Via www.diddit.be heb je toegang tot het onlineleerplatform bij Pienter 4. Activeer je account aan de hand van de onderstaande code en accepteer degebruiksvoorwaarden.
Kies je ervoor om je aan te melden met je Smartschool-account, zorg er dan zeker voor dat je e-mailadres aan dat account gekoppeld is. Zo kunnen we je optimaal ondersteunen.
Let op: deze licentie is uniek, eenmalig te activeren en geldig voor een periode van 1 schooljaar. Indien je de licentie niet kunt activeren, neem dan contact op met onze klantendienst.
XL 4 - 5u - deel
Fotokopieerapparaten zijn algemeen verspreid en vele mensen maken er haast onnadenkend gebruik van voor allerlei doeleinden. Jammer genoeg ontstaan boeken niet met hetzelfde gemak als kopieën. Boeken samenstellen kost veel inzet, tijd en geld. De vergoeding van de auteurs en van iedereen die bij het maken en verhandelen van boeken betrokken is, komt voort uit de verkoop van die boeken.
In België beschermt de auteurswet de rechten van deze mensen. Wanneer u van boeken of van gedeelten eruit zonder toestemming kopieën maakt, buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen, ontneemt u hen dus een stuk van die vergoeding. Daarom vragen auteurs en uitgevers u beschermde teksten niet zonder schriftelijke toestemming te kopiëren buiten de uitdrukkelijk bij wet bepaalde uitzonderingen.
InBelgiëbeschermtdeauteurswetderechtenvandezemensen.Wanneeruvanboekenofvangedeelteneruit zondertoestemmingkopieënmaakt,buitendeuitdrukkelijkbijwetbepaaldeuitzonderingen,ontneemtu hen duseenstukvandievergoeding.Daaromvragenauteursenuitgeversubeschermdetekstennietzonder schriftelijketoestemmingtekopiërenbuitendeuitdrukkelijkbijwetbepaaldeuitzonderingen.
Verdere informatie over kopieerrechten en de wetgeving met betrekking tot reproductie vindt u op www.reprobel.be.
Verdereinformatieoverkopieerrechtenendewetgevingmetbetrekkingtotreproductievindtu op www.reprobel.be.
Ook voor het digitale lesmateriaal gelden deze voorwaarden. De licentie die toegang verleent tot dat materiaal is persoonlijk. Bij vermoeden van misbruik kan die gedeactiveerd worden. Meer informatie over de gebruiksvoorwaarden leest u op www.diddit.be.
De uitgever heeft ernaar gestreefd de relevante auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Wie desondanks meent zekere rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht zich tot de uitgever te wenden.
Hoofdstuk12Transformaties van elementaire functies
Hoe werk je met Pienter?
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1 Voorbeeld
Elk hoofdstuk start met een inhoudsopgave en een cartoon. Dat geeft je een eerste indruk van het hoofdstuk.
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.
De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Vul de tabel aan.
Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van een realistische inleiding of een kort onderzoek kennis met het onderwerp dat aan bod zal komen.
7.1
aantal tickets0 1 2 3 4 5
Eerstegraadsfuncties
kostprijs (euro)
7.1.1 Voorbeeld
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1 Voorbeeld
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels. De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan. De tickets kosten 30 euro per stuk. Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
7.1.2 Eerstegraadsfuncties
Definitie
Vul de tabel aan.
Eerstegraadsfunctie
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels. De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan. De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
aantal tickets0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro)
Vul de tabel aan.
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
aantal
Stap voor stap kom je meer te weten over wiskunde in het dagelijks leven.
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.
kostprijs (euro)
7.1.2 Eerstegraadsfuncties
Definitie
1–1–223456 x y 20 40 60 80 O Wat is de toename van de functiewaarde, als het argument met één eenheid toeneemt?
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
Eerstegraadsfunctie
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
b is de afsnijding op de y-as.
Teken de grafiek van de functie f ( ) = 30 + 5.
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met ).
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
PIENTER 4 – 4u I HOOFDSTUK 7 I TWEEDEGR AADSFUNC TIES
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Je leert formuleren in definities, eigenschappen, rekenregels of besluiten.
Je leert ook eigenschappen bewijzen.
1–1–223456 x 20 O Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as. (0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as. b is de afsnijding op de y-as.
Na elk stuk theorie kun je meteen oefenen.
1–1–223456 x 20 40 60 80 O als het argument met één eenheid toeneemt?
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de b is de afsnijding op de y-as.
Niet alle oefeningen zijn even moeilijk. Ze zijn opgedeeld in drie reeksen:
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
REEKS A eenvoudige toepassingen
Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
REEKS B basisniveau
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Opmerking
4 – 4u I HOOFDSTUK 7 TWEEDEGR AADSFUNC TIES
REEKS C verdiepingsniveau
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Oefeningen zijn genummerd per hoofdstuk en aangeduid met een verticale streep.
Op diddit vind je extra oefeningen.
Oefeningen
REEKS A 1 Teken de grafiek. a) f (x) = 2x
f (x) x g (x) x
In de marge worden soms pictogrammen gebruikt. Hieronder vind je hun betekenis.
x) –5–4–3–2–1 O –3 –2 –1 1
ICT Duidt aan wanneer je een ICT-bestand op diddit terugvindt, bv. Excel of GeoGebra.
3 4 12345 x y 2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.
a) f (x) = 2x + 3 f (–1) =
Interessante weetjes of achtergrondinformatie herken je aan een kader met vraagteken.
b) f (x) = –3x – 2 f (2) =
c) f (x) = –1 2 x + 1 f (–2) =
d) f (x) = –4x – 9 f (0) =
e) f (x) = 5– 3 2 x f (–4) =
R Duidt aan dat je bij het onlinelesmateriaal een remediëringsoefening kunt vinden.
XL Geeft aan dat je bij het onlinelesmateriaal extra uitdagende leerstof vindt.
Je leraar zal telkens aangeven wat precies voor jou van toepassing is.
Soms is het handig dat je extra lesinformatie via GeoGebra of een videofragment zoals een instructiefilmpje zelf kunt bekijken of beluisteren op je smartphone. Als je dit icoon ziet, open dan de VAN IN Plus-app en scan de pagina. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je moet kennen en kunnen bijeengebracht in een studiewijzer. Dat is een ideale leidraad om je samenvatting te maken.
STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties
7.1 Eerstegraadsfuncties
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
KUNNEN
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen: • uit een tabel met functiewaarden; uit een grafiek.
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
Elk hoofdstuk sluit af met de rubriek ‘Pienter problemen oplossen’ of ‘Problemen uit JWO’ (Junior Wiskunde Olympiade). Het is aan jou om aan de hand van heuristieken en probleemoplossend denken de problemen op te lossen.
KENNEN
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Sommige onderdelen zijn aangeduid met een groene band. Je leerkracht zal aangeven wat je wel en niet moet kennen.
KUNNEN
Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.
7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2
KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
Achteraan in het boek zitten twee bladen met een cartoon. Die kun je gebruiken als voorblad voor je eigen notities of voor afgedrukte oefeningen van Pienter Remediëren en voor Extra Leerstof.
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.
De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie
f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool. De vergelijking van de symmetrieas is x = 0. De coördinaat van de top is (0, 0).
Hier vind je het lesmateriaal en de online-oefeningen. Gebruik de filters bovenaan, de indeling aan de linkerkant of de zoekfunctie om snel je materiaal te vinden.
Lesmateriaal
Hier vind je het extra lesmateriaal bij Pienter, zoals remediëringsoefeningen en Excel-bestanden.
Oefeningen
• De leerstof kun je inoefenen op jouw niveau.
• Je kunt hier vrij oefenen.
Opdrachten
Hier vind je de opdrachten terug die de leerkracht voor jou heeft klaargezet.
Evalueren
Hier kan de leerkracht toetsen voor jou klaarzetten.
Resultaten
Wil je weten hoever je al staat met oefenen, opdrachten en evaluaties? Hier vind je een helder overzicht van je resultaten.
E-book
Het e-book is de digitale versie van het leerwerkschrift. Je kunt erin noteren, aantekeningen maken, zelf materiaal toevoegen ...
Meer info over diddit vind je op www.vanin.diddit.be/nl/leerling.
HOOFDSTUK 7 I TWEEDEGRAADSFUNCTIES
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
7.3 Functies van de vorm
(x) = ax 2
7.4 Functies van de vorm
(x) = a (x – p) 2 + q
7.5 Functies van de vorm
(x) = ax 2 + bx + c
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen
7.8 De vergelijking van een parabool
7.1 Eerstegraadsfuncties
7.1.1
Voorbeeld
Dries wil online voetbaltickets bestellen voor een wedstrijd van de Rode Duivels.
De website rekent per bestelling een administratieve kost van 5 euro aan.
De tickets kosten 30 euro per stuk.
Om fraude tegen te gaan, kunnen maximaal tien tickets per persoon worden besteld.
Vul de tabel aan.
aantal tickets0 1 2 3 4 5 kostprijs (euro)
Het verband tussen de kostprijs f (x) en het aantal tickets x kun je wiskundig vertalen met de functie
7.1.2
Eerstegraadsfuncties
Definitie
Eerstegraadsfunctie
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
f (x) is de functiewaarde van x dom f = r ber f = r
Teken de grafiek van de functie f (x) = 30x + 5.
Wat is de toename van de functiewaarde,
als het argument met één eenheid toeneemt?
Die toename is de richtingscoëfficiënt
Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
(0, b) is de coördinaat van het snijpunt met de y-as.
b is de afsnijding op de y-as.
Algemeen
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong.
In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
Opmerking
Als b = 0, dan verkrijg je de functie met voorschrift f (x) = ax. De grafiek van die functie is een rechte door de oorsprong.
Oefeningen
REEKS
A
1 Teken de grafiek. a) f (x) = 2x
g (x) = –x – 3
2 Bereken de gevraagde functiewaarde van de eerstegraadsfuncties.
a) f (x) = 2x + 3 f (–1) = b) f (x) = –3x – 2 f (2) = c) f (x) = –1 2 x + 1 f (–2) = d) f (x) = –4x – 9 f (0) =
3 Ligt het punt A op de grafiek van f ?
a) f (x) = –6x – 10 A (–3, 8)
f (x) = –2x + 5 A (7, –2)
c) f (x) = 1 2 x –3 2 A (–5, –4)
4 Bepaal het functievoorschrift uit de tabel. a) x 0123 f (x)471013
functievoorschrift:
c) x –3–2–10 f (x)–1–3–5–7
functievoorschrift:
b) x 0246 f (x)051015 d) x –3–113 f (x)–1–3–5–7
functievoorschrift:
5 Bepaal het functievoorschrift uit de grafiek. a)
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
functievoorschrift:
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
7.2.1
Doorsnede van een rivierbedding
De dwarse doorsnede van een rivierbedding kan meestal goed benaderd worden door een parabool.
6412161421 08
GEOGEBRA
Peilingen stellen de wetenschappers in staat om een model op te stellen voor de rivierbedding. Op die manier kunnen ze schattingen doen over de breedte en de diepte van de rivier.
Stel dat de diepte d (in m) van een rivier op x meter van de linkeroever wordt gegeven door het verband d (x) = 1 8 x 2 – 2x
7.2.2
Hoe breed is de rivier?
Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst?
Wat is die diepte?
Hoe diep is de rivier op 6 m van de rechteroever?
Baan van een projectiel
h t Een steen wordt van een gebouw geworpen onder een hoek van 30º met een snelheid van 16 m/s.
Hij volgt een baan in de vorm van een parabool.
De hoogte h (in m) van de steen in functie van de tijd t (in s) wordt dan gegeven door het functievoorschrift h (t) = –5t 2 + 8t + 5.
• Hoe hoog bevindt de steen zich net voor de worp?
• Hoe hoog bevindt de steen zich na 1 s?
• Na hoeveel seconden belandt de steen op de grond? Bepaal op 0,01 s nauwkeurig.
In de voorbeelden van de rivierbedding en de baan van het projectiel is de graad van het functievoorschrift telkens 2. Het zijn voorbeelden van tweedegraadsfuncties
7.2.3 Algemeen
Definitie Tweedegraadsfunctie
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeelden
Zet een vinkje bij de voorschriften of vergelijkingen die bij een tweedegraadsfunctie horen.
= 4x 2 – 3
7.2.4 Parabolen in het dagelijks leven
Parabolen komen vaak voor in het dagelijks leven.
De dwarse doorsnede van een schotelantenne is een parabool. Dat is zo omdat evenwijdige elektromagnetische stralen in één punt weerkaatst worden.
De beroemde Spaanse architect Gaudí gebruikte paraboolvormige gewelven.
Elke waterstraal volgt een parabolische baan.
Om gewichtloosheid te simuleren in een vliegtuig, vliegt het toestel in een paraboolbaan.
Paleis in Ctesiphon (Irak) Berliner bogen
7.3.1 De functie f (x) = x 2
Vul de tabel aan.
GEOGEBRA
Teken de grafiek.
f (x)
• De grafiek is een parabool met de holle zijde naar boven. Je noemt dat een dalparabool
• De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de y-as omdat
De symmetrieas van deze parabool is met vergelijking
• De top is het snijpunt van de grafiek met de symmetrieas.
In dit geval is de coördinaat van de top
• De functie is dalend in en stijgend in
In de top bereikt de functie een minimum
• dom f = ber f = nulwaarde:
• tekenschema: verloop:
f (x) x f
Algemeen De grafiek van de functie f (x) = x 2 is een parabool met:
• holle zijde naar boven (dalparabool);
• symmetrieas: de y-as (x = 0);
• top: het punt (0, 0).
7.3.2 Het zuiver kwadratisch verband
Voorbeeld
Je vergroot de straal van een cirkel telkens met 1 cm.
Bereken de bijbehorende oppervlakte A = p r 2. Rond af op 0,01.
(cm 2)
Als de straal twee keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte
Als de straal drie keer groter wordt, dan wordt de oppervlakte
Uit de formule van de oppervlakte van de cirkel volgt dat: A r 2 =
Je zegt dat het verband tussen de grootheden A en r zuiver kwadratisch is.
Definitie Zuiver kwadratisch verband
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is. y x 2 = a ⇒ y = a x 2 (met a ∈ r0).Je noemt a de evenredigheidsconstante.
Formule Als het verband tussen twee grootheden y en x zuiver kwadratisch is, dan is y = a ? x 2 (met a ∈ r0).
Grafiek van een zuiver kwadratisch verband
Besluit De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong. De top van de parabool valt samen met de oorsprong. GEOGEBRA
Teken de grafiek van het verband dat de oppervlakte A (in cm2) weergeeft in functie van de straal r (in cm).
De grafiek is
GEOGEBRA
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = 2 ? x 2 en h(x) = 1 2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?
Om de grafiek van de functie g(x) = 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek f (x) = x 2 vermenigvuldigen met 2.
Je verkrijgt een grafiek met een smallere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is uitgerekt met factor 2.
Om de grafiek van de functie h(x) = 1 2 x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek f (x) = x 2 vermenigvuldigen met 1 2 .
Je verkrijgt een grafiek met een bredere opening dan die van f (x) = x 2
Je zegt dat de grafiek van f (x) = x 2 verticaal is samengedrukt met factor 2.
• holle zijde naar (parabool)
• symmetrieas:
• top:
Hoe ontstaan de grafieken van g(x) = –x 2 en h(x) = –2 ? x 2 uit de grafiek van f (x) = x 2?
f (x) = x 2 16941014916
g(x) = –x 2 –16–9–4–10–1–4–9–16
h(x) = –2 x 2 –32–18–8–20–2–8–18–32
Om de grafiek van de functie g(x) = –x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek f (x) = x 2 vermenigvuldigen met –1.
De grafiek van f (x) = x 2 is gespiegeld ten opzichte van de x-as
(x)=–x 2
Om de grafiek van de functie h(x) = –2 ? x 2 te verkrijgen, moet je de y-coördinaat van elk punt van de grafiek f (x) = x 2 vermenigvuldigen met –2
De grafiek van f (x) = x 2 is achtereenvolgens:
• gespiegeld ten opzichte van de x-as;
• verticaal uitgerekt met factor 2
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Algemeen De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r 0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaaluitterekken of samentedrukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek van f (x) = x 2 .
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek van f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, 0).
7.3.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax 2
Voorbeeld
Teken de grafiek van de functie g (x) = 1 4 x 2
a)door de tabel met functiewaarden aan te vullen. xg (x)
b)met behulp van de grafiek van de functie f (x) = x 2
• Duid enkele punten aan op de grafiek van f (x) = x 2. Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, f (x))
• Vermenigvuldig telkens de y-coördinaat van deze punten met a Je verkrijgt punten met coördinaten van de vorm (x, a f (x))
Bij het tekenen van de grafiek van g (x) = 1 4 x 2
vermenigvuldig je de y-coördinaat van de gekozen punten telkens met factor .
REEKS
A
6 Welke tabellen stellen een zuiver kwadratisch verband voor?
Geef een korte verklaring.
a) x 1234 y 2401208060 d) x 5678 y 15182124
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
b) x 1234 y 281832 e) x 5101520 y 120604030
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee c) x 3456 y 3664100144 f) x 57911 y 12,524,540,560,5
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ neezuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
7 Welke grafieken stellen een zuiver kwadratisch verband voor?
Geef een korte verklaring.
zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee zuiver kwadratisch verband: ❒ ja ❒ nee
8 Vervolledig de grafieken van de functie met voorschrift f (x) = ax 2 .
–6–5–4–3–2–1
9 Vul de tabel aan en teken de grafiek van de functie met voorschrift f (x) = –4x 2 . x f (x)
–2,5 –2 –1,5 –1
–0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
–2,5–2–1,5–1–0,5 O 2 –2 –4 –6 –8 –10 –12 –14 –16 –18 –20 –22 –24 –26 0,511,522,5 x y
10 Vul in met ‘smaller dan’, ‘breder dan’ of ‘even breed als’.
a)De opening van de parabool die bij f (x) = 6x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –6x 2 hoort.
b)De opening van de parabool die bij f (x) = –5x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –4x 2 hoort.
c)De opening van de parabool die bij f (x) = 2 3 x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort.
d)De opening van de parabool die bij f (x) = x 2 hoort, is de opening van de parabool die bij f (x) = –x 2 hoort.
11 De grafieken stellen tweedegraadsfuncties voor. Bepaal het voorschrift. a)
12 Met welke factor moet je de grafiek van de functie f samendrukken of uitrekken om de grafiek van de functie g te verkrijgen? Schets de grafiek van g
a) g (x) = 3x 2 c) g (x) = 1 4 x 2 verticale met factor
b) g (x) = –2,5x 2
d) g (x) = –1 5 x 2
verticale met factor verticale met factor
13 Bepaal het functievoorschrift van de vorm f (x) = ax 2 (met a ∈ r0), als
a) het punt A (2, 5) tot de grafiek van de functie behoort.
c) het punt A (–1, 6) tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
b) het punt A –2, 2 3 tot de grafiek van de functie behoort.
d) het punt A 1 3 , –1 tot de grafiek van de functie behoort.
f (x) = f (x) =
14 De remweg van een fiets is de afstand die hij aflegt vanaf het ogenblik dat er geremd wordt, tot het moment waarop hij stilstaat. De remweg is afhankelijk van verschillende factoren: de staat van het wegdek, de snelheid van de fiets enzovoort. De remweg s (in m) voor een welbepaalde fiets wordt gegeven door de functie s (v)= 3 200 v 2 , waarbij v de snelheid van de fiets voorstelt (in km/h).
a)Vul de tabel aan.
b)Teken de grafiek.
c)Op een website over verkeersveiligheid staat dat de remmen worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 14 m. Bereken of de remmen voldoen aan de norm.
d)Voor een andere fiets wordt de remweg gegeven door de functie s (v) = 7 500 ? v 2
Bereken de remweg van die fiets als je weet dat, in identieke omstandigheden en bij een gelijke snelheid, de remweg van de eerste fiets 10 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.
15 Een koorddanser wil voor een evenwichtsstunt een kabel spannen tussen twee gebouwen. De gebouwen zijn even hoog en staan op exact 30 m van elkaar.
De koorddanser vertrekt vanop het eerste gebouw.
Als de koorddanser zich in het midden van de kabel bevindt, zakt de kabel 2,5 m door.
a)Teken een orthonormaal assenstelsel met als oorsprong O bij het midden van de kabel.
b)Bepaal het functievoorschrift van de kabel.
c)Een koorddanser wandelt tot op 5 m voor het tweede gebouw. Hoe ver is de koorddanser dan opnieuw geklommen ten opzichte van het laagste punt? Rond af op 0,01 m.
d)Op welke afstand van het eerste gebouw bevindt de koorddanser zich als de kabel 2 m doorzakt? Rond af op 0,01 m.
Algemeen
Hoe ontstaan de grafieken van g (
uit de grafiek van f (x) = x 2?
De grafiek van h (x) = (x + 1) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar links te verschuiven over een afstand 1.
• p =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van g (x) = (x – 2) 2 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 horizontaal naar rechts te verschuiven over een afstand 2.
• p =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van de functie g (x) = (x – p) 2 ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 horizontaal te verschuiven over een afstand | p |.
• Voor p > 0 wordt de grafiek van f naar rechts verschoven.
• Voor p < 0 wordt de grafiek van f naar links verschoven.
De vergelijking van de symmetrieas is x = p De coördinaat van de top is (p, 0).
7.4.2 Grafiek van de functie f (x) = x 2 + q
Hoe ontstaan de grafieken van g (x) = x 2 + 1 en h (x) = x 2 – 4 uit de grafiek van f (x) = x 2?
q < 0 q > 0
De grafiek van h (x) = x 2 – 4 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar beneden te verschuiven over een afstand 4.
• q =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
De grafiek van g (x) = x 2 + 1 ontstaat door de grafiek van f (x) = x 2 verticaal naar boven te verschuiven over een afstand 1.
• q =
• holle zijde naar ( parabool)
• symmetrieas:
• top:
Algemeen De grafiek van de functie g (x) = x 2 + q ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 verticaal te verschuiven over een afstand | q |.
• Voor q > 0 wordt de grafiek van f naar boven verschoven.
• Voor q < 0 wordt de grafiek van f naar beneden verschoven.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, q).
7.4.3 Grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q
Voorbeeld 1
Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 uit de grafiek met vergelijking y = x 2?
De grafiek met vergelijking y = 1 2 ? (
+ 2) 2 – 2 is een parabool met • holle zijde naar ( parabool)
• opening die van y = x 2
• symmetrieas:
• top:
Voorbeeld 2
Hoe ontstaat de grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 uit de grafiek met vergelijking y = x 2? y = x 2
y = (x – 2) 2
y = –(x – 2) 2
y = –(x – 2) 2 – 3
De grafiek met vergelijking y = –(x – 2) 2 – 3 is een parabool met • holle zijde naar ( parabool)
• opening die van y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• verticale uitrekking (| a | > 1) of samendrukking (| a | < 1)
• spiegeling ten opzichte van de x-as als a < 0
horizontale verschuiving over | p |
• naar rechts als p > 0
• naar links als p < 0
f (x) = x 2
• | a | is omgekeerd evenredig met de openingsbreedte.
• a > 0: dalparabool
(holle zijde naar boven)
• a < 0: bergparabool
(holle zijde naar beneden)
f (x) = a x 2
• symmetrieas: de rechte met vergelijking x = p
• co(top) = (p, 0) f (x) = a ? (
verticale verschuiving over | q |
• naar boven als q > 0
• naar beneden als q < 0
• co(top) = (p, q) f (x) = a ? (x – p) 2 + q
Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q
De grafiek van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q (met a ∈ r0) is een parabool met de volgende kenmerken:
• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p
• De top heeft als coördinaat (p, q).
7.4.4 Gemeenschappelijke punten met de assen
Gemeenschappelijke punten met de x-as
De gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie f (x) = a ? (x – p) 2 + q vind je door de vergelijking a ? (x – p) 2 + q = 0 op te lossen.
Voorbeeld 1
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2
De functie met voorschrift f (x) = –2 (x + 4) 2 heeft één nulwaarde: –4. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x + 4) 2 één punt gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–4, 0).
De parabool raakt de x-as in (–4, 0).
Voorbeeld 2
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12.
De functie met voorschrift f (x) = 3 ? (x + 5) 2 + 12 heeft geen nulwaarden. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = 3 (x + 5) 2 + 12 geen punten gemeenschappelijk heeft met de x-as.
Besluit
Voorbeeld 3
Bepaal de gemeenschappelijke punten met de x-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8.
De functie met voorschrift f (x) = –2 (x – 1) 2 + 8 heeft twee nulwaarden: –1 en 3. Dat houdt in dat de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8 twee punten gemeenschappelijk heeft met de x-as: (–1, 0) en (3, 0).
De parabool snijdt de x-as in (–1, 0) en (3, 0).
Gemeenschappelijk punt met de y-as
Het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie f (x) = a (x – p) 2 + q bepaal je door x gelijk te stellen aan 0.
Voorbeeld
Bepaal het gemeenschappelijk punt met de y-as van de functie met voorschrift f (x) = –2 ? (x – 1) 2 + 8.
De parabool snijdt de y-as in (0, 6).
Een parabool heeft altijd juist één snijpunt met de y-as.
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x – p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.
7.4.5 Modeloefeningen
Modeloefening 1
Vul de kenmerken van de parabool met vergelijking y = 1 3 (x – 4) 2 aan of schrap wat niet correct is.
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
Modeloefening 2
Teken de grafiek van de functie f (x) = –1 2 (x + 3) 2 + 9 2
• vorm van de parabool:
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
• grafiek:
Oefeningen
REEKS A
16 Plaats elke parabool bij de juiste vergelijking en vul aan of schrap.
y = –2x 2 + 8 is grafiek y = 1 2 (x + 2) 2 – 2 is grafiek
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:
• gemeenschappelijk punt met
• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:
y = (x + 1) 2 is grafiek y = –(x – 2) 2 – 3 is grafiek
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met
• dalparabool/bergparabool
• bredere/smallere/zelfde opening als y = x 2
• symmetrieas:
• top:
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as: de x-as:
• gemeenschappelijk punt met
• gemeenschappelijk punt met de y-as: de y-as:
17 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen. Controleer met ICT.
19 Noteer het voorschrift van de tweedegraadsfunctie g, waarvan de grafiek ontstaat door de grafiek van de functie f met voorschrift f (x) = x 2 :
a)te spiegelen ten opzichte van de x-as.
b)3 eenheden te verschuiven naar rechts.
c)verticaal uit te rekken met factor 5 en 2 eenheden te verschuiven naar boven.
d)achtereenvolgens verticaal uit te rekken met factor 2, te spiegelen ten opzichte van de x-as en 3 eenheden te verschuiven naar links.
e)verticaal samen te drukken met factor 3, vervolgens 5 eenheden te verschuiven naar rechts en tot slot 2 eenheden te verschuiven naar beneden.
f)4 eenheden te verschuiven naar rechts en te spiegelen ten opzichte van de x-as.
g)1 eenheid te verschuiven naar boven en te spiegelen ten opzichte van de x-as.
h)verticaal samen te drukken met factor 5, vervolgens 2 eenheden te verschuiven naar links, daarna 3 eenheden te verschuiven naar beneden en tot slot te spiegelen ten opzichte van de x-as.
