Pienter 4 - XL 5u deel 2 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 en 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 Waarheidstabellen

Hoofdstuk 2 Tweedegraadsvergelijkingen

Hoofdstuk 3 Functies ����(����) = ���� ����

Hoofdstuk 4 Deelbaarheid bij veeltermen

Hoofdstuk 5 Goniometrie

Hoofdstuk 6 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 7 Tweedegraadsfuncties

Hoofdstuk 8 Telproblemen

Hoofdstuk 9 Analytische meetkunde

Hoofdstuk 10 Ruimtemeetkunde

Hoofdstuk 11 Grafen

Hoofdstuk 12 Transformaties van elementaire functies op voor

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 7 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES

7.1 Eerstegraadsfuncties

7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

7.3 Functies van de vorm

7.4 Functies van de vorm

7.5 Functies van de vorm

7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties

7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen

7.8 De vergelijking van een parabool

Proefversie©VANIN

7.1 Eerstegraadsfuncties

7.1.1 Voorbeeld

Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.

De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.

De tickets kosten 30 euro per stuk.

Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.

Proefversie©VANIN

7.1.2

Definitie

Vul de tabel aan.

aantal tickets0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro)

Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie

Eerstegraadsfuncties

Eerstegraadsfunctie

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).

f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r

Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.

wat is de toename van de functiewaarde,

als het argument met één eenheid toeneemt?

Die toename is de richtingscoëfficiënt

Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.

(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.

b is de afsnijding op de y-as.

algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.

In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Opmerking

als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax. De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.

Oefeningen

REEKS

A

1 Teken de grafiek.

a) f (x) = 2x

Proefversie©VANIN

g (x) = –x – 3

2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.

a) f (x) = 2x + 3 f (–1) =

b) f (x) = –3x – 2 f (2) =

c) f (x) = –1 2 x + 1 f (–2) = d) f (x) = –4x – 9 f (0) = e) f (x) = 5– 3 2 x f (–4) =

3 Ligt het punt A op de grafiek van f ?

a) f (x) = –6x – 10 A (–3, 8)

b) f (x) = –2x + 5 A (7, –2)

c) f (x) = 1 2 x –3 2 A (–5, –4)

4 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a) x 0123 f (x)47 1013

functievoorschrift:

functievoorschrift:

5 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a)

c) x –3–2–10 f (x)–1–3 –5–7

Proefversie©VANIN

functievoorschrift:

functievoorschrift:

functievoorschrift:

functievoorschrift:

functievoorschrift:

7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties

7.2.1

Doorsnede van een rivierbedding

De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool.

Proefversie©VANIN

6412161421 08

GEOGEBRA

Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kunnen ze schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier.

Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven door het verband d (x) = 1 8 x 2 – 2x

7.2.2

Hoe breed is de rivier?

Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst?

wat is die diepte?

Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever?

Baan van een projectiel

h t Een steen wordt van een gebouw geworpen onder een hoek van 30º met een snelheid van 16 m/s.

Hij volgt een baan in de vorm van een parabool.

De hoogte h (in m) van de steen in functie van de tijd t (in s) wordt dan gegeven door het functievoorschrift h (t) = –5t 2 + 8t + 5.

• Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de worp?

• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?

• Na hoeveel seconden belandt de steen op de grond? Bepaal op 0,01 s nauwkeurig.

In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van het functievoorschrift telkens 2. Het zijn voorbeelden van tweedegraadsfuncties

7.2.3 Algemeen

Definitie Tweedegraadsfunctie

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Voorbeelden

Zet een vinkje bij de voorschriften of vergelijkingen die bij een tweedegraadsfunctie horen.

= 4x 2 – 3

Proefversie©VANIN

7.2.4 Parabolen in het dagelijks leven

Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.

De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in één punt weerkaatst worden.

De beroemde Spaanse architect gaudí gebruikte paraboolvormige gewelven.

Elke waterstraal volgt een parabolische baan.

Om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, vliegt het toestel in een paraboolbaan.

Paleis in ctesiphon (Irak) Berliner bogen

7.3.1 De functie f (x) = x 2

Vul de tabel aan.

Teken de grafiek. x f (x)

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een dalparabool

• De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat

De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking

• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas.

In dit geval is de coördinaat van de top

• De functie is dalend in en stijgend in

In de top bereikt de functie een minimum

• dom f = ber f = nulwaarde:

• tekenschema: verloop: x f (x) x f

algemeen De grafiek van de functie f (x) = x 2 is een parabool met:

• holle zijde naar boven (dalparabool);

• symmetrieas: de y-as (x = 0);

• top: het punt (0, 0).

7.3.2 Het zuiver kwadratisch verband

Voorbeeld

Je vergroot de straal van een cirkel telkens met 1 cm.

Bereken de bijbehorende oppervlakte A =  r 2. Rond af op 0,01.

Proefversie©VANIN

A (cm 2)

als de straal twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

als de straal drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte

Uit de formule van de oppervlakte van de cirkel volgt dat: A r 2 =

Je zegt dat het verband tussen de grootheden A en r zuiver kwadratisch is.

Definitie Zuiver kwadratisch verband

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.

y x 2 = a ⇒ y = a x 2 (met a ∈ r0). Je noemt a de evenredigheidsconstante.

Formule

GEOGEBRA

Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a ? x 2 (met a ∈ r0).

Grafiek van een zuiver kwadratisch verband

Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm 2) weergeeft in functie van de straal r (in cm).

De grafiek is

Besluit De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De top van de parabool valt samen met de oorsprong.

GEOGEBRA

Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) = 1 2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?

Proefversie©VANIN

Om de grafiek van de functie g(x) = 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 2.

Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2.

Om de grafiek van de functie h(x) = 1 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met 1 2 .

Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2

Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2.

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?

g(x) = –x 2 –16–9–4–10–1–4–9–16 h(x) = –2 x 2 –32–18–8–20–2–8–18–32

Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –1

De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as

Om de grafiek van de functie h(x) = –2 ? x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek vermenigvuldigen met –2

De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens:

• gespiegeld ten opzichte van de x-as; • verticaal uitgerekt met factor 2

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r 0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2 .

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |

De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2

Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.

Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, 0).

7.3.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax 2

Voorbeeld

Teken de grafiek van de functie g (x) = 1 4 x 2

a) door de tabel met functiewaarden aan te vullen.

)

Proefversie©VANIN

b) met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2

• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x))

• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a f (x))

Bij het tekenen van de grafiek van g (x) = 1 4 x 2

vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor .

REEKS A

6 Welke tabellen stellen een zuiver kwadratisch verband voor? Geef een korte verklaring.

a) x 1234 y 2401208060 d) x 5678 y 15182124

zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee

Proefversie©VANIN

b) x 1234 y 281832 e) x 5101520 y 120604030 zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee

c) x 3456 y 3664100144 f) x 57911 y 12,524,540,560,5

zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee

7 Welke grafieken stellen een zuiver kwadratisch verband voor? Geef een korte verklaring.

zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee

8 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2 .

Proefversie©VANIN

9 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –4x 2 . x f (x)

–2,5 –2

–1,5 –1

–0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

10 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’.

a) De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort.

b) De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort.

c) De opening van de parabool die bij f (x) = 2 3 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort.

d) De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort.

11 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift. a)

Proefversie©VANIN

12 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Schets de grafiek van g

a) g (x) = 3x 2 c) g (x) = 1 4 x 2

verticale met factor verticale met factor

b) g (x) = –2,5x 2 d) g (x) = –1 5 x 2

verticale met factor verticale met factor

13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a ∈ r0), als

a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.

c) het punt A (–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.

Proefversie©VANIN

d) het punt A 1 3 , –1 tot de grafiek van de functie behoort.

f (x) = f (x) =

14 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v) = 3 200 v 2 , waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).

a) Vul de tabel aan.

b) Teken de grafiek.

c) Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de norm.

d) Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de functie s (v) = 7 500 ? v 2

Bereken de remweg van die fiets als je weet dat, in identieke omstandigheden en bij een gelijke snelheid, de remweg van de eerste fiets 10 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

15 Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen. De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar.

De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw.

Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.

Proefversie©VANIN

a) Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O bij het midden van de kabel.

b) Bepaal het functievoorschrift van de kabel.

c) Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.

d) Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.

GEOGEBRA

Hoe ontstaan de grafieken van g (

uit de grafiek van f (x) = x 2?

Proefversie©VANIN

De grafiek van h (x) = (x + 1) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar links te verschuiven over een afstand 1.

• p =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van g (x) = (x – 2) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar rechts te verschuiven over een afstand 2.

• p =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

algemeen De grafiek van de functie g (x) = (x – p) 2 ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 horizontaal te verschuiven over een afstand | p |.

• Voor p > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven.

• Voor p < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.

De vergelijking van de symmetrieas is x = p De coördinaat van de top is (p, 0).

Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = x 2 + 1 en h (x) = x 2 – 4 uit de grafiek van f (x) = x 2?

Proefversie©VANIN

) = x 2 – 4 1250–3–4–30512

q < 0 q > 0

De grafiek van h (x) = x 2 – 4 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 4.

• q =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

De grafiek van g (x) = x 2 + 1 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar boven te verschuiven over een afstand 1.

• q =

• holle zijde naar ( parabool)

• symmetrieas:

• top:

algemeen De grafiek van de functie g (x) = x 2 + q ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal te verschuiven over een afstand | q |.

• Voor q > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven.

• Voor q < 0 wordt de grafiek van f naar beneden verschoven.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, q).

7.4.3 Grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q

Voorbeeld 1

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?

Proefversie©VANIN

grafiek met vergelijking

holle zijde naar ( parabool)

• opening die van y = x 2

• symmetrieas:

• top:

Voorbeeld 2

Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2? y = x 2

Proefversie©VANIN

= (x – 2) 2

= –(x – 2) 2

–

De grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 is een parabool met • holle zijde naar ( parabool)

• opening die van y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• verticale uitrekking (| a | > 1) of samendrukking (| a | < 1)

• spiegeling ten opzichte van de x-as als a < 0

f (x) = x 2

horizontale verschuiving over | p |

• naar rechts als p > 0

• naar links als p < 0

f (x) = a x 2

• | a | is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte.

• a > 0: dalparabool

(holle zijde naar boven)

• a < 0: bergparabool

(holle zijde naar beneden)

Proefversie©VANIN

• symmetrieas: de rechte met vergelijking x = p

• co(top) = (p, 0) f (x) = a ? (x – p) 2

verticale verschuiving over | q |

• naar boven als q > 0

• naar beneden als q < 0

• co(top) = (p, q) f (x) = a ? (x – p) 2 + q

Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q

De grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p

• De top heeft als coördinaat (p, q).

7.4.4 Gemeenschappelijke punten met de assen

Gemeenschappelijke punten met de x-as

De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q vind je door de vergelijking a ? (x – p) 2 + q = 0 op te lossen.

Voorbeeld 1

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2

Proefversie©VANIN

De functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2 heeft één nulwaarde: –4.

Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x + 4) 2 één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0).

De parabool raakt de x-as in (–4, 0).

Voorbeeld 2

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12.

De functie met voorschrift f (x) = 3 ? (x + 5) 2 + 12 heeft geen nulwaarden. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12 geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.

Voorbeeld 3

Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8.

Proefversie©VANIN

De functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8 heeft twee nulwaarden: –1 en 3. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8 twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0).

De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0).

Gemeenschappelijk punt met de y-as

Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q bepaal je door x gelijk te stellen aan 0.

Voorbeeld

Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8.

De parabool snijdt de y-as in (0, 6).

Een parabool heeft altijd juist één snijpunt met de y-as.

Besluit • De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x – p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

7.4.5 Modeloefeningen

Modeloefening 1

Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = 1 3 (x – 4) 2 aan of schrap wat niet correct is.

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

Modeloefening 2

Teken de grafiek van de functie f (x) = –1 2 (x + 3) 2 + 9 2

• vorm van de parabool:

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

• grafiek:

Oefeningen

REEKS A

16 Plaats elke parabool bij de juiste vergelijking en vul aan of schrap.

Proefversie©VANIN

y = –2x 2 + 8 is grafiek y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:

• gemeenschappelijk punt met

• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:

y = (x + 1) 2 is grafiek y = –(x – 2) 2 – 3 is grafiek

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met

• dalparabool/bergparabool

• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2

• symmetrieas:

• top:

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:

• gemeenschappelijk punt met

• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:

17 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. Controleer met ICT.

a) y = 8x 2

e) y = (x + 2) 2 + 1

vorm: vorm:

Proefversie©VANIN

opening: opening: symmetrieas: symmetrieas:

top: top:

b) y = (x – 1) 2 f) y = 4 ? (x + 5) 2 – 6

vorm: vorm:

opening: opening: symmetrieas: symmetrieas:

top: top:

c) y = –1 2 x 2 + 5 g) y = 2 3 (x – 7) 2 –1 2

vorm: vorm: opening: opening: symmetrieas: symmetrieas: top: top:

d) y = –3 ? x + 7 5 2 h) y = – x –5 2 2 + 6

vorm: vorm: opening: opening:

symmetrieas: symmetrieas: top: top:

Proefversie©VANIN

a) y = (x + 1) 2 – 4 d) y = –1 2 ? (x + 1) 2 + 1 b) y = x 2 – 4 e) y = –1 2 (x + 1) 2

c) y = (x + 1) 2 + 1 f) y = 2 ? (x + 1) 2 – 4

19 Noteer het voorschrift van de tweedegraadsfunctie g, waarvan de grafiek ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = x 2 :

a) te spiegelen ten opzichte van de x-as.

b) 3 eenheden te verschuiven naar rechts.

c) verticaal uit te rekken met factor 5 en 2 eenheden te verschuiven naar boven.

