Recull problemes PAU Física Catalunya 2010-2014

Preparació de les PAU de Física 2015

Recull de problemes a càrrec de Víctor Ranera Escola Joan Pelegrí Hostafrancs, maig-juny 2015

Taula de continguts Taula de continguts .............................................................................. 1 Presentació ......................................................................................... 2 Què es demana més a les PAU? ......................................................... 2 1. Vibracions, ones i so ....................................................................... 5 Moviment harmònic .......................................................................... 5 Ones ............................................................................................. 11 Ones estacionàries i el so ................................................................. 12 2. Camp gravitatori .......................................................................... 19 Distribució de masses puntuals ......................................................... 19 Planetes i satèl·lits .......................................................................... 20 3. Camp elèctric ............................................................................... 26 Distribució de càrregues puntuals ..................................................... 26 Camps elèctrics constants ................................................................ 30 4. Camp magnètic ............................................................................ 37 Camp magnètic i força magnètica ..................................................... 37 Flux magnètic ................................................................................. 44 Corrent altern ................................................................................. 51 5. Física nuclear i moderna ................................................................ 54 Física moderna ............................................................................... 54 Física nuclear ................................................................................. 60

Presentació Aquest és un recull de problemes que té per finalitat ajudar a preparar la prova de selectivitat de Física. S’ha dividit el temari en les 5 unitats de contingut bàsiques i, per a alguns d’ells s’han fet subdivisions per ajudar en l’estudi.

Cal remarcar que les proves es preparen a partir dels coneixements adquirits al llarg del curs i de l’esforç final de síntesi. La resolució de problemes de cursos anteriors només és una eina més d'entrenament que ajuda a repassar, mai a aprendre.

Per aquest motiu, per a cadascun dels capítols es fa un recull de les idees i equacions bàsiques, tot i que la correcta interpretació, aplicació i conceptes vinculats van molt més enllà. Després d’aquesta breu introducció, s’han seleccionat problemes significatius en tant que els aspectes que es treballen en ells són els més importants. No són els problemes més complexos ni els més originals, són els més clars.

En el recull es troben els problemes de Física de les PAU de Catalunya per a les convocatòries següents:  2010 sèries 1, 2, 4 i 5  2011 sèries 1, 2 i 4  2012 sèries 1, 3 i 4  2013 sèries 1, 3 i 4  2014 sèries 3, 4 i 5 També hi ha algun que altre problema de les PAU d’arreu d’Espanya.

Què es demana més a les PAU? Per donar-te una idea de la rellevància de cadascun dels 5 temes dins les proves de les PAU a Catalunya aquí tenim una relació de la quantitat de problemes per a cadascun d’ells:

Presentació

3

Problemes per temes 2010-2014 (16 sèries) Vibracions, ones i so; 30

Física nuclear i moderna; 31

Camp gravitatori; 16 Camp magnètic; 28 Camp elèctric; 23 Gràfica 1

Una anàlisi dels subtemes ens ofereix els següents resultats:

Presentació

4

Problemes per subtemes 2010-2014 (16 sèries) 0

2

4

6

Moviment harmònic Ones Ones estacionàries i el so Distribució de masses puntuals Planetes i satèl·lits Distribució de càrregues puntuals Camps elèctrics constants Camp magnètic i força magnètica Flux magnètic Corrent altern Física moderna Física nuclear Gràfica 2

8

10

12

14

16

18

1.

Vibracions, ones i so

Moviment harmònic EquaciĂł del MHS: đ?‘Ľ(đ?‘Ą) = đ??´ ¡ đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?œ›đ?‘Ą + đ?œ‘0 ).

TambĂŠ es pot escriure en funciĂł del cosinus Alerta amb els noms dels termes: pulsaciĂł (freqßència angular) i fase inicial 1 Tenim que đ?œ› = 2đ?œ‹ ¡ đ?‘“ i đ?‘“ = đ?‘‡

Recordem que đ?‘Ł(đ?‘Ą) i đ?‘Ž(đ?‘Ą) s’obtenen derivant i, per tant, đ?‘Łđ?‘šĂ đ?‘Ľ = đ??´ ¡ đ?œ› i đ?‘Žđ?‘šĂ đ?‘Ľ = đ??´ ¡ đ?œ› 2 . đ?‘”

Pèndol oscil¡lant: đ?œ› = √ đ?‘™ . đ?‘˜

Massa oscil¡lant a l’extrem d’una molla: đ?œ› = √đ?‘š.

En pèndols i molles es conserva l’energia mecà nica.

1.

(Catalunya 2014, sèrie 5) Una manera d’obtenir la constant elà stica d’una molla Ês penjar-hi una massa i mesurar-ne el període de les petites oscil¡lacions al voltant de la posició d’equilibri. En la grà fica segßent hi ha representada la relació entre la massa penjada de la molla i el quadrat del període de les oscil¡lacions:

Figura 1

a) A partir de la grà fica, calculeu la constant elà stica de la molla. Si l’amplitud de les oscil¡lacions fos de 0,10 m, quina seria l’energia cinètica mà xima assolida per la massa en l’oscil¡lació? b) Suposem que la constant elà stica de la molla Ês de 150 N m–1, hi pengem una massa d’1,5 kg i la fem oscil¡lar amb una amplitud de 0,20 m. Quina Ês l’acceleració mà xima que assoleix? Si submergim tot el conjunt en un recipient ple d’aigua de manera que la massa

Vibracions, ones i so

6

oscil·la fins a aturar-se a causa del fregament, quin és el treball fet per la força de fregament que ha aturat l’oscil·lació?

Solucions: a) k = 150 N/m, Ecmaxima = 0, 75 J; b) amaaxima = 20 m/s2, Wf regament = 3 J 2.

(Catalunya 2014, sèrie 4) L’agulla d’una màquina de cosir osciŀla verticalment entre dos punts separats per una distància de 20 mm. En les especificacions del fabricant s’indica que l’agulla pot fer 1 800 puntades per minut. Si sabem que l’agulla descriu un moviment harmònic simple: a) Determineu la freqüència en Hz i escriviu Figura 2 l’equació del moviment suposant que en el moment inicial l’agulla es troba en la posició de màxima altura. b) Calculeu la velocitat i l’acceleració màximes de l’agulla.

Solucions: a) y(t) = 0.01 cos(1,88·102 t) m; b) vmàx = 1,88 m/s, amàx = 3,55·102 m/s2 3.

(Catalunya 2013, sèrie 3) Disposem d’una massa lligada a una molla que fa un moviment harmònic simple. Sabem que a l’instant inicial la seva posició i velocitat són x = 1,00 m i v = −5,44 m s–1, i que les energies cinètica i potencial en aquest mateix instant són Ek = 12,00 J i Ep = 4,00 J. Calculeu: a) La constant de recuperació de la molla i el valor de la massa del cos que fa el moviment, així com l’energia mecànica total del sistema. b) L’amplitud, la freqüència angular i la fase inicial del moviment harmònic que fa la massa. Escriviu l’equació del moviment resultant.

Solucions: a) k = 8,00 N/m, m = 8,11x10-1 kg, Em = 16 J; b) A = 2,00 m, ω = 3,14 rad/s, φ0 = 1,04 rad, x(t) = 2cos(3,14 rad/s t + 1,04 rad) m 4.

(Catalunya 2013, sèrie 4) En la vida quotidiana estem sotmesos a moviments vibratoris. Per exemple, en caminar, córrer, viatjar amb algun mitjà de locomoció o estar a prop d’alguna màquina. A l’hora de dissenyar vehicles i màquines, cal fer un estudi d’aquests moviments per tal d’aconseguir que siguin confortables i segurs, ja que els efectes de les vibracions poden anar des de simples molèsties fins al dolor o la mort.

Aquests estudis solen utilitzar l’acceleració màxima del moviment vibratori com a variable, per a relacionar-la amb les molèsties que percebem. Se sap que som molt sensibles a un moviment vibratori de 6,0 Hz i que, amb aquesta freqüència, a partir d’una acceleració màxima de 6,0 m s–2, les molèsties són tan fortes que ens poden arribar a alarmar. a) Calculeu l’amplitud d’oscil·lació que correspon a un moviment vibratori harmònic de 6,0 Hz i una acceleració màxima de 6,0 m s–2. b) Calculeu el valor de la constant elàstica d’una molla per tal que una massa de 85 kg que hi estigui enganxada oscil·li amb una freqüència de 6,0 Hz. Solucions: a) 4,2x10-3 m; b) k = 1,2x105 N/m

Vibracions, ones i so

7

5.

(Catalunya 2013, sèrie 1) La gràfica següent representa el moviment d’un cos de 250 g de massa que oscil·la, sense fregament, unit a una molla.

Gràfica 3

a) Calculeu l’amplitud, la freqüència angular, el període i la fase inicial d’aquest moviment. b) Escriviu l’equació del moviment i calculeu l’energia mecànica total del sistema.

Solucions: a) A = 12 cm, ω = 1,0 rad/s, T = 6,0 s i φ0 = 0,0 rad si s’expressa x(t) emprant el sinus (φ0 = π/2 rad si s’expressa x(t) emprant el cosinus); b) E = 1,9x10-3 J

Vibracions, ones i so

8

6.

(Catalunya 2012, sèrie 1) Disposem d’una molla de constant de recuperació k = 4,00 N m–1 i de longitud natural l = 20,0 cm, amb la qual volem fer una balança. Per ferla, pengem la molla verticalment per un dels extrems i, a l’altre, col·loquem una plataforma de massa m = 20,0 g amb un dial, de manera que aquest indiqui el valor de la mesura sobre una escala graduada, tal com es mostra a la Figura 4. a) Determineu la lectura que marca el dial en col·locar la plataforma i deixar que el sistema s’aturi. Considereu que el zero del dial coincideix amb l’extrem superior del regle de la figura. b) Afegim un objecte de massa M = 300 g damunt de la plataforma. A continuació, desplacem el conjunt una distància de 10,0 cm respecte a la nova posició d’equilibri i el deixem anar, de manera que el sistema comença a oscil·lar lliurement. Amb quina velocitat tornarà a passar per la posició d’equilibri?

Solucions: a) d = 24,9 cm; b) v = 35,4 cm/s

Figura 3

7.

(Catalunya 2012, sèrie 3) Duem a terme l’experiència següent: pengem d’una molla fixada en un suport per un dels seus extrems set masses diferents, i provoquem que aquestes masses facin petites oscil·lacions i realitzin un MVHS. Mesurem amb molta cura el temps que triga a fer deu oscil·lacions cadascuna de les masses i, a partir d’aquí, obtenim els períodes (T) del moviment, el quadrat dels quals es representa en la gràfica.

Gràfica 4

Vibracions, ones i so

9

a) Calculeu la constant elàstica de la molla i expliqueu raonadament si depèn de la massa. Indiqueu el període que mesuraríem si provoquéssim les oscil·lacions amb una massa de 32,0 g. b) El MVHS que descriu la massa de 100 g que hem penjat de la molla té una amplitud de 10,0 cm. Calculeu l’elongació i l’acceleració que tindrà la massa quan hauran transcorregut 3,00 s des del moment en què l’hem deixat oscil·lar a partir del punt més baix de la trajectòria.

Solucions: a) k = 8,97 N/m, T = 0,38 s; b) y(t = 3 s) = 9,91x10-2 m, a(t = 3 s) = -8,89 m/s2 8.

(Catalunya 2011, sèrie 4) Una massa m = 0,3 kg, situada en un pla horitzontal sense fricció i unida a una molla horitzontal, descriu un moviment vibratori harmònic. L’energia cinètica màxima de la massa és 15 J. a) Si sabem que entre els dos punts del recorregut en què el cos té una velocitat nul·la hi ha una distància de 50 cm, calculeu l’amplitud, la freqüència i el període del moviment i la constant elàstica de la molla. b) Calculeu la posició, la velocitat i l’acceleració del cos en l’instant t = 3 s, considerant que quant t = 0 s el cos té l’energia cinètica màxima.

Solucions: a) T = 0,157 s, k = 480 N/m; b) x = ±0,145 m, v = ±8,14 m/s, a = ∓232 m/s2 9.

(Catalunya 2011, sèrie 1) Una massa de 0,5 kg descriu un moviment harmònic unida a l’extrem d’una molla, de massa negligible, sobre una superfície horitzontal sense fregament. En la gràfica següent es relaciona el valor de l’energia mecànica de la molla amb el quadrat de l’amplitud d’oscil·lació del moviment harmònic:

Gràfica 5

Calculeu: a) El valor de la freqüència d’oscil·lació. b) El valor de la velocitat màxima de la massa quan l’amplitud d’oscil·lació del moviment és 0,141 4 m.

Solucions: a) 4,5 Hz; b) 4 m/s 10. (Catalunya 2011, sèrie 2) La massa dels astronautes a l’espai es mesura amb un aparell que es basa en el moviment vibratori harmònic.

Quan l’astronauta s’hi col·loca, l’aparell inicia un moviment vibratori i en

Vibracions, ones i so

10

mesura la freqüència. Sabem que per a una massa de 60 kg, la freqüència d’oscil·lació és 0,678 Hz. a) Calculeu la velocitat màxima d’oscil·lació d’aquesta massa si sabem que l’amplitud màxima d’oscil·lació és 20 cm. b) Si la massa d’un astronauta fa oscil·lar l’aparell a una freqüència de 0,6064 Hz, calculeu la constant elàstica de la molla i la massa de l’astronauta.

Solucions: a) 0,852 m/s; b) k = 1,089·103 N/m, m = 75 kg 11. (Catalunya 2010, sèrie 5) La gràfica següent representa l’energia cinètica d’un oscil·lador harmònic en funció de l’elongació (x):

Gràfica 6

a) Digueu el valor de l’energia cinètica i de l’energia potencial quan x = 0 m i quan x = 0,20 m. Determineu la constant elàstica. b) Calculeu la massa de l’oscil·lador, si sabem que la freqüència de vibració és de (100/2π) Hz. Solucions: a) k = 500 N/m; b) 50 g 12. (Catalunya 2010, sèrie 2) Una molla de constant k = 125 N/m té un extrem fix i, en l’altre, hi ha lligada una massa de 200 g que pot lliscar sobre una superfície horitzontal sense fregament. Desplacem inicialment la massa 12 cm de la posició d’equilibri, tot allargant la molla, i la deixem anar. Determineu: a) Els valors màxims de les energies cinètica i potencial assolides durant el moviment i la velocitat màxima de la massa. b) El període i la freqüència del moviment harmònic resultant. Escriu també l’equació d’aquest moviment prenent t = 0 com l’instant en què s’ha deixat anar la molla.

Solucions: a) E = 0,90 J, v = 3,0 m/s; b) T = 0,251 s, f = 3,98 Hz; 𝜋 b) 𝑥(𝑡) = 0,20 · 𝑠𝑖𝑛 (𝜋𝑡 + 2 ) (𝑒𝑛 𝑚, 𝑠𝑖 𝑡 𝑒𝑛 𝑠), 𝜋 𝑚 𝑣(𝑡) = 0,20 · 𝜋 · 𝑐𝑜𝑠 (𝜋𝑡 + ) (𝑒𝑛 , 𝑠𝑖 𝑡 𝑒𝑛 𝑠) 2 𝑠

Vibracions, ones i so

11

Ones EquaciĂł d’una ona: đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = đ??´ ¡ sin(đ?œ› ¡ đ?‘Ą − đ?‘˜ ¡ đ?‘Ľ + đ?œ‘0 ). đ?œ†

Relacions entre magnituds: {

đ?œ? =đ?‘‡ =đ?œ†Âˇđ?‘“ đ?‘˜=

2đ?œ‹ đ?œ†

Alerta amb:  No confondre la velocitat de fase i la velocitat de vibraciĂł.  Tot punt ĂŠs un MHS (grĂ fica đ?‘Ś(đ?‘Ą) on mesurem đ??´, đ?‘‡ i đ?‘“) però l’ona ĂŠs representa en una grĂ fica đ?‘Ś(đ?‘Ľ) (mesurem đ??´ i đ?œ†).

13. (Catalunya 2012, sèrie 3) Una ona transversal avança per una corda.

L’emissor que la produeix vibra amb una freqßència de 25,0 Hz. Considereu que l’ona avança en el sentit positiu de l’eix x. El centre emissor està situat a l’origen de coordenades, i l’elongació en l’instant inicial Ês nul¡la. Sabem que la distà ncia entre dos punts consecutius que estan en el mateix estat de vibració Ês 24,0 cm i que l’amplitud de l’ona Ês 3,00 cm. Calculeu: a) La velocitat de l’ona, la freqßència angular (pulsació), el nombre d’ona i l’equació de l’ona. b) La velocitat d’oscil¡lació i l’acceleració d’un punt situat en x = 6,00 m en l’instant t = 3,00 s.

Solucions: a) v = 6,00 m/s, ω = 157 rad/s, k = 26,2 m-1, đ?‘Ľ đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = 0,03 đ?‘ đ?‘–đ?‘› [50đ?œ‹ (đ?‘Ą − 6)] đ?‘Ś đ?‘’đ?‘› đ?‘š, đ?‘Ą đ?‘’đ?‘› đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘› đ?‘š o đ?‘Ľ

đ?œ‹

đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = 0,03 đ?‘?đ?‘œđ?‘ [50đ?œ‹ (đ?‘Ą − 6) Âą 2 ] đ?‘Ś đ?‘’đ?‘› đ?‘š, đ?‘Ą đ?‘’đ?‘› đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘› đ?‘š; b) v = 4,71 m/s, a = 0,00 m/s2

14. (Catalunya 2012, sèrie 4) Les cordes d’una guitarra tenen una longitud de 78,0 cm. Sabem que una de les cordes, quan vibra en el seu harmònic fonamental, emet un la, que correspon a una freqßència de 220 Hz. a) Dibuixeu el perfil de l’ona quan la corda vibra en l’harmònic fonamental. Quina serà la longitud d’ona del so produït? Quina Ês la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han format l’ona estacionà ria de la corda? b) Dibuixeu la corda quan vibra i emet un so corresponent al tercer harmònic. Indiqueu, en aquest cas, els nodes i els ventres de l’ona i calculeu-ne les posicions.

Solucions: a) v = 343 m/s; b) đ?‘ đ?‘œđ?‘‘đ?‘’đ?‘ = {0,00 , 26,0 , 52,0 , 78,0} đ?‘?đ?‘š, đ?‘‰đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ = {13,0 , 39,0 , 65,0} đ?‘?đ?‘š 15. (Catalunya 2010, sèrie 4) Cadascun dels extrems d’un diapasĂł presenta un moviment vibratori harmònic amb una freqßència de 1.000 Hz i una amplitud de 1 mm. Aquest moviment genera en l’aire una ona harmònica de so de de la mateixa freqßència. El moviment dels dos extrems estĂ en fase. a) Calcula per a un dels extrems del diapasĂł, l’elongaciĂł i la velocitat del seu moviment vibratori quan faci 3,3¡10-4 s que ha començat a vibrar. comptat a partir de la posiciĂł que correspon a la mĂ xima amplitud.

