Unidad 3 limites y continuidad

CÁLCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD

TABLA: Graficar

y

x 1 x 1 2

p / x  1

;

Además la grafica Lo confirma

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-4

-3

¿?

-1

0

1

2

Según la tabla cuando x=-1 el valor de Y debe de ser y = -2

y

  

-1

x

0 

  

-2



 Si y  f (x) entonces: el limite de valor x=-1 es -2; que se escribe así: Lim

x2  1  2 x 1

X -1

;

y 

x

1 x 1 2

Simbólicamente: Limf ( x)  L xa

El método de la tabla y grafica no es práctico: 

; cuando x tiende o se aproxima al

Método para evaluar limites de funciones: 1.-Evaluar directo; si esto es posible, el problema esta resuelto.

2.-Si en el problema hay cociente y para el valor dado “a” el denominador se hace cero entonces transforme la función en otra equivalente que si permita la evaluación directa.

Estas transformaciones se hacen con apoyo de reglas algebraicas o trigonométricas ya establecidas.

2.1.-Evaluar los límites siguientes: a) Lim2 x 2  3x  1  2(3) 2  3(3)  1  18  9  1  10 Solución x3 b)

c)

Lim( x  3)( x  5)  (4  3)(4  5)  (1)(9)  9 x4 x

Lim

( 2 )2  7  2  5



 7 x  5 2



 

4  7  7

11 7

x  2

d) Lim x 1

x

 2 x  1 x  2

2



(1 )

 2 (1 ) 1 2 2





1 2  1 3

0 3

 0

e) Lim x  5  11  5  16  4 x  11 f) Lim 3 2 x  3  x  15 g) Lim

x 2 5 x x



3

2 (15 )  3 

x ( x 5) x

 Lim

3 x

 21((xx33))  lim

x3

x3 2x2 4x x2

i) Lim x  2 j) Lim

x 1 3 3

x





2(2)2 4(2) 2 2

41 3 3 4 1

30  3 

x  5  5

x 0

x0

h) Lim 2 x 6

3

5 3 4 1



1 2

88 4

5   12



0 4

0

3

27  3

En los ejemplos anteriores la evaluación fue por sustitución directa del valor de x lo cual no siempre es posible  en los siguientes ejercicios se mostraran algunos procedimientos.-

a) Lim

x4 x 2 16

Factorizacion x4 ( x  4 )( x  4 )





x4

nueva f(x) 1 Lim ( x  4 )



1 44



1 8

x4

Diferencia de cuadrados 4 x 2 81

b) Lim 2 x  9

x

 ( 2 x(29x)(29x)9)  Lim

2x  9  2 92   9  9  9  18

x   92

9 2

Trinomios 2

x x

c) Lim

2

 4 x  77  6 x  55



Aquí la sustitución de x=-11 hace cero el denominador lo cual presenta la dificultad de no poder dividir entre cero  hay que transformar las expresiones factorizando.

x  11

x 2  BX  C

Forma



X 2  4 X  77 X 2  6 X  55



( X 1)( X  7 ) ( X 11)( X  5 )

7 18  Lim xx75  11  16   89 115

x  11 Forma

x 2  BX  C 3 x 2 10 x  7

d) Lim 2 x 2  3 x  5 x 1

e) Lim

x 3  27 x 2 9



x3



( 3 x  7 )( x 1) ( 2 x  5 )( x 1)

 Lim 32 xx 75 

x4

4 7

  74

En este problema tenemos en el numerador una diferencia de cubos y en el denominador una diferencia de cuadrados  factorizando

2





x 1

 ( x( 3x)(3x)(x3x3) 9)  Lim 64  x 3 f) Lim x  4

3 (1)  7 2 (1)  5

 ( x 3  64 ) x4

x2 3x9 x3



999 33



27 6



2   ( x  4 )(( xx 4)4 x  16 )  