Proefversie©VANIN

d) achtereenvolgens verticaal uit te rekken met factor 2, te spiegelen ten opzichte van de x-as en 3 eenheden te verschuiven naar links.

e) verticaal samen te drukken met factor 3, vervolgens 5 eenheden te verschuiven naar rechts en tot slot 2 eenheden te verschuiven naar beneden.

f) 4 eenheden te verschuiven naar rechts en te spiegelen ten opzichte van de x-as.

g) 1 eenheid te verschuiven naar boven en te spiegelen ten opzichte van de x-as.

h) verticaal samen te drukken met factor 5, vervolgens 2 eenheden te verschuiven naar links, daarna 3 eenheden te verschuiven naar beneden en tot slot te spiegelen ten opzichte van de x-as.

20 Hoe kan de grafiek van g verkregen worden uit de grafiek van f met voorschrift f (x) = x 2?

a) g (x) = –2 (x + 6) 2

b) g (x) = 3x 2 + 4

c) g (x) = 1 2 ? (x – 1) 2 – 2

d) g (x) = –(x + 3) 2 + 1

e) g (x) = –1 6 x 2 + 4

21 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = –2x 2

Proefversie©VANIN

b) f (x) = (x – 1) 2

c) f (x) = –1 5 x 2 + 5

d) f (x) = –(x + 7) 2 + 1 4

22 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = 3 ? (x + 4) 2 + 2

Proefversie©VANIN

b) f (x) = –3 (x + 4) 2 + 12

c) f (x) = 3 4 ? (x – 5) 2 + 1 2

d) f (x) = –5 (x – 5) 2 + 20

23 Teken de grafiek van de functie f (x) = (x – 2) 2 – 4.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

24 Teken de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 3) 2 + 8.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

25 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 3 ? (x + 1) 2 + 4 3 .

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

26 Een golfer slaat tegen een golfbal. De hoogte h (in m) van de golfbal kan beschreven worden door de functie h (x) = –1 720 ? (x – 120) 2 + 20.

Daarbij is x de horizontale afstand (in m).

a) Na hoeveel meter bereikt de golfbal zijn maximale hoogte?

Hoeveel bedraagt die hoogte?

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich als deze 150 m ver is?

Proefversie©VANIN

c) Na hoeveel meter belandt de bal terug op de grond?

27 Voor filmopnamen wordt een pop van op de top van de Taipei 101 naar beneden gegooid. De hoogte h (in m) van de pop wordt gegeven door de functie h (t) = 509 – 5t 2

Daarbij is t de tijd (in s).

a) Hoe hoog is het gebouw?

b) Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?

c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond? Rond af op 0,01 s.

28 De Golden Gate Bridge is een hangbrug die San Francisco met het noorden verbindt. De kabels die tussen twee van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking y = 0,000 39 ? (x – 640) 2 + 2.

Daarbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek (beide in m).

a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?

Proefversie©VANIN

b) Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?

c) Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek? Hoe hoog hangen ze op dat punt?

29 Een schip vuurt een kanonskogel af richting een vijandelijk schip.

De hoogte h (in m) van de kanonskogel kan beschreven worden door de functie h (t) = –5 (t –7 2 ) 2 + 76.

Daarbij is t de tijd (in s) na het afvuren van de kogel.

a) Vul de tabel aan.

t (s) 01234567 h (m)

b) wanneer bereikt de kanonskogel zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?

c) Na hoeveel seconden bereikt de kanonskogel zijn doel, als je weet dat de kanonskogel het vijandelijk schip raakt op een hoogte van 12 m? Rond af op 0,01 s.

GEOGEBRA

Voorbeeld

f (x) = 2x 2 + x – 1

Je zet het functievoorschrift in de vorm f (x) = a (x – p) 2 + q

f (x) = 2x 2 + x – 1 factor 2 afzonderen

f (x) = 2 x 2 + 1 2 x –1 2 dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met 1 4 2

f (x) = 2 x 2 + 2 1 4 x + 1 4 2

) =

Proefversie©VANIN

–1 2 als een kwadraat van een tweeterm schrijven

f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 16 distributiviteit

f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 8

Vaststellingen

• vorm van de parabool:

❒  dalparabool

❒  bergparabool

• symmetrieas:

• top:

❒  bredere opening dan f (x) = x 2

❒  smallere opening dan f (x) = x 2

❒  zelfde opening als f (x) = x 2

• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

• gemeenschappelijk punt met de y-as:

GEOGEBRA

Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f (x) = a ? (x – p) 2 + q

f (x ) = ax 2 + bx + c

f (x ) = a x

f (x ) = a x +

f (x ) = a

Dit voorschrift is van de vorm

Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie

• a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

factor

vermeerderen en verminderen met a afzonderen b 2a 2

Proefversie©VANIN

dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift

als een kwadraat van een tweeterm schrijven

kwadraat van een quotiënt

breuken gelijknamig maken

distributiviteit

vereenvoudigen b 2 − 4ac = D

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2a

• De top heeft als coördinaat –b 2a , –D 4a

De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f –b 2a te berekenen.

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

Opmerking als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van die nulwaarden. Dat betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0.

7.5.3 Overzicht van de verschillende gevallen

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –

Proefversie©VANIN

De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x1, 0) en B(x2, 0).

• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2

De grafiek raakt de x-as in het punt A(x1, 0).

• D < 0: f heeft geen nulwaarden.

De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.

De parameters p en q bepalen door f (x) = a ? (x – p) 2 + q uit te rekenen

7.5.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax² + bx + c

Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 2x – 3.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

Proefversie©VANIN

• methode 1: D = = –D 4a = co(top) =

• methode 2: f ( ) = co(top) =

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten: top

g) grafiek:

Oefeningen

REEKS A

30 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen.

a) y = x 2 – 6x + 2

Proefversie©VANIN

c) y = 2x 2 – 8x + 7

vorm: vorm:

opening:

opening:

symmetrieas: symmetrieas:

top: top:

top: top:

b) y = –x 2 + 2x – 5

vorm:

d) y = –1 2 x 2 + 3x

vorm:

opening: opening:

symmetrieas: symmetrieas:

top: top: top: top:

31 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = x 2 – 5x

c) f (x) = –1 3 x 2 + 2x

b) f (x) = –x 2 + 5x – 10

d) f (x) = 3x 2 + x – 4

32 Teken de grafiek van de functie f (x) = –x 2 + 6x + 7.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

–6–8–10–4–2 21–61412101864 O

33 Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 + 2x + 1.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

34 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 2 x 2 + 4x – 1.

a) vorm van de parabool:

b) symmetrieas:

c) top:

d) gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:

Proefversie©VANIN

e) gemeenschappelijk punt met de y-as:

f) bijkomende punten:

g) grafiek:

35 Bepaal de symmetrieas en de top van de parabolen.

a) y = –x 2 + x – 3

c) y = 2 3 x 2 – 5x

symmetrieas: symmetrieas:

top: top: top: top: top: top:

b) y = x 2 + 7x + 6

Proefversie©VANIN

d) y = –7 4 x 2 + 1 2 x – 3

symmetrieas: symmetrieas: top: top: top: top: top: top:

36 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.

a) f (x) = –12x 2 – 20x + 25 c) f (x) = –5 2 x 2 + x + 2 3

b) f (x) = 3x 2 + 6x + 2

(

) =

a) y = x 2 + 3x + 4

Proefversie©VANIN

b) y = x 2 + 3x + 2

c) y = 1 2 x 2 + 3x + 4

d) y = 1 2 x 2 + 3x

e) y = –x 2 + 4x

f) y = –x 2 + 4x – 4

REEKS C

38 Welke van de vijf parabolen is de grafiek van een kwadratische functie f (x) = ax 2 + bx + c, waarbij alle drie de getallen a, b en c strikt positief zijn?

Proefversie©VANIN

39 Op welke figuur is een deel van de grafiek van y = (10 – x) 2 + 10 te zien? ( staat telkens voor het punt (10, 10).)

40 Gegeven: de functie f (x ) = x 2 + 3. Als –2 < x < 3, dan is …

7.5.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT

Het zuiver kwadratisch verband

De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.

Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten:

Proefversie©VANIN

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband.

Om dat verband te vinden, teken je met IcT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).

b) Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt?

c) Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.

(m/s)

Het kwadratisch verband

Elk half uur wordt de concentratie (in mg/l) gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel.

tijd t (h)00,511,522,5 concentratie C (mg/l)0691061118425

Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.

Je ziet dat de concentratie eerst stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.

De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top niet samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen C en t noem je een kwadratisch verband

Om dat verband te vinden, teken je met IcT een trendlijn (regressielijn) door de punten.

a) Bepaal via regressie het verband tussen de concentratie C (in mg/l) en de tijd t (in h).

b) wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min?

Proefversie©VANIN

c) Na hoeveel minuten is de concentratie het hoogst? Rond af op 1 min. Bepaal die maximale concentratie. Rond af op 0,01 mg/l.

Oefeningen

REEKS A

41 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. 201720182019202020212022

aantal jaren x na opstart012345 winst w (in euro)01 3305 32011 97021 28033 250

a) Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.

b) Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?

Proefversie©VANIN

Een bewegend voertuig, zoals een fiets, auto of vliegtuig, ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig. Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.

Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.

Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven. Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.

42 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht F w (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s).

De resultaten vind je in de tabel.

(m/s) F W (N)

a) Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen F W (in N) en de snelheid v (in m/s).

1 000

b) Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.

1 m/s komt overeen met 3,6 km/h.

Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6. Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.

1 m/s = 1 m 1 s = 1 1 000 km 1 3 600 h = 1 1 000 3 600 1 km/h = 3 600 1 000 km/h = 3,6 km/h

Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten.

Een halfpipe is een halfcilindervormige baan.

Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (het ijzeren gedeelte bovenaan de rand) verticaal omhooggaat.

43 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp.

s (m)1,21,62,02,42,83,2

h (m)0,180,320,500,720,981,28

a) Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.

b) Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.

c) Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.

44 De tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x ⩾ 18).

Proefversie©VANIN

a) Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen het aantal verkeersongevallen n en de leeftijd van de betrokkene x

b) Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?

45 Bij kogelstoten is het de bedoeling om een metalen bal zo ver mogelijk van de kogelstoter de grond te laten raken. De tabel geeft de hoogte h van de kogel weer (in m) in functie van de horizontale afstand x (in m) van de kogel tot de atleet tijdens een welbepaalde worp.

x (m) h (m)

54,81

7,55,36 105,38

12,54,86 153,81

17,52,21

a) Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in m) van de kogel en de horizontale afstand x (in m).

Proefversie©VANIN

b) Na hoeveel meter valt de kogel op de grond? Rond af op 0,01 m.

46 Op een drukke dag moet je soms lang wachten voordat je toegang hebt tot een attractie in een pretpark. De tabel geeft een overzicht van het aantal mensen n in de wachtrij voor een achtbaan op een bepaald tijdstip t (in h).

t (h) 1112131415 n 282361405406364

a) Bepaal via regressie het verband tussen het aantal mensen n in de wachtrij en het tijdstip t (in h).

b) Op welk tijdstip stonden er de meeste mensen in de wachtrij? Rond af op 1 min.

c) Hoeveel mensen stonden er op dat moment?

d) Om hoe laat gaat het pretpark open? En wat is het sluitingsuur? Verklaar.

7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties

7.6.1 Verloop van een tweedegraadsfunctie

Stel: f is een tweedegraadsfunctie. a > 0

De grafiek is een dalparabool.

Proefversie©VANIN

De grafiek is een bergparabool.

• als x < xT , daalt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).

• als x > xT , stijgt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).

• De functie f bereikt een minimale waarde als x = xT . Die waarde is yT

Schematische voorstelling:

• als x < xT , stijgt de functie.

• als x > xT , daalt de functie.

• De functie f bereikt een maximale waarde als x = xT . Die waarde is yT

Schematische voorstelling:

Opmerking

Het domein van een tweedegraadsfunctie is steeds r Om het bereik van een tweedegraadsfunctie te bepalen, kun je het verloopschema gebruiken:

als a > 0 geldt: ber f = [yT,+ ∞[ als a < 0 geldt: ber f = ]– ∞,yT]

Voorbeelden

Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.

a) f (x) = –x 2 + 2

c) f (x) = 1 2 x 2 – 4x + 2

Proefversie©VANIN

x f x f

dom f = ber f =

b) f (x) = –3x 2 + x

dom f = ber f =

d) f (x) = 5 4 (x + 3) 2 + 5

x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

7.6.2 Toepassing: extremumvraagstukken

Modeloefening 1 y x Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is. Daarvoor gebruikt de firma de formule y = 2 45 x 2 –4 3 x, waarbij x de afstand (in cm) is tot de linkerboord en y de diepte (in cm) op x cm van de linkerboord. Je verwaarloost de dikte van de schaal.

Bepaal de maximale diepte van de schaal.

