equilibrio walrrasiano

EQUILIBRIO ECONÓMICO WALRASIANO

SERGIO MONSALVE Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Colombia

Trabajo presentado como requisito parcial para la promoción a Profesor Titular

En preparación (Enero de 2009)

i

ii

“No soy economista. Soy arquitecto. Pero sé más de economı́a que lo que saben los economistas.”

Léon Walras

Presentación

“ El siglo veinte, que no está lejos, sentirá la necesidad...de confiar las ciencias sociales a hombres de cultura general que estén acostumbrados a pensar tanto de manera inductiva como deductiva, y que estén familiarizados tanto con la razón como con la experiencia.” (Léon Walras, a finales del siglo XIX) Sin duda alguna, la teorı́a del equilibrio general walrasiano es un tópico central de la teorı́a económica actual. De hecho, no es probable que una persona sea un buen economista si no tiene un firme conocimiento de la economı́a walrasiana, aunque también es seguro que nadie sea buen economista si solamente sabe economı́a walrasiana.

Sin embargo, en mis años como profesor de matemáticas y economı́a, fue corriente escuchar de muchos estudiantes y profesionales de economı́a, de manera parafraseada, lo siguiente: “Walras fue el que desarrolló el modelo de equilibrio general, pero no se preocupó acerca de la unicidad y estabilidad del equilibrio. El modelo es sólo de intercambio y producción, y asume un subastador que anuncia los precios para ir alcanzando el equilibrio. El modelo asume información perfecta y es estático. Walras tuvo un sesgo hacia la competencia perfecta y el laisser faire, y menospreciaba el estudio del monopolio y de los impuestos. Por su parte, Pareto fue el padre de la teorı́a del bienestar, y no estoy seguro de qué es iii

iv un óptimo de Pareto”. Lo anterior es, claramente, el resultado de muchos errores de formación de nuestros economistas en el tema particular del equilibrio general walrasiano, algunos de ellos, desafortunadamente, transmitidos de generación en generación.

Intentando una primera aproximación a este problema detectado, he buscado en este trabajo teórico-histórico, hacer un recuento compacto, coherente y sistemático sobre cómo se ha entendido y extendido el concepto original de equilibrio walrasiano, señalando algunas de las numerosas falacias que hemos arrastrado hasta hoy en el desarrollo de la idea de equilibrio económico.

Aún sabiendo que existı́a el riesgo de que una descripción demasiado detallada del tortuoso camino de los fascinantes e instructivos eventos históricos, sacrificara la perspectiva general del texto, me arriesgué a comenzar haciendo un poco de justicia con Walras, presentando, en el primer capı́tulo (“Sobre la obra original de Walras”), un estudio de su teorı́a del equilibrio general, además de una aproximación parcial a su pensamiento sobre economı́a social y economı́a aplicada, sin las cuales es imposible entender a cabalidad su obra.

En el capı́tulo 2 (“La tradición paretiana”) busqué hacer algo de funambulismo teórico al presentar la forma un tanto maniquea como Pareto y sus seguidores tomaron de Walras, a su conveniencia e interés, algunas ideas, y desdeñaron otras, dejando ası́ completamente desarticulada y devastada su obra original. Aún ası́, se destacan los notables aportes de la obra paretiana y su innegable coherencia interna.

En el capı́tulo 3 (“La tradición alemana”) mostré los aportes de la escuela alemana del Coloquio Menger (Schlesinger, Morgenstern, Wald y von Neumann) a partir del modelo de equilibrio general original de Cassel. De allı́ saldrı́an, entre otros, los gérmenes de la estructuración matemática de la teorı́a del equilibrio general como hoy lo conocemos.

En el Capı́tulo 4 (“Los modelos de transición”) presenté los modelos de Leontief, Koopmans y Mckenzie. Estos modelos mostrarı́an dos aspectos fundamentales y extremos: la construcción de modelos de equilibrio general desde lo empı́rico y desde lo axiomático.

El Capı́tulo 5 (“El modelo Arrow-Debreu”) presenta el modelo más desarrollado (y, desde cierta perspectiva, final) de la teorı́a del equilibrio ge-

v neral walrasiano. Sin embargo, destacaremos los contrastes con el modelo original de Walras.

En el Capı́tulo 6 (“Equilibrio general dinámico”) busqué mostrar cómo devino la noción dinámico a los modelos de equilibrio general, desde la escuela italiana hasta los modelos “dinámicos” de Samuelson y Solow.

En el Capı́tulo 7 (“Edgeworth y su alternativa no-walrasiana”) intenté destacar las dos versiones diferentes de aproximación al problema de concebir el equilibrio económico.

Y, finalmente, en el Capı́tulo 8 (Crı́tica y perspectiva de los modelos walrasianos”) busqué sintetizar lo aprendido en los nueve capı́tulos anteriores, discutiendo sobre la honestidad y lealtad de los modelos de equilibrio modernos con la obra original de Walras, planteé la aparente dificultad lógica de la “teorı́a de la refutabilidad”, y cerré con una crı́tica final.

A través de estos ocho capı́tulos, aquı́ someramente presentados, siempre busqué que el lector tuviera la sensación de estar aumentando su comprensión de los problemas discutidos, aun cuando en ocasiones no se estuviera tratando de decir nada nuevo: siempre perseguı́ sı́ntesis y claridad más que originalidad; además, de querer resaltar que la teorı́a económica es importante, no necesariamente como medio de predicción, sino como medio de comprensión. Y aunque la aproximación de este texto es, como dije antes, desde el punto de vista histórico-teórico, también espero que no sea juzgado desde la perspectiva del historiador profesional.

Con respecto a los requisitos de preparación previa para asumir con propiedad el material de esta obra, sólo debo decir que son más que suficientes los cursos tı́picos de matemáticas básicas para economistas (Álgebra Lineal, Cálculo, y Optimización y Dinámica), un curso de Estadı́stica, uno de Microeconomı́a y otro de Macroeconomı́a de pregrado.

Este podrı́a funjir bien como un segundo curso de microeconomı́a. En apéndices al final del texto, entrego una selección de ejercicios para cada uno de los capı́tulos, y algunas respuestas a ellos. También, en otro apéndice, hago un recuento muy breve (y en cierta forma, irresponsable) de las matemáticas de salvamento que podrı́an ayudarle a un estudiante que no tenga ningún recurso bibliográfico adicional a la mano.

vi Sólo resta agradecer a todos aquellos que hicieron posible la elaboración de esta obra. A la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, en particular a los profesores Ignacio Mantilla y Leonardo Rendón, por haber dispuesto los recursos académicos del Departamento de Matemáticas para que tuviera el tiempo y la tranquilidad suficiente para llevar a cabo este esfuerzo. También a los profesores Carlos Andrés Álvarez y Gustavo Junca de la Facultad de Ciencias Económicas de la misma Universidad, en quienes he encontrado apoyo sincero y generoso.

Con el profesor Álvarez tuve interesantes conversaciones y discusiones con respecto al material. Finalmente, agradezco a todos aquellos que me dieron el soporte emocional y espiritual durante estos difı́ciles años. No necesito nombrarlos: ellos saben quiénes son.

Sergio Monsalve Bogotá, Enero de 2009

vii

Para Martı́n y Sofı́a

viii

Índice general

1. Sobre la obra original de Walras 1.

Léon Walras [1834-1910] . . . . . . . . . . . . .

2.

Walras y el laisser faire . . . . . . . . . . . . .

3.

Walras y el concepto de equilibrio económico .

4.

Sobre los Éléments de Walras . . . . . . . . . a).

Teorı́a del intercambio puro . . . . . . . b).

Teorı́a de la producción . . . . . . . . . c).

Teorı́a del capital . . . . . . . . . . . . . d).

Teorı́a monetaria . . . . . . . . . . . . .

5.

Bienestar económico: el teorema de la máxima ción social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.

La economı́a social y aplicada en Walras . . . .

7.

Tradiciones poswalrasianas . . . . . . . . . . .

2. La 1.

2.

3.

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . satisfac. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

1 4 6 9 11 16 21 27

. 32 . 34 . 37

tradición paretiana

43

Vilfredo Pareto [1848-1923] . . . . . . . . . . . .

La escuela de Lausanne después de Pareto . . . .

Constructores del modelo de equilibrio general de dición paretiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a).

John Hicks [1904-1989] . . . . . . . . . . . b).

Maurice Allais [1911-] . . . . . . . . . . . c).

Paul Samuelson [1915-] . . . . . . . . . . ix

. . . . . . . . la tra. . . . . . . . . . . . . . . .

. 43 . 49 . . . .

53 53 57 64

x 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

3. La 1.

2.

3.

4.

El modelo paretiano simple . . . . . . . . . . . . . a).

Los consumidores . . . . . . . . . . . . . . . b).

Los productores . . . . . . . . . . . . . . . c).

Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d).

Ley de Walras . . . . . . . . . . . . . . . . e).

Precios sombra . . . . . . . . . . . . . . . . f).

Economı́as paretianas de intercambio puro . g).

Economı́as paretianas con producción . . .

Óptimos de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los dos teoremas del bienestar . . . . . . . . . . .

Convergencia al equilibrio . . . . . . . . . . . . . .

Dificultades con el modelo paretiano . . . . . . . .

La nueva economı́a del bienestar . . . . . . . . . . a).

El criterio de Kaldor-Hicks (1939) . . . . . b).

El criterio de Scitovsky (1941) . . . . . . . c).

La función de utilidad social . . . . . . . . d).

Análisis costo-beneficio . . . . . . . . . . .

Fallas de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a).

Competencia imperfecta . . . . . . . . . . . b).

Externalidades . . . . . . . . . . . . . . . . c).

Bienes públicos . . . . . . . . . . . . . . . .

Y mientras tanto... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

tradición alemana Gustav Cassel [1866-1945] . . . . . . . .

El modelo de Cassel (1918) . . . . . . .

La sı́ntesis de Wald (1936) . . . . . . . . a).

Wald el alemán . . . . . . . . . . b).

Wald el walrasiano . . . . . . . .

El modelo de von Neumann (1932, 1937) a).

Hipótesis del modelo . . . . . . . b).

Sobre la solución al modelo . . .

69 73 77 80 82 82 82 85 95 101 108 112 123 128 130 133 136 136 138 138 139 141

143 . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

4. Los modelos de transición 1.

Vassily Leontief [1905-1999] . . . . . . . . . . . . . . . .

2.

El análisis insumo-producto (Leontief (1936)) . . . . . . a).

El análisis insumo-producto y el Tableau Économique de Quesnay . . . . . . . . . . . . . . . . .

143 146 151 154 158 162 164 166

171 . 171 . 174 . 184

xi b).

3.

El análisis insumo-producto y la teorı́a marxista del valor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El análisis de actividades (Koopmans (1951)) . . . . . . a).

Los consumidores . . . . . . . . . . . . . . . . . . b).

Los productores . . . . . . . . . . . . . . . . . . c).

Definiciones principales e implicaciones . . . . .

. . . . .

186 187 188 190 195

5. El modelo Arrow-Debreu 199 1.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 2.

El modelo Arrow-Debreu (1954, 1959) . . . . . . . . . . . 202 a).

La noción de mercancı́a . . . . . . . . . . . . . . . 203 b).

Comportamiento de los consumidores . . . . . . . 203 c).

Comportamiento de los productores . . . . . . . . 206 d).

Los conceptos de economı́a y equilibrio walrasiano 210 3.

Debilitamiento de las condiciones de existencia (Debreu (1962)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.

Los dos teoremas de la economı́a del bienestar . . . . . . . 216 5.

El problema de la unicidad del equilibrio walrasiano . . . 218 6.

El problema de estabilidad del equilibrio walrasiano: el tâtonnement de Walras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.

Dinámicas no-tâtonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.

El modelo Arrow-Debreu bajo incertidumbre (1968) . . . 224 9.

El modelo Arrow-Debreu bajo riesgo . . . . . . . . . . . . 232 10. Cálculo de equilibrios walrasianos (1967) . . . . . . . . . . 232 a).

El algoritmo de Scarf . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 b).

Modelos computables . . . . . . . . . . . . . . . . 233 11. Equivalencia entre equilibrios walrasianos y puntos fijos. . 233 12. El modelo de Mckenzie (1954) . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6. Equilibrio general dinámico 1.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.

El modelo monetario de generaciones traslapadas (OLG) a).

Economı́a OLG de intercambio puro . . . . . . . b).

El modelo OLG monetario . . . . . . . . . . . . c).

Equilibrios estacionarios vs. óptimos de Pareto . d).

Existencia de ciclos endógenos . . . . . . . . . . e).

Diversidad de expectativas . . . . . . . . . . . . f).

Modelos OLG computables . . . . . . . . . . . .

237 . . . . . . . .

237 239 243 250 253 263 268 269

xii g).

3.

Polı́ticas de estabilización en un modelo OLG con diversidad de expectativas . . . . . . . . . . . . . h).

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El modelo simple de crecimiento . . . . . . . . . . . . . a).

Comportamiento de los productores . . . . . . . b).

Comportamiento de los consumidores . . . . . . c).

Equilibrio walrasiano . . . . . . . . . . . . . . . . d).

El problema de un planificador central . . . . . . e).

Los dos teoremas de la economı́a de bienestar en el modelo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . f).

Estabilidad del equilibrio walrasiano . . . . . . . g).

Choques permanentes . . . . . . . . . . . . . . . h).

Impuestos, déficit y equivalencia ricardiana . . . i).

El modelo de Solow (1956) . . . . . . . . . . . . j).

Población y cambio técnico . . . . . . . . . . . . k).

Crecimiento endógeno en una economı́a Robinson Crusoe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Edgeworth y su alternativa no-walrasiana 1.

Francis Y. Edgeworth [1845-1926] . . . . . . .

2.

El núcleo de una economı́a . . . . . . . . . . .

3.

Negociación en una economı́a . . . . . . . . . a).

Tasa de convergencia del núcleo . . . . b).

Surplus y bienestar . . . . . . . . . . . c).

Juegos de mercado . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

269 270 271 272 274 278 280

. . . . . .

285 287 292 293 299 300

. 309

311 . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

8. Crı́tica y perspectiva de los modelos walrasianos 1.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.

El teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu . . . . . . . .

3.

Arrow-Debreu y el pensamiento original de Walras . .

4.

Refutabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.

Crı́tica Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

311 313 317 321 321 321

323 323 323 324 325 325

Apéndice 1: Matemáticas

327

Apéndice 1: Ejercicios

344

Bibliografı́a

356

xiii Respuestas

386

Índice alfabético

388

xiv

CAPÍTULO

1

Sobre la obra original de Walras

1.

Léon Walras [1834-1910] “A mi padre le debo las definiciones económicas que son la base de mi sistema, y a Cournot le debo el lenguaje matemático que es el más adecuado para formular este sistema...”

[Walras, 1906]

Marie-Ésprit Léon Walras nació en Evreux en 1834, en la Francia posterior a la Revolución Francesa. Con una educación primaria y secundaria estándar, a los 18 años lee los Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses (1838) de Antoine Augustin Cournot, y queda tan impresionado por la forma en que allı́ se utilizan las formas funcionales y el cálculo diferencial para el análisis económico que, también influenciado por su padre, el reconocido economista Auguste Walras, creyó posible la construcción de una economı́a polı́tica cientı́fica, o, más especı́ficamente, comenzó a creer firmemente en la economı́a polı́tica como ciencia matemática. Los Recherches de Cournot, el De la Nature de la Richesse et de L’ Origine de la Valeur (1831) de su padre, complementados por algunas lecturas de J. B. Say, de Ricardo, de Smith, y de los clásicos ingleses, serı́an el acervo cultural económico de Walras para la consolidación de su obra.

1

2

Equilibrio económico walrasiano

Sin embargo, el camino hacia este inmenso objetivo fue difı́cil. Walras no tenı́a medios económicos, y los economistas franceses de la época formaban una corporación cerrada de individuos muy ricos a quienes no les interesaba la economı́a como rama de la ciencia sino de la polı́tica.

Además, como este mismo grupo controlaba los journals de economı́a, Walras se encontraba excluido de esta posibilidad. Por lo tanto, en su tiempo libre, escribı́a pequeños ensayos de literatura y de aplicación de las matemáticas a la economı́a, y reflexionaba sobre la estructura general del sistema económico que tenı́a en mente, aunque gastaba su tiempo principal en trabajos de sobrevivencia alejados del mundo académico.

Desde 1858 (a los 24 años) cuando juró ante su padre que abandonarı́a la literatura y le dedicarı́a su vida a la economı́a, hasta 1870, cuando finalmente obtuvo la cátedra de economı́a polı́tica en la Universidad de Lausanne (Suiza), Walras tuvo que pasar por situaciones personales y económicas muy difı́ciles.

Desde muy joven, estaba convencido de que su vida estarı́a consagrada a dos problemas aparentemente distintos: primero, a la creación de una ciencia pura de la economı́a y, muy particularmente, a la economı́a de la libre competencia; segundo, a la creación de una ciencia aplicada de la economı́a que incluyera una teorı́a de cómo escoger la organización económica más eficiente y más útil desde el punto de vista de la producción de riqueza social, y de sus mecanismos impositivos para la justicia social. Y en sus tres principales libros, confirma su consagración.

El primer libro es Éléments d’Économie Politique Pure de 1874, en el que estudia un sistema de relaciones económicas de equilibrio; el segundo libro son los Études d’Économie Sociale de 1896 en donde se preocupa por problemas ético-sociales tales como el comunismo, el individualismo, la propiedad privada, la nacionalización de la tierra, y las finanzas públicas; y el tercer libro es Études d’Economie Politique Appliquée de 1898, en el que analiza problemas como bimetalismo vs. monometalismo, monopolio vs. competencia libre, y temas como el libre comercio, el papel de la banca y el crédito, entre otros.

Los años posteriores a la primera edición de los Éléments en 1874, fueron muy ricos en correspondencia cientı́fica, tratando de popularizar su nueva teorı́a. Con el mismo Cournot, con Menger, Marshall, Jevons, Wicksteed, Edgeworth, Bohm-Bawerk, Barone, Pantaleoni, Fisher, y con

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

3

muchos otros. Sin embargo, fue en gran medida ignorado por los economistas y matemáticos de su época.

En los ochentas y noventas, Walras sufrió varias tragedias familiares, y su salud comenzó a debilitarse. En 1892 tomó un año sabático de su cátedra a la espera de recuperarse, pero pronto notó que tendrı́a que resignarse a dejar su cargo en Laussane. Lo sucederı́a su estudiante Vilfredo Pareto [1848-1923]. Éste trató con formalidad a Walras hasta que lo sucedió en la cátedra, pero de allı́ en adelante fue un crı́tico de su maestro hasta el punto de considerar absurdas todas sus conclusiones en economı́a social y aplicada: sólo consideraba importantes los aportes de los Éléments. La denominada Escuela de Lausanne (de la que Walras y Pareto son sus fundadores) tuvo desde entonces más una tendencia hacia las ideas de Pareto que hacia las del propio Walras, y este sesgo, sin duda, marcarı́a y prejuiciarı́a el estudio del pensamiento walrasiano. Sin embargo, Walras continuarı́a trabajando el resto de su vida en los otros dos pilares de su teorı́a económica general ( Economie Sociale y Economie Politique Apliquée), aunque también dedicaba tiempo a otras publicaciones y a revisiones de sus Éléments.

Un capı́tulo interesante de los años finales de Walras fue su postulación (por parte de algunos colegas de la Universidad de Laussane y por sı́ mismo) al Premio Nobel de Paz de 1906. Y el sustento para esto era que bajo su propuesta central (que comentaremos más adelante) de laisser faire, nacionalización de la tierra y eliminación de todos los impuestos, habrı́a paz y justicia social: (...) (he) escrito mucho en favor de la supresión de todos los impuestos personales (siguiendo, por supuesto, la toma por parte del Estado de la propiedad de la tierra) y esta es una condición absoluta para el funcionamiento eficiente de un sistema de mercado libre. De otro lado, un sistema de intercambio libre es una condición absoluta para la paz.

Sin embargo, el Comité del Premio Nobel no fue tan entusiasta al respecto, y sus miembros no veı́an cómo esta teorı́a fuera suficientemente benéfica como para que sirviera a la causa de la paz, y resolvieron entregarle el premio a Theodore Roosevelt.

4

Equilibrio económico walrasiano

William Jaffé, el mejor biógrafo de Walras1 , narra la historia de que durante sus últimos años, una delegación de economistas extranjeros llegó a Clarens, un pueblo pequeño cercano a Lausanne al que Walras se habı́a retirado desde 1901, para presentar sus respetos al maestro, y preguntaron por su lugar de vivienda. Alguien de allı́ les dijo: “Ah!, ustedes buscan es al profesor que está continuamente leyendo sus propios libros y buscándoles errores”. Y ası́ permaneció Walras en sus últimos años: revisando, corrigiendo y repensando su obra.

Entre las notas que Jaffé encontró dentro de los manuscritos de Walras, apareció una muy particular escrita a lápiz que decı́a: “La única inmortalidad que podemos esperar es la de nuestro propio trabajo. Debemos trabajar y disfrutar del éxito de nuestro trabajo en vida. Este es el secreto de la moralidad y el secreto de la felicidad”.

Walras murió el 5 de enero de 1910.

2.

Walras y el laisser faire ‘‘...Me parece que usted me considera un defensor de la competencia libre absoluta...pero lo que es cierto es lo opuesto; más bien ha sido el deseo de responder a la mal fundada e ininteligible aplicación de la noción de competencia, lo que me ha llevado al estudio de la competencia libre en el comercio y la producción.” (Walras (1883), en carta a W. Lexis) [...]¿Cómo podrı́an demostrar los economistas que los resultados de la libre competencia son buenos y ventajosos si no sabı́an cuáles eran dichos resultados?[...] [Éléments, §223]

1

El historiador norteamericano William Jaffé [1898-1980] fue reconocido por todos los economistas de su época como la máxima autoridad sobre el trabajo de Walras.

Es a él al que le debemos la traducción al Inglés de los Éléments (1954) y el estudio sistemático de la obra de Walras a través de numerosos artı́culos, y de esta manera fue posible que la visión walrasiana se diera a conocer en la corriente principal del pensamiento económico. Sin embargo, quizás el hecho de que los otros dos pilares de la obra de Walras (Économie Sociale y Économie Politique Appliquée) no fueran traducidos a la par de los Éléments, contribuirı́a al ya mencionado sesgo sobre la obra del maestro, marcado por el pensamiento poswalrasiano. Un corta pero interesante biografı́a de Jaffé aparece en Walker (1981).

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

5

Desde muy joven, Walras tenı́a el convencimiento intuitivo de que la libre competencia no tenı́a rival en cuanto a eficiencia, aunque reconocı́a que no era aplicable a cualquier situación, ni resolvı́a el problema de la distribución justa de la riqueza. Afirmaba que la solución competitiva era superior desde el punto de vista cientı́fico, pero no era aplicable mecánicamente a las situaciones reales. No creı́a, además, que la competencia perfecta en un mercado fuera la mejor manera de generar la máxima suma de la satisfacción total para la sociedad, sino que era un sistema diseñado para eliminar beneficio alguno del intercambio y de la producción. De hecho, en equilibrio, nadie se hace más rico ni más pobre; allı́, la única forma en que un individuo se hace más rico es mediante la formación de capital a través del ahorro, y la única forma en que se hace más pobre es consumiendo más allá de sus ingresos: el sólo intercambio bajo competencia perfecta nunca tiene efectos reales de distribución. Y esto no era por condenar la natural búsqueda de beneficio en las actividades económicas, sino para realizar la función moral de no dar algo por nada.

Walras nunca fue abogado del laissez-faire, laissez-passer a veces (equivocadamente) asociado a la noción de competencia perfecta. Por el contrario, creı́a firmemente en la intervención del Estado, pero solo hasta el punto en que asegurara “igualdad de condiciones” (que requiere que la tierra sea propiedad del Estado) y evitara la “desigualdad de posiciones” (que requiere que las habilidades personales les sean dejadas a los individuos). Sólo en esta forma, según él, podrı́an evitarse los posibles perjuicios de, por ejemplo, el monopolio privado. De hecho, como reformador social presentó algunas teorı́as sobre la propiedad de la tierra y la reforma de su distribución, llamando la atención sobre la urgencia en este punto de la intervención del Estado en la economı́a. Esto, en contravı́a de los economistas polı́ticos franceses de la época que insistı́an en limitar al máximo el papel del Estado en la economı́a.

Libertad del Individuo, Autoridad del Estado, Igualdad de Condiciones, Desigualdad de Posiciones: esta es la fórmula general de la constitución de la ciencia social. Una vez se aplique esta fórmula (...) la ley del comportamiento del Hombre estará cientı́ficamente establecida, como lo es la ley del movimiento de la Tierra alrededor del Sol. (Économie Politique Appliquée, p. 453)

6

Equilibrio económico walrasiano

Por esto, Walras se verı́a obligado a estudiar los lı́mites del Hombre como parte del Estado y al hombre como individuo, y los respectivos dominios de la propiedad individual y de la propiedad del Estado en asuntos de distribución, y esto lo harı́a en su Économie Appliquée y Économie Sociale, como veremos más adelante. Para él, la economı́a aplicada (Économie Appliquée) fue, precisamente, la aplicación de sus concepciones de economı́a pura (Éléments) y filosofı́a cientı́fica (Économie Sociale) como fórmula para alejarse del laissez-faire, laissez-passer : “El colectivismo es (...) la mitad de la Verdad en Economı́a Aplicada, como el comunismo es la mitad de la Verdad en Economı́a Social”. (ibid., p. 478)

3.

Walras y el concepto de equilibrio económico

Aunque el pensamiento económico desde al menos la época de Adam Smith [1723-1790] tiene en su centro al individuo que toma decisiones, la formulación de la perspectiva individualista en economı́a se acostumbra asociar con la escuela austriaca y, muy en particular, con Carl Menger y su Principles of Economics (en alemán, Grundsatze Der Volkwirtschattslehre) de 1871.

No es claro, sin embargo, que Walras recibiera influencia de Menger en este aspecto. Según Jaffé (1965), su visión sobre una “economı́a en equilibrio” provino de una fuente precisa: fue sugerida por su lectura, a los 19 años, de los Elementos de Estática (1803) (particularmente el capı́tulo 2 “Sobre las Condiciones de Equilibrio Expresadas por Ecuaciones” y su apéndice La Teorı́a del Equilibrio General y de Movimientos Expresados en Sistemas (1806)) sobre el equilibrio de fuerzas mecánicas de Louis Poinsot, en donde aprendió cómo se deducı́an condiciones de equilibrio general de un sistema mecánico, a partir de condiciones de equilibrio de las partı́culas.2 En Walras, esta inspiración lo condujo a la idea simple (aunque no bien formulada) de que en un sistema económico, todo afecta a todo: cada 2 Además, Poinsot creı́a que para resolver este sistema de equilibrio, bastaba con que el número de ecuaciones coincidiera con el número de incógnitas, una afirmación que fue recurrente en los Éléments de Walras.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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cambio induce cambios y cada uno de éstos, a su vez, induce otros cambios. Y esta nebulosa idea de interdependencia lo condujo a que las partı́culas eran los consumidores y los productores, que las “fuerzas” del mercado eran la oferta y la demanda por los productos, y que éstas dependı́an de los precios de todos los productos (incluyendo, entre los precios, a los salarios y a los precios de servicio de capital (rentas)). Finalmente, llamó “precios de equilibrio” a los precios que hacı́an que la demanda igualara a la oferta en cada mercado.3 Pero una cosa es tener una idea primitiva de interdependencia y una posible noción de equilibrio, y otra muy distinta es la de construir una teorı́a matemática explı́cita que revelara claramente esa interdependencia económica dentro de un sistema de equilibrio general. Además, responder a las dificultades teóricas y conceptuales asociadas con este inmenso esfuerzo, lo obligaba a limitarse en sus hipótesis y construcciones, y esto, por supuesto, le valdrı́a las crı́ticas y ataques de los economistas de la época.

Nueve meses antes de morir, Walras publicarı́a un particular artı́culo, Économique et Mécanique (1909), en el que revelaba cómo podrı́a haber devenido el concepto de equilibrio económico a su pensamiento de arquitecto. Particularmente interesante es la justificación que da para que, a diferencia del equilibrio mecánico de Poinsot, al concepto de equilibrio económico se le pudieran incorporar elementos subjetivos. Decı́a: “La teorı́a de la satisfacción máxima del intercambio y la de la energı́a máxima de la balanza romana, la teorı́a del equilibrio general del mercado y la del equilibrio universal de los cuerpos celestes, encontraremos, entre las dos teorı́as mecánicas una sola y única diferencia: la exterioridad de los fenómenos mecánicos y la interioridad de los fenómenos económicos, (...); se tienen instrumentos para determinar la caı́da de los astros los unos hacia los otros. No se tienen para medir la intensidad de las necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada individuo que intercambia se encarga de operar él mismo, consciente 3 Sin embargo, Jaffé (1969) sostenı́a que, además de Poinsot y de sus colegas de Lausanne (Picard y Amstein), el Traité des Richesses de Isnard (1781) influyó notablemente en la matemática del sistema de equilibrio general de Walras.

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Equilibrio económico walrasiano o inconscientemente, esta medida y de decidir en interior profundo si sus últimas necesidades satisfechas son o no proporcionales a los valores de las mercancı́as. Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se van a medir sean fı́sicos o psı́quicos, no impide que exista medida, es decir, la comparación de las cantidades y la relación cuantitativa, y que, en consecuencia, la ciencia sea matemática.

Una de las materias de la ciencia moderna, después de haber citado y criticado los ensayos de definición de masa de Newton por Thomson y Tait, de la fuerza de Lagrange por Kirchhoff, concluye que: las masas son coeficientes fáciles de introducir en el cálculo. Bienvenido sea! Esto es hablar claro y me motiva a preguntarme si las masas y las fuerzas al igual que las utilidades y las raretés, no serán simplemente nombres dados a las causas hipotéticas que serán indispensables y legı́timas de hacer aparecer en los cálculos en vista de incorporarlas a sus efectos si se quiere elaborar la ciencia fı́sico-psı́quico-matemática con la precisión y concisión y en la forma rigurosa y clara de la lengua matemática. Las fuerzas serán ası́ causa del espacio recorrido, las masas serán causa del tiempo empleado en recorrer,(...) y las utilidades y las reretés 4 serán las causas de la demanda y de la oferta, de las cuales resultará el valor en el intercambio (...). Las matemáticas serán la lengua especial para hablar de hechos cuantitativos, y en consecuencia la economı́a será una ciencia matemática con el mismo tı́tulo de la mecánica y de la astronomı́a.”

Ası́, inspirado en la Fı́sica, para él se debı́an distinguir los hechos matemáticos en dos categorı́as: los primeros son exteriores, suceden fuera de nosotros, en la naturaleza, y son los objetos de las ciencias fı́sicomatemáticas; los segundos son internos, ocurren dentro de nosotros, en el interior profundo, y son los hechos psı́quicos-matemáticos. La mecánica y la astronomı́a pertenecen a la primera categorı́a; la economı́a per4 “La rareté es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseı́da, exactamente como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en recorrerla” (Éléments, §101).

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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tenece a la segunda. Y aquı́, el concepto de equilibrio también tendrá su participación: son entidades abstractas creadas por la subjetividad.

4.

Sobre los Éléments de Walras

Por razones que la historia del pensamiento económico tendrá que evaluar (y sobre las que discutiremos más adelante), es tı́picamente aceptado que la contribución más importante de Walras fue su teorı́a del equilibrio general tal como aparece en Éléments. 5 No obstante, la “visión general” de una economı́a, como hilo conductor de éste, ya tenı́a antecedentes en el Tableau Économique de Quesnay (1758) en donde se explicaba la interdependencia de sectores definidos en términos de estructura de clase (productivos, propietarios, clases manufactureras “estériles”, etc.), y donde los flujos de bienes, servicios y dinero eran controlados por el empresario.6 También Jaffé (1969) afirmaba que Walras se habrı́a inspirado en algunas de las ecuaciones del Traité des Richesses de Isnard (1781) para la construcción de su sistema de equilibrio general. Aún ası́, no existe duda de que el modelo walrasiano iba mucho más allá de Quesnay y de Isnard, y que fue la más amplia visión de la economı́a hasta entonces conocida.

Walras supone una economı́a en régimen de competencia perfecta en el que todos los agentes (consumidores y productores) responden a precios tomados paramétricamente, es decir, a precios dados por el mercado, justificándose esto sobre la base de que no era posible ningún comportamiento manipulativo dentro de una economı́a suficientemente grande.

Al respecto, Walras afirmaba que: “(...) Los mercados mejor organizados desde el punto de vista de la competencia son aquellos en que las ventas y las compras se hacen mediante subasta, a través de agentes tales 5 La primera edición de éste fue publicada en dos partes, una en 1874 (que es la que comúnmente se cita en las bibliografı́as de Walras) y otra en 1877; la segunda edición fue publicada en 1889; la tercera en 1896; la cuarta en 1900; y la quinta en 1926, después de su muerte. Fue la edición de 1900 a la que Walras llamarı́a su “edición definitiva” que, de hecho, no contiene diferencias esenciales con la edición de 1926.

6 Para Walras, como veremos más adelante, el papel del empresario también era central.

10

Equilibrio económico walrasiano como los agentes de cambio, corredores de comercio o voceadores que las centralizan, de tal forma que ningún cambio tiene lugar sin que las condiciones sean anunciadas y conocidas y sin que los vendedores tengan la oportunidad de rebajar sus precios y los compradores de aumentarlos. Ası́ funcionan las bolsas de valores públicos, las bolsas de comercio, los mercados de grano, de pescado, etc. Al lado de estos mercados existen otros donde de la competencia, aunque no tan bien organizada, funciona todavı́a de una manera bastante adecuada y satisfactoria: tales son los mercados de frutas y legumbres, de volaterı́a. Las calles de una ciudad donde se encuentran almacenes y panaderı́as, carnicerı́as, tiendas de ultramarinos, sastrerı́as, zapaterı́as, constituyen mercados con una organización un poco más defectuosa desde el punto de vista de la competencia pero, sin embargo, ésta está presente de forma suficiente. (...) Supondremos siempre un mercado perfectamente organizado 7 desde el punto de vista de la competencia, de igual forma que en la mecánica pura se supone que las máquinas se encuentran libres de rozamientos”.

(Éléments, § 41)

Y para que esta economı́a esté en equilibrio, deben darse cinco condiciones: i) Que cada consumidor, caracterizado por curvas de utilidad sobre los bienes y servicios de la economı́a, alcance el máximo de satisfacción. Esto se obtiene cuando los precios son proporcionales a sus respectivas utilidades marginales (raretés). ii) El precio de mercado de cada bien o servicio producido u ofrecido, debe coincidir con su costo de producción. iii) La oferta de cada bien o servicio debe ser igual a su demanda. iv) Que a precios de venta iguales al cociente entre las rentas netas y la tasa común de la renta neta, la demanda y la oferta de los bienes de capital nuevos sean iguales; y que los precios de venta y 7

Quizás de aquı́ proviene el término “competencia perfecta”.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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costes de producción de estos bienes de capital nuevos, también, sean iguales. v) La cantidad de dinero en circulación debe ser tal que el precio de la mercancı́a-dinero sea el mismo como capital circulante y como dinero-moneda. Esto se hace a través de fundición o acuñación según que el precio del servicio del dinero-moneda sea, respectivamente, superior o inferior al precio del servicio de la mercancı́a como capital circulante.

Todo esto lo estudia en los Éléments en cuatro bloques: la teorı́a del intercambio puro (Secciones II y III), la teorı́a de la producción (Sección IV), la teorı́a de la formación de capital (Sección V), y la teorı́a monetaria y de la circulación (Sección VI).

a).

Teorı́a del intercambio puro

Es difı́cil separar el pensamiento de Walras-hijo del de Walras-padre pues sus similaridades fueron realmente notables. Como caso particular, Walras tomó del De la Nature de la Richesse (1831) de su padre Auguste, su conveniente clasificación de los bienes, que hace la útil distinción entre capital e ingreso, siendo el primero aquella riqueza social que puede utilizarse más de una vez, y el segundo aquella riqueza social que es utilizada una sola vez. Más aún: muchas de las categorı́as y definiciones de factores de producción fueron tomadas casi al pie de la letra del libro de su padre. Por ejemplo, ambos Walras rechazaban la común clasificación clásica de tierra-mano de obra-capital, colocando en su lugar servicios-tierra, cuya fuente es la tierra; servicios-mano de obra, cuya fuente son las capacidades de las personas; y servicios-capital, cuya fuente es el capital en el sentido de bienes de capital producidos.

“Entre las cosas que componen la riqueza social deben diferenciarse los bienes de capital o bienes duraderos, que pueden utilizarse más de una vez, y los bienes de renta o bienes fungibles, que pueden emplearse sólo una vez.

Los bienes de capital incluyen las tierras, las capacidades personales y los bienes de capital propiamente dichos.

Los bienes de renta comprenden en primer lugar los bienes

12

Equilibrio económico walrasiano de consumo y las materias primas, que son la mayorı́a de las veces cosas materiales; pero incluyen también bajo el nombre de servicios, todos los usos sucesivos de los bienes de capital, que son la mayorı́a de las veces cosas inmateriales. Los servicios de los bienes de capital que tienen utilidad directa se llaman servicios de consumo y se incluyen en la categorı́a de los bienes de consumo; aquellos servicios de los bienes de capital que sólo tienen utilidad indirecta se llaman servicios productivos y se incluyen en el mismo grupo que las materias primas. Esta es en mi opinión, la clave de toda la economı́a polı́tica pura. Si se desprecia la distinción entre bienes de capital y bienes de renta; y si, en particular, no se incluyen los servicios no materiales de los bienes de capital en la riqueza social junto a los bienes de renta materiales, se imposibilita toda teorı́a cientı́fica de la determinación de los precios. Si se admite, por el contrario, la distinción y clasificación propuestas, es posible obtener sucesivamente: la determinación de los bienes y servicios de consumo a través de la teorı́a del intercambio; la determinación de los precios de las materias primas y servicios productivos mediante la teorı́a de la producción; la determinación de los precios de los bienes de capital fijo por medio de la teorı́a de la formación de capital; y la determinación de los precios de los bienes de capital circulante gracias a la teorı́a de la circulación.”(Éléments, Prólogo).

Con respecto al problema mismo del intercambio, aunque Gossen, Menger, Jevons, y Marshall desarrollaron de manera casi simultánea la ecuación de proporcionalidad (en equilibrio) de las utilidades marginales (que, como ya habı́amos afirmado, Walras llamaba raretés) y los precios de los bienes, sólo Walras atacó este mismo problema para más de dos mercancı́as (Lección 11◦ ). Y la forma de resolver este problema fue la de conectar los diferentes mercados a través de la condición de equilibrio de “oferta igual a demanda”, y mediante la aparición endógena de un precio uniforme que llamó numerario 8 , el cual permite reducir los precios de todos los bienes en términos de éste.

8

Término acuñado por Auguste Walras, padre de Léon.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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De hecho, en la lección 14◦ de la sección III, Walras establece un teorema que llamó de las redistribuciones equivalentes :

Dadas varias mercancı́as en un mercado en estado de equilibrio general, los precios corrientes de estas mercancı́as no cambiarán si se redistribuyen las cantidades de éstas entre los individuos de una forma cualquiera, siempre que la suma de las cantidades poseı́das por cada uno de los individuos se mantenga igual en valor. (Éléments, §143) Según esto, se puede definir la restricción de presupuesto individual en términos del numerario y, por tanto, plantear el problema de equilibrio del consumidor como uno de maximizar la utilidad sujeta a una restricción presupuestal.

Para establecer el problema de intercambio (§ 118), Walras comienza asumiendo que existen m mercancı́as (A), (B), (C), (D)... en el mercado; que el individuo (1) posee inicialmente qa,1 de (A), qb,1 de (B), etc., y que r = φa,1 , r = φb,1 , etc. son las “ecuaciones de necesidad” de las mercancı́as (A), (B), etc.9 , respectivamente, para este individuo “durante un periodo de tiempo dado”. Luego toma el precio de (A) como numerario, y denota los precios respectivos de las otras mercancı́as, mediante pb , pc , pd , etc. Después, denota por x1 , y1 , z1 , w1 ,..., las cantidades respectivas de (A), (B), (C), (D),... que el individuo (1) le agregará a las cantidades iniciales qa,1 de (A), qb,1 de (B), dados los precios. Estas cantidades son positivas si hay demanda efectiva, o negativas si hay oferta efectiva, pero, en general, dado que “nuestro individuo no podrá demandar ciertas mercancı́as más que a condición de ofrecer ciertas otras en cantidad equivalente [[igual valor]]”, se cumplirá la ecuación x1 + y1 pb + z1 pc + w1 pd + · · · = 0

(1)

9 Esta letra r proviene de la palabra rareté. Es de anotar que Walras nunca acudió a las curvas de utilidad como sı́ lo harı́a su seguidor Pareto: sólo recurrió a las marginalidades de la utilidad que él llamó con aquel término en Francés.

14

Equilibrio económico walrasiano

De otro lado, bajo “satisfacción máxima” se debe cumplir que

10

φb,1 (qb,1 + y1 ) =pb φa,1 (qa,1 + x1 ) φc,1 (qc,1 + z1 ) =pc φa,1 (qa,1 + x1 )

(2)

φd,1 (qd,1 + w1 ) =pd φa,1 (qa,1 + x1 ) · · · · · · · · ·· Y ahora, según Walras, es posible recoger la ecuación de (1) y las m − 1 ecuaciones del sistema (2), para obtener un sistema de m ecuaciones en las que “se eliminan sucesivamente m − 1 de las incógnitas x1 , y1 , z1 , w1 , ... de forma que no queda más que una ecuación que expresa la incógnita m-ésima en función de los precios”. De allı́ aparecen las ecuaciones de demanda (u oferta) para el individuo (1), y que Walras escribe ası́: x1 = − (y1 pb + z1 pc + w1 pd + · · ·) y1 =fb,1 (pb , pc , pd , · · ·)

z1 =fc,1 (pb , pc , pd , · · ·)

(3)

w1 =fd,1 (pb , pc , pd , · · ·) ··········

Y de manera similar para los individuos (2),(3),... se tiene que: x2 = − (y2 pb + z2 pc + w2 pd + · · ·) y2 =fb,2 (pb , pc , pd , · · ·)

z2 =fc,2 (pb , pc , pd , · · ·)

(4)

w2 =fd,2 (pb , pc , pd , · · ·) ··········

x3 = − (y3 pb + z3 pc + w3 pd + · · ·) y3 =fb,3 (pb , pc , pd , · · ·)

z3 =fc,3 (pb , pc , pd , · · ·)

(5)

w3 =fd,3 (pb , pc , pd , · · ·) ··········

10 Note que la siguiente no es más que la condición marginalista “relación de precios = tasa marginal de sustitución”, tan socorrida hoy en la teorı́a microeconómica de formación de precios.

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Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

Posteriormente, Walras denota las demandas (u ofertas) agregadas ası́: fb,1 + fb,2 + fb,3 + ... = Fb (pb , pc , pd , ...) fc,1 + fc,2 + fc,3 + ... = Fc (pb , pc , pd , ...)

(6)

fd,1 + fd,2 + fd,3 + ... = Fd (pb , pc , pd , ...) · · · · · · · · ·· y llega a las m − 1 ecuaciones Fb (pb , pc , pd , ...) = 0 Fc (pb , pc , pd , ...) = 0

(7)

Fd (pb , pc , pd , ...) = 0 · · · · · · · · ·· que determinarı́an los precios de las mercancı́as en términos del precio del numerario (A), “(...) mediante la triple condición: 1◦ Que cada individuo obtiene la satisfacción máxima de sus necesidades, siendo las proporciones entre las raretés iguales a los precios; 2◦ que cada individuo debe recibir en proporción a lo que entrega y entregar en proporción a lo que recibe, teniendo cada mercancı́a un sólo precio en términos del numerario, aquel para el cual la demanda total efectiva iguala a la oferta total efectiva; 3◦ que no se realiza arbitraje, porque el precio de equilibrio de cualesquiera dos mercancı́as en términos de una de ellas es igual al cociente entre los precios de equilibrio de ambas en términos de una tercera cualquiera”. (Éléments, § 124) Y para “resolver” este sistema de ecuaciones fue que Walras introdujo su famoso tâtonnement 11 (Éléments, §125). Éste es un proceso mediante el cual el mecanismo de mercado “resuelve” las ecuaciones de equilibrio 11

Curiosamente, Walras nunca utilizó la palabra “subastador” (auctioneer en Inglés y que ocasionalmente Jaffé, su traductor, sı́ utilizó))en los Éléments. Muy seguramente, la palabra francesa para “auctioneer” es commissaire-priseur, pero Walras siempre utilizó alternativamente courtier o crieur.

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Equilibrio económico walrasiano

de intercambio 12 . En palabras del propio Walras, el mercado lleva este proceso a cabo de la siguiente forma: “Si la demanda es superior a la oferta, el precio de dicha mercancı́a en términos del numerario, subirá; si es la oferta la que supera la demanda, bajará”.

Era claro que Walras no tenı́a una conciencia clara sobre el problema de la existencia del equilibrio, y la confundı́a con el problema de su estabilidad a través del tâtonnement. De hecho, trataba el problema de la existencia del equilibrio y su unicidad, con un argumento que descansaba en la idea de si su sistema contenı́a exactamente el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, no tendrı́a porqué dejar de haber soluciones (la llamaba “solución cientı́fica”), ni habrı́a más que una solución (y esto se resolvı́a “en el mercado por el mecanismo de la competencia”, es decir, por tâtonnement (§124)).13

b).

Teorı́a de la producción

Sobre el equilibrio en la producción bajo libre competencia, decı́a (ver Lección 22) que esta operación deberı́a arrojar precios para cada servicio y para cada producto, de tal manera que la oferta y la demanda fueran iguales, y que aquellos precios deberı́an igualar al costo unitario de los servicios empleados en su producción.

En esta instancia, Walras tuvo que enfrentar el reto de conectar los mercados de productos y de servicios productivos, y al hacerlo incorpora dentro de la teorı́a económica los conceptos de terrateniente, trabajador, capitalista y empresario [entrepreneurs]. En la Lección 18 de la sección IV (§184), los define ası́: “Llamamos terrateniente a cualquier poseedor de tierras, trabajador al poseedor de facultades personales, capitalista al 12

Pero no sólo las de intercambio, sino también las de producción, y las de capitalización, como veremos más adelante.

13 Lo anterior no es del todo sorprendente si pensamos en que la Fı́sica del siglo XIX nunca se preocupaba por la existencia de los equilibrios. El mismo Poinsot (1803) en su sistema mecánico podrı́a haber influido en Walras al asegurar que un sistema de n ecuaciones con n incógnitas siempre tenı́a solución. Además, dicho sea de paso, en aquella época tampoco se tenı́an disponibles las herramientas matemáticas adecuadas para un propósito de tal nivel.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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poseedor de bienes de capital. Y ahora llamamos empresario a una cuarta figura, totalmente distinta de las precedentes, cuyo papel consiste en tomar en arriendo la tierra del capitalista, las facultades personales del trabajador y los bienes de capital del capitalistas, para combinar los tres servicios productivos en la agricultura, la industria o el comercio.”

El objetivo de esta particular figura del empresario es, obviamente, recibir ganancias por su tarea. Pero Walras resaltaba que, en condiciones de equilibrio competitivo, el precio de venta de los productos y servicios productivos iguala a los costos unitarios de producción, lo que conlleva a que el empresario realmente no obtendrá ningún beneficio por su trabajo, y que su papel sólo será conectar los mercados de productos y servicios.

Sin embargo, al intentar generalizar la existencia del equilibrio productivo a través del tâtonnement, Walras encontró que habı́a un problema: Al vocearse determinados precios que no son de equilibrio, se requerirá fabricar cantidades de productos que no son tampoco de equilibrio, y esto podrı́a llevar en la siguiente etapa a producciones inferiores a las que ya se tienen. Para resolver este problema, Walras asume que los empresarios operarán entonces con vales hasta que se alcance la cantidad de equilibrio. Sin embargo, hay más problemas: aún si hubieran sido voceadas las cantidades de equilibrio, es un hecho que llevar a cabo la producción, toma tiempo. Walras, aunque esquiva este problema aquı́ asumiendo que tal hecho no sucede, entiende que deberá estudiar los problemas del capital circulante y, fundamentalmente, del dinero, y esto lo harı́a en capı́tulos posteriores.

Especı́ficamente, en la lección 20 (Ecuaciones de Producción), Walras escribe las ecuaciones de oferta y de demanda individual de servicios y productos: Ot =Ft (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , ·)

Op =Fp (pt , pp , pk , · · ·pb , pc , pd , ·)

Ok =Fk (pt , pp , pk , · · ·pb , pc , pd , ·) ··········

(Sistema de n ecuaciones de oferta total de servicios)

(1)

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Equilibrio económico walrasiano

Da =Fa (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , ·) Db =Fb (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , ·) Dc =Fc (pt , pp , pk , · · ·pb , pc , pd , ·)

(2)

Dd =Fd (pt , pp , pk , · · ·pb , pc , pd , ·) ··········

(Sistema de m ecuaciones de demanda total de los productos) donde Ot , Op , Ok ,..., son los ofertas totales de los servicios; Da , Db , Dc , Dd ... las demandas totales de los productos; y Pt , Pp , Pk ,... los precios.

Por otro lado lado, escribe: at Da + bt Db + ct Dc + dt Dd + · · · = Ot

ap Da + bp Db + cp Dc + dp Dd + · · · = Op

(3)

ak Da + bk Db + ck Dc + dk Dd + · · · = Ok · · · · · · · · ··

(Sistema de n ecuaciones de equilibrio) que muestran que las cantidades de servicios productivos empleadas, son iguales a las cantidades efectivamente ofrecidas. Aquı́, at , ap , ak , · · ·bt , bk , · · ·ct , cp , ck , · · ·, dt , dp , dk · ·· “son los coeficientes de producción, es decir, las cantidades de cada uno de los respectivos servicios productivos (T ), (P ), (K), ... que se han de utilizar en la fabricación de una unidad de los respectivos productos (A), (B), (C), (D), · · · ”.

Finalmente, cierra su sistema con un sistema de m ecuaciones que expresan que “el precio de venta de los productos es igual al coste de los servicios productivos utilizados en su fabricación”: at pt + ap pp + ak pk + · · · = 1

bt pt + bp pp + bk pk + · · · = pb

ct pt + cp pp + ck pk + · · · = pc

(4)

dt pt + dp pp + dk pk + · · · = pd · · · · · · · · ··

Por lo tanto, tenı́a 2m+2n ecuaciones que se pueden reducir a 2m+2n−1 ecuaciones:

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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“Si se multiplican ambos miembros de las n ecuaciones del sistema (3) respectivamente por pt , pp , pk , ···, y los dos miembros de las m ecuaciones del sistema (4) respectivamente por Da , Db , Dc , Dd , · · ·, y se suman por separado las ecuaciones de cada sistema, se obtiene (...): Da = (Ot pt + Op pp + Ok pk + · · ·) − (Db pb + Dc pc + Dd pd + · · ·) que no es otra que la [primera] ecuación del sistema (2)”.14 Y ası́ obtuvo su sistema de mercados de productos y servicios interdependientes: 2m+2n-1 ecuaciones para determinar 2m+2n-1 incógnitas.

“Queda solamente por demostrar, en lo que concierne al equilibrio de la producción, al igual que concernı́a al equilibrio del intercambio, que el problema al que acabamos de dar solución es el mismo que se resuelve en la práctica en el mercado por el mecanismo de libre competencia.”

Y allı́ aplica el tâtonnement en la producción.

La mayorı́a de las crı́ticas a la teorı́a de la producción de Walras se dirigı́an a la condición de que, en equilibrio, los empresarios no tienen ni pérdidas ni ganancias. Sin embargo, la clave aquı́ estaba en la utilización que le daba Walras a la palabra “beneficio”. Lo que Walras querı́a entender por esto es lo que obtiene un empresario en otras funciones, pero no en su función de empresario en sı́ misma. Es decir, esta función comercial, tomada aisladamente, equilibra las pérdidas y las ganancias.

Y, de hecho, esto lo afirmaba el mismo Walras: En estado de equilibrio en la producción, los empresarios no tienen ni pérdidas ni beneficios. Ellos se ganan la vida, no como empresarios, sino como propietarios de la tierra, trabajadores o capitalistas en su propio negocio o en otros.[Éléments (1954), p. 225] Una vez incorporada esta definición contable, la condición de “beneficio cero bajo competencia perfecta” ha sido adoptada por muchos economistas, aunque sin darle ningún crédito a Walras.

14

Esta, posteriormente, se conocerı́a como la Ley de Walras.

20

Equilibrio económico walrasiano

Otra de las crı́ticas a la teorı́a de la producción de los Éléments se concentró en los coeficientes de producción constantes. Es aparentemente claro (ver Stigler (1941)) que no antes de la aparición, ambos en 1894, del “Co-ordination of the Laws of Distribution” de Wicksteed y del “Il Massimo di Utilità dato dalla Libera Concorrenza” de Pareto, tuvo claridad Walras con respecto a la teorı́a de la marginalidad productiva, es decir, al estudio de coeficientes marginales variables de producción. Sin embargo, es a Pareto a quien Walras le da crédito de ser uno de los descubridores de la teorı́a de la productividad marginal, aunque reconoce el germen de ésta en el Theory of Political Economy (1871) de Jevons.

Cabe mencionar que en 1877 Walras tuvo en sus manos una carta de un colega de Lausanne en donde éste le mostraba cómo podrı́a calcular los coeficientes de producción utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, una técnica que Walras jamás usó. Pero no tuvo en cuenta esta sugerencia, quizás debido a su débil entrenamiento matemático.

Sea como hubiera sido, Walras sı́ incorporó en la última edición de sus Éléments (ver Lección 36) una teorı́a de la productividad marginal que implicaba los coeficientes variables que siempre buscó. Primero definió una ecuación de producción [“équation de fabricación”] con rendimientos constantes a escala de la forma Q = φ(T, P, K, ...)

(*)

donde Q es la producción del servicio productivo B, y donde (T ), (P ), (K),. . ., son las cantidades variables de los servicios productivos implicados en esa producción. Ası́, el coste (unitario) de producción es Qpb = T pt + P pp + Kpk + . . . donde pb es el precio unitario de B, pt es el precio unitario de T , etc.

Y minimizar este costo llevó a Walras a la “teorı́a de la productividad marginal”: pt ∂φ ∂T

=

pp ∂φ ∂P

=

pk ∂φ ∂K

= ...

“En estado de equilibrio, cuando el coste de producción y el precio de venta son iguales, los precios de los servicios son proporcionales a las derivadas parciales de de la función de

(**)

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

21

producción [“fonction de fabrication”], es decir, a las productividades marginales.” [Élements, § 326] Los sistemas (*) y (**) consistı́an de n ecuaciones con n incógnitas (incluı́dos allı́ los “coeficientes variables” de producción) que, según Walras, obligarı́a la existencia de soluciones a ellos.

Quizás debido a que este intento fue tardı́o dentro de su trabajo cientı́fico, Walras nunca incorporó una teorı́a completa de la productividad marginal en su modelo de equilibrio general, como sı́ lo hiciera con la teorı́a subjetiva del valor: He preferido no introducir la teorı́a de la productividad marginal en mi teorı́a general del equilibrio económico, ya suficientemente complicada por sı́ misma, por temor a que resulte demasiado difı́cil de asimilar en su conjunto. [Éléments, § 326]

c).

Teorı́a del capital Los productos se demandan en razón de su utilidad; los servicios se demandan en razón de su utilidad y en razón de los precios de los productos que ayudan a fabricar. ¿En razón de qué se demandan los bienes de capital? En razón de los servicios que procuran, pero principalmente por las rentas, salarios e intereses que proporcionan.(...) Una persona que compra una casa como vivienda propia debe descomponerse desde nuestro punto de vista en dos individuos, uno de los cuales hace una inversión, y el otro consume directamente los servicios de su capital. Hemos hablado ya del último; es el primero el ahora nos ocupa. [Éléments, §231]

En el intercambio bajo competencia perfecta, ninguno de los individuos es más rico pero tampoco más pobre. La única forma, en el modelo de Walras, de que un individuo sea más rico, es mediante la formación de capital a través del ahorro; y la única forma en que se hace más pobre es consumiendo mas allá de su ingreso. El sólo intercambio bajo competencia perfecta nunca tiene efectos de distribución.

22

Equilibrio económico walrasiano

Es claro que el hecho de que un individuo se haga más rico o más pobre implica cambios en gustos, tecnologı́a, recursos, capital, etc. Y aunque no es en esto explı́cito, Walras asumı́a que todas las variables permanecı́an constantes hasta que el equilibrio se alcanzara. Inclusive su teorı́a de formación de capital está restringida al cálculo del equilibrio en el momento de hacer las inversiones, y todo lo demás es estático. En los Éléments, Walras forza la teorı́a de la formación de capital dentro de una estructura estática como es la que tiene su modelo de equilibrio general, y ası́ no podrı́a estudiar allı́ las consecuencias de la inversión, una vez llevada a cabo. Posteriormente, en el artı́culo La Bourse, la Spéculation et l´Agiotage 15 de 1880, sı́ discutió los efectos de nuevas inversiones y de otros cambios en los parámetros del modelo.

Walras consideraba cuatro mercados separados en la formación de capital y crédito en una economı́a: a) servicios; b) productos para el consumo; c) nuevos bienes de capital; y d) un bien abstracto E que es el “ingreso neto perpetuo” que es una expresión del ahorro 16 . Aquı́, al igual que en las economı́as de intercambio y producción, los bienes nuevos de capital y el bien E eran intercambiados de acuerdo a las reglas de la libre competencia, y sus precios (precios y tasa de ingreso neto, respectivamente) son indexados en términos del numerario. Además, los precios de equilibrio de los nuevos bienes de capital y del bien E se establecen mediante igualación de oferta y demanda, es decir, por la relación entre oferta efectiva y la demanda efectiva, y por la relación entre los precios de venta (precios de demanda) de los productos y sus costos de producción (precios de oferta). Estos últimos se determinan como se hace para los bienes de consumo, pero la determinación de los precios de venta para los bienes de capital difiere de la determinación de los bienes de consumo. Especı́ficamente, el precio de venta de un bien de capital dado estará dado por Π=

p i+µ+ν

donde Π es el precio de venta del bien de capital; p es el ingreso bruto del bien de capital, es decir, el precio de su servicio incluyendo la tasa 15

Aparecido en su Économie Politique Appliquée.

Con este concepto, Walras eludió el estudio del problema dinámico inherente a cualquier estudio de la noción de capital.

16

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

23

de depreciación y la prima del seguro; i es la tasa de ingreso neto (que es la misma para todos los bienes de capital); µ es la tasa de depreciación, que variará para los diferentes bienes de capital; y ν es la tasa de prima del seguro, que también variará con los diferentes bienes de capital.

De otro lado, para que haya demanda (es decir, compra) de bienes de capital deberá haber algunos agentes cuyos ingresos excedan su compra de bienes de consumo y servicios, y que en el el agregado también ocurra esto, es decir, que el ingreso agregado sea mayor que el gasto agregado en bienes de consumo y servicios. Ası́, cuando, para un agente, este exceso del ingreso sobre el gasto es mayor que la cantidad necesaria para cubrir la depreciación y la prima del seguro, el agente ahorra (Walras (1954), p.274). Buscando convertir este nuevo término (ahorro) a un término que se asimilara a otro bien de consumo, Walras introdujo una mercancı́a abstracta (E) que llamó ingreso neto perpetuo, y cuyo precio era pe = 1i , donde i es la tasa de ingreso neto. Con esto, la cantidad E podı́a ser demandada (de ) por los agentes de la economı́a u ofrecida (oe ) como cualquier otro servicio de capital, además de ser incluida en la función de utilidad y ser asignada mediante el principio de la satisfacción máxima.

Las ecuaciones originales de Walras (Éléments, Sección V (“Teorı́a de la Formación de Capital y Crédito”)) para el equilibrio de la formación de capital y el crédito, está conformada por 8 sistemas donde (falta describir las distintas variables que van a aparecer ): El primero es de n ecuaciones de oferta total de servicios: Ot =Ft (pt , ··, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe ) ··········

Op =Fp (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

(1)

··········

Ok =Fk (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Ok′ =Fk′ (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Ok′′ =Fk′′ (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe ) ··········

El segundo es el sistema de m ecuaciones de demanda total de los pro-

24

Equilibrio económico walrasiano

ductos: Db =Fb (pt , · · ·, pp , · · ·, pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Dc =Fc (pt , · · ·, pp , · · ·, pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Dd =Fd (pt , · · ·, pp , · · ·, pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe ) ··········

(2)

Da =Ot pt + · · · + Op pp + · · · + Ok pk + Ok′ pk′ + Ok′′ pk′′ + ... + · · · −(Db pb + Dc pc + Dd pd + · · · + E)

La ecuación de excedente total de la renta sobre el consumo es: E = De pe =Fe (pt , · · ·, pp , · · ·, pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )pe

(3)

=Fe (pt , · · ·, pp , · · ·, pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, i)

El sistema de n ecuaciones que expresan que las cantidades de servicios productivos utilizadas son iguales a las cantidades efectivamente ofrecidas es: ′′

at Da + bt Db + ct Dc + dt Dd + · · kt Dk + kt′ Dk′ + kt Dk′′ + ·· = Ot ap Da + bp Db + cp Dc + dp Dd + · · +kp Dk +

kp′ Dk′

′′

· · · · · · · · ··

+ kp Dk′′ + ·· = Op (4) ′′

· · · · · · · · ··

ak Da + bk Db + ck Dc + dk Dd + · · · + kk Dk + kk′ Dk′ + kk Dk′′ + ... = Ok ′′

ak′ Da + bk′ Db + ck′ Dc + dk′ Dd + · · +kk′ Dk + kk′ ′ Dk′ + kk′ Dk′′ + ·· = Ok′ ′′

ak′′ Da + bk′′ Db + ck′′ Dc + dk′′ Dd + · · +kk′′ Dk + kk′ ′′ Dk′ + kk′′ Dk′′ + ·· = Ok′′

· · · · · · · · ··

El sistema de m ecuaciones que expresan que los precios de venta de los productos son iguales a sus costes de producción es: at pt + · · · + ap pp + · · · + ak pk + ak′ pk′ + ak′′ pk′′ + · · · = 1

bt pt + · · · + bp pp + ... + bk pk + bk′ pk′ + bk′′ pk′′ + · · · = pb

ct pt + · · · + cp pp + · · · + ck pk + ck′ pk′ + ck′′ pk′′ + · · · = pc

dt pt + · · · + dp pp + · · · + dk pk + dk′ pk′ + dk′′ pk′′ + · · · = pd · · · · · · · · ··

(5)

25

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

El sistema de l ecuaciones que expresan que los precios de venta de los bienes de capital nuevos son iguales a sus costes de producción es: kt pt + ... + kp pp + ... + kk pk + kk′ pk′ + kk′′ pk′′ + · · · = Pk

kt′ pt + ... + kp′ pp + ... + kk′ pk + kk′ ′ pk′ + kk′ ′′ pk′′ + · · · = Pk′ ′′

′′

′′

′′ k′

(6)

′′ k ′′

kt pt + ... + kp pp + ... + kk pk + k pk′ + k pk′′ + · · · = Pk′′ · · · · · · · · ··

La ecuación que indica la igualdad entre el valor de los bienes de capital nuevos y el excedente de renta total sobre el consumo es: Dk Pk + Dk′ Pk′ + Dk′′ Pk′′ + · · · = E

(7)

Finalmente, el sistema de l ecuaciones que expresan la igualdad de la tasa de renta neta para todos los bienes de capital: pk i + µ k + νk pk ′ Pk′ = i + µ k ′ + νk ′ pk′′ Pk′′ = i + µk′′ + νk′′ · · · · ·· Pk =

(8)

Pero estas 2n + 2m + 2l + 2 ecuaciones se reducen a 2n + 2m + 2l + 1 pues, como muestra Walras, si se multiplican los dos miembros de las ecuaciones [4], respectivamente, por pt , ..., pp , ...pk′ , pk′ , pk′′ , y los dos miembros de las ecuaciones de [5] y [6], respectivamente, por Da , Db , Dc , Dd , ..., Dk , Dk′ , Dk′′ , ... y se suman, se obtiene (utilizando la m-ésima ecuación de [2]) la ecuación [7]. Es decir que, en definitiva, se tienen 2n + 2m + 2l + 1 con el mismo número de incógnitas: n cantidades totales ofrecidas de servicios y sus n respectivos precios; m cantidades totales de demandas de productos y sus m − 1 precios respectivos (el otro es el numerario); el valor del excedente total de la renta sobre el consumo; las l cantidades de bienes de capital nuevos y sus respectivos precios; y, finalmente, la tasa de renta neta.

26

Equilibrio económico walrasiano

Ahora, para establecer el equilibrio de manera similar a como hiciera en intercambio y producción, Walras recurrió nuevamente a su tâtonnement.

Además de los procesos tâtonnement para los sectores de intercambio y producción, en este nuevo modelo existen dos procesos iterativos adicionales. El primero es para establecer el equilibrio en el mercado de nuevos bienes de capital mediante los precios de venta y los costos de producción: si el precio de venta es menor que el costo de producción, la cantidad producida aumentará, y su precio de venta caerá; si el precio de venta es menor que el costo de producción, la cantidad producida disminuirá y su precio de venta aumentará. El segundo es para establecer el equilibrio en el mercado del bien abstracto llamado ingreso neto.

Si el ahorro total (valor total del ingreso neto) es menor que el valor total de los nuevos bienes de capital, entonces la tasa de ingreso subirá; y en el caso opuesto tendrá que caer. En equilibrio, la tasa de ingreso se determina una vez que el valor del ahorro total es igual al valor total de nuevos bienes de capital.

El proceso de tâtonnement implica entonces que los precios de equilibrio de los nuevos bienes de capital están determinados por por la comparación entre el costo de producción (que aparece como P en el sistema (6)) y los precios de venta (notados por Π) que no aparecen explı́citamente en el sistema (1)-(8) anterior: en la ecuación (8) son directamente reemplazados por P . Lo mismo sucede con los precios de las mercancı́as de consumo pues el costo de producción p aparece en (5), pero los precios de venta (π) son sustituidos por (p) en (2). Algo similar ocurre con las cantidades de servicios (las ofrecidas aparecen como O en (1), pero las demandadas, notadas por Dh , fueron directamente substituidas por O en (4)). Finalmente, esto también ocurre con la demanda agregada de los nuevos bienes de capital (notados por D) que fue sustituida por el exceso agregado del ingreso sobre el consumo E) en el sistema (7). Por todo lo anterior, para poder aplicar el tâtonnement, Walras se vio obligado a reescribir las ecuaciones (2),(4),(7) y (8), para transformarlas en las correspondientes.

En la sección “Teorı́a de la Formación de Capital y Crédito” de los Éléments, Walras proponı́a entonces un modelo macroeconómico de equilibrio más general que el de intercambio y producción. Con incógnitas adicionales para los nuevos bienes de capital y sus respectivos precios, y también para el ahorro agregado y su precio, el sistema funciona enton-

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

27

ces como una versión extendida del modelo de economı́a de producción previamente estudiado. Por ello, no es de extrañar que llegara a un resultado similar al de este último modelo: “Dados varios servicios, sobre la base de cuyos precios es posible obtener un excedente de la renta [[ingreso]] sobre el consumo para transformarlo en nuevos bienes de capital, y cuyo intercambio se realiza contra varios bienes de consumo y bienes de capital nuevos (...), para que exista equilibrio en el mercado de bienes de capital, (...) es necesario y suficiente: 1◦ que a los precios de venta iguales al cociente entre las rentas netas y la tasa común de renta neta, la demanda y la oferta efectivas de estos bienes de capital nuevos en términos de numerario sean iguales, y 2◦ que los precios de venta y costes de producción de estos bienes de capital nuevos sean iguales. Cuando esta doble igualdad no se cumple es preciso, para alcanzar la primera, un alza en los precios de venta mediante una reducción de la tasa de renta neta si la demanda efectiva es superior a la oferta efectiva, y una baja de los precios de venta mediante una elevación de la tasa de renta neta si la oferta efectiva es superior a la demanda efectiva; y para alcanzar la segunda igualdad, será preciso el aumento de la cantidad de bienes de capital nuevos cuyo precio de venta exceda al coste de producción y la disminución de la cantidad de aquellos cuyo coste de producción exceda al precio de venta.” [Éléments, § 260]

d).

Teorı́a monetaria

Después de muchas dudas e intentos que vienen desde su Théorie de la Monnaie (1886), en donde la idea central de Walras era la de estabilizar variaciones de precios mediante regulaciones de la oferta monetaria, es sólo hasta la cuarta edición de los Éléments (1899) que le da cierta coherencia interna al modelo con la inclusión del dinero. Allı́ define el dinero como aquél que “(...) permite sincronizar en el tiempo los flujos de ingresos y gastos de los consumidores, los flujos de materias primas

28

Equilibrio económico walrasiano y bienes intermedios con los de producción de los empresarios. Es decir, el dinero cubre desfases temporales psicológicos, institucionales y técnicos; tiene, por tanto, utilidad, y su demanda puede obtenerse del proceso de maximización de la utilidad de los individuos (Lecciones 29 y 30). Una vez logrado el cierre del sistema, todo vuelve a ser teorı́a del intercambio,...pero con dinero.” (p.163)

Es decir, Walras incorpora el dinero mediante la solución de una ecuación de “oferta igual demanda”, similar a lo que habı́a hecho previamente con su modelo de intercambio. Y para hacerlo, distingue entre el inventario de dinero (que no tiene utilidad alguna por sı́ mismo) y los “servicios de disponibilidad” de ese inventario, que es el que entra como otro bien en las funciones de utilidad del consumidor y en los planes de producción de las empresas. Y sólo esto de Walras sobre teorı́a monetaria ha tenido algún impacto en la historia del pensamiento económico: el planteamiento (mas no la solución) al problema de la integración del dinero en su sistema de equilibrio general.

El primer sistema es el de m ecuaciones de oferta total de servicios: Ot =Ft (pt , ··, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe ) ··········

Op =Fp (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

(1)

··········

Ok =Fk (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Ok′ =Fk′ (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe )

Ok′′ =Fk′′ (pt , · · ·, pp , ..., pk , pk′ , pk′′ · ··, pb , pc , pd , · · ·, pe ) ··········

Y el sistema de s ecuaciones de oferta efectiva total de bienes de capital circulante es: Oa′ =Fa′ (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , · · ·, pa′ , pb′ · ··, pm′ · · · pu′ , pe ) Ob′ =Fp (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , · · ·, pa′ , pb′ · ··, pm′ · · · pu′ , pe ) ··········

(2)

29

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras la ecuación de oferta efectiva total de dinero Ou = Qu −

dα pa′ + dβ pb′ + · · · + dε pa′ p u′

(3)

donde las cantidades deseadas de servicios A′ , B ′ ...E ′ (en forma de dinero) son las m ecuaciones: α =fα (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , · · ·, pa′ , pb′ · ··, pm′ · · · pu′ , pe ) β =fβ (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , · · ·, pa′ , pb′ · ··, pm′ · · · pu′ , pe ) ··········

(4)

ε =fε (pt , pp , pk , · · ·, pb , pc , pd , · · ·, pa′ , pb′ · ··, pm′ · · · pu′ , pe ) “Este valor de la totalidad o parte de los productos consumidos que los participantes en el intercambio desean comprar, y desean mantener materializados en forma de dinero o de ahorros monetarios, constituye los saldos lı́quidos deseados [“encaisse désirée”].”

Finalmente, la ecuación agregada de intercambio de servicios por productos finales será: Ot pt + Op pp + Ok pk + ... + Oa′ pa′ + Ob′ pb′ + ... + Qm pm′ + ... + Ou pu′ = Da + Db pb + Dc pc + Dd pd + ... + E (5) El sistema de m ecuaciones que expresan los costes de producción es: at pt + ap pp + ak pk + · · · + aa′ pa′ + ab′ pb′ + · · · + am pm′ + · · · + au pu′ = 1

bt pt + bp pp + bk pk + · · · + ba′ pa′ + bb′ pb′ + · · · + bm pm′ + · · · + bu pu′ = pb · · · · ·· (6)

mt pt + mp pp + mk pk + · · +ma′ pa′ + mb′ pb′ + · · +mm pm′ + · · +mu pu′ = pm · · · · ··

kt pt + kp pp + kk pk · · · +ka′ pa′ + kb′ pb′ + · · · + km pm′ + · · · + ku pu′ = Pk · · · · · · · · ··

La ecuación que indica el exceso total de producción sobre el consumo es:

30

Equilibrio económico walrasiano

Dk Pk + · · · + Da′ + Db′ Pb′ + · · · + Dm pm + · · · = E

(7)

Las ecuaciones relativas a los s bienes de capital circulante son: 1=

pa′ pb′ pm′ p u′ , pb = , · · ·, pm = , · · ·, pu = i i i i

(8)

[REVISAR, P. 538-541, ÉLÉMENTS] Ni en sus Élements, y tampoco en su Économie Politique Appliquée (1898), ni en su Theorie Mathematique de Bimetallisme (1881) plantea ninguna idea original. De hecho, sus aportes más sustantivos en teorı́a monetaria podrı́an resumirse en tres puntos: a) Acepta la teorı́a cuantitativa del dinero en el sentido de que el nivel de precios únicamente lo determina la masa monetaria en circulación. Para él, no habı́a motivos para mantener saldos monetarios y, ası́, la función del dinero era la de ser únicamente unidad de cuenta y medio de intercambio. El dinero no era un activo y, por lo tanto, no estudió las posibles interdependencias entre los mercados de mercancı́as y los mercados de valor. b) Defiende el monometalismo: el oro deberı́a ser la única moneda aceptable en cualquier transacción internacional. Todo el dinero circulante tendrı́a que estar respaldado en oro, pues, para él, esta era la única forma de controlar los precios. Consecuente con ello, era un defensor de la nacionalización de las minas de oro y plata, pues creı́a que era esperar demasiado que intereses privados actuaran de manera responsable con los intereses de la sociedad.

Uno deberı́a utilizar oro en todas las transacciones internacionales, junto con una cantidad limitada de plata como moneda para pagar las transacciones domésticas.

Por consiguiente, siempre que la cantidad de oro aumente o disminuya, la cantidad de plata también disminuirá o aumentará de tal forma que se eviten las crisis de altos o bajos precios. (cita?)

Y es que Walras estaba convencido de que cambios en el nivel de precios podrı́a tener dañinas consecuencias (unas veces para los

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

31

empresarios, y otras para los trabajadores). Su recomendación en esto era utilizar la oferta monetaria como factor crucial en la estabilización de precios en aquellos niveles que garantizaran el funcionamiento equilibrado de la economı́a. Pero aquı́ el punto clave del pensamiento monetario de Walras parecerı́a claro: la economı́a es un sistema (en equilibrio o en desequilibrio) en el que cualquier polı́tica monetaria tendrı́a impacto en sus distintos sectores.

“Cuando la cantidad de dinero aumenta (...) los productores ganan, mientras que los trabajadores y otros consumidores, pierden. De otro lado, cuando la oferta de dinero disminuye, los empresarios sufren, mientras que los terratenientes, los trabajadores, y los capitalistas, ganan. En cada caso se destruye el equilibrio económico.

La crisis durará hasta que se establezca un nuevo equilibrio.” (cita ?)

c) Para controlar la oferta monetaria, Walras no era partidario de que un banco central lo implementara, pues dudaba de su independencia con respecto al partido polı́tico en el poder. En su lugar, creı́a que la oferta monetaria debı́a ser universalmente controlada.

Al final de cuentas, la teorı́a monetaria de Walras estuvo casi totalmente concentrada en el lado de la oferta de dinero desde su perspectiva de equilibrio general estático: nunca mostró cómo podrı́a integrarse el dinero como activo en un sistema de equilibrio general. Este programa de investigación fue comenzado por otros de la Escuela de Lausanne17 .

Sin embargo, para él fue claro que si no se llevaba a cabo un control responsable de la oferta monetaria, no podrı́a garantizarse que se alcanzara el equilibrio. Para Walras también fue claro que las fluctuaciones en la actividad económica dependı́an de los cambios en la cantidad de dinero.

Muchas de estas visiones serı́an respaldadas posteriormente por Fisher (1911) y Friedman (1971).

17

ver, por ejemplo, Fossatti (1955)

32

Equilibrio económico walrasiano

5.

Bienestar económico: el teorema de la máxima satisfacción social

Desde su primer libro sobre economı́a (L´Économie Politique et la Justice (1860)), publicado a los 26 años, hasta su muerte en 1910, la preocupación fundamental de Walras fue el problema de la justicia social. De hecho, su división entre économie sociale (normativa) y économie pure (positiva) muestra bien esto, y, cabe notarlo, el propósito de su modelo de equilibrio general no era únicamente analizar el funcionamiento del sistema económico real, ni tampoco describir las relaciones económicas de mercados bajo un régimen de competencia perfecta, sino demostrar la posibilidad de formular un sistema económico racionalmente consistente que satisficiera las demandas de justicia social sin traspasar los lı́mites impuestos por las exigencias naturales del mundo real. Y afirmaba que intentaba “...[estudiar] al hombre y a su destino desde un punto de vista psicológico-económico y psicológico-moral, buscando concordancia entre interés y justicia; [definir] al individuo y al Estado, llegando a discusiones sobre el interés privado y el interés general, y sobre los servicios privados y públicos; [resolver] los problemas de orden al conciliar libertad y autoridad, y los problemas de justicia al conciliar igualdad y desigualdad; [mostrar] el principio de igualdad de condiciones como opuesto a la igualdad de posiciones. ” (Walras (1870), en carta a Ruchonnet.) 18 En Théorie de la Proprieté (1896, p. 212), Walras definió la justicia en el intercambio (a la que llamó “justicia conmutativa”) en términos de dos condiciones. Primero, la total libertad de cada individuo para buscar su propia ventaja en el mercado; y segundo, la completa eliminación en el mercado de cualquier oportunidad para un individuo de beneficiarse en el intercambio a expensas de su contraparte o de cualquier otro19 . Sin 18

Pero, irónicamente, Walras creó un modelo que posteriormente serı́a utilizado para estudiar aspectos más positivistas, u otros objetivos sociales distintos a los originalmente planteados por él.

19 ¿No es acaso ésta una clara anticipación del concepto de óptimo de Pareto? (ver Capı́tulo 2).

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

33

duda, bajo esta mirada, el sistema de equilibrio general walrasiano es profundamente moralista (al menos en términos de la moral individualista y burguesa de la Europa del siglo XIX).

Cabe advertir, además, que Walras no creı́a que la competencia perfecta en un mercado fuera la mejor manera de generar la máxima suma de satisfacción total para la sociedad, sino que era un sistema diseñado para eliminar todo beneficio individual del intercambio y de la producción.

Y esto no era por condenar la natural búsqueda del beneficio en las actividades económicas, sino para realizar la función moral de no dar algo por nada, no ganado, o el fruto de “conspiraciones antisociales”, todas ellas injustas.

En su primera formulación del Teorema de la Máxima Satisfacción Social, Walras (§99) afirma que: “El intercambio de dos mercancı́as en un mercado regido por la libre competencia es una operación por medio de la cual todos los poseedores, tanto de una como de las dos mercancı́as, pueden lograr la mayor satisfacción posible de sus necesidades, con la condición de entregar la mercancı́a que venden, y recibir la mercancı́a que compran en una proposición común e idéntica.”20 Y en su segunda formulación (§221) decı́a: “La producción en un mercado regido por la libre competencia es una operación mediante la cual los servicios pueden combinarse y convertirse en productos de tal naturaleza y en las cantidades necesarias para proporcionar la mayor satisfacción posible de las necesidades, dentro de los lı́mites de la doble condición de que tanto para cada servicio como para cada producto, sólo hay precio en el mercado, aquél para el cual la oferta y la demanda son iguales, y de que el precio de venta de los productos sea igual al coste [[unitario]] de los servicios empleados en su producción.”

