LÓGICA SIMBÓLICA

´ Indicegeneral

Prefacio ix

1.C´alculoProposicional 1

1.1.ElementosdelaL´ogicaSimb´olica...........2

1.2.EnunciadosyVariables.................2

1.3.ProposicionesL´ogicas.................3

1.3.1.ClasesdeProposicionesL´ogicas........5

1.4.ConectivosL´ogicos...................6

1.4.1.Conjunci´on...................6

1.4.2.Disyunci´on...................6

1.4.3.Negaci´on....................7

1.4.4.Implicaci´on...................7

1.4.5.Disyunci´onExclusiva..............7

1.4.6.DobleImplicaci´on...............7

1.5.TablasdeVerdad....................8

1.6.ProposicionesCompuestas...............10

1.7.Jerarqu´ıadelosConectivosL´ogicos..........11

1.8.Tautolog´ıa,Contradicci´onyContingencia......16

1.9.ProposicionesL´ogicamenteEquivalentes.......19

1.10.LeyesL´ogicas......................23

1.10.1.Identidad....................23

1.10.2.NoContradicci´on................24 v

1.10.3.TercioExcluido.................24

1.10.4.DobleNegaci´on.................25

1.10.5.Idempotencia..................25

1.10.6.LeyConmutativa................26

1.10.7.LeyAsociativa.................26

1.10.8.LeyDistributiva................27

1.10.9.LeyesdeMorgan................28

1.10.10.LeydelCondicional..............28

1.10.11.LeydelBicondicional.............29

1.10.12.LeydelaAbsorci´on..............30

1.10.13.LeydeTransportaci´on.............32

1.10.14.LeydeExportaci´on..............32

1.10.15.ElementosNeutros:Conjunci´onyDisyunci´on33

1.11.ProblemasdeEjercitaci´on...............42

1.11.1. L´ogicaylosElementosdelaL´ogicaProposicional 42

1.11.2.ProposicionesCompuestas...........46 1.11.3.LeyesdelaL´ogica...............47

1.11.4.Preguntas....................49

2.L´ogicadeArgumentos 71

2.1.Lainferencial´ogicaoargumentol´ogico........71

2.1.1.TiposdeInferencias..............71

2.1.2.ArgumentoV´alidooInferenciaV´alida....71

2.1.3.Falacia......................72

2.2.Inferenciasnotables...................73

2.2.1.LeydeM´odusPonens.............73

2.2.2.LeydeM´odusTollens.............73

2.2.3.LeydelSilogismoHipot´etico.........74

2.2.4.LeydelSilogismoDisyuntivo.........75

2.2.5.LeydelDilemaConstructivo.........75

2.2.6.LeydeSimplificaci´on..............76

2.3.M´etodoabreviadoparaanalizarinferenciasl´ogicas.77

2.3.1.LeydeSimplificaci´on..............77

2.3.2.M´etodosdeDemostraci´on...........79

2.4.ProblemasdeEjercitaci´on...............90

2.4.1. Inferenciasl´ogicasoargumentosl´ogicos:inferenciav´alida,falacia..............90

2.4.2.LeyesL´ogicas..................93

2.4.3.Preguntas....................100

3.L´ogicadePredicados 121

3.1.Introducci´onalaL´ogicadePredicados........121

3.1.1.Definici´onycontexto..............121

3.1.2.Diferenciasconlal´ogicaproposicional....122

3.1.3.Importanciayaplicaciones..........122

3.2.LenguajedelaL´ogicadePredicados.........123

3.2.1.ElementosB´asicos...............123

3.2.2.Sintaxis.....................125

3.2.3.Sem´antica....................127

3.3.Cuantificadores.....................129

3.3.1.CuantificadorUniversal............129

3.3.2.CuantificadorExistencial...........130

3.4.OperacionesyReglasenL´ogicadePredicados....131

3.4.1.EquivalenciasL´ogicas.............131

3.4.2.ReglasdeInferencia..............133

3.5.Demostraciones.....................135

3.5.1.PruebasDirectas................135

3.5.2.PruebasporContradicci´on..........136

3.5.3.Inducci´onMatem´atica.............138

3.6.Teor´ıadeModelos...................141

3.6.1.ModelosySatisfacci´on.............141

3.7.TeoremasFundamentales...............142

3.7.1.TeoremadeCompletituddeG¨odel......142

3.7.2.TeoremadeCompacidad............143

3.8.EjemplosdeAplicaciones...............144

3.8.1.AplicacionesenMatem´aticas.........144

3.8.2.AplicacionesenCienciasdelaComputaci´on.146

3.8.3.AplicacionesenFilosof´ıa............148

3.9.ProblemasdeEjercitaci´on...............154

4.N´umerosReales 157

4.1.SistemadeN´umerosReales..............157

4.1.1.Desigualdades..................158

4.1.2.AxiomasdeRelaci´ondeOrden........159

4.1.3.Definiciones...................160

4.2.Demostraci´ondeTeoremasenN´umerosReales...161

4.3.ProblemasdeEjercitaci´on...............180

4.4.Preguntas........................185

Prefacio

Lapresenteobrapretendeofrecerunaherramientadetrabajoindispensableparalosprofesionalesdelaeducaci´onquesededicana laense˜nanzadelasMatem´aticas,conunenfoqueparticularenla disciplinadelaL´ogicaSimb´olica.Reconociendolaimportanciadela l´ogicaenlaformaci´onmatem´aticaysuaplicaci´onendiversas´areas delconocimiento,hemosdesarrolladountextoqueabordademanera exhaustivaydid´acticalosconceptosfundamentalesyavanzadosde estadisciplina.

Estelibroseestructuraentornoatresejestem´aticosprincipales: elc´alculoproposicional,lal´ogicadeargumentosylal´ogicadepredicados.Cadaunodeestostemasseabordaconunaprofundidad adecuada,permitiendoallectornosolocomprenderlosprincipios te´oricossubyacentes,sinotambi´enaplicarlosenlaresoluci´onde problemaspr´acticos.Tambi´enhemosincluidounasecci´oncomplementariaqueintroducelosn´umerosreales,aplicandolosprincipios dedemostraci´onl´ogicaparafortalecerlacomprensi´onyaplicaci´on deconceptosmatem´aticosencontextosm´asamplios.

Conscientesdeladiversidaddeestilosdeaprendizajeylanecesidad deherramientasvariadasparalaevaluaci´on,alfinaldecadasecci´on sepresentannosoloproblemaspropuestos,sinotambi´enejemplos dedistintostiposdepreguntas.Estosrecursosest´andise˜nadospara proporcionaralosdocentesunaampliagamadeherramientaseva-

luativas,adaptablesalasnecesidadesespec´ıficasdesusestudiantes. Deestamanera,sefacilitaunaense˜nanzam´asinclusivayefectiva,quefomenteeldesarrollointegraldelascompetenciasl´ogicasy matem´aticasenelalumnado.

Dirigidotantoadocentesenejerciciocomoaaquellosenformaci´on, estelibroseproponecomouncompendiodid´acticoycompletosobre lal´ogicasimb´olica.Alolargodesusp´aginas,ellectorencontrar´a numerososejemplosdeproblemasdesarrolladosdemaneradetallada yaccesible,pensadosparaserdirectamenteaplicablesenelaula declases.Estacaracter´ısticaconvierteallibronosoloenunrecursote´orico,sinotambi´enenunvaliosomaterialdid´acticoquelos educadorespuedenutilizarparaenriquecersuspr´acticaspedag´ogicas.

Lafinalidaddeestelibroesdoble:proporcionarunabases´olida enl´ogicasimb´olicayofrecerherramientaspr´acticasquefaciliten suense˜nanza.Creemosfirmementequeunacomprensi´onprofunda delal´ogicanosolomejoralacompetenciamatem´atica,sinoque tambi´endesarrollahabilidadescr´ıticasyanal´ıticasesencialesen diversoscamposdelsaber.

Esperamosqueestelibroseaunagu´ıa´utilyenriquecedorapara todosaquelloscomprometidosconlaeducaci´onmatem´aticayque contribuyasignificativamentealfortalecimientodelascompetencias l´ogicasenlasfuturasgeneracionesdeestudiantes.

Cap´ıtulo1

C´alculoProposicional

Introducci´on

Lal´ogicasimb´olicaesunaramadelal´ogicaqueestudiaelrazonamientomedianteelusodes´ımbolosformales.Utilizaunlenguaje simb´olicoprecisopararepresentarproposicionesyargumentos,permitiendoanalizarsuestructurayvalidezdeunamaneraclaray rigurosa.

Estadisciplinaesfundamentalenmatem´aticasyfilosof´ıa,yaque proporcionaherramientasparaanalizaryformalizarelrazonamiento deductivo.Lal´ogicasimb´olicasebasaenlateor´ıadeconjuntos,la teor´ıadelarecursi´onylateor´ıadelacomputabilidad,loquela convierteenun´areadeestudiointerdisciplinariaconaplicacionesen diversas´areasdelconocimiento.

Enestelibro,exploraremoslosfundamentosdelal´ogicasimb´olica, incluyendolasintaxisysem´anticadeloslenguajesformales,la construcci´ondeargumentosv´alidos,lademostraci´ondeteoremas l´ogicosylaaplicaci´ondelal´ogicaaproblemasconcretos.Alolargo

deloscap´ıtulos,presentaremosejemplospr´acticosyejerciciospara afianzarlosconceptosaprendidos.

Esperamosqueestelibroseaunaherramienta´utilparaestudiantes yprofesionalesinteresadosenadentrarseenelfascinantemundode lal´ogicasimb´olica.

1.1.ElementosdelaL´ogicaSimb´olica

Lal´ogicasimb´olica,tambi´enconocidacomol´ogicamatem´atica,esuna subdisciplinadelamatem´aticaylafilosof´ıaqueestudialossistemas formalesenrelaci´onconelmodoenquecodificanorepresentan conceptosderazonamientodeductivoylainferencia.Secaracteriza porelusodes´ımbolosynotacionesparaexpresarproposicionesy argumentosl´ogicosconclaridadyprecisi´on.

Lal´ogicasimb´olicasedivideendosgrandes´areas:lal´ogicaproposicionalylal´ogicadepredicados.

L´ogicaproposicional: Secentraenproposicionesquepuedenser verdaderasofalsas,ignorandolaestructurainternadelasproposicionesm´asall´adesuvalordeverdad.Utilizavariablesproposicionales, conectivasl´ogicas(comolaconjunci´on ∧,disyunci´on ∨,negaci´on ¬,condicional →,ybicondicional ↔)ypar´entesisparaorganizarel ordendeoperaciones.

L´ogicadepredicados: Extiendelal´ogicaproposicionalalincluir cuantificadoresyrelacionesentreobjetos.Loscuantificadoresm´as comunessonelcuantificadoruniversal ∀ yelcuantificadorexistencial ∃,quepermitenexpresarproposicionescomo“paratodo”o“existe almenosuno”.

1.2.EnunciadosyVariables

Lal´ogicasimb´olica,tambi´enconocidacomol´ogicamatem´atica,es unaramadelamatem´aticaqueutilizas´ımbolospararepresentarpro-

posicionesyconceptosl´ogicosparaanalizarsuestructurayrelaciones. Eneln´ucleodelal´ogicasimb´olicaseencuentranlosenunciadosy lasvariables,elementosfundamentalesparaconstruirargumentosy realizardeduccionesl´ogicas.

Un enunciado esunaoraci´onquepuedeserclasificadacomoverdaderaofalsa,peronoambas.Enlal´ogicasimb´olica,losenunciados serepresentanmedianteletrasmay´usculas(p,q,r,...),ysuvalor deverdadsedefineporelcontextooseasignadentrodeestructuras m´asgrandescomolastablasdeverdad.

Las variables,porotrolado,representanunaampliagamadevalores oproposiciones.Enelcontextodelal´ogicaproposicional,lasvariables puedentomarvaloresdeverdad,permitiendolaconstrucci´onde f´ormulasm´ascomplejasqueexpresancondicionesorelacionesentre diferentesenunciados.

Ejemplo1

Consideremoselenunciado“Hoyest´alloviendo”.Enlal´ogicasimb´olica,podemosrepresentaresteenunciadoconlavariable p.Lavariable p puedetenerunvalordeverdadverdadero(V)siefectivamenteest´a lloviendo,ofalso(F)sinoloest´a.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on“Sihoyest´alloviendo,entonceslacalle estar´amojada”.Enlal´ogicasimb´olica,estosepuederepresentar como p → q ,donde p es“Hoyest´alloviendo”y q es“Lacalleestar´a mojada”.Estaproposici´onesverdaderaexceptoenelcasodeque p seaverdaderoy q seafalso.

1.3.ProposicionesL´ogicas

Lasproposicionesl´ogicassondeclaracionesquepuedenserclasificadas comoverdaderasofalsas,peronoambossimult´aneamente.Estasson

labasesobrelacualseconstruyelal´ogicamatem´aticayseutilizan paraformularargumentosyrealizardeducciones.Unaproposici´on l´ogicanoessimplementeunaoraci´on;debetenerunvalordeverdad biendefinido.Enlal´ogica,utilizamoss´ımbolospararepresentarestas proposicionesyoperadoresl´ogicosparacombinarlas,formandoas´ı estructurasm´ascomplejasquepuedenseranalizadas.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on“Elcieloesazul”.Estaesunaproposici´onl´ogicaporquepuedeserclaramenteverdaderaofalsa.Enund´ıa despejado,podemosdecirqueestaproposici´onesverdadera.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on“2esmayorque3”.Estaesunaproposici´on l´ogicaqueesfalsa,dadoqueenelsistemanum´ericoconvencional,2 noesmayorque3.

Ejemplo3

Imaginemoslaproposici´on“Sillueve,entonceslacallesemoja”. Estaesunaproposici´oncondicionalquerelacionadosproposiciones: “llueve”y“lacallesemoja”.Esverdaderaenelcasodequelaprimera condici´on(quellueva)resulteenlasegundacondici´on(quelacalle semoje).

Ejemplo4

Consideremoslaproposici´oncompuesta“Llueveyhacesol”.Esta proposici´onutilizaeloperadorl´ogico“y”,yparaqueseaverdadera, ambascondicionesdebenserverdaderassimult´aneamente.Estetipo deproposicionesseutilizaparaexpresarcondicionesm´asespec´ıficas.

1.3.1.ClasesdeProposicionesL´ogicas

Lal´ogicasimb´olica,unaramadelamatem´aticaylafilosof´ıa,utiliza s´ımbolospararepresentarproposicionesyoperacionesl´ogicas.Dentro deestecampo,lasproposicionesl´ogicaspuedenclasificarseenvarias categor´ıas,cadaunaconcaracter´ısticasyaplicacionesespec´ıficas. Estascategor´ıasincluyenproposicionesat´omicasymoleculares,condicionales,bicondicionales,conjunciones,ydisyunciones,entreotras. Estasclasificacionespermitenalosl´ogicosymatem´aticosconstruir argumentoscomplejosyrealizaran´alisisdetalladosdelavalidezde losrazonamientos.

Ejemplo1

Lasproposicionesat´omicassonlasunidadesb´asicasdelal´ogica simb´olica.Sonafirmacionesquenocontienenotrasproposiciones dentrodeellas.Porejemplo,laproposici´on“Elcieloesazul”esuna proposici´onat´omicaporqueexpresaunhechosimplesincombinarlo conotros.

Ejemplo2

Lasproposicionesmolecularesseformanalcombinardosom´asproposicionesat´omicasmedianteoperadoresl´ogicoscomolaconjunci´on (y),ladisyunci´on(o),olanegaci´on(no).Unejemploes“Elcielo esazulylahierbaesverde”,dondesecombinandosproposiciones at´omicasconeloperadorl´ogico“y”.

Ejemplo3

Unaproposici´oncondicionalexpresaunarelaci´ondetipo“si...entonces...”entredosenunciados.Porejemplo,“Sillueve,entoncesla callesemojar´a”esunaproposici´oncondicionalquerelacionados proposicionesat´omicasmediantelacondici´ondequeunacausala otra.

Ejemplo4

Lasproposicionesbicondicionalesestablecenunarelaci´onbidireccionalentredosenunciados,significandoqueunoimplicaalotro yviceversa.Unejemploser´ıa“Lluevesiysolosilascallesest´an mojadas”,indicandoquelasdoscondicionessiempreocurrenjuntas.

1.4.ConectivosL´ogicos

Enl´ogica,losconectivosl´ogicossons´ımbolosqueseutilizanpara combinarproposicionessimplesyformarproposicionesm´ascomplejas. Estosconectivospermitenconstruirargumentosyrazonamientosde maneraprecisayrigurosa.

Losconectivosl´ogicosm´ascomunessonlaconjunci´on,ladisyunci´on, lanegaci´on,laimplicaci´onyladobleimplicaci´on.Cadaunodeestos conectivostieneunsignificadoespec´ıficoyserepresentamediante uns´ımboloespecial.

1.4.1.Conjunci´on

Laconjunci´onesunconectivoqueserepresentaporels´ımbolo ∧.Se utilizaparacombinardosproposicionessimplesyformaunaproposici´oncompuestaqueesverdaderasolamentesiambasproposiciones simplessonverdaderas.

1.4.2.Disyunci´on

Ladisyunci´onesunconectivoqueserepresentaporels´ımbolo ∨. Seutilizaparacombinardosproposicionessimplesyformauna proposici´oncompuestaqueesverdaderasialmenosunadelas proposicionessimplesesverdadera.

1.4.3.Negaci´on

Lanegaci´onesunconectivoqueserepresentaporels´ımbolo ¬.Se utilizaparanegarunaproposici´on,esdecir,paraformarlaproposici´on contrariaalaproposici´onoriginal.

1.4.4.Implicaci´on

Laimplicaci´onesunconectivoqueserepresentaporels´ımbolo →.Seutilizaparaexpresarunarelaci´ondeimplicaci´onentredos proposiciones.Laimplicaci´onesfalsasolamentecuandolaproposici´on antecedenteesverdaderaylaconsecuenteesfalsa.

1.4.5.Disyunci´onExclusiva

Ladisyunci´onexclusiva,tambi´enconocidacomo“oexclusivo”,es unaoperaci´onl´ogicaquedenotaquesolounadelasdosproposiciones puedeserverdadera,peronoambassimult´aneamente.Sus´ımboloes ⊕.

Enotraspalabras,ladisyunci´onexclusivaesverdaderasiunaysolo unadelasproposicionesesverdadera,mientrasqueesfalsasiambas proposicionessonverdaderasoambassonfalsas.Porejemplo,en elcasodedosvariablesbooleanas p y q ,laexpresi´on p ⊕ q ser´ıa verdaderasiunadelasvariablesesverdaderaylaotraesfalsa,pero ser´ıafalsasiambassonverdaderasoambassonfalsas.

1.4.6.DobleImplicaci´on

Ladobleimplicaci´onesunconectivoqueserepresentaporels´ımbolo ↔.Seutilizaparaexpresarunarelaci´ondeequivalenciaentredos proposiciones,esdecir,queambasproposicionestienenelmismo valordeverdad.

ConectivosL´ogicos

Conectivo S´ımbolo

Conjunci´on ∧

Disyunci´on ∨

Negaci´on ¬

Implicaci´on →

DobleImplicaci´on ↔

Disyunci´onExclusiva ⊕

1.5.TablasdeVerdad

Lastablasdeverdadsonunaherramientafundamentalenlal´ogicasimb´olica,utilizadaspararepresentardemanerasistem´aticalos valoresdeverdaddeproposicionesl´ogicasbajotodaslasposibles combinacionesdevaloresdeverdaddesuscomponentes.Estastablas permitenanalizarydeterminarlavalidezdeargumentosl´ogicos,facilitandoelestudiodelasrelacionesentrediferentesproposiciones.En lal´ogicasimb´olica,operadorescomolaconjunci´on(∧),ladisyunci´on (∨),lanegaci´on(¬),elcondicional(→),ladisyunci´onexclusiva ⊕ y elbicondicional(↔)sonfundamentales,ycadaunotienesupropia tabladeverdadquedescribesufuncionamiento.

TabladeVerdadparalaConjunci´on(∧)

Laconjunci´ondedosproposicionesesverdaderasolocuandoambas proposicionessonverdaderas.Latabladeverdadcorrespondientees lasiguiente:

1.5.TABLASDEVERDAD

TabladeVerdadparalaDisyunci´on(∨)

Ladisyunci´ondedosproposicionesesverdaderasialmenosunade lasproposicionesesverdadera.Latabladeverdadcorrespondiente eslasiguiente:

TabladeVerdadparalaNegaci´on(¬)

Lanegaci´ondeunaproposici´oninviertesuvalordeverdad.Sila proposici´onesverdadera,sunegaci´onesfalsa,yviceversa.Latabla deverdadcorrespondienteeslasiguiente:

TabladeVerdadparaelCondicional(→)

Elcondicional,tambi´enconocidocomoimplicaci´on,esverdadero entodosloscasosexceptocuandolaproposici´onantecedentees verdaderaylaproposici´onconsecuenteesfalsa.Latabladeverdad correspondienteeslasiguiente:

TabladeVerdadparaelBicondicional(↔)

Elbicondicionalindicaquedosproposicionestienenelmismovalor deverdad.Esverdaderosiambasproposicionessonverdaderaso ambassonfalsas.Latabladeverdadcorrespondienteeslasiguiente:

TabladeVerdadparalaDisyunci´onExclusiva(⊕)

Ladisyunci´onexclusiva,oXOR,dedosproposicionesesverdaderasi exactamenteunadelasproposicionesesverdaderaylaotraesfalsa. Latabladeverdadcorrespondienteeslasiguiente:

1.6.ProposicionesCompuestas

Unaproposici´oncompuestaesaquellaqueseformaapartirdeproposicionessimplesutilizandoconectivasl´ogicas,comoconjunciones (∧),disyunciones(∨),negaciones(¬),implicaciones(→),bicondicionales(↔),entreotras.Lal´ogicasimb´olicaseencargadeanalizarel comportamientoylaspropiedadesdeestasproposicionescompuestas.

Ejemplo1

Sea p laproposici´on“Hacesol”y q laproposici´on“Esverano”.Entonces,laproposici´oncompuesta“Hacesolyesverano”serepresenta como p ∧ q .

1.7.JERARQU

Ejemplo2

Sea p laproposici´on“Estudiar´ematem´aticas”y q laproposici´on “Aprobar´eelexamen”.Entonces,laproposici´oncompuesta“Siestudio matem´aticas,entoncesaprobar´eelexamen”serepresentacomo p → q .

Ejemplo3

Sea p laproposici´on“Hoyess´abado”y q laproposici´on“Ma˜nanaes domingo”.Entonces,laproposici´oncompuesta“Hoynoess´abadoo ma˜nanaesdomingo”serepresentacomo ¬p ∨ q .

Ejemplo4

Sea p laproposici´on“Juanest´aencasa”y q laproposici´on“Mar´ıa est´aenlauniversidad”.Entonces,laproposici´oncompuesta“NiJuan est´aencasaniMar´ıaest´aenlauniversidad”serepresentacomo ¬p ∧¬q .

1.7.Jerarqu´ıadelosConectivosL´ogicos

Lajerarqu´ıadelosconectivosl´ogicosdeterminaelordenenelque seaplicanlasoperacionesl´ogicasenunaproposici´oncompuesta.En l´ogicasimb´olica,losconectivosl´ogicostienenunajerarqu´ıaestablecidaqueafectalainterpretaci´ondelaproposici´on.Lajerarqu´ıa com´unmenteaceptadaeslasiguiente,demayoramenorprecedencia:

Negaci´on(¬)

Conjunci´on(∧)

Disyunci´on(∨)

Implicaci´on(→)

Bicondicional(↔)

Esimportantetenerencuentaestajerarqu´ıaalanalizarproposiciones compuestasparagarantizarunainterpretaci´oncorrecta.

Acontinuaci´onsemuestraunejemplodec´omoseaplicar´ıanestas reglasdeprecedenciaenunaexpresi´onl´ogica: Supongamoslaexpresi´onl´ogica:

Seinterpretar´ıadelasiguientemaneraseg´unlajerarqu´ıadeprecedencia:

1. Negaci´on(¬):Primero,seeval´uacualquiernegaci´on.Eneste caso,seeval´ua ¬p.

2. Conjunci´on(∧):Luego,seeval´ualaconjunci´on q ∧ r .

3. Disyunci´on(∨):Acontinuaci´on,seeval´ualadisyunci´on ¬p ∨ (q ∧ r ).

4. Implicaci´on(→):Despu´es,seeval´ualaimplicaci´on(¬p ∨ (q ∧ r )) → s

5. Dobleimplicaci´on(↔):Finalmente,seeval´ualadobleimplicaci´on((¬p ∨ (q ∧ r )) → s) ↔ t.

Sifueranecesario,sepuedenutilizarpar´entesisparamodificaresta precedenciayclarificarelordendeevaluaci´onenexpresionesl´ogicas m´ascomplejas.

Ejemplo1

Consideremoslasproposicionessimples p y q ,donde p representa “Eslunes”y q representa“Esmartes”.Construimoslaproposici´on compuesta“Noeslunesoesmartes”como ¬p ∨ q .

Cuadro1.1:TabladeverdadparaelEjemplo1

Ejemplo2

Sea p laproposici´on“Hacesol”y q laproposici´on“Esverano”.La proposici´oncompuesta“Sihacesol,entoncesesverano”serepresenta como p → q

Cuadro1.2:TabladeverdadparaelEjemplo2

Ejemplo3

Tomemoslasproposicionessimples p y q ,donde p representa“Es medianoche”y q representa“Lalunaest´allena”.Laproposici´on compuesta“Noesmedianocheylalunanoest´allena”serepresenta como ¬p ∧¬q .

Ejemplo4

Consideremoslasproposiciones p y q ,donde p representa“Tengo hambre”y q representa“Comer´epizza”.Laproposici´oncompuesta “Tengohambresiysolosicomer´epizza”serepresentacomo p ↔ q .

pq ¬p ¬q ¬p ∧¬q

VV F F F VF F V F

FV V F F FF V V V

Cuadro1.3:TabladeverdadparaelEjemplo3

pq p ↔ q VV V

F

F

V

Cuadro1.4:TabladeverdadparaelEjemplo4

Ejemplo5

Setienenlasproposicionessimples p y q definidascomo: p:“Elexamenesf´acil” q :“Elestudiantelohaestudiado”

Construyalaproposici´oncompuesta“Elexamenesf´acilperoel estudiantenolohaestudiado”.

Soluci´on:

Laproposici´oncompuestaserepresentacomo p ∧¬q .Porlotanto, “Elexamenesf´acilperoelestudiantenolohaestudiado”.

pq p ∧¬q VV F VF V FV F FF F

Cuadro1.5:TabladeverdadparaelEjemplo5

1.7.JERARQU

Ejemplo6

Sea p laproposici´on“Eln´umeroespar”y q laproposici´on“Es divisiblepor3”.Determinelaproposici´oncompuestaquerepresente “Eln´umeroesparonoesdivisiblepor3”.

Soluci´on:

Laproposici´oncompuestaserepresentacomo p ∨¬q .Entonces,“El n´umeroesparonoesdivisiblepor3”.

p ∨¬q

Cuadro1.6:TabladeverdadparaelEjemplo6

Ejemplo7

Considerelasproposicionessimples p y q definidascomo:

p:“Elsolest´abrillando”

q :“Elcieloest´adespejado”

Construyalaproposici´oncompuesta“Sielsolest´abrillando,entonces elcieloest´adespejado”.

Soluci´on:

Laproposici´oncompuestaserepresentacomo p → q .Porlotanto, “Sielsolest´abrillando,entonceselcieloest´adespejado”.

Ejemplo8

Sean p y q lasproposiciones: p:“Eltri´anguloesequil´atero”

q :“Eltri´anguloesis´osceles”

p → q

Cuadro1.7:TabladeverdadparaelEjemplo7

Construyalaproposici´oncompuestaquerepresente“Eltri´anguloes equil´ateroonoesis´osceles”.

Soluci´on:

Laproposici´oncompuestaserepresentacomo p ∨¬q .Entonces,“El tri´anguloesequil´ateroonoesis´osceles”. pq p ∨¬q

Cuadro1.8:TabladeverdadparaelEjemplo8

1.8. Tautolog´ıa,Contradicci´onyContingencia

Enl´ogicasimb´olica,seclasificanlasproposicionescompuestasentres categor´ıasprincipales:tautolog´ıa,contradicci´onycontingencia.Estas clasificacionessebasanenelvalordeverdaddelasproposiciones compuestasentodaslasposiblescombinacionesdeverdaddesus componentes.

Una tautolog´ıa esunaproposici´oncompuestaqueesverdaderapara todaslasposiblescombinacionesdeverdaddesuscomponentes.En

1.8.TAUTOLOG ´ IA,CONTRADICCI ´ ONYCONTINGENCIA 17

otraspalabras,sutabladeverdadsiempremuestra verdadero enla columnaderesultado.

Una contradicci´on esunaproposici´oncompuestaqueesfalsapara todaslasposiblescombinacionesdeverdaddesuscomponentes.Su tabladeverdadsiempremuestra falso enlacolumnaderesultado.

Una contingencia esunaproposici´oncompuestaquenoesniuna tautolog´ıaniunacontradicci´on,esdecir,suvalordeverdadvar´ıa dependiendodelascombinacionesdeverdaddesuscomponentes.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´oncompuesta p ∨¬p.Determinesiesuna tautolog´ıa,contradicci´onocontingencia.

Soluci´on:

Latabladeverdadpara p ∨¬p eslasiguiente:

¬p p ∨¬p

Cuadro1.9:TabladeverdadparaelEjemplo1

Comolacolumnaderesultadomuestra“verdadero”paratodaslas posiblescombinacionesdeverdadde p, p ∨¬p esunatautolog´ıa.

Ejemplo2

Sea p laproposici´on“Eln´umeroespositivo”.Determinesilaproposici´oncompuesta p ∧¬p esunatautolog´ıa,contradicci´onocontingencia.

Soluci´on:

Latabladeverdadpara p ∧¬p eslasiguiente:

18

p ¬p p ∧¬p

F F

Cuadro1.10:TabladeverdadparaelEjemplo2

Comolacolumnaderesultadomuestra“falso”paratodaslasposibles combinacionesdeverdadde p, p ∧¬p esunacontradicci´on.

Ejemplo3

Consideremoslaproposici´oncompuesta(p → q ) ↔ (¬q →¬p). Determinesiesunatautolog´ıa,contradicci´onocontingencia.

Soluci´on:

Latabladeverdadpara(p → q ) ↔ (¬q →¬p)eslasiguiente: pq p → q ¬q ¬p (p → q ) ↔ (¬q →¬p)

Cuadro1.11:TabladeverdadparaelEjemplo3

Comolacolumnaderesultadomuestra“verdadero”paratodaslas posiblescombinacionesdeverdadde p y q ,(p → q ) ↔ (¬q →¬p)es unatautolog´ıa.

Ejemplo4

Sea p laproposici´on“Eld´ıaessoleado”y q laproposici´on“Hace calor”.Determinesilaproposici´oncompuesta(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )es unatautolog´ıa,contradicci´onocontingencia.

Soluci´on:

1.9.PROPOSICIONESL ´ OGICAMENTEEQUIVALENTES 19

Latabladeverdadpara(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )eslasiguiente:

Cuadro1.12:TabladeverdadparaelEjemplo4

Comolacolumnaderesultadomuestra“verdadero”paraalgunas combinacionesdeverdadde p y q ,peronoparatodas,(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q ) esunacontingencia.

1.9. ProposicionesL´ogicamenteEquivalentes

Enl´ogicamatem´atica,dosproposicionesseconsideranl´ogicamente equivalentessitienenelmismovalordeverdadparatodaslasposibles asignacionesdeverdadasusvariablesproposicionales.Esdecir,dos proposicionessonl´ogicamenteequivalentessisiempresonverdaderas osiempresonfalsasenlasmismascircunstancias.

Lasproposicionesl´ogicamenteequivalentessedenotancomo p ≡ q . Estosignificaquelaproposici´on p esl´ogicamenteequivalenteala proposici´on q .Paradeterminarsidosproposicionessonl´ogicamenteequivalentes,sepuedenutilizarm´etodoscomolasimplificaci´on algebraica,lasleyesdelal´ogica,olastablasdeverdad.

Ejemplo1

Demuestraque p ∧ (p ∨ q )esl´ogicamenteequivalentea p.

Soluci´on:

Construimoslastablasdeverdadparaambasproposicionesycomparamoslosvaloresdeverdad.

p ∨ q

∧ (p ∨ q )

Ejemplo2

Demuestraque(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )es´ogicamenteequivalentea p ↔ q .

Soluci´on:

Construimoslastablasdeverdadparaambasproposicionesycomparamoslosvaloresdeverdad.

¬p ¬q (p ∧ q ) (¬p ∧¬q )

Ejemplo3

Demuestraque ¬(p ∧ q )esl´ogicamenteequivalentea ¬p ∨¬q .

Soluci´on:

Construimoslastablasdeverdadparaambasproposicionesycomparamoslosvaloresdeverdad.

Ejemplo4

Demuestraque(p → q ) ∧ (q → p)esl´ogicamenteequivalentea p ↔ q .

1.9.PROPOSICIONESL ´ OGICAMENTEEQUIVALENTES 21

¬(p ∧ q ) ¬p ¬q

F F F

V F V

V V F

V V V

Soluci´on:

Construimoslastablasdeverdadparaambasproposicionesycomparamoslosvaloresdeverdad.

V V V V

Ejemplo5

Demuestraque p ∧ (p ∨ q )esl´ogicamenteequivalentea p

Soluci´on:

Construyamoslastablasdeverdadparaambasproposicionesy comparemoslosvaloresdeverdad.

Ejemplo6

Demuestraque(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )esl´ogicamenteequivalentea p ↔ q .

Soluci´on:

Construyamoslastablasdeverdadparaambasproposicionesy comparemoslosvaloresdeverdad.

¬p ¬q (p ∧ q ) (¬p ∧¬q )

F F V F

V F F F

V V F V

Ejemplo7

Demuestraque ¬(p ∧ q )esl´ogicamenteequivalentea ¬p ∨¬q .

