Unidad 5 aplicaciones de la derivada 2

CÁLCULO DIFERENCIAL UNIDAD 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA ANEXOS A UTILIZAR.Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada en el punto indicado. a).y  1  x 2 en T (1; 2 );  Como mT 

dy  mT  dx 1

1  (1)

2



x 1 x 2



m T =Pendiente de la recta tangente a f(x)en T m N =Pendiente de la recta normal a f(x) en T

1 1   utilizando y  y  m( x  x1 ) 11 2 Ecuación de la recta

1 punto-pendiente y 2  ( x  1)  2 ( y  2 )  x  1  2  x  2 y  2  1  0  ec. de la recta tan gente

Ahora como sabemos la recta tangente y la normal son perpendiculares 1  mN    m N   2 entonces : mT y  2   2 ( x  1)  y  2  2 x  2  0 Ecuación de la recta normal

b).x2 ; T (3; 9 / 5) x2  4 dy ( x 2  4)(2 x)  ( x 2 )( 2 x) 2 x 3  8 x  2 x 3 8x   mT    2 2 2 2 2 dx ( x  4) ( x  4) ( x  4) 2 8(3) 24 24  mT   2    2 2 25 (3  4) (9  4) 9 24 9 24 x 72 y    ( x  3)  y      5 25 5 25 25 24 x 72 9 24 x 117 ecuacion de la recta tan gente y   y 25 25 5 25 25 25 9 25 25 x 75 9 mN   ( x  3)  y   y     24 5 24 24 24 5 25 x 53 y ecuacion de la recta normal  24 40 y

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES NOTA: Una función es creciente cuando el valor de la derivada es positivo en ese intervalo, y será decreciente cuando la 1er derivada es negativa. a) Encontrar los intervalos en los que la siguiente función es creciente, decreciente y ninguna de las dos. y=5x 2 -20x+3 dy  10 x  20 1° Calcular dx 2° para saber donde y=f(x) es creciente hay que resolver: 20 f ' ( x)  0  x x  2 f ( x ) creciente 10 x  20  0  10 3° para saber donde es y=f(x) decreciente hay que resolver: f ' ( x)  0  10 x  20  0  x  2 f ( x) decreciente 4° para saber donde es ni creciente ni decreciente hay que resolver f ' ( x)  0  10 x  20  0  x2 y Y=f(x)

decreciente

creciente

x 0

X<2

2

X>2

Utilización del método de la 1era derivada en la determinación de los valores máximo; mínimo y grafica de una función x3 x 2 y   6 x  100  f ( x) 3 2 dy 1. x 2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0  dx x 1 =3 x2=-2

Valores críticos en donde existe M o m 

 el signo para x>y< que cada valor critico.

dy

2.- Analizar en dx

x  3  y '   3   3  6  9  3  6   2



 max imo en x  2

x  1  y '   1   1  6  1  1  6   2

x  2  y '  2   2   6  4  2  6   2

 min imo en x  3

x  4  y'  4   4   6  16  4  6   2

3.- Calcular los valores de y en la f(x) inicial para el máximo y el mínimo  Si x  2; y   32   22   6 2   100   El punto máximo es: M  2; 107.3 3

2

8 3

 2  12  100 

3  3  Ahora; si x=3; y  3  2  6(3)  100  9  92  18  100  El punto mínimo es: m3; 86.5 3

2

322 3

173 2



4.- Gráfica sin escala y M 107.3

86.5

m x

-2

0

3

b) Determinar los máximos, mínimos y la gráfica de:

x3 x 2   6x 3 2 dy 3 x 2 2 x    6  x2  x  6  1.  dx 3 2 como x 2  x  6  0  ( x  3)( x  2)  0  y

Valores críticos x 1 =3;

x 2 = -2

2.-Analizar el signo de la derivada para valores mayores y menores que cada valor crítico dy x  3;  (3) 2  (3)  6  9  9  6  12 De + a – hay un máximo dx en x=-2 dy 2 x  1;  ( 1)  (1)  6  1  1  6  4 dx dy x  2;  ( 2) 2  ( 2)  6  4  2  6  4 De - a + hay un mínimo dx en x=3 dy x  4;  ( 4) 2  ( 4)  6  16  4  6  6 dx 3.-se calculan los valores de y para el M y m  2 (2) 2  2  8 22   6 2     2  12   7.33 x  2; y  3 2 3 3 22    El max imo es : m  2;  3  

x  3;

3 2   3 3  y

3

2

 63  9 

9 27  18    13.5 2 2

27    El min imo es : m 3;  2   y

4.  Grafica

M

7.33

3 x -2

-13.5 M

Encontrar el máximo y mínimo de la siguiente f(x) yx

1.-

dy dx



x3

x

x 2 x 3





1 2 x3

x 3 1



x  2

Dx 3, 



 x  3 (1)  0 

0 

x  2 ( x  3) 2 x3

0



3x  6  0

Único valor critico 

2.-Con x  3;

dy dx



Con x  1;

dy dx



No esta definido

3 2 3 3 1 2 1 3

 33 

 1  3 

1 2 2

3 0

0

 2  0.35  1.41  

Como se observa en x= -3 no se aprecia nada  probaremos en

x  2 12 

dy dx



2.5 2  2.5  3

  2.5  3 

2.5 2 .5

 .5  1.76  0.71  1.05

dy

Entonces como dx varia de – a + en x=-2 hay un mínimo 3.-  si x  2; 4.- Grafica





 

y  2  2  3  2 1  2  m 2;2

Encontrar los valores máximos, mínimos y la gráfica de:

y 1.-

dy dx

 f ( x) 

x x 2 1



x 11  x 2 x   0   x 1 

x 2 1  2 x 2  0 

2

2

2

x1  1

 x2  1  0  2.- con x  2



dy dx

con x  0

dy dx

 En v.c.x  1 dy dx

con x  0 con x  2  como

dy dx

dy dx



2 2 1 2  2 2  2 2 12



0 2 1 2 0 2

0 1

2

2

dy dx

Valores críticos 

x1  1





4 18

 412

1 1



3 25





Cambia de (-) a (+) hay un mínimo

 2 2 1 2  2 2

2 1 2

2



4 1 8 25



3 25



 cambia de ( ) a (  ) en x  1 hay un max imo

3.- si x  1 y  112 1  111   12 

Si x  1 y 

1 (1) 2 1



1 11

y

m(1, 12 )

