Texto Paralelo Karina Mariano Galvez 2021

Universidad Mariano Gálvez de Guatemala.

Centro Universitario, Cuilapa, Santa Rosa Facultad de Ingeniería en Sistemas de información y Ciencias de la Computación. Algebra Lineal

TextoParalelo Catedrático: Ing. Noé Abel Castillo Lemus

Nombre: Mildred Karina Ruano Revolorio Carnet: 7490 -21-165809

Tabla de contenido Semana 1 ....................................... ¡Error! Marcador no definido.

Teoría de conjuntos ....................................................................................................... 5 Álgebra de conjuntos ..................................................................................................... 5 Semana 2 ....................................................................................................................... 6 Estructuras algebraicas .................................................................................................. 8 Semana 3 ..................................................................................................................... 11 Definición de matrices .................................................................................................. 11 Semana 4 ..................................................................................................................... 13 Determinantes y matriz inversa .................................................................................... 13 Semana 5 ..................................................................................................................... 15 Ecuación con 2 incognitas ........................................................................................... 15 Semana 6 ..................................................................................................................... 21 Ecuaciones Lineales con 3 Incógnitas ......................................................................... 21 Semana 7Definición de espacios vectoriales, Definición de Operaciones en un espacio vectorial, ........................................................................................................ 23 Suma resta y producto de vectores.............................................................................. 23 Suma de vectores ........................................................................................................ 24 Interpretación gráfica de la suma ................................................................................. 25 Regla del paralelogramo .............................................................................................. 26 Resta de vectores ........................................................................................................ 26 Producto de vector por escalar .................................................................................... 27 Semana 8 ..................................................................................................................... 29 Producto de vectores, Magnitud de Vectores, Introducción Espacio R2 ...................... 29 Semana 9 ..................................................................................................................... 32 Angulo entre dos vectores, Producto escalar y proyecciones en R2, Cálculo del ángulo entre dos vectores y vectores paralelos ........................................................... 32 Semana 10 ................................................................................................................... 35 Definición de espacio R3, Producto escalar y proyecciones en R3 ............................. 35

Definición de espacio R3, Producto escalar y proyecciones en R3 ............... ¡Error!

Marcador no definido.

Clase 11 ................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Producto escalar y proyecciones en R3, Aplicaciones del producto cruz ...... ¡Error!

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Cálculo del área de un paralelogramo en R3 .......... ¡Error! Marcador no definido.

Clase 12 ................................................................... ¡Error! Marcador no definido.

Dependencia e independencia lineal, Dimensión de vectores de coordenadas ... 40 ANEXOS .................................................................. ¡Error! Marcador no definido.

INTRODUCCION

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. El álgebra lineal es fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas. El álgebra lineal ha cobrado mayor importancia con el uso de computadoras, porque se requiere de un número grande de operaciones. Manejo de imágenes, sonido y digitalización de toda clase de información requiere de vectores o arreglos. Y grupos de vectores forman matrices, y el trabajo con matrices es justamente el álgebra lineal.

Semana 1 Teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc.; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de etc. es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no solo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

Álgebra de conjuntos Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: Unión.

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección.

B que contiene cada elemento

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia.

La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento.

El complemento de un conjunto A es el conjunto A que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A. Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano.

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B. Los conjuntos y las operaciones con conjuntos se pueden representar visualmente empleando los diagramas de Venn.

Ejemplos Ejemplo 1.

En una escuela hay 150 alumnos, 60 juegan con una pelota en el recreo, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una cuerda? ¿Cuántos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuántas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).

Ejemplo 2.

Se les regalaron a 200 personas, discos de dos grupos de géneros distintos (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambos.

¿Cuántas personas quieren de rock o banda? ¿Cuántas personas no quieren de rock? ¿Cuántas personas no quieren ninguno? (esto no es un ejemplo de un conjunto).

Semana 2 Estructuras algebraicas Después de un merecido descanso durante la Navidad, retomamos las cosas por donde las dejamos.

Una vez que definido el concepto de conjunto y las operaciones que se pueden realizar entre conjuntos, pasamos a estudiar las estructuras algebraicas que nos podemos encontrar.

