Pienter 5 & 6 (editie 2023) Reële functies Basisboek

Page 1

enter

REËLE FUNCTIES EN ALGEBRA BASIS

Derde graad D/A

iDiddit

Reële functies en algebra basis

Derde graad D/A

Liesbeth Huys

Dirk Taecke

Thierry Van den Ouwelant

MET MEDEWERKING VAN

Etienne Goemaere

Tom Van der Auwera

Martine Verrelst

Stephan Wellecomme

©VANIN

Via www.ididdit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter derde graad. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer de gebruiksvoorwaarden.

Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.

Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 2 schooljaren. Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.

Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken. In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen. Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.

Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.ididdit.be.

© Uitgeverij VAN IN, Wommelgem, 2023

De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.

Credits

p. 8 aantal verkochte fietsen elektrische fietsen per miljoen inwoners © Corneel Casier, p. 8 vluchten Belgische vliegmaatschappijen © nieuwsblad.be, p. 33 Adolphe Quetelet © Boris15 / Shutterstock, p. 50 Thalys © rebaixfotografie / Shutterstock, p. 64, 100, 168 en 190 vragen JWO en VWO © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, p. 122

Coldplay © Brian Friedman / Shutterstock, p. 126 Koekiemonster © Christos Film / Shutterstock, p. 148 abdijhoeve Oudenburg © DDH_image / Shutterstock, p. 149 lijkwade van Turijn © Diego Barbieri / Shutterstock, p. 151 strand met appartementen © DDH_image / Shutterstock, p. 175 Eurostar © EQRoy / Shutterstock, p. 188 Burj Khalifa © Tomasz Czajkowski / Shutterstock

Eerste druk 2023

ISBN 978-94-647-0084-8

D/2023/0078/109

Art. 603762/01

NUR 120

Ontwerp cover: KaaTigo

Ontwerp binnenwerk: fikfak

Tekeningen: Dirk Vandamme

Zetwerk: Crius Group

©VANIN
Hoe werk je met Pienter? 4 Hoe werk je met iDiddit? 6 Hoofdstuk 1 Verbanden en reële functies 7 Hoofdstuk 2 Soorten verbanden tussen grootheden 65 Hoofdstuk 3 Machten, wortels en logaritmen 101 Hoofdstuk 4 Exponentiële verbanden 127 Hoofdstuk 5 Gemiddelde verandering 169 ©VANIN
Inhoudsopgave

Hoe werk je met Pienter?

Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.

Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.

4.2.4 Rekenen met percentages

4.1 Lineaire en exponentiële groei

• Los de vraagstukken met percentages op.

4.1.2 Lineaire groei

4.1.1 Inleidend voorbeeld

Wereldbevolking in 2022 al naar 8 miljard

Toenamewereldbevolking(xmiljardmensen)

Malika heeft twee jobaanbiedingen.

De wereldbevolking groeit elk jaar met 1 %. Hoeveel procent groei is dat per eeuw?

Om onze bomen te snoeien, rekent de tuinman 70 euro vaste kosten aan voor het vervoer en het gebruik van machines en 40 euro per gewerkt uur. Op de eindfactuur staat een bedrag van 360 euro. Hoelang heeft de tuinman gewerkt?

• Bij de firma LIN & co kan ze starten met een jaarsalaris van 30 000 euro. Elk jaar zal daar 600 euro bij komen.

De groeifactor per jaar is Je berekent de groeifactor a per 100 jaar:

a =

• De firma EXP & partners biedt haar een jaarsalaris aan van 27 000 euro met een jaarlijkse verhoging van 3 %.

De procentuele toename per eeuw is dus:

• Stel: x is het aantal gewerkte uren en y is het factuurbedrag (in euro).

a) Hoeveel zal Malika tijdens het zevende jaar verdienen bij beide firma’s?

Dan: y =

LIN & co EXP & partners

• Je lost de vergelijking y = 360 op.

Het jaarsalaris

Definitie Lineaire groei

Brian is in drie jaar tijd 30 % lichaamsgewicht kwijt. Hoeveel procent is dat per jaar?

De groeifactor per 3 jaar is Je berekent de groeifactor a per jaar:

a 3 ⇔ a

Een groei is lineair als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke een gelijke toename of afname van de afhankelijke veranderlijke hoort.

De procentuele afname per jaar is dus:

Besluit Percentages omzetten

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a n

• Verklaar de uitspraak.

Stel: f (x) 30 000 + 600x en g (x) 27 000 1,03

Daarbij zijn f (x) en g (x) de respectievelijke jaarsalarissen na x gewerkte jaren. De functie f stelt een lineaire groei voor, de functie g een exponentiële groei

10 % 15 % 25 % + ≠

Hoe ziet de grafiek van een lineaire groei eruit?

Bij exponentiële groei:

Bij exponentiële afname:

Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten. Je leert ook eigenschappen bewijzen.

Wat is de grafische betekenis van a?

? 1,10 1,15

Wat is de grafische betekenis van b?

100

De totale groei is

100

Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen. Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:

? 0,90

De totale afname is

Oefeningen

REEKS A

REEKS A eenvoudige toepassingen

Besluit Rekenen met percentages

Bewerkingen met percentages voer je altijd uit met behulp van de groeifactor.

0123456789101112131415161718192021

REEKS B basisniveau

REEKS C verdiepingsniveau

Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.

Op iDiddit vind je extra oefeningen.

In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.

1 Ga na of de tabellen een lineaire of een exponentiële groei voorstellen. Als de groei lineair of exponentieel is, geef dan ook de vergelijking van het model.

a) x 01234 y 46913,520,25

b) x 01234 y 1516,51819,521

c) x 01234 y 604025155

©VANIN

d) x 01234 y

ICT Duidt aan wanneer je bij het onlinelesmateriaal ICT-hulpmiddelen vindt om in te zetten, bv. Excel, GeoGebra of Python.

Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.

Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
REËLE FUNCTIES HOOFDSTUK 4 EXPONENTIËLE VERBANDEN 127 HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 4.1 Lineaire en exponentiële groei 128 4.2 Exponentiële verbanden 133 4.3 Exponentiële vergelijkingen 145 4.4 Exponentiële functies 153 Studiewijzer 166 Pienter problemen oplossen 168 128 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 1 2 3 4 5
y
na 1 jaar: y = 30 000 + 600 y 30 000 + 6 600 33 600 (euro) Het jaarsalaris y van Malika is na 1 jaar: y = 27 000 + 27 000 0,03 = 27 000 1,03 (27 000 1,03) y 27 000 1,03 ≈ 32 239,41 (euro)
van Malika is
y (euro) 25000 30000 35000 g f REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4
xy Lineaire groei y ax + b (a ∈ r 0 b ∈ r)
136 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
4 3 2 1 5 6 7 8 9 2 00018001600140012001 000 800600400200 1
2022 2011 1999 1987 1974 1960 1927 1804 Bron: Population Connection
4 4 13 4 5 2
11 2 19
x 01234 y 0,51432512
e) x 01234 y 3 0001 8001 080648388,8 f)

XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.

STUDIEWIJZER Exponentiële verbanden

4.1 Lineaire en exponentiële groei

Een groei is lineair als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke een gelijke toename of afname van de afhankelijke veranderlijke hoort.

Bij lineaire groei geldt: y ax + b (a ∈ r 0 b ∈ r).

Je leerkracht zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.

x is de onafhankelijke veranderlijke, y de afhankelijke veranderlijke, b de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a de verandering van y als x met 1 toeneemt.

Een groei is exponentieel als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke de waarde van de afhankelijke veranderlijke telkens met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.

Die factor noem je de groeifactor.

Bij exponentiële groei geldt: y = b a x (a ∈ r 0 \ {1}, b ∈ r 0) x is de onafhankelijke veranderlijke, y de afhankelijke veranderlijke, b de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a de groeifactor (a > 1 bij toename, 0 < a < 1 bij afname).

Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’. Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.

KUNNEN

Het onderscheid maken tussen lineaire en exponentiële groei.

Achteraan in het boek zit een blad met een cartoon. Dat kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor extra leerstof.

4.2 Exponentiële verbanden

KENNEN

De groeifactor a bij een toename met p % is gelijk aan a 100 + p 100

De groeifactor a bij een afname met p % is gelijk aan a 100 – p 100

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a n

Bewerkingen met percentages voer je altijd uit met behulp van de groeifactor.

KUNNEN

Concrete problemen oplossen met exponentiële groei met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

VAN IN Plus

Soms is het handig dat je extra lesinformatie of een videofragment zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina.

VAN IN Plus

166 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
voor de leerling voor de leerkracht KENNEN –  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
–  + –  +
©VANIN

Het onlineleerplatform

bij Pienter derde graad

Mijn lesmateriaal

Hier vind je alle inhouden uit het boek, maar ook meer, zoals Excelbestanden, filmpjes, GeoGebra-toepassingen, extra oefeningen ...

Extra materiaal

Bij bepaalde stukken theorie of oefeningen kun je extra materiaal openen. Dat kan een bijkomend audio- of videofragment zijn, een woorden- of begrippenlijst, een extra bron of een leestekst. Kortom, dit is materiaal dat je helpt om de leerstof onder de knie te krijgen.

Adaptieve oefeningen

In dit gedeelte kun je de leerstof inoefenen op jouw niveau. Hier kun je vrij oefenen of de oefeningen maken die de leerkracht voor je heeft klaargezet.

Opdrachten

Hier vind je de opdrachten die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.

Evalueren

Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.

Resultaten

Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en toetsen? Hier vind je een helder overzicht van al je resultaten.

Notities

Heb je aantekeningen gemaakt bij een bepaalde inhoud? Via je notities kun je ze makkelijk terug oproepen.

Meer weten?

Ga naar www.ididdit.be

©VANIN

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 7
1.1 Verbanden tussen grootheden 8 1.2 Reële functies 34 1.3 Periodieke functies 52 Studiewijzer 62 Pienter problemen oplossen 64 ©VANIN
HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES

1.1 Verbanden tussen grootheden

1.1.1 Verbanden grafisch voorstellen

Een verband tussen twee of meerdere grootheden kun je grafisch voorstellen.

8 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
200 150 100 50 0 30 december 2020 23 augustus 2021 BEGIN CORONACRISIS Brussels Airlines Ryanair TUI Group DHL Express Vluchten Belgische vliegmaatschappijen
©VANIN

Voorbeeld 1

Het staafdiagram toont de evolutie van de Belgische bevolking van 1960 tot 2020.

• In welk tijdsinterval is het bevolkingsaantal boven de 10 miljoen gestegen?

• In welke periode van 10 jaar zie je de kleinste toename?

• Wat was de toename in die periode?

• Wanneer is de bevolking het sterkst gestegen?

• Met hoeveel procent is de bevolking in die periode gestegen? Rond af op 0,01 %.

Voorbeeld 2

De grafiek illustreert het aantal uitgevoerde executies in de Verenigde Staten van 1990 tot en met 2019.

• In welk jaar was de toename ten opzichte van het jaar ervoor het grootst?

• Hoeveel bedroeg die maximale toename?

• In welk jaar was de afname ten opzichte van het jaar ervoor het grootst?

• Hoeveel bedroeg die maximale afname?

• Met hoeveel procent is het aantal uitgevoerde executies afgenomen, als je het jaar 2000 vergelijkt met het jaar 2018?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 9
1960 9190 96519855994810239 10840 11493 aantal inwoners (x 1 000) 197019801990 jaartal 200020102020 5 0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 199019921994199619982000200220042006200820102012201420162018 aantalexecuties jaartal ©VANIN

Oefeningen

REEKS B

1 Het staafdiagram geeft de evolutie weer van het aantal geboortes in België sinds het einde van de Tweede Wereldoorlog.

a) In welk jaar waren er de meeste geboortes?

b) In welk jaar waren er de minste geboortes?

c) Hoeveel geboortes waren er minder in 2021 dan in 1945?

d) Wereldwijd is 49 % van de pasgeborenen een meisje. Schat hoeveel meisjes er geboren werden in 2021.

e) Hoeveel procent minder geboortes waren er in 1974 dan in 1960? Rond af op 0,01 %.

2 Een achttienjarig Vlaams meisje ontvangt wekelijks gemiddeld 21,70 euro zakgeld. Het cirkeldiagram toont waaraan meisjes hun zakgeld besteden.

a) Waaraan besteedt een meisje het meeste geld?

b) Hoeveel euro besteedt ze per week aan haar smartphone? Rond af op 0,01 euro.

c) Hoeveel euro besteedt ze per jaar aan uitgaan? Rond af op 0,01 euro.

10 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
1945 127245 1954 148128 1960 155520 1974 123155 1986 117271 1997 115864 2009 127297 2021 117914 aantal geboortes jaartal smartphone kleding uitgaan verzorging tijdschriftenenboeken reizen sport 24% 33% 14% 9% 6% ©VANIN

3 Je ziet de verdeling van de bevolking in het Vlaamse Gewest op 1 januari 2022, naar provincie en leeftijdscategorie.

a) Wat was het totale bevolkingsaantal in het Vlaamse Gewest op 1 januari 2022?

b) Hoeveel procent van de Vlamingen woont in Limburg? Rond af op 0,01 %.

c) Hoeveel procent van de West-Vlamingen is tussen de 20 en 65 jaar? Rond af op 0,01 %.

d) Hoeveel procent meer mensen wonen er in Antwerpen dan in Limburg? Rond af op 0,01 %.

e) Hoeveel procent van de Vlamingen is 65 jaar of ouder? Rond af op 0,01 %.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 11
2000000 1800000 1600000 1400000 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0 West-VlaanderenOost-VlaanderenAntwerpenLimburgVlaams-Brabant aantal inwoners [0,20[[20,65[65+ 240777 592089 376145 312910 899318 331637419702 180313 515295 190343 308522 597861 267057 1090603 376304 1209011 1543865 1886609 885951 1173440
©VANIN

4 De diagrammen geven de klimatologische gemiddelden voor Oostende en Namen in de periode tussen 1991 en 2021.

a) In welke maand viel de meeste neerslag?

b) Tijdens hoeveel maanden is er meer dan 100 mm neerslag gevallen?

c) Wat was de warmste maand? Hoe warm was het toen gemiddeld?

d) Gedurende hoeveel maanden was het gemiddeld kouder dan 5 ºC?

e) In welke maand was er het grootste verschil in neerslag ten opzichte van de vorige maand?

f) Gedurende hoeveel maanden regende het in Oostende meer dan in Namen? Welke maanden waren dat?

©VANIN

12 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
0 5 10 15 20 25 30 0 20 40 60 80 100 120 janfebmaaaprmeijunjulaugsepoktnovdec TEMPERATUUR (°C) NEERSLAG (MM) Oostende neerslag(mm)gemiddeldetemperatuur(°C) 0 5 10 15 20 25 30 0 20 40 60 80 100 120 janfebmaaaprmeijunjulaugsepoktnovdec TEMPERATUUR (°C) NEERSLAG (MM) Namen neerslag(mm)gemiddeldetemperatuur(°C) Oostende Namen

5 Het vruchtbaarheidscijfer per leeftijd is de kans dat een vrouw op die leeftijd een kind krijgt. De grafiek toont het vruchtbaarheidscijfer in België.

a) Tussen welke leeftijden krijgen vrouwen in België kinderen?

b) Op welke leeftijd heeft een vrouw de grootste kans om een kind te krijgen? Hoe groot is die kans?

c) Bepaal de kans dat een vrouw een kind krijgt op de leeftijd van 25 jaar.

d) Tussen welke leeftijden is de kans dat een vrouw een kind krijgt groter dan 10 %?

e) De grafiek is symmetrisch ten opzichte van een verticale rechte. Wat is de vergelijking van die rechte?

f) Geef de fysische betekenis van de symmetrieas van de grafiek.

©VANIN

g) De kans dat een vrouw een kind krijgt als ze 23 jaar is, is 3,6 %. Op welke leeftijd is die kans even groot?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 13
leeftijd 1214161820222426283032343638404244464850 kans(%) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1.1.2 Verbanden weergeven met een formule

Een andere mogelijkheid om een verband tussen grootheden weer te geven, is een formule Het grote voordeel aan formules is dat je onbekende waarden exact kunt berekenen, terwijl je ze op een grafiek vaak moeilijker kunt aflezen. In sommige gevallen zul je de formule eerst moeten omvormen voordat je een onbekende waarde kunt bepalen.

Voorbeeld 1

De oppervlakte A van een ruit wordt gegeven door de formule A = D  d 2 . Daarbij is d de lengte van de kleine diagonaal en D de lengte van de grote diagonaal.

• Bereken de oppervlakte van een ruit met een kleine diagonaal van 3 cm en een grote diagonaal van 5 cm.

• Een ruit heeft een oppervlakte van 20 cm 2. De kleine diagonaal meet 5 cm. Bereken de lengte van de grote diagonaal.

• Van een ruit is de grote diagonaal drie keer zo lang als de kleine diagonaal. De oppervlakte bedraagt 75 cm 2. Bereken de afmetingen op 0,01 cm nauwkeurig.

Voorbeeld 2

Hoe hoger je staat, hoe verder je kunt zien. Bij helder weer wordt de afstand s (in km) tot de horizon gegeven door het verband s = √ 13  h . Daarbij is h de hoogte (in m).

• Hoe ver kun je zien als je op 100 m hoogte staat? Rond af op 0,1 km.

• Hoe hoog moet je staan om 40 km ver te kunnen zien? Rond af op 1 m.

• ‘Als je twee keer zo hoog staat, kun je twee keer zo ver zien.’ Klopt die bewering?

14 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
d D ©VANIN

Oefeningen

REEKS A

6 Als je een afstand s (in km) in een tijd t (in h) aflegt, dan is je gemiddelde snelheid v = s t (in km/h).

a) Je rijdt met je fiets 30 km in 1 h 15 min. Wat is je gemiddelde snelheid?

b) Welke afstand legt een auto in 50 min af met een gemiddelde snelheid van 120 km/h?

c) Een hogesnelheidstrein rijdt 425 km met een gemiddelde snelheid van 230 km/h. Hoelang doet hij over het traject? Rond af op 1 min.

7 De oppervlakte A van een trapezium wordt gegeven door de formule A = B + b 2  h.

Daarbij is b de lengte van de kleine basis, B die van de grote basis en h de hoogte.

a) Een trapezium heeft een kleine basis van 3 cm, een grote basis van 6 cm en een hoogte van 4 cm. Bereken de oppervlakte.

b) Een trapezium heeft een kleine basis van 4 m, een grote basis van 7 m en een oppervlakte van 33 m 2. Bereken de hoogte.

c) Een trapezium heeft een grote basis van 9 cm, een hoogte van 5 cm en een oppervlakte van 36,25 cm 2. Bereken de lengte van de kleine basis.

8 Om de enkelvoudige intrest I te berekenen, gebruik je de formule I = k i n.

Daarbij is k het beginkapitaal (in euro), i de jaarlijkse rentevoet (in decimale notatie) en n de looptijd (in jaren). Pieter krijgt na 4 jaar een intrest van 17,5 euro uitbetaald. De jaarlijkse rentevoet bedraagt 0,5 %. Bereken zijn beginkapitaal.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 15
©VANIN

REEKS B

9 De oppervlakte A van een cilinder wordt gegeven door de formule A = 2p  r  h + 2p  r 2 .

Daarbij is r de straal van het grondvlak en h de hoogte.

a) Hoe kwam die formule tot stand?

b) Bereken de oppervlakte van een cilinder met een hoogte van 10 cm. De straal van het grondvlak bedraagt 3 cm. Rond af op 1 mm 2

c) Bereken de hoogte van een cilinder, als je weet dat de straal van het bovenvlak 10 cm bedraagt en de oppervlakte 760 cm 2. Rond af op 0,1 cm.

Een slinger (of pendel) bestaat uit een massa die je aan het uiteinde van een staaf of koord hangt. Als je de massa uit evenwicht brengt dan zal ze, onder invloed van de zwaartekracht, heen en weer bewegen. Die beweging noem je een slingerbeweging. De slingertijd is de tijd die nodig is voor één slingerbeweging.

Een mathematische slinger bestaat uit een puntmassa die aan een staaf of koord hangt waarvan de massa verwaarloosbaar is.

10 De slingertijd T (in s) van een mathematische slinger kun je berekenen met de formule van Huygens.

Er geldt: T = 2p 

l g

Daarbij is l de lengte (in m) van de slinger en g de valversnelling (g ≈ 9,81 m/s 2).

a) Bereken de slingertijd van een slinger met een lengte van 2 m. Rond af op 0,01 s.

©VANIN

b) Bereken de lengte van een slinger waarvan de slingertijd 2 s is. Rond af op 1 cm.

16 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VER BANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
h r

Als een duiker zich onder water bevindt, ademt hij de lucht in onder een grotere druk dan normaal. Daardoor ontstaat er meer stikstofgas in het bloed.

Als de duiker te lang onder water blijft of te snel terug naar het oppervlak stijgt, kan de stikstof belletjes doen ontstaan in het bloed.

De duiker krijgt hoofdpijn, spierpijn en duizeligheid. In ernstige gevallen kan hij buiten bewustzijn raken of zelfs sterven.

Dat verschijnsel noem je de ziekte van Caisson

11 De maximale tijd t (in min) die een duiker op een bepaalde diepte onder water mag blijven, kun je berekenen met de formule t = 56 000 d 2 . Daarbij is d de diepte (in m).

a) Hoelang mag een duiker onder water blijven op een diepte van 50 m? Rond af op 1 s.

b) Op welke diepte mag een duiker 100 min verblijven? Rond af op 0,1 m.

c) Als je de diepte verdubbelt, in welke mate verandert dan de duiktijd?

REEKS C

12 De firma Bol & Bal krijgt de opdracht om plastic ballen te maken als promotiemateriaal. De ballen moeten een volume hebben van 1 500 l.

Bereken hoeveel m 2 materiaal er nodig is om 1 bal te vervaardigen. Rond af op 1 cm 2

Tip: V = 4 3 p  r 3 en A = 4p  r 2 .

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 17
WISKUNDIG DESKUNDIG ©VANIN

1.1.3 Verbanden weergeven met een tabel

Naast een grafiek en een formule, is een tabel een derde manier om een verband tussen twee of meerdere grootheden weer te geven. In een tabel vind je de grootheden samen met een beperkt aantal waarden. Een tabel is overzichtelijk, maar je moet kritisch zijn bij de berekening van tussenliggende waarden.

Voorbeeld 1

In de tabel vind je de gemiddelde lengte (in cm) en massa (in kg) van een baby vanaf de geboorte.

• In welke maand neemt de lengte van de baby het sterkst toe?

• Een baby wordt geboren in september. In welke maand zal de baby dubbel zoveel wegen ten opzichte van het geboortegewicht?

Voorbeeld 2

De opbrengst van zonnepanelen is afhankelijk van de ‘instralingsfactor’. Een dak met een oriëntatie naar het zuiden is ideaal.

Zonnepanelen die richting het zuiden zijn bevestigd, hebben een grotere opbrengst. De tabel van Hespul is een tabel met rendementspercentages die rekening houdt met de hellingshoek van de zonnepanelen en de richtingshoek.

• Een dak is zuidoostelijk gericht en heeft een richtingshoek van –15º. Onder welke hellingshoek moet de installateur de zonnepanelen plaatsen om een rendement te verkrijgen van 99 %?

• Een dak heeft een hellingshoek van 60º. De ene kant van het dak is oostelijk gericht (–90º). De andere kant is westelijk gericht (90º).

Aan welke kant van het dak leg je het best zonnepanelen?

18 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
leeftijd (maanden) 0123456 lengte (cm)49,453,856,759,562,164,466,4 massa (kg)3,24,25,15,86,46,97,3
©VANIN

Oefeningen

REEKS B

13 Evy doet elk jaar mee aan de dodentocht in Bornem. Dat is een wandeltocht van 100 km die jaarlijks georganiseerd wordt. Elke wandelaar krijgt 24 uur de tijd om over de eindmeet te stappen. Met een badge worden je tussentijden automatisch geregistreerd. Je vindt de tussentijden van Evy in de tabel.

a) Hoelang is Evy onderweg geweest?

b) Bereken haar gemiddelde snelheid. Rond af op 0,1 km/h.

14 Een veelgebruikte methode om te berekenen hoeveel mensenjaren er overeenkomen met één hondenjaar, is om de leeftijd van de hond te vermenigvuldigen met 7. Die methode is weinig wetenschappelijk en inmiddels volkomen achterhaald. De tabel toont je het verband tussen de leeftijd en de indeling volgens grootte van de hond.

leeftijd hond klein ras 15 kg middelgroot ras 15-45 kg groot ras > 45 kg

a) Hoeveel mensenjaren komen overeen met een chihuahua van 1 jaar?

b) Hoeveel mensenjaren komen overeen met een labrador van 4 jaar met een massa van 30 kg?

c) Een grote rashond van 47 kg is momenteel 67 mensenjaren oud. Hoe oud is de hond in hondenjaren?

d) Een hond van een klein ras en een hond van een groot ras zijn beiden 5 jaar.

Hoeveel mensenjaren is de grote hond ouder dan de kleine?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 19
Start Wintam parochiezaal Breendonk sporthal Steenhuffel Palm Buggenhout Puurs sporthal Aankomst Bornem tijdstip21h00 00h0302h0303h4406h4409h0112h10 afstand (km)0,021,835,246,062,180,6100,0
0,515 10 8 120 18 14 1,524 21 18 228 27 22 332 33 31 436 39 40 540 45 49 644 51 58 748 57 67 852 63 76 956 69 85 1060 75 94 1164 80 100 1268 85 1372 90 1476 95 1580 100 1684 1788 1892 1996 20100 Bron: American Veterinary Medical Association ©VANIN

1.1.4 Verschillende representaties van verbanden

Een verband tussen twee grootheden kun je op verschillende manieren weergeven. Je kunt het verband formuleren met woorden, een tabel opstellen, een grafiek of diagram tekenen of het verband uitdrukken met behulp van een formule

Voorbeeld 1

verwoording

Een groot stuk van het budget van een gemiddeld gezin gaat naar de wagen. Een artikel in De Morgen van januari 2020 meldt dat we maandelijks gemiddeld 400 euro betalen aan brandstof, verzekeringen, belastingen en onderhoud. Verder hangen de kosten af van het aantal gereden kilometers, de rijstijl enzovoort.

De jaarlijkse kosten van het gezin Peeters worden gegeven door deze formule:

k = 0,30s + 1 700

Daarbij is s de afgelegde weg (in km) en k de jaarlijkse kostprijs (in euro) van de wagen.

Vul de tabel aan.

s (km)7 0008 0009 00010 000

k (euro) grafiek

Teken de grafiek.

20 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
VERWOORDING GRAFISCHE VOORSTELLING FORMULETABEL
formule tabel
(km) 100020003000400050006000700080009000100001100012000 k (euro) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 0 GEOGEBRA ©VANIN
s

verwoording

Een bedrijf maakt kubusvormige houten bloembakken uit hardhout. De inkoopprijs van het hout bedraagt 45 euro per m 2

Onderzoek het verband tussen de kostprijs k (in euro) voor een bloembak en de ribbe r (in m) van diezelfde bloembak.

De oppervlakte van elk zijvlak is r 2 (in m 2).

De bloembak bestaat uit zijvlakken.

Het aantal m 2 hout dat nodig is om

één bloembak te maken, is dus .

De kostprijs k van het hout bedraagt dan:

• algebraïsch:

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 21 Voorbeeld 2
formule tabel
Vul de tabel aan. r (m)0,500,8011,50 k (euro) grafiek Teken de grafiek. r (m) k (euro) 0,10,20,30,40,50,60,70,80,911,11,21,31,41,51,61,7 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 0
Bepaal de ribbe van een bloembak die een kostprijs van 300 euro heeft. Rond af op 1 cm. • grafisch:
©VANIN

verwoording

Een student labotechnieken wil enkele meetresultaten omzetten van graden Celsius naar graden Fahrenheit.

De formule die gebruikt wordt om graden Celsius om te zetten naar graden Fahrenheit, is: uF = 9 5  uC + 32

Daarbij is uC de temperatuur in ºC en uF de temperatuur in ºF.

