se ha visto que las primas comerciales anuales consideran los gastos de adquisición dentro de su cálculo. Por tanto, los recargos se distribuyen en las cuotas a lo largo del periodo de pago contratado. Si un contrato es rescindido, el horizonte de tiempo no se cumplirá y se quedará parte de los recargos sin pagar. En este caso, las compañías efectúan un cálculo para conocer a cuánto ascienden estos recargos a fin de que puedan ser cancelados en un solo pago en el momento de la rescisión del contrato. Sobre todo cuando se hace el pedido de cancelación de reserva matemática por parte del asegurado.

Cuando la prima es única los recargos se pagan por adelantado y quedan en disposición del asegurador pero cuando el pago es partido anualmente, éste no se encuentra en condiciones de hacer frente a sus obligaciones técnicas por lo cual necesita que se deposite la reserva matemática que no siempre puede cubrir los riesgos iniciales; por ejemplo, en el caso de muerte del asegurado.

Generalmente para cubrir esta situación, el asegurado debe efectuar un desembolso conocido como financiación. Cubre lo necesario para hacer frente a los gastos de adquisición. Este se recupera a lo largo de todo el periodo p de pago de primas.

Función: Q = rB âx,p Donde: Q = Cuota anual de recuperación r = gastos materia de financiamiento B = prima comercial Si el proceso de recuperación se realiza durante p años, en cualquier momento intermedio t podrán calcularse los gastos de adquisición no amortizados mediante la actualización de las cuotas Q por p-t años con la siguiente función: Página 52

MATEMATICA ACTUARIAL Qâx+t,p-t = rB âx+t,p-t âx,p Esta cantidad se interpreta como un importe que el asegurado le debe al asegurador en el momento t y contablemente figuran como activo para el asegurador.

En cualquier momento del tiempo se puede calcular la reserva matemática pero si se rescinde un contrato se debe realizar el cálculo de otros valores para determinar si existe un saldo favorable al asegurado. En función de esto, puede tomar algunas decisiones sobre el seguro contratado. Los casos son los siguientes: 4.2.1 Reserva modificada mediante la fórmula de Zillmer Este es un cálculo modificado de la reserva matemática y considera los recargos no amortizados por el asegurado durante el periodo de primas anuales. El valor resultante es menor al de la reserva matemática. La función es: tV´x = Ux+t,n-t – Pâx+t,p-t âx,p Son tres conceptos que se derivan de las reservas matemáticas y pago de primas anuales y son: 4.2.2 Capital de rescate Es una cantidad de dinero que el asegurado recibe cuando se rescinde (finaliza) el contrato de seguro en el momento t. Está constituido por el importe de la reserva matemática calculada en el momento t menos el valor actual de los gastos de adquisición no amortizados. Este es el valor hallado por la reserva modificada que, como se ha explicado es una variación de la reserva matemática mediante la deducción de una cantidad igual a los gastos de adquisición por amortizar. A esta reserva también se le da el nombre de reservas zillmerizadas por su autor, el matemático alemán Augustus Zillmer. La función es: tV´x =Kax+t,x+n – Pâx+t,x+p – B*âx+t,x+p âx,p 4.2.3 Seguro saldado Resulta de un caso de rescisión de contrato y consiste en tomar el capital de rescate como una prima única que el asegurado deja en poder del asegurador como único pago para tener un seguro vigente de las mismas característica que el rescindido, en cuanto a su duración, pero por un capital reducido que resulte suficiente o adecuado para dicha prima única pagada el cual viene a ser el nuevo capital asegurado. Se calcula mediante la siguiente función: S = tV´x ax+t,x+n

S = Importe del nuevo capital asegurado

4.2.4 Seguro prorrogado o prolongado Cuando se rescinde un contrato de seguro en un momento t, se trunca la vigencia inicialmente prevista, sea vida entera o temporaria. Se asume este tipo de seguro cuando se mantiene vigente el seguro rescindido por un tiempo más allá de t, a cambio de dejar en poder del asegurador el valor del capital de rescate como prima única para un seguro temporal, para el cual dicho monto alcance. El plazo del nuevo Página 53

MATEMATICA ACTUARIAL seguro corresponde al seguro prolongado por un plazo menor que el original más allá de t. Aquí se reduce el plazo del seguro pero el capital queda invariable. Se trabaja con la fórmula siguiente: tV´x = Kax+t,x+t+m 4.3

m= plazo menor que el original

Seguros previsionales. Pensiones de jubilación y beneficiarios en AFP´s Las pensiones son un tipo de renta que se paga a un trabajador en forma mensual al término de su periodo laboral, por razones de edad o cesantía. En nuestro país, como en varios países iberoamericanos, se tienen dos sistemas de pensiones de jubilación para trabajadores de preferencia dependientes. En Perú; el primero está a cargo de un organismo gubernamental denominado ONP que forma parte del Sistema Nacional de Pensiones y el segundo está a cargo del Sistema Privado de Pensiones compuesto por las Administradoras de Fondos de Pensiones conocidas como AFP´s.

La diferencia entre ambos es que en el SNP el fondo que entrega el trabajador cada mes pasa a formar un fondo solidario y común que administra el Estado. No interesa entonces, cuanto haya aportado cada trabajador, la renta pensionable estará dentro de un rango de valor monetario.

En el SPP el fondo que aporta cada trabajador va a una cuenta personal que se incrementa hasta el momento de la jubilación u ocurrencia de la muerte del trabajador.

Este fondo sirve como prima única que le permite contratar un seguro de renta vitalicio en la misma AFP. Este sistema de pensiones otorga pensiones de jubilación cuando el trabajador ha cumplido los 65 años de edad y en el caso de muerte prematura otorga a los hijos una pensión de sobrevivencia. En el sistema Nacional de Pensiones rigen también las mismas condiciones pero es el Estado el que fija el monto de dicha pensión. Es necesario acotar que en este último sistema se necesita tener como mínimo 20 años de aportación para tener derecho a una pensión.

En este caso analizaremos el caso de las Administradoras de Fondos de Pensiones por ser las que utilizan las probabilidades en sus provisiones.

Las AFP´s otorgan dos clases de prestaciones: o

Pensiones de jubilación o renta vitalicia al cesar el trabajador de su periodo laboral ya sea por edad o porque cumple los requisitos para jubilación anticipada.

o

Seguros previsionales:  Pensiones de invalidez por causas de accidentes que incapacite para el trabajo durante su periodo laboral.  Pensiones de sobrevivencia a los deudos directos cuando el trabajador fallece durante el periodo laboral o después de él, pero siempre que los deudos cumplan con ciertas condiciones como ser menores de edad en caso de ser hijos.  El reembolso de los gastos de sepelio efectuados al fallecer el trabajador asegurado.

4.3.1 Captación de recursos por las administradoras de fondos de pensiones Los recursos son sufragados por los trabajadores afiliados y son los siguientes:

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MATEMATICA ACTUARIAL a)

Cuenta individual de capitalización formada por el aporte obligatorio de un porcentaje de la remuneración mensual del trabajador afiliado a la administradora de fondos de pensiones y también por sus aportes voluntarios. El fondo lo administra la AFP mediante inversiones a fin de incrementar el fondo. Estas inversiones son controladas por la Superintendencia de administradoras de fondos de pensiones. Este valor generado al final servirá como prima única para un seguro de renta vitalicia.

b)

Aportes de cada trabajador afiliado por un monto aproximado de un porcentaje de su remuneración mensual como prima para el seguro previsional de invalidez, sobrevivencia y gastos de sepelio. Este pago pasa a las entidades aseguradoras que otorga las mencionadas coberturas.

c)

Comisiones de administración pagadas mensualmente a la administradora para sus gastos operativos, en un monto que pueden ser cantidades fijas o porcentuales de un porcentaje del sueldo mensual.

4.3.2 Bono de reconocimiento Es aquel reconocimiento de los pagos efectuados al sistema nacional de pensiones que se le entrega al sistema privado cuando el afiliado decide trasladarse. Este es un documento con un valor nominal monetario cuyo valor se determina por una fórmula de cálculo según la edad y los meses de aportación hasta la fecha de vigencia de la ley. Este bono se incorpora en la cuenta individual de capitalización.

4.3.3 Pensión de jubilación Para recibir la pensión de jubilación o renta vitalicia o jubilación anticipada, se toma en cuenta que dicha renta tenga un valor igual o superior al 50% de las remuneraciones percibidas durante los últimos 120 meses actualizados con el IPC. Para calcular la pensión se toma en cuenta:  El capital acumulado en su cuenta individual de capitalización  El producto de la venta o redención del bono de reconocimiento, en caso corresponda.

4.3.4 Anualidades vitalicias con pagos mensuales durante el año Para el pago de pensiones como consecuencia de un fondo acumulado en una AFP se consideran algunos factores de pensión. Esto es diferenciado si se trata del titular o los sobrevivientes.