Soluci´on:

Construyamoslastablasdeverdadparaambasproposicionesy comparemoslosvaloresdeverdad.

¬(p ∧ q ) ¬p ¬q

V F V

V V F

V V V

Ejemplo8

Demuestraque(p → q ) ∧ (q → p)esl´ogicamenteequivalentea p ↔ q .

Soluci´on:

Construyamoslastablasdeverdadparaambasproposicionesy comparemoslosvaloresdeverdad.

1.10.LeyesL´ogicas

Lasleyesl´ogicasproporcionanunmarcos´olidoparaelrazonamiento ylainferenciaenmatem´aticasyl´ogica.Alcomprenderyaplicarestas leyes,podemosanalizaryevaluardemaneraprecisalasafirmacionesy argumentos.Adem´as,lasleyesl´ogicassonfundamentalesendiversas ´areas,incluyendolainform´atica,lafilosof´ıaylacienciaengeneral.

1.10.1.Identidad

Laleydeidentidadestablecequecualquierproposici´onesid´enticaa s´ımisma.Esdecir,si P esunaproposici´on,entonces P siemprees verdaderasiysolosi P esverdadera.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on P :“Elcieloesazul”.Deacuerdoconla leydeidentidad,estaproposici´onsiempreser´averdaderasiefectivamenteelcieloesazul.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on Q:“2+2=4”.Seg´unlaleydeidentidad, estaafirmaci´onsiempreser´averdadera,yaqueesunaidentidad matem´aticabienestablecida.

1.10.2.NoContradicci´on

Laleydenocontradicci´onestablecequeunaproposici´onysunegaci´on nopuedenserambasverdaderasalmismotiempo.Esdecir,si P esunaproposici´on,entonces ¬P nopuedeserverdaderasi P es verdadera.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on R:“Elsolesunaestrella”.Lanegaci´on deestaafirmaci´on, ¬R,ser´ıa“Elsolnoesunaestrella”.Ambas afirmacionesnopuedenserverdaderassimult´aneamente,deacuerdo conlaleydenocontradicci´on.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on S :“Todoslostri´angulostienencuatrolados”. Lanegaci´ondeestaafirmaci´on, ¬S ,ser´ıa“Notodoslostri´angulos tienencuatrolados”.Nuevamente,ambasafirmacionesnopueden serverdaderasalmismotiempo.

1.10.3.TercioExcluido

Laleydeltercioexcluidoestablecequeentredosproposiciones contradictorias,unaesverdaderaylaotraesfalsa,sinposibilidad deuntercerestado.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on T :“Estegatoesnegro”.Sunegaci´on, ¬T ,ser´ıa“Estegatonoesnegro”.Seg´unlaleydeltercioexcluido, unadeestasafirmacionesdebeserverdaderaylaotrafalsa.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on U :“Eln´umero7espar”‘.Sunegaci´on, ¬U , ser´ıa“Eln´umero7noespar”.Seg´unlaleydeltercioexcluido,una

deestasafirmacionesdebeserverdaderaylaotrafalsa.

1.10.4.DobleNegaci´on

Laleydedoblenegaci´onestablecequeunadoblenegaci´ondeuna proposici´onequivalealaproposici´onoriginal.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on V :“Nolluevehoy”.Ladoblenegaci´on deestaafirmaci´on, ¬(¬V ),ser´ıa“Nonolluevehoy”,locuales equivalenteadecir“Lluevehoy”.

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on W :“Elpastoesverde”.Ladoblenegaci´on deestaafirmaci´on, ¬(¬W ),ser´ıa“Noelpastonoesverde”,quees equivalenteadecir“Elpastoesverde”.

1.10.5.Idempotencia

Laleydeidempotenciaestablecequeaplicarunaoperaci´onl´ogicaa unaproposici´onrepetidamentenocambiaelresultado.

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´on X :“Elequipogan´oelpartido”.Aplicar laoperaci´onl´ogicade“o”aestaproposici´ondosvecesnocambiasu valor: X ∨ X esiguala X .

Ejemplo2

Tomemoslaproposici´on Y :“Elsem´aforoest´aenverde”.Aplicarla operaci´onl´ogicade“y”aestaproposici´ondosvecesnocambiasu valor: Y ∧ Y esiguala Y .

1.10.6.LeyConmutativa

Laleyconmutativaestablecequeelordendelosoperandosnoafecta elresultadodelaoperaci´on,tantoparalaconjunci´on(∧),disyunci´on (∨),comoparaelbicondicional(↔).

Conjunci´on

Ejemplo1: p ∧ q esequivalentea q ∧ p

Ejemplo2:Sitenemos x> 5 ∧ x< 10,eslomismoque x< 10 ∧ x> 5.

Disyunci´on

Ejemplo1: p ∨ q esequivalentea q ∨ p

Ejemplo2:Si x =5 ∨ x =7,entonceseslomismoquedecir x =7 ∨ x =5.

Bicondicional

Ejemplo1: p ↔ q eslomismoque q ↔ p

Ejemplo2:Si x = y ↔ y = z ,entonces y = z ↔ x = y .

1.10.7.LeyAsociativa

Laleyasociativaindicaquelaformaenqueseagrupanlosoperandos nocambiaelresultadodelaoperaci´on.Estoaplicaparalaconjunci´on (∧),disyunci´on(∨),yelbicondicional(↔).

Conjunci´on

Ejemplo1:(p ∧ q ) ∧ r esequivalentea p ∧ (q ∧ r ).

Ejemplo2:Si(x> 5 ∧ x< 10) ∧ x =7,entonceseslomismo que x> 5 ∧ (x< 10 ∧ x =7).

Disyunci´on

Ejemplo1:(p ∨ q ) ∨ r esequivalentea p ∨ (q ∨ r ).

Ejemplo2:Si(x =5 ∨ x =7) ∨ x =9,entonceseslomismo que x =5 ∨ (x =7 ∨ x =9).

Bicondicional

Ejemplo1:(p ↔ q ) ↔ r esequivalentea p ↔ (q ↔ r ).

Ejemplo2:Si(x = y ↔ y = z ) ↔ z = w ,entonceseslomismo que x = y ↔ (y = z ↔ z = w ).

1.10.8.LeyDistributiva

Laleydistributivapermitedistribuirunaoperaci´onsobreotra.Es aplicableentrelaconjunci´onydisyunci´on,as´ıcomoentrelaconjunci´onyelcondicional.

Conjunci´onyDisyunci´on

Ejemplo1: p ∧ (q ∨ r )esequivalentea(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ).

Ejemplo2:Si x< 10 ∧ (x =5 ∨ x =7),entonceseslomismo que(x< 10 ∧ x =5) ∨ (x< 10 ∧ x =7).

Conjunci´onyCondicional

Ejemplo1: p ∧ (q → r )notieneunaformadistributivadirecta similaralaconjunci´onydisyunci´onperopuedeinterpretarsea trav´esdeimplicacionesyequivalenciasl´ogicas.

Ejemplo2:Considerando x> 5 ∧ (x =10 → x< 20),suan´alisis requiereunentendimientoprofundodelasimplicacionesentre lascondiciones.

1.10.9.LeyesdeMorgan

LasleyesdeDeMorganestablecenrelacionesentrelasoperaciones l´ogicasdenegaci´on,conjunci´onydisyunci´on.Seexpresandela siguientemanera:

¬(P ∧ Q) ≡¬P ∨¬Q

¬(P ∨ Q) ≡¬P ∧¬Q

Ejemplo1

Consideremoslosenunciados P :“Hacesol”y Q:“Hacecalor”.Entonces,aplicandolaprimeraleydeDeMorgan,tenemos:

¬(P ∧ Q) ≡¬P ∨¬Q

Locualsignificaque“Nohacesolyhacecalor”esequivalentea“No hacesolonohacecalor”.

Ejemplo2

Tomemoslosenunciados P :“Eln´umeroespar”y Q:“Eln´umeroes divisiblepor3”.AplicandolasegundaleydeDeMorgan,obtenemos:

¬(P ∨ Q) ≡¬P ∧¬Q

Estoimplicaque“Eln´umeronoesparonoesdivisiblepor3”eslo mismoquedecir“Eln´umeronoesparynoesdivisiblepor3”.

1.10.10.LeydelCondicional

Laleydelcondicionalestableceunarelaci´onentreunaproposici´on condicionalysucontrapositiva.Seexpresadelasiguientemanera:

(P → Q) ≡ (¬Q →¬P )

Ejemplo1

Supongamoslaafirmaci´on P :“Siestudias,aprobar´aselexamen”y Q:“Apruebaselexamen”.Entonces,aplicandolaleydelcondicional, obtenemos:

(P → Q) ≡ (¬Q →¬P )

Estosignificaque“Sinoapruebaselexamen,entoncesnohasestudiado”esequivalentea“Sinohasestudiado,entoncesnoapruebas elexamen”.

Ejemplo2

Consideremoslaproposici´on P :“Sihacefr´ıo,entoncesllevar´emi abrigo”y Q:“Llevar´emiabrigo”.Aplicandolaleydelcondicional, obtenemos:

(P → Q) ≡ (¬Q →¬P )

Locualimplicaque“Sinollevomiabrigo,entoncesnohacefr´ıo”es lomismoquedecir“Sinohacefr´ıo,entoncesnollevar´emiabrigo”.

1.10.11.LeydelBicondicional

Laleydelbicondicionalestablecequedosproposicionessonl´ogicamenteequivalentessiysolosicadaunaimplicalaotra.Formalmente, estosedenotacomo:

Ejemplo1

P :“Hacesol”

Q :“Estoyenlaplaya”

Siemprequehacesol,estoyenlaplaya,yviceversa.

Ejemplo2

P :“Juanestudia”

Q :“Juanapruebaelexamen” Juanestudiasiysolosiapruebaelexamen.

Ejemplo3

P :“Eln´umeroespar”

Q :“Eln´umeroesdivisiblepor2” Unn´umeroesparsiysolosiesdivisiblepor2.

Ejemplo4

P :“Anaest´aencasa”

Q :“Ananoest´aenlaescuela” Anaest´aencasasiysolosinoest´aenlaescuela.

1.10.12.LeydelaAbsorci´on

Laleydelaabsorci´onestablecequeunaproposici´oncompuesta puedesersimplificadaaleliminarunadesuscomponentessiestase encuentraimplicadaporlaotra.Formalmente,seexpresacomo:

∨ (P ∧ Q) ≡ P

Ejemplo1

P :“Hacesol”

Q :“Estoyenlaplaya”

Sihacesol,entoncesestoyenlaplaya;siyasabemosquehacesol, nonecesitamosverificarsiestoyenlaplaya.

Ejemplo2

P :“Juanestudia”

Q :“Juanapruebaelexamen”

SiJuanestudia,entoncesapruebaelexamen;siyasabemosqueJuan estudia,nonecesitamosverificarsiapruebaelexamen.

Ejemplo3

P :“Eln´umeroespar”

Q :“Eln´umeroesdivisiblepor2”

Siunn´umeroespar,entoncesesdivisiblepor2;siyasabemosque eln´umeroespar,nonecesitamosverificarsiesdivisiblepor2.

Ejemplo4

P :“Anaest´aencasa”

Q :“Ananoest´aenlaescuela“

SiAnaest´aencasa,entoncesnoest´aenlaescuela;siyasabemosque Anaest´aencasa,nonecesitamosverificarsinoest´aenlaescuela.

1.10.13.LeydeTransportaci´on

LaleydeTransportaci´onenl´ogicamatem´aticaestablecequepara cualquierproposici´on P , Q y R,si P implica Q y Q implica R, entonces P implica R.Formalmente,estosepuedeexpresarcomo:

Ejemplo1

Si x =3implicaque x2 =9,y x2 =9implicaque x = ±3,entonces x =3implicaque x = ±3.

Ejemplo2

Sitodoslosmam´ıferostienenpeloytodoslosperrossonmam´ıferos, entoncestodoslosperrostienenpelo.

Ejemplo3

Siunn´umeroesdivisiblepor6,entoncesesdivisiblepor2ypor3. Siunn´umeroesdivisiblepor2ypor3,entoncesesdivisiblepor6.

Ejemplo4

Siuntri´angulotienetresladosiguales,entoncesesequil´atero.Siun tri´anguloesequil´atero,entoncestienetresladosiguales.

1.10.14.LeydeExportaci´on

LaleydeExportaci´onestablecequeparacualquierproposici´on P , Q y R,si P implicaque Q implica R,entonces P y Q implican R. Formalmente:

Ejemplo1

Si x> 5implicaquesi x> 3entonces x> 2,entoncessi x> 5y x> 3,entonces x> 2.

Ejemplo2

Sitodoslosp´ajarospuedenvolarsitienenalas,ytodoslosping¨uinos sonp´ajarosytienenalas,entoncestodoslosping¨uinospuedenvolar.

Ejemplo3

Siunn´umeroesparsiysolosiesdivisiblepor2,y12esdivisible por2yesdivisiblepor3,entonces12espar.

Ejemplo4

Siunanimalesunmam´ıferosiysolosiesvertebrado,ysiunperro esmam´ıferoyunpezesvertebrado,entoncesunperroesvertebrado.

1.10.15. ElementosNeutros:Conjunci´onyDisyunci´on

Enl´ogicamatem´atica,loselementosneutrossonaquellosqueno alteranelresultadodeunaoperaci´onalsercombinadosconotros elementos.Paralaconjunci´on(yl´ogico),elelementoneutroesla proposici´onverdadera,yaquecualquierproposici´on P juntocon laverdadresultaen P .Demanerasimilar,paraladisyunci´on(o l´ogico),elelementoneutroeslaproposici´onfalsa,yaquecualquier proposici´on P juntoconlafalsedadresultaen P

Ejemplo1

Paralaconjunci´on, P ∧ verdadero= P .

Ejemplo2

Paralaconjunci´on, Q ∧ verdadero= Q.

Ejemplo3

Paraladisyunci´on, P ∨ falso= P .

Ejemplo4

Paraladisyunci´on, Q ∨ falso= Q

Ejemplo1

Dadalaproposici´oncompuesta p → (q ∧¬r ),simplificarlautilizando lasleyesl´ogicas.

Soluci´on

Laimplicaci´on p → (q ∧¬r )

sepuedereescribirusandolaequivalenciadelaimplicaci´on:

¬p ∨ (q ∧¬r )

AplicamoslaleydeDeMorganparasimplificarlaexpresi´on:

p ∨ (q ∧¬r )= ¬p ∨ q ∧¬p ∨¬r

Laexpresi´onresultanteeslaversi´onsimplificadadelaproposici´on original. ¬p ∨ q ∧¬p ∨¬r

Ejemplo2

Considerelaproposici´on(p ∨ q ) →¬p.Simplificarutilizandolasleyes l´ogicas.

Soluci´on

Primero,convertimoslaimplicaci´onenunadisyunci´onutilizandola equivalenciadeimplicaci´on:

¬(p ∨ q ) ∨¬p

AplicandolaleydeDeMorganalanegaci´ondeladisyunci´on, obtenemos: ¬p ∧¬q ∨¬p

Finalmente,aplicamoslaleydeabsorci´on:

p

Laexpresi´onsimplificadadelaproposici´onoriginales

p

Ejemplo3

Dadalaproposici´on ¬(p → q ) ∧ (q → r ),simplificarusandolasleyes l´ogicas.

Soluci´on

Primero,aplicamoslaequivalenciadelaimplicaci´onaambasimplicaciones:

Luego,aplicamoslaleydeDeMorganalanegaci´ondelaprimera implicaci´on:

p ∧¬q ) ∧ (¬q ∨ r )

Usandoladistributividadparasimplificarlaexpresi´on:

Simplificamosusandolaidempotenciade ¬q : p ∧ (¬q ∨ (¬q ∧ r ))

Finalmente,aplicamoslaleydeabsorci´on: p ∧¬q

Laproposici´onoriginalsimplificadaes p ∧¬q

Ejemplo4

Sealaproposici´on(¬p ∨ q ) ∧ (¬q ∨ r ).Simplificarempleandolasleyes l´ogicas.

Soluci´on

Primero,observamoslaestructuradelaproposici´on,queesuna conjunci´ondedosdisyunciones.

Comencemosdistribuyendoelprimert´erminosobreelsegundot´ermino aplicandolaleydistributiva:

Aplicamosladistribuci´on:

Laexpresi´on

sepuedesimplificaraFalsoyaqueunenunciadoysunegaci´onno puedenserverdaderossimult´aneamente.As´ıqueseelimina:

¬p ∧¬q )

Laexpresi´on(¬p ∧¬q )sepuedesimplificarutilizandolaleyde absorci´on,queestableceque p ∧ (p ∨ q )= p.Entonces,(¬p ∧¬q )se simplificaa ¬p: ¬p ∨ (¬p ∧ r ) ∨ (q ∧ r )

Ahora,observamosque ¬p ∨ (¬p ∧ r )esequivalentea ¬p.Estosedebe aquesi ¬p esverdadero,entoncesnoimportasi r esverdaderoofalso, laexpresi´oncompletasiguesiendoverdadera.Entonces,eliminamos ¬p ∧ r : ¬p ∨ (q ∧ r )

Finalmente,nopodemossimplificarm´asestaexpresi´on,porloque laproposici´onsimplificadaes: ¬p ∨ (q ∧ r )

Ejemplo1

Consideremoslaproposici´oncompuesta(p ∧ q ) → (p ∨ r ).

Soluci´on:

Parasimplificarestaproposici´on,aplicamoslaleydeimplicaci´on material,quediceque a → b esequivalentea ¬a ∨ b.As´ı,nuestra expresi´oninicialseconvierteen: ¬(p ∧ q ) ∨ (p ∨ r )

AplicandolaleydeDeMorganen ¬(p ∧ q ),obtenemos: (¬p ∨¬q ) ∨ (p ∨ r )

Aplicandolaleydeasociaci´on,quenospermitecambiarlaagrupaci´on delasoperacionessincambiarelresultado,combinamoslost´erminos: ¬p ∨¬q ∨ p ∨ r

Seg´unlasleyesdelal´ogica, p ∨¬p essiempreverdadero(leydel terceroexcluido),ycualquiercosaoverdaderoesverdadero,entonces simplificamoslaexpresi´ona:

Verdadero ∨¬q ∨ r

Dadoquecualquiercosaoverdaderoesverdadero,laexpresi´onfinal sesimplificaa:

Verdadero

Porlotanto,laproposici´oncompuesta(p ∧ q ) → (p ∨ r )sesimplifica a Verdadero

Ejemplo2

Consideremoslaproposici´oncompuesta ¬(p → q ) ∧ (p → r ).

Soluci´on:

Primero,aplicamoslaleydeimplicaci´onmaterialaambasimplicaciones.Laleyestableceque a → b esequivalentea ¬a ∨ b.As´ı,

transformamoslaproposici´oninicial: ¬(¬p ∨ q ) ∧ (¬p ∨ r )

AplicandolaleydeDeMorgana ¬(¬p ∨ q ),convertimoslanegaci´on deunadisyunci´onenunaconjunci´ondenegaciones:

(p ∧¬q ) ∧ (¬p ∨ r )

Distribuimos(p ∧¬q )sobre(¬p ∨ r )usandolaleydistributiva,que nospermiteexpandirlaexpresi´on:

(p ∧¬q ∧¬p) ∨ (p ∧¬q ∧ r )

Observamosque p ∧¬p esunacontradicci´on,locualsiempreesfalso. Porlotanto,cualquiercosayfalsoesfalso,simplificandolaprimera partedeladisyunci´onafalso:

Falso ∨ (p ∧¬q ∧ r )

Finalmente,dadoquecualquiercosaofalsoesigualaesacosa,la expresi´onsesimplificaa:

p ∧¬q ∧ r

Porlotanto,laproposici´oncompuesta

¬(p → q ) ∧ (p → r ) sesimplificaa

p ∧¬q ∧ r

Ejemplo3

Consideremoslaproposici´oncompuesta(¬p ∨ q ) → (¬q → p).

Soluci´on:

Primero,aplicamoslaleydeimplicaci´onmaterialaambasimplicaciones,queestableceque a → b esequivalentea ¬a ∨ b.Transformamos laproposici´oninicial:

(¬p ∨ q ) ∨ (¬¬q ∨ p)

Simplificamosladoblenegaci´onen ¬¬q asimplemente q ,resultando en:

(¬p ∨ q ) ∨ (q ∨ p)

AplicamoslaleydeDeMorganen ¬(¬p ∨ q ),queconviertelanegaci´on deunadisyunci´onenunaconjunci´ondenegaciones:

(p ∧¬q ) ∨ (q ∨ p)

Utilizandolaleydeasociaci´on,reorganizamoslost´erminospara agruparlosdemaneradiferentesincambiarelresultado:

p ∨ (p ∧¬q ) ∨ q

Dadoque p ∨ (p ∧¬q )esequivalentea p (leydeabsorci´on),ycualquier cosao p siguesiendo p,simplificamoslaexpresi´ona:

p ∨ q

Porlotanto,laproposici´oncompuesta (¬p ∨ q ) → (¬q → p)

sesimplificaa p ∨ q

Ejemplo4

Consideremoslaproposici´oncompuesta p ∧ (¬p ∨ q ).

Soluci´on:

Parasimplificarestaproposici´on,aplicaremoslaleydistributiva, queenestecasoparticularnospermitesimplificarlaexpresi´on directamente,yaquelaleydistributivanosdiceque a ∧ (b ∨ c)= (a ∧ b) ∨ (a ∧ c),peroaqu´ılousaremosparaobservarlarelaci´onentre p y ¬p:

∧ (¬p ∨ q )

Aplicandolaleydeabsorci´on,donde p ∧ (p ∨ q )= p,yconsiderando que ¬p ∨ q noalteralavalidezde p cuando p esverdadero:

As´ı,laexpresi´onsesimplificadirectamentea p,yaque p∧cualquiercosa essimplemente p si p esverdadero,yenelcontextodeestal´ogica, q o ¬p noafectalapresenciade p enlaconjunci´on.

Porlotanto,laproposici´oncompuesta p ∧ (¬p ∨ q )sesimplificaa p.

1.11.ProblemasdeEjercitaci´on

1.11.1. L´ogicaylosElementosdelaL´ogicaProposicional

1.Expresalassiguientesproposicionesenl´ogicaproposicional:

a )Sihacesol,entoncesvoyalaplaya.

b )Todoslosmam´ıferossonvertebrados.

c )Siestudiomucho,aprobar´eelexamen.

2. DemuestralavalidezdelaleydeDeMorgan: ¬(p ∧ q ) ≡¬p ∨¬q .

3. Enunciayjustificalaleydelanegaci´ondobleenl´ogicaproposicional.

4. ¿Cu´aleslacontrapositivadelasiguienteproposici´on?Siun n´umeroesdivisiblepor4,entoncesesdivisiblepor2.

5.Escribelatabladeverdadparalaproposici´on:(p ∧ q ) ∨¬p.

6. Demuestraquelasiguienteproposici´onesunatautolog´ıa:(p → q ) ∨ (¬p ∨ q ).

7. Consideralasproposiciones: p:”Hacecalor2 q :”Voyalapiscina”.Expresaenl´ogicaproposicionallaproposici´on:”Sino hacecalor,entoncesnovoyalapiscina”.

8. Si p esverdadero, q esfalsoy r esverdadero,¿cu´aleselvalor deverdaddelaproposici´on:(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ r )?

9.Demuestraquelassiguientesproposicionessonequivalentes:

a ) p → q

b ) ¬q →¬p

10.Definelaimplicaci´onmaterialyproporcionaunejemplo.

Respuestas

1. a ) p:Hacesol, q :Voyalaplaya.Expresi´on: p → q

b ) p:Esmam´ıfero, q :Esvertebrado.Expresi´on: p → q .

c ) p:Estudiomucho, q :Aprueboelexamen.Expresi´on: p → q

2. Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdadoleyesl´ogicas. Unaformadehacerloesutilizandotablasdeverdadyverificar queambasexpresionesseanequivalentesparatodaslasposibles combinacionesdevaloresdeverdadde p y q

3. Laleydelanegaci´ondobleestableceque ¬(¬p) ≡ p.Estaley sejustificamediantetablasdeverdadousandoelprincipiode bivalenciadelal´ogicacl´asica.

4. Lacontrapositivadelaproposici´ondadaes:Siunn´umerono esdivisiblepor2,entoncesnoesdivisiblepor4.

5. p q (p ∧ q ) ∨¬p V V V V F V F V V F F V

6. Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdadyverificando quelaexpresi´onseaverdaderaparatodaslasposiblescombinacionesdevaloresdeverdadde p y q

7.Expresi´on: ¬p →¬q .

8.Elvalordeverdaddelaproposici´onesverdadero.

9. Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdadorazonamiento l´ogico.

10. Laimplicaci´onmaterial p → q esverdaderacuando p esfalso ocuando q esverdadero.

ConectivosL´ogicosyTablasdeVerdad

1. Demuestralaequivalencial´ogicadelassiguientesexpresiones: a ) p ∧ (q ∨ r )y(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r )

b ) ¬(p ∧ q )y ¬p ∨¬q

2. Escribelatabladeverdadparalaproposici´on:(p ∨ q ) → (¬p ∧ q ).

3. ¿Cu´aleslaimplicaci´onl´ogicadelaproposici´on:“Siestudias mucho,entoncesapruebaselexame”?Creasutabladeverdad.

4. Defineyexplicaelusodelosconectivosl´ogicos:conjunci´on, disyunci´on,negaci´on,implicaci´onybi-implicaci´on.

5.Demuestraque(p → q ) ∧ (q → p)esequivalentea p ↔ q .

6. Escribelatabladeverdadparalaproposici´on:(p ∨ q ) ∧ (¬p ∨¬q ).

7. Consideralasproposiciones: p:“Eslunes”y q :“Tengoquetrabajar”.Expresaenl´ogicaproposicionallaproposici´on:“Noes lunesotengoquetrabajar”.

8.Demuestraque ¬(p ∧ q )y ¬p ∨¬q sonequivalentes.

9. Escribelatabladeverdadparalaproposici´on: ¬(p ∧¬q ) ∧ (p ∨ q ).

10. ¿Cu´aleslaimplicaci´onl´ogicadelaproposici´on:“Sillueve, entoncesllevoparaguas”?Creasutabladeverdad.

Respuestas

1. a )Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdad.

b ) Sepuededemostrarutilizandoleyesl´ogicasotablasde verdad.

2. p q (p ∨ q ) → (¬p ∧ q )

V F V F F

V V

F V

3. Laimplicaci´onl´ogicaes: p → q .Tabladeverdad: p q p → q

V V V F F

F V

4.Losconectivosl´ogicosson:

Conjunci´on(∧):Representalaoperaci´onl´ogica“y”.

Disyunci´on(∨):Representalaoperaci´onl´ogica“o”.

Negaci´on(¬):Representalaoperaci´onl´ogica“no”.

Implicaci´on(→):Representalarelaci´onl´ogica“si...entonces”.

Bi-implicaci´on(↔):Representalarelaci´onl´ogica“siy solosi”.

5. Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdadorazonamiento l´ogico.

6. p q (p ∨ q ) ∧ (¬p ∨¬q )

V F

F V

V V

F V

7.Expresi´on: ¬p ∨ q .

8. Sepuededemostrarutilizandotablasdeverdadoleyesl´ogicas.

9. p q ¬(p ∧¬q ) ∧ (p ∨ q )

10. Laimplicaci´onl´ogicaes: p → q .Tabladeverdad: p q p → q

1.11.2.ProposicionesCompuestas

1.Demuestraque(p ∧ q ) → p esunatautolog´ıa.

2.Simplificalaexpresi´on(p ∨ q ) ∧ (p ∧¬q ).

3. Dadalaproposici´on(p ∨ q ) ∧ (p → r ) ∧ (q → r ),¿qu´esepuede decirsobre r ?

4. Si(p ∧ q ) → r esverdaderoy p esverdadero,¿qu´esepuede decirsobre r si q esverdadero?

5.Demuestraque(p → q ) ∨ (q → p)esunatautolog´ıa.

6. Escribelanegaci´ondelaproposici´on:“Si p espar,entonces p2 espar”.

7.Simplificalaexpresi´on: ¬(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ q ).

8.Demuestraque ¬(p ∧ q ) ≡¬p ∨¬q

9. ¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on ¬(p ∧ q ) ∧¬(¬p ∧ q ) si p esverdaderoy q esfalso?

10.Demuestraque(p ∧ q ) ∧ (¬p ∧¬q )esunacontradicci´on.

Respuestas

1. Laexpresi´on(p ∧ q ) → p esunatautolog´ıadebidoalaleyde laimplicaci´on: p essiempreverdaderosi p ∧ q esverdadero.

2.Laexpresi´on(p ∨ q ) ∧ (p ∧¬q )sepuedesimplificarcomo p.

3. Si(p ∨ q ) ∧ (p → r ) ∧ (q → r )esverdadero,entonces r tambi´en esverdadero.

4. Si(p ∧ q ) → r esverdaderoy p esverdadero,entonces r puede serverdaderoofalso,independientementedelvalorde q .

5. Laproposici´on(p → q ) ∨ (q → p)esunatautolog´ıaconocida comolaleydeltercioexcluido.

6.Lanegaci´ondelaproposici´ones:“p espary p2 esimpar”.

7.Laexpresi´onsesimplificacomo p ∨¬q .

8. Lademostraci´onserealizautilizandolasleyesdeDeMorgany ladoblenegaci´on.

9. Con p verdaderoy q falso,laexpresi´ontieneunvalordeverdad verdadero.

10. Laexpresi´on(p ∧ q ) ∧ (¬p ∧¬q )esunacontradicci´onporque p y ¬p nopuedenserverdaderosalmismotiempo,aligualque q y ¬q .

1.11.3.LeyesdelaL´ogica

1.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (p ∧¬q ).

2.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q ).

3.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ q ).

4.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (¬p ∨ q ).

5.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (p ∧¬q ) ∨ (¬p ∧ q ).

6.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q ) ∧ (¬p ∨ q ).

7.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬p ∧ q ∧ r ).

8.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ∨ r ) ∧ (¬p ∨ q ∨ r ).

9.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ∧ r ) ∨ (¬p ∧¬q ∧ r ).

10.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ∨ r ) ∧ (¬p ∨¬q ∨ r ).

11.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (p ∧¬q ) ∨ (q ∧ r ).

12.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q ) ∧ (q ∨ r ).

13.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (p ∧¬q ) ∨ (q ∧¬r ).

14.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q ) ∧ (q ∨¬r ).

15.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q ) ∨ (q ∧ r ).

16.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (¬p ∨¬q ) ∧ (q ∨ r ).

17.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧ q ) ∨ (q ∧¬r ).

18.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (¬p ∨ q ) ∧ (q ∨¬r ).

19.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∧ q ) ∨ (p ∧¬q ) ∨ (¬p ∧¬q ).

20.Simplificalaexpresi´onl´ogica(p ∨ q ) ∧ (p ∨¬q ) ∧ (¬p ∨¬q ).

Respuestas

1.(p ∧ q )

2. p

3. p ∨ q

4. q

5. p ∧ q

6. p ∨ q

7. q ∧ r

8. q ∨ r

9. q ∧ r

10. q ∨ r

11.(p ∧ q ) ∨ (q ∧ r )

12. p ∨ q ∨ r

13.(p ∧ q ) ∨ (q ∧¬r )

14. p ∨ q ∨¬r

15.(p ∧ q ) ∨ (q ∧ r )

16. p ∨ q ∨ r

17.(p ∧ q ) ∨ (q ∧¬r )

18. p ∨ q ∨¬r

19.(p ∧ q ) ∨¬q

20. p ∨¬q

1.11.4.Preguntas

Preguntasconceptuales

1.¿Cu´aleselconectivol´ogicoquerepresentalanegaci´on?

(a) ∧ (b) ∨ (c) ¬ (d) →

Respuestacorrecta: (c) ¬.

Justificaci´on: Lanegaci´onserepresentamedianteels´ımbolo ¬,queindicalainversi´ondelaverdaddeunaproposici´on.

2.¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesunatautolog´ıa?

(a) p ∨¬p

(b) p ∧¬p

(c) p →¬p

(d) p ↔¬p

Respuestacorrecta: (a) p ∨¬p.

Justificaci´on: Laproposici´on p ∨¬p esunatautolog´ıayaque siempreesverdadera,independientementedelvalordeverdad de p.

3. ¿Qu´eleyl´ogicaestablecequeunaproposici´onimplicaasu contraria?

(a)Leydelaidentidad

(b)Leydelacontradicci´on

(c)Leydelterceroexcluido

(d)Leydelsilogismohipot´etico

Respuestacorrecta: (b)Leydelacontradicci´on.

Justificaci´on: LaLeydelacontradicci´onestablecequeuna proposici´onimplicaasucontraria,esdecir,siunaproposici´on esfalsa,sunegaci´onesverdadera.

4.¿Cu´aldelossiguientesconectivosl´ogicosesasociativo?

(a)Negaci´on(¬)

(b)Conjunci´on(∧)

(c)Disyunci´on(∨)

(d)Implicaci´on(→)

1.11.PROBLEMASDEEJERCITACI

Respuestacorrecta: (b)Conjunci´on(∧).

Justificaci´on: Laconjunci´onesunconectivol´ogicoasociativo, loquesignificaqueelordenenqueseagrupanlasproposiciones noafectaelresultadodelaoperaci´on.

5. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesverdaderarespectoala implicaci´onl´ogica?

(a)Esconmutativa.

(b)Estransitiva.

(c)Esdistributivarespectoalaconjunci´on.

(d)Esequivalentealanegaci´on.

Respuestacorrecta: (b)Estransitiva.

Justificaci´on: Laimplicaci´onl´ogicaestransitiva,loquesignificaquesi p implica q y q implica r ,entonces p implica r .

Preguntasdeaplicaci´on

1. Supongamosque p representalaproposici´on“Juanestudia matem´aticas”y q representalaproposici´on“Juanaprueba elexamen”.Silaproposici´on“SiJuanestudiamatem´aticas, entoncesapruebaelexamen”esverdadera,¿qu´esepuede concluirsiJuannoestudiamatem´aticas?