9 2



X 4

( X 2  4 X  16)  -48





Lim  ( x 2  4 x  16)   4   44   16  16  16  16   48 x4 2

5 8( )3 8 x 3  125  125  125 0 2 g) lim 2    (imposible) 4 x  25 4( 5 ) 2  25 25  25 0 2 Pero como el numerador es una suma de cubos y el denominador una diferencia de cuadrados  factorizando

x25  2x25x45x210  Lim x5

8x3 125 Lim 4x2 25

2

x   52



 



x   52

  2 5 2

4  5 10  5 25 2

4 x 2 10 x  25 2 x 5

2

5 2

 25525525  75  152 10

x3  4 x x( x 2  4) x( x  2)( x  2) x( x  2)    lim  2 ( x  2) ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) x2 x  2 x  2

h) lim



 2(2  2)  2(4)  8 ;   22 0 0

En este problema es necesario efectuar el proceso de racionalización.-

x 11 x

i) Lim x0



En este problema se dice que el límite no existe por no ser posible la eliminación de la división por cero

  

x 1 1 ( x)

 Lim

1 x 1 1

 x 11   x x 1 1 x  x 1 1 x 1 1



1 11





x x 1 1

1 2

x0

j) Lim

1 x Racionalizando 5 x 2  2

x 1

 5 x 2   1 x  5 x 2   1 x  5 x 2   5 x 1 1 x  5 x 2  5 x 2  1 x  2

2

2

2

2

2

2

Diferencia de cuadrados

1 x 1 1





1 x  5 x 2  2 1 x 1 x 

1 1x k) Lim  x 1x x0

l) Lim



x2 x 1



  Lim

5 x 2  2 1 x

x 1



2 2 11

 42  2



1 x  x 1

=

x  1

TRIGONOMETRIA: Teorema de Pitágoras: en un rectángulo: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma del cuadrado de los catetos. c2  a 2  b2

a=cateto opuesto b= cateto adyacente c=hipotenusa   Angulo agudo

c a=

 b

Relaciones fundamentales entre los lados de un rectángulo y un ángulo agudo, que dan lugar a las 6 funciones trigonometricas básicas: SEN 

a ; c

COS 

b ; c

TAN 

a ; b

COT 

b ; a

SEC 

c ; b

CSC 

c ; a

Como podemos observar la función seno es recíproca con la cosecante. La función coseno lo es con la secante y la función tangente con la cotangente.  de lo anterior se desprenden las siguientes Identidades:

SEN  

1 CSC 

;

CSC

 

1 SEN



;

SEN  CSC  1 ;

COS

 

TAN   TAN

1 SEC  1 COT 

 

SEN COS

;

;  

;

1  TAN 2  SEC 2 ;

SEC

 

1 COS 

COT

 

TAN

1



TAN  COT  1

1  COT 2  CSC 2 ;

SEN 2  2 SEN  COS

COS SEN

 

TAN  12TAN 2 

SEN      SEN ;

TAN     TAN ;

  180 ;

 36

;

SEN 2  COS 2  1

 

COS 2  2COS 2  1 ;

5

COS  SEC  1 ;

;

COT

COS 2  COS 2  SEN 2 ; TAN 2 



;

 6

 2

COS 2  1  2 SEN 2

;

COS     COS 

 90 

3

 60

 4

45

 30 

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA LÍMITES  Lim SEN 1 

 0 DEMOSTRACION POR MEDIO DE UNA TABULACION CON  EN RADIANES.

 RAD  SEN SEN 

1 COS

Lim   0

0 .1 0.0998

0.01 0.0099998

0.001 0.0009999

0

0.998

0.99998

0.9999998

1

0

DEMOSTRADO

DEMOSTRACION POR MEDIO DE UNA TABLA:

 RAD  COS 1  COS 1  COS  

0 .1 0.995 0.004995 0.04995

0.01 0.99995 0.0000499 0.004999

0.001 0.9999995 0.0000005 0.0005

0 DEMOSTRADO

0

LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

a) Lim x0

b) Lim x0

SEN 5 X X

SEN 2 X X





5 SEN 5 X 5 X

1 COS 2 X X

 5  Lim

 51  5

1  cos x 1  cos x 

 Lim

x 1cos x  Lim1cos 1   x  

SEN 5 X 5X

x

x0



COS 0  1

(1+1)(0)=0

x0

c)

