Paskín Matemático Vol 5. Num 1

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e-mail: paskin@konradlorenz.edu.co

Editor

John A. Arredondo

Fundación Universitaria Konrad Lorenz alexander.arredondo@konradlorenz.edu.co

Comité Editorial

Ruth Alejandra Torres Julián Jiménez Cárdenas Fundación Universitaria Konrad Lorenz Universidad de los Andes rutha.torresr@konradlorenz.edu.co jo.jimenezc1@uniandes.edu.co

Camilo Ramírez Maluendas Andrés Mauricio Rivera Universidad Nacional de Colombia Pontificia Universidad Javeriana Sede Manizales Sede Cali camramirezma@unal.edu.co amrivera@javerianacali.edu.co

Leidy Catherinne Sánchez Jesús Muciño

Fundación Cardio Infantil Centro de Ciencias Matemáticas UNAM-Morelia lcascanio@lacardio.org amrivera@javerianacali.edu.co

Esta publicación puede ser difundida y reproducida con fines académicos y científicospor todos aquellos que tengan a bien hacer un correcto uso de su contenido.

ISSN 2665-2471

Fundación Universitaria Konrad Lorenz: Tel: (57 1) 347 23 11, Carrera 9 Bis No. 62- 43 Bogotá –Colombia, email: info@konradlorenz.edu. Carácter académico: Institución Universitaria. Personería Jurídica por Resolución 18537 del 4 de noviembre de 1981 del Ministerio de Educación Nacional. Institución de Educación Superior sujeta a inspección y vigilancia por el Ministerio de Educación Nacional (Art. 2.5.3.2.10.2, Decreto 1075 de 2015).

SECCIONESDE POINCAR ´ E: DELATANDOELCAOSENEL P ´

ENDULO DOBLE

DairoAndr´esSierraZamora * dairoa.sierraz@konradlorenz.edu.co

Resumen.

Enelpresenteart´ıculosepresentaunestudiodeladin´amicadelp´endulodobleyapartirdeestesistemaseintroduce elconceptodecaosensistemasdin´amicosdeterministas.La estrategiaempleadainiciaconladeducci´ondelasecuaciones demovimiento,paralocualseempleaelenfoqueusadoenla mec ´ anicaanal´ıticamedianteelplanteamientodellagrangiano delsistema,yapartirdeestesededucensusecuacionesde movimientousandolasecuacionesde Euler-Lagrange.Para comprenderc´omoabordarelproblemamedianteestametodolog´ıaseusacomoejemploelp´endulosimpleyposteriormenteseaplicalaestrategiaalp´endulodoble.Finalmente,se introducelanoci´ondecaosmedianteelestudionum´ericode ladin´amicadelasecuacionesdemovimientoparaelp´endulo dobleysusmapasdePoincar´e.

1.Introducci´on.

Elestudiodelcaosenlossistemasdin´amicosseoriginaen elsiglo XIX conHenriPoincar´e,mientrasestudiabaelproblemadelostrescuerpos.Unsistemadin´amicoesunsistemaque evolucionaeneltiempo.Unejemplodeestoeselmovimiento delaTierraalrededordelSol,oc´omocambiaciertapoblaci´on deconejoseneltiempo. ´ Estossondosdelosejemplosm´as conocidosenlaliteratura,dehecho,tambi´ensonejemplosde sistemadin´amicocontinuoysistemadin´amicodiscreto,respectivamente.Laprimerasituaci´oncorrespondeaunsistema din´amicocontinuoendondelaposici´ondelaTierrasepuedemodelarmedianteunafunci´onquedependedeltiempo.La segundasituaci´oncorrespondeaunsistemadin´amicodiscretoenlacualpodemospensarquelapoblaci´ondeconejoseste a ˜ noes xt yladelsiguientea˜noser´a xt+1;ladiferenciaentre ´ estoseseldominiopermitidoparalavariableindependiente t.Enelprimeroesclaroque t ∈ R yenelsegundoseconsideraque t ∈ N.Deacuerdoa[SSaRLD13]podemosdefinir formalmenteunsistemadin´amicodelasiguienteforma.

Definici´on1.1. Un sistemadin´amicocontinuo en Rn esuna funci´oncontinuamentediferenciable φ : R × Rn → Rn llamadaflujo,donde φ (t, X)= φt (X) satisfacelassiguientespropiedades:

φ0 : Rn → Rn eslafunci´onidentidad: φ0(X0)= X0

*Estudiantedematem´aticasFundaci´onUniversitariaKonradLorenz.

Elobjetivocentralenlossistemasdin´amicosesencontrar cuandoesposiblelafunci´on φ (t, X),sinembargo,estonoes posibleentodosloscasos,paraelcasodelp´endulosimplees sencillodeterminarestafunci´onperoparaelcasodelp´endulodoblenoesposibleobtenerestafunci´on.Porestaraz´onen elestudiodelossistemasdin´amicosexistenestrategiascualitativasquepermitenobtenerinformaci´onsobreelcomportamientodelsistemadin´amico;talescomolosretratosdefase, elestudiodelaestabilidadenlospuntosdeequilibrioolos diagramasdePoincar´e.

Acontinuaci´onsepresentar´aelestudiodelp´endulodoble pormediodelosmapasdePoincar´e.ElmapeodePoincar´e esunafunci´ondefinidaenunsubespaciodemenordimensi´onllamadosecci´ondePoincar´e[Nol15].Acontinuaci´onse representalasecci´ondePoincar´eparaunflujoentresdimensionesenelcualnotamosqueesdedosdimensiones.

MedianteelmapeodePoincar´eesposibleestudiardeformacualitativalaevoluci´ondeunsistemadin´amiconolineal comoloeselp´endulodoble.Alfinalizarelestudiodelp´endulodoblesepresentar´analgunasseccionesdePoincar´epara ciertosvaloresdeenerg´ıa,yas´ıpoderestudiarladin´amicade estesistema.

1.

2. φt ◦ φs = φt+s paracadat, s ∈ R

Figura1: Secci´ondePoincar´eparaunflujo3D,lastrayectoriaspuedenpasarporencimaopordebajodecadaunodelos puntosmostradosanteriormente.

2.P´enduloSimple.

Elp´endulosimpleop´endulomatem´aticoesunodelossistemasdin´amicosm´assencillosdeestudiar.Talessusimplicidadqueencursoselementalesdef´ısicaselograobtenerinformaci´onimportantedelsistemaparaoscilacionespequenas, esdecir,dondesinθ ≈ θ;comoqueelper´ıododeoscilaci´on (tiempoquetardaencompletarunciclocompletodeiday vuelta)esdirectamenteproporcionalalalongituddelp´enduloyest´adadopor T = 2π ℓ/g.Estehechoesmuyimportanteporquealleercondetalleestaexpresi´onnotamosqueel periododeoscilaci´on T esindependientedelaamplitud θ y delamasa m,afirmacionesquechocanconelsentidocom´un, puesparecesensatopensarquesielp´endulosedejacaerdesdeunaamplitud θ1 > θ2 elperiododeoscilaci´on T1 > T2 ver figura(2).Sinembargo,estonoesciertocomosepuedecomprobarexperimentalmente.Adem´as,elperiododeoscilaci´on esindependientedelamasa,esdecir,noimportasilamasa suspendidade ´ esteesgrandeopequenasuperiododeoscilaci´oneselmismo;estoesrealmenteespectaculardeverificar. Paraellosugieroallectorverlasiguienteclasemagistraldel profesorWalterLewinendondeestoshechosseverificande unamanerasorprendente[LW11].

qα quedeterminanlaposici´ondelapart´ıculademasa mα y lasvelocidadesasociadas˙ qα .Ellagrangianodeunsistemade part´ıculascarecedesignificadof´ısico,peroesdegranutilidad matem´aticaporquenospermiterelacionarlaenerg´ıacin´etica Kα ylaenerg´ıapotencial Uα delsistemaencadainstante.El lagrangianoparaunsistemade n part´ıculasest´adefinidopor

Enestesentidoellagrangianoesunafunci´ontalque

Portanto,paraelplanteamientodellagrangianodelp´endulosimpleesimportanteencontrarlaenerg´ıacin´eticayla energ ´ ıapotencialparaunsistemadiscretodepart´ıculas.

Energ´ıacin´etica:

Laenerg´ıacin´eticaesunacantidadescalarqueparauna masapuntualest´adadapor Kα = 1 2 mα r2 α . mα representala masadelapart´ıcula α y˙ rα lavelocidadasociadaaesta.De acuerdoalsistemadecoordenadasplanteadoenlafigura(2) elvectorposici´onest´adadopor

r = ℓ(sinθ ˆ ı cosθ ˆ j), ysuderivadaconrespectoaltiempoes

˙ r = ℓ ˙ θ (cosθ ˆ ı + sinθ ˆ j), conlocualpodemosmostrarquelaenerg´ıacin´eticapara lapart´ıcula m est´adadapor

K = 1 2 mℓ2θ 2 (2)

Energ´ıapotencial:

Paraelestudiodeladin´amicadeestesistemaf´ısico emplearemoselenfoquedadoporlamec´anicaanal´ıticao mec ´ anicadeLagrange,esdecirdondelaevoluci´ontemporaldelsistemasepuedeobtenerapartirdec´omosecambiala energ ´ ıacin´eticaylaenerg´ıapotencialdelsistema.Posteriora elloesposibleobtenerlasecuacionesdemovimientomediantelasecuacionesdeEuler-Lagrangeyas´ıtenerlaevoluci´on temporaldelsistema,elotroenfoquequesepuedeutilizaren estecasoeseldadotradicionalmenteporlasegundaleyde Newton,estudiandolasfuerzasqueact´uansobreelsistema, paraas ´ ıdeterminarsucomportamientoenfunci´ondeltiempo,sinembargo,esta ´ ultimaestrategianoesrecomendable cuandoelsistemaescomplejocomoloeselp´endulodoble.

Lagrangianodeunsistema:

Ellagrangiano L paraunsistemadepart´ıculasesunafunci´onescalarquedependedelascoordenadasgeneralizadas

Sedenominaenerg´ıadeconfiguraci´onosimplemente energ ´ ıapotencial,aaquellaquedependedelaposici´ondel objetorespectoaunpuntodereferencia,yest´adefinidaporla expresi´on U(r)= ⃗ F · d⃗ r.Antesdedeterminarlosvalores deenerg´ıapotencial,esnecesarioestableceralgunospuntos dereferencia,yas´ıdeterminarcomoest´adadalaenerg´ıapotencialparaestesistema(verfigura2).

U = 0,enlarecta y = 0denuestrosistemadereferencia.

U esm ´ ınimacuando θ = 0,esdecircuandoelp´endulo est´aenlaposici´onm´asbajadelaconfiguraci´onmostrada enlafigura(2).

U esm ´ aximacuando θ = π,esdecircuandoelsistema seencuentraenlaposici´onm´asaltaenrelaci´onalpunto dereferencia.

Figura2: P´endulosimpledelongitud ℓ ymasa m

Observaremosentoncesqueelvalordelaenerg´ıapotencialdepender´adelavariable θ comovariabledemovimiento, peroadem´astambi´endelalongitud ℓ,constantedurantetodo elmovimiento.Luego,dadoqueelelementodel´ıneaencoordenadasrectangulareses d ⃗ l = dx ˆ ı + dy ˆ j laenerg´ıapotencial decadapart´ıculaest´adadapor

U = mgℓ cosθ (3)

2.1.Ecuacionesdemovimiento.

Previamentedeterminamoslaenerg´ıacin´eticaylaenerg´ıa potencialdelapart´ıcula,porloquedeacuerdoalaecuaci´on (1)tenemosqueellagrangianoparaestesistemaes

L (θ , θ )= 1 2 mℓ2θ 2 + mgℓ cosθ (4)

Conociendoellagrangianodeunsistemadepart´ıculaspodemosdeducirlasecuacionesdemovimientoparapoderdeterminarlaevoluci´ontemporaldelsistema.Lasecuacionesde movimientolaspodemosobtenerapartirdelasecuacionesde

2.2.An´alisisdeladin´amicadelp´endulosimple.

Sobreelestudiodeunsistemadin´amicousualmentenos debemosplantearunconjuntodepreguntasquenospermitir´anhacerunadescripci´ondelsistemaaestudiar,comopor ejemplo¿Cu´alessonlospuntosdeequilibriodeestesistema? Esdecir,aquellospuntosenloscualeselsistemapermanecer´a completamenteinvarianteeneltiempo.¿Qu´etipodecomportamientotieneelsistemadin´amicoeneltiempo?Estapuede serunadelaspreguntasm´asinteresantes,yaqueenelestudiodelossistemasdin´amicosapartirdeltrabajohechopor Lorenzen1881paraelproblemadelostrescuerpos[Lyn18], sabemosquealgunossistemasdin´amicossevuelvenca´oticos eneltiempo;sinembargoestenoeselcasodelp´endulosimple,comosepuedeobservarenlagr´aficasdelafigura(2) estossistemasbajoausenciadefricci´onsonmuyestablesy sucomportamientoesperi´odicoeneltiempo.

Esteconjuntodeecuacionesdiferencialesjueganunpapel an ´ alogoaldelasegundaleydeNewton.Conellaspodemos deducirc´omosecomportaelsistemaeneltiempo,esdecir, cu ´ alser´asuposici´onysuvelocidadencadainstantedetiempo despu´esdeunvalor t = t0.Alaplicarestasecuacionesobtenemos

Lasoluci´ondelasecuacionesdiferencialesdelp´endulo simplesonmuyconocidasdentrodelaliteraturadelaf´ısica matem´atica.Sinembargo,laintenci´ondeestasecci´onesmostrarelenfoqueempleadoenlamec´anicadeLagrangeparala deducci´ondelasecuacionesdemovimientodelp´endulosimple.Notemosquelasecuacionesdiferencialesobtenidasen lasecuaciones(7)y(6)sonexactamentelasmismasquelas quesepuedenencontraraplicandolasegundaleydeNewton. Acontinuaci´onsepresentaunasimulaci´onhechaenPython medianteintegraci´onnum´ericaparaunp´endulosimplecon par ´ ametros ℓ = 1 0 m y g = 9 8 m/s2,luegosepresentala soluci´onnum´ericadelaposici´onangular θ ylavelocidadangular ω paraelsistemamostradoenlafigura(3).

La ´ ultimadeestasecuacionesesunaecuaci´ondiferencial nolinealdesegundoordenmuyconocidaenlaliteraturadela f´ısica-matem´atica,ysesueledenotarcon ω2 = g ℓ porlocual tomalaforma

(7)

Adem´as,esmuyusualquedentrodelaliteraturaserealice unalinealizaci´ondeestaecuaci´ontomandolaformadeuna ecuaciondiferencialordinarialinealdesegundoorden;donde sesuelenhaceraproximacionesdeprimerordenmediantela

Elobjetivoalpresentarestasecci´onesmostrarlametodolog´ıaqueseemplear´aparaladeducci´ondelasecuaciones demovimientoparaelp´endulodobleenlasiguientesecci´on. Notemosqueenestecasoelenfoquedelamec´anicadeLagrangeresultamuchom´assencilloquetratardeabordarel

Figura3: Simulaci´onparaelp´endulosimplemediantela ecuaci´on(7).Concondicionesiniciales θ0 = π/4y ω0 = 0.2 rad/s

problemamediantelaaplicaci´ondelasegundaleydeNewton.Finalmente,unadelasestrategiascualitativasparaelestudiodelossistemasdin´amicoseseldiagramadefaseque, seg ´ un[Nol15]sedefinecomouncasoespecialdeespacios deestadosparasistemasHamiltonianosoLagrangianoscompuestosde2N dimensionespara N coordenadasgeneralizadas independientes.

consistir´aenencontrarunconjuntodeecuacionesdiferencialesquepermitandescribirsuevoluci´ontemporaleneltiempo.Enotrapalabras,encontrary“solucionar”unconjuntode ecuacionesdiferencialesquenospermitanconocersuvelocidadysuposici´onencadainstantedetiempo.Sinembargo, notaremosqueenestecaso,hallarlasecuacionesdiferencialesquedescribenelmovimientoesunpocom´aslaboriosoque lovistoenlasecci´onanterior.

(a) Posici´onangular. (b) Velocidadangular.

Figura4: Soluci´onnum´ericaparaelp´endulosimplemediante laecuaci´on(7)ylascondicionesdadasenlafigura(3).

Enlafigura(5)podemosnotarquetenemospuntosde equilibrioen ( π, 0), (0, 0) y (π, 0) enestecasoparaelmarco dereferenciaplanteado,elprimerpuntodeequilibrioresulta serexactamenteeltercerpunto;porlatrayectoriassepuede notarquesonpuntosrepulsoresoinestables,loquequieredecirquecercadeestospuntoselsistemaesaltamentesusceptibleacambios,comoesdeesperardesdeelpuntodevista f´ısico.Porotraparte,tenemosqueelpuntode (0, 0) esun atractorestableyvemosquelastrayectoriasalrededordeeste puntosonc´ıclicas,ysepuedeninterpretarcomolasoscilacionesperi´odicasparavaloresde θ peque ˜ nos.Elhechoquesea unatractornosdicequecercaaestepuntoelsistematender´a aestarenequilibrio.

Elp´endulodobleesunsistemacompuestodedosp´endulosacopladosdelongitudes l1, l2 ydemasas m1, m2 comose ilustraenlafigura(6).Cadaunadelasmasasformaun ´ angulo respectoalaverticalde ϕ1 y ϕ2,respectivamente.Aplicaremoslaestrategiausadaenlasecci´onanteriorparaelcasodel p ´ endulosimpleparahallarsusecuacionesdemovimiento,es decir,hallaremoslaenerg´ıacin´eticaylaenerg´ıapotencialde cadamasayconellodeterminaremosel lagrangiano delsistemaparafinalmenteaplicarlaecuacionesdeEuler-Lagrange.

Energ´ıaCin´etica:

Enestecasolaposici´ondecadapart´ıculadeacuerdoala figura(6)est´adadapor

( π, 0), (0, 0) y (π, 0)

3.P´enduloDoble.

Acontinuaci´onaplicaremosunenfoquesimilaralusadoen lasecci´onanteriorparaelestudiodeladin´amicadelp´endulo doble.Estudiarycomprenderladin´amicadelp´endulodoble

Figura5: Diagramadefaseparaelp´endulosimple,conpuntos deequilibrio

Figura6: P´endulodobledelongitudes l1, l2 ymasas m1, m2.

Detalformaquelaenerg´ıacin´eticapara m1 y m2,respectivamentees K1 y K2,conlocualtenemosque

Energ´ıaPotencial:

Observaremosquelosvaloresdelaenerg´ıapotencialdepender´andelasvariables ϕ1 y ϕ2 comovariablesdemovimiento,peroadem´astambi´endelaslongitudes l1 y l2 constantesdurantetodoelmovimiento.Dadoqueelelementodel´ınea encoordenadasrectangulareses d ⃗ l = dx ˆ ı+dy ˆ j laenerg´ıapotencialdecadapart´ıculaest´adadapor

Conlasecuaciones(11)y(12)podemosdescribirla din´amicadelp´endulodoble.Notemosprimeroalgointeresante:sienlaecuaci´on(11)hacemos m2 = 0y l2 = 0tenemosla ecuaci´ondelp´endulosimple(7),porlocualpodemosconsiderarqueestemodeloesunaampliaci´ondelmostradoenlafigura(2).Porotrolado,hemosobtenidounsistemadeecuacionesdiferencialesnolinealesdesegundogrado,paraelcualno tenemosherramientasmatem´aticasparaencontrarsusoluci´on deformaanal´ıtica.Sinembargo,disponemosdeherramientas computacionalesparacomprenderunpocoladin´amicadeestesistema.Acontinuaci´onsepresentanalgunassimulaciones hechasenPythonmediantelaintegraci´onnum´ericadeestas expresiones.

3.1.Ecuacionesdemovimiento.

Previamentehallamoslaenerg´ıacin´eticaylaenerg´ıapotencialparacadapart´ıcula,ahorapodemosdeterminarellagrangianomediantelaecuaci´on(1);teniendoencuentaqueen estecasodebemoscontemplarlosvaloresdelaenerg´ıacin´eticaylapotencialobtenidosenlasecuaciones(8)y(9)respectivamente.Demodoqueellagrangiano

3.2.An´alisisdeladin´amicadelp´endulodoble.

Enlasimulaci´onpresentadaenlafigura(7)sepuedeobservarquebajociertascondicionesiniciales(valorespeque˜nos de ϕ1, ϕ2, ω1 y ω2)ladin´amicadelp´endulodoblees cuasiperi´odica,esdecir, ´ estepresentauncomportamientorepetitivo eneltiempobajolaausenciadefricci´on,enrelaci´onalas posicionesangularesyvelocidadesangulareslascualesson similaresauninstanteprevio.Estadin´amicaesmuchom´as evidenteenlasgr´aficas(8)y(9),enlascualessepresentasu evoluci´onenunintervalodetiempode12s,dondeobservamosquetantolaposici´onangularylavelocidadangularde ambasmasasescuasiperi´odicaeneltiempo.

Comonotamosenlaanteriorexpresi´on,ellagrangianode estesistemaesmuchom´ascomplejoqueelpresentadoenla ecuaci´on(4),loquepermiteintuirqueladin´amicadelp´endulodobleesmuchom´aselaboradaqueladelp´endulosimple. Ahoraconociendoellagrangianodeunsistemadepart´ıculaspodemosdeducirlasecuacionesdemovimientoparaas´ ı poderdeterminarlaevoluci´ontemporaldelsistema.Enestecaso,dadaslasecuacionesdeEuler-Lagrange(5)podemos encontrarlaecuaci´ondemovimientoparacadapart´ıcula

Figura7: Simulaci´onperaelp´endulodoblepormediodela ecuaci´on(12).Concondicionesiniciales ϕ01 = π/6, ω01 = 0 y ϕ02 = π/6, ω02 = 0.

Enlafigura(10)serepresentaeldiagramadefaseparael sistema,queresultasermuyimportanteparaelestudiocualitativodelaevoluci´ondelsistema,debidoaqueenestecasono esposibleconocerlasoluci´onanal´ıticadelasecuacionesde

movimientoobtenidas.Acontinuaci´onseseleccionar´anciertosvaloresparalascondicionesiniciales,dondeladin´amica delp´endulodobleescompletamenteca´oticaenelsentidoque laposici´onangularde m2 noesperi´odicaypredecirlaesuna tareacompleja;esusualenlaliteraturallamaraestetipode sistemasquepresentanun caosdeterminista

3.3.Caracterizaci´ondelcaosenelp´endulodoble.

Paraelp´endulodobletenemosquelospuntosdeequilibriodelsistemaest´andadosdelaforma (ϕ1, ϕ2, ω1, ω2) son (0, 0, 0, 0), (π, 0, 0, 0), (0, π, 0, 0) y (π, π, 0, 0),convieneenestecasoclasificarqu´etipodepuntoscr´ıticossondeformasimilaralohechoenelcasodelp´endulosimple.Desdeelpunto devistaf´ısicoesclaroqueelpunto (0, 0, 0, 0) esunpuntoestablecomoesdeesperarbajoelsentidof´ısicodelproblema yquelospuntos (π, 0, 0, 0), (0, π, 0, 0) y (π, π, 0, 0) sonpuntoscr´ıticosinestables,loscualessonmuysusceptiblesporla acci´ondelagravedad.

Seg´un[Nol15]lossistemasca´oticosposeensensibilidad exponencialalasvariacionesdelascondicionesinicialeses decir,queunmismosistemapuedetenerunaevoluci´onenel tiempomuydiferentebajopequenoscambiosenlascondiciones.Enlasfiguras(11),(12)y(13)sepresentaestehecho medianteunaseriedesimulacioneshechasenPythonatrav´es delaintegraci´onnum´ericadesusecuacionesdemovimiento. Seobservar´aqueefectivamenteesunsistemaca´otico.

diantelasecuaciones(12)y(11),conpar´ametros g = 9 8 m/s2 y l1 = l2 = 1 m.

Enlafigura(12)serepresentalasimulaci´ondedosp´endulosdeformasimult´aneaconcondicionesinicialesmuycercanas,conelfindeobservarlasensibilidadquetieneladin´amicadelsistemafrenteapequenoscambiosdelascondiciones iniciales.Sepuedeobservarquelaevoluci´ondelsistemaes similarlosprimeros10segundos,peroapartirdeestemomentoelcomportamientodelp´enduloazulesmuydiferente alp´endulocyan.Estehechosehacemuchom´asevidenteenla

Figura8: Comportamientocuasiperi´odicoparalaposici´onangular vs. tiempodeambasmasas.Concondicioneslasinicialesdadasenlafigura(7).

