Análise de investimentos em activos reais - vol 2

Desde 1993 exerce funções de docente do Ensino Superior, na área da Economia e Gestão.

ATIVOS REAIS

Volume 2 ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

“Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva, em parceria com o Dr. Mário Queirós, aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, o impacto que os investimentos podem ter na sua vida financeira.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contrabalance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, constituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.”

António Domingues Azevedo, bastonário da OTOC Neste volume são tratados os aspetos relacionados com a análise do risco, com particular destaque para as opções reais. Este volume é sequência do volume 1, em que são tratados os aspetos básicos da análise de projetos de investimento, nomeadamente, os critérios tradicionais do VAL (Valor Atual Líquido) e TIR (Taxa Interna de Rendibilidade).

ISBN 978-972-788-820-7

www.vidaeconomica.pt ISBN: 978-972-788-820-7 Visite-nos em livraria.vidaeconomica.pt

9 789727 888207

Análise de Investimentos em Ativos Reais Volume 2 - Análise de Risco e Incerteza

Mário Queirós é licenciado em Economia e pós-graduado em Estudos Europeus e em Ensino da Economia.

Possui experiência na elaboração, análise, acompanhamento e controlo de cerca de uma centena de projetos de investimento, contando também com uma vasta experiência letiva em análise de investimentos no ensino superior e em formação porfissional.

Análise de Investimentos em

Eduardo Sá e Silva Mário Queirós

Mário Queirós

Eduardo Sá e Silva Mário Queirós

Análise de Investimentos em

ATIVOS REAIS Volume 2 ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

Eduardo Sá e Silva Eduardo Manuel Lopes de Sá e Silva é doutorado em Ciências Económicas e Empresariais pela Universidade da Corunha, Espanha, e licenciado e mestre pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto.

Exerce funções de docente no Ensino Superior, sendo orientador de diversas dissertações de teses de Mestrado e Doutoramento, nas áreas de Contabilidade e Gestão Financeira.

Obras do autor publicadas pela Vida Económica: - Classe 1: Meios Financeiros Líquidos - Classe 2: Contas a Pagar e a Receber - Classe 3: Inventários e Ativos Biológicos - Custo Amortizado e Imparidade - Dicionário de Finanças e Negócios Internacionais - Dicionário de Gestão - Gestão Financeira: Análise de Fluxos Financeiros - Gestão Financeira: Análise de Investimentos - Gestão Financeira: Exercícios Resolvidos - Gestão Financeira: Opções Reais - Modelos para a Determinação do Risco da Taxa de Juro - Normas Internacionais de Contabilidade: da Teoria à Prática

Organização da obra A obra presente tem por objetivo contribuir para o estudo da análise de investimentos em ativos reais. Foi desenvolvida, tendo em conta as necessidades académicas de professores e alunos que pretendam investigar esta temática numa vertente técnica.

Por isso, contam-se 75 casos de exemplificação dos conceitos ao longo do texto, mais 53 casos para análise localizados no final de cada capítulo, um capítulo com 11 casos globais e ainda 1 caso que inicia o enunciado no segundo capítulo e vai acompanhando o leitor até ao sétimo capítulo, acompanhando toda a matéria.

No total, são analisados 140 casos de investimentos em ativos reais, todos com particularidades diferentes.

Apesar deste cuidado com a vertente prática da análise de investimentos, o desenvolvimento teórico das temáticas abordadas tenta ser tão exaustivo quanto possível, por forma a preparar também a capacidade de investigação por parte do leitor.

O livro, composto por dois volumes, está dividido em nove capítulos, cinco no primeiro volume e quatro no segundo. O primeiro volume dedica-se à abordagem convencional de análise de investimentos em ativos reais, nomeadamente à aplicação dos métodos dos fluxos de caixa descontados. O segundo volume dedica-se à abordagem de análise de risco e incerteza, finalizando com a introdução às opções reais. Os capítulos quinto e nono (que rematam cada um dos volumes) incluem onze casos globais que obrigam o leitor a dominar a matéria abordada em alguns dos capítulos anteriores.

Vejamos, resumidamente, o conteúdo de cada um dos referidos capítulos.

VOLUME 1 Capítulo um – Enquadramento e conceitos básicos O primeiro capítulo faz uma abordagem a conceitos introdutórios que, apesar de próprios da análise de investimentos, são comuns a outras áreas das finanças e da 9

gestão. São definidos os conceitos principais necessários à análise de investimentos e é realizada uma revisão sobre cálculo financeiro.

Capítulo dois – Previsão de fluxos e necessidades de capital O segundo capítulo dedica-se à previsão de fluxos financeiros associados ao projeto de investimento e à determinação das necessidades financeiras exigidas para manter o seu desenvolvimento sustentado. Em termos da sua organização, a primeira secção define o cash-flow, evidenciando as perspetivas do cash-flow global, do cash-flow de exploração e do cash-flow de investimento, e diferencia-se a análise pela ótica do investimento e pela ótica do empresário. Também apresenta as noções de free cash-flow e de cash-flow incremental. A segunda secção salienta as rubricas fundamentais do investimento, entre ativos fixos e capitais circulantes. A terceira secção distingue a abordagem do projeto de investimento a preços constantes e a preços correntes. Por último, são analisados diversos casos práticos relacionados com o conteúdo deste capítulo.

Capítulo três – O custo do capital Este capítulo debruça-se sobre a metodologia usual para estimação da taxa de atualização dos fluxos financeiros associados aos projetos de investimento, e organiza-se de acordo com as seguintes secções: a primeira secção tem como objetivo a apresentação geral do conceito, com relevo para a estrutura e para o custo dos capitais utilizados no financiamento dos projetos; a segunda secção apresenta o custo médio ponderado dos capitais, com recurso ao modelo de avaliação dos ativos financeiros; o capítulo remata com a análise de diversos exercícios de aplicação prática sobre a matéria abordada.

Capítulo quatro – Critérios de avaliação e decisão de investimentos Após conhecermos como obter e avaliar a matéria¬ prima destinada a realizar a avaliação de investimentos (noções de valor, fluxo de tesouraria e custo de capital), entramos na estimação dos critérios clássicos de atualização dos fluxos de caixa, que permitem avaliar os investimentos. Os critérios abordados são: 1. Taxa média de rendibilidade (TMR) 2. Valor atual líquido (VAL) 3. Índice de rendibilidade (rácio custo¬ benefício) (IR) 4. Período de recuperação do investimento (PRI) 10

5. Taxa interna de rendibilidade (TIR) 6. Benefício e custo equivalente anual (BEA/CEA) 7. Medidas de desempenho e criação de valor (EVA, CVA e CFROI) Para além disso, são ainda analisadas as relações entre eles, bem como variantes de alguns dos indicadores. São abordadas também as temáticas de: seleção de projetos mutuamente exclusivos, independentes, com vidas úteis distintas, com dimensões distintas, a incompatibilidade entre critérios, a relação entre VAL e TIR, a ausência de TIR e a existência de múltiplas TIR. Como não podia deixar de ser, no final do capítulo encontra-se a análise de vários casos práticos, elaborados com o cuidado de proporcionar uma perspetiva diferente de todas as temáticas abordadas.

VOLUME 2 Capítulo um – Introdução à análise de risco e incerteza Marcando o início da análise de investimentos em contexto de incerteza, este capítulo tem por objetivo introduzir os principais conceitos que permitirão a análise de risco e incerteza de investimentos. As temáticas abordadas são a teoria da incerteza, a teoria da carteira (de Harry Markowitz) e dois modelos de equilíbrio do mercado de capitais (CAPM e APT).

Inclui ainda um apêndice com conceitos básicos de estatística, finalizando com a análise de alguns casos pertinentes para ajudar na consolidação das matérias abordadas.

Capítulo dois – Técnicas tradicionais de análise de risco e incerteza As técnicas abordadas neste capítulo consistem em realizar simulações várias de um projeto de investimento e ainda numa primeira tentativa de análise de decisões sequenciais. Inicia com a análise de sensibilidade e pontos críticos, passa para a análise de cenários, análise de risco e técnicas de otimização. Posteriormente é desenvolvida a técnica de simulação de Monte Carlo e aborda-se a técnica das árvores de decisão.

Tal como acontece com os capítulos anteriores, são analisados alguns casos de aplicação prática dos conceitos desenvolvidos.

11

Capítulo três – Introdução às opções reais A abordagem da análise às opções reais é feita com o objetivo de introduzir esta temática. Desen¬vol¬vi¬mentos mais aprofundados deverão ser procurados em obras especializadas nesta matéria. Começa-se por abordar o assunto ao leitor com o objetivo de o sensibilizar para o tipo de análise que as opções reais proporcionam.

De seguida, são apresentadas as definições necessárias ao estudo da matéria e é realizada uma comparação desta abordagem com as técnicas tradicionais, incluindo as árvores de decisão. Finalmente são analisadas várias opções reais simples, com o recurso à técnica das árvores binomiais: 1. Opção de diferimento (sem e com perda de cash-flow) 2. Opção de abandono 3. Opção de contração 4. Opção de expansão 5. Carteiras de opções mutuamente exclusivas Para concluir, apresenta-se uma proposta de aplicação da técnica a um projeto de investimentos, seguindo-se a análise de vários casos onde se pode experimentar a estimação da volatilidade da rendibilidade dos capitais investidos.