Las pensiones de invalidez y sobrevivencia son equivalentes a los siguientes porcentajes de la remuneración mensual del afiliado causante: a) Para el afiliado inválido este factor es 70%, pensión de vida entera cuando la invalidez es total y permanente y por el tiempo de invalidez transitoria o temporal cuando lo determina el organismo de calificación. b) Para el cónyuge o conviviente la pensión es por vida entera equivalente al 35% de la pensión al fallecer el afiliado. c) Para cada hijo sano menor de 18 años y por cada hijo inválido mayor de 18 años con incapacidad total y permanente para el trabajo el factor es de 14%. Cabe

Página 55

MATEMATICA ACTUARIAL aclarar que recibe pensión por vida entera el hijo inválido no así el hijo sano que la recibe hasta los 18 años. d) Para el padre o madre el factor es de 14 luego de cumplir con los requisitos:  Que sean inválidos en forma parcial o total  Que tengan más de 65 años  Que dependan económicamente del afiliado causante 4.3.5 Tablas de mortalidad Para este tipo de renta se trabaja con tablas de mortalidad especiales que se han tomado de la experiencia chilena en este campo. La tabla data de 1985 y han sido elaboradas mediante la ecuación de Makeham que utiliza valores constantes para su x (c-1) ). Se tienen las siguientes tablas: elaboración (qx = 1 – sgc -

MI – 85 – H: Tabla de mortalidad de inválidos, hombres MI – 85 – M: Tabla de mortalidad de inválidos, mujeres B – 85 – H: Tabla de mortalidad de beneficiarios, hombres B – 85 – M: Tabla de mortalidad de beneficiarios, mujeres RV – 85 – H: Tabla de mortalidad de Renta vitalicia, hombres RV – 85 – M: Tabla de mortalidad de renta vitalicia, mujeres

En esta guía se han considerado estas tablas del sistema peruano. Revíselas al final del documento.

4.3.6 Simbología para el cálculo de seguros previsionales y rentas vitalicias: Se tienen los siguientes elementos a considerar en el cálculo. Algunos de ellos ya los hemos conocido en las unidades anteriores. x = edad del afiliado y = edad del beneficiario R = remuneración del afiliado (promedio mensual de los 12 últimos sueldos mensuales). p = factor de pensión (% de R) CR= capital requerido o valor actual (reserva actuarial) 4.3.7 Funciones para el cálculo de seguros previsionales y renta vitalicia El cálculo de la renta se hace en base a lo que se tenga como prima para contratarla.

El en sistema privado se necesita una cantidad como prima que se conoce como capital requerido (CR) que no es otra cosa que la reserva matemática acumulada hasta ese momento como producto de la suma de:   

Saldo de la cuenta individual de capitalización (CIC) que la AFP tiene acumulada Valor del bono de reconocimiento (si fuera el caso) Capital adicional aportado por la AFP que es el rendimiento producido por la CIC.

Las funciones son las siguientes:

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MATEMATICA ACTUARIAL a) Afiliado con invalidez permanente.

Aquí se calcula el valor del capital requerido para hacer frente al pago vitalicio de una pensión para el afiliado que sea equivalente al 70% de su promedio de sueldo recibido en los últimos 12 meses.

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b) Afiliado con invalidez temporal Aquí se calcula el valor del capital requerido para hacer frente al pago temporal (el periodo de tiempo corresponde al caso específico del asegurado) de una pensión para el afiliado que sea equivalente al 70% de su promedio de sueldo recibido en los últimos 12 meses. El tiempo de pago se identifica con el símbolo t.

12

11

24

c) Sobrevivencia de hijo sano Aquí se calcula el valor del capital requerido para hacer frente al pago temporal (el periodo de tiempo corresponde al caso específico del asegurado) de una pensión para cada hijo (hombre o mujer) sobreviviente siempre que no haya cumplido 18 años. La pensión que recibirá es equivalente al 14% del sueldo promedio recibido en los últimos 12 meses por el progenitor. Se entiende que se estado de salud es normal.

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Página 57

MATEMATICA ACTUARIAL d) Sobrevivencia de hijo con invalidez permanente Aquí se calcula el valor del capital requerido para hacer frente al pago vitalicio de una pensión en el caso de tener un hijo con discapacidad. En este caso no importa la edad del hijo. La pensión que recibirá es equivalente al 14% del sueldo promedio recibido en los últimos 12 meses por el progenitor.

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e) Sobrevivencia de cónyuge, padre o madre Aquí se calcula el valor del capital requerido para hacer frente al pago vitalicio de una pensión para el cónyuge sobreviviente. Si el titular no fuese casado o estuviera divorciado o fuese viudo sin hijos, le corresponderá la pensión a sus padres sobrevivientes. La pensión que recibirá el cónyuge es el equivalente al 35% del sueldo promedio recibido en los últimos 12 meses por el titular. Si fuesen los padres, estos recibirán solo el 14% de dicho monto.

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12 f) Renta vitalicia

Es la pensión vitalicia que recibirá el afiliado a partir de su jubilación. Se considerará como fondo lo aportado por el asegurado en su cuenta individual de capitalización (CIC), además de su Bono de reconocimiento (si lo hubiera) y los aportes voluntarios que hubiera realizado (si fuese el caso).

12

4.4

11 24

Mecanismos de intermediación financiera para el caso de seguros A mediados siglo XIX se introdujo el seguro en el Perú, y la primera compañía aseguradora nacional fue creada en 1868 bajo el nombre de La Paternal. En 1931 se fundó la Superintendencia de Banca y Seguros cuyo objetivo era cautelar el sistema financiero y de seguros. En 1975 se creó un monopolio estatal para todos los riesgos del sector público suscritos por la Cía. Popular y Porvenir. En esos años también se formó la compañía Reaseguradora Peruana.

En 1991 el mercado asegurador es liberalizado y en el 2000 el control del sistema de administración privada de fondos de pensiones se transfiere a la SBS

4.4.1

FODA del mercado asegurador peruano El mercado asegurador peruano todavía es pequeño pero crece a un ritmo aproximado de 10% por año. Las razones de su crecimiento

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MATEMATICA ACTUARIAL Fortalezas  Empresas especializadas por tipo de negocio y riesgos  Participación de importantes grupos aseguradores internacionales  Capitalización adecuada producto de los buenos resultados financieros  Empresas de origen local con buena presencia y conocimiento del mercado asegurador  Regulación y supervisión cada vez más adecuada a estándares internacionales  Buenas prácticas de gobierno corporativo  Gestión técnica eficiente del negocio.

Oportunidades  Altas tasas sostenidas de crecimiento económico del país en los próximos años.  Mayor internacionalización de la economía peruana (nuevos acuerdos de TLC)  Incremento sostenido del PBI per cápita en los próximos años  Bajo nivel de penetración de la industria (%Primas/PBI)  Nuevos sectores e individuos demandarán productos de seguros (microseguros)  Incremento de la cultura financiera y de seguros

4.4.2

Debilidades  Falta fortalecer proceso de atención al asegurado.  Mercado concentrado  Inexistencia de tablas de mortalidad peruanas para el sistema privado de pensiones y sistema asegurador.  Ausencia de datos de segmentos de sectores emergentes.

Amenazas  Acceso a nuevos canales de comercialización  Internacionalización de economía del país favorecerá cultura de riesgos, lo cual podría reducir los índices de siniestralidad  Desarrollo del canal de comercialización de “banca seguros” puede favorecer la masificación de los productos de seguros básicos  Fácil acceso a reaseguradores de primer nivel permitirá el desarrollo de nuevos productos y la optimización del uso del capital  Reducción de sector informal

Riesgos del sistema asegurador peruano Al ser un mercado en crecimiento los negocios de seguros están sometidos a muchos riesgos.        

Inexistencia de Ley de Contrato de Seguros (proyecto en evaluación en Congreso de la República) Fácil acceso de potenciales asegurados a seguros de vida ofrecidos en el mercado internacional Incremento de la siniestralidad por la colocación de nuevos productos de seguros Débil cultura de riesgos en el país puede incrementar la siniestralidad y el fraude Incremento del riesgo catastrófico Pérdida de credibilidad en el mercado por inadecuada atención al asegurado Mayor competencia de entidades alternativas como administradoras de productos de seguros (AFOCAT, SCTR ONP, autoseguros) Incremento de riesgos de inversión por insuficiente oferta de alternativas de inversión en el mercado local

En el caso peruano se tienen distintos mecanismos de intermediación financiera. Se tiene en primer lugar a las compañías aseguradoras pero también se tiene a los bancos ofreciendo seguros de distinto tipo, incluso se ofrece conjuntamente con las tarjetas de tiendas comerciales. En el caso de las compañías aseguradoras se tiene a las siguientes:

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MATEMATICA ACTUARIAL

El Seguro cumple básicamente las siguientes funciones: a. Función Indemnizatoria.

El Seguro garantiza el resarcimiento de un capital para reparar o cubrir la pérdida o daño que pueda ocurrir en cualquier momento tanto al hombre como a su patrimonio.  

La indemnización es la cantidad de dinero que desembolsa la compañía de seguros a favor del asegurado, al producirse un hecho que pueda dañar a la persona asegurada o a su patrimonio.

El asegurador puede cumplir con la obligación de indemnizar de diversos modos: o Pagando en efectivo el importe tasado de los daños. o Reparando o reemplazando a su cargo el objeto dañado. o Brindando servicios: seguro de enfermedad, el tratamiento en hospitales.

b. Función Financiera.

Cumple esta función en la medida que administra eficientemente el dinero que recibe bajo la forma de primas hasta el momento en que se tiene que producir el pago.

La función financiera del seguro busca obtener una rentabilidad para las primas pagadas por el asegurado, con el propósito de buscar una menor carga futura para los asegurados y otorgar mayor capacidad de respuesta ante lo imprevisto, por parte de la empresa aseguradora, al acumular excedentes que la consolidan.

4.4.3

Microseguros Los microseguros forman una gama de servicios tradicionalmente inaccesibles para los estratos más pobres de la población, a pesar de ser la más vulnerable a accidentes, violencia y catástrofes naturales. Desde el punto de vista de las aseguradoras, las pequeñas sumas cubiertas significan escasas primas y un mínimo margen de beneficio, por lo que para ser rentables tienen que ser administrados correctamente, con eficiencia en costos y cobertura a gran escala” (Microinsurance Centre, 2007) De lo anterior dicho, se desprende que existen problemas para ampliar este sector de seguros. Los expertos han señalado que hace falta una serie de estrategias para atender a este mercado. Estas son las siguientes:      

Ampliar cobertura para familias de bajos ingresos.