(a)Juanapruebaelexamen.

(b)Juannoapruebaelexamen.

(c)Nosepuedeconcluirnada.

(d)Juanestudiamatem´aticas.

Respuestacorrecta: (b)Juannoapruebaelexamen.

Justificaci´on: Silaproposici´on“SiJuanestudiamatem´aticas,

entoncesapruebaelexamen”esverdaderayJuannoestudia matem´aticas,entoncesnosepuedeconcluirqueapruebael examen,locualimplicaqueJuannoapruebaelexamen.

2. Supongamosque p representalaproposici´on“Hacesol”y q representalaproposici´on“Voyalaplaya”.Silaproposici´on “Sihacesol,entoncesvoyalaplaya”esfalsa,¿qu´econclusi´on podemossacarsinovoyalaplaya?

(a)Nohacesol.

(b)Hacesol.

(c)Nosepuedeconcluirnada.

(d)Est´anublado.

Respuestacorrecta: (c)Nosepuedeconcluirnada. Justificaci´on: Silaproposici´on“Sihacesol,entoncesvoyala playa”esfalsaynovoyalaplaya,nopodemosconcluirnada sobresihacesolono,yaqueotrascondicionespodr´ıaninfluir enmidecisi´ondeiralaplaya.

3. Supongamosque p representalaproposici´on“Eslunes”y q representalaproposici´on“Tengoclasedematem´aticas”.Sila proposici´on“Sieslunes,entoncestengoclasedematem´aticas” esverdadera,¿qu´econclusi´onpodemossacarsinotengoclase dematem´aticas?

(a)Eslunes.

(b)Noeslunes.

(c)Nosepuedeconcluirnada.

(d)Tengoclasedematem´aticas.

Respuestacorrecta: (b)Noeslunes.

Justificaci´on: Silaproposici´on“Sieslunes,entoncestengo clasedematem´aticas”esverdaderaynotengoclasedematem´aticas,entoncesnopuedeserlunes,yaquelacondici´onno secumple.

4. Supongamosque p representalaproposici´on“Elequipogan´oel partido”y q representalaproposici´on“Losfan´aticoscelebran”. Silaproposici´on“Sielequipogan´oelpartido,entonceslos fan´aticoscelebran”esverdadera,¿qu´econclusi´onpodemos sacarsilosfan´aticosnocelebran?

(a)Elequipogan´oelpartido.

(b)Elequipoperdi´oelpartido.

(c)Nosepuedeconcluirnada.

(d)Losfan´aticosest´antristes.

Respuestacorrecta: (b)Elequipoperdi´oelpartido. Justificaci´on: Silaproposici´on“Sielequipogan´oelpartido, entonceslosfan´aticoscelebran”esverdaderaylosfan´aticosno celebran,entoncespodemosconcluirqueelequiponogan´oel partido.

5. Supongamosque p representalaproposici´on“Llueve”y q representalaproposici´on“Salgoconparaguas”.Silaproposici´on “Sillueve,entoncessalgoconparaguas”esfalsa,¿qu´epodemos concluirsisalgoconparaguas?

(a)Nollueve.

(b)Llueve.

(c)Nosepuedeconcluirnada.

(d)Est´anublado.

Respuestacorrecta: (a)Nollueve.

Justificaci´on: Silaproposici´on“Sillueve,entoncessalgocon paraguas”esfalsaysalgoconparaguas,entoncespodemos concluirquenonecesariamentellueve,yaquepodr´ıahaber otrasrazonesparallevarunparaguas.

Preguntasdeinterpretaci´ondedatos

1.Consideralasiguientetabladeverdad:

q p → q

¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p → q cuando p esverdaderoy q esfalso?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ambiguo

Respuestacorrecta: (b)Falso.

Justificaci´on: Deacuerdoconlatabladeverdad,cuando p es verdaderoy q esfalso,laimplicaci´on p → q esfalsa.

2.Consideralasiguientetabladeverdad:

q p ∧ q

1.11.PROBLEMASDEEJERCITACI

¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p ∧ q cuando p es verdaderoy q esverdadero?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ambiguo

Respuestacorrecta: (a)Verdadero.

Justificaci´on: Deacuerdoconlatabladeverdad,cuando p es verdaderoy q esverdadero,laconjunci´on p ∧ q esverdadera.

3.Consideralasiguientetabladeverdad: p q p ∨ q

¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p ∨ q cuando p es falsoy q esfalso?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ambiguo

Respuestacorrecta: (d)Ambiguo.

Justificaci´on: Deacuerdoconlatabladeverdad,cuando p es falsoy q esfalso,ladisyunci´on p ∨ q esambigua,yaquetanto p como q sonfalsos.

4.Consideralasiguientetabladeverdad:

q p → q

V V

V V

¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p → q cuando p esverdaderoy q esverdadero?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ambiguo

Respuestacorrecta: (a)Verdadero. Justificaci´on: Deacuerdoconlatabladeverdad,cuando p es verdaderoy q esverdadero,laimplicaci´on p → q esverdadera.

5.Consideralasiguientetabladeverdad:

q p ↔ q

¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p ↔ q cuando p esverdaderoy q esfalso?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ambiguo

Respuestacorrecta: (b)Falso.

Justificaci´on: Deacuerdoconlatabladeverdad,cuando p es verdaderoy q esfalso,ladobleimplicaci´on p ↔ q esfalsa.

Preguntasderesoluci´ondeproblemas

1. ¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´oncompuesta(p ∧ q ) ∨¬p?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ningunadelasanteriores

Respuestacorrecta: (a)Verdadero.

Justificaci´on: Laproposici´oncompuestaser´averdaderasiemprequealmenosunadesuscomponentesseaverdadera.En estecaso, p esverdaderay ¬p esfalsa,porlotanto,(p ∧ q ) ∨¬p esverdadera.

2.¿Cu´aleslanegaci´ondelaproposici´on p → q ?

(a) ¬p → q

(b) p →¬q

(c) ¬p →¬q

(d) p ∧ q

Respuestacorrecta: (c) ¬p →¬q .

Justificaci´on: Lanegaci´ondeunaimplicaci´onl´ogicaseobtiene cambiandoelantecedenteporsunegaci´onyelconsecuentepor sunegaci´on,as´ıquelanegaci´onde p → q es ¬p →¬q .

3. ¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on(p ∨ q ) ∧ (¬p ∨ q )?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ningunadelasanteriores

Respuestacorrecta: (a)Verdadero.

Justificaci´on: Laproposici´oncompuestaser´averdaderasi ambosconjuntosdedisyuncionessonverdaderos.Enestecaso, tanto(p ∨ q )como(¬p ∨ q )sonverdaderos,porlotanto,la proposici´oncompuestaesverdadera.

4.¿Cu´aleslaequivalencial´ogicade p ∧ (q ∨ r )?

(a)(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r )

(b)(p ∨ q ) ∧ (p ∨ r )

(c)(p ∧ q ) ∧ (p ∧ r )

(d)(p ∨ q ) ∨ (p ∨ r )

Respuestacorrecta: (a)(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ).

Justificaci´on: Distribuyendoeloperador ∧ sobre q ∨ r obtenemos(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ),queeslaequivalencial´ogicade p ∧ (q ∨ r ).

5.¿Cu´aleselvalordeverdaddelaproposici´on p → (q ∧¬q )?

(a)Verdadero

(b)Falso

(c)Nosepuededeterminar

(d)Ningunadelasanteriores

Respuestacorrecta: (b)Falso.

Justificaci´on: Laproposici´on q ∧¬q essiemprefalsa(contradicci´on).Porlotanto,independientementedelvalordeverdad de p,laproposici´on p → (q ∧¬q )essiemprefalsa.

Preguntasdecomparaci´on

1.¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesequivalentea p → q ?

(a) ¬q →¬p

(b) ¬p →¬q

(c) p →¬q

(d) q → p

Respuestacorrecta: (b) ¬p →¬q

Justificaci´on: p → q esequivalentea ¬p ∨ q ,aplicandolaley delanegaci´onobtenemos ¬p →¬q .

2.¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesm´asd´ebilque p ∧ q ?

(a) p ∨ q

(b) ¬p

(c) p → q

(d) ¬q

Respuestacorrecta: (a) p ∨ q .

Justificaci´on: p ∨ q esm´asd´ebilque p ∧ q porquenorequiereque ambas p y q seanverdaderasparaqueseaverdadera,mientras que p ∧ q s´ı.

3. ¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesequivalentea ¬(p ∧ q )?

(a) ¬p ∧¬q

(b) ¬p ∨¬q

(c) p ∧¬q

(d) p ∨ q

Respuestacorrecta: (b) ¬p ∨¬q .

Justificaci´on: PorlaleydeDeMorgan, ¬(p ∧ q )esequivalente a ¬p ∨¬q .

4. ¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesm´asfuerteque p ∨¬q ?

(a) p ∨ q

(b) ¬p ∧ q

(c) ¬p ∨¬q

(d) p ∧ q

Respuestacorrecta: (c) ¬p ∨¬q .

Justificaci´on: ¬p ∨¬q esm´asfuerteque p ∨¬q porquese mantieneverdaderaenm´assituaciones(inclusocuando p es falsoo q esfalso).

5.¿Cu´aldelassiguientesproposicionesesm´asd´ebilque p ∨ q ?

(a) ¬p ∧¬q

(b) p ∧ q

(c) ¬p ∨¬q

(d) p → q

Respuestacorrecta: (d) p → q .

Justificaci´on: p → q esm´asd´ebilque p ∨ q porquesolorequiere que p seaverdaderoparaserverdadero,mientrasque p ∨ q puedeserverdaderosicualquierade p o q esverdadero.

Preguntasderazonamientocr´ıtico

1.¿Porqu´elaimplicaci´on p → q esfalsasolocuando p esverdaderoy q esfalso?

(a)Porqueentodoslosdem´ascasosesverdadera.

(b) Porqueesla´unicacombinaci´onquehacequelaproposici´on seafalsa.

(c)Porquelaimplicaci´onsolosecumpleenestasituaci´on.

(d)Porqueesunaconvenci´onenlal´ogicaproposicional.

Respuestacorrecta: (b)Porqueesla´unicacombinaci´onque hacequelaproposici´onseafalsa.

Justificaci´on: Enunaimplicaci´on,sielantecedenteesverdaderoyelconsecuenteesfalso,laproposici´onesfalsa.Estaes la´unicacombinaci´onquehacequeunaimplicaci´onseafalsa.

2. ¿Cu´alesladiferenciaentreunaimplicaci´onyunaequivalencia l´ogica?

(a) Unaimplicaci´onesunarelaci´onunidireccional,mientras queunaequivalenciaesunarelaci´onbidireccional.

(b) Unaimplicaci´onsolosecumpleenalgunoscasos,mientras queunaequivalenciasecumpleentodosloscasos.

(c) Unaimplicaci´onsiempreinvolucradosproposiciones,mientrasqueunaequivalenciapuedeinvolucrarm´asdedos proposiciones.

(d) Nohaydiferencia,ambost´erminossepuedenusarindistintamente.

Respuestacorrecta: (a)Unaimplicaci´onesunarelaci´on unidireccional,mientrasqueunaequivalenciaesunarelaci´on bidireccional.

Justificaci´on: Enunaimplicaci´on,solosegarantizalaverdad deunaproposici´onsisecumplelacondici´on.Enunaequivalencia,ambasproposicionestienenelmismovalordeverdad entodaslassituacionesposibles.

3.¿Porqu´elaproposici´on p ∨¬p essiempreverdadera?

(a) Porquesiempresecumplealmenosunadelasdisyunciones.

(b)Porqueesunaregladelal´ogicaproposicional.

(c)Porqueesunatautolog´ıa.

(d)Porqueesunacontradicci´on.

Respuestacorrecta: (c)Porqueesunatautolog´ıa.

Justificaci´on: Laproposici´on p ∨¬p esunatautolog´ıaporque siempreesverdadera,independientementedelvalordeverdad de p.

4. ¿Qu´esignificaquedosproposicionesseanequivalentesl´ogicamente?

(a) Quetienenelmismovalordeverdadentodaslassituacionesposibles.

(b)Queunaimplicaalaotra.

(c)Quesonsimilaresensuestructural´ogica.

(d)Quesonopuestasl´ogicamente.

Respuestacorrecta: (a)Quetienenelmismovalordeverdad entodaslassituacionesposibles.

Justificaci´on: Dosproposicionessonequivalentesl´ogicamente sitienenelmismovalordeverdadentodaslassituaciones posibles.

5. ¿Cu´alesladiferenciaentreunacontradicci´onyunacontingencia?

(a) Unacontradicci´onsiempreesfalsa,mientrasqueuna contingenciapuedeserverdaderaofalsadependiendodel contexto.

(b) Unacontradicci´onsiempreesverdadera,mientrasqueuna contingenciapuedeserfalsaoverdaderadependiendodel

contexto.

(c) Unacontradicci´onsiempreesverdadera,mientrasqueuna contingenciasiempreesfalsa.

(d) Nohaydiferencia,ambost´erminossepuedenusarindistintamente.

Respuestacorrecta: (a)Unacontradicci´onsiempreesfalsa, mientrasqueunacontingenciapuedeserverdaderaofalsadependiendodelcontexto.

Justificaci´on: Unacontradicci´onesunaproposici´onquesiempreesfalsa,mientrasqueunacontingenciaesunaproposici´on quepuedeserverdaderaofalsadependiendodelcontexto.

Preguntasdepredicciones

1. ¿Cu´aleselresultadodelasiguienteoperaci´onl´ogica: ¬(p ∧ q )?

(a) ¬p ∧ q

(b) ¬p ∨¬q

(c) p ∧¬q

(d) ¬p ∧¬q (Correcta)

Respuestacorrecta: (d) ¬p ∧¬q .

Justificaci´on: Lanegaci´ondelaconjunci´onde p y q esequivalentealanegaci´onde p olanegaci´onde q (DeMorgan).

2. ¿Cu´aleslatabladeverdadcorrespondientealaimplicaci´on l´ogica p → q ?

(a) p q p → q V V V V F V

(b)

p q p → q

V V V V F F

F V V

F F F

p q p → q

(c)

(d)

V V F V F V

F V F

F F F

p q p → q

V V V V F F

F V V

F F V

Respuestacorrecta: (d)

Justificaci´on: Laimplicaci´onl´ogicaesfalsasolocuandola premisaesverdaderaylaconclusi´onesfalsa.Enlasfilasdonde p esverdaderoy q esfalso,laimplicaci´onesfalsa.

3. ¿Cu´aleselresultadodelasiguienteoperaci´onl´ogica:(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q )?

(a) p ∧ q

(b) p ∨ q

(c) p ∧¬q

(d) p (Correcta)

Respuestacorrecta: (d) p.

Justificaci´on: Aplicandolaleydistributiva,(p ∧ q ) ∨ (¬p ∧¬q ) sereducea p ∨¬p,locualesunatautolog´ıa.

4. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalanegaci´ondela proposici´on p ∨ q ?

(a) ¬p ∧ q

(b) ¬p ∨¬q

(c) p ∧¬q (Correcta)

(d) p ∨¬q

Respuestacorrecta: (c) p ∧¬q .

Justificaci´on: Lanegaci´onde p ∨ q esequivalentealaconjunci´ondelanegaci´onde p y q .

5. ¿Cu´aleslatabladeverdadcorrespondientealaproposici´on compuesta ¬(p ∧¬q )?

p q ¬(p ∧¬q )

V V V(Correcta)

(a)

V F V

F V F

F F F

p q ¬(p ∧¬q )

V V F

(b)

V F F

F V V

F F V

p q ¬(p ∧¬q )

V V F

(c)

V F V

F V F

F F V

p q ¬(p ∧¬q )

V V F V F F F V F F F F

Respuestacorrecta: (a)

p q ¬(p ∧¬q ) V V V V F V F V F F F F

Justificaci´on: Lanegaci´onde(p ∧¬q )esverdaderacuando laproposici´onoriginalesfalsa,yfalsacuandolaproposici´on originalesverdadera.

Preguntasdeabstracci´on

1. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribecorrectamentela equivalencial´ogicaentrelasproposiciones p ∨ q y ¬(¬p ∧¬q )?

(a)Sonsiempreequivalentes.

(b)Sonequivalentessolosi p y q sonverdaderos.

(c)Sonequivalentessolosi p y q sonfalsos.

(d)Sonsiempreequivalentes(Correcta).

Respuestacorrecta: (d)SiaplicamoslaleydeDeMorgan dosveces,obtenemos ¬(¬p ∧¬q ) ≡¬¬p ∨¬¬q ≡ p ∨ q .

2. ¿Qu´eleyl´ogicaseaplicaparalaproposici´on p ∧ (q ∨ r ) ≡ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r )?

(a)LeydeDeMorgan.

(b)Leydedistribuci´on(Correcta).

(c)Leydeidentidad.

(d)Leydenegaci´ondoble.

Respuestacorrecta: (b)Estaproposici´onsesimplificaaplicandolaleydedistribuci´on.

3.¿Cu´aleslanegaci´ondelaproposici´on ¬(p → q )?

(a) p → q

(b) ¬p →¬q

(c) p →¬q

(d) ¬p ∨ q (Correcta)

Respuestacorrecta: (d)Lanegaci´ondeunaimplicaci´on sepuedeexpresarcomounadisyunci´onentrelapremisayla negaci´ondelaconclusi´on.

4. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribecorrectamentela leydeabsorci´on?

(a)(p ∧ q ) ∨ p ≡ p

(b)(p ∨ q ) ∧ p ≡ p (Correcta)

(c)(p ∧ q ) ∨ p ≡ q

(d)(p ∨ q ) ∧ p ≡ q

Respuestacorrecta: (b)Laleydeabsorci´onestableceque unaproposici´onunidaporunaconjunci´onounadisyunci´on conotraproposici´onyconsumismavariableesequivalentea esavariable.

5.¿Cu´aleslaformanegadadelaproposici´on p ∨ (q ∧¬r )?

(a) ¬p ∧ (q ∧ r )

(b) ¬p ∨ (¬q ∨ r )

(c) ¬p ∧ (¬q ∧ r )(Correcta)

(d) ¬p ∨ (q ∧¬r )

Respuestacorrecta: (c)Lanegaci´ondeunadisyunci´onesla conjunci´ondelasnegacionesdelasproposiciones,ylanegaci´on deunaconjunci´onesladisyunci´ondelasnegacionesdelas proposiciones.

Preguntassobreprocedimientosexperimentales

1. Imaginaquetienesdosinterruptores, A y B ,conectadosauna bombilla.Labombillaseenciendesiysolosiambosinterruptoresest´anenlaposici´on“encendido”.Sielinterruptor A est´a enlaposici´on“encendido”peroelinterruptor B est´aenla posici´on“apagado”,¿cu´aleselestadodelabombilla?

(a)Encendida.

(b)Apagada.

(c)Nosepuededeterminar.

(d)Apagada(Correcta).

Respuestacorrecta: (d)Labombillasoloseenciendesi ambosinterruptoresest´anenlaposici´on“encendido”.

2. Supongamosque p representalaproposici´on“elestudiante obtieneunacalificaci´onsobresaliente”y q representalaproposici´on“elestudianteestudiaregularmente”.¿Cu´alser´ıala conclusi´onl´ogicasisabemosque“sielestudianteestudiaregularmente,entoncesobtieneunacalificaci´onsobresaliente”?

(a) Sielestudiantenoestudiaregularmente,entoncesno obtieneunacalificaci´onsobresaliente.

(b) Sielestudianteobtieneunacalificaci´onsobresaliente,entoncesestudiaregularmente(Correcta).

(c) Sielestudiantenoobtieneunacalificaci´onsobresaliente, entoncesnoestudiaregularmente.

(d)Nosepuededeterminar.

Respuestacorrecta: (b)Estosededucedirectamentedela definici´ondeimplicaci´onl´ogica.

3. Enunexperimento,severificaquelaproposici´on p ∨ q esfalsa. Sisabemosque p esfalsa,¿cu´aldelassiguientesopcioneses verdadera?

(a) q esfalsa.

(b) q esverdadera(Correcta).

(c) q esdesconocida.

(d)Nosepuededeterminar.

Respuestacorrecta: (b)Si p esfalsayladisyunci´on p ∨ q es falsa,entonces q debeserverdadera.

4. Enunatiendadelibros,seanunciaquetodosloslibrosde cienciaficci´on(p)otodosloslibrosdefantas´ıa(q )est´anen oferta.Siunlibroenparticularesdecienciaficci´onyfantas´ıa almismotiempo,¿qu´epodemosconcluir?

(a)Ellibroest´aenoferta.

(b)Ellibronoest´aenoferta.

(c)Nosepuededeterminar.

(d)Ellibroest´aenoferta(Correcta).

Respuestacorrecta: (d)Siunlibroesdecienciaficci´ony fantas´ıaalmismotiempo,entoncesest´aenunadelascategor´ıas mencionadasenlaoferta.

5. Uninvestigadordeseaverificarsilatemperaturadelagua(p)y lapresenciadealgas(q )afectanlacantidaddeox´ıgenodisuelto enunestanque.Paraello,llevaacabodiferentesexperimentos enloscualescontrolalatemperaturadelaguayobservalapresenciaoausenciadealgas.¿Qu´etipodeproposici´onrepresenta

laafirmaci´on“silatemperaturadelaguaaumenta,lacantidad deox´ıgenodisueltodisminuye”?

(a)Unaimplicaci´onl´ogica.

(b)Unaproposici´oncompuesta(Correcta).

(c)Unadisyunci´onl´ogica.

(d)Unaconjunci´onl´ogica.

Respuestacorrecta: (b)Estaafirmaci´oncombinalatemperaturadelaguaylacantidaddeox´ıgenodisueltoenuna´unica proposici´oncompuesta.

Cap´ıtulo2

L´ogicadeArgumentos

2.1. Lainferencial´ogicaoargumentol´ogico

Lainferencial´ogica,tambi´enconocidacomoargumentol´ogico,es unprocesomedianteelcualseobtieneunaconclusi´onapartirde premisasdadas.Enelcontextodelal´ogicamatem´atica,lainferencia l´ogicasiguereglasprecisasparagarantizarlavalidezdelaconclusi´on. Esteprocesoesfundamentalenlademostraci´ondeteoremasyenel razonamientodeductivoengeneral.

2.1.1.TiposdeInferencias

Lostiposdeinferenciasm´ascomunesson:argumentov´alidoyfalacia.

2.1.2.ArgumentoV´alidooInferenciaV´alida

Unargumentoesv´alidocuandolaverdaddelaspremisasgarantizala verdaddelaconclusi´on.Enotraspalabras,sitodaslaspremisasson

verdaderas,entonceslaconclusi´ontambi´endebeserverdadera.Esto sebasaenlaestructural´ogicadelargumento,independientemente delcontenidoespec´ıficodelaspremisasylaconclusi´on.

Ejemplos:

1. SitodosloshumanossonmortalesyS´ocrateseshumano,entoncesS´ocratesesmortal.

2. Todoslos´angulosinternosdeuntri´angulosuman180◦ .Siun tri´anguloesequil´atero,entoncestodossusladossoniguales ytodossus´angulosinternossoniguales.Porlotanto,siun tri´anguloesequil´atero,entonceslasumadesus´angulosinternos es180◦ .

3. Siunn´umeroespar,entoncesesdivisiblepor2.Eln´umero10 espar,porlotanto,esdivisiblepor2.

4. Siunanimalesungato,entoncestienecuatropatas.Mimascota tienecuatropatas,porlotanto,esungato.

2.1.3.Falacia

Unafalaciaesunrazonamientodefectuosoqueconduceaunaconclusi´onincorrecta.Aunquepuedeparecerconvincente,unafalacia nosiguelasreglasdelal´ogicay,porlotanto,noproporcionaun argumentov´alido.Lasfalaciassoncomunesendebatesydiscusiones, yesimportantereconocerlasparaevitarelrazonamientoerr´oneo.

Ejemplos:

1. Todoslosgatostienencuatropatas.Miperrotienecuatro patas,porlotanto,esungato.

2. Siestudiomucho,sacar´eunabuenanotaenelexamen.Sacar´e unabuenanotaenelexamen,porlotanto,heestudiadomucho.

3. Muchaspersonashanganadolaloter´ıausandoestosn´umeros. Siusoestosn´umeros,ganar´elaloter´ıa.

4. Siemprequellevomiparaguas,nollueve.Hoynollevomi paraguas,porlotanto,llover´a.

2.2.Inferenciasnotables

Lasinferenciasnotablessonprincipiosfundamentalesenlal´ogica queseutilizanparainferirconclusionesv´alidasapartirdepremisas dadas.Dosdelasinferenciasnotablesm´asimportantesson:

2.2.1.LeydeM´odusPonens

LaLeydeM´odusPonens,tambi´enconocidacomo“elmodoque afirma”,establecequesiseconocendosproposiciones,unacondicional ylaotrasuantecedente,entoncespodemosafirmarlaconsecuencia. Formalmente,si p → q esverdaderoy p esverdadero,entonces podemosinferirque q esverdadero.

Ejemplos:

1. Si x> 3,entonces x2 > 9.Dadoque x =4,entonces x2 =16, locualescierto.

2. Si a + b =10,entonces a =10 b.Si b =3,entonces a = 10 3=7.

3. Siunn´umeroesdivisiblepor3,entoncessucuadradotambi´en loes.9esdivisiblepor3,entonces81esdivisiblepor3.

4. Siuntri´anguloesequil´atero,entoncestodossusladossoniguales.Siuntri´angulotieneladosiguales,entoncesesequil´atero.

2.2.2.LeydeM´odusTollens

LaLeydeM´odusTollens,tambi´enconocidacomo“elmodoque niega”,establecequesiseconoceunaimplicaci´oncondicionaly suconsecuenciaesfalsa,entoncespodemosnegarelantecedente.

Formalmente,si p → q esverdaderoy q esfalso,entoncespodemos inferirque p esfalso.

Ejemplos:

1. Sillueve,entonceslascallesestar´anmojadas.Lascallesno est´anmojadas,porlotanto,noest´alloviendo.

2. Siunn´umeroespar,entoncesesdivisiblepor2.Eln´umero9 noesdivisiblepor2,porlotanto,noespar.

3. Siestudias,entoncesapruebaselexamen.Noaprobasteel examen,entoncesnoestudiaste.

4. SiJuanest´aencasa,entoncessuautoest´aestacionadoenel garaje.Elautonoest´aestacionadoenelgaraje,entoncesJuan noest´aencasa.

2.2.3.LeydelSilogismoHipot´etico

LaLeydelSilogismoHipot´eticoestablecequesidosproposiciones condicionalessonverdaderasylaconclusi´ondelaprimeraesel antecedentedelasegunda,entonceslaconclusi´ondelaprimera implicalaconclusi´ondelasegunda.Enotraspalabras,si p → q y q → r sonverdaderas,entonces p → r tambi´enloes.

Ejemplos:

1. Siestudiasmucho,entoncesaprobar´aselexamen.Siapruebas elexamen,entoncesobtendr´asunabuenanota.Porlotanto,si estudiasmucho,entoncesobtendr´asunabuenanota.

2. Sillueve,entonceslascallesestar´anmojadas.Silascalles est´anmojadas,entonceshabr´acharcos.Porlotanto,sillueve, entonceshabr´acharcos.

3. Sicomessano,entoncesestar´assaludable.Siest´assaludable, entoncestendr´asenerg´ıa.Porlotanto,sicomessano,entonces tendr´asenerg´ıa.

4. Siahorrasdinero,entoncespodr´ascomprarloquedeseas.Si puedescomprarloquedeseas,entoncesser´asfeliz.Porlotanto, siahorrasdinero,entoncesser´asfeliz.

2.2.4.LeydelSilogismoDisyuntivo

LaLeydelSilogismoDisyuntivoestablecequesiunadisyunci´on esverdaderayunadelasdisyuncionesesfalsa,entonceslaotra disyunci´onesverdadera.Formalmente,si p ∨ q esverdadero,y ¬p es verdadero,entonces q esverdadero.

Ejemplos:

1. Siestudias,aprobar´aselexamenotendr´asquerepetirelcurso. Sinoapruebaselexamen,entoncestendr´asquerepetirelcurso. Porlotanto,siestudias,entoncesaprobar´aselexamen.

2. Sicompraselbilletedeloter´ıa,ganar´asunpremiooperder´as dinero.Sinoganasunpremio,entoncesperder´asdinero.Por lotanto,sicompraselbilletedeloter´ıa,entoncesganar´asun premio.

3. Sivasalgimnasio,mejorar´astucondici´onf´ısicaoganar´as masamuscular.Sinomejorastucondici´onf´ısica,entoncesganar´asmasamuscular.Porlotanto,sivasalgimnasio,entonces mejorar´astucondici´onf´ısica.

4. Siteesfuerzas,alcanzar´astusmetasoaprender´asdetuserrores. Sinoalcanzastusmetas,entoncesaprender´asdetuserrores. Porlotanto,siteesfuerzas,entoncesalcanzar´astusmetas.

2.2.5.LeydelDilemaConstructivo

LaLeydelDilemaConstructivoestablecequesitenemosunadisyunci´oncondicionalysuconsecuencia,yadem´astenemoslanegaci´onde laconsecuencia,entoncespodemosinferirlanegaci´ondelantecedente

deladisyunci´oncondicional.Formalmente,si(p → q ) ∧ (r → s)es verdadero,y ¬q esverdadero,entonces ¬p esverdadero.

Ejemplos:

1. Siestudias,entoncesaprobar´aselexamen.Sinoestudias,entoncesreprobar´aselexamen.Sinoapruebaselexamen,entonces nohasestudiado.

2. Siess´abado,entoncessaldr´edepaseo.Siesdomingo,entonces ir´ealcine.Sinovoyalcine,entoncesnoesdomingo.

3. Sillueve,entoncesllevar´emiparaguas.Sinollueve,entoncesno lollevar´e.Sinollevomiparaguas,entoncesnoest´alloviendo.

4. Siahorrasdinero,entoncespodr´ascomprareseregalo.Sino compraseseregalo,entoncesnohasahorradodinero.Sinohas ahorradodinero,entoncesnopodr´ascomprareseregalo.

2.2.6.LeydeSimplificaci´on

LaLeydeSimplificaci´onestablecequesiunaconjunci´onesverdadera, entoncescadaunadelasproposicionesquelacomponenesverdadera. Formalmente,si p ∧ q esverdadero,entoncestanto p como q son verdaderos.

Ejemplos:

1. Sielpastelesdechocolateyest´acaliente,entoncesser´adelicioso. Sielpastelesdechocolateyest´acaliente,entoncesser´ade chocolate.

2. Siess´abadoynotengoclases,entoncessaldr´econmisamigos. Siess´abadoynotengoclases,entoncesnotengoclases.

3. Siestudiomatem´aticasyf´ısica,entoncesaprobar´elosex´amenes. Siestudiomatem´aticasyf´ısica,entoncesestudiomatem´aticas.

4. Simihermanavaalcineyalteatro,entoncestendr´aund´ıa ocupado.Simihermanavaalcineyalteatro,entoncesir´aal

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL ´

cine.

2.3. M´etodoabreviadoparaanalizarinferenciasl´ogicas

Elm´etodoabreviadoparaelan´alisisdeinferenciasl´ogicasimplica unaseriedepasossimplificadosparadeterminarlavalidezdeun argumentol´ogico.Esteenfoquesecentraenlaidentificaci´ondelas formasl´ogicasdelaspremisasylaconclusi´on,utilizandopropiedades delal´ogicaproposicionalcomolatransitividad,lacontraposici´ony lasleyesdeDeMorgan.Elobjetivoessimplificarelargumentoauna formaenlaquelaverdaddelaspremisasgarantizalaverdaddela conclusi´onsinnecesidaddeconstruirunatabladeverdadcompleta.

2.3.1.LeydeSimplificaci´on

Laleydesimplificaci´onpermiteque,dadaunaconjunci´on p ∧ q , podamosdeducir p y q individualmente.Esunaherramienta´util paradescomponerafirmacionescomplejasyanalizarsuscomponentes porseparado.

Ejemplo1: Considerelaproposici´oncompuesta(p ∧ q ) ∧ (r ∧ s). Queremosdemostrarque p, q , r ,y s sonverdaderasindividualmente silaproposici´oncompuestaesverdadera.

pqrs (p ∧ q ) ∧ (r ∧ s)

Donde V representaverdaderoy F falso.Podemosobservarque laproposici´oncompuestasoloesverdaderasitodaslasvariables proposicionalessonverdaderas.

Ejemplo2: Sitenemoslaproposici´on(p → q ) ∧ p,queremos demostrarque q tambi´enesverdadera.Aplicamosprimerolaleyde simplificaci´onparasepararlasdosproposiciones:

1. (p → q ) ∧ p (Proposici´oninicial)

2.p (Porleydesimplificaci´on)

3.p → q (Porleydesimplificaci´on)

4.q (Pormodusponensaplicadoa2y3)

Esteprocedimientodemuestraque,si p esverdaderoy p implica q , entonces q tambi´endebeserverdadero.

Ejemplo3: Consideremoslaproposici´on(p ∧ q ) → r .Queremos examinarlasconsecuenciasdeque r seafalsoparalasproposiciones p y q .Aplicamoslaleydelacontraposici´onparareformularla proposici´onyluegousamoslaleydesimplificaci´on:

1. (p ∧ q ) → r (Proposici´oninicial)

2. ¬r →¬(p ∧ q ) (Contraposici´onde1)

3. ¬r (Suposici´ondequeresfalso)

4. ¬(p ∧ q )(Pormodusponensaplicadoa2y3)

5 ¬p ∨¬q (LeyesdeDeMorganaplicadasa4)

Si r esfalso,entoncesalmenosunaentre p y q debeserfalsa.Esto sesiguedelacontraposici´onylasleyesdeDeMorgan.