Vibracions, ones i so

12

b) Raoneu si, en l’aire, es produeix el fenomen d’interferència a partir de les ones de so que es generen en els dos extrems del diapasó. Si s’esdevÊ aquest fenomen, indiqueu en quins punts es produiran els mà xims d’interferència.

Dada: vso en l’aire = 340 m/s Solucions: a) y = -4,82¡10-4 m, v = -5,51 m/s 16. (Catalunya 2010, sèrie 4) Observem que dues boies de senyalització en una zona de bany d’una platja, separades una distà ncia de 2 m, oscil¡len de la mateixa manera amb l’onatge de l’aigua del mar. Veiem que la mínima distà ncia en que tÊ lloc aquest fet Ês, justament, la separació entre les dues boies. Comptem que oscil¡len 30 vegades en un minut i observem que pugen fins una alçada de 20 cm. a) Determineu la freqßència, la longitud d’ona i la velocitat de les ones del mar. b) Escriviu l’equació que descriu el moviment de les boies en funció del temps, si comencem a comptar el temps quan les boies són a la posició mÊs alta. Escriu l’equació de la velocitat de les boies en funció del temps.

Solucions: a) f = 0,5 Hz, Ν = 2 m, v = 1 m/s; b) 17. (Catalunya 2010, sèrie 1) Una ona harmònica transversal es propaga per una corda a una velocitat de 6,00 m/s. L’amplitud de l’ona Ês 20 mm i la distà ncia mínima entre dos punts que estan en fase Ês 0,40 m. Considera la direcció de la corda com l’eix x i que l’ona es propaga en el sentit positiu d’aquest eix. a) Calculeu la longitud d’ona, el nombre d’ona, la freqßència, el període i la freqßència angular (pulsació). b) Escriu l’equació de l’ona sabent que, en l’instant inicial, l’elongació d’un punt situat a l’origen de coordenades Ês mà xima. Calculeu l’expressió de la velocitat amb què vibra un punt de la corda situat a una distà ncia de 10 m respecte de l’origen de la vibració. Quina Ês la velocitat mà xima d’aquest punt?

Solucions: a) Ν = 0,40 m, k = 15,7 m-1, f = 15 s-1, T = 0,067 s, ω = 94 rad/s; b) vmà x = 1,9 m/s

Ones estacionà ries i el so Ones estacionà ries:  Nodes i ventres  Cordes (extrems són nodes), tubs oberts (extrems són ventres) i tubs semioberts (un extrem Ês node i l’altre Ês ventre)  Freqßència fonamental o primer harmònic.

Harmònics successius. đ??¸ đ?‘ƒ Diferència entre to i timbreIntensitat sonora: đ??ź = đ?‘†ÂˇÎ”đ?‘Ą = đ?‘† Relacions entre intensitat, amplitud i distĂ ncia al focus:

Vibracions, ones i so

13

đ??ź1 đ??´12 = đ??ź1 đ?‘&#x;22 đ??ź2 đ??´22 → = đ??´1 đ?‘&#x;2 đ??ź2 đ?‘&#x;12 = {đ??´2 đ?‘&#x;1 đ??ź SensaciĂł sonora: đ??ľ = 10 ¡ đ?‘™đ?‘œđ?‘” đ??ź Quan el so canvia de medi: sin(đ?œ™ ) đ?‘Ł  Llei d’Snell: sin(đ?œ™1 ) = đ?‘Ł1 2

0

2

 La freqßència no varia.

18. (Catalunya 2014, sèrie 5) Per a mesurar la velocitat del so en l’aire podem fer servir un tub de ressonà ncia. Regulant el nivell de l’aigua, es poden produir situacions de ressonà ncia quan l’ona estacionà ria tÊ un ventre a l’extrem obert del tub. Quan el diapasó vibra amb una freqßència de 440 Hz, fem baixar el nivell de l’aigua fins que observem la primera situació de ressonà ncia per a h = 19 cm, que es reconeix perquè es produeix una intensificació nítida del so, i tambÊ observem una segona situació de ressonà ncia per a h = 57 cm. a) Dibuixeu l’esquema de l’ona estacionà ria per a cadascuna de les situacions de ressonà ncia descrites i determineu la velocitat del so en l’aire.

Figura 4 b) Si el diapasó emet ones sonores amb una potència de 0,01W, calculeu els decibels que percebrà una persona situada a 3 m.

Dada: Intensitat del llindar d’audició: I0 = 10–12 W m–2 Solucions: a) vso = 334 m/s; b) 79 dB 19. (Oviedo juny 2014 fase específica) Es vol determinar la velocitat del so a l’heli a 20ºC fent experiment amb un diapasó de 1700 Hz i un tub llarg T, introduint a l’aigua. Es va variant l’alçada del tub fora de l’aigua, obtenintse ressonà ncia (so mÊs intens) per a L=444 mm. La segßent ressonà ncia es detecta a L=740 mm. a) Determina la longitud d’ona i quins harmònics es donen. b) Estima la velocitat del so a l’heli a la temperatura indicada.

20. (Catalunya 2013, sèrie 3) Les sis cordes d’una guitarra vibren entre dos punts fixos (el pont i la celleta). Per a certes freqßències de vibració de la corda es generen ones estacionà ries entre tots dos extrems. Si la guitarra està afinada, la vibració de la primera corda en el mode fonamental correspon a la nota mi, de 330 Hz.

Vibracions, ones i so

14

a) Determineu la longitud d’ona del mode fonamental, si la longitud de la corda són 65,0 cm, i calculeu també la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, generen l’ona estacionària. b) Si un espectador situat a 3,0 m de distància de la guitarra percep una sensació sonora de 30 dB, quina sensació sonora percebrà si sonen tres guitarres idèntiques tocant la mateixa nota?

Dada: intensitat llindar, I0 = 1,0x10-12 W m-2 Solucions: a) λ0 = 1,30 m, v = 429 m/s; b) β = 35 dB 21. (Catalunya 2013, sèrie 1) El clarinet és un instrument de fusta en forma de tub en el qual es generen ones estacionàries. L’instrument es pot assimilar a un tub ple d’aire obert per un extrem i tancat per l’altre. La figura mostra el mode tercer harmònic, on l’aire vibra amb una freqüència de 637 Hz.

Figura 5

a) Quina és la llargària del clarinet? b) Si la nota es toca amb una intensitat d’1,00×10–5 W m–2 i produeix una intensitat sonora determinada a dos metres de distància, en quants decibels augmenta el nivell de sensació sonora a la mateixa distància si la intensitat es duplica?

Dada: vso = 340 m/s Solucions: a) L = 6,67x10-1 m; b) +3,01 dB 22. (Catalunya 2012, sèrie 4) La membrana d’un altaveu vibra amb una freqüència de 300 Hz i una amplitud de 1,00 mm i produeix un to pur. En les condicions de l’experiment, la velocitat del so és 340 m s–1. a) Calculeu la longitud d’ona, la pulsació i el període del so produït. b) Indiqueu com seran, qualitativament, la freqüència i la longitud d’ona enregistrades per un observador en cada un dels casos següents, comparades (més gran / més petit / igual) amb la freqüència i la longitud d’ona originals:  L’altaveu s’acosta ràpidament a l’observador.  El so arriba a l’observador després d’haver-se reflectit en una paret.

Solucions: a) λ = 1,13 m, ω = 1,88x103 rad/s, T = 3,33x10-3 s 23. (Catalunya 2011, sèrie 4) Els grills perceben sons de freqüència d’entre 20 Hz i 100 kHz i els saltamartins perceben sons d’entre 15 Hz i 35 kHz de freqüència. Les balenes blanques emeten sons de 20 Hz. Si el so de la balena arriba a la superfície amb un angle de 60° respecte de la normal, calculeu:

Vibracions, ones i so

15

a) L’angle amb què sortirà el so de la balena a l’aire. Podran sentir aquest so els grills i els saltamartins que són arran de la costa? I dalt d’un penya-segat? b) La longitud d’ona, dins i fora de l’aigua, del so produït per la balena.

Dades: vso a l’aire = 340 m/s; vso a l’aigua = 1500 m/s Solucions: a) Φ = 11,32º; b) λso balena a l’aigua = 75 m λso balena a l’aire = 17 m 24. (Catalunya 2011, sèrie 1) En l’últim campionat mundial de futbol, la vuvuzela, un instrument musical d’animació molt sorollós, atesa la forma cònica i acampanada que té, va despertar una gran controvèrsia per les molèsties que causava. Aquest instrument produeix el so a una freqüència de 235 Hz i crea uns harmònics, és a dir, sons múltiples de la freqüència fonamental (235 Hz), d’entre 470 Hz i 1 645 Hz de freqüència. La vuvuzela és molt irritant, perquè els harmònics amb freqüències més altes són els més sensibles per a l’oïda humana.

Nota. Considereu que el tub sonor és obert pels dos cantons. a) Amb les dades anteriors, calculeu la longitud aproximada d’una vuvuzela. b) Un espectador es troba a 1 m d’una vuvuzela i percep 116 dB. Molest pel soroll, s’allunya fins a una distància de 50 m. Quants decibels percep, aleshores?

Dades: vso a l’aire = 340 m/s; I0 = 10-12 W/m2 Solucions: a) 0, 72 m; b) 82 dB 25. (Catalunya 2014, sèrie 4) La corda d’un violí fa 32 cm de llargària i vibra amb una freqüència fonamental de 196 Hz. a) Expliqueu raonadament quina és la longitud d’ona del mode fonamental i digueu en quins punts de la corda hi ha els nodes i els ventres. Calculeu la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han generat l’ona estacionària de la corda. b) Dibuixeu, de manera esquemàtica, el perfil de l’ona estacionària del tercer i del cinquè modes de vibració i calculeu-ne les freqüències.

Solucions: a) v = 125 m/s; b) λ3 = 587 Hz, λ5 = 977 Hz 26. (Catalunya 2014, sèrie 3) El timbre que sona en una escola a l’hora del pati perquè els alumnes tornin a classe és molt fort. Per tal de saber fins on el sentiran, en cas de no haver-hi edificis ni cap mena de pèrdua d’energia, mesurem amb el telèfon intel·ligent (smartphone) el nivell d’intensitat sonora a 7,0 m de distància del timbre i obtenim un valor de 50 dB. Calculeu: a) La intensitat del so en el lloc on fem la mesura. b) La potència del timbre. A partir de quina distància del timbre els alumnes deixaran de sentir el so?

Dada: Les persones no poden percebre els sons que tenen una intensitat inferior a I0 = 1,0 × 10–12 W m–2. Suposeu que el timbre és un emissor de so puntual que emet en totes les direccions.

Solucions: a) 10-7 W m-2; b) 2,2·103 m

Vibracions, ones i so

16

27. (Catalunya 2014, sèrie 3) D’una manera molt simplificada, podem dir que la trompeta és un instrument musical de vent en què les diferents notes són produïdes aplicant aire per un extrem (que es considera tancat a causa de la presència dels llavis del músic) i que s’emeten per l’altre, considerat obert.

Les notes produïdes corresponen a determinats harmònics associats a les ones estacionàries que s’originen a l’instrument. La trompeta consta també de tres pistons que, quan es premen, augmenten de manera efectiva la longitud i canvien les notes emeses. a) Si la longitud total del tub que representa la trompeta és l0 = 0,975 m, indiqueu quina és la longitud d’ona i la freqüència dels tres primers modes de vibració estacionaris que es poden generar a la trompeta. b) Quan el músic fa sonar l’instrument mentre prem el segon pistó, produeix la nota si de la tercera octava, de freqüència f = 247 Hz. Sabent que aquesta nota correspon al segon mode de vibració permès a la cavitat de l’instrument, quina és ara la longitud efectiva de la cavitat? Quin és el recorregut extra Δl que fa l’aire dins de la trompeta quan es prem aquest pistó?

Dada: Velocitat del so en l’aire, 340 m s–1 Solucions: a) f0 = 87,2 Hz, f1 = 262 Hz, f2 = 436 Hz; b) l = 1,03 m, Δl = 5,5·10-2 m 28. (Catalunya 2011, sèrie 4) En la figura es mostren els fronts d’ona d’un so que travessa un obstacle.

Figura 6

a) Anomeneu el fenomen que s’indica. Quines condicions ha de tenir l’obstacle perquè es produeixi aquest fenomen d’una manera perceptible? Expliqueu breument alguna situació en què aparegui aquest fenomen. b) Dibuixeu els fronts d’ona, d’una manera semblant a la figura, en el cas d’una ona sonora plana que es refracta en passar d’un medi en què la velocitat del so és 340 m/s a un altre en què la velocitat del so

Vibracions, ones i so

17

Ês 500 m/s, amb un angle d’incidència de 20°, i en el del so d’un clà xon d’un cotxe que es produeix mentre l’automòbil es desplaça rà pidament cap a un observador.

Expliqueu raonadament, en tots dos casos, si la velocitat de propagació, la longitud d’ona i la freqßència augmenten, es mantenen igual o disminueixen.

29. (Catalunya 2011, sèrie 2) La corda d’una guitarra mesura 0,65 m de llargà ria i vibra amb una freqßència fonamental de 440 Hz. a) Expliqueu raonadament quina Ês la longitud d’ona de l’harmònic fonamental i digueu en quins llocs de la corda hi ha els nodes i els ventres. Calculeu la velocitat de propagació de les ones que, per superposició, han generat l’ona estacionà ria de la corda. b) Dibuixeu el perfil de l’ona estacionà ria del segon i del quart harmònic i calculeu-ne la freqßència Solucions: a) 572 m/s; b) Ν2 = 880 Hz, Ν4 = 1760 Hz 30. (Catalunya 2010, sèrie 5) El dibuix segßent representa una ona estacionà ria que s’ha generat en una corda tensa quan una ona harmònica que es propaga cap a la dreta s’ha superposat amb la que s’ha reflectit en un extrem.

Figura 7

a) Indiqueu-ne els nodes. Determineu la distà ncia entre nodes i la longitud d’una ona estacionà ria. Quina Ês l’amplitud de les ones, que en superposar-se, han originat l’ona estacionà ria? b) Sabent que cada punt de la corda vibra a raó de trenta vegades per segon, escriviu l’equació de l’ona inicial (si suposem que y(0, 0) = 0) i calculeu-ne la velocitat de propagació.

Solucions: a) Îť = 8,0 m, Aindividual = 0,5 cm; b) v = 240 m/s, đ?œ‹ đ?‘Ś(đ?‘Ľ, đ?‘Ą) = 0,5 ¡ đ?‘ đ?‘–đ?‘› (60đ?œ‹đ?‘Ą − đ?‘Ľ) (đ?‘’đ?‘› đ?‘?đ?‘š, đ?‘ đ?‘– đ?‘Ą đ?‘’đ?‘› đ?‘ đ?‘– đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘› đ?‘š) 4 31. (Catalunya 2010, sèrie 2) Alguns instruments musicals, com la flauta, estan formats per un tub en què es produeixen ones estacionĂ ries. Podem imaginar-nos la flauta com un tub ple d’aire, obert pels extrems, en què es formen ones estacionĂ ries amb ventres als dos extrems. Si la llargĂ ria del tub ĂŠs 70,0 cm: a) Dibuixeu el perfil de l’ona corresponent a l’harmònic fonamental produĂŻt a l’interior del tub de flauta. Determineu la freqßència de l’harmònic fonamental i la dels primers sobretons (primer i segon harmònics) que es produeixen en aquest tub. b) Quan fem sonar la flauta, produĂŻm una sensaciĂł sonora de 65 dB en un observador situat a 2,0 m. Quina sensaciĂł sonora percebrĂ el

Vibracions, ones i so

18

mateix observador si en comptes d’una flauta sonen tres flautes idèntiques alhora?

Dada: vso = 340 m/s.

Solucions: a) f1 = 243 Hz, f2 = 486 Hz, f3 = 729 Hz; b) 69,8 dB

2.

Camp gravitatori

Distribució de masses puntuals � ¡�

Llei de la GravitaciĂł Universal de Newton: đ??š = đ??ş 1đ?‘&#x;2 2 đ?‘š ¡đ?‘š versiĂł vectorial: đ??šâƒ— = −đ??ş 1đ?‘&#x;2 2 đ?‘˘ ⃗⃗ on đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠs el vector unitari que va de đ?‘š1 a đ?‘š2 . đ?‘š Camp generat per una massa puntual en un punt: đ?‘” = đ??ş đ?‘&#x;2 đ?‘š

versiĂł vectorial: đ?‘”⃗ = −đ??ş đ?‘&#x;2 đ?‘˘ ⃗⃗ on đ?‘˘ ⃗⃗ ĂŠs el vector unitari

que va de đ?‘š al punt. đ??šâƒ— = ⃗⃗⃗⃗ đ??š1 + â‹Ż + ⃗⃗⃗⃗ đ??šđ?‘› Suma vectorial: { đ?‘”⃗ = đ?‘” ⃗⃗⃗⃗⃗1 + â‹Ż + đ?‘” ⃗⃗⃗⃗⃗ đ?‘› Suma escalar: 1. Dibuixar les fletxes.

2. Assignar signes positius i negatius segons sentit.

3. Sumar. đ?‘š ¡đ?‘š Energia potencial entre dues masses: đ??¸đ?‘? = −đ??ş 1 2 đ?‘&#x;

Energia d’un sistema de n masses: s’han de sumar totes les energies potencials entre totes les parelles de masses. đ?‘š Potencial d’una massa puntual en un punt: đ?‘‰ = −đ??ş đ?‘&#x; Potencial que n masses creen en un punt: đ?‘‰ = đ?‘‰1 + â‹Ż + đ?‘‰đ?‘› Concepte delicats a tenir en compte:  đ??¸đ?‘? (đ?‘‘đ?‘’ đ?‘š đ?‘’đ?‘› đ?‘ƒ) = đ?‘Šđ?‘ƒâ†’∞ (đ??šđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ĄĂ˛đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ đ?‘š)  đ?‘‰đ?‘? = đ?‘Šđ?‘ƒâ†’∞ (đ??šđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ĄĂ˛đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž đ?‘ đ?‘œđ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’ 1 đ?‘˜đ?‘”)

32. (Andalusia 2010) La massa de la Terra Ês 81 vegades la de la Lluna i la distà ncia entre els seus centres Ês 3,84¡105 km. a) Calcula en quin punto, entre la Terra i la Lluna es trobaria en equilibri un meteorit de 200 kg. b) Quina seria l’energia potencial del meteorit en aquest punt?

Dades: G = 6,67¡10-11 N m2 kg-2, ML = 7,35¡1022 kg 33. (Andalusia 2010) Dues masses puntuals m = 10 kg i m’ = 5 kg estan situades en els punts (0, 3) m i (4, 0) m, respectivament. a) Dibuixa el camp gravitatori produït per cadascuna de les masses en el punt A (0, 0) m i en el punt B (4, 3) m i calcula el camp gravitatori total en ambdós punts. b) Determina el treball necessari per desplaçar una partícula de 0,5 kg des de B fins A. Discuteix el signe d’aquest treball i raona el seu valor depenent de la trajectòria seguida.