Bij hoeveel graden Fahrenheit bevriest water?

• grafisch:

• algebraïsch:

22 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5 Voorbeeld 3
formule tabel
θC (°C)
θF (°F) −40 −20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0
Vul de
tabel aan.
uC (ºC) 515305580 uF (ºF) grafiek Teken de grafiek.
−20−10102030405060708090
©VANIN

Oefeningen

REEKS B

15 Soms hoor je iemand praten, maar versta je niet wat er wordt gezegd. Dat noemt men het verstaprobleem. Hoe ouder je wordt, hoe meer last je ervan hebt. Uit een Vlaamse studie uit 2009 blijkt dat 6 % van de twintigjarigen verstaproblemen heeft. Bij de dertigjarigen is dat 19 %, bij de veertigjarigen 32 % ... Elke 10 jaar stijgt het percentage met 13 procentpunt.

a) Stel een formule op die het verband weergeeft tussen het percentage p van mensen met verstaproblemen en de leeftijd x (in jaren).

b) Vul de tabel aan. x (jaren)202550657590

c) Teken de grafiek van het verband. x (jaren)

©VANIN

d) Op welke leeftijd heeft de helft van de mensen verstaproblemen?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 23
p (%)
p (%) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0
102030405060708090

16 Met lucifers maak je telkens een figuur die bestaat uit gelijkzijdige driehoeken, zoals hieronder afgebeeld.

a) Maak een schets van figuur 4 en figuur 5.

d) Verklaar waarom je de punten niet mag verbinden.

e) Stel een formule op die het verband weergeeft tussen a en n

f) Hoeveel lucifers heb je nodig om de tiende figuur te maken?

g) Vanaf de hoeveelste figuur heb je meer dan 100 lucifers nodig?

24 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 figuur 5
1 2 3 4 5
b) Vul de tabel aan. figuur n aantal lucifers a
n(guurnummer) 012345 a(aantallucifers) 6 9 12 15 18 3
c) Teken de grafiek.
©VANIN

17 Het vermogen P van een windturbine is afhankelijk van de windsnelheid. Voor een bepaald type turbine geldt: P = 0,7 v 3 Daarbij is P het vermogen (in kW) en v de windsnelheid (in m/s).

a) Vul de tabel aan. Rond af op 0,1 kW. v (m/s)0258101520

b) Teken de grafiek.

c) Wat is het vermogen bij een windsnelheid van 18 m/s? Rond af op 0,1 kW.

d) Bepaal de windsnelheid als de turbine 7 500 kW vermogen oplevert. Rond af op 0,1 m/s.

e) Voor een ander type windturbine geldt: P = 1,2 v 3

• Bereken het vermogen bij een windsnelheid van 45 km/h. Rond af op 1 kW.

• De turbine levert 7 500 kW vermogen op. Bereken de windsnelheid op 0,1 m/s.

©VANIN

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 25
P (kW)
v
P (kW) 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0
(m/s) 246810121416182022

18 De geluidsintensiteit I (in W/m 2) op een afstand r (in m) van een geluidsbron met een vermogen P (in W) is gelijk aan I = P 4p r 2

Je bent op een festival waar de geluidsinstallatie een vermogen van 80 000 W heeft.

a) Bereken de geluidsintensiteit op 30 m van de boxen. Rond af op 0,01 W/m 2

b) De pijngrens is 1 W/m 2. Hoe ver moet je minstens van de boxen staan opdat de geluidsintensiteit onder de pijngrens blijft? Rond af op 0,1 m.

c) Teken met ICT de grafiek van het verband.

d) Bij een constant vermogen kun je stellen dat:

• als de afstand r nadert naar + ∞, de geluidsintensiteit I nadert naar

• als de afstand r nadert naar 0, de geluidsintensiteit I nadert naar

19 De massadichtheid r van een stof is gelijk aan r = m V Daarbij is m de massa (in g) en V het volume (in cm 3/ml).

a) 70 cl olijfolie weegt 641,2 g. Bereken de massadichtheid van olijfolie.

b) Goud heeft een massadichtheid van 19,2 g/cm 3 Een goudstaaf heeft de vorm van een balk en is 88 mm lang, 39 mm breed en 19 mm hoog. Bereken de massa van de goudstaaf. Rond af op 1 g.

c) Stel: m = 500 g. Teken met ICT de grafiek van het verband.

• Bepaal grafisch hoeveel de massadichtheid van een stof bedraagt bij een volume van 20 cm 3

• Bepaal grafisch hoeveel het volume van een stof met een massadichtheid van 40 g/cm 3 bedraagt.

d) Bij een constante massa m kun je stellen dat:

• als het volume V nadert naar + ∞, de massadichtheid r nadert naar .

• als het volume V nadert naar 0, de massadichtheid r nadert naar

26 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
©VANIN

20 Bij droge en warme temperaturen is er in bosrijke gebieden een groot risico op bosbrand.

Om dat risico in te schatten, gebruikt men de Ångström-index I = V 20 + 27 – u 10 Daarbij is V de relatieve luchtvochtigheid (in %) en u de temperatuur (in ºC).

Je ziet de waarde van de Ångström-index vertaald naar het risico op bosbrand.

I I < 2 2 ⩽ I < 2,5 2,5 ⩽ I < 4 I ⩾ 4 risicozeer grootgroot klein zeer klein

a) Vul de tabel aan.

u (ºC) V (%) I risico

b) Bij welke luchtvochtigheid spreek je van een zeer groot risico op bosbrand als je weet dat de temperatuur 35 ºC bedraagt?

21 Veel automobilisten ergeren zich aan chauffeurs die ‘bumperkleven’. Ze rijden te dicht achter de auto voor hen, en dat is niet ongevaarlijk. Om ongevallen te vermijden, rijd je het best op een veilige afstand tot je voorganger. Die veilige afstand a (in m) hangt onder andere af van de snelheid v (in km/h) waarmee je rijdt. Er geldt: a = v  ( v 180 + 0,14).

a) Wat is de veilige afstand bij een snelheid van 70 km/h? Rond af op 1 m.

b) Als je een afstand van 50 m houdt ten opzichte van je voorganger, met welke snelheid mag je dan rijden? Los grafisch op met ICT en rond af op 1 km/h.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 27
2365 2645 2835 3090 3040 3580
©VANIN

REEKS C

Geluid zijn trillingen in een medium (lucht, water ...) die zich voortplanten. Als een voorwerp geluid produceert, worden er deeltjes samengeperst, waardoor de druk in de omgeving toeneemt. De samengeperste deeltjes botsen met omliggende deeltjes en geven hun energie door.

De ontstane trillingen bereiken uiteindelijk je trommelvlies en je gehoorbeentjes, die zich in een vloeistof in je binnenoor bevinden. De bewegingen van die vloeistof worden naar je hersenen gestuurd via de gehoorzenuw. De hersenen ontcijferen de informatie. Op die manier begrijp je wat je hoort.

22 De snelheid v (in m/s) van het geluid in lucht is afhankelijk van de temperatuur u (in º C). Er geldt: v 2 = 400 (273 + u). Je ziet de grafiek van het verband.

a) Verklaar de symmetrie bij de grafiek.

−400−200200400600800100012001400

b) Welke beperkingen moet je invoeren bij u en v om de waarden zowel wiskundig als fysisch aanvaardbaar te maken?

c) Vorm de formule om naar v

d) Vul de tabel aan. Rond af op 0,1 m/s.

–100 10203040

e) Bereken de luchttemperatuur, als de snelheid van het geluid 345 m/s bedraagt. Rond af op 0,1 ºC.

©VANIN

28 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
θ (°C)
v (m/s) −600 −400 −200 200 400 600 0
u (ºC)
v (m/s)

Windkracht wordt meestal uitgedrukt in Beaufort (Bft). Die schaal werd in 1805 bedacht door Francis Beaufort, een officier bij de Britse Royal Navy

23 Het verband tussen de windsnelheid v (in m/s) en de schaal b van Beaufort wordt benaderd door de formule v 2 = 0,836  b 3 .

a) Bereken de windsnelheid bij een windkracht van 6 Bft. Rond af op 0,1 m/s.

b) De windsnelheid bedraagt 100 km/h. Hoeveel Bft is dat?

De gevoelstemperatuur g (in ºC) is afhankelijk van de windsnelheid v (in m/s) en de temperatuur u (in ºC). Je kunt de gevoelstemperatuur berekenen met de formule g = 1,41

c) Bereken de gevoelstemperatuur bij een windsnelheid van 15 m/s en een temperatuur van 5 ºC. Rond af op 0,1 ºC.

d) Bepaal de windsnelheid, als de temperatuur 10 ºC is en de gevoelstemperatuur 3 ºC. Los grafisch op met ICT en rond af op 1 m/s.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 29
windkracht (Bft)omschrijvingwindkracht (Bft)omschrijving 0 windstil 7 harde wind 1 zwakke wind 8 stormachtige wind 2 lichte wind 9 storm 3 licht tot matige wind 10 zware storm 4 matige wind 11 zeer zware storm 5 vrij krachtige wind 12 orkaan 6 krachtige wind
4
2
0,018 5
1,162 v + 0,98 u + 0,012
v
+
v u

1.1.5 Waarden schatten via een tabel of grafiek

Gegeven is de evolutie van de gemiddelde levensverwachting l van een Belgische vrouw.

• Schat, op 1 jaar nauwkeurig, de levensverwachting in 1980.

Stel de evolutie van de levensverwachting grafisch voor met een lijndiagram. Gebruik ICT. jaartal

• In welk jaar is de levensverwachting boven de 70 jaar geklommen?

Het schatten van tussenliggende waarden via de grafiek is niet heel nauwkeurig. Je kunt ook lineaire interpolatie gebruiken.

Definitie Interpolatie

Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden.

• Schat met lineaire interpolatie de levensverwachting in 2005. Rond af op 0,01 jaar.

Op een analoge manier kun je ook waarden in de toekomst voorspellen. Je gebruikt lineaire extrapolatie

Definitie Extrapolatie

Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt.

• Voorspel met lineaire extrapolatie de levensverwachting in 2035. Rond af op 0,01 jaar.

VERDIEPING 1 2 3 4 5 30 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES
jaartal18851930194819701989200020122022 l (in jaren)46,6359,7967,2674,2179,1380,9383,1084,03
l (jaren) 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88
18801900192019401960198020002020
2000 80,93 n = 12 2005 n = 2,17 l ≈ 80,93 + 5 12 2,17 ≈ 2012 83,10
2012 83,10 n = 10 n = 0,93 2022 84,03 l ≈ 84,03 + 13 10  0,93 ≈ 2035 GEOGEBRA VIDEO + 5 + 13 ©VANIN

Oefeningen

REEKS B

De invloed van de mens op het klimaat valt niet te ontkennen. Broeikasgassen zoals CO 2 en methaan zorgen ervoor dat de warmte wordt vastgehouden, waardoor de temperatuur op aarde stijgt. De toename van CO 2 is vooral te wijten aan de verbranding van fossiele brandstoffen, zoals aardolie en aardgas. Intensieve landbouw zorgt voor een toename van methaan in onze atmosfeer.

Enkele feiten:

• Alle jaren uit de top tien van warmste jaren sinds 1900 zijn genoteerd na 2000.

• In het Noordpoolgebied smelt het pakijs sneller dan ooit, waardoor het niveau van de oceanen steeds verder stijgt.

• Gletsjers overal ter wereld trekken zich in ijltempo terug.

• Het aantal overstromingen en de intensiteit ervan nemen zorgwekkend toe.

• Bosbranden worden almaar frequenter en heftiger.

24 De tabel toont de gemiddelde jaartemperatuur u (in ºC) in Ukkel. jaartal190119271945199220032022

a) Teken met ICT een lijndiagram van de gegevens.

b) Schat vanuit het lijndiagram de gemiddelde jaartemperatuur in 1960. Rond af op 0,1 ºC.

c) Schat in welk jaar de gemiddelde jaartemperatuur boven 11 ºC steeg.

• vanuit het lijndiagram:

• met lineaire interpolatie:

d) Voorspel met lineaire extrapolatie de gemiddelde jaartemperatuur in 2050. Rond af op 0,1 ºC.

VERDIEPING REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 31
u (ºC) 8,99,310,310,611,212,2
©VANIN

25 De tabel toont de massa m (in g) van een foetus na een aantal weken zwangerschap.

aantal weken912172023293440

massa m (g)314905309101 6402 320?

a) Schat de massa van de baby bij de geboorte (na 40 weken).

b) Na hoeveel weken weegt de foetus meer dan 1,5 kg? Rond af op 1 dag.

26 Je ziet de evolutie van het aantal leerlingen in een middelbare school, telkens op 1 september van een jaar.

a) Teken met ICT een lijndiagram van de gegevens.

b) Schat vanuit het diagram

• het aantal leerlingen op 1 september 2016:

• hoeveel schooljaren er meer dan 800 leerlingen waren:

c) Voorspel het aantal leerlingen op 1 september 2027.

VERDIEPING 1 2 3 4 5 32 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES
jaartal2008201120132014201720182022 aantal leerlingen 742789822814757784 803
©VANIN

De Body Mass Index (BMI) is een maat die bepaalt of je een gezond lichaamsgewicht hebt ten opzichte van je lengte. Er geldt: BMI = m

2

Daarbij is m de massa (in kg) en l de lengte (in m). De index werd ingevoerd door de Belg Adolphe Quetelet (1796-1874).

REEKS C

27 Om het verband tussen levensverwachting en BMI na te gaan, heeft de US Health and Retirement Survey een onderzoek gedaan bij 16 000 mensen ouder dan 55 jaar.

levensverwachting op de leeftijd van 55 jaar

a) Hoe moet je dit diagram interpreteren?

b) Bereken de totale levensverwachting van een 55-jarige man die 176 cm groot is en 83 kg weegt.

c) Een vrouw van 55 jaar is 168 cm groot. Welk lichaamsgewicht biedt haar de grootste levensverwachting? Rond af op 1 kg.

d) Vanaf welke BMI heeft een vrouw, volgens deze data, geen dag meer te leven?

©VANIN

VERDIEPING REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 33
l
5 10 15 20 25 30 1822 21 28,5 23,5 28,5 24,5 29 24 28,5 21 23 263238 BMI Mannen Vrouwen aantal jaren

1.2 Reële functies

1.2.1 Onafhankelijke en afhankelijke veranderlijke

Jan en Mia, een gepensioneerd echtpaar, beslissen om een terras aan te leggen. Ze bestellen bij een firma 5 m 3 stabilisé, een mengsel van zand, cement en water, en laten dat storten op de oprit. Ze rekenen uit dat er ongeveer 60 kruiwagens nodig zijn om de stabilisé van de oprit naar de tuin te brengen. Ze kunnen daarvoor rekenen op de hulp van hun kinderen.

Vul de tabel aan en teken de grafiek.

• Waarom mag je de punten op de grafiek niet verbinden?

• Het aantal kruiwagens per persoon y is afhankelijk van het aantal personen x dat een kruiwagen vervoert. Hoe meer personen, hoe meer/minder kruiwagens elke persoon zal moeten vervoeren.

Het aantal personen (input) noem je de onafhankelijke veranderlijke Je plaatst die op de x-as In een wetenschappelijk experiment is de onafhankelijke veranderlijke de grootheid die wordt veranderd of gecontroleerd om de effecten op de afhankelijke veranderlijke te testen.

Het aantal kruiwagens per persoon (output) noem je de afhankelijke veranderlijke Je plaatst die op de y-as. In een wetenschappelijk experiment is de afhankelijke veranderlijke de grootheid die wordt getest en gemeten.

Algemeen In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je

• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken;

©VANIN

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.

34 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
tabel grafiek input aantal personen x output aantal kruiwagens per persoon y 1 2 3 4 5 x 123456 y 10 20 30 40 50 60 0

Voorbeeld 1

Bepaal telkens de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke(n).

• Op een wiskundetoets krijg je voor elk goed antwoord 5 punten. Het verband tussen het aantal goede antwoorden en je eindcijfer is , waarbij x het aantal goede antwoorden is en y het eindcijfer.

onafhankelijke veranderlijke:

afhankelijke veranderlijke:

• Tim doet weekendwerk in een supermarkt. Hij verdient daarmee 12,75 euro per uur. Het verband tussen het loon w (in euro) van Tim en het aantal gewerkte uren t wordt gegeven door de formule .

onafhankelijke veranderlijke:

afhankelijke veranderlijke:

• De oppervlakte van een parallellogram met basis b en hoogte h bereken je met de formule .

onafhankelijke veranderlijke(n):

afhankelijke veranderlijke(n):

Voorbeeld 2

Om te berekenen hoeveel regenwater de regenpijpen per deel van het dak moeten kunnen afvoeren, gebruikt men de formule H = r  A

Daarbij is H de hoeveelheid regenwater (in l/min), A de oppervlakte van het deel van het dak (in m 2) en r een parameter die afhangt van de hellingshoek van het dak.

In de tabel lees je de waarde van r af voor verschillende hellingshoeken van het dakdeel.

• De onafhankelijke veranderlijken zijn

©VANIN

• De afhankelijke veranderlijke is

Een bepaald deel van het dak maakt een helling van 60º en heeft een oppervlakte van 32 m 2 Bereken hoeveel regenwater er per minuut moet kunnen worden afgevoerd.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 35
hoek0º-45º46º-60º61º-85º86º-90º r 1,81,441,080,54

1.2.2 Definitie

Vul de tabel aan die hoort bij de gegeven grafiek.

In het linkervoorbeeld bestaat er voor elke x-waarde (argument) hoogstens één y-waarde (functiewaarde). In het rechtervoorbeeld is dat niet het geval.

Een verband waarbij er voor elke x-waarde hoogstens één functiewaarde bestaat, noem je een functie

Definitie Functie

Een functie is een verband waarbij er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijke veranderlijke bestaat.

Een functie waarbij het argument en het beeld reële getallen zijn, is een reële functie

Een reële functie benoem je met een kleine letter: f, g, h

Met de verticale lijntest kun je controleren of een grafiek een functie voorstelt. Elke verticale rechte die je tekent, mag de grafiek van een functie hoogstens één keer snijden.

36 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
x −7−6−5−4−3−2−112345678 y −3 −4 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 x −7−6−5−4−3−2−112345678 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 0 x
–4–2024 y x –4–2024 y
x −5−4−3−2−1123 y −3 −2 −1 1 0 x −4−3−2−11234 y −2 −1 1 2 0 3 r  functie r  geen functie r  functie r  geen functie GEOGEBRA
©VANIN

Je kunt een functie op twee manieren noteren.

functievoorschrift

f (x) = 2x + 1 f : y = 2x + 1

functievergelijking

g (x) = (x –2) 2 + 4 g : y = (x –2) 2 + 4

h (x) = x 3 –2x + 5 h : y = x 3 – 2x + 5

Bij een functie noem je het beeld ook de functiewaarde Vervang je in het functievoorschrift x door –2, dan bereken je de functiewaarde van –2.

• f (x) = 2x + 1 ⇒ f (–2) =

• g (x) = (x – 2) 2 + 4 ⇒ g (–2) =

• h (x) = x 3 – 2x + 5 ⇒ h (–2) =

Voorbeelden

Stellen de grafieken

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 37
voor? 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee 1 1345–3–4–1–22 –1 –2 –3 –4 2 3 4 y x r  ja r  nee ©VANIN
functies

1.2.3 Domein en bereik

De onderstaande curve toont de temperatuur, gemeten in Ukkel, op een dag in januari.

• Tussen welke tijdstippen t (in h) werd de temperatuur gemeten? Noteer als een interval.

Dat interval noem je het domein van de functie.

• Welke temperaturen u (in ºC) werden er die dag bereikt? Noteer als een interval.

Dat interval noem je het bereik van de functie.

Definitie Domein

Het domein van een functie f is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

Definitie Bereik

Het bereik van een functie f is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

Voorbeelden

Bepaal het domein en het bereik van de functies.

38 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
f (x) = 1 – x 2 g (x) = √ x + 3 x −3−2−1123 y −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 0 x -4-3-2-11234567 y 1 2 3 0 • dom f = • ber f = • dom g = • ber g = t (h) 24681012141618202224 θ (°C) 15 10 −5 5 10 0 GEOGEBRA ©VANIN

Praktisch domein en praktisch bereik

Een auto rijdt 120 km/h en begint te remmen. Elke seconde rijdt hij 20 km/h trager.

De snelheid v (in km/h) van de auto na t seconden is gelijk aan v (t) = 120 – 20  t

De onderstaande grafiek houdt geen rekening met de fysische werkelijkheid. t (s)

−4−3−2−112345678

• De auto begint te remmen als t = en staat stil als t =

Waarden voor t buiten het interval

hebben dus geen fysische betekenis.

Je noteert: pdom v =

• De auto rijdt niet meer dan en niet minder dan .

Waarden voor v buiten het interval

hebben dus geen fysische betekenis.

Je noteert: pber v =

• Duid het gedeelte van de grafiek met een fysische betekenis aan in het rood.

Definitie Praktisch domein en praktisch bereik

Het praktisch domein van een functie f is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Het praktisch bereik van een functie f is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Voorbeeld

Je verdeelt 1 000 euro onder x mensen. Iedereen krijgt hetzelfde bedrag f (x) = 1 000 x Teken de grafiek met ICT.

• Als je geen rekening houdt met de fysische werkelijkheid, dan geldt:

dom f = ber f =

• Wat is het praktisch domein en praktisch bereik van f ?

pdom f = pber f =

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 39
v (km/h) −20 20 40 60 80 100 120 140 160 0

1.2.4 Nulwaarde(n)

Op welk tijdstip t is de temperatuur u gelijk aan 0 ºC?

Die waarden noem je de nulwaarden van de functie f

Hoe lees je de nulwaarde(n) van een functie af op de grafiek?

Definitie Nulwaarde

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Opmerking

In sommige gevallen, zoals in het voorbeeld van de temperatuurcurve, kun je de nulwaarden nauwkeurig aflezen op de grafiek. Dat is niet altijd mogelijk. Om de nulwaarde algebraïsch te berekenen, los je de vergelijking f (x) = 0 op.

Voorbeelden

Bereken de nulwaarde(n) van de functies.

40 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
f (x) = –2x + 5 h (x) = x 2 + 16 g (x) = 3x 3 + 81 i (x) = x 2 – 4 t (h) 24681012141618202224 θ (°C) 15 10 −5 5 10 0 GEOGEBRA ©VANIN

1.2.5 Tekenschema

Tussen welke tijdstippen t is de temperatuur u groter dan 0 ºC?

Voor welke tijdstippen t is de temperatuur u gelijk aan 0 ºC?

Tussen welke tijdstippen t is de temperatuur u kleiner dan 0 ºC?

Je kunt dat voorstellen in een tekenschema.

Bepaal het tekenschema van de functies.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 41
tijd t (h) temperatuur u (ºC)
Voorbeelden
x −2−1123 y −1 1 2 3 0 x −11234 y −1 1 2 3 0 x f (x) x g (x) t (h) 24681012141618202224 θ (°C) 15 10 −5 5 10 0 GEOGEBRA ©VANIN

1.2.6 Verloop

Wanneer nemen de functiewaarden toe?

Wanneer nemen de functiewaarden af?

Op welk tijdstip t is er een overgang van:

• een daling in temperatuur naar een stijging?

• een stijging in temperatuur naar een daling?

Definitie Relatief minimum en relatief maximum

Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen.

Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

• Wanneer bereikt de temperatuur een relatief minimum?

Wat is die temperatuur?

• Wanneer bereikt de temperatuur een relatief maximum?

Wat is die temperatuur?

Het verloop van de temperatuur kan je voorstellen in een verloopschema

Opmerking: het (relatief) minimum en (relatief) maximum van een functie noem je ook weleens de extreme waarden van een functie, of korter de extrema.

Voorbeelden Bepaal het verloop van de functies.

42 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
tijd t (h) temperatuur u (ºC)
x −2−1123 y −2 −1 1 2 3 0 x −2−11234 y −1 1 2 3 0 x f x g t (h) 24681012141618202224 θ (°C) 15 10 −5 5 10 0 GEOGEBRA VIDEO
©VANIN

1.2.7 Symmetrie

Symmetrie ten opzichte van de assen

Gegeven zijn de tabel en de grafiek van de verbanden y = x 2 en y 2 = x

• De grafiek stelt een functie / geen functie voor.

• De grafiek is symmetrisch ten opzichte van , want

Definitie Even functie

• De grafiek stelt een functie / geen functie voor.

• De grafiek is symmetrisch ten opzichte van , want

Een functie f is even als en slechts als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de y-as. Er geldt: f (–x) = f (x).

De grafiek van een even functie wordt bij spiegeling ten opzichte van de y-as op zichzelf afgebeeld.

Voorbeelden

Teken met ICT de grafiek van de functies. Duid de even functies aan.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 43
y = x 2 y 2 = x x –3–2–10123 y 9410149 x −5−4−3−2−1123 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 x –20149 y /0123 –1–2–3 x −4−3−2−11234567891011 y −3 −2 −1 1 2 3 0149
r  f (
) =
r
r  h (x) = x 2 –1 2 x 4 r  i (x) = –(x – 2) 2 GEOGEBRA ©VANIN
x
3x – 1
g (x) = –x 2 – 2

Symmetrie ten opzichte van de oorsprong

Gegeven zijn de tabel en de grafiek van het verband

• De grafiek stelt een functie / geen functie voor.

• De grafiek is symmetrisch ten opzichte van , want

Definitie Oneven functie

Een functie f is oneven als en slechts als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong. Er geldt: f (–x) = –f (x).

De grafiek van een oneven functie wordt bij spiegeling ten opzichte van de oorsprong op zichzelf afgebeeld.

Voorbeelden

Teken met ICT de grafiek van de functies. Duid de oneven functies aan.

44 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
y
1 x x –3–2–1 –1 2 0 1 2 123 y –1 3 –1 2 –1–2/21 1 2 1 3 x 7654321123456 y 3 2 1 1 2 3 4 0j
=
r  f (x) = 4x 2 + 3x r  g (x) = 4x – 1 r  h (x) = √ x r  i (x) = –x 3 – 2x ©VANIN

Oefeningen

REEKS A

28 Bepaal het domein en het bereik van de functies.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 45
a) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 d) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 b) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 e) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 c) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 f) x −4−3−2−11234 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0
©VANIN

29 Bereken de nulwaarde(n) van de functies.

46 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
a) f (x) = 3x + 4 f) f (x) = 3 4 x 2 + 5 b) f (x) = –5x + 6 g) f (x) = 3 x c) f (x) = 3 2 x + 1 3 h) f (x) = –2 5 (x – 2) 2 d) f (x) = x 2 – 64 i) f (x) = 2x 3 – 7 e) f (x) = –4x 2 + 1 j) f (x) = √ 2x + 5 ©VANIN

REEKS B

30 Bereken de nulwaarde(n). Teken daarna met ICT de grafiek van de functies en bepaal het tekenschema en het verloop.

a) f (x) = –2x + 5

nulwaarde:

tekenschema: x f (x)

verloop: x f

b) g (x) = –2x 2 + 7

nulwaarde:

tekenschema: x g (x)

verloop: x g

c) h (x) = (x – 3) 2

nulwaarde:

tekenschema: x h (x)

verloop: x h

d) i (x) = 2 x + 1

nulwaarde:

tekenschema: x i (x)

verloop: x i

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 47
©VANIN

31 Teken met ICT de grafiek van de functies. Bepaal het tekenschema en het verloop. Rond de nulwaarden en extrema (minima of maxima) af op 0,01.

a) f (x) = 3x 3 + 5

tekenschema: x f (x)

c) h (x) = 3  (x + 1) 2 – 2

tekenschema: x h (x)

verloop: x f

b) g (x) = x 3 – 9x

tekenschema: x g (x)

verloop: x g

verloop: x h

d) i (x) = −x 3 + 3x 2 − 4

tekenschema: x i (x)

verloop: x i

32 Om een lek in het zwembad van de familie Timmers te kunnen herstellen, moet men het volledig leegpompen. Het volume V (in l) van het water in het zwembad na x uren pompen is gelijk aan V (x) = 115 000 – 2 500 x

a) Hoeveel liter water bevat het zwembad als men begint te pompen?

b) Hoeveel liter wordt er per uur weggepompt?

c) Hoeveel liter water is er nog in het zwembad na 8 h?