20

Este teorema no es más que una anticipación del concepto de optimalidad de Pareto.

34

Equilibrio económico walrasiano

Podrı́a pensarse que Walras pretendı́a, con este teorema, establecer que la libre competencia con uniformidad de precios arrojarı́a un mayor estado social de satisfacción que cualquier otro sistema de determinación de precios. Sin embargo, no se encuentra ningún rastro de esto ni en los Éléments ni en ninguno de sus otros escritos.

6.

La economı́a social y aplicada en Walras

La propuesta general de Walras en sus tres trabajos principales (Éléments, Économie Sociale, y Économie Appliqué) era un “semi-socialismo” que conciliaba las doctrinas del laissez-faire y del socialismo. Jaffé (1965) describı́a esta idea ası́: “[[era]] un esquema social fundado en la justicia exacta de acuerdo con la ley natural. Es del interés material de la sociedad el que el producto social sea lo más grande posible, pero una justa distribución de este producto, precisa de que todo individuo tenga libre disposición del producto de sus facultades personales. Con respecto al Estado, que L.W. considera como entidad económica a la par de los individuos, la justicia obliga que obtenga el ingreso que necesita para llevar a cabo los servicios sociales, no privando a los individuos del fruto de sus facultades personales, sino explotando los recursos colectivos de producción, tales como la tierra, los medios de transporte y comunicación, y los instrumentos de pago. El precio normal que el Estado deberı́a pagar en la recompra de la tierra de los actuales individuos propietarios deberı́a tomar en cuenta el valor descontado del aumento futuro en la renta de la tierra que se espera del crecimiento de la población y del capital, pero no el valor descontado de los futuros incrementos en renta esperados de la evolución de la sociedad de la etapa agrı́cola a la etapa industrial. Ası́, el Estado eventualmente podrá amortizar el costo de la recompra y luego podrá apoyarse a sı́ mismo sin recurrir a los impuestos, lo que es siempre esencialmente confiscatorio.” 21 21

Pero en esto también recibió crı́ticas de Wicksell: En primer lugar, le señalaba que los valores futuros de la tierra podrı́an no crecer por encima del valor capitalizado

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

35

El primer paso para sustanciar esta propuesta fue el estudio de un modelo de laissez-faire y de sus consecuencias; este fue el objetivo de los Éléments y su modelo de equilibrio general. En particular, al tratar el problema de la organización de la producción, recordemos que Walras definı́a la esencia de la economı́a pura como la teorı́a de la determinación de los precios bajo un régimen hipotético de competencia libre perfecta; y tenı́a el convencimiento de que la libre competencia no tenı́a rival en cuanto a eficiencia, aunque reconocı́a que no era aplicable a cualquier situación, ni resolvı́a el problema de la distribución justa de la riqueza. Afirmaba que la solución competitiva era superior desde el punto de vista cientı́fico, pero no era aplicable mecánicamente a las situaciones reales. Y no creı́a que la competencia perfecta en un mercado fuera la mejor manera de generar la máxima suma de la satisfacción total para la sociedad, sino que era un sistema diseñado para eliminar beneficio alguno del intercambio y de la producción.

El segundo paso lo hace en Économie Sociale de 1896. Este trabajo consta de cuatro capı́tulos: “Investigación del Ideal Social”, “Propiedad”, “Realización del Ideal Social” , e “Impuestos”. Allı́ estudia inicialmente el problema del individuo y el Estado desde diferentes perspectivas (filosófica, psicológica, económica, entre otras), para después seguir a una discusión del problema de la propiedad incluyendo aquı́ una teorı́a de los precios de la tierra en el caso de recompra por parte del Estado. Al igual que su padre, y muy seguramente por su influencia, Walras era un defensor de la nacionalización de la tierra mediante la recompra. Según él, el Estado obtendrı́a de allı́ un ingreso, rentándola en el libre mercado.

Esto lo estudia en el capı́tulo III (“Realización del Ideal Social”) en donde hace un estudio matemático de este problema.22 Finalmente, lleva a cabo un análisis de los impuestos (aquellos que pensaba eliminar), y de problemas fiscales en general. de las rentas futuras esperadas; en segundo lugar, que emitir bonos para la recompra de la tierra, como Walras proponı́a, podrı́a precipitar una caı́da en la tasa de interés; y en tercer lugar, que la compra de la tierra implicarı́a una redistribución del ingreso, pues podrı́a suceder que la clase propietaria del capital comprara los bonos de tierra a expensas de otras inversiones, haciendo que los salarios de la clase trabajadora bajaran con la subida de las tasas de interés.

22 Parecı́a asumir que el Estado podrı́a fungir como uno de los “empresarios”, y, la tierra, como uno de los bienes de capital descritos en los Éléments.

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Equilibrio económico walrasiano

El tercer paso en su propósito fue el Économie Politique Appliquée de 1898. Este trabajo consta de siete capı́tulos: “Moneda”,“Monopolios”, “Agricultura”, “Industria y Comercio”, “Crédito”, “Banca”, “Bolsa”, y, finalmente, una “Disquisición Breve sobre Doctrina Económica y Social”. Allı́ se dedica, fundamentalmente, a problemas de polı́tica monetaria tales como el de la estabilización de los precios mediante regulaciones de la oferta monetaria a la luz de la teorı́a cuantitativa. Propone el monometalismo (oro) con la plata como regulador, en lugar del bimetalismo (oro y plata), además de tener más confianza en una oferta monetaria universalmente controlada que un banco central del Estado (ver sección 4d) anterior).

Más adelante, en el capı́tulo II, hace un análisis muy general del monopolio 23 y después estudia el problema de que el Estado asumiera el monopolio de los ferrocarriles como servicios públicos, y la asignación de tarifas. Este asunto de las comunicaciones era central pues Walras era consciente de la transición que se vivı́a de una Europa agrı́cola a una industrializada y de mayor comercio. Y finalmente, dedicó los siguientes dos capı́tulos al problema de la banca y la bolsa (con el objetivo de estudiar la posibilidad de nacionalizar algunos medios de pago), y a una nueva disquisición sobre problemas éticos, morales, y económicos de la ciencia y de la práctica económica.

Una mirada general nos muestra entonces que el pensamiento walrasiano era una propuesta de filosofı́a social y económica que él creı́a que era la mejor forma de armonizarse con el espı́ritu de la época. Siempre fue inspirado y modelado por su concepción de una sociedad en evolución, que hacı́a un tránsito de la fase agrı́cola a la industrial, y fue motivado por sus observaciones de los problemas sociales de la Francia de mediados del siglo XIX. Era, por encima de todo, una inmensa formulación cientı́fica de nuevos ordenamientos sociales y económicos, que, quizás, generaciones posteriores no hemos sabido entender a cabalidad.

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Curiosamente, aquı́ lo hace sin recurrir al tratamiento formal de la teorı́a del monopolio tal como aparece en los Recherches de Cournot del que habı́a sido asiduo lector. Esto aparece ası́ sólo en la última edición (1900) (Sección VIII, Lección 41) de los Éléments.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

7.

37

Tradiciones poswalrasianas

Pantaleoni (1898, p. 591) decı́a que todo lector ve en un nuevo trabajo únicamente lo ya sabe, más, en el mejor de los casos, una pequeña “dosis de novedad”, que es minúscula en comparación con el cuerpo acumulado de la doctrina económica. En la historia del pensamiento económico pocos ejemplos ilustran esto mejor que el tratamiento que se le dio a las contribuciones de Léon Walras por parte, no sólo de sus contemporáneos, sino de aquellos que vinieron después de él.

A partir del trabajo pionero de Walras (Éléments (1874-1877)) sobre el equilibrio general económico bajo competencia perfecta, y sus posteriores ediciones, aquellos seguidores sólo interesados en teorı́a pura, marcaron un derrotero de desconexión entre ésta y su economı́a aplicada y social. Este hecho serı́a parcialmente responsable de que en adelante el estudio de la economı́a se dividiera entre las aproximaciones normativa y positiva y, además, allanó el camino para que falsearan el modelo de equilibrio general de Walras presentándolo como la restauración de la teorı́a liberal económica. Hicieron del mercado competitivo eficiente, la base objetiva cientı́fica para comparar todo tipo de problemas sociales y económicos: Si una polı́tica económica fallaba, entonces la razón era que no cumplı́a con alguno de los principios de mercado del modelo walrasiano. Y este programa de investigación (sobre el cual Walras no podrı́a haber coincidido) comenzarı́a con la bifurcación en dos grandes “escuelas” de pensamiento poswalrasiano: 1. La primera, conocida como la “tradición paretiana”24 , tuvo su inspiración en el Manuel d’Economie Politique (1906) de Pareto, quien (como ya habı́amos afirmado) fuera alumno y sucesor de Walras en la Universidad de Laussane (Suiza). Éste, aunque reconocı́a la teorı́a pura formal (es decir, los Éléments) de Walras como su principal fuente de inspiración, una y otra vez aseguraba que el resto del trabajo de su maestro era especulación metafı́sica.

“La más grande contribución del profesor Walras a la discusión económica fue su descubrimiento de un sistema general de ecuaciones que expresan el equilibrio 24

También llamada “tradición anglosajona”.

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Equilibrio económico walrasiano económico. No puedo, por mi parte, admirar suficientemente esta porción de su trabajo, pero debo agregar que estoy completamente en desacuerdo con él respecto a lo que tiene que decir en su trabajo titulado “Études d’Économie Sociale”. El profesor Walras piensa que es posible obtener ciertas deducciones económicas de principios metafı́sicos de jurisprudencia. Esta opinión merece respeto, pero no puedo aceptarla. Yo soy un creyente en la eficiencia de los métodos experimentales hasta el punto de excluir todos los otros. Para mı́ no existen demostraciones valiosas excepto aquellas basadas en los hechos.”

[Pareto (1897), p. 491] Este tipo de afirmaciones de Pareto harı́a que se sesgara el estudio de Walras sólo a la teorı́a pura, dejando de lado sus trabajos en economı́a polı́tica aplicada y social, los que Walras apreciaba como inseparables de sus Éléments, y sin los cuales su obra no podrı́a entenderse a cabalidad.

John R. Hicks [1904-1989], aunque reconoció la importancia de los Éléments, pues afirmaba que: “Muy pocos economistas han contribuido tanto al cuerpo permanente de verdad establecida, como lo hiciera Walras” [Hicks (1934), p. 347] también afirmaba que si de estudiar el problema del equilibrio general planteado por Walras se trataba, era mejor ir al mismo Pareto o a Wicksell (Hicks (1934), p. 345). Inclusive profundizó la idea que Pareto tenı́a de él cuando afirmaba: “El trabajo de Walras sobre teorı́a monetaria, y sus relativamente no-interesantes escritos sobre economı́a aplicada, no nos pueden detener aquı́. Es en economı́a pura en donde se encuentra su interés, y el descubrimiento de las condiciones de equilibrio estático bajo competencia perfecta fue su logro central.” [Hicks (1934), p. 347] De hecho, en el prólogo de Value and Capital de 1939, Hicks aseguraba que su propósito general era “examinar la teorı́a de Pareto y

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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aplicar después esta teorı́a del valor perfeccionada a aquellos problemas del capital que estaban fuera del alcance de Wicksell a causa de la imperfección de los instrumentos de que disponı́a.” Sin embargo, en la teorı́a del intercambio afirmaba que habrı́a de seguir más a Walras que a Marshall, y, efectivamente, ası́ lo hizo.

Pareto y Hicks fueron, sin duda, los pioneros de una corriente muy influyente en el pensamiento económico del siglo XX: el estudio del concepto de equilibrio general competitivo y su profunda relación con el problema del bienestar económico. Sólo que, en su propósito, no sólo limitaron el pensamiento original walrasiano, sino que aplicaron y discutieron sobre objetos de los que no tenı́an la seguridad de que existieran, pues, por cualquiera que haya sido la razón, los problemas de existencia del equilibrio general competitivo nunca estuvieron en su agenda de investigación. Pareto y Hicks, al igual que Walras, se contentaban con el argumento falaz de que si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, entonces la existencia de solución estaba garantizada.

Pareto, por ejemplo, decı́a: “(...) Las condiciones de un problema son traducidas algebraicamente por ecuaciones. Éstas contienen cantidades conocidas y cantidades desconocidas. Para determinar cierto número de [[cantidades]] desconocidas es necesario un número igual de condiciones (ecuaciones) distintas(...).” [Manuel, § 38, Cap. III] “(...) El número de las condiciones es ahora igual al de las incógnitas, y el problema está completamente determinado.” [Manuel, § 203, Cap. III] Por su parte, Hicks, implı́citamente, argumentaba que la solución deberı́a existir basándose en el significado económico de las ecuaciones, y se apoyaba en el argumento de Walras: “(...) Si el sistema de precios es tal que iguala estas ofertas y demandas, tendremos una posición de equilibrio. Si no, por lo menos algunos precios habrán de bajar y subir.

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Equilibrio económico walrasiano Walras demostró que el carácter determinado de esta solución se lograba mediante la igualdad entre el número de ecuaciones y el número de incógnitas(...).” “(...) Tenemos ası́ n − 1 ecuaciones y n − 1 incógnitas; por consiguiente, debe existir un conjunto de precios que satisface las condiciones de equilibrio.” [Hicks (1934), p.

341]25 La tradición paretiana del trabajo original de Walras, que ignoró los teoremas de existencia de Wald y von Neumann, serı́a apuntalada por la saga, entre otros, de Hicks y Allen (1934) , Hicks (1939), Lerner (1932), Kaldor (1939), y los tratados clásicos Traité d’Économie Pure de Allais (1943)26 Foundations of Welfare Economics de Lange (1942), y el Foundations of Economic Analysis de Samuelson (1947).

2. La segunda, conocida como la “tradición alemana”, se dirigió, fundamentalmente, al problema matemático de la existencia del equilibrio general. Esta lı́nea, basada en el modelo Walras-Cassel aparecido en el capı́tulo IV (“Mecanismo de la producción de los precios”) del Theoretische Sozialökomie (1918) de Gustave Cassel 27 , continuó con los trabajos de Abraham Wald (1936), Karl Schlesinger (1933), y John von Neumann (1937). De hecho, la primera prueba que se conoce sobre la existencia de un equilibrio competitivo, la obtuvo precisamente Wald (1936), aunque también von Neumann habı́a alcanzado a mostrar la existencia de equilibrios en su modelo de crecimiento de 1937.

25 Si el lector considera que garantizar la existencia de un objeto que cumple cierta caracterı́stica, es un ejercicio importante pero sin consecuencia alguna, lo invitamos a considerar el siguiente muy sencillo ejemplo: “Supongamos que existe un único número natural que es el más grande de todos los números naturales. Entonces ese número es el 1, puesto que si otro número natural x > 1 fuera el más grande, se tendrı́a que, como x2 > x, ya x no serı́a el más grande. Ası́, el más grande de los números naturales es el número 1”. Esta es una simple muestra de a qué conclusiones podemos llegar si comenzamos el argumento lógico con una hipótesis que es falsa.

26 Aunque Allais fuera, quizás, el más fiel al pensamiento original walrasiano.

27 Aunque cabe advertir, de paso, que para el mismo Cassel el problema de la existencia del equilibrio competitivo no fue preocupación central.

Capı́tulo 1: Sobre la obra original de Walras

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Sobre estas dos tradiciones poswalrasianas discutiremos en los siguientes dos capı́tulos.

42

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

CAPÍTULO

2

La tradición paretiana

1.

Vilfredo Pareto [1848-1923] “ [...] Establecer una teorı́a viene a ser, en cierta manera, como hacer pasar una curva por cierto número de puntos determinados. Una infinidad de curvas pueden satisfacer esta condición.” (Manuel § )

De madre francesa y padre italiano aristócrata, Vilfredo Frederigo Damaso Pareto nació en Parı́s en 1848. Sin embargo, a los 10 años fue llevado de regreso a Italia en donde realizó todos sus estudios hasta graduarse de Doctor en ingenierı́a en 1869. Su carrera profesional comenzó como administrador industrial y de ingenierı́a, en donde, además de su relativa fortaleza en matemáticas, se familiarizarı́a profundamente con la práctica industrial. Pareto también se caracterizaba por tener un interés apasionado en los asuntos de actualidad polı́tica y económica (de hecho, fue un convencido anti-étatiste), y este bagaje cientı́fico, económico y polı́tico, lo llevó, en 1889, a los cuarenta años, a abandonar su actividad empresarial, y a disponer de todos sus esfuerzos hacia la investigación económica y sociológica.

En 1890, a raı́z de su lectura de los Principi di Economı́a Pura (1889) del reconocido economista italiano Maffeo Pantaleoni, comienza un in43

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Equilibrio económico walrasiano

tercambio epistolar con éste, en el que Pareto le decı́a que aspiraba a replantear la economı́a en términos matemáticos, y Pantaleoni le recomendó leer a Walras: sólo hasta el 17 de septiembre de 1890, Pareto conocerı́a este trabajo. A partir de allı́, aprendió economı́a con rapidez, y en 1892-93, a los 44 años, publicó en cinco entregas, su primer trabajo en economı́a: Considerazioni sui Principi Fondamentali de ll’Economia Politica Pura.

Estas comunicaciones con Pantaleoni fueron el origen de que, una vez éste se enteró del deseo de Walras de retirarse por problemas de salud de la cátedra de Lausanne, recomendara a Pareto a finales de 1891 para sucederle. Y, efectivamente, en 1893 se convertirı́a en el sucesor de Walras en la Universidad de Lausanne, cátedra a la que renunciarı́a en 1906 para retirarse de la actividad académica oficial y dedicarse a la investigación personal. Durante los 13 años que estuvo Pareto en Lausanne, ejerció su liderazgo para conformar un cı́rculo de investigadores y estudiantes que, eventualmente, llegarı́a a conocerse como la Escuela de Laussane. En 1894, a la sociedad tácita entre Pareto y Pantaleoni, se unió Enrico Barone, y la influencia de ellos tres se extendió durante treinta años hasta su desaparición entre 1923 y 1924. A su alrededor se formarı́a un grupo importante de economistas: Amoroso, Antonelli, Boninsegni,, Pietri-Tonelli, Ricci, Sensini, del Vecchio, Fanno, La Volpe, Palomba, y Fossati, entre otros, y a los que algunos llamaron la Escuela Italiana.

La primera pieza maestra de Pareto en Lausanne fue su Cours d’Économie Politique Professé à l’Université de Lausanne, cuyo primer volumen apareció en 1896, y el segundo en 1897, pero de los que Pareto nunca autorizó reimpresión. Lo primero que se nota allı́ es que, a diferencia de Walras que era más pesado en su escritura, Pareto tenı́a un estilo elegante y fino. Además, no hay duda, era más diestro con las matemáticas que su maestro. En este trabajo, Pareto siguió a Walras en sus Éléments y se basó en sus ecuaciones de equilibrio, pero no fue ni un centı́metro más allá. En particular, sus teorı́as semi-socialistas de nacionalización de la tierra y de los medios de comunicación, y también del papel del dinero en la economı́a, contrariaban a Pareto. Además, aunque partı́an del mismo sistema teórico puro, pronto se hizo claro que el pensamiento, visión y estructura paretianos eran muy distintos de los walrasianos: eran teorı́as que partı́an del mismo molde teórico pero con programas de

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

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investigación y preocupaciones socio-económicas muy diferentes.

Para Pareto, los problemas económicos eran problemas de transformación de cantidades económicas en otras, con distintas restricciones. Esto, en la teorı́a del intercambio y la producción, lo llevó a crear los términos “gustos” y “obstáculos”, y a desarrollar un sistema lógico-matemático que develara ciertas caracterı́sticas intrı́nsecas de la economı́a a partir de allı́. Sin duda, querı́a esclarecer el núcleo lógico del proceso económico por encima de cualquier situación institucional.1 Además de la influencia de Pantaleoni, Barone, y de los economistas ingleses y franceses del perı́odo clásico, en Lausanne el italiano apreció notablemente el trabajo de Edgeworth, Wicksteed y Fisher, aunque no tanto el de Marshall. Y con un proceso paulatino, su máxima altura en teorı́a económica pura la alcanzó con la edición de 1909 de su Manuel d’Économie Polı́tique, que es la traducción al francés del Manuale di Economı́a Polı́tica de 1906.2 Pareto nunca estuvo del todo satisfecho con la teorı́a del valor walrasiana, en particular con el concepto de utilidad cardinal, como aparece en los Éléments. Esto último trató de remediarlo en el Manuel recurriendo a las “curvas de indiferencia” introducidas (con otra perspectiva y objetivos) por Edgeworth en 1881, y reemplazando las hipótesis sobre la función de utilidad por postulados acerca de comportamientos observables que dieran origen a esas curvas de indiferencia. Ası́, Pare1

Como ejemplo de esto, baste con afirmar que sólo hasta el párrafo §152 del Cap. III (“Noción General del Equilibrio Económico”) del trabajo final en Lausanne, y hoy considerada su más importante obra, Manuale di Economı́a Polı́tica: con una Introduzione alla Scienza Sociale, es que viene a introducir los precios en su teorı́a: “(...)Hasta aquı́ hemos razonado esforzándonos por no hacer uso de los precios.(...) Actualmente es bueno que recurramos a ellos, mas era útil mostrar que las teorı́as de la economı́a no derivan directamente de la consideración de un mercado donde existen ciertos precios, sino más bien de la consideración del equilibrio, que nace de la oposición de los gustos y de los obstáculos. Los precios aparecen como auxiliares desconocidos, muy útiles para resolver los problemas económicos, pero que deben finalmente ser eliminados, para dejar solo frente a frente a los gustos y a los obstáculos.”

2

Y que se diferencian en que el apéndice matemático de la versión en Italiano habı́a sido completamente reelaborado.

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Equilibrio económico walrasiano

to creı́a que se le daban bases más sólidas a la teorı́a económica, y, en particular, al modelo walrasiano. Después mostraba cómo a partir de aquellas se llegaba al cálculo del equilibrio económico en competencia perfecta. En este proceso intentó también introducir alguna terminologı́a sustancialmente insignificante como ophélimité 3 en lugar del de “utilidad”, y ophélimité elemental en lugar del término “utilidad marginal” (o “rareté” como la llamaba el propio Walras). Pero, como afirmara Schumpeter (1949) sobre Pareto: Para éste, “(...)la teorı́a de la utilidad fue una hipótesis heurı́stica extremadamente útil y nada más. Pero ni Walras ni los austrı́acos eran de esta opinión. Por el contrario, para ellos la teorı́a de la utilidad era nada menos que la verdad última, el descubrimiento de la clave para todos los secretos de la economı́a.” [p.160] Y algunos economistas como Hicks y Allen (1934) felicitaban a Pareto por esto, considerando su posición sobre este punto, todo un aporte de la primera importancia.

Pero quizás donde las contribuciones de Pareto son más reconocidas es en la teorı́a del bienestar económico. En ese entonces, la teorı́a de la utilidad cardinal venı́a jugando un papel muy importante al tratar de definir lo que era un concepto económico muy confuso como es el de “bienestar público (o social)”, y se pensaba que la teorı́a de las curvas de indiferencia de Pareto destruirı́an las bases de los argumentos que funcionaban bien con la utilidad cardinal y, particularmente, con el problema de la comparación interpersonal de utilidades. Sin embargo, Pareto no fue sobre este punto, sino que se dirigió a atacar el problema de la “máxima satisfacción colectiva”, notando que este estado4 se alcanza en intercambio bajo libre competencia. Pero, más fundamentalmente, observó que 3

“Ophelimite” es el término de Pareto para lo que hoy llamamos “utilidad” económica. En el Manuel (Cap. III, § 29) explica esto afirmando que “la morfina no es útil en el sentido ordinario de la palabra, puesto que es perjudicial al morfinómano, [pero] por el contrario le es útil económicamente, puesto que satisface una de sus necesidades, aun cuando sea malsana”. También sugerı́a el ejemplo de que, a pesar de no tener un sabor agradable a los niños, una medicina era útil a un niño enfermo, pero no tenı́a ophelimity.

4 Ahora conocido como “óptimo de Pareto”.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

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este maximum no se alcanzaba cuando se introduce la producción, inclusive bajo competencia perfecta, si a la condición original de Walras de “precio=costo”, no se le agregaba la condición de que este costo tiene que ser mı́nimo 5 . Bajo tales condiciones, Pareto mostró entonces (matemáticamente) que una sociedad “colectivamente organizada” es similar a una sociedad regida por la competencia perfecta. Por ello afirmaba que “(...) si un gobierno socialista quiere obtener un bienestar máximo para su sociedad, debe modificar la distribución de la riqueza únicamente en una forma directa (digamos gravando a algunas personas en beneficio de otras, o por medios similares). Una segunda aproximación deberá tomar en cuenta el gasto de diseñar el mecanismo de libre competencia en su totalidad, y comparar este gasto con el que es necesario para establecer algún otro mecanismo que la sociedad pueda querer probar.” (Pareto (1897), p. 500) De otro lado, la teorı́a de Pareto sobre moneda es, sin duda, inferior a la de Walras, y si algún mérito tiene su teorı́a del capital y del interés se lo debe todo a su maestro. Para Pareto aquellos bienes cuyo uso es igualmente un bien, los identifica con los servicios del capital y la depreciación como un gasto, reduciendo toda la teorı́a del capital a un problema contable. Es por esto que para Pareto el término mismo de “capital” a duras penas tuvo sentido por sı́ mismo.

“Me aventurarı́a hasta ahora a decir que podrı́a reescribir la totalidad de mi “Cours”, y obtener los mismos resultados, sin siquiera mencionar el término “capital” (...)” (Pareto (1897), p. 497) De igual manera con respecto a su teorı́a del monopolio, aunque en su teorı́a del comercio internacional aplicó, por primera vez, el aparato teórico del equilibrio general (Manuel, §65, Cap. VI; §40 et seq.; Cap. IX).

Luego de sus trece años académicos en Lausanne, en donde todos sus esfuerzos estuvieron dedicados al estudio del equilibrio económico, y en 5

Sin embargo, Walras aseguraba que la libre competencia implica que los costos de producción eran llevados al mı́nimo (Éléments, §).

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Equilibrio económico walrasiano

la tranquilidad de su retiro, el ahora marqués Pareto comenzó en 1906 otra etapa de su vida: integrar la economı́a polı́tica dentro del amplio marco de la sociologı́a. Y mientras más sociologı́a entendı́a, más admitı́a la insuficiencia de considerar el homo œconomicus como centro de las discusiones económicas. Por ejemplo, el hasta entonces convencido de las bondades del libre comercio (tanto por inclinación como por razonamiento teórico), terminó admitiendo en su Trattato di Sociologı́a Generale (1916), la necesidad de una cierta cantidad de proteccionismo por razones sociológicas. Y en este camino, dedicando mucho tiempo a la interpretación de datos de la historia social, convergió en negar la validez del racionalismo en el comportamiento humano (sobre todo en las masas) dándole mayor importancia a los hábitos, a los impulsos, al sentido del deber, a la imitación. Inclusive llegó al punto de asegurar que la Razón nada tenı́a que ver con el gobierno de los hombres: “El gran error de nuestro tiempo es creer que es posible gobernar a los hombres sin ayuda de la fuerza, lo que por el contrario es el fundamento de cualquier organización social.”

(Manuel (1909), p. 437) Además, sin reservas aseguraba que las soluciones racionales no eran soluciones polı́ticas y que uno deberı́a “(...) hacer actuar a los hombres y conducirlos por el camino que uno quiere que ellos sigan.” (Manuel (1909), p. ) También, algunos estudios sobre la circulación de clases lo llevaron a creer que la democracia era un intento fallido: “La igualdad de los ciudadanos ante la ley es un dogma...

Si queremos discutirla cientı́ficamente, vemos que no es a priori obvio que esta igualdad deberı́a ser beneficiosa para la sociedad; aún más, dada la heterogeneidad de la sociedad, lo opuesto parece más probable.”(ibid., p. 136) “ (...) la sociedad no es homogénea, y los que no cierren voluntariamente los ojos, deben reconocer que los hombres difieren mucho los unos de los otros desde el punto de vista fı́sico, moral e intelectual.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

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A estas desigualdades propias del ser humano corresponden las desigualdades económicas y sociales, que se observan en todos los pueblos, desde los tiempos más antiguos hasta los tiempos más modernos, y sobre todos los puntos del globo, de tal suerte que estando siempre presente ese carácter, se puede definir a la sociedad humana como una colectividad jerárquica”. (ı́bid., §2, Cap. VII) El Pareto liberal se fue entonces transformando, gradualmente, en el más profundo y vigoroso crı́tico del socialismo y también de la democracia.

Por lo anterior, algunos autores (Jaffé()) han advertido de las posibles actitudes filofascistas de Pareto. Es un hecho que Benito Mussolini fue alumno de Pareto en Lausanne, y que el fascismo ascendió a Pareto como uno de sus profetas debido a las similaridades entre ciertas partes del Manuel con el Political and Social Doctrine of Fascism de Mussolini, además de que Pareto fue nombrado por el gobierno fascita como senador del Reino de Italia (junto con Pantaleoni). Sin embargo, si esto es cierto, no podrı́amos asociarlo a las coincidencias en teorı́a económica ya que el fascismo avisoraba un homo corporativus que vivı́a en un estado nacional colectivo y sindicalizado, y no es claro cómo el modelo teórico del Manuel podrı́a asimilarse a esto. Tal vez se parezca más al Pareto sociólogo de los últimos capı́tulos del Manuel y de la Sociologı́a Generale, pero esto es, quizás, ir demasiado lejos aquı́.

Pareto se dedicó en sus últimos años al estudio de la sociologı́a porque consideraba que las leyes deducidas de la economı́a pura no explicaban la Realidad concreta. Previó claramente la insuficiencia del análisis puro, y lo confirmó con escrutinios detallados de hechos y datos. Buscó una sı́ntesis de gran escala. Pero, quizás, la buscó demasiado grande.

Murió el 19 de agosto de 1923.

2.

La escuela de Lausanne después de Pareto

En el perı́odo comprendido entre la primera y la segunda guerra mundial, es decir, fundamentalmente en los últimos 1920’s y casi durante toda la década de los 30’s, la teorı́a del equilibrio general recibió mucho ı́mpetu en Italia con el trabajo de la escuela de Lausanne. Ya habı́amos mencionado esta escuela italiana de Amoroso, Pietri-Tonelli, Sensini, La

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Equilibrio económico walrasiano

Volpe, Palomba, y Fossati, entre otros. Sólo que, quizás inesperadamente, éstos pensaban que Pareto habı́a completado la investigación estática del equilibrio general de Walras (aunque reconocı́an (sin darles mucha importancia) que faltaban algunos problemas analı́ticos por estudiar como el de la existencia y unicidad del equilibrio), y entonces privilegiaron el estudio de modelos dinámicos de equilibrio general, y referentes fundamentales para ellos en este campo fueron los trabajos del matemático italiano Vito Volterra [1860-1940]. Allı́ adoptaron las técnicas matemáticas más avanzadas disponibles en su época: no solo el cálculo diferencial e integral, sino, inclusive técnicas más avanzadas como el cálculo de variaciones, el análisis funcional y la teorı́a de grupos, buscando en el análisis dinámico una respuesta a la necesidad de mayor realismo en la teorı́a.

Los de la escuela italiana aseguraban que los fenómenos económicos eran intrı́nsecamente dinámicos, y que la estática era sólo un necesario pero primer paso.

Esta aproximación dinámica a la teorı́a del equilibrio general tuvo su origen en los trabajos de los matemáticos norteamericanos G. Evans y C. Ross, habiendo sido el primero de ellos alumno de Vito Volterra en Roma [1910-1912], y Ross alumno de Evans en Estados Unidos: serı́an los primeros en utilizar el cálculo de variaciones en economı́a, además de incorporar el concepto de expectativa. Sin embargo, esta lı́nea de investigación creada por Evans y Ross y seguida por los italianos, tuvo poco éxito en los Estados Unidos donde los trabajos sobre dinámica y expectativas de Hicks, particularmente su Value and Capital de 1939, predominaron. Inclusive se discute (ver Morishima (1993)) que La Volpe anticipó por varios años a Hicks en los problemas de tiempo y expectativas en el modelo de equilibrio general paretiano.

Que la mentalidad de esta escuela fue concreta y (casi) práctica, se ve en el hecho de que su modelo epistemológico de referencia fue siempre el de las ciencias naturales, particularmente el de la fı́sica, y no el de las matemáticas, aunque, como dijimos, hicieron un uso amplio de ellas como instrumento. De hecho, los últimos de esta escuela (Fossati y Palomba) fueron fuertes crı́ticos de la aproximación axiomática a la manera de Koopmans (1951), y Arrow y Debreu (1954), al modelo de equilibrio general, considerándola más como un virtuosismo formal que como un avance real en la comprensión del fenómeno económico.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

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Luigi Amoroso [1886-1965] fue quizás el más influyente economista de la escuela de Lausanne después de Walras y Pareto. Habiendo estudiado con Pantaleoni y colaborado con el mismo Pareto, publicarı́a en 1921 un influyente libro de texto que llamó Lezioni di Economia Matematica, y en donde hace un recorrido por la teorı́a del equilibrio general de Pareto. Allı́, en particular, Amoroso, matemático por entrenamiento, reconoce que el argumento de la igualdad entre ecuaciones e incógnitas para la existencia de solución al sistema de Pareto, es inadecuado por decir lo menos. Posteriormente, en Amoroso (1928) sı́ se aproxima a este problema más adecuadamente, al introducir numerosos lemas e hipótesis matemáticas6 que garantizaban la existencia y unicidad pero sólo para el equilibrio del consumidor: a diferencia de Pareto, Amoroso nunca evitó las funciones de utilidad y no requirió de partir siempre de curvas de indiferencia para su análisis.

“Se ha probado que bajo ciertas condiciones, que reproducen substancialmente los establecidos en la lección II respecto a la curvatura de la pendiente de ophelimity, el sistema formado por las ecuaciones p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xn = R es decir, la restricción de balance tradicional donde R es el presupuesto o ingreso, y 1 ∂φ 1 ∂φ 1 ∂φ = = ··· = p1 ∂x1 p2 ∂x2 pn ∂xn admite en general una y sólo una solución. Esta por consiguiente determina unı́vocamente las incógnitas x1 , x2 , · · · , xn .

Sin recurrir a este teorema general mostramos su validez en el caso particular en que la función de utilidad asume la siguiente forma: φ = Axa1 xb2 · · · xkn donde A es una constante positiva; y a, b, · · · , k son también constantes positivas cuya suma es menor la unidad.” (Amoroso (1942), p. 22-23) 6

Asumı́a, por ejemplo, primeras derivadas positivas de la función de utilidad, y matriz hessiana definida negativa.

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Equilibrio económico walrasiano

Nunca fue más allá de este punto sobre el problema de existencia y unicidad: Amoroso, y todos los de la Escuela Italiana, le daban muy poca importancia a los problemas puramente matemáticos si consideraban que esto no le agregarı́a mucho a la explicación real del fenómeno económico.

Y en este caso, ası́ lo creı́an.

Otro de los más importantes miembros de la escuela italiana posterior fue Eraldo Fossati [1902-1962]. El creador, en 1957, de la famosa revista Metroeconomica, publicarı́a en ese mismo año la versión en Inglés del (quizás) más importante trabajo de los italianos sobre la teorı́a paretiana del equilibrio general: The Theory of General Static Equilibrium. 7 En esta versión inglesa, Fossati ignoró los desarrollos recientes de Arrow y Debreu (1954) (e inclusive los anteriores de Wald y von Neumann) sobre la existencia del equilibrio competitivo, y dejó intacto ese tema de la versión de 1946: consistencia lógica del sistema mediante la igualdad entre el número de ecuaciones y el de incógnitas, fue (al igual que Walras y Pareto) también su argumento. Posteriormente se entendió la razón de Fossatti: creı́a que con los métodos inaugurados por estos matemáticos, la teorı́a económica estaba perdiendo su naturaleza como ciencia empı́rica y tendı́a a convertirse en una rama más de las matemáticas. En esto, Fossati representa bien el pensamiento de casi todos los italianos.

La Escuela Italiana de Lausanne no tuvo el impacto que debiera haber tenido en el desarrollo del pensamiento económico moderno, quizás debido, no a sus importantes avances en dinámica económica, sino a que, en general, publicaron en Italiano o en Francés (y no en Inglés) y a que, además, aparte del Giornale degli Economisti, sus trabajos aparecı́an en revistas poco conocidas. Sólo a través de los trabajos de Wicksell, Fisher, Cassel (entre otros) basados en los Éléments de Walras fue que comenzó a ser conocido, por continuidad, el trabajo de Pareto y de sus seguidores de la Escuela de Lausanne. Sin embargo, no hay duda de que el momento clave del despegue del sistema paretiano dentro del mainstream de la teorı́a económica fue cuando John Hicks conoció el trabajo de Pareto hacia finales de los años 1920’s.

7

Traducción de su Elementi di Economia Razionale de 1946.

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3.

Constructores del modelo de equilibrio general de la tradición paretiana

a).

John Hicks [1904-1989]

Desde una vertiente del pensamiento económico completamente distinta a la de la Escuela de Lausanne y sus posteriores seguidores italianos, el premio Nobel en Economı́a de 1972, John Hicks [1904-1989], conoció el Manuale de Pareto alrededor de 1929 cuando el director del departamento de economı́a de London School of Economics, Hugh Dalton, le dijo: “Usted lee Italiano, ası́ que deberı́a leer a Pareto” al que Dalton habı́a conocido en 1917 a través de sus lecturas de convaleciente de guerra en Italia8 . Ası́ lo hizo Hicks, e inicialmente se sintió muy interesado por las actitudes polı́ticas tan reaccionarias que aparecı́an en el Manuale, y también le llamó la atención que Pareto las expresara tan explı́citamente. Después pasó a estudiar gradualmente el apéndice matemático, y allı́, a diferencia de sus seguidores italianos, llegó a la conclusión de que Pareto no habı́a finalizado el trabajo que estaba haciendo.

Dos artı́culos y un texto clásico, A Reconsideration of the Theory of Value (Part I and II) (1934) de Hicks y Allen, y el clásico Value and Capital (1939)9 apuntaları́an la teorı́a del valor desde la perspectiva paretiana: equilibrio del consumidor, equilibrio de la firma, teorı́a del interés y de los salarios, y el equilibrio general del sistema. Fue el apogeo de la teorı́a de la demanda basada en la teorı́a del valor ordinalista. Y la clave de todo esto consistió en que Hicks, al asumir que el consumidor maximiza su utilidad bajo una restricción de presupuesto, podı́a deducir una notable cantidad de resultados sobre su comportamiento. Por ejemplo, las reacciones del consumo ante cambios en los precios, la implicación sobre la demanda y los precios de que los bienes fueran substitutos o complementarios, el comportamiento del excedente del consumidor, etc.

Es decir, Hicks diseñó una colección de potentes herramientas que enriquecieron los procesos formales de la estática comparativa de la teorı́a del consumidor y del productor. De allı́ en adelante, virtualmente todos los trabajos sobre estática comparativa tanto teóricos como aplicados 8 Resulta curioso que Hicks hubiera sido conducido a leer el Manuale en italiano y no el Manuel en francés.

9 Además de Revision of Demand Theory (1956).

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Equilibrio económico walrasiano

seguirı́an los pasos de Hicks.

Pero, más allá de lo anterior, en Value and Capital Hicks mostrarı́a los lı́mites y el potencial del sistema de equilibrio general. Antes de este trabajo, se abatı́a un aire de aridez sobre buena parte de la teorı́a del equilibrio general, pues, en términos prácticos, no se sabı́a qué hacer con el sistema de ecuaciones simultáneas del sistema. Además de los resultados de estática comparativa en la teorı́a del consumidor ya mencionados, y de haber acuñado nuevos términos (efecto ingreso, efecto sustitución, variación compensada, variación equivalente), una de las principales contribuciones del Value and Capital son los “mecanismos de agregación”.

Allı́ mostraba, por ejemplo, que si los precios de una canasta de bienes cambia en la misma proporción, ese grupo de bienes se comporta como si fuera una sola mercancı́a (Apéndice Matemático, sección 10).

Con este resultado se construirı́an muchos modelos macroeconómicos de equilibrio general con variables agregadas (tales como “consumo”) desde donde se estudiarı́an las implicaciones económicas para cada una de esas componentes10 .

Value and Capital también trata sobre el análisis “dinámico” de una economı́a en equilibrio acompasada por discusiones sobre expectativas.

Y aunque su dinámica “se detiene” rápidamente, y no es difı́cil reconocer que el “equilibrio temporal” hicksiano allı́ desarrollado es “semi-estático” y que no se podrı́a alcanzar con él el objetivo de estudiar a fondo el problema del capital, Hicks habı́a claramente abierto la puerta al problema de que para entender los valores esperados en el futuro (allı́ incluidos los equilibrios) habı́a que basarse en la experiencia pasada.11 Más explı́citamente, ayudaba a explicar una situación en que los agentes no cometen errores sistemáticamente debido al aprendizaje inducido por los errores pasados. 12 En este camino señaló una dirección estructurada y novedosa para investigar, no sólo sobre análisis secuencial sino también sobre 10

Sin duda, este resultado de Hicks serı́a importante para la mecanización walrasiana del modelo keynesiano que hoy llamamos “modelo IS-LM” (ver “Mr. Keynes and the “Classics” ”, en el que Hicks separa la economı́a en dos mercados, uno de bienes y otro monetario. Debe advertirse, sin embargo, que en esto también la escuela italiana habı́a anticipado a Hicks, con justificación diferente, en la utilización de variables agregadas tales como “consumo” dentro del modelo de equilibrio general.

11 Anticipado también en esto por la escuela italiana.

12 Y posteriormente, Marcet y Sargent (1988), Grandmont (1988) y Evans (1989), entre otros, seguirı́an los fértiles pasos de Hicks y su análisis secuencial.

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expectativas, que son dos temas centrales que serı́an muy fructı́feros en el desarrollo de la teorı́a económica posterior.

Debido a su keynesianismo temprano, ya vislumbrado en Value and Capital, Hicks siempre pensó que éste habı́a sido “demasiado walrasiano”.

De hecho, a Hicks se le asocia con la inserción de la macroeconomı́a “keynesiana” dentro del sistema de equilibrio general walrasiano, al utilizar un modelo de equilibrio general agregado con cuatro mercados (mercancı́as, mano de obra, bonos y dinero), y llevando a cabo allı́ análisis de estática comparativa (algo que Keynes, definitivamente, no harı́a) y de polı́ticas de estabilización. Todo en el corto plazo. El modelo IS-LM (Mr. Keynes and the Classics (1937)) fue demasiado atractivo y simple para ser abandonado por quienes se encontraban con él en los libros de texto o en el artı́culo mismo. De hecho, cuando muchos economistas, aún hoy en dı́a, cuando comienzan el estudio de algún problema macroeconómico, toman el IS-LM como primer (aunque rudimentario) paso.

Pero, cabe advertirlo, este modelo puede llevar a errores a aquellos que no tengan una buena formación como economistas, y no es cierto que allı́ esté encapsulado todo el pensamiento keynesiano, como tampoco es cierto que la teorı́a del capital y del trabajo esté encapsulada en una función de producción neoclásica tı́pica de libro de texto.13 Aunque, en 1932, Hicks habı́a publicado Theory of Wages siguiendo la lı́nea de la London School of Economics, poco a poco fue divergiendo para ir hacia ideas que estaban más del lado de las de Keynes. Por ejemplo, en la edición de 1962 de este texto, escribı́a: “No tenı́a sentido asegurar que el desempleo de 1932 fue, de alguna forma, causado por salarios excesivamente altos... el movimiento de los salarios reales durante la Gran Depresión deberı́a claramente tratarse...como un efecto y no como una causa.” (p. 313) Y afirmaba que el mercado laboral no podı́a tratarse como el mercado de una mercancı́a corriente; en particular, recurriendo a una versión acomodada del tâtonnement walrasiano, aseguraba que era evidente que los salarios no se movı́an instantáneamente para igualar la oferta y la demanda.

13

En cierta forma, llegar sólo hasta estas estructuras es un homenaje a la pereza intelectual.

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Equilibrio económico walrasiano

También la teorı́a monetaria fue de su preocupación, aunque en esto, al final de cuentas, fue más apegado a la tradición clásica británica que a la keynesiana. En 1935, publicó “A Suggestion for Simplifying the Theory of Money”; en 1967 “Critical Essays in Monetary Theory”; y, en 1974, “The Crisis in Keynesian Economics”. En The Crisis escribı́a: “...la liquidez no es una propiedad de una sola elección; es un problema de una sucesión de elecciones, una sucesión relacionada.” (p.38) “No es suficiente en teorı́a de la liquidez, hacer hacer una simple dicotomı́a entre lo conocido y lo desconocido. Existe otra categorı́a, de cosas que son desconocidas ahora, pero que se conocerán en el tiempo.” (p.39) Pensaba que Keynes habı́a sobrevalorado el “motivo especulación”, y subvalorado la virtud de la liquidez en tiempos de presiones inflacionarias. Además, parecı́a que Hicks no consideraba muy promisoria la polı́tica de estimular la inversión bajando las tasas de interés, particularmente en “malos” tiempos.

Con respecto a la teorı́a cuantitativa del dinero y al “monetarismo”, Hicks nunca tuvo una posición sistemática. Al parecer, al final de cuentas, era escéptico con respecto a cualquier aparato mecánico para el estudio profundo de cuestiones monetarias. Para él, lo importante era el estudio de la estructura secuencial y de las expectativas en la formación de las variables. Tampoco, al igual que Pareto, nunca emprendió intento alguno por integrar el dinero a la teorı́a del equilibrio general.

Aunque no todo lo que Hicks escribiera en sus muchos libros y artı́culos fue importante o fundamental, Value and Capital fue el replanteamiento de la teorı́a paretiana del equilibrio general dentro de la tradición anglosajona. Y nunca, en su obra, dejamos de notar la claridad de su escritura y pensamiento, y cómo llevó asuntos económicos difı́ciles y muy técnicos a un lenguaje muy sencillo. Con eso allanó el camino de generaciones e hizo del modelo paretiano uno más accesible y popular.

Murió el 23 de mayo de 1989.

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b).

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Maurice Allais [1911-] “La más importante contribución de Maurice Allais la hizo en los 1940’s, cuando continuó el desarrollo del trabajo de Walras y Pareto al proveer formulaciones matemáticas crecientemente rigurosas del equilibrio de mercado y de las propiedades de eficiencia de los mercados. (...) Sobre la base de modelos matemáticos de planeación y elección de los consumidores y las firmas, introdujo una formulación muy general de las condiciones del equilibrio de mercado.” (Comité Nobel (1988))

El Premio Nobel en Economı́a de 1988, Maurice Allais, nació en Paris un año después de la muerte de Walras. Aunque, al igual que Pareto, fue ingeniero de formación, después, en los 1930’s, serı́a conducido a la Economı́a debido a un viaje que hizo a los Estados Unidos en 1933, donde verı́a la devastación que causaba la Gran Depresión. Impresionado por el “cementerio de empresas” que encontró, entró en una mezcla entre confusión y curiosidad: ”Necesitaba saber por qué. (...) Mi motivación [para estudiar economı́a] fue la idea de ser útil de poder mejorar las condiciones de vida, tratar de encontrar un remedio a muchos de los problemas que enfrenta el mundo.” [Pool (1988) citando a Allais) Allais leyó, entre 1940 y 1941, a Walras, Pareto y Fisher que, para él, fueron “los tres grandes economistas que tuvieron la más honda influencia en [su] pensamiento”. En esa medida, creı́a tanto en las ciencias sociales como en las naturales, y reiteradamente afirmaba que la teorı́a siempre tendrı́a que confrontarse con los hechos del mundo cotidiano, pues los modelos darı́an elementos de aplicación práctica. Por ello, durante su vida publicarı́a numerosos artı́culos sobre las minas públicas de carbón en Francia (1949) (en donde recomendó comprar carbón importado más barato y cerrar algunas minas ineficientes); sobre los efectos de la competencia en las industrias del acero y del carbón en el Mercado Común (1957) (en donde tomó en cuenta, tanto la ganancia esperada como la probabilidad de ruina en el proyecto); sobre la economı́a del sistema energético (1960); y sobre las polı́ticas de inversión y precios

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Equilibrio económico walrasiano

en los sectores del transporte con costos fijos importantes (1960), entre otros.

Y en ese camino, Allais también se interesó en problemas de polı́tica general e instituciones. Creı́a en la unión federal europea y en la adopción de una moneda única. Y aunque fue un defensor del libre comercio entre las naciones (apoyado por instituciones y organizaciones sociales eficientes) como una manera de generar bienestar y riqueza social (1946, 1970), nunca creyó que el libre mercado resolviera todo (o casi todo) problema económico. Su experiencia en la Gran Depresión y su fuerte inclinación hacia los hechos y los datos, lo llevarı́an a tener una actitud cuidadosa a este respecto. Por ejemplo, aseguraba que los monopolios naturales deberı́an ser propiedad del Estado. Pero que si no lo podı́an ser, deberı́an tener una regulación muy estricta. Además, al igual que Walras, aunque solo en un primer perı́odo de su producción intelectual, apoyaba la nacionalización de la tierra y que el Gobierno la rentara a los particulares. Sin embargo, después de 1948, admitió que esto podrı́a limitar las libertades polı́ticas y económicas de los ciudadanos, y cambió de opinión.

Inspirado en los Études d´Economie Sociale de Walras, una de las más grandes contribuciones de Allais a la teorı́a económica fue su volumen masivo de 1000 páginas (escritas en dos años y medio) A la Recherche d’une Discipline Économique publicado en 194314 . Este importante aporte a la teorı́a del equilibrio económico y de la eficiencia, contiene una impresionante cantidad de otras y diferentes contribuciones originales, algunas de ellas todavı́a completamente inexploradas. Algo similar podrı́a decirse de su segundo libro principal, Économie et Intérêt, publicado en 1947, y que originalmente hacı́a parte de A la Recherche. De hecho, el Comité Nobel de 1988, equiparaba estas dos obras de Allais con el Value and Capital de Hicks (publicado cuatro años antes de A la Recherche) y el Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (publicado el mismo año de Économie et Intérêt). Más notable aún sabiendo de la independencia académica de Allais con respecto a la corriente principal anglosajona (UK) y norteamericana (USA): al igual que Pareto y Walras, siempre fue un autodidacta en Economı́a.

14

Del que se publicó una segunda edición en 1952 bajo el tı́tulo de Traité d´Économie Pure.

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Los amateurs generalmente son detestados por los profesionales y miembros de toda clase del “establecimiento”; sin embargo, ellos poseen una ventaja excepcional, que es la de nunca haber sido condicionados por el entrenamiento universitario y la repetición constante de “verdades establecidas”, y, por consiguiente, la de ser capaces de examinar cualquier problema con ojo fresco, sin ninguna pre-concepción o prejuicio.” (Allais (1988)) En su discurso Nobel, afirmaba que sus contribuciones a la economı́a podrı́an, fundamentalmente, distribuirse en cinco áreas: la teorı́a del equilibrio general y su eficiencia, la teorı́a del capital, la teorı́a del dinero y el crédito, la teorı́a de la elección bajo riesgo, y el análisis de series de tiempo económicas: a) Sobre la teorı́a del equilibrio general y su eficiencia, sus mayores aportes se encuentran en A la Recherche. El resultado central es la primera prueba “de gran generalidad” de los “teoremas de equivalencia”: Todo equilibrio de una economı́a de mercado es un estado de máxima eficiencia, y, viceversa, todo estado de máxima eficiencia es un equilibrio (siempre que existan redistribuciones apropiadas del ingreso agregado)15 . Además, de esto, incluyó allı́ útiles nociones que posteriormente serı́an rescatadas o redescubiertas por otros bajo diferentes nombres: “superficie de máximas posibilidades” (hoy conocida como la “frontera de posibilidades de consumo”); el concepto de “surplus distribuible”; el concepto de “pérdida” que es el máximo surplus distribuible para todas las posibles modificaciones de la economı́a que dejan fijos a los niveles de preferencia; entre otros. De allı́ parte a re-establecer la teorı́a paretiana de mercado alrededor del concepto de surplus distribuible, siendo el mercado un mecanismo de redistribución de surplus: allı́ donde no haya surplus se encontrará el equilibrio económico, y, por tanto, se tendrá la máxima eficiencia.

“Creo que mi teorı́a general de surpluses constituye un 15

No sobra recordar que estos teoremas ya eran conocidos por el mismo Pareto y, aunque es más discutible, por el mismo Walras. El aporte de Allais consistió en ofrecer demostraciones rigurosas de estos teoremas utilizando, fundamentalmente, el cálculo diferencial.

60

Equilibrio económico walrasiano progreso muy considerable, y es en realidad muy revolucionario, en comparación no solo con todas las teorı́as previas sino también con todas las teorı́as contemporáneas.”

(Allais (1988)) b) Sobre la teorı́a del capital, sus mayores aportes se encuentran en Économie et Intérêt (1947), en donde recurre a cierta dinámica de generaciones (vieja y joven) para el estudio de la eficiencia máxima en el modelo de equilibrio general con capital. Allı́, muestra, notablemente, que aunque la unicidad de la tasa de interés es condición para la eficiencia en el sector productivo, no es ası́ en el total de la economı́a. Ası́ que no es cierto que el equilibrio (oferta igual demanda) para el capital arroje un óptimo para toda la economı́a. No obstante, hace una prueba rigurosa de la existencia de un equilibrio global de la economı́a (que él llama el “maximum maximorum”) y muestra que éste corresponde a una tasa de interés real nula. Además, aseguraba que Hasta donde sé, de todas las teorı́as de procesos dinámicos de capital, el que presento es el único que se presta a aplicaciones numéricas. (Allais (1988), p. 5) c) Sobre la teorı́a monetaria, los aportes centrales de Allais se encuentran en Économie et Intérêt y en dos artı́culos publicados en 1954 y 1955. Según él mismo (Allais (1988)), lo que lo condujera inicialmente al estudio de los problemas monetarios fue el notar que no es posible ninguna eficiencia económica ni distribución equitativa de los recursos en una economı́a con inestabilidad monetaria, como fue el caso de la Gran Depresión de 1929-1934.

Allais mostró en los artı́culos mencionados un modelo no-lineal que expresaba las variaciones del “gasto global” (que es la suma de todo lo gastado por los individuos en una unidad de tiempo) como función de la diferencia entre entre la oferta y la demanda de dinero (a este modelo lo llamó “la ecuación fundamental de la dinámica monetaria”). En esa dinámica no-lineal, para ciertos valores (tı́picos en la práctica), Allais encontró ciclos lı́mites con comportamientos muy cercanos a los calculados empı́ricamente.

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Posteriormente, en artı́culos publicados entre 1965 y 1967, replantearı́a su teorı́a monetaria para establecerla alrededor de (...) la ecuación fundamental de la dinámica monetaria, y (...) tres formulaciones hereditarias y relativistas de la demanda de dinero, la oferta de dinero, y las tasas de interés psicológicas y las tasas de olvido.” (Allais (1988), p. 6) Herencia y relatividad son los términos claves de su teorı́a de la demanda de dinero. Para él, el término “herencia” está enraizado en la idea de que de que el comportamiento de un individuo está condicionado por su memoria del pasado, pero que ésta es olvidada a una tasa decreciente (taux d’ oubli) que es relacionada con una tasa de descuento tı́pica. Ahora: el término “relatividad” proviene de que Allais cree que hay dos tipos diferentes de tiempo, el estándar (fı́sico) y el psicológico. Dentro del marco del tiempo psicológico, la tasa de olvido y la tasa “pura” de descuento (o “tasa de interés psicológica”, como la llama Allais) serán constantes e iguales. Sin embargo, la tasa de olvido en el tiempo fı́sico estándar es variable pues, según él, mientras más rápidamente evolucionan las magnitudes económicas dentro de este sistema de referencia, más rápidamente olvidará la gente, es decir, más rápida será la tasa de olvido. Por ejemplo, en una hiperinflación, olvidamos rápidamente inclusive lo que sucedió ayer, mientras que en una economı́a con inflación estable, el comportamiento monetario está condicionado, en gran medida, por lo que sucedió varios meses atrás.

Sin embargo, en el fondo, para Allais el lado de la demanda monetaria (al igual que para Walras), es una sutil presentación de la teorı́a cuantitativa del dinero, en el que la velocidad de la circulación monetaria no es constante sino una función que incorpora eventos pasados y otros eventos psicológicos, que, según él, son susceptibles de verificación empı́rica siempre que se tenga una medida apropiada de la cantidad de dinero. “[...] [[Estas variables]] muestran que estamos condicionados por el pasado, y abren nuevas perspectivas en

62

Equilibrio económico walrasiano el debate general sobre determinismo y libre elección.”

(Allais (1988), p. 6) Por el lado de la oferta monetaria, su manejo está en la raı́z de la regulación de la actividad económica. Al explicar (1977, 1987) las condiciones monetarias para economı́a con mercados que funcionen eficientemente, afirma, entre otros, que los bancos deberı́an diferenciarse entre bancos de préstamo y bancos de depósito, que la creación de moneda solo estuviera a cargo del Banco Central, que el impuesto de renta fuera reemplazado por un impuesto general sobre todos los activos fı́sicos durables (1990), y que todas las obligaciones futuras deberı́an indexarse en una unidad de cuenta estable. c) Sobre la teorı́a de la elección bajo riesgo Allais publicarı́a un artı́culo en 1952 en el que buscaba “generalizar las teorı́as del equilibrio general económico y de la eficiencia máxima al caso de riesgo.”

Y en este camino se encontró haciendo fuertes crı́ticas, desde lo empı́rico, a la notable contribución de von Neumann y Morgenstern (Games and Economic Behavior (1944)) sobre la existencia de la función de utilidad cardinal (ı́ndice (index ) de utilidad) y su pertinencia en la toma racional de decisiones.

Von Neumann y Morgenstern mostraban la existencia de este ı́ndice de utilidad a partir de unos postulados básicos de comportamiento individual, y también, que para ser racional, todo individuo debı́a maximizar la utilidad esperada (objetiva) de este ı́ndice. Pero para alguien acostumbrado a integrar factores psicológicos a sus modelos, era difı́cil aceptar esto. Para él, el elemento psicológico fundamental de la teorı́a del riesgo es la distribución probabilı́stica de valores psicológicos alrededor de la media (es decir, que los agentes prefieren estar seguros en vecindades de certeza), y esto trató de comprobarlo con un ejercicio empı́rico que, a la postre, llegarı́a a conocerse como la Paradoja de Allais.16 Para sustentar su hipótesis realizó un ejercicio empı́rico con una encuesta en el mismo año pero posterior al artı́culo de 1952, y allı́, con 100 sujetos “con buen entrenamiento y conocimiento de la teorı́a de la proba-

16

Que no es, en absoluto, ninguna paradoja.

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bilidad´´ (L. Savage y B. De Finetti, entre ellos), confirmó que no existı́a ningún ı́ndice objetivo cuya maximización de su valor esperado explicara el comportamiento observado, pero que sı́ existı́a un ı́ndice psicológico (utilidad cardinal psicológica) que puede determinarse sin recurrir a ninguna elección bajo incertidumbre. d) En el análisis de series de tiempo económicas, Allais critica a la teorı́as matemáticas de la oportunidad dado que, precisamente, ignoran la oportunidad, la incertidumbre y la probabilidad: son modelos puramente determinı́sticos. Para él “(...) las fluctuaciones en las series de tiempo que observamos en los fenómenos fı́sicos, biológicos y psicológicos resultan, en gran medida, de la influencia, a través de efectos de resonancia, de incontables vibraciones que llenan el espacio en el que vivimos, y cuya existencia es una certeza. Ası́ podemos explicar, en gran medida, la estructura de las fluctuaciones, tan incomprensibles a primera vista, que observamos en muchas series de tiempo tales como, por ejemplo, las de los sunspots o las de las bolsas. Estas fluctuaciones presentan, de hecho, todas caracterı́sticas de un estructura casi periódica.”

Era, quizás, la primera vez que en las series económicas aparecı́an eventos aparentemente aleatorios que, en realidad, eran el resultados de eventos puramente determinı́sticos.

La influencia del trabajo de Allais fue muy grande en varias generaciones de estudiantes franceses, entre ellos Marcel Boiteux, Edmond Malinvaud, y el premio Nobel de 1983, Gerard Debreu (quien lo obtuviera cinco años antes que su maestro). Sin embargo, en el exterior el nombre de Allais no fue en general bien reconocido hasta que el Comité Nobel colocó reflectores sobre él en 1988. Por esta época, Paul Samuelson sı́ reconoció a Allais como “una fuente de descubrimiento independiente y original” agregando que “Si sus primeros trabajos hubieran sido en Inglés, toda una generación de teorı́a económica habrı́a tomado un curso diferente.”(Clark(1988) citando a Samuelson)

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Equilibrio económico walrasiano

En su caso, como en el de tantos otros, el no escribir en Inglés fue un impedimento para la amplia circulación y completa apreciación de su trabajo. Adicionado esto al hecho de que su obra es, no solo extensa (más de mil artı́culos (no todos sobre economı́a), y alrededor de treinta y cinco libros) sino densa. Sin embargo, al igual que en el caso de Walras, el mainstream anglosajón tomó de Allais sólo partes aisladas de su programa de investigación, y, muy particularmente, sus trabajos sobre los teoremas del bienestar económico presentados en A la Recherche.

Siempre energético, con múltiples intereses (una de las aparentes razones de su longevidad), durante su vida ha disfrutado de la actividad fı́sica, incluyendo sus deportes preferidos: el skiing y la natación. Allais tiene ahora 97 años.

c).

Paul Samuelson [1915-] “Como dijera Schumpeter mucho antes de Thomas Kuhn: No se puede destruir una teorı́a con un hecho aberrante. Se necesita una nueva teorı́a para destruir una vieja teorı́a.”

(Paul Samuelson (1987), p.110)

Una de las principales caracterı́sticas de la teorı́a económica durante las últimas décadas ha sido la creciente formalización de la técnicas analı́ticas matemáticas del equilibrio general, y en esto John Hicks y Paul Samuelson tuvieron mucha influencia. El magnum opus de Samuelson fue su Foundations of Economic Analysis de 1947 (que fuera la versión ampliada de su tesis doctoral de 1941)17 en el que muestra cómo unificar metodológicamente y bajo una misma estructura teórica, el estudio del comportamiento del consumidor, la economı́a del productor, la teorı́a del comercio internacional, la teorı́a de las finanzas públicas y el análisis macroeconómico.

Al igual que en las ciencias naturales (y, en particular, la fı́sica), Samuelson proponı́a en sus Foundations que la maximización o minimización bajo restricciones era una útil metodologı́a de análisis en economı́a, aún si los agentes no estaban implicados de manera consciente 17

Sobre cómo surgieron las ideas de escribir este libro, y sus posteriores ediciones, ver Samuelson (1998).

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en ese comportamiento. Allı́ también ayudarı́a a distinguir entre variables endógenas y exógenas, entre parámetros y constantes, entre estática comparativa y dinámica, entre equilibrio parcial y equilibrio general: eran las bases estructurales de la moderna teorı́a económica neoclásica.

Y aunque quizás Samuelson no abrió campos completamente nuevos en la investigación económica durante el siglo XX, con su amplia visión desarrolló nuevas y refinadas herramientas analı́ticas para el estudio de problemas centrales de la teorı́a económica tanto neoclásica como neokeynesiana. A pesar de lo vasto del pensamiento e intereses cientı́ficos de Samuelson, nos concentraremos aquı́ en sus contribuciones dentro de cuatro áreas fundamentalmente: la teorı́a del consumo y del bienestar, la dinámica y estabilidad, la teorı́a del equilibrio general, la teorı́a del capital y de la eficiencia intertemporal, y la teorı́a monetaria.

En la teorı́a del consumo, quizás uno de los principales aportes de Samuelson fue la teorı́a de las preferencias reveladas (1938,1947), que era la visión empı́rica de la “dudosa y psicológica” función de utilidad. Esta teorı́a está basada en la hipótesis de que si se escoge cierta canasta de bienes de consumo cuando otra está disponible, esta última no será escogida cuando la primera esté disponible. Al comparar los costos de diferentes canastas a diferentes precios, es posible obtener conclusiones acerca de los comportamientos de preferencia del individuo, y Samuelson muestra la conexión de este procedimiento empı́rico con la teorı́a de las preferencias ordinales de Pareto (1909), Slutsky (1915), y Hicks y Allen (1934). Por su parte, en la teorı́a del bienestar, sus nociones de “ingreso nacional”(1950), de “frontera de posibilidades de utilidad” (1947), de “gran frontera de posibilidades de producción” (1947), y su confrontación con los mapas de indiferencia social de Bergson (1938), que permitı́an determinar posiciones de óptimo social. Sin embargo, Samuelson (1987) siempre fue escéptico sobre polı́ticas públicas que iban más allá de la noción de eficiencia paretiana.

Sobre la dinámica y estabilidad, no hay duda de que el Foundations de Samuelson colocó bases sólidas de análisis teórico a los trabajos anteriores de Frisch (¿conexión de éste con la escuela italiana?)(), Tinbergen(), Kalecki(), Robertson() y Hicks(1939). En particular, Samuelson mostró la conexión entre la estática comparativa y la dinámica y desarrolló un “verdadero” análisis de estabilidad dinámico. En particular, fue Samuelson quien primero estudió sistemáticamente el problema del

66

Equilibrio económico walrasiano

comportamiento de un sistema económico fuera del equilibrio, con comportamientos tâtonnement walrasianos (los precios reaccionan ante aumentos o disminuciones de los correspondientes excesos de demanda), o con comportamientos marshallianos (las cantidades producidas reaccionan a la diferencia entre los correspondientes precio de demanda y de oferta). Discutió a fondo ecuaciones en diferencias para movimientos de precios y cantidades, y estudió sus comportamientos de estabilidad alrededor de los equilibrios. Fue allı́ que apareció el término “principio de correspondencia” que consistı́a en desarrollar analogı́as entre la dinámica económica y los sistemas dinámicos de la mecánica clásica.

La tercera es sobre la teorı́a del equilibrio general. A diferencia de Hicks, quien fundamentalmente busca estudiar polı́ticas de estabilización macreconómica de sistemas de equilibro general, para Samuelson el objetivo fue estudiar problemas de asignación, también en equilibrio general.

Y una de estas aplicaciones directas fue a la teorı́a del comercio internacional, en particular, su famoso teorema de igualación de precios de factores (1948, 1949,1953) dio origen a los trabajos pioneros de Hecksher y Ohlin (1948,1949,1967). También los artı́culos con Stolper (1941) sobre los efectos de tarifas en la distribución del ingreso de un paı́s, y de los beneficios del comercio internacional (1939), serı́an piedras angulares de la teorı́a del comercio internacional en un contexto de equilibrio general. En este último, por ejemplo, Samuelson mostraba que, bajo ciertas condiciones, el libre comercio es “mejor” que el no-comercio y también que el comercio restringido.

Sobre el capital y eficiencia intertemporal, Samuelson tuvo un preponderante papel en el debate sobre la “agregación capital” que sostuvieron entre Joan Robinson, Luigi Pasinetti, Piero Sraffa, etc. (Cambridge, U.K.) y Paul Samuelson, Robert Solow, etc. (Cambridge, USA). Sus conceptos sobre el capital y su incidencia en la teorı́a de la asignación y del crecimiento son sus principales contribuciones en esta área. Por ejemplo, Samuelson mostró que era posible hablar de un precio bien definido del capital aunque no fuera posible definir, de una manera satisfactoria, un stock de capital agregado (1939, 1956,1962). Además, mostrarı́a que el problema de sustitución entre capital y trabajo podrı́a formularse como un problema “dual” en términos de los rendimientos reales de cada factor.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

67

Otra importante contribución de Samuelson a la teorı́a dinámica del capital es el modelo de consumo-préstamo (consumption-loan model)(1958) en el que se trata de establecer la trayectoria de equilibrio de consumos y préstamos entre generaciones: la generación “media” presta parte de su producción a la generación “joven”, de tal forma que cuando aquella generación se hace “vieja”, se sostiene con los pagos (en términos de producción) de la generación que obtuvo los préstamos, y que ahora es la generación “vieja”. Ası́, en este modelo, la asignación intertemporal de consumo se hace prestando (lending) y recibiendo préstamos (borrowing) en términos de producción. En ningún caso esto se logra mediante inversión. Este modelo de consumo-préstamo de Samuelson ha sido adaptado para hacer de él toda una máquina de análisis macroeconómico, incluyendo problemas de crecimiento de población, tasa de interés óptima y de mercado, análisis monetarios (ver capı́tulo 7), etc.

También en el contexto de la teorı́a de la producción intertemporal, su turnpike-theory ganó un particular lugar. Con Solow (1953) venı́a estudiando el problema de un crecimiento económico proporcional (balanced growth) bajo funciones de producción neoclásicas y rendimientos constantes a escala (apartándose de la usual función de producción Leontief del input-output). Y aunque von Neumann (ver capı́tulo 3) se habı́a anticipado parcialmente a ellos en esto, Samuelson y Solow alcanzaron resultados más allá de los del matemático húngaro. Por ejemplo, mostró cómo las dotaciones iniciales de capital (initial assets) del modelo eran muy importantes en la trayectoria de crecimiento en equilibrio; estableció las condiciones marginales necesarias (similares a las condiciones micro estáticas) para ese crecimiento equilibrado, que llegarı́an a ser estándar en la teorı́a moderna del crecimiento; y, fundamentalmente, mostró que siempre es posible encontrar un horizonte de tiempo suficientemente distante, para que valga la pena seguir una trayectoria a una tasa máxima (esta es el turnpike) de crecimiento, aún si las asignaciones de comienzo y final no están dentro de la trayectoria de crecimiento.

También hizo algunas contribuciones significativas a la teorı́a monetaria, al ser uno de los primeros economistas en adaptar la economı́a keynesiana para que jugara un mayor papel en las polı́ticas monetarias. El movimiento inicial que siguió a la General Theory(1936) de Keynes, llevaba a la idea de que las polı́ticas monetarias no eran efectivas sobre la demanda agregada. Sin embargo, Samuelson (?), desarrolló una ver-

68

Equilibrio económico walrasiano

sión ecléctica de keynesianismo con neoclasicismo, en la que la polı́tica monetaria sı́ impactaba en el manejo de la demanda. En 1962, escribı́a: “Contrario a las opiniones de muchos economistas contemporáneos (y a algunos de mis propios conceptos anteriores), creo que las polı́ticas monetarias y de crédito tienen gran poder en estimular, estabilizar, o deprimir una economı́a moderna.”

De hecho, en su famoso libro de texto Economics (1961) incluı́a una discusión sobre cómo la polı́tica monetaria tenı́a impacto importante en el gasto nacional. Aún ası́, siempre tuvo un serio alejamiento conceptual del monetarismo de Milton Friedman.

Otro de los aportes de Samuelson a la teorı́a monetaria fue su artı́culo con Solow (1960) sobre la curva de Phillips (es decir, la relación entre inflación y desempleo) en los Estados Unidos. Según se podrı́a extraer del artı́culo, las polı́ticas gubernamentales que estimulan la demanda agregada podrı́an lograr una tasa de desempleo permanentemente baja si permitiesen una más alta tasa promedio de inflación. Crı́ticas a esta posición de Samuelson y Solow provino del mismo Friedman y de R. Phelps con su “hipótesis de la tasa natural de interés” que negaba que existiera esa relación desempleo-inflación de largo plazo. Aún ası́, Samuelson ha seguido escéptico con respecto a esta teorı́a de la tasa natural.

Paul Samuelson gusta de llamarse a sı́ mismo “the last generalist in economics”, significando esto que habı́a escrito y enseñado en temas aparentemente disı́miles tales como comercio internacional, econometrı́a, ciclos económicos, demografı́a y economı́a laboral, finanzas y competencia monopolı́stica, historia de las doctrinas económicas, y geografı́a económica.

Pero todo esto tiene sus razones. En 1935, siendo aún un estudiante de posgrado en Harvard, Schumpeter les decı́a a la clase que de los cuatro más grandes economistas del mundo, tres eran franceses. Uno era Walras18 , y los otros dos eran Cournot y Quesnay: el no-francés era Marshall.

No obstante, y un poco escéptico sobre la clasificación de Schumpeter en 1935, y de la fuerte influencia de sus maestros en Harvard, Samuelson se 18

A quien Schumpeter nunca dudó en considerar el más grande economista de todas las épocas por su formulación del equilibrio general

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

69

inclinó más por los economistas polı́ticos clásicos: Smith, Ricardo, Mill y Marx. Y no ocultaba su incomodidad cuando se ensalzaba el papel de Marshall en el pensamiento económico, y se minimizaba el de Walras como “el predecesor de Pareto”.

“Hoy puede haber poca duda de que la mayorı́a de la teorı́a literaria y matemática que aparece en nuestras revistas profesionales es más de origen de Walras que de cualquier otro (y hago énfasis en el adjetivo “literario”).”(Samuelson (1962), p. 3) 19 Samuelson, quizás, será el último de los economistas eruditos.

Recientemente escribió un controversial artı́culo (Samuelson (2004)) en el que pareciera ubicarse como lı́der intelectual del proteccionismo en el comercio internacional de los Estados Unidos. Sin embargo, en Dixit et al(2005) aclaró su posición enfáticamente: “La historia económica y la mejor teorı́a económica en conjunto, me persuaden de que dejar o comprometer las polı́ticas de libre comercio muy probablemente reducirán el futuro crecimiento del bienestar, tanto en las regiones más avanzadas como en las menos productivas del mundo. El proteccionismo alimenta el monopolio, y el capitalismo lento. No permite alcanzar una sociedad igualitaria, feliz y serena.” (Dixit, Grossman y Samuelson (2005), p. 242) En 2008 escribió abundantemente sobre la crisis financiera originada en los Estados Unidos a partir de los créditos hipotecarios, con una crı́tica profunda a la polı́tica económica de G.W. Bush y la Federal Reserve, y a sus mecanismos de regulación.

Paul Samuelson tiene hoy 93 años.

4.

El modelo paretiano simple

Una de las razones por las cuales el sistema paretiano simple (sólo consumo y producción (ignorando capital y moneda)) se instaló en el corazón 19 Y sin embargo, curiosamente aseguraba que ası́ como solo existe un “sistema del mundo” y fue Newton el que “lo encontró”, también fue asunto de “buena suerte” que Walras “encontrara” el concepto de equilibrio general.

70

Equilibrio económico walrasiano

de las discusiones del siglo XX sobre el equilibrio económico walrasiano, es que es pedagógicamente conveniente y su intuición gráfica es muy simple a través de tres herramientas fundamentales: primero, las curvas de nivel; segundo, las cajas de Edgeworth (confusamente vislumbradas por el mismo Edgeworth en su obra magna de 1881, pero introducidas en propiedad por Pareto en el Manuel de 1906); y tercero, las fronteras de posibilidades de producción (introducidas por Lerner (1932)). Y aunque con ellas se ilustran claramente las condiciones del equilibrio general, desafortunadamente el gran costo de esta aproximación es que, en general, se apoya en fuertes hipótesis de diferenciabilidad de las distintas funciones empleadas, y las ilustraciones gráficas del sistema paretiano inevitablemente requieren reducirlo a una economı́a compuesta por dos consumidores, dos productores, y dos factores (2×2×2). Es básicamente allı́, donde se desarrolla todo el modelo.

Desde la perspectiva actual, el sistema paretiano podrı́a describirse ası́: 1. Un conjunto de mercancı́as; es decir, “cosas valiosas e intercambiables” (Éléments, §41), o, “ciertas cosas que están en la posibilidad de satisfacer los gustos del hombre” (Manuel, p. 237).

2. Un mercado de esas mercancı́as; es decir, “el lugar donde se cambian las mercancı́as” (Éléments, § 41).

3. Los precios son tomados de manera paramétrica (competencia perfecta): “Si observamos la realidad, vemos que el tipo (I) [[de individuo]] 20 se encuentra donde hay competencia entre los que se conforman. Las personas con las cuales contratan pueden no estar en competencia y no seguir en consecuencia el tipo (I). El tipo (I) es tanto más neto cuando la competencia es más extensa y perfecta. Es precisamente porque cada dı́a en la Bolsa de Parı́s hay muchas personas que compran y venden renta francesa, que serı́a locura pretender modificar las condiciones 20 Para Pareto, un individuo tipo (I) es aquel que únicamente busca satisfacer sus gustos. En su lugar, un individuo tipo (II) es el que busca modificar las condiciones del mercado para “sacar ventaja, o para otro fin cualquiera”.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

71

de ese mercado comprando o vendiendo algunos francos de renta. Evidentemente, si todos los que venden (o compran) se pusieran de acuerdo, podrı́an efectivamente modificar esas condiciones en provecho suyo; pero no se conocen unos a otros, y cada uno actúa por su cuenta.

En medio de esta confusión, y de esta competencia, cada individuo no tiene otra cosa que hacer, sino ocuparse de sus propios negocios y buscar cómo satisfacer sus propios gustos, según las diferentes condiciones que pueden presentarse en el mercado. Todos los vendedores (o los compradores) de renta, modifican el precio, pero lo modifican sin previo designio, y no es el fin sino el efecto de su intervención.” (Manuel, § 46, Cap. III) 4. En este modelo también se asume que los consumidores poseen dotaciones de factores y desean consumir bienes producidos por las firmas, que son las que organizan la producción, demandando factores de los consumidores y ofreciendo bienes producidos. El resto consiste en que los consumidores escojan vı́a la maximización de la utilidad, y los productores vı́a la maximización del beneficio (siendo esta última una de las principales contribuciones de Pareto al sistema walrasiano). El equilibrio se alcanza cuando se consigue un conjunto de precios que haga que en los mercados de productos y de factores, la oferta y la demanda se igualen.

5. Las ilustraciones gráficas del sistema paretiano inevitablemente requieren reducirlo a una economı́a compuesta por dos consumidores, dos factores, y dos productores (2 × 2 × 2). Es básicamente allı́, donde se desarrolla todo el modelo. En estas gráficas se ilustra la situación en que los dos consumidores buscan obtener satisfacción máxima por consumir lo que producen las dos firmas, sabiendo que están restringidos a un presupuesto determinado por el valor de los bienes de capital que poseen y del trabajo que puedan ofrecer. Ası́, el capital y el trabajo requerido para la producción está en manos de los dos consumidores. Las empresas, siguiendo a Walras, son mecanismos para organizar la producción tomando los insumos de los consumidores y ofreciéndoles bienes finales. El equilibrio se alcanza cuando se encuentren unos precios que tengan

72

Equilibrio económico walrasiano la caracterı́stica de hacer que las firmas produzcan exactamente lo que los consumidores necesitan.

Se acostumbra utilizar la siguiente notación: a) Los consumidores son A y B, y los factores son v1 y v2 . b) Los productores (firmas) son X y Y . Aquı́ se acostumbra a asumir que cada firma produce únicamente un bien mediante una función de producción X = f x (v1x , v2x ), y Y = f y (v1y , v2y ) donde v1x denota la cantidad del insumo v1 implicada en la producción de X, y v2x denota la cantidad del insumo v2 implicada en la producción de X. De manera similar, v1y denota la cantidad del insumo v1 implicada en la producción de Y , y v2y denota la cantidad del insumo v2 implicada en la producción de Y . Similarmente, 21 Para Pareto, La empresa es la organización que reúne los elementos de la producción y que los dispone de manera que se cumpla. Es una abstracción, como el homo œconomicus, y tiene con las empresas reales la misma relación que el homo œconomicus con el hombre verdadero, el hombre concreto. (...) [Manuel, Cap. V, §4 ] y a párrafo seguido afirma que: 21

Las funciones de producción tienen una historia que se remonta hasta von Thünen (1826) quien en su “Der Isolierte Staat” (Vol. II) encontró que, para su Estado agrı́cola, Q/L = h(K/L)n con Q/L es producto per cápita, K/L es capital per cápita, h es un parámetro que representa la fertilidad del suelo y la eficiencia del trabajo, y n está entre 0 y 1. Sin embargo, fue Wicksteed (1894) el primero en escribir algebraicamente la relación entre insumos y productos de la forma x = f (v1 , v2 ). Walras (Élements, 1900) y Pareto (Manuel, 1909) en las últimas ediciones de sus trabajos clásicos, también plantearon funciones de producción abstractas pero no las incorporaron efectivamente en sus esquemas teóricos. Inclusive algunos investigadores (por ejemplo, Whitaker (1975)) han encontrado que Marshall, en trabajos no publicados, estudió funciones de producción de la forma P = f (L, E, C, A, F ) donde L es trabajo, E es eficiencia, C es capital, A es nivel tecnológico, y F es la fertilidad del suelo. En 1928 Paul Douglas y Charles Cobb describieron la relación entre las series de tiempo de producción manufacturera, mano de obra y capital para la economı́a norteamericana entre 1889 y 1922. Esto darı́a origen a la famosa función de producción Cobb-Douglas que hoy conocemos: Y = (v1 )α (v2 )β donde α y β son constantes positivas conocidas.