Análise de caso – Padatex “Padatex” é a designação fictícia de uma empresa que foi criada por outra com as carac¬te¬rís-ticas apresentadas no projeto de investimento. A descrição dos objetivos, dos produtos e mercados, de preços de venda e compra e de outras variáveis, é uma cópia quase integral de um projeto de investimento real, tendo apenas sofrido adaptações ligeiras de forma a tornar se academicamente mais rico.

Este projeto de investimento acompanha as temáticas desenvolvidas no final de cada um dos capítulos 2, 3, e 4, do primeiro volume e 2 e 3 do segundo volume, colocando em prática os conhecimentos adquiridos. A folha de cálculo foi desenvolvida pelos autores para estar apta à avaliação de qualquer projeto de investimento, e é reproduzida quase na íntegra1 à medida que os cálculos vão sendo realizados.

Assim, é possível ao leitor ir desenvolvendo a sua própria folha de cálculo, de forma a replicar a avaliação do projeto de investimento, tendo a hipótese de comparar e corrigir (se for o caso) os valores por si obtidos.

1. Ficam apenas de fora apenas alguns quadros que se apresentam como redundantes.

12

A folha de cálculo apresenta-se adaptável a qualquer caso de análise de investimentos em ativos reais. Dada a especificidade do caso em apreço, não é possível replicar a avaliação do projeto de investimento na folha de cálculo proporcionada pelo IAPMEI, pois alguns dos pressupostos não são aceites pela mesma.

Análise de caso – Coolchips À semelhança da Padatex, “Coolchips” também é o nome fictício de um projeto de investimento realizado nos termos em que é apresentado neste manual2. Para além de se apresentar como um caso mais simples que o projeto Padatex, o projeto Coolchips tem como objetivo permitir que o utilizador deste manual possa aplicar a folha de cálculo disponibilizada pelo IAPMEI. Um outro objetivo para a sua inclusão, é o de demonstrar a utilização do programa Crystal Ball para a realização das simulações de Monte Carlo e, posteriormente, a análise de opções reais.

2. Merecendo também algumas adaptações (académicas) pontuais.

13

Nota do Bastonário da OTOC As empresas, com toda a sua complexidade, são hoje elementos de grande importância na estrutura das sociedades, pois elas, para além do interesse específico dos seus investidores, na medida em que se constituem como fonte de rendimento através das relações laborais de famílias e cidadãos, desempenham um importante papel de estabilidade social, revestindo-se de importância acrescida no normal funcionamento da sociedade.

Daí também o interesse que a sociedade em geral deve ter nos resultados das empresas, pois a empresas economicamente sólidas corresponde uma expectativa melhor sustentada de continuidade de estabilidade social.

A gestão, isto é a forma como gerimos as empresas e os elementos de que nos servimos para as tomadas de decisão, acabam por ter um papel fundamental naquela solidez financeira.

Uma decisão tomada muitas vezes com o coração sem ser sustentada na razão, pode colocar em sério risco a continuidade da vida das empresas, colocando também em crise a continuidade da sua função não apenas nos objetivos que estatutariamente lhe foram consignados, mas também nas restantes envolventes que ela desempenha.

Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva em parceria com o Dr. Mário Queirós aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, pelo impacto que pode ter na sua vida financeira, os investimentos.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contrabalance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

15

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, constituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.

Para o evitar, são-nos apresentados diversos exemplos de forma a nos possibilitar o conhecimento atempado e sustentado da tendência e potencialidades que a empresa tem de suportar os encargos necessários para os investimentos, bem como a libertação dos meios financeiros necessários para fazer face àqueles encargos.

A Ordem dos Técnicos Oficiais de Contas tem vindo a alertar os seus profissionais para a necessidade deles acompanharem a vida das empresas e apoiarem os seus clientes empresários nas suas tomadas de decisão, sendo o investimento um fator da maior importância nesse aconselhamento, a presente obra pode constituir-se também como um importante auxiliar na análise de investimentos para os Técnicos Oficiais de Contas.

Com efeito, daquele aconselhamento pode muitas vezes resultar tomadas de decisão sustentadas e devidamente suportadas em elementos credíveis, ou serem autênticas aventuras que ninguém depois consegue controlar, com consequências que ninguém deseja.

Também nesse domínio a presente obra pretende, não só criar a necessidade de mudança comportamental das empresas, mas também constituir um ato pedagógico em prol de uma vida económica mais sã e sustentada das empresas portuguesas.

Bem hajam pelo esforço. Que todos o saibamos aproveitar.

Lisboa 14 de janeiro de 2010 A. Domingues Azevedo

16

Nota de abertura É consensual a ideia de que o desenvolvimento económico depende, essencialmente, do processo de renovação das pessoas, das empresas e das instituições e da existência de um setor empresarial concorrencialmente equilibrado, capaz de promover uma evolução tecnológica ao serviço de um crescimento quantitativo, qualitativo e diversificado da oferta de bens e serviços à sociedade e de contribuir para uma contínua geração de oportunidades de valorização individual e coletiva dos cidadãos. É, sem dúvida, neste contexto que se insere a crescente atenção dedicada à generalização de uma “cultura empreendedora” na sociedade portuguesa, na medida em que se assume tratar-se de uma dinâmica de deteção e aproveitamento económico de oportunidades, por parte de indivíduos que exibem determinadas características e atitudes particularmente favoráveis à inovação e à concretização de ideias de negócio.

Neste contexto, importa dotar empreendedores e empresários de capacidades e competências suscetíveis de ultrapassar o quadro de carências identificadas, disponibilizando ferramentas específicas, de que é exemplo o presente manual.

A criação de novas empresas, enquanto instrumento privilegiado de equilíbrio da estrutura empresarial e fator de desenvolvimento, constitui um importante fenómeno de dinamização dos sistemas empresariais, uma vez que apresenta um duplo impacto com reflexos nítidos na vertente empresarial e na vertente emprego.

No entanto, a criação de novas empresas assenta com frequência em estratégias de improviso, afastando o interesse de potenciais investidores e com as inevitáveis consequências de elevado risco de insucesso ou mesmo de desaparecimento prematuro.

17

Uma das vias geralmente apontadas como suscetíveis de reduzir a componente de risco calculável da atividade empresarial e, concomitantemente, a taxa de insucesso das empresas nascentes é a disponibilização de apoio qualificado, traduzido quer na formação estruturante dos futuros empresários, quer no acompanhamento e assistência técnica durante o processo de gestação dos novos empreendimentos e de consolidação e desenvolvimento das empresas nascentes.

Nesta perspetiva, estimular a capacidade empreendedora passa por induzir comportamentos favoráveis à inovação sistemática, mas também por criar dinâmicas de capacitação de base e de aperfeiçoamento contínuo capazes de acelerar o processo de modernização e de crescimento económico.

Outubro de 2009 Dr. Luis Filipe Costa Presidente do IAPMEI

18

CAPÍTULO I Introdução à análise de risco e incerteza

Introdução à análise de risco e incerteza

Capítulo I

1. Introdução à análise de risco e incerteza Numa obra que aborda a temática de investimentos em ativos reais, aparece agora um capítulo cujos temas se enquadram sobretudo no âmbito da análise de investimentos financeiros. Justifica-se, porque serão abordados temas que pretendem contribuir para a melhor compreensão de algumas ferramentas de análise de investimentos em ativos reais. O desenvolvimento dado aos assuntos será orientado de acordo com esse objetivo.

1.1 Teoria da incerteza Até agora não tivemos em conta o comportamento do investidor face ao risco e à incerteza; já nos preocupámos em encontrar formas de incluir o risco na tomada de decisões, mas não avançámos explicações sobre o comportamento do investidor.

O comportamento do investidor vai depender do seu gosto pelo risco, para o que necessitamos de realizar uma incursão em alguns conceitos da microeconomia. Vamos começar por ver algumas definições, para depois podermos utilizá-las no desenvolvimento do modelo que anças Empresariais Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza pretende explicar o comportamento do investidor.

1.1 Lotaria / jogo 1.1.1 Lotaria / jogo

1.1.1 Definição de lotaria / jogo

1.1.1.1 Definição de lotaria / jogo onsideremos que Li é a variável lotaria ou o jogo, podemos definir

Consideremos que Li é a variável lotaria ou o jogo, podemos definir

Li  p  x  1 p   y

m que: Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

x e y são dois resultados possíveis;

21

o resultado x acontece com a probabilidade p e o resultado y acontece com a probabi-

Capítulo I

Análise de risco e incerteza

em que: - x e y são dois resultados possíveis; - o resultado x acontece com a probabilidade p e o resultado y acontece com a probabilidade 1–p (o que não é limitativo, pois tanto x como y poderão ser desagregados em outros dois resultados possíveis, e assim sucessivamente).

Assim, se p = 1 ou p = 0, significa que não existe incerteza.

1.1.1.2 Definição de espaço de lotarias / jogos disponíveis Agregando todas as lotarias / jogos disponíveis, obtemos o seguinte conjunto: L = {L1, L2, ..., Ln}

1.1.2 Utilidade É sabido que o jogo nos casinos, nas lotarias do Estado e na grande maioria das situações, tem um valor esperado negativo, ou seja, a soma dos prémios obtidos é inferior à soma total das apostas efetuadas. Nestes casos, se um indivíduo repetir o jogo um número tendencialmente infinito de vezes, ficará sempre a perder. Em algumas situações, a diferença é tão grande que o valor esperado do jogo é menos de metade do valor da aposta. No entanto, os indivíduos mesmo sabendo disso, optam por jogar. Porque é que isso acontece? É o que poderemos responder se considerarmos que o jogo, por si só, dá satisfação ao indivíduo.

