Unidad 3 la circunferencia

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VALLES UNIDAD 3.- LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al lugar geom茅trico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

Elevando al cuadrado obtenemos la ecuaci贸n:

Si desarrollamos:

y realizamos estos cambios:

Obtenemos otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:

y el radio cumple la relación:

Ecuación reducida de la circunferencia

Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:

EJERCICIOS RESUELTOS Obténgase la ecuación de la circunferencia, dado: 1.- c (2,0), r=2 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a,b y r 2 de los datos dados a = 2 y b =0, r = 2, y r2= (22) entonces r2 = 4 Segundo paso. Sustituyendo datos en la ecuación de la circunferencia. (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

Entonces la ecuaci贸n es

(x - 2)2 + (y - 0)2 = 4 (x - 2)2 + y2 = 4

2.- C (0,5), r = 5 Primer paso. Determinar a, b y r2 del centro de la circunferencia de los datos dados.

A = 0, b = 5, r = 5 y r2 = (5)2 entonces r2 = 25 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - 0)2 + (y-5)2 = 25

X2 + (y-5)2 = 25

3.- C (0,0), r = 2/5 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados. a = 0, b = 0, r = 2/5 y r2 = (2/5)2 entonces r2 = 4/25 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y-b)2 = r2 (x - 0)2 + (y-0)2 = 4/25

X2 + y2 = 4/25

Multiplicando toda la ecuaci贸n por 25 ( x2 + y2 = 4/25)25

25x2 + 25y2 = 4

4.- C (-5/4, 2), r = 3 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados.

A = -5/4, b = 2, r = 3 y r2 = (3)2 entonces r2 = 9 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y-B)2 = r2 (x - (-5/4)2 + (y - 2)2 = 9

(x + 5/4)2 + (y - 2)2 = 9

5.- C (2,-3/2), r = 4 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados.

A = 2, b = -3/2, r = 4 y r2 = (4)2 entonces r2 = 16 Segundo paso. Sustituir datos en la ecuaci贸n de la circunferencia. (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - 2)2 + (y - (-3/2))2 = 16

(x - 2)2 + (y + 3/2)2 = 16

6.- C (-3,4), r = 10 Primer paso. Del centro de la circunferencia determinar a, b y r2 de los datos dados.

A = -3, b = 4, r = 10 y r2 = (10)2 entonces r2 = 100 (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 (x - (-3))2 + (y - 4)2 = 100

(x + 3)2 + (y - 4)2 = 100

LA CIRCUNFERENCIA.

1.-TODA ECUACION CON LAS VARIABLES “X” Y “Y” QUE ESTEN SUMANDO CON COEFICIENTES IGUALES Y ELEVADAS AL CUADRADO REPRESENTA UNA CIRCUNFERENCIA. EJEMPLOS: a) 2

+2

= 18

b)

c) 3

+3

+6 =4

d) 5

+

−2 +6 = 6 +5

+ 10 − 3 = 0

ECUACION GENERAL DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO REAL ES: (0, 0) a) 2

>0 +2

+

=

= 18

DIVIDIR TODO ENTRE 2 +

=9

∴

(0, 0) ∴

=9

∴

= √9 = 3

3 0

LAS ECUACIONES b), c) Y d), SON CIRCULOS PERO SU CENTRO NO ESTA EN EL ORIGEN, ENTONCES REQUERIMOS DE OTRO FORMATO MPARA ESTE TIPO DE PROBLEMAS.

( − ) +( − ) =

+

b).-

( , )

,

−2 +6 = 6

AGRUPAMOS TERMINOS CON “X” Y CON “Y” −2 +

+6 =6

AHORA COMPLETAMOS TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS. −2 +1+

+6 +9 = 6+1+9

AHORA FACTORIZAMOS ( − 1) + ( + 3) = 16 LLEVANDO LA ECUACION A LA FORMA GENERAL. ( − ) +( − ) = (1, −3) = 16

=4

1

-3

c) 3

+3

+6 =4

DIVIDIR TODO ENTRE 3 +

+2 =

4 3

=

ORDENAR Y COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SOLO PARA “X” +2 +1+

4 +1 3

=

FACTORIZAR ( + 1) + ( + 0) =

7 3

COMPARANDO CON LA FORMA GENERAL ( − ) +( − ) = ENCONTRAMOS QUE: (−1, =

0) ;

=

≅ 1.53

-1

d)

5

+5

+ 10 − 3 = 0

DIVIDIMOS TODO ENTRE 5 +

+2 =

COMPLETAMOS TRINOMIO CUADRADO PERFECTO PARA “Y” +

+2 +1 =

3 +1 5

FACTORIZAMOS ( − 0) + ( + 1) =

8 5

OBTENIENDO: (0, −1)

=

8 5

=

8 ≅ 1.26 5

-1

2.- LOS PROBLEMAS ANTERIORESFUERON: DADA LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA, ENCONTRAR SUS ] PARA GRAFICAR. ELEMENTOS, [ ( , ) AHORA DAREMOS LOS ELEMENTOS Y CALCULAREMOS SU ECUACION. a).- (−4, 7)

=8

,

[ − (−4)] + ( − 7) = (8) ( + 4) + ( − 7) = 64 DESARROLLANDO OBTENEMOS. + 8 + 16 + +8 +

− 14 + 49 = 64

− 14 + 65 − 64 = 0

( − ) +( − ) =

+8 +

− 14 + 1 = 0

, −3

b).-

.

=5

−

1 2

+ ( + 3) = (5)

−

1 2

+ ( + 3) = 25

DESARROLLANDO −

1 + + 4

−

+

1 + 6 + + 9 − 25 = 0 4

−

+

+6 −

+ 6 + 9 = 25

63 =0 4

.