GEOGEBRA x f

antwoord:

Modeloefening 2

Dieter en Bart beslissen een terras aan hun pas gekochte woning te laten aanleggen. Ze twijfelen echter nog over de afmetingen.

Daarom geven ze een tuinarchitect de opdracht om met 32 m boordstenen een zo groot mogelijk rechthoekig terras te ontwerpen.

Bepaal de lengte en de breedte, als je weet dat de oppervlakte van het terras maximaal moet zijn.

Stel: de breedte van het terras is x; de lengte is dan x

Proefversie©VANIN

antwoord:

Modeloefening 3

anoosh en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer. De bal van anoosh volgt een parabolische baan met vergelijking h = –5t 2 + 9t + 5.

De vergelijking van de baan van de bal van Michael is h = –5t 2 + 7t + 6.

Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s) vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten.

a) Vanop welke hoogte worden beide ballen gegooid? antwoord:

b) welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat? t h t h antwoord:

Oefeningen

REEKS A

47 Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.

a)

f (x) = –2x 2 + 6

Proefversie©VANIN

d) f (x) = 3 ? (x + 5) 2 – 4

x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

b) f (x) = x 2 + 6x

e) f (x) = –x 2 + 7x – 2

x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

c) f (x) = 1 2 x 2 – x + 3

f) f (x) = 3 2 ? x –1 3 2

x f x f

dom f = ber f = dom f = ber f =

48 De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig. De diepte van de rivier kan worden benaderd met de formule y = x 2 – 6x. Daarbij is y de diepte (in m) en x de afstand tot de linkeroever (in m).

a) Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?

Proefversie©VANIN

b) Hoe breed is de rivier?

49 De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met vergelijking y = –1 32 x 2 + 1 2 x. Daarbij is x de horizontale afstand (in hm) en y de hoogte (in hm).

a) Hoe hoog is de heuvel?

b) Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.

50 Het aantal T-shirts q van een bepaald merk dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 – 2p. Daarbij is p de prijs per stuk (in euro).

a) Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?

Proefversie©VANIN

b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs.

O(p) = p ? q = =

c) welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen?

Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?

51 Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld.

Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dat wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel.

De bal volgt een parabolische baan met vergelijking y = –1 12 x 2 + x + 1.

Daarbij is y de hoogte van de bal (in m) op x meter van het vertrekpunt.

a) Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?

b) Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in het doel terechtkomen, als de keeper er niet bij kan?

c) wat is de maximale hoogte van de bal?

52 Bepaal twee reële getallen waarvan de som 22 is, zodat hun product zo groot mogelijk is.

Proefversie©VANIN

53 Bepaal twee reële getallen waarvan het verschil 6 is, zodat hun product zo klein mogelijk is.

54 Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m.

Bepaal de lengte en de breedte zodat de oppervlakte maximaal is. Bereken die oppervlakte.

55 In een vierkant met zijde 10 cm wordt op elke zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.

Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is.

Bepaal die oppervlakte.

Proefversie©VANIN

56 Amir heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een konijnenhok maken in de vorm van een rechthoek.

Hij heeft het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.

Bepaal de totale lengte en breedte van het stuk dat hij kan afbakenen, als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk wil.

57 Boer Tom wil een stuk van zijn weiland indelen in vier rechthoekige stukken, zoals aangegeven op de figuur. Hij heeft daarvoor 640 m draad aangekocht. Bij welke afmetingen verkrijgt boer Tom de grootst mogelijke oppervlakte?

Proefversie©VANIN

58 Voor een optreden in Sportpaleis Antwerpen zijn er 15 000 tickets te verkrijgen. Vorig jaar was de kostprijs per ticket 40 euro en waren de tickets in een mum van tijd uitverkocht. De organisator weet dat per euro dat het ticket duurder wordt, er telkens 250 tickets minder verkocht worden. Bij welke ticketprijs zullen de inkomsten het grootst zijn?

7.6.3 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie

Stel: f is een tweedegraadsfunctie.

Dan: f (x) > 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt.

f (x) < 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt.

f (x) = 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as.

• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2

Proefversie©VANIN

f (x )tekenvan a 0tegengesteldtekenvan a 0tekenvan a

• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a

(

)tekenvan a 0tekenvan a

• D < 0: f heeft geen nulwaarden.

Voorbeeld 1

f (x) = –3x 2 + x + 2 x f (x) –4–3–2–1 O 4 3

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

f (x) = 2x 2 + 3x + 2

(

)

Voorbeeld 3 f (x) = –25x 2 + 30x – 9

(

)

Oefeningen

REEKS A

59 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = 2x 2 – 7x – 30

Proefversie©VANIN

x f (x)

b) f (x) = 16x 2 – 24x + 9

x f (x)

c) f (x) = –6x 2 + 11x + 7

x f (x)

d) f (x) = –3x 2 + 2x – 1

x f (x)

Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = –4x 2 – 16x – 16 x f (x)

Proefversie©VANIN

b) f (x) = 8x 2 – 8x + 1 x f (x)

c) f (x) = 3x 2 + 9x + 7 x f (x)

d) f (x) = –15x 2 – 10x + 30 x f (x)

61 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.

a) f (x) = (x – 1) 2 – 9 x f (x)

Proefversie©VANIN

b) f (x) = –(x + 2) 2 – 6 x f (x)

c) f (x) = 1 3 x 2 + x + 2 3 x f (x)

d) f (x) = –1 12 x 2 + 4x + 2 x f (x)

7.7.1 Een tweedegraadsvergelijking oplossen

Definitie Tweedegraadsvergelijking

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Voorbeeld 1

–2x 2 + 3x + 2 = 0

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

In deze paragraaf onderzoek je hoe je die oplossing grafisch kunt aflezen.

• Het linkerlid van de vergelijking –2x 2 + 3x + 2 = 0 bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

• Je tekent de grafiek van f :

–0,5 –1 x y f

• De x-waarden waarvoor f (x) = 0, zijn van de functie f In dit geval zijn dat en

• De oplossingsverzameling is V =

GEOGEBRA

Voorbeeld 2

3x 2 – x – 2 = –x + 1

methode 1

Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = 3x 2 – x – 2 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –x + 1.

Je tekent de grafieken van f en g:

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) = g (x).

De oplossingsverzameling is

V =

methode 2

Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 = –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 = 0

⇔ 3x 2 – 3 = 0

Stel: h (x) = 3x 2 – 3

Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) = 0.

De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h

De oplossingsverzameling is

V =

Voorbeeld 3

x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5

methode 1

Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –2x 2 + x + 5.

Je tekent de grafieken van f en g:

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) = g (x).

methode 2

Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.

x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5

⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 = 0

⇔ 3x 2 + 3x – 6 = 0

Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6

Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

De oplossingsverzameling is V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) = 0.

De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h

De oplossingsverzameling is

Een tweedegraadsongelijkheid oplossen

Definitie Tweedegraadsongelijkheid

Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm

ax 2 + bx + c ⩽ 0;

ax 2 + bx + c < 0;

ax 2 + bx + c ⩾ 0;

ax 2 + bx + c > 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 1

–2x 2 + 3x + 2 > 0

grafische oplossing

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

Je tekent de grafiek van f:

algebraïsche oplossing

Stel: f (x) = –2x 2 + 3x + 2

Je maakt een tekenschema van de functie

f (x) = –2x 2 + 3x + 2.

De nulwaarden van f:

–2x 2 + 3x + 2 = 0 D = 3 2 – 4 ? (–2) ? 2 = 25

Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van f boven de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is V =

Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) > 0.

De oplossingsverzameling is V =

GEOGEBRA

Voorbeeld 2

3x 2 – x – 2 > –x + 1

grafische oplossing:

methode 1

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = 3x 2 – x – 2 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –x + 1.

Je tekent de grafieken van f en g:

methode 2

Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 > –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0

⇔ 3x 2 – 3 > 0

Stel: h (x) = 3x 2 – 3

Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) > g (x), dus voor welke

x-waarden de grafiek van f boven die van g ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h boven de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

GEOGEBRA

algebraïsche oplossing:

• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

3x 2 – x – 2 > –x + 1

⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0

⇔ 3x 2 – 3 > 0

• Stel: h (x) = 3x 2 – 3

• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) = 3x 2 – 3.

De nulwaarden van h:

3x 2 – 3 = 0 beide leden delen door 3

x 2 – 1 = 0

x 2 = 1

x = –1 of x = 1

Proefversie©VANIN

h (x)+

• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) > 0.

De oplossingsverzameling is V =

Je kan de oplossing controleren met IcT:

Voorbeeld 3

x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5

grafische oplossing:

methode 1

Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift

f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift

g (x) = –2x 2 + x + 5.

Je tekent de grafieken van f en g:

methode 2

Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5

⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 ⩽ 0

⇔ 3x 2 + 3x – 6 ⩽ 0

Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6

Je tekent de grafiek van h:

Proefversie©VANIN

Je leest op de grafieken af voor welke

x-waarden f (x) ⩽ g (x), dus voor welke

x-waarden de grafiek van f onder of op die van g ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

Je leest op de grafiek af voor welke

x-waarden h (x) ⩽ 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h onder of op de x-as ligt.

De oplossingsverzameling is

V =

algebraïsche oplossing:

• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

• Stel: h (x) =

• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) =

De nulwaarden van h:

• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) ⩽ 0.

De oplossingsverzameling is V =

Je kan de oplossing controleren met IcT:

Oefeningen

REEKS A

62 Los de vergelijkingen grafisch op.

a) x 2 + 2x – 3 = 0 c)–x 2 + 3x + 4 = 2x – 2

Stel: f (x) =

Stel: f (x) = g (x) = –5–4–3–2–1

= V = b) x 2 + 3x + 1 = –x 2 + 4x + 2

Stel: f (x) =

Proefversie©VANIN

x 2 – 12x + 8 = –4x 2 + 12x – 5

Stel: f (x) = g (x) = g (x) = –5–4–3–2–1

63 Los de vergelijkingen grafisch op met behulp van ICT.

a)5x 2 – 8x = 0 V = d)–9x 2 – 3x = 1 + 3x V =

b)4 + 81x 2 = 0 V = e)4x 2 – 3x + 10 = x 2 + 10x – 2 V =

c)–6x 2 + 12x + 10 = 3x – 5 V = f)2x 2 + x – 3 = x 2 + 5x + 2 V =

a) x 2 – 5x + 6 ⩽ 0 d) x 2 – 8x + 16 > 0

Stel: f (x) =

Stel: f (x) =

Stel: f (x) = Stel: f (x) =

Los de ongelijkheden algebraïsch op. Controleer met ICT.

a) –x 2 + 3x < 0

Stel: f (x) =

d) 3x 2 + 2x + 2 < 0

Stel: f (x) =

Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Proefversie©VANIN

Tekenschema:

f (x)

Tekenschema:

f (x)

V = V =

b) 2x 2 – x – 1 ⩽ 0

Stel: f (x) =

e) –3x 2 + 4x – 1 ⩽ 0

Stel: f (x) =

Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Tekenschema: x

f (x)

Tekenschema: x f (x)

V = V =

c) –4x 2 + 4x – 1 ⩾ 0

Stel: f (x) =

f) 9x 2 – 24x + 16 < 0

Stel: f (x) =

Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:

Tekenschema:

f (x)

Tekenschema: x

f (x)

V = V =

66 Los de ongelijkheden grafisch op.

a) x 2 – 4 ⩽ –3x 2 + 12 c) –2x 2 + 8x ⩾ 3x + 2

Stel: f (x) =

Stel: f (x) =

g (x) = g (x) = –6–5–4–3–2–1 O 123456

Proefversie©VANIN

Stel: f (x) =

67 Los de ongelijkheden algebraïsch op. Controleer met ICT.

a) –5x 2 + 4x – 1 > –4x + 1 c) 3 2 x 2 – x + 1 2 > x 2

Proefversie©VANIN

Tekenschema: x h(x)

Tekenschema:

h(x) V = V =

b) –2 (x + 5) 2 + 8 ⩾ –4x – 18 d) –5 4 x 2 + 3 8 x ⩽ 1

Tekenschema: x h(x)

Tekenschema: x h(x) V = V =

68 Een bal wordt schuin omhooggegooid.

De hoogte (in m) van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h (t) = –5t 2 + 9t + 1.

Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden? Rond af op 0,01.

Proefversie©VANIN

1 promille is 1 duizendste deel en betekent letterlijk: per duizend. Een promille wordt genoteerd als ‰. Daarbij komt 1 ‰ overeen met 0,1 %.

69 Het aantal promille n (x) geboortes bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n (x) = –0,478x 2 + 25,387x – 221,48.

a) Op welke leeftijd worden er relatief de meeste kinderen geboren? Hoeveel promille? Rond af op 0,01.

b) Tussen welke leeftijden worden er meer dan 75 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?

70 Een rechthoek heeft een omtrek van 50 m. Bereken de lengte en de breedte opdat de oppervlakte minstens 100 m 2 is.

Proefversie©VANIN

71 Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 2 cm langer is dan de andere rechthoekszijde en de schuine zijde minstens 10 cm is.

72 Een bedrijf produceert computerspelletjes.

De maandelijkse opbrengst (in euro) die ze maken als ze x spelletjes verkopen, wordt gegeven door de functie O (x) = –0,15x 2 + 102x.

De maandelijkse kost om x spelletjes te produceren, is K (x) = 30x + 2 500. Hoeveel spelletjes moeten ze verkopen om winst te maken?