Lim

X

 2

COSX COTX



COSX 1 COSX SENX



SENX  COSX COSX

 lim SENX X

 SEN 90   1

 2



2  90

d) Lim x  sec x   cos180 

1

 

sec  

x  180 x 

e) Lim x0

cos

x  tan x

x



cosx  senx 1 cosx

x

 Lim x0

SENX X

1

1 1   1 cos  1

f) Lim SEN 3 X  2X x0 3x 2 SEN 2 x 3 SEN 3 x 2x

2  SEN 2 X

SEN 2 X

3X  3 SEN  2(1)  3(11)  3X

2 3



Evaluar: Lim SEN 2 X  x  15

Lim Tanx 

x

 4

Lim SENX TANX SECX

x 1



Cot x  x2 1TANX

Lim SENX COSX



x



Lim

TANX  SENX SEN 2 X

2



x0

Determinar si las siguientes funciones son continuas o no. a) y  x 2  2 x

b) y   x  4

Esta función si es continúa porque su dominio esta formado por todos los reales  Dx ,  además su gráfica no presenta interrupciones.Como esta función tiene el dominio Dx 4,  en ese intervalo la función es continua.-

2 c) y   16 x

Esta función tiene como dominio el intervalo cerrado Dx 4,4  ahí es continua la función.d) y  

x 2  16

e) y 

2 x4

f) y 

1 ( x  3 )( x  7 )

El dominio de esta función es formado por dos intervalos  ,4   4,   La función es continua en ellos.Esta función no es continua en x  4 por que ese valor esta fuera del dominio entonces la función es continua en todo valor de x  4 que escritos en intervalos es: continua en  ,4  4, 

En esta función hay dos valores que quedan fuera del dominio y que son: x  3; x  7  la función es continua en tres intervalos  ,7    7,3  3, 

Obtenga las Asíntotas verticales horizontales y oblicuas de las siguientes funciones si es que existen así como su grafica. y

a) y  2 x 2  3

Esta función no tiene asíntotas.

3 x

Gráfica b) y  2 2

x

En esta función el único valor de x que hace cero el denominador de la función es x=0 ( o sea el eje yy’) y  este representa una asíntota Vertical.

Además analizando el límite de la función para valores grandes positivos y negativos cercanos por la derecha e izquierda a la asíntota, encontramos que:

Lim x22  0

Asíntota Vertical x=0

y

x  

Lim x22   x  0

Lim x 22  





x  0

0

Lim x 22  0

x  

En este problema por la gráfica se observa que el eje xx’ también tiene comportamiento de asintota horizontal pues no permite que la grafica lo cruce.-

Y’ c)

y

4 ( x  7 )( x 1)

En esta función hay dos valores que hacen cero el denominador y que son: x=7; x=-1  estas dos rectas verticales representan asíntotas verticales

Gráfica Analizando los límites: X=-1

4  0 ( x  7)( x  1) x  

X=7

y

lim

x

-x

-4/7

0

-y

lim

4   ( x  7)( x  1)

x  1

lim

4   ( x  7)( x  1)

x  1

lim

4   ( x  7)( x  1)

x  7

lim

4   ( x  7)( x  1)

x  7 4  0 ( x  7)( x  1) x  

lim

d) y 

2 x2  x x2 ;

Esta función se puede reescribir así:

y

2x2 x2



x x2

 2  1x  1

La y  2 representa una asíntota horizontal y en la parte de la función x el valor x  0 es una asintota vertical.