 12  M (1, 12 )

4.- Grafica M

1 2

-1 x 1

m



1 2

Determinar los máximos y mínimos y la grafica de: y  sen 2 x  cos Dx0;2  dy

1.- dx  2( senx)(cos x)(1)  ( senx)(1)  0 

2 senx cos x  senx  0;

factorizando senx(2 cos x  1)  0

Encontramos que: senx  0 para x  0 180 360 Ademas 2 cos x  1  0; cos x  12 ; para x  60; 300

 Los valores críticos de cesta función ordenados son:

x  0;

x  60

x  180

x  0;

x  3 ;

x 

x  300

y

x  53 y Como el intervalo es abierto 0° y 2 quedan fuera 2.-

x  360

x  2

y en

radianes



M

si x  45;

dy dx

 2( sen45)(cos 45)  sen45  2(.7)(.7)  0.7  0.28

si x  70;

dy dx

 2( sen70)(cos 70)  sen70  2(.9)(.3)  0.9  0.36

m

si x  220;

dy dx

 2( sen220)(cos 220)  sen220  2(0.6)(0.7)  0.6  1.44

M

si x  315;

dy dx

 2( sen315)(cos315)  sen315  2(0.7)(0.7)  0.7  0.28

3.- En x  60 hay un max imo; y  ( sen 60) 2  cos 60  .75  0.5  1.25

 m 3 ;1.25

En x  180 hay un min imo; y  ( sen180) 2  cos 180  0  ( 1)  1

 m ;1

En x  300 hay otro max imo y  sen300   cos 300  0.75  0.5  1.25 2

 M  53 ;1.25 4.- Grafica

Determinar el máximo; mínimo y la grafica de:

y  sen 2 x  senx  f  x dx0;2 

1.-

dy dx

 2 senx  cos x  cos x  0  cos x2senx  1  0 

cos x  0; en

 2

senx   12 ; en

 90; 7 6

3 2

 210;

 270 11 6

 90; 210; 270; 330

 330

2.-

si x  60;

dy dx

 2( sen60)  (cos 60)  cos 60  2(.8)(.5)  0.5  

si x  120;

dy dx

 2( sen120)  (cos120)  cos120  2(.8)(.5)  (.5)  

si x  240;

dy dx

si x  300;

dy dx

 2sen300  (cos 300)  cos 300  2(.8)(.5)  .5  0.8  0.5  

si x  345;

dy dx

 2( sen345)  (cos 345)  cos 345  2(.2)(.9)  (.9)  .36  .9  

 2( sen240)  (cos 240)  cos 240  2(.8)(.5)   .5  0.8  0.5  

3.- En x  90 hay un max imo;

En x  210 hay un min imo; En x  270 hay un max imo; En x  330 hay un min imo;

y  sen 2 90  sen90  1  1  2  M 2 ;2 

y  sen 2 210  sen 210  .25   .5  0.25 M  76 ; 14  y  sen 2 270  sen270  1  (1)  0; M  32 ;0

y  sen 2 330  sen330  .25  0.5  0.25; M 116 ; 14 

4.- Grafica

y M

2 7 6

1 0 1

 2

M

3 2

11 6

M

2 x

Determinación de los valores máximo, mínimo, punto de inflexión y gráfica de una función por el método de la 2da. Derivada. y   x 3  3x 2  2  f ( x) dy 1.   3 x 2  6 x  0; x(3 x  6)  0; x1  0; x2  2valores criticos dx d2y 2.   6 x  6; dx2 Ahora se sustituye cada valor critico en la 2da derivada y si sale + hay mínimo; si sale – hay un máximo Con x=0;

d 2y  -6(0)+6=0+6=+aquí hay un mínimo dx2

Con x=2;

d 2y  -6(2)+6=-12+6=-aquí hay un máximo dx2

3.- la 2da derivada se iguala a cero para encontrar la x del punto de inflexión (donde la curva entre un máximo y un mínimo cambia de dirección).  -6x+6=0 x=-6/-6  x=+1 4.  si x  0; y   (0)3  3(0) 2  2  2  m(0 ;  2) si x  1 ; y   (1) 3  3(1) 2  2  1  3  2  0  P.I (1 ;0) si x  2 ; y  ( 2)3  3( 2) 2  2  8  12  2  2  M (2;2)

5.-Gráfica Y 2

P.I X 2

-2

m

Ejemplo. Y=2x 3 -3x 2 -36+6 dy 1.   6 x 2  6 x  36 dx 2.  6 x 2  6 x  36  0 Con fórmula general obtenemos los valores críticos

x1  3 x2  2 3. 

d2y  12 x  6 dx 2

 con x 1  3 d2y  12 ( 3 )  6  36  6   30 dx 2  aqui hayun min imo  con x 2   2 d2y  12 (  2 )  6   24  6   30 dx 2  en este valor critico hay un máximo 4 .  12 x  6  0 12 x   6 6 x  12 3 1 x   6 2 1 x  2 6.- Gráfica

5.  con x  3; y  2(3) 3  3(3) 2  36(3)  6  75  m(3 ;75) con x  2 y  2(2) 3  3(2) 2  36( 2)  6  50  M (2;50) con x  1 / 2 1 1 1 y  2( ) 3  3( ) 2  36( )  6  2 2 2 1 1 y  2( )  3( )  18  6 8 4 1 3 1 25 y    12    12   4 4 2 2

APLICACIONES PRÁCTICAS Se dispone de 200 mts. De tela ciclón con la cual junto a una barda recta de una casa se va a formar un corral rectangular con tres lados de tela.- ¿Qué dimensiones dan la mayor área?

