Liburuko soluzioak eu

8

Ariketen eta problemen soluzioak 1 or.

180. ORRIALDEA R R E B AT U Puntuak

1

(–6, 2), (–2, 6) eta (2, 2) puntuak karratu baten erpinak badira, zein da laugarren erpina?

(–2, 6)

P (–2, 2)

(–6, 2) (2, 2)

P

2

(–2, 3), (1, 2) eta (–2, 1) puntuak erronbo baten erpinak dira. Zein dira laugarren erpinaren koordenatuak?

(–2, 3) (1, 2) P (–2, 1)

3

P (–5, 2)

Adierazi A(3, 1), B(–5, 3), C(1, 2), D (–1, –2), E (–2, –3), F (5, 0) puntuak eta aurkitu AB , CD eta EF segmentuen erdiko puntuen koordenatuak.

B C A F D E

) ( = ( 1 – 1 , 2 – 2 ) = (0, 0) 2 2 = ( –2 + 5 , –3 + 0 ) = ( 3 , –3 ) 2 2 2 2

MAB = 3 – 5 , 1 + 3 = (–1, 2) 2 2 MCD MEF

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 2 or.

4

Kalkulatu ABCD laukiaren aldeetako eta diagonaletako erdiko puntuen koordenatuak.

A B

D C

A(4, 6), B(–2, 3), C (–4, – 4), D(5, –2)

( ) ( ) = (– 4 + 5, – 4 – 2 ) = ( 1 , –3) 2 2 2 = ( 4 – 4 , 6 – 4 ) = (0, 1) 2 2

( ) ( ) = ( 5 + 4 , 6 – 2 ) = ( 9 , 2) 2 2 2 = ( –2 + 5 , 3 – 2 ) = ( 3 , 1 ) 2 2 2 2

MAB = –2 + 4 , 3 + 6 = 1, 9 2 2 2

MBC = –2 – 4 , 3 – 4 = –3, – 1 2 2 2

MCD

MAD

MAC

5

MBD

Idatzi zein den A(–3, –5) puntuaren simetrikoa puntu hauekiko: a) P(–2, 0)

b) Q(2, –3)

c) O(0, 0)

–3 + x °— = –2 8 x = –1 °§ § 2 –5 + y § § a) –3 + x , = (–2, 0); ¢ ¢ A'(–1, 5) –5 + y 2 2 §— § = 0 8 y = 5 § § £ 2 £

(

)

–3 + x °— = 2 8 x = 7 °§ § –5 + y § 2 § b) –3 + x , = (2, –3); ¢ ¢ A'(7, –1) –5 + y 2 2 §— § = –3 8 y = –1 § § 2 £ £

(

)

–3 + x °— = 0 8 x = 3 °§ § –5 + y § 2 § c) –3 + x , = (0, 0); ¢ ¢ A'(3, 5) –5 + y 2 2 §— § = 0 8 y = 5 § § 2 £ £

(

6

)

AB segmentuaren erdiko puntua M(–3, 5) bada, aurkitu B puntua kasu hauetako bakoitzean: a) A (–1, 5)

b) A (6, – 4)

c) A (– 4, –7)

( ) –4 + y b) ( 6 + x , = (–3, 5) 8 x = –12; y = 14 8 B(–12, 14) 2 2 ) –7 + y c) (– 4 + x , = (–3, 5) 8 x = –2; y = 17 8 B(–2, 17) 2 2 ) 5+y a) –1 + x , = (–3, 5) 8 x = –5; y = 5 8 B(–5, 5) 2 2

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 3 or.

7

AC eta BD segmentuek erdiko puntu bera dute. Aurkitu D puntuaren koordenatuak, jakinda A(–2, 3), B (–3, –1), C (4, –2) direla.

(

) ( )

MAC = –2 + 4 , 3 – 2 = 1, 1 2 2 2

(

) ( )

–1 + y MBD = –3 + x , = 1, 1 2 2 2

8

–3 + x °— =1 8 x=5 § § 2 ¢ –1 + y 1 §— =— 8 y=2 § 2 £ 2

° § § ¢ D(5, 2) § § £

Egiaztatu, kasu bakoitzean, emandako puntuak lerrokatuta daudela: a) A (1, 2), B (4, 3), C (19, 8) b) P (–2, –3), Q (2, 0), R (–26, –21) y –y y –y a) 2 1 = 3 2 8 3 – 2 = 8 – 3 8 1 = 5 Cierto. x2 – x1 x3 – x2 4 – 1 19 – 4 3 15 b) 0 + 3 = –21 – 0 8 3 = 21 Cierto.

2 + 2 –26 – 2 4 28

9

Egiaztatu, kasu bakoitzean, emandako puntuak lerrokatuta daudela: b) A(1, 0), B(–3, –2), C (5, 2) a) A(–1, 3), B – 5 , 1 , C (– 4, –2) 2 2

(

)

a) 1/2 – 3 = –2 – 1/2 8 5 = 5 Sí están alineados.

–5/2 + 1 – 4 + 5/2 3 3 b) –2 – 0 = 2 + 2 8 –2 = 4 Sí están alineados.

