FUNCIÓN PARTE ENTERA Y ESCALÓN UNITARIO

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE FUNCIONES Licda. Marta Estela Montano

- Raúl Alvarado - Williams Ávila - Yanill del Cid

JUNIO

2020

FUNCIÓN PARTE ENTERA Los números enteros son el pilar de la matemática discreta y a menudo se requiere convertir un número real arbitrario en número entero. Una función asociada a este procedimiento es la función parte entera (integer) definida por Graham R., Knuth D. &

Patashnik

O.

equivalente

a

(1994)

su

como

parte

aquella

entera,

y

que

se

asigna

denota

a

como

cada

número

f(x)

[x].

=

A

real

un

número

comienzos

de

la

década de 1960, Kenneth Iverson, introdujo los nombres de techo y piso, así como su notación a dos tipos de funciones que están definidas para todos los reales:

Función piso:

El mayor entero menor o igual a x

Función Techo:

Otras

de

las

El menor entero mayor o igual a x

características

de

estas

funciones

es

que

son

funciones

a

trozos,

lo

que significa que su representación gráfica consta de segmentos horizontales de la recta que varían a una altura constante. La gráfica de esta función no es continua cuando

se

izquierda

y

evalúa la

en

cada

derecha

uno

de

los

difieren

en

1,

números

pero

sí

enteros,

es

pues

continua

en

los

límites

cada

uno

de de

la sus

intervalos abiertos (n, n+1), donde el valor de la variable es constante.

Con el propósito de entender estas dos funciones, se observa

una representación

gráfica que forma una escalera. Podemos ver en la gráfica que los valores de las funciones para el número e (ejemplo tomado de Graham, Knuth & Patashnik (1994)),

e =2.71828.

Para la función piso; el entero menor será 2.

Para

la

función

techo

el

entero

mayor

es igual a 3.

Al observar la gráfica se puede examinar que

la

función

piso

se

encuentra

por

debajo de la diagonal y la función techo se

encuentra

También

se

por

encima

puede

de

ver

la

que

diagonal. las

dos

funciones tienen el mismo valor cuando se evalúa enteros.

en

cada

uno

de

los

números

Ejemplos: Obtener la gráfica de las siguientes funciones:

f(x) = [x] + 1

f(x) = x + [x]

f(x) = x + 2 + [x]

Solución: Hacemos uso del sofware GeoGebra para obtener la gráfica de cada función:

f(x) = x + [x]

f(x) = [x]

f(x) = x + 2 + [x]

Ejemplo de aplicación: La tarifa de una obra de teatro es la siguiente: -Niños de 10 o menos años: No pagan.

-Jóvenes entre 10 y 20 años: $2.00 -Adultos de 20 o más años: $3.00

Solución:

El primer escalón nos dice que tiene que ser los menores o iguales a 10.

El segundo nos dice los que se encuentren entre edad de 10 y 20 años.

El tercer nos indica los que tengan 20 o más años.

Definimos entonces nuestra función:

f(x) =

Finalmente, realizamos la gráfica:

≤ ≤ ≥

0,

0

x

2,

10 < x < 20

3,

x

20

1 0

FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO La función escalón de Heaviside, también llamada escalón unitario, debe su nombre a Oliver Heaviside. Es una función continua cuyo valor es 0 para cualquier argumento negativo y 1 para cualquier argumento positivo.

La

función

escalón

es

una

de

las

más

utilizadas

en

control.

Ya

que

se

puede construir cualquier señal a partir de sumatorias de señales escalón.

Algunos

ejemplos

son,

como

presencia

o

ausencia,

si

o

no,

falso

o

verdadero. La función escalón unitario o función unitario de Heaviside, se define como: 0,

t < a

1,

t > a

U(t-a) =

La función escalón unitario es como un interruptor donde los únicos valores que puede tomar es 0 y 1. Su ejemplo de interruptor seria la condición que en este caso el problema nos proponga, cuando la condición se cumpla el interruptor se encenderá y esto equivale a 1. Cuando la condición aun no se cumpla es decir el interruptor está apagado equivale a 0.

Ejemplo: Trazar la gráfica de la función;

0,

3 > x

1,

3

f(x)=u(x-3)=

≤

x

Significa que la función tiene su interruptor en x=3, mientras x sea menor que 3 el valor de esa función es 0, cuando el valor de x sea 3 o más el valor de la función será 1.