BARDA

 x  2 y  220  ec. no.1 a  x  y  ec. no. 2

Y

Y

 de la ec. 1 A  x(

y

220  x  2

220  x )  f ( x) 2

X

1 220  x dA  x( )  ( ) (1)  0  2 2 dx  x 220  x  x  220  x   0; 0 2 2 2  2x  220 2( x  110)  0;  0;  x  110  0  x  110 valor critico 2 2 dA  109 220  109    54.5  55.5   con x  109; 2 2 dx dA  111 220  111    55.5  54.5   con x  111; dx 2 2 dA como cambia de  a  ; en x  110 hay un máximo: dx  las dimensiones del corral a construir serán : 220  x 220  110 110 x  110mts y y    55 mts 2 2 2 Si se tuvieran las mismas condiciones que el problema anterior pero con la necesidad de dividir en tres partes con 2 cercos paralelos al lado más corto entonces: Total de tela disponible 220 mts.

BARDA

y

y

y

y

3x  4 y  220  ec. 1 A  3x  y  ec. 2 despejar y de ec.1 y sustituirlo en la ec.2  y

220  3 x 4

 A  3x 22043 x   f x 

dA dx

 3x 43    22043 x 3  0;

 9 x  660  9 x 4

 0;

9 x 4

 32204 3 x   0;

 18 x  660  0(4);

x  36.6 mts

y

220  3( 36.6 ) 4

x

 660 18



 27.5 mts Ancho de cada corral

Largo de cada corral

Una persona esta en un bote en el mar frente a una playa recta distante 2km y desea llegar a un punto B sobre la orilla a 10 km del frente.

Si navega a 2 km/h. y cobre a 3 km/h. d ¿Qué camino debe seguir para legar en el menor tiempo?

V=  t 10

D

C x

Ruta 1: Ir por agua de AC; luego por tierra de CB, haciendo un tiempo de

B (10-x)

T  2  10  1+3.33=4.33 hrs 1

2

3

2 Ruta 2: Ir directo de AB por agua recorriendo d=

2 2  10 2  104  10 .20 km  T 2 

10 .20  5 .10 hrs 2

Ruta 3: Ir de AD situado a x km / C y B por agua, luego (10-x) por tierra requiriendo para ello un tiempo de T 3  T 3  Tagua  Tierra 

AD 

22  x2 

x2  4  T 

Ahora aplicamos el método:

x2  4 10  x   f (x) 2 3

Dx 0 ;10 

2x dt 2 x 2  4  1    2 dx 3 1

dt x x 1 1      2 2 dx 2 x  4 3 2 x 4 3





2

3 x  2 x 2  4  (3 x) 2  2 x 2  4  9 x 2  4( x 2  4)  9 x 2  4 x 2  16  9 x 2  4 x 2  16  5 x 2  16  x 2 

<

V.C

1.5

>

Con x =1.5 ;

Con x = 1.9

dt 1.5 1    2 dx 2 (1.5)  4 3

1.9

1.788

16  x   3.2  x  1.788km unico valor 5

dt 1.9 1    2 dx 2 (1.9)  4 3

 En x=1.788 si se hace un tiempo mínimo (1.788) 2  4 (10  1.788) t  2 3 t  1.34  2.74  t  4.08 horas

Comprobación:

Determinar el valor de x para que el siguiente canal de sección trapezoidal tenga el área máxima.x 4

x

4 h

h 4

4

Bb AREA DE UN TRAPECIO   h  2   (2 x  4)  4   2x  8  A h  h  2    2  x

A  ( X  4)  (h); pero del

B= Base mayor b= base menor h= altura o tirante

x 2  h2  42 

h 4

h  16  x 2

 A  ( x  4). 16  x 2  f ( x) el area como una funcion de x   2x dA  ( x  4)  2 dx  2 16  x  x 2  4x 16  x

 ( x  4)(  x) 2  16  x 2  0    16  x .(1)  0  2 16  x 

  16  x 2   x 2  4 x  (  16  x 2 )(  16  x 2 )   x 2  4 x  ( 16  x 2 ) 2

  x 2  4 x  (16  x 2 )   x 2  4 x  16  x 2   x 2  x 2  4 x  16  0  2 x 2  4 x  16  0; divi dim os / (2) para reducir   2 x 2 4 x 16  0; nos queda x 2  2 x  8  0   2 2 2

Factorizando (x+4) (x-2)=0  los V.C son <

V.C

X 1  4 no sirve X 2  2 si sirve

>

1

3

2

dA (1  4)( 1) 5  15     16  12  2 dx 15 16  1  21 dA (3  4)(3)   16  3 2   7  en x  3; 2 dx 7 16  3 dA  Como cambia de  a  en x  2 hay un max imo dx en x  1;

El mismo problema anterior pero ahora determinando el valor del Angulo  que haga máxima el área del trapecio. x

4 h



x

h 4

4 4

A=  X  4 h  x Del triangulo sen  h4  h  4 sen sustituyendo en A  h 4 cos  4x  x  4  cos

A  4 cos   4  4sen   16sen cos   16 sen  f ( )



da dx







 16 sen  sen 2  cos  cos    16cos    0

dA DX

 16sen 2  16 cos 2   16 cos   0;  16 para simplificar :





 sen 2  cos 2   cos   0; utilizar que : sen 2  1  cos 2  





 1  cos 2   cos 2   cos   0   1  cos 2   cos 2   cos   0 2 cos 2   cos   1  0; haciendo u  cos  tenemos que : 2u 2  u  1 ; usando la final u1  1 / 2; u2  1  como cos   u  cos 1  1 / 2; 1  inv. cos .5  60  este es V .C cos  2  1;  2  inv. cos 1  180 el cual no sirve <

V.C

59° 60°

con   59;  como

>

61°

dA   ; con   61 ; d

dA  d

dA cambia de  a  entonces en   60 hay máximo d

Una viga de 27’ de largo va a pasarse horizontalmente de un pasillo de 8’ de ancho a otro de x’ de ancho que se comunica con el 1° ángulo recto. ¿Cuánto medirá el 2° pasillo para que la viga pueda pasarse y no se atore?