Podemos também considerar que há uma função Utilidade que representa as preferências dos investidores neste ambiente de incerteza, embora diferente das funções utilidade estudadas perante um ambiente de certeza.

22

nanças Empresariais Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza os investidores neste ambiente dequeincerteza, embora diferente das funções utilidade Podemos também considerar umaUtilidade função Utilidade que as representa as preferências Podemos também considerar há que uma há função Utilidade que representa representa as preferências Podemos também considerar que há uma função que preferências

Podemos também considerar que há uma função Utilidade que as preferências Finanças Empresariais Cap.representa V – Introdução à análise de risco e incerte studadas perante um ambiente de certeza. dos investidores neste ambiente de incerteza, embora diferente das funções utilidade dos investidores neste ambiente de incerteza, embora diferente das funções utilidade diferente das funções utilidade odemos dos também considerar há uma Utilidade representa as preferências investidores nesteque ambiente de função incerteza, emboraque

estudadas perante um ambiente ambiente de certeza. certeza.

Podemos também considerar que há uma função Utilidade que representa estudadas perante um ambiente de certeza. estudadas perante um de os investidores neste ambiente de incerteza, diferente das funções utilidadeas preferênci Introdução à análise de riscoembora e incerteza Capítulo I .1.2.1 Funçãodos Utilidade von-Neumann–Morgenstern (VNM) embora diferente das funções utilidad investidores neste ambiente de incerteza, studadas perante um ambiente de certeza.

5.1.2.1 Função Função Utilidade Utilidade von-Neumann–Morgenstern von-Neumann–Morgenstern (VNM) (VNM) 5.1.2.1 5.1.2.1 Função Utilidade von-Neumann–Morgenstern (VNM) estudadas perante um ambiente de certeza. eja U p  x  1 p   y  a função utilidade VNM: Up p  xx   1 von-Neumann–Morgenstern Seja U função utilidade utilidade VNM: VNM:(VNM) .1.2.1 Função Utilidade pp1yypaa função Seja U p 1Função x  y  a função Seja utilidade VNM: 1.1.2.1 Utilidade von-Neumann–Morgenstern 5.1.2.1 Função   y  = pU(x) + (1 – p)U(y) (VNM) U p Utilidade x  1 pvon-Neumann–Morgenstern (VNM)  U p  x  1 p p yy  = = pU pU((xx)) + + (1 (1 –– pp))U U((yy)) eja U p  x  1 p   y  a função VNM: U putilidade  x  1     U p  x  1  p  y = pU ( x ) + (1 – p)U(y) Seja U p  x  1 p   y  aa função VNM: Seja funçãoutilidade utilidade VNM: A utilidade que alguém consegue retirar de uma lotaria é exactamente igual à utilidade dos A utilidade utilidade que que alguém alguém consegue retirar de uma uma lotaria igual àà utilidade utilidade dos dos A éépexactamente igual   y  =de U p  xconsegue  1 pretirar (x)+lotaria +(1(1– –p)U(y) )exactamente U(y) = pU pU(x) róprios prémios, multiplicada pelas suas probabilidades.

A utilidade alguém pelas consegue retirar de uma lotaria é exactamente igual à utilidade dos próprios prémios,que multiplicada suas probabilidades.

U suas p retirar  xprobabilidades.  de 1uma p  lotaria y  = pU (x) + (1 – p)U(y) próprios prémios, multiplicada pelas A utilidade que alguém consegue é exatamente próprios multiplicada pelas suas probabilidades. igual à prémios, utilidade dosretirar próprios multiplicada pelas suas utilidade que alguém consegue de prémios, uma lotaria é exactamente igual à utilidade dos m

 

m m

Aprobabilidades. retirar de uma lotaria é exactamente igual à utilidade do  Li   U Generalizando: Generalizando: ULque Lipj  alguém U xxconsegue Uutilidade U x pjp jU  Generalizando: róprios prémios, multiplicada pelas  i j suas jj  probabilidades. m j 1 jj 11 próprios prémios, suas probabilidades.

Generalizando: U Lmultiplicada Generalizando: i    p j U xpelas j m

 

j 1

 

função Generalizando: Li   função p j U xutilidade 5.1.2.2 UTeorema: Teorema: função utilidade j m 5.1.2.2 .1.2.2 Teorema: utilidade j  1    putilidade Generalizando: U Lifunção 1.1.2.2 Teorema: jU x j

 

Teorema: função utilidade j 1uma Sob 5.1.2.2 as necessárias necessárias hipóteses, existe uma função função utilidade utilidade U U definida definida em em L,, tal tal que: que: Sob as hipóteses, existe Sob hipóteses, as necessárias hipóteses, existe uma função utilidade U definida ob as necessárias existe uma função utilidade U definida em L, Ltal que: em função L, tal que: .1.2.2 Teorema: utilidade Upp  xx   1 1existe  p   yuma pU + (1 (1 U((yy)) U definida em L, tal que: Sob as necessárias U hipóteses, função utilidade –– pp))U  == pU ((xx)) + 5.1.2.2 Teorema:  yp = ypU(x) U p  x função  1 putilidade pU(x)++(1(1– –p)U(y) p)U(y) ob as necessárias hipóteses, existe uma função utilidade U definida em L, tal que: EXEMPLO V.1.

V.1. U Situação de1indiferença indiferença numa lotaria p  de  =numa x  p   ynuma pU (xlotaria ) + (1 – p)U(y) EXEMPLO Situação de EXEMPLO I.1 Situação indiferença lotaria Sob as necessárias hipóteses, existe uma função utilidade EXEMPLO V.1. Situação de indiferença numa lotaria U definida em L, tal que: 1existe  =lotaria U p  x que  existe p   uma y uma Considere que existe uma lotaria que oferece seguinte conjunto conjunto de de pU (x) que + (1 – poferece )U(yo) seguinte Considere que lotaria que oo seguinte Considere oferece EXEMPLO V.1. Situação de indiferença numa lotaria 1Parece  10 U {10; pParece lotaria x4;–2}. p lucro  yoferece = (xomelhor )melhor + (1é o–eepo)oUcusto (conjunto y) 22 oo pior.

Considere que {10; existe uma que seguinte de conjunto de prémios: que 10 prémios: {10; 4; –2}.

–2}.

Parece que lucro 10opU custo pior. prémios: 4; que oo éélucro oo prémios: {10; 4; –2}. Parece que o lucro 10 é o melhor e o custo 2 o pior.

melhor e oSituação custo 2 o de pior.

Então, qual numa deverá lotaria ser a resposta EXEMPLO V.1. indiferença Então, qual deverá serque resposta do investidor para uma situação deconjunto de prémios:Então, {10; 4; –2}.deverá Parece o lucro 10 éinvestidor o melhor e ouma custo 2 o pior.

Considere queser existe uma do lotaria que para oferece o situação seguinte qual aa resposta de do investidor para uma situação de indiferença em cada um EXEMPLO V.1. Situação de indiferença numa lotaria indiferença em cada um dos seguintes casos?

indiferença em cada dos casos? dos que seguintes casos?

Então, qual deverá ser aum do investidor situação de prémios: {10; 4;resposta –2}.seguintes Parece que o lucro 10 éuma o melhor e o de custo 2 o pior Considere existe uma lotaria que oferece o para seguinte conjunto pcada 10   2 2existe indiferença um casos?

10 ~em <= = Considere que uma queinvestidor oferece conjuntoded Então, qual ser a1 do para  seguintes 4; 11dos  <= p –2}.

10 ppdeverá  <= ppp = = 111 resposta 10 ~ <= = 10{10; 10 ~ prémios: Parece que o lucro 10lotaria é o melhor e o custoo 2seguinte o uma pior. situação prémios: {10; 4; –2}.

Parece que o lucro é o melhor em <= cada um casos?

Então, do investidor para10uma situaçãoe o decusto 2 o pio p 10 pser 2 2p<= <= p''' dos 0,6seguintes deverá 1 p444 ~~~10indiferença = 1 10 ~ qual p’ = 0,6 111pp2a'''resposta p 10   2 <= p '''10  = 0,6 Então, qual deverá ser a resposta do investidor para uma situação d indiferença em cada um dos seguintes <= pp<= 1p'22=p <=  10  pcasos?

2'' =<= 10 ~10p p=1 <= p ' '   1  ' ' -2 ~     p ' '  10  1  ' ' ~ pp’’ '' = ==0      '-2 10  1  p '   2 4 ~ p -2 0,6 ~ p ' '10  1 p ' '  2 <= p '' 000 indiferença em cada um dos seguintes casos? sinal    <= p  10   2de 10 ~ Nota: “~” considera-se 1“indiferença”. pop'pde 10 pp = ' 12 <= p' = 0,6 4 ~1 Nota: “~” considera-se o sinal “indiferença”.      p ' '  10  1 ' '   2 -2 ~ <= '' =  02 <= p = 1 Nota: “~” considera-se o sinal de “indiferença”.

Nota: “~” considera-se 10 o sinal p “indiferença”.