20 Hoe kan de grafiek van g verkregen worden uit de grafiek van f met voorschrift f (x) = x 2?
a) g (x) = –2 (x + 6) 2
b) g (x) = 3x 2 + 4
c) g (x) = 1 2 ? (x – 1) 2 – 2
d) g (x) = –(x + 3) 2 + 1
e) g (x) = –1 6 x 2 + 4
21 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = –2x 2
b) f (x) = (x – 1) 2
c) f (x) = –1 5 x 2 + 5
d) f (x) = –(x + 7) 2 + 1 4
22 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = 3 ? (x + 4) 2 + 2
b) f (x) = –3 (x + 4) 2 + 12
c) f (x) = 3 4 ? (x – 5) 2 + 1 2
d) f (x) = –5 (x – 5) 2 + 20
23 Teken de grafiek van de functie f (x) = (x – 2) 2 – 4.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
24 Teken de grafiek van de functie f (x) = –2 ? (x – 3) 2 + 8.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
25 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 3 ? (x + 1) 2 + 4 3 .
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
g)grafiek:
26 Een golfer slaat tegen een golfbal. De hoogte h (in m) vandegolfbal kanbeschrevenworden doordefunctie h (x) = –1 720 ? (x –120)2 + 20.
Daarbij is x de horizontale afstand (in m).
a)Na hoeveel meter bereikt de golfbal zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt die hoogte?
b)Op welke hoogte bevindt de bal zich als deze 150 m ver is?
c)Na hoeveel meter belandt de bal terug op de grond?
27 Voor filmopnamen wordt een pop van op de top van de Taipei101 naarbenedengegooid. De hoogte h (in m) van de pop wordt gegeven door de functie h (t) = 509–5t 2
Daarbij is t de tijd (in s).
a)Hoe hoog is het gebouw?
b)Op welke hoogte bevindt de pop zich na 8 s?
c) Na hoeveel seconden bereikt de pop de grond? Rond af op 0,01 s.
28 De Golden Gate Bridge is een hangbrug die San Francisco methetnoordenverbindt. De kabels die tussen twee van de pijlers hangen, vormen bij benadering parabolen met vergelijking y = 0,00039 ? (x –640)2 + 2.
Daarbij is x de afstand tot de linkerpijler en y de hoogte boven het wegdek (beide in m).
a) Op welke hoogte zijn de kabels aan de pijlers bevestigd?
b)Hoe ver staan de pijlers uit elkaar?
c)Op welke afstand van de pijlers hangen de kabels het dichtst bij het wegdek?
Hoe hoog hangen ze op dat punt?
29 Een schip vuurt een kanonskogel af richting een vijandelijk schip.
De hoogte h (in m) van de kanonskogel kan beschreven worden door de functie h (t) = –5 (t –7 2 ) 2 + 76.
Daarbij is t de tijd (in s) na het afvuren van de kogel.
a)Vul de tabel aan.
t (s) 01234567 h (m)
b) Wanneer bereikt de kanonskogel zijn maximale hoogte? Hoeveel bedraagt diehoogte?
c) Na hoeveel seconden bereikt de kanonskogel zijn doel, als je weet dat de kanonskogel hetvijandelijkschip raakt opeenhoogtevan12m? Rondafop0,01s.
7.5.1 Inleiding
Voorbeeld
f (x) = 2x 2 + x – 1
GEOGEBRA
Je zet het functievoorschrift in de vorm f (x) = a (x – p) 2 + q
f (x) = 2x 2 + x – 1 factor 2 afzonderen
f (x) = 2 x 2 + 1 2 x –1 2 dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met 1 4 2
f (x) = 2 x 2 + 2 1 4 x + 1 4 2 –1 4 2 –1 2 als een kwadraat van een tweeterm schrijven
f (x) = 2 x + 1 4 2 –1 16 –1 2
f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 16 distributiviteit
f (x) = 2 x + 1 4 2 –9 8
Vaststellingen
• vorm van de parabool:
❒ dalparabool ❒ bredere opening dan f (x) = x 2
❒ bergparabool
• symmetrieas:
• top:
❒ smallere opening dan f (x) = x 2
❒ zelfde opening als f (x) = x 2
• gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
• gemeenschappelijk punt met de y-as:
GEOGEBRA
Je zet het functievoorschrift f (x) = ax 2 + bx + c in de vorm f (x) = a ? (x – p) 2 + q
f (x ) = ax 2 + bx + c
f (x ) = a x
f (
f (x ) = a x
f (x ) = a
Dit voorschrift is van de vorm
Besluit Kenmerken van de grafiek van de functie
• a > 0: dalparabool a < 0: bergparabool
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De top heeft als coördinaat –b 2a ,–D 4a
factor als een kwadraat van een tweeterm schrijven
dubbel product zichtbaar maken en het functievoorschrift vermeerderen en verminderen met a afzonderen b 2a 2
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b 2a
De y-coördinaat van de top kun je ook bepalen door f –b 2a te berekenen.
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).
Opmerking
Als er twee nulwaarden zijn, dan is de x-coördinaat van de top het gemiddelde van die nulwaarden. Dat betekent ook dat de top samenvalt met het raakpunt met de x-as als D = 0.
7.5.3 Overzicht van de verschillende gevallen
• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2
De grafiek snijdt de x-as in de punten A(x1, 0) en B(x2, 0).
• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a
De grafiek raakt de x-as in het punt A(x1, 0).
• D < 0: f heeft geen nulwaarden.
De grafiek heeft geen gemeenschappelijke punten met de x-as.
De parameters p en q bepalen door het functievoorschrift uit te werken
7.5.4 De grafiek tekenen van de functie f (x) = ax² + bx + c
Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 – 2x – 3.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
• methode 1: D = = –D 4a = co(top) =
• methode 2: f ( ) = co(top) =
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten: top x
REEKS A
30 Bepaal de vorm (berg- of dalparabool), de opening (smallere, bredere of zelfde opening als de parabool y = x 2), de symmetrieas en de top van de parabolen.
a) y = x 2 – 6x + 2
vorm:
opening:
c) y = 2x 2 – 8x + 7
vorm:
opening:
symmetrieas: symmetrieas:
top: top:
top: top:
b) y = –x 2 + 2x – 5
vorm:
opening:
d) y = –1 2 x 2 + 3x
vorm:
opening:
symmetrieas: symmetrieas:
top: top: top: top:
31 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = x 2 – 5x
c) f (x) = –1 3 x 2 + 2x
b) f (x) = –x 2 + 5x – 10
d) f (x) = 3x 2 + x – 4
32 Teken de grafiek van de functie f (x) = –x 2 + 6x + 7.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
–6–8–10–4–2 21–61412101864 O
33 Teken de grafiek van de functie f (x) = x 2 + 2x + 1.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
g)grafiek:
34 Teken de grafiek van de functie f (x) = 1 2 x 2 + 4x – 1.
a)vorm van de parabool:
b)symmetrieas:
c)top:
d)gemeenschappelijk(e) punt(en) met de x-as:
e)gemeenschappelijk punt met de y-as:
f)bijkomende punten:
g)grafiek:
35 Bepaal de symmetrieas en de top van de parabolen.
a) y = –x 2 + x – 3
c) y = 2 3 x 2 – 5x
symmetrieas: symmetrieas:
top: top: top: top: top: top:
b) y = x 2 + 7x + 6
d) y = –7 4 x 2 + 1 2 x – 3
symmetrieas: symmetrieas:
top: top: top: top: top: top:
36 Bereken de gemeenschappelijke punten met de x-as en de y-as.
a) f (x) = –12x 2 – 20x + 25
c) f (x) = –5 2 x 2 + x + 2 3
b) f (x) = 3x 2 + 6x + 2 d) f (x) = 1 25 x 2 –6 5 x + 9
a) y = x 2 + 3x + 4
b) y = x 2 + 3x + 2
c) y = 1 2 x 2 + 3x + 4
d) y = 1 2 x 2 + 3x
e) y = –x 2 + 4x
f) y = –x 2 + 4x – 4
38 Welke van de vijf parabolen is de grafiek van een kwadratische functie f (x) = ax 2 + bx + c, waarbij alle drie de getallen a, b en c strikt positief zijn?
39 Op welke figuur is een deel van de grafiek van y = (10 – x) 2 + 10 te zien? ( staat telkens voor het punt (10, 10).)
40 Gegeven: de functie f (x ) = x 2 + 3. Als –2 < x < 3, dan is …
⩽ f (x) < 12B)3 < f (x) < 12C)–1
7.5.6 Een trendlijn tekenen met behulp van ICT
Het zuiver kwadratisch verband
De remafstand r (in m) van een wagen is de afstand die je aflegt nadat je het rempedaal volledig hebt ingeduwd. De remafstand is onder meer afhankelijk van de staat van het wegdek, maar vooral ook van de snelheid v (in m/s) van de wagen.
Bij een test met een welbepaalde wagen verkreeg men de volgende resultaten:
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk
De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen r en v is dus waarschijnlijk een zuiver kwadratisch verband.
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a)Bepaal via regressie het verband tussen de remafstand r (in m) en de snelheid v (in m/s).
b)Hoeveel bedraagt de remafstand r als je 28 m/s rijdt?
c)Bij welke snelheid verkrijg je een remafstand van 60 m? Rond af op 0,1 m/s.
Het kwadratisch verband
Elk half uur wordt de concentratie (in mg/l) gemeten van een geneesmiddel toegediend in het bloed van een patiënt. De meetresultaten staan in de tabel.
tijd t (h)00,511,522,5
concentratie C (mg/l)0691061118425
Je kunt de gegevens voorstellen met een spreidingsdiagram of puntenwolk.
Je ziet dat de concentratie eerst stijgt naar een maximale waarde en daarna weer daalt tot 0.
De punten liggen, bij benadering, op een parabool waarvan de top niet samenvalt met de oorsprong. Het verband tussen C en t noem je een kwadratisch verband
Om dat verband te vinden, teken je met ICT een trendlijn (regressielijn) door de punten.
a)Bepaal via regressie het verband tussen de concentratie C (in mg/l) en de tijd t (in h).
b) Wat is de concentratie van het geneesmiddel in het bloed na 1 h 15 min?
c)Na hoeveel minuten is de concentratie het hoogst? Rond af op 1 min. Bepaal die maximale concentratie. Rond af op 0,01 mg/l.
Oefeningen
REEKS A
41 Een klein familiebedrijf werd in 2017 opgestart en groeide langzaam uit tot een bedrijf met ondertussen vijftien werknemers. In de tabel vind je de winstcijfers per jaar. 201720182019202020212022
aantal jaren x na opstart012345 winst w (euro) 01 3305 32011 97021 28033 250 a)Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen de winst w en het aantal jaren x na de opstart.
b)Hoeveel zal, in de veronderstelling dat deze trend aanhoudt, de winst bedragen in 2030?
Een bewegend voertuig, zoals een fiets, auto of vliegtuig, ondervindt bijna altijd luchtweerstand. Bij het bewegen stroomt de lucht langs het voertuig. Het voertuig botst als het ware voortdurend tegen de lucht aan.
Op het voertuig wordt dan een luchtwrijvingskracht F w uitgeoefend die de beweging tegenwerkt.
Hoe groter die luchtwrijvingskracht is, hoe groter het brandstofverbruik is van het voertuig, of, in het geval van een fiets, hoe meer moeite je zelf moet doen om in beweging te blijven.
Het is dus van belang om de luchtwrijvingskracht op een voertuig zo klein mogelijk te maken. Die wordt gemeten als functie van de snelheid v met modelvoertuigen in een windtunnel.
42 Bij een proef wordt de luchtwrijvingskracht F w (in N) gemeten bij verschillende snelheden v (in m/s). De resultaten vind je in de tabel.
a)Bepaal via regressie het (zuiver kwadratisch) verband tussen F W (in N) en de snelheid v (in m/s).
b)Vanaf welke snelheid (in km/h) is de luchtweerstand groter dan 750 N? Rond af op 0,1 km/h.
1 m/s komt overeen met 3,6 km/h.
Om de eenheid m/s om te zetten naar km/h, vermenigvuldig je met factor 3,6. Om de eenheid km/h om te zetten naar m/s, deel je door factor 3,6.
1 m/s = 1 m 1 s = 1 1 000 km 1 3 600 h = 1 1 000 3 600 1 km/h = 3 600 1
Een ramp wordt gebruikt om te skateboarden, skaten, snowboarden, skiën … Je vindt ze in alle maten en gewichten.
Een halfpipe is een halfcilindervormige baan.
Een vert ramp is een soort van halfpipe, meestal rond de vier à vijf meter hoog, waarbij het bovenste stuk onder de coping (het ijzeren gedeelte bovenaan de rand) verticaal omhooggaat.
43 Een ramp heeft de vorm van een parabool. In de tabel vind je de hoogte h (in m) van de ramp in functie van de afstand s (in m), gemeten tot het centrum van de ramp.
s (m)1,21,62,02,42,83,2 h (m)0,180,320,500,720,981,28
a)Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen de hoogte h (in m) en de afstand s (in m) tot het centrum.
b)Bepaal de hoogte van de ramp op 4,2 m van het centrum. Rond af op 0,01 m.
c)Bepaal de lengte van de ramp, als je weet dat de maximumhoogte 3 m bedraagt. Rond af op 0,01 m.
44 De tabel toont het verband tussen het aantal verkeersongevallen n in België in een periode van vijf jaar en de leeftijd van de betrokkene x (x ⩾ 18). x 18
n 2 9362 6102 2231 8151 2551 035
a)Bepaal via regressie het (eventueel zuiver) kwadratisch verband tussen het aantal verkeersongevallen n en de leeftijd van de betrokkene x
b)Op welke leeftijd is het aantal ongevallen het laagst? Hoeveel ongevallen zijn er met mensen van die leeftijd?
45 Bij kogelstoten is het de bedoeling om een metalen bal zo ver mogelijk van de kogelstoter de grond te laten raken. De tabel geeft de hoogte h van de kogel weer (in m) in functie van de horizontale afstand x (in m) van de kogel tot de atleet tijdens een welbepaalde worp.
x (m) h (m)
54,81
7,55,36 105,38
12,54,86 153,81
17,52,21
a)Bepaal via regressie het verband tussen de hoogte h (in m) van de kogel en de horizontale afstand x (in m).
b)Na hoeveel meter valt de kogel op de grond? Rond af op 0,01 m.
46 Op een drukke dag moet je soms lang wachten voordat je toegang hebt toteenattractie ineenpretpark. De tabel geeft een overzicht van hetaantalmensen n indewachtrij vooreenachtbaan op eenbepaaldtijdstip t (inh). t (h)1112131415 n 282361405406364
a)Bepaal via regressie het verband tussen het aantal mensen n indewachtrij en hettijdstip t (inh).
b)Op welk tijdstip stonden er de meeste mensen in de wachtrij? Rond af op 1 min.
c)Hoeveel mensen stonden er op dat moment?
d)Om hoe laat gaat het pretpark open? En wat is het sluitingsuur? Verklaar.
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
7.6.1 Verloop van een tweedegraadsfunctie
Stel: f is een tweedegraadsfunctie. a > 0
De grafiek is een dalparabool. De grafiek is een bergparabool.
• Als x < xT , daalt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden kleiner).
• Als x > xT , stijgt de functie (als de x-waarden groter worden, worden de y-waarden groter).
• De functie f bereikt een minimale waarde als x = xT . Die waarde is yT
• Als x < xT , stijgt de functie.
• Als x > xT , daalt de functie.
• De functie f bereikt een maximale waarde als x = xT . Die waarde is yT
Het domein van een tweedegraadsfunctie is altijd r
Om het bereik van een tweedegraadsfunctie te bepalen, kun je het verloopschema gebruiken:
Als a > 0 geldt:ber f = [yT ,+∞[
Als a < 0 geldt:ber f = ]–∞,yT]
Voorbeelden
Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.
a) f (x) = –x 2 + 2
c) f (x) = 1 2 x 2 – 4x + 2
x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
b) f (x) = –3x 2 + x
d) f (x) = 5 4 (x + 3) 2 + 5
f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
7.6.2 Toepassing: extremumvraagstukken
Modeloefening 1 y x Een firma vervaardigt machinaal schalen waarvan de dwarse doorsnede een parabool is. Daarvoor gebruikt de firma de formule y = 2 45 x 2 –4 3 x, waarbij x de afstand (in cm) is tot de linkerboord en y de diepte (in cm) op x cm van de linkerboord. Je verwaarloost de dikte van de schaal.
Bepaal de maximale diepte van de schaal.
GEOGEBRA x f
Antwoord:
Modeloefening 2
Dieter en Bart beslissen een terras aan hun pas gekochte woning te laten aanleggen. Ze twijfelen echter nog over de afmetingen.
Daarom geven ze een tuinarchitect de opdracht om met 32 m boordstenen een zo groot mogelijk rechthoekig terras te ontwerpen.
Bepaal de lengte en de breedte, als je weet dat de oppervlakte van het terras maximaal moet zijn.
Stel: de breedte van het terras is x; de lengte is dan x
Antwoord:
Modeloefening 3
Anoosh en zijn buurjongen Michael gooien beiden een bal vanuit het raam van hun slaapkamer. De bal van Anoosh volgt een parabolische baan met vergelijking h = –5t 2 + 9t + 5.
De vergelijking van de baan van de bal van Michael is h = –5t 2 + 7t + 6.
Daarbij is h de hoogte (in m) en t de tijd (in s) vanaf het moment dat de bal wordt losgelaten.
a)Vanop welke hoogte worden beide ballen gegooid?
Antwoord:
b) Welke bal bereikt de grootste hoogte? Na hoeveel seconden is dat? t h t h
Antwoord:
Oefeningen
REEKS A
47 Bepaal het verloop van de tweedegraadsfuncties. Vul daarna het domein en het bereik aan.
a) f (x) = –2x 2 + 6
d) f (x) = 3 ? (x + 5) 2 – 4
x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
b) f (x) = x 2 + 6x e) f (x) = –x 2 + 7x – 2 x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
c) f (x) = 1 2 x 2 – x + 3 f) f (x) = 3 2 x –1 3 2 x f x f
dom f = ber f = dom f = ber f =
48 De dwarse doorsnede van een rivierbedding is paraboolvormig. De diepte van de rivier kan worden benaderd met de formule y = x 2 – 6x. Daarbij is y de diepte (in m) en x de afstand tot de linkeroever (in m).
a)Op hoeveel meter van de linkeroever is de rivier het diepst? Hoe diep is dat?
b) Hoe breed is de rivier?
49 De dwarse doorsnede van een heuvel kan benaderd worden door de parabool met vergelijking y = –1 32 x 2 + 1 2 x. Daarbij is x de horizontale afstand (in hm) en y de hoogte (in hm).
a)Hoe hoog is de heuvel?
b)Bereken het gemiddelde stijgingspercentage van de voet tot de top.
50 Het aantal T-shirts q van een bepaald merk dat een kledingzaak per week verkoopt, wordt gegeven door de formule q = 100 – 2p. Daarbij is p de prijs per stuk (in euro).
a)Vanaf welke prijs verkopen ze geen T-shirts meer?
b) Stel de functie op die de wekelijkse opbrengst van de T-shirts geeft in functie van de prijs.
O(p) = p ? q = =
c) Welke prijs moeten ze vragen om een maximale opbrengst te verkrijgen?
Hoeveel T-shirts verkopen ze dan per week?
51 Een voetbalspeler staat op 10 m van het doel en wordt aangespeeld.
Hij neemt de bal ‘in de vlucht’ (dat wil zeggen dat de bal de grond niet raakt) en schiet op doel.
De bal volgt een parabolische baan met vergelijking y = –1 12 x 2 + x + 1.
Daarbij is y de hoogte van de bal (in m) op x meter van het vertrekpunt.
a)Op welke hoogte neemt de speler de bal aan?
b)Een doel is 2,44 m hoog. Zal de bal in het doel terechtkomen, als de keeper er niet bij kan?
c) Wat is de maximale hoogte van de bal?
52 Bepaal twee reële getallen waarvan de som 22 is, zodat hun product zo groot mogelijk is.
53 Bepaal twee reële getallen waarvan het verschil 6 is, zodat hun product zo klein mogelijk is.
54 Een rechthoek heeft een omtrek van 80 m.
Bepaal de lengte en de breedte zodat de oppervlakte maximaal is. Bereken die oppervlakte.
55 In een vierkant met zijde 10 cm wordt op elke zijde x cm afgepast, zodat een ingeschreven vierkant ontstaat.
Bepaal x zodat de oppervlakte van het ingeschreven vierkant minimaal is.
Bepaal die oppervlakte.
56 Amir heeft nog 60 m gaas liggen en wil daarmee achteraan in zijn tuin een kippenren en een konijnenhok maken in de vorm van een rechthoek.
Hij heeft het geluk dat zijn tuin grenst aan een kanaal.
Bepaal de totale lengte en breedte van het stuk dat hij kan afbakenen, als hij de oppervlakte A zo groot mogelijk wil.
57 Boer Tom wil een stuk van zijn weiland indelen in vier rechthoekige stukken, zoals aangegeven op de figuur. Hij heeft daarvoor 640 m draad aangekocht. Bij welke afmetingen verkrijgt boer Tom de grootst mogelijke oppervlakte?
58 Voor een optreden in Sportpaleis Antwerpen zijn er 15 000 tickets te verkrijgen. Vorig jaar was de kostprijs per ticket 40 euro en waren de tickets in een mum van tijd uitverkocht. De organisator weet dat per euro dat het ticket duurder wordt, er telkens 250 tickets minder verkocht worden. Bij welke ticketprijs zullen de inkomsten het grootst zijn?
7.6.3 Tekenschema van een tweedegraadsfunctie
Stel: f is een tweedegraadsfunctie.
Dan: f (x) > 0 als de grafiek van f boven de x-as ligt.
f (x) < 0 als de grafiek van f onder de x-as ligt.
f (x) = 0 als de grafiek van f een gemeenschappelijk punt heeft met de x-as.
• D > 0: f heeft twee verschillende nulwaarden: x1 = –b – D 2a en x2 = –b + D 2a . Stel: x1 < x2.
f (x )tekenvan a 0tegengesteldtekenvan a 0tekenvan a
• D = 0: f heeft twee samenvallende nulwaarden: x1 = x2 = –b 2a
f (x )tekenvan a 0tekenvan a
• D < 0: f heeft geen nulwaarden.
Voorbeeld 1
f (x) = –3x 2 + x + 2 x f (x) –4–3–2–1 O 4 3
Voorbeeld 2
f (x) = 2x 2 + 3x + 2
)
Voorbeeld 3
f (x) = –25x 2 + 30x – 9 x f (x)
Oefeningen
REEKS A
59 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.
a) f (x) = 2x 2 – 7x – 30
x f (x)
b) f (x) = 16x 2 – 24x + 9
x f (x)
c) f (x) = –6x 2 + 11x + 7
x f (x)
d) f (x) = –3x 2 + 2x – 1
x f (x)
60 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.
a) f (x) = –4x 2 – 16x – 16 x f (x)
b) f (x) = 8x 2 – 8x + 1
x f (x)
c) f (x) = 3x 2 + 9x + 7
x f (x)
d) f (x) = –15x 2 – 10x + 30
x f (x)
61 Bepaal het tekenschema van de tweedegraadsfuncties.
a) f (x) = (x – 1) 2 – 9 x f (x)
b) f (x) = –(x + 2) 2 – 6 x f (x)
c) f (x) = 1 3 x 2 + x + 2 3 x f (x)
d) f (x) = –1 12 x 2 + 4x + 2 x f (x)
7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen
7.7.1
Een tweedegraadsvergelijking oplossen
Definitie Tweedegraadsvergelijking
Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeeld 1
–2x 2 + 3x + 2 = 0
GEOGEBRA
In deze paragraaf onderzoek je hoe je die oplossing grafisch kunt aflezen.
• Het linkerlid van de vergelijking –2x 2 + 3x + 2 = 0 bekijk je als een functievoorschrift: f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
• Je tekent de grafiek van f :
• De x-waarden waarvoor f (x) = 0, zijn van de functie f In dit geval zijn dat en
• De oplossingsverzameling is V =
GEOGEBRA
Voorbeeld 2
3x 2 – x – 2 = –x + 1
methode 1
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = 3x 2 – x – 2 en
het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –x + 1.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) = g (x).
De oplossingsverzameling is
V =
methode 2
Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 = –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 = 0
⇔ 3x 2 – 3 = 0
Stel: h (x) = 3x 2 – 3
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) = 0.
De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h
De oplossingsverzameling is
V =
Voorbeeld 3
x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5
methode 1
Het linkerlid van de vergelijking bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –2x 2 + x + 5.
Je tekent de grafieken van f en g:
–5–4–3–2–1
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) = g (x).
De oplossingsverzameling is V =
methode 2
Je brengt de vergelijking terug tot de standaardvorm.
x 2 + 4x – 1 = –2x 2 + x + 5
⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 = 0
⇔ 3x 2 + 3x – 6 = 0
Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6
Je tekent de grafiek van h:
hy
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) = 0.
De oplossingen van de vergelijking komen overeen met de nulwaarden van de functie h
De oplossingsverzameling is V =
7.7.2 Een tweedegraadsongelijkheid oplossen
Definitie Tweedegraadsongelijkheid
Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm
ax 2 + bx + c ⩽ 0;
ax 2 + bx + c < 0;
ax 2 + bx + c ⩾ 0;
ax 2 + bx + c > 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Voorbeeld 1
–2x 2 + 3x + 2 > 0
V = GEOGEBRA
grafische oplossing
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
Je tekent de grafiek van f:
algebraïsche oplossing
Stel: f (x) = –2x 2 + 3x + 2
Je maakt een tekenschema van de functie f (x) = –2x 2 + 3x + 2.
De nulwaarden van f:
–2x 2 + 3x + 2 = 0
D = 3 2 – 4 ? (–2) ? 2 = 25
Je leest op de grafiek af voor welke x-waarden f (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van f boven de x-as ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden f (x) > 0.
De oplossingsverzameling is
GEOGEBRA
Voorbeeld 2
3x 2 – x – 2 > –x + 1
Grafische oplossing:
methode 1
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = 3x 2 – x – 2 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –x + 1.
Je tekent de grafieken van f en g:
methode 2
Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 > –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0
⇔ 3x 2 – 3 > 0
Stel: h (x) = 3x 2 – 3
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) > g (x), dus voor welke
x-waarden de grafiek van f boven die van g ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) > 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h boven de x-as ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
GEOGEBRA
Algebraïsche oplossing:
• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
3x 2 – x – 2 > –x + 1
⇔ 3x 2 – x – 2 + x – 1 > 0
⇔ 3x 2 – 3 > 0
• Stel: h (x) = 3x 2 – 3
• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) = 3x 2 – 3.