Dada: G = 6,67¡10-11 N m2 kg-2 34. (Andalusia 2010) Dues masses puntuals m1 = 5 kg i m2 = 10 kg estan situades en els punts (-3, 0) m i (3, 0) m, respectivament. a) Determina el punt on el camp gravitatori Ês zero. b) Comprova que el treball necessari per traslladar una massa m des de el punt A (0, 4) m al punt B (0, -4) m Ês nul. Explica el resultat.

Camp gravitatori

20

35. (Castella la Manxa, setembre 2001) A quina alçada sobre la superfície de la Terra ha d’orbitar un satèl¡lit per a què la intensitat del camp gravitatori sigui la dècima part que a la superfície? Quina massa col¡locada sobre la superfície terrestre tindria la mateixa energia potencial que el satèl¡lit a la seva òrbita?

Dades: g0 = 9,82 m/s2, RTerra = 6400 km, msatèl¡lit = 103 kg 36. (Castella la Manxa, juny 2000) Quin seria el valor de la intensitat del camp gravitatori terrestre, si augmentÊs el radi de la Terra al doble del seu valor, conservant-se la seva massa?

Dada: g0 = 9,8 N/kg 37. (Castella la Manxa, setembre 2000) Quin treball hauríem de fer per traslladar una massa M, dins el camp gravitatori terrestre, des d’un punt A fins un punt B que es troba a la mateixa distà ncia del centre de la Terra?

Quina forma tindrien les superfĂ­cies equipotencials del camp gravitatori terrestre? Justifica la resposta.

Planetes i satèl¡lits Treballar amb el Principi de conservaciĂł de l’energia mecĂ nica:  Si nomĂŠs actua đ??šđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ĄĂ˛đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž llavors đ??¸đ?‘š ĂŠs constant.  Si actua una altra força đ??š llavors đ?‘Š(đ??š) = Δđ??¸đ?‘š Ă’rbites d’un satèl¡lit al voltant d’un planeta: la força centrĂ­peta ĂŠs la força gravitatòria (đ??šđ?‘? = đ??šđ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘Łđ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘ĄĂ˛đ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž ) d’on đ?‘Ł2

�¡�

đ?‘š đ?‘&#x; = đ??ş đ?‘&#x;2 i operar.

Velocitat d’escapament: đ?‘€Âˇđ?‘š −đ??ş đ?‘…

1 đ?‘š 2

đ??¸đ?‘š đ?‘ đ?‘˘đ?‘?đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘“Ă­đ?‘?đ?‘–đ?‘’ đ?‘?đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘Ąđ?‘Ž = đ??¸đ?‘š ∞

2

d’on

¡ đ?&#x2018;Ł = 0 + 0 i operar. đ??¸ < 0 đ?&#x2018; Ă­ EstĂ atrapat el satèl¡lit? { đ?&#x2018;&#x161; đ??¸đ?&#x2018;&#x161; â&#x2030;Ľ 0 đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x153; 3a Llei de Kepler: đ?&#x2018;&#x2021; 2 = đ?&#x2018;&#x2DC; ¡ đ?&#x2018;&#x; 3 . Quan es comparen dos +

satèl¡lits Ês còmode recórrer a

đ?&#x2018;&#x2021;12 đ?&#x2018;&#x2021;22

đ?&#x2018;&#x;3

= đ?&#x2018;&#x;13 .

2

38. (Catalunya 2014 sèrie 5) Un satèl¡lit de 2 000 kg de massa gira en una òrbita circular a una altura de 3 630 km sobre la superfĂ­cie de la Terra. a) Calculeu el perĂ­ode dâ&#x20AC;&#x2122;aquesta òrbita circular i la velocitat del satèl¡lit.

En passar pel punt P, el satèl¡lit augmenta la velocitat fins a 7,00Ă&#x2014;103 m sâ&#x20AC;&#x201C;1 i passa a descriure una òrbita el¡lĂ­ptica amb una altura mĂ xima (apogeu) en el punt A de 9 530 km. b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica, lâ&#x20AC;&#x2122;energia potencial Figura 8

Camp gravitatori

21

gravitatòria i l’energia mecànica total en els punts P i A en la nova òrbita el·líptica.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 RTerra = 6,37x106 m MTerra = 5,98·1024 kg Solucions: a) v = 6,31·103 m/s, T = 9, 96 · 103 s; b) Em P = Em A = −3,06·1010 J, Ec P = 4,9·1010 J, Ec A = 1,95·1010 J 39. (Catalunya 2014 sèrie 4) Un meteorit, de 400 kg de massa, cau sobre la Lluna amb una trajectòria perpendicular a la superfície d’aquest satèl·lit.

Quan es troba a 10 000 km de la superfície lunar, la velocitat del meteorit és de 15 000 km/h. a) Determineu el valor de la velocitat amb què el meteorit arriba a la superfície de la Lluna. b) Calculeu l’energia mecànica que té el meteorit a 10 000 km de la Lluna i la que té un cos de la mateixa massa situat en una òrbita a aquesta mateixa altura sobre la superfície de la Lluna. Indiqueu quina de les dues energies mecàniques és més gran.

Dades: G = 6,67 x 10-11 N m2 kg-2 MLluna = 7,35 × 1022 kg RLluna = 1,74 × 106 m Solucions: a) 4, 71·103 m/s; b) Em meteorit = 3.31·109 J, Em òrbita = = −8, 35·107 J 40. (Catalunya 2014 sèrie 3) El Meteosat és un satèŀlit meteorològic llançat per l’Agència Espacial Europea (ESA) que proporciona informació meteorològica d’Àfrica i Europa. Com que l’objectiu del Meteosat és oferir imatges d’una mateixa zona del planeta, el satèŀlit segueix una òrbita geostacionària: gira en el pla equatorial a la mateixa velocitat angular que la Terra. a) A quina distància de la superfície terrestre es troba el Meteosat? b) Quina és l’energia cinètica del Meteosat? Quina energia mínima caldria proporcionar-li perquè s’allunyés indefinidament de la Terra?

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 RTerra = 6,37x106 m MTerra = 5,98·1024 kg mMeteosat = 2,00·103 kg Solucions: a) 3, 59·104 km; b) 9, 42 · 109 J 41. (Catalunya 2013, sèrie 3) El sistema de navegació europeu Galileu estarà format per trenta satèl·lits distribuïts en tres plans orbitals a 2,36×104 km d’altura sobre la Terra, i cada un d’ells descriurà una òrbita circular. Calculeu: a) Quin període de rotació tindran aquests satèl·lits? b) Quina serà la velocitat orbital dels Figura 9

Camp gravitatori

22

satèl·lits?

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; RTerra = 6,37x106 m MTerra = 5,98·1024 kg; Solucions: a) T = 14,4 h; b) v = 3,65 km/s 42. (Catalunya 2013, sèrie 4) Ceres és el planeta nan més petit del Sistema Solar i durant molts anys va ser considerat un asteroide, ja que està situat en el cinturó que hi ha entre Mart i Júpiter. Ceres té un període orbital al voltant del Sol de 4,60 anys, amb una massa de 9,43×1020 kg i un radi de 477 km. Calculeu: a) Quin és el valor de la intensitat de Figura 10 camp gravitatori que Ceres crea a la seva superfície? Quina és la velocitat i l’energia mecànica mínima d’una nau espacial que, sortint de la superfície, escapés totalment de l’atracció gravitatòria del planeta? b) La distància mitjana entre Ceres i el Sol, tenint en compte que la distància mitjana entre la Terra i el Sol mesura 1,50×1011 m i que el període orbital de la Terra al voltant del Sol és d’un any.

Dada: G = 6,67x10-11 N·m2·kg-2 Solucions: a) gC = 2,76x10-1 m/s2, v = 514 m/s; b) d = 4,15x1011 m 43. (Catalunya 2013, sèrie 1) L’any 1969, el mòdul de comandament Columbia, de la missió Apollo 11, tripulada per l’astronauta Michael Collins, orbitava a 100 km d’altura sobre la superfície de la Lluna amb un període de 118 minuts. Mentrestant, Neil Armstrong i Edwin Aldrin, els altres dos tripulants, caminaven sobre la Lluna.

Calculeu: a) La massa de la Lluna i la intensitat del camp gravitatori a la superfície lunar. b) La velocitat d’escapament des de la superfície lunar.

Dades: G = 6,67x10-11 N·m2·kg-2 RLluna = 1,74x103 km

Figura 11

Solucions: a) ML = 7,36x1022 kg, g = 1,62 m/s2; b) v = 2,38x103 m/s 44. (Catalunya 2012, sèrie 1) El febrer del 2009 es va descobrir CoRoT-7b, un dels planetes extrasolars més petits trobats fins ara. El planeta CoRoT7b gira al voltant de l’estel CoRoT-7, en una òrbita pràcticament circular de 2,58×109 m de radi, i fa una volta a aquest estel cada 20,5 h. La massa del planeta és 2,90×1025 kg i té un radi de 1,07×107 m. Calculeu: a) La massa de l’estel CoRoT-7.

Camp gravitatori

23

b) L’acceleració de la gravetat en la superfície del planeta CoRoT-7b i la velocitat d’escapament en aquest planeta.

Dada: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 Solucions: a) 1,87x1030 kg; b) g = 16,9 m/s2, vesc = 1,90x104 m/s 45. (Catalunya 2012, sèrie 3) El satèl·lit Terra de la NASA està dissenyat per a recollir dades sobre la superfície de la Terra, els oceans i l’atmosfera, amb l’objectiu d’estudiar la interrelació entre aquests medis i els sistemes biològics existents. El satèl·lit segueix una òrbita circumpolar (circular en el pla que passa pels dos pols) a 760 km de la superfície de la Terra i té una massa de 4,86×103 kg. a) Quin és el període del moviment del satèl·lit en la seva òrbita? b) Calculeu l’energia necessària que hem de subministrar al satèl·lit per a enviar-lo a la seva òrbita, si és llançat des de la superfície de la Terra.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTerra = 5,98·1024 kg; RTerra = 6,38x106 m Solucions: a) 6,00x103 s; b) 1,68x1011 J 46. (Catalunya 2012, sèrie 4) Al voltant de l’estrella WASP-18, que té una massa de 2,66×1030 kg, s’ha descobert un planeta que gira en una òrbita aproximadament circular amb un període orbital excepcionalment curt: només 22,6 hores. La massa del planeta és deu vegades més gran que la massa de Júpiter. a) Calculeu el radi de l’òrbita d’aquest planeta. b) Calculeu l’energia cinètica del planeta en el seu moviment orbital i l’energia mecànica del sistema format per l’estrella i el planeta.

Dades: MJúpiter = 1,90x1027 kg G = 6,67x10-11 N·m2·kg-2 Solucions: a) 3,10x106 km; b) Ec = 5,44x1038 J; Em = -5,44x1038 J 47. (Catalunya 2011, sèrie 4) a) A la superfície d’un planeta, l’acceleració de la gravetat és gs = 9 m/s2, i a una altura h = 100 km, és gh = 8,7 m/s2. Determineu el radi d’aquest planeta. b) És possible que un satèl·lit artificial orbiti al voltant de la Terra a una velocitat de 10 km/s? Calculeu l’hipotètic radi d’aquesta òrbita i compareu-lo amb el radi de la Terra per justificar la resposta.

Dades: MTerra = 5,98·1024 kg; RTerra = 6371 km; G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 Solucions: a) 5850 km; b) 3989 km 48. (Castella la Manxa 2012, reserva 2) Un planeta de massa M té dos petits satèl·lits S1 i S2, ambdós de massa molt més petita que el planeta. El satèl·lit interior S1 descriu una òrbita circular, de la qual s’ha mesurat amb precisió tant el seu radi (R1 = 8000 km) com el seu període (T1 = 4 hores 52 minuts 3 segons). Del satèl·lit exterior

Figura 12

Camp gravitatori

24

S2, també en òrbita circular, es sap que el seu període orbital és vuit vegades major que el del satèl·lit interior.

Es demana: a) Explicar com pot determinar-se la massa M del planeta a partir de les dades orbitals conegudes del satèl·lit S1, i obtenir el seu valor. b) Explicar com pot determinar-se el valor del radi de l’òrbita del satèl·lit exterior S2, i trobar-lo. c) Calcular, en km/s, la velocitat orbital d’ambdós satèl·lits S1 i S2.

Dada: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2 49. (Catalunya 2011, sèrie 1) Disposem de les dades següents del Sistema Solar:

Taula 1

a) Calculeu el valor de la constant de la tercera llei de Kepler per a Venus, Júpiter i Saturn. Expresseu-la amb les xifres significatives adequades i amb les unitats que figuren en la taula. Amb els valors calculats, determineu el valor més correcte de la constant per al Sistema Solar. b) Calculeu la massa del Sol i l’acceleració de la gravetat a la superfície de Mart.

Solucions: a) K = 1,00 anys2/UA2; b) MSol = 1,99·1030 kg, gMart = 3,70 m/s2 50. (Catalunya 2010, sèrie 5) El 15 d’octubre de 2003, la Xina va posar en òrbita la primera nau espacial tripulada, de manera que esdevingué el tercer país del món a assolir aquesta fita. La nau tenia una massa de 7790 kg i un període orbital de 91,2 minuts. Calculeu: a) L’altura de l’òrbita sobre la superfície de la Terra, si suposem que aquesta és circular. b) L’increment d’energia cinètica que caldrà comunicar a la nau quan es trobi en òrbita, perquè s’allunyi indefinidament de l’atracció terrestre.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTerra = 5,98·1024 kg; RTerra = 6,37·106 m

Camp gravitatori

25

Solucions: a) 3,43·105 m; b) 2,31·1011 J 51. (Catalunya 2010, sèrie 4) L’Estació Espacial Internacional (IIS, International Space Station) és fruit de la col·laboració internacional per a construir i mantenir una plataforma d’investigació amb presència humana de llarga durada a l’espai. Suposem que la IIS té una massa de 3,7·105 kg i que descriu una òrbita circular al voltant de la Terra a una distància de 3,59·105 m des de la superfície. Calculeu: a) La velocitat de l’Estació Espacial Internacional i el temps que triga a fer una volta. b) L’energia mecànica de la IIS. Justifiqueu el signe del valor trobat.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTerra = 5,98·1024 kg; RTerra = 6,37·106 m Solucions: a) v = 7,7·103 m/s, T = 5492 s; b) E = -1,1·1013 J 52. (Catalunya 2010, sèrie 1) El 4 d’octubre de 1957 es va llançar a l’espai el primer satèl·lit artificial, l’Sputnik 1,que va descriure una òrbita de 586 km d’altura sobre la superfície de la Terra. Suposant que aquesta òrbita era circular i sabent que la massa de l’Sputnik 1 era 83,6 kg, calculeu: a) El període de rotació del satèl·lit en l’òrbita que descriu al voltant de la Terra. b) La velocitat a la que anirà l’Sputnik 1 en girar i la intensitat del camp gravitatori en la seva òrbita.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTerra = 5,98·1024 kg; RTerra = 6,37·106 m Solucions: a) 5.772 s; b) v = 7,57·103 m/s, gh = 8,24 m/s2 53. (Catalunya 2010, sèrie 1) L’òrbita de la Terra al voltant del Sol es pot considerar circular, amb un període d’un any i un radi de 1,50·108 km.

Considerant únicament el sistema format pel Sol i la Terra: a) Calculeu la massa del Sol. b) Determineu l’energia mecànica total (cinètica i potencial) de la Terra.

Dades: G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTerra = 5,98·1024 kg.

Solucions: a) 2,01·1030 kg; b) -2,67·1033 J 54. (Catalunya 2010, sèrie 2) La distància mitjana del planeta Júpiter al Sol és 5,203 vegades la distància mitjana de la Terra al Sol. La massa de Júpiter és 317,8 vegades la massa de la Terra i té un radi que és 10,52 vegades el radi terrestre. Suposem que les òrbites dels planetes que giren al voltant del Sol són circulars. Calculeu: a) La durada de l’«any» de Júpiter, és a dir, el temps que triga Júpiter a fer una volta al voltant del Sol. b) La velocitat d’escapament a la superfície de Júpiter.

Dades: RTerra = 6.367 km; g = 9,80 m/s2 Solucions: a) 11,87 anys; b) 6,14·104 m/s

3.

Camp elèctric

DistribuciĂł de cĂ rregues puntuals Llei de Coulomb (força elèctrica entre dues cĂ rregues đ?&#x2018;&#x17E; ¡đ?&#x2018;&#x17E; separades una certa distĂ ncia): đ??š = đ??ž 1đ?&#x2018;&#x;2 2 1

đ??ž = 4đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x153;&#x20AC; (đ?&#x153;&#x20AC; = đ?&#x153;&#x20AC;đ?&#x2018;&#x; ¡ đ?&#x153;&#x20AC;0 , đ??ž = 9 ¡ 109

đ?&#x2018; ¡đ?&#x2018;&#x161;2 ) đ??ś2

đ?&#x2018;&#x17E;

Camp elèctric creat per una cĂ rrega puntual: đ??¸ = đ??ž đ?&#x2018;&#x;2

En el format escalar dâ&#x20AC;&#x2122;aquesta equaciĂł ĂŠs millor no posar el signe de les cĂ rregues i dibuixar el camp suposant que el punt donat hi ha una cĂ rrega de +1 C. Forma vectorial de la força elèctrica que fa la cĂ rrega q1 sobre q2 (les cĂ rregues amb signe i el vector unitari 2 â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;= đ??ž đ?&#x2018;&#x17E;1 ¡đ?&#x2018;&#x17E; sortint de q1 apuntant a q2): đ??š đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x;2 El vector camp elèctric creat per una cĂ rrega en un punt (q amb signe i el vector unitari sortint de la cĂ rrega i đ?&#x2018;&#x17E; apuntant al punt): đ??¸â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = đ??ž đ?&#x2018;&#x;2 đ?&#x2018;˘ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; 55. (Catalunya 2014 sèrie 5) Lâ&#x20AC;&#x2122;any 2013 es va celebrar el centenari del model atòmic proposat per Niels Bohr. Segons aquest model, lâ&#x20AC;&#x2122;Ă tom de 1H tĂŠ un protĂł en el nucli i un electrĂł que descriu una òrbita circular estable al seu voltant. El radi mĂ­nim que pot tenir aquesta òrbita, segons el model de Bohr, ĂŠs de 5,29Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;11 m. Per a aquesta òrbita calculeu: a) La força elèctrica que actua sobre lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł i la freqßència de gir que tĂŠ. b) Lâ&#x20AC;&#x2122;energia mecĂ nica de lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł en lâ&#x20AC;&#x2122;òrbita que descriu al voltant del protĂł. Considereu negligible lâ&#x20AC;&#x2122;energia potencial gravitatòria.