Figura9: Comportamientocuasiperi´odicoparalavelocidad angular vs. tiempodeambasmasas.Concondicioneslasinicialesdadasenlafigura(7).

Figura10: Diagramadefasedelp´endulodobleparavalores inicialesmostradosenlafigura(7).

Figura11: Simulaci´onenPythonparaelp´endulodobleme-

figura(13),enlacualsemuestrac´omohanevolucionadoambosp´endulospasados22segundos.Latrayectoriadelamasa m2 paraelp´endulodecolorazulsemuestradecolorverdey latrayectoriadelamasa m2 paraelp´endulodecolorcyanse muestradecolornegro,enestepuntoseobservaqueaunque lascondicionesinicialesdeambosp´endulossonmuycercanasentres´ı, ´ estostienenunaevoluci´ontemporalmuydiferenteconlocualpodemosverificarelcomportamientoca´oticode estesistemadin´amico.

previamente.

Cuadro1: Condicionesinicialesdelassimulacionesmostradasenlasfiguras(12)y(13).

Figura12: Representaci´ondedosp´endulosdeformasimult´aneapasados10 s.Par´ametros g = 9 8 m/s2 y l1 = l2 = 1 m paraambosp´endulos.

Medianteintegraci´onnum´ericadelasecuaciones(11)y (12)podemosestudiarcondetalleelcomportamientodeeste sistema,enlafigura(14)seobservalaevoluci´ontemporalde laposici´onangularparaelp´enduloazulconcondicionesinicialesdadasenelcuadro(1).Enestagr´aficaseobservaque laposici´onangularde m2 escompletamenteerr´aticaynocorrespondeaunmovimientoperi´odico.Tambi´enpodemosevidenciarlasensibilidaddelsistemaalascondicionesiniciales dadasenelcuadro(1)enlafigura(15)enlacualsepuedever queelcomportamientodelaposici´onangularpara m2 esmuy similarlosdiezprimerossegundos,peroquedespu´esdeeste instantelaevoluci´ondelsistemaesmuydiferente.Lacuales unacaracter´ısticaesencialdelcaosdeterministamencionado

Figura14: Posici´onangular vs. tiempoparaelp´endulodoble. Sepuedeevidenciarelcomportamientoerr´aticopara ϕ2

Figura15: comparaci´ondelaevoluci´ontemporaldelaposici´onangularpara m2.Sepuedeevidenciarelcomportamiento ca ´ oticopara ϕ2 ylasensibilidadalascondicionesiniciales.

Figura13: Simulaci´onenPythonparaelp´endulodoblemediantelaecuaci´on(12).

Lasecci´ondePoincar´eesunaherramientamuy ´ utilparael estudiodelossistemasdin´amicos. ´ Estasseccionesnospermitenestudiardeformacualitativalaevoluci´ondeunasistema din´amicocomplejousualmentenolineal,ydeterminarsi ´ este poseeuncomportamientocuasiperi´odicooca´otico.Poincar´e usolaideadeunasecci´on(Secci´ondePoincar´e)demenor dimensi´onalflujo φ (t) ytransversalaeste,demodoque,el flujooriginaldelsistemacortaestasecci´onenalgunospuntos x1, x2,... comosepuedeobservarellafigura(1).Porejemplo sielsistemadin´amicomodeladoeselp´endulomostradoenla primerasecci´on,debidoaquesucomportamientoesperi´odicoeneltiempolarepresentaci´ondelasecci´ondePoincar´e ser ´ ıaunpuntoyaqueel φ (t) cortar´ıalasecci´onsiempreen elmismopunto.Sinembargoensistemasnolinealescomoel casodelp´endulodoblelasecci´ondePoincar´eesm´asinteresante.Acontinuaci´onsepresentanalgunosmapasdePoincar´e paraelp´endulodobleparadistintosvaloresdeenerg´ıa.

Enlasanterioresfigurasseobservaqueparavaloresbajos delaenerg´ıadelsistemaelp´endulodobletieneuncomportamientocuasiperi´odico,locualsepuedeevidenciarenlafigura (16)enlasregionesovaladas.Cuandolaenerg´ıadelsistema aumentaseobservaquelospuntosenlasecci´ondePoincar´e lainterceptandeformadispersalocualcaracterizaelcomportamientoca´oticolocualseobservaenlafigura(18).

E = 0

completamenteelcaosdelsistema.

Comovemoselestudiodeladin´amicadelp´endulopor mediodelasseccionesdePoincar´epermiteelan´alisisdecualitativodeunsistemadin´amico,ydeterminarsi ´ esteposeeun comportamientoca´otico.Unaventajadeestudiarestesistema medianteestaestrategiaesqueunpuntodelflujo φ (t) est´a encuatrodimensiones,conayudadelasecci´ondePoincar´e podemoshacerestarepresentaci´onenunadimensi´onmenor yproyectarlaenelplanocomosehizoenlas ´ ultimasfiguras.

Referencias.

[Lyn18] S.Lynch, DynamicalSystemswithApplicationsusingPython, SpringerInternationalPublishing,2018.

[Nol15] D.D.Nolte, IntroductiontoModernDynamics:Chaos,Networks,SpaceandTime,OxfordUniversityPress,2015.

[LLaEML94] L.D.LandauandE.M.Lifshitz, Mec´anica:Cursodef´ısica teorica: Cursodefısicateorica,1994.

[SML70] S.M.Lee, Thedouble-simplependulumproblem,American JournalofPhysics 38 (1970),536-537.

[SSaRLD13] StephenSmaleandRobertL.Devaney, DifferentialEquations, DynamicalSystems,andanIntroductiontoChaos,ThirdEdition,AcademicPress,2013.

[LW11] LewinW., Fortheloveofphysics,2011. https://www. youtube.com/watch?v=sJG-rXBbmCc

Acercadelautor:Dairoactualmenteesestudiantedeoctavosemestredematem´aticasenlaFundaci´onUniversitaria KonradLorenz,tieneunaformaci´onpreviaenlicenciaturaen f´ısicadelaUniversidadPedag´ogicaNacional.Entresusinteresesseencuentranlasecuacionesdiferencialesylossistemasdin´amicos.Ensutiempolibrelegustadisfrutardebuena m ´ usicayesperaalg´und´ıaaprenderatocarbater´ıa.

3.4.SeccionesdePoincar´eparaelp´endulodoble.

Figura16: Secci´ondePoincar´eparaelp´endulodoblepara

1seobservaunastrayectoriascuasiperi´odicas.

Figura17: E = 0 8las ´ orbitascerradassepierdenyobservamosregionesm´asdispersas.

Figura18: E = 2 0paravaloresaltosdeenerg´ıaseobserva

SOBREEL PROBLEMADELOS CUATRO SUBESPACIOS

GonzaloMedina* gmedinaar@unal.edu.co

Resumen

Esteart´ıculoest´adedicadoalcl´asicoProblemadelosCuatroSubespacios,queconsisteenobtenerlaclasificaci´oncompleta,salvoisomorfismo,decuatrosubespaciosvectoriales deunespaciovectorialdedimensi´onfinitasobreuncampo. Nuestroobjetivoesdescribirelproblemaenuncontextom´as generalquepermiteexhibiryexaminaralgunasdelascaracter´ısticasquelohaceninteresante.

1.Introducci´on.

Elc´elebreProblemadelosCuatroSubespacios,como yadijimos,consisteenclasificar,salvoisomorfismo,los 4-sistemasdesubespaciosvectorialesdeunespaciovectorialdedimensi´onfinitasobreuncampo k.Elproblemafue planteadoeinicialmenteresueltoporGelfandyPonomarev, en[GP70],parauncampoalgebraicamentecerrado.Demaneraindependienteyutilizandom´etodosdiferentes,Nazarova,en[Naz67,Naz75],resolvi´otambi´enelproblema,caside manerasimult´aneaaGelfandyPonomarev,peroahoraparauncampoarbitrario.Dehecho,talcomosedemostr´oen [Naz75,p´ags765-770],Nazarovaresolvi´oen[Naz67]unproblemamatricialqueesequivalentealproblemadeloscuatro subespacios.

Posteriormente,Brennerdiootrasoluci´on,primeroparcial en[Bre67]endondeconsider´oelcasoahoradenominadono regular,yposteriormenteen[Bre74a]modific´oyextendi´olos resultadosdeGelfandyPonomarevalcasodeuncampoarbitrariooinclusoaldeunanillodedivisi´onnoconmutativo.

Brennerfuequienprimerodescribi´ocompletamentelosanillosdeendomorfismosasociadosenlosdosart´ıculosmencionados.

En[MZ04],MedinayZavadskijpresentaronunasoluci´on muchom´ascortaydecar´acterelementalparaelproblemasobreuncampoarbitrario,quedehechoesv´alidasobreanillos dedivisi´onarbitrariosyenlaquetambi´ensedescribenlos anillosdeendomorfismosasociados.

Forbregd,en[For08](tesisdemaestr´ıadirigidapor Smalø),presentaunasoluci´onparacamposalgebraicamente cerradoshaciendousodelateor´ıadeAuslander-Reiten.

LasdemostracionesoriginalesdeGelfandyPonomarev ydeNazarova,as´ıcomolascorrespondientesvariantesde BrennerydeForbregd,sonlargasym´asbiencomplejas;la

*DepartamentodeMatem´aticayEstad´ıstica,UniversidadNacionaldeColombia,SedeManizales

soluci´ondadaporMedinayZavadskijescortayrequieretan soloherramientasde ´ algebralineal,formascan´onicasyde teor´ıadeanillos.

Nuestrointer´esenesteart´ıculoespresentaralgunasdelas caracter´ısticasquehaceninteresanteelproblemadeloscuatro subespacios.Laestructuradelart´ıculoeslasiguiente:comenzamospresentando,enlasecci´on2,lasdefinicionesynotacionesinicialesnecesarias;enlasecci´on3mostramosc´omo seresuelveelproblemaprincipalparaloscasosiniciales(en losquelasoluci´onesrelativamentesencilla)yexaminamos loscasosqueactualmentesonintratables;finalmente,enla secci´on4nosocupamosdelcasoespecialquecorrespondeal cl´asicoproblemadeloscuatrosubespacios.

Elautoragradecealrevisorporsusvaliososy ´ utilescomentariosysugerencias.

2.Preliminares.

Vamosaconsiderarelproblemam´asgeneraldeobtenerla clasificaci´oncompleta,salvoisomorfismo,deunn´umerofinitocualquieradesubespaciosvectorialesdeunespaciovectorialdedimensi´onfinitasobreuncampo.Demaneraprecisa, dadouncampo k,paracadaenteropositivofijo r,unsistema de r-subespaciossobre k esunacolecci´on

U =(U0,U1,...,Ur), endonde U0 esunespaciovectorialdedimensi´onfinitasobre k ycada Ui,para i ∈{1,..., r},esunsubespaciovectorial de U0.La dimensi´on del r-sistema U =(U0,U1,...,Ur) esel vectordimU =(d0, d1,..., dr) ∈ Zr+1 talque,paratodo i ∈ {0,..., r},setieneque di = dimUi.

Dadosdossistemasde r-subespacios U =(U0,U1,...,Ur) y V =(V0,V1,...,Vr),su sumadirecta eselsistema U ⊕ V dado,demaneranatural,por

U ⊕V =(U0 ⊕V0,U1 ⊕V1,...,Ur ⊕Vr).

Paraunenteropositivo l yunsistema U de r-subespacios, definimos

U l = U, para l = 1. U l 1 ⊕U, para l ≥ 2.

Un morfismo A entredossistemasde r-subespacios U = (U0,U1,...,Ur) y V =(V0,V1,...,Vr) esunatransformaci´on k-lineal A :U0 → V0 talque A (Ui) ⊆ Vi,paratodo i ∈{1,..., r}.Dossistemasde r-subespacios U =

(U0,U1,...,Ur) y V =(V0,V1,...,Vr) son isomorfos,locual denotamos U V ,siexisteunisomorfismo k-lineal A :U0 →

V0 talque A (Ui)= Vi,paratodo i ∈{1,..., r}.

Unsistemade r-subespacios U es indescomponible sicada vezquesetenga U = V ⊕W ,parasistemasde r-subespacios

V y W ,necesariamente V = 0o W = 0.Aqu´ı,0eselsistema nulode r-subespacios:0 =(0, 0,..., 0).Unsistemasedenomina descomponible sinoesindescomponible.

Paraunsistemade r-subespacios U =(U0,U1,...,Ur) sobreuncampo k,su sistemadual eselsistemade r-subespacios

U

∗ =(U ∗ 0 ,U ∗ 1 ,...,U ∗ r ) sobre k dadopor

U ∗ 0 = Homk(U0, k)

= {A :U0 → k | A esfuncional k-lineal},

U ∗ i = U ⊥ i

= {B ∈ U ∗ 0 | B(Ui)= 0}, paratodo i ∈{1,..., r}.

Dadounmorfismo C :U → V entredossistemasde r-subespacios,su morfismodual C ∗:V ∗ → U ∗ est´adefinido por

C ∗(A )= AC , paratodo A ∈ V ∗

Nota. Yaque U0 esdedimensi´onfinitasobre k,tenemos un k-isomorfismolinealHomk(U0, k) U0;enparticular, dimU ∗ 0 = dimU0.Adem´as,secumple,paratodo i ∈{1,..., r}, quedimU ∗ i = dimU0 dimUi = codimUi

Tomandocomoobjetoslossistemasde r-subespaciosycomomorfismoslosmorfismosentresistemasde r-subespacios, tenemos,paracadanaturalpositivofijo r,lacategor´ıa (Sr, k) desistemasde r-subespaciossobreelcampo k.Estacategor´ıa esdeKrull-Schmidt:esaditiva,todosistemade r-subespacios oesindescomponibleosedescomponeenunasumadirectadesistemasde r-subespaciosindescomponiblesyestadescomposici´ones ´ unicasalvoisomorfismoylosanillos deendomorfismosasociadosalossistemasindescomponiblessonanilloslocales(unademostraci´onpuedeconsultarse en[Med20,p´ags.25-29]).Paraunenteropositivofijo r yun campodado k,denotamosInd(Sr, k) aunconjuntocompleto derepresentantesdelasclasesdeisomorfismodesistemasde r-subespaciosindescomponiblessobreelcampo k

Acadasistemade r-subespacios U =(U0,U1,...,Ur) le podemosasociarsu anillodeendomorfismos EndU dadopor elconjunto

EndU = {A | A esmorfismode U en U }, conlaestructuradeanilloobtenidaalconsiderarlasumay composici´onusualesdetransformaciones k-lineales.Claramente,EndU esunsubanillodelanilloEndk(U0) delosendomorfismos k-linealesde U0.

Elproblemacentralesentonceselobtener,paracadaenteropositivo r fijoyuncampo k,ladescripci´ondeInd(Sr, k), as ´ ıcomodeloscorrespondientesanillosdeendomorfismos.

Yaqueestamosconsiderandoespaciosvectorialesdedimensi´onfinita,tenemoslaposibilidaddeasignarlesbasesy detrabajarconlasmatricesasociadas,talcomoveremosa continuaci´on.

2.1.Presentacionesmatriciales.

Una presentaci´onmatricial deunsistemade r-subespacios

U =(U0,U1,...,Ur) esunamatrizcon r franjasverticales

MU = M1 Mr

endonde,paracada i ∈{1,..., r},lascolumnasdelafranja Mi correspondenalascoordenadas(conrespectoaunabasefija para U0)deunsistemaminimaldegeneradoresdelespacio Ui.Dospresentacionesmatriciales MU , MV son equivalentes siunadeellaspuedetransformarseenlaotramediantelaaplicaci´ondeunn´umerofinitodelassiguientes transformaciones admitidas:

(a) Transformacioneselementalesconfilasdetodalamatriz.

(b) Transformacioneselementalesconcolumnasdentrode cadafranjavertical Mi

N´otesequelastransformacionesadmitidasdetipo(a)correspondenacambiosdebasepara U0 ylastransformacionesadmitidasdetipo(b)correspondenacambiosdebasedelos subespacios Ui locualnosllevaalsiguienteresultado:

Proposici´on2.1. Dossistemasder-subespaciosUyVson isomorfossiysolosidoscualesquieradesuspresentaciones matricialesMU yMV sonequivalentes.

Siconsideramosdospresentacionesmatriciales

A = A1 ··· Ar y B = B1 ··· Br

correspondientesadossistemasde r-subespacios U y V ,respectivamente,apartirdelasdefinicionestenemosqueuna presentaci´onmatricialpara U ⊕V est´adadaporlamatriz

A ⊕ B = A1 0 Ar 0 0 B1 0 Br

Teniendoencuentalaproposici´on2.1,resolverelproblema central,esdecir,clasificarlossistemasde r-subespaciosindescomponiblesequivalearesolverun problemamatricial;es decir,resolverelproblemafundamentalequivaleahallarformascan ´ onicasparalaspresentacionesmatricialesutilizando lastransformacionesadmitidas.Enlaproposici´on3.4daremosunejemplodeestosproblemasmatriciales.

Nota. Porsupuesto,elproblemacentralpuedeversecomo unsubproblemadelateor´ıaderepresentacionesdeconjuntos parcialmenteordenadosordinarios(sinestructuraadicional) finitosyaquecorrespondeprecisamenteaobtenerlaclasificaci´ondelasrepresentacionesindescomponiblessobreun campodado k paraunaanticadenacon r elementos.Enesteart´ıculo,sinembargo,noasumimosfamiliaridadconesta teor´ıayutilizamosotroenfoque.Loslectoresinteresadosenel enfoquedesdelateor´ıaderepresentacionesdeconjuntosparcialmenteordenados,puedenconsultar,porejemplo[Arn00] o[Med20].

Hacemosahoraunaobservaci´onsimplede ´ algebralineal quenosser ´ a ´ util:

Lema2.2. CualquiermatrizrectangularNpuedellevarse,utilizandolastransformacionesadmitidas,alaformasiguiente(quedenominaremosformaest´andar):

ytambi´en β =(1 A )(δ )= δ A (δ ),paraalg´un δ ∈ Ui.

Deaqu´ı,usandoelque A 2 = A ,obtenemos

β = A (γ)= A 2(γ)= A (A (γ))

= A (δ A (δ ))= A (δ ) A 2(δ )

= A (δ ) A (δ )= 0.

endondeIn eslamatrizidentidaddeordenn(estenesprecisamenteelrangodeN)ylosbloques 0 representanmatricesnulas;algunosbloquesdelaformaest´andarpuedenser vac ´ ıos.

Demostraci´on. Inicialmenteutilizamostransformacionesadmitidasdetipo(a),talcomosehaceenelprocesodereducci´ondeGauss-Jordan,paraobtenerlamatriz R enformaescalonadareducidaasociadaa N yfinalmente,aplicandotransformacionesadmitidasdetipo(b),anulamoscualquierposible elementononuloaladerechadelosunosprincipalesde R y luegopermutamosapropiadamentelascolumnashastaobtenerunamatrizenlaformaest´andar.

Decimosqueunsistemade r-subespacios U = (U0,U1,...,Ur) es trivial sidimU0 = 1o,equivalentemente,si U0 es(isomorfoa) k

Lema2.3. SeaUunsistematrivialder-subespacios.Entonces,Uesindescomponibley EndU k.

Demostraci´on. Esclaroquesi U0 k,entoncesnecesariamente U esindescomponible,pues U = V ⊕W condimU0 = 1 implicaqueobiendimV0 = 1ydimW0 = 0obiendimV0 = 0 ydimW0 = 1.Porotrolado,lamultiplicaci´onporescalarinduceunainyecci´on k → EndU.Adem´as,EndU ⊆ EndU0 = Endk k;conesto,EndU k.

Elsiguienteresultadomuestraquelosanillosdeendomorfismospermitenobtenerinformaci´onsobrelossistemasalos queest´anasociados:

Lema2.4. SeaUunsistemader-subespaciossobreuncampok.Entonces,Uesindescomponiblesiysolosi 0 y 1 sonlos ´ unicosidempotentesdelanillo EndU.

Demostraci´on. Si U =(U0,U1,...,Ur) esunsistemade r-subespaciossobreuncampo k y A ∈ EndU esunidempotente,veamosque U = A (U) ⊕ (1 A )(U);atalefecto, vamosaprobarque,paratodo i ∈{0, 1,..., r ¸},setieneque

Ui = A (Ui) ⊕ (1 A )(Ui):si α ∈ Ui,entonces

α = A (α)+(α A (α))

= A (α)+(1 A )(α)

quemuestraque Ui = A (Ui)+(1 A )(Ui).Paraverquela sumaesdirecta,nosfaltaverquelaintersecci´ondelossumandosestrivial:supongamosentoncesque β ∈ A (Ui) ∩ (1

A )(Ui).Tenemosentoncesque β = A (γ),paraalg´un γ ∈ Ui

Porlotanto,si A esunidempotenteenEndU y U esindescomponible,necesariamente A (U)= 0o (1 A )(U)= 0;esdecir, A = 0o A = 1sonlos ´ unicosidempotentesde EndU.Rec´ıprocamente,supongamosque U = V ⊕W ,endonde U,V sonsistemasnonulosde r-subespacios;elmorfismo B:U → U definidopor

B(υ, ω)=(υ, 0),paratodo (υ, ω) ∈ V ⊕W , esentoncesunidempotentedeEndU distintode0yde1 pueseln´ucleode B esunsubespaciopropionotrivialde U (kerB W ).

Unpequenoejemploparailustraralgunasdelasideasexpuestashastaelmomento:

Ejemplo2.5. Dadouncampok,consideremoslossistemas de 3-subespaciossiguientes: U =(k, k, 0, k) yV =(k, 0, 0, k)

Porellema2.3,sabemosqueUyVsonindescomponiblesy que EndU kytambi´en EndV k.Escogiendobasesapropiadas,tenemoslaspresentacionesmatricialesMU yMV :

SiU =(k,U1,...,Ur) esunsistematrivialdesubespaciossobreelcampok,entoncessusistemadualU ∗ = (U ∗ 0 ,U ∗ 1 ,...,U ∗ r ) es(isomorfoa) (k,W1,...,Wr),endonde, paratodoi ∈{1,..., r},setieneque

Wi = k, siUi = 0 0, siUi = k. ,

Enparticular,paralosdossistemasde 3-subespaciosdados alcomienzodeesteejemplo

U =(k, k, 0, k) yV =(k, 0, 0, k), setienequesusdualesson(isomorfosa)

U ∗ (k, 0, k, 0) yV ∗ (k, k, k, 0)

ylascorrespondientesdimensionesest´andadaspor dimU =(1, 1, 0, 1), dimV =(1, 0, 0, 1), dimU ∗ =(1, 0, 1, 0), dimV ∗ =(1, 1, 1, 0)

3.Lossistemasde r-subespacios.

Despu´esdelospreliminaresanteriores,vamosinicialmenteaexaminarelproblemacentralparaloscasos r ∈{1, 2, 3} enlastresproposicionessiguientes;comoveremos,enestoscasoselproblemadeclasificaci´ondelossistemasde r-subespaciosindescomponiblesesrelativamentesencillo:

Proposici´on3.1. Dadouncampoarbitrariok,tenemosque Ind(S1, k)= {(k, 0), (k, k)} y,enamboscasos,losanillosde endomorfismosasociadossontriviales.

Demostraci´on. Si U =(U0,U1) esunsistemaarbitrariode1subespacio,entonces,paraalg´uncomplemento X de U1 en U0 setieneque

U =(U0,U1)

=(U1 ⊕ X,U1)

=(X, 0) ⊕ (U1,U1)

(km , 0) ⊕ (kn , kn)

=(k, 0)m ⊕ (k, k)n ,

endonde X km y U1 kn,paraalgunosenterosnonegativos m y n.Deaqu´ıseobtienenlossumandosindescomponiblesdelresultadoyellema2.3garantizaquelosanillosde endomorfismossontriviales.

Nota. Elprocedimientoparallevarcualquiermatrizasuformaest´andar,descritoenellema2.2,correspondealasoluci´ondelproblemamatricialasociadoalossistemasde1subespaciosobreuncampo k;dehecho,laformaest´andarno esotracosaqueunasumadirectaderepresentacionesmatricialesde1-sistemasindescomponiblesdelaforma (k, k) y (k, 0)

Proposici´on3.2. Dadouncampoarbitrariok, Ind(S2, k)= {(k, 0, 0), (k, k, 0), (k, 0, k), (k, k, k)}

yloscuatroanillosdeendomorfismosasociadossontriviales.

Demostraci´on. Consideremos U =(U0,U1,U2) unsistema arbitrariode2-subespaciossobre k ysea W = U1 ∩ U2;entonces U1 = W ⊕ X y U2 = W ⊕Y ,paraalgunossubespacios complementarios X,Y yadem´as U1 +U2 = W ⊕X ⊕Y .Yaque U0 =(U1 +U2) ⊕ Z paraalg´uncomplemento Z,tenemosque

U =(W,W,W ) ⊕ (X, X, 0) ⊕ (Y, 0,Y ) ⊕ (Z, 0, 0) (km , km , km) ⊕

dedondeobtenemoslossumandosindescomponiblesanunciados.Nuevamenteellema2.3garantizaquelosanillosde endomorfismossontriviales.

Conlaayudadelsiguienteresultadoauxiliar,enlaproposici´on3.4obtendremoslaclasificaci´oncompletadelossistemasde3-subespaciosindescomponibles,ydesusanillosde

endomorfismosasociados.Enlapruebadelaproposici´onharemosusodelaspresentacionesmatriciales;unasoluci´onen usandoellenguajedelosespaciosvectorialespuedeconsultarseen[Arn00,Ejemplo1.1.5,p´ags.4–7]

Lema3.3. Paralossistemasde 3-subespacios

(U0,U1,U2,U3) conlasrelacionesadicionalesU1 ⊆ U3 yU2 ⊆ U3 setienequetodoslosobjetosindescomponibles vienendados,salvoisomorfismo,porloselementosdel conjunto

} ytodoslosanillosdeendomorfismosasociadossontriviales. Demostraci´on. Consideremos U =(U0,U1,U2,U3) unsistemade3-subespaciossobre k conlasrelacionesadicionales

V,V,V,V ) ⊕ (W,W, 0,W ) ⊕ (X, 0, X, X) ⊕ (Y, 0, 0,Y ) ⊕ (Z, 0, 0, 0),

dedondeobtenemoslossumandosindescomponiblesanunciados.Yaquetodoslosobjetosindescomponiblessontriviales,ellema2.3garantizaquesusanillosdeendomorfismos tambi´enloson.

Proposici´on3.4. Dadouncampoarbitrariok,

endondeUes(isomorfoa)elsistemade 3-subespaciosdado delamanerasiguiente:

ylosnueveanillosdeendomorfismosasociadossontriviales. Demostraci´on. Consideremosunapresentaci´onmatricial

M = M1 M2 M3

deunsistemade3-subespacios U =(U0,U1,U2,U3).Inicialmente,aplicandotransformacionesadmitidas,llevamosla franja M1 alaformaest´andar(verellema2.2),obteniendoas´ ı unamatrizdelaformasiguiente(loscoloressonutilizados ´ unicamentecomogu´ıaduranteelprocesodereducci´on): 0

M1 M2 M3

Lafranjahorizontalinferiordeestamatrizcorrespondeaciertapresentaci´onmatricialdeunsistemade2-subespaciosya

queaplicarenestafranjatransformacionesadmitidasdetipo(a)noalteralosbloquesnuloscorrespondientesa M1 y, porotrolado,setienentransformacionesadmitidasindependientesdetipo(b)paralosbloques C y D quedejaninvariante elbloque M1;utilizandoelresultadodelaproposici´on3.2,en losbloques C D colocamosbloquescorrespondientesa sumandosdelossistemasindescomponiblesde2-subespacios (k, k, 0), (k, 0, k), (k, k, k) y (k, 0, 0) yutilizamosadicionesde filasparaanularen A yen B loselementosporencimade losbloques I de (k, k, 0), (k, 0, k) ydeunodelosbloques I de (k, k, k),paraobtenerlasiguientematriz(deahoraenadelante,losbloquesquenoaparezcanmarcadosenlasmatrices representanbloquesnulos):

obtenemos,finalmente,lasiguientematriz:

Analizandoahoracu´alestransformacionesadmitidasnocambianlosbloques I nilosbloquesnulosdelamatrizanterior, resultaque,apartedelasadicionesobviasdecolumnasde Q acolumnasde R,tenemosahoratambi´enadicionesdecolumnasde P acolumnasde R (estasadicionesest´anindicadaspor lasflechascurvasenlamatrizanterior):enefecto,cualquier columnade P puedeadicionarsealbloquenulojustoaladerechade P;alrestaurarloscerosdeestebloqueadicionamos filasdelbloque I asociadoa (k, k, k),peroentoncestambi´en sedebenrealizarlasmismasadicionesdelotrobloque I de (k, k, k) albloque R.Porlotanto,losbloques P Q R correspondenaunapresentaci´onmatricialdeciertosistemade3-subespacios U =(U0,U1,U2U3) conrelacionesadicionales U1 ⊆ U3 y U2 ⊆ U3.Graciasallema3.3,sabemos quelosindescomponiblesdeestesistemaconrelacionesson (k, k, 0, k), (k, 0, k, k), (k, 0, 0, k), (k, k, k, k) y (k, 0, 0, 0);colocamosentonces,enlugardelosbloques P Q R bloques I correspondientesasumandosdelosanterioressistemasy

Conesto,tenemosquelossistemasde3-subespaciosindescomponiblesson (k, k, k, 0) (obtenidodelaprimera,deabajohaciaarriba,franjahorizontaldelamatriz), (k, k, 0, k) (obtenidodelasegundafranjahorizontaldelamatriz), (k, k, k, k) (obtenidodelacuartafranjahorizontaldelamatriz), (k, k, 0, 0) (obtenidodelaquintafranjahorizontaldela matriz), (k, 0, k, 0) (obtenidodelasextays´eptimafranjashorizontalesdelamatriz), (k, 0, 0, k) (obtenidodelaoctavay novenafranjashorizontalesdelamatriz), (k, 0, k, k) (obtenido delad´ecimafranjahorizontaldelamatriz), (k, 0, 0, 0) (obtenidodela ´ ultimafranjahorizontaldelamatriz)yelsistema notrivialconpresentaci´onmatricial

(2) obtenidodelatercerayund´ecimafranjashorizontalesdela matriz.

Graciasallema2.3,tenemosquelosanillosdeendomorfismosasociadosalosocho3-sistemastrivialesdesubespacios sontambi´entriviales;paraterminarlademostraci´on,examinemoselanillodeendomorfismosdelsistemaindescomponiblenotrivial:lapresentaci´onmatricialdadaen(2)correspondealsistemade3-subespacios U =(U0,U1,U2,U3),endonde

U0 = k ⊕ k, U2 = 0 ⊕ k, U1 = k ⊕ 0, U3 = {(x, x) | x ∈ k}

Sihacemos ε1 =(1, 0) y ε2 =(0, 1),tenemosquelosconjuntos {ε1, ε2}, {ε1}, {ε2} y {ε1 + ε2} sonbasesparalos subespacios U0, U1, U2 y U3,respectivamente.Ahorabien,si

A :U → U esunendomorfismode U,lacondici´on A (U1) ⊆

U1 implicaque A (ε1)= aε1,paraalg´un a ∈ k;lacondici´on

A (U2) ⊆ U2 implicaque A (ε2)= bε2,paraalg´un b ∈ k yla condici´on A (U3) ⊆ U3 implicaque A (ε1 + ε2)= c(ε1 + ε2), paraalg´un c ∈ k,peroentonces

cε1 + cε2 = c(ε1 + ε2)

= A (ε1 + ε2)

= A (ε1)+ A (ε2)

= aε1 + bε2,

conloque a = b = c;esdecir, A esmultiplicaci´onporun escalaryestonosllevaaqueEndU k (teniendoencuenta ellema2.4,estotambi´enreafirmaelqueestesistemade3subespaciosesindescomponible).

Valelapenanotarquetodoslosindescomponiblesparalos sistemasde1y2subespaciossontriviales,perocuandopasamosalossistemasde3-subespaciosyaapareceunindescomponiblenotrivial.Entodosloscasos,sinembargo,setiene quedimU0 ≤ 2ytodoslosanillosdeendomorfismosasociadossontriviales.Comovamosaver,cuandoconsideramos lossistemasde r-subespaciospara r ≥ 4lasituaci´oncambia dram´aticamente:elconjuntoInd(Sr, k) resultainfinito,para todo r ≥ 4;adem´as,aparecensistemasindescomponiblesen losquedimU0 puedesertangrandecomosequieraytambi´en aparecenanillosdeendomorfismosnotriviales.Primero,un lemaauxiliar:

Lema3.5. Paraenterospositivosrys,conr ≤ s,setieneuna inyecci´on ι:Ind(Sr, k) → Ind(Ss, k)

Demostraci´on. Para U =(U0,U1,...,Ur) ∈ Ind(Sr, k),definamos ι(U)= U =(U 0,U 1,...,U s) haciendo

U 0 = U0 y,para r ∈{1,..., s},

U i = Ui, si i ∈{1,..., r}. 0, si i ∈{r + 1,..., s}

Esinmediato,apartirdeladefinici´ondada,que ι esunainyecci´onyque ι(U) esindescomponiblesi U loes.

Proposici´on3.6. Parar ≥ 4,elconjunto Ind(Sr, k) esinfinito.

Demostraci´on. Dadouncampo k,consideremoselsistema de4-subespacios U =(U0,U1,...,U4) talque,paracadaentero n ≥ 0,el k-espaciovectorial U0 es kn+1 ⊕ kn+1 dedimensi´on2n + 2conbase {ε1,..., ε2n+2} y,para i ∈{1,..., 4},los subespacios Ui est´andadosdelasiguientemanera: U

+2} , U4 = {ε2 + εn+2,..., εn+1 + ε2n+1}

Si A ∈ EndU,debetenerseque A (Ui) ⊆ Ui,paratodo i ∈{1,..., 4},yestonoslleva,despu´esdeunan´alisissobreel efectode A sobrelosgeneradoresdelosespacios Ui,aque A essimplementemultiplicaci´onporunelementofijode k Tenemosas´ıqueEndU k y,enparticular,los ´ unicosidempotentesdeEndU son0y1;usandoellema2.4,concluimos que U esindescomponible,paratodo n ≥ 0.Tenemosas´ıque Ind(S4, k) esunconjuntoinfinitoyellema3.5nospermiteentoncesconcluirqueInd(Sr, k) estambi´enunconjunto infinito,paratodo r ≥ 5.

Vamosahoraaexaminarlasituaci´onparalossistemasde r-subespaciospara r ≥ 5;comoveremos,enestoscasosel problemaesmuyinteresanteperosurgeunadificultadinsalvable:

Proposici´on3.7. Parar ≥ 5,elproblemadeclasificaci´onde lossistemasindescomponiblesder-subespaciosesunproblemadetiposalvaje.

Demostraci´on. Teniendoencuentaellema3.5,bastaprobar elresultadopara r = 5:dadouncampo k,consideremosel sistemade5-subespacios

,...,U5) dadopor:

endonde E esunespaciovectorialdedimensi´onfinita n sobre k y A1, A2 sontransformaciones k-linealesde E en E.Seleccionandobasesapropiadaspara U0 yparacadaunodelos subespacios Ui,obtenemospara U unapresentaci´onmatricial MU quetieneelaspectosiguiente: M

endonde A1 y A2 sonlasmatricesdelosoperadores A1 y A2, respectivamente.

Supongamosahoraqueaplicamosunatransformaci´onadmitida T sobrecolumnasdelafranjaverticalquecontienea A1;estaoperaci´oncambia A1 porciertamatriz B1 ymodificaelbloque In queest´aporencimade A1;pararestaurarel bloqueidentidaddebemosaplicarahoralaoperaci´oninversa T 1 sobrefilasdelaprimerafranjahorizontal;estocorrige elbloqueidentidadanteriorperomodificaotrostresbloques identidad.Eneldiagramadelafigura1seilustralasecuenciadetransformacionesadmitidasquedebenaplicarsepara restaurarlosbloquesidentidadoriginales:cadatransformaci´onadmitidaserepresentamedianteunaflechahorizontal, siessobrefilas,overtical,siessobrecolumnas;unbloque identidadencolorrojoindica,quealaplicarlaoperaci´oncorrespondiente,esebloquesufremodificaciones.

As´ıpues,despu´esderecomponerlosbloquesidentidad,tenemosqueaplicarlatransformaci´on T sobrelascolumnasde A1 implicaaplicaresamismaoperaci´onsobrelasmismascolumnasde A2 ytambi´enaplicarlatransformaci´oninversa T 1 sobrefilastantode A1 comode A2;demaneracompletamentean´alogapuedeversequealgosimilarsucedesiseaplica inicialmenteunatransformaci´onadmitidasobrelascolumnas de A2.Teniendoencuentaqueaplicartransformacionesadmitidassobrecolumnas(sobrefilas,respectivamente)equivaleamultiplicaci´onaderecha(aizquierda,respectivamente) porunamatrizinvertible,elan´alisisanteriornosmuestraque lasmatrices A1 y A2 seest´antransformando,demanerasimult´anea,pormultiplicaci´onaderechaporciertamatrizinvertible P ypormultiplicaci´onaizquierdaprecisamentepor lamatrizinversa P 1 .

As´ıpues,elsistemade5-subespaciosconsideradocorrespondealproblemadelareducci´onsimult´anea,porsemejanza, deunpardematricescuadradasdelmismoorden:

Figura1: sucesi´ondetransformacionesqueilustranelproblemadelareducci´onsimult´aneadeunpardematricesporsemejanzacomocasoespecialdeunsistemade5-subespacios.

endonde P esunamatrizinvertibledelmismoordenque A1 y A2,Esteproblema,queest´aasociadoalcarcaj

as ´ ıqueespr ´ acticamenteimposiblepensarenobtenerunaclasificaci´oncompletadelossistemasindescomponiblespara r ≥ 5.

Nota. Aunquehemospedidoqueelentero r seapositivo,de hecho,podemosdartambi´enlaclasificaci´ondelossistemas de0-subespacios:enestecaso,lossistemastienenlaforma (U0),endonde U0 unespaciovectorialdedimensi´onfinita sobreuncampo k yesinmediatoque,salvoisomorfismo, (k) esel ´ unicoobjetoindescomponibleyquesuanillodeendomorfismosestrivial.

4.Sistemasde4-subespacios.

Enestasecci´onvamosacentrarnosexclusivamenteenel casodelossistemasde4-subespacios.Estecasoesespecialmenteinteresanteporvariasrazones:porunlado,noespara nadasencillo(adiferenciadeloscasospara r ∈{1, 2, 3})y, porotrolado,aunquesabemosyaqueenInd(S4, k) hayinfinitossistemasindescomponibles(verlaproposici´on3.6),a diferenciadeloquesucedepara r ≥ 5,losinfinitossistemas enInd(S4, k) puedenserdescritoscompletamenteas´ıcomo susanillosdeendomorfismos.Adicionalmente,elproblema deloscuatrosubespacioscontiene,comocasosparticulares, variosproblemascl´asicoseimportantes,talcomoejemplificamosenlasubsecci´onsiguiente.

Nota. Ent´erminosprecisos,mientrasqueelproblemadela clasificaci´ondeInd(Sr, k),para r ≥ 5,esunproblemadetipo salvaje,elproblemaparaInd(S4, k) esdetipomanso.Intuitivamente,elqueunproblemadeclasificaci´ondeobjetossea salvajesignificaquenoadmitesoluci´oncompletayqueel problemaseamansosignificaque,aunqueinvolucrainfinitos objetos,estospuedenserclasificadoscompletamente.Lasdefinicionesprecisasdemansedumbreysalvajismo,as´ıcomo algunosdelosresultadoscl´asicosalrespectopuedenconsultarseen[Dro80].

4.1.Elproblemadeloscuatrosubespacios.

Antesdeexaminarelproblemaysusoluci´on,mencionemosunpardecuestionescl´asicasde ´ algebralinealqueaparecencomocasosespecialesdelproblemadelaclasificaci´onde lossistemasde4-subespacios:

1. Sea A :E → E unatransformaci´onlinealsobreun kespaciovectorial E dedimensi´onfinitasobre k.Consideremoslacu´adrupla U =(U0,U1,...,U4),endonde

Elqueelproblemadelaclasificaci´ondelossistemasde rsubespaciospara r ≥ 5seaunproblemadetiposalvajesignificaque,para r ≥ 5,elconjuntoInd(Sr, k) contieneunacopia detodoslos R-m ´ odulosindescomponiblesfinitodimensionalesparacada k´ algebra R dedimensi´onfinita[Arn00,Bre74b],

taci´onmatricialsiguiente:

endonde n = dimE y A eslamatrizcuadradadeorden n asociadaaloperadorlineal A .Alhacerelan´alisisde lastransformacionesadmitidasquesepuedenaplicarsin alterarlosbloquesidentidadynulosenlapresentaci´on matricialanterior,resultaqueelbloque A sereducepor semejanza:

A → P 1AP,

endonde P esunamatrizinvertibledeorden n.Esteproblemaesprecisamenteelproblemadelbucle

cuyassolucionessonlasformascan´onicas:porejemplo, ladeJordan,introducidaen1870en[Jor70],ylaracional odeFrobenius.

2. Sean E y F unparde k-espaciosvectorialesdedimensi´onfinitasobre k yconsideremosdostransformaciones k-lineales A1:E → F y A2:E → F.Tenemoslacu´adruplaasociada U =(U0,U1,...,U4),endonde

U0 = E ⊕ FU3 = {(α, A1(α)) | α ∈ E},

U1 = E ⊕ 0, U4 = {(α, A2(α)) | α ∈ E}.

U2 = 0 ⊕ F,

Despu´esdeescogerbasesapropiadasparalosespacios, resultaquea U lecorrespondeunapresentaci´onmatricial quetienelaformasiguiente:

In 0 In In 0 Im A1 A2 ,

endonde n = dimE, m = dimF y A1, A2 sonlasmatricesdetamano m × n asociadasalastransformaciones A1, A2,respectivamente.Analizandoahoracu´alesdelas transformacionesadmitidassepuedenaplicardejando invarianteslosbloquesidentidadynulosenlapresentaci´onmatricialanterior,resultaqueelpardematrices cuadradas A1 y A2 sereduceporequivalencia:

(A1, A2) → (PA1Q, PA2Q), endonde P y Q sonmatricesinvertiblesdeorden m y n, respectivamente.Esteproblemaeselproblemadelhaz deKronecker: A1 A2

queWeierstrassresolvi´oinicialmenteparaelcasoregularen[Wei68]y,posteriormente,Kroneckerextendi´oal casosingular(noregular)en[Kro90].Unasoluci´onm´as reciente,conunaextensi´onaloscasossemilinealypseudolinealpuedeconsultarseen[Zav07,Zav08]

Nota. Dehecho,elproblemadeloscuatrosubespacioscontiene,comocasosespeciales,muchosotrosproblemascl´asicoseimportantesde ´ algebralineal;elautorest´apreparando unart´ıculoenelqueseincluyeunestudiodetalladodeesta situaci´on.

Dadouncampo k,lossistemasde4-subespaciossobre k sedenominantambi´encu´adruplas(desubespacios)sobre k Elproblemadeloscuatrosubespaciosnoesotracosaque elproblemadeobtenerlaclasificaci´oncompleta,salvoisomorfismo,detodaslascu´adruplasindescomponiblessobreun campo k.

A4.2.Clasificaci´ondelascu´adruplasindescomponiblesydesusanillosdeendomorfismos.

Enlapresentaci´ondelaclasificaci´oncompletadelas cu ´ adruplasindescomponiblesydelosanillosdeendomorfismoscorrespondientesseguimoslasideasde[MZ04];all´ ı puedeconsultarseunademostraci´ondelosdosteoremassiguientes:

Teorema4.1. Todaslascu´adruplasindescomponiblesU = (U0,U1,...,U4) sobreuncampoarbitrariokest´andadas,salvoisomorfismo,salvodualidadysalvopermutacionesdelos subespaciosU1,...,U4,porlascu´adruplasindescomponibles delosseistipos 0, I,...,Vpresentadosenformamatricialen loscuadrosdelafigura2.

Teorema4.2. SeaUunacu´adruplaindescomponiblesobre uncampoarbitrariok,seand0 = dimU0 y E = EndUelanillo deendomorfismosdeU.Entonces,setienelosiguiente:

(a) SiUesregulardetipo 0 cond0 = 2n (n 1),entonces E k[t]/(ps(t)),endondeps(t) eselpolinomiominimal delac´eluladeFrobeniusindescomponibleXdeordenn (mostradaenlafigura2)conp(t) m ´ onicoirreducibley diferentedetydet 1 (claramenten = s deg p(t)).

(b) SiUesregulardetipoIcond0 = 2n (n 1),entonces E k[t]/(tn).

(c) SiUesregulardetipoIIcond0 = 2n + 1 (n 0),entonces E k[t]/(tn+1)

(d) SiUesnoregular,entonces E k.

4.3.Cuadrodelascu´adruplasindescomponibles.

Enestasecci´onexplicamoslasnotaciones,lasconvencionesytodalainformaci´oncontenidaenloscuadrosdelafigura2enquesemuestrantodaslascu´adruplasindescomponibles,salvoisomorfismoypermutacionesdelossubespacios.

Siunamatrizidentidad Ik est´aequipadaconunaflechade laforma ←, →, ↑ o ↓,estoindicaquedebemosagregara Ik unacolumnaofiladecerosalaizquierda,aladerecha,encimaoabajo,respectivamente.

Fn(ps(t)) denotalac´eluladeFrobenius(tambi´enconocidacomolac´eluladelaformacan´onicaracional)deorden n quetienecomopolinomiominimal ps(t),endonde p(t) es m ´ onicoeirreducible.Enotraspalabras, Fn(ps(t)) eslamatriz acompanantede ps(t) (enparticular, n = s deg p(t)).

Denotamos J+ n (0) (Jn (0))elbloquedeJordandeorden n convalorpropio0yentradas1enladiagonalqueest´apor encima(pordebajo)deladiagonalprincipal.

Cadatipodecu´adruplaindescomponiblevieneacompa ˜ nadoconun ´ utildiagramacaracter´ısticoformadoporcuatrov´ertices(querepresentanlossubespacios U1,...,U4)junto cons ´ ımbolosadicionalesdelaforma

otambi´en

Estoss´ımbolossignificanquelossubespacioscorrespondientes Ui y Uj satisfacenlarelaci´ondim(Ui ∩ Uj)= 1o codim(Ui +Uj)= 1,respectivamente.Encasodeausenciade estes´ımbolo, Ui ∩ Uj = 0o Ui + Uj = U0,respectivamente. Losdiagramastambi´enincluyenlascoordenadasdelvector dimensi´on d = dimU

Enelcuadroincluimostambi´enlosvalores

delaformacuadr´aticadeTits f enelvectordedimensi´on d = dimU.Asimismo,damosparacadatiposucorrespondiente anillodeendomorfismos E = EndU

Parauntipo T denotamos T ∗ eltipodual(formadoporlas cu ´ adruplasduales U ∗ endonde U esdetipo T ).

EnlasmatricesdetiposVyV∗ la ´ ultimafranjahorizontal es ´ unicamentedeunafila.

Nota. (a) Delaconstrucci´onusadaen[MZ04],sesigueque todaslascu´adruplaslistadasenelcuadroson,dehecho, indescomponiblesymutuamentenoisomorfas.Adem´as, cadacu´adrupla U deunodelostiposII,...,V(odelos tiposduales)est´adeterminadademaneraun´ıvoca,salvo isomorfismo,porsuvectordedimensi´on d = dimU (que esunara ´ ızdelaforma f enelsentidoque f (d)= 1).

Cadacu´adrupladetipo0oIest´adeterminadaporel par (d, p(t)) o (d,t) respectivamente(endonde p(t) y t sonlospolinomiosmencionadosantesyelvectorde dimensi´on d esunara ´ ızimaginariade f enelsentido que f (d)= 0).

(b) Sitomamos p(t)= t o p(t)= t 1eneltipo0,obtenemoseltipoI.Lascu´adruplasdetipoIdadaspormatrices con J+ n (0) y Jn (0),sonisomorfas.