De nulwaarden van h:
3x 2 – 3 = 0 beide leden delen door 3
x 2 – 1 = 0
x 2 = 1
x = –1of x = 1
• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) > 0.
De oplossingsverzameling is V =
Je kan de oplossing controleren met ICT:
Voorbeeld 3
x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5
Grafische oplossing: methode 1 methode 2
Het linkerlid van de ongelijkheid bekijk je als een functievoorschrift
f (x) = x 2 + 4x – 1 en het rechterlid als een functievoorschrift
g (x) = –2x 2 + x + 5.
Je tekent de grafieken van f en g:
Je leest op de grafieken af voor welke
x-waarden f (x) ⩽ g (x), dus voor welke
x-waarden de grafiek van f onder of op die van g ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
x 2 + 4x – 1 ⩽ –2x 2 + x + 5
⇔ x 2 + 4x – 1 + 2x 2 – x – 5 ⩽ 0
⇔ 3x 2 + 3x – 6 ⩽ 0
Stel: h (x) = 3x 2 + 3x – 6
Je tekent de grafiek van h:
Je leest op de grafiek af voor welke
x-waarden h (x) ⩽ 0, dus voor welke x-waarden de grafiek van h onder of op de x-as ligt.
De oplossingsverzameling is
V =
GEOGEBRA
Algebraïsche oplossing:
• Je brengt de ongelijkheid terug tot de standaardvorm.
• Stel: h (x) =
• Je maakt een tekenschema van de functie h (x) =
De nulwaarden van h:
• Je leest in het tekenschema af voor welke x-waarden h (x) ⩽ 0.
De oplossingsverzameling is V =
Je kan de oplossing controleren met ICT:
REEKS A
62 Los de vergelijkingen grafisch op.
a) x 2 + 2x – 3 = 0 c)–x 2 + 3x + 4 = 2x – 2
Stel: f (x) =
Stel: f (x) = g (x) =
= V = b) x 2 + 3x + 1 = –x 2 + 4x + 2
Stel: f (x) =
Stel: f (x) = g (x) = g (x) =
63 Los de vergelijkingen grafisch op met behulp van ICT.
a)5x 2 – 8x = 0 V =
x 2 – 3x = 1 + 3x V = b)4 + 81x 2 = 0 V
e)4x 2 – 3x + 10 = x 2 + 10x – 2 V = c)–6x 2 + 12x + 10 = 3x – 5 V =
x 2 + x – 3 = x 2 + 5x + 2 V =
a) x 2 – 5x + 6 ⩽ 0 d) x 2 – 8x + 16 > 0
Stel: f (x) =
Stel: f (x) =
Stel: f (x) =
Stel: f (x) =
Stel: f (x) = Stel: f (x) =
65 Los de ongelijkheden algebraïsch op. Controleer met ICT.
a)–x 2 + 3x < 0
Stel: f (x) =
d)3x 2 + 2x + 2 < 0
Stel: f (x) =
Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:
Tekenschema:
f (x)
Tekenschema:
f (x) V = V =
b)2x 2 – x – 1 ⩽ 0
Stel: f (x) =
e)–3x 2 + 4x – 1 ⩽ 0
Stel: f (x) = Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:
Tekenschema: x
f (x)
Tekenschema: x f (x) V = V =
c)–4x 2 + 4x – 1 ⩾ 0
Stel: f (x) =
f)9x 2 – 24x + 16 < 0
Stel: f (x) = Nulwaarden van f: Nulwaarden van f:
Tekenschema: x
f (x)
Tekenschema: x f (x)
V = V =
66 Los de ongelijkheden grafisch op.
a) x 2 – 4 ⩽ –3x 2 + 12
Stel: f (x) =
c)–2x 2 + 8x ⩾ 3x + 2
Stel: f (x) =
g (x) = g (x) =
Stel: f (x) =
Stel: f (x) =
67 Los de ongelijkheden algebraïsch op. Controleer met ICT. a)–5x 2 + 4x – 1 > –4x + 1 c) 3 2 x 2 – x + 1 2 > x 2
Tekenschema:
h(x)
Tekenschema:
h(x) V = V = b) –2 (x + 5) 2 + 8 ⩾ –4x – 18 d) –5 4 x 2 + 3 8 x ⩽ 1
Tekenschema: x h(x)
Tekenschema: x h(x) V = V =
68 Een bal wordt schuin omhooggegooid. De hoogte (in m) van de bal na t seconden wordt gegeven door de functie h (t) = –5t 2 + 9t + 1.
Hoelang zal de bal zich op een hoogte van meer dan 3 m bevinden? Rond af op 0,01.
1 promille is 1 duizendste deel en betekent letterlijk: per duizend. Een promille wordt genoteerd als ‰. Daarbij komt 1 ‰ overeen met 0,1 %.
69 Het aantal promille n (x) geboortes bij vrouwen die x jaar oud zijn, wordt gegeven door de functie n (x) = –0,478x 2 + 25,387x – 221,48.
a) Op welke leeftijd worden er relatief de meeste kinderen geboren? Hoeveel promille? Rond af op 0,01.
b)Tussen welke leeftijden worden er meer dan 75 kinderen geboren per 1 000 vrouwen?
70 Een rechthoek heeft een omtrek van 50 m. Bereken de lengte en de breedte opdat de oppervlakte minstens 100 m 2 is.
71 Bereken de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek waarvan de ene rechthoekszijde 2 cm langer is dan de andere rechthoekszijde en de schuine zijde minstens 10 cm is.
72 Een bedrijf produceert computerspelletjes.
De maandelijkse opbrengst (in euro) die ze maken als ze x spelletjes verkopen, wordt gegeven door de functie O (x) = –0,15x 2 + 102x.
De maandelijkse kost om x spelletjes te produceren, is K (x) = 30x + 2 500. Hoeveel spelletjes moeten ze verkopen om winst te maken?
REEKS C
73 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 1) ? x + m 2 = 0 twee verschillende oplossingen?
74 Voor welke waarden van m heeft de vergelijking x 2 + (3m – 2) ? x + (m 2 + 4m + 1) = 0 geen reële oplossingen?
75 De grafiek van de parabool met vergelijking y = mx 2 + 2x + m ligt volledig onder de x-as als en slechts als … A) m < –1B) m < 0C)–1 < m < 0D)| m | > 1E) m > 1
VWO, editie 2006, eerste ronde
7.8 De vergelijking van een parabool opstellen
7.8.1 De top en een punt zijn gegeven
Voorbeeld 1
Van een parabool zijn de top T (–3, 2) en een punt A (3, 14) gekend. Bepaal de vergelijking van de parabool.
GEOGEBRA
Oplossing:
De parabool heeft als vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q
• co(T ) = (p, q) = (–3, 2) ⇒ p = –3 en q = 2.
• A(3, 14) behoort tot de parabool.
De vergelijking is dus: y = a (x + 3) 2 + 2.
De vergelijking van de parabool is dus: y = 1 3 (x + 3) 2 + 2.
Voorbeeld 2
De Berliner Bogen is een modern kantoorgebouw in Hamburg.
De glazen voorgevel heeft een parabolische vorm en is 72 m breed en 36 m hoog.
a)Bepaal de vergelijking van de voorgevel.
b)Bereken de hoogte van de gevel op 10 m van de linkerkant van het gebouw. Rond af op 0,01 m.
c)Hoe breed is de gevel 5 m boven de grond? Rond af op 0,01 m.
Opmerking
Als de top T(xT ,yT) gegeven is en een punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan xT + 1 , dan kan je de parameter a in het functievoorschrift ook op een andere manier bepalen.
Voorbeeld 1 f (x) = –3
Vul de tabel aan. x 012 f (x)
Bepaal de verandering van de functiewaarde als de x-coördinaat van de top met 1 toeneemt.
De vergelijking van de parabool is De vergelijking van de parabool is
Werk de vergelijking uit die je verkrijgt met methode 1.
Je verkrijgt dezelfde vergelijking als met methode 2.
7.8.3 Drie punten zijn gegeven
Twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as zijn gegeven
Voorbeeld
Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–2, –9), B (1, 6) en C (0, 7) behoren.
Oplossing:
Omdat de coördinaat van het snijpunt met de y-as gegeven is, gebruik je de vergelijking y = ax 2 + bx + c
• C (0, 7) is het snijpunt met de y-as ⇒ c = 7
De vergelijking is dus y = ax 2 + bx + 7
• A(–2, –9) behoort tot de parabool:
a (–2)2 + b (–2) + 7 = –9
4a – 2b + 7 = –9
4a – 2b = –16
• B(1, 6) behoort tot de parabool:
a 12 + b 1 + 7 = 6
a + b + 7 = 6
a + b = –1
Om a en b te bepalen, los je het stelsel op:
4a – 2b = –16
a + b = –1
De vergelijking van de parabool is
Besluit
Een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as zijn gegeven
Inleiding
• Teken met ICT de grafiek van de functie f (x) = –4x2 – 20x – 24.
• Lees de gemeenschappelijke punten af met de x-as: en
• Wat kan je hieruit besluiten?
• Teken met ICT de grafiek van de functie g(x) = –4 ? (x + 3) ? (x + 2).
• Wat valt je op?
• Werk verder uit:
g(x) = –4 ? (x + 3) ? (x + 2)
Algemeen
Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt:
f (x) = a (x – x1 ) (x – x2 ) distributiviteit
f (x) = a ? (x 2 – x ? x2 – x1 ? x + x1 ? x2 ) de factor x afzonderen
f (x) = a [x 2 – x (x2 + x1) + x1 x2 ]
f (x) = a ? (x 2 – S ? x + P)
S = x1 + x2 en P = x1 x2
S = –b a en P = c a
f (x) = a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 x 2 + b a x + c a 2 x 2 + 1 2 x –1 2 distributiviteit
f (x) = ax 2 + bx + c
Als x1 en x2 oplossingen zijn van de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b,c ∈ r), dan geldt: f (x) = a ? (x – x1 ) ? (x – x2 ) = ax 2 + bx + c.
Voorbeeld
Bepaal de vergelijking van de parabool waartoe de punten A (–5, 0), B (–1, 0) en C (3, 8) behoren.
Oplossing:
Omdat de coördinaten van de snijpunten met de x-as gegeven zijn, gebruik je de vergelijking y = a (x – x1 ) (x – x2 ).
• A (–5, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x1 = –5
• B (–1, 0) is een snijpunt met de x-as ⇒ x2 = –1
De vergelijking is dus y = a (x + 5) (x + 1)
• C (3, 8) behoort tot de parabool:
De vergelijking van de parabool is
Opmerking
Als de snijpunten met de x-as gegeven zijn, kan je ook de vergelijking van de symmetrieas opstellen.
Je weet dat de symmetrieas van de parabool de middelloodlijn is van het lijnstuk [AB] met A (–5, 0) en B (–1, 0).
De vergelijking van de symmetrieas is dan x = –5 – 1 2 = –3.
Je gebruikt dan de werkwijze beschreven in paragraaf 7.8.2.
Drie willekeurige punten zijn gegeven
Voorbeeld 1
Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (3, 0), B (1, 6) en C (5, 2) bevat.
Oplossing:
Je kunt de punten voorstellen in een assenstelsel.
Met behulp van kwadratische regressie vind je de vergelijking van de parabool:
Voorbeeld 2
Een hangbrug over een rivier verbindt twee punten die op dezelfde hoogte liggen.
De hangbrug heeft bij benadering de vorm van een parabool.
Om de vergelijking van die parabool te bepalen, zijn enkele metingen gedaan.
Daarbij stelt x de afstand voor (in m) vanaf het begin van de brug en h de hoogte (in m) boven het water. xh 23 32,75 52,55
a)Bepaal via kwadratische regressie de vergelijking van de parabool.
b)Bepaal met ICT op hoeveel meter boven het water het laagste punt van de brug zich bevindt.
c)Bepaal met ICT de lengte van de brug.
REEKS A
76 Bepaal de waarde van a in het functievoorschrift van de tweedegraadsfuncties. a)
77 Bepaal de vergelijking van de parabolen met top T, die het punt A bevatten.
a)co(T) = (0, 0)co(A) = (1, 2)
e)co(T) = (–3, –8)co(A) = (3, 10)
b)co(T) = (0, 3) co(A) = (1, 2)
f)co(T) = (2, –5)co(A) = (0, 7)
c)co(T) = (–4, 0)co(A) = (–1, 9)
g)co(T) = (–3, 3) co(A) = (–6, 0)
d)co(T) = (2, 5) co(A) = (4, 1)
h)co(T) = (5, 18) co(A) = (7, 34)
79 Bepaal de vergelijking van de parabolen.
De vergelijking van de parabool is b)
De vergelijking van de parabool is
80 Bepaal de vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = 0 is en waartoe de punten A (–2, –7) en B (1, 2) behoren.
De vergelijking van de parabool is
81 Bepaal de vergelijking y = ax 2 + bx + c van de parabool, waarvan de symmetrieas s de rechte x = –3 is en waartoe de punten A (–6, –1) en B (3, 8) behoren.
De vergelijking van de parabool is
82 De dwarse doorsnede van een rivierbedding heeft de vorm van een parabool. De rivier is 15 m breed en heeft een maximale diepte van 8 m.
a)Bepaal de vergelijking van de parabool, waarbij x de afstand is tot de linkeroever en y de diepte (beide in m).
b)Hoe diep is de rivier op 1 m van de linkeroever? Rond af op 0,01 m.
83 Nouri trapt een bal vanop de grond weg. De bal valt na 28 m terug op de grond en bereikt een maximale hoogte van 4 m.
a)Stel de vergelijking op van de parabolische baan die de bal volgt, waarbij x de afstand is vanaf de voet van Nouri en y de hoogte (beide in m).
b)Op welke hoogte bevindt de bal zich op een afstand van 10 m van Nouri? Rond af op 0,01 m.
84 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de punten A (–2, 25) en B (0, 1) bevat en die dezelfde symmetrieas heeft als de parabool k2 met vergelijking y = x 2 – x + 4.
De vergelijking van de parabool is
85 Bepaal de vergelijking van de parabool die de x-as raakt in het punt A (–1, 0) en het punt B (2, 2) bevat.
De vergelijking van de parabool is
86 Bepaal de vergelijking van de parabool k1 die de x-as snijdt in de punten A (–7, 0) en B (2, 0) en waarvan de top dezelfde y-coördinaat heeft als de top van de parabool k2 met vergelijking y = –x 2 + 6x – 2.
De vergelijking van de parabool is
87 Bepaal met ICT de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –18), B (1, –6) en C (2, –14) bevat.
88 Bepaal met ICT de vergelijking van de paraboolvormige constructie, als je weet dat die 12 m breed is en op 2 m van de rechterkant 10 m hoog.
89 Een projectiel wordt vanop de grond afgeschoten. x h Na 1 s heeft het een hoogte van 35 m en na 8 s belandt het opnieuw op de grond.
a)Bepaal de vergelijking van de baan, waarbij x de tijd (in s) voorstelt en h de hoogte (in m).
De vergelijking van de parabool is
b)Bepaal het hoogste punt dat het projectiel bereikt. x h
90 Bepaal de vergelijking van de parabool die de punten A (–2, –9), B (6, –9) en C (0, –21) bevat.
De vergelijking van de parabool is
REEKS C
91 Aziza, Nore en Tuur spelen met een springtouw op de speelplaats. Op de tekening staat Aziza links van Tuur. De aangrijpingspunten (plaats waar Aziza en Tuur het touw vasthouden) bevinden zich 2,5 m van elkaar. Ze houden het springtouw allebei vast op 0,70 m hoogte. Nore springt in het midden tussen hen in het touw. Als het touw onder Nore doorgaat, moet ze minstens 12 cm hoog springen om het touw niet te raken. Bepaal met ICT een vergelijking van de parabool die de vorm van het touw op dat moment benadert. Maak telkens een schets.
Situatie 1: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Aziza.
Situatie 2: De x-as valt samen met de grond. De y-as gaat door het aangrijpingspunt van Nore.
7.9Raaklijn aan een parabool door een gegeven punt
STUDIEWIJZER Tweedegraadsfuncties
7.1 Eerstegraadsfuncties
KENNEN
Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de vorm f (x) = ax + b (met a ∈ r0 en b ∈ r).
De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (met a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.
KUNNEN
De grafische betekenis van a en b in f (x) = ax + b uitleggen.
De grafiek van een eerstegraadsfunctie tekenen.
Het voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen:
• uit een tabel met functiewaarden;
• uit een grafiek.
7.2 Situaties voorstellen met tweedegraadsfuncties
Een tweedegraadsfunctie is een functie met voorschrift f (x) = ax 2 + bx + c (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
KUNNEN
Een tweedegraadsfunctie herkennen en kunnen onderscheiden van andere functies.
7.3 Functies van de vorm f (x) = ax 2 KENNEN
Het verband tussen twee grootheden y en x is zuiver kwadratisch als het quotiënt y x 2 constant is.
De grafische voorstelling van een zuiver kwadratisch verband y = a ? x 2 (met a ∈ r0) is een (deel van een) parabool door de oorsprong.
De top van de parabool valt samen met de oorsprong.
De grafiek van de functie g (x) = ax 2 (met a ∈ r0) ontstaat door de grafiek van de functie f (x) = x 2 uit te rekken of samen te drukken.
• Voor | a | > 1 wordt de grafiek van f verticaal uitgerekt met factor | a |.
De grafiek wordt daardoor smaller dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
• Voor | a | < 1 wordt de grafiek van f verticaal samengedrukt met factor 1 | a |
De grafiek wordt daardoor breder dan de grafiek met voorschrift f (x) = x 2
Als a > 0, is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0, is de grafiek een bergparabool.
De vergelijking van de symmetrieas is x = 0.
De coördinaat van de top is (0, 0).
KUNNEN
Zuiver kwadratische verbanden herkennen in tabellen.
De vergelijking van een zuiver kwadratisch verband opstellen.
Vraagstukken met gegeven zuiver kwadratische verbanden oplossen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 herkennen.
De grafiek van de functie f (x) = ax 2 tekenen met en zonder ICT.
Met behulp van de grafiek van f (x) = ax 2 onderzoek doen naar:
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = p
• De top heeft als coördinaat (p, q).
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking a (x − p) 2 + q = 0 op te lossen. De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as bepaal je door x = 0 te stellen.
Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = a (x − p) 2 + q en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek kunnen schetsen.
De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie met vergelijking y = a ? (x – p) 2 + q.
7.5 Functies van de vorm f (x) = ax 2 + bx + c
De grafiek van de functie
is een parabool met de volgende kenmerken:
• a > 0: dalparabool; a < 0: bergparabool.
• Hoe groter | a |, hoe smaller de parabool; hoe kleiner | a |, hoe breder de parabool.
• De symmetrieas is de rechte met vergelijking x = –b
• De top heeft als coördinaat
• De gemeenschappelijke punten (snijpunten of raakpunt) met de x-as bepaal je door de vergelijking ax 2 + bx + c = 0 op te lossen.
De oplossingen van die vergelijking zijn de nulwaarden van de functie.
• Het snijpunt met de y-as is het punt met als coördinaat (0, c).
van de vorm
De
KENNEN
KUNNEN
De vergelijking y = ax 2 + bx + c omzetten naar de vorm y = a (x − p) 2 + q
Aan de hand van de typische kenmerken van een parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c en de berekening van enkele goedgekozen punten, de grafiek schetsen.
De coördinaat van de gemeenschappelijke punten met de assen berekenen van de functie
met vergelijking y = ax 2 + bx + c en er de betekenis voor de grafiek van geven.
Het verband tussen twee numerieke grootheden onderzoeken met ICT en daarbij:
• een spreidingsdiagram of puntenwolk opstellen en interpreteren;
• een trendlijn met bijbehorend functievoorschrift bepalen en interpreteren.
7.6 Verloop en tekenschema van tweedegraadsfuncties
KUNNEN
Het verloop van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Het domein en bereik van een tweedegraadsfunctie bepalen.
Extremumvraagstukken oplossen met behulp van tweedegraadsfuncties.
Het tekenschema van een tweedegraadsfunctie opstellen.
7.7 Vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad oplossen
Een tweedegraadsvergelijking is een vergelijking van de vorm
ax 2 + bx + c = 0 (met a ∈ r0 en b, c ∈ r).
Een tweedegraadsongelijkheid is een ongelijkheid van de vorm
KUNNEN
Vergelijkingen van de tweede graad grafisch oplossen.
Ongelijkheden van de tweede graad grafisch oplossen.
Ongelijkheden van de tweede graad algebraïsch oplossen met behulp van een tekenschema.
Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot ongelijkheden van de tweede graad.
7.8 De vergelijking van een parabool opstellen
KUNNEN
De vergelijking van een parabool opstellen als de top en één punt gegeven zijn.
De vergelijking van een parabool opstellen als de symmetrieas en twee verschillende punten gegeven zijn.
De vergelijking van een parabool opstellen als
• twee willekeurige punten en het snijpunt met de y-as gegeven zijn;
• een willekeurig punt en de twee snijpunten met de x-as gegeven zijn;
• drie willekeurige punten gegeven zijn.
Vraagstukken oplossen waarbij de vergelijking van een parabool tot de oplossing leidt.
1.Welke uitspraak is correct?
A) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies drie punten gemeenschappelijk.
B) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vier punten gemeenschappelijk.
C) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies vijf punten gemeenschappelijk.
D) ❒ Een driehoek en een rechthoek hebben nooit precies zes punten gemeenschappelijk.
E) ❒ Alle voorgaande uitspraken zijn verkeerd.
JWO, editie 2015, eerste ronde
2.Zes tandwielen met assen A, B, C en D zijn met elkaar verbonden zoals op de afbeelding.
De drie grote tandwielen hebben omtrek 10 cm.
De drie kleine tandwielen hebben omtrek 5 cm.
Over hoeveel graden draait het tandwiel met as D, als het tandwiel met as A draait over 10º?
3.Koning Liefbaard heeft vier dochters: Ariel, Belle, Tiana en Yasmine. Hun kamers hebben elk een andere kleur en bevinden zich boven elkaar in een toren.
• De paarse kamer ligt net onder de roze kamer en net boven de groene.
• Ariel slaapt niet in de bovenste of onderste kamer.
• Yasmine slaapt in de kamer net boven die van Tiana, maar moet minder hoog de trap op dan Belle.
• De gele kamer is niet de onderste.
Welke prinses slaapt in de roze kamer?
A) ❒ ArielB) ❒ BelleC) ❒ Tiana D) ❒ YasmineE) ❒ onmogelijk te bepalen
JWO, editie 2015, eerste ronde
HOOFDSTUK 8 I TELPROBLEMEN
8.1 Tellen met venndiagrammen
8.2 Tellen met boomdiagrammen
8.3 Tellen met wegendiagrammen
8.4 Tellen met roosterdiagrammen
Studiewijzer
8.1 Tellen met venndiagrammen
8.1.1 Verzamelingen voorstellen met venndiagrammen
Elementen van een verzameling
Gegeven is de verzameling A van de natuurlijke getallen 1 tot en met 10.
De verzameling A kan je weergeven door opsomming: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
De getallen 1 tot en met 10 zijn de elementen van A
Je noteert: 1 ∈ A, 2 ∈ A, …, 10 ∈ A
De getallen 0 en p zijn geen elementen van A
Je noteert: 0 ∉ A, p ∉ A
Het aantal elementen van A is 10.
Notatie: #A = 10.
Lees: het kardinaalgetal van A is 10.
Algemeen Je kan een verzameling op drie manieren weergeven: door omschrijving, door opsomming of met een venndiagram.
Deelverzameling van een verzameling
Stel: B = {4, 7, 10}
#B = 3
Alle getallen van B behoren ook tot A
Je zegt dat B een deelverzameling is van A
Notatie: B A
Algemeen
Doorsnede van twee verzamelingen
Stel: B is de verzameling van de even natuurlijke getallen tot en met 20.
De getallen 2, 4, 6, 8 en 10 behoren tot A en B
Ze behoren tot de doorsnede van A en B
Notatie: A B = {2, 4, 6, 8, 10} #(A B ) =
Definitie Doorsnede van twee verzamelingen
De doorsnede van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren.
Unie van twee verzamelingen
De getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren tot A of B.
Ze behoren tot de unie van A en B
Notatie: A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20} #(A B) =
Definitie Unie van twee verzamelingen
De unie van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A of B behoren.
Verschil van twee verzamelingen
De getallen 0, 12, 14, 16, 18 en 20 behoren wel tot B, maar niet tot A.
Ze behoren tot het verschil van B en A
Notatie: B \ A = {0, 12, 14, 16, 18, 20} #(B \ A) = A \ B = #(A \ B) =
Definitie Verschil van twee verzamelingen
Het verschil van de verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren.
8.1.2 De som- en verschilregel
Voorbeeld 1
In het derde jaar van een school zitten 112 leerlingen, in het vierde jaar 96. Hoeveel leerlingen zitten er in die school in de tweede graad?
Stel: D is de verzameling van de derdejaars. V is de verzameling van de vierdejaars.
#D = #V =
Vul de aantallen verder aan in de venndiagrammen.
Het aantal leerlingen in de tweede graad is het aantal elementen van D V
⇒ #(D V) = #D + #V =
Er zijn geen leerlingen die zowel in het derde als het vierde jaar zitten
⇒ D V = ∅ (de lege verzameling)
Je noemt D en V disjuncte verzamelingen.
Voorbeeld 2
In het vierde jaar van een school zijn er 29 leerlingen die een sport beoefenen en 18 die een muziekinstrument bespelen.
10 leerlingen doen beide activiteiten.
a) Hoeveel leerlingen beoefenen een sport of bespelen een muziekinstrument?
Stel: S is de verzameling van de leerlingen die een sport beoefenen.
M is de verzameling van de leerlingen die een muziekinstrument bespelen.
SM Je noteert eerst de totalen bij de venndiagrammen.
#S = #M =
In de doorsnede van S en M zitten de leerlingen die zowel een sport beoefenen als eenmuziekinstrument bespelen:
#(S M) =
Dit aantal noteer je in de doorsnede van de venndiagrammen.
De leerlingen die een sport beoefenen of een muziekinstrument bespelen, behoren tot S M
Het aantal leerlingen dat beide activiteiten doet, mag je niet dubbel tellen.
⇒ #(S M) = #S + #M − #(S M) =
b)Hoeveel leerlingen beoefenen een sport en bespelen geen muziekinstrument?
#(S \ M) =
c)Hoeveel leerlingen bespelen een muziekinstrument, maar beoefenen geen sport?
#(M \ S) =
Voorbeeld 3
Gegeven zijn alle natuurlijke getallen van 1 tot en met 30.
a)Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 2?
b)Hoeveel zijn er deelbaar door 5?
c)Hoeveel van die getallen zijn deelbaar door 5 maar niet door 2?