Proefversie©VANIN

REEKS C

73 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 1) x + m 2 = 0 twee oplossingen?

74 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 2) ? x + (m 2 + 4m + 1) = 0 geen oplossingen?

Proefversie©VANIN

75 De grafiek van de parabool met vergelijking y = mx 2 + 2x + m ligt volledig onder de x-as als en slechts als … a) m < –1 B) m < 0 c) –1 < m < 0 D) | m | > 1 E) m > 1

7.8 De vergelijking van een parabool opstellen

7.8.1 De top en een punt zijn gegeven

Voorbeeld 1

Van een parabool zijn de top T (–3, 2) en een punt A (3, 14) gekend. Bepaal de vergelijking van de parabool.

Proefversie©VANIN

GEOGEBRA

Oplossing:

De parabool heeft als vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q

• co(T ) = (p, q) = (–3, 2) ⇒ p = –3 en q = 2.

• A(3, 14) behoort tot de parabool.

De vergelijking is dus: y = a (x + 3) 2 + 2.

De vergelijking van de parabool is dus: y = 1 3 (x + 3) 2 + 2.

Voorbeeld 2

De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg.

De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog.

a) Bepaal de vergelijking van de voorgevel.

b) Bereken de hoogte van de gevel op 10 m van de linkerkant van het gebouw. Rond af op 0,01 m.

c) Hoe breed is de gevel 5 m boven de grond? Rond af op 0,01 m.

Opmerking

als de top T(xT,yT) gegeven is en een punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan xT + 1 , dan kan je de parameter a in het functievoorschrift ook op een andere manier bepalen.

Voorbeeld 1

f (x) = –3x

Vul de tabel aan. x 012 f (x)

Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.

Proefversie©VANIN

Besluit

Voorbeeld 2

Vul de tabel aan. x 123 f (x)

Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.

Algemeen

gegeven:

f (x) = ax 2 + bx + c of f (x) = a (x – p) 2 + q co(top) = (xT,yT)

Je kan de parameter a in het functievoorschrift dan bepalen met de formule a = f (xT + 1) – f (xT)

Als de x-coördinaat van de top met één eenheid toeneemt, dan is de verandering van de functiewaarde gelijk aan de parameter a.

7.8.2 De symmetrieas en twee verschillende punten zijn gegeven

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –1 is en waartoe de punten A(–3, –3) en B(2, –13) behoren.

methode 1

vergelijking parabool: y = a ? (x – p) 2 + q

• s ↔ x = –1 ⇒ p = –1

Dus: y = a ? (x + 1) 2 + q

• A(–3, –3) behoort tot de parabool:

a ? (–3 + 1) 2 + q = –3

4a + q = –3

• B(2, –13) behoort tot de parabool:

a ? (2 + 1) 2 + q = –13

9a + q = –13

Om a en q te bepalen, los je het stelsel op:

4a + q = –3

9a + q = –13

Je verkrijgt dezelfde vergelijking als met methode 2. GEOGEBRA

methode 2

vergelijking parabool: y = ax 2 + bx + c

• s ↔ x = –1 ⇒ –b 2a = –1

Dus: b = 2a en y = ax 2 + 2ax + c

• A(–3, –3) behoort tot de parabool:

a ? (–3) 2 + 2a ? (–3) + c = –3

3a + c = –3

• B(2, –13) behoort tot de parabool:

a ? 2 2 + 2a ? 2 + c = –13

8a + c = –13

Om a en c te bepalen, los je het stelsel op:

3a + c = –3

8a + c = –13

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is De vergelijking van de parabool is werk de vergelijking uit die je verkrijgt met methode 1.

7.8.3 Drie punten zijn gegeven

Twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as zijn gegeven

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–2, –9), B (1, 6) en C (0, 7) behoren.

Oplossing:

Omdat de coördinaat van het snijpunt met de y-as gegeven is, gebruik je de vergelijking y = ax 2 + bx + c

• C(0, 7) is het snijpunt met de y-as ⇒ c = 7

De vergelijking is dus y = ax 2 + bx + 7

• A(–2, –9) behoort tot de parabool:

a (–2)2 + b (–2) + 7 = –9

4a – 2b + 7 = –9

4a – 2b = –16

• B(1, 6) behoort tot de parabool:

a 12 + b 1 + 7 = 6

a + b + 7 = 6

a + b = –1

Om a en b te bepalen, los je het stelsel op:

4a – 2b = –16

a + b = –1

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

Een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as zijn gegeven

Inleiding

• Teken met IcT de grafiek van de functie f (x) = – 4x2 – 20x – 24.

• Lees de gemeenschappelijke punten af met de x-as: en

• wat kan je hieruit besluiten?

Proefversie©VANIN

• Teken met IcT de grafiek van de functie g(x) = -4 ? (x + 3) ? (x + 2).

• wat valt je op?

• werk verder uit:

g(x) = –4(x + 3)(x + 2)

Algemeen als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt:

f (x) = a (x – x1 ) (x – x2 ) distributiviteit

f (x) = a ? (x 2 – x ? x2 – x1 ? x + x1 ? x2 ) de factor x afzonderen

f (x) = a [x 2 – x (x2 + x1) + x1 x2 ]

f (x) = a ? (x 2 – S ? x + P)

S = x1 + x2 en P = x1 x2

S = –b a en P = c a

f (x) = a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 x 2 + b a x + c a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 distributiviteit

f (x) = ax 2 + bx + c

Besluit Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt: f (x) = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ) = ax 2 + bx + c.

Voorbeeld

Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–5, 0), B (–1, 0) en C (3, 8) behoren.

Oplossing:

Omdat de coördinaten van de snijpunten met de x-as gegeven zijn, gebruik je de vergelijking y = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ).

• A (–5, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x1 = –5

• B (–1, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x2 = –1

De vergelijking is dus y = a ? (x + 5) ? (x + 1)

• C (3, 8) behoort tot de parabool:

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

Opmerking

als de snijpunten met de x-as gegeven zijn, kan je ook de vergelijking van de symmetrieas opstellen.

Je weet dat de symmetrieas van de parabool de middelloodlijn is van het lijnstuk [aB]

met A (–5, 0) en B (–1, 0).

De vergelijking van de symmetrieas is dan x = –5 – 1 2 = –3.

Je gebruikt dan de werkwijze beschreven in paragraaf 7.8.2.

Drie willekeurige punten zijn gegeven

Voorbeeld 1

Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (3, 0), B (1, 6) en C (5, 2) bevat.

Oplossing:

Je kunt de punten voorstellen in een assenstelsel.

Met behulp van kwadratische regressie vind je de vergelijking van de parabool:

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

Een hangbrug over een rivier verbindt twee punten die op dezelfde hoogte liggen.

De hangbrug heeft bij benadering de vorm van een parabool.

Om de vergelijking van die parabool te bepalen, zijn enkele metingen gedaan.

Daarbij stelt x de afstand voor (in m) vanaf het begin van de brug en h de hoogte (in m) boven het water.

xh 23 32,75 52,55

a) Bepaal via kwadratische regressie de vergelijking van de parabool.

b) Bepaal met IcT op hoeveel meter boven het water het laagste punt van de brug zich bevindt.

c) Bepaal met IcT de lengte van de brug.

Oefeningen

REEKS A

76 Bepaal de waarde van a in het functievoorschrift van de tweedegraadsfuncties. a)

Proefversie©VANIN

77 Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten.

a)co(T) = (0, 0) co(A) = (1, 2)

e)co(T) = (–3, –8) co(A) = (3, 10)

Proefversie©VANIN

b)co(T) = (0, 3) co(A) = (1, 2)

f)co(T) = (2, –5) co(A) = (0, 7)

c)co(T) = (–4, 0) co(A) = (–1, 9)

g)co(T) = (–3, 3) co(A) = (–6, 0)

d)co(T) = (2, 5) co(A) = (4, 1)

h)co(T) = (5, 18) co(A) = (7, 34)

Bepaal de vergelijking van de parabolen.

Proefversie©VANIN

79 Bepaal de vergelijking van de parabolen.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is b)

De vergelijking van de parabool is

80 Bepaal de vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = 0 is en waartoe de punten A (–2, –7) en B (1, 2) behoren.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

81 Bepaal de vergelijking y = ax 2 + bx + c van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –3 is en waartoe de punten A (–6, –1) en B (3, 8) behoren.

De vergelijking van de parabool is .

82 De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool. De rivier is 15 m breed en heeft een maximale diepte van 8 m.

a) Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte (beide in meter).

Proefversie©VANIN

b) Hoe diep is de rivier op 1 m van de linkeroever? Rond af op 0,01 m.

83 Nouri trapt een bal vanop de grond weg. De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.

a) Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Nouri en y de hoogte (beide in m).

b) Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 10 m van Nouri? Rond af op 0,01 m.

84 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de punten A (–2, 25) en B (0, 1) bevat en die dezelfde symmetrieas heeft als de parabool k2 met vergelijking y = x 2 – x + 4.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is .

85 Bepaal de vergelijking van de parabool die de x-as raakt in het punt A (–1, 0) en het punt B (2, 2) bevat.

De vergelijking van de parabool is

86 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de x-as snijdt in de punten A (–7, 0) en B (2, 0) en waarvan de top dezelfde y-coördinaat heeft als de top van de parabool k2 met vergelijking y = –x 2 + 6x – 2.

De vergelijking van de parabool is

87 Bepaal met ICT de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –18), B (1, –6) en C (2, –14) bevat.

88 Bepaal met ICT de vergelijking van de paraboolvormige constructie, als je weet dat die 12 m breed is en op 2 m van de rechterkant 10 m hoog.

Proefversie©VANIN

89 Een projectiel wordt vanop de grond afgeschoten. x h Na 1 s heeft het een hoogte van 35 m en na 8 s belandt het opnieuw op de grond.

a) Bepaal de vergelijking van de baan, waarbij x de tijd (in s) voorstelt en h de hoogte (in m).

De vergelijking van de parabool is

b) Bepaal het hoogste punt dat het projectiel bereikt. x h

90 Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –9), B (6, –9) en C (0, –21) bevat.

Proefversie©VANIN

De vergelijking van de parabool is

REEKS C

91 Aziza, Nore en Tuur spelen met een springtouw op de speelplaats.

Op de tekening staat Aziza links van Tuur. De aangrijpingspunten (plaats waar Aziza en Tuur het touw vasthouden) bevinden zich 2,5 m van elkaar. Ze houden het springtouw allebei vast op 0,70 m hoogte. Nore springt in het midden tussen hen in het touw.

Als het touw onder Nore doorgaat, moet ze minstens 12 cm hoog springen om het touw niet te raken. Bepaal met ICT een vergelijking van de parabool die de vorm van het touw op dat moment benadert. Maak telkens een schets.

Situatie 1: De x-as valt samen met de grond.

De y-as gaat door het aangrijpingspunt van aziza.

Situatie 2: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Nore.

STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties

7.1 Eerstegraadsfuncties

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).

De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.

De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.

Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen:

• uit een tabel met functiewaarden;

• uit een grafiek.

7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties KENNEN

Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

KUNNEN

Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.

7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2 KENNEN

Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.

De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.

De top van de parabool valt samen met de oorsprong.

De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.

• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.

De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |

De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2

als a > 0, is de grafiek een dalparabool. als a < 0, is de grafiek een bergparabool.

De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.

De coördinaat van de top is (0, 0).

Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.

De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.

Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen.

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen.

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder IcT.

Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:

• het functievoorschrift;

• de coördinaat van de top;

• de vergelijking van de symmetrieas;

• het domein en het bereik;

• de eventuele nulwaarden;

• het tekenschema;

• het verloop;

• symmetrie.

Proefversie©VANIN

grafiek van de functie

is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p

• De top heeft als coördinaat (p, q).

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x − p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.

aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = a (x − p) 2 + q en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen.

De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q.

7.5 Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c

De grafiek van de functie f (x) = ax 2 +

+ c (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:

• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.

• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.

• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2

• De top heeft als coördinaat

• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen.

De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.

• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).

7.4 Functies van de vorm

KENNEN

KUNNEN

De vergelijking y = ax 2 + bx + c omzetten naar de vorm y = a (x − p) 2 + q aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek schetsen.

De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = ax 2 + bx + c en er de betekenis voor de grafiek van geven.

Het verband tussen twee numerieke grootheden in een dataset onderzoeken met IcT en daarbij:

• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;

• een trendlijn met bijbehorend functievoorschrift bepalen en interpreteren.

7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Het domein en bereik van een tweedegraadsfunctie bepalen.

Extremumvraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsfuncties.

Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie opstellen.

7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen

KENNEN

Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm

ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).

Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm

ax 2 + bx + c ⩽ 0; ax 2 + bx + c

Vergelijkingen van de tweede graad grafisch oplossen.

Ongelijkheden van de tweede graad grafisch oplossen.

Ongelijkheden van de tweede graad algebraïsch oplossen met behulp van een tekenschema.

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot ongelijkheden van de tweede graad.

7.8 De vergelijking van een parabool opstellen

KUNNEN

De vergelijking van een parabool opstellen als de top en één punt gegeven zijn.

De vergelijking van een parabool opstellen als de symmetrieas en twee verschillende punten gegeven zijn.

De vergelijking van een parabool opstellen als

• twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as gegeven zijn;

• een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as gegeven zijn;

• drie willekeurige punten gegeven zijn.