©VANIN

d) Hoelang duurt het om het zwembad volledig leeg te pompen?

e) Geef het praktisch domein en praktisch bereik van de functie V.

48 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5

33 Mia heeft een bedrijf waarbij je bloemenruikers kunt bestellen die thuis geleverd worden. De grafiek toont de dagelijkse winst W (x) van het bedrijf in functie van het aantal verkochte bloemenruikers x.

a) Bij welke verkoop maakt Mia verlies?

b) Bij welke verkoop maakt ze winst?

c) Bij welke verkoop maakt ze winst noch verlies (‘break-even’)?

d) Bepaal het tekenschema van de functie.

34 Het lijndiagram toont de windsnelheid v (in km/h) in Ukkel op 1 november tussen 8 h en 20 h.

a) Tussen welke tijdstippen nam de windsnelheid toe?

b) Wanneer nam de windsnelheid af?

891011121314151617181920

e) Wat was de minimale windsnelheid?

c) Wat was de maximale windsnelheid?

d) Om hoe laat werd die maximale snelheid bereikt?

©VANIN

f) Om hoe laat werd die minimale snelheid bereikt?

g) Bepaal het verloop.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 49
x 1020304050607080 W (euro) −100 −50 50 100 150 200 0
x W (x)
t (h)
v (km/h) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t (h) v (km/h)

35 Bij een verkeersongeval is het belangrijk om te weten hoe snel de betrokken voertuigen gereden hebben. Om die snelheid te benaderen, meet de politie de remsporen. De functie v (r) = 4  √ r laat hun toe om de minimumsnelheid te bepalen op een droog wegdek. Daarbij is r de remweg (in m) en v de snelheid (in m/s).

a) Bereken de minimumsnelheid, als de remweg 20 m bedraagt. Rond af op 1 km/h.

b) De toegelaten maximumsnelheid in België is 120 km/h. Bereken de remweg op een droog wegdek. Rond af op 0,1 m.

36 De grafiek toont de snelheid v (in km/h) van de Thalys tussen Brussel en Parijs, in functie van de tijd t (in min).

a) In welke tijdsintervallen neemt de snelheid toe?

b) In welke tijdsintervallen neemt de snelheid af?

c) Na hoeveel minuten bereikt de trein een relatief maximale snelheid?

d) Wat is die maximale snelheid?

e) Na hoeveel minuten bereikt de trein een relatief minimale snelheid?

f) Wat is die minimale snelheid?

g) Bepaal het verloop van de functie.

50 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
t (min) 50 100 150 200 250 300 8075706560555045403530252015105859905 v (km/h)
t (min) v (km/h) ©VANIN

REEKS C

37 De concentratie c (in mg/l) van een geneesmiddel in het bloed wordt gegeven door de functie

c (t) = –30t (t – 3). Daarbij is t de tijd (in h) na inname.

a) Bereken de concentratie in het bloed na 2 h en 15 min. Rond af op 0,1 mg/l.

b) Teken met ICT de grafiek van de functie c

c) Na hoeveel tijd is de concentratie maximaal? Hoeveel bedraagt die concentratie dan?

d) Na hoeveel tijd is de medicatie uitgewerkt?

e) Geef het praktisch domein en bereik van de functie c

38 De inhoud V c (in ml) van een champagneglas wordt gegeven door de functie

V c (x) = 0,45p x 2 .

De inhoud V l (in ml) van een longdrinkglas kun je berekenen met de functie

V l (x) = 4p  x.

Daarbij is x de hoogte van de vloeistof (in cm).

a) Hoeveel ml bevat een champagneglas dat voor 7 cm gevuld is? Rond af op 1 ml.

b) Hoe hoog staat de vloeistof in een longdrinkglas dat 20 cl bevat? Rond af op 1 mm.

c) De volledige hoogte van een champagneglas is 10 cm. Een longdrinkglas heeft een totale hoogte van 17 cm. Bepaal het praktisch domein en praktisch bereik van de functies V c en V l Rond af op een eenheid.

©VANIN

d) Bepaal grafisch op welke hoogte beide glazen evenveel vloeistof bevatten. Bepaal die hoeveelheid vloeistof. Rond af op 1 mm en op 0,1 ml.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 51

1.3 Periodieke functies

1.3.1 Begripsvorming

Je ziet de hoogte, ten opzichte van de grond, van een van de wieken van een windmolen.

• Hoe hoog bevindt het uiteinde van de wiek zich op haar laagste punt?

• Wat is de hoogte op het hoogste punt?

• Hoe hoog boven de grond bevindt het bevestigingspunt van de wieken zich?

• Hoe lang is elke wiek?

• Hoelang doet een wiek over één volledige omwenteling?

• Op welke hoogte zal het uiteinde van de wiek zich bevinden na 20 s?

De grafiek van de hoogtefunctie vertoont een patroon dat zich om de herhaalt.

Je noemt de functie periodiek, met periode T = .

De frequentie f is het aantal perioden dat wordt doorlopen in 1 s. Hier is f =

De grafiek varieert tussen het maximum en het minimum

Het gemiddelde van die waarden is d =

De rechte met vergelijking y = d noem je de evenwichtslijn van de grafiek.

De evenwichtslijn verbindt de punten op de grafiek waar die grafiek een buigpunt heeft (een overgang van bol naar hol of omgekeerd).

De maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn noem je de amplitude a van de periodieke functie. Hier is a =

Definitie Periodieke functie

Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie.

52 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
tijd (s) hoogte (m) 3 6 9 12 15 a T 18 21 13456789111 212 0 y=d
GEOGEBRA VIDEO ©VANIN

Benamingen en notaties

De periode T is de lengte van het interval waarin het periodiek patroon zich één keer voordoet.

De frequentie f is het aantal doorlopen periodes per seconde. Er geldt: f = 1 T De eenheid van frequentie is Hertz (Hz).

Als m de minimale functiewaarde is en M de maximale functiewaarde, dan is de rechte met vergelijking y = d = m + M 2 de evenwichtslijn voor de grafiek.

De amplitude a is de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn. Er geldt: a = M – d (met a ∈ r 0 + ).

1.3.2 Voorbeeldoefening

Het Suzhou Ferris Wheel werd in 2009 geopend in China. Bij de opening was het een van de grootste reuzenraden van het land.

De grafiek beschrijft de hoogte h (in m) boven de grond als je in een reuzenrad zit. Daarbij is t de tijd (in min).

• Op hoeveel meter boven de grond stap je in?

• Wat is de periode?

• Wat is de betekenis van de periode?

• Na hoeveel tijd bereik je die maximale hoogte?

• Wat is de maximale hoogte boven de grond?

• Bepaal de vergelijking van de evenwichtslijn.

©VANIN

• Wat is de diameter van het reuzenrad?

• Stel dat je heel lang op het reuzenrad blijft. Op welke hoogte bevind je je dan na 2 h en 15 min?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 53
M m a T T T y=d
t (min) 5101520253035404550 h (m) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0

Oefeningen

REEKS A

39 Bepaal de periode T, de frequentie f, de vergelijking van de evenwichtslijn y = d en de amplitude a.

54 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
a) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = d) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = b) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = e) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = c) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = f) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −5 −6 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = f = d = a = ©VANIN

REEKS B

40 Een sportarts meet de ademhaling van een sporter tijdens een inspanning. De grafiek toont de luchtstroomsnelheid v (in l/s) in functie van de tijd t (in s). De luchtstroomsnelheid is positief tijdens het inademen en negatief tijdens het uitademen.

a) Bepaal de periode.

b) Geef de fysische betekenis van de periode.

c) Bepaal de frequentie.

d) Hoeveel keer ademt de sporter in en uit per minuut?

e) Wat is de maximale luchtstroomsnelheid?

f) Na hoeveel seconden wordt die maximale luchtstroomsnelheid bereikt?

g) Bepaal alle nulwaarden van de periodieke functie.

h) Wat is de fysische betekenis van de nulwaarden?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 55
t (s) 1234567 v (l/s) −1 1 0
©VANIN

Een elektrische stroom ontstaat door een spanningsverschil tussen twee ‘polen’. De ene pool heeft dan, simpel gesteld, een teveel aan elektronen, de andere een tekort. Bij gelijkspanning bewegen de elektronen altijd van de minpool naar de pluspool.

Bij wisselspanning wisselt de elektronenstroom voortdurend van richting.

Bij het elektriciteitsnet verandert de spanning 50 keer per seconde van +230 V naar –230 V en omgekeerd.

Batterijen en accu’s leveren gelijkspanning. Wisselspanning kan dan weer worden opgewekt met een generator, zoals een (fiets)dynamo.

De omzetting van wisselspanning naar gelijkspanning gebeurt met behulp van een adapter.

41 De grafiek toont het verloop van een wisselspanning U (in V) in functie van de tijd t (in s).

a) Bepaal de periode.

b) Bepaal de frequentie.

c) Na hoeveel seconden wordt de maximale waarde bereikt?

d) In de elektriciteitsleer geldt: U eff = U max √ 2 . Daarbij is U eff de effectieve spanning (in V) en U max de maximale spanning (in V).

Bereken de effectieve spanning op 1 V nauwkeurig.

56 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
gelijkspanningwisselspanning
t (s) −0,010,010,02 U (V) −320 −280 −240 −200 −160 −120 −80 −40 40 80 120 160 200 240 280 320 0
©VANIN

42 Op zandbanken voor de Belgische kust staan ongeveer 400 windturbines. Op de grafiek zie je de hoogte h (in m) boven het zeeniveau van het uiteinde van een van de rotorbladen in functie van de tijd t (in s), bij een maximale productie. De windsnelheid bedraagt op dat moment 13 m/s.

a) Hoeveel toeren doet een rotor per minuut?

b) Geef de vergelijking van de evenwichtslijn.

c) Wat is de fysische betekenis van de evenwichtslijn?

d) Hoe lang zijn de rotorbladen?

e) Hoeveel seconden per minuut bevindt het uiteinde van het rotorblad zich boven 240 m? Rond af op 1 s.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 57
t (s) −1123456789 h (m) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 0
©VANIN

43 Een zuiger beweegt in de cilinder van een motor op en neer. De grafiek toont de hoogte h (in cm) van de zuiger ten opzichte van de laagste stand, in functie van de tijd t (in s).

a) Bepaal de frequentie.

b) Geef de fysische betekenis van de frequentie.

c) Hoeveel keer beweegt de zuiger op en neer per minuut?

d) Wat is de maximale hoogte van de zuiger?

e) Een drijfstang is het onderdeel van een motor dat de zuiger met de krukas verbindt. Drijfstangen bewegen met een rotvaart op en neer en zetten de op- en neergaande beweging van de zuiger om in een cirkelvormige beweging.

Wat is de straal van die beweging?

f) Bepaal alle nulwaarden van de periodieke functie.

©VANIN

g) Geef de fysische betekenis van de nulwaarden.

58 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
t (s) 0,30,60,91,2 h (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 0

44 Soms worden periodieke verschijnselen beschreven door een optelling van een aantal periodieke functies. Bepaal de periode bij de volgende grafieken.

45 Je ziet een elektrocardiogram van een volwassen mens in rust. Het verschil tussen twee verticale rasterlijnen is 0,1 s.

a) Bepaal de hartslagfrequentie. Noteer het resultaat als een breuk.

b) Geef de betekenis van die hartslagfrequentie.

c) Bepaal de hartslag in rust van een volwassen mens (in aantal slagen per minuut).

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 59
a) x −7−6−5−4−3−2−11234567 y −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = c) x −4−224681012141618 y −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = b) x −5−4−3−2−112345 y −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T = d) x −8−6−4−224681012 y −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 0 T =
©VANIN

REEKS C

Geluiden bestaan uit kleine veranderingen in de luchtdruk, die je trommelvlies bereiken en die je dankzij zenuwimpulsen kunt registreren.

Hoe groter de amplitude van de trilling, hoe harder het geluid. Het volume van geluid wordt gemeten in decibel (dB).

De frequentie van de trilling bepaalt de toonhoogte.

Hoe groter de frequentie, hoe hoger de toon.

Het menselijk gehoor kan geluiden waarnemen

tussen 20 Hz en 20 000 Hz.

46 Je ziet de grafische voorstelling van drie geluidsgolven. Daarbij wordt de luchtdrukverandering np (in mPa) uitgedrukt in functie van de tijd t (in s).

a) Vul de tabel aan.

b) Welk geluid klinkt het luidst?

c) Welk geluid klinkt het hoogst?

d) Bepaal de drukverandering na 1 s van geluid 1. Rond af op 0,1 mPa.

e) Bepaal de nulwaarden van de periodieke functie die hoort bij geluid 2.

60 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
t (s) 0,010,020,030,040,050,060,07 −3 −2 −1 1 2 3 ∆p (μPa) 0 geluid1 geluid2 geluid3
periode T (s)frequentie f (Hz) amplitude a (mPa) geluid
1 geluid 2 geluid 3
©VANIN

In de natuur is er een wisselwerking tussen het aantal roofdieren en het aantal prooidieren. Als er veel prooidieren zijn, zal het aantal roofdieren toenemen omdat er voldoende voedsel is.

Daardoor neemt het aantal prooidieren weer af, zodat het aantal roofdieren ook daalt.

Daardoor zal het aantal prooidieren dan weer toenemen. Een wiskundig model dat zo'n wisselwerking beschrijft, noem je een prooi-roofdiermodel

47 Je ziet een voorbeeld van een prooi-roofdiermodel. De grafieken tonen het aantal dieren in functie van het aantal jaren.

a) Bepaal voor beide functies de periode.

b) Na hoeveel jaren zijn er de meeste prooidieren? Hoeveel zijn er dan?

c) Na hoeveel jaren is het aantal roofdieren gelijk aan het aantal prooidieren? Hoeveel zijn er dan?

d) Geef voor beide grafieken de vergelijking van de evenwichtslijn.

e) Bepaal de snijpunten van de grafiek voor de prooidieren met haar evenwichtslijn binnen één periode en geef de fysische betekenis.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 61
aantaljaren 12345678910111213141516171819 aantaldieren 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 prooidieren roofdieren 0
©VANIN

STUDIEWIJZER Verbanden en reële functies

1.1 Verbanden tussen grootheden

Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden.

Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt.

Een grafiek tekenen van een verband tussen grootheden (met en zonder ICT) met behulp van gegevens uit een tabel.

De formule opstellen die hoort bij een verband tussen grootheden met behulp van gegevens uit een tabel of afleiden uit de context van een vraagstuk.

Vragen beantwoorden in aanvaardbare, realistische situaties, waarvoor het noodzakelijk is om een of ander aspect uit de grafiek en/of de tabel af te lezen en te interpreteren.

1.2 Reële functies

In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, noem je

• de veranderlijken waarvan je de waarde kiest, de onafhankelijke veranderlijken;

• de veranderlijke waarvan de waarde berekend wordt, de afhankelijke veranderlijke.

In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts één afhankelijke veranderlijke.

Een functie is een verband waarbij er voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke hoogstens één waarde van de afhankelijke veranderlijke bestaat.

Het domein van een functie f is de verzameling van alle reële getallen waarvoor je een functiewaarde kunt bepalen.

Notatie: dom f

Het bereik van een functie f is de verzameling van alle functiewaarden.

Notatie: ber f

Het praktisch domein van een functie f is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat.

Het praktisch bereik van een functie f is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat.

Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvoor f (a) = 0.

Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen.

Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen.

Een functie f is even als en slechts als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de y-as.

Er geldt: f (–x) = f (x).

Een functie f is oneven als en slechts als de grafiek ervan symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong.

Er geldt: f (–x) = –f (x).

62 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
voor de leerling voor de leerkracht KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
©VANIN

In een grafische voorstelling, een formule, een tabel of een verwoording de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen.

Herkennen of een verband een functie of geen functie is.

Van een functie de volgende karakteristieken bepalen of bespreken:

• het domein en het bereik;

• de nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop.

Met behulp van ICT:

• het praktisch domein en praktisch bereik van een functie bepalen;

• de grafiek van een functie tekenen, rekening houdend met het praktisch domein en bereik;

• het tekenschema en het verloop van een functie bespreken.

1.3 Periodieke functies

KENNEN

Een functie waarvan de grafiek een patroon vertoont dat zich regelmatig herhaalt, is een periodieke functie.

De periode T is de lengte van het interval waarin het periodiek patroon zich één keer voordoet.

De frequentie f is het aantal doorlopen periodes per tijdseenheid.

Er geldt: f = 1 T

De eenheid van frequentie is Hertz (Hz).

Als m de minimale functiewaarde is en M de maximale functiewaarde, dan is de rechte met vergelijking y = d = m + M 2 de evenwichtslijn voor de grafiek.

De amplitude a is de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtslijn. Er geldt: a = M – d (met a ∈ r +).

De periode van een periodieke functie bepalen.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 1 I VERB ANDEN EN REËLE FUNCTIES 63 voor de leerling voor de leerkracht
–  + –  +
KUNNEN
–  + –  +
KUNNEN –  + –  +

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ filter

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Een 3 x 3-puzzel heeft 8 randstukjes en 1 middenstukje. Wat is het kleinste getal n waarvoor een n x n-puzzel minder randstukjes dan middenstukjes heeft?

B) 7 C) 8D) 9E) 10

–1 , dan geldt ...

3. In een flipperkast staan vier roterende plaatjes, zoals op de figuur links. Telkens als een knikker een plaatje raakt, kaatst de knikker en draait het plaatje 90º.

©VANIN

Knikker 1 wordt afgeschoten en volgt daarna het rode pad, met als gevolg dat de flipperkast er nu uitziet zoals op de figuur rechts. Daarna wordt knikker 2 afgeschoten in de richting van de rode pijl. Bij welke letter komt de knikker uit?

A) A B) B C) CD) DE) E VWO, editie 2023, eerste ronde

64 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 1 I VERBANDEN EN REËLE FUNCTIES 1 2 3 4 5
1 2 A E BC D
3p – 2 2p
A) p = q – 2 2q – 3 B) p = 2q – 1 3q – 2 C) p = 3q – 2 2q – 1 D) p = 3q – 1 2q – 2 E) p = 2q – 2 3q – 1 JWO, editie 2023, eerste
2. Als q =
ronde
A)
VWO,
6
editie 2023, eerste ronde

HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 65
2.1 Het recht evenredig verband 66 2.2 Het lineair verband 70 2.3 Het omgekeerd evenredig verband 76 2.4 Het zuiver kwadratisch verband 80 2.5 Toepassingen 87 Studiewijzer 98 Pienter problemen oplossen 100
GROOTHEDEN
©VANIN

2.1 Het recht evenredig verband

Roger moet enkele binnendeuren schilderen en gaat naar de winkel voor verf.

Omdat hij twijfelt over hoeveel verf hij nodig heeft, stelt de winkelbediende een tabel op waarin

Roger kan aflezen welke oppervlakte A (in m 2) hij kan schilderen per volume verf V (in l).

V (l)12345610

A (m 2) 8162432404880

Er geldt: A V = ⇒ A =

Als het volume verf twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Als het volume verf vijf keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Je zegt dat de grootheden ‘oppervlakte’ (A) en ‘volume’ (V) recht evenredig zijn.

Definitie Recht evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.

y x = a ⇒ y = a x (met a ∈ r 0) Je noemt a de evenredigheidsfactor of de richtingscoëfficiënt.

Eigenschap Als de onafhankelijke veranderlijke van recht evenredige grootheden met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de afhankelijke veranderlijke met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in m 2) weergeeft in functie van het volume verf V (in l).

De grafiek is

De rechte heeft als richtingscoëfficiënt

Geef de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt.

Besluit Als het verband tussen twee grootheden y en x recht evenredig is, dan is y = a x (met a ∈ r 0).

De grafische voorstelling van een recht evenredig verband is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a.

66 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
A V
VIDEO 90 80 70 60 30 20 10 0 40 50 12345671098 A (m2) V (l) ©VANIN

Voorbeeld 1

Van een stof gaat men proefondervindelijk het verband na tussen de massa m en het volume V

• Toon aan dat het verband tussen m en V recht evenredig is.

• Geef de formule van het verband tussen m en V

• Geef de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt.

• Zoek op het internet om welke stof het gaat.

• In welk mate verandert het volume als de massa vier keer groter wordt?

• Wat is de toename van de massa als het volume toeneemt met 5 cm 3?

Voorbeeld 2

Bij bouwwerken gebruikt men vaak ijzeren balken (‘poutrellen’) om muren van een bovenverdieping te ondersteunen als beneden een gedeelte van een muur wordt weggehaald. Zo’n balk moet stevig genoeg zijn. Dat wil zeggen dat hij niet te ver mag doorbuigen bij een grote belasting. In de tabel zie je een serie metingen voor een ijzeren balk van 6 m lang: d is de doorbuiging (in cm), b de belasting (in kg).

• Toon aan dat het verband tussen d en b recht evenredig is.

(kg)10 00020 00030 00050 000 80 000

• Geef de formule van het verband tussen d en b.

©VANIN

• Bepaal de doorbuiging (in cm) bij een belasting van 40 000 kg.

• In welk mate verandert de doorbuiging (in cm) als de belasting halveert?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 67
V (cm 3) m (g) 2,0 5,40 3,8 10,26 5,9 15,93 8,0 21,60 10,8 29,16
b
d (cm)0,51,01,52,5 4,0

Oefeningen

REEKS A

1 Stellen de tabellen recht evenredige verbanden voor?

a) x 1234 c) x 46810

y 3456 y 10152025

r  ja r  nee r  ja r  nee

b) x 6182427 d) x 36912

y –8–24–32–36 y 9182763

r  ja r  nee r  ja r  nee

REEKS B

2 Een traiteur verkoopt kaviaar aan 280 euro per 100 gram.

a) Vul de tabel aan.

massa m (g)50100150200250

kostprijs p (euro)

b) Toon aan dat het verband tussen p en m recht evenredig is.

c) Geef de formule van het verband tussen p en m

d) Geef de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt.

e) Voor een personeelsfeest van 60 personen voorziet een bedrijf 20 gram kaviaar per persoon. Wat is de kostprijs?

68 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

3 Saartje doet een vakantiejob bij een fastfoodrestaurant en verdient 16,50 euro per uur.

a) Stel de formule op van het verband dat het loon y (in euro) weergeeft in functie van het aantal gewerkte uren x

b) Teken de grafiek met ICT.

c) Vanaf hoeveel gewerkte uren zal Saartje meer dan 1 000 euro verdienen? Rond af op 1 uur.

• Bepaal grafisch:

• Bepaal algebraïsch:

REEKS C

4 In een kookboek vind je een recept terug om marmercake te bereiden voor vier personen. Naast melk, eieren en suiker heb je daarvoor de volgende ingrediënten nodig: 150 gram bloem, 250 gram amandelpoeder, 40 gram cacaopoeder en 200 gram boter.

a) Teken de grafiek die het verband weergeeft tussen de massa y (in gram) van elk ingrediënt in functie van het aantal personen x

©VANIN

b) Geef de formules van de verbanden tussen de massa van elk ingrediënt en het aantal personen. bloem rc: formule: cacaopoeder rc: formule: amandelpoeder rc: formule: boter rc: formule:

c) Welke hoeveelheid bloem heb je nodig om een cake te bereiden, als je 1 125 g amandelpoeder op voorraad hebt?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 69
800 700 600 300 200 100 0 400 500 1234567101112131415 98 y (g) x

2.2 Het lineair verband

2.2.1 Begripsvorming

Hanne en Tobias bereiden hun verhuis voor en zoeken via het internet een verhuiswagen. Bij bedrijf A betalen ze een vaste prijs van 130 euro per dag en 0,25 euro per gereden kilometer. Bij bedrijf B betalen ze een vaste prijs van 115 euro per dag en 0,50 euro per gereden kilometer.

Stel voor elk bedrijf een tabel op die de prijs y (in euro) weergeeft in functie van de afstand x (in km).

Bedrijf A

x (km)0102030405060100 y (euro)

Bedrijf B

x (km)0102030405060100 y (euro)

Vanaf welke afstand is bedrijf A goedkoper dan bedrijf B?

Definitie Lineair verband

Een verband is lineair als bij een gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort.

Een verband is dus lineair als het differentiequotiënt ny nx = y 2 – y 1 x 2 – x 1 constant is.

Dat differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de grafiek van dat verband.

Teken voor beide bedrijven de grafieken die het verband weergeven tussen de kostprijs y (in euro) in functie van de afstand x (in km). 180 y (euro)

Bedrijf A:

rc: ny nx = snijpunt y-as:

Formule van het verband:

Bedrijf B:

rc: ny nx = snijpunt y-as:

x (km)

©VANIN

102030405060708090100

Formule van het verband:

De grafiek is in beide gevallen .

Besluit Als het verband tussen twee grootheden y en x lineair is, dan is y = a  x + b.

De grafische voorstelling van een lineair verband is een (deel van een) rechte door het punt (0, b) met richtingscoëfficiënt a. Je noemt b de beginwaarde.

Opmerking: Een recht evenredig verband y = a  x is ook een lineair verband, met als beginwaarde b = 0.

70 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
160 140 120 100 80 60 40 20 0
VIDEO GEOGEBRA

Voorbeeld 1

Bij de geboorte van een baby meet men telkens de lengte en de hoofdomtrek. De tabel geeft de gemiddelde hoofdomtrek p (in cm) weer in functie van de lengte l (in cm).

l (cm)47484950515253

p (cm)33,1133,6434,1734,7035,2335,7636,29

a) Toon aan dat het verband tussen p (in cm) en l (in cm) lineair is.

b) Geef de formule van het verband tussen p en l

• richtingscoëfficiënt:

• De vergelijking van een rechte, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P(x 1, y 1) bevat, is y − y 1 = a  (x − x 1).

Daaruit volgt:

c) Heeft de beginwaarde een fysische betekenis? Verklaar.

d) Hoe groot is een baby met een hoofdomtrek van 38 cm? Rond af op 0,01 cm.

Voorbeeld 2

De tabel toont de dagelijkse kosten K (in euro) van een bedrijf dat q vaatwasmachines per dag produceert. Het verband tussen K en q is lineair.

a) Stel een formule op die K uitdrukt in functie van q

q 5080

K (euro)8 25012 000

b) Geef de economische betekenis van:

• de beginwaarde:

• de richtingscoëfficiënt:

c) Het bedrijf verkoopt de machines tegen 400 euro per stuk. Hoeveel vaatwasmachines moet het minstens per dag verkopen om winst te boeken?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 71
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

5 Stellen de tabellen lineaire verbanden voor?

a) x 1258 c) x –5–4–3–2 y 351117 y 0468

r  ja r  nee r  ja r  nee

b) x 210–1 d) x 061828 y 0124 y 4133146

r  ja r  nee r  ja r  nee

REEKS B

6 Na de zomer besluit Luiz om het zwembad voor zijn kinderen leeg te laten lopen.

Het zwembad heeft een inhoud van 5,5 m 3 De inhoud van het zwembad vermindert met 15 liter per minuut.

a) Vul de tabel aan.

b) Toon aan dat het verband tussen de inhoud I (in l) en de tijd t (in h) lineair is.

c) Geef de formule van het verband tussen I en t

©VANIN

d) Na hoeveel tijd is het zwembad leeggelopen? Rond af op 1 minuut.

72 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
tijd t (h)0 1 2 3 4 5 inhoud
(l)
I

7 Je steekt een kaars van 20 cm lang aan. Elk uur wordt ze 2,2 cm korter.

a) Geef de formule van het lineair verband tussen de lengte l (in cm) van de kaars en de tijd t (in h).

b) Hoelang duurt het voor de kaars is opgebrand? Rond af op 1 minuut.

c) Een kaars van 15 cm lang is dikker. Je steekt ze gelijktijdig aan. Elk uur wordt ze 1,2 cm korter. Na hoeveel seconden zijn de kaarsen even lang? Bepaal de lengte van beide kaarsen op dat moment.

• Bepaal grafisch:

• Bepaal algebraïsch:

De Celsiusschaal is ontworpen door de Zweed Anders Celsius (1701-1744).