73

Capı́tulo 2: Tradición paretiana Se puede hacer una representación material de la empresa, considerando un recipiente donde terminan numerosos canales, que representan los elementos de la producción y de donde sale una corriente única que representa el producto.[Manuel, Cap. V, §5 ]

c) uA (xA , yA ) es la función de utilidad del agente A que depende del consumo de bienes, donde xA es la cantidad del bien X consumido por el agente A, y yA es la cantidad del bien Y consumido por el agente A. La dotación inicial de factores que el consumidor A coloca a disposición del mercado en el perı́odo bajo estudio es WA = (v1A , v2A ). De manera análoga, el consumidor B tiene su función de utilidad uB (xB , yB ), y su dotación inicial es WB = (v1B , v2B ).

a).

Los consumidores

La primera condición del sistema paretiano es la optimización por parte de los consumidores: Dados los precios px (del producto x), py (del producto y), w1 (del factor v1 ) y w2 (del factor v2 ), el consumidor A se enfrenta al problema Maximizar sujeta a

uA (xA , yA ) px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A

(A)

xA ≥ 0, yA ≥ 0 y, puesto que el modelo paretiano asume diferenciabilidad con continuidad, monotonicidad estricta (en cada uno de sus argumentos) y concavidad estricta de la función uA (·, ·), entonces podemos aplicar las condiciones de Lagrange 22 , que son, en este caso: ∂uA = λA px , ∂xA

∂uA = λA py ∂yA

px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A 22

(1)

Tradicionalmente, se afirma que Edgeworth (1877), en su New and Old Methods of Ethics, fue el primero en utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange. Walras y Pareto, aunque bien dispuestos hacia las matemáticas (mucho más Pareto que Walras), y advertidos por colegas de su existencia, omitieron siempre su utilización.

74

Equilibrio económico walrasiano

donde λA es el multiplicador de Lagrange para el agente A. Obsérvese que, inmediatamente, se obtiene la conocida condición ∂uA px ∂xA = A py ∂u ∂yA

(2)

que afirma que la tasa marginal de sustitución entre xA y yA es igual a la razón de precios de los bienes px /py . En la figura 1, la solución simultánea a (1) y (2) es (x∗ , y ∗ ). yA

px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A ∗ yA

• ∗) uA (xA , yA ) = uA (x∗A , yA

xA

x∗A

Figura 1: El problema del consumidor A. La segunda condición es la del consumidor B, cuyo problema es similar al de A: Se enfrenta al problema Maximizar sujeta a

uB (xB , yB ) px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B

(B)

xB ≥ 0, yB ≥ 0 y con las mismas condiciones sobre uB (xB , yB ) de monotonicidad y concavidad estricta, las condiciones de Lagrange, son, en este caso: ∂uB = λB px ; ∂xB

∂uB = λB py ; ∂yB

px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B (3)

75

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

donde λB es el multiplicador de Lagrange para el agente B. Y se obtiene la respectiva condición de sustitución entre bienes en equilibrio: ∂uB px ∂xB = py ∂uB ∂yB

(4)

∂uB

∂uA

∂xA (x∗ ,y∗ ) ∂xB (x∗ ,y∗ ) px A A

B B ; = = py ∂uA

∂uB

∂yA (x∗ ,y∗ ) ∂yB (x∗ ,y∗ )

(5)

Ası́, de (2) y (4),

A

A

B

B

es decir, en equilibrio, las tasas marginales de sustitución entre los dos bienes serán las mismas para ambos agentes.

Advertimos, de paso, que las demandas de los consumidores, x∗i y yi∗ para i = A, B, son independientes de una multiplicación por escalar de los precios, porque si éstos cambian de (px , py ) a (tpx , tpy ) para t > 0, la recta de presupuesto no se modifica para ningún consumidor y, por ende, las demandas de los consumidores no cambian. Es por esto que, en equilibrio, podemos escoger algún precio diferente de cero (de esta manera aparece en este modelo el “numerario” de A. Walras), y representar los otros precios en términos de éste. Ası́, es natural encontrar que, en equilibrio, las demandas se escriban en términos de precios relativos.

Como dijimos antes, fue Pareto quien primero utilizó efectivamente el instrumento gráfico conocido como la caja de Edgeworth para mostrar la relación que existe entre los equilibrios competitivos (o walrasianos) y las asignaciones óptimas. Sin embargo, este formidable instrumento tiene hoy dos versiones: una, que únicamente describe la interrelación entre los dos consumidores (economı́as de intercambio puro), y, otra, que describe la interrelación entre los dos productores y los dos consumidores(que describiremos más adelante).

76

Equilibrio económico walrasiano xB consumidor B yA

curva de contrato

yB xA

consumidor A

Figura 2: Caja de Edgeworth

En el caso de (sólo) los dos consumidores, es decir, sin los dos sectores productivos, las dimensiones de la caja (ver figura 2) están determinadas por las cantidades totales de las dos mercancı́as que ellos ofrecen en la economı́a (y que son las cantidades totales que van a intercambiar): el lado de la caja mide v1A + v1B unidades del bien X, y la altura mide v2A + v2B del bien Y . 23 El consumidor A mide sus consumos desde la esquina inferior izquierda de la caja, y el consumidor B mide sus consumos desde la esquina superior derecha. Ası́, un punto de la caja de Edgeworth nos da completa información sobre la cantidad de cada una de las mercancı́as que demanda cada consumidor: la cantidad xA del bien X que demanda el consumidor A se mide desde la esquina inferior-izquierda hacia la derecha, y su cantidad yA del bien Y se mide desde la esquina inferior-izquierda hacia arriba. La cantidad xB del bien X que demanda el consumidor B se mide desde la esquina superiorderecha hacia la izquierda, y su cantidad yB del bien Y se mide desde esa misma esquina pero hacia abajo. Ası́, cualquier punto dentro de la caja, identifica ambas demandas por parte de los consumidores. Note que, de esta manera, se tiene la condición de equilibrio “oferta=demanda”: xA + xB = v1A + v1B

yA + yB = v2A + v2B

(6)

En la figura a), las intersecciones tangenciales de las curvas de nivel de las funciones de utilidad de A y B, dan origen a la ya mencionada 23

Note aquı́ como nos vemos obligados a cierta manipulación de notación debido a la “desaparición” de las firmas: v1A será, aquı́, la cantidad de bien X que posee A; v1B será la cantidad de bien X que posee B; v2A será la cantidad de bien Y que posee A; v2B será la cantidad de bien Y que posee B.

77

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

“curva de contrato” (Edgeworth (1881)) de la economı́a, que es la curva que va desde el extremo inferior izquierdo de la figura 2 hasta el extremo superior derecho. Los puntos de esta curva son, precisamente, aquellos pares (xA , yA ), (xB , yB ) que satisfacen la condición (5) de optimalidad para los consumidores A y B, respectivamente. Sobre esta construcción gráfica y otras que se derivan de ella, discutiremos más adelante en este mismo capı́tulo.

b).

Los productores

Continuando con la construcción del modelo paretiano simple, pasamos ahora, después de las condiciones para los dos consumidores, a la tercera condición que es la optimización por parte de los productores: Cada firma intenta maximizar sus beneficios sujeta a restricciones tecnológicas y de precios.24 Dados los precios px (del producto x), py (del producto y), w1 (del factor v1 ) y w2 (del factor v2 ), la firma que produce X enfrenta el problema: Maximizar sujeta a

px X − w1 v1x − w2 v2x X = f x (v1x , v2x )

(X)

v1x ≥ 0, v2x ≥ 0 y la firma que produce Y enfrenta el problema: Maximizar sujeta a

py Y − w1 v1y − w2 v2y Y = f y (v1y , v2y )

(Y)

v1y ≥ 0, v2y ≥ 0 Nuevamente, el modelo paretiano asume diferenciabilidad con continuidad, monotononicidad estricta y concavidad de las funciones de producción f x (·.·) y f y (·.·), lo que, a su vez, implica rendimientos decrecientes a escala en ambas firmas. Ası́, las condiciones necesarias de optimalidad para los productos X y Y son, respectivamente, 24

Este fue uno de los aportes de Pareto a la teorı́a del equilibrio general (colocar aquı́ la cita de Pareto) . Recordemos que, para Walras, este problema se reducı́a a la condición “precio=costo marginal” debido a la hipótesis de rendimientos constantes a escala.

78

Equilibrio económico walrasiano ∂f x ; ∂v1x ∂f y w1 = py ; ∂v1y

∂f x ∂v2x ∂f y w2 = py ∂v2y

w1 = px

w2 = px

(7) (8)

Si la competencia es completa, el equilibrio no puede tener lugar sino allı́ donde el costo [[marginal]] de producción es igual al precio de venta. En efecto, si es más elevado, el productor pierde y debe abandonar la lucha; si es más bajo, el productor gana y otros vendrán a compartir ese provecho.

[Manuel, § 205, Cap. III] De allı́ se obtiene la conocida condición ∂f y ∂f x ∂v1y w1 ∂v1x = = ∂f x ∂f y w2 ∂v2x ∂v2y

(9)

que asegura que, en equilibrio, las tasas de las productividades marginales de los factores son iguales a la tasa de sus respectivos precios.25 v1y productor Y v2x ∗ v2x

v2y productor X

∗ v1x

v1x

Figura 3: Caja de Edgeworth para producción

En la figura 3 aparece una caja de Edgeworth para la producción con v1A + v1B unidades del bien X (base del rectángulo) y v2A + v2B del bien Y (altura del rectángulo). Allı́, las soluciones a las ecuaciones (7), (8) y ∗ , v∗ , v∗ , v∗ .

(9) son v1x 1y 2x 2y 25

Recordemos que al cociente del lado izquierdo de (9) se le llama tasa marginal de sustitución técnica.

79

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

En esta figura b), las intersecciones tangenciales de las curvas de nivel de las funciones de producción de X y Y (que corresponden a variaciones de la razón de precios de insumos w1 /w2 ), dan origen a una curva similar a la ya mencionada “curva de contrato” de los consumidores. Esta ∗ , v ∗ ) y (v ∗ , v ∗ ) que satisfacen la connueva curva consiste de pares (v1x 2x 1y 2y dición (9) de optimalidad para los productores X y Y , respectivamente, ∗ + v∗ = v ∗ ∗ ∗ además, claro está, de la condición v1x 1A + v1B y v2x + v2y = 1y v2A +v2B . Utilizando estos dos pares de asignaciones óptimas de insumos, podemos construir una curva particularmente importante en el estudio de los problemas de producción en el marco del sistema paretiano: la frontera de posibilidades de producción (FPP ), que consiste, simplemen∗ , v ∗ ), f y (v , v )). Es te, en los puntos de la forma (X, Y ) = (f x (v1x 1y 2y 2x recurrente que la FPP tome la forma de la curva en la figura 4.

Y

• X Figura 4: Frontera de posibilidades de producción

Ejemplo 1. Para calcular la F P P de la economı́a cuyo sector productivo está determinado por las funciones de producción 1

1

X = (v1x ) 3 (v2x ) 6 ,

1

1

Y = (v1y ) 8 (v2y ) 4

(*)

donde v1x + v1y = 1 y v2x + v2y = 3 son las ofertas fijas, recurrimos a la ecuación (9) de optimalidad, y llegamos a la “curva de contrato” para la producción: 3v1x v2x = (**) 4 − 3v1x Evaluando (∗∗) en la ecuación (*) para la función de producción X, llegamos a que 1 1 3 6 (v1x ) 2 X= (***) 1 (4 − 3v1x ) 6

80

Equilibrio económico walrasiano

Buscando “despejar” v1x en esta ecuación, encontramos la ecuación cúbica 26 3(v1x )3 + 3X 6 v1x − 4X 6 = 0 (****) y esta solución (que es posible calcularla explı́citamente) es entonces llevada a la ecuación 1

Y = (1 − v1x ) 8 (3 −

1 3v1x )4 4 − 3v1x

(FPP )

para obtener la ecuación de la curva FPP.

c).

Equilibrio “El problema general del equilibrio se escinde, en consecuencia, en otros tres que consisten: 1◦ En determinar el equilibrio en lo que concierne a los gustos; 2◦ En determinar el equilibrio en lo que concierne a los obstáculos o en lo que concierne a los productores; 3◦ En encontrar un punto común a esos dos equilibrios, que formará un punto de equilibrio general. ” (Manuel, § 90, Cap. III)

Ası́, encontrar un equilibrio del sistema paretiano básico consistirá en hallar cuatro precios de mercado (px , py , w1 y w2 ) que satisfagan las cuatro ecuaciones siguientes: ∗ ∗ x∗A + x∗B = f x (v1x , v2x ) ∗ ∗ ∗ ∗ yA + yB = f y (v1y , v2y ) ∗ ∗ v1x + v1y = v1A + v1B

(E )

∗ ∗ v2x + v2y = v2A + v2B

Es decir, que se tengan las conocidas condiciones walrasianas de “oferta=demanda”. Claramente, estos precios px , py , w1 y w1 y asignaciones ∗ , v ∗ , v ∗ , v ∗ , x∗ , y ∗ , x∗ , y ∗ , se calculan utilizando las ecuaciones v1x 2x 1y 2y A A B B de optimalidad (1), (3), (5), (7), (8), (9) de arriba.

26

Aunque no es el caso en este ejemplo concreto, es en este punto en donde pueden surgir, en otros casos, múltiples soluciones.

81

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

Esta situación la podemos visualizar parcialmente en la figura 5. Dados los precios px y py , escogemos un punto de oferta B en la FPP (determinada por Y0 X0 ) cuya pendiente sea −py /px ; luego bajamos perpendiculares a ambos ejes del diagrama, y medimos las cantidades agregadas fijas AX de la mercancı́a X y AY de la mercancı́a Y para construir la caja de Edgeworth. En el rectángulo AXBY se han dibujado dos curvas de indiferencia: las del consumidor A (respecto al origen A) y las del consumidor B (con respecto al origen B). A los precios px /py , las curvas de indiferencia son tangentes en el punto de demanda C que debe tener en su tangente la misma pendiente que el punto de oferta B 27 . Es decir, se satisface la condición de equilibrio “tasa marginal de sustitución = tasa marginal de sustitución técnica”: ∂f y ∂f y ∂uA ∂uB ∂v1y ∂v2y px ∂xA ∂xB = = = x = ∂f x A B ∂f py ∂u ∂u ∂v1x ∂v2x ∂yA ∂yB

(10)

Y0 B Y C

A

X

X0

Figura 5: Equilibrio

Por lo tanto, en la economı́a paretiana, los consumidores (que son los que poseen los factores para la producción, entre ellos la mano de obra) demandan bienes al mercado de tal manera que queden satisfechas al máximo sus necesidades dados sus presupuestos, y, por su parte, las empresas, maximizando sus beneficios, organizan la producción para satisfacer exactamente esas demandas, aunque para ello deberán recurrir 27

Cabe advertir, sin embargo, que el punto C podrı́a no ser único (ver Mathur (1991) para el análisis de condiciones de unicidad.

82

Equilibrio económico walrasiano

a comprarles a los consumidores los insumos que necesitan (incluyendo allı́ el pago de salarios). El valor de estas ventas es lo que conforma el presupuesto de los consumidores.

d).

Ley de Walras

Vale la pena notar que en el modelo paretiano, a partir de las restricciones de los problemas de optimización de los consumidores A y B, se tiene que px (xA + xB ) + py (yA + yB ) = w1 (v1A + v1B ) + w2 (v2A + v2B ) A esta igualdad, que Oskar Lange (1942) denominó ley de Walras 28 , el propio fundador de la Escuela de Lausanne le dió mucha importancia (Éléments, § 206). Nótese que esta, que sólo es una “restricción presupuestal” y nada tiene que ver con el proceso de optimización en que están involucrados los agentes, afirma que, en el agregado, la valoración de la demanda iguala a la valoración de la oferta en término de los precios vigentes. Y, quizás, la observación más importante: de ella se deduce que si los mercados de todas, menos una, de las mercancı́as están en equilibrio, entonces también lo estará el otro mercado. Esta anotación aparentemente inocua, tendrı́a implicaciones profundas en teorı́a monetaria pues algunos creyeron que harı́a las veces de vı́nculo con la entonces naciente teorı́a keynesiana del dinero (ver Patinkin (1956) 29 ).

e).

Precios sombra

f).

Economı́as paretianas de intercambio puro

Un caso particular muy importante del modelo paretiano son las economı́as de intercambio puro. Éstas, son economı́as en las que no existe sector productivo alguno (por lo tanto, la mano de obra no juega ningún papel), y de lo que se trata es de que cada consumidor intercambie las mercancı́as que son de su propiedad, con los otros consumidores, dadas sus preferencias sobre ellas, y sus respectivos presupuestos. Y la razón por la cual este tipo de economı́a es fundamental en el modelo paretiano, 28 Lange, Oskar (1942), “Say´s Law: A Restatement and Criticism”. en Lange et al., (eds.), Studies in Mathematical Economics.

29 Patinkin, Don (1956), Money, Interest and Prices, Evanston Ill: Row, Peterson.

83

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

es que allı́ se pueden ilustrar magnı́ficamente los principales resultados asociados con el modelo general, mediante cajas de Edgeworth.

Ejemplo 2. (Una economı́a de intercambio puro) Consideremos una economı́a de intercambio puro (es decir, sin sector productivo) conformada por dos mercancı́as x y y, y dos consumidores A y B, donde las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

uB (xB , yB ) = xB yB

y las dotaciones de los consumidores son wA = (1, 2) , wB = (2, 2).

Ası́, el problema del consumidor A serı́a Maximizar

uA (xA , yA ) = xA yA

sujeto a

px xA + py yA = px + 2py xA , yA ≥ 0

De las condiciones de primer orden (¿por qué se pueden aplicar?) se obtiene que yA px = , xA py

px xA + py yA = px + 2py

Resolviendo estas dos ecuaciones se obtienen las funciones de demanda del consumidor A: xA (px , py ) =

1 py + , 2 px

yA (px , py ) = 1 +

px 2py

El problema del consumidor B es similar, y se obtienen sus funciones de demanda: xB (px , py ) = 1 +

py , px

yB (px , py ) = 1 +

px py

Recurriendo al concepto de funciones de exceso de demanda (Hicks(1939)), zx (para el bien x) y zy (para el bien y), podemos ver que 2py 3 − px 2 3px zy (px , py ) ≡ yA (px , py ) + yB (px , py ) − (wyA + wyB ) = −2 2py

zx (px , py ) ≡ xA (px , py ) + xB (px , py ) − (wxA + wxB ) =

84

Equilibrio económico walrasiano

Para esta economı́a de intercambio, las dos últimas ecuaciones satisfacen la correspondiente ley de Walras, que en estas economı́as toma una forma muy sugestiva: 3 3 px zx (px , py ) + py zy (px , py ) = 2py − px + px − 2py = 0 2 2 Por tanto, para determinar precios relativos de equilibrio (ambos no nulos), aquı́ es suficiente igualar a cero sólo una de las funciones de exceso de demanda Por ejemplo, de zy (px , py ) = (3px /2py ) − 2 = 0 se tiene que la relación de precios de equilibrio es p∗x /p∗y = 4/3. Y reemplazando estos precios en las funciones de demanda que encontramos más arriba, xi (px , py ), yi (px , py ) para i = A, B, llegamos a que (ver figura 6) el único equilibrio walrasiano de esta economı́a competitiva es (tomando como numerario p∗y = 1): p∗x =

4 , 3

p∗y = 1,

x∗A =

5 , 4

5 ∗ yA = , 3

yA

A

∗ yB =

7 3

B

4

7/4

7 x∗B = , 4

•

5/4

3

xA

Figura 6

En este equilibrio, el consumidor 1 ganó 1/4 del bien x (con respecto a su dotación inicial) pero perdió 1/3 del bien y. Por el contrario, el consumidor 2 ganó 1/3 del bien x (con respecto a su dotación inicial) pero perdió 1/4 del bien y. Esta es la única ventaja que tomó el consumidor 2 con respecto al consumidor 1, sabiendo que el consumidor 2 era “más rico” que el consumidor 1 en sus dotaciones iniciales. Pues, de hecho, ambos alcanzaron un aumento de 1/12 en su utilidad: este fue el “premio” por llevar acabo el intercambio.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

85

Nota 1. El lector podrı́a preguntarse por qué, en el ejemplo anterior, podemos asumir que los dos precios, px y py , son estrictamente positivos. La razón está en que si, por ejemplo, px = 0 (es decir, x es un bien gratuito) entonces, dado que ambas funciones de utilidad son crecientes estrictas en cada uno de sus argumentos, ambos desearı́an tomar lo máximo que hubiera disponible de la mercancı́a x (en este caso, x = 3), y esto no podrı́a corresponder a un equilibrio. Algo distinto sucederı́a si, por ejemplo, la función de utilidad no fuera creciente estricta como es el caso con la función u(x, y) = mı́n{x, y} (bienes complementarios).

Esto lo ilustraremos más adelante en este capı́tulo. De otro lado, también podrı́amos preguntarnos por qué en el análisis del ejemplo anterior pudimos asumir que todas las variables de consumo, xA , yA y xB , yB , eran estrictamente positivas. Y la razón es que, dado que las dotaciones iniciales de ambos consumidores son positivas, y dado el tipo de función de utilidad que presentan, cada consumidor preferirá consumir su dotación inicial antes que demandar una cantidad nula de alguno de los dos bienes. Con esto queda planteado el problema sobre qué tipo de dificultades tenemos con el modelo paretiano, si alguno de los consumidores comienza el intercambio sin alguna de las dos mercancı́as. También esto lo estudiaremos más adelante en este mismo capı́tulo.

Nota 2. En general, el modelo paretiano de intercambio puro permite las siguientes observaciones: i) Únicamente si el mercado coloca los precios de equilibrio (suponiendo que solo hay uno), o un múltiplo escalar de ellos, podrán los dos consumidores tener satisfechas sus demandas de bienes: cualquier otro precio los obligarı́a a tomar decisiones sub-óptimas. ii) Los precios de equilibrio son una consecuencia de la riqueza y de los gustos de los agentes. Más precisamente, de las dotaciones iniciales y de las utilidades marginales de los agentes. iii) En general, las mercancı́as más escasas tienen precios de equilibrio más altos. iv) En general, en un equilibrio walrasiano, el más “rico” toma ventaja de su posición con respecto al menos favorecido.

g).

Economı́as paretianas con producción

Fundamentalmente debido a los aportes de Samuelson (1939, 1947), el modelo paretiano fue apropiado, casi exclusivamente 30 , por la teorı́a del 30

Excepto por la nueva teorı́a del bienestar.

86

Equilibrio económico walrasiano

comercio internacional, como ilustraremos enseguida.

Ejemplo 3. (Una economı́a Robinson Crusoe) La más tı́pica y elemental economı́a paretiana con producción es la economı́a (autárquica) de Robinson Crusoe (término éste proveniente de la famosa novela de D. Defoe (1719)), consistente, en esta versión, en que el náufrago Crusoe se encuentra en una isla, solitario, y tratando de sobrevivir con sólo dos opciones: recolectar fruta o pescar. Se asume que puede hacer esto utilizando sólo sus horas de trabajo, mediante las siguientes fórmulas: x=

p

lx ,

p y = 0,5 ly

(1)

donde x es el número de frutas, y es el número de pescados, lx es el número de horas empleadas en conseguir plátanos, y ly es el número de horas empleadas en pescar. Aquı́, las raı́ces cuadradas indican que los rendimientos son decrecientes pues existen limitadas cantidades de estos recursos en la isla. Además note que, en esta isla, conseguir frutas tiene doble dificultad con respecto a pescar.

Supongamos que Robinson sólo tiene L horas diarias disponibles para estos dos oficios. Por lo tanto, lx + ly = L, y esto nos conduce a que la “frontera de posibilidades de producción” es el sector de elipse (ver figura 7) 1p x2 + 4y 2 = L ó y= L − x2 (2) 2 Sin embargo, también Robinson tiene gustos sobre las frutas y el pescado. De hecho, le gustan igualmente, y siempre necesita combinar de los dos alimentos. Esto se describe mediante la función de utilidad U (x, y) =

√

xy

(3)

El problema para Robinson es, precisamente, cómo distribuir su tiempo diario entre los dos oficios, de tal manera que se sienta satisfecho al máximo con su alimento. El modelo paretiano dice entonces que la utilidad de Robinson se maximiza cuando la tasa marginal de sustitución iguala a la tasa marginal de transformación, es decir, cuando −

y x =− √ x 2 L − x2

(4)

87

Capı́tulo 2: Tradición paretiana De (2) y (4) se obtiene que ∗

x =

r

L , 2

∗

y =

r

L 8

(5)

Ası́, Robinson debe recoger diariamente el doble de frutas que de pescados, dependiendo esta cantidad del número de horas L que le dedique a la recolección de alimentos. En este punto de equilibrio, en una √ unir, √ sola figura (ver figura 7), las curvas de utilidad máxima L/2 = xy, y p √ la frontera de posibilidades de producción L/8 = (1/2) L − x2 , nos ilustra la caracterı́stica de que las pendientes allı́, son iguales. La recta tangente a estas dos regiones es y = 2,7386 − 0,5x.

A la manera del modelo paretiano, Robinson habrı́a tomado una decisión óptima basado en su capacidad de recolección y en sus gustos de consumo, pero siempre restringido por la escasez. y

√

L 2

p

•

L/8

p

L/2

√

L

x

Figura 7: Robinson en equilibrio

Ejemplo 4. (El modelo ricardiano) La teorı́a de la ventaja comparativa es un tópico central de la teorı́a microeconómica. La idea ricardiana de que los miembros de una sociedad se benefician de la especialización y el comercio, es una de las más poderosas en economı́a. De acuerdo a la teorı́a de las ventajas comparativas, la especialización y el libre comercio beneficiarán a todas las partes, en el sentido de aumentar la productividad y también mejorar el bienestar de la sociedad. Este primer modelo

88

Equilibrio económico walrasiano

de comercio internacional es el clásico modelo ricardiano con dos bienes y un factor (mano de obra), y nos introducirá en el problema de cómo impactan las diferencias tecnológicas entre paı́ses, en el comercio bilateral.

Para comenzar con el modelo, notemos por li a la cantidad de mano de obra requerida por unidad de producción del bien i en el paı́s local, mientras que, similarmente, li∗ es la cantidad de mano de obra requerida por unidad de producción del bien i en el paı́s extranjero. La fuerza laboral local total es L, y en el extranjero es L∗ . La mano de obra es perfectamente móvil dentro de cada paı́s, pero inmóvil entre paı́ses.

Por lo tanto, ambos bienes serán producidos en el paı́s local solo si los salarios en ambas industrias, son iguales. Y como el producto marginal de la mano de obra en cada industria es 1/li , los salarios serán iguales en las industrias si, y sólo si, p1 /l1 = p1 /l2 donde pi es el precio en cada industria. Por lo tanto, si definimos p = p1 /p2 entonces p = l1 /l2 . En las figuras 8 y 9, se han dibujado las FPP para ambos paı́ses. Por ejemplo, si se dedica toda la mano de obra al bien i en el paı́s local, podemos producir L/li unidades para i = 1, 2. Las pendientes de las FPP ’s son, en cada caso, l1 /l2 y l1∗ /l2∗ .

Bajo la autarquı́a (es decir, sin comercio internacional), los precios de equilibrio, pa y p∗a igualan a estas pendientes. Ası́, los equilibrios de autarquı́a son A (local) y A∗ (extranjero). Pero, ahora, supongamos que el paı́s local tiene ventaja comparativa al producir el bien 1, es decir, l1 /l2 < l1∗ /l2∗ , y ası́ el precio (relativo) local de autarquı́a del bien 1, es menor que el de autarquı́a del extranjero.

Ahora supongamos que los dos paı́ses comercian entre ellos, y veamos cómo se comportan los precios de equilibrio (ver figura 10). Para el precio relativo que satisface p < pA = l1 /l2 y p < p∗A = l1∗ /l2∗ , ambos paı́ses se especializarán en el bien 2, ya que los salarios obtenidos en esa industria son más altos, ası́ que la oferta relativa mundial del bien bien 1 es cero.

De otro lado, para pA < p < p∗A , el pais local se especializará en el bien en el bien 1, mientras que el paı́s extranjero aún continúa especializándose en el bien 2, y la oferta mundial relativa será (L/l1 )/(L∗ /l2∗ ) (ver, de nuevo, figura 10). Finalmente, si p > pA y p > p∗A , ambos paı́ses se especializarán en el bien 1. Obviamente este comportamiento de escalera de la curva de oferta es una consecuencia de que la FPP sea lineal.

89

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

y2

L/l2 C

•

•

A

B L/l1 y1 Figura 8: Paı́s local y2∗ L∗ /l2∗

•

•

C∗

A∗

L∗ /l1∗

y1∗

Figura 9: Paı́s extranjero

Para obtener la demanda relativa mundial, este simple modelo usualmente asume que los gustos (utilidades) son idénticos y homotéticos entre paı́ses. Esta hipótesis se hace para que la demanda sea independiente de la distribución del ingreso entre paı́ses. Pero tiene la consecuencia adicional de que la demanda relativa d1 /d2 será una función decreciente del precio relativos (ver figura 10). Aquı́, en este ejemplo, la demanda relativa intersecta la oferta relativa en un precio mundial p que está entre pA y p∗A , pero este no tiene que ser siempre el caso, pues también

90

Equilibrio económico walrasiano

podrı́a ser que el precio fuera el de autarquı́a de un paı́s (por ejemplo, si el paı́s local es muy grande, esto ocurre, pues, en tal caso p = pA , y el ası́, el paı́s local no ganará nada del comercio).

p oferta relativa

p∗A

p

• demanda relativa

pA

(L∗ /l1∗ )/(L∗ /l2 )

(y1 + y1∗ )/(y2 + y2∗ )

Figura 10:

Concentrándonos en el caso en que pA < p < p∗A , regresamos a las FPP ’s de cada paı́s y graficamos la producción y el consumo como resultados del comercio bilateral. El paı́s local se ha especializado en el bien 1 en el punto B (figura 8), y luego comercia a los precios p para tener un nivel de consumo C. Similarmente, el paı́s extranjero se ha especializado en la producción del bien 2 en el punto B ∗ (figura 9), y comercia a los precios p para tener un consumo C∗ . Allı́ se ve claramente que ambos paı́ses se han beneficiado del libre comercio con respecto a la autarquı́a: ambos han podido ubicarse por encima de sus respectivas FPP ’s, que son, esencialmente, producciones eficientes de autarquı́a.

Es conveniente resaltar que el paı́s local exporta el bien 1 para conservar su ventaja comparativa en la producción de ese bien, pues l1 /l2 < a∗1 /a∗2 .

Y, similarmente, el paı́s extranjero hace lo propio con el bien 2. Es decir, son las ventajas comparativas las que determinan la manera de hacer el comercio: esta es la moraleja esencial del modelo ricardiano.

No sobra mencionar que, no obstante, son las ventajas absolutas las que determinan los niveles de salarios entre paı́ses: por ejemplo, si el paı́s

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

91

local tiene desventaja absoluta sobre otro en ambos bienes (es decir, si l1 > l1∗ y l2 > l2∗ ), allı́ se necesitará más mano de obra por unidad de producción de ambos bienes que en el paı́s extranjero, y el salario serán más bajos que en el exterior: w = p/l1 < p/l1∗ < 1/l2∗ < w∗ pues p < l1∗ /l2∗ .

Ejemplo 5. (El modelo 2 × 2 × 2) Además del modelo ricardiano, una de las versiones más simples de la teorı́a del comercio internacional ha sido, sin duda, el modelo paretiano con producción diseñado para dos paı́ses, cada uno con dos bienes y con dos factores (modelo 2 × 2 × 2).

Originalmente propuesto por Eli Heckscher en 1919, y desarrollado por Bertil Ohlin en 1924 en su disertación doctoral (bajo la supervisión del mismo Heckscher), este modelo fue traı́do a la esfera de los estudios en comercio internacional por Samuelson (1939), y su objetivo es describir cómo negociarı́an (en libre comercio) dos paı́ses teniendo en cuenta sus diferencias en dotación de factores.

Para comenzar, supongamos que en los dos paı́ses (A (local) y B (extranjero) sólo existen dos bienes de exportación (1 y 2), que cada uno sólo requiere de dos factores (capital (K ) y trabajo (L)), y que tienen idénticas tecnologı́as y gustos. Es corriente asumir, para el modelo simple, que el paı́s A es abundante en mano de obra (más formalmente, LA /KA > LB /KB ), y que el bien 1 es intensivo en mano de obra.

Además, supondremos que la balanza comercial de cada paı́s es nula, es decir, el valor de las importaciones iguala el valor de las exportaciones. Con estas condiciones, Heckscher y Ohlin demostraron que cada paı́s exportará el bien que utiliza intensivamente su factor abundante. En nuestro caso concreto, el paı́s A exportará el bien 1, y el paı́s extranjero exportará el bien 2. Veamos esto.

Por simplicidad, supongamos LA = LB ; entonces KA < KB . En primer lugar, observemos qué sucederı́a si no existiera ningún tipo de comercio entre los paı́ses (autarquı́a). Este caso es importante pues un paı́s exporta el bien cuyo precio en libre comercio es mayor que su precio de autarquı́a, e importará el otro. En la figura 9, el paı́s local A se ubicarı́a en el punto de equilibrio A; es decir, donde la curva de nivel del paı́s

92

Equilibrio económico walrasiano

A (consumidor representativo) es tangente a su frontera de posibilidades de producción. Allı́, la lı́nea tangente que separa los dos conjuntos determina el precio relativo de autarquı́a para el bien 1: pA = p1A /p2A . Dibujemos, en la misma figura 9, la FPP extranjera, y vamos a encontrar el equilibrio de autarquı́a extranjera. y2

B′ • A

• C′

•

y1 Figura 11: Modelo Heckscher-Ohlin

Para hacerlo, supongamos que pA también es el precio de autarquı́a del paı́s extranjero B, y lleguemos a una contradicción. En este caso debe ocurrir en el punto de tangencia entre la recta de precio con pendiente pA y la FPP extranjera; es decir, en el punto B ′ . Aplicando el teorema de Rybcynzsky31 , el punto B ′ debe encontrarse arriba y a la izquierda del punto A, es decir, mientras mayor sea la dotación de capital del paı́s extranjero, mayor cantidad habrá del bien 2 y menor del bien 1.

La lı́nea de precios a través del punto B ′ cumple el papel de una restricción presupuestaria para el consumidor representativo en el paı́s extranjero, ası́ que el consumidor escoge la curva de nivel “más alta” sobre esta lı́nea de precios. Como las preferencias son homotéticas, el consumidor representativo extranjero demandará los dos bienes de la misma forma que el consumidor representativo local. Es decir, el punto de consumo extranjero debe encontrarse en la restricción presupuestaria que pasa por B ′ , y también en un rayo que parte del origen y pasa por el punto 31 Este afirma que un aumento en un factor de dotación aumentará el producto de la industria que está siendo utilizada intensivamente, y disminuirá el producto de la otra industria.

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

93

A. Ası́, el consumo extranjero debe ocurrir en C, que es arriba y a la derecha del punto A. Como los puntos B ′ y C ′ no coinciden, llegamos a una contradicción. En consecuencia, el precio relativo local pA debe ser menor que el precio extranjero de autarquı́a.

Ahora: Para mostrar la existencia de los precios de equilibrio bajo libre comercio, notamos primero que el equilibrio en el mercado mundial ocurre cuando el exceso de demanda agregado del bien 1 es cero, es decir, cuando z(pA ) + z ∗ (pB ) = 0

donde z(p) es el exceso de demanda del bien 1 en el pais doméstico a los precios p, mientras que z ∗ (p∗ ) es el exceso de demanda del bien 1 en el pais extranjero a los precios p. Pero como z(pA ) = 0 y z ∗ (pA ) > 0 entonces z(pA ) + z ∗ (pB ) > 0; y, por el otro lado, como z ∗ (p∗A ) = 0 y z(p∗A ) < 0 entonces z(pA ) + z ∗ (pB ) < 0. Con esto, dada la continuidad de la función de exceso de demanda, existe un precio p que satisface

pA < p < p∗A

En las figuras 7 (paı́s local) y 8 (paı́s extranjero) ilustramos el equilibrio de libre comercio. Comenzando en el punto A de autarquı́a local, note que allı́ el precio relativo del bien 1 crece en el paı́s doméstico(p > pA ).

Luego la producción ocurrirá en un punto como B, donde la lı́nea de precios a través de B tiene pendiente p. de nuevo, esta lı́nea de precios juega el papel de una restricción presupuestal para el consumidor representativo, y la utilidad se maximiza en C. La diferencia entre la producción en B y el consumo en C se compensa exportando el bien 1 e importando el bien 2, como se ilustra en el “triángulo de comercio” de la figura. Lo contrario ocurre en el paı́s extranjero: el precio relativo del bien 1 cae (p∗A > p), la producción se mueve del punto A∗ de autarquı́a al punto B ∗ de producción y C ∗ de consumo, donde el bien 1 es importado y el bien 2 es exportado.

94

Equilibrio económico walrasiano

y

•C •

A

•B x

Figura 12: Paı́s local y2∗

•B

∗

A∗•

•C

∗

y1∗ Figura 13: Paı́s extranjero

A pesar de lo anterior, el modelo Heckscher-Ohlin es un predictor pobre de los comercios reales entre paı́ses, lo que podrı́a indicar que sus hipótesis no son realistas. Una de las primeras y más fuertes crı́ticas fue la de Leontief(1953), en lo que se ha dado a conocer como La Paradoja de Leontief : Utilizando datos de sus tablas input-output desarrolladas por él mismo para la economı́a de Estados Unidos, encontró una tasa (capital/mano de obra) mucho mayor en importaciones que en exportaciones, y bajo la hipótesis de que la economı́a norteamericana era, en 1956, más abundante en capital, esto parecı́a contradecir el teorema de Hecksher-Ohlin. Surgieron muchas explicaciones válidas a esta “paradoja”, desde que la hipótesis de que los Estados Unidos y cualquier otro

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

95

paı́s tenı́an la misma tecnologı́a (supuesto básico del modelo) era falsa, hasta que, de hecho, Estados Unidos no estaba comprometido en ningún comercio libre (otro supuesto básico del modelo) (ver Deardorff (1984a)).

Sin embargo, no fue sino hasta 1984 cuando Leamer explicó la verdadera razón: Leontief no habı́a llevado correctamente a cabo los ejercicios econométricos!

5.

Óptimos de Pareto

La historia del pensamiento económico no reconoce totalmente el criterio profundamente moralista del teorema walrasiano de la máxima satisfacción social, y tampoco ve en este teorema el zumo de una condición de optimalidad social inherente al equilibrio competitivo. En su lugar, y con la confirmación gráfica de las cajas de Edgeworth, ha establecido este mismo concepto alrededor de la siguiente definición de Pareto (1906): Diremos que los miembros de una colectividad gozan, en cierta posición, del máximum de ophelimite , cuando es imposible encontrar un medio de alejarse muy poco de esta posición, de tal suerte que la ophelimite de que gozan cada uno de los individuos de esta colectividad, aumenta o disminuye. Es decir que cualquier pequeño desplazamiento a partir de esta posición tiene necesariamente por efecto aumentar la ophelimite de que gozan ciertos individuos, y disminuir aquella de la cual gozan otros; de ser agradable a unos y desagradable a otros. (Manuel, §33, Cap.VI) Para introducirnos al problema de identificar estos puntos de máximum ophlimite en una caja de Edgeworth, fijemos un punto B en la frontera de posibilidades de producción (FPP ) Y0 X0 de la figura 9, bajemos perpendiculares a ambos ejes del diagrama, y midamos las cantidades agregadas fijas AX de la mercancı́a X y AY de la mercancı́a Y para construir la caja de Edgeworth. En el rectángulo AXBY se han dibujado dos conjuntos de curvas de indiferencia: las del consumidor A (respecto al origen A) y las del consumidor B (con respecto al origen B). La curva de contrato AB estará conformada, como dijimos antes, por los puntos de tangencia, tales como C y D, entre las curvas de indiferencia de A y B.

96

Equilibrio económico walrasiano

Y0

B

Y

uB 2

F

C

uB 1

uA 2

D A

uA 1

X

X0

Figura 14:

Cualquier movimiento de uno a otro punto sobre la caja de Edgeworth hará que un consumidor tenga mayor bienestar (en términos de su utilidad) a expensas del bienestar (utilidad) del otro. Por ejemplo, si nos movemos de F a D mejorarı́amos el bienestar del agente B sin empeorar la del agente A; y si nos movemos de F a C mejorarı́amos al agente A sin empeorar al agente B. O si nos movemos de F a un punto en la curva de contrato entre D a C, les mejorarı́amos el bienestar a ambos agentes.

Pero lo notable es que de los puntos de la curva de contrato, tales como C o D, no nos podemos mover sin desmejorarle el bienestar a alguno de los dos agentes. Por ejemplo, un movimiento de D a F implicarı́a que, aunque el bienestar de A se mantiene, el bienestar de B empeora, y, de manera similar, un movimiento de C a F implicarı́a que el bienestar de B se mantiene, pero ahora es el bienestar de A el que empeora. Es claro que esta caracterı́stica de los puntos de la curva de contrato es precisamente la de posición de máximum ophelimite de Pareto. A estos puntos, siendo inconsecuentes con la historia (ver nota 3 adelante), hoy los llaman óptimos de Pareto.

Definición 1. (Óptimo de Pareto) Una asignación (xA , yA ) para A, y (xB , yB ) para B, en una caja de Edgeworth de una economı́a competitiva, es un óptimo de Pareto si, y ′ ) para A, y (x′ , y ′ )] para B, sólo si, no existe otra asignación (x′A , yA B B

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

97

también en la caja de Edgeworth, tales que ui (x′i , yi′ ) ≥ ui (xi , yi ) para i = A, B, pero uj (x′j , yj′ ) > uj (xj , yj ) para j = A ó j = B. Ası́, una asignación es un óptimo de Pareto si está dentro de la caja de Edgeworth y, además, ningún agente puede mejorar su bienestar sin desmejorar el bienestar del otro agente.

Nota 3. Cabe advertirse que, además de Walras, también Edgeworth (1881) se adelantó a Pareto en la noción de optimalidad que lleva su nombre: Se requiere encontrar un punto (xy) tal que, en cualquier dirección en la que demos un paso infinitamente pequeño, P y Π no aumenten a la vez, sino que cuando uno aumente, el otro disminuya. Puede demostrarse desde una diversidad de puntos de vista que el lugar geométrico del punto deseado es dP dΠ dP dΠ − =0 dx dy dy dx cuyo lugar geométrico aquı́ proponemos denominar curva de contrato32 .(Mathematical Psychics, Parte Segunda) Aún ası́, difı́cilmente el término “óptimo de Pareto”, podrı́a tener una posibilidad de hacer justicia con Walras y Edgeworth quienes, sin ninguna duda, lo antecedieron. Por esto, en ocasiones seguiremos llamando “óptimo de Walras-Pareto” al tradicional “óptimo de Pareto”, ası́ como algunas veces hemos llamado “caja de Pareto-Edgeworth” a la conocida como “caja de Edgeworth”.

Continuando con nuestra discusión, y basándonos en las descripciones geométricas anteriores alrededor de la figura 9, podemos ahora hacer explı́cita una manera analı́tica de describir los óptimos de Pareto que consiste (ver Samuelson, Evaluation of Real Income) en fijar cada cantidad de utilidad para uno de los agentes, y después calcular el máximo 32

Pareto, en su lugar, la llamó “lı́nea de los cambios” (Manuel, § 97, Cap. III)

98

Equilibrio económico walrasiano

posible de utilidad para el otro agente. Es decir, son las soluciones (dentro de la caja de Edgeworth) a los dos problemas siguientes: Maximizar sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = U xA ≥ 0, yA ≥ 0

Maximizar sujeta a

uB (xB , yB ) uA (xA , yA ) = U xB ≥ 0, yB ≥ 0

Para ilustrarlo, observemos de nuevo la figura 9, y allı́ escojamos un punto como el F en la curva de indiferencia uA 1 del agente A, y nos movemos sobre ésta en la dirección sureste. Entonces, note el lector, iremos paulatinamente aumentando el bienestar del agente B, hasta llegar al punto D de la curva de contrato, a partir de donde este bienestar comienza a disminuir. Esto hace de D un punto de la caja de Edgeworth que resuelve los dos problemas de arriba, es decir, es un óptimo de Pareto. Lo mismo podrı́amos hacer con el punto C y, en general, con la curva de contrato. Ası́, identificamos entonces los puntos de la curva de contrato con las asignaciones óptimas de Pareto.

Teorema 1. (Caracterización de los óptimos de Pareto) Supongamos que las funciones de utilidad, uA y uB , son cuasicóncavas, estrictamente crecientes en cada uno de sus argumentos, y diferenciables ∗ ) para A (x∗ , y ∗ ) pacon continuidad. Entonces, una asignación (x∗A , yA B B ra B, en la caja de Edgeworth, es óptimo de Pareto (interior) si, y sólo si, las tasas marginales de sustitución coinciden allı́ (curva de contrato); es decir, en este punto se tiene la ecuación33 ∂uA ∂uB ∂xA ∂xB = A ∂u ∂uB ∂yA ∂yB 33

También llamada, en ocasiones,“ecuación de Jevons” (?).

99

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

Demostración.

Al resolver en la caja de Edgeworth (es decir, con xA + xB = x∗A + x∗B ∗ + y ∗ ) el problema que caracteriza a los óptimos de y yA + yB = yA B Walras-Pareto Maximizar sujeta a

uA (xA , yA ) uB (xB , yB ) = U xA ≥ 0, xB ≥ 0

donde U es un nivel de utilidad fijo para el agente B, obtenemos que su lagrangiano es L = uA (xA , yA ) − λ (uB (xB , yB ) − U ) y las condiciones de primer orden nos conducen a condiciones suficientes y necesarias para el óptimo: ∂uA ∂uB =λ ∂xA ∂xA

,

∂uA ∂uB =λ ∂yA ∂yB

El paso hacia la conclusión del teorema es inmediato.

Es conveniente destacar que las asignaciones paretianas, aunque óptimas en un sentido muy particular, no son necesariamente “justas” o equitativas, y esto lo veremos muy claramente en el siguiente ejemplo, en donde, tı́picamente, existen infinitas de ellas, unas que favorecen a un agente, y otras que favorecen al otro. Se resalta nı́tidamente que eficiencia y equidad tienen, aquı́, dos direcciones normativas no necesariamente compatibles. No obstante, debemos también observar que si, por alguna razón normativa o de otra ı́ndole, se requiere mejorar la situación de óptimo de Pareto de un consumidor a expensas del bienestar del otro consumidor, lo mejor (en el sentido de cumplir el objetivo del primer consumidor pero con la mı́nima pérdida de bienestar del segundo consumidor) es ubicarnos en un nuevo óptimo de Pareto.

Ejemplo 6. Consideremos la economı́a de intercambio puro de dos consumidores, A y B, con funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

,

uB (xB , yB ) = xB yB

y dotaciones iniciales agregadas (3, 4). Escribiendo la correspondiente condición de eficiencia paretiana, obtenemos que

100

Equilibrio económico walrasiano

∂uA ∂uB yA yB ∂xA ∂xB = = = A B xA xB ∂u ∂u ∂yA ∂yB o, lo que es equivalente,

yB 4 − yA yA = xA , ó yA = xA xB 3 − xA Y, de aquı́, arribamos a la curva de óptimos de Pareto para esta economı́a: 4xA yA = 0 ≤ xA ≤ 3 3 pues el caso xA = 0 y el caso xA = 3 también pertenecen a esta curva, como el lector puede observar geométricamente a partir de las curvas de nivel: fije la curva de nivel 0 (cero) de uno de los consumidores y maximice la utilidad del otro consumidor. yA

B

4

yA =

A

3

4xA 3

xA

Figura 15: Curva (recta) de contrato

Para calcular la frontera de posibilidades de utilidad (o frontera Pareto), con yA = 43 xA , xB = 3 − xA , yB = 4 − yA , escribimos:

4 4xA uA = xA yA = x2A , uB = xB yB = (3 − xA )(4 − ) (*) 3 3 para 0 ≤ xA ≤ 3, que es la ecuación paramétrica que determina esta curva (ver figura 12). Despejando el parámetro xA de la primera ecua√ A ción, obtenemos que xA = 3u /2, que, llevada a la ecuación de uB en (*) arriba, nos lleva a √ 1 uB = 12 − 4 3(uA ) 2 + uA

101

Capı́tulo 2: Tradición paretiana uB

12

12

uA

Figura 16: Frontera Pareto

6.

Los dos teoremas del bienestar

Existen dos relaciones muy importantes entre la optimalidad paretiana y el equilibrio walrasiano. La primera, aparentemente formaliza (parcialmente) una creencia largamente sostenida desde, por lo menos, el siglo XVIII de Adam Smith, que afirmaba que la competencia perfecta conducı́a a un estado “óptimo” de la economı́a. El problema aquı́ era que se creı́a que tal “óptimo” deberı́a contener criterios de justa distribución de la riqueza y del ingreso y, esa, no es una caracterı́tica de los equilibrios competitivos. Por lo tanto, esta conexión entre equilibrio competitivo y óptimo se aplazó hasta la aparición de la noción de óptimo de Pareto. Ésta, que fue claramente visualizada por el mismo Walras, y explicitada por Pareto utilizando la caja de Edgeworth, asegura que, bajo las hipótesis del modelo paretiano, el mecanismo de precios asigna eficientemente (en el sentido de Pareto).

Veamos este resultado en notación actual. Al parecer las primeras veces que se tiene registro explı́cito y formal de este teorema es en Hotelling (1838), los textos clásicos de Lange (1942)34 y Allais (1943).

Teorema 2. (Primer teorema de la economı́a del bienestar (Walras (1874), Edgeworth (1881), Pareto (1906))) Sean ui (xi , yi ) para i = A, B, funciones de utilidad diferenciables con continuidad, estrictamente crecientes en sus dos argumentos, y, además, cuasicóncavas. ∗ ) para A, (x∗ , y ∗ ) para B, y el sistema de Si las asignaciones (x∗A , yA B B 34

op. cit.

102

Equilibrio económico walrasiano

∗) y precios (p∗x , p∗y ) conforman un equilibrio walrasiano, entonces (x∗A , yA ∗ ) también conforman una asignación óptima de Pareto. (x∗B , yB

Demostración.

En el equilibrio competitivo, además de las condiciones de caja de Ed∗ + y ∗ , las condiciones de geworth, xA + xB = x∗A + x∗B y yA + yB = yA B Lagrange que satisfacen los problemas de optimización de los consumidores A y B son, respectivamente, ∂uA = λA px , ∂xA

∂uA = λA py ; ∂yA

px xA + py yA = w1 v1A + w2 v2A

∂uB = λB px ; ∂xB

∂uB = λB py ; ∂yB

px xB + py yB = w1 v1B + w2 v2B

donde λA y λB son los multiplicadores de Lagrange para los respectivos agentes. Recurriendo al teorema 1 anterior, el resultado es inmediato.

Ejemplo 7. Consideremos la economı́a de intercambio puro del ejemplo 38, en el que dos consumidores, A y B, tienen funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA ,

uB (xB , yB ) = xB yB

y dotaciones iniciales agregadas (3, 4). En el ejemplo 39, encontramos que la curva de óptimos de Pareto para esta economı́a es yA =

4xA 3

0 ≤ xA ≤ 3

Para ilustrar el primer teorema del bienestar, basta darnos cuenta de que la asignación de equilibrio walrasiano (xA , yA ) = ( 54 , 53 ) está en esta curva de contrato como fácilmente se comprueba. N El teorema anterior nos muestra explı́citamente la calidad normativa que tiene un equilibrio walrasiano: no es, necesariamente, una asignación ni equitativa ni “justa”, pero satisface cierto criterio de eficiencia.

En parte por ello mismo, este equilibrio no tendrı́a la importancia que se le ha dado, si no fuera porque también aparece conectado con los

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

103

problemas de la descentralización. El problema de asignar recursos óptimamente mediante el vehı́culo de los precios, ha estado en el corazón de los estudios sobre la descentralización de una economı́a. La sola hipótesis de que si los consumidores y los productores resuelven sus problemas independientemente, sin saber nada uno del otro, sino a través del mecanismo de información que son los precios, entonces se asegura una implementación efectiva del óptimo previamente establecido por las autoridades económicas, era y continúa siendo, uno de los más importantes problemas que enfrenta la economı́a polı́tica. Un resultado ası́ permitı́a entrever la posibilidad de descentralizar las decisiones de los agentes de una economı́a centralizada a través de los precios.

Este segundo teorema que asegura que, bajo cierta redistribución de los recursos, podemos hacer, de un óptimo de Pareto, un equilibrio walrasiano, no parece haber sido detectado por Walras, ni por Edgeworth.

Quizás Pareto lo vislumbró, pero lo que sı́ es cierto es que nunca lo estableció con claridad: “ Para los fenómenos del tipo (I) 35 , cuando el equilibrio tiene lugar en un punto donde son tangentes las curvas de indiferencia de los contratantes, los miembros de la colectividad considerada gozan del máximo de ophelimite” . (Manuel, § 34, Cap. VI) Teorema 3. (Segundo teorema de la economı́a del bienestar (Pareto (1906), Lange (1942), Allais (1943)) ) Sean ui (xi , yi ) para i = A, B, funciones de utilidad diferenciables con continuidad, estrictamente crecientes en sus dos argumentos, y, además, ∗ ), (x∗ , y ∗ )] una asignación óptima de Pacuasicóncavas. Sea [(x∗A , yA B B reto en la que cada agente tiene una cantidad positiva de cada mercancı́a. Entonces existen unos precios p∗x y p∗y no-negativos tales que ∗ ), (x∗ , y ∗ ), (p∗ , p∗ )] es un equilibrio walrasiano para las dotacio[(x∗A , yA x y B B ∗ , wB = x∗ , wB = y ∗ . 36 nes iniciales wxA = x∗A , wyA = yA x y B B 35

Es decir, en condiciones de competencia perfecta.

Pareto, al parecer no muy claro del resultado que tenı́a a la mano, afirmó sobre esto: 36

“Para los fenómenos (I) si existe un punto donde el sendero recorrido por los individuos que contratan es tangente a las curvas de indiferencia de esos individuos, ese es un punto de equilibrio.” (Manuel, § 112, Cap.

104

Equilibrio económico walrasiano

Demostración.

De las condiciones suficientes y necesarias para el óptimo de Pareto ∂uA ∂uB =λ ∂xA ∂xA

∂uA ∂uB =λ ∂yA ∂yB

,

se obtiene, con λ = px /py , las mismas condiciones suficientes y necesarias para el equilibrio competitivo.

Claramente, aquı́, el problema era encontrar el sistema de precios que hiciera, del óptimo de Pareto, un equilibrio competitivo para dotaciones iniciales idénticas a las asignaciones de Pareto dadas en principio. Pero esto no era muy difı́cil (y fue extraño que el mismo Pareto no lo hubiera deducido) pues, en la figura 15, bastaba con encontrar la pendiente de la recta tangente a las curvas de nivel que pasaban por el óptimo de Pareto. x∗B

B

•

∗ yA

∗ yB

recta con pendiente py /px

A

x∗A

Figura 17: Segundo teorema del bienestar

Ejemplo 8. Para la economı́a de intercambio puro entre los agentes A y B, donde uA (xA , yA ) = xA (yA )2 ,

wA = (3, 4)

uB (xB , yB ) = (xB )2 yB ,

wB = (4, 3)

la curva de contrato es yA = III)

28xA 7 + 3xA

donde

0 < xA < 7

105

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

Si tomamos una asignación Pareto-óptima fija cualquiera

28xA 28xA (xA , ), (7 − xA , 7 − ) donde 0 < xA < 7 7 + 3xA 7 + 3xA podemos hacer de éste un equilibrio walrasiano encontrando un par de precios (px , py ) tal que este óptimo de Pareto maximice las utilidades de A y B, sujetas a las respectivas restricciones presupuestales

28xA para A px x + py y = px xA + py 7 + 3xA y px x + py y = px (7 − xA ) + py

7−

28xA 7 + 3xA

para B

que, obviamente, se van a satisfacer en el óptimo de Pareto escogido (aquı́ es donde se efectúa la anunciada redistribución de la riqueza entre A y B). Escribiendo la relación de optimalidad “tasa marginal de sustitución = relación de precios”, llegamos a que yA px = 2xA py o, lo que es igual,

que es equivalente a

28xA px 7 + 3xA = 2xA py

px 14 = py 7 + 3xA

que es la buscada relación de precios de equilibrio que ilustra el segundo teorema del bienestar.

Ejemplo 9. (Economı́a con consumo y producción) Consideremos una economı́a conformada por dos mercancı́as x y y, dos consumidores A y B, y dos productores X y Y . i) Las preferencias de los consumidores están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA ,

uB (xB , yB ) = xB yB

106

Equilibrio económico walrasiano y sus dotaciones son WA = (1, 2) , WB = (2, 2). Ası́, las funciones de demanda del consumidor A son: xA (px , py ) =

w1 + 2w2 , 2px

yA (px , py ) =

w1 + 2w2 2py

y las funciones de demanda del consumidor B son: xB (px , py ) =

w1 + w2 , px

yB (px , py ) =

w1 + w2 py

ii) De otro lado, el sector productivo está determinado mediante las funciones de producción 1

1

X = (v1x ) 3 (v2x ) 6 ,

1

1

Y = (v1y ) 8 (v2y ) 4

y, por lo tanto37 , las funciones de demanda de factores estarán dadas por: v1x =

γx (px )2 , 3 (w1 ) 53 (w2 ) 13

v1y =

γy (py ) 5 , 8 (w1 ) 65 (w2 ) 25

v2x =

γx (px )2 6 (w1 ) 23 (w2 ) 43

v2y =

γy (py ) 5 4 (w1 ) 15 (w2 ) 75

8

8

y las funciones de oferta estarán dadas por X = γx

3

px 2

1

(w1 ) 3 (w2 ) 3

,

Y = γy

(py ) 5 1

2

(w1 ) 5 (w2 ) 5

1 1 donde γx = √ y γy = √ . Además, dados los rendimientos 332 254 decrecientes a escala de las dos firmas, los beneficios no son nulos:

ΠX =

γx (px )2 , 2 (w1 ) 23 (w2 ) 13

8

ΠY =

5γy (py ) 5 8 (w1 ) 15 (w2 ) 25

Para encontrar el equilibrio debemos determinar los cuatro precios de mercado (px , py , w1 y w2 ) que satisfagan las cuatro condiciones 37

Note que hemos escogido funciones de producción con rendimientos decrecientes a escala.

107

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

del sistema (E) (sección c) anterior), sólo que, para que exista solución nos vemos en la obligación de convertir las dos primeras condiciones en desigualdades (¿por qué podemos hacer esto?): 3w1 + 4w2 px ≤ γx 2 1 2px (w1 ) 3 (w2 ) 3 3

(py ) 5 3w1 + 4w2 ≤ γy 1 2 2py (w1 ) 5 (w2 ) 5

(*)

8

γy (py ) 5 (px )2 γx =3 5 1 + 3 (w1 ) 3 (w2 ) 3 8 (w1 ) 65 (w2 ) 25 8

γx (px )2 γy (py ) 5 =4 2 4 + 6 (w1 ) 3 (w2 ) 3 4 (w1 ) 15 (w2 ) 75 Aquı́, dado que todas las condiciones de equilibrio son homogéneas de grado cero en los precios, podemos asumir, por ejemplo, p∗y = 1 (numerario). Procediendo de esta manera, encontramos que los otros tres precios de equilibrio son: 1

p∗x

=

5

(3) 6 (11) 24 1

2(5) 12

7

,

w1∗

=

3

(11) 8 1

1

(12)(5) 4 (6) 2

,

w2∗

=

(5) 4 1

1

(8)(11) 8 (6) 2

En esta economı́a de intercambio y producción, también podemos ilustrar los dos teoremas del bienestar. Aquı́ la curva de contrato es yA =

2Y xA X + xA

donde (X, Y ) es el punto de niveles óptimos de producción en la FPP (TERMINAR EJERCICIO).N Los dos teoremas del bienestar han estado en la médula de la polı́tica económica desde la Segunda Guerra Mundial. De hecho, algunos (ver, por ejemplo, Lockwood (1987)) afirman que no es exagerado decir que toda la teorı́a microeconómica moderna de intervención gubernamental en la economı́a, se basa en estos teoremas.

108

7.

Equilibrio económico walrasiano

Convergencia al equilibrio

Fue en el parágrafo §125 de sus Éléments donde Walras introdujo por vez primera, y de manera explı́cita, el propósito de su tâtonnement, es decir, de aquel movimiento de precios que apareció en su mente al observar los mercados de la Bolsa y, particularmente, el Paris Stock Exchange, donde nunca se realizaban transacciones fuera del equilibrio: ”¿Qué debemos hacer para probar que la solución teórica [es decir, matemática] [del problema de la determinación de los precios de equilibrio en un universo de múltiples mercancı́as] es idéntica a la solución que resulta del mercado? Nuestro propósito es muy simple: sólo necesitamos mostrar [en el caso del intercambio puro] que los movimientos hacia arriba y hacia abajo de los precios, resuelven el sistema de eqcuaciones de oferta y demanda por un proceso de tâtonnement.”

Es decir, trataba de darle un aire de importancia empı́rica a su modelo matemático abstracto de equilibrio general. Sin embargo, este era un esfuerzo intuitivo pues cualquiera que fuera el estado al que pudiera arribar via tâtonnement (suponiendo que arribara a alguno), nada garantizaba que fuera el mismo equilibrio determinado matemáticamente a partir del sistema de ecuaciones. En esta solución matemática, además, asumı́a que las funciones de utilidad, los recursos totales, la tecnologı́a, y la distribución de los recursos entre los agentes, se mantenı́an constantes. Más aún: en el proceso por tâtonnement, suponiendo que los tres primeros parámetros anteriores se mantienen constantes en el corto plazo, irán ocurriendo cambios paulatinos en la distribución de recursos que podrı́an conllevar a asignaciones que no son las del equilibrio original.

Sin embargo, para el caso del intercambio, Walras siempre pensó que este mecanismo todavı́a funcionarı́a bien. Fue en el caso de la producción donde, en la última edición (1900) de los Éléments, tuvo que recurrir a transacciones con “tiquetes” [sur bons]. Estos son, en esencia, contratos provisionales para comprar o vender cantidades dadas de servicios o productos a unos precios dictados por el subastador, precisamente a la manera de los contratos provisionales de las subastas que conocemos.

“En la teorı́a de la producción, ya no represento el tâtonnement preliminar hacia el equilibrio como si se llevara cabo efecti-

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

109

vamente, sino que asumo, en vez, que se hizo a través de tiquetes, y llevo esta ficción a través del resto del libro.”[p.

37] Walras entendı́a que producir bienes y servicios toma tiempo, y querı́a evitar la contratación efectiva a “precios falsos”, pues notaba que en la producción, cuando se gritan unos precios y la demanda y la oferta, a esos precios, no son iguales, será necesario no solo gritar otros precios (como ocurre con el intercambio) sino que también habrá que manufacturar más (o menos) productos o prestar más (o menos) servicios.

Bajo las reglas de los contratos provisionales en la forma de tiquetes, se evitaba llevar a cabo producciones efectivas más allá de las demandas de equilibrio, pues no podı́a contratarse ningún acuerdo productivo a menos que el sistema estuviera en equilibrio. Hacer esto implicó para Walras abandonar el aparente realismo de que gozaba su tâtonnement original. Aunque, de hecho, este mecanismo walrasiano de formación de precios de equilibrio, fue implementado de una manera tan poco creı́ble, que es casi imposible que pudiera ser tomado en serio, inclusive como la“realidad” de un modelo teórico.

Después de Walras, el concepto mismo de estabilidad en dinámica económica, tan socorrido como mal entendido, no recibirı́a ningún tratamiento sistemático en la literatura económica hasta el artı́culo pionero de Samuelson (1941). Ni siquiera Pareto realizó aportes esenciales a la teorı́a dinámica del equilibrio bajo competencia perfecta. Solo observaba crı́ticas simples como la siguiente: “Walras consideraba solo el equilibrio estable. Se equivoca en creer que al partir de un punto dado, los participantes en el intercambio deberán aproximarse continuamente al punto de equilibrio. Por el contrario, cuando el equilibrio es inestable, se alejarán de él” (Economie Mathematique, §54) En el mencionado artı́culo de Samuelson, éste centró toda su atención en la relación entre la que él llamaba “verdadera estabilidad dinámica” y la “estabilidad” propuesta por Hicks (1939) para el equilibrio competitivo, y no propuso condiciones especı́ficas de estabilidad: se limitó a condiciones generales de libro de texto. Sólo serı́a hasta 1958, cuatro años después del desarrollo del modelo Arrow-Debreu (1954) (en el que se

110

Equilibrio económico walrasiano

estudiaron plenamente los problemas de existencia, unicidad y optimalidad del equilibrio competitivo) que vendrı́a a considerarse seriamente el problema de su dinámica y, especialmente, su estabilidad. En ese año, Kenneth Arrow y Leonid Hurwicz publicaron “On the Stability of the Competitive Equilibrium I”, y al, año siguiente, “On the Stability of the Competitive Equilibrium II”. Allı́, “El propósito [[consistió]] en construir un modelo dinámico formal cuyas caracterı́sticas [[reflejaran]] la naturaleza del proceso competitivo y en examinar sus propiedades de estabilidad, dadas [[ciertas]] hipótesis con respecto a las propiedades de las unidades individuales o de las funciones de exceso de demanda agregada.” (Arrow y Hurwicz (1958), p. 523) Aunque el desarrollo de los resultados generales acerca de la estabilidad del equilibrio competitivo lo aplazaremos hasta el capı́tulo 5 (“El Modelo Arrow Debreu”), aquı́ presentaremos brevemente un primer avance al problema. Para ello, consideremos la siguiente regla simple de ajuste inmediato de precios, heroicamente asimilada al original tâtonnement walrasiano de una economı́a de intercambio puro de dos mercancı́as: dpx = D1 (px , py ) − S1 (px , py ) dt dpy = D2 (px , py ) − S2 (px , py ) dt

(*)

donde las funciones Di (·, ·) (demanda agregada) y Si (·, ·) (oferta agregada) para las mercancı́as i = x, y, están definidas para precios positivos, px , py , y tienen derivadas parciales continuas. Note que esta simple regla (*) expresa, de manera dinámica, la famosa ley de la oferta y la demanda: en cada instante del tiempo se incrementará el precio de aquella mercancı́a para la que exista un exceso de la demanda agregada sobre la oferta agregada, y se reducirá el precio de la que se observe un exceso de la oferta agregada sobre la demanda agregada.

La dificultad aquı́ es que esta regla simple de ajuste simultáneo de los dos mercados, por sı́ misma, no garantiza que, a partir de un par de precios iniciales, la economı́a tienda a través del tiempo al equilibrio. Se requieren condiciones adicionales bastante fuertes sobre las funciones de demanda y oferta de cada mercancı́a:

111

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

Si p∗x y p∗x son un par de precios (positivos) de equilibrio (es decir, Dx (p∗x , p∗y ) = Sx (p∗x , p∗y ) y Dy (p∗x , p∗y ) = Sy (p∗x , p∗y ) ), y las funciones de exceso de demanda Zx = Dx − Sx y Zy = Dy − Sy son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras (px Zx + py Zy = 0), y también satisfacen la condición de sustitución bruta (gross substitutability), es decir, ∂(Zx (px , py )) ∂(Zy (px , py )) >0 y >0 ∂py ∂px entonces p∗x y p∗y conforman un equilibrio que es (asintóticamente) estable bajo la dinámica del tâtonnement definido en (*).

Note que la condición de sustitución bruta implica que un aumento en un precio conllevará el aumento (inmediato) de la demanda (sobre la oferta) para la otra mercancı́a. Antes que Arrow y Hurwicz (1958), fue el propio Allais (1943) el primero en darse cuenta de esto. Y aunque su modelo no coincide exactamente con el sistema dinámico (*) anterior (pues asumı́a que el ajuste de precios no se daba simultáneamente en todos los mercados sino, sucesivamente, en un mercado tras otro), la hipótesis de sustitución bruta(gross subtitutability) entre las mercancı́as, sı́ está implı́cita en sus hipótesis. Más allá de la condición de homogeneidad y de la ley de Walras (que son, aquı́, hipótesis fácilmente aceptables), el teorema anterior exige una particular condición que es muy restrictiva para que se dé la estabilidad del equilibrio: que cada mercancı́a sea sustituta (bruta) de la otra a todos los niveles de precios.

Ejemplo 10. (Un ejemplo de estabilidad) Consideremos una economı́a de intercambio puro uA (xA , yA ) = xA yA ,

uB (xB , yB ) = xB yB

con dotaciones wA = (1, 2), wB = (2, 2). Notemos que 2py 3 − px 2 3p x Dy (px , py ) − Sy (px , py ) ≡ yA (px , py ) + yB (px , py ) − (wyA + wyB ) = −2 2py

Dx (px , py ) − Sx (px , py ) ≡ xA (px , py ) + xB (px , py ) − (wxA + wxB ) =

El único equilibrio walrasiano de esta economı́a de intercambio es (tomando como numerario p∗y = 1): 4 p∗x = , 3

p∗y = 1,

5 x∗A = , 4

5 ∗ yA = , 3

7 x∗B = , 4

∗ yB =

7 3

112

Equilibrio económico walrasiano

La dinámica tâtonnement de este ejemplo la podemos escribir, con p, ası́:

dp 2 3 = − dt p 2

px = py

(*)

cuyo equilibrio es p∗ = 43 , que es asintóticamente estable según por el teorema anterior, pues nos damos cuenta de que las funciones Dx − Sx y Dy − Sy son homogéneas de grado cero en los precios, satisfacen la ley de Walras y, además, cumplen con la condición de sustituibilidad bruta entre las mercancı́as, pues ∂zx >0 ∂py

8.

y

∂zy >0 ∂px

Dificultades con el modelo paretiano

En la caracterización de sus óptimos, el modelo paretiano está profundamente enraizado en el uso de tasas marginales de sustitución estrictamente positivas. Por lo tanto, podrı́a creerse que tendrı́amos “problemas” con los teorema del bienestar cuando, aparte de la hipótesis básica de cuasiconcavidad (sin la cual, nuestro problema de existencia de equilibrio ni siquiera podrı́a plantearse satisfactoriamente de manera genérica), las funciones de utilidad o de producción no sean diferenciables, no sean estrictamente monótonas, o cuando se anulen en el caso en que algún agente no tenga cantidad alguna de cierta mercancı́a, pues, en tal caso, las tasas marginales de sustitución no son, necesariamente, iguales. Sin embargo, de forma sorprendente, los teoremas del bienestar se mantienen en condiciones más allá de las prescritas por el modelo paretiano.

Fue precisamente este tipo de situaciones lo que dio origen a ampliaciones y generalizaciones posteriores. Ilustramos esto en los ejemplos que presentamos a continuación.

Ejemplo 11. (Dificultades con el modelo paretiano) Consideremos una economı́a de intercambio puro (es decir, sin sector productivo) conformada por dos mercancı́as x y y, y dos consumidores A y B donde las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = xA yA

uB (xB , yB ) = xB + yB

y las dotaciones de los consumidores son wA = (0, 1), wB = (1, 0). Aquı́:

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

113

i) Si los precios, px y py , son estrictamente positivos, entonces las demandas son xA = py /2px y yA = 1/2 para el consumidor A, y  py py  si >1   px  px  py si <1 xB = 0 px   py    [0, 1] =1 si px

´para el consumidor B. De la condición xA + xB = 1 obtenemos que sólo cuando p∗y /p∗x = 1 podemos tener equilibrio (ver figura 14): ∗ ∗ x∗A = x∗B = yA = yB = 1/2, p∗y /p∗x = 1 Note que sólo el consumidor A mejora su nivel de utilidad pues pasa de uA (0, 1) = 0 a uA ( 12 , 12 ) = 14 ; el consumidor B, por su parte, mantiene su nivel de utilidad: uB (1, 0) = uB (1/2, 1/2) = 1.

ii) Si px > 0 y py = 0 (el bien y es gratuito) entonces, el consumidor A, teniendo como restricción de presupuesto px xA = 0 (obtenida de hacer py = 0 en px xA +py yA = py ), nos conducirı́a a que xA = 0 y yA = t para cualquier t ∈ [0, 1]. Por su parte, el consumidor B, teniendo como restricción de presupuesto px xB = px , obtendrı́a xB = 1, y ası́, para maximizar su función de utilidad, hacemos yB = 1, lo que, a su vez, por la condición de equilibrio yA + yB = 1 obliga a que yA = 0. Por lo tanto, ∗ ∗ x∗A = 0, x∗B = 1, yA = 0, yB = 1, p∗y = 0, p∗x > 1

es un equilibrio competitivo de esta economı́a. Aquı́, A le “cede” a B su dotación inicial que, en el mercado, es gratuita, debido a que hacerlo no le mejora su utilidad (función de utilidad CobbDouglas), pero sı́ se la aumenta a B debido a que tiene una función de utilidad lineal. La aparición de este “extraño” equilibrio se debe, sin duda, a que ambos consumidores comenzaron el intercambio con dotaciones iniciales nulas de alguna mercancı́a. iii) Si px = 0 y py > 0 entonces, el consumidor A, teniendo como restricción de presupuesto py yA = py (obtenida de hacer px = 0 en px xA + py yA = py ), nos conducirı́a a que yA = 1 y, buscando

114

Equilibrio económico walrasiano maximizar su utilidad, hará xA = 1. Por su parte, el consumidor B, teniendo como restricción de presupuesto py yB = 0, obtendrı́a yB = 0, y ası́, para maximizar su función de utilidad, hace xB = 1, pero esto, por la condición de equilibrio xA + xB = 1 nos llevarı́a a una contradicción. Luego no existe equilibrio competitivo si el bien x es gratuito.

yA

1

B

• equilibrio: (1/2, 1/2)

1/2

equilibrio: (0, 0)

•

A

1/2

1

xA

Figura 18

Ejemplo 12. (Más dificultades) En la economı́a de intercambio puro uA (xA , yA ) = 3xA + 2 ln yA

wA = (2, 1)

uB (xB , yB ) = mı́n{xB , yB }

wB = (0, 1)

tenemos que estudiar varios casos de precios posibles de equilibrio, debido a que la función del consumidor B no es estrictamente creciente en cada uno de sus argumentos, y además no posee ninguna cantidad del bien 1: i) Si los precios px y py son positivos, las funciones de demanda respectivas de los agentes A y B son xA =

4 py + , 3 px

yA =

2 px , 3 py

xB = yB =

py px + py

Obviamente, en el cálculo de estas últimas no podı́amos utilizar las técnicas de optimización de Lagrange, ni tampoco relaciones de tasas marginales de sustitución. En su lugar, tuvimos que recurrir

115

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

al siguiente argumento: Si xA > yA en el óptimo, entonces, dejando fijo yA , podemos reducir un poco xA de tal forma que aún estemos en la misma curva de nivel de A que pasa por (xA , yA ), y esto necesariamente conducirı́a a un aumento en el nivel de utilidad de B pues xB = 2 − xA . El caso xA < yA es similar. Ahora: de la condición de equilibrio xA + xB = 2, tendremos que py 4 py ( + )+ =2 3 px px + py y, de aquı́, los precios de equilibrio emergen: √ p∗y 10 − 2 = ∗ px 3 mostrando que, en equilibrio, la mercancı́a x es más costosa. Las asignaciones de equilibrio son: ∗ x∗A = yA ≈ 1,72

∗ x∗B = yB ≈ 0,279

ii) Ahora supongamos que px = 0 y py > 0. De la restricción presupuestal del consumidor B, px xB + py yB = py , llegamos a que yB = 1; y, al ser gratis el bien x, entonces escogiendo xB = t1 para t ∈ [1, 2] se maximizarı́a su utilidad que, en este caso, es 1. Sin embargo, de la restricción presupuestal del consumidor A, px xA + py yA = 2px + py , llegarı́amos a que yA = 1 y, siendo x gratis, entonces A tomarı́a lo máximo que es posible para maximizar su utilidad, es decir, xA = 2. Pero esto último harı́a imposible que se cumpliera la condición de equilibrio xA + xB = 2. Ası́ que no existe equilibrio bajo estas condiciones de precio. iii) Algo distinto ocurre si asumimos que es el bien y el que es gratis: px > 0 y py = 0. En este caso, bajo un argumento similar al anterior, encontramos que otro equilibrio para esta economı́a es: ∗ x∗A = yA =2

∗ x∗B = yB =0

Y la explicación es que, dado que el bien y es gratis, y el consumidor B tiene una unidad de éste (que además no le da ninguna utilidad, pero que sı́ se la da al consumidor A), la única posibilidad de equilibrio aquı́ es que B le “ceda” esta unidad al consumidor A.

116

Equilibrio económico walrasiano

iv) Mediante el método geométrico (utilizar la figura 17), es decir, fijando una curva de nivel para el consumidor, digamos A, y “alejando” al máximo las curvas de nivel del consumidor B pero manteniéndonos sobre la curva de nivel de A previamente escogida, el lector puede mostrar que la curva de contrato de este intercambio es yA = xA con 0 < xA ≤ 2. 38 El primer teorema del bienestar lo ilustramos notando que los dos equilibrios competitivos están en la curva de contrato. A su vez, el segundo teorema del bienestar lo ilustramos haciendo, para el agente A, ∂uA px ∂xA = A py ∂u ∂yA en un punto cualquiera [(xA , xA ), (2 − xA , 2 − xA ) de la curva de contrato (recuerde el lector que estas asignaciones de óptimo de Pareto constituyen las (respectivas) dotaciones iniciales de los agentes) para 0 < xA ≤ 2. Por lo tanto, llegamos a que la relación de precios de equilibrio estará dada por p∗x 3 = xA ∗ py 2 Por ejemplo, la asignación paretiana equitativa (1, 1) tendrı́a a p∗x /p∗y = 3/2 como relación de precios de equilibrio, y la asignación ∗ = 2, x∗ = y ∗ = 0 tendrı́a a p∗ /p∗ = 3. de equilibrio x∗A = yA x y B B

(0, 2) yA

B equilibrio: (2, 2) •

•

equilibrio: (1,72, 1,72)

E

•

A 38

óptimos de ¿Por qué tiene ser xA = 6 0?