Dades: k = 8,99Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2 QelectrĂł = â&#x20AC;&#x201C;1,60Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;19 C melectrĂł = 9,11Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;31 kg QprotĂł = â&#x20AC;&#x201C;QelectrĂł mprotĂł = 1,67Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;27 kg

Figura 13 Niels Bohr

Solucions: a) f = 6,57¡1015 Hz; b) Em = â&#x2C6;&#x2019;2,18¡10â&#x2C6;&#x2019;18 J 56. (Catalunya 2014 sèrie 3) Una cĂ rrega puntual Q1 = +1,00Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;8 C estĂ situada a lâ&#x20AC;&#x2122;origen de coordenades. Una altra cĂ rrega puntual Q2 = â&#x20AC;&#x201C;2,00Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;8 C estĂ situada en el semieix Y positiu, a 3,00 m de lâ&#x20AC;&#x2122;origen. Calculeu: a) El camp i el potencial electrostĂ tic en un punt A situat en el semieix X positiu, a 4,00 m de lâ&#x20AC;&#x2122;origen. Dibuixeu un esquema de tots els camps elèctrics que intervenen en el problema. b) El treball fet pel camp elèctric en traslladar una cĂ rrega puntual dâ&#x20AC;&#x2122;1,00C des del punt A a un punt B de coordenades (4,00 , 3,00) m.

Dada: k = 1/(4Ď&#x20AC;Îľ0) = 9Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2 Solucions: a) E = (â&#x2C6;&#x2019;0, 14đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + 4, 31đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;) N/C, V = -13,5 V; b) 13,5 J

Camp elèctric

27

57. (UNED, juny 2014) Com es mostra a la figura, es col¡loquen 12 cà rregues positives iguals +q distribuïdes equitativament sobre una circumferència de radi R, Ês a dir, els arcs de circumferència entre cà rregues contigßes són tots iguals:

Figura 14

a) Calcula la força neta que actua sobre una cà rrega +Q situada en el centre del cercle. b) Calcula la força neta que actua sobre la mateixa cà rrega +Q situada en el centre del cercle si es treu la cà rrega del requadre gris.

58. (UNED, juny 2014) Suposem que situades sobre lâ&#x20AC;&#x2122;eix x en els punts x = -a i a) Calculeu el camp elèctric produĂŻt en b) Calculeu el camp elèctric produĂŻt en c) Calculeu el camp elèctric produĂŻt en

tenim dues cĂ rregues â&#x20AC;&#x201C;q1 i q2 x = a, respectivament. el punt x > a de lâ&#x20AC;&#x2122;eix x. el punt x < -a de lâ&#x20AC;&#x2122;eix x. el punt â&#x20AC;&#x201C;a < x < a de lâ&#x20AC;&#x2122;eix x.

59. (Catalunya 2013, sèrie 4) En el quadrat de la figura, de 2,00 m de costat, hi ha dues cĂ rregues Q1 = 9,00 ÎźC i Q2 = â&#x20AC;&#x201C;9,00 ÎźC en els vèrtexs de lâ&#x20AC;&#x2122;esquerra. a) Determineu la intensitat del camp elèctric en el centre del quadrat. b) En el centre del quadrat hi situem una tercera cĂ rrega Q3 = 7,00 ÎźC. Calculeu el treball que farĂ la força elèctrica que actua sobre Q3 quan la traslladem del centre del quadrat al vèrtex inferior dret.

Dada: k = 9,00Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2

Figura 15

Solucions: a) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ??¸đ?&#x2018;&#x2021; = (0đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; 5,74đ?&#x2018;Ľ104 đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;)đ?&#x2018; /đ??ś; b) W = 8,33x10-2 J 60. (Catalunya 2013, sèrie 1) Quatre cĂ rregues elèctriques positives, dâ&#x20AC;&#x2122;1,00Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;5 C cadascuna, es troben als vèrtexs respectius dâ&#x20AC;&#x2122;un quadrat de â&#x2C6;&#x161;2 m de costat. Calculeu: a) Lâ&#x20AC;&#x2122;energia necessĂ ria per a la formaciĂł del sistema de cĂ rregues. b) El valor de la cĂ rrega elèctrica negativa que hem de situar al centre del quadrat perquè la força electrostĂ tica sobre cadascuna de les cĂ rregues sigui nul¡la.

Camp elèctric

28

Dada: k = 9,00Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2 Solucions: a) 3,45 J; b) q = -9,57 ÎźC 61. (Catalunya 2012, sèrie 1) Un electroscopi simplificat consta de dues esferes metĂ l¡liques unides a un ganxo aĂŻllant mitjançant dos fils conductors, tal com indica la figura. Les dues esferes tenen la mateixa massa i la mateixa cĂ rrega elèctrica, i els fils formen un angle de 30,0° i tenen una longitud de 3,00 cm cadascun. a) Dibuixeu el diagrama de forces per a una de les esferes i anomeneu-les. Calculeu tambĂŠ el valor de la tensiĂł de cada fil, si la massa de cada esfera ĂŠs 1,00 mg. b) Calcula el valor de la cĂ rrega elèctrica de cada esfera.

Dades: k = 9,00Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2; g = 9,80 m s-2

Figura 16

Solucions: a) T = 1,01x10-5 N; b) q = 2,65x10-10 C 62. (Catalunya 2012, sèrie 4) Una partĂ­cula carregada crea, a una distĂ ncia d dâ&#x20AC;&#x2122;on es troba, un potencial de â&#x20AC;&#x201C;6,00Ă&#x2014;103 V i un camp elèctric de mòdul 667 N Câ&#x20AC;&#x201C;1. a) Calculeu el valor de la cĂ rrega i el valor de la distĂ ncia d. b) Expliqueu com sĂłn les lĂ­nies de camp i les superfĂ­cies equipotencials del camp que crea la cĂ rrega.

Dades: k = 9Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2 Solucions: a) d = 9,00 m, q = -6,00x10-6 C 63. (Catalunya 2012, sèrie 4) Tenim tres partĂ­cules carregades, Q1 = 3,0 ÎźC, Q2 = â&#x20AC;&#x201C;5,0 ÎźC i Q3 = â&#x20AC;&#x201C;8,0 ÎźC, situades, respectivament, en els punts P1 = (â&#x20AC;&#x201C;1,0 , 3,0), P2 = (3,0 , 3,0) i P3 = (3,0 , 0,0). a) Dibuixeu les forces que exerceixen Q1 i Q2 sobre Q3. b) Calculeu la força elèctrica total, expressada en coordenades cartesianes, que actua sobre Q3. c) Calculeu el treball que fa la força elèctrica sobre Q3 quan aquesta cĂ rrega es desplaça des del punt P3, que ocupa inicialment, fins al punt P4 = (â&#x20AC;&#x201C;1,0 , â&#x20AC;&#x201C;3,0). Interpreteu el signe del resultat.

Nota. Les coordenades dels punts estan expressades en metres.

Dades: k = 9Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2 Solucions: a) đ??šâ&#x192;&#x2014; = â&#x2C6;&#x2019;6,9đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; â&#x2C6;&#x2019; 3,5đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;2 đ??˝â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018; ; b) đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x192;3 â&#x2020;&#x2019;đ?&#x2018;&#x192;4 = 6,3đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;2 đ??˝ 64. (Catalunya 2011, sèrie 2) Tres cĂ rregues elèctriques puntuals de valor Q = 10â&#x20AC;&#x201C;5 C es troben, cadascuna, en un vèrtex dâ&#x20AC;&#x2122;un triangle equilĂ ter de â&#x2C6;&#x161;3 m de costat. Dues sĂłn positives, mentre que la tercera ĂŠs negativa. a) Calculeu la força elèctrica total que fan la cĂ rrega negativa i una de les positives sobre lâ&#x20AC;&#x2122;altra cĂ rrega positiva. Dibuixeu un esquema de les forces que actuen sobre les cĂ rregues. b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia potencial elèctrica emmagatzemada en el sistema de cĂ rregues. Traslladem una de les cĂ rregues positives al centre del costat que uneix les altres dues cĂ rregues. Determineu el treball fet per la força elèctrica que actua sobre la cĂ rrega que hem traslladat.

Dada: k = 1/(4Ď&#x20AC;Îľ0) = 9Ă&#x2014;109 N m2 Câ&#x20AC;&#x201C;2

Camp elèctric

29

Solucions: a) 0,3 N; b) 0 J 65. (Catalunya 2011, sèrie 2) Les càrregues QA = –2 μC, QB = –4 μC i QC = –8 μC estan situades sobre una mateixa recta. La càrrega A és a una distància d’1 m de la càrrega B, i la càrrega C està situada entre totes dues. a) Si la força elèctrica total sobre QC deguda a les altres dues càrregues és zero, calculeu la distància entre QC i QA. b) Calculeu el treball que cal fer per a traslladar la càrrega C des del punt on es troba fins a un punt equidistant entre A i B. Interpreteu el signe del resultat.

Dada: k = 1/(4πε0) = 9×109 N m2 C–2 Solucions: a) 0,41 m; b) -0,024 J 66. (Catalunya 2010, sèrie 4) Dues càrregues elèctriques puntuals idèntiques, de valor q = -1,60·10-19 C, estan fixades en els punts (a, 0) i (a, 0), on a = 30 nm. Claculeu: a) Les coordenades del camp elèctric creat per les dues càrregues en el punt A, de coordenades (0, a). b) El treball necessari per a portar una càrrega Q = 3,20·10-19 C des del punt A fins a l’origen de coordenades. Interpreteu el signe del resultat.

Figura 17

Solucions: a) (0, -1,13·106) N/C; b) 8,96·1021 J 67. (Catalunya 2010, sèrie 2) Tenim dues càrregues elèctriques Q1 = 4 μC, situada en el punt (-2, 0), i Q2 = -3 μC, situada en el punt (2, 0). a) Quina càrrega (valor i signe) hem de posar en el punt (4, 0) perquè el camp elèctric creat per les tres càrregues el punt (0, 0) sigui nul? b) Quant val l’energia potencial electrostàtica d’aquesta tercera càrrega quan està situada en aquest punt (4, 0)?

Nota: les coordenades dels punts estan expressades en metres.

Dades: k = 1/(4πε0) = 9,0·109 N·m2·C-2.

Solucions: a) 28 μC; b) -0,21 J 68. (Catalunya 2010, sèrie 5) En els tres vèrtexs d’un quadrat de 15 cm de costat hi ha les càrregues Q1 = +1,0 μC, Q2 = -2,0 μC i Q3 = +1,0 μC, tal i com indica la figura.

Camp elèctric

30

Figura 18

Calculeu: a) El camp elèctric (mòdul, direcciĂł i sentit) creat per les tres cĂ rregues en el quart vèrtex, punt A. b) El potencial elèctric total en el punt A. Calculeu el treball que cal fer per a traslladar una cĂ rrega de 7,0 ÎźC des de lâ&#x20AC;&#x2122;infinit fins el punt A. Digueu si el camp fa aquest treball o si el fa un agent extern.

Solucions: a) Ex = Ey =1,17¡105 N/C; b) 3,52¡104 V, U = 0,25 J

Camps elèctrics constants En aquest cas particular es compleix Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030; = â&#x2C6;&#x2019;đ??¸ ¡ Î&#x201D;đ?&#x2018;Ľ, tot i que molt sovint es treballa sense els signes per tal de simplificar els cĂ lculs.

69. (Catalunya 2013, sèrie 4) En algunes missions espacials sâ&#x20AC;&#x2122;han utilitzat motors iònics. En aquests motors es produeixen ions positius que sâ&#x20AC;&#x2122;envien a una cambra on un camp elèctric constant els impulsa. El motor expulsa ions positius a gran velocitat i la nau adquireix impuls en sentit contrari.

Considereu un motor iònic en què ions Xe+, inicialment en un estat de repòs, sâ&#x20AC;&#x2122;acceleren entre dues plaques separades 10 cm fins a adquirir una velocitat de Figura 19 3,0¡105 m/s. a) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;acceleraciĂł dels ions i el camp elèctric (que podeu considerar constant) a la cambra dâ&#x20AC;&#x2122;acceleraciĂł. b) Calculeu la diferència de potencial entre les dues plaques amb les dades de la figura. Indiqueu tambĂŠ el valor que hauria de tenir aquesta diferència de potencial si les dues plaques estiguessin separades nomĂŠs 6 cm per a aconseguir la mateixa velocitat de sortida dels ions.

Dades: Q(ions Xe+) = +1,60¡10â&#x20AC;&#x201C;19 C, m(ions Xe+) = 132 u, 1 u = 1,66¡10â&#x20AC;&#x201C;27 kg Solucions: a) 6,16¡105 N/C; b) 6,16¡104 V

Camp elèctric

31

70. (Catalunya 2013, sèrie 3) A la cambra acceleradora de la figura, de 30,0 cm de llargària, els electrons entren per l’esquerra i surten per la dreta. Mentre estan dins la cambra es mouen amb un MRUA (moviment rectilini uniformement accelerat), amb una acceleració cap a la dreta de 1,20×1013 m s–2. En aquesta situació, es poden negligir les forces gravitatòries i els efectes relativistes.

Figura 20

a) Calculeu el camp elèctric a l’interior de la cambra acceleradora.

Indiqueu-ne també la direcció i el sentit. b) Quina diferència de potencial hi ha entre les parets esquerra i dreta de la cambra? Quina està a un potencial més alt? Quanta energia guanya cada electró que travessa la cambra?

Solucions: a) E = 68,3 N/C cap a l’esquerra; b) ∆V = 20,5 V, ∆E = 20,5 eV 71. (Catalunya 2013, sèrie 4) Entre les dues làmines de la figura, separades una distància d = 3,0 m, tenim un camp elèctric uniforme de 1,5×103 N C–1.

Figura 21

En el centre de l’espai limitat per les dues làmines posem una llentia metàl·lica carregada, penjada d’un fil. Tenint en compte que la longitud del fil és de 1,5 m, que la càrrega de la llentia és de Q = –5,0×10–5 C i que té una massa m = 12 g:

Camp elèctric

32

a) Representeu les forces que actuen sobre la llentia en el punt dâ&#x20AC;&#x2122;equilibri i calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;angle que forma el fil amb la vertical en lâ&#x20AC;&#x2122;equilibri. b) Calculeu la diferència de potencial entre la posiciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;equilibri i la posiciĂł vertical.

Solucions: a) Îą = 33Âş, â&#x2C6;&#x2020;V = 1,2x103 V 72. (Catalunya 2013, sèrie 1) Lâ&#x20AC;&#x2122;electroforesi ĂŠs un mètode per a analitzar mescles. Disposem una mostra entre dos elèctrodes connectats a una diferència de potencial de 300 V. La distĂ ncia entre els elèctrodes ĂŠs de 20,0 cm.

Figura 22

a) Dibuixeu les lĂ­nies del camp elèctric que hi ha entre els dos elèctrodes i les diferents superfĂ­cies equipotencials. Indiqueu el potencial de cada una de les superfĂ­cies. Calculeu el valor del camp elèctric que hi ha entre els dos elèctrodes, i indiqueu la direcciĂł i el sentit de les partĂ­cules positives i les negatives. b) En les condicions adequades, les molècules adquireixen cĂ rrega elèctrica i es desplacen en lâ&#x20AC;&#x2122;aparell dâ&#x20AC;&#x2122;electroforesi amb un moviment rectilini lent i uniforme. Calculeu la força elèctrica i la força de fricciĂł que actuen sobre una molècula de timina amb una cĂ rrega de â&#x20AC;&#x201C;1,60Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;19 C. Solucions: a) E = 1,50x103 N/C; b) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ??šđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2122;èđ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17D; = â&#x2C6;&#x2019;2,40đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;16 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; 73. (Catalunya 2012, sèrie 1) Un electrĂł es llança des del punt P i passa successivament per les regions A i B. A la regiĂł A, un camp elèctric constant fa que lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł es mogui amb un moviment rectilini i una acceleraciĂł uniforme cap a la dreta. A la regiĂł B, el camp elèctric tambĂŠ ĂŠs constant i estĂ dirigit cap avall.

Figura 23

Camp elèctric

33

a) Quina direcció i quin sentit té el camp elèctric a la regió A? Quin tipus de moviment realitza l’electró a la regió B? Sabem que la regió A fa 5,00 cm de llarg i que el camp elèctric en aquesta regió és E = 40,0×103 NC–1. b) Calculeu la diferència de potencial entre l’inici i el final de la regió A i l’energia cinètica que guanyarà l’electró en travessar-la.

Dada: Qelectró = -1,60x10-19 C Solucions: b) ∆V = 2,00x103 V, ΔEc = 3,20x10-16 J 74. (Catalunya 2012, sèrie 3) En una regió de l’espai hi ha un camp elèctric constant de mòdul 500 N C–1 dirigit cap avall. Vegeu la figura, en què l’eix z representa la vertical.

Figura 24

a) Calculeu les diferències de potencial següents: VA–VB, VB–VC i VA–VC. b) Col·loquem una partícula carregada, de massa 2,00 g, en el punt C i volem que es mantingui en equilibri. Calculeu quina càrrega i quin signe hauria de tenir aquesta partícula. Estarà en equilibri en algun altre punt d’aquesta regió? Justifiqueu les respostes.

Dada: g = 9,80 m/s2 Solucions: a) VA–VB = 0, VB–VC = 100 Vi VA–VC = 100 V; b) q = 3,92x10-5 C 75. (Catalunya 2012, sèrie 3) Molts processos vitals tenen lloc en les membranes cel·lulars i depenen bàsicament de l’estructura elèctrica d’aquestes. La figura següent mostra l’esquema d’una membrana biològica.

Camp elèctric

34

Figura 25

a) Calculeu el camp elèctric, suposat constant, a lâ&#x20AC;&#x2122;interior de la membrana de la figura. Indiqueu-ne el mòdul, la direcciĂł i el sentit. b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia que es requereix per a transportar lâ&#x20AC;&#x2122;iĂł Na+ de la cara negativa a la positiva.

Dada: đ?&#x2018;&#x201E;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17D;+ = 1,60đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;19 đ??ś Solucions: a) 8,57x106 N/C; b) 9,60x10-21 J 76. (Catalunya 2011, sèrie 1) Entre dues plaques metĂ l¡liques conductores, de 30 cm de llargĂ ria, hi ha un camp elèctric uniforme vertical, dâ&#x20AC;&#x2122;intensitat E = 104 V/m.

Figura 26

a) A quina velocitat đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; (horitzontal) sâ&#x20AC;&#x2122;ha de llançar un electrĂł des de la posiciĂł I, a lâ&#x20AC;&#x2122;entrada del camp, perquè en surti fregant un dels extrems (A o B) de les plaques? b) Expliqueu raonadament quin tipus de trajectòria descriu lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł dins del camp. Calculeu el treball que fa la força elèctrica que actua sobre lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł en el recorregut que descriu pel camp.