In zijn schaal is 0 graden de temperatuur waarbij water bevriest, en 100 graden de temperatuur waarbij water kookt, beide onder normale druk. De Duitser Gabriel Fahrenheit (1686-1736) legde het nulpunt van zijn schaal bij de in die tijd laagst meetbare temperatuur (het smeltpunt van een mengsel van ammoniak en water) en 100 graden bij de menselijke lichaamstemperatuur.

8 In de Verenigde Staten gebruiken ze graden Fahrenheit om de temperatuur te meten. Wij gebruiken graden Celsius. Het verband tussen die temperatuurschalen is lineair. Hieronder vind je voor twee temperaturen in ºF de temperatuur in ºC.

a) Stel een formule op om x (ºF) om te zetten in y (ºC).

70

21,1

©VANIN

b) In een verslag over de US Open in New York zie je een temperatuur van 95 ºF. Hoeveel graden Celsius is dat? Rond af op 0,1 ºC.

c) Op de dag dat de president van de Verenigde Staten een bezoekje brengt aan Brussel, is het 10 ºC. Hoeveel graden Fahrenheit is dat? Rond af op 0,1 ºF

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 73
x (ºF)40
y (ºC)4,4

2.2.2 Lineaire regressie

Bij een laboratoriumproef onderzoekt men voor een afgesloten hoeveelheid gas het verband tussen de druk p en de temperatuur u Daarbij houdt men het volume van het gas constant.

De meetresultaten staan in de tabel.

Je stelt de gegevens voor met een spreidingsdiagram of puntenwolk

Je ziet een duidelijke stijgende trend. De punten liggen op een rechte die niet door de oorsprong gaat.

Het verband tussen p en u is dus een lineair verband.

Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een trendlijn die past bij de punten van het spreidingsdiagram. Daarvoor pas je lineaire regressie toe.

a) De vergelijking van de regressierechte is:

b) Hoeveel bedraagt de druk bij een temperatuur van 64 ºC?

©VANIN

c) Hoeveel bedraagt de temperatuur van het gas bij een druk van 1,70 bar?

74 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
u (ºC) 2540557085100 p (bar)1,201,261,321,381,441,50
GEOGEBRA 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 020406080100120 θ (°C) p (bar)

Oefeningen

REEKS B

9 Een kind groeit in het eerste levensjaar ongeveer 25 cm. Daarna kennen kinderen min of meer een lineaire groei tot de puberteit. In de puberteit volgt dan een groeispurt. In de tabel vind je de lengte y (in cm) van Jules, gemeten op de leeftijd x van 2, 5 en 11 jaar.

x (jaren)2511

y (cm)88109141

a) Bepaal via lineaire regressie de formule van het verband tussen de lengte y (in cm) en de leeftijd x (in jaren).

b) Geef de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt van de rechte.

c) Geef de fysische betekenis van de beginwaarde van de rechte.

d) Hoe groot was Jules toen hij 8 jaar was? Rond af op 1 cm.

10 Antropologen schatten de grootte van een volwassen mens met behulp van de lengte van gevonden beenderen. Het bovenarmbeen (de humerus) is een been dat meestal nog intact is bij opgravingen naar resten van onze voorouders. De tabel toont de lengte x (in cm) van de humerus en de lengte y (in cm) van zeven volwassen mannen.

x (cm)30,932,333,736,837,239,341,3

y (cm)160164168177178184190

a) Bepaal via lineaire regressie het verband tussen de totale lengte y (in cm) en de lengte x (in cm) van de humerus.

b) Geef de betekenis van de richtingscoëfficiënt van de rechte.

c) Robert Wadlow (1918-1940) was 272 cm groot. Hoe lang was zijn bovenarmbeen? Rond af op 0,1 cm.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 75
ICT ICT ©VANIN

2.3 Het omgekeerd evenredig verband

Jessie en Maxine gaan samenwonen en kopen een nieuwbouwwoning. Bij de keuze van de vloertegels voor de gelijkvloerse verdieping twijfelen ze over het formaat van de tegels: Jessie houdt van een ietwat kleinere vloertegel, terwijl Maxine de voorkeur geeft aan een grotere tegel.

Je ziet de tabel die het aantal benodigde vloertegels n weergeeft in functie van de oppervlakte A (in dm 2) van de tegel.

Als de oppervlakte van de tegel vier keer groter wordt, dan wordt het aantal tegels .

Je zegt dat de grootheden ‘aantal tegels’ (n) en ‘oppervlakte van de tegel’ (A) omgekeerd evenredig zijn.

Definitie Omgekeerd evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x y constant is.

x y = c ⇒ y = c x (met c ∈ r 0) Je noemt c de evenredigheidsfactor.

Eigenschap Als de onafhankelijke veranderlijke van omgekeerd evenredige grootheden met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de afhankelijke veranderlijke door hetzelfde getal gedeeld.

Teken de grafiek van het verband dat het aantal tegels n weergeeft in functie van de oppervlakte A (in dm 2) van de tegel.

De grafiek is Geef de fysische betekenis van de evenredigheidsfactor.

Besluit Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r 0)

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband is een (deel van een) hyperbool.

76 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
A (dm 2) 6,25916253656,25 n 1 4401 000562,5360250160 A n
A n = ⇒ n =
Er geldt:
VIDEO
1800 1600 1400 1200 1000 800 400 200 600 10203040506070 A (dm²) n ©VANIN
GEOGEBRA

Voorbeeld 1

In een natuurgebied staat het grondwater op een diepte van 90 cm. Hoe groter de hoogte h (in cm) boven de grondwaterstand, hoe kleiner het vochtgehalte p (in %) van de grond wordt.

Een onderzoeksteam heeft verschillende stalen genomen:

h (cm)1025405080

p (%)3212,886,44

a) Toon aan dat het verband tussen p en h omgekeerd evenredig is.

b) In welke mate verandert het vochtgehalte als de hoogte boven de grondwaterstand verdubbelt?

c) Geef de formule van het verband tussen het vochtgehalte p (in %) en de hoogte h (in cm).

d) Bereken het vochtgehalte van de grond op een diepte van 30 cm. Rond af op 0,1 %.

Voorbeeld 2

Een fysicaleerkracht toont de klas vijf verschillende metaaldraden en sluit die aan op een batterij met een constante spanning U. De leerlingen noteren telkens de weerstand R van elke draad, uitgedrukt in ohm (Ω), en de stroomsterkte I, uitgedrukt in ampère (A).

©VANIN

b) Geef de formule van het verband tussen de stroomsterkte I (in A) en de weerstand R (in Ω)

c) Voor welke weerstand is de stroomsterkte kleiner dan 1,50 A? Rond af op 0,01 Ω

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 77
R (Ω) I (A) 50 4,60 100 2,30 200 1,15 250 0,92 400 0,575
h 90 cm a) Teken de grafiek. 5 4 3 2 1 0 50100150200250300350400450 R (Ω) I (A)

Oefeningen

REEKS A

11 Stellen de tabellen omgekeerd evenredige verbanden voor?

a) x 1234 c) x 4568 y 8642 y 1512108

r  ja r  nee r  ja r  nee

b) x –8–4–2–1 d) x 10152060 y 1,53612 y 3020155

r  ja r  nee r  ja r  nee

REEKS B

12 In een vat bevindt zich een hoeveelheid lucht die afgesloten is door een zuiger die zonder wrijving kan bewegen. De temperatuur blijft constant. Een onderzoeker meet het volume V (in dm 3) en de druk p (in bar). De tabel toont de resultaten.

a) Toon aan dat het verband tussen p (in bar) en V (in dm 3) omgekeerd evenredig is.

b) Geef de formule van het verband tussen p en V.

c) Welke druk is er in het vat, als het volume wordt verkleind tot 0,3 dm 3? Rond af op 0,1 bar.

d) Hoeveel bedraagt het volume, als de druk in het vat gelijk is aan 3,2 bar? Rond af op 0,01 dm 3

De vorige oefening toont een bijzonder geval van de algemene gaswet.

Die wet beschrijft het verband tussen de druk, het volume en de temperatuur van een ideaal gas. Daarbij veronderstel je dat de gasmoleculen geen volume hebben en geen invloed op elkaar uitoefenen. Er geldt: p V = n R T

Daarbij is p de druk in Pa (N/m 2), V het volume (in m 3), n de hoeveelheid gas (in mol) en T de temperatuur (in Kelvin). 0 K is het absolute nulpunt: –273,15 ºC.

R is de gasconstante en is gelijk aan 8,314 472 J K mol (J is het aantal joule of Nm).

78 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
V (dm 3) 2,51,81,20,80,4 p (bar)0,700,971,462,194,37
ZUIGER ©VANIN

13 Vader vertrekt met de auto naar zijn werk en rijdt met een gemiddelde snelheid van 72 km/h.

Exact 20 minuten later komt hij aan.

a) Welke afstand heeft vader dan afgelegd?

b) Duid de formules aan die het verband weergeven tussen de snelheid v (in km/h) en de tijd t (in h).

r  v = 24 t

r  v = t 24

r  v = 24  t r  v = 24  t 2

REEKS C

r  v + t = 24

r  t = 24 v r  v t = 24 r  v  t = 24

14 Een eerste tandwiel draait in wijzerzin en heeft een diameter van 240 mm.

Het maakt 1 440 toeren (omwentelingen) per minuut.

Twee andere tandwielen grijpen in op het eerste tandwiel.

Het tweede tandwiel maakt 360 toeren per minuut.

Het derde tandwiel heeft een diameter van 270 mm.

a) Stel de situatie voor met een tabel.

diameter tandwiel (mm)

aantal toeren/min

b) Bereken de diameter van het tweede tandwiel.

c) Bereken het aantal toeren per minuut van het derde tandwiel.

d) In welke zin draaien tandwiel 2 en 3?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 79
©VANIN

2.4 Het zuiver kwadratisch verband

2.4.1 Begripsvorming

Je vergroot de ribbe van een kubus telkens met 1 cm. In de volgende tabel zie je de oppervlakte A (in cm 2) van de kubus in functie van de ribbe r (in cm).

r (cm)123456

A (cm 2) 6245496150216

Er geldt: A r 2 = ⇒ A =

Als de lengte van een ribbe twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Als de lengte van een ribbe drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Je zegt dat het verband tussen de grootheden ‘oppervlakte’ (A) en ‘lengte van de ribbe’ (r) zuiver kwadratisch is.

Definitie Zuiver kwadratisch verband

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.

y x 2 = a ⇒ y = a  x 2 (met a ∈ r 0) Je noemt a de evenredigheidsfactor

Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm 2) weergeeft in functie van de ribbe r (in cm).

De grafiek is waarvan de top samenvalt met

Besluit Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a  x 2 (met a ∈ r 0).

De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband is een (deel van een) parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong.

80 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
GEOGEBRA r r VIDEO 12345678 r (cm) A (cm2) 300 250 200 150 100 50 0 ©VANIN

Voorbeeld

Toen de Apollo 15 in 1971 op de maan landde, deed de astronaut David Scott een valproef. Hij liet een hamer en een ganzenveer tegelijkertijd vanaf dezelfde hoogte vallen. De voorwerpen bereikten de grond op hetzelfde moment. Die proef bevestigde dat de maan geen dampkring heeft, dus dat er met andere woorden geen luchtwrijving is. Op aarde is er natuurlijk wel wrijving, zodat voorwerpen trager vallen dan de traditionele wetten van de fysica voorspellen.

De tabel toont het verband tussen de afgelegde weg s (in m) en de tijd t (in s) van een vallend voorwerp op de maan.

t (s) 2 4 6 8 10

a) Bestaat er een zuiver kwadratisch verband tussen de grootheden s en t? Verklaar.

b) Geef de formule van het verband.

c) Op aarde bedraagt de valversnelling ongeveer 9,81 m/s 2 . Geef de formule van het verband tussen de afgelegde weg s (in m) van een vallend voorwerp op aarde en de tijd t (in s).

Tip: gebruik de formule voor een eenparig versnelde beweging: s = 1 2 a t 2

Daarbij is s de afgelegde weg (in m), a de versnelling (in m/s 2) en t de tijd (in s).

d) Vanop welke hoogte valt een voorwerp dat na 2,5 s de grond bereikt? Rond af op 0,01 m.

• op de maan: • op aarde:

e) Teken met ICT de grafieken van beide functies. Houd rekening met de fysische werkelijkheid. Hoe zie je grafisch dat de valversnelling groter is op aarde dan op de maan?

©VANIN

f) Bereken de valversnelling op de maan.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 81
s (m)3,2613,0429,3452,1681,5

Oefeningen

REEKS A

15 Stellen de tabellen zuiver kwadratische verbanden voor?

a) x 1234 c) x –5–4–3–2 y 3122748 y 12,584,52 r  ja r  nee r  ja r  nee

b) x 2345 d) x 12510 y 245496150 y 1101001 000 r  ja r  nee r  ja r  nee

REEKS B

16 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp.

h s

a) Toon aan dat het verband tussen de grootheden h (in m) en s (in m) zuiver kwadratisch is.

b) Geef de formule van het verband.

c) Op welke hoogte (in cm) bevindt een skater zich op 1,3 m van het centrum? Rond af op 1 cm.

©VANIN

d) Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte van de ramp 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

82 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
s (m)0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 h (m)0,030,120,270,480,75

17 In de Verenigde Staten heeft men bij basketspelers van de NBA een onderzoek gedaan naar het verband tussen de maximale hoogte h (in cm) van de vingertoppen in vergelijking met de hoogte bij stilstand en de sprongtijd t (in s). De tabel geeft de gemiddelde resultaten.

a) Toon aan dat het verband tussen h (in cm) en t (in s) zuiver kwadratisch is.

b) Geef de formule voor het verband tussen h en t

c) Bereken de maximale hoogte voor een speler met een sprongtijd van 0,95 s. Rond af op 0,1 cm.

d) Darrell Griffith sprong 120 cm hoog. Bereken zijn sprongtijd. Rond af op 0,01 s.

REEKS C

18 Je vergroot de zijde van een vierkant telkens met 1 cm en onderzoekt wat er gebeurt met de maatgetallen van de omtrek P en de oppervlakte A van het vierkant.

a) formule omtrek vierkant: soort verband:

b) formule oppervlakte vierkant: soort verband:

c) Vul de tabel aan.

z (cm)123456 P (cm)

(cm 2)

d) Teken de grafiek.

e) Vanaf welke waarde van z is het maatgetal van de oppervlakte van het vierkant groter dan het maatgetal van de omtrek?

• Bepaal grafisch:

• Bepaal algebraïsch:

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 83
A
40 z (cm) 35 30 25 20 15 10 5 0 12345678 maatgetal P/A
t (s)0,40,50,60,70,8 h (cm)19,530,543,959,878,1 ©VANIN

2.4.2 Machtsregressie

Voorbeeld 1

De elektrische weerstand R van een draad hangt onder andere af van de lengte van de draad, de doorsnede en het materiaal waaruit de draad bestaat.

Van een koperdraad met een lengte van 5 m worden telkens de oppervlakte A (in mm 2) van de doorsnede en de weerstand R (in Ω) bepaald. De resultaten vind je in de tabel.

Je stelt de gegevens voor met een spreidingsdiagram of puntenwolk

Je ziet een duidelijk dalende trend, waarbij de daling afneemt naarmate de x-waarden groter worden.

De punten liggen op een hyperbooltak.

Het verband tussen R en A is dus een omgekeerd evenredig verband.

Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een trendlijn die past bij de punten van het spreidingsdiagram. Daarvoor pas je machtsregressie toe.

a) De vergelijking van de regressielijn is:

b) Hoeveel bedraagt de weerstand R (in Ω) van de koperdraad bij een doorsnede A van 50 mm 2? Rond af op 0,000 1 Ω

c) Bepaal de straal r (in mm) van de koperdraad, als je weet dat de weerstand R gelijk is aan 0,000 9 Ω. Rond af op 0,1 mm.

84 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
A (mm 2) 41012203056 R (Ω) 0,021 90,008 80,007 30,004 40,002 90,001
6
GEOGEBRA 0 0,005 0,01 0,015 0,02 010203040506070 R (Ω) A (mm2) ©VANIN

Voorbeeld 2

Een bewegend voertuig, zoals een fiets, auto of vliegtuig, ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.

Hoe groter de luchtwrijvingskracht, hoe groter het brandstofverbruik. Bij een proef meet men de luchtwrijvingskracht F w (in N) bij verschillende snelheden v (in m/s). De meetresultaten vind je in de tabel.

v (m/s)1020304050

F w (N)41,9163,2359,1644,0999,4

Je stelt de gegevens voor met een spreidingsdiagram of puntenwolk

Je ziet een duidelijk stijgende trend, waarbij de stijging toeneemt naarmate de x-waarden groter worden.

De punten liggen op een parabool door de oorsprong.

Het verband tussen F w en v is dus een zuiver kwadratisch verband.

Om dat verband te vinden, bepaal je met ICT een trendlijn die past bij de punten van het spreidingsdiagram. Daarvoor pas je opnieuw machtsregressie toe.

a) De vergelijking van de regressielijn is:

b) Hoeveel bedraagt de luchtwrijvingskracht F w (in N), als de snelheid v gelijk is aan 27 m/s? Rond af op 0,1 N.

c) Bepaal de snelheid v (in m/s) van het voertuig bij een luchtwrijvingskracht van 750 N. Rond af op 0,1 m/s

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 85
GEOGEBRA 0 200 400 600 800 1000 0102030405060 F w (N) v (m/s) ©VANIN

Oefeningen

REEKS B

19 Een groothandel onderzoekt of er een verband bestaat tussen het aantal verkochte producten y (in kg) en hun prijs x (in euro) per kg. In de tabel vind je de resultaten van de tomatenverkoop van de eerste twee kwartalen van vorig jaar.

x (euro)2,382,162,182,041,942,092,222,47

y (kg)4 5104 9684 9155 2165 5335 1564 8194 349

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal verkochte tomaten y (in kg) en de prijs x per kg (in euro).

b) Welke kostprijs kan de groothandel hanteren om minstens 5 000 kg tomaten te verkopen? Rond af op 0,01 euro.

20 De remweg van een fiets is de afstand die de fiets aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop ze stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. Een bedrijf dat fietsen produceert, brengt volgend jaar een nieuw model op de markt. Men doet onderzoek naar de remweg s (in m) in functie van de snelheid v (in km/h) van de fiets. De tabel toont je de testresultaten van het model. v (km/h)10141822263034

16,49

a) Bepaal via regressie het verband tussen de remweg s (in m) en de snelheid v (in km/h) van de fiets.

b) Een wielrenner doet een afdaling met een gemiddelde snelheid van 64 km/h. Bereken de remweg in dezelfde weersomstandigheden. Rond af op 0,01 m.

c) Voor een tweede fiets, die vorig jaar op de markt kwam, wordt de remweg gegeven door de formule s = 0,016  v 2. Bereken de remweg van de fiets, als je weet dat, in identieke omstandigheden en bij een gelijke snelheid, de remweg van de eerste fiets 10 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

86 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
s (m)1,432,914,867,319,8813,15
ICT ICT ©VANIN

2.5 Toepassingen

Voorbeeld 1

De wekelijkse vraag qA naar een product A wordt gegeven door de functie qA(p) = 400 – 20 p Het wekelijkse aantal verkochte eenheden qB van een gelijkaardig product B is qB(p) = 400 p

Daarbij is p de prijs (in euro) per eenheid.

Bij welke prijs worden er van beide producten evenveel eenheden verkocht? Hoeveel eenheden zijn dat? Los op met ICT.

• Geef de functievoorschriften als volgt in:

f(x) = 400 – 20  x

g(x) = 400 x

• Bepaal de coördinaat van de snijpunten van de grafieken.

Voorbeeld 2

Toon grafisch aan dat een cirkel altijd een grotere oppervlakte heeft dan een vierkant met dezelfde omtrek.

Stel: de omtrek is x, de zijde van het vierkant is z en de straal van de cirkel is r

Dan: 4z = x ⇒ z =

De oppervlakte van het vierkant is f (x) = z 2 =

De oppervlakte van de cirkel is g (x) = p  r 2 =

Teken met ICT de grafieken van beide functies. Wat valt je op?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 87
2 p r = x ⇒ r =
400 f g 350 300 250 200 150 100 50 0 510152025303540 p (euro) q
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

21 Onderzoek of er tussen de grootheden y en x een recht evenredig, lineair, omgekeerd evenredig of zuiver kwadratisch verband bestaat. Geef telkens de formule van het verband.

a) x 46810 f) x 5678 y 491625 y 15182124

y = y =

b) x 0123 g) x 1234 y 14710 y 2401208060

y = y =

c) x 3456 h) x –4–3–2–1 y 3664100144 y 8642

y = y =

d) x –4–3–2–1 i) x –10–5–4–2 y 15203060 y –10–20–25–50

y = y =

©VANIN

e) x –1135 j) x 1234 y 181260 y 281832

y = y =

88 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5

REEKS B

22 De formule die men gebruikt om de eenheid inch (i) om te zetten naar meter (m), is: m = 0,025 4 i.

a) Vul de tabel aan.

b) Welk soort verband bestaat er tussen m en i?

c) Hoeveel cm bedraagt de diagonaal van een 55 inch-tv?

23 Voor een taxirit gelden de volgende tarieven:

• vertrekgeld: 3,50 euro;

• prijs per kilometer: 2,30 euro (tussen 6 h en 22 h); 2,70 euro (tussen 22 h en 6 h).

a) Geef de formule van het verband dat de prijs y (in euro) uitdrukt in functie van de afstand x (in km).

• tussen 6 h en 22 h:

• tussen 22 h en 6 h:

b) Bereken hoeveel een taxirit die overdag 18,45 euro kost, ’s nachts zou kosten.

24 Een zeilboot met veertien avonturiers vaart naar een onbewoond eiland. Er is juist voldoende water en voedsel voor de voorziene heenreis van negen dagen.

a) Vul de tabel aan.

aantal expeditieleden x 126914

aantal dagen y 9

b) Welk soort verband bestaat er tussen y en x?

©VANIN

c) Geef de formule van het verband.

d) Na een kort verblijf op het onbewoonde eiland maken de avonturiers zich opnieuw klaar voor vertrek. Ze bevoorraden hun boot opnieuw voor de voorziene negen dagen. Juist voor het vertrek beslissen twee avonturiers om achter te blijven. Hoeveel dagen extra kan de terugreis dan duren?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 89
0 0123456789101112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161718192021222324252627282930 cm inch 0 0123456789101112 123456789101112131415161718192021222324252627282930 cm inch inch (i)meter (m) 5 10 15 20 25

25 De tabel toont de levensverwachting bij vrouwen in België vanaf 1970 tot en met 2021.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de levensverwachting y en het aantal jaren x na 1970.

b) Wat is de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt van de rechte?

c) Voorspel de gemiddelde levensverwachting in 2030.

d) Vanaf welk jaar mag je verwachten dat vrouwen een gemiddelde levensverwachting boven de 90 jaar hebben?

Onweer ontstaat meestal bij warm en vochtig weer. De opstijgende warme lucht koelt af en vormt een wolk. In die wolk bevriezen sommige waterdruppels, die daardoor dalen en botsen met stijgende warme waterdruppels. Daardoor ontstaat er elektrische lading. De lichtflits die je ziet bij onweer, is dus het resultaat van een elektrische ontlading. Donder is het geluid dat ontstaat door de grote hitte van de bliksem.

26 Tijdens een onweer kun je bepalen hoe ver de bliksem verwijderd is van de plaats waar je je bevindt, door het verschil in snelheid tussen licht en geluid. De tabel toont het verband tussen de afstand s (in m) van de bliksem en de tijd t (in s) tussen de bliksemschicht en de donderslag.

t (s)2468

s (m)6621 3241 9862 648

a) Welk soort verband bestaat er tussen s en t?

b) Geef de formule van dat verband.

©VANIN

c) Wat is de snelheid van het geluid?

d) Tussen de bliksem en de donder verstrijken 2,5 s. Hoe ver weg is het onweer?

e) Hoelang zal het duren vooraleer je de donder hoort, als het onweer zich op 5 km bevindt?

90 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
jaartal 197019811989199520002006201320182021 levensverwachting y in jaren 74,276,879,180,380,982,282,983,784,0
ICT

f figuur4figuur3figuur2 iguur1

Hoeveel witte vierkanten en hoeveel blauwe vierkanten zal figuur 12 bevatten?

Figuur 12 zal witte vierkanten bevatten.

Figuur 12 zal blauwe vierkanten bevatten.

28 Nu ze achttien jaar is geworden, heeft Myra een mooi kapitaal bij elkaar gespaard. Ze wil een deel van haar spaargeld op een spaarboekje zetten. Ze twijfelt nog over het juiste bedrag. De bank biedt een enkelvoudige intrest aan van 0,50 % per jaar.

a) Vul de tabel aan.

kapitaal k (euro)5001 0001 5002 0002 5003 000 intrest I na één jaar (euro)

b) Welk soort verband bestaat er tussen de intrest I en het kapitaal k?

c) Geef de formule van het verband tussen I en k

d) Hoeveel intrest krijgt Myra na één jaar, als ze een kapitaal van 1 300 euro op haar spaarboekje zet?

e) Bereken het eindkapitaal K op haar spaarboekje, als Myra na één jaar 22 euro intrest heeft gekregen.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 91 27 Bekijk de volgende figuren.
©VANIN

29 Over het algemeen daalt de temperatuur naargelang de hoogte toeneemt. Op de grafiek lees je de temperatuur �� af (in ºC) op een zonnige lentedag in functie van de hoogte h (in m).

a) Welk soort verband bestaat er tussen u en h?

b) Hoeveel bedraagt de temperatuur u op zeeniveau?

c) Geef de formule van het verband.

d) Op welke hoogte bedraagt de temperatuur 2,4 ºC?

30 Een paraglider bevindt zich op een hoogte van 240 m en vliegt met een snelheid van 24 km/h. Na 5 min bevindt de paraglider zich nog op een hoogte van 125 m.

a) Geef de formule van het verband tussen de hoogte h (in m) en de tijd t (in h).

b) Wat is de fysische betekenis van de richtingscoëfficiënt?

c) Hoelang blijft de paraglider in de lucht zweven? Rond af op 1 s.

d) Welke afstand heeft de paraglider dan overbrugd? Rond af op 0,1 km.

92 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
20 θ (°C) h (m) 15 10 5 2004006008001000120014001600 ©VANIN

31 Vader en zijn twee kinderen, Arthur en Wilma, vertrekken naar de fitness. Vader gaat met de auto, Arthur gaat te voet en Wilma gaat met de fiets. Ze bewegen elk met een constante snelheid. De onderstaande grafiek is de s(t)-grafiek van de drie personen. Daarbij is s de afgelegde weg (in km) en t de tijd (in min).

a) Vul de tabel aan.

vader Arthur Wilma rechte soort verband

b) Welke formule hoort bij de rechte a?

c) Welke formule hoort bij de rechte b?

d) Welke formule hoort bij de rechte c?

e) Welke afstand s (in km) heeft Arthur gewandeld als Wilma 5 km heeft gefietst?

f) Na hoeveel km zal papa zijn dochter Wilma passeren, als ze dezelfde weg volgen naar de fitness? Rond af op 0,01 km. Hoelang zijn ze dan onderweg? Rond af op 1 s.

• Bepaal met ICT:

• Bepaal algebraïsch:

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 93
10 c a A C B b 203040 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 s (km) t (min) ©VANIN

REEKS C

De wet van Hooke is een bekende wet uit de natuurkunde die het verband beschrijft tussen de mechanische spanning en de daaruit voortkomende vervorming, bijvoorbeeld een uitrekking.

Eenvoudig gezegd: hoe zwaarder de massa die je aan een veer hangt, des te meer de veer uitrekt.

32 In een verentestmachine van een autofabriek test men een bepaalde soort veer op haar sterkte. De tabel toont de resultaten.

a) Welk soort verband bestaat er tussen x en F ?

b) Geef de formule van het verband.

c) Welke kracht (in N) moet je uitoefenen om de veer exact 13 cm te laten uitrekken?

d) Voor een andere veer geldt het verband x = F 720 Je trekt gelijktijdig aan beide veren met dezelfde kracht van 85 N. Hoeveel cm wordt de tweede veer meer uitgerekt dan de eerste? Rond af op 0,01 cm.