27’ L

 x



27-L

8 L

8





x

cos 

x L

x  L  cos

sen 

8 27  L

 27  L 

 L  27  8 / sen 

8 sen

x  27  dX d

  cos   f ( ) cos    0  27  sen8     sen    cos   8sen  8 sen 

2

 27 sen   8 

8 cos 2  sen 2

0

 27 sen 3  8 sen 2  8 (1 sen 2 ) sen 2

0

 27 sen 3  8 sen 2  8  8 sen 2  0 ( sen 2 )  27 sen 3  8  0 sen  

3

8 27



2 3



 como L  27 



sen 3 

8  27



8 27



  inv . sen 0.666    41 .81  8 sen 

 L  27 

8 sen 41 .81



L  27  12  L  15 '  como x  L  cos   x  15  cos 41 .81   x  11 .18 ' Es lo menos que debe medir el pasillo despreciando el grueso de la viga.

Una agencia inmobiliaria maneja 50 departamentos. Cuando el alquiler es de $270 al mes, todos están ocupados y mientras que por cada $15 de incremento se desocupa uno.Cada departamento ocupado requiere de $18 para gastos de mantenimiento. ¿Cuánto se debe cobrar para obtener la máxima utilidad.

I= Ingreso=(50)(270) todos ocupados U=utilidad=I-C C=Costo de mantenimiento=(50)(18) ” ” X=No. de veces que se incrementará en $15 la renta 

U=(50-X)(270+15X)-(50-x)(18)=f(x) U=-15x 2 +498X+12600=f(x)

du  30 x  498  0 dx  498 x  16.6  30 Como X influye en el número de departamentos desocupados entonces X podría ser 16 ó 17   U= -15(16) 2 +498(16)+12600 = $16728 X=16

U= -15(17) 2 +498(17)+12600=$16731  X=17

El n° de departamentos ocupados será: 50-17=33 y el costo de c/u será 270+15(17)=$525.00

RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOBRE LAS APLICACIONES DE LA DERIVADA 1.a) b) c) d)

Encontrar la ec. De la recta tangente a la curva en el punto dado. y=6-x 2 en T(1 ; 5) 3 y=x -3x en T(2 ; 2) 2 2 4y =72-9x en T(2 ; 3) 2 2 2x -x y + y =16 en T(3 ; 2)

2.Encontrar las coordenadas de los puntos máximo, mínimo y la gráfica de las funciones siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h)

y=2x 3 -9x 2 +12x-3 y=-2x 3 -3x 2 +12x+10 x 2  6 x  11 y= 4 y=-x 2 +4x-11 432 y=x 2 + x 3 y=2x +3x 2 -12x y=x x  3 y=2x 3 -2x 2 -16x+1

Una página rectangular tendrá un área impresa de 24 pulgadas 2 con márgenes superior e inferior de 1.5 pulgadas y en los lados de 1 pulg. ¿Qué dimensiones de la hoja minimizan la cantidad necesaria del papel?

Dos pasillos rectos de 8 pies y 6 pies de anchos se comunican en ángulo recto. Se desea pasar horizontalmente una viga de un pasillo a otro. ¿Qué medida debe tener la viga para poder pasarla sin que se atore (despreciar lo ancho de la viga)?

EJERCICIOS I) Establecer la función y definir el dominio.

1.-

Area de un trapecio isósceles Dos análisis algebraico y trigonométrico

2.-

Una agencia inmobiliaria maneja 50 departamentos. Cuando el alquiler es de $270 al mes, todos están ocupados, mientras que por cada $15 de incremento se desocupa uno. Cada departamento ocupado requiere de $18 para gastos de mantenimiento.

3.-

Con 220 mts. de malla y una barda recta se va a construir un corral rectangular cercando tres lados ¿Qué dimensiones tendrá para que el área sea máxima?

4.-

Con una hoja rectangular de lámina con un perímetro =12mts. Se va a construir un tubo circular recto enrolando la lámina ¿Qué dimensiones de la lámina hacen el tubo de mayor volumen?

5.-

En un semicírculo de radio= 5, se va a escribir un rectángulo.

Expresar el área del rectángulo como una función de x.

II) Obtenga el dominio de los siguientes: f(x)

1. y  2  x  1 4. y 

1 1 x 2

2. y 

1 1 x2

3. y   144  x 2

5. y  4  x 2

III) Graficar: y= x Luego utilizando esa grafica ¿qué paso con?

1.

y  x 2

2.

y  x2

3.

y x

4.

y2 x

5.

y

6.

x 2 y  x

1.- Una ventana normanda tendrá la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo.

Si el perímetro total de la ventana será de 12 metros. ¿Qué dimensiones de la ventana dan el área máxima?

2.- Se va a proyectar un solar rectangular al lado del terreno de un vecino. Si el solar debe tener una superficie de 10800m 2 ; y el vecino está de acuerdo en pagar la mitad del cerco que colinda con el. ¿Qué dimensiones dán al dueño el mínimo costo al cercarlo?

3.- Un hombre se encuentra en un bote en el mar frente a una playa recta distante 2km. Y desea llegar al punto “B” sobre la orilla a 10km del frente.

Si puede navegar a 2km/h y caminar a 3 km/h ¿Qué camino debe seguir para llegar en el menor tiempo?

4.- Encontrar las dimensiones del triángulo isósceles de máxima área que puede ser inscrito en un círculo de R=1

5.- Encontrar las dimensiones del rectángulo de máxima área que se puede inscribir en la x2 y2  1 siguiente curva: 144 16

6.- Con una hoja rectangular de lámina, con un perímetro total de 12mts. Se va a construir un cilindro circular recto sin tapas enrollando la lámina. ¿Qué dimensiones de la laminasen el cilindro de mayor volumen?