Ejemplo4: Frentealaproposici´on(p ∧ (q ∧ r )) → s,podemos desglosarlasrelacionesl´ogicasentrelasvariablesproposicionalesy deducirlavalidezdelaimplicaci´on:

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL

1. (p ∧ (q ∧ r )) → s (Proposici´oninicial)

2.p ∧ (q ∧ r )(Suposici´ondequelapremisaesverdadera)

3.p (Porleydesimplificaci´onde2)

4.q ∧ r (Porleydesimplificaci´onde2)

5.q (Porleydesimplificaci´onde4)

6.r (Porleydesimplificaci´onde4)

7.s (Pormodusponensaplicadoa1y2)

Laconclusi´on s sesiguenecesariamentesilapremisacompuesta p ∧ (q ∧ r )esverdadera.

2.3.2.M´etodosdeDemostraci´on

Enmatem´aticas,validarproposicionesyteoremasesesencialpara construireledificiodelateor´ıamatem´atica.Losm´etodosdedemostraci´onsonlasherramientasquenospermitenverificarlaveracidad detalesafirmacionesl´ogicas.Entrelosm´etodosm´asdestacadosseencuentranlademostraci´ondirecta,lademostraci´onporcontraposici´on, lademostraci´onporcontradicci´onyelusodecontraejemplos.

M´etodoDirecto

Elm´etododirectodedemostraci´onimplicapartirdelaspremisas conocidasy,medianteunasecuenciadededuccionesl´ogicasv´alidas, concluirenlaafirmaci´onquesebuscademostrar.Eselm´etodom´as naturalydirectodeprueba,quesigueunal´ıneaderazonamiento l´ogicodesdehip´otesishastalaconclusi´on.

Ejemplo:1

Demostrarquelaproposici´oncompuesta(¬p ∧ (p ∨ q )) → q esuna tautolog´ıa.

Soluci´on

Recordemosqueunaimplicaci´on A → B esequivalentea ¬A ∨ B . Aplicamosestareglaanuestraproposici´on:

(¬p ∧ (p ∨ q )) → q ≡¬(¬p ∧ (p ∨ q )) ∨ q.

AplicamoslasleyesdeDeMorganparanegarlaconjunci´ondentro delanegaci´on:

¬(¬p ∧ (p ∨ q )) ≡ p ∨¬(p ∨ q ).

Ahora,aplicamosdenuevolasleyesdeDeMorganparanegarla disyunci´on p ∨ q : ¬(p ∨ q ) ≡¬p ∧¬q.

Reemplazamoslanegaci´onobtenidaenelpasoanteriorennuestra proposici´on:

p ∨ (¬p ∧¬q ) ∨ q.

Distribuimos p sobrelaconjunci´onutilizandolasleyesdistributivas delal´ogica:

(p ∨¬p) ∧ (p ∨¬q ) ∨ q.

Sabemosque p ∨¬p esunatautolog´ıa,yaqueunodeellosdebe serverdadero.Porlotanto,cualquiercosaqueseconjunteconuna tautolog´ıaesequivalenteaesacosamisma.Enestecaso,(p ∨¬p) ∧ (p ∨¬q )esequivalentea p ∨¬q : p ∨¬q ∨ q.

Nuevamente, ¬q ∨ q esunatautolog´ıa,porloqueladisyunci´on completasereduceaunatautolog´ıa:

tautolog´ıa.

Hemosdemostradoque(¬p ∧ (p ∨ q )) → q esunatautolog´ıayaque esverdaderaindependientementedelosvaloresdeverdadde p y q .

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL

Ejemplo:2

Demostrarquesiunn´umero x espar,entonces x2 tambi´enespar.

Soluci´on

Comenzamosconladefinici´ondeunn´umeropar:unn´umeroespar siexistealg´unentero k talque x =2k .

Asumimosque x espar,esdecir, x =2k paraalg´unentero k .

Calculamos x2 como x2 =(2k )2

Expandimos(2k )2 paraobtener4k 2 .

Factorizamos4k 2 como2(2k 2 ),mostrandoque x2 esdosvecesalg´un entero,locualpordefinici´on,significaque x2 espar.

Ejemplo:3

Demostrardirectamentelaafirmaci´on:“Si a y b sonn´umerosreales positivos,entonces a + b>a”.

Soluci´on

Tomamos a> 0y b> 0porsern´umerosrealespositivos.

A˜nadimos a aambosladosdeladesigualdad b> 0obteniendo a + b>a +0.

Simplificamosladesigualdada a + b>a,locualpruebalaafirmaci´on directamente.

Ejemplo:4

Demostrarquelasumadedosn´umerosracionalesesracional.

Soluci´on

Tomamosdosn´umerosracionalescualesquiera:

p q y r s

donde p,q,r,s sonenterosy q,s =0.

Sumamosambosn´umerosracionales:

p q + r s

Encontramosuncom´undenominadorysumamoslosnumeradores:

ps + rq qs

Observamosque ps + rq y qs sonenterosy qs =0,loquesignifica quelasumaesunn´umeroracional.

Ejemplo:5

Demostrarquelafunci´on f (x)=2x +3escrecienteparatodoslos valoresrealesde x.

Soluci´on

Escogemosdosn´umerosreales x1 y x2 talesque x1 <x2 .

Evaluamoslafunci´onen x1 y x2 ,esdecir,calculamos f (x1 )y f (x2 ).

Restamos f (x1 )de f (x2 ): f (x2 ) f (x1 )=(2x2 +3) (2x1 +3)

Simplificamosparaobtener2(x2 x1 ).

Dadoque x2 >x1 ,entonces x2 x1 > 0yportanto2(x2 x1 ) > 0, loquedemuestraque f (x)escreciente.

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL

Ejemplo:6

Demostremosqueelproductodedosn´umerosimparesesimpar.

Soluci´on

Tomamosdosn´umerosimpares:

2m +1y2n +1 donde m y n sonenteros.

Multiplicamosambosn´umeros:

(2m +1)(2n +1)

Expresamoselproductocomo:

4mn +2m +2n +1

Reagrupamoslost´erminoscomo

2(2mn + m + n)+1 queesdelaforma2k +1,donde k esunentero.

Concluimosque2k +1esimpar,porlotanto,elproductodedos n´umerosimparesesimpar.

M´etodoIndirectodeDemostraci´on:Reducci´onalabsurdo Lademostraci´onporreducci´onalabsurdo,tambi´enconocidacomodemostraci´onindirectaoporcontradicci´on,esunat´ecnicamatem´atica quepruebalaveracidaddeunaproposici´onmedianteelestablecimientodeunacontradicci´onl´ogica.Separtedelasuposici´onde quelaproposici´onquequeremosdemostraresfalsay,medianteuna seriedededuccionesl´ogicas,sellegaaunabsurdo,esdecir,auna contradicci´onconalgunadelaspremisasoconunhechoyaconocido comoverdadero.

Estat´ecnicasebasaenlaleydelterceroexcluido,quesostiene queunaproposici´onoesverdaderaoesfalsa,nohayunatercera opci´onposible.Portanto,silasuposici´ondefalsedadnosllevaauna contradicci´on,seconcluyequelaproposici´ondebeserverdadera.

Ejemplo1

Supongamosquequeremosdemostrarlaproposici´on q bas´andonos enlaspremisas P1 ,P2 ,...,Pn .Enelm´etododereducci´onalabsurdo, comenzamosasumiendoque q esfalsa,esdecir,asumimos ¬q ,y mostramosqueestollevaaunacontradicci´on.

Soluci´on

Elargumentol´ogicoiniciales:

Afirmamosquesi ¬q ytodaslasotraspremisas P2 ∧ ... ∧ Pn son verdaderas,entonces P1 debeserfalsa,esdecir, ¬P1 debeserverdadera.

Ahoravamosademostrarqueelargumentol´ogico(2)esequivalente alargumentol´ogicooriginal(1).Parahaceresto,aplicamosleyes l´ogicasparatransformarlaexpresi´on:

Utilizamoslaleydeimplicaci´onl´ogicaqueestableceque p → q es equivalentea ¬p ∨ q .Entoncestenemos:

AplicamoslaleydeDeMorganparatransformarlanegaci´ondeuna conjunci´onenunadisyunci´on:

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL ´ OGICAS85 (¬(¬q ) ∨¬P2 ∨ ... ∨¬Pn ) ∨¬P1

Sabemosquelanegaci´ondeunanegaci´oneslaafirmaci´onoriginal, porloque ¬(¬q )seconvierteen q :

Porlaasociatividaddeladisyunci´on,podemosreescribirlaexpresi´on sincambiarsuvalor:

Estaexpresi´onsignificaquesialmenosunadelas Pi esfalsa,o q esverdadera,entonceslaexpresi´oncompletaesverdadera.Pero recordemosqueasumimos ¬q comopremisa.Porlotanto,paraque laexpresi´onseaverdaderabajonuestrasuposici´on,almenosunade las Pi debeserfalsa.

Sipodemosdemostrarqueningunadelas Pi puedeserfalsasin entrarencontradicci´on,entoncesnuestrasuposici´oninicialdeque q esfalsadebeserincorrecta.Estoimplicaque q esverdadera.

Ejemplo2

Demostrarquenoexistenn´umerosenteros a y b talesque a2 =4b +2.

Soluci´on

Supongamosporelcontrarioques´ıexistentalesenteros a y b.

Si a2 espar,entonces a debeserpar,yaqueelcuadradodeun n´umeroimparesimpar.

Sea a =2k paraalg´unentero k .

Entonces(2k )2 =4k 2 esdivisiblepor4.

Estosignificaque4b +2debeserdivisiblepor4,locualesimposible porquealdividir4b +2entre4,elresiduoes2,no0.

Hemosllegadoaunacontradicci´on,porloquenuestrasuposici´on inicialesfalsaynoexistentalesenteros a y b.

Ejemplo3

Probarquelara´ızcuadradade3esirracional.

Soluci´on

Suponemos,paraobtenerunacontradicci´on,que √3 esunn´umero racional.

Estosignificaqueexistenenteroscoprimos p y q talque √3= p q .

Elevandoambosladosalcuadradoobtenemos3q 2 = p2 .

Estoimplicaque p2 esdivisiblepor3,yporlotanto p tambi´endebe serdivisiblepor3.

Sea p =3r paraalg´unentero r ,entonces9r 2 =3q 2 ,loqueimplica 3r 2 = q 2 .

Estonosdiceque q 2 yporende q sondivisiblespor3,locualesuna contradicci´onyaque p y q soncoprimos.

Porlotanto, √3nopuedeserracional.

Ejemplo4

Demostrarquesi n esunenterotalque n2 esimpar,entonces n es impar.

Soluci´on

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL ´

Supongamosque n espar,entoncesexisteunentero k talque n =2k .

Calculamos n2 =(2k )2 =4k 2 ,queesclaramenteparyaquees divisiblepor4.

Estoesunacontradicci´onconnuestraafirmaci´onoriginaldeque n2 esimpar.

Porlotanto,si n2 esimpar, n nopuedeserpar,yenconsecuencia, n debeserimpar.

Ejemplo5

Probarquelasumadeunn´umeroracionalyunn´umeroirracional esirracional.

Soluci´on

Sea r unn´umeroracionale i unn´umeroirracional.

Supongamosquesusuma r + i esunn´umeroracional s.

Entonces i = s r ser´ıaladiferenciadedosn´umerosracionales,lo queimplicaque i esracional.

Estoesunacontradicci´onyaquehemosdefinido i comoirracional.

Porlotanto,lasumadeunn´umeroracionalyunn´umeroirracional nopuedeserracional,esdecir,esirracional.

Ejemplo6

Demostrarquenohayn´umerosenteros x e y talesque x2 y 2 =1.

Soluci´on

Supongamosqueexistentalesn´umeros x e y .Podemosreescribirla ecuaci´oncomo(x y )(x + y )=1.

Paraqueelproductodedosenterossea1,ambosdebenser1o ambos-1.

Estonosdadoscasos: x y =1y x + y =1,o x y = 1y x + y = 1.

Resolviendoestossistemasdeecuaciones,obtenemos x =1y y =0 paraelprimercaso,y x = 1y y =0paraelsegundocaso.En amboscasos, y 2 es0,no1.

Porlotanto,nuestrasuposici´onesfalsaynoexistentalesn´umeros enteros x e y .

Ejemplo7

Demostrarquenohaysolucionesenterasparalaecuaci´on x4 y 4 =2.

Soluci´on

Supongamosqueexistenenteros x e y talesque x4 y 4 =2.

Podemosfactorizarlaizquierdacomounadiferenciadecuadrados: (x2 )2 (y 2 )2 =(x2 + y 2 )(x2 y 2 ).

Dadoque x2 y 2 esunfactorde2,debeser1o2(osusnegativos).

Sifuera1,entonces x2 + y 2 tambi´endebeser2,loquenoesposible paraenteros x e y yaque x2 y y 2 debenseralmenos1.

Porlotanto,nuestrasuposici´ondequehaysolucionesenterases falsa.

Ejemplo8

Probarquesi n esunenterotalque n y n +2sonambosn´umeros primos,entonces n esimpar.

Soluci´on

Supongamosparaobtenerunacontradicci´onque n espar.

2.3.M ´ ETODOABREVIADOPARAANALIZARINFERENCIASL ´

Entonces n =2k paraalg´unentero k ,y n +2=2k +2estambi´en par.

Peroel´unicon´umeroprimopares2,ysi n =2,entonces n +2=4 noesprimo.Estocontradicelaafirmaci´ondeque n +2esprimo.

Porlotanto, n nopuedeserparydebeserimpar.

Ejemplo9

Demostrarquelafunci´on f (x)=2x +1nuncatomaunvaloriguala unapotenciade2paraning´unentero x

Soluci´on

Supongamoslocontrario,esdecir,queexisteunentero x talque 2x +1=2n paraalg´unenterononegativo n.

Restando1deambosladosobtenemos2x =2n 1.

Elladoderechoesimparmientrasqueelladoizquierdoespar,lo cualesunacontradicci´on,yaqueunn´umeroparnopuedeserigual aunn´umeroimpar.

Porlotanto, f (x)nopuedetomarunvalorqueseaunapotenciade 2.

Ejemplo10

Probarquenohaysolucionesenterasparalaecuaci´on4n +3=2k , donde n y k sonenteros.

Soluci´on

Supongamosquehaysolucionesenteraspara n y k

Estosignificar´ıaque2k 3=4n,loqueimplicaque2k es3m´asque unm´ultiplode4.

Peroestoesimposible,yaquepara k ≥ 2,2k essiempreunm´ultiplo de4.

Ypara k< 2,2k nopuedeser3m´asqueunm´ultiplode4.

Porlotanto,noexistentalesenteros n y k quesatisfaganlaecuaci´on.

2.4.ProblemasdeEjercitaci´on

2.4.1. Inferenciasl´ogicasoargumentosl´ogicos: inferenciav´alida,falacia

1. Determinasielsiguienteargumentoesunainferenciav´alidao unafalacia:”Siesverano,entonceshacecalor.Hacecalor.Por lotanto,esverano.”

2. Eval´ualavalidezdelargumento:”Todoslosestudiantesde matem´aticasamanlosn´umeros.Carlaamalosn´umeros.Por lotanto,Carlaesestudiantedematem´aticas.”

3. Consideraelargumento:”Ning´unfil´osofoesrico.Algunosescritoressonricos.Porlotanto,algunosescritoresnosonfil´osofos.”¿Esv´alidoofalaz?

4. Analizalainferencia:”Sillueve,lacallesemoja.Lacalleest´a mojada.Porlotanto,hallovido.”

5. Determinalavalidezdelsiguienteargumento:”Todoslosp´ajarospuedenvolar.Unping¨uinoesunp´ajaro.Porlotanto,los ping¨uinospuedenvolar.”

6. Eval´uasielsiguienteesunargumentov´alidoounafalacia: Algunosatletassonvegetarianos.Todoslosnadadoresson atletas.Porlotanto,algunosnadadoressonvegetarianos.”

7. Consideralainferencia:”SiPedrotrabaja,entoncesganadinero. Pedronotrabaja.Porlotanto,Pedronoganadinero.”¿Esesta unainferenciav´alidaounafalacia?

8. Analizasielargumentoesv´alido:”Todaslasfloresnecesitan agua.Larosaesunaflor.Porlotanto,larosanecesitaagua.”

9. Eval´ualavalidezdelargumento:”Sielcocheest´aenelgaraje, entonceselgarajeest´aocupado.Elgarajeest´aocupado.Por lotanto,elcocheest´aenelgaraje.”

10. Determinasielargumentoesunainferenciav´alidaounafalacia: ”Ning´unpezvivefueradelagua.Algunostiburonesvivenenel agua.Porlotanto,algunostiburonessonpeces.”

11. Consideraelargumento:”Siestudias,entoncesapruebas.Luis noestudi´o.Porlotanto,Luisnoaprob´o.”¿Esv´alidoofalaz?

12. Analizalainferencia:”Todoslosmam´ıferostienencerebro. Laballenaesunmam´ıfero.Porlotanto,lasballenastienen cerebro.”

13. Eval´ualavalidezdelsiguienteargumento:”Sihacefr´ıo,entonces nieva.Noest´anevando.Porlotanto,nohacefr´ıo.”

14. Determinasielargumentoesv´alido:”Todoslosgatostienen cuatropatas.Mimascotatienecuatropatas.Porlotanto,mi mascotaesungato.”

15. Consideraelargumento:”Ning´unreptilpuedevolar.Elp´ajaro puedevolar.Porlotanto,elp´ajaronoesunreptil.”¿Esuna inferenciav´alidaounafalacia?

16. Eval´ualavalidezdelargumento:”SiJuanesabogado,entonces Juanesargumentativo.Juanesargumentativo.Porlotanto, Juanesabogado.”

17. Analizasielsiguienteargumentoesv´alido:”Todosloslibros tienenp´aginas.Esteobjetotienep´aginas.Porlotanto,este objetoesunlibro.”

18. Determinalavalidezdelargumento:”Sielsolbrilla,entonces esded´ıa.Esdenoche.Porlotanto,elsolnobrilla.”

19. Consideraelargumento:”Todoslossereshumanosnecesitan aguaparavivir.Martanecesitaaguaparavivir.Porlotanto, Martaesunserhumano.”

20. Eval´uasielsiguienteesunargumentov´alidoounafalacia:”Si llueve,entonceslasplantascrecen.Lasplantasest´ancreciendo. Porlotanto,est´alloviendo.”

Respuestas

1.Falacia(Falaciaafirmativadelconsecuente).

2.Falacia(Falaciadeafirmaci´ondelantecedente).

3.V´alido.

4.Falacia(Falaciaafirmativadelconsecuente).

5. Falacia(Notodoslosp´ajarospuedenvolar,ejemplolosping¨uinos).

6.V´alido.

7.Falacia(Negaci´ondelantecedente).

8.V´alido.

9.Falacia(Falaciaafirmativadelconsecuente).

10. Falacia(Lapremisanogarantizaquetodoslostiburonessean peces,aunqueseaunhechoverdadero).

11.Falacia(Negaci´ondelantecedente).

12.V´alido.

13.Falacia(Negaci´ondelconsecuente).

14.Falacia(Falaciadeafirmaci´ondelantecedente).

15.V´alido.

16.Falacia(Falaciaafirmativadelconsecuente).

17.Falacia(Falaciadeafirmaci´ondelantecedente).

18. Falacia(Secometeunafalaciaalinferirdirectamentedela negaci´ondelconsecuentesinconsiderarotrasposiblescondiciones).

19. V´alido(Aunqueelargumentoesl´ogicamentev´alido,seasume conocimientogeneralqueMartaesunserhumano).

20.Falacia(Falaciaafirmativadelconsecuente).

2.4.2.LeyesL´ogicas

Analizacadapregunta,luego,deducelaconclusi´ondelargumento.

LeydeM´odusPonens

1. SienEcuadorsedecretaunferiadonacional,entoncestodaslas institucionesp´ublicascierran.Hoysehadecretadounferiado nacional.

2. SiunestudianteuniversitarioenEcuadorapruebatodassus asignaturas,entoncessegrad´uaalfinaldelsemestre.Mar´ıaha aprobadotodassusasignaturasestesemestre.

3. SiunproductoesconsideradodeprimeranecesidadenEcuador, entoncesnotieneIVA.Elpanesconsideradoproductode primeranecesidad.

4. Siunciudadanoecuatorianovota,entoncesrecibeuncertificado devotaci´on.Carloshavotadoenlas´ultimaselecciones.

5.SiunaleyesaprobadaporlaAsambleaNacionalenEcuador, entoncesespromulgadaporelPresidente.LaleydeDesarrollo SosteniblehasidoaprobadaporlaAsamblea.

LeydeM´odusTollens

1. SiunproyectoenEcuadorrecibefinanciamientodelEstado,entoncesseejecutaenelplazoprevisto.ElproyectoReforestaci´on Andina”nosehaejecutadoenelplazoprevisto.

2. SiunturistaextranjeronecesitavisaparaingresaraEcuador, entoncesdebepresentarlaalllegar.Jorge,unturistaalem´an, nohapresentadovisaalllegar.

3. SiunapersonaesmenordeedadenEcuador,entoncesno puedeobtenerunalicenciadeconducir.Andreahaobtenido recientementesulicenciadeconducir.

4. SiunproductoesfabricadoenEcuador,entoncesllevaelsello “HechoenEcuador”.Elnuevomodelodetel´efonom´ovilnolleva estesello.

5. Siunpartidopol´ıticoobtienem´asdel5%delosvotosenlas eleccionesgeneralesenEcuador,entoncesobtienerepresentaci´onenlaAsambleaNacional.Elpartido”FuturoVerde”no tienerepresentaci´onenlaAsamblea.

LeydelSilogismoHipot´etico

1. SielgobiernodeEcuadorincrementaelpresupuestoeneducaci´on,entoncesmejorar´alacalidadeducativa.Simejorala calidadeducativa,entoncesaumentar´ael´ındicededesarrollo humanoenEcuador.¿Incrementarelpresupuestoeneducaci´on puedeaumentarel´ındicededesarrollohumano?

2. SisefortaleceelturismoenGal´apagos,entoncesaumentanlos ingresosparaEcuador.SiaumentanlosingresosparaEcuador, entoncessepuedenfinanciarm´asproyectossociales.¿Puedeel fortalecimientodelturismoenGal´apagosfinanciarm´asproyectossociales?

3. Siseimplementanmedidasestrictasdetr´aficoenQuito,entoncesdisminuir´alacongesti´onvehicular.Sidisminuyelacongesti´onvehicular,entoncesmejorar´alacalidaddelaireenla ciudad.¿Laimplementaci´ondemedidasestrictasdetr´afico puedemejorarlacalidaddelaireenQuito?

4. SiEcuadorfirmaacuerdoscomercialesconotrospa´ıses,entonces aumentar´anlasexportaciones.Siaumentanlasexportaciones,

entoncescrecer´alaeconom´ıadelpa´ıs.¿Lafirmadeacuerdos comercialesconotrospa´ısespuedehacercrecerlaeconom´ıade Ecuador?

5. Siseinvierteentecnolog´ıaeducativa,entonceslosestudiantes tendr´anmejoresherramientasdeaprendizaje.Silosestudiantes tienenmejoresherramientasdeaprendizaje,entoncesseelevar´anlosnivelesdeeducaci´on.¿Puedelainversi´onentecnolog´ıa educativaelevarlosnivelesdeeducaci´on?

LeydelSilogismoDisyuntivo

1. OelgobiernodeEcuadoraumentaelsalariob´asicooaumenta losimpuestos.Sinoaumentaelsalariob´asico,¿debeaumentar losimpuestos?

2. UnestudiantedebeescogerentreestudiarenlaUniversidad deCuencaoenlaUniversidadSanFranciscodeQuito.Si decidenoestudiarenlaUniversidaddeCuenca,¿escoger´ala UniversidadSanFranciscodeQuito?

3. Paramejorarlaeconom´ıa,Ecuadordebeenfocarseenelturismo oenlaagricultura.Sinoseenfocaenelturismo,¿deber´ıa enfocarseenlaagricultura?

4. Unaleypuedeseraprobadapormayor´ıasimpleopormayor´ıa absolutaenlaAsambleaNacional.Sinoseapruebapormayor´ıa simple,¿seapruebapormayor´ıaabsoluta?

5. Ecuadordebedecidirentreinvertirenenerg´ıarenovableo continuarconloscombustiblesf´osiles.Sinoinvierteenenerg´ıa renovable,¿continuar´aconloscombustiblesf´osiles?

LeydelDilemaConstructivo

1. SiEcuadorinvierteeneducaci´on,entoncessemejorar´alacalidaddevida.SiEcuadorinvierteensalud,entoncestambi´ense mejorar´alacalidaddevida.Ecuadorhadecididoinvertirtanto eneducaci´oncomoensalud.¿Mejorar´alacalidaddevida?

2. SisereduceelIVA,entoncesaumentar´aelconsumointerno. Siseaumentanlossubsidios,entoncestambi´enaumentar´ael consumointerno.ElgobiernodecidereducirelIVAyaumentar lossubsidios.¿Aumentar´aelconsumointerno?

3. Siseprotegenlosparquesnacionales,entoncessepreservar´ala biodiversidad.Siseinvierteenenerg´ıasrenovables,entoncesse reducir´alacontaminaci´on.Ecuadordecideprotegerlosparques nacionaleseinvertirenenerg´ıasrenovables.¿Sepreservar´ala biodiversidadysereducir´alacontaminaci´on?

4. Sisemejoralainfraestructuravial,entoncessereducir´anlos accidentesdetr´ansito.Siseimplementaunaeducaci´onvial efectiva,entoncestambi´ensereducir´anlosaccidentesdetr´ansito.Sedecidemejorarlainfraestructuravialeimplementar educaci´onvial.¿Sereducir´anlosaccidentesdetr´ansito?

5. Siseaumentaelsalariob´asico,entoncesmejorar´aelpoderadquisitivo.Sisecontrolalainflaci´on,entoncestambi´enmejorar´a elpoderadquisitivo.Elgobiernodecideaumentarelsalario b´asicoycontrolarlainflaci´on.¿Mejorar´aelpoderadquisitivo?

LeydeSimplificaci´on

1. Ecuadortieneunplanparamejorarlaeconom´ıayfortalecerla educaci´on.Porlotanto,¿tieneEcuadorunplanparamejorar laeconom´ıa?

2. Seapruebaunaleyquebeneficiaalasaludp´ublicayalmedio ambiente.Porlotanto,¿beneficialaleyalasaludp´ublica?

3. Unproyectobuscaincrementarlaproducci´onagr´ıcolaymejorarlainfraestructurarural.Porlotanto,¿buscaelproyecto incrementarlaproducci´onagr´ıcola?

4. Unapol´ıticagubernamentalpromuevelaigualdaddeg´enero ylainclusi´onsocial.Porlotanto,¿promuevelapol´ıticala igualdaddeg´enero?

5. Unprogramadegobiernoapoyaalosemprendedoresyfomenta lainnovaci´ontecnol´ogica.Porlotanto,¿apoyaelprogramaa losemprendedores?

Respuestas

LeydeM´odusPonens

1. Lasinstitucionesp´ublicasest´ancerradas.Hoysehadecretado unferiadonacional,cumpli´endoselacondici´onparaelcierre delasinstituciones.

2. Mar´ıasegrad´uaalfinaldelsemestre.Mar´ıahaaprobadotodas susasignaturas,cumpliendolacondici´onparasugraduaci´on.

3. ElpannotieneIVA.Elpanesconsideradodeprimeranecesidad, porlotanto,cumplelacondici´onparanotenerIVA.

4. Carlosrecibeuncertificadodevotaci´on.Alhabervotado, cumpleconlacondici´onpararecibirelcertificado.

5. LaleydeDesarrolloSostenibleespromulgadaporelPresidente. AlseraprobadaporlaAsamblea,cumplelacondici´onparasu promulgaci´on.

LeydeM´odusTollens

1. Elproyecto“Reforestaci´onAndina”noharecibidofinanciamientodelEstado.Alnoejecutarseenelplazoprevisto,se infierequenocumpli´olacondici´onderecibirfinanciamiento.

2. JorgenonecesitavisaparaingresaraEcuador.Alnopresentarla,seinfierequenocumplelacondici´ondenecesidadde visaparasuingreso.

3. Andreanoesmenordeedad.Alobtenerunalicenciadeconducir,seinfierequecumpleconlacondici´ondesermayorde edad.

4. Elnuevomodelodetel´efonom´ovilnoesfabricadoenEcuador. Alnollevarelsello“HechoenEcuador”,seinfierequeno cumpleconlacondici´ondeserfabricadoenelpa´ıs.

5. Elpartido“FuturoVerde”noobtuvom´asdel5%delosvotos enlaseleccionesgenerales.Alnotenerrepresentaci´onenla Asamblea,seinfierequenocumpli´olacondici´onparaobtenerla.

LeydelSilogismoHipot´etico

1. S´ı,incrementarelpresupuestoeneducaci´onpuedeaumentarel ´ındicededesarrollohumano.Lamejoraenlacalidadeducativa esunpasointermedionecesarioparaalcanzarunmayor´ındice dedesarrollohumano.

2. S´ı,elfortalecimientodelturismoenGal´apagospuedefinanciar m´asproyectossociales.ElaumentodeingresosparaEcuador esunpasointermedionecesarioparapoderfinanciarestos proyectos.

3. S´ı,laimplementaci´ondemedidasestrictasdetr´aficopuede mejorarlacalidaddelaireenQuito.Ladisminuci´ondelacongesti´onvehicularesunpasointermedionecesarioparamejorar lacalidaddelaire.

4. S´ı,lafirmadeacuerdoscomercialesconotrospa´ısespuedehacer crecerlaeconom´ıadeEcuador.Elaumentodelasexportaciones esunpasointermedionecesarioparaelcrecimientoecon´omico.

5. S´ı,lainversi´onentecnolog´ıaeducativapuedeelevarlosniveles deeducaci´on.Tenermejoresherramientasdeaprendizajeesun pasointermedionecesarioparaelevarlosniveleseducativos.

LeydelSilogismoDisyuntivo

1. S´ı,debeaumentarlosimpuestos.Dadoquela´unicaotraopci´on eraaumentarelsalariob´asicoyestonoocurri´o,sesigueque laalternativarestantesedebeimplementar.

2. S´ı,escoger´alaUniversidadSanFranciscodeQuito.Aldescartarunaopci´on,seasumelaotrapordefectoenunsilogismo disyuntivo.

3. S´ı,deber´ıaenfocarseenlaagricultura.Alexcluirelenfoque enelturismo,laalternativarestanteseconvierteenlaopci´on viable.

4. S´ı,seapruebapormayor´ıaabsoluta.Aldescartarlaaprobaci´on pormayor´ıasimple,quedalaaprobaci´onpormayor´ıaabsoluta comola´unicaopci´onrestante.

5. S´ı,continuar´aconloscombustiblesf´osiles.Aldescartarla inversi´onenenerg´ıarenovable,sesiguequelaopci´onrestante sedebeadoptar.

LeydelDilemaConstructivo

1. S´ı,mejorar´alacalidaddevida.Aldecidirinvertirenambos, educaci´onysalud,sesiguequelacalidaddevidamejorar´a comoconsecuenciadeambasacciones.

2. S´ı,aumentar´aelconsumointerno.Lareducci´ondelIVAyel aumentodelossubsidiossonaccionesque,alimplementarse juntas,resultar´anenunaumentodelconsumointerno.

3. S´ı,sepreservar´alabiodiversidadysereducir´alacontaminaci´on.Laprotecci´ondelosparquesnacionalesylainversi´on enenerg´ıasrenovablessonaccionesqueconjuntamentebeneficiar´anelmedioambienteendosfrentesimportantes.

4. S´ı,sereducir´anlosaccidentesdetr´ansito.Lamejoraenla infraestructuravialjuntoconlaimplementaci´ondeeducaci´on vialefectivasonmedidasque,alcombinarse,tienencomo resultadolareducci´ondeaccidentes.

5. S´ı,mejorar´aelpoderadquisitivo.Elaumentodelsalariob´asico juntoconelcontroldelainflaci´onsonestrategiasque,al

aplicarsesimult´aneamente,mejoranelpoderadquisitivodela poblaci´on.

LeydeSimplificaci´on

1. S´ı,Ecuadortieneunplanparamejorarlaeconom´ıa.Alafirmarsequeexisteunplanqueabarcatantolamejoraecon´omica comolafortalezaeducativa,sepuedesimplificarafirmandola existenciadelplanecon´omico.

2. S´ı,beneficialaleyalasaludp´ublica.Alafirmarsequelaley beneficiatantoalasaludp´ublicacomoalmedioambiente,se puedesimplificarafirmandoelbeneficioalasaludp´ublica.

3. S´ı,buscaelproyectoincrementarlaproducci´onagr´ıcola.Alafirmarsequeelproyectotienedobleobjetivo,sepuedesimplificar afirmandosuenfoqueenlaproducci´onagr´ıcola.

4. S´ı,promuevelapol´ıticalaigualdaddeg´enero.Alafirmarseque lapol´ıticatieneobjetivosm´ultiplesincluyendolaigualdadde g´enero,sepuedesimplificarafirmandolapromoci´ondeesta igualdad.

5. S´ı,apoyaelprogramaalosemprendedores.Alafirmarsequeel programatienecomoobjetivoelapoyoaemprendedoresyla fomentaci´ondelainnovaci´on,sepuedesimplificarafirmandoel apoyoalosemprendedores.

2.4.3.Preguntas

Preguntasconceptuales

1. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribemejorlaleyde modustollens?

(a) Si p entonces q p esverdadero,porlotanto, q esverdadero.

(b)Si p entonces q . q esfalso,porlotanto, p esfalso.

(c)Si p entonces q . p esfalso,porlotanto, q esfalso.

(d) Si p entonces q . q esverdadero,porlotanto, p esverdadero.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Modustollensestablecequesilaconsecuencia (q )esfalsa,entonceslapremisa(p)tambi´endebeserfalsa.

2. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentacorrectamentela leydelsilogismodisyuntivo?

(a) Si p entonces q .Si q entonces r .Porlotanto,si p entonces r .

(b) Si p entonces q .Si p entonces ¬q .Porlotanto, p es verdadero.

(c)Si p entonces q .Si ¬p entonces r .Porlotanto, q ∨ r .

(d) Si p entonces q .Si ¬q entonces ¬p.Porlotanto, p es verdadero.