Minimizar gastos operativos del asegurador.

Reducir precio para incentivar su accesibilidad.

Profundizar el conocimiento de sus riesgos.

Promover la cultura aseguradora.

Simplificar solución de reclamos.

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MATEMATICA ACTUARIAL Con el objetivo de fomentar el desarrollo económico y social de modo que los sectores menos favorecidos puedan acceder a los beneficios de los seguros a fin de garantizar la continuidad de sus actividades y la protección de sus familias se emitió la Resolución SBS N° 215-2007, Reglamento de Microseguros y mediante Resolución SBS N° 14283 -2009, se modifica dicho Reglamento. Este tiene las siguientes características:       

     

Coberturas adecuadas a características del sector.

Póliza simplificada, solicitud-certificado redactados en lenguaje simple.

Póliza del seguro de grupo redactada en lenguaje fácilmente comprensible, sin inclusión de condiciones que afecten sus características de simplicidad, claridad y facilidad en la contratación.

Sin verificaciones previas en relación con las personas y bienes asegurables, salvo que la naturaleza del seguro exija establecerlas.

Sin exclusiones y en caso de requerirlas deben ser mínimas y concordantes con las coberturas que otorga el microseguro.

Incumplimiento de pago suspende cobertura.

Término de cobertura se producirá por falta de pago de la prima, por el pago del total de las coberturas establecidas en la póliza, por el vencimiento del plazo establecido en la póliza, por dolo o fraude del contratante o asegurado, o de manera voluntaria por el asegurado.

Deducibles, copagos y franquicias no son aplicables.

Gastos relacionados a la emisión de la póliza deben ser incorporados dentro del monto de la prima.

Ante la ocurrencia del siniestro, la solicitud de cobertura deberá ser presentada al comercializador del seguro.

Pago de indemnización en 10 días de recibida la documentación sustentatoria.

Pago de la indemnización a cargo de la empresa de seguros podrá efectuarse a través del comercializador o directamente al asegurado.

Reclamo de asegurados por falta de pago de la indemnización, el trámite correspondiente deberá efectuarse a través del comercializador o del corredor de seguros.

Los retos y perspectivas que actualmente tiene este ramo de seguros son muchos. A continuación algunos de ellos.        4.4.4

Fortalecer la transparencia institucional Mejorar la atención al asegurado Aprobación Ley de contrato de seguros (pendiente en Congreso de la República) Ampliar la red de venta y nuevos canales de comercialización en zonas emergentes Innovar en diseño de nuevos productos Impulsar seguro obligatorio catastrófico Ingreso de nuevos competidores

Seguros obligatorios en el Perú Se tienen los siguientes: a)

Seguro Vida Ley Establecido por el Decreto Legislativo N° 688 Ley de Consolidación de Beneficios Sociales del 01 de noviembre de 1991. En virtud del citado Decreto se dispuso que el trabajador empleado u obrero tiene derecho a un seguro de vida a cargo del empleador, una vez cumplidos cuatro años de trabajo, al servicio del Página 61

MATEMATICA ACTUARIAL mismo. Sin embargo, el empleador está facultado para contratar el seguro a partir de los tres meses de servicio del trabajador.

Este seguro de vida es grupal, los pagos se realizan de forma mensual. Son sus beneficiarios el cónyuge o conviviente del trabajador y los descendientes, sólo a falta de aquellos corresponde a los ascendientes y hermanos menores de dieciocho (18) años. Sus coberturas son las siguientes: o

o

o

Fallecimiento natural del trabajador, en este caso se abonará a sus beneficiarios dieciséis (16) remuneraciones que se establecen en base al promedio de lo percibido por aquél en el último trimestre previo al fallecimiento.

Fallecimiento del trabajador a consecuencia de un accidente, caso en el que se abonará a los beneficiarios treinta y dos (32) remuneraciones percibidas por el trabajador en la fecha previa al accidente.

Invalidez total o permanente del trabajador que se origine en un accidente, caso en el que se abonará treinta y dos (32) remuneraciones mensuales percibidas por el trabajador en la fecha del accidente. Ese capital se le abonará al trabajador o ante impedimento de él a su cónyuge, curador o apoderado especial.

b) Seguro Complementario de Trabajo de Riesgo-SCTR Este seguro, de obligatoria contratación, fue instituido por la Ley N ° 26790 Modernización de la Seguridad Social en Salud- y Reglamento aprobado por Decreto Supremo N° 03-98-SA del 13 de abril de 1998.

El SCTR otorga coberturas por accidente de trabajo y enfermedad profesional a los trabajadores, empleados y obreros, siempre que sean afiliados regulares al Seguro Social de Salud y que laboren en un centro de trabajo en el que la entidad empleadora realiza las actividades de riesgo descritas en el Anexo 5 del Decreto Supremo N° 009-97-SA. Son asegurados obligatorios del Seguro Complementario de Trabajo de Riesgo, la totalidad de los trabajadores del centro de trabajo en el cual se desarrollan las actividades de riesgo previstas en el Anexo 5 del mencionado Decreto Supremo, sean empleados u obrero, sean eventuales, temporales o permanentes. Sus coberturas son: o o

o o

Asistencia y asesoramiento preventivo promocional en salud ocupacional a la entidad empleadora y a los asegurados.

Atención médica, hospitalaria y quirúrgica cualquiera que fuere el nivel de complejidad; hasta la recuperación total del asegurado o la declaración de una invalidez permanente total o parcial o fallecimiento. El asegurado conserva su derecho a ser atendido por el Seguro Social en Salud con posterioridad al alta o a la declaración de la invalidez permanente, de acuerdo con el Artículo 7° del Decreto Supremo N° 009-97-S.A. Rehabilitación y readaptación laboral al trabajador asegurado inválido Aparatos de prótesis y ortopédicos necesarios para el trabajador asegurado inválido bajo este seguro

Esta cobertura sólo puede ser contratada por la Entidad Empleadora, a su libre elección, con cualquiera de las siguientes entidades prestadoras: o o

ESSALUD: Empresa Nacional de la Seguridad Social en el Perú EPS: Entidad Prestadora de Salud Página 62

MATEMATICA ACTUARIAL La cobertura de Invalidez, Muerte y sepelio, que protege obligatoriamente al asegurado o sus beneficiarios contra los riesgos de invalidez o muerte producida como consecuencia de accidente de trabajo o enfermedad, otorga las siguientes prestaciones mínimas: o o o

Pensión de sobrevivencia Pensión de invalidez Cobertura de los Gastos de Sepelio

Esta cobertura la contrata el empleador con o o o c)

Una compañía de seguros La Oficina de Normalización Provisional ONP Seguro Obligatorio de Accidentes de Tránsito SOAT

Seguro obligatorio de accidentes de tránsito (SOAT) El seguro en el más estricto sentido repara el daño causado al asegurado, pero en el caso del SOAT no sólo al asegurado y a los ocupantes de un vehículo, sino también a los peatones que pudieran verse afectados por un accidente de tránsito, en atención a su esencia netamente social. En el caso del SOAT el beneficiario es la sociedad en su conjunto. El SOAT es un seguro obligatorio establecido por Ley con un fin netamente social. Su objetivo es asegurar la atención, de manera inmediata e incondicional, de las víctimas de accidentes de tránsito que sufren lesiones corporales y muerte. 

Características o Cubre a todas las personas que resulten víctimas de un accidente de tránsito, sin importar la causa del accidente. o No tiene límite el número de personas que pueden ser afectadas. o Las sumas aseguradas no se reducen con la ocurrencia de los accidentes. o No se necesita pronunciamiento de autoridad alguna para atender a las víctimas. o Todos los vehículos automotores que circulen por el territorio nacional deben contar con el SOAT. o El pago de las respectivas indemnizaciones se hará sin ninguna investigación respecto a la responsabilidad en el accidente.



Beneficios Cubre los siguientes riesgos por cada persona, ocupante o tercero no ocupante de un vehículo automotor asegurado: o Muerte c/u Cuatro (4) UIT S/. 15,200 o Invalidez permanente c/u hasta Cuatro (4) UIT S/. 15,200 o Incapacidad temporal c/u hasta Una (1) UIT S/. 3,800 o Gastos Médicos c/u hasta Cinco (5) UIT S/. 19,000 o Gastos de sepelio c/u hasta Una (1) UIT S/. 3,800 (*) La UIT – Unidad Impositiva Tributaria - es equivalente a S/. 3,800



Exclusiones Los siguientes accidentes no son cubiertos por el SOAT: Página 63

MATEMATICA ACTUARIAL o o o o

o

Los causados en carreras de automóviles y otras competencias de vehículos motorizados.

Los ocurridos fuera del territorio nacional.

Los ocurridos en lugares no abiertos al tránsito público.

Los ocurridos como consecuencia de guerras, eventos de la naturaleza u otros casos fortuitos o de fuerza mayor originados por causas ajenas a la circulación del vehículo automotor.

El suicidio y la comisión de lesiones auto inferidas.