Pareto: yA = xA

Figura 19

xA

(2, 0)

117

Capı́tulo 2: Tradición paretiana Ejemplo 13. Consideremos la economı́a de intercambio puro uA (xA , yA ) = mı́n{xA , yA }

wA = (1, 0)

uB (xB , yB ) = mı́n{xB , yB }

wA = (0, 1)

El lector podrı́a imaginarse la situación de dos tipos de agentes en la que uno de estos tiene una unidad de un bien complementario de otro bien, del que el otro agente tiene también una unidad. 39 i) Si ambos precios, px y py , son positivos, las funciones de demanda respectivas de los agentes A y B son (ver figura 16): xA =

px = yA , px + py

xB =

py = yB px + py

(*)

Obviamente, en el cálculo de estas últimas tampoco pudimos utilizar las técnicas de optimización de Lagrange, ni relaciones de tasas marginales de sustitución. En su lugar, tuvimos que recurrir a un argumento similar al del ejemplo anterior. yA yA = x A

•

E

xA

Figura 20: E es el punto de equilibrio.

ii) Si px = 0 y py > 0 entonces, de la restricción de presupuesto del consumidor A, obtenemos que py yA = 0 y, ası́, las demandas son yA = 0 y xA = t1 para cualquier 0 ≤ t1 ≤ 1. De manera similar, de la restricción de presupuesto del consumidor B, obtenemos que py yB = py y, ası́, las demandas son yB = 1 y xB = t2 para cualquier t2 con 0 ≤ t2 ≤ 1.

39

Imagine el lector el caso del uso de un zapato izquierdo y uno derecho. ¿Podrı́a el lector dar algún otro ejemplo?

118

Equilibrio económico walrasiano

iii) Si px > 0 y py = 0 entonces, de la restricción de presupuesto del consumidor A obtenemos que px xA = px y, ası́, las demandas son xA = 0 y yA = t1 para cualquier t1 con 0 ≤ t1 ≤ 1. De manera similar, de la restricción de presupuesto del consumidor B, obtenemos que px xB = 0 y, ası́, las demandas son xB = 0 y yB = t2 para cualquier t2 con 0 ≤ t2 ≤ 1.

En el caso i), la condición de equilibrio es una identidad: px py + =1 px + py px + py y, por tanto, cualquier par de precios positivos (px , py ), y sus correspondientes demandas dadas por las igualdades (*), conforman un equilibrio.

Podrı́amos intentar interpretar esto como si el intercambio pudiese llevarse a cabo en cualquier asignación sin que medie el mecanismo de precios. Geométricamente, esto se ve en la figura 17, donde, en el punto E pueden construirse infinitas ”tangentes.a las dos curvas de nivel.40 ∗ =0 En el caso ii) las condiciones de equilibrio nos llevan a que x∗A = yA ∗ ∗ y xB = yB = 1. Pero, notemos que, en este caso, éstas asignaciones también podrı́an haberse obtenido utilizando las ecuaciones (*) anteriores.

De manera similar, en el caso iii) las condiciones de equilibrio nos llevan ∗ = 1 y x∗ = y ∗ = 0. Y también, en este caso, éstas a que x∗A = yA B B asignaciones podrı́amos haberlas obtenido utilizando las ecuaciones (*).

Ası́ que, los equilibrios de esta economı́a están, todos, sintetizados en las ecuaciones (*).

Ahora: Fijando una curva de nivel de cualquiera de los dos consumidores, y llevando las curvas de nivel del otro consumidor hasta el máximo nivel (ver figura 19), notaremos que los óptimos de Pareto de esta economı́a son las asignaciones de la recta yA = xA con 0 ≤ xA ≤ 1. Claramente, cualquier equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto, y con esto queda ilustrado el primer teorema del bienestar. De otro lado, dado un óptimo de Pareto de la forma (xA , xA ), (1−xA , 1−xA ) para 0 ≤ xA < 1, hacemos de éste un equilibrio competitivo de la economı́a si (despejando px /py 40 En el caso del zapato izquierdo y derecho señalado en el pie de página anterior, y sabiendo que de los ”pedazos”de zapato no sirven de nada, el equilibrio competitivo indica que alguno de los dos deberı́a cederle su zapato al otro

119

Capı́tulo 2: Tradición paretiana de la ecuación xA = px /(px + py )) asignamos la razón de precios p∗x 1 = ∗ py 1 − xA

El caso xA = 1 se tiene con py = 0 y px > 0 cualquiera.41 Con lo anterior ilustramos el segundo teorema del bienestar.

B

(0, 1) yA

infinitos equilibrios: px xA = = yA px + py E

•

A óptimos de Pareto: yA = xA

xA

(1, 0)

Figura 21

Ejemplo 14. Consideremos ahora la misma economı́a del ejemplo anterior, pero donde dotaremos al consumidor B de una unidad adicional de mercancı́a y, es decir: uA (xA , yA ) = mı́n{xA , yA }

wA = (1, 0)

uB (xB , yB ) = mı́n{xB , yB }

wA = (0, 2)

y veamos la diferencia de comportamiento de esta economı́a con respecto al ejemplo anterior. i) Si ambos precios, px y py , son positivos, las funciones de demanda px respectivas de los agentes A y B son xA = = yA , xB = px + py 2py = yB . px + py 41

¿Cómo entenderı́a el lector este precio nulo en el caso de los zapatos comentados en los dos pies de página anteriores?

120

Equilibrio económico walrasiano

ii) Si px = 0 y py > 0 entonces las funciones de demanda respectivas de A y B son xA = t, yA = 0, xB = 1, yB = 2 donde 0 ≤ t ≤ 1. iii) Si px > 0 y py = 0 entonces las funciones de demanda respectivas de A y B son xA = 1, yA = t1 , xB = 0, yB = t2 donde 1 ≤ t1 ≤ 2 y 0 ≤ t2 ≤ 2.

En el caso i) la condición de equilibrio xA +xB = 1 nos lleva a que p∗y = 0 lo que es imposible por la hipótesis p∗y > 0. En el caso ii) la condición de equilibrio xA + xB = 1 nos lleva a xA = 0, y ası́, obtendremos el equilibrio x∗A = 0,

∗ yA = 0,

x∗B = 1,

∗ yB =2

p∗x = 0

p∗y > 0

En el caso iii) la condición de equilibrio xA + xB = 1 nos lleva a xA = 0, y ası́, para 1 ≤ t ≤ 2, obtendremos los equilibrios x∗A = 1,

∗ yA = t,

x∗B = 0,

∗ yB =2−t

p∗x > 0

p∗y = 0

Ahora: Para construir los óptimos de Pareto de esta economı́a, recurrimos a la figura 20 y a la forma geométrica de calcularlos: fijamos una curva de nivel de cualquiera de los dos consumidores, y después buscamos la curva de nivel del otro consumidor que sea lo más “lejana” posible del origen y que intersecte nuestra curva de nivel fija; las asignaciones correspondientes a esta intersección serán óptimos de Pareto. Repetimos este procedimiento para otras curvas de nivel del mismo consumidor escogido previamente, y hacemos un poco de inducción visual sobre la forma que tendrá todo el conjunto de estos óptimos. Fue de esta manera que encontramos que los óptimos de Pareto de nuestra economı́a están conformados por las asignaciones en el paralelogramo gris de la figura 21.

Comprobamos ahora el primer teorema del bienestar recurriendo a esta misma figura 21: claramente, todos los equilibrios walrasianos de esta economı́a están en el paralelogramo gris de óptimos de Pareto. De otro lado, si tomamos, para 0 ≤ xA ≤ 1, un óptimo de Pareto (xA , yA ) donde xA ≤ yA ≤ 1 + xA podemos hacer de éste un equilibrio competitivo de la economı́a si (despejando px /py de la ecuación xA = px /(px + py )) asignamos la razón de precios p∗x 1 = p∗y 1 − xA

121

Capı́tulo 2: Tradición paretiana El caso xA = 1 se tiene con py = 0 y px > 0 cualquiera. xB

(0, 2)

B

yA 1

1 yB

A •

xA

(1, 0)

Figura 22

xB

(0, 2)

B

equilibrios walrasianos

yA 1

1

yB óptimos de Pareto

A •

xA (1, 0) equilibrio walrasiano Figura 23

Ejemplo 15. Consideremos una economı́a de intercambio puro conformada por dos mercancı́as x y y, y dos consumidores A y B donde las preferencias están representadas por las funciones de utilidad uA (xA , yA ) = yA

uB (xB , yB ) = xB + yB

y las dotaciones de los consumidores son wA = (0, 1) , wB = (1, 1).

122

Equilibrio económico walrasiano

Las demandas respectivas, en este caso, son: xA = 0, yA = 1, para el consumidor A; y   0 si ppxy > 1     py si ppxy < 1 xB = 1 + px     si ppxy = 1  [0, 2]   1 + ppxy     yB = 0      [0, 2]

si

px py

>1

si

px py

<1

si

px py

=1

Aquı́, el lector puede comprobar que existen dos equilibrios, ambos con las mismas asignaciones, pero con diferentes sistemas de precios sustentándolos: x∗A = 0, x∗A = 0,

∗ yA = 1, ∗ yA = 1,

x∗B = 1, x∗B = 1,

∗ yB = 1, ∗ yB = 1,

p∗x = py > 0 p∗x = 0, py > 0

y que los óptimos de Pareto son las asignaciones resaltadas en negro en la figura 19. xB (0, 2) B

yA equilibrio walrasiano

•

1 yB

A •

xA

(1, 0)

Figura 24

Claramente ambas asignaciones de equilibrios son óptimos de Pareto, y

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

123

ası́ ilustramos el primer teorema del bienestar. Para ilustrar el segundo teorema del bienestar, tomemos una asignación paretiana de la forma (0, yA ) con 0 ≤ yA ≤ 2. Entonces yB = 2 − yA ∈ [0, 2] y ası́, dada la correspondencia de demanda yB , una relación de precios que podrı́a sustentarlo es px /py = 1.

9.

La nueva economı́a del bienestar

La “historia oficial” de la economı́a del bienestar comienza con A. C. Pigou y su The Economics of Welfare (1920). Este libro está dividido en cuatro partes que, exceptuando la tercera (sobre las relaciones industriales entre empleadores y empleados), tienen un sello bien definido: es el estudio del producto social (o “dividendo social” como Pigou lo llama) y la forma como es distribuido entre la población. “(...) el bienestar económico de una comunidad consiste en el balance de satisfacciones que se obtienen del uso del dividendo nacional sobre las insatisfacciones implicadas al hacer ese dividendo.” (Pigou (1920), p. 85) La parte I discute la definición y medición del Producto Social Real; la parte II estudia los cambios en la medida del Producto Social (qué lo hace disminuir o aumentar); y la parte IV la dedica al problema de la distribución. Era una muy amplia estructura, pero una estructura, obviamente, no inventó él, sino que lo tomó de sus predecesores, quienes, es casi seguro, no pensaban en absoluto que estuvieran haciendo “economı́a del bienestar”: era la teorı́a clásica de la producción y distribución; era, en el fondo, el mismo problema de The Wealth of Nations de Adam Smith. Pero no solo de Smith, pues recordemos que Ricardo, con el evidente propósito de corregir lo que él creı́a que era un descuido de Smith, afirmaba, en el prefacio de sus Principles(1817), que “determinar las leyes que regulan la distribución es el principal problema de la Economı́a Polı́tica”. Inclusive Mill comienza sus Principles(1848) con el problema de la producción (Libro I) y la distribución (Libro II).

Pero habı́a que medir el heterogéneo producto nacional, y Adam Smith y sus sucesores creyeron que podı́a reducirse a una medida común que podı́a valorarse en términos de dinero. Sin embargo, ya los economistas

124

Equilibrio económico walrasiano

clásicos habı́an advertido de que la medida monetaria tenı́a sus complicaciones, en particular la distinción entre el “valor de mercado” y el “valor natural”, y esto lo llevó a la búsqueda del “valor estándar” que permitiera corregir los cambios en el valor del dinero. Nótese que, para los clásicos, el propósito principal de esta “teorı́a del valor” era identificar los valores que se requerı́an para ponderar el Producto Social, es decir, medir el valor de las mercancı́as heterogéneas con una medida común. En ningún momento fue para explicar el papel de los precios en el mercado.

Por su parte, Pigou también afirmaba al definir el “bienestar económico” como: “Aquella parte del bienestar social que puede llevarse, directa o indirectamente, en relación con la medida (measuring-rod) del dinero.”(Pigou (1920), p. 11) que el valor del dinero jugaba un papel esencial en la medida del producto nacional. Sin embargo se apartó de los clásicos en que, en lugar de valorar, por ejemplo, en términos del valor-trabajo (Ricardo), lo asumió (como buen seguidor de Marshall) mediante utilidad marginal, y esto, obviamente, conllevaba problemas de “comparaciones interpersonales” de utilidades. Ası́, el sector público, que en el método clásico de Ricardo no conllevaba problema alguno para la medida del producto nacional, estaba ahora confusamente descrito. Y, como era de esperarse, las crı́ticas llegarı́an (por ejemplo, Myrdal (1929) y Robbins (1932,1938)).

“Todo lo que me propongo hacer en poner en claro que la afirmación de que la riqueza social aumenta [por el libre comercio] implica ella misma un elemento arbitrario-que la proposición deberı́a decir, si se asume igual capacidad de satisfacción por parte de los agentes económicos entonces puede decirse que la riqueza social aumenta.” (Robbins (1938), p.

549) El punto aquı́ fue que este problema de la comparación interpersonal de utilidades se estaba convirtiendo en tema central, pero por una razón diferente: la atención dada a la teorı́a de la demanda (ver, por ejemplo,

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

125

Hicks y Allen (1934)) desde el punto de vista de la teorı́a de la utilidad.42 Curiosamente, la dificultad con las comparaciones interpersonales de utilidad ya habı́a sido resuelta (antes del trabajo de Pigou) en el Manuel de Pareto de 1906. Éste, bien advertido de las dificultades de adicionar utilidades, encontró una manera en la que la “utilidad colectiva” podı́a definirse: era el concepto de óptimo de Pareto (que ya tenı́a un antecedente en Walras). Sin embargo, aunque esta noción fue posteriormente retomada por Barone (1908), sólo se instaurarı́a como parte esencial de la teorı́a económica del bienestar hasta los trabajos de Bergson (1938), Samuelson (1938) Kaldor (1939) y Hicks (1939), y se fortalecerı́a con los trabajos de Scitovsky (1941) y el Foundations de Samuelson (1947).

Era el comienzo de un nuevo derrotero en la historia del pensamiento económico.

“Aunque en un sentido real sólo existe una economı́a del bienestar, que alcanza su más completa formulación en los escritos de Bergson, es posible distinguir entre la Nueva Economı́a del Bienestar, (...) que no hace hipótesis respecto a la comparación interpersonal de utilidad, y la Vieja Teorı́a del Bienestar que comienza con esta hipótesis. En pocas palabras, es la diferencia entre Pareto y Pigou. (...) el primero está incluido en el segundo, pero no viceversa”. (Samuelson (1947), p. 249) La Nueva Economı́a del Bienestar ha tenido siempre como norte el intentar formular principios normativos que muestren las restricciones de la búsqueda de equidad. Y, sin duda, en este propósito, el concepto de óptimo de Pareto y los dos teoremas del bienestar económico se convirtieron en el núcleo de la teorı́a, pues pensaban que los juicios de bienestar 42

El problema con la comparación interpersonal de utilidades radica en que no hay forma de ver que la satisfacción que obtiene un individuo de consumir un bien es mayor que la satisfacción alcanzada por otro individuo al consumir otro bien. Inclusive si ambos individuos tuviesen su satisfacción medida cardinalmente tampoco tendrı́amos manera de relacionar las unidades de estas escalas, y, por lo tanto, tampoco podrı́amos sumarlas. Debido a estas y otras muchas crı́ticas al trabajo de Pigou, sus seguidores a ultranza se restringieron a un pequeño cı́rculo académico en la Universidad de Cambridge. No obstante, la necesidad de una reestructuración del problema estaba a la orden del dı́a.

126

Equilibrio económico walrasiano

podrı́an hacerse a partir de modificaciones adecuadas del concepto de óptimo de Pareto.

Entre las más potentes e ingeniosas herramientas de la economı́a del bienestar está la ya mencionada curva de posibilidades de utilidad que le da a cada nivel de utilidad de un agente, la máxima cantidad de utilidad del otro agente. Recordemos que para calcularla, habı́amos escogido primero un punto B en la FPP Y0 X0 ; después formamos la caja de Edgeworth AXBY , y allı́ construimos su curva de contrato AB. Después notamos que a cada punto C sobre la curva de contrato le corresponde un par de valores de utilidad uA y uB que son las medidas de bienestar de los agentes A y B, respectivamente. De esta manera, a la curva de contrato en sı́, le corresponde una curva en el espacio de utilidad, tal como aparece en la figura 23. Esta describe el conjunto distribuciones de utilidad que genera una caja de medida determinada por una oferta fija de bienes.

Y0

B

Y

C

A

X

X0

Figura 25: FPP

Sin embargo, la curva de posibilidades de utilidad definida en el párrafo anterior tiene un problema: depende del punto de oferta B. Es decir, si cambiamos el punto en la FPP, tendremos otra curva de posibilidades de utilidad, puesto que la correspondiente caja de Edgeworth, a su vez, también cambia. Para “resolver” esto, escojamos, para cada punto de la curva de posibilidades de utilidad, el punto en la curva de contrato que satisface la condición de equilibrio, y luego calculamos las correspondientes utilidades de ambos agentes en ese punto. Por ejemplo, en

127

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

la figura 24, al punto B le corresponde el punto C; y bastarı́a ubicar el punto (uA , uB ) evaluado en C. Con este procedimiento aplicado a cada punto de la FPP, generaremos una curva llamada la “gran frontera de posibilidades de utilidad” (GFPP ), que es la envolvente formada por la familia de curvas de posibilidades de utilidad, cuando los puntos se mueven a lo largo de la FPP. La curva GPPS describe, entonces, el máximo de utilidad que puede alcanzar un agente cuando la utilidad del otro está fija: dada la utilidad de uno de los agentes, el sistema puramente competitivo indicará la máxima utilidad alcanzable por el otro.

Y0

B

Y

C

A

X

X0

Figura 26: Gran frontera de posibilidades de utilidad (GFPP )

Examinando la GPPS podemos determinar el impacto, sobre el bienestar económico potencial, de cambios en la cantidad agregada disponible de mercancı́as. Y estos cambios han permitido estudios de mejoramientos potenciales del bienestar social, que, vagamente, consisten en que si la magnitud de las ganancias de moverse de un estado de la economı́a a otro, es mayor que la magnitud de las pérdidas, entonces existe un mejoramiento del bienestar social haciendo el cambio, inclusive si no se lleva a cabo ninguna compensación de los que ganan a los que pierden (de allı́ el término “potencial”). En el fondo, el problema es el de intentar hacer comparables los distintos estados de la economı́a, bajo algún criterio de “deseabilidad” social. Entre estos está el criterio Kaldor-Hicks y el criterio de Scitovsky, que a continuación discutimos.

128

a).

Equilibrio económico walrasiano

El criterio de Kaldor-Hicks (1939)

Las discusiones sobre criterios de compensación comenzaron en las controversias de 1938-1939. Roy Harrod, en su Scope and Method of Economics de 1938, afirmaba con respecto a la “Revocatoria de la Leyes del Maı́z en Inglaterra”43 : “Consideremos la Revocatoria de las Leyes del Maı́z. Esto tendı́a a reducir el valor de un factor especı́fico de producción-la tierra. Sin duda puede probarse que las ganancias totales de la comunidad exceden las pérdidas de los terratenientes -pero solo si los individuos son tratados, en algún sentido, como iguales. En otro caso, cómo puede compararse la pérdida de alguien-y que habı́a pérdida apenas podı́a negarsecon la ganancia general? Si la imposibilidad de comparar la utilidad de diferentes individuos es estrictamente observada, entonces no solo debemos descartar las prescripciones de la escuela del bienestar, sino todas las demás prescripciones. El economista, como recomendante, queda completamente minusvalorado, y a menos que sus especulaciones sean consideradas de notable valor estético, tendrı́a mejor que suprimirse completamente.” (Harrod (1938), pp. 396-397) Nicholas Kaldor (1939) le replicó a Harrod que podı́a demostrase que este elemento arbitrario no estaba implicado en absoluto, al menos con respecto a afirmaciones prescriptivas: “Los efectos de la Revocatoria de las Leyes del Maı́z pueden resumirse como sigue: (i) Se produce una reducción en el precio del maı́z, y ası́ el mismo ingreso monetario representará ahora un ingreso real mayor; (ii) Conduce a un cambio en la distribución del ingreso, ası́ que algunos ingresos( i.e., los de los terratenientes) (en cualquier caso, en términos monetarios) serán más bajos que antes, y el ingreso de otras personas (presumiblemente el de otros productores) será mayor.

43

Las Leyes del Maı́z en la Inglaterra victoriana, eran polı́ticas mercantiles (aranceles) de protección de la producción doméstica de ese producto, que fueron introducidas en 1815 (potenciando la propiedad de la tierra por parte de los terratenientes (landlords)), y derogadas en 1846 (lo que daba paso a un comercio libre en beneficio de otros productores y de los consumidores).

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

129

Como podemos asumir que el ingreso monetario agregado, no cambia, si se reduce el ingreso de los terratenientes, el ingreso de otras personas debe, por lo tanto, aumentar. Es sólo como resultado de este cambio en la distribución del ingreso, que habrá cierta pérdida de satisfacción en ciertos individuos y, por lo tanto, necesidad de comparar las ganancias de algunos con las pérdidas de otros. Pero siempre es posible para el Gobierno asegurar que la anterior distribución del ingreso pueda mantenerse intacta: compensando los “terratenienetes” por cualquier pérdida de ingreso proveyéndoles fondos mediante un impuesto extra sobre aquellos cuyos ingresos hayan aumentado. En esta forma, todos estarán mejor que antes como receptores de ingreso; y todos estarán mejor que antes como consumidores.” (Kaldor(1939), p. 550) Este criterio de compensación serı́a asimilado en adelante como un criterio objetivo de eficiencia económica pues, según Kaldor, toda prescripción basada en él tenı́a un status cientı́fico apartado de cualquier juicio de valor. Esta propuesta, sin embargo, tan enraizada en el Economics of Welfare de Pigou (recordar el ingreso real como medida de bienestar), fue traducida por la Nueva Economı́a del Bienestar en la siguiente forma: Supongamos que el paso de una distribución C a una distribución D conlleva que haya un “ganador” y un “perdedor”; entonces la distribución (D) es preferida a la distribución (C), si el “ganador” en la nueva distribución D puede hacer transferencias lump-sum al perdedor para compensarlo, y todavı́a obtener ambos una ganancia a partir de la primera distribución C. Claramente, aquı́ no se requiere comparación de utilidades, pero sı́ medidas de valor transferibles. Y, dado que hasta ese momento el único criterio normativo que permitı́a elegir una distribución sin recurrir a la comparación de utilidades, era el óptimo paretiano, la propuesta de Kaldor fue escuchada (aunque también criticada, como veremos enseguida).

Casi inmediatamente, Hicks (1939) examinó el criterio de Kaldor con respecto a su eficiencia paretiana (algo que éste no habı́a señalado explı́citamente en su artı́culo de 1939), pues si la “distribución potencial” (es decir, después de la transferencia lump-sum) no era un óptimo de Pareto, entonces quizás ambos agentes podrı́an mejorar aún más, moviéndose a

130

Equilibrio económico walrasiano

una posición que sı́ lo fuera, recurriendo, de ser necesario, a una transferencia lump-sum diferente. Es decir, para Hicks la distribución (D) es preferida a la distribución (C), si el “ganador” en la nueva distribución D puede hacer transferencias lump-sum al “perdedor”, y alcanzar una distribución óptima de Pareto (E)(es decir, que pertenezca a la misma F P U de D) donde ambos mejoren su bienestar con respecto a la primera distribución C (ver figura 27). Obviamente, bajo este criterio, dos distribuciones en la misma F P U no pueden compararse, y este, en sı́ mismo, es una de las dificultades con el criterio Kaldor-Hicks (ver figura 28) u2

D

•

C•

•E

u1 Figura 27: Compensación Kaldor-Hicks u2

D

•

C

•

u1 Figura 28: Imposibilidad de comparación Kaldor-Hicks

b).

El criterio de Scitovsky (1941)

Dos años más tarde, Tibor Scitovsky (1941) mostró algo realmente paradójico con el criterio anterior: que, aún si la distribución (D) es preferida a la distribución (C) según este Kaldor-Hicks, entonces, cuando

131

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

los agentes asumı́an la posición D, resultaba ser que C también era preferida a D (ver figura 28).

u2

•

F •

D

C•

•E

u1 Figura 29: Paradoja de Scitovsky

Ante esto, la propuesta de Scitovsky no podrı́a ser distinta: que hubiera consistencia del criterio Kaldor-Hicks “an ambos sentidos”. Es decir, que si se aplicaba el criterio Kaldor-Hicks a un movimiento de C a D, y resultaba ser D el preferido, entonces al aplicar el mismo criterio al movimiento de D a C, también D resultara preferido. Por ejemplo, en la figura 27, D es preferida a C según Scitovsky, ya que ninguna distribución sobre la FPU de C es preferida en el sentido de Pareto a D. Una de las más fuertes crı́ticas recibidas por los criterios de compensación de Kaldor-Hicks y Scitovsky fue la de Little (1949). Éste afirmaba que las polı́ticas de compensación eran sólo hipotéticas, en el sentido de que nada obligaba al agente “ganador” a desprenderse de lo obtenido, en bien del “perdedor” a menos que, como recomendaba Kaldor, el Gobierno interviniera a través de algún mecanismo (por ejemplo, impuestos). Ası́ que, según Little, decir que ellos habı́an descubierto un método objetivo para detectar aumentos en “riqueza” o “eficiencia”, era desviar la opinión mediante palabras persuasivas. Y que lo único que Kaldor y Hicks habı́an logrado, era acuñar una definición de eficiencia, cuyas implicaciones éticas seran difı́ciles de aceptar.

Pero más allá de las objeciones éticas de Little (y otros) con respecto a utilizar criterios de compensación como mecanismos para mejorar una organización económica, también se encontraron dificultades lógicas. En

132

Equilibrio económico walrasiano

1955, W. Gorman mostró que que el criterio de Scitovsky puede “llevarnos en cı́rculos”: la relación de preferencia definida por Scitovsky, no es transitiva! Y para verlo, vamos a la figura 30, en donde, según Scitovsky, F es superior a D y D es superior a C. Según la propiedad de transitividad de esta relación, deberı́amos tener que F es superior a C, pero estos dos ni siquiera son comparables. u2

•F

D

•

•C u1 Figura 30: Intransitividad de Scitovsky

Uno de los problemas que hace difı́cil que los criterios de compensación sean útiles en las aplicaciones prácticas es que no existe ninguna forma de hacer juicios de bienestar sin, de alguna forma, llevar a cabo alguna comparación interpersonal de utilidad, y esto no es permisible bajo los requisitos de la Nueva Economı́a del Bienestar. Hace ya un tiempo, Chipman y Moore (1978) resumı́an las discusiones Kaldor-Hicks-Scitovsky ası́: “Después de 35 años de discusiones técnicas, nos vemos forzados a regresar a la posición de Robbins de 1932. No podemos hacer recomendaciones polı́ticas excepto sobre la base de juicios de valor, y estos juicios de valor deberı́an hacerse explı́citos.”(p. 581).

Treinta años después, las discusiones teóricas han ido reforzando esta posición.

133

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

c).

La función de utilidad social

Profundamente enraizada en sus aspectos normativos, la nueva teorı́a del bienestar también recurrió a otra de sus herramientas más reconocidas: la función de utilidad social. Introducida por Bergson en 1938 y desarrollada a plenitud por Lange (1942) y Allais (1943), el propósito aquı́ era escoger, entre los óptimos de Pareto, cuál es “más deseable desde el punto de vista de la sociedad”, medido esto mediante tal función.

Para entender cuál es el problema central aquı́, veamos esto en detalle.

Lange (1942), por ejemplo, suponı́a un modelo de bienestar económico en el que xi1 , xi2 ,..., xin son las cantidades de n bienes que posee el i-ésimo individuo donde i = 1, 2, ..., m, y que su función de utilidad es Ui (xi1 , xi2 , ..., xin ) Además, donde Xr =

m X

xir

(1)

i=1

es la cantidad total de la mercancı́a r en la sociedad, y donde cierta función F (X1 , X2 , ..., Xn ) = 0

(2)

rige la transformación tecnológica de estas cantidades agregadas de las mercancı́as. Y, con esto, Lange busca maximizar el “bienestar total” sujeto a la restricción tecnológica, es decir, para i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., i − 1, i + 1, ..., m; r = 1, 2..., n: Maximizar sujeta a

Ui (Xi1 , Xi2 , ..., Xin ) Uj (Xi1 , Xi2 , ..., Xin ) = constante F (X1 , X2 , ..., Xn ) = 0 m X Xr = xir i=1

(¿hipótesis sobre las funciones?)Las condiciones de primero orden nos llevan a

134

Equilibrio económico walrasiano

∂Ui ∂F ∂xir ∂Xr = ∂Ui ∂F ∂xis ∂Xs

(3)

o, lo que puede escribirse como ∂Xs ∂xis = ∂xir ∂Xr

(4)

Es decir, para cada individuo la tasa marginal de sustitución de cualquier dos mercancı́as debe igualar a la tasa marginal de transformación de estas dos mercancı́as. Nótese que ∂Ui ∂Ui ∂xir ∂xis = ∂Uj ∂Uj ∂xjr ∂xjs

(5)

y ası́ (3) y (4) no implican comparación interpersonal.

Ejemplo 16. (Clases de funciones de utilidad social) Tres tipos de funciones de utilidad social muy conocidos son: Q a) W = ni=1 Ui (función de bienestar social Bernoulli-Nash) P b) W = ni=1 αi Ui (función de bienestar social benthamita (o “utilitaria”)) c) W = mı́nni=1 Ui (función de bienestar social rawlsiana) U2

C D

U1 Figura 31: Función de bienestar social

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

135

En la figura 31, la función de bienestar social escoge, en la GFPU, el punto D en lugar del punto C. Aunque la función de bienestar social venı́a siendo mencionada continuamente desde la formulación de Bergson en 1938, nunca tuvo un reto tan grande hasta el clásico “Social Choice and Individual Values”(1951) de Kenneth Arrow. De hecho, esta función se consideraba como el deus ex machina que coronaba la elegancia formal de la teorı́a del bienestar social desde la perspectiva del equilibrio general walrasiano. Pero Arrow tenı́a dudas sobre si algo tan estupendo que manifestara las aspiraciones de una sociedad libre, realmente existı́a.

En el modelo, cada individuo tiene un “orden individual” o ranking de m “estados sociales” concebibles, siendo cada “estado social” una combinación de todas las variables pertinentes en la evaluación del bienestar del individuo. Y la preguntas es si serı́a posible, mediando ciertas reglas éticas aceptables a una sociedad libre, construir un orden social de los m estados. Las reglas éticas son: i) El orden social debe prescribir debe estar asociado con los órdenes individuales. ii) Si todos los agentes prefieren un estado a otro, entonces el orden social también aceptará esto(Eficiencia Pareto). iii) Si se retira un estado social debido a que no es relevante, el ranking de los restantes estados sociales no debe cambiar (Independencia de Alternativas Irrelevantes). iv) El orden social no debe ser impuesto por dictadura (No Dictadura).

Y Arrow concluye que, bajo estas condiciones “razonables”, no existe tal regla que permita pasar del orden individual al orden social. Es decir, en estas condiciones, no existe ninguna función de bienestar social.

Como lo puede comprobar cualquier lector que se asome a la monografı́a de Arrow (1951), la formulación matemática de este teorema es impresionante. No obstante podrı́a uno creer que el resultado allı́ expuesto no es, en absoluto, sorprendente. Baste para ello imaginarse a dos personas abandonadas en una isla, y que tienen ideas opuestas respecto a las horas dedidicadas a recolectar la fruta y pescado (Robinson Crousoe). Y

136

Equilibrio económico walrasiano

aunque la formación de una función de bienestar social “satisfactoria” que permita determinar una única posición de bienestar social máximo es una utopı́a, todavı́a es un tópico estudiado y muy utilizado en polı́tica económica. [INCOMPLETO]

d).

Análisis costo-beneficio

10.

Fallas de mercado

En los Éléments, Walras mostraba que estaba bien advertido de las “fallas de mercado”, por ejemplo en la oferta de servicios de interés públicos, y en la producción de mercancı́as que estaban “dentro de la provincia de los naturales y necesarios monopolios”. Y agregaba que el problema de la distribución en esos casos, quedaba abierto. Un año antes de morir, escribe: “Con respecto a las hipótesis, es obviamente claro que uno debe ser cuidadoso cuando se mueve de la abstracción a la realidad. En la realidad, hay fricciones en el mecanismo económico y, al mismo tiempo, los hombres no son ni perfectamente egoı́stas ni perfectamente videntes.” (Walras (1909), en carta a H. Poincaré) Sin embargo, la primera vez que aparece el término explı́cito de “falla de mercado” es en Bator (1958), aunque, obviamente, la noción estaba implı́cita en la teorı́a económica desde, por lo menos, Adam Smith y su Wealth of Nations. Allı́, Bator la definı́a ası́: “¿Qué es lo que significa una “falla de mercado”? Tı́picamente, al menos en la teorı́a de la asignación, entenderemos la falla de un sistema más o menos idealizado de instituciones precio-mercado que sustenten actividades “deseables”, o de detengan actividades “indeseables”. La deseabilidad de una actividad, a su vez, se evalúa respecto a las soluciones de algún problema explı́cito o implicado de maximización del bienestar.” (p. 351)

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

137

Bator parte de los dos teoremas del bienestar económico enfatizando en la “correspondencia” entre asignaciones competitivas y óptimos de Pareto, y, por esto, el concepto mismo de “falla de mercado” es visto como una noción de ineficiencia (paretiana) de mercado, que puede ocurrir, fundamentalmente, por tres razones: i) Competencia imperfecta: Si uno o varios agentes, en lugar de ser insignificantes en términos del mercado total, gana “poder de mercado”. Este es el caso, por ejemplo, de los monopolios, los monopsonios, los cárteles, y la competencia monopolı́stica. ii) Externalidades: Si las acciones de un agente afectan a otro en sus decisiones de consumo o producción (“externalidades” en el mercado). Ejemplos de esto, son el ruido extremo, la polución, etc. iii) Bienes públicos o bienes club: Si alguno de los bienes es público (una carretera, la defensa nacional, etc. son ejemplos de bienes públicos), o de utilización sólo por un grupo privado (bienes club) como, or ejemplo, la televisión por cable.

La noción misma de “falla de mercado” es controversial. Una de las crı́ticas que se hace consiste en qué entendemos por “eficiencia”. A diferencia de la noción paretiana, algunos economistas, principalmente la escuela austrı́aca, han planteado redefinir la noción misma de eficiencia económica. Desde otra perspectiva, otros aseguran, que la acción gubernamental podrı́a estar “corrigiendo” el mercado hacia niveles de eficiencia paretiana que no conllevan asignaciones “más justas”. Por su parte, otros, aún aceptando la noción paretiana de eficiencia, afirman que las “fallas de mercado” no son, necesariamente, un llamado automático a la intervención estatal, en parte debido a que esta intervención puede aún empeorar la situación (a esto la han dado en llamar “falla gubernamental”) que intentaban hacer más eficiente (Ver artı́culo de Stiglitz ). Aún más allá, se afirma que la visión de una economı́a desde las “fallas de mercado”, impide revelar otros aspectos de ineficiencia económica del sistema capitalista, como lo son, por ejemplo, los dispares niveles de distribución del ingreso.

138

a).

Equilibrio económico walrasiano

Competencia imperfecta

Aunque en las economı́as competitivas son los precios los que transmiten la información de las actividades fuera del alcance de los agentes, ninguno de ellos, aisladamente, tiene poder alguno de “controlar” estas señales. En general, cuando algunos agentes controlan los precios, afectan el bienestar de los otros agentes.

b).

Externalidades

Sin embargo, los “efectos externos” o “externalidades”, como hoy se les llama, hacen su aparición en los Principles de Marshall en la forma de “economı́as externas”, es decir, economı́as externas a una firma pero internas al mercado. Pero fue Pigou, quien en su Economics of Welfare (1920), desarrolló y extendió este concepto, al ser una de las causas de la diferencia entre su “producto neto privado” y su “producto neto social”.

Los economistas definen una externalidad como una actividad de una de las partes, que entra directamente en la función de utilidad o producción de alguna otra de las partes en el mercado. Sin embargo, esta definición no es satisfactoria pues debemos reconocer que hay casos en los que la influencia sobre la utilidad y los productos de otros, se ejercen “indirectamente”, es decir, via precios relativos en un sistema de equilibrio general; y que también hay casos en donde la influencia se ejerce “directamente” sobre la utilidad y el producto.

Definición 2. (Externalidad) Diremos que la externalidad Y1 afecta al individuo A, cuando la función de utilidad o de producción de éste, toma la forma f A = f A (x1 , x2 , ..., xm , y1 ) donde x1 , x2 , ..., xm son medidas de “actividades” que están exclusivamente bajo el control o autoridad de A; y1 es una medida de “actividad” de consumo o producción por parte de otro agente B; y, fundamentalmente, fyA1 6= 0. Cuando fyA1 > 0, es decir, cuando un aumento en la externalidad y1 implica un aumento en el bienestar del agente A, diremos que y1 es una externalidad positiva (o, en términos marshallianos, que tenemos una “economı́a externa”). De manera similar, cuando fyA1 < 0,

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

139

es decir, cuando un aumento en la externalidad y1 implica una disminución en el bienestar del agente A, diremos que y1 es una externalidad positiva (o una “diseconomı́a externa”).

Se asume que el agente A tratará de maximizar su utilidad de la manera tı́pica, pero sujeta a la externalidad y1 . Esto lo hará encontrando los valores de las x′ s, cuando y1 cambia, de tal manera que alcance su equilibrio.

Algunos de los más conocidos métodos que corrientemente se proponen para corregir externalidades son: i) Prohibición terminante ii) Impuestos y subsidios iii) Regulación iv) Acuerdos voluntarios v) Mecanismos preventivos

c).

Bienes públicos

Las dos caracterı́sticas corrientemente asignadas a un bien público son la no-rivalidad y la no-excluibilidad. La primera significa que el hecho de que un agente disfrute del bien, no reduce la cantidad de que pueden disfrutar los otros agentes; y la segunda caracterı́stica consiste en que ningún agente puede ser excluido de su disfrute. Sin embargo, la definición técnica más precisa de un bien público es la dada por Samuelson (1954), en el que afirma que un bien público es un bien que, una vez producido por algunos consumidores, puede ser consumido por un consumidor adicional sin ningún costo.

Una parte sustancial de la teorı́a básica de los bienes públicos está basada en los artı́culos de Samuelson de 1954 y 1958 en donde probó que una condición necesaria para que se tenga la optimalidad de Pareto, es que la suma de las tasas marginales de sustitución entre un bien público y uno privado sea igual a la tasa marginal de transformación entre estos dos bienes. En efecto: Samuelson modelaba el problema con n bienes privados, X1 , ..., Xn ; m bienes públicos puros Xn+1 , ..., Xn+m ; s individuos

140

Equilibrio económico walrasiano

con funciones de utilidad ui = ui (X1i , ..., Xni , Xn+1 , ..., Xn+m ) para i = 1, ..., s una función de bienestar social U = U (u1 , ..., us ) y, para X1 = transformación

Ps

i i=1 X1 ,

... ,Xn =

Ps

i i=1 Xn ,

se tiene una función de

F (X1 , ..., Xn+m ) = 0 que establecı́a la relación existente entre producciones e insumos totales de bienes públicos y privados. El problema de encontrar los óptimos de Pareto para esta situación económica nos llevarı́a a Maximizar

ui (X1i , ..., Xni , Xn+1 , ..., Xn+m )

sujeta a

U = U (u1 , ..., us ) = constante F (X1 , X2 , ..., Xn+m ) = 0 s s X X X1 = X1i , ... , Xn = Xni i=1

i=1

Entonces, utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, las condiciones necesarias para los óptimos paretianos son: uij Fj = uir Fr s X uin+k i=1

uir

=

Fn+k Fr

uqj Ui = i Uq uj

para i = 1, ..., s; r, j = 1, ..., n

para k = 1, ..., m; r = 1, ..., n

para i, q = 1, ..., s; j = 1, ..., n

(1)

(2)

(3)

El sistema de ecuaciones (1) son las condiciones marginales para que la asignación de bienes privados sea un óptimo de Pareto. Por su parte, el sistema de ecuaciones (2), afirma que la suma de las tasas marginales de sustitución igualan a las tasas marginales de transformación entre los

Capı́tulo 2: Tradición paretiana

141

correspondientes bienes públicos y privados44 . El sistema de ecuaciones (3) muestra que la utilidad social marginal del consumo debe ser igual para todos los agentes.

En el caso bidimensional, es decir, en el caso de dos consumidores (s = 2), un bien privado (n = 1), y uno público (m = 1), las condiciones (1), (2) y (3) arriba, se convierten en

11.

u12 u22 F2 + 2 = 1 F1 u1 u1

(2*)

U1 u2 = 11 U2 u1

(3*)

Y mientras tanto...

Paralelo a la tradición paretiana, y con un aire diferente, venı́a también desarrollándose la segunda tradición poswalrasiana, conocida como la “tradición alemana”, que se dirigió, fundamentalmente, al problema matemático de la existencia del equilibrio general. Esta lı́nea, generada por Karl Schlesinger (1933) y el Seminario Menger45 en Viena, se basó en el modelo Walras-Cassel aparecido en el capı́tulo IV (“Mecanismo de la producción de los precios”) del entonces muy utilizado texto Theoretische Sozialökomie (1918) de Gustave Cassel46 , y continuó con los trabajos de Abraham Wald (1936), y John von Neumann (1937).

Siguiendo a Cassel, la escuela alemana se caracterizó, en principio, por apartarse de la teorı́a de la utilidad (y del valor subjetivo que de ella se desprendı́a), pues, para ellos, estos conceptos no eran cuantitativamente claros y tampoco tenı́an una comprensión concreta. De hecho, la primera prueba que se conoce sobre la existencia de un equilibrio competitivo, la obtuvo precisamente Wald (1936), sin recurrir a ningún concepto utilitarista. Algo similar harı́a también von Neumann, quien lograrı́a mostrar la existencia de equilibrios en su modelo de crecimiento de 1937.

44

Note la diferencia con el sistema puramente competitivo, en el que las tasas marginales de sustitución son iguales.

45 Este nombre proviene de Karl Menger, matemático e hijo del famoso economista austrı́aco Carl Menger.

46 Debe advertirse, sin embargo, que para Cassel el problema de la existencia del equilibrio competitivo no fue preocupación central.

142

Equilibrio económico walrasiano

A pesar de considerar que la aparición de Value and Capital (1939) de Hicks fue un evento importante, pues fue allı́ que, por primera vez, la aproximación del equilibrio general fue escrita, de manera sistemática y coherente, en Inglés47 , algunos miembros de la escuela alemana, en particular el famoso economista vienés Oskar Morgenstern, fueron fuertes crı́ticos de Hicks. En 1941 apareció un artı́culo de Morgernstern titulado “Profesor Hicks on Value and Capital”, en el que hace un análisis detallado del libro, y en donde critica, entre otros, el hecho de que Hicks todavı́a estuviera “contando ecuaciones e incógnitas” para determinar la existencia de equilibrio competitivo, advirtiendo de paso que Hicks habı́a ignorado las pruebas de Wald y von Neumann para dos tipos de sistemas particulares.

Inclusive Morgenstern (1976) cita un comentario ocasional que le hizo von Neumann en los primeros 1940’s, con respecto a los trabajos de Hicks. Le decı́a que si “esos libros” estaban todavı́a a la vista en 100 años, muchos creerı́an que fueron escritos en la época de Newton, por sus pobres matemáticas; y, además, le aseguraba que la economı́a estaba a millones de millas de otras ciencias tales como la Fı́sica. Morgenstern y von Neumann creı́an que los problemas económicos no se resolvı́an mediante prosa encantadora ni apelando al sentido común.

Curiosamente, mientras se apuntalaba la tradición paretiana, es decir, en el perı́odo de ocho años que va desde Value and Capital de Hicks (1939) hasta el Foundations (1947) de Samuelson, la coalición entre von Neumann y Morgenstern (1944) producı́a uno de los más grandes hitos en la literatura económica: el Theory of Games and Economic Behavior de 1944. La ası́ recién bautizada teorı́a de juegos, en conjunto con la programación lineal (1951), originadas ambas por problemas de estrategia y de asignación en la Segunda Guerra Mundial, serı́an precisamente los elementos articuladores del modelo de equilibrio general de Arrow y Debreu (1952) (ver Capı́tulo 5).

47

Aunque ya en los pasillos de muchas universidades europeas, corrı́a una traducción del Manuel de Pareto (algo que no lograrı́an los Éléments de Walras hasta 1954).

CAPÍTULO

3

La tradición alemana

1.

Gustav Cassel [1866-1945]

Gustave Cassel nació en Estocolmo (Suecia) en 1866. Luego de obtener su doctorado en matemáticas, a los treinta y dos años decidió estudiar Economı́a en Alemania e Inglaterra. Y después de un tiempo corto de preparación, llegó a la conclusión de que la teorı́a de la utilidad y el valor subjetivo de ella se desprendı́a, no eran claros cuantitativamente y tampoco tenı́an una comprensión concreta, y por ello creyó adecuado construir una “ciencia económica real” que se apartara de esos conceptos.

El valor económico de un objeto, decı́a, debı́a expresarse en una unidad común: en dinero; ası́ el valor era solamente un precio expresado en dinero. Los precios serı́an para Cassel el elemento de cohesión de la economı́a, y se determinan mediante un sistema de ecuaciones.

Según esto, Cassel se verı́a obligado a encontrar la forma de determinar el valor de la unidad monetaria. Y, al igual que Walras, recurrió a la teorı́a cuantitativa del dinero: “La parte esencial de mi teorı́a monetaria es que el valor del dinero está determinado por la escasez de medios de pago.”

(Cassel (?), p. 435) 143

144

Equilibrio económico walrasiano

Por lo tanto, el sistema económico de Cassel consistió en una combinación de sus ecuaciones de equilibrio de precios (tomadas, sin duda, de Walras1 ), y la teorı́a cuantitativa del dinero.2 . Y su propósito era (...) tratar las relaciones económicas de un cuerpo social total hasta donde sea posible sin tener en cuenta su extensión, su organización, sus leyes de propiedad, etc.

Pues en lo que concernı́a a la elección de un sistema polı́tico u organización social, Cassel se basaba más en intuiciones y predilecciones, que en teorı́a bien fundamentada. Aseguraba, por ejemplo, que preferı́a la libertad y el progreso a la regulación gubernamental (Cassel (?), p.440). Más aún, aseguraba que la función del Estado era garantizar ciertas condiciones para que las empresas privadas funcionaran. Entre estas condiciones estaban el tener moneda y tasas de cambio estables; una razonable libertad de comercio internacional; control de monopolios y demandas de los sindicatos; y moderación en el gasto público (Cassel (?), p. 292).

Por ejemplo, con estos argumentos criticó fuertemente las polı́ticas económicas de Alemania posteriores a la Primera Guerra Mundial (1914-1918).

Decı́a que las posibilidades de recuperación estaban en desarrollar polı́ticas de comercio libre, flujos internacionales de capitales, y estabilización de la moneda en sus valores externo e interno. Y como parte de esta estabilización hacı́a un llamado al regreso del patrón oro, urgiendo a los bancos centrales a ahorrar en oro para prevenir fluctuaciones en los precios (Cassel (?), p. 45).3 A pesar del reconocimiento internacional que tuvo Cassel en vida, también fue muy criticado. Entre ellos, el más agudo fue su coterráneo Knut Wicksell. Aunque ya habı́an tenido discusiones y diferencias previas, en 1919, al revisar la principal obra de Cassel, el Theoretische Sozialökomie de 1918, Wicksell afirma que, ası́ el autor lo desee, su trabajo no 1

Aunque él mismo nunca lo reconociera ası́.

Sin embargo, cuando intenta incorporar su teorı́a del capital al equilibrio general, encuentra que algo similar a un “principio de substitución” está implı́cito allı́, y esto era algo que creı́a haber eliminado desde que desterrara también cualquier concepto de marginalidad 3 En esto era contrario a Keynes quien hacı́a un llamado al sistema monetario inglés para que se basaran en papel moneda pues esto mantendrı́a más estable el poder de compra de la moneda.

2

Capı́tulo 3: La tradición alemana

145

podı́a considerarse como original ni mucho menos pionero, pues mucho le debı́a a Walras. Pero, Cassel, reconociendo poco o nada de Walras en su obra, respondió con una definición de lo que debe considerarse realmente “nuevo”: “En un sentido práctico, cualquier pensamiento es nuevo si difiere significativamente del punto de vista generalmente prevalente” (Cassel (I?), p. 262) Aunque de carácter áspero, Cassel siempre fue un fuerte defensor de las libertades democráticas y de la unión entre las naciones, y buscó llevar su influencia más allá de los muros académicos de la Universidad de Estocolmo, a amplias audiencias públicas. En Sueco, Inglés y Alemán, dictó conferencias en toda Europa, desde la Royal House en Suecia hasta pequeños grupos de obreros y comerciantes. Aseguraba que el progreso social y económico provendrı́a de la libertad pero dentro de sus raı́ces culturales, y no únicamente consagrada en constituciones ( Cassel I, pp.

87-93).

Habiendo tenido entre sus alumnos en Suecia, entre otros, a Gunnar Myrdal (premio Nobel en Economı́a 1974?) y Bertil Ohlin (fundador de la teorı́a del comercio internacional con perspectiva neoclásica), se le considera, junto con Knut Wicksell, uno de los fundadores de la “escuela sueca”. Sobre esto decı́a: “(...) no vale la pena formar muchos economistas, sino más bien economistas de jerarquı́a que ayuden a avanzar la ciencia económica y estimulen su prestigio en nuestro paı́s...

Nunca he fundado ninguna “escuela” y nunca busqué hacerlo”. Desde el comienzo mi programa ha sido formar gente joven dentro del pensamiento independiente, restringiéndolos a la cientificidad, pero nunca a ninguna filosofı́a ya hecha que los estudiantes sólo tuvieran que aceptar.” (Cassel II, p. 374) Cassel, que habı́a enseñado economı́a desde 1903 en la Universidad de Estocolmo, se retiró de allı́ en 1933, y lo sucedió su alumno Myrdal. En los últimos años de su vida, al cerrar sus memorias, y ante los acontecimientos que avizoraban una nueva confrontación desde Alemania, escribı́a de manera pesimista acerca del futuro de Europa: libertades suprimidas, violencia, claridad cientı́fica subvalorada, dominación, esclavitud.

146

Equilibrio económico walrasiano “(...) A donde uno mire, solo desolación! Desolación, en cualquier caso, de todo lo que habı́a buscado construir (...) [[pero a todo ello]] sólo tengo una respuesta: He hecho lo que he tenido que hacer. Y lo hecho con alegrı́a.

Cassel murió en 1945.

2.

El modelo de Cassel (1918)

Cassel, en Theoretische Sozialökomie de 1918 (que después fuera traducido al Inglés en 1932 bajo el tı́tulo de The Theory of Social Economy), y evidentemente basado (aunque no lo reconociera explı́citamente) en los parágrafos § 201, § 202 y § 203 de los Éléments de Walras, considera una economı́a con n mercancı́as (bienes finales) y m factores (insumos) de producción, con ri la cantidad ofrecida del factor i y con xj la cantidad producida de la mercancı́a j. Las posibilidades técnicas de la producción las caracteriza por mn coeficientes fijos aij , que representan la cantidad fı́sica del factor i-ésimo utilizado en la fabricación de una unidad de la mercancı́a j-ésima.4 De esta forma, la demanda total del factor i-ésimo es entonces ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn . E igualando la oferta a la demanda en cada uno de los factores, obtenemos m ecuaciones de equilibrio: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = r1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn .. .. .. . . .

= r2 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = rm o, en forma matricial, Ax = r

(1)

donde A = ( aij )m×n , x = [ x1 , . . . , xn ]T , r = ( r1 , . . . , rm )T .

De otro lado, llama p1 , . . . , pn los precios de las mercancı́as y v1 , . . . , vm los precios de los m factores. Las ecuaciones de demanda del mercado 4

Aunque el modelo Walras-Cassel analiza una economı́a en la cual ciertos “bienes primarios” se transforman en bienes finales, es posible extenderlo para incluir bienes intermedios.

147

Capı́tulo 3: La tradición alemana

por las mercancı́as las escribe mediante las siguientes condiciones de equilibrio: x1 = d1 ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) x2 = d2 ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) .. .. . .

(2)

xn = dn ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) donde d1 (·), . . . , dn (·) son funciones de demanda homogéneas de grado cero; es decir, para todo t > 0, di ( tp1 , . . . , tpn ; tv1 , . . . , tvm ) = di ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) para i = 1, 2, . . . , n .5 Ahora: la relación de equilibrio (que el mismo Walras llamara de “competencia perfecta”) entre precios de factores y precios de bienes finales (o productos) es directa, (pues no existen, en este modelo, bienes intermedios (o de capital)), y allı́ muestra la tı́pica hipótesis de competencia perfecta entre firmas que es la de beneficio cero en cada actividad, es decir, el valor de los bienes iguala el valor de los factores: a11 v1 + a21 v2 + · · · + am1 vm = p1 a12 v1 + a22 v2 + · · · + am2 vm .. .. .. . . .

= p2 .. .

a1n v1 + a2n v2 + · · · + amn vm = pn o, en forma matricial, AT v = p

(3)

donde v = ( v1 , v2 , . . . , vm )T , p = ( p1 , p2 , . . . , pn )T .

5

Obsérvese que Cassel (a diferencia de Walras) no recurrió a las funciones de utilidad sino que dirigió únicamente su atención a las demandas; es decir, en el modelo de Cassel no aparecen los consumidores individualmente, ni, por supuesto, sus utilidades marginales. De hecho, para Cassel el valor económico (es decir, el precio de equilibrio) surgı́a de lo que llamó “principio de escasez”, y no de consideraciones utilitaristas.

Ası́, los precios surgı́an porque los factores primarios eran escasos.

148

Equilibrio económico walrasiano

Finalmente, lo que se necesita para cerrar el sistema Walras-Cassel es cierta consideración con respecto a la oferta de recursos; es decir, que la oferta de recursos dependa de los precios de los bienes finales y de los precios de los factores: r1 = g1 ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) r2 = g2 ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) .. .. . .

(4)

rm = gm ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) donde las funciones gi (·) son homogéneas de grado cero en sus argumentos; es decir, para todo t > 0, gi ( tp1 , . . . , tpn ; tv1 , . . . , tvm ) = gi ( p1 , . . . , pn ; v1 , . . . , vm ) Notemos que, como en el sistema original de Walras, de estos cuatro sistemas de ecuaciones también se desprende la ley de Walras. Observemos que si multiplicamos a ambos lados de las ecuaciones del sistema (1) por [ v1 , . . . , vm ]T , y a ambos lados de las ecuaciones del sistema (3) por [ x1 , . . . , xn ]T , obtenemos que p·x=

n X i=1

pi xi =

m X j=1

vj rj = v · r

(ley de Walras)

Esta ecuación de equilibrio (que no es más que cierto tipo de “restricción presupuestaria”) afirma que, en el agregado, la valoración de la demanda iguala a la valoración de la oferta en términos de la unidad monetaria de los precios. Observemos que de la ley de Walras se deduce que, en realidad, sólo 2m + 2n − 1 ecuaciones del modelo son las fundamentales: si 2m + 2n − 1 ecuaciones de oferta-demanda se satisfacen, entonces el total de 2m + 2n ecuaciones igualmente se satisfarán.

Otra observación es fundamental: si multiplicamos los precios de los factores (vi ’s) y los precios de los productos finales (pi ’s) por un escalar t > 0, los sistemas (1), (2), (3) y (4) se mantienen idénticos. La manera walrasiana de manejar esto es elegir una mercancı́a, digamos la primera, como numerario (p1 = 1)6 y reducir ası́ el número de incógnitas 6

Término acuñado por Auguste Walras (1831), padre de Léon Walras.

Capı́tulo 3: La tradición alemana

149

en uno. El sistema se resuelve entonces para precios relativos al precio del numerario: las economı́as walrasianas no pueden encontrar precios absolutos, solo precios relativos al precio numerario escogido arbitrariamente. Notemos, además, que en el sistema Walras-Cassel, ni los precios determinan los costos de producción, ni éstos determinan los precios. En equilibrio, el precio iguala al costo de producción, y éstos se obtienen como soluciones a un sistema simultáneo y no por dirección causal como afirmaran los clásicos.

Note que Cassel, a diferencia de Walras y Pareto, asume que las cantidades de los factores es fija. Y lo hace solo por conveniencia de exposición de la parte matemática de su Social Economy (Cap. 4, pp. 154-5), y ası́ lo asegura al final de ese mismo capı́tulo: “En nuestro análisis de asignación de precios hemos hasta ahora tomados como dadas las cantidades de los medios elementales de producción disponibles (es decir, los hemos asumido como si fuesen determinados por circunstancias extrı́nsecas, y por consiguiente, como factores objetivos independientes del proceso de asignación de precios. Esta hipótesis sólo se justifica en un primer repaso del problema. De hecho, es, en cualquier caso, sólo aproximado, y sólo cumplido dentro de ciertos lı́mites de las fluctuaciones de precios. Los precios de los factores de producción tienen una influencia real sobre la oferta de ellos a la comunidad. Puede ser latente en condiciones normales, pero en otras circunstancias puede ser muy activa. Por consiguiente, sobre este punto se debe avanzar en el análisis.”

Pero, en general, el sistema de Cassel es muy distinto al de Walras. De hecho, Cassel no presenta una teorı́a completa del equilibrio económico en forma matemática. Por ejemplo, no incluye ecuaciones de capitalización y circulación que son parte fundamental del sistema de Walras. Y, además, su descripción de la forma en que el mercado resuelve las ecuaciones es diferente de la correspondiente descripción del tâtonnement de Walras. Y, de manera importante, el sistema original de Cassel tiene más ecuaciones independientes que incógnitas.

Ejemplo 1. (Sistema en equilibrio según Walras y Cassel) Supongamos que a11 = 1, a12 = 2, a21 = 4, a22 = 5, r1 = 10, r2 = 30

150

Equilibrio económico walrasiano

(ası́, hay dos bienes finales y dos recursos (tierra y mano de obra)).

3 Supongamos, además, que las demandas están dadas por x1 = , y p1 4 x2 = . Entonces los sistemas (1), (2), y (3) se reducen a p2 x1 + 2x2 = 10 4x1 + 5x2 = 30 3 4 x1 = x2 = p1 p2 v1 + 4v2 = p1

(1) (2)

2v1 + 5v2 = p2 x2

(3)

v2

p1

r1 1 5 10 3

p2

r2 x1

v1 1 10

10 3

Figura 1

Figura 2

9 6 De (1) observemos que x1 = x2 = 10 3 ; y ası́, de (2), p1 = 10 , p2 = 5 , y 1 1 estas últimas, insertadas en (3), arrojan que v1 = 10 , v2 = 5 . Estas son, en este caso, las soluciones al sistema de equilibrio general Walras-Cassel (el lector podrı́a preguntarse ahora por qué el precio del factor 1 es la mitad del precio del factor 2).

Después de la traducción al Inglés, en 1932, de la versión en Alemán del libro de Cassel (The Theory of Social Economy), éste se convirtió en un texto muy utilizado, particularmente en Inglaterra y Estados Unidos, incluso comparable en este sentido con los Principles de Marshall.7 7

Ası́, Cassel y Pareto fueron traducidos mucho antes que el mismo Walras (1954).

151

Capı́tulo 3: La tradición alemana

Cassel también extenderı́a este modelo a una economı́a con crecimiento uniforme, aunque lamentablemente lo hizo de manera verbal, en lugar de darle un tratamiento matemático adecuado. Aún ası́, se cree que este trabajo fue la base para el modelo de crecimiento de von Neumann que presentaremos más adelante.

3.

La sı́ntesis de Wald (1936) “De una persona educada deberı́a esperarse que, en cada rama de estudio, obtuviera la precisión que su naturaleza le permitiera.” (Aristóteles, Ética Nicomaquea)

A partir de la aparición del The Theory of Social Economy, diversas crı́ticas le surgieron al modelo walrasiano simplificado de Cassel. Tres de las más importantes fueron las de Neisser (1932), Zeuthen (1932), von Stackelberg (1933), y Schlesinger (1935).

Según Neisser, el modelo casseliano podrı́a arrojar precios o cantidades negativas, y mostraba ejemplos significativos en que esto, efectivamente, sucedı́a. Para von Stackelberg la preocupación surgı́a del hecho de que en el sistema de ecuaciones (1), si el número de factores (m) excede el número de bienes (n), habrı́a más ecuaciones que variables, y ası́ el sistema podrı́a no tener solución. Por su parte, Zeuthen advertı́a que este mismo sistema de ecuaciones (1) deberı́an ser inecuaciones (desigualdades), y en su lugar escribir a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn + v1 = r1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn + v2 .. .. .. . . .

= r2 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn + vn = rm donde vi ≥ 0 y vj = 0 cuando la desigualdad sea una igualdad para el recurso j. Todo esto significaba, en primer lugar, que la demanda por factores no podı́a exceder las ofertas; y, en segundo lugar, que si la demanda esta por debajo de la oferta, entonces el factor no podı́a considerarse escaso, y ası́ deberı́a tener un precio nulo. Zeuthen serı́a el primero en reconocer que esa diferenciación entre factores escasos (precio

152

Equilibrio económico walrasiano

positivo) y factores gratuitos (precio cero) no era un a priori del modelo sino una consecuencia de la solución a él.

Schlesinger (1935), por su parte, notaba que tanto Walras como Cassel utilizaban ri únicamente para referirse al insumo “escaso” i, y esto lo criticaba afirmando que los recursos no siempre deberı́an ser un dato exógeno, sino que también dependı́an delas curvas de demanda, de las posibilidades técnicas de producción, etc. Después de leer a Neisser, a von Stackelberg y a Zeuthen, le hizo fuertes modificaciones al modelo de Cassel; en particular, asumió que pi = fi (xi ) para i = 1, 2, ...

(*)

donde fi (·) es una función estrictamente decreciente. Es decir, que la demanda de cualquier bien es una función estrictamente (únicamente) de su precio. Además, utilizó desigualdades para los insumos gratuitos.

Con todas estas hipótesis creyó que la demostración de la existencia del equilibrio general estaba al alcance. No siendo él mismo un matemático, contrató para este propósito a Abraham Wald quien, en el mismo 1935, muestra, por primera vez en la historia de la economı́a matematizada, un teorema de existencia de equilibrios walrasianos, utilizando las hipótesis de Schlesinger. Más adelante, en su artı́culo de 1936, Wald debilitarı́a la hipótesis (∗) de arriba, con el precio de cada bien ahora como función de todas las cantidades demandadas, y esa función satisfaciendo lo que hoy conocemos como axioma débil de preferencia revelada (Samuelson (1939)). El problema radicó en que asumió esta fuerte hipótesis no para el comportamiento individual, sino para el agregado del mercado total, y ası́ es como si sólo un agente maximizara. Debido básicamente, a estas hipótesis es que la prueba provista por Wald no jugó un papel más destacado en la historia y desarrollo del problema de la existencia del equilibrio general walrasiano.

A petición de Oskar Morgenstern, Wald escribió un excelente artı́culo expositorio (Uber einige Gleichungssysteme der Mathematischen Ökonomie) que apareció en 1936, y que fue traducido para Econometrica en 1951 como On Some Systems of Equations of Mathematical Economics.

Allı́ revisaba los teoremas (no las pruebas) de los dos artı́culos publicados, y explicaba detalladamante las intuiciones detrás de las hipótesis, en particular del crı́tico argumento sobre la preferencia revelada. Pero,

153

Capı́tulo 3: La tradición alemana

además, hace una fuerte observación al final de la primera sección, que no deberı́a pasar inadvertida: (...) se asume que nada se ahorra, y de allı́ que no sean tratados el problema de la formación de capital ni el de la tasa de interés...; segundo, se ha asumido que la producción de una unidad de sj es técnicamente posible por sólo un método...

En una nota posterior, el autor tratará un sistema dinámico de ecuaciones correspondiente en el que sı́ serán considerados la formación de capital y la tasa de interés, y en la cual se asuman variables los coeficientes técnicos. La solución de este sistema se examinará entonces. (Wald, 1951, p.379) Pero no lo hizo, o, al menos, no quedó rastro de ello. En su lugar dirigirı́a después su atención, también a petición de Morgenstern, a problemas estadı́sticos en economı́a, y fue alejándose de la teorı́a económica matemática. En 1937 huirı́a hacia los Estados Unidos ante la amenaza Nazi, yendo primero a la Cowles Commission en Colorado, y finalmente a la Universidad de Columbia en Nueva York.

Wald murió en 1951 en un accidente aéreo en India.

Ejemplo 2. (Bien “escaso” con precio nulo) Supongamos una economı́a con coeficientes técnicos a11 = 1, a12 = 2, a21 = 4, a22 = 5, y recursos r1 = 10, r2 = 30. Supongamos, además, que las demandas están 10 1 dadas por x1 = , y x2 = . Entonces los sistemas (1), (2), y (3) se p1 p2 reducen a x1 + 2x2 = 10 4x1 + 5x2 = 30

x1 =

10 p1

x2 =

1 p2

(1)

(2)

v1 + 4v2 = p1 2v1 + 5v2 = p2

(3)

154

Equilibrio económico walrasiano

Resolviendo ingenuamente el sistema (1) obtenemos que x1 = x2 = 10 3 ; 3 y ası́, de (2), p1 = 3, p2 = 10 ; y estas últimas, insertadas en (3), arrojan 57 que v1 = − 69 15 , v2 = 30 . Pero si v1 no puede ser negativo, nos vemos obligados a asumir v1 = 0 (factor 1 gratuito), y ası́ el sistema (3) se reduce a 4v2 = p1 y 5v2 = p2 , de donde se obtiene que p1 = 45 p2 .

Ahora: de (2) se tiene 10p2 x1 = = (10) x2 p1

5 50 25 x2 = = 4 4 2

Y recurriendo a la segunda ecuación de (1) (que es la ecuación del factor escaso) se tiene que 375 30 x1 = , x2 = 54 54 540 54 54 Y ası́, p1 = 375 , p2 = 30 y v2 = 150 . Ası́, la única forma en que el sistema puede estar en equilibrio es colocando el bien 1 gratuito: la demanda de este bien “jalona” muy fuerte, y obliga a bajar el precio, con los recursos dados.

a).

Wald el alemán “El solo argumento de que el número de ecuaciones y de incógnitas es el mismo, no es suficiente para concluir que las ecuaciones tienen solución. Tampoco deberı́amos contentarnos con argumentar que la solución debe existir, basados en el significado económico de las ecuaciones, ya que algo puede fácilmente pasar desapercibido. Únicamente, la más estricta investigación será satisfactoria.” (Wald, 1951, p. 403)

Wald planteaba su sistema de ecuaciones ası́: En primer lugar, similar al sistema Walras-Cassel, pero incorporando las sugerencias de Schlesinger y otros, escribı́a ai1 xi + ai2 x2 + ... + ain xn + βi = ri

(1)

para i = 1, 2, ..., m. Aquı́, βi ≥ 0 para todo i, pero ui > 0 cuando el factor i es gratuito, y esto lo escribe ası́: βi vi = 0

(2)

Capı́tulo 3: La tradición alemana

155

para i = 1, 2..., m. Después escribe aij v1 + a2j v2 + ... + amj vm = pj

(3)

para j = 1, 2..., n, que es el mismo sistema (3) del modelo Walras-Cassel.

Finalmente, postula que el sector consumo estará determinado por pj = fj (x1 , x2 , ..., xn )

(4)

para ciertas funciones de demanda fj . Y luego demuestra el siguiente teorema: Teorema 1.

Dados ri , aij , y fj , donde i = 1, 2, ..., ; j = 1, 2, ..., m, el sistema de ecuaciones (1), (2), (3), (4) tiene un conjunto único de soluciones nonegativas x1 , x2 , x3 , ..., xn v1 , v2 , v3 , ..., vn β1 , β2 , β3 , ..., βm p1 , p2 , p3 , ..., pm siempre y cuando se tengan las siguientes condiciones: 1. ri > 0 para todo i = 1, 2..., m (cantidades positivas de cada factor de producción).

2. Para cada j existe al menos un i tal que aij > 0 (para la producción de un producto, es necesario al menos uno de los factores).

3. fj (x1 , ..., xn ) ≥ 0 para todo (x1 , x2 , ..., xn ) ≥ 0, y continua en (x1 , x2 , ..., xn ) siempre que xj > 0.

4. Sea lı́mk→∞ (xk1 , ..., xkn ) = (x1 , ..., xn ) con xkj > 0 para todo k. Entonces, si xj = 0 para algún j, se tendrá que lı́mk→∞ fj (xk1 , ...xkn ) = ∞ (la demanda de un producto es 0 sólo cuando su precio es infinitamente grande).

156

Equilibrio económico walrasiano ′

′

′

5. (Preferencia revelada en el agregado) Si x1 , x2 ,..., xn son n números con al menos uno menor que 0, y si n X

pj xj ≤ 0

n X

pj xj < 0

j=1

entonces

′

′

′

j=1

′

′

′

con pj = fj (x1 + x1 , ..., x1 + x1 ) para j = 1, 2, ..., n.

6. (Condición para unicidad de la solución) La matriz 

a11 a21  a12 a22   · · a1n a2n tiene rango m.

 ... am1 ... am2   ... ·  ... amn

8

Ejemplo 3. (Bien escaso con precio nulo) Supongamos la misma economı́a del ejemplo 2, pero con diferente estructura de demanda: x1 + 2x2 = 10

x1 =

4x1 + 5x2 = 30

(1)

10 , p1

(2)

x2 =

1 p2

v1 + 4v2 = p1 2v1 + 5v2 = p2 8

(3)

Nótese que esto significa que el sistema (3) tiene a lo más una solución y, por consiguiente, si tiene al menos una solución ,ésta será única.

157

Capı́tulo 3: La tradición alemana

Si intentamos resolver ingenuamente este sistema, encontraremos que 3 69 57 x1 = x2 = 10 3 ; p1 = 3, p2 = 10 ; v1 = − 15 , v2 = 30 . Pero este precio v1 negativo no tiene sentido en este modelo, ası́ que procedemos según el modelo de Wald, y hacemos (a priori) v1 = 0, pero transformamos la primera ecuación de (1) en x1 + 2x2 + β1 = 10,

β1 > 0

y ahora el sistema se resuelve satisfactoriamente: 75 6 23 , x2 = , β1 = 11 11 11 22 11 p1 = , p2 = 15 6 11 v1 = 0, v2 = 30

x1 =

Ahora comparemos los resultados de los ejemplos 1 (columna izquierda) y 2 (columna derecha): x1 x2 p1 p2 v1 v2

10 3 10 3 9 10 6 5 1 10 1 5

↑ ↓ ↑ ↑ ↓ ↑

75 11 6 11 22 15 11 6 0 11 30

Ası́, puesto que la demanda estructural de la industria por el bien 1 se multiplicó más de 3 veces, y la demanda por el bien 2 se redujo 4 veces, además de que los recursos de la economı́a no han cambiado, no es de extrañar que x1 aumentara y x2 disminuyera, y tampoco que el precio de venta del bien 2 aumentara. Pero, ¿por qué aumentó el precio de venta del bien 1 si la demanda se redujo? Porque la cantidad producida del bien 1 no respondió “elásticamente” al aumento estructural de la demanda, esto debido a que, dadas las cantidades disponibles de

158

Equilibrio económico walrasiano

los recursos, la única forma en que esta economı́a podrı́a funcionar era bajando acero el precio (v1 ) del recurso 1. Finalmente, el aumento del precio del recurso 2 (v2 ) es explicable por esta causa y por el aumento de ambos precios (p1 y p2 ) de venta de los productos. N Podemos hacer las siguientes observaciones: 1. En el modelo de Wald (y también en el de Walras-Cassel), el trabajo (mano de obra) se trata como cualquier otra mercancı́a.

2. Nótese que el numerario aparece en el modelo Walras-Cassel pero no en el modelo de Wald.

3. Curiosamente, Wald (1936) no estudia la estabilidad del equilibrio competitivo, pero sı́ la del equilibrio duopólico. Sin embargo, la figura ? muestra que este equilibrio es estable. (COLOCAR FIGURA) 4. Wald no utiliza ningún teorema de punto fijo para demostrar la existencia del equilibrio, pero en su técnica parece subyacer esta idea. En el análisis del duopolio sı́ establece este equilibrio como un punto fijo (aunque no utiliza ningún teorema especı́fico de punto fijo. Wald se anticipa ası́ a Nash (1950) en este punto. (ver nota de Arrow al respecto).

5. ¿Resolver el sistema de Wald implica resolver el sistema de Cassel?

6. La ley de Walras se tiene también en el modelo de Wald. Comprobarlo.

7. La función f debe también depender del ingreso.

b).

Wald el walrasiano

Wald también se interesó por el problema del intercambio bajo competencia perfecta. En su artı́culo clásico de 1936, consideraba n individuos cada uno con función de utilidad ui (x1 , · · ·, xm ) dependiente de m bienes de la economı́a. Se asume que cada individuo i posee las cantidades (wi1 , wi2 , ..., wim ) de los respectivos bienes, y que pj , j = 1, 2..., m, son

Capı́tulo 3: La tradición alemana

159

los precios por unidad de la mercancı́a j. Entonces, escribiendo p1 = 1, plantea encontrar solución al siguiente sistema: ∂ui ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) pk ∂xk i1 i2 = ∂ui ∗ ∗ pj (a , a , · · ·, a∗im ) ∂xj i1 i2

(1)

para k = 1, 2, ...m, siempre que a∗ij 6= 0 para todo i, j. Pero ∂ui ∗ ∗ (a , a , · · ·, a∗im ) pk ∂xk i1 i2 ≥ ∂ui ∗ ∗ pj (ai1 , ai2 , · · ·, a∗im ) ∂xj

(2)

para k = 1, 2, ...m, siempre que a∗ij = 0 para todo i, j, pero a∗ik 6= 0.

También, para j = 1, 2..., m, se tiene la condición de equilibrio de mercado ∗ ∗ ∗ a∗1j + a∗2j + · · · + a∗nj = w1j + w2j + · · · + wnj (3) y, para i = 1, 2, ..., n, se tiene la restricción presupuestal ∗ a∗i1 + p2 a∗i2 + ... + pm a∗im = wi1 + p2 wi2 + ... + pm wim

(4)

Y a continuación escribe el siguiente teorema: Teorema 2.

El sistema de intercambio (1), (2), (3), (4) anterior tiene solución para precios positivos p2 , p3 , ..., pm y coeficientes fijos no-negativos a∗ij (i = 1, 2..., n; j = 1, 2, ..., m) siempre que 1. wij ≥ 0 para i = 1, 2..., n; j = 1, 2, ..., m.

2.

3.

Pn

i=1 wij

Pm

j=1 wij

> 0 para j = 1, 2, ..., m. > 0 para i = 1, 2, ..., n.

∂ui es continua, ∂xj no-negativa y estrictamente decreciente para xj ∈ [0, ∞).

4. Para i = 1, 2..., n; j = 1, 2, ..., m se tiene que

160

Equilibrio económico walrasiano

Además, si

∂ui =∞; xj →0 ∂xj lı́m

Demostración.

Ver Wald (1936).

xj

∂ 2 ui

∂x2j

<1 ∂ui

∂xj

Las hipótesis del anterior teorema se pueden entender ası́: Las tres primeras son hipótesis económicas básicas; la cuarta es la condición walrasiana de que la utilidad marginal de un bien es independiente de las cantidades que posee de los otros bienes, y es estrictamente decreciente con respecto a las cantidades que posee de ese bien. Sobre ésta, decı́a Wald: “ Con seguridad la condición no se tiene completamente en el mundo real. En general, hay relaciones complementarias y substitutivas entre ciertos bienes. Pero la condición 4 puede considerarse una buena aproximación a la realidad. El mismo Walras basa su teorı́a de formación de precios en esta hipótesis (...). Las condiciones 1 a 4, que prueban la solubilidad de las ecuaciones de intercambio coinciden sustancialmente con las hipótesis walrasianas. Ası́ que Walras estaba en lo cierto al asegurar la solubilidad de sus ecuaciones de intercambio. Sin embargo, esto sólo puede probarse con la ayuda de difı́ciles métodos de la matemática moderna, y el método que utiliza Walras para intentar probar la existencia de los precios de equilibrio es completamente inadecuado.”

(Wald (1951), pp. 383-384) Finalmente, la quinta condición es que la elasticidad de la utilidad marginal sea menor que 1 (en valor absoluto), lo que hace muy restrictivo el teorema (VER ADVERTENCIA DE WALD).

Ejemplo 4. Supongamos un sistema de dos punciones de utilidad dadas por 1 1 uA (xA , yA ) = (xA ) 2 (yA ) 2

161

Capı́tulo 3: La tradición alemana 1

1

uB (xB , yB ) = (xB ) 3 (yB ) 3 y donde cada uno posee, respectivamente, A : (0, 1), B : (1, 0).

Wald propone ir directo a la solución de las ecuaciones del teorema: ∂uA ∂uB p ∂xA ∂xB x = = ∂uA ∂uB py ∂yA ∂yB xA + xB = 1; px xA + py yA = py ;

(1)

yA + yB = 1

(2)

px xB + py yB = px

(3)

La ecuación (1) se convierte, aquı́ en este caso, en yA px yB = = xA py xB

(1’)

De las ecuaciones (1’), (2), y (3), resulta que py 1 1 1 1 = 1, xA = , xB = , yA = , yB = px 2 2 2 2 Es fácil probar que este teorema satisface las cinco condiciones de Wald y, por tanto, la unicidad de esta condición está reafirmada.

(ESTAMOS EN 1936 Y WALD NO DISCUTE EL PROBLEMA DEL BIENESTAR) Ejemplo 5. (Wald (1936)) Debe tenerse mucho cuidado al afirmar, a priori, la existencia de soluciones de un sistema como el de Wald: primero hay que corroborar que las condiciones del teorema, realmente se satisfagan. Veamos el siguiente ejemplo:Tenemos tres individuos A, B, C, y tres bienes X, Y, Z. Aquı́, uij (x) representará la utilidad marginal del individuo i con respecto al bien j del que tiene una cantidad x. Las funciones Uij son u11 (x) =

1 b−x ; u12 (x) = si x ≤ b; x x2

u13 (x) = 2(

u12 (x) = 0 si x > b

c−x ) si x ≤ c; u13 (x) = 0 si x > c x2

162

Equilibrio económico walrasiano

1 1 ; u22 (x) = ; u23 (x) = 0 2 x x 1 1 u31 (x) = 2 ; u32 (x) = 0; u33 (x) = x x A su vez, las dotaciones con que cuenta cada individuo están dadas por: u21 (x) =

w11 = a;

w12 = 0;

w13 = 0

w21 = 0;

w22 = b;

w23 = 0

w31 = 0;

w32 = 0;

w33 = c

donde a, b, c > 0. El ejercicio consiste en que el lector compruebe que ningún sistema de precios p1 , p2 , p3 resuelve el problema de intercambio, en este caso.

4.

El modelo de von Neumann (1932, 1937)

Tres años antes de que Abraham Wald publicara su prueba sobre la existencia de un equilibrio en una economı́a Walras-Cassel, y de que apareciera la versión inglesa del Theoretische de Cassel, el matemático húngaro John von Neumann presentó uno de los modelos de equilibrio general mejor logrados de la historia de la economı́a matemática. Su artı́culo A Model of General Economic Equilibrium de 1946 fue discutido, por primera vez, en 1932 en el Seminario de Matemáticas de la Universidad de Princeton por invitación de Karl Menger (hijo del famoso economista de la escuela austriaca Carl Menger) y del mismo Wald, y después publicado en alemán bajo el tı́tulo Über ein Ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes en 1937.