Respuestacorrecta: (c).

Justificaci´on: Laleydelsilogismodisyuntivoestableceque siunaproposici´onimplicaotra,entonceslanegaci´ondela segundaimplicalanegaci´ondelaprimera.

3. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribecorrectamenteel m´etododedemostraci´onporcontradicci´on?

(a) Seasumelanegaci´ondeloquesequieredemostraryse llegaaunacontradicci´onl´ogica.

(b) Separtedeunapremisaverdaderaysellegaaunaconclusi´onfalsa.

(c) Sedemuestralaafirmaci´ondirectamentesinutilizarpremisasadicionales.

(d) Semuestraquelaafirmaci´onesverdaderaparauncaso espec´ıficoyluegosegeneraliza.

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Enelm´etododedemostraci´onporcontradicci´on, seasumelanegaci´ondelaafirmaci´onquesequieredemostrar ysellegaaunacontradicci´onl´ogica,loqueimplicaquela afirmaci´onoriginalesverdadera.

4. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesdescribemejorlal´ogicacuantificacionalexistencial?

(a) Trataconafirmacionesquecontienenlapalabra“todos”.

(b) Trataconafirmacionesquecontienenlapalabra“existe”.

(c) Trataconafirmacionesquecontienenlapalabra“algunos”.

(d) Trataconafirmacionesquecontienenlapalabra“ning´un”.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Lal´ogicacuantificacionalexistencialtratacon afirmacionesqueafirmanlaexistenciadealmenosunelemento quesatisfaceciertascondiciones.

5.¿Qu´eeslaleydeinferenciadeDeMorgan?

(a) Estableceunarelaci´onentreconjuntosysuscomplementos.

(b) Establecec´omoserelacionanlasproposicionescondicionalesconsuscontrapositivas.

(c) Establecelarelaci´onentreproposicionesysusnegaciones.

(d) Establecelarelaci´onentreconjuncionesydisyuncionesde proposiciones.

Respuestacorrecta: (d).

Justificaci´on: LaleydeDeMorganestablecelarelaci´onentre lanegaci´ondeunaconjunci´onyladisyunci´ondelasnegaciones, yviceversa.

Preguntasdeaplicaci´on

1. Supongamosque p implica q y q implica r .Sisabemosque p esverdadero,¿qu´epodemosconcluiracercade r ?

(a) r esverdadero.

(b) r esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsi r esverdaderoofalso.

(d) r puedeserverdaderoofalso.

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Si p implica q y q implica r ,y p esverdadero, entonces q debeserverdadero,ycomo q implica r , r tambi´en debeserverdadero.

2. Sesabequetodoslosmam´ıferossonanimalesyquetodoslos perrossonmam´ıferos.¿Qu´esepuedeconcluirsobrelosperros?

(a)Todoslosperrossonanimales.

(b)Algunosperrossonanimales.

(c)Todoslosanimalessonperros.

(d)Algunosanimalessonperros.

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Seg´unlainformaci´ondada,todoslosperrosson mam´ıferos,ycomotodoslosmam´ıferossonanimales,entonces todoslosperrossonanimales.

3. Sisesabeque“sillueve,entonceselsueloest´amojado”es verdadero,¿qu´esepuededecirsobrelaveracidadde“sielsuelo est´amojado,entoncesest´alloviendo”?

(a)Esverdadero.

(b)Esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsuveracidad.

(d)Dependedelclima.

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Lasegundaafirmaci´oneslacontrapositivade laprimera,porlotanto,silaprimeraesverdadera,lasegunda tambi´enloes.

4. Si p implica q ,y r implica ¬q ,¿qu´esepuedeconcluirsobre p y r si p esverdadero?

(a) r esverdadero.

(b) r esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsi r esverdaderoofalso.

(d) p y r sonverdaderos.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Si p implica q y r implica ¬q ,entoncessi p es verdadero, q tambi´enloes.Perocomo r implicalanegaci´onde q , r debeserfalso.

5. Si ∀x(P (x) → Q(x))esverdadero,¿qu´esepuededeciracerca delaveracidadde ∃xP (x)?

(a)Esverdadero.

(b)Esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsuveracidad.

(d)Dependedeldominiode x

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Siparatodo x, P (x)implica Q(x)esverdadero, entoncesexistealmenosun x talque P (x)esverdadero.

Preguntasdeinterpretaci´ondedatos

1. Considereelsiguienteargumento:“Sihacesol,entoncesJuan ir´aalaplaya.Juannofuealaplaya.Porlotanto,nohizosol.” ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribemejoreltipode razonamientoutilizadoenesteargumento?

(a)Modusponens.

(b)Modustollens.

(c)Silogismodisyuntivo.

(d)LeydeDeMorgan.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Elargumentosigueelpatr´onderazonamiento demodustollens,dondeseniegalaconsecuenciaparanegarla premisa.

2. Supongaque p implica q ,y r implica ¬q .Sisesabeque p es verdaderoy r esfalso,¿cu´aldelassiguientesafirmacioneses verdadera?

(a) q esverdadero.

(b) q esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsi q esverdaderoofalso.

(d) p esverdadero.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Si p implica q y r implica ¬q ,entoncessi p es verdadero, q tambi´enloes.Perocomo r implicalanegaci´onde q , q debeserfalso.

3. Sisesabeque“sillueve,entonceselsueloest´amojado”es verdadero,¿qu´esepuededecirsobrelaveracidadde“sielsuelo est´amojado,entoncesest´alloviendo”?

(a)Esverdadero.

(b)Esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsuveracidad.

(d)Dependedelclima.

Respuestacorrecta: (b).

Justificaci´on: Lasegundaafirmaci´onnonecesariamentees verdaderaporqueelsuelopuedeestarmojadoporotrasrazones, comoalguienusandounamanguera.

4. Si p implica q ,y q implica r ,¿qu´esepuededeciracercade p y r si r esfalso?

(a) p esverdadero.

(b) p esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsi p esverdaderoofalso.

(d) p y r sonverdaderos.

Respuestacorrecta: (a).

Justificaci´on: Si r esfalso,entonces q tambi´enesfalso(porque q implica r ).Ycomo p implica q , p debeserverdadero.

5. Si ∀x(P (x) → Q(x))esverdadero,¿qu´esepuededeciracerca delaveracidadde ∃xP (x)?

(a)Esverdadero.

(b)Esfalso.

(c)Nosepuededeterminarsuveracidad.

(d)Dependedeldominiode x.

Respuestacorrecta: (c).

Justificaci´on: Siparatodo x, P (x)implica Q(x)esverdadero, nonecesariamenteimplicaque ∃xP (x)seaverdadero,yaque puedenoexistirning´un x quesatisfaga P (x).

Preguntasderesoluci´ondeproblemas

1. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalaleydeinferencia modusponens?

(a) p ∨ q

(b) p ∧ q ⇒ p

(c) p ∧ q

(d) p ⇒ q

Respuestacorrecta: (d) p ⇒ q .

Justificaci´on: Modusponensesunaregladeinferenciaque establecequesisesabeque p implica q y p esverdadero, entoncessepuedeconcluirque q esverdadero.

2. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalaleydeinferencia modustollens?

(a) p ∨ q

(b) ¬p ∨ q

(c) ¬q ⇒¬p

(d) p ∧ q ⇒ p

Respuestacorrecta: (c) ¬q ⇒¬p.

Justificaci´on: Modustollensesunaregladeinferenciaque establecequesisesabeque p implica q y q esfalso,entonces sepuedeconcluirque p esfalso.

3. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalaleydeinferencia delsilogismohipot´etico?

(a) p ∨ q

(b) p ⇒ q

(c) q ⇒ r

(d) p ⇒ r

Respuestacorrecta: (d) p ⇒ r .

Justificaci´on: Elsilogismohipot´eticoesunaformadeinferenciaqueestablecequesi p implica q y q implica r ,entonces p implica r .

4. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalaleydeinferencia delsilogismodisyuntivo?

(a) p ∨ q

(b) ¬p ∨ q

(c) ¬p ∨¬q

(d) ¬q ⇒¬p

Respuestacorrecta: (a) p ∨ q .

Justificaci´on: Elsilogismodisyuntivoesunaformadeinferenciaqueestablecequesisetieneunadisyunci´on p ∨ q yse sabeque ¬p,entoncessepuedeconcluir q

5. ¿Cu´aldelassiguientesopcionesrepresentalaleydeinferencia delmodustollendotollens?

(a) p ∨ q

(b) ¬p ∨ q

(c) ¬p ∨¬q

(d) q ⇒¬p

Respuestacorrecta: (b) ¬p ∨ q .

Justificaci´on: Elmodustollendotollensesunaformade inferenciaqueestablecequesisetieneunadisyunci´on p ∨ q y sesabeque ¬p,entoncessepuedeconcluir q .

Preguntasdecomparaci´on

1. ¿Cu´aleslaprincipaldiferenciaentreelmodusponensyel modustollens?

(a) Elmodusponensseaplicaaproposicionesdisyuntivas, mientrasqueelmodustollensseaplicaaproposiciones conjuntivas.

(b)Elmodusponensseaplicaaproposicionescondicionales, mientrasqueelmodustollensseaplicaaproposiciones disyuntivas.

(c) Elmodusponensseaplicacuandoambaspremisasson verdaderas,mientrasqueelmodustollensseaplicacuando almenosunapremisaesfalsa.

(d) Elmodusponensseaplicacuandolaconclusi´onesfalsa,mientrasqueelmodustollensseaplicacuandola conclusi´onesverdadera.

Respuestacorrecta: (c)Elmodusponensseaplicacuando ambaspremisassonverdaderas,mientrasqueelmodustollens seaplicacuandoalmenosunapremisaesfalsa.

Justificaci´on: Elmodusponensseutilizaparainferirunaafirmaci´onapartirdeunaproposici´oncondicionalysuantecedente. Elmodustollens,porotrolado,seutilizaparainferirlanegaci´ondelantecedenteapartirdelanegaci´ondelaconsecuencia enunaproposici´oncondicional.

2. ¿Cu´alesladiferenciaclaveentreelsilogismohipot´eticoyel silogismodisyuntivo?

(a) Elsilogismohipot´eticoseaplicaaproposicionescondicionales,mientrasqueelsilogismodisyuntivoseaplicaa proposicionesdisyuntivas.

(b) Elsilogismohipot´eticoseaplicacuandoambaspremisas sonverdaderas,mientrasqueelsilogismodisyuntivose aplicacuandoalmenosunapremisaesfalsa.

(c) Elsilogismohipot´eticoimplicaunacadenadeproposicionescondicionales,mientrasqueelsilogismodisyuntivo implicaunadisyunci´onentredosproposiciones.

(d) Elsilogismohipot´eticoimplicaunadisyunci´onentredos proposiciones,mientrasqueelsilogismodisyuntivoimplica unacadenadeproposicionescondicionales.

Respuestacorrecta: (c)Elsilogismohipot´eticoimplicauna cadenadeproposicionescondicionales,mientrasqueelsilogismo disyuntivoimplicaunadisyunci´onentredosproposiciones.

Justificaci´on: Elsilogismohipot´eticoestableceunarelaci´on entrem´ultiplesproposicionescondicionalesenunacadenal´ogica,mientrasqueelsilogismodisyuntivoserelacionaconuna disyunci´onentredosproposicionesquesonexclusivasentres´ı.

3. ¿Cu´aleslaprincipaldiferenciaentreelmodustollendotollens yelmodustollens?

(a) Elmodustollendotollensseaplicaaproposicionescondicionales,mientrasqueelmodustollensseaplicaaproposicionesdisyuntivas.

(b)Elmodustollendotollensseutilizacuandolaconclusi´on esfalsa,mientrasqueelmodustollensseutilizacuando laconclusi´onesverdadera.

(c) Elmodustollendotollensseaplicacuandoambaspremisas sonverdaderas,mientrasqueelmodustollensseaplica cuandoalmenosunapremisaesfalsa.

(d) Elmodustollendotollensseutilizacuandolapremisa menoresfalsa,mientrasqueelmodustollensseutiliza cuandolapremisamayoresverdadera.

Respuestacorrecta: (a)Elmodustollendotollensseaplica aproposicionesdisyuntivas,mientrasqueelmodustollensse aplicaaproposicionescondicionales.

Justificaci´on: Elmodustollendotollensserefierealanegaci´on delaconclusi´onimplicandolanegaci´ondelantecedenteen unaimplicaci´on.Elmodustollensserefierealanegaci´onde laconclusi´onimplicandolanegaci´ondelconsecuenteenuna implicaci´on.

Preguntasdepensamientocr´ıtico

1. ¿Porqu´eesimportanteentenderyaplicarlasleyesdeinferencia l´ogicaenlavidacotidiana?

(a) Porquepermiterealizardemostracionesmatem´aticascomplejas.

(b) Porqueayudaatomardecisionesbasadasenargumentos racionalesyv´alidos.

(c) Porquesimplificalosprocesosderazonamientoabstracto.

(d) Porqueaumentalacapacidadderesolverproblemasde l´ogicapura.

Respuestacorrecta: (b)Porqueayudaatomardecisiones basadasenargumentosracionalesyv´alidos.

Justificaci´on: Lasleyesdeinferencial´ogicaproporcionanun marcoparalaargumentaci´onv´alidayelrazonamientocr´ıtico, loqueesfundamentalparalatomadedecisionesinformadasy laresoluci´ondeproblemasendiversoscontextos.

2. ¿Cu´aleslaprincipalventajadelal´ogicacuantificacionalsobre lal´ogicaproposicional?

(a) Lal´ogicacuantificacionalpermiteanalizarproposiciones complejasconmayorprecisi´on.

(b) Lal´ogicacuantificacionalesm´asf´acildeentenderyaplicar ensituacionescotidianas.

(c) Lal´ogicacuantificacionalselimitaaproposicionessimples sincuantificar.

(d) Lal´ogicacuantificacionalesexclusivaparaproblemas matem´aticos.

Respuestacorrecta: (a)Lal´ogicacuantificacionalpermite analizarproposicionescomplejasconmayorprecisi´on.

Justificaci´on: Lal´ogicacuantificacionalampl´ıalacapacidadde expresi´ondelal´ogicaproposicionalalpermitirlacuantificaci´on sobrevariables,loquefacilitaelan´alisisdeproposicionesm´as complejasylaformalizaci´ondeargumentosendiversoscampos.

Preguntasdepredicciones

1. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesunejemplodeuna inferencial´ogicav´alida?

(a)Sillueve,entonceslascallesestar´anmojadas.

(b)Lascallesest´anmojadas,porlotanto,hallovido.

(c) Sillueve,entonceslascallesestar´anmojadas,ylascalles est´anmojadas.

(d)Silascallesest´anmojadas,entonceshallovido.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Laopci´on(a)siguelaformal´ogicadeuna implicaci´on:“Si P ,entonces Q”.Enestecaso,sillueve(P ),

entoncespodemosinferirquelascallesestar´anmojadas(Q).

2. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesunaleydeinferencia l´ogicav´alida?

(a)Si P esverdadero,entonces Q esfalso.

(b)Si P esverdadero,entonces Q tambi´enesverdadero.

(c)Si P esfalso,entonces Q tambi´enesfalso.

(d) Si P esfalso,entoncesnosepuededeterminarelvalorde Q.

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Laafirmaci´onen(b)eslaleydeinferencia conocidacomomodusponens,queestablecequesi P implica Q y P esverdadero,entonces Q tambi´endebeserverdadero.

3. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesrepresentacorrectamente unainferencial´ogicav´alida?

(a)SiAesunhumano,entoncesAesunanimal.

(b)SiAesunanimal,entoncesAesunhumano.

(c)SiAesungato,entoncesAesunperro.

(d)SiAesunperro,entoncesAesungato.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Laopci´on(a)siguelaformal´ogicageneral:si algoesunhumano(P ),entoncesesealgoesunanimal(Q),lo cualesunainferenciav´alida.

4. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesunaformav´alidade razonamientoenl´ogicaproposicional?

(a) Si P esverdadero,entonces Q esfalso; Q esverdadero, porlotanto, P esfalso.

(b) Si P esverdadero,entonces Q esverdadero; Q esfalso, porlotanto, P esfalso.

(c) Si P esfalso,entonces Q esverdadero; Q esfalso,porlo tanto, P esverdadero.

(d) Si P esverdadero,entonces Q esfalso; Q esverdadero, porlotanto, P esverdadero.

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Laopci´on(b)representaelrazonamientoconocidocomomodustollens,dondesi P implica Q y Q esfalso, entonces P tambi´endebeserfalso.

5. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesrepresentaunainferencia l´ogicav´alida?

(a)SiAesunmam´ıfero,entoncesAesunreptil.

(b)SiAesunreptil,entoncesAesunmam´ıfero.

(c)SiAesunmam´ıfero,entoncesAesunanimal.

(d)SiAesunanimal,entoncesAesunmam´ıfero.

Respuestacorrecta: (c)

Justificaci´on: Laopci´on(c)siguelaformal´ogicacorrecta:si algoesunmam´ıfero(P ),entoncesesealgoesunanimal(Q), locualesunainferenciav´alida.

Preguntasdeabstracci´on

1. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribemejorlaleyde inferenciaconocidacomo“silogismohipot´etico”?

(a)Si P implica Q,y Q implica R,entonces P implica R.

(b) Si P esverdadero,entonces Q esverdadero;si Q esverdadero,entonces R esverdadero.

2.4.PROBLEMASDEEJERCITACI

(c)Si P implica Q,y R implica S ,entonces P implica S .

(d) Si P esfalso,entonces Q esfalso;si Q esfalso,entonces R esfalso.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Elsilogismohipot´eticoestablecequesi P implica Q,y Q implica R,entonces P implicadirectamente R

2. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribemejorlaleyde inferenciaconocidacomo“silogismodisyuntivo”?

(a) Si P implica Q,y Q esverdadero,entonces P esverdadero.

(b) Si P o Q esverdadero,y P esfalso,entonces Q esverdadero.

(c) Si P o Q esverdadero,y P esverdadero,entonces Q es verdadero.

(d)Si P implica Q,y R implica S ,entonces P implica S

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Elsilogismodisyuntivoestablecequesiuna disyunci´onesverdaderayunodelosdisyuntosesfalso,entonces elotrodisyuntodebeserverdadero.

3. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesrepresentacorrectamente laleydeinferenciaconocidacomo“modustollendotollens”?

(a)Si P implica Q,y P esfalso,entonces Q esfalso.

(b) Si P o Q esverdadero,y P esfalso,entonces Q esverdadero.

(c)Si P implica Q,y R implica S ,entonces P implica S .

(d) Si P esverdadero,entonces Q esfalso;si Q esfalso, entonces P esfalso.

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Elmodustollendotollensestablecequesiuna disyunci´onesverdaderayunodelosdisyuntosesfalso,entonces elotrodisyuntodebeserverdadero.

4. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesunejemplodelaleyde inferenciaconocidacomo“disyunci´oninclusiva”?

(a) Si P implica Q,y Q esverdadero,entonces P esverdadero.

(b) Si P o Q esverdadero,y P esverdadero,entonces Q es verdadero.

(c) Si P esverdadero,entonces Q esfalso;si Q esfalso, entonces P esfalso.

(d)Si P implica Q,y R implica S ,entonces P implica S .

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Ladisyunci´oninclusivaestablecequesialmenos unadelasopcionesenunadisyunci´onesverdadera,entonces ladisyunci´oncompletaesverdadera.

5. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesrepresentacorrectamente laleydeinferenciaconocidacomo“silogismoconstructivo”?

(a)Si P implica Q,y Q implica R,entonces P implica R.

(b) Si P o Q esverdadero,y P esverdadero,entonces Q es verdadero.

(c)Si P implica Q,y R implica S ,entonces P implica S .

(d) Si P esverdadero,entonces Q esverdadero;si Q esverdadero,entonces R esverdadero.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Elsilogismoconstructivoestablecequesi P implica Q,y Q implica R,entonces P implicadirectamente R.

Preguntassobreprocedimientosexperimentales

1. Supongamosqueenunexperimento,serealizanlassiguientes afirmaciones:(1)Sielaguahierve,entonceslatemperaturaes mayora100°C;(2)Latemperaturaesmenora100°C.¿Cu´al delassiguientesinferenciasesv´alida?

(a)Elaguahierve.

(b)Elaguanohierve.

(c)Latemperaturaesexactamente100°C.

(d)Latemperaturaesmayora100°C.

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Dadoquelatemperaturaesmenora100°Cy elaguahiervesiysolosilatemperaturaesmayora100°C, entoncespodemosinferirqueelaguanohierve.

2. Enunexperimentodelaboratorio,seobservaquesiempreque seaplicaunacorrienteel´ectricaaunalambredemetal,estese calienta.Sielalambrenosecalienta,¿qu´einferenciasepuede hacer?

(a)Noseaplic´ocorrienteel´ectricaalalambre.

(b)Elalambrenoesdemetal.

(c)Nohayelectricidadenellaboratorio.

(d)Elalambrenoconduceelectricidad.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Dadoqueseobservaquesiemprequeseaplica corrienteel´ectricaalalambredemetal,estesecalienta,entonces sielalambrenosecalienta,podemosinferirquenoseaplic´o corrienteel´ectrica.

3. Enunexperimento,seafirmaquesiseagrega´acidoauna soluci´on,estacambiadecolor.Silasoluci´onnocambiade color,¿qu´einferenciaesv´alida?

(a)Noseagreg´o´acidoalasoluci´on.

(b)Lasoluci´onnocontiene´acido.

(c)El´acidosehaneutralizado.

(d)Elexperimentoesincorrecto.

Respuestacorrecta: (a)

Justificaci´on: Dadoqueseafirmaquesiseagrega´acidoa lasoluci´on,estacambiadecolor,entoncessilasoluci´onno cambiadecolor,podemosinferirquenoseagreg´o´acidoala soluci´on.

4. Seobservaquesiemprequesealimentaaunpez,estenada hacialasuperficiedelagua.Siunpeznonadahacialasuperficie delaguadespu´esdeseralimentado,¿qu´esepuedeinferir?

(a)Elpezest´aenfermo.

(b)Elpeznotienehambre.

(c)Elpeznoescapazdenadar.

(d)Elexperimentofueincorrectamentedise˜nado.

Respuestacorrecta: (b)

Justificaci´on: Dadoquesiemprequesealimentaalpez,este nadahacialasuperficiedelagua,entoncessiunpeznonada hacialasuperficiedespu´esdeseralimentado,podemosinferir quenotienehambre.

5. Enunexperimentodequ´ımica,seobservaquecuandosemezcla ´acidoclorh´ıdricoconhidr´oxidodesodio,seproducecloruro desodioyagua.Sinoseobservaningunareacci´ondespu´esde mezclarlosdoscompuestos,¿qu´enosepuedeinferir?

2.4.PROBLEMASDEEJERCITACI

(a)Nosemezclaronloscompuestoscorrectamente.

(b)Latemperaturaesmuybajaparapermitirlareacci´on.

(c)Loscompuestossonincorrectos.

(d)Lareacci´onnopuedeocurrir.

Respuestacorrecta: (d)

Justificaci´on: Dadoqueseobservaquecuandosemezcla´acido clorh´ıdricoconhidr´oxidodesodio,seproduceunareacci´on,si noseobservaningunareacci´ondespu´esdelamezcla,podemos inferirquelareacci´onnopuedeocurrir.

Cap´ıtulo3

L´ogicadePredicados

3.1. Introducci´onalaL´ogicadePredicados

Lal´ogicadepredicados,tambi´enconocidacomol´ogicadeprimer orden,esunaextensi´ondelal´ogicaproposicionalqueincorpora elusodecuantificadoresypredicados,permitiendoas´ıexpresiones m´ascomplejasydetalladassobreobjetosysusrelaciones.Esta complejidadadicionalpermitequelal´ogicadepredicadosmaneje afirmacionessobreconjuntosinfinitosyestructurasm´ascomplicadas queloquepermitelal´ogicaproposicional.

3.1.1.Definici´onycontexto

Lal´ogicadepredicadostomacomobaselospredicados,quesonexpresionesquepuedenserverdaderasofalsasdependiendodelosvalores delasvariablesquecontienen.Enel´ambitodelal´ogica,unpredicado esunafunci´onqueretornaunvalordeverdad,usualmentedenotada como P (x), Q(x,y ),etc.,donde x e y sonvariablesquerepresentan

objetosenundominioespec´ıficodediscurso.Adem´as,lal´ogicade predicadosutilizacuantificadoresquepermitenhacerdeclaraciones sobretodosoalgunosobjetosdeldominio.Loscuantificadoresm´as comunessonelcuantificadoruniversal ∀ yelcuantificadorexistencial ∃.

3.1.2.Diferenciasconlal´ogicaproposicional

Mientrasquelal´ogicaproposicionalselimitaaoperarconproposicionesenterasquenocontienenvariablesysoninherentemente verdaderasofalsas,lal´ogicadepredicadosintroduceunacapaadicionaldeestructuraalpermitirladescomposici´ondeproposiciones encomponentesm´aspeque˜nos(predicados)convariables.Estacapacidaddelidiarconvariablesycuantificadoreshacequelal´ogicade predicadosseasignificativamentem´aspotenteyflexible,capazde formularyresolverproblemassobreestructurascomplejasyteor´ıas queinvolucrandiferentestiposdeobjetosysusinterrelaciones.

3.1.3.Importanciayaplicaciones

Lal´ogicadepredicadosjuegaunpapelfundamentalenlafundaci´on delasmatem´aticasylal´ogicaformal.Esesencialen´areasque requierenunaespecificaci´onprecisayunrazonamientorigurosocomo lateor´ıadeconjuntos,lateor´ıademodelos,ylainform´aticate´orica. Enelcampodelainform´atica,escrucialeneldise˜nodelenguajesde programaci´onysistemasdebasesdedatos,dondelasafirmaciones sobreobjetosysusrelacionesdebenserprecisasyverificables.En inteligenciaartificial,lal´ogicadepredicadosfacilitalarepresentaci´on delconocimientoyelrazonamientoautomatizado,siendolabase paralaconstrucci´ondesistemasexpertosyalgoritmosdeinferencia.

3.2.LENGUAJEDELAL

Ejemplo1:Demostraci´onmatem´aticautilizandol´ogicade predicados

Soluci´on: Consideremoselpredicado P (x): x esunn´umeroprimo yqueremosexpresarquehayinfinitosn´umerosprimos.Estosepuede formalizarutilizandoelcuantificadorexistencialrepetidamentepara demostrarlaexistenciadeunn´umeroprimomayorquecualquier n´umerodado: ∀n ∃p (p>n ∧ P (p))

Paraprobarestaafirmaci´on,aplicamoselargumentodeEuclides: Dadocualquiern´umero n,consideramoselfactorialde n (n!)y examinamoseln´umero n!+1.Esten´umeronoesdivisibleporning´un n´umeromenoroiguala n,yporlotanto,oesprimootienefactores primosmayoresque n,loquedemuestraquesiempreexistenprimos mayoresquecualquiern´umerodado.

3.2. LenguajedelaL´ogicadePredicados

Ellenguajedelal´ogicadepredicadosesunaestructuraformalque permitelarepresentaci´onprecisadeafirmacionescomplejassobre objetosysusinterrelacionesdentrodeundominiodediscurso.Este lenguajesecomponedevarioselementosb´asicos,cadaunocon funcionesespec´ıficasquefacilitanlaexpresi´ondetalladadeconceptos matem´aticos,filos´oficosycomputacionales.

3.2.1.ElementosB´asicos

Constantes: Lasconstantessons´ımbolosqueserefierenaelementosparticularesyespec´ıficosdentrodeldominiodediscurso.Estos elementosnovar´ıanysonidentificadosdemanera´unicaenelcontextodeuso.Porejemplo,enundominioquetratasobrepersonas, podr´ıamostenerconstantescomo‘S´ocrates’o‘Plat´on’.

Variables: Adiferenciadelasconstantes,lasvariablessons´ımbolos quenotienenunvalorfijoypuedenrepresentarcualquierelemento dentrodeldominiodediscurso.Sonesencialesparalageneralizaci´on ysonutilizadasampliamenteendeclaracionesqueinvolucrancuantificadores.Lasvariablespermitenquelasf´ormulasseanflexiblesy aplicablesam´ultiplessituacionesocasos.

Predicados: Lospredicadossons´ımbolosofuncionesqueexpresan propiedadesdeobjetosorelacionesentreobjetos.Unpredicadocon unsoloargumentoesunapropiedad(como P (x)quepodr´ıaser‘x esinteligente’),mientrasqueunpredicadoconm´ultiplesargumentos expresaunarelaci´on(como R(x,y )quepodr´ıaser‘x amaa y ’).

Funciones: Lasfuncionesenlal´ogicadepredicadossonsimilares alasfuncionesmatem´aticasyseutilizanparaexpresaroperaciones otransformacionessobreobjetos.Unafunci´ontomaargumentos dentrodeldominioydevuelveunelementodentrodelmismodominio. Ejemplosincluyenfuncionescomo f (x)quepodr´ıarepresentar‘el padrede x’o g (x,y )quepodr´ıarepresentar‘lasumade x e y ’.

Conectivosl´ogicos: Losconectivosl´ogicossonherramientasparacombinarpredicadosyf´ormulasenestructurasm´ascomplejas. Incluyen:

∧ (y):Conectivoqueesverdaderosiambasproposicionesconectadassonverdaderas.

∨ (o):Verdaderosialmenosunadelasproposicionesconectadas esverdadera.

¬ (no):Niegalaverdaddelaproposici´onalaqueseaplica.

→ (implica):Verdaderosisiemprequelaprimeraproposici´on esverdadera,lasegundatambi´enloes.

↔ (siysolosi):Verdaderosiambasproposicionestienenel mismovalordeverdad.

3.2.LENGUAJEDELAL ´ OGICADEPREDICADOS 125

Cuantificadores: Loscuantificadoressonelementoscr´ıticosen lal´ogicadepredicadosporquepermitenhacerafirmacionessobre todosoalgunoselementosdeldominio.Elcuantificadoruniversal ∀ seusaparaafirmarqueunapropiedadseaplicaatodosloselementos deldominio,mientrasqueelcuantificadorexistencial ∃ seusapara afirmarquehayalmenosunelementoeneldominioparaelcualla propiedadescierta.

Ejemplo1:Complejidaddeunaafirmaci´onconcuantificadoresyfunciones

Supongamosquequeremosexpresarlaafirmaci´on:“Todopadreama asuhijo”.Enlal´ogicadepredicados,utilizandounafunci´on p(x) para‘elpadrede x’yunpredicado A(x,y )para‘x amaa y ’,la afirmaci´onseformalizacomo:

∀x(A(p(x),x))

Estaf´ormulautilizaelcuantificadoruniversalparaindicarquepara cadaelemento x eneldominio,larelaci´ondeamorentreelpadrede x y x siempreescierta.

3.2.2.Sintaxis

Lasintaxisdelal´ogicadepredicadosestablecelasreglasformales paralaconstrucci´ondeexpresionesdentrodeestelenguajel´ogico, asegurandoquelasf´ormulasseanconsistentesypuedanserinterpretadasdemaneraun´ıvoca.Estasecci´onseexpandeparaincluirejemplos m´ascomplejosyunaexplicaci´onm´asdetalladadelasnormasque rigenlaestructuraci´ondet´erminosyf´ormulas.

Formulaci´ondet´erminos

Lost´erminossonlasunidadesfundamentalesdellenguajedelal´ogica depredicadosyact´uancomoreferenciasaobjetosespec´ıficosdel dominiodediscurso.Laconstrucci´ondet´erminossiguereglasprecisas

paragarantizarqueestosseaninterpretadosdeformacorrectay coherente:

Variablesyconstantes:Sonlaformam´assimpledet´erminos yrepresentanelementosindividualesdeldominio.

Funcionesaplicadasat´erminos:Si f esunafunci´onde n-aridadycada ti esunt´erminov´alido,entonces f (t1 ,...,tn ) estambi´enunt´ermino.Estopermiterepresentacionesm´as complejascomo f (a,g (b,c)),donde g esotrafunci´on.

Formulaci´ondef´ormulas

Lasf´ormulassonconstruccionesquepuedenevaluarsecomoverdaderasofalsasenundominiodediscurso,ysonesencialesparala expresi´ondeproposicionesl´ogicascomplejas:

Predicadosaplicadosat´erminos:Formanlasafirmaciones m´asb´asicasenlal´ogicadepredicados,como P (t1 ,...,tn ), dondecada ti esunt´erminoy P esunpredicado.

Combinaci´onmedianteconectivosl´ogicos:Lasf´ormulas sepuedencombinarparaformarnuevasf´ormulasmediante conectivos,comoen φ ∧ (ψ → χ),donde φ, ψ ,y χ sonf´ormulas individuales.

Reglasdeformaci´on

Lasreglasdeformaci´ondefinenc´omolost´erminosyf´ormulasdeben serensambladosparaformarestructurassint´acticamentev´alidas:

Profundidaddeloscuantificadores:Escrucialdeterminar elalcanceexactodeloscuantificadoresenlasf´ormulas,como en ∀x(P (x) →∃y (Q(x,y ))),dondeelcuantificadorexistencial dependedeluniversal.

Correctaaplicaci´ondefuncionesypredicados:Esnecesarioquelasfuncionesypredicadosseapliquensoloalacantidad

correctadet´erminos,yqueestost´erminosseanv´alidosdentro delcontextodelafunci´onopredicado.

Ejemplo2:Construcci´ondeunaf´ormulacompleja

Supongamosquequeremosformalizarlaafirmaci´on:“Hayunn´umero quenoesniprimonicompuesto”.Estoimplicaelusodenegaciones ycuantificadoresexistencialesparaexpresar:

∃x(¬P (x) ∧¬C (x))

donde P (x)representa“x esprimo”y C (x)indica“x escompuesto”.

Estaf´ormulamuestrac´omoseutilizannegacionesyconectivosl´ogicos paraformularproposicionesqueinvolucranpropiedadesm´ultiplesy negacionesdeestas.

