Guía N° 1 de los Números Complejos.

Área de Formación: Matemática Año: 4to

Guía N° 1 de Números Complejos Objetivo: Ofrecer un compendio de ejercicios con respuesta que estén precedidos de la teoría que requieren para resolverlos.

Propósito: Contribuir con la capacitación de los estudiantes para realizar evaluaciones de Números Complejos.

I. Necesidad del Conjunto de los Números Complejos Hemos visto en el estudio del conjunto de los números naturales, que al resolver ecuaciones de la forma: a + x = b (1) con a, b є N , cuando a > b, la solución no es posible en N, esto nos indujo a pasar del conjunto N a un conjunto más amplio: Z, conjunto de los números enteros, de modo que: 1.

NZ

2. Las operaciones “+ y .” en Z, son extensiones de las

operaciones “+ y .” en N.

3. Para todo a, b  Z, existe x  Z, tal que, a + x = b, es decir, la ecuación (1), siempre tiene solución en Z.

Ejemplo 1: La ecuación 5 + x = -3 tienen solución en Z y ella es x = -8 con –8 є Z. Al hacer el estudio de Z, nos encontramos con algunas ecuaciones, de la forma: a · x = b, con a, b є Z y a  0 (2) que no siempre tiene solución en Z, por ejemplo b  a (b no es múltiplo de a); esto nos llevó a crear otro conjunto más amplio que Z, llamado conjunto de los números racionales Q, de modo que:

1

1. Z  Q 2. Las operaciones “+ y .” en Q son extensiones de las operaciones “+ y .” en Z. 3. Par todo a, b  Q, a  0, existe x  Q, tal que a. x = b

Ejemplo 2: La ecuación 5x = 7, tiene solución en Q y ella es

x

7 5

, con

7 5

 Q.

Posteriormente hicimos el estudio de Q encontrándonos con ecuaciones x2= 2, con 2  Q, que no tiene solución en Q, ya que no existe un x  Q tal que x2 =2, esto nos llevó a crear un conjunto más amplio; R que llamamos conjunto de los números reales, de modo que: 4. Q  R 5. Las operaciones “+ y .” en R son extensiones de las operaciones “+ y .” en Q. 6. Ecuaciones como x2 = 5, x3 = 2, ... tienen solución en R.

Sin embargo, sólo hemos solucionado el problema en parte, ya que ecuaciones del tipo x2 = a, tiene solución en R cuando a  0.

Ejemplo 3: La ecuación x2 = a, con a  0 tiene solución

x  

a

, con



a

є R pero si

a < 0, no existe un x є R tal que x2 = a. En otras palabras cuando a < 0 con a  R, la ecuación del tipo x2 = a, no tiene solución en R, esto nos lleva a buscar un conjunto numérico más amplio que R, este conjunto lo llamaremos el conjunto de los números complejos C, de modo que: 2

1. R  C 2. Las operaciones “+ y ·” en C son extensiones de las operaciones “+ y .” en R. 3. Si a є R, existe un x  C tal que x2 = a, es decir, las ecuaciones del tipo

x2 = a siempre tienen

solución.

II.

El conjunto de los Números Complejos

II.1Unidad Imaginaria A la expresión

1

la definiremos como la unidad imaginaria y la

designaremos con la letra i. Así pues: i =

1

o, dicho de otra forma, i es

aquella cantidad que elevada al cuadrado es igual a -1, es decir, i2 = -1.

Todas las raíces pares de números negativos pueden expresarse en términos de la unidad imaginaria.

Ejemplos: 1.

9

=

2.

 12

9( 1)

=

=

4  3  ( 1)

9

=

1 = 4

3

3i 1

=2

3

i

Ejercicios: Expresar cada una de las siguientes raíces en términos de la unidad imaginaria: 1.

 27

Resp.

 27  3 3i

2.

 11

Resp.

 11 

3.

 2b 2

Resp.

 2b 2  b 2i

4.

 81

Resp.

 81  9i

5.

 34

Resp.