Su gráfica es:

Podemos ver la relación que existe entre la función escalón unitario y una función por partes, ya que podemos escribir una función por partes usando la notación de escalón.

Ejemplo 2: Obtener la gráfica de la siguiente función:

1, 0 < x 3, 2 < x h(x) =

5, 4 < x 2,

5 < x

Solución:

≤ ≤ ≤ ≤

2 4 5 7

Para escribirlo en forma algebraica usando la notación de escalón unitario se hace de la siguiente manera:

f(x)= (y1 - y0)u(x - x0) + (y2 - y1)u(x - x1) + ... + (yn - yn-1)u(x - xn-1)

donde, yi = escalones desplazados verticalmente xi = extremo lateral menor

Entonces h(x) será:

h(x) = (1 - 0)u(x - 0) + (3 - 1)u(x - 2) +

(5 - 3)u(x - 4) + (2 - 5)u(x - 5)

h(x) = ux + 2u(x - 2) +2u(x - 4) - 3u(x - 5)

Significa que la función tiene 3 interruptores dado que comienza en 0, es decir ya está condicionada, el primer interruptor que encontramos es 2, cuando x sobrepasa a 2 el interruptor enciende y sus escalones que se desplazará serán ((y1 - y0)u) el coeficiente de u es decir (y1 - y0) y así respectivamente para los siguientes interruptores.

Graficando se obtiene:

Se puede observar que para la primera condición aumenta un escalón, en la segunda

aumenta

escalones.

dos,

para

la

tercera

dos

y

en

la

cuarta

disminuye

3

Recuerde que, (x - xi) solo puede ser 1 o 0, es decir, que mientras x

sea menor que xi tiene valor cero y cuando x sea mayor o igual que xi tiene valor 1. Con ello nos podemos dar cuenta el punto en que esta la gráfica.

Cuando x=3

h(x) = ux + 2u(x - 2) +2u(x - 4) - 3u(x - 5) h(3) = u(3) + 2u(3 - 2) +2u(3 - 4) - 3u(3 - 5) Aquí podemos observar cuales interruptores están encendidos. h(3) = u(1) + 2u(1) +2u(0) - 3u(0) h(3) = 1 + 2 + 0 - 0 h(3) = 3

En la gráfica podemos visualizar el punto (3,3).

No se debe confundir los valores de los interruptores ya que los resultados dados dentro del paréntesis solo nos dicen si hay aceptación o negación de condición, es decir, que equivale a 1 o 0. Por ejemplo, en la parte de 2u(3-2) quiere decir que su interruptor esta encendido, por lo cual se debe tener 2u(1) que es igual a 2.

Por ejemplo si x=2, tendríamos:

h(x) = ux + 2u(x - 2) +2u(x - 4) - 3u(x - 5) h(2) = u(2) + 2u(2 - 2) +2u(2 - 4) - 3u(2 - 5) aquí podemos observar cuales interruptores están encendidos. h(2) = u(1) + 2u(0) +2u(0) - 3u(0) h(2) = 1 + 0 + 0 - 0 h(2) = 1

Es de tener en cuenta la condición que presenta el problema ya que en algunos casos la parte de (x - 2) que es igual a (2 - 2) = 0, puede significar 1 o 0 en nuestro caso significaba 0, ya que, nuestra condición es,

1, 0 < x

h(x) =

≤ ≤ ≤ ≤

2

3, 2 < x

4

5, 4 < x

5

2,

5 < x

7

Lo que significa que el interruptor aun no está encendido, se encenderá hasta que sobrepase a 2. Esto significa que nuestros interruptores se encenderán cuando el límite inferior de x se sobrepase.

Ejemplo 3: Grafique la función: 1, 0 f(x) =

2, 1 3, 2

≤ ≤ ≤

x < 1 x < 2 x < 3

Solución:

Reescribiendo: f(x) = (1 - 0)u(x - 0) + (2 - 1)u(x - 1) + (3 - 2) u(x - 2) f(x) = ux + u(x - 1) + u(x - 2)

Este es el caso donde (x - xi) = 0 se toma como 1, dado la condición que se nos presenta.

Ejercicios propuestos: Graficar las siguientes funciones:

1. f(x) = [x] + 2x

2. f(x) = [x] ; -5

≤

x < 5

Trazar la gráfica de la función:

3. h(x) = u(x - 1)