7.- Se va a construir un depósito rectangular de base cuadrada sin tapa con un volumen de 12m 3 . El material de la base cuesta a $10/m 2 y el material de los codos cuesta a $6/m 2 . ¿Qué dimensiones debe tener para que su costo de construcción resulte mínimo?

8.- En un semicírculo de R=6, se va a inscribir un rectángulo ¿Qué dimensiones debe tener para que su área sea máxima?

9.- Un cono de papel debe contener 10cm 3 de líquido. Determinar las dimensiones del cono para que la cantidad de papel empleado sea la mínima.

10.- Un pozo petrolero está a 5km mar adentro frente a una playa recta. Sobre la orilla de la playa y a 8km del frente está la refinería. Se requiere llevar el petróleo crudo del pozo a la refinería. Cuesta $10,000/km la tubería bajo el agua y cuesta $75,000/km la tubería por tierra. ¿Qué ruta es la más económica?

11.- Una viga de 27 pies de largo se va a pasar horizontalmente de un pasillo de 8 pies a otro de x pies de ancho que desemboca en ángulo recto. ¿Cuánto debe medir x para que la viga no se atore?.

12.- Se desea inscribir un cono en una esfera de R=12. ¿Qué dimensiones debe tener el cono para que su volumen sea máximo?

13.- La suma de un número más el doble de otro da 24. ¿Qué números se han de elegir para que el producto entre ellos resulte el máximo?

14.- Un terreno rectangular se va cercar y a dividir en tres partes iguales por medio de dos cercos paralelos a dos de los lados. a) si el área total debe ser de 4000m 2 . ¿Qué medidas tendrá para que se lleve la menor cantidad de cerca? b) si la cerca total que se va a emplear es de 8000mts. ¿Qué ,medidas encierran la mayor área?

Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a: a)

y  x 3  3x  4

en

T ( 2; 6)

b)

y  x 3

en

T (7; 2)

c)

y  x2  4x  5

en

T ( 2; 7 )

y  x x2 en T (3; 2) 6 e) y en T (3; 2) x 8 ; f) y en T ( 4;4) x Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y=2x 2 +3 ; que sea paralela a la recta 8x-y+3=0 d)

2

Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y=3x 2 -4; que sea perpendicular a la recta 3x+y=4 Determinar los valores máximo o mínimo y la gráfica de: Por el método de la primera derivada

a)

y  3x 2  2 x  1

b)

y  7  6 x  3x 2

c)

y  4 x3  3x 2  18 x

d)

y  2 x3  9 x 2  27

e)

y

f)

x3  x2  3 3 y  x x3

g)

y  x 8  x2

h)

y

9 x2  x 9 y  x  cos x

i)

dx [2 ; 2 ]

Un nadador se encuentra en el borde de una piscina circular de 100 pies de radio en el punto A y desea llegar al punto B diametralmente opuesta en el menor tiempo posible.

Si nada a 100 pies por minuto y corre a 200 pies por minuto. ¿Qué ruta debe seguir?

B

100

-

180°- 



B’

A C

100

-

Ir de A a B’ requiere de un tiempo T 1 (recorrido en agua).

Ir de A a B’ por tierra requiere de un tiempo T 2 Ir de A a B (por agua) luego recorrer el arco BB’ (por tierra) requiere un tiempo T 3 Este ultimo camino es el que vamos a analizar V A =Velocidad en agua Vt =Velocidad en tierra

V A  100 ft / min

Vt  200 ft / min

AB  DIST ( AGUA)  100 2  100 2  2(100)(100)COS AB  20000  20,000 COS



BB '  100(180   )  100(   )

TA =Tiempo en agua TT =Tiempo en tierra d A =distancia en agua d T =distancia en tierra

V

T dt d dt d

d  t

d t ; v

T

dA dT   VA Vt

20000  20000COS 100(   )   f ( ) 100 200  100(1) 1   20000(  SEN ) 0    100  2 20000  20000 COS  200 1  100SEN  0  20000  20000 COS 2 100 SEN 1  20000  20000 COS 2 2(100 SEN  )  20000  20000 COS (200 SEN ) 2  ( 20000  20000 COS ) 2

40000 SEN   20000  20000COS  20000 2

2 SEN 2  1  COS

SEN 2  COS 2  1  SEN 2  1  COS 2 2(1  COS 2 )  1  COS 2  2COS 2  1  COS  2COS 2  COS  2  1  0

 ( 1)

2COS 2  COS  1  0 u  COS ;

u  COS 2 

2u 2  u  1  0  (1)  ( 1) 2  4( 2)(1) u 2(2) 1 9 4 u1  1 u2 

u2  

1 2

1  0; si  2  120 

Con

 =119°

2 3

no

dt 100SEN119 1    d 20000  20000COS 119 2

Con

 =121°

dt 100SEN121 1    d 20000  20000 COS 121 2 ir por la orilla : d   (100)

 (100)  1.57' 200 ir por agua directo; d  200 200 t  2' 100 ir de A  B y luego a B' t  2.25' t

 =120° AB  173.2

Con

  104.7

Solución: ir por la orilla de A hasta B’

BB '

MATE SUMINISTRO DE ENSAYO Calcular las dimensiones del cono de máximo volumen que se puede inscribirse en una esfera de R=12

x y

R

R

x = Radio cono y + R = Altitud del cono R = 12 (Radio de la esfera) 1 VC    x 2   y  12 3