Vraagstukken oplossen waarbij de vergelijking van een parabool tot de oplossing leidt.

1. welke uitspraak is correct?

a) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies drie punten gemeenschappelijk.

B) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vier punten gemeenschappelijk.

c) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vijf punten gemeenschappelijk.

D) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies zes punten gemeenschappelijk.

E) ❒ alle voorgaande uitspraken zijn verkeerd.

JWO, editie 2015, eerste ronde

2.Zes tandwielen met assen A, B, C en D zijn met elkaar verbonden zoals op de afbeelding.

De drie grote tandwielen hebben omtrek 10 cm.

De drie kleine tandwielen hebben omtrek 5 cm.

Over hoeveel graden draait het tandwiel met as D, als het tandwiel met as A draait over 10º?

a) ❒ 10º B) ❒ 20º c) ❒ 30º D) ❒ 40º E) ❒ 80º

JWO, editie 2014, eerste ronde

Proefversie©VANIN

3.Koning Liefbaard heeft vier dochters: ariel, Belle, Tiana en Yasmine. Hun kamers hebben elk een andere kleur en bevinden zich boven elkaar in een toren.

• De paarse kamer ligt net onder de roze kamer en net boven de groene.

• ariel slaapt niet in de bovenste of onderste kamer.

• Yasmine slaapt in de kamer net boven die van Tiana, maar moet minder hoog de trap op dan Belle.

• De gele kamer is niet de onderste.

welke prinses slaapt in de roze kamer?

a) ❒ ariel B) ❒ Belle c) ❒ Tiana D) ❒ Yasmine E) ❒ onmogelijk te bepalen

JWO, editie 2015, eerste ronde

HOOFDSTUK 8 I TELPROBLEMEN

Proefversie©VANIN

8.1 Tellen met venndiagrammen 000

8.2 Tellen met boomdiagrammen 000

8.3 Tellen met wegendiagrammen 000

8.4 Tellen met roosterdiagrammen 000

Studiewijzer

Problemen uit JWO

8.1 Tellen met venndiagrammen

8.1.1 Verzamelingen voorstellen met venndiagrammen

Elementen van een verzameling

Gegeven is de verzameling A van de natuurlijke getallen 1 tot en met 10.

De verzameling A kan je weergeven door opsomming: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

De getallen 1 tot en met 10 zijn de elementen van A

Je noteert: 1 ∈ A, 2 ∈ A, …, 10 ∈ A.

De getallen 0 en p zijn geen elementen van A

Je noteert: 0 ∉ A, p ∉ A

Proefversie©VANIN

Het aantal elementen van A is 10.

Notatie: #A = 10.

Lees: het kardinaalgetal van A is 10.

Algemeen Je kan een verzameling op drie manieren weergeven: door omschrijving, door opsomming of met een venndiagram.

Deelverzameling van een verzameling

Stel: B = {4, 7, 10}

#B = 3

Alle getallen van B behoren ook tot A

Je zegt dat B een deelverzameling is van A

Notatie: B  A

Algemeen

Doorsnede van twee verzamelingen

Stel: B is de verzameling van de even natuurlijke getallen tot en met 20.

B = #B =

Notatie: A  B = {2, 4, 6, 8, 10} #(A  B ) =

Definitie Doorsnede van twee verzamelingen

De doorsnede van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren.

Unie van twee verzamelingen

Proefversie©VANIN

De getallen 2, 4, 6, 8 en 10 behoren tot A en B

Ze behoren tot de doorsnede van A en B

De getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren tot A of B.

Ze behoren tot de unie van A en B.

Notatie: A  B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20} #(A  B) =

Definitie Unie van twee verzamelingen

De unie van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren.

Verschil van twee verzamelingen

De getallen 0, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren wel tot B, maar niet tot A. Ze behoren tot het verschil van B en A.

Notatie: B \ A = {0, 12, 14, 16, 18, 20} #(B \ A) = A \ B = #(A \ B) =

{1, 3, 5, 7, 9}

Definitie Verschil van twee verzamelingen

Het verschil van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.

A \ B {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 11

8.1.2 De som- en verschilregel

Voorbeeld 1

In het derde jaar van een school zitten 112 leerlingen, in het vierde jaar 96. Hoeveel leerlingen zitten er in die school in de tweede graad?

DV (112) (96) 112 96

Proefversie©VANIN

Stel: D is de verzameling van de derdejaars. V is de verzameling van de vierdejaars.

#D = #V =

Vul de aantallen verder aan in de venndiagrammen.

Het aantal leerlingen in de tweede graad is het aantal elementen van D  V

⇒ #(D  V) = #D + #V =

Er zijn geen leerlingen die zowel in het derde als het vierde jaar zitten ⇒ D  V = ∅ (de lege verzameling)

Je noemt D en V disjuncte verzamelingen.

Voorbeeld 2

In het vierde jaar van een school zijn er 29 leerlingen die een sport beoefenen en 18 die een muziekinstrument bespelen.

10 leerlingen doen beide activiteiten.

a) Hoeveel leerlingen doen aan sport of bespelen een muziekinstrument?

Stel: S is de verzameling van de leerlingen die aan sport doen.

SM (29) (18)

112 + 96 = 208 29 18 10

M is de verzameling van de leerlingen die een muziekinstrument bespelen.

8 Je noteert eerst de totalen bij de venndiagrammen.

#S = #M =

In de doorsnede van S en M zitten de leerlingen die zowel een sport beoefenen als een muziekinstrument bespelen:

#(S  M) = Dit aantal noteer je in de doorsnede van de venndiagrammen.

De leerlingen die een sport beoefenen of een muziekinstrument bespelen, behoren tot S  M Het aantal leerlingen dat beide activiteiten doet, mag je niet dubbel tellen.

⇒ #(S  M) = #S + #M − #(S  M) =

29 + 18 − 10 = 37 ⇒ 37 leerlingen

b) Hoeveel leerlingen doen aan sport en bespelen geen muziekinstrument?

#(S \ M) =

29 − 10 = 19 ⇒ 19 leerlingen

c) Hoeveel leerlingen bespelen een muziekinstrument, maar doen niet aan sport?

#(M \ S) =

18 − 10 = 8 ⇒ 8 leerlingen

Voorbeeld 3

Gegeven zijn alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 30.

a) Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 2?

b) Hoeveel zijn er deelbaar door 5?

c) Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 5 maar niet door 2?

Stel: E is de verzameling van de even getallen van 1 tot en met 30. #E =

V is de verzameling van de vijfvouden van 1 tot en met 30. #V =

EV (15) (6) 3 12 3

Proefversie©VANIN

E  V bevat de getallen die deelbaar zijn door 2 en door 5, met andere woorden de getallen die deelbaar zijn door 10.

#(E  V) = Vul de aantallen verder aan op de venndiagrammen.

De getallen die deelbaar zijn door 5, maar niet door 2 behoren tot de verzameling V \ E

#(V \ E) =

Algemeen

Formules

Verschilregel

Voorbeeld 4

Uit een enquête bij een aantal fietsliefhebbers blijkt dat 58 % een e-bike bezit en 63 % een niet-elektrische fiets.

a) Hoeveel procent bezit beide soorten fietsen?

EN (58) (63) 21 37 42

6 − 3 = 3 ⇒ 3 getallen 58 (%) 63 (%)

Stel: E is de verzameling van de bezitters van een e-bike. N is de verzameling van de bezitters van een niet-elektrische fiets.

#E = #N =

#(E ∩ N) = #E + #N − #(E  N) =

b) Hoeveel procent bezit enkel een e-bike? #(E \ N) =

58 − 21 = 37 (%)

58 + 63 − 100 = 21 (%)

8.1.3 De complementregel

Voorbeeld 1

Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 25 zijn geen priemgetal?

Stel: G is de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 25. #G = P is de verzameling van de priemgetallen kleiner dan 25. #P = G P (25) 9 16

De getallen van 1 tot en met 25 die geen priemgetallen zijn, behoren tot de verzameling G \ P, waarbij P  G

Deze verzameling noem je het complement van P ten opzichte van de verzameling G.

Notatie: P

Er geldt: #P = #G − #P =

Algemeen

Proefversie©VANIN

− 9 = 16

Voorbeeld 2

Een harmonieorkest bestaat uit 65 leden.

Daarvan zijn er 16 die klarinet kunnen spelen en 11 die dwarsfluit kunnen spelen. 4 leden spelen zowel klarinet als dwarsfluit.

Hoeveel leden van het harmonieorkest spelen geen dwarsfluit en ook geen klarinet?

H (65) 42

KD (16) (11) 4 12 7

Gegeven: een verzameling V A  V

De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V

A bevat dus alle elementen van V die niet tot A behoren.

Stel: H is de verzameling van alle leden van de harmonie. K is de verzameling van de klarinetspelers. D is de verzameling van de dwarsfluitspelers.

#H = #K = #D =

#(K  D) = #(K  D) =

(K  D) =

16 + 11 − 4 = 23 65 − 23 = 42 ⇒ 42 leden

Formule

Als A  V, dan is #A = #V − #A

Modeloefening

Amina gooit 50 keer een dobbelsteen op. Telkens als ze minstens 4 ogen of een even aantal ogen gooit, krijgt ze 1 punt.

Ze gooit 23 keer minstens 4 ogen en 28 keer een even aantal ogen. In totaal heeft ze 35 punten.

Stel: W is de verzameling van de 50 worpen met een dobbelsteen.

M is de verzameling van de worpen die minstens 4 ogen opleveren.

E is de verzameling van de worpen die een even aantal ogen opleveren.

a) Vul de aantallen aan in de venndiagrammen.

(50)

Proefversie©VANIN

ME (23) (28)

7 12

#(M  E) = 35

#M + #E − #(M  E) = 35

23 + 28 − #(M  E) = 35

#(M  E) = 23 + 28 − 35 = 16

b) Hoeveel keer gooide Amina

• 4 of 6 ogen?

#(M  E) = 16

• 5 ogen?

#(M \ E) = 7

• 2 ogen?

#(E \ M) = 12

• hoogstens 3 ogen?

#M = #W − #M = 50 − 23 = 27

c) Bij hoeveel worpen kreeg Amina geen punten?

#(M  E) = #W − #(M  E) = 50 − 35 = 15

Hoeveel gooide ze dan?

Amina gooide 16 keer 4 of 6 ogen.

Amina gooide 7 keer 5 ogen.

Amina gooide 12 keer 2 ogen.

Amina gooide 27 keer hoogstens 3 ogen.

Amina kreeg 15 keer geen punten.

Amina gooide dan 1 of 3 ogen.

Oefeningen

REEKS A

1 In een ballenbad zitten ballen van allerlei kleuren. Er zitten 430 gele ballen en 395 blauwe ballen in. Hoeveel ballen zijn geel of blauw?

#G + #B = 430 + 395 = 825

825 ballen zijn geel of blauw.

Proefversie©VANIN

2 Op 1 januari 2024 bestond de Belgische bevolking uit 22,4 % jongeren (mensen onder de 20 jaar). De actieve bevolking (mensen tussen de 20 en 65 jaar) was goed voor 58,4 % van de Belgische bevolking.

Hoeveel procent van de bevolking was hoogstens 65 jaar?

#J + #A = 22,4 + 58,4 = 80,8

80,8 % van de Belgische bevolking was hoogstens 65 jaar.

3 In een groep spreken alle mensen Frans of Engels. 21 mensen spreken Engels, 14 Frans en 8 mensen spreken beide talen.

Hoeveel mensen spreken enkel Engels?

#(E \ F) = #E − #(E  F) = 21 − 8 = 13

13 mensen spreken enkel Engels.

4 In een klas zitten 18 leerlingen. Ze hebben allemaal een smartphone of een tablet. 17 leerlingen hebben een smartphone en 12 leerlingen hebben een tablet.

Hoeveel leerlingen hebben beide toestellen?

#(S  T) = #S + #T − #(S  T)

18 = 17 + 12 − #(S  T)

#(S  T) = 17 + 12 − 18

#(S  T) = 11

11 leerlingen hebben beide toestellen.

5 In een klas hebben alle leerlingen een fiets of een step. 15 leerlingen hebben een fiets en 7 leerlingen hebben een step. Er zijn 4 leerlingen die zowel een fiets als een step hebben.

a) Hoeveel leerlingen telt de klas?

15 + 7 – 4 = 18 De klas telt 18 leerlingen.

b) Hoeveel leerlingen van de klas hebben geen fiets?

18 – 15 = 3 3 leerlingen hebben geen fiets.

c) Hoeveel leerlingen hebben wel een fiets, maar geen step?

11 leerlingen hebben wel een fiets maar geen step.

6 De fanfare van een dorp bestaat enkel uit koperblazers en slagwerkers. 33 leden zijn koperblazer en 25 leden zijn slagwerker. 3 leden kunnen zowel met koperblaasinstrumenten als met slagwerk overweg.

a) Hoeveel leden telt de fanfare?

33 + 25 – 3 = 55 De fanfare telt 55 leden.

b) Hoeveel leden zijn geen slagwerker?

55 – 25 = 30 30 leden zijn geen slagwerker.

c) Hoeveel leden zijn geen koperblazer, maar wel slagwerker?

22 leden zijn geen koperblazer, maar wel slagwerker.