33 Je vergroot de straal r van een cirkel telkens met 1 cm en onderzoekt wat er gebeurt met de maatgetallen van de omtrek P en de oppervlakte A van de cirkel.

a) formule omtrek cirkel: soort verband:

b) formule oppervlakte cirkel: soort verband:

c) Voor welke straal r is het maatgetal van de oppervlakte van de cirkel groter dan het maatgetal van de omtrek van diezelfde cirkel?

• Bepaal grafisch:

• Bepaal algebraïsch:

94 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
kracht F (N)16 48 64 88 136 uitrekking x (m)0,020,060,08 0,11 0,17
©VANIN

De eenparig cirkelvormige beweging is een beweging langs een cirkelvormige baan waarbij, net zoals bij de eenparige rechtlijnige beweging, de snelheid constant is. Voorbeelden zijn de draaiende spoelen van een elektrische motor, de wieken van een windmolen, de spaken van een fiets

Ook satellieten bewegen zich op cirkelvormige banen rond de aarde. Die baan is meestal geostationair. Dat wil zeggen dat de satelliet lijkt stil te staan ten opzichte van het aardoppervlak. Met andere woorden: de satelliet draait dan even snel als de aarde. De baansnelheid v drukt de afgelegde weg uit in functie van de tijd en wordt berekend met behulp van deze formule:

v = 2  p  r T met v = baansnelheid (in m/s)

T = omlooptijd (in s)

r = de straal van de cirkel (in m)

34 Een steen wordt aan een touwtje gehangen en maakt een eenparig cirkelvormige beweging. In de tabel vind je de omloopsnelheid v (in m/s) in functie van de omlooptijd T (in s).

a) Welk soort verband bestaat er tussen v en T?

b) Geef de formule van het verband tussen v en T

c) Bereken de straal van de cirkel waarlangs het voorwerp beweegt. Rond af op 0,01 m.

35 Een satelliet is geostationair en bevindt zich op 35 890 km boven de aarde. Bereken de baansnelheid v (in m/s) van de satelliet, als je weet dat de straal van de aarde 6 371 km bedraagt en dat de omlooptijd T gelijk is aan 23 h 56 min 4 s. Rond af op 0,1 m/s.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 95
T (s) v (m/s) 10,80 20,40 40,20 50,16 80,10 100,08
©VANIN

De voorbije jaren kozen veel mensen ervoor om zonnepanelen te plaatsen op het dak van hun woning. Het totale kostenplaatje hangt af van allerlei factoren: het type zonnepaneel (monokristallijn, polykristallijn …), het merk, het aantal panelen, de omvormer, de installateur, het type dak enzovoort.

36 Je ziet een tabel die een firma gebruikt om offertes op te stellen voor zonnepanelen.

gemiddelde elektriciteitsverbruik e op jaarbasis (kWh) aantal panelen a kostprijs k (euro) besparing b op jaarbasis (euro)

a) Is het verband tussen het gemiddelde elektriciteitsverbruik e en het aantal personen p in een gezin recht evenredig? Verklaar.

b) Is het verband tussen de besparing b op jaarbasis en het aantal panelen a recht evenredig? Verklaar.

c) Geef de formule van het verband tussen b en a

d) Een concurrerende firma biedt een andere offerte aan en gebruikt de formule b = 54 a – 20. • Vul de tabel van die firma aan.

• Bepaal algebraïsch vanaf hoeveel panelen de besparing op jaarbasis groter is bij firma 2 dan bij firma 1.

©VANIN

8 13 16 18 20 21

96 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
aantal personen binnen het gezin p 1 1 840 8 4 156 416 2 2 930 13 5 185 676 3 3 590 16 6 004 832 4 4 040 18 6 363 936 5 4 520 20 6 944 1 040 6 4 830 21 7 279 1 092
aantal panelen a besparing b op jaarbasis (euro)

37 In de tabel zie je de remweg r (in m) op een nat wegdek van een auto die met een snelheid v (in km/h) rijdt.

De bestuurder ziet het gevaar. De bestuurder drukt het rempedaal in.

a) Toon aan dat een lineair verband niet past.

b) Stel de gegevens voor met een puntenwolk en bepaal de best passende regressielijn.

Geef de formule van het verband. r =

c) Het verschil tussen de stopafstand s en de remweg r is de reactieafstand z Bepaal in de tabel de reactieafstand z voor elke snelheid.

d) Geef het recht evenredig verband tussen de reactieafstand z en de snelheid v.

e) Het verband tussen de stopafstand en de snelheid is:

120108144

180243297

f) Bepaal de stopafstand van een auto die 105 km/h rijdt.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 97
v (km/h) r (m) 306,75 5018,75
7036,75 9060,75 120108 180243
ICT
STOPAFSTAND
REACTIEAFSTAND REMWEG
De
nr v (km/h) r (m) s (m) z (m) 306,7515,75
auto staat stil.
5018,7533,75
7036,7557,75 9060,7587,75
©VANIN

STUDIEWIJZER Soorten verbanden tussen grootheden

2.1 Het recht evenredig verband

Twee grootheden y en x zijn recht evenredig als de verhouding y x constant is.

Als de onafhankelijke veranderlijke van recht evenredige grootheden met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de afhankelijke veranderlijke met hetzelfde getal vermenigvuldigd.

Als het verband tussen twee grootheden y en x recht evenredig is, dan is y = a  x (met a ∈ r 0).

Je noemt a de richtingscoëfficiënt (of de evenredigheidsfactor).

De grafische voorstelling van een recht evenredig verband is een (deel van een) rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt a

Recht evenredige verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een recht evenredig verband opstellen.

Vraagstukken met gegeven recht evenredige verbanden oplossen.

2.2 Het lineair verband

Een verband is lineair als bij een gelijke verandering van de onafhankelijke veranderlijke x een gelijke verandering van de afhankelijke veranderlijke y hoort.

Als het verband tussen twee grootheden y en x lineair is, dan is y = a x + b

Je noemt a de richtingscoëfficiënt en b de beginwaarde.

De grafische voorstelling van een lineair verband is een (deel van een) rechte door het punt (0, b) en met richtingscoëfficiënt a

Lineaire verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een lineair verband opstellen.

Vraagstukken met gegeven lineaire verbanden oplossen. Een lineair verband opstellen met behulp van lineaire regressie.

2.3 Het omgekeerd evenredig verband

KENNEN

Twee grootheden y en x zijn omgekeerd evenredig als het product x  y constant is.

Als de onafhankelijke veranderlijke van omgekeerd evenredige grootheden met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de afhankelijke veranderlijke door hetzelfde getal gedeeld.

Als twee grootheden y en x omgekeerd evenredig zijn, dan is y = c x (met c ∈ r 0)

De grafische voorstelling van een omgekeerd evenredig verband is een (deel van een) hyperbool.

Omgekeerd evenredige verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een omgekeerd evenredig verband opstellen. Vraagstukken met gegeven omgekeerd evenredige verbanden oplossen.

leerling

98 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
voor de
voor de
KENNEN –  + –  +
leerkracht
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
–  + –  +
KUNNEN –  + –  +
©VANIN

2.4 Het zuiver kwadratisch verband voor de leerling voor de leerkracht

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x ² constant is.

Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a  x ² (met a ∈ r 0).

De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband is een (deel van een) parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong.

Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.

Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen. Een omgekeerd evenredig of zuiver kwadratisch verband opstellen met behulp van machtsregressie.

2.5 Toepassingen

Herkennen en onderzoeken of er tussen grootheden een recht evenredig, lineair, omgekeerd evenredig of zuiver kwadratisch verband bestaat.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 2 I SOO RTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 99
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ filter

❑ patroon

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Vul in elke cirkel een van de getallen 1, 2, 3 of 4 in, zodat de vier getallen in elke rij, elke kolom en elk verbonden deel juist één keer voorkomen. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken? ?

4

A) 1 B) 2 C) 3D) 4E) Meerdere getallen kunnen op die plaats staan. JWO, editie 2020, eerste ronde

2. Welk deel van de regelmatige achthoek is gekleurd?

A) 40 %B) 45 % C) 50 %D) 55 %E) 60 % JWO, editie 2019, tweede ronde

©VANIN

3. Welk van de volgende vijf getallen is het kleinst?

editie 2021, tweede ronde

100 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 2 I SOORTEN VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN 1 2 3 4 5
a = 2, b = a –1 __ a , c = b –1 __ b , d = c –1 __ c , e = d –1 __ d A) a B) b C) c D) d E) e JWO,
12
REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 101 HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 3.1 n-de machtswortels 102 3.2 Machten met rationale exponenten 108 3.3 Logaritmen 114 Studiewijzer 124 Pienter problemen oplossen 126 ©VANIN

3.1 n -de machtswortels

3.1.1 Herhaling

Vierkantswortels

positieve vierkantswortel negatieve vierkantswortel

2 = 36

noem je de positieve vierkantswortel van 36.

Notatie: √ 36 =

Definitie Vierkantswortels van een reëel getal

( ) 2 = 36

noem je de negatieve vierkantswortel van 36.

Notatie: –√ 36 =

b is een vierkantswortel van a ⇔ b 2 = a (met a ∈ r + , b ∈ r)

Notatie: √ a is de positieve vierkantswortel van a.

–√ a is de negatieve vierkantswortel van a

Derdemachtswortels

3 = 27

noem je de derdemachtswortel van 27.

Definitie Derdemachtswortel van een reëel getal

b is een derdemachtswortel van a ⇔ b 3 = a (met a, b ∈ r)

Notatie: 3√ a

Voorbeelden

• Bepaal x op 0,01 nauwkeurig, als x 2 7 + 17 = 314.

• Een kubusvormige bluetoothspeaker heeft een volume van 13,824 cm 3 Bereken de afmetingen op 1 mm nauwkeurig.

102 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
©VANIN

3.1.2 Definitie n-de machtswortel

Inleiding

• Bepaal alle getallen waarvan de vijfde macht gelijk is aan 32:

Je noemt een vijfdemachtswortel van 32.

• Bepaal alle getallen waarvan de vierde macht gelijk is aan 16:

Zowel als zijn vierdemachtswortels van 16.

Definitie n-de machtswortel

b is een n-de machtswortel van a ⇔ b n = a (met a, b ∈ r en n ∈ n \ {0, 1})

Aantal n-de machtswortels

n-de machtswortel voorbeeld algemeen

n is even

vierdemachtswortel(s) van 81: Een strikt positief getal a heeft twee tegengestelde even machtswortels: –n√ a en n√ a

a > 0

derdemachtswortel(s) van 27: Een strikt positief getal a heeft

n is oneven

zesdemachtswortel(s) van 0:

één oneven machtswortel: n√ a

n is even

a = 0

n is oneven

vijfdemachtswortel(s) van 0:

0 heeft één n-de machtswortel: n√ 0 = 0

n is even

vierdemachtswortel(s) van –81: Een strikt negatief getal a heeft geen even machtswortels.

a < 0

n is oneven

derdemachtswortel(s) van –27: Een strikt negatief getal a heeft

één oneven machtswortel: n√ a

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 103
©VANIN

3.1.3 Voorbeelden

• Bereken de n-de machtswortels zonder rekenmachine.

de n-de machtswortels met de rekenmachine op 0,001 nauwkeurig.

104 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
3√ 64 = –6√ 64 = 4√ 625 = –8√ 256 = 4√ 81 = 4√ –16 = –5√ 243 = 3√ –216 = 9√ 0 =
5√ 164 ≈ –5√ 120 ≈ 4√ 125 ≈ 7 √ 10 ≈ –4√ 90 ≈ 6√ –6 = 5√ –43 ≈ 7 √ 0 = 4√ 1 909 ≈ • Bepaal de nulwaarde van de functie f (x) = 2x 5 – 1. Rond af op 0,01. Controleer met ICT. x y –3 –2 –1 1 2 0 f –3–2–1123
Bepaal
op 0,01 nauwkeurig, als (1 + x) 4 = 1,05 ©VANIN
Bereken
x

Oefeningen

REEKS A

1 Los de vergelijkingen op. Rond, indien nodig, af op 0,001 nauwkeurig.

a) x 3 = 125 f) x 5 = 100

b) x 6 = –125 g) x 4 = 625

c) x 3 = –64 h) x 10 = –1 000

d) x 4 = 120 i) x 5 = –68

e) x 11 = 0 j) x 7 = 350

REEKS B

2 Bereken, op 1 cm nauwkeurig, de ribbe van een kubus met een inhoud van 5 dm 3 .

©VANIN

3 Het volume van een bol is 4 3  p  r 3, met r de straal.

Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de straal van een voetbal met een volume van 5 964,12 cm 3 .

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 105

4 Los de vergelijkingen op. Benader, indien nodig, op 0,001 nauwkeurig.

a) 2x 3 = 16

b)

106 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
g) (x – 10) 4
55
=
3
99 h) 9  (2x – 5) 10 + 45 = 39
4x 4 + 38 = 9 i) 5x 7 – 6 = 14
–2x 8 + 15 = 4 j) 1 4  (1 – x) 3 + 7 = 2
1 3 x 5 + 9 = –8 k) (x + 1) 7 = 3 200
16  (x – 50) 5 = –20 l) –5  (3x + 11) 6 + 82 = 27 ©VANIN
x 6 =
c)
d)
e)
f)

5 De massa m van een bol wordt gegeven door de formule m = 4 3  p  r  r 3 .

Daarbij is r de straal van de bol en r de massadichtheid van het materiaal waaruit de bol vervaardigd is.

a) Vorm de formule om naar r

b) De massadichtheid van ijzer is 7 860 kg / m 3 Bereken, op 1 mm nauwkeurig, de diameter van een massieve ijzeren bol die 1 ton weegt.

Bepaalde diersoorten, zoals beren, vleermuizen, egels …, houden een winterslaap. Ook schildpadden houden een winterslaap. Een schildpad moet een gezonde massa hebben bij het begin van zijn winterslaap, want anders is er een kans dat hij die niet overleeft. Men gebruikt de Jackson Ratio om te bepalen of een schildpad een goede massa heeft om zijn winterslaap te overleven: R = G l 3

Daarbij is G de massa van de schildpad (in g) en l de lengte van het schild (in cm).

6 Een Griekse landschildpad kan veilig aan zijn winterslaap beginnen als hij een Jackson Ratio heeft tussen 0,18 en 0,22 g / cm 3 .

a) Aaron heeft een schildpad met een massa van 795 g en een schildlengte van 15,5 cm en wil hem in winterslaap laten gaan. Is de schildpad gezond genoeg om de winterslaap te overleven?

b) Zofia’s schildpad heeft een Jackson Ratio van 0,19 en weegt 0,63 kg. Hoe groot is het schild van de schildpad? Bereken op 1 mm nauwkeurig.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 107
©VANIN

3.2 Machten met rationale exponenten

3.2.1 Definitie

Definitie Machten met rationale exponenten

• Waarom heeft 0 als grondtal geen zin?

• Het definiëren van machten met negatieve grondtallen leidt tot schijnbare tegenstellingen:

is

108 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
a m n = (n√ a ) m (met a ∈ r 0 + , m ∈ z, n ∈ n \ {0, 1})
3√
en (–64) 2 6 =
(–64) 1 3 =
–64 = –4
het best
een
m n
Bijzonder geval a 1 n = n√ a 1 = n√ a (met a ∈ r 0 + , n ∈ n \ {0, 1}) Voorbeelden • Bereken: 16 3 4 = 32 1,2 = 9 3 2 = 125 –2 3 = Eigenschap (n√ a ) m = n√ a m (met a ∈ r 0 + , m ∈ z, n ∈ n \ {0, 1}) • Bereken: (5√ 4 ) 10 = (– 3√ 2 ) 15 = (4 4) 1 2 = (4√ 144 ) 2 = ©VANIN
Nochtans
1 3 = 2 6 Bij het noteren van a m n werk je
met
breuk
die onvereenvoudigbaar is.

3.2.2 Rekenregels voor machten met rationale exponenten

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 109
Stel: a, b ∈ r 0 + en p, q ∈ q voorbeeld algemeen (8 27) 1 3 = 216 1 3 = 8 1 3 27 1 3 = 2 3 = (a  b) p = a p  b p ( 16 81 ) 3 4 = (4√ 16 81 ) 3 = 16 3 4 81 3 4 = ( a b ) p = a p b p 125 1 3 125 2 3 = 3√ 125 (3√ 125 ) 2 = 125 1 3 + 2 3 = a p a q = a p + q 16 3 4 16 1 4 = (4√ 16 ) 3 4√ 16 = 16 3 4 –1 4 = a p a q = a p – q (0,01 1 2 ) –3 = (√ 0,01 ) –3 = 0,01 –3 2 = (a p) q = a p q Voorbeelden Pas de rekenregels toe en bereken. • (81  16) 3 4 = • (4 2 5 ) 10 = • 64 5 6 64 1 2 = • 4√ 2 3 4√ 2 5 = • 3√ ( 4 3 4 9 ) = • (8√ 7 4 ) 2 = ©VANIN

Oefeningen

REEKS A

7 Schrijf de volgende wortelvormen als een macht met een rationale exponent.

REEKS B

8 Gebruik de rekenregels van machten om de onderstaande uitdrukkingen als een macht van één getal te schrijven.

110 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
a) √ 5 = b) 4√ 7 3 = c) (7√ 10 ) 4 = d) 6 5√ 6 = e) 1 3√ 12 2 = f) 4 5√ 4 = g) 3√ 5 5 = h) 6√ 7  8√ 7 =
a) √ 5 3√ 5 = f) (4√ 2 2 ) 3 = b) 3√ 2  4√ 2 = g) (5√ 2 –4 ) 10 = c) 4√ 3 5√ 3 = h) 3 2  √ 3 3√ 3 4 = d) 3√ 7 4 6√ 7 5 = i) ( 4 5√ 4 ) –2 = e) ( 3√ 2 2 ) 6 = j) (3 7 3√ 3 ) 2 = ©VANIN

9 Gebruik de rekenregels van machten om de onderstaande uitdrukkingen als een macht van één getal te schrijven.

10 De oppervlakte van het territorium van een roofdier (het gebied waarin het zijn voedsel zoekt en dat het verdedigt tegen indringers) is afhankelijk van de massa van het dier.

Het territorium T (in are = 100 m 2) is gelijk aan T = ( m 2 )

, waarbij m de massa is (in kg).

a) Bereken de oppervlakte van het territorium van een tijger die 250 kg weegt. Rond af op 1 are.

b) Bereken, op 1 kg nauwkeurig, de massa van een roofdier waarvan het territorium 1 142 are is. Rond af op 1 kg.

11 Met welke factor moet je de ribbe van een kubus vermenigvuldigen om de inhoud te verdubbelen?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 111
a) ( 4√ 5 √ 5 3 ) –2
c) (3√ 4 –5 ) 6 √ 4 –3 = b) 4√ 6 3 5√ 6 2 3√ 6 5 = d) 8√ 7 3  (3√ 7 ) 4 (3√ 7 –2 ) 2 =
=
13 10
©VANIN

REEKS C

12 Als x 0, dan is √ √ √ x gelijk aan:

13

Karl Meeh, een Duitse fysioloog, ontdekte het verband tussen het lichaamsgewicht en de huidoppervlakte van verschillende diersoorten. Diersoorten met een grote huidoppervlakte hebben meer energie nodig om op temperatuur te blijven en moeten dus ook meer eten.

Meeh stelde de volgende formule op: H = c m 2 3

Daarbij is H de huidoppervlakte (in dm 2) en m de massa van het dier (in kg).

15 Los op.

a) Een vleermuis heeft een Meeh-coëfficiënt van 57,5. Hoeveel huidoppervlakte heeft de vleermuis, als hij 6,5 g weegt? Rond af op 1 dm 2

b) Bereken de massa van een egel met c = 7,5 en een huidoppervlakte van 0,063 5 m 2 . Rond af op 1 g.

112 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
A) x
4
C)8√ x D) 8√ x 3 E) 8√ x 7 VWO, editie 1991, tweede ronde
√ x B) x
√ x
De zevendemachtswortel uit 7 (7 2) is: A) 7 7 B) 7 (7 7 – 1) C) 7 (6 7) D) 7 (7 6) E) (√ 7 ) 7 VWO, editie 1990, eerste ronde 14 3√ 3 3 + 3 3 + 3 3 is: A) 3√ 3 B) 3 3√ 2 C) 3 D) 3 3√ 3 E) 9 VWO, editie 2005, eerste ronde
©VANIN

De afstand tussen de aarde en de zon is ongeveer 150 miljoen kilometer. Omdat dat een groot getal is, gebruiken sterrenkundigen de astronomische eenheid (AE).

1 astronomische eenheid is de gemiddelde afstand tussen de aarde en de zon.

Die maat wordt gebruikt om de afstanden tot andere hemellichamen in het zonnestelsel, zoals de zon, planeten, kometen en asteroïden, te vergelijken.

Een lichtjaar is de afstand

die licht in 1 jaar kan afleggen, ongeveer 9 460 000 000 000 kilometer.

Astronomen drukken afstanden uit in parsec.

1 parsec komt overeen met 3,263 3 lichtjaren. Dat is de afstand vanaf de zon waar je de straal van de aardbaan onder een hoek van 1 seconde ziet (= parallax).

1 astronomische eenheid

ster afstand in parsec

hoek in boogseconden

aarde

16 Johannes Kepler bestudeerde in de zeventiende eeuw de banen van de planeten rond de zon. Hij vond een verband tussen de afstand R van de planeten tot de zon (in AE) en de omlooptijd T (in dagen), ook wel gekend als de derde wet van Kepler. Het verband tussen de omlooptijd T en de afstand R tot de zon wordt beschreven door de formule T = 364  R 3 2 In de tabel vind je van enkele planeten de afstand tot de zon en de omlooptijd.

planeet R (in AE) T (in dagen)

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 113
zon
Mercurius Venus aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus 0,387 0,732 1,000 5,203 9,539 19,182 30,058 88 225 365 687 4 330 30 700 60 200
a) Bepaal de afstand van de planeet Mars tot de zon. Rond af op 0,001 AE.
ZonMercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus ©VANIN
b) Hoeveel jaren heeft de planeet Saturnus nodig om één omwenteling rond de zon te maken? Rond af op 0,1 jaar.

3.3 Logaritmen

3.3.1 Definitie

Los de vergelijkingen op.

• –500 + x = 700 De optelling en de aftrekking zijn inverse bewerkingen.

• –2x = 1 376 De vermenigvuldiging en de deling zijn inverse bewerkingen.

• x 3 = 125 De machtsverheffing en de worteltrekking zijn inverse bewerkingen.

• 2 x = 32 De machtsverheffing heeft een tweede inverse bewerking.

Je zegt dat 5 gelijk is aan de 2-logaritme van 32. Je noteert: 2 log 32 = 5

Definitie a-logaritme van b

De a-logaritme van b is de exponent r van de macht waartoe je het grondtal a moet verheffen om b te verkrijgen.

• Waarom sluit je ook a = 1 uit als grondtal?

• Machten a r met een reële exponent r die niet rationaal is, benader je door een macht met een rationaal getal.

Bijvoorbeeld: 2 √ 2 ≈ 2 1,41

Voorbeelden 3 log 81 = want 5 log 25 = want 10 log 10 000 = want

want

114 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
a log b = r ⇔ a r = b (met a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r 0 + , r ∈ r)
4 log 1 16 =
1 2 log 128 =
27 log 3 =
6 log 3√ 36 = want ©VANIN
9 log 1 =
want
want
want

3.3.2 Eigenschappen

Stel: a ∈ r 0 + \ {1}

7 log 7 = want a log a = 1 ⇔

7 log 1 = want a log 1 = 0 ⇔

7 log 7 2 = want a log a x = x ⇔

3.3.3 Briggse logaritme

Briggse logaritmen zijn genoemd naar de Engelse wiskunde Henry Briggs (1561-1630), die voor het eerst tabellen heeft opgesteld met waarden voor 10-logaritmen.

Definitie Briggse logaritme

log b = r ⇔ 10 r = b (met b ∈ r 0 + , r ∈ r)

De Briggse logaritme of de tiendelige logaritme is de logaritme met grondtal 10, met andere woorden: log b = 10 log b

De log-toets van de rekenmachine is de Briggse logaritme.

Voorbeelden

• Bereken de logaritmen zonder rekenmachine.

log 100 = want

log 0,000 1 = want

log 3√ 100 = want

• Bereken de logaritmen met de rekenmachine op 0,000 01 nauwkeurig.

log 23 ≈

log ( 81 5 ) ≈

Stel je een tijd voor zonder rekenmachines. Hoe zou je bijvoorbeeld machten en wortels berekenen? De ‘uitvinding’ van de logaritme, in 1594, danken we aan de Schotse wiskundige John Napier (1550-1617).

©VANIN

Voor de naam ‘logaritme’ haalde hij zijn inspiratie uit het Grieks: logos = rede, gedachte, leer en arithmos = getal.

De logaritmen die Napier uitvond, verschillen echter van de logaritmen zoals we die nu kennen en gebruiken. De logaritme van 1 was immers niet gelijk aan 0. De verdienste om het logaritmebegrip eenvoudiger te maken, komt van de Engelse wiskundige Henry Briggs (1561-1630). Hij was professor meetkunde aan de universiteit van Londen en kon de uitvinding van Napier goed gebruiken bij ingewikkelde meetkundige vraagstukken.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 115
voorbeeld algemeen
John Napier Henry Briggs

3.3.4 Rekenregels voor logaritmen

Stel: a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 + ; r ∈ r voorbeeld algemeen

2 log (4 8) = 2 log 32 =

2 log 4 + 2 log 8 = =

3 log 81 9 = 3 log 9 =

3 log 81 –3 log 9 = =

log ( 10 2) 3 = log (10 6) =

3 log 10 2 = =

5 log 625 = log 625 log 5 = (rekenmachine)

Bewijs rekenregels voor logaritmen

log

De vierde rekenregel stelt je in staat om logaritmen ten opzichte van een willekeurig grondtal te berekenen met je rekenmachine:

1,05 log 2 = log 2 log 1,05 ≈ (op 0,000 01 nauwkeurig)

Voorbeelden

• Als a log b = 2 en a log c = –3, bereken dan:

• a log (b c) =

• a log b c =

• a log c 3 =

• Bereken zonder rekenmachine.

3 log 18 + 2 3 log 9 –3 log 6 =

• Bereken met de rekenmachine op 0,000 01 nauwkeurig.