Stel: E is de verzameling van de even getallen van 1 tot en met 30. #E = V is de verzameling van de vijfvouden van 1 tot en met 30. #V =
E V bevat de getallen die deelbaar zijn door 2 en door 5, met andere woorden de getallen die deelbaar zijn door 10.
#(E V) = Vul de aantallen verder aan op de venndiagrammen.
De getallen die deelbaar zijn door 5, maar niet door 2 behoren tot de verzameling V \ E
#(V \ E) =
Algemeen
Formules
Verschilregel
Voorbeeld 4
Uit een enquête bij een aantal fietsliefhebbers blijkt dat 58 % een e-bike bezit en 63 % een niet-elektrische fiets.
Stel: E is de verzameling van de bezitters van een e-bike. N is de verzameling van de bezitters van een niet-elektrische fiets.
#E = #N =
#(E ∩ N) = #E + #N − #(E N) =
b)Hoeveel procent bezit enkel een e-bike? #(E \ N) =
8.1.3 De complementregel
Voorbeeld 1
Hoeveel natuurlijke getallen van 1 tot en met 25 zijn geen priemgetal?
Stel: G is de verzameling van de natuurlijke getallen van 1 tot en met 25. #G = P is de verzameling van de priemgetallen kleiner dan 25. #P =
De getallen van 1 tot en met 25 die geen priemgetallen zijn, behoren tot de verzameling G \ P, waarbij P G
Deze verzameling noem je het complement van P ten opzichte van de verzameling G.
Notatie: P
Er geldt: #P = #G − #P =
Algemeen
Als A V, dan is #A = #V − #A
Voorbeeld 2
Een harmonieorkest bestaat uit 65 leden.
Daarvan zijn er 16 die klarinet kunnen spelen en 11 die dwarsfluit kunnen spelen. 4 leden spelen zowel klarinet als dwarsfluit.
Hoeveel leden van het harmonieorkest spelen geen dwarsfluit en ook geen klarinet?
Gegeven: een verzameling V A V
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van de verzameling V
A bevat dus alle elementen van V die niet tot A behoren.
Stel: H is de verzameling van alle leden van de harmonie. K is de verzameling van de klarinetspelers. D is de verzameling van de dwarsfluitspelers.
#H = #K = #D =
#(K D) =
#(K D) =
#(K D) =
Formule
Amina gooit 50 keer een dobbelsteen op. Telkens als ze minstens 4 ogen of een even aantal ogen gooit, krijgt ze 1 punt. Per worp kan ze maximaal 1 punt krijgen. Ze gooit 23 keer minstens 4 ogen en 28 keer een even aantal ogen. In totaal heeft ze 35 punten.
Stel: W is de verzameling van de 50 worpen met een dobbelsteen.
M is de verzameling van de worpen die minstens 4 ogen opleveren.
E is de verzameling van de worpen die een even aantal ogen opleveren.
a)Vul de aantallen aan in de venndiagrammen.
b)Hoeveel keer gooide Amina
• 4 of 6 ogen?
• 5 ogen?
• 2 ogen?
• hoogstens 3 ogen?
c)Bij hoeveel worpen kreeg Amina geen punten?
Hoeveel gooide ze dan?
REEKS A
1 In een ballenbad zitten ballen van allerlei kleuren. Er zitten 430 gele ballen en 395 blauwe ballen in. Hoeveel ballen zijn geel of blauw?
2 Op 1 januari 2024 bestond de Belgische bevolking uit 22,4 % jongeren (mensen onder de 20 jaar). De actieve bevolking (mensen tussen de 20 en 65 jaar) was goed voor 58,4 % van de Belgische bevolking.
Hoeveel procent van de bevolking was hoogstens 65 jaar?
3 In een groep spreken alle mensen Frans of Engels. 21 mensen spreken Engels, 14 Frans en 8 mensen spreken beide talen. Hoeveel mensen spreken enkel Engels?
4 In een klas zitten 18 leerlingen. Ze hebben allemaal een smartphone of een tablet. 17 leerlingen hebben een smartphone en 12 leerlingen hebben een tablet. Hoeveel leerlingen hebben beide toestellen?
5 In een klas hebben alle leerlingen een fiets of een step. 15 leerlingen hebben een fiets en 7 leerlingen hebben een step. Er zijn 4 leerlingen die zowel een fiets als een step hebben.
a)Hoeveel leerlingen telt de klas?
b)Hoeveel leerlingen van de klas hebben geen fiets?
c)Hoeveel leerlingen hebben wel een fiets, maar geen step?
6 De fanfare van een dorp bestaat enkel uit koperblazers en slagwerkers. 33 leden zijn koperblazer en 25 leden zijn slagwerker.
3 leden kunnen zowel met koperblaasinstrumenten als met slagwerk overweg.
a)Hoeveel leden telt de fanfare?
b)Hoeveel leden zijn geen slagwerker?
c)Hoeveel leden zijn geen koperblazer, maar wel slagwerker?
7 Een hotel heeft 54 kamers. Ze hebben allemaal een douche of een bad. 36 kamers hebben een douche en 34 kamers hebben een bad.
a)Hoeveel kamers hebben geen douche?
b)Hoeveel kamers hebben een douche en een bad?
c)Hoeveel kamers hebben een bad maar geen douche?
8 Op een studiedag voor leerkrachten van de tweede graad blijkt dat 63 % in het derde jaar lesgeeft en 59 % in het vierde jaar.
a)Hoeveel procent geeft les in het derde en het vierde jaar?
b)Hoeveel procent geeft enkel in het vierde jaar les?
9 Voor een sportdag kunnen de 197 leerlingen van de tweede graad één of twee sporten kiezen, waaronder volleybal en badminton.
51 leerlingen kiezen volleybal en 78 leerlingen badminton.
35 leerlingen kiezen beide sporten.
a)Hoeveel leerlingen kiezen niet voor badminton?
b)Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal of badminton?
c) Hoeveel leerlingen kiezen voor volleybal, maar niet voor badminton?
d)Hoeveel leerlingen kiezen niet voor volleybal en niet voor badminton?
10 Volgens de Belgian Petfood Association heeft 52 % van de Belgische gezinnen een huisdier.
24 % van alle gezinnen heeft een hond en 31 % een kat.
11 % van alle gezinnen heeft zowel een hond als een kat.
a)Hoeveel procent van de Belgische gezinnen heeft een hond of een kat?
b)Hoeveel procent heeft een hond, maar geen kat?
c)Hoeveel procent heeft een kat, maar geen hond?
d)Hoeveel procent heeft een ander huisdier dan een hond of een kat?
11 Uit een enquête onder de lezers van een krant blijkt dat 31 % het kruiswoordraadsel oplost en 27 % de sudoku. 58 % van de lezers lost geen van beide puzzels op.
a)Hoeveel procent van de lezers lost minstens één van de puzzels op?
b)Hoeveel procent lost beide puzzels op?
c)Hoeveel procent lost juist één van de puzzels op?
8.1.5 Telproblemen met drie verzamelingen
Bij een enquête onder 150 kinderen van 7 jaar is gevraagd of ze de vorige dag hun tanden gepoetst hebben.
91 kinderen hebben ’s ochtends hun tanden gepoetst, 32 ’s middags en 98 ’s avonds.
54 kinderen hebben zowel ’s ochtends als ’s avonds gepoetst, 16 zowel ’s ochtends als ’s middags en 12 zowel ’s middags als ’s avonds.
7 kinderen hebben hun tanden zowel ’s ochtends als ’s middags als ’s avonds gepoetst.
Stel: K is de verzameling van de ondervraagde kinderen.
O is de verzameling van de kinderen die ’s ochtends hun tanden poetsen.
M is de verzameling van de kinderen die ’s middags hun tanden poetsen.
A is de verzameling van de kinderen die ’s avonds hun tanden poetsen.
Om telproblemen met drie verzamelingen op te lossen, gebruik je een klaverbladdiagram
b)Hoeveel kinderen poetsten hun tanden gisteren niet?
REEKS B
12 Kleur de gegeven verzameling in het klaverbladdiagram.
13 Aan 140 werknemers van een bedrijf is gevraagd hoe ze naar het werk komen.
Er komen 78 mensen met de fiets, 50 met de trein en 28 met de bus. Verder blijken 6 mensen zowel de fiets als de trein te gebruiken, 18 mensen zowel de trein als de bus en 8 mensen zowel de bus als de fiets. Geen enkele werknemer combineert de 3 vervoersmiddelen.
a)Hoeveel werknemers komen met de bus of de trein?
b)Hoeveel werknemers nemen enkel de fiets?
c) Hoeveel werknemers komen met de fiets of de bus, maar niet met de trein?
d) Hoeveel werknemers komen op een andere manier naar het werk dan met de 3 vernoemde vervoersmiddelen?
14 Aan 260 jongeren werd de vraag gesteld naar welke soort tv-programma’s ze vorige zondagavond hadden gekeken.
63 jongeren keken naar duidingsprogramma’s (nieuws, praatprogramma’s …), 84 naar ontspanningsprogramma’s (shows, quizzen …) en 136 naar series.
30 jongeren keken naar duidings- en ontspanningsprogramma’s, 39 naar duidingsprogramma’s en series en 17 naar ontspanningsprogramma’s en series.
11 jongeren keken naar de drie soorten programma’s.
a)Hoeveel jongeren keken naar minstens één van de drie soorten programma’s?
b)Hoeveel jongeren keken er enkel naar series?
c) Hoeveel jongeren keken er naar series of ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
d) Hoeveel jongeren keken er naar series en ontspanningsprogramma’s, maar niet naar duidingsprogramma’s?
e)Hoeveel keken er naar geen van de drie vermelde soorten programma’s?
15 Uit een enquête bij 70-plussers blijkt dat 76 % regelmatig (enkele keren per week) wandelt,
37 % regelmatig fietst en 48 % regelmatig turnt.
31 % wandelt en fietst, 18 % fietst en turnt en 35 % wandelt en turnt.
12 % van de ondervraagden doet alle drie de sportactiviteiten.
a)Hoeveel procent van de 70-plussers doet geen van de drie sportactiviteiten?
b)Hoeveel procent doet enkel aan fietsen?
c)Hoeveel procent wandelt en turnt, maar fietst niet?
d)Hoeveel procent fietst of turnt, maar wandelt niet?
e)Hoeveel procent wandelt of fietst, maar turnt niet?
8.2 Tellen met boomdiagrammen
8.2.1
Boomdiagrammen
Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen. Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E). Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G). Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?
Stel: M = {A, B, C, D, E} is de verzameling van de merken.
S = {H, L, G} is de verzameling van de soorten laptops.
Om dit telprobleem op te lossen, gebruik je een boomdiagram
• Eerst kiest Nora het merk. Elke mogelijke keuze stel je voor door een tak die vertrekt uit een beginpunt.
• Bij de eindpunten van de getekende takken zet je telkens de keuzemogelijkheid (A, B, C, D of E).
• Bij elke keuze van het merk volgt een tweede keuze, namelijk de soort. Elke mogelijke keuze hiervan stel je voor door een tak die vertrekt uit een eindpunt van een tak die hoort bij de eerste keuze.
• Bij elk eindpunt van de nieuwe takken plaats je weer de keuzemogelijkheid (H, L of G).
• Het totaal aantal keuzes dat Nora heeft, is gelijk aan het aantal eindpunten van het diagram.
Nora heeft dus in totaal keuzemogelijkheden.
Elke keuze kun je voorstellen door een geordend tweetal. (D, H) betekent dat Nora heeft gekozen voor een laptop van merk D die hybride is.
De verzameling van alle mogelijke keuzes noem je de productverzameling van M en S
Notatie: M 3 S
Je stelt vast dat #(M 3 S) = #M ⋅ #S = 5 ⋅ 3 = 15.
8.2.2 De productregel
David wil een nieuwe auto van een bepaald merk kopen.
Hij kan kiezen tussen 6 types. Bij elk type is er keuze tussen 3 versies: een benzineversie, een hybrideversie en een elektrische versie.
Bij elke versie kan David kiezen tussen 4 pakketten: standaard, comfort, luxe en sportief.
Daarenboven is er bij elke pakket keuze tussen 8 kleuren en 4 soorten velgen.
Hoeveel keuzemogelijkheden heeft David in totaal?
Het totaal aantal keuzemogelijkheden voorstellen met een boomdiagram is onbegonnen werk.
Jegebruikt de techniek van de ‘cellen’
David kiest een type (T), een versie (V), een pakket (P), een kleur (K) en een soort velg (S).
Elke keuze stel je voor door een cel, waaronder je het aantal mogelijkheden plaatst.
Het totaal aantal mogelijkheden is dan het product van het aantal mogelijkheden bij de verschillende keuzes.
TVPKS 63484
Er zijn wagens waaruit David zijn keuze kan maken.
Productregel Als A1 , A2 , …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt:
Eenvoudig gesteld komt het erop neer dat het voegwoord ‘en’ naar een product vertaald wordt.
8.2.3 Faculteit
In een lokaal staan 8 stoelen. Op hoeveel manieren kunnen 8 personen plaatsnemen?
Om een dergelijk product te berekenen, gebruik je het begrip faculteit
Definitie Faculteit
Als n ∈ n \ {0,1}, dan is n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ ⋅ 1 0! = 1en1! = 1
Op hoeveel manieren kan je 15 personen op een rij zetten?
8.2.4 Modeloefeningen
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 cijfers?
Let op: een natuurlijk getal kan nooit met een 0 beginnen.
1 C2 C3 C4
• Hoeveel natuurlijke getallen bestaan uit 4 verschillende cijfers?
1 C2 C3 C4
• Hoeveel mogelijkheden zijn er om 12 boeken op een boekenplank te rangschikken?
P1 P2 P12
• In een klas zitten 17 leerlingen. De klassenleraar kiest 3 leerlingen die elk een andere opdracht krijgen. Een leerling kan maar één opdracht krijgen. Hoeveel keuzemogelijkheden heeft de klassenleraar?
O1 O2 O3
• De gewone Belgische nummerplaten bestaan, sinds 2010, uit 7 karakters: een indexcijfer gevolgd door 3 letters, en daarna 3 cijfers, waarbij 000 niet voorkomt.
Hoeveel nummerplaten met indexcijfer 1 bevatten de letter A? Je hoeft geen rekening te houden met lettercombinaties die niet voorkomen.
• Jan en Petra hebben elk een nieuwe smartphone nodig. Ze besluiten elk een toestel van een ander merk te kopen.
Bij merk A vinden ze 3 types die aan hun eisen voldoen, bij merk B zijn er 4 types en bij merk C zijn er 2 types.
Hoeveel mogelijke keuzes zijn er?
Als ze
■ merk A en B kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
■ merk A en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
■ merk B en C kiezen, dan zijn er = mogelijkheden.
• De volgorde van de keuzes is hier belangrijk, want als Jan merk A en Petra merk B kiest, of Jan merk B en Petra merk A, dan is dat een andere keuze.
Het totale aantal mogelijkheden is dus
REEKS A
16 Je gooit drie keer een muntstuk op. Los de vragen op met een boomdiagram.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)In hoeveel gevallen gooi je
• 2 keer kop en 1 keer munt?
• 3 keer hetzelfde?
• minstens 1 keer kop?
• hoogstens 1 keer kop?
17 Je trekt 3 ballen uit een vaas die 3 rode en 2 groene ballen bevat. Na elke trekking leg je de getrokken bal niet terug in de vaas. Los de vragen op met een boomdiagram.
Op hoeveel manieren
a)kunnen er juist 2 rode ballen bij zijn?
b)kan er minstens 1 groene bal bij zijn?
c)kan er minstens 1 rode bal bij zijn?
d)kunnen er 3 ballen van dezelfde kleur bij zijn?
18 Los de vraagstukken op met de productregel.
a) Je gaat op restaurant en neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een dessert. Er is keuze tussen 6 voorgerechten, 8 hoofdgerechten en 5 desserts. Op hoeveel manieren kun je je menu samenstellen?
b)Een fietsslot bestaat uit 3 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
c)Een inlogcode moet bestaan uit 4 letters gevolgd door 4 cijfers. Hoeveel codes zijn er mogelijk?
d) Een anagram is een woord dat je vormt met dezelfde letters als een gegeven woord. Een anagram hoeft niet noodzakelijk een betekenis te hebben. Hoeveel anagrammen heeft het woord ‘wiskunde’?
e) 15 paarden doen mee aan een paardenwedren. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de eerste 3 te voorspellen?
f) Je gooit 3 verschillende dobbelstenen op. Hoeveel mogelijke worpen zijn er?
g)Op hoeveel manieren kunnen 6 mensen op 6 stoelen plaatsnemen?
h) Een byte bestaat uit 8 bits. Elke bit kan slechts twee waarden (0 of 1) aannemen.
Hoeveel bytes zijn er mogelijk?
i) Er zijn 4 wegen van A naar B, 3 wegen van B naar C en 3 wegen van C naar D. Op hoeveel manieren kan je van A naar D gaan via B en C?
19 Je gaat naar de winkel om een brood, een stuk kaas en een taartje. Er is keuze tussen 11 soorten brood, 12 soorten kaas en 9 soorten taartjes. Hoeveel keuzemogelijkheden heb je in totaal?
20 Bij een voetbalpronostiek kies je voor elke wedstrijd tussen de symbolen 1 (een thuisoverwinning), x (een gelijkspel) of 2 (een uitoverwinning). Een speeldag in de eerste klasse van de Belgische voetbalcompetitie bestaat uit 8 matchen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om de uitslag van die matchen te voorspellen?
21 Hoeveel natuurlijke getallen van 5 verschillende oneven cijfers kan je vormen?
22 6 vrienden gaan op restaurant. Ze spreken af om een menu te kiezen. Er is keuze tussen een weekmenu, een seizoensmenu en een fijnproeversmenu. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de 6 vrienden hun keuze maken?
23 In de eerste liga van het damesvolleybal in België spelen 10 ploegen. In een seizoen moet elke ploeg tegen elke andere ploeg een thuismatch en een uitmatch spelen. Hoeveel matchen worden er gespeeld in een seizoen?
24 Een code bestaat uit een cijfer, gevolgd door 3 letters en 2 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er?
25 3 leerlingen van het derde jaar en 4 leerlingen van het vierde jaar gaan op een rij staan.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er als de leerlingen van eenzelfde jaar bij elkaar staan?
26 In het spel Mastermind leg je 5 gekleurde pionnetjes in een bepaalde volgorde. De tegenspeler moet die volgorde in hoogstens 12 keer raden. De pionnetjes bestaan in 8 verschillende kleuren.
a) Hoeveel mogelijkheden zijn er als je een kleur meerdere keren mag kiezen?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?
eel mogelijkheden zijn er als de pionnetjes een verschillende kleur moeten hebben?
27 Om aan te melden op een website van de overheid kan je een itsme-code gebruiken. Deze bestaat uit 5 cijfers.
a)Hoeveel itsme-codes bestaan uit 5 verschillende cijfers?
b)Hoeveel daarvan beginnen met een 6 en bevatten een 0?
28 Alle 13 leden van een vereniging zijn uitgenodigd op een vergadering. Ze zijn niet verplicht om te komen.
Op hoeveel manieren kan de vergadering samengesteld worden?
29 Een gezin heeft 4 kinderen.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor de samenstelling met jongens en meisjes?
b)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
c)In hoeveel gevallen zijn er minstens 2 meisjes bij?
REEKS C
30 Op hoeveel manieren kan je 6 boeken over wiskunde, 4 over fysica en 5 over chemie op een boekenrek schikken als de boeken per vak afzonderlijk bij elkaar moeten staan?
31 Van 5 smartphones zijn er 2 defect, maar je weet niet welke. Je test telkens 1 smartphone, tot je weet welke 2 er defect zijn.
a)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b)In hoeveel gevallen zal je
• 2 smartphones moeten testen?
• 3 smartphones moeten testen?
• 4 smartphones moeten testen?
• 5 smartphones moeten testen?
c)Hoeveel mogelijkheden zijn er in totaal?
32 Er doen 10 personen mee aan een badmintoncompetitie. Elke speler moet tegen elke andere speler één match spelen. Hoeveel matchen zullen er in totaal moeten gespeeld worden?
33 In een bakje liggen 3 stukken van 1 euro en 2 stukken van 2 euro. Een spel bestaat erin dat je blindelings muntstukken uit het bakje neemt. De genomen muntstukken worden niet opnieuw in het bakje gelegd.
Het spel stopt zodra er nog maar één soort muntstuk over is, dus als alle muntstukken van 1 ofwel van 2 euro gekozen zijn.
a)Teken een boomdiagram voor alle mogelijkheden.
b)In hoeveel procent van de gevallen heb je minstens 5 euro uit het bakje genomen?
34 Je gooit 2 verschillende dobbelstenen op.
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er?
b)In hoeveel gevallen is de som van de ogen 7?
c)In hoeveel gevallen is de som van de ogen 11 of 12?
d)In hoeveel procent van de gevallen is de som van de ogen meer dan 3? Rond af op 0,01 %.
35 Bij de aankoop van een auto kan de koper kiezen tussen een wagen met benzinemotor, hybridemotor of elektrische motor.
De benzinewagens hebben versies met 2, 4 of 5 deuren, de hybridewagens hebben versies met 4 of 5 deuren en de elektrische wagens hebben 5 deuren.
Elke wagen is beschikbaar in 7 kleuren, maar de hybridewagens en de elektrische wagens hebben 3 extra kleuren.
Bij alle types kan er gekozen worden tussen lederen zetels of stoffen zetels.
Bij de elektrische wagens kan ook voor een alcantara-bekleding worden gekozen.
De elektrische wagens zijn standaard uitgerust met een 360°-camera, bij de andere types is het een optie.
Hoeveel mogelijkheden heeft de koper bij deze aankoop?
36 Een ‘woord’ is elke opeenvolging van letters, met of zonder betekenis.
a) Hoeveel woorden bestaan uit 4 letters?
b)Als je die woorden alfabetisch rangschikt, op welke plaats komt dan ‘koel’?
37 Hoeveel even getallen liggen tussen 5000 en 8000?
8.3 Tellen met wegendiagrammen
8.3.1
Telproblemen voorstellen met wegendiagrammen
Voorbeeld 1
Nora gaat naar de computerwinkel om een nieuwe laptop te kopen.
Er is keuze tussen 5 merken (A, B, C, D en E).
Elk van de merken heeft 3 soorten: hybridelaptops (H), lichtgewichtlaptops (L) en laptops met groot scherm (G).
Hoeveel keuzemogelijkheden heeft Nora in totaal?
Om alle mogelijke keuzes te bepalen, heb je in de vorige paragraaf een boomdiagram gebruikt.
Je kan een diagram dat alle mogelijkheden grafisch weergeeft ook compacter maken door de takken in één punt te laten samenkomen. In dat geval spreek je over een wegendiagram.
Het aantal keuzemogelijkheden voor Nora is gelijk aan het aantal verschillende wegen om van het beginpunt naar het eindpunt te gaan. Dit aantal is gelijk aan 5 ⋅ 3 = 15
Voorbeeld 2
Een viervlaksdobbelsteen heeft de vorm van een regelmatig viervlak.
Op de vlakken van een viervlaksdobbelsteen staan de cijfers 1, 2, 3 en 4.
Het cijfer in het hoekpunt bovenaan toont wat je gegooid hebt.
Je werpt met drie viervlaksdobbelstenen: een rode, een gele en een oranje.
Na de worpen bekijk je de hoekpunten bovenaan.
a)Geef met een wegendiagram alle mogelijke uitkomsten weer.
Hoeveel manieren zijn er?
b)Hoeveel manieren zijn er waarbij enkel bij de gele dobbelsteen het cijfer 4 bovenaan ligt?
c)Hoeveel manieren zijn er waarbij het cijfer 4 juist één keer bovenaan ligt?
Oefeningen
REEKS B
38 Een code bestaat uit een letter gevolgd door 2 cijfers, bijvoorbeeld A31. Voor de letters gebruik je A, B, C, D of E. Voor beide cijfers gebruik je 1 tot en met 4.
a)Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk? Stel dat voor met een wegendiagram.
b) Stel dat de twee cijfers in de code verschillend moeten zijn. Hoeveel verschillende codes zijn er dan mogelijk?
39 In een fruitschaal liggen 4 appels, 5 peren en 2 bananen.
a) Je neemt eerst een appel, daarna een peer en ten slotte een banaan. Op hoeveel manieren kun je van elke soort een nemen? Stel dat voor met een wegendiagram.
b)Op hoeveel manieren kun je er van elke soort hoogstens een nemen?
8.3.2 Aantal kortste routes
Een route zonder omwegen noem je een kortste route
• AC is een rechtstreekse kortste route van A naar C
• ABC is een kortste route van A naar C via B.
• ABAC is geen kortste route van A naar C.
Voorbeeld 1
Er lopen 3 wegen van plaats A naar plaats B en 2 wegen van plaats B naar plaats C
Er zijn dus verschillende wegen van A naar C via B Je kunt bijvoorbeeld over de middelste weg van A naar B gaan en dan verder over de bovenste weg van B naar C
Die route is in het blauw aangeduid op de figuur.
• Teken een schematische voorstelling van de situatie met een wegendiagram.
• Op hoeveel manieren kan je van A naar C gaan zonder omwegen?
Voorbeeld 2
Bepaal het aantal kortste routes van A naar D
• Het aantal routes van A naar B is
• Het aantal kortste routes van B naar D:
■ via C:
■ rechtstreeks:
■ totaal:
• Het aantal kortste routes van A naar D:
Oefeningen
REEKS A
40 Bepaal het aantal kortste routes van A naar C.
a)
ABC
• totaal van A naar C : b)
• totaal van A naar C : c) ABC
e) ABC
• totaal van A naar C :
• totaal van A naar C :
• totaal van A naar C :
REEKS B
41 Bepaal het aantal kortste routes van A naar D.
a)
ABCD
• totaal van A naar D: b)
ABCD • totaal van A naar D: c)
ABCD
d)
• totaal van A naar D:
ABCD
REEKS C
• totaal van A naar D:
42 Teken een wegendiagram met de punten A, B, C en D waarbij het aantal kortste wegen van A naar D gelijk is aan (2 ⋅ 4 + 3) ⋅ 2 + 1.
8.4 Tellen met roosterdiagrammen
8.4.1
Scoreverloop bij een voetbalmatch
Een voetbalmatch tussen de ploegen A en B is geëindigd op 3-2. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
In paragraaf 8.2.4 heb je dit vraagstuk opgelost door een boomdiagram te tekenen. Er blijken 10 mogelijkheden te zijn.
Je kan het probleem ook oplossen met een roosterdiagram
Op een horizontale as zet je het aantal doelpunten van de thuisploeg en op een verticale as het aantal doelpunten van de uitploeg. thuisploeg
De score 2-1 kan op drie manieren:
Elke roosterpunt is een mogelijke stand. De eindstand verkrijg je bij het punt A Het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, is aangeduid in het rood.
De scores 1-0, 2-0, 3-0, 0-1 en 0-2 kunnen op één manier. Het is namelijk telkens dezelfde ploeg die scoort.