7 Een hotel heeft 54 kamers. Ze hebben allemaal een douche of een bad. 36 kamers hebben een douche en 34 kamers hebben een bad.

a) Hoeveel kamers hebben geen douche?

54 – 36 = 18 18 kamers hebben geen douche.

b) Hoeveel kamers hebben een douche en een bad?

36 + 34 = 70 70 – 54 = 16

16 kamers hebben een douche en een bad.

c) Hoeveel kamers hebben een bad maar geen douche?

18 kamers hebben een bad maar geen douche.

8 Op een studiedag voor leerkrachten van de tweede graad blijkt dat 63 % in het derde jaar lesgeeft en 59 % in het vierde jaar.

3 30 22

Proefversie©VANIN

a) Hoeveel procent geeft les in het derde en het vierde jaar?

63 + 59 = 122 122 – 100 = 22

22 % geeft les in het derde en het vierde jaar

b) Hoeveel procent geeft enkel in het vierde jaar les?

37 % geeft enkel in het vierde jaar les.

16 20 18

22 41 37

KS (33) (25)

DB (36) (34)

DV (63) (59)

9 Voor een sportdag kunnen de 197 leerlingen van de tweede graad één of twee sporten kiezen, waaronder volleybal en badminton.

51 leerlingen kiezen volleybal en 78 leerlingen badminton.

35 leerlingen kiezen beide sporten.

a) Hoeveel leerlingen kiezen niet voor badminton?

197 – 78 = 119

119 leerlingen kiezen niet voor badminton.

b) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal of badminton?

51 + 78 – 35 = 94

94 leerlingen kiezen voor volleybal of badminton.

c) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal, maar niet voor badminton?

16 leerlingen kiezen voor volleybal maar niet voor badminton.

d) Hoeveel leerlingen kiezen niet voor volleybal en niet voor badminton?

103 leerlingen kiezen niet voor volleybal en niet voor badminton.

10 Volgens de Belgian Petfood Association heeft 52 % van de Belgische gezinnen een huisdier.

24 % van de gezinnen heeft een hond en 31 % een kat.

11 % van de gezinnen heeft zowel een hond als een kat.

a) Hoeveel procent van de Belgische gezinnen heeft een hond of een kat?

24 + 31 – 11 = 44

44 % heeft een hond of een kat.

b) Hoeveel procent heeft een hond, maar geen kat?

13 % heeft een hond, maar geen kat.

c) Hoeveel procent heeft een kat, maar geen hond?

20 % heeft een kat, maar geen hond.

d) Hoeveel procent heeft een ander huisdier dan een hond of een kat?

52 – 44 = 8 8% heeft een ander huisdier dan een hond of een kat.

Proefversie©VANIN

11 Uit een enquête onder de lezers van een krant blijkt dat 31 % het kruiswoordraadsel oplost en 27 % de sudoku. 58 % van de lezers lost geen van beide puzzels op.

a) Hoeveel procent van de lezers lost minstens één van de puzzels op?

100 – 58 = 42

42 % lost minstens één van de puzzels op.

b) Hoeveel procent lost beide puzzels op?

31 + 27 – 42 = 16

16 % lost beide puzzels op.

c) Hoeveel procent lost juist één van de puzzels op?

15 + 11 = 26

26 % lost juist één van de puzzels op.

8.1.5 Telproblemen met drie verzamelingen

Bij een enquête onder 150 kinderen van 7 jaar is gevraagd of ze de vorige dag hun tanden gepoetst hebben.

91 kinderen hebben ’s ochtends hun tanden gepoetst, 32 ’s middags en 98 ’s avonds.

54 kinderen hebben zowel ’s ochtends als ’s avonds gepoetst, 16 zowel ’s ochtends als ’s middags en 12 zowel ’s middags als ’s avonds.

7 kinderen hebben hun tanden zowel ’s ochtends als ’s middags als ’s avonds gepoetst.

Stel: K is de verzameling van de ondervraagde kinderen.

O is de verzameling van de kinderen die ’s ochtends hun tanden poetsen.

M is de verzameling van de kinderen die ’s middags hun tanden poetsen.

A is de verzameling van de kinderen die ’s avonds hun tanden poetsen.

Om telproblemen met drie verzamelingen op te lossen, gebruik je een klaverbladdiagram

Proefversie©VANIN

− (47 + 7 + 9) = 28

− (9 + 7 + 5) = 11

− (47 + 7 + 5) = 39

Stap 4: #(K \ (O  M  A)) =

− 146 = 4

a) Hoeveel kinderen poetsten hun tanden

• ’s middags niet?

150 – 32 = 118 kinderen

• ’s middags of ’s avonds, maar niet ‘s ochtends?

• ’s ochtends of ‘s avonds?

11 + 5 + 39 = 55 kinderen

91 + 5 + 39 = 135 kinderen

• ’s ochtends of ‘s middags, maar niet ’s avonds?

b) Hoeveel kinderen poetsten hun tanden gisteren niet?

28 + 9 + 11 = 48 kinderen 4 kinderen

Oefeningen

REEKS B

12 Kleur de gegeven verzameling in het klaverbladdiagram.

Proefversie©VANIN

13 Aan 140 werknemers van een bedrijf is gevraagd hoe ze naar het werk komen. Er komen 78 mensen met de fiets, 50 met de trein en 28 met de bus. Verder blijken 6 mensen zowel de fiets als de trein te gebruiken, 18 mensen zowel de trein als de bus en 8 mensen zowel de bus als de fiets. Geen enkele werknemer combineert de 3 vervoersmiddelen.

a) Hoeveel werknemers komen met de bus of de trein?

b) Hoeveel werknemers nemen enkel de fiets?

c) Hoeveel werknemers komen met de fiets of de bus, maar niet met de trein?

d) Hoeveel werknemers komen op een andere manier naar het werk dan met de 3 vernoemde vervoersmiddelen?

14 Aan 260 jongeren werd de vraag gesteld naar welk soort tv-programma ze vorige zondagavond hadden gekeken.

63 jongeren keken naar duidingsprogramma’s (nieuws, praatprogramma’s, …), 84 naar ontspanningsprogramma’s (show, quiz, …) en 136 naar series.

30 jongeren keken naar duidings- en ontspanningsprogramma’s, 39 naar duidingsprogramma’s en series en 17 naar ontspanningsprogramma’s en series.

11 jongeren keken naar de drie soorten programma’s.

a) Hoeveel jongeren keken naar minstens één van de drie soorten programma’s?

b) Hoeveel jongeren keken er enkel naar series?

c) Hoeveel jongeren keken er naar series of ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?

d) Hoeveel jongeren keken er naar series en ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?

e) Hoeveel keken er naar geen van de drie vermelde soorten programma’s?

15 Uit een enquête bij 70-plussers blijkt dat 76 % regelmatig (enkele keren per week) wandelt, 37 % regelmatig fietst en 48 % regelmatig turnt. 31 % wandelt en fietst, 18 % fietst en turnt en 35 % wandelt en turnt. 12 % van de ondervraagden doet alle drie de sportactiviteiten.

a) Hoeveel procent van de 70-plussers doet geen van de drie sportactiviteiten?

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel procent doet enkel aan fietsen?

76 + 0 + 6 + 7 = 89 100 – 89 = 11 % 0 %

c) Hoeveel procent wandelt en turnt, maar fietst niet?

d) Hoeveel procent fietst of turnt, maar wandelt niet?

e) Hoeveel procent wandelt of fietst, maar turnt niet?

8.2 Tellen met boomdiagrammen

8.2.1

Boomdiagrammen

Proefversie©VANIN

Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen. Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E). Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G). Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?

Stel: M = {A, B, C, D, E} is de verzameling van de merken.

S = {H, L, G} is de verzameling van de soorten laptops.

Om dit telprobleem op te lossen, gebruik je een boomdiagram

• Eerst kiest Nora het merk. Elke mogelijke keuze stel je voor door een tak die vertrekt uit een beginpunt.

• Bij de eindpunten van de getekende takken zet je telkens de keuzemogelijkheid (A, B, C, D of E).

• Bij elke keuze van het merk volgt een tweede keuze, namelijk de soort. Elke mogelijke keuze hiervan stel je voor door een tak die vertrekt uit een eindpunt van een tak die hoort bij de eerste keuze.

• Bij elk eindpunt van de nieuwe takken plaats je weer de keuzemogelijkheid (H, L of G).

• Het totaal aantal keuzes dat Nora heeft, is gelijk aan het aantal eindpunten van het diagram.

Nora heeft dus in totaal keuzemogelijkheden.

15

Elke keuze kun je voorstellen door een geordend tweetal. (D, H) betekent dat Nora heeft gekozen voor een laptop van merk D die hybride is.

De verzameling van alle mogelijke keuzes noem je de productverzameling van M en S

Notatie: M  S

Je stelt vast dat #(M  S) = #M #S = 5 3 = 15.

8.2.2 De productregel

David wil een nieuwe auto van een bepaald merk kopen.

Hij kan kiezen tussen 6 types. Bij elk type is er keuze tussen 3 versies: een benzineversie, een hybrideversie en een elektrische versie.

Bij elke versie kan David kiezen tussen 4 pakketten: standaard, comfort, luxe en sportief.

Proefversie©VANIN

Daarenboven is er bij elke pakket keuze tussen 8 kleuren en 4 soorten velgen.

Hoeveel keuzemogelijkheden heeft David in totaal?

Het totaal aantal keuzemogelijkheden voorstellen met een boomdiagram is onbegonnen werk.

Je gebruikt de techniek van de ‘cellen’

David kiest een type (T), een versie (V), een pakket (P), een kleur (K) en een soort velg (S).

Elke keuze stel je voor door een cel, waaronder je het aantal mogelijkheden plaatst.

Het totaal aantal mogelijkheden is dan het product van het aantal mogelijkheden bij de verschillende keuzes.

TVPKS 63484 →

2 304

Er zijn wagens waaruit David zijn keuze kan maken.

Productregel Als A1 , A2 , …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt:

Eenvoudig gesteld komt het erop neer dat het voegwoord ‘en’ naar een product vertaald wordt.

8.2.3

Faculteit

In een lokaal staan 8 stoelen. Op hoeveel manieren kunnen 8 personen plaatsnemen? S1 S2 S8

1 = 40 320

→

320

De 8 personen kunnen op manieren plaatsnemen.

Om een dergelijk product te berekenen, gebruik je het begrip faculteit

Definitie Faculteit

Als n ∈ n \ {0,1}, dan is n ! = n ⋅ (n − 1)

1

= 1 en 1! = 1

Op hoeveel manieren kan je 15 personen op een rij zetten?

! ≈ 1,307 674 368 ⋅ 1012

Je kan 15 personen op ongeveer 1,308 biljoen manieren op een rij zetten.

8.2.4 Modeloefeningen

• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 cijfers?

Let op: een natuurlijk getal kan nooit met een 0 beginnen.

C1 C2 C3 C4

9101010 9 10 10 10 = 9 103 = 9 000

Proefversie©VANIN

Er zijn 9 000 natuurlijke getallen die bestaan uit 4 cijfers.

• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 verschillende cijfers?

C1 C2 C3 C4

9987 9 9 8 7 = 4 536

Er zijn 4 536 natuurlijke getallen die bestaan uit 4 verschillende cijfers.

• Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 boeken op een boekenplank te rangschikken?

P1 P2 P12

1211…1 12 ! = 479 001 600

Er zijn 479 001 600 mogelijkheden om 12 boeken op een boekenplank te rangschikken.

• In een klas zitten 17 leerlingen. De klassenleraar kiest 3 leerlingen die elk een andere opdracht krijgen. Een leerling kan maar één opdracht krijgen. Hoeveel keuzemogelijkheden heeft de klassenleraar?

O1 O2 O3

171615 17 ⋅ 16 ⋅ 15 = 4 080

De klassenleraar heeft 4 080 keuzemogelijkheden.

• De gewone Belgische nummerplaten bestaan, sinds 2010, uit 7 karakters: een indexcijfer gevolgd door 3 letters, en daarna 3 cijfers, waarbij 000 niet voorkomt.

Hoeveel nummerplaten met indexcijfer 1 bevatten de letter A? Je hoeft geen rekening te houden met lettercombinaties die niet voorkomen.

totaal aantal nummerplaten met indexcijfer 1: 263 999 = 17 558 424

aantal die de letter A niet bevatten: 253 999 = 15 609 375

aantal nummerplaten die de letter A bevatten: 17 558 424 – 15 609 375 = 1 949 049

• Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2.

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?

Teken een boomdiagram.

Proefversie©VANIN

Er zijn 10 mogelijkheden voor het scoreverloop.

• Jan en Petra hebben elk een nieuwe smartphone nodig.

Ze besluiten elk een toestel van een ander merk te kopen.

Bij merk A vinden ze 3 types die aan hun eisen voldoen, bij merk B zijn er 4 types en bij merk C zijn er 2 types.

Hoeveel mogelijke keuzes zijn er?

Als ze

■ merk A en B kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

3 ? 412

3 ? 26

■ merk A en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

4 ? 28

■ merk B en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.

• De volgorde van de keuzes is hier belangrijk, want als Jan merk A en Petra merk B kiest, of Jan merk B en Petra merk A, dan is dat een andere keuze.

Het totale aantal mogelijkheden is dus

2 ? (12 + 6 + 8) = 52.