–3 – 1 5 + 3 –4 8

10

Kalkulatu m-ren balioa R(5, –2), S(–1, 1) eta T(2, m) puntuak lerrokatuta egoteko.

–2 – 1 = m – 1 8 –1 = m – 1 8 m = – 3 + 1 8 m = – 1 5+1 2+1 2 3 2 2

Zuzenak

11

Aurkitu puntu hauetatik igarotzen den zuzenaren ekuazioa: a) A (–1, 0), B (0, 3) b) A (0, –2), B (5, –2) y – y1 x – x1 y–0 x+1 a) = 8 = 8 y = 3x + 3 y2 – y1 x2 – x1 3–0 0+1 b) c)

c) A (–2, 3), B (4, –1)

y+2 y+2 x = x–0 8 = 8 y + 2 = 0 8 y = –2 0 5 –2 + 2 5 – 0 y–3 = x + 2 8 6(y – 3) = – 4(x + 2) 8 6y – 18 = –4x – 8 8 –1 – 3 4 + 2 8 4x + 6y – 10 = 0 8 2x + 3y – 5 = 0

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 4 or.

12

Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) (–4, 2) puntutik igarotzen da, eta malda 1 du.

2 b) (1, 3) puntutik igarotzen da, eta malda –2 du. c) (5, –1) puntutik igarotzen da, eta malda 0 du. a) y = 2 + 1 (x + 4) 2 b) y = 3 – 2(x – 1) c) y = –1 + 0(x – 5) 8 y = –1

13

Idatzi honako zuzen hauen ekuazioak: a) y = –2x + 3 zuzenaren paraleloa eta (4, 5)-tik igarotzen da. b) 2x – 4y + 3 = 0 zuzenaren paraleloa eta (4, 0)-tik igarotzen da. c) 3x + 2y – 6 = 0 zuzenaren paraleloa eta (0, –3)-tik igarotzen da. a) m = –2; y = 5 – 2(x – 4) b) m = 1 ; y = 0 + 1 (x – 4) 8 y = 1 (x – 4) 2 2 2 c) m = – 3 ; y = –3 – 3 (x – 0) 8 y = –3 – 3 x 2 2 2

14

Idatzi p, q, r, s eta t zuzenen ekuazioak.

Y

q

r

s X p

t

r: (0, – 4) y (3, 0) y+4 x–0 = 8 3y + 12 = 4x 8 4x – 3y – 12 = 0 0+4 3–0 s: y = 2 t: (2, 2) y (–3, 6) y–2 x–2 = 8 –5y + 10 = 4x – 4 8 4x + 5y – 14 = 0 6 – 2 –3 – 2 p : x = –3 q: (0, 0) y (2, 4) y–0 x–0 = 8 2y = 4x 8 y = 2x 4–0 2–0

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 5 or.

15

Idatzi r-rekiko perpendikularra den eta P puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa kasu hauetan: a) r : y = –2x + 3; P (–3, 2) b) r : 3x – 2y + 1 = 0; P (4, –1) c) r : x = 3; P (0, 4) a) m = 1 ; y = 2 + 1 (x + 3) 2 2 b) m = – 2 ; y = –1 – 2 (x – 4) 3 3 c) y = 4

16

Aztertu A(18, 15) eta B(–43, –5) puntuak x – 3y + 27 = 0 zuzenekoak diren.

A: 18 – 3 · 15 + 27 = 0 8 A é r B: – 43 – 3 · (–5) + 27 ? 0 8 B è r

17

A(–3, 2) eta B(5, 0) puntuak emanda, idatzi honako zuzen hauen ekuazioak: r: A-tik igarotzen da eta AB -rekiko perpendikularra da. s: B-tik igarotzen da eta AB -rekiko perpendikularra da. mAB = 0 – 2 = – 2 = – 1 5+3 8 4 r: pendiente = 4; y = 2 + 4(x + 3) 8 y = 4x + 14 s: pendiente = 4; y = 0 + 4(x – 5) 8 y = 4x – 20

18

Kalkulatu n eta m, zuzen hauek, r : 3x + my – 8 = 0

s : nx – 2y + 3 = 0

P(1, 5) puntuan elkar ebaki dezaten. r: 3x + my – 8 = 0 8 3 · 1 + m · 5 – 8 = 0 8 m = 1 s: nx – 2y + 3 = 0 8 n · 1 – 10 + 3 = 0 8 n = 7

181. ORRIALDEA 19

Aurkitu r eta s zuzenen ebaki-puntua honako kasu hauetan: °r : 3x – 5y + 17 = 0

a) ¢

£s : 7x + 3y – 63 = 0

8. unitatea. Geometria analitikoa

°r : 3x + 6 = 0

b) ¢

£s : 2y – 5 = 0

8

Ariketen eta problemen soluzioak 6 or.

a)

9x – 15y = –51 3x – 5y = –17 ° ¢ 8 35x + 15y = 315 7x + 3y = 63 £ 44x = 264 8 x = 6 7 · 6 + 3y = 63 8 3y = 21 8 y = 7 r y s se cortan en el punto P(6, 7).

b)

20

( )

x = –2 ° 5 ¢ P –2, 2 y = 5/2 £

Aztertu zuzenen posizio erlatiboa: r : 3x – 5y + 15 = 0, eta s : (–2, –3) eta (8, 3) puntuetatik igarotzen da r: 3x – 5y + 15 = 0 s: m = 3 + 3 = 6 = 3 ; y = –3 + 3 (x + 2) 8 8 + 2 10 5 5 8 5y = –15 + 3x + 6 8 3x – 5y – 9 = 0 Las rectas r y s son paralelas.