3.- ENCONTRAR LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS PUNTOSSIGUIENTES. (−1, 5)

(6, 4)

(−2, −2)

EL PUNTO ( , ) SERA EL CENTRO, QUE NO CONOCEMOS PERO QUE ES EQUIDISTANTE DE LOS PUNTOS CONOCIDOS A, B Y D. = = = .

CON LA FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y USANDO ESTA TRIPLE IGUALDAD POR PAREJAS OBTENDREMOS LAS ECUACIONES 1 Y 2 QUE PASAN POR EL CENTRO Y EN MEDIO DE LOS PUNTOS RESPECTIVAMENTE.

L1

A

B

C

L2 D =

,

( + 1) + ( − 5) =

1

(−1, 5)

(6, 4)

( − 6) + ( − 4)

( + 1) + ( − 5) = ( − 6) + ( − 4)

(−2, −2)

( , )

+2 +1+

− 10 + 25 =

− 12 + 36 +

− 8 + 16

2 − 10 + 12 + 8 = −1 − 25 + 36 + 16 14 − 2 = 26 =

1

,

2

( − 6) + ( − 4) =

( + 2) + ( + 2)

( − 6) + ( − 4) = ( + 2) + ( + 2) − 12 + 36 +

− 8 + 16 =

+4 +4+

+4 +4

−12 − 8 − 4 − 4 = −36 − 16 + 4 + 4 −16 − 12 = −44

2

RESOLVIENDO EL SISTEMA ENCONTRAMOS QUE

= 2,

= 1 QUE SON LAS COORDENADAS DEL CENTRO

AHORA CALCULAREMOS LA LONGITUD DEL RADIO, QUE SERA LA MISMA DEL CENTRO A CUALQUIERA DE LO (−1, 5) (6, 4) (−2, −2) PUNTOS = = , (2, 1) =

(−1 − 2) + (5 − 1) = √9 + 16 = √25 = 5

=

(6 − 2) + (4 − 1) = √16 + 9 = √25 = 5

ENTONCES LA ECUACION BUSCADA ES: ( − 2) + ( − 1) = 25 DESARROLLANDO −4 +4+

− 2 + 1 = 25

AGRUPANDO Y REDUCIENDO −4 +

− 2 = 20

.

OTRA FORMA DE RESOLVER EL PROBLEMA, ES USAR LA ECUACION GENERAL ( − ) + ( − ) = , SUSTITUYENDO EN ELLA LAS COORDENADAS DE LOS PUNTOS (−1, 5) (6, 4) (−2, −2), GENERANDO UN SISTEMA COMO EL SIGUIENTE: ( + 1) + ( − 5) =

→

1

( − 6) + ( − 4) =

→

2

( + 2) + ( + 2) =

→

3

DESARROLLANDO OBTENEMOS +2 +1+ − 12 + 36 +

− 10 + 25 = − 8 + 16 =

→

. 1

→

. 2

+4 +4+

+4 +4 =

→

. 3

ELIMINANDO POR SUMA O RESTA EN LAS EC. 1 Y EC. 2 +2 +1+ −

− 10 + 25 =

+ 12 − 36 −

→

+ 8 − 16 = −

. 1 →

. 2

OBTENEMOS LA ECUACION 4 14 − 2 = 26 →

.4

AHORA ELIMINANDO POR SUMA O RESTA LAS EC. 1 Y 3. +2 +1+ −

− 10 + 25 =

−4 −4−

−4 −4=−

→

. 1

→

. 3

OBTENEMOS LA EC. 5 −2 − 14 = −18 →

.5

RESOLVIENDO EL SISTEMA FORMADO POR LAS EC. 4 Y 5 14 − 2 = 26 →

.4

−2 − 14 = −18 →

.5

ENCONTRAMOS LAS COORDENADAS DEL CENTRO (2, 1), QUE COINCIDEN CON LAS OBTENIDAS CON EL METODO ANTERIOR, ENTONCES LA ECUACION SERA LA MISMA −4 +

− 2 = 20

.

.

4.- ENCONTRAR LA ECUACION DE LA RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA DEFINIDA POR LA ECUACION −4 + + 6 = 12, EN EL PUNTO (5, 1).

NOTA: RECTA TANGENTE A UNA CURVA, ES AQUELLA RECTA QUE TOCA A LA CURVA EN UN PUNTO.

T 2 5 -3

C

PRIMERO VERIFICAMOS QUE EL PUNTO SEA DE LA CURVA, ENTONCES SUS COORDENADAS DEBEN SATISFACER LA ECUACION. PUNTO

(5, 1),

−4 +

ECUACION

+ 6 = 12

(5) − 4(5) + (1) + 6(1) = 12 25 − 20 + 1 + 6 = 12 32 − 20 = 12 12 = 12 EL PUNTO ES DE LA CURVA. AHORA CALCULAREMOS LOS ELEMENTOS DE LA CURVA. −4 +

+ 6 = 12

COMPLETAMOS TRINOMIOS −4 +4+

+ 6 + 9 = 12 + 4 + 9

FACTORIZAMOS ( − 2) + ( + 3) = 25,

(2, −3)

AHORA CON LOS PUNTOS (2, −3) =

UNE:

=5

(5, 1), CALCULAMOS LA PENDIENTE “m” DE LA RECTA QUE LOS

= APLICANDO AHORA LA PROPIEDAD DE LAS RECTAS PERPENDICULARES (RECIPROCAS Y DE

SIGNO CONTRARIO), OBTENEMOS LA PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE (5, 1)

FINALMENTE CONOCIENDO EL PUNTO USAREMOS LA FORMULA 3 − 1 = − ( − 5), 4

=−

3 4

+

19 4

− =−

( −

= 3 4

+

15 +1 4

=− ).

=−