REEKS A

16 Je gooit drie keer een muntstuk op. Los de vragen op met een boomdiagram.

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Proefversie©VANIN

b) In hoeveel gevallen gooi je

• 2 keer kop en 1 keer munt?

• 3 keer hetzelfde?

• minstens 1 keer kop?

• hoogstens 1 keer kop?

8 3 2 7 4

17 Je trekt 3 ballen uit een vaas die 3 rode en 2 groene ballen bevat. Na elke trekking leg je de getrokken bal niet terug in de vaas. Los de vragen op met een boomdiagram.

Op hoeveel manieren

a) kunnen er juist 2 rode ballen bij zijn?

b) kan er minstens 1 groene bal bij zijn?

c) kan er minstens 1 rode bal bij zijn?

d) kunnen er 3 ballen van dezelfde kleur bij zijn?

3 6 7 1

18 Los de vraagstukken op met de productregel.

a) Je gaat op restaurant en neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een dessert. Er is keuze tussen 6 voorgerechten, 8 hoofdgerechten en 5 desserts. Op hoeveel manieren kun je je menu samenstellen?

6 8 5 = 240

Je kan je menu op 240 manieren samenstellen.

Proefversie©VANIN

b) Een fietsslot bestaat uit 3 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

10 10 10 = 103 = 1 000

Er zijn 1 000 mogelijkheden.

c) Een inlogcode moet bestaan uit 4 letters gevolgd door 4 cijfers. Hoeveel codes zijn er mogelijk?

26 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 26 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 264 ⋅ 10 4 = 4 569 760 000

Er zijn 4 569 760 000 inlogcodes mogelijk.

d) Een anagram is een woord dat je vormt met dezelfde letters als een gegeven woord. Een anagram hoeft niet noodzakelijk een betekenis te hebben.

Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘wiskunde’?

8 7 1 = 8 ! = 40 320

Het woord ‘wiskunde’ heeft 40 320 anagrammen.

e) 15 paarden doen mee aan een paardenwedren. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de eerste 3 te voorspellen?

15 ⋅ 14 ⋅ 13 = 2 730

Er zijn 2 730 mogelijkheden om de eerste 3 te voorspellen.

f) Je gooit 3 verschillende dobbelstenen op. Hoeveel mogelijke worpen zijn er?

6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 63 = 216

Er zijn 216 mogelijke worpen met 3 verschillende dobbelstenen.

g) Op hoeveel manieren kunnen 6 mensen op 6 stoelen plaatsnemen?

6 ⋅ 5 ⋅ ⋅ 1 = 6 ! = 720

6 mensen kunnen op 720 manieren op 6 stoelen plaatsnemen.

h) Een byte bestaat uit 8 bits. Elke bit kan slechts twee waarden (0 of 1) aannemen.

Hoeveel bytes zijn er mogelijk?

2 2 … 2 = 28 = 256

Er zijn 256 bytes mogelijk.

i) Er zijn 4 wegen van A naar B, 3 wegen van B naar C en 3 wegen van C naar D.

Op hoeveel manieren kan je van A naar D gaan via B en C?

4 3 3 = 36

Je kan op 36 manieren van A naar D gaan via B en C.

19 Je gaat naar de winkel om een brood, een stuk kaas en een taartje. Er is keuze tussen 11 soorten brood, 12 soorten kaas en 9 soorten taartjes. Hoeveel keuzemogelijkheden heb je in totaal?

11 12 9 = 1 188

Je hebt in totaal 1 188 keuzemogelijkheden.

Proefversie©VANIN

20 Bij een voetbalpronostiek kies je voor elke wedstrijd tussen de symbolen 1 (een thuisoverwinning), x (een gelijkspel) of 2 (een uitoverwinning). Een speeldag in de eerste klasse van de Belgische voetbalcompetitie bestaat uit 8 matchen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de uitslag van die matchen te voorspellen?

3 3 3 = 38 = 6 561

Er zijn 6 561 mogelijkheden om de uitslag van die matchen te voorspellen.

21 Hoeveel natuurlijke getallen van 5 verschillende oneven cijfers kan je vormen?

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 ! = 120

Je kan 120 natuurlijke getallen van 5 verschillende oneven cijfers vormen.

22 6 vrienden gaan op restaurant. Ze spreken af om een menu te kiezen. Er is keuze tussen een weekmenu, een seizoensmenu en een fijnproeversmenu. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de 6 vrienden hun keuze maken?

3 3 3 = 36 = 729

Ze kunnen op 729 manieren hun keuze maken.

23 In de eerste liga van het damesvolleybal in België spelen 10 ploegen. In een seizoen moet elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuismatch en een uitmatch spelen. Hoeveel matchen worden er gespeeld in een seizoen?

10 9 = 90

Er moeten 90 matchen gespeeld worden in een seizoen.

24 Een code bestaat uit een cijfer, gevolgd door 3 letters en 2 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

10 26 26 26 10 10 = 263 103 = 17 576 000

Er zijn 17 576 000 mogelijkheden.

25 3 leerlingen van het derde jaar en 4 leerlingen van het vierde jaar gaan op een rij staan.

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Er zijn 5 040 mogelijkheden.

7 6 1 = 7 ! = 5 040

b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als de leerlingen van eenzelfde jaar bij elkaar staan?

derde jaar: 3 ! = 6 vierde jaar: 4 ! = 24

De leerlingen van het derde jaar kunnen eerst staan en daarna de leerlingen van het vierde jaar, maar het kan ook omgekeerd.

Er zijn dus 2 ⋅ 6 ⋅ 24 = 288 mogelijkheden.

Proefversie©VANIN

26 In het spel Mastermind leg je 5 gekleurde pionnetjes in een bepaalde volgorde. De tegenspeler moet die volgorde in hoogstens 12 keer raden. De pionnetjes bestaan in 8 verschillende kleuren.

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur meerdere keren mag kiezen?

8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8 = 85 = 32 768

Er zijn 32 768 mogelijkheden.

b) Hoeveel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 6 720 Er zijn 6 720 mogelijkheden.

27 Om aan te melden op een website van de overheid kan je een itsme-code gebruiken. Deze bestaat uit 5 cijfers.

a) Hoeveel itsme-codes bestaan uit 5 verschillende cijfers?

10 9 8 7 6 = 30 240 30 240 codes bestaan uit 5 verschillende cijfers.

b) Hoeveel daarvan beginnen met een 6 en bevatten een 0?

beginnen met 6: 1 9 8 7 6 = 3 024

beginnen met 6 en bevatten geen 0: 1 8 7 6 5 = 1 680

Er zijn 3 024 – 1 680 = 1 344 codes die beginnen met een 6 en een 0 bevatten.

28 Alle 13 leden van een vereniging zijn uitgenodigd op een vergadering.

Ze zijn niet verplicht om te komen.

Op hoeveel manieren kan de vergadering samengesteld worden?

Ieder lid heeft 2 keuzes: komen of niet komen. 2 2 2 = 213 = 8 192

De vergadering kan op 8 192 manieren samengesteld worden.

29 Een gezin heeft 4 kinderen.

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de samenstelling met jongens en meisjes?

b) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.

c) In hoeveel gevallen zijn er minstens 2 meisjes bij?

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16 Er zijn 16 mogelijkheden. in 11 gevallen.

Proefversie©VANIN

REEKS C

30 Op hoeveel manieren kan je 6 boeken over wiskunde, 4 over fysica en 5 over chemie op een boekenrek schikken als de boeken per vak afzonderlijk bij elkaar moeten staan?

wiskunde: 6 5 1 = 6! = 720 fysica: 4! = 24 chemie: 5! = 120

De vakken zelf kunnen onderling op 3! = 6 manieren omgewisseld worden.

Het totaal aantal mogelijke schikkingen is dus 6 ⋅ (720 ⋅ 24 ⋅ 120) = 12 441 600

31 Van 5 smartphones zijn er 2 defect, maar je weet niet welke. Je test telkens 1 smartphone, tot je weet welke 2 er defect zijn.

a) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.

Proefversie©VANIN

b) In hoeveel gevallen zal je

• 2 smartphones moeten testen?

32 Er doen 10 personen mee aan een badmintoncompetitie. Elke speler moet tegen elke andere speler één match spelen. Hoeveel matchen zullen er in totaal moeten gespeeld worden? in 1 geval in 2 gevallen in 3 gevallen in 4 gevallen

• 3 smartphones moeten testen?

• 4 smartphones moeten testen?

• 5 smartphones moeten testen?

c) Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?

1 + 2 + 3 + 4 = 10 mogelijkheden

Elk van de 10 personen moet één match spelen tegen één van de andere 9 spelers.

Maar als A een match speelt tegen B of B tegen A, is dat dezelfde match.

Het aantal matchen dat zal moeten gespeeld worden, is dus 10 · 9 2 = 45.

33 In een bakje liggen 3 stukken van 1 euro en 2 stukken van 2 euro. Een spel bestaat erin dat je blindelings muntstukken uit het bakje neemt. De genomen muntstukken worden niet opnieuw in het bakje gelegd.

Het spel stopt zodra er nog maar één soort muntstuk over is, dus als alle muntstukken van 1 ofwel van 2 euro gekozen zijn.

a) Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.

Proefversie©VANIN

b) In hoeveel procent van de gevallen heb je minstens 5 euro uit het bakje genomen?

Er zijn in totaal 10 mogelijkheden. In 8 gevallen heb je minstens 5 euro genomen.

Dat is dus in 80 % van de gevallen.

34 Je gooit 2 verschillende dobbelstenen op.

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Er zijn 6 6 = 36 mogelijkheden.

b) In hoeveel gevallen is de som van de ogen 7?

De mogelijkheden zijn (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4) en (4, 3)

In 6 gevallen is de som van de ogen 7.

c) In hoeveel gevallen is de som van de ogen 11 of 12?

De mogelijkheden zijn (5, 6), (6, 5) en (6, 6)

In 3 gevallen is de som van de ogen 11 of 12.

d) In hoeveel procent van de gevallen is de som van de ogen meer dan 3? Rond af op 0,01 %.

Om 2 of 3 ogen te gooien kan je (1, 1), (1, 2) of (2, 1) gooien; dat zijn 3 gevallen.

Er zijn dus 36 – 3 = 33 gevallen waarbij de som van de ogen meer dan 3 is.

Dit is 33 36 ≈ 0, 9167 = 91,67 % van de gevallen.

35 Bij de aankoop van een auto kan de koper kiezen tussen een wagen met benzinemotor, hybridemotor of elektrische motor.

De benzinewagens hebben versies met 2, 4 of 5 deuren, de hybridewagens hebben versies met 4 of 5 deuren en de elektrische wagens hebben 5 deuren.

Elke wagen is beschikbaar in 7 kleuren, maar de hybridewagens en de elektrische wagens hebben 3 extra kleuren.

Bij alle types kan er gekozen worden tussen lederen zetels of stoffen zetels.

Bij de elektrische wagens kan ook voor een alcantara-bekleding worden gekozen.

De elektrische wagens zijn standaard uitgerust met een 360°-camera, bij de andere types is het een optie.

Hoeveel mogelijkheden heeft de koper bij deze aankoop?

Proefversie©VANIN

deurenkleurenzetelscameratotaal

De koper heeft 194 mogelijkheden.

36 Een ‘woord’ is elke opeenvolging van letters, met of zonder betekenis.

a) Hoeveel woorden bestaan uit 4 letters?

264 = 456 976 woorden

b) Als je die woorden alfabetisch rangschikt, op welke plaats komt dan ‘koel’?

a → j: 10 ? 26 3

ka → kn: 1 ? 14 ? 26 2

koa → kod: 1 1 4 26

koea → koel: 1 1 1 12

Het woord ‘koel’ komt op de 185 340e plaats.

37 Hoeveel even getallen liggen tussen 5 000 en 8 000?

De getallen beginnen met 5, 6 of 7 en eindigen op een even cijfer.

Omdat 5 000 niet meetelt, zijn er 3 102 5 − 1 = 1 499 mogelijkheden.

Er zijn dus 1 499 even getallen tussen 5 000 en 8 000.

8.3 Tellen met wegendiagrammen

8.3.1

Telproblemen voorstellen met wegendiagrammen

Voorbeeld 1

Proefversie©VANIN

Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen.

Er zijn 3 9 = 27 manieren. GEOGEBRA

Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E).

Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G).

Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?

Om alle mogelijke keuzes te bepalen, heb je in de vorige paragraaf een boomdiagram gebruikt.

Je kan een diagram dat alle mogelijkheden grafisch weergeeft ook compacter maken door de takken in één punt te laten samenkomen. In dat geval spreek je over een wegendiagram.

Het aantal keuzemogelijkheden voor Nora is gelijk aan het aantal verschillende wegen om van het beginpunt naar het eindpunt te gaan. Dit aantal is gelijk aan 5 ⋅ 3 = 15

Voorbeeld 2

Een viervlaksdobbelsteen heeft de vorm van een regelmatig viervlak.

Op de vlakken van een viervlaksdobbelsteen staan de cijfers 1, 2, 3 en 4.

Het cijfer in het hoekpunt bovenaan toont wat je gegooid hebt.

Je werpt met drie viervlaksdobbelstenen: een rode, een gele en een oranje.

Na de worpen bekijk je de hoekpunten bovenaan.

a) Geef met een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer.

Hoeveel manieren zijn er?