Dades: melectró = 9,1¡10-31 kg, Qelectró = -1,602¡10-19 C.

Camp elèctric

35

Solucions: a) 3,98¡107 m/s; b) 8,01¡10-17 J 77. (Catalunya 2010, sèrie 4) Un dispositiu per accelerar ions està constituït per un tub de 20 cm de llargà ria dins el qual hi ha un camp elèctric constant en la direcció axial. La diferència de potencial entre els extrems del tub Ês 50 kV. Volem accelerar ions K+ amb aquest dispositiu.

Calculeu: a) La intensitat, la direcciĂł i el sentit del camp elèctric dins de lâ&#x20AC;&#x2122;accelerador i el mòdul, la direcciĂł i el sentit de la força que actua sobre un iĂł quan ĂŠs dins del tub. b) Lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica que guanya lâ&#x20AC;&#x2122;iĂł quan travessa lâ&#x20AC;&#x2122;accelerador. La velocitat que tindrĂ lâ&#x20AC;&#x2122;iĂł a la sortida del tub accelerador, si inicialment estava parat. Indiqueu si, en aquest cas, cal considerar o no la variaciĂł relativa de la massa.

Dades: đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;Ăł đ??ž+ = 6,5 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;26 đ?&#x2018;&#x2DC;đ?&#x2018;&#x201D;, đ?&#x2018;&#x17E;đ?&#x2018;&#x2013;Ăł đ??ž+ = 1,6 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;19 đ??ś, đ?&#x2018;? = 3,00 ¡ 108 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; Solucions: a) E = 2,5¡105 N/C; b) v = 5,0¡105 m/s 78. (Catalunya 2010, sèrie 2) En una pantalla de ragis catòdics, els electrons sâ&#x20AC;&#x2122;acceleren en passar per un canĂł amb una diferència de potencial de 5,0¡103 V entre els extrems. DesprĂŠs arriben a una zona on hi ha un camp elèctric de mòdul 1,0¡104 N/C, constant i dirigit cap avall.

Figura 27

a) Determineu lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica i la velocitat dels electrons en sortir del canĂł dâ&#x20AC;&#x2122;accelerada. b) Calculeu la força elèctrica que actua sobre els electrons i lâ&#x20AC;&#x2122;acceleraciĂł que experimenten (indiqueu el mòdul, la direcciĂł i el sentit per a les dues magnituds) mentre sĂłn a la zona on hi ha el camp elèctric vertical. Justifiqueu si sâ&#x20AC;&#x2122;ha de tenir en compte o no el pes dels electrons.

Dades: melectró = 9,1¡10-31 kg, qelectró = -1,60¡10-19 C. Solucions: a) v = 4,2¡107 m/s; b) F = 1,6¡10-15 N, a = 1,8¡1015 m/s2

79. (Catalunya 2010, sèrie 1) Entre les dues armadures del condensador planoparal·lel de la figura apliquem una diferència de potencial de 200 V. A l’interior del condensador roman en equilibri una càrrega de 15 μC, de 20 g de massa, onejada d’un fil, tal i com indica la figura següent:

Figura 28

a) Determineu el camp elèctric a l’interior del condensador. Indiqueu-ne el mòdul, la direcció i el sentit. b) Dibuixeu les forces que actuen sobre la càrrega. Calculeu l’angle que forma el fil amb la vertical, θ, en la figura.

Nota: l’eix z indica la vertical.

Dada: g = 9,80 m/s2.

Solucions: a) E = 10.000 N/C; b) θ = 37,4º

4.

Camp magnètic

Camp magnètic i força magnètica Força magnètica sobre una cĂ rrega en moviment: ď&#x201A;ˇ En mòdul: đ??š = đ?&#x2018;&#x17E; ¡ đ?&#x2018;Ł ¡ đ??ľ ¡ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x203A;ź). Sentit: regla de la mĂ dreta. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ď&#x201A;ˇ Forma vectorial: đ??šâ&#x192;&#x2014; = đ?&#x2018;&#x17E; ¡ đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ??ľ Camps magnètics generats per corrents đ??ź (el sentit es determina per la regla de la mĂ dreta): đ?&#x153;&#x2021;đ??ź ď&#x201A;ˇ Conductor rectilini a una distĂ ncia đ?&#x2018;&#x;: đ??ľ = 2đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x153;&#x2021;đ??ź

ď&#x201A;ˇ Centre dâ&#x20AC;&#x2122;una espira de radi đ?&#x2018;&#x2026;: đ??ľ = 2đ?&#x2018;&#x2026;

ď&#x201A;ˇ Interior dâ&#x20AC;&#x2122;una bobina amb đ?&#x2018;&#x203A; voltes per unitat de longitud: đ?&#x2018;? = đ?&#x153;&#x2021;đ?&#x2018;&#x203A;đ??ź.

Força sobre un conductor: ď&#x201A;ˇ En mòdul: đ??š = đ??ź ¡ đ?&#x2018;&#x2122; ¡ đ??ľ ¡ đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(đ?&#x203A;ź) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; ď&#x201A;ˇ Forma vectorial: đ??šâ&#x192;&#x2014; = đ??ź ¡ đ?&#x2018;&#x2122;â&#x192;&#x2014;đ?&#x2018;Ľđ??ľ 80. (Catalunya 2014, sèrie 5) Uns electrons que es mouen horitzontalment travessen un selector de velocitats format per un camp magnètic de 0,040 T dirigit cap avall i un camp elèctric de 250 V/m perpendicular al camp magnètic i a la direcciĂł de moviment dels electrons. a) Dibuixeu i anomeneu les forces que actuen damunt Figura 29 lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł quan ĂŠs dins del selector de velocitats. Calculeu la velocitat dels electrons que travessaran el selector sense desviar-se. b) Dins del selector un electrĂł tĂŠ una velocitat đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = 1,25 ¡ 104 đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; en el moment en què es desactiva el camp elèctric sense modificar el camp magnètic. Indiqueu la freqßència de rotaciĂł, el radi, el pla de gir i el sentit de gir del moviment circular uniforme dâ&#x20AC;&#x2122;aquest electrĂł.

Dades: melectrĂł = 9,11¡10-31 kg QelectrĂł = -1,60¡10-19 C Nota: Considereu negligible lâ&#x20AC;&#x2122;efecte de la força gravitatòria.

Solucions: a) v = 6,25¡103 m/s; b) f = 1,12¡109 Hz, r = 1,78¡10â&#x2C6;&#x2019;6 m 81. (Catalunya 2014, sèrie 4) Per la paret que teniu al darrere de lâ&#x20AC;&#x2122;aula on feu lâ&#x20AC;&#x2122;examen, entren protons amb una trajectòria horitzontal i a una 6 velocitat đ?&#x2018;Ł â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;? = 2,00 ¡ 10 đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; . Dins lâ&#x20AC;&#x2122;aula hi ha un camp magnètic tambĂŠ â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0,500đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2021;. Determineu: horitzontal el valor del qual ĂŠs đ??ľ a) La força causada pel camp magnètic que actua sobre els protons quan entren en la zona on hi ha aquest camp magnètic.

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

38

b) El radi de la trajectòria circular dels protons dins lâ&#x20AC;&#x2122;aula i indiqueu si aquests protons impactaran contra les persones que estan assegudes a lâ&#x20AC;&#x2122;aula.

Dades: CĂ rrega del protĂł: 1,60¡10â&#x20AC;&#x201C;19 C; Massa del protĂł: 1,67¡10â&#x20AC;&#x201C;27 kg Nota: Negligiu el pes del protĂł.

Solucions: a) đ??šâ&#x192;&#x2014; = 1,6 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;13 đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018; ; 4,18¡10â&#x2C6;&#x2019;2 m 82. (Catalunya 2013, sèrie 1) En una regiĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;espai hi ha un camp magnètic constant dirigit cap a lâ&#x20AC;&#x2122;interior del paper. En aquesta regiĂł entren dos electrons amb la mateixa rapidesa i la mateixa direcciĂł, però movent-se en sentits contraris, tal com indica la figura.

Figura 30

a) Dibuixeu la força magnètica que actua sobre cada electrĂł quan entra en la regiĂł on hi ha el camp magnètic. Justifiqueu i dibuixeu les trajectòries dels dos electrons i indiqueu el sentit de gir. b) Eliminem aquest camp magnètic i el substituĂŻm per un altre camp magnètic, de manera que els electrons no es desvien quan entren en aquesta regiĂł. Dibuixeu com hauria de ser aquest nou camp magnètic. Justifiqueu la resposta. â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0.

Nota. No ĂŠs vĂ lida la resposta đ??ľ 83. (Catalunya 2012, sèrie 1) Dos ions positius A i B de cĂ rrega elèctrica igual (1,60Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;19 C) es mouen, separats, amb la mateixa velocitat (3,00Ă&#x2014;105 msâ&#x20AC;&#x201C;1), tal com indica la figura, i entren en una regiĂł on hi ha un camp magnètic de mòdul 0,42 T dirigit cap avall. La massa de lâ&#x20AC;&#x2122;iĂł A ĂŠs el doble que la de lâ&#x20AC;&#x2122;iĂł B.

Figura 31

a) Calculeu la força magnètica que actua sobre cada un dels dos ions, i especifiqueu-ne la direcció i el sentit. b) Indiqueu la relació que hi ha entre els radis de les trajectòries descrites pels ions A i B, Ês a dir, rA/rB.

¡Error! El resultado no es válido para una tabla.

39

Solucions: a) F = 2,02x10-14 N cap a dins el paper; b) rA = 2rB 84. (Catalunya 2012, sèrie 1) Un espectròmetre de masses consta d’un selector de velocitats i d’un recinte semicircular. En el selector de velocitats hi ha un camp elèctric i un camp magnètic, perpendiculars entre si i en la direcció de la velocitat dels ions. En entrar al selector, els ions d’una velocitat determinada no es desvien i entren a la zona semicircular, on només hi ha el camp magnètic perpendicular a la velocitat, que els fa descriure una trajectòria circular.

Figura 32

a) Si el camp elèctric del selector té un valor E = 20,0 N C–1 i el valor de la inducció magnètica és B = 2,50×10–3 T, calculeu el valor del mòdul de la velocitat dels ions que NO es desvien. Feu l’esquema corresponent dels vectors següents: velocitat, força elèctrica, camp magnètic i força magnètica. b) Calculeu la distància, d, a què impactaran els ions de triti, que són isòtops de l’hidrogen i tenen una massa m =3u.

Dades: 1 u = 1,67×10–27 kg; Qprotó = 1,60×10–19 C Solucions: a) v = 8,00x103 m/s; b) d = 2,00x10-1 m 85. (Catalunya 2012, sèrie 4) Un electró entra amb una velocitat de 3,00×105 ms–1 en una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic uniforme d’1,20 T perpendicular a la velocitat de l’electró i en sentit perpendicular al paper, tal com indica la figura, i queda confinat en aquesta regió de l’espai.

Figura 33

a) Dibuixeu i justifiqueu la trajectòria que descriu l’electró dins del camp indicant el sentit de gir i calculeu el valor de la freqüència (en GHz).

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

40

b) Perquè lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł travessi el camp magnètic sense desviar-se, cal aplicar un camp elèctric uniforme en aquesta mateixa regiĂł. Dibuixeu el vector camp elèctric que permetria que això fos possible (justifiqueu-ne la direcciĂł i el sentit) i calculeu-ne el mòdul.

Dades: me = 9,11¡10-31 kg, Qe = 1,60¡10-19 C Solucions: a) 33,5 GHz; b) E = 3,60x105 N/C 86. (Catalunya 2012, sèrie 4) Lâ&#x20AC;&#x2122;espectròmetre de masses fa entrar partĂ­cules carregades, com per exemple ions, dins un camp magnètic uniforme. Quan les partĂ­cules carregades i amb una velocitat coneguda entren dins del camp magnètic constant, a partir de la trajectòria, en podem calcular la massa. Un feix de ions compost per 20Ne+ i 22Ne+ (que foren els primers isòtops naturals trobats) entra en lâ&#x20AC;&#x2122;espectròmetre de masses de la figura. La velocitat dels ions ĂŠs 1,00Ă&#x2014;105 msâ&#x20AC;&#x201C;1 i el camp magnètic de lâ&#x20AC;&#x2122;espectròmetre de 0,23 T, perpendicular al paper.

Figura 34

a) Expliqueu raonadament quin tipus de trajectòria descriu cada un dels ions dins del camp. Quin treball realitzarĂ la força que exerceix el camp magnètic en aquesta trajectòria? b) Calculeu a quina distĂ ncia del punt dâ&#x20AC;&#x2122;entrada impactarĂ cada un dels ions.

Dades: m(iĂł 22Ne+) = 22,0 u; m(iĂł 20Ne+) = 20,0 u; Q(iĂł 22Ne+) = Q(iĂł 20Ne+) = 1,60x10-19 C; 1 u = 1,66x10-27 kg Solucions: b) đ?&#x2018;&#x; 22đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; + = 9,92đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;&#x161; 87. (Catalunya 2011, sèrie 1) Una espira de radi r = 25 cm estĂ sotmesa a un camp magnètic que ĂŠs perpendicular a la superfĂ­cie que delimita lâ&#x20AC;&#x2122;espira i de sentit entrant. En la grĂ fica segĂźent es mostra el valor de la inducciĂł magnètica B en funciĂł del temps:

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

41

Figura 35 / GrĂ fica 7

a) Expliqueu raonadament si circula corrent elèctric per lâ&#x20AC;&#x2122;espira en cadascun dels intervals de temps indicats i determineu-ne, si sâ&#x20AC;&#x2122;escau, el sentit de circulaciĂł. b) Calculeu la intensitat de corrent elèctric en cada interval de temps, si la resistència de lâ&#x20AC;&#x2122;espira ĂŠs 5 Ί. Recordeu que la llei dâ&#x20AC;&#x2122;Ohm estableix Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x2030; que đ??ź = đ?&#x2018;&#x2026; .

Solucions: b) 7,85¡10-3 A 88. (Catalunya 2011, sèrie 2) Els axons sĂłn una part de les neurones i transmeten lâ&#x20AC;&#x2122;impuls nerviĂłs. El corrent elèctric que circula per lâ&#x20AC;&#x2122;axĂł produeix un camp magnètic que podem considerar igual al que produiria un fil conductor rectilini infinitament llarg. Per dos axons paral¡lels, representats en la figura segĂźent, circula un corrent de 0,66Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;6 A en el mateix sentit:

Figura 36

a) Indiqueu la direcciĂł i el sentit del camp magnètic que produeix cada axĂł en la posiciĂł que ocupa lâ&#x20AC;&#x2122;altre. Dibuixeu la força que actua sobre cada axĂł causada pel corrent que circula per lâ&#x20AC;&#x2122;altre. b) Calculeu el mòdul de la força que actua sobre 2 cm de lâ&#x20AC;&#x2122;axĂł 2 si el mòdul del camp magnètic que produeix lâ&#x20AC;&#x2122;axĂł 1 en la posiciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;axĂł 2 ĂŠs 1,1Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;10 T. Solucions: b) 1,5x10-18 N 89. (Catalunya 2010, sèrie 5) En la figura segĂźent es mostra un esquema dâ&#x20AC;&#x2122;un selector de velocitats dâ&#x20AC;&#x2122;ions, que ĂŠs una mĂ quina que serveix per seleccionar els ions que van a una velocitat determinada. BĂ sicament, es

¡Error! El resultado no es válido para una tabla.

42

tracta de fer passar un feix d’ions, que inicialment van a velocitats diferents, per una regió de l’espai on hi ha un camp magnètic i un camp elèctric perpendiculars. L’acció d’aquests camps sobre els ions en moviment fa que el que van a una velocitat determinada no es desviïn.

Figura 37

a) Dibuixeu la força causada per l’acció del camp magnètic i la força causada per l’acció del camp elèctric sobre un ió positiu que penetra en el selector de velocitats. Si el camp magnètic és 0,50 T i el camp elèctric és 500 N/C, calculeu la velocitat amb que sortiran del selector els ions que no s’hagin desviat. b) Expliqueu que passaria si en aquest selector entressin ions negatius, en comptes d’ions positius.

Solucions: a) v = 1.000 m/s 90. (Catalunya 2010, sèrie 5) Tenim una espira prop d’un fil rectilini indefinit, tal i com indica la figura següent:

Figura 38

a) Justifiqueu si apareix un corrent induït en l’espira si:  la movem en la direcció x  la movem en la direcció y b) Dibuixeu el camp magnètic creat pel fil rectilini indefinit i la força que actua sobre cada costat de l’espira, quan hi circuli un corrent elèctric en sentit horari.

De les dues forces que actuen sobre els dos costats paral·lels al fil rectilini indefinit, quina és la més gran? Justifiqueu la resposta.

91. (Catalunya 2010, sèrie 1) Es col·loca per sobre d’una balança un imant amb els pols N i S enfrontats. Tal i com veiem en les figures, entre aquests dos pols passa un fil conductor horitzontal que no toca l’imant. El fil

¡Error! El resultado no es válido para una tabla.

43

elèctric s’aguanta mitjançant dos suports aïllants que recolzen sobre el plat de la balança. En absència de corrent elèctric pel fil, la balança indica un pes de 2,400 N. Quan circula corrent elèctric pel fil conductor, la balança indica pesos aparents més petits, que depenen de la intensitat del corrent, a causa de l’aparició d’una força magnètica cap amunt.

Figura 39

S’han fet circular pel fil diverses intensitats i s’han obtinguts els resultats que es mostren en la gràfica següent, en què F és el pes aparent registrat per la balança i I és la intensitat del corrent que circula pel fil conductor.

Gràfica 8

a) Determineu l’equació que relaciona la força amb la intensitat.

Calculeu la força magnètica que actua sobre el fil elèctric quan la intensitat del corrent és 2,0 A i quan és 2,5 A. b) Considereu que el tram de fil situat entre els pols de l’imant té una longitud de 6 cm i que el camp magnètic és uniforme (constant) dins d’aquesta zona i nul a fora. Calculeu el camp magnètic entre els pols de l’imant. En quin sentit circula el corrent elèctric?

Solucions: a) Ffil(2,0 A) = 0,012 N i Ffil (2,5 A) = 0,015 N cap amunt; b) 0,1 T

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

44

Flux magnètic Flux magnètic: ÎŚ = đ?&#x2018;&#x2020; ¡ đ??ľ ¡ cos(đ?&#x203A;ź) Llei de Faraday-Lenz: Î&#x201D;ÎŚ đ?&#x2018;&#x2018;ÎŚ ď&#x201A;ˇ đ?&#x153;&#x20AC;=â&#x2C6;&#x2019; =â&#x2C6;&#x2019; Î&#x201D;t

đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

ď&#x201A;ˇ El sentit del corrent ĂŠs tal que intenta contrarestar la causa que el crea.