10  1pp ~ de Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 2<= 4 ~ p '10  p'''10 1p' =situação  <= p'' =a0ter 4? O  p 0,6 ' '  2indiferente -21~o p 10 e –2 que coloca indivíduo numa p '10  1 p '  2 <= p' = 0,6 Nota: “~” considera-se o sinal4de~“indiferença”.

3/52 -2 ~ p ' '10  1 p ' '  2 <= p3/52 '' = 0 3/52 Nota: “~” considera-se o sinal de “indiferença”.

Análise - Volume 2 23   2 Reais ' '10  1em p ' 'Ativos -2 ~depInvestimentos <= p'' =0

Nota: “~” considera-se o sinal de “indiferença”.

3/52 Nota: “~” considera-se o sinal de “indiferença”.

3/52

Finanças Empresariais Finanças Empresariais

Cap. V – Introdução à análise de risco e in Cap. V – Introdução à análise de risco e in

Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 10 e –2 que co Neste exemplo, na segunda situação, qual a probabilidade de saída de 10 e –2 que co indivíduo numa situação indiferente a ter 4? O indivíduo pode responder que o valo indivíduo numa situação indiferente a ter 4? O indivíduo pode responder que o valo Capítulo Análise de riscoapesar e incerteza pois é Iele quem o define de, eventualmente, poder parecer-nos um pois é ele quem o define apesar de, eventualmente, poder parecer-nos um desajustado. desajustado.

Podemos então comparar os valores 10, 4 e –2 da seguinte forma: Podemos então comparar os valores 10, 4 e –2 da seguinte forma: indivíduo pode responder que o valor é 0,6 pois é ele quem o define U(10) = 1 <= prémio máximo apesar de, poder parecer-nos um pouco desajustado.

U(10) = eventualmente, 1 <= prémio máximo

Podemos então os valores 10, 4 e –2 da seguinte forma: U(4) = 0,6 <=comparar prémio intermédio U(4) = 0,6 <= prémio intermédio U(10) = 1 <= prémio máximo U(-2) = 0 <= prémio mínimo U (-2) = = 0,6 0 <=<= prémio mínimo U(4) prémio intermédio

Assim, se tivermos U(-2)por = 0 exemplo, <= prémio mínimoas seguintes lotarias, já podemos calcular os valo Assim, por exemplo, se tivermos as seguintes lotarias, já podemos calcular os valor suas utilidades: Assim, por exemplo, se tivermos as seguintes lotarias, já podemos suas utilidades: calcular os valores das suas utilidades: L1 = 0,2  4  0,8  10 LL11 == 0,2  4  0,8  10

LL22 == 0,07  2  0,03  4  0,9  10 L2 = 0,07  2  0,03  4  0,9  10 U(L1) = 0,2 U(4) + 0,8 U(10) = 0,2 X 0,6 + 0,8 X 1 = 0,92 U(L1) = 0,2 U(4) + 0,8 U(10) = 0,2X0,6 + 0,8X1 = 0,92 0,07UU(–2) + 0,03 + X0,9 U(L U (L12)) == 0,2 (4) + 0,8 U(10)U(4) = 0,2 0,6 U(10) + 0,8X=1 = 0,92

(L2) == 0,07 0,07 U X (–2) 0++ 0,03 X 0,6 1(10) = 0,918 U 0,03 U(4)++0,9 0,9XU = U(L2) = 0,07 U(–2) + 0,03 U(4) + 0,9 U(10) = Podemos concluir que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem = 0,07X0 + 0,03X0,6 + 0,9X1 = 0,918 uma =utilidade entanto, o valor esperado de L1 é 0,2 X 4 0,07X0 +superior.

0,03X0,6No + 0,9 X1 = 0,918 + 0,8 X 10 = 8,8 superior ao valor esperado de L2 é 0,07 X (–2) + 0,03 Podemos concluir que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem uma utilidade su XPodemos 4 + 0,9 Xconcluir 10 = 8,98. que a lotaria L1 é preferível à lotaria L2, pois tem uma utilidade su No entanto, o valor esperado de L1 é 0,2X4 + 0,8X10 = 8,8 superior ao valor esperado No entanto, o valor esperado de L1 é 0,2X4 + 0,8X10 = 8,8 superior ao valor esperado é 0,07X(–2) + 0,03X4 + 0,9X10 = 8,98.

é 0,07X(–2) + 0,03X4 + 0,9 X10 relação = 8,98.

1.1.3 Preferências em ao risco

A aparente incongruência dos cálculos anteriores justifica-se pelo 5.1.3 Preferências em relação ao risco facto este consumidor avesso ao 5.1.3dePreferências emser relação aorisco: riscoem L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1, não. Relativamente a um investidor, A aparente incongruência dos cálculos anteriores justifica-se pelo facto de este cons podemos deparar-nos com dos três cálculos situaçõesanteriores distintas perante o risco.

A aparente incongruência justifica-se pelo facto de este consu ser avesso ao risco: em L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1 ser avesso ao risco: em L2 ele tem a hipótese de perder, enquanto que em L1 Relativamente a um investidor, podemos deparar-nos com três situações distintas pe Relativamente a um investidor, podemos deparar-nos com três situações distintas per risco. risco.

4/52 4/52

24

Finanças Empresariais

Cap.eVincerteza – Introdução à análise de risco Introdução à análise de risco Capítulo I e incerteza

5.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco 1. Indiferença perante o risco: a rendibilidade exigida a um activo não varia quando varia o

1.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco

seu risco. O que não é habitual, pois se o risco de um activo aumenta, o investidor tende a exigir uma remuneração maior.

1. Indiferença perante o risco: a rendibilidade exigida a um ativo varia quando varia o seu risco.

O que não habitual, risco: esta é a situação mais comum, poisé traduz a pois situação de um 2. Aversão face aonão se o risco de um ativo aumenta, o investidor tende a exigir uma investidor que exige maior rendibilidade a um activo à medida que o seu risco vai remuneração maior. aumentando. 2. Aversão face ao risco: esta é a situação mais comum, pois traduz a situação de um investidor que exige maior rendibilidade a um o risco: entre que doisoactivos com mesma rendibilidade, um investidor 3. Propensão para ativo à medida seu risco vai aaumentando.

propenso ao risco vai escolher aquele que apresenta maior risco. É umarendisituação que não 3. Propensão para o risco: entre dois ativos com a mesma bilidade, um investidor propenso ao risco vai escolher aquele é habitual encontrar-se. que apresenta maior risco. É uma situação que não é habitual encontrar-se.

Estes comportamentos podem ser explicados com recurso à utilidade que um jogo apresenta Estes comportamentos podem ser explicados com recurso à utilidade para um investidor: que um jogo apresenta para um investidor:

U p  x  1 p   y  Utilidade do Jogo Utilidade do Jogo U(jogo) U(jogo)

: :: :

(1–p)y] U[U[px px  +(1– p)y]

Utilidade do Valor Utilidade do Valor EsperadododoJogo Jogo : :: : Esperado U[E(jogo)] U[E(jogo)]

1. “=” : Se a Utilidade do Jogo é igual à Utilidade do valor Esperado 1. “=” : Se a Utilidade do então Jogo o é investidor igual à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o do Jogo, é indiferente ao risco;

investidor é indiferente 2. “<” : Seaoa risco; Utilidade do Jogo é inferior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o investidor tem aversão ao risco; 2. “<” : Se a Utilidade do Jogo é inferior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o 3. “>” : Se a Utilidade do Jogo é superior à Utilidade do valor investidor tem aversão ao do risco; Esperado Jogo, então o investidor tem gosto pelo risco.

3. “>” : Se a Utilidade do Jogo é superior à Utilidade do valor Esperado do Jogo, então o investidor tem gosto pelo risco.

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

25

gosto pelo risco indiferença ao risco aversão ao risco Capítulo I Análise de risco e incerteza U(Y) U(jogo) < U[E(jog U[E(jogo)] = U(½X + ½Y) Utilidade (U)

Finanças Empresariais

Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

U(jogo) = ½U(X) + ½U(Y) FIGURA V.1

• • • • •••

U(jogo) = U[E(jog

Comportamento do investidor face ao risco

FIGURA I.1 Comportamento do investidor face ao risco

U(X)

Utilidade (U)

U(Y) U[E(jogo)] = U(½X + ½Y) U(jogo) = ½U(X) + ½U(Y)

investidor avesso ao risco

U(X)

U jogo) > U[E(jog

gosto pelo risco ( indiferença ao risco aversão ao risco U(jogo) < U[E(jogo)]

• • X•

U(jogo) = U[E(jogo)]

Y

U(jogo) > U[E(jogo)]

Rendimento (W)

½X + ½Y

investidor avesso ao risco

X

Y

Rendimento (W)

½X + ½Y

O comportamento habitual dos investidores é apresentarem aversão ao risco, ou seja O comportamento habitual dos investidores é apresentarem aversão O comportamento habitual dos investidores apresentarem aversão ao ou seja, exigirem rendibilidades maiores aos activos queéapresentam maior risco. ao risco, ou seja, exigirem rendibilidades maiores aosrisco, ativos que exigirem rendibilidades maiores aos activos que apresentam maior risco. apresentam maior risco.

