Función Logarítmica y Función Par e Impar.

UNIVERSIDAD

DE

EL

SALVADOR

PARACENTRAL

INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES

Docente: Licda. Marta Estela Montano Estudiantes: Yesica Yamileth Pérez Membreño Erick Yonatan Vigil Hernandez Estefanía Solís Serrano

CICLO I

FUNCIĂ“N LOGARĂ?TMICA. Toda funciĂłn exponencial f(x) = ax, con a > 0 y a ≠1, es una funciĂłn biunĂ­voca por la prueba de la recta horizontal (ver Figura 1 para el caso a > 1) y por tanto tiene una funciĂłn inversa. La funciĂłn inversa f− 1 se denomina funciĂłn logarĂ­tmica con base a y se denota con loga. Recuerda que f− 1 estĂĄ definida por: f− 1 (x) = y

f(y) = x

Esto lleva a la siguiente definiciĂłn logarĂ­tmica.

DEFINICION DE LA FUNCION LOGARITMICA Sea a un numero positivo con a ≠1. La función logarítmica con base a, denotada loga, esta definida por: loga x = y ay = x Por lo tanto, loga x es el exponente al cual la base a debe ser elevado para obtener x.

Cuando usamos la definiciĂłn de logaritmos para pasar entre la forma logarĂ­tmica loga x = y, y la forma exponencial ay = x, es Ăştil observar que, en ambas formas, la base es la misma: Forma logarĂ­tmica

Forma Exponencial

Exponente

Exponente

ay = x

loga x = y

Base

Base

EJEMPLO 1: EvaluaciĂłn de Logaritmos. (a) Log10 1000 = 3 (b) Log2 32 = 5 (c) Log10 0.1 = −1 1

(d) Log16 4 = 2

porque porque porque porque

103 = 1000 25 = 32 10−1 = 0.1 161/2 = 4

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Propiedad 1. loga 1 = 0 2.

loga a = 1

3. loga ax = x 4. đ?’‚đ?’?đ?’?đ?’ˆđ?’‚ đ?’™ = x

RazĂłn 1.

2.

3.

4.

Debemos elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

Debemos elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Debemos elevar a a la potencia x para obtener ax. loga x es la potencia a la que a debe elevarse para obtener x.

EJEMPLO 2: Graficar una función logarítmica localizando puntos.

Trace la gráfica de f(x) = log2 x.

SOLUCIÓN: Para hacer una tabla de valores x que sean potencias de 2 para que podamos fácilmente hallar sus logaritmos. Localizamos estos puntos y los enlazamos con una curva sin irregularidades como se muestra a continuación.

x 23 22 2 1 2−1 2−2 2−3 2−4

log2 x 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 LOGARITMOS COMUNES.

LOGARITMO COMUN El logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: log x = log10 x

De la definición de logaritmos podemos fácilmente hallar que: Log 10 = 1 y log 100 = 2 EJEMPLO 3: Evaluar logaritmos comunes.

Use calculadora para hallar valores apropiados de f(x) = log x y utilice los valores para trazar la gráfica.

SOLUCIĂ“N: Hacemos una tabla de valores, usando una calculadora para evaluar la funciĂłn en aquellos valores de x que no sean potencias de 10. x 0.01 0.1 0.5 1 4 5 10

log2 x −2 −1 −0.301 0 0.602 0.699 1 LOGARITMOS NATURALES.

LOGARITMO NATURAL El logaritmo con base e se denomina logaritmo natural y se denota ln: ln x = loge x

La funciĂłn de logaritmo natural y = ln x es la funciĂłn inversa de la funciĂłn exponencial natural y = ex. Por la definiciĂłn de funciones inversas tenemos.

In x = y ↔ ey = x Si sustituimos a = e y escribimos “ln� por “loge� en las propiedades de logaritmos ya citadas, obtenemos las propiedades de logaritmos naturales.

EJEMPLO 4: Evaluar la funciĂłn de logaritmo natural. (a) ln e8 = 8 DefiniciĂłn de logaritmo natural.

1

(b) Ln (đ?‘’ 2 ) = ln e-2 = −2

DefiniciĂłn de logaritmo natural.

