R a d i c a l e s  y  e x p o n e n t e s  r a c i o n a l e s  |  1  Â
1.5  Radicales  y  exponentes  racionales Â
RaĂz  n-Ââ€?ĂŠsima  La  raĂz  n-Ââ€?ĂŠsima  principal  de  đ?‘Ž  es  la  principal  que  tiene  el  mismo  signo  de  đ?‘Ž  y  se  representa  mediante  el  sĂmbolo  radical  ! đ?‘Ž Â
 Esto  quiere  decir  que  es  incorrecto  escribir  !
RADICALES.  EstĂĄ  claro  el  significado  de  2!  cuando  đ?‘›  es  un  entero  positivo.  Para  dotar  de  un  significado  a  una  potencia  tal  como  2!/! ,  donde  el  exponente  es  un  nĂşmero  racional,  es  necesario  entender  antes  el  concepto  de  radical.  La  raĂz  cuadrada  de  un  nĂşmero  es  igual  a  uno  de  sus  dos  factores  idĂŠnticos;  por  ejemplo  25  tiene  dos  factores  idĂŠnticos  iguales  a  5,  por  eso  la  raĂz  cuadrada  de  25  es  5.  Similarmente  la  raĂz  cĂşbica  de  un  nĂşmero  es  igual  a  uno  de  sus  tres  factores  idĂŠnticos.  RaĂz  n-Ââ€?ĂŠsima  Sean  đ?‘Ž, đ?‘?  nĂşmeros  reales  y  đ?‘›  un  de  un  nĂşmero  entero  positivo.  Se  dice  que  đ?‘?  es  la  n-Ââ€?ĂŠsima  raĂz  de   de  đ?‘Ž  si  đ?‘? ! = đ?‘Ž.   Con  esta  definiciĂłn  cabe  la  posibilidad  de  que  un  nĂşmero  tenga  mĂĄs  de  una  raĂz.  Por  ejemplo  đ?‘? = 3  es  la  raĂz  cuadrada  de  đ?‘Ž = 9,  y  đ?‘? = −3   tambiĂŠn  es  la  raĂz  cuadrada  de  đ?‘Ž = 9.  En  general:  i)
Si  đ?‘›  es  par  y  đ?‘Ž  es  positivo,  entonces  đ?‘Ž  tiene  dos  raĂces,  una  positiva  y  la  otra  negativa.  ii) Si  đ?‘›  es  par  y  đ?‘Ž  es  negativo,  entonces  đ?‘Ž  no  tiene  raĂces  reales.  iii) Si  đ?‘›  es  impar  entonces  đ?‘Ž  tiene  solo  una  raĂz.   Para  evitar  ambigĂźedades  se  define  la  raĂz  n-Ââ€?ĂŠsima  principal Â
16 = −2  a  pesar  de  que  −2
!
= 16.  Esto  es  asĂ Â
!
porque  el  sĂmbolo  16  se  reserva,  segĂşn  la  definiciĂłn,  solo  para  la  raĂz  principal.  Lo  correcto  es  !
!
escribir  16 = 2,  y  por  supuesto  que   − 16 = −2  tambiĂŠn  es  correcto.  Al  entero  positivo  đ?‘›  se  le  conoce  como  Ăndice  del  radical.  !
Al  sĂmbolo   se  le  llama  sĂmbolo  radical  y  la  cantidad  đ?‘Ž  bajo  este  sĂmbolo  es  el  subradical.  EJEMPLO  Â
a. La  raĂz  cuadrada  principal  de   100    es  100 = 10.  !"# b. La  raĂz  cĂşbica  principal  de     !"
es  Â
!
!"# !"
!
= Â !
 c. La  raĂz  quinta  principal  de  −32    ! es   −32 = −2.   d. La  raĂz  cuarta  principal  de  −81   no  existe,  no  tiene  raĂces  reales.   ! e. − −8 = 2.  Las  propiedades  que  se  utilizan  al  trabajar  con  raĂces  n-Ââ€?ĂŠsimas  se  listan  en  la  siguiente  tabla  Propiedad  Ejemplo  Sean  đ?‘š  y  đ?‘›  enteros  positivos  y   đ?‘Ž  ,  đ?‘?  nĂşmeros  reales  para  los  cuĂĄles  existen  las  raĂces  indicadas  entonces  ! ! 216 1. đ?‘Žđ?‘? = ! ! ! = 27 (8) đ?‘Ž  đ?‘?  !
!
= 27  8 = 3 ∙ 2 = 6 Â