21

Aztertu honako zuzen pare hauen posizio erlatiboa: °r : 5x – 4y + 8 = 0

°r : 2x – 5y + 3 = 0

a) ¢

b) ¢

£s : A(4, 7), B(0, 2)

£s : P(3, 1), Q(–2, 3)

a) • s : P(3, 1), Q(–2, 3) m= 3–1 = 2 =–2 –2 – 3 –5 5 y = 1 – 2 (x – 3) 8 5y = 5 – 2x + 6 8 2x + 5y – 11 = 0 5 • r: 2x – 5y + 3 = 0 s: 2x + 5y – 11 = 0 4x

– 8=0 8 x=2

2 · 2 – 5y + 3 = 0 8 5y = 7 8 y = 7 5 r y s se cortan en el punto 2, 7 .

5

( )

b) • s : A(4, 7), B(0, 2) m = 2 – 7 = 5 ; y = 2 + 5 (x – 0) 8 y = 2 + 5 x 8 –4 4 4 4 8 4y = 8 + 5x 8 5x – 4y + 8 = 0 r: 5x – 4y + 8 = 0 r y s son la misma recta.

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 7 or.

22

Idatzi zein den AB segmentuarekiko perpendikularraren ekuazioa zuzenkiaren erdiko puntuan, A(–5, 3) eta B (2, 7) izanik.

A(–5, 3), B(2, 7) 8 m = 7 – 3 = 4 ; m' = – 7 2+5 7 4

(

) ( )

MAB = –5 + 2 , 3 + 7 = – 3 , 5 2 2 2

( )

y = 5 – 7 x + 3 8 y = 5 – 7 x – 21 8 8y = 40 – 14x – 21 8 14x + 8y – 19 = 0 4 2 4 8

23

r eta s zuzenak (–4, 2) puntutik igarotzen dira; r paraleloa da 3x – 12 = 0 zuzenarekiko eta s perpendikularra. Adierazi r eta s eta idatzi euren ekuazioak.

3x – 12 = 0 8 x = 4 Paralela a x = 4 que pasa por (–4, 2) 8 r: x = –4 Perpendicular a x = 4 que pasa por (–4, 2) 8 s : y = 2 r s

Y (–4, 2)

y=2 X

x = –4

24

x=4

r zuzena 5x – 4y + 3 = 0 zuzenaren paraleloa da, eta s zuzena, biekiko pe pendikular. Biak igarotzen dira (1, 3) puntutik. Idatzi r eta s zuzenen ekuazioak.

5x – 4y + 3 = 0 8 m = 5 4 r es la recta de pendiente 5 que pasa por (1, 3): 4 r: y = 3 + 5 (x – 1) 8 4y = 12 + 5x – 5 8 5x – 4y + 7 = 0 4 s es la recta de pendiente – 4 que pasa por (1, 3): 5 s: y = 3 – 4 (x – 1) 8 5y = 15 – 4x + 4 8 4x + 5y – 19 = 0 5

Distantziak eta zirkunferentzia

25

Kalkulatu P eta Q puntuen arteko distantzia: a) P(3, 5), Q(3, –7) b) P(–8, 3), Q(–6, 1) c) P(0, –3), Q(–5, 1) d) P(–3, 0), Q(15, 0)

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 8 or.

a) d = √(3 – 3)2 + (5 + 7)2 = √122 = 12 b) d = √(–8 + 6)2 + (3 – 1)2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2 c) d = √52 + (–3 – 1)2 = √25 + 16 = √41 d) d = √(–3 – 15)2 + 02 = 18

26

a) Aurkitu A(–2, 0), B(6, 4) muturrak dituzten segmentuen erdiko puntua. b) Egiaztatu erdiko puntutik muturretako bakoitzera dagoen distantzia berdina dela.

(

)

a) M –2 + 6 , 0 + 4 = (2, 2) 2 2 b) A(–2, 0) 8 AM = √(–2 – 2)2 + (0 – 2)2 = √16 + 4 = √20 B(6, 4) 8 MB = √(6 – 2)2 + (4 – 2)2 = √16 + 4 = √20

27

Egiaztatu A(–1, 0), B(3, 2), C(7, 4) erpinak dituen triangelua isoszelea dela. Zein dira alde berdinak? ° § § 2 2 AC = √(–1 – 7) + (0 – 4) = √64 + 16 =√80 ¢ AB = BC § § 2 2 BC = √(7 – 3) + (4 – 2) = √16 + 4 = √20 §£

AB = √(–1 – 3)2 + (0 – 2)2 = √16 + 4 = √20 §

28

Egiaztatu, Pitagorasen teoremaren bitartez, A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) erpinak dituzten triangelua zuzena dela.

