CURVAS PARAMÉTRICAS Y POLARES TALLER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL PARCIAL 1 TALLER Nro. 1 TEMA: CURVAS PARAMÉTRICAS Y POLARES NRC: 3258 Nombre de los estudiantes: Chiluisa Jhonatan Jaramillo Eva Salazar Xavier Villavicencio Patricia Fecha de entrega: sábado 19 de junio 2021

ÁLGEBRA LINEAL Dra. Lucía Castro Mgs. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

ÍNDICE

ÍNDICE ....................................................................................................................................... 1 INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 2 OBJETIVOS ............................................................................................................................... 2 DESARROLLO .......................................................................................................................... 3 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ....................................................................... 16 ENLACE A ISSUU .................................................................................................................. 16 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 17 TALLER ................................................................................................................................... 18

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INTRODUCCIÓN El presente trabajo tiene como finalidad la de definir de manera comprensible lo que es una curva en cálculo, sus particularidades y componentes de su estructura general con sus ejemplos.

Además, determinar lo que son las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones polares, y su respectiva representación gráfica.

Y un análisis matemático de los tipos de curvas que podemos encontrar en la naturaleza, además de interpretar su comportamiento.

A comprender que a cada curva que se puede encontrar a nuestro alrededor, se le puede dar un sentido lógico, el cual lo podemos expresar mediante ecuaciones.

OBJETIVOS •

Definir que es una curva y sus respectivas ecuaciones con su representación grafica

•

Identificar el tipo de curvas paramétricas y polares más relevantes, mediante su representación gráfica y matemática, para comprender su comportamiento

•

Desarrollar el taller con los ejemplos de curvas, hallando su parametrización y relacionarlo con lo estudiado en clases

•

Graficar cada ejercicio del taller utilizando el programa Geogebra para el reconocimiento de los diferentes tipos de curvas.

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DESARROLLO La curva Se define como curva a un conjunto de puntos en el espacio que puede describirse mediante un parámetro que varía en forma continua en un intervalo de la recta. Más precisamente, C es una curva si existen funciones x(t), y(t), z(t) definidas en algún intervalo [a, b] tales que (x, y, z) ∈ C si y sólo si existe t ∈ [a, b] tal que 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡)

Definicion2.- Sea C una curva, P0 ∈ C. Una recta L por P0 se llama tangente a C en P0 si es el límite de las rectas secantes a C por P0. Estas son las rectas que pasan por P y P0 con P ∈ C. El límite se entiende en el sentido de que el ángulo entre L y la secante por P0 y P tiende a 0 cuando P se acerca a P0 con P ∈ C. (asociados, 2008) Ilustración 1. Recta tangente a la curva

Extraído de: (Calculo21.com, 2021)

Parametrización de una curva La parametrización de una curva C es una función vectorial

con la propiedad que —al variar el parámetro t ϵ I—su imagen c(t) va describiendo los puntos de C. Una interpretación física habitual es creer que el parámetro t representa al tiempo y que c(t)

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indica en qué posición del plano o del espacio se encuentra localizada una partícula en el instante t.

A continuación, se muestra algunos de ejemplos con el motivo de aportar ideas y métodos para describir de forma paramétrica a ciertas curvas, las más representativas.

Ejemplos.

1) C1: y= 3

en Rˆ2 Ilustración 2. Representación gráfica de un punto en el plano

Extraído de: (alvo, 2008)

Los puntos de C1 son de la forma (x, 2) Cada valor de x produce un punto sobre la recta C1. Es decir, la función C1 : R −→ R 2 c1(x) = (x, 2) es una parametrización de C1.

¿Qué es una ecuación paramétrica?

En cálculo diferencial, una ecuación paramétrica es aquella que permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o el espacio, por medio de valores arbitrarios o por una constante, al que se le denomina “Parámetro”.

De los valores de la variable independiente se desprenderán los valores de la variable dependiente.

Ejemplo: 𝑥=

2𝑎 tan ∝

𝑦 = 2asen2 ∝ Donde 1 =𝑡 tan ∝ 1 =𝑡 tan ∝

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¿Qué es una ecuación polar?