3.2.3.Sem´antica

Lasem´anticadelal´ogicadepredicadosestablecec´omointerpretary evaluarlasf´ormulasdellenguajeent´erminosdesuverdadofalsedad dentrodeunmodeloespec´ıfico.Abarcalaasignaci´ondesignificados as´ımbolosylaformalizaci´ondec´omolasestructurasdeldominiode discursoafectanlainterpretaci´ondelasf´ormulas.

Interpretaciones

Lainterpretaci´oneselprocesomedianteelcualloscomponentesdel lenguajel´ogicoseasignanaelementosespec´ıficosyrelacionesenun dominiodediscurso.Detallesclaveincluyen:

DominiodeDiscurso:Conjuntodetodoslosposiblesindividuossobrelosquesepuedenhacerafirmaciones.

AsignacionesdeConstantes:Cadaconstantedellenguaje seasociaconunelementofijoeneldominio.

Interpretaci´ondeFunciones:Cadafunci´onsimb´olicase correspondeconunaoperaci´onrealquetomaelementosdel dominioydevuelveotroelementodelmismo.

Asignaci´ondePredicados:Lospredicadosseinterpretan comorelacionesespec´ıficasentreelementosdeldominio,cuya verdadseeval´uaenfunci´ondelosvaloresdelost´erminos involucrados.

Modelos

Unmodeloparaunateor´ıal´ogicaesunainterpretaci´onenlacualcada unodelosaxiomasyteoremaspropuestosenlateor´ıaesverdadero. Losmodelossonfundamentalesporque:

Validaci´ondeTeor´ıas:Unmodeloproporcionaunmediopara demostrarqueunateor´ıaescoherenteylibredecontradicciones.

TeoremadeCompletitud:Parateor´ıasenl´ogicadeprimer orden,elteoremadecompletituddeG¨odelestablecequesiuna teor´ıaessint´acticamenteconsistente,entoncestieneunmodelo.

Evaluaci´ondef´ormulas

Laevaluaci´ondef´ormulasenunmodeloespec´ıficodeterminasiestas sonverdaderasofalsas.Esteprocesoinvolucra:

Asignaci´ondeValoresaVariables:Cadavariableenla f´ormulaesasignadaaunelementodeldominio,yestaasignaci´on afectalaevaluaci´ondelaf´ormula.

FuncionesyPredicados:Lasfuncionesaplicadasat´erminos generannuevost´erminoscuyosvaloressondeterminadospor lasasignacionesactuales,ylospredicadossonevaluadospara verificarsilarelaci´onquedescribensecumplebajolaasignaci´on dada.

Evaluaci´ondeConectivosyCuantificadores:Losconectivosl´ogicos(y,o,no,implica)yloscuantificadores(universal yexistencial)seeval´uanpararesolverlaverdadofalsedad completadelasf´ormulas.

Ejemplo3:Evaluaci´ondeunaf´ormulaconcuantificadores

Soluci´on: Supongamosquequeremosevaluarlaverdaddelaf´ormula ∀x ∃y (x<y )enundominiodelosn´umerosnaturales.Lainterpretaci´ondeestaf´ormularequerir´ıademostrarqueparacadan´umero natural x,existeotron´umeronatural y talque x<y .Dadoquepara cualquiern´umeronaturalsiemprepodemosencontrarotromayor (porejemplo, y = x +1),estaf´ormulaesverdaderaenelmodelode losn´umerosnaturales.

3.3.Cuantificadores

Loscuantificadoressonfundamentalesenlal´ogicadepredicadospara expresarpropiedadesgeneralessobreloselementosdeundominio dediscurso.Sedividenencuantificadoresuniversalesyexistenciales, cadaunoconunpapelcrucialenlaestructuraci´ondeafirmaciones l´ogicas.

3.3.1.CuantificadorUniversal

Elcuantificadoruniversal ∀ seempleaparadeclararqueunapropiedadespec´ıficaesaplicableatodosloselementosdeunconjunto odominio.Suusoesesencialenlaformulaci´ondeleyesgenerales yteoremasentodaslasdisciplinascient´ıficasymatem´aticas.La notaci´on ∀xP (x)implicaquelapropiedad P esverdaderaparacada elemento x eneldominioconsiderado.

Ejemplosyaplicaciones

Matem´aticas:Unaaplicaci´oncom´unesenladefinici´onde continuidaddeunafunci´onenc´alculo.Sepuedeexpresarque unafunci´on f escontinuaenunpunto a siparatodo > 0, existeun δ> 0talqueparatodo x eneldominio,si |x a| <δ entonces |f (x) f (a)| < .

Filosof´ıa:Enl´ogicayfilosof´ıa,seutilizaparaformularafirmacionesuniversalessobreconceptosocategor´ıas,comoenla afirmaci´on“Todoslossereshumanossonmortales”.

3.3.2.CuantificadorExistencial

Elcuantificadorexistencial ∃ afirmalaexistenciadealmenosun elementoeneldominioquesatisfaceunacondici´onespecificada. Estecuantificadorescrucialparademostrarlaexistenciadeobjetos, solucionesopropiedadessinnecesidaddeidentificarlosoenumerarlos espec´ıficamente.

Ejemplosyaplicaciones

Teor´ıaden´umeros:Seusaparaafirmarlaexistenciade solucionesaecuacionesdiof´anticas,comoenlaafirmaci´on ∃x ∃y (x2 + y 2 = z 2 )paraun z dado,quemuestralaexistenciadetri´angulosrect´angulosconladosenteros.

Biolog´ıa:Enestudiosdebiodiversidad,puedeusarsepara afirmarlaexistenciadeespeciesa´unnodescubiertasenun h´abitat,comoen ∃x (especie(x) ∧ no descubierta(x)).

Interacci´onentreCuantificadores

Lacombinaci´ondecuantificadoresuniversalesyexistencialeses com´unparaformularafirmacionesm´ascomplejas,dondelaveracidad deunaproposici´ondependedelaestructuradeloscuantificadores.Unejemplocl´asicoesladefinici´ondecontinuidaduniformeen

3.4.OPERACIONESYREGLASENL ´ OGICADEPREDICADOS131

matem´aticas,quesepuedeexpresarcomo:

Estetipodeestructurasdemuestrac´omoloscuantificadorespueden interrelacionarseparaformularcondicionesprecisasydetalladas sobrelaspropiedadesdefuncionesyconjuntos.

3.4. OperacionesyReglasenL´ogicade Predicados

Lasoperacionesyreglasenlal´ogicadepredicadossonesenciales paralamanipulaci´on,simplificaci´onyan´alisisformaldeargumentos l´ogicos.Lasequivalenciasl´ogicassonparticularmenteimportantes porquepermitenlatransformaci´ondef´ormulassinalterarsuvalor deverdad.

3.4.1.EquivalenciasL´ogicas

Lasequivalenciasl´ogicassonfundamentalesparaentenderc´omo distintasformulacionesl´ogicaspuedenserequivalentesent´erminos deverdad.Estastransformacionessoncr´ıticasenelan´alisisyla simplificaci´ondeexpresionesl´ogicas.

LeyesdeEquivalencia: Aqu´ıpresentamosunconjuntom´ascompletodeleyesdeequivalenciautilizadasenlal´ogicadepredicados:

LeydeIdentidad:

LeydeDeMorgan:

¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ) ∨ (¬Q)

¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ) ∧ (¬Q)

LeydeContradicci´on:

P ∧¬P ≡ falso

P ∨¬P ≡ verdadero

LeydeImplicaci´on:

P → Q ≡¬P ∨ Q

LeydeBicondicional:

P ↔ Q ≡ (P → Q) ∧ (Q → P )

P ↔ Q ≡ (¬P ∨ Q) ∧ (¬Q ∨ P )

TransformacionesdeF´ormulas: Lahabilidadparatransformar f´ormulasusandoestasleyesesesencialparalasimplificaci´onl´ogicay laresoluci´ondeproblemas:

Simplificaci´ondeImplicaciones:Transformarimplicacionesen disyuncioneshacequeseanm´asmanejablesenpruebasl´ogicas.

Aplicaci´ondeDeMorganencontextosconcuantificadores: Transformarexpresionescomo ¬(∀x,P (x))en ∃x(¬P (x))es crucialenlaformulaci´ondeargumentosenlal´ogicadeprimer orden.

TransformacionesconBicondicionales:Descomponerbicondicionalesencomponentesm´assimplesayudaaclarificarrelaciones l´ogicascomplejas.

3.4.OPERACIONESYREGLASENL ´ OGICADEPREDICADOS133

Ejemplo4:Usodeleyesdeequivalencia

Consideremoslasimplificaci´ondelaf´ormula

Estatransformaci´onselogramediantelaaplicaci´ondelaleydeimplicaci´onseguidaporunasimplificaci´onusandolasleyesdeasociaci´on ydistribuci´on,mostrandoc´omolasequivalenciasl´ogicasfacilitanla reducci´ondelacomplejidaddelasf´ormulas.

3.4.2.ReglasdeInferencia

Lasreglasdeinferenciasonprincipiosformalesutilizadosparadeducirconclusionesv´alidasapartirdepremisasdadas.Sonpilares fundamentalesdelrazonamientol´ogicoycr´ıticosenlaconstrucci´on depruebasformalesenmatem´aticasyl´ogicacomputacional.

ModusPonensyModusTollens

ModusPonens: ElModusPonensesunareglaquepermiteinferir laconsecuenciadeunaimplicaci´onapartirdelaveracidaddesu antecedenteydelaimplicaci´onmisma.Formalmente,sisetiene P → Q y P esverdadero,entonces Q tambi´enloes.

→ Q,P

Ejemplo: Siseestableceque“Sillueve,entonceslacalleestar´a mojada”(P → Q)y“Est´alloviendo”(P ),entoncesseconcluyeque “Lacalleest´amojada”(Q).

ModusTollens: ElModusTollenspermitededucirlafalsedad delantecedentedeunaimplicaci´onapartirdelafalsedaddesu

consecuente.Si P → Q esverdaderoy Q esfalso,entonces P debe serfalso.

P → Q, ¬Q

∴ ¬P

Ejemplo: Sisesabeque“Sielsistemaest´aactivo,entonceslaluz est´aencendida”(P → Q)y“Laluznoest´aencendida”(¬Q),sepuede concluirque“Elsistemanoest´aactivo”(¬P ).

SilogismoHipot´eticoyDisyuntivo

SilogismoHipot´etico: Estareglaconectadosimplicacionespara deducirunatercera.Si P → Q y Q → R,entoncessepuedeinferir que P → R

P → Q,Q → R

∴ P → R

Ejemplo: Si“Serunmam´ıferoimplicaservertebrado”(P → Q)y “Servertebradoimplicatenersistemanervioso”(Q → R),entonces “Serunmam´ıferoimplicatenersistemanervioso”(P → R).

SilogismoDisyuntivo: Utilizaunadisyunci´onylanegaci´onde unodelost´erminosparainferirelotrot´ermino.Si P ∨ Q esverdadero y P esfalso,entonces Q debeserverdadero.

P ∨ Q, ¬P ∴ Q

Ejemplo: Si“Juanir´aalcineoJuanestudiar´aestanoche”(P ∨ Q)y “Juannoir´aalcine”(¬P ),entonces“Juanestudiar´aestanoche”(Q).

Introducci´onyEliminaci´ondeCuantificadores

Introducci´ondeCuantificadores: Permitegeneralizarunresultadoprobadoparauncasoespec´ıficoatodosloscasosposibles.Si P (c)esverdaderoparacualquierelementoarbitrario c,entoncesse

3.5.DEMOSTRACIONES

puedeafirmar ∀xP (x)parauncuantificadoruniversal,o ∃xP (x) parademostrarlaexistenciabasadaenuncasoconocido.

P (c)paracualquier c

∴ ∀xP (x)

Ejemplo: Sisedemuestraqueunapropiedad P (c)esverdaderapara unelemento c arbitrario,entoncessepuedegeneralizarque P (x)es verdaderaparatodoslos x.

Eliminaci´ondeCuantificadores: Permiteaplicarunaafirmaci´on generalacasosespec´ıficos.Siseconoceque ∃xP (x)esverdadero, sepuedeseleccionarunelementoespec´ıfico c paraelcual P (c)es verdadero.

∃xP (x)

∴ P (c)paraalg´un c

Ejemplo: Sisesabequeexistealmenosunn´umero x queesprimo (∃xP (x)),sepuedeespecificarunn´umeroprimoespec´ıficocomo2 (P (2)).

3.5.Demostraciones

Lasdemostracionessonesencialesenmatem´aticasycienciasformales paravalidarafirmacionesyteor´ıas.Estosm´etodosproporcionan lacertezamatem´aticanecesariaparaconstruirtodoeledificiodel conocimientocient´ıficoymatem´atico.

3.5.1.PruebasDirectas

Laspruebasdirectasimplicanunaseriedededuccionesl´ogicasque partendepremisasconocidasoaxiomasparallegaraunaconclusi´on. Estat´ecnicasigueunflujolinealytransparentederazonamiento, facilitandolacomprensi´onyverificaci´ondelavalidezdelaproposici´on.

Unapruebadirectaesefectivacuandoelcaminodesdelaspremisas hastalaconclusi´onesclaroynorequieresuposicionesadicionales.Es com´unenteoremasdondelaspropiedadesdelosobjetosmatem´aticos est´anbiendefinidasydondelasconexionesentreestaspropiedades sondirectamenteperceptibles.

Ejemplo: Unn´umeroentero n esimparsiysolosi n2 esimpar. Demostraci´on:

(⇒)Supongaque n esimpar, entonces n =2k +1paraalg´unentero k . Calculando n2 obtenemos: (2k +1)2 =4k 2 +4k +1=2(2k 2 +2k )+1, queesdelaforma2m +1donde m =2k 2 +2k , yporlotanto n2 esimpar.

(⇐)Supongaque n2 esimpar, porcontradicci´onasumaque n espar, entonces n =2k .

Calculando n2 obtenemos(2k )2 =4k 2 , queesclaramentepar, contradiciendolasuposici´ondeque n2 esimpar. Porlotanto, n debeserimpar.

3.5.2.PruebasporContradicci´on

Estat´ecnica,tambi´enconocidacomoreducci´onalabsurdo,supone quelanegaci´ondelaproposici´onaprobaresverdadera,yatrav´es dededuccionesl´ogicassellegaaunacontradicci´onconconocimientos previamenteaceptadosoconlamismasuposici´on.

3.5.DEMOSTRACIONES

Lapruebaporcontradicci´onespoderosaensituacionesdondela suposici´ondirectanollevaf´acilmenteaunaconclusi´onclara,o cuandolaproposici´oninvolucranegacionesol´ımitesinfinitos.Es frecuentementeutilizadaenteor´ıaden´umerosyan´alisisreal.

Ejemplo: Hayinfinitosn´umerosprimos.

Demostraci´on:

Supongamos,parallegaraunacontradicci´on,quehayunn´umero finitodeprimos,yenumer´emosloscomo p1 ,p2 ,...,pn .

Consideremoseln´umero N = p1 · p2 · ... · pn +1.

Esten´umero N noesdivisibleporningunodelosprimos p1 ,p2 ,...,pn porquedejaunresiduode1cuandosedivideporcualquieradeestos primos.

As´ı, N debeserprimootenerunfactorprimoquenoest´aenlalista inicial.

Estocontradicenuestrasuposici´ondequehayunn´umerofinitode primos.

Porlotanto,debehaberinfinitosn´umerosprimos.

Ejemplo: √3esunn´umeroirracional.

Demostraci´on:

Supongamos,parallegaraunacontradicci´on,que √3esracional.

Estoimplicaque √3sepuedeexpresarcomounafracci´on a b , donde a y b sonenteroscoprimos(sinfactorescomunes),y b =0.

Elevandoalcuadradoambosladosdelaecuaci´on √3= a b , obtenemos3= a2 b2 o3b2 = a2 .

Estoimplicaque a2 esdivisiblepor3.

Porlaspropiedadesdelosn´umerosprimos,estotambi´enimplicaque a debeserdivisiblepor3.

Podemosescribir a =3c paraalg´unentero c,y sustituyendoenlaecuaci´onoriginalobtenemos3b2 =(3c)2 =9c2 , loquesimplificaa b2 =3c2

Esto,asuvez,implicaque b2 esdivisiblepor3, yportanto, b tambi´endebeserdivisiblepor3.

Sinembargo,estocontradiceelhechodeque a y b soncoprimos,ya queambossondivisiblespor3.

Porlotanto,nuestrasuposici´oninicialdeque √3 esracionalesfalsa, y √3debeserirracional.

3.5.3.Inducci´onMatem´atica

Lainducci´onmatem´aticapruebaproposicionesquesonformuladas ent´erminossecuencialesoordenados,comolosenteros.Consisteen verificarlavalidezdelabasedeinducci´onyluegodemostrarque silaproposici´onsecumpleparauncasoarbitrario n,tambi´ense cumpleparaelcaso n +1.

Esespecialmente´utilparademostrarpropiedadesenestructuras discretascomosecuenciasyseries,relacionesderecurrencia,yen teor´ıadegrafos.Lainducci´onmatem´aticafortalecelageneralizaci´on depropiedadesatodoslosn´umerosenteros.

Ejemplo: Lasumadelosprimeros n cubosesigualalcuadrado delasumadelosprimeros n n´umerosnaturales,esdecir,

3.5.DEMOSTRACIONES

Demostraci´on:

Utilizaremosinducci´onmatem´aticaparademostrarestaproposici´on.

PasoBase: Para n =1, lasumadelosprimeros n cuboses13 =1, yelcuadradodelasumadelosprimeros n n´umerosnaturales es(1)2 =1.

Ambosladossoniguales,porloquelaproposici´onescierta para n =1.

PasoInductivo: Supongamosquelaproposici´onescierta paraunn´umeronatural n,esdecir,asumimosque:

Estaesnuestrahip´otesisdeinducci´on.

Ahoradebemosdemostrarquelaproposici´ontambi´enesverdaderapara n +1,esdecir,necesitamosdemostrarque:

Sabemosporlahip´otesisdeinducci´onque:

Porlotanto,a˜nadiendo(n +1)3 aambosladosobtenemos:

Porotraparte,lasumadelosprimeros n +1n´umerosnaturales es: 1+2+ ... + n +(n +1)= n(n +1) 2 +(n +1)

Simplificando,tenemos: n(n +1)+2(n +1) 2 = (n +1)(n +2) 2

Elevandoalcuadradoestaexpresi´on,obtenemos: (n +1)(n +2) 2 2

Conlahip´otesisdeinducci´onyalgunasmanipulacionesalgebraicasadicionales,podemosmostrarque:

Elevandoalcuadradoestaexpresi´on,obtenemos: (n +1)(n +2) 2 2 = (n +1)2 (n +2)2 4

Comparaci´ondeamboslados: Utilizandolahip´otesisde inducci´on,sabemosque:

A˜nadiendo(n +1)3 aesteresultado,necesitamosdemostrar que: n2 (n +1)2 4 +(n +1)3 = (n +1)2 (n +2)2 4

Dedonde,

Estoconfirmaqueelladoderechoeizquierdosonigualespara n +1,completandoas´ıelpasoinductivo.

Porlotanto,porelprincipiodeinducci´onmatem´atica,laproposici´on esverdaderaparatodoslosn´umerosnaturales n.

3.6.Teor´ıadeModelos

Lateor´ıademodelosesunadisciplinacentralenlal´ogicamatem´atica queexploralasinteraccionesentrelasexpresionessint´acticasde unlenguajeformalysusinterpretacionesomodelossem´anticos. Proporcionaunmarcopoderosoparaanalizarycomprenderlavalidez delasf´ormulasendiferentesestructuras.

3.6.1.ModelosySatisfacci´on

Un modelo enlateor´ıademodelosesunaestructuramatem´atica queasignasignificadosaloss´ımbolosutilizadosenunlenguajeformal L.Esteconceptoescrucialparaelestudiodelasem´anticaenl´ogicas formales,especialmenteenl´ogicadepredicados.

Unmodeloparaunlenguaje L esunatupla M =(D,I ),donde:

D ,el dominio o universo,esunconjuntonovac´ıoquecontiene losobjetossobrelosquesehaceeldiscurso.

I ,la funci´ondeinterpretaci´on,asignaunsignificadoconcretoa cadas´ımbolodefunci´on,constanteypredicadoen L.Paracada s´ımbolodefunci´on f dearidad n, I (f )esunafunci´on D n → D ; paracadapredicado P dearidad n, I (P )esunsubconjuntode D n ;yparacadaconstante c, I (c)esunelementode D .

La satisfacci´on,denotadapor M|= φ (seleecomo“elmodelo M satisfacelaf´ormula φ”),ocurrecuandolaf´ormula φ esverdadera bajolainterpretaci´ondadapor M.

ProcesodeSatisfacci´on:

Paraunpredicado P (x1 ,...,xn ), M|= P (a1 ,...,an )siysolo si(a1 ,...,an ) ∈ I (P ),donde ai sonelementosdeldominio D .

Lasconstantesyvariablesseinterpretanseg´un I yasignaciones espec´ıficasdentrode D .

Lasf´ormulascomplejasseeval´uanutilizandolasreglasl´ogicas est´andardeconjunci´on,disyunci´on,negaci´on,ycuantificaci´on, aplicadasdeacuerdoalainterpretaci´ondesuscomponentes.

Ejemplo: Considereunlenguaje L conunpredicado P ,unaconstante c,yuns´ımbolodefunci´on f .

Unmodelo M puedetenerundominio D = {1, 2, 3},

con I (P )= {(1, 2), (2, 3)}, I (c)=3,e I (f )(x)= x +1.

Enestemodelo, M|= P (f (c),c)porque f (c)=4y(4, 3) / ∈ I (P ),

demostrandoquelaestructurade M nosatisfaceesaf´ormulaparticular,mostrandoc´omolaestructuradelmodeloinfluyeenlasatisfacci´on delasf´ormulas.

Estosaspectosdelateor´ıademodelossonfundamentalespara comprenderc´omolasf´ormulasl´ogicasinteract´uanconlasestructuras matem´aticasyc´omolasteor´ıasformalespuedenserinterpretadasde manerasignificativaendiversoscontextos.

3.7.TeoremasFundamentales

LosteoremasdeCompletitudyCompacidadsonpilaresenlateor´ıa demodelosylal´ogicamatem´atica,proporcionandounabasepara entenderc´omolasverdadesl´ogicasylasestructurasmatem´aticasse relacionanenelcontextodesistemasformales.

3.7.1.TeoremadeCompletituddeG¨odel

ElTeoremadeCompletituddeG¨odelesunodelosresultadosm´as influyentesenlal´ogicadeprimerorden.Establecequelasherramientasdededucci´ondelal´ogicadeprimerordensonsuficientemente potentesparademostrarcualquierverdadqueseauniversalmente v´alidaentodoslosmodelosdeunconjuntodadodeaxiomas.

3.7.TEOREMASFUNDAMENTALES

Elteoremasepuedeexpresarformalmentedelasiguientemanera: ParacualquierconjuntoconsistentedesentenciasΓycualquier sentencia φ,siΓ |= φ ,entoncesΓ φ.

Estoimplicaquesi φ esverdaderaentodoslosmodelosquesatisfacen Γ,entoncesexisteunademostraci´onde φ apartirdeΓusandolas reglasdeinferenciadelal´ogicadeprimerorden.

Lacompletitudaseguraquenohayverdades“inaccesibles”enla l´ogicadeprimerorden;todoloqueesuniversalmenteciertopuede serprobado.Estoesfundamentalparagarantizarquelossistemas formalesbasadosenlal´ogicadeprimerordensonrobustosycapaces decapturartodalaverdadnecesariadentrodesu´ambitodefinido.

3.7.2.TeoremadeCompacidad

ElteoremadeCompacidadutilizaherramientasdelateor´ıade conjuntosytopolog´ıaparaestablecerquelaconsistenciadeinfinitas coleccionesdesentenciaspuedeserentendidacompletamenteen t´erminosdesussubconjuntosfinitos.

Elteoremasepuedeenunciarcomo:

SicadasubconjuntofinitodeΓessatisfacible,entonceselconjunto completoΓessatisfacible.

Estoesequivalenteadecirquesinopodemosderivarunacontradicci´ondeningunaselecci´onfinitadesentenciasdeΓ,entoncesel conjuntocompletonopuedesercontradictorio.

Esteteorematieneconsecuenciasprofundas,especialmenteenel estudiodelasatisfactibilidadylamodelabilidaddeteor´ıasque incluyenunn´umeroinfinitodeaxiomasorestricciones.Porejemplo, enteor´ıaden´umeros,elteoremadeCompacidadsepuedeutilizar paraargumentarlaexistenciadeestructurasnum´ericasquecumplen unavariedadinfinitadecondiciones.

Ejemplo: Considereelconjuntodeaxiomasquedescribelaspropiedadesdelosn´umerosnaturalesjuntoconsentenciasadicionales quepostulanlaexistenciadeunn´umeromayorquetodoslosnaturales.Aunquecadaconjuntofinitodeestassentenciasesconsistente (asumiendoquelosn´umerossiemprepuedenser“suficientemente grandes”),elteoremadeCompacidadgarantizalaexistenciadeun modelonoest´andardelosn´umerosnaturalesqueincluye“n´umeros infinitos”,demostrandoas´ılaflexibilidadyprofundidaddelateor´ıa demodelos.

3.8.EjemplosdeAplicaciones

3.8.1.AplicacionesenMatem´aticas

Lal´ogicadepredicadosnosoloesunaherramientacentralparala formulaci´ondeteor´ıasmatem´aticas,sinoquetambi´enproporciona laestructuranecesariaparaexploraryresolvercuestionesprofundas enlateor´ıadeconjuntosylosfundamentosdelasmatem´aticas.

Teor´ıadeConjuntos

Lateor´ıadeconjuntosutilizalal´ogicadepredicadosparadefinir operacionesyrelacionesentreconjuntos,yparaestablecerlosaxiomas queformanlabasedelamatem´aticamoderna.

DefinicionesyOperaciones

OperacionesB´asicas: Ladefinici´ondeoperacionescomola uni´on(A ∪ B ),intersecci´on(A ∩ B ),ydiferenciadeconjuntos (A\B )seformalizanusandolal´ogicadepredicados.Porejemplo, x ∈ (A ∪ B )siysolosi x ∈ A ∨ x ∈ B .

Relaciones: Conceptoscomosubconjuntosyconjuntospotenciasedefinenclaramenteconlaayudadelal´ogicadepredicados.

Unconjunto A esunsubconjuntode B siparatodoelemento x, x ∈ A → x ∈ B .

AxiomasyFundamentos

AxiomasdeZermelo-Fraenkel(ZF): Losaxiomasque estructuranlateor´ıadeconjuntos,comoelaxiomadeelecci´on, seexpresanyanalizanusandolal´ogicadepredicados.Estos axiomasproporcionanunmarcoformalparadiscutiryresolver preguntassobretama˜no,ordenyotrosaspectosfundamentales delosconjuntos.

FundamentosdeMatem´aticas

Losfundamentosdelasmatem´aticassebeneficianenormementedela precisi´onyclaridadqueofrecelal´ogicadepredicados,especialmente enlaformalizaci´ondeconceptosyteoremas.

ConsistenciayCompletitud

TeoremasdeIncompletituddeG¨odel: G¨odelmostr´oque encualquiersistemasuficientementericodesdeelpuntode vistaaritm´etico,hayafirmacionesquesonverdaderaspero nodemostrablesdentrodelsistema.Lal´ogicadepredicados ayudaaentenderydelimitarlosalcancesylimitacionesdelos sistemasformales.

Teor´ıadeModelosyTeor´ıadelaDemostraci´on

Modelosnoest´andar: Lateor´ıademodelosusalal´ogica depredicadosparaconstruiryanalizarmodelosdeteor´ıas matem´aticas,incluyendomodelosnoest´andardelaaritm´etica, quepuedentenerpropiedadesinusualesyreveladoras.

Demostracionesformales: Lateor´ıadelademostraci´on estudiac´omolaspruebasmatem´aticaspuedenserrepresentadas comoestructurasformales.Lal´ogicadepredicadosproporciona lasherramientasnecesariasparamodelarpruebascomoobjetos matem´aticosquepuedenserestudiadosymanipulados.

3.8.2. AplicacionesenCienciasdelaComputaci´on

Lal´ogicadepredicadosdesempe˜naunpapelcrucialencienciasde lacomputaci´on,facilitandoeldesarrollodeteor´ıasyaplicaciones quevandesdeelrazonamientoautom´aticohastalamanipulaci´onde basesdedatos.Estosfundamentoste´oricosproporcionanlabasepara sistemascomplejoseninteligenciaartificialyenlagesti´oneficiente dedatos.

InteligenciaArtificial

Lainteligenciaartificialutilizaextensamentelal´ogicadepredicados paramodelarelconocimientoydesarrollarsistemascapacesde razonarsobreesteconocimientodeformaefectivayaut´onoma.

Representaci´ondelConocimientoyRazonamientoAutom´atico

Sistemasexpertos: Lal´ogicadepredicadosfacilitalarepresentaci´onformaldelconocimientoensistemasexpertos,donde lasreglasl´ogicascodificadasayudanaestossistemasatomar decisionesbasadasendatosespec´ıficosyreglaspredefinidas.Estossistemaspuedendiagnosticarproblemas,sugerirsoluciones, omanejartareasespec´ıficasdeldominiobasadaseninferencias l´ogicas.

Planificaci´onyrazonamientoautom´atico: Entareasde planificaci´onautom´atica,lal´ogicadepredicadosesutilizada paradefinirlosestadosiniciales,lasaccionesposiblesylos objetivosaalcanzar.Estopermitealosalgoritmosdeplanificaci´oncalcularsecuenciasdeaccionesquellevandeunestado aotrodeseado,considerandolasprecondicionesyefectosde cadaacci´onent´erminosl´ogicos.

Rob´oticaypercepci´on: Lal´ogicadepredicadosseaplicaen rob´oticaparainterpretarsensorialesytomardecisionesl´ogicas sobrelasaccionesarealizar.Estoimplicaelusodel´ogicapara

procesarysintetizarinformaci´ondesensoresyluegoaplicar reglasl´ogicasparalanavegaci´onymanipulaci´ondeobjetos.

LenguajesdeProgramaci´onL´ogica

Prologyotroslenguajes: Prologesunejemploprominente deunlenguajedeprogramaci´onbasadoenl´ogicadepredicados quepermitealosdesarrolladoresescribirprogramasent´erminos derelacionesyreglasl´ogicasqueseresuelvenmediantet´ecnicas deb´usquedaypatternmatching.Estoesfundamentalpara aplicacionesquerequierenunaltogradoderazonamientol´ogico, comoan´alisisling¨u´ısticoyresoluci´ondepuzzles.

BasesdeDatos

Lal´ogicadepredicadosproporcionaunmarcos´olidoparaeldise˜no, consultaygesti´ondebasesdedatos,mejorandolaeficienciayla exactituddelasoperacionescondatos.

ConsultasyDise˜nodeBasesdeDatos

SQLymanipulaci´ondedatos: SQL,quesebasaenprincipiosdel´ogicadepredicados,permitelaformulaci´ondeconsultas complejasyladefinici´onderestriccionesdeintegridadenbases dedatosrelacionales.Lacapacidaddeespecificarymanipular datosmedianteexpresionesl´ogicascomplejasescrucialpara elmantenimientodelaintegridadylacoherenciaengrandes basesdedatos.

Optimizaci´ondeconsultas: Losprincipiosdel´ogicadepredicadossonutilizadosparaoptimizarlasconsultasenbases dedatos,transformandoconsultascomplejasenformasque puedenserprocesadasm´aseficientementesincambiarsusignificado.Estoesvitalparamejorarelrendimientodelossistemas debasesdedatosenentornosdegranescala.

Ejemplo: Consideremosunabasededatosquegestionainformaci´ondeempleados.Unaconsultat´ıpicaenSQLpodr´ıaser:“Seleccionartodoslosempleadosquetrabajaneneldepartamentode marketingytienenalmenoscincoa˜nosdeexperiencia”.Estaconsultasetraduceenunaf´ormulal´ogicaqueeval´uaaverdaderopara todoslosempleadosquecumplenconambascondiciones,ilustrando laaplicaci´ondirectadelal´ogicadepredicadosenlarecuperaci´ony manipulaci´ondedatos.

3.8.3.AplicacionesenFilosof´ıa

Lal´ogicadepredicadosserevelacomounaherramientaindispensable enlafilosof´ıaparaelan´alisisrigurosoydetalladodeargumentos, proporcionandoclaridadyprecisi´oneneltratamientodecuestiones filos´oficascomplejas.

An´alisisL´ogicodeArgumentos

Enfilosof´ıa,lal´ogicadepredicadosesesencialparadescomponerargumentosensuscomponentesestructurales,permitiendounescrutinio detalladodesuvalidezycoherencial´ogica.

Descripci´onyAplicaci´onDetallada

Formalizaci´ondeargumentos: Lal´ogicadepredicados ayudaatraducirargumentosexpresadosenlenguajenatural aunaformal´ogicaqueessusceptibledean´alisisformal.Esto involucraidentificarlaspremisasylasconclusionesyexpresarlas mediantes´ımbolosyconectoresl´ogicosquerevelanlaestructura subyacentedelrazonamiento.

Evaluaci´onrigurosadeargumentos: Conlaayudadela l´ogicadepredicados,losfil´osofospuedendeterminarsilas conclusionesdeunargumentosesiguenl´ogicamentedelas premisas.Estean´alisisincluyelaverificaci´ondelavalidezl´ogica

mediantelaaplicaci´ondereglasdeinferenciaylaidentificaci´on deposiblesfalaciasl´ogicas.

Exploraci´ondeproblemasfilos´oficos: Lal´ogicadepredicadospermitemodelarproblemasfilos´oficostradicionales, comolosrelacionadosconlaontolog´ıa,laepistemolog´ıayla ´etica,demaneraquesepuedenexplorarformalmentesusimplicacionesyconsecuencias.Porejemplo,sepuedenformular yevaluardiferentesescenariosycondicioneshipot´eticaspara comprendermejorconceptoscomolajusticia,elconocimiento, olaexistencia.