 34  17i

3

11i

II.2 Potencias de la unidad imaginaria Al comenzar el tema definimos la unidad imaginaria como aquella expresión que elevada al cuadrado es igual a -1, es decir i 2 = -1. Mediante esta igualdad determinamos las potencias sucesivas de la unidad imaginaria i. i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 · i = -i i4 = i2 · i2 = (-1)·(-1) = 1 i5 = i4 · i = 1 · i = i i6 = i4· i2 = 1· (-1) = -1 i7 = i4· i3 = 1 · -i = -i i8 = i4· i4 = 1 · 1= 1 . . .

Podemos observar que los valores de la potencia i se repiten periódicamente al aumentar el exponente en 4. Este hecho nos permite calcular cualquier potencia de i mediante el siguiente proceso: Para determinar el valor de cualquier potencia de i dividimos el exponente por 4. El residuo, que es menor que 4, será el nuevo exponente de i.

Ejemplo: Hallar el valor de i63 Dividimos el exponente entre 4:

63 4 23 15 3 Tomamos el residuo como nuevo exponente, es decir, i63 = i3 = -i 4

Ejercicios: Hallar el valor de las siguientes potencias: 1 i

1. i-363

Resp. i-363 =

2. –i-274

Resp. –i-274 = 1

3. i504

Resp. i504 = 1

4. i172

Resp. i172 = -1

5. i17

Resp. i17 = I



II.3 Definición de número complejo. Forma binómica A toda expresión de la forma a + bi, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria la llamaremos número complejo. Designaremos los números complejos con la letra c, así, z = a + bi

con a y b  R

Llamaremos parte real a la primera componente “a” y lo indicaremos así: Re (z) = a Llamaremos parte imaginaria a la segunda componente “b” y lo indicaremos así: Im (z)= b Cuando a = 0 se dice que z es un imaginario puro.

Cuando b = 0 se dice que z es un real puro.

III.

Representación Gráfica de un Número Complejo

III.1 Biyección entre el conjunto C y los puntos del plano. El plano Complejo.

5

Se ha estudiado anteriormente que a todo par (a,b)  R2 se le puede hacer corresponder un punto P en el plano de tal forma que existe una correspondencia biyectiva entre los conjuntos: {Z = a + bi = (a, b)  R2}

y

{P(a, b)  π}

Cuando se trata de C:  Al eje

OX

se le llama eje real (porque es el asiento de los números

reales).  Al eje

OY

se le llama eje imaginario (porque es el asiento de los

números imaginarios).  Al plano π se llama plano complejo.  A P se le llama afijo o imagen del número complejo.  A

OP ( Z )

se llama vector imagen del número complejo Z.

Y

π

b

P(a,b) ( Z)

o

a

X

III.2 Afijo de un número complejo Como los números complejos tiene dos componentes: la parte real y la parte imaginaria, es necesario usar un sistema de dos dimensiones para representarlos. De acuerdo a esto puede usarse un sistema XY de coordenadas rectangulares. Entonces, para representar el número complejo z = a+ bi, seleccionamos un punto P en el plano XY, cuyas coordenadas sean a y b, 6

Y b

P (a,b) a

X

Este punto P recibe el nombre de “Afijo” del plano complejo z.

Ejemplo: Representar en el plano XY los siguientes números complejos: z1 = 3 + 2i z2 = -2 + 3i z3 = -1 –5i z4 = 4 - 2i

Ejercicios: Representa en un plano XY cada uno de los siguientes números complejos: 1) z1 = 3 + 4i ; 2) z2 = -1-3i ; 3) z3 = 5 – i ; 4) z4 =

2i ;

5) z5 =

3 5  i 2 2

III.3 Números complejos de parte real igual a cero  {(0,b)  R2 }. Conjunto de los números imaginarios complejos.  (0,1) es la unidad de los números imaginarios expresados en forma compleja. Se identifica con i.  (0,b) se identifica con el número imaginario bi.

7

III.4 Números complejos de parte imaginaria igual a cero  {(a,0)  R2 }. Conjunto de los números reales complejos.  (1,0) es la unidad de los números reales expresados en forma compleja. Se identifica con el 1.  (a,0) se identifica con el número real a.