Para poder comenzar a enumerar las diferentes estructuras, en primer lugar vamos a distinguir entre dos tipos de operaciones: a) Operación interna: llamamos operación interna en un conjunto A, a la operación que hace corresponder a cada par de elementos de AxA con un único elemento de A. b) Operación externa: llamamos operación externa en un conjunto A sobre otro conjunto K, a la operación que hace corresponder a todo par de elementos (a,k) de AxK un único elemento de A. Dentro de las estructuras algebraicas más importantes que estudiaremos en este artículo, las clasificaremos en tres grupos: con una operación interna, con dos operaciones internas y con una operación interna y otra externa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Empezaremos nombrando desde la más pequeña a la más grande e importante, ya que cumple mayor número de propiedades. A partir de este momento, utilizaremos * como notación para la operación interna.

-Semigrupo: Diremos que A es un semigrupo, si (A,*) cumple la propiedad asociativa: si para todo a,b y c pertenecientes a A, se tiene que (a*b)*c=a*(b*c). Si además se cumple la propiedad conmutativa: a*b=b*a, entonces diremos que (A,*) es un semigrupo conmutativo.

-Monoide: Si (A,*) es un semigrupo que además tiene elemento neutro que denotamos por e: a*e=e*a=a.

Por ejemplo el conjunto de los números naturales menos el cero, con la operación suma, es un semigrupo conmutativo. Mientras que el conjunto de los números naturales (incluido el cero) con la operación producto es un monoide.

-Grupo: Diremos que G es un grupo si (G,*) cumple las siguientes propiedades: asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento simétrico o inverso que denotamos por i: a*i=i*a=e.

-Grupo conmutativo o abeliano: Si (G,*) es un grupo que cumple además la propiedad conmutativa.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON DOS OPERACIONES INTERNAS Como en este apartado tenemos dos operaciones internas, denotaremos a cada una de ellas con los símbolos * y °.

-Semianillo: Diremos que (A,*,°) es un semianillo si se cumple que: 1) (A,*) es un monoide, es decir, un semigrupo conmutativo con elemento neutro.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de * : a°(b*c)=(a°b)*(a°c).

-Semianillo conmutativo: Si (A,*, °) es un semianillo y (A,°) es un semigrupo conmutativo. Si además tiene elemento neutro, entonces (A, *,°) es un semianillo conmutativo con elemento unidad.

Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, con las operaciones suma y producto es un semianillo conmutativo con elemento unidad: el cero, 0.

-Anillo: Diremos que (A,*, °) es un anillo, si se cumple que: 1) (A,*) es un grupo conmutativo.

2) (A, °) es un semigrupo.

3) Se cumple la distributividad de ° respecto de *.

Al igual que en el caso de semianillo, si (A, °) es un semigrupo conmutativo, entonces (A, *, °) es un anillo conmutativo, y si además tiene elemento neutro, entonces es un anillo conmutativo con elemento neutro.

Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, los racionales, los reales y los complejos con las operaciones suma y producto son anillos conmutativos con elemento unidad. -Cuerpo: Llamamos cuerpo a la terna (K,*, °) que cumple: 1) (K,*, °) es un anillo 2)(K-{0},°) es un grupo.

Si además (K-{0},°) es un grupo conmutativo, entonces diremos que (K, *, °) es un cuerpo conmutativo.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS CON UNA OPERACIÓN INTERNA Y OTRA EXTERNA Por último, vamos a ver la estructura algebraica más importante que tiene una operación interna * y otra externa, que denotamos por ●, y utilizaremos como subíndice el conjunto al que hace referencia.

-Espacio vectorial: Diremos que (V,*v,●k) es un espacio vectorial si cumple 1) Si (K, *, ●) es un cuerpo.

2) (V, *) es un grupo conmutativo.

3) Se cumple la propiedad distributiva de ● sobre * por ambos lados. 4) Se cumple la propiedad pseudoasociativa: a●(b*c)=(a●b)●c 5) Existe elemento unidad.