Graus de aversão ao risco 5.1.3.2 Graus de 5.1.3.2 aversão ao risco Podemos definir o grau de ao risco, ao de forma absoluta, com a seguinte equação: 1.1.3.2 Graus deaversão aversão risco Podemos definir o grau de aversão ao risco, de forma absoluta, com a seguinte equação: U ' ' W 

Podemos definir o grau de aversão 1 (jogo)  ao risco, de forma absoluta, com ARA U ' W  a seguinte equação:



U ' ' W  U ' W 

1 1(jogo) em que U’’'(W) e U''(W) são, respectivamente, (jogo) a segunda e primeira derivadas da Utilidade ARA ARA de um jogo em relação ao rendimento.

em que U’’’(W) e U’’(W) são, respetivamente, a segunda e primeira da Utilidade de um jogo a emsegunda relação ao rendimento. em que U’’'(W) ederivadas U''(W) são, respectivamente, e primeira derivadas da Utilidad Por aqui ver que quanto mais côncava a Utilidade, mais de um jogo em relação aopodemos rendimento. aversão existirá ao risco, e vice versa: 1

ARA: absolute risk aversion.

1. ARA (jogo) > 0 : U’’’(W) é negativa, logo U’ (W) é côncava, por isso o sujeito é avesso ao risco.

6/52 2. ARA (jogo) < 0 : U’’’(W) é positiva, logo U’ (W) é convexa, por isso o sujeito é amante do risco.

1. ARA: absolute risk aversion.

1

ARA: absolute risk aversion.

26 6/52

risco.

2. ARA (jogo) < 0 : U'’'(W) é positiva, logo U’ (W) é convexa, por isso o sujeito é amante

risco.

Introdução à análise de risco e incerteza

Capítulo I

3. ARA (jogo) = 0 : U''’(W) é nula, logo U’ (W) é linear, por isso o sujeito é indiferente

risco.

3. ARA (jogo) = 0 : U’’’(W) é nula, logo U’ (W) é linear, por isso o sujeito é indiferente ao risco. mbém podemos definir o grau de aversão ao risco de forma relativa: Também podemos definir o grau de aversão ao risco de forma relativa: (jogo)  W RRA22 (jogo) RRA

U ' ' W  U ' W 

RRA mede o impacto de uma variação relativa da riqueza na aversão ao risco.

A mede o impacto de uma variação relativa da riqueza na aversão ao risco.

1.1.4 Investimentos em ativos financeiros 1.4 Investimentos em activos financeiros

aW

Seja W o património de um indivíduo, consideremos a hipótese de investir ≤ W, cuja taxaconsideremos de remuneração pode variar duas o património de Xum indivíduo, a hipótese de entre investir X alternativas:

W, cuja taxa

remuneração pode variar entre duas alternativas: - rb (com probabilidade p)

- rw (com probabilidade 1–p) rb (com probabilidade p)

Finanças Empresariais Cap.património V – Introdução à análise de risco e incerteza Se se verificar o primeiro caso, o indivíduo atingirá um Finanças Empresariais Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

W–X+X+ rw (com probabilidade 1–rbpX) = W+ rb X; se se verificar o segundo, o património do

=(W + de(W W +– rXbX +) X++(1– r pX)U Uindivíduo (riqueza)será = pU + rrwX. X) U(riqueza) = pU(W + rbX ) + (1–wp)U(W + rwwX) Assim, teremos: se verificar o primeiro caso, o indivíduo atingirá um património W – X + X + rb X = W+ rb

Sendo objectivo do indivíduo maximizar a sua riqueza, teremos de verificar as seguintes + rwX)a sua riqueza, teremos de verificar as seguintes U(riqueza) = pU(W rbX) + (1–p)U(W Sendo objectivo do +indivíduo maximizar se se verificar o segundo, o património do indivíduo será de W – X + X + rw X = W + rw X. condições: Sendo objetivo do indivíduo maximizar a sua riqueza, teremos de condições:

im, teremos: verificar as seguintes condições:

dU (W )  Condição de primeira ordem: dU (W ) = 0  pU'(W + rbX)rb+(1–p)U(W + rwX)rw = 0 Condição de de primeira primeira ordem: ordem: ⇒ pU pU’(W '(W ++ rrbbXX))rb+(1–p)U(W + rwX)rw = 0  - Condição dW = 00  dW rb+(1–p)U(W + rwX)rw = 0

2 2 U (W ) < ordem: dd ⇒ pU pU’’(W - Condição Condição de de segunda segunda ordem: ''(W ++rbrbXX) )r2b2+(1–p)U''(W + rwX)rw2 2 < 0 U (W2) < 00   Condição de segunda ordem: < 0  pU ''( W + r X ) r b b +(1–p)U''(W + rwX)rw < 0 d W rb2+(1–p)U’’(W + rwX)rw2 < 0 dW 2 RA: relative risk aversion.

Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento aumenta, o Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento aumenta, o que pode ser explicado duas vias: por um lado, para atingir o máximo torna-se 2. RRA: relative aversion. por7/52 que pode ser risk explicado por duas vias: por um lado, para atingir o máximo torna-se necessário investir mais, e por outro, a incerteza também diminui. necessário investir mais, e por outro, a incerteza também diminui.

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2 27 Também se prova que o agente para poder optar entre activos financeiros deve calcular o Também se prova que o agente para poder optar entre activos financeiros deve calcular o valor esperado e a variância da taxa de aplicação, consoante os cenários económicos valor esperado e a variância da taxa de aplicação, consoante os cenários económicos



Condição de primeira ordem:



Condição de segunda ordem:

Capítulo I

= 0  pU'(W + rbX)rb+(1–p)U(W + rw

dW

d2U (W ) dW 2

< 0  pU''(W + rbX)rb2+(1–p)U''(W + rw

Análise de risco e incerteza

Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento au

que pode ser explicado por duas vias: por um lado, para atingir o máximo

necessário investir mais, e por outro, a incerteza também diminui.

Por exemplo, se houver uma taxa de imposto, podemos ver que o investimento aumenta, que pode serpoder explicado duas vias: por Também se prova que oo agente para optarpor entre activos financeiros deve c um lado, para atingir o máximo torna-se necessário investir mais, e valor esperado e a variância da taxa de aplicação, consoante os cenários ec por outro, a incerteza também diminui. possíveis.

Também se prova que o agente para poder optar entre ativos financeiros

deve calcular o valor esperado e a variância da taxa de aplicação, Consideremos quatro activos com possíveis. diferentes comportamentos em termos de rend consoante os cenários económicos

risco (medido pela variância).

Consideremos quatro ativos com diferentes comportamentos em termos de rendimento e risco (medido pela variância).

Rendibilidade e risco FIGURA FIGURAV.2 I.2 Rendibilidade e risco E(rendimento)

• A

• B

•

• D

C

VAR(rendimento) Por exemplo, se for avesso ao risco, o investidor não escolherá os 8/52 ativos C ou D. Eventualmente, poderá escolher C em vez de A, caso não seja avesso ao risco e se a taxa máxima de remuneração de C for superior à de A. Suponhamos que o investidor pretende constituir uma carteira que é uma combinação linear de dois ativos financeiros com as seguintes características:

28

Eventualmente, poderá escolher em vezàde máxima de remuneração de C forCsuperior de A, A. caso não seja avesso ao risco e se a taxa máxima de remuneração de Cpretende for superior à de A.uma Suponhamos Suponhamos que que oo investidor investidor pretende constituir constituir uma carteira carteira que que éé uma uma combinação combinação linear linear Suponhamos que o investidor pretende constituir umaque carteira que é uma combinação linear Suponhamos que constituir uma carteira Suponhamos Suponhamos que queoooinvestidor investidor investidorpretende pretende pretende constituir constituir uma uma carteira carteiraque queéééuma uma umacombinação combinação combinaçãolinear linear linear de de dois dois activos activos financeiros financeiros com com as as seguintes seguintes características: características: Suponhamos que o investidor constituir uma carteira que é uma combinação linear de dois activos financeiros compretende as seguintes características: máxima àààde máxima máximade de deremuneração remuneração remuneraçãode de deCCCfor for forsuperior superior superior de deA. A. A.

de de dedois dois doisactivos activos activosfinanceiros financeiros financeiroscom com comas asasseguintes seguintes seguintescaracterísticas: características: características: Introdução à análise e incerteza Capítulo I activos financeiros comde asrisco seguintes características: XXde::dois EE ,, VAR VAR 11

11

11

XX1X1:1:XE:E11E1, 1,:VAR ,VAR EVAR 11 1, 1VAR 1

VAR221 XXX221:::EEE221,,,VAR VAR

XX2X2:2:XE:E2E2, 2,:VAR ,VAR 22 EVAR , 2VAR 2

2

2

X2constituição : E2, VAR2 da AA constituição da carteira carteira (P) (P) vai vai ter: ter:

Xconstituição : E1, VARda AAAconstituição carteira constituição da carteira(P) (P) (P)vai vai vaiter: ter: ter: 1 1dacarteira

A constituição da carteira (P) vai ter:

XA2 X :XE2, VAR2 constituição da carteira (P) vai ter: XX X 111 11= percentagem == percentagem percentagem de de investimento investimento em XX11 de em = = percentagem percentagem de deinvestimento investimento investimento emXX1X11 em X constituição da carteira (P) vai ter: em X X   X X XX1X1A X 1   X X 1 1 2 2 2 1 22 = percentagem de investimento em X