Obligaciones del tomador del SOAT o Declarar el verdadero uso del vehículo automotor. o Pagar la prima correspondiente contra entrega del correspondiente Certificado de Seguro. o Mantener durante la vigencia de la póliza, el uso del vehículo declarado en el Certificado SOAT, debiendo comunicar por escrito a la compañía de seguros, oportunamente, cualquier variación en dicho uso. La compañía de seguros podrá modificar el Certificado de Seguros de acuerdo con el nuevo uso y cobrar o devolver la prima que corresponda. o No permitir la conducción del vehículo automotor por menores de edad, personas que no posean licencia de conducir o que teniéndola no corresponda a la categoría requerida para el vehículo asegurado, personas en estado de ebriedad, de drogadicción o en situación de grave perturbación de sus facultades físicas o mentales. o Comunicar a la compañía de seguros la transferencia de propiedad del vehículo automotor en el plazo de cinco (5) días de ocurrido el hecho. o Avisar de inmediato la ocurrencia de un accidente de tránsito a la Compañía de Seguros, salvo caso de impedimento debidamente justificado. Asimismo, dejar constancia del accidente de tránsito en la delegación de la Policía Nacional del Perú más cercana, exhibiendo el certificado de seguro correspondiente a la póliza en vigencia. o Formalizar por escrito el aviso de la ocurrencia del siniestro a la compañía de Seguros.



Necesidad del SOAT Al comentar la trascendencia de un Seguro eminentemente Social como el SOAT debemos detenernos a pensar por un momento en los Accidentes de Tránsito y sus consecuencias de lesiones, discapacidad, muerte y dolor, que por su volumen e impacto han sido calificados por la Organización Mundial de la Salud como un problema de salud pública y que requiere, por tanto, de urgentes medidas. Pensamos que reducir los accidentes de tránsito requiere de una Política Integral de Estado. A continuación algunas cifras: o o o o

o o

El Perú tiene alrededor de 1’500,000 vehículos automotores (incluyendo mototaxis).

En Lima transitan el 70% y en provincias el 30%.

El 70% son de uso particular, el 20% de servicio público de pasajeros y el 10% de carga.

Los vehículos con SOAT llegaron a ser 985,000 a nivel nacional; hoy no alcanzan los 910,000 debido a falsas expectativas de SOAT regionales promovidos por Gobiernos Regionales, Fondos contra accidentes de tránsito administrados por los mismos transportistas y promovidos por algunas Municipalidades, con la creencia que su precio es más barato.

El SOAT ha atendido a la fecha alrededor de 280,000 víctimas.

Del total de víctimas atendidas más de 12,000 fallecieron y 268,000 quedaron lesionados. (algunos inclusive inválidos e incapacitados).

Página 64

MATEMATICA ACTUARIAL o o o o

o



El 61% de las victimas las ocasiona el servicio público, el 32% el particular y el 7% los servicios de carga y otros.

El 65% de las víctimas son ocupantes y el 35% son peatones.

El SOAT a la fecha ha atendido siniestros por más de US$ 200’000,000 El 60% de dicho importe corresponde a gastos de curación, 28% a muerte y el 12% a invalidez permanente, incapacidad temporal y sepelio.

Los Hospitales del Ministerio de Salud a nivel nacional, tienen una tarifa mayor para víctimas del SOAT.

Seguro de Responsabilidad Civil para Propietarios de canes De aplicación a canes potencialmente peligrosos por los daños a terceros que pueda causar éste. Se crea por Ley N° 27595 de fecha 13 de diciembre de 2001. Ley que regula el Régimen Jurídico de canes y con Reglamento, aprobado por Decreto Supremo N° 06-2002-SA de 21 de junio de 2002, por los cuales se establece que los propietarios de canes potencialmente peligrosos señalados en el Artículo 8° del Reglamento, deberán contratar un seguro de responsabilidad civil contra los daños que pueda ocasionar el can de su propiedad. La cobertura del seguro será para cada víctima y estará limitada por los montos previstos en la póliza. Es de carácter anual, su acreditación será requisito para obtener el registro del can y la licencia para el propietario.

Taller Nº 5: Autoevaluación Objetivo: Verificar los conocimientos sobre el cálculo de reservas matemáticas y valores garantizados.

Ejercicios:

 En un seguro emitido a favor de una persona de 36 años de edad, el asegurador le garantiza un capital de $40,000 para el caso de fallecimiento desde los 60 años de edad.

Calcular la reserva matemática transcurridos 15 años de la firma del contrato. Las primas se pagarán hasta los 56 años.  Calcular la prima de tarifa anual de un seguro dotal simple por un capital de $30,000 para una persona de 35 años, por una vigencia de 10 años y con primas pagaderas durante 7 años, considerando los siguientes recargos: gastos de adquisición 0.5% y 80%; gastos de administración 0.3%; gastos de cobranza 5%. Calcule además el capital de rescate y la opción del seguro prolongado cuando han pasado 5 años de pago de primas.  Calcular la prima comercial de un seguro dotal simple a prima única por $10,000 de capital asegurado para una persona de 50 años y por una vigencia de 10 años.

Recargos: m=3%, G=25%, A=0.3%, c=5% Calcule también su capital de rescate cuando hayan transcurrido 5 años.  Una persona de 40 años contrata un seguro para el caso de muerte por $65,000 pagando primas anuales vitalicias. Transcurridos 10 años, el asegurado decide interrumpir sus pagos. Calcular su valor de rescate, el importe del capital reducido por seguro saldado y el plazo del seguro prorrogado. Considere un recargo total de 15% en la prima comercial.

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MATEMATICA ACTUARIAL Taller Nº 6: Autoevaluación Objetivo: verificar conocimientos sobre cálculos de capitales requeridos para fines pensionales en el Sistema Privado de Pensiones.



¿Cuál será la renta vitalicia a la que tendrá derecho una persona que ha colocado sus fondos pensionarios en una AFP? Tenga en cuenta que esta persona actualmente tiene 65 años y es del género femenino. El sueldo promedio mensual que ha tenido los últimos 12 meses ha sido de S/.1000 y tiene ahorrado en su CIC el valor de S/123,825.

También ha tenido un bono de reconocimiento con un valor de S/2,500 y ha aportado en forma voluntaria S/.2,600.



Una persona ha fallecido y ha dejado una familia compuesta de su esposa de 55 años, una hija de 15 años y un hijo de 10 años. Su sueldo promedio de los últimos 12 meses ha sido de S/2,300 y ha acumulado en su cuenta de AFP la suma de S/170,000 además de su aporte voluntario de S/15,000. ¿a cuánto asciende el capital requerido para hacer frente a las pensiones de sus familiares? ¿Sera necesario que la compañía aseguradora aporte? ¿Cuánto?

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MATEMATICA ACTUARIAL ANEXO: TABLAS DE MORTALIDAD Para casos de vida y pensiones TABLA DE SOBREVIVENCIA (En Dolares) Edad comienzo Vivos al año comenzar el año

Edad (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Ix 10000000 9929200 9911725 9896659 9882210 9868375 9855053 9842241 9829840 9817749 9805870 9794005 9781958 9769633 9756737 9743175 9728950 9713967 9698230 9681840 9664994 9647694 9630039 9612127 9593960 9575636 9557155 9538423 9519442 9500118 9480358 9460165 9439447 9418208 9396358 9373807 9350279 9325594 9299482 9271491 9241359 9208737 9173375 9135122 9093740 9048999 9000587 8948114 8891204 8829410

Al 5.5%

Dx 10000000 9411564 8905213 8428130 7977085 7550633 7147336 6765919 6405113 6063729 5740656 5434796 5145129 4870755 4610735 4364290 4130728 3909352 3699544 3500751 3312473 3134165 2965336 2805517 2654232 2511054 2375553 2247295 2125899 2010980 1902177 1799171 1701641 1609300 1521864 1439063 1360617 1286280 1215809 1148957 1085519 1025296 968113 913816 862252 813280 766757 722547 680523 640562

Nx 181493646 171493646 162082082 153176869 144748739 136771654 129221021 122073685 115307766 108902654 102838924 97098268 91663472 86518343 81647588 77036853 72672563 68541835 64632483 60932938 57432188 54119715 50985549 48020213 45214696 42560464 40049410 37673857 35426561 33300663 31289683 29387506 27588335 25886694 24277394 22755529 21316466 19955849 18669569 17453760 16304803 15219284 14193988 13225876 12312060 11449808 10636528 9869771 9147225 8466702

Al 7.5%

Dx 10000000 9236465 8576939 7966420 7399804 6873902 6385695 5932459 5511613 5120776 4757749 4420457 4106995 3815647 3544754 3292862 3058655 2840879 2638397 2450175 2275267 2112739 1961742 1821482 1691199 1570204 1457836 1353468 1256535 1166497 1082856 1005163 932987 865942 803659 745796 692022 642042 595576 552357 512150 474737 439920 407521 377372 349317 323208 298905 276283 255221

Nx 138817544 128817544 119581079 111004140 103037720 95637916 88764014 82378319 76445860 70934246 65813471 61055722 56635265 52528269 48712622 45167868 41875006 38816351 35975472 33337075 30886900 28611633 26498895 24537153 22715671 21024472 19454268 17996433 16642964 15386430 14219933 13137077 12131914 11198927 10332985 9529326 8783530 8091508 7449466 6853890 6301534 5789384 5314647 4874727 4467206 4089833 3740516 3417309 3118403 2842120