AB = √(–2 – 3)2 + (–1 – 1)2 = √25 + 4 = √29 AC = √(–2 – 1)2 + (–1 – 6)2 = √9 + 49 = √58 BC = √(3 – 1)2 + (1 – 6)2 = √4 + 25 = √29 √582 = √292 + √292

29

Idatzi zentroa C era erradioa r dituzten zirkunferentzia hauen ekuazioak: a) C(4, –3), r = 3

b) C(0, 5), r = 6

c) C(6, 0), r = 2

d) C(0, 0), r = 5

a) (x –

4)2

+ (y +

3)2

=9

c) (x – 6)2 + y 2 = 4

30

b) x 2 + (y – 5)2 = 36 d) x 2 + y 2 = 25

Adierazi zein diren honako zirkunferentzia hauen zentroak eta erradioak: a) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

b) (x + 1)2 + y 2 = 81

c) x 2 + y 2 = 10

a) C (2, –3); r = 4

b) C (–1, 0); r = 9

c) C (0, 0); r = √10

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 9 or.

31

Idatzi honako zirkunferentzia hauen ekuazioak: a) Zentroa C (0, 0) eta (–3, 4) puntutik igarotzen da. b) Zentroa C (1, 2) eta (5, 4) puntutik igarotzen da. a) radio: √(0 + 3)2 + (0 – 4)2 = √9 + 16 = 5 x 2 + y 2 = 25 b) r = √(1 – 5)2 + (2 – 4)2 = √16 + 4 = √20 (x – 1)2 + (y – 2)2 = 20

P E N T S AT U E TA E B AT Z I 32

Bi alde koordenatuen ardatzen gainean eta beste alde bat X ardatzaren paralelo dituen trapezio zuzen baten erpinetako bi A (4, 5) eta B (7, 0) puntuak dira. Marraztu trapezioa, eta kalkulatu: a) Aldeen ekuazioak. b) Perimetroa. c) Azalera. a)

Y

OC : x = 0

A (4, 5)

C

OB: y = 0 AC : y = 5 O

AB:

B (7, 0)

y–0 x–7 = 8 –3y = 5x – 35 8 5x + 3y – 35 = 0 5–0 4–7

b) AC = 4; OC = 5; OB = 7; AB = √(7 – 4)2 + (0 – 5)2 = √9 + 25 = √34 P = 4 + 5 + 7 + √34 = 16√34 u c) A = 7 + 4 · 5 = 11 · 5 = 55 u2 2 2 2

33

Marraztu aldeetako bi y = 3x eta y = 0 zuzenen gainean eta erpinetako bat P (6, 3) puntuan dituen paralelogramo bat. a) Idatzi beste bi aldeen ekuazioak. b) Esan zein diren beste erpinen koordenatuak. a)

OR: y = 3x

y = 3x

OQ: y = 0 PR: y = 3

P (6, 3)

R

PQ: y = 3 + 3(x – 6) 8 O

Q

y=0

8 y = 3 + 3x – 18 8 3x – y – 15 = 0

b) O(0, 0), Q(5, 0), R(1, 3), P(6, 3)

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 10 or.

34

Zehaztu zein diren A(–5, –2), B(7, 2) muturrak dituen segmentua lau zati berdinetan banatzen duten puntuak.

) ( Punto medio de AM, P ( –5 + 1 , –2 + 0 ) = (–2, –1) 2 2 Punto medio de BM, Q ( 7 + 1 , 2 + 0 ) = (4, 1) 2 2

Punto medio de AB, M –5 + 7 , –2 + 2 = (1, 0) 2 2

Los puntos buscados son M(1, 0), P(–2, –1) y Q(4, 1).

35

A(0, 4) eta B(–5, 0) puntuak izanda, aurkitu B-ren A-rekiko puntu simetrikoa, eta A-ren B-rekiko puntu simetrikoa.

B’ A (0, 4) B (–5, 0) A’

Simétrico de A respecto de B:

(

x — = –5 8 x = –10 °§ 2 ¢ A'(–10, –4) 4 + y = 0 8 y = –4 §£

)

4+y A' 0 + x , = (–5, 0) 2 2 Simétrico de B respecto de A:

(

)

0+y B' –5 + x , = (0, 4) 2 2

36

–5 + x = 0 8 x = 5 ° B'(5, 8) ¢ y=8 £

Egiaztatu A (1, 5), B (5, 1), C (– 4, –3) eta D (–8, 1) erpinak dituen laukia paralelogramo bat dela. Horretarako, frogatu horren diagonaletako erdiko puntuak bat datozela.

• Punto medio de AC:

A (1, 5) D (–8, 1)

C (–4, –3)

B (5, 1)

) (

)

(

) (

)

MBD = 5 – 8 , 1 + 1 = – 3 , 1 2 2 2

Los puntos medios de las diagonales coinciden.

8. unitatea. Geometria analitikoa

(

MAC = 1 – 4 , 5 – 3 = – 3 , 1 2 2 2 • Punto medio de BD:

8

Ariketen eta problemen soluzioak 11 or.

37

Aurkitu D puntuaren koordenatuak, kontuan hartuta ABCD paralelogramo bat dela eta A(1, –1), B(0, 2) eta C(6, 5) direla.