Semana 3 Definición de matrices

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Los elementos individuales de una matriz MxN , se denotan a menudo por aij, donde el máximo valor de i es M, y el máximo valor de j es N. Siempre que la matriz tenga el mismo número de filas y de columnas que otra matriz, estas se pueden sumar o restar elemento por elemento.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Definición Una matriz es un arreglo p-dimensional de números (elementos de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

Semana 4 Determinantes y matriz inversa DETERMINANTES DE UNA MATRIZ El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria).

Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna.

Existen otras maneras más complejas para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor de 2×2. Estas formas se conocen como la regla de Laplace y la regla de Sarrus.

La función determinante es de gran importancia en el álgebra ya que, por ejemplo, nos permite saber si un matriz es regular (si tiene inversa) y, por tanto, si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución. Además, en el caso de que el sistema de ecuaciones tenga una única solución, podemos calcularla aplicando determinantes (regla de Cramer). Otras aplicaciones: el cálculo del producto vectorial de dos vectores y determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente.

Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0.

Las filas de una matriz o sus columnas son linealmente dependientes si, y sólo si, su determinante es 0.

La función determinante se define para matrices cuadradas. Su definición formal (como función multilínea alternada) es complicada, pero existen reglas y métodos para calcular los determinantes.

Denotaremos el elemento de la fila i y la columna j de la matriz A por aij.

Matriz Inversa

Sea A una matriz cuadrada de dimensión n, decimos que la matriz B es una matriz inversa de A si se cumplen: siendo In la matriz identidad de dimensión n. De la definición se sigue que la dimensión de B tiene que ser también nxn . (para poder calcular los productos matriciales por ambos lados). Durante el texto, veremos que realmente sólo existe una matriz inversa y que, si se cumple una de las dos igualdades anteriores, entonces también se cumple la otra. Como dicha matriz es única, la denotamos por A−1 y la llamamos la inversa de A.

Semana 5 Ecuación con 2 incógnitas

Sistemas de Ecuaciones: Métodos de resolución En esta página vamos a exponer los 3 métodos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, reducción e igualación. Para facilitar la comprensión de los métodos, sólo vamos a resolver sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.

Cuando sepamos resolver un sistema, ya podemos resolver problemas de aplicación: Problemas de sistemas.

Recordatorio: El coeficiente de una incógnita es el número que la multiplica. Por ejemplo, el coeficiente de 2x es 2, el coeficiente de x es 1, el coeficiente de x es -1.

Explicaremos los métodos con 4 pasos y mediante un ejemplo.

Método de Sustitución El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación.

Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo 1

Solución 1. Aislamos una incógnita Vamos a aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que pasar el 4 restando al otro lado:

Ya tenemos aislada la incógnita x.

2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en la segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a todos los términos.

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya sabemos una incógnita: y=3.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo: Al despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos y=3, sustituimos en la ecuación:

Por tanto, la otra incógnita es x=2.

La solución del sistema es

Método de Reducción El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son iguales, pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

Ejemplo 2

Solución 1. Comprobamos los coeficientes Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas desaparece: Escogemos una incógnita a eliminar: la y.

Sus coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).

Como son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.

Nota: si ninguna de las incógnitas tiene el mismo coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en el Problema 2.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:

3. Resolvemos la ecuación obtenida

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo Sustituimos la incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

La solución del sistema es

Método de Igualación El método de igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones. Ejemplo 3

Ejemplo 1. Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones Escogemos aislar la incógnita x:

2. Igualamos las expresiones Como x=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:

3. Resolvemos la ecuación Resolvemos la ecuación de primer grado obtenida:

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo Sustituimos el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente (la primera, por ejemplo):

La solución del sistema es

Semana 6 Ecuaciones Lineales con 3 Incógnitas

Se pueden interpretar estos sistemas como un conjunto de tres planos en el espacio real tridimensional R3. En algunos casos no habrá solución, en otros habrá infinitas (una línea de puntos solución) y en otros habrá una única solución.

Método de Reducción Para resolver este tipo de sistemas se aplicará reducción, de forma que cada ecuación tenga una incógnita menos que la anterior. Por ello, se utilizará el método de Gauss.Resolver: Resolver: 3x+2y+z=1 5x+3y+4z=2 x+y−z=1

1) Se coloca como primera ecuación la que tenga 1 o −1 como coeficiente de x.