(c) Sisustituimos J+ n (0) por Jn (0) enlaformadetipoV,debemossimult´aneamentesustituir (0 01) por (10 0) enlas ´ ultimasfilasdelasfranjas M3, M4 (las ´ ultimasfilas

en M1, M2 sonfilasnulas).Correspondientemente,enla formaV∗ podemosinvertirladirecci´ondetodaslasflechas,ysimult´aneamentesustituir (0 ... 01) por (10 ... 0) enla ´ ultimafiladecadafranja Mi, i ∈{1,..., 4}

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[Zav08] , Amatrixproblemoveracentralquadraticskewfieldextension,LinearAlgebraanditsApplications 428 (2008),393–399.

Acercadelautor:desde1999GonzaloesprofesordelDepartamentodeMatem´aticasyEstad´ısticadelaUniversidad NacionaldeColombia;su ´ areadetrabajoeslateor´ıaderepresentacionesdeestructurasalgebraicas.Amantedel ´ algebra,delatipograf´ıaydelahistoriayepistemolog´ıadelas matem´aticasas´ıcomoapasionadoporlam´usicadeBach,las novelasdeHeinrichB¨ollyloscubosdeRubik.

Figura2: Clasificaci´ondetodaslascu´adruplasindescomponibles,salvoisomorfismoypermutacionesdelossubespacios.

DELACUARTADIMENSI ´ ONYESPACIOSPERFECTOS, AROTARUN ESPACIOTRIDIMENSIONAL

DanielEstebanGalvisSandoval * daniele.galviss@konradlorenz.edu.co

1.Resumen.

El ´ algebralineal,aunqueseestudiaaprofundidadenmatem´aticasof´ısica,amenudoparecetanabstractaquenose conoceclaramentesugradodeaplicaci´on.Enesteart´ıculo, sever ´ aquelosconceptosclavecomotransformacioneslinealesyproductosinternos,llevar´anaentenderlal´ogicadela computaci´oncu´antica,unparadigmaconunacomplejaestructurainform´aticaquepretendeevolucionarlatecnolog´ıa, yelfuturo.Poreso,seintroduceelespaciovectorialdelos cuaterniones,yseinterpretacomorotaci´ondevectoresenla esferaderadio1,queseasociaenciertaformaconlaesfera deBloch.Esta ´ ultima,entendidacomolarepresentaci´onde estadosdeunsistemaf´ısicoyenparticular,delosqubits,que sonlosvectoresdelespaciodeHilbertcuyosestadosvienen dadosporunconjuntodetransformacioneslinealesocompuertascu´anticas.Adicionalmente,sepresentar´aunpequeno c ´ odigoenPythonconlaideaderepresentarlarotaci´ondevectoresenlaesferaderadio1delespaciodeloscuaterniones. Por ´ ultimo,yconelfindeaplicarestasrotaciones,seexplica brevementeelalgoritmodeShorparafactorizaci´ondeenteros positivosysuusoenlacriptograf´ıacu´antica.

2.Introducci´on.

Desdequeelmatem´aticoingl´esAlanTuringdisen´oelprimerprototipodeordenadorcl´asicoparadescifrarelc´odigo secretodelaarmadaNazidurantelasegundaGuerraMundial,elsistemacomputacionalhaidomoderniz´andose,donde cadavezm´as,losordenadorestienenmejorescaracter´ısticas dedise˜no,memoria,velocidad,entreotras,todasbajoelmismosistemadiscretocuyam´ınimaunidaddeinformaci´onesel bit 1 deunosyceros.Estosd´ıgitosrepresentandosestados: Encendidooapagado,ciertoofalso,siono[Lop16a].Dentro delacircuiter´ıaelectr´onicadeunsistemadecomputadora,estosvaloressignificanpresenciaoausenciadevoltaje.Unbit eslam´ınimaunidaddeinformaci´on,puesapartirdeellosse construyecantidadesm´asgrandesdeinformaci´on.As´ı,ocho bitsconformanunocteto,tambi´enllamadobyte[Lop16b],de modoque,comolascomputadorasest´andise˜nadasparatrabajarconbytes,ycadaespaciodeloctetotienedosposibles

*Estudiantedematem´aticas,Fundaci´onUniversitariaKonradLorenz,Bogot´a-Colombia.

1Lapalabrabitrepresentaunaabreviaci´ondebinarydigit(d´ıgitobinaria) [Lop16a]

estados1o0,entoncesexisten28 combinacionesposibles, osea256valoresdiferentesyseusanparamedirelalmacenamientodememoriadeundato.Sidigitamosunp´arrafo completotendremosunaseriedebytesquepuedentenerun tama˜nodeunkilobyte(103 bytes)ounmegabyte(106 bytes)etc.,yenfraccionesdesegundo,elordenadoryasabelo queseleest´aescribiendo.Perocuandoeltama˜nodelasinstruccionesalordenadorexcedesucapacidad,puedellegara hacerqueestesedemore.Estosucedemuchoenmatem´aticas cuandosemodelaporordenadorproblemasquerequierenuna enormecantidaddec´alculos.Puesbien,comolacomputadoracl´asicaelaboraestasinstruccionesdeformaserial,esdecir deformasecuencial,pasoapaso,unatrasotradeformaindependiente,entoncesseabrumalamemoriaporelconsumode recursos.

Apartirdeestadificultad,hasalidoalaluz,laideade construirunordenadorquerealiceoperacionesdemanerasimult´anea.Enela˜no2000,EnmanuelKnill,RaymondLaflamme,RudyMartinezyChing-HuaTsengdelMITlograrondesarrollaruncomputadorcu´anticode7Qubits[CC20] UnQubit,eslaabreviaci´ondeQuantumbit,yrepresentala unidadm´ınimayb´asicadeprocesamientodeinformaci´onde uncomputadorcu´anticoyacomparaci´ondelbit,estepuede estarenestado0,1oenunacombinaci´onlinealdeambos. M´asadelante,definiremosformalmenteelqubitysutransformaci´onenelespaciodeHilbert.Elfindeesto,esreflejar laimportanciadelosestadosquepuedetomarunqubiten unaoperaci´ondada.Conlosbitsconvencionales,siten´ıamos unregistrodetresbits,hab´ıaochovaloresposibles,yelregistros´olopod´ıatomarunodeesosvalores.Encambio,si tenemosunvectordetresqubits,lapart´ıculapuedetomar ochovaloresdistintosalavezgraciasaloquesedenominalasuperposici´oncu´antica.Deestemodo,unvectordetres qubitscomputar´ıauntotaldeochooperacionesenparalelo. Parahacerseunaideadelgranavancequeestosupone,un computadorcu´anticode30qubitsequivaldr´ıaaunprocesador convencionalde10teraflops(millonesdemillonesdeoperacionesencomaflotanteporsegundo),esdecir,unacantidad abrumadoradeoperaciones,quenoescomparableconlacapacidaddeunprocesadorconvencionaldehoyd´ıa,yaque actualmentelascomputadorastrabajanenelordendegigaflops(milesdemillonesdeoperacionesencomaflotantepor segundo)[CC20].Enesteart´ıculo,sever´alaformadeoperar delosqubitsmediantetransformacioneslinealesenunespaciodeHilbert,yc´omodesdelaperspectivadelasrotaciones

enelespaciodecuaterniones,sepuedeinterpretarlasmismas querealizaenunespaciotridimensionaldeHilbert.Enlasiguientesecci´onsegeneralizaunainterpretaci´ongrossomodo delaf´ısicacu´antica,yc´omoestoserelacionaconelobjeto deestudiodeesteescritoquesonlasrotacionesdeunvectorenunespaciocomplejo,posteriormenteseintroducenlos cuaterniones,yluegolosespaciosdeHilbert.Finalmente,se presentaunaaplicaci´onencriptograf´ıamedianteelcasode factorizaci´onconelalgoritmodeShor.

3.Unanuevaf´ısica.

Deacuerdocon[Haw10]ensulibro ElGranDise˜no,el universonotieneunaexistencia ´ unicasinoquecadaposible versi´ondeluniversoexistesimult´aneamenteenloquesedenominalasuperposici´oncu´antica;yconestaextranaintroducci´on,nospreguntamos,¿aqui´enseloocurri´ohablardealgo comoesto?,¿porqu´esehabladeunanuevaf´ısicadelmundo subat´omico?,¿qu´etienequeverestoconlacomputaci´on?y ¿porqu ´ enosinteresaparaelestudioderotaciones?

Bueno,hayqueremontarseacomienzosdelsigloXX, cuandoelproblemadesaberenqu´edirecci´onoqu´epatr´on segu ´ ıalaemisi´ondeluzdeuncuerpocaliente,erairresoluble. MaxPlanck,descubri´olaleydelaradiaci´onelectromagn´eticaemitidaporuncuerpoaciertatemperaturaydiosoluci´ona esteproblemapasandoaserconsideradocomoelpadredela f´ısicacu´antica[An´o19].Enestetrabajo,intent´oexplicarque laluzsecomportabanosolocomoondasinocomocorriente depart´ıculas,queloselectronessonsimult´aneamentepart´ıculasyondas,yadem´as,queloselectronesocupabandiferentes puntosdesu ´ orbitademanerasimult´aneasaltandodeunaa otra,siendoimposibledeconocerconprecisi´onsutrayectoriayllevandoapensarqueeraunacuesti´ondelazardela naturaleza.

Seg´un[An´o20],eltrabajodePlanckcondujoaqueAlbert Einsteinrealizarasutrabajodelefectofotoel´ectrico,basado enlaideadelcomportamientodelaluznocomoondacontinuasinocomochorrodepart´ıculasdenominadascuantosde luzofotones.En1925,WernerHeisenbergdesarroll´olamatem´aticadelamec´anicacu´anticausando ´ algebradematrices, lesigui´oelfamosof´ısicoaustriacoErwinSchrodingerque formul´oen1927lafunci´ondeondayquecondujoalfamosoexperimentodelgatoqueseencuentravivoymuertoala vezdebidoalaspropiedadescu´anticasdelamateriaypropiamentedeloselectrones.Este ´ ultimoexperimento,juntocon elexperimentodeladoblerendija(quetratabadeexplicarel comportamientoenformadeondadeloselectronescuando interactuabaconuncristaldeniquel)llevadoacaboen1927 porClintonDavissonyLesterGermer[Haw10]llevaronala cienciaaotraescalayapensarqueesecomportamientode ondadelosfotonesyelectronespod´ıanexplicarelentrelazamientocu´antico.Estomotiv´oalf´ısicoRichardFeynmana estudiarelexperimentodeladoblerendijayaconcluirqueno setratabadeunaposici´onindeterminadadelapart´ıculasino queellatomabatodosloscaminosposiblesalavez,yellodependedecu´antasrendijasocompuertasseencuentrenabier-

tasendichoinstante,esdecir,quesiunarendijaseencuentra abierta,entoncestodaslaspart´ıculaspasaranporall´ıyhar´an una ´ unicahistoria,mientrasquesihaym´asrendijasabiertas, entoncesellaspasaranportodasalmismotiempoyhar´anhistoriasalternativas.Seanadequeelmatem´aticoyf´ısicoPaul Dirac,introdujoelprocesodeunificaci´ondelateor´ıadela mec ´ anicacu´anticaconlateor´ıadelarelatividadespecialyen 1932elmatem´aticoH¨engaroJohnVonNeumannformul´ola matem´aticaparalamec´anicacu´anticamediantelosespacios deHilbert,yporestaraz´on,usamosnotaci´ondeDiracenlas siguientessecciones.

Unavezsabemosdequ´etrataestaf´ısica,esimportantecuestionarseporqu´eestotuvograntrascendenciaenla computaci´ondelsigloXXI,puesbien,lasideasdeentrelazamientocu´anticoyn´umerodeposiblesposicionesdeuna part´ıculaserelacionanconeltama˜nodelasoperacionesque realizaunordenadorylosrecursosconlosquedispone.Por lotanto,sienlaf´ısicacu´anticaunapart´ıculaquevadelpunto A aunpunto B pasandopordiferentesrendijastomando todosloscaminosposiblessimult´aneamente,enlacomputaci´oncu´antica,lasoperacionesdeunalgoritmoserealizan deformasimult´aneaynoserestringeados ´ unicosestados deoperaci´on(0,1)sinoquepuedentenermultituddeestadosintermedioscomoresultadodelasuperposici´ondeestos dosestados[Her10],esdecir,sepermitelaevaluaci´ondetodoslosposiblesestadosalmismotiempo(algoqueseconoce comoparalelismocu´antico)ysetraduceenunadisminuci´on detiempoyrecursosparaelprocesamientodeunaoperaci´on [Cai10].Porestaraz´on,consideramosquemedianteelestudiodecuaternionesyel ´ algebralineal,queeselcaballito debatallaparaentenderestacomputaci´on,podr´ıamosintentarexplicarsufuncionamientoapartirdesimplesrotaciones enunespaciotridimensionalcomplejo.

4.Cuaterniones.

WilliamRowanHamilton,unmatem´aticonacidoenDublinen1805,sepregunt´oporlaformadetrasladarlanoci´on geom ´ etricadelosn´umeroscomplejosdelplanoadimensiones superiores,enparticular,alaterceradimensi´on.Lociertoes quenopudo,perocuandolointent´oconcuatrodimensiones lefueposible.Deacuerdocon[Rod12]Hamiltonseencontrabapaseandoconsuesposaun16deOctubrede1843por elcanalRealdeDublin,cuandoderepentelelleg´ounaideaa sucabeza,comosifueseuntipodealucinaci´onyparaqueno seleolvidase,escribi´olaidentidad i2 = j2 = k2 = ijk = 1 enunapiedradelpuentedeBroom,donde i, j, k ∈ C,esdecir,formanunespaciotridimensionalcomplejo,ylacuarta dimensi´onladenot´oconunacomponentereal a,porlotanto, denomin´oa q comocuaterni´onsi q = a + bi + cj + dk donde a, b, c, d ∈ R

Trasestedescubrimiento,elestudiodelascienciasevolucion´o,enparticular,enaplicaciones ´ algebrasdeLieomatricesdePauli,oinclusoeninform´atica,conlasrotacionesen elespaciotridimensionalusadaenlarob´oticaeinteligencia artificial.

4.1.Teor´ıa.

Algebraicamenteelconjuntodeloscomplejosformauna estructuradecuerpoconciertaspropiedadesyqueser´ande granutilidadenelconjuntodeloscuaterniones.Ahorabien, uncuaterni´on,comobienyasedijo,esunn´umeroounobjeto decuatrodimensionesdelaforma:

q = a + bi + cj + dk, (1) donde i, j, k ∈ C y a, b, c, d ∈ R,oseaquesi a = b = c = d = 0setieneelcuaterni´onnulo,osi a = 0y b = c = d = 0 entoncessetieneunobjetoenelespaciotridimensionalcomplejo.As´ı,podr´ıamosseguird´andoledistintasformasalcuaterni´onyusarlocomobienconvenga.Acontinuaci´on,sedan unasdefinicionesindispensablesparaabordarpropiedadesde loscuaterniones,estasdefinicionessebasanenlaspropiedadesdelosn´umeroscomplejos.

Definici´on4.1. Dadoelcuaterni´onq = a + bi + cj + dk,su cuaterni´onconjugadoes q = a bi cj dk [Fav08]

Definici´on4.2. Dadoelcuaterni´onq = a + bi + cj + dk,su cuaterni´onopuestoes q = a bi cj dk [Fav08]

Definici´on4.3. Dadoelcuaterni´onq = a + bi + cj + dk,se definesunormacomo |q|= √a2 + b2 + c3 + d2,adem´as,qse puedenormalizarmediantelasiguienteoperaci´on:q′ = q |q| dondeq′ esqnormalizado [Fav08].

Definici´on4.4. Dadoelcuaterni´onq = a + bi + cj + dk,se dicequeqesunitariosisunormaesigualauno [Fav08]

Definici´on4.5. Dadoelcuaterni´onq = a + bi + cj + dk,su inversoesq 1 = q |q|2 [Fav08]

Elconjuntoquecontienealoscuaternionessedenota H, con H = {q : q = a + bi + cj + dk, i, j, k ∈ C ∧ a, b, c, d ∈ R}

Deformaan´alogaalosn´umeroscomplejos,sedefinela sumadelosn´umeroscuaterniones:

Dados q = a1 + b1i + c1j + d1k, p = a2 + b2i + c2j + d2k,se definelasumadecuaternionescomo:

q + p =(a1 + a2)+(b1 + b2)i +(c1 + c2)j +(d1 + d2)k, donde (a1 + a2), (b1 + b2), (c1 + c2), (d1 + d2) ∈ R

Debidoalaspropiedadesdelosn´umeroscomplejosylos n ´ umerosreales,sepuedeverf´acilmentequeloscuaterniones cumplenlaasociatividadyconmutatividad,adem´as,porladefinici´on4.2,existeelneutroaditivoycuandotodaslascomponentesrealessoncero,seaseguralaexistenciadelneutro aditivo,oseaque (H, +) esungrupoabeliano.

Larestadecuaternionessehacedeformaan´alogayse puedeprobarf´acilmente.As´ıtambi´en,podemospensarenla sumadeuncuaterni´onconsuconjugado:

q + q =(a + a)+(b b)i +(c c)j +(d d)k = 2a.

Porsuparte,elproductodecuaternionesesunpocodiferentealamultiplicaci´ondecomplejospuestoquesedebetenerencuentalaidentidadarribadescrita i2 = j2 = k2 = ijk =

Conestoenmente,sedefineelproductodecuaterniones as

[Fav08].Dehecho,esteresultadoesmuycomplejo, yaqueusalaspropiedadesde2,porloquetieneunamejor visualizaci´ondelasiguientemanera:

Cuadro1:Multiplicaci´ondecuaterniones. realizandolosproductosdefinidos:

Cuadro2:Multiplicaci´ondecuaterniones.

yorganizandoporcolumnasyport´erminossemejantesse tiene:

Cuadro3:Multiplicaci´ondecuaterniones.

Esdecir,tomandoporcolumnasyfactorizandotenemos que

guienteteorema:

Teorema4.1. Seaq = t + xi + yj + zk ∈ H,entonceslamatriz asociadaL(q) es:

Elteoremaanteriornosdicequeexisteunamatrizasociada paracualquiercuaterni´onyesonoesm´asqueloquevimosen lastrestablasanteriores,soloqueall´ıorganizamosporcolumnasysumamost´erminossemejantes.Dehecho,estaformaes ´ utilcuandolosproductossonmuchom´ascomplejos.Adem´as,

deestaformatambi´enpuedeprobarsequeelproductodecuaternionesesasociativo.

Porotraparte,nospodemosdarcuentaf´acilmente,quedadalaidentidad1ylosproductos2,laconmutatividaddecuaternionesnosecumpleysepuedeprobardelamismaforma. Ahorabien,igualqueconlasuma,podemosmirarqu´epasa conelproductodeuncuaterni´onconsuconjugado,estoes:

q · q = a 2 + b2 + c 3 + d2 (4)

Esteresultadoser´amuyimportantepuestoquedeaqu´ısurgelaideadelarotaci´ontridimensionaldepuntosrespectoa unvector.

As´ıtambi´en,otrapropiedadquevaleresaltareselconjugadodelproductodedoscuaterniones:

q p = p q.

Sintetizandounpoco,loscuaternionessonunconjuntocon ciertaspropiedadesparalasumayparalamultiplicaci´onescalar.Dehecho,teniendoencuentaquesatisfacetodaslaspropiedadesparalasumaycasitodasparalamultiplicaci´onescalaraexcepci´ondelaconmutatividad,podr´ıamosdecirque loscuaterniones (H, +, ) formanunaestructuraalgebraicade anillonoabelianoyconelementoneutro.Ahorabien,observemosquesigeneralizamosesteanillo,nosdamoscuentaque loscuaternionessonunespaciovectorialde R′4 quenorepresentaelmismo Rn sinoquelodenotamos R′ considerando quelaprimeracomponenteesrealylasotrastressoncomplejas.Sepuedeprobarqueesteconjuntoesunespaciovectorial peculiarprobandocadaunodelos10axiomasdeespaciovectorial;sinembargonolohacemosporquenoeselobjetivode esteescrito.Detodasformas,esteresultadoesdemasiadoimportanteporquecomoveremosm´asadelante,nosservir´apara interpretarunvectorbidimensionaldeHilbertenesteespacio,pararealizaroperacionessobreestevectorenunaesfera deradiouno.Porahora,nosayudabastantetenerlaideaclara delaformadeunvectoren H

Hastaaqu´ıhemosvistotansololaspropiedadesdeestos conjuntos;sinembargosonsuficientes,as´ıque,sinm´asque decir,vamosacomenzarconunodelosresultadosclavede esteart´ıculo:

Consideremosporejemploquecualquierpunto P(x, y, z) delespaciotridimensionalconocidopuedeserrepresentado comouncuaterni´oncuyaparterealescero: P(x, y, z) → P =

0 + xi + yj + zk.As´ı,si P =(1, 2, 3) → P =(i + 2j + 3k).Ahora,consideremosotropunto S =(x1, y1, z1),represent´emoslo comocuaterni´onyluegonormalic´emoslo.Deestaforma,podemosimaginarnosalcuaterni´on S comolaesferaderadio 1enelespaciotridimensional,donde (x, y, z) sonlascomponentesdelosejes.Porlotanto,estaesferalapodemosrotar ytodoslospuntosdelespacioconella,pero¿c´omo?Consideremosahoraun ´ angulo θ ydejemosqueelvectorunitario S seaelejederotaci´on,esdecir,elvectorreferenciarespecto dequienserealizalarotaci´ondelespacioenun ´ angulo θ dado.Entonces,estaoperaci´onderotaci´onsepuederepresentar comouncuaterni´on q:

q =(s, v), (5)

donde s = cos θ 2 y v = S sin θ 2 [Mar16].

Elpunto P′ finaldespu´esdelarotaci´onseobtienederealizarlasiguienteoperaci´on:

P′ = q P q (6)

Enesencia,necesitamosunpunto,unvectorunitarioque act´uacomoelejedereferenciadelarotaci´onyun ´ angulode rotaci´on.Veamoslasiguienteilustraci´on:

Comosepuedeobservar,elvectorreferenteoejederotaci´ones n ytodoslospuntosdelplanooriginal xy (azul)rota un ´ angulo β haciaelplanorojo.Ahorabien,recordandoque estamostrabajandoconelpunto P yelvectornormalizado q y suconjugado,notemosquesielvectorunitario q lotomamos respectodealg´uneje,esdecir,respectoa x, y o z,elc´alculo sehacedemasiadosencillo.Porejemplo,siqueremosrotar elespaciorespectoaleje z,entoncestenemosquecalcular P′ = q · P · q,queequivalea:

· sin θ 2 )

Contodo,nosiempresequiereunarotaci´onrespectoauno delosejessinoqueenlamayor´ıadeloscasos,lasrotaciones sonsobredistintosvectoresreferenciadelespacio,yeneste, hayinfinitos.Adem´as,unodelosmayoresproblemasser´ıa elhechoderotacionessucesivassobredistintosejes.Esclaro queparaellohar´ıamosunamatrizconcuantoscuaterniones consideremosnecesariosparahacerlasrotacionesdelespacionecesarias,perohaciendoestatareacondistintosejesdel espacio,elresultadofinaloposici´onfinaldecadapuntono podr´ıaserresultadodeunn´umeromayoraunodevectores referenciasobreelqueserot´oelespacio.Estodacabidaal siguienteteoremapropuestoporLeonhardEulerantesdeque Hamiltondescubrieraloscuaterniones:

Figura1: Rotaci´onenelespacio

Teorema4.2. SiResunamatrizquerepresentaunarotaci´on en R3,entoncesRtieneunvectorpropion ∈ R3 talqueRn = n,estoes,nesunvectorpropioconvalorpropio1 [An´o10].

Esteteoremaloquenosdiceesque,contodaseguridad, cualquierrotaci´onporuncierto ´ anguloenelespaciotridimensionaldejafijaunal´ınearecta,queeselejederotaci´on, oseaquedadaunasecuenciaderotacionessobredistintos ejes,existeunarotaci´onquegeneralizatodalasecuenciade rotaciones,yesta,asuveztieneasociadaunasolamatrizde rotaci´onsobreunejedereferenciaoejederotaci´on.

4.2.Rotaciones.

Yavimosqueunvectorcualquieraenelespaciosepuedeexpresarcomocuaterni´on,yeste,normalizado,esunaesferaderadio1quesepuederotar.As´ıpues,podemosusar lageometr´ıaanal´ıticaparadeducirunaexpresi´onsumamente importanteyeslasiguiente:

Consideremoselplano R2 convector v decoordenadas (vx, vy) quesequiererotar θ gradosensentidoantihorario hastaelvector w decoordenadas wx, wy.