De score 1-1 kan op twee manieren (1-0 en daarna 1-1 of 0-1 en daarna 1-1).
Op die manier kan het rooster verder aangevuld worden.
Hoe kan je het aantal manieren om tot een bepaalde score te komen, berekenen uit de vorige scores?
Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als de ruststand 1-1 was?
8.4.2 Tellen met roosterdiagrammen
Algemeen Bij een telprobleem dat bestaat uit een aantal deelbeslissingen waarbij er telkens maar tweemogelijkheden zijn, kan een roosterdiagram gebruikt worden. Hierbij is elk getal op een knooppunt van wegen de som van de getallen die bij de voorgaande naburige knooppunten staan.
Voorbeeld
Je legt 4 blauwe en 2 rode kaartjes op een rij. Hoeveel verschillende kleurpatronen zijn er mogelijk?
De werkwijze die je volgt om een probleem op te lossen met een roosterdiagram wordt mooi geïllustreerd in de driehoek van Pascal Hoewel de driehoek al bekend was bij Chinese en Indische wiskundigen van 1000jaar geleden, is de driehoek vernoemd naar Blaise Pascal, die een boek over deze ‘rekendriehoek’ schreef.
Blaise Pascal (1623 - 1662) is een Franse wiskundige uit de 17e eeuw, die samen met zijn landgenoot Pierre de Fermat, wordt beschouwd als de grondlegger van de wiskundige studie van telproblemen en kansrekening.
Pascal is ook als natuurkundige bekend. De ‘wet van Pascal’ beschrijft de druk op vloeistoffen. In 1642 bouwde hij de ‘pascaline’, een mechanische rekenmachine die kon optellen en aftrekken.
8.4.3 Het aantal kortste routes
Toen Barcelona in de 19e eeuw uit zijn voegen barstte, heeft men een planmatig opgezette wijk gebouwd als uitbreiding van de stad: l’Eixample
De straten verdelen de wijk in gelijkvormige blokken, waardoor een meetkundig patroon te zien is.
Dit patroon wordt enkel onderbroken door een 11 km lange diagonaal: de Avinguda Diagonal.
Om het aantal kortste routes te bepalen tussen twee punten in de wijk, gebruik je een roosterdiagram en de eigenschap uit de vorige paragraaf.
a)Op hoeveel manieren kan de kroost samengesteld zijn?
b)Teken een roosterdiagram voor alle mogelijkheden.
c)In hoeveel gevallen bestaat de kroost uit
• 2 meisjes en 3 jongens?
• minstens 3 meisjes?
• minstens 1 jongen?
44 Bepaal het aantal kortste wegen van A naar B.
Een waterpolowedstrijd is geëindigd op 4-7.
Kortrijk KWK
U11 VZF C 4 vs 7
a)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop?
b)Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het scoreverloop als je weet dat het aan de rust 2-4 was?
Aqua Sport Brugge ASB
46 Op hoeveel manieren kun je het woord “PIENTER” op de figuur lezen?
47 Op het bord van Galton vallen balletjes op pinnen die in rijen onder elkaar staan. Elke rij heeft een pin meer dan de vorige rij. Bij elk pinnetje maakt het balletje als het ware een keuze tussen links of rechts, beide met evenveel kans.
Uiteindelijk valt het balletje in een van de bakjes A tot en met J.
a)Hoeveel mogelijke wegen zijn er in totaal?
b) Van hoeveel procent van de balletjes mag je verwachten dat ze in vakje A, B, …, J valt? Vul de tabel in en rond telkens af op 0,01 %.
STUDIEWIJZER Telproblemen
8.1 Tellen met venndiagrammen voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
B A (“B is deelverzameling van A”) ⇔∀ x ∈ B : x ∈ A
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en B behoren. Notatie: A B
De unie van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen dietot A of B behoren. Notatie: A B
Disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A B) = #A + #B − #(A B)
Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van de elementen die tot A en niet tot B behoren. Notatie: A \ B
Disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A
Niet-disjuncte verzamelingen: #(A \ B) = #A − #(A B)
De verzameling A = V \ A noem je het complement van A ten opzichte van deverzameling V #
Een venndiagram gebruiken bij het oplossen van een telprobleem. Het aantal elementen van de doorsnede, de unie, het verschil of het complement van eindige verzamelingen bepalen bij telproblemen.
8.2 Tellen met boomdiagrammen
Als A1, A2, …, Ak willekeurige eindige verzamelingen zijn, dan geldt: #(A1 3 A2 3 3
Als n ∈ n \ {0, 1}, dan is n ! = n
(n − 1)
Een boomdiagram of de productregel gebruiken bij telproblemen.
8.3 Tellen met wegendiagrammen
Een wegendiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.
8.4 Tellen met roosterdiagrammen
KUNNEN
Een roosterdiagram gebruiken bij het oplossen van telproblemen.
Problemen uit JWO
1.In het staafdiagram zie je hoe de bezoekers van de vijf meest bezochte Europese pretparken over die pretparken verdeeld zijn. De pretparken hebben samen 56 miljoen bezoekers per jaar. Hoeveel bezoekers heeft Disneyland Parijs elk jaar meer dan de Efteling?
A) r 1 980 000B) r 2 575 000C) r 2 800 000D) r 3 125 000E) r 3 360 000
JWO, editie 2018, eerste ronde
2.Op de figuur hebben het vierkant en de rechthoekige driehoek met dezelfde oppervlakte een gemeenschappelijke zijde.
Wat is de verhouding van de stukken waarin P het onderste lijnstuk verdeelt?
A) r 1 : 1B) r 1 : 2C) r 2 : 3D) r 1 : 3E) r 1 : 4
JWO, editie 2016, tweede ronde
3.Een dief steelt een kwart van het fortuin van een kok en geeft daarvan de helft aan zijn vrouw. Die schenkt op haar beurt een derde van wat ze net kreeg, aan haar minnaar, die bevriend is met de kok en hem daarvan de helft geeft.
De kok is 11 000 florijnen armer geworden.
Hoe groot was het fortuin van de kok oorspronkelijk?
A) r 36 000 florijnenB) r 45 000 florijnenC) r 48 000 florijnen
D) r 52 000 florijnenE) r 60 000 florijnen
JWO, editie 2021, eerste ronde
HOOFDSTUK 9 I ANALYTISCHE MEETKUNDE
9.1 Cartesische vergelijking van een rechte 148
9.2 Het vectorvlak 155
9.3 Het inproduct van vectoren 157
9.4 Vectoriële en parametrische vergelijkingen van een rechte 167
9.5 Van parametrische vergelijkingen naar cartesische vergelijking 179
9.6 Normaalvector van een rechte 184
9.7 Onderlinge ligging van twee rechten in een orthonormaal assenstelsel 190
9.8 Hoek tussen twee snijdende rechten in een orthonormaal assenstelsel 203
9.9 Afstand tussen een punt en een rechte in een orthonormaal assenstelsel 207
9.1 Cartesische vergelijking van een rechte
9.1.1 Opstellen van de vergelijking van een rechte
Een rechte r die beide assen snijdt, heeft als cartesische vergelijking y = ax + b (met a ∈ r0).
Daarbij is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt met de y−as.
Algemeen
Opmerkingen
• De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van die rechte.
■ Stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt (a > 0).
■ Dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt (a < 0).
■ Hoe groter |a|, hoe groter de helling van de rechte.
• De richtingscoëfficiënt is het differentiequotiënt ∆y ∆x = de verandering van de y-waarde de verandering van de x-waarde
Bijzondere gevallen
• Een rechte door de oorsprong heeft als vergelijking y = ax.
• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r
Horizontale rechten hebben als richtingscoëfficiënt 0.
• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s Verticale rechten hebben geen richtingscoëfficiënt.
Je zegt dat de richtingscoëfficiënt onbepaald is.
Algemene (cartesische) vergelijking van een rechte
Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b (met a ∈ r0), y = r of x = s
kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0.
Dat noem je de algemene (cartesische) vergelijking van de rechte.
Voorbeeld
Bereken de richtingscoëfficiënt en de coördinaat van het snijpunt S met de y−as van de rechte r ↔ 3x – 2y + 6 = 0.
De vergelijking opstellen van een rechte met gegeven richtingscoëfficiënt en punt
Algemeen Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1, y1) bevat, is: r ↔ y – y1 = a (x – x1).
Stel een vergelijking op van de rechte r met richtingscoëfficiënt –4 die het punt P (7, –3) bevat.
De richtingscoëfficiënt bepalen
Algemeen De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1, y1) en B (x2, y2) is: a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (als x1 ≠ x2).
Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechte r door de punten A (–3, 7) en B (5, –9).
De vergelijking opstellen van een rechte door twee gegeven punten
Algemeen Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x 1, y 1) en B (x 2, y 2) bevat, is: r ↔ y – y 1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x – x 1 ) (als x 1 ≠ x 2).
• Stel een vergelijking op van de rechte s die de punten A (–1, –2) en B (2, –3) bevat.
• Vorm de vergelijking om tot een algemene vergelijking.
• Stel een vergelijking op van de rechte t evenwijdig met s en door het punt C (5, 0).
Oefeningen
REEKS A
1 Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechte
a) a door A (–1, 2) en B (2, 8).
c) c door E (2, –5) en F (7, 1).
b) b door C (0, 0) en D (3, –2).
d) d door G (–3, –2) en H (–3, 4).
2 Stel een cartesische vergelijking op van de rechte
a) a door A (–3, 5) en rc a = 3.
c) c door C (–5, –5) en c // e ↔ y = 2x.
b) b door B (4, 11) en rc b = –3 4
d) d door D (–1, 4) en d // x−as.
3 Stel een cartesische vergelijking op van de rechte
a) a door A (2, –2) en B (0, –8).
c) c door E (1, –1) en F (1, 4).
b) b door C (–1, –6) en D (2, 3).
d) d door G (3, 7) en H (8, –1).
REEKS B
4 Stel een algemene vergelijking op van de rechte
a) a door A (–3, 5) en B (1, 2).
c) c door E (–4, 1) en c // e ↔ y = –5 2 x
b) b door C (2, –4) en D (5, 7).
d) d door F (–4, –2) en d // f ↔ 3x + 4y = 0.
9.1.2 Opstellen van de vergelijking van de zwaartelijnen vaneendriehoek
Midden van een lijnstuk
yA
GEOGEBRA
Zwaartelijn van een driehoek
M is het midden van het lijnstuk [AB] ⇔ M ∈ AB en | AM | = | MB |
Stel: co(A) = (x A, y A),co(B) = (x B, y B) enco(M) = (x M, y M)
Dan: (x M , y M) = ( x A + x B 2 , y A + y B 2 )
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde.
De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan dooreenzelfdepunt, het zwaartepunt van de driehoek.
Vergelijking van een zwaartelijn van een driehoek
Bepaal een cartesische vergelijking van de zwaartelijn z3 door C op [AB].
• co(M 3) =
• Vergelijking z3 door C en M3 :
Oefeningen
REEKS B
5 Gegeven: ∆ABC met co(A) = (0, 6), co(B) = (8, 2) en co(C) = (2, −4)
a)Bepaal een algemene vergelijking van de zwaartelijn z2 door B
b)Bepaal een algemene vergelijking van de zwaartelijn z1 door A.
6 Gegeven: ∆ABC
a) Bepaal een cartesische vergelijking van de zwaartelijn z2 door B
b)Bepaal een algemene vergelijking van de zwaartelijn z3 door C
REEKS C
7 Toon aan dat de zwaartelijnen van ∆ABC door één punt gaan (het zwaartepunt).
–4–3–2–1 O yB
–4–3–2–10 5 4 3 2 1 –1 –2 –3 12345678 x y 2–10 12 B A C
• Bereken de coördinaat van de middens van de zijden:
co( M 1 )=
co( M 2 )=
co( M 3 )=
• Stel de vergelijking op van de zwaartelijn z1 door A en M1 :
• Stel de vergelijking op van de zwaartelijn z2 door B en M2 :
• Stel de vergelijking op van de zwaartelijn z3 door C en M3 :
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt Z van z1 en z2 :
• Het snijpunt Z van z1 en z2 behoort tot z3 :
Besluit: de drie zwaartelijnen gaan door één punt Z, met coördinaat
9.2.1
Vrije en gebonden vectoren
9.2.2
Een vrije vector is een grootheid die bepaald wordt door een grootte, een richting en een zin.
Er geldt: a = AB = CD = EF = GH
Een gebonden vector is een vector die vast verbonden is aan een aangrijpingspunt
Kies het punt K als aangrijpingspunt en teken de gebonden vector KL die dezelfde grootte, richting en zin heeft als a .
Puntvectoren
Als je in het vlak een willekeurig punt O als oorsprong van een orthonormaal assenstelsel kiest, dan bepaalt elk punt P een vector OP .
Je kunt elke vector voorstellen als een puntvector.
Je noteert: P = OP
Je noemt die vector de puntvector van P.
Er geldt: OP = AB = CD
9.2.3 Bewerkingen met vectoren
AB + AC = AB + BD = AD
AD is de som van AB en AC .
EF // AB ⇒ EF = r ? AB (r ∈ r0)
EF is een scalair veelvoud van AB .
De vermenigvuldiging van een reëel getal met een vector noem je de scalaire vermenigvuldiging
9.2.4 Coördinaat van een puntvector y 1 y O 1 x x P( x, y) y Ex x E x E y E y
Als co( P ) = (x, y),
dan geldt: P = x E x + y E y
Daarbij zijn E x en E y eenheidsvectoren
Ze hebben grootte 1.
9.2.5 Coördinaat van een vrije vector 1 1 O x y A
Als co( A ) = (xA, yA) en co( B ) = (xB, yB),
dan geldt: co( AB ) = co( B ) – co( A ) = (xB – xA, yB – yA)
9.2.6 Norm van een vector
1 1 O x y A B xAxB yA yB
Als co( A ) = (xA, yA) en co( B ) = (xB, yB),
dan geldt: || A || = | OA | = x A 2 + y A 2 || AB || = | AB | = x B – x A ()2 + y B – y A ()2
9.3 Het inproduct van vectoren
9.3.1 Grafische
betekenis van het
inproduct
Arbeid is in de fysica een maat voor de inspanning die door een kracht geleverd wordt bijdeverplaatsing van een massa. Arbeid wordt uitgedrukt in joule (J).
In onderstaande voorbeelden is F een constante kracht en wordt de massa m verplaatst volgenseenvector s
De kracht en de verplaatsing hebben dezelfde richting
Als de richting van de uitgeoefende kracht evenwijdig is met de verplaatsing, danisdeverrichtearbeid gelijk aan W = ‖F ‖ ? ‖s ‖
De kracht en de verplaatsing hebben niet dezelfde richting
In een willekeurige richting is de arbeid gelijk aan het product van de component van de kracht in de richting van de weg (F’ ) en de afgelegde weg (s ).
De verrichte arbeid is gelijk aan
W = ‖F’ ‖ ? ‖s ‖
= ‖F ‖ ? cos a? ‖s ‖
= ‖F ‖ ‖s ‖ cos a
In de wiskunde noem je het product F ? s ? cos a het inproduct van de vectoren F en s
Andere benamingen zijn scalair product en inwendig product
Notatie: F s
Definitie Inproduct
Het inproduct van twee vectoren A en B is het product van de normen van die vectoren en de cosinus van de hoek a tussen die vectoren.
In symbolen A ? B = A ? B ? cos a
Opmerking
Het inproduct van twee vectoren is een reëel getal en geen vector: A ? B ∈ r
Voorbeelden • A = 2 B = 6 a = 60º ⇒ A ? B =
3
9.3.2 Eigenschappen van het inproduct
Inproduct van evenwijdige vectoren
De vectoren hebben dezelfde zin. De vectoren hebben een tegengestelde zin.
GEOGEBRA
A = en B = A = en B = A ? B = A ? B =
Het inproduct van twee evenwijdige vectoren met dezelfde zin is gelijk aan het product van hun normen.
Het inproduct van twee evenwijdige vectoren met tegengestelde zin is tegengesteld aan het product van hun normen. A B = A B cos 0º
A ? B ? 1
A ? B
Eigenschap Inproduct van evenwijdige vectoren
• A // B (dezelfde zin) ⇒ A ? B = A ? B
• A // B (tegengestelde zin) ⇒ A ? B = – A ? B
Inproduct van loodrechte vectoren
? B = A ? B ? cos 180º = A ? B ? (–1) = – A ? B
= en B
A ? B =
Eigenschap Inproduct van loodrechte vectoren
• A B ⇒ A ? B = 0
Het inproduct van twee vectoren die loodrecht op elkaar staan, is gelijk aan 0.
A ? B = A ? B ? cos 90°
= A ? B ? 0 = 0
Oefeningen
REEKS A
8 Bereken het inproduct van de vectoren A en B die een hoek a maken met elkaar. Rond af op 0,01 nauwkeurig.
a) A = 6 B = 4 a = 35º
b) A = 7,5 B = 3 a = 65º
c) A = 3,6 B = 4,5 a = 24º
d) A = 2,2 B = 1,8 a = 100º
9 Bereken het inproduct van de vectoren A en B . Rond af op 0,01. a)
10 Een wagentje wordt met een constante kracht van 80 N voortgetrokken over een afstand van 150 m op een horizontale weg.
Het handvat van het wagentje wordt in een hoek van 35º met de verplaatsingsrichting gehouden.
Bereken de arbeid verricht door de kracht. Rond af op 1 J.
11 Het zeilschip op de afbeelding wordt door mensen langs het kanaal voortgetrokken. Het kanaal is 2 500 m lang.
De totale kracht uitgeoefend door de mensen is 1 200 N.
De kracht maakt een hoek van 25º tussen de vaar− en trekrichting.
Bereken de verrichte arbeid op 1 J nauwkeurig.
12 De steel van een vloerboener maakt een hoek van 60º met de vloer.
De boener wordt met een kracht van 300 N voortgeduwd over een afstand van 10 m. Bereken de verrichte arbeid.
13 Een lorrie is een karretje dat op rails loopt. Twee personen trekken elk aan een touw de lorrie met dezelfde kracht van 10 N vooruit.
a)Bereken de totale kracht waarmee beide personen aan het karretje in de richting van de rails trekken. Rond af op 0,1 N.
b)Bereken de verrichte arbeid als de lorrie over een afstand van 150 m verplaatst wordt. Rond af op 0,1 J.
c)Beantwoord dezelfde vragen als de ene persoon met een kracht van 10 N trekt en de andere met een kracht van 6 N. De hoeken blijven gelijk.
9.3.3 Analytische uitdrukking van het inproduct
Voorbeeld
Bereken het inproduct A B als co ( A ) = (2, 5) en co ( B ) = (3, 1).
Je kunt A en B dan schrijven als A = 2 E x + 5 E y en B = 3 E x + 1 E y . A ? B = Algemeen
Neem de puntvectoren A en B met co ( A ) = (xA , yA ) en co ( B ) = (xB , yB ).
Je kunt A en B dan schrijven als A = xA ? E x + yA ? E y en B = xB ? E x + yB ? E y
Formule Analytische uitdrukking van het inproduct
Als co ( A ) = (xA , yA ) en co ( B ) = (xB , yB ), dan is A ? B = xA ? xB + yA ? yB
9.3.4 Hoek tussen twee vectoren
Gegeven: co ( A ) = (4, 1) en co ( B ) = (2, 3)
• Teken de vectoren in het assenstelsel.
• Meet de hoek tussen de vectoren op 1º nauwkeurig.
• Bereken A en B :
• Bereken A ? B :
A ? B =
• Bereken de hoek tussen de vectoren A en B
uit A ? B = A ? B ? cos a. Rond af op 10
Algemeen
Neem de puntvectoren A en B met co ( A ) = (xA , yA ) en co ( B ) = (xB , yB ).
Dan is A ? B = xA ? xB + yA ? yB en A
Uit A ? B = A ? B ? cos a volgt: cos a = A B A B = x A x B + y A y B
Daaruit kun je de hoek a tussen de vectoren A en B berekenen.
Formule Hoek tussen twee vectoren
Als co ( A ) = (xA , yA ) en co ( B ) = (xB , yB ),
dan is cos a =
Voorbeeld
Bereken de hoek tussen de vectoren A en B
Rond af op 10
Oefeningen
REEKS A
14 Bereken het inproduct van de vectoren.
a) co ( A ) = (–2, 5) en co ( B ) = (1, 8)
b) co ( C ) = (2, –5) en co ( D ) = (–4, –2)
c) co ( E ) = (8, –4) en co ( F ) = (4, 8)
d) co ( G ) = (0, 7) en co ( H ) = (6, –5)
REEKS B
15 Bereken het inproduct van de vectoren.
16 Teken de vectoren in het assenstelsel en meet de hoek op 1º nauwkeurig. Bereken de hoek tussen de vectoren. Rond af op 1 0 .
a) co ( A ) = (2, 0) en co ( B ) = (1, 4)
b) co ( C ) = (–2, 2) en co ( D ) = (4, 1)
c) co ( F ) = (3, –2) en co ( G ) = (2, –5)
d) co ( K ) = (–3, –1) en co ( L ) = (–1, 3)
18 Welke vectoren staan loodrecht op Q , met co ( Q ) = 2, –1 3 ? Vink aan. Q berekening
19 Een gelijkzijdige driehoek ABC heeft een omtrek p. Bereken AB ? AC .
REEKS C
20 Toon aan: AB CD + AC DB + AD BC = 0. Dat is de gelijkheid van Euler.
9.4 Vectoriële en parametrische vergelijkingen van een rechte
9.4.1 Rechte door de oorsprong
voorbeeld algemeen
Gegeven: de rechte p ⇔ y = 2x
4
GEOGEBRA
( x, y)
Het punt R (1, 2) behoort tot p.
Voor elk punt P (x, y) van p geldt:
P(x, y) ∈ p ⇔ OP = r OR (r ∈ r)
⇔ P = r ⋅ R
⇔ (x, y) = r ⋅ (1, 2)
Deze voorwaarde noem je een vectoriëlevergelijking van de rechte p
Je noteert: p ↔ (x, y) = r (1, 2)
De vector R (1, 2) is een richtingsvector voor p
Geef nog 2 andere richtingsvectoren van p:
De vectoriële vergelijking van de rechte p kan je ook als volgt schrijven:
p ↔ (x, y) = (r, 2r)of p ↔ {x = r y = 2r
Dit stelsel noem je een stel parametrische vergelijkingen van p (1,2) is een koppel richtingsgetallen van a
Gegeven: de rechte p ⇔ y = ax (a ∈ r 0)
,
)
( xR , yR)
Het punt R(x R , y R) behoort tot p
Voor elk punt P(x, y) van p geldt:
P(x, y) ∈ p ⇔ OP = r OR (r ∈ r)
⇔ P = r R
⇔ (x,y) = r (x R, y R)
Deze voorwaarde noem je een vectoriëlevergelijking van de rechte p
Je noteert: p ↔ (x, y) = r ⋅ ( x R , y R)
De vector R ( x R , y R) met y R = a ⋅ x R is een richtingsvector voor p
Alle vectoren K ( x K , y K) met y K = a x K (a ∈ r 0) zijn ook richtingsvectoren van p
De vectoriële vergelijking van de rechte p kan je ook als volgt schrijven:
p ↔ (x, y) = (r ⋅ x R , r ⋅ y R) of p ↔ {x = r x R y = r ⋅ y R
Dit stelsel noem je een stel parametrische vergelijkingen van p
(x R , y R) is een koppel richtingsgetallen van p
Besluit • Vectoriële vergelijking van een rechte p ↔ y = ax:
p ↔ P = r ⋅ R ⇔ (x, y) = r ⋅ (x R , y R) (met r ∈ r) ; hierbij is y R = a ⋅ x R
• Stel parametrische vergelijkingen van de rechte p ↔ y = ax: p ↔ {x = r x R y = r ⋅ y R
Voorbeeld 1
Gegeven: de rechte a ↔ y = − 3 2 x
• Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van de rechte a
• Vectoriële vergelijking:
Je kiest A (−2, 3) als richtingsvector
a ↔ P = r ⋅ A ⇔ (x, y) = r ⋅ (−2, 3) ⇔ (x, y) = (−2 r, 3 r)
• Stel parametrische vergelijkingen: a ↔ {x = −2 ⋅ r y = 3 r
• Bereken, via de parametrische vergelijkingen, de coördinaat van het punt B (5, y) van a
5 = –2 r y = 3 ⋅ r ⇔ r = ⇔ y =
Dus: co(B) =
• Ligt het punt C (–4, 7) op de rechte a?
–4 = –2 ⋅ r y = 3 ⋅ r ⇔
Voorbeeld 2
Gegeven: de rechte a ↔ y = 3x.
Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van a
• Je bepaalt een richtingsvector. Stel x = 1 ⇒ y = 3 co(R ) = (1, 3).
• Vectoriële vergelijking: a ↔
• Stel parametrische vergelijkingen: a ↔
Oefeningen
REEKS A
21 Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen.
a) a door O (0, 0) en A (2, 5)
c) c door O (0, 0) met rc c = –3
b) b door O (0, 0) en B (–4, 3)
d) d door O (0, 0) met rcd = 3 4 •
REEKS B
22 Gegeven: de rechte a ↔ y = 1 3 x
–3–2–1 O
–3–2–10 1 –1 2 123 x y a O
b) Bepaal, via het stel parametrische vergelijkingen,
• de coördinaat van het punt P (x, 7) van a
a)Stel een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen op.
• of het punt B (–12, –4) op rechte a ligt.
9.4.2 Rechte niet door de oorsprong
Een cartesische vergelijking is gegeven voorbeeld algemeen
Gegeven: de rechte p ↔ y = 1 2 x + 3
Besluit
De rechte p bevat het punt A (0, 3) en is evenwijdig met de rechte p0 door de oorsprong en met richtingsvector R (2, 1).
P (x, y) ∈ p ⇔ OP = OA + AP
⇔ OP = OA + r ? OR (r ∈ r)
⇔ P = A + r R
(x, y) = (0, 3) + r ? (2, 1)
Deze voorwaarde noem je een vectoriëlevergelijking van de rechte p
Je noteert: p ↔ (x, y) = (0, 3) + r (2, 1)
A (0, 3) is een plaatsvector en R (2, 1) is een richtingsvector voor de rechte p
Gegeven: de rechte p ↔ y = ax + b
Er geldt: p ↔ (x, y) = (0, 3) + (2 ⋅ r, r) of p ↔ {x = 2 r y = 3 + r
Dit stelsel noem je een stel parametrische vergelijkingen van p
De rechte p bevat het punt A (xA , yA) en is evenwijdig met de rechte p0 door de oorsprong en met richtingsvector R (xR , yR).
P (x, y) ∈ p ⇔ OP = OA + AP
⇔ OP = OA + r ? OR (r ∈ r)
⇔ P = A + r R
⇔ (x, y) = (xA , yA) + r ? (xR , yR)
Deze voorwaarde noem je een vectoriëlevergelijking van de rechte p
Je noteert: p ↔ (x, y) = (x A , y A) + r (x R , y R)
A (x A , y A) is een plaatsvector en R (x R , y R) met y R = a ⋅ x R is een richtingsvector voor de rechte p.