Si no hubiera ninguna se pone como primera ecuación la que tenga y o z con coeficiente 1 o −1, y se cambia el orden de las variables. O también podemos dividir la primera ecuación por el coeficiente de x. x+y−z=1 3x+2y+z=1 5x+3y+4z=2 2) Se utiliza el método de reducción para las ecuaciones 1 y 2 (E1 y E2), con el objetivo de eliminar la variable x de la segunda ecuación: E2′=E2−3⋅E1 3x+2y+z=1 +−3x−3y+3z=−3 −y+4z=−2 3) Se repite el mismo procedimiento con E1 y E3, para eliminar la variable x de E3: E3′=E3−5⋅E1 5x+3y+4z=2 +−5x−5y+5z=−5 −2y+9z=−3 4) Con las nuevas ecuaciones 2 y 3 (E2′ y E3′) se utiliza el mismo procedimiento para eliminar la variable y de E3′: E3′′=E3′−2⋅E2′ −2y+9z=−3 +

2y−8z=4

z=1 5) Así pues, el sistema escalonado equivalente al del enunciado es:

x+y−z=1 −y+4z=−2 z=1 6) Se resuelve desde la tercera ecuación hasta la primera: E3:z=1 E2:−y+4=−2⇒y=6 E1:x+6−1=1⇒x=−4 Es decir, los tres planos cortan en un sólo punto (−4,6,1).

Semana 7 Definición de espacios vectoriales, Definición de Operaciones en un espacio vectorial, Suma resta y producto de vectores

Espacio vectorial En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Definición de Operaciones en un espacio vectorial

Sea F un campo. Un espacio vectorial sobre el campo F es un conjunto V con operaciones de suma y producto por escalar, que denotaremos por +:V×V→V y⋅ :F×V→V, para las cuales se cumplen las ocho propiedades de la sección anterior. En otras palabras: El conjunto V es un grupo conmutativo con la suma Se tiene asociatividad para la suma escalar y la suma vectorial Se tiene identidad y compatibilidad de la multiplicación escalar.

A los elementos de F les llamamos escalares. A los elementos de Fn les llamamos vectores. Para hacer restas, las definimos como u−v=u+(−v), donde −v es el inverso aditivo de v con la suma vectorial. Usualmente omitiremos el signo de producto escalar, así que escribiremos av en vez de a⋅v para a escalar y v vector.

La definición da la impresión de que hay que verificar muchas cosas. De manera estricta, esto es cierto. Sin embargo, de manera intuitiva hay que pensar que a grandes rasgos los espacios vectoriales son estructuras en donde podemos sumar elementos entre sí y multiplicar vectores por escalares (externos) sin que sea muy complicado.

Como ya mencionamos, el conjunto Fn con las operaciones de suma y multiplicación por escalar que se hacen entrada por entrada es un espacio vectorial sobre F. En lo que resta de la entrada, hablaremos de otros ejemplos de espacios vectoriales que nos encontraremos frecuentemente.

Suma resta y producto de vectores

Suma de vectores

Si tenemos dos vectores y

y , entonces la suma de es

En otras palabras, el vector suma de y es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de se suma con la primera componente de , y la segunda componente de se suma con la segunda componente de .

Interpretación gráfica de la suma

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores

y

:

Si y son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente primero se elige el representante de cuyo origen es el extremo de . Luego, es el vector cuyo origen es el origen de y cuyo extremo es el extremo de .

Notemos que también se puede elegir un representante de tal que su origen sea el extremo de . La suma tendrá el mismo valor, pero ahora la obtendremos uniendo el origen de con el extremo de .

Regla del paralelogramo

Lo que discutimos anteriormente como la suma gráfica de los vectores se conoce como regla del paralelogramo. En particular, si queremos sumar dos vectores libres con origen en común, entonces debemos trazar rectas paralelas a los vectores. De esta forma se obtiene un paralelogramo cuya diagonal —que inicia en el origen de los vectores— es la suma misma de los vectores.