92. (Catalunya 2014, sèrie 5) Un fil conductor rectilini de longitud l = 5 m i massa m = 100 g es troba situat paral¡lelament al terra (pla xy), sobre lâ&#x20AC;&#x2122;eix x, i sota lâ&#x20AC;&#x2122;acciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un camp magnètic uniforme. a) Determineu el mòdul, la direcciĂł i el sentit del camp magnètic que fa que es mantingui suspès en lâ&#x20AC;&#x2122;aire quan un corrent I = 0,3 A circula pel fil des de les x negatives cap a les x positives. b) Si ara enrotllem el fil per crear una espira circular i la situem de manera que el seu pla sigui paral¡lel al pla xy, calculeu la fem que â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0,1[cos(10đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; + induiria sobre lâ&#x20AC;&#x2122;espira un camp magnètic variable đ??ľ cos(10đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;]. Justifiqueu la resposta.

Dada: Lâ&#x20AC;&#x2122;acceleraciĂł de la gravetat ĂŠs 9,8 m sâ&#x20AC;&#x201C;2 Solucions: a) B = 0,65 T; b) 0 V 93. (Catalunya 2014, sèrie 4) Una vareta metĂ l¡lica es desplaça a una velocitat constant v = 6 m/s sobre una forca conductora dins un camp magnètic uniforme, B = 0,25 T, perpendicular al pla i en sentit sortint: Si suposem que la resistència de la vareta ĂŠs de 30 Ί i que la de la forca ĂŠs negligible, calculeu: Figura 40 a) La força electromotriu del corrent induĂŻt en el circuit i expliqueu raonadament el sentit de la circulaciĂł del corrent. b) La intensitat del corrent que circula pel circuit i la força que cal fer sobre la vareta, en mòdul, direcciĂł i sentit, per a mantenir la velocitat constant sobre la forca.

Nota: Llei dâ&#x20AC;&#x2122;Ohm, I =V/R. Solucions: a) fem = 3 V, corrent en sentit antihorari; b) F = 0.05 N 94. (Catalunya 2014, sèrie 3) Sobre una forca conductora com la de la figura adjunta, llisca una barra metĂ l¡lica amb un moviment vibratori harmònic simple al voltant de la posiciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;equilibri x0 = 1 m, segons lâ&#x20AC;&#x2122;equaciĂł de moviment segĂźent (totes les magnituds estan expressades en el sistema internacional, SI):

¡Error! El resultado no es válido para una tabla.

45

Figura 41

Tot el conjunt es troba dins un camp magnètic uniforme, perpendicular al pla de la forca i en el sentit d’entrada al pla del paper, de mòdul B = 0,5 T. a) Quin valor té el flux de camp magnètic a través de la superfície compresa entre la barra metàl·lica i la part tancada de la forca en l’instant t = 0? Quina és l’expressió d’aquest flux en funció del temps? b) Determineu la força electromotriu del corrent induït en funció del temps. Obteniu-ne el valor màxim.

Solucions: a) Φ(t) = 1 − 0, 3 sin(32 t) Wb; b) 9, 6 V 95. (Catalunya 2014, sèrie 3) Trobem una aplicació de la inducció electromagnètica en els aparells de soldadura elèctrica. En un d’aquests aparells desmuntat veiem dues bobines com les d’un transformador.

La bobina primària té 1 000 espires i la secundària en té 20. En la bobina secundària, feta d’un fil molt més gruixut, és on va connectat l’elèctrode per a fer la soldadura. Sabem, per les especificacions tècniques impreses en la màquina, que pel circuit secundari circula una intensitat de corrent de 100A. Determineu: a) La tensió del circuit secundari quan es connecta la màquina, és a dir, quan es connecta el circuit primari a una tensió alterna de 220 V. b) La intensitat que circula pel circuit primari i la potència consumida per la màquina.

Nota: Negligiu qualsevol tipus de dissipació d’energia.

Solucions: a) 4,4 V; b) 440W 96. (Catalunya 2013, sèrie 3) Un camp magnètic penetra perpendicularment en una bobina de 2 000 espires quadrades i 2,5 cm de costat. Aquest camp varia tal com mostra la figura següent:

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

46

GrĂ fica 9

a) Determineu lâ&#x20AC;&#x2122;equaciĂł que relaciona el flux magnètic que passa a travĂŠs de la bobina amb el temps en dos dels intervals (de 0,0 a 5,0 s i de 5,0 a 8,0 s) que es veuen en la figura. b) Calculeu la tensiĂł induĂŻda (FEM) a la bobina en cada un dels intervals: de 0,0 a 5,0 s, de 5,0 a 8,0 s i de 8,0 a 10,0 s, que es veuen en la figura.

Solucions: a) đ??ľ(đ?&#x2018;Ą) = { â&#x2C6;&#x2019;6,25đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;3 b) đ?&#x153;&#x2013;(đ?&#x2018;Ą) = { 0 16,0đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;3

6,25đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ą 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą â&#x2030;¤ 5 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;?; 31,3đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;3 5 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą â&#x2030;¤ 8 đ?&#x2018; 0â&#x2030;¤đ?&#x2018;Ą â&#x2030;¤5đ?&#x2018; 5 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ą â&#x2030;¤ 8đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2030; đ?&#x2018;Ą > 8đ?&#x2018;

97. (Catalunya 2013, sèrie 4) Una espira circular de 4,0 cm de radi es troba en repòs en un camp magnètic constant de 0,50 T que forma un angle de 60° respecte de la normal a lâ&#x20AC;&#x2122;espira.

GrĂ fica 10

¡Error! El resultado no es válido para una tabla.

47

a) Calculeu el flux magnètic que travessa l’espira. S’indueix una força electromotriu en l’espira dins el camp magnètic? Justifiqueu la resposta. b) En un moment determinat el camp magnètic disminueix tal com mostra la figura. Calculeu la força electromotriu induïda en l’espira.

Solucions: a) Φ = 1,3x10-3 Wb, ε = 0; b) ε = 1,3x10-2 V 98. (Catalunya 2012, sèrie 3) Una espira rectangular es troba prop d’un fil conductor rectilini infinit pel qual circula una intensitat de corrent I cap avall, tal com mostra la figura.

Figura 42

a) Si la intensitat de corrent I és constant, dibuixeu el camp magnètic creat pel fil conductor en la regió on es troba l’espira. Es tracta d’un camp magnètic constant? Justifiqueu la resposta. b) Si el conductor i l’espira no es mouen, però la intensitat de corrent que circula pel conductor varia amb el temps tal com indica el gràfic, expliqueu raonadament si s’indueix o no corrent en l’espira en els intervals de temps següents: de 0 a 20 s, de 20 a 80 s i de 80 a 120 s. En quin dels tres intervals de temps el corrent induït és més gran?

Justifiqueu la resposta.

Gràfica 11

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

48

Solucions: a) B perpendicular al paper i cap a fora, no constant (inversament proporcional a r); b) Es produeix corrent quan el flux varia, ĂŠs a dir, quan B varia o, el que ĂŠs el mateix, quan I varia.

99. (Catalunya 2011, sèrie 4) En la figura es mostra un dispositiu format per una barra de ferro que pot girar lliurement al voltant dâ&#x20AC;&#x2122;un eix vertical entre els pols dâ&#x20AC;&#x2122;un imant permanent de ferradura. Un fil elèctric aĂŻllat envolta la barra.

Figura 43

a) Fem circular un corrent continu pel fil elèctric en el sentit indicat en la figura. Dibuixeu les lĂ­nies del camp magnètic generat per lâ&#x20AC;&#x2122;electroimant i expliqueu raonadament com es mourĂ la barra. b) Si fem girar la barra sense fer circular cap corrent elèctric, tenim un generador. En la grĂ fica es mostra la variaciĂł del flux magnètic (ÎŚ) a travĂŠs de la bobina en funciĂł del temps quan la barra gira. Expliqueu raonadament en quins moments hi ha força electromotriu (FEM) induĂŻda en les espires.

GrĂ fica 12

â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; = 0,2đ?&#x2018;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, 100. (Catalunya 2011, sèrie 2) Calculeu, dins dâ&#x20AC;&#x2122;un camp magnètic đ??ľ expressat en T:

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

49

a) La força (mòdul, direcciĂł i sentit) que actua sobre una cĂ rrega positiva Q = 3,2Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;19 C que es mou a una velocitat đ?&#x2018;Łâ&#x192;&#x2014; = 2đ?&#x2018;&#x2DC;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;, expressada en m/s. b) La força electromotriu induĂŻda en funciĂł del temps quan una espira quadrada de 0,01 m2 de superfĂ­cie gira, a una velocitat angular constant de 30 rad/s, al voltant dâ&#x20AC;&#x2122;un eix fix (lâ&#x20AC;&#x2122;eix x de la figura) que passa per la meitat de dos dels seus costats oposats, tal com sâ&#x20AC;&#x2122;indica en la figura.

Figura 44

Solucions: a) â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014;â&#x192;&#x2014; đ??šđ?&#x2018;&#x161; = â&#x2C6;&#x2019;1,28đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;19 đ?&#x2018;&#x2013;â&#x192;&#x2014; đ?&#x2018; ; b) đ?&#x153;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ą) = 0,06 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(30đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2030; 101. (Catalunya 2010, sèrie 4) En una regiĂł Ă mplia de lâ&#x20AC;&#x2122;espai hi ha un camp magnètic dirigit en la direcciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;eix y, de mòdul 5,0¡10-5 T, tal i com mostra la figura segĂźent. Calculeu:

Figura 45

a) El mòdul i el sentit que ha de tenir la velocitat dâ&#x20AC;&#x2122;un electrĂł que es mou en la direcciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;eix x, perquè la força magnètica sigui vertical (eix z), de mòdul igual que el pes de lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł i sentit contrari. b) Una espira quadrada de 0,025 m2 de superfĂ­cie gira, en la regiĂł on hi ha el camp magnètic anterior, amb una velocitat angular constant de 100Ď&#x20AC; rad/s, al voltant dâ&#x20AC;&#x2122;un eix fix, que passa per la meitat de dos dels seus costats oposats, tal com sâ&#x20AC;&#x2122;indica a la figura. Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;expressiĂł de la força electromotriu induĂŻda en funciĂł del temps.

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

50

Figura 46

Dades: melectrĂł = 9,11¡10-31 kg, qelectrĂł = -1,60¡10-19 C, g = 9,80 m/s2 Solucions: a) 1,1¡10-6 m/s; b) đ?&#x153;&#x20AC; = 1,25đ?&#x153;&#x2039; ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(100đ?&#x153;&#x2039;đ?&#x2018;Ą) (đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2030;, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; ) 102. (Catalunya 2010, sèrie 4) Una imant penja dâ&#x20AC;&#x2122;una molla sobre una bobina conductora, fixada a terra, i una voltĂ­metre tanca el circuit de la bobina, tal com mostra la figura segĂźent:

Figura 47

Quan es produeix un terratrèmol, lâ&#x20AC;&#x2122;imant es mantĂŠ immòbil, mentre que la bobina puja i baixa seguint els moviments del terra. a) Expliqueu què indicarĂ el voltĂ­metre en les situacions segĂźents: 1) El terra puja.

2) El terra baixa.

3) No hi ha cap terratrèmol (i el terra no es mou). b) Si retirem el voltĂ­metre i apliquem un corrent elèctric altern a la bobina, quin efecte es produirĂ en lâ&#x20AC;&#x2122;imant suspès a sobre? Justifiqueu la resposta.

103. (Catalunya 2010, sèrie 1) Un protĂł i un electrĂł, amb la mateixa velocitat, entren en una regiĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;espai on hi ha un camp magnètic uniforme dirigit cap a lâ&#x20AC;&#x2122;interior del paper, tal i com indica la figura segĂźent:

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

51

Figura 48

a) Dibuixeu les forces que actuen sobre cada partĂ­cula en lâ&#x20AC;&#x2122;instant en què entren a la regiĂł on hi ha el camp. SĂłn iguals els mòduls dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes forces? Descriviu i justifiqueu el moviment que seguirĂ cadascuna dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes partĂ­cules.

Imagineu-vos que en aquesta regiĂł, en comptes dâ&#x20AC;&#x2122;un camp magnètic, hi ha un camp elèctric uniforme dirigit cap a la dreta, tal com sâ&#x20AC;&#x2122;observa a la figura segĂźent:

Figura 49

a) Dibuixeu les forces que actuen sobre cada partĂ­cula en lâ&#x20AC;&#x2122;instant en què entren a la regiĂł on hi ha el camp. SĂłn iguals els mòduls dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes forces? Descriviu i justifiqueu el moviment que seguirĂ cadascuna dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes partĂ­cules.

Corrent altern Si el camp elèctric o camp magnètic sĂłn variables, llavors es relacionen mitjançant: đ??¸ = đ?&#x2018;? ¡ đ??ľ

104. (Catalunya 2013, sèrie 3) Un petit generador estĂ format per una bobina de 200 espires que pot girar tallant les lĂ­nies del camp magnètic dâ&#x20AC;&#x2122;un imant fix. La superfĂ­cie del quadrat que forma la bobina i que ĂŠs travessat per les lĂ­nies del camp magnètic de manera perpendicular en el moment en què el flux ĂŠs mĂ xim, tĂŠ 16 cm2. Lâ&#x20AC;&#x2122;imant crea un camp magnètic constant

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

52

de 2Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;4 T en la zona que travessa la bobina i aquesta gira amb una freqßència de 25 Hz. a) Representeu la força electromotriu generada en funciĂł del temps per un perĂ­ode complet. Assenyaleu clarament en la grĂ fica els valors extrems dâ&#x20AC;&#x2122;aquesta força electromotriu i el valor del temps en què es donen. b) Enviem el corrent generat en un dispositiu similar al de lâ&#x20AC;&#x2122;apartat anterior al primari dâ&#x20AC;&#x2122;un transformador que tĂŠ 10 voltes. Suposem que la FEM eficaç que arriba a aquest primari ĂŠs de 0,05 V. Calculeu el nombre de voltes que sĂłn necessĂ ries en el secundari per a obtenir 2,5 V eficaços. Calculeu tambĂŠ la intensitat eficaç que ha dâ&#x20AC;&#x2122;arribar al primari per tal que en el secundari hi circulin 20 mA. Solucions: a) La funciĂł a representar seria đ?&#x153;&#x20AC;(đ?&#x2018;Ą)1,01đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;(50đ?&#x203A;ąđ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2030;; b) n = 500 voltes, I = 1,0 A 105. (Catalunya 2013, sèrie 4) Una espira triangular de l = 4,0 m de costat com la de la figura es troba inicialment (t = 0,0) situada a una distĂ ncia de 6,0 m dâ&#x20AC;&#x2122;una regiĂł on hi ha un camp magnètic B perpendicular al pla del paper i cap endins.

Figura 50

a) Indiqueu lâ&#x20AC;&#x2122;expressiĂł de la FEM induĂŻda a lâ&#x20AC;&#x2122;espira quan aquesta sâ&#x20AC;&#x2122;endinsa a la regiĂł on hi ha el camp magnètic. Determineu el valor de B sabent que, per a t = 4,0 s, la FEM induĂŻda ĂŠs E = 160 V. b) Representeu grĂ ficament la FEM induĂŻda E = E(t) entre t = 0,0 i t = 8,0 s. Indiqueu en cada instant el sentit del corrent induĂŻt a lâ&#x20AC;&#x2122;espira.

Solucions: a) đ?&#x153;&#x20AC; = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ł 2 (đ?&#x2018;Ą â&#x2C6;&#x2019; 3)đ??ľ, đ??ľđ?&#x2018;Ą=4,0 đ?&#x2018; = 40 đ?&#x2018;&#x2021;; b) GrĂ fica poligonal (entre t = 0,0 s i t = 3,0 s, Îľ = 0 V; t = 5,0 s, Îľ = 320 V, t > 5,0 s, Îľ = 0 V) 106. (Catalunya 2010, sèrie 5) Lâ&#x20AC;&#x2122;amplitud mĂ xima del camp elèctric de les ones de rĂ dio, dâ&#x20AC;&#x2122;una freqßència de 100 MHz, que rep un receptor de rĂ dio tĂŠ un valor de 0,070 N/C. a) Calculeu el valor de lâ&#x20AC;&#x2122;amplitud mĂ xima del camp magnètic que rep el receptor de rĂ dio i la longitud dâ&#x20AC;&#x2122;ona dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes ones de rĂ dio. Feu un dibuix en què es vegi lâ&#x20AC;&#x2122;orientaciĂł relativa dels dos camps entre si i respecte de la direcciĂł de propagaciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;ona electromagnètica.

ÂĄError! El resultado no es vĂĄlido para una tabla.

53

b) Escriu lâ&#x20AC;&#x2122;equaciĂł del camp elèctric i la del camp magnètic que rep el receptor de rĂ dio.

Dada: c = 3,00¡108 m/s Solucions: a) B = 2,3¡10-10 T, Îť = 3,0 m; 2đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018; b) đ??¸ = 0,07 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; ( 3 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x153;&#x2039; ¡ 108 đ?&#x2018;Ą) (đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ??ś , đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; ), 2đ?&#x153;&#x2039; đ??ľ = 2,3 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;10 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A; ( đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x153;&#x2039; ¡ 108 đ?&#x2018;Ą) (đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x2021;, đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;&#x2013; đ?&#x2018;Ą đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018; ) 3 107. (Catalunya 2010, sèrie 2) Un timbre funciona a 12,0 V de tensiĂł i 0,200 A dâ&#x20AC;&#x2122;intensitat. Per tal de poder-lo connectar a la xarxa elèctrica i que funcioni correctament, disposa dâ&#x20AC;&#x2122;un transformador ideal que tĂŠ 20 espires en el secundari. a) Connectem el primari del transformador a un corrent altern de 220 V. Calculeu quantes espires tĂŠ el primari i quina intensitat de corrent hi circula. b) Si connectem el primari dâ&#x20AC;&#x2122;aquest transformador a un corrent continu de 24 V, quina intensitat de corrent circularĂ pel timbre? Justifiqueu la resposta.

Solucions: a) I = 0,011 A, 367 espires

5.

FĂ­sica nuclear i moderna

FĂ­sica moderna Relativitat: ď&#x201A;ˇ La velocitat đ?&#x2018;Ł implica un augment de la massa đ?&#x2018;&#x161;0 aparent donat per đ?&#x2018;&#x161; = , on đ?&#x2018;&#x161;0 ĂŠs la massa en 2 â&#x2C6;&#x161;1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ł2 đ?&#x2018;?

repòs. ď&#x201A;ˇ Lâ&#x20AC;&#x2122;energia total dâ&#x20AC;&#x2122;una partĂ­cula ĂŠs đ??¸ = đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;? 2 ď&#x201A;ˇ Lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica relativista ĂŠs đ??¸đ??ś = đ??¸ â&#x2C6;&#x2019; đ??¸0 = Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x161; ¡ đ?&#x2018;? 2 .