Er geldt: p ↔ (x, y) = ( x A , y A) + (r ⋅ x R , r ⋅ y R) of p ↔ {x = x A + r ⋅ x R y = y A + r ⋅ y R
Dit stelsel noem je een stel parametrische vergelijkingen van p
• Vectoriële vergelijking van de rechte p ↔ y = ax + b: p ↔ P = A + r ⋅ R ⇔ (x, y) = (x A , y A) + r ⋅ (x R , y R) (met r ∈ r); hierbij is y A = a ⋅ x A + b en yR = a ⋅ x R
• Stel parametrische vergelijkingen van de rechte p ↔ y = ax + b: p ↔ {x = x A + r ⋅ x R y = y A + r ⋅ y R
Voorbeeld 1
Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van de rechte a –3–2–1 O 1 2 123 x y p B A
• Vectoriële vergelijking:
• Stel parametrische vergelijkingen:
Voorbeeld 2
Gegeven: de rechte a ↔ y = −4x + 5
Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van a
co(R ) = ;stel: x = 0 ⇒ y = , dus co(A ) =
• Vectoriële vergelijking:
• Stel parametrische vergelijkingen: a ↔
Opmerking
Stellen parametervergelijkingen zijn niet uniek bepaald.
Een rechte heeft oneindig veel verschillende parametervergelijkingen.
Toon aan dat de volgende stellen parametervergelijkingen horen bij dezelfde rechte a (1) {x = 3 + 2r y = 4 + 3r (2){x = 3 + 4r y = 4 + 6r (3) {x = 3 + 20r y = 4 + 30r (4){x = 5 + 2r y = 7 + 3r (5) {x = 23 + 2r y = 34 + 3r (6) {x = −1 + 2r y = −2 + 3r
Oefeningen
REEKS A
23 Bepaal een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen.
b) Bepaal een stel parametrische vergelijkingen van de rechte b // a, door C (–2, 1).
28 Gegeven: de rechte a ↔ y = − 3 5 x + 4 5
a)Stel een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen op.
b) Bepaal, via het stel parametrische vergelijkingen, • de coördinaat van het punt P (10, y) van a
• of het punt C (−7, 4) op de rechte a ligt.
29 Gegeven: de rechte a door de punten A (–4, –1) en B (3, 2).
a)Stel een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen op.
b) Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de x−as.
c) Bepaal de coördinaat van het snijpunt met de y−as.
30 Teken de rechte a ↔ (x, y) = (–5, 1) + r ? (8, –2). –5–4–3–2–10
Een eenparige rechtlijnige beweging (ERB) is een beweging met een constante snelheid, richting en zin. Als een puntmassa P op een lijn beweegt met beginpositie P0 en een constante snelheid v, dan geldt: P = P0 + t ? v
Daarbij is t de tijd (in s) en || v || de snelheid (in m/s).
31 Twee punten P en Q bewegen eenparig rechtlijnig in een orthonormaal assenstelsel.
Op t = 0 bevindt P zich in (1, 2) en Q in (1, 0).
Na zes seconden bevindt P zich in (7, 6) en Q in (6, 7).
a)Bepaal een vectoriële vergelijking van beide banen.
b)Bepaal de positie van beide puntmassa’s na een halve minuut.
c)Bereken de snelheid van beide puntmassa’s. Rond af op 0,01 m/s.
d)Toon aan dat de puntmassa’s niet zullen botsen.
9.5.1 Rechte door de oorsprong
voorbeeld algemeen
Stel: p is een rechte door de oorsprong met richtingsvector R (4, –3).
GEOGEBRA
Dan: p ↔ x = 4r y = –3r
Je elimineert r uit het stelsel:
r = x 4
r = –y 3 x 4 = –y 3 y = –3 4 x ⇒⇔
Die vergelijking is van de vorm y = a x, met a = –3 4
Stel: p is een rechte door de oorsprong met richtingsvector R (xR , yR ) en xR , yR ≠ 0.
Dan: p ↔ x = r x R y = r y R
Je elimineert r uit het stelsel:
r = x x R
r = y y R x x R = y y R y = y R x R x
Die vergelijking is van de vorm y = a x, met a = y R x R
Besluit Een rechte door de oorsprong met koppel richtingsgetallen (xR , yR )(met xR , yR ≠ 0)
heeft een cartesische vergelijking y = y R x R ? x.
De richtingscoëfficiënt van die rechte is y R x R
Bijzondere gevallen
• Als xR = 0, dan is de vergelijking x = 0 (de vergelijking van de y−as).
• Als yR = 0, dan is de vergelijking y = 0 (de vergelijking van de x−as).
Voorbeeld
Bepaal van de rechte a ↔ x = –3r y = 7r
• een cartesische vergelijking:
• een algemene vergelijking:
9.5.2 Rechte niet door de oorsprong
voorbeeld algemeen
Stel: p is een rechte door A (–3, 5)
met richtingsvector R (4, 3).
Dan: p ↔
x = –3 + 4r y = 5 + 3r
Je elimineert r uit het stelsel:
x + 3 = 4r y – 5 = 3r r = x + 3 4 r = y – 5 3 ⇔
⇒ x + 3 4 = y – 5 3 ⇔ 3 (x + 3) = 4 (y – 5)
⇔ y – 5 = 3 4 ? (x + 3)
Stel: p is een rechte door A (xA , yA ) met richtingsvector R (xR , yR ) en xR , yR ≠ 0.
Dan: p ↔ x = x A + r x R y = y A + r y R
Je elimineert r uit het stelsel: x – x A = r x R y – y A = r y R r = x – x
yR ? (x – xA ) = xR ? (y – yA ) ⇔ y – yA = y R x R ? (x – xA )
Besluit Een rechte door A (xA , yA ) met koppel richtingsgetallen (xR , yR ) (met xR , yR ≠ 0) heeft een cartesische vergelijking y – yA = y R x R (x – xA ).
Bijzondere gevallen
• Als xR = 0, dan is de vergelijking x = xA (een rechte evenwijdig met de y−as).
• Als yR = 0, dan is de vergelijking y = yA (een rechte evenwijdig met de x−as).
Voorbeeld
Bepaal van de rechte a ↔ x = 2 – 4r y = –3 + r
• een cartesische vergelijking:
• een algemene vergelijking:
Oefeningen
REEKS A
32 Stel een cartesische en een algemene vergelijking op van de rechten.
a) a ↔ x = 5r y = – r
d) d ↔ x = –9 y = 5 – 5r
b) b ↔ x = 3 – 8r y = 2r
e) e ↔ x = 11 –1 2 r y = –2 + 3r
c) c ↔ x = –5 + 3r y = 2 – 4r
f) f ↔ x = 1 + 4 3 r y = –3 + 2 5 r
REEKS B
33 Bepaal een stel parametrische vergelijkingen en stel een cartesische en een algemene vergelijking op van de rechten
a)door O (0, 0) en A (4, –3).
d) door E (5, –2) met co ( R ) = (3, 0). •
b) door B (–1, 2) met co ( R ) = (2, 3).
e)door F (–6, 4) en G (3, 9).
c)door C (0, 3) en D (2, –1).
f)door H (2, 5) en J (2, –2).
Bepaal de ontbrekende vergelijkingen.
rechte vectorieel parametrischcartesischalgemeen
a y = –2 7 x + 4
b (x, y) = (–1, 3) + r (2, –5)
c x = –1 + 9r y = 5 + 2r
9.6 Normaalvector van een rechte
9.6.1 Definitie
Beschouw een willekeurige rechte a
Een loodlijn op a door een punt P noem je een normaal van de rechte a.
Elke vector n waarvan het begin− en eindpunt op een normaal liggen, noem je een normaalvector van de rechte a
Definitie
Normaalvector
Een normaalvector van een rechte is een vector loodrecht op die rechte.
Een rechte heeft oneindig veel normaalvectoren.
Als n1 een normaalvector is van a, bepaal dan alle andere normaalvectoren n .
9.6.2 Eigenschap
Eigenschap
Stel: R is een richtingsvector voor a
Uit de loodrechte stand van de dragers van de vectoren n1 en N ten opzichte van a volgt: n1 R en N R
Als N een normaalvector is van een rechte met richtingsvector R , dan geldt: N R .
9.6.3
Een
normaalvector van een rechte bepalen
Bepaal een normaalvector N van de rechte a ↔ 3x – 2y – 4 = 0. x y N R +3 +2 a –1 O 1234 –2 –1 1
Stel: co ( N ) = (xN , yN )
• De richtingscoëfficiënt van a is 3 2
⇒ R (2, 3) is een richtingsvector voor a
• N R inproduct ⇔ N ? R = 0
analytische uitdrukking inproduct
xN xR + yN yR = 0
⇒ xN ? 2 + yN ? 3 = 0 ⇔ yN = –2 3 ? xN
• Elk koppel (xN , yN ) waarbij yN = –2 3 xN voldoet aan de voorwaarde.
Stel: xN = 3 ⇒ yN = –2
Besluit: N (3, –2) is een normaalvector van a
Algemeen
Bepaal een normaalvector N van de rechte a ↔ ux + vy + w = 0(u, v ≠ 0).
Stel: co ( N ) = (xN , yN )
• De richtingscoëfficiënt van a is –u v ⇒ R (v, –u) is een richtingsvector voor a.
• N R inproduct ⇔ N ? R = 0 analytische uitdrukking inproduct xN ? xR + yN ? yR = 0
⇒ xN ? v – yN ? u = 0 ⇔ yN = v u x N
• Elke koppel (xN , yN ) waarbij yN = v u x N voldoet aan de voorwaarde.
c) c ↔ 2x – 7y + 5 = 0 h) h ↔ y = –4 3 x + 3 d) d ↔ 4y – 9 = 0 i) i ↔ x = –6
e) e ↔ –x + 3 = 0
j) j ↔ y = 7 4 x – 1
9.6.4 Van algemene vergelijking naar parametrische vergelijkingen
Voorbeeld 1
Bepaal een stel parametrische vergelijkingen van de rechte a ↔ 4x + 3y – 5 = 0.
• N (4, 3) is een normaalvector van a ⇒ R (3, –4) is een richtingsvector voor a
• Bepaling van een plaatsvector A : a ↔ 4x + 3y – 5 = 0 ⇔ y = –4 3 x + 5 3
Stel: x = 2 ⇒ y = –1 ⇒ co ( A ) = (2, –1)
• Vectoriële vergelijking:
• Stel parametrische vergelijkingen: Voorbeeld 2
Bepaal een stel parametrische vergelijkingen van de rechte b ↔ –3x + 2 = 0.
• De rechte b is evenwijdig met de y−as ⇒ R (0, 1) is een richtingsvector voor b
• Bepaling van een plaatsvector A : b ↔ x = 2 3 ⇒ elk punt met x−coördinaat 2 3 is een plaatsvector ⇒ co ( A ) = 2 3 , 0
• Vectoriële vergelijking:
• Stel parametrische vergelijkingen:
9.6.5 Van parametrische vergelijkingen naar algemene vergelijking
Je kunt de eigenschap van paragraaf 9.6.3 ook gebruiken om een stel parametrische vergelijkingen om te zetten naar een algemene vergelijking.
Bepaal de algemene vergelijking van de rechte c ↔ x = –6 + r y = 5 + 4r
• co ( R ) = (1, 4) = (v, –u) ⇒ co ( N ) = (u, v) = (–4, 1) ⇒ c ↔ –4x + y + w = 0
• (–6, 5) ∈ c ⇔ –4 ? (–6) + 5 + w = 0 ⇔ w = –29
• Algemene vergelijking: –4x + y – 29 = 0
Oefeningen
REEKS B
36 Bepaal een richtingsvector en een normaalvector van de rechten. Stel daarna een algemene vergelijking op.
a) a door O (0, 0) en A (5, –6)
d) d door F (–5, –9) en G (–2, 12)
b) b door B (–1, 2) en C (3, 5)
e) e door H (0, –4) en I (–2, –4)
c) c door D (3, 8) en E (7, 3)
f) f door J 1 3 , –1 en K 5 2 , 9 4
37 Bepaal een richtingsvector en een normaalvector van de rechten. Stel daarna een stel parametrische vergelijkingen op. a) a ↔ –x + 3y = 0 d) d ↔ 6x – 7y + 4 = 0 b) b ↔ 5x + 2y – 3 = 0 e) e ↔ y = 2x – 5
c) c ↔ 3x – 10 = 0 f) f ↔ –3 4 x + 1 2 y + 3 = 0
9.7 Onderlinge ligging van twee rechten in een orthonormaal assenstelsel
9.7.1 Evenwijdige rechten
Cartesische vergelijking
Stel: p en q zijn niet−verticale rechten.
GEOGEBRA
Kenmerk
Als p ↔ y = ax + b en q ↔ y = cx + d, dan geldt:
• p // q ⇔ rc p = rc q ⇔ a = c en b ≠ d ;
• p = q ⇔ a = c en b = d
Algemene vergelijking
–3–2–1 O 1 –1 2 123 x y p iq h N q N Rp qR p
Kenmerk Als p ↔ ux + vy + w = 0, dan geldt:
Stel: p ↔ u1 x + v1 y + w1 = 0 q ↔ u2 x + v2 y + w2 = 0
• p is evenwijdig met q
⇔ N q = k ? N p (k ∈ r0 )
⇔ (u2 , v2 ) = k ? (u1 , v1 )
⇔ u2 = k ? u1 en v2 = k ? v1
• p is samenvallend met q ⇔ u2 = k ? u1, v2 = k ? v1 en w2 = k ? w1
• p // q ⇔ q ↔ k ? ux + k ? vy + l = 0(k ∈ r0 en l ≠ k ? w);
• p = q ⇔ q ↔ k ? ux + k ? vy + k ? w = 0(k ∈ r0).
Voorbeelden
• Bepaal een vergelijking van de rechte q, evenwijdig met p ↔ y = –3x + 4, door P (2, 5).
• Gegeven: a ↔ –3x + 2y – 3 = 0 en b ↔ 6x – 4y + 8 = 0
Toon aan dat a // b, zonder de richtingscoëfficiënt te berekenen.
Oefeningen
REEKS A
38 Bepaal de onderlinge ligging (//, =, // ) van de rechten.
a) a ↔ y = 4x + 5
b) c ↔ –3x + 5y + 1 = 0
b ↔ y = 4x – 1
d ↔ 9x – 10y – 3 = 0
c) e ↔ 2y = –x + 4
d) g ↔ x – 3y + 2 = 0
f ↔ y = –1 2 x + 1
h ↔ –4x + 12y – 8 = 0
e) i ↔ y = 3 4 x – 3 j ↔ 3x – 4y – 8 = 0
f) k ↔ 2x + 4y – 1 = 0
l ↔ y = –3 4 x –1 4
39 Vorm de vergelijkingen om tot cartesische vergelijkingen. Bepaal de onderlinge ligging (//, =, // ) van de rechten.
a) a ↔ (x, y) = (2, 6) + r (2, 8)
b ↔ (x, y) = (0, –2) + r (1, 4)
b) c ↔ (x, y) = (–1, 4) + r (1, –2)
d ↔ (x, y) = (2, –4) + r (–3, 6)
c) e ↔ (x, y) = r ? (3, 5) f ↔ (x, y) = (3, –2) + r ? (2, 4)
d) g ↔ (x, y) = (–5, 2) + r (3, –1)
h ↔ 2x + 6y – 3 = 0
e) i ↔ (x, y) = (4, –7) + r (0, –3)
j ↔ 3x + y = 0
40 Vorm de vergelijkingen om tot cartesische vergelijkingen. Bepaal de onderlinge ligging (//, =, // ) van de rechten.
a) a ↔ x = 2r y = –1 – 6r
b) c ↔ x = 3 – 5r y = –4 + r
c) e ↔ x = –2 + r y = 4 – 3r
d) g ↔ x = 1 + 2r y = –3 – 4r
e) i ↔ x = –1 + 4r y = 5
b ↔ x = –2 – r y = 11 + 3r
d ↔ x = –8 + 3r y = 1 – 2r
f ↔ x = 1 – 3r y = –5 + 9r
h ↔ 6x + 3y + 3 = 0
j ↔ 2y + 4 = 0
41 Bepaal een cartesische vergelijking van de rechte
a) a door A (4, 9) en evenwijdig met p ↔ y = –x + 3.
b) b door B (2, 0) en evenwijdig met q door P (–3, 1) en Q (1, 9).
c) c door C (–5, 7) en evenwijdig met r door K (–1, 3) en L (6, –1).
d) d door D (3, –2) en evenwijdig met de y−as.
42 Bepaal een algemene vergelijking van de rechte
a) a door A (6, –2) en evenwijdig met p ↔ 2x + 3y – 4 = 0.
b) b door B (–4, 5) en evenwijdig met q ↔ –3x + 7y – 1 = 0.
c) c door C (–3, 0) en evenwijdig met r door P (1, 2) en Q (5, 4).
d) d door D (2, 8) en evenwijdig met s door K (–3, 3) en L (1, –6).
Gegeven: a ↔ x – 2y – 3 = 0 en b ↔ 2x + y – 1 = 0
De rechten a en b staan loodrecht op elkaar.
• Bepaal een richtingsvector voor a en b:
co ( R a ) = co ( Rb ) =
• Bereken het inproduct: R a Rb =
• Bepaal een normaalvector voor a en b:
• Bereken het inproduct: N a Nb =
• Bepaal de richtingscoëfficiënt van de rechten a en b en bereken het product:
Voorwaarde voor loodrechte stand
Kenmerk 1 Als
dan geldt:
Bewijs a b ⇔ R a Rb ⇔ R a Rb = 0 co ( R a ) = (v1 , –u1 ) en co ( Rb ) = (
Dus:
Kenmerk 2 Als a en b rechten zijn, niet evenwijdig met de assen, dan geldt: a b ⇔ rc a ? rc b = –1.
Bewijs
Stel:
Dus:
Voorwaarde voor loodrechte stand: alternatief bewijs
9.7.3 Toepassingen
Loodrechte stand van rechten aantonen
• Toon aan dat a ↔ 4x – 3y + 5 = 0 en b ↔ 6x + 8y – 1 = 0 loodrecht op elkaar staan.
• Toon aan dat c ↔ y = –3x + 5 en d ↔ y = 1 3 x – 1loodrecht op elkaar staan.
Vergelijking van een loodlijn op een niet−verticale rechte
Werkwijze Om een vergelijking van de loodlijn l door P (xP , yP ) op de rechte r te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de richtingscoëfficiënt van de loodlijn: rc l ? rc r = –1 ⇔ rc l =
• Stel een vergelijking op van de loodlijn l
Bepaal een vergelijking van de loodlijn b door P (1, –1) op de rechte a ↔ y = 2 3 x – 4.
Vergelijking van een hoogtelijn van een driehoek
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt die loodrecht staat op de overstaande zijde.
Werkwijze Om een vergelijking van een hoogtelijn van een driehoek te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de richtingscoëfficiënt van een gegeven zijde.
• Stel een vergelijking op van de loodlijn door het hoekpunt op de zijde.
Gegeven: ∆ABC door A (2, 3), B (–3, 2) en C (3, –4)
• Bepaal een vergelijking van de hoogtelijn h door A op [BC].
• Teken die hoogtelijn op de figuur.
• Bepaal de coördinaat van het voetpunt D van h op de rechte BC
Vergelijking van de middelloodlijn van een lijnstuk
Werkwijze Om een vergelijking van de middelloodlijn van een lijnstuk [PQ] te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de coördinaat van het midden M van [PQ]: co(M) = x P + x Q 2 , y P + y Q 2
• Stel een vergelijking op van de loodlijn door M op PQ
Bepaal een vergelijking van de middelloodlijn m van P (–5, 2) en Q (3, 4).
Oefeningen
REEKS A
43 Staan de rechten loodrecht op elkaar ( ) of niet ( )? Verklaar.
e ↔ –4x + 2y – 3 = 0 en f ↔ 3x – 6y + 1 = 0
d) g ↔ y = 3x – 4 en h ↔ x + 3y – 5 = 0 rr e) i ↔ y = 7 4 x – 3 en j door A (–5, 8) en B (2, 3) rr f) k door C (2, 5) en D (6, –1) en l ↔ –2x + 3y – 4 = 0
44 Bepaal de cartesische vergelijking van de loodlijn b door P op a.
a) a ↔ y = –4x + 7 P (–3, –8)
b) a ↔ 5x + 6y – 7 = 0 P (2, 9)
c) a ↔ 4x – 9y + 5 = 0 P (1, –5)
d) a door A (–3, –2) en B (4, 5) P (–6, 5)
e) a door A (1, 10) en B (6, –2) P (–2, –4)
45 Bepaal de cartesische vergelijking van de middelloodlijn m van [AB].
a) co(A) = (0, –2) en co(B) = (4, 10)
b) co(A) = (–3, –1) en co(B) = (1, 1)
c)co(A) = (2, 5) en co(B) = (9, 14)
d)co(A) = (3, –3) en co(B) = (3, 8)
46 Gegeven: ∆ABC door A (–1, 0), B (1, 4) en C (5, 3)
a)Bepaal een vergelijking van de hoogtelijn hC door C op [AB].
b)Bepaal een vergelijking van de hoogtelijn hB door B op [AC].
c)Bepaal de coördinaat van het snijpunt S van hC en hB
47 Toon aan dat ABC door A (–2, –1), B (2, 3) en C (7, –2) rechthoekig is.
48 Gegeven: ∆ABC door A (–1, 0), B (1, 4) en C (5, 3)
Toon met ICT aan dat:
a)de drie hoogtelijnen concurrent zijn; b)de drie middelloodlijnen concurrent zijn.
REEKS C
49 Gegeven:een vierkant ABCD met zijde 6 M is het midden van zijde [AD] en N is het midden van zijde [CD].
Toon aan: CM BN.
50 Bereken de parameter m, zodat a en b loodrecht op elkaar staan.
9.8 Hoek tussen twee snijdende rechten in een orthonormaal assenstelsel
9.8.1 Begripsvorming
Gegeven: a en b zijn rechten die elkaar snijden in het punt S
In S sluiten de rechten twee verschillende hoeken in:
GEOGEBRA
a = A ^ SB en b = B ^ SC
Er geldt:
0º < a ⩽ 90º
90º ⩽ b < 180º
a + b = 180º
Definitie Hoek tussen snijdende rechten
De hoek tussen twee snijdende rechten is de scherpe hoek of rechte hoek die de rechten vormen in hun snijpunt.
9.8.2 De hoek berekenen
Stel: a ↔ (x, y) = (–1, 1) + r (3, 1)
b ↔ (x, y) = (–1, 1) + r (2, –1)
De hoek a tussen a en b is gelijk aan de hoek tussen de richtingsvectoren R a (3, 1) en Rb (2, –1).
Je kunt die hoek berekenen met behulp van het inproduct van R a en Rb
cos a = R a Rb
R a =
⇒ a = Opmerking
Ook R’b (–2, 1) is een richtingsvector van b
cos b = R a R’b R a R’b =
⇒ b =
De hoek tussen R a en R’b is . De hoek tussen a en b is dan
Werkwijze Om de hoek tussen twee snijdende rechten a en b te berekenen, ga je als volgt te werk:
• Bepaal van elke rechte een richtingsvector.
• Gebruik de formule cos a = R a Rb Rb R a
Als je een stompe hoek verkrijgt, is het supplement van die hoek de gevraagde hoek.
Opmerking
Je berekent de hoek tussen twee snijdende rechten altijd op 1" nauwkeurig.
Voorbeeld 1
Bereken de hoek tussen de rechten a
De hoek tussen a en b is
Voorbeeld 2
Bereken de hoek tussen de rechten a
+ 2y – 1 = 0 en b ↔ –4x + 3y + 3 = 0.
De hoek tussen a en b is
Oefeningen
REEKS B
51 Bereken de hoek tussen de rechten.
a) a ↔ (x, y) = r ? (–1, 1) b ↔ (x, y) = r ? (2, 5)
b) c ↔ (x, y) = (–3, 2) + r ? (2, –7) d ↔ (x, y) = (4, 1) + r ? (3, 2)
c) e ↔ y = 3 + 5r
x = -2r f ↔ x = –1 + 3r y = 5 + r
d) g is de x−as h ↔ (x, y) = (2, 5) + r ? (1, 4)
Bereken de hoek tussen de
a) a ↔ y = x + 2 b ↔ y = 3 2 x – 1
9.9 Afstand tussen een punt en een rechte
in een orthonormaal assenstelsel
9.9.1 Afstand tussen twee punten
GEOGEBRA
Formule
Als co(A) = (xA , yA ) en co(B) = (xB , yB ), dan is de afstand tussen A en B:
AB = = – A B AB = x B – x A ()2 + y B – y A ()2
De afstand tussen de punten A (xA , yA ) en B (xB , yB ) is gelijk aan x B – x A ()2 + y B – y A ()2 .
Voorbeeld
Bereken de afstand tussen de punten A (–3, 7) en B (2, –5).
9.9.2 Afstand tussen een punt en een rechte
Definitie Afstand tussen een punt en een rechte
De afstand tussen een punt P en een rechte r is de afstand van P tot het voetpunt S van de loodlijn door P op r
Notatie
d(P, r) is de afstand van het punt P tot de rechte r P r S d(P, r) d(P, r) = | PS | ⇔ PS r en S ∈ r
Opmerking
Als P ∈ r, dan is d(P, r) = 0.
9.9.3 Formule voor de afstand tussen een punt en een rechte
Voorbeeld
Bereken de afstand tussen P (–1, –2) en de rechte r ↔ 2x + 3y – 2 = 0.