R

x y



1 VC    x 2  144  x 2  12 3



144  x 2  y 2  y  144  x 2

x 2  144  x 2 VC   4 x 2  f  x  3 x 2 x 2 x  144  x 2  VC     8 x 3 3 144  x 2 VC 





 x 3  2 x 144  x 2  24 x  144  x 2 3  144  x

12

2

y  144  128  4u 0

 Radio Cono  8 2 u Altura Cono  12  4  16u









VC  x  x 2  2 144  x 2  24  144  x 2  0 VC   x 2  288  2 x 2  24  144  x 2  0

VC  3x 2  288  24  144  x 2  0





VC  3 x 2  96  8  144  x 2  0







2

VC  x 2  96  8  144  x 2



2

VC  x 4  192 x 2  96 2  9216  64 x 2  0 VC  x 4  128x 2  0





VC  x 2 x 2  128  0 x  2.64

x0

x  8 2 u

Calcular el valor de θ que hace el área máxima del rectángulo inscrito en la elipse x2 y2  1 25 16 A  2 x  2 y  4 xy y θ 2y y x Tan   x y  x  Tan

y 2  x 2  Tan 2

2x



x 2 x 2  Tan 2  1 25 16

A  4 x  xTan  A  4 x 2  Tan

 1 Tan 2  x2   1 16   25

A

16  25  Tan 2  x2   1  2516 

A

x2 

2516 16  25  Tan 2

1

4  2516  Tan   1 16  25  Tan 2  1

42516  Tan 16  25  Tan 2

 f  

A 

16  25  Tan  42516  Sec   42516  Tan  225  Tan  Sec    0 16  25  Tan   2

2

2

2



 A  25  Sec 2

 16  25  Tan   416  2Tan  42516  Tan    0 2







 A  4 16  16  25  Tan 2  2Tan  25  Tan   0  A  16  25  Tan 2 - 50Tan 2  0

 A  16  25  Tan 2  0  Tan 2 

< f +

θ

16  4    Tan 1      38.66 25  5

> Si hay máximo -

Dimensiones:

x

2516 16  25  Tan 2

 3.54 u  2 x  7.07 u largo 

y  x  Tan  3.54 Tan  2.83 u  2 y  5.66 u ancho

Regla de L’ Hopital (Guillermo Fco. Antonio de L’ Hopital) Sea el siguiente: Limite del cociente de dos funciones.

Nota: solo funciona si el denominador (G(X)) se hace cero para x = a

d F  x  F x dx Lim  Lim x a G  x  x a d G  x  dx Si G(a) = 0 Entonces Ejemplos:

Lim

x2  4 2x  Lim  22  4 x 2 x2 1

Lim

Sen x Cos x  Lim  Cos 0  1 x 0 x 1

x 2

x0

0 ; se 0 puede aplicar nuevamente la regla

 Si al aplicar la regla vuelve a quedar

Lim

1  Sen x  Cos x 0  Lim  0  x 2  Sen x Cos x 1

Lim

1  Cos x  Sen x Cos x 1  Lim  Lim  2 x 0 x 0 x 2x 2 2

x 2

x 0



1 Ln x Lim  x 1 x 1 x  1 1 Lim 1  Tan x Sec 2 x   Lim

x 4

Lim x0

x  4

Sen 2 x  Sen 5 x

Lim

x3 3  x

Lim

x 4 3  x5

x 0

x 5

1 1  x 3 Lim x3 x3

Lim x3

x 3  27  x3

x 3  64 Lim  x4 x4 Lim

x2  2x  3  x2  6x  7

Lim

2 x 2  7 x  15  3 x 2  16 x  5

x 1

x 5

1  Tan x   Lim 1  Tan x   Lim 1 Sec 2 x 

x  4

Cos 2 x

x  4

 Sec2 x1  Tan x   2  1  2 Sen 2 x 2

Variaciones con respecto al tiempo 1) Una escalera de 20 de largo esta recargada en una pared y resbala en la horizontal a razón de 3 s . ¿con que rapidez desciende el extremo superior cuando esta a 8 del suelo x 2  400  64

x  336 x  18.33

z2  x2  y2 x 2  y 2  400 dx dy  2y 0 dt dt dx  2x dy dt   18.333  6.87  dt 2y 8

2x

s

2) Se inyecta gas a un globo esférico a razón de 5 3 min . ¿Si la presión es constante, cual es la rapidez de variación del radio cuando el diámetro es de 18 ?

1  12 x  9 x

 9 1

3 x 4

12

4 3 x 3 dv 4 dx     3x 2  dt 3 dt 5 dx 5 20 1    2 4  3  3 9 dt 3 4   44 4

V

m

3) Una persona comienza a correr a partir de un punto “A” al este a 3 m s . Un minuto después otra persona corre del punto “A” al norte, a 2 m s . ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia que los separa, un minuto mas tarde?

t  1  60  d E  180 m t  1  60  d N  120 m

z  360 2  120 2  379.5

z2  x2  y2 dz dx dy 2z  2x  2 y dt dt dt dz 3603  1202    3.48 m s dt 379.5

4) Un niño que hace volar un cometa sostiene el cordel a 5 del suelo y lo va soltando a 2 min , mientras el cometa se mueve horizontalmente a una altura de 105 .

Suponiendo que el hilo se mantiene recto, con que rapidez se mueve el cometa, cuando se han soltado 125 mts del hilo.

125 2  100 2  x 2  x  125 2  100 2

0 z2  x2  y2 x  75 dz dx dy 2z  2x  2y dt dt dt dz dx z dt 1252  250 10     s 75 75 3 dt x

5) Los extremos de un abrevadero horizontal de 10 pies de largo son trapecios isósceles cuya base inferior mide 3 pies ; la superior mide 5 pies y la altura es de 2 pies . El nivel del agua es de 1 pie . ¿Qué cantidad de agua por minuto entra al abrevadero? 3  3  x  x  V   y 10 dy dv dy  30  10 y 2   dt dt dt  6  2 x 10 y V  6  2 x 5 y  dv  1   1  2  30   10  dt  48   48  V  30 y  10 xy  cuando y  1  y V  30 y  10  y  2 V  30 y  5 y 2

dy 1  dt 4  1  12 1 x 4 1 1 x 4  12 48

dv 40 20 5 ,3    m dt 48 24 6 2 y  1 x

6) Dos automóviles “A” y “B” se aproxima a un y x cruce perpendicular; “A” va por una ruta a 2 a 40 Km Hr . “B” va por la otra a 80 Km Hr en cierto momento “A” esta 400 mts del cruce y “B” a 800 mts del cruce. ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia que los separa en ese momento?