EJEMPLO 5: Hallar el dominio de la funciĂłn logarĂ­tmica.

Encuentre el dominio de la función f(x) = ln(4 – x2).

SOLUCIĂ&#x201C;N Igual que con cualquier funciĂłn logarĂ­tmica, ln x estĂĄ definida cuando x > 0. Entonces, el dominio de f es: {đ?&#x2018;Ľ|4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 > 0} = {đ?&#x2018;Ľ|đ?&#x2018;Ľ 2 < 4} = {đ?&#x2018;Ľ||đ?&#x2018;Ľ| < 2} = {đ?&#x2018;Ľ| â&#x2C6;&#x2019; 2 < đ?&#x2018;Ľ < 2} = (â&#x2C6;&#x2019;2,2) FUNCIONES PARES E IMPARES 1. FunciĂłn par: Una funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C; se dice par si â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ??ˇ(đ?&#x2018;&#x201C;) se verifica: đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ) (o sea, si para cualquier đ?&#x2018;Ľ del dominio de la funciĂłn, es decir, para todos los valores de đ?&#x2018;Ľ para los que existe imagen, la imagen de đ?&#x2018;Ľ y la de su opuesto â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ coinciden).

En el grĂĄfico, esto significa que la grĂĄfica de la funciĂłn pasa por los puntos (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)) đ?&#x2018;Ś (â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ)), que son simĂŠtricos respecto del eje đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x152;. Y como esto sucede para todos los đ?&#x2018;Ľ del dominio de đ?&#x2018;&#x201C;, la grĂĄfica de una funciĂłn par resulta ser simĂŠtrica respecto đ?&#x2018;śđ?&#x2019;&#x20AC;.

Ejemplos:

đ?&#x2018;Ś=

đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 2 2

đ?&#x2018;Ś =

3đ?&#x2018;Ľ 2 2đ?&#x2018;Ľ 4 + 3

2. FunciĂłn impar: Una funciĂłn đ?&#x2018;&#x201C; se dice impar si â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2C6; đ??ˇ(đ?&#x2018;&#x201C;) se verifica: â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ).

Al analizar el grĂĄfico descubrimos que la grĂĄfica de la funciĂłn pasa por los puntos (đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)) y (â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x20AC;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ)), que son simĂŠtricos respecto del punto đ?&#x2018;&#x201A;. Y como esto sucede para todos los đ?&#x2018;Ľ del dominio de đ?&#x2018;&#x201C;, la grĂĄfica de una funciĂłn par resulta ser simĂŠtrica respecto del origen de coordenadas.

Ejemplos:

đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;

đ?&#x2019;&#x161; = đ?&#x2019;&#x201D;đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2122;

PROBLEMAS. 1) Estudiar si es par, impar o ninguna de las dos cosas: đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2018;đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? đ?&#x2019;&#x161;= đ?&#x;? đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 2 ; 2 đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 4 + 3đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; = 2 2 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)4 â&#x2C6;&#x2019; 3(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)2 đ?&#x2018;Ľ 4 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = = 2 2 Luego, la funciĂłn es par. đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) =

que coincide con đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ).

2) Estudiar si es par, impar o ninguna de las dos cosas: đ?&#x2019;&#x161;=

đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;&#x2018; đ?&#x;?đ?&#x2019;&#x2122;đ?&#x;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x;&#x2013;

đ?&#x2018;Ľ3 đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = 2 ; 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8 đ?&#x2018;Ľ3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2019; 2 = 2 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8 2đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 8 (â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 3 đ?&#x2018;&#x201C;(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ) = = = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x;š đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201A; đ?&#x2019;&#x2021;đ?&#x2019;&#x2013;đ?&#x2019;?đ?&#x2019;&#x201E;đ?&#x2019;&#x160;Ăłđ?&#x2019;? đ?&#x2019;&#x2020;đ?&#x2019;&#x201D; đ?&#x2019;&#x160;đ?&#x2019;&#x17D;đ?&#x2019;&#x2018;đ?&#x2019;&#x201A;đ?&#x2019;&#x201C;.

2(â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ)2 â&#x2C6;&#x2019; 8 2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 8