Observa la siguiente figura que muestra la regla del paralelogramo.

Resta de vectores

La resta de dos vectores y simplemente es la suma de con (es decir, el opuesto de ).

De este modo, si consideramos los componentes de resta está dada por

y

, entonces la

Gráficamente, la resta de y se obtiene igual que la suma. La única diferencia es que sumamos el opuesto de . Observa la siguiente figura que muestra a y nota que en el extremo de se coloca el origen de .

Observemos que la resta gráficamente es el vector que une el extremo de con el extremo de tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Producto de vector por escalar

La multiplicación de un vector por un número se escribe o . El número también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:

• • •

tiene la misma dirección que .

Si es positivo, entonces tiene el mismo sentido que Si es negativo, entonces tiene el sentido contrario que

•

El módulo de

. .

es

Observemos la siguiente figura que representa la multiplicación de

En términos de componentes, si escalar está dada por

por 3.

, entonces la multiplicación por

Semana 8 Producto de vectores, Magnitud de Vectores, Introducción Espacio R2

Producto vectorial

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

MAGNITUD DE UN VECTOR

Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:

El punto A se le llama origen y el punto de la flecha (B) se llama extremo del vector.

Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física, por lo tanto, tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación).

La longitud del vector se le denomina magnitud o módulo.

DEFINICIÓN DE MAGNITUD DE UN VECTOR La magnitud o módulo de un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final. En símbolos la magnitud del vector AB se define como |AB|.

La magnitud o módulo es la longitud proporcional al valor del vector.

CÁLCULO DE LA MAGNITUD DE UN VECTOR

Para calcular la magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay), conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente formula: |A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ] Esta expresión es una aplicación del Teorema de Pitágoras.

Sea 0AxA un triángulo rectángulo, observemos que 0A es la hipotenusa; al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos: (0A)2 = (Ax)2 + (Ay)2 Es decir, |A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ] En tres dimensiones |A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ]

Semana 9 Angulo entre dos vectores, Producto escalar y proyecciones en R2, Cálculo del ángulo entre dos vectores y vectores paralelos

Ángulo entre dos vectores El ángulo entre dos vectores es la capacidad del arco de la circunferencia que forman los segmentos de los vectores unidos por un punto.

En otras palabras, el ángulo entre dos vectores es el ángulo que se forma cuando dos vectores se multiplican.

Dos vectores formarán un ángulo cuando ambos se estén multiplicando, es decir, cuando multipliquemos vectores los estaremos uniendo en un punto en común tal que formarán un ángulo.

Fórmula Sean dos vectores de 3 dimensiones:

Dos vectores

Ambos formaran un ángulo si hacemos el producto escalar: Fórmula del producto escalar

Producto

escalar

(geométrico) El proceso de pasar de dos vectores a tener un ángulo sería el siguiente:

Dos vectores forman un ángulo a partir del producto escalar Para obtener el ángulo que se forma del producto escalar de dos vectores se debería aislar el coseno y luego hacer el arcoseno y encontrar Alpha (el ángulo).

Ángulo entre dos vectores

Vectores en el Plano Hay una concepción geométrica del significado de un vector y una concepción algebraica, ambas compatibles. → Segmento dirigido PQ es el segmento de recta con origen en P y extremo en Q. Notar que PQ≠QP

Dos segmentos dirigidos son equivalentes si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido. →

→

PQ ≡ P’Q’ Se puede considerar que existen en el plano infinitos vectores equivalentes a un segmento dirigido PQ. Denominaremos vector PQ, o vector v a todo elemento de ese conjunto. Los dos segmentos representados son representantes del vector v. 1 → v se representa trasladando PQ al origen de coordenadas de R2 En estas condiciones v admite una expresión como par ordenado en donde el par ordenado indica las coordenadas de su extremo v = (a,b). a y b se denominan también componentes del vector v. Este concepto es más utilizado desde el punto de vista algebraico.