En cálculo diferencial, el sistema de coordinadas polares identifica los puntos según su ángulo (θ) y distancia con respecto al origen (r). Las ecuaciones polares permiten modelar círculos, espirales, y otras curvas que no son funciones, más fácilmente.

Cuando la ecuación esta expresada en coordenadas polares y requiere ser graficada, debe ser parametrizada.

Ejemplo: Ecuación polar de la Recta Ecuación implícita de una recta r: Ax+By+C=0 Para encontrar su ecuación polar, sustituimos: 𝑥 = r. cos ∝ 𝑦 = r. sen ∝

Donde ∝=arctg(-A/B)

Tipos de curvas, parametrización y gráficos

ROSA DE CUATRO HOJAS Ecuación de la curva

𝑦 = a sen2 ∝

Ilustración 3. Rosa de tres, cuatro y cinco hojas

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Extraído de: (Calculo21.com, 2021)

SENO HIPERBÓLICO Ecuación de la curva

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =

𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2

Ilustración 4. Seno Hiperbólico

Extraído de: (alculo21.com,2021)

COSENO HIPERBÓLICO Ecuación de la curva

cosh (𝑥) =

𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 2

Ilustración 5. Coseno Hiperbólico

Extraído de: (Cálculo21.com, 2021)

CONCOIDE DE NICÓMEDES Coordenadas Rectangulares:

(𝑥 − 𝑎)2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 𝑙 2 𝑥 2 Coordenadas Polares:

𝜌=

𝑙 ±𝑑 𝑐𝑜𝑠𝜑

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Ilustración 6. Construcción de la Concoide de Nicómedes

Extraído de: (Coco, 2013

CARDIOIDE O CARACOL DE PASCAL Ilustración 7. Cardioide

Extraído de: (Pablo Olalquiaga, Alfonso Olalquiaga, 1991)

•

Primer caracol

Ecuación de la curva 𝑟 = 1 + cos (𝑎) •

Segundo caracol

Ecuación de la curva 𝑟 = 1 + 2cos (𝑎) •

Tercer caracol

Ecuación de la curva 𝑟 = 1.5 + cos (𝑎) Ilustración 8. Cardioides en 3 formas diferentes

7

Extraído de: (Guiasdeapoyo.com, 2021)

FOLIUM DE DESCARTES Ecuación paramétrica 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑎𝑥𝑦 = 0 Ecuación polar 𝑟=

3𝑎𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑 (𝑐𝑜𝑠𝜑)3 + (𝑠𝑒𝑛𝜑)3

Ilustración 9. Folium de Descartes

Extraído de: (Pablo Olalquiaga, Alfonso Olalquiaga, 1991)

ESTROFOIDE Ecuación paramétrica 𝑦 = ±√

𝑎+𝑥 𝑎−𝑥

Coordenadas Polares: 𝜌=−

𝑎 𝑐𝑜𝑠 2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃

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Ilustración 10. Estrofoide

Extraído de: (Pablo Olalquiaga, Alfonso Olalquiaga, 1991)

CAMPANA DE GAUSS Ecuación de la curva 𝑔(𝑥) =

1 𝛿√2𝜋

Ilustración 11. Campana de Gauss

Extraído de: (Guiasdeapoyo.net, 2021)

ÓVALOS DE CASSINI Ecuación paramétrica (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 2𝑎2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 + 𝑎4 = 𝑏 4 Ecuación polar 𝑟 4 + 𝑎4 − 2𝑎2 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 𝑏 4 Ilustración 12. Campana de Gauss

Extraído de: (Guiasdeapoyo.net, 2021)

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LEMNISCATA DE BERNOUILLI (De dos hojas) Ecuación paramétrica (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 = (𝑥 2 − 𝑦 2 ) Ilustración 13. Lemnisata de dos hojas

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Ecuación polar: siendo a y b números reales 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝜃 Ilustración 14. Lemniscata de dos hojas

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

ELIPSOIDE Ecuación de la curva 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + + =1 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2

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Ilustración 15. Elipsoide

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

ESPIRAL DE FERMAT (PARABÓLICA) Ecuación polar 𝑟 = 𝜃1/2 Ilustración 16. Espiral de Fermat