1,5 log 18 =

116 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
a
c
a
log (b 
) =
log b + a log c
a
b c = a
log
log b
a
c
a
= r  a
log b r
log b
a
log b = log b log a
XL ©VANIN

Oefeningen

REEKS A

17 Bereken zonder rekenmachine.

a) 4 log 64 = want

b) 3 log 81 = want

c) 2 log 128 = want

d) 8 log 1 = want

e) 2 log 1 8 = want

f) 5 log 1 25 = want

18 Bereken x.

a) 3 log x = 4 x =

b) log x = 3 x =

c) 2 log x = –2 x =

g)

4 log 256 = want

h) 1 3 log 243 = want

i) log √ 10 = want

j) 8 log 2 = want

k) 16 log 1 2 = want

l) 100 log 0,1 = want

d) 1 5 log x = –3 x =

e) 16 log x = 3 2 x =

f) 27 log x = –5 3 x =

19 Bereken met de rekenmachine op 0,000 01 nauwkeurig.

a) 5 log 55 d) 4,3 log 854

b) 1 6 log 14 e) 14 log 1 000 3

c) 8 log 1 5 f)

log 0,05

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 117
1
5,1
©VANIN

20 Bepaal het grondtal a (a ∈ r 0 + \ {1}).

a) a log 64 = 3 e) a log 1 243 = –5

b) a log 16 = 4 f) a log 6 = 1 2

c) a log 5 = 1 g) a log 1 216 = –3

d) a log 10 000 = 4 h) a log 729 = 3

REEKS B 21 Als a log b = –1 en a log c = 5 (met a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 + ), bereken dan:

a) a log (b c 2)

b) a log b 3 c 2

c) a log (√ b  c 4)

d) a log b 5 4√ c

©VANIN

e) a log b 6 c 3 3√ b

118 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5

22 Bereken zonder rekenmachine, als log 2 ≈ 0,3.

a) log 8 =

b) log 1 4 =

c) log 200 =

d) log 40 =

e) log 0,000 2 =

f) log 0,16 =

g) log √ 8 =

23 Bereken zonder rekenmachine.

a) 6 log 9 + 6 log 4 =

b) 5 log 50 –5 log 2 =

c) 6 log 8 + 6 log 9 –6 log 2 =

d) 3 log 5 + log 2 – log 25 =

e) 1 2 log 72 – 2 

1 2 log 3 =

f) log (1 000 log (10 log 10)) =

24 Schrijf als één logaritme door de rekenregels van machten en logaritmen te gebruiken

(a ∈ r 0 + \ {1}; x, y, z ∈ r 0 + ).

a) a log 64 –a log 4 =

b) 3  a log x + 2  a log y –a log z =

©VANIN

c) 3 – log x =

d) log xy + log x – log xy 2 =

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 119

25 De luchtdruk is afhankelijk van de hoogte boven het zeeniveau.

Er geldt: h = –18,4  log p p 0 . Daarbij is h de hoogte (in km), p de luchtdruk (in hPa) op hoogte h en p 0 de luchtdruk op zeeniveau (in hPa).

a) Een recente studie in Colorado Springs (VS) toonde aan dat zowat een kwart van de ‘laaglanders’ al geconfronteerd wordt met hoogteziekte als de luchtdruk minder dan 80 % bedraagt van de luchtdruk op zeeniveau. Op welke hoogte bevind je je dan? Rond af op 1 m.

b) De Mont Blanc is 4 808 m hoog. Vergelijk de luchtdruk op die hoogte met de luchtdruk op zeeniveau.

De eenheid van druk is genoemd naar de Fransman Blaise Pascal (1623-1662):

1 Pascal = 1 N / m 2. De luchtdruk op zeeniveau is ongeveer 100 000 Pa = 1 000 hPa.

Pascal heeft een indrukwekkend palmares:

• druk in vloeistoffen (de wet van Pascal);

• de eerste mechanische rekenmachine;

• grondlegger van de waarschijnlijkheidsrekening (samen met Fermat);

• meetkunde van de kegelsneden (stelling van Pascal);

• Pensées: een standaardwerk in de christelijk geïnspireerde filosofie.

Pascal ontdekte ook dat de luchtdruk afneemt als je je hoger boven het aardoppervlak bevindt. Dat leidde onder andere tot de conclusie dat er een vacuüm bestaat.

In 1648 bevestigde Périer de theorie van Pascal door barometeraflezingen uit te voeren aan de voet en op de top van de Puy de Dôme in de Auvergne.

26 In de chemie bepaalt de pH-waarde van een stof de zuurtegraad (pH < 7 is een zuur, pH > 7 is een base).

Er geldt: pH = –log (H +). Daarbij is H + de concentratie aan waterstofionen (in mol/l).

a) Bepaal de pH-waarde van tomaten, als de H +-concentratie 6,3 10 –5 mol/l bedraagt. Rond af op 0,01 mol/l.

©VANIN

b) Bereken de H +-concentratie in een stof met pH = 8,6. Rond af op 0,1 mol/l.

120 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5

27 In een fabriek wordt de maximale werktijd per dag aangepast aan de geluidshinder. Er geldt: L = –9,97 log t + 94 Daarbij is L de geluidssterkte (in dB) en t de maximale werktijd (in h).

a) Hoeveel bedraagt de toegelaten geluidssterkte bij een maximale werktijd van 8 h? Rond af op 1 dB.

b) Wat is de maximale werktijd als de geluidssterkte 90 dB bedraagt? Rond af op 1 min.

REEKS C

28 De verwachte levensduur van een zoogdier in gevangenschap is afhankelijk van de grootte van het dier. Met de formule

+

kun je de levensduur T (in jaren) berekenen in functie van het lichaamsgewicht G (in kg).

a) Hoe oud kan een olifant van 4 000 kg worden die in de Zoo van Antwerpen leeft? Rond af op 1 maand.

b) Een giraf, geboren in Planckendael, werd 16 jaar oud. Hoeveel woog hij? Rond af op 1 kg.

c) Toon aan dat een dier dat dubbel zo zwaar is, gemiddeld 45 % langer leeft.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 121
2,303
T = 1 5  2,303 log G
7 4
log

29 Gedurende drie maanden onderzochten wetenschappers de groei van een zeester.

De armlengte L (in mm) werd gemeten vanuit het midden van de ster en kan beschreven worden met de formule log L = 0,009 2t + 0,971 7. Daarbij is t de tijd (in dagen).

De zeester had in het begin van het onderzoek een armlengte van 9 cm. Toon aan dat de armlengte verdrievoudigd is na 50 dagen.

30 Charles Richter heeft een formule opgesteld om de kracht van een aardbeving te meten:

1,5 M = log E – 4,4.

Daarbij is E de vrijgekomen energie (in J) en M de magnitude op de schaal van Richter.

a) Op 22 mei 1960 vond de sterkste aardbeving ooit gemeten plaats in Valdivia, Zuid-Chili. De beving veroorzaakte een vloedgolf (tsunami). De vrijgekomen energie bedroeg 4,467  10 18 J. Bereken de magnitude op de schaal van Richter. Rond af op 0,1.

b) Tijdens een optreden van Coldplay in Berlijn werd een lichte aardbeving veroorzaakt. De fans begonnen samen te springen toen de band het nummer A Sky Full of Stars speelde. Er werd een sterkte van 1,28 op de schaal van Richter gemeten in het stadion. Hoeveel energie is er vrijgekomen? Rond af op 0,01  10 6 J.

c) Hoeveel keer meer energie komt er vrij bij een aardbeving met magnitude 5 op de schaal van Richter dan bij een aardbeving met magnitude 4? Rond af op 0,01.

122 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
©VANIN

De geluidsintensiteit is gelijk aan de energie van een geluidsbron die per seconde op een oppervlak van 1 m 2 terechtkomt. Ze wordt uitgedrukt in W / m 2

De geluidsintensiteit hangt af van het vermogen P (in W) van de geluidsbron (de geluidsenergie die per seconde door de bron wordt uitgezonden) en de afstand r tussen de ontvanger en de bron. Omdat de geluidsenergie in een bolvorm wordt uitgezonden, wordt de geluidsenergie verdeeld over het oppervlak van die bol (oppervlakte bol = 4  p  r 2).

Er geldt: I = P bron 4  p  r 2

Het geluidsniveau N is een maat voor de sterkte van het geluid zoals mensen dat ervaren. Dat geluidsniveau stelt men gelijk aan 0 decibel voor een toon van 1 000 Hz, die door jonge mensen met een gezond gehoor nog net kan worden waargenomen. De geluidsintensiteit bij die toon blijkt gelijk te zijn aan 10 –12 W / m 2. Die waarde noem je de standaardgeluidsintensiteit I 0 De formule om het geluidsniveau te meten, steunt op het feit dat als de geluidsintensiteit 10 keer zo groot wordt, het geluidsniveau stijgt met 10 decibel. Er geldt dan: N = 10 log I I 0

31 Los de vragen op.

a) Een geluidsbron heeft een vermogen van 5 W. Bereken de geluidsintensiteit en het geluidsniveau op een afstand van 10 meter van de bron. Rond af op 0,000 01 W / m 2 en op 1 dB.

b) Vul de tabel aan.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 123
gehoorgrens bos fluisteren luid gesprek druk verkeer onweer pijndrempel discotheek I (W / m 2) 10 –10 5  10 –7 5  10 –3 10 N (dB)0 40 80 120 Berekeningen: ©VANIN

STUDIEWIJZER Machten, wortels en logaritmen

3.1 n-de machtswortel voor de leerling voor de leerkracht

b is een n-de machtswortel van a ⇔ bn = a (met a, b ∈ r en n ∈ n \ {0, 1})

Alle n-de machtswortels berekenen van een gegeven getal:

• uit het hoofd in eenvoudige gevallen;

• met een rekenmachine in alle andere gevallen.

Vraagstukken oplossen waarin n-de machtswortels voorkomen.

3.2 Machten met rationale exponenten

Machtswortels gebruiken voor het oplossen van:

• eenvoudigere hogeregraadsvergelijkingen;

• praktische toepassingen.

Machten met rationale exponenten berekenen en/of vereenvoudigen door:

• de definitie toe te passen;

• de eigenschappen en rekenregels toe te passen.

Vraagstukken oplossen waarin machten met rationale exponenten voorkomen.

124 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
KENNEN –  + –  + a m n = (n√ a ) m (met a ∈ r 0 + , m ∈ z, n ∈ n \ {0, 1}) a 1 n = n√ a 1 = n√ a (met a ∈ r 0 + , n ∈ n \ {0, 1}) (n√ a ) m = n√ a m (met a ∈ r 0 + , m ∈ z, n ∈ n \ {0, 1}) Stel: a, b ∈ r 0 + en p, q ∈ q (a  b) p = a p  b p ( a b ) p = a p b p a p a q = a p – q a p a q = a p + q (a p) q = a p q KUNNEN –  + –  +
©VANIN

a log b = r ⇔ a r = b (met a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r 0 + , r ∈ r)

De a-logaritme van b is de exponent r van de macht waartoe je het grondtal a moet verheffen om b te verkrijgen.

Stel: a ∈ r 0 + \ {1}

a log a = 1 ⇔ a 1 = a

a log 1 = 0 ⇔ a 0 = 1

a log a x = x ⇔ a x = a x

log b = r ⇔ 10 r = b (met b ∈ r 0 + , r ∈ r)

De Briggse logaritme of de tiendelige logaritme is de logaritme met grondtal 10, met andere woorden: log b = 10 log b

Stel: a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 + ; r ∈ r

a log (b  c) = a log b + a log c

a log b c = a log b –a log c

a log b r = r  a log b

a log b = log b log a

De logaritme van een getal ten opzichte van een willekeurig grondtal berekenen:

• met behulp van de definitie in eenvoudige gevallen;

• met behulp van de vierde rekenregel in alle andere gevallen.

De rekenregels voor logaritmen toepassen in oefeningen.

Vraagstukken oplossen waarin logaritmen voorkomen.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 3 I MACHTE N, WORTELS EN LOGARITMEN 125
+ –  +
3.3 Logaritmen voor de leerling voor de leerkracht KENNEN – 
KUNNEN –  + –  +
©VANIN

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Koekiemonster heeft 15 trommels met koekjes voor zich staan. In de trommels zitten achtereenvolgens 1, 2, 3, ..., 15 koekjes. Het monster mag telkens een willekeurig aantal trommels uitkiezen en vervolgens uit elk van die trommels evenveel koekjes opeten. In hoeveel rondes kan hij alle trommels leeggegeten hebben?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

2. Je hebt twee kruiken. In de ene kruik kan precies 5 liter water en in de andere precies 3 liter. Hoe kun je met die twee kruiken precies 4 liter water afmeten?

3. Bea heeft een pincode waar de gebruikte cijfers maar één keer in voorkomen. Ze vertelt Boris de eerste twee cijfers van de code en Bert de laatste twee cijfers. Boris zegt: ‘Mijn cijfers vormen een even getal.’ Bert zegt: ‘Mijn cijfers vormen een priemgetal en de twee cijfers afzonderlijk zijn ook beide priemgetallen.’

Zoek een mogelijke code.

126 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 3 I MACHTEN, WORTELS EN LOGARITMEN 1 2 3 4 5
©VANIN

HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 127
4.1 Lineaire en exponentiële groei 128 4.2 Exponentiële verbanden 133 4.3 Exponentiële vergelijkingen 145 4.4 Exponentiële functies 153 Studiewijzer 166 Pienter problemen oplossen 168 ©VANIN

4.1 Lineaire en exponentiële groei

4.1.1 Inleidend voorbeeld

Malika heeft twee jobaanbiedingen.

• Bij de firma LIN & co kan ze starten met een jaarsalaris van 30 000 euro. Elk jaar zal daar 600 euro bij komen.

• De firma EXP & partners biedt haar een jaarsalaris aan van 27 000 euro met een jaarlijkse verhoging van 3 %.

a) Hoeveel zal Malika tijdens het zevende jaar verdienen bij beide firma’s?

LIN & co EXP & partners

Het jaarsalaris y van Malika is na

1 jaar: y = 30 000 + 600

2 jaar: y = 30 000 + 2  600

x jaar: y = 30 000 + x 600

Tijdens het zevende jaar is haar jaarsalaris: y = 30 000 + 6 600 = 33 600 (euro)

Het jaarsalaris y van Malika is na

1 jaar: y = 27 000 + 27 000  0,03

= 27 000  1,03

2 jaar: y = (27 000  1,03)  1,03

= 27 000  1,03 2

x jaar: y = 27 000 1,03 x

Tijdens het zevende jaar is haar jaarsalaris: y = 27 000 1,03 6 ≈ 32 239,41 (euro)

b) Na hoeveel jaar zal ze meer verdienen bij EXP & partners dan bij LIN & co? Los op met ICT. Je zou die vraag kunnen oplossen door een tabel te maken van de opeenvolgende jaarsalarissen, maar het is eenvoudiger om de grafiek te tekenen van twee functies

Stel: f (x) = 30 000 + 600x en g (x) = 27 000 1,03 x Daarbij zijn f (x) en g (x) de respectievelijke jaarsalarissen na x gewerkte jaren. De functie f stelt een lineaire groei voor, de functie g een exponentiële groei

De grafiek van g ligt boven de grafiek van f als .

©VANIN

Malika zal dus na meer verdienen

bij EXP & partners dan bij LIN & co.

128 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
x (jaren) 0123456789101112131415161718192021 y (euro) 25000 30000 35000 g f

4.1.2 Lineaire groei

Om onze bomen te snoeien, rekent de tuinman 70 euro vaste kosten aan voor het vervoer en het gebruik van machines en 40 euro per gewerkt uur. Op de eindfactuur staat een bedrag van 360 euro. Hoelang heeft de tuinman gewerkt?

• Stel: x is het aantal gewerkte uren en y is het factuurbedrag (in euro).

Dan: y =

• Je lost de vergelijking y = 360 op.

Definitie Lineaire groei

Een groei is lineair als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke een gelijke toename of afname van de afhankelijke veranderlijke hoort.

Stel: x is de onafhankelijke veranderlijke.

y is de afhankelijke veranderlijke.

b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0).

a is de verandering van y als x met 1 toeneemt.

Hoe ziet de grafiek van een lineaire groei eruit?

Wat is de grafische betekenis van a?

Wat is de grafische betekenis van b?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 129
+1 +1 + a + a xy 0 b
Formule Lineaire groei y = ax + b (a ∈ r 0, b ∈ r)
©VANIN

4.1.3 Exponentiële groei

Matthias zet 2 000 euro uit tegen 1 % samengestelde intrest per jaar.

a) Bereken zijn eindkapitaal na 5 jaar. Na

Stel: x is het aantal jaar en y is het eindkapitaal (in euro).

Dan: y =

Het eindkapitaal na 5 jaar is dus

b) Na hoeveel tijd zal zijn kapitaal aangegroeid zijn tot 2 200 euro? Los op met ICT en rond af op één maand.

Je bepaalt het snijpunt van beide grafieken.

Dat snijpunt heeft als coördinaat

Definitie Exponentiële groei

Een groei is exponentieel als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke de waarde van de afhankelijke veranderlijke telkens met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd. Die factor noem je de groeifactor

Stel: x is de onafhankelijke veranderlijke.

y is de afhankelijke veranderlijke.

b is de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0).

a is de groeifactor (a > 1 bij een toename, 0 < a < 1 bij een afname).

130 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
1 jaar
eindkapitaal 2 000 + 2 000 0,01 = 2 000 (1 + 0,01) = 2 000 1,01 = . Het eindkapitaal na 2 jaar is  1,01 = 2 000  1,01 2 = Het eindkapitaal na 3 jaar is 2 000  1,01 3 ≈
is het
x (jaren) 012345678910111213 y (euro) 1800 1850 1900 1950 2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 ? f g 2350 Stel: f (x) = 2 000 1,01 x en g (x) = 2 200.
+1 +1 •a •a xy 0 b
Formule Exponentiële groei y = b a x (a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r 0 + )
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

1 Ga na of de tabellen een lineaire of een exponentiële groei voorstellen. Als de groei lineair of exponentieel is, geef dan ook de vergelijking van het model.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 131
a) x 01234 y 46913,520,25 b) x 01234 y 1516,51819,521 c) x 01234 y 604025155 d) x 01234 y 11 2 19 4 4 13 4 5 2 e) x 01234 y 3 0001 8001 080648388,8 f) x 01234 y 0,51432512 g) x 01234 y 1525 125 3 625 9 3125 27
©VANIN

REEKS B

2 Stellen de tabellen een lineaire of een exponentiële groei voor? Geef ook de vergelijking van het model.

132 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
a) x 5 6 7 8 y 725680635590 b) x 2 3 4 5 y 605665,50732,05805,255 c) x 6 9 12 15 y 19 21 23 25 d) x 4 6 8 10 y 4 0962 621,441 677,721 6 1 073,741 824 e) x 3 6 9 12 y 3 81 8 2 187 64 59 049 512 ©VANIN

4.2 Exponentiële verbanden

4.2.1 Groeipercentages boven 100 %

De prijs van een elektrische step, zonder btw, is 600 euro. Bereken de prijs inclusief 21 % btw.

Stel: de prijs zonder btw is gelijk aan 100 %. Dan is de prijs met btw 100 % + 21 % = 121 % = 1,21.

De prijs inclusief btw is dus

Formule Groeifactor

De groeifactor a bij een toename met p % is gelijk aan a = 100 + p 100 .

Voorbeelden

• Een voetbalclub heeft moeite om uit de kosten te komen. Daarom slaat ze de prijs voor een toegangsticket met 8 % op. Bereken de nieuwe prijs van een ticket, als je voorheen 25 euro betaalde.

∙ de groeifactor a =

∙ de beginwaarde b =

∙ De nieuwe prijs is gelijk aan y = b  a =

• Voor een nieuwe laptop betaal je 779 euro, btw inbegrepen. Bereken de prijs zonder btw.

∙ de groeifactor a =

∙ De betaalde prijs is de eindwaarde y =

∙ De prijs zonder btw is de beginwaarde b = y a =

• In West-Vlaanderen waren er 1 209 011 mensen ingeschreven op 1 januari 2022. Men verwacht een jaarlijkse stijging met 0,5 %. Voorspel het aantal West-Vlamingen op 1 januari 2030.

∙ de groeifactor a =

©VANIN

∙ de beginwaarde b =

∙ Het aantal inwoners x jaar na 2022 is y = b a x = .

∙ Het aantal West-Vlamingen over 8 jaar is

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 133

4.2.2 Groeipercentages onder 100 %

Je koopt een nieuwe mountainbike van 1 150 euro. De handelaar geeft je 10 % korting. Hoeveel moet je betalen?

Stel: de prijs zonder korting is 100 %. Dan is de prijs met korting 100 % – 10 % = 90 % = 0,90.

Je betaalt dus

Formule Groeifactor

De groeifactor a bij een afname met p % is gelijk aan a = 100 – p 100

Voorbeelden

• Marina koopt een jurk in de solden voor 133 euro. Ze heeft 30 % korting gekregen. Hoeveel kostte de jurk vóór de solden?

∙ de groeifactor a =

∙ De betaalde prijs is de eindwaarde y = .

∙ De prijs zonder korting is de beginwaarde b = y a =

• Joris koopt een nieuwe auto voor 42 000 euro. De waarde ervan neemt elk jaar met 20 % af. Bereken de waarde van de auto na zes jaar. Rond af op 100 euro.

∙ de groeifactor a =

∙ de beginwaarde b =

∙ De waarde van de auto na x jaar is y = b a x =

∙ De waarde na 6 jaar is

• Het aantal geboortes in het Brussels Gewest daalt sinds 2014 elk jaar met 1,9 %. In 2022 waren er 15 251 geboortes. Hoeveel waren er in 2014?

∙ de groeifactor a =

∙ Het aantal geboortes in 2022 is de eindwaarde y =

©VANIN

∙ Het aantal geboortes in 2014 is de beginwaarde b = y a x =

134 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5

4.2.3 Het groeipercentage bepalen uit de gegevens

Voorbeeld 1

Het aantal leerlingen in een scholengemeenschap neemt elk jaar toe. De tabel toont de schoolbevolking telkens op 1 september van een jaar.

quotiënt

• Bereken het quotiënt van het aantal leerlingen bij twee opeenvolgende jaren. Rond af op 0,001.

Wat valt je op?

De toename van het aantal leerlingen is dus exponentieel. De groeifactor is

• Met hoeveel procent neemt de schoolbevolking elk jaar toe?

• Stel dat die groei zich voortzet. Voorspel dan het aantal leerlingen op 1 september 2027. Neem het aantal leerlingen in 2022 als beginwaarde.

Voorbeeld 2

Het radioactieve jodium-123 wordt gebruikt in de geneeskunde bij schildklieronderzoek. In een laboratorium wordt gedurende een periode regelmatig gemeten in welke mate de massa van een hoeveelheid jodium-123 vermindert door radioactief verval. De tabel toont de resultaten van de metingen.

• Bereken het quotiënt van twee opeenvolgende massa’s. Rond af op 0,01.

Wat valt je op?

De afname van de massa is dus exponentieel. De groeifactor is .

• Met hoeveel procent neemt de massa jodium-123 elk uur af?

• Bepaal de massa jodium-123 na 1 dag. Rond af op 0,1 g.

• Na hoeveel tijd is er nog maar 25 g jodium-123 over? Gebruik ICT en rond af op 1 min.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 135
jaar 20182019202020212022 aantal leerlingen4 2134 3064 4014 4984 597
aantal uren 0 1 2 3 4 massa in gram5047,50045,12542,86940,725 quotiënt
©VANIN

4.2.4 Rekenen met percentages

• Los de vraagstukken met percentages op.

Wereldbevolking in 2022 al naar 8 miljard Toenamewereldbevolking(xmiljardmensen)

De wereldbevolking groeit elk jaar met 1 %. Hoeveel procent groei is dat per eeuw?

De groeifactor per jaar is Je berekent de groeifactor a per 100 jaar: a =

De procentuele toename per eeuw is dus: Brian is in drie jaar tijd 30 % lichaamsgewicht kwijt. Hoeveel procent is dat per jaar?

De groeifactor per 3 jaar is Je berekent de groeifactor a per jaar:

a 3 = ⇔ a =

De procentuele afname per jaar is dus:

Besluit Percentages omzetten

Bij

136 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
4 3 2 1 5 6 7 8 9 2 00018001600140012001 000 800600400200 1
2022 2011 1999 1987 1974 1960 1927 1804 Bron: Population Connection
een exponentiële
de groeifactor per n tijdseenheden
aan a n
Verklaar de uitspraak. 10 % 15 % 25 % + ≠ Bij exponentiële groei:  1,10  1,15 100 De totale groei is . Bij exponentiële afname:  0,90  0,85 100 De totale afname is .
groei met groeifactor a per tijdseenheid is
gelijk
altijd uit met behulp van de groeifactor. ©VANIN
Besluit Rekenen met percentages Bewerkingen met percentages voer je

Oefeningen

REEKS A

3 Los de problemen met procenten op. Rond de percentages af op 0,01 %.

a) De prijs van 1 l melk is 1,50 euro zonder btw. Bereken de prijs inclusief 6 % btw.

e) Een vastgoedmakelaar krijgt 3 % commissie. De eigenaar ontvangt 300 700 euro. Bereken de verkoopprijs.

b) Een kasbon levert een bruto-intrest van 90 euro op. Bereken de netto-intrest na aftrek van 30 % roerende voorheffing.

f) Een kapitaal van 700 euro groeit in 1 jaar aan tot 704,55 euro. Bereken de jaarlijkse rentevoet.

c) Jan weegt nu 99 kg. Dat is 12,5 % meer dan vorig jaar. Hoeveel woog hij vorig jaar?

g) Het aantal ongevallen in een stad is in 1 jaar gedaald van 190 naar 178. Bereken de procentuele daling.

d) Een aandeel is vandaag 147,36 euro waard. Dat is 4 % minder dan gisteren. Hoeveel was het aandeel gisteren waard?

h) Het gemiddelde aantal kinderen per vrouw is in 10 jaar tijd gedaald van 1,82 naar 1,61. Bereken de procentuele daling.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 137

REEKS B

4 Los de problemen met procenten op. Rond de percentages af op 0,01 %.

a) Vorig jaar kreeg je 5 % opslag, dit jaar 4 %. Hoeveel procent is dat in 2 jaar?

e) De waarde van een aandeel stijgt elke maand met 0,40 %. Hoeveel procent winst is dat per jaar?

b) Je krijgt 30 % korting en daarbovenop nog eens 10 %. Hoeveel procent korting krijg je in totaal?

f) Het radioactieve verval van radon-222 is 0,76 % per uur. Hoeveel procent verval is er per dag?

c) Vorig jaar zakte de prijs voor 1 kg koffie met 7 %. Dit jaar steeg de prijs met 10 %. Hoeveel procent duurder is de koffie in totaal geworden?

g) De verkoop van dieselwagens is tussen 2017 en 2022 met 27,50 % gedaald. Hoeveel procent is dat per jaar?

d) Een product is 15 % duurder geworden. Daarna geeft de winkel 15 % korting. Betaal je dan hetzelfde als voorheen? Verklaar.

h) Een bank beweert dat een belegging in 40 jaar in waarde zal verdubbelen. Bereken de jaarlijkse rentevoet.

©VANIN

138 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5

E. coli (Escherichia coli) is een bacterie die voorkomt in je dikke darm en die je nodig hebt om je voedsel te verteren. Via de ontlasting komen per dag gemiddeld 1012 (een biljoen) van die bacteriën naar buiten. Daarom zoekt men bij een onderzoek naar de vervuiling van water altijd naar sporen van E. coli. De bacterie is onschadelijk zolang ze op geen andere plaatsen van ons lichaam komt dan de dikke darm. Anders kan ze voor levensgevaarlijke ontstekingen zorgen.

5 Eén enkele cel van de bacterie E. coli deelt zich, onder ideale omstandigheden, elke 20 minuten in tweeën. Hoeveel bacteriën zijn er na 1 dag?

6 In een bos staan 5 000 bomen. Elk jaar hakt men een kwart van de bomen om. Hoeveel bomen blijven er nog over na 20 jaar?

7 Welk kapitaal moet je beleggen tegen 1,30 % samengestelde intrest per jaar om na 10 jaar over 25 000 euro te beschikken? Rond af op 0,01 euro.

8 Het aantal land- en tuinbouwbedrijven in Vlaanderen neemt sinds 2005 elk jaar gemiddeld met 2,6 % af. In 2022 waren er nog 23 212 bedrijven. Hoeveel waren er in 2005?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 139
©VANIN

9 De bevolking in Nigeria, West-Afrika, groeit heel snel. Op 1 januari 2023 woonden er ongeveer 222 182 000 mensen in Nigeria. Men verwacht een jaarlijkse toename van de bevolking met 2,5 %.

a) Voorspel het bevolkingsaantal in 2030. Rond af op 1 000 inwoners.

b) Met hoeveel procent zal de bevolking dan toenemen in die 7 jaar? Rond af op 0,01 %.

10 Doordat steeds minder mensen, om allerlei redenen, dagelijks vlees eten, daalt het aantal geslachte runderen nu al enkele jaren met 2 % per jaar. In 2022 werden er in België 751 600 runderen geslacht.

a) Voorspel het aantal geslachte runderen in 2035. Rond af op 100 runderen.

b) Hoeveel runderen werden er geslacht in 2018? Rond af op 100 runderen.

11 Op 1 januari 2023 bedroeg het aantal inwoners in België 11 699 399. Dat is 4,84 % meer dan op 1 januari 2013.

a) Hoeveel mensen woonden er in 2013 in België?

b) Bereken de procentuele toename van de bevolking per jaar. Rond af op 0,01 %.

c) Voorspel het aantal inwoners in België op 1 januari 2030.

