Unidad 10 algoritmos de grafos

Algoritmos de grafos

Universidad DaVinci Dr. Vicente Cubells (vcubells@iudavinci.edu.mx)

Temario  Algoritmos de grafos  Algoritmos de Kruskal y Prim 

Árbol de expansión mínimo

 Búsqueda en profundidad  Algoritmo de Dijkstra 

Camino mínimo

Algoritmos de grafos  Árbol de expansión mínimo  Kruskal  Prim  Búsqueda  Primero en profundidad (DFS)  Primero en anchura (BFS)  A estrella  Camino más corto  Dijkstra (Caminos mínimos)  Bellman-­‐Ford

Algoritmo de Kruskal…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

12

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

1

12

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

1

12

7 10

3

2

11

14

6

2

4

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

1

12

7 10

3

2

11

14

6

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

3

1

12

7 10

3

2

11

14

6

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

3

1

7 3

3

2

12

10

11

14

6

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

5

3

1

7 3

3

2

12

10

6

2

4

2

8

11

14

3

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

2

2

4

12

10

6

2

8

11

14

3

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

12

10

6

11

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

3

7 3

5

12

10

6

11

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

3 3 2

2

7 3

5

12

10

6

11

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

3 6 2

3 2

7 3

5

12

10

6

11

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

3 6 2

3 2

7 3

5

12

10

6

7

11

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

12

8 10

6

7

11

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

12

8 10

6

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

8 10

6

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal…  Un cluster es un conjunto de vértices, por lo tanto el

cluster[x] es el conjunto en donde se encuentra el vértice x  Los cluster va a ayudar a detectar cuando hay ciclos

 (x,y,w) es una arista que une al vértice x con el vértice

y y el peso de la arista es w  Suponemos que el grafo G tiene n vértices  Se tiene un conjunto T de aristas que van a formar el árbol de expansión mínimo

Algoritmo de Kruskal…

Conjunto Aristas Kruskal (Grafo G con n vértices) { Para cada vértice V de G: Definir clúster[v] = { V } es decir un clúster por cada vértice Inicializar el conjunto de aristas del árbol T con conjunto vacío Introducir en una lista Q todas las aristas del grafo con su peso while ( Q != vacío) { (x, y, w) = sacar arista con menor peso en la lista Q if (cluster[x] != cluster[y] ) { Añadir arista (x,y,w) al conjunto T Unir cluster[x] y cluster[y] en un solo clúster } } return T }

Algoritmo de Kruskal…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Kruskal  Clusters iniciales:  {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9} , {10}, {11}, {12}, {13}, {14}  Conjunto de aristas T = { }  Lista con todas las aristas:  Q = {(1,12,1) (1,5,8) (1,3,3) ...

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 Ambos vértices visitados, el arco ya no se analiza

3

3 6 2

3 2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3 3 2

2

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

6 4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3 3

2

2

10

6

6 4

8

3

5 3

7

2

8

Ambos vértices visitados, el arco ya no se analiza

10

9

7

11

8

14

3 13

Algoritmo de Prim…

1

1

12

8 1

5

3

3

5 3

3

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

Ambos vértices visitados, el arco ya no se analiza

1

1

12

8 Ambos vértices visitados, el arco ya no se analiza

1

5

3

3

5 3

3

7

6

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim…

1

1 1

5

3

7 3

3

3

6

12

8 10

10

7

11

8

14

3

3 2

2

4

2

8

9

13

Algoritmo de Prim Algoritmo Prim(Grafo G, nodo_fuente s)! {! por cada u en V[G] hacer! !distancia[u] = INFINITO! !padre[u] = NULL! !Añadir(cola,<u,distancia[u]>)! distancia[s]=0! mientras cola != vacía do! !u = extraer_minimo(cola)! !por cada v adyacente a 'u' hacer! ! si ((v ∈ cola) && (distancia[v] > peso(u, v)) entonces! ! !padre[v] = u! ! !distancia[v] = peso(u, v)! ! !Actualizar(cola,<v,distancia[v]>)! }!

Búsqueda en profundidad…  Depth First Search  Sirve para hacer un recorrido de todos los nodos y

aristas de un grafo  Sirve para determinar si un grafo está conectado

Búsqueda en profundidad…  Para búsqueda en profundidad primero, se puede pensar

en recorrer el grafo con un hilo y pintura para marcar.

Se comienza en un vértice del grafo al cuál se amarra un hilo

1. 

El vértice inicial se le denomina el vértice actual u

2.

Se pinta u como nodo visitado

3.

Se camina sobre G, seleccionando alguna arista (u,v). Se tiene el hilo en el camino de u a v Se llega al nodo v:

4.  

Si v ya está visitado, se regresa a u. Se enrolla el hilo al regreso Si v no está visitado, se pinta v como visitado y ahora el nodo actual u = v. Regresar al paso 3

Búsqueda en profundidad… 

Continuación…

5. Se puede llegar a un punto ciego en donde todas aristas del vértice actual u, conducen a nodos ya visitados 6. Cuando se llega a un punto ciego, se va enrollando el hilo de regreso para llegar al vértice v que condujo a u.

7. Se regresa hasta un vértice que tenga aristas que conduzcan a nodos no visitados 8. El proceso termina cuando el “regreso” llega hasta el vértice inicial

Búsqueda en profundidad…

DFS(grafo G, nodo u) Para todas las arista e incidentes en u: Si la arista e no se ha recorrido w = nodo al que llega e Si w no se ha visitado Marca e con línea sólida. Arista de descubrimiento.

DFS(G, w) sino Marcar e con línea punteada. Arista en retroceso

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad…

1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Búsqueda en profundidad 1

12

5

7 10

3

2

11

14

6

4

8

9

13

Algoritmo de Dijkstra…  Problema: G = (V , E) grafo dirigido y ponderado con

pesos no negativos; dado un vértice origen s, obtener los caminos más cortos al resto de vértices de V  Si existen aristas con pesos negativos, la solución podría ser errónea  Otros algoritmos permiten pesos negativos, siempre que no existan ciclos de peso negativo  Idea: explotar la propiedad de que el camino más corto entre dos vértices contiene caminos más cortos entre los vértices que forman el camino

Algoritmo de Dijkstra…  Un conjunto de vértices S que contiene los vértices para los que la

distancia más corta desde el origen ya es conocida. Inicialmente S = ∅.

 Un conjunto de vértices Q = V −S que mantiene, para cada vértice, la

distancia más corta desde el origen pasando a través de vértices que pertenecen a S (Distancia provisional).

 Para guardar las distancias provisionales usaremos un vector D[1..|V |],

donde D[i] indicará la distancia provisional desde el origen s al vértice i.  Inicialmente, D[u] =∞ ∀u ∈ V− {s} y D[s]= 0.  Además:  Un vector P[1..|V |] para recuperar los caminos mínimos calculados.

P[i] almacena el índice del vértice que precede al vértice i en el camino más corto desde s hasta i.

Algoritmo de Dijkstra…

1.

Extraer de Q el vértice u cuya distancia provisional D[u] sea menor.

→ esta distancia es la menor posible entre el vértice origen s y u.

La distancia provisional se correspondía con el camino más corto utilizando vértices de S. ⇒ ya no es posible encontrar un camino más corto desde s hasta u utilizando algún otro vértice del grafo

2.

Insertar u, para el que se ha calculado el camino más corto desde s, en S (S = S ∪ {u}).

Actualizar las distancias provisionales de los vértices de Q adyacentes a u que mejoren usando el nuevo camino.

3.

Repetir 1 y 2 hasta que Q quede vacío

⇒ en D se tendrá, para cada vértice, la distancia más corta desde el origen.

Algoritmo de Dijkstra…

Algoritmo Dijkstra(G,w, s) { para cada vértice v ∈ V hacer D[v] = ∞; P[v] = NULO; fin para D[s] = 0; S = ∅; Q = V ; mientras Q != ∅ hacer u = extract min(Q); /∗ según D ∗/ S = S ∪ {u}; para cada vértice v ∈ V adyacente a u hacer si D[v] > D[u] + w(u,v) entonces D[v] = D[u] + w(u,v); P[v] = u; fin si fin para fin mientras }

Algoritmo de Dijkstra…  Vértice origen 1.  Aristas con trazo discontinuo = caminos provisionales

desde el origen a los vértices  Aristas con trazo grueso = caminos mínimos ya calculados  Resto de aristas con trazo fino