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

CURVA COTANGENTE Ecuación 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 Ilustración 17. Curva cotangente

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

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ESPIRAL LOGARÍTMICA Ecuación de la curva de espiral θ=logb(r/a

Ilustración 18. Espiral Logarítmica

Extraído de: (https://www.esteyco.com/)

CICLOIDES, EPICICLOIDES E HIPOCICLOIDES Ecuación general de las curvas cicliodes 𝑥=

(𝑎 + 𝑏)𝑐𝑜𝑠 ∝ −𝑏𝑐𝑜𝑠𝑎 + 𝑏 ∝ 𝑏

𝑦=

(𝑎 + 𝑏)𝑠𝑒𝑛 ∝ −𝑏𝑠𝑒𝑛𝑎 + 𝑏 ∝ 𝑏

Ilustración 19. Cicliodes, Elicicloides e Hipocicloides

Extraído de: (https://www.esteyco.com/curvasplanas)

CATENARIA Ecuación de la curva y = α Cosh((x – x0) / α) + y0

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Ilustración 20. Catenaria

Extraído de: (https://www.esteyco.com/curvasplanas)

CLOTOIDE Ecuación de la curva Ilustración 21. Clotoide

Extraído de: (www.wikipedia.com)

LA CISOIDE DE DIOCLES Ecuación Paramétrica 2𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝜔 𝜌 = 𝜌1 − 𝜌2 = − 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜔 = 2𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 Ecuación Polar 𝑥3 𝑦 = 𝑎−𝑥 2

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Ilustración 22. El Cisiode de Diocles

Extraído de: (El misántropo digital, 2021)

OTRAS CURVAS CARTESIANAS Ilustración 23. Ejemplos de curvas cartesianas

Extraído de: (Aguirre, 2007)

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CURVAS SENOIDALES Ilustración 24. El Cisiode de Diocles

Extraído de: (Aguirre, 2007)

CURVAS POLARES Ilustración 25. El Cisiode de Diocles

Extraído de: (Aguirre, 2007)

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TRANSFORMACIONES COMPLEJAS* Ilustración 26. El Cisiode de Diocles

Extraído de: (Aguirre, 2007)

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES •

Las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones polares parametrizadas son sistemas de ecuaciones que permiten representar matemáticamente una curva en el espacio, mediante valores que son elementos de los números reales, y por medio de la obtención de una variable a la que se denominará “Parámetro”.

•

Para representar las curvas de forma gráfica, el requerimiento principal es que la ecuación de la curva debe estar expresada en forma paramétrica.

ENLACE A ISSUU

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BIBLIOGRAFÍA •

Aguirre, E. (2007). GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES. Madrid-España: GRUPO E.

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Alvo, M. d. (2008). PARAMETRIZACIONES. FACULTAD DE CIENCIAS FISICOMATEMATICAS E INGENIERIAUCA.

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Asociados. (abril de 2008). Análisis II–Análisis matemático II–Matemática 3.

Obtenido de dm.uba.ar: https://www.dm.uba.ar/materias/analisis_2_M/2011/1/pract1.pdf

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Astra, T. (2021). Calculo21. Obtenido de Ecuaciones parametricas y polares: https://calculo21.com/ecuaciones-parametricas-y-coordenadas-polares/

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Autores, V. (24 de abril de 2021). Wikipedia. Obtenido de Enciclopedia Libre: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93valo_de_Cassini

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Berrio, J. G. (2021). Curvas parametricas. Obtenido de recuersostic.educacion: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_profesor/Tutorial/pdfs/clase9 (v4).pdf

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Facultad, D. d. (2004). Analisis Matematico II (CiBEx - F´ısica Médica). Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas, 2.1-2.26.

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Juan Guillermo Rivera Berrío, E. E. (2020). CÁLCULO VECTORIAL 1. Medellín: Fondo Editorial Pascual Bravo.

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Montoya. (s.f.). Calculo 1. En C. geométricas, Ecuaciones parametricas y coordenadas polares . Montoya.

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Pablo Olalquiaga, A. O. (2005). EL LIBRO DE LAS CURVAS. España: Fundacion Esteyce.