140 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

12 In 2021 werden er in België 117 914 baby’s geboren. Dat is 3,12 % minder dan in 2015.

a) Hoeveel baby’s werden er geboren in 2015?

b) Bereken de procentuele afname van het aantal geboortes per jaar op 0,01 %.

c) Voorspel hoeveel baby’s er in België geboren zullen worden in 2029.

13 Van het radioactieve radium-226 is er na 1 620 jaar nog de helft over. Een universitair labo beschikt over 40 g radium-226.

a) Hoeveel blijft er nog over na 100 jaar? Rond af op 0,01 g.

b) Na hoeveel jaar is er nog maar 10 g radium-226 over? Bereken zonder ICT.

c) Bereken het jaarlijkse radioactieve verval in procent. Rond af op 0,000 1 %.

14 In een school waren er vorig schooljaar op 1 september 793 leerlingen ingeschreven. Dit schooljaar zijn er op 1 september 828 leerlingen.

a) Met hoeveel procent is het aantal leerlingen toegenomen? Rond af op 0,01 %.

b) Als die groei zich voortzet, hoeveel leerlingen zullen er dan over 5 jaar zijn?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 141
©VANIN

15 In 2015 waren er in België 40 300 geregistreerde verkeersongevallen. In 2021 waren er dat 34 640.

a) Bereken de jaarlijkse procentuele daling tussen 2015 en 2021. Rond af op 0,01 %.

b) Voorspel het aantal verkeersongevallen in 2030.

16 Mensen worden blijkbaar steeds groter. In 1981 werd de gemiddelde 18-jarige Belgische vrouw 163,6 cm groot en de gemiddelde 18-jarige Belgische man 177,2 cm. In 2021 was dat respectievelijk 165,7 cm en 182,0 cm.

a) Hoeveel procent groter zijn vrouwen en mannen per jaar geworden in die 20 jaar? Rond af op 0,01 %.

b) Voorspel de gemiddelde lengte van een 18-jarige Belgische vrouw en man in 2050. Rond af op 0,1 cm.

c) Als de toename van de lengte hetzelfde blijft, wanneer zal de gemiddelde 18-jarige Belgische man dan 2 m groot worden? Los op met ICT.

142 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

17 Je zet 5 000 euro uit op samengestelde intrest. Na 5 jaar en 3 maanden ontvang je 295,58 euro intrest.

a) Bereken de jaarlijkse rentevoet op 0,01 % nauwkeurig.

b) Als je het kapitaal 9 maanden langer had laten staan, hoeveel meer intrest zou je dan verkregen hebben? Rond af op 0,01 euro.

18 Je ziet een voorspelling van de Verenigde Naties over de bevolkingstoename of -afname per werelddeel.

Bron: UN Population Fund

a) Bereken de procentuele toename of afname per jaar. Rond af op 0,01 %.

Afrika

Azië Europa

b) Voorspel het aantal Noord-Amerikanen in 2100. Rond af op 10 miljoen.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 143
2022 AFRIKA 2035 AZIË EUROPA ZUIDAMERIKA NOORDAMERIKA OCEANIË 1,43 1,9 5,08 0,730,720,4 4,72 0,740,66 0,38 0,04 0,05 Bevolkingsgroei per continent (in miljard)
©VANIN

REEKS C

19 Jean-Pierre zet 2 000 euro uit tegen 1,20 % enkelvoudige intrest per jaar.

Kulia zet 1 950 euro uit tegen 1,20 % samengestelde intrest per jaar.

Na hoeveel tijd zal het kapitaal van Kulia gelijk zijn aan dat van Jean-Pierre?

Welk kapitaal hebben ze dan?

Bereken met ICT en rond af op een maand en op 0,01 euro.

20 In stad A betaalt een gezin dit jaar 300 euro gemeentetaksen. In stad B is dat 250 euro. Beide steden beloven hun inwoners dat de taksen vanaf volgend jaar geleidelijk aan zullen dalen. Je ziet het verloop van de gemeentetaksen in de tabel.

a) Hoeveel gemeentetaksen betaalt een gezin in beide steden nog over 10 jaar? Rond af op 0,01 euro.

b) Hoeveel taksen hebben ze dan over 10 jaar in totaal betaald?

144 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
jaar 0 1 2 3 4 5 taks stad A 350 297,5252,875214,94182,70155,30 taks stad B 250 235220205190175
©VANIN

4.3 Exponentiële vergelijkingen

4.3.1 Inleidend voorbeeld

Op 15 november 2022 werd officieel de kaap van 8 miljard mensen op aarde overschreden. (In het Engels spreekt men dan van eight billion, terwijl 8 biljoen wiskundig gelijk is aan 8  10 12 , 8 000 miljard dus.)

Die grens is eerder symbolisch, omdat men van veel landen niet precies weet hoeveel inwoners er zijn.

Ruim 60 % van de mensen leeft in Azië. In Europa leeft slechts iets meer dan 10 % van de wereldbevolking.

De Verenigde Naties voorspellen voor de komende jaren een gemiddelde toename van de wereldbevolking met 1 %.

• Stel een exponentieel model op voor de toename van de wereldbevolking na eind 2022.

a = 1,01 b = 8 (miljard)

y = 8 1,01 x (x is en y is .)

• Voorspel hoeveel mensen er op aarde zullen leven eind 2030. Rond af op 10 miljoen.

• In welk jaar zal de kaap van 10 miljard overschreden worden? Om die vraag te beantwoorden, moet je de vergelijking 8  1,01 x = 10 oplossen. In die vergelijking staat de onbekende x in de exponent. Een dergelijke vergelijking noem je een exponentiële vergelijking

De wereldbevolking zal de kaap van 10 miljard overschrijden in

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 145
grafische oplossing algebraïsche oplossing x 02468101214161820222426283032 y 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 y =8∙1,01x y =10 8  1,01 x = 10 1,01 x = 10 8 = 1,25 x = 1,01 log 1,25 x = log 1,25 log 1,01 ≈ 22,43
©VANIN

4.3.2 Definitie en voorbeelden

Stel: a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 +

Definitie Exponentiële vergelijking

Een exponentiële vergelijking is een vergelijking met als standaardvorm b  a x = c (a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 + ).

Oplossingsmethode

Los de vergelijking op naar x

b a x = c

a x = c b

x = a log c b

x = log c b log a

Voorbeelden

Bepaal x op 0,001 nauwkeurig.

30 0,6 x = 55

• Het aantal inwoners in België wordt gegeven door y = 11,7 1,004 7 x .

Daarbij is x het aantal jaren na 1 januari 2023 en y het aantal miljoen inwoners. In welk jaar zullen we de kaap van 13 miljoen inwoners overschrijden?

• Omar zet 1 500 euro uit tegen 1,15 % samengestelde intrest per jaar. Na hoeveel tijd zal hij over een eindkapitaal van 2 000 euro beschikken? Rond af op een maand.

146 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

21 Los de exponentiële vergelijkingen op. Bepaal x op 0,001 nauwkeurig.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 147
a) 12 4 x = 100 d) 9 ( 3 7 ) x = 27 b) 7 0,3 x = 2 e) 13 ( 11 6 ) x = 99 c) 36  1,4 x = 9 f) 3 4  ( 2 3 ) x = 6

REEKS B

22 De verkoop van laptops stijgt wereldwijd met 2 % per jaar. In 2022 verkocht een elektrozaak 460 laptops.

In welk jaar zal de verkoop van laptops boven de 600 stijgen?

23 Op 1 januari 2022 woonden er in Oudenburg, nabij Oostende, 9 717 mensen. Elk jaar stijgt het inwonersaantal gemiddeld met 0,65 %.

In welk jaar zal het aantal inwoners de kaap van de 10 000 overschrijden?

24 Een pijnpatiënt krijgt een inspuiting van 20 ml pijnstillende medicatie. Elke dag wordt een derde daarvan door het lichaam afgebroken.

Als er nog 5 ml in het bloed is, moet de patiënt een nieuwe inspuiting krijgen. Na hoeveel tijd is er een nieuwe inspuiting nodig? Rond af op 1 uur.

148 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

6 14 C (koolstof-14) is een radioactieve

6

isotoop van het koolstofatoom.

Elke dag komt er kosmische

straling binnen in de dampkring.

Die straling doet energierijke

14 C (koolstof-14) is een radioactieve isotoop van het koolstofatoom. Elke dag komt er kosmische straling binnen in de dampkring. Deze straling doet energierijke neutronen ontstaan die botsen met stikstof (N) en 7

neutronen ontstaan die botsen met stikstof (N) en 7 15 N (7 protonen en 8 neutronen) vormen.

15 N (7 protonen en 8 neutronen) vormen.

b X

b X

a

a

X = naam van het element

X = naam van het element

a = atoomnummer

a = atoomnummer

= aantal protonen

= aantal protonen

= aantal elektronen

= aantal elektronen

b - a = aantal neutronen

b – a = aantal neutronen

Deze radioactieve isotoop vervalt daarna tot 6

14 C en 1

Die radioactieve isotoop vervalt daarna tot 6 14 C en 1 1 H (waterstof met 1 proton en 0 neutronen).

1 H (waterstof met 1 proton en 0 neutronen).

Koolstof reageert met zuurstof en vormt koolzuurgas (CO 2), dat door mensen en planten wordt opgenomen.

Koolstof reageert met zuurstof en vormt koolzuurgas (CO 2), dat door mensen en planten wordt opgenomen.

Alle levend organisch materiaal bevat steeds één miljoenste mg per kg van het radioactieve 6

Bij het afsterven wordt geen koolstof meer opgenomen en daalt de concentratie koolstof-14 door radioactief verval met 0,012 % per jaar. Met behulp van metingen kun je dan bepalen wanneer het te onderzoeken materiaal is afgestorven.

Al het levende organisch materiaal bevat altijd 1 miljoenste mg per kg van het radioactieve 6 14 C. Wanneer het materiaal afsterft, neemt het geen koolstof meer op en daalt de concentratie aan koolstof-14 door radioactief verval met 0,012 % per jaar. Met behulp van metingen kun je dan bepalen wanneer het te onderzoeken materiaal is afgestorven.

14 C.

22 In de kathedraal van Johannes de Doper in Turijn wordt een linnen kleed bewaard waarop de afbeelding van een man te zien is. Veel christenen geloofden dat het kleed de lijkwade is waarin Jezus werd gewikkeld en begraven na zijn kruisdood.

In 1988 stond het Vaticaan een koolstof-14-datering toe van de lijkwade.

25 In de kathedraal van Turijn wordt een linnen kleed bewaard waarop de afbeelding van een man te zien is. Veel christenen geloofden dat het kleed de lijkwade is waarin Jezus werd gewikkeld na zijn kruisdood. In 1988 stond het Vaticaan een koolstof 14-datering van de lijkwade toe. Het kleed bevatte 0,923 miljoensten mg/kg radioactief 6 14 C. Bereken van welk jaar de lijkwade dateert.

14 C Bepaal, op 10 jaar nauwkeurig, van welk jaar de lijkwade dateert.

Het kleed bevatte 0,923 miljoensten mg/kg van het radioactieve 6

0,999 88 x = 0,923 x is het aantal jaar vóór 1988

x = 0,999 88 log 0,923

≈ 668 De lijkwade dateert van 1320.

26 ‘Een jaar schoollopen in de derde graad secundair onderwijs kost ouders zo’n 1 500 euro’, stond op 3 december 2022 te lezen op de website van de VRT. In 2006 was de jaarlijkse kostprijs 980 euro. Als die stijging zich in dezelfde mate blijft doorzetten, in welk jaar zullen de kosten dan oplopen tot meer dan 2 000 euro per jaar?

23 Uit een onderzoek van het Hoger Instituut voor de Arbeid van de KU Leuven blijkt dat de gemiddelde studiekosten voor een kind in het secundair onderwijs elk jaar stijgen.

In het schooljaar 2006–2007 was de gemiddelde jaarlijkse kostprijs 978,10 euro per kind. De jaarlijkse kostprijs in het schooljaar 2018–2019 was 1 232,89 euro per kind.

Veronderstel dat de toename exponentieel is.

In welk schooljaar zullen de kosten meer dan 1 500 euro per kind bedragen?

©VANIN

a = ( 1 232,89 978,10 ) 1 12 = 1,019 5 978,10 1,019 5 x = 1 500 x is het aantal schooljaren na 2006–2007

x = log 1 500 978,10 log 1,019 5 = 22

In het schooljaar 2028-2029 zullen de kosten meer dan 1 250 euro per kind bedragen.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 149
1 2 3 4 5 6 64 HOOFDSTUK 4 I LOGARITMEN

27 In Japan daalt het bevolkingsaantal sinds 2010.

In dat jaar woonden er ongeveer 128,1 miljoen mensen in Japan. Op 1 januari 2022 waren dat er nog maar 125,1 miljoen.

Als die daling zich voortzet, in welk jaar zal het aantal Japanners dan onder de 120 miljoen dalen?

REEKS C

De verdubbelingstijd van een exponentieel groeiende grootheid is de tijd die nodig is om de waarde van de grootheid te verdubbelen.

De halveringstijd van een exponentieel dalende grootheid is de tijd die nodig is om de waarde van de grootheid te halveren.

28 Stel een formule op om de verdubbelingstijd T te berekenen bij een exponentieel groeiende grootheid met groeifactor a > 1.

Formule De verdubbelingstijd van een exponentieel groeiende grootheid met groeifactor a > 1 is gelijk aan T = .

©VANIN

29 Je zet een kapitaal uit tegen 1,25 % samengestelde intrest per jaar. Bereken de verdubbelingstijd op een maand nauwkeurig.

150 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5

30 De mediaanprijs voor een appartement in Oostende bedroeg 164 000 euro in 2011 en 225 000 euro in 2021. Als die stijging blijft voortduren, in welk jaar zullen de appartementen dan dubbel zo duur zijn als in 2021?

31 Stel een formule op om de halveringstijd T te berekenen bij een exponentieel dalende grootheid met groeifactor a < 1.

Formule De halveringstijd van een exponentieel dalende grootheid met groeifactor a < 1 is gelijk aan T = .

32 Het jaarlijkse radioactieve verval van koolstof-14 bedraagt 0,012 %. Bereken de halveringstijd. Rond af op 1 jaar.

33 De verkoop van desktops daalt elk jaar. Vier jaar geleden verkocht de firma Com & Puters nog 256 desktops, dit jaar nog 191. Na hoeveel jaar zal de verkoop minstens gehalveerd zijn?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 151
©VANIN

34 Je zet een fles melk in de koelkast. De temperatuur u (in ºC) van de fles na t minuten wordt gegeven door u = 5 + 15 0,925 t .

a) Bereken de kamertemperatuur.

b) Wat is de temperatuur in de koelkast?

c) Na hoeveel tijd is de temperatuur van de melk gezakt tot 8 ºC? Rond af op 1 s.

35 Voor de brandweer kan het belangrijk zijn om te weten hoelang een brand al woedt. De standaardbrandfunctie stelt hen in staat om uit de temperatuur u (in ºC) juist boven de brandhaard, de brandtijd t (in h) te bepalen.

Er geldt: 8t + 1 = 2 u – u0 345 . Daarbij is u0 de omgevingstemperatuur (in ºC).

a) Het is 20 ºC buiten en boven de brandhaard meet men 800 ºC. Hoelang brandt het al? Rond af op een minuut.

b) Het is 10 ºC buiten en het brandt al drie kwartier. Bereken de temperatuur boven de brandhaard. Rond af op 10 ºC.

152 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
©VANIN

4.4 Exponentiële functies

4.4.1 Definitie

In de vorige paragrafen maakte je kennis met exponentiële verbanden van de vorm y = b a x Daarbij stelt b de beginwaarde voor (de waarde die y aanneemt als x = 0) en a de groeifactor (a > 1 bij een toename en 0 < a < 1 bij een afname).

Definitie Exponentiële functie

Een exponentiële functie met grondtal a en factor b is een functie van de vorm

Waarom mag a niet gelijk zijn aan 1?

0).

Waarom mag b niet gelijk zijn aan 0?

Voorbeelden

Vink de exponentiële functies aan. Geef telkens een verklaring.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 153
f (x) = b  a x (a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r
f (x) = 3  10 x ❒ f (x) = 4  x 5 ❒ f (x) = 0,75 x ❒ f (x) = 1 3 ( 9 4 ) x ❒ f (x) = 7  (– 5) x ❒
©VANIN

4.4.2 Grafiek van de functie f (x) = a x

Voorbeeld 1

• domein = bereik

• nulwaarden:

• Je noemt de x-as een horizontale asymptoot voor de grafiek.

• De coördinaat van het snijpunt met de y-as is (0, ).

• Het punt (1, ) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend/dalend.

• De grafieken zijn symmetrisch ten opzichte van

• Het punt (1, ) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend/dalend.

154 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
van de
f (x) = 2 x en g (x) = ( 1 2 ) x . x –3–2–10123 f (x) = 2 x g (x) = ( 1 2 ) x x –4–3–2–11234 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 gx = 1 2 x fx =2x x → –∞ ⇒ f (x) → x → +∞ ⇒ g (x) → f (x) = 2 x (a > 1) g (x) = ( 1 2 ) x (0 < a < 1)
=
Teken de grafiek
functies
©VANIN

Algemeen Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a x

• dom f = r ber f = r 0 +

• nulwaarden: geen, want a x > 0

• De x-as is een horizontale asymptoot, want

∙ als a > 1 en x nadert naar –∞, dan nadert y naar 0;

∙ als 0 < a < 1 en x nadert naar +∞, dan nadert y naar 0.

• De coördinaat van het snijpunt met de y-as is (0, 1), want a 0 = 1

• Het punt (1, a) behoort tot de grafiek, want a 1 = a.

• De grafiek is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1.

• De grafieken van de functies f (x) = a x en g (x) = ( 1 a ) x zijn symmetrisch ten opzichte van de y-as, want a –x = ( 1 a

• Geef het tekenschema en het verloop van beide functies.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 155
) x .
functies f (x) = 3 x en g (x) = ( 1 3 ) x x f (x) g (x) –3 –2 –1 0 1 2 3 x –4–3–2–11234 y 1 –1 2 3 4 5 6 7 8 0
x f (x) g (x) x f g ©VANIN
Voorbeeld 2 • Teken de grafiek van de

4.4.3 Grafiek van de functie f (x) = b  a x (met b > 0)

Teken met ICT de grafieken van de functies en vul de tabel aan.

Besluit De grafiek van de functie f (x) = b

ontstaat uit de grafiek van de functie met vergelijking y = a x door een verticale uitrekking of samendrukking.

Het snijpunt met de y-as is het punt (0, b) en het beeld van 1 is b  a Het domein, het bereik en de asymptoot blijven ongewijzigd.

beeld van 1

156 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
f (x) = 2 x g (x) = 3 2 x h(x) = 1 4 2 x f (x) = 2 x g (x) = 3 2 x h(x) = 1 4 2 x domein r bereik r 0 + asymptoot x-as verloop stijgend co (snijpunt y-as) (0, 1) beeld van 1 2
 a x
f (x) = 5 6 x g (x) = 3 ( 1 4 ) x i(x) = 1 2 ( 3 5 ) x j(x) = 3 2 ( 9 4 ) x
Voorbeeld
verloop co (snijpunt y-as)
GEOGEBRA ©VANIN

4.4.4 Het voorschrift f (x) = b  a x opstellen

• Bepaal de factor b:

coördinaat snijpunt y-as:

• Bepaal het grondtal a:

Het punt (1, 2) behoort tot de grafiek.

2 = 1 2  a 1 ⇔ a = 4

• Besluit: het voorschrift is f (x) = 1 2 4 x

Controle: f (2) =

2

4 2 = 8; het punt (2, 8) ligt inderdaad op de grafiek. Voorbeeld

• Bepaal de factor b:

coördinaat snijpunt y-as:

⇒ b = ⇒ f (x) =

• Bepaal het grondtal a:

het beeld van 1 is moeilijk af te lezen.

Je kiest het punt (–1, 6) om a te bepalen:

• Besluit: het voorschrift is

Controle: f (1) = ; het punt (1, ) lijkt inderdaad op de grafiek te liggen.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 157
1 x −112 y −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
Voorbeeld
1
(0, b) = (0, 1 2 ) ⇒ b = 1 2 ⇒ f (x) =
2 a x
2 x −112 y −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
1
©VANIN

• Bepaal de factor b:

• Bepaal het grondtal a:

Controle:

Voorbeeld 4

• Besluit:

Ward volgt een dieet. De grafiek toont zijn lichaamsgewicht (in kg) x maanden na het begin van het dieet.

a) Bepaal de vergelijking van het exponentiële model.

b) Ward eindigt zijn dieet na 2 jaar. Hoeveel weegt hij dan? Rond af op 0,1 kg.

24681012141618202224

©VANIN

c) Na hoeveel tijd duikt hij onder de 100 kg? Rond af op 1 dag.

158 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5 Voorbeeld 3 x −4−3−2−11234 y −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
x (mnd)
y (kg) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0

Oefeningen

REEKS A

36 Teken de grafieken van de functies

a) domein = bereik =

b) snijpunten van de grafieken met de x-as: met de y-as:

c) asymptoot:

d) verloop:

e) ligging van de grafieken ten opzichte van elkaar:

f) coördinatentabel en grafieken:

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 159
f (x) = 4 x en g (x) = ( 1 4 ) x .
x f (x) = 4 x g (x) = ( 1 4 ) x x –2–112 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
©VANIN
160 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5 37 Vul de tabel aan. f (x) = 30 0,6 x g (x) = 6 ( 5 8 ) x h(x) = 15 1,8 x
beeld van 1 38 Bepaal van de exponentiële functies de juiste grafiek. x –3–2–1123 y –1 1 2 3 4 5 6 7 0 A FDCBE f 1(x) = 3  0,4 x f 2(x) = 2  3 x f 3(x) = 3  0,8 x f 4(x) = 3  1,2 x f 5(x) = 2  2 x f 6(x) = 2  0,5 x ©VANIN
verloop co (snijpunt y-as)

39 Bepaal telkens het functievoorschrift van de vorm f (x) = b

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 161
 a x . a) x –2–112 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 b) x –112 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 c) x –5–4–3–2–112 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0

40

REEKS B

©VANIN

162 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
f (x) = b  a x . a) x –2–1123456 y –1 1 2 3 4 5 6 7 0 b) x –4–3–2–112 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 c) x –4–3–2–1123 y –1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
Bepaal telkens het functievoorschrift van de vorm

41 De grafiek toont de evolutie van de gemiddelde huurprijs van studentenkamers in Vlaanderen sinds 2015, volgens de afzonderlijke huurparameter van de Confederatie van Immobiliënberoepen (CIB). x

a) Hoeveel bedroeg de gemiddelde huurprijs in 2015?

b) In welk jaar was de gemiddelde huurprijs 450 euro?

c) Stel een exponentieel model op waarbij x het aantal jaren na 2015 is en y de gemiddelde huurprijs (in euro).

d) Met hoeveel procent is de gemiddelde huurprijs elk jaar toegenomen?

e) Voorspel de gemiddelde huurprijs in 2030. Rond af op 1 euro.

f) In welk jaar zal de kaap van 550 euro worden overschreden?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 163
0123456789 y (euro) 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490
(jarenna2015)
©VANIN

42 Op een verlaten terrein wordt een hoeveelheid radioactief afval gevonden. Elke maand worden metingen uitgevoerd naar de uitgestraalde radioactiviteit in Becquerel (Bq).

a) Bepaal het radioactieve verval per maand op 0,01 % nauwkeurig.

b) Bereken de hoeveelheid radioactieve straling na 20 maanden. Rond af op 0,1 Bq.

c) Bepaal de halveringstijd T. Rond af op 1 dag.

Antoine Henri Becquerel (1852-1908) was een Franse natuurkundige. Bij een onderzoek naar de natuurlijke fosforescentie (het verschijnsel dat een stof, na te zijn belicht in het donker, nog een poos blijft nalichten) van uraniumzouten, ontdekte hij per toeval een soort straling die niet elektromagnetisch was.

In 1908 kreeg hij samen met Marie Curie de Nobelprijs voor Natuurkunde. De eenheid van radioactieve straling is naar hem genoemd. De Bq beschrijft het aantal atoomkernen dat per seconde radioactief vervalt.

164 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
x (maanden) 1234567891011121314151617181920212223 y (Bq) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 0
©VANIN

REEKS C

43 Bij een biologisch experiment worden een aantal geiten uitgezet op een onbewoond eiland met voldoende grasland. Geiten zijn verzot op gras en grazen dus naar hartenlust. Het gras groeit natuurlijk ook weer aan, maar onvoldoende snel om op de lange duur alle geiten van eten te voorzien.

Op de grafiek zie je de evolutie van het aantal geiten (g) op het eiland en van het aantal geiten (n) dat voldoende gras heeft om in leven te blijven.

a) Bepaal een exponentieel model voor het aantal geiten op het eiland.

b) Bepaal een lineair model voor het aantal geiten dat voldoende gras heeft.

c) Na hoeveel tijd zal er onvoldoende gras zijn voor alle geiten op het eiland? Hoeveel geiten zijn er dan op het eiland? Los op met ICT. Rond af op 1 maand.

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 165
1234567891011121314151617 y (aantalgeiten) 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 0 g n
x (jaren)
©VANIN

STUDIEWIJZER Exponentiële verbanden

4.1 Lineaire en exponentiële groei

Een groei is lineair als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke een gelijke toename of afname van de afhankelijke veranderlijke hoort.

Bij lineaire groei geldt: y = ax + b (a ∈ r 0, b ∈ r)

x is de onafhankelijke veranderlijke, y de afhankelijke veranderlijke, b de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a de verandering van y als x met 1 toeneemt.

Een groei is exponentieel als bij een gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke de waarde van de afhankelijke veranderlijke telkens met dezelfde factor wordt vermenigvuldigd. Die factor noem je de groeifactor.

Bij exponentiële groei geldt: y = b  a x (a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r 0 + ) x is de onafhankelijke veranderlijke, y de afhankelijke veranderlijke, b de beginwaarde (de waarde voor y als x = 0) en a de groeifactor (a > 1 bij toename, 0 < a < 1 bij afname).

Het onderscheid maken tussen lineaire en exponentiële groei.

4.2 Exponentiële verbanden

KENNEN –

De groeifactor a bij een toename met p % is gelijk aan a = 100 + p 100

De groeifactor a bij een afname met p % is gelijk aan a = 100 – p 100

Bij een exponentiële groei met groeifactor a per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan a n Bewerkingen met percentages voer je altijd uit met behulp van de groeifactor.

KUNNEN

Concrete problemen oplossen met exponentiële groei met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

©VANIN

166 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
voor de leerling voor de leerkracht KENNEN –  + –  +
KUNNEN –  + –  +
 + –  +
–  + –  +

4.3 Exponentiële vergelijkingen

Een exponentiële vergelijking is een vergelijking met als standaardvorm b  a x = c (a ∈ r 0 + \ {1}; b, c ∈ r 0 + ). b a x =

De verdubbelingstijd van een exponentieel groeiende grootheid met groeifactor a > 1 is gelijk aan T = a log 2

De halveringstijd van een exponentieel dalende grootheid met groeifactor a < 1 is gelijk aan T = a log 0,5

Exponentiële vergelijkingen oplossen met behulp van logaritmen.

4.4 Exponentiële functies

Een exponentiële functie met grondtal a en factor b is een functie van de vorm f (x

Voor

• Er zijn geen nulwaarden.

• De x-as is een horizontale asymptoot.

• Het punt (0, 1) behoort tot de grafiek.

• Het punt (1, a) behoort tot de grafiek.

• De grafiek is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1.

• De grafieken van de functies f (x) = a x en g (x) = ( 1 a ) x zijn symmetrisch ten opzichte van de y-as.

De grafiek van de functie f (x) = b a x (a ∈ r 0 + \ {1}, b ∈ r 0 + )

ontstaat uit de grafiek van de functie met vergelijking y = a x door een verticale uitrekking of samendrukking. Het snijpunt met de y-as is het punt (0, b) en het beeld van 1 is b  a Het domein, het bereik en de asymptoot blijven ongewijzigd.