Página 67

MATEMATICA ACTUARIAL Continuación …

Edad Edad (x) 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

TABLA DE SOBREVIVENCIA (En Dolares) Al 5.5% Al 7.5% Vivos al Ix Dx Nx Dx 8762306 602553 7826140 235611 8689404 566389 7223587 217349 8610244 531971 6657198 200344 8524486 499215 6125228 184510 8431654 468037 5626013 169768 8331317 438357 5157976 156044 8223010 410103 4719618 143271 8106161 383200 4309515 131381 7980191 357578 3926316 120316 7844528 333174 3568738 110019 7698698 309934 3235563 100441 7542106 287801 2925629 91533 7374370 266730 2637828 83253 7195099 246679 2371097 75562 7003925 227606 2124419 68423 6800531 209475 1896812 61801 6584614 192251 1687337 55664 6355865 175898 1495086 49981 6114088 160385 1319189 44726 5859253 145688 1158804 39871 5592012 131794 1013116 35398 5313586 118703 881322 31289 5025855 106422 762618 27530 4731089 94958 656196 24107 4431800 84314 561238 21007 4129906 74474 476924 18210 3826895 65412 402450 15697 3523881 57093 337038 13445 3221884 49479 279945 11435 2922055 42535 230466 9648 2626372 36238 187932 8066 2337524 30571 151694 6678 2058541 25519 121123 5471 1792639 21064 95605 4432 1542781 17183 74541 3548 1311348 13844 57358 2805 1100037 11008 43514 2189 909929 8631 32506 1685 741474 6666 23875 1277 594477 5066 17209 952 468174 3782 12143 698 361365 2767 8362 501 272552 1978 5595 351 200072 1376 3617 240 142191 927 2241 159 97165 601 1313 101 63037 369 713 61 37787 210 344 34 19331 102 134 16 6415 32 32 5

Nx 2586899 2351288 2133939 1933595 1749085 1579317 1423273 1280003 1148622 1028306 918287 817846 726314 643061 567498 499076 437275 381612 331630 286905 247034 211636 180347 152818 128711 107704 89494 73798 60352 48917 39270 31203 24525 19054 14622 11074 8268 6079 4395 3118 2166 1468 967 615 375 217 116 55 21 5

Página 68

MATEMATICA ACTUARIAL Tabla con símbolos de conmutación para casos de muerte

Hallando factor Cx y Mx Edad al Edad (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

Nº mueren durante dx

70800 17475 15066 14449 13835 13322 12812 12401 12091 11879 11865 12047 12325 12896 13562 14225 14983 15737 16390 16846 17300 17655 17912 18167 18324 18481 18732 18981 19324 19760 20193 20718 21239 21850 22551 23528 24685 26112 27991 30132 32622 35362 38253 41382 44741 48412 52473 56910 61794 67104 72902 79160

Al 5.5% Cx

67109 15700 12830 11663 10586 9662 8807 8080 7468 6954 6584 6336 6145 6094 6075 6040 6030 6003 5926 5774 5620 5436 5228 5026 4805 4594 4413 4239 4090 3965 3840 3735 3629 3539 3462 3424 3405 3414 3469 3539 3632 3732 3827 3924 4021 4124 4237 4356 4483 4615 4752 4891

Al 7.5 % Mx

Cx

Mx

538246 471137 455436 442606 430943 420357 410695 401888 393807 386340 379385 372801 366465 360320 354226 348151 342111 336081 330078 324152 318378 312758 307322 302094 297068 292263 287669 283255 279017 274926 270961 267121 263386 259757 256218 252756 249332 245928 242514 239045 235506 231874 228142 224315 220391 216370 212246 208009 203653 199170 194555 189804

65860 15122 12128 10819 9637 8632 7722 6953 6306 5764 5355 5058 4814 4685 4583 4472 4382 4281 4148 3966 3789 3597 3394 3202 3005 2819 2658 2505 2373 2257 2146 2048 1953 1869 1794 1741 1699 1672 1668 1670 1682 1696 1706 1717 1727 1738 1753 1768 1786 1804 1824 1842

315055 249195 234073 221945 211126 201489 192857 185134 178181 171875 166111 160756 155698 150884 146199 141615 137143 132761 128480 124332 120367 116578 112982 109587 106385 103380 100561 97903 95398 93025 90768 88622 86575 84622 82753 80959 79218 77518 75846 74178 72508 70826 69131 67424 65707 63980 62241 60488 58720 56934 55129 53306

Página 69

MATEMATICA ACTUARIAL Hallando factor Cx y Mx Edad al Edad (x)

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Nº mueren durante dx

85758 92832 100337 108307 116849 125970 135663 145830 156592 167736 179271 191174 203394 215917 228749 241777 254835 267241 278426 287731 294766 299289 301894 303011 303014 301997 299829 295683 288848 278983 265902 249858 231433 211311 190108 168455 146997 126303 106809 88813 72480 57881 45026 34128 25250 18456 12916 6415

Al 5.5% Cx

5022 5153 5279 5402 5524 5644 5762 5871 5975 6067 6146 6213 6265 6304 6331 6342 6336 6298 6220 6093 5916 5694 5444 5179 4909 4638 4364 4080 3778 3458 3124 2783 2443 2115 1803 1514 1253 1020 818 645 499 377 278 200 140 97 64 30

Al 7.5 % Mx

184913 179891 174738 169458 164057 158533 152888 147127 141256 135280 129213 123067 116855 110589 104285 97955 91612 85276 78978 72758 66665 60749 55055 49611 44432 39522 34884 30520 26440 22663 19204 16080 13297 10854 8739 6936 5422 4169 3149 2331 1686 1188 810 532 332 192 95 30

Cx

1856 1869 1879 1887 1894 1899 1903 1903 1900 1894 1883 1868 1848 1825 1799 1769 1734 1692 1639 1576 1502 1419 1331 1243 1156 1072 990 908 825 741 657 575 495 421 352 290 235 188 148 115 87 65 47 33 23 15 10 5

Mx

51464 49608 47739 45859 43972 42079 40179 38277 36374 34474 32580 30697 28830 26981 25156 23357 21589 19854 18163 16523 14947 13445 12027 10696 9453 8297 7225 6235 5327 4501 3760 3103 2528 2033 1612 1260 970 735 547 399 284 197 132 86 53 30 15 5

Página 70

MATEMATICA ACTUARIAL Tabla para pensiones de invalidez.AFP TABLA DE SOBREVIVENCIA Tabla usada por el Sistema privado peruano (al 3%) basada en la experiencia chilena Edad (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

MI - 85- H

INVALIDOS HOMBRES MI - 85- M

Dx 1000000.0 956518.3 914911.2 875097.6 836999.7 800543.1 765656.8 732272.5 700325.1 669752.4 640494.7 612495.0 585698.5 560053.2 535509.0 512018.1 489534.7 468015.1 447417.3 427701.3 408828.8 390763.0 373468.8 356912.7 341062.4 325887.3 311357.9 297446.0 284124.8 271368.4 259152.2 247452.6 236247.1 225514.0 215232.7 205383.5 195947.4 186906.5 178243.4 169941.7 161985.4 154359.7 147049.9 140042.4 133323.9 126882.0 120704.5 114780.8 109097.8 103647.3 98418.5 93402.0 88588.8 83970.4 79538.7 75285.9 71204.6

INVALIDOS MUJERES

Nx Dx 21805521.2 1000000.0 20805521.2 962027.3 19849003.0 925489.1 18934091.7 890330.7 18058994.1 856500.0 17221994.4 823946.3 16421451.3 792621.2 15655794.5 762478.0 14923522.0 733471.7 14223196.9 705559.2 13553444.5 678698.8 12912949.7 652850.5 12300454.8 627975.7 11714756.3 604037.5 11154703.1 581000.0 10619194.1 558829.1 10107176.0 537491.6 9617641.3 516955.8 9149626.3 497191.0 8702208.9 478167.9 8274507.6 459858.0 7865678.8 442234.1 7474915.8 425269.9 7101447.0 408940.2 6744534.3 393220.7 6403471.9 378088.0 6077584.6 363519.4 5766226.7 349493.4 5468780.7 335989.1 5184655.9 322986.3 4913287.6 310465.8 4654135.4 298408.9 4406682.8 286797.6 4170435.7 275614.8 3944921.8 264843.8 3729689.1 254468.7 3524305.6 244474.0 3328358.1 234844.8 3141451.6 225567.1 2963208.2 216626.9 2793266.5 208011.1 2631281.1 199707.0 2476921.4 191702.3 2329871.6 183985.2 2189829.2 176544.3 2056505.3 169369.8 1929623.3 162449.0 1808918.8 155772.0 1694138.0 149330.9 1585040.2 143115.5 1481393.0 137116.7 1382974.5 131325.8 1289572.5 125734.6 1200983.7 120335.2 1117013.3 115119.8 1037474.6 110081.1 962188.7 105212.1

Nx 24815632.0 23815632.0 22853604.7 21928115.7 21037784.9 20181285.0 19357338.7 18564717.5 17802239.6 17068767.9 16363208.7 15684509.9 15031659.4 14403683.7 13799646.3 13218646.2 12659817.1 12122325.5 11605369.7 11108178.7 10630010.9 10170152.9 9727918.8 9302648.9 8893708.7 8500488.0 8122400.0 7758880.6 7409387.2 7073398.1 6750411.8 6439946.0 6141537.1 5854739.5 5579124.7 5314280.9 5059812.2 4815338.2 4580493.4 4354926.3 4138299.4 3930288.3 3730581.3 3538879.0 3354893.8 3178349.5 3008979.7 2846530.7 2690758.7 2541427.8 2398312.3 2261195.6 2129869.8 2004135.2 1883800.0 1768680.3 1658599.2

Edad (x)

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

MI - 85- H INVALIDOS HOMBRES

Dx 67288.1 63529.6 59923.1 56462.6 53142.8 49958.4 46904.7 43977.0 41171.3 38483.5 35910.2 33447.8 31093.4 28844.1 26697.3 24625.4 22629.3 20710.6 18871.0 17112.4 15437.0 13846.8 12344.2 10931.2 9609.8 8381.7 7248.0 6209.4 5266.0 4417.0 3660.8 2994.9 2415.7 1918.8 1498.9 1149.9 864.9 636.8 458.1 321.3 219.2 145.2 93.1 57.6 34.3 19.6 10.7 5.6 2.7 1.3 0.6 0.2 0.1 0.0