En este artı́culo, von Neumann va, mucho más allá (en algunos aspectos importantes) que el modelo de Cassel. De hecho, la discusión de Cassel sobre una economı́a con crecimiento uniforme, basadas al parecer en el esquema de reproducción extendida de Marx (1885, Cap. XXI), parece haber sido el origen de las ideas centrales del artı́culo de von Neumann.

Sin embargo, no parece que hubiese habido influencia alguna de Wald y del Menger Colloquium de Viena, en este trabajo de von Neumann de 1932, aunque sı́ lo hubo para su versión de 1937. De hecho, cuando Wald

Capı́tulo 3: La tradición alemana

163

escribió el survey de 1935, no conocı́a el artı́culo de von Neumann de 1932. Además, la influencia de Cassel y Schlesinger sobre el trabajo de Wald es muy evidente, y no ası́ sobre el de von Neumann, como veremos enseguida.

Y, notablemente, por primera vez en la literatura de la economı́a matematizada, aparece, explı́citamente, la noción de dualidad precio-cantidad, la noción de convexidad en los conjuntos de producción y de precios, y un teorema de existencia de equilibrios que es una generalización del teorema de punto fijo de Brouwer, y que más tarde utilizarı́a John Nash (1950) para garantizar la existencia de equilibrios en la teorı́a de juegos; y Kenneth Arrow y Gerard Debreu (1952) para garantizar la existencia de un equilibrio walrasiano (aunque estos últimos también recurrieron a una versión más sofisticada del teorema de Brouwer, conocido como el Teorema de Punto Fijo de Kakutani (1941)).9 Von Neumann describe una economı́a en expansión caracterizada por una producción lineal en la cual todos los productos sirven de insumos a posteriores procesos productivos (aquı́ no hay “factores primarios” como en el modelo de Cassel).La función de produccción procesa insumos en productos, todos en proporciones fijas. Además, asume que cada mercancı́a es, o un insumo, o un producto de todos los procesos; el sector consumo se describe mediante un proceso donde bienes finalizados se utilizan como insumos en la producción de trabajo. Ası́, el consumo es aquı́ un fenómeno tecnológico y, por tanto, las relaciones de demanda walrasianas no aparecen en este modelo.

Cuando la economı́a se expande en perı́odos, von Neumann asume que no hay un lı́mite a la oferta de tierra, mano de obra, u otros factores que pongan fin a la expansión. Y se pregunta si existe una tasa constante de crecimiento que dé beneficios nulos 10 y que satisfaga el requerimiento 9

El modelo de Schlesinger y Wald (Wald (1935))) no utiliza ningún teorema de punto fijo para probar la existencia de equilibrios, debido a que lo redujeron, básicamente, a uno en el que es un sólo agente que maximiza.

10 Como corresponde a la competencia perfecta: beneficios positivos atraen firmas al mercado haciendo que la oferta aumente y el precio disminuya hasta que los beneficios sean nulos; de forma similar, beneficios negativos llevan a que algunas firmas se retiren del mercado disminuyendo la oferta y aumentando el precio hasta el nivel en el que los beneficios sean nulos. O bien, aquı́ bastarı́a la interpretación de que el beneficio de un productor competitivo es muy pequeño comparado con el beneficio agregado de la economı́a, y, por tanto, puede asumirse como cero.

164

Equilibrio económico walrasiano

tecnológico de que las intensidades del proceso durante cualquier perı́odo no requieran más que los insumos disponibles (es decir, los productos del perı́odo anterior).

A este comportamiento de la economı́a lo llama de equilibrio, y demuestra que, efectivamente, existe tal tasa de crecimiento; que esta tasa de crecimiento es igual a la tasa de interés que satisface la condición de que la tasa de crecimiento de la producción sea exactamente suficiente para cubrir el costo de inversión en insumos (que es una consecuencia de la condición de beneficios cero); que podrı́an haber muchas combinaciones producto-precio de equilibrio, a menos que se adicionen hipótesis al modelo; que podrı́an tenerse procesos donde el empleo implica pérdidas financieras pero que estos procesos, en equilibrio, no se utilizan; y, finalmente, que algunas producciones podrı́an crecer a una tasa mayor que la de equilibrio en algunos periodos, pero que no habrá tasa de crecimiento sostenible mayor que la de equilibrio. Veamos cómo opera esta estructura.

a).

Hipótesis del modelo

1. En notación del propio von Neumann, consideremos una economı́a donde hay n bienes G1 , G2 , ..., Gn que pueden producirse mediante m procesos P1 , P2 , ..., Pm , y que, “para evitar posteriores complicaciones”, se asume que tienen rendimientos constantes a escala, y que los factores naturales de producción, incluyendo la mano de obra, pueden expandirse en cantidades ilimitadas. Y lo que se pregunta es: i) ¿Cuál es la velocidad relativa con la que crece la cantidad de bienes producidos?; ii) ¿A qué precios se venderán?; iii) ¿Cuál es la tasa de interés ? Para ello, entonces, asume más: el consumo de bienes toma lugar sólo a través del proceso de producción que incluye los bienes necesarios de los trabajadores.

2. En cada proceso Pi (i = 1, 2, ..., m) se utilizan cantidades conocidas aij (expresadas en unidades convenientes) y se producen las cantidades conocidas bij , de los respectivos bienes Gj (j = 1, 2, ..., n).

El proceso, entonces, puede expresarse de la siguiente forma: Pi =

n X j=1

aij Gj →

n X j=1

bij Gj

(5)

165

Capı́tulo 3: La tradición alemana

Estos procesos Pi (i = 1, 2, ..., m) serán utilizados con ciertas intensidades xi (i = 1, 2, ..., m), lo que significa que, para la producción total, las cantidades de la ecuación (5) deben multiplicarse por xi .

Von Neumann escribe entonces E=

m X

xi Pi

(6)

i=1

donde xi = 0 significa que el proceso Pi no será utilizado. Y luego se pregunta por aquellos estados en donde la economı́a se expande sin cambio de estructura; es decir, donde las proporciones de las xm−1 x1 x2 , , ..., igualan un factor común α. A éste intensidades x2 x3 xm lo llama el coeficiente de expansión de la economı́a.

3. Las incógnitas del modelo son, entonces, i) Las intensidades x1 , ..., xm de los procesos P1 , ..., Pm ; ii) El coeficiente de expansión (o tasa de crecimiento), α, de la economı́a. 11 iii) Los precios y1 , ..., yn de los bienes G1 , ...Gn ; y2 y1 = = ... = iv) El factor de interés β, donde asume que β = y2 y3 yn−1 12 . yn Obviamente, se deberá asumir xi ≥ 0

(7)

yj ≥ 0

(8)

con al menos alguna xi , y alguna yj , estrictamente positivas.

Las ecuaciones económicas son, para j = 1, 2, ..., n, α

m X i=1

11 12

aij xi ≤

Aquı́, α es igual a 1 + (tasa de crecimiento).

Aquı́, β es igual a 1 + (tasa de interés).

m X i=1

bij xi

(9)

166

Equilibrio económico walrasiano ó αAT X ≤ B T X

x1 donde A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n y X = [x1 , ..., xm ]T y α = = x2 x2 xm−1 = ... = ; es decir, es imposible consumir de un bien Gj x3 xm en el proceso total (6) más que lo que está siendo producido. Y i = 1, 2, ..., m, n n X X β aij yj ≥ bij yj (10) j=1

j=1

ó βAY ≥ BY y1 yn−1 donde Y = [y1 , ..., yn ]T y β = = ... = ; es decir, en “equiy2 yn librio” no puede haber beneficio.13 Von Neumann, sin embargo, hace las siguientes salvedades: • Si en (9) se tiene la desigualdad estricta, entonces yj = 0 (9’) es decir, si se consume menos de lo que se produce de algún bien Gj , entonces su precio cae a yj = 0; • Si en (10) se tiene la desigualdad estricta, entonces xi = 0 (10’) es decir, si Pi da pérdidas entonces no se utiliza, y su intensidad será nula.

b).

Sobre la solución al modelo

x1 xm−1 Si tenemos en cuenta la condición = ... = = α y la x2 xm y1 yn−1 condición = ... = = β, entonces (9) y (10) conforman y2 yn un sistema de m + n desigualdades con m + n incógnitas. Pero como éstas no son ecuaciones sino desigualdades, el hecho de que el número de ellas iguale el número de incógnitas, no constituye ninguna garantı́a de que el sistema pueda resolverse.

13

Note el problema de dualidad en (9) y (10).

167

Capı́tulo 3: La tradición alemana

Von Neumann entonces prueba que su modelo tiene al menos una solución x1 , ..., xm ; y1 , ..., yn ; α; β. Pero que si se tiene la condición aij + bij > 0 entonces α y β estarán determinados unı́vocamente y que, además, (notablemente) α = β; es decir, el factor de interés y el coeficiente de expansión de la economı́a son iguales y únicamente determinados por los procesos productivos P1 , ..., Pm . y lo hace reduciendo la solución del problema a probar la existencia de un punto de silla para el cociente de las formas bilineales F (X, Y ) =

X T AY X T BY

El punto de silla es, entonces, tanto la tasa de interés como la tasa de crecimiento de equilibrio. Al hacerlo, utilizó un resultado muy particular que posteriormente se vio que era una generalización del teorema de punto fijo de Brouwer. Sin embargo, posteriormente se mostró (Loomis (1946)) que el problema de existencia de puntos de silla para esta forma bilineal era equivalente a un problema mucho más simple: el teorema minmax de la teorı́a de juegos de suma cero, que el mismo von Neumann ya habı́a descubierto en 1928.

Finalmente, von Neumann hace las tres siguientes observaciones: i) Que, aunque α > 0 por hipótesis, podrı́amos tener α T 1; y que aunque uno esperarı́a α > 1, la posibilidad α ≤ 1 no podrı́a excluirse: los procesos P1 , ..., Pm podrı́an ser “subproductivos”. ii) Que el máximo factor de expansión de la economı́a es α = β; y ası́, podrı́an haber perı́odos de expansión por debajo del equilibrio. iii) Que el mı́nimo factor de interés en el que el sistema económico no recibe beneficios es β = α; y ası́, podrı́an haber perı́odos de expansión con tasas de interés superiores a las de equilibrio.

Una caracterı́stica resaltable del modelo de von Neumann es el de que utiliza desigualdades en lugar de igualdades: es posible que la oferta de un factor no sea igual a su uso al producir mercancı́as, ni que el precio de una mercancı́a sea igual a su costo de producción. En el primer caso, si la oferta excede la demanda, entonces el precio de esa mercancı́a es

168

Equilibrio económico walrasiano

cero; y en el segundo caso, si el precio está por debajo del costo de producción, entonces la mercancı́a, simplemente, no se producirá. El establecer estas desigualdades explı́citamente será fundamental en los desarrollos posteriores de los teoremas de existencia del equilibrio general walrasiano.

Algo de detalle nos muestra que, de esta manera, el modelo de von Neumann y su caracterı́stica “dinámica” nos permite combinar tecnologı́as tipo Leontief distribuyendo los recursos disponibles entre ellas y ası́ evitando las “rigideces” propias de la no-substituibilidad caracterı́stica del modelo Leontief. Es decir, en el modelo de von Neumann el conjunto de posibilidades tiene “más esquinas (bordes)” que el modelo de Leontief y, por tanto, está a mitad de camino entre este último y el modelo de conjuntos “suaves” de posibilidades con que se aborda actualmente buena parte del análisis de la teorı́a de la producción (ver figura 4).

recurso 2

recurso 2 P1 P1

P2

P3 .. .

Pm−1

P2 Pm

recurso 1

Figura 4-a: Conjunto de posibilidades del modelo de Leontief

recurso 1

Figura 4-c: Conjunto de posibilidades del modelo de von Neumann

169

Capı́tulo 3: La tradición alemana recurso 2

recurso 2 P1

P2 P3 P4

recurso 1

Figura 4-b:Conjunto de posibilidades del modelo von Neumann

recurso 1

Figura 4-d:Conjunto de posibilidades en modelos “neoclásicos”

Ejemplo 6.

1 0 0 1

a) Supongamos que la tecnologı́a está determinada por A =

0 1 y B = ; es decir, G1 → G2 y G2 → G1 según notación 1 0 del propio von Neumann. Puesto que aij + bij > 0 en este caso, x1 y1 entonces la condición =α=β= nos lleva al sistema x2 y2 1 · α2 + 0 · α ≤ 0 · α + 1 0 · α2 + 1 · α ≤ 1 · α + 0 1 · α2 + 0 · α ≥ 0 · α + 1

y esto nos conduce a que α2 = 1, y ası́ α = β = 1 (crecimiento equilibrado con tasa de interés equilibrada) es la solución única del sistema. ¿Quedan determinados x1 , x2 , y1 , y2 ? b) Supongamos ahora la tecnologı́a que de la economı́a está deter1 0 2 0 minada por A = yB = ; es decir, G1 → 2G1 y 0 1 0 3 G2 → 3G2 . Nótese que aquı́ aij + bij ≥ 0 (la desigualdad no es

170

Equilibrio económico walrasiano estricta). El sistema de von Neumann nos lleva en este caso a α[x1 + 0] ≤ 2x1

α[0 + x2 ] ≤ 0 + 3x2 β[y1 + 0] ≥ 2y1 + 0 β[0 + y2 ] ≥ 0 + 3y2 o, lo que es lo mismo, a αx1 ≤ 2x1 , αx2 ≤ 3x2 βy1 ≥ 2y1 , βy2 ≥ 3y2

Si α = 1, β = 3; x1 = x2 = 1; y1 = 3, y2 = 1 el sistema se satisface.

Nótese que, sin embargo, α 6= β. ¿Existirán otras soluciones de este sistema?

N En su momento (y todavı́a) el modelo de von Neumann tuvo un profundo impacto en el desarrollo del pensamiento económico. Como modelo “dinámico” de una economı́a en expansión, ha sido el padre de muchos modelos de crecimiento; pero también como modelo estático ha tenido influencia. El hecho de que fuera construido como una secuencia de etapas de un solo perı́odo, y que cada uno de estos perı́odos pudiera ser considerado estático (ya que no habı́a oportunidades de ajuste dentro de ellos), hizo que pareciera un modelo Walras-Cassel extendido, aunque también era un modelo de análisis de actividades. Pero éste sólo aparecerı́a en la literatura casi 20 años después con los trabajos de Tjalling Koopmans (ver Capı́tulo 4).

CAPÍTULO

4

Los modelos de transición

1.

Vassily Leontief [1905-1999]

Wassily Leontief nació en Leningrado (hoy San Petersburgo), en la antigua Unión Soviética (hoy en Rusia), en 1905. Estudió filosofı́a, sociologı́a y economı́a en la (hoy) Universidad de San Petersburgo, recibiendo el grado de economista en 1925. Siendo menchevique y crı́tico del nuevo régimen socialista de su paı́s, estuvo en prisión algún tiempo mientras era estudiante. Poco después de graduarse abandonó la Unión Soviética para adelantar estudios de doctorado en la Universidad de Berlı́n, donde se graduó en 1928 con una tesis titulada “The Economy as a Circular Flow” dirigida parcialmente por L. Bortkiewickz. Trabajó aproximadamente un año en la Universidad de Kiel (en investigaciones estadı́sticas), otro año en China (1929-30), y un poco más en Kiel, hasta que arrivó al National Bureau of Economic Research (NBER) de Nueva York, en 1931, y luego a la Universidad de Harvard en 1932. Fue en esta universidad donde Leontief desarrolló la mayor parte su trabajo académico como director del Harvard University Research Project hasta 1973, año en el que recibió el premio Nobel de Economı́a. En 1975 abandonarı́a Harvard para ir a la Universidad de Nueva York en donde fundó el Institute for Economic Analysis. Allı́ finalizarı́a su carrera académica.

El más importante trabajo de Leontief comenzó en los primeros 1930’s.

171

172

Equilibrio económico walrasiano

En 1936 apareció su primer artı́culo sobre el sistema insumo-producto: “Quantitative input and output relations in the economic system of the United States”. De allı́ en adelante, con el apoyo de la Universidad de Harvard, enfocó sus esfuerzos al desarrollo de este sistema de equilibrio general, junto con sus aplicaciones basadas en observaciones empı́ricas, pues, para Leontief, el verdadero aporte de cualquier teorı́a económica, se encuentra en la luz que arroje sobre las economı́as reales y sus problemas.

A pesar de tremendos obstáculos, para mediados de los 1930’s ya Leontief habı́a podido construir las primeras tablas numéricas de insumoproducto para los Estados Unidos. Y a pesar de que estas eran un tanto crudas de acuerdo con los estándares modernos, se encontró cierta evidencia empı́rica en favor del postulado fundamental del método del insumo-producto: que los coeficientes técnicos de producción eran relativamente estables en el tiempo y bajo un rango razonable de cambios en las circunstancias económicas. Fue precisamente esto lo que hizo del análisis insumo-producto una importante y útil herramienta para el análisis económico. Su monografı́a definitiva sobre esto, que recopilaba alrededor de diez años de esfuerzos, apareció en 1941: “The Structure of the American Economy 1919-1929”.

“Este modesto volumen presenta un intento por aplicar la teorı́a económica del equilibrio general (o, mejor la interdependencia general), a un estudio empı́rico de interrrelaciones entre las diferentes partes de una economı́a nacional, que se revelan a través de las covariaciones de los precios, de los productos, de las inversiones, y los ingresos.” (Leontief (1941), p.3) Obviamente, el análisis teórico de The Structure se inspiró explı́citamente en la visión de Walras de un sistema de equilibrio general completamente determinado. De hecho, se trataba de hacer las simplificaciones necesarias a las ecuaciones de Walras, para que fueran empı́ricamente implementables. Y allı́, como dijimos antes, utilizó eficientemente la hipótesis de Walras de coeficientes técnicos constantes. Además, en The Structure sólo aparece el estudio del sistema insumo-producto “cerrado”, es decir, donde todos los bienes eran intermedios, siendo los bienes consumibles también bienes intermedios en la producción de servicios y otros bienes. Sólo que el aporte de Leontief también amplió el sistema

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

173

walrasiano, pues mientras Walras habı́a subordinado el problema de los bienes intermedios, para Leontief las compras de insumos de unas empresas a otras era un punto central a su sistema. Ası́, una conveniente simplificación contribuyó a una innovación esencial del sistema walrasiano.

En The Structure construı́a su sistema mediante dos tablas insumoproducto de diez sectores, una para 1919 y una para 1929. Y a pesar de lo pequeño de la muestra, pero que, para su época, llevaba al lı́mite las posibilidades computacionales de los 1930’s, mostró la validez empı́rica del método y constituyó toda una innovación fundamental. Con el computador electrónico en la mira, y la consiguiente recopilación y procesamiento de datos a la mano, esta herramienta cuantitativa comenzó a ganar rápidamente un espacio en la literatura económica.

Sólo que el sistema insumo-producto cerrado, en el que todo quedaba determinado internamente, era inapropiado para el estudio de, por ejemplo, el comercio internacional o, aún, del impacto de eventos externos en el nivel de la actividad económica. El estudio del sistema insumoproducto abierto apareció en “Output, employment, consumption, and investment”(1944), e incorporado en la segunda edición de The Structure (1951). Este sistema walrasiano implementado abierto no tardarı́a en entrar a la arena de las discusiones en los journals y en libros de texto, y serı́a utilizado convenientemente en los Estados Unidos para estimar el efecto de las polı́ticas económicas posguerra (especialmente el impacto de la reconversión en la nueva dinámica económica), en donde Leontief jugó un papel central en la construcción de detalladas y grandes tablas insumo producto (hasta 400 sectores). Para 1955 ya existı́a un extensa colección bibliográfica de investigación sobre el método insumoproducto, y muchos paı́ses habı́an construido ya sus propias matrices con distintos grados de elaboración para el estudio de problemas de desarrollo económico regional y nacional.

Y aunque las aplicaciones del análisis insumo-producto a problemas económicos prácticos son muy numerosas y variadas (comercio internacional (1946, 1954, 1956)1 , el análisis de procesos inflacionarios (1946), y problemas ambientales (1970)), y ése fue su propósito original, Leontief 1

Incluyendo aquı́ la famosa “paradoja de Leontief” que ya discutimos en el Capı́tulo 2.

174

Equilibrio económico walrasiano

también mostró que, para alguno objetivos importantes, podı́a ignorarse al agente optimizador. Y en esto se hacı́a más cercano a la economı́a clásica2 .

Una de las preocupaciones de Leontief respecto a su modelo era buscar la posibilidad de establecerlo con alguna dinámica substantiva. Esto, particularmente para el estudio de los problemas de capital e inversión.

Pero, por diversas razones3 , este esfuerzo no ha dado tantos frutos como la teorı́a estática, y se ha quedado en los libros de texto.

Leontief fue siempre un defensor de aplicar el método cientı́fico empı́rico en economı́a. Sin grandes polémicas (a diferencia de Hicks, Samuelson o Keynes) sin ser un teórico abstracto (como Samuelson), ni ser un empı́rico descriptivo (como Kuznets), Leontief combinó suficientemente bien las tres vertientes: refinó y revisó sus modelos para que fueran teórica y empı́ricamente significativos, y para que pudieran ser aplicados a problemas relevantes que dieran origen a serias discusiones.

Leontief murió en 1999.

2.

El análisis insumo-producto (Leontief (1936))

El análisis insumo-producto (1936)Leontief constituye otra adaptación de la teorı́a walrasiana del equilibrio general al estudio de cierta interdependencia cuantitativa que existe entre algunas actividades económicas.

Está basado en la idea de que una parte muy considerable del esfuerzo de una economı́a moderna está dedicada a la producción de bienes intermedios. Ası́, un cambio en el nivel de producción de un bien final (digamos, una casa) implica cambios en la producción de los bienes intermedios asociados a su producción (cemento, acero, vidrios, etc.) y, a su vez, en los insumos utilizados para la producción de estos insumos intermedios, etc.

2

Por ejemplo, en 1960, Piero Sraffa publicó “Production of Commodities by Means of Commodities: A Prelude to a Critique of Economic Theory” en donde, entre otros, presenta un muy elegante e independiente descubrimiento sobre las bases teóricas del análisis insumo-producto 3 Todo indica que las simplificaciones que hacen tan útil el sistema estático (como, por ejemplo, los coeficientes insumo-producto fijos, un solo sector productivo para cada mercancı́a, y una sola mercancı́a para cada sector) no son apropiados para análisis dinámicos.

175

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

También inicialmente estudió una economı́a cerrada. Buscaba hallar un estado de equilibrio en el que sólo lo justo de cada bien se produjera para satisfacer los requerimientos de insumos de todos los otros bienes.

De esta manera, también podrı́a identificar los precios de equilibrio de los bienes. Posteriormente, el énfasis de Leontief se centró ya no en una economı́a cerrada sino en una economı́a en la que la demanda final estuviera exógenamente determinada. Entonces encontraba los niveles de actividad de los distintos sectores de la economı́a consistentes con esta demanda (incluyendo niveles de empleo). Era el modelo de economı́a abierta.

También consideraba una economı́a en la cual bienes tales como hierro, carbón, algodón, etc., se producen en sus respectivas industrias mediante un insumo primario como la mano de obra, y por medio de insumos tales como hierro, carbón, algodón, etc. Observemos cómo Leontief rechaza la idea de que ciertas industrias son etapas anteriores de la producción y, otras, posteriores. Ası́, se opone a la idea de que inevitablemente se debe encontrar una industria (tal como la agricultura) que sólo le vende a otra (como la manufactura) pero que no compra nada de ésta. Niega que uno pueda seguir la fabricación de un pan desde las primeras etapas a través de una jerarquı́a unidireccional de industrias. Para Leontief, el mundo real es de relaciones interindustriales multidireccionales.

Supongamos una economı́a muy simplificada en la que sólo hay dos industrias: agricultura y manufactura. Cada una requiere, directamente, mano de obra y también utiliza elementos de la otra industria en su proceso productivo. La figura 20 muestra una forma simplificada de la economı́a.

Industria Agricultura Manufactura Mano de Obra

Insumo Agricultura 75 40 25

Insumo Manufactura 100 40 45

Demanda Final 125 80 0

Producción Final 300 160 70

Figura 20: Matriz insumo-producto simplificada Allı́, en la primera fila, de las 300 unidades de producción agrı́cola, 125 unidades van al consumo final (hogares y gobierno), 100 unidades a in-

176

Equilibrio económico walrasiano

sumos para la industria de manufactura y 75 unidades a insumos para la industria agrı́cola. La segunda fila es similar. En la tercera fila aparece que de 70 unidades (horas-hombre) de mano de obra, 45 serán requeridas por la industria de la manufactura y 25 por la industria agrı́cola. La cantidad de mano de obra está dada exógenamente y, en este ejemplo, es considerada únicamente como insumo; sin embargo, la mano de obra podrı́a ser considerada como una industria más en el modelo. Como se puede ver, las matrices insumo-producto son sólo una forma fácil de organizar información sobre ciertas transacciones del sistema económico.

Es una útil tabulación en donde grandes y complicadas economı́as pueden describirse mediante ciertos números que, en muchas ocasiones, son posibles de encontrar o de estimar. ¿Cuáles son las hipótesis implı́citas en el análisis insumo-producto de Leontief? Para ver esto, transformemos la figura 20 en una figura más descriptiva y general (ver figura 21).

Industria 1 Industria 2 Mano de Obra

Insumo Industria 1 x11 x21 x01

Insumo Industria 2 x12 x22 x02

Demanda Final c1 c2 ···

Producción Total x̄1 x̄2 x̄0

Figura 21: Matriz insumo-producto donde x1i indica la cantidad del insumo 1 utilizado por la industria i (para i = 1, 2); y de forma similar, x2i y x0i indican, respectivamente, la cantidad del insumo 2 y la cantidad de mano de obra utilizada por cada una de las industrias.

De esta tabla, podemos escribir las funciones de producción como x̄1 = F1 ( x11 , x21 , x01 ) x̄2 = F2 ( x12 , x22 , x02 )

(1)

donde x11 + x12 + c1 = x̄1 x21 + x22 + c2 = x̄2 x01 + x02 = x̄0

(2)

177

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

En este punto, Leontief asume, explı́citamente, que las funciones de producción tienen rendimientos constantes a escala y que toman una cierta cantidad mı́nima de cada insumo para producir una unidad de producto.

Es decir, asume que

x11 x21 x01 x̄1 = mı́n , , a11 a21 a01

x12 x22 x02 , , x̄2 = mı́n (3) a12 a22 a02 donde aij es la cantidad mı́nima de insumo i que se requiere para producir una unidad de producto j (a éstas se les conocerá en la literatura como funciones de producción Leontief ). Para nuestro caso particular xij de la figura 20, tendremos que (sabiendo que podemos asumir aij = x̄j x11 75 x12 100 (por qué?)) a11 = = = 0.25; a12 = = = 0.625; a21 = x1 300 x2 160 0.13; a22 = 0.25; a01 = 0.08; a02 = 0.28. Ası́, las funciones de producción (según Leontief) para aquella economı́a particular de la figura 20, son x x21 x01 11 x̄1 = mı́n , , 0.25 0.13 0.08 x x22 x02 12 x̄2 = mı́n , , 0.625 0.25 0.28 En general, de las dos primeras ecuaciones de (2), se tiene que [x1 , x2

]T

a a = 11 12 a21 a22

x1 + [c1 , c2 ]T x2

ó X = AX + C

a11 a12 T donde X = [x1 , x2 ] , A = , C = [c1 , c2 ]T y, por tanto, a21 a22 X = (I2 − A)−1 C

(4)

178

Equilibrio económico walrasiano

Sin embargo, no es claro que una relación como la (4) anterior también se dé para la mano de obra. Recordemos que de (2), x01 +x02 = x0 y que, por tanto, como x01 = a01 x1 y x02 = a02 x2 , entonces x0 = a01 x1 +a02 x2 , y ası́, x0 = [a01 , a02 ] · (I2 − A)−1 C donde (·) es el producto interno entre los vectores [a01 , a02 ] y (I2 − A)−1 C. ¿Y qué acerca de los precios en el modelo de Leontief? Él asume que, en equilibrio, los precios deben igualar los costos por unidad. Ası́, si w es el salario por hora-hombre, entonces p1 = a11 p1 + a21 p2 + a01 w p2 = a12 p1 + a22 p2 + a02 w

(5)

que es equivalente a p = AT p + wA0

a11 a21 T T donde p = [ p1 , p2 ] , A = , A0 = [ a01 , a02 ]T y resolviendo a12 a22 este sistema matricial en términos del numerario “salario” (w ) obtenemos4 p = w( I2 − A )−1 A0

(6)

Por lo tanto, mediante cualquier método para el cálculo de matrices inversas, obtenemos que p1 =

a01 ( 1 − a22 ) + a02 a12 w ( 1 − a11 )( 1 − a22 ) − a12 a21

p2 =

a02 ( 1 − a11 ) + a01 a21 w ( 1 − a11 )( 1 − a22 ) − a12 a21

(7)

Ahora: observemos que para que p1 , p2 sean precios mayores que cero debemos tener la llamada condición Hawkins-Simon (1949): ( 1 − a11 )( 1 − a22 ) > a12 a21

(8)

que es la más sutil restricción del modelo de Leontief básico. ¿Qué significa? Veamos esto.

4

Notemos que aquı́ también sólo podemos encontrar precios relativos debido al tipo de funciones de producción escogido por Leontief (¿Por qué esto es ası́?)

179

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans x̄2

L1 conjunto de posibilidades para ( x̄1 , x̄2 )

L2 c2 1−a22

x̄1

c1 1−a11

Figura 3

En la figura 3, dibujamos las restricciones x̄1 = a11 x̄1 + a12 x̄2 + c1 (recta L1 ), y x̄2 = a21 x̄1 +a22 x̄2 +c2 (recta L2 ). Si una economı́a busca producir un par de determinadas demandas finales c1 y c2 , ¿qué condiciones sobre los aij deben tenerse para que existan las cantidades positivas x̄1 , x̄2 correspondientes? De la figura 22 se ve claramente que el requisito es que la pendiente de la recta L2 sea menor que la pendiente de la recta L1 ; es decir, 1 − a11 a21 > a12 1 − a22

o

( 1 − a11 )( 1 − a22 ) > a12 a21

que es la condición (8). Ası́, la condición (8) es una condición mı́nima para que el sistema de Leontief pueda funcionar como un sistema económico 5 Para nuestro caso particular que venimos estudiando, tendremos entonces que los precios, relativos al salario de la mano de obra, son p1 (0.08)(1 − 0.25) + (0.28)(0.625) = = 0.49 w (1 − 0.25)(1 − 0.25) − (0.625)(0.13) p2 (0.28)(1 − 0.25) + (0.08)(0.13) = = 0.46 w (1 − 0.25)(1 − 0.25) − (0.625)(0.13)

es decir, p1 , p2 son, aproximadamente, la mitad de los salarios.

5

Se puede ver que la condición (8) sobre A es la que garantiza que todas las entradas de la matriz ( I − A )−1 sean positivas (matriz positiva)(ver Monsalve(2008)(Volumen I)).

180

Equilibrio económico walrasiano

Utilizando el álgebra matricial es posible generalizar el modelo de Leontief a n industrias. Sean X̄ = [ x̄1 , . . . , x̄n ]T

(Vector de cantidades totales de producción)

X0 = [ x01 , . . . , x0n ] A = [ aij ]i,j = 1,...,n

(Matriz de proporciones fijas de producción) T

A0 = [ a01 , . . . , a0n ] C = [ c1 , . . . , cn ]T T

P = [ p 1 , . . . , pn ]

(Vector de horas de mano de obra para cada industria) (Vector de proporciones fijas de mano de obra) (Vector de consumos finales) (Vector de precios)

Entonces el sistema estará definido por las ecuaciones matriciales a) X̄ = ( In − A )−1 C, (si la inversa de ( In − A ) existe, donde In es la matriz identidad n × n). b) P = w ( In − AT )−1 A0 c) x01 = a01 x1 , x02 = a02 x2 , ..., x0n = a0n xn Los sistemas explı́citos correspondientes a las ecuaciones matriciales en a) y b) son: a)

b)

  x1 1 − a11 −a12  x2   −a21 1 − a22     ..  =  .. ..  .   . . xn −an1 −an2 



  p1 1 − a11 −a12  p2   −a21 1 − a22     ..  = w  .. ..  .  . . pn −an1 −an2

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

−a1n −a2n .. .

1 − ann

−1     

−a1n −a2n .. .

1 − ann

 c1  c2     ..   . cn

−1     

 a01  a02     ..   .  a02

Uno de los conceptos fundamentales del análisis insumo-producto es la distinción entre insumos directos e indirectos. Y esta distinción ha llevado a la noción de multiplicador Leontief que explicamos a continuación.

Para alcanzar la demanda final y, debe, obviamente, primero que todo,

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

181

ser producido. Para hacerlo habrá que producir una cantidad extra Ay para conseguir los insumos intermedios requeridos para producir Ay, etc. Las siguientes rondas de requerimientos de insumos son las de insumos indirectos. Y ası́ llegamos a que la cantidad total que necesita ser producida para satisfacer la demanda final y es y + Ay + A2 y + ... = (I + A + A2 + ...)y

La similaridad entre este proceso y uno de multiplicador, es clara. A los elementos de la matriz insumo producto A se les llama coeficientes directos, y a los de la matriz (I − A)−1 se les llama coeficientes totales.

Para aclarar la diferencia entre coeficientes directos e indirectos, consideremos el siguiente ejemplo. Supongamos que el Gobierno, preocupado por el desempleo, está considerando dos programas alternativos de gasto público. El primer programa consiste en comprar una unidad del bien 4, y el segundo programa, una unidad del bien 32. El bien 4 puede ser más intensivo en mano de obra que el bien 32 en el sentido de que el primero requiere más mano de obra por unidad de producto que el segundo. Sin embargo, los insumos intermedios que se necesitan para producir el bien 32 pudieran ser más intensivos en mano de obra que los requeridos para producir el bien 4, y al fin de cuentas (después de considerar los reuisitos directos e indirectos) puede suceder que el requerimiento total de la mano de obra para una unidad de demanda del bien 32 es mayor que para una unidad de demanda del bien 3. En este caso tendrı́a más sentido aceptar el segundo programa. Y argumentos similares se pueden utilizar en el caso, por ejemplo, de que el Gobierno decida reducir la polución: un sector puede parecer más limpio en el sentido de que no poluciona directamente, pero puede ser polucionador si se aplica el concepto total del análisis insumo-producto.

Después de la publicación del “The Structure” de Leontief en 1941, comenzarı́a una avalancha de investigación matemática sobre las matrices no-negativas que, en 1949, condujeron al siguiente importante resultado de Hawkins y Simon:

182

Equilibrio económico walrasiano

Teorema 1. (Condiciones Hawkins-Simon (1949)) Si las entradas de la matriz  1 − a11 −a12  −a21 1 − a22   .. ..  . . −an1 −an2 satisfacen

1 − a11

−a21

−a31

··· ··· ··· ···

−a1n −a2n .. .

1 − ann

    

1 − a11 −a12

>0 1 − a11 > 0,

−a21 1 − a22

1 − a11 −a12

−a12 −a13

−a21 1 − a22

1 − a22 −a23

> 0, · · · ,

.. ..

. . −a32 1 − a33

−an1 −an2

··· ··· ··· ···

>0

1 − ann

−a1n −a2n .. .

entonces ambos sistemas, (L1) y (L2), del modelo Leontief tienen una única solución no-negativa.

Demostración

6

Probaremos esto para el sistema (L1). El caso para el sistema (L2) es similar e inmediato a partir del caso (L1).

Consideremos entonces el sistema general (L1) original (1 − a11 )x1

−a12 x2 − a13 x3

−···

−a1n xn = c1

−a32 x2 + (1 − a33 )x3 .. .

−··· .. .

−a3n xn = c3 .. ··· .

− a21 x1

+(1 − a22 )x2 − a23 x3

− an1 x1

−an2 x2 − an3 x3

− a31 x1 .. .

−···

−···

−a2n xn = c2

(*) .. .

+(1 − ann )xn = cn

Y vamos a probar el resultado por el método de inducción matemática sobre los números naturales N (ver Volumen 0: Fundamentos). El caso 6

Esta prueba sigue la presentada en Nikaido, H. (1968), Convex Structures and Economic Theory, Academic Press.

183

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

c1 ≥ 0 pues 1 − a11 > 0, por hipótesis. Por lo tanto, el teorema es cierto para

n = 1, es (1 − a11 )x1 = c1 y esto implica que x1 = c1 ≥ 0, 1 − a11 n = 1.

Ahora asumamos el teorema cierto para n − 1 y probémoslo también para n. Para ello, notamos que el sistema (∗) anterior se puede reducir, mediante eliminación gaussiana, a un sistema de la forma (1 − a11 )x1

−a12 x2 · · · b22 x2 · · · ···

bn2 x2 · · ·

−a1n xn = c1 .. .

−b2n xn = c2 .. .

−bnn xn = cn

(**)

Ası́ se tenı́an condiciones suficientes para que la matriz (I − A)−1 exista, para que todos sus elementos fueran no-negativos, y, de manera indirecta, para que esta matriz inversa pudiera “aproximarse adecuadamente” mediante la serie de matrices I +A+A2 +... (ver Gale (1960), Morishima (1964) y Nikaido (1968)).

De otro lado, en la edición de 1951 de “The Structure”, Leontief incorporó la inversión de manera endógena y, por lo tanto, tuvo que recurrir a lo que hoy se conoce como sistema insumo-producto dinámico. Allı́ distinguı́a entre dos tipos de inversiones: inversión en capital fijo e inversión en capital de trabajo (o inventarios). Veamos brevemente cómo lo hacı́a en el primer caso. Asumı́a que, en cualquier tiempo t, una unidad de expansión de la capacidad productiva en un sector, requiere cantidades de todas las mercancı́as, y que la totalidad de estas cantidades están disponibles al mismo tiempo. También asumı́a que hay utilización total de la capacidad productiva. En términos formales, asume que el uso de inversión del bien i para la expansión del sector j está dado por bij [ xj (t + 1) − xj (t) ] donde los bij son parámetros fijos no-negativos. Ası́, el total de usos de inversión del bien i estará dado por n X j=1

bij [xj (t + 1) − xj (t)]

184

Equilibrio económico walrasiano

que, en notación matricial, se escribe como X(t) = AX(t) + B[X(t + 1) − X(t)] + Y (t) donde Y (t) es la inversión de uso neta, y B es la matriz n × n de coeficientes de capital.

Desafortunadamente, este sistema dinámico insumo-producto no ha sido tan exitoso como el correspondiente sistema estático en términos de su aplicabilidad. Y esto es, fundamentalmente, porque no es posible garantizar (aún bajo hipótesis “creı́bles”) la no-negatividad de la trayectoria de niveles de producción, ni su estabilidad (ver, por ejemplo Dorfman et al. (1958)) 7 .

A pesar de esto, existe una versión modificada del modelo dinámico de Leontief (ver Manne (1974)), que ha encontrado aplicación práctica sustancial en la literatura de la planificación de desarrollo. En ésta, una parte de las inversiones totales dentro de un perı́odo [0, T ] es asignada a la fecha terminal T , lográndose esto mediante un parámetro llamado el “factor de conversión flujo-inventario”. Más especı́ficamente, las relaciones insumo-producto para el perı́odo terminal se escriben en forma matricial como X(t + 1) = AX(t) + ρB[(X(t) − X(0)] + Y (t) donde ρ es el parámetro mencionado. Aún ası́, esta aproximación no es del todo consistente internamente ya que no hay criterio formal alguno que guı́e la elección de ρ (ver Lahiri (1977)).

a).

El análisis insumo-producto y el Tableau Économique de Quesnay

El Tableau Économique de F. Quesnay (1759) puede expresarse de una manera simple como un modelo insumo-producto. Según su propia experiencia como granjero del siglo XVIII, Quesnay construyó una tabla empı́rica en el que habı́a tres sectores: granjeros, propietarios de la tierra, y artesanos. Los granjeros utilizaban dos unidades de su propio 7 El mismo Leontief (1961) y otros (Duchin y Szyld (1986)) intentaron infructuosamente evitar estos problemas considerando una estructura temporal de inversión más compleja.

185

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

producto, dos unidades de servicio de renta comprada a los propietarios de la tierra, y una unidad de los bienes de los artesanos para producir cinco unidades de producto. Por su parte, los propietarios de la tierra utilizaban su ingreso para comprar una unidad de alimento y una unidad de los bienes de los artesanos. Y, finalmente, los artesanos compran dos unidades de alimento y materias primas para transformarla en dos unidades de producto.

Granjeros Artesanos Propietarios

Granjeros 2/5 1/5 2/5

Artesanos 1 0 0

Propietarios 1/2 0 1/2

Figura 2: Tableau Économique I El resultado se ve en la figura 2, donde las columnas (“sector de compras”) son los insumos (incluyendo las compras de alimentos y y bienes artesanales por parte de los propietarios de la tierra), y las filas (“sector productivo”) son los productos. Es decir, esta es la matriz insumoproducto del sistema de Leontief cerrado, significando esto último, sabemos, que los todos los productos se convierten en insumos y que, por lo tanto, no hay consumo final.

Pero existe un problema con la tabla anterior: no existe la matriz inversa (I3 − A)−1 . Y la razón de esto, es que la interpretación es inadecuada pues lo correcto es tratar las compras de los propietarios de la tierra como demanda final y no como insumos. Después de todo, los servicios de la tierra no desaparecen aunque sus dueños sı́. La nueva matriz A∗ aparece en la figura 3. Se construyó reemplazando los coeficientes 1/2 en la columna de los propietarios por ceros, ya que las compras de éstos (alimentos y manufacturas) no pueden ser ya consideradas como insumos.

Granjeros Artesanos Propietarios

Granjeros 2/5 1/5 2/5

Artesanos 1 0 0

Propietarios 0 0 0

Figura 3: Tableau Économique II

186

Equilibrio económico walrasiano

Ahora la matriz (I3 − A∗ )−1 sı́ existe: (I3 − A∗ )−1



 5/2 5/2 0 =  1/2 3/2 0  1 1 1

y de la ecuación X = (I3 − A∗ )−1 C se obtiene, tomando a X como un vector compuesto de tres 1’s, que los valores agregados (por unidad de producto) en cada uno de los tres sectores, están dados por el vector C = (0, 0, 1) lo que muestra que la tierra es el único origen de valor agregado (o producto neto, como lo llamaban los fisiócratas)

b).

El análisis insumo-producto y la teorı́a marxista del valor

Principalmente debido a los trabajos de Morishima (1973) y Roemer (1981), es hoy claro que la teorı́a marxista del valor y de la reproducción puede analizarse matemáticamente utilizando las herramientas del análisis insumo-producto. Supongamos que aij es la entrada (i, j) de la inversa de Leontief (I − A)−1 ; entonces, si (l1 , l2 , ..., ln ) son los coeficientes de mano de obra por unidad de producto, tendremos que la mano de P obra total contenida en una unidad del bien j es ni=1 li aij , y la similitud entre esto y la teorı́a marxista del valor-trabajo es evidente.

Lo anterior ha llevado a especular sobre la influencia que pudo haber tenido Marx en Leontief (Bailey (1994)). Haciendo la conexión Marx → Wilhelm Lexis → L. von Bortkiewicz → Leontief, y asumiendo que la transitividad también se da en el terreno intelectual quizás Leontief sı́ haya sido, ası́ sea inconscientemente, por Marx. Pero de esto no hay rastro especı́fico en sus escritos. En su lugar, y como ya lo hemos señalado, Leontief reconoce su deuda intelectual más con la fisiocracia francesa y, particularmente con Quesnay (que también tuvo una influencia explı́cita sobre Marx), y de allı́, de ese origen común, y no de otra forma podrı́a provenir la similitud en sus análisis.

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

3.

187

El análisis de actividades (Koopmans (1951))

La idea del papel o de las ventajas de la utilización de precios para una mejor asignación de los recursos, ya sea a través del funcionamiento de mercados competitivos o como instrumentos para la planificación nacional, tiene una larga tradición en economı́a. En relación con los mercados competitivos, data, por lo menos, desde los tiempos de Adam Smith ( 1776 ), y fue reformulada y desarrollada por el premio Nobel en economı́a de 1974, Friedrich von Hayek ( 1945 ). Entre los autores importantes que escribieron sobre la utilización de precios en la planificación socialista se cuentan Oskar Lange ( 1936 ) y Abba Lerner ( 1937,1938 ).

La novedad de los modelos de análisis de actividades consistió en el empleo de un modelo lineal y en el intento por desarrollar una “teorı́a pre-institucional” de la asignación de recursos. En las obras de Lange y Lerner se habı́a sugerido que, en teorı́a, tanto la competencia perfecta como la planificación socialista implicaban una asignación eficiente de recursos (aunque en la realidad esto no fuera cierto). Y la idea era que después de mirar el problema pre-institucional, podrı́a entonces procederse al diseño de instituciones que se aproximaran al modelo.

El modelo lineal de análisis de actividades del premio Nobel de economı́a de 1975 Tjalling C. Koopmans [ 1910–1985 ], es descendiente de la “tradición alemana” de los modelos de Cassel (equilibrio general), Wald (equilibrio general), von Neumann (crecimiento), Leontief (insumo-producto) de los cuales (excepto en los aspectos “dinámicos” del modelo de von Neumann) es generalización y sı́ntesis. En él se describen las tecnologı́as mediante un conjunto de postulados (quizás los más sencillos posibles hasta tal momento), que permite estudiar el papel de los precios en la utilización eficiente de los recursos y, por tanto, desarrollar un papel fundamental dentro del modelo de equilibrio general walrasiano. No sobra agregar aquı́ que es este modelo de Koopmans, el primero que libera el análisis walrasiano de la herramienta paretiana del cálculo diferencial y lo adentra en la lógica, el análisis de conjuntos convexos, y la topologı́a.

De hecho, la fuente de inspiración inicial para Koopmans en su análisis de actividades fue el estudio de ciertos trabajos sobre asignación mediante modelos de programación lineal que surgieron de la organización de estrategias en la Segunda Guerra Mundial (1938-1945). El más completo de estos trabajos fue el de George Dantzig y otros miembros de la

188

Equilibrio económico walrasiano

Fuerza Aérea de los Estados Unidos. Estos modelos, muy influidos por el artı́culo sobre equilibrio general de von Neumann, trataban aspectos dinámicos sobre cómo desarrollar actividades interdependientes de una organización grande de tal manera que se alcanzara la mejor combinación hacia el logro de un objetivo previamente establecido. La estructura conceptual era clara: estudiar comparativamente ciertos objetivos alcanzables teniendo determinados medios escasos al alcance8 .

a).

Los consumidores

Puesto que el modelo (lineal) de análisis de actividades de Koopmans (1951) es una representación de la actividad económica desde una visión walrasiana, entonces se presenta la tı́pica división metodológica entre consumidores y productores, (individualismo metodológico) donde cada sector está descrito mediante ciertos postulados (o axiomas) que “delimitan un universo de discurso lógico en el cual el único criterio de validez es el de la implicación partiendo de ellos”. Además, Koopmans inaugura aquı́ la “metodologı́a axiomática” en economı́a matemática, que por entonces estaba en boga por la búsqueda de una fundamentación lógica para todas las matemáticas (ver Monsalve 2009).

Postulado 1 (Sobre los agentes de decisión) Existe un número dado de agentes que pueden subdividirse en l consumidores, m productores y p poseedores de recursos. Existe, también, un número finito n de bienes, subdivididos entre tipos de trabajos y otros bienes. Cada agente toma una decisión (para el perı́odo predeterminado) que consiste en la elección de una cantidad de cada tipo de trabajo y de cada bien; es decir, de un punto en Rn . Se asume que los conjuntos de planes de consumo son convexos (ver figura 19) lo que necesariamente implica divisibilidad perfecta de los bienes y de los tipos de trabajo. Nótese aquı́ el esfuerzo de Koopmans por acercarse al trabajo de Leontief y, desde allı́, a los economistas clásicos.

Postulado 2 (Sobre los consumidores) El punto elegido por el i-ésimo consumidor debe pertenecer a un conjunto de consumo para i = 1, . . . , l, cuyos puntos tienen coordenadas 8

Koopmans mismo trabajó para la Fuerza Aérea diseñando rutas eficientes para barcos de carga.

189

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

no-negativas para todos los bienes distintos al trabajo. Para las cantidades de los distintos trabajos ofrecidos escogemos coordenadas negativas.

Si una cantidad de estas es cero, ello indicará que el bien no es consumido o que el tipo de trabajo no es ofrecido.

En la figura 1 el plan de consumo ofrece x1 unidades de trabajo y consume x2 unidades del bien 1. bien 2

x2

(x1 , x2 ) plan de consumo de los bienes 1y2

x1 bien 1

Figura 1: Tı́pico conjunto

de consumo bien 1

x2 x1 trabajo

Figura 2: Plan de consumo

Sobre este conjunto existe, además, un preorden de preferencia completo para el i-ésimo consumidor; es decir, sobre este conjunto se define un preorden completo “ ” (“menos preferido o indiferente a”)9 sobre los planes de consumo que describe la forma en que el consumidor elige entre las distintas alternativas de consumo. Se asume, además, que dado el plan de consumo (x∗1 , x∗2 , .., x∗n ), el conjunto de planes de consumo (x1 , x2 , .., xn ) tales que (x1 , x2 , .., xn ) < (x∗1 , x∗2 , .., x∗n ), es convexo; es decir, que un consumidor prefiere la combinación de las canastas, a una 9

Recuérdese que un preorden completo es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva (ver Monsalve (2008) (Volumen 0)).

190

Equilibrio económico walrasiano

cualquiera de ellas (ver figura 4). En esta figura, es mejor la combinación λx1 + (1 − λ)x2 (λ ∈ (0, 1)) que x1 ó x2 .

De hecho, esta es la primera vez, en la historia de la economı́a matemática, que aparece un preorden de preferencias completo describiendo el comportamiento de elección del consumidor en un modelo de equilibrio general. Era claro que Koopmans intentaba evitar ası́ las discusiones con respecto a la existencia de la función de utilidad. Sin embargo, la equivalencia entre las preferencias y la función de utilidad serı́a demostrada en 1952 por Gerard Debreu en Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function, un año después de la publicación del trabajo de Koopmans. bien 2

tres niveles diferentes de preferencia sobre las combinaciones de consumo bien 1

Figura 3: Conjunto de consumo

y orden de preferencias bien 2 x1

λx1 + (1 − λ)x2

b

b

b

x2

bien 1

Figura 4: Elección de consumo

b).

Los productores

Por su parte, con respecto al análisis de la producción, el primer requisito que Koopmans quiso satisfacer fue el de que nada debı́a presuponerse

191

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

con respecto al ambiente institucional en el que se llevaba a cabo la producción, y que cualquier propósito de optimización deberı́a separarse cuidadosamente del análisis mismo de la producción. Este propósito de Koopmans se apartaba de la teorı́a paretiana expresada en términos de de funciones de producción que, obviamente, suponen que ya existe eficiencia en la organización productiva.

Koopmans reemplaza la función de producción con una descripción sistemática de la producción en términos de la operación conjunta de una colección de actividades separadas, cada una caracterizada por relaciones fijas entre insumos y productos. Pero, cabe advertirlo, esta no era una idea totalmente original: Obviamente el análisis insumo-producto de Leontief (1936), el modelo de crecimiento de von Neumann (1937), los trabajos de Kantorovich (?), y el modelo Walras-Cassel (1918), lo anticiparon en mucho sobre este punto.

Postulado 3 (Sobre los productores) El punto elegido por el j-ésimo productor debe pertenecer a un conjunto de producción para j = 1, . . . , m, cuyos puntos tienen una coordenada no-positiva para cada tipo de trabajo y coordenada no negativa para cada tipo de bien producido. Este conjunto es independiente de las elecciones de los demás agentes. En la figura 5a aparece un politopo como conjunto de producción con dos insumos: insumo 1 y trabajo. En la figura 5b aparecen las correspondientes curvas de nivel en el plano. insumo 1

producto

trabajo

trabajo insumo 1

Figura 5a: Tı́pico conjunto Figura 5b: Curvas (superficies) de nivel de producción de producción

Postulado 4 (Sobre los poseedores de recursos) Cada poseedor de recursos controla una cantidad no-negativa de cada bien que no sea un tipo de trabajo, y elige desprenderse de una cantidad

192

Equilibrio económico walrasiano

no-negativa de dichos bienes que no exceda las cantidades que posee.

Postulado 5 (No-saciedad local) Dada una distancia positiva cualquiera, por pequeña que sea, para cada punto del conjunto de consumo de cualquier consumidor, existirá otro punto del mismo conjunto, preferido al primero, y cuya distancia a él sea menor que la distancia dada. bien 2

b

A

B

b

bien 1

Figura 6: Consumidor no-saturado en A pues B es mejor Este postulado implica que ningún consumidor podrá llegar a un estado máximo de saciedad de todos los bienes disponibles en la economı́a. Esta es también, la primera vez que en la economı́a matemática se presenta la noción de “saciedad” en los modelos de equilibrio general, un concepto que, de allı́ en adelante, ha venido a jugar un papel importante en estos modelos.

Postulado 6 (Sobre los bienes) Existe un número finito n de bienes, clasificados (sin yuxtaposición) entre l bienes deseados, p primarios y n−l−p intermedios. Cada bien puede existir en cualquier cantidad no-negativa en la que pueda producirse u obtenerse de la naturaleza. La conjunción o separación de cantidades de un mismo bien puede representarse mediante la suma o la diferencia de los números que miden dichas cantidades. Aquı́, los bienes deseados representan bienes y servicios cuyo consumo o disponibilidad constituye el fin reconocido de la producción; los bienes primarios son los que se extraen directamente de la naturaleza; y los bienes intermedios son aquellos que simplemente pasan de un estado de producción a otro sin

193

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

ser ni deseados por sı́ mismos, ni encontrarse disponibles en la naturaleza. El término “naturaleza” designa la fuente de bienes que permanece por fuera del sistema productivo que se estudia.

Postulado 7 (Existencia de actividades básicas de producción) Existe un número finito m de actividades básicas de producción. Una actividad básica viene caracterizada por una cifra de producción neta para cada bien. En la figura 30 se muestran dos tipos de actividades básicas cuyo único insumo es el trabajo.

Estas actividades básicas son los métodos básicos de producción de la economı́a, y representan todo el conocimiento técnico básico disponible al comenzar el perı́odo de estudio.

Postulado 8 (Sobre la aditividad) Dadas dos actividades básicas cualquiera, existe una tercera actividad cuya producción neta de cada bien es la suma de las producciones netas de dicho bien en aquellas dos actividades.

Geométricamente esto significa que si a y b son actividades básicas posibles, su suma a + b, también es una actividad posible (ver figura 8). producto

b

b

a+b b

b

a

b

a

b

b trabajo

Figura 7: Dos actividades

Figura 8: Aditividad

básicas diferentes

de actividades

Obsérvese que esto, a su vez, implica que no hay interacción entre procesos productivos: los modos de producción no se afectan unos a otros.

En general, aquellos casos en los que existen interacciones (fı́sicas, tecnológicas, etc.) no pueden abarcarse adecuadamente por este modelo. Sin embargo, Koopmans afirma que “en aquellas situaciones en que exista interacción fı́sica, la aplicabilidad del presente modelo puede recuperarse en ocasiones reuniendo las actividades interrelacionadas en una única

194

Equilibrio económico walrasiano

actividad, que tenga como producción neta para cada bien, la suma de las producciones netas de ese bien en cada una de las actividades que la constituyen, una vez tenida en cuenta su interacción”.

Postulado 9 (Proporcionalidad) Si una actividad (básica o derivada) a es posible, también lo es toda actividad ka para cualquier factor de proporcionalidad k no-negativo.

Esto implica, entonces, que la inactividad es posible, es decir, que a = 0 es posible. producto 3a

b

2a b

a

b

trabajo

Figura 9: Proporcionalidad de a

En términos geométricos, esto implica que la semirrecta que parte del origen y pasa por a está conformada por actividades posibles (ver figura 9). En general, este postulado implica lo que se acostumbra llamar rendimientos constantes a escala. Obsérvese que los postulados 7, 8 y 9 implican que los conjuntos de producción son conjuntos de la forma ilustrada en la figura 10. producto

producto

trabajo

trabajo insumo 1

Figura 10: Conjuntos “lineales” de producción

Es conveniente resaltar en este punto que para muchos economistas el término “linealidad” se asocia con limitación, restricción e inflexibilidad

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

195

en las hipótesis. Sin embargo, Koopmans hace la observación de que su “modelo lineal” se relaciona con las hipótesis de proporcionalidad de los insumos y de los productos en cada una de las actividades elementales productivas, y con la hipótesis de que el resultado de llevar a cabo dos o más actividades es la suma de los resultados de cada una de estas actividades. Es decir, Koopmans estudia en su modelo tecnologı́as con rendimientos constantes a escala (más precisamente, con grado uno de homogeneidad), mas no linealidad en las funciones de producción. Ası́, los conos, los poliedros o conjuntos convexos similares son bien asimilados por la teorı́a de Koopmans, pero también funciones de producción curvilı́neas con tales propiedades de homogeneidad (solo basta entender que las funciones de producción poliedrales del modelo permiten cualquier grado de aproximación).

Postulado 10 (Disponibilidad de recursos) Cada bien primario puede extraerse de la naturaleza en cualquier cantidad no-negativa que exceda una cota superior dada.

Postulado 11 (Sobre la imposibilidad de producción sin utilizar factores) Ninguna actividad (básica o derivada) es posible si todos sus factores son nulos. Es decir, ningún conjunto de producción puede tener un punto en común con Rn+ distinto al origen (ver figura 33).

Postulado 12 (Sobre la posibilidad de producción) Existe un punto con producción neta no negativa de todos los bienes deseados, producción positiva de por lo menos uno de ellos, y producción neta igual a cero de los bienes intermedios.

En particular, estos dos últimos postulados establecen que no todos los politopos pueden ser conjuntos de producción admisibles por el modelo.

c).

Definiciones principales e implicaciones

Con la escena del modelo de análisis de actividades puesta a través de los doce postulados anteriores estamos listos para enunciar las principales definiciones y proposiciones. Veamos esto.

196

Equilibrio económico walrasiano

Definición 1. (Equilibrio de mercado) Se dice que una combinación de elecciones (una para cada agente) es un equilibrio de mercado si la suma neta de todas las cantidades de cada bien, elegidas por los productores y poseedores de recursos, es igual a la de todas las cantidades elegidas por los consumidores.

Definición 2. (Equilibrio competitivo (o walrasiano)) Un equilibrio competitivo (o walrasiano) es una combinación de equilibrio de mercado y un sistema de precios (uno para cada bien) tales que si todos los “valores” se calculan a dichos precios, i) La elección de cada consumidor es preferida o equivalente a cualquier otra elección dentro de su conjunto de consumo. ii) La elección de cada productor da lugar al máximo beneficio alcanzable dentro de su conjunto de producción. iii) La cantidad de bienes ofrecidos iguala a la cantidad de bienes demandados.

Definición 3. (Óptimo de Pareto) Un óptimo de Pareto es una combinación de equilibrio de mercado tal que no existe ninguna otra combinación de equilibrio de mercado, bajo la cual la mejora de un agente resulta en el que algún otro agente empeore.

Y el siguiente es uno de los dos resultados centrales del modelo de Koopmans: Teorema 2 (Koopmans (1951)).

Si en el modelo (lineal) de análisis de actividades se satisfacen los postulados 1–5, cualquier equilibrio walrasiano es un óptimo de Pareto.

En palabras del propio Koopmans, este teorema “reduce a sus elementos lógicos esenciales la creencia clásica en la eficiencia de la competencia como mecanismo de asignación de recursos para la producción y el consumo. Establece que, si existe un sistema de precios común que cuando

Capı́tulo 4: Leontief y Koopmans

197

se utiliza para determinar todas las acciones maximizadoras de beneficios o de utilidad, permite o induce decisiones compatibles ( ... ), dicha utilización de los precios también garantiza el empleo eficiente de los recursos para satisfacer las preferencias de los consumidores, tal como se ha definido”. Sin embargo, es conveniente e importante advertir aquı́ que un óptimo en el sentido de Pareto puede ser una distribución de riqueza más desigual que lo que alguna noción normativa podrı́a sugerir. Ası́ que el titulo de “óptimo” puede ser, en este sentido, engañoso. Koopmans recomendó en su época que lo llamasen “estado eficiente desde el punto de vista de la asignación”. Pero hoy está tan arraigada la terminologı́a “óptimo de Pareto” que quizás sólo sirva para recordar y homenajear a quien lo introdujera en la historia del pensamiento económico.

Finalmente, el segundo y fundamental resultado del modelo de Koopmans es, en cierta forma, un recı́proco del teorema anterior: Teorema 3 (Koopmans(1951)).

En el modelo (lineal) de análisis de actividades, si se satisfacen los postulados 1–12, entonces a todo óptimo de Pareto se le puede asociar un sistema de precios, no todos nulos, tal que sea un equilibrio walrasiano.

Este teorema es el corazón de lo que hoy se llama “nueva economı́a del bienestar”. En palabras del propio Koopmans, “partiendo del ideal de eficiencia en la asignación, expresada por la noción paretiana de optimalidad, formula criterios más directamente aplicables expresados en términos de precios que implican la realización de aquel ideal bajo ciertas condiciones bien especificadas”.

Nota 1.

Aunque el modelo de análisis (lineal) de actividades sirve para aproximarnos a una mirada abstracta de las implicaciones sobre los precios de una utilización eficiente de los recursos, y del empleo de precios como medio para sostener usos eficientes, también ha podido utilizarse para darle solución numérica al problema práctico (de programación lineal) de encontrar la asignación más eficiente o beneficiosa al interior de una empresa. En particular, puesto que el modelo insumo-producto de Leontief es sólo un caso especial del análisis (lineal) de actividades, cualquier estudio de aquél podrı́a ser extendido al modelo general. Uno de los propósitos del trabajo de Koopmans ha sido el de proveer de una base

198

Equilibrio económico walrasiano

teórica que permita estimación numérica de, por ejemplo, los efectos, sobre los niveles de actividad de las empresas individuales, de cambios dados en la composición de la demanda final hechas por las empresas que proveen al mercado de bienes finales. Los conceptos teóricos del análisis de actividades se adaptarı́an, en principio, a responder tales preguntas de polı́tica económica cuantitativa partiendo de variables observables de tipo más o menos agregativo.

CAPÍTULO

5

El modelo Arrow-Debreu

1.

Introducción

El modelo de equilibrio general de Walras fue demasiado difı́cil para los economistas con poco entrenamiento matemático. Se trataba de encontrar los precios de todas las mercancı́as como soluciones de un gran número de ecuaciones que establecen la igualdad oferta-demanda en cada mercado. Pero ¿tendrı́an todas estas ecuaciones alguna solución? Walras (extrañamente para alguien familiarizado con las matemáticas) aseguraba que sı́, pues su sistema contenı́a tantas ecuaciones como incógnitas, y se apoyaba en su tâtonnement para mostrar cómo la sola convergencia hacia un hipotético equilibrio tendrı́a que garantizar la existencia de éste. Cassel, por su parte, sugerı́a la posibilidad de que las ecuaciones no necesariamente tuvieran una solución no-negativa (los precios, para él, podı́an ser negativos).

Por aquellos mismos años, Schlesinger retomó el problema original de Walras y creyó que la demostración de la existencia del equilibrio general estaba al alcance de la mano. Para ello, contrató a Wald para trabajar en el problema. Y éste obtuvo, en 1935, una prueba de existencia, aunque bajo ciertas condiciones muy fuertes a la luz de posteriores desarrollos. Wald logró emigrar de la Alemania nazi a los Estados Unidos, y en la Universidad de Columbia (Nueva York) fue uno de los profesores 199

200

Equilibrio económico walrasiano

del posterior premio Nobel en economı́a del año 1972, y arquitecto del modelo de equilibrio general Kenneth Arrow.

Arrow comenzó a trabajar en el problema parcialmente resuelto de la existencia del equilibrio general sobre el cual lo único que Wald le decı́a era que se enfrentaba a un difı́cil problema. Sin embargo, una ayuda inesperada provino del teorema de existencia de equilibrios de la teorı́a de juegos (Nash (1950)), mediante el teorema de punto fijo de Brouwer (1910), introducido a la economı́a matemática por von Neumann en 1932, que era paralelo en muchas formas al problema de existencia del equilibrio general. Arrow tomó y adaptó las herramientas matemáticas del teorema de Nash y en 1952 estableció condiciones generales bajo las cuales las ecuaciones que definen el equilibrio general tenı́an al menos una solución. Sin embargo, el éxito no se debió sólo a las matemáticas: también se vio obligado a clarificar el significado económico de las hipótesis y su pertinencia.

Pero Arrow no fue el único con acceso a esta información. El francés Gerard Debreu (premio Nobel en economı́a en 1983) habı́a llegado simultánea e independientemente a, esencialmente, los mismos resultados, y decidieron publicar conjuntamente (Arrow y Debreu (1954)). Tres años antes de que este artı́culo apareciera, Tjalling Koopmans obtuvo similares resultados con herramientas un tanto distintas, (programación lineal, conjuntos convexos, fundamentalmente) como vimos en el capı́tulo anterior. Y también Mackenzie obtuvo en 1954 resultados generales sobre la existencia del equilibrio general, sólo que la manera en que fue procesado su artı́culo por los editores de Econometrica de entonces, impidió que Mackenzie tuviera el lugar que le corresponde en la historia del problema. Como en el caso de Newton y Leibniz en el siglo XVII con la “invención” del Cálculo, o en la “revolución marginalista” de Menger, Walras y Jevons, el problema de la existencia del equilibrio general fue un descubrimiento múltiple e independiente.

Para Debreu la historia comenzó en 1948 cuando el principal economista francés de la época, Maurice Allais (premio Nobel en economı́a en 1988), lo propuso para la beca Rockefeller para estudiar economı́a en los Estados Unidos. Debreu, con formación en matemáticas y fı́sica, arribó con 28 años a la Universidad de Harvard en 1949; luego pasó a Berkeley, Chicago, Oslo y, posteriormente, en 1955, a la Universidad de Yale, donde fue

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

201

profesor asociado de economı́a. Su más famosa monografı́a, Theory of Value: An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium, publicada en 1959, fue presentada como tesis de doctorado en la Universidad de Parı́s en 1956.

El interés de Debreu por la economı́a comenzó cuando leyera el libro de Maurice Allais, A la Recherche d’une Discipline Economique (1943). En este libro, Allais presentaba y extendı́a el pensamiento de Walras sobre el equilibrio general y además lo relacionaba con la noción de optimalidad desarrollado por Vilfredo Pareto. Pero Allais no fue el primero en seguir esta lı́nea de pensamiento. La creencia de que una economı́a competitiva conduce a un estado óptimo procede desde, al menos, Adam Smith en su Wealth of Nations (1776). El contenido exacto de esta creencia no podı́a aclararse hasta tanto no se tuviera una noción precisa de optimalidad conectada con el problema de la distribución de ingreso y riqueza.

Como decı́amos antes, parece que fue Pareto el primero en lograrla en sus Cours d’Economie Politique (1896-7) y posteriormente en su Manuel d’Economie Politique (1906), aunque ya en 1881 Francis Edgeworth, en su Mathematical Psychics, habı́a dado cierta definición de bienestar máximo relativo. Pareto, utilizando el conveniente método gráfico de las cajas de Edgeworth, mostró allı́ que todo equilibrio competitivo es óptimo. Sin embargo, él mismo nunca utilizó el cálculo diferencial en el estudio de este problema, como sı́ lo hicieran los que lo sucedieran hasta principios de los años cincuenta (la herramienta fundamental era el método de los multiplicadores de Lagrange). Este método, aún ası́, no es absolutamente necesario ya que los teoremas de punto fijo, las estructuras convexas y los teoremas de separación para conjuntos convexos fueron una aproximación mucho más general al problema, como lo mostraran Arrow y Debreu en sus trabajos clásicos de 1954 y 1959.

Durante el establecimiento del sistema general walrasiano (desde Walras (1874) hasta Arrow-Debreu (1954)), el problema de la existencia no fue ni comentado ni reconocido por los economistas en general; sólo por aquel pequeño grupo de economistas de la “tradición alemana” que ya hemos mencionado. De hecho, ninguno de los textos clásicos tales como Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (1947) y Value and Capital de John Hicks (1946) centraban su atención en el problema de la existencia del equilibrio general: lo daban por garantizado por sus

202

Equilibrio económico walrasiano

predecesores. En lugar de esto, dedicaban sus páginas a realizar análisis de estática comparativa y estabilidad del sistema con respecto a los equilibrios. Pero después de A Social Equilibrium Existence Theorem (1954) y Theory of Value (1959) la teorı́a del equilibrio general competitivo estaba totalmente cimentada sobre bases formales rigurosas. Después vendrı́a la crı́tica.

Samuelson (1947), por ejemplo, decı́a: “Fue un logro de primera magnitud para los viejos economistas matemáticos haber mostrado que el número de relaciones económicas consistentes e independientes era, en una amplia variedad de casos, suficiente para determinar los valores de equilibrio de precios y cantidades económicas desconocidas”.

2.

El modelo Arrow-Debreu (1954, 1959)

Este modelo Arrow-Debreu se basa en las siguientes hipótesis: i) El comportamiento global de una economı́a se estudia mediante la agregación del comportamiento de dos tipos de agentes individuales: los consumidores y productores. ii) El comportamiento de cada uno de los agentes se explica como el proceso de maximizar una función objetivo sujeta a restricciones: el consumidor maximizará su satisfacción sujeto a la restricción de su presupuesto, y el productor maximizará sus beneficios sujeto a las restricción de sus posibilidades de producción. iii) Los consumidores y los productores sólo interactúan a través del mercado de mercancı́as. iv) Los consumidores y productores, cada uno aisladamente, no tendrán ninguna ingluencia en la fijación de los precios; es decir, se asume que los precios están dados “desde afuera” (por el mercado agregado). v) Los consumidores son los dueños de los recursos (cantidades de mercancı́as) de la Economı́a.

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

203

v) El perı́odo de estudio se fija de antemano; todas las predicciones y decisiones se hacen y se toman al principio del perı́odo (que puede ser un mes, un año, etc.) y se sostienen hasta el final.

a).

La noción de mercancı́a

El modelo Arrow-Debreu clasifica las mercancı́as en bienes y servicios: i) Un bien estará determinado por sus caracterı́sticas fı́sicas, y la fecha y el lugar en que está disponible. Ejemplos de bienes son trigo, cemento, hierro, caucho, petróleo, agua, gas, electricidad, y camiones1 . La definición de un bien se asimila al caso de la tierra, cuya cantidad con condiciones especificadas, ubicación, y fecha se expresa, por ejemplo, mediante un número real de hectáreas. ii) Por su parte, también los servicios se determinan mediante fecha y lugar de ubicación. El primer ejemplo es la mano de obra humana; otro ejemplo es el servicio de un camión cuya cantidad se mide por el tiempo que dura su uso; inclusive el uso de una habitación de hotel cuya cantidad se mide por el número de dı́as u horas de ocupación; servicios de transporte, de mantenimiento, de lavanderı́a, de salón de belleza,etc, pueden ser también incluidos en esta categorı́a de mercancı́as.

Asumiremos que, durante todo el perı́odo de estudio, existen l mercancı́as fijas, y que este número no varı́a. Al espacio Rl se le llamará el espacio de mercancı́as.

b).

Comportamiento de los consumidores

Se define un consumidor es un individuo (por ejemplo, una ama de casa) o un grupo de individuos (por ejemplo, una familia) con un objetivo unificado. El objetivo de cada consumidor es elegir un plan de consumo; es decir, una especificación de las cantidades de bienes a consumir y de las cantidades de trabajo a ofrecer, al comienzo del perı́odo (y para todo el 1

Aquı́, para aceptar la noción de convexidad y, por tanto, de divisibilidad de mercancı́as, y asumiendo la disponibilidad de cantidades enteras de los camiones, Debreu asume que hay una “gran número” de ellos. Reconocen esto como una limitación del “estado presente del desarrollo de la Economı́a”. (p.30)

204

Equilibrio económico walrasiano

perı́odo). Las cantidades de bienes a consumir se representan mediante números positivos y las cantidades de las distintas clases de trabajo a ofrecer se representan mediante números negativos. Al conjunto de todos los planes de consumo se le denomina conjunto de consumo. Bajo ciertas condiciones, que más adelante se precisarán, el problema que debe resolver el consumidor puede plantearse como la maximización de una función de utilidad que representa sus preferencias sobre el conjunto de consumo.

Existe un número entero positivo m de consumidores. Cada consumidor está indizado por i = 1, . . . , m. El i-ésimo consumidor elige un vector, su plan de consumo xi , en un subconjunto no vacı́o de Rl , su conjunto P de consumo Xi . Dado un consumo xi para cada P consumidor, x = i xi se llama el consumo total; el conjunto X = i Xi se llama el conjunto de consumo agregado. Supondremos aquı́ para efectos de la prueba de existencia del equilibrio que, para todo i: (a.1) Xi es cerrado. (a.2) Xi es convexo. (a.3) Xi tiene una cota inferior estricta para ≤; es decir, existe un αi tal que αi ≪ xi para todo xi ∈ Xi .

Sobre Xi se define un preorden completo 4i (relación reflexiva, transitiva y completa sobre Xi ) tal que:

(b.1) No existe consumo de saciedad en Xi ; es decir, no existe x′i ∈ xi tal que x′i 4i xi para todo xi ∈ Xi . (b.2) Para todo x′i ∈ Xi , los conjuntos {xi ∈ Xi | xi 4i x′i } y {xi ∈ Xi | xi <i x′i } son cerrados en Xi . (b.3) Si x1i y x2i son dos puntos de Xi , y si t ∈ (0, 1), entonces x2i 4i xli implica tx2i + (1 − t)xli 4i xli . (c) Si Wi es el vector de dotaciones iniciales del i-ésimo consumidor, entonces existe x0i ∈ Xi tal que x0i ≪ Wi .

Y con estas hipótesis comenzamos a avanzar en la descripción del sector de consumidores del modelo. El primer lema permite “cardinalizar” el

205

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

preorden de preferencias 4i del consumidor i al asignar un número a cada nivel de satisfacción.

Lema 1. (Existencia de una función de utilidad) Para cada consumidor i, bajo (a2) y (b2) existe una función continua Ui : Xi −→ R tal que Ui (x′i ) ≤ Ui (x′′i ) si, y sólo si x′i 4i x′′i .

Al nivel de precios p (que siempre supondremos ≥ 0, por razones que más adelante se esclarecerán), definimos el presupuesto del consumidor i, notado wi , ası́: wi = p · Wi Esto es, la suma de las cantidades de las mercancı́as que tiene el consumidor, multiplicadas por sus respectivos precios por unidad.

Sea ahora Ti (p) = {xi ∈ Xi | pxi ≤ wi } el conjunto de planes de consumo factibles a un determinado nivel de precios. Y bajo las hipótesis del lema anterior, sea Si = {p| existe xi ∈ Ti (p) tal que Ui (xi ) es máximo en Ti (p)} Estos son los niveles de precios para los cuales el consumidor puede maximizar su satisfacción con un plan de consumo factible, dado su presupuesto.

U2 U1 curvas de isoutilidad

U0 recta de presupuesto

ocio

trabajo

Figura 1

206

Equilibrio económico walrasiano

Lema 2.

Bajo (a1), (a2), (b2) y (c), si suponemos que Xi es acotado, se cumple que Si 6= ∅.

Podemos entonces definir la correspondencia de demanda del i-ésimo consumidor, ası́: Di : Si −→ xi p 7−→ Di (p) = {xi ∈ Ti (p)/U (xi ) es máximo en Ti (p)} Es decir, dado un nivel de precios, esta correspondencia le asigna todas las posibles canastas de consumo que maximizan la satisfacción del individuo de acuerdo a su restricción de presupuesto.

Lema 3.

Bajo (b1), (b2), (b3), si xi ∈ Di (p) entonces pxi = wi .

Es decir, para maximizar su satisfacción, el consumidor debe gastar todo su presupuesto y, por lo tanto, no puede mantener ningún tipo de inventario.

Lema 4.

Bajo (a1), (a2), (b1), (b2), y (c), además de suponer que Xi es acotado, la correspondiente demanda de Di es semicontinua superiormente.

Lema 5.

Bajo (b1), si xi ∈ Di (p) entonces p 6= 0.

Este lema nos indica que si el consumidor está maximizando su satisfacción a niveles de precios dados, y no es un consumidor que se sacie, entonces no todas las componentes del vector precios son nulas, es decir, no todos los bienes son gratuitos (ó libres).

c).

Comportamiento de los productores

Un productor, por su parte, es una abstracción, tanto sobre las formas legales de organización (corporación, propietario independiente, etc.), como sobre los tipos de actividad (agricultura, manufactura, construcción, servicios, etc.). Cada productor debe elegir un plan de producción; es decir, una especificación de las cantidades de insumos necesarias para producir unas determinadas cantidades de productos, para el perı́odo

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

207

en el que se desarrolla la actividad económica. Los insumos se representarán mediante números negativos y los productos mediante números positivos. Al conjunto de todos los planes de producción se le denomina conjunto de producción.

Existe un número entero positivo n de productores. Cada productor está indizado por j = 1, . . . , n. El j-ésimo productor elige un vector, su plan de producción yj , en un subconjunto no vacı́o de Rl , que es su conjunto de producción Yj .

P Dada una producción yj para cada productor, llamaremos a y = j yj P la producción total; y el conjunto Y = j Yj se llamará el conjunto de producción agregado. Consideramos aquı́, para efectos de la prueba de existencia del equilibrio que, para todo j: (d1) 0 ∈ Yj

(posibilidad de no-acción)

(d2) Yj es cerrado (d3) Yj es convexo (d4) Yj ∩ (−Yj ) = {0} (ningún proceso productivo puede ser reversible; es decir, no se pueden obtener nuevamente los insumos a partir de los cuales fue fabricado el bien) (d5) −Rl+ ⊆ Yj , donde Rl+ = {x ∈ Rl | x ≥ 0} (libre disponibilidad de insumos 2 ) La hipótesis (d3) es, tal vez, la que tiene más fuertes implicaciones sobre el comportamiento de la producción y esto merece un poco más de aclaración, y comenzamos con tres definiciones muy importantes en la teorı́a de la producción. Dada una producción yj , cambiar la escala de operaciones es multiplicar yj por un número t > 0. En Yj se tienen rendimientos no-decrecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y t < 1 se tiene que tyj ∈ Yj . A su vez, en Yj se tienen rendimientos no-crecientes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y t > 1 se tiene que tyj ∈ Yj . Y, finalmente, en Yj se tienen rendimientos constantes a escala si para cualquier yj ∈ Yj y t > 1 se tiene que tyj ∈ Yj .

2

Nótese cómo esta hipótesis impide un análisis serio desde esta perspectiva, de problemas asociados con nociones de equilibrio para recursos no-renovables.

208

Equilibrio económico walrasiano

Un resultado que relaciona la hipótesis (d3) con los rendimientos a escala, y especifica bien las limitaciones del modelo Arrow-Debreu, es el siguiente: Lema 6.

Bajo (d1) y (d3), el conjunto de producción Yj tiene rendimientos nocrecientes o constantes a escala.

Ahora definamos el conjunto de producción total de la Economı́a como Y =

k X

Yj

j=1

Este es el conjunto de todos los posibles planes de producción conjunta en la economı́a. Ası́, si y ∈ Y , es decir, si y = y1 +y2 +...+yk con yj ∈ Yj , j = 1, 2, ..., k, obsérvese que se cancelan todas las mercancı́as que se transfieren entre productores. Por lo tanto, las coordenadas positivas de y representan productos que no han sido transferidos, en su totalidad, al sector productivo; y las coordenadas negativas representan insumos de productos que no han sido transferidos, en su totalidad, desde el sector productivo.