z2  x2  y2 dz dx dy  2x  2y dt dt dt dz .4 40  .880    89.4 Km Hrs dt 0.8944

2z

7) Sobre un montón cónico de arena, cae mas arena a razón de 10 pies3 por minuto. El diámetro de la base del cono es tres veces su altura. ¿A que ritmo cambia la altura del montón cuando la altura es de 15 pies ? dv 9  h 2 dh   R2  h  V dt 4 dt 3   3h dv 2 dh  3 h dt      3h       h R dt 9   h2 2 2 1 2 V     4 3 3 10 40 dh   3 3 h   2 2 dt 9 15 915  4 V 3 4 3 dh 58 8 pies 3  h   V min 8) Un controlador aéreo sitúa dos dt 9 15  5  3   405 4 aviones a una misma altura convergiendo en su Millas vuelo a un mismo punto en ángulo recto. Uno va a 600 Hr y se encuentra a Millas 200 millas del punto. El otro va 450 Hr y esta a 150 millas del cruce. a) ¿A que ritmo decrece la distancia entre los dos aviones? b) ¿De cuanto tiempo dispone el controlador para situarlos en trayectorias distintas? z2  x2  y2 dz dx dy d d  2x  2y V t   dt dt dt t v dx dy 200 1 x y t1   h  20 dz dt dt 600 3  dt z 150 1  h  20 dz 150450  200600 t 2  450 3  dt 250 dz  750 millas Hrs dt

2z

9) En un deposito cónico de h = 20 mts. y Radio = 6 mts. entra agua a razón de

2.5 m

3

. ¿con que rapidez aumenta el radio de la superficie del agua cuando este mide 4 mts.? min

Volumen del cono V

  R2  h 3

;

dv 5 m 3  dt 2 min

por triangulos semejantes R 6 20R 10 R  h  h 20 6 3

1 10R  10  V    R2     R3  3 3   9 dv 10 dR   3R 2 dt 9 dt 2 5 10  R dR   2 3 dt 53  15  3 m dR  dt  10242 320 64 min

10) Un esquiador forma una pelota de nieve y la pone a rodar en una ladera y al hacerlo su volumen aumenta pies?

10 pies

4 V    R3 3

3

min

. ¿Como varia el radio cuando su diámetro mide 6

3 dV fts  10 ; min dt

dV 4 dR   3R 2   dt 3 dt

dV dR dR 10 10 5 pies  4  R 2      2 min dt dt dt 4 3 36 18

11) Unos niños forman una gran bola de nieve en la noche y la dejan bajo el los rayos del sol por la mañana y esta comienza a derretirse. ¿Con que rapidez disminuye su 1 pies volumen, si el Radio mide 4 pies y disminuye min ?

12 4 V    R3 3

dR 1 pie  min dt 12 R  4 pies

dV 4 dR     3R 2  dt 3 dt dV 416  16 pies 3 2 1    4 4    min dt 12 3  12 

12) Un deposito cónico de h = 20 mts. y Radio = 6 mts. esta lleno de agua. Se le coloco 3 mts una llave en la parte inferior y se abre. El Radio disminuye min . ¿Cuánta agua 4 esta saliendo?

Volumen del cono V

  R2  h 3

;

dR 3 m  dt 4 min

por triangulos semejantes R 6 20R 10 R 1 10R  10  h   V    R2     R3  h 20 6 3 3  3  9 dv 10 dR   3R 2 dt 9 dt 2 dv 3 10   6 3   9 4 dt 3 dv 360   90 m min dt 4

Ejercicios:

1) Un recipiente con la forma y medidas señaladas recibe agua a razón de 2 pies cúbicos por minuto. ¿Cómo esta subiendo el nivel cuando hay un pie de profundidad?

2) Un avión vuela a 6 millas de altura y pasa sobre una antena de radar. Cuando a recorrido 10 millas, el radar detecta que la distancia S esta cambiando a razón de 240 millas Hrs . ¿Cuál es la velocidad del avión?

3) Un estudiante de ing. industrial analizo y encontró que en lugares de baja señal de televisión, se puede mejorar esta hasta en un 85% si en el techo de la casa se colocan dos antenas tradicionales separadas 18 pies, una con altura de 12 pies y la otra con una altura de 8 pies. Ahora desea saber en que punto del techo entre las dos antenas debe hacer la perforación para introducir el cable a la casa y que la longitud de este sea mínima.

Calculo de aproximaciones por medio de diferenciales A.- Por medio de diferenciales aproximar la

13

1) Todo numero de raíz “N” no entera se localiza entre dos números de raíz “N” entera  por la izquierda tenemos 9  3 y por la derecha tenemos 16  4 2) Como nuestro problema es de raíz cuadrada, entonces la forma de nuestro problema es: y  x siendo x el N° de la raíz entera mas próximo al N° de nuestro problema  x  16 ; dx  16  13  3

3) Ahora calculemos dy 

dy 

dy 

1 2 x

el cual evaluado nos da en dx  3 ;

dx

x  16

3 3 3    0.375 2 16 24  8

 Si el número más cercano esta por la derecha se resta.  Si el número más cercano esta por la izquierda se suma.

 13  16  dy  4  0.375  3.625

Si lo obtenemos con la calculadora da: 3.605 Ejemplos: Aproximar la

3

29

27  3 y por la derecha la 3  la forma del producto es y  x

Aquí tenemos por la izquierda

3

Siendo x  27 y dx  29  27  2 1 Ahora obtenemos dy  dx y 3 3 x2

evaluando  dy 

3

64  4

2 3 3 27 

2



2 2   0.074 333 27

 3 29  3 27  dy  3  0.074  3.074 ; con la calculadora da: 3.072

Aproximar la

4

250

Aquí tenemos por la izquierda

4

81  3 y por la derecha la

 la forma del producto es y  4 x

Siendo x  256 y dx  256  250  6 Ahora obtenemos dy   dy 

6 4 4 256

3

1

dx y evaluando 4 x3 6 6    0.0234 4444 128 4

4

256  4

 4 250  4 256  dy  4  0.0234  3.9765 ; con la calculadora da: 3.9763

Ejercicios: 1)

2)

3)

2 30 

30 

3

16.5 

B.- Aproximar con diferenciales Sen 43  ?