Nx 890984.1 823696.0 760166.5 700243.4 643780.8 590638.0 540679.6 493774.9 449797.9 408626.6 370143.1 334232.9 300785.1 269691.7 240847.6 214150.2 189524.9 166895.6 146185.0 127314.0 110201.6 94764.6 80917.7 68573.5 57642.3 48032.5 39650.8 32402.8 26193.4 20927.5 16510.5 12849.7 9854.8 7439.1 5520.3 4021.4 2871.5 2006.5 1369.7 911.6 590.3 371.1 225.9 132.8 75.1 40.8 21.2 10.5 4.9 2.2 0.9 0.3 0.1 0.0

MI - 85- M

INVALIDOS MUJERES

Dx 100506.0 95956.5 91557.5 87303.0 83187.5 79205.7 75352.7 71623.7 68014.2 64520.2 61137.8 57863.3 54693.5 51625.4 48656.2 45735.1 42862.8 40040.7 37270.8 34556.1 31900.4 29309.4 26785.7 24338.6 21974.4 19700.7 17526.1 15459.1 13508.4 11682.4 9988.7 8434.1 7023.7 5760.7 4646.3 3679.0 2854.4 2165.5 1602.9 1154.6 807.2 546.1 356.2 223.3 133.9 76.5 41.4 21.2 10.1 4.5 1.9 0.7 0.2 0.1

Nx 1553387.2 1452881.1 1356924.6 1265367.1 1178064.2 1094876.7 1015671.0 940318.3 868694.7 800680.5 736160.2 675022.4 617159.1 562465.5 510840.1 462183.9 416448.8 373586.0 333545.3 296274.5 261718.4 229818.0 200508.6 173723.0 149384.4 127410.0 107709.3 90183.1 74724.0 61215.6 49533.2 39544.5 31110.4 24086.7 18326.0 13679.7 10000.7 7146.3 4980.8 3377.9 2223.3 1416.1 870.0 513.8 290.5 156.6 80.1 38.7 17.5 7.4 2.9 1.0 0.3 0.1

Página 71

MATEMATICA ACTUARIAL

TABLA DE SOBREVIVENCIA Tabla usada por el Sistema privado peruano (al 3%) basada en la experiencia chilena Edad (x)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

B - 85- H BENEFICIARIOS HOMBRES

Dx 100000.0 95524.3 92623.3 89862.6 87204.2 84630.4 82134.2 79712.5 77362.9 75083.3 72871.6 70725.6 68641.2 66616.6 64650.1 62739.9 60884.3 59081.5 57330.1 55628.4 53974.9 52368.2 50806.6 49289.0 47813.8 46379.7 44985.5 43629.8 42311.5 41029.3 39781.9 38568.4 37387.5 36238.2 35119.3 34029.9 32968.8 31935.2 30928.0 29946.3 28989.1 28055.6 27144.8 26255.8 25387.9 24540.1 23711.6 22901.8 22109.7 21334.7 20575.9 19832.8 19104.6 18390.6 17690.3 17002.9 16328.1

B - 85- M BENEFICIARIOS MUJERES

Nx Dx 2938464.9 100000.0 2838464.9 95922.3 2742940.7 93035.3 2650317.4 90270.5 2560454.8 87609.7 2473250.6 85035.0 2388620.1 82536.8 2306485.9 80112.8 2226773.4 77760.7 2149410.5 75479.2 2074327.2 73265.4 2001455.6 71117.2 1930730.0 69031.5 1862088.9 67006.3 1795472.2 65039.8 1730822.1 63130.4 1668082.2 61276.2 1607198.0 59475.8 1548116.4 57727.4 1490786.3 56029.5 1435157.9 54380.6 1381183.0 52779.2 1328814.8 51223.9 1278008.2 49713.3 1228719.2 48246.0 1180905.4 46820.7 1134525.7 45436.2 1089540.2 44091.1 1045910.3 42784.3 1003598.9 41514.6 962569.6 40280.7 922787.7 39081.7 884219.3 37916.3 846831.8 36783.6 810593.7 35682.5 775474.4 34611.9 741444.5 33570.9 708475.7 32558.5 676540.5 31573.7 645612.5 30615.6 615666.2 29683.4 586677.0 28776.0 558621.5 27892.7 531476.7 27032.6 505220.9 26194.9 479833.1 25378.7 455293.0 24583.2 431581.3 23807.7 408679.6 23051.3 386569.9 22313.4 365235.2 21593.1 344659.3 20889.8 324826.5 20202.6 305721.9 19531.0 287331.3 18874.2 269641.1 18231.5 252638.1 17602.2

Nx 3030891.3 2930891.3 2834968.9 2741933.6 2651663.1 2564053.4 2479018.5 2396481.7 2316368.9 2238608.2 2163129.0 2089863.6 2018746.4 1949714.9 1882708.6 1817668.8 1754538.5 1693262.2 1633786.5 1576059.1 1520029.6 1465649.0 1412869.7 1361645.8 1311932.5 1263686.5 1216865.8 1171429.6 1127338.5 1084554.2 1043039.7 1002759.0 963677.3 925761.0 888977.3 853294.9 818683.0 785112.1 752553.6 720979.9 690364.3 660681.0 631905.0 604012.2 576979.6 550784.8 525406.1 500822.9 477015.2 453963.9 431650.5 410057.4 389167.6 368964.9 349433.9 330559.8 312328.3

Edad (x)

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

B - 85- H BENEFICIARIOS HOMBRES

Dx 15665.1 15013.6 14373.1 13743.1 13123.3 12513.4 11913.1 11322.3 10740.9 10168.8 9606.2 9053.0 8509.6 7976.3 7453.6 6943.5 6446.5 5963.0 5493.5 5038.8 4599.6 4176.7 3771.2 3383.9 3015.8 2667.9 2341.1 2036.3 1754.3 1495.5 1260.4 1049.1 861.4 696.8 554.6 433.7 332.7 249.9 183.4 131.3 91.5 61.8 40.5 25.6 15.6 9.1 5.0 2.7 1.3 0.6 0.3 0.1 0.0 0.0

Nx 236310.1 220644.9 205631.3 191258.3 177515.2 164392.0 151878.6 139965.5 128643.2 117902.3 107733.5 98127.3 89074.3 80564.7 72588.4 65134.8 58191.2 51744.7 45781.8 40288.3 35249.5 30649.9 26473.2 22702.0 19318.1 16302.3 13634.5 11293.3 9257.0 7502.7 6007.2 4746.8 3697.8 2836.4 2139.6 1585.0 1151.3 818.6 568.8 385.4 254.1 162.6 100.8 60.3 34.7 19.1 10.1 5.1 2.4 1.1 0.4 0.2 0.1 0.0

B - 85- M BENEFICIARIOS MUJERES

Dx 16985.7 16381.4 15788.6 15206.7 14635.1 14073.4 13520.8 12977.0 12441.3 11913.5 11393.0 10879.5 10372.7 9872.4 9378.3 8889.4 8405.7 7927.1 7453.8 6985.9 6523.9 6068.3 5619.9 5179.4 4748.0 4326.9 3917.6 3521.5 3140.4 2776.0 2430.3 2104.9 1801.7 1522.2 1267.6 1038.9 836.7 660.8 510.9 385.7 283.7 202.7 140.3 93.8 60.3 37.1 21.8 12.1 6.4 3.2 1.4 0.6 0.2 0.1

Nx 294726.2 277740.5 261359.1 245570.5 230363.8 215728.7 201655.3 188134.5 175157.6 162716.3 150802.8 139409.8 128530.3 118157.6 108285.2 98906.9 90017.5 81611.8 73684.7 66230.9 59245.0 52721.1 46652.8 41032.9 35853.5 31105.5 26778.6 22861.1 19339.6 16199.2 13423.2 10992.9 8888.0 7086.3 5564.1 4296.5 3257.6 2420.9 1760.1 1249.3 863.6 579.9 377.2 236.9 143.2 82.9 45.8 24.0 11.9 5.5 2.4 0.9 0.3 0.1

Página 72

MATEMATICA ACTUARIAL Tabla para pensiones de jubilación TABLA DE SOBREVIVENCIA Tabla usada por el Sistema privado peruano (al 3%) basada en la experiencia chilena Edad (x)

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76

RV - 85- H RENTA VITALICIA HOMBRES

Dx 55367.6 53719.7 52119.1 50564.2 49053.6 47586.0 46160.0 44774.3 43427.7 42118.8 40846.5 39609.6 38407.0 37237.5 36100.0 34993.5 33916.9 32869.2 31849.5 30856.7 29889.8 28948.1 28030.5 27136.1 26264.2 25413.7 24584.0 23774.2 22983.5 22211.1 21456.2 20718.2 19996.2 19289.6 18597.7 17919.9 17255.4 16603.7 15964.1 15336.2 14719.4 14113.1 13516.9 12930.5 12353.3 11785.2 11225.8 10674.9 10132.4 9598.6 9072.3 8554.8 8044.9 7542.8 7049.0 6563.9 6088.1

Nx 1504486.2 1449118.7 1395398.9 1343279.8 1292715.6 1243662.0 1196075.9 1149915.9 1105141.6 1061713.9 1019595.1 978748.6 939139.0 900732.0 863494.5 827394.5 792401.1 758484.2 725614.9 693765.5 662908.8 633019.0 604070.9 576040.4 548904.3 522640.2 497226.4 472642.4 448868.2 425884.7 403673.6 382217.4 361499.3 341503.0 322213.4 303615.7 285695.8 268440.4 251836.8 235872.6 220536.4 205817.0 191704.0 178187.0 165256.5 152903.2 141118.0 129892.2 119217.3 109085.0 99486.4 90414.2 81859.4 73814.5 66271.7 59222.7 52658.9