Digamosquelanormadelvector v = r,as ´ ı, |v|= |w|= r,la coordenadaen x destino wx = r cosθ + α = r [cosα cosθ sinα sinθ ]= r cosα cosθ r sinα sinθ,pero vx = r cosα y vy = r sinα,oseaquereescribiendosetiene: wx = vx cosθ vy sinθ.An´alogamente,lacoordenadaen y destino wy = vx sinθ + vy sinθ

Siexpresamosestoenformamatricial:

wx wy = cosθ sinθ sinθ cosθ vx vy

Extrapolaresteresultadoa R3 noescomplicado,paraempezar,podr´ıamostomarlasiguientematrizcuyoejederotaci´oneseleje z,entoncessetendr´ıa:

Ahora,si q =(s1, γv2) con s1 = cos θ 2 y γ = sin θ 2 sepuede llegarademostrarquedadoelpunto P quesequiererotar,6 esequivalente.

ElresultadodeRodriguesnosdapasoabuscarunvector caracter´ısticoquepodamosrotarynosarrojealg´unresultado interesante.Enlasiguientesecci´on,introducimoslosespacios deHilbert,yaquelasrotacionesdevectoresquenosinteresa, serealizanenunaesferaderadio1cuyosvaloresposibles representanlosestadosdeunqubit.

5.EspaciosdeHilbertytransformacioneslineales.

Definici´on5.1. SeanV,Wdosespaciosvectorialesdedimensi´onfinita,Funcampoyf : V → Wunafunci´on,diremosque fesunatransformaci´onlinealdeVenWsisecumple:

f (x + y)= f (x)+ f (y) ∀x, y ∈ V.

f (αx)= α f (x)∀x ∈ V, α ∈ F.

Loanterioreslomismoque f (αx +αy)= α f (x)+α f (y). Ahora,sabemosqueelproductointernoesunafunci´onlineal quevadelespaciovectorialalcamposobreelquesedefine dichoespaciovectorial.

Definici´on5.2. SeaVunespaciovectorialdedimensi´onfinitay R elcamposobreelquesedefineV.Elproductointernoo productoescalardefinidosobreVesunaaplicaci´onofunci´on f : VxV → R,denotado < u, v > quesatisfacelassiguientes propiedadesparatodou, v, w ∈ Vytodoescalar α ∈ R:

Paraentenderlarelaci´onentreelresultadoanterioryla rotaci´onusandocuaterniones,esnecesarioasociarlasrotacionestridimensionalesalaf´ormuladeRodr´ıgues[An´o10] enhonoralmatem´aticoOlindeRodrigues, 2 queconsisteen rotarunvector v alrededordeotrounitario n ycuyascoordenadasseobtienende vcosα +(nxv) sinα +n(n·v)(1 cosα), donde (nxv) eselproductocruzdevectoresy (n·v) elproductopuntodeambosvectores.As´ı,concuaterniones,sedefinen doscuaternionesentrelaspartesimaginariasdedoscuaterniones q =(s1, v1), p =(s2, v2):Elproductopuntoyelproducto cruz (v1xv2) y (v1 v2).Luego,setienequeelproductode cuaternioneses:

2Aquienseleatribuyentrabajosmemorablespreviosaldescubrimiento deHamiltondeloscuaterniones.

Esdecir,elproductointernoentredosvectoresdelespaciodevuelveunn´umerodelcampodelosreales.Adem´as, sepuededemostrarf´acilmentequelapropiedad3de5.2es linealenlasegundacomponentecomoenlaprimeracomponente.Esdecir,aplicando5.1 < u, αv + αw >= α < u, v > +α < u, w >.Lomismoconlaprimeracomponente.As´ı,se dicequeelproductointernoesunaformabilinealsim´etricay definidapositivaporlasanteriorespropiedades;sinembargo, ¿qu ´ esucedeconestaformacuandosetienenvectoresdeun cuerpocomplejo?

Supongamosunvector u =(1, 0, i) ∈ C3 yprobemosla cuartapropiedadde5.2.As´ı, (1, 0, i) (1, 0, i)= 0,oseaque nosecumplelapropiedaddeque u = 0.Porlotanto,sedebe hacerunapequenamodificaci´on.Sihacemosquelapropiedad sea < u∗, u >,esdecir,elcomplejoconjugadoporelvector, entoncespodemosobservarlosiguiente: (1, 0, i) · (1, 0, i)=

2 = 0.Ahora,lapropiedadsim´etricanosecumpleynecesitamosque < u, v >=< v, u > ∗,oseaalcomplejoconjugado,yahorasedicequecumplelapropiedadherm´ıtica. Por ´ ultimo,ynomenosimportante,sepuedeprobarquebajolascondicionesimpuestasenestep´arrafo,ahora,lacondici´ondebilinealidadnosecumplir´ıasinosoloparalasegundacomponente,mientrasqueparalaprimera,losescalaressaldr´ıancomplejosconjugadosdelasiguienteforma:

.Porconsiguiente,tenemoslasiguientedefinici´on:

Definici´on5.3. SeaVunespaciovectorialdedimensi´onfinitasobreelcuerpo K,elproductointernooproductoescalar definidosobreVesunaaplicaci´onofunci´onf : VxV → K, denotado < u, v > quesatisfacelassiguientespropiedades paratodou, v, w

Definici´on5.9. Llamamosbraaunvectordelaforma:

Esdecir,losketssonvectorescolumnaylosbrassonvectoresfiladondecadaunadesusentradaseselcomplejoconjugadodeunn´umerocualquieradelcampodeloscomplejos. Ahora,dijimosanteriormentequeunqubitpodr´ıaserexpresadocomounacombinaci´onlinealdelosvectoresdelabase de H .Enestecaso,definimoscomovectoresdelabasefundamentaldelacomputaci´oncu´anticaalosvectores |0⟩ y |1⟩, queennotaci´onconvencional:

As´ı,cualquiervectordelespaciodosdimensionaldeHilbertpuedesergeneradoporelketceroyelketuno,enparticular,elqubit |ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩ con α, β ∈ C

Conlabasefundamental,podemosverqu´esucedeconel productointernodelasmismasyquesenotadelasiguiente manera:Sellamabraketa ⟨ψ|ψ⟩.Enparticular,teniendoen cuentalamultiplicaci´ondematrices:

Delaanteriordefinici´onsesigueque:

Definici´on5.4. Unespaciopre-Hilbertianoesunespacio vectorialsobre K conproductointernoynormadocon ||v||=

< v, v > [AD15]

Definici´on5.5. UnespaciovectorialVescompletoparala norma,s ´ ıys ´ olositodasucesi´ondecauchy3 convergeconesa norma [AD15].

Deloanterior,tenemoslasiguientedefinici´on:

Definici´on5.6. UnespaciodeHilbert H esunespaciopreHilbertianocuyanormaescompleta [AD15]

UnavezhemosintroducidoelespaciodeHilbert,definimosformalmenteelqubit:

Definici´on5.7. Unqubitobitcu´anticoesunvectornormalizadodelespaciodeHilbert C2 [AD15]

As´ı,vemoscomonoshavenidodebienintroducirpreviamentelosn´umeroscomplejosyelproductointernosobre ellos.Ahorabien,yamaneradesintaxis ´ unicamente,definiremoslanotaci´ondeDiracqueseempleaenlamec´anica cu ´ anticaparavectores:

Definici´on5.8. Llamamosketaunvetordelaforma:

Hastaaqu´ı,definirunqubitnecesit´odelaintroducci´onde unespaciovectorialperfecto,peroahora,queremosoperar con ´ el,yclaro,paraqueunacomputadorainterpreteunqubit, debeexistirunaoperaci´ondenominadamedici´on,yasuvez, unoperadorqueact´uesobreelqubitparacolapsarlo,esdecir, paraquelolleveaotrabasedelmismoespacioocambiede estado.Estamedici´ontieneuncomportamientopeculiarsiguiendolasleyesdelaf´ısicacu´antica.Esporesoqueacontinuaci´onpresentamostrespostuladosdelamec´anicacu´antica queservir´anparadefinirelcomportamientodeunqubit.

1. Estadodelespacio: Nosdicequeacadasistemaf´ısico aislado,seasociaunespaciodeHilbertqueeselespaciodeestadosdelsistema.Hayquetenerencuenta,que enelplanocomplejo,losvectoresnorepresentanposicionessinoestados,oseaquecadaejedelplanooespaciocomplejoexplicanunestadodelacosaovector. Elsistemaf´ısicoest´acompletamentedescritoporelestadodesusvectores,yladimensi´ondelespaciodepende delosgradosdelibertaddelapropiedadf´ısica,esdecir, eln´umerodeposiblesvaloresquepuedetomarelobjeto dentrodelsistema.

Estepostuladoimplicaqueunacombinaci´onlinealdeun vectorgeneraotrovectordelmismoespacio,yestoseconoce comoelprincipiodesuperposici´on.

2. Evoluci´oncu´antica: Nosdicequeelestadodeunsistemaeneltiempo t2 deacuerdoalestadoeneltiempo t1 est´adadopor |

Oseaqueelestadodeunsistemasealteraconlaaplicaci´onde unoperador U quesedefinir´acomounatransformaci´onlineal sobreelvectorenelespacio H .As´ı,aplicandounoperador deestosaunqubit,encontraremoselestadodeesteyser´a equivalenteacorrerunprogramaenunacomputadora.

3. Medidacu´antica Nosdicequetodoslosresultadosde unexperimentosongeneradosdeacuerdoaciertadistribuci´onprobabil´ıstica.Adem´as,antesdelamedici´on elestadocu´anticodeunsistemaesdiferentealestado cu ´ anticodelobjetodespu´esdelamedici´on.

Deltercerpostuladoseextraequelamedici´onesunprocesoprobabil´ıstico,losestadospreypostmedici´onnoson iguales,ymedirunsistemaequivaleaproyectarelvectorsobrelasbasesdelespaciodeHilbertsobreelqueemana.

As´ıpues,almedirunqubit,nosreferimosalaevaluaci´on probabil´ısticadelestadopreypost.Esporesoqueparala preparaci´ondeunqubit,sedebenelegiradecuadamentelos escalares α, β detalmaneraque |α|2+|β |2 = 1,yestasmedicioneslaspodemosconseguirmedianteoperadoresob´asicamente,transformacioneslinealesenelmismoespaciode Hilbert.Acontinuaci´on,veremosqueestastransformaciones est´andefinidasporciertascompuertasdenominadasoperadores.

5.1.Operadoresycompuertascu´anticas.

Alastransformacioneslinealesselesconocecomooperadoresocomopuertascu´anticas,quesignificanunamultiplicaci´ondeunamatrizporlosvectoresdelabasedelqubity poderencontrarlosdiferentesestados.Estamatriz,generalmenteesunitaria,esdecir,unamatrizcuyainversaesigual asuconjugadatranspuesta.Sihacemosunaanalog´ıadeuna compuertacu´anticaconunacompuertal´ogicadelacomputaci´oncl´asica,laspuertasl´ogicasAND,ORyNOTseaplican aunbitdetalformaquesielestadodeestees0yseaplicaNOTentoncesseobtiene1;sinembargo,alaplicaruna compuertacu´anticasobreunqubitnoseobtieneunresultado discretoyenterosinoprobabilidadesdeobtenerunodelos dosestadosyporendemultituddeestadosintermedioscomo resultadodelasuperposici´ondeestos.As´ı,podemosempezar apensarenunconjuntodematricesquenosvanapermitir obtenerm´asresultadosdeuneventof´ısico,enparticular,nos interesamosenbuscarcompuertascu´anticasdefinidascomo operadoressobrequbits.Peroantesdeello,esimportanteenterarnosdelassiguientesdefiniciones.

Definici´on5.10. UnOperador ˆ Ade Cn esunamatrizcuadradadedimensi´onnconentradascomplejas [AD15]

Definici´on5.11. Eladjuntodeunoperador ˆ Asenota ˆ A† conocidocomoAdaggerysignificaeloperadortranspuestoconjugadode ˆ A[1007AD15].

Eloperador ˆ A† loquehaceestransformarunbra,mientras queeloperador ˆ A inducesobreunketas´ı:

Definici´on5.12. Sea ˆ Aunoperadorlinealtalque ˆ A : H → H , ˆ A,entonces |ψ⟩ → |ψ⟩′ .

Estadefinici´onesmuyimportanteporqueestamosdiciendoqueexisteunatransformaci´onlinealenelespacio n dimensional deHilbertquellevaunketaotroketdel mismoespaciomedianteunoperadorlineal.As´ı,unqubitse transformaycomoresultadodeestatransformaci´onlineal,se obtieneotroqubitdediferenteestado.

Enteor´ıadelacomputaci´oncu´antica,sehandefinidounas compuertasmuyespecialescomoeloperadordeHadamard, queesunacompuertal´ogicasobrelaquesecimientanmuchos circuitoscu´anticos.Lasiguientedefinici´on,ayudaaentender esteoperador.

Definici´on5.13. AlosoperadoresdelaformaP = |φ

| se lesllamaproyectores 4 [AD15]

Deacuerdocon7,8,esclaroqueunproyectordevuelve unamatrizadiferenciadelproductointernodeambosque devolv´ıaunn´umerodelcampocomplejo.Porello,unarepresentaci´onmatricial

Ahorabien,conbaseenloanteriorpodemosobtenerque (

como evidentementesepodr´ıaprobarhaciendoelproductodela mismamatriz.Lomismosuceder´aconeloperadordaggersi

toser´aimportanteparaminimizareln´umerodeoperaciones enunacompuertacu´anticaym´asa´un,paraelc´alculodeprobabilidades.

4Selamanproyectoresporqueproyectanortogonalmenteunket |ψ⟩ cualquierasobreelket

Definici´on5.14. SedefinecomoeloperadordeHadamarda

Hadamard.Seapues |ψ⟩ = ˆ H |0⟩,vemosqueestequbitest´a definidosobrelabasecomputacional B = {|0⟩ , |1⟩}.Adem´as, comoviveenelespaciodosdimensionaldeHilbert,tienedos eventosposibles,asaber {0, 1}

necesitamossaberc´omosecomportaeloperadorparacada estadoposible.As´ı,nosinteresa

Teniendoencuentaelresultadoobtenido,nosdamoscuenta queunqubittendr´ıaunestadointermediodadoporlacompuertacu´anticadeHadamard,puestoqueelresultadoinvolucratantoalketcerocomoalketuno,ybastar´ıanom´ascon multiplicarlamatrizobtenidaconcualquierotroketoqubit.

Recordemosquehemosencontradoc´omoeslaformade operarunqubit.As´ıpues,paradescribiromedircualquier sistemacu´anticoserequieredefinirelsistemaquedeseamosanalizar(enestecasounqubitenunespaciodosdimensionaldeHilbert),tenerencuentalosposiblesresultadosquepuedetomarelsistema(estostambi´envienendadosporladimensi´ondelespacio),tenerunabaseortonormal

H n},unconjuntodeoperadoresdemedici´on

ˆ A dadosporlaproyecci´ondecadapardevectoresdelabase, yunadistribuci´onprobabil´ısticaenfunci´ondelosexperimentossobreelsistema.Paraeste ´ ultimorequisito,sabemosque elestadopreypostmedici´onsondistintos.Porlotanto,se tienelasiguientedefinici´on:

Definici´on5.15. Deacuerdocon [VM13],sedicequeunsistemarepresentadoporunket |ψ⟩ evolucionaalsistema |φ⟩, cuandoserealizaunadelassiguientesoperaciones:

1 Sepremultiplicaporunacompuertacu´antica ˆ A: |φ⟩ =

2 Seaplicaunoperadordemedici´on ˆ M: |φ⟩ =

Esdecir,laprobabilidaddeobtenerelketceroesdel50%. Lomismosuceder´asirepetimoselprocedimientoparaelestadouno.Estolopodemoscorroborarsiusamosunasimulaci´on delacomputadoracu´anticadeIBM.Acontinuaci´on,veremos unaaplicaci´onsimuladasobreunqubitusandolacompuerta deHadamard:

Figura2: Aplicaci´ondelacompuertadeHadamardenelsimuladorcu´anticodeIBM.

Vemosquetantoparaelket0comoelket1,laprobabilidaddeestarensuperposici´onenunaoperaci´onesdel50%. Veamosahoraqu´esucedesicambiamosdebaseyvolvemos aaplicarlacompuertadeHadamardsobre |ψ⟩ :

Sea B2 = {|+⟩ , | ⟩} labasedelespacio H 2,conocidacomolabasediagonaldonde:

tendr´ıamoslasiguienteoperaci´on:

† ˆ M |ψ⟩ esunestadoquenoseconoce,mas s ´ ısuprobabilidad.As´ıpues,buscamoslaprobabilidaddeobtenerunestadodelqubitusandolacompuertacu´anticadeHadamard.

Comovimospreviamente, 1 √2 |0⟩ + 1 √2 |1⟩ eselestadode unqubitluegodemultiplicarloporlamatrizuoperadorde

Esdecir,elqubitnoreflejaposibilidadalgunadetomar elestado + cuandoseleaplicalacompuertadeHadamard

.Siloreplicamosenelsimulador,vemosqueconfirma

unaprobabilidaddel100%delqubitenfunci´ondelabase escogida.

Acontinuaci´on,vemosalgunasotrascompuertasquese puedenemplearparalaconstrucci´ondecircuitosoalgoritmos cu ´ anticos:

X,Y, oZ.Elefectoquecausansobrelosestadosb´asicosdel qubitdescritosanteriormentesepuedenobservaracontinuaci´on:

As´ı,hemosobservadolaescenciadelascompuertas cu ´ anticassobreunqubit.Pero,¿c´omoseest´anviendoestas probabilidadesgr´aficamente?Bueno,elturnoesdelaesfera deradio1,esamismaquerotauncuaterni´onenelespaciotridimensional.Resultaquesinosfijamosbien,elsimuladorejecutaunacompuertasobreunvectorquerotaenunaesferade radiouno.Estevectornoesm´asqueunqubit,cuyasrotacionesrepresentanunestadomasnounaposici´on,enmec´anica cu ´ antica,seusalaesferadeBloch,comounarepresentaci´on geom ´ etricadelosestadosdelsistema.Lainterpretaci´onque sesigueesquecuandoelvectoroqubitseencuentraenelnortedelaesfera,elqubittienevalor |0⟩,ycuandoseencuentra enelpolosurdelaesfera,suvalores |1⟩ [MP19].

Losextremosdeleje Z representanlosestadosdelabase (enestecasolabasecomputacional).Deestaforma,setrabaja rotandoelvectoratrav´esdelespaciotridimensional.Antes deproponer,resaltamosquesepuederepresentarcualquier estadoopuntoenlaesferadeBlochcomounacombinaci´on linealde |0⟩ , |1⟩ as ´ ı: |ψ⟩ = cos θ 2 |0⟩ + sin θ 2 eiφ |1⟩. Ahorabien,deacuerdocon[MP19]lastransformaciones enlaesferadeBlochsepuedendividirentresgrupos:Puertas dePauli,PuertadeHadamardyPuertasdefase.

Definici´on5.16. LaspuertasdePaulisonaquellasqueaplicanaunqubitungiroo ´ anglode π conrespectoalosejes X,Y, Z.Dependiendodelejerecibenelnombredepuertas

Definici´on5.17. Laspuertasdefasesongirossobreeleje Z.Estaspuertasnomodificanelvalorfinaldelqubit,peros´ ı afectanafuturasoperacionessobreelmismo.DentrodeestegruposeencuentranlaspuertasSySt,quecorresponden aungirode ´ angulo π 2 yde π 2 respectivamente.Tambi´ense encuentranlaspuertasTyTt,querealizanungirode ´ angulode π 4 y π 4 respectivamente.acontinuaci´onseobservasu efectosobreelqubit:

Figura7: Efectodelatransformaci´onconPuertasdefase.

Hemosllegadoaverqueelestadodeunqubitsecomporta deacuerdoconlatransformaci´onocompuertaqueseutilice sobre ´ el.Nuestraintuici´onnosllevaapensarquepodemos llevarestevectoralespaciodeloscuaternionesymirarqu´e pasaall´ısiserotarespectoaleje Z einterpretarcadapunto comounestadodelsistema.

6.Delespacioperfectoalespaciodelos cuaterniones.

Paramigrarelqubit,debemosllevarelvectordosdimensionalalabasecuaterni´onica,poresointroducimoslasiguientedefinici´on:

Figura3: Aplicaci´ondelacompuertadeHadamardenelsimuladorcu´anticodeIBM.

Figura4: Compuertascu´anticas.

Figura5: EsferadeBloch.

Figura6: Efectodelatransformaci´onconPuertasdePauli.

6.1.Intuici´onsobrelatransformaci´on.

Definici´on6.1. ElproductotensorialdedosmatricesPyQ sedefinecomolamatriz [AD15]:

1 import matplotlib.pyplotasplt

2 import pandasaspd

3 from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

4 import matplotlib.cmascm

5 import numpyasnp

Acontinuaci´ondefinimoselvector V quequeremosrotar enunarrayquecontendr´asuscoordenadas.

1 # Coordenadas del vector unitario

Adicionalmentetengamosencuentalassiguientesdefiniciones:

Definici´on6.2. [AD15] SeanB1 = {v1, v2,..., vn} unabase delespaciovectorialVyB2 = {w1, w2,..., wm} unabasedel espaciovectorialW.Elproductotensorialentredichasbases sedefinecomo:

Esdecir,elproductotensorialentreespaciosvectorialesse definecomoelespaciogeneradoporelproductotensorialde todoslosvectoresdeunabasedelprimeroconlosvectoresde unabasedelsegundo.

Definici´on6.3. SeanB1 unabasedelespaciovectorialV, yB2 unabasedelespaciovectorialW,entonces:V ⊗ W = span(B1, B2) [AD15]

Conformeloanterior,podemosrealizarelsiguienteejercicioyprobarqu´esuceder´ıasilosvectoresdelabasecomputacionalquegeneranunqubiten C2 lesaplicamoselproducto

2 V=np.array([(0,0,0),(1/sqrt(2),1/sqrt(2),0)])

3 4 Ax=[] # Lista de primeras componentes

5 By=[] # Lista de segundas componentes

6 Cz=[] # Lista de terceras componentes

laslistasvac´ıas Ax, By,Cz seusar ´ anacontinuaci´onparaalmacenarlasnuevascoordenadasrotadas,esdecir,lascoordenadasqueresultanalmultiplicarelvectorporlamatrizde rotaci´on.Acontinuaci´on,definimoslafunci´onquellamamos imp quecontienelamatrizderotaci´ondelosvectoresiniciales:

1 # Funcion que rota las coordenadas del vector V en

2 # funcion del ngulo theta

3 def imp(theta):

4 # Matriz de Rotacin

5 R=np.array([[np.cos(theta),np.sin(theta), 0.],

6 [-np.sin(theta),np.cos(theta),0.],

7 [0.,0.,1.]])

8 for row in V:

9 output=(R.dot(row)) # Multiplicacion de la

10 # matriz por el punto respectivo

11 x,y,z=output[0],output[1],output[2]

12 # Coordenadas transformadas

13 Ax.append(x) # Se guardan las coordenadas

14 By.append(y)

15 Cz.append(z)

16 return Ax,By,Cz

Claramenteelespaciogeneradodadoporelproductotensorialde C2 es C4.Dejemosque C4 = {l, i, j, k} sealabase, yque l = 0.Porlotanto,elqubitdelespaciodeHilbert,de algunamanerapuedeserinterpretadoenelespaciodeloscuaternionescuando l = 0.

6.2.Unarotaci´ondelvectorenunplanodela esferaderadiouno.