III.5 Conjugado de un número complejo. Representación gráfica Sea z = a +bi un número complejo, llamaremos conjugado de z, representándolo con el símbolo

z,

al número complejo

Si z = a +bi entonces

z  a  bi

, es decir,

z  a  bi

Geométricamente se representa así y b

z = a + bi

x a -b

z=

a - bi

Ejemplo: Si tenemos los siguientes complejos: z1 = -3 + 2i, z2 = 1+ el complejo conjugado para cada complejo será: z1

= -3 –2i;

z2

=1-

3i

;

z3

= 2 + 4i

8

3i

y z3 = 2 – 4i,

Ejercicios: Hallar el conjugado de los siguientes números complejos: 1. z1 = -

5 

Resp.

7i

3 11  i 2 2

Resp.

z2

3. z3 = 10 + 9i

Resp.

z3 =

2. z2 =

4. z4 = 5. z5 =

7 i 3

Resp.

z5

-

5 

3 11  i 2 2

=

10 – 9i

Resp.

3i

5

z1 =

=

z4

=-

5

7 i 3

3i

IV.

Operaciones con Números Complejos en Forma Binómica

IV.1

Adición. Interpretación geométrica. Demostración de las propiedades Sean z1 = a + bi y z2 = c +di dos números complejos, entonces por definición: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

Ejemplo: 1. La suma de z1 = 2 + 5i y z2 = 7 + 3i es: z1 + z2 = (2 + 7) + (5 + 3)i = 9 + 8i Ejercicios: Efectúa la adición de los siguientes números complejos: 1. z1 = 5 +

7

i, z2 = -3 -

7

i

Resp. z1 + z2 = 2

2. z1 = 10 + 5i, z2 = 4 - 8i

Resp. z1 + z2 = 14 –3i

3. z1 = -3 + 9i, z2 = 3 + 2i

Resp. z1 + z2 = 11i 9

7i

4. z1 = 5. z1 =

3  2i 4 11

, z2 =

5 2  i 6 3

+ 3i, z2 = -

2

Resp. z1 + z2 = 4 5

-

i

Resp. z1 + z2 = (

19 12

11 -

-

2)

4 3

+

i 11 i 5

Representación geométrica de la adición Sean z1 = a + bi y z2 = c + di dos números complejos. Por definición z 1 + z2 = (a + c) + (b + d)i Representamos geométricamente los complejos z1 y z2 en un mismo Sistema Cartesiano.

Y b

z1 = a + bi

d O

z2 = c +di a

c

X

Tracemos por el punto z1 un segmento paralelo y congruente con el segmento Oz2 y tracemos por z2 un segmento paralelo y congruente con el segmento z 1 ; de esta manera obtenemos el paralelogramo OPQM

10

Para comprobar que el punto M obtenido por la intersección de los dos segmentos trazados tiene coordenadas (a + c, b + d), es decir, este punto representa la adición de las coordenadas de los complejos z1 y z2. En conclusión el punto M representa al complejo z = z1 + z2.

Ejercicios: Representa geométricamente la adición de los siguientes complejos: 1. z1 = -4 - 6i, z2 = 3 - 2i

2.

z1 = -8 + 2i, z2 = 5 - 3i

3 . z1 = 3 - 7i, z2 = 4 + 9i

4. z1 = 5 + 3i, z2 = 2 - 1i

5 . z1 = 9 + 4i, z2 = 1 - 8i Propiedades de la adición en C 1. Propiedad Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 Demostración: Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces, z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i [Por definición] = (c +a) + (d + b)i [a, b, c y d є R y en R la adición es conmutativa] = z2 + z 1 Por lo tanto la adición en C es conmutativa 11

2. Propiedad Asociativa Demostración: Debemos demostrar que (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) Sea z1 = a + bi , z2 = c + di y z3 = e + fi, entonces, (z1 + z2) + z3 = [(a + bi) + (c+ di)] + (e + fi) = [(a + c) + (b + d)i] + (e + fi) [Por definición] = ((a + c) + e) + ((b + d) +f)i [Por definición] = (a + (c + e)) + (b + (d + f))i

[a, b, c, d, e y f є R y en R la adición es asociativa]

= (a + bi) + [(c + e) + (d + f)i] = (a + bi) +[(c + di) + (e + fi)] = z1 + (z2 + z3) Por lo tanto la adición en C es asociativa 3. Elemento Neutro Demostración: Sea z*  C, tal que, z + z* =z* + z = z. En efecto, sea z = a + bi y z* = c + di. Luego, z +z* = z  (a + bi) + (c + di) = a + bi  (a + c) + (b +d)i = a + bi Por igualdad de complejos, tenemos que: a + c = a  c =0  b + d = b  d = 0 Por lo tanto el elemento neutro es z* = 0 + 0i

12

4. Elemento Opuesto Demostración: Debemos demostrar que para cada z = a + bi, con z  C, existe un z’=e+ fi tal que, z + z’ = z’ + z = 0+0i.

