Función cúbica

Función cúbica f x  ax3  bx2  cx  d 3  Si b  0 , c  0 , d  0 se obtiene f x  ax cuyo gráfico pasa siempre por el origen:

Creciente si a>o.



Decreciente si a<o

3 Si la función es de la forma f x  ax  d la gráfica de f x  ax3 se desplaza d unidades hacia arriba o hacia abajo respecto del origen si d es positivo o negativo respectivamente.

Ejemplos: Haga un bosquejo de la gráfica de cada función.

1)

f x  2x3  3

La gráfica de f x  2x3 Se desplaza 3 unidades hacia arriba porque d = 3.

3 2) f x  4x  2

La gráfica de f x  4x 3 Se desplaza 2 unidades hacia abajo porque d = -2.

3 3) f x  2x  3

La gráfica de f x  2x 3 Se desplaza 3 unidades hacia arriba porque d =3.

3 4) f x  5x  4

La gráfica de f x  5x3 Se desplaza 4 unidades hacia abajo porque d =-4.



3 Si la función es de la forma f x  ax  b  c la gráfica experimenta desplazamiento horizontal y vertical.

 Si b > 0 la gráfica se desplaza b unidades hacia la izquierda respecto al origen.  Si b < 0 la gráfica se desplaza b unidades hacia la derecha respecto al origen.  Si c > 0 la gráfica se desplaza c unidades hacia arriba.  Si c < 0 la gráfica se desplaza c unidades hacia abajo.

Ejemplos: Haga un bosquejo de la gráfica de cada función.

3  f x  2x  3  4

La gráfica de f x  2x3 se desplaza 4 unidades hacia arriba porque c = 4

La gráfica de f x  2x3 se desplaza 3 unidades a la izquierda porque b=3

2 3     f x  x  3 4 .

3

2 3   f x  x se desplazará 3 unidades hacia la derecha La gráfica de 3 porque b=-3 y 4 unidades hacia arriba porque c=4.

4 unidades.

3 unidades

3  f x  2x  4  2 3 La gráfica de f x  2x se desplazará 4 unidades hacia la izquierda porque b=4 y 2 unidades hacia arriba porque c=2.

2 unidades 4 unidades

3  f x  4x  5 3 La gráfica de f x  4x se desplazará 5 unidades hacia la derecha porque b=-5 y no se desplazará verticalmente ya que c=0.

5 unidades



3 2 Representación gráfica de f x  ax  bx  cx  d

1) Trace la gráfica de f x  x

3

 x2  2x

y escriba sus características.

1ero. Intersectos con los ejes.

Con y: Hacemos

x0

y   x3  x 2  2 x y  (0)3  (0)2  20 y0

Con x: Hacemos

0,0

y0

 x3  x 2  2 x  0 x3  x 2  2 x  0





x x2  x  2  0 xx  2x  1  0 x  0, x  2  0, x  1  0 x  0, x  2, x 1

0,0

,  2,0 , 1,0

2do. Análisis de los signos.

Elegir valores de prueba en cada intervalo: -3, -1, 0.5 y 2.

Calcular: f  3  (3)3  (3)2  2(3) f  3  (27)  (9)  6 f  3  27  9  6 f  3  12

f  1  (1)3  (1)2  2(1) f  3  (1)  (1)  2 f  3  1  1  2 f  3  2

f  3  (0.5)3  (0.5)2  2(0.5) f  3  (0.125)  (0.25)  1 f  3  0.125  0.25  1 f  3  0.625

f 3  (2)3  (2)2  2(2) f  3  (8)  (4)  4 f  3  8  4  4 f  3  8

¿Qué nos indica el signo de f(x)?  Si f(x)>0, la gráfica estará por arriba del eje x.  Si f(x)<0, la gráfica estará por debajo del eje x.

3ero. Gráfico.

Pasa por el origen.

Corta al eje x en (-2,0), (0,0) y (1,0) Corta al eje ¨y¨ en (0,0) Dominio R Rango R Positiva en (-α,-2)U(0,1) Negativa en (-2,0)U(1, α)

2) Trace la gráfica de f x  x

3

 x2  4x  4

y escriba sus características.

1ero. Intersectos con los ejes.

Con y:

x0

y  x3  x 2  4 x  4 y  (0)3  (0)2  40  4 y  4

Con x:

0,4

y0

x3  x 2  4 x  4  0

x  4x  x  4  0 xx  4  x  4  0 x  4x  1  0 3

2

2

2

2

 2,0 , 2,0 ,  1,0

x  2x  2x  1  0 x  2  0, x  2  0, x  1  0 x  2, x  2, x  1

2do. Análisis de los signos.

Elegir valores de prueba en cada intervalo: -3, -1.5, 0 y 3.

Calcular: f  3  (3)3  (3)2  4(3)  4 f  3  27  9  12  4 f  3  27  9  6 f  3  10

f 0  (0)  (0)  4(0)  4 f 0  4 3

2

f  1.5  (1.5)3  (1.5)2  4(1.5)  4 f  1.5  3.375  2.25  6  4 f  1.5  0.875 f 3  (3)3  (3)2  4(3)  4 f 3  27  9  12  4 f 3  20

3ero. Gráfico.

No pasa por el origen.

Corta al eje x en (-2,0), (-1,0) y (2,0) Corta al eje ¨y¨ en (0,-4) Dominio R Rango R Positiva en (-2,-1)U(2, α) Negativa en (-α,-2)U(-1,2)