El módulo de v es un número real que representa su longitud |v| = √a 2 + b2 (por consecuencia directa de Pitágoras)

Semana 10 Definición de espacio R3, Producto escalar y proyecciones en R3

Puede verificarse que los mismos son ortogonales entre sí, comprobando que el producto escalar es nulo para cualquier par Todo vector de R3 se puede escribir como suma de los vectores canónicos multiplicados por un escalar. Cada término es la proyección del vector sobre el eje coordenado correspondiente. Se dice que v es combinación lineal de los vectores canónicos, concepto que se estudiará en detalle en la unidad siguiente. v = v1 i + v2 j + v3 k

Igual que en R², los vectores en R³ quedan definidos por su módulo, su dirección y sentido.

Módulo en R Representa la longitud del segmento orientado en R3 , lo que puede comprobarse determinando |v1 i + v2 j | (componente según el plano XY ) y luego aplicando Pitágoras en el triángulo que forman esta componente, v3k y v (área sombreada fig. anterior).

Dirección y sentido de un vector No es posible determinar la dirección en el espacio a partir del ángulo con un solo eje, ya que hay infinitos vectores que determinan el mismo ángulo θ (contenidos en el cono según la fig. )

Producto escalar en R³ u • v = u1v1 +u2v2+u3v3

Todas las propiedades expresadas en R² son extensivas a R³, incluidos los conceptos de ángulos y distancia entre vectores, ortogonalidad, y proyecciones.

Producto vectorial de dos vectores (o Producto Cruz)

Semana 11

El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

Estas propiedades se prueban mediante las propiedades de los determinantes.

El vector u × v es perpendicular a los vectores u y v simultáneamente, y por lo tanto, al plano que los contiene. Al igual que en la definición de un sistema de coordenadas derecho, el sentido del vector u × v está determinado por la regla de la mano derecha: al orientar los dedos de la mano derecha excepto el pulgar, desde el vector u hasta el vector v, el vector u × v apunta en la dirección del dedo pulgar.

Semana 12

Dependencia e independencia lineal, Dimensión de vectores de coordenadas.

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente. mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Clase 13 Dimension de Vectores por componentes Teorema del Rango un Nulidad

Conclusiones

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas modernas que se encarga del estudio de conceptos tales como matrices, vectores, espacios vectoriales y ecuaciones de tipo lineal.

La contribución de la asignatura Álgebra Lineal al desarrollo del alumno no radica esencialmente en sus contenidos, sino en las posibilidades que estos brindan para el desarrollo de sus actividades mentales.

Dentro de la ingeniería, el álgebra lineal aporta la capacidad para resolver una infinidad de problemáticas, otorgando al profesionista herramientas lógicas y matemáticas necesarias, para desarrollar alternativas de solución a muchos de los retos diarios de su actividad profesional.

Glosario

Matriz Adjunta: La matriz de adjuntos o cofactores, o matriz obtenida a partir de otra, que traspuesta y dividida por el determinante de esta otra es igual a la matriz inversa de la matriz de partida.

Combinación Lineal: Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por dos escalares.

Vector: Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen, módulo, dirección, sentido.

Gauss Jordán: Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad Ecuación Lineal: Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.

Determinante: Si es una matriz 2 x 2 se define el determinante de la matriz A, y se expresa como det(A) o bien |A|.

Matriz Inversa: Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de que: A·B = B·A = I Axioma: Un axioma es una proposición que se considera evidente y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico

Referencias

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Lay, David c. ALGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES Pearson. Tercera edición. México, 2007 Boucheron Luc Bramaud. ALGEBRA LINEAL INTERACTIVA. Mc Graw Hill.

Segunda edición. Venezuela, 1995.

Grossman, Stanley I. ALGEBRA LINEAL. Mc Graw Hill. Quinta edición.

México, 1996.

Anton, Howard (1994): "Elementary Linear Algebra. Elementary Linear Algebra Applications". 7ª edición. John Wiley & Sons Ltd. Anton, Howard (1994): "Elementary Linear Algebra. Elementary Linear Algebra Applications (Applications Version)". 7ª edición. John Wiley & Sons Ltd. Anton, Howard (1994): "Elementary Linear Algebra. Elementary Linear Algebra Applications (Solution Students)". 7ª edición. John Wiley & Sons Ltd.