1 X 1X1X 2 = percentagem de investimento em X percentagem de investimento em 1X1 X XXX 12X22X 2 22X ===percentagem de em percentagem percentagem de deinvestimento investimento investimento em emXX2X22 em == percentagem percentagem de de investimento investimento em XX22 XX1X1X X X2 X X 1X 2 2  X X 2 11 22 == percentagem percentagem de de investimento investimentoem emXX 2 2 X 1X2X 2 = percentagem de investimento em X 2 XXX 111 E + X==1 XXXX E(P) EXE2E2222 2X E(P) E(P)= X1E11E11++E +222 X E(P) = E + X2X22 X2X22 E(P) E(P)XX== EX EX EE 1X11X 111X1+ 1X XX2X22 222 X X X X1X22 X X  1 1 1 1 E1 + E2 E(P) = X X X X X X E(P) = 1X 1 22E221 + 12X 2 E2222 XXX XXX XX 222 COV(X 11X 222 VAR 1 2VAR VAR(P)= VAR +1+ XX2X VAR ,X COV( XX VAR(P) ===X 212X 22+2 111 VAR + VAR +2 COV( COV( ,2X,)2X2) 2) ) VAR(P) VAR(P) 11 11X 222+2 1+ 2 1,X 1  VAR XXXX X XXX1  VAR         X X X  X X  X X X X X X X   X X X X  1X X22 XX 22 X X X X    1 2 1 2 111 2 1 2 1     1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2          2VAR  2VAR VAR11++ VAR22+2 +2 COV( COV(XX11,,XX22)) VAR(P) VAR(P) ==  XX11X XX11 XX2X22 XX2X22  X X X X1X22 XX11 X1X22  1 1        COV(X1,X2) VAR(P) =  2 VAR1+  2 VAR2+2  X 1X1X 2   X 1X2X 2  VAR +2 X 1X1X 2 X 1X2X 2 COV(X ,X )   VAR + VAR(P) = 1  2 1 2 5.1.5  X  estocástica   5.1.5 5.1.5Dominância Dominância Dominância estocástica estocástica X1  X 2 X1  X 2 1.1.5 Dominância  1 X 2  estocástica  X1  X 2  5.1.5 5.1.5 Dominância Dominância estocástica estocástica Após oooestudo teoria da incerteza, podemos provar que Após Após estudo estudoda da da teoria teoria da da incerteza, incerteza, podemos podemos provar provar que que asasfunções funções funçõesutilidade utilidade utilidadesó só sósão são são Após da teoria da incerteza, podemos provar queas funções 5.1.5o estudo Dominância estocástica utilidadesesese só são necessárias se os mercados não ver forem completos. necessárias os mercados não forem completos.

Vamos necessárias necessárias os os mercados mercados não não forem forem completos. completos.

Vamos Vamos ver vercomo. como. como.

5.1.5ooDominância estocástica Após Após estudo estudo da da teoria teoria da da incerteza, incerteza, podemos podemos provar provar que que as as funções funções utilidade utilidade só só são são

Vamos ver como.

Após o estudo da teoria da incerteza, podemos provar que as funções utilidade só são necessárias se se os os mercados mercados não nãoUm forem forem completos. completos.

Vamos Vamos ver ver como. como. necessárias Condição de primeira ordem: activo (ou de domina  - Condição Condição de de primeira primeira ordem: ordem: Um Um activo activo (ou (oucarteira carteira carteira de deactivos) activos) activos) domina dominaestocasticaestocasticaestocasticaCondição de primeira ordem: Um ativo (ou carteira de ativos) Após o estudo da teoria da incerteza, podemos provar que as funções utilidade só são necessárias se os mercados não forem completos.

Vamos ver como. mente outro(s) se recebe maior riqueza para todos mente mente outro(s) outro(s) seseum um umindivíduo indivíduo indivíduo recebe recebe maior maior riqueza riqueza para para todos todosos os osestados estados estadosda da da domina estocasticamente outro(s) se um indivíduo recebe maior necessárias se osde mercados não foremUm completos.

Vamos ver de como.  riqueza Condição Condição de primeira primeira ordem: ordem: Um activo activo (ou (ou carteira carteira de activos) activos) domina domina estocasticaestocasticapara todos os estados da natureza. natureza. natureza. natureza.  Condição de primeira ordem: Um activo (ou carteira de activos) domina estocasticamente menteaplica-se outro(s) outro(s)ase se um um indivíduo recebe recebe maior maior riqueza riqueza para todos todos os os estados estados da da Esta condição todas as indivíduo funções utilidade crescentes.

Vejamos para  Condição de primeira ordem: Um activo (ou carteira de activos) domina estocasticamenteatravés outro(s) se um indivíduo recebe riqueza a explicação da utilização de um gráfico ondemaior conjugamos as para todos os estados da natureza. natureza. mente outro(s) se um indivíduo recebe maior (W) riqueza probabilidades de ocorrência de um determinado rendimento com para todos os estados da natureza. o valor desse rendimento. natureza.

9/52 9/52 9/52

9/52 9/52 9/52 9/52

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

29

Finanças Empresariais

Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

Capítulo I de funções risco e incerteza Esta condição aplica-se aAnálise todas as utilidade crescentes. Vejamos a explicação através da utilização de um gráfico onde conjugamos as probabilidades de ocorrência de um determinado rendimento (W) com o valor desse rendimento.

FIGURA V.3

Rendimento de dois activos: dominância estocástica (1)

FIGURA I.3 Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (1) f (W)

gy (W)

fx (W) W F (W) 1,0

Gy (W)

Fx (W)

0,5

W Legenda:

Legenda: f(W): função distribuição de probabilidade de W;

f(W): função distribuição de probabilidade W; F(W): função de probabilidadedeacumulada de W. F(W): função de probabilidade acumulada de W.

O ativo X é preferível ao ativo Y, pois é sempre mais provável queX proporcione maior riqueza que Y (note-se que G e F nunca se O activo X é preferível ao activo Y, pois é sempre mais provávely queXx proporcione maior cruzam): W é sempre maior para X do que para Y, para uma mesma riqueza que Y (note-se que Gy e Fx nunca se cruzam): W é sempre maior para X do que para probabilidade acumulada.

Y, para uma mesma probabilidade acumulada.

- Condição de segunda ordem: As funções utilidade marginal [U’(W)] são positivas e a função utilidade total [U(W)] é crescente a taxas decrescentes. Ou seja, são não decrescentes e côncavas.

10/52

30

Finanças Empresariais



Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

Condição de segunda ordem: As funções utilidade marginal [U’(W)] são positivas e a Introdução à análise de risco e incerteza Capítulo I função utilidade total [U(W)] é crescente a taxas decrescentes. Ou seja, são não decrescentes e côncavas.

Esta condição permite demonstrar que um indivíduo avesso ao risco, ao escolher entre dois Estaocondição permite demonstrar um indivíduo avesso activos com mesmo valor esperado, prefereque o activo com menor risco.ao risco, ao escolher entre dois ativos com o mesmo valor esperado, prefere o ativo com menor risco.

Graficamente, esta condição pode ser analisada da seguinte forma.

Graficamente, esta condição pode ser analisada da seguinte forma.

FIGURA V.4 Rendimento de dois activos: dominância estocástica (2) FIGURA I.4 Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (2) f (W)

fx (W)

gy (W) W F ( W) 1,0

Fx (W) Gy (W)

0,5

W Para avaliarmos qual o ativo dominante, podemos calcular a soma Para avaliarmos qual odas activo dominante, acumuladas: podemos calcular a –soma das diferenças das Fx(W)]dW. das diferenças probabilidades f[Gy(W) Graficamente, a sua f[G representação aW seguinte. probabilidades acumuladas: . Graficamente, a sua representação é a y(W) – Fx(Wé)]d seguinte.

11/52

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

31

Capítulo I

Análise de risco e incerteza

Finanças Empresariais

FIGURA V.5

Cap. V – Introdução à análise de risco e incerteza

Dominância estocástica (2): soma das diferenças das probabilidades

FIGURA I.5 Dominância estocástica (2): soma das diferenças das acumuladas probabilidades acumuladas f [Gy(W) – Fx(W)]dW

x = y

W

Esta segunda condição diz-nos que para o ativo x dominar o ativo y para qualquer investidor avesso ao risco, a área acumulada abaixo investidor ao risco, a área acumulada abaixo da probabilidade da avesso distribuição de probabilidade acumulada de ydistribuição deverá serde superior acumulada de yacumulada deverá ser superior à áreaqualquer acumuladanível de x,de para qualquerNo nível de riqueza. à área de x, para riqueza. nosso caso, até à média, G (W) é sempre maior que F (W), acontecendo o No nosso caso, até à média, Gyy(W) é sempre maior que Fx(W x ), acontecendo o contrário a contrário a partir desse ponto. No entanto, podemos reparar que a partir desse ponto. No entanto, podemos reparar que a soma das diferenças entre as duas soma das diferenças entre as duas funções densidade acumuladas é funções densidade acumuladas é sempre positiva (ou nula), pelo que podemos concluir que sempre positiva (ou nula), pelo que podemos concluir que x domina y.

Esta segunda condição diz-nos que para o activo x dominar o activo y para qualquer

x domina y.

A dominância estocástica baseia-se na maximização da utilidade esperada e aplica-se a qualquer distribuição de probabilidade: A dominância estocástica baseia-se na maximização da utilidade esperada e aplica-se a qualquer que seja o seu tipo de função, é possível fazer uma escolha qualquer distribuição de probabilidade: qualquer que seja o seu tipo de função, é possível independente das funções utilidade. fazer uma escolha independente das funções utilidade.