Dualitat ona-partĂ­cula. ď&#x201A;ˇ Energia del fotĂł: đ??¸ = â&#x201E;&#x17D;đ?&#x2018;&#x201C; đ??¸ ď&#x201A;ˇ Quantitat de moviment dâ&#x20AC;&#x2122;un fotĂł: đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? ď&#x201A;ˇ Efecte fotoelèctric: đ??¸đ?&#x2018;&#x2013; = đ?&#x2018;&#x160;0 + đ??¸đ?&#x2018;? â&#x201E;&#x17D; ď&#x201A;ˇ EquaciĂł de De Broglie: đ?&#x153;&#x2020; = đ?&#x2018;?

108. (Catalunya 2014, sèrie 5) Un tub de buit com el de la figura adjunta tĂŠ lâ&#x20AC;&#x2122;Ă node A fet de coure i la distĂ ncia entre els elèctrodes ĂŠs d = 30 cm. Establim un camp elèctric uniforme de A a B que genera una diferència de potencial de 3 V i il¡luminem lâ&#x20AC;&#x2122;Ă node amb radiacions que tenen fotons incidents amb una energia de 10 eV. Figura 51 Observem que al cĂ tode B arriben electrons amb una energia cinètica de 2,3 eV. a) Quina ĂŠs la freqßència i la longitud dâ&#x20AC;&#x2122;ona de la radiaciĂł incident (expressada en nm)? Quin ĂŠs el valor del camp elèctric E? b) Amb quina energia cinètica surten emesos els electrons arrencats de lâ&#x20AC;&#x2122;Ă node A? Quin ĂŠs el treball dâ&#x20AC;&#x2122;extracciĂł del coure en eV? Dades: h = 6,62x10-34 J s QelectrĂł = 1,6¡10-19 C c = 3,00¡108 m/s 1 ev = 1,60¡10-19 J Solucions: a) f = 2,4¡1015 Hz, Îť = 124,1 nm, E = 10 N/C; b) Ec = 5,3 eV, W = 4,7 eV 109. (Catalunya 2014, sèrie 5) Il¡luminem una superfĂ­cie de coure amb llum de diverses freqßències i quan sâ&#x20AC;&#x2122;alliberen electrons del metall, en mesurem lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica. Amb les dades obtingudes de lâ&#x20AC;&#x2122;experiment dibuixem la grĂ fica segĂźent: a) Expliqueu breument què ĂŠs el llindar de freqßència de lâ&#x20AC;&#x2122;efecte fotoelèctric i Figura 52

Física nuclear i moderna

55

calculeu quin valor té en aquest cas. b) Calculeu el valor de la constant de Planck i la velocitat que assoleixen els electrons emesos quan la longitud d’ona de la llum incident és 1,2×10–7 m.

Dades: melectró = 9,11·10-31 kg 1 ev = 1,60·10-19 J c = 3,00·108 m/s Solucions: a) 1,10·1015 Hz; b) v = 1,43·106 m/s 110. (Catalunya 2014, sèrie 4) Una porta s’obre i es tanca mitjançant un dispositiu fotoelèctric. La longitud d’ona de la radiació electromagnètica utilitzada és de 850 nm i l’energia mínima d’extracció del material fotodetector és d’1,20 eV. Calculeu: a) L’energia cinètica dels fotoelectrons emesos i la longitud d’ona de De Broglie associada a aquests electrons. b) La longitud d’ona que hauria de tenir una radiació electromagnètica incident per a duplicar l’energia cinètica dels fotoelectrons emesos de l’apartat a.

Dades: melectró = 9,11·10-31 kg Qelectró = -1,60·10-19 C h = 6,62x10-34 J s c = 3,00·108 m/s Solucions: a) 4,2·10−20 J; b) 7,21·10−7 m 111. (Catalunya 2014, sèrie 3) A l’espectroscòpia de fotoemissió ultraviolada (UV), il·luminem les mostres amb un feix de radiació UV i analitzem l’energia dels electrons emesos. a) Hem il·luminat una mostra amb radiació de longitud d’ona λ = 23,7 nm i els fotoelectrons analitzats tenen una energia cinètica màxima de 47,7 eV. Calculeu la funció de treball del material analitzat en J i en eV. b) Determineu el llindar de longitud d’ona per a aquest material. Com canviaria aquest llindar de longitud d’ona si es dupliqués la potència del feix de radiació UV? Dades: h = 6,62x10-34 J s 1 eV = 1,6·10-19 J c = 3·108 m/s Solucions: a) 4,75 eV; b) 2,62·10-7 m 112. (Catalunya 2013, sèrie 3) En una experiència, enviem radiació ultraviolada contra una placa de plom i produïm efecte fotoelèctric. Els electrons que es desprenen de la placa són frenats totalment per una diferència de potencial elèctric que depèn de la longitud d’ona de la radiació ultraviolada incident. A partir de les mesures efectuades sabem que quan la longitud d’ona és 1,50×10–7 m, la diferència de potencial que frena els electrons és de 4,01 V, i quan la longitud d’ona és 1,00×10–7 m, la diferència de potencial de frenada és de 8,15 V. Calculeu: a) Per a cada longitud d’ona, la velocitat màxima amb què els electrons són extrets de la placa de plom.

Física nuclear i moderna

56

b) L’energia mínima (funció de treball) necessària per a extreure un electró de la placa de plom. Determineu la constant de Planck a partir d’aquestes dades.

Dades: Qelectró = -1,60·10-19 C c = 3,00·108 m/s melectró = 9,11·10-31 kg Solucions: a) v1 = 1,19x106 m/s, v2 = 1,69x106 m/s; b) h = 6,62x10-34 J s, W0 = 6,82x10-19 J 113. (Catalunya 2013, sèrie 1) Disposem d’un tub de buit com el de la figura. L’elèctrode A és fet de potassi, que té W0 = 2,29 eV com a valor de treball d’extracció.

Figura 53

a) Determineu la velocitat amb què surten els electrons arrancats de l’elèctrode A quan l’il·luminem amb llum de color violat de 400 nm de longitud d’ona. b) A continuació canviem l’elèctrode A per un altre que és fet d’un material desconegut. Per tal de determinar de quin material es tracta, l’il·luminem un altre cop amb la mateixa llum d’abans, i determinem que el potencial de frenada dels electrons de l’elèctrode A és Vf = 0,17 V. Determineu el treball d’extracció del material i indiqueu de quin element és fet a partir de la taula de valors següent: Element W0(eV)

Ba 2,70

Li 2,93

Mg 3,66

As 3,75

Al 4,08

Bi 4,34

Cr 4,50

Ag 4,73

Be 4,98

Taula 2

Dades:

Massa de l’electró, melectró = 9,11×10−31 kg Constant de Planck, h = 6,63×10−34 J s Velocitat de la llum, c = 3,00×108 m s–1 1 eV = 1,60×10–19 J

Solucions: a) v = 5,36x105 m/s; b) Li 114. (Catalunya 2012, sèrie 3) Un ciclotró que accelera protons té un camp magnètic de 9,00×10–3 T, perpendicular a la velocitat dels protons, que descriuen una trajectòria circular de 0,50 m de radi. Calculeu: a) La freqüència del moviment circular dels protons en el ciclotró. b) L’energia cinètica dels protons accelerats i la longitud d’ona de De Broglie que tenen associada.

Dades: Qprotó = 1,60×10–19 C;

FĂ­sica nuclear i moderna

57

mprotĂł = 1,67Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;27 kg; h = 6,62¡10-34 J¡s Solucions: a) 1,37x105 Hz; b) 9,21x10-13 m 115. (Catalunya 2011, sèrie 4) El iode 131 ĂŠs un isòtop radioactiu que emet βâ&#x20AC;&#x201C; i Îł, tĂŠ un perĂ­ode de semidesintegraciĂł de vuit dies i es fa servir per a tractar el cĂ ncer i altres malalties de la glĂ ndula tiroide. La reacciĂł de descomposiciĂł ĂŠs la segĂźent: 131 0 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2019; + đ?&#x203A;˝ + 0đ?&#x203A;ž 53đ??ź â&#x2020;&#x2019; a) Determineu el valor dels nombres mĂ ssic i atòmic del xenĂł (x i y en la reacciĂł, respectivament). Si les partĂ­cules βâ&#x20AC;&#x201C; sâ&#x20AC;&#x2122;emeten a una velocitat de 2Ă&#x2014;105 km/s, calculeu-ne la longitud dâ&#x20AC;&#x2122;ona associada. b) Un pacient rep un tractament amb iode 131. Quants dies han de transcĂłrrer perquè la quantitat de iode 131 al cos del pacient es redueixi fins al 12,5 % del valor inicial?

Dades: mβ = 9,11x10-31 kg; h = 6,62x10-34 J¡s Solucions: a) Îť = 3,6x10-12 m; b) 24 dies 116. (Catalunya 2011, sèrie 4) El 1895, Wilhelm Conrad RĂśntgen va descobrir els raigs X, que, entre altres aplicacions, sĂłn un recurs fonamental per a la medicina. La manera mĂŠs habitual de generar raigs X consisteix a accelerar electrons fins a velocitats altes i a fer-los xocar amb un material, de manera que emetin una part de lâ&#x20AC;&#x2122;energia, o tota, en forma de raigs X. En un determinat aparell, aquesta acceleraciĂł es produeix aplicant als electrons una diferència de potencial de 60 kV al llarg de 4 cm, tal com sâ&#x20AC;&#x2122;indica en la figura segĂźent: a) Determineu el camp elèctric, que considerem constant, aplicat als electrons a lâ&#x20AC;&#x2122;interior de les plaques. Indiqueu-ne el mòdul, la direcciĂł i el sentit. b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica amb què xoquen els Figura 54 electrons contra la placa positiva i la freqßència dels fotons dels raigs X emesos. Considereu que els electrons incidents els transfereixen tota lâ&#x20AC;&#x2122;energia possible; ĂŠs a dir, lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica que porten en xocar contra la placa.

Dades: QelectrĂł = -1,60Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;19 C, h = 6,62¡10-34 J¡s Solucions: a) 1,5¡106 N/C; b) Ec = 9,6¡10-15 J, ν = 1,45¡1019 Hz 117. (Catalunya 2011, sèrie 1) La massa dâ&#x20AC;&#x2122;un electrĂł en repòs ĂŠs 9,11Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C; 31 kg. Un accelerador lineal nâ&#x20AC;&#x2122;incrementa la velocitat fins que la massa de lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł ĂŠs deu vegades mĂŠs gran. a) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia cinètica que ha guanyat lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł, expressada en J i en MeV. Fem xocar lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł amb un positrĂł que circula en sentit contrari i que tĂŠ la mateixa energia. Lâ&#x20AC;&#x2122;electrĂł i el positrĂł sâ&#x20AC;&#x2122;anihilen mĂştuament i produeixen dos fotons que tenen, cadascun, la mateixa energia.

Física nuclear i moderna

58

b) Escriviu l’equació d’aquest procés i determineu l’energia freqüència dels fotons.

Dades: 1 eV = 1,60×10–19 J, h = 6,62x10-34 J·s, c = 3x108 m/s

i

la

Solucions: a) 4,61 MeV; b) ν = 1,24·1021 Hz 118. (Catalunya 2011, sèrie 1) Una antena de telefonia mòbil instal·lada al terrat d’un edifici emet ones electromagnètiques de 900 MHz de freqüència amb una potència de 4 W. a) Calculeu quants fotons emet l’antena en un minut. b) Valoreu si els fotons que emet l’antena poden produir efecte fotoelèctric en un metall que és a prop, tenint en compte que l’energia d’extracció mínima dels electrons del metall és 4,1 eV. En cas afirmatiu, calculeu l’energia cinètica dels electrons extrets. Si l’antena emet amb una potència de 8 W, com variarà l’efecte fotoelèctric que es pugui produir en el metall?

Dades: h = 6,62·10-34 J·s, 1 eV = 1,60×10–19 J Solucions: a) 4,03·1026 fotons; b) No hi haurà efecte fotoelèctric en els dos casos 119. (Catalunya 2011, sèrie 2) En una experiència de laboratori, es mesura l’energia cinètica màxima dels electrons que salten quan es fan incidir radiacions de freqüència diferent sobre una placa d’un material. Els resultats obtinguts es mostren en la taula següent, en què Ec representa l’energia cinètica, i ν, la freqüència: Ec (eV) ν (Hz)

0 0,500

0 1,00

2,07 1,50

4,14 2,00

Taula 3

La representació gràfica dels resultats és la següent:

Gràfica 13

Determineu: a) El valor de la constant de Planck a partir de les dades d’aquest experiment. b) La funció de treball; és a dir, l’energia mínima d’extracció d’electrons.

Física nuclear i moderna

59

Expresseu els resultats en unitats del sistema internacional (SI) Dades:: 1 eV = 1,60×10–19 J; 1 PHz = 1015 Hz Solucions: a) 6,62x10-34 J s; b) 6,62x10-19 J 120. (Catalunya 2010, sèrie 1) Fem incidir radiació electromagnètica d’una freqüència determinada sobre un metall que té una freqüència llindar de 6,00·1016 Hz. Observem que l’energia cinètica màxima dels electrons emesos és 6,62·10-17 J. Calculeu: a) La freqüència de la radiació electromagnètica incident. b) La longitud d’ona dels fotons incidents i la dels electrons emesos amb la màxima energia cinètica.

Dades: h = 6,62·10-34 J·s, c = 3,00·108 m/s, me = 9,11·10-31 kg Solucions: a) f = 1,60·1017 Hz; b) λe = 6,01·10-11 m 121. (Catalunya 2010, sèrie 2) Una radiació ultravioleta de λ = 200 nm incideix sobre una placa de plom, de manera que salten electrons amb una energia cinètica màxima d’1,97 eV. Calculeu: a) La funció de treball, és a dir, l’energia mínima d’extracció d’electrons del plom. b) La longitud d’ona associada als electrons emesos amb l’energia cinètica màxima.

Dades: c = 3,00·108 m/s h = 6,63·10-34 J·s melectró = 9,11·10-31 kg qelectró = -1,60·10-19 C 1 nm = 10-6 m 1 eV = 1,602·10-19 J Solucions: a) 4,24 eV = 6,79·10-19 J; b) 8,75·10-10 m 122. (Catalunya 2010, sèrie 2) La imatge següent representa una cambra d’ionització en què s’observa l’aparició d’un electró i positró que tenen la mateixa energia. El camp magnètic que hi ha a la cambra d’ionització és de 2·10-4 T i està dirigit cap a l’interior del paper.

Figura 55

a) Indiqueu la trajectòria del positró i de l’electró i justifiqueu la resposta. Si les dues trajectòries tenen un radi equivalent de 5,80 m, determina la velocitat de les partícules.

FĂ­sica nuclear i moderna

60

b) Quina ĂŠs lâ&#x20AC;&#x2122;energia en repòs dâ&#x20AC;&#x2122;un electrĂł? Quina energia mĂ­nima ha de tenir un fotĂł per materialitzar-se en un parell electrĂł-positrĂł? Quines sĂłn la freqßència i la longitud dâ&#x20AC;&#x2122;ona corresponents a aquesta energia?

Dades: qelectró = -1,602¡10-19 C qpositró = +1,602¡10-19 C melectró = qpositró = 9,11¡10-31 kg h = 6,626¡10-34 J¡s c = 3,00¡108 m/s Solucions: a) 2,04¡108 m/s; b) E0 = 8,20¡10-14 J, Emín = 1,64¡10-13 J, f = 2,47¡1020 Hz, Ν = 1,21¡10-12 m

FĂ­sica nuclear Tipus de desintegracions radioactives: 4 ď&#x201A;ˇ Alfa: đ??´đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; đ??´â&#x2C6;&#x2019;4 đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;&#x2039; + 2đ??ťđ?&#x2018;&#x2019; đ??´ đ??´ + ď&#x201A;ˇ Beta: đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;?+1đ?&#x2018;&#x152; + â&#x2C6;&#x2019;10đ?&#x203A;˝ â&#x2C6;&#x2019; o đ??´đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;1đ??´đ?&#x2018;&#x152; + + +10đ?&#x203A;˝ + ď&#x201A;ˇ Gamma: đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x152; â&#x2C6;&#x2014; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x152; + đ?&#x203A;ž DesintegraciĂł radioactiva: ď&#x201A;ˇ Llei de la desintegraciĂł: đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) = đ?&#x2018; 0 đ?&#x2018;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x153;&#x2020;đ?&#x2018;Ą

ď&#x201A;ˇ Manituds: đ?&#x2018;&#x2021;1/2 =

đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x203A;2 đ?&#x153;&#x2020;

1

(perĂ­ode de semivida) i đ?&#x153;? = đ?&#x153;&#x2020;

(vida mitjana) đ?&#x2018;&#x2018; ď&#x201A;ˇ Activitat radioactiva: đ??´(đ?&#x2018;Ą) = â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018; (đ?&#x2018;Ą) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą 123. (Catalunya 2014, sèrie 4) Lâ&#x20AC;&#x2122;any 2006, lâ&#x20AC;&#x2122;exespia rus del KGB Aleksandr Litvinenko va ser vĂ­ctima dâ&#x20AC;&#x2122;un enverinament amb poloni 210 i es va convertir en la primera vĂ­ctima confirmada que moria per la sĂ­ndrome de radiaciĂł aguda.

El poloni 210 ĂŠs un emissor de partĂ­cules Îą que es troba a la natura i que tambĂŠ es pot obtenir en laboratoris nuclears.

a) Escriviu la reacció de desintegració del poloni 210, si Figura 56 sabem que en desintegrar-se produeix un isòtop del Aleksandr plom.

Litvinenko b) El perĂ­ode de semidesintegraciĂł efectiu en el cos humĂ del poloni 210 ĂŠs de 37 dies. Si suposem que la dosi que van subministrar a Litvinenko va ser de 5 mg, quina quantitat de poloni 210 hi havia en el seu organisme quan va morir, vint dies desprĂŠs de lâ&#x20AC;&#x2122;enverinament?

Dada: SĂ­mbols quĂ­mics i nombres atòmics del poloni Z(Po) = 84 i del plom Z(Pb) = 82 Solucions: b) 3,4 mg 124. (Catalunya 2014, sèrie 3) ) En un jaciment arqueològic es troben unes restes òssies antigues dâ&#x20AC;&#x2122;animals. Un gram dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes restes contĂŠ 9,5Ă&#x2014;108 Ă toms de carboni 14. Lâ&#x20AC;&#x2122;anĂ lisi dâ&#x20AC;&#x2122;una mostra actual, de la mateixa massa i de caracterĂ­stiques similars, revela que, en el moment de la mort dels animals, els ossos tenien 6,9Ă&#x2014;109 Ă toms de C-14/gram.