C (6, 5) B (0, 2)

D (x, y) A (1, –1)

• Punto medio de AC:

) ( )

(

MAC = 6 + 1 , 5 – 1 = 7 , 2 2 2 2 • Punto medio de BD:

(

y+2 MBD = x + 0 , 2 2

)

Los puntos medios de las diagonales deben coincidir. x = 7 8 x=7 2 2 y+2 =2 8 y=4– 2=2 2 El punto D tiene coordenadas D(7, 2).

38

AB segmentua x – 4y +10 = 0 zuzenaren gainean dago. Horren erdibitzailea 4x + y – 11 = 0 zuzena da. Zein dira B-ren koordenatuak A-renak (–2, 2) badira? Ebatzi modu grafikoan eta analitikoan.

• Calculamos el punto de intersección de las rectas dadas: x – 4y = –10 ° x – 4y = –10 ¢ 4x + y = 11 £ 16x + 4y = 44 17x

= 34 8 x = 2

y = 11 – 4 · 2 = 3 El punto es M(2, 3).

• El punto medio de AB es (2, 3):

( x –2 2 , y +2 2 ) = (2, 3) 8

°x – 2 = 4 8 x = 6 ¢ £y + 2 = 6 8 y = 4

El punto buscado es B(6, 4).

182. ORRIALDEA 39

Eriketa ebatzia.

8. unitatea. Geometria analitikoa

B(x, y) M A (–2, 2)

8

Ariketen eta problemen soluzioak 12 or.

40

A(–5, 4), B(4, 1), C(–1, –2) erpinak dituen triangelua emanda, aurkitu: a) Hiru aldeen ekuazioak. b) AC aldearen erdiko puntua. c) B erpinaren medianaren ekuazioa. a) A (–5, 4) B (4, 1)

C (–1, –2)

• Lado AB: m= 4–1 =–3 =–1 –5 – 4 9 3 y = 1 – 1 (x – 4) 8 3y = 3 – x + 4 8 3 8 x + 3y – 7 = 0

• Lado AC : m= 4+2 = 6 =–3 –5 + 1 – 4 2 y = –2 – 3 (x + 1) 8 2y = –4 – 3x – 3 8 3x + 2y + 7 = 0 2 • Lado BC: m=1+2= 3 4+1 5 y = 1 + 3 (x – 4) 8 5y = 5 + 3x – 12 8 3x – 5y – 7 = 0 5

(

)

b) MAC = –5 – 1 , 4 – 2 = (–3, 1) 2 2 c) La mediana que corresponde a B pasa, también, por el punto medio de AC, MAC . m= 1–1 =0 4+3 y = 1 + 0(x + 3) 8 y = 1

41

A(–1, 1), B(3, 4), eta C(3, 0) erpinak dituen triangeluan, aurkitu: a) BC-ren erdibitzailearen ekuazioa b) AC-ren erdibitzailearen ekuazioa c) Erdibitzaileen ebaki-puntua (triangeluaren zirkunzentroa). a) La mediatriz de BC es la perpendicular a BC por su punto medio, MBC .

(

)

MBC = 3 + 3 , 4 + 0 = (3, 2) 2 2

B (3, 4) A (–1, 1)

P C (3, 0)

La recta que contiene a BC es x = 3. Su perpendicular por (3, 2) es y = 2, mediatriz de BC.

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak

(

13 or.

) ( )

b) MAC = –1 + 3 , 1 + 0 = 1, 1 2 2 2

Pendiente de la recta que contiene a AC, m = 1 – 0 = – 1 .

–1 – 3 4 Pendiente de la perpendicular a AC, m' = 4.

Mediatriz de AC: y = 1 + 4(x – 1) 8 2y = 1 + 8x – 8 8 2y – 8x + 7 = 0 2 c) Circuncentro, P: ° y=2 ¢ 2y – 8x + 7 = 0 £ 4 – 8x + 7 = 0 8 8x = 11 8 x = 11/8

( )

Las coordenadas de P son 11 , 2 .

8

42

Egiaztatu A (2, 3), B (3, 1) eta C (–1, –1) erpinak dituen triangelua zuzena dela, eta kalkulatu horren perimetroa eta azalera.

A (2, 3) B (3, 1) C (–1, –1)

AB = √(3 – 2)2 + (1 – 3)2 = √1 + 4 = √5 AC = √(2 + 1)2 + (3 + 1)2 = √9 + 16 = 5 BC = √(3 + 1)2 + (1 + 1)2 = √16 + 4 = √20 = 2√5

Comprobamos que el triángulo es rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras: 52 = (√5 )2 + (√20)2 8 25 = 5 + 20 Perímetro = √5 + 5 + √20 = 5 + 3√5 u — — √ 5 · 2√ 5 = 5 u2 Área = 2

43

Egiaztatu A (4, 4), B (–2, 3) eta C (3, –2) erpinak dituen triangelua isoszelea dela, eta kalkulatu horren azalera.