Deacuerdoconlovistopreviamentecuandopresentamos loscuaterniones,vimosqueeraposiblerotarvectoreseneste espaciosobreunaesferaderadiouno,yconformevimosen 4.1supimosc´omohacerlosobreeleje z.As´ıpues,podr´ıamos simularunadelascompuertascu´anticasenesteespacio.Por ejemplo,vamosasimularunacompuertadePauli.Deacuerdo con5.16,elqubitrota ´ angulosde π eneleje X, Y o Z.Veamos elsiguientec´odigoenpythonquereplicaunarotaci´onrespectoaleje Z deunvector,esdecir,unarotaci´ondelmismoen eleje Y .Comovamosaverdiferentesrotaciones,dejaremos acontinuaci´onexplicadoelc´odigoqueusamosparaello:

Importamoslibrerias:

5

Lamatriz R trabajaenfunci´ondel ´ anguloquesereciba comopar ´ ametroyelbucletienelafinalidaddemultiplicar cadavector.Enelsiguientecicloleindicamosalafunci´on imp quequeremosquelatransformaci´onsehagadepoloa polosobreeleje x y

1 fig=plt.figure()

2 for i in range (1,10):

3 ax=plt.gca() # gca = obtiene los ejes actuales

4 A,B,C=imp((np.pi)*i) # rotamos un ngulo Pi

6 ax=fig.add_subplot(111,projection= ’ 3 d ’ )

7 ax.scatter3D(Ax,By,Cz,c=Cz,cmap= ’ Set1 ’ )

8 plt.show()

Tenerencuentaqueas´ısereiteren n rotaciones,siempre veremoscomosemuestraacontinuaci´on:

Caberesaltarquelosvectoresest´annormalizados.En elcasoparticular,tenemosunvectorconcoordenadas 1 √

Mirandoelsimulador:

Elmismovectorusandopuertasdiferentessepuederotar sucesivamente:

Laraz´ondeestasrotacionessejustificaenlab´usquedade laprobabilidaddeobtenerunodelosestadosdelqubit.Es claroqueas´ıdesimplenoseconsigueesto,porelcontrario, surgecomounproblema;sinembargo,eslaformacomose interpretar´ıaunqubityclaro,ahoranosinteresasaberporqu´e lasprobabilidadessontanimportantespararesolverproblemasyporqu ´ eestosuponequeunam´aquinahar´ıamillones deoperacionesm´asqueunam´aquinadeturingconvencional. Hastaaqu´ı,nosemocionahablardecuaternionesyqubits,peroveamosqueunadelasm´asgrandesaplicacionesdelasrotacionesdeunvectorenestaesferaradicaenlacriptograf´ıa.

7.Aplicaciones.

Deantemano,debemosempezarapensarqueunbitesun estadoquelodefineelpasoonodeelectricidadporuncabledeuntransistordeuncomputador.Cuandoseejecutaun algoritmo,elpasodeelectricidadact´uamedianteuncircuito electr´onicool´ogicobajociertascompuertasyquepermiten lainteracci´onconelordenador.Oseaquesisequiereevaluar unafunci´oncon10valores,setendr´ıaquehaceruncircuito dondepaselafunci´onygenereunresultadoparacadavalor deformaindependienteyserial.Ahora,siloquisi´eramoshacerenparalelo,necesitar´ıamosporcadavalorunafunci´on,un circuito,odiferentesordenadoresyesosignificar´ıaineficienciaentiempoyrecursos.Conestoenmente,laimportancia delasuperposici´ondeestadosdelacomputaci´oncu´anticaes quesecontemplalatotalidaddeestadosposiblesentreceroy uno,yenestamismafunci´onseevaluar´ıanlos10valoresde formasimult´anea.Lointeresanteesquecuandoseeval´uauna funci´on,estaessometidaaunsistemadeprobabilidadesque dependedelcolapsodelafunci´ondeondayporlotantohay unosestadosquesevuelvenm´asprobablesqueotros.

Aniveldealgoritmos,hayproblemasquecuestandemasiadoresolverloscomoelhechodefactorizarunn´umero.Enrespuestaaesto,yaldesarrollodeteor´ıacu´antica

computacionaldelas ´ ultimasdosd´ecadas,PeterShor,unmatem´aticoestadounidenseyactualmenteprofesordelMIT, 5 disen´ounalgoritmopensandoenlaeficienciacomputacional deunam´aquinadeTuringcomparadaconladeunam´aquina cu ´ antica.Estealgoritmocimientasupotenciaendeterminarel per ´ ıododeunafunci´onmedianteelusodeteor´ıaden´umeros. Aunquesuestudiopresentaungradodecomplejidadrelativamentealto,esmuyinteresanteanalizarelnuevoenfoque quelamec´anicacu´anticaofreceparasolucionarelproblema defactorizaci´on.[Cai10]Antesdeexplicarbrevementeeste algoritmo,debemostenerencuentaqueenlateor´ıacu´antica computacional,setienenporahoratresclasesdealgoritmos:

Algoritmosbasadosenlatransformadacu´anticadeFourier.

Algoritmosdeb´usqueda.(Ejemplo:AlgoritmodeGrover)

Algoritmosdesimulaci´ondeexperimentosf´ısicos

Delaclasificaci´onanterior,elalgoritmodeShorsebasa enlatransformadacu´anticadeFourier,yestoesb´asicamente porquealtenersetantasoperaciones,aplicarlatransformada ayudaaeliminarruido,esdecir,reprocesos.Enesteejemplo simpledeaplicaci´on,nonoscentraremosenindagarelfuncionamientoexactodelatransformadaenuncircuitocu´antico sinosimplementeexplicarporqu´elasrotacionesylasprobabilidadessonunaventajaenlacomputaci´oncu´anticarespecto alacl´asica.

Ent´erminossimples,elalgoritmodeShorbuscafactorizar unn ´ umeronatural.Esdecir,dado n ∈ N,queremosencontrar p, q primos ∈ N talque p q = n.Esteinter´essurgeporque muchossistemasdeencriptaci´ontrabajanconn´umerosmuy grandesproductodedosom´asprimosqueseconviertenen lasclavesdeencriptaci´onydesencriptaci´on.As´ı,silogramos factorizarestosenteros,tendr´ıamoslaposibilidadderomper estossistemasytendr´ıamosunagranoportunidaddehacernosconelcontroldelsistemaecon´omicomundial,losbancos, sistemasdeseguridadohastadelmercadodelascriptomonedas;sinembargo,estonoestanf´acilpuestoqueyahayteor´ıa cu ´ anticadesarrolladaparaevitarestassituaciones.

5MassachusettsInstituteofTechnology.

Figura8: 1Rotaci´onde V

Figura9: CompuertadePauli Y .Rotaci´onde V

Figura10: Rotacionesde V

Acontinuaci´on,introducimosalgunosteoremasnecesarios paralacomprensi´ondelalgoritmo:

Teorema7.1. Seann, n + 1 dosenterospositivos,entonces mcd(n, n + 1)= 1.

Estoesgraciasalaspropiedadesdeladivisibilidad,yaque si a, b, c ∈ Z y c|a ∧ c|b → c|ax + by, x, y ∈ Z.Enparticular,si x = 1, y = 1entonces c|(n + 1) n yestoesposiblesi c = 1.

Teorema7.2. Sean > 1 ∈ N,entonces ∀n,nposeeuna ´ unica factorizaci´on(salvoelorden)enn´umerosprimos,esdecir

∃m ∈ N talquen = p1 p2 pm = ∏m i=1 pi conpi primoy 1 ≤ i ≤ myp1 ≤ p2 ≤ ≤ pm

Teorema7.3. Dadon ∈ N,x ≡n ysiys´olosin|x y.

Teorema7.4. Dadosn, m, r ∈ Z,m > 0 entoncesm

≡n ri.M´asa´un,mi+1 ≡n m · ri

Esdecir,quetodon´umeroescongruenteconsuresiduo m ´ odulo n.Deaqu´ısededucequesiexiste r j = 0,entonces

ri = 0 ∀i > j.Oseaquecuandounrestoseacero,apartir deall´ı,todoslosrestospotencialesenadelanteser´ancero. Deigualmanera,apartirdelprimerrestoqueserepita,toda lasecuenciaderesiduospreviossereproduceenigualorden infinitamente.

Conloanterioressuficienteparaentenderelalgoritmo. Ahorabien,¿qu´epretendeShor?,bueno,enprimerlugar,introduceelconceptodelara´ızcuadradanotrivialm´odulo n Esdecir,si x ∈ N,entonces x esunara ´ ızcuadradanotrivial m ´ odulo n si x2 ≡n 1y x ∈ [2, n 2).Paraentenderelporqu´e deesteintervalo,podemoshacerusode7.3delasiguiente forma:

Si x2 ≡n 1,entonces x2 1 ≡n 0,deaqu´ısetieneque

(x + 1)(x 1)= kn yaque n|x2 1.As´ı,por7.1ni (x + 1) ni (x 1) puedenser n 1ni n.Porlotanto,2 ≤ x < n 2. Elalgoritmosuponequeencontrarlara´ızcuadradanotrivialm´odulo n equivaleaencontrarlosn´umerosprimos p, q talesquefactorizan n.Supongamosahoraquelosfactores (n + 1), (n 1) poseenlossiguientesfactores:

P = {pi ∈ N : pi|(x + 1)}

P = {qi ∈ N : qi|(x 1)}

Sededuceque p, q pertenecena P, Q respectivamentey noexistelaposibilidaddeque p, q est´enenelmismofactoryasea (x + 1) o (x 1).Deestaforma, mcd((x + 1), n)= p, mcd((x 1), n)= q.Porlotanto,siencontramos x ycalculandoelm´aximocom´undivisorcomoacabamosdesenalar, habremosencontrado p, q yeln´umeroquedar´ıafactorizado. Perobien,¿c´omoencontrar x?Bueno,paraellorecordamos queintroducimoselteorema7.4.Us´emosloenelsiguiente ejemploparaentenderlo:

Supongamosquequeremosencontrarelorden r m ´ odulo n. Siendo m = 11, n = 7.Buscamosquelafunci´on f (i)= 11 mod(7)seaperi ´ odica

Comoelunovuelveyserepite,searmaunbucleinfinito yhemosencontradoelper´ıodouordendelafunci´on f ,en estecasoes3.Muybien,ahorapodr´ıamospensarencoger unn ´ umeroalazarentre2y n 2,construimoslafunci´ony calculamoselper´ıodoesperandoqueelper´ıodoseaenalg´un momento2talycomolodefineShorparaelc´alculodela ra ´ ızcuadradanotrivialm´odulo nx2 ≡n 1.Paraestecaso,hemosvistoquenuestroper´ıodouordenfue3,porlotantono tuvimossuertedeencontrar2yestecasononosservir´ıaparadescomponerunn´umero.Pero¿qu´epasasibuscamosel per ´ ıodode f (i)= 3imod(7)?

Bueno,replicandoelanteriorejercicionosdar´ıamoscuentaqueelper´ıodoes6yno2;sinembargo,siestoloexpresamoscomo (34)2 ≡7 1claramentehabremosencontradola ra ´ ızbuscadaquees34 yelproblemasereducir´ıaasimplementeencontrar x talesquesuper´ıodoseaunn´umeropar.Por loanterior,Shordefineelsiguienteteorema:

Teorema7.5. Dadounn´umeroaleatoriox ∈ [2, n 2),la probabilidaddequextengaper´ıodoparesmayora 0, 5

Veamosahoras´ı,c´omodescomponer15enfactoresde n ´ umerosprimos.Puestoque n = 15,entoncesporelteorema deShor,escogemosunn´umeroalazar x ∈ (2, 13).Escogemos 4ybuscamoselper´ıodo:

i = 0, 40 ≡1 51.

i = 1, 41 ≡1 54.

i = 2, 42 ≡1 51.

As´ı,lara´ızcuadradanotrivialm´odulo n ser ´ ıa4.Ahora, calculamos mcd((4 + 1), 15) y mcd((4 1), 15),dandocomo resultados5y3respectivamente.

Enestepunto,claramentetodoestealgoritmosepuedehacerenunordenadorcl´asico;sinembargo,cuandoeln´umero esmuygrande,probarcada x alazarentre2y n 2esuna tareatit´anicaymuydif´ıcilderesolverentiempopolinomial, osea,deber´ıatomarcadaelementodelintervalo,calcularsus potencias,verificarsusresiduos,yesosehar´ıaenformaserialparafinalmentecompararlos.Elalgoritmosedisen´opara computarloenunordenadorcu´antico,porqueestosignifica quesiponemosunvalor x quetengaper´ıodoparyotroque seaimpar,entonceselsistemavaacolapsarhaciael x que tengaprobabilidadm´asaltadeserper´ıodopar.Adem´as,esteprocesodetomaruna x,evaluarlaenunacantidadfinitade n ´ umeros,evaluarsuspotenciasyresiduos,serealizamediante latransformadacu´anticadeFourierusandolosprincipiosde superposici´onyparalelismo.Finalmente,encuantoatiempo polinomialserefiere,encomputaci´oncl´asica,solohacerel pasodelatransformadadeFouriertoma n2n pasospara2n datos,mientrasqueencomputaci´oncu´anticatansolotoma n2 pasos.Oseaquepasamosdeuncostoexponencialapolinomial,haciendoqueproblemasqueantessesolucionabanen siglos,enunfuturosepuedanresolverenminutos.

8.Conclusiones.

Elconjuntodeloscuaternioneseselconjuntodelosdenominadoshipercomplejosquerepresentaunespaciovecto-

rialabstractobajolaoperaci´onsumausualdecomplejosy multiplicaci´onescalardefinidasenlaidentidaddescubierta porHamilton.Abstraerelmovimientodevectoresunitarios alrededordeunejeenelespaciotridimensionalnosllev´oa presentarlosespaciospreHilbertianosyposteriormentelos espaciosdeHilbert,queporsuscaracter´ısticasmatem´aticas, sonmuyricossobretodoparatrabajarconvectoresquerepresentanestadosdeunsistemaf´ısico.Encontramosquelas operacionesrealizadassobreunqubitqueeslam´ınimaunidad deinformaci´ondeuncomputadorcu´antico,representatodala l´ogicaquehoypodemosasociarconlal´ogicadelascompuertasdigitalesdelacomputaci´ontradicional.Estasoperaciones asuvezserepresentangr´aficamentemedianteunaesferade radio1cuyovectordedimensi´ondosrotasobreunplanoasoci´andoleacadaposiblepuntodelmismounaprobabilidadde ocurrencia.Finalmente,vimosquerotarestevectortieneaplicacionessignificativasenlacriptograf´ıa,porqueesas´ıcomo sedeterminaelper´ıododelafunci´onolara´ızcuadradano trivialm´odulo n medianteelusodelalgoritmodeShor.

Agradecimientos.

AlprofesorJohnAlexanderArredondo,porladin´amica implementadaenlaclasede ´ algebralinealincentivandolainvestigaci´on.Adem´as,porsudisposici´onysusvaliososcomentariosencadarevisi´onparahacerposibleestapublicaci´on.

Referencias

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Acercadelautor:DanielEstebanGalvisSandovalesestudiantedemaestriaeninteligenciaartificialybigdatadela universidaddeValencia.Legustalamusicaska,blues,reggae.Esunapasionadoporlaprogramaci´on,laschaquetasde cuero,lasteor´ıasdevidaextraterrestre,quiereaprenderatocarelpianoyaprepararcocteles.

SIQUIEROINVERTIR ¿C ´ OMOMEDEBOCUBRIR?: UNA

1.Introducci´on.

Laevoluci´ondelosmercadosfinancieros,generadaentre otrascosasporlaaparici´ondeinstrumentos derivados1,evidenci´olanecesidaddeformalizarlas finanzas empleandoconceptosyteor´ıasmatem´aticasimportantes,comoelc´alculoy laprobabilidad.Dichasinergiatuvodosconsecuenciasdirectas:laprimera,facilit´oencontrarexpresionesquepermitieran valorar dichosinstrumentosy estimar elriesgoquesuponemantenerinversionesenellos;lasegunda,dot´oalasinstitucionesreguladorasdeherramientasparaestablecerm´ınimosdecapital,conelprop´ositodequelasempresasemisorasdedichosinstrumentospudieranresponderanteeventuales p ´ erdidas.

Enesesentido,sehanconstruidomedidasderiesgofinanciero,entrelasquesedestacanel ValorenRiesgo o VaR y el ValorenRiesgoCondicional o CVaR,lascualespermiten cuantificar,estableciendounniveldeconfianzayunhorizontetemporal,laexposici´onalriesgodemercado.Sinembargo, comoencualquierteor´ıaecon´omicayfinanciera,esnecesarioestablecersupuestosquefacilitenrepresentarunsituaci´on realenlenguajematem´atico.Enesesentido,enelpresente art´ıculoseexponenlasmedidasantesmencionadasylascondicionesquesedebencumplirparaquesean coherentes;asimismo,sepresentandosexpresionesan´aliticas,unaparael VaR yotraparael CVaR,quefacilitanaterrizarlosc´alculosa losrendimientosdiariosdelaacci´ondeEcopetrolentreel01 deenerode2018yel18demarzode2022.

2.Riesgo,tiposderiesgoymedidas coherentesderiesgo.

Acontinuaci´onsepresentaunadefinici´onderiesgoylos tiposderiesgoquecomponenelconjuntode riesgosfinancieros,conelfindeintroducirallectorenlosconceptosfundamentales.Asimismo,seexponeformalmenteelconcepto de medidaderiesgo ylosatributosquedebetenerparaser coherente.

*EstudiantedeMatem´aticas,UniversidadSergioArboleda.

1Sonaquellosinstrumentosfinancieroscuyovalordependedeotroactivo quesedenomina subyacente.Algunosejemplosdesubyacentesson:acciones,bonos,commodities,entreotros.

2.1.Riesgoytiposderiesgo.

Elriesgo,seg´unlaRealAcademiaEspanola,sedefinecomola“contingenciaoproximidaddeundano”[RAE19].Por otraparte,en[Kni21]sediferenciaelriesgodelaincertidumbre,debidoaquealriesgoselepuedeasociarunaprobabilidadperoalaincertidumbreno.Conbaseenloanterior,el riesgopuededefinirsecomolaprobabilidaddequeocurraun eventodanino;enel ´ ambitofinanciero,dichodanoseentiende comola p ´ erdida devalordeunactivo2

Enesesentido,en[AB10]seexponequeexistendiferentes fuentesderiesgo,locualsederivadelhechodequediferentes variables,tantointernas(porejemplo:laestrategiadeventas) comoexternas(porejemplo:lainflaci´on),puedenafectarnegativamenteelvalordeunaentidadodeunainversi´on.Dentro delconjuntoderiesgos,existentresquecomponenelriesgo financiero 3:

Riesgodemercado: hacereferenciaalap´erdidadevalordeunactivocomoconsecuenciadelasfluctuaciones quepuedenexperimentarlospreciosdemercado.

Riesgodeliquidez: hacereferenciaalriesgoquesupone realizartransaccionesenunmercadoconliquidezbaja (bajovolumendetransacciones).

Riesgodecr´edito: hacereferenciaalriesgoquesederivadelimpagototaloparcialporpartedeundeudor.

Teniendoencuentaloanterior,elpresenteart´ıculosecentraen medir laexposici´onal riesgodemercado,esdecir,la p ´ erdidam´aximadevalorquepuedeexperimentarunactivoen unhorizontedetiempo,debidoafluctuacionesensusprecios demercado.

2.2.Medidascoherentesderiesgo.

Lossistemasdeadministraci´onderiesgodemercado4,en general,secomponendecuatroetapas:identificaci´on,medici´on,controlymonitoreo.Dichasetapassiguenunproceso

2Algunosejemplosdeactivosson:acciones,bonos,derivados,CDT, cuentasporcobrar,entreotros.

3Paramayordetalleconsultar[AB10].

4Paraelcasocolombiano,consultarelcap´ıtuloXXIdelaCircularExterna 100de1995delaSuperintendenciaFinancieradeColombia.

secuencial,esdecir,nosepuedemediralgoquepreviamente nohasidoidentificado,as´ıcomotampocosepuedecontrolar algoquenohasidomedido,porlocualcadaetapaconstituye unpilarfundamentaldentrodelproceso.

Paracomprenderlaimportanciademediradecuadamenteelriesgo,supongaqueunacompan´ıamidesuexposici´onal riesgodemercadoen$100yqueocurrealgunodelossiguientesescenarios:primero,elriesgosematerializaylacompa˜n´ıa pierde$150;segundo,elriesgosematerializaylacompa˜n´ıa pierde$35.Enelprimerescenariolacompa˜n´ıanocontaba conlosrecursosparaatenderlap´erdida,porlocualafect´o surentabilidadm´asall´adelopronosticadoycomprometi´osu estabilidadfinancieraenelcortoplazo;enelsegundoescenario,lacompan´ıainmoviliz´ounacantidadconsiderablede recursosqueexcedieronlap´erdidareal,locualgener´opara lacompan´ıauncostodeoportunidad,yaquelos$65queinmoviliz´odem´asloshubiesepodidoinvertirparaobteneruna rentabilidadadicional.

Delejemploanteriorseconcluyequelamedici´ondelriesgoquehizolacompan´ıafueerr´onea,yaqueenelprimerescenariolasubestim´oyenelsegundoescenariolasobreestim´o considerablemente.Enesesentido,esimportantemediradecuadamenteelriesgoyparaellosedebenemplearmedidas coherentes deriesgo.

Formalmente,unamedidaderiesgoes elresultadodeun mapeosobreunavariablealeatoriaX,definidasobreunespaciodeprobabilidadfijo (Ω, F , Pθ ),donde θ esunvector depar´ametrosasociadosconladistribuci´ondeX,quetiene comoresultado ρ = A → R,donde A = {X|X : Ω → R} representaelconjuntoderetornosposiblesdeunportafolioo unactivo [Gar15].Noobstante,dichamedidadebecumplir cuatroaxiomasparaser coherente[ADEH99]:

Homogeneidadpositiva: ρ (λ u)= λρ (u)

Esteaxiomagarantizaquesiseincrementaen λ laposici´onenunactivo,entonceselriesgoaumentaproporcionalmenteen λ

Monotonicidad: u ≤ v implica ρ (u) ≤ ρ (v) Esteaxiomagarantizaquesecumplaelprincipio riesgo/rentabilidad,esdecir,unamayorrentabilidadimplicaun mayorriesgo.

Invarianteentraslaci´on: ρ (u + a)= ρ (u)+ a Esteaxiomagarantizaquealadicionaralaposici´onuna cantidadinicialsegura a elriesgosedisminuyeendicho montoadicional.

Subaditividad: ρ (u + v) ≤ ρ (u)+ ρ (v)

Esteaxiomaestablecequeelriesgodelportafolionoaumenteporlacomposici´ondelportafolio.Enotraspalabras,seesperaqueconlainclusi´ondeactivosenel portafolioelrisgodisminuyao,alosumo,permanezca constante.

Graciasaloscuatroaxiomasenunciados,segarantizaquelas medicionesdelriesgoseancoherentes,locualpermitecontrolarlosdeunamaneraadecuadayresponsable.Esimportante

resaltarqueelser coherente noessin´onimode exacta,porlo cual,enlamayor´ıadeloscasos,existir´andesviacionesentre lasp´erdidasquesematerializanylamedidaderiesgoobtenida,esdecir,lamedidaderiesgoesuna estimaci´on,yporlo tanto,elobjetivodequeunamedidaderiesgoseacoherente esaproximardichaestimaci´on,enlamedidadeloposible,a larealidad.Conbaseenloanterior,acontinuaci´onsepresentandosmedidasderiesgodemercado:el ValueatRisk - VaR ,lacuals´oloes coherente bajociertasdistribucionesdeprobabilidad;yel ConditionalValueatRisk - CVaR,lacualse calculaapartirdel VaR yesunamedida coherente deriesgo.

3.Valorenriesgo(VaR).

Elvalorenriesgoo VaR (porlasinicialesdelt´ermino Value atRisk)esunamedidaderiesgoampliamenteutilizadaporlos participantesdelmercadofinanciero,bienseaninversionistas, emisores,entidadesreguladoras,entreotros.Lapopularidad deestamedidasedebeaqueintentaresumirelriesgototal deunactivo,ounacarteradeactivos,enunasolacifra,lo cualresulta ´ utilparalatomadedecisionesyaque,enesencia, dacuentadelap´erdidam´aximaquepodr´ıaexperimentarun activo,ounacarteradeactivos,enunhorizontedetiempoy unniveldeconfianzaestablecidos.

Formalmente, elvalorenriesgodeXalniveldeconfianza 1 qdenotadopor VaRX 1 q,sedefinecomoelpeorvalordel activo(oportafolio),enunper´ıododetiempodado[t,T],para unintervalodeconfianzadel (1 q)100% (ver [Ven06]).Es decir:

Pθ ( VaRX 1 q ≤ X)= 1 q y Pθ (X ≤−VaRX 1 q)= q.