Y con esta definición podemos mostrar que el comportamiento “macro” de esta economı́a es similar a su comportamiento “micro”: Lema 7. Bajo (d1), (d2), (d3), (d4), (d5) para todo j = 1, 2, ..., k, tendremos que Yj satisface las mismas condiciones de Y ; es decir: (d1′ ) 0 ∈ Y (posibilidad de no-acción total). (d2′ ) Y es cerrado. (d3′ ) Y es convexo. (d4′ ) Y ∩ (−Y ) = {0} (irreversibilidad total). (d5′ ) Y ⊆ Rl+ (disponibilidad de insumos totales).

Ahora: Dado un sistema de precios p y un plan de producción yj , el beneficio de j -ésimo productor es pyj = ingresos − egresos.

209

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu producto

conjunto de producción

recta de isobeneficio

insumo

Figura 2

Definamos Tj = {p | existe yj ∈ Yj tal que p · yj es máximo} Este es el conjunto de precios para los cuales el productor puede tener un plan de producción que le maximice el beneficio. Es fácil utilizando el teorema de Weierstrass (ver Monsalve (2008)(Volumen II))) que: Lema 8.

Bajo (d2), con Yj acotado, se tiene que Tj 6= ∅.

Podemos entonces, bajo estas hipótesis, definir la correspondencia de oferta del j -ésimo productor, ası́: Oj : Tj −→ Yj p 7−→ Oj (p) = {yj ∈ Yj | p · yj es máximo sobre Yj } Es decir, los planes de producción que, a un nivel de precios dado, le maximizan el beneficio. Y ası́ podemos construir la función de beneficio del j -ésimo productor como πj : Tj −→ R p 7−→ πj (p) = pyi para yi ∈ Oj (p)

210

Equilibrio económico walrasiano

Lema 9.

Bajo (d2), si suponemos que Yj es acotado, la correspondencia de oferta Oj es semicontinua superiormente sobre Tj .

Lema 10.

Sea yj ∈ Yj , j = 1, 2, ..., k, p un vector de precios y y = y1 + y2 + ... + yk la producción total; entonces y maximiza el beneficio de Y a los precios p si y solo si yj maximiza el beneficio de Yj para todo j.

Lema 11.

Bajo (b1), (d5), si p ∈ Tj , entonces p ≥ 0, p 6= 0.

En estos modelos pueden aparecer precios negativos, lo cual tiene algunas implicaciones con respecto al funcionamiento del mercado walrasiano. Pero el lema anterior muestra que, bajo (d5) (libre disponibilidad de insumos), estos no pueden surgir.

Lema 12.

Bajo las hipótesis (d1), (d2), (d3), (d4), y (d5), Yj + R l ⊆ Yj Es decir, si a un plan de producción posible se le adicionan algunos insumos, el plan debe seguir siendo posible.

d).

Los conceptos de economı́a y equilibrio walrasiano

Al comienzo del perı́odo existen unos consumidores,unas dotaciones individuales de mercancı́as, unas funciones de utilidad, y también unos productores con sus restricciones tecnológicas. Arrow y Debreu (1954) le dan una estructura formalista a esto, y lo llamarán una economı́a. Ésta la definen por los conjuntos de consumo completamente preordenados por una relación de preferencia, los conjuntos de producción individuales, y las dotaciones iniciales agregadas. Por su parte, en una economı́a de propiedad privada, los consumidores son los dueños de las firmas; es decir, poseen una participación en los beneficios de las mismas y poseen todas las dotaciones iniciales. Luego una economı́a de propiedad privada se define por los conjuntos de consumo completamente preordenados por una relación de preferencia; los conjuntos de producción individuales; las participaciones de los consumidores en los beneficios de los productores;

211

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

y las dotaciones iniciales de los consumidores, cuya suma son las dotaciones agregadas. El teorema de existencia probado por Debreu(1959) se refiere a una economı́a de propiedad privada, pero se mostrará más adelante que la estructura del modelo Arrow-Debreu admite economı́as que no son necesariamente de propiedad privada, para las cuales también existe un equilibrio.

Definición 1. (Economı́a) Una economı́a consiste en: Para cada consumidor i = 1, . . . , m, un subconjunto no vacı́o Xi del espacio de mercancı́as Rl , completamente preordenado por 4i ; para cada productor j = 1, . . . , n, un subconjunto no vacı́o Yj de Rl ; y, para cada consumidor, una dotación inicial, wi , de mercancı́as en Rl . Ası́, una economı́a es una tripla de la forma E = ((xi , i ), (yi ), w) Definición 2. (Economı́a de propiedad privada) Una economı́a de propiedad privada es una economı́a E P = ((Xi , 4i l ), (Yj ), w) donde para cada i, existe un punto wi ∈ R tal que i wi = w; y para cada par (i, j), existe un número real no-negativo θij tal que P i θij = 1 para todo j, que representa la participación del i-ésimo consumidor en los beneficios del j-ésimo productor. En este caso, el presupuesto del i-ésimo consumidor (a los precios p), estarı́a dado por Wi = pwi +

k X

θij πj (p)

j=1

y, por supuesto, los recursos totales de la economı́a serı́an W =

n X

Wi

i=1

Por su parte, un estado de una economı́a es una (k + l)-pla de puntos de Rm , (x1 , x1 , ...,xl , y1 , y2 , ...,yi , ...,yk ) donde xi ∈ Xi , yi ∈ Yi , y que simplificamos por ((xi ), (yi )).

La demanda neta en un estado ((xi ), (yi )) de la economı́a es x − y donde

212

Equilibrio económico walrasiano x=

l P

xi ,

y=

i=1

k P

yj

j=1

Al formar x − y se cancelan todas las mercancı́as transferidas entre los agentes de la economı́a (cada una de estas transferencias aparece una vez como “input”, con signo positivo, y otra vez como “output”, con signo negativo). Por consiguiente, x − y describe el resultado neto de la actividad conjunta de los agentes.

El exceso de demanda del estado ((xi ), (yi )) es z =x−y−W Este describe el exceso de la demanda neta de todos los agentes sobre todos los recursos de la economı́a.

Un equilibrio de mercado es un estado ((xi ), (yi )) en el que el exceso de demanda es 0; es decir, x−y =W Ası́ que la demanda neta de todos los agentes iguala a los recursos totales.

Ahora, si ((xi ), (yi )) es un equilibrio de mercado de la Economı́a, entonces diremos que i) xi es un consumo de equilibrio de mercado; al conjunto de i-ésimos consumos de equilibrio de mercado lo notamos Aic ii) yj es una producción de equilibrio de mercado; al conjunto de jésimos planes de producción de equilibrio de mercado, lo notamos Ajp Definición 3. (Equilibrio walrasiano) Un equilibrio walrasiano de la economı́a de propiedad privada es una tupla ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) de puntos de Rl tal que: 1. x∗i es un mayor (con respecto a i ) de {xi ∈ Xi | P elemento ∗ ∗ ∗ ∗ p xi ≤ p wi + j θij p yj } para 4i , para todo i. {Obsérvese que aquı́ la parte del presupuesto correspondiente a salarios aparece en el término p∗ xi pero con signo negativo y ası́, trasponiendo este término al otro lado de la desigualdad, harán parte del presupuesto del consumidor.}

213

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu 2. yj∗ maximiza el beneficio relativo a p∗ sobre Yj , para todo j.

3. x∗ − y ∗ = w (equilibrio de mercado). Nótese que al formar x∗ − y ∗ se cancelan todas las mercancı́as transferidas entre los agentes de la economı́a (cada una de estas transferencias aparece una vez como insumo con signo positivo, y otras como producto con signo negativo). Por consiguiente x∗ − y ∗ describe el resultado neto, en equilibrio, de la actividad conjunta de los agentes, que se reduce a las dotaciones agregadas iniciales.

Definimos ahora la correspondencia de exceso de demanda total: z : Rm + →Z =X −Y −W

p 7→ z(p) = D(p) − O(p) − W

donde D(p) =

l P

i=1

Di (p),

O(p) =

k P

Oj (p)

j=1

se denominan la correspondencia de demanda total y la correspondencia de oferta total, a los precios p. Allı́, por supuesto, Rm + = {x ∈ R| x ≥≥ 0} Lema 13.

Una economı́a de propiedad privada tiene un equilibrio si, y sólo si, existe p∗ ∈ Rl+ tal que 0 ∈ z(p∗ ).

Es simple probar, utilizando la definición 7, el siguiente resultado: Lema 14. ((x∗i )(yj∗ ), p∗ ) es un equilibrio si, y sólo si, ((x∗i )(yj∗ ), tp∗ ) es un equilibrio para todo t > 0.

A través del lema 14 se sustenta una de las afirmaciones más importantes del modelo: Se puede tomar el precio de una de las mercancı́as como “numerario”, es decir, como patrón de valor y representar los precios de las otras mercancı́as en términos de éste. 3 Y también se puede probar una proposición que, como veremos, caracteriza el tipo de aproximación walrasiana al análisis de los mercados: 3 También por este motivo se dice (de manera imprecisa) que en el modelo ArrowDebreu no tiene cabida el dinero a menos que solo tenga el papel de medio de cambio y no de activo financiero (ver capı́tulo 6).

214

Equilibrio económico walrasiano

Lema 15. (Ley de Walras) Bajo las condiciones (a1), (a2), (b1), (b2), (b3), (c), para p ∈ Rm + , se tiene que p · z(p) = 0.

Según el lema 14, si p∗ es un sistema de precios de equilibrio entonces podemos suponer que m P p∗ ∈ P = {p ≥≥ 0/ ph = 1} (simplex unitario) h=1

El siguiente es uno de los principales apartes a la teorı́a económica en el siglo pasado: Teorema 1. (Existencia del equilibrio walrasiano) Si la economı́a de propiedad privada E = ((Yj ), (Xi , i , Wi , θij )) satisface (a1), (a2), (b1), (b2), (c9), (d1), (d2), (d3), (d4), (d5) tiene un equilibrio walrasiano.

Demostración 1. Por el Lema 13, el conjunto de equilibrios de mercado para la economı́a es compacto; y también son compactos los conjuntos; Aic y Ajp . Sea K un cubo cerrado de Rm centrados en el origen que fi = contiene en su interior estos (l + k) conjuntos, definamos X e Xi ∩ K, Yj = Yj ∩ K, y consideremos la economı́a ei , i , Wi , θij )) e = ((Yej ), (X E

e Según el 2. Probemos que existe un equilibrio para la economı́a E. ∗ lema 15, es suficiente probar que existe p ∈ P tan que 0 ∈ ze(p∗ ).

Lo haremos en varios pasos: e = X e − Ye − {w} es compacto, convexo y no i) Puesto que Z vacı́o, entonces P × Ze también es compacto, convexo y no vacı́o. ii) La correspondencia u e : Ze −→ P definida para s ∈ Ze por u e(s) = {p ∈ P | ps es máximo} es semicontinua superiormente, lo que se demuestra de la misma manera que para las correspondencias de demanda y oferta (lemas C4 y P4). También se prueba fácilmente que u e(s) es un conjunto convexo.

215

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu iii)

ϕ : P × Ze −→ P × Ze (p, s) 7−→ (e u(s), ze(p))

donde ze(p) es la correspondencia de exceso de demanda para e la E-economı́a que es semicontinua superiormente, pues u e lo es según ii) arriba; y ze lo es porque las correspondencias de demanda y oferta lo son.

iv) Puesto que los conjuntos u e(s) y ze(p) son convexos, no vacı́os, entonces u e(s) × ze(p) es convexo y no vacı́o.

v) Podemos aplicar entonces el teorema de punto fijo de Kae tales que (p∗ , s∗ ) ∈ kutani4 para encontrar p∗ ∈ P, s∗ ∈ Z, ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ e ϕ(p , s ); es decir, p ∈ u (s ), s ∈ Z(p∗ ) y ası́, p∗ s∗ ≥ ps∗ para todo p ∈ P y p∗ s∗ = 0 (Lema 16). Luego ps∗ ≤ 0 para todo p ∈ P y tomando p′ s apropiados, llegamos a que s∗ ≤ 0, e ∗ ). Luego s∗ ∈ Z(p s∗ ≤≤ 0,

s∗ =

l P

i=1

x∗i −

k P

j=1

yj − W

e ∗ ), yj ∈ O ej (p)∗ . donde x∗i ∈ D(p Sea y =

k P

j=1

yj ; entonces y ∈ Y , y por el lema 11, y + s∗ ∈ Y ;

luego existen yj∗ ∈ Y , tales que y + s∗ =

k P

j=1

yj∗

Uniendo las tres últimas igualdades, obtenemos l P

i=1

x∗ −

k P

j=1

yj∗ = w

e ∗ ). es decir s∗ = 0 o bien 0 ∈ Z(p

3. No es ya difı́cil probar, mediante los Lemas 7 y 10, que ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) es también equilibrio para la economı́a E.

4

El teorema de punto fijo de Kakutani dice: “Si X es un conjunto de vectores compacto, convexo y no vacı́o, y f : X −→ X es una correspondencia semicontinua superiormente tal que para todo x ∈ X, f (x) es no vacı́o y convexo, existe p ∈ X tal que p ∈ f (p).” (ver Monsalve (2008) (Volumen III))

216

Equilibrio económico walrasiano

3.

Debilitamiento de las condiciones de existencia (Debreu (1962))

4.

Los dos teoremas de la economı́a del bienestar

En 1951-1952, Arrow y Debreu, separadamente, trataban y resolvı́an otro de los problemas centrales de la teorı́a del equilibrio general: el problema de las caracterı́sticas de bienestar económico de los equilibrios walrasianos. Veamos cómo Definición 4. (Estado sostenible) a) Un estado ((xi ), (yi )) de E se dice sostenible si satisface: xi ∈ Xi para todo i, yj ∈ Yj para todo j, x − y = w. Es decir, un estado ((xi ), (yi )) es sostenible si xi es un consumo posible para el i-ésimo consumidor, i = 1, 2, ..., m, yj es una producción posible para el j -ésimo productor, j = 1, 2, ..., n, y es un equilibrio de mercado. b) Dada una economı́a E, un consumo xi para el i-ésimo consumidor es sostenible si existe un estado sostenible cuya componente correspondiente a este consumidor es xi . El conjunto de todos sus consumos sostenibles es llamado su conjunto de consumo sostenible.

Definición 5. (Óptimo de Pareto) a) Un preorden sobre el conjunto A de estados sostenibles de una economı́a E por ((xi ), (yj )) ((x′i ), (yj′ )), si, para todo i, xi i x′i . b) Un óptimo de Pareto de E es un elemento maximal de A para .

Es decir, un estado ((xi ), (yi )) es óptimo de Pareto si no existe otro estado sostenible ((x′i ), (yj′ )) tal que para todo i, xi i x′i y para al menos un i para el cual xi ≺i x′i .

Un óptimo de Pareto es un estado sostenible para el cual no existe un estado sostenible tal que todos los consumidores se encuentren por lo menos en la misma situación, en términos de preferencia, y al menos alguno de ellos mejore.

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

217

Teorema 2. (Existencia de un óptimo de Pareto) La economı́a E = ((Xi , i ), (Yi ), w) tiene un óptimo de Pareto si para todo i, (a) Xi es cerrado, convexo y tiene una cota inferior para ≤, (b) para todo x′i en Xi , los conjuntos {xi ∈ Xi /xi i x′i } y {xi ∈ Xi /xi i x′i } son cerrados en Xi ; (c) Y es cerrado, convexo, y satisface Y ∩ Rl+ = {0}, (d) w ∈ X − Y

Ver la prueba en Debreu [1959].

Teorema 3. (Primer teorema de la economı́a del bienestar) Sea E una economı́a tal que, para todo i, (a) Xi es convexo, (b) Si x1i y yi2 son dos puntos de Xi , y si t es un número real en (0, 1), entonces x2i ≻i x1i implica tx2i + (1 − t)x1i ≻i x1i .

Un equilibrio ((x∗i ), (yi∗ )) relativo a un sistema de precios p, donde ningún x∗i es un consumo de saciedad, es un óptimo de Pareto.

Ver la prueba en Debreu [1959].

Teorema 4. (Segundo teorema de la economı́a del bienestar) Sea E una economı́a tal que, para todo i, (a) Xi es convexo, (b.1) Para todo xi en Xi , los conjuntos {xi ∈ Xi /xi i x′i } y {xi ∈ Xi /xi i x′i } son cerrados en Xi , (b.2) Si x1i y x2i son dos puntos de Xi , y si t es un número real en (0, 1), entonces x2i ≻i x1i implica tx2i + (1 − t)x1i ≻i x1i , (c) Y es convexo.

Dado un óptimo de Pareto ((x∗i ), (yj∗ )) donde algún x∗i no es un consumo de saciedad, existe un sistema de precios diferente de cero, tal que ((x∗i ), (yj∗ )) es un equilibrio relativo a p, siempre que px∗i 6= mı́n pXi .

Ver la prueba en Debreu [1959].

218

5.

Equilibrio económico walrasiano

El problema de la unicidad del equilibrio walrasiano

1. Walras negaba la posibilidad de múltiples equilibrios en el caso de intercambio que involucre más de dos mercancı́as (§ 156)(AMPLIAR ESTO).

2. Wald anticipó el axioma de preferencia revelada para la unicidad de equilibrios (AMPLIAR ESTO).

3.En la monografı́a Theory of Value de 1959, Debreu sólo se refiere a los problemas de unicidad y estabilidad en una breve nota. En 1970, en su artı́culo Economies with a Finite Set of Equilibria, mostraba que, bajo hipótesis de diferenciabilidad sobre las funciones demanda de los individuos, las situaciones de multiplicidad de equilibrios en economı́as walrasianas, no son un caso atı́pico pero que, sin embargo, en caso de multiplicidades, cada equilibrio es localmente único. Éste es quizás el primer esfuerzo por formular comportamientos que, aunque no son universales, sı́ son genéricos (ver The Application to Economics of Differential Topology and Global Analysis: Regular Differentiable Economies (1976)). Las técnicas de la topologı́a diferencial utilizadas aquı́ serı́an en adelante aplicadas a otros problemas económicos teóricos en los que genericidad es lo más que se puede obtener.

Introducimos ahora un concepto que se ha mostrado muy importante al tratar de estudiar la unicidad del equilibrio walrasiano: Definición 6. (Sustitución bruta entre mercancı́as) Una mercancı́a i es sustituta bruta de una mercancı́a j al vector de precios p si pi = p′i para todo i 6= j, pj < p′j implica zi (p) < zi (p′ ) para i 6= j, donde p = (p1 , . . . , pl ) y p′ = (p′1 , . . . , p′l ); es decir, la mercancı́a i se dice sustituta bruta de la mercancı́a j al vector de precios p, si al disminuir (aumentar) el precio de la mercancı́a j, disminuye (aumenta) el exceso de demanda de la mercancı́a i.

El siguiente teorema da condiciones suficientes para la unicidad del equilibrio walrasiano (salvo una multiplicación por escalar): Teorema 5. (Unicidad del equilibrio) Si las funciones de exceso de demanda agregada satisfacen la sustituibilidad bruta de las mercancı́as, entonces el vector de precios de equilibrio p* es único, salvo una multiplicación por escalar.

219

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

Ejemplo 1. (Economı́a con infinitos equilibrios) Aunque lo usual es encontar ejemplos de economı́as de intercambio con un sólo equilibrio, no es corriente encontrar, en los libros de texto, ejemplos con infinitos equilibrios. Sin embargo, como lo mostrara Herbert Scarf (1960) 5 en su famoso contraejemplo, esto ocurre muy comúnmente en el caso de sustitución no-bruta entre mercancı́as. Por ejemplo, si la economı́a es UA (xA , yA ) = mı́n{xA , yA },

wA = (1, 0)

UB (xB , yB ) = mı́n{xB , yB },

wA = (0, 1)

ya sabemos que sus equilibrios walrasianos son, todos, de la forma P 1 = yA ; xB = = yB 1+P 1+P como el lector puede comprobar. N px = P ≥ 0; py = 1; xA =

Dierker (1972)6 y Mas-Colell(1977)7 mostraron, utilizando el teorema de punto fijo de Brouwer, que inclusive bajo ciertas hipótesis de diferenciabilidad sobre las funciones demanda de los individuos (que en los ejemplos más ilustrativos se cumplen), podrı́an contarse el número de equilibrios de una economı́a Arrow-Debreu de intercambio. Definieron el llamado ı́ndice de un equilibrio, como el signo del determinante del negativo de la matriz jacobiana de la función exceso de demanda evaluada en equilibrio, a la que se le ha quitado la primera fila y la primera columna. Un resultado aquı́ es que la sumatoria de los ı́ndices de todos lo equilibrios es siempre +1; y esto nos lleva a afirmar que (cuando es finito) el número de equilibrios de estas economı́as es siempre impar, y que un equilibrio es único si, y sólo si, el ı́ndice es +1 en cada equilibrio potencial.

Mas-Colell (1985)8 y Kehoe (1985)9 extendieron estos resultados a economı́as Arrow-Debreu con producción, obteniendo, practicamente, los 5

Scarf, Herbert (1960), Some Examples of Global Instability of the Competitive Equilibrium, International Economic Review.

6 Dierker, Egbert (1972), Two Remarks on the Number of Equilibria of an Economy, Econometrica.

7 Mas-Collel, Andreu (1975), On the Equilibrium Price Set of an Exchange Economy, Journal of Mathematical Economics.

8 Mas-Colell, Andreu (1985), The Theory of General Economic Equilibrium: A Differentiable Approach, Cambridge University Press.

9 Kehoe, Timothy J. (1985), Multiplicity of Equilibria and Comparative Statics, Quarterly Journal of Economics.

220

Equilibrio económico walrasiano

mismos resultados “genéricos” de Debreu (1970). En el artı́culo de 1985, Kehoe construye, sin embargo, una economı́a Arrow-Debreu (con producción) que tiene tres equilibrios. Este ejemplo muestra una economı́a con “buenas” caracterı́sticas en la que, no obstante, surge la multiplicidad de equilibrios debido a la inclusión de funciones de producción lineales en el sector productivo.

Ejemplo 2. (Economı́a de producción con tres equilibrios) Considere la economı́a con m=4 consumidores y n=4 productores. Los consumidores tienen funciones de utilidad para i = 1, 2, 3, 4, de la forma Ui =

4 X

γji log xij

j=1

donde las constantes γji están dadas por los coeficientes aji de la matriz 

 0,52 0,86 0,5 0,06  0,4 0,1 0,2 0,25    0,04 0,02 0,2975 0,0025 0,04 0,02 0,0025 0,6875 y las dotaciones iniciales wji están matriz  50 0  0 50  0 0 0 0

dadas por los coeficientes bji de la  0 0 0 0   400 0  0 400

Por su parte, el sector productivo de la economı́a está determinado por la matriz 4 × 6   −1 0 0 0 6 −1  0 −1 0 0 −1 3    0 0 −1 0 −4 −1 0 0 0 −1 −1 −1 Después de algunos cálculos (con computador) se encuentran los siguientes tres equilibrios. La entrada cji de las matrices corresponde a la asignación xij (consumidor i, mercancı́a j):

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

221

Equilibrio 1:   26,000 43,000 200,000 24,000 20,000 5,000 80,000 100,000    2,000 1,000 119,000 1,000  2,000 1,000 1,000 275,000 Vector de precios: P = (0,25, 0,25, 0,25, 0,25) Equilibrio 2:   26,000 67,431 48,490 83,089 12,754 5,000 12,368 220,771    8,249 6,468 119,000 14,280  0,578 0,453 0,070 275,000 Vector de precios: P = (0,15942, 0,25, 0,03865, 0,55193) Equilibrio 3:   26,000 39,072 224,362 14,499 22,001 5,000 98,768 66,485     1,783 0,810 119,000 0,539  3,311 1,504 1,857 275,000 Vector de precios: P = (0,27514, 0,25, 0,30865, 0,16621) ¿Por qué la inclusión de funciones de producción lineal en esta economı́a, lleva a la aparición de múltiples equilibrios?

6.

El problema de estabilidad del equilibrio walrasiano: el tâtonnement de Walras

La idea del tâtonnement claramente apareció en la mente de Walras al observar los mercados de la Bolsa y, particularmente, el Paris Stock

222

Equilibrio económico walrasiano

Exchange, donde nunca se realizaban transacciones fuera del equilibrio (ver Jaffé (1981), discutiendo sobre el tâtonnement (History of Political Economy)).

Consideremos la siguiente regla de ajuste de precios, asimilada como el original “tâtonnement” walrasiano de una economı́a de intercambio puro de l mercancı́as dpi (t) = zi (p(t)), dt

para i = 1, . . . , l

(*)

donde las funciones de exceso de demandazi (·) están definidas sobre el interior de Rl+ y se suponen continuamente diferenciables; sea y p(t) = (p1 (t), . . . , pl (t)) el vector de precios en el tiempo t.

Esta regla de ajuste de los precios considera que la economı́a es, en lo demás, estacionaria; es decir, que los conjuntos de consumo, las preferencias de los consumidores, los conjuntos de producción y las dotaciones iniciales no varı́an. La regla de tâtonnement expresa en una forma dinámica la famosa ley de la demanda: en cada instante del tiempo se incrementará el precio de aquellas mercancı́as para las cuales exista un exceso de demanda, y se reducirá el precio en las cuales se observe un exceso de oferta. Como se mostrará, esta regla por sı́ misma no garantiza que, a partir de un vector (si es único) de precios inicial, la economı́a tienda a través del tiempo al equilibrio. Se requieren condiciones adicionales bastante fuertes sobre las funciones de exceso de demanda de cada mercancı́a.

Teorema 6. (Allais (1943)) Sea p∗ un vector de precios de equilibrio. Si las funciones de exceso de demanda de las mercancı́as satisfacen la condición de sustituibilidad bruta para p∗ , entonces p∗ es asintótica y globalmente estable bajo la dinámica del tâtonnement.

Demostración.

P Derivando, con respecto a t, la función D(t) = j (pj (t) − p∗j )2 , obtenemos que para p 6= p∗ , Ḋ(t) = 2

X j

ṗj (pj − p∗ ) = 2

X j

(pj − p∗ )(zj (p)) = −2

X j

p∗j zj (p) < 0

223

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

señalando que, partiendo del desequilibrio, D(t) decrece a medida que t crece.

El teorema anterior exige una condición bastante restrictiva: el equilibrio es globalmente estable si todas las mercancı́as son sustitutas brutas a todos los niveles de precios.

Ejemplo 3. (Un ejemplo de tâtonnement ) Consideremos una economı́a de intercambio puro uA (xA , yA ) = xA yA

uB (xB , yB ) = xB yB

con dotaciones wA = (1, 2)

wB = (2, 2)

Aquı́, las funciones de exceso de demanda son 2py 3 − px 2 3px zy (px , py ) ≡ yA (px , py ) + yB (px , py ) − (wyA + wyB ) = −2 2py

zx (px , py ) ≡ xA (px , py ) + xB (px , py ) − (wxA + wxB ) =

El único equilibrio walrasiano de esta economı́a competitiva es (tomando como numerario p∗y = 1): 4 p∗x = , 3

7 3 px La dinámica tâtonnement de este ejemplo la podemos escribir, con = py p, ası́: dp 2 3 = − (*) dt p 2 p∗y = 1,

5 x∗A = , 4

5 ∗ yA = , 3

7 x∗B = , 4

∗ yB =

cuyo equilibrio es p∗ = 43 , que es asintóticamente estable, pues la derivada de (*) con respecto a p es menor que cero en p∗ = 43 . Pero también podrı́amos haber utilizado el teorema 22 anterior, al darnos cuenta que las funciones de exceso de demanda son homogéneas de grado cero, satisfacen la ley de Walras y, además, cumplen con la condición de sustituibilidad bruta entre las mercancı́as, pues ∂zx >0 py

y

∂zy >0 px

224

Equilibrio económico walrasiano

N Han pasado más de 50 años desde que Arrow y Debreu dieron las condiciones para la existencia de un equilibrio competitivo. Sin embargo, es muy poco (y muy débil) lo que sabemos acerca de las dinámicas del modelo Arrow-Debreu. Sólo sabemos suficiente del tâtonnement, pero no mucho más. Cuando pensamos en dinámicas walrasianas nos remitimos al ficticio “subastador” creado por el propio Walras. Aquel que, centralizadamente, señala precios guiándose por los excesos de demanda de las mercancı́as, pero que, durante todo este tiempo, asume el resto de la economı́a totalmente fija. Actualmente (ver, por ejemplo, Gintis (2007))10 se intenta modelar estas economı́as como “sistemas adaptativos complejos” que muestran mejor los comportamientos tı́picos de las economı́as de mercado. El reto ahora es construir modelos analı́ticos formales, y no solo computacionales controlados en laboratorio.

7.

Dinámicas no-tâtonnement

8.

El modelo Arrow-Debreu bajo incertidumbre (1968)

La teorı́a del equilibrio general, como casi toda la teorı́a económica hasta 1950, asumı́a que los agentes económicos operaban bajo certidumbre; es decir, que los consumidores, las firmas, los inversionistas, etc., conocı́an correctamente las consecuencias de sus acciones o que al menos actuaban como si ası́ fuera. De esta manera, los productores sabı́an qué productos podrı́an ofrecer a futuro dados los insumos hoy; los inversionistas sabı́an qué precios prevalecerı́an en el futuro para los bienes que planeaban vender desde hoy, etc.

Obviamente, los economistas y los agentes entendı́an que el mundo era incierto. Y la literatura mostraba que el comportamiento económico sólo podı́a ser explicado asumiendo que los agentes estaban advertidos de la incertidumbre. Aún ası́, no existı́a ninguna formulación general que permitiera la integración de la incertidumbre con la teorı́a 10

Gintis, Herbert (2005), The Dynamics of General Equilibrium, The Economic Journal.

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

225

económica estándar. Pero, en la teorı́a del equilibrio general, una simple re-interpretación del concepto de mercancı́a condujo a la extensión de los dos teoremas del bienestar. Hasta los 1950’s, una mercancı́a era un bien o servicio cuyas caracterı́sticas fı́sicas, fecha y lugar de entrega estaban bien especificadas previamente. Bajo incertidumbre, la definición de mercancı́a especifica además un evento exógeno (que podrı́a o no ocurrir para la fecha de entrega); bajo acuerdo de las partes, la fecha de entrega de la mercancı́a está condicionada a la ocurrencia de ese evento. Esto es lo que ahora se conoce como mercancı́a Arrow-Debreu. Fue Arrow, en 1952, con su artı́culo Essays in the Theory of Risk Bearing, quien permitiera una transposición inmediata de los resultados en una economı́a bajo certidumbre a una con incertidumbre, con la ventaja de que esta teorı́a no hace referencia alguna a la noción de probabilidad. La idea, tomada, extendida y enriquecida por Debreu en su artı́culo Economics under Uncertainty (1953, 1959, 1960), y por Roy Radner (1968) era, sin duda, simple (mas totalmente nueva) y llegarı́a a ser (aún hoy lo es) una herramienta estándar del análisis económico.

Para comenzar, advirtamos que aquı́ consideraremos una incertidumbre objetiva, es decir, una incertidumbre que tienen los agentes sobre los estados de la naturaleza. Radner (1968) fue el primero que analiza este tipo de incertidumbre en el modelo A-D. Nosotros respetaremos esto y no consideramos la incertidumbre que surge cuando los agentes actúan estratégicamente; es decir, cuando existe interdependencia entre las decisiones y no se conoce con certeza el resultado de su interacción.

Definición 7.

Sea S un conjunto con un número finito de elementos | S |, llamado el conjunto de estados de la naturaleza. Los estados S son mutuamente excluyentes y están por fuera del control de cualquiera de los agentes.

Definición 8. (Mercancı́a A-D bajo incertidumbre) Una mercancı́a A-D bajo incertidumbre es un bien o servicio que está caracterizado, además de sus propiedades fı́sicas, temporales y espaciales, por el estado de la naturaleza en que se encuentra disponible.

Ası́, los bienes con caracterı́sticas fı́sicas idénticas, en una fecha y lugar determinados, pero disponibles en dos estados de la naturaleza diferentes, se consideran dos mercancı́as diferentes. Por ejemplo, una sombrilla

226

Equilibrio económico walrasiano

en una fecha y lugar especı́ficos será una mercancı́a diferente si el dı́a es soleado o lluvioso.

Definición 9. (Economı́a A-D con incertidumbre) La economı́a A-D con incertidumbre está caracterizada ası́: i) Una economı́a con T fechas y C diferentes mercancı́as A-D en cada fecha. Un acto de un agente económico es una T-tupla α = (α1 , α2 , ...., αT ), donde para cada t, α es una función de S en RC .

Para un agente la c-ésima coordenada de αt (s) es la cantidad de la mercancı́a c en la fecha t si s es el verdadero estado de la naturaleza. 11 Un sistema de precios es una T-tupla p = (p1 , p2 , ..., pT ) diferente de cero, donde para cada t, pt es una función de S en RC .

La c-ésima coordenada de pt (s) es el precio de la mercancı́a c en la fecha t si s es el verdadero estado de la naturaleza. Todo acto y todo sistema de precios es un punto LRl , donde l = T xCx | S |.

El producto punto pα representa P elPvalor de un acto a relativo a un sistema de precios p : pα ≡ s t pt (s)αt (s).

ii) Denotemos por St una partición de S sobre la que un agente dado basa sus decisiones en una fecha t. La T-tupla S = (S1 , S2 , ..., ST ) es llamada la estructura de información del agente dado. La estructura de información restringe los actos del agente dado de la siguiente forma: para todo t, todo conjunto M ∈ St , si s, s′ ∈ M , entonces αt (s) = α(s′ ). Sea A(S) el conjunto de todos los actos que satisfacen esta restricción. Este conjunto es un subespacio lineal de L. El subconjunto M en la partición St representa la idea que si el verdadero estado de la naturaleza está en M, entonces la información del agente en la fecha t le permite determinar que el verdadero estado está en M, pero no le permite determinar cual de los estados en M es el verdadero estado. Es decir, el agente realiza el mismo acto en la fecha t para cualquier estado en la naturaleza en M, aunque no conozca cual de los estados en la naturaleza en M es el verdadero. Dado un conjunto de estados de la naturaleza, 11

Para los consumidores, las cantidades de bienes a consumir se representan mediante números positivos, y las cantidades de las distintas clases de trabajo a ofrecer se representan mediante números negativos. Para los productores, los insumos se representan mediante números negativos, y los productos mediante números positivos.

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

227

en una fecha determinada, si todo M en St es un conjunto unitario se dice que el agente tiene información completa con respecto a los estados de la naturaleza, mientras que si St = {S} se dice que el agente no tiene información. iii) El i-ésimo consumidor está caracterizado por: Una estructura de información Si = (Si1 , Si2 , ..., SiT ). Un conjunto de consumo Xi subconjunto de A(Si ), que representa el conjunto de actos factibles para el i-ésimo consumidor. Se define un preorden completo sobre Xi denotado i y se lee “a lo más tan Pbueno como”. Dado un consumo xi para cada consumidor, x = i xi se P llama el consumo total; el conjunto X = i Xi se llama el conjunto agregado. Dado un sistema de precios p y su riqueza ωi , un número real, el i-ésimo consumidor elige su plan de consumo xi en su conjunto de consumo Xi tal que pxi ≤ ωi tal que xi es un mayor elemento para i , sobre el conjunto de planes de consumo que satisfacen la restrición de riqueza. Un plan de consumo elegido de esta forma se llama un consumo de equilibrio del i-ésimo consumidor relativo a p correspondiente a la estructura de información Si .

Una T-tupla wi = (wi1 , wi2 , ..., wiT ) en A(Si ), que representa los recursos del i-ésimo consumidor (wit (s) representa el vector de cantidades de mercancı́as disponibles al consumidor i en la fecha t si s es el verdadero estado de la nauraleza).

Un conjunto de números no negativos θij que representa la participación del i-ésimo consumidor en los beneficios del j -ésimo poP ductor tal que i θij = 1 para todo j.

iv) El j -ésimo productor está caracterizado por:

Una estructura de información Jj = (Jj1 , Jj2 , ..., JjT ). Un conjunto de producción Yj subconjunto A(Jj ), que representa el conjunto de actos factibles para el j-ésimo productor. El j-ésimo productor elige un vector, su plan de producción yj en Yj . Dada una producción P yj para cada productor, y = y se llama la producción total; el j j P conjunto Y = j Yj se llama el conjunto de producción agregado.

Dado un sistema de precios p y una producción yj , el beneficio del

228

Equilibrio económico walrasiano j-ésimo productor se define pyj . El beneficio agregado se define como py. Dado un sistema de precios p el j-ésimo productor elige su producción en su conjunto de producción Yj para maximizar su beneficio. El plan de producción elegido se llama la producción de equilibrio del j-ésimo productor relativo a p correspondiente a la estructura de información Jj .

Definición 10.

Sean u y v dos particiones de S. Se dice que u es tan fina (más particionada) como v si para todo U ∈ u y V ∈ v se satisface o U ⊆ V o U ∩ V = ∅ 12 en la cual cada partición St fuera tan fina como la que se precede. Esto se llama una estructura de información en expansión.

Sean S = (St ) y S ′ = (St′ ). S se dice tan fina como S ′ si, para todo t, St es una partición tan fina como St′ . Para cada consumidor i, Si0 denote la estructura de información menos fina compatible con wi .

Una estructura de información de la economı́a es una (m + n) tupla H = ((Si ), (Jj )) de estructuras de información. H se dice admisible si, para todo consumidor i, St es tan fina como St0 . La estructura de información mı́nima admisible, H 0 , esta definida por

Jjt =

Si = Si0 0 ≡ Jjt

{Rc }

para todo i = 1, ..., m, para todo j = 1, ..., n; t = 1, ..., T

La estructura de información máxima, H 1 , está caracterizada tomando Sit y Jjt como las particiones de información completa.

Para cualquier estructura de información admisible H = ((Si ), (Jj )) para la economı́a, se definen Xi (H) = Xi1 ∩ A(Si ) Yj (H) = Yi1 ∩ A(Ji ) Una economı́a está generada por una estructura de información H tomando Xi (H) como el conjunto de consumo del i-ésimo consumidor, con recursos wi , y con la restricción a Xi (H) de preorden de preferencias original sobre Xi1 ; tomando Yj (H) como el conjunto de producción del j -ésimo productor.

12

Si un agente no olvida la información de una fecha a otra, entonces se podrı́a representar la estructura de información S

229

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

Definición 11.

Un acto ((xi ), (yj )) es sostenible si satisface: xi ∈ Xi para todo i, yj ∈ Yj para todo j, x − y = w. Es decir, un acto ((xi ), (yj )) es sostenible si xi es un consumo posible para cada consumidor yj es una producción posible para cada productor, y es un equilibrio de mercado.

Un acto xi para el i-ésimo consumidor es sostenible si existe un acto sostenible cuya componente correspondiente a este consumidor es xi .

El conjunto de todos sus actos sostenibles es llamado el conjunto de consumo sostenible y se denota Xiˆ.

Definición 12.

Sea D la intersección de todosP los conos con vértice en cero que contienen todos los puntos de la forma i (xi − wi ) donde xi ≻i Xiˆpara todo i. 13

Definición 13.

Una economı́a de propiedad privada ξ está definida por: una economı́a ((Xi , ), (Yj ), w), con una estructura de información H = ((SP i ), (Jj )); para cada i, una T-tupla wi = wi1 , wi2 , ..., wiT en A(Si ) tal que P i wi = w; y para cada par (i, j), un número real no-negativo θij tal que i θij = 1 para todo j.

Definición 14. (Equilibrio walrasiano) Un equilibrio walrasiano de la economı́a de propiedad privada ξ es una tupla ((x∗i ), (yj∗ ), p∗ ) de puntos de Rl tal que: a) x∗i es un mayor elemento de {xi ∈ Xi /p∗ xi ≤ p∗ wi + para i , para todo i.

P

j θij p

∗y∗} j

b) yj∗ maximiza el beneficio relativo a p∗ sobre Yj para todo j. c) x∗ − y ∗ = w (equilibrio de mercado) d) p∗ 6= 0 El siguiente teorema garantiza bajo qué condiciones existe un equilibrio para la economı́a de propiedad privada con incertidumbre, dada una es13

Sea W un subconjunto de Rm y x un punto en W . W se dice un cono con vértice en x si contiene la semirecta x, z, para todo z en W, z 6= x.

230

Equilibrio económico walrasiano

tructura de información para cada agente.14

Teorema 7. (Teorema de existencia de equilibrio bajo incertidumbre) Un equilibrio existe si:15

16

(a1) AX ∩ (−AX) = {0};

para todo i

(a2) Xi es cerrado y convexo, (b1) Para todo consumo xi en Xiˆexiste un consumo en Xi preferido a xi , (b2) Para todo x′i en Xi los conjunto {xi ∈ Xi /xi i x′i } y {xi ∈ Xi /xi i x′i } es convexo; (c1) Y es cerrado y convexo y los interiores relativos de (X − {w}) y Y tienen una intersección no-vacı́a, (c2) (AY − Intc D) ∩ [Xi − {wi }] 6= ∅, donde C = j,

P

A(Si ), para todo

(d1) 0 ∈ Yj , (d2) AX ∩ AY = {0}.

Demostración.

Ver Radner [1968].

14

Puede mostrarse también que existe un equilibrio para cualquier estructura de información de la economı́a compatible con las dotaciones iniciales de los consumidores. Ver Radner (1968, pp 41-42).

15 Sea W un subconjunto de Rm . Para todo k ≥ 0 sea Wk = {x ∈ W/ | x |≥ k} y sea Γ(Wk ) el menor cono cerrado con vértice en cero que contiene a W , denotado AW , se define como la intersección de todos los Γ(Wk ), es decir, AW = ∩k≥0 γ(Wk ).

16 El interior relativo a un conjunto W en Rn es el interior de W relativo a la intersección de todos los hiperplanos lineales que contienen a W . El interior de W relativo a un conjunto C se denotará IntcW .

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

231

A continuación se mostrará la relación que existe entre un óptimo de Pareto correspondiente a una estructura de información dada de la economı́a, y un equilibrio walrasiano relativo a un sistema de precios.

Definición 15. (Óptimo de Pareto) Un preorden es definido sobre el conjunto F de estados sostenibles de una economı́a por ((xi ), (yj )) ((x′i ), (yj′ )), si para todo i, xi i x′i . Un óptimo de Pareto es un elemento maximal de F para i . Es decir, en estado ((xi ), (yj )) es óptimo de Pareto si no existe otro estado sostenible ((x′i ), (yi′ )) tal que para todo i, xi i x′i y para al menos un i, xi i x′i .

Un óptimo de Pareto es entonces un estado sostenible para el cual no existe un estado sostenible tal que todos los consumidores se encuentren por lo menos en la misma situación, en términos de preferencia, y al menos alguno de ellos mejore.

Teorema 8. (Primer teorema de la economı́a del bienestar) Sea una economı́a tal que, para todo i, (a) Xi es convexo, (b) si x1i y yi2 son dos puntos de Xi , y si λ es un número real en (0, 1), entonces x2i ≻i x1i implica [λx2i + (1 − λ)x1i ] ≻i x1i .

Un equilibrio ((x∗i ), (yj∗ )) relativo a un sistema de precios p, donde ningún x∗i es un consumo de saciedad, es un óptimo de Pareto.

Prueba. (Ver Debreu [1959]).

El primer teorema de la economı́a del bienestar muestra cuándo un equilibrio es un óptimo de Pareto. Las condiciones bajo las que se obtiene esta conclusión son bastantes restrictivas: convexidad de los conjuntos de consumo y de las preferencias e insaciabilidad local alrededor de los consumos de equilibrio, para todos los consumidores.

Teorema 9. (Segundo teorema de la economı́a del bienestar) Sea una economı́a tal que, para todo i, a) Xi es convexo, b1) Para todo x′i en Xi los conjuntos {xi ∈ Xi /xi i x′i } y {xi ∈ Xi /xi i x′i } son cerrados en Xi

232

Equilibrio económico walrasiano

b2) Si x1i y x2i son dos puntos de Xi y si λ es un número real en (0, 1) entonces x2i ≻i x1i implica [λx2i + (1 − λ)x1i ] ≻i x1i b3) wi 6= mı́n pXi c) Y es convexo Dado un óptimo ((x∗i ), (yj∗ )) donde algún x∗i , no es un consumo de saciedad, existe un sistema de precios diferente de 0 tal que ((x∗i ), (yj∗ )) es un equilibrio relativo a p.

Prueba. (Ver Debreu (1959)) El segundo teorema de la economı́a de bienestar afirma que dada una asignación óptima de Pareto, ésta puede ser sustentada por un vector de precios diferente de cero. Las hipótesis bajo las cuales se tiene este resultado son aún más restrictivas que las del primer teorema. Además de la convexidad de los conjuntos de consumo y de las preferencias para todos los consumidores, se requiere la continuidad de las preferencias, la exclusión del caso en que la riqueza sea el mı́nimo del conjunto de consumo y la convexidad del conjunto de producción agregado.

Dos observaciones debe hacerse sobre los dos teoremas del bienestar bajo incertidumbre: i) ambos teoremas se mantienen para una estuctura de información dada (H) para la economı́a. Se deben reinterpretar los conjuntos de consumo y producción en los dos teoremas del bienestar como aquellos que son compatibles con la estructura de información dada, es decir, Xi (H) = Xi y Y (H) = Y ; y ii)la hipótesis de convexidad que se requiere en ambos teoremas del bienestar es más restrictiva que la hipótesis de convexidad utilizada en el teorema de existencia de un equilibrio bajo incertidumbre.

9.

10.

El modelo Arrow-Debreu bajo riesgo Cálculo de equilibrios walrasianos (1967)

La Corporación Rand fue creada por la Fuerza Aérea de los Estados Unidos en la creencia de que la naturaleza de los métodos de guerra habı́an cambiado fundamentalmente por los desarrollos tecnológicos y que eran necesarias nuevas ideas. Trabajando allı́, en 1966 Herbert Scarf

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

233

[19-] desarrolló un algoritmo para calcular equilibrios basado en un procedimiento especı́fico para calcular puntos fijos (Scarf (1967)).

a).

El algoritmo de Scarf

La idea del algoritmo de Scarf para calcular equilibrios walrasianos es muy simple. Se comienza con una grilla conformada por un número grande de puntos sobre el simplex unitario.

b).

11.

Modelos computables

Equivalencia entre equilibrios walrasianos y puntos fijos.

Ya sabemos (ver Teorema ?) que el teorema de punto fijo de Brouwer garantiza la existencia de un equilibrio walrasiano. Pero lo que podrı́a sorprendernos ahora es que la afirmación recı́proca también sea cierta.

Veamos esto: Consideremos la siguiente versión del teorema de existencia de equilibrios walrasianos, y que, aquı́, llamaremos EEW : Teorema 10. (EEW (Nikaido (1956)17 )) P n p = 1} (simplex unitario en Rn ), y Sea ∆n = {p = (pj ) ∈ Rn+ / j=1 j sea Γ un subconjunto compacto y convexo de Rn . Supongamos, además, que ϕ : ∆n → P (Γ) es una correspondencia semicontinua superiormente (correspondencia de exceso de demanda) que envı́a cada punto de ∆n en un subconjunto convexo no-vacı́o de Γ, y que, también p · x ≥ 0 para todo x ∈ ϕ(p) (Ley Walras). Entonces existe p∗ ∈ ∆n tal que ϕ(p∗ ) ≥ 0 Usawa (1962)18 ha probado que también es cierto el teorema recı́proco: Teorema 11. (Walras ⇒ Brouwer) El teorema EEW implica el teorema de punto fijo de Brouwer.

17

Nikaido, Hukukane (1968), Convex Structures and Economic Theory, Academic Press.

18 Usawa, H. (1962), Walras Existence Theorem and Brouwer’s Fixed Point Theorem, Economics Studies Quarterly.

234

Equilibrio económico walrasiano

En efecto: Sea f : ∆n → ∆n una función que satisface las hipótesis del teorema de Brouwer (Teorema 13). Para p ∈ △n definamos χ : ∆n → ∆n mediante la fórmula χ(p) =

f (p) · p p − f (p) kpk2

Dadas las hipótesis sobre f (·), esta función χ(·) satisface las condiciones del teorema EEW, como el lector puede fácilmente comprobar. En particular, note que la ley de Walras se satisface inmediatamente, dado que p · χ(p) = 0 para todo p ∈ ∆n . Por lo tanto, existe p∗ ∈ △n tal que χ(p∗ ) ≥ 0, que es f (p∗ ) · p∗ ∗ p ≥ f (p∗ ) kp∗ k2 Pero, de hecho, por la ley de Walras, tenemos que f (p∗ ) · p∗ ∗ p = f (p∗ ) kp∗ k2 Y si en esta igualdad vectorial sumamos sus componentes, y recordamos que p∗ y f (p∗ ) están en ∆n , entonces llegamos a que f (p∗ ) · p∗ =1 kp∗ k2 por lo que, entonces, f (p∗ ) = p∗ y esto demuestra el teorema de Brouwer.

12.

El modelo de Mckenzie (1954)

Lionel Mckenzie [1919-] fue estudiante de posgrado en economı́a de Princeton desde 1939 hasta 1941. Allı́ tuvo la oportunidad de ser alumno de Morgenstern, de escuchar a von Neumann cuando presentó su famoso artı́culo sobre crecimiento, y de recibir una fuerte influencia del reconocido teórico del comercio internacional, Frank Graham.

“Cuando fui estudiante de Frank Graham en el año académico 19391940, nos entregó un modelo de equilibrio general simple para el comercio internacional como ejercicio para el curso. El modelo incluı́a varios

Capı́tulo 5: El modelo Arrow-Debreu

235

paı́ses y varias mercancı́as, y no conocı́amos ningún algoritmo para resolverlo. Utilizábamos la prueba y el error.”

Vendrı́a la guerra, y se trasladarı́a, después de su servicio militar, a Oxford, para terminar su trabajo de tesis bajo la supervisión de John Hicks.

Sin embargo, ciertas objeciones puesta a ésta hicieron que Mckenzie se decidiera por un tı́tulo inferior al de doctor (BLitt).

Después, en 1949, ya como profesor en Duke, percibió que los trabajos pioneros de Koopmans sobre el análisis de actividades estaba en una dirección que podrı́a llevarlo a resolver el problema de Graham y, en general, el problema de existencia de equilibrios competitivos en un modelo de comercio internacional. Pero también los trabajos de Wald fueron inspiración para Mckenzie.

236

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

CAPÍTULO

6

Equilibrio general dinámico

1.

Introducción

Los modelos dinámicos de competencia perfecta tratan, en general, con agentes económicos racionales que siguen una trayectoria temporal. Quizás las primeras aplicaciones de estos modelos a la economı́a fueron los de Ramsey (1928) y Hotelling [1931], Amoroso (1933), La Volpe (?), siguiendo con Bellman [1957] y Blackwell (1965).

Ramsey (1928) consideraba una economı́a que producı́a una única mercancı́a que podı́a ser consumida o invertida. La utilidad consumida generaba utilidad a cierto agente (por ejemplo, un planeador central), mientras la inversión aumentaba el nivel de capital, y por tanto, la producción de los perı́odos siguientes. Ramsey se planteó el problema de encontrar la sucesión de consumo e inversión que maximizaba la utilidad del agente sobre un horizonte de tiempo infinito. La solución de este problema es que el nivel de capital converja de forma monótona al nivel que maximice el consumo por unidad de tiempo.

En los 1930’s, el miembro de la Escuela Italiana, Luigi Amoroso, alumno de Pantaleoni y colaborador de Pareto, avanzaba por etapas hacia una teorı́a del equilibrio general dinámico, y sus La Dinamica dell’Impresa (1933), La Teoria Matematica del Programma Economico(1938), The 237

238

Equilibrio económico walrasiano

Transformation of Value in the Productive Process(1940) y Lezioni di Meccanica Economica(1942) ası́ lo confirman. En La Dinamica, por ejemplo, postulaba que el costo total de una empresa era función, no solamente de la cantidad producida, sino también de la variación de ésta en el tiempo; ası́, escribı́a θ = θ(x, ẋ donde θ es el costo y x la cantidad producida. Después, afirmaba que el problema del empresario era maximizar, no solo los beneficios presentes, sino también los beneficios futuros descontados. Esto, de acuerdo a Amoroso, se podrı́a escribir matemáticamente como que la función a ser maximizada era Z ∞ (p(t)x(t) − θ)e−it dt J= 0

donde p(t) es el precio por unidad del producto en el tiempo t, y i es la “tasa de descuento intratemporal” donde (colocar aquı́ la relación exacta de i con la tasa de interés). Aquı́, entonces, Amoroso aplica el cálculo de variaciones y, mediando la ecuación de Euler, llega a una ecuación diferencial no-lineal de segundo orden en la función incógnita x, que es resuelta asumiendo que la elasticidad de la demanda es constante. Ası́, dada la producción inicial y su variación (también inicial), Amoroso mostraba cómo era posible determinar las cantidades que deberı́an producirse en cada instante t, dependiendo del precio en ese mismo instante y de los precios anteriores comenzando con el precio inicial. Ası́ mostraba cómo en la dinámica de la producción el pasado condicionaba el presente.

Posteriormente, en La Teoria Matematica, Amoroso atacó el problema del consumo de manera similar a como habı́a hecho con la teorı́a de la producción. Ası́ como la firma ajusta en el tiempo el uso de sus factores, también el consumidor ajusta sus consumos en el tiempo. Propuso entonces modificar la función de utilidad tradicional y escribió U = U (c, ċ) (llamándola “ophelimidad lagrangiana”), donde c es el vector de cantidades consumidas, y ċ es la variación del flujo de consumo (incorporando allı́ los posibles cambios de hábitos con el tiempo). (incompleto, ver artı́culo de Pomini y Tusset (2007)) Es también posible considerar una economı́a en la que la producción esté sujeta a choques estocásticos. El problema es, entonces, elegir un plan de contingencia, es decir, una sucesión de consumo e inversión para cada uno de los posibles choques aleatorios, que maximice la utilidad del agente. El presente capı́tulo tratará sobre este tipo de modelos.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

2.

239

El modelo monetario de generaciones traslapadas (OLG)

El modelo A-D es un modelo estático en el que la actividad económica se desarrolla en un perı́odo de tiempo bien determinado previamente, y en el que cada uno de los consumidores y de los productores eligen un plan de consumo y un plan de producción, respectivamente, y no pueden revisarlos durante dicho perı́odo. La ausencia de dinámica del modelo A-D impide que se realicen análisis económicos más sustanciales. El modelo de generaciones traslapadas OLG y los modelos de optimización dinámica, principalmente el modelo de crecimiento simple que consideramos en este capı́tulo, le dan cierta estructura dinámica al modelo A-D. Se mostró que aunque la noción de equilibrio en el modelo OLG es, en esencia, la de un equilibrio walrasiano dentro de una estructura dinámica, la existencia de un número infinito de consumidores y mercancı́as junto con las caracterı́sticas de que las generaciones se traslapan (modelo escalonado), generan diferencias esenciales entre este modelo y el modelo A-D. En particular, un equilibrio de una economı́a OLG puede no ser óptimo de Pareto.

Al igual que el modelo OLG, el modelo de crecimiento simple está dentro del espı́ritu walrasiano en el sentido que cada agente es tomador de precios, cada consumidor maximiza una cierta función de utilidad, cada productor maximiza su función de beneficio, y en cada perı́odo los mercados se vacı́an. Sin embargo, éste es un modelo longitudinal que, en general, sı́ mantiene la simetrı́a del modelo A-D (equilibrios vs. óptimos de Pareto) y le adiciona una estructura dinámica, que lo enriquece y lo hace parcialmente apropiado para el análisis de algunos problemas básicos en teorı́a económica. Aún ası́, el modelo de crecimiento simple mantiene fundamentales de carácter estático (como el modelo A-D). La función de utilidad, la tecnologı́a (la función de producción), los coeficientes de depreciación y de descuento, entre otros, son constantes siempre. No existe ningún proceso endógeno de trasformación de éstos, y eso imposibilita un análisis dinámico adecuado cuando el estado no es estacionario. Adicionalmente, debe observarse que, también aquı́, las decisiones deben tomarse (ası́ sean basadas en expectativas actuales) desde el principio y para siempre: no puede darse la revisión de estrategias en el transcurso del proceso (consistencia temporal).

240

Equilibrio económico walrasiano

Una economı́a de competencia perfecta del tipo Arrow-Debreu no permite incorporar satisfactoriamente el dinero, aun bajo incertidumbre. Se ha mostrado, además, que el dinero, en un formato de equilibrio general, deberı́a estudiarse dentro de un contexto dinámico y un modelo de equilibrio general competitivo en un posible marco dinámico es el modelo de generaciones traslapadas (OLG de Samuelson [1958]). Se cree actualmente, por parte de algunos economistas, que el modelo OLG podrı́a ser una estructura adecuada para el estudio de problemas monetarios sustanciales a partir de la teorı́a del valor.

Samuelson [1958] creó un modelo donde postulaba una estructura demográfica en la que dos generaciones se traslapan: jóvenes y viejos. En este mundo, los agentes económicos (consumidores) interactúan entre sı́ a lo largo de su ciclo de vida. Cuando jóvenes, comerciando con agentes viejos, y luego, cuando viejos, con agentes jóvenes. Este modelo es intertemporal pues el tiempo está dividido en perı́odos discretos, donde el intervalo básico de tiempo es el que transcurre entre el nacimiento de una generación y la siguiente, y no existe un perı́odo final para la economı́a. Se considerará un modelo con una población constante y sin herencias, en la que cada generación está conformada por un consumidor representativo, que vive dos perı́odos. Ası́, en un punto en el tiempo, la economı́a está compuesta por dos generaciones: la joven y la vieja; es decir, un agente joven y uno viejo. Existe una única mercancı́a perecedera, de la que cada agente está dotado en ciertas cantidades exógenamente determinadas. Observemos que si se considera la economı́a en su conjunto, es decir, a través del tiempo, existe un número infinito tanto de agentes, como de mercancı́as: Perı́odo Gen. Gen. Gen. Gen.

1 2 3 4

t

t+1

joven

viejo joven

t+2

viejo joven

t+3

t+4

viejo joven

viejo

...

El modelo OLG es un modelo dentro del espı́ritu walrasiano en el sentido de que cada consumidor maximiza una cierta función de utilidad, y en cada perı́odo de tiempo los mercados se vacı́an. Los consumidores

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

241

también toman los precios como dados. Y aunque la noción de equilibrio en el modelo de generaciones traslapadas es, en esencia, la de un equilibrio walrasiano dentro de una estructura dinámica, la existencia de un número infinito de consumidores y mercancı́as junto con las caracterı́sticas de que las generaciones se traslapan, generan diferencias esenciales entre el modelo OLG y el modelo Arrow-Debrew: i) Debreu [1970] probó que bajo condiciones adecuadas (cuando se cumpla que las funciones de exceso de demandas sea diferenciables con respecto a los precios y a la distribución de los recursos y que la norma del vector de funciones de exceso de demanda tienda a infinito cuando cualesquiera de los precios tienda a cero) el conjunto de economı́as que no tienen equilibrios localmente únicos es de medida cero1 dentro del conjunto de economı́as A-D. Por su parte, las economı́as OLG muestran tı́picamente un continuo de equilibrios determinı́sticos. ii) Como se ha afirmado anteriormente, el modelo A-D no permite incorporar satisfactoriamente el dinero, aun bajo incertidumbre: en el modelo A-D el dinero presenta un valor positivo indeterminado. Como se mostrará en el presente capı́tulo, en el modelo de generaciones traslapadas, uno de los equilibrios determinı́sticos es el estado monetario estacionario, en el que el dinero legal mantiene un valor positivo constante por siempre y está determinado de forma endógena. iii) El primer teorema de la economı́a del bienestar asegura que los equilibrios de la economı́a A-D son óptimos de Pareto bajo las condiciones usuales de convexidad de los conjuntos de consumo y de las preferencias e insaciabilidad de los consumos de equilibrio2 .

Aun si se imponen estas condiciones, un equilibrio de una economı́a de generaciones traslapadas puede no ser óptimo de Pareto. Una de las razones que podrı́a explicar este hecho es que no existe un 1

Ver Lang [1993] para el concepto de conjunto de medida cero.

El teorema más general que prueba que los equilibrios competitivos son óptimos de Pareto aun cuando el número de mercancı́as es infinito, siempre que el número de agentes sea finito, se debe a Debreu [1954]

2

242

Equilibrio económico walrasiano activo que permita ahorrar entre perı́odos e incrementar la utilidad de las generaciones.

Todas estas diferencias sugieren que, aunque los modelos A-D y OLG son, en su concepción, walrasianos, su naturaleza es distinta: el primero es estático, mientras el segundo es dinámico.

El modelo de generaciones traslapadas (OLG) de intercambio puro puede, en general, caracterizarse ası́: i) Existe un conjunto infinito de consumidores H = {1, 2, ...}. Los elementos h ∈ H serán los ı́ndices de los consumidores. Notemos por C yh al consumo del consumidor h cuando es joven, y por C oh al consumo del consumidor h cuando es viejo. El h-ésimo consumidor elige un plan de consumo C h = (C yh , C oh ) en su conjunto de consumo X h . Se supone que para todo h ∈ H, X h es un subcon2 , y tiene una cota inferior junto no-vacı́o, cerrado, convexo, de R+ para ≤. ii) La función de utilidad (ordinal) del h-ésimo consumidor es uh : X h → R tal que uh es aditivamente separable, monótona creciente, cuasicóncava estricta y doblemente diferenciable con continuidad. Especı́ficamente, asumiremos que uh es de la forma uh (C yh , C oh ) = uh (C yh ) + βuh (C oh ), para todo h ∈ H, donde β ∈ (0, 1), uh (·) > 0, y uh (·) < 0 en el interior de X h y continua en X h . A β se le conoce como el coeficiente de impaciencia; es decir, β cercano a 0 significa que el consumidor es muy impaciente y β cercano a 1 significa que el consumidor es paciente.3 Con el objeto de sumergir este modelo dentro de una estructura temporal, asumimos que cada consumidor h elige un consumo para 3

La noción de impaciencia se refiere a la preferencia por consumo “antes” que “después”. Esta idea aparece ya en Böhm-Bawerk (1889) y en Fisher (1930), entre otros.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

243

el periodo t cuando es joven y un consumo para el periodo (t+1) oh , respectivamente. cuando es viejo, que denotaremos Ctyh y Ct+1 Supondremos además que no hay crecimiento de la población y que existe cierta mercancı́a agregada para consumo, la cual es perecedera. iii) Cada consumidor recibe dotaciones W y cuando es joven y W o cuando es viejo, donde W y > W o ; es decir, supondremos que recibe una mayor dotación cuando es joven que cuando es viejo.

En adelante, y para efectos de exposición, asumiremos que sólo existe un agente representativo en la economı́a. Ası́ uh = u, Ctyh = Cty , Ctoh = Cto , para todo h.4

a).

Economı́a OLG de intercambio puro

Una economı́a de generaciones traslapadas de intercambio puro G es una cuádrupla (H, uh , W yh , W oh ) donde H es el conjunto de consumidores, uh es la función de utilidad del h-ésimo consumidor, y W yh y W oh son las dotaciones iniciales del h-ésimo consumidor cuando es joven y cuando es viejo, respectivamente.

Como todos los consumidores tienen la misma función de utilidad y las mismas dotaciones iniciales cuando son jóvenes y viejos, el problema de encontrar un equilibrio de la economı́a G consiste en resolver el siguiente problema del consumidor representativo Maximizar o Cty , Ct+1 sujeto a

o ) = u(C y ) + βu(C o ) u(Cty , Ct+1 t t+1

o pt Cty + pet+1 Ct+1 = W y pt + W o pet+1 y Ct + Cto = W y + W o

Dados los precios pt y pet+1 , donde pet+1 es el precio esperado para el periodo (t + 1) el agente representativo maximiza su utilidad intertemporal sujeto a su restricción presupuestal intertemporal y a la restricción de factibilidad. Supondremos que el agente representativo tiene expectativas racionales y, por tanto, perfecta previsión: el precio esperado para el 4

Aunque, en primera instancia, pueda creerse lo contrario, esta hipótesis no altera sustancialmente los resultados aquı́ obtenidos.

244

Equilibrio económico walrasiano

perı́odo en que es viejo es igual al precio que verdaderamente regirá para ese perı́odo, es decir, pet+1 = pt+1 .

Bajo las condiciones impuestas sobre la función de utilidad, las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son i)

βpt u′ (Cty ) = o ′ u (Ct+1 ) pt+1

o ii) pt Cty + pt+1 Ct+1 = pt Wy + pt+1 W o

iii) Cty + cot = W y + W o como se prueba fácilmente con el método de los multiplicadores de Lagrange.

Definición 1. o )}∞ se dice autárquica si C y = W y y co Una asignación {(Cty , Ct+1 t=0 t+1 = t W o , para todo t ≥ 0; es decir, una asignación es autárquica si los consumos planeados por cada generación son iguales a las respectivas dotaciones iniciales, para cada perı́odo.

Definición 2.

Si el precio del consumo en cualquier generación t es igual al precio del consumo en la generación (t + 1) se dice que hay arbitraje en precios; es decir, cuando pt = pt+1 para todo t ≥ 0.

Definición 3. (Equilibrio de expectativas racionales de una economı́a OLG de intercambio puro) Se define un equilibrio de expectativas racionales de la economı́a de intercambio puro G como un conjunto de sucesiones y ∞ y o ∞ o {pt }∞ t=0 , {Ct }t=0 , {Ct }t=0 , pt > 0, Ct ≥ 0, Ct ≥ 0

para todo t ≥ 0

que satisface las ecuaciones 1), 2) y 3). Es decir un equilibrio para G es el conjunto de sucesiones de precios y consumos de las generaciones jóvenes y viejas, tales que cada consumidor maximiza su utilidad sobre un conjunto presupuestario, y hay equilibrio de mercado.

245

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

Teorema 1. (Existencia de equilibrios para una economı́a OLG de intercambio puro) Bajo condiciones de no arbitraje de precios, y C0o = W o , C0y = W y , el único equilibrio de la economı́a G es la autarquı́a, es decir, en equilibrio, no hay intercambio.

Demostración.

Veamos cómo son en general las soluciones a estas ecuaciones y podremos entonces caracterizar los equilibrios no monetarios de esta economı́a.

Como las funciones de demanda, Cty (pt , pt+1 ) y Cto (pt , pt+1 ) para todo t, son, en equilibrio, homogéneas de grado cero en precios, se puede definir pt+1 λ= . pt Reemplazando 3) en 2) tendrı́amos, o = W o pt+1 W o pt − pt Cto + pt+1 Ct+1

Luego, 4)

o Ct+1

Cto 1 o =W 1− − λ λ

La solución de esta ecuación en diferencias es

(µ − W o ) o o 5) Ct = W − para µ ∈ R λt Reemplazando en 3) tendrı́amos,

(µ − W o ) y y 6) Ct = W + λt Como λ 6= 1, entonces de acuerdo con las condiciones iniciales C0o = W o , C0y = W y , tenemos que µ = W o . Luego, Cty = W y , y, Cto = W o , para todo t, por lo que de 1), λ se encuentra resolviendo λ=

βu′ (W o )u′ , (W y )

pt+1 = λpt

En conclusión, bajo no arbitraje, el único equilibrio puede caracterizarse ası́:

246

Equilibrio económico walrasiano

i) p0 > 0 fijo

(condición inicial)

ii) C0o = W o , C0y = W y

(βu′ (W o )) t iii) pt = p0 u′ (W y ) iv) Cty = W y ,

o Ct+1 = Wo

para todo t

Los siguientes dos ejemplos ilustran que el equilibrio de una economı́a G es, en realidad, el autárquico.

Ejemplo 1. Consideremos la siguiente economı́a de generaciones traslapadas de intercambio puro G donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y de dotaciones iniciales o ) = (C y )1/2 + β(C o )1/2 u(Cty , Ct+1 t t+1 W = (W y , W o ) = (2, 1)

El problema del consumidor representativo es Maximizar

o ) (Cty )1/2 + β(Ct+1

o sujeto a pt Cty + pt+1 Ct+1 = 2pt + pt+1 y o Ct , Ct+1 ≥ 0

Las funciones de demandas son Cty =

p2t+1 + 2pt pt+1 , pt pt+1 + β 2 p2t

o Ct+1 =

β 2 pt pt+1 + 2p2t β 2 pt pt+1 + p2t+1

Las condiciones para que el mercado se vacı́e es Cty + Cto = 3. Tomando pt+1 λ= , la solución general es de la forma pt pt = γ1 + γ2 (−21/2 β)t + γ3 (21/2 β)t

γ1 , γ2 , γ3 ∈ R

pt+1 = −21/2 β < 0. pt Por tanto, supondremos γ2 = 0 porque, por hipótesis, los precios de Bajo no arbitraje, γ1 = 0, y si λ = −21/2 β entonces

247

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

equilibrio son no-negativos. Ası́, el equilibrio de la economı́a G es, para t ≥ 0, Cty =

p2t+1 + 2pt pt+1 , pt pt+1 + β 2 p2t

pt = po (21/2 β)t ,

o Ct+1 =

β 2 pt pt+1 + 2pt β 2 pt pt+1 + p2t+1

En este equilibrio no monetario, los agentes consumen todas sus dotaciones en el correspondiente perı́odo, como se observa al evaluar las funciones de demanda en pt = po (21/2 β)t : ∗

Cty =

2β 2 + 4β = 2, β 2 + 2β

∗

o Ct+1 =

21/2 β 3 + 2β 2 =1 21/2 β 3 + 2β 2

Los consumos para cada generación son iguales a sus dotaciones iniciales; es decir, no existe intercambio entre generaciones, porque no existe un bien durable (un activo) que les permita ahorrar de un perı́odo a otro.

Ejemplo 2. Consideremos la siguiente economı́a de generaciones traslapadas de intercambio puro G donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales o ) = ln(C y ) + β ln(C o ) u(Cty , Ct+1 t t+1

W = (W y , W o ) = (3, 1) El problema del consumidor representativo es Maximizar

o ) ln(Cty ) + β ln(Ct+1

o sujeto a pt Cty + pt+1 Ct+1 = 3pt + pt+1

Las funciones de demanda son Cty =

3pt pt+1 , (1 + β)pt

o Ct+1 =

β(3pt + pt+1 ) (1 + β)pt+1

Las condiciones para que el mercado se vacı́e es Cty + Cto = 4. Tomando pt+1 λ= , la solución general es de la forma pt pt = γ1 + γ2 (3β)t ,

γ1 , γ2 ∈ R

248

Equilibrio económico walrasiano

Bajo no arbitraje, γ1 = 0. Entonces el equilibrio para esta economı́a es, para t ≥ 0, Cty =

pt = p0 (3β)t

(3pt + pt+1 ) (1 + β)pt

o Ct+1 =

β(3pt + pt+1 ) (1 + β)pt+1

En este equilibrio no monetario, los agentes consumen todas sus dotaciones en el correspondiente perı́odo, como se observa al evaluar las funciones de demanda en pt = po (3β)t : ∗

Cty =

(3 + 3β) = 3, (1 + β)

∗

Cto =

β(3 + 3β) =1 3β(1 + β)

Como en el ejemplo anterior, los consumos para cada generación son iguales a sus dotaciones iniciales.

Definición 4.

En una economı́a G = (H, uh , Wyh , Woh ), diremos que una asignación factible, C H , domina el el sentido de Pareto a otra, C ′H , si y sólo si uh (cyh ) + βuh (coh ) ≥ uh (c′yh ) + βuh (c′oh ) con una desigualdad estricta. Una asignación es óptima de Pareto si y sólo si es factible y no existe ninguna asignación factible que la domine en el sentido de Pareto.5 Quizás una de las más notables caracterı́sticas del modelo OLG de intercambio puro es que, en general, el equilibrio autárquico no es óptimo de Pareto, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3. Veamos que la distribución inter-generacional de autarquı́a del ejemplo 1 anterior Gen 1 → (2, 1) Gen 2 −→ (2, 1) Gen 3 −−→ (2, 1) · · · · · · 5

Balasko, Cass y Shell (1980) han probado que si la función de utilidad es cóncava estricta, entonces una sucesión de precios {pt }∞ t=0 es óptimo de Pareto si y sólo si ∞ P (1/kpt k) = ∞. t=0

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

249

no es óptima de Pareto. Para ello consideremos la siguiente distribución inter-generacional: Gen 1 → (2, 3/3) Gen 2 −→ (3/2, 3/2) Gen 3 −−→ (3/2, 3/2) · · · · · · Esta distribución es equilibrio de mercado, es decir, Cty +Cto = W y +W o , para todo t. Para un β suficientemente cercano a 1(β > 0,85) se tiene que Gen 1: u(2, 1) = 21/2 + β(1)1/2 < u(2, 3/2) = 21/2 + β(3/2)1/2 Gen 2: u(2, 1) = 21/2 + β(1)1/2 ≤ u(3/2, 3/2) = 3/21/2 + β(3/2)1/2 Gen 3: u(2, 1) = 21/2 + β(1)1/2 ≤ u(3/2, 3/2) = 3/21/2 + β(3/2)1/2 · · · · · · ∗ y∗ ∗ o Luego el equilibrio (pt , Ct , Ct ) no es un óptimo de Pareto.

Ejemplo 4. Veamos que la distribución inter-generacional de autarquı́a del anterior ejemplo 2: Gen 1 → (3, 1) Gen 2 −→ (3, 1) Gen 3 −−→ (3, 1) · · · · · · no es óptima de Pareto. Para ello consideremos la siguiente distribución intergeneracional: Gen 1 → (3, 3/2) Gen 2 −→ (5/2, 3/2) Gen 3 −−→ (5/2, 3/2) · · · · · · Esta distribución es equilibrio de mercado, es decir, Cty +Cto = W y +W o , para todo t. Para un β suficientemente cercano a 1(β > 0,45) se tiene que

250

Equilibrio económico walrasiano Gen 1: u(3, 1) = ln(3) < u(3, 3/2) = ln(3) + β ln(3/2) Gen 2: u(3, 1) = ln(3) ≤ u(5/2, 3/2) = ln(5/2) + β ln(3/2) Gen 3: u(3, 1) = ln(3) ≤ u(5/2, 3/2) = ln(5/2) + β ln(3/2) · · · · · · ∗

Luego el equilibrio (p∗t , Cty , Cto ) no es óptimo de Pareto.

b).

∗

El modelo OLG monetario

Ahora supongamos que la economı́a de generaciones traslapadas funciona con dinero legal sin respaldo (fiat money) aceptado por convención; es decir, dinero que no está respaldado por las dotaciones iniciales de la economı́a, pero que es emitido por una autoridad monetaria y que todos los consumidores acepten para realizar sus transacciones en sus ciclos de vida. Es claro que los agentes de una economı́a tipo Arrow-Debreu no tienen ningún motivo para mantener saldos de dinero al final del perı́odo, aun siendo dinero inside. Introducir dinero legal en esta economı́a es demasiado artificial dado que el dinero no se encuentra en la función de utilidad de los consumidores y no se considera la posibilidad de que la economı́a se repita en el futuro. En la economı́a de generaciones traslapadas, que posee una estructura dinámica, se mostrará que aunque el dinero no está respaldado por las dotaciones iniciales, los agentes tienen un motivo para ahorrar en dinero. Es plausible entonces, suponer que los agentes aceptan dinero legal emitido por la autoridad monetaria para realizar sus transacciones.

Definición 5. (Economı́a OLG monetaria) Una economı́a OLG monetaria GM es una economı́a G con dinero legal.

Como todos los consumidores tienen la misma función de utilidad y las mismas dotaciones iniciales cuando son jóvenes y viejos, el problema de encontrar un equilibrio de la economı́a GM consiste en resolver el siguiente problema del consumidor representativo o ) = u(cy ) + βu(co ) Maximizar u(Cty , Ct+1 t t+1 st st sujeto a cyt = W y − pt

251

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico cot+1 = W o +

st pt+1

donde st representa el nivel de ahorro nominal en un bien durable alcanzado por el consumidor representativo en la generación t, que realiza cuando es joven y que gasta cuando es viejo. Además, asumiremos que el ahorro nominal de la generación t es igual a la cantidad de dinero legal Mt , que la autoridad monetaria pone a disposición de los agentes económicos de la generación t : st = Mt .

Definición 6. (Equilibrio monetario) Sea GM una economı́a OLG monetaria. Dada una sucesión de oferta s monetaria legal {Mts }∞ t=0 , Mt ≥ 0 pata todo t, decimos que las sucesiones y ∞ o ∞ ∞ {pt }∞ t=0 , {Ct }t=0 , {ct }t=0 , {st }t=0

donde pt > 0, Cty ≥ 0, Cto ≥ 0 para todo t ≥ 0, forman un equilibrio monetario de expectativas racionales GM si, y sólo si, βpt u′ (cyt ) = , i) ′ o u (ct+1 ) pt+1 ii)

cyt

=

Wy

iii) Mts = st

−

st pt

cyt < W y para t = 1, 2, 3, ... ;

o Ct+1

=

Wo

+

st pt+1

para t = 1, 2, 3, ...

para t = 1, 2, 3, ...

Es decir, una sucesión de precios y consumos forman un equilibrio monetario GM si cada consumidor maximiza su utilidad sobre su conjunto de presupuesto; en cada perı́odo hay equilibrio de mercado; y el ahorro nominal es igual a la oferta monetaria.

Definición 7. (Equilibrio monetario estacionario) Un equilibrio monetario estacionario de GM se define como un equilibrio monetario tal que para todo t ≥ 0, Mt = M, pt = p, cyt = cy , cot = co para algunos números positivos M, p, cy , co fijos.

252

Equilibrio económico walrasiano

El siguiente teorema muestra que, en general, existe un único equilibrio monetario estacionario para toda economı́a GM. Teorema 2.

Si β es suficientemente cercano a la unidad y wx > wo , existe un único equilibrio monetario estacionario finito para la economı́a GM. Demostración Sea F : R+ × R+ → R definida ası́ F (β, M ) = u′ (W y − M/p) − βu′ (wo + M/p) Entonces F es una función diferenciable con continuidad en su dominio, y además, F (1, M ∗ ) = 0 donde M ∗ = p(wy + wo )/2 ∂F > 0 en R+ . ∂M Por el teorema de la función implı́cita (ver Lang [1993]) existe un intervalo abierto U alrededor de 1, y una función

y además,

M : U → R+ β → M (β) tal que M (1) = M ∗ = p(wy − wo )/2 F (β, M (β)) = 0 para todo β ∈ U Esta M es una función diferenciable con continuidad. Notemos que, por homogeneidad en precios, M (β) = λ(β)p, y ası́ p = M/λ(β), donde λ : U → R+ es también una función diferenciable con continuidad.

La existencia de este equilibrio exige que β sea suficientemente cercano a la unidad; es decir, que los agentes sean suficientemente pacientes acerca del consumo futuro.

El valor del dinero en el equilibrio monetario estacionario es (M (β)/p) > 0; luego el dinero mantiene un valor constante, bien definido, siempre.

El dinero legal, en estos modelos, es dinero legal con valor determinado

253

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

endógenamente en el estado estacionario. Contrasta esto con el modelo A-D en que el dinero presenta un valor positivo indeterminado porque la autoridad monetaria fija arbitrariamente el precio del numerario en unidades monetarias (ver Lozano et al.[1997b]). En el modelo OLG, aun bajo expectativas racionales, se responde a la pregunta de Hahn [1966], de encontrar un modelo monetario donde el valor positivo del dinero se determine endógenamente y no se suponga a priori. Esta es una de las razones por las que se considera que el modelo OLG podrı́a ser una estructura adecuada para construir una teorı́a monetaria a partir de una teorı́a del valor.

c).