KUNNEN

Van functies met vergelijking y = a x het domein, het bereik, de snijpunten met de assen, de asymptoot en de invloed van het grondtal bepalen. De grafiek tekenen.

De invloed van de factor b bij de grafiek van de functie f (x) = b a x gebruiken om grafieken te herkennen en er de vergelijking van te bepalen.

©VANIN

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 4 I EXP ONENTIËLE VERBANDEN 167
de leerling voor de leerkracht
–  + –  +
voor
KENNEN
⇔ a x = c b ⇔ x = a log c b ⇔ x = log c b log a
c
–  + –  +
KUNNEN
–  + –  +
KENNEN
b  a x (a ∈ r 0 + \
∈ r 0).
) =
{1}, b
= a x (a ∈ r 0 +
geldt:
de functie f (x)
\ {1})
0 +
domein = r bereik = r
–  +
–  +

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Je verbindt elke cirkel met een aantal andere cirkels. Het aantal verbindingen is gelijk aan het cijfer in de cirkel.

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

2. Bij het uitzenden van geluidssignalen kost het symbool – twee keer zoveel tijd als het symbool |. Welk van de onderstaande berichten kost de meeste tijd?

3. Bij een quiz wordt gevraagd wie de eerste minister van Nederland is en wie de eerste minister van Frankrijk. De eerste vraag wordt door 70 % van de mensen goed beantwoord, de tweede vraag door 40 %. Hoeveel procent van de mensen heeft beide vragen goed beantwoord, als je weet dat 20 % van de mensen beide vragen verkeerd had?

168 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 4 I EXPONENTIËLE VERBANDEN 1 2 3 4 5
A) | | | – | – – – – – B) | – – – | – – – – – | | |C) | | | – | – | | – | – – – | D) – – | | – | – | – | |E) | – – | | – | | – | – | | JWO, editie 2022, eerste ronde
Bepaal x 12 3 45 x
©VANIN
REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 169
5.1 Veranderingen 170 5.2 Gemiddelde verandering 173 Studiewijzer 189 Pienter problemen oplossen 190
HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING
©VANIN

5.1 Veranderingen

Voorbeeld 1

Statbel, het Belgische statistiekbureau, publiceert elk jaar de Belgische woningprijzen. Daarvoor gebruikt het de verkoopakten die werden geregistreerd door de FOD Financiën.

De tabel toont de mediaanprijs (x 1 000 euro) voor een halfopen bebouwing in de periode 2014-2022.

jaar201420152016201720182019202020212022 mediaanprijs (x 1 000 euro)

toename

• Bereken voor elk jaar de toename ten opzichte van het vorige jaar.

• In welke periode was de groei het sterkst? Met hoeveel steeg de prijs in die periode?

• Hoe zie je aan de grafiek in welke periode de groei van de woningprijzen het sterkst was?

Voorbeeld 2

De Jamaicaan Asafa Powell liep in 2008, tijdens een wedstrijd in eigen land, de 100 m in 9,89 s. Op de grafiek vind je het verloop van zijn snelheid. Daarbij is v de snelheid (in km/h) en x de afgelegde weg (in m).

• Op hoeveel meter na de start haalde Powell zijn topsnelheid?

• In welk interval met breedte 10 m kende hij de grootste stijging in snelheid?

• Met hoeveel km/h daalde zijn snelheid tussen 60 en 70 m na de start?

Besluit Verandering

Een verandering (toename of afname) wordt uitgedrukt met behulp van een differentie (verschil). Daarvoor gebruik je het symbool n (delta).

170 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
180183190197205215220245260
x (inm) 102030405060708090100110120 v (inkm/h) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0
150 170 190 210 230 250 270 201420152016201720182019202020212022 mediaanprijs (x 1000 euro) jaar ©VANIN

Oefeningen

REEKS B

1 Het aantal ongevallen op onze Belgische wegen is gestegen sinds de coronapandemie. In het staafdiagram vind je het aantal ongevallen per weekdag van het jaar 2020 en 2021.

Bron: Statbel

a) Hoeveel ongevallen waren er in 2020?

b) Op welke dag steeg het aantal ongevallen het sterkst tussen 2020 en 2021?

c) Op welke dag daalde het aantal ongevallen het sterkst tussen 2020 en 2021?

d) Met hoeveel procent is het aantal ongevallen in het weekend gestegen tussen 2020 en 2021? Rond af op 0,01 %.

2 Een Antwerps museum registreert elk uur het aantal tickets die het voorbije uur werden verkocht. De telling gebeurt vanaf 8 h ’s morgens tot sluitingstijd 18 h. Om 12 h werden 80 verkochte tickets geregistreerd.

a) Vul de tabel aan.

b) Vink het juiste antwoord aan en verbeter indien fout.

©VANIN

a) Tussen 12 en 13 h verkocht het museum de meeste tickets.

b) De grootste afname is tussen 17 en 18 h.

c) Er werden gedurende de dag 740 tickets verkocht.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 171
42844523467947764930 3873 3183 4785 528853175194 5771 4450 3838 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 maandagdinsdagwoensdagdonderdagvrijdagzaterdagzondag Aantaldodenper1000ongevallenopdeBelgischewegen
20202021
tijdstip h 89101112131415161718 aantal verkochte tickets n 80 nn 5020–51540–57–46–36–35
juistfout
rr
rr
rr

3 Dit lijndiagram geeft de evolutie van de dagelijkse vleesconsumptie (in g) per inwoner van België weer voor de periode van 2006 tot 2021.

dagelijksevleesconsumptieperinwonerinBelgië

Bron: Statbel

a) In welke periode is de vleesconsumptie het sterkst toegenomen? Met hoeveel g?

b) In welke periode is de vleesconsumptie het sterkst afgenomen? Met hoeveel g?

c) Volgens de Europese richtlijn mag de vleesconsumptie per persoon maximaal 187 g bedragen. Voldoen de Belgen in 2021 aan die richtlijn?

d) Het land met de minste vleesconsumptie is India. Daar aten ze gemiddeld 0,6 kg per persoon per jaar in het jaar 2021. Hoeveel kg vlees at een Belg gemiddeld per jaar meer dan een Indiër?

4 In de tabel lees je de snelheid v (in km/h) af van een wagen en de remweg s (in m) op een nat wegdek.

a) Vul de tabel aan.

b) Gebruik de toename van ns om de remweg van een wagen met een snelheid van 100 km/h te schatten.

172 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
258252 210215206224 0 50 100 150 200 250 300 200620092012201520182021 vleesconsumptie(in g) jaar
snelheid v (km/h)30405060708090 remweg s (m)6,751218,752736,754860,75 ns
©VANIN

5.2 Gemiddelde verandering

5.2.1 Inleidend voorbeeld

Olivia is een populaire naam. In 2019 stootte ze de naam Emma van de troon. Die was tot dan toe al 16 jaar op rij de koploper.

In de grafiek vind je het aantal pasgeboren meisjes die de naam Olivia kregen.

• Bereken voor elk jaar de verandering (nn) ten opzichte van het vorige jaartal.

• Mag je besluiten dat de sterkste stijging plaatsvond in 2010-2015?

• Om een juist besluit te trekken over de toe- of afname, moet je voor elke periode de gemiddelde verandering per jaar ( nn nx ) berekenen. Vul de tabel aan.

• In welke periode was de gemiddelde jaarlijkse toename het sterkst?

• Is er altijd een stijging geweest van pasgeborenen met de naam Olivia?

• Met hoeveel procent steeg de populariteit van de naam in 2021 ten opzichte van 1998?

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 173
8870 138 263279 538 613 554 651 548 580 0 100 200 300 400 500 600 700 19982000200320082010201520172018201920202021 aantal meisjes jaar Bron: Statbel
jaar x 19982000200320082010201520172018201920202021 aantal meisjes n 8870138263279538613554651548580 nn nn nx
©VANIN

5.2.2 Differentiequotiënt van een functie

Differentiequotiënt

Definitie Differentiequotiënt

Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde

Notatie: ny nx

Differentiequotiënt van een functie

Definitie Differentiequotiënt van een functie

De gemiddelde verandering of het differentiequotiënt van de functiewaarden van een functie f over het interval [a, b ] is f (b) – f (a) b – a

Notatie: ny nx = f (b) – f (a) b – a

Het differentiequotiënt van een functie f in [a, b]

bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a, b] en geeft dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a, b]. f (b) – f (a) b – a = ny nx = de richtingscoëfficiënt van de koorde door de punten P (a, f (a)) en Q (b, f (b)) van de grafiek van f Voorbeelden

• Bereken het differentiequotiënt van de functie over de gegeven intervallen.

174 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
f(b) f(a) ab P Q yf x nx ny
a) f (x) = 1 2 x 2 [–2, 4 ] : [–5, –1 ] : c) f (x) = 5x 3 [1, 3 ] : [2, 8 ] : b) f (x) = 4 x [1, 4 ] : [–8, –4 ] : d) f (x) = 3 x [0, 3 ] : [–2, 2 ] : VIDEO GEOGEBRA VIDEO ©VANIN

• Gegeven: de functie f (x) = x 2 − 1

Bereken de gemiddelde helling van de grafiek in [0, 2 ]

de grafische betekenis van dat getal.

Bereken de gemiddelde helling in [–2, 1 ] en leg de grafische betekenis uit.

Bereken het differentiequotiënt in [–2, 2 ] en leg de grafische betekenis uit.

• De afstand tussen Brussel en Londen is 317 km. De Eurostar vertrekt om 8h52 in Brussel en komt in Londen aan om 10h57 (9h57 lokale tijd). Bereken zijn gemiddelde snelheid v (in km/h). Rond af op 0,01 km/h.

©VANIN

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 175
x −5−4−3−2−112345 y −1 1 2 3 4 5 0 f
Geef

5.2.3 Toepassingen

Toepassing 1

De Col du Tourmalet, een legendarische col uit de Ronde van Frankrijk, heeft een horizontale afstand van 23,4 km. De top bevindt zich op een hoogte van 2 115 m.

• Wat lees je af op de y-as?

• Wat lees je af op de x-as?

• Bereken, op 0,01 %, het gemiddelde hellingspercentage tijdens de eerste 10 km.

• Bereken, op 0,01 %, het gemiddelde hellingspercentage tussen de 15 de en 18 de km

• Bereken, op 0,01 %, het gemiddelde hellingspercentage van de volledige beklimming,

176 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
01234567891011121413151617181920212223 2200 2100 2000 1900 1800 1700 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 + + + + COL DU TOURMALET (2115 m) 660 CAMPAN SAINTE MARIE DE CAMPAN GRIPP LA MONGIE (1 730) COL DU TOURMALET (2 115) 680700 725745 780 830 875 915 940 980 1030 1100 1180 1260 1340 1440 1530 1630 1720 1810 1900 1990 2075 * Naar ALTIGRAPH Edition
©VANIN

Toepassing 2

Noah laat een bal vallen van een toren van 75 m hoog. De hoogte h (in m) van de bal na t seconden is gelijk aan h (t) = 75 – 4,9t 2

• Na hoeveel seconden valt de bal op de grond? Bepaal met ICT en rond af op 0,1 s.

• Vul de tabel aan. Rond af op 0,01 m.

tijd t (s)00,511,522,533,5 hoogte h (m)

• Bereken de verandering van de hoogte die de bal aflegt.

• Bereken de gemiddelde verandering van de bal gedurende de eerste seconde van de val. Rond af op 0,1 m/s.

• Wat is de fysische betekenis van de gemiddelde verandering?

• Bereken de gemiddelde snelheid v (in m/s) van de bal in het tijdsinterval [1, 3 ]. Rond af op 0,1 m/s.

• Bereken de gemiddelde snelheid v (in m/s) van de bal gedurende de volledige valtijd. Rond af op 0,01 m/s.

• Wat is de grafische betekenis van de berekende gemiddelde snelheden?

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 177
t (s) 0,511,522,533,544,55 h (m) 10 20 30 40 50 60 70 80 0
©VANIN

Oefeningen

REEKS A

5 Bereken het differentiequotiënt van de functie over het gegeven interval.

a) f (x) = –4x + 5 [–3, –1 ] : [–2, 2 ] :

b) f (x) = –x 2 + 2 [–1, 3 ] : [–4, 5 ] :

c) f (x) = –5 x [–3, 1 ] : [2, 5 ] :

d) f (x) = ( 1 2 ) x [–6, –2 ] :

3 ] :

6 Bereken de gemiddelde helling van de grafieken over het gegeven interval.

178 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
[–3,
a) 1 2 102345–2–1 –1 –2 –3 –4 –6 –7 –8 –9 –5 y x f (x)=–– x 3–2 2 • [0, 4 ] • [–2, 3 ] b) x −5−4−3−2 f(x)=x2+4 −112345 y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 • [0, 2 ] • [–1, 5 ] ©VANIN

REEKS B

7 De Koppenberg is een gevreesde klim tijdens de Ronde van Vlaanderen. Hieronder vind je de doorsnede van de helling.

Bereken op 0,1 % nauwkeurig het gemiddelde hellingspercentage

• voor de eerste 200 m:

• voor de volledige beklimming:

8 In België is Signal de Botrange ons hoogste punt. Het ligt in het natuurreservaat van de Hoge Venen en meet 694 m boven de zeespiegel. Op de tweede plaats staat Baraque Michel (656 m), gevolgd door Baraque de Fraiture met een hoogte van 632 m.

Wout is een fervente mountainbiker en beweert dat Baraque de Fraiture een hoger gemiddeld hellingspercentage heeft dan Baraque Michel. Is de bewering van Wout correct?

Rond af op 0,01.

©VANIN

9 Op 1 januari 2011 werden in de stad Tielt 19 710 inwoners geteld.

Sindsdien kan het aantal inwoners n na t jaar weergegeven worden met de functie n(t) = 19 710  1,003 6 t

Bereken de gemiddelde verandering per jaar van het aantal inwoners in Tielt over de periode 2015-2019.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 179

10 Bereken het differentiequotiënt over het gegeven interval. Geef telkens de fysische betekenis. Maak gebruik van ICT.

GEOGEBRA

a) De diepte d (in m) van een rivier wordt gegeven door d (x) = 0,25x 2 – 2x Daarbij is x de afstand (in m) tot de linkeroever.

In [1, 3]:

b) Het vermogen P (in kW) van een windmolen wordt gegeven door

P(v) = 0,35  v 3. Daarbij is v de windsnelheid (in m/s). Rond af op 0,01 m/s.

In [10, 15]:

c) De gemiddelde snelheid v (in km/h) waarbij auto’s over een verkeersdrempel met hoogte h (in cm) rijden, wordt gegeven door v (h) = 240 h .

In [4, 6]:

d) De trillingstijd T (in s) van een massaveersysteem wordt gegeven door

T(m) = 1,4  √ m . Daarbij is m de massa (in kg). Rond af op 0,01 s/kg.

In [3, 7]:

e) De geluidsintensiteit I (in W/m 2) van een geluidsbron wordt gegeven door

I (r) = 100 4pr 2 . Daarbij is r de afstand (in m) tot de geluidsbron. Rond af op 0,000 01 W/m 2

180 REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
In [20, 50]: ©VANIN

11 Gegeven: de grafiek van de functie f

a) Bereken de gemiddelde helling tussen de punten A en B

b) Teken een punt C op de grafiek, verschillend van A en B, zodat de gemiddelde helling tussen A en C gelijk is aan de gemiddelde helling tussen A en B

a) Bereken de gemiddelde helling tussen A en B

b) Bereken de gemiddelde helling tussen D en E

c) Tussen welke twee gegeven punten op de grafiek hoort een gemiddelde helling van 0?

a) Duid een punt B op de grafiek aan waarbij de gemiddelde helling tussen A en B 1 2 bedraagt.

©VANIN

b) Duid een punt C op de grafiek aan waarbij de gemiddelde helling tussen A en C –1 bedraagt.

c) Duid een punt D op de grafiek aan waarbij de gemiddelde helling tussen A en D, 0 bedraagt.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 181
x −5−4−3−2−112345 y −4 −2 2 4 6 8 0 f A
B
x −6−5−4−3−2−112 y −8 −6 −4 −2 2 4 6 0 f D AC E B
12 Gegeven: de grafiek van de functie f
x −6−5−4−3−2−1123456 y −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 fA
13 Gegeven: de grafiek van de functie f

14 De volgende grafiek beschrijft de baan van een badmintonshuttle. Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s).

a) In welk tijdsinterval van 1 s heeft de badmintonshuttle de grootste positieve verandering van de hoogte? Verklaar zonder een berekening te maken.

b) In welk tijdsinterval van 1 s heeft de badmintonshuttle de grootste negatieve verandering van de hoogte?

c) Wanneer valt de shuttle op de grond?

15 De grafiek geeft de evolutie weer van de mediaanprijs per kg (in euro) van verse garnaaltjes in de vismijn van Oostende.

a) In welke periode was de stijging van de mediaanprijs het grootst?

b) Bereken de gemiddelde verandering van de mediaanprijs in die periode. Geef de betekenis van dat getal.

c) In welke periode daalde de mediaanprijs het snelst?

d) Bereken de gemiddelde verandering van de mediaanprijs in die periode. Geef de betekenis van dat getal.

182 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
t (s) −1123456 h (m) 5 10 15 20 25 30 0
4,4 3 2,5 55,2 0 1 2 3 4 5 6 20002005201020152020 mediaanprijs (in EUR/kg) jaartal Bron: Statbel
©VANIN

16 Een aannemer huurt voor enkele weken een hijskraan om een nieuwbouwproject te verwezenlijken. Voor die kraan geldt: m max = 120 000 a .

Daarbij is m max de maximale massa (in kg) en a de armlengte (in m).

a) Vul de tabel aan met de gemiddelde verandering van de maximale armlengte per meter armlengte.

b) In welk gegeven tijdsinterval neemt de gemiddelde verandering het sterkst af?

c) Leg de fysische betekenis uit van de gemiddelde verandering in het interval [24, 30 ]

17 De ouders van de zeventienjarige Victoria hebben de lichaamslengte l (in cm) van hun dochter elk jaar opgetekend op de muur in de badkamer. Je vindt een deel van die gegevens terug in de tabel.

a) Vul de tabel aan met de gemiddelde verandering van de lengte per jaar.

b) In welk gegeven tijdsinterval groeide Victoria het snelst?

c) In welk gegeven tijdsinterval is Victoria op één na het snelst gegroeid?

d) Hoeveel cm is ze gegroeid sinds haar geboorte?

e) Hoeveel cm is Victoria gemiddeld gegroeid tussen haar vijfde en veertiende verjaardag? Rond af op 1 mm.

f) Met hoeveel procent is Victoria gegroeid tussen haar achtste en zeventiende verjaardag?

©VANIN

g) Bereken de gemiddelde verandering van de lichaamslengte per jaar over het tijdsinterval [11, 17 ]. Geef de betekenis van dat getal.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 183
a (m)10152430404860 m max (kg) nm max na
leeftijd n 0 5 8 11 14 17 lengte l (cm)52106118141159165 nl nn
a

18 De tabel toont het aantal ingeschreven motorrijwielen die minstens 40 km/h rijden (dat zijn alle motorfietsen en de meeste bromfietsen) in België op 1 augustus van het respectievelijke jaar.

a) Bereken voor elke periode de verandering en de gemiddelde verandering van het aantal motorrijwielen per jaar. Rond af op 0,1.

b) In welke periode was de jaarlijkse afname het grootst?

c) Schat het aantal motorrijwielen in 1990.

d) Voorspel het aantal motorrijwielen in 2025.

19 Hieronder vind je de grafiek met de horizontale afstand (in m) en de hoogte (in m) van een wandelpad met een top op een hoogte van 250 m.

a) Geeft het waarschuwingsbord, dat aan het begin van het wandelpad staat, het correcte hellingspercentage weer?

b) In welk interval van 100 m bevindt zich het stuk met de sterkste stijging?

c) In welk interval van 100 m leg je het stuk met de sterkste daling af?

d) Bereken het gemiddelde hellingspercentage in [300, 500]. Rond af op 0,1 %.

184 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
jaar t 1940195019802000200620172022 aantal n 52 85632 529113 057277 838359 764673 336533 107 nn nt
0 50 100 150 200 250 300 0100200300400500600700 (300,180) (500,215) 8009001000 hoogte (m) horizontaleafstand(m)
7%
©VANIN

20 Een patiënt krijgt in het ziekenhuis een inspuiting met 20 ml pijnstillende medicatie. Elk uur wordt het medicijn afgebroken door het lichaam. De hoeveelheid medicijn M (in ml) na t uur wordt gegeven door de functie M (t) = 20 

a) Vul de tabel aan en bereken het differentiequotiënt voor elk tijdsinterval. Rond af op 0,1 ml.

t 0 2 4 6 8 10

b) In welk gegeven tijdsinterval is de afname het grootst?

c) Hoeveel ml medicijn is aanwezig in het bloed na 5 h? Rond af op 0,1 ml.

d) De patiënt beweert dat na 8 h meer dan 90 % van het medicijn is afgebroken. Heeft de patiënt gelijk?

21 Het afkoelen van een kopje thee hangt af van de temperatuur van de thee bij het inschenken en van de kamertemperatuur. De functie u(t) = 70  0,82 t + 20 geeft de temperatuur (in ºC) van het kopje thee weer na t min.

a) Wat is de temperatuur van de thee bij het inschenken?

b) Met hoeveel graden daalt de temperatuur van de thee gemiddeld in de eerste 5 min? Rond af op 0,1 ºC

c) Met hoeveel graden daalt de temperatuur in de volgende 5 min? Rond af op 0,1 ºC.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 185
(
)
2 3
t .
M
n
nt
uur
(ml)
M
©VANIN

22 Het viaduct van Millau in Frankrijk is een van de hoogste bruggen ter wereld. De brug is 2 460 m lang, heeft een breedte van 32,05 m en ligt op 270 m boven de rivier de Tarn. Ze vormt een belangrijke verbinding tussen Clermont-Ferrand en Montpellier in Zuid-Frankrijk. De brug is niet horizontaal gebouwd, maar vertoont een stijging richting het zuiden met een hellingspercentage van 3,025 %.

Bereken het hoogteverschil tussen de bruguiteinden. Rond af op 0,1 m.

23 Bruno koopt een nieuwe elektrische auto. Elk jaar neemt de waarde van de auto af met 20 %. De waarde W (in euro) wordt weergegeven door de functie W(n) = 49 900 0,80 n Daarbij is n het aantal jaar na de aankoopdatum.

a) Aan welke prijs heeft Bruno de wagen gekocht?

b) Met hoeveel euro daalt de waarde van de auto tijdens het eerste jaar? Rond af op 1 euro.

c) Bruno beweert dat de waarde van zijn auto na 3 jaar met 60 % is gedaald. Heeft hij gelijk?

24 De maandelijkse verkoop van laptops in een multimediawinkel kan beschreven worden met de formule n(x) = 460 1,02 x .

Daarbij is n het aantal verkochte laptops en x het aantal maanden na januari 2018. Bereken de gemiddelde verandering tussen januari 2018 en januari 2022. Geef de betekenis van dat getal.

186 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
©VANIN

25 Berre rijdt anderhalf uur met zijn auto in Duitsland. Zijn afgelegde weg s (in km) na t (in h) wordt gegeven door de functie s(t) = 150 t 2 − 50 t 3 (0 t 1,5)

Bereken zijn gemiddelde snelheid v op 0,1 km/h.

a) over de hele rit:

b) tijdens het eerste kwartier:

c) tijdens het laatste half uur:

26 In grootsteden kun je een elektrische step huren om de stad te bezichtigen. Je bent op reis in Parijs en beslist om met de step een mooie route af te leggen tussen de Notre Dame en de Eiffeltoren. Je passeert daarbij eerst aan het Louvre en daarna aan de Arc de Triomphe. De tabel geeft het verband tussen de afgelegde weg s (in km) en de tijd t (in min) van de elektrische step.

a) Vul de tabel aan.

b) Je besluit om even halt te houden en een foto te nemen bij het Louvre. Hoelang ben je daar blijven staan?

c) In welk tijdsinterval van 10 min is de gemiddelde snelheid

• het kleinst?

• het grootst?

d) Bereken, op 0,1 km/h, de gemiddelde snelheid

• tijdens de eerste 10 min:

• tijdens de laatste 20 min:

• over het hele traject:

REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 187
t (min)0102030405060 s (km)03,13,14,67,199,4 ns nt
©VANIN

27 Een van de hoogste wolkenkrabbers ter wereld staat in de stad Dubai: Burj Khalifa. Iemand gooit een steentje van de wolkenkrabber naar beneden. De hoogte van het steentje kun je berekenen met de functie h (t) = –4,9t 2 + 828. Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s). Teken de grafiek met ICT.

a) Hoe hoog is de Burj Khalifa?

b) Na hoeveel seconden valt het steentje op de grond?

c) Bereken de gemiddelde snelheid van het steentje over de gegeven tijdsintervallen. Rond af op 0,1 m/s.

• [0, 4 ]: • [4, 8 ]:

d) Hoe zie je aan de grafiek dat het steentje sneller valt in het interval [4, 8] dan in [0, 4]?

e) Bereken de gemiddelde snelheid van het steentje (in km/h) van de volledige valtijd. Rond af op 0,1 km/h.

f) Betekent dat dat het steentje met die snelheid op de grond valt?

188 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
©VANIN

STUDIEWIJZER Gemiddelde verandering

5.1 Veranderingen voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN –  + –  +

Veranderingen worden uitgedrukt in differenties (verschillen).

In betekenisvolle situaties bij een gegeven tabel en/of grafiek de verandering berekenen en interpreteren.

De grafische betekenis van een verandering illustreren.

5.2 Gemiddelde verandering

KENNEN

Het differentiequotiënt = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde = ny nx

De gemiddelde verandering of het differentiequotiënt van de functiewaarden van een functie f over het interval [a, b] is f (b) – f (a) b – a

f (b) – f (a)

b – a = ny nx is de richtingscoëffiënt van de koorde door de punten

P(a, f (a)) en Q(b, f (b)) van de grafiek van f

In betekenisvolle situaties bij een gegeven tabel, grafiek en/of functievoorschrift de gemiddelde verandering berekenen en interpreteren.

De grafische betekenis van de gemiddelde verandering illustreren. Een probleem met behulp van gemiddelde verandering oplossen en de oplossing interpreteren.

REËL E FUNCTIES I HOOFD STUK 5 I GEM IDDELDE VERANDERING 189
KUNNEN –  + –  +
–  +
 +
KUNNEN –  + –  +
©VANIN

Pienter problemen oplossen

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑ ...

1. Een kledingzaak verkoopt alles met 10 % korting. Marie koopt enkele T-shirts en broeken en betaalt 220 euro. Wanneer ze haar kassaticket bekijkt, merkt ze dat ze niet 10 % minder, maar wel 10 % meer dan de oorspronkelijke prijs heeft betaald. Hoeveel moet Marie terugkrijgen?

A) € 20B) € 31 C) € 40D) € 41,80E) € 44

JWO, editie 2022-2023, eerste ronde

2. Kelly zegt tegen Pascal dat ze drie opgroeiende kinderen heeft. Het product van hun leeftijden is 72. De som is haar huisnummer 14. Hoe oud zouden de kinderen kunnen zijn?

3. Een man heeft een klein roeibootje. Hij moet een wolf, een schaap en een kool naar de andere oever overbrengen. In het bootje is maar plaats voor de man en ofwel de wolf, ofwel het schaap, ofwel de kool. Hij mag echter de wolf en het schaap nooit alleen laten en ook het schaap mag hij niet alleen met de kool achterlaten. Hoe kan hij de wolf, het schaap en de kool naar de andere kant brengen?

190 REËLE FUNCTIES I HOOFDSTUK 5 I GEMIDDELDE VERANDERING 1 2 3 4 5
©VANIN

EXTRA LEERSTOF

©VANIN

Overzicht Extra Leerstof bestandsnaam hoofdstuk pagina ❑ Bewijs rekenregels voor logaritmen 3 116
©VANIN

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.