SUMAS DE RIEMANN Y AREA ENTRE CURVAS

Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco PNF Sistema de Calidad y Ambiente

SUMAS DE RIEMANN Y ÁREA ENTRE CURVAS

Alumna: Erika Lozada Ci: 21.126.258 Profesora: María Morales

Contenido Introducción…………………………………………………………………….…….. 1 Notación sigma ……………………………………………………………….……… 1 Teorema 1 (propiedades de la sumatoria) ...………………….……..…………... 1 Definición 1(Partición de un intervalo) ……..…………………………………...... 2 Área entre curvas …………………………….……………….…………..………... 2 La integral definida y sus propiedades …….……………….………….………….. 4 Definición 2 (suma de Riemann) …….…………………….……………..……….. 4 Definición 3 (integral definida) …….…………………….……………..………….. 4 Aplicación de la integral definida …….………………………….…………….. 5 Teorema 2 (integrabilidad de las funciones continuas) ….…………….……... 5 Teorema 3 (propiedades de la integral definida) ….………..………….……….5 Teorema 4 fundamental del cálculo ……………………….………...………….5 Teorema 5 (del valor medio (TVM)) ……………………….……….………….. 8

Introducción Dos problemas, ambos de geometría, motivan las dos ideas más importantes en cálculo. El problema de encontrar la recta tangente nos llevó a la derivada. El problema de encontrar el área nos conducirá a la integral definida. Cuando consideramos una región con frontera curva, el problema de asignar un área es significativamente más difícil. Sin embargo, hace más de 2000 años, Arquímedes proporcionó la clave de la solución. Considérese una sucesión de polígonos inscritos que aproximen a la región curva con una precisión cada vez mayor.

Notación sigma Antes de continuar con el estudio necesitamos tener una notación para sumas, así como algunas de sus propiedades.

Notación: La suma de los términos a1, a2, ... ,an se escribe usando el símbolo ∑ (sigma) como ∑ Donde i se conoce como el índice de la suma, es el sumando i-ésimo, y los límites inferior y superior son, respectivamente, 1 y n.

En el siguiente teorema tenemos algunas propiedades importantes.

Teorema 1 Sea c una constante, entonces: 1. ∑ 2. ∑

∑ ∑

∑

3. ∑ 4. ∑ 5. ∑ 6. ∑ 7. ∑ 8. ∑ 9. ∑

1

Ejemplo 1 Determina el valor de la siguiente sumatoria: ∑ Solución: Apliquemos las propiedades que están en el Teorema 1, en nuestro caso aplicaremos 1, 2, 4, 5 y 8. ∑

∑

∑

∑

Definición 1: Partición de un intervalo Sea [a, b] un intervalo. Decimos que  es una partición del intervalo en n subintervalos con i =1, 2,..., n si para puntos ∈ [a,b], se cumple que . La longitud de cada subintervalo la denotamos por . Un elemento arbitrario en el intervalo lo denotaremos por La partición es regular si la longitud de todos los subintervalos es la misma: en caso contrario, es irregular. La norma de la partición es el máximo de las longitudes de los sub-intervalos y la denotamos por ‖ ‖.

Nota 1: Tomando

,

y haciendo

con

tenemos una partición regular del intervalo [a, b], y aquí ‖ ‖

, esta partición

será muy útil mas adelante.

Área entre curvas.

El cálculo de áreas entre curvas es otra aplicación de la sumatoria. Por ejemplo, supongamos que quieres determinar el área bajo la curva definida por la función f (x) = x+ 3 en el intervalo cerrado [1, 5]. Como primera aproximación, busquemos una partición regular del intervalo, tomamos n = 4, y por la Nota 1, =1, luego

, de aquí tenemos que

y los intervalos son [1, 2], [2, 3], [3, 4] y [4, 5], tomando como altura igual al valor de la función en los extremos derechos de cada subintervalos, f(2) = 5, f(3) = 6, f(4) = 7, f(5) = 8. Veamos la siguiente grafica

2

Denotemos por el área de los cuatro, luego el área aproximada en este caso es = 1f(1) + 1f(2) + 1f(3) + 1f(4) + 1f(4) = 5 + 6 +7 + 8 = 26.

Pensemos ahora el caso general, para ello tomamos una partición regula como en la Nota 1, en este caso

, y

con

y

tomamos como altura en cada intervalo el valor de la función f ), donde con los extremos derechos de cada subintervalos. Así, obtenemos: ∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Tomando el límite cuando n tiende a infinito tenemos que el área es igual a 24, la cual coincide con el área de un trapecio de bases 4 y 8, y altura 4.

En conclusión, el área bajo una curva se determina con el siguiente procedimiento:

3

La integral definida y sus propiedades Determinar el área bajo una curva puede ser muy difícil, por lo que resulta conveniente contar con un método que facilite su cálculo. Empezaremos por hacer algunas definiciones: Definición 2 (suma de Riemann)

Un caso particular de las sumas de Riemann ocurre cuando la partición es regular y evaluamos la función en los extremos derechos. En ese caso, la suma de Riemann está dada por la expresión:

Definición 3 (integral definida) Decimos que una función f es integrable en el intervalo [a, b], si existe . En ese caso, denotamos ‖ ‖ . Al símbolo ∫ ∫ ‖ ‖ la función f en el intervalo [a, b].

lo llamaremos integral definida de

4

Aplicación de la integral definida

Área bajo la curva. Si f es una función con dominio [a,b], integrable y no negativa, entonces el área de la figura plana comprendida entre la gráfica de f y el eje x en el intervalo [a,b] es igual a ∫

Teorema 2 (integrabilidad de las funciones continuas) Si y = f (x) es continua en el intervalo [a,b] entonces es integrable en ese mismo intervalo.

Teorema 3 (propiedades de la integral definida) Si f y g son dos funciones reales, cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b] y ambas son integrables en aquél, entonces son ciertas las siguientes afirmaciones: a) ∫

∫

b) ∫ c) ∫

para toda constante k. ∫

∫

∫

d) Si f(x) = k es la función constante con valor k, entonces ∫

Teorema fundamental del cálculo El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del cálculo: el cálculo deferencial y el cálculo integral.

Teorema 4 (teorema fundamental del cálculo) Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y F es una primitiva de f en este intervalo, entonces: ∫

Ejemplo 2 Determine el área de la región limitada abajo por la parábola y arriba por la recta y = 7x - 2, usando rectángulos verticales.

Solución: La grafica se muestra a continuación.

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El área buscada se puede describir como la suma de rectángulos verticales, ver figura de arriba. Identificamos ahora f(x) = 7x - 2 y . Los puntos de intersección de las curvas son:

Aplicando ecuación de segundo grado tenemos √

√

Luego,

y Finalmente, el área encerrada entre las curvas está dada por

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Ejemplo 3 Determina el área encerrada por dos curvas las curvas x = 2 + 4y y

Solución: La grafica se muestra a continuación

En este caso, el área encerrada se determina usando rectángulos horizontales. Primero calculamos los puntos de intersección de las curvas. Así, tenemos: 



Así el área encerrada está dada por:

7



Teorema 5 (del valor medio (TVM)) Si f(x) es una función continua en un intervalo [a, b], entonces existe un  ∈ que ( )

Ejemplo 4

Supongamos

número  tal que

∫

que

( )

con

∈

, y encuentra un

∫

Solución: Calculemos primero el valor medio de la función en el intervalo dado.

Tenemos entonces que:

Para determinar el valor de  necesitamos resolver la ecuación aquí obtenemos que 

√

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

. De