En efecto, z + z’ = (a+ bi) + (e +fi) = (a + e) + (b + f)i Por igualdad de complejos, tenemos que: a + e = 0  e = -a  b + f = 0  f = -b En consecuencia, para cada z = a + bi, con z  C, existe z’ = -a – bi Ejercicios: Demostrar lo siguiente: 1.

z1  z 2  z1  z 2

2.   z     z  IV.2

 z1 y z2 є C  z1 y z2 є C

Sustracción. Interpretación geométrica

Sean z1 y z2 dos números complejos, definimos la operación sustracción así: z1 - z2 = z1 + (-z2) Si z1 = a + bi y z2 = c +di, entonces z1 - z2 = z1 + (-z2) = (a + bi) + (-c –di) = (a - c) + (b - d)i

13

Ejemplo: Si z1 = -3 + 7i y z2 = 8 +6i hallemos, z1 - z2 Tenemos, z1 - z2 = (-3 + 7i) + (-8 –6i) = (-3 – 8) + (7-6)i = -11 + 1i Ejercicio: Demostrar lo siguiente: 1.

z1  z 2  z1  z 2

IV.3

Multiplicación. Interpretación geométrica. Demostración de las propiedades.

Sean z1 = a + bi y z2 = c +di dos números complejos, entonces por definición: z1 · z2 = (a + bi) · (c+ di) = (ac – bd) + (ad +bc)i Ejemplo: El producto de los números complejos z1 = 2 – 3i y z2 = 5 +8i es: z1 · z2 = (2 – 3i) · (5 +8i) = (10+24) + (16 –15)i z1 · z2 = 34 + i

14

Propiedades de la multiplicación en C 1. Propiedad Conmutativa: z1 · z2 = z2 · z1 Demostración: Sea z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces, z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i [Por definición] = (ad + bc)i + (ac – bd) [a, b, c y d є R y en R la multiplicación es conmutativa] = (c + di) · (a + bi) = z2 · z1 Por lo tanto la multiplicación en C es conmutativa 2. Propiedad Asociativa Demostración: Debemos demostrar que (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) Sea z1 = a + bi , z2 = c + di y z3 = e + fi, entonces, (z1 · z2) · z3 = [(a + bi) · (c+ di)] · (e + fi) = [(ac - bd) + (ad + bc)i] · (e + fi) [Por definición] = [(ac - bd)·e + (ac - bd)·fi + (ad + bc)i·e + (ad + bc)i·fi]

[Propiedad distributiva]

= [(ace - bde) + (acf + bdf)i +(ade +bce)i + (-adf – bcf)] [en R la multiplicación es asociativa] = (ace – bde –adf –bcf) + (acf + bdf +ade + bce)i [1] Por otro lado, z1 · (z2 · z3) = (a + bi) · [(c+ di) · (e + fi)] z1 · (z2 · z3) = (a + bi) · [(ce – df) + (cf + de)i]

[Por definición]

= [a·(ce – df) + a·(cf + de)i + bi·(ce – df) + bi·(cf + de)i] 15

[Propiedad distributiva]

= [(ace – adf) + (acf + ade)i + (bce – bdf)i + (-bcf – bde)

[en R la multiplicación es asociativa]

= (ace – adf - bcf – bde) +(acf + ade + bce – bdf)i = (ace – bde –adf –bcf) + (acf + bdf +ade + bce)i [2] [Propiedad Conmutativa en R] Como [1] = [2] entonces se cumple que, (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) Por lo tanto la multiplicación en C es asociativa.