B (–2, 3)

A (4, 4)

C (3, –2)

AB = √(4 + 2)2 + (4 – 3)2 = √36 + 1 = √37 ° ¢ AB = AC AC = √(4 – 3)2 + (4 + 2)2 = √1 + 36 = √37 £ BC = √(3 + 2)2 + (–2 – 3)2 = √25 + 25 = √50 = 5√2

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 14 or.

Calculamos la altura sobre el lado BC :

(

) ( )

MBC = –2 + 3 , 3 – 2 = 1 , 1 2 2 2 2 La altura es la distancia entre A y el punto medio de BC: h=

√(4 – —12 ) + (4 – —12 ) = √—494 · 2 = 72 √2 2

2

— — 5√ 2 · (7/2)√ 2 Área = = 35 u2 2 2

44

Frogatu A(4, 2), B(–2, 5), C(–5, 2) eta D(–2, –4) erpinak dituen laukia trapezio isoszelea dela, eta kalkulatu horren perimetroa.

B (–2, 5) A (4, 2) C (–5, 2)

• Probamos que BC es paralelo a AD hallando las pendientes de las rectas que los contienen: mBC = 5 – 2 = 3 = 1 –2 + 5 3 mAD = 2 + 4 = 1 4+2

D (–2, –4)

• Probamos que AB = CD : AB = √(–2 – 4)2 + (5 – 2)2 = √36 + 9 = √45 = 3√5 CD = √(–5 + 2)2 + (2 + 4)2 = √9 + 36 = √45 = 3√5 Por tanto, el trapecio ABCD es isósceles.

• Perímetro: BC = √(–2 + 5)2 + (5 – 2)2 = √9 + 9 = √18 = 3√2 AD = √(4 + 2)2 + (2 + 4)2 = √36 + 36 = √36 · 2 = 6√2 P = 3√5 + 3√5 + 3√2 + 6√2 = 6√5 + 9√2 u

45

Kalkulatu kasu bakoitzean emandako zirkunferentziaren zentrokidea den zirkunferentzia baten ekuazioa, jakinda erradioa erdia duela: a) x 2 + (y – 5)2 = 36

b) (x – 4)2 + (y + 3)2 = 12

a) Centro, (0, 5); radio, 6.

La circunferencia con centro en (0, 5) y radio 3 es: x 2 + (y – 5)2 = 9 b) Centro (4, –3); radio, √12 .

La circunferencia de centro (4, –3) y radio (x – 4)2 + (y + 3)2 =

8. unitatea. Geometria analitikoa

( ) √ 12 2

2

√ 12 es: 2

8 (x – 4)2 + (y + 3)2 = 3

8

Ariketen eta problemen soluzioak 15 or.

46

Halla la ecuación de la circunferencia de diámetro PQ, siendo P (–5, 2) y Q (3, –6).

(

)

El centro de la circunferencia es el punto medio de PQ, M = –5 + 3 , 2 – 6 = (–1, –2).

2 2 El radio es la mitad de PQ : PQ = √(3 + 5)2 + (–6 – 2)2 = √64 + 64 = √2 · 64 = 8√2 Radio = 4√2 Ecuación: (x + 1)2 + (y + 2)2 = (4√2 )2 (x + 1)2 +(y + 2)2 = 32

47

Zehaztu zein diren x 2 + y 2 = 50 zirkunferentziaren eta lehen koadrantearen erdikariaren ebaki-puntuak. x 2 + y 2 = 50 ° x 2 + x 2 = 50 8 2x 2 = 50 8 x 2 = 25 ¢ x=y £ x=5 8 y=5 x = –5 8 y = –5 Los puntos de corte son P (5, 5) y Q (–5, –5).

48

Kalkulatu k, (–3, k) puntua (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 zirkunferentziakoa izan dadin. (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 (–3 – 1)2 + (k + 2)2 = 25 8 16 + k 2 + 4k + 4 – 25 = 0 8 k 2 + 4k – 5 = 0 k = –5 k = –4 ± 6 2 k=1 Hay dos soluciones, k = –5, k = 1.

49

Zuzen hauek izanda: r : 3x + by – 12 = 0 s : ax – y + 6 = 0 kalkulatu a eta b, jakinda r eta s perpendikularrak direla eta r zuzena (9, –15/2)-tik igarotzen dela.

(

)

• Como r: 3x + by – 12 = 0 pasa por 9, – 15 : 2

( )

3 · 9 + b · – 15 – 12 = 0 8 27 – 15b – 12 = 0 8 2 2 8 15 = 15b 8 2 · 15 = b 8 b = 2 2 15 • r y s son perpendiculares: mr = – 3 8 ms = 2 = a 8 a = 2 2 3 3

50

Ariketa ebatzia.

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 16 or.