Er zijn 4 4 4 = 64 manieren.

b) Hoeveel manieren zijn er waarbij enkel bij de gele dobbelsteen het cijfer 4 bovenaan ligt?

Er zijn 3 ? 1 ? 3 = 9 manieren.

c) Hoeveel manieren zijn er waarbij het cijfer 4 juist één keer bovenaan ligt?

Oefeningen

REEKS B

38 Een code bestaat uit een letter gevolgd door 2 cijfers, bijvoorbeeld A31. Voor de letters gebruik je A, B, C, D of E. Voor beide cijfers gebruik je 1 tot en met 4.

a) Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk? Stel dat voor met een wegendiagram.

Proefversie©VANIN

letter eerste cijfer

tweede cijfer

5 ? 4 ? 4 = 80

Er zijn 80 codes mogelijk.

b) Stel dat de twee cijfers in de code verschillend moeten zijn. Hoeveel verschillende codes zijn er dan mogelijk?

5 4 3 = 60

Er zijn 60 codes mogelijk.

39 In een fruitschaal liggen 4 appels, 5 peren en 2 bananen.

a) Op hoeveel manieren kun je van elke soort een nemen?

Je neemt eerst een appel, daarna een peer en ten slotte een banaan. Stel dat voor met een wegendiagram.

appels peren

2 bananen

4 ? 5 ? 2 = 40

Je kunt op 40 manieren van elke soort een nemen.

b) Op hoeveel manieren kun je er van elke soort hoogstens een nemen?

• appels: je kiest uit 4 appels of je kiest geen appel, dus 5 mogelijkheden

• peren: je kiest uit 5 peren of je kiest geen peer, dus 6 mogelijkheden

• bananen: je kiest uit 2 bananen of je kiest geen banaan, dus 3 mogelijkheden

totale aantal mogelijkheden: 5 6 3 = 90

8.3.2 Aantal kortste routes

Een route zonder omwegen noem je een kortste route

• AC is een rechtstreekse kortste route van A naar C

• ABC is een kortste route van A naar C via B.

• ABAC is geen kortste route van A naar C.

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 1

Er lopen 3 wegen van plaats A naar plaats B en 2 wegen van plaats B naar plaats C

Er zijn dus verschillende wegen van A naar C via B Je kunt bijvoorbeeld over de middelste weg van A naar B gaan en dan verder over de bovenste weg van B naar C

Die route is in het blauw aangeduid op de figuur.

• Teken een schematische voorstelling van de situatie met een wegendiagram.

• Op hoeveel manieren kan je van A naar C gaan zonder omwegen?

Er 3 ⋅ 2 = 6 mogelijkheden.

Voorbeeld 2

Bepaal het aantal kortste routes van A naar D

• Het aantal routes van A naar B is

• Het aantal kortste routes van B naar D:

■ via C:

■ rechtstreeks:

■ totaal:

+ 3 = 9

• Het aantal kortste routes van A naar D:

4 9 = 36

Oefeningen

REEKS A

40 Bepaal het aantal kortste routes van A naar C.

a)

b)

ABC

c)

ABC

• van A naar B: 4

• van B naar C: 2

• van A naar C via B: 4 ? 2 = 8

• van A naar C rechtstreeks: 1

• totaal van A naar C :

8 + 1 = 9

• van A naar B: 2

• van B naar C: 3

• van A naar C via B: 2 3 = 6

• van A naar C rechtstreeks: 1

• totaal van A naar C :

6 + 1 = 7

Proefversie©VANIN

d)

ABC

e)

ABC

• van A naar B: 3

• van B naar C: 3

• van A naar C via B: 3 3 = 9

• van A naar C rechtstreeks: 2

• totaal van A naar C :

9 + 2 = 11

• van A naar B: 4

• van B naar C: 3

• van A naar C via B: 4 ? 3 = 12

• van A naar C rechtstreeks: 2

• totaal van A naar C :

12 + 2 = 14

• van A naar B: 4

• van B naar C: 2

ABC

• van A naar C via B: 4 2 = 8

• van A naar C rechtstreeks: 3

• totaal van A naar C :

8 + 3 = 11

REEKS B

41 Bepaal het aantal kortste routes van A naar D. a) ABCD

• van A naar B: 4

• van B naar C: 4

• van C naar D: 3

• totaal van A naar D: b) ABCD

• van A naar B: 4

• van B naar C: 1

• van C naar D: 3

• van A naar D via B en C: 4 ? 4 ? 3 = 48

• van A naar D rechtstreeks: 1 48 + 1 = 49

• van B naar D rechtstreeks: 1

Proefversie©VANIN

• van B naar D via C: 1 3 = 3

• totaal van A naar D: c)

• van A naar B: 4

• van B naar C: 4

• van A naar C via B:

• totaal van B naar D: 3 + 1 = 4 4 ? 4 = 16

• van A naar C rechtstreeks: 1

• totaal van A naar C: 16 + 1 = 17

ABCD

4 4 = 16

• totaal van A naar D: d)

17 2 = 34

• van C naar D: 2

ABCD

• van A naar B: 2

• van B naar C: 2

• van C naar D: 3

• van B naar D via C: 2 3 = 6

• totaal van A naar D:

2 7 = 14

• van B naar D rechtstreeks: 1

• totaal van B naar D: 6 + 1 = 7

REEKS C

42 Teken een wegendiagram met de punten A, B, C en D waarbij het aantal kortste wegen van A naar D gelijk is aan (2 ⋅ 4 + 3) ⋅ 2 + 1. AB C D

8.4 Tellen met roosterdiagrammen

8.4.1

Scoreverloop bij een voetbalmatch

Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2.

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?

In paragraaf 8.2.4 heb je dit vraagstuk opgelost door een boomdiagram te tekenen.

Er blijken 10 mogelijkheden te zijn.

Je kan het probleem ook oplossen met een roosterdiagram

Op een horizontale as zet je het aantal doelpunten van de thuisploeg en op een verticale as het aantal doelpunten van de uitploeg.

Elke roosterpunt is een mogelijke stand.

De eindstand verkrijg je bij het punt A

Het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, is aangeduid in het rood.

De scores 1-0, 2-0, 3-0, 0-1 en 0-2 kunnen op één manier. Het is namelijk telkens dezelfde ploeg die scoort.

De score 1-1 kan op twee manieren (1-0 en daarna 1-1 of 0-1 en daarna 1-1).

Proefversie©VANIN

thuisploeg

De score 2-1 kan op drie manieren:

Op die manier kan het rooster verder aangevuld worden.

23 36 3 6 4 10 A

Hoe kan je het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, berekenen uit de vorige scores?

Je telt het aantal manieren om tot de scores te komen die voorafgaan op.

Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als de ruststand 1-1 was?

Er zijn 6 mogelijkheden.

8.4.2 Tellen met roosterdiagrammen

Algemeen Bij een telprobleem dat bestaat uit een aantal deelbeslissingen waarbij er telkens maar twee mogelijkheden zijn, kan een roosterdiagram gebruikt worden. Hierbij is elk getal op een knooppunt van wegen de som van de getallen die bij de voorgaande naburige knooppunten staan.

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

Voorbeeld

Je legt 4 blauwe en 2 rode kaartjes op een rij. Hoeveel verschillende kleurpatronen zijn er mogelijk?

Er zijn 15 verschillende kleurpatronen mogelijk.

De werkwijze die je volgt om een probleem op te lossen met een roosterdiagram wordt mooi geïllustreerd in de driehoek van Pascal Hoewel de driehoek al bekend was bij Chinese en Indische wiskundigen van 1000 jaar geleden, is de driehoek vernoemd naar Blaise Pascal, die een boek over deze ‘rekendriehoek’ schreef.

Blaise Pascal (1623 - 1662) is een Franse wiskundige uit de 17e eeuw, die samen met zijn landgenoot Pierre de Fermat, wordt beschouwd als de grondlegger van de wiskundige studie van telproblemen en kansrekening.

Pascal is ook als natuurkundige bekend.

De ‘wet van Pascal’ beschrijft de druk op vloeistoffen. In 1642 bouwde hij de ‘pascaline’, een mechanische rekenmachine die kon optellen en aftrekken.

Toen Barcelona in de 19e eeuw uit zijn voegen barstte, heeft men een planmatig opgezette wijk gebouwd als uitbreiding van de stad: l’Eixample

De straten verdelen de wijk in gelijkvormige blokken, waardoor een meetkundig patroon te zien is.

Dit patroon wordt enkel onderbroken door een 11 km lange diagonaal: de Avinguda Diagonal.

Om het aantal kortste routes te bepalen tussen twee punten in de wijk, gebruik je een roosterdiagram en de eigenschap uit de vorige paragraaf.

Bepaal het aantal kortste routes tussen A en B

Er zijn mogelijke kortste routes tussen A en B 462

Proefversie©VANIN

Oefeningen

REEKS B

43 Een gezin heeft een kroost van 5 kinderen.

a) Op hoeveel manieren kan de kroost samengesteld zijn?

Proefversie©VANIN

b) Teken een roosterdiagram voor alle mogelijkheden.

c) In hoeveel gevallen bestaat de kroost uit

• 2 meisjes en 3 jongens?

• minstens 3 meisjes?

• minstens 1 jongen?

2 ⋅ 2 ⋅ … ⋅ 2 = 25 = 32 De kroost kan op 32 manieren samengesteld zijn. in 10 gevallen in 10 + 5 + 1 = 16 gevallen in 32 – 1 = 31 gevallen

44 Bepaal het aantal kortste wegen van A naar B.

Aantal kortste wegen: 81

Aantal kortste wegen: 25

45 Een waterpolowedstrijd is geëindigd op 4-7.

Kortrijk KWK

a) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?

Sport Brugge ASB

Proefversie©VANIN

Er zijn 330 mogelijkheden voor het scoreverloop.

b) Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als je weet dat het aan de rust 2-4 was?

Er zijn 150 mogelijkheden voor het scoreverloop als het aan de rust 2-4 was.

C

46 Op hoeveel manieren kun je het woord “PIENTER” op de figuur lezen?

Je kunt het woord ‘PIENTER’ op 20 manieren lezen.

47 Op het bord van Galton vallen balletjes op pinnen die in rijen onder elkaar staan. Elke rij heeft een pin meer dan de vorige rij. Bij elk pinnetje maakt het balletje als het ware een keuze tussen links of rechts, beide met evenveel kans. Uiteindelijk valt het balletje in een van de bakjes A tot en met J.

a) Hoeveel mogelijke wegen zijn er in totaal?

De bakjes zijn de 9-de rij na de 0-de rij. Dus zijn er 29 = 512 mogelijke wegen.

b) Van hoeveel procent van de balletjes mag je verwachten dat ze in vakje A, B, …, J valt? Vul de tabel in en rond telkens af op 0,01 %.

0,201,767,0316,4124,6124,6116,417,031,760,20

STUDIEWIJZER Telproblemen

8.1 Tellen met venndiagrammen voor de leerling voor de leerkracht

B  A (“B is deelverzameling van A”) ⇔ ∀ x

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren. Notatie: A  B

Proefversie©VANIN

De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren. Notatie: A  B

#(A  B) = #A + #B − #(A  B)

#(A  B) = #A + #B ⇔ A  B = ∅

Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Notatie: A \ B

#(A \ B) =

De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V

#(A ) = #(V) − #(A)

Een venndiagram gebruiken bij het oplossen van een telprobleem.

Het aantal elementen van de doorsnede, de unie, het verschil of het complement van eindige verzamelingen bepalen bij telproblemen.

8.2 Tellen met boomdiagrammen KENNEN

Als A1, A2, …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt: #(A

Als n ∈ n \ {0, 1}, dan is n ! = n (n − 1) 1 0! = 1 en 1! =

Een boomdiagram of de productregel gebruiken bij telproblemen.

8.3 Tellen met wegendiagrammen

KUNNEN

Een wegendiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.

8.4 Tellen met roosterdiagrammen

KUNNEN

Een roosterdiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.

Problemen uit JWO

1.In het staafdiagram zie je hoe de bezoekers van de vijf meest bezochte Europese pretparken over die pretparken verdeeld zijn. De pretparken hebben samen 56 miljoen bezoekers per jaar. Hoeveel bezoekers heeft Disneyland Parijs elk jaar meer dan de Efteling?

Proefversie©VANIN

A) r 1 980 000B) r 2 575 000C) r 2 800 000D) r 3 125 000E) r 3 360 000

JWO, editie 2018, eerste ronde

2.Op de figuur hebben het vierkant en de rechthoekige driehoek met dezelfde oppervlakte een gemeenschappelijke zijde.

Wat is de verhouding van de stukken waarin P het onderste lijnstuk verdeelt?

A) r 1 : 1B) r 1 : 2C) r 2 : 3D) r 1 : 3E) r 1 : 4

JWO, editie 2016, tweede ronde

3.Een dief steelt een kwart van het fortuin van een kok en geeft daarvan de helft aan zijn vrouw. Die schenkt op haar beurt een derde van wat ze net kreeg, aan haar minnaar, die bevriend is met de kok en hem daarvan de helft geeft.

De kok is 11 000 florijnen armer geworden.

Hoe groot was het fortuin van de kok oorspronkelijk?

A) r 36 000 florijnenB) r 45 000 florijnenC) r 48 000 florijnen

D) r 52 000 florijnenE) r 60 000 florijnen

JWO, editie 2021, eerste ronde