Dadoloanterior,esposibledefinirel VaR medianteel supremo5 oel ´ ınfimo6 delossiguientesconjuntos:

Demaneraequivalente:

Dadoqueelconjuntodereferenciaes R,el ´ ınfimo yel supremo existendebidoaquelosconjuntosen(1)y(2)no sonvac ´ ıosyest´anacotados7

5Lamenordelascotassuperiores.

6Lamayordelascotasinferiores.

7Alrespectoconsultar[Rud76]-axiomadelsupremo.

Amaneraderesumen,laFigura3.1permitevergr´aficamentetantolaexpresi´on(1)comola(2)as´ı:laregi´onno sombreadacorrespondealconjuntodetodoslos x talque laprobabilidaddequelavariablealeatoria X tomeunvalormenoroigualque x,esmenoroigualque q,esdecir, {x ∈ R|Pθ (X ≤ x) ≤ q}.Ahoranotequecualquiervalorala derechadel VaRX 1 q (incluy´endolo),esunacotasuperiorde dichoconjunto,porlocual,altomarlam´aspeque˜nadeellas obtenemoslaexpresi´on(1).

Porotraparte,laregi´onsombreadacorrespondealconjuntodetodoslos x talquelaprobabilidaddequelavariable aleatoria X tomeunvalormayoroigualque x,esmenoro igualque1 q,esdecir, {x ∈ R|Pθ (X > x) ≤ 1 q}.Ahoranotequecualquiervaloralaizquierdadel VaRX 1 q (incluy´endolo),esunacotainferiordedichoconjunto,porlo cual,altomarlam´asgrandedeellasobtenemoslaexpresi´on (2).

Unavezdefinidoel VaR,esimportantetener expresiones quefacilitensuc´alculo.Enesesentido,existentresenfoques paraello:param´etrico,hist´oricoyMonteCarlo.Paraelpresenteart´ıculoseemplear´aunenfoqueparam´etricoysesupondr´aquelosrendimientosfinancierossiguenunadistribuci´onnormaldeprobabilidad.

3.1.M´etodoparam´etricoydistribuci´onNormal.

Comoseinfieredeloexpuestoanteriormente,elvaloren riesgoesaquelvalorquedivideelconjuntoderendimientosdeunactivoendos: {x ∈ R|Pθ (X ≤ x) ≤ q} y {x ∈

R|Pθ (X > x) ≤ 1 q}.Porlotanto,el VaRX 1 q representaun cuantil deladistribuci´onderendimientosfinancieros.Deesta manera,ypartiendodelafunci´ondedistribuci´onacumulada (cdf) deunadistribuci´onnormaldeprobabilidad,seobtiene lasiguienteexpresi´onparael VaR normal:

Enefecto,sitomamosla cdf deunadistribuci´onnormal: FX (x)=

Si FX (xq)= q,entonces:

donde Φ( ) esla cdf deunadistribuci´onnormalest´andar. Despejando xq,sellegaa:

Laexpresi´on(5)correspondeal VaRq(X).Amaneradeejemplo,secalcular´ael VaR paralosrendimientosdiarios (rt ) de laacci´ondeEcopetrolentreel1deenerode2018yel18 demarzode2022.Paraelc´alculodedichosrendimientosse emple´olasiguienteexpresi´on: rt = pt pt 1 pt 1 . (6)

Donde pt correspondealpreciodecierredeunactivo financieroenelmomento t y pt 1 alpreciodecierreen elmomentoinmediatamenteanterior t 1.Parafacilitarla obtenci´onyeltratamientodelosdatos,seemplearonRy Python,siguiendolossiguientespasos:

Paso1a:importaci´ondelospaquetesen R. install.packages(‘‘quantmod’’) library(‘‘quantmod’’)

Paso1b:importaci´ondelospaquetesen Python. importnumpyasnp importpandasaspd importpandas datareader frompandas datareaderimportdataaswb frompylabimport * importscipy.statsasst

Paso2a:obtenci´ondelosdatosde Yahoofinance con R getSymbols(‘‘EC’’,from=‘‘2018−01−1’’)

Paso2b:obtenci´ondelosdatosde Yahoofinance con Python

precio Ecopetrol= wb.DataReader(’EC’, data source=’yahoo’, start=’01−01−2018’, end=’18−03−2022’)

Figura1: VaR al (1 q) %deconfianza.

Paso3:seasignanlosdatosalobjeto Ecopetrol yseeliminandatosfaltantesen R.

Ecopetrol=Ad(EC)

Ecopetrol=na.omit(Ecopetrol)

Paso4:secreaunafunci´onquecalculalosretornosdiarios en R.

retornos aritmeticos=function(datos) \{ return(datos/lag(datos,k=1)−1) }

Paso5a:secalculanlosretornosdiariosen R.

Rendimientos=na.omit(retornos aritmeti cos(Ecopetrol))

Paso5b:secalculanlosretornosdiariosen Python

retorno Ecopetrol=((precio Ecopetrol[’Adj Close’]/precio Ecopetrol[’Adj Close’].shift(1))−1).dropna()

Paso6a:segraficanlosrendimientosfinancierosdeEcopetrolen R.

plot(Rendimientos,main=”Rendimientos Ecopetrol”,col=’blue’)

Paso6b:segraficanlosrendimientosfinancierosdeEcopetrolen Python.

precio Ecopetrol[’retorno Ecopetrol’].plot (figsize=(9,6.5),color=”deepskyblue” ,label=’Retornodiario’)

plt.legend(loc=’lowerright’)

plt.grid(color=’grey’, linestyle=’dotted’, linewidth=0.6)

plt.title(’RetornosdiariosEcopetrol’)

Enestepasoesimportantenotarquelosrendimientosfinancierospresentanexcesodecurtosis(colaspesadas).Al compararladistribuci´onemp´ıricaconladistribuci´onnormal, seevidenciaquelagr´aficaverdenoseajustaalagr´aficaazul, locualpermiteinferirquelosrendimientosfinancierosnosiguenunadistribuci´onnormaldeprobabilidad.Porotraparte, esimportantenotarquelospuntosdecolormoradoenlaFigura3reflejanlaconcentraci´ondelosdatos(rendimientos), enesesentido,lospuntosaisladosrepresentanrendimientos extremos(gananciasop´erdidas)quepordefinici´on,el VaR notieneencuentaensutotalidad.

Paso7:secreaunafunci´onquegr´aficaelhistogramade losretornos,lafunci´ondedensidademp´ırica(naturaldelos datos)ylafunci´ondedensidadnormalen R

Figura2: RendimientosFinancierosdeEcopetrol.

Figura3: DensidadEmp´ıricayNormaldelosRendimientos FinancierosdeEcopetrol.

Figura4: PruebadeNormalidaddelosRendimientosFinancieros.

Paso8:serealizalagr´aficaQ-Qploten R.

qqnorm(Rendimientos)

qqline(Rendimientos,col=”red”)

ApartirdelaFigura4,sedemuestrandoshechosimportantes:quelosrendimientosfinancierosnosiguenunadistribuci´onnormaldeprobabilidadyquedichosdatostienencolas pesadas.Caberesaltarqueexistendatosquenoest´ansobrela l´ınearoja,locualindicaquesondatosextremosquenosiguen unadistribuci´onnormal.

Caberesaltarqueunadelascaracter´ısticasdeladistribuci´onnormalesqueessim´etrica,locualimplicaque lafrecuenciadeloseventoscentralesesmayoraladelos eventosextremos.Alrespecto,sehademostradoqueel comportamientodelosrendimientosdeactivosenmercados financierosnoesnormal,evidenciandolaexistenciadecolas pesadasyasimetr´ıasnegativas[CB12].Laexistenciadeasimetr´ıasnegativasimplicalaexistenciadealtasprobabilidades dequeocurran p ´ erdidasexcesivasoextremas [Her13].Porlo tanto,sedebenempleardistribucionesdecolaspesadas,con elfindeconformarportafolios ´ optimosquetenganencuenta losposibleseventosextremos[HdV07].

Paso9a:c ´ alculodel VaR paraEcopetrolen R.

VaR Ecopetrol=mean(Rendimientos)+ sd(Rendimientos) * qnorm(0.95)

VaR Ecopetrol *100

Paso9b:c ´ alculodel VaR paraEcopetrolen Python

VaR normal=(retorno Ecopetrol.mean +retorno Ecopetrol.std() * st.norm.ppf(0.95))

VaR normal *100

Estec´alculopermiteconcluirqueel VaR paraEcopetroles de4 82%,esdecir,conel95%deconfianzaseconcluyeque lam´aximap´erdidaquepodr´ıaexperimentarlaacci´ondeEcopetrolesde4 82%.Sinembargo,conel5%designificancia seconcluyequelam´ınimap´erdidaquepodr´ıaexperimentar dichaacci´onser´ıade4.82%.Enestepasoesnaturalqueel lectorsepregunte:¿qu´esucedeconlosvaloresquepuedetomarlavariablealeatoria(rendimientos)queexcedenel VaR?.

Larespuestaalapreguntaplanteadaesqueel VaR noda cuentadelriesgoqueloexcede,esdecir,noledaimportancia alcomportamientodelavariablealeatoriaenlascolasdela distribuci´on.Asimismo,caberesaltarqueel VaR escoherente enelcasoenquelosrendimientosfinancierossiguenunadistribuci´onel´ıpticadeprobabilidad(porejemplo:lanormalola t-Student),enotrocasoel VaR noessubaditivoyporlotanto dejadesercoherente(ver[ADEH99]).

Debidoaestasdebilidadesquepresentael VaR,en[AT02] seproponeunamedidaderiesgoquelassuperay,porlotanto,escoherente,lacualdenominanExpectedShortfall(ES)o ValorenRiesgoCondicional(CVaR).

4.Valorenriesgocondicional(CVaR).

El ES,tambi´enconocidocomo“ValorenRiesgoCondicional”(CVaR),“P´erdidaEsperadaenlaCola”(ETL,porsus siglaseningl´es“ExpectedTailLoss”)o“ValorMedioen Riesgo”(AVaR,porsussiglaseningl´es“AverageValueat Risk”)[Jim14].Sonmedidasquebuscantenerencuentalas p ´ erdidasqueest´anm´asall´adel VaR.Formalmente,en[Jim14] sedefineel ES como:

Esdecir,el CVaR secalculacomoelvaloresperadodelosrendimientosquesonmayoresqueel VaRX 1 q o,demaneraequivalente,menoresqueel VaRX 1 q.Parahallarunaexpresi´on param ´ etricadel CVaR,sesigueelsiguienteprocedimiento.

Empleandoladefinici´onde CVaR,laexpresi´on(5)yla funci´ondedensidaddeprobabilidad(pdf )deunadistribuci´on normal,seobtiene:

donde ϕ(·) denotala pdf deunanormalest´andar8.Continuandoconelejemplodelaacci´ondeEcopetrol,el CVaR al95%deconfianzasecalculaapartirdelaexpresi´on(9),as´ı:

Paso10a:c ´ alculodel CVaR paraEcopetrolen R.

distribuci´onnormalest´andar.

CVaR Ecopetrol=mean(Rendimientos)+ sd(Rendimientos)

*pnorm(0.95) * (1/(1−0.95))CVaR Ecopetrol *100

Paso10b:c ´ alculodel CVaR paraEcopetrolen Python.

CVaR normal=(retorno Ecopetrol.mean()+ ((retorno Ecopetrol.std())/(1−0.95)) * st.norm.pdf(st.norm.ppf(0.95)))

CVaR normal

Unavezcomputadoel CVaR seconcluyeque,con95% deconfianza,lap´erdidaesperadaquepodr´ıaexperimentarla acci´ondeEcopetrolesde6 04%.Esimportantenotarqueel

CVaR ≥ VaR,debidoaqueel CVaR tieneencuentap´erdidas queexcedenal VaR,porlocualesdeesperarsequeel promedio aumente.Loanteriortieneimplicacionesimportantes, tantoparalosinversionistascomoparalosreguladores,debidoaquepermiteestablecercoberturasalriesgodemercado adecuadasquegenerenconfianzaenlasociedad;establecer coberturasbasadasenestimacionesincorrectasponeenriesgoalasorganizacionesquelasemplean,yaquepuedenestablecercoberturasqueseaninsuficientesalahoradeatender unap ´ erdidaexcesiva.

5.VaRvs.CVaR:¿cu´alesmejor?

Tantoel VaR comoel CVaR representanmedidasderiesgo,aunquelaprimera,comoseindic´oanteriormente,noes coherenteylasegundas´ı.Elefectodelacoherenciadelas medidasderiesgo,ajuiciodelautor,seevidenciaenelnivelde ajuste quetienelainformaci´onhist´oricaconbaseenla cualsecalcularon.Enotraspalabras,qu´etantainformaci´on est´ateniendoencuentalamedidade VaR o CVaR deltotalde rendimientosfinancieroshist´oricos.

Paraestimardicho ajuste seproponeunametodolog´ıa gr ´ afca yotra cuantitativa,lascualessepresentanacontinuaci´on:

5.1.M´etodogr´afico.

Unavezrealizadoelc´alculodel VaR yel CVaR parala acci´ondeEcopetrolseprocedeagraficarlos,juntoconlos rendimientosfinancierosdelaacci´on,talcomoseevidencia enlaFigura5:

El VaR (colorrojo)yel CVaR (colorverde)segraficancomol´ıneasrectas,conelfindeobservarsilosrendimientos financierosdiarios(colorazul)losexceden.Enesesentido, cadad´ıaenquelarectarojaesintersecadaporlagr´aficaazul seprodujounap´erdidaqueexcedi´oofueigualal VaR.Del mismomodo,cadad´ıaenquelarectapunteadaverdeesintersecadaporlagr´aficaazulseprodujounap´erdidaqueexcedi´o ofueigualal CVaR

Porlotanto,gr´aficamenteseapreciaquelamedida CVaR presentamejorajustequeel VaR debidoaquelagr´aficaazul intersecam´asalagr´aficarojaquealapunteadaverde,esdecir,hubomenosp´erdidasqueexcedieronel CVaR encomparaci´onconel VaR,debidoaqueel CVaR capturaensuc´alculo elpromediodelosdatosqueexcedenal VaR.

Deloanteriorsedesprendeinmediatamentequeel CVaR permiterealizarunacoberturaadecuadadelriesgodemercado.

5.2.M´etodocuantitativoodelporcentajede ajuste.

Estem´etodo9 intuitivobuscaestablecerunporcentajede ajuste delasiguientemanera:

%ajuste = 1

Excepciones

Totalobservaciones ∗ 100%

Enesesentido,sebuscaqueelporcentajedeefectividadsea mayoroiguala95%,yaqueestefueelniveldeconfianza queseestableci´o.Pararealizardichoc´alculo,seproponendos algoritmosenPython,unoparael VaR yotroparael CVaR, respectivamente,loscualessepresentanacontinuaci´on:

Paso11:c ´ alculodelporcentajedeajuste VaR paraEcopetrolen Python

9Caberesaltarqueelm´etodoqueaqu´ısepresentanoconstituyeunametodolog´ıade backtesting

Figura5: RendimientosFinancierosdeEcopetrol.

excepciones VaR=0 foriinprecio

Ecopetrol[’retorno Ecopetrol’]:

ifi < VaR normal: excepciones VaR+=1

ajuste VaR=(1−(excepciones VaR/ len(precio Ecopetrol[’retorno Ecopetrol’]))) * 100

ajuste VaR

Paso12:c ´ alculodelporcentajedeajuste CVaR paraEcopetrolen Python

excepciones CVaR=0 foriinprecio

Ecopetrol[’retorno Ecopetrol’]:

ifi < CVaR normal: excepciones CVaR+=1

ajuste CVaR=(1−(excepciones CVaR/ len(precio Ecopetrol[’retorno Ecopetrol’]))) * 100

ajuste CVaR

Unavezejecutadoslosalgoritmosdelospasos11y12se llegaqueelajustedel VaR y CVaR esde96 5%y98 4%,respectivamente.Locualindicaqueel CVaR seajustamejorala informaci´onhist´oricafacilitandorealizarunagesti´onadecuadadelriesgo.

6.Conclusiones.

Deldesarrolloanteriorsedestacancuatroconclusiones:

1. Lasseriesfinancieras,comoladelosrendimientosdiariosdeEcopetrol,presentanexcesodecurtosis,porlo cualsuponerquesedistribuyennormalmenteconstituye unerrorqueconllevaalasubestimaci´ondelriesgode mercado.

2. El VaR,comomedidaderiesgonocoherente,subestima laexposici´onalriesgodemercadopordosrazones:en primerlugarnotieneencuentalasp´erdidasqueloexceden,esdecir,noledaimportanciaalosdatosquese ubicanenlacoladeladistribuci´on;ensegundolugar,el VaR est´aconstruidoparafuncionaradecuadamentebajo distribucionesel´ıpticas(entreellaslanormal),sinembargo,lasseriesfinancieras,engeneral,nosiguendicha distribuci´on.

3. El CVaR,comomedidacoherentederiesgo,permite cuantificardemaneraadecuadalaexposici´onalriesgode mercadoalpromediarlasp´erdidasqueexcedenel VaR. Enestesentido,logracapturarlosdatosquesealojanen lacoladeladistribuci´on,loscualesrepresentanp´erdidas extremasquepodr´ıasufrirelactivoencuesti´on.

4. Elc´alculoylaprobabilidadcobranespecialimportancia enelmundofinanciero,yaquepermitendotarlodecierto gradodeformalidadlocualgeneramayorconfianzaen

losinversionistas,reguladoresydem´asparticipantesde losmercados.

Agradecimientos.

AlosprofesoresOscarMart´ınezySergioCarrillo,quienes meense ˜ naronlapotenciadelaintegraci´on.AlprofesorJohn Arredondoporsudisposici´onydireccionamiento.AMafe, porsermimotivaci´on.

Referencias.

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Acercadelautor:MarcoesunestudiantedesextosemestredeMatem´aticasdelaUniversidadSergioArboleda.Entre loscamposdelamatem´atica,encuentraespecialinter´esenla teor´ıadelamedida,laprobabilidad,elc´alculoysurelaci´on conelmundofinanciero.Practicaciclomontanismoconregularidadyesperaalg´und´ıaensenarmatem´aticasyfinanzas cuantitativasaniveluniversitario.

Teor´ıa de cat ´ astrofes y sistemas pol´ıticos Las singularidades en la guerra y el amor

Su mirada, como las estepas de nuestra patria, en las que de nina yo jugaba justo antes del inicio del otono: reverdecida, profunda, y serena, me tom ´ o por sorpresa; m ´ as que el tibio clima de la ciudad a mitad del verano de 1967, la impresionante arquitectura medieval, la fastuosidad del complejo que ser ´ ıa mi hogar por los pr ´ oximos anos, o la estricta pesquisa que nos practicaban a quienes all´ ı entr ´ abamos, cada vez que lo hac´ıamos; fue su penetrante mirada lo que m ´ as desconcierto me produjo en mi primer d´ıa en Praga. Son hombres como Vuk Baranov los que, sin propon ´ erselo, causan una intensa impresi ´ on en quienes con ´ el se cruzan; no fue su garbo de diplom ´ atico, sus facciones escrupulosamente definidas, su lenguaje corporal masculino ni su estilo sutil y distante, no, no era eso, es que era en cada aspecto, en cada gesto, hasta en el m ´ as balad´ı: enteramente ´ el, enteramente Vuk Baranov

Ten´ıa muchas expectativas por mi nombramiento como cript ´ ologa adscrita al Ministerio de Relaciones Exteriores de la URSS, y asignada al Departamento de Comunicaciones de la Embajada Sovi ´ etica en Checoslovaquia Mi deber era garantizar una parte de la seguridad en la transmisi ´ on de los mensajes entre el Kremlin y el destacamento consular al que ahora pertenec´ıa, el alcance espec ´ ıfico de mi servicio: hacer in ´ util -mediante cifrado algor´ıtmico- cualquier mensaje que cayera en poder de un tercero distinto al destinatario previsto, sobre todo al haber sido entrenada en la Uni ´ on Sovi ´ etica, antes del inicio de mi viaje, para repeler el programa anglosaj ´ on de descifrado Venona.

Siempre quise sumar al prop ´ osito de alcanzar las formas de organizaci ´ on m ´ as avanzadas para la humanidad, como matem ´ atica pens ´ e que entender la progresi ´ on de la sociedad a trav ´ es de una ciencia objetiva ser ´ ıa un aporte valioso, por esto, el estudio de los Sistemas Din ´ amicos -y su eventual aplicaci ´ on a los Sistemas Sociales- capt ´ o mi atenci ´ on durante buena parte de mi vida acad ´ emica.

Un sistema din ´ amico con determinada estabilidad estructural es propenso a contener regiones inestables que provocan cambios sustanciales, cualitativos: singularidades. En la teor´ıa de cat ´ astrofes las singularidades poseen propiedades como la discontinuidad, la divergencia y la no reversibilidad, es decir que, aunque las transformaciones en el estado del sistema obedezcan ´ unicamente a determinadas variaciones, al invertirse ´ estas, no necesariamente retorna el sistema a su estado inicial Las cat ´ astrofes en la teor´ıa son eventos en los que se da un cambio disruptivo que generalmente no se deshace de ma-

nera trivial, su estudio involucra los conceptos de estabilidad y bifurcaciones, y es ´ util -entre otras cosas- para identificar las condiciones en las que el sistema presenta diferentes estados, a ´ un sin que las ecuaciones se encuentren completamente resueltas

Me dediqu ´ e al estudio de la Teor´ıa de Cat ´ astrofes al terminar la carrera en ciencias fisicomatem ´ aticas en la Universidad Estatal Lom ´ onosov de Mosc ´ u, tema que, luego de concluir la C ´ atedra de Investigaci ´ on en Sistemas Din ´ amicos, ser ´ ıa medular en mi Candidatura en Ciencias.

Replante ´ e la materia de mi Candidatura al recibir el consejo de uno de mis profesores, quien not ´ o en m ´ ı habilidades sobresalientes para la criptolog´ıa, esto por mi destacada participaci ´ on en un concurso que, realmente, era una prueba de aptitud que por encargo del Politbur ´ o, la Academia de Ciencias realiz ´ o para identificar funcionarios capaces para el servicio al pueblo socialista; la criptolog´ıa era una materia ´ util en las condiciones pol´ıticas del momento y que me permitir´ıa el honor de servir con eficiencia al socialismo, la instancia m ´ as evolucionada de la sociedad.

En mi primer desayuno en el restaurante de la embajada, el d´ıa siguiente a mi arribo, Vuk Baranov se dirigi ´ o a mi mesa, saludando a quienes nos encontr ´ abamos en medio de una conversaci ´ on marcada por los rituales propios de una bienvenida entre compatriotas, incursion ´ o sutilmente en la pl ´ atica, en el tercer comentario ya puso el ritmo de la conversaci ´ on, capt ´ o la atenci ´ on de los m ´ as activos part´ıcipes de la charla, les devolvi ´ o a ellos el protagonismo en el discurso y, antes de darme cuenta, ya hab´ıa dos conversaciones distintas, una en la que participaban los dem ´ as comensales, y otra en la que apenas est ´ abamos ´ el y yo; como una fiera en cacer ´ ıa pero con la elegancia propia de la esgrima, me apart ´ o de la manada Supo de m ´ ı y supe de ´ el, de su cargo como Agregado Cultural, su marcado sentido de compromiso pol´ıtico por el que se negaba a aprender un idioma distinto a los oficiales en los pa ´ ıses del Pacto de Varsovia (a parte de su ruso natal), su mala condici ´ on f´ısica por sus problemas respiratorios cong ´ enitos, su incapacidad con los n ´ umeros, pero sobre todo pude notar su aguda sensibilidad art´ıstica, manifiesta en la forma en que cualquier comentario -por superficial que fuera- le serv ´ ıa para citar referencias en la literatura, la arquitectura, la pintura, la m ´ usica y el cine sovi ´ eticos, a trav ´ es de sus labios tuve una perspectiva m ´ as profunda de Dostoyevski, Tr´ıfonov, Rudnev, Vladimirski, Musorgsky y Eisenstein, entre muchos otros; lo

que fue una constante: conversar con ´ el acerca de cualquier cosa, por banal que fuera, era un paseo por la arquitectura bizantina, el modernismo, el realismo socialista, el constructivismo y en general, por la cultura del y para el nuevo hombre

Inevitablemente, antes de que finalizara el ano 1967, ya estaba profundamente enamorada de Vuk, pasaba m ´ as tiempo en los aposentos que se le hab´ıan asignado a ´ el al interior de la Embajada que en los que a m ´ ı me correspond´ıan; el limitado alcance de las competencias de Vuk lo hac´ıan un candidato poco interesante para las misiones en otros pa ´ ıses diferentes a Checoslovaquia, por lo que pasamos ese primer semestre mucho tiempo juntos.