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Pablo Olalquiaga, Alfonso Olalquiaga. (1991). El libro de las curvas. Obtenido de https://www.esteyco.com/wp-content/uploads/2017/01/El-libro-de-las-Curvas.pdf

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V., T. (20021). Pearson en español. Obtenido de Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares: http://www.pearsonenespanol.com/docs/librariesprovider5/files_recursosmcc/thomas_ una_variable_13e_cap11.pdf?sfvrsn=4

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Wikimedia.con, V. a. (2019). Calculo.cc. Obtenido de Ecuaciones Polares: https://calculo.cc/temas/temas_geometria_analitica/curvas_superf/teoria/ec_polar.html

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TALLER Grafique las siguientes curvas dadas en forma polar, no olvide poner el nombre, utilizar colores, especificar su fórmula.

LEMNISCATAS 1. 𝑟 2 = 4 cos(2𝜃)

𝑟 = √4 cos(2𝜃) {

𝑥 = √4 cos(2𝜃) ∗ cos(𝜃) 𝑦 = √4 cos(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 27: Lemniscata 2.

𝑟 2 = 4 sin(2𝜃)

𝑟 = √4 sin(2𝜃) {

𝑥 = √4 sin(2𝜃) ∗ cos(𝜃) 𝑦 = √4 sin(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

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Ilustración 27: Lemniscata 3. 𝑟 2 = − sin(2𝜃)

𝑟 = √− sin(2𝜃) {

𝑥 = √− sin(2𝜃) ∗ cos(𝜃) 𝑦 = √− sin(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 28: Lemniscata

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4. 𝑟 2 = − cos(2𝜃)

𝑟 = √− cos(2𝜃) {

𝑥 = √− cos(2𝜃) ∗ cos(𝜃) 𝑦 = √− cos(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 28: Lemniscata 5. CARDIOIDE 𝑟 = −1 + cos(𝜃)

𝑟 = cos(𝜃) − 1 𝑥 = (cos(𝜃) − 1) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (cos(𝜃) − 1) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 29: Cardioide

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6. CARDIOIDE 𝑟 = −1 + sin(𝜃) 𝑟 = sin(𝜃) − 1 𝑥 = (sin(𝜃) − 1) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = ( sin(𝜃) − 1) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 30: Cardioide 7. Rosa de cuatro pétalos 𝑟 = sin(2𝜃) 𝑥 = sin(2𝜃) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = sin(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 31: Rosa de cuatro péalos

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8. Rosa de cuatro pétalos 𝑟 = cos (2𝜃) 𝑥 = cos(2𝜃) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = cos(2𝜃) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 32: Rosa de cuatro pétalos 9. Limaçones o Caracoles con el lazo interior 1 a) 𝑟 = 2 + cos(𝜃) 1 𝑥 = ( + cos(𝜃)) ∗ cos(𝜃) 2 { 1 𝑦 = ( + cos(𝜃)) ∗ sin(𝜃) 2

Ilustración 33: Limaçones con un lazo interior

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1

b) 𝑟 = 2 + sin(𝜃) 1 𝑥 = ( + sin(𝜃)) ∗ cos(𝜃) 2 { 1 𝑦 = ( + sin(𝜃)) ∗ sin(𝜃) 2

Ilustración 34: Limaçones con un lazo interior 10. Cardioides a) 𝑟 = 1 − cos(𝜃) 𝑥 = (1 − cos(𝜃)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (1 − cos(𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 35: Cardioides

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b) 𝑟 = −1 + sin(𝜃)

𝑟 = sin(𝜃) − 1 𝑥 = (sin(𝜃) − 1) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (sin(𝜃) − 1) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 34: Cardioides 11. Limaçones con concavidades o Caracoles con concavidades 3 a) 𝑟 = 2 + cos(𝜃) 3 𝑥 = ( + cos(θ)) ∗ cos(𝜃) 2 { 3 𝑦 = ( + cos(𝜃)) ∗ sin(𝜃) 2