183. ORRIALDEA 51

Deskribatu, inekuazioak edo inekuazio-sistemak erabiliz, honako eremu hauek: a)

b)

Y

Y

X X

c)

d)

Y

Y

X X

°

°

a) x Ì –1 ¢ 8 ¢x +1 Ì 0 yÓ2 £ £y – 2 Ó 0 yÌ2 b) x Ì 4 x Ó –y

° °y – 2 Ì 0 § § 8 ¢ ¢x – 4 Ì 0 § § £ £x + y Ó 0

c) El lado oblicuo del trapecio pasa por (6, 0) y (3, 5). Su ecuación es: y–5 x–3 = 8 3y – 15 = –5x + 15 8 5x + 3y = 30 0–5 6–3 Probamos con el punto (1, 1) que está dentro del recinto: 5 · 1 + 3 · 1 = 8 < 30 Las ecuaciones del recinto son: °5x + 3y Ì 30 § ¢x Ó 0 § £0 Ì y Ì 5

d) • El arco corresponde a una circunferencia de centro (0, 0) y radio 4. Su ecuación es x 2 + y 2 = 16.

Para el punto (0, –1), que está dentro de la región, x 2 + y 2 Ì 16.

• El segmento recto corresponde a la recta de ecuación y = 0.

Para el punto (0, –1), que está dentro de la región, y Ì 0.

2 ° 2 Expresiones que representan la región: ¢x + y Ì 16 £y Ì 0

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 17 or.

52

Adierazi grafikoetan honako eremu hauek: °

°

a) ¢–1 Ì x Ì 4 £y Ó 0

b) ¢x – y Ì 0 £x Ì 3

°x 2 + y 2 Ì 9 c) §¢y Ó 0 § £x Ì 0

°x Ì 0 d) §¢–5 Ì y Ì 0 §5x – 2y Ó –10 £

a)

b)

Y

x=3 Y

4 X

–1

X

y=x

d)

Y +

y2

Y

=9

X

–10

x2 yÓ0

yÌ0 y Ó –5

5x –

X

2y =

c)

xÌ0 xÌ0

H AUSNARTU TEORIARI BURUZ 53

Bi zuzen, r1 eta r2, perpendikularrak badira, honako baldintza hauetako zein beteko dute beren maldek? a) m1 = 1 b) m1 = –m2 c) m1 · m2 = –1 d) m1 + m2 = –1 m2 La c), m1 · m2 = –1, que equivale a m1 = – 1 . m2

54

Badakizu ax + by + c = 0 zuzen baten ekuazioa dela. Esan nolakoa den zuzen hori kasu hauetan: a) a = 0 b) b = 0 c) c = 0 d) a = 0, c = 0 a) by + c = 0 es paralela al eje OX. b) ax + c = 0 es paralela al eje OY. c) ax + by = 0 es una recta que pasa por el origen de coordenadas, (0, 0). d) by = 0 8 y = 0. Es el eje OX.

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 18 or.

55

Honako zuzen hauek izanda, r : y = 3x + 1

s: y = – 1x 3

t : y + 3x = 0

Horietako zein da y = 1 x + 1 zuzenarekiko perpendikularra?

3 La pendiente de y = 1 x + 1 es m = 1 .

3 3 La pendiente de una recta perpendicular a ella debe ser –3. t: y + 3x = 0 es perpendicular a la recta y = 1 x + 1.

3

56

Bi ekuazio hauek izanda, x 2 + y 2 + 25 = 0 x 2 + (y + 1)2 = 4 9 bietako zeinek adierazten du zirkunferentzia bat? Eman horren zentroa eta erradioa. x 2 + (y + 1)2 = 4 representa una circunferencia.

9 Su centro es el punto (0, –1), y su radio, 2 .

3

57

Honako adierazpen hauetako zeinek ematen digu P (x1, y1) eta Q (x2, y2) puntuen arteko distantzia? a) (x2 – x1) + (y2 – y1)

b) √ (x2 + x1)2 – (y2 + y1)2

c) √ (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2

d) |x2 – x1| + |y2 – y1|

La c), √ (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2.

58

ax + by + c = 0 eta a'x + b'y + c' = 0 zuzenak paraleloak badira, bi baldintza hauetako zein betetzen dute? a) aa' + bb' = 0 b) ab' – a'b = 0 Eta perpendikularrak badira?

Las pendientes de las rectas son, respectivamente: m = – a , m' = – a' b b' Si las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales: – a = – a' 8 ab' = a'b 8 ab' – a'b = 0 b b' Si las rectas son perpendiculares, m = – 1 : m' – a = b' 8 –aa' = bb' 8 aa' + bb' = 0 b a'

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 19 or.

S AKONDU 59

Honako irudi honek trapezioa ematen du. Aztertu benetan ere hala den. Ez bada, aldatu D puntuaren koordenatuak, trapezio bat lortzeko.

C(3, 5) B(–2, 3)

D(12, 3)

A(–3, –2)

Veamos si BC es paralelo a AD, calculando sus pendientes: 5–3 2 ° mBC = — = — § 3+2 5 § ¢ m ? mAD 8 ABCD no es un trapecio.

3 + 2 5 1 § BC mAD = — = — = — § 12 + 3 15 3 £ Rectificamos el punto D para que las pendientes mBC y mAD sean iguales. Sea D(a, b): mAD = b + 2 = mBC = 2 5 a+3 Si, por ejemplo, mantenemos la primera coordenada de D(12, b): b+2 = 2 8 b+2=6 8 b=4 12 + 3 5 Podemos tomar D(12, 4) (también es válido D (7, 2)).

60

Aurkitu (8, 7) puntutik 5 unitatera egongo den lehen koadrantearen erdikariko puntu bat.