Modelar matem ´ aticamente eventos sociales no es una tarea sencilla (y si se es riguroso, puede ser imposible), pero se puede partir de axiomas elementales y de f ´ acil aceptaci ´ on de la sociolog´ıa y de la psicolog´ıa de masas, as ´ ı como de simplificaciones y generalizaciones que no eviten la caracterizaci ´ on de los matices relevantes del sistema

A pesar de que Anton´ın Novotn ´ y como Primer Secretario del Partido Comunista de Checoslovaquia (en la pr ´ actica, su Presidente), inici ´ o el proceso de desestalinizaci ´ on encabezado por el Secretario General del Partido Comunista de la Uni ´ on Sovi ´ etica: Nikita Jruschov desde 1956, hab´ıa desde que llegu ´ e a Praga -en 1967- una fuerte oposici ´ on a tales reformas, principalmente por la lentitud de las mismas y por el impacto econ ´ omico que hab´ıan generado; en los informes de inteligencia, la KGB afirmaba que tales efectos hab´ıan sido magnificados por elementos instigadores al interior de la sociedad Checoslovaca, y con mayor ah´ınco, en los colectivos de los estudiantes El Secretario General del Partido Comunista de la Uni ´ on Sovi ´ etica de la ´ epoca, Leonid Br ´ ezhnev hab´ıa sido informado de tal situaci ´ on y promovi ´ o un cambio en el liderazgo del pa ´ ıs y el desarrollo de reformas para que fueran m ´ as agudas y aceleradas

Alexander Dub ˇ cek fue nombrado el nuevo Secretario General del Partido Comunista de Checoslovaquia en enero de 1968 y desarroll ´ o los principios de una apertura que podr´ıan darle m ´ as estabilidad al sistema comunista, de alguna manera un modelo que formul ´ e para el sistema socialista parec ´ ıa llegar a esa conclusi ´ on al ubicar el estado actual del sistema m ´ as lejos del vecindario de la singularidad (la cat ´ astrofe) que bajo el mando de Novotn ´ y, seguramente empleando razonamientos muy distintos, Br ´ ezhnev llegaba a las mismas conclusiones y apoyaba los cambios

El modelo que formul ´ e mostraba una alta inestabilidad del sistema en general, de todo el bloque oriental en el caso en que se dieran dos eventos: que los movimientos por los derechos civiles en occidente perdieran fuerza de contrapeso en sus sistemas de gobierno capitalista, y a la vez, se desataran represiones violentas masivas en los pa ´ ıses del Pacto de Varsovia, sobre todo en la periferia, como el caso de Checoslovaquia; estas conclusiones las guard ´ e en mi habitaci ´ on y con justificada paranoia, las encript ´ e empleando elementos matem ´ aticos y gramaticales anglo germ ´ anicos, hasta que d´ıas despu ´ es sorprend´ ı a Vuk hurgando en mi archivo, cuando le encontr ´ e le mir ´ e de forma at ´ onita, me mostr ´ o de inmediato que intentaba,

de manera inocente, esconder entre mis papeles de consulta cotidiana (en los que me ve ´ ıa invertir horas casi a diario), un extrano cristal de centro oscuro, era una hermosa piedra que hab´ıa conseguido Vuk y que me entregaba para mostrarme sus nuevos intereses; desconoc´ıa su afici ´ on por la mineralog´ıa y su habilidad para ingresar ese elemento extrano a la Embajada (¿c ´ omo lo hizo?), aunque nada era sorprendente en el genio de Vuk

La total ignorancia de Vuk de las m ´ as elementales matem ´ aticas, as ´ ı como de las lenguas anglosajonas, me tranquilizaron con respecto a que hubiera visto algunos de los muy agudos resultados de mi modelizaci ´ on, de la propensi ´ on a singularidades del sistema socialista, sin embargo, evit ´ e volver a hacer registro de mis investigaciones y realic ´ e un esfuerzo por guardar en mi memoria los nuevos resultados, al menos hasta que pudiera mostrar una teor´ıa s ´ olida a mis superiores

El Primer Alto Directorio de la KGB (encargado de las operaciones en el extranjero y del contraespionaje) nos sorprendi ´ o al otro d´ıa, fuimos interrogados por aparte a causa del ingreso del extrano mineral a la Embajada por parte de Vuk, nuestras versiones fueron registradas, comparadas, el cristal fue analizado, se concluy ´ o que hab´ıa sido un obsequio sin trascendencia para la seguridad de la Embajada, y todo no pas ´ o de ser un evento si se quiere, anecd ´ otico, del que preferimos no hablar de nuevo; Vuk se ofreci ´ o para deshacerse de la roca y as ´ ı olvidarnos eventualmente del tema.

En mis investigaciones ampli ´ e el alcance del sistema din ´ amico analizado en un segundo sistema: el comunista –capitalista, llegu ´ e a la conclusi ´ on de que la desestabilizaci ´ on de uno de los dos reg ´ ımenes en el estado actual de las cosas, conllevar´ıa a una singularidad, la cat ´ astrofe se dar´ıa por el uso desmedido de las fuerzas de una de las partes; una interpretaci ´ on del modelo podr´ıa ser que la discontinuidad del sistema, la variaci ´ on divergente del estado del mismo y la no reversibilidad podr´ıa darse por el uso del arsenal nuclear por la parte que se viera gravemente desestabilizada, y la respuesta de la otra parte.

Para mi terror, empez ´ o a darse antes de terminado el primer semestre de 1968, una de las dos condiciones que, en el primer modelo, causar ´ ıan la singularidad en el sistema comunista: la p ´ erdida del contrapeso que al sistema capitalista daba el movimiento por los derechos civiles: los asesinatos de Martin Luther King Jr y de Robert Kennedy en Estados Unidos, y los preparativos para las represiones de los movimientos del 68 en Estados Unidos, Francia y Espana

La segunda condici ´ on estaba a punto de darse, y seg ´ un el modelo, con ella la desestabilizaci ´ on del sistema comunista, lo que, en ese momento de la historia, podr´ıa causar el uso de fuerzas incontenibles en busca de mantener el estatus quo. Br ´ ezhnev y Dub ˇ cek hab´ıan sido desinformados y se agudizaban las tensiones entre ellos, se hab´ıa notificado a la Embajada de forma secreta que entre el 20 al 21 de agosto arribar´ıa a Praga una enorme cantidad de fuerza militar del Pacto de Varsovia, para contener el descontento popular, ¿ocurrir´ıa una masacre de la poblaci ´ on civil, provocada por fuerzas oscuras? ¿era acertado el modelo al advertir que esto causar ´ ıa la deses-

tabilizaci ´ on del modelo comunista? ¿era acertado el segundo modelo al predecir que la desestabilizaci ´ on ser ´ ıa general y que ocurrir´ıa la cat ´ astrofe del uso de las fuerzas a disposici ´ on de las dos superpotencias?

Jam ´ as hab´ıa visto a Vuk respirar con dificultad como esa manana del s ´ abado 17 de agosto, a pesar de sus antecedentes de asma, estos no le imped´ıan un desempeno vigoroso en las actividades f´ısicas, pero esa manana se desmay ´ o justo al abrirme la puerta de su habitaci ´ on, de inmediato ped´ ı auxilio y le pusimos en manos de un m ´ edico de la Embajada, que en principio encontr ´ o sus v ´ ıas respiratorias inflamadas, ¿algo le habr´ıa causado alergia?, no sab´ıa qu ´ e, pero antes de devolverle a su habitaci ´ on decid´ ı abrir las ventanas y cortinas para que se ventilara.

Al hacerlo toqu ´ e sin querer su escritorio y un sistema mec ´ anico cambi ´ o la disposici ´ on de las gavetas, cerrando violentamente una de ellas en el proceso, la cual conten´ıa un dispositivo que pude ver unos segundos antes de que se retrajera al interior del mueble, mir ´ e hacia el piso por un momento, luego me recompuse y en ese instante lleg ´ o Vuk, esforz ´ andose por respirar con tranquilidad, pero con la mitad de la camisa a ´ un por fuera del pantal ´ on, le pregunt ´ e como segu ´ ıa y le ayud ´ e a recostarse, le coment ´ e que hab´ıa escuchado a un mueble estremecerse y me explic ´ o que era un dispositivo normal en los escritorios de funcionarios de su rango, para el resguardo de documentos clave, le not ´ e verme a los ojos m ´ as que de costumbre, me tom ´ o las munecas para recostarse, buscaba tal vez una dilataci ´ on de mis pupilas o un incremento de mi ritmo cardiaco que revelara un comportamiento anormal de mi parte, jam ´ as sabr ´ e si lo encontr ´ o

Casi no quisiera haberlo visto, casi que quisiera haber perdido la capacidad de asociaci ´ on de conceptos, pero un vistazo de apenas segundos bast ´ o para formular una hip ´ otesis terriblemente coherente con los hechos

Por mi formaci ´ on en el Ministerio de Comunicaciones pude reconocer un muy compacto transmisor de onda corta, fabricado artesanalmente, seguramente aqu ´ ı mismo, para burlar los controles de acceso a la Embajada, empleaba casi en su totalidad materiales de uso cotidiano con excepci ´ on de una extrana piedra, del mismo tipo que el cristal oscuro que me obsequi ´ o, que estaba puesta en un tubo adyacente al comunicador, lo que deber´ıa ser el filtro de gu ´ ıa de onda, y el mineral: octaedrita, un tipo de ´ oxido de titanio que, calibrado con total precisi ´ on, causa la resonancia de las ondas de inter ´ es y difracci ´ on de las que no lo son, el posicionamiento requiere de conocimientos muy s ´ olidos de ingenier´ıa y matem ´ aticas y su inhalaci ´ on puede causar la inflamaci ´ on de las v ´ ıas respiratorias. La octaedrita en forma de cristales obscuros y grandes corresponde a vetas muy espec ´ ıficas de Noruega, un pa ´ ıs que no pertenece al Pacto de Varsovia, las marcas de posicionamiento se encontraban dispuestas en fracciones, no en d ´ ecimas (como en el sistema internacional), era un aparato de comunicaciones construido con t ´ ecnicas estadounidenses y un material clave de occidente, era un artefacto de contraespionaje

Vuk claramente sab´ıa m ´ as de lo que dec´ıa conocer, ¿qu ´ e

tanto conoc ´ ıa de mi hip ´ otesis de la desestabilizaci ´ on del bloque oriental?, ¿particip ´ o en el desarrollo de los hechos motiv ´ andolos o informado al enemigo para que lo hiciera?, ¿faltaba el paso final de la masacre a la poblaci ´ on civil en Praga?, ¿colaboraba con las facciones radicales que podr´ıan motivar una confrontaci ´ on?

Una cat ´ astrofe u otra, denunciar a Vuk Baranov, el traidor al que amaba, el desertor quien, sin duda alguna, tambi ´ en me hab´ıa entregado su coraz ´ on; o arriesgar la ocurrencia -si los modelos eran acertados- de la singularidad en el estable sistema comunismo - capitalismo, pasando por la masacre en Praga que marcar ´ ıa ese punto discontinuo, divergente e irreversible, que abrir´ıa la puerta a las dos superpotencias para que pudieran actuar sin autocensura, usando todas sus capacidades de ataque.

S ´ e que Vuk me am ´ o tan intensamente como yo a ´ el, pero en el estable sistema de nuestras vidas juntos, la cat ´ astrofe: discontinua, divergente e irreversible, se daba por estar en este momento hist ´ orico, por nuestras convicciones contrarias, por pertenecer a bandos distintos, esa ser ´ ıa la devastadora singularidad que marcar ´ ıa nuestras vidas

Sal´ ı de la habitaci ´ on de Vuk y al terminar el pasillo y girar, de inmediato ingres ´ e a un apartamiento distinto al m ´ ıo y frente a la mirada sorprendida del camarada responsable de las traducciones oficiales -quien era el ocupante de la habitaci ´ onllam ´ e a la operadora de la Embajada, notifiqu ´ e mi hallazgo y en segundos un grupo de 10 oficiales del KGB ingres ´ o a la habitaci ´ on de Vuk derribando la puerta; lo encontramos sentado en su escritorio, a sus pies el dispositivo de comunicaciones hecho pedazos, en sus manos una copa de brandi y en sus labios un puro; el comandante del grupo le pidi ´ o a Vuk que se abstuviera de usar el diente, y que podr´ıan conversar en favor de la patria ¿Ten´ıa Vuk una capsula de cianuro en su diente?, ¿era entonces un esp ´ ıa sovi ´ etico?, ¿transmit´ıa mensajes tambi ´ en a occidente y era entonces un agente doble?

Luego de mirarme a los ojos, nuevamente, de la misma forma que ese primer d´ıa, escuchamos un sutil sonido de algo quebr ´ andose; los oficiales se abalanzaron hacia ´ el y lo sacaron de la habitaci ´ on intentando hacerle escupir; fui interrogada por varios d´ıas y luego de contar todo lo que sab´ıa y todo acerca de mi modelo, la ocupaci ´ on de la ciudad se realiz ´ o por parte de las fuerzas del Pacto de Varsovia, con un balance que, aunque tr ´ agico, no alcanz ´ o a ser ni siquiera una fracci ´ on de lo que pudo haber sido, ni de lo que fueron las represiones que en ese mismo ano se dieron en occidente, sobre todo la ocurrida m ´ as tarde en Tlatelolco, en las vecindades y bajo la influencia de la contraparte. Fui reasignada a Mosc ´ u y se me prohibi ´ o hablar del tema.

En 1975 encontr ´ e un obituario en el diario Pravda con la fotograf´ıa de Vuk Baranov en el que se anunciaba la muerte por causas naturales de un tal Vlad´ımir Aleks ´ androvich Pozner, en Mosc ´ u, ¿habr´ıa sobrevivido Vuk? ¿realmente era Vuk Baranov?, ¿el obituario buscaba legalizar las acciones de inteligencia de la KGB de hac´ıa siete anos? Como iba yo a saberlo, si durante mi tiempo de servicio me present ´ e como Brana Sokolova, el que tampoco era mi nombre

Dayron Fabi ´ an Achury-Calder ´ on dayronf.achuryc@konradlorenz.edu.co

Acerca del autor: Fabi ´ an Achury-Calder ´ on es ingeniero de la Universidad Distrital Francisco Jos ´ e de Caldas y matem ´ atico de la Fundaci ´ on Universitaria Konrad Lorenz Se ha interesado por estudiar la interacci ´ on de las matem ´ aticas con otras ciencias Es Auxiliar de la Justicia y de manera indepen-

diente asesora compa ˜ n ´ ıas en asuntos financieros y de direcci ´ on estrat ´ egica. Le apasionan la ´ opera, el ballet y las ciencias sociales. Sus pasatiempos favoritos son la lectura y la colecci ´ on de registros de radio internacional Disfruta recorrer museos cuando viaja y admite que se conmueve con facilidad Alg ´ un d´ıa espera aprender a tocar piano

UnaturistavisitaBogot´aconelobjetivodeconocerelcentrodelaciudad.Despu´esdeleereninternetsobrelaciudad, cre ´ olasiguientelistadelugaresquequer´ıaconocer,eincluy´o eltiempoquedeseabapermanecerencadauno:

LaPlazadeBol´ıvar(45minutos).

ElMuseodelOro(6horas).

LaterrazadelaTorreColpatria(30minutos).

LaplazadelaPerseverancia(2horas).

Laexposici´ondelMuseoBotero(6horas).

LaBibliotecaLuis ´ AngelArango(7horas).

ElcerrodeMonserrate(5horas).

ElMuseoNacional(6horas).

ElMuseodeArteModerno(150minutos).

Laturistasehospedar´aenelHotelTequendama,ubicado enlaCarrera10#26-21.Estandoah´ı,planeainiciarsurecorridoaloslugaresdeinter´esalas8:00a.m.Despu´es,almorzar ´ atodoslosd´ıasentrelas12:00yla1:00p.m.,continuar´a surecorridoyregresar´aalhotelm´aximoalas5:00p.m.Dado quelaturistarealizar´atodoslosrecorridoscaminando,consideraremosquesedesplazar´aaunavelocidadconstantede4.5 km/hora.

Conelobjetivodeconocertodoslugaresenelmenortiempoposible,¿qu´elugaresdeber´aconocercadad´ıayenqu´e orden?

Pararesolverelproblematengaencuentalasiguienteinformaci´on:

•Elobjetivoconsisteendisenaruncronogramadetallado queminimic´elom´asposibleeltiempoquelaturistaest´apor fueradelhotel.

•Paralosrecorridospodr´autilizarcualquiercaminoentrelacarrerad´ecima(sobrelaqueest´aubicadoelhotel)yla carrerasegundaeste(sobrelaqueest´aubicadalaentradaal cerrodeMonserrate),as´ıcomoentrelascalles31(sobrela queest´aubicadalaPlazadelaPerseverancia)ylacalle11 (sobrelaqueest´aubicadaeliniciodelaPlazadeBol´ıvar).

•Utilicelaaplicaci´onGoogleMapsparadise˜narelmapa quelaturistautilizar´a.

•Nosedebenconsiderartiemposdedesplazamientoparaalmorzarnibuscarrestaurantes,yaquelaturistaalmorzar´a siempreenalgunadelasatraccionestur´ısticas.Almorzarse puedehacerantes,duranteodespu´esdeunavisita.Encualquiercaso,esahoradealmuerzonosedebeincluircomoel tiempodevisitaaunsitio.

•Laturistapuederegresaralhotelencualquiermomento deld´ıa,peronuncadespu´esdelas5pm.Poreso,elcronogramadetalladodesuvisitadebetambi´enconsiderarlostiempos quetomanlosdesplazamientos.

•Lostiemposdecadadesplazamientosedebenredondear hac´ıaabajo.Porejemplo,siirdelpuntoAalpuntoBtoma3 minutosy45segundos,entoncesseconsideraqueeltiempo deldesplazamientoesde3minutos.

•Cadalugardebevisitarseenunsolod´ıaydemaneracontinua.Porejemplo,silavisitaalsitioAesde5horas,laturista nopuedepasar3horasund´ıayluego2horasotrod´ıa.Elalmuerzo,sinembargo,puedeinterrumpirlavisitayesel ´ unico casoenelcuallavisitaaunsitionoescontinua.

BasesdelConcurso:

Elegibilidad:

Estudiantesmenoresde18anos,decualquiernacionalidad ypertenecientesauncolegiocolombiano.

Duraci´on:

Elconcursofinalizaunanodespu´esdelapublicaci´ondel Pask´ınquepresentaelproblema,ohastaquehayaunapersonaganadora.

DocumentoSoluci´on:

Lasoluci´ondebepresentarsedemaneraindividualenun documentoformal,escritoenespanol,enelqueseexplique demaneradetalladalasoluci´onalproblemaplanteado.

Laprimerap´aginadeldocumentodebecontenerporlomenoslossiguientescuatroelementos:

(1)Elnombrecompletodelapersonaparticipante.

(2)Elcursodelapersonaparticipante.

(3)Laedaddelapersonaparticipante.

(4)Elnombrecompletodelcolegiodelapersona.

(5)Municipioociudadderesidencia.

(6)Telefonoycorreoelectr´onicodecontacto. Elcuerpodeldocumento,quesigueaestaprimerap´agina, puedetenercualquierextensi´onparainformarsobrelasoluci´on.

Losylasparticipantespuedenusarlibros,blogs,computadores,internet,programascomputacionales,peronopuedenconsultarointeractuarconningunaotrapersonadurante lasoluci´on.Ningunacontribuci´onpuedeserhechaporotra personaquenosealapersonaqueenv´ıalasoluci´on.

Aunquelosproblemasestar´andestinadosaunan´alisis te´orico,losparticipantespuedenrealizarexperimentosrelevantesypresentarlosdatosresultantesensutrabajosilodesean.

Encasodequeseutilicen,cadasoluci´ondebeincluiruna listadetodaslasreferencias.

Lassolucionespuedenusaralgoritmosyherramientas computacionalesexistentes(queincluyennosoloherramientasdisponiblesgratuitamente,sinotambi´enherramientasdentrodesistemascomoMatlaboMathematica),siemprequese mencionenycitencorrectamenteylosm´etodosseexpliquen claramenteenlasoluci´ondelproblema.Cualquierprograma decomputadoraescrito,siseescribi´ouno,debeincluirsecomounap ´ endicedelasoluci´on.Sinembargo,todoslosalgoritmos,m´etodosyresultadosdebenexplicarseeneltexto principaldeldocumentopararecibirconsideraci´ondurantela evaluaci´on.

Lassolucionesenviadaspuedenincluirecuaciones,gr´aficos,figurasytablas.Cadasoluci´ondebeincluircomom´ınimo:

(1)Unacortaintroducci´ondelproblematalcomolointerpret´olapersonaparticipante.

(2)Unaexplicaci´ondetodaslassuposicionesyaproximacionesrealizadas.

(3)Justificaci´ondetodoeltrabajorealizado.

(4)Unabrevediscusi´ondelasfortalezasydebilidadesdel enfoqueadoptado.

Env´ıodelasoluci´on:

Lassolucionespuedenenviarsecomoarchivos.pdf,.odf, .docodocx.Cadaparticipantedebeenviarsusoluci´onpor correoelectr´onicoapaskin@konradlorenz.edu.coylosdocumentosdebenrecibirseantesdequefinaliceelconcurso.Si lasoluci´onnoserecibeporcorreoelectr´onicoduranteladuraci´ondelconcurso,lasoluci´onnoser´aconsiderada.Eldocumentocompletodebeincluirsecomounarchivoadjuntoal correoelectr´onico.Noenv´ıeunenlacealdocumentoenun servicioenlanubecomoGoogleDocs,Dropbox,etc.Una vezrecibidalasoluci´onselenotificar´alarecepci´onenunplazomenoracincod´ıash´abiles.SiUd.norecibeconfirmaci´on, comun ´ ıqueseconeleditordelarevista.

Resultados:

Todasoluci´onrecibidaseir´aevaluandoenordendellegadahastalafinalizaci´ondelconcurso.Cuandounasoluci´onsea correcta,laoelparticipanteser´ainvitadaoinvitadoaexponer yjustificardemaneraverbalsusoluci´ondemaneraremota sincr´onicautilizandoalgunaplataformavirtualcomoTeams, ZoomoGoogleMeets.

Premiaci´on:

-Laprimerasoluci´oncorrectaser´apublicadaenunasiguienteedici´ondelPask´ın.Ser´aunaversi´onsimplificadade lasoluci´onrealizadaencolaboraci´onconelcomit´eeditorial, queincluir´aunacortarese˜nadelapersonaganadora.

-Certificado.Cadapersonaqueparticipeypresenteuna soluci´oncorrectarecibir´auncertificado.Elcertificadoseenviar´aporcorreoelectr´onicoaladirecci´onutilizadaparael env ´ ıodelasoluci´on.Esperevariassemanasdespu´esdeenviar susoluci´onpararecibirsucertificado.

-Lapersonaqueenvi´elaprimerasoluci´oncorrectarecibir´a unbonovirtualderegaloporunvalorde 300.000COP (trescientosmilpesoscolombianos).Lapersonaganadorapuede escogerelestablecimientocomercialquedesee,siemprey cuandoofrezcabonoselectr´onicosyelcomit´eeditorialpueda adquirirlos.

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Bogotá, Colombia. 2023

PASK ´ INMATEM ´ ATICO Volumen5,No.1,2023

Contenido

• DairoAndr´esSierra

SeccionesdePoincare:delatandoelcaosenelp´endulodoble..................1

• GonzaloMedina

Sobreelproblemadeloscuatrosubespacios...........................................9

• DanielEstebanGalvis

Delacuartadimensi´onyespaciosperfectos,arotarunespaciotridimensional.............................................................................................19

• MarcoBlancoAriza

Siquieroinvertir¿c´omomedebocubrir?Unaaproximaci´onalasmedidascoherentesderiesgoenRyPython.................................................32

• DayronFabianAchurry

MateKuento..........................................................................................39

• JohnA.ArredondoyAlejandroC´ardenas

Pask´ınChallenge..................................................................................43

Laesenciadelasmatem´aticasresideensulibertad.

MATEMÁTICO

GeorgeCantor