Ilustración 35: Limaçones con concavidades o Caracoles con concavidades

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3

b) 𝑟 = 2 − sin(𝜃) 3 𝑥 = ( − sin (θ) ∗ cos(𝜃) 2 { 3 𝑦 = ( − sin(𝜃) ∗ sin(𝜃) 2

Ilustración 36: Limaçones con concavidades o Caracoles con concavidades 12. Limaçones Ovalados o Caracales Ovalados a) 𝑟 = 2 + cos(𝜃) 𝑥 = (2 + cos(θ)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (2 + cos(𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 37: Limaçones ovalados o caracoles ovalados

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b) 𝑟 = −2 + sin(𝜃)

𝑟 = sin(𝜃) − 2 𝑥 = (sin(θ) − 2) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (sin(𝜃) − 2) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 38: Limaçones ovalados o caracoles ovalados 13. Una rosa dentro de una rosa. 𝑟 = 1 − 2 sin(3𝜃) {

𝑥 = (1 − 2sin(3θ)) ∗ cos(𝜃) 𝑦 = (1 − 2sin(3𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 39: Rosa dentro de una rosa

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14. La nefroide de Freeth Grafique la nefroide de Freeth: 𝜃 𝑟 = 1 + 2sin( ) 2 𝜃 𝑥 = (1 + 2sin( )) ∗ cos(𝜃) 2 { 𝜃 𝑦 = (1 + 2sin( )) ∗ sin(𝜃) 2

Ilustración 40: Rosa dentro de una rosa 15. Rosas 1

𝑥 = (cos(3 𝜃)) ∗ cos(𝜃) a) 𝑟 = cos(3 𝜃) { 1 𝑦 = (cos(3 𝜃)) ∗ sin(𝜃) 1

Ilustración 41: Rosa

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b) 𝑟 = cos(2𝜃) 𝑥 = (cos(2θ)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (cos(2𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 42: Rosa de cuatro pétalos c) 𝑟 = cos(3𝜃) 𝑥 = (cos(3θ)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (cos(3𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 43: Rosa de tres pétalos

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d) 𝑟 = cos(7𝜃) 𝑥 = (cos(7θ)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (cos(7𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 44: Rosa de siete pétalos 16. Espirales Las coordenadas polares son ideales para definir las espirales. Grafique las siguientes espirales. a) 𝑟 = 𝜃 𝑥 = 𝜃 ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = θ ∗ sin(𝜃)

Ilustración 45: Espiral

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b) 𝑟 = −𝜃 𝑥 = −𝜃 ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = −θ ∗ sin(𝜃)

Ilustración 46: Espiral 𝜃

c) Una espiral logarítmica: 𝑟 = 𝑒 10 𝜃

𝑥 = 𝑒 10 ∗ cos(𝜃) { 𝜃 𝑦 = 𝑒 10 ∗ sin(𝜃)

Ilustración 47: Espiral logarítmica

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d) Una espiral hiperbólica 8 𝜗

𝑟=

8 ∗ cos(𝜃) 𝜃 { 8 𝑦 = ∗ sin(𝜃) 𝜃 𝑥=

Ilustración 48: Espiral hiperbólica

e) Una hipérbola equilátera 𝑟 = ±

10 √𝜃

𝑥= {

𝑦=

10 √𝜃 10 √𝜃

𝑥=− {

𝑦=−

∗ cos(𝜃) ∗ sin(𝜃)

10 √𝜃 10 √𝜃

∗ cos(𝜃) ∗ sin(𝜃)

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Ilustración 49: Hipérbola equilátera 8

17. Grafique la ecuación 𝑟 = sin(7 𝜃) para 0 ≤ 𝜃 ≤ 14𝜋.

8 𝑥 = sin( 𝜃) ∗ cos(𝜃) 7 { 8 𝑦 = sin( 𝜃) ∗ sin(𝜃) 7

Ilustración 50: Rosa de 16 pétalos

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18. Grafique la ecuación 𝑟 = sin2 (2.3𝜃) + cos2 (2.3𝜃) para 0 ≤ 𝜃 ≤ 10𝜋 𝑥 = (sin2(2.3𝜃) + cos 2 (2.3𝜃)) ∗ cos(𝜃) { 𝑦 = (sin2(2.3𝜃) + cos 2 (2.3𝜃)) ∗ sin(𝜃)

Ilustración 51: Curva de M.R.E Moritz

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