Collection dirigée par Françoise Lucas
Ce guide propose aux enseignants des pistes méthodologiques accompagnées d’une «batterie» d’activités «prêtes à l’emploi» visant à développer des compétences de résolution de problèmes chez les enfants de 10 à 12 ans. Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’aborder les problèmes ? Quelles stratégies pourraient-ils mettre en place pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer ces apprentissages en classe ? Au travers des activités proposées, l’ouvrage tente de répondre concrètement à toutes ces questions en s’appuyant sur des recherches et des expériences menées en classe par des enseignants. Nouvelle édition revue et colorisée pour une meilleure compréhension des concepts. Accès gratuit au site instit.deboeck.com reprenant les tableaux récapitulatifs et énoncés des situations-problèmes présentées. Consultez cet ouvrage seul, en équipe de cycle, ou en équipe école, selon l’entrée qui correspond le plus à vos besoins !
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pas de problème !
Résoudre des problèmes : pas de problème !
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Résoudre des problèmes :
Une collection de livres-outils pour les élèves et les enseignants du fondamental, qui organise les apprentissages mathématiques de cycle en cycle autour d’un même «nœud-matière» et d’un même réseau de compétences.
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Résoudre
des problèmes : pas de problème ! Guide méthodologique
instit.deboeck.com
et documents reproductibles en ligne Annick FAGNANT Isabelle DEMONTY Avec la collaboration de Michèle LEJONG RESPRO10 ISBN 978-2-8041-9471-0
www.deboeck.com
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REMERCIEMENTS Cet ouvrage est le résultat d’une recherche de trois ans commanditée par le Service général de l’Enseignement organisé par la Fédération Wallonie-Bruxelles. La recherche a été réalisée par les auteures du présent ouvrage (chercheuses à l’époque au Service de Pédagogie expérimentale de l’Université de Liège, dirigé par Marcel Crahay), en étroite collaboration avec des membres de l’inspection et des enseignants du réseau d'enseignement organisé par la Fédération Wallonie-Bruxelles. Nous remercions vivement, ■
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Le comité d’accompagnement, organisé par Monsieur Alexis Deweys, pour son suivi tout au long de ce projet de recherche, Madame Bourgueil et Monsieur Collignon, Inspecteurs de l’enseignement primaire, Monsieur Benedetti, Inspecteur de l’enseignement secondaire, Mesdames Haas et Stellian, chargées de mission, Mesdames Bille, Dewulf, Donnaire, Gillot, Joveneau, Laruelle, Loosvelt, Pochez, Provenier, Rémion et Messieurs Bray, Claus, Degueldre, Haas et Letesson, enseignants en 5e et 6e années de l’enseignement primaire.
Remerciements
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TABLE DES MATIÈRES 5
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LA REPRÉSENTATION DU PROBLÈME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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DE QUESTIONS EN RÉPONSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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L’estimation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Outil de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Les éléments d’une bonne représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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DE QUESTIONS EN RÉPONSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Développer des démarches de type essais-erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Décomposer le problème en sous-problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Partages inégaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Outil de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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L’INTERPRÉTATION ET LA COMMUNICATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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DE QUESTIONS EN RÉPONSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Interpréter en contexte de situations « ouvertes » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Interpréter en contexte une variété de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Communiquer la solution des problèmes sous différentes formes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Outil de vérification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDEX PAR CONTENU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDEX PAR COMPÉTENCES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE DU PROBLÈME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
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INTRODUCTION
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1. Préambule
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La résolution de problèmes constitue une activité désormais incontournable dans les apprentissages mathématiques. Les directives officielles ainsi que les travaux récents dans le domaine de la recherche en didactique des mathématiques s’accordent sur cette idée : la capacité à résoudre des problèmes constitue un élément clé de la compétence mathématique.
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Bien plus, résolution de problèmes, élaboration de concepts et de procédures mathématiques sont intimement liées : l’apprentissage des mathématiques par la résolution de problèmes apparait comme une démarche privilégiée pour développer des compétences et des connaissances durables chez les élèves. Cela permet notamment de donner du sens aux concepts mathématiques et de réinvestir des procédures dans un contexte qui justifie leur utilisation.
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Dans une telle perspective, amener les élèves à être plus performants en mathématiques ne peut se limiter à développer des savoirs et des savoir-faire. Apprendre à faire face à des problèmes variés constitue un objectif tout aussi important de la formation mathématique. Il s’agit donc d’offrir aux élèves la possibilité de résoudre des problèmes. Si l’idée parait simple, sa mise en œuvre pratique, en revanche, ne l’est pas : c’est toute la question de l’aide à la résolution de problèmes qui se trouve ainsi posée (Julo, 1995, p. 1).
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Comment apprendre à résoudre des problèmes ? Cette question est cruciale : résoudre un problème est loin d’être évident pour bon nombre d’élèves. Nombreux sont ceux qui éprouvent d’importantes difficultés inhérentes aux situations problématiques elles-mêmes. Face à des problèmes arithmétiques, certains pensent qu’il suffit de faire une opération avec tous les nombres de l’énoncé ou d’appliquer la procédure qui vient d’être vue en classe. Pour d’autres, résoudre un problème, c’est faire le bon calcul ; il n’y a donc qu’une et une seule « bonne » façon d’arriver à l’unique solution acceptable. Certains ne répondent pas à la question posée ; d’autres proposent des réponses qui peuvent paraitre complètement insensées (Verschaffel, Greer et De Corte, 2000, Verschaffel & De Corte, 2008). Bien qu’elles permettent parfois d’aboutir à la réponse correcte face à certains problèmes, ces démarches superficielles (c’est-à-dire non fondées sur une analyse approfondie des situations) révèlent rapidement leurs limites lorsque les élèves sont confrontés à de véritables problèmes. Comment les élèves appréhendent-ils une situation problématique ? Quelles sont leurs démarches spontanées ? Comment les amener à progresser dans leur façon d’appréhender les problèmes ? Quels outils pourraient-ils développer pour soutenir un raisonnement cohérent ? Comment gérer en classe des apprentissages qui prennent comme point de départ les démarches effectivement mises en œuvre par les élèves ?
L’outil méthodologique proposé ici vise à apporter une aide en ce sens : fournir aux enseignants un bagage d’activités (téléchargeables sur le site instit.deboeck.com grâce au code personnalisé que vous trouverez à la dernière page de cet ouvrage) pour apprendre aux élèves de 10-12 ans à développer des compétences leur permettant de faire face à des problèmes variés. L’outil 10-12 ans s’inscrit dans la continuité de deux outils méthodologiques comparables destinés aux élèves de 5-8 ans (Fagnant, Hindryckx & Demonty, 2008 pour la 1re édition) et à ceux de 8-10 ans (Demonty, Fagnant & Lejong, 2004 pour la 1re édition). Dans une perspective de continuité des apprentissages, il est
Introduction
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intéressant d’utiliser le même type d’approche avec les élèves tout au long de la scolarité : les apprentissages réalisés en fin d’enseignement primaire pouvant dès lors d’autant mieux s’appuyer sur ceux réalisés aux cycles précédents.
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L’intégralité de la formation mathématique des enfants de cet âge n’est pas envisagée ici : l’enseignement de l’ensemble des compétences disciplinaires n’est pas directement visé dans les situations proposées. Comme son titre l’indique, l’outil méthodologique que nous avons développé porte explicitement sur la résolution de problèmes. Différents contenus mathématiques sont abordés, mais ce n’est pas leur apprentissage proprement dit qui est au centre des préoccupations1.
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L’outil proposé est le résultat de trois années de recherche commanditée par le Ministère de la Communauté française (Administration Générale de l’Enseignement et de la Recherche Scientifique – Direction de la Recherche en Pédagogie, du Pilotage de l’Enseignement de la Communauté française et des Relations avec les entreprises) et réalisée en étroite collaboration avec des enseignants et des inspecteurs. Ainsi, une quinzaine d’enseignants se sont « jetés à l’eau » pour découvrir l’outil méthodologique et essayer les activités avec leurs élèves. C’est grâce à la richesse des échanges que le matériel proposé a pu être retravaillé afin de s’adapter au mieux à la réalité des classes. C’est également grâce à ces essais que l’ensemble du document a pu être illustré par des productions d’enfants et par des commentaires issus des débats menés avec les enseignants. Cette collaboration fructueuse devrait donc permettre de déboucher sur un document pratique et utilisable directement par les professionnels de terrain. Nous espérons que tel est le cas.
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À toutes fins utiles, un index par contenu est proposé en annexe du document.
Introduction
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2. Petit guide de lecture… COMMENT DÉCOUVRIR CE DOCUMENT ? Plusieurs voies d’entrée permettent d’aborder cet ouvrage :
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une découverte linéaire permettant d’analyser l’ensemble de la démarche proposée ; un plongeon au cœur même d’une séquence d’activités ; une incursion guidée par le développement de certaines compétences transversales (voir « Récapitulatif des compétences envisagées ») ; une mise en jambes via des problèmes centrés sur des contenus spécifiques (voir « Index par contenu »).
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Le lecteur intéressé par une présentation détaillée de la démarche proposée et de la philosophie sousjacente, ainsi que par des développements théoriques, choisira la première voie d’entrée. Le chapitre introductif lui permettra de découvrir les fondements de l’approche, ainsi qu’une présentation de l’ensemble de l’ouvrage. Les différentes étapes de la démarche de résolution y sont également brièvement décrites. Pour en savoir plus sur chaque étape, il pourra alors découvrir les trois parties « De questions en réponses » qui lui expliciteront alors concrètement les divers aspects abordés dans les séquences proposées. Il pourra alors choisir de façon éclairée les activités à réaliser en classe avec ses élèves.
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Les trois autres voies d’entrée sont plus directes.
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L’entrée par une séquence d’activités permettra à l’utilisateur de découvrir d’emblée des situations concrètes. Nous lui conseillons alors de débuter par une séquence portant sur l’étape de représentation du problème, et pourquoi pas par l’activité « Les éléments d’une bonne représentation ».
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Une entrée par les compétences permettra une approche assez similaire. Le « Récapitulatif des compétences envisagées » permet en effet de repérer les compétences transversales qui sont mises en œuvre dans chacune des séquences d’activités. La volonté de travailler tel ou tel ensemble de compétences pourra dès lors conduire au choix de telle ou telle séquence d’activités.
Enfin, l’enseignant désireux de développer un contenu spécifique pourra consulter l’« Index par contenu » et repérer ainsi la (ou les) séquence(s) dans laquelle (lesquelles) ce contenu est abordé.
Lorsque les activités auront été découvertes par l’une ou l’autre de ces voies d’entrées, le lecteur ressentira probablement l’envie d’en savoir plus et pourra alors consulter la partie « De questions en réponses » liée à la séquence développée.
Introduction
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COMMENT CHOISIR LES PROBLÈMES À PROPOSER AUX ÉLÈVES ? Au sein de chaque séquence d’activités, de nombreux problèmes sont proposés afin de permettre à chaque enseignant de choisir les plus adaptés à sa propre situation de classe.
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« Les outils d’apprentissage pour les élèves » débutent toujours par un tableau récapitulatif qui reprend la liste des problèmes proposés, les domaines mathématiques couverts, les particularités de chaque problème et les solutions liées.
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La colonne « particularités » donne quelques précisions quant au type de difficultés que présente chaque problème et quant au type d’approche qui doit être développée pour le résoudre. Certains problèmes sont plus complexes que d’autres, quelques-uns présentent des énoncés relativement longs, d’aucuns impliquent tel ou tel contenu mathématique et font référence à telle ou telle situation de la vie courante...
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Tous ces éléments doivent être pris en compte pour permettre à chaque enseignant de réaliser les choix les mieux adaptés au niveau de ses élèves et à leurs intérêts.
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Bonne découverte de l’ouvrage et bon amusement en classe avec vos élèves !
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Introduction
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3. Les étapes de la résolution de problèmes
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La résolution de problèmes constitue un processus complexe mettant en œuvre des compétences variées qui peuvent s’organiser en plusieurs grandes phases. La plupart des auteurs (Descaves, 1992 ; Ehrlich, 1990 ; Greer, 1987 ; Jonnaert, 1994 ; Julo, 1995 ; Richard, 1994 ; Roegiers, 2000 ; Schoenfeld, 1992 ; Tardif, 1992 ; Verschaffel et al., 2000) distinguent au moins deux phases correspondant respectivement à la construction d’une représentation du problème, d’une part, et à la résolution proprement dite, d’autre part.
Phase de représentation du problème : reconnaissance du problème ; ■ description du problème ; ■ analyse du problème.
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André (cité par Tardif, 1992) retient sept étapes qui correspondent à un découpage des deux grandes phases précitées.
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Phase de solution du problème : ■ génération d’un scénario de résolution ; ■ évaluation de l’efficacité des solutions privilégiées ; ■ mise en application de la solution retenue ; ■ mise en application de nouvelles solutions au besoin.
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En adéquation avec la plupart des programmes d’enseignement, Roegiers (2000), quant à lui, identifie quatre étapes correspondant assez étroitement au modèle que nous avons choisi de privilégier : ■ l’analyse de la situation ; ■ la résolution ; ■ la validation ; ■ la communication de la démarche et des résultats. À l’heure actuelle, il est généralement admis de considérer la résolution de problèmes comme un processus complexe de modélisation mathématique (Verschaffel et al., 2000). Ce processus complexe peut se traduire par la mise en œuvre d’une démarche de résolution impliquant plusieurs phases : ■ comprendre la situation décrite ; ■ construire un modèle mathématique qui décrit les éléments et les relations principales qui sont imbriquées dans la situation ; ■ travailler sur base du modèle pour voir ce qui en découle ; ■ interpréter les résultats découlant du modèle de façon à proposer une solution à la situation de départ ; ■ évaluer le résultat ; ■ et communiquer le résultat interprété.
Introduction
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La démarche doit être considérée comme cyclique, plutôt que comme une progression linéaire conduisant des données au but. Le schéma suivant (traduit du schéma proposé par Verschaffel et al., 2000) illustre la démarche de résolution.
Modèle de situation
Modélisation
Évaluation Communication
Résultat interprété
Analyse mathématique
Interprétation
Résultat découlant du modèle
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Résultat communiqué
Modèle mathématique
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Compréhension
Phénomène sous étude
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Ce modèle a fortement inspiré l’approche que nous avons développée ; celle-ci peut être synthétisée dans le modèle simplifié présenté ci-dessous. Les doubles flèches indiquent l’aspect circulaire du modèle : il est en effet toujours possible de revenir aux étapes précédentes.
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Modèle illustrant les différentes étapes de la résolution de problèmes
Représentation
Résolution
Communication
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Problème
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Vérification
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Les différentes « étapes » de ce modèle sont brièvement décrites ci-dessous, en commençant par le point de départ que constitue le problème lui-même. Les différentes phases de la démarche sont alors présentées tour à tour, en mentionnant pour chacune d’elles les différentes facettes qu’elles peuvent recouvrir. L’explicitation de ces facettes, ainsi que la façon de les mettre en œuvre (ou plus précisément, d’apprendre aux élèves à les développer) constitue l’objet même de cet ouvrage et est concrétisée au travers des différentes séquences d’activités proposées.
LE PROBLÈME Qu’est-ce qu’un problème ? Tentons de préciser les caractéristiques de la situation sur la base de laquelle une véritable démarche de résolution va pouvoir s’amorcer. D’après Newell et Simon (cités par Tardiff, 1992), un problème existe lorsqu’une personne se trouve dans une situation où elle veut faire quelque chose et qu’elle ne sait pas exactement comment s’y prendre. Pour Gagné (cité par Tardif, 1992), un problème existe réellement lorsque quelqu’un
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poursuit un but et qu’il n’a pas encore déterminé les moyens d’atteindre ce but. Tardif (1992) envisage quatre caractéristiques essentielles d’un problème : des données initiales, des contraintes, un but final à atteindre et enfin la nécessité d’une recherche pour atteindre ce but final.
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De ces définitions, un élément essentiel se dégage : le caractère relatif d’un problème. La situation doit véritablement poser « problème » à la personne qui la découvre : si la personne connaît d’emblée la démarche qui lui fournira la réponse, il n’y a pas de problème à résoudre. Cela signifie donc que la situation seule ne suffit pas pour définir le problème. D’autres facteurs doivent également être pris en compte : les acquis de la personne qui découvre la situation, le contexte dans lequel elle se trouve, les apprentissages qui ont été réalisés au préalable…
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Un problème peut se présenter sous diverses formes : sous une forme verbale (orale, ou écrite), sous l’aspect d’un schéma, d’un graphique, d’une bande dessinée… Le champ des problèmes est donc très vaste et difficile à délimiter.
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Les situations abordées dans l’outil méthodologique proposé sont principalement des problèmes arithmétiques qui s’adressent à des enfants de 10 à 12 ans. Très souvent, le problème se présente sous la forme d’un petit texte qui décrit la situation. Les contraintes et les données sont généralement exprimées par des nombres. Quant au but de la tâche à réaliser, il se trouve souvent exprimé dans la (ou les) question(s). Les contenus mathématiques impliqués relèvent de domaines variés : calculs de couts, calculs de longueurs et de distances, solides et figures, traitement de données…
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De façon à créer des ponts entre les mathématiques abordées à l’école et la vie réelle, la plupart des problèmes proposés veillent à présenter un caractère réaliste important. On évite ainsi d’amener les élèves à penser que leurs connaissances de la vie de tous les jours ne leur sont d’aucune utilité en mathématiques. À côté de cela, quelques problèmes se placent dans un monde imaginaire (des géants qui mangent des petits pois, des poules qui ont des dents, un restaurant pour sorcières…) mais on peut alors y distinguer clairement le caractère humoristique sous-jacent (ce qui plait généralement beaucoup aux élèves).
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Par ailleurs, même si de nombreux problèmes peuvent paraitre à première vue relativement « classiques », il convient de les analyser attentivement parce que la plupart présentent certaines particularités qui visent à contrecarrer le développement de démarches superficielles et stéréotypées chez les élèves.
LA REPRÉSENTATION
Il s’agit d’un élément essentiel de la démarche de résolution : c’est en fonction de la représentation qu’il s’est faite du problème que le sujet détermine les connaissances qui doivent être activées dans sa mémoire à long terme pour être mises à la disposition de la recherche de solutions (Gagné, cité par Crahay, 1996). C’est un processus complexe qui nécessite plusieurs composantes comme une première compréhension du contexte global, une organisation des informations présentées en fonction du but recherché, une brève estimation du résultat attendu… Pour construire une représentation appropriée, il convient également que l’élève active des connaissances relatives au contexte évoqué dans le problème et qu’il crée ainsi des ponts entre les mathématiques et la vie réelle.
Introduction
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Un certain parallélisme peut être fait entre la construction d’une représentation face à un problème, d’une part, et une activité de compréhension en lecture, d’autre part. Il faut toutefois préciser que des différences existent entre les deux types de tâches et que celles-ci se situent au minimum sur trois aspects (Ehrlich, 1990).
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L’événement dont on parle dans l’énoncé : il est envisagé sous un angle particulier mettant en relief certaines données (souvent, des aspects quantitatifs du problème). L’élaboration de la réponse aux questions : elle implique des inférences logico-mathématiques ; celles-ci ne sont pas exactement du même type que les inférences habituelles dans la lecture – compréhension d’un texte. La formulation de la solution : la résolution du problème et parfois même la solution doivent être présentées dans une forme particulière utilisant le langage mathématique. Il n’en va pas de même des réponses de compréhension à un texte lu ou entendu.
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L’étape de représentation est déterminante car elle conditionne la réussite des étapes ultérieures. Apprendre aux élèves à se représenter un problème est une activité qui doit être enseignée. On pourra ainsi amener les élèves à utiliser des outils qui leur permettront de mieux comprendre les problèmes qu’ils rencontreront. La construction d’une représentation appropriée est l’ingrédient essentiel d’une résolution efficace.
s
De plus, cette étape doit également amener les élèves à développer des compétences d’estimation et à anticiper ainsi l’ordre de grandeur de la solution, en référence à différents éléments de contexte évoqués dans l’énoncé.
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LA RÉSOLUTION PROPREMENT DITE
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Cette étape doit conduire à découvrir la solution du problème. Parfois, la solution ainsi trouvée permet directement de répondre à la question posée ; dans d’autre cas, une étape d’interprétation du résultat ou une mise en forme particulière des informations sera encore nécessaire (phase d’interprétation et de communication).
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C’est sur la base d’une représentation appropriée de la situation qu’il convient de mettre en œuvre le processus de résolution. Dans certains problèmes, il s’agit alors de dégager et d’effectuer les calculs nécessaires à la découverte de la solution. D’autres problèmes pourront révéler une richesse supplémentaire au travers de leur diversité : variété des démarches permettant d’aboutir à la solution et variété des solutions obtenues. Pour aider les élèves dans cette étape du processus, il est possible de leur apprendre à développer certains outils généraux d’aide à la résolution de problèmes, comme notamment le développement de démarches de type essais-erreurs ou la décomposition en sous-problèmes. Face à certains problèmes, la construction de modèles mathématiques plus spécifiques s’avèrera nécessaire, comme notamment face aux problèmes d’intervalles, de proportionnalité ou de partages inégaux.
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L’INTERPRÉTATION ET LA COMMUNICATION Certains problèmes sont relativement peu précis (problèmes ouverts) et doivent être interprétés en fonction d’un contexte spécifique. Toute la démarche de résolution (de la précision des problèmes à la communication des résultats en contexte) se trouvera alors affectée par les décisions prises aux différents niveaux d’interprétation requis. Face à d’autres problèmes plus précis, c’est spécifiquement la solution obtenue au terme de la résolution proprement dite qui nécessitera un travail d’interprétation en contexte.
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Lorsque le problème est résolu sur la base d’une représentation appropriée de la situation et que la solution a été interprétée, il faut encore la communiquer en la rendant compréhensible pour autrui. Pour ce faire, il faut au minimum présenter la solution en contexte, en réponse à la question posée dans l’énoncé. Il faut aussi que la solution soit compréhensible par un lecteur extérieur. Dans certains cas, il faudra également prendre en compte les exigences supplémentaires imposées par les modes de communication spécifiques à une situation donnée. En effet, face à certains problèmes, l’application d’une procédure de calcul ne suffit pas. Pour remplir la tâche requise, il faut faire quelque chose en plus et présenter par exemple les résultats sous une forme déterminée. Un problème peut également aboutir à plusieurs solutions. Il s’agira alors de les préciser et parfois même de fournir une analyse critique des différentes solutions possibles.
LA VÉRIFICATION
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La démarche de résolution met en œuvre un système complexe de compétences. Au cours de la mobilisation de ces compétences, des erreurs peuvent survenir à différents niveaux. Pour avoir une portée maximale, il est donc nécessaire d’accompagner la démarche de résolution par la mise en œuvre d’un processus de vérification. Ce dernier peut se réaliser au cours de chaque étape de la démarche (on parle alors de régulation en cours de route) ou survenir au terme du processus de résolution (on parle alors de vérification a posteriori). L’essentiel est que le processus de vérification porte sur les différents moments clés de la démarche (représentation, résolution proprement dite et enfin, interprétation et communication).
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4. La structure de l’outil méthodologique
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la représentation du problème ; la résolution proprement dite du problème ; l’interprétation et la communication.
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Le document est composé de trois « chapitres » correspondant aux différentes phases de la démarche de résolution :
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La phase de vérification ne fait pas l’objet d’un chapitre à part entière. Nous avons plutôt choisi de l’envisager comme un outil qui se construit progressivement tout au long de la démarche d’apprentissage. Ainsi, les trois chapitres se clôturent par la construction d’une synthèse relative aux différents aspects abordés dans les séquences ; cette synthèse devant dès lors servir d’outil de vérification (de référentiel) aux élèves.
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L’outil méthodologique doit pouvoir être utilisé de manière flexible. Les apprentissages ne doivent pas nécessairement s’organiser de manière séquentielle : chaque enseignant pourra ainsi aborder les compétences avec ses élèves dans l’ordre qui lui convient le mieux, en fonction des préoccupations et des difficultés plus spécifiques de sa classe. Il pourra par exemple envisager une activité de représentation, suivie d’une autre centrée sur la résolution proprement dite, puis développer à nouveau une activité de représentation avant d’envisager la phase d’interprétation et de communication. La variété des séquences proposées au sein de chaque phase de la démarche, ainsi que la diversité des problèmes proposés dans chaque séquence, facilite une telle organisation cyclique du document.
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on
Au terme de chaque année (a fortiori, du cycle), il conviendra d’avoir envisagé plusieurs facettes des différentes phases du processus de résolution (autrement dit, d’avoir développé plusieurs séquences d’activités relatives à chaque phase de la démarche). La représentation du problème étant l’élément crucial de la démarche, il est essentiel de commencer l’apprentissage par des activités de ce type (et en particulier la séquence portant sur « Les éléments d’une bonne représentation »).
Éd
Chaque « chapitre » est composé de deux parties : ■
■
la partie intitulée « De questions en réponses » vise à informer sur « ce que l’enseignant doit savoir » avant d’aborder chacune des phases de la résolution ; la partie intitulée « Les séquences d’activités » propose des outils concrets pour apprendre aux élèves à résoudre une grande palette de problèmes variés.
La mise en place des activités proposées peut nécessiter certaines remises en question de la part des enseignants. Le lecteur trouvera dans la partie « De questions en réponses » une série de considérations générales portant sur chaque étape de l’apprentissage envisagé et étant largement illustrées par des analyses de manuels, des exemples de productions d’élèves, des résultats de tests… « Les séquences d’activités » offrent aux enseignants un large éventail de situations « prêtes à l’emploi » (directement photocopiables). Pour une même activité, l’enseignant trouvera plusieurs problèmes à proposer aux élèves. Cela lui permettra de faire des choix adaptés à sa classe et de reproduire plusieurs fois la même séquence afin d’asseoir les apprentissages. Les activités sont complétées par des indications méthodologiques
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Introduction
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destinées à accompagner le plus efficacement possible la démarche. Ce guide méthodologique a été construit sur la base d’essais réalisés par les enseignants qui ont participé à la recherche. Il est illustré par des productions d’enfants et des commentaires issus des débats menés avec les enseignants suite aux essais.
REPRÉSENTATION
IN
Les tableaux présentés ci-dessous synthétisent la structure des trois chapitres. Ils sont proposés au début de chaque partie importante du document. Chaque fois qu’un de ces tableaux est reproduit, la partie grisée indique où on se situe dans le document.
Les séquences d’activités
La construction d’une représentation Les éléments d’une bonne représentation
L’estimation de la solution
N
De questions en réponses
VA
Outil de vérification À quoi faut-il être attentif lors de la phase de représentation du problème ?
RÉSOLUTION
Les séquences d’activités
Le développement de modèles mathématiques spécifiques
Développer des démarches Décomposer le problème Grandeurs de type essais-erreurs en sous-problèmes proportionnelles
on
De questions en réponses
s
Les outils d’aide à la résolution
Intervalles
Partages inégaux
iti
Outil de vérification À quoi faut-il être attentif lors de la phase de résolution proprement dite du problème ?
Éd
INTERPRÉTATION ET COMMUNICATION Les séquences d’activités
L’interprétation de la situation et de la solution
De questions en réponses
Interpréter en contexte des situations « ouvertes »
Interpréter en contexte une variété de solutions
La communication de la solution
Communiquer la solution des problèmes sous différentes formes
Outil de vérification À quoi faut-il être attentif lors de la phase d’interprétation et de communication ?
Les pages suivantes proposent une présentation des deux parties constitutives de chaque « chapitre » et des sigles utilisés tout au long du document.
Introduction
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DE QUESTIONS EN RÉPONSES La partie intitulée « De questions en réponses » tente de faire le point sur « ce qu’il faut savoir » concernant chacune des phases de la résolution. Les questions… LA CONSTRUCTION D’UNE REPRÉSENTATION – Que veut dire se représenter un problème ? – Quelles difficultés les élèves éprouvent-ils lorsqu’ils représentent un problème ? – Comment aider les élèves à mieux représenter les problèmes ?
N
IN
Représentation
LES OUTILS D’AIDE À LA RÉSOLUTION – Les outils d’aide à la résolution : qu’est-ce que c’est ? – Quels outils peuvent aider les élèves à résoudre des problèmes ?
VA
Résolution
INTERPRÉTER LA SITUATION ET LA SOLUTION – Que veut dire interpréter la situation ? – Que veut dire interpréter la solution ? – Comment apprendre aux élèves à interpréter les situations et les solutions ?
on
Interprétation et Communication
s
LE DÉVELOPPEMENT DE MODÈLES MATHÉMATIQUES SPÉCIFIQUES – Quelles sont les caractéristiques de ces modèles ? – Comment amener les enfants à construire ces modèles ?
Éd
iti
COMMUNIQUER LA SOLUTION – Que veut dire communiquer la solution ? – Comment aider les élèves à mieux communiquer leur solution ?
Les réponses aux différentes questions sont largement illustrées par des exemples de problèmes, des productions d’élèves, des critiques d’activités rencontrées dans les manuels, des résultats de tests, etc.
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Introduction
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LES SÉQUENCES D’ACTIVITÉS Plusieurs séquences d’activités sont développées pour les différentes phases de la démarche de résolution. Chaque séquence d’activités est présentée selon un découpage en 3 parties :
■ ■
aperçu de la séquence ; les outils d’apprentissage pour les élèves ; les outils méthodologiques pour l’enseignant.
IN
■
VA
N
Au terme de la présentation des différentes séquences relatives à chaque phase de la démarche, une activité intitulée « Outil de vérification » permet de construire un référentiel de vérification et clôture ainsi l’ensemble du chapitre.
APERÇU DE LA SÉQUENCE
précise les apprentissages explicitement visés… apprendre
s
…et les présupposés qui doivent faire l’objet d’un désapprentissage.
on
désapprendre
L’aperçu propose également un tableau reprenant différents aspects :
■
Éd
■
les grandes étapes de la séquence ; une brève explication du déroulement et de l’organisation du travail ; le matériel requis pour mener la séquence.
iti
■
Certaines remarques sont ajoutées à différents endroits du tableau.
LES OUTILS D’APPRENTISSAGE POUR LES ÉLÈVES Les documents à reproduire pour les élèves (disponibles sur le site instit.deboeck.com ) sont repérables par un sigle particulier en haut de la page. Les problèmes à proposer aux élèves
Les feuilles de synthèse
Introduction
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Pour aider l’enseignant dans le choix des problèmes à exploiter en classe, un tableau récapitulatif reprend la liste des énoncés, le domaine mathématique concerné, quelques commentaires précisant les particularités des problèmes proposés (problèmes contenant des données perturbantes, problèmes « ouverts » pouvant aboutir à plusieurs solutions…) et les solutions relatives à chaque problème.
N
IN
Des synthèses sont proposées au terme de chaque séquence d’activités. Leur construction doit impliquer chaque élève qui pourra y apporter sa propre contribution au départ du travail réalisé durant les séquences, grâce aux traces qu’il aura gardées de son cheminement, aux difficultés qu’il aura rencontrées et aux découvertes qu’il aura réalisées. Ces synthèses sont très importantes car elles permettent de garder une trace écrite des apprentissages réalisés tout au long de l’année ou du cycle. De plus, c’est sur cette base que seront construits les outils de vérification relatifs à chaque phase de la démarche.
VA
LES OUTILS MÉTHODOLOGIQUES POUR L’ENSEIGNANT
La méthodologie d’enseignement est expliquée de façon beaucoup plus détaillée que dans l’aperçu de la séquence.
s
La méthodologie est annotée par des commentaires inspirés des essais réalisés dans les classes lors des expérimentations des activités.
on
Ces commentaires permettent d’expliquer et de préciser plusieurs aspects de la méthodologie, d’en justifier certaines facettes et d’attirer l’attention de l’enseignant sur quelques points particuliers. De nombreuses illustrations accompagnent également cette méthodologie : ■
Éd
■
des productions d’élèves 2 (dessins, énoncés reformulés, démarches de résolution…) ; des exemples de synthèses ; des commentaires issus des débats menés avec les enseignants suite aux essais réalisés dans leurs classes ; etc.
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OUTIL DE VÉRIFICATION
Comme mentionné précédemment, cette partie du document clôture l’ensemble des séquences relatives à chaque phase de la démarche. On propose aux élèves de construire un outil de vérification qui constitue une synthèse des apprentissages et des désapprentissages réalisés au travers des différentes séquences d’enseignement. Cet outil de vérification doit prendre la forme d’un référentiel utilisable à tout moment pour réguler et contrôler sa démarche (vérification en cours de route et a posteriori). 2. Certaines productions d’élèves ont été clarifiées afin d’être rendues compréhensibles pour le lecteur.
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Introduction
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5. La méthodologie d’enseignement proposée La méthodologie d’enseignement proposée au travers du document vise à fournir aux enseignants des outils pratiques ayant un double objectif : ■
IN
■
développer chez les élèves des compétences propres à chaque phase du processus de résolution ; contrecarrer les stratégies superficielles peu compatibles avec la mise en œuvre d’une démarche efficace de résolution.
N
Une place importante est accordée à l’enseignement des différentes compétences, tout en évitant de les isoler au sein d’activités trop spécifiques. Ainsi, par exemple, dans chacune des séquences, même si l’apprentissage visé se rapporte à l’une des phases du processus, l’élève est chaque fois amené à résoudre le problème. Cela permet ainsi d’intégrer chaque compétence au sein d’une démarche générale de résolution.
VA
Par ailleurs, les activités amènent également à construire les apprentissages au départ des productions spontanées des élèves. On part donc de ce qu’ils savent déjà faire et on améliore leurs compétences en leur fournissant des outils plus efficaces pour mener à bien chacune des étapes de la résolution de problèmes.
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Il ne suffit cependant pas de plonger les élèves dans des situations bien pensées pour que l’apprentissage se déroule sans heurts. En effet, que ce soit à l’école ou ailleurs, l’élève a déjà été confronté à la résolution de problèmes et il a sans doute déjà élaboré des présupposés erronés à l’égard des mathématiques et de leur enseignement.
Éd
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Différents auteurs (Reusser et Stebler, 1997a ; Verschaffel et al., 2000) ont dressé une liste de présupposés couramment développés par les élèves. Ces présupposés ont des aspects négatifs et positifs : d’une part, s’il n’y avait aucun présupposé, on ne pourrait pas résoudre des problèmes en classe mais, d’autre part, ils cautionnent souvent la mise en œuvre de démarches superficielles et routinières. ■
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■
■
Supposer que tous les problèmes proposés par les enseignants ou dans les manuels sont corrects et qu’ils ont du sens. Il ne faut donc pas s’interroger sur le caractère correct ou complet des problèmes. Supposer qu’il n’y a qu’une seule réponse correcte pour chaque problème et qu’elle doit se présenter sous une forme numérique et précise. Il faut donc donner une réponse à tous les problèmes qui nous sont présentés. Supposer que cette réponse unique, précise et numérique peut être et doit être obtenue en mettant en œuvre une ou plusieurs opérations arithmétiques ou formules au départ des nombres proposés dans l’énoncé et certainement avec tous les nombres. Supposer que la tâche peut être effectuée au départ des connaissances mathématiques dont dispose l’étudiant – c’est-à-dire, dans la plupart des cas, en appliquant les concepts mathématiques, les formules, les algorithmes, … qu’on vient de voir récemment dans les leçons de mathématiques. Si on ne comprend pas le problème, il faut donc essayer
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■
d’utiliser la procédure qui a fonctionné pour un problème qu’on venait de résoudre précédemment ou, éventuellement, rechercher les mots-clés qui déterminent l’opération (ex. si on rencontre le mot « total », faire une addition). Supposer que la solution finale (et même généralement les résultats intermédiaires), doit (doivent) contenir des nombres « propres » (c’est-à-dire des nombres entiers). Supposer que le problème contient en lui-même toutes les informations nécessaires pour l’interpréter et le résoudre correctement et qu’aucune information extérieure ne doit être prise en considération. Le problème ne doit pas être altéré par l’importation d’informations contextuelles pertinentes qui ne sont pas spécifiées telles quelles dans l’énoncé et qui risquent de compliquer les intentions initiales relatives au modèle mathématique impliqué (ex. chacun sait que l’on court moins vite sur une distance de 1000 m que lorsqu’on réalise un sprint de 100 m mais ça ne doit pas intervenir ici). Supposer que les personnes, les objets, les endroits, les prix, etc… sont différents dans les problèmes scolaires et dans la vie réelle. Il ne faut pas (trop) se tracasser si les connaissances ou intuitions personnelles dont on dispose concernant la vie de tous les jours sont parfois « violées » dans les problèmes décrits.
VA
N
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Il semblerait que les présupposés se construisent progressivement lorsque l’élève « vit » au sein de l’école ; on évoque alors le concept d’enculturation (ou de contrat didactique). Cette enculturation semblerait être principalement due à la nature appauvrie et stéréotypée des problèmes rencontrés traditionnellement en classe.
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s
Les présupposés peuvent être conçus comme des « règles » développées par les élèves face aux situations problèmes. Ces « règles » ne sont pas nécessairement erronées stricto sensu, mais des généralisations abusives conduisent les élèves à leur donner une portée qui les rend infondées. Autrement dit, si certaines « règles » peuvent s’avérer correctes dans certains contextes spécifiques, elles deviennent incorrectes dans un contexte plus large et peuvent dès lors entraver toute démarche de résolution analytique et réflexive. Ces « règles » deviennent alors des présupposés erronés qu’il s’agira de « désapprendre » parce qu’ils sont vecteurs du développement de démarches superficielles de résolution.
Éd
Des activités visant spécifiquement un « désapprentissage » n’auraient aucun sens. L’important est de placer l’enfant dans des situations qui, au travers de l’apprentissage des compétences visées, déstabilisent leurs représentations erronées, leurs présupposés non fondés, leurs généralisations abusives. Le schéma présenté ci-après illustre le développement d’une démarche réflexive de résolution (c’est-à-dire basée sur une réelle analyse du problème). La phase de vérification est envisagée de façon transversale dans le document. Les trois autres phases de la démarche sont décomposées en différentes compétences qui permettent de développer les aspects qui nous sont apparus essentiels à ce niveau de l’apprentissage. Une liste de présupposés à désapprendre est également proposée en vis-à-vis. Le répertoire des compétences à développer et la liste de présupposés ne sont pas exhaustifs ; il sont cependant suffisamment complets pour permettre à l’élève d’envisager plusieurs facettes de chacune des phases de la démarche de résolution de problèmes 3.
3
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Notons aussi que la plupart des compétences transversales reprises dans les Socles sont abordées au travers des séquences développées (voir « Récapitulatif des compétences envisagées » en fin d’ouvrage).
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La méthodologie proposée implique de développer en parallèle l’apprentissage intégré des différentes compétences et le « désapprentissage » des présupposés associés aux stratégies superficielles. Les deux aspects sont intimement liés dans la mesure où c’est au travers des activités visant explicitement l’apprentissage d’une compétence spécifique qu’on cherche à « toucher » les présupposés à désapprendre. Concrètement, l’idée sous-jacente est que les séquences développées œuvrent à la remise en cause de certains présupposés.
IN
Précisons l’interdépendance évoquée ci-dessus au départ d’un exemple. La séquence « Interpréter en contexte des situations ouvertes » permet de toucher le désapprentissage de trois présupposés :
■
les mathématiques n’ont rien à voir avec la vie réelle ; tous les problèmes rencontrés en classe sont corrects et complets : les problèmes contiennent toutes les informations nécessaires à leur résolution et aucune information extérieure ne doit être prise en compte ; tous les problèmes rencontrés en classe doivent se résoudre rapidement en effectuant une ou deux opérations.
N
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Par ailleurs, les mêmes présupposés sont envisagés dans plusieurs séquences. Ceci devrait permettre aux enfants d’être confronté aux différents « désapprentissages » à plusieurs reprises et dans des contextes variés.
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« Les éléments d’une bonne représentation » et « L’estimation » dans le chapitre portant sur la phase de représentation du problème ; « Développer des démarches de type essais-erreurs » dans la chapitre portant sur la phase de résolution proprement dite du problème ; « Interpréter en contexte une variété de solutions » et « Communiquer la solution des problèmes sous différentes formes » dans le chapitre portant sur la phase d’interprétation et de communication.
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À titre d’exemple, le présupposé « résoudre des problèmes se limite à faire des calculs » se rencontre dans les séquences suivantes :
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Développement d’une démarche réflexive de résolution
➘
➘
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INTERPRÉTATION ET COMMUNICATION ■ L’interprétation de la situation et de la solution – Interpréter en contexte des situations ouvertes – Interpréter en contexte une variété de solutions ■ La communication de la solution – Communiquer la solution des problèmes sous différentes formes
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Tous les problèmes proposés en classe sont corrects et complets : les problèmes contiennent toutes les informations nécessaires à leur résolution et aucune information extérieure ne doit être prise en compte
VA
RÉSOLUTION ■ Les outils d’aide à la résolution – Développer des démarches de type essaiserreurs – Décomposer le problème en sousproblèmes ■ Le développement de modèles mathématiques spécifiques – Grandeurs proportionnelles – Intervalles – Partages inégaux
Les problèmes de mathématiques n’ont rien à voir avec la vie réelle
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Outil de vérification
Par le désapprentissage de stratégies superficielles et des présupposés associés
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REPRÉSENTATION ■ La construction d’une représentation – Les éléments d’une bonne représentation – L’estimation de la solution
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Outil de vérification
Outil de vérification
Par l’apprentissage INTÉGRÉ des diverses compétences requises
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Résoudre un problème se limite à faire des calculs (par exemple, appliquer la dernière règle apprise en classe) Tous les problèmes rencontrés en classe doivent se résoudre rapidement en effectuant une ou deux opérations Tout problème a une solution En mathématiques, les règles et les formules n’ont aucun sens (il faut les retenir par cœur, c’est impossible de les réinventer) Tous les problèmes d’agrandissement se résolvent par proportionnalité Pour résoudre un problème, il faut faire un calcul avec tous les nombres de l’énoncé et uniquement ceux-là
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POUR EN SAVOIR PLUS…. APPRENDRE À RÉSOUDRE DES PROBLÈMES : EST-CE POSSIBLE ? Il est largement reconnu que la résolution de problèmes arithmétiques pose d’importantes difficultés aux élèves dans l’enseignement primaire.
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Les enseignants sont en recherche de démarches d’enseignement/apprentissage pouvant aider les élèves à faire face à des problèmes variés. Ils leur enseignent différents types de stratégies, certaines pouvant s’avérer porteuses mais d’autres risquant au contraire de renforcer le développement de démarches superficielles (voir Fagnant & Burton, 2009 et pistes didactiques liées aux évaluations externes non certificatives de 2014). Mieux comprendre les difficultés des élèves et chercher à développer des pistes didactiques susceptibles de les aider sont donc des objectifs pédagogiques importants.
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Plusieurs auteurs critiquent les approches centrées sur l’enseignement de démarches de résolution de problèmes parce qu’elles seraient trop peu contextualisées (cf. micro-tâches, Coppé & Houdement, 2002 ; Houdement, 2003), tendraient à « démathématiser » l’enseignement (Sarrazy, 2008, Mercier 2008) voire seraient tout bonnement « utopistes » parce que non suffisamment fondées sur les spécificités des contenus disciplinaires (Schneider & Mercier, 2014).
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Le champ des problèmes arithmétiques est relativement bien circonscrit au niveau des contenus mathématiques impliqués que constituent les quatre opérations de base. Plusieurs auteurs en ont proposé des « catégorisations » mathématiques4, mais celles-ci permettent-elles réellement de rendre compte de la diversité des problèmes rencontrés ? Qu’en est-il de l’impact de la formulation des problèmes, de la présence de données inutiles, d’une présentation textuelle ou imagée… variables dont l’impact a largement été démontré sur les performances des élèves (voir notamment Thevenot, Barrouillet & Fayol, 2010 ; Verschaffel, Greer & De Corte, 2007) ? Tous les problèmes proposés en primaire entrent-ils dans ces « catégorisations » ? Quid des problèmes non-routiniers (Pantziara, Gagatsis & Elia, 2009) ou des problèmes problématiques (Verschaffel & De Corte, 2008 ; Verschaffel, Greer & De Corte, 2000) ? Certes, il convient de ne « démathématiser » l’enseignement des problèmes et de pas perdre de vue la structure mathématique des problèmes impliqués (Sarrazy, 2008 ; Schenider & Mercier, 2014) mais faut-il pour autant rejeter toute approche méthodologique plus transversale visant à apprendre aux élèves des stratégies de résolution de problèmes ? Nous ne le pensons pas… Par ailleurs, si l’on s’accordera quant au danger que peut représenter l’enseignement de micro-compétences isolées, envisager un apprentissage explicite de stratégies de résolution de problèmes s’intégrant dans une démarche globale de résolution semble néanmoins porteur.
L’approche proposée dans cet ouvrage s’inspire de l’approche de « modélisation mathématique » développée par les chercheurs de l’équipe de l’Université de Leuven, approche dont l’efficacité a été largement démontrée (voir Verschaffel et al., 2000 ; Verschaffel & De Corte, 2008 ; Van Dooren, Verschafel, Greer, De Bock, & Crahay, 2015). Il s’agit d’une approche pédagogique qui combine enseignement de stratégies cognitives, développement de stratégies métacognitives (comme l’identification du but, la planification, la vérification…) et recul réflexif sur l’ensemble du processus de résolution de problèmes. 4
Les problèmes arithmétiques peuvent être « catégorisés » selon la logique des champs conceptuels des structures additives et multiplicatives (en référence à Vergnaud, 1990) ou selon les structurations proposées dans le monde anglo-saxon (voir notamment Carpenter, Fennema, Franke, Levi & Empson, 2015).
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Ce type d’approches d’enseignement/apprentissage (qualifiée de « metacognitive instruction » dans la littérature anglo-saxonne) a fait l’objet d’un rapport récent de l’OCDE (Mavarech & Kramarski, 2014). Les auteurs mentionnent qu’elles s’avèrent particulièrement efficaces face à des problèmes complexes et non-routiniers, sortant des sentiers battus de l’application plus ou moins directe des procédures mathématiques apprises antérieurement en classe. Elles semblent aussi jouer un rôle moteur dans le développement d’émotions positives face aux mathématiques (réduction de l’anxiété notamment), ce qui est un élément crucial dans le domaine de la résolution de problèmes.
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