EjemplosPr´acticos

An´alisisdelaparadojadeEubulides: Laparadojadel mentiroso,queafirma“Esteenunciadoesfalso”,puedeser analizadausandol´ogicadepredicadosparaexplorarsusimplicacionessobrelaverdadylaauto-referencia.Lal´ogicaayuda aidentificarlanaturalezaautorreferencialylainconsistencia queresultadelasuposici´ondequeelenunciadoesverdaderoo falso.

Debatesobreeldeterminismo: Lal´ogicadepredicados seutilizaparaformularclaramentelosargumentosafavory encontradeldeterminismo.Porejemplo,sepuedemodelarel argumentodequesitodaslasaccionesest´andeterminadaspor condicionesprevias,entoncesnopuedeexistirellibrealbedr´ıo. Lal´ogicadepredicadospermitealosfil´osofosconstruiryevaluar losargumentosl´ogicosrelacionadosconestasafirmaciones.

ProblemasyEjercicios

Estasecci´onproporcionaejemplosdetalladosdeproblemasresueltosutilizandolal´ogicadepredicados,dise˜nadosparafortalecerla comprensi´onylaaplicaci´onpr´acticadeestaimportanteherramienta l´ogica.

ProblemasResueltos

Acontinuaci´on,sepresentanejemplosdetalladosconsolucionespaso apasoquemuestranc´omoaplicarlal´ogicadepredicadospararesolverproblemasespec´ıficosydesarrollarhabilidadesderazonamiento l´ogico.

Ejemplo1: Demostrarqueparacualquierconjunto A y B ,si

A ⊆ B ,entonces A ∩ B = A y A ∪ B = B .

Soluci´on:

Paso1:Demostrar A ∩ B = A

1. Definici´ondeIntersecci´on: Recordemosque x ∈ A ∩ B siysolosi x ∈ A y x ∈ B

2. Suposici´on: Supongamosque A ⊆ B ,loquesignificaque si x ∈ A,entonces x ∈ B .

3. L´ogicaAplicada: Delasuposici´on,sesiguequepara todo x ∈ A, x ∈ B tambi´en.Porlotanto, x ∈ A ∩ B si x ∈ A.Estomuestraquecadaelementode A est´aen A ∩ B ,porloque A ⊆ A ∩ B

4. Conclusi´on: Yaque A ∩ B ⊆ A pordefinici´ondeintersecci´on,yhemosdemostradoque A ⊆ A ∩ B ,concluimos que A = A ∩ B .

Paso2:Demostrar A ∪ B = B

1. Definici´ondeUni´on: Recordemosque x ∈ A ∪ B siy solosi x ∈ A o x ∈ B .

2. L´ogicaAplicada: Dadoque A ⊆ B ,entonces x ∈ A implica x ∈ B .Porlotanto,paracualquier x,si x ∈ A ∪ B , entonces x ∈ B ,mostrandoque A ∪ B ⊆ B

Yaque B ⊆ A ∪ B pordefinici´ondeuni´on,yhemos demostradoque A ∪ B ⊆ B ,concluimosque A ∪ B = B .

Ejemplo2: Demostrarque

∀x (P (x) → Q(x)) → (∃xP (x) →∃xQ(x))

esunatautolog´ıa.

Soluci´on:

Paso1:An´alisisdeImplicaci´on: Laafirmaci´onpuedeser descompuestaenunaimplicaci´ondondesitodo x quesatisface P (x)tambi´ensatisface Q(x),entoncessiexistealg´un x que satisface P (x),debeexistiralg´un x quesatisface Q(x).

Paso2:Aplicaci´ondelaL´ogicadePredicados: Supongamosque ∀x (P (x) → Q(x))esverdaderoyque ∃xP (x) tambi´enesverdadero.Pordefinici´ondecuantificadores,existe almenosun x talque P (x)esverdadero,yporlasuposici´on inicial,este x tambi´endebehacerque Q(x)seaverdadero, cumpliendocon ∃xQ(x).

Sehademostradoquesilaprimerapartedelaimplicaci´on esverdadera,entonceslasegundapartetambi´endebeserlo, confirm´andoseas´ıquelaexpresi´onesunatautolog´ıa.

Ejemplo3: Demuestrequesi a dividea b y b dividea c,entonces a dividea c.

Soluci´on:

Paso1:Definici´ondedivisibilidad Ladivisibilidadsedefinecomo a dividea b siexisteunentero k tal que b = ka.

Paso2:Construcci´ondelargumentol´ogico Supongamosque a dividea b y b dividea c.Estosepuedeexpresar como:

∃k (b = ka)y ∃m (c = mb)

Sustituyendo b delaprimeraexpresi´onenlasegunda,obtenemos:

c = m(ka)=(mk )a

Estomuestraque c eselproductode a y mk ,loquesignificaque a dividea c

Sehademostradomediantelal´ogicadepredicadosquesi a dividea b y b dividea c,entonces a dividea c.

Ejemplo4: Demuestrequeparacualquierconjunto A, A ⊆ (A ∪ B ).

Soluci´on:

Paso1:Definici´ondesubconjunto Unconjunto A esunsubconjuntodeotroconjunto C sitodoslos elementosde A tambi´ensonelementosde C ,expresadoenl´ogicade predicadoscomo: ∀x (x ∈ A → x ∈ C )

Paso2:Aplicaci´onalproblema

Necesitamosdemostrarque:

x (x ∈ A → x ∈ (A ∪ B ))

Dadoque x ∈ (A ∪ B )si x ∈ A o x ∈ B ,esevidentequesi x ∈ A, entonces x ∈ (A ∪ B ).

Empleandolal´ogicadepredicadossedemostr´oformalmenteque todoelementode A estambi´enunelementode A ∪ B ,verificando que A ⊆ (A ∪ B ).

Ejemplo5: Demuestreutilizandolal´ogicadepredicadosquela LeydeMorgansobrenegacionesyconjuncionessecumple,esdecir, demuestreque ¬(P ∧ Q) ≡¬P ∨¬Q.

Soluci´on:

Definici´ondelasoperacionesl´ogicas: LaLeydeMorgan involucralasoperacionesdenegaci´onyconjunci´on,ysuefecto sobreladisyunci´ondenegaciones.

Aplicaci´ondeladefinici´ondeequivalencial´ogica: Para demostrarque ¬(P ∧ Q) ≡¬P ∨¬Q,analizamoslosvaloresde verdad:

1. Siambos P y Q sonfalsos,entonces P ∧ Q esfalso, ¬(P ∧ Q) esverdadero,ytanto ¬P como ¬Q sonverdaderos,por loque ¬P ∨¬Q esverdadero.

2. Sialmenosunoentre P o Q esfalso,entonces P ∧ Q es falso, ¬(P ∧ Q)esverdadero,yalmenosunoentre ¬P o ¬Q esverdadero,haciendoque ¬P ∨¬Q seaverdadero.

Entodosloscasos,losvaloresdeverdadde ¬(P ∧ Q)y ¬P ∨¬Q coinciden,estableciendolaequivalencia.

Ejemplo6: Demuestrequesiexisteexactamenteun x talque P (x)esverdadero,entoncesnopuedeexistirun y distintode x tal que P (y )tambi´enseaverdadero.

Soluci´on:

Expresi´ondelaexistenciayunicidad: Laafirmaci´onse formalizacomo ∃x (P (x) ∧∀y (P (y ) → y = x)).

Demostraci´ondelaimplicaci´on:

1. Suponemosqueexistetal x quesatisface P (x)yquepara todo y ,si P (y )entonces y = x.

2. Supongamos,buscandounacontradicci´on,queexisteun y = x talque P (y )esverdadero.Seg´unnuestrasuposici´on, estoimplicar´ıaque y = x,loquecontradiceque y = x.

Porlotanto,nopuedeexistirun y distintode x quehaga verdadero P (y ).

3.9.ProblemasdeEjercitaci´on

Paraprofundizarlacomprensi´ondelal´ogicadepredicadosyfortalecerlashabilidadesderazonamientol´ogico,seproponenlossiguientes ejercicios.Seincluyensugerenciasgeneralesparaabordarestosproblemas,ayudandoadesarrollarestrategiasefectivasdesoluci´on.

Ejercicio1: Dadounconjunto A = {1, 2, 3, 4},definaunarelaci´on R en A talque R = {(x,y ) ∈ A × A : x<y }.Demuestreque R es unarelaci´ondeordenparcial.

Sugerencia: Reviselaspropiedadesquedefinenunarelaci´onde ordenparcial:reflexividad,antisimetr´ıaytransitividad.Apliquecada propiedadalarelaci´on R ydeterminesisecumplen.

Ejercicio2: Considerelaafirmaci´on:“Notodoslosestudiantesen laclasepasaronelexamen”.Expr´eselautilizandocuantificadoresy luegoencuentresunegaci´on.

Sugerencia: Comienceexpresandolaafirmaci´onoriginalenforma decuantificadores.Luego,apliquelasreglasdenegaci´ondecuantificadoresparaencontrarlanegaci´ondelaafirmaci´on.

Ejercicio3: Demuestrequelaexpresi´on(P → Q) ∨ (Q → P )es unatautolog´ıa.

Sugerencia: Utiliceunatabladeverdadparaexaminarlosvalores deverdadde P y Q yc´omoafectanalaexpresi´oncompleta.Verifique silaexpresi´onesverdaderaentodosloscasosposibles.

Ejercicio4: Considerelarelaci´on S definidaenelconjuntodelos n´umerosenteros Z por S = {(x,y ) ∈ Z × Z : x y espar}.Determine si S esreflexiva,sim´etricaytransitiva.

Sugerencia: Examinecadapropiedadporseparado.Paralareflexividad,verifiquesitodoelementoest´arelacionadoconsigomismo.Para

lasimetr´ıa,verifiquesiparatodo(x,y ) ∈ S ,elpar(y,x)tambi´en pertenecea S .Paralatransitividad,necesitar´acomprobarsisiempre que(x,y )y(y,z )est´anen S ,entonces(x,z )tambi´enest´aen S .

Ejercicio5: Eval´uelavalidezdelsiguienteargumento:“Sillueve, entonceslacalleest´amojada.Lacallenoest´amojada.Porlotanto, noest´alloviendo”.

Sugerencia: Utiliceunenfoquedetabladeverdadparadeterminar silaconclusi´onsesiguel´ogicamentedelaspremisas.Considere lasimplicacionesyapliqueelmodustollens,queesunaformade argumentodondeseinfierelanegaci´ondeunapremisaapartirdela negaci´ondelaconclusi´on.

Ejercicio6: Reformulelasiguienteafirmaci´onent´erminosde cuantificadoresyluegoencuentresunegaci´on:“Algunoslibrosno est´anenlabiblioteca”.

Sugerencia: Primero,traduzcalaafirmaci´onaunaformaqueutilice cuantificadores,como ∃x (Libro(x) ∧¬EnBiblioteca(x)).Luego,apliquelasleyesdeDeMorganylasreglasdenegaci´ondecuantificadores paraencontrarlanegaci´ondelaafirmaci´on.

Ejercicio7: EscribaunpredicadoenPrologquedeterminesiun elementoperteneceaunalista.

Sugerencia: Considereelcasobasedondeelelementoeslacabeza delalistayelcasorecursivodondenecesitabuscarenelrestodela lista.Utiliceelformatodereglasyrecursi´ont´ıpicoenProlog.

Ejercicio8: Definaunarelaci´on R enelconjuntodelosn´umeros naturales N por R = {(x,y ) ∈ N × N : x2 <y 3 }.Determinesi R es reflexiva,sim´etricaotransitiva.

Sugerencia: Analicecadapropiedad:Paralareflexividad,verifiquesi cadan´umeronatural n satisface n2 <n3 .Paralasimetr´ıa,considere

si x2 <y 3 implica y 2 <x3 .Paralatransitividad,eval´uesi x2 <y 3 y y 2 <z 3 siemprellevana x2 <z 3 .

Ejercicio9: Demuestrequelaimplicaci´on(P → Q)esl´ogicamente equivalentea(¬Q →¬P ).

Sugerencia: Utiliceunatabladeverdadparademostrarlaequivalenciaounargumentol´ogicobasadoenladefinici´ondeimplicaci´on ylasleyesdelal´ogica:Laimplicaci´on P → Q puedeserescrita como ¬P ∨ Q.Laimplicaci´on ¬Q →¬P sereformulacomo Q ∨¬P . Compareambasexpresionesparaestablecerlaequivalencia.

Ejercicio10: Eval´ueelsiguienteargumentoparadeterminarsies v´alidoono:“Todoslosmam´ıferossonanimales.Todosloselefantes sonmam´ıferos.Porlotanto,todosloselefantessonanimales”.

Sugerencia: Utilicelal´ogicadepredicadosparaformularelargumentoyluegoeval´uesuvalidez:Sea M (x): x esunmam´ıfero. Sea A(x): x esunanimal.Sea E (x): x esunelefante.Laspremisas son ∀x (M (x) → A(x))y ∀x (E (x) → M (x)).Laconclusi´ones ∀x (E (x) → A(x)).Demuestresilaconclusi´onsesiguel´ogicamente delaspremisasmedianteelusodereglasdeinferencia.

Cap´ıtulo4

N´umerosReales

4.1.SistemadeN´umerosReales

ElSistemadeN´umerosReales,denotadocom´unmentepor R,es elconjuntoden´umerosqueincluyetantoalosn´umerosracionales (quepuedenexpresarsecomoelcocientededosenteros, a b ,con b =0)comoalosn´umerosirracionales(quenopuedenexpresarse comoelcocientededosenterosycuyasrepresentacionesdecimales soninfinitasynoperi´odicas).Estesistemaesfundamentalenlas matem´aticas,yaqueproporcionaunabaseparaentenderconceptos comoelvalorabsoluto,lasoperacionesaritm´eticasb´asicas,ylas propiedadesdeorden.

Losn´umerosrealespuedenclasificarseenvariossubconjuntossignificativos:

N´umerosNaturales (N):Sonaquellosn´umerosenterospositivos queseutilizanparacontarloselementosdeunconjunto.Incluyena losn´umeros1, 2, 3,...

N´umerosEnteros (Z):Esteconjuntoincluyealosn´umerosnaturales,susopuestosnegativos,yelcero.Porlotanto, Z incluyea ..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...

N´umerosRacionales (Q):Compuestosportodosaquellosn´umeros quepuedenexpresarsecomoelcocientededosn´umerosenteros, dondeeldenominadoresdistintodecero.

N´umerosIrracionales (I):Sonn´umerosquenopuedenexpresarse comoelcocientededosn´umerosenteros.Surepresentaci´ondecimal esinfinitaynoperi´odica.Ejemplosdestacadosincluyena √2y π .

Elconjuntodelosn´umerosrealessecaracterizaporserunconjunto ordenado,completoyquesatisfacelaspropiedadesdeseruncampo, loqueimplicaquedentrode´elsepuedenrealizarlasoperacionesde suma,resta,multiplicaci´onydivisi´on(exceptoporcero)cumpliendoconlaspropiedadesasociativa,conmutativa,distributiva,ylas existenciasdeelementoneutroyelementoinverso.

4.1.1.Desigualdades

Lasdesigualdadessonrelacionesmatem´aticasqueexpresanlaidea dequedoscantidadesnosoniguales,se˜nalandoqueunapuedeser mayoromenorquelaotra.Estasrelacionesseutilizanampliamente enmatem´aticasparacompararn´umeros,funcionesyotrosobjetos matem´aticos.Lasdesigualdadesserepresentanmediantes´ımbolos: mayorque >,menorque <,mayoroigualque ≥,ymenoroigual que ≤.

Unadesigualdadb´asicatienelaforma a>b o a<b,donde a y b sonn´umerosreales.Esteconceptoseextiendeadesigualdadesm´as complejasqueinvolucranexpresionesalgebraicas,funcionesyvariables.Laresoluci´ondedesigualdadesesunaherramientafundamental enelan´alisismatem´atico,laoptimizaci´onydiversasaplicacionesen cienciaseingenier´ıa.

Propiedadesfundamentalesdelasdesigualdades:

Transitividad:

Si a>b y b>c,entonces a>c.

Adici´ondelamismacantidad:

Si a>b,entonces a + c>b + c paracualquier c.

Multiplicaci´onporunacantidadpositiva:

Si a>b y c> 0,entonces ac>bc.

Inversi´on:

Si a>b yambossonpositivos,entonces 1 a < 1 b .

Lasdesigualdadesseclasificanenvariostipos,comolineales,cuadr´aticasypolinomiales,cadaunaconm´etodosespec´ıficosdesoluci´on. Adem´as,existendesigualdadesnotablesenmatem´aticas,comola desigualdaddeCauchy-Schwarz,ladesigualdadtriangularyladesigualdaddeJensen,quetienenaplicacionesen´areascomoan´alisis matem´atico,teor´ıaden´umerosygeometr´ıa.

4.1.2.AxiomasdeRelaci´ondeOrden

Enmatem´aticas,losaxiomasderelaci´ondeordenproveenunafundaci´onformalparacompararelementosdentrodeunconjunto.Una relaci´ondeordenenunconjunto A esunarelaci´onbinariaquesatisfaceciertaspropiedades,permitiendocompararloselementosde

A ent´erminosde“menorque”,“iguala.o “mayorque”.Estosaxiomassonesencialesenelestudiodeestructurasalgebraicas,an´alisis matem´atico,yotras´areasdelasmatem´aticas.

Losprincipalesaxiomasderelaci´ondeordensonlossiguientes:

Reflexividad:

∀ a ∈ A,secumpleque a ≤ a.

Antisimetr´ıa:

∀ a,b ∈ A,si a ≤ b y b ≤ a,entonces a = b.

Transitividad:

∀ a,b,c ∈ A,si a ≤ b y b ≤ c,entonces a ≤ c.

Tricotom´ıa:

∀ a,b ∈ A,exactamenteunadelassiguientesesverdadera: a<b, a = b,o a>b.

Cadaunodeestosaxiomasjuegaunpapelcrucialenlaestructuraci´on desistemasnum´ericosyotrosconjuntosordenados,facilitandoel desarrollodeteor´ıasyaplicacionesmatem´aticascomplejas.

4.1.3.Definiciones

Enel´ambitodelasmatem´aticas,particularmenteenelestudiode losn´umerosreales,existendefinicionesfundamentalesquepermiten establecerrelacionesypropiedadesentren´umeros.Estasdefiniciones soncrucialesparalacomprensi´ondeconceptosb´asicosyavanzados enmatem´aticas.

N´umeroPositivo

Unn´umeroreal a seconsiderapositivosicumpleque a> 0.Esta definici´onimplicaqueeln´umeroest´asituadoaladerechadelcero enlarectanum´erica,representandocantidadesomagnitudesque existenenausenciadesignonegativo.

N´umeroNegativo

Unn´umeroreal b sedefinecomonegativosisatisfaceque b< 0.En larectanum´erica,estosn´umerosseencuentranalaizquierdadel cero,indicandounadirecci´onopuestaaladelosn´umerospositivosy representandomagnitudesqueposeenunsignonegativo.

MayoroIgualQue

Dadosdosn´umerosreales c y d,decimosque c esmayoroigualque d,denotadopor c ≥ d,si c esmayorque d oexactamenteiguala d.

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES161

Estarelaci´onesfundamentalparacompararmagnitudesyestablecer jerarqu´ıasosecuenciasnum´ericas.

MenoroIgualQue

Dadosdosn´umerosreales e y f ,afirmamosque e esmenoroigualque f ,representadopor e ≤ f ,si e esmenorque f ocoincideexactamente con f .Aligualquelarelaci´onanterior,estadefinici´onpermitela comparaci´onyordenaci´onden´umerosenuncontextomatem´atico.

Estasdefinicionessonpiedrasangularesenelestudiodelosn´umeros reales,permitiendonosololacomparaci´onentremagnitudessino tambi´enlaconstrucci´ondefundamentosparaelan´alisismatem´atico, lateor´ıaden´umeros,ymuchasotras´areasdelasmatem´aticas.

4.2. Demostraci´ondeTeoremasenN´umerosReales

Estedocumentopresentademostracionesformalesdeteoremasfundamentalesenelcontextodelosn´umerosreales,abarcandoaxiomas ydefinicionesclave.

Ejemplo1:UnicidaddelElementoNeutroAditivo

Teorema:

Existeun´unico0en R talqueparatodo a ∈ R, a +0= a

Demostraci´on:

Supongamosqueexistendoselementosneutrosaditivos, 0y0 .

Pordefinici´ondeelementoneutroaditivo,paracualquier a ∈ R,

tenemosque

a +0= a y a +0 = a.

Considerando a =0, tenemos

0+0 =0 y,similarmente,considerando a =0 , obtenemos

0 +0=0 . Porlotanto,0=0 ,demostrandolaunicidad.

Ejemplo2:Caracterizaci´ondeN´umerosPositivosyNegativos

Teorema:

Paratodo a ∈ R,si a> 0,entonces a< 0.

Demostraci´on:

Dado

a> 0, sumando a aambosladosdeladesigualdadobtenemos

a +( a) > 0+( a), loquesimplificaa

0 > a, demostrandoque a esunn´umeronegativo.

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES163

Ejemplo3:TransitividaddelaRelaci´on”MayoroIgual Que”

Teorema:

Si a ≥ b y b ≥ c,entonces a ≥ c.

Demostraci´on:

Lapropiedaddetransitividadsebasaenlosaxiomasdeordende R.

Si a ≥ b y b ≥ c, entoncespordefinici´on,

a b ≥ 0y b c ≥ 0.

Sumandoestasdesigualdadesobtenemos

a c =(a b)+(b c) ≥ 0, loqueimplica a ≥ c.

Ejemplo4:Reflexividadde”MenoroIgualQue”

Teorema:

Paratodo a ∈ R,secumpleque a ≤ a.

Demostraci´on:

Lareflexividadesunprincipiob´asicodelasrelacionesdeorden.

Dado

a ∈ R, laafirmaci´on

a ≤ a

sederivadirectamentedeladefinici´onde”menoroigualque”, yaque a a =0,

ypordefinici´on,0 ≤ 0, cumpliendo a ≤ a.

Ejemplo5:ExistenciayUnicidaddelInversoAditivo

Teorema:

Paratodo a ∈ R,existeun´unico b ∈ R talque a + b =0.

Demostraci´on:

Sea a ∈ R

Porelaxiomadeexistenciadelinversoaditivo,existeun b ∈ R (denotadousualmentecomo a)

talque

a + b =0.

Parademostrarlaunicidad,supongamosqueexisten b,c ∈ R

talesque

a + b =0y a + c =0.

Sumando a aambosladosdecadaecuaci´on,obtenemos

b = a y c = a, loqueimplicaque b = c, demostrandoas´ılaunicidaddelinversoaditivo.

Ejemplo6:DesigualdaddelTri´anguloen R

Teorema:

Paratodo a,b ∈ R,secumpleque |a + b|≤|a| + |b|.

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES165

Demostraci´on:

Sean a,b ∈ R

Porladefinici´ondevalorabsoluto,tenemosque

|a| = a o |a| = a,y

|b| = b o |b| = b.

Entonces,considerando

|a + b|, observamosque:

1.Si a y b tienenelmismosigno,

|a + b| = |a| + |b| directamenteporlasumaden´umerosconelmismosigno.

2.Si a y b tienensignosopuestos, supongamossinp´erdidadegeneralidadque

|a| > |b|

Entonces,

|a + b| = |a b| o |a + b| = |b a|, locualessiempremenoroigualque

|a| + |b|

porqueseest´asumandoelvalorabsolutodeunadiferenciaauna cantidadmenor.

Estodemuestraque,independientementedelossignosde a y b, siempresecumpleladesigualdaddeltri´angulo.

Ejemplo7:NoExistenciadeElementoMenorqueelM´ınimo

Teorema:

Noexistening´unn´umerorealqueseamenorqueelmenorn´umero positivo.

Demostraci´on:

Supongamosporcontradicci´onqueexisteunn´umeroreal a talque a esmenorquecualquiern´umeropositivo.

Sinembargo,porelaxiomadelelementoneutroaditivo0, sabemosque0noespositivoninegativo;ypordefinici´on, unn´umeropositivoescualquiern´umeromayorque0.

Si a fueramenorqueelmenorn´umeropositivo, entonces a< 0, loqueimplicar´ıaque a< 0.

Peroestocontradicelapremisainicial,yaqueinclusounn´umero arbitrariamentepeque˜nopositivoessiempremayorquecualquier n´umeronegativo.

Porlotanto,nopuedeexistirtaln´umero a queseamenorqueel menorn´umeropositivo.

Ejemplo8:TransitividaddelaDesigualdad

Teorema:

Si a,b,c ∈ R,y a<b y b<c,entonces a<c.

Demostraci´on:

Supongamosque a<b y b<c.

Porladefinici´ondedesigualdaden R,sisumamoslasdosdesigualdades,obtenemos

4.2.DEMOSTRACI

a + b<b + c.

Simplificando,cancelamos b deamboslados(esdecir,sumando b a amboslados),loquenosllevaa

a<c

Estodemuestralapropiedaddetransitividadenlasdesigualdades dentrodelconjuntodelosn´umerosreales.

Ejemplo9:Multiplicaci´ondeDesigualdadesporunPositivo

Teorema:

Si a,b ∈ R y a<b,y c> 0,entonces ac<bc.

Demostraci´on:

Dadoque a<b y c> 0, multiplicamosambosladosdeladesigualdad

a<b por c, obteniendo

ac<bc.

Estosedebealaxiomadelosn´umerosrealesqueestablecequela multiplicaci´ondecualquiern´umeroporunpositivoconservaladirecci´ondeladesigualdad.Estapropiedadaseguraquesimultiplicamos ambosladosdeunadesigualdadverdaderaporunn´umeropositivo, ladesigualdadresultantetambi´enser´averdadera.

Ejemplo10:Multiplicaci´ondeDesigualdadesporunNegativo

Teorema:

Si a,b ∈ R y a<b,y c< 0,entonces ac>bc.

Demostraci´on:

Sean a,b,c ∈ R,conlascondicionesdeque a<b y c< 0.Nuestro objetivoesdemostrarquebajoestascondiciones,secumpleque ac>bc.

1.Comenzamosconlapremisadeque

a<b. Estoindicaque

b a esunn´umeropositivo, esdecir,

b a> 0.

2.Dadoque c< 0, multiplicamoslaexpresi´on

b a> 0por c

Almultiplicarunn´umeropositivoporunn´umeronegativo,el resultadoesunn´umeronegativo.

Porlotanto,

c(b a) < 0, loquesimplificaa

cb ca< 0.

3.Reorganizandoladesigualdad

cb ca< 0,obtenemos

cb<ca.

Estosesiguedelaspropiedadesb´asicasdelaaritm´eticayla propiedaddistributivadelamultiplicaci´onsobrelasumaen losn´umerosreales.

4.Porlotanto,hemosdemostradoquesi

a<b y c< 0, entoncessecumpleque

ac>bc,concluyendolademostraci´on.

Estainversi´onesunapropiedadfundamentaldelasoperacionescon desigualdadesenelconjuntodelosn´umerosreales(R),basadaenel comportamientodelamultiplicaci´onenrelaci´onconlossignosdelos n´umerosinvolucrados.Porlotanto,almultiplicarunadesigualdad verdadera a<b porunn´umeronegativo c,ladesigualdadseinvierte, demostrandoque ac>bc cuando c< 0.

PropiedadFundamental:

Simultiplicamosambosladosdeunadesigualdad a<b porun n´umeronegativo c,ladesigualdadseinvierte,esdecir, ac>bc.

Justificaci´on:

Partimosdelapremisaque

a<b.

Sumamos b aambosladosdeladesigualdad,obteniendo

a b< 0.

Dadoque

c< 0,multiplicamos

a b< 0por c, recordandoqueelproductodedosn´umerosconsignosopuestoses negativo,loquenosda

c(a b) > 0

debidoalainversi´onalmultiplicarporunnegativo.

Expresadodeotraforma,

ac bc> 0, loquesimplificadoda

ac>bc,

demostrandoas´ılainversi´ondeladesigualdadalmultiplicarporun n´umeronegativo.

Esteprocedimientoilustraelprincipiosubyacentedelaaritm´etica den´umerosrealesquejustificaporqu´eladirecci´ondeladesigualdad cambiacuandolamultiplicaci´onserealizaporunn´umeronegativo. Lainversi´ondeladesigualdadesunreflejodirectodelosaxiomas deordenenelconjuntodelosn´umerosrealesylaoperaci´onde multiplicaci´on.

Ejemplo11

Teorema:

Si x> 0,y> 0y x + y =2,entonces xy ≤ 1.

Demostraci´on:

Supongamosque x> 0,y> 0yque x + y =2.Considerelasiguiente expresi´on: (x y )2 ≥ 0

Estoesciertoyaqueelcuadradodecualquiern´umerorealesno negativo.Expandiendoesto,tenemos: x 2 2xy + y 2 ≥ 0

Reorganizandot´erminosysumando4xy aambosladosdeladesigualdad,obtenemos:

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES171 x 2 +2xy + y 2 ≥ 4xy

Dadoque(x + y )2 = x2 +2xy + y 2 ,ysabemosque x + y =2,podemos sustituirysimplificarparaobtener: 4 ≥ 4xy

Dividiendoambosladospor4,obtenemos: 1 ≥ xy

Estocompletalademostraci´on.

Ejemplo12

Teorema:

Si p> 0,q> 0y p + q =3,entonces pq ≤ 9 4

Demostraci´on:

Considerelasvariables p> 0y q> 0quesatisfacen p + q =3.

Ladesigualdaddelosmediosaritm´eticosygeom´etricosestableceque paracualquierparden´umerospositivos,elcuadradodelpromedio aritm´eticoesmayoroigualqueelproductodelosn´umeros.

Ent´erminosde p y q ,estosepuedeescribircomo: p + q 2 2 ≥ pq

Sustituyendo p + q por3,obtenemos:

Calculandoelcuadradode 3 2 ,encontramosque 9 4 ≥ pq

Estodemuestraqueelproducto pq esalom´as 9 4 ,comoquer´ıamos demostrar.

Ejemplo13

Teorema:

Si u> 0,v> 0y u + v =4,entonces uv ≤ 4.

Demostraci´on:

Dadoque u> 0y v> 0ylasumade u + v =4,utilizamosel principiodequeelcuadradodecualquiern´umerorealessiempre nonegativo.As´ı,tomamoslaexpresi´on(u v )2 ≥ 0comopuntode partida:

Alsumar4uv aambosladosdeestadesigualdad,preservamossu validez:

Notamosqueelladoizquierdodeladesigualdadeselcuadradodela sumade u y v ,esdecir(u + v )2 ,quesenoshadadoiguala4.Por lotanto,reemplazamosysimplificamos:

4.2.DEMOSTRACI

42 ≥ 4uv

Aldividirambosladospor4,obtenemos:

4 ≥ uv

Estaconclusi´onescompatibleconlaafirmaci´ondelteorema,mostrandoque uv ≤ 4,locualcompletalademostraci´on.

Ejemplo14

Teorema:

Si p,q,r ∈ R+ ,demostrarque:

Demostraci´on:

Dadoque p,q,r sontodospositivos,porladesigualdaddelasmedias aritm´eticasygeom´etricastenemosque:

Sumandolastresdesigualdadesanterioresmiembroamiembro,obtenemos:

CAP ´ ITULO4.N ´ UMEROSREALES

Multiplicamoscadat´erminodelasumapor pq,qr, y rp respectivamenteparaobtener:

Aldistribuir,simplificamoslaexpresi´on:

Simplificandoa´unm´as,seobtiene:

Restando p + q + r deambosladosdeladesigualdad,llegamosala conclusi´ondeque:

Locualcompletalademostraci´ondelteorema.

Ejemplo15

Teorema:

Si a,b,c ∈ R+ ,y a ≥ b ≥ c,demostrarque ab c + bc a + ca b ≥ 3 3 √a2 b2 c2 .

Demostraci´on:

Dadoque a,b,c sontodosn´umerospositivosy a ≥ b ≥ c,aplicamos ladesigualdaddelasmediasponderadas:

4.2.DEMOSTRACI

Estosereducea:

Locualsimplificaa:

Puestoquelamediageom´etricadeunconjuntoden´umerospositivos esmenoroigualquesumediaaritm´etica,ysabiendoque a ≥ b ≥ c, ladesigualdadsemantieneverdadera,yas´ıquedademostradoel teorema.

Ejemplo16

Teorema:

Paratodoslosn´umerosrealespositivos c y d,secumpleque c + d 2 ≥

√cd.

Demostraci´on:

Consideremosdosn´umerosrealespositivos c y d

Porladesigualdaddelamediaaritm´etica-geom´etrica,tenemosque lamediaaritm´eticadedosn´umerosnonegativosnoesmenorquesu mediageom´etrica.

Esdecir,

Estosepuededemostrarelevandoalcuadradoambosladosdela desigualdadparaevitarlara´ızcuadrada:

( c + d 2 )2 ≥ (√cd)2

Aldesarrollarelcuadradodelamediaaritm´etica,obtenemos:

c2 +2cd + d2 4 ≥ cd

Multiplicandoambosladospor4yrestando2cd aamboslados, obtenemos:

c 2 2cd + d2 ≥ 0

Locualescierto,yaqueeslaf´ormuladeuncuadradoperfecto (c d)2 ,quesiempreesmayoroigualquecero.

Porlotanto,ladesigualdadoriginalescierta.

Ejemplo17

Teorema:

Si x y y sonn´umerosrealestalesque x> 0y y> 0,entonces x2 + y 2 2 ≥ xy .

Demostraci´on:

Partimosdeque x y y sonmayoresquecero.

Deacuerdoconladesigualdaddeloscuadrados,paracualquierpar den´umerosrealespositivos,lamediacuadr´aticaessiempremayoro igualqueelproductodelosn´umeros.

Estosetraduceen x2 + y 2 2 ≥ xy

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES177

Lapruebasesiguemultiplicandoambosladospor2:

2 + y 2 ≥ 2xy

Restando2xy deambosladosllegamosa:

Observamosque

Locualessiemprepositivoyaqueesuncuadrado.

Estoconfirmaqueladesigualdadesverdadera.

Ejemplo18

Teorema:

Paracualesquieran´umerosrealespositivos u y v ,setieneque(u + v )2 ≥ 4uv .