1.1.6 Média e variância como critérios de escolha

5.1.6 Média e variância como critérios de escolha Se a distribuição de probabilidade for normal, a escolha entre dois Se a distribuição de ser probabilidade for normal, a escolha entre dois activos podeeser feita ativos pode feita com recurso ao critério da média (rendibilidade) da variância (risco). É mais simples que a dominância estocástica, mas que a com recurso ao critério da média (rendibilidade) e da variância (risco). É mais simples só funciona quando estamos em presença de distribuições normais, dominância estocástica, mas só funciona quando estamos em presença de distribuições caso contrário poderemos encontrar uma solução errada. normais, caso contrário poderemos encontrar uma solução errada.

Um indivíduo avesso ao risco, deverá apresentar um comportamento traduzido poraocurvas de indiferença às quetraduzido podem ser Um indivíduo avesso risco, deverá apresentarsemelhantes um comportamento por curvas observadas no seguinte mapa. de indiferença semelhantes às que podem ser observadas no seguinte mapa.

32

12/52

ÍNDICES

Índices

Índice Sistemático 1. Introdução à análise de risco e incerteza 1.1 Teoria da incerteza.............................................................. 21 1.1.1 Lotaria / jogo................................................................. 21 1.1.1.1 Definição de lotaria / jogo..................................... 21 1.1.1.2 Definição de espaço de lotarias / jogos disponíveis... 22 1.1.2 Utilidade....................................................................... 22 1.1.2.1 Função Utilidade von-Neumann–Morgenstern (VNM)................................................................... 23 1.1.2.2 Teorema: função utilidade...................................... 23 1.1.3 Preferências em relação ao risco.................................. 24 1.1.3.1 Tipologias de preferências relativamente ao risco.. 25 1.1.3.2 Graus de aversão ao risco...................................... 26 1.1.4 Investimentos em ativos financeiros.............................. 27 1.1.5 Dominância estocástica................................................ 29 1.1.6 Média e variância como critérios de escolha................ 32 1.2 Teoria da carteira (de Harry Markowitz).............................. 33 1.2.1 Média e variância de uma carteira................................ 34 1.2.2 A escolha do indivíduo................................................. 41 1.3 Modelos de equilíbrio do mercado de capitais.................... 45 1.3.1 Modelo de avaliação de ativos financeiros (MAAF – CAPM)........................................................... 46 1.3.2 Teoria da arbitragem de preços (TAP – APT)................. 50 1.4 Apêndice: conceitos básicos de estatística........................... 56 1.4.1 Medidas de tendência central....................................... 57 1.4.2 Medidas de dispersão................................................... 57 1.4.3 Coeficiente de correlação............................................. 59 1.5 Análise de Casos.................................................................. 59 CASO 1 - Tuga Financial........................................................ 59 RESOLUÇÃO..................................................................... 60 CASO 2 - Sr. Francisco........................................................... 61 RESOLUÇÃO..................................................................... 61

294

Índices

CASO 3 - Sr. Policarpo........................................................... 62 RESOLUÇÃO..................................................................... 63 CASO 4 - Três ativos e a função utilidade.............................. 65 RESOLUÇÃO..................................................................... 65 CASO 5 - Xantos & Associados.............................................. 66 RESOLUÇÃO..................................................................... 67 CASO 6 - Sr. Barros e o seguro contra roubo......................... 68 RESOLUÇÃO..................................................................... 69 2. Técnicas tradicionais de análise de risco e incerteza 2.1 Análise de sensibilidade...................................................... 73 2.1.1 Técnica......................................................................... 73 2.1.2 Aplicação a uma variável............................................. 74 2.1.3 Análise multivariada..................................................... 75 2.1.3.1 Pontos críticos........................................................ 76 2.1.3.2 Limitações da análise de sensibilidade................... 77 2.1.4 Análise de cenários....................................................... 77 2.1.4.1 Técnica.................................................................. 78 2.1.4.2 Limitações.............................................................. 78 2.1.5 Análise de risco............................................................ 79 2.1.5.1 Esperança matemática........................................... 80 2.1.5.2 Desvio-padrão....................................................... 80 2.1.6 Técnicas de otimização................................................ 82 2.1.6.1 Critério MaxiMin.................................................... 83 2.1.6.2 Critério MaxiMax................................................... 84 2.1.6.3 Critério MiniMax Regret......................................... 84 2.2 Técnica de simulação de Monte Carlo................................ 86 2.2.1 Forma de cálculo.......................................................... 88 2.2.2 Apreciação................................................................... 95 2.3 Técnica das Árvores de Decisão.......................................... 96 2.3.1 Elementos..................................................................... 96 2.3.2 Construção................................................................... 97 2.3.3 Resolução..................................................................... 97 2.3.4 Apreciação................................................................. 100 Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

295

Índices

2.4 Análise de casos................................................................ 101 CASO 1 - D. CONSTANÇA.................................................. 101 RESOLUÇÃO................................................................... 102 CASO 2 - FLEXITRADE........................................................ 103 RESOLUÇÃO................................................................... 103 CASO 3 - STECKPAN........................................................... 104 RESOLUÇÃO................................................................... 104 CASO 4 - JATOFORCE......................................................... 105 RESOLUÇÃO................................................................... 105 CASO 5 - GIRDANIAS......................................................... 106 RESOLUÇÃO................................................................... 107 CASO 6 - CERAMARTE........................................................ 108 RESOLUÇÃO................................................................... 109 CASO 7 - SR. CORREIA E A UNIDADE FABRIL................... 112 RESOLUÇÃO................................................................... 113 CASO 8 - RUDAMAS........................................................... 113 RESOLUÇÃO................................................................... 115 CASO 9 - SR. MANUEL MARQUES E A ESCOLA DE CONDUÇÃO................................................. 116 RESOLUÇÃO................................................................... 117 CASO 10 - OVOS DO CAMPO........................................... 118 2.5 Estudo de caso: Padatex.................................................... 119 3. Introdução às opções reais 3.1 Introdução......................................................................... 129 3.2 Características das opções reais......................................... 132 3.2.1 Condições necessárias................................................ 132 3.2.1.1 Irreversibilidade................................................... 133 3.2.1.2 Incerteza.............................................................. 134 3.2.1.3 Flexibilidade........................................................ 134 3.3 Terminologia e definições.................................................. 136 3.3.1 Definição de opção e tipos de opções........................ 137 3.3.2 Terminologia............................................................... 139 3.4 O que determina o valor da opção real............................. 140 296

Índices

3.5 Tipos de opções reais........................................................ 143 3.6 Exemplo de opção: opção de diferimento......................... 146 3.6.1 Diferimento por um período (dois momentos)............ 146 3.6.1.1 Alteração da volatilidade..................................... 148 3.6.1.2 Alteração do valor do investimento..................... 149 3.6.1.3 Alteração do valor dos cash-flows....................... 150 3.6.1.4 Alteração das probabilidades dos cenários.......... 151 3.6.1.5 O papel da neutralidade relativamente ao risco... 152 3.6.2 Diferimento por dois períodos (três momentos).......... 153 3.7 Comparação das opções reais com a abordagem tradicional...155 3.7.1 Estimação do valor atual líquido................................. 155 3.7.1.1 Abordagem pelo Modelo de Avaliação de Ativos Financeiros (CAPM)............................. 155 3.7.1.2 Abordagem pela Teoria da Arbitragem (APT)....... 157 3.7.2 Análise através de árvores de decisão......................... 157 3.7.3 Avaliação da opção real............................................. 158 3.7.3.1 Abordagem pela Teoria da Arbitragem (APT)....... 159 3.7.3.2 Abordagem pelo método de Neutralidade face ao Risco....................................................... 162 3.7.3.3 Exemplo de cálculo............................................. 165 3.8 Opções reais simples......................................................... 167 3.8.1 Técnica das árvores binomiais.................................... 167 3.8.2 Opção de diferimento................................................. 170 3.8.2.1 Opção de diferimento sem perda de cash-flows.. 170 3.8.2.2 Opção de diferimento com perda de cash-flows....174 3.8.3 Opção de abandono................................................... 178 3.8.4 Opção de contração................................................... 180 3.8.5 Opção de expansão.................................................... 182 3.8.6 Carteiras de opções mutuamente exclusivas............... 184 3.9 Avaliação de um projeto de investimento através das opções reais................................................................ 185 3.10 Análise de Casos.............................................................. 192 CASO 1 - Galeria de salões................................................. 192 RESOLUÇÃO................................................................... 193 Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

297

Índices

CASO 1 - Calciforma........................................................... 194 RESOLUÇÃO................................................................... 194 Caso 3 - Anabius.................................................................. 196 RESOLUÇÃO................................................................... 196 Caso 4 - O Tal Canal............................................................ 199 RESOLUÇÃO................................................................... 200 Caso 5 - Viatodos................................................................. 205 RESOLUÇÃO................................................................... 205 3.11 Estudo de caso: Padatex................................................... 211 4. Casos Práticos Globais CASO 1 - Um projeto individual: instalação de painéis fotovoltaicos............................................................ 217 RESOLUÇÃO....................................................................... 220 CASO 2 - O Aviário do Campo................................................ 230 RESOLUÇÃO....................................................................... 232 CASO 3 - Os irmãos Vitorinos................................................. 235 RESOLUÇÃO....................................................................... 240 CASO 4 - Taccuini & Companhia............................................ 250 RESOLUÇÃO....................................................................... 253 CASO 5 - Coolchips................................................................ 261 RESOLUÇÃO....................................................................... 264 CASO 6 - A Boa Pinta.............................................................. 273 RESOLUÇÃO....................................................................... 278