• Bepaal de cartesische vergelijking van de loodlijn l op r door P: rc r = –2 3 ⇒ rc l = 3 2 l ↔ y + 2 = 3 2 ? (x + 1)
y + 2 = 3 2 x + 3 2
y = 3 2 x –1 2
• Bereken de coördinaat van het snijpunt S van I en r:
⇒ co(S) = 7 13 , 4 13
• Bereken de afstand tussen P en S:
• Besluit: d(P, r) = | PS | = 1013 13 (≈ 2,77)
Algemeen
Gegeven: P (xP , yP ) en r ↔ ux + vy + w = 0
Gevraagd: d(P, r)
Eerste geval: u ≠ 0 en v ≠ 0
–1–2–3 O 1 –1 2 3 123 x y S r P(xP , yP ) l
• Bepaal de cartesische vergelijking van de loodlijn l op r door P:
rc r = –u v ⇒ rc l = v u
l ↔ y – yP = v u (x – x p )
⇔ y – yP = v u x –v u xP
⇔ y = v u x –v u xP + yP
• Bepaal de coördinaat van het snijpunt S van l en r: ux + vy + w =0
y = v u x –v u x P + y P ux + v v u x –v u x P + y P + w =0 y = v u x –v u ux + v 2 u x –v 2 u x P y = v u x –v u x P + y P
+ vy P + w
u 2 + v 2 u x = v 2 u x P y = v u x –v u x P + y P x = v 2 x P – uvy P – uw u 2 + v 2 y = v u v 2 x P – uvy P – uw u 2 + v 2 –v u x P + y P
x = v 2 x P – uvy P – uw u 2 + v 2 y = v 3 x P – uv 2 y P – uvw – v u 2 + v 2 () x P + u u 2 + v 2 () u u 2 + v 2 ()
– vy P – w x P + y P y P
x = v 2 x P – uvy P – uw u 2 + v 2 y = v 3 x P – uv 2 y P – uvw – vu 2 x P – v 3 x P + u 3 y P + uv 2 y P u u 2 + v 2 ()
x = v 2 x P – uvy P – uw
u 2 + v 2 y = –uvw – vu 2 x P + u 3 y P u u 2 + v 2 () x = v 2 x P – uvy P – uw u 2 + v 2 y = u 2y P – uvx P – vw u 2 + v 2
co(S )= v 2 x P – uvy P – uw
u 2 + v 2 , u 2 y P – uvx P – vw u 2 + v 2
Tweede geval
Derde geval:
De rechte r is een verticale rechte en de rechte I is een horizontale rechte.
Analoog kun je dan aantonen dat
Formule De afstand tussen een punt P (xP , yP ) en een rechte r ↔ ux + vy + w = 0 is gelijk aan d(P, r ) = ux P + vy P + w u 2 + v 2
Voorbeelden
a)Bereken de afstand tussen P (–1, –2) en de rechte r ↔ 2x + 3y – 2 = 0.
b)Bereken de afstand tussen P (2, 6) en de rechte r ↔ y = 2 5 x – 3.
c)Bereken de oppervlakte van ∆ABC
–2–1 O
(–2,–1)
–2–10 2 1 –1 –2 –3 1234 x y
(2,2) C(4,–3)
• Je berekent de hoogte van ∆ABC = d(B, AC):
• Je neemt de zijde [AC] als basis:
• Je berekent de oppervlakte van ∆ABC:
• Vergelijking van de rechte AC:
Oefeningen
REEKS A
53 Bereken de afstand tussen het punt P en de rechte r.
a) co(P) = (–4, 2)
↔ 3x – 4y – 5 = 0 b) co(P) = (3, 0)
+ 2y + 1 = 0 c) co(P) = (1, 7)
– 10 = 0 d) co(P) = (–1, –6)
↔ y = 3x – 1 e) co(P) = (4, –3) r ↔ y = 1 2 x f) co(P) = (3, 11)
54 Bereken de afstand tussen het punt P en de rechte r.
a) co(P) = (2, 7) r gaat door A (0, 0) en B (–1, 4)
b) co(P) = (–1, 5)
r gaat door A (–3, –2) en B (3, 10)
c) co(P) = (4, 9)
r gaat door A (–5, 7) en B (5, –8)
d) co(P) = (3, –2)
r gaat door A (4, –1) en B (4, 7)
e) co(P) = –5 2 , 4 r gaat door A (3, –2) en B (6, 9)
55 Bereken de oppervlakte van ABC.
56 Bereken de oppervlakte van DEF met co(D) = (–8, 3), co(E) = (6, 6) en co(F) = (1, –5). –1–2–312345
57 Gegeven: r ↔ –4x + 2y – 5 = 0
A (–3, –7), B (0, 7), C (2, 2), D (5, 10)
a)Welk punt ligt het dichtst bij de rechte r?
b)Bepaal een algemene vergelijking van de rechte s door de twee punten die even ver van r liggen.
c)Toon aan dat beide punten niet aan dezelfde kant van r liggen.
d)Bereken de hoek tussen de rechten r en s
58 Bereken de afstand tussen de evenwijdige rechten
• Kies een punt A op de rechte r
• Bereken de afstand tussen A en de rechte s
• De afstand tussen de rechten r en s is de afstand tussen A en s en is dus gelijk aan
59 Bereken de afstand tussen de evenwijdige rechten r ↔
60 Bereken de afstand tussen de evenwijdige rechten
61 Gegeven: ABC met co(A) = (1, 1), co(B) = (4, 2) en co(C) = (2, 4) M is het midden van [AC] en N is het midden van [BC]. Bereken de oppervlakte van de rechthoek MNPQ
62 Bereken de parameter m
a) r ↔ 3x – 4y + 5 = 0co(P) = (–2, m)d(P, r) = 2
b) r ↔ 5x + 4y – 3 = 0co(P) = (m, 3) d(P, r) = 5
a) r ↔ mx + 2y – 3 = 0co(P ) = (3, 5) d(P, r ) = 3
b) r ↔ mx – 3y + 5 = 0co(P ) = (–2, 4)d(P, r ) = 1
c) r ↔ y = –4 m x + 3 (m ≠ 0)co(P ) = (–5, –2)d(P, r ) = 10
64 P (m, –1) ligt even ver van r ↔ 2x + y + 3 = 0 als van s ↔ –3x + 4y – 2 = 0. Bereken de parameter m. Rond af op 0,01.
65 Bepaal de cartesische vergelijking van de rechte r door het punt P (–2, 3) die op een afstand 4 van het punt Q (2, 5) ligt.
Kenmerk
De bissectrices van twee snijdende rechten bepalen
Een bissectrice of deellijn van twee snijdende rechten is een rechte die de hoek in twee gelijke delen verdeelt.
Een punt ligt op een bissectrice van een hoek gevormd door twee snijdende rechten als en slechts als het punt even ver ligt van de twee rechten.
In symbolen: P ∈ b (een bissectrice van r en s) ⇔ d(P, r) = d(P, s)
Voorbeeld
• Bepaal de vergelijkingen van de bissectrices b1 en b2 van de rechten
Een rechte door de oorsprong heeft als vergelijking y = ax
Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r
Horizontale rechten hebben als richtingscoëfficiënt 0.
Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s
Verticale rechten hebben geen richtingscoëfficiënt.
Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b (met a ∈ r0), y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0.
Dat noem je de algemene cartesische vergelijking van de rechte.
Een vergelijking van de rechte r, met richtingscoëfficiënt a, die het punt P (x1 , y1 ) bevat, is: r ↔ y − y1 = a ? (x − x1 ).
De richtingscoëfficiënt a van een rechte bepaald door A (x1 , y1 ) en B (x2 , y2 ) is a = y 2 – y 1 x 2 – x 1 (als x1 ≠ x2).
Een vergelijking van de rechte r die de punten A (x1 , y1 ) en B (x2 , y2 ) bevat, is r ↔ y – y1 = y 2 – y 1 x 2 – x 1 ? (x – x1)(als x1 ≠ x2).
Als M het midden is van het lijnstuk [AB], dan (x M , y M) = ( x A + x B 2 , y A + y B 2 )
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. KUNNEN
De richtingscoëfficiënt berekenen van een rechte door twee punten.
Een cartesische vergelijking en een algemene vergelijking opstellen van een rechte als de richtingscoëfficiënt en een punt of twee punten gegeven zijn.
Een vergelijking opstellen van de zwaartelijnen van een driehoek.
9.2 Het vectorvlak
Als co( A ) = (xA, yA) en co( B ) = (xB, yB),
dan geldt: co( AB ) = co( B ) – co( A ) = (xB – xA, yB – yA)
Als co( A ) = (xA, yA) en co( B ) = (xB, yB), dan geldt: || A || = | OA | = x
Het onderscheid kennen tussen vrije en gebonden vectoren, en in het bijzonder puntvectoren.
Bewerkingen uitvoeren met vectoren met behulp van de coördinaat van de vector. De norm van een vector berekenen.
9.3 Het inproduct van vectoren voor de leerling voor de leerkracht
KENNEN
Het inproduct van twee vectoren A en B is het product van de normen van die vectoren en de cosinus van de hoek a tussen die vectoren.
A // B (dezelfde zin) ⇒ A B = || A || ||B ||
A // B (tegengestelde zin) ⇒ A B = – A ||B ||
A B ⇒ A B = 0
Als co( A ) = (xA , yA ) en co( B ) = (xB , yB ),
dan is A B = xB yB + yA yB
Als co( A ) = (xA , yA ) en co( B ) = (xB , yB ),
dan is cos a = x A x B + y A y B x A 2 + y A 2 x B 2 + y B 2
Het inproduct tussen twee vectoren berekenen.
De hoek tussen twee vectoren berekenen.
9.4 Vectoriële en parametrische vergelijking van een rechte
Vectoriële vergelijking van een rechte p ↔ y = ax:
p ↔ P = r R ⇔ (x, y) = r (xR , yR )(r ∈ r)
Elke puntvector, behalve de nulvector, die behoort tot een rechte door de oorsprong, is een richtingsvector voor die rechte.
Alle richtingsvectoren van dezelfde rechte zijn veelvouden van elkaar.
Stel parametrische vergelijkingen van de rechte p ↔ y = ax:
p ↔ x = r x R y = r y R (r ∈ r)
Vectoriële vergelijking van een rechte p ↔ y = ax + b door A(xA , yA ):
p ↔ P = A + r R (r ∈ r)
⇔ (x, y) = (xA , yA ) + r ? (xR , yR )
Stel parametrische vergelijkingen van de rechte p ↔ y = ax + b:
p ↔ x = x A + r x R y = y A + r y R (r ∈ r)
Voor een rechte p ↔ y = ax + b, door twee gegeven punten A (xA , yA ) en B (xB , yB ), geldt: vectoriële vergelijking van de rechte:
p ↔ P = A + r R (r ∈ r)
⇔ (x, y) = (xA , yA ) + r (xB – xA , yB – yA )
Daarbij is de richtingsvector R = B – A
Als een rechte bepaald wordt door twee punten A (xA , yA ) en B (xB , yB ), dan geldt:
AB ↔ x = x A + r x B – x A ()
y = y A + r y B – y A () (r ∈ r).
KUNNEN
Een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van een rechte opstellen als een plaatsvector en een richtingsvector zijn gegeven of als de cartesische vergelijking is gegeven.
Een vectoriële vergelijking en een stel parametrische vergelijkingen van een rechte opstellen als twee punten zijn gegeven.
9.5 Van parametrische vergelijkingen naar cartesische vergelijking
Als a en b rechten zijn die niet evenwijdig zijn met de assen, dan: a b ⇔ rc a ? rc b = –1.
Om een vergelijking van de loodlijn l door P (xP , yP ) op de rechte r te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de richtingscoëfficiënt: rc l ? rc r = –1 ⇔ rc
• Stel een vergelijking op van de loodlijn l
Om een vergelijking van een hoogtelijn van een driehoek te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de richtingscoëfficiënt van de gegeven zijde.
• Stel een vergelijking op van de loodlijn door het hoekpunt op de zijde.
Om een vergelijking van de middelloodlijn van een lijnstuk [PQ] te bepalen, ga je als volgt te werk:
• Bereken de coördinaat van het midden M: co(M) = x P + x Q 2 , y P + y Q 2
• Stel een vergelijking op van de loodlijn door M op PQ
Bepalen of gegeven rechten evenwijdig, samenvallend of snijdend zijn.
Een vectoriële vergelijking, een stel parametrische vergelijkingen of een (algemene) cartesische vergelijking van een rechte opstellen die een gegeven punt bevat en evenwijdig is met een andere rechte.
De voorwaarde(n) voor loodrechte stand bewijzen.
Bepalen of gegeven rechten loodrecht op elkaar staan of niet.
Een vergelijking van de loodlijn op een rechte door een gegeven punt opstellen.
Een vergelijking van een hoogtelijn in een driehoek opstellen.
Een vergelijking van de middelloodlijn van een lijnstuk opstellen.
9.8 Hoek tussen twee snijdende rechten in een orthonormaal assenstelsel
De hoek tussen twee snijdende rechten is de scherpe hoek of rechte hoek die de rechten vormen in hun snijpunt.
Om de hoek tussen twee snijdende rechten a en b te berekenen, ga je als volgt te werk:
• Bepaal van elke rechte een richtingsvector.
• Gebruik de formule cos a = R a Rb Rb R a .
Als je een stompe hoek verkrijgt, is het supplement van die hoek de gevraagde hoek. KUNNEN
De hoek tussen twee snijdende rechten berekenen.
9.9 Afstand tussen een punt en een rechte in een orthonormaal assenstelsel voor de leerling voor de
KENNEN –
De afstand tussen een punt P en een rechte r is de afstand van P tot het voetpunt S van de loodlijn door P op r
De afstand tussen een punt P (xP , yP ) en een rechte r ↔ ux + vy + w = 0
is gelijk aan d(P, r) = ux P + vy P + w u 2 + v 2
Een bissectrice of deellijn van twee snijdende rechten is een rechte die de hoek in twee gelijke delen verdeelt.
Een punt ligt op een bissectrice van een hoek gevormd door twee snijdende rechten als en slechts als het punt even ver ligt van de twee rechten.
De bissectrices van twee snijdende rechten staan loodrecht op elkaar.
KUNNEN
De afstand tussen een punt en een rechte berekenen.
De oppervlakte van een driehoek berekenen als de coördinaten van de hoekpunten gegeven zijn.
De afstand tussen twee evenwijdige rechten berekenen.
De bissectrices van twee snijdende rechten bepalen.
Pienter problemen oplossen
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
concreet materiaal
schets
schema/tabel
vereenvoudig gok verstandig
1. Mijn huis ligt op de weg waar ook Ahmed en Faye wonen.
Ik woon net even ver van Ahmed als van Faye als van Sofia als van Tim. Sofia woont op 3 km van Ahmed en op 3 km van Tim. Tim woont op 1,4 km van Faye.
Hoe ver woon ik van mijn vrienden?
filter patroon kennis logisch nadenken
2.Twee naast elkaar liggende getallen in deze piramide hebben als som het getal dat erboven staat.
Vul de piramide verder in.
3.In een kist liggen oranje sinaasappels, gele citroenen en gele bananen.
Het aantal citrusvruchten is 44. Het aantal gele vruchten is 64 en het aantal vruchten met een ‘a’ in de naam is 46. Hoeveel vruchten liggen er in de kist?
A)66B)77C)86D)112E)154 JWO, editie 2021, eerste ronde
10.2 Onderlinge ligging van rechten en vlakken 236
10.3 Snijpunt of snijlijn van rechten en vlakken bepalen 255
10.4 Doorsnede van een vlak met een veelvlak
Perspectief
Deze tekeningen zijn gemaakt door kinderen van verschillende leeftijden.
in de kleuterklas in het eerste leerjaar
in het derde leerjaar in het zesde leerjaar
Hoe evolueert de manier waarop kinderen een tekening voorstellen, in de loop van hun kinderjaren?
Om 3D-situaties voor te stellen in 2D, maak je gebruik van perspectief.
Het woord ‘perspectief’ is afkomstig van het Latijnse perspicere, wat ‘doorheen kijken’ betekent. Het is de kunst om ruimtefiguren echt te doen lijken, alsof je erdoorheen kunt kijken.
Op die manier creëer je ook een illusie van diepte.
Er bestaan verschillende vormen van perspectief.
Besluit
Je ziet telkens een kubus. Vink aan welke eigenschappen bewaard worden.
Bij het omzetten van 3D naar 2D zal, welke voorstellingswijze je ook kiest, altijd een deel van de informatie verloren gaan.
Aanzichten
Als de lengte en de hoekgrootte belangrijk zijn, zoals voor een metselaar of meubelmaker, maak je gebruik van verschillende vlakke voorstellingen van de zijvlakken van een voorwerp. Zo ontstaan aanzichten. Daarop kun je afmetingen precies aflezen en nameten.
bovenaanzicht vooraanzicht zijaanzicht
Hoeveel treden tel je?
Op welk aanzicht lees je dat af? 1 2
Oefeningen REEKS A
1 Hoe wijkt de tekening af van de werkelijkheid?
2 Je ziet een foto van een kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
a) Wat is het vooraanzicht volgens de groene pijl?
b) Wat is het bovenaanzicht?
3 Van welke blokkenstapels is het vooraanzicht gelijk aan het achteraanzicht?
4 Vier van de onderstaande afbeeldingen zijn aanzichten van dezelfde kubus met verschillend gekleurde zijvlakken. Welke afbeelding is geen aanzicht van die kubus?
5 Vervolledig het cavalièreperspectief van de kubus bij een shoppingcenter in Vaduz (Liechtenstein).
6 Teken een kubus met een ribbe van 3 cm.
a)in cavalièreperspectief
b) in isometrisch perspectief
A B C D E
JWO, editie 2021, eerste ronde
7 Van een balk, getekend in cavalièreperspectief, zijn al enkele ribben getekend. Vervolledig de figuur.
8 Teken een ruimtefiguur die beide aanzichten heeft.
bovenaanzicht vooraanzicht
10. 2 O nd e rlinge ligging van rechten en vlak ken
10.2.1 Onderlinge ligging van twee rechten
GEOGEBRA
GEOGEBRA
Verbind elk paar rechten met de best passende benaming.
IJ en EF kruisend
IJ en IL snijdend
IE en GI strikt evenwijdig
EH en JF samenvallend
Evenwijdige rechten
HGaM
De rechten a en b zijn strikt evenwijdig
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de balk.
De rechten a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk.
Geef een rechte die strikt evenwijdig is met
FB : CD :
De rechten HM en MG zijn samenvallend
Beide rechten hebben minstens twee punten gemeenschappelijk.
Definitie Strikt evenwijdige rechten
Twee rechten zijn strikt evenwijdig (of disjunct) als de rechten in hetzelfde vlak liggen en geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende rechten
Twee rechten zijn samenvallend als de rechten minstens twee punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: MG = HM
Definitie Evenwijdige rechten
Twee rechten zijn evenwijdig als de rechten strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
Snijdende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn snijdend
Beide rechten liggen in hetzelfde vlak, het bovenvlak van de kubus.
De rechten a en b hebben één punt gemeenschappelijk: het punt S
Geef een rechte die snijdend is met
FB :
AD :
Definitie Snijdende rechten
Twee rechten zijn snijdend als de rechten juist één punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Kruisende rechten
GEOGEBRA
De rechten a en b zijn kruisende rechten.
De rechten liggen niet in hetzelfde vlak.
Geef een rechte die kruisend is met
CG :
EG :
Definitie Kruisende rechten
Twee rechten zijn kruisend als de rechten niet in hetzelfde vlak liggen.
Notatie: a Ω b
Voorstelling van snijdende en kruisende rechten
Bij bepaalde aanzichten is het niet mogelijk om te besluiten of rechten snijdend of kruisend zijn. bovenaanzicht perspectieftekening
REEKS A
9 De punten M en N zijn de middens van de ribbe. Wat is de onderlinge ligging van de rechten in de kubus?
AE en HG :
10 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en MN zijn snijdend.
b) AH en EB zijn strikt evenwijdig.
c) GM en MF zijn samenvallend.
d) HD en AB zijn kruisend.
e) NB en FM zijn samenvallend.
f) HM en FC zijn kruisend.
g) AH en FC zijn snijdend.
h) DB en HF zijn strikt evenwijdig.
juistfout
11 De punten M en N zijn middens van de ribben. Bepaal de onderlinge ligging van de rechten (=, //, //, Ω ) in de gegeven balken.
12 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Vul aan met een getekende rechte.
Welke rechte(n) snijden AB?
Welke rechte(n) zijn strikt evenwijdig met AD?
Welke rechte(n) zijn kruisend met AD?
13 De punten I, J, K en L liggen op een ribbe. Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de kubus.
a snijdend met KL b samenvallend met LI c kruisend met HL
14 Zijn de uitspraken juist of fout?
a)In een recht prisma zijn de punten P en S de middens van de ribbe.
DF en BC zijn strikt evenwijdig.
EF en AC zijn kruisend.
AB en DE zijn strikt evenwijdig.
PS en AB zijn snijdend.
b)In een piramide liggen de punten E, F, G en H op de opstaande ribben.
15 Teken één mogelijke rechte door twee gegeven punten van de piramide.
a) b) c)
a kruisend met EG b snijdend met EH c evenwijdig met CH
16 Teken op de afbeelding twee rechten a en b die snijdend zijn, een rechte c die strikt evenwijdig is met de rechte a en een rechte d die kruisend is met de rechte b
17 Bepaal het snijpunt S van de rechten.
BM en CG
c) AB en FH
b) GH en MN
d) AB en FM
18 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) twee evenwijdige rechten a en b
b) twee snijdende rechten c en d
c) twee kruisende rechten e en f
REEKS C
19 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging van:
a) VR en CG
b) NJ en PB
c) RQ en KJ
d) TQ en DH
e) RU en QJ
f) HD en BI
g) GD en PA
h) SA en EB
i) QN en GC
j) GH en DB
10.2.2 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Voorstelling van een vlak in de ruimte a
In de meetkunde stel je onbegrensde delen voor met behulp van begrensde figuren. Om vlakken te benoemen, gebruik je Griekse letters.
Vlakken, punten en rechten AC
B a Twee verschillende punten bepalen een rechte.
Een vlak wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen.
Notatie: a = vl( A, B, C)
Een vlak kan ook nog op drie andere manieren worden bepaald. Formuleer zelf de drie andere mogelijkheden.
Verbind het vlak en de bijbehorende rechte met de best passende benaming.
a en EG
a en CD
a en BH
Voorstellingen en notaties
De rechte is strikt evenwijdig met het vlak.
De rechte ligt in het vlak.
De rechte snijdt het vlak.
een rechte en een vlak zijn snijdend een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig een rechte ligt in een vlak
a sn ijdt a
Notatie: a // a
b is strikt evenwijdig met a c ligt in a c is een deel van a
Notatie: b // a
Notatie: c ⊂ a
A is het snijpunt van a en .Er zijn geen snijpunten. B en C liggen in a a .
Definitie Onderlinge ligging van een rechte en een vlak
Een rechte en een vlak zijn snijdend als ze juist één gemeenschappelijk punt hebben.
Een rechte en een vlak zijn strikt evenwijdig als ze geen gemeenschappelijke punten hebben.
Een rechte ligt in een vlak als ze minstens twee gemeenschappelijke punten heeft met het vlak.
Een rechte en een vlak zijn evenwijdig als de rechte in het vlak ligt of als de rechte en het vlak strikt evenwijdig zijn.
REEKS A
20 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de rechte en het vlak in de kubus?
en
21 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Zijn de uitspraken juist of fout?
a) DB en a zijn snijdend.
b) AH en a zijn strikt evenwijdig.
c) GM en a zijn snijdend.
d) HD ligt in a
e) GC en a zijn snijdend.
f) HN en a zijn strikt evenwijdig.
g) AH en a zijn snijdend.
h) DB ligt in a
juistfout
22 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de balk.
JM vl( A, B, E) DI vl( A, D, E) FM vl( E, F, G)
LM vl( A, B, C)
23 De punten G en H liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van het prisma.
24 De punten I, J, K, L en M liggen op een ribbe.
De punten E, F, G en H zijn de middens van een ribbe.
a door A en liggend in vl( A, C, F)
b door G en snijdend met vl( A, B, C)
c door H en evenwijdig met vl( D, E, F)
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ) in de piramide.
vl( A, B, T)
vl( A, B, C)
vl( T, B, C)
vl( E, F, G)
25 Teken een kubus in cavalièreperspectief. Teken door twee hoekpunten van de kubus:
a) een rechte a gelegen in het grondvlak.
b) een rechte b strikt evenwijdig met het grondvlak.
c) een rechte c snijdend met het grondvlak.
REEKS C
26 De punten K, L en M liggen op een ribbe. De figuur bestaat uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de rechte en het vlak (//, //, ).
IM vl( F, G, J)
IL vl( A, B, C)
LM vl( B, C, G)
AK vl( C, D, H)
JK vl( B, C , G )
27 De punten I, J, K, L en S liggen op een ribbe.
Teken één mogelijke rechte door het gegeven punt van de balk.
a door M en snijdend met vl( K, I, J)
b door P en evenwijdig met vl( K, I, J)
c door N en snijdend met vl( E, I, J)
Verbind elk paar vlakken met de best passende benaming.
Definitie Snijdende vlakken
a = vl( A, B, E)
b = vl( M, N, O)
g = vl( F, H, J)
d = vl( C, D, G)
a en d samenvallend
a en b snijdend
a en g strikt evenwijdig
Twee vlakken zijn snijdend als de vlakken juist één rechte gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Strikt evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn strikt evenwijdig als de vlakken geen enkel punt gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a // b
Definitie Samenvallende vlakken
Twee vlakken zijn samenvallend als de vlakken alle punten gemeenschappelijk hebben.
Notatie: a = b
Definitie Evenwijdige vlakken
Twee vlakken zijn evenwijdig als de vlakken strikt evenwijdig of samenvallend zijn.
Oefeningen
REEKS A
28 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus. Wat is de onderlinge ligging van de vlakken in de kubus?
en b :
REEKS B
29 De punten I, J, K en L zijn de middens van de ribbe. De punten M, N, O en P liggen op een ribbe.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de kubus.
vl( A, B, E) vl( J, I, L) a) b) c) d)
vl( A, B, C) vl( P, M, N)
vl( I, J, K) vl( C, G, F)
vl( P, M, N) vl( I, J, K)
30 Een gebouw is opgebouwd uit een balk en een prisma.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in het gebouw.
vl( A, B, C) vl( M, N, G)
vl( A, B, F) vl( D, H, G)
vl( B, D, H) vl( A, E, M)
vl( A, B, F) vl( E, M, F)
REEKS C
31 In de ruimtefiguur zijn het bovenvlak en het grondvlak evenwijdig.
Bepaal de onderlinge ligging van de vlakken (//, //, =) in de ruimtefiguur.
vl( A, D, H) vl( C, F, G)
vl( A, B, E) vl( C, F, G)
vl( A, B, C) vl( E, F, G)
32 Een gebouw is opgebouwd uit drie kubussen en een piramide.
Bepaal in het gebouw de onderlinge ligging (//, //, =) van:
vl( S, V, U) vl( L, M, N)
vl( F, G, W) vl( E, W, F)
vl( F, G, C) vl( E, A, D)
vl( E, F, G) vl( A, B, C)
GEOGEBRA
Loodrechte stand
Hoek tussen snijdende rechten
De rechten a en b zijn snijdend in het punt A en liggen in hetzelfde vlak a. De hoek van twee snijdende rechten is de scherpe of rechte hoek die de rechten in hun snijpunt vormen.
Notatie: a ^ b = ^ A
Analoog: c ^ d = ^ B
Loodrechte rechten
Definitie Loodrechte rechten
GEOGEBRA
Bij de balk zijn de hoeken ^ A, ^ B, ..., ^ H in de verschillende zijvlakken gelijk aan 90º.
Je zegt dat de rechten EA en AB elkaar loodrecht snijden
Notatie: EA ⊥ AB
Geef twee rechten die DH loodrecht snijden: en
De rechten EA en CD zijn loodrecht kruisende rechten.