Un punto de la bisectriz del primer cuadrante es de la forma (a, a), con a Ó 0. dist = √(8 – a)2 + (7 – a)2 = 5 8 a2 + 64 – 16a + a2 + 49 – 14a = 25 8 8 2a2 – 30a + 88 = 0 8 a2 – 15a + 44 = 0 8 15 ± √ 225 – 176 15 ± √ 49 = = 15 ± 7 = 2 2 2 Hay dos soluciones: P(4, 4), Q(11, 11).

8 a=

61

11 4

r: x – y + 1 = 0; s: x + y + 9 = 0; t: 4x – y – 14 = 0 zuzenek ABC triangelu bat eratzen dute. a) Kalkulatu A, B eta C-ren koordenatuak. b) Aurkitu triangeluaren zirkunzentroa. a) Los vértices del triángulo son los puntos donde se intersecan las rectas.

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 20 or.

° x–y+ 1=0 r » s §¢ x + y + 9 = 0 § + 10 = 0 8 x = –5, y = –4 £ 2x

° § ¢ r » s : A(–5, – 4) § £

° x – y + 1 = 0 ° –x + y – 1 = 0 ¢ £ 4x – y – 14 = 0 £ 4x – y – 14 = 0

° § r » t: B(5, 6) ¢ – 15 = 0 8 x = 5, y = 6 §£

r»t¢

3x

° ° x+y+9=0 § s » t §¢ 4x – y – 14 = 0 ¢ s » t: C(1, –10) § § – 5 = 0 8 x = 1, y = – 10 £ £ 5x

b)

El circuncentro es el punto en el que se intersecan las mediatrices.

La mediatriz es la perpendicular por el punto medio.

Y

x–

y+

1

=

0

B

X

– 14 =

0

P

x+

y+

9

4x – y

A

=

0 C

• Mediatriz de AC: Pendiente de la recta que contiene a AC, mAC = –10 + 4 = –1.

1+5 Pendiente de la mediatriz de AC, m'1 = 1.

(

)

Punto medio de AC, MAC = –5 + 1 , –4 – 10 = (–2, –7).

2 2 Ecuación de la mediatriz de AC: y = –7 + (x + 2) 8 y = x – 5 • Mediatriz de BC: Pendiente de la recta que contiene a BC, mBC = –10 – 6 = 4.

1–5 Pendiente de la mediatriz de BC, m'2 = – 1 .

4 Punto medio de BC, MBC = 5 + 1 , 6 – 10 = (3, –2).

2 2 Ecuación de la mediatriz de BC:

(

)

y = –2 – 1 (x – 3) 8 4y = –8 – x + 3 8 4y + x + 5 = 0 4

8. unitatea. Geometria analitikoa

8

Ariketen eta problemen soluzioak 21 or.

• Calculamos el circuncentro: ° y=x–5 ¢ 4y + x + 5 = 0 £ 4x – 20 + x + 5 = 0 8 5x = 15 8 x = 3 x = 3 8 y = –2 El circuncentro es el punto P(3, –2).

62

r: x – 2y + 1 = 0 zuzena eta A(–1, 5) puntua emanda, kalkulatu: a) r-rekiko perpendikularra den eta A puntutik igarotzen den s zuzenaren ekuazioa. b) r eta s zuzenen M ebaki-puntua. c) M-ren araberako A puntuaren simetrikoa. a) mr = 1 8 ms = –2 2 s: y = 5 – 2(x + 1) 8 y = 3 – 2x b)

x – 2y + 1 = 0 ° x – 2(3 – 2x) + 1 = 0 8 ¢ y = 3 – 2x £ 8 x – 6 + 4x + 1 = 0 8 5x = 5 8 x = 1 x=1 8 y=3–2=1 Las coordenadas de M son M(1, 1).

c) M es el punto medio de A y su simétrico A'(x, y):

( –12+ x , 5 2+ y ) = (1, 1)

–1 + x = 2 8 x = 3 5 + y = 2 8 y = –3

Las coordenadas de A' son A'(3, –3).

63

y = 2x + 1 zuzena muturretako bat A (–6, 4) puntuan duen zuzenkiaren erdibitzailea da. Aurkitu beste muturraren koordenatuak.

Sea B el otro extremo del segmento.

La pendiente de la mediatriz es m = 2.

La recta que contiene a AB tiene pendiente – 1 y pasa por A (–6, 4): 2 r: y = 4 – 1 (x + 6) 8 2y = 8 – x – 6 8 x + 2y – 2 = 0 2 El punto de corte de la mediatriz con esta recta r será el punto medio de AB. Lo calculamos: Y y = 2x + 1 A

x + 2y = 0 ° x + 4x + 2 – 2 = 0 8 ¢ y = 2x + 1 £ 8 5x = 0 8 x = 0 x = 0 8 y = 1; M(0, 1) A(–6, 4), B(a, b), M(0, 1)

M X B

( –62+ a , 4 +2 b ) = (0, 1)

–6 + a = 0 8 a = 6 4 + b = 2 8 b = –2

El otro extremo del segmento es B(6, –2).

8. unitatea. Geometria analitikoa