RV - 85- M RENTA VITALICIA MUJERES

Dx 55367.6 53738.0 52155.5 50618.8 49126.6 47677.4 46269.9 44903.0 43575.2 42285.6 41032.8 39815.7 38633.3 37484.5 36368.1 35283.2 34228.8 33203.9 32207.6 31238.8 30296.8 29380.5 28489.3 27622.1 26778.1 25956.7 25156.8 24377.9 23619.0 22879.5 22158.5 21455.5 20769.6 20100.1 19446.4 18807.8 18183.5 17573.1 16975.7 16390.7 15817.6 15255.7 14704.4 14163.2 13631.4 13108.6 12594.1 12087.6 11588.5 11096.4 10610.8 10131.6 9657.1 9187.1 8721.1 8258.8 7800.2

Nx 1572347.1 1516979.5 1463241.5 1411086.0 1360467.2 1311340.6 1263663.2 1217393.3 1172490.4 1128915.2 1086629.6 1045596.8 1005781.1 967147.8 929663.3 893295.2 858012.0 823783.1 790579.2 758371.6 727132.8 696836.1 667455.5 638966.3 611344.2 584566.0 558609.4 533452.5 509074.7 485455.7 462576.2 440417.7 418962.2 398192.6 378092.5 358646.1 339838.3 321654.8 304081.7 287106.1 270715.4 254897.8 239642.1 224937.7 210774.5 197143.1 184034.5 171440.4 159352.8 147764.3 136668.0 126057.1 115925.6 106268.5 97081.4 88360.3 80101.5

Edad (x)

77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

RV - 85- H RENTA VITALICIA HOMBRES

Dx 5622.6 5168.2 4725.9 4297.0 3882.8 3484.7 3104.0 2742.4 2401.2 2081.8 1785.5 1513.4 1266.2 1044.4 848.1 677.0 530.4 407.1 305.5 223.7 159.4 110.2 73.8 47.7 29.6 17.6 10.0 5.4 2.8 1.3 0.6 0.3 0.1 0.0

Nx 46570.7 40948.1 35780.0 31054.1 26757.0 22874.2 19389.5 16285.5 13543.1 11141.9 9060.1 7274.6 5761.2 4495.0 3450.6 2602.5 1925.5 1395.1 988.0 682.5 458.9 299.5 189.2 115.4 67.7 38.1 20.5 10.5 5.0 2.3 1.0 0.4 0.1 0.0

RV - 85- M RENTA VITALICIA MUJERES

Dx 7345.2 6893.9 6446.6 6003.6 5565.6 5133.5 4708.2 4291.2 3883.8 3487.8 3105.2 2738.1 2388.6 2059.0 1751.5 1468.0 1210.3 979.8 777.2 602.7 455.7 335.0 238.7 164.3 108.8 69.0 41.7 23.9 12.9 6.5 3.1 1.3 0.5 0.2

Nx 72301.3 64956.0 58062.1 51615.6 45612.0 40046.4 34912.9 30204.6 25913.5 22029.7 18541.9 15436.6 12698.6 10310.0 8251.0 6499.5 5031.5 3821.2 2841.4 2064.2 1461.5 1005.9 670.9 432.1 267.9 159.1 90.1 48.4 24.5 11.6 5.1 2.0 0.7 0.2

Página 73

MATEMATICA ACTUARIAL

Soluciones a los ejercicios de cada unidad Solucionario Nº 1: Unidad I 

Tres jugadores A, B y C juegan con una baraja de casino de 52 cartas levantando una carta cada uno de ellos. A escoge los ases, B las figuras y C el resto de las cartas. El ganador obtendrá un pozo de S/.400 ¿Cuánto deberá aportar cada jugador al pozo?

Jugadores A B C

Cartas Ases Figuras: K,Q,J El resto de cartas

Nº de cartas en el mazo 4 3x4=12 52-12-4=36

K

p 4/52 12/52 36/52

400 400 400 Total

E=pK 30.77 92.31 276.92 400.00

Como se ve el jugador C tiene más probabilidades de ganar el juego, por tanto debe abonar más al fondo del premio. 

En una caja se tienen 6 esferas rojas y 4 azules. Si se extrae dos de ellas (sin reposición), cual es la probabilidad que: o Salgan dos esferas rojas En total se tienen 10 esferas en la caja. Cuando se extrae una no se sabe de qué color es hasta que se encuentra fuera de la caja. Por tanto, la primera vez tengo 6 posibilidades de extraer una esfera roja de las 10 existentes. Si la primera vez se extrajo una roja entonces solo me quedan 5 disponibles. Entonces la función seria: p(RR)= 6/10 x 5/9=1/3=0.333=33.3% o Salgan una azul y otra roja Aquí no importa el orden en que salgan. Por tanto, se tiene la posibilidad de que salga una roja y una azul o una azul y una roja. Cada vez que Ud. Dice o, está hablando de una operación de suma y cuando dice y, está hablando de una multiplicación. p(RA)U p(AR)= 6/10 x 4/9 + 4/10 x 6/9 =8/15=0.533 = 53.3% o Por lo menos salga una roja Implica que puede sacarse una roja, o dos rojas. Entonces la primera opción sería una roja y una azul o una azul y una roja (lo hemos hallado en la viñeta anterior). La segunda opción es sacar dos rojas. Esta probabilidad la hemos hallado en la primera viñeta. p(RR) U p(RA) U p(AR)= 6/10 x 5/9 + 6/10 x 4/9 + 4/10 x 6/9 = 0.86.6 = 86.6%



¿Cuál es la probabilidad de sobrevivencia por 40 años que tiene actualmente una persona si actualmente tiene 30 años de edad? La tasa es del 7.5%

40 30 40 30

35398 1082856

0.033

3.3%

Página 74

MATEMATICA ACTUARIAL 

Determine la probabilidad de fallecimiento entre las edades 70 y 85 de una persona que actualmente cuenta con 50 años de edad.

20 15 50

35398 2805 235611

0.138

13.8%

Solucionario Nº 2: Unidad II 

Calcule el valor de la prima a pagar por una persona de 42 años que desea una cobertura de seguro de sobrevivencia por 30 años. Considere que la tasa de interés técnico es del 7.5%. La suma asegurada es de $50,000.

Solución: Aquí se trata de un seguro cuya solución involucra el uso del símbolo de conmutación Dx. Busque en la tabla bajo la tasa del 7.5% los valores correspondientes.



$50,000

27530 439920

$50,000

$3,128.98

.

Se le pide calcular el valor de la suma asegurada a la que tendrá derecho un familiar de la persona que contrata el seguro de fallecimiento por vida entera. El titular tiene actualmente 55 años. La tasa de interés técnico es del 7.5%. la prima con la que cuenta es de $2,000.

Solución: Aquí se trata de hallar la suma asegurada teniendo como base el valor de la prima.

Reemplazamos los datos con los valores de la tabla.

$2000 80959 745796

$2000



18,424.04

.

Si una persona tiene 38 años y desea contratar un seguro dotal simple por 10 años en forma inmediata por una suma asegurada de $50,000 al 7.5% ¿Cuál será la prima a pagar?



$50,000

75846

58720 276283

595576

$50,000

24,632.37

.

Calcule la prima única a pagar por una pensión de sobrevivencia para una persona de 45 años con un tiempo diferido de 20 años. La renta a percibir por la persona es de $5,000 anuales. La tasa de interés técnico es de 7.5%.

Solución: Trabajamos aquí con los símbolos de conmutación Nx dado que se habla de renta.

Página 75

MATEMATICA ACTUARIAL



499076

349317

$5,000

$7,143.6

.

¿Cuál será la prima a pagar por una renta anual de $8,000 durante 20 años por una persona que actualmente cuenta con 35 años y el contrato tiene un tiempo diferido de 10 años.

Solución:

3740516 437275

745796

$8,000

$35,433.19

.

Solucionario Nº 3: Unidad III 

Una persona de 36 años desea saber cuánto debe depositar durante 10 años para las siguientes prestaciones: o Una renta cierta de $10,000 anuales durante los siguientes 14 años después de terminar el pago de las primas anuales o Un seguro para el caso de muerte en fecha inmediatamente posterior al plazo antes indicado por $10,000 o Un capital de $5,000 a cobrar si está con vida a los 75 años de edad.

Solución: Se entiende que el plazo de las rentas de pago vencido (no se indica que sea anticipado) empezará al terminar de pagar las primas anuales. En el caso de fallecimiento se tiene un caso vitalicio puesto que no se indica un plazo de término.

También se tiene un caso de sobrevivencia a los 75 años. $10,000

$10,000

$5,000

Se buscan los datos en la tabla correspondiente al caso. Se reemplazan los datos para encontrar el valor de la prima anual. 

Calcular la prima anual pagadera durante 20 años por un seguro a favor de una persona de 30 años cuya prestación garantiza un capital de $10,000 si sobrevive por un plazo de 30 años y un seguro para el caso de muerte por 20,000 si el fallecimiento ocurre desde que el asegurado ha cumplido los 40 años de edad.

Solución:

$20,000

$10,000

Se observa que los casos son de sobrevivencia y fallecimiento a perpetuidad.

Los siguientes serán resueltos en clase, pero inténtelo Ud. Página 76

MATEMATICA ACTUARIAL Solucionario Nº 4: Unidad III 

¿Qué prima comercial debe cobrarse a un asegurado de 32 años para ofrecerle un seguro para el caso de fallecimiento hasta los 50 años de edad y luego una renta anual equivalente al 10% del capital de muerte, considerando un recargo global de 18% en la prima comercial para gastos de adquisición y administración? K=$15,000. (p=10) Solución: Empezaremos con las fórmulas necesarias para el cálculo de la prima de tarifa: o Hallando la prima pura Se tiene un caso de cobertura temporal por fallecimiento y una renta vitalicia.

