Método de Euler

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO DECANATO DE AGRONOMÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL NÚCLEO OBELISCO- EDO LARA

Bachilleres: Ángel Crespo, C.I: 24.364.861 Wanda Pérez, C.I: 24.162.589 Wildemar Lugo, C.I: 24.159.755 Agosto, 2016

ÍNDICE: • • • • • •

Definición Procedimiento Implementación del método Método de Euler mejorado Pasatiempos Referencias electrónicas

MÉTODO DE EULER

En

matemática

y

Método de Euler T

computación

,

el método de Euler, llamado así en honor a Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) a partir de un valor inicial dado. Se estudia por su simplicidad en la derivación de la fórmula y de la determinación del error.

ambién es conocido, por un

método de primer orden, lo que significa que el error local es proporcional al cuadrado del tamaño del paso, y el error global es proporcional al tamaño del paso; además sirve como base para construir métodos más complejos.

Realizado por: Wanda Pérez

PROCEDIMIENTO: La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia,

podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado y(x1)

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (x0,yo) . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

donde m es la pendiente.

En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada: Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es : X1, es un punto cercano a x0 , y por lo tanto estará dado como x1=x0+h . Ahora bien, suponemos que De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

Realizado por: Wanda Pérez

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia h=‫׀‬x1-x0‫ ׀‬en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que: Para obtener y2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x0,y0) lo toma el punto (x1,,y1) , y por lo tanto, si sustituímos los datos adecuadamente, obtendremos que: De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de y(x1) aplicándola sucesivamente desde x0 hasta x1 en pasos de longitud h.

Realizado por: Wanda Pérez

IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO

A

continuación se presenta el

algoritmo del método de Euler en pseudocódigo, para resolver un problema de valor inicial del tipo (1). Éste es un algoritmo para una ecuación particular, si se quiere generalizar para una ecuación cualquiera, con f(t, y) arbitraria, se debe ingresar también como argumento la ley de f. Esto se puede implementar en cualquier lenguaje de programación, o en particular, en programas simbólicos o numéricos que permitan programar, como Maple, Mathematica, Scilab o Matlab.

Con los valores obtenidos mediante este algoritmo se puede lograr un gráfico discreto de la solución aproximada, o también se puede aplicar un método de interpolación para obtener una gráfica continua en el intervalo. La lista de valores obtenida con el algoritmo se puede utilizar para comparar resultados, o calcular errores relativos y absolutos respecto de la solución exacta, si se conoce.

Realizado por: Wildemar Lugo

MÉTODO DE EULER MEJORADO

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes.

La fórmula es la siguiente:

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

En

la

gráfica,

vemos

que

la

pendiente

promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

Realizado por: Ángel Crespo

PASATIEMPOS: Sopa de letras:

Laberinto:

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS • http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/an/mnedo/32_Euler.html • http://www.monografias.com/trabajos73/metodos-numericos-metodo-eulermejorado/metodos-numericos-metodo-euler-mejorado.shtml • https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler