Perspective Math - Livre-cahier complet - Provisoire

LIVRE-CAHIER

CHAPITRE 1

D ifférents types D e nombres

s ouviens-toi

1. Place les nombres 3, 5, 8 et 10 sur les lignes graduées. 14

4 4

2. Recopie le nombre en groupant correctement les chiffres. Ensuite, écris-le en toutes lettres.

360000 = 12300000 =

3. Dans le nombre 521,4378, quel est le chiffre… des dizaines ? des dixièmes ? des unités ? des millièmes ?

4. Pour chaque cas, place correctement la virgule dans le nombre 43678 si tu sais que…

6 est le chiffre des centièmes :

6 est le chiffre des dizaines :

5. Complète par < ou > .

La hauteur (h) de cette maison est de moins de 7 mètres : h 7 m.

La distance (d) entre l’école et mon domicile est inférieure à 15 kilomètres : d 15 km.

Il y a plus de 20 bonbons (b) dans ce sachet : b 20. Marie (M) est plus grande que Sophie (S) : S M.

6. Ordonne de façon croissante 100 ; 1,1 ; 1,01 ; 100,1.

7. Ordonne de façon décroissante 4,2 ; 2,4 ; 24 ; 24,2 ; 22,4.

8. Écris la fraction qui correspond à chaque situation. Note le numérateur en rouge et le dénominateur en bleu.

Découper une pizza en huit parts égales et en manger trois.

Colorier en vert trois côtés d’un carré.

Remplir un arrosoir et demi.

Partager équitablement un sachet de bonbons entre sept enfants, prendre ta part et celle de l’enfant absent.

Acheter cinq bouteilles d’eau et en boire deux.

Jouer au Trivial Pursuit et gagner quatre camemberts.

9. La gourde d’Emmy peut contenir 500 ml d’eau. Il reste 300 ml.

(1) Entoure la fraction qui illustre la situation.

(2) Entoure le pourcentage qui illustre la situation.

10. Une fraction de chaque figure est colorée. Indique le numéro de la figure à côté de chaque fraction correspondante.

PARTIE 1 nombres positifs

A

Différents types de nombres

Lise ! Jette un œil là-dessus !

On ferait bien équipe tous les trois pour participer à la course de cuistax !

Bonne idée ! Alba et moi, on paiera 3,33 € pour l’inscription et toi, 3,34 €.

Mais ce n’est pas juste, Jude ! Le partage doit être équitable !

SAM 5 AVRIL À 14 h

1. (1) Complète le tableau.

Nombre de pilotes

Prix à payer par pilote (au cent près) Vérification 2 3 4 5

(2) Explique pourquoi Lise, Jude et Alba ne peuvent pas tous payer le même montant lors de l’inscription.

2. Par quel nombre faut-il multiplier…

2 pour obtenir 10 ?

2 × = 10 2 · = 10

Nouvelle convention d’écriture

5 pour obtenir 10 ?

5 × = 10 5 · = 10

4 pour obtenir 10 ?

4 × = 10 4 · = 10

3 pour obtenir 10 ?

3 × = 10 3 · = 10

3. Détermine le nombre correspondant à chaque fraction et décris-le. 10 2 = nombre

10 5 = nombre

10 4 = nombre

10 3 = nombre

p lusieurs écritures pour un même nombre

1. Retrouve l’écriture décimale de chacune des fractions en suivant l’exemple.

Exemple : 5 2 = 5 : 2 = 2,5

2. Entoure les fractions qui sont des nombres naturels.

3. (1) À quel type de nombres correspond chaque fraction ? Coche la bonne réponse.

Naturel

Décimal limité

Décimal illimité périodique

(2) Pour une des fractions, tu n’as pu cocher aucun type de nombres. Explique ce que la calculatrice affiche au moment du résultat.

(3) Justifie en vérifiant les égalités et complète la phrase. 15 3 = , car 15 = 4 0 = , car 4 =

Le dénominateur d’une fraction ne peut pas être

4. Relie chaque fraction à son écriture décimale.

5. Entoure dans une couleur identique les différentes écritures d’un même nombre.

L’expression « pour cent » provient du latin per centum qui signifie « par cent ».

= 11

= 0,11

transformation de l’écriture d’un nombre

1. Dans chaque cas, entoure l’(les) écriture(s) équivalente(s) au nombre proposé.

2. Transforme chaque nombre décimal en fractio n. 0,9 = 0,07 = 2,267 = 1,11 = 1,9 = 0,023 =

3. Donne l’écriture décimale des fractions.

4. (1) Comme dans l’exemple proposé, transforme, si possible, chaque fraction en une fraction décimale équivalente puis convertis-la en nombre décimal.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est égal à 10 , 100 , 1 000 , 10 000 … 9 10 , 47 100 et 951 1 000 sont des fractions décimales.

(2) Recopie les fractions qui ne possèdent pas de fractions décimales équivalentes. Donne leur écriture décimale et décris les nombres obtenus.

5. Au football, lors d’une séance d’entrainement, Ambre a réussi 7 pénaltys sur 10 tentatives alors que Mathéo en a réussi 17 sur 25. Détermine le taux de réussite de chacun en pourcentage.

fractions équivalentes

1. (1) À l’aide de la valeur figurant sur les dix premières cartes d’un jeu de cartes, crée cinq fractions équivalentes, toutes égales à 0,5. 0,5 = = = = =

(2) Donne à présent une valeur à la dame et au roi pour pouvoir utiliser les deux cartes qui n’ont pas été sélectionnées dans l’exercice précédent. 0,5 = =

= R =

2. Entoure les fractions équivalentes à 3 12

3. Retrouve les paires de fractions équivalentes et note-les sous la forme d’une égalité. Justifie ton choix en indiquant les opérations permettant de passer de l’une à l’autre. 22 26 ; 40 500 ; 8

4. Complète les fractions.

5. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le numérateur vaut 10. 1 2 =

6. Écris les fractions sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur vaut 12.

7. Écris la fraction 15 21 sous la forme d’une fraction dont le… numérateur vaut 75 : dénominateur vaut 84 :

8. Écris chaque fraction sous la forme d’une fraction équivalente dont le dénominateur est le plus petit possible. Complète ensuite la phrase.

Les fractions équivalentes trouvées sont dites

Je rédige mon procédé pour rendre une fraction irréductible

9. Rends les fractions irréductibles.

10. Écris la fraction irréductible correspondant à chaque nombre décimal.

=

=

=

Droite graduée

1. (1) Sur la droite graduée, détermine le nombre correspondant aux différents points bleus.

A 0 B 1 CD EF

Sur une droite graduée, chaque point peut être associé à un nombre qu’on appelle abscisse du point.

L’abscisse du point B est 1.

On note : abs B = 1.

Abscisse vient du mot latin abscissa qui signifie « ligne coupée ».

(2) Complète.

abs A   = abs C = abs D = abs E = abs F =

2. Détermine l’abscisse de chaque point nommé.

(1) N 3 M 4 P

abs M = abs N = abs P = (2) 2 X YV 2,7 abs X = abs Y = abs V =

3. Place, sur la droite graduée, les points W, X, Y et Z si tu sais que… abs W = 2,5 abs X = 8,4 abs Y = 0,5 abs Z = 4,7

A 0 B 1

4. Place, sur la droite graduée, les points A, B et C si tu sais que… abs C = 1,2 abs B = 0,8 abs A = 0,3 0 1

5. Place, sur la droite graduée, les nombres 3,35 ; 3,1 ; 3,7 ; 4,1. 3,9 3

6. Place, sur chaque droite graduée, les fractions données.

(1) 1 2 3 4 1 8 3 2 ,, et 0 1 (2) 2 3 1 6 7 3 9 3 ,, et 0 1 (3) 1 4 1 3 1 2 7 6 ;; et 0 1

7. Complète chaque égalité par une fraction et par le nombre décimal qui lui correspond.

1 abs A = abs B = abs C = abs D =

8. Place, sur la droite graduée, les points B et C si tu sais que abs B = 1 et abs C = 1 2 . 0 11 5 D

Je rédige mon procédé pour placer une fraction ou un nombre décimal sur une droite graduée

Comparaison

1. À l’entrée d’un parc d’attractions, on peut trouver une affiche reprenant les différents tarifs pratiqués. Claude est père de famille, il mesure 1,80 m. Il passe une journée dans le parc d’attractions accompagné de ses deux enfants, Pierre et Julie, mesurant respectivement 95 cm et 1,38 m.

(1) Détermine le prix à payer pour chaque membre de la famille et justifie par des inégalités.

(2) Calcule le montant payé par la famille.

2. (1) Place, sur la droite graduée, les nombres

(2) Complète par <, > ou =.

3. Complète par <, > ou =.

4. Classe dans l’ordre décroissant

e ncadrement et valeurs approchées

1. Lis attentivement la bande dessinée.

SAMEDI, CHEZ LISE. Dis, Lise, Sais-tu encadrer la fraction ?

Mais bien entendu… Regarde !

Mais pas du tout… Tu l’as encadrée alors que je te demandais de l’encadrer, au sens mathématique…

Ah ? Non, je ne sais pas…

bien,

(1) Comment appelle-t-on la notation rencontrée dans la BD ? Quel est son degré de précision ?

Et

voici comment on encadre !

Merci Alba ! Comme notre langue est subtile !

(2) Que signifie cette notation ?

(3) Donne l’écriture décimale de 11 4

(4) Complète les phrases et les inégalités.

La valeur exacte de 11 4 est

La valeur approchée par défaut à l’unité près de 11 4 est , car <

La valeur approchée par excès à l’unité près de 11 4 est , car <

2. Après avoir donné son écriture décimale, encadre la fraction 7 6 au degré de précision demandé.

7 6 =

(2) Encadre 7 6

à l’unité près :

au dixième près :

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive

au centième près :

au millième près :

3. Réponds aux questions en indiquant tes calculs, la valeur approchée que tu as choisie ainsi que son degré de précision.

(1) Un barman doit remplir des verres de 15 cl. Combien de verres pourra-t-il remplir avec une bouteille de 1 l ?

(2) Un jardinier doit clôturer un potager de 80 m de périmètre. Combien de rouleaux de 25 m de fil doit-il acheter ?

4. Détermine la valeur approchée par défaut (V.A.D.) ou la valeur approchée par excès (V.A.E.) au degré de précision demandé.

La V.A.E. de 3 7 au centième près :

La V.A.D. de 33 9 au millième près :

La V.A.E. de 284 19 au dixième près :

La V.A.E. de 54 13 à l’unité près :

La V.A.E. de 7 3 au dixième près :

5. Coche la bonne réponse.

4,71 est… la valeur exacte de une V.A.D. de une V.A.E. de 33 7

16 est… la valeur exacte de une V.A.D. de une V.A.E. de 240 15

16 est… la valeur exacte de une V.A.D. de une V.A.E. de 47 3

6. Encadre à l’unité près.

< 22 4 < < 71 9 < < 99 12 <

< 34 5 <

< 100 8 < < 55 3 <

Je rédige mon procédé pour encadrer une fraction positive à l’unité près, sans calculatrice

Arrondis

Note tes observations. H

1. Voici les écrans de trois pompes à essence d’une station-service.

Écris le calcul qui te permet de déterminer le prix à payer par client et effectue-le. Compare tes réponses avec les prix affichés à la pompe.

Pompe 1

Pompe 2

Pompe 3

Je rédige mon procédé pour arrondir un nombre, la précision étant donnée

2. Calcule le prix à indiquer sur l’écran de chacune des pompes.

3. Tom prépare le thé et fait chauffer de l’eau. Il dit qu’elle atteint 95 °C, mais il arrondit cette température au degré près. Quelle pourrait être la température exacte de l’eau ?

Entoure les bonnes réponses.

4. Dans un concours de lancer de frisbee, un concurrent atteint la distance de 143,47 m. Arrondis cette distance au mètre près.

5. Mila a obtenu 12,87 sur 20 de moyenne aux évaluations de la période.

(1 ) Calcule sa moyenne… sur 20, arrondie à l’unité près. en pour cent, arrondie au pour cent près.

(2) Les deux valeurs trouvées sont-elles équivalentes ? Explique.

6. La vitesse de la lumière est de 299 792 458 m/s. Entoure l’arrondi correct de cette vitesse.

3 000 m/s 3 000 000 m/s 30 000 m/s 300 000 000 m/s

7. En Grande-Bretagne, la monnaie est la livre sterling. Tom se rend à Londres et souhaite échanger 100 €. Quel montant, en livre sterling et au cent près, recevra-t-il si le taux de change du jour est 1 € = 0,852 15 GBP ( Great Britain Pound )  ?

nombres né GAtifs

n ombres entiers

1. (1) Sur les différentes coupures de presse proposées, repère les villes pour lesquelles les températures ont été relevées. Écris, sur le thermomètre, le nom de chacune d’elles en face de la température qui lui correspond.

Au même moment, un jour du mois de janvier dans le monde…

Alors que Washington et Tokyo sont deux villes situées à des longitudes très proches, on y observe des températures

(2) Reporte les températures sur la droite graduée. Nomme chaque point par la première lettre de la ville correspondante.

01

(3) Washington et Tokyo enregistrent des températures opposées. D’après cet exemple, cite toutes les paires de températures opposées rencontrées dans cet exercice.

Ces paires de nombres sont situées à la même distance d’un point. Lequel ?

Cette distance est la valeur absolue du nombre et se note entre deux barres verticales.

Complète : ||-= 5 ||5=

Je rédige ma définition de deux nombres opposés

(4) À l’aide du thermomètre que tu as complété, réponds aux questions.

Fait-il plus chaud à Tokyo ou à Washington ?

Fait-il plus froid à Berlin ou à Stockholm ?

(5) Complète par < ou >.

Je rédige mon procédé pour comparer deux nombres

2. Colorie les paires de nombres opposés.

1 20811 - 4 Quelle lettre majuscule vois-tu apparaitre ?

4747100 - 208

0 - 162510

83 - 1 - 123 2

4 83265100 - 25 - 11 - 127127

Les nombres naturels et leurs opposés forment l’ensemble des nombres entiers, noté ℤ

Ce symbole a été choisi en référence au mot d’origine allemande zählen , qui signifie « compter ».

Autres nombres négatifs

1. Dans certains pays, comme la Grande-Bretagne, on utilise d’autres unités de mesure de longueur que chez nous. Par exemple, le mile terrestre correspond à 1 609,344 m et le pied à 0,304 8 m.

(1) Transforme, en mètres, les altitudes indiquées en pieds.

(2) Complète chaque phrase par le mot « inférieure » ou « supérieure ». Traduis-les en langage mathématique en comparant les altitudes exprimées en mètres.

Le plongeur se trouve à une altitude à celle du pingouin.

Le pingouin se trouve à une altitude à celle du poisson.

Le plongeur se trouve à une altitude à celle du poisson.

(3) Le pingouin est un animal capable de plonger. Sur la droite graduée en mètres de l’exercice (1), indique la profondeur du pingouin si tu sais qu’elle est opposée à son altitude de vol.

(4) Sur la droite, graduée en kilomètres, place le plus précisément possible les points correspondant à une distance d’un demi-mile parcourue vers l’est et vers l’ouest. Indique aussi l’abscisse de ces points.

2. Lors d’une marche Adeps, Maud est partie un quart d’heure après 12 h tandis qu’Axel est parti trois quarts d’heure après 12 h. Julien quant à lui avait démarré trois quarts d’heure avant 12 h et Karim un quart d’heure avant 12 h.

(1) Sur la droite graduée en heures, où le zéro correspond à midi, place l’initiale de chaque marcheur au moment de son départ. Indique l’abscisse de chacun de ces points.

(2) Que peux-tu dire des abscisses des points J et A ?

3. Dans ce chapitre, tu as rencontré différents types de nombres. Tu sais maintenant que chacun d’entre eux possède un opposé, situé avant le zéro sur la droite graduée.

(1) Cite, si possible, deux nombres opposés… naturels : décimaux limités : entiers : décimaux illimités :

(2) Transforme les nombres décimaux limités que tu as cités en fractions irréductibles.

4. Relie chaque nombre à une fraction équivalente.

5. (1) Coche, si possible, la (les) fraction(s) opposée(s) au nombre décimal proposé.

- 0,01

0,2 - 0,1 - 0,2

0,02

(2) Un des nombres n’a pas d’opposé dans ce tableau. Lequel ?

(3) Écris son opposé sous forme décimale et sous la forme d’une fraction irréductible.

Comparaison

1. (1) Place, sur la droite graduée, les points A, B, C, D et E si tu sais que… abs A = 3,4abs B = - 6 abs C = - 7,3 abs D = - 3,4 abs E = - 4,5

(2) Complète par < ou >.

2. Classe les nombres…

(1) 4,2 ; - 5,27 ; 6,201 ; - 6,201 ; - 5,72 ; - 4,27 dans l’ordre croissant.

(2) - 3,012 ; - 3,102 ; - 3,21 ; - 3,021 ; - 3,201 ; - 3,12 dans l’ordre décroissant.

3. Selon une croyance populaire, l’attrape-rêves empêche les cauchemars d’envahir le sommeil de son détenteur. Il est composé de plusieurs capteurs de rêves, parfois attachés les uns en dessous des autres.

(1) Sur l’attrape-rêves gradué, superpose les nombres égaux proposés, à la manière des capteurs de rêve.

(2) Dans les capteurs de rêves, colorie en vert les fractions irréductibles.

(3) En t’aidant de l’attrape-rêves, complète par <, > ou =.

(4) Classe les nombres décimaux de cet exercice par ordre croissant.

Je rédige mon procédé pour comparer/ordonner tous les types de nombres

4. Complète par <, >. 5,04 5,40 - 3,2 - 2,9 - 0,57 10 - 0,83 4 - 2,2511 5 3,5 7 2 5,002 5,01 - 2,99 - 3,01

5. Classe les nombres…

(1) 6 ;1 2 ; - 0,6 et 1 2 dans l’ordre décroissant.

D(2) 0,65 ;4 5 ; - 0,85 et 3 5 dans l’ordre croissant.

e ncadrement et valeurs approchées

1. Pour la Journée mondiale du climat, plusieurs jeunes de différents pays se sont rejoints en vidéoconférence. Observe leur discussion et réponds aux questions.

(1) Entoure les températures possibles à Québec. - 11,2 °C - 11 °C - 10,7 °C - 10,1 °C - 9,6 °C

(2) Quelles sont les températures possibles à Vienne, au dixième de degré près ? Classe-les par ordre croissant.

(3) Cite les deux villes dans lesquelles des températures opposées ont été enregistrées.

(4) Complète l’encadrement des températures de ces deux villes, au degré près.

Berne : < 2,5 °C < Helsinki : < - 2,5 °C <

Je rédige mon procédé pour encadrer un nombre négatif à l’unité près

2. Encadre à l’unité près.

3. Écris, si possible…

le nombre entier compris entre - 6,5 et - 5,4 :

le nombre entier compris entre 7,4 et 7,9 :

le nombre entier compris entre17 2 et19 2  :

le plus grand nombre entier inférieur à4 3  :

le plus petit nombre entier supérieur à13 4  :

4. Détermine la valeur approchée demandée.

La V.A.D. de - 1,397 au dixième près est

La V.A.E. de 93,148 03 au dixième près est

La V.A.E. de - 21,842 au centième près est

La V.A.D. de 43 16 au centième près est

La V.A.D. de65 6 à l’unité près est

5. (1) Note la valeur décimale de chaque fraction et, si possible, encadre-la…5 6 =25 8 = à l’unité près

dixième près

près

(2) Quel encadrement ne peux-tu pas compléter ? Pourquoi ?

Arrondis

1. Complète le tableau. 157 15157 15

Arrondi au centième près

Arrondi au dixième près

Arrondi à l’unité près

2. Arrondis les nombres à la précision demandée.

Nombre

Précision À l’unité prèsAu dixième prèsAu centième près13 883 198837 1000

3. Entoure la ou les bonne(s) réponse(s).

(1) –87,2 est l’arrondi au dixième près de…

–87,19

–87,14

(2) –928 est l’arrondi à l’unité près de… – 927,49

–927,09

(3) –8,937 est l’arrondi au millième près de… – 8,937 5

–87,173

–928,09

–8,936 5 –8,936 2

(4) –37,73 est l’arrondi au centième près de…

–37,729

–37,736

–37,731

ensemb L es D e nombres

1. (1) Observe les nombres présents sur ces images et classe-les dans le tableau.

Entiers positifs = naturels

Entiers négatifsAutres nombres

(2) Vrai ou faux ? Justifie à l’aide d’un nombre figurant dans le tableau.

Un nombre entier négatif possède une partie décimale nulle.

Une fraction se transforme toujours en un nombre dont la partie décimale est non nulle.

Un pourcentage se transforme en une fraction.

7 6 est un nombre décimal limité.

Un nombre entier est un nombre naturel.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le numérateur est un entier et le dénominateur est un entier non nul.

Le symbole choisi pour noter l’ensemble des nombres rationnels est Q. Il vient de l’italien quoziente qui signifie « quotient ».

(3) Dans le tableau, quels sont les nombres rationnels ?

2. (1) Souligne les nombres naturels ( ℕ ) en bleu, les nombres entiers ( ℤ ) en vert et les nombres rationnels ( ℚ ) en rouge. Tire ensuite une conclusion.

−1517 225 5

(2) Sur le diagramme, complète l’étiquette ( ℕ, ℤ ou ℚ ) des trois ensembles représentés. Places-y les dix nombres de l’exercice précédent.

3. Trace des croix dans le tableau pour préciser à quel(s) ensemble(s) appartiennent les nombres proposés.

−402,48 5 28 4 7,166…

 (naturels)

 (entiers)

 (rationnels)

4. Barre les nombres qui ne répondent pas à la condition donnée.

−7 ; 6,4 ; 3 4 ; - 1,5 ; 8,0 ; 42 6 ; 1 ;120 10 sont des nombres naturels.

−7 ; 6,4 ; 3 4 ; - 1,5 ; 8,0 ; 42 6 ; 1 ;120 10 sont des nombres entiers négatifs.

- 7 ; 6,4 ; 3 4 ; - 1,5 ; 8,0 ; 42 6 ; 1 ;120 10 sont des nombres rationnels non entiers.

−7 ; 6,4 ; 3 4 ; - 1,5 ; 8,0 ; 42 6 ; 1 ;120 10 sont des nombres rationnels.

5. Complète par ∈ ou  ∉

Le symbole ∈ signifie « appartient à ». 8 16  32 4 16 6 20 6 

6. Transforme l’écriture et indique le plus petit ensemble auquel le nombre appartient.

e X er C i C es C omp L émentA ires

p artie 1. n ombres positifs

1. Retrouve parmi les fractions…

(1) celles qui correspondent à des nombres naturels. (2) celles qui correspondent à des nombres décimaux limités. (3) celles qui correspondent à des nombres décimaux illimités périodiques.

2. Donne l’écriture décimale de chacune des fractions.

3. Écris la fraction correspondant aux nombres décimaux suivants.

4. Transforme chaque fraction en une fraction décimale équivalente. Convertis-la ensuite en nombre décimal.

5. Complète.

6. Écris la fraction 15 60 sous la forme…

(1) d’une fraction dont le numérateur vaut 30.

(2) d’une fraction dont le numérateur vaut 5.

(3) d’une fraction dont le dénominateur vaut 12.

(4) d’une fraction dont le dénominateur vaut 180

7. Un intrus s’est glissé dans chaque série. Retrouve-le.

8. Rends les fractions irréductibles.

9. Complète le tableau afin de faire correspondre différentes écritures d’un même nombre.

10. Écris la fraction irréductible correspondant aux nombres décimaux.

11. Place, sur chaque droite graduée, les points dont les abscisses sont données.

(1) abs A = 0,5 ; abs B = 1,4 ; abs C = 0,9

0 1 (2) abs A = 1 3 ; abs B = 5 3 ; abs C = 8 3

0 1

12. Complète les égalités.

0 1 A C B

13. Complète par <, > ou =. 2 5 … 0,5 5 8 … 0,625 882 400 … 20,099 … 1 10 0,67 … 2 3 22 3 … 7

14. Classe dans l’ordre croissant 3 5 ; 1,2 ; 0,5 ; 7 5 ; 0,59 et 2 5 .

15. Classe dans l’ordre décroissant 1 2 ; 47 100 ; 0,4 ; 41 10 ; 9 20 et 21 50 .

16. Encadre à l’unité près et au centième près 27 7 ; 378 47 et 55 13 .

17. Détermine, si possible…

(1) la V.A.D. de 77 32 à l’unité près.

(2) la V.A.E. de 78 31 au dixième près.

(3) la V.A.D. de 33 14 au centième près.

(4) la V.A.E. de 54 9 à l’unité près.

18. Arrondis à l’unité, au dixième près et au centième près : 236,269 ; 0,236 9 ; 369,845.

19. La largeur d’une porte d’une maison , arrondie au dixième de mètre près , est de 0,9 m. Entoure la ou les largeur(s) possible(s) de cette porte.

0,84 m 0,92 m 0,87 m 0,94 m 0,96 m

20. La durée d’un film, arrondie à la dizaine de minutes près, est de 140 minutes.

Entoure la ou les durée(s) possible(s) de ce film. 141,1 min 134,9 min 145 min 137,2 min 147 min

p artie 2. n ombres négatifs

21. Cite

(1) l’opposé de 13 ; de –1,3 et de 1 3

(2) l’opposé de l’opposé de 5 et de –3. abs A = … abs B = … abs C = …

22. (1) Colorie, dans une même couleur, les paires de nombres opposés en sachant que l’un est écrit sous la forme d’une fraction et l’autre sous la forme d’un nombre décimal.

(2) Parmi les nombres que tu n’as pas coloriés, détermine les paires de nombres égaux.

23. (1) Écris chaque nombre sous la forme d’une fraction irréductible.

0,25 ; –1,2 ; –0,04 ; 3,5 ; –2,4

(2) Écris chaque fraction sous la forme d’un nombre décimal.

24. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Complète ensuite les pointillés par < ou >

25. Place, sur la droite graduée, les points et leur abscisse. Classe ensuite les nombres dans l’ordre décroissant.

26. Complète par < ou > .

27. Classe dans l’ordre croissant.

(1) –31 ; –43 ; –33 ; –41 ; –45 (2) 2 3 ; –5,12 ; –5,21 ; 0,6

28. Classe dans l’ordre décroissant.

(1) –4,6 ; 4,9 ; –4,07 ; –4,1 ; 4,05 (2) 2 5 ; –4 7 ; –3 5 ; 3 7

29. Encadre à l’unité près –6,1 ; –9 10 ; –18 5 et –32 7

30. Détermine…

(1) la V.A.E. de –2,874 au dixième près.

la V.A.E. de –182 10 à l’unité près.

la V.A.D. de –0,162 5 au millième près.

la V.A.D. de –47 8 au centième près.

(2) la valeur exacte de –32 8 . l’arrondi à l’unité de –18,139.

l’arrondi au dixième de –49,856 3. l’arrondi au centième de –1,026.

31. Coche la donnée qui pourrait correspondre à l’information décrite dans la phrase.

La célèbre épave du Titanic se trouve à plus de 3 200 m sous la surface. –3 182 m –3 821 m

Lors du naufrage du Titanic, la température de l’eau était inférieure à –2° C. –3° C –1° C

p artie 3. e nsembles de nombr es

32. Construis le diagramme représentant les ensembles de nombres. Places-y les nombres. 17 4 ;– 14; 20 5 ;10,7; –8,0 ;–5 10 ;30% ;–18 2 ; 0 7  ; 150 %

33. Complète par ∈ ou ∉ 17 … ℤ –150 25 … ℤ 9,2 … ℤ –132 7 … ℚ 25 % ℤ 24 8 ℕ –15 ℚ 19 4 ℤ

34. Souligne les nombres naturels, souligne deux fois les nombres entiers négatifs et entoure les rationnels non entiers. –64–35,4 –49 7 100 –12 9 3,255… 50 % 48 6

35. Trouve le nombre correspondant à chaque proposition.

(1) Le nombre naturel compris entre 10 et 12.

(2) Le nombre entier compris entre –11,5 et –10,5.

(3) Le nombre inférieur à zéro dont la valeur absolue vaut 7.

(4) Le plus grand nombre entier inférieur à –13.

(5) Le plus petit nombre naturel supérieur à –2.

(6) Le plus petit nombre rationnel supérieur à –7, possédant une partie décimale composée d’un seul chiffre.

CÔ té pr Ati QU e

Entiers ou décimaux

10 5 =10: 5= 2 nombre entier

10 4 =10: 4= 2,5 nombre décimal limité

10 3 =10: 3= 1,33… nombre décimal illimité périodique

Différentes écritures

0,6 Nombre décimal 60 %

Pourcentage 3 5 Fraction irréductible 6 10 Fraction décimale 12 20 Fraction

Différents types de nombres

Nombres opposés

Ensembles de nombres

Des nombres opposés ont la même valeur absolue et des signes contraires.

ℕ est l’ensemble des nombres naturels. ℤ est l’ensemble des nombres entiers.

ℚ est l’ensemble des nombres rationnels.

CHAPITRE 1 Différents types D e nombres

Encadrement

Valeurs inférieure et supérieure à une valeur exacte et à un degré de précision donné.

Au dixième près

2, 1 < 2,123 < 2, 2

−2, 2 < −2,123 < −2, 1

V.A.D.

Valeur Approchée par Défaut

Valeur exacte

Arrondi

V.A. E.

Valeur Approchée par Excès

L’ arrondi au dixième près de…

2,1 2 3 est 2,1, c ar le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4.

2,1 5 3 est 2,2, c ar le chiffre qui suit le chiffre des dixièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9.

Différents types de nombres

Comparaison

–3,2 < –1,3 et

Le plus petit a la plus grande valeur absolue (= le plus éloigné de zéro).

–1,3 < 3,2 et + Le plus petit est le négatif. 1,3 < 3,2 + et +

Le plus petit a la plus petite valeur absolue (= le plus proche de zéro).

–3,2–1,3 0 1,33,2

n otion

Fraction

CÔ té t H é ori QU e

Définition

Quotient d’un nombre entier par un nombre entier non nul.

Quotient Résultat d’une division.

Fraction décimaleFraction dont le dénominateur vaut 10, 100, 1 000…

Pourcentage Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

Fractions équivalentes

Fraction irréductible

Droite graduée

Abscisse d’un point

Valeur approchée d’un nombre

Valeur approchée par défaut (V.A.D.)

Valeur approchée par excès (V.A.E.)

Encadrement d’un nombre

Inégalité

Fractions qui représentent le même nombre.

Fraction dont le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être divisés par un autre nombre que 1.

Droite sur laquelle on a placé un point d’abscisse « 0 » nommé origine, choisi un sens et une unité de graduation qu’on reporte régulièrement à partir de l’origine.

Nombre permettant de situer un point sur une droite graduée.

Valeur proche de la valeur exacte du nombre.

Valeur proche de la valeur exacte, plus petite que celle-ci.

Valeur proche de la valeur exacte, plus grande que celle-ci.

Écriture du nombre sous la forme d’une double inégalité reprenant sa valeur approchée par défaut et celle par excès, au degré de précision demandé.

Expressions numériques reliées par un symbole de comparaison.

Nombres opposésNombres de même valeur absolue et de signes contraires.

Nombre naturel

Nombre positif dont la partie décimale est nulle (= nombre entier positif).

Nombre entierNombre positif ou négatif dont la partie décimale est nulle.

Nombre rationnelNombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction.

Non nul

Valeur absolue d’un nombre

Arrondi d’un nombre

Différent de zéro.

Distance entre ce nombre et le point d’abscisse « 0 » sur une droite graduée.

Valeur la plus proche de la valeur exacte, au degré de précision demandé.

n otation mathématique

< Est plus petit que…

> Est plus grand que…

∈ Appartient à…

|…| Valeur absolue de…

ℕ Ensemble des nombres naturels

ℤ Ensemble des nombres entiers

ℚ Ensemble des nombres rationnels

CHAPITRE 2

O bjets de b ase en gé O métrie

s ouviens-toi

1. Associe l’objet géométrique à son nom et à sa notation mathématique.

Objet Nom

Notation

Un point [ AB ]

Une droite A Un segment a

2. Associe la représentation géométrique de chaque objet à sa description et à sa notation mathématique.

Représentation

Deux droites perpendiculaires A ∈ b a b

Deux droites parallèles a // b A b

Un point sur une droite a ⊥ b

3. Indique le numéro des angles qui sont… aigus : droits : obtus :

4. Convertis les cm en mm et inversement. 13 cm = mm 47 mm = cm 5 mm = cm 3,5 cm = mm

5. Mesure chaque segment et indique sa longueur.

6. Observe le dessin et coche, dans chaque cas, la proposition correcte.

(1) La droite perpendiculaire à la droite d et passant par le point C est… f g h

(2) Le point d’intersection des droites h et f est…

(3) Les droites g et f sont… parallèles perpendiculaires

7. Trace une droite… (1) perpendiculaire à la droite d. (2) parallèle à la droite f.

d éfi

Tu as peut-être déjà vu une lumière s’allumer sur le rétroviseur d’une voiture. Il s’agit d’un détecteur d’angle mort.

Dans cette situation, les détecteurs d’angle mort de la voiture rouge se sont allumés.

Quel(s) usager(s) de la route l’a (les ont) déclenché(s) ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question.

n otations, codages et mesur es

1. Un jeu consiste à assembler des lattes en bois au moyen de vis. De cette manière, il est possible de former des angles d’amplitudes variables. Observe les différentes photos, qualifie chaque angle marqué et indique toutes les amplitudes possibles de ce type d’angle. N° Type d’angle

Amplitude(s) possible(s)

2. Observe l’image et réponds aux questions.

(1) Catégorise les trois angles distincts formés par les deux lattes.

(2) Que représente la vis de fixation par rapport à ces angles ?

(3) À quel objet géométrique te fait penser la latte horizontale ?

(4) Quelle différence y a-t-il entre la latte horizontale et la latte oblique ?

3. Observe le dessin simplifié des lattes en bois sur lequel plusieurs points ont été ajoutés.

(1) Décris les objets géométriques cités.

[AX :

MY :

M Y X A

(2) Indique toutes les notations mathématiques possibles de l’objet géométrique MY.

(3) Marque les trois angles sur le dessin et, en t’aidant de l’indice, donne une notation mathématique pour chacun d’eux.

Pour différencier les angles, on nomme chacun d’eux en utilisant trois points : un provenant de chaque côté de l’angle et un pour le sommet, toujours noté au milieu.

Pour un angle de sommet B et dont les côtés passent par les points A et C, on note ABC ou CBA

(4) Il aurait également été possible de numéroter tous les angles sur le dessin. De cette manière, modifie les notations de la question précédente en t’inspirant de l’exemple.

4. Complète le tableau avec le descriptif ou la notation mathématique.

Descriptif

Le segment dont les extrémités sont les points M et N.

La droite passant par les points X et Y.

L’angle de sommet A dont les côtés sont les demi - droites [ AB et [ AC.

Notation mathématique

5. (1) Construis les objets géométriques

[ AC ] , [ XV, MF et XOM .

(2) Complète par ∈ ou ∉ .

P MF P OX

6. Entoure les objets qui peuvent être mesurés.

PointSegmentDemi-droiteAngleDroite

Pour noter la mesure d’un objet, on indique son nom entre deux barres verticales

L’ amplitude de l’angle A  se note

La longueur du segment [ AB ] se note | AB | .

7. Dans chaque cas, traduis en langage mathématique l’information indiquée sur le dessin.

8. Sur la base des notations mathématiques fournies, annote le dessin au moyen de codes, de lettres ou de mesures.

(1) | CA | = 3 cm (4) | AC | = | CD |

(2) DE ⊥ BC (5)

(3) ACB = 80° (6) F ∈ [ AB ] et | AF | = | FB |

9. Complète chaque étiquette en qualifiant l’angle marqué. Ensuite, mesure son amplitude en prolongeant, si nécessaire, un de ses côtés.

10. Dans un premier temps, mesure et indique les longueurs des côtés et l’amplitude des angles intérieurs de la figure. Ensuite, sur le dessin, indique le codage qui te permet de repérer les angles de même amplitude et les côtés de même longueur.

11. Construis les angles si tu sais que DAC = 84°, MEL = 130°, TUV = 210° et O = 105°.

Je rédige mon procédé pour utiliser correctement le rapporteur

Positions relatives de droites

1. Pour embellir un mur, on utilise parfois une frise géométrique formée de figures qui se répètent. Dans ce cas, il s’agit d’un assemblage de triangles rectangles isocèles.

(1) Sans mesurer et en ne traçant que des parallèles et des perpendiculaires, poursuis la frise proposée.

(2) Repère deux droites parallèles et nomme-les a et b.

Exprime leur position relative en langage mathématique :

(3) Repère deux autres droites qui sont perpendiculaires et nomme-les c et d.

Code le dessin et exprime leur position relative en langage mathématique :

(4) Repère deux autres droites qui possèdent un point d’intersection et qui ne se coupent pas en formant quatre angles droits. Nomme-les e et f.

Exprime leur position relative en français et en langage mathématique.

2. Poursuis la construction en suivant les étapes.

– Trace la droite AB.

– Construis la droite d parallèle à la droite AB passant par C. – Construis la droite f perpendiculaire à la droite AB passant par C.

– Nomme E le point d’intersection de AB et de la droite f.

3. Réalise la construction en suivant les étapes.

– Construis un segment [ XY ] de 28 mm.

– Construis un segment [ MX ] de 20 mm perpendiculaire au segment  [ XY ] .

– Trace la droite MY.

– Construis la droite b parallèle à la droite MY passant par le point X.

4. Poursuis la construction en suivant les étapes.

– Trace AB.

– Construis d ⊥ AB telle que B ∈ d.

– Place C ∈ d tel que | BC | = 20 mm.

– Construis b // AB telle que C ∈ b.

– Construis AD // BC telle que D ∈ b.

5. Reproduis ces figures en vraie grandeur en tenant compte de toutes les informations présentes.

médiatrice d’un segment et bissectrice d’un angle

1. Le tir à l’arc classique est un sport qui consiste à viser une cible de 122 cm de diamètre placée à une distance variant de 20 à 70 m selon la catégorie du tireur. Les archers fixent l’encoche de la flèche à la corde avant de la mettre sous tension pour viser et tirer.

(1) Décris la position de la flèche par rapport à la corde et code chaque dessin.

Encocher la flèche

Viser pour tirer

(2) Dans chaque situation, trace avec précision la droite sur laquelle positionner la flèche. Ensuite, complète les phrases.

La droite tracée est du segment [ BC ]

La droite tracée est de l’angle BAC  .

Je rédige ma définition de la médiatrice d’un segment et de la bissectrice d’un angle

2. Complète le tableau en indiquant une croix lorsque la droite citée est la médiatrice du  segment [ AB ] et/ou la bissectrice de l’angle BCA

Médiatrice de [ AB ]

Bissectrice de BCA 

d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 d 7

3. Construis la médiatrice des segments et la bissectrice des angles.

4. Construis…

(1) le segment [ BF ] dont la droite m est la médiatrice.

(2) l’angle IHG dont la droite b est la bissectrice.

H b

5. (1) Réalise la construction en respectant les indications.

| AB | = 40 mm

d ⊥ [ AB ] et B ∈ d

C ∈ d et | BC | = 4 cm

P ∈ [ AB ] et

(2) Caractérise la droite PC.

(3) Complète par = ou ≠.

| AC | | BC | | AB | | BC | | AP | | PB |

Paires d’angles

1. (1) Procède par étape pour identifier les figures à éliminer.

Étape 1 : Barre les figures dont les angles marqués n’ont pas le même sommet.

Étape 2 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués n’ont pas de côté commun.

Étape 3 : Parmi les figures restantes, barre celles dont les angles marqués ne sont pas situés de part et d’autre de leur côté commun.

Les paires d’angles qui n’ont pas été barrés portent les numéros et Ces angles sont appelés angles adjacents

(2) Complète.

Deux angles adjacents ont le même , un commun et sont situés de ce côté commun.

2. Observe les angles formés par la grande aiguille, la petite aiguille et la trotteuse de ces deux horloges. Réponds aux questions.

(1) Dans chaque cas, les angles marqués sont-ils adjacents ?

(2) Complète.

A 1 2 15 h 00 B 1 2 18 h 00

Sur la première horloge, les deux angles forment un angle

Ils sont appelés angles

A 1 + = A 2 | || |

Sur la seconde horloge, les deux angles forment un angle

Ils sont appelés angles

B 1 +B 2 = ||||

3. Pour chaque figure, indique une croix dans la (les) case(s) adéquate(s). Si les angles sont complémentaires ou supplémentaires, écris la relation entre leurs amplitudes.

N°AdjacentsComplémentairesSupplémentaires Relation entre les amplitudes

4. On a marqué et nommé deux angles formés par les aiguilles d’une horloge.

(1) Réponds par vrai ou faux.

Les angles ont le même sommet.

Les angles sont adjacents.

Les angles sont complémentaires.

Les angles sont supplémentaires.

Les angles ont la même amplitude.

Ces angles sont appelés angles opposés par le sommet

(2) Complète.

Deux angles opposés par le sommet ont le même et les côtés de l’un sont des côtés de l’autre.

(3) Complète la propriété des amplitudes de cette paire d’angles.

Des angles opposés par le sommet ont

Traduis cette propriété en langage mathématique.

5. Dans chaque cas, indique par oui ou non si les angles marqués sont opposés par le sommet. a C A B a b A

6. Dans chaque cas, détermine l’amplitude de l’angle BAC . Justifie. AB C D 32°

D, A et B sont alignés.

C

32° E E, A et D sont alignés.

Je rédige mon procédé pour déterminer l’amplitude d’un angle

D, A et B ainsi que E, A et C sont alignés.

r etour au défi

Les angles morts sont les zones que le conducteur ne peut pas, ou très difficilement, voir lorsqu’il conduit.

Le système de détection des angles de la voiture utilise des capteurs pour détecter les véhicules situés dans ces angles. Dans ce cas, le système alerte le chauffeur grâce à un témoin lumineux discret intégré aux deux rétroviseurs extérieurs.

Reprenons la situation décrite en début de chapitre.

(1) Quel(s) usager(s) de la route a (ont) déclenché les détecteurs d’angle mort ?

(2) Sans mesurer, qualifie les angles décrits.

L’ensemble des angles verts forment un angle

L’ensemble des angles couverts par les rétroviseurs forment un angle

(3) Mesure l’amplitude de chaque angle mort.

(4) Quelle portion de la vision à 360°, exprimée par une fraction irréductible, est réellement couverte par le chauffeur ?

Détermine, au pour cent près, le pourcentage de visibilité du chauffeur.

CÔ té P rati QU e e X er C i C es CO m PL émentaires

1. Traduis chaque phrase par une notation mathématique.

La droite passant par les points M et N.

L’amplitude de l’angle de sommet O vaut 70°.

Le segment dont les extrémités sont les points A et B.

2. Traduis chaque notation mathématique par une phrase.

[ XY | KL | = 7 cm | AP | T RS

3. Mesure l’amplitude des angles marqués et qualifie-les.

4. Construis les angles mesurant respectivement…

(1) 45°, 60°, 120° et 270°. (2) 35°, 95°, 162° et 214°.

5. Des caméras munies de capteurs de mouvement (C 1, C 2…) ont été placées à certains points stratégiques d’un mur d’enceinte d’une propriété privée.

(1) Mesure l’amplitude des angles de vue de chacune des caméras.

(2) Un capteur détecte un mouvement autour de lui jusqu’à 20 m. En tenant compte que, sur le plan, 1 cm représente 10 m, colorie la zone qui n’est pas couverte par les capteurs de mouvement.

(3) Le propriétaire pourrait-il faire le gain de quelques caméras, car leur action est déjà couverte par une autre ? Si oui, cite leur numéro.

6. Traduis par une phrase.

AB // CD [ AB ] // [ CD ] A ∈ b a ⊥ d [ AB // d B ∉ AC /

C5

C4

C3

C2

C1

C6

7. L is les informations et indique, sur le dessin, le nom de chacune des droites.

8. (1) Construis les droites a et b parallèles à la droite d passant respectivement par les points A et B.

Exprime la position relative des droites a et b à l’aide de la notation mathématique adéquate.

(2) Construis les droites AX et BY perpendiculaires à la droite d sachant que les points X et Y lui appartiennent.

Exprime la position relative des droites AX et BY à l’aide de la notation mathématique adéquate.

9. (1) Trace une droite d perpendiculaire à la droite c.

Décris la position relative des droites d et b.

Quelle conclusion peux-tu tirer de cet exercice ?

(2) Complète par //, // ou ⊥

10. Dans chaque cas, réalise la construction en respectant les étapes.

Réponds ensuite à la question qui t’est posée.

(1)

– Construis un segment [ AB ] de 4 cm.

– Par A, construis la droite d perpendiculaire au segment [ AB ] .

– Place un point C sur la droite d.

– Trace la droite t passant par B et par C.

– Par A, construis la droite p parallèle à la droite t.

Quelle est la position relative des droites d et p ?

(2)

– Construis ARB || = 100° avec | RA |  = 3 cm et | RB | = 4 cm.

– Construis CB // RA avec | BC |  = 3 cm.

Envisage toutes les possibilités. Quelle est, dans chaque cas, la position relative des droites AC et RB ?

11. Reproduis les figures, réalisées à main levée, en vraie grandeur et code tes constructions.

(1) A, E et D sont alignés et C ∈ BD.

(2) F ∈ BC et D ∈ AC. 4 cm1 cm 2 cm

12. (1) Code la figure avec toutes les informations.

| CP | = | PB | d ⊥ CB | PE | = 4 cm

CBA || = 130° | PB | = | BA | | DE | = 2 cm

DEP= PEA ||||

(2)  De quel segment et de quel angle la droite d est-elle respectivement la médiatrice et la bissectrice ?

Justifie à l’aide des notations mathématiques.

La droite d est la … du segment [ BC ] , car …

La droite d est la … de l’angle DEA , car …

13. En prenant soin de coder tes constructions, construis…

(1) la médiatrice du segment.(2) la bissectrice de chaque angle. A

14. Dans la figure, repère les droites AF, CE et DE. Pour chacune d’entre elles, reconnais s’il s’agit d’une médiatrice et/ou d’une bissectrice. Précise de quel segment et/ou de quel angle.

15. En te basant sur l’amplitude de l’angle marqué sur le dessin, détermine l’amplitude de l’angle A 2 et celle de l’angle A 3 . Justifie.

16. Parmi les angles marqués, trouve une paire d’angles…

(1) complémentaires adjacents.

(2) supplémentaires adjacents.

(3) complémentaires non adjacents.

(4) opposés par le sommet.

(5) supplémentaires non adjacents.

17. Construis…

(1) deux angles supplémentaires non adjacents dont l’un des deux mesure 132°.

(2) deux angles complémentaires adjacents dont l’un des deux mesure 30°.

(3) deux angles opposés par le sommet de 50°.

18. Sur la figure, la droite EY est la médiatrice du segment [AB] et la bissectrice de l’angle XEZ .

Détermine l’amplitude des angles XEY , AEY et E AX . Justifie.

CÔTÉ PRATIQUE

Représentation et notation

Le point A A

Segment

Point

Représentation, notations et mesure

Le segment [AB] ou le segment [BA] A B

3,5cm3,5cm

La longueur du segment [AB] est de 3,5 cm.

On note : |AB| = 3,5 cm.

Représentation et notation

La demi-droite [AB A B A B d

Demi-droite

Droite

La droite d, la droite AB ou la droite BA

Représentation, notations et mesure

Représentation et notations A

40° B O

L’angle O, l’angle AOB ou l’angle BOA

L’amplitude de l’angle O est de 40°.

On note : |O| = 40° ou |AOB| = 40°.

Angle

Particularités des angles

Types d’angles

Rentrant

Paires d’angles particuliers

Adjacents

Complémentaires

Supplémentaires Opposés par le sommet

= 180° = 90°

Mesure de l’amplitude d’un angle

1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec un des côtés de l’angle.

2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.

3. Repère l’amplitude de l’angle indiquée par le deuxième côté (après l’avoir prolongé si c’est nécessaire).

4. Note cette amplitude sur le dessin ou en notation mathématique.

Construction d’un angle dont l’amplitude est donnée

1. Place le « zéro de l’équerre » sur le sommet de l’angle et aligne sa base avec le côté de l’angle déjà construit.

2. Des deux rapporteurs présents sur l’équerre, choisis celui dont 0° se situe sur ce côté.

3. Marque un trait au niveau de l’amplitude demandée.

4. Trace le deuxième côté de l’angle en reliant le trait au sommet de l’angle.

|A| = 40° |A| = 120°

Parallèles

Sécantes Perpendiculaires b b // b b a a a a

Particularités des droites

Construction de la médiatrice d’un segment

1. Mesure le segment.

|YX| = 2,8 cm

2. Marque un point au milieu du segment.

Z ∈ [YX]

|YZ| = |ZX| = 1,4 cm

3. Trace la droite perpendiculaire au segment passant par ce milieu.

Z ∈ m et m ⊥ [YX]

Cette droite est la médiatrice du segment.

La droite m est la média⊥rice du segment [YX]

Positions relatives de deux droites b a b a ⊥ // / B m Z

Construction de la bissectrice d’un angle

1. Mesure l’amplitude de l’angle.

== 28° = 56°

2. Marque un trait à la moitié de l’amplitude mesurée.

3. Trace la droite passant par ce trait et le sommet de l’angle. BE

Cette droite est la bissectrice de l’angle.

La droite BE est la bissectrice de l’angle CEL.

CÔTÉ THÉORIQUE

n otion d éf inition

Angle nul

Angle aigu

Angle droit

Angle obtus

Angle dont l’amplitude vaut 0°.

Angle dont l’amplitude est comprise entre 0° et 90°.

Angle dont l’amplitude vaut 90°.

Angle dont l’amplitude est comprise entre 90° et 180°.

Angle plat Angle dont l’amplitude vaut 180°.

Angle rentrant

Angle dont l’amplitude est comprise entre 180° et 360°.

Angle plein Angle dont l’amplitude vaut 360°.

Droites parallèlesDroites qui n’ont aucun point d’intersection.

Droites sécantesDroites qui ont un point d’intersection.

Droites perpendiculairesDroites sécantes qui forment des angles droits.

Médiatrice d’un segmentDroite perpendiculaire au segment et passant par son milieu.

Bissectrice d’un angleDroite coupant l’angle en deux angles de même amplitude.

Angles adjacents

Deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Angles complémentairesDeux angles dont la somme des amplitudes vaut 90°.

Angles supplémentairesDeux angles dont la somme des amplitudes vaut 180°.

Angles opposés par le sommet

Deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre.

n otation mathématique

A Point nommé A

A 1 Point nommé A portant le numéro 1

d Droite nommée d

d 1 Droite nommée d portant le numéro 1

AB Droite passant par les points A et B

[ AB Demi-droite dont l’origine est le point A et passant par le point B

[ AB ] Segment dont les extrémités sont les points A et B

| AB | Longueur du segment [ AB ]

A Angle dont le sommet est le point A

BAC Angle de sommet A dont les côtés sont les demi-droites [ AB et [ AC

A 1 Angle dont le sommet est le point A et portant le numéro 1

A || Amplitude de l’angle A 

//Parallèle

//Sécant

/

⊥ Perpendiculaire

CHAPITRE 3

nombres et opérations

Souviens-toi

1. (1) Relie chaque phrase au calcul qui lui correspond.

La somme de 12 et de 3 • • 12 : 3

Le produit de 12 par 3 • • 12 ⋅ 3

La différence entre 12 et 3 • • 12 + 3

Le quotient de 12 par 3 • • 12  -  3

(2) Utilise les mots de la liste pour compléter les phrases. Utilise le pluriel des noms si c’est nécessaire.

facteur – terme – dividende – diviseur

Dans la somme de 12 et de 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les

Dans le produit de 12 par 3, les nombres 12 et 3 sont appelés les

Dans la différence entre 12 et 3, le nombre 12 est appelé le premier et le nombre 3 le deuxième

Dans le quotient de 12 par 3, le nombre 12 est appelé le et le nombre 3 le

2. Calcule rapidement.

4   25 =  6,5   10 =

8  ·  125 =

3. Calcule en te chronométrant.

·  1 000 =  3 600 : 1 000 =

Indique ton temps :

Opérations et estimation

Augustin, Jade, Karim et Maud participent au « Grand rallye des mathématiques » organisé au sein de leur école.

Au programme : quiz, défis, jeux de logique et calcul mental !

manCHe 1

Estime ton résultat

1. (1) Augustin a obtenu un score de 7/10. Aurais-tu fait mieux ? À toi de jouer !

Pour chaque opération, estime le résultat et coche la bonne réponse. Attention, ton temps est compté : tu ne disposes que de 3 minutes !

Moins de 500Plus de 500

675 – 143

49 ⋅ 9

2 020 : 4

786 – 277

101 ⋅ 0,5

48 ⋅ 11

500 : 0,1

489,9 + 10,01

249 + 261

5 ⋅ 99

(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier tes estimations et corriger ta fiche.

(3) Quel est ton score ?

2. Dans chaque cas, simplifie l’opération proposée et entoure l’estimation la plus proche de son résultat.

Estimer le résultat d’une opération, c’est donner une réponse approximative la plus proche possible de ce résultat.

Pour estimer , il faut arrondir un ou plusieurs éléments de cette opération pour simplifier le calcul. 29  ·  53 → 30  ·  50 = 1 500

3. Sans calculer avec précision, entoure l’opération qui donne le résultat proposé.

Propriétés des opérations

manCHe 2

Sois le plus efficace

1. Pour la deuxième manche, l’important n’est pas de trouver la réponse exacte aux calculs proposés, mais d’écrire une démarche efficace pour calculer.

Maud lit les calculs pendant que Karim, Jade et Augustin s’affrontent au tableau. Pour chaque calcul, indique le nom du candidat qui a adopté la démarche la plus efficace.

Justifie ton choix et complète la phrase.

Calcul no 1 37+9+63+21

(37 + 9) + (63 + 21)

(37 + 63) + (9 + 21)

((37 + 9) + 63)) + 21

L’addition est une opération et Calcul no 2 323+0+7+14 (323 + 0) + (7 + 14) (323 + 7) + (14 + 0) (323 + 7) + 14

L’addition admet comme élément . Elle est

Karim

JadeAugustin

Karim

JadeAugustin

Calcul no 3 2 ⋅ 7 0,5 ⋅ 6 0

La multiplication admet comme élément

no 4 25 1 ⋅ 9 ⋅ 4

La multiplication est une opération , et qui admet comme élément

2. Associe chaque égalité à la propriété correspondante.

6 + 3 + 4 = 6 + 4 + 3 • • L’addition est commutative.

1,2 0 2,3 = 0

• • La multiplication est associative.

4 (5 3) = (4 5) 3 • • L’addition admet 0 comme élément neutre.

0,4 + 1,6 + 0 = 0,4 + 1,6

4 + 3 + 7 = (4 + 3) + 7

• • L’addition est associative.

• • La multiplication admet 0 comme élément absorbant.

Karim

JadeAugustin

Karim

JadeAugustin

3. Calcule en utilisant les propriétés de l’addition ou de la multiplication.

12 + 34 + 0 =

17 + 15 + 23 =

125 ⋅ 8 ⋅ 27 ⋅ 1 =

32 + 81 + 58 + 19 =

2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 7 =

1,3 + 2,4 + 0,6 =

1,2 ⋅ 3,4 ⋅ 0 =

13,9 + 93,3 + 12,1 + 17,7 =

0,2 ⋅ 3,6 ⋅ 50 =

0,25 ⋅ 12 ⋅ 4 ⋅ 5 =

4. (1) Complète par = ou ≠.

21 + 19 (15 + 25) + 10 15 + (25 + 10)

-  2 2  -  10 (10  -  5)  -  2 10  -  (5  -  2) 4 3 3 4 (2 5) 10 2 (5 10)

10 : 5 5 : 10 (200 : 10) : 5 200 : (10 : 5)

(2) Complète le tableau en indiquant « oui » ou « non » pour préciser si l’opération proposée est commutative ou associative.

OpérationCommutativeAssociative

Addition

Soustraction

Multiplication Division

Techniques de calcul de produits et de quotients

1. (1) Effectue les produits successifs.

Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres.

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de multiplier un nombre… par 4 : par 20 : par 60 :

(3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

35 6 =  1,2 60 =

45 ⋅ 8 =  22 ⋅ 300 =

56 ⋅ 40 =  4,5 ⋅ 8 =

2. (1) Effectue les quotients successifs.

Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres.

60 : 10 : 2 : 3 : 4 60

Aurait-on pu effectuer d’autres divisions successives pour diviser un nombre par 12 ?

Si oui, lesquelles ?

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de diviser un nombre… par 4 : par 6 : par 8 : par 9 :

(3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

270 : 30 =

72 : 12 =

26 : 4 =

75 : 15 =

126 : 9 =

144 : 80 =

3. (1) Effectue les opérations successives. Ensuite, indique sous la grande flèche l’opération qui peut remplacer toutes les autres.

(2) Trouve un procédé rapide qui te permet de… multiplier un nombre par 25 : diviser un nombre par 50 :

(3) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

17 ⋅ 5 =

14 : 5 =

31,6 : 50 =

550 : 25 =

62 ⋅ 25 =  1,2 ⋅ 500 =

1,2 5 =

0,7 : 5 =

4. (1) Calcule. N’utilise ta calculatrice que si c’est nécessaire. Transforme ensuite la multiplication de départ en une division équivalente.

= = 40 revient à

40 ⋅ 0,1 : = = 40 revient à 40 ⋅ 0,5 : = = 40 revient à

⋅ 0,01 : = = 40 revient à

:

(2) Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

34 0,01 =  13 0,5 =

583 ⋅ 0,1 =  0,48 ⋅ 0,25 =

56 ⋅ 0,5 =  1,4 ⋅ 0,25 =

5. (1) Voici deux écritures du même procédé utilisé pour effectuer un produit. Explique ce procédé.

156 ⋅ 7 = 700 + 350 + 42 = 1 092

100++50 6

156 7 = (100 + 50 + 6) 7 = 100 7 + 50 7 + 6 7 = 700 + 350 + 42 = 1 092

(2) En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une somme. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

101 ⋅ 27 =

28 11 =

103 ⋅ 5,2 =

34 10,5 =

37 ⋅ 1,1 =

6 12,3 =

6. (1) Voici quatre procédés pour effectuer le même produit.

17 99 = (10 + 7) 99 17 99 = (20  -  3) 99

17 99 = 17 (90 + 9) 17 99 = 17 (100  -  1)

Trouve celui qui présente les produits les plus faciles à calculer mentalement et effectue-le.

Explique le procédé.

(2) En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

23 ⋅ 9 =

98 29 =

1,2 98 =

57 ⋅ 9,5 =

7. (1) Une somme ou une différence de multiples de 12 se cache dans chaque dividende. Écris cette somme ou cette différence puis effectue la division.

156 : 12 = ( + ) : 12 =

1 212 : 12 = ( + ) : 12 =

108 : 12 = ( - ) : 12 =

216 : 12 = ( - ) : 12 =

(2) En utilisant des égalités successives, décompose le dividende en une somme ou en une différence.

Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

721 : 7 =

1 664 : 8 =

418 : 11 =

14,7 : 7 =

24,3 : 27 =

manCHe 3

Sois le plus rapide

Lors du « Grand rallye des mathématiques », Jade a gagné la troisième manche e n 8 min 20 s et n’a commis que deux erreurs. Seras-tu plus performant(e) qu’elle ?

Effectue la série de calculs en te chronométrant.

Une fois tes réponses vérifiées, indique ton score.

Temps : ………………………

Score : …… / 20

47 ⋅ 6 = 57 : 6 =

8,6 : 20 = 55 : 50 = 1,4 ⋅ 5 = 21 ⋅ 97 =

0,5 50 = 126 : 9 =

52,1 0,01 = 23 : 5 =

42,1 ⋅ 101 = 286 : 13 =

651 : 7 = 12 423 =

1,2 39 = 3,27 0,1 = 23 9 = 4,3 8 = 48 ⋅ 0,5 = 1 350 : 500 =

D

Puissances d’un nombre

Va le plus loin possible manCHe 4

1. Augustin, Jade et Maud participent au jeu « Va le plus loin possible ».

Le principe est simple : le (la) participant(e) doit répondre correctement à dix questions à la suite sans commettre d’erreurs.

La première réponse correcte rapporte deux points. Ensuite, pour chaque nouvelle réponse correcte, le nombre de points acquis est doublé. En cas d’erreur ou à la fin de l’enchainement, la partie s’arrête. Le (La) participant(e) conserve le nombre de points correspondant à sa dernière réponse correcte et le (la) suivant(e) tente sa chance.

(1) Augustin a répondu correctement à cinq questions. Écris le calcul qui te permet de déterminer son score et effectue-le.

(2) Maud a obtenu 128 points.

Détermine le nombre de bonnes réponses qu’elle a données.

(3) Jade a réalisé le 10 à la suite ! Combien de points a-t-elle gagnés ? Écris ton calcul et effectue-le.

Complète les phrases.

Tu viens d’écrire un produit de facteurs à Tu peux écrire ce produit de facteurs égaux d’une manière plus simple, sous la forme d’une

exposant base puissance 10

Cette puissance se lit « deux exposant dix ».

(4) Transforme les scores d’Augustin et de Maud en puissances.

(5 ) Repère la touche de ta calculatrice qui te permet de calculer une puissance et recopie - la.

Vérifie à l’aide de ta calculatrice les points obtenus par Augustin et par Maud.

2. Souligne la base et entoure l’exposant de chaque puissance.

3. Transforme les produits en utilisant les puissances.

4. (1) Détermine l’aire d’un carré de 7 cm de côté. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance.

(2) Détermine le volume d’un cube de 5 cm d’arête. Écris ton calcul sous la forme d’un produit de facteurs égaux et sous la forme d’une puissance.

(3) En t’inspirant des unités de mesure d’aire et de volume, propose une deuxième lecture pour chaque puissance.

7 exposant 2 ou

5 exposant 3 ou

5. Relie chaque phrase à la puissance qu’elle traduit et chaque puissance à sa lecture.

Traduction Puissance Lecture

La quatrième puissance de 3 • •5 2

La cinquième puissance de 2 • •2 8

8 au carré

4 au cube Le cube de 4 • •3 4

2 exposant 5 La deuxième puissance de 8 • •2 5

3 exposant 4 Le carré de 5 • •4 3

2 exposant 8 La huitième puissance de 2 • •8 2

5 au carré

6. Écris la puissance exprimée par chaque phrase.

Le carré de 100 Le cube de 10

La cinquième puissance de 1 La puissance de base 4 et d’exposant 5

7. Traduis chaque puissance par une phrase.

9³ 1 100 8 2 5 4

8. Calcule le carré des quinze premiers nombres naturels non nuls.

9. Calcule. 1

10. (1) Quel est le résultat d’une puissance dont l’exposant est 0 ? Pour le découvrir, complète les tableaux et indique, sous chacune des flèches, l’opération qui te permet de passer d’un résultat au précédent.

Base 222222

Exposant 012345

Puissance

Résultat

Base 333333

Exposant 012345

Puissance

Résultat

(2) Utilise ta calculatrice pour vérifier ce que tu viens de découvrir.

Puissances de 10 et préfixes

1. (1) Calcule les puissances.

(2) Établis le lien entre le nombre de zéros présents dans le résultat et l’exposant de la puissance de 10.

2. En 1996, Larry Page et Sergey Brin, étudiants à l’Université de Stanford, ont l’idée révolutionnaire de créer un moteur de recherche hyperpuissant. Ils ont choisi de l’appeler Google en référence au « googol », nombre constitué du chiffre 1 suivi de cent zéros ! Ce nombre gigantesque représente très bien la quantité colossale de pages scannées sur Internet par ce moteur de recherche.

À quelle puissance de 10 correspond un googol ?

3. Entoure la puissance de 10 la plus proche du résultat.

4. (1) Observe attentivement le nombre de vues indiqué sous les trois vidéos extraites de YouTube. Complète chaque égalité en suivant une progression précise : commence par un mot qui désigne un nombre, poursuis avec l’expression de ce nombre en chiffres, puis indique sa puissance de 10 équivalente, et termine en t’aidant du tableau pour mentionner le préfixe associé à cette puissance.

Bébé Requin │ Chante et danse! │ Animal Song │ PINKFONG Chansons pour les enfants

15 Md de vues

KAIZEN: 1 an pour gravir l’Everest ! 36 M de vues ma soirée d’halloween 376 k vues

Nombre de vues

= 15 = = 15 = 15

= 376 = = 376 = 376

(2) Complète par le préfixe approprié.

5 000 vues = 5 vues 82 000 000 vues = 82 vues

3 000 000 vues = 3 vues 4 500 000 000 vues = 4,5 vues

7 000 000 000 vues = 7 vues 2 500 vues = 2,5 vues

(3) Complète par un nombre.

61 k vues = vues 420 M vues = vues

0,5 G vues = vues 0,13 k vues =  vues

18,1 M vues = vues 0,02 G vues =  vues

Booste ton énergie avec les préfixes !

5. Pour cette manche, les quatre amis testent leur maitrise des préfixes lors d’un quiz sur le thème des énergies renouvelables. Pourras-tu obtenir 100 % tout comme eux ?

Les éoliennes ou les panneaux solaires génèrent une quantité d’énergie en fonction de leur puissance. Le watt ( W ) est l’unité de mesure de la puissance instantanée.

Pour chaque question, coche la bonne réponse et indique tes calculs dans la zone de travail.

(1) Les éoliennes domestiques datant de 2010 ont une puissance de 2 kW. Combien de watts gagnerait-on en installant un nouveau modèle d’une puissance de 10 kW ?

0,008 W

8 W

8 000 W

(2) Le parc éolien de Perwez, situé dans la province du Brabant wallon, contient des éoliennes d’une puissance individuelle de 1 500 000 W. Quelle est la puissance, en mégawatts (MW), d’une éolienne ?

MW

MW

MW

(3) Le parc éolien Hornsea One, situé dans la mer du Nord au Royaume-Uni, est le plus grand parc offshore (en mer) en activité en Europe (en 2025). Il contient 174 éoliennes d’une puissance individuelle de 7 MW. Quelle est la puissance, en gigawatts (GW), du parc ?

1,218 GW

12,18 GW

121,8 GW

(4) Le parc solaire Hélios, situé à Jemeppe-sur-Sambre, dans la province de Namur, a été inauguré le 4 septembre 2024. La puissance totale de ses 90 000 panneaux solaires identiques atteint 60 MW. Quelle est la puissance, au watt (W) près, d’un panneau solaire ?

600 W

667 W

700 W

Priorités des opérations

1. Johanna achète deux salades à 1,49 € pièce et paie la maraichère avec un billet de 20 €.

La maraichère, peu sure d’elle, prend une calculatrice et est étonnée par la réponse proposée.

(1) D’après la calculatrice, quelle somme d’argent la maraichère

doit-elle rendre à Johanna ?

(2) Est-ce plausible ? Justifie.

20 – 2 x 1,49 = 26,82

(3) Quelle opération a été effectuée en premier par cette calculatrice ? Est-ce correct ? Explique.

(4) Calcule la somme d’argent que la maraichère doit réellement rendre à Johanna.

20  -  2 ⋅ 1,49 =

Vérifie ta solution à l’aide d’une calculatrice scientifique.

(5) Complète.

On effectue avant

© Aspiravi

2. Utilise la calculatrice scientifique pour déterminer le résultat des différentes suites d’opérations.

Souligne, dans chaque calcul, l’opération réalisée en priorité par la calculatrice. Complète ensuite la phrase.

2 + 5 ⋅ 4 =  On effectue avant

10 + 8 : 2 =  On effectue avant

12 ⋅ 5 2 =  On effectue avant

3. (1) Calcule… en commençant par l’opération soulignée.

24 : 6 ⋅ 2 =

24 6  : 2 =

24 : 6 ⋅ 2 =

24 6 : 2 =  en utilisant la calculatrice scientifique.

24 : 6 2 =

24 ⋅ 6 : 2 =

(2) Lorsqu’une division et une multiplication se succèdent, comment doit-on procéder pour être certain d’avoir la bonne réponse ?

4. Ajoute des parenthèses aux égalités qui sont fausses pour les rendre vraies et complète la phrase.

25  -  5 3 = 60

25  -  5 ⋅ 3 = 10

25  -  5 + 3 = 23

25  -  5 + 3 = 17

30 : 5 2 = 3

30 : 5 ⋅ 2 = 12

Dans un calcul contenant des parenthèses, on effectue en priorité

Je rédige mon procédé pour effectuer un calcul contenant plusieurs opérations

5. Calcule en respectant les priorités des opérations. Note un raisonnement complet et souligne l’opération prioritaire à chaque étape. Vérifie ensuite ton résultat à l’aide d’une calculatrice scientifique.

(1) 5 + 2 7  =

(5 + 2) ⋅ 7 =

5 + 3 5 + 19 =

7 ⋅ 6  -  4 ⋅ 5 =

7 (6  -  4) 5 =

(2) 3 + 4 ⋅ 2 3 =

120  -  3 ⋅ 5 2 =

15 2 : (3 + 2) 2 =

4 3 : 2 5 =

4 3 : (2 5) =

(3) 20  -  2 (5 + 3) =

13 2 + (10  -  7) 3 ⋅ 4 =

3 2 12  -  (14 + 25) =

(6,5  -  1,5) 2 0,5 =

21 ⋅ 0,5 + 10 3 -  4 ⋅ 2,5 =

(4) (8 2 -  6 ⋅ 4) : 10 =

(5 + 5 ⋅ 4,3) + 5 ⋅ 12 =

12 + 4 (220  -  10 2) =

6 (98 : 7² + 14 : 7) =

62  -  (2 + 6 : 4) ⋅ 10 + 5 =

6. Résous chaque problème.

Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations .

(1) Un groupe de 24 enfants âgés de 10 ans se rend au musée du Patrimoine. Le prix des entrées est de 8 € pour les moins de 12 ans et de 10 € pour les 12 ans et plus. Détermine le nombre de personnes adultes qui accompagnent ces enfants si tu sais que le prix payé par l’ensemble du groupe est de 222 €.

(2) Lily a acheté 3 kg de pommes de terre à 2,25 € le kg, deux bottes de carottes à 1,5 € la botte et 5 kiwis à 0,5 € l’unité. Elle paie avec un billet de 50 €. Détermine le montant que le vendeur doit lui rendre.

nombres

né G ati F s

Calcule les scores manCHe 6

Somme de deux nombres

1. Lors du premier tour de la sixième manche, Maud, Jade, Karim et Augustin doivent reconnaitre huit personnages de BD sur la base d’une photo. Ils reçoivent soit un jeton positif ( 1 ) en cas de bonne réponse, soit un jeton négatif ( –1 ) en cas de mauvaise réponse. Voici leurs récoltes.

(1) Comment peux-tu procéder pour calculer le score de chacun en effectuant le moins de calculs possible ? Explique.

(2) Complète le score de chacun.

(3) Pouvait-on prévoir le score négatif de Jade ?

(4) Pouvait-on prévoir le score négatif de Karim ?

2. Lors du deuxième tour, les participants doivent reconnaitre huit personnages de film d’animation. De la même manière, ils reçoivent des jetons positifs ou négatifs en fonction de leur réponse. Ils complètent, à la fin de chaque tour, la feuille des scores.

Feuille des scores 12345

Ils voudraient connaitre leur classement intermédiaire, à la fin de ce deuxième tour.

(1) Qui va obtenir un score intermédiaire négatif ?

(2) Maud propose d’utiliser une droite graduée pour additionner les points.

En partant de zéro, on se déplace vers la droite si le score de la manche est positif et vers la gauche s’il est négatif.

Score de Maud : 6 + –4 = 2

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−10 –4 +6 12345678910

Fais de même pour additionner les scores intermédiaires des autres participants.

Score d’Augustin : +  =

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−10 123456789 10

Score de Jade : + =

Score de Karim : + = 0123456789 10 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1

Indique le classement intermédiaire des participants.

N o 1 : N o 2 : N o 3 : N o 4 :

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres à l’aide de la droite graduée

– 5 + 7 = 2

–5 + 7 = 2

Convention d’écriture

3 + – 8 = – 5

3 + (–8) = –5 Lorsqu’il y a deux signes successifs, on utilise des parenthèses pour les séparer.

3. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire.

1 + 8 =

- 5 + ( - 3) =

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

- 2 + ( - 7) =

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−1012345678910

Quelle est la particularité des deux termes de chacune de ces sommes ?

Comment anticiper le signe du résultat ?

Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de même signe ?

(2) Détermine le signe de chaque somme.

3 + 4 - 10 + ( - 5) - 5 + ( - 6) - 7 + ( - 3)

(3) Calcule.

5 + 2 =  12 + 79 =  13,4 + 32 =

- 6 + ( - 3) =  - 85 + ( - 46) =  - 2,7 + ( - 16) =  - 5 + ( - 12) =  - 178 + ( - 57) =  - 10,5 + ( - 51,4) =

- 8 + ( - 2) =  - 276 + ( - 527) =  - 67,4 + ( - 31,6) =

4. (1) Calcule et réponds aux questions. Aide-toi de la droite graduée si nécessaire.

- 3 + 7 =  –10–9–8–7–6–5–4 –3 –2–1012345678910

5 + ( - 2) =

−10−9−8−7−6−5−4−3−2−10 12345678 910

2 + ( - 6) =  −10−9−8−7−6−5−4−3−2−10 12345678 910

Quelle est la particularité des deux termes de ces sommes ?

Comment anticiper le signe du résultat ?

Comment calculer la valeur absolue d’une somme de deux nombres de signes différents ?

(2) Détermine le signe de chaque somme.

- 5 + 6 - 7 + 3 10 + ( - 5) 3 + ( - 4)

(3) Calcule.

5 + ( - 7) =  - 15 + 13 =  22 + ( - 30,4) =

-3 + 6  =  - 12 + 79 =  - 18,7 + 16 =

5 + ( - 12) =  95 + ( - 42) =  - 10 + 51,4 =

-8 + 2  =  - 537 + 126 =  17,4 + ( - 11,7) =

Je rédige mon procédé pour additionner deux nombres

5. Calcule. - 4 + 4 =  420 + 317 =  3,7 + ( - 2,5) =  - 5 + ( - 5) =  - 120 + ( - 248) =  - 1,25 + ( - 2,75) =

- 6 + 4 =  - 56 + 234 =  - 12,23 + ( - 12,23) =

10 + ( - 4) =  167 + ( - 325) =  - 5,37 + 5,37 =  - 12 + ( - 7) =  - 632 + ( - 512) =  5,73 + ( - 4,8) =  - 1 + 7 =  1 235 + ( - 127) =  - 1,237 + 0,4 =

6. Complète les pyramides si tu sais que chaque brique vaut la somme des briques sur lesquelles elle repose.

–1251–30–21 –5–2,71,12–0,15

7. (1) Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

La somme de 4 et de 7

La somme de l’opposé de 10 et de 3

La somme de 5 et de l’opposé de 2

La somme des opposés de 12 et de 15

(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

2 + ( - 5) =

- 3 + 7 =

- 4 + ( - 3) =

- 12 + 6 =

8. Vrai (V) ou faux (F) ?

Si la proposition est vraie, illustre par un exemple. Si la proposition est fausse, justifie à l’aide d’un contrexemple.

La somme de deux nombres de signes différents est nulle.

La somme de deux nombres opposés est nulle.

Si la somme de deux nombres est positive, alors les deux nombres sont positifs.

Si la somme de deux nombres est négative, alors les deux nombres sont négatifs.

Si on additionne deux nombres négatifs, alors on obtient un nombre positif.

La somme de deux nombres (de signes différents) prend le signe de celui qui a la plus grande valeur absolue.

Différence entre deux nombres

1. Voici les jetons récoltés lors du troisième tour ainsi que le score de ce tour pour chaque participant(e).

8

(1) À la fin de ce troisième tour, une question « bonus » est posée à chaque participant(e).

S’il y répond correctement, il rend un jeton négatif ; si sa réponse est incorrecte, il rend un jeton positif.

Augustin ne répond pas correctement et doit rendre un jeton positif.

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : - 2  -

Karim ne répond pas correctement mais est dans l’incapacité de rendre un jeton positif.

Que faire ?

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : -8 - 1 = -8

Jade répond correctement et doit rendre un jeton négatif.

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : - 4 -

Maud répond correctement mais est dans l’incapacité de rendre un jeton négatif.

Que faire ?

Complète le calcul illustrant la situation et indique la réponse : 8 - ( - 1) = 8

(2) Complète.

Rendre un jeton positif revient à prendre un jeton

Rendre un jeton négatif revient à prendre un jeton

Soustraire un nombre revient à

(3) Relie les calculs équivalents.

6  -  3 - 6  -  36  -  ( - 3) - 6  -  ( - 3)

2. Calcule.

6 + 36 + ( - 3) - 6 + 3 - 6 + ( - 3)

3  -  5 =  51  -  ( - 312) =  - 20  -  31 =  720  -  ( - 230) =

23  -  42 =  - 37  -  ( - 56) =  - 53  -  17 =  - 712  -  ( - 92) =

122  -  215 =  - 45  -  ( - 22) =

10,5  -  16,7 =  2,12  -  5,37 =  5,7  -  3,2 =

-  15,5 =  - 3,1  -  5,2 =  - 3,3  -  ( - 10,21) =  - 6,3  -  ( - 2,1) =  - 3,52  -  ( - 2,6) =

2,18  -  ( - 5,3) =  - 5,24  -  ( - 6,1) =

3. (1) Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

La différence entre 4 et 7.

La différence entre l’opposé de 10 et 3.

La différence entre 5 et l’opposé de 2.

La différence entre les opposés de 12 et de 15.

(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

2  -  ( - 5) =  - 3  -  7 =  - 4  -  ( - 3) =  - 12  -  6 =

Somme et différence de deux nombres

1. Écris chaque calcul plus simplement en supprimant les parenthèses et effectue-le. Ensuite, complète les phrases.

5 + ( - 3) =

- 5 + ( - 3) =

5  -  ( - 3) =

- 5  -  ( - 3) =

On remplace deux signes successifs différents par un signe

On remplace deux signes successifs identiques par un signe

2. Remplace les signes successifs par un seul signe et calcule.

3  -  ( - 4) =  10 + ( - 5) =

- 5  -  ( - 6) =  - 7 + ( - 3) =

3. Calcule.

6 + ( - 2) =

123 - 125 =  - 7 - ( - 2) =

245 + ( - 520) =

8 + (-6)  =  - 236 - ( - 517) =

-5 - 4  =  214 + (-613)  =

12 + (-9)  =  1,7 - (-5,3)  =  16 - 27  =  -4,6 + (-1,8)  =  - 63 + ( - 79) =  6,2 + ( - 1,7) =  - 55 + 38 =  - 0,15 - 0,68 =

4. Cléopâtre, reine d’Égypte, est née en −69 et morte en −30. Elle a gouverné son pays de −51 jusqu’à sa mort.

À quel âge est-elle morte ?

À quel âge a-t-elle commencé à régner ?

Somme et différence de plus de deux nombres

1. Voici la feuille de scores au terme de la partie. Calcule, le plus rapidement possible, le score final de chaque participant. Indique tous tes calculs et justifie.

(1) Score final de Maud

(2) Score final d’Augustin

(3) Score final de Jade

(4) Score final de Karim

Je rédige mon procédé pour calculer la somme ou la différence de plus de deux termes

2. À partir des températures moyennes mensuelles à Québec, calcule la température moyenne annuelle.

- 15 - 7 - 47

3. Calcule.

13  -  4 + 7 =

- 5  -  3 + ( - 2) =

4  -  ( - 5) + ( - 2) =

152  -  52  -  ( - 37) =

135  -  49  -  100  -  35 =

425 + 425  -  0  -  52  -  324 =

35  -  ( - 7) + ( - 15) + 3 =

- 130  -  17 + 130  -  23 =

12,3 + 5,2  -  12,3  -  6 =

- 5,17 + 6,28 + 2,43  -  0,12 =

- 0,5 + 0,126 + ( - 0,5) + 0,621 =

1,32  -  ( - 5) + ( - 0,2)  -  4,8 =

manCHe 7

Produit et quotient de deux nombres Mets-toi au défi

1. (1) La bande dessinée illustre l’histoire de cette septième manche durant laquelle Jade et Karim tentent de résoudre trois défis.

Lis-la attentivement. Aide Jade et Karim en complétant la carte indice.

Jade, unissons nos forces pour relever ces défis.

Je sais, Jade ! La multiplication est commutative.

Donc –2 · 3 = 3 · (–2) = –6

Complète les pointillés. - 2 3 = - 2 2 = - 2 1 = - 2 0 = - 2 (−1) = - 2 ⋅ (−2) = - 2 (−3) =

Je n’en ai aucune idée.

Super ! Grâce à l’indice, les trois défis sont résolus !

Trop facile, Karim ! 3 · (–2) = (–2) + (–2) + (–2) Donc 3 · (–2) = –6

Moi non plus ! Prenons l’indice du défi n° 3.

(2) Complète les égalités.

3 2 = 3 ( - 2) = - 2 3 = - 2 ( - 3) =

2. (1) Complète les schémas fléchés en indiquant le résultat de l’opération ainsi que l’opération réciproque.

(2) Colorie en vert les calculs donnant un résultat positif et en bleu ceux donnant un résultat négatif.

20 : 5 – 4 ⋅ 5 20 : ( – 5) (–20) : ( – 5)

4 ⋅ ( – 5) – 4 ⋅ ( – 5) 4 ⋅ 5 – 20 : 5

(3) Complète les phrases.

Si deux nombres sont de même signe, alors leur produit et leur quotient sont

Si deux nombres sont de signes différents, alors leur produit et leur quotient sont

Je rédige mon procédé pour déterminer le produit (ou le quotient) de deux nombres

3. Calcule, si cela est possible.

4. Complète et indique les parenthèses uniquement si elles sont indispensables.

4 = −20 −48 : = −8 −6  = 7,2

7 = −56  : (−12) = 10 −7  = −749

: (−2) = −1,8 −60 ⋅ = 30  : 10 = −0,03

5. (1) Traduis chaque phrase par un calcul et effectue-le.

Le triple de l’opposé de 7.

Le produit de 5 par l’opposé de 0,2.

Le quotient de l’opposé de 24 par 2.

Le quotient de l’opposé de 3 par l’opposé de 10.

(2) Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

2 ⋅ ( - 5) =  - 7 : 5 =  - 0,5 ( - 9) =

6. Complète chaque case en suivant l’opération indiquée sur la flèche.

⋅ (−3) ⋅ (−3) 2 : 10 15 : (−3) : 2 (−10) ⋅ 5 : (−5) −6 12,5

7. Pour chaque problème, choisis l’information qui correspond à la situation.

(1) Il y a trois mois, une influenceuse a commencé à perdre des abonnés sur ses réseaux sociaux, à raison de cinquante abonnés par mois.

L’égalité suivante traduit la situation : −50 ⋅ 3 = −150. Quelle information est donnée par le nombre −150 ?

Chaque mois, 150 personnes se désabonnent.

Au cours des trois derniers mois, 150 personnes ont arrêté de la suivre.

Il lui reste 150 abonnés.

(2) Aujourd’hui, les prévisions météorologiques sont glaciales en Belgique. La température annoncée à Malmedy est de −12 °C. Elle y sera trois fois plus froide qu’à Namur.

L’égalité suivante traduit la situation : −12 : 3 = −4. Quelle information est donnée par le nombre −4 ?

Il fait 4 degrés de moins à Malmedy par rapport à Namur.

La température annoncée à Malmedy est de −4 °C.

Les prévisions annoncent une température de 4 degrés en dessous de zéro à Namur.

Produit de plusieurs nombres

1. (1) Calcule en utilisant les propriétés de la multiplication. Ensuite, détermine le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.

Nombre de facteurs négatifs Signe du produit

⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 1

(−5) 6 4 1

(−5) (−6) 4 1

⋅ (−5) ⋅ (−6) ⋅ (−4) ⋅ 1

⋅ (−5) ⋅ (−6) ⋅ (−4) ⋅ (−1)

(2) Établis le lien entre le nombre de facteurs négatifs et le signe du produit.

2. Détermine le signe des produits.

⋅ 4

3. Calcule.

8,6 (−2) 1 =

3 (−4) (−1) (−25) =

7 (−12) 0,6 0 =  −24 ⋅ 0,1 ⋅ 3 =  −4 (−7) 11 =  −17 (−30) (−5) 2 =

(−16) (−125) 5 (−2) =

⋅ (−10) ⋅ 0,4 ⋅ (−10) ⋅ (−0,07) ⋅ (−3) =

4. Complète les carrés magiques afin que le produit des nombres de chaque colonne, de chaque ligne et de chaque diagonale soit toujours le même. 3 −9−1 −1 Produit =

5. Place les cinq jetons dans les emplacements vides de l’étoile de telle sorte que le produit de chaque alignement de pions corresponde au nombre indiqué dans la case colorée.

Opérations

1. Détermine le signe du résultat de chaque opération.

- 20 + 4 20 ( - 4) - 20  -  4 - 20 + 1 + ( - 4)

- 20 : ( - 4) 20  -  4 20 : ( - 4) - 20 ⋅ 1 ⋅ ( - 4)

- 20 4 - 20 : 4 - 20 ( - 4) 20 ( - 1) ( - 2) ( - 2)

2. Détermine, si possible, le signe du résultat de chaque opération. Justifie.

(1) Un produit de sept facteurs (non nuls) dont quatre sont des facteurs positifs.

(2) Une somme de six termes négatifs.

(3) Un produit de facteurs (non nuls) dont le nombre de facteurs négatifs est égal au double du nombre de facteurs positifs.

3. Complète en utilisant un des symboles opératoires (+, −, ou :). Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire. - 15   9 =  - 6 13  - 4 = 17 4,7   4,7 = 1 - 6  - 1 =  - 5 - 0,25  - 16  = 4 - 11,8   2,9 =  - 14,7

5,1   0 = 0 - 5  - 4  = 20 10  - 0,25 =  - 2,5

4. Complète et indique les parenthèses uniquement si elles sont indispensables.

5  =  - 15  : 17 =  - 1 - 11 :  = 1 - 3,2 +   =  - 4 - 1,25  = 5 - 2,5  - = 5 - 2,8 +  = 2,8  : 15 = 0 56 :  =  - 8

5. Additionne deux des trois nombres proposés et note ton résultat.

Envisage toutes les possibilités.

- 27 - 64 43 - 2,5 3,9 - 5,1

6. Multiplie deux des trois nombres proposés et note ton résultat.

Envisage toutes les possibilités.

11 - 9 - 5 - 2,5 - 0,5 0,1

7. Calcule.

10  -  11 =  - 2 ( - 0,5) =  - 13 9 =

10 ⋅ ( - 20) =  - 15 : ( - 3) =  - 7,2 + 2,7 =

7 2 =  - 15  -  25 =  121 : ( - 1) =

- 2,23 ⋅ 0,1 =  - 0,5 + 5 =

5 ⋅ ( - 0,2) =

- 3,75 + 4,25 =  - 63 ( - 0,1) =  2 4 =

7  -  5  -  9 + 2  -  7 =  - 4 ⋅ ( - 3) ⋅ 25 ⋅ ( - 1) ⋅ 11 =  - 32 + 12  -  56  -  14 + 7 =  - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 6) ⋅ 500 =

3 ⋅ ( - 125) ⋅ 8 ⋅ 0 ⋅ ( - 7) =

7,1  -  13  -  18 + 10,2 + 13 =

- 6,5  -  3,5 + 6  -  9 + 19 =

1,25 ( - 0,2) ( - 8) 5 0,1 =

8,3 + 14,2  -  2,9 + 11,1  -  0,2 =  - 5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,01 ⋅ ( - 20) ⋅ ( - 2) =

Priorités des opérations

manCHe 8

Détermine le résultat

1. Pour l’ultime épreuve, Augustin, Jade, Karim et Maud sont confrontés à un jeu de logique.

(1) Augustin trouve −32 comme résultat et Maud 12. Qui a raison ? Détaille ton raisonnement.

En discutant, Augustin et Maud constatent qu’ils avaient obtenu la même valeur pour chaque ballon.

Quelle erreur a été commise par la personne qui s’est trompée ?

(2) Avec la même valeur attribuée à chaque ballon, Augustin et Maud relèvent un nouveau défi. = – ⋅ ?

Augustin Maud

- 5  - 9 ⋅ ( - 3)

=  - 5  -  ( - 27)

=  - 5 + 27 = 22

- 5  -  9 ⋅ ( - 3)

=  - 5 + 27 = 22

Cette fois-ci, ils ont obtenu la même réponse, mais ils n’ont pas la même démarche. Qui a raison ? Explique.

2. Souligne l’opération prioritaire et calcule de deux manières différentes.

(1) 4 + 5 (−6) =

4 + 5 ⋅ ( - 6) =

(2) 2,5 − 3 ⋅ (−1,5) =

2,5  -  3 ( - 1,5) =

3. (1) Écris les règles de priorités des opérations.

Je rédige les règles de priorités des opérations

(2) Calcule en respectant les étapes.

16 + 7 ⋅ (−2) + 3 =

9  -  5 2 =

16 ⋅ 0,5  -  ( - 4) ⋅ 2,5 =

- 5 ⋅ ( - 10)  -  9 : 3 =

4 3 -  11 2 =

(2 ⋅ 5) 4 =

4 ⋅ ( - 1  -  1) =

(3,7  -  1,9) : 10 =

( - 7 + 4)  -  (8  -  9) =

- ( - 8 + 4) : 2 =

−12 − 2 6 2 =

2,5 + 7 (4  -  5,1) =

50 : (4  -  ( - 6)) 10 =

(5  -  2) 3 : ( - 3) =

10  -  (1  -  2,5) + 2 3 =

42 : (−3 4 − 9) =

(2  -  7) : (15  -  5 2) =

4,1 + 0,1 ( - 0,5 ( - 2)  -  4) =

(6  -  3) (12  -  4 2) =

(8  -  3 ⋅ 2) 2 ⋅ ( - 2) =

4. Complète la suite de calculs et coche l’expression qui lui correspond. 2 +3 +7 ⋅ (−5)

2 + 3 ( - 5) + 7

(2 + 3) ( - 5) + 7

(2 + 3) ⋅ (( - 5) + 7) 2 + 3 ⋅ (( - 5) + 7)

e X er C i C es C omp L émentaires

Partie 1. Nombres positifs

1. Pour chaque opération, entoure l’estimation la plus proche de son résultat.

51 ⋅ 1,1 500 50 5 0,50,05

20,3 24,9 500 50 5 0,50,05

49,9 : 101,150050 5 0,50,05

119,9 : 23,850050 5 0,50,05

4,9 : 98,750050 5 0,50,05

2. Pour chaque étape, si une propriété est utilisée, écris-la.

112 + 0 + 35 + 45 + 18

= 112 + 35 + 45 +18

= 112 + 18 + 35 + 45

= (112 + 18) + (35 + 45)

= 130 + 80

= 210

25 0,5 2 4

= 25 4 0,5 2

= (25 4) (0,5 2)

= 100 ⋅ 1 = 100

3. Utilise les propriétés des opérations pour calculer.

(1)71 + 139 + 0 + 15 + 85 =

12,25 + 6,3 + 2,75 + 4,7 =

10,3 + 5 + 0,6 + 1,1 =

8,73 + 5,12 + 2,37 + 7,48 =

3 0 10 = 0,5 10. 200 0,3 = 5 ⋅ 0,02 ⋅ 3 ⋅ 2,1 =

4. Calcule mentalement. Écris, éventuellement, les étapes qui te sont nécessaires.

(1) 27 60 = 8 32 = 1,5 80 = 5,3 4 = (2) 360 : 30 =

390 : 12 =

105 : 15 =  58 : 40 =  (3) 27 5 = 17 25 = 24 : 50 =  31,6 : 5 =  (4) 27 0,1 =

0,5 =

0,25 = 1,3 0,01 =

(5) 975 : 75 =  0,72 ⋅ 125 = 2,7 ⋅ 0,125 = 6 : 16 =  3,7 ⋅ 12 = 35 ⋅ 0,8 = 56 ⋅ 0,06 = 17 ⋅ 1,2 =

et opérations

5. En utilisant des égalités successives, décompose un des facteurs en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement. (1)

6. En utilisant des égalités successives, décompose le dividende en une somme ou en une différence. Ensuite, calcule en détaillant ton raisonnement.

(1) 217 : 7 =  7 912 : 8 = (2) 1 515 : 15 =

7. Dans une manufacture de jeans, un ouvrier est payé 12,60 €/h. Il lui faut 43 minutes pour confectionner un jean. Quel montant l’ouvrier gagne-t-il par pièce ?

8. Calcule.

3 3 = 2 5 = 1 10 = 4 4 =  15 2 =

9. Traduis la phrase par une puissance et effectue-la. Le carré de 14.La septième puissance de 2.La quatrième puissance de 5.

10. Calcule la puissance et traduis-la par une phrase.

5 3 =  11 2 = 10 6 =

11. Complète.

(1) 1 k vues =  vues

2 M vues =  vues

3 G vues =  vues

(2) 0,7 M vues =  k vues

300 G vues =  M vues

31,2 k vues = vues

(3) 6 000 M vues =  G vues

40 000 k vues =  M vues

500 k vues =  M vues

12. Une ancienne éolienne qui produisait 20 kW vient d’être remplacée par une nouvelle produisant 3 MW. Par combien la production d’énergie a-t-elle été multipliée ?

13. (1) Sur la base de l’affiche, convertis la consommation de lait en Belgique en 2023 en kl, Ml et Gl.

(2) Combien de camions-citernes, d’une capacité de 21 kl chacun, sont nécessaires au transport de cette production ?

14. Combien de sacs de 10 kg ce charriot élévateur peut-il soulever ?

15. Une baleine bleue adulte pèse environ 180 tonnes. Exprime cette masse en Mg et en Gg.

16. Lequel des deux est le plus lourd : un avion « Airbus 380 » atteignant maximum 560 t au décollage ou le bateau de croisière « Queen Mary 2 » de 148 Gg ? Justifie.

17. Calcule.

(1) 4 + 3 10 =

100 − 4³ =

(3 + 9) 11 =

50 (10 − 3) =

(11 + 4) : (2 + 3) =

(3) 17 0,5 + 0,4 : 2 =

4,2 (5 − 3) =

8 − 3 (6 − 5,5) =

6² : 5 + 8 ⋅ 0,1 =

(3,5 − 2,5) 4 ⋅ 3,4 + 5 =

(2) 2 + 3² 5 =

(11 + 5) 3 − 3 =

11 + 5 (3 − 3) =

36 : 2² 3 =

5² − (4 + 1) =

(4) (2 + 3 4)² 5 = (8 5³) : (6² + 8²) =

62 − (2 + 6 : 4) 10 + 5 =

4 + 6 ⋅ (0,25 ⋅ 8 − 1³) =

4,5 + (9² ⋅ 2 + 1) ⋅ 0,01 =

18. Résous chaque problème. Note, en une seule expression, la suite d’opérations qui te permet de trouver la solution puis calcule-la en respectant les priorités des opérations

(1) Pour l’excursion de fin d’année, quatre cars de 52 places ont été réservés. Huit classes de 24 élèves participent à cette sortie. Détermine le nombre de professeurs présents dans chaque car sachant qu’ils se répartissent équitablement et que les cars sont complets.

(2) Lors d’un marché de Noël, une marchande a vendu 37 assiettes de six huitres à 10 € l’assiette et 50 crêpes au caramel beurre salé. La recette de la soirée est de 595 €. Quel est le prix de vente d’une crêpe ?

(3) Pour les travaux de rénovation de sa salle de bain, Sofia doit s’acquitter d’une facture de 2 465 €. Celle-ci comprend 36 m 2 de carrelage, 23 m de plinthe à 12 € le mètre courant et 425 € de main-d’œuvre.

Détermine le prix du carrelage au m 2 .

Partie 2. Nombres négatifs

19. Calcule.

(1)−7 + (−9) =  (2) 2 + (−6) =  (3)−7 + 4 =

−12 + (−3) =  −3 + 11 =

−5 + (−8) =

−65 + (−46) =  −23 + 3 =  107 + (−95) =

−223 + (−67) =  207 + (−48) =  −331 + (−529) =  2,5 + 1,6 =  2,2 + (−3,4) =  −3,25 + (−6,75) =  −8,3 + (−51,16) =  15,3 + (−11,27) =  −1,25 + 1,25 =

20. Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

La somme de 6 et de 13. La somme de 2 et de l’opposé de 1.

La somme de l’opposé de 5 et de 7.La somme des opposés de 2 et de 5.

21. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

5 + (−2) =  −10 + 7 = −11 + (−3) =

22. Calcule.

(1) 6 − 9 =  (2)126 − (−87) =  (3)−0,37 − (−5,6) =

12 − 41 =

−573 − 127 =

−516 − (−57) =

5,1 − (−3,12) =

23. Traduis la phrase par un calcul et effectue-le.

−0,45 − (−0,22) =

5,01 − 6,01 =

La différence entre 3 et 4. La différence entre 25 et l’opposé de 21.

La différence entre l’opposé de 8 et 3.La différence entre les opposés de 212 et de 115.

24. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

2 − 5 =  −130 − 20 =

25. Calcule.

(1) 6 − 2 =

3 − 8 =

−5 − 4 =

−7 − (−2) =

−6 + 8 =

−13 − (−31) =

(2)245 + (−520) = (3)5,3 − 1,7 =

123 − 125 =

−236 + 517 =

−613 + 214 =

−63 − 79 =

−6,2 + 0,7 =

−1,23 + 5,67 =

2,3 − (−0,74) =

−0,15 − 0,68 =

26. Complète les pyramides si tu sais que chaque brique vaut la somme des briques sur lesquelles elle repose.

(1)

52152−23−17

27. Calcule.

(1)−43 + 0 + 43 − 51 =  130 − 54 + 250 − 546 = 321 + 450 − 64 − 0 − 324 =  3,47 + 5,2 − 1,7 − 2,3 =  2,32 − 3 + 2,33 − 1,65 =  −4,7 + 0 − 5,3 + 1,22 =

(3) 112 − 51 − (−47) =  315 − (−17) + (−152) + 37 =  −1,3 + 5,2 − 2,3 − 6 =

et opérations

(2)14 − (−15) + (−22) =  −5 + (−17) − (−12) =  −27 − (−15) − 61 =  3,4 + (−5) − (−3,1) =  −5,2 − (−5,2) − 8,7 =  −1,42 + (−2,14) + 4,21 =

−2,13 + 2,28 + 1,4 − 0,2 =  1,57 − (−2,1) + (−0,7) − 4,3 =  −2,23 + 0 − 2,23 + (−2,23) =

28. Traduis chaque phrase par un calcul et effectue-le.

Le double de l’opposé de 8. Le triple du produit de 6 par l’opposé de 0,5.

29. Effectue le calcul et traduis-le par une phrase.

−7 0,1 =

30. Calcule.

(1) −7 9 =

(−4) =

Le quotient de l’opposé de 20 par 5. Le produit de l’opposé de 4 par l’opposé de 2.

(−10) ( −9) =

(2) 8,4 : (−4) =  (3) 6 (−1) (−9) =

48 : (−4) =  −1,7 ⋅ (−0,1) =

⋅ (−12) ⋅ (−5) =

−8 (−16) = 43 : (−5) =  12 (−4) 0 5 = −121 : 11 =

(4) 0,5 ⋅ (−2) ⋅ 4 ⋅ 0,25 =

−1,5 (−2) (−0,1) 0,1 =

4 (−1,2) (−2,5) 3 =

−8 (−1,25) 0,25 (−40) 3 =

0,5 =

(−2) (−25) (−50) =

(5) −1,25 ⋅ (−0 ,08) =  1,5 (−2,8) = 1,2 (−2,5) (−0,4) 5 = 0,05 (−0,4) 2 3 250 =

31. Complète si tu sais que le nombre indiqué à l’intérieur de chaque figure est le produit des nombres figurant sur ses sommets. (1)

32. Vrai ou faux ? Si la réponse proposée est fausse, corrige-la et énonce la règle utilisée.

−16 + 4 = −20

−15 − 26 = 41 8 (−5) = −40

33. Vrai ou faux ? Si c’est faux, donne un contrexemple. Si c’est vrai, justifie.

(1) La somme de deux termes de signes différents est toujours négative.

(2) Si le produit de deux facteurs est négatif, alors leur quotient est négatif.

(3) La somme de deux termes négatifs est toujours négative.

(4) Le produit de deux facteurs opposés est égal à 0.

(5) La somme de deux termes non nuls est toujours supérieure à chacun de ces deux nombres.

34. Complète en utilisant des nombres.

Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire.

- 7 = 56 - 4 + … = - 14 0,1 =  - 0,01

… : ( - 25) =  - 10 - 12 ⋅ … =  - 6 8,4  … = 12,3

35. Voici une liste de nombres.

En ne les utilisant qu’une seule fois, trouve deux nombres dont la somme vaut −7. dont le produit vaut 24. dont la différence vaut 4. dont le quotient vaut −5,5.

36. Calcule.

(1) 11 2 =  (2) - 19 + 21 =  (3) - 4,7  -  1,1 =  - 7 9 = ( - 15) : ( - 5) =  - 1 ( - 2,3) = - 24  -  17 =  14  -  23 =  - 9,2 + 11,7 =

36 ⋅ ( - 5) = - 9 ⋅ ( - 3) = - 8 + 3,75 =  - 56 : 8 =  7 2 =  1,2 ( - 0,1) =

(4) - 25 6 ( - 1) 4 = (5) - 1,5 + 2,5  -  7,5 + 11,5 =

- 29 + 20  -  33 + 13 =  - 8 20 ( - 1,25) ( - 5) = - 5 ⋅ ( - 0,1) ⋅ 0,2 ⋅ ( - 10) = 156  -  22  -  78 + 144 =

−4,8 + 9,3 − 3,7 + 2,2 =  20 1,1 ( - 5) 3 = 0,4 ⋅ 8 ⋅ ( - 7) ⋅ 25 = - 2,1 + 1,2  -  2,1 + 1,2 =

37. Calcule.

(1) −3 − 4 (−5) = - 6 7 + ( - 20) : 4 =

- 24 : 8  -  11 =

- 8 + 4 ( - 2) = 2,8  -  23,8 : 7 =

(3) (7 − 5) 4 ⋅ (−7) = - 7 + 2 5 ⋅ ( - 2) =

8 2 ⋅ (2  -  7) + ( - 3) =  11 + (8  -  5) 2 ⋅ ( - 2) = ( - 1 + 5) 2 -  0,5 ⋅ 3 2 =

38. Complète en utilisant des nombres.

(2) 9 (5 − 7) =

( - 10  -  2) : (5  -  8) =

- 7  -  (8  -  9) =

( - 2,5  -  6,5) 0,25 =  6 + 2 (2,8  -  3) =

(4) (−1 + 3 ⋅ 4) 2 =  5  -  2 ⋅ (9  -  2 ⋅ 4) 5 =  5 3 -  (13  -  4 ⋅ 5) =

2 ⋅ ( - 5)  -  4 ⋅ (5 2 -  2) =  - 3 ⋅ (5 2 - 6 ⋅ 7) =

Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire. - 3,2 + … 2 = 3,2 5 + ( - 3 + 4 …) = 26 10  - 6 = 58 1,5  -  3 … =  - 4,8 … : 8 + 8 = 1 (7 + …) 2 + 11 = 20

39. Sans ajouter de parenthèses, complète en utilisant les signes opératoires (+, −, ou :).

7  -  5 3 + 10 = 2 - 14 … 4 5 + 11 =  - 23 - 36 … 4 + 3 ( - 2) =  - 15 (5 … 11) ⋅ ( - 2 + 4) =  - 12

40. Complète en utilisant les signes opératoires (+, −, ⋅ ou :).

Ajoute des parenthèses si c’est nécessaire.

4 9 … 8  = 4 4 … 1 2 = 10

−4 … 3 2 = 2 −14 … 2 3 = −4

et opérations

CÔTÉ PRATIQUE

Propriétés des opérations

Addition

Commutative

Associative

Absorbant 2 + 10 = 10 + 2 = 12 (10 + 5) + 2 = 10 + (5 + 2) = 17 10 + 0 = 0 + 10 = 10

Neutre

Stratégies de calcul mental

Quotient par décomposition du dividende en une somme ou une di érence.

1 872 : 6 = (1 800 + 60 + 12) : 6 = 1 800 : 6 + 60 : 6 + 12 : 6 = 300 + 10 + 2 = 312

Estimer le résultat d’une opération permet de véri er la plausibilité d’une réponse calculée.

1 872 : 6 ≅ 1 800 : 6 ≅ 300

Multiplication

⋅ 2 = 2 ⋅ 10 = 20 (10 ⋅ 5) ⋅ 2 = 10 ⋅ (5 ⋅ 2) = 100 10 ⋅ 1 = 1 ⋅ 10 = 10 10 ⋅ 0 = 0 ⋅ 10 = 0

Produit ou quotient par décomposition du deuxième facteur ou du diviseur en produits et/ou quotients successifs.

⋅ 8 = 72 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 576

: 6 = 72 : 2 : 3 = 12

: 25 = 72 : 100 ⋅ 4= 2,88

Produit par décomposition d’un facteur en une somme ou en une di érence. 102 ⋅ 37 73 ⋅ 99 = 73 ⋅ (100 – 1) = 73 ⋅ 100 – 73 ⋅ 1 = 7 300 – 73 = 7 227 = (100 + 2) ⋅ 37 = 100 ⋅ 37 + 2 ⋅ 37 = 3 700 + 74 = 3 774

Puissance d’un nombre

Traductions

« La troisième puissance de 4 » ou « le cube de 4 »

Premiers carrés 02 = 0

= 1

= 4

= 9

= 16

= 25

= 36

= 49

Vocabulaire

4 exposant

base puissance 3

Écriture et calcul

Lectures 43 = 4 4 4 = 64

« 4 exposant 3 » ou « 4 au cube »

= 64

= 81

= 100

= 121

= 144

= 169

= 196

= 225

Puissances de 10 et pré xes

Pré xe

SymbolePuissanceNombre

Additionner deux nombres… de même signe

On conserve le signe et on additionne les valeurs absolues.

2 + 3 = +(2 + 3) = +5 = 5 –2 + (–3) = –(2 + 3) = –5

2 + (–3) = –(3 – 2) = –1 de signes di érents

On donne à la somme le signe du terme qui a la plus grande valeur absolue et on soustrait les valeurs absolues. de même signe

Opérations sur deux nombres

–2 + 3 = +(3 – 2) = 1

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.

2 – (–3) = 2 + 3 = 5

Règle des signes successifs

On remplace deux signes successifs di érents par un signe –.

3 + (– 2) = 3 – 2 = 1 3 – (+ 2) = 3 – 2 = 1

On remplace deux signes successifs identiques par un signe +.

3 – (– 2) = 3 + 2 = 5 3 + (+ 2) = 3 + 2 = 5

Multiplier ou diviser deux nombres…

Le résultat est toujours positif et on multiplie, ou on divise, les valeurs absolues.

2 ⋅ 3 = + (2 ⋅ 3) = +6 = 6

–2 ⋅ (–3) = + (2 ⋅ 3) = +6 = 6

10 : 2 = + (10 : 2) = +5 = 5 –10 : (–2) = + (10 : 2) = +5 = 5

Le résultat est toujours négatif et on multiplie, ou on divise, les valeurs absolues.

2 ⋅ (–3) = – (2 ⋅ 3) = –6

–2 ⋅ 3 = – (2 ⋅ 3) = –6 de signes di érents

10 : (–2) = – (10 : 2) = –5 –10 : 2 = – (10 : 2) = –5 2 – 3 = 2 + (–3) = –1

Additionner ou soustraire plusieurs nombres

On applique les propriétés des opérations et/ou les règles de calcul a n de simpli er l’expression.

2 + 3 – 5 + 0 + 11 – 1 – 8 = 16 – 14 = 2

2 – (–5) – 5 – (–17) + (–1) – 21 = 2 + 5 – 5 + 17 – 1 – 21 = 19 – 22 = –3

Opérations sur plusieurs nombres

1 2 3 4

Puissances

On détermine le signe du produit ou du quotient. Si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif. Si le nombre de facteurs négatifs est impair, le résultat est négatif.

On multiplie ou on divise les valeurs absolues en appliquant les propriétés des opérations et/ou les règles de calcul a n de simpli er l’expression.

Nombre impair (3) de facteurs

25 ⋅ (–3) ⋅ (– 4) ⋅ (–9)= – (25 ⋅ 4) ⋅ (3 ⋅ 9) = –100 ⋅ 27 = –2 700 = + (120 : 2) : 3 – 120 : 2 : (–3)

Nombre pair (2) de facteurs

Multiplier ou diviser plusieurs nombres = 60 : 3 = 20

Priorités des opérations

Opérations situées dans les parenthèses (en respectant les priorités)

Multiplications et divisions

Additions et soustractions

12 + 3 ⋅ (–22 + 32) = 12 + 3 ⋅ (–22 + 9) = 12 + 3 ⋅ (–13) = 12 + (–39) = 12 – 39 = –27

En cas de multiplications et/ou de divisions successives, on les e ectue de gauche à droite.

14 : (–2) ⋅ 5 = –7 ⋅ 5 = –35

et opérations

Notion

CÔTÉ THÉORIQUE

Définition

Estimation Réponse approximative la plus proche possible du résultat.

Commutativité Propriété d’une opération qui permet de changer l’ordre des nombres sans en changer le résultat.

Associativité Propriété d’une opération de plus de deux nombres qui permet d’en grouper certains sans en changer le résultat.

Élément neutreÉlément qui ne modifie pas le résultat de l’opération.

0 est l’élément neutre de l’addition.

1 est l’élément neutre de la multiplication.

Élément absorbantNombre qui rend le produit nul.

0 est l’élément absorbant de la multiplication.

Somme

Différence

Produit

Quotient

Terme

Facteur

Résultat d’une addition.

Résultat d’une soustraction.

Résultat d’une multiplication.

Résultat d’une division.

Élément intervenant dans une addition ou une soustraction.

Élément intervenant dans une multiplication.

Dividende Élément qui est divisé.

Diviseur

Élément qui divise.

Puissance d’un nombre Écriture simplifiée d’un produit de facteurs égaux à ce nombre.

Carré d’un nombreProduit de deux facteurs égaux à ce nombre.

Cube d’un nombreProduit de trois facteurs égaux à ce nombre.

Kilo Préfixe qui multiplie une unité de mesure par mille.

Méga Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un million.

Giga Préfixe qui multiplie une unité de mesure par un milliard.

Successifs Qui se suivent.

k kilo

M méga

G giga

T téra

Notation mathématique

repérage d ans le plan

Souviens-toi

1. Dans le quadrillage codé, certaines cases ont été colorées.

(1) Écris, à l’intérieur de chaque case, le code qui te permet de la repérer.

(2) Colorie en bleu les formes suivantes dont une des cases est codée.

(3) Colorie en bleu les cases E1, E4, E5, E6 et E7.

2. Des autocollants ont été positionnés sur les nœuds d’un quadrillage codé.

(1) Détermine leur position en te basant sur l’exemple.

(2) Place… un triangle en (D ; 5). une croix en (G ; 3). un cercle en (E ; 7).

Défi

Retrouve le nom du point correspondant à chaque renseignement.

Replace ensuite les lettres dans le bon ordre pour former un mot de cinq lettres.

Nom du point dont l’abscisse est négative et dont l’ordonnée est comprise entre 0 et –3.

Nom du point dont l’ordonnée est supérieure à 3.

Nom du point dont l’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée.

Nom du point dont l’abscisse est égale à l’ordonnée.

Nom du point dont l’ordonnée est nulle.

Le mot formé est

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de relever ce défi.

Coordonnées d’un point dans un repère orthonormé

1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver le fabuleux trésor de Jack la Terreur des mers ?

Pour cela, suis les consignes qui te permettront de repérer le trésor sur la carte.

(1) Jack la Terreur des mers se trouve au point J.

Ce point peut être repéré grâce à un couple de nombres, appelé coordonnées du point.

Les coordonnées du point J sont (4 ; 6).

William, son fidèle compagnon, se trouve au point W.

Complète les coordonnées du point W.

W ( ; )

(2) Place, sur la carte, les points dont on te donne les coordonnées.

B (5 ; 1) C (–2 ; 3) D (3 ; –2) E (–1 ; –3)

Qu’est-il préférable de faire avec les axes présents sur le quadrillage afin de pouvoir placer tous les points donnés ?

(3) Trace les segments [ CD ] et [ BE ] et nomme T leur point d’intersection.

(4) Le trésor de Jack la Terreur des mers est enterré au point T.

Complète les coordonnées du point T.

T ( ; )

La première coordonnée, lue sur l’axe horizontal ( x ), est appelée l’ abscisse du point.

La deuxième coordonnée, lue sur l’axe vertical ( y ), est appelée l’ ordonnée du point.

Complète.

L’abscisse du point T est L’ordonnée du point T est

2. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.

Un repère orthonormé est composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection, appelé origine du repère.

(2) Complète.

Les points O et I sont situés sur l’axe

L’ de ces points est égale à 0.

Les points P et N sont situés sur l’axe

L’ de ces points est égale à 0.

3. Parmi les points A (0 ; 2), B (–3 ; 5), C (2 ; 1), D (–3 ; 2), E (–3 ; 0) et F (1 ; –3), écris celui ou ceux qui…

a (ont) une abscisse égale à 2 :

a (ont) une ordonnée égale à –3 :

a (ont) la même abscisse :

a (ont) la même ordonnée :

se situe(nt) sur l’axe des abscisses :

se situe(nt) sur l’axe des ordonnées :

4. Voici un repère orthonormé.

Cite le(s) point(s) qui a (ont)…

(1) une abscisse nulle :

une abscisse positive ou nulle :

une abscisse strictement positive :

une abscisse strictement négative :

(2) une ordonnée strictement positive :

une ordonnée strictement négative :

une ordonnée nulle :

(3) la même abscisse :

(4) la même ordonnée :

5. (1) Dans le repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées.

A (1 ; 5)

B (–2 ; 3)

C (–4 ; –1)

D (3 ; –3)

E (0 ; 1)

F (5 ; 0)

(2) Un point I a la même abscisse que le point C et la même ordonnée que le point B. Écris les coordonnées du point I et place-le dans le repère orthonormé.

(3) L’abscisse du point H est égale à l’opposé de l’ordonnée du point E et son ordonnée est égale à l’opposé de l’abscisse du point F.

Écris les coordonnées du point H et place-le dans le repère orthonormé.

Je rédige mon procédé pour associer un point et ses coordonnées dans un repère orthonormé

6. (1) Écris les coordonnées de chaque point placé dans le repère orthonormé.

(2) Place ensuite, dans le même repère, les points dont on te donne les coordonnées.

F (3 ; 2) G (5 ; 0) H (4 ; –3)

I (–3 ; 0) J (–1 ; –2)

(3) Relie dans l’ordre les points…

J, I, D, C, H, G et B

D, E, A, F et H

7. Dans chaque repère orthonormé, place les points dont on te donne les coordonnées. Ensuite, relie-les dans l’ordre alphabétique en veillant à revenir au point de départ. Identifie la figure ainsi formée.

A (–2 ; –3) B (–2 ; 2) C (3 ; 2) A (–2 ; 1) B (2 ; 2) C (3 ; –2) D (–1 ; –3)

y

y

8. (1) Dans le repère orthonormé, place les points…

A (4 ; –4)

B (5 ; 0)

C (–3 ; 2)

(2) Place ensuite un point D pour que les points A, B, C et D, une fois reliés, forment un rectangle.

Écris les coordonnées de ce point.

Ensemble de points

1. Moussaillon, es-tu prêt(e) à retrouver la cachette de Jack la Terreur des mers ainsi que les membres de son équipage ?

(1) Pour chaque indice, entoure les coordonnées qui répondent à la condition énoncée.

Indice n o 1 : l’abscisse est plus grande que l’ordonnée.

(2 ; –5) (0 ; –1) (–4 ; –0,5) (3 ; 2) (2 ; 1) (–3 ; 6) (–1 ; –2)

Indice n o 2 : l’ordonnée vaut 1 de moins que l’abscisse.

(2 ; –5) (0 ; –1) (–4 ; –0,5) (3 ; 2) (2 ; 1) (–3 ; 6) (–1 ; –2)

Indice n o 3 : le produit des coordonnées vaut 2.

(2 ; –5) (0 ; –1) (–4 ; –0,5) (3 ; 2) (2 ; 1) (–3 ; 6) (–1 ; –2)

Indice n o 4 : la somme des coordonnées vaut 3.

(2 ; –5) (0 ; –1) (–4 ; –0,5) (3 ; 2) (2 ; 1) (–3 ; 6) (–1 ; –2)

(2) La cachette de Jack la Terreur des mers se trouve au point dont les coordonnées respectent l’ensemble des conditions énoncées au point (1).

Détermine les coordonnées de ce point C et place-le sur la carte.

1 1 x y 0

(3) Les membres d’équipage du bateau de Jack la Terreur des mers sont cachés à des endroits dont la somme des coordonnées vaut −2. Détermine les coordonnées de cinq points qui répondent à cette condition et qui pourraient être placés sur la carte.

Place les cinq points sur la carte et décris leur position relative.

Représente, sur la carte, l’ensemble de tous les points où peuvent se trouver les membres d’équipage.

2. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée.

(1) L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse.

(20 ; ) ( ; 2) ( ; −1) (−5 ; ) (4,5 ; )

(2) Les coordonnées sont opposées.

(5 ; ) ( ; –17) (–2,5 ; ) ( ; 0)

(3) La somme des coordonnées vaut −6.

(−9 ; ) ( ; 0) (–5 ; ) (2 ; ) (−3,5 ; )

(4) L’abscisse vaut 5 de plus que l’ordonnée.

( ; 10) (4 ; ) (–2 ; ) ( ; –9) ( ; 0)

(5) L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée.

(−3 ; ) ( ; 2) ( ; 0) (−2,4 ; )

(6) Le produit des coordonnées vaut −4.

(−1 ; ) ( ; 2) (−8 ; ) (40 ; ) ( ; 16)

3. (1) Complète les coordonnées pour que l’ordonnée soit égale au carré de l’abscisse.

(0 ; ) (1 ; ) (0,5 ; ) (2 ; ) (3 ; )

(2) Place les points dans le repère ort honormé.

(3) Ces points sont-ils alignés ?

Si oui, trace la droite.

Si non, relie les points à main levée. 1 1x y 0

4. (1) Écris les coordonnées des points placés dans le repère orthonormé.

(2) Quelle est la caractéristique commune des coordonnées des points B, C et D ?

Quelle est la position relative des points B, C et D ?

Écris les coordonnées d’un autre point qui possède la même caractéristique que celle des points B, C et D. Existe-t-il beaucoup de possibilités ?

Représente, en bleu, tous les points qui ont la même caractéristique que les points B, C et D.

(3) Représente, en vert, tous les points qui ont la même abscisse que le point A.

(4) Le point P a la même abscisse que le point A et la même ordonnée que le point B. Détermine les coordonnées de ce point.

Place ce point dans le repère et décris sa position.

5. Détermine les coordonnées de cinq points qui répondent à la condition énoncée. Place-les dans le repère orthonormé et représente ensuite tous les autres points qui répondent à la même condition.

(1) L’ordonnée vaut l’opposé du double de l’abscisse.

1 1 x y 0

(2) La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut −3.

1 1 x y 0

(3) L’abscisse vaut la moitié du cube de l’ordonnée.

e X er CIC es COM plé M en Ta I res

1. Voici une série de points.

A (2 ; –3) B (0 ; 6) C (–2 ; 2) D (0 ; 0) E (–6 ; 0)

(1) Détermine… l’abscisse du point A. l’ordonnée du point B. les coordonnées du point C.

(2) Détermine le(s) point(s)… qui est (sont) situé(s) sur l’axe des ordonnées. qui est (sont) situé(s) sur l’axe des abscisses. qui a (ont) une abscisse négative.

2. (1) Parmi les points A (–2 ; 0), B (–1 ; 4), C (0 ; –2), D (–2 ; –1) et E (–3 ; –1), écris celui… qui a la plus petite abscisse. qui a la plus grande ordonnée.

qui est situé sur l’axe des ordonnées. dont l’ordonnée vaut un de plus que l’abscisse.

(2) Quel point ne répond à aucune condition ?

Rédige une condition qui n’est valable que pour ce point.

3. (1) Dans le repère orthonormé, détermine les coordonnées des points K, L, M, N, P et Q.

(2) Place les points dont on te donne les coordonnées.

E (–2 ; –2) F (3 ; –2) G (–1 ; 4)

H (0 ; –3) I (2 ; 2) J (–4 ; 0)

5. En sachant que les coordonnées du point A sont (12 ; 16), détermine les coordonnées des points B et L.

6. Un vaisseau de pirates V progresse vers deux points remarquables : le rocher R (–1 ; 3) et le phare côtier P (1 ; 2).

(1) Construis le repère orthonormé.

(2) Détermine les coordonnées du vaisseau V, de la balise B et de la crypte C.

(3) Place la fosse F, la grotte G, le trésor T et la maison fortifiée M connaissant leurs coordonnées F (0 ; 0), G (4 ; 2), T (5 ; 4) et M (3 ; –1).

7. (1) Construis un repère orthonormé. Place le point A dont les coordonnées sont (3 ; 7).

(2) Détermine les coordonnées du point B si tu sais que son abscisse vaut le double de celle du point A et que son ordonnée vaut 5 de moins que celle du point A. Place le point B dans le repère.

(3) Détermine les coordonnées du point C si tu sais que son ordonnée vaut l’opposé de 1 et que ses coordonnées sont opposées. Place le point C dans le repère.

(4) Place le point D afin que les points A, B, C et D soient les sommets d’un carré.

Détermine les coordonnées du point D.

8. Dans chaque série, barre les coordonnées qui ne répondent pas à la condition énoncée.

(1) L’ordonnée est plus grande que l’abscisse.

(5 ; 8) (12 ; 10) (–2 ; 5) (–7 ; –9) (–1 ; 0)

(2) L’abscisse vaut le double de l’ordonnée.

(5 ; 2,5) (2,88 ; 1,44) (2 ; –1) (1,8 ; 3,6) (2 ; 0)

(3) L’ordonnée vaut le tiers de l’abscisse. (15 ; –5) -8 ; -8 3 -2 3 ;2 (3,99 ; 1,33) (0 ; 0)

(4) La somme des coordonnées vaut 8.

(5 ; 3) (2 ; –10) (–4; 12) (17 ; –9) 11 2 ;2,5

(5) L’abscisse vaut deux de plus que l’ordonnée.

(5 ; 3) (10 ; 12) (–2 ; 0) (–7 ; –9) (2,3 ; 0,3)

(6) L’ordonnée vaut l’opposé du triple de l’abscisse.

(–5 ; –15) (0 ; 0) (–3 ; 6) (–1,5 ; 4,5) 27 9 ;– 9

9. Complète les coordonnées pour qu’elles répondent à la condition énoncée. Construis un repère orthonormé et places-y les six points. Représente ensuite tous les points qui répondent à la condition.

(1) L’ordonnée vaut trois de moins que l’abscisse.

(5 ; …) (… ; –2) (… ; –5) (4 ; …) (3 ; …) (… ; –3)

(2) L’ordonnée est égale à la valeur absolue de l’abscisse.

(1 ; …) (0 ; …) (–2 ; …) (4 ; …) (3 ; …) (–4 ; …)

10. Associe les phrases équivalentes.

L’abscisse vaut le double de l’ordonnée.

•

• L’abscisse vaut le triple de l’ordonnée.

L’ordonnée vaut le tiers de l’abscisse. • •La somme des coordonnées est nulle.

L’ordonnée vaut 2 de moins que l’abscisse.

L’abscisse est égale à l’opposé de l’ordonnée.

La somme des coordonnées vaut 10.

L’abscisse est égale à l’ordonnée augmentée de 10.

•

•

•

•

• L’abscisse vaut 2 de plus que l’ordonnée.

• L’ordonnée vaut la moitié de l’abscisse.

• La différence entre l’abscisse et l’ordonnée vaut 10.

• L’ordonnée est égale à la différence entre 10 et l’abscisse.

11. Retrouve la position du téléphone de Télio en suivant les instructions.

(1) Trace, en bleu, la droite qui représente l’ensemble des points dont l’abscisse vaut la moitié de l’ordonnée.

(2) Trace, en vert, la droite qui représente l’ensemble des points dont la somme des coordonnées vaut 5.

(3) Marque le point T à l’intersection de ces deux droites.

(4) Le téléphone de Télio se trouve au point T. Dans quelle province se situe-t-il ?

Repère orthonormé

deux axes perpendiculaires

gradués de la même manière

CÔT é praTIQU e

1 1 x y 0 axe des ordonnées

origine du repère

axe des abscisses

Coordonnées d’un point

Dans un repère orthonormé, chaque point est repéré par un couple de nombres appelés les coordonnées du point.

Le premier nombre, lu sur l’axe horizontal, est l’abscisse du point.

Le second nombre, lu sur l’axe vertical, est l’ordonnée du point.

Notation : (abscisse ; ordonnée)

1 1 x −4 y 0 A 3

L’abscisse du point A est −4 L’ordonnée du point A est 3.

Les coordonnées du point A sont (−4 ; 3)

On indique toujours, dans l’ordre, l’abscisse du point suivie de son ordonnée.

CÔT é TH é O r IQU e

Notion

Axe Droite orientée et graduée.

Repère orthonormé

Origine d’un repère

Abscisse d’un point dans un repère orthonormé

Définition

Repère composé de deux axes perpendiculaires (ortho) et gradués de la même manière (normé) à partir de leur point d’intersection.

Point d’intersection des deux axes. Les coordonnées de ce point sont (0 ; 0).

Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe horizontal.

Première coordonnée du point.

Axe des abscissesAxe horizontal (noté x) d’un repère orthonormé.

Ordonnée d’un point dans un repère orthonormé

Nombre qui permet de repérer la position de ce point sur l’axe vertical.

Deuxième coordonnée du point.

Axe des ordonnéesAxe vertical (noté y) d’un repère orthonormé.

Coordonnées d’un point

Valeur strictement positive

Valeur strictement négative

Couple de nombres, composé de l’abscisse et de l’ordonnée du point, permettant de déterminer sa position dans un repère.

Valeur positive non nulle.

Valeur négative non nulle.

Points alignésPoints qui se trouvent sur une même droite.

Notation mathématique

( ; ) Coordonnées d’un point

CHAPITRE 5 FRACTIONS ET POURCENTAGES

S ouviens-toi

1. Relie.

Si, d’une tablette de chocolat, je mange… alors, j’en mange…

50 % • • le quart.

25 % • • la totalité.

100 % • • la moitié.

20 % • • le centième.

5 % • • le cinquième.

1 % • • le vingtième.

2. Calcule le pourcentage demandé. Note, pour chaque cas, le calcul à effectuer et son résultat. Calcul Résultat

10 % de 500 €

25 % de 500 €

75 % de 500 €

1 % de 500 €

12 % de 500 €

3. Relie chaque pourcentage au nombre décimal et à la fraction décimale qui lui correspondent.

4. (1) Un gâteau doit cuire une demi-heure à 180 °C, puis un quart d’heure à 150 °C. Pendant quelle fraction d’heure le gâteau doit-il cuire ?

(2) Le gâteau est partagé en huit parts égales. Si tu en manges trois parts et que ton ami en mange deux, quelle fraction du gâteau a été mangée ?

(3) Tu as utilisé un tiers d’une tasse de sucre blanc et un quart de la même tasse de sucre brun. Quelle fraction de tasse représentent les deux sucres ?

5. Arrondis le nombre 13,725 76… à l’unité près. au dixième près. au centième près.

Question de réflexion

Regarde, Lise ! Un nouvel article sur Jay Skyler ! Une date de concert de notre chanteur préféré ?

Non… Ils disent que la semaine passée, il avait perdu 10 % de ses followers mais que, cette semaine, il en a récupéré 10 % !

Extra ! Il en a à nouveau 22 millions alors !

Non, je ne pense pas que cela revienne au même…

Et toi, qu’en penses-tu ? Le nombre de followers a-t-il augmenté, a-t-il diminué ou est-il resté identique ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à cette question avec précision.

Pourcentage d’une quantité

1. Le soir de la sortie de son premier album, Jay Skyler comptait 15 000 followers sur Instagram. Faisons ensemble un petit retour sur les débuts de sa carrière.

Réalise l’exercice proposé dans la première étiquette. Ensuite, recherche celle qui te propose la réponse que tu viens d’obtenir et résous l’exercice en indiquant tes calculs.

2. Transforme les pourcentages en fractions décimales, en fractions irréductibles et en nombres décimaux.

Pourcentage Fraction décimaleFraction irréductibleNombre décimal

20 %

75 %

Calcule 20 % de 2 600 en utilisant…

la fraction décimale :

la fraction irréductible :

le nombre décimal :

Calcule 75 % de 2 600 en utilisant…

la fraction décimale :

la fraction irréductible :

le nombre décimal :

Je rédige mon procédé pour calculer le pourcentage d’une quantité

Pourcentage ajouté ou déduit

1. (1) Lors de l’annonce de son premier concert, Jay Skyler, qui comptait 15 000 followers, a vu le nombre de ceux-ci augmenter de 80 %.

Détermine le nombre de followers qu’il comptait après cette augmentation.

Détermine ce que devient le pourcentage de départ s’il augmente de 80 %.

Utilise ce pourcentage pour vérifier le nombre de followers après cette augmentation.

Je rédige mon procédé pour calculer une quantité augmentée d’un certain pourcentage

(2) Après le concert, le nombre de followers de Jay Skyler a subi une nouvelle augmentation. Il est passé à 250 % de ce qu’il comptait à l’annonce de celui-ci.

Calcule le nombre de followers après son concert.

(3) Ravi de ce nombre de followers, le chanteur s’est octroyé un peu de repos. Cela lui a fait perdre 15 % de followers.

Calcule de deux manières différentes le nombre de followers après cette diminution.

Je rédige mon procédé pour calculer une quantité diminuée d’un certain pourcentage

4. Jay Skyler met en vente des teeshirts et des casquettes à son effigie.

(1) À la sortie de son concert, le stand de vente de souvenirs propose des réductions. Alba achète une casquette et deux teeshirts.

Calcule le montant total de ses achats.

(2) De retour chez elle, Lise réalise les mêmes achats qu’Alba sur le site de vente en ligne qui n’affiche qu’une seule réduction de 8 % sur les teeshirts.

Justifie que Lise paiera le même montant qu’Alba pour ses achats.

15 € –8 % 30 € –6 %

5. Un fournisseur de musique en ligne propose deux tarifs.

Tarif 1 : 9 euros par mois avec 40 % de réduction les trois premiers mois.

Tarif 2 : 8 euros par mois avec le premier mois offert.

Si Alba veut souscrire un abonnement de six mois, détermine quel fournisseur elle devrait choisir.

6. Une voiture est affichée au prix de 25 495,87 € HTVA (hors TVA).

Si le taux de TVA est de 21 %, détermine le prix TVAC (TVA comprise) à payer.

La TVA est la taxe sur la valeur ajoutée. Il s’agit d’une taxe que l’on paie dès qu’on achète un produit ou un service. Cette taxe est perçue par le vendeur qui la reverse ensuite à l’État. Grâce à cet argent, l’État peut construire et entretenir les routes, les écoles, les hôpitaux, les parcs, assurer la sécurité, rendre la justice…

7. Cette publicité figure dans le dépliant promotionnel d’un magasin de matériel informatique.

La promotion « 21 % de TVA offerte » correspond-elle à une remise de 21 % sur le prix affiché ? Justifie.

Pourcentages successifs

1. La capacité d’un théâtre est de 1 200 places. Pour la prochaine représentation, 90 % des places ont été réservées et, parmi celles-ci, 15 % au premier balcon.

(1) Détermine le nombre de places réservées au premier balcon.

(2) Détermine, en un seul calcul, le nombre de places réservées au premier balcon.

Je rédige mon procédé pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité

2. Lors d’un mariage, 200 personnes ont été invitées. 80 % des invités sont venus avec un cadeau et, parmi eux, 30 % ont également apporté un bouquet de fleurs.

Détermine le nombre de personnes venues à ce mariage avec un cadeau et un bouquet de fleurs.

3. Sur les 12 400 habitants d’une ville, on compte 50 % de personnes de 40 ans ou plus. Parmi elles, 45 % ont 60 ans ou plus. Parmi ces dernières, 10 % ont 80 ans ou plus.

(1) Détermine le nombre de personnes de 60 ans ou plus.

(2) Détermine le nombre de personnes de 80 ans ou plus.

4. Dans un magasin de gaming, un jeu vidéo est affiché à 49,98 €. Durant la braderie, une réduction de 25 % est accordée.

Détermine le montant que payera un étudiant pour l’achat de ce jeu s’il bénéficie d’une réduction supplémentaire de 5 % applicable après la déduction des promotions en cours.

Je rédige mon procédé pour appliquer des augmentations et/ou réductions successives

5. Pendant la première quinzaine des soldes, un marchand vend 30 % de son stock de 1 200 vélos. Après cette période, il décide d’augmenter la remise et vend alors 20 % du stock qui lui restait après la première quinzaine

Détermine s’il reste 50 % du stock à la fin des soldes.

6. Kelly a un budget de 400 € pour s’inscrire dans une salle de sport. Elle a trouvé deux offres.

FitLife Studio

380 €

Abonnement 1 an

ü Augmentation de 10 % pour le suivi par un coach personnalisé

ü O re temporaire de 5 % sur le tarif total

ZenFit Club

350 €

Abonnement 1 an

ü Augmentation de 20 % pour le suivi par un coach personnalisé

ü O re temporaire de 5 % sur le tarif total

Sachant qu’elle souhaite les conseils d’un coach pendant un an, détermine l’abonnement qui lui coutera le moins cher.

7. Un concessionnaire automobile propose une offre pour l’achat d’une voiture hybride, dont la valeur est de 18 800 € HTVA. Le client choisit des options supplémentaires qui augmentent le prix HTVA de 3 %. À l’occasion du Salon de l’auto, le concessionnaire accorde une remise de 4,5 % sur le prix du véhicule.

Complète l’offre et indique tes calculs en dessous de celle-ci.

OFFRE DE PRIX

CARPRO

Rapport en pour cent

1. Une école secondaire compte 1 400 élèves.

Détermine, au pour cent près, le pourcentage d’élèves pour chaque catégorie.

Catégorie Nombre d’élèvesPourcentage (au pour cent près)

Ont plus de 18 ans 140

Suivent le cours d’anglais

Sont inscrits dans le degré inférieur

700

826

Aiment le cours de math 1 000

Je rédige mon procédé pour exprimer un rapport en pour cent

2. Observe les étiquettes de prix.

Dans chaque cas, retrouve, au pour cent près, le pourcentage de réduction accordé.

(1)

Prix catalogue : 69,00 € –20,70 €

Réduction : Total : 48,30 €

(2) 69,99 €

3. Dans chaque cas, suis la démarche proposée afin de comparer les deux offres.

(1) Pour l’offre 1, écris le rapport entre le nombre d’articles gratuits et le nombre d’articles reçus et transforme-le en pourcentage.

(2) Choisis l’offre la plus avantageuse en tenant compte du nombre d’articles à acheter pour en bénéficier.

(3) Vérifie ta réponse en déterminant le prix à payer pour chaque promotion si le prix d’un seul article est de 10 €.

Pourcentage de réduction Offre la plus avantageuse Prix pour l’ensemble des articles

Offre 1 4 + 1 gratuit

Offre 2

Réduction de 20 % à l’achat de 5 articles

Offre 1 2 + 1 gratuit

Offre 2

Réduction de 30 % à l’achat de 3 articles

Offre 1 3 + 2 gratuit

Offre 2

Réduction de 50 % à l’achat de 5 articles

20 %

30 %

50 %

offre 1

offre 2

aucune des deux

offre 1

offre 2

aucune des deux

offre 1

offre 2

aucune des deux

4. (1) Lors d’une journée d’activités organisée par une académie des arts, un cinquième des étudiants a participé à une animation sur la photographie numérique et un quart sur la photographie argentique.

Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations.

(2) Lors de cette même journée, une moitié des étudiants a réalisé une œuvre sur le thème de la nature et un tiers sur le thème de l’autoportrait.

Sans utiliser la calculatrice, calcule le pourcentage d’étudiants ainsi que la fraction, sous sa forme irréductible, du nombre d’étudiants ayant participé à une de ces deux animations.

5. Dans une salle polyvalente, les sièges rétractables offrent une grande flexibilité, permettant de moduler l’espace en fonction de l’évènement organisé.

Réponds aux questions, sans utiliser la calculatrice.

(1) Lors d’un spectacle, trois dixièmes des sièges ont été déployés dans la zone A et deux cinquièmes dans la zone B.

Détermine la fraction irréductible du nombre total de sièges ayant été déployés.

Exprime cette fraction sous la forme d’un pourcentage.

(2) Lors d’un concert, tous les sièges ont été déployés. Trois cinquièmes des places ont été vendues au prix de 40 €, un sixième au prix de 30 € et le reste au prix de 25 €.

Détermine la fraction irréductible des places ayant été vendues au tarif le plus bas.

Exprime cette fraction sous la forme d’un pourcentage, au pour cent près.

(3) Lors d’un évènement sportif, 60 % des sièges ont été déployés. À la suite d’un engouement des supporters, l’organisateur a dû ajouter un tiers du nombre total de sièges.

Détermine la fraction irréductible des sièges qui ont finalement été déployés pour l’évènement.

Exprime cette fraction sous la forme d’un pourcentage, au pour cent près.

Retour à la question de réflexion

Vérifie la réponse que tu avais donnée en début de chapitre en calculant l’évolution du nombre de followers de Jay Skyler.

1. Calcule.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

5 % de 1 800 35 % de 80 6 % de 228 4 % de 120,7 25 % de 500 18 % de 2 350 21 % de 797,5 31 % de 90

2. Observe l’étiquette du pot de confiture et calcule la masse de sucre de canne présente dans celui-ci.

3. Les droits d’enregistrement sont des taxes que l’acheteur doit payer lors de l’achat d’un bien immobilier. Ces droits servent à légaliser la transaction et à enregistrer le  changement de propriétaire auprès des autorités fiscales.

Au 1 er janvier 2025 en Wallonie, les droits d’enregistrement lors de l’achat d’une maison ou d’un appartement sont passés de 12,5 % à 3 %.

Adrien et Sophie ont acheté un appartement pour la somme de 220 000 € le 3 janvier 2025.

Calcule le montant que ce changement de taux leur a fait économiser.

4. Voici une facture d’eau incomplète.

Calcule le montant de la TVA ainsi que celui de la facture TVAC.

FACTURE D’EAU

N° d’installation : 764195

Montant à payer 132,49 €

Total HTVATVA 6,00 %

Date facture 03.01.2026

N° compteur M12345678

5. Pierre recherche un hôtel pour ses prochaines vacances. Voici les trois offres qu’il a retenues.

• Palace Sunset : 100 € la nuit avec petit-déjeuner. Une réduction de 15 % est accordée pour les réservations en ligne.

• Hôtel Blue Lagoon : 95 € la nuit. Un forfait petit-déjeuner est proposé à 10 € par personne et par jour. Une réduction supplémentaire de 5 % est accordée pour un séjour de plus de 7 nuits.

• Aramis Hôtel : 110 € la nuit avec petit-déjeuner. Une offre spéciale propose une nuit gratuite pour toute réservation de 4 nuits payantes.

Détermine l’hôtel qui offre le meilleur prix si Pierre souhaite réserver en ligne un séjour de 8 nuitées avec petit-déjeuner.

Total TVAC

CONFITURE

Poids net : 250 g

Ingrédients : citrons 80 %, sucre de canne

BIO, 80 % de fruits !

6. Une grande enseigne d’articles de sport organise des ventes privées.

Pieter achète deux sweatshirts tandis que James achète deux sweatshirts et deux shorts.

(1) Lequel des deux a fait l’achat le plus judicieux ? Justifie en notant tous tes calculs.

(2) Si James avait acheté deux sweatshirts et un seul short, aurait-il payé moins, plus ou le même montant que pour l’achat de deux sweatshirts et de deux shorts ? Justifie.

49,99€ 14,99 €

7. Une entreprise de 850 personnes est composée à 40 % d’employés. Parmi ceux-ci, 15 % ont moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise.

Détermine le nombre d’employés ayant moins de cinq ans d’ancienneté dans l’entreprise.

8. Quand tu déposes de l’argent sur un compte épargne, la banque te remercie de le lui confier en te donnant un petit bonus : c’est ce qu’on appelle les intérêts.

(1) Détermine le montant disponible sur ton compte au bout de cinq années, si tu places la somme de 1 000 € et que les intérêts te rapportent 2,5 % par an.

(2) Calcule le gain au bout des cinq ans.

9. Laure souhaite s’inscrire à une salle de sport.

Le forfait de base s’élève à 360 €. Laure ajoute un accès illimité à la piscine, ce qui augmente le prix initial du forfait de 60 %.

Un code promotionnel lui offre une réduction de 15 % sur le prix total.

Calcule le prix à payer par Laure.

10. Un carreleur établit un devis pour un client.

Le cout des matériaux HTVA est de 2 500 €, et celui de la pose et des finitions HTVA de 1 500 €.

En raison du choix d’un carrelage haut de gamme par le client, le prix des matériaux augmente de 15 %.

Une réduction de 10 % sur la main-d’œuvre est accordée, car le client accepte de verser un acompte de 30 % du montant total TVAC avant le début des travaux.

Le taux de TVA applicable pour cette rénovation est de 6 %.

Détermine le montant de l’acompte que le client devra verser avant le début des travaux.

11. Un pâtissier de renom a confectionné deux gâteaux : un gâteau « maison » de 800 g, dont 240 g de beurre, et un gâteau « signature » de 600 g, dont 150 g de beurre.

Calcule le pourcentage de beurre contenu dans chacun des gâteaux.

Détermine le gâteau qui est le plus riche en beurre.

12. Cyprien hésite entre ces deux offres d’abonnement. Les deux lui conviennent vu qu’il ne  dépasse jamais 30 Gb de data.

Recommandé

35 GB

Mobile Smart

Appels & SMS illimités 5G jusqu’à 200 Mbps

50 GB 18 € /mois

Pendant 12 mois, puis 23 € /mois

Appels & SMS illimités Data garantis en continu

Le plus choisi5G Ultra Fast 20 € /mois

O re temporaire : 10 % les six premiers mois

Ola Hello

(1) Détermine l’offre la plus intéressante si Cyprien décide de prendre un abonnement pour une durée de 2 ans. Justifie.

(2) Calcule, au pour cent près, le pourcentage de réduction offert par l’abonnement Ola pour la première année.

13. Voici une offre de prix reçue pour l’achat d’une nouvelle voiture.

Prix catalogue 51 265 €

Bonus Cycling Edition – 6 935 €

Bonus attache-remorque gratuit – 840 €

Prime de reprise conditionnelle déduite – 3 000 €

Calcule, au centième de pour cent près, le pourcentage de remises accordé au client.

14. Hermione participe à une œuvre caritative en vendant des pochettes de stylos.

Le lundi, elle vend un dixième de son stock et le mercredi trois cinquièmes.

(1 ) Quelle fraction irréductible de pochettes de stylos a-t-elle vendu durant ces deux jours ?

(2) À quel pourcentage cela correspond-il ?

15. Paul achète un bouquet de fleurs pour sa maman. Le cinquième d’entre elles sont des lys, 40 % sont des roses et les autres sont des tulipes.

Calcule le nombre de fleurs contenues dans le bouquet si tu sais qu’il y a 18 tulipes.

16. Une veste, initialement vendue au prix de 125 €, bénéficie de deux réductions successives : une  première réduction de 60 %, suivie d’une seconde réduction de 20 %.

Détermine le prix de la veste après réductions et le pourcentage final de réduction.

CÔTÉ PRATIQUE

Pour calculer le pourcentage d’une quantité, on utilise la transformation du pourcentage en…

fraction décimale

On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur.

nombre décimal

On multiplie la quantité par ce nombre décimal.

fraction irréductible

On divise la quantité par le dénominateur de la fraction et on multiplie le résultat obtenu par son numérateur.

75 % de 200 200 0,75 = 150 200 ⋅ = 200 : 4 ⋅ 3 = 150 75

200 ⋅ = 200 : 100 ⋅ 75 = 150

Pourcentage d’une quantité

Pourcentage ajouté ou déduit

Pour calculer une quantité augmentée (ou diminuée) d’un certain pourcentage, on ajoute (ou soustrait) à 100 % le pourcentage d’augmentation (ou de diminution) et on calcule le nouveau pourcentage de la quantité de départ.

Augmenter 200 de 75 % :

100 % + 75 % = 175 %

175 % de 200 = 200 1,75 = 350

Diminuer 200 de 75 % :

100 % − 75 % = 25 %

25 % de 200 = 200 0,25 = 50

Pour calculer des pourcentages successifs d’une quantité, on calcule, en une seule expression, les pourcentages successifs de la quantité de départ.

10 % de 75 % de 200 = 200 0,75 0,1 = 15

Pour calculer des pourcentages successifs ajoutés ou déduits , on détermine les pourcentages résultant de chaque augmentation et/ou de chaque diminution et on applique ces pourcentages à la quantité de départ.

Diminuer 200 de 75 % et augmenter le résultat de 10 %

100 % − 75 % = 25 % = 0,25

100 % + 10 % = 110 % = 1,10

Pourcentages successifs

Pour exprimer, en pour cent, un rapport entre deux quantités, on écrit, sous la forme d’une fraction, le rapport entre la partie et le tout et on transforme cette fraction en pourcentage.

Une réduction de 14 € est accordée sur un objet qui coute 40 €

Pourcentage de réduction : = 14 : 40 = 0,35 = 35 %

200 0,25 1,10 = 55 14 40

Rapport en pour cent

Notion

Pourcentage

Rapport

CÔTÉ THÉORIQUE

Définition

Écriture particulière d’une fraction dont le dénominateur est égal à 100.

Comparaison, exprimée par une fraction, entre deux quantités d’une même grandeur.

Notation mathématique

% pour cent(s)

CHAPITRE 6

F igures planes

s ouviens-toi

1. Identifie, avec la plus grande précision, les figures représentées dans le vitrail. Aide-toi éventuellement de ton équerre.

2. Construis les diagonales de ces quadrilatères.

3. Construis les médianes de ces quadrilatères.

4. Construis, dans chaque figure, la hauteur issue du point A.

5. Colorie les polygones réguliers et complète le tableau.

Nombre de côtés 5 6 8 10

Lettre du polygone

Nom du polygone

6. Observe et relie.

Le point O est… •

Le segment [ OA ] est… •

Le segment [ BC ] est… •

7. Construis…

(1) un cercle de centre O et de 1,5 cm de rayon.

• un rayon du cercle.

• le centre du cercle.

• un diamètre du cercle.

(2) un cercle de centre C et de 4 cm de diamètre.

Défi

À la fin du chapitre, relève le défi artistique qui te permettra de retrouver la pièce manquante de ce puzzle !

Constructions de base

1. Une mosaïque est une œuvre d’art ou de décoration créée en assemblant de petites pièces appelées tesselles. Les tesselles utilisées dans les mosaïques peuvent prendre diverses formes, en fonction du motif souhaité et du style artistique.

(1) Observe la mosaïque et les croquis des différents triangles nécessaires à sa création. Reproduis les triangles en vraie grandeur en utilisant les instruments de géométrie imposés.

Avec la latte et le compas

(2) Complète le tableau afin de déterminer la nature complète de chaque triangle.

Triangle Nature par rapport à ses côtésNature par rapport à ses angles EDF

(3) Lis l’indice.

Ensuite, complète, quand cela est nécessaire, la nature des triangles du tableau précédent.

Lorsqu’un triangle est isocèle, on précise le sommet commun aux deux côtés de même longueur.

Lorsqu’un triangle est obtusangle ou rectangle, on précise le sommet de l’angle obtus ou droit.

Le triangle FEU est isocèle en F .

Le triangle CAT est obtusangle en C .

Le triangle TON est rectangle en T .

a mplitude des angles

1. Une équerre est un instrument de géométrie utilisé principalement pour tracer des angles et des droites parallèles ou perpendiculaires.

(1) Observe l’équerre et détermine à quelle figure elle peut être associée.

(2) Place deux équerres côte à côte comme le montre l’image. Détermine la nature du quadrilatère formé.

Détermine la somme des amplitudes des angles intérieurs de ce quadrilatère. Justifie.

Déduis-en la somme des amplitudes des angles intérieurs du triangle ABC. Justifie.

(3) Compare l’amplitude des angles BAC et BCA du triangle isocèle ABC.

Compare l’amplitude des angles DAC et DCA du triangle isocèle ACD.

Énonce une propriété des angles intérieurs d’un triangle isocèle.

(4) Code le triangle ABC représentant l’équerre et complète.

Le triangle ABC est A + + C = = A = C =

2. Construis, sur une feuille, un triangle et la hauteur relative au plus grand côté.

Marque P le pied de cette hauteur.

Ensuite, découpe le triangle et marque chaque angle dans une couleur différente.

Utilise les mêmes couleurs au verso du triangle.

Enfin, ramène chacun des sommets du triangle sur le point P et marque les plis.

(1) Que constates-tu ?

(2) Énonce la propriété relative à la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle.

Colle ici le triangle une fois que tu en as reçu l’instruction.

3. Utilise la propriété que tu viens de découvrir pour calculer l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation.

Précise ensuite si le triangle est scalène, isocèle ou équilatéral.

4. Dans chaque cas, calcule l’amplitude de l’angle manquant du triangle ABC et détermine la nature complète de celui-ci A B C Nature du triangle ABC

5. Détermine l’amplitude de l’angle marqué d’un point d’interrogation. Indique tes calculs et justifie.

6. Construis un triangle équilatéral de 4,2 cm de côté, en utilisant la latte et l’équerre type « Aristo ».

7. Construis deux triangles isocèles différents dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut 38°. Pour chaque triangle, indique l’amplitude de ses angles et précise sa nature.

Droites remarquables

1. (1) Construis une droite dans chaque triangle en suivant les instructions données par les adolescents. Code tes constructions.

Dans le triangle LIS, trace la droite d qui passe par le milieu d’un des côtés et qui est perpendiculaire à ce côté.

Dans le triangle KAR, trace la droite k qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.

Mesure l’amplitude d’un des angles du triangle JUD. Marque un trait à la moitié de cette amplitude. Trace la droite j passant par ce trait et le sommet de l’angle choisi.

Repère le milieu d’un des côtés du triangle ALB.

Trace la droite p qui passe par ce milieu et par le sommet opposé à ce côté.

Lise

Karim

Jude

Alba

(2) Relie.

La droite d est une… • • bissectrice du triangle.

La droite k est une… • • médiatrice du triangle.

La droite j est une… • • médiane du triangle.

La droite p est une… • • hauteur du triangle.

(3) Combien existe-t-il de droites remarquables de chaque type ? Explique.

Je rédige ma définition des droites remarquables d’un triangle

2. Construis…

(1) la hauteur h du triangle MEL passant par E.

(2) la médiane m du triangle TIF passant par T.

(3) la médiatrice t du côté [ LO ] du triangle FLO.

(4) la bissectrice b de l’angle I du triangle LIN.

3. Construis…

– le triangle MAD tel que | DA | = 3 cm, | MA | = 4 cm et | DM | = 6 cm ;

– la hauteur h passant par D ;

– la médiatrice m relative au côté [ AM ] .

Quelle est la position relative des droites h et m ?

4. Dans chaque cas, construis un triangle sur la base des informations dont tu disposes et code tes constructions.

(1) Un triangle ABC isocèle en B tel que la droite a est la médiatrice du côté  [ AC ] et l’amplitude de l’angle  A vaut 50°.

(2) Un triangle ABC tel que la droite m est la médiatrice du côté  [ AB ] et la droite d est la médiatrice du côté [ BC ]

(3) Un triangle ABC équilatéral tel que la droite t est la médiatrice du côté  [ AC ]

(4) Un triangle ABC isocèle en A tel que la droite f est la médiatrice du côté [ AC ]

t C f

(5) Un triangle ABC isocèle en A tel que la droite b est la bissectrice de l’angle  A , l’amplitude de l’angle A vaut 100° et la longueur du segment [AB] vaut 3,2 cm.

(6) Un triangle ABC tel que l’amplitude de l’angle A vaut 70°, la droite s est la bissectrice de l’angle A et la droite t est la bissectrice de l’angle B

Triangle et cercles

1. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les deux droites remarquables qui ont été tracées et construis la troisième. Que constates-tu ?

(2) Construis un cercle passant par le point A et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables. Que constates-tu ?

(3) Aide-toi de l’indice pour compléter les phrases avec l’adjectif approprié.

Inscrit  : qui est cerné, qui est placé à l’intérieur. Circonscrit  : qui cerne, qui marque les limites d’un espace.

Le cercle est au triangle ABC.

Le triangle ABC est dans le cercle.

2. (1) Reconnais, en utilisant tes instruments de géométrie, les droites remarquables qui ont été tracées.

(2) Construis la troisième de ces droites remarquables. Que constates-tu ?

(3) Nomme P le point d’intersection de la droite remarquable et du côté [ MN ] . Construis un cercle passant par P et dont le centre est le point d’intersection des droites remarquables.

(4) Complète la phrase.

Le cercle est dans le triangle MON.

Le triangle MON est au cercle.

(5) Détermine la position relative du côté [ MN ] et du rayon du cercle issu de P.

(6) Construis, avec précision, les deux autres rayons du cercle dont une extrémité est un point du triangle. Code ta construction.

3. Complète les phrases par le mot ou la lettre qui convient. Ne t’aide pas du compas.

�� 1 est le cercle au triangle AZE. Son centre est le point

�� 2 est le cercle dans le triangle AZE. Son centre est le point

TE est une du triangle AZE.

4. Construis le cercle circonscrit au triangle HIJ.

Je rédige mon procédé pour construire le cercle circonscrit à un triangle

5. Construis le cercle inscrit dans le triangle WZV.

Je rédige mon procédé pour construire le cercle inscrit dans un triangle

Q ua D rilaTÈ res

Types

de quadrilatères

1. Les drapeaux regorgent de figures géométriques courantes.

Dans chaque cas, tu peux utiliser ton équerre pour déterminer la nature des figures.

(1) Observe le drapeau de la Guyane et décris le quadrilatère jaune. Associe-le à une famille de quadrilatères. Explique.

(2) Dans chaque drapeau, reconnais un quadrilatère convexe différent.

Congo Chili Brésil Ile de Bonaire

République dominicaine

(3) Un quadrilatère convexe bien connu ne figure sur aucun drapeau du monde.

Observe le drapeau créé et reconnais ce quadrilatère.

Dans la suite des exercices, nous travaillerons toujours avec des quadrilatères convexes.

Afrique du Sud Seychelles

Koweït

2. (1) Deux droites parallèles distantes de 2 cm sont dessinées. Dans chaque cas, trace deux autres droites parallèles, qui, en coupant les premières, forment un quadrilatère. Varie tes constructions afin d’obtenir quatre quadrilatères différents et précise leur nature.

(2) Cite les quadrilatères qu’il est impossible d’obtenir avec cette méthode et explique pourquoi.

3. Parmi les notations proposées, entoure celles qui sont correctes.

Pour nommer un quadrilatère, on choisit un sommet de départ, on choisit un sens de lecture et on passe d’un sommet à son consécutif.

4. En te basant sur sa définition, identifie le quadrilatère qui possède…

(1) ses côtés opposés parallèles.

(2) quatre côtés isométriques.

(3) deux côtés parallèles.

(4) deux côtés parallèles et deux angles droits.

(5) quatre angles droits.

(6) quatre côtés isométriques et quatre angles droits.

(7) deux paires de côtés consécutifs isométriques.

(8) deux côtés parallèles et deux côtés non parallèles isométriques.

5. Dans chaque cas, construis le quadrilatère demandé.

(1) Un parallélogramme VERT avec | VT | = 3 cm, | VE | = 2 cm et TVE = 140°.

(2) Un losange FOIN avec | FO | = 3 cm et OFN = 140°.

6. Construis un triangle ORD isocèle en R tel que | DO | = 4 cm et ODR = 40°.

Construis ensuite le parallélogramme ORDI.

Ce parallélogramme est-il particulier ? Explique.

7. Cette rosace est formée de losanges isométriques.

Construis un de ses losanges si la longueur d’un côté est de 4 cm.

Utilise le compas pour le report des longueurs.

a mplitude des angles d’un quadrilat ère

1. Trace une diagonale dans chaque quadrilatère.

Quelles figures voit-on apparaitre à l’intérieur de chaque quadrilatère ?

Que sais-tu à propos de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’une de ces figures ?

Déduis la propriété de la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère.

2. Sur une feuille, construis un trapèze isocèle que tu pourras coller dans le cadre.

Découpe-le et plie-le en deux parties superposables.

Marque les angles de même amplitude dans une même couleur.

(1) Coche la proposition correcte.

Colle ici le trapèze isocèle une fois que tu en as reçu l’instruction.

Deux angles sont marqués dans une même couleur s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs.

Énonce la propriété relative à ces angles.

(2) Coche les propositions correctes.

Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont… opposés. adjacents à un des côtés non parallèles. adjacents à une même base. consécutifs.

Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes et qualifie-les.

Énonce deux nouvelles propriétés relatives à ces angles.

(3) Cette figure est composée de trois trapèzes quelconques isométriques.

Reproduis le code couleur du premier trapèze dans les suivants. Énonce la propriété relative aux angles du trapèze isocèle qui est valable pour tous les trapèzes.

3. Sur une feuille, construis deux triangles identiques dont les côtés mesurent 2 cm, 3 cm et 4 cm. Découpe-les et assemble-les pour former un parallélogramme que tu colles ici.

Marque les angles des triangles qui sont devenus les angles opposés du parallélogramme.

Énonce la propriété concernant leurs amplitudes.

4. Dans le parallélogramme ABCD, colorie les angles de même amplitude dans la même couleur.

Coche la proposition correcte.

Deux angles sont marqués dans des couleurs différentes s’ils sont… opposés. consécutifs.

Calcule la somme des amplitudes de deux angles de couleurs différentes.

Énonce la propriété relative à ces angles.

5. Détermine l’amplitude des angles marqués d’un « ? ». Indique tes calculs et justifie.

120° 50° B L E U

58° T V E R

BLEU est un quadrilatère quelconque.

R O S E 138°

VERT est un trapèze rectangle.

60° ? N O I R

ROSE est un parallélogramme.

NOIR est un losange.

GR I S 56°

OCRE est un trapèze isocèle.

GRIS est un trapèze isocèle.

Droites remarquables d’un quadrilatère

1. En te basant sur les codages, retrouve la (les) droite(s) qui correspond(ent) à chaque description.

Ensuite, précise de quelle droite remarquable il s’agit.

(1) La droite coupe un angle en deux angles de même amplitude.

(2) La droite passe par le milieu de deux côtés opposés.

(3) La droite passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ou à son prolongement.

(4) La droite passe par deux sommets opposés.

(5) La droite passe par le milieu d’un côté et est perpendiculaire à ce côté.

2. Écris la notation mathématique correspondant à chaque codage. Construis, dans chaque cas, le quadrilatère ABCD et indique sa nature.

(3) Que représentent les diamètres des cercles par rapport aux quadrilatères construits ?

Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété.

Les se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Parallélogramme

Losange

Rectangle Carré

3. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses diagonales est déjà tracée. Code tes constructions.

Figure attendueSes diagonales… Construction

Rectangle

Parallélogramme

se coupent en leur milieu. sont isométriques.

sont perpendiculaires.

se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Losange

se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Carré se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

4. Utilise tes instruments de mesure et code les diagonales de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, écris les propriétés des diagonales en notation mathématique.

A B C D X

ABCD est un cerf-volant.

Propriétés des diagonales :

ABCD est un trapèze isocèle.

Propriétés des diagonales :

5. (1) Voici une photo de la façade d’un château avec plusieurs fenêtres. À quels segments peut-on associer les croisillons de la première fenêtre ?

(2) Construis les croisillons des trois autres fenêtres en respectant le même procédé de construction.

(3) Indique un V dans la case si ces segments répondent à la propriété.

Les se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Parallélogramme

Losange

Rectangle

Carré

(4) Quelle est la position relative des médianes et des côtés de ces quadrilatères ?

(5) Que peux-tu observer de particulier entre les longueurs des côtés de ces quadrilatères et celles de leurs médianes ?

6. Indique, dans chaque case, un V (vrai) ou un F (faux) si la propriété est rencontrée ou non. Construis le quadrilatère demandé en sachant qu’une de ses médianes est déjà tracée. Code tes constructions.

Figure attendueSes médianes… Construction

Rectangle se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Parallélogramme se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Losange se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

Carré se coupent en leur milieu. sont isométriques. sont perpendiculaires.

7. Utilise tes instruments de mesure et code les médianes de chaque quadrilatère. À l’aide du codage, complète les propriétés relatives à leurs médianes. Précise si les médianes sont parallèles à deux côtés du quadrilatère.

MARS est un cerf-volant.

Ses médianes

A R S

J U I N

JUIN est un trapèze.

Ses médianes AO

AOUT est un trapèze isocèle.

Ses médianes

U T

8. Cite les quadrilatères qui répondent à chaque condition.

(1) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

(2) Ses médianes se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.

(3) Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont isométriques.

(4) Ses médianes sont isométriques.

9. Aide-toi du codage pour donner la nature précise de chaque quadrilatère dessiné à main levée. Justifie.

F igures COM ple X es

p rogramme de construction

1. Chaque figure est composée d’un cercle et d’un carré.

Coche la figure qui correspond au programme de construction donné.

– Construis un carré.

– Construis les médianes de ce carré.

– Construis le cercle inscrit dans ce carré.

2. Lis les quatre programmes de construction et coche celui qui permet de construire cette figure.

Construis un triangle ABC rectangle en A.

Construis la médiatrice du côté [ BC ] .

Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ]

Construis un triangle ABC rectangle en A.

Construis la médiane du côté [ BC ]

Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ] .

Construis un triangle ABC rectangle en B.

Construis la médiane du côté [ BC ] .

Construis le cercle dont le diamètre est le segment [ BC ]

Construis un triangle ABC rectangle en A.

Construis la médiane du côté [ BC ]

Construis le cercle dont le rayon est le segment [ BC ] .

3. Numérote les cinq étapes du programme de construction, qui permettent de construire cette figure.

( ) Trace la diagonale [ AC ] de ce losange.

( ) Nomme E le point d’intersection des droites m et n.

( ) Construis la droite m telle que m ⊥ AC et C ∈ m.

( ) Construis un losange ABCD.

( ) Construis la droite n telle que n ⊥ m et B ∈ n.

4. Réalise chaque construction en suivant le programme.

(1) – Construis un triangle équilatéral DEF de 4 cm de côté.

– Place un point M au milieu du côté [ DF ]

– Trace, à l’extérieur du triangle, le demi-cercle de centre M et dont le rayon est le segment [ MF ]

(2) – Construis un carré ABCD de 3 cm de côté.

– Construis un cercle de centre C et dont le rayon est le segment [ CB ] .

– Place un point E sur le cercle, afin que le quadrilatère ABED soit un cerf-volant.

5. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur.

4 cm

(2) Rédige un programme de construction de cette figure.

6. (1) Reproduis cette figure en vraie grandeur.

4 cm

(2) Rédige un programme de construction de cette figure.

7. Rédige un programme de construction permettant de reproduire chaque figure en vraie grandeur.

(1)

(2)

a mplitude des angles

1. (1) Réalise la construction en suivant le programme.

– Construis un rectangle ABCD tel que | AB | = 5 cm et | BC | = 3 cm.

– Place un point M au milieu du côté [ CD ] .

– Construis un triangle équilatéral CEM à l’extérieur du rectangle ABCD.

– Construis un triangle équilatéral DFM à l’intérieur du rectangle ABCD.

(2) Détermine l’amplitude des angles ADF , ECB et EMD Indique tes calculs.

(3) Détermine la position des points E, M et F. Justifie.

2. Si CD // AE, détermine, sans mesurer, l’amplitude de l’angle CDE

Justifie par un raisonnement complet.

40°?

Je rédige mon procédé pour déterminer l’amplitude d’un angle dans des figures complexes

3. Observe cette figure dessinée à main levée et détermine si les points A, B et F sont alignés. Justifie par un raisonnement complet.

p olygones réguliers

1. Observe chaque polygone régulier inscrit dans un cercle de centre O. Lis l’indice et complète le tableau.

Carré Hexagone régulierTriangle équilatéral

Un angle au centre d’un polygone régulier est un angle dont le sommet est le centre du cercle circonscrit au polygone et dont les côtés passent par deux sommets consécutifs de ce polygone.

Nombre de côtés

Nombre d’angles au centre

Amplitude d’un angle au centre

Carré Hexagone régulierTriangle équilatéral

Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre d’un polygone régulier et le nombre de côtés de celui-ci.

Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle au centre vaut 36°. Justifie.

2. Détermine l’amplitude de l’angle EA B , un des angles intérieurs du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O. Indique ton raisonnement.

3. L’amplitude de l’angle ABC , angle intérieur d’un polygone régulier de centre O, vaut 135°. Effectue les calculs nécessaires afin d’identifier ce polygone régulier. Ensuite, achève sa construction.

135°

4. (1) Complète le tableau en t’aidant des exercices qui précèdent.

Polygone régulier

Amplitude d’un angle au centre

Amplitude d’un angle intérieur

Somme des deux amplitudes

(2) Établis le lien entre l’amplitude d’un angle au centre et celle d’un angle intérieur d’un polygone régulier. Qualifie ces angles.

5. Identifie le polygone régulier dont l’amplitude d’un angle intérieur vaut…

(1) 120°.

(2) 144°.

(3) 150°.

Dr etour au défi

1. Construis, à la page XX, la figure correspondant au programme de construction.

(1) Place un point O au centre de la feuille.

(2) Trace horizontalement le segment [OB], avec B à droite de O, tel que |OB| = 6 cm.

(3) Construis le triangle OBC, isocèle et rectangle en O, au-dessus du segment [ OB ]

(4) Construis le carré CBAD dont le point O est l’intersection des diagonales et tel que le point C est situé au-dessus de O.

(5) Efface le segment [ DO ]

(6) Construis deux demi-cercles à l’extérieur du carré dont les diamètres sont respectivement les segments [ DC ] et [ CB ]

(7) Trace une droite parallèle à la droite OB passant par le point A.

(8) Sur cette droite, place deux points à 7,5 cm du point A, l’un à sa gauche et l’autre à sa droite. Nomme-les respectivement E et F.

(9) Construis le carré EFGH de telle sorte que toutes les constructions déjà réalisées soient à l’intérieur de celui-ci.

(10) Partage le segment [ EH ] en 6 parts égales.

(11) À partir de chaque point obtenu lors du partage du segment [ EH ] , trace un segment parallèle à [ EF ] et dont la deuxième extrémité se situe soit sur le segment [ DA ] soit sur le demi-cercle dont le diamètre est le segment [ DC ]

2. À la page XX, coche la pièce du puzzle qui correspond parfaitement à ta construction.

e X er C i C es COM pl ÉM en Taires

p artie 1. Triangles

1. Construis chaque triangle et code ta construction. Indique sa nature complète.

(1) Triangle ABC tel que | AB | = 3,5 cm, | BC | = 6 cm et | AC | = 4 cm.

(2) Triangle HGI tel que | GI | = 4,8 cm, G = 108° et I = 33°.

(3) Triangle MNO tel que | MN | = 5 cm, | MO | = 3 cm et M = 80°.

(4) Triangle JKL tel que | JK | = | JL | = | KL | = 45 mm.

2. Code chaque triangle (côtés et angles) si tu sais que EQU est équilatéral, ISO est isocèle en S et REC est isocèle rectangle en R.

Ensuite, traduis les codages en notations mathématiques.

(1) (2) (3)

3. Détermine l’amplitude des angles de chaque triangle et indique tes calculs. Précise ensuite sa nature complète.

(1) (2) (3) (4)

4. Reproduis chaque triangle en vraie grandeur et indique sa nature complète.

(1) (2) (3)

5. Reconnais chacune des droites remarquables construites dans le triangle ABC.

6. Construis…

(1) le triangle YOH tel que | YO | = 4 cm, | OH | = 3 cm et O = 90° ainsi que la médiane d relative au côté [ HY ]

(2) un triangle ABC tel que | AB | = 27 mm, | AC | = 45 mm et CA B = 30° ainsi que la bissectrice b de l’angle A

(3) un triangle ABC tel que | BC | = 44 mm, | AB | = 27 mm et | AC | = 61 mm ainsi que la hauteur h passant par C.

(4) un triangle ABC tel que | AC | = 3,8 cm, CA B = 100° et AC B = 30° ainsi que la médiane d relative au côté [ AC ] .

7. Trace une droite f et place un point C n’appartenant pas à cette droite. Construis un triangle ABC isocèle en B et dont la droite f est la médiatrice du côté  [ AC ] .

8. Trace une droite d et place un point A appartenant à cette droite.

Construis un triangle équilatéral ADC de 32 mm de côté dont la droite d est la bissectrice de l’angle A

9. Trace une droite t et place un point C n’appartenant pas à cette droite. Construis un triangle ABC isocèle en C, dont la droite t est une médiatrice et tel que | AB |  = 4 cm.

10. Construis…

(1) un triangle équilatéral de 5 cm de côté et le cercle circonscrit à ce triangle.

(2) un triangle dont un côté mesure 6 cm et les angles adjacents à ce côté mesurent respectivement 70° et 54°, ainsi que le cercle inscrit à ce triangle.

p artie 2. Quadrilatèr es

11. Construis…

(1) le parallélogramme RACS dont | RS | = 5 cm, | SC | = 3 cm et S = 35°.

(2) le losange JOLI de 43 mm de côté dont O = 110°.

12. Détermine l’amplitude des angles des quadrilatères et justifie.

(1) Quadrilatère quelconque

(2) Parallélogramme

(3) Trapèze quelconque

13. Construis…

(4) Trapèze isocèle

(1) le losange SOLE tel que | SO | = 43 mm et E = 63°.

(2) le parallélogramme VEAU tel que | VE | = 6,2 cm, | VU | = 3,8 cm et A = 37°.

14. Aide-toi du codage pour donner la nature précise de chaque quadrilatère dessiné à main levée et justifie.

Ensuite, construis-les en vraie grandeur.

15. Construis…

(1) un rectangle dont les diagonales mesurent 4 cm.

(2) un trapèze isocèle dont la médiane relative aux bases mesure 3 cm.

(3) un cerf-volant dont la grande diagonale mesure 4,6 cm.

(4) un parallélogramme dont les médianes mesurent 4 cm et 6 cm.

16. Aide-toi du codage présent sur le parallélogramme ABCD pour donner la nature précise du quadrilatère HGFE. Indique chaque étape de ton raisonnement et justifie.

17. En excluant le quadrilatère quelconque, construis deux quadrilatères de nature différente, dont les diagonales ne se coupent pas en leur milieu. Note la nature de chaque quadrilatère obtenu.

p artie 3. Figures c omplexes

18. Dans le programme de construction, écris les étapes qui ont été effacées.

(1) Trace un segment [ AB ] de 2 cm.

(2)

(3) Place un point P sur le cercle tel que les points P, A et B ne sont pas alignés.

(4) Construis le triangle PAB.

(5)

19. Réalise chaque construction en suivant le programme.

(1) – Construis un triangle ABC isocèle en B tel que | AB | = 4 cm et | AC | = 5 cm.

Construis le losange ABCD.

– Trace la diagonale [ BD ] .

– Trace le cercle dont le diamètre est le segment [ BD ]

(2) – Construis un parallélogramme ABCD tel que sa hauteur mesure 3 cm, | AB | = 5 cm et = 108°.

– Place les points E et F respectivement au milieu des côtés [ DC ] et [ AB ] – Trace le segment [ EF ]

– Place le point M au milieu du segment [ EF ] . – Construis le triangle AMD.

20. Reproduis chaque figure en vraie grandeur et rédige un programme de construction. (1)

21. Détermine l’amplitude de l’angle marqué par un point d’interrogation. Justifie par un raisonnement complet (1) ABCD est un parallélogramme.

22. Complète le tableau.

Nombre de côtés du polygone régulier 20 9

Amplitude d’un angle intérieur 160°

23. Détermine l’amplitude de l’angle marqué. Justifie par un raisonnement complet.

24. Voici une mosaïque que tu peux observer à Pompéi. Reproduis-la si tu sais qu’elle n’est composée que de polygones réguliers de 2 cm de côté.

Construction de la figure du défi

CÔTÉ praT i Q ue

Triangles et angles

Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle

La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle vaut 180°.

Angles de même amplitude

44° 65° 65° 60° 60°60°

ABC triangle équilatéral

Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle DEF triangle isocèle en D

ABC triangle scalène DEF triangle isocèle en D

| A| + | B| + | C| = 180°

| A| = 180° – (65° + 44°) = 180° – 109° = 71°

| D| + | E | + | F | = 180° | E | = | F | = 65°

| D| = 180 – 2 · 65° = 180° – 130° = 50° JKL triangle isocèle et rectangle en L

| J | + | K | + | L | = 180° | L | = 90°

| J | = | K | = (180° – 90°) : 2 = 90° : 2 = 45°

Médiatrice relative au côté [AB]

Bissectrice de l’angle C

Milieu d’un côté

Perpendiculaire à ce côté

Média ⊥rice

Coupe un angle en deux angles de même amplitude

BIssectrice

Droites remarquables d’un triangle

Médiane

Milieu d’un côté

Sommet opposé à ce côté

Médiane relative au côté [AB]

Hau ⊥eur

Sommet du triangle

Perpendiculaire au côté opposé à ce sommet

Hauteur issue du sommet C

Cercle circonscrit au triangle « Autour »

1. Construis deux médiatrices du triangle.

2. Nomme O le point d’intersection de ces deux médiatrices.

3. Trace le cercle de centre O passant par les trois sommets du triangle.

Triangle et cercles

Cercle inscrit au triangle « Dans »

1. Construis deux bissectrices du triangle.

2. Nomme O le point d’intersection de ces deux bissectrices.

3. Construis la droite perpendiculaire à un des côtés du triangle passant par le point O.

4. Nomme P le point d’intersection de cette droite et du côté du triangle.

5. Trace le cercle de centre O et dont le rayon est le segment [OP]

La somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère vaut 360°.

Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère

| A | + | B | + | C | + | D | = 360° | D | = 360° – (61° + 121° + 73°) = 360° – 255° = 105° ABCD quadrilatère quelconque

Recherche des amplitudes des angles intérieurs d’un quadrilatère

Angles de même amplitude

Angles opposés du parallélogramme

Quadrilatères et angles

Angles supplémentaires

Angles consécutifs du parallélogramme

Angles consécutifs du losange

Angles adjacents à une base d’un trapèze isocèle

Angles opposés du losange

Angles adjacents à un des côtés non parallèles du trapèze

Angles opposés du trapèze isocèle

Elles se coupent en leur milieu

Elles sont perpendiculaires

Elles sont isométriques

Elles se coupent en leur milieu

Elles se coupent en leur milieu

Elles sont perpendiculaires

Elles sont isométriques

Elles se coupent en leur milieu

ParallélogrammeRectangle Losange Carré

Diagonales

Relient deux sommets opposés

Droites remarquables d’un quadrilatère

Médianes

Relient les milieux de deux côtés opposés

ParallélogrammeRectangle Losange Carré

Elles se coupent en leur milieu

Elles se coupent en leur milieu

Elles se coupent en leur milieu

Elles sont isométriques

Elles sont perpendiculaires

Elles se coupent en leur milieu

Elles sont isométriques

Elles sont perpendiculaires

Polygones réguliers

Angle au centre et angle intérieur

AOB est un angle au centre du pentagone régulier.

BAE est un angle intérieur du pentagone régulier.

Un angle au centre et un angle intérieur d’un polygone régulier sont supplémentaires

| AOB| + | BAE| = 180°

Nature du polygone régulier et amplitudes

Type de polygone

Hexagone régulier

Nombre de côtés 6

Nombre d’angles au centre 6

Amplitude d’un angle au centre

360° : 6 = 60°

Amplitude d’un angle intérieur

180° – 60° = 120°

Amplitude et nature du polygone régulier

Amplitude d’un angle intérieur d’un polygone régulier 108°

Amplitude d’un angle au centre

180° – 108° = 72°

Nombre d’angles au centre

360° : 72° = 5

Nombre de côtés 5

Type de polygone

Pentagone régulier

n otion

CÔTÉ THÉO ri Q ue

Définition

Polygone Figure plane limitée par des segments consécutifs.

Triangle Polygone qui a trois côtés.

Triangle scalèneTriangle qui a trois côtés de longueurs différentes.

Triangle isocèleTriangle qui a deux côtés isométriques.

Triangle équilatéralTriangle qui a trois côtés isométriques.

Triangle acutangleTriangle qui a trois angles aigus.

Triangle rectangleTriangle qui a un angle droit.

Triangle obtusangleTriangle qui a un angle obtus.

Position relative de deux objets

Hauteur d’un triangle

Médiane d’un triangle

Médiatrice d’un triangle

Bissectrice d’un triangle

Position des deux objets l’un par rapport à l’autre.

Droite qui passe par un sommet du triangle et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement).

Droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu du côté opposé à ce sommet.

Droite qui passe par le milieu d’un côté du triangle et qui est perpendiculaire à ce côté.

Droite qui coupe un angle du triangle en deux angles de même amplitude.

Droites concourantesDroites qui se coupent en un même point.

Cercle

Rayon d’un cercle

Diamètre d’un cercle

Cercle inscrit dans un triangle

Cercle circonscrit à un triangle

Ensemble de points qui se situent à la même distance d’un point appelé centre.

Segment dont les extrémités sont le centre du cercle et un point de ce cercle.

Segment qui passe par le centre du cercle et dont les extrémités sont deux points de ce cercle.

Cercle qui se situe à l’intérieur du triangle et qui touche chacun des trois côtés de ce triangle en un seul point.

Cercle qui se situe à l’extérieur du triangle et qui passe par chacun des trois sommets de ce triangle.

n otion

Quadrilatère

Quadrilatère convexe

Quadrilatère non convexe

Cerf-volant

Trapèze

Parallélogramme

Rectangle

Losange

Carré

Diagonale d’un quadrilatère

Médiane d’un quadrilatère

Définition

Polygone qui a quatre côtés.

Quadrilatère dont les amplitudes de tous les angles intérieurs sont inférieures à 180°.

Quadrilatère dont l’amplitude d’un angle intérieur est supérieure à 180°.

Quadrilatère qui a deux paires de côtés consécutifs isométriques.

Quadrilatère qui a deux côtés parallèles.

Quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

Quadrilatère qui a quatre angles droits.

Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques.

Quadrilatère qui a quatre côtés isométriques et quatre angles droits.

Segment qui relie deux sommets opposés du quadrilatère.

Segment qui relie le milieu de deux côtés opposés.

Polygone régulierPolygone qui a tous ses côtés et tous ses angles isométriques.

Angle au centre d’un cercle

Angle dont le sommet est le centre du cercle.

n otation mathématique

Triangle ABC Triangle dont les trois sommets sont les points A, B et C

Quadrilatère ABCD

��

Quadrilatère dont les quatre sommets sont consécutivement les points A, B, C et D

Cercle nommé ��

NATURE EN FÊTE

Un weekend qui a mis tout le village au vert !

Dans un charmant village de Wallonie, la nature était à l’honneur lors d’un weekend mémorable. Grâce à l’initiative d’un groupe de bénévoles dynamiques, des activités variées ont permis de célébrer la beauté et l’importance de l’environnement. Pour la quatrième année consécutive, cet évènement, organisé chaque premier weekend de mai, s’est imposé comme un rendez-vous incontournable pour petits et grands.

➀ Répartition des participants selon la distance parcourue

Un rendez-vous incontournable pour petits et grands

Dès le samedi matin, 800 passionnés de plein air se sont élancés sur les différents itinéraires soigneusement tracés par des bénévoles. Chacun a pu explorer les trésors naturels de la région, profitant de parcours adaptés à tous les niveaux.

➁ Espèces d’oiseaux observés par les enfants

Des ornithologues en herbe

Samedi après-midi, les enfants ont rivalisé de créativité en fabriquant de jolis nichoirs, avant de jouer aux petits ornithologues en comptant les oiseaux qui venaient se poser sur les branches des arbres de la place du village.

Pie

Corneille

➂ Préférence culinaire des participants au « Banquet des Herbes folles »

Banquet des Herbes folles

Samedi soir, 68 convives se sont réunis pour le « Banquet des Herbes folles »  : un repas hors du commun mettant à l’honneur les plantes sauvages. Chacun a choisi les mets qui éveillaient le plus sa curiosité : pesto d’orties, velouté de plantain, tarte aux fleurs de sureau… Une expérience gustative surprenante, où la nature s’invite à table.

Des bénévoles motivés

Dimanche matin, la solidarité était mise à l’avant-plan. Trente bénévoles motivés se sont retroussé les manches pour embellir les espaces verts du village. Plantations, entretien… ils ont offert un véritable coup de jeune à ces lieux de convivialité.

➃ Plantations réalisées par les bénévoles

de

➄ Répartition des notes attribuées au gagnant par les membres du jury

Concours de photos nature

Le weekend s’est conclu sur une note captivante avec l’annonce du grand gagnant du concours photo nature. Les clichés des participants ont été minutieusement évalués par le jury, qui leur a attribué des notes sur 10. Le vainqueur s’est distingué par son talent exceptionnel, décrochant une

CHAPITRE 7

TRAITEMENT DE DONNÉES

Première analyse de données

1. Lis l’article « Nature en fête » et réponds aux questions.

(1) Combien de personnes ont participé à la balade nature ?

(2) Combien de marcheurs ont choisi le parcours le plus long ?

(3) Que représente l’illustration à côté du paragraphe parlant de l’activité proposée aux enfants le samedi après-midi ?

(4) Quelle espèce d’oiseau a été la plus observée par les enfants ?

(5) Combien de personnes ont participé au repas de cette quatrième édition ?

(6) Combien de personnes ont voté pour le plat principal ?

(7) Combien de plantations ont été effectuées le dimanche matin ?

(8) Quelle est la note la plus basse attribuée par les membres du jury au grand gagnant du concours photo ? Combien de membres lui ont attribué cette note ?

Population et variable statistique

1. Dans l’article « Nature en fête », des données ont été collectées, organisées, interprétées et transmises aux lecteurs au travers de cinq paragraphes accompagnés d’illustrations.

La branche des mathématiques qui analyse des données afin d’en tirer des conclusions se nomme la statistique .

(1) Relie chaque illustration de l’article à la manière dont l’auteur a choisi de présenter les données.

Illustration ➀ • • Tableau

Illustration ➁ • • Diagramme circulaire

Illustration ➂ • • Diagramme en bâtonnets

Illustration ➃ • • Image

Illustration ➄ • • Diagramme à bandes

(2) Pour mener à bien une étude statistique, on définit un sujet d’étude et on sélectionne un ensemble d’individus sur lequel portera l’analyse. Les données collectées sont alors classées, analysées et interprétées afin d’en tirer des conclusions.

Lis l’indice et complète les tableaux portant sur chaque illustration de l’article.

Quel est le sujet de l’étude statistique ? Quelle est la question posée ?

VARIABLE STATISTIQUE

La réponse à la question posée est-elle mesurable ?

OUI, ce sont des nombres → VARIABLE STATISTIQUE QUANTITATIVE

NON, ce sont des mots → VARIABLE STATISTIQUE QUALITATIVE À qui ou à quoi la question est-elle posée ?

POPULATION

Illustration 1 Variable statistique Type de variable

Illustration 2 Variable statistique

Type de variable Population

3

Illustration

4

Illustration

Variable statistique

Type de variable

Population

Variable statistique

Type de variable

Population

5 Variable statistique

Illustration

Type de variable

Population

(3) Quelle est la principale différence entre les diagrammes des illustrations 3 et 5 ?

Associe le type de diagramme avec le type de variable statistique.

2. Deux questions ont été posées aux élèves d’une classe de première année.

Question 1 : Combien d’animaux de compagnie possèdes-tu ?

Question 2 : Quel animal de compagnie as-tu à la maison ?

(1) Identifie la variable statistique qui découle de chaque question et précise son type.

Question 1 :

Question 2 :

(2) Détermine la population.

3. Un club de tennis de table analyse l’âge de ses jeunes membres et récolte les données dans un tableau.

Âge (en années) 9 10111213

Nombre de membres 85 1011 9

(1) Identifie la variable statistique étudiée et précise son type.

Identifie la population.

(2) Coche le diagramme qui présente correctement le résultat de cette récolte de données et justifie ton choix.

Nombre de jeunes membres

Âge (en années) 024681012

Nombre de jeunes membres

Âge (en années)

4. Indique en dessous de chaque graphique la variable statistique étudiée et précise son type.

Couleur préférée des jeunes enfants

Rouge

Couleur préférée

Bleu

Orange

Vert

Noir

Rose

Jaune

0123456789101112131415 16

Nombre de votes

Nombre de lancers francs réussis lors d’un entrainement d’une équipe de basket

de joueurs/joueuses

Nombre de lancers francs réussis

Nombre de voix

Vote des élèves de 1re année pour l’élection de leur délégué(e)

Candidat(e)

5. À l’issue des Jeux olympiques, les nations participantes sont classées en fonction du nombre de médailles remportées. Une étude statistique s’intéresse à la manière dont ces récompenses sont réparties entre les différentes nations participantes.

(1) Détermine la variable statistique et précise son type.

Détermine la population de cette étude statistique.

AugustinAlbaKarimLiseJude

(2) Observe le tableau reprenant, dans l’ordre alphabétique, les dix nations ayant remporté le plus de médailles aux Jeux olympiques de Paris en 2024, le nombre de médailles de chaque catégorie ainsi que la répartition de celles-ci. Ensuite, réponds aux questions.

En Europe, on détermine le vainqueur des JO sur la base du nombre de médailles d’or remportées. Ce critère suffit-il à déterminer le pays vainqueur des JO 2024 ? Justifie.

En cas d’égalité du nombre de médailles d’or, le classement européen prend en compte le nombre de médailles d’argent, puis, si nécessaire, celui de médailles de bronze. Détermine, sur la base de cette nouvelle information, le vainqueur des JO 2024. Explique ton choix.

Établis le classement européen des dix nations.

(3) En dehors de l’Europe, le classement est parfois établi en fonction du nombre total de médailles remportées, sans distinction entre or, argent et bronze. Complète le diagramme à bandes horizontales présentant les cinq nations les plus médaillées (toutes catégories confondues), ensuite réponds aux questions.

Les cinq nations les plus médaillées aux JO de Paris 2024

Nation

États-Unis

Chine

0102030405060708090100110120130

Nombre de médailles

Détermine, selon ce classement, la nation qui a remporté les JO de Paris en 2024 et le nombre total de médailles gagnées par cette nation.

Calcule la différence de médailles entre la première et la deuxième nation du podium et explique ce qu’elle nous apprend sur la nation victorieuse.

Détermine les nations avantagées lorsqu’on prend en compte toutes les médailles confondues plutôt que les médailles d’or uniquement.

Modalité, effectif, fréquence et étendue

1. Dans l’article « Nature en fête », le quatrième paragraphe propose un tableau qui comptabilise le nombre de plantations réalisées par les bénévoles.

(1) Trouve un titre à chacune des colonnes et note-le sur la première ligne du tableau. Arbustes

Lis l’indice puis indique les mots « modalité » ou « effectif » sur la deuxième ligne.

Une modalité est une valeur qualitative ou quantitative prise par la variable statistique.

L’effectif d’une modalité est le nombre de fois que cette modalité apparait.

Calcule l’effectif total (somme des effectifs) et indique-le dans la dernière case du tableau.

(2) Construis un diagramme à bandes représentant ces données.

Ton diagramme à bandes doit comprendre…

– un titre ; – un axe vertical (ou horizontal) nommé, orienté et gradué représentant l’effectif ; – une droite horizontale (ou verticale) nommée énumérant les modalités ; – des bandes de même largeur et séparées par un même espace.

(3) Coche le diagramme circulaire correspondant à la répartition des plantations selon leur type et justifie ton choix.

Fleurs

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes grimpantes

Plantes mellifères

Fleurs

Arbustes

Arbres fruitiers

Plantes grimpantes

Plantes mellifères

Fleurs

Plantes grimpantes

Arbustes

Arbres fruitiers

2. Consulte le deuxième paragraphe de l’article concernant les oiseaux observés par les enfants et suis les consignes.

(1) Calcule l’effectif total.

(2) Détermine le rapport entre le nombre de corneilles noires et le nombre d’oiseaux observés. Exprime ta réponse sous la forme d’une fraction irréductible, d’un nombre décimal et d’un pourcentage (au pour cent près).

Ce nombre, exprimé en fraction, en nombre décimal et en pourcentage, correspond à la fréquence d’apparition des corneilles noires.

(3) Complète le tableau en classant les modalités dans l’ordre alphabétique.

Espèce d’oiseau Nombre d’oiseaux

ModalitéEffectif

Fréquence d’apparition des oiseaux

Fréquence en fraction

Je rédige mon procédé pour calculer la fréquence de chaque modalité

Fréquence en nombre décimal

Fréquence en % (au % près)

(4) Rédige une phrase complète en replaçant, dans son contexte, la fréquence présente dans le tableau.

6 % 15 82

3. Consulte le premier paragraphe de l’article et suis les consignes.

(1) Complète le tableau.

Distance parcourue (en km)

Pourcentage de marcheurs

Nombre de marcheurs

Modalité Fréquence Effectif

(2) Construis un diagramme en bâtonnets représentant ces données.

Ton diagramme en bâtonnets doit comprendre… – un titre ;

– un axe vertical nommé, orienté et gradué représentant l’effectif ; – un axe horizontal nommé, orienté et gradué représentant les modalités ; – des segments verticaux séparés par un même espace.

(3) Détermine le nombre de marcheurs ayant parcouru une distance inférieure à 10 km.

(4) Justifie que plus de 50 % des marcheurs ont parcouru une distance supérieure à 10 km.

(5) Calcule la différence entre la plus grande et la plus petite modalité.

Ce nombre est l’ étendue des modalités.

Interprète ce résultat en le replaçant dans son contexte.

4. Voici le relevé des températures maximales journalières (en °C) enregistrées à Uccle durant un mois d’avril.

131314151313141315131514161619

191619181618191918181919181616

(1) Complète le tableau en classant les modalités dans l’ordre croissant.

Température journalière maximale (en °C)

Modalité

Nombre de jours Effectif

(2) Complète chaque phrase par le nombre approprié. Ensuite, interprète les notions présentées en les replaçant dans leur contexte.

L’effectif de la modalité 14 est

L’étendue des modalités est

L’effectif total est

La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 16 est

5. Voici un tableau reprenant l’âge des danseurs hip-hop d’une école de danse.

(1) Calcule les effectifs si tu sais qu’il y a quinze jeunes de 12 ans.

Âge (en années)Pourcentage de jeunesNombre de jeunes

(2) Quel est le plus grand écart d’âge observé chez ces danseurs ?

De quelle notion s’agit-il ?

(3) Combien de danseurs ont 13 ans ?

De quelle notion s’agit-il ?

(4) Quel âge est associé à un groupe de 12 danseurs ?

De quelle notion s’agit-il ?

6. Une étude a montré que, parmi un groupe de jeunes utilisateurs des réseaux sociaux, 86 % regardent des photos, de courtes vidéos ou des stories, 68 % en commentent les contenus et seulement 21 % en publient.

(1) Si tu additionnes les pourcentages présents dans cette situation, tu n’obtiens pas 100 %. Explique pourquoi.

(2) Détermine, si possible…

la variable statistique : le type de cette variable : la fréquence (en %) de commentaires de contenus : l’effectif total : l’étendue :

7. Deux classes de 3 e année comptent le même nombre d’élèves.

Les diagrammes représentent le moyen de transport utilisé par les élèves de ces deux classes pour se rendre à l’école.

Classe 3A

Moyen de transport utilisé pour se rendre à l’école en transports en commun en voiture à pied à vélo

Classe 3B

Moyen de transport utilisé pour se rendre à l’école

en transports en commun en voiture à pied à vélo

Nombre d’élèves Moyen de transport

Détermine quelle classe compte le pourcentage le plus élevé d’élèves venant en voiture. Indique toute ta démarche.

8. Les deux diagrammes représentent le style musical préféré des vingt élèves d’une classe de 1 re année.

Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année

rappopélectroautres

Préférence musicale des élèves d’une classe de 1re année

rappopélectroautres

Calcule les données manquantes et complète les diagrammes. Indique toute ta démarche.

9. Un groupe de jeunes de 14 ans a été interrogé sur l’année scolaire d’acquisition de leur premier téléphone portable. Les résultats de ce sondage ont été présentés dans un diagramme circulaire.

En indiquant toute ta démarche, calcule…

(1) le nombre d’élèves interrogés.

(2) le nombre d’élèves ayant acquis leur téléphone portable en 6 e primaire, sachant qu’il est trois fois plus élevé qu’en 1 re secondaire.

Année scolaire d’acquisition du premier téléphone portable par des jeunes de 14 ans

40 %

48 élèves

5e primaire

6e primaire

1re secondaire

DMoyenne

1. Une école compte sept classes de 1 re année et quatre classes de 4 e année.

(1) Voici le relevé du nombre d’élèves par classe de 1 re année.

24 – 19 – 20 – 21 – 18 – 22 – 23

Détermine le nombre total d’élèves de 1 re année inscrits dans cette école.

Si toutes les classes de 1 re année comptaient le même nombre d’élèves, combien d’élèves y aurait-il par classe ?

Détermine ce nombre puis complète la phrase.

Ce nombre est du nombre d’élèves de 1 re année par classe.

Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs

(2) Voici le relevé du nombre d’élèves de 4 e année par classe.

27 – 24 – 26 – 25

Calcule la moyenne du nombre d’élèves par classe.

Détermine le nombre de nouveaux élèves que l’école peut accueillir dans une cinquième classe de 4 e année si le directeur souhaite que la moyenne du nombre d’élèves par classe soit de 24.

Je rédige mon procédé pour déterminer la valeur manquante d’une série, connaissant la moyenne attendue

2. Voici la taille, en centimètres, des joueurs (joueuses) des équipes premières masculine et féminine d’un club de volleyball.

Équipe masculine : 190 – 192 – 196 – 191 – 198 – 192 – 192 – 194 – 201

Équipe féminine : 177 – 179 – 176 – 168 – 175 – 180 – 173 – 177 – 172 – 173

(1) Calcule la taille moyenne des joueurs (joueuses) de chacune des deux équipes.

(2) Calcule la taille moyenne des joueurs (joueuses) de l’ensemble des deux équipes.

(3) Une nouvelle joueuse est recrutée dans l’équipe féminine. Que peut-on dire de la taille de cette joueuse si la taille moyenne des onze joueuses est… inférieure à 175 cm ?

égale à 175 cm ?

égale à 176 cm ?

3. Observe les températures minimales et maximales relevées à Uccle du 7 au 13 janvier 2025.

Date 07/0108/0109/0110/0111/0112/0113/01

Température maximale (en °C) 4,43,71,53,0−0,62,24,3

Température minimale (en °C) 1,50,4−0,4−3,1−2,7−0,5−3,3

(1) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures maximales relevées.

Cite les dates pour lesquelles la température maximale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates.

(2) Calcule la moyenne, arrondie au dixième près, des températures minimales relevées.

Cite les dates pour lesquelles la température minimale enregistrée est supérieure à cette moyenne. Précise la température relevée pour chacune de ces dates.

4. Voici les notes sur 20 obtenues par les 24 élèves d’une classe lors de leur dernière évaluation en mathématiques.

141516141214 98 1920 8 17 A * 14 8 16 191912 8 15101715

* élève absent

(1) Calcule, de deux manières différentes, la note moyenne des élèves ayant présenté l’évaluation.

Explique chaque procédé et arrondis ta réponse au dixième près.

(2) Entoure, dans le relevé, les notes supérieures à la moyenne de la classe. Combien en obtiens-tu ?

(3) Si l’élève absent avait été présent, quelle note aurait-il dû obtenir pour que la moyenne de la classe à cette évaluation soit de 14 ?

5. À partir du tableau de distribution, calcule la moyenne, arrondie au dixième près, du nombre de buts marqués par l’Espagne lors de l’Euro 2024 de football.

de buts marqués)

de matchs)

Je rédige mon procédé pour déterminer la moyenne d’une série de valeurs lorsque certains effectifs sont supérieurs à 1

6. Dans une entreprise qui emploie quinze personnes, deux personnes gagnent 2 090 €, huit personnes gagnent 2 376 €, deux personnes gagnent 2 640 €, une personne gagne 3 162 €, une personne gagne 3 861 € et une dernière personne gagne 5 236 €. Calcule le salaire moyen, arrondi au centime près, des salariés de cette entreprise.

7. Reprends l’article « Nature en fête » et suis les consignes.

(1) À partir du tableau de distribution, calcule la distance moyenne parcourue par les « passionnés de plein air ».

(2) Calcule le nombre moyen de plantations réalisées par chaque bénévole.

(3) Vérifie, à l’aide d’un calcul, la moyenne, arrondie au centième près, des notes attribuées par les membres du jury au grand gagnant du concours photo nature.

Nombre de frères et sœurs des élèves d’une classe de 3e année

8. Le diagramme en bâtonnets représente le nombre de frères et sœurs des élèves d’une classe de 3 e année. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre d’élèves

Nombre de frères et sœurs

(1) Détermine la population.

(2) Identifie la variable statistique étudiée et précise son type.

(3) Calcule puis rédige une phrase complète en replaçant, dans son contexte, la notion présentée.

L’effectif total

La fréquence en pourcentage des élèves qui ont un frère ou une sœur

L’étendue des modalités

Le nombre moyen de frères et sœurs par élève de cette classe

COMPLÉMENTAIRES

1. Pour chaque document proposé dans le portfolio qui se trouve à la fin des exercices complémentaires, identifie la variable statistique, précise son type et détermine la  population.

2. Parmi les documents du portfolio, identifie ceux qui sont ou peuvent être illustrés par…

(1) un diagramme à bandes.

(2) un diagramme en bâtonnets.

Justifie chaque choix.

3. En t’aidant du document ➏ du portfolio, détermine les éléments demandés et interprète chaque réponse donnée en la replaçant dans son contexte.

(1) L’effectif de la modalité 6.

(2) La modalité de l’effectif 9.

(3) L’effectif total.

(4) L’étendue des modalités.

(5) La fréquence, exprimée par une fraction irréductible, de la modalité 1.

(6) La fréquence, exprimée en pourcentage (au pour cent près), de la modalité 2.

4. Dans une classe de 24 élèves, on a posé la question suivante : « Parmi toutes les cuisines du monde, quelle est celle que tu préfères ? ». Un seul élève a répondu « grecque », 62,5 % des élèves ont répondu « italienne » et un huitième des élèves ont choisi « française ». Les autres élèves préfèrent la cuisine asiatique.

(1) Établis un tableau de distribution détaillé, structuré en cinq colonnes : modalité, effectif, fréquence en fraction irréductible, fréquence en nombre décimal (au millième près) et fréquence en pourcentage (au dixième de pour cent près).

(2) Classe les types de cuisine par ordre de préférence des jeunes.

(3) Construis le diagramme à bandes représentant les résultats de ce sondage.

5. Lors d’une évaluation de vocabulaire sur 20, Pierre a obtenu la meilleure note de sa classe avec un 18. L’étendue des notes étant de 13, quelle est la note la plus basse obtenue par au moins un élève ?

6. Aide-toi du document ➎ du portfolio pour répondre aux questions.

(1) La fréquence, en pourcentage, de la modalité deux étoiles (**) est-elle plus importante en France ou en Belgique ?

(2) Prouve que l’écart entre la fréquence de la modalité une étoile (*) des deux pays est inférieur à 1 %.

(3) Les cinq pays possédant le plus grand nombre de restaurants étoilés en 2024 dans le guide Michelin sont la France (639), le Japon (393), l’Italie (392), l’Allemagne (313) et l’Espagne (269).

Choisis le diagramme circulaire représentant ce top 5 et justifie ton choix.

Top 5 des restaurants étoilés michelin

Top 5 des restaurants étoilés michelin

(4) En 2024, le guide Michelin a recommandé 3 000 restaurants en France et 792 en Belgique. Sachant qu’il a récompensé d’une étoile (*) 119 restaurants en Belgique, lequel des deux pays obtient le pourcentage le plus élevé de restaurants récompensés par rapport aux restaurants recommandés ?

7. Les Belgian Cats ont remporté l’EuroBasket féminin en 2025. Elles ont marqué respectivement 81, 87, 72, 83, 66 et 67 points lors des différents matchs.

Détermine la moyenne des points marqués.

8. Voici la liste des âges (en années) des onze candidats aux élections, enregistrée la veille du scrutin.

44, 21, 68, 18, 33, 55, 52, 71, 27, 39 et 47 ans.

(1) Calcule la différence d’âge entre le candidat le plus âgé et le candidat le plus jeune. De quelle notion statistique s’agit-il ?

(2) Le parti affirme avoir autant de candidats plus jeunes que l’âge moyen que de candidats plus âgés. Montre que cette affirmation est fausse.

(3) Le parti souhaite ajouter un douzième candidat. Pour obtenir une moyenne d’âge de 45 ans, calcule l’âge que doit avoir ce nouveau candidat.

France

Japon

France

Japon

Italie

Allemagne

Espagne

Italie Allemagne

Espagne

9. Détermine, quand cela est possible, la moyenne (au centième près) et l’étendue des  situations présentées dans le portfolio.

10. Une boutique spécialisée dans la vente de smartphones a enregistré le nombre d’appareils vendus chaque jour de la semaine dernière, en distinguant les ventes par type de système d’exploitation (Android ou iOS).

(1) Calcule le nombre total de smartphones vendus par la boutique la semaine dernière.

(2) Calcule, à l’unité près, le nombre de smartphones vendus en moyenne par jour pour chaque système d’exploitation.

Jeudi18 7 Vendredi2015

Samedi2518

Dimanche 85

(3) La direction de la boutique a un objectif : la moyenne journalière totale des ventes de smartphones doit être d’au moins 25 smartphones. La boutique a-t-elle atteint cet objectif la semaine dernière ? Justifie ta réponse.

11. Des élèves ont voté pour leur type de jeu vidéo préféré : simulation, action, sports ou aventure. Sachant que 21 élèves préfèrent les jeux de simulation, construis un tableau de distribution à trois colonnes incluant : modalité, effectif et fréquence en pourcentage.

Type de jeu vidéo préféré des élèves

12. Une chaine de télévision a organisé une soirée caritative afin de venir en aide à cinq associations choisies par le public. Le montant total récolté s’élève à 100 000 €. Les diagrammes présentent le partage effectué entre les différentes associations. Complète les deux bandes manquantes du second diagramme. Explique toute ta démarche.. JourAndroidiOS Lundi12 8

%

Explique toute ta démarche.

Partage des gains entre les cinq associations

Partage des gains entre les cinq associations

L’envol solidaire

Les tisseurs de liens

Impulsion santé

Racines et avenir

Voix créatives

L’envol solidaire

Racines et avenir Voix créatives

Les tisseurs de liens Impulsion santé

Associations

Nombre d’élèves

Loisir

Loisir préféré d’un groupe d’étudiants d’une université

Musique / Concerts

Jeux vidéo

Cinéma / Séries

Lecture

Sport

Autres loisirs

Nombre d’étudiants

Un artisan boulanger contrôle ses biscuits en pesant, un à un, un échantillon de 500 pièces. Il calcule une masse moyenne de 25 g et une étendue de 4 g.

Nombre de jours d’absence des élèves d’une classe de 2e durant le mois d’avril

3

2

Nombre de jours d’absence

En tant que concessionnaire, Tom a relevé la couleur des voitures qu’il a vendues au cours de l’année précédente.

Couleur BleuVertGrisNoirBlancRougeAutres

4

5

Le guide Michelin est un célèbre guide gastronomique qui récompense certains restaurants en leur attribuant une étoile (*), deux étoile (**) ou trois étoiles (***).

Les diagrammes représentent les récompenses décernées en France et en Belgique en 2024.

Récompense Michelin décernée aux restaurants français

Récompense Michelin décernée aux restaurants belges

%

Le tableau présente les résultats d’un sondage portant sur le nombre de films vus au cinéma par des jeunes de 12 ans au cours de l’année écoulée.

CÔTÉ PRATIQUE

Sujet de l’étude statistique

Sujet de l’étude statistique

Pointure des paires de chaussures dans une armoire

Pointure des paires de chaussures d’une armoire

Quelle est la question posée ?

La variable est-elle mesurable ?

Type de variable : Quantitative

Série statistique

Série statistique

45 45 38 38 38 24 38

45 45 38 38 38 24 38

38 45 25 25 26 45 38

38 45 25 25 26 45 38

Variable : Pointure des paires de chaussures

Quelles valeurs prend la variable ?

Modalités : 24, 25, 26, 38, 45

Tableau de distribution

À qui ou à quoi la question est-elle posée ?

Population : Les paires de chaussures d’une armoire

Individu : Une paire de chaussures

Combien d’individus compte la population ?

E ectif total : 14

Quel est le nombre de répétitions de la pointure 38 ?

E ectif de la modalité 38 : 6

Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la pointure 45 et celui de l’ensemble des pointures ?

Fréquence de la modalité 45 :

• en fraction :

• en pourcentage : 29 % 4 14

• en nombre décimal : 0,285…

Diagramme circulaire

Diagramme en bâtonnets

Pointure des paires de chaussures d’une armoire Pointure des paires de chaussures d’une armoire

Pointure

Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ?

Étendue : 45 – 24 = 21

Moyenne

Première méthode

(45 + 45 + 38 + 38 + 38 + 24 + 38 + 38 + 45 + 25 + 25 + 26 + 45 + 38) : 14 = 508 : 14 = 36,285… ≅ 36,29

On additionne toutes les valeurs de la série et on divise la somme par l’e ectif total.

On arrondit éventuellement la réponse à la précision demandée.

Deuxième méthode

(1 24 + 2 25 + 1 26 + 6 38 + 4 45) : 14 = 508 : 14 = 36,285… ≅ 36,29

On multiplie chaque modalité par son e ectif, on additionne les produits obtenus et on divise la somme par l’e ectif total.

On arrondit éventuellement la réponse à la précision demandée.

Noire

Sujet de l’étude

statistique

Sujet de l’étude statistique

Couleur des paires de chaussures dans une armoire

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Noire Noire

Multicolore

Quelle est la question posée ?

La variable est-elle mesurable ?

Type de variable : Qualitative

Série statistique

Série statistique

Blanche Blanche Blanche Brune

Multicolore Noire

Brune

Multicolore

Blanche Rouge

Variable : Couleur des paires de chaussures

Quelles valeurs prend la variable ?

Modalités : noire, blanche, multicolore, brune, rouge

Tableau de distribution

Modalité Blanche

Brune

Multicolore Noire Rouge E ectif 4 2 3 4 1 14

À qui ou à quoi la question est-elle posée ?

Population : Les paires de chaussures dans une armoire

Individu : Une paire de chaussures

Combien d’individus compte la population ?

E ectif total : 14

Quel est le nombre de répétitions de la couleur « noire » ?

E ectif de la modalité « noire » : 4

Quel est le rapport entre le nombre d’apparitions de la couleur « brune »  et celui de l’ensemble des couleurs ?

Fréquence de la modalité « brune » :

• en fraction :

• en pourcentage : 14 % 2 14

• en nombre décimal : 0,142…

Diagramme à bandes

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Diagramme circulaire

Nombre de paires de chaussures

Couleur des paires de chaussures d’une armoire

Brune

Multicolore Noire

Rouge

Quel est l’écart entre la plus grande et la plus petite modalité ?

Étendue : impossible à déterminer, car la variable est qualitative.

Moyenne

Impossible à déterminer, car la variable est qualitative.

Blanche

Brune

Multicolore

Noire

Rouge Blanche

Couleur

Couleur

Notion

Statistique

Population

CÔTÉ THÉORIQUE

Définition

Branche des mathématiques qui permet de collecter, d’organiser, d’analyser, d’interpréter et de présenter des données.

Ensemble des individus (personnes, objets…) sur lequel porte une étude statistique.

Variable statistiqueCaractéristique étudiée.

Variable statistique qualitative

Variable statistique quantitative

Modalité

Variable statistique dont les différentes modalités ne sont pas mesurables et sont exprimées par des mots.

Variable statistique dont les modalités sont mesurables et sont exprimées par des nombres.

Valeur ou catégorie prise par la variable statistique.

Effectif d’une modalitéNombre d’apparitions de cette modalité.

Effectif total Nombre total d’individus de la population (= somme des effectifs).

Fréquence d’une modalité

Rapport entre l’effectif de cette modalité et l’effectif total. La fréquence peut s’exprimer sous la forme d’une fraction, d’un nombre décimal ou d’un pourcentage.

Étendue des modalités d’une série statistique quantitative Écart (ou différence) entre la plus grande et la plus petite modalité.

Moyenne arithmétique d’une série statistique quantitative

Valeur qu’aurait chaque modalité si la somme de toutes les modalités était répartie de manière équitable.

P érimètre et aire

D e F i GU re S PL a N e S

Souviens-toi

1. Convertis.

0,5 m = cm

2 Coche le(s) calcul(s) qui permet(tent) de déterminer le périmètre de chaque figure.

3. Classe, dans l’ordre croissant, les polygones en fonction de leur périmètre.

1 unité de longueur

4. Relie chaque figure à la formule de son aire.

Carré Triangle Rectangle

longueur ⋅ largeur

⋅ côté

5. Calcule l’aire de chaque figure (les unités sont exprimées en cm).

= A = A =

6. Classe, dans l’ordre décroissant, les polygones en fonction de leur aire.

1 unité d’aire

Question de réflexion

Chaque potager est composé des quatre mêmes parcelles carrées ou rectangulaires conçues pour accueillir des cultures variées.

3 m 2 m

(1) Calcule la longueur totale de fil nécessaire pour clôturer chacun des potagers.

(2) Compare la superficie cultivable des trois potagers.

(3) Tire une conclusion au sujet de l’aire et du périmètre des potagers.

Périmètre de polygones

1. Certains sports de combat, comme la boxe ou le MMA (Mixed Martial Arts), se pratiquent sur des plateformes appelées rings ou cages.

Complète le tableau pour retrouver la longueur d’un côté de chaque ring, connaissant son périmètre.

Nom du polygone

Périmètre

Nombre de côtés

Longueur du côté Carré24 m

Octogone régulier 28 m

Hexagone régulier 21 m

2. Un triangle équilatéral et un décagone régulier ont le même périmètre, qui est de 60 cm.

Calcule la longueur du côté de chacun de ces polygones.

3. Calcule la longueur du côté d’un carré dont le périmètre est égal à celui d’un rectangle de 25 m de long sur 12 m de large.

4. Le périmètre du pentagone régulier ABCDE vaut 32 cm.

Calcule le périmètre du parallélogramme WXYZ.

5. Un directeur artistique envisage d’installer une allée de 2 m de large pour étendre la scène principale rectangulaire et permettre à l’artiste de circuler au coeur de la foule.

Pour renforcer l’impact visuel, il compte placer un filet lumineux tout autour de l’espace de circulation de l’artiste.

Si le directeur artistique souhaite installer le moins de filet lumineux possible, détermine lequel des deux agencement il doit privilégier et calcule la longueur totale du filet lumineux à prévoir.

Périmètre du cercle

1. (1) Réalise l’expérience pour découvrir comment calculer le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre.

Matériel

–  Trois bandes de papier de 20 cm sur 1,5 cm

–  Deux bandes de papier de 11 cm sur 1,5 cm

–  Un trombone

–  Un crayon

–  Une latte

Étapes de l’expérience

•  Enroule une bande de papier tout autour d’un cercle et au ras du bord.

•  Maintiens la bande bien en place en utilisant le trombone.

•  Avec le crayon, trace un repère sur la bande à l’endroit exact où elle termine son tour.

•  Déroule la bande et mesure sa longueur jusqu’au trait.

• Complète la ligne du tableau de la page suivante.

•  Répète l’expérience pour les autres cercles.

Cercle de centre…

Diamètre du cercle (en cm)

Périmètre mesuré (en cm à 0,1 près)

(2) Écris le rapport (quotient) entre le périmètre de chaque cercle et son diamètre, et calcule son résultat.

Cercle de centre… A

Rapport

Résultat obtenu

De quel nombre, au dixième près, ces rapports se rapprochent-ils le plus ?

(3) Complète la phrase.

Pour calculer une estimation du périmètre d’un cercle, on peut multiplier son diamètre par

(4) Détermine, au dixième près, le périmètre d’un cercle de 1 cm de diamètre.

Le nombre exact par lequel multiplier le diamètre d’un cercle pour obtenir son périmètre est le nombre décimal illimité non périodique nommé π (pi).

La lettre p ( π en grec) est l’initiale du mot grec περ ί μετρος (« périmétros ») et signifie périmètre.

vers 1900 av. J.-C.

Les Babyloniens utilisent une approximation de π ≅ 3,125.

1768

Bref historique du nombre π (pi)

1873

1937

1946

1989

2006

2025

Johann Lambert démontre que π est un nombre décimal illimité non périodique.

Le Britannique William Shanks trouve, par calcul écrit, 707 décimales de π

Inauguration de la salle dédiée au nombre π lors de l’Exposition universelle de Paris.

Correction des 180 dernières décimales établies par William Shanks.

Le record passe à un milliard de décimales grâce aux ordinateurs.

L’ingénieur japonais Akira Haraguchi récite 100 000 décimales de mémoire, en public.

Les chercheurs sont toujours intrigués par le nombre π qui ne présente aucune régularité dans ses billions de décimales connues.

2. (1) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre (P) d’un cercle à partir de son diamètre (d).

Périmètre du cercle :

(2) Complète la formule qui permet de calculer le périmètre (P) d’un cercle à partir de son rayon (r).

Périmètre du cercle :

(3) Repère la touche π sur ta calculatrice et utilise-la pour noter la valeur du nombre pi avec un maximum de décimales.

π =

π (pi) étant un nombre illimité non périodique, il est judicieux d’utiliser la calculatrice dans les calculs faisant appel à ce nombre.

3. Calcule, au centième près…

(1) le périmètre d’un cercle de 19 cm de diamètre.

(2) le périmètre d’un cercle de 5 cm de rayon.

4. Un magasin de meubles propose une table circulaire de 1,20 m de diamètre avec deux modèles d’extension possibles.

Modèle 1 : une allonge rectangulaire de 60 cm de large peut être insérée entre les deux moitiés de la table initiale.

Modèle 2 : le diamètre de la table est augmenté de 60 cm grâce à un système d’extension intégré.

S’il faut prévoir 60 cm de pourtour par personne, détermine le modèle qui permet d’installer le plus de convives.

5. Un papa et son fils utilisent deux vélos dont la taille des roues est respectivement de 29 et 26 pouces. Cette mesure désigne le diamètre extérieur des roues, pneu inclus.

Calcule, à l’unité près, le nombre de tours de roue que chaque vélo fait sur une distance de 1 km. Indique tout ton raisonnement et tous tes calculs.

Le pouce est une unité de mesure anglo-saxonne. Un pouce correspond à 2,54 centimètres. 1,20 m 1,20 m

a ire de figures simples

1. (1) Rends-toi à la page 351, découpe chaque figure en suivant précisément son contour. Assemble et colle les figures citées afin de recouvrir exactement chaque rectangle de la même couleur. Si le recouvrement n’est pas possible, divise ces figures avec un minimum de coups de ciseaux.

(2) Compare l’aire du parallélogramme, du triangle, du losange et du trapèze à celle du rectangle.

(3) En comparant chaque figure au rectangle, indique, sur chaque rectangle, quel élément (base, hauteur, diagonale…) peut être mis en lien respectivement avec sa longueur (L) et sa largeur (l).

(4) De ces observations, établis la formule d’aire de chaque figure.

RectangleParallélogrammeTriangleLosangeTrapèze

2. Sans mesurer, construis la figure demandée, de même aire que la figure donnée.

(1) Un triangle

(3) Un rectangle

(2) Un parallélogramme

(4) Un rectangle

3. Calcule l’aire de chaque figure en utilisant les dimensions fournies.

(1) Triangle ABC

(2) Triangle ABC rectangle en B

(3) Parallélogramme ABCD

(4) Trapèze rectangle ABCD

(5) Losange ABCD

(6) Trapèze ABCD

4. (1) Code les diagonales du cerf-volant ABCD et calcule son aire si tu sais que | DB | = 6 cm et | OA | = 1,5 cm.

(2) Calcule l’aire du cerf-volant en utilisant la formule de l’aire du losange. Tires-en une conclusion et écris la formule d’aire du cerf-volant.

5. Réalise un croquis de la situation en te basant sur les informations données et calcule, si possible, l’aire de chaque figure. Explique pourquoi certaines aires sont impossibles à déterminer.

(1) Un triangle dont la base mesure 4 dm et la hauteur relative à celle-ci 6 dm.

(2) Un triangle isocèle dont les côtés mesurent 6 cm, 6 cm et 4 cm.

(3) Un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 7 mm et 4 mm.

(4) Un losange de 3 cm de côté.

(5) Un carré dont une diagonale mesure 4 cm.

6. Calcule la mesure…

(1) de la longueur d’un rectangle de 30 cm 2 d’aire et de 5 cm de largeur.

(2) de la base d’un parallélogramme de 3 200 mm 2 d’aire et dont la hauteur relative à celle-ci mesure 8 cm.

(3) de la hauteur d’un triangle de 6 dm 2 d’aire et dont la base mesure 3 dm.

7. Après avoir déterminé les dimensions utiles, construis une figure dont l’aire est identique à celle de la figure décrite.

(1) Un carré ABCD de même aire qu’un rectangle de 4,5 cm sur 2 cm.

(2) Un losange MNOP de même aire qu’un parallélogramme dont la base vaut 3 cm et la hauteur 2 cm.

(3) Un trapèze DEFG de même aire qu’un triangle dont la base mesure 6 cm et la hauteur 2 cm.

8. Complète l’annonce en calculant la superficie du terrain et son prix. Note ta démarche en dessous de l’image.

À VENDRE

Terrain à bâtir : ares €

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Superbe terrain à bâtir dans un cadre naturel d’exception. Ce terrain rectangulaire présente une généreuse façade à rue de 30 m et une profondeur de 80 m. Il est proposé au prix exceptionnel de 62,5 €/m2.

a ir e du disque

1. (1) Rends-toi à la page XX et découpe le disque en suivant les lignes des secteurs. Assemble et colle les secteurs afin de recouvrir le plus possible le rectangle. Si le recouvrement n’est pas possible, divise avec un minimum de coups de ciseaux.

(2) Regarde la vidéo puis complète.

Plus le nombre de secteurs est grand, plus l’aire du disque s’approche de celle de l’aire d’un

Sa longueur est égale

Sa largeur est égale du disque.

L = l =

À partir de la formule de l’aire d’un rectangle, déduis la formule de l’aire d’un disque.

Aire du disque :

(3) À partir de la formule d’aire du rectangle, déduis la formule de l’aire d’un disque.

Aire du disque :

2. Calcule, au centième de cm près…

(1) l’aire d’un disque de 3 cm de rayon.

(2) l’aire d’un disque de 8 cm de diamètre.

3. Calcule, au mm 2 près, la surface gravée de ce disque 33 tours.

cm

4. Si tu sais que la cible représentée a un diamètre de 50 cm et que l’intervalle entre chaque cercle est de 5 cm, vérifie si l’aire de la zone à 50 points est la même que celle de la zone à 20 points. 5 cm

a ir e et périmètre de f igures complexes

1. Mon voisin achète un terrain afin de le transformer en un jardin partagé. Pour financer son achat, il emprunte de l’argent à la banque et rembourse 150 € tous les mois. Le schéma représente ce terrain, aménagé et divisé en quatre parcelles bien distinctes qu’il met en location. 10 m 6 m

m

(1) En te basant sur le tarif indiqué dans le tableau, calcule le prix à payer pour la location de chacune de ces parcelles.

Superficie

Prix annuel au m 2 Moins de 50 m 2

(2) Vérifie si l’argent gagné en louant les quatre parcelles permet de rembourser la somme de 150 € chaque mois à la banque.

2. On souhaite installer des panneaux photovoltaïques sur un pan de toit rectangulaire de 10 m de long sur 4 m de large. Afin de garantir un accès technique, il est nécessaire de laisser une zone de sécurité de 50 cm de large tout autour de l’installation.

(1) Réalise un croquis de la situation.

(2) Détermine quel pourcentage de la surface de ce toit ne peut pas être couvert de panneaux en raison des distances de sécurité règlementaires.

3. Ma voisine souhaite protéger sa terrasse en bois. Elle se rend dans un magasin de bricolage et trouve une lasure pour bois extérieur.

LASURE HAUTE PROTECTION – 3 LITRES PLAN DE LA TERRASSE 59,40 €

LASURE TERRASSE BOIS

Pot de 3 L 9 m2/L

2 couches recommandées pour une protection totale de votre terrasse.

m

m 7 m

(1) Calcule la superficie totale de la terrasse de ma voisine.

8 m

(2) Calcule la quantité de lasure dont elle a besoin pour appliquer les deux couches recommandées.

(3) Calcule le nombre de pots de 3 litres qu’elle doit acheter.

(4) Calcule le prix total de ses achats.

4. Une piscine hors-sol en acier galvanisé a pour dimensions 1,20 m de hauteur et 3 m de diamètre.

Calcule, au centième de m 2 près, la surface d’acier galvanisé nécessaire à la fabrication de la paroi de cette piscine.

5. Calcule le périmètre et l’aire de chacune de ces figures construites à partir de carrés, de rectangles et de demi-disques.

Arrondis, si nécessaire, tes réponses au centième près de l’unité utilisée.

4,5 m 9 m 6 m

50 cm 1,5 m

3 cm

cm

cm4 cm

6. Calcule le périmètre de cette figure, composée de neuf triangles équilatéraux, dont les mesures sont exprimées en centimètres.

7. Un rectangle ABCD dont la longueur [ AB ] vaut 10 m a un périmètre de 30 m. Après avoir réalisé un croqwuis de la situation, calcule, au centième de mètre près, le périmètre du cercle dont le centre est le point C et dont le rayon est le segment [ BC ] .

8. Calcule, au centième de cm 2 près, l’aire de chaque surface colorée.

cm

9. Sachant que les trois quadrilatères sont des carrés, calcule…

cm

(1) l’aire du carré coloré.

(2) le périmètre de toute la figure.

cm

cm

CÔ té P rati QU e e X er C i C e S CO m PL éme N taire S

1. Calcule la longueur d’un côté d’un polygone de 48 cm de périmètre s’il s’agit d’un…

(1) triangle équilatéral ; (2) hexagone régulier ; (3) décagone régulier ; (4) carré ; (5) octogone régulier

2. Chaque côté d’un polygone régulier de 2 250 mm de périmètre mesure 15 cm.

Calcule le nombre de côtés que possède ce polygone régulier.

3. Julie possède un tour de parc de 3,5 m de long confectionné par sa grand-mère. Elle souhaite le placer dans le nouveau parc qu’elle doit acheter pour son fils. Elle hésite entre deux modèles : un parc hexagonal de 60 cm de côté et un parc rectangulaire de 92 cm sur 72 cm. Peut-elle choisir n’importe quel modèle ?

4. Le périmètre d’un dodécagone (12 côtés) régulier, de 7 cm de côté, vaut le triple de celui d’un parallélogramme dont la base mesure 8 cm.

Calcule la longueur d’un côté adjacent à la base de ce parallélogramme.

5. La pièce de 2 euros possède un diamètre de 23,43 mm et celle de 2 livres sterling (Royaume-Uni) un rayon de 1,42 cm.

Calcule le périmètre de chaque pièce et indique ensuite lequel est le plus grand.

6. Un cercle a le même périmètre qu’un carré de 4 cm de côté.

Calcule le rayon de ce cercle au dixième de centimètre près.

7. Un tracteur a des roues avant d’un diamètre de 90 cm et des roues arrière d’un diamètre de 150 cm. Au cours d’un de ses déplacements, les roues avant du tracteur effectuent exactement 2 100 tours.

Calcule le nombre de tours effectués par les roues arrière lors de ce déplacement.

8. Calcule l’aire, exprimée en cm 2, d’un…

(1) parallélogramme de 5 cm de base et de 3,5 cm de hauteur ;

(2) triangle de 90 mm de base et de 3,2 cm de hauteur ;

(3) losange dont les diagonales mesurent 0,085 m et 150 mm ;

(4) trapèze dont la petite base mesure 3 cm, la grande base le triple de la petite et la hauteur 1,5 cm de plus que la petite base.

9. Un rectangle dont la largeur vaut 4 cm a la même aire qu’un carré de 6 cm de côté.

Réalise un croquis de la situation et calcule la longueur de ce rectangle.

10. Les 20 vitraux d’une salle d’exposition sont composés chacun de 240 losanges dont les diagonales mesurent 18 cm et 24 cm.

Calcule l’aire d’un vitrail et exprime-la en m 2 .

11. Calcule…

(1) le côté d’un carré de 81 mm 2 d’aire ;

(2) la base d’un triangle de 20 m 2 d’aire dont la hauteur mesure 8 m ;

(3) la largeur d’un rectangle de 80 cm 2 d’aire dont la longueur mesure 16 cm ; (4) la grande diagonale d’un losange de 30 cm 2 d’aire dont la petite diagonale mesure 6 cm.

12. Construis un losange dont l’aire… (1) est égale à celle du trapèze WXYZ ;

(2) vaut la moitié de l’aire du cerf-volant ABCD.

13. Calcule, en cm 2, l’aire d’un disque de… (1) 7 dm de rayon ; (2) 23 mm de diamètre.

14. Le yin et le yang sont des concepts fondamentaux de la philosophie chinoise. Ils représentent deux forces opposées et complémentaires. Leur symbole emblématique associe le noir et le blanc pour illustrer cette dualité.

Calcule l’aire de la surface noire de ce symbole.

15. La pizzeria Pizz’Art propose deux offres au même prix. Détermine l’offre la plus avantageuse.

4 cm

1 Pizza de 40 cm de diamètre

2 Pizzas de 26 cm de diamètre

16. Le triangle CEF est inscrit dans le carré ABCD.

Calcule l’aire de ce triangle.

17. Une piscine rectangulaire de 9 m sur 5 m est bordée par une plage carrelée de 1,5 m de large. L’accès à cet espace est sécurisé par des barrières en verre.

(1) Calcule l’aire de cette plage carrelée.

(2) Calcule la longueur totale des barrières en verre en prévoyant un espace de 1 m pour une porte d’accès.

9 m 5 mpiscine

18. Chaque figure est composée d’un carré de 2 cm de côté et de plusieurs portions de disque. Laquelle des deux a le plus grand périmètre ? Laquelle des deux a la plus grande aire ?

Figure 1

Figure 2

19. Un rond-point est composé de deux parties circulaires concentriques (de même centre) : un disque central recouvert de pelouse et une couronne extérieure en tarmac.

Sachant que le périmètre du disque central est de 52 m et que son diamètre est 1,5 fois plus petit que le diamètre total du rond-point, détermine l’aire de la surface recouverte de tarmac.

20. Calcule le périmètre et l’aire de la figure.

21. Ce vitrail de 38 cm sur 26 cm est composé de pièces de verre coloré et de barres de plomb pour les associer. Détermine la surface de verre de chaque couleur, en négligeant l’épaisseur des barres de plomb.

22. Calcule, au centième près, le périmètre et l’aire de chaque figure. (1) (2)

Polygone

CÔTÉ PRATIQUE

P = c1 + c2 + c3 + … = somme des longueurs des côtés

Périmètre de gures planes

Mesure de son contour

P = π ⋅ d

P = 2 ⋅ π ⋅ r

Cercle

Rectangle

Carré

A = L ⋅ l

A = c ⋅ c = c2

Triangle

A = b ⋅ h 2

Losange

Aire de gures planes

Mesure de sa surface

Parallélogramme h

A = b ⋅ h c b b B h h l L b D d

Trapèze

A = (B + b) ⋅ h 2

Cerf-volant

D d r

Disque

A = D ⋅ d 2 A = D ⋅ d 2

A = π ⋅ r2

C.1 (1) – Figures à découper

D.1 (1) – Figure à découper

CHAPITRE 11

I sométr I es

s ouviens-toi

1. Ces deux images devraient être parfaitement symétriques. Pourtant, dans celle de droite, le dessinateur a commis six erreurs. Repère-les en les entourant.

2. Ajoute une toupie à chaque frise en respectant le mouvement effectué par les trois premières.

3. Construis l’image symétrique de la figure par rapport à l’axe bleu.

4. Reproduis chaque figure en partant du point donné.

5. Relie chaque image au verbe d’action qui associe les deux oiseaux.

Retourner

Pivoter

Glisser

6. Trace, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque drapeau.

Pivoter d’un demi-tour

Des mouvements vers les isométries

1. (1) Écoute la chanson.

Repère, dans le texte, le nom de chaque isométrie et le verbe associé à son action.

Complète ensuite le tableau.

Isométrie Verbe d’action

Les 4 potes de la géo

D’abord il y a Translation, cool comme un skateur

Elle te fait glisser en ligne droite dans le sens du vecteur

Quand t’as bien bougé, t’es toujours toi-même

Même taille, même forme, pas de dilemme

C’est comme ça qu’elles t’aiment

Puis vient Symétrie orthogonale, plutôt originale

Te retourne recto-verso, le long de son axiale

[Refrain]

Ensuite Rotation, danseuse au grand cœur

Elle te fait pivoter, tourner, tout en douceur

[Refrain]

Enfin Symétrie centrale, habile à son tour

Te fait pivoter, tourner d’un demi-tour

[Refrain]

(2) Deux isométries sont associées aux mêmes verbes d’action. Ajoute une précision pour l’un d’entre eux afin de marquer la différence entre les deux isométries.

(3) Le refrain te donne des indices pour expliquer le mot « isométrie ». Lesquels ?

Je rédige ma définition d’une isométrie

2. Sur un ordinateur, avec un logiciel de traitement de texte, il est possible de transformer une figure, une forme, une image.

Voici les commandes les plus courantes pour appliquer une isométrie.

Format de l’image

Faire pivoter à droite de 90°

Faire pivoter à gauche de 90°

Retourner verticalement

Retourner horizontalement

(1) Décris le mouvement qui applique l’image de départ sur la figure numérotée à l’aide de verbes d’action et reconnais l’isométrie associée.

Copier

Coller

Pivoter

(2) Voici d’autres commandes qui permettent de transformer une image.

Explique pourquoi ces transformations ne sont pas des isométries.

Que peux-tu dire des images générées par ce type de commandes ?

3. Lis l’indice. Ensuite nomme et code chaque triangle bleu, isométrique au triangle rose.

Convention de notation

Lorsqu’on applique une isométrie à un point A, appelé point de départ ou antécédent, on obtient un nouveau point, appelé image . Ce point se note, le plus souvent, A ′ et se lit « A prime ».

D’après tes observations, coche, dans la liste, certains invariants des isométries.

Taille Position Forme

Longueur des segments Amplitude des angles

4. Achève l’image de la figure par une isométrie. Indique une croix dans le tableau précisant le ou les invariant(s) utilisé(s), en veillant à ne cocher qu’une seule fois chacun d’entre eux.

un parallélogramme.

3

ABCD est un parallélogramme.

Les isométries conservent… la longueur des segments. le milieu d’un segment. l’amplitude des angles. l’alignement des points. le parallélisme des droites. la perpendicularité des droites.

5. Le rectangle MNOP est l’image du rectangle ZTXY par une isométrie.

(1) Calcule le périmètre et l’aire de ces deux rectangles.

Dans les figures, les mesures ne sont pas respectées.

(2) Complète par les deux nouveaux invariants observés dans cet exercice.

Les isométries conservent

La translation

1. Les trois patineuses vertes sont les images, par une translation, de la patineuse bleue.

(1) Le point A est situé à l’extrémité d’un des patins de la patineuse bleue.

Trouve, sur chacune des trois patineuses vertes, l’image de ce point A. Nomme ces images A 1, A 2 et A 3

(2) Trace les segments [ AA 1] , [ AA 2] et [ AA 3] .

Ajoute ensuite une flèche sur ces segments pour indiquer le sens du déplacement.

Chaque segment orienté est un vecteur de translation. Complète.

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 1 est noté

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 2 est noté

Le vecteur de la translation qui applique le point A sur le point A 3 est noté

2. Pour chaque translation, construis un vecteur qui applique la figure bleue sur la figure verte et nomme-le EG

Je rédige mon procédé pour construire un vecteur de translation

3. Explique pourquoi les vecteurs proposés ne sont pas égaux au vecteur MP en complétant les phrases.

Les vecteurs MP et AB ne sont pas égaux, car

Les vecteurs MP et CD ne sont pas égaux, car

Les vecteurs MP et EF ne sont pas égaux, car

4. Construis l’image du point A par la translation de vecteur XY

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la translation de vecteur XY

5. Construis l’image du trapèze XTCA par la translation de vecteur RS

6. Construis l’image de chaque figure par la translation de vecteur donné.

La translation dont le vecteur applique le point A sur le point B se note .

7. La figure A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ est l’image de la figure ABCDE par la translation de vecteur TV Achève la construction des deux figures.

8. (1) Achève le triangle équilatéral ABC.

Construis ensuite… le triangle DEF, image du triangle ABC par la translation de vecteur  CB , et le triangle GHI, image du triangle ABC par la translation de vecteur AB .

(2) Cite un vecteur caractérisant la translation du triangle DEF sur le triangle GHI.

(3) Quelle est la nature du polygone ADEHIC ?

Compare son aire à celle du triangle ABC.

9. Dans chaque cas, le parallélogramme A ′ B ′ C ′ D ′ n’est pas l’image du parallélogramme ABCD par une translation.

Justifie en citant trois invariants différents qui ne sont pas respectés.

Complète ta réponse à l’aide de notations mathématiques.

symétrie orthogonale

1. Cette figure est composée de huit triangles équilatéraux identiques.

Cite l’axe de symétrie qui applique… le triangle 1 sur le triangle 2. le triangle 2 sur le triangle 5. le triangle 4 sur le triangle 3. le triangle 8 sur le triangle 4. le triangle 7 sur le triangle 8. le triangle 5 sur le triangle 7.

2. Construis l’axe de symétrie de chaque symétrie orthogonale et nomme-le d.

Je rédige mon procédé pour construire l’axe d’une symétrie orthogonale

3. Les points D, E et F sont-ils les images respectives des points A, B et C par la symétrie orthogonale d’axe d ? Justifie en langage mathématique.

4. Construis le point A ′ , image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d.

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d

5. Construis…

le point X ′ , image du point X, par la symétrie orthogonale d’axe f. le point Y ′ , image du point Y, par la symétrie orthogonale d’axe g. g f

6. Construis…

le point A ′ , image du point A, par la symétrie orthogonale d’axe BC. le point B ′ , image du point B, par la symétrie orthogonale d’axe AC. le point C ′ , image du point C, par la symétrie orthogonale d’axe AB.

7. Construis le triangle A ′ B ′ C ′ , image du triangle ABC, par la symétrie orthogonale d’axe d.

8. Construis l’image de chaque figure par la symétrie orthogonale d’axe donné.

La symétrie orthogonale d’axe d se note S d.

La symétrie orthogonale d’axe AB se note S AB

9. (1) Reproduis le cerf-volant ABCD en vraie grandeur.

Construis le cerf-volant A 1B 1C 1D 1, image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe AB.

Construis le cerf-volant A 2B 2C 2D 2, image du cerf-volant ABCD, par la symétrie orthogonale d’axe CD.

42°

3,5 cm 1,9 cm

(2) Détermine le périmètre du polygone formé par les trois cerfs-volants.

10. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction.

― Construis un triangle XYZ rectangle en Y tel que | XY | = 2,4 cm et | YZ |  = 3,6 cm.

― Place les points M et N respectivement au milieu des côtés [ XY ] et [ YZ ]

(2) Construis X ′ Y ′ Z ′ , image du triangle XYZ, par la symétrie orthogonale d’axe MN.

(3) Complète les égalités et cite les invariants utilisés.

| Y ′ Z ′ | = | X ′ M | = ′′ ′ XY Z =

11. Si tu sais que Z ∈ [ XY et que | YZ | = 2,5 cm, construis le point Z ′ , image du point Z, par la symétrie orthogonale d’axe d.

Aucune construction ne peut être réalisée en-dehors du cadre.

X Y

12. (1) Détermine l’heure qui sera lue dans le reflet d’un miroir placé verticalement devant lui.

(2) Détermine une heure, différente de minuit, dont l’affichage reste inchangé lorsqu’on regarde le réveil dans un miroir placé verticalement devant lui.

Axe(s) de symétrie

1. En tenant compte uniquement de l’architecture de chaque façade, indique le numéro de celle qui ne présente pas d’axe de symétrie. Justifie ton choix.

2. Indique le nombre d’axes de symétrie que possède chacune de ces deux décorations. Construis-les. axe(s) axe(s)

Château de Cheverny

Château de Fontainebleau

Palais Petrovsky à Moscou

Palais royal de Bruxelles

3. Colorie un seul carré afin que chaque pavage admette un axe de symétrie. Trace cet axe de symétrie.

4. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque quadrilatère et indique leur nombre.

Précise si ces axes contiennent les médianes et/ou les diagonales des quadrilatères.

Parallélogramme

axe(s) axe(s) axe(s)

Cerf-volant

axe(s) axe(s)

(2) À quelle condition un trapèze possède-t-il un axe de symétrie ? Construis un trapèze de cette nature et son axe de symétrie.

(3) Qui suis-je ? Je suis un quadrilatère qui possède… un seul axe de symétrie.

quatre axes de symétrie.

seulement deux axes de symétrie qui contiennent mes diagonales.

5. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque triangle et indique leur nombre.

Précise si ces axes correspondent à des droites remarquables des triangles.

Triangle scalène

isocèle

équilatéral

axes(s)

axes(s)

axes(s)

(2) À quelle condition un triangle rectangle possède-t-il un axe de symétrie ?

Construis un triangle de cette nature et son axe de symétrie.

6. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie du cercle et indique leur nombre

7. (1) Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie des deux polygones réguliers.

(2) Complète le tableau.

Triangle équilatéral Carré Pentagone régulier Hexagone régulier

Nombre de côtés

Nombre d’axes

(3) Établis le lien entre le nombre d’axes de symétrie d’un polygone régulier et son nombre de côtés.

8. Construis…

(1) un rectangle VENT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la largeur [VT] vaut la moitié de la longueur.

(2) un losange CIEL dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie et dont la diagonale [ IL ] mesure 4 cm.

(3) un carré NUIT dont la droite d est l’un de ses axes de symétrie.

9. (1) Construis le point B, image du point A par la symétrie orthogonale d’axe d. Trace le cercle de centre A passant par le point B. Nomme X et Y les points d’intersection du cercle et de l’axe.

(2) Cite les segments ayant la même longueur que le segment [AB] et déduis-en la nature des polygones ABX, ABY et AXBY.

10. (1) Construis un triangle XYZ dont la droite d est son axe de symétrie et dont le côté [ YZ ] mesure 3,4 cm.

(2) Détermine la nature du triangle XYZ.

11. Construis les axes de symétrie de ce carré en n’effectuant aucune construction à l’extérieur du cadre.

La rotation

1. Le sens de rotation des ouragans ou des cyclones dépend de l’hémisphère dans lequel ils se développent.

Observe les images satellites et détermine si les nuages s’enroulent vers le centre (l’œil de la tempête) dans un sens horloger ou anti-horloger.

Ouragan Katrina (2005) Hémisphère Nord  États-Unis

Cyclone Debbie (2017) Hémisphère Sud  Australie

2. Lis l’indice et indique si les objets pivotent/tournent dans le sens positif ou négatif.

Les savants de l’hémisphère Nord ont défini le sens positif d’une rotation bien avant l’apparition des horloges. Pour cela, ils se sont inspirés du mouvement apparent de la Terre : inverse des aiguilles d’une montre

(1) Les aiguilles d’une horloge classique.

(2) Un véhicule qui suit le sens giratoire dans un rond-point en Belgique.

(3) Le couvercle d’un bocal qu’on ouvre.

(4) Le fouet d’un batteur électrique.

3. Lors d’un travail manuel avec une vis classique, une planche et un tournevis, un élève tourne le tournevis dans le sens des aiguilles d’une montre.

(1) Quel est le sens de rotation ?

(2) Quelle est la conséquence du mouvement ?

4. Observe l’exemple du mouvement d’un engrenage et détermine dans quel sens pivotent les pièces A et B.

Sens de la pièce A :

Sens de la pièce B :

5. Les radars satellites qui capturent les images météo, comme celle de l’ouragan Katrina, peuvent avoir une orbite pratiquement circulaire autour de la Terre. Observe le schéma représentant un satellite en orbite autour de la Terre et réponds aux questions.

(1) Décris la trajectoire du satellite.

(2) Indique le sens et l’amplitude de la rotation sur le second schéma.

(3) Complète le tableau.

Type d’isométrie

Centre

Sens

Amplitude

(4) Calcule l’amplitude de la rotation du satellite s’il avait pivoté dans l’autre sens.

6. Détermine les éléments caractéristiques de chaque rotation (centre, sens et amplitude). Envisage les deux sens possibles et écris tes réponses en utilisant la notation proposée dans l’indice.

La rotation de centre C, de sens anti-horloger et de 80° se note : r C ; +80°

Je rédige mon procédé pour déterminer le sens et l’amplitude d’une rotation

7. Une sonde spatiale, en rotation libre, effectue plusieurs mouvements dans l’espace. Dans chaque cas, place le centre A de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise et détermine son amplitude dans le sens positif.

8. Repère et colorie le centre de la rotation qui applique la sonde noire sur la sonde grise.

9. Construis l’image du point A par la rotation indiquée.

r C ; +90°

r B ; 90°

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par une rotation de centre C et de +90°

10. Construis l’image du polygone par la rotation indiquée.

r C ; +90° r E ; 90°

La symétrie centrale

1. La rosace est composée de six losanges identiques.

(1) Si tu sais que le centre de rotation est situé au milieu de la figure, détermine la couleur du losange obtenue après avoir pivoté…

le losange rouge de +60°.

le losange bleu de -300°.

le losange jaune de +120°.

(2) Est-il possible de déterminer la couleur du losange obtenu après une rotation de 180° du losange vert, sans connaitre le sens de la rotation ? Explique ta réponse.

La rotation particulière d’un demi-tour (+ ou 180°) porte le nom de symétrie centrale

2. Justifie, à l’aide de notations mathématiques, que le point O n’est pas le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A ′

3. (1) Construis le centre de la symétrie centrale qui applique le point A sur le point A ′ et nomme-le O.

′

(2) Sans mesurer, construis le centre de symétrie de chaque symétrie centrale et nomme-le C.

Je rédige mon procédé pour construire le centre d’une symétrie centrale

4. Construis le point A ′ , image du point A, par la symétrie centrale de centre C.

Je rédige mon procédé pour construire l’image du point A par la symétrie centrale de centre C

5. Construis l’image de chaque figure par la symétrie centrale de centre donné.

La symétrie centrale de centre A se note S A

6. Le cerf-volant VOLA possède un angle droit en A.

(1) Construis son image par la symétrie centrale de centre C et code-la.

(2) Détermine la nature du…

quadrilatère OLO ′ V.

triangle VA ′ L.

quadrilatère VA ′ LA.

7. (1) Construis la figure correspondant au programme de construction.

− Construis un triangle ABC tel que | AC | = 3 cm, | AB | = 2,5 cm et BAC  = 70°.

− Place le point M au milieu du segment [ BC ] .

− Construis le triangle A ′ B ′ C ′ , image du triangle ABC par la symétrie centrale de centre M.

(2) Donne la nature du triangle ABC. Donne la nature du quadrilatère ABA ′ C et justifie par une propriété.

(3) Sans refaire la construction, donne la nature du quadrilatère ABA ′ C obtenu si le triangle ABC initial avait été…

rectangle en A et scalène.

rectangle et isocèle en A.

obtusangle et isocèle en A.

Centre de symétrie

1. Lis les différents mots écrits avec une calligraphie particulière avant et après avoir pivoté ta feuille de 180°.

Que constates-tu ?

2. (1) Coche la case lorsque le polygone se superpose parfaitement à lui-même après avoir pivoté de 180°.

q Triangle scalène q Triangle isocèle q Triangle équilatéral

q Trapèze q Parallélogramme q Rectangle q Losange

q Carré q Pentagone régulier q Hexagone régulier q Octogone

(2) Sans mesurer, construis le centre de symétrie de chaque polygone coché et nomme-le C.

(3) Si le polygone possède un centre de symétrie, décris précisément sa position.

3. Qui suis-je ?

Je suis un quadrilatère qui possède…

un centre de symétrie mais aucun axe de symétrie.

un seul axe de symétrie, mais aucun centre de symétrie.

un centre de symétrie et plus de deux axes de symétrie.

4. Construis…

(1) un rectangle LUNE dont le point C est le centre de symétrie et dont un des angles formés par les diagonales mesure 110°.

(2) un quadrilatère NOVA dont le point M est le centre de symétrie et qui ne possède pas d’axe de symétrie.

(3) un losange AUBE dont le point O est le centre de symétrie et dont la droite UO un des axes de symétrie.

exercices de synthèse sur les quatre isométries

1. Complète le procédé et construis l’image de chaque figure par l’isométrie donnée.

Je rédige mon procédé pour construire l’image d’une figure par une isométrie

2. La figure est composée de seize triangles isocèles isométriques.

(1) Colorie en bleu l’image du triangle ABO par la symétrie d’axe CJ.

(2) Colorie en vert l’image du triangle BCO par la symétrie de centre O.

(3) Colorie en jaune l’image du triangle FXG par la translation qui applique le point X sur le point O.

(4) Colorie en rouge l’image du triangle CXJ par la rotation de centre X et de +90°.

(5) Identifie les isométries qui peuvent appliquer le triangle rouge sur le triangle bleu.

(6) Détermine l’amplitude de la rotation de centre O et de sens négatif qui applique le triangle vert sur le triangle jaune.

e X er CIC es C om PL éme N tAI res

CÔ té P r At IQU e

1. Identifie le verbe d’action et l’isométrie qui applique la figure 1 sur chacune des autres figures.

2. ABCD est un losange dont le périmètre vaut 40 cm et dont les diagonales [ BD ] et [ AC ] mesurent respectivement 12 cm et 16 cm et se coupent en un point nommé E.

A ′ B ′ C ′ D ′ et le point E ′ sont leur image respective par une isométrie.

(1) Identifie le verbe d’action et l’isométrie.

(2) Justifie que = ′′ ′ ABCA BC

(3) Détermine la longueur des segments [A ′ B ′ ] et [D ′ E ′ ] ainsi que l’amplitude de l’angle ′′ ′ CE D

Justifie chaque étape de ton raisonnement.

3. Construis l’image du polygone par la translation demandée.

4. Construis…

(1) le point D, image du point B par ;

(2) le point E, image du point A par ;

(3) le point F, image du point C par .

5. Complète le tableau en notant l’image de chaque point par la symétrie orthogonale dont l’axe est précisé.

Point JQPJ

Axe cacd

Image

Point HPMK

Axe abca

Image

6. Construis…

(1) le point X ′ , image du point X par S YZ ;

(2) le point Y ′ , image du point Y, par S XZ ;

(3) le point Z ′ , image du point Z par S XY

7. Construis l’image du polygone par la symétrie orthogonale demandée.

8. Le segment [ C ′ D ′ ] est l’image du segment [ CD ] par une symétrie orthogonale.

Sans construire l’élément caractéristique de cette isométrie, achève la construction du trapèze

A ′ B ′ C ′ D ′

9. (1) Sur une feuille, construis la figure correspondant au programme de construction.

− Construis un losange ABCD de 4,5 cm de côté, tel que | BD |  = 4 cm.

− Nomme O le point d’intersection de ses diagonales.

− Construis la droite b, bissectrice de l’angle AOB .

− Construis le losange A ′ B ′ C ′ D ′ , image du losange ABCD par la symétrie orthogonale d’axe b.

(2) Détermine la nature du quadrilatère AA ′ CC ′ . Justifie.

10. Construis, si possible, le ou les axe(s) de symétrie de chaque panneau routier et indique leur nombre.

11. Sur une feuille, trace une droite d et place un point A n’appartenant pas à cette droite. Ensuite, construis un triangle ABC possédant trois axes de symétrie dont l’un d’entre eux est la droite d.

12. Une grande roue, dotée de seize nacelles toutes fixées à une même distance l’une de l’autre, peut tourner dans les deux sens. Le point d’attache de chaque nacelle sur la roue est représenté par un point noir.

(1) À partir du point d’attache de la nacelle rouge, détermine l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre chacun des points d’attache des nacelles suivantes : verte, bleue et jaune.

(2) À partir de la nacelle jaune, détermine l’amplitude et le sens des deux rotations permettant d’atteindre chacune le point d’attache des nacelles verte et grise.

13. Une rotation a été appliquée au triangle bleu pour obtenir le triangle orange.

Dans chaque cas, place le centre O de la rotation et détermine son amplitude dans le sens négatif.

14. Construis l’image du polygone par la rotation demandée.

15. Construis l’image du polygone par la symétrie demandée.

S D S I

16. Construis, si possible, le centre de symétrie de chaque figure.

17. Sur une feuille, place trois points non alignés A, B et C. Place ensuite un point D afin que le quadrilatère ABCD admette un centre de symétrie et aucun axe.

18. Dans chaque cas, le point A ′ est-il l’image du point A par la transformation donnée ? Justifie.

19. À venir

20. Construis l’image par l’isométrie demandée.

21. Les propositions sont-elles vraies ou fausses ? Corrige celles qui sont fausses.

(1) Un parallélogramme possède un centre de symétrie.

(2) Un cerf-volant possède deux axes de symétrie.

(3) Les diagonales d’un rectangle sont des axes de symétrie.

(4) Le centre de symétrie d’un losange se situe à l’intersection de ses médianes.

22. Les propositions ci-dessous sont fausses. Prouve-le à l’aide d’un contrexemple.

(1) Tout polygone régulier possède un centre de symétrie.

(2) Tout quadrilatère qui possède un centre de symétrie a également au moins un axe de symétrie.

(3) Tout quadrilatère possède, au plus, deux axes de symétrie.

23. Construis un losange ABCD dont | AB | = 4 cm et DAB = 50°.

Construis le losange…

(1) A 1B 1C 1D 1, image du losange ABCD par t CB

(2) A 2B 2C 2D 2, image du losange ABCD par S CD

(3) A 3B 3C 3D 3, image du losange ABCD par S A.

(4) A 4B 4C 4D 4, image du losange ABCD par r C ; 90°.

24. Le pavage représenté est composé de triangles équilatéraux.

Complète les égalités si tu sais que l’élément qui subit l’isométrie est écrit entre parenthèses.

S J(A) = S AS(C) = ([ HI ]) =

S HL(F) = ([ HI ]) = S J(ADE) =

(P) = r o,+60°([ JK ]) = S IJ(CGF) =

r J, 60°(A) =

Translation Glisser

CÔ té P r At IQU e

Symétrie orthogonale

Retourner

Longueur des segments

Milieu d’un segment

Amplitudes des angles

Alignement des points

Parallélisme des droites

Perpendicularité des droites

Périmètre des gures

Aire des gures

Isométrie mêmemesure

Rotation

Pivoter/tourner

Invariants

Symétrie centrale

Pivoter/tourner d’un demi-tour

= 20 cm

= 18 cm2

= 20 cm

= 18 cm2

Construction de l'élément caractéristique

Vecteur de la translation

Relie un point à son image.

Ajoute une èche au milieu sur le segment pour indiquer le sens du déplacement.

Translation

Translation

Construction de l’image d’une gure par une translation

Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.

1. Trace la droite parallèle au vecteur passant par le sommet.

2. Sur cette droite, reporte à partir du sommet et dans le sens du vecteur, la longueur du segment.

3. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.

Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.

Construction de l’élément caractéristique

Axe de la symétrie orthogonale

Relie un point à son image.

Construis la médiatrice du segment tracé.

Symétrie orthogonale

Symétrie orthogonale

Construction de l’image d’une gure par une symétrie orthogonale

Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.

1. Trace une droite perpendiculaire à l’axe passant par le sommet.

2. Mesure la distance entre le sommet et l’axe.

3. Reporte, sur la droite, la même distance de l’autre côté de l’axe.

4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.

Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.

Triangles possédant un ou des axes de symétrie

Triangle isocèle

1 axe

Triangle équilatéral

Axe(s) de symétrie d’une gure

3 axes

Quadrilatères possédant un ou des axes de symétrie

Trapèze isocèle 1 axe

Rectangle

2 axes

Losange

2 axes

Carré

4 axes

Cerf-volant

Autres gures simples possédant un ou des axes de symétrie

Pentagone régulier

Hexagone régulier

1 axe

Astuce

5 axes

6 axes

In nité d’axes

Plie la gure en deux selon une droite.

Si les deux moitiés de la gure se superposent, alors la droite contenant le pli est un axe de symétrie de cette gure.

Cercle

Recherche des éléments caractéristiques connaissant son centre Amplitude et sens d'une rotation

Relie le centre au point et à son image.

Mesure l’amplitude du plus petit des deux angles formés.

Calcule l’amplitude du deuxième angle en retirant l’amplitude du premier de 360°.

Détermine le sens de la rotation.

– Si le point se déplace dans le sens anti-horloger, le sens de la rotation est positif

– Si le point se déplace dans le sens horloger, le sens de la rotation est négatif.

Rotation

Construction de l’image d’une gure par une rotation de +90° ou de –90°

Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.

1. Relie le sommet au centre de la rotation et mesure la distance entre les deux points.

2. Construis un angle droit dans le sens de la rotation.

3. Reporte la distance sur le deuxième côté de cet angle droit.

4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.

Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.

Construction de l’élément caractéristique

Centre d’une symétrie centrale

Relie un point et son image.

Place le centre au milieu du segment tracé.

Relie deux points à leur image respective.

Place le centre à l’intersection des deux segments tracés.

Symétrie

centrale

centrale

Symétrie

Si un point et son image sont confondus, alors ce point est le centre.

Construction de l’image d’une gure par une symétrie centrale

Construis l’image de chaque sommet de la gure en répétant ces étapes.

1. Trace la droite dont l’origine est le sommet et passant par le centre.

2. Mesure la distance entre le point et le centre.

3. Reporte, sur la droite, la même distance de l’autre côté du centre.

4. Nomme le point trouvé en ajoutant « prime » au nom du point de départ.

Relie les images de chaque sommet dans le même ordre que celui de la gure initiale.

La symétrie centrale est une rotation particulière de 180°

Figures simples possédant un centre de symétrie

Parallélogramme

Rectangle Losange

Polygones réguliers avec un nombre pair de côtés Cercle

Centre de symétrie d’une gure

Astuce

Fais pivoter la gure d’un demi-tour.

Si la gure de départ se superpose parfaitement à son image, alors elle possède un centre de symétrie. OXO

Notion

Isométrie

Invariant d’une isométrie

Image d’un point

CÔ té t H é or IQU e

Définition

Transformation géométrique qui conserve les mesures de la figure.

Propriété d’une figure qui est conservée lorsqu’on applique une isométrie.

Point obtenu après avoir appliqué une transformation géométrique à un point initial.

Translation Isométrie qui fait glisser la figure.

Vecteur d’une translation

Segment orienté (fléché) qui représente le glissement de la figure.

Symétrie orthogonaleIsométrie qui retourne la figure.

Axe d’une symétrie orthogonale

Axe de symétrie d’une figure

Droite autour de laquelle la figure se retourne.

Axe de la symétrie orthogonale qui applique la figure sur elle-même.

Rotation Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure.

Centre d’une rotationPoint autour duquel la figure pivote/tourne.

Symétrie centrale

Centre d’une symétrie centrale

Centre de symétrie d’une figure

Isométrie qui fait pivoter/tourner la figure d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).

Point autour duquel la figure pivote/tourne d’un demi-tour (d’une amplitude de 180°).

Centre de la symétrie centrale qui applique la figure sur elle-même.

Notation mathématique

AB Vecteur d’origine A et d’extrémité B

Translation de vecteur AB

S a Symétrie orthogonale d’axe a

S AB Symétrie orthogonale d’axe AB

r A ;  30° Rotation de centre A, dans le sens horloger, d’une amplitude de 30°

r A ;  + 30° Rotation de centre A, dans le sens anti-horloger, d’une amplitude de 30°.

S A Symétrie centrale de centre A

E xpr E ssions algébriqu E s

Souviens-toi

1. Les nombres inscrits sur les teeshirts suivent une séquence logique. Indique le nombre correspondant au teeshirt mauve.

2. Dimanche, Emma débloque trois skins (vêtements, coiffures et accessoires portés par les personnages d’un jeu vidéo).

Si, chaque jour, elle gagne deux skins de plus que le jour précédent, combien en aura-t-elle gagné le mercredi ?

3. Complète les graphes fléchés.

4. Note le calcul qui te permet de trouver la réponse à la question et effectue-le.

Réponds ensuite à la question au moyen d’une phrase complète.

(1) À Bruxelles, il fait 10 degrés de moins qu’à Madrid. S’il fait 2 degrés à Bruxelles, quelle température fait-il à Madrid ?

Encoursde finalisation

(2) Un flacon A contient trois fois plus de parfum qu’un flacon B. Sachant que le flacon A contient 120 ml, quelle est la capacité du flacon B ?

Défi

Encoursde finalisation

Es-tu prêt à relever les trois défis de Jude ?

Le principe est simple : à chaque défi, Jude répartit des crayons dans trois plumiers différents. Ton objectif : trouver combien de crayons se trouvent dans chaque plumier grâce à l’indice donné.

J’ai réparti 21 crayons de manière équitable dans les trois plumiers.

Jude Cette fois-ci, j’ai réparti 36 crayons dans les trois plumiers, mais… le deuxième et le troisième plumiers contiennent chacun trois crayons de plus que le premier.

Dernier défi… Je répartis 100 crayons dans les trois plumiers. Le deuxième en contient deux fois plus que le premier et le troisième en contient 5 de plus que le deuxième.

Jude À la fin de ce chapitre, tu seras capable de répondre à ce troisième défi.

Jude

Suites arithmétiques illustrées et expr essions algébriques

1. (1) Complète le tableau en notant le nombre d’antennes et de pattes en fonction du nombre de fourmis.

Nombre de fourmis

Nombre d’antennes

Nombre de pattes

(2) Calcule le nombre d’antennes de 120 fourmis.

Calcule le nombre de pattes de 250 fourmis.

(3) Explique comment calculer…

le nombre d’antennes à partir du nombre de fourmis.

le nombre de pattes à partir du nombre de fourmis.

(4) Lis l’indice.

A Encoursde finalisation

Dans le contexte des suites, l’utilisation d’une lettre, appelée variable (dont la valeur peut changer), est indispensable pour exprimer la position d’un terme dans la suite et pour définir la règle de formation de cette suite.

Si n représente le nombre de fourmis, traduis, en utilisant cette variable, la relation entre…

le nombre de fourmis (n) et le nombre d’antennes.

le nombre de fourmis (n) et le nombre de pattes.

(5) Lis l’indice puis réduis chacune des expressions algébriques de la question précédente.

Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.

Une expression algébrique réduite est une expression algébrique simplifiée au maximum.

n 3 = 3 n = 3n

3n est l’ expression algébrique réduite de n 3, dans laquelle n porte le nom de variable et 3 porte le nom de coefficient de la variable n.

Conventions d’écriture

–Le coefficient est placé devant la variable.

– Le symbole de la multiplication « ⋅ » entre le coefficient et la variable n’est pas obligatoire.

Nombre d’antennes :

Encoursde finalisation

Nombre de pattes :

2. Ce bracelet est constitué d’une cordelette dont chaque extrémité est ornée d’une perle. On peut le personnaliser en ajoutant un certain nombre de nœuds décorés chacun de trois perles.

(1) Dessine un bracelet à deux nœuds et un bracelet à trois nœuds.

(2) Complète le tableau.

Nombre de nœuds 01234 10

Nombre de perles pour les nœuds

Nombre de perles pour le bracelet

(3)Lis l’indice puis complète.

Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme s’obtient en ajoutant un nombre constant, appelé raison , au nombre précédent.

La position d’un nombre dans une suite est appelée rang du nombre.

Le nombre au rang 0 est appelé terme indépendant .

Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

Quel est le terme indépendant de cette suite arithmétique ?

Quel est le rang de ce terme ?

(4) Explique comment calculer le nombre de perles du bracelet à partir du nombre de nœuds.

Encoursde finalisation

(5) Si n représente le nombre de nœuds, traduis la relation entre le nombre de nœuds et le nombre de perles du bracelet par une expression algébrique réduite.

Dans une expression algébrique, il arrive que certains termes ne puissent pas être additionnés, car ils ne sont pas semblables (ils ne possèdent pas la même partie littérale).

Une expression algébrique réduite peut donc contenir plusieurs termes.

(6) Complète le graphe fléché et calcule le nombre de perles d’un collier, conçu sur le même modèle, constitué de 32 nœuds.

Nombre de perles du collier : 32

Complète le graphe fléché à l’aide des opérations réciproques et calcule le nombre de nœuds d’un collier constitué de 65 perles.

Nombre de nœuds du collier :

3. (1) Complète la suite.

Encoursde finalisation

Assemblage de cœurs

Nombre de cœurs

(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

(3) Si tu multiplies le rang par la raison de la suite, obtiens-tu le nombre exact de cœurs ? Si la réponse est non, que faut-il faire ?

(4) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de cœurs par une expression algébrique réduite. Ensuite, souligne le terme indépendant et entoure le coefficient de la variable n.

À quel élément caractéristique de la suite arithmétique correspond ce coefficient de la variable n ?

Je rédige mon procédé pour déterminer l’expression algébrique qui permet de calculer le nombre de motifs à partir du rang (n), dans le cas d’une suite arithmétique

4. (1) Construis la suite arithmétique illustrée en suivant le procédé décrit.

Compte ensuite le nombre total de carrés de chaque assemblage.

Au rang 1, dessine un petit carré. À chaque nouveau rang, reprends le motif précédent et ajoute un petit carré au-dessus de la première colonne ainsi que deux petits carrés à droite de la première ligne. Rang 1 2 3 4

Assemblage de carrés

Nombre de carrés

Encoursde finalisation

(2) Coche le procédé qui permet de calculer le nombre de carrés à partir du rang.

J’ajoute 3 au rang.

Je multiplie le rang par 3 et j’enlève 2.

Je multiplie le rang par 2 et j’enlève 1.

Traduis le procédé correct par une expression algébrique réduite où n représente le rang.

(3) Complète le graphe fléché pour calculer le nombre de carrés du rang 19.

Nombre de carrés : 19

(4) Complète le graphe fléché pour calculer le rang de la figure composée de 934 carrés.

Rang : 934

5. (1) Construis ta propre suite arithmétique illustrée. Pour cela… – choisis un motif de départ ; – dessine, au rang 1, une composition d’un ou de plusieurs motifs ; – ajoute le même nombre d’éléments pour passer au rang suivant.

Encoursde finalisation

Rang 1 2 3 4

Assemblage de motifs Nombre de motifs

(2) En t’inspirant de celui décrit à l’exercice 4.(1), rédige, sur une feuille, le procédé qui permet de construire ta suite illustrée.

(3) Échange cette feuille avec celle d’un(e) élève de la classe et construis, en dessous de son procédé, sa suite illustrée.

(4) Récupère ta feuille et compare la réalisation de l’élève avec ta suite. Sont-elles similaires ? Repère ce qui manquait ou ce qui était mal exprimé dans ton procédé. Ensuite, ajuste-le en fonction de tes observations et recopie-le ici.

(5) Écris l’expression algébrique réduite de ta suite illustrée qui permet de trouver le nombre de motifs qui composent l’assemblage si n représente son rang.

Suites numériques et écriture algébrique d’un nombre

1. Complète chaque suite arithmétique de nombres.

Ensuite, établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).

Enfin, complète la phrase.

Rang 123456 27 n

Nombre102030 510

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de

Rang 123456 21 n

Nombre 324048 800

Chaque nombre de la suite est

Rang 123456 20 n

Nombre 6 1116 166

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de augmenté de Rang 123456 15 n

Nombre 9 1317 201

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel

Encoursde finalisation

Rang 123456 20 n

Nombre - 5 - 10 - 15 - 125

Chaque nombre de la suite est un nombre entier

2. Associe la description du nombre à l’expression algébrique réduite qui le représente.

Un nombre naturel multiple de 4 • • n + 1

Un nombre naturel pair • • 4n - 2

Un nombre naturel impair • • 4n

Un nombre naturel multiple de 2 diminué de 4 • • 2n - 4

Un nombre naturel multiple de 4 diminué de 2 • • 2n

Un nombre naturel augmenté de 1 • • 2n + 1

3. Repère, dans le tableau, l’expression algébrique qui traduit la construction de la suite. Ensuite, complète chaque graphe flèché à l’aide des opérations à effectuer et de leurs réciproques.

Enfin, complète la suite arithmétique de nombres. (1)

Rang 126 10 n

Nombre –25 –2n + 3 (2) Rang 1 2 6 10 n Nombre 30 3n – 15

4. Certaines suites de nombres ne sont pas arithmétiques. Complète chacune d’elles et établis une expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre correspondant à un rang donné (n).

Rang 123456 20 n

Nombre 149

Encoursde finalisation

Rang 123456 20 n

Nombre 18 27 Rang 1234 5 6 n

Nombre101001 000

Rang 123456 10 n

Nombre 248

Encoursde finalisation

Rang 123456 20 n

Nombre 1 1 2 1 3

Longueurs et expr essions algébriques

1. (1) Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [ AB ] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique.

Dans un contexte géométrique, l’utilisation d’une ou de plusieurs lettres, appelées variables (dont la valeur peut changer), est indispensable pour modéliser une situation.

(1) A B 10 x | AB | =

(2) A B 1 x | AB | =

(3) A x B | AB | =

(4) A B x 6 | AB | =

(5) AB x | AB | =

2. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque polygone. a P =

Encoursde finalisation

3. Relie chaque polygone à l’expression algébrique réduite de son périmètre.

a

B E F

Carré EBFH •

Rectangle HFCG •

Rectangle AEGD • Rectangle ABCD •

4. Ce polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires.

• 4a + 2 • 4a • 6a + 2

• 5a + 2

• 2a + 2

Complète la longueur manquante et exprime ensuite le périmètre de ce polygone en fonction de x.

Écris ta réponse finale sous la forme d’une expression algébrique réduite.

5. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles.

Coche la (les) figure(s) dont le périmètre vaut 6a + 2b.

6. Ces polygones, à l’exception du premier, sont composés uniquement de segments perpendiculaires.

Complète les longueurs manquantes et exprime le périmètre de ces polygones à l’aide d’une expression algébrique réduite.

Encoursde finalisation

Je rédige mon procédé pour réduire des sommes algébriques

7. Réduis, si possible, les sommes algébriques.

a + a = 7c + 4c + 3c = a − a =

x + x + x + x = 2a + 3b + 3a + b = 13d − 5d =

a + b = x + 2y + x + 2y = x − 3x =

4y + 6y = 3c + 4 + 3c + 1 = x − 2y =

5a + 3 = 3 + 4a − 5 = −5s + 7s =

8b + 2b = −1 + d + 1 = −3z − 2z =

2x + x = −9 −2t + 2 =

Encoursde finalisation

−5 + 7t − 2t + 8 =

10 + 4y = 3y − 2 + 2y − 3 = 4x + 2 − 6 − 6x =

8. Chaque polygone est composé uniquement de segments perpendiculaires.

(1) Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chacun.

Les dimensions sur les polygones sont exprimées en cm.

4 a x y 1

(2) En considérant que les dimensions numériques sur les dessins sont exprimées en cm, calcule la valeur numérique de chaque périmètre si a = 2 cm, x = 1,5 cm et y = 3 cm.

La valeur numérique d’une expression algébrique est le nombre obtenu en remplaçant chaque variable par une valeur donnée et en effectuant les opérations indiquées.

9. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques si tu sais que…

(1) a = 1 et b = 3.

a + b = a − b =

−5a + b = 2a − 3b =

(2) a = 4 et b = −5.

a + b = a − b =

−5a + b = 2a − 3b =

Encoursde finalisation

Aires, volumes et expr essions algébriques

1. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles.

Barre les expressions algébriques qui ne correspondent pas à l’aire de la figure.

Entoure l’expression algébrique réduite de l’aire de cette même figure. a x x y x y

2x + 6y x 3y 3xy xy  ⋅ 3 x + 3y

2. Ces figures sont composées uniquement de carrés et de rectangles. Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles.

3. Exprime l’aire de ce rectangle sous la forme d’une expression algébrique réduite.

Vérifie ta solution en complétant les longueurs et les aires manquantes sur la figure. 3y

Encoursde finalisation

4. Écris une expression algébrique réduite du volume...

(1) du cube. a V = (2) du solide formé de cubes identiques. a V =

(3) de chaque parallélépipède rectangle.

Je rédige mon procédé pour réduire des produits algébriques

5. Réduis les produits algébriques.

5x ⋅ 2 = d ⋅ d = a ⋅ a ⋅ a =

7 9d = 7x 3x = a a b = 4x ⋅ 2y = 3x ⋅ 3x = x ⋅ 4 ⋅ x ⋅ x = 11c b = 5a 2a = 2b 3a 5 = 2a (−3b) = −t t = 2x 3x 7 =

−3 ⋅ (−8d) = 5b ⋅ (−b) = 5m ⋅ 3y ⋅ 4x =

−2m 3b = −2a (−4a) = −2x 3x 5a = (−4y)  ⋅ (−2x) = 3c  ⋅ (−2c) = −6a  ⋅ c  ⋅ (−4b) =

6. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires.

Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles et calcules-en la valeur numérique si a = 2  cm, x = 3,5 cm et y = 0,5 cm.

Les dimensions sur les figures sont exprimées en cm. (1) 2x 3y (2)

Encoursde finalisation

7. Écris une expression algébrique réduite du volume de ce parallélépipède rectangle.

Ensuite, calcule la valeur numérique de ce volume si x = 2 cm et y = 5 cm 2x y 3x

8. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques si tu sais que a = 1, b = 3 et c = −5.

5b = ab = 2b 3 = 5ac = −10abc = −3c 2 = a a 1 5

Sommes et produits algébriques

1. Construis un rectangle dont…

(1) le périmètre vaut 6a. a

(2) l’aire vaut 6a 2 a

Encoursde finalisation

2. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires.

Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chacune d’elles.

(1) a 2a

=

=

(2) 2x 3x x 6x

=

=

3. Indique devant l’énoncé si l’expression algébrique proposée est une somme (S) ou un produit (P).

Réduis ensuite, si possible, chacune de ces expressions.

( ) x + x + x =

( ) x x x =

( ) 2a + 3b =

( ) 2a ⋅ 3b =

( ) c 3 c =

( ) c + 3 + c =

( ) 2a 3a =

( ) 2a + 3a =

( ) a + 2 =

( ) a 2 =

( ) −a + a =

( ) −a a =

4. Réduis, si possible, les expressions algébriques.

( ) −a − a =

Encoursde finalisation

( ) −a (−a) =

( ) 3x (−2x) =

( ) 3x 2 − 2x =

( ) 3ab + 2a =

( ) 3ab 2a =

3 x = y 3 x = a a a =

2a + 2a + 2a = 3 + x = 5c (−2) =

−2a + 3a = 4y (−2y) = −5x − 5x =

3x 2 + 4x = −d + d = 4a 2 + a 2 =

−3x + 3x = −15x (−2) = a + 1 + a = b b = b + b = 5c 3c =

5c + 3c = 3 + x + y = 2a 3 + 4a 2 =

−2b + 2 + 2b = 5c − 2 = 2a + 3b + 2a + 3b =

Équations et graphes fléchés

Une expression algébrique est une combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.

Les lettres symbolisent des  variables , c’est-à-dire des quantités pouvant prendre n’importe quelle valeur.

2x + 3 est une expression algébrique dans laquelle x est la variable.

Si x = 1, alors…

2x + 3 = 2 ⋅ 1 + 3 = 2 + 3 = 5

Si x = 2, alors…

2x + 3 = 2 2 + 3 = 4 + 3 = 7

Une équation est une égalité qui contient une lettre.

Encoursde finalisation

La lettre symbolise l’inconnue, c’est-à-dire la quantité dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.

2x + 3 = 13 est une équation dans laquelle x est l’inconnue.

La valeur de l’inconnue qui vérifie cette égalité est 5.

En effet, 2 ⋅ 5 + 3 = 13

La valeur 5 est appelée solution de l’équation.

1. (1) Écris une expression littérale réduite du périmètre de cette figure.

Les dimensions sur la figure sont exprimées en cm.

1 2 3 4 x

(2) Détermine la valeur de longueur x pour que le périmètre du polygone soit égal à 28 cm.

2. Détermine la valeur de longueur x pour que le périmètre du rectangle ABCD soit égal au périmètre du carré EFGH.

Les dimensions sur les figures sont exprimées en cm. x

Encoursde finalisation

3. Chaque figure est composée uniquement de segments perpendiculaires et ses dimensions sont exprimées en cm.

Détermine la valeur de longueur x pour que l’aire de chacune d’elles soit égale à 36 cm 2

(1)

(2) 4x 3 8 1 2x

Langage cour ant et expr essions algébriques

1. Voici deux programmes de calcul et leur résultat.

Programme 1

Choisis un nombre.

Multiplie-le par 3.

Enlève 1.

Enlève le double du nombre de départ.

Le résultat est toujours égal au nombre qui précède le nombre de départ.

Programme 2

Choisis un nombre.

Multiplie-le par 2.

Ajoute 5.

Enlève le nombre de départ.

Enlève 3.

Le résultat est toujours égal au double du nombre de départ.

(1) Vérifie le résultat de chaque programme en choisissant 2 comme nombre de départ.

Encoursde finalisation

(2) Est-il possible de trouver un nombre de départ pour lequel le résultat ne vérifie pas le programme ? Tire une conclusion sur la validité de chaque programme.

(3) Vérifie l’exactitude de chaque programme en choisissant n comme nombre de départ.

L’utilisation d’une expression algébrique permet de généraliser une situation et d’établir qu’une relation est vraie pour l’ensemble des cas, et pas pour quelques exemples seulement.

Encoursde finalisation

2. (1) Rédige un programme correspondant à l’ expression algébrique.

(2) Applique le programme pour n = 8.

(3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ.

(4) Réduis l’expression algébrique afin de justifier que la relation trouvée est vraie, quel que soit le nombre de départ.

n + 7 - 2 n - 7 (1) (2)

3. Associe chaque proposition à l’expression algébrique qu’elle traduit, sachant que…

(1) n est un nombre.

Le triple d’un nombre diminué de 2 •

Le triple d’un nombre diminué de son double

La différence entre 2 et le triple d’un nombre

Le triple de la différence entre un nombre et 2

La différence entre un nombre et 2

n  -  2

3n  -  2

2  -  3n

3 ⋅ (n  -  2)

3n  -  2n

(2) x représente l’âge de Florian et que Mélanie a 6 ans de moins que Florian.

L’âge de Florian

L’âge de Mélanie

L’âge de Florian dans 2 ans

L’âge de Mélanie il y a 2 ans

La somme des âges actuels des deux enfants •

Le double de l’âge de Florian

2x  -  6

• x  -  6

x + 2

2x

x  -  8

4. Sacha invite Morgane au cinéma. Il achète deux places de cinéma, deux boissons à 3 € et un sachet de popcorn à partager à 5 €.

(1) Si x représente le prix d’une place de cinéma, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total des achats effectués par Sacha.

(2) Calcule la somme dépensée par Sacha si une place de cinéma coute 9 €.

Équations et problèmes

1. Coche l’équation qui traduit chaque situation.

(1) J’achète quatre jeux vidéo et je bénéficie d’une réduction de 8 €. Le montant total payé est de 52 €.

x représente le prix d’un jeu vidéo.

x - 8 = 52 4x + 8 = 52 4x - 8 = 52 x + 8 = 52

(2) Une agence de voyages propose une formule à 75 € par personne et par nuit. Le budget total pour trois personnes s’élève à 900 €.

x représente le prix à la nuitée.

x + 75 = 900

Encoursde finalisation

3x + 75 = 900

75x = 900

= 900

(3) Pour préparer son spectacle, une troupe de théâtre répète deux fois par semaine. Cependant, face au stress de la représentation imminente, elle décide d’ajouter six répétitions supplémentaires, atteignant un total de 32.

x représente le nombre de semaines.

x + 6 = 32

2x - 6 = 32

2x + 6 = 32 x - 6 = 32

2. Coche l’énoncé qui peut être traduit par chaque équation. Précise ensuite ce que représente x dans la situation cochée.

(1) 2x + 6 = 40

Un élève construit deux piles identiques de cubes. Il ajoute ensuite six cubes à chacune des deux piles. Il utilise 40 cubes en tout.

Je commande, en ligne, 2 livres au même prix. Les frais de livraison s’élèvent à 6 €.

Le montant total de mes achats est de 40 €.

x représente

(2) x + 3x + 20 = 70

En octobre, un jeune économise le triple de la somme épargnée en septembre. En novembre, il économise 20 €. A la fin des trois mois, le total de ses économies s’élève à 70 €.

Une famille effectue un voyage de 70 jours à travers le continent américain. Elle passe trois jours au Mexique, 20 jours dans le Grand Canyon et le reste du temps en Floride.

x représente

3. Lors d’un repas entre amis à la pizzeria, Estelle paie l’ensemble de l’addition qui s’élève à 34 €. La commande comprend quatre parts de pizza, un dessert à 5 € et trois boissons à 2 € l’unité.

Estelle souhaite se faire rembourser par ses amis, mais elle a oublié le prix d’une part de pizza.

(1) À l’aide du raisonnement illustré, aide-la à retrouver ce montant.

Encoursde finalisation

(2) Désigne par la lettre x l’inconnue de ce problème et précise ce qu’elle représente. Explique ce qu’elle représente.

(3) Écris une expression algébrique réduite traduisant les achats d’Estelle.

(4) Traduis chaque étape du raisonnement d’Estelle à l’aide d’une équation. Sur les flèches, indique les opérations qui permettent de résoudre cette équation, en respectant le principe d’équivalence.

Le principe d’équivalence repose sur deux règles fondamentales.

– Si on ajoute (ou retire) le même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité ;

– Si on multiplie (ou divise) par le même nombre non nul les deux membres d’une égalité, on obtient une nouvelle égalité.

Encoursde finalisation

(5) Rédige une phrase de conclusion pour répondre à la question posée et vérifie ta solution.

4. Trois élèves ont tenté de résoudre deux équations à l’aide du principe d’équivalence. Dans chaque cas, complète d’abord le graphe fléché puis coche la résolution correcte.

(1)2x - 5 = - 4

(2) - 2x + 5 = - 4 - 2x + 5 = - 4 - 2x = - 9 x = - 7 - 5 + 2 - 5 + 2 - 2x + 5 = - 4 - 2x = - 9 x = 4,5 - 5 : ( - 2) - 5 : ( - 2) - 2x + 5 = - 4

5. Résous les équations en indiquant toutes les étapes de ton raisonnement. x + 11 = 8 4x - 6 = 38 8 + 2x = 7 5x + 9 = - 11 - 18 + 4x = 0 10x - 5 = - 16 x

Encoursde finalisation

Je rédige mon procédé pour résoudre une équation

- 5x = - 4 - 3x + 1 = 10 - 2 - 7x = - 2

Encoursde finalisation

6. Trouve la valeur manquante pour que la solution de chaque équation soit 6. x - 4 = x + = 211 + 2x = 3x - = 0

7. Sans résoudre l’équation, détermine si la solution proposée est correcte.

(1) Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x - 10 = 2 ;

(2) Le nombre -0,5 est‐il solution de l’ é quation 8x + 7 = - 3 ;

(3) Le nombre 3 est ‐il solution de l’ é quation - 18 - 4x = - 2.

Je rédige mon procédé pour vérifier qu’une valeur donnée est solution d’une équation sans la résoudre

8. Pour chaque situation, complète le tableau afin de trouver la réponse à la question posée en utilisant une méthode de résolution d’équation : principe d’équivalence ou graphe fléché.

(1) Une sportive parcourt une distance totale de 36 km en seulement trois séances. Si elle augmente sa distance de 3 km à chaque nouvel entrainement, combien de kilomètres a-t-elle parcourus lors de la séance initiale ?

Séance 1

Encoursde finalisation

Mise en équation

Équation réduite

Résolution de l’équation

Réponse à la question posée

Séance 2

Séance 3

Vérification

(2) Sofiane a deux fois plus de bonbons que Noé. Jean a 4 bonbons de moins que Sofiane. Ensemble, ils ont 56 bonbons. Combien de bonbons a chaque enfant ?

Noé Sofiane Jean

Encoursde finalisation

Mise en équation

Équation réduite

Résolution de l’équation

Réponse à la question posée

Vérification

9. Résous les équations.

x  -  3x  -  6 =  - 17 - 2x + 5  -  3x + 4x  -  8 = 0

10. Résous les problèmes sur une feuille. Écris toutes les étapes de ton raisonnement.

(1) La somme d’un nombre, de son double et de son triple vaut 54. Quel est ce nombre ?

(2) Si je soustrais le quadruple d’un nombre à - 15, j’obtiens - 6. Quel est ce nombre ?

(3) Lina achète deux cartes de bus et paie 5 € de frais d’activation pour chaque carte. Elle dépense 65 € en tout. Combien coute une carte de bus ?

(4) Une équipe de rugby marque, en seconde mi-temps, le double des points marqués en première mi-temps, et 12 points lors des prolongations. Son score final est de 45 points. Combien de points a-t-elle marqués en première mi-temps ?

(5) Une dame a acheté deux paires de chaussures. La deuxième paire coute 5 €  de moins que la première. Le montant total est de 92 €. Quel est le prix de chaque paire de chaussures ?

(6) Les 67 élèves de première secondaire d’une école sont répartis dans trois classes. La classe de 1B compte 3 élèves de moins que la classe de 1A. La classe de 1C compte 1 élève de plus que la classe de 1A. Quel est le nombre d’élèves dans chaque classe ?

(7) Dans un triangle, le premier angle mesure 60° de plus que le deuxième, et le troisième mesure 45° de moins que le premier. Quelle est la nature du triangle ?

Retour au défi

Résous le défi 3 du début du chapitre en utilisant une équation.

Encoursde finalisation

Dernier défi… Je répartis 100 crayons dans les trois plumiers. Le deuxième en contient deux fois plus que le premier et le troisième en contient 5 de plus que le deuxième.

E x E r C i CE s

C o M plé ME n Tair E s

Encoursde finalisation

1. (1) Complète la suite arithmétique illustrée.

Rang 123 4 5

Assemblage de segments

Nombre de segments

(2) Quelle est la raison de cette suite arithmétique ?

(3) Si n représente le rang, traduis la relation entre le rang et le nombre de segments par une expression algébrique réduite.

(4) Calcule le nombre de segments au rang 28.

(5) Calcule le rang de la figure composée de 1 000 segments.

2. (1) Complète la suite arithmétique illustrée.

Rang (n) 1 2 3 4

Assemblage de jetons

Nombre de jetons orange

Nombre de jetons bleus

(2) Calcule le nombre de jetons orange et le nombre de jetons bleus du rang 5, du rang 8 et du rang 25.

(3) Si n représente le rang, traduis par une expression algébrique réduite la relation entre le rang et le nombre de jetons orange, ainsi que celle entre le rang et le nombre de jetons bleus.

(4) Calcule le rang de la figure composée de 17 jetons orange ainsi que celui de la figure composée de 106 jetons bleus.

3. Complète chaque suite de nombres et établis l’expression algébrique réduite permettant de calculer le nombre figurant dans la suite à partir de son rang (n).

Rang 123456 41 n

Nombre 7 1421 714

Encoursde finalisation

Rang 123456 19 n

Nombre 5 1423 896

Rang 123456 30 n

Nombre−2−5−8 −101

Rang 123456 n

Nombre0,250,50,75 108

Rang 123456n

Nombre 39 27

4. Complète la suite arithmétique. Ensuite, détermine la raison et le terme indépendant.

Rang 1236 1015 n

Nombre 45 3 (n − 5)

5. Si n est un nombre naturel,

(1) décris le nombre qui correspond à chaque expression algébrique ; 5n −n 4n + 7

(2) écris l’expression algébrique réduite correspondant à chaque nombre décrit.

Un nombre naturel multiple de 3

Un nombre naturel multiple de 7 diminué de 4

Un nombre naturel impair

6. Dans chaque cas, exprime la longueur du segment [AB] en fonction de x et réduis, si possible, l’expression algébrique.

(1) A B 13 x (2) A B x (3) A B x 2 (4) A B 6 x

(5) AB x (6) AB x

7. Écris une expression algébrique réduite du périmètre de chaque figure et calcules-en la valeur numérique si x = 3 cm et y = 5 cm. Les polygones (4), (5) et (6) sont composés uniquement de segments perpendiculaires. (1) y (2)

Encoursde finalisation

8. Réduis, si possible, les sommes algébriques. a + 1 = −5x − 2y = 2m + m − m + 12p = a + 2a =  2d − 5d = −15s − 12s + 3s = t + t = −7c + 4c = −4y + 7 − 17 + 6y = 2x + 3y = −3a − 3a = 13a − 2t − 13a + 6t = 5a + 2a = t − 11 = 4a − 5b + 5a − 4b + a =

9. Calcule la valeur numérique de chaque expression algébrique si… (1) a = 2 et b = 5 ; (2) a = −3 et b = 7. a + b 8a − 2b b + 5a −2a − 7

10. Ces figures sont composées uniquement de carrés de côté a et de rectangles de largeur a et de longueur b.

Écris une expression algébrique réduite de l’aire de chacune d’elles et calcules-en la  valeur numérique si a = 2 cm et b = 4 cm. (1) (2) (3)

Encoursde finalisation

11. Exprime l’aire de ces figures sous la forme d’une expression algébrique réduite.

(1) Un parallélogramme dont la base vaut 3x et la hauteur 4y.

(2) Un triangle dont la base vaut 5x et la hauteur 6y.

(3) Un losange dont la petite diagonale vaut 4x et dont la grande diagonale en vaut le double.

(4) Un trapèze dont la petite base et la hauteur valent chacune 4x et dont la grande base vaut 5x.

12. Écris une expression algébrique réduite du volume…

(1) de chaque solide formé de cubes identiques ; a y (2) du parallélépipède rectangle. 2x 6x 3y

13. Réduis les produits algébriques.

3a ⋅ 5 = n ⋅ (−m) = b ⋅ 2b ⋅ 3b = 6f 2d = −3z (−5z) = a a 4a = 4x 3x = −5a (−a) = −5a 2c 3b =

9d ⋅ 4y = 11x ⋅ (−9m) = −8p ⋅ (−2a) ⋅ (−5p) = 3h 7b = −6c 6c = 6a (−3p) (−2a) =

14. (1) Écris une expression algébrique réduite du volume de ces solides.

(2) Détermine la différence positive des volumes de ces deux solides.

(3) Calcule la valeur numérique de cette différence si c = 2 cm et d = 5 cm. 3c 2d 3d c 5c

Solide 1

Solide 2

15. Calcule la valeur numérique des expressions algébriques si x = 2, y = −3 et z = 5.

5x =  xyz =

10y = 4xz =

−4z =  −2yz =

−3y =  −5xyz =

Encoursde finalisation

16. La première figure est un triangle équilatéral et la seconde figure est composée uniquement de segments perpendiculaires.

Écris une expression algébrique réduite du périmètre et de l’aire de chacune d’elles.

(1) 3y 2x (2) 6x 5x 3x2x

17. Réduis, si possible, les expressions algébriques.

4 y = 2x (−3x) = 7y + 2 = b + b + b = −4c − 4c = 7y ⋅ (−2) = x ⋅ x ⋅ x =  3a 2 + 2a = 5x 2 + x 2 = 3a + 5a = −2x + 2x = 5x 3 + 15x 2 = 5 + y = c c = 3x + 2y + x − 5y =

18. Détermine la valeur de x pour que le périmètre du triangle soit égal au périmètre du parallélogramme.

Les dimensions numériques sur les dessins sont exprimées en cm. x 7 5 4

19. Voici un programme de calcul.

« Choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute 9, enlève le nombre de départ, enlève 6. »

(1) Applique le programme en choisissant 100 comme nombre de départ.

(2) Traduis ce programme par une expression algébrique réduite en choisissant n comme nombre de départ.

(3) Exprime par une phrase la relation entre le résultat et le nombre de départ.

20. (1) Le président d’une association prévoit d’acheter 40 pains au chocolat et 65 croissants.

Si x représente le prix d’un pain au chocolat et y le prix d’un croissant, écris une expression algébrique réduite traduisant le montant total des dépenses.

(2) En dernière minute, le président hésite à acheter 14 pains au chocolat supplémentaires, mais 5 croissants de moins que ce qui était prévu.

Écris l’expression algébrique correspondant au montant total de cette nouvelle commande.

(3) Dans la boulangerie du village, un pain au chocolat coute 2 € et un croissant 1,50 €. Sachant que l’association dispose d’un budget de 182 €, quelles sont les options 1 et 2 qui sont financièrement possibles ? »

(4) En utilisant l’intégralité de son budget, le président de l’association pourrait-il acheter un même nombre de pains au chocolat et de croissants ?

Si oui, quelle serait la quantité de chaque article qu’il pourrait acheter ?

21. Coche l’équation qui traduit la situation.

(1) Un chauffeur de taxi applique le tarif suivant : une prise en charge fixe de 5 € à laquelle s’ajoutent 2 € par kilomètre parcouru. Un client a payé au total 25 € pour sa course.

x représente le nombre de kilomètres parcourus.

+ 2 = 25

(2) Célien a acheté un sac à 10 € et trois livres. Après avoir reçu une réduction de 5 €, il a payé 50 €.

x représente le prix d’un livre.

3x − 10 + 5 = 50 10 + 3x − 5 = 50 x

(3) Le contenu d’une valise pèse 10 kg de plus que la valise. Ensemble, la valise et son contenu pèsent 18 kg. x représente la masse de la valise. x = 18 − 10 x + 18 = 10 x + 10 = 18 x + x + 10 = 18

22. Résous les équations. (1) (2) (3)

Encoursde finalisation

= 17

= 14

23. Sans résoudre l’équation, vérifie si…

(1) 9 est solution de l’équation 2x − 8 = 10 ; (2) −5 est solution de l’équation −3x = 15 ; (3) 3 est solution de l’équation −12 + 5x = −3.

24. Résous chaque problème en utilisant une équation. Écris toutes les étapes de ton raisonnement.

Encoursde finalisation

(1) Choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute 9, enlève le nombre de départ, enlève 6. Quel est nombre de départ si le résultat du programme vaut 51 ?

(2) Le triple d’un nombre diminué de 12 vaut −60. Quel est ce nombre ?

(3) Ensemble, les trois garçons d’une même famille ont 57 ans. L’ainé a 3 ans de plus que ses deux frères, qui sont jumeaux. Détermine l’âge des 3 enfants.

(4) Un abonnement dans un club de sport coute 50 € de frais d’inscription et 35 € par mois. Célestin a payé 260 €. Depuis combien de mois est-il abonné ?

(5) Le périmètre d’un rectangle est de 61 cm. On sait que sa longueur vaut le double de sa largeur augmenté de 5 cm. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?

(6) Les bénévoles d’une association ont vendu le même nombre de cartes de soutien à 10 € et à 20 €. Après avoir reçu un don exceptionnel de 600 €, la somme totale collectée est de 1 500 €. Combien de cartes de chaque type ont été vendues ?

(7) Dans le triangle ABC, l’amplitude de l’angle vaut le double de celle de l’angle  augmenté de 15°. L’amplitude de l’angle vaut le triple de celle de l’angle  diminué de 45°. Détermine l’amplitude de chacun des angles.

(8) Un élève lit la moitié d’un livre le matin, puis 8 pages l’après-midi, ce qui représente un total de 50 pages. Combien de pages compte ce livre ?

(9) Aux États-Unis, l’échelle de température utilisée n’est pas le degré Celsius (°C), mais le degré Fahrenheit (°F). Pour obtenir une température exprimée en °F, on multiplie par 1,8 la température exprimée en °C, puis on ajoute 32. Si la température est de 77 °F, quelle est sa valeur équivalente en °C ?

(10) Le 1 er février, on a enregistré la température dans quatre grandes villes d’Europe. À Madrid, il faisait 5 degrés de plus qu’à Bruxelles. À Stockholm, il faisait 7 degrés de moins qu’à Bruxelles. À Athènes, la température était le double de celle de Bruxelles. Sachant que la moyenne des températures ce jour-là dans ces quatre grandes villes était de 7 °C, quelle température faisait-il dans chacune d’elles ?

Encoursde finalisation

CÔT

é praT iqu E

La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est 0 .

Chaque nombre de la suite est un nombre naturel multiple de 4 .

Suites arithmétiques

La raison de cette suite arithmétique est 4 et son terme indépendant est −3. Chaque nombre de la suite est un multiple de 4 diminué de 3.

Rang NombreExemple

Expression algébrique, cœ cient et partie littérale

Expression algébrique

Encoursde finalisation

−3 a 2 b

Cœ cient

Nombre qui multiplie la partie littérale

Partie littérale

Ensemble des variables munies de leur exposant

Expressions algébriques semblables

Expressions qui possèdent la même partie littérale.

2a et −5a 4cd et 7cd 2x2 et 3x2 6a2b et −9a2b

Description d’une expression algébrique

Réduction d’une somme algébrique

Géométrie et expression algébrique

Expression algébrique réduite du périmètre (P) du rectangle

P = 3b + 2a + 3b + 2a = 4a + 6b 3b 2a

Règle

commune

Pour réduire une somme algébrique, il faut :

● repérer les termes semblables ;

● additionner leurs cœ cients ;

● recopier leur partie littérale commune.

On ne peut additionner que des termes semblables.

x + x = 2x

3x − 4y = /

3x2 + 2x = /

5x + 3 + 3y − 5 + x − y = 6x − 2 + 2y

Géométrie et expression algébrique

Expression algébrique réduite de l’aire (A) des rectangles

3b

ababab ab b a abab 2a 3a

A = 3b 2a = 6ab A = 3a 2a = 6a2

Règle

Pour réduire un produit algébrique, il faut :

● multiplier les cœ cients entre eux ;

● multiplier les parties littérales entre elles en écrivant le produit des facteurs identiques sous la forme d’une puissance ;

● écrire le résultat en commençant par le nouveau cœ cient suivi des lettres munies de leur exposant dans l’ordre alphabétique.

4b (−2) = −8b 4x 5a 3f = 60afx (−5a) (−3a) = 15a2 2x 3x 5y = 30x2y

Encoursde finalisation

Réduction d’un produit algébrique

Géométrie et expression algébrique

Valeur numérique du périmètre et de l’aire du rectangle si a = 4 cm et b = 5 cm.

3b

2a

Valeur numérique

P = 4a + 6b = 4 ⋅ 4 + 6 ⋅ 5 = 16 + 30 = 46 cm

A = 6ab = 6 4 5 = 120 cm2

Règle

Pour calculer la valeur numérique d’une expression algébrique, il faut :

● remplacer chaque lettre par la valeur donnée ;

● e ectuer le calcul obtenu en respectant les priorités des opérations.

Il faut noter les symboles de multiplication et ajouter des parenthèses lorsque la valeur donnée est négative.

Valeur numérique de 3a − b si a = 2 et b = −3

3 2 − (−3) = 6 + 3 = 9

Utilisation du graphe fléché

1) On indique sur les flèches « aller », les opérations à e ectuer en partant de l’inconnue

2) On indique sur les flèches « retour », les opérations réciproques à e ectuer en partant du résultat.

3) On calcule pour déterminer la valeur de l’inconnue

− 5 = 13

Encoursde finalisation

Équation

Utilisation du principe d’équivalence

1) On isole le terme qui contient l’inconnue x en supprimant le terme indépendant

Pour cela, on ajoute (ou on retire) ce terme aux deux membres de l’égalité.

2) On isole l’inconnue x en supprimant son cœfficient.

Pour cela, on divise les deux membres de l’égalité par ce nombre.

: (−3) + 5 + 5 : (−3) −3x − 5 = 13 −3x = 18 x = −6

On réduit toujours les termes semblables dans chaque membre de l’équation avant d’utiliser une méthode de résolution.

Encoursde finalisation

1) On remplace l’inconnue par la valeur proposée et on e ectue les calculs.

2) On compare les valeurs situées de chaque côté de l’égalité.

● Si elles sont identiques, alors la solution est correcte.

● Si elles ne sont pas identiques, alors la solution est incorrecte.

Le nombre 3 est-il solution de l’équation 4x − 10 = 2 ?

= ? signi e que le ? est à placer au-dessus du =

4 ⋅ 3 − 10 = 2

Véri cation de la solution d’une équation ? ?

12 − 10 = 2

2 = 2

 Le nombre 3 est solution de l’équation 4x 10 = 2.

Encoursde finalisation

CÔT é TH éoriqu E

Encoursde finalisation

Notion

Expression algébrique

Variable d’une expression algébrique

Définition

Combinaison de nombres, de lettres et d’opérations.

Quantité, symbolisée par une lettre, qui peut prendre n’importe quelle valeur (selon le contexte donné).

Coefficient d’une expression algébriqueNombre qui multiplie la partie littérale.

Partie littérale d’une expression algébrique

Termes semblables

Équation

Inconnue d’une équation

Lettre minuscule (a, n, x…)

Ensemble des variables munies de leur exposant.

Termes qui possèdent la même partie littérale.

Égalité qui contient une inconnue.

Quantité, symbolisée par une lettre, dont on cherche la valeur pour que l’égalité soit vraie.

Notation mathématique

Dans une expression algébrique, symbolise la variable ou l’inconnue.

Encoursde finalisation

CHAPITRE 10 P ro P ortionnalité directe

Encoursde finalisation

d éfi

Pour éviter le gaspillage et ne pas tout jeter, que vont faire Lise et Karim ?

Combien de crêpes auront-ils pour le gouter ?

À la fin de ce chapitre, tu seras capable de structurer ta réponse.

Grandeurs directement proportionnelles et liens multiplicatifs internes

1. Selon une règle classique en cuisine, le temps de cuisson d’un rôti dans un four préchauffé à 180 °C est calculé en fonction de sa masse.

Réponds aux questions relatives à la cuisson de différents types de viande.

(1)

Rôti de bœuf – cuisson saignante

Temps de cuisson : 12 min/500 g

Encoursde finalisation

Quelle est la durée de cuisson recommandée pour un rôti de 1,5 kg ?

Quelle est la masse, en kg, d’un rôti de bœuf qui nécessite 48 min de cuisson ?

(2) Gigot d’agneau – cuisson rosée

Temps de cuisson : 15 min/500 g

Quelle est la durée de cuisson recommandée pour un gigot d’agneau de 900 g ?

Encoursde finalisation

(3)

Rôti de dinde – cuisson bien cuite

Temps de cuisson : 30 min/500 g

Complète le tableau afin d’exprimer le temps de cuisson nécessaire en fonction de la masse d’un rôti de dinde.

Masse du rôti (en g) 500 1 5003 000 300750

Temps de cuisson (en min)

Illustre chaque phrase par un exemple issu des données du tableau.

Si on triple la masse du rôti, alors on triple le temps de cuisson.

Si on divise la masse du rôti par 4, alors on divise le temps de cuisson par 4.

Deux grandeurs sont directement proportionnelles si, lorsqu’une valeur de la première grandeur est multipliée/ divisée par un nombre, la valeur correspondante de la seconde grandeur est multipliée/divisée par le même nombre.

2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles.

Complète chaque tableau et indique les liens multiplicatifs internes utilisés.

(1) x3 90 y2 (2) xy 8 20 0,8 (3) xy 5 20 80

Encoursde finalisation

x5 y7 3,5 (5) x86 y 20

Je rédige mon procédé pour compléter un tableau de proportionnalité directe à l’aide de liens multiplicatifs internes

Encoursde finalisation

Grandeurs directement proportionnelles et

lien multiplicatif e xterne

1. Emma a réalisé un job étudiant payé €/h pendant ses vacances. Elle est surprise lorsque son employeur lui remet le détail de son salaire après quatre jours de travail.

Repère l’erreur dans le tableau et explique-la.

Heures travaillées 3275

Salaire (en €) 453010075

Deux grandeurs sont directement proportionnelles si les valeurs de la seconde grandeur s’obtiennent en multipliant/divisant les valeurs de la première grandeur par le même nombre.

Ces deux grandeurs sont multiples l’une de l’autre.

2. Les grandeurs x et y sont deux grandeurs directement proportionnelles. Complète chaque tableau et indique le lien multiplicatif externe utilisé. (1) x1 12 y3 15

Encoursde finalisation

Je rédige mon procédé pour compléter un tableau de proportionnalité directe à l’aide du lien multiplicatif externe

Grandeurs directement proportionnelles et repr ésentation graphique

1. (1) Une place de cinéma au HashtagCiné coute 12 €.

Indique chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète-le.

Encoursde finalisation

Ces deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Place, dans le repère, les points issus du tableau.

Nombre de places de cinéma

Décris le graphique obtenu.

(2) Promotion au HashtagCiné !

Venez au cinéma le lundi !

Cinquième séance offerte grâce à la carte de fidélité !

Carte de fidélité

La cinquième est offerte !

Encoursde finalisation

Complète le tableau.

Nombre de places de cinéma le lundi

Prix (en €)

Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Place, dans le repère, les points issus du tableau.

Nombre de places de cinéma le lundi

Décris le graphique obtenu.

(3) Un abonnement nominatif au HashtagCiné ?

C’est possible ! Pour seulement 20 €, tu as accès à un tarif préférentiel de 10 € la séance pendant 6 mois !

Complète le tableau.

Nombre de places de cinéma avec l’abonnement

Prix (en €)

Encoursde finalisation

Les deux grandeurs sont-elles directement proportionnelles ? Justifie.

Place, dans le repère, les points issus du tableau.

Nombredeplacesdecinémaavecl’abonnement

Décris le graphique obtenu.

(4) Comment reconnaitre une situation de proportionnalité directe à partir de sa représentation graphique ?

2. Un tuyau d’arrosage est utilisé pour remplir une piscine. Le débit du remplissage étant constant, ce graphique illustre l’évolution du volume d’eau (en l) contenu dans la piscine en fonction du temps. 2 000

Durée de remplissage (en h)

(1) D’après ces relevés, la quantité d’eau est-elle directement proportionnelle à la durée de remplissage ? Justifie.

(2) Complète chaque phrase et indique sur le graphique le point correspondant.

Après 10 heures de remplissage, la piscine contient

La piscine contient 4 800 litres d’eau après de remplissage.

(3) Indique chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, complète ce dernier en indiquant les coordonnées de tous les points placés dans le graphique.

Encoursde finalisation

(4) Justifie que les grandeurs sont directement proportionnelles en indiquant le lien multiplicatif externe à droite du tableau.

(5) Combien de temps faut-il pour remplir une piscine de 60 m³ ?

3. L’abonnement Internet « Perspectiva » affiche un tarif attractif.

(1) Note chaque grandeur et son unité de mesure dans la première colonne du tableau. Ensuite, analyse la tarification de cet abonnement en indiquant dans ce tableau les prix correspondant à des durées de 2 mois, 6 mois, 9 mois, 1 an et 18 mois.

Encoursde finalisation

(2) Construis le graphique mettant en relation ces deux grandeurs.

Pour construire un graphique mettant en relation deux grandeurs, il faut :

– identifier chaque grandeur et son éventuelle unité de mesure ;

– choisir une échelle adaptée à chaque grandeur en tenant compte des valeurs étudiées et de leur étendue ;

– tracer deux axes perpendiculaires et gradués représentant respectivement chaque grandeur ;

– placer les points dont les coordonnées sont les valeurs correspondantes des deux grandeurs.

Grandeurs directement proportionnelles ou non

1. S’agit-il de situations de proportionnalité directe ? Justifie.

Taille (en cm) Âge (en mois)

02468101214

Modèle réduit d’une voiture de Formule 1 à l’échelle 1/24

Encoursde finalisation

Relevé des tailles de Marjorie de sa naissance à son premier anniversaire

Agrandissement d’un dessin

Hauteur (en mm) 6 1824

Largeur (en mm) 5 1520

Recharge d’un smartphone

Temps (en min) 102030

Charge de la batterie (en %) 152840

2. J’ai 20 ans aujourd’hui et ma sœur ainée a 30 ans.

(1) Quel sera l’âge de ma sœur ainée quand je fêterai mon 40 e anniversaire ?

Encoursde finalisation

(2) Les deux grandeurs (mon âge et l’âge de ma sœur) sont-elles des grandeurs directement proportionnelles ? Justifie.

3. Indique, dans chaque cas, si les grandeurs x et y sont directement proportionnelles. Si elles le sont, précise le lien multiplicatif externe.

(1) x5 1113 y 4599117 (2) xy 24 6 82 31 (3) x123 y567 (4) xy 27

4. Le Grand Relais est une course d’endurance de 50 kilomètres, par équipe. La distance totale doit être répartie équitablement entre tous les coureurs d’une même équipe.

(1) Complète le tableau.

Nombre de coureurs par équipe 4 2 8 10

Distance parcourue par chaque coureur (en km)

(2) Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe augmente ?

E Encoursde finalisation

Comment évolue la distance parcourue par chaque coureur si le nombre de coureurs par équipe est… divisé par 2 ?

multiplié par 4 ?

Tires-en une conclusion.

Complète.

Ces grandeurs sont des grandeurs

e xercices de synthèse

1. Associe chaque situation de proportionnalité directe à son tableau de valeurs et à son graphique.

➀ À partir de 15 kg d’olives, on produit 3 litres d’huile.

➂ Une longueur de 10 cm correspond à une longueur de 100 mm.

➁ Une voiture roule à une vitesse constante de 90 km/h. ➃ Sur une photocopieuse, on a sélectionné un taux d’agrandissement de 120 %. A x 1030150210 y 1003001 5002 100 C x0 1533 9 y03 6,61,8 B x 0,5 123 y 4590180270 C x5 101520 y6 121824

y

Encoursde finalisation

2. Une erreur a été commise dans chaque tableau de proportionnalité directe. Entoure-la et corrige-la de deux manières différentes.

(1) x47 111519 y 284977105126

(2) x2468 10 y9 18275445

(3) x359 1518 y 7,512,527,537,545 (4) x 70 7 492114 y 42 5 351510

3. Les deux photos de chauvesouris respectent la même échelle. En t’appuyant sur les informations fournies, détermine l’envergure réelle de la sérotine. Pour cela, complète le tableau de proportionnalité directe entre les deux grandeurs.

Pipistrelle (envergure réelle : 24 cm) Sérotine

Encoursde finalisation

4. Voici la liste des ingrédients nécessaires à la préparation d’un crumble aux pommes.

Crumble aux pommes (pour 4 personnes)

Ingrédients

- 400 g de pommes épluchées

- 140 g de sucre

- 100 g de beurre

- 150 g de farine

(1) Complète le tableau afin de déterminer la quantité de chaque ingrédient nécessaire à la préparation d’un crumble aux pommes en fonction du nombre de personnes.

Nombre de personnes 468 1014

Masse de pommes épluchées (en g)

Masse de sucre (en g)

Masse de beurre (en g)

Masse de farine (en g)

(2) En fonction de la quantité de beurre utilisée, calcule le nombre de personnes auxquelles chaque crumble est destiné.

Masse de beurre (en g) 100125175275

Nombre de personnes 4

(3) Mon amie utilise 700 g de pommes épluchées, 245 g de sucre, 175 g de beurre et 250 g de farine. A-t-elle adapté la recette de manière directement proportionnelle ? Justifie en complétant le tableau.

Encoursde finalisation

4. Un jardinier souhaite planter 150 bulbes de tulipes dans trois parterres de superficies différentes : 5 m 2, 8 m 2 et 12 m 2

Détermine le nombre de bulbes à planter dans chaque parterre, sachant que ce nombre doit être directement proportionnel à la superficie de chacun d’eux.

r etour au défi

Réalise un tableau de proportionnalité directe mettant en relation la quantité de crêpes et d’ingrédients de la recette de base et de la recette adaptée, et indique le(s) lien(s) multiplicatif(s) utilisé(s).

Ensuite, utilise ce tableau pour expliquer comment Lise et Karim vont adapter la recette et détermine le nombre de crêpes qu’ils auront pour le gouter.

Encoursde finalisation

c Ô té P rati QU e

Encoursde finalisation

Utilisation des liens multiplicatifs internes

Temps de travail (en h)

(en €)

⋅ 5: 2 ⋅ 3: 15 ⋅ 7 ⋅ 5: 2 ⋅ 3: 15 ⋅ 7

Si le temps de travail est multiplié par 5, alors le salaire est multiplié par 5.

Le salaire d’une personne (en €) est directement proportionnel à son temps de travail (en h).

Compléter un tableau de proportionnalité directe

Utilisation des liens multiplicatifs externe : 2 : 21 ⋅ 21 ⋅ 2

Temps de travail (en h)

Pour calculer le salaire, il faut diviser le temps de travail par 2 et multiplier le résultat obtenu par 21. Salaire (en €)

Graphique représentant une situation de proportionnalité directe

Tous les points sont alignés avec l’origine du repère.

Encoursde finalisation

Salaire (en €)

Salaire d’une personne en fonction de son temps de travail

Temps de travail (en h)

n otion d éfinition c hapitre

Grandeurs directement proportionnelles

Lien multiplicatif interne dans une situation de proportionnalité directe

Lien multiplicatif externe dans une situation de proportionnalité directe

Encoursde finalisation

Grandeurs multiples l’une de l’autre. 11

Lien multiplicatif entre deux valeurs d’une même grandeur. 11

Lien multiplicatif entre les valeurs correspondantes de deux grandeurs. 11

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Auteurs

Maryse Bams

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