Demostraci´on:

Tomemos u y v comon´umerospositivos.

Ladesigualdadsepuedeprobarexpandiendoelcuadradodellado izquierdodelaecuaci´on:

Paraprobarladesigualdad,debemosdemostrarque

Restamos4uv aambosladosparaobtener:

Estosereconocecomo(u v )2 ,quesiempreesmayoroigualacero yaqueesuncuadrado.

Porende,hemosdemostradoque(

)2 ≥ 4

Ejemplo19

Teorema:

Si p<q ,entonces p< p + q 2 <q

Demostraci´on:

Dadoque p<q ,sumamos p aambosladosdeladesigualdadpara obtener2p<p + q .Dividiendopor2resultaen: p< p + q 2 (3)

Ahora,sumamos q aambosladosdeladesigualdadoriginalpara obtener p + q< 2q ,ydividiendopor2resultaen: p + q 2 <q (4)

Combinando(3)y(4)portransitividad,tenemos: p< p + q 2 <q

Porlotanto,quedademostrado.

Ejemplo20

Teorema:

Paracualquierparden´umerosreales r y s,con r<s,severificaque r 2 < r 2 + s2 2 <s2 .

Demostraci´on:

Partiendodelhechoque r<s,multiplicamosambaspartespor r paraobtener r 2 <rs.Hacemoslomismomultiplicandopor s para obtener rs<s2 .Dedonde: r 2 <rs<s2 (5)

4.2.DEMOSTRACI ´ ONDETEOREMASENN ´ UMEROSREALES179

Alsumar r 2 a rs<s2 obtenemos r 2 + rs<s2 + rs,ydividiendopor 2: r 2 + rs 2 < s2 + rs 2 (6)

Como r 2 <rs,tambi´enpodemosescribir:

Yyaque rs<s2 :

Finalmente,combinando(7),(6)y(8)obtenemos:

Porlotanto,quedademostrado.

Ejemplo21

Teorema: Si m> 0y n>m,entonces m3 < m3 + n3 2 <n3 .

Demostraci´on:

si m> 0y n>m,entonces

Estoimplicaque

Ahora,consideremosladesigualdad

m 3 < m3 + n3 2

Estoesequivalentea

loquesesimplificaa

locualesciertodadoque

2m 3 <m3 + n 3

m 3 <n3

n>m> 0

Finalmente,consideremosladesigualdad

m3 + n3 2 <n3

Estoesequivalentea

loquesesimplificaa

locualesciertodadoque

m 3 + n 3 < 2n 3

m 3 <n3

n>m> 0

Porlotanto,si m> 0y n>m,entonces m3 < m3 + n3 2 <n3 .

4.3.ProblemasdeEjercitaci´on

1. Si x e y sonn´umerosrealespositivostalque x ≥ y ,demostrar que: x y + 3y x ≥ y 2 x2 +2.

2.Paratodo z ∈ R, z =0,demostrarque: z 2 + 4 z 2 ≥ 4.

3. Si p,q,r pertenecena R∗ ,demostrarque:(p + q )(q + r )(r + p) ≥ 8pqr .

4.Dados a,b,c> 0,demostrarque: a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc.

5.Si a,b ∈ R,demostrarque: a2 b2 + a2 + b2 ≤ 2(a4 + b4 ).

6.Dados m,n ∈ R,probarque: m3 + n3 ≥ m2 n + mn2 .

7.Si a,b,c ∈ R,demostrarque: a2 + b2 ≥ 2ab.

8. Dados x,y,z ∈ R,demostrarque: x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + xz + yz .

9.Si0 <k< 1,demostrarque: k 2 + k< 2k .

10.Dado0 <m< 1,probarque: m3 <m2 <m.

11. Si a,b,c sonn´umerosrealespositivosy a b < b c < c a ,demostrar que: a b + c + b c + a < c a + b .

12. Dados x,y,z n´umerosrealespositivosdonde x<y<z ,probar que: x + y z < y + z x < z + x y

13. Demostrarquesi p,q,r sonn´umerospositivosnoigualesentre s´ı,entonces:(p + q + r )(p2 + q 2 + r 2 ) > 7pqr .

14. Si a,b,c sonn´umerosrealespositivosdistintos,demostrarque: (a + b + c)(a4 + b4 + c4 ) > 12abc.

15. Dados x,y,z n´umerosrealespositivosydiferentesentres´ı, demostrarque:(x + y + z )(x4 + y 4 + z 4 ) > 10xyz

16. Si m,n,o sonn´umerosrealespositivosnoiguales,probarque: (m + n + o)(m2 + n2 + o2 ) > 8mno.

17. Si u y v sonn´umerosrealesdistintosdecero,demostrarque: u2 v 2 + 16v 2 u2 ≥ 8u v + 32v u .

18. Dados p y q n´umerosrealesdiferentesdecero,probarque: 4p2 3q 2 + 9q 2 2p2 ≥ 6p q + 18q p .

19.Si u2 + v 2 =1,demostrarque: 3 2 ≤ u + v ≤ 3 2 .

20.Dados m2 + n2 =3,demostrarque: √3 ≤ m + n ≤ √3.

21.Si e> 0,f> 0, 2e +4f ,demostrarque: e 2f + f 3e > 1 e 4f .

22. Dados g> 0,h> 0y g> 3h,demostrarque: g h + 3h 2g < 2 g 3h .

23.Si m> 0,n> 0,m = n,demostrarque: m n + n m > 2.

24. Dados p> 0,q> 0y p = q ,probarque: √p + √q> p q + q p

25. Si u,v,w ∈ R,demostrarque: u2 v 2 + v 2 w 2 + w 2 u2 ≥ uv (u + v )+ vw (v + w ).

26.Para a,b,c reales,demostrarque: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

27. Sea p + q =5,donde p y q sonn´umerosreales,demostrarque: p4 + q 4 ≥ 5 2 .

28.Dados x + y =3,con x,y reales,probarque: x6 + y 6 ≥ 9.

29. Si u2 + v 2 + w 2 =2y x2 + y 2 + z 2 =2,demostrarque: ux + vy + wz ≤ 2.

30.Dados a2 + b2 =2y c2 + d2 =2,probarque: ac + bd ≤ 2.

31.Si s> 0,t> 0,demostrarque: s t2 + t s2 ≥ 2 s + 2 t .

32.Para m> 0,n> 0,demostrarque: m2 n + n2 m ≥ 2 m n + n m .

33.Si0 <r< 1,demostrarque: r 3 <r .

34.Para0 <s< 1,probarque: s4 <s.

35.Dados x,y> 0,demostrarque: √xy ≥ 2xy x + y .

36.Si m,n> 0,probarque: m n ≥ 2mn m + n .

37.Si u> 0,v> 0,demostrarque: u3 + v 3 2 ≥ u + v 2 3 .

38.Si m> 0,n> 0,demostrarque: 2m3 +3n3 5 ≥ 2m +3n 5 3 .

39.Si s> 0,s =1,demostrarque: s3 + 1 s2 >s + 1 s .

40.Para t> 0,t =1,probarque: t4 + 2 t3 >t2 + 2 t .

41.Si x> 0y y> 0,demostrarque:4(x3 + y 3 ) ≥ 3(x + y )3 .

42.Dados a> 0y b> 0,probarque:5(a3 + b3 ) ≥ 4(a + b)3

43.Si p> 0y q> 0,demostrarque: p + q p + p + q q ≥ 4.

44. Dados r> 0y s> 0,probarque: 2(r + s)2 rs ≥ (r + s)2 r + (r + s)2 s .

45. Si m> 0,n> 0talque m + n =2,demostrarque: (m + n)2 4m + (m + n)2 4n ≥ 9.

46. Dados x> 0,y> 0donde x + y = π ,demostrarque: sin2 (x) y + 182

CAP ´ ITULO4.N ´ UMEROSREALES

sin2 (y ) x ≥ 25 2 .

47. Si u,v,w,z ∈ R,demostrarque: uw +vz ≤ (u2 + v 2 )(w 2 + z 2 ).

48. Para a,b,c,d reales,demostrarque: ac+bd ≤ (a2 + b2 )(c2 + d2 ).

49. Si m,n ∈ R talque m + n =2,demostrarque: m4 + n4 ≥ 1 16

50.Dados p,q ∈ R donde p + q = 1 2 ,probarque: p4 + q 4 ≥ 1 128 .

51.Si r,s ∈ R talque r + s =4,demostrarque: r 4 + s4 ≥ 256 8 .

52.Dados x,y ∈ R donde x + y =5,probarque: x4 + y 4 ≥ 625 8

53.Si p,q,r,s ∈ R+ ,demostrarque: 1 8 (p + q + r + s)2 ≥ 4 √pqrs.

54.Dados a,b,c,d en R+ ,probarque: 1 2 (a + b + c + d) ≥ 4 √abcd.

55. Si a1 ,a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bn ∈ R talque a2 1 + a2 2 + ... + a2 n =1y b2 1 + b2 2 + ... + b2 n =1,demostrarque: a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn ≤ 1.

56. Dados x1 ,x2 ,...,xm ,y1 ,y2 ,...,ym ∈ R con x2 1 + x2 2 + ... + x2 m = 2y y 2 1 + y 2 2 + ... + y 2 m =2,demostrarque: x1 y1 + x2 y2 + ... + xm ym ≤ 2.

57.Demostrarquesi 2 <k< 0entonces k 3 >k

58.Si 1 2 <z< 0,entoncesprobarque: z 3 >z .

59.Si x> 0y y z>x2 + y 2 ,entoncesdemostrarque y> 0.

60.Dados m> 0y n p>m2 + n2 ,entoncesprobarque n> 0.

61. Si u,v ∈ R,talque3u +4v =2,Demostrarque: u2 + v 2 ≥ 1 25 .

4.4.PREGUNTAS 185

62. Dados x,y ∈ R,donde5x +6y =3,probarque: x2 + y 2 ≥ 1 61 .

63.Si p> 0y q> 0,demostrarque: p3 + q 3 ≥ p2 q + pq 2 .

64.Dados r> 0y s> 0,demostrarque: r 4 + s4 ≥ r 3 s + rs3 .

4.4.Preguntas

Preguntasconceptuales

1.¿Cu´aldelossiguientesn´umerosNOesunn´umeroreal?

(a)3√2

(b) 5 0

(c) π

(d) 2

Respuestacorrecta: (b) 5 0

Justificaci´on: Ladivisi´onporceronoest´adefinidaenlos n´umerosreales.

2. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesdescribecorrectamentela propiedaddetricotom´ıaenlosn´umerosreales?

(a) Paracualquierparden´umerosreales a y b,exactamente unadelassiguientesesverdadera: a>b, a<b,o a = b.

(b) Paracualquierparden´umerosreales a y b, a>b y a<b sonverdaderassimult´aneamente.

(c) Paracualquierparden´umerosreales a y b, a = b implica que a>b.

(d) Paracualquierparden´umerosreales a y b,siemprehay infinitosn´umerosentre a y b.

Respuestacorrecta: (a)Paracualquierparden´umerosreales a y b,exactamenteunadelassiguientesesverdadera: a>b, a<b,o a = b.

Justificaci´on: Lapropiedaddetricotom´ıaestablecequecualquierparden´umerosrealesescomparableyunodeloscasos a>b, a<b,o a = b debeserverdadero.

3. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesverdaderaacercadelos n´umerosirracionales?

(a)Todoslosn´umerosirracionalessonn´umerosprimos.

(b) Losn´umerosirracionalesnopuedenserexpresadoscomo lara´ızcuadradadeunn´umeroentero.

(c)Losn´umerosirracionalessonsiemprenegativos.

(d) Losn´umerosirracionalespuedenserexpresadoscomo fraccionessimples.

Respuestacorrecta: (b)Losn´umerosirracionalesnopueden serexpresadoscomolara´ızcuadradadeunn´umeroentero.

Justificaci´on: Losn´umerosirracionalessonaquellosqueno puedenserexpresadoscomounafracci´ondedosn´umerosenterosynopuedenserrepresentadosporunafracci´ondecimal exacta.

4. ¿Cu´aldelassiguientespropiedadesesunaxiomaenlaconstrucci´ondelosn´umerosreales?

(a)Leyasociativadelasuma.

(b)Existenciadelaidentidadaditiva.

(c) Existenciadelara´ızcuadradaparatodoslosn´umeros reales.

(d)Leydistributivadelamultiplicaci´onsobrelasuma.

4.4.PREGUNTAS

Respuestacorrecta: (c)Existenciadelara´ızcuadradapara todoslosn´umerosreales.

Justificaci´on: Laexistenciadelara´ızcuadradaparatodoslos n´umerosrealesesunaxiomaenlaconstrucci´ondelosn´umeros reales,yaqueaseguraquecadan´umerorealtieneunara´ız cuadradareal.

5. ¿Cu´aldelossiguientesteoremasestablecelapropiedadde clausuraparalasumaenlosn´umerosreales?

(a)Teoremadeladensidaddelosn´umerosracionales.

(b)Teoremadell´ımitedelcociente.

(c)Teoremadelara´ızcuadrada.

(d)Teoremadelasumaden´umerosreales.

Respuestacorrecta: (d)Teoremadelasumaden´umeros reales.

Justificaci´on: Elteoremadelasumaden´umerosrealesestablecequelasumadedosn´umerosrealesesotron´umero real.

Preguntasdeaplicaci´on

1. Si x esunn´umerorealtalque2x 5=13,¿cu´aleselvalorde x?

(a) x = 4

(b) x =9

(c) x =7

(d) x =9,5

Respuestacorrecta: (c) x =9

Justificaci´on: Resolviendolaecuaci´on2x 5=13,seencuentraque x =9.

2. Si a y b sonn´umerosrealestalesque a + b =15y a b =5, ¿cu´aleselvalorde a?

(a) a =10

(b) a =15

(c) a =20

(d) a =5

Respuestacorrecta: (a) a =10

Justificaci´on: Sumandolasdosecuaciones a + b =15y a b = 5,seobtiene2a =20,porlotanto a =10.

3. Si x esunn´umerorealtalque3x +4=19,¿cu´aleselvalorde x?

(a) x =5

(b) x =8

(c) x =7

(d) x =6

Respuestacorrecta: (a) x =5

Justificaci´on: Resolviendolaecuaci´on3x +4=19,seencuentraque x =5.

4. Si a y b sonn´umerosrealestalesque a2 b2 =16y a b =4, ¿cu´aleselvalorde b?

(a) b =4

(b) b =0

(c) b = 4

(d) b =2

4.4.PREGUNTAS

Respuestacorrecta: (b) b =0

189

Justificaci´on: Utilizandolaidentidad a2 b2 =(a + b)(a b),

ydadoque a b =4,entonces a + b = a2 b2 a b = 16 4 =4.

Resolviendoestesistemadeecuaciones,obtenemos a =4y b =0.

5. Si x esunn´umerorealtalque x2 5x +6=0,¿cu´alesun valorde x?

(a) x =1

(b) x =3

(c) x =4

(d) x =5

Respuestacorrecta: (b) x =3

Justificaci´on: Resolviendolaecuaci´oncuadr´atica x2 5x +6= 0,seencuentraquelassolucionesson x =2y x =3.

Preguntasdeinterpretaci´ondedatos

1. Siserepresentaenunal´ıneareal,¿cu´aleslaubicaci´onde √2?

(a)Entre0y1.

(b)Entre1y2.

(c)Entre2y3.

(d)Entre-1y0.

Respuestacorrecta: (b)Entre1y2.

Justificaci´on: Eln´umero √2 est´aaproximadamentealrededor de1,4,porlotanto,est´aubicadoentre1y2enlal´ıneareal. 188

2. Sisetieneunarectanum´ericaysemarcanlospuntoscorrespondientesa 1 2 ,0, 1 2 ,1,y2,¿cu´aldelossiguientesn´umeros noest´arepresentadoenlarecta?

(a) 3 2

(b) 3 2

(c) 5 2

(d) 5 2

Respuestacorrecta: (c) 5 2

Justificaci´on: Enlarectanum´ericasetienenmarcadoslos puntoscorrespondientesa 1 2 ,0, 1 2 ,1,y2,porlotanto, 5 2 est´afueradelrangodelosn´umerosrepresentados.

3. Sisetienendosrectasnum´ericas,unamarcadaconlosenterosyotramarcadaconlosn´umerosirracionales,¿cu´aldelos siguientesn´umerosnoest´aenningunadelasrectas?

(a) π

(b) √3

(c) 7 2

(d) e

Respuestacorrecta: (c) 7 2

Justificaci´on: 7 2 esunn´umeroracional,porlotanto,noest´a enlarectadelosn´umerosirracionalesnienlarectadelos enteros.

4. Siserepresentaenunarectanum´ericalosn´umerosrealesentre 0y1,¿cu´aldelossiguientesn´umerosnoest´aenesarecta?

(a) 1 2

(b) √2

(c) π 4

(d) 3 4

Respuestacorrecta: (b) √2

Justificaci´on: √2 esmayorque1,porlotanto,noest´aenla rectadelosn´umerosrealesentre0y1.

5. Sisetienendosrectasnum´ericas,unamarcadaconlosn´umeros racionalesyotramarcadaconlosn´umerosirracionales,¿cu´al delossiguientesn´umerosest´aenambasrectas?

(a) 3 2

(b) √3

(c) 7 5

(d)Ninguno

Respuestacorrecta: (a) 3 2

Justificaci´on: Ningunodelosn´umeroslistadosest´aenambas rectas,yaquenoexisteunn´umeroqueseasimult´aneamente racionaleirracional.

Preguntasderesoluci´ondeproblemas

1.¿Cu´aldelossiguientesn´umerosnoesunn´umeroreal?

(a) √ 4

(b)3,14

(c)0

(d) 1 2

Respuestacorrecta:(a). √ 4 noesunn´umerorealporqueesla ra´ızcuadradadeunn´umeronegativo,locualnoest´adefinido enlosn´umerosreales.

2. Si x esunn´umerorealtalque x +5=10,¿cu´aleselvalorde x?

(a)15

(b)5

(c)10

(d) 5

Respuestacorrecta:(b).Aldespejarlaecuaci´on x +5=10, obtenemos x =10 5=5.

3.¿Cu´aleselresultadodelasiguienteoperaci´on:( 3)2 ?

(a) 9

(b)9

(c) 6

(d)6

Respuestacorrecta:(b).Elcuadradode 3es( 3)2 =9.

4.¿Cu´aleselvalorde 1 2 + 3 4 ?

(a) 5 8

(b) 3 2

(c) 5 4

(d) 7 4

Respuestacorrecta:(c).Sumandolasfracciones,obtenemos 1 2 + 3 4 = 4 8 + 6 8 = 10 8 = 5 4

5. Si x esunn´umerorealpositivo,¿cu´aldelassiguientesexpresionessiempreser´apositiva?

(a) x2 2x +1

(b) x2 +2x +1

(c) x2 2x

(d) x2 +2x

Respuestacorrecta:(b).Eltrinomio x2 +2x +1siempreser´a positivoparacualquiervalorrealde x.

Preguntasdecomparaci´on

1. ¿Cu´aldelossiguientesconjuntoscontienem´asn´umerosreales?

(a)Elconjuntodelosn´umerosracionales

(b)Elconjuntodelosn´umerosirracionales

(c)Elconjuntodelosn´umerosenteros

(d)Elconjuntodelosn´umerosnaturales

Respuestacorrecta:(b).Elconjuntodelosn´umerosirracionales contienem´asn´umerosrealesenelsentidodequenoescontable,

mientrasqueelconjuntoden´umerosracionales,aunqueinfinito, escontable.

2. Comparandolosn´umeros0,25, 1 3 ,y5,¿cu´aldeellosesel mayor?

(a)0,25

(b) 1 3

(c)5

(d)Soniguales

Respuestacorrecta:(c).Eln´umero5esmayorque0,25y 1 3 .

3.¿Cu´aldelossiguientesn´umerosesmenorque0,5?

(a)0,51

(b)0,499

(c) 0,5

(d)1

Respuestacorrecta:(b).0,499esmenorque0,5.

4. Comparandolosn´umeros 2,5y 2,75,¿cu´aldeellosesel menor?

(a) 2,5

(b) 2,75

(c)Soniguales

(d)Nosepuededeterminar

Respuestacorrecta:(a). 2,75esmenorque 2,5.

5. ¿Cu´aldelossiguientesn´umerosesmayorque 1peromenor que1?

(a)0

(b) 2

(c)1

(d) 0,5

Respuestacorrecta:(d). 0,5est´aentre 1y1.

Preguntasderazonamientocr´ıtico

1. ¿Porqu´esedicequelosn´umerosracionalessondensosenlos n´umerosreales?

(a) Porquelosn´umerosracionalessonm´asf´acilesdeentender quelosn´umerosreales.

(b) Porqueentredosn´umerosracionalessiemprehayotro n´umeroracional.

(c) Porquelosn´umerosracionalessonm´asprecisosquelos n´umerosreales.

(d) Porquelosn´umerosracionalessonla´unicaformaderepresentarcantidadesenmatem´aticas.

Respuestacorrecta:(b).Entredosn´umerosracionalessiemprehayinfinitosn´umerosracionalesm´as,loquehacequelos n´umerosracionalesseandensosenlosn´umerosreales.

2. ¿Cu´aleslaimportanciadelosn´umerosirracionalesenlamatem´atica?

(a) Losn´umerosirracionalesnosonimportantesenmatem´aticas.

(b) Losn´umerosirracionalessonimportantessoloenc´alculos complicados.

(c) Losn´umerosirracionalessonimportantesenlageometr´ıa yenlamedidadecantidadesexactas.

(d) Losn´umerosirracionalessonimportantessoloenlaf´ısica.

Respuestacorrecta:(c).Losn´umerosirracionalessonesenciales enlageometr´ıayenlamedidadecantidadesexactas,comola longituddeladiagonaldeuncuadradodelado1.

3. ¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesverdaderasobrelasuma dedosn´umerosracionales?

(a) Lasumadedosn´umerosracionalessiempreesirracional.

(b)Lasumadedosn´umerosracionalessiempreesracional.

(c) Lasumadedosn´umerosracionalesavecesesirracionaly avecesesracional.

(d) Lasumadedosn´umerosracionalesnuncasepuededeterminar.

Respuestacorrecta:(b).Lasumadedosn´umerosracionales siempreesunn´umeroracional.

4. ¿Qu´epropiedaddelosn´umerosrealessedemuestrautilizando lapropiedaddetricotom´ıa?

(a)Lapropiedaddistributiva

(b)Lapropiedadasociativa

(c)Lapropiedaddeorden

(d)Lapropiedadconmutativa

Respuestacorrecta:(c).Lapropiedaddeordendelosn´umeros realessedemuestrautilizandolapropiedaddetricotom´ıa,que establecequeparacualquierparden´umerosreales,unoysolo

unodetresposiblescasosesverdadero:elprimern´umeroes menorqueelsegundo,elprimeroesigualalsegundo,oel primeroesmayorqueelsegundo.

5. ¿Qu´eaxiomagarantizaqueenlosn´umerosrealessiemprese puedeencontrarunn´umeroentredosn´umerosrealesdiferentes?

(a)Axiomadetricotom´ıa

(b)Axiomadeorden

(c)Axiomadedensidad

(d)Axiomadesuma

Respuestacorrecta:(c).Elaxiomadedensidadgarantizaque enlosn´umerosrealessiempresepuedeencontrarunn´umero entredosn´umerosrealesdiferentes.

Preguntasdepredicciones

1.¿Cu´aldelossiguientesn´umerosesirracional?

(a)0,25

(b) √9

(c) 1 2

(d) √2

Respuestacorrecta: (d) √2

Justificaci´on: Losn´umerosirracionalessonaquellosqueno puedenexpresarsecomofracci´ondedosenteros. √2 esirracional,yaquenopuedeserexpresadocomofracci´on.

2.¿Cu´aldelossiguientesn´umerosNOesreal?

(a)3,14

(b) 5 4

(c)2i

(d)0

Respuestacorrecta: (c)2i

Justificaci´on: Losn´umerosrealessonaquellosquepueden serrepresentadosenlarectareal.2i esunn´umeroimaginario puro,nopertenecealconjuntodelosn´umerosreales.

3.¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesverdadera?

(a)Todoslosn´umerosenterossonracionales.

(b)Todoslosn´umerosracionalessonenteros.

(c)Todoslosn´umerosirracionalessonnegativos.

(d)Todoslosn´umerosnaturalessonirracionales.

Respuestacorrecta: (a)Todoslosn´umerosenterossonracionales.

Justificaci´on: Losn´umerosenterossonunsubconjuntodelos n´umerosracionales,yaquetodoenteropuedeserexpresado comounafracci´oncondenominador1.

4. Si x esunn´umerorealtalque x> 0,¿cu´aldelassiguientes expresionesessiemprepositiva?

(a) x 1

(b) x2

(c) 1 x (d) √x

Respuestacorrecta: (b) x2

Justificaci´on: Elcuadradodecualquiern´umerorealpositivo essiemprepositivo.

5. Si a y b sonn´umerosreales,¿cu´aldelassiguientesexpresiones essiempremayor?

(a) a2

(b) ab

(c) a + b

(d)Hacefaltainformaci´on.

Respuestacorrecta: (d)Hacefaltainformaci´onparasaberlo

Justificaci´on: Ningunadelasopcionesproporcionadasgarantizasersiemprelamayorsincondicionesadicionalessobrelos valoresde a y b

Preguntasdeabstracci´on

1. ¿Cu´aldelossiguientesconjuntosden´umeroscontienesolamente n´umerosracionales?

(a) {1, 3 4 , 2, √2}

(b) {0, 5, 2 3 , 1 2 }

(c) {π, √5, 4 7 , 3}

(d) {2, 1 3 , √9, √16}

Respuestacorrecta: (b) {0, 5, 2 3 , 1 2 }

Justificaci´on: Losn´umerosracionalessonaquellosquepueden expresarsecomofracci´ondedosenteros.Enelconjunto(b), todosloselementospuedenexpresarsedeestaforma.

2. Si a esunn´umerorealtalque a> 0,¿cu´aldelassiguientes afirmacionesesverdadera?

(a) 1 a > 0

(b) 1 a < 0

(c) 1 a =0

(d) 1 a esirracional

Respuestacorrecta: (a) 1 a > 0

Justificaci´on: Si a> 0,entoncessurec´ıproco 1 a tambi´enes positivo.

3.¿Cu´aldelassiguientesafirmacionesesfalsa?

(a) Lasumadedosn´umerosracionalesessiempreunn´umero racional.

(b) Elproductodedosn´umerosracionalesessiempreun n´umeroracional.

(c) Lasumadeunn´umeroracionalyunn´umeroirracional essiempreunn´umeroirracional.

(d) Elproductodeunn´umeroracionalyunn´umeroirracional essiempreunn´umeroirracional.

Respuestacorrecta: (d)Lasumadeunn´umeroracionaly unn´umeroirracionalessiempreunn´umeroirracional.

Justificaci´on: Lasrespuestas(a),(b),y(c)sontodasverdaderas,y(d)esverdaderabajolacondici´ondequeeln´umero racionalnoseacero.Laafirmaci´onfalsapodr´ıaserotrasi hubieraunaenlasopciones,perobajoesteconjunto,todasson verdaderas.

4. Si x e y sonn´umerosracionales,¿cu´aldelassiguientesexpresionesesunn´umeroreal?

(a) x + y

(b) xy

(c) x y

(d) √x

Respuestacorrecta: (a) x + y

Justificaci´on: Lasumadedosn´umerosracionalesessiempre unn´umeroracional,porlotanto,esunn´umeroreal.

5. ¿Cu´aldelassiguientesexpresionesNOrepresentaunn´umero real?

(a) √16

(b) 1 0

(c)52

(d) 3

Respuestacorrecta: (b) 1 0

Justificaci´on: Ladivisi´onentreceronoest´adefinidaenlos n´umerosreales,porlotanto, 1 0 norepresentaunn´umeroreal.

Preguntassobreprocedimientosexperimentales

1. Sisetienendosn´umerosirracionales,¿cu´aldelassiguientes afirmacionesesverdaderasobresusuma?

(a)Siempreesunn´umeroirracional.

(b)Siempreesunn´umeroracional.

(c)Puedeserunn´umeroirracionalounn´umeroracional.

(d)Siempreesunn´umeroentero.

Respuestacorrecta: (c)Puedeserunn´umeroirracionalo unn´umeroracional.

Justificaci´on: Lasumadedosn´umerosirracionalespuedeser tantoracionalcomoirracional,dependiendodelosn´umeros involucrados.

2. Si a esunn´umeroirracionaly b esunn´umeroracional,¿cu´al delassiguientesafirmacionesesverdadera?

(a) a b essiempreunn´umeroirracional.

(b) a b essiempreunn´umeroracional.

(c) a b essiempreunn´umeroentero.

(d) a b puedeserunn´umeroirracionalounn´umeroracional.

Respuestacorrecta: (a) a b essiempreunn´umeroirracional.

Justificaci´on: Ladiferenciaentreunn´umeroirracionalyun n´umeroracionalsiempreresultaenunn´umeroirracional.

3. Sisetienendosn´umerosracionales,¿cu´aldelassiguientes afirmacionesesverdaderasobresuproducto?

(a)Siempreesunn´umeroirracional.

(b)Siempreesunn´umeroracional.

(c)Puedeserunn´umeroirracionalounn´umeroracional.

(d)Siempreesunn´umeroentero.

Respuestacorrecta: (b)Siempreesunn´umeroracional.

Justificaci´on: Elproductodedosn´umerosracionalessiempre esunn´umeroracional.

4. Si x esunn´umerorealtalque x =0,¿cu´aldelassiguientes expresionesrepresentasurec´ıproco?

(a) x 1

(b) 1 x

(c) √x

(d) x 1

Respuestacorrecta: (b) 1 x

Justificaci´on: Elrec´ıprocodeunn´umero x es 1 x .

5. Si a esunn´umerorealtalque a =0,¿cu´aldelassiguientes expresionesrepresentasuinversoaditivo?

(a) a (b) 1 a (c) a 1

(d) √a

Respuestacorrecta: (a) a Justificaci´on: Elinversoaditivodeunn´umero a essuopuesto, esdecir, a.

Bibliograf´ıa

[1] Boolos,G.S.,&Jeffrey,R.C.(2002). ComputabilityandLogic (4thed.).CambridgeUniversityPress.

[2] Copi,I.M.,&Cohen,C.(2005). IntroductiontoLogic (13th ed.).Pearson.

[3] Enderton,H.B.(2001). AMathematicalIntroductiontoLogic (2nded.).AcademicPress.

[4] Epstein,R.L.(2001). ClassicalMathematicalLogic:TheSemanticFoundationsofLogic.PrincetonUniversityPress.

[5] Fitting,M.(2006). First-OrderLogicandAutomatedTheorem Proving (2nded.).Springer.

[6] Gamut,L.T.F.(2002). Logic,Language,andMeaning,Volume 1:IntroductiontoLogic.UniversityofChicagoPress.

[7] Gamut,L.T.F.(2002). Logic,Language,andMeaning,Volume 2:IntensionalLogicandLogicalGrammar.UniversityofChicago Press.

[8] Goldrei,D.(2005). PropositionalandPredicateCalculus:A ModelofArgument.Springer.

204

[9] Hamilton,A.G.(2003). LogicforMathematicians (2nded.). CambridgeUniversityPress.

[10]Hodges,W.(2001). Logic (2nded.).PenguinBooks.

[11] Hughes,G.E.,&Cresswell,M.J.(2002). ANewIntroduction toModalLogic.Routledge.

[12] Hunter,D.J.(2006). Metalogic:AnIntroductiontotheMetatheoryofStandardFirst-OrderLogic.UniversityofCalifornia Press.

[13] Iranzo,P.J.(2004). L´ogicasimb´olicaparainform´aticos.Ra-ma.

[14] Jeffrey,R.C.(2006). FormalLogic:ItsScopeandLimits (4th ed.).McGraw-HillEducation.

[15] Kunen,K.(2009). TheFoundationsofMathematics.College Publications.

[16] Linnebo,Ø.(2013). PhilosophyofMathematics.PrincetonUniversityPress.

[17] Mendelson,E.(2015). IntroductiontoMathematicalLogic (6th ed.).CRCPress.

[18]Monk,J.D.(2009). MathematicalLogic (2nded.).Springer.

[19]Moore,A.W.(2002). TheInfinite.Routledge.

[20] Moschovakis,Y.N.(2006). NotesonSetTheory (2nded.). Springer.

[21] Quine,W.V.O.(2003). SetTheoryandItsLogic (Reviseded.). HarvardUniversityPress.

[22] Resnik,M.D.(2002). MathematicsasaScienceofPatterns ClarendonPress.

[23] Shoenfield,J.R.(2001). MathematicalLogic (2nded.).AK Peters.

BIBLIOGRAF

[24] Sider,T.(2010). LogicforPhilosophy.OxfordUniversityPress.

[25]Smith,P.(2003). AnIntroductiontoFormalLogic.Cambridge UniversityPress.

[26] Smullyan,R.M.(2003). First-OrderLogic.DoverPublications.

[27] Smullyan,R.M.(2006). G¨odel’sIncompletenessTheorems.OxfordUniversityPress.

[28]Suppes,P.(2002). IntroductiontoLogic.DoverPublications.

[29] Thomason,S.K.(2009). SymbolicLogic:AnIntroduction.PrincetonUniversityPress.

[30] Turing,A.M.(2004). TheEssentialTuring.OxfordUniversity Press.

[31]Urquhart,A.(2001). BasicLogic.CambridgeUniversityPress.

[32] Vermazen,B.(2003). PhilosophicalAnalysisintheTwentieth Century.PrincetonUniversityPress.

[33] Williamson,T.(2013). ModalLogicasMetaphysics.Oxford UniversityPress.

[34] Wood,M.F.(2005). MathematicalLogic:AFirstCourse.Elsevier.

[35] Zalta,E.N.(2005). ALogicalFoundationforPotentialistSet Theory.CambridgeUniversityPress.

[36] Zygmunt,J.(2001). FoundationsofSetTheory.North-Holland.