Tenemos que saber que: Sen 30 

30

2

2

;

Sen 60 

3  0.866 2 1 2

Cos 30 

3 2

;

Cos 60 

Tan 30 

1 3

;

Tan 60  3

3

60 1

1 2

1

Sen 45  2

1

45

1

1  0.7071 2

1 Radian 

1  0.7071 2  1( grado )   0.0174533 Rad 180 Cos 45 

Tan 45  1

180  57.29 

 Por la izquierda tenemos Sen 30  0.5 y por la derecha tenemos Sen 45  0.7071  La forma es: y  Sen x y x  45  dx  45  43  2 Ahora calculamos dy  Cos x  dx

dy  Cos 452   0.707120.0174   0.0246  Evaluando:  Sen 43  Sen 45  dy  0.7071  0.0246  0.6825 ; con la calculadora da: 0.6820 Ejercicios: Calcular aproximadamente el valor de: 1)

Cos 61  ?

11

?

36 3) Sen 25  ?

2) Cos

C.- Calcular la cantidad de metal necesario para construir una esfera hueca de 0.20 mts. de Ø interior y 0.02 mts. de gruesa.

0.02 0.10

4 V    R3  3

Formula del volumen

El diferencial del volumen dv evaluado en R  0.10 y en dR  0.02 nos da la cantidad de material requerido.

 dV  4  R 2  dR  4 0.10 0.02  2

dV  0.00251327  0.003 m 3 Comprobando:

R  0.10 4 3 V1   0.10   0.004188 m 3 (Volumen interior) 3 R  0.12 4 3 V2   0.12   0.007238 m 3 (Volumen exterior) 3

dV  V2  V1  0.003049 m3  0.003 m 3 Calcular la cantidad de concreto (m3) necesarios para construir un tubo para alcantarilla con las dimensiones siguientes:

L  L arg o  6 mts

grueso de la pared  0.20 mts

Radio int erior  1.2 mts

6

Volumen de un cilindro

V    R h  2

Lh6 R  1.2 dR  0.20

1.20

dV  2  R  L  dR  dV  2 1.260.2 0.20

dV  9.048 m3

Comprobación:

Vext .   1.4 6  36.945 m 3 2

Vint   1.2 6  27.143 m 3 2

dV  9.802 m 3

Ejercicios: 1) Estimar con diferenciales la cantidad de vidrio necesario para elaborar un tarro circular recto con un Ø exterior = 8 cm., con una altura total de 16 cm., y un grosor de 1 cm.

2) Se va a construir un silo para almacenar grano con las dimensiones siguientes:

Espesor Pared = 0.15 mts g = 6.70 mts R

R = 3.80 mts Se va a forrar de poliuretano la pared. ¿Qué volumen se requiere?

3) Si el ln 10  2.303 cual es el valor de:

4) Si el n°

 2  7.39

cuanto es:

ln 10.2  ?

 2.1 

5) Un aviador vuela alrededor de la tierra sobre la línea del ecuador a una altura de:

3.2 km . ¿Cuántos km más recorre en una vuelta, que una persona que camina RT  6370 km por el ecuador? P  2  R

6) El alcance de un proyectil es:

D

V0 2 32

 Sen 2

; Donde

D  Dist. Horizontal Alcanzada V0  Vel. Inicial

  Angulo de Elevacion

Si V0  2200

pies

seg y



cambia de

10

a

11 .

Utilizar diferenciales para estimar el cambio en el alcance 7) Si el área de un triangulo es dada por:

b  c  Sen  A 2

A  Area ; Donde

b ; c  lados adyacentes   Angulo

Calcular con diferenciales la variación del área cuando a) b)

b  4 ; c  7 ;   40 y  varia 1   60 ; b  8 ; c  6 ; y c disminuye 2 unidades

 de 71.5

8) Un ingeniero mide con un aparato un desde la horizontal hasta la punta de un árbol a 50 pies de el. Si desea calcular la altura del árbol con una precisión del 6%. ¿Qué aproximación debe tener el aparato utilizado?

9) El periodo de un péndulo esta dado por T  2

L , en donde “L” es la longitud del g

péndulo en pies, “g” es la aceleración debida a la gravedad y “T” es el tiempo en 1 segundos. Por cuestiones de temperatura “L” aumento % .

2 a) ¿Cuál es el porcentaje de cambio aproximado en el periodo? b) Si este péndulo es utilizado en un reloj; encontrar el error aproximado en un día.

a)

 1    g  dL dT  2    L 2  g  

dT   

B

g L



% error 

A

g  dL

Porcentaje de error

% error 

L

T=ABA



dT 100 T

g  dL

g L L 2  g

100   1  g  dL 100  2 gL

; como

dL 100  1 % L 2

1  dL  11  1   100   %   % 2  L  22  4

1 4

 

b) error aproximado   % N . seg. en un dia 

 0.25% 606024  216 seg.  60  3.6 min por dia

2 10) El tiempo T de una oscilación de un péndulo se da por: t 

l = longitud en mts.

t = tiempo en seg.

y

a) La longitud cuando t = 1 seg. b) dt= si dl=3 mm c) ¿Cuánto se adelanta o atrasa en un día Respuestas:

g  9.8 m

 2l con: g

seg 2

a) 0.993 m b) 0.00152 seg. c) -2’10’’

Diferenciar: 1.-

t

 3R 2

y  4Sen   

R

1 m 1

 1  y   x  3

2

y  x 2  x 

2

x 3 y 2  y  8x

2.-

3

12 

Sec 33 

3.Si el area de un Δ se da por: b

A

b  c  Sen A 2

A

c

Calcular la variación del area cuando

b  40 ; c  55 ; A  35

Si

A  30 y A

y

A

aumenta 0.02 rad

disminuye 1.5 y;