$15,000

86575

55129 $15,000 12131914

0.1

2351288 0.1 5314647

$15,000

$15,000

$3,991.8

o Hallando el factor de actualización para la aseguradora Téngase en cuenta que la obligación del asegurador empieza a los 32 años del titular asegurado y no tiene término fijo porque continua con una renta perpetua.

12131914 932987

ä

13.00

o Hallando el factor de actualización para el asegurado El pago de las primas es temporal.

12131914 5314647 932987

ä

7.3

o Hallando el valor de la prima comercial o de tarifa Si se sabe que: 1

100

El recargo total en este caso es 18%, se procede a reemplazar.

0.18

3,991.8

1

100

B= $3,991.8 x 1.18 =$4,710.32 

Una persona de 40 años toma un seguro por $50,000 para el caso de muerte que pueda ocurrir en los próximos años, comprometiéndose a pagar primas anuales durante 20 años. Calcular la prima comercial anual, considerando los siguientes recargos: Comisión de agente 60%; gastos de examen médico 0.4%; gastos de administración 0.3% y gastos de cobranza 4%.

Página 77

MATEMATICA ACTUARIAL Solución: Empezaremos con las fórmulas necesarias para el cálculo de la prima de tarifa: o Hallando la prima pura Se tiene un caso de cobertura vitalicia por fallecimiento.

72508 6301534 918287

$50,000

$50,000

$673.46

o Hallando el factor de actualización para la aseguradora Téngase en cuenta que la obligación del asegurador empieza a los 40 años del titular asegurado y no tiene término fijo.

6301534 512150

ä

12.30

.

o Hallando el factor de actualización para el asegurado El pago de las primas es temporal.

6301534 918287 512150

ä

10.51

.

o Hallando el valor de la prima comercial o de tarifa Considerando lo anterior: 673.46

10.51

10.51 1

200 0.6 10.51

150

12.3

0.04

$961.36

.

o Hallando el recargo total Se tiene la función: 1

961.36 673.46

100

1

100

RT= 42.75% aprox.

Los siguientes serán resueltos en clase, pero inténtelo Ud

Página 78

MATEMATICA ACTUARIAL Solucionario Nº 5: Unidad IV 

En un seguro emitido a favor de una persona de 36 años de edad, el asegurador le garantiza un capital de $40,000 para el caso de fallecimiento desde los 60 años de edad.

Calcular la reserva matemática transcurridos 15 años de la firma del contrato. Las primas se pagarán hasta los 56 años.

Solución: Primero debemos hallar el valor de la prima pura para luego hallar la reserva matemática. Entonces se tomará en cuenta en el cálculo un caso de fallecimiento además temporal. o

Hallando la prima pura

36374 8783530 1423273

o

$40,000

$40,000

$197.68

.

Hallando la reserva matemática Calculando con el método prospectivo: : tVx =: tVx = K*ax+t, x+n – P*ax+t,x+p

15 36

$40,000

Luego….

15 36

$40,000

53306 217349

$197.68

2151288 1423273 217349

$9,148.08

.

Entonces el valor de la reserva matemática o provisión por parte del asegurado en poder de la aseguradora es de $9,148.08 aprox.  Calcular la prima de tarifa anual de un seguro de fallecimiento dotal simple por un capital de $30,000 para una persona de 35 años, por una vigencia de 10 años y con primas pagaderas durante 7 años, considerando los siguientes recargos: gastos de adquisición 0.5% y 80%; gastos de administración 0.3%; gastos de cobranza 5%. Calcule además el capital de rescate y la opción del seguro prolongado. Cuando han pasado 5 años de pago de primas.  Una persona de 40 años contrata un seguro para el caso de muerte por $65,000 pagando primas anuales vitalicias. Transcurridos 10 años, el asegurado decide interrumpir sus pagos. Calcular su valor de rescate, el importe del capital reducido por seguro saldado y el plazo del seguro prorrogado. Considere un recargo total de 15% en la prima comercial.

Solucionario: Este es un caso completo así que seguiremos el siguiente proceso:

Página 79

MATEMATICA ACTUARIAL o

Hallando la prima pura

72508 6301534

o

$65,000

$65,000

$747.92

.

Hallando el valor de la reserva matemática Por el método retrospectivo: tVx = P*ax,x+t – ax,x+t *K 10 40

10 40

$747.92

$747.92

$65,000

6301534 2586899 235611

$65,000

72508 55129 235611

$6,997.19

.

Para hallar la reserva matemática se puede utilizar cualquiera de los dos métodos. o

Hallando la prima comercial o de tarifa B= $747.92 x 1.15=$860.11 aprox.

o

Hallando el capital de rescate o reserva modificada Si ya calculamos la reserva matemática podemos utilizar ese valor para hallar el capital de rescate. La función seria la siguiente: 10 ´40

$747.92

10 ´40

/ /

$65,000

$6,997.19

2586899 235611 6301534 512150

$860.11

$6,229.67

Ahora que sabemos cuál es el valor del capital de rescate, tenemos dos opciones: lo colocamos como una prima única para continuar con el seguro tal cual estaba pactado con respecto al tiempo pero con una suma asegurada meno o establecemos un periodo de tiempo con la misma suma asegurada (en este caso se reduce el tiempo de la cobertura). o

Hallando el seguro saldado

$6,229.67 55129 235611

´

$26,624.44

.

Si el capital de rescate se aplica como prima única, se tendría un seguro vitalicio a partir de los 50 años con una suma asegurada de $26,624.44 aprox.

Página 80

MATEMATICA ACTUARIAL o

Hallando el seguro prorrogado Se utiliza la siguiente función: tV´x=K* ax+t, x+t+m 10 ´40 $6,229.67

$65,000 55129 235611

$65,000

32548 Si se busca en la tabla (columna Mx) se encuentra que el valor más próximo es el 32580, podemos utilizar esta cifra para aproximar la edad del asegurado hasta la cual tendría vigencia el seguro contratado. En este caso la suma asegurada se mantiene, es decir, es igual a la del contrato original.

Solucionario Nº 6: Unidad IV 

¿Cuál será la renta vitalicia a la que tendrá derecho una persona que ha colocado sus fondos pensionarios en una AFP? Tenga en cuenta que esta persona actualmente tiene 65 años y es del género femenino. El sueldo promedio mensual que ha tenido los últimos 12 meses ha sido de S/.1000 y tiene ahorrado en su CIC el valor de S/123,825.

También ha tenido un bono de reconocimiento con un valor de S/2,500 y ha aportado en forma voluntaria S/.2,600.

Solución: 11 24

12 Reemplazamos los datos en la función 123825 2,500 197143.1 12 13108.6

2,600 11 24

$736.84

.

El resultado será la pensión que podrá cobrar el titular del seguro en forma vitalicia. En este caso el seguro tiene que aportar lo faltante para que pueda cobrar una pensión semejante al sueldo promedio que ha venido cobrando hasta el momento. En los descuentos que efectúa la AFP se encuentra un seguro que permitirá cubrir estas faltas de capital. Para saber el valor de ese aporte se debe utilizar la siguiente función.

11 24

12

11 24

1,000 1 12 1,000 1 12

197143.1 13108.6

11 24

174,970.62

.

Página 81

MATEMATICA ACTUARIAL Si hace falta S/.174,970.62 y el asegurado tiene en su cuenta S/.128,925, entonces hay un faltante de S/.46,045.62 que debe cubrir el seguro. 

Una persona ha fallecido y ha dejado una familia compuesta de su esposa de 55 años, un hijo con discapacidad de 23 años, una hija de 15 años y un hijo de 10 años. Su sueldo promedio de los últimos 12 meses ha sido de S/2,300 y ha acumulado en su cuenta de AFP la suma de S/170,000 además de su aporte voluntario de S/15,000. ¿a cuánto asciende el capital requerido para hacer frente a las pensiones de sus familiares? ¿Sera necesario que la compañía aseguradora aporte? ¿Cuánto?

Solución: Comenzaremos por calcular el capital requerido para las distintas pensiones de los sobrevivientes. En su cuenta individual de capitalización el asegurado tiene acumulado: CIC=170,000+15,000= S/.185,000 o

Pensión de sobrevivencia para la esposa 11 24

12

11 24

2,300 0.35 12 330559.8 18231.5

2,300 0.35 12 o

11 24

170,720.33

.

Pensión para hija sana

12

11

24

2,300 0.14 12

11

24

Se busca en la tabla correspondiente a beneficiarios de sexo femenino y se reemplazan los datos.

2,300 0.14 12

o

1817668.8

11 63130.4 24 63130.4

1633786.5

57727.4

11,103.25

.

Pensión para hijo sano Se busca en la tabla correspondiente a beneficiarios de sexo masculino y se reemplazan los datos.

2,300 0.14 12

2074327.2

11 72871.6 24 72871.6

1548116.4

57330.1

27,524.5

.

Página 82

MATEMATICA ACTUARIAL o

Hallando capital total requerido para los beneficiarios CR esposa 170,720.33 CR hija 11,103.25 CR hijo 27,524.50 Total 209,348.08

o

Capital adicional (CA) por parte del seguro Se sabe que el asegurado tiene un fondo de S/. S/.185,000 y el capital requerido total es de S/. 209,348.08, entonces: CA= 209,348.08 – 185,000= S/.24,348.08 El valor resultante tiene que ser cubierto por el seguro.

********************************

Página 83