Equilibrios estacionarios vs. óptimos de Pareto

Lozano-Villa [1997] muestran que en el modelo Arrow-Debreu con incertidumbre, la introducción del dinero en la economı́a no mejora, en el sentido de Pareto, la asignación de equilibrio. El dinero, en ese modelo, hace posible realizar intercambios que antes no lo eran, pero no aumentan el conjunto de asignaciones sostenibles de la economı́a. En el modelo OLG la asignación de equilibrio de la economı́a no monetaria no es, en general, un óptimo de Pareto. El siguiente teorema muestra que la asignación de equilibrio de la economı́a monetaria OLG es mejor (en el sentido de Pareto) que la asignación de equilibrio de la correspondiente economı́a no monetaria.

Teorema 3.

En una economı́a OLG monetaria GM, el equilibrio monetario estacionario es óptimo de Pareto.

Demostración Supongamos que para una cierta sucesión de números positivos {εt }∞ t=0 la distribución temporal (cy , co + ε0 ) (cy − ε0 , co + ε1 ) (cy − ε1 , co + ε2 ) · ·

·

·

(cy − εt−1 , co + εt )

254

Equilibrio económico walrasiano

mejora, en el sentido de Pareto, el equilibrio monetario estacionario; es decir, u(cy − εt−1 ) + βu(co + εt ) ≥ u(cy ) + βu(co ) Entonces 7) βu(co + εt ) − βu(co ) ≥ u(cy ) − u(cy − εt−1 ) Por concavidad estricta de la función de utilidad 8) βu(co + εt ) − βu(co ) < βu′ (co )εt De 7) y 8), obtenemos 9) βu′ (co ) > {u(cy ) − u(cy − εt−1 )}/εt Por otra aplicación de la concavidad de la función de utilidad u(cy − εt−1 ) − u(cy ) < u′ (cy )(−εt−1 ) y ası́ 10) {u(cy ) − u(cy − εt−1 )}/εt−1 > u′ (cy ) De 9) y 10) obtenemos 1 = u′ (cy )/βu′ (co ) < εt /εt−1 Luego 0 < εt−1 < εt para todo t; es decir, la sucesión {εt }∞ t=0 es monótona creciente. Debemos considerar entonces dos casos: i) Si εt → ∞ cuando t → ∞, entonces la condición de recursos, cy − εt ≥ 0 para todo t, no se tendrı́a, lo cual es una contradicción. ii) Si εt → ε cuando t → ∞, entonces tomando lı́mites en la ecuación 7) βu(co + ε) − βu(co ) ≥ u(cy ) − u(cy − ε) y repitiendo el procedimiento de las ecuaciones 8), 9) y 10) se obtendrı́a 1 = u′ (cy )/βu′ (co ) < 1

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

255

que es una contradicción.

El teorema siguiente muestra que la economı́a OLG tiene un continuo de equilibrios determinı́sticos. Uno de estos es el equilibrio monetario estacionario, en el cual el dinero mantiene siempre un valor constante.

Los otros equilibrios convergen todos a la autarquı́a y ası́ el dinero, gradualmente, pierde valor y tiende a anularse.

Teorema 4.

Bajo una oferta monetaria constante, β suficientemente cercano a 1, wy > wo y u(·) suficientemente cóncava, la economı́a OLG monetaria GM tiene un continuo de equilibrios determinı́sticos. Uno de estos es el estado monetario estacionario, y los otros son un continuo de equilibrios monetarios que sólo dependen del nivel de precios inicial y que convergen a la autarquı́a.

Demostración Definamos ϕ(pt ) = u′ (wy − (M/pt ))/pt ψ(pt+1 ) = βu′ (wo + (M/pt+1 ))/pt+1 Para u(·) suficientemente cóncava, es decir, u′′ (·) suficientemente negativa, ϕ′ (pt ) = [u′′ (wy − (M/pt )M − u′ (wy − (M/pt )pt ]/p3t < 0 ψ(pt+1 ) = −β[u′′ (wy + (M/pt+1 )M + u′ (wy + (M/pt+1 )pt+1 ]/p3t+1 < 0 Como la condición de equilibrio 1′ ) es ϕ(pt ) = ψ(pt+1 ) entonces existe (ψ −1 oϕ) : R+ → R+ diferenciable, estrictamente creciente, no acotada tal que 11) pt+1 = (ψ −1 oϕ)(pt ) Por el teorema 2, hemos ya probado la existencia de un único equilibrio monetario estacionario, determinado por un nivel de precios único p.

Ası́, p= (ψ −1 o ϕ)(p).

256

Equilibrio económico walrasiano

Si p ∈ (0, p), entonces de acuerdo a 11), cualquier sistema de precios de equilibrio {pt }∞ t=0 , p0 = p, satisface pt → 0, cuando t → ∞; ası́ conducirá la economı́a al estado de autarquı́a: cyt → wy , y, cot → wo , cuando t → ∞.

La figura 1 ilustra el comportamiento dinámico de los precios. Se muestran los tres estados estacionarios. El punto A se excluye porque al menos un precio debe ser positivo. El punto B es el estado estacionario bajo arbitraje. El punto C es el estado estacionario de autarquı́a. pt+1

u

p

C u

45o

B

p

A

pt Figura 1

Los siguientes dos ejemplos ilustran el teorema 3 sobre cómo el ahorro que realiza un consumidor entre un perı́odo y otro, mejora su bienestar, haciendo que un equilibrio sea un óptimo de Pareto.

Ejemplo 5.

El problema del consumidor representativo del ejemplo 1 en una economı́a monetaria GM es Maximizar sujeto a

o )1/2 (Cty )1/2 + β(Ct+1 y pt Ct + Mt = 2pt o −M =p pt+1 Ct+1 t t+1

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

257

Reemplazando las restricciones en la función de utilidad, el problema puede escribirse como

1/2 Mt Mt 1/2 +β 1+ Maximizar 2− pt pt+1 La condición de primer orden es −(1/2pt )[2 − (Mt /pt )]−1/2 + (β/2pt+1 )[1 + (Mt /pt+1 )]−1/2 = 0 La función de demanda de dinero es Mt = (2β 2 p2t − p2t+1 )/(pt+1 + β 2 pt ) Las funciones de demanda son cyt = (p2t+1 + 2pt pt+1 )/(pt pt+1 + β 2 p2t ) cot+1 = β 2 (pt pt+1 + 2p2t )/β 2 pt pt+1 + p2t+1 Debemos notar que si el consumidor representativo no ahorra en dinero, el equilibrio es autárquico; es decir, los consumos de equilibrio son las dotaciones iniciales al igual que el equilibrio de la economı́a no monetaria G. Sin embargo, en esta economı́a OLG monetaria los consumidores ahorran en dinero cuando son jóvenes de tal forma que pueden realizar intercambios cuando son viejos. Ası́, la restricción de Clower surge como un resultado del modelo y no como una hipótesis ad hoc.

En el estado estacionario podemos escribir p = pt = pt+1 y Mt = M .

Luego el precio en este estado es p=

M (1 + β 2 ) (2β 2 − 1)

Los consumos de equilibrio en el estado estacionario son cy = 3/(β 2 + 1);

C o = 3β 2 /(β 2 + 1)

A partir de la función de demanda de dinero se puede encontrar la trayectoria de equilibrio de los precios. Asumiendo que la oferta monetaria es constante, la trayectoria es pt+1 = [−M + (M 2 + 8β 2 p2t − 4β 2 M pt )1/2 ]/2

258

Equilibrio económico walrasiano

Ası́, se verifica el teorema 4: bajo una oferta monetaria constante, β suficientemente cercano a 1(β > 0.7071), esta economı́a monetaria tiene un estado monetario estacionario y un continuo de equilibrios monetarios que solo dependen del nivel de precios inicial y que convergen a la autarquı́a. La figura 2 muestra la inestabilidad dinámica del estado monetario de esta economı́a. pt+1 45o p

A

M 2

p

pt Figura 2

A partir de las condiciones de equilibrio pt cyt + pt+1 cot+1 = 2pt + pt+1 cyt+1 + cot+1 = 3 cyt = (p2t+1 + 2pt pt+1 )/(pt pt+1

(12) (13) +

β 2 p2t )

(14)

se puede encontrar la ecuación en diferencias que describe la dinámica del consumo de los jóvenes6 . Despejando cyt+1 en función de cyt se tiene cyt+1 = {[2(cyt − 2)]/[(cyt − 2) + (4 + (4β 2 − 4)cyt + (cyt )2 )1/2 ]} + 2} A modo de ilustración supongamos que β = (2)1/2 . Por tanto, 6

Este resultado se obtiene al despejar la relación de precios en (14) y en (12), luego igualar estos dos resultados, y por último utilizar la ecuación (13) para eliminar o Ct+1

259

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico cyt+1 = 3 − (2/cyt ) y Ct+1

45o

2 estado estacionario autárquico 1 estado estacionario monetario 1

2

Cty

Figura 3

La figura 3 muestra la dinámica de los consumos de las generaciones jóvenes. Podemos observar que el estado estacionario autárquico es localmente estable, mientras que el estado monetario estacionario es inestable.

Ejemplo 6.

El problema del consumidor representativo del ejemplo 2 en una economı́a monetaria GM es Maximizar

o ) ln(Cty ) + β ln(Ct+1

o Cty , Ct+1

sujeto a

pt Cty + Mt = 3pt o −M =p pt+1 Ct+1 t t+1

Reemplazando las restricciones en la función de utilidad, el problema puede describirse como Maximizar Mt

ln[3 − (Mt /pt )] + βln[1 − (Mt /pt+1 )]

260

Equilibrio económico walrasiano

La condición de primer orden es −1/[pt (3 − (Mt /pt ))] + β/[pt+1 (1 + Mt /pt+1 )] = 0 La función de demanda de dinero es Mt = (3βpt − pt+1 )/(1 + β) Las funciones de demanda son cyt = (3pt + pt+1 )/(1 + β)pt

cot+1 = β(3pt + pt+1 )/(1 + β)pt+1

En el estado estacionario, p = pt = pt+1 y Mt = M . Luego, el precio en el estado estacionario es p = M (1 + β)/(3β − 1) para β > 1/3 Los consumos de equilibrio en el estado estacionario son cy = 4/(1 + β);

co = 4β/(1 + β)

A partir de la función de demanda de dinero se puede encontrar la trayectoria de equilibrio de los precios. Asumiendo que la oferta monetaria es constante, la trayectoria es pt+1 = 2βpt − (1 + β)M Se verifica de nuevo el teorema 4: bajo una oferta monetaria constante, β suficientemente cercano a 1(β > 1/3), esta economı́a monetaria tiene un estado monetario estacionario y un continuo de equilibrios monetarios que sólo dependen del nivel de precios inicial y que convergen a la autarquı́a. En la figura 4 se representa el comportamiento dinámico de los precios. Se observa claramente que el estado estacionario monetario es inestable.

261

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

pt+1 45o

p

M (1 + β) 3β

p

pt Figura 4

A partir de las condiciones de equilibrio

pt cyt + pt+1 cot+1 = 2pt + pt+1 cyt+1 + cot+1 = 4 y ct = (3pt + pt+1 )/(1 + β)pt

se puede encontrar la ecuación en diferencias que describe la dinámica del consumo de los jóvenes, al igual que se hizo en el ejemplo anterior.

Despejando cyt+1 en función de cyt se tiene

cyt+1 = [12 − (4 + 3β)cyt ]/[3 − (1 + β)cyt ]

262

Equilibrio económico walrasiano y Ct+1

45o

3 estado estacionario autárquico 4 (1 + β) estado estacionario monetario 4 (1 + β)

Cty

3

Figura 5

Observemos cómo la hipótesis de expectativas racionales condicionan la dinámica del equilibrio. Si, por ejemplo, el consumidor representativo tuviera expectativas ingenuas; es decir, pet+1 = pt−1 , la trayectoria de equilibrio de los precios serı́a en este caso pt+1 = [pt + (1 + β)M ]/3β pt+1 45o

p

M (1 + β) 3β

p

pt Figura 6

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

263

La figura 6 muestra la dinámica de los precios para esta economı́a de expectativas ingenuas. Notemos que el estado monetario estacionario es el mismo que bajo expectativas racionales, pero en esta economı́a este estado es estable.

d).

Existencia de ciclos endógenos

En esta sección se muestra que en el modelo de generaciones traslapadas de intercambio puro es posible la ocurrencia de ciclos endógenos en el consumo de los jóvenes y los viejos.

Definición 8.

Consideremos la siguiente ecuación en diferencias f : [a, b] → [a, b] xj → xj+1

de donde f (·) es una función continua. Si x ∈ [a, b], entonces las iteraciones de x mediante f (·) están definidas por f 0 (x) = x, f 1 (x) = f (x), ...f i (x) = f (f i−1 (x)). El conjunto de todas las iteraciones de x, {x, f (x), f 2 (x), ...}, se denomina la órbita de x.

Un punto x es k-periódico de f (·) si a) x = f k (x) y b)x 6= f i (x) para todo i = 1, 2, ...k − 1; es decir, x es un punto k-periódico si es un punto fijo de f k y k es el menor entero que satisface esta condición. El correspondiente ciclo u órbita de x es el conjunto de todas las iteraciones xi = f i−1 (x) de x para i = 1, 2, ...k; es decir, el ciclo de x es el conjunto {x1 , x2 , ..., xk }.

Los siguientes ejemplos muestran que en el modelo de generaciones traslapadas pueden aparecer ciclos económicos endógenos sin que la economı́a reciba choques estocásticos. En particular, se mostrará que la dinámica del consumo de los jóvenes exhibe ciclos 2-periódicos. Sin embargo, las funciones de utilidad que dan origen a tales ciclos son bastantes extrañas.

Ejemplo 7. (Benhabib y Day (1982)) Consideremos la siguiente economı́a monetaria de generaciones traslapadas donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales

264

Equilibrio económico walrasiano u(cyt , cot+1 ) = 4(cyt ) − 2(cyt )2 + cot+1 w = (wy , wo ) = (0, 2)

El problema del consumidor representativo es Maximizar 4(cyt ) + 2(cyt )2 + cot+1 sujeto a cyt = Mt /pt cot+1 = 2 + (Mt /pt+1 ) Reemplazando las restricciones en la función de utilidad, el problema puede escribirse como Maximizar (−4Mt /pt ) − 2(−Mt /pt )2 + 2 + (Mt /pt+1 ) Mt La condición de primer orden es (−4/pt ) − (4Mt /p2t ) + 1(1/pt+1 ) = 0 La función de demanda de dinero es Mt = (p2t /4pt+1 ) − pt Las funciones de demanda son cyt = (4pt+1 − pt )/4pt+1

cot+1 = (8p2t+1 − 4pt pt+1 + p2t+1 )/4p2t+1 En el estado estacionario, p = pt = pt+1 y Mt . Luego los candidatos a ser precio y consumos del estado estacionario son p = −4M/3 , cy = 3/4 y co = 5/4. Observemos que para esta economı́a OLG monetaria no existen números positivos M, p, cy , co tal que Mt = M, pt = p, cyt = cy , cot ; es decir, esta economı́a no tiene un equilibrio monetario estacionario.

A partir de la función de demanda de dinero se puede encontrar la trayectoria de equilibrio de los precios. Asumiendo que la oferta monetaria es constante, la trayectoria es pt+1 = p2t /4(pt + M )

265

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico pt+1 45o

pt Figura 7: No existe estado monetario estacionario.

A partir de las condiciones de equilibrio pt cyt + pt+1 cot+1 = 2pt+1 ct+1 + cot+1 = 2 y ct = (4ct+1 − pt /4pt+1 se puede encontrar la ecuación en diferencias que describe la dinámica del consumo de los jóvenes. Despejando cyt+1 en función de cyt se tiene cyt+1 = 4cyt − 4(cyt )2

Para simplificar la notación, sean x ≡ cyt y cot+1 ≡ f (x). Los puntos fijos de f (·) satifacen en x = f (x). Por tanto, los puntos fijos de f son x = 0 y x = 3/4.

La segunda iteración de f (·) es f 2 (x) = (f of )(x) = 4[4x(1 − x)][1 − 4x(1 − x)] Los puntos fijos de f 2 (·) satisfacen x = f 2 (x); es decir, x = 4[4x(1 − x)][1 − 4x(1 − x)] o, equivalentemente, 64x4 − 128x3 + 80x2 − 15x = 0 Por tanto, los puntos fijos de f 2 (·) son x = 0, x = 3/4, x = 0,345 y x = 0,904. Ası́, la ecuación en diferencias del consumos de los jóvenes muestra un ciclo 2-periódico {0,345, 0,904}. La figura 8 muestra la dinámica del consumo de los jóvenes y, en particular, el ciclo del perı́odo 2.

266

Equilibrio económico walrasiano y Ct+1

45o

1 2

1

Cty

Figura 8

Ejemplo 8. (Gale (1973)) Consideremos la siguiente economı́a monetaria de generaciones traslapadas GM donde todos los consumidores tienen la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales: u(cyt , cot+1 ) = 10cyt − 4(cyt )2 + 4cot+1 − (cot+1 )2 w = (wy , wo ) = (0, 2) El problema del consumidor representativo es Maximizar 10cyt − 4(4cyt )2 + 4cot+1 − (cot+1 )2 cyt , cot+1 sujeto a cyt = −Mt /pt o ct+1 = 2 + (Mt /pt+1 ) Reemplazando las restricciones en la función de utilidad, el problema puede escribirse como (−10Mt /pt ) −

4(−Mt /p2t )

Maximizar + 8 + (4Mt /pt+1 ) − (2 + (Mt /pt+1 ))2

La función de demanda de dinero es Mt = −5p2t+1 pt /(p2t + 4p2t+1 Las funciones de demanda son

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

cot+1

267

cyt = 5p2t+1 /(p2t + 4p2t+1 ) = 8p2t+1 − 5pt pt+1 + 2p2t /(p2t + 4p2t+1 )

Observemos que para esta economı́a OLG monetaria no existe un equilibrio monetario estacionario.

A partir de las condiciones de equilibrio pt cyt + pt+1 cot+1 = 2pt+1 cyt+1 + cot+1 = 2 y ct = 5p2t+1 /(92t + 4p2t+1 se puede encontrar la ecuación en diferencias que describe la dinámica del consumo de los jóvenes. Despejando cyt+1 en función de cyt se tiene cyt+1 = [5cyt − 4(cyt )2 ]1/2 Al igual que en el ejemplo anterior sean x ≡ cyt y cot+1 ≡ f (x). Los puntos fijos de f satisfacen x = f (x). Por tanto, los puntos fijos de f son x = 0 y x = 1.

La segunda iteración de f (·) es f 2 (x) = (f of )(x) = [5(5x − 4x2 )1/2 − 4(5x − 4x2 )]1/2 Los puntos fijos de f 2 satisfacen x = f 2 ; es decir, x = [5(5x − 4x2 )1/2 − 4(5x − 4x2 )]1/2 o equivalentemente, 9x4 − 24x3 + 20x2 − 5x = 0 Por tanto, los puntos fijos de f 2 son x = 0, x = 1, x = 0,460, y x = 1,206.

Ası́, la ecuación en diferencias del consumo de los jóvenes exhibe un ciclo 2-periódico {0,460, 1,206}.

268

e).

Equilibrio económico walrasiano

Diversidad de expectativas

Como hemos visto, el modelo OLG monetario muestra, tı́picamente, un continuo de equilibrios determinı́sticos. Uno de estos equilibrios es el estado monetario estacionario, en el cual el dinero legal mantiene un valor constante siempre. Los otros equilibrios convergen siempre a la autarquı́a, y ası́ el dinero, gradualmente, pierde valor.7 El estado monetario estacionario llama inmediatamente la atención, ya que tiene un referente dentro de la experiencia diaria. Los otros equilibrios, sin embargo, parecen implausibles. Para los agentes en las economı́as de mercado modernas es un hecho que, en general, el dinero ha mantenido su papel como medio de intercambio y quizás nadie tome en serio la posibilidad de que una economı́a moderna se transforme en una de intercambio (o al menos, no dentro de un futuro previsible). En la sección anterior se ha mostrado que bajo expectativas racionales, el modelo OLG no puede explicar la existencia de dinero legal con valor, excepto en el estado estacionario.

En los últimos quince años, algunos economistas han propuesto afrontar el problema, no desde la hipótesis de expectativas racionales, sino desde la noción de reglas de aprendizaje (Lucas (1986), Marcet y Sargent (1989)). Bajo estas hipótesis, el modelo OLG a veces converge al estado monetario estacionario, lo que hace de éste un posible estado económico de largo plazo. Sin embargo, otros han mostrado que esta propiedad sufre de falta de generalidad: aunque ciertas reglas de aprendizaje en ciertos modelos producen equilibrios económicamente significativos, otras reglas en otros modelos sólo aumentan el número de posibles trayectorias de equilibrios. Algunas reglas de aprendizaje pueden conducir a trayectorias de precios complejas que no convergen a ningún estado monetario estacionario (Grandmont y Laroque (1991)). Además como muestra Duffy (1994), si los agentes utilizan una regla adaptativa para formar expectativas acerca de la inflación (en lugar del nivel de precios), entonces la economı́a puede converger a un continuo de equilibrios monetarios no estacionarios.

Debido a la falta de generalidad, Lucas (1996) cree que es imposible entender el problema de la indeterminación de equilibrios por métodos 7

Ya habı́amos mencionado que la coexistencia de muchas trayectorias de equilibrio posibles se conoce como el problema de la indeterminación.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

269

puramente matemáticos: “Es difı́cil ver lo que podrı́a avanzar la discusión, reuniendo una colección de individuos, colocándolos en una situación de interés y observando lo que hacen”.

Aceptar el reto de Lucas de encontrar un método puramente matemático ha conducido a algunos autores como Brock y Hommes (1995), Benhabib y Farmer (1994), Grandmont (1994), De Vilder (1995), a explorar métodos de dinámicas de aprendizaje que tengan un alto grado de generalidad. Actualmente se cree que el ingrediente necesario para alcanzar tal generalidad es la diversidad de expectativas: permitir muchas reglas de expectativas diferentes dentro del mismo modelo, parece reducir la posibilidad de que las caracterı́sticas cualitativas del modelo dependan de unas reglas particulares de expectativas o de unos parámetros especı́ficos.

f).

Modelos OLG computables

g).

Polı́ticas de estabilización en un modelo OLG con diversidad de expectativas

¿Puede un gobierno utilizar una polı́tica apropiada para amortiguar o eliminar fluctuaciones económicas? Este controversial problema que ha ocupado a los economistas durante largo tiempo, es central en el campo de la economı́a monetaria.

Hay algunas razones para usar el modelo aquı́ presentado en investigar este particular problema de polı́tica monetaria. Obviamente, un prerequisito para discutir polı́ticas de estabilización, es un modelo plausible en el que existan fluctuaciones qué estabilizar. Kehoe, Levine, MasColell y Woodford [1986] muestran que, en modelos OLG de intercambio puro, dos hipótesis excluyen la existencia de fluctuaciones endógenas: i)sustituibilidad perfecta de los bienes de consumo fechados y ii) previsión perfecta.

Behhabib y Day (1982) y Grandmont (1985) muestran que debilitar la hipótesis i) crea la posibilidad de fluctuaciones endógenas complicadas.

Las polı́ticas de estabilización de éstas son estudiadas por Grandmont (1986). Sin embargo, la violación de la hipótesis de sustituibilidad perfecta requiere que la función de ahorros sea decreciente local en la tasa

270

Equilibrio económico walrasiano

de interés. Como una función de ahorro decreciente el crecimiento de la tasa de interés parece improbable desde el punto de vista empı́rico, estos modelos no ofrecen una explicación enteramente convincente de las fluctuaciones endógenas.

Otros autores debilitan la hipótesis de previsión perfecta ii), asumiendo alguna forma distinta de expectativas. Bullard (1994) y Grandmont y Laroque (1991), por ejemplo, demuestran la posibilidad de fluctuaciones cı́clicas bajo una regla de aprendizaje de mı́nimos cuadrados. De otro lado, los que han asumido expectativas sobre información pasada, han enfrentado dos problemas: i) cualquier elección de una regla de aprendizaje particular es siempre un proceso un tanto ad hoc y ii) las expectativas hacia atrás (backward expectations) a menudo requieren que los agentes hayan cometido errores de previsión, repetida y sistemáticamente. Debido a estas dificultades, los modelos de aprendizaje son a menudo considerados como herramientas de selección de equilibrios [Sargent 1993]: para cada tipo de regla de aprendizaje existe un tipo de equilibrio focal que es entonces escogido como el resultado de largo más plausible para la economı́a.

Reducir la posibilidad de que los resultados dependan de una determinada regla de aprendizaje, introduciendo diversidad de expectativas, podrı́a ayudar a sortear estas dificultades. Actualmente se cree que esta aproximación podrı́a ser un paso significativo hacia el propósito de tener un modelo monetario plausible que permita el análisis de problemas económicos sustanciales.

h).

Conclusiones

El objetivo de gran alcance de los modelos OLG con diversidad de expectativas es aplicar estas herramientas a los problemas discutidos por Robert Lucas (1996) en su discurso al recibir el premio Nobel. En particular, se busca construir modelos en donde el aprendizaje juegue papel importante en la explicación de la neutralidad monetaria en el largo plazo y en sus efectos reales en el corto plazo. Y aunque la literatura sobre este problema se remonta a más de doscientos años atrás (Hume (1752)), los modelos aquı́ presentados deberı́an ser complementados adicionándoles elementos inspirados en el trabajo computacional sobre aprendizaje, (por ejemplo, Le Baron (1995)).

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

271

Para motivar el porqué el aprendizaje podrı́a ser importante en los modelos monetarios, y que no es sólo un criterio de selección de equilibrios, nos remitimos a Grandmont (1992), quien claramente muestra que los modelos de expectativas racionales no son muy útiles al tratar de explicar la volatilidad encontrada en muchas series económicas: “las series de tiempo económicas que presentan la mayor volatilidad son aquellas en donde las expectativas son determinantes al modelar las decisiones presentes. Imponer la hipótesis de expectativas racionales conducirı́a a conclusiones contrarias a los hechos observados”. El aprendizaje, de otro lado, permite un comportamiento dinámico inestable, que coincide muchos más con la evidencia empı́rica.

Las principales objeciones a los modelos de aprendizaje se han centrado en el proceso de selección de las reglas. Actualmente se cree en la posibilidad de construir procesos de selección natural que descarten las reglas implausibles, y mantengan el modelo centrado alrededor del equilibrio de expectativas racionales. Esta idea de centrar alrededor del equilibrio es todavı́a un problema de investigación futura.

3.

El modelo simple de crecimiento

Consideremos una economı́a que produce un único bien (o un bien agregado dentro de cierta categorı́a). Ya que estamos interesados en la forma como funcionan los mercados, es necesario decidir cuántos mercados están abiertos en cada perı́odo de tiempo. Aunque el caso más simple es aquel en el que todos los mercados están abiertos, esto no es muy realista. Por tanto, consideraremos la siguiente estructura de mercado: en cada fecha t existe un mercado spot8 para el único bien que existe en la economı́a, un mercado para bonos o depósitos, y capital, y un mercado de trabajo. Los consumidores deciden, en cada perı́odo de tiempo, cuánto trabajo y capital venden a las firmas, y cuánto consumen y ahorran. Las firmas deciden, en cada perı́odo de tiempo, cuánta cantidad de trabajo y capital comprar, y cuánto producir. Además, los consumidores deciden cuánto prestar o solicitar en préstamo dentro del 8

Un mercado “spot” es aquel en el que el bien se negocia para envı́o inmediato.

Este se distingue del mercado de “futuros” en el que se negocian bienes para envı́o en determinada fecha futura

272

Equilibrio económico walrasiano

mercado de bonos.

a).

Comportamiento de los productores

El sector productivo de la economı́a está descrito por una función de producción agregada Yt = F (Kt , Nt )

(1)

donde Kt es el nivel de capital en el perı́odo t, Nt es la cantidad de 2 → R es una función estrictamente trabajo en el perı́odo t, y F : R+ + creciente en cada uno de los argumentos, cóncava estricta, doblemente diferenciable con continuidad y exhibe rendimientos contantes a escala.

Es decir, ∂F/∂Kt > 0, ∂F/∂Nt > 0 ∂ 2 F/∂Kt2 < 0, ∂ 2 F/∂Nt2 < 0 λF (Kt , Nt ) = F (λKt , λNt ) para todo λ > 0 Observemos que si λt = 1/Nt , entonces Yt /Nt = F (Kt /Nt , 1) ≡ f (kt ), donde kt = Kt /Nt . Se asume, además de las condiciones heredadas de F (·), que f (·) satisface las condiciones f (0) = 0, lı́mk→0 f ′ (k) > β −1 (1 − δ) y lı́mk→∞ f ′ (k) < β −1 − (1 − δ)9 . Ası́, f · estará definida en términos de per-cápita, y ∂F/∂Kt = Nt f ′ (kt )(1/Nt ), ∂F/∂Nt = f (kt ) + Nt f ′ (kt )(−Kt /Nt2 ) = f (kt ) − kt f ′ (kt )

(2a) (2b)

Además, si la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, los beneficios del sector productivo son cero en equilibrio.

Asumiremos que el modelo, en términos per-cápita, está caracterizado por las siguientes ecuaciones: i) Dado un nivel inicial de capital k0 > 0, f (kt ) debe satisfacer 9

Los significados de β y δ se darán más adelante

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

ct + xt = f (kt )

273

(3)

donde xt es la inversión en el perı́odo t y ct es el consumo en el perı́odo t. Es decir, en cada perı́odo, lo producido por la economı́a se consume o se reinvierte en el sector productivo. ii) La inversión en el perı́odo t se utiliza para incrementar el nivel de capital del perı́odo (t+1). La ecuación de evolución del capital está dada por kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(4)

donde δ es la tasa de depreciación del capital (0 < δ < 1). Es decir, en cada perı́odo, el capital disponible para el sector productivo está conformado por el capital (depreciado) del perı́odo anterior más la inversión en este mismo perı́odo.

El problema de la firma representativa es entonces máx ct + pkt xt − wt − rt kt ct , xt , kt 5) sujeto a ct + xt = f (kt ) ct , kt , xt ≥ 0 donde pkt es el precio del capital, wt es el salario, rt es el precio de renta del capital existente relativos al consumo del periodo t.

En una solución interior se tiene que ct > 0 y xt > 0 si y sólo si pkt = 1.

Luego, el problema de la firma representativa será máx f (kt ) − wt − rt kt kt ≥ 0

274

Equilibrio económico walrasiano

Ya que f (·) es una función estrictamente cóncava y diferenciable con continuidad, las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son rt = ∂F/∂Kt = f ′ (kt ) ′

wt = ∂F/∂Nt = f (kt ) − kt f (kt )

b).

(6a) (6b)

Comportamiento de los consumidores

En esta economı́a se asume que existe un gran número de consumidores, y que el comportamiento de la economı́a agregada puede modelarse como si la economı́a consistiera en un sólo consumidor representativo. El propósito de esto es evitar detalles y complejidad innecesarios que aparecen cuando se agregan las acciones de los diferentes individuos, y que es de poca o ninguna ayuda en la comprensión del modelo aquı́ presentado.

También se asume que el consumidor representativo vive infinitamente.

Esta hipótesis de agentes de vida infinita no parece realista a primera vista, pero es justificable si se tiene en cuenta la incertidumbre que los seres humanos tiene sobre el momento preciso de su muerte o el interés que pueden tener en el bienestar de sus futuras generaciones.

El consumidor representativo elige un plan de consumo c = (ct )∞ t=0 en ∞ su conjunto de consumo X = ΠX, donde se supone que X ⊆ R+ , es cerrado, no vacı́o y convexo. La función de utilidad del consumidor representativo está definida por U (c) =

P

β t u(ct ) = u(c0 ) + βu(c1 ) + β 2 u(c2 ) + ...

tal que u : Rt → R es una función monótona creciente, cóncava estricta, y doblemente diferenciable con continuidad en el interior de X, y β ∈ (0, 1). Luego, u′ (·) > 0, y u′′ (·) < 0 en el interior de X. A β se le conoce como el factor de descuento que mide la paciencia del consumidor representativo; es decir, β cercano a 0 significa que el consumidor es muy impaciente y β cercano a 1 significa que el consumidor es muy paciente.10 10

Observemos que β tiene exactamente la misma interpretación que en el modelo OLG.

275

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

La restricción presupuestal afirma que el consumidor representativo, en cada perı́odo, divide su riqueza (que es la suma de los salarios, el valor del capital y el valor de los bonos poseı́dos al comienzo del perı́odo) en consumo, inversión y compra de nuevos bonos, es decir, ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt

t = 0, 1, ...

(7)

donde Rt es la tasa de interés bruta (o, dada la normalización, el precio del consumo en el perı́odo (t − 1) en términos del consumo en el perı́odo t) y bt es la cantidad de bonos o depósitos poseı́dos por el consumidor al comienzo del perı́odo t.11 El problema del consumidor representativo es entonces

máx

X

β t u(ct )

(8)

ct , xt , kt+1 , bt sujeto a ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt kt+1 = (1 − δ)kt + xt ct , kt+1 , xt ≥ 0 k0 0 y b0 dado

t = 0, 1, ...

La función de Lagrange correspondiente a este problema es12 P t L= β {u(ct ) + λt [wt + rt kt + Rt bt − ct − xt − bt+1 ] + θt [(1 − δ)kt + xt − kt+1 ] + γ1t ct + γ2t xt + γ3t kt+1 } 11

Aunque las variables reales se han supuesto no negativas, la variable monetaria bt puede tomar cualquier signo. En particular un valor negativo de bt representa un préstamo solicitado por el consumidor.

12 Notemos que los multiplicadores de Lagrange estándar están dados por los multiplicadores de Lagrange que utilizamos por el factor de descuento. Por ejemplo, el multiplicador de Lagrange estándar asociado a la restricción de factibilidad en el tiempo t está dado por β t λt .

276

Equilibrio económico walrasiano

Dadas las hipótesis sobre u(·), las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son13 ct : u′ (ct ) − λt + γ1t = 0

(9a)

xt : −λt + θt + γ2t = 0

(9b)

bt+1 : −λt + βλt+1 Rt+1 = 0

(9d)

kt+1 : −θt + βθt+1 (1 − δ) + βλt+1 rt+1 + γ3t = 0

(9c)

y las condiciones de transversalidad son14 lı́m β T λT kT +1 = 0

(10a)

lı́m β T λT bT +1 = 0

(10b)

T →∞ T →∞

Dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), la solución a este problema es interior; es decir, la solución al sistema está determinada por ct : u′ (ct ) = λt

(9a’)

xt : λt = θt

(9b’)

kt+1 : λt = βλt+1 [(1 − δ) + rt+1 ]

(9c’)

bt+1 : λt = βλt+1 Rt+1

(9d’)

y las condiciones de transversalidad son lı́m β T λT KT +1 = 0

(10a)

lı́m β T λT bT +1 = 0

(10b)

T →∞ T →∞ 13

Ver Takayama [1984], capı́tulo 1.

Hemos necesitado considerar aquı́ la condición de transversalidad o condición de interioridad al infinito. La regla aproximada que utilizamos para obtener 10a) es como sigue: a) se trunca el problema en t = T ; b) se considera la condición complementaria de holgura del “último” stock, que en nuestro ejemplo está dada por β T λ3T ; c) se consideran qué otras implicaciones están disponibles; por ejemplo, para el problema truncado se tiene que −θT + γ3T = 0; d) se expresa la condición de holgura en términos de otro multiplicador de Lagrange no negativo, y se toma el lı́mite cuando T tiende a infinito de tal condición; es decir, en nuestro caso se toma el lı́mT →∞ β T θT kT +1 ; e) finalmente, se impone que cualquier candidato a solución satisfaga esta condición. En este ejemplo particular, necesitamos garantizar que la solución satisfaga lı́mT →∞ β T λT kT +1 = 0.

14

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

277

La interpretación económica de estas condiciones es simple: 9a′ ) define el multiplicador de Lagrange como la utilidad marginal del consumo, es decir, es una medida de cuánto es valorada una unidad de consumo adicional en el tiempo t; 9c′ ) iguala el costo marginal de renunciar a una unidad de consumo hoy para convertirlo en capital, λt , con los beneficios de tal plan. Especı́ficamente, los beneficios son el extra del producto total de mañana, dado por [(1 − δ) + rt+1 ], multiplicado por el valor de tal producto mañana, dado por βλt+1 . La ecuación 10a) (condición de transversalidad) afirma que el valor lı́mite del nivel de capital desde la perspectiva del tiempo cero, es decir β T λT multiplicado por la cantidad kT +1 , converge a cero. Aunque la imposición de una condición de transversalidad sobre bt , es artificial, es necesaria desde el punto de vista económico. Si los consumidores pudieran elegir una sucesión {bt } no restringida, ellos siempre eligirı́an bt = −∞; es decir, pedirı́an prestado una cantidad infinita hoy y pagarı́an mañana pidiendo prestado de nuevo una cantidad infinita. Por tanto, los consumidores tendrı́an consumos infinitos en cada perı́odo. Es necesario entonces imponer una cota sobre la sucesión de préstamos. Una posible solución es imponer una cantidad máxima que pueda ser prestada; es decir, bt ≥ b para algún valor de b. Sin embargo, observemos que la condición de transversalidad es más débil que imponer una cota superior sobre la sucesión de préstamos.

Las condiciones de primer orden pueden escribirse como u′ (ct =)βu′ (ct+1 )[(1 − δ) + rt+1 ] ′

′

u (ct ) = βu (ct+1 ) + Rt+1

(9c’) (9d’)

y las condiciones de transversalidad lı́m β T u′ (cT )kT +1 = 0

(10a’)

lı́m β T u′ (cT )bT +1 ) = 0

(10b’)

T →∞ T →∞

Las ecuaciones 9c′ ) y 9d′ ) se conocen como las ecuaciones de Euler para el capital y los bonos, respectivamente.

Reemplazando 6a) en 9c′ ) se tiene que u′ (ct )/βu′ (ct+1 ) = [(1 − δ) + f ′ + (kt+1 )]

(11)

278

Equilibrio económico walrasiano

Esta regla, conocida como la regla de Ramsey-Keynes, que debe satisfacerse a lo largo de la trayectoria óptima, no es más que la condición clásica de eficiencia: tasa marginal de sustitución igual a la tasa marginal de transformación.

De otro lado, la ecuación de Euler para bonos puede escribirse como u′ (ct )/βu′ (ct+1 ) = Rt+1

(12)

Es decir, la tasa marginal de sustitución de t a (t + 1) es igual a la tasa de interés bruta en el perı́odo (t + 1).

c).

Equilibrio walrasiano

Definición 9. (Equilibrio walrasiano (o competitivo) del modelo de crecimiento simple) Un equilibrio walrasiano (o competitivo) del modelo de crecimiento simple es una colección de sucesiones de precios [{wt∗ }, {rt∗ }, {Rt∗ }], t = 0, 1, ..., una asignación [{c∗t }, {x∗t }, {kt∗ }], t = 0, 1, ...,, y una sucesión de bonos {b∗t } que resuelven simultáneamente los siguientes problemas i) Problema del productor máx ct + xt − wt − rt kt ct , xt , kt sujeto a ct + xt = f (kt ) t = 0, 1, ... ct , kt+1 , xt ≥ 0 ii) Problema del consumidor P máx β t u(ct ) ct , kt+1 , bt+1

279

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico sujeto a ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt t = 0, 1, ... kt+1 = (1 − δ)kt + xt t = 0, 1, ... ct , kt+1 , xt ≥ 0 b0 = 0, k0 > 0, x0 > 0, R0 > 0 dados iii) Las asignaciones son factibles t = 0, 1, ... ct + xt = f (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt t = 0, 1, ... ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt t = 0, 1, ...

Por consiguiente, dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), un equilibrio competitivo para el modelo de crecimiento simple aquı́ estudiado estará definido por las siguientes ecuaciones: ct + xt = f (kt )

(3)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(4)

′

rt = f (kt )

(6a)

′

wt = f (kt ) − kt f (kt )

(6b)

ct + xt + bt+1 = wt + rt kt + Rt bt ′

u (ct ) = β ′

(7) ′

′

u (ct ) = βu (ct+1 )Rt+1 T ′

u (ct+1 )[(1 − δ) + rt+1 ]

(9c’) (9d’)

lı́m β u (cT )kT +1 = 0

(10a’)

lı́m β T u′ (cT )bT +1 = 0

(10b’)

T →∞ T →∞

y b0 = 0, k0 > 0, x0 > 0, R0 > 0 dados.

Es decir, un equilibrio es un conjunto de sucesiones de precios y una asignación tal que es factible (condiciones 3) y 4)), la firma representativa maximiza el beneficio dada la tecnologı́a (condiciones 6a) y 6b)), y el consumidor representativo maximiza su utilidad sobre su conjunto de presupuesto (condiciones 7), 9c′ ) y 9d′ )).

280

Equilibrio económico walrasiano

La mayorı́a de las condiciones son realmente estándar y no requieren explicaciones adicionales. Una que puede parecer peculiar es b0 = 0. Notemos que en esta economı́a de un agente representativo, b0 es tanto el valor inicial de los bonos para cada individuo como el valor medio de la economı́a. En esta economı́a debe ocurrir que la posición de activos netos sea cero. Ası́, b0 = 0 afirma que en periodo cero los mercados financieros están en equilibrio. En una economı́a con agentes heterogéneos es posible que bi0 sea diferente de cero. En este caso se requiere que la suma de bi0 sobre todos los individuos sea cero.

Lema 1 En cualquier equilibrio competitivo bt = 0 para todo t = 0, 1, ...

Demostración En equilibrio, la restricción presupuestaria del consumidor es

wt∗ + rt∗ kt∗ + Rt∗ b∗t = c∗t + x∗t + b∗t+1 Reemplazando las ecuaciones 6a) y 6b) en la restricción presupuestaria del consumidor, se obtiene

f (kt∗ ) − kt∗ f ′ (kt∗ ) + f ′ (kt∗ )kt∗ + Rt∗ b∗t = c∗t + x∗t + b∗t+1 Ya que en equilibrio, f (kt∗ ) = c∗t + x∗t , entonces Rt∗ b∗t = b∗t+1 . Como en equilibrio b0 = 0, el resultado se obtiene trivialmente.15

d).

El problema de un planificador central

Consideremos ahora el problema de cierto planeador central que quiere maximizar la utilidad del agente representativo sujeto a restricciones de factibilidad y a la sucesión dada de gastos del gobierno {gt }. El problema 15

Aunque este resultado utiliza el supuesto b0 = 0, es fácilmente extendible a una economı́a con agentes heterogéneos. En tal caso lo que puede ser probado es que la suma de b∗it sobre todos los consumidores es cero.

281

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico puede describirse de la siguiente manera max

∞ X

β t u(ct )

(13)

t=0

ct , xt , kt+1 sujeto a ct + xt + gt = f (kt )

t = 0, 1, ...

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

t = 0, 1, ...

ct , kt+1 , xt ≥ 0 k0 > 0dado, x0 > 0dado {gt }t=0 ∞dada. donde u(·) y f (·) satisfacen las mismas condiciones del problema descentralizado.

La función de Lagrange correspondiente a este problema es L=

∞ P

t=0

β t {u(ct ) + λt [f (kt ) − ct − xt − gt ] + θt [(1 − δ)kt + xt + kt+1 ] + γ1t ct + γ2t xt + γ3t kt+1 }

Las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son16 ct : u′ (ct ) − λt + γ1t = 0

xt : −λt + θt + γ2t = 0

(14) (15) ′

kt+1 : −θt + βθt+1 (1 − δ) + βλt+1 f (ft+1 ) + γ3t = 0 T

lı́m β θT kT +1 = 0

(17)

ct + xt + gt = f (kt )

(18)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(19)

T →∞

16

(16)

Ver Monsalve (3) (2006).

282

Equilibrio económico walrasiano

Ya que los requisitos sobre u(·) y f (·) son los mismos del problema descentralizado, entonces todas las soluciones son interiores; luego, todos los γit son cero, y las condiciones de primer orden pueden escribirse como u′ (ct ) = λt

(14’)

λt = θt

(15’) ′

λt = βλt+1 [(1 − δ) + f (kt+1 )] lı́m β T θT kT +1 = 0

T →∞

(16’)

(Condición de transversalidad)

(17’)

ct + xt + gt = f (kt )

(18)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(19)

El sistema anterior se puede reducir a las siguientes ecuaciones

u′ (ct )/βu′ (ct+1 ) = [(1 − δ) + f ′ (kt+1 )]

(Regla de Ramsey-Keynes) (20)

ct + xt + gt = f (kt )

(21)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(22)

T ′

lı́m β u (cT )kT +1 = 0

T →∞

(Condición de transversalidad)

(23)

Definición 10. (Equilibrio centralizado) Un equilibrio centralizado es una colección de sucesiones [{c∗t }, {x∗t }, {kt∗ }, {gt∗ }], t = 3, 1, ..., que resuelven el problema 13).

Dadas las condiciones sobre u(·) y f (·), un equilibrio centralizado para el modelo de crecimiento simple está definido por las ecuaciones 20) 23).

Definición 11. (Estado estacionario) Un estado estacionario para la economı́a centralizada se define como un equilibrio centralizado tal que para todo t ≥ 0, gt = g, kt = k∗ , ct = c∗ , xt = x∗ para algunos números positivos g, k∗ , c∗ , x∗ fijos.

283

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

De las ecuaciones 20) - 23) deducimos que un estado estacionario debe satisfacer δk∗ = x∗17

(24) ′

∗

1/β = [(1 − δ) + f (k )] ∗

∗

∗

c + x + g = f (k )

(25) (26)

Teorema 5. (Existencia y unicidad del estado estacionario) Si g es pequeño (bajo nivel de gasto público), entonces la economı́a centralizada tiene un único equilibrio estacionario.

Demostración Observemos que es suficiente mostrar que existe un único nivel de capital k∗ que satisface 25) y que, en k = k∗ , el nivel de consumo c∗ es no negativo. Como lı́mk→0 f ′ (k) > β −1 − (1 − δ) y lı́mk→0 f ′ (k) < β −1 − (1 − δ), entonces para niveles bajos de k, β[(1 − δ) + f ′ (k)] > 1 y para niveles altos de k, β[(1 − δ) + f ′ (k)] < 1. Ya que f es doblemente diferenciable, entonces f ′ es una función continua. Por tanto, existe k∗ tal que β[(1 − δ) + f ′ (k)] = 1.

Veamos que en el estado estacionario es único; es decir, que sólo un valor de k satisface 25). Ya que f (·) es estrictamente cóncava, entonces β[(1 − δ) + f ′ (k)] es mayor que 1 para valores pequeños de k y menor que 1 para valores grandes de k, sólo existe un valor de k para el cual β[(1 − δ) + f ′ (k)] es igual a 1.

Falta mostrar que 26) implica que c∗ es no negativa. Suponiendo g = 0, veamos que f (k∗ ) > δk∗ . Observemos que es suficiente probar que f ′ (k∗ ) > δ porque en el punto donde se interceptan f (·) y δk, la función f (·), al ser estrictamente cóncava, tiene que venir por encima de δk. Ası́, su derivada en el punto de intersección es menor que δ. Por tanto, para todos los puntos que f ′ (k) > δ, se tiene f (k) > δk. De 25) se concluye que f ′ (k∗ ) = (β −1 − 1 + δ) > δ, ya que β −1 − 1 > 0. Por tanto, si g = 0, la economı́a posee un estado estacionario bien definido. Ya que la condición de existencia se satisface como una desigualdad estricta para g = 0,

284

Equilibrio económico walrasiano

entonces también se tiene para valores de g suficientemente pequeños.18 Una vez probadas la existencia y unicidad, analicemos algunas propiedades del estado estacionario, a partir de las ecuaciones 24), 25) y 26): i) El nivel de capital per-cápita es independiente de la forma de la función de utilidad. La curvatura de u se puede ignorar porque en el estado estacionario el consumo es constante y, por tanto, la utilidad marginal del consumo de hoy es igual al consumo descontado de mañana. Ya que solo importa la tasa marginal de sustitución entre consumo presente y futuro, la curvatura no juega ningún papel en la determinación del estado estacionario. ii) Un cambio pequeño en el gasto del gobierno no tiene impacto ni sobre la producción ni sobre el nivel de capital, pero sı́ implica un decrecimiento directo en el consumo. Este modelo no genera el resultado estándar según el cual el gasto del gobierno desplaza la inversión privada. iii) Las economı́as más pacientes en el consumo, es decir, aquellas con factores de descuentos β más altos tendrán niveles de capital más altos.

Esto se tiene de 25) y del hecho de que f (·) es una función estrictamente cóncava, y por tanto, f ′ (·) es una función decreciente en k. iv) También se puede mostrar, utilizando un argumento similar al que se utilizó en el caso anterior que, para β constante, incrementos en δ implican un decrecimiento del nivel de capital. v) La tasa de crecimiento de un paı́s aumenta cuando la tasa de depreciación del capital aumenta o cuando el nivel de paciencia en el consumo decrece. vi) Finalmente, para ver el impacto de los cambios tecnológicos, modifiquemos la función de producción del modelo. Especı́ficamente, supongamos que la función de producción es de la forma zf (k), donde z se interpreta como el nivel tecnológico. Entonces es posible mostrar que 18

Observemos que si g es suficientemente grande, no existe un estado estacionario.

Por ejemplo, elı́jase g tal que g > f (k∗ ). En este caso es imposible encontrar un valor de c∗ no negativo.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

285

incrementos en z, es decir, mejoras en la tecnologı́a, incrementan el nivel de capital del estado estacionario: suponiendo β y δ constantes, si z se incrementa, entonces k∗ y x∗ aumentan. Sin embargo, nada implica directamente sobre el comportamiento de c∗ . Ası́, mejoras tecnológicas tendrán impacto directo sobre los niveles de capital e inversión, pero no es claro su impacto sobre el nivel de consumo.

El modelo de crecimiento básico de este capı́tulo sugiere que, si nos restringimos a estados estacionarios para dar explicaciones de las diferencias en la producción o consumo per-cápita entre paı́ses, los determinantes son las diferencias en los factores de descuento, las tasas de depreciación y los niveles tecnológicos. Por supuesto, modelos más complicados sugieren un conjunto más amplio de factores que pueden explicar las diferencias en las variables per-cápita.

e).

Los dos teoremas de la economı́a de bienestar en el modelo simple

En el capı́tulo 1 se mostró que una asignación óptima de Pareto maximiza la suma poderosa de las utilidades de los consumidores. Ası́, un equilibrio centralizado es un óptimo de Pareto del modelo de crecimiento simple. Ahora mostraremos que cualquier equilibrio competitivo del modelo de crecimiento simple es una solución del problema del planeador central.

Teorema 6. (Primer teorema del bienestar) Sea [(w∗ , r∗ , R∗ ), (c∗ , x∗ , K∗ ), b⋆ ] un equilibrio competitivo interior, entonces c∗ , x∗ , k∗ resuelve un problema del planeador central para ciertos niveles de gasto público.19 Demostración Las ecuaciones que determinan un equilibrio competitivo 9c′ ), 4) y 10a′ ) son las mismas ecuaciones 20), 22) y 23), respectivamente, que satisface un equilibrio centralizado.

19

Las letras en negrilla sin subı́ndice denotan una sucesión infinita; es decir, para cualquier {zt∗ }, z∗ = {z ∗ }, t = 0, 1, ...

286

Equilibrio económico walrasiano

Para completar la prueba se necesita mostrar que la ecuación 21) del equilibrio centralizado también se satisface. Pero esto es inmediato haciendo g = f (f ∗ ) − c∗ + x∗ .20 El siguiente teorema muestra que, dada una solución al problema del planeador, es posible encontrar una sucesión de precios tal que ella sea un equilibrio competitivo.

Teorema 7. (Segundo teorema del bienestar) Sea (c∗ , x∗ , k∗ ) una solución interior al problema del planeador central. Entonces existen unos precios y una sucesión de bonos tal que [(w∗ , r∗ , R∗ ), (c∗ , x∗ , k∗ ), b∗ ] es un equilibrio competitivo de una economı́a con un agente representativo cuya riqueza monetaria inicial es b0 = 0 y su nivel de capital k0 > 0 iguala la dotación inicial de capital de la economı́a.

Demostración Notemos que la asignación es factible porque resuelve el problema del planeador. Para mostrar que la asignación soluciona los problemas del consumidor y la firma representativa, elı́jase b∗ = 0. Consideremos los siguientes precios: w∗ = f (k∗ ) − k∗ f ′ (k∗ ) r∗ = f ′ (k∗ ) R∗ = (1 − δ) + f ′ (k∗ ) A estos precios, las condiciones de primer orden de la maximización del beneficio de la firma, 6a) y 6b) se satisfacen. Para verificar que las ecuaciones de primer orden de la maximización de la utilidad del consumidor representativo se satisfacen, es suficiente verificar que 9c′ ) se cumple, porque por definición, 9d′ ) se satisface si 9c′ ) se satisface. Como la asignación resuelve el problema del planeador, entonces satisface 20), y por tanto 9c′ ). Ya que b∗ = 0, entonces, a los precios (w∗ , r⋆ , R∗ ), la 20

Podemos suponer que la ecuación 3) se transforma en ct + xt + gt = f (kt ), donde gt es pequeño.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

287

restricción presupuestal del consumidor se satisface para todo t ≥ 0. Finalmente, falta verificar que la solución satisface las soluciones de transversalidad del problema del consumidor. Una de ellas, la condición de transversalidad para los bonos, se satisface trivialmente porque b∗ = 0.

La segunda, la condición de transversalidad para el capital, es equivalente a la condición de transversalidad del planeador. Esto completa la prueba.21 En esta sección se ha probado que la solución al problema del planeador central es una asignación competitiva, aún en el caso en el que no existan mercados de futuro y los consumidores estén retringidos a un conjunto de mercados que permiten intercambios únicamente con perı́odo siguiente.

f).

Estabilidad del equilibrio walrasiano

Se han mostrado las condiciones bajo las cuales existe un único estado estacionario para esta economı́a. En esta sección se mostrará, además, que la economı́a converge al estado estacionario y que éste es el único comportamiento posible en el largo plazo. Por simplicidad, asumiremos que gt = 0 para todo t ≥ 0. Por el teorema de la función implı́cita [ver Lang 1993] el resultado también se tiene para niveles de gasto público pequeños.

Omitiendo los subı́ndices de tiempo, siempre que no haya lugar a confusiones, la ecuación 14′ ) se puede escribir, en términos de c(λ), como u′ (c(λ)) ≡ λ

(27)

Si se supone que lı́mc→0 u′ (c) = ∞, y lı́mc→∞ u′ (c) = 0, entonces la función c(λ) está bien definida, es continuamente diferenciable, lı́mλ→0 c(λ) = ∞, lı́mλ→∞ c(λ) = 0, y es una función decreciente en λ.

21

Este resultado puede extenderse al caso de muchos consumidores heterogéneos.

En este caso, la proposición correcta es que cualquier asignación que resuelve el problema del planeador, la cual incluye promedios ponderados de las funciones de utilidad individual, puede ser soportada como un equilibrio competitivo dado que el planeador puede redistribuir los recursos iniciales. Ver, por ejemplo, Debreu [1959].

288

Equilibrio económico walrasiano

Ası́, el sistema dinámico de la economı́a centralizada puede describirse mediante λt /βλt+1 = [(1 − δ) + f ′ (kt+1 )]

c(λt ) = f (kt ) + kt+1 + (1 − δ)kt

(28) (29)

Las ecuaciones 28) y 29) generan los valores de (kt+1 , λt+1 ) dados los valores (kt , λt ). Por tanto si se conocen (k0 , λ0 ) es posible realizar iteraciones para analizar el comportamiento de kt , λt , cuando t tiende a infinito. Sin embargo, en este modelo, aunque se tiene una condición inicial k0 , no se tiene una condición inicial λ0 . De hecho, al analizar la ecuación 27) se observa que conocer λ0 es equivalente a conocer c0 , que es una variable endógena. Ya que es necesario tener dos condiciones iniciales para resolver el sistema dinámico, debe utlizarse alguna otra condición de frontera: la condición de transversalidad.

Representemos el estado estacionario en términos de las ecuaciones 28) y 29). Para ello describiremos dos curvas. La primera muestra las combinaciones de (k, λ) que satisfacen kt+1 = kt en la ecuación 29). La segunda muestra las combinaciones (k, λ) que satisfacen λt+1 = λ en la ecuación 28).

La primera curva consiste en las parejas ordenas (k, λ) que satisfacen δk = f (k) − c(λ)

(30)

Esta relación se puede interpretar como una curva en el espacio (k, λ) o como una función λ(k) tal que δk ≡ f (k) − c(λ(k)). Por el teorema de la función implı́cita esta función es diferenciable y la derivada está dada por dλ/dk = [f ′ (k) − δ]/c′ (λ) Sea ka tal que f ′ (ka ) = δ. Entonces dλ/dk < 0 si k < ka , dλ/dk = 0 si k = ka , y dλ/dk > 0 si k > ka . Notemos que lı́mk→0 λ(k) = ∞, y lı́mkm →0 λ(k) = ∞, donde f (km ) = δkm . Observemos que dado k, si λ > (k), entonces c(λ) es muy pequeño y kt+1 es mayor que k. Por tanto, para combinaciones (k, λ) por encima de λ(k) se utiliza una flecha señalando hacia la derecha para indicar que, en tal región, el stock de

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

289

capital está creciendo. De forma análoga, para parejas (k, λ) debajo de λ(k), el stock de capital decrece y se utiliza una flecha señalando hacia la izquierda.

La segunda curva consiste en las parejas ordenadas (k∗ , λ) que satisfacen β[(1 − δ) + f ′ (k∗ )] = 1

(31)

donde k∗ es el estado estacionario.22 Observemos que si k < k∗ , entonces β[(1 − δ) + f ′ (k)] > 1; ası́, λt+1 < λt . Por un argumento similar, si k > k∗ , entonces λt+1 > λt . Si k∗ , el valor de λ permanece inalterado.

Existe otra curva de interés y está determinada por el requerimiento de que la inversión sea no negativa. La ecuación 29) exige que las combinaciones (k, λ) satisfagan f (k) − c(λ) ≥ 0

(32)

Esta condición no describe ningún comportamiento dinámico del sistema de ecuaciones en diferencia, sino que establece condiciones de no negatividad que cualquier solución debe satisfacer.

La figura 3-1 muestra las tres curvas del sistema dinámico de esta economı́a. En ella, el plano (k, λ) ha sido dividido en cuatro regiones determinadas por las dos primeras curvas que analizamos anteriormente, y para cada una de ellas se utilizan flechas para indicar la dirección en que se mueven k y λ. Por ejemplo, en la región I tanto el nivel de capital como el multiplicador de Lagrange son decrecientes. Por tanto, la pareja de flechas que apuntan hacia el sudoeste indica que si la economı́a comienza en tal región, las parejas siguientes (k, λ), estarán ubicadas al sudoeste del punto inicial. De forma similar se interpretan las flechas correspondientes a las otras regiones.

Consideremos ahora lo que ocurre cuando el nivel de capital inicial es k0 y el planeador central escoge cualquier λ0 . Si el planeador central escoge unos λ grandes puede resultar en una trayectoria como α en la figura 3-1.

Esta trayectoria se mueve hacia el sudeste durante algún tiempo, pero 22

Notemos que k∗ es el único valor de k que satisface esta condición

290

Equilibrio económico walrasiano

en cierto momento intercepta la curva en que λ se mantiene constante, y tanto λ como k aumentan. Por tanto, dado k0 , si el planeador central escoge una trayectoria como α eventualmente entrará en la región III. Si por el contrario, el planeador central escoge unos λ pequeños puede resultar en una trayectoria como ρ en la figura.

Esta trayectoria se mantiene en la región II durante cierto tiempo, pero eventualmente entrará en la región I. De acuerdo a lo anterior, las regiones I y III, son absorbentes, en el sentido de que una vez una pareja (k, λ) pertenece a una de estas regiones, todos los valores futuros de (k, λ) inducidos por el sistema dinámico se mantendrán en dichas regiones. De forma similar, excepto posiblemente una trayectoria, las regiones II y IV son regiones transitorias, en el sentido de que aun si la condición inicial es tal que (k, λ) está en alguna de estas regiones, la dinámica del sistema hará que las trayectorias entren o en la región I o en la III.

Finalmente, como todas las funciones son continuas, entonces existen infinitas trayectorias que ocupan todo el espacio. Luego, si para algún valor inicial de λ, que induce una trayectoria como α, ésta entra en la región III, y si para todo valor inicial de λ, que induce una trayectoria como ρ, ésta entra en la región I, entonces debe existir algún valor inicial de λ tal que la trayectoria correspondiente converge al estado estacionario (k∗ ), λ∗ . Un argumento similar muestra que, empezando en la región IV, debe existir por lo menos una trayectoria que converge al estado estacionario.

Ahora se mostrará que todas las soluciones al problema del planeador central convergen a (K ∗ , λ∗ ). Para ello mostraremos que, a menos que el planificador central escoja la condición inicial correcta, es decir, un valor de λ0 sobre las flechas punteadas que apuntan a (k∗ , λ∗ ), la trayectoria resultante viola alguna de las condiciones de primer orden.

291

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico λ

II III α

p f (k) − c(λ) = 0

u(c′ ) I

IV

f (k) − c = 0

k0

k∗

ka

k

Figura 1

Teorema 8. (Estabilidad del estado estacionario) Supongamos que se satisfacen las ecuaciones 14′ ), 15′ ), 16′ ), 17′ ), 18) y 19). Entonces todas las trayectorias solución del problema del planeador central convergen al estado estacionario (k∗ , λ∗ ).

Demostración Primero se mostrará que ninguna solución puede entrar en la región I. Consideremos una trayectoria que entra en tal región. Ya que ésta se mueve hacia el sudoeste, entonces en un tiempo finito se violará la condición de no-negatividad de la inversión.23 Ahora se mostrará que la solución no puede entrar en la región III. La ecuación 28) puede escribirse como β t+1 λt+1 = β t λt [(1 − δ) + f ′ (kt+1 )]−1

(28)

23 Es posible mostrar que aun sin la condición de no-negatividad sobre la inversión, las condiciones convergirán en tiempo finito al punto de cero capital y cero consumo.

Dado que u′ (0) = ∞, este punto no es un equilibrio.

292

Equilibrio económico walrasiano

Ya que en la región III la sucesión {kt } es creciente y converge a km , entonces para valores grandes de t, kt estará arbitrariamente cerca de km y converge a km monótonamente. Por tanto, al menos asintóticamente, la tasa de crecimiento del multiplicador de Lagrange β t λt satisface β t+1 λt+1 /β t λt = [(1 − δ) + lı́mt→∞ f ′ (kt+1 )]−1 = [(1 − δ) + f ′ (km )]−1 > 1 Entonces β t λt crece asintóticamente a una tasa positiva, y por tanto, converge al infinito. Luego, la condición de transversalidad, lı́mt→∞ β t λt kt+1 = 0, es violada porque el término β t λt está convergiendo al infinito, mientras el término kt+1 está convergiendo a km > 0.

Como los candidatos a solución no pueden entrar ni en la región I ni en la región III, y como las regiones II y IV son regiones transitorias excepto para las trayectorias que convergen al estado estacionario (k∗ , λ∗ ), entonces todas las trayectorias solución convergen al estado estacionario.

Es posible mostrar que existe una única trayectoria que converge a (k∗ , λ∗ ). Aceptando esto por el momento, se sigue que se ha podido resolver el sistema de dos ecuaciones en diferencias no lineales con sólo una condición inicial. En términos matemáticos, dos condiciones de frontera son necesarias para resolver el sistema. En muchas aplicaciones, esas condiciones de frontera son las condiciones iniciales. En este modelo se utilizó una condición sobre los lı́mites del producto de las dos variables como la segunda condición inicial.

g).

Choques permanentes

Veamos ahora los efectos dinámicos de algún cambio exógeno permanente en la productividad. Especı́ficamente, supongamos que la tecnologı́a está dada por zf (k), donde z es una parámetro que representa el cambio tecnológico, y que la economı́a está en su estado estacionario k∗ (z).

En t = 0, que se asume el tiempo presente, aparece un cambio exógeno permanente en la productividad que se indica como z ′ > z. El planeador central responderá a este incremento ajustando la inversión y el consumo para converger al nuevo estado estacionario. Se ha mostrado que el nuevo estado estacionario se caracteriza porque k∗ (z ′ ) > k∗ (z) y c∗ (z ′ ).

Esta última condición implica que λ∗ (z ′ ) < λ∗ (z). Entonces la primera

293

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

curva de la figura 3-1 se desplaza hacia abajo, es decir, la función λ(k, z) es decreciente en z. Por su parte, la segunda curva se mueve hacia la derecha, porque k∗ (z) es creciente en z. La figura 3-2 muestra las curvas viejas y nuevas y el conjunto de valores iniciales (k, λ) que originan trayectorias que convergen al estado estacionario.24 Dada la nueva tecnologı́a, la solución está sobre la trayectoria denotada γ. Sin embargo, en el tiempo cero el nivel de capital está dado y es igual a k∗ (z). La única variable que puede ajustarse es λ0 . Por tanto, λ pasa del valor λ∗ al valor determinado por γ, el cual en la figura 3-2 es λ0 .

Ya que u′ (c) = λ, entonces la disminución de λ aumenta el consumo.

Y como el nivel de capital aumenta a su nuevo valor k∗ (z ′ ), entonces la inversión aumenta. Notemos que el incremento inicial en el consumo es seguido de aumentos hacia el nuevo nivel del estado estacionario. λ

II “nuevo”

III

λ∗ λ0

“nuevo” γ

λ∗ (z ′ ) k∗ (z)

k∗ (z ′ )

k

Figura 2

h).

Impuestos, déficit y equivalencia ricardiana

Entre las preguntas tradicionales que han interesado a los economistas está el impacto de los déficits presupuestarios sobre el comportamiento 24

La figura 2 no incluye la condición de no negatividad de la inversión para no complicar el gráfico.

294

Equilibrio económico walrasiano

de la economı́a. En esta sección se muestran las implicaciones de cambios en la estructura temporal de los impuestos, manteniendo constante el nivel de gastos del gobierno.

Definición 12.

Un equilibrio competitivo del modelo de crecimiento simple (con gasto público e impuestos) es una colección de sucesiones de precios [{wt∗ }, {rt∗ }, {Rt∗ }], t = 0, 1, ..., una asignación [{c∗t }, {x∗t }, {kt∗ }], t = 0, 1, ..., una sucesión de impuestos {τt∗ } y una sucesión de bonos {b∗t } que resuelven los siguientes problemas i) Problema del productor máx ct + gt + xt − wt − rt kt ct , xt , kt , gt sujeto a ct + xt + gt = f (kt )

t = 0, 1, ...

ct , kt+1 , xt ≥ 0 ii) Problema del consumidor ∞ P

β ′ u(ct ) t=0 ct , xt , kt+1 , bt+1 máx

sujeto a ct + xt + bt+1 + τt = wt + rt kt + Rt bt kt+1 = (1 − δ)kt + xt t = 0, 1, ... ct , kt+1 , xt ≥ 0 b0 = 0, k0 > 0, x0 > 0, R0 > 0 dados iii) Asignaciones Factibles

t = 0, 1, ...

295

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico t = 0, 1, ... ct + xt + gt = f (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt t = 0, 1, ... ct + xt + bt+1 + τt = wt + rt kt + Rt bt bt+1 + τt = gt + Rt bt t = 0, 1, ...

t = 0, 1, ...

La última ecuación representa la restricción presupuestaria del gobierno.

Ésta simplemente afirma que los gastos, dados por las compras y por el pago del principal y los intereses sobre la deuda existente, deben igualar los recursos, dados por los ingresos por impuestos y por la emisión de bonos. Se supone, por simplicidad, que el gobierno emite bonos de un perı́odo únicamente.25 Ahora, es útil deducir algunas implicaciones de la sucesión de restricciones presupuestales enfrentadas por el consumidor. La propiedad fundamental es que, bajo hipótesis anteriores, la sucesión de restricciones presupuestales es realmente equivalente a una sola restricción presupuestal, y esto simplificará nuestro análisis.

Lema 2 Cualquier asignación que resuelve el problema del consumidor, debe satisfacer la siguiente restricción presupuestal en valor presente ∞ X

qt ct =

t=0

donde qt /q0 =

t Q

j=1

∞ X t=0

qt wt + q0 [(1 − δ) + r0 ]k0 + q0 R0 b0

(33)

Rj−1 para t ≥ 1 es el precio de consumo en el perı́odo

t en términos del consumo en el perı́odo cero. Además, el precio inicial q0 puede ser supuesto igual a uno sin pérdida de generalidad.

Demostración La restricción presupuestaria del consumidor representativo en t = 0 es bt = w0 + r0 k0 + R0 b0 − c0 − x0 25

Es posible mostrar que la estructura de madurez de la deuda del gobierno no importa.

296

Equilibrio económico walrasiano

La restricción presupuestaria del consumidor representativo en t = 1 es c1 + x1 + b2 = w1 + r1 k1 + R1 b1 Reemplazando la primera de estas igualdades en la segunda se tiene (c0+x0 ) + R1−1 (c1 + x1 ) = (w0 + r0 k0 ) + R1−1 (w1 + r1 k1 ) + R0 b0 − R1−1 b2 Mediante un proceso de sustitución repetida se obtiene T X

qt (ct + xt ) =

t=0

donde qt ≡

t Q

j=1

T X t=0

qt (wt + rt kt ) + q0 R0 b0 − qτ bτ +1

(34)

Rj−1 para t ≥ 1 y q0 = 1.26

Veamos ahora que, bajo condiciones razonables, 35) es equivalente a 33).

Observemos que es suficiente mostrar que ∞ P

t=0

qt (rt kt − xt ) =

∞ P

t=0

qt (rt kt − kt+1 + (1 − δ)kt ) = q0 [(1 − δ) + r0 ]k0

La segunda ecuación puede ser expresada como lı́mτ →∞ {q0 [(1 − δ) + r0 ]k0 + k1 [−q0 + q1 (1 − δ + r1 )] + ... + kτ [−qτ −1 + qτ (1 − δ + rτ )] − qτ kτ +1 Consideremos primero cualquier término de la forma −qt + qt+1 (1 − δ + rt+1 ). Si este término es estrictamente positivo, entonces la elección óptima de kt+1 es infinito porque si una tecnologı́a de rendimientos constantes a escala genera beneficios positivos, su escala óptima es infinita.

Ya que una demanda infinita de capital es inconsistente con un equilibrio, entonces cualquier sistema de precios de equilibrio debe satisfacer −qt +qt+1 (1−δ+rt+1 ) ≤ 0. Si esta expresión es estrictamente negativa, el nivel óptimo de kt+1 es cero, lo cual no puede ser un equilibrio porque se 26

La interpretación de qt es simple: es el inverso del producto de t tasas de interés de un perı́odo, el cual, como será mostrado después, es igual a la tasa de interés de t perı́odos. Alternativamente, qt es la cantidad que es necesario ahorrar en el perı́odo cero para obtener una unidad de consumo en el perı́odo t. Ası́, es posible interpretar qt como el precio en el perı́odo cero de ct .

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

297

vioları́a una de las condiciones de Inada. Ası́, −qt +qt+1 (1−δ +rt+1 ) = 0, para todo t ≥ 0. Además, por un argumento idéntico al utilizado para bτ +1 , lı́mτ →∞ qτ kτ +1 = 0. Esto completa la prueba.

Este resultado afirma que, bajo los supuestos realizados, es equivalente seguir el argumento con una sucesión infinita de restricciones presupuestales o con la restricción presupuestal en valor presente.

El siguiente resultado, conocido como la equivalencia ricardiana, muestra el impacto de cambios en la estructura temporal de los impuestos, manteniendo constante su valor presente, sobre las asignaciones y precios de equilibrio.

Teorema 9. (Equivalencia ricardiana) Dada una sucesión de gastos del gobierno {gt }, toda estructura positiva no distorsionante (lump sum) que incrementa el nivel de ingresos apropiadamente está asociada con el mismo equilibrio real. Ası́, tanto las asignaciones como también los precios son independientes de la trayectoria temporal de los impuestos.

Demostración Sea g una sucesión dada y factible de gasto del gobierno. Se asume que el gobierno utiliza impuestos lump sum para financiar esta sucesión de gastos, como también cualquier deuda inicial no pagada aún. En esta sección se permite que el gobierno emita deuda. Sean τ = {τ1 } y π = {πt } dos sucesiones de impuestos tal que π0 < τ0 ; es decir, la segunda sucesión de impuestos se caracteriza porque en el perı́odo 0 los impuestos disminuyen y el déficit del gobierno se incrementa.

A partir del lema 2, la restricción presupuestal en valor presente del consumidor representativo cuando existen impuestos lump sum es ∞ X t=0

qt ct =

∞ X t=0

qt (wt − τt ) + q0 [(1 − δ) + r0 ] + q0 R0 b0

(36)

donde ahora no se requiere b0 = 0. Si b0 > 0, el sector privado es un acreedor con respecto al gobierno, es decir, la deuda del gobierno es

298

Equilibrio económico walrasiano

positiva; mientras si b0 < 0 el gobierno es un acreedor con respecto al sector privado.

Por medio de argumentos similares a los utilizados en la prueba del T P lema 2, se puede mostrar que qt (τt gt ) = q0 R0 b0 − qτ bτ +1 . Y ya que t=0

lı́mτ →∞ qτ bτ +1 = 0, entonces la restricción presupuestaria del gobierno puede escribirse como ∞ X t=0

qt (τt − gt ) = q0 R0 b0

(37)

Al reemplazar 37) en 36) se obtiene ∞ X t=0

qt ct =

∞ X t=0

qt (wt − gt ) + q0 [(1 − δ) + r0 ]k0

(38)

La ecuación 38) muestra que, dada una sucesión de gastos del gobierno cualquier sucesión de impuestos que satisface 37) deja inalterada la restricción presupuestaria del consumidor si los precios permanecen inmodificados. Ası́, el consumidor enfrentarı́a, exactamente, la misma restricción presupuestaria aunque la sucesión de impuestos pueda haber cambiado.

Si los precios no cambian, entonces el consumidor demanda las mismas cantidades de mercancı́as porque la restricción presupuestaria no varı́a, y las firmas ofrecen las mismas cantidades. Si se muestra que los mercados se vacı́an en cada perı́odo de tiempo, la prueba del teorema se completa.

Las ecuaciones 3) y 4) son las condiciones de equilibrio de mercado ct + xt + gt = f (kt )

(3)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

(4)

Ya que {gt } no ha cambiado, las condiciones de equilibrio de mercado se satisfacen. Esto completa la prueba.

Observemos en el teorema anterior que, si dos regı́menes alternativos de

299

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico impuestos son factibles en el sentido de la ecuación 37), entonces ∞ X t=0

q t τt =

∞ X

q t πt

(39)

t=0

Es decir, las dos sucesiones de impuestos deben tener el mismo valor presente. Como en la restricción del consumidor sólo importa el valor presente de los impuestos, sucesiones alternativas del impuesto con el mismo valor presente no alteran el conjunto de elecciones factibles.

Supongamos que existe una reducción de los impuestos en t = 0. De la ecuación 39) se deduce que esta reducción será seguida por un incremento en los impuestos en el futuro, para mantener constante el valor presente. En t = 0, el gobierno tiene que emitir más bonos. Su restricción presupuestaria es b1 + π0 = g0 + R0 b0 . Por tanto, b1 − b1 = τ0 − τ0 , y la reducción en los impuestos es financiada mediante un incremento en los préstamos. Ası́, la demanda de préstamos por parte del gobierno se incrementa. Como el consumidor conoce que él no es más rico, no cambia ni su nivel de consumo ni su inversión en capital, la cual está determinada por la igualdad entre el producto marginal del capital y la tasa de interés. Por tanto, el consumidor decide ahorrar más en el banco, incrementando la oferta de préstamos. Ası́, el consumidor incrementa sus ahorros en la forma de una mayor demanda de depósitos exactamente en la misma cantidad en que el gobierno incrementa su demanda por préstamos. Esta es la razón por la que la tasa de interés no varı́a.

Es posible mostrar, utilizando la restricción de factibilidad, que cambios en la sucesión {gt } sı́ tendrán efectos reales. Ası́, este modelo no implica que lo que haga el gobierno sea irrelevante. Lo que afirma es que, bajo algunas condiciones, la trayectoria de los impuestos es irrelevante.

i).

El modelo de Solow (1956)

Solow [1956] estudió el comportamiento dinámico de variables económicas agregadas y creó el campo de la teorı́a del crecimiento, el cual forma parte importante del campo de la teorı́a macroeconómica moderna.

Solow no utilizó el enfoque optimizador presentado aquı́, sino que asumió una tasa de ahorro constante. En esta sección se mostrará que es

300

Equilibrio económico walrasiano

posible encontrar preferencias y tecnologı́as tal que el modelo de optimización dinámica genera el equilibrio del modelo de Solow.

Para descubrir las preferencias y tecnologı́as correctas, es suficiente mostrar que una tasa de ahorro constante s satisface la regla Ramsey-Keynes (ecuación 23)), y la condición de tansversalidad.

Definamos ct = (1 − s)f (kt )

kt+1 = (1 − δ)kt + sf (kt )

(40) (41)

Al reemplazar 40) y 41) en la ecuación de Euler se tiene ′

u [(1 − s)f (kt )] =

(1) ′

βu [(1 − s)f ((1 − δ)kt + sf (kt ))][(1 − δ)+ ′

f ((1 − δ)kt + sf (kt ))]

(2) (42)

donde el mismo s tiene que satisfacer la ecuación para todos los valores de kt . Es fácil verificar que la condición de transversalidad se satisface. Para mostrar que existe al menos una economı́a que es de Solow, es suficiente presentar un ejemplo. Consideremos u(c) = ln(c), δ = 1 y f (k) = zkα para 0 < α < 1. Sustituyendo estas funciones en la ecuación 42), la ecuación de Euler se satisface si s = αβ, la cual, como es requerido, está entre cero y uno.27 Además, dentro de la clase de economı́as que poseen estados estacionarios, ésta es la única que exhibe una tasa de ahorro constante. Ası́, aunque no es teóricamente imposible, el supuesto de una tasa de ahorro constante es realmente restrictivo.

j).

Población y cambio técnico

En el modelo analizado hasta ahora, se ha supuesto un nivel de población constante y la ausencia de progreso técnico. Es posible mostrar, al menos en algunos casos, que tanto el crecimiento de la población como el progreso técnico pueden ser acomodados fácilmente dentro del modelo, 27

Observemos la relación entre el coeficiente de paciencia β y la tasa de ahorro s.

Ası́, las economı́as más pacientes son las economı́as que más ahorran

301

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

reinterpretando los parámetros. Veamos el caso en el que la población y la tecnologı́a crecen a unas tasas dadas. Especı́ficamente, sean Lt = (1 + n)t L0 t

At = (1 + γ) A0

(43) (44)

donde Lt y At representan el nivel de población y la tecnologı́a en el tiempo t, respectivamente. Supongamos que las preferencias están dadas por ∞ X

β ′ Lt u(Ct /Lt )

(45)

t=0

donde Ct es el consumo total en el perı́odo t y β ′ es el factor de descuento de esta economı́a. Es decir, la utilidad total depende del consumo por trabajador por el número de trabajadores. Supongamos, además, que la tecnologı́a está dada por Ct + Xt = F (Kt , At Lt ) ′

Kt+1 = (1 − δ )Kt + Xt

(46) K0 > 0dado

(47)

donde Xt es la inversión total en el perı́odo t y δ′ es la tasa de depreciación del capital de esta economı́a. Observemos que el cambio tecnológico es aumentador en trabajo; es decir, que el cambio tecnológico incrementa la productividad del trabajo y no la productividad total. Para cualquier variable Zt , definimos zt ≡ Zt /At Lt . Ası́, zt está medida en unidades de trabajo efectivo. Por tanto, la tecnologı́a esta dada por ct + xt = f (kt )

(48)

′

(49)

kt+1 = {(1 − δ )/[(1 + n)(1 + γ)]kt } + {xt /[(1 + n) + (1 + δ)]}

Definimos δ = 1 − {(1 − δ′ )/[(1 + n)(1 + γ)]}. Observemos que la tecnologı́a de esta economı́a es similar a la de la economı́a sin cambio técnico ni progreso de la población, excepto por la constante que divide a xt .