298

Índices

Índice de Figuras FIGURA I.1 - Comportamento do investidor face ao risco.............. 26 FIGURA I.2 - Rendibilidade e risco................................................ 28 FIGURA I.3 - Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (1).. 30 FIGURA I.4 - Rendimento de dois ativos: dominância estocástica (2).. 31 FIGURA I.5 - Dominância estocástica (2): soma das diferenças das probabilidades acumuladas................................ 32 FIGURA I.6 - Curvas de indiferença de um indivíduo avesso ao risco. 33 FIGURA I.7 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira.37 FIGURA I.8 - Carteiras eficientes e não eficientes.......................... 38 FIGURA I.9 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados (correlação positiva)................................................. 39 FIGURA I.10 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados (correlação negativa).............................................. 40 FIGURA I.11 - A escolha de um indivíduo avesso ao risco............. 41 FIGURA I.12 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira com um ativo sem risco............................. 42 FIGURA I.13 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira com um ativo sem risco............................. 43 FIGURA I.14 - Relação entre risco e diversificação de uma carteira.. 45 FIGURA I.15 - Relação entre rendibilidade e risco de uma carteira com um ativo sem risco.......................................... 55 FIGURA II.1 - Processo do Método de Monte Carlo....................... 91 FIGURA II.2 - Exemplo de uma Árvore de Decisão........................ 97 FIGURA II.3 - Árvore de Decisão: Fábrica de Curtumes do Norte.... 99 FIGURA III.1 - Farmacêutica Resarchis......................................... 136 FIGURA III.2 - Possibilidade de ganho total com uma opção de compra............................................................ 138 FIGURA III.3 - Possibilidade de ganho total com uma opção de venda............................................................... 139

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

299

Índices

FIGURA III.4 - A opção de diferir um período............................... 147 FIGURA III.5 - Impacto de alteração do investimento................... 150 FIGURA III.6 - Impacto de alteração dos cash-flows..................... 151 FIGURA III.7 - A opção de diferir dois períodos............................ 154 FIGURA III.8 - Árvore binomial e seus parâmetros....................... 169 FIGURA III.9 - Árvore binomial em três períodos......................... 171 FIGURA III.10 - A solução da árvore binomial em três períodos.. 174 FIGURA III.11 - Árvore binomial com perda de cash-flows.......... 175 FIGURA III.12 - Árvore binomial com perda de um cash-flow..... 177 FIGURA III.13 - Árvore binomial em três períodos (novamente)... 179 FIGURA III.14 - A solução da árvore binomial em três períodos com opção de abandono.................................... 180 FIGURA III.15 - A solução da árvore binomial em três períodos com opção de contração.................................... 181 FIGURA III.16 - A solução da árvore binomial em três períodos com opção de expansão..................................... 183 FIGURA III.17 - A solução da árvore binomial para uma carteira de opções........................................................... 185 FIGURA III.18 - Avaliação de um projeto em quatro etapas......... 186

300

Índices

Índice de Exemplos EXEMPLO I.1 - Situação de indiferença numa lotaria..................... 23 EXEMPLO I.2 - Carteira com dois ativos......................................... 35 EXEMPLO I.3 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados (correlação positiva).................... 38 EXEMPLO I.4 - Carteira com ativos perfeitamente correlacionados (correlação positiva).................... 40 EXEMPLO I.5 - Beta da Belforma................................................... 48 EXEMPLO I.6 - Beta de uma carteira de ativos............................... 49 EXEMPLO I.7 - Possibilidades de arbitragem com uma carteira..... 51 EXEMPLO I.8 - Cálculo do prémio de risco de mercado em equilíbrio......................................................... 52 EXEMPLO II.1 - Análise de sensibilidade na implantação de um ginásio....................................................... 75 EXEMPLO II.2 - Análise de cenários no ginásio.............................. 78 EXEMPLO II.3 - Duas alternativas de investimento......................... 79 EXEMPLO II.4 - Valor esperado dos cash­‑flows e do VAL............... 80 EXEMPLO II.5 - Desvio­‑padrão do VAL.......................................... 81 EXEMPLO II.6 - Três variantes de investimento e três estados da natureza........................................................... 83 EXEMPLO II.7 - Monte Carlo e o lançamento de dados................. 86 EXEMPLO II.8 - Ovos do Campo.................................................... 92 EXEMPLO II.9 - Técnica das Árvores de Decisão .......................... 98 EXEMPLO III.1 - Um dia bem planeado....................................... 130 EXEMPLO III.2 - Farmacêutica Resarchis...................................... 135 EXEMPLO III.3 - Avanço já, ou espero um pouco para ver?......... 146 EXEMPLO III.4 - Possibilidade de diferimento por dois períodos.. 153 EXEMPLO III.5 - A taxa de avaliação e as árvores binomiais........ 155 EXEMPLO III.6 Valorizando uma opção de compra..................... 159 EXEMPLO III.7 - Árvore binomial em três períodos...................... 167

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

301

Índices

EXEMPLO III.8 - Árvore binomial com perda de cash-flows......... 174 EXEMPLO III.9 - Uma opção de abandono.................................. 178 EXEMPLO III.10 - Uma opção de contração................................ 181 EXEMPLO III.11 - Uma opção de expansão................................. 183 EXEMPLO III.12 - Carteira de opções mutuamente exclusivas..... 184 EXEMPLO III.13 - Ovos do Campo............................................... 188

302

Índices

Índice de Tabelas TABELA I.1 - Média e desvio-padrão de uma carteira..................... 36 TABELA I.2 - Cálculo do Beta......................................................... 49 TABELA III.1 - Correspondências entre opções reais e financeiras... 141 TABELA III.2 - Fluxos de caixa de um projeto e respetivo ativo gémeo........................................................... 156 TABELA III.3 - Fluxos de caixa de um projeto considerando flexibilidade........................................................... 158 TABELA III.4 - Recordando os fluxos de caixa de um projeto com flexibilidade................................................... 163

Análise de Investimentos em Ativos Reais - Volume 2

303

Desde 1993 exerce funções de docente do Ensino Superior, na área da Economia e Gestão.

ATIVOS REAIS

Volume 2 ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

“Na presente obra o Professor Doutor Eduardo Sá e Silva, em parceria com o Dr. Mário Queirós, aborda com grande rigor e profundidade aspetos fundamentais da gestão financeira das empresas e, particularmente, o impacto que os investimentos podem ter na sua vida financeira.

Na verdade, um investimento, em princípio, representa sempre, pelo menos numa primeira fase, um exfluxo financeiro, carecendo, como é óbvio, que se contrabalance com um fluxo, pelo menos da mesma grandeza, garantindo por essa via a normalidade financeira das empresas.

Este é um dos elementos de grande importância na vida das nossas empresas, constituindo-se, não raras vezes, como justificação para a morte súbita de muitas delas.”

António Domingues Azevedo, bastonário da OTOC Neste volume são tratados os aspetos relacionados com a análise do risco, com particular destaque para as opções reais. Este volume é sequência do volume 1, em que são tratados os aspetos básicos da análise de projetos de investimento, nomeadamente, os critérios tradicionais do VAL (Valor Atual Líquido) e TIR (Taxa Interna de Rendibilidade).

ISBN 978-972-788-820-7

www.vidaeconomica.pt ISBN: 978-972-788-820-7 Visite-nos em livraria.vidaeconomica.pt

9 789727 888207

Análise de Investimentos em Ativos Reais Volume 2 - Análise de Risco e Incerteza

Mário Queirós é licenciado em Economia e pós-graduado em Estudos Europeus e em Ensino da Economia.

Possui experiência na elaboração, análise, acompanhamento e controlo de cerca de uma centena de projetos de investimento, contando também com uma vasta experiência letiva em análise de investimentos no ensino superior e em formação porfissional.

Análise de Investimentos em

Eduardo Sá e Silva Mário Queirós

Mário Queirós

Eduardo Sá e Silva Mário Queirós

Análise de Investimentos em

ATIVOS REAIS Volume 2 ANÁLISE DE RISCO E INCERTEZA

Eduardo Sá e Silva Eduardo Manuel Lopes de Sá e Silva é doutorado em Ciências Económicas e Empresariais pela Universidade da Corunha, Espanha, e licenciado e mestre pela Faculdade de Economia da Universidade do Porto.

Exerce funções de docente no Ensino Superior, sendo orientador de diversas dissertações de teses de Mestrado e Doutoramento, nas áreas de Contabilidade e Gestão Financeira.

Obras do autor publicadas pela Vida Económica: - Classe 1: Meios Financeiros Líquidos - Classe 2: Contas a Pagar e a Receber - Classe 3: Inventários e Ativos Biológicos - Custo Amortizado e Imparidade - Dicionário de Finanças e Negócios Internacionais - Dicionário de Gestão - Gestão Financeira: Análise de Fluxos Financeiros - Gestão Financeira: Análise de Investimentos - Gestão Financeira: Exercícios Resolvidos - Gestão Financeira: Opções Reais - Modelos para a Determinação do Risco da Taxa de Juro - Normas Internacionais de Contabilidade: da Teoria à Prática