 Lim 1x   0 x  

GRÁFICA

y

Asíntota Vertical

Lim 1x   x  0

Lim 1x  0 x  0

Lim 1x  0

Asíntota Horizontal

x  

2

x

-x 0

-y

e)

y

x2 2 x

Esta función puede reescribirse así:

y

x2 x

 2x  x 

2 x

2

Aquí y  x representa una asintota oblicua y en la otra parte de la función x ; x  0 (eje yy’) representa asíntota vertical  Lim x  x   Lim

2 x

 x  0 (Abajo de y=x)

x  2x  x  

x  0

Lim

x

2 x

 x

2 x

 x  0 (Arriba de y  x )

x  0 Lim x  x  

y Y=x asíntota oblicua

x 0

f )y 

x2  1 x2 1 1  2  2  1 2 2 x x x x

Y=1

representa asíntota horizontal 1 Además en 2 el valor x=0 es una asíntota vertical x lim1 

X- 

1  1  0 (por debajo de y=1) x2

Además Si x=-1; y=0 Si x=+1; y=0

lim1 

1  1     x2

x0 lim1 

1  1     x2

x  0 lim1 

1  1  0 (a bajo de y=1) x2

x  

y

Asíntota Vertical

Asíntota Horizontal y=1

-1

+1

x

-x 0

-y

Evaluar: Lim x 2  3 x  x5 Lim 2x 1  x4

Lim

x2 5x 2x7

x

1 2

Lim

x 2 9 x 2 5 x  6





x3 Lim x x 21x  3  x3 4

Lim

5 x 3 8 x 2 3 x 4 16 x 2



x0 Lim x x 21x  3  x  1 4

Lim

x 3 8 x2 4



x  2 Lim

x 2 3 x  2 x2  x2



x2 Lim

x 4 16 x2 4



x2 Lim

x 9 x 3



x9 Lim xx13 2  x  3 Lim 5 2xx 5  x0 2 Lim 2 x x1x  3  x  1 Lim

x 3 x2 7 4

x  3



1 1  x 2



Lim x2 x2

Problemas de limites (u-2)

Evaluar los límites siguientes: 1.- Lim 2 x 2  3 x  1  x  2 2.- Limx  8x  11 x0 3.- Lim x3 4.- Lim x x  7

x2 7 x x 1

2

x 2 7 x x



2x1 3 3

7.- Lim x  13 8.- Lim



 4 x  21 x 5

x3 

5.- Lim x6 6.- Lim x0



x



x 2 9 x 2 5 x  6



x 4  2 x 3 x 1



x3

9.- Lim x3

10.- Lim x  1

x 4  2 x 3 x 1

11.- Lim

x 3 8 x2 4

x  2





Matemáticas (I.I.) Matemáticas (L.I.)

12.- Lim



x 2 3 x  2 x2  x2

x2

x 4 16 13.- Lim x 2  4 x2

14.- Lim x  1 15.- Lim x2 16.- Lim



2 x 2  x 3 x 1

1 1  x 2

x2



x 9 x 3



x9

17.- Lim x3 18.- Lim x0 19.- Lim

x 1  2 x 3



x 5  5 2x

x 3 x2 7 4





x  3

20.- Lim x2 21.- Lim

x 5  32 x2



x 1 4 x 2  x 3



x  1

22.- Lim

x6 18  3 x  x 2

x  6 1 1

23.- Lim x0

x x 1 x





24.- Lim



x2 x 1



1 x  x 1



x  1

Problemas de Limites Evaluar los siguientes límites: 1) Lim sen2 x  x  15 2) Lim tan x  x  4 3) Lim cos 3 x  x  4) Lim sec x  x  60 5) Lim csc 2 x 

x

 6

6) Lim sec x  x  00

7) Lim x0 8) Lim x0

sen10 x x

tan x x





9) Lim tan x  sec x  x2 Lim

1  cos x x2



x0 Lim

tan x  senx sen 3 x



x0

10) Lim

cos x  csc x 

x

2 5

tan x sec x

11) Lim x 1



1 12) Lim cot x  csc x 

x

3 18

Calcular asíntotas y gráfica de: 1)

y  x2  5

2)

y

3 x6

3)

y

5 x2

4)

y

2 x 2  4 x  21

5)

y

3 x 2  x x2

6)

y

x 2 3 x

x x cos x x cos x    x  cos x  cos x  cos(0)  1 Lim x cot x   senx 1 senx senx 1 x x0

7)

8)

Lim

1  senx

x  45

tan x  cos

x

