Resolución de la ecuación diferencial del comportamiento de un circuito RC

Universidad del Valle de Guatemala Departamento de matemáticas Ecuaciones diferenciales I Instructor: María Eugenia Nieves Sección 61 Ciclo 2 - 2021 Lucia Alejandra Guzman Dominguez 20262 Fredy Armando Velásquez Fuentes 201011 Angel Leonel Higueros Cifuentes 20460

Funcionamiento de un circuito RC para carga y descarga Proyecto Final Ecuaciones Diferenciales Resolución de la ecuación diferencial para la carga y descarga de un circuito RC

EXPRESIONES Expresión 1. Ley de Kirchoff para voltajes (en mallas)

Expresión 2. Carga capacitor.

Expresión 3. Voltaje del capacitor.

Expresión 4. Corriente eléctrica.

Expresión 5. Ecuación diferencial lineal de primer orden relacionada a la malla del circuito.

Resolución de la ecuación diferencial

Dato 1. Voltaje inicial del condensador.

Voltaje Condensador = 0 Volts

Apartado de carga del capacitor

Dividir la expresión por R

Sumar corriente en ambos lados para anular la corriente del lado izquierdo.

Se utiliza el método de separación de variables para separar los miembros de las variables de interés, se busca tener por separado a la carga del capacitor (dQ) y al tiempo (dt)

Del lado izquierdo factorizar

Ejecutar el procedimiento de separación de variables y para operar de forma independiente a los términos relacionados con la carga por una parte y por otra al tiempo. A su vez se encuentra el diferencial de la función dQ

Se divide a ambos lados por el término recién factorizado del lado izquierdo.

Del lado izquierdo se encuentra el tiempo y del lado derecho se encuentran los términos con Q (relacionados con la carga). Los términos del lado inferior derecho son constantes.

Integrar ambos lados.

Dado que se necesita encontrar Q, se aplica la función inversa para despejar, en este caso es la función exponencial.

Aplicar propiedades de los exponentes relacionadas con la suma y multiplicación.

Sumar el producto CV en ambos lados.

Del lado izquierdo se obtiene la carga en el capacitor.

De la expresión 2 se obtiene

Y se sustituye el valor de Q

Dividir la expresión por C

La condición inicial a tomar en cuenta es que el capacitor se encuentra descargado. Por lo tanto el voltaje entre los terminales (en el capacitor) en t=0 debe de ser cero, expresado de la siguiente forma:

Sustituyendo por la condición inicial:

Resultado esperado según la condición inicial y despejando:

Sustituyendo la constante en la siguiente expresión:

Factorizando V se encuentra el voltaje en el capacitor

Cabe resaltar que obtiene la constante tau la cual hace es la constante de tiempo

Reescribiendo se obtiene la expresión que refleja el comportamiento de la carga del condensador en el tiempo, es decir, como se carga el mismo.

El comportamiento del voltaje en el capacitor se puede apreciar en la siguiente gráfica en la cual se establece que el tiempo de funcionamiento se encuentra en el intervalo de 0 a 40 segundos, manteniendo de esta forma la consistencia respecto a la condición inicial la cual indica que al principio el capacitor está descargado, a la vez que se considera que el voltaje es de 9 V según la simulación creada.

Gráfico 1. Comportamiento del voltaje en el capacitor.

En eje Y de la gráfica refleja el voltaje y el eje X el tiempo, es posible observar que el voltaje máximo es de 9 voltios y que la línea de tendencia posee un comportamiento asintótico acercándose al valor máximo del voltaje.

Para explicar la importancia de la constante de tiempo RC se calcula el voltaje con condición inicial RC tal y como se muestra a continuación.

Operando del lado derecho y sustituyendo

La expresión anterior indica que para un tiempo RC el voltaje del capacitor será del 63% del voltaje en la fuente. Desde el momento en el que se da inicio al funcionamiento del circuito en un tiempo de la resistencia por el capacitor, en este tiempo el capacitor se ha cargado un 63% respecto al voltaje de la fuente. Si RC = 10, después de 10 segundos se habrá cargado el 63% del voltaje de la fuente en el condensador, si RC=0.001 segundos, (1 milisegundo), el voltaje en el condensador se cargará muy rápido manteniendo una carga del 63% Apartado de descarga en el circuito RC (no hay fuente de poder -ver anexo 2-) La condición inicial es que el capacitor esté cargado para que se pueda realizar el proceso de descarga, una vez cargado, se retira la fuente de poder y se cierra el circuito (corto circuito), en

ese momento la carga del capacitor comenzará a viajar a través del circuito pasando por la resistencia a la vez que se va descargando el circuito, las cargas migran a través del alambre y el capacitor se descarga paulatinamente.

La resolución de la ecuación diferencial es básicamente la misma pero se elimina la fuente de poder (V) resultando la ecuación de la siguiente manera:

Se establece que la condición inicial es que el capacitor está cargado con voltaje V0, es decir, cuenta con un potencial, de esta forma se evita que la solución sea trivial.

Operando se encuentra el voltaje en el condensador en función del tiempo:

Gráfico 2. Decrecimiento exponencial del voltaje.

Para analizar la importancia de la constante tau se sustituye su valor por RC en la ecuación planteada.

La expresión indica que después de un tiempo RC, el capacitor se habrá descargado hasta el 37% de su valor inicial. Si el voltaje inicial es de 10 voltios y RC = 10, después de 10 segundos se habrá descargado al 37%, lo cual sería 3.7. Si tau es más pequeño se descarga más rápido según el diseño de circuito escogido.

Figura 3. Gráfico en simulación cuando el voltaje inicial es de 10 volts y RC=10. Se observa el valor de 3.7 en 10 segundos.