3. Elemento Neutro Demostración: Existe en C un complejo z*, tal que, z · z* = z* · z = z.

En efecto, sea z = a + bi y z* = c + di. Luego, z · z* = z  (a + bi) · (c + di) = a + bi  (ac - bd) + (ad +bc)i = a + bi Por igualdad de complejos, tenemos que: ac - bd = a ad + bc = b Resolviendo el sistema, encontramos que: c=1yd=0 Por lo tanto el elemento neutro para la multiplicación en C es z* = 1 + 0i

16

IV.4

Inverso de un número complejo. Representación gráfica

Para cada complejo z  C, con z  0, existe un z–1  C tal que: z ·z –1 = 1 + 0i Z –1 lo llamaremos inverso de z.

En efecto, sea z = a + bi y supongamos que z –1 =  + i.

Entonces debe cumplirse que: (a + bi) · ( + i) = 1 + 0i, es decir, (a - b) + (a + b)i = 1 + 0i Por igualdad de complejos se cumple: a - b = 1 a + b = 0 Hemos obtenido así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas  y , resolviendo este sistema encontramos que: α

a a  b2 2



b a  b2 2

Por tanto, dado un complejo z = a + bi, con z  0, su inverso z por: IV.5

 a b z 1   2  2 2 a  b2 a  b

–1

viene dado

 i  

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador: z1 a  bi a  bi c  di ac  bd  (ad  bc )i ac  bd  (ad  bc )i   �   2 z2 c  di c  di c  di c2  d 2 z2

17

Ejemplo: Dados

z1  2  3i

y

z2  1  2i ,

halle: (a)

(a) Como z2  1  2i entonces (b) Para hallar

z2

y (b)

z1 z2

.

z2  1  2i

z1 multiplicamos y dividimos por el conjugado z2

z2 .

z1 2  3i 2  3i 1  2i (2  3i)( 1  2i)   �  z2 1  2i 1  2i 1  2i (1  2i)( 1  2i) 2  4i  3i  6i 2 8  i 8 1      i 5 5 5 (1) 2  (2) 2

Ejercicios: Calcule: 3  3i , 2  4i

1.

V.2

2.

1  3i . 2  2i

Resolución de problemas en los cuales se apliquen las operaciones con números complejos

1. Expresar cada una de las siguientes raíces en términos de la unidad imaginaria: a)  12 b)  7 c) 3  b d) 2  9 4

e)



1 16

2. Hallar el valor de las siguientes potencias: 18

a) b) c) d) e)

i15 i24 i88 I-122 i530

3. Representar gráficamente los siguientes números complejos: a) z1 = 2 + 2i b) z2 = -4 - 5i c) z3 = 3 - 6i d) z4 = -1-5i e) z5 = 7 - 3i 4. Hallar el conjugado de los siguiente números complejos: a) z1 = 9 + i b) z2 = -8 + 3 i c) z3 = - 23  29i d) z4 = - 2  3i 1

e) z5 = - 8



15i

5. Efectúa la adición de los siguientes números complejos: a) z1 = 2 + 3i, z2 = 5 - 2i b) z1 = -4 - 5i, z2 = -2 + 8i c) z1 = 2 + 2 i, z2 = -4 - 3 i d) z1 =

1 2

1

+ 6i, z2 = - 3 - 8i

e) z1 = 7 +

5

i, z2 =

2

-

9

i

6. Efectúa la sustracción de los siguientes números complejos: a) z1 = 3 - 2i, z2 = 5 + 3i b) z1 = 1 - 1i, z2 = -7 - 8i 19

c) z1 = 5 - 25 i, z2 = 3 + 6i d) z1 = 4 + 11 i, z2 = 3 + 7 i e) z1 = 3 + 6i, z2 = 2 - 5i 7. Efectúa la multiplicación de los siguientes números complejos: a) z1 = 3 - 4i, z2 = 5 - 3i b) z1 = 4 + 7i, z2 = -3 - 2i c) z1 = 7 - 2 i, z2 = 5 - 9 i d) z1 = 2 + 5 i, z2 = 3 + 2 i e) z1 = 5 + 3 i, z2 = 5 + 2 3 i Prof. Vanessa Reyes.

Bibliografía: Jorge Gid Hoffmann.

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