FĂ­sica nuclear i moderna

61

a) Determineu lâ&#x20AC;&#x2122;antiguitat de les restes si sabem que el perĂ­ode de semidesintegraciĂł del C-14 ĂŠs de 5 760 anys. b) Escriviu lâ&#x20AC;&#x2122;equaciĂł nuclear de la desintegraciĂł (amb emissiĂł de βâ&#x20AC;&#x201C;) del C-14 i incloeu-hi els antineutrins. Calculeu el defecte de massa per nucleĂł de C-14.

Dades: c = 3,00 Ă&#x2014; 108 m sâ&#x20AC;&#x201C;1 Nombres atòmics: Be, 4; B, 5; C, 6; N, 7; O, 8; F, 9 Masses:

PartĂ­cula ProtĂł NeutrĂł

Massa (kg) 1,6726Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;27 1,6749Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;27

PartĂ­cula electrĂł Ă tom de C-14

Massa (kg) 9,1093x10â&#x20AC;&#x201C;31 2,3253Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;26

Solucions: a) 1, 65x104 anys; b) Î&#x201D;m = 1.338¡10â&#x2C6;&#x2019;29 kg 125. (Catalunya 2013, sèrie 3) El poloni 210 ĂŠs un emissor de partĂ­cules Îą que es troba a la natura i que tambĂŠ es pot obtenir en laboratoris nuclears a partir del bombardeig del bismut 209 amb neutrons. El perĂ­ode de semidesintegraciĂł sĂłn 138 dies. a) Escriviu la reacciĂł de desintegraciĂł del poloni 210 si sabem que, en desintegrar-se, produeix un isòtop del plom. Quina ĂŠs la constant de desintegraciĂł del poloni 210? b) Si una mostra contĂŠ 5 mg de poloni 210, quina quantitat de poloni 210 quedarĂ desprĂŠs de 20 dies?

Dades: nombres atòmics i sĂ­mbols quĂ­mics del poloni Z(Po) = 84 i del plom Z(Pb) = 82 Solucions: a) Îť = 5,81x10-8 s-1; b) 4,52 mg 126. (Catalunya 2013, sèrie 4) La radioactivitat ĂŠs un mitjĂ fiable per a calcular lâ&#x20AC;&#x2122;edat de les roques i minerals que contenen isòtops radioactius concrets. Aquest sistema de dataciĂł radiomètrica ens permet mesurar el temps geològic. Un dâ&#x20AC;&#x2122;aquests mètodes es basa en la desintegraciĂł de 40 lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop 40 19đ??ž (potassi) en 18đ??´đ?&#x2018;&#x; (argĂł). El rellotge potassi-argĂł comença a funcionar quan els minerals que contenen potassi cristal¡litzen a partir dâ&#x20AC;&#x2122;un magma o dins una roca. En aquest moment, els nous minerals contenen 40 19đ??ž 40 40 i no contenen 18đ??´đ?&#x2018;&#x;. A mesura que passa el temps, el 19đ??ž es desintegra i tots els Ă toms de 40 18đ??´đ?&#x2018;&#x; que trobem en el mineral en un temps posterior a la formaciĂł provenen de la descomposiciĂł del 40 19đ??ž . a) Escriviu la reacciĂł nuclear de lâ&#x20AC;&#x2122;emissiĂł de partĂ­cules β de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop 40 19đ??ž .

40 40 b) En una roca sâ&#x20AC;&#x2122;han trobat 10,0 g de 19đ??ž i 10,0 g de 18đ??´đ?&#x2018;&#x;. Quina 9 quantitat de 40 19đ??ž hi haurĂ quan hauran transcorregut 5,00Ă&#x2014;10 anys?

Fent servir la dataciĂł radiomètrica basada en el potassi-argĂł, digueu quina edat tĂŠ la roca. Considereu que el 40 19đ??ž es desintegra nomĂŠs en 40 đ??´đ?&#x2018;&#x; .

18 9 Dada: perĂ­ode de semidesintegraciĂł del 40 19đ??ž , t1/2 = 1,25x10 anys Solucions: a) Es produeix un positrĂł β+; b) t = 1,25x109 anys

FĂ­sica nuclear i moderna

62

127. (Catalunya 2013, sèrie 4) Lâ&#x20AC;&#x2122;americi (Am) ĂŠs lâ&#x20AC;&#x2122;element de nombre atòmic 95. Els primers Ă toms dâ&#x20AC;&#x2122;americi 241 van ser produĂŻts el 1944 per Glenn Theodore Seaborg i els seus col¡laboradors fent servir un seguit de reaccions nuclears a partir del plutoni (Pu). A continuaciĂł, es mostren, incompletes, les dues Ăşltimes etapes del procĂŠs: đ?&#x2018;&#x17D; 240 241 94đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2039; â&#x2020;&#x2019; 94đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ 241 đ?&#x2018;?

241 94đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;˘ â&#x2020;&#x2019; 95đ??´đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x152; a) Determineu els valors dels coeficients a, b, c i d.

Quin nom tĂŠ la partĂ­cula que el Pu-240 ha capturat Figura 57 Glenn en la primera reacciĂł? Com sâ&#x20AC;&#x2122;anomena la Theodore desintegraciĂł descrita en la segona reacciĂł?

Seaborg b) Calculeu el percentatge de nuclis de Am-241 que sâ&#x20AC;&#x2122;han desintegrat des del 1944 fins ara1.

Dada. PerĂ­ode de semidesintegraciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;americi 241, t1/2 = 432 anys Solucions: a) a = 1, b = c = 0, d = -1; b) 10,5% 128. (Catalunya 2013, sèrie 1) El iode pot ser un radiofĂ rmac.

Lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop 131 53đ??ź ĂŠs una font de raigs gamma. Sâ&#x20AC;&#x2122;injecta al pacient per poder obtenir imatges gammagrĂ fiques. Aquest radioisòtop tĂŠ un perĂ­ode de semidesintegraciĂł de 13,2 h. a) Quina fracciĂł de 131 53đ??ź resta al cos 24,0 hores desprĂŠs dâ&#x20AC;&#x2122;injectar el fĂ rmac?

131 b) En un altre procĂŠs, el 131 53đ??ź tambĂŠ pot produir 54đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2019;.

Escriviu lâ&#x20AC;&#x2122;esquema del procĂŠs nuclear. Quina partĂ­cula sâ&#x20AC;&#x2122;emet?

Solucions: a) 28%; b) sâ&#x20AC;&#x2122;emet una partĂ­cula β- (electrĂł)

Figura 58 Exemple de gammagrafia

129. (Catalunya 2012, sèrie 1) Lâ&#x20AC;&#x2122;urani 235 tĂŠ uns quaranta modes possibles de desintegraciĂł per absorciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un neutrĂł. a) Completeu la reacciĂł nuclear segĂźent, que sâ&#x20AC;&#x2122;esdevĂŠ quan un nucli dâ&#x20AC;&#x2122;urani 235 absorbeix un neutrĂł: đ?&#x2018;?

235 95 đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; + 92đ?&#x2018;&#x2C6; â&#x2020;&#x2019; 38đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x2039;đ?&#x2018;&#x2019; + 2 đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; Indiqueu tambĂŠ quants neutrons i protons tĂŠ aquest nucli dâ&#x20AC;&#x2122;urani. b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia produĂŻda en la fissiĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un nucli dâ&#x20AC;&#x2122;urani 235, dâ&#x20AC;&#x2122;acord amb la reacciĂł anterior.

Dades: mneutrĂł = 1,00866 u; m(235U) = 235,124 u; m(95Sr) = 94,9194 u; m(139Xe) = 138,919 u; c = 2,99792x108 m s-1; 1 u = 1,66054x10-27 kg Solucions: a) a = 0, b = 1, c = 139, d = 54; b) 4,13309x10-11 J

130. (Catalunya 2012, sèrie 1) Un dels problemes principals de la producciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;energia elèctrica en les centrals nuclears ĂŠs lâ&#x20AC;&#x2122;emmagatzematge dels residus radioactius. El plutoni ĂŠs un dâ&#x20AC;&#x2122;aquests residus: tĂŠ un perĂ­ode de semidesintegraciĂł de 6,58Ă&#x2014;103 anys i ĂŠs un potent emissor de partĂ­cules Îą. a) Si avui sâ&#x20AC;&#x2122;emmagatzema una quantitat determinada dâ&#x20AC;&#x2122;aquest plutoni, quin percentatge dâ&#x20AC;&#x2122;aquest isòtop quedarĂ sense desintegrar-se dâ&#x20AC;&#x2122;aquĂ­ a un segle?

1

La soluciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;aquest apartat estĂ calculada per a lâ&#x20AC;&#x2122;interval de temps 1944-2013.

FĂ­sica nuclear i moderna

63

b) Sabent que les partĂ­cules Îą sâ&#x20AC;&#x2122;emeten amb una energia cinètica dâ&#x20AC;&#x2122;1,00Ă&#x2014;10â&#x20AC;&#x201C;3 J, calculeu-ne la longitud dâ&#x20AC;&#x2122;ona de De Broglie associada.

Dades: h = 6,62x10-34 J s; b) mÎą = 6,68x10-27 kg Solucions: a) 99%; b) 1,81x10-14 m 131. (Catalunya 2012, sèrie 3) Hem observat una mostra dâ&#x20AC;&#x2122;un isòtop radioactiu. El grĂ fic mostra lâ&#x20AC;&#x2122;evoluciĂł del nombre dâ&#x20AC;&#x2122;Ă toms de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop durant 200 dies.

GrĂ fica 14

a) Determineu el perĂ­ode de semidesintegraciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop. Quants Ă toms quedaran al cap de tres perĂ­odes de semidesintegraciĂł? b) Sospitem que es tracta de poloni 210 (Z = 84), un element emissor de radiaciĂł alfa. Escriviu la reacciĂł nuclear de lâ&#x20AC;&#x2122;emissiĂł alfa dâ&#x20AC;&#x2122;aquest isòtop.

Dades. Nombres atòmics i sĂ­mbols dâ&#x20AC;&#x2122;alguns elements: 80 Hg

81 Tl

82 Pb

83 Bi

84 Po

85 At

86 Rn

Taula 4

Solucions: a) t1/2 = 140 dies, n = 1,25x1015 Ă toms; 4 206 b) 210 84đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153; â&#x2020;&#x2019; 2đ?&#x203A;ź + 82đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?

132. (Catalunya 2012, sèrie 4) Una gammagrafia òssia ĂŠs una prova diagnòstica que consisteix a injectar per via intravenosa una substĂ ncia que contĂŠ un cert isòtop radioactiu que es diposita en els ossos i que emet raigs gamma. La radiaciĂł emesa es detecta amb una gammacĂ mera que escaneja el cos i pren imatges de la quantitat de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop acumulada en els ossos. En aquest tipus de gammagrafies sâ&#x20AC;&#x2122;utilitza el tecneci 99 com a radioisòtop. a) Quant sâ&#x20AC;&#x2122;haurĂ reduĂŻt el nombre de nuclis de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop injectat al cap dâ&#x20AC;&#x2122;un dia?

99 b) El 43 đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;? Tc provĂŠ de la desintegraciĂł beta dâ&#x20AC;&#x2122;un altre element. Indiqueu el nombre de protons i neutrons del nucli del qual provĂŠ.

Dada: T1/2(99Tc) = 6,00 h Solucions: a) 0,06

FĂ­sica nuclear i moderna

64

133. (Catalunya 2011, sèrie 4) Lâ&#x20AC;&#x2122;any 2011 ha estat declarat Any Internacional de la QuĂ­mica, per commemorar, entre altres fets, que fa cent anys Marie Curie va ser guardonada amb el Premi Nobel de QuĂ­mica pel descobriment del radi, entre altres mèrits. El perĂ­ode de semidesintegraciĂł del radi ĂŠs 1,59Ă&#x2014;103 anys. Si el 1911 es va guardar una mostra dâ&#x20AC;&#x2122;1,00 g de radi, calculeu: a) La quantitat de radi de la mostra que queda actualment. b) Lâ&#x20AC;&#x2122;activitat radioactiva inicial de la mostra dâ&#x20AC;&#x2122;1,00 g de radi, i lâ&#x20AC;&#x2122;activitat radioactiva del radi que queda de la mostra avui.

Dades: NA = 6,02x1023 mol-1; ma(Ra) = 226 u Solucions: a) 0,957 g; b) A0 = 3,7x1010 Bq, A100 anys = 3,5x1010 Bq 134. (Catalunya 2011, sèrie 1) El triti ĂŠs un isòtop radioactiu de lâ&#x20AC;&#x2122;hidrogen.

El nucli del triti tĂŠ dos neutrons. a) El triti es genera de manera natural a lâ&#x20AC;&#x2122;atmosfera quan els Ă toms de nitrogen xoquen amb una certa partĂ­cula que anomenarem ÂŤ?Âť. La reacciĂł ĂŠs: 14 7đ?&#x2018;

+ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ?â&#x2020;&#x2019; 126đ??ś + 1đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2021; TambĂŠ es pot produir en reactors nuclears, amb la reacciĂł segĂźent: đ?&#x2018;&#x2014; đ?&#x2018;&#x2DC;đ??żđ?&#x2018;&#x2013;

+ đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľ?â&#x2020;&#x2019; 42đ??ťđ?&#x2018;&#x2019; + 1đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x2021; Determineu els valors dels Ă­ndex đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś, đ?&#x2018;§, đ?&#x2018;&#x2014; i đ?&#x2018;&#x2DC;. b) El perĂ­ode de semidesintegraciĂł del triti ĂŠs, aproximadament, de dotze anys. Elaboreu una grĂ fica amb les variables de massa i temps en què sâ&#x20AC;&#x2122;observi com varia la quantitat de triti dâ&#x20AC;&#x2122;una mostra que inicialment ĂŠs de 120 g durant els seixanta anys segĂźents.

Figura 59

135. (Catalunya 2010, sèrie 2) El poloni 210 tĂŠ un perĂ­ode de semidesintegraciĂł de 138,4 dies i es desintegra, per emissiĂł de partĂ­cules alfa, en un isòtop estable del plom. El procĂŠs ĂŠs el segĂźent: 210 84đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153;

â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;? + 42đ??ťđ?&#x2018;&#x2019; a) Determineu els Ă­ndexs x i y i el temps necessari perquè la massa del poloni es redueixi al 30 % de la massa inicial.

FĂ­sica nuclear i moderna

65

b) Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia que es desprèn en la desintegraciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un nucli de poloni, expressada en J i en MeV. Dades: đ?&#x2018;&#x161;( 210 84đ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;&#x153;) = 209,983 đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x161;( đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;&#x192;đ?&#x2018;?) = 205,974 đ?&#x2018;˘ đ?&#x2018;&#x161;( 42đ??ťđ?&#x2018;&#x2019;) = 4,003 đ?&#x2018;˘ 1 đ?&#x2018;˘ = 1,66x10â&#x2C6;&#x2019;27 kg 1 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2030; = 1,6đ?&#x2018;Ľ10â&#x2C6;&#x2019;19 đ??˝ đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;Ľ108 đ?&#x2018;&#x161;/đ?&#x2018; Solucions: a) t = 240,4 dies; b) E = 8,904¡10-13 J = 5,6 MeV 136. (Catalunya 2010, sèrie 5) La grĂ fica segĂźent mostra la variaciĂł de la massa dâ&#x20AC;&#x2122;una mostra de iode 131, que ĂŠs un isòtop radioactiu, al llarg del temps:

GrĂ fica 15

a) Trobeu el perĂ­ode de semidesintegraciĂł de lâ&#x20AC;&#x2122;isòtop i digueu quina quantitat de matèria tindrem al cap de quaranta dies. b) El iode 131, en desintegrar-se, emet una partĂ­cula beta i es transforma en un iĂł positiu de xenĂł 131. Calculeu lâ&#x20AC;&#x2122;energia que sâ&#x20AC;&#x2122;allibera quan es desintegra un Ă tom de iode 131.

Dades: m(I-131) = 130,906 125 u m(Xe+-131) = 130,904 533 u melectrĂł = 5,486¡10-4 u 1 u = 1,66¡10-27 kg c = 3,00¡108 m/s Solucions: a) Îť = 8,66 dies-1, m = 3,1 g; b) -1,559¡10-13 J 137. (Catalunya 2010, sèrie 4) Per estudiar el procĂŠs de desintegraciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;una mostra radioactiva que inicialment tenia 6,00¡1023 Ă toms radioactius, hem mesurat en intervals dâ&#x20AC;&#x2122;un segon el nombre dâ&#x20AC;&#x2122;Ă toms que encara no sâ&#x20AC;&#x2122;havien desintegrat. Els resultats obtinguts es representen a la grĂ fica segĂźent:

FĂ­sica nuclear i moderna

66

GrĂ fica 16

a) Quant val el perĂ­ode de semidesintegraciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;aquesta mostra? Quants Ă toms de la mostra inicial sâ&#x20AC;&#x2122;hauran desintegrat quan hagi transcorregut un temps de 15 s? b) Quant temps haurĂ de transcĂłrrer perquè nomĂŠs quedi sense desintegrar un 5% de la mostra inicial?

Solucions: a) Îť = 0,347 s-1, quedaran 5,97¡1023 Ă toms; b) 8,63 s 138. (Catalunya 2010, sèrie 1) La tècnica de diagnòstic a partir de la imatge que sâ&#x20AC;&#x2122;obtĂŠ mitjançant tomografia per emissiĂł de positrons (PET, positron emission tomography) es fonamenta en la anihilaciĂł entre la matèria i la antimatèria. Els positrons, emesos pels nuclis de fluor, 18đ??š , injectats en el pacient com a radiofĂ rmac, sâ&#x20AC;&#x2122;anihilen en entrar en contacte amb els electrons dels teixits del cos i de cadascuna dâ&#x20AC;&#x2122;aquestes anihilacions es creen fotons a partir dels quals sâ&#x20AC;&#x2122;obtĂŠ la imatge.

La desintegraciĂł dâ&#x20AC;&#x2122;un nucli de fluor, 18đ??š , es pot escriure mitjançant la reacciĂł nuclear segĂźent: đ?&#x2018;Ś + 18 đ?&#x2018;Ľ 0 9đ??š â&#x2020;&#x2019; 8 đ?&#x2018;&#x201A; + đ?&#x2018;§ đ?&#x2018;&#x2019; + 0 đ?&#x203A;ž a) Digues quants neutrons i quants protons tĂŠ aquest isòtop artificial de fluor 18đ??š . Completa la reacciĂł nuclear, ĂŠs a dir, determina đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś i đ?&#x2018;§. b) El perĂ­ode de semidesintegraciĂł del 18đ??š ĂŠs 109,77 s. Calculeu el temps que ha de passar perquè quedi una vuitena part de la quantitat inicial de 18đ??š . Quin percentatge de partĂ­cules quedaran al cap dâ&#x20AC;&#x2122;una hora? Tenint en compte aquest resultat, digueu si podrĂ­em emmagatzemar gaire temps aquest radiofĂ rmac i justifiqueu-ho.

Solucions: b) t = 391,31 s, en una hora quedarà el 1,3¡10-8%