Aunque esta constante afecta la definición del estado estacionario k∗ , no afecta el análisis.

302

Equilibrio económico walrasiano

Reemplazando 43) en 45), las preferencias pueden escribirse como ∞ X [β ′ (1 + n)]t L0 u(ct (1 + γ)t A0 )

(50)

t=0

Si u(ct (1 + γ)t )A0 = φt v(ct ) para alguna función v, entonces puede utilizase la formulación original del problema del planeador central. Es fácil probar que, si una función de utilidad satisface esta propiedad, entonces ésta debe ser de la forma u(c) = c1−σ /(1 − σ) para algún σ > 0. En este caso u(ct (1 + γ)t A0 ) = u(ct )(1 + γ)(1−σ)t (A0 )1−σ

(51)

Definimos β ≡ β ′ (1 + n)(1 + γ)1−σ . Entonces la función objetivo del planeador central está bien definida si β < 1, y está dada por ∞ P

t=0

β t u(ct )

El modelo determinado por las ecuaciones 48), 49) y 50) tiene exactamente las mismas propiedades que el modelo básico descrito por la ecuación 13).

Ejemplo 9. (Impuestos y crecimiento) Consideremos el modelo de crecimiento simple descrito en el capı́tulo con dos modificaciones. Primero, la oferta de trabajo no es constante.

Ası́, la función de utilidad instantánea está dada por u(Ct , 1−N ), donde Ct es el consumo en el perı́odo t y (1 − N ) es la cantidad de ocio consumido. Supongamos que la función de utilidad es estrictamente cóncava creciente en los dos argumentos. La función de utilidad del consumidor representativo es ∞ P

t=0

β t u(Ct , 1 − N )

Segundo, existe un gobierno que impone impuestos sobre el precio de renta del capital a una tasa constante τ ; es decir, el precio de renta del capital es r y el nivel de capital que posee el consumidor representativo es K, entonces los impuestos totales pagados por el consumidor son

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

303

iguales a T = τ rK. El gobierno utiliza estos ingresos para financiar un programa de transferencias. Ası́, el consumidor recibe una transferencia lump sum de cantidad T ; es decir, el consumidor no es consciente de la relación que existe entre los impuestos y la cantidad recibida del gobierno.

La tecnologı́a de esa economı́a está dada por Ct + Xt + Gt = F (Kt , Nt ) Kt+1 = (1 − δ)kt + Xt 2 → R es una función estrictamente creciente en cada donde F : R+ + uno de sus argumentos, cóncava estricta, doblemente diferenciable con continuidad y exhibe rendimientos constantes a escala. Además, supongamos que aun si N = 1, existe un nivel de capital máximo sostenible.

Supongamos también que el consumidor posee bonos y capital, y que la firma se enfrenta a mercados spot de capital y trabajo.

a. Describamos el estado estacionario de la economı́a cerrada y, también, el efecto de una mayor tasa de impuestos sobre la relación capitaltrabajo. El problema de la firma representativa es máx Ct + Xt − Wt Nt − rt Kt

(1)

ct , xt sujeto a Ct + Xt = F (Kt , Nt )

t = 0, 1, ...

Las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son rt = FK (t)

(2a)

wt = FN (t)

(2b)

El problema del consumidor representativo es máx ct

∞ X t=0

β t u(Ct , 1 − N )

(3) (3)

304

Equilibrio económico walrasiano

sujeto a Ct + Xt + Bt+1 = wt Nt + (1 − τ )rt Kt + Rt Bt Kt+1 = (1 − δ)Kt + Xt t = 0, 1, ...

Ct , Kt+1 , Xt ≥ 0 K0 > 0 y B0 dado

t = 0, 1, ...

La función de Lagrange correspondiente a este problema es L =

∞ P

t=0

β t {u(Ct , 1 − N ) + λt [wt Nt + (1 − τ )rt Kt + Rt Bt − Ct − Xt −

Bt+1 ] + θt [(1 − δ)Kt + Xt − Kt+1 ]} Las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son Ct : uC (t) = λt

(4)

Nt : uN (t) = λt wt

(5)

Xt : λt = θt

(6)

Kt+1 : θt = β[θt+1 (1 − δ) + λt+1 (1 − τ )rt+1 ]

(7)

Bt+1 : λt = βλt+1 Rt+1

(8)

y las condiciones de transversalidad son lı́m β T λT KT +1 = 0

(9)

lı́m β T λT bT +1 = 0

(10)

T →∞ T →∞

A partir de las ecuaciones 4) y 6), la ecuación 7) puede escribirse como uC (t) = βuC (t + 1)[(1 − δ) + (1 − τ )rt+1 ]

(11)

Al reemplazar 2a) en la ecuación 11) obtenemos uC (t) = βuC (t + 1)[(1 − δ) + (1 − τ )FK (t + 1)]

(12)

que es la ecuación de Euler. En un estado estacionario todas las variables son constantes. Entonces la ecuación de Euler en el estado estacionario es 1 = β[(1 − δ) + (1 − τ )FK (K/N, 1)]

(13)

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

305

donde se ha utilizado la hipótesis de que F es homogénea de grado uno, lo que implica que FK depende únicamente de la relación (K/N ).

Si la tasa impositiva aumenta, entonces (1 − τ ) disminuye. Luego, para preservar la ecuación 13), FK debe aumentar y (K/N ) debe disminuir, ya que F es estricamente cóncava. Por tanto, un incremento en la tasa impositiva implica que el nivel de capital per-capita disminuye. b. Supongamos que esta economı́a tiene acceso a un mercado de bonos internacional. Más especı́ficamente, supongamos que el consumidor puede prestar o solicitar préstamos a la tasa β −1 . Describamos la trayectoria dinámica de esta economı́a a partir de un nivel inicial de capital k0 .

De la ecuación 8) se deduce que si Rt = R = β −1 , entonces λt = λ para todo t. Por tanto, uC (t) es constante para todo t, y la cuación 13) se satisface para todo t ≥ 1. Ası́, si el consumidor tiene acceso a un mercado de crédito internacional en el que R = β −1 , la economı́a converge a su estado estacionario en un perı́odo. El argumento intuitivo es que el acceso a un mercado de bonos internacional le permite a la economı́a importar en un perı́odo el capital que habrı́a de ser acumulado durante muchos perı́odos.

Ejemplo 10. (Gasto público en la función de utilidad) Consideremos un modelo de crecimiento en el que el gasto del gobierno incrementa la utilidad del consumidor representativo. Su función de utilidad es ∞ P

β t u(ct , gt )

t=0

donde u : R+ → R es una función monótona creciente, cóncava estricta, y doblemente diferenciable con continuidad y β ∈ (0, 1). El consumidor representativo está dotado con una unidad de tiempo en cada perı́odo y el ocio no le brinda utilidad.

La tecnologı́a de esta economı́a está dada por

306

Equilibrio económico walrasiano ct + xt + gt = zf (kt ) kt+1 = (1 − δ)kt + xt

donde zf (·) es una función estrictamente cóncava y satisface f (0) = 0, lı́mk→0 zf ′ (k) = ∞, y lı́mk→∞ zf ′ (k) = 0. Supongamos también que la sucesión de gastos del gobierno es constante y dada exógenamente, gt = g, para todo t ≥ 0.

Supongamos, además, que el consumidor posee bonos y capital, y que la firma se enfrenta a mercados spot de capital y trabajo. a. Definamos ahora un equilibrio competitivo para esta economı́a en la que el gasto del gobierno es financiado por medio de impuestos lump sum.

Un equilibrio competitivo es una colección de sucesiones de precios [{wt∗ }, {rt∗ }, {Rt∗ }, ], t = 0, 1, ..., una asignación [{c∗t }, {x∗t }, {kt∗ }], t = 0, 1, ..., una sucesión de impuestos {τt∗ } y una sucesión de bonos {b∗t } que resuelven los siguientes problemas máx ct + gt + xt − wt + rt kt

(1)

ct , xt sujeto a ct + xt + gt = zf (kt ) ct , kt+1 , xt ≥ 0

t = 0, 1, ...

máx ct

X

β t u(ct , gt )

(2)

sujeto a ct + xt + bt + 1 + τt = wt + rt kt + Rt bt kt+1 = (1 − δ)kt + xt t = 0, 1, ... ct , kt+1 , xt ≥ 0 k0 > y b0 dado

t = 0, 1, ...

307

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico tal que bt+1 + τt = gt + Rt bt

t = 0, 1, ...

(3)

ct + xt + gt = zf (kt )

t = 0, 1, ...

(4)

kt+1 = (1 − δ)kt + xt

t = 0, 1, ...

(5)

ct + xt + bt+1 + τt = wt + rtkt +Rt bt

t = 0, 1, ...

(6)

La ecuación 3) es la restricción presupuestaria del gobierno. b. Mostremos ahora que existe un único estado estacionario para esta economı́a. Ya que bajo impuestos lump sum las asignaciones de equilibrio competitivo y las asignaciones óptimas de Pareto coinciden, entonces la solución al problema de un planeador central describe el equilibrio competitivo.

La función de Lagrange correspondiente a este problema es P L = β T {u(ct , gt ) + λt [zf (kt ) − ct − xt − gt ] + θt [(1 − δ)kt + xt − kt+1 ] + γ1t ct + γ2t xt + γ3t kt+1 } Dada la sucesión de gastos del gobierno gt = g, para todo t ≥ 0, las condiciones suficientes y necesarias para la existencia de una solución a este problema son uc (ct , g) = βuc (ct+1 , g)[(1 − δ) + zf ′ (kt+1 )] ct + xt + g = zf (kt )

lı́m β T uc (cT , g)kt+1 = 0

(7) (8) (9)

T →∞

Si un equilibrio estacionario existe, entonces satisface 1 = β[(1 − δ) + zf ′ (k∗ )] ∗

∗

∗

c + δk + g = zf (k )

(10) (11)

Para comprobarlo, es suficiente mostrar que existe un único nivel de capital k∗ que satisface 10) y que en k = k∗ , el nivel de consumo c∗ es no negativo. Como lı́mk→0 zf ′ (k) = ∞, y lı́mk→∞ zf ′ (k) = 0, entonces para niveles bajos de k, β[(1 − δ) + zf ′ (k)] > 1 y para niveles

308

Equilibrio económico walrasiano

altos de k, β[(1 − δ) + zf ′ (k)] < 1. Ya que f es doblemente diferenciable, entonces zf ′ (·) es una función contı́nua. Por tanto, existe k∗ tal que β[(1 − δ) + zf ′ (k∗ )] = 1 Veamos que el estado estacionario es único; es decir, que solo un valor de k satisface 10). Ya que zf (·) es una función estrictamente cóncava, entonces β[(1 − δ) + zf ′ (k)] es una función estrictamente decreciente en k. Como β[(1 − δ) + zf ′ (k)] es mayor que 1 para valores pequeños de k y menor que 1 para valores grandes de k, solo existe un valor de k para el cual β[(1 − δ) + zf ′ (k)] es igual a 1.

Falta mostrar que 11) implica que c∗ es no negativa. Suponiendo g = 0, veamos que zf (k∗ ) > δk∗ . Observemos que es suficiente probar que zf ′ (k∗ ) > δ porque en el punto en que se interceptan zf (·) y δk, la función zf (·), al ser estrictamente cóncava, tiene que venir por encima de δk. Ası́, su derivada en el punto de intersección es menor que δ. Por tanto, para todos los puntos tales que zf ′ (k∗ ) > δ, se tiene zf (k) > δk.

De 10) se concluye que zf ′ (k∗ ) = (β −1 1 − δ) > δ, ya que β −1 − 1 > 0.

Por tanto, si g = 0, la economı́a posee un estado estacionario bien definido. Ya que la condición de existencia se satisface como una desigualdad estricta para g = 0, entonces también se tiene para valores de g suficientemente pequeños. c. Supongamos que la economı́a está en el estado estacionario y g = ga .

En el perı́odo cero se produce un incremento permanente, inesperado y pequeño en g de ga a gb . Describamos el comportamiento del consumo a lo largo de la trayectoria.

Notemos que la ecuación 10) no depende de g. Ası́ esta condición se sigue satisfaciendo en el nuevo estado estacionario. Ya que g se incrementa, entonces por la ecuación 11), c∗ disminuye en la misma cantidad. Ası́, un incremento en g no tiene impacto ni sobre la inversión ni sobre la producción. A causa de la naturaleza de los impuestos lump sum, sólo existe un efecto ingreso que reduce el consumo. Observemos que ya que la tasa de interés no varı́a, a partir de la ecuación 10) se deduce que no importa si los bienes son sustitutos o complementos: es el efecto ingreso el que reduce el consumo.

Capı́tulo 9: Equilibrio general dinámico

309

d. Supongamos que la economı́a está en el estado estacionario y g = ga .

En el perı́odo cero se anuncia que habrá un incremento permanente en g de ga a gb que comenzará el próximo perı́odo. Veamos qué sucede con la tasa de interés en el perı́odo cero.

Consideremos primero el presente y que la tasa de interés permanece constante. Entonces la utilidad marginal del consumo hoy iguala la utilidad marginal del consumo mañana, y la siguiente ecuación de Euler se tiene uc (ct , ga ) = βuc (ct+1 , gb )Rt+1

(12)

Además, ya que la tasa de interés no varı́a, el nivel de capital tampoco.

Ası́, ct = c∗ . Si el nivel de capital inicial del próximo perı́odo es k∗ , la economı́a permanecerá en ese nivel. Por tanto, si gb = ga + ∆, entonces el consumo mañana serı́a c∗ − ∆. Luego, para que la ecuación 12) se satisfaga, debe tenerse uc (c∗ , ga ) = uc (c∗ − ∆, ga + ∆)

(13)

y esta condición, en general, no se satisface. Ası́, la tasa de interés en el perı́odo cero, en general, cambia.

k).

Crecimiento endógeno en una economı́a Robinson Crusoe.

310

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

CAPÍTULO

7

Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

1.

Francis Y. Edgeworth [1845-1926]

De padre irlandés y madre española, Francis Ysidro Edgeworth fue educado en casa por tutores, y nunca estuvo expuesto a las escuelas públicas victorianas de la Irlanda de su tiempo. Fue a Dublin(1862) a estudiar matemáticas y literatura clásica, y luego a Oxford (1867) hasta completar el grado de Literae Humaniores en 1869. Hasta 1877 tuvo múltiples intereses: filosofı́a, ética, economı́a y matemáticas. Leyó a Platon, Aristóteles, Bentham, Cournot, Jevons, Gossen, algo de Marshall y también, fundamentalmente, a Mill y a Sidgwick; sin embargo, aunque estuvo familiarizado con el trabajo de Laplace y Maxwell, y las utilizaba recurrentemente, y siempre estuvo al tanto de cualquier tratamiento matemático de la teorı́a económica de su tiempo, nunca fue muy hábil con las matemáticas.

En estos años, su principal preocupación fue la relación entre ética y economı́a. Precisamente en 1877 publicó, de su propio bolsillo, una pequeña monografı́a que tituló “New and Old Methods of Ethics”. La primera mitad del libro está dedicada a una cuidadosa crı́tica filosófica del trabajo (que habı́a sido publicado recientemente) de Sidgwick sobre ética (“The Methods of Ethics”(1874)). Sorprendentemente, la segunda mitad la dedica al “significado del utilitarismo”. Allı́ define el “utilitarismo exacto” 311

312

Equilibrio económico walrasiano

como “(...)la mayor cantidad de felicidad de aquellos capaces de sentir, sin importar su número y su distribución-[[es decir]] un fin del que el número y la distribución son sólo medios [[para alcanzarlo]].”

Luego utiliza (por primera vez en la historia de la economı́a matemática) la técnica de los multiplicadores de Lagrange para darle significado matemático a una noción numérica de la “mayor cantidad de felicidad”....

Cuatro años después, la obra por la que más se le reconoce: Mathematical Psychics (1881), donde aparecen por primera vez las nociones de “curva de indiferencia” y “curva de contrato”. Y aunque las matemáticas y la ética en esta obra son prestadas de aquellos a quienes habı́a leı́do, la concepción general y el tratamiento son de un alto nivel de originalidad.

De hecho, lo fue tanto, que solo vino a ser comprendido a cabalidad más de 70 años después....

Entre 1883-1884 comienza el perı́odo de las publicaciones de Edgeworth sobre teorı́a de la probabilidad. Seis artı́culos, el primero de los cuales se llamó “La Ley del Error´” fue publicado en 1883 en el Philosophical Magazine. En 1885 presenta su plan de investigación estadı́stica para el resto de su vida: Methods of Statistics, que, al igual que sucediera con su Mathematical Psychics, solo fue apreciado por unos cuantos. El estudio de las probabilidades a priori, La Ley de los Números Grandes (1913-1918), aplicaciones a los números ı́ndices de precios (1887-1890), la noción de correlación (1892), fueron objetos de estudio más desde la perspectiva de la filosofı́a de la Estadı́stica que desde la práctica empı́rica.

En 1891, Edgeworth alcanzó la cátedra de Economı́a Polı́tica en Oxford, lugar que mantuvo hasta su retiro como Profesor Emérito en 1922.

Durante este perı́odo y hasta su muerte, fue uno de los editores del Economic Journal. También fue presidente de la sección económica de la British Association for the Advancement of Science en 1889, y, en 1903, fue elegido miembro de la British Academy. Además, fue presidente de la Statistical Society desde 1912 hasta 1914. Ası́ que no es de extrañar que Edgeworth fuera uno de los más visibles e influyentes economistas ingleses de la época, y su trabajo editorial alrededor del Economic Journal fue muy reconocido. Allı́ precisamente fue que alcanzó a tener esa

Capı́tulo 6: Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

313

inmensa familiaridad con la teorı́a económica y con los economistas de la época. Las revisiones de los libros y artı́culos realizados bajo su dirección eran notables por su enciclopédico conocimiento del área, su prodigiosa memoria, y su precisión y poder crı́tico.

Edgeworth nunca desarrolló sistema económico alguno, y sólo publicó un libro (Mathematical Psychics). Sus argumentos en ocasiones muy oscuros; sus imprecisiones en citas de los clásicos y también en sus cálculos algebraicos; sus interpelaciones poéticas y sus metáforas en lugar de las esperadas deducciones lógicas, podrı́an colocarnos en una errónea impresión de su trabajo. Pero es que Edgeworth es de aquellos autores que requieren leerlo, no una sino dos veces, como un todo. Solo allı́ se le encuentra coherente, con argumentos válidos y consecutivos, y su pensamiento se hace más vivo y más claro. Como él mismo afirmara sobre uno de sus libros revisados: “Mediante pasos que no son violentamente abruptos ni tediosamente circulares, él alcanza las alturas desde las que la dependencia mutua de todas las cantidades económicas pueden ser contempladas mejor. En esas alturas también se observan algunas curiosidades de la teorı́a, como las flores de Los Alpes, que sólo se encuentran en las grandes alturas.”

Edgeworth murió en 1926.

2.

El núcleo de una economı́a

Como decı́amos, Edgeworth, en su texto clásico Mathematical Psychics de 1881, introdujo la noción de curva de contrato (posteriormente conocida como el núcleo) en economı́as de dos mercancı́as y dos tipos de agentes. Allı́ estudiaba lo que sucedı́a con la curva de contrato cuando el número de agentes de cada tipo crece. Edgeworth encontró que la curva de contrato se contrae hacia los estados de equilibrio bajo competencia perfecta cuando el número de agentes aumenta: “contratos con competencia perfecta están perfectamente determinados”(Edgeworth, 1881, p.20). Pero este resultado recibió poca atención durante más de 80 años, quizás debido a la forma confusa en que Edgeworth presentó sus ideas.

En 1963, Debreu y Herbert Scarf publicaron A Limit Theorem on the Core of an Economy, una lúcida, elegante y breve demostración de las

314

Equilibrio económico walrasiano

ideas de Edgeworth. Pero el punto decisivo lo colocó la teorı́a de juegos.

Desde la aparición del clásico Theory of Games and Economic Behavior de John von Neumann y Oskar Morgenstern en 1944, el análisis de juegos cooperativos venı́a desarrollándose rápidamente, y en 1953, L.S. Shapley y D.B. Gillies establecieron un concepto-solución para estos juegos que dieron en llamar el núcleo (core). En 1959, Martin Shubik encontró la conexión entre la curva de contrato de Edgeworth y el núcleo de un juego cooperativo, y Herbert Scarf, inspirado en esto, presentó en 1962 un notable análisis de la relación núcleo-equilibrio walrasiano en economı́as de intercambio para un número contable de agentes de cada tipo. Un año después, Debreu y Scarf dieron una prueba mucho más simple de este teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios walrasianos a medida que el número de agentes de cada tipo crece. Fue precisamente aquı́ que el premio Nobel en economı́a de 2005, Robert Aumann (1964), observó la posibilidad de generalizar el modelo con un número contable de agentes a uno con un continuo de agentes que es, desde el punto de vista económico, la representación matemática más adecuada de una economı́a perfectamente competitiva. Aumann probó el teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios walrasianos cuando la economı́a tiene un continuo de agentes. Hoy, los trabajos de Debreu, Scarf y Aumann han desembocado en una enorme actividad investigativa, particularmente en la teorı́a de juegos de mercado (ver Hart (2005)).

Para comenzar, consideremos una economı́a de intercambio cualquiera.

Diremos que una asignación x está en el núcleo de esta economı́a si no puede mejorarse mediante la formación de coaliciones; es decir, una vez asignada x, no existe ningún incentivo para que un subgrupo de agentes se aparte del acuerdo y negocien entre sı́.

Definición 1. (Núcleo (core) de una economı́a de intercambio) a) Una coalición de agentes S mejora una asignación x de la economı́a, si hay alguna otra asignación x′ tal que X ′ X xi = wi i∈S

′

i∈S

y además xi > xi para todo i ∈ S. b) Un equilibrio de mercado está en el núcleo (core) de una economı́a si ninguna sub-coalición puede mejorarla.

Capı́tulo 6: Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

315

Es decir, en el núcleo ninguna sub-coalición tiene incentivos para no respetar el acuerdo inicial.

Teorema 1. El núcleo de una economı́a Arrow-Debreu de intercambio puro de dos agentes, es el conjunto de todas las asignaciones Paretoóptimas, x, tales que para todo consumidor i, Ui (x) ≥ Ui (wi ) donde Ui es la función de utilidad del consumidor i, y wi su dotación inicial. tipo B

x∗

x′

•

• x′′

•

W

•

tipo A Figura 3: Equilibrio competitivo y núcleo.

Ejemplo 1. Para la economı́a de intercambio puro Ui = x1i x2i

i = A, B

con dotaciones iniciales wA = (4, 1) y wB = (1, 4), se tiene, igualando las tasas marginales de sustitución, que el conjunto de asignaciones Paretoóptimas es { [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] / x1A = x2A , x1A + x1B = 5, x2A + x2B = 5 } El núcleo de esta economı́a lo encontramos en el conjunto de asignaciones Pareto-óptimas [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] tales que UA (x1A , x2A ) ≥ UA (4, 1)

UB (x1B , x2B ) ≥ UB (1, 4)

316

Equilibrio económico walrasiano B curva de contrato

equilibrio competitivo

b b

WA

A Figura 1: Núcleo de una economı́a Por lo tanto, el núcleo está dado por las asignaciones [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] tales que x1A = x2A , x1A + x1B = 5, x2A + x2B = 5, x1A x2A ≥ 4, x1B x2B ≥ 4 que, simplificando, es { [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] / x1A = x2A , x1A +x1B = 5, x2A +x2B = 5, 2 ≤ x1A ≤ 3} Es notable observar que, además, todo equilibrio walrasiano, x, está en el núcleo de la economı́a, pues, si no fuera ası́, entonces Ui (x) < Ui (wi ) para algún i, y esto serı́a una contradicción pues, en equilibrio, ningún agente puede recibir menos utilidad que la que originalmente le da la dotación inicial de mercancı́as. Esto se ilustra en el ejemplo 71 anterior ya que el único equilibrio walrasiano es [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] = [(2,5, 2,5), (2,5, 2,5)]

p = (1, 1)

que, claramente, está en el núcleo de la economı́a.

De otro lado, para comprender el resultado central de esta sección, requerimos del concepto de r-réplica de una economı́a de intercambio. Ésta consiste de r “copias” de cada uno de los consumidores originales (es decir, con las mismas funciones de utilidad y las mismas dotaciones iniciales). Obviamente, a cada una de estas economı́as se le puede calcular su respectivo núcleo.

Inicialmente, notemos que si las funciones de utilidad son estrictamente convexas y estrictamente monótonas, entonces en el r-núcleo de una rréplica de la economı́a, cualquier dos agentes del mismo tipo reciben la misma asignación.

Capı́tulo 6: Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

317

Teorema 2. (Contracción del núcleo) Si las funciones de utilidad de una economı́a de intercambio son estrictamente cóncavas y monótonas crecientes (estrictas) en cada uno de sus argumentos, entonces, si el equilibrio walrasiano es único, éste es el lı́mite, cuando r → ∞, de los respectivos núcleos de las r-réplicas de la economı́a.

Demostración.

Ver Debreu y Scarf (1963)1 .

Este extraordinario resultado señala, entonces, la importancia, en economı́as de muchos agentes, de las asignaciones de equilibrio walrasiano: podemos llegar a él, bien mediante el mecanismo de precios, mercancı́as sustitutas brutas y tâtonnement, o bien mediante negociaciones con asignaciones en el núcleo. Son dos mecanismos diferentes con un mismo resultado. Además, es extraordinario observar que este teorema también nos muestra que una institución, como el mercado (precios), es un resultado de negociaciones.

3.

Negociación en una economı́a

Uno de los elementos menos creı́bles del modelo paretiano es que sólo si los precios que rigen en el mercado son los de equilibrio, tendremos a los agentes satisfaciendo sus objetivos de manera óptima y, por tanto alcanzando el óptimo (en el sentido paretiano). Sobre cómo alcanzar este equilibrio si los precios originales son diferentes fue una de las más celebradas (y criticadas) de las ideas de Walras. El proceso de tâtonnement (tanteo) fue creado por el propio Walras en sus Éléments, tratando de mostrar cómo era que se llegaba a la situación de equilibrio sólo por movimientos de la oferta y la demanda al ritmo de movimientos de los precios: Si la demanda es superior a la oferta, el precio de dicha mercancı́a en términos del numerario subirá; si es la oferta la que supera a la demanda, bajará. ¿Qué debemos hacer 1

Debreu, Gerard, y Herbert Scarf (1963), A Limit Theorem on the Core of an Economy, International Economic Review.

318

Equilibrio económico walrasiano para probar que la solución teórica y la solución del mercado son idénticas? Simplemente comprobar que el alza y la baja [[de los precios]] son una forma de resolución por tâtonnement del sistema de igualdades de las ofertas y las demandas. (Éléments, §125)

Esta es, en esencia, la conocida ley de la oferta y la demanda. Pero no es claro que todos los demás parámetros (gustos, tecnologı́a, etc.) se puedan suponer constantes, mientras el sistema de precios hace su tránsito hacia el equilibrio. Por ello, y con justa razón, el proceso de tâtonnement no es un argumento poderoso para creer en economı́as competitivas convergiendo al equilibrio.

Otra vertiente de este problema provino del mismo Edgeworth (1881).

Fué él quien introdujo la noción de curva de contrato que tiene más importancia que la de una simple curva conformada por óptimos de Pareto.

Esta curva, después llamada el núcleo (core) de la economı́a (M. Shubik (1959)) 2 , comenzó a ser estudiada por Edgeworth para economı́as de intercambio con dos mercancı́as y dos tipos de agentes 3 . Aunque de manera un tanto confusa, allı́ mismo mostró un resultado extraordinariamente sorprendente e iluminante: Bajo competencia perfecta, tı́picamente la curva de contrato se “contrae” hacia el equilibrio competitivo, a medida que el número de agentes (no de tipos) crece indefinidamente.

4 . Pero este resultado recibió poca atención durante más de 80 años, quizás debido a la forma confusa en que Edgeworth presentó sus ideas.

Sin embargo, en los 1960´s, este resultado abrió un caudal de pensamiento sobre los problemas de formación de precios para “economı́as grandes”, completamente distinta a aquella de la igualdad entre oferta y demanda walrasiana. Planteaba que cierto tipo de negociación con posibilidades de recontratación permitı́a la emergencia de los precios y, por tanto, de los mercados. No necesitaban asumir, a priori, la existencia de ellos: éstos surgı́an endógeneamente del modelo. En 1963, Debreu y Herbert Scarf publicaron A Limit Theorem on the Core of an Economy, una lúcida, elegante y breve demostración de las ideas de Edgeworth.

2

Shubik, Martin J. (1959), Edgeworth Market Games, en Luce y Tucker (eds.), “Contribution to the Theory of Games IV”, Princeton University Press.

3 Muchos agentes, pero sólo de dos tipos, digamos, trabajadores y empresarios.

4 “Contratos con competencia perfecta están perfectamente determinados” decı́a Edgeworth.

Capı́tulo 6: Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

319

Pero, nuevamente, el punto decisivo lo colocó la teorı́a de juegos. Desde la aparición del clásico Theory of Games and Economic Behavior de John von Neumann y Oskar Morgenstern en 1944, el análisis de juegos coalicionales5 venı́a desarrollándose rápidamente. En 1953, L.S. Shapley y D.B. Gillies establecieron un concepto-solución para estos juegos que dieron en llamar el núcleo (core) 6 . En 1959, Martin Shubik encontró la conexión entre la curva de contrato de Edgeworth y el núcleo de un juego cooperativo, y Herbert Scarf, inspirado en esto, presentó en 1962 un notable análisis de la relación núcleo-equilibrio walrasiano en economı́as de intercambio para un número contable de agentes de cada tipo. Debreu y Scarf dieron en 1963 una prueba mucho más simple de este teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios walrasianos a medida que el número de agentes de cada tipo, crece.

Fue precisamente aquı́ que Robert Aumann (1964)7 observó la posibilidad de generalizar el modelo con un número contable de agentes a uno con un continuo de agentes que es, desde el punto de vista económico, la representación matemática más adecuada de una economı́a perfectamente competitiva. Aumann probó el teorema de equivalencia entre el núcleo y los equilibrios walrasianos cuando la economı́a tiene un continuo de agentes. Hoy, los trabajos de Debreu, Scarf y Aumann han desembocado en una enorme actividad de investigación, particularmente en la teorı́a de juegos de mercado (ver Hart (2005))8 .

Definición 2. (Núcleo de una economı́a de intercambio puro) El núcleo de una economı́a Arrow-Debreu de intercambio puro con dos agentes es el conjunto de todas las asignaciones Pareto-óptimas, x, tales que para todo consumidor i, ui (x) ≥ ui (wi ) donde ui es la función de utilidad del consumidor i, y wi es su dotación inicial.

5

También llamados “cooperativos”.

Algunos también lo acostumbran a llamar el “corazón” de la economı́a.

7 Aumann, Robert J. (1964), Markets with a Continuum of Traders, Econometrica.

8 Hart, Sergiu (2005), Values of Non-Atomic Vector Measure Games, International Journal of Game Theory.

6

320

Equilibrio económico walrasiano B curva de contrato

núcleo equilibrio competitivo

b b

WA

A Figura 2: Núcleo de una economı́a Ejemplo 2. Para la economı́a de intercambio puro Ui (x1i , x2i ) = x1i x2i

i = A, B

con dotaciones iniciales wA = (4, 1) y wB = (1, 4), se tiene, igualando las tasas marginales de sustitución, que el conjunto de asignaciones Paretoóptimas es { [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] / x1A = x2A , x1A + x1B = 5, x2A + x2B = 5 } El núcleo de esta economı́a lo encontramos en el conjunto de asignaciones Pareto-óptimas [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] tales que uA (x1A , x2A ) ≥ uA (4, 1)

uB (x1B , x2B ) ≥ uB (1, 4)

Por lo tanto, el núcleo está dado por las asignaciones [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] tales que x1A = x2A , x1A + x1B = 5, x2A + x2B = 5, x1A x2A ≥ 4, x1B x2B ≥ 4 que, simplificando, es { [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] / x1A = x2A , x1A +x1B = 5, x2A +x2B = 5, 2 ≤ x1A ≤ 3}N Es notable observar que, además, todo equilibrio walrasiano, x, está en el núcleo de la economı́a, pues, si no fuera ası́, entonces Ui (x) < Ui (wi ) para algún i, y esto serı́a una contradicción pues, en equilibrio, ningún agente puede recibir menos utilidad que la que originalmente le da la

321

Capı́tulo 6: Edgeworth y su alternativa no-walrasiana

dotación inicial de mercancı́as. Esto se ilustra en el ejemplo 71 anterior ya que el único equilibrio walrasiano es [(x1A , x2A ), (x1B , x2B )] = [(2,5, 2,5), (2,5, 2,5)]

p = (1, 1)

que, claramente, está en el núcleo de la economı́a.

De otro lado, para comprender el resultado central de esta sección, requerimos del concepto de r-réplica de una economı́a de intercambio. Ésta consiste de r “copias” de cada uno de los consumidores originales (es decir, con las mismas funciones de utilidad y las mismas dotaciones iniciales). Obviamente, a cada una de estas economı́as se le puede calcular su respectivo núcleo.

Teorema 3. (Contracción del núcleo) Si las funciones de utilidad de una economı́a de intercambio son estrictamente convexas y monótonas crecientes (estrictas) en cada uno de sus argumentos, entonces, si el equilibrio walrasiano es único, éste es el lı́mite, cuando r → ∞, de los respectivos núcleos de las r-réplicas de la economı́a.

Demostración.

Ver Debreu y Scarf (1963)9 .

Este extraordinario resultado señala, entonces, la importancia, en economı́as de muchos agentes, de las asignaciones de equilibrio walrasiano: podemos llegar a él, bien mediante el mecanismo de precios, mercancı́as sustitutas brutas y tâtonnement, o bien mediante negociaciones con asignaciones en el núcleo. Son dos mecanismos diferentes con un mismo resultado. Además, es extraordinario observar que este teorema también nos muestra que una institución, como el mercado (precios), es un resultado de negociaciones. Sobre esto regresaremos con más detalle en el capı́tulo 6.

a).

Tasa de convergencia del núcleo

b).

Surplus y bienestar

c).

Juegos de mercado

9

Debreu, Gerard, y Herbert Scarf (1963), A Limit Theorem on the Core of an Economy, International Economic Review.

322

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

CAPÍTULO

8

Crı́tica y perspectiva de los modelos walrasianos

1.

Introducción “Por todos los cielos, dejen de preguntarse cómo hacer mejor ciencia- háganla en la forma que quieran, pero háganla!”

(Walras (1883), en carta a C. Menger.)

2.

El teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu

Debreu estaba convencido de que los fundamentos microeconómicos no implicaban suficiente estructura para que los excesos de demanda totales permitieran un tratamiento adecuado de los problemas de estabilidad y de unicidad. Hugo Sonnenschein (1972) fue más allá y se preguntaba si los excesos de demanda de una economı́a tenı́an condiciones distintas a las que ya se conocı́an: continuidad, homogeneidad de grado cero, y la ley de Walras. Debreu(1974) y Mantel(1974) respondieron completamente esta pregunta en el sentido negativo: estas condiciones no son sólo necesarias sino que también son suficientes; es decir, cualquier función continua f (·) de S = {p ∈ Rn | p >> 0, ||p|| = 1} en Rn que satisfaga la ley de Walras (p·f (p) = 0 para todo p ∈ S) es idéntica (exceptuando, tal vez, la frontera) a la función de exceso de demanda de cierta economı́a de intercambio estándar.

323

324

Equilibrio económico walrasiano

Para presentar el teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu debemos definir más formalmente qué es una función de exceso de demanda: Definición 1. (Función exceso de demanda) Una función zi : P → Rl , con P = {p ∈ Rl | p >> 0, ||p|| = 1}, es una función de exceso de demanda del i-ésimo consumidor si, y sólo si, para todo p ∈ P se satisface que wi + zi (p) es un mayor elemento de {xi ∈ Rl+ | pxi ≤ pwi } para 4i .

Y con ésta enunciamos el famoso teorema: Teorema 1. (Teorema Sonnenschein-Mantel-Debreu (1974)) Sea z : P → Rl una función continua de una economı́a de intercambio puro tal que para todo p ∈ P , pz(p) = 0 (donde z(·) es llamada una función de exceso de demanda agregada). Para todo ǫ > 0, existen m consumidores cuyas funciones de exceso de demanda individual suman z(·) sobre P Sǫ = {p ∈ P | para todo h, ph ≥ ǫ}; es decir, para todo ǫ > 0, z(p) = m i=1 zi (p) para todo p ∈ Sǫ .

Este resultado podrı́a entenderse como negativo para la teorı́a del equilibrio general. Existen muchas interpretaciones de las implicaciones de este teorema (algunas de ellas equivocadas). Nos adherimos a los que afirman que el teorema desarrollado por Sonnenschein, Mantel y Debreu muestra que una economı́a Arrow-Debreu no puede ser un prototipo aceptable de una economı́a si queremos entenderla más allá del problema de existencia y optimalidad. Más aún, esta indeterminación de los comportamientos de equilibrio partiendo sólo de excesos de demanda es una consecuencia de la falta de especificidad en la modelación sobre cómo interactúan los agentes unos con otros. De esta falta de especificidad ha tratado de encargarse la teorı́a de juegos y, en general, la teorı́a de las interacciones.

3.

Arrow-Debreu y el pensamiento original de Walras

El trabajo de Walras fue inspirado y moldeado por la concepción de una sociedad en evolución que hacı́a el tránsito de la etapa agrı́cola a la etapa industrial. Y aunque sus ideas fueron motivadas por los problemas sociales de la Francia de mediados del siglo XIX, la visión de Walras de

Capı́tulo 10: Crı́tica y perspectiva

325

estos problemas es, por encima de todo, la formulación cientı́fica de los ordenamientos sociales del esquema económico que emergı́a, y la economı́a del equilibrio general es sólo un paso en la formulación de este ordenamiento social.

4.

Refutabilidad

5.

Crı́tica Final “Nuestros hechos no son permanentes, ni repetibles, como los hechos de las ciencias naturales; cambian incesantemente, y cambian sin repetición.” (Hicks (1975), p. 320

Don Lavoie (1989) (Economic Chaos or Spontaneous Order? Implications for Political Economy of the New View of Science, Cato Journal, 8), basándose en Hayek (1948, 1967), plantea la idea austriaca del orden espontáneo de los sistemas de mercado libre como un orden emergente de la complejidad.

Por su parte, Duncan Foley (1994) (A Statistical Equilibrium Theory of Markets, JET, 62) presenta uno de los primeros modelos que utiliza la mecánica estadı́stica en un sistema de mercado competitivo, introduciendo una condición de minimización de entropı́a como el principio organizador de la determinación de los precios en un mercado estocástico.

Ver también Granovetter y Soong (1986), Chiarella (1988), Goeree, Hommes y Weddepohl (1998), Gintis (2006).

326

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

Apéndice 1: Matemáticas

RECTAS Definición 2. (Ecuación general de primer grado) La ecuación general de primer grado (ecuación de la lı́nea recta) en el plano cartesiano tiene la forma Ax + By + C = 0 donde A, B, C son constantes no todas nulas. Claramente, en este caso, si B 6= 0, entonces A C A y =− x− y la pendiente será m = − .

B B B Ejemplo 1. La ecuación de la lı́nea que intercepta el eje X en x = −3, y al eje Y en y = 4 pasa por (−3, 0) y (0, 4), y ası́, utilizando la forma (1) para la ecuación de la recta, encontramos y−0 4−0 = x − (−3) 0 − (−3) ó 4 y = (x + 3) 3 que es la ecuación pedida (ver figura 8).

6 5 4 3 2 1

y y = 43 (x + 3)

x

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Figura 8

327

328

Equilibrio económico walrasiano

Definición 3. (Rectas paralelas y perpendiculares) i) Dos rectas no-verticales y = m1 x + b1 y y = m2 x + b2 son paralelas si sus pendientes son iguales; es decir, si m1 = m2 donde m1 es la pendiente de la primera recta, y m2 la pendiente de la segunda recta (ver figura 10). 1 y

x Figura 10: Rectas paralelas

ii) Dos rectas, y = m1 x + b1 y y = m2 x + b2 , son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es el recı́proco negativo de la pendiente 1 de la otra. Es decir, si m1 = − donde m1 es la pendiente de m2 la primera de las rectas, y m2 la pendiente de la otra recta (ver figura 11). y

x Figura 11: Rectas perpendiculares

Ejemplo 2. a) Las rectas 2x − 3y = 8 y 5x + 4y = 7 no son paralelas puesto que la 1

Las rectas verticales x = x1 y x = x2 siempre serán paralelas y, por ello, no requieren de ninguna descripción algebraica desde la geometrı́a analı́tica.

329

Apéndice 1: Matemáticas pendiente de la primera es 23 , y la pendiente de la segunda es − 54 .

b) Las rectas y = x y y = −x son perpendiculares; y, de forma similar, x las rectas y = 2x + 1 y y = − + 7 son perpendiculares.

2 c) La ecuación de la recta que es perpendicular a la recta de ecuación 5x − 3y + 2 = 0 en el punto donde x = −1 se obtiene ası́: Reemplazando x = −1 en la ecuación dada, se llega a que y = −1. Además, la pendiente de la recta dada es 53 , y, por tanto, la pendiente de la recta perpendicular es − 35 . De esta manera, la ecuación de la recta perpendicular que pasa por (−1, −1) y tiene pendiente − 35 es 3 3 8 y − (−1) = − (x − (−1)) ó y = − x − 5 5 5

PRODUCTO CARTESIANO Y CLASES DE RELACIONES

Definición 4. (Producto cartesiano) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados ( a, b ) con a perteneciente a A y b perteneciente a B; esto es, A × B = { ( a, b ) / a ∈ A y b ∈ B } Ejemplo 3. Si A = { −1, 0, 2 } y B = { −1, 1 }, entonces A × B = { (−1, −1 ), (−1, 1 ), ( 0, −1 ), ( 0, 1 ), ( 2, −1 ), ( 2, 1 ) } B × A = { (−1, −1 ), (−1, 0 ), (−1, 2 ), ( 1, −1 ), ( 1, 0 ), ( 1, 2 ) }

330

Equilibrio económico walrasiano y 3

(−1, 3) b

(4, 3)

−1

b

(−1, −2) b

4

x −2 b

(4, −2)

Figura 33

Definición 5. (Relación (Bourbaki (1939)2 )) Sean X y Y dos conjuntos no vacı́os. Diremos que ℜ es una relación de X en Y (o de X a Y , o entre X y Y ) si, y sólo si, ℜ ⊆ X × Y . Si la pareja ( x, y ) está en ℜ, se escribe ( x, y ) ∈ ℜ, ó xℜy, y se dice que x está relacionado con y por ℜ (o según ℜ).

Definición 6. (Dominio de una relación) El dominio de una relación ℜ de X en Y , que se denota Dℜ , es el conjunto de elementos de X que están relacionados por ℜ con algún elemento de Y ; esto es Dℜ = { x ∈ X/ existe algún y ∈ Y tal que ( x, y ) ∈ ℜ } Definición 7. (Recorrido de una relación) El recorrido (o rango) de una relación ℜ de X en Y , que se denota Rℜ , es el conjunto de elementos de Y que están relacionados por ℜ con algún elemento de X; es decir, Rℜ = { y ∈ Y / existe algún x ∈ X tal que ( x, y ) ∈ ℜ } Definición 8. (Igualdad de relaciones) Dos relaciones ℜ1 , ℜ2 de X en Y son iguales si, y sólo si, son iguales como conjuntos.

Definición 9. (Gráfica de una relación de números reales) Si X y Y son conjuntos no-vacı́os de números reales, la gráfica de la 2

Bourbaki, Nicholas (1939), Éléments de Mathématiques, Hermann, Parı́s.

331

Apéndice 1: Matemáticas

relación ℜ de X en Y es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) del sistema coordenado para los cuales ( x, y ) ∈ ℜ.

Ejemplo 4. Dada la relación ℜ = { ( −1, 1 ), ( −1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ) }, entonces Dℜ = { −1, 1 }, Rℜ = { 1, 0, 2 }, y la gráfica de ℜ es la de la figura 34. y b

(1, 2) b

b

(−1, 1)

(1, 1)

b

(−1, 0)

x

Figura 34

Y ahora nos concentramos en ciertos tipos particulares de relaciones de un conjunto en sı́ mismo, y que resultarán de notable importancia posteriormente.

Definición 10. (Tipos básicos de relaciones (Bourbaki (1939))3 ) i) Una relación ℜ de X en X se llamará reflexiva si para todo x ∈ X, x ℜ x. ii) Una relación ℜ de X en X se llamará simétrica si para todo x, y ∈ X, x ℜ y implica y ℜ x. iii) Una relación ℜ de X en X se llamará transitiva si para todo x, y, z ∈ X, x ℜ y y y ℜ z implica x ℜ z. iv) Una relación ℜ de X en X se llamará completa si para todo x, y ∈ X, se tiene que x ℜ y ó y ℜ x. v) Una relación ℜ de X en X se llamará antisimétrica si para todo x, y ∈ X, x ℜ y y y ℜ x implica x = y.

3

Bourbaki, Nicholas (1939), Éléments de Mathématiques, Hermann, Parı́s.

332

Equilibrio económico walrasiano

Ejemplo 5. (Ejemplos abstractos de relaciones) Si X = {a, b, c}, entonces: i) La relación ℜ = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (c, a)} es una relación reflexiva de X en X pues (a, a), (b, b), (c, c) ∈ ℜ. ii) Si X = {a, b, c}, entonces la relación ℜ = {(a, b), (a, a), (b, a), (c, c), (c, a), (a, c)} es una relación simétrica porque (a, b), (b, a) ∈ ℜ y (c, a), (a, c) ∈ ℜ. iii) Si X = {a, b, c}, entonces la relación ℜ = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, c), (a, c)} es una relación transitiva porque (a, b) ∈ ℜ , (b, c) ∈ ℜ y también (a, c) ∈ ℜ.

Definición 11. (Tipos especiales de relaciones (Bourbaki (1939))) i) Una relación ℜ de X en X se llamará un preorden si es reflexiva y transitiva. Y es un preorden completo si es, también, completa; en otro caso también se llamará un preorden parcial. ii) Una relación ℜ de X en X se llamará un orden parcial si es reflexiva, transitiva y antisimétrica. Y es un orden completo si, además, es una relación completa. iii) Una relación ℜ de X en X se llamará de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo 6. a) En los números reales R, la relación definida por a ℜ b si, y sólo si, a ≤ b es un orden completo. En efecto: ℜ es reflexiva porque a ≤ a para todo a ∈ R; es transitiva porque a ≤ b y b ≤ c implica a ≤ c para todo a, b, c ∈ R; es antisimétrica porque a ≤ b y b ≤ a implica a = b para todo a, b ∈ R; y es completa porque para todo a, b ∈ R, a ≤ b ó b ≤ a.

Apéndice 1: Matemáticas

333

b) En la familia de conjuntos {A1 , A2 , ..., An }, la relación Ai ℜ Aj si, y sólo si, Ai ⊆ Aj , es un orden parcial que no es completo pues dados Ai , Aj no podemos garantizar que Ai ⊆ Aj ó Aj ⊆ Ai . c) En el conjunto de los números naturales {1, 2, 3, ...}, la relación a ℜ b si, y sólo si, b es divisible por a, es un orden parcial que tampoco es completo, ya que dados dos naturales a, b, no podemos asegurar que a sea divisible por b, o que b sea divisible por a. d) Si X = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)} entonces la relación ℜ definida por (a, b) ℜ (c, d) si, y sólo si, a ≤ c y b ≤ d, es una relación de orden. Muestre que no es un orden completo. e) En un conjunto no vacı́o cualquiera de números, si definimos la relación a ℜ b si, y sólo si, a = b, es claro que es una relación de equivalencia sobre ese conjunto. Es, sin duda, la relación de equivalencia más elemental. f) Si X = Z, y a ℜ b si, y sólo si, a−b es par, es una relación de equivalencia sobre Z, como es fácilmente comprobado. ¿Y si cambiamos la palabra “par” por “impar”? g) Si X es el conjunto de todos los triángulos del plano y a ℜ b si, y sólo si, a y b son triángulos semejantes, entonces ℜ es una relación de equivalencia sobre X. N Ahora: descomponer un conjunto dado en subconjuntos disjuntos entre sı́, juega un papel muy importante en muchos problemas matemáticos.

Por ejemplo, el plano R2 = R × R considerado como un conjunto de puntos, puede descomponerse en lı́neas paralelas al eje X; o en lı́neas paralelas al eje Y ; ó, inclusive, en discos concéntricos con centro en (0, 0). Otros ejemplos incluirı́an los habitantes de una ciudad descritos en términos de edad, o de estrato social, etc. A estas descomposiciones se les llama particiones del conjunto. Sin embargo, la posibilidad de estas particiones exige cierta condición, que consiste en que sobre el conjunto en cuestión se haya definido una relación de equivalencia. Veamos esto.

334

Equilibrio económico walrasiano

Definición 12. (Clase de equivalencia) Si ℜ es una relación de equivalencia sobre X y a ∈ X, entonces la clase de equivalencia de a es [ a ] = {b ∈ X/ b ℜ a} Teorema 2. (Relación de equivalencia y particiones) i) Toda relación de equivalencia ℜ sobre X determina una partición de X; es decir, determina una colección de subconjuntos de X, mutuamente disjuntos (que incluye al conjunto vacı́o) cuya unión es, precisamente, X; estos subconjuntos son, exactamente, las clases de equivalencia generadas por ℜ sobre los elementos de X. ii) Toda partición sobre un conjunto X define una relación de equivalencia sobre él.

Ejemplo 7. (Ejemplos de clases de equivalencia) a) En el conjunto de los números enteros, Z, la relación de equivalencia a ℜ b si, y sólo si, a − b es par, divide el conjunto en dos clases de equivalencia: los números pares y los números impares. b) En general, también en el conjunto de los números enteros, Z, la relación de equivalencia a ℜ b si, y sólo si, a − b es divisible por un número natural fijo m, divide el conjunto de los enteros en m clases de equivalencia: los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo 0; los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo 1; ... los números enteros que al dividirlos por m tienen residuo m − 1.

FUNCIONES DE DOS VARIABLES Y CURVAS DE NIVEL Definición 13. (Funciones de dos variables reales) Si f : A(⊆ R2 ) −→ B(⊆ R) es una función (donde R2 = R × R) se dice que f (· , ·) es una función real de dos variables reales o, simplemente, que f (· , ·) es una función de dos variables.

335

Apéndice 1: Matemáticas

En general, la gráfica de una función de dos variables requiere, ya no del plano bidimensional sino del espacio cartesiano tridimensional. El resultado es la superficie tridimensional que describe la función.

Definición 14. (Curvas de nivel) Otro método para representar funciones de dos variables f ( x, y ) es el de las curvas de nivel. Este método consiste en dibujar su “mapa topográfico”, encontrando, para distintas elecciones de la constante α, el conjunto Γα = {( x, y ) ∈ Df / f ( x, y ) = α } Este conjunto Γα es, simplemente, el “corte” de la superficie f ( x, y ) al nivel α de altura sobre el plano xy, y luego proyectado perpendicularmente al mismo plano xy (ver figura 75). z y

x Figura 75: Curvas de nivel

Ejemplo 8. Supongamos que f ( x, y ) = x2 y 2 . Las curvas de nivel α > 0 están dadas por α = x2 y 2 ; es decir, por hipérbolas de la forma √ y = α/x. Dos de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 80. y

y=

√

α x x

Figura 80: Curvas de nivel α > 0 de f (x, y) = x2 y 2

336

Equilibrio económico walrasiano

Ejemplo 9. Consideremos la función f ( x, y ) =mı́n{x, y}. Las curvas de nivel α > 0 asociadas a esta función están dadas por α = min{x, y}.

Un par de estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 83. y

crecimiento de los niveles y=α

x

Figura 83: Curva de nivel α > 0 para f (x, y) = min{x, y}

FUNCIONES HOMOGÉNEAS, RENDIMIENTOS A ESCALA Definición 15. (Función homogénea) Decimos que una función (de una o dos variables) f : D −→ R es homogénea si, y sólo si, existe un α ∈ R+ tal que f ( tx ) = tα f ( x ) para todo t > 0 y x ∈ D tal que tx ∈ D. En tal caso, diremos que f (·) es homogénea de grado α.

Ejemplo 10. a) Si f ( x ) =

√

x, x ≥ 0, entonces √ √ √ 1 √ 1 f ( tx ) = tx = t x = t 2 x = t 2 f ( x )

para todo t ≥ 0. Luego f (·) es homogénea de grado 12 .

337

Apéndice 1: Matemáticas

b) Otro ejemplo es la función lineal f ( x, y ) = x + y, x, y ∈ R; aquı́, f ( tx, ty ) = tx + ty = t( x + y ) = tf ( x, y ) para todo t ∈ R. Luego, f (· , ·) es homogénea de grado 1. c) Ahora consideremos la función f ( x, y ) = xy, x, y ∈ R; aquı́, f ( tx, ty ) = ( tx ) ( ty ) = t2 xy = t2 f ( x, y ) para todo t ∈ R. Ası́, f (· , ·) es homogénea de grado 2. d) Finalmente, consideremos la función f ( x, y ) = aquı́, f ( tx, ty ) =

x , x ∈ R, y 6= 0; y

tx x = = f ( x, y ) ty y

para todo t 6= 0. Ası́, f (· , ·) es homogénea de grado 0. e) No sobra agregar que no todas las funciones son funciones homogéneas. ¿Podrı́a el lector dar ejemplos de esto?

Definición 16. (Rendimientos a escala) Diremos que la función (de una o dos variables) f : D −→ R, donde D ⊆ R o D ⊆ R2 es tal que si x ∈ D, tx ∈ D para todo t > 1, a) Tiene rendimientos decrecientes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) < tf ( x ). b) Tiene rendimientos constantes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) = tf ( x ). c) Tiene rendimientos crecientes a escala si, y sólo si, para todo t > 1, f ( tx ) > tf ( x ).

Y el siguiente teorema relaciona los dos conceptos introducidos hasta aquı́: homogeneidad y rendimientos a escala.

Teorema 3. (Homogeneidad y rendimientos a escala) Sea f : D −→ R+ con D ⊆ R+ o D ⊆ R2+ tales que si x ∈ D entonces tx ∈ D para todo t > 1.

338

Equilibrio económico walrasiano

a) Si f (·) es homogénea de grado α con 0 < α < 1, entonces f (·) tiene rendimientos decrecientes a escala. b) Si f (·) es homogénea de grado α = 1, entonces f (·) tiene rendimientos constantes a escala. c) Si f (·) es homogénea de grado α > 1, entonces f (·) tiene rendimientos crecientes a escala.

Nota 12.

El recı́proco del teorema 15 no es necesariamente cierto.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ALGORITMO GAUSSIANO Definición 17. (Sistema de ecuaciones lineales) Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. .. .. .. . . . . .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm donde los coeficientes a11 , ..., amn ; b1 , b2 , ..., bm , son conocidos.

Como veremos en una lección más adelante, para un sistema de ecuaciones lineales sólo puede suceder que haya una única solución, no hayan soluciones o existan infinitas soluciones: este hecho es una caracterı́stica esencial de la linealidad. Nunca encontraremos (como sı́ sucede en sistemas no-lineales) que el sistema tenga, por ejemplo, dos soluciones.

Si observamos el proceso que llevamos a cabo para encontrar la solución del sistema de ecuaciones (1), caemos en la cuenta de que fue efectuado sobre los coeficientes de las variables. Esta observación nos lleva a introducir una “matriz” donde sólo aparecen los coeficientes del sistema de ecuaciones. Consideremos, de nuevo, el sistema de ecuaciones (1): x + 3y − z = 1 3x − y + z = 0 x+y+z =2

(1)

Apéndice 1: Matemáticas

339

A este sistema podemos asociarle una “matriz” de coeficientes que llamaremos la “matriz aumentada”. Esta matriz consiste en los coeficientes de las variables y en las constantes que se encuentran en el lado derecho de las ecuaciones, colocados en el mismo orden en que aparecen en el sistema. Por ejemplo, la matriz aumentada de este sistema (1) es   1 3 −1 | 1 F1 3 −1 1 | 0 F2 1 1 1 | 2 F3 Aquı́, las letras F1 , F2 , F3 representan las filas 1, 2, 3 de la matriz, respectivamente. Esto nos permitirá indicar, con claridad, las operaciones que efectuaremos sobre cada fila.

Para encontrar la solución del sistema podemos llevar a cabo todo el proceso que efectuamos en la sección anterior, utilizando esta matriz. Se tienen tres operaciones entre filas que se pueden llevar a cabo: 1. Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar no nulo k.

2. Sumar o restar un múltiplo escalar de una fila a otra.

3. Intercambiar dos filas.

Las operaciones que acabamos de enunciar se conocen como operaciones elementales entre filas o, simplemente, operaciones fila.

En nuestro caso, sumemos la segunda fila con −3 veces la primera fila y el resultado lo reemplazamos por la segunda fila. Esto lo indicamos por F2 ←→ F2 − 3F1 . Estas operaciones generan la siguiente matriz:   1 3 −1 | 1 0 −10 4 | −3 F2 ←→ F2 − 3F1 1 1 1 | 2 Podemos ahora restar la primera fila de la tercera y reemplazarla por la tercera fila (F3 ←→ F3 − F1 ), para obtener la siguiente matriz:   1 3 −1 | 1 0 −10 4 | −3 0 −2 2 | 1 F3 ←→ F3 − F1

340

Equilibrio económico walrasiano

1 la segunda fila de esta nueva matriz y Luego, multipliquemos por − 10 1 la reemplazamos por la segunda fila (F2 ←→ − 10 F2 ). El resultado es:



1 3 −1 | 0 1 − 2 | 5 0 −2 2 |

1



3  10

1

1 F2 F2 ←→ − 10

Ahora multipliquemos por 2 la segunda fila y sumémosla a la tercera fila, y el resultado lo colocamos en reemplazo de la tercera fila (F3 ←→ F3 + 2F2 ). Estas operaciones generan la siguiente matriz: 

1 3 −1 | 0 1 − 2 | 5 0 0 65 |

1



3  10 8 5

F3 ←→ F3 + 2F2

Finalmente, multipliquemos la tercera fila por 56 y el resultado lo colocamos como tercera fila (F3 ←→ 56 F3 ). El resultado es:  1 3 −1 | 0 1 − 2 | 5 0 0 1 |

1



3  10 4 3

F3 ←→ 56 F3

De esta forma podemos concluir que el sistema de ecuaciones lineales (1) es posible transformarlo, mediante operaciones fila, en el sistema x + 3y − z = 1 2 3 y − z = 10 5 z = 43 Notemos que en este punto ya podemos leer el valor de z en la última ecuación. Haciendo sustitución hacia atrás, podemos encontrar los valores que toman las demás variables. Ası́, z = 43 , y = 56 y x = − 16 ; y comprobamos que, efectivamente, es solución al sistema (1) original.

341

Apéndice 1: Matemáticas

NOCIÓN DE MATRIZ Y OPERACIONES DE MATRICES Definición 18. (Matriz (Silvester ( 1850 ), Cayley ( 1858 ))) Una matriz (real) es un arreglo de números (reales) de la forma   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n     .. .. .. ..   . . . .  am1 am2 · · ·

amn

donde aij se llamará la entrada ubicada en la i-ésima fila y la j-ésima columna. Para esta matriz, utilizaremos también la notación A = [ aij ]m×n , donde m es el número de filas y n es el número de columnas.

El tamaño de una matriz de m filas y n columnas lo indicamos por m×n.

Si el número de filas coincide con el número de columnas, diremos que la matriz es cuadrada.

Definición 19. (Suma de matrices) Si A y B son matrices m × n, su suma es la matriz m × n definida por la fórmula [ aij ]m×n + [ bij ]m×n = [ aij + bij ]m×n Observemos que la suma de matrices tiene sentido únicamente para matrices que tienen el mismo número de filas y de columnas.

Ejemplo 11. Sumemos las siguientes matrices:         5 1 3 −1 5+3 1−1 8 0 a)  4 2  +  7 0  =  4 + 7 2 + 0  =  11 2  −5 12 −5 1 −5 − 5 12 + 1 −10 13 Definición 20. (Multiplicación de un escalar por una matriz) La multiplicación de una matriz [ aij ]m×n por un número (o escalar) k está definida como k [ aij ]m×n = [ k aij ]m×n Ejemplo 12.

342

Equilibrio económico walrasiano 

     5 1 −3( 5 ) −3( 1 ) −15 −3 −3  4 2  =  −3( 4 ) −3( 2 )  =  −12 −6  −5 12 −3(−5) −3(12) 15 −36 Definición 21. (Multiplicación de dos matrices) La multiplicación o el producto de una matriz m × p, A, por una matriz p × n, B, es una matriz m × n, C, cuya entrada cij está definida por cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + aip bpj =

p X

aik bkj

k=1

para cada 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. En este caso, escribiremos C = AB. A continuación se muestran los elementos que son considerados matriz A y en la matriz B con el fin de obtener la entrada cij :     c11 · · · c1n b11 · · · b 1j a11 · · · · · · · · · a1p  ..   . . .. .. .. ..   ... · · · .. ..    . .  . · · · . · · · .     .  .. ..  =   a i 1 · · · a ik · · · a ip   .  . ci j .   . · · · b kj    .. .. ..    ..  .. ..   .. ··· . ··· .   ... · · ·  . . . .   . am1 · · · · · · · · · amp bp1 · · · b pj cm1 · · · cmn

en la ··· ··· ··· ··· ···

 b1n ..  .   ..  .   ..  .  bpn

Observemos que en la multiplicación de matrices el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda matriz.

Ejemplo 13.

2 −1 0 1 5 Hallemos AB si A = , B= 3 4 −2 1 1 Puesto que A es una matriz de tamaño 2 × 2 y B es una matriz de tamaño 2 × 3, el producto AB está bien definido y es una matriz de tamaño 2 × 3. Para obtener la primera fila de la matriz producto AB, multiplicamos los términos respectivos de la primera fila, [ 2 − 1], de A por cada uno de los respectivos términos de cada una de las columnas de B

0 1 5 , y −2 1 1

343

Apéndice 1: Matemáticas

respectivamente. Esto es,

(2)(0) + (−1)(−2) (2)(1) + (−1)(1) (2)(5) + (−1)(1) AB = • • • Para obtener la segunda fila de AB, multiplicamos los términos de la segunda fila, [ 3 4 ], de A por los términos de cada una de las columnas de B. Ası́,

2 1 9 AB = (3)(0) + (4)(−2) (3)(1) + (4)(1) (3)(5) + (4)(1)

2 1 9 = −8 7 19

Observemos que para estas matrices no está definido el producto BA debido a la incompatibilidad de sus tamaños, es decir, que el número de columnas de B es distinto al número de filas de A. Teorema 4. (Propiedades de la multiplicación de matrices) Supongamos que A, B y C son matrices compatibles (es decir, que las multiplicaciones pueden realizarse) para la multiplicación. Entonces a) AB 6= BA (no se satisface la ley conmutativa) b) A( BC ) = ( AB )C (ley asociativa) c) A( B + C ) = AB + AC (ley distributiva a derecha) d) ( B + C )A = BA + CA (ley distributiva a izquierda) e) k( AB ) = ( kA )B = A( kB ), donde k ∈ R f ) Para toda matriz cuadrada A de tamaño n × n se tiene que AIn = In A = A

344

Equilibrio econoĚ mico walrasiano

Apéndice 2: Ejercicios

Ejercicios para el capı́tulo 2 1. En el modelo paretiano, suponga que las utilidades de dos individuos A y B varı́an de UA y UB a: a) UA + λ y UB + λ, respectivamente. b) λUA y βUB , respectivamente. para λ > 0 y β > 0 parámetros dados. ¿Cómo cambian las condiciones de equilibrio? Interprete.

2. Consideremos una economı́a de intercambio puro conformada por dos mercancı́as X y Y , y dos consumidores A y B cuyas preferencias están representadas por las siguientes funciones de utilidad uA (xA , y A ) = ln(1+xA )+ln(1+y A )

uB (xB y B ) = ln(1+xB )+ln(1+y B )

Las dotaciones de los consumidores son wA = (3, 4), y wB = (4, 3). a) Obtenga la función de demanda del consumidor A. b) Obtenga la función de demanda del consumidor B. c) ¿Cuáles son las funciones de exceso de demanda? d) Verifique que estas dos ecuaciones satisfacen la ley de Walras.

Grafique. e) Calcule el equilibrio walrasiano y dibújelo en una caja de Edgeworth.

345

346

Equilibrio económico walrasiano

3. Encuentre el equilibrio walrasiano del problema de intercambio uA (xA , yA ) = xα y β ,

uB (xB , yB ) = xδ y γ

con dotaciones 1 1 wA = (wA , wB ),

2 2 wB = (wA , wB )

y analizar los diversos cambios de este equilibrio en respuesta a cambios en los parámetros fundamentales (todos positivos) α, β, δ, γ, wA , wB de esta economı́a.

4. Dé justificaciones sobre las tecnologı́as de las firmas para que, en una caja de Edgeworth para la producción, la “curva de contrato” sea cóncava o convexa.

5. Dé justificaciones sobre las tecnologı́as de las firmas para que la frontera de posibilidades de producción (FPP ) sea recta.

6. ¿En una economı́a de intercambio, bajo qué condiciones sobre las funciones de utilidad, las demandas por bienes dependen sólo de un precio?

7. (Un modelo Robinson Crusoe).

8. Encuentre el equilibrio walrasiano del problema de intercambio α uA (xA , yA ) = xαB + βyB ,

uB (xB , yB ) = xδ y γ

1 , w1 ), w 2 2 con dotaciones wA = (wA B = (wA , wB ) y analizar los B diversos cambios de este equilibrio en respuesta a cambios en los parámetros fundamentales (α, β, δ, γ, wA , wB ) de esta economı́a.

9. El mismo ejemplo anterior pero ahora con función CARA uA (x, y) = −e−αx − βe−αy donde 0 < β < 1, α > 0.

10. Considere la economı́a de intercambio de tres agentes: √ √ uA (x, y) = 2( x + y) = uB (x, y), uC (x, y) = x donde WB = (wA , 0), WB = (wB , 0), y WC = (0, 1). Muestre que, en equilibrio, para i = A, B, se tiene que las demandas son pwi wi xi = , yi = 1+p p(1 + p)

347

Apéndice 2: Ejercicios y para i = C su demanda es xC = p,

yC = 0

evaluadas en el precio de equilibrio p=

p

1 + 4(w1 + w2 ) − 1 2

Asuma que x es “ocio” y y es un bien de consumo importante, e interprete este equilibrio. ¿Qué significa el hecho de que p dependa de la riqueza agregada de la economı́a?

11. Ejemplo con tasa de cambio y exportaciones.

Ejercicios para el Capı́tulo 3 1. Pruebe que la economı́a tipo Wald x1 + 2x2 = 10 4x1 + 5x2 = 30 x1 =

k1 , p1

x2 =

k2 p2

(1) (2)

v1 + 4v2 = p1 2v1 + 5v2 = p2

(3)

donde k1 , k2 > 0, tiene un equilibrio con todas las variables positivas, si, y sólo si, 1 k1 4 < < 2 k2 5 ¿Qué interpretación económica podrı́a darle usted a este resultado?

2. En el ejemplo anterior, se tiene que v1 < 0 si, y sólo si, kk12 > 45 ; y que v2 < 0 si, y sólo si, kk12 < 12 . Resuelva (si es posible) el sistema en cada uno de estos casos, haciendo el respectivo vi = 0.

348

Equilibrio económico walrasiano

3. Encuentre (si existen) condiciones sobre los recursos r1 , r2 tales que el sistema Walras-Cassel x1 + 2x2 = r1 4x1 + 5x2 = r2 x1 =

8 , p1

x2 =

(1)

10 p2

(2)

v1 + 4v2 = p1 2v1 + 5v2 = p2

(3)

tenga soluciones no-negativas.

4. Resuelva (si es posible) el sistema del ejercicio 1 anterior, si las demandas se cambian a x1 =

3 , p1 + p2

x2 =

4 p2

(2’)

5. En el sistema Walras-Cassel ax1 + bx2 = 10 4x1 + 5x2 = 30 x1 =

10 , p1

x2 =

1 p2

(1) (2)

v1 + 4v2 = p1 2v1 + 5v2 = p2

(3)

¿Existen valores de a y b (cambio tecnológico en la producción del recurso 1) para que éste tenga un precio mayor o igual que un precio base p > 0?

6. Muestre que el sistema del ejemplo 1 del presente capı́tulo, satisface las hipótesis del teorema de Wald (Teorema 1).

349

Apéndice 2: Ejercicios

7. (Infinitos equilibrios (Wald (1936)) Considere el sistema económico tipo Wald x1 + x2 = 1 p1 = v1 , p2 = v2

(1) (2)

f1 (x1 , x2 ) = p1 f2 (x1 , x2 ) = p2

(3)

donde las f (·, ·)′ s satisfacen la hipótesis 3 del teorema de Wald (teorema 1). Pero, además, supongamos que f1 (x1 , x2 ) = f2 (x1 , x2 ) = 1 siempre que 1 3 ≤ x1 , x2 < 4 4 a) Muestre que este sistema no satisface la hipótesis 6 del teorema 1, pero sı́ satisface todas las otras hipótesis. b) Muestre que para todo λ ∈ [ 14 , 34 ], se tiene que x1 = λ, x2 = 1 − λ, p1 = p2 = 1, v1 = v2 = 1 es un equilibrio del sistema.

Esto muestra que si la hipótesis 6 no se satisface, podemos tener infinitos equilibrios.

Ejercicios para el Capı́tulo 4 1. Suponga una economı́a de tipo Leontief en la que hay dos industrias y cada una de ellas utiliza, como insumos, elementos de su propia industria y de la otra. Si los coeficientes técnicos son a11 = 0.25, a12 = 0.02, a21 = 0.04 y a22 = 0.15, y las demandas finales son c1 = 150 y c2 = 200, ¿cuál es la producción de cada industria?

2. Suponga una economı́a de tipo Leontief descrita por la siguiente matriz insumo-producto: a) Encuentre la matriz A de coeficientes técnicos. b) Encuentre los niveles de producción de equilibrio.

350

Equilibrio económico walrasiano

Agricultura Manufactura Servicios

Agricultura 35 5 10

Manufactura 5 62 26

Servicios 6 23 42

Demanda Final 39 60 131

c) Suponga que las demandas finales cambian de forma tal que   50 C =  60  132 ¿Cuáles son los nuevos niveles de producción de equilibrio? ¿Cómo debe cada sector proveer la producción extra?

3. Una economı́a produce tres bienes, los que para ser producidos requieren de dos tipos de trabajo: uno calificado y otro no-calificado. Los requerimientos por unidad de producto se presentan en la siguiente matriz: B =

5 5 4 4 8 10

La primera fila representa los requerimientos de trabajo calificado y la segunda los de trabajo no-calificado. Adicionalmente, la producción requiere de insumos, los cuales se pueden representar por la siguiente matriz de coeficientes técnicos: 

 0.08 0.12 0.10 A =  0.15 0.20 0.15  0.10 0.20 0.10 La demanda de estos bienes es realizada por dos grupos de consumidores: los trabajadores no-calificados y los trabajadores calificados. Las funciones de demanda de los trabajadores no-calificados son x11 =

4w1 , p1

x12 =

8w1 p2

351

Apéndice 2: Ejercicios

donde x11 es la demanda que hacen estos consumidores del bien 1, p1 es el precio de dicho bien, w1 es el salario de los trabajadores no-calificados y p2 el precio del bien 2. Este tipo de consumidores no demanda el bien 3.

Las funciones de demanda de los trabajadores calificados son x22 =

12w2 , 5p2

x23 =

24w2 5p2

donde x22 es la demanda que hace este tipo de consumidores del bien 2, x23 es la demanda del bien 3, w3 es el salario de los trabajadores calificados y p3 el precio del bien 3. Este tipo de consumidores no demanda el bien 1. Por último, la oferta de trabajo de los trabajadores no-calificados es 12 y la de los trabajadores calificados es 7.2. a) Encuentre las funciones de demanda total de cada uno de los tres bienes. b) Si el salario de los trabajadores no-calificados es 100 y el de los trabajadores calificados es 200, encuentre los precios tales que los beneficios de las empresas sean iguales a cero. c) Dados estos precios, encuentre la demanda final, la producción necesaria para satisfacerla y las demandas de trabajo calificado y no-calificado.

4. ¿En dónde encuentra usted las diferencias y similitudes esenciales entre el modelo walrasiano de Cassel y el modelo de Leontief?

5. El modelo Hecksher-Ohlin y la Paradoja de Leontief (colocar esto como ejemplo en la sección Leontief)

Ejercicios para el Capı́tulo 5 1. Muestre que la afirmación de que el modelo de Walras es un caso especial del modelo Arrow-Debreu no es cierta, debido a que la minimización de costos en Walras no es la misma maximización del beneficio en Arrow-Debreu. Sin embargo, confirme que el caso de

352

Equilibrio económico walrasiano coeficientes de producción constantes en Walras, sı́ está abarcado por el modelo Arrow-Debreu.

2. En el ejemplo 8: a) ¿Bajo qué resdistribución de la riqueza puede alcanzarse la distribución equitativa (1, 1) para cada agente, como equilibrio competitivo? b) ¿Será que algún esquema de impuestos permitirı́a alcanzar esta distribución equitativa?¿Cómo impementarı́a ustes esta polı́tica fiscal?

Ejercicios para el capı́tulo 6 1. Consideremos la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales u(cot , cot+1 ) = ln(cyt ) + β ln(cot+1 ) w = (wy , wo ) = (e, 1), e > 1 a) Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. b) Construya una distribución que domine en el sentido de Pareto a la asignación de equilibrio. c) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. d) Encuentre la trayectoria de precios de equilibrio y muestre que el equilibrio monetario estacionario es inestable.

2. Considere la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales u(cyt , cot+1 ) = α(cyt ) − (β/2)(cyt )2 + ct+1 w = (wy , wo ) = (e, 0) donde 0 ≤ cyt ≤ (α/β); α, β > 0; e > (α/β).

353

Apéndice 2: Ejercicios

a)Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. ¿Qué hecho sobresaliente puede destacar? Explique. b)Encuentre el equilibrio monetario estacionario.

3. Considere la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde existen dos tipos de consumidores con las siguientes funciones de utilidad y dotaciones iniciales yA oA oA u(cyA t , ct+1 ) = ln(ct ) + β ln(ct+1 ) yB oB oB u(cyB t , ct+1 ) = ln(ct ) + β ln(ct+1 ) A yA oA w = (w , w ) = (e1 , 1), e1 > 1 wB = (wyB , woB ) = (e2 , 1), e2 > 1

a). Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. ¿Qué hecho sobresaliente puede destacar? b). Construya una distribución que domine en el sentido de Pareto a la asignación de equilibrio. c). Encuentre el equilibrio monetario estacionario. d). Encuentre la trayectoria de precios de equilibrio y muestre que el equilibrio monetario estacionario es inestable.

4. Considere la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde existen dos tipos de consumidores con las siguientes funciones de utilidad y dotaciones iniciales yA 1/2 oA 1/2 u(cyA + β(coA t , ct+1 ) = (ct ) t+1 ) yB oB yB 1/2 1/2 u(ct , ct+1 ) = (ct ) + β(coB t+1 ) A yA oA w = (w , w ) = (e1 , 1), e1 > 1 wB = (wyB , woB ) = (e2 , 1), e2 > 1

a) Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. ¿Qué hecho sobresaliente puede destacar? b) Construya una distribución que domine en el sentido de Pareto a la asignación de equilibrio. c) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. d) Encuentre la trayectoria de precios de equilibrio y muestre que el equilibrio monetario estacionario es inestable.

354

Equilibrio económico walrasiano 5. Considere la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales u(cyt , cot+1 ) = α(cyt ) − (β/2)(cyt )2 + ct+1 w = (wy , wo ) = (0, e) donde 0 ≤ cyt ≤ (α/β); α, β > 0; ε > (α/β). a) Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. ¿Es óptimo de Pareto este equilibrio? Explique. b) Encuentre el equilibrio estacionario monetario. c) Encuentre la ecuación en diferencias del consumo de los jóvenes. ¿Qué caracterı́stica posee la trayectoria de equilibrio?

6. Considere la siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función de utilidad y dotaciones iniciales u(cyt , cot+1 ) = ln(cyt ) + β ln(cot+1 ) w = (wy , wo ) = (e, 1), e > 1 a) Encuentre el equilibrio de expectativas ingenuas bajo no arbitraje. b) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. c) Encuentre la trayectoria de precios de equilibrio y muestre que el equilibrio monetario estacionario es estable.

7. Considere le siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde existen dos tipos de consumidores con las siguientes funciones de utilidad y dotaciones iniciales yA oA oA u(cyA t , ct+1 ) = ln(ct ) + β ln(ct+1 ) yB oB yB u(ct , ct+1 ) = ln(ct ) + β ln(coB t+1 ) A yA oA w = (w , w ) = (e1 , 1), e1 > 1 wB = (wyB , woB ) = (e2 , 1), e2 > 1

Suponga que el consumidor A tiene expectativas racionales y el consumidor B expectativas ingenuas.

355

Apéndice 2: Ejercicios

a) Encuentre el equilibrio bajo no arbitraje. b) Construya una distribución que domine en el sentido de Pareto a la asignación de equilibrio. c) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. d) ¿Puede usted encontrar la trayectoria de los precios de equilibrio?

8. Considere le siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales u(cyt , cot+1 ) = {[γ(cyt + β)1−α ]/(1 − α)} + cot+1 w = (wy , wo ) = (e, 0) donde α ≥ 0, α 6= 1, γ > 0, β ≥ 0 a) Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje. b) Encuentre el equilibrio monetario estacionario. c) Encuentre la ecuación en diferencias del consumo de los jóvenes. ¿Qué caracterı́stica posee la trayectoria de equilibrio?

Muestre la existencia de ciclos endógenos en esta economı́a.

9. Considere le siguiente economı́a OLG de intercambio puro donde el consumidor representativo tiene la siguiente función ordinal de utilidad y dotaciones iniciales u(cyt , cot+1 ) = ln(cyt ) + β ln(cot+1 ) w = (wy , wo ) = (2, 1) Suponga que la población crece a una tasa constante n, es decir, Ht = (1 + n)Ht−1 , donde Ht es la cantidad de consumidores en el periodo t. a) ¿Cuál es la condición de equilibrio de mercado para esta economı́a? b) Encuentre el equilibrio de expectativas racionales bajo no arbitraje.

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Equilibrio econoĚ mico walrasiano

Respuestas

387

Índice alfabético

Óptimo de Pareto, 48 caracterización, 46 Óptimo de Walras-Pareto, 45 Ophelimite, 44, 51 Tâtonnement, 58

Lange, Oskar, 36, 49 Ley de Walras, 36, 38

Allais, Maurice, 49

Paradoja de Leontief, 43 Pareto, Vilfredo, 44, 46, 47 Patinkin, Don, 36 Primer teorema de la economı́a del bienestar, 49

Modelo paretiano, 1 Numerario, 31

Caja de Edgeworth, 31 Caja de Pareto-Edgeworth, 48 Curva de contrato, 33 Economı́a de intercambio puro, 31, 36, 37, 39 Ecuación de Jevons, 46 Edgeworth, Francis Y., 29, 33, 47 El modelo Pareto-Hicks, 1 Equilibrio walrasiano, 35 Exceso de demanda, 38 Frontera de posibilidades de producción, 35 Funciones de exceso de demanda, 38

Segundo teorema de la economı́a del bienestar, 51 Sistema paretiano, 26 Smith, Adam, 49 Tasa marginal de sustitución técnica, 34 Teoremas del bienestar, 49

Hotelling, Harold, 49 388