8.5. Esempi 239 In generale, poiché le sinusoidi complesse hanno proprietà pi` u semplici di quelle reali, spesso è utile poter passare da sinusoidi reali a quelle complesse. In altre parole, dalla sinusoide reale: x[n] = a · cos(ωn) (con un picco spettrale di ampiezza a/2 e frequenza ω) vorremmo un modo di calcolare la sinusoide complessa: X[n] = a(cos(ωn) + i sin(ωn)) cos`ı che x[n] = re(X[n]). Ci piacerebbe avere un processo lineare per farlo, in modo che le sovrapposizioni di sinusoidi vengano trattate come se le loro componenti venissero trattate separatamente. Naturalmente potremmo scegliere, altrettanto bene, la sinusoide complessa con frequenza −ω: X 0 [n] = a(cos(ωn) − i sin(ωn)) e infatti x[n] è proprio la metà della somma delle due. In sostanza abbiamo bisogno di un filtro che passa attraverso le frequenze positive (praticamente le frequenze tra 0 e π, corrispondenti ai valori di Z sulla metà superiore del cerchio unitario complesso) dai valori negativi (da −π a 0 o, equivalentemente, da π a 2π – la met` a inferiore del cerchio unitario). Si pu` o progettare un tale filtro progettando un filtro passa-basso con frequenza di taglio π/2 e quindi, eseguire una rotazione di π/2 radianti utilizzando la tecnica del paragrafo 8.3.4. Tuttavia, risulta pi` u facile farlo usando due reti, progettate appositamente, di filtri all-pass con coefficienti reali. Chiamiamo H1 e H2 le funzioni di trasferimento dei due filtri, progettiamo i filtri in modo che ( π/2 0 < ∠(Z) < π ∠(H1 (Z)) − ∠(H2 (Z)) ≈ −π/2 −π < ∠(Z) < 0 o, in altri termini, H1 (Z) ≈ iH2 (Z), 0 < ∠(Z) < π, H1 (Z) ≈ −iH2 (Z), −π < ∠(Z) < 0. Quindi per ogni segnale, a valori reali, x[n] in entrata, creiamo semplicemente un numero complesso a[n]+ib[n] dove a[n] è l’output del primo filtro e b[n] è l’output del secondo. Ogni componente sinusoidale complessa di x[n] (chiamiamola Z n ) verr` a trasformata in ( 2H1 (Z) 0 < ∠(Z) < π H1 (Z) + iH2 (Z) ≈ . 0 altrimenti Avendo iniziato con un segnale a valori reali, la cui energia è suddivisa equamente nelle frequenza positive e negative, otteniamo, alla fine, un segnale, a valori complessi, con solo frequenze positive.