Geef twee rechten die DH loodrecht kruisen: en
Twee rechten zijn loodrecht als de hoek tussen de rechten 90º is.
Loodlijn en loodvlak A a
O p de figuu r zie je da t d e r e chte a l oo dre cht sta at op e lk e recht e v an he t v lak a die d oor he t s ni j punt A van a en a g aa t.
De rechte a noem je een loodlijn op het vlak a
Het punt A is het voetpunt van de loodlijn. Het vlak a noem je een loodvlak op de rechte a
Definitie
Loodlijn en loodvlak
Een loodlijn op een vlak is een rechte die loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.
Een loodvlak op een rechte is een vlak waarvan elke rechte loodrecht staat op de gegeven rechte. a A a
1)Kies twee rechten in het vlak vl( E, H, N), zodat je hun snijpunten met het vlak vl( A, B, C) van de kubus kunt bepalen. Je kiest de rechten EM en HN
2)Teken met de methode van de vorige bladzijde de snijpunten I en J in het grondvlak. De rechte IJ is de gevraagde snijlijn.
Werkwijze Om de snijlijn van twee vlakken te bepalen, ga je als volgt te werk:
1)Teken twee rechten in het ene vlak, zodat je de snijpunten met het andere vlak kunt bepalen.
2)Kies een hulpvlak waarin de eerste rechte ligt.
3)Teken de snijlijn van het gegeven vlak en het hulpvlak.
4)Het gevraagde snijpunt is het snijpunt van de rechte en die snijlijn.
5)Herhaal de stappen 2 tot en met 4 voor de tweede rechte.
6)Teken de snijlijn door de twee gevonden snijpunten.
Oefeningen
REEKS A
39 De punten M en N zijn de middens van de ribbe van de kubus.
Bepaal het snijpunt van de aangeduide rechte en het gekleurde vlak in de kubus.
het snijpunt van HM en α : het snijpunt van BF en α :het snijpunt van EC en α :
40 Teken de snijlijn van de snijdende vlakken α en β in de kubus.
41 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe.
Bepaal het snijpunt van de rechte met het vlak van de kubus.
en vl(E,
)
,
EC en vl(A, B, D) c) JD en vl(A, B, C) d) GF en vl(H, B, D)
42 De punten J, K, M en N zijn de middens van de ribbe. Bepaal de snijlijn van de vlakken in de kubus.
a) vl(E, H, D) en vl(G, K, C)
b) vl(A, B, C) en vl(E, H, C)
c) vl(A, B, C) en vl(J, M, N)
d) vl(H, B, D) en vl(E, H, G)
REEKS B
43 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
44 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
45 D ligt telkens in het grondvlak. In welke van de volgende gevallen snijden de rechten AB en CD elkaar?
46 Teken het snijpunt van de rechte PQ met het gekleurde vlak.
49 In een draadmodel van kubussen zijn telkens twee vlakken gekleurd. Teken de snijlijn van die twee vlakken.
50 Teken het snijpunt van de rechte PQ en het gekleurde vlak.
10. 4 Doorsnede van een vlak met een veelvlak
Werkwijze
Met een slijpschijf kun je een betonklinker doorslijpen.
Zo verkrijg je een doorsnede van een vlak (de schijf) met een veelvlak (de betonklinker).
Die doorsnede is dan het snijvlak.
De basisregels om de doorsnede van een vlak met een veelvlak te tekenen:
1) Verbind twee punten van de doorsnede die in hetzelfde vlak liggen.
2) De snijlijnen van het snijvlak met evenwijdige zijvlakken zijn evenwijdig.
3) Als er geen twee punten in hetzelfde vlak liggen, dan bepaal je eerst het snijpunt van de rechte door die twee punten met een van de zijvlakken.
Voorbeeld 1
Teken de doorsnede van de balk met het vlak vl( I, J, K ).
1) De punten J en K liggen in het voorvlak.
JK is een snijlijn van de doorsnede. De punten K en I liggen in het grondvlak.
IK is een snijlijn van de doorsnede.
2) Het bovenvlak en grondvlak in een balk zijn evenwijdig.
De snijlijnen van het snijvlak met evenwijdige zijvlakken zijn evenwijdig.
JL teken je evenwijdig met de snijlijn IK, met L op de ribbe [GH].
Het voorvlak en het achtervlak zijn evenwijdig.
LI teken je evenwijdig met JK
De doorsnede is de vierhoek KJLI
Voorbeeld 2
Teken de doorsnede van de kubus met het vlak vl( I, J, K ).
1)De punten J en I liggen in het bovenvlak. JI is een snijlijn van de doorsnede.
2)Het punt K ligt in het voorvlak. Je tekent het snijpunt L van de snijlijn JI met het voorvlak.
3) L en K liggen in het voorvlak. Je kunt ze verbinden met elkaar.
4)Door te steunen op de eigenschap ‘de snijlijnen van het snijvlak met evenwijdige zijvlakken zijn evenwijdig’, kun je de andere snijlijnen tekenen. De zeshoek IJMKNO is de doorsnede.
REEKS A
51 Combineer elke vlakke figuur met de doorsnede van een ruimtefiguur. Vul het rooster in.
53 Teken de doorsnede van het veelvlak met het vlak vl(P, Q, R ).
54 Teken de doorsnede van het veelvlak met het vlak vl(P, Q, R).
1. Petra en Jana hebben het geheime dagboek van Lucie gevonden. Helaas heeft Lucie de tekst in haar dagboek versleuteld met horizontale en verticale lijnen met behulp van de volgende lettertabel.
De twee meisjes zijn erin geslaagd om de onderstaande symbolen te ontcijferen. Het blijkt de naam van Lucies broer PAVEL te zijn.
Ontcijfer de naam van Lucies vriend, die in het dagboek op de volgende manier is geschreven.
A) JOSEF B) PETER C) JESSE D) DENIS
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2021
2. Castor, een architect, werd gevraagd een museum te ontwerpen. Hij heeft vier ontwerpen gemaakt.
Hij wil een indeling kiezen waarbij bezoekers alle kamers precies één keer doorlopen, zonder een kamer meer dan één keer te bezoeken en zonder dezelfde deur te gebruiken voor het binnen- en buitengaan. Dat noem je een eenrichtingsverkeerrondleiding
De bezoekers moeten beginnen bij de deur met de pijl die het museum binnengaat, en vertrekken via de deur met de pijl die het museum verlaat.
Bij welke indeling kun je een eenrichtingsverkeerrondleiding doen?
Bron: Bebras-wedstrijd, niveau Padawan, 2020
HOOFDSTUK 11 I GRAFEN
11.1.1 Graaf
• Je kunt een fietstocht schematisch voorstellen door de gemeenten te vervangen door punten en de wegen ertussen door lijnen.
• Ook deze elektrische schakeling kan je eenvoudiger voorstellen met punten en lijnen.
Definitie Graaf
Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt.
Grafen worden gebruikt als model of schematische voorstelling voor sociale netwerken, transportnetwerken, stambomen, boom- en wegendiagrammen...
Kontich
Berchem
Wommelgem
Lier
Toepassing: tramnetwerk
Op dit overzicht van het tramnet van Antwerpen staat elke knoop voor een tramhalte en elke boog voor een tramlijn tussen twee haltes.
Op de kaart worden de haltes gelijkmatig verdeeld over elke lijn. In realiteit is de afstand tussen de verschillende haltes niet gelijk.
Op de kaart lopen de tramlijnen recht. In realiteit lopen de tramlijnen doorheen straten ofondergronds en nemen ze verschillende bochten.
11.1.2 Benamingen
Definitie Lus
Een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt.
Definitie Buur van een knoop
Een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog.
Definitie Graad van een knoop
De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop.
Notatie: gr(A) = 2
Opmerking
Een lus beschouw je als een boog die vertrekt en toekomt. Je telt een lus dus dubbel.
knoopgraad
A gr(A) =
B gr(B) =
C gr(C) =
D gr(D) =
Definitie Deelgraaf
Een graaf G1 is een deelgraaf van graaf G2 als de knopen en bogen van G1 ook knopen en bogen zijn van G2
is een deelgraaf van
Definitie Volledige graaf
Een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is.
Notatie: K n (n = aantal knopen)
Voorbeelden
enkelvoudige graaf
Definitie Enkelvoudige graaf
Een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten.
samenhangende graaf
Definitie Samenhangende graaf
Een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Opmerking
multigraaf
Multigraaf
Een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten.
niet-samenhangende graaf
Niet-samenhangende graaf
Een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een boog in een graaf is een brug als de graaf door die boog samenhangend is. Als je de brug wegneemt, is de graaf dus niet langer samenhangend.
Definitie Gewogen graaf
Een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal.
Gerichte graaf
Een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft.
• Vul de tabel aan.
knoop buren graad
• Deze graaf is een:
r enkelvoudige graaf
r multigraaf
r samenhangende graaf
r niet-samenhangende graaf
r gewogen graaf
r gerichte graaf
• Duid elke deelgraaf van deze graaf aan.
r graaf 1 r graaf 2 r graaf 3
11.1.4 Wandelingen
Als je van knoop D naar knoop E wilt gaan, zijn er verschillende opties.
Bijvoorbeeld:
• Van knoop D ga je naar A en dan naar E: DAE
• Van knoop D ga je naar A, dan naar C, dan naar F en dan eindig je in E: DACFE
Definitie Wandeling
Een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is.
Een wandeling stel je voor door de knopen achtereenvolgens op te lijsten: A B
Soorten wandelingen
• Een wandeling is open als de beginknoop en eindknoop verschillend zijn.
• Een wandeling is gesloten als de beginknoop en eindknoop hetzelfde zijn.
open wandeling gesloten wandeling
ACBFE
Definitie Pad Cykel
Een pad is een open wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn. De knopen worden maximaal één keer doorlopen.
ACBFEA
Een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Definitie Spoor Circuit
Een spoor is een open wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn. De bogen worden maximaal één keer doorlopen.
Een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
Zet een vinkje bij de meest passende benaming(en) van elke wandeling.
Oefeningen
REEKS A
1 Wat stellen de grafen voor?
Geef telkens de betekenis van de knopen en de bogen.
7 Vink de correcte benaming(en) aan voor elke wandeling.
a) ABECB rrrr
b) FBDCEF rrrr
c) EFAEBAE rrrr
d) FBDCEA rrrr
e) DBFAECD rrrr
8 Vul de graaf aan met bogen, zodat:
• de graad in elke knoop klopt;
• de graaf voldoet aan de benaming.
a)enkelvoudige, samenhangende graaf
b)niet-samenhangende multigraaf
11.1.5 Planaire grafen
Drie buren willen hun huizen verbinden met de leidingen voor water, elektriciteit en gas. Ze proberen op papier een plan te tekenen, zodat de leidingen elkaar niet snijden.
Om een oplossing te zoeken, teken je de huizen en nutsvoorzieningen in een zeshoek.
Daardoor zijn de nutsvoorzieningen bij de aangrenzende huizen al gekoppeld.
Overige verbindingen:
Als je de waterverbinding naar het tweede huis trekt, verdeel je de zeshoek in tweeën, waardoor je binnen de zeshoek geen andere verbinding meer kunt tekenen.
Overige verbindingen:
Buiten de zeshoek kun je nog één verbinding tekenen zonder andere leidingen te snijden.
Overige verbinding:
Als je nu de verbinding van huis 1 met gas wilt tekenen, kun je niet anders dan een andere verbinding snijden.
Het probleem is dus niet oplosbaar in een vlak. Dat soort grafen noem je niet-planaire grafen
Definitie Planaire graaf
Een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden.
Planaire grafen worden gebruikt om printplaten voor elektronische componenten te ontwikkelen.
Het is belangrijk dat de geleidende sporen elkaar niet snijden, omdat dat kan leiden tot ongewenste elektronische signalen.
Leid de formule af om het totale aantal bogen van een volledige graaf te berekenen. Vul daarna het besluit aan.
K n volledige graafaantal knopen aantal bogen uit 1 knoop totale aantal bogen
Besluit: Het aantal bogen voor een volledige graaf K n met n knopen is
11 In het testament van een koning met vijf zonen staat dat elke zoon met zijn erfenis een kasteel mag bouwen, op voorwaarde dat alle kastelen met elkaar verbonden worden via wegen die niet over bruggen gaan of kruispunten hebben. Kunnen de zonen de laatste wens van de koning uitvoeren? Verklaar.
12 Teken een planaire, samenhangende graaf G die aan de volgende voorwaarden voldoet:
• 5 knopen met maximaal 5 bogen;
• C is geen buur van B of D ;
• gr(C) = 4;
• gr(B) = 1.
11.2 Eigenschappen van grafen
11.2.1 Verband tussen maximale aantal buren van een knoop en aantal knopen van een graaf
aantal knopen 3 4 7
graaf
maximale aantal buren
Hoeveel buren kan een knoop in een graaf met n knopen maximaal hebben?
Eigenschap Maximale aantal buren en aantal knopen van een graaf
Een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren.
11.2.2 Som van de graden in een graaf
Noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan.
graaf
aantal bogen
som van alle graden
Wat is de som van alle graden van een graaf met n bogen?
Eigenschap Som van de graden
De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n
De som van de graden in een graaf is dus altijd even.
Verklaring
Bij het optellen van de graden in een graaf tel je elk boog twee keer, omdat elke boog een begin- en eindpunt heeft.
11.2.3 Aantal knopen met oneven graad in een graaf
Noteer de graad bij elke knoop en vul de tabel aan. graaf
aantal knopen met oneven graad
aantal knopen met even graad
Eigenschap Aantal knopen met oneven graad
Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even.
Bewijs
De som van de graden in een graaf is altijd even.
⇓ Een graad is even of oneven.
De som van de even graden en oneven graden is even.
⇓ De som van de even graden is altijd even.
De som van de oneven graden is even.
⇓
Het aantal knopen met een oneven graad is even.
GEOGEBRA
Stel dat vier personen (A, B, C, D) een afspraak willen maken bij een dokter.
In de agenda van de dokter zijn maar vijf tijdstippen (1, 2, 3, 4, 5) mogelijk.
Elke persoon raadpleegt de eigen agenda. Daaruit blijkt het volgende:
• Persoon A kan op tijdstippen 1, 2 en 3.
• Persoon B kan op tijdstippen 1 en 3.
• Persoon C kan op tijdstippen 4 en 5.
• Persoon D kan op tijdstippen 3 en 5.
Om dat probleem op te lossen, kun je het voorstellen met een tabel of graaf.
Duid een mogelijke oplossing aan in de tabel en in de graaf.
Geef een mogelijke planning van de afspraken.
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
• persoon op tijdstip
Definitie Tweedelingsgraaf
Een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep. Er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep.
Een andere benaming voor tweedelingsgraaf is bipartiete graaf
Achteraf blijkt dat persoon A niet meer kan op tijdstip 2 en persoon C niet meer kan op tijdstip 4.
• Persoon A kan op tijdstippen 1 en 3.
• Persoon B kan op tijdstippen 1 en 3.
• Persoon C kan op tijdstip 5.
• Persoon D kan op tijdstippen 3 en 5.
Is het mogelijk om alle personen in te plannen?
Alleen wanneer k personen ten minste k verschillende tijdstippen opgeven, kan er met zekerheid een oplossing gevonden worden.
Stelling Stelling van Hall
Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).
Na de wijzigingen levert elke combinatie van een, twee of drie personen geen probleem op. Als je echter een match zoekt voor vier personen, heb je onvoldoende verschillende tijdstippen.
Opmerking
De onderstaande tekeningen geven twee grafische voorstellingen weer van dezelfde tweedelingsgraaf.
Bij de linkse voorstelling is het niet evident om vast te stellen of de graaf een tweedelingsgraaf is. Door de knopen te herschikken, krijg je een duidelijker beeld van de groepen.
Om te onderzoeken of een graaf een tweedelingsgraaf is, ga je als volgt te werk.
• Kleur een willekeurige knoop.
• Kleur alle buren van die knoop in een andere kleur.
• Kleur de buren van die knopen in de eerste kleur. Als je alle knopen met twee kleuren kunt aanduiden zonder dat buren dezelfde kleur krijgen, is het een bipartiete graaf.
• De knopen met dezelfde kleur behoren tot dezelfde groep. Dat wordt duidelijker als je ze groepeert.
Kenmerk Een graaf is een tweedelingsgraaf als en slechts als je alle knopen met twee verschillende kleuren kunt aanduiden, zonder dat buren dezelfde kleur hebben.
Tegenvoorbeeld
Deze graaf is geen tweedelingsgraaf, omdat knopen A en C buren zijn met dezelfde kleur.
Oefeningen
REEKS A
13 Onderzoek of de grafen tweedelingsgrafen zijn.
ja r nee
14 In een gezin is iemand vroeg naar de bakker geweest. Die persoon heeft vier verschillende koffiekoeken meegenomen.
• Papa heeft zin in een koffiekoek met pudding en chocolade of in een koffiekoek met rozijnen.
• Grootmoeder verkiest rozijnen of pecannoten.
• Vic eet het liefst een koffiekoek met pudding en chocolade.
• Janne wil graag een koffiekoek met rozijnen of een koffiekoek met appel.
a)Stel de situatie voor met een graaf.
b)Is het mogelijk om iedereen zijn voorkeur te geven?
Wie eet welke koffiekoek?
REEKS B
15 Via een datingapp swipen zes vrijgezellen (A, B, C, D, E, F ) naar rechts als ze interesse hebben, en naar links als zich minder aangetrokken voelen tot de persoon (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Dat levert het volgende overzicht op. De ‘x’ in de tabel toont wie interesse heeft in wie.
a)Stel de situatie voor met een graaf.
b)Is het mogelijk om op hetzelfde tijdstip voor iedereen een date in te plannen? Verklaar.
c)Zou het mogelijk zijn als persoon C bij persoon 4 naar rechts swipet?
Indien ja, wie date dan met wie?
Tweedelingsgrafen: REEKS C
11.4 Eulergrafen
11.4.1
Het
probleem van Koningsbergen
Het ontstaan van de grafentheorie wordt doorgaans gesitueerd in de achttiende eeuw, toen de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het probleem van de zeven bruggen van Koningsbergen oploste.
Op de onderstaande kaart zie je een voorstelling van het Duitse Koningsbergen in 1651. Door de stad stroomt de rivier Pregel, die het eiland Kneiphof omringt, en die zich verder opsplitst in twee armen. Om de verschillende stadsdelen met elkaar te verbinden, werden er zeven bruggen gebouwd over de rivier.
Het probleem van de zeven bruggen luidt als volgt: is het mogelijk om een wandeling doorheen de verschillende stadsdelen A, B, C, D te maken waarbij je elke brug juist één keer gebruikt?
Om dat probleem op te lossen, vertaalde Euler het naar de onderstaande graaf.
Hij labelde de verschillende stadsdelen als A, B, C en D en stelde die voor als knopen.
De bruggen stelde hij voor als bogen.
Vervolgens moest hij nagaan of het mogelijk is om alle bogen in de graaf van Koningsbergen precies één keer te doorlopen in een gesloten wandeling.
Een graaf die je op die manier kunt doorlopen, noem je een eulergraaf
Het gesloten circuit dat je daarvoor gebruikt, noem je een eulercircuit
Het probleem vertaalt zich dus als volgt: is de graaf van Koningsbergen een eulergraaf?
Met andere woorden: bestaat er een eulercircuit in die graaf?
Eulerspoor
Definitie Eulerspoor
Een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Noteer een eulerspoor onder elke graaf.
Noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?
Kenmerk Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Verklaring
Een eulerspoor gaat precies één keer door alle bogen van de graaf. Als je kijkt naar de knopen die niet aan de uiteinden van het spoor zitten, zie je dat elke keer als het spoor via een boog een knoop binnenkomt, het via een nog ongebruikte boog de knoop weer verlaat. Voor die knopen geldt dat zij een even graad hebben. Alleen de twee eindpunten hebben een oneven graad.
Eulercircuit
Definitie Eulercircuit
Een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Noteer een eulercircuit onder elke graaf.
Noteer bij elke knoop de graad. Wat valt op?
Kenmerk Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben.
Eulergraaf
Definitie Eulergraaf
Een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit. Is het mogelijk om een wandeling te maken over de zeven bruggen van Koningsbergen?
11.4.3 Algoritme van Hierholzer
Een algoritme is een stappenplan met instructies dat beschrijft hoe je een bepaald probleem oplost.
Een recept om te koken of een handleiding om een kast in elkaar te zetten, zijn eenvoudige voorbeelden van algoritmes.
Met dit algoritme bepaal je een eulerspoor of -circuit in een samenhangende graaf (als die aan de bijbehorende noodzakelijke voorwaarde voldoet).
1)Bij een eulerspoor neem je als begin- en eindpunt de knopen met een oneven graad. Bij een eulercircuit neem je als begin- en eindpunt één willekeurige knoop van de graaf.
2)Bepaal een wandeling tussen die twee knopen.
3) Als de wandeling nog niet alle bogen doorloopt, voeg dan net zolang omwegen toe totdat alle bogen precies één keer in het pad voorkomen.
• De bogen AB, BD, DC, CA, DE, EH, HG en GD zijn nog niet doorlopen.
Je maakt daarom eerst de omweg CABDC en voegt die aan de wandeling toe.
Je krijgt dan: CABDCFG
• Nu zijn de bogen DE, EH, HG en GD nog niet doorlopen.
Je maakt daarom de omweg GDEHG en voegt die aan de wandeling toe.
Je krijgt: CABDCFGDEHG
Nu heb je alle bogen precies één keer doorlopen.
11.4.4 Toepassingen
Tekenen
Een bekende puzzel is het ‘kruishuis’, ook wel de ‘geopende envelop’ genoemd.
De bedoeling van de puzzel is om het plaatje te tekenen zonder je potlood van het papier te halen en zonder bogen dubbel te doorlopen.
GEOGEBRA
beginknoop eindknoop
Bekijk de figuur hieronder. Is het mogelijk om op dezelfde manier een dubbel kruishuis te tekenen?
Plattegrond
In een museum vindt een tentoonstelling plaats in zeven museumzalen en een hal.
a)Stel de situatie voor met een graaf en noteer bij elke knoop de graad.
b)Kun je een wandeling maken waarbij je elke doorgang precies één keer passeert en waarbij je begint en eindigt in de hal? Noteer, indien mogelijk, de wandeling.
Stratenplan
Hoe kun je zo efficiënt mogelijk de planning opmaken van de huisvuilophalers in een New Yorkse wijk?
Voor de eenvoud veronderstel je dat de vuilniswagen langs beide kanten van een straat gelijktijdig het vuil kan ophalen. Om al het huisvuil in de straten op te halen, moet de vuilniswagen dus één keer door elke straat rijden.
16 Kun je in de volgende grafen een eulerspoor of eulercircuit tekenen? Vink aan.
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
17 Kun je de volgende grafen tekenen zonder je pen op te heffen? Vink aan. Indien ja, noteer een wandeling die daaraan voldoet.
r eulerspoor
r eulercircuit
r geen van beide
18 Zijn de volgende grafen eulergrafen? Verklaar.
a)graaf 1
c)graaf 3
b)graaf 2
d)graaf 4
REEKS B
19 Kun je doorheen dit gebouw een wandeling maken waarbij je elke deur één keer passeert? Verklaar.
20 Je bent detective en wordt gevraagd om de moord op een graaf op te lossen. Hieronder zie je de plattegrond van het verblijf van graaf Schola. De graaf werd vermoord in de zitkamer. De butler beweert dat hij gezien heeft hoe de tuinman vanuit de tuin de zitkamer binnenkwam en die even later weer verliet naar de tuin. De tuinman beweert echter dat hij niet de man kan zijn die de butler zag, want nadat hij het huis binnenging, ging hij precies één keer door elke deur. Vervolgens verliet hij het huis via een andere deur. Toon aan dat de tuinman liegt.
REEKS C
21 De onderstaande figuur toont de plattegrond van een spiegelpaleis in een amusementspark. Als bezoeker start je bij de ingang en loop je door elke deur, totdat je de uitgang bereikt. Zodra je een deur gepasseerd bent, sluit die automatisch. Zolang nog niet alle deuren in een kamer gesloten zijn, kun je de weg uit de kamer vinden. Is het altijd mogelijk om je weg uit het doolhof te vinden, of bestaat het risico dat je voor altijd in de spiegelhal opgesloten zit?
22 Op een afdeling werken zes personen. Er is één vergaderruimte beschikbaar.
In de tabel geeft elke ‘x’ het paar personen weer dat moet vergaderen. Je wilt een schema voor de vergaderingen opstellen, waarbij van de twee deelnemers één deelnemer telkens ook deelneemt aan de volgende vergadering. Geen enkele persoon neemt deel aan drie opeenvolgende vergaderingen.
AnnaBartChrisDinaEricFons
a)Stel de situatie voor met een graaf.
b)Hoeveel vergaderingen moeten er ingepland worden?
c)Stel, indien mogelijk, een vergaderschema op.
11.5.1
Bomen
Een organigram geeft de hiërarchie in een bedrijf weer.
Bij het opstellen van een organigram kun je gebruikmaken van grafen.
Dat soort graaf noem je een boom.
Definitie Boom
Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels.
Specifieke terminologie
• De bladeren van een boom zijn de knopen met graad één.
• De interne knopen van een boom zijn de knopen met een graad groter dan één.
Wie zijn de interne knopen in de bovenstaande graaf?
CEO managers bedienden
Kenmerk
Voorbeeld
Welke grafen stellen een boom voor? Vink aan.
r boom r geen boom r boom r geen boom
Kenmerk
r boom r geen boom r boom r geen boom
Eigenschappen
Onderzoek welke stellingen correct zijn.
Een graaf is een boom als en slechts als … juistfout
a)er tussen elk paar knopen juist één pad is. rr
b)de graaf geen lussen bevat. rr
c) het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf. rr
d) de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf. rr
e) er geen knopen zijn met graad 1. rr
Een graaf is een boom als en slechts als er tussen elk paar knopen juist één pad is.
Een graaf is een boom als en slechts als de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf.
Volledig binaire bomen
11.5.2 Probleemstelling
In een stad wordt een nieuwe wijk aangelegd. Een aannemersbedrijf moet een offerte opstellen voor het rioolnetwerk.
Het netwerk moet verbonden zijn met de centrale afvoer in de wijk en alle huizen moeten aangesloten zijn op het netwerk.
Hieronder is de situatie schematisch weergegeven met behulp van een graaf. De knopen zijn de aansluitpunten voor de huizen. Knoop A is de centrale afvoer.
De bogen stellen de mogelijke rioolbuizen voor met de afstanden tussen de aansluitpunten.
Om de kosten te drukken, wil het aannemersbedrijf zo weinig mogelijk rioolbuizen gebruiken. Welke buizen moet het bedrijf leggen?
Om dat probleem op te lossen, zoek je een deelgraaf van de graaf die aan een aantal eisen voldoet:
• De deelgraaf bevat alle knopen van de oorspronkelijke graaf.
• De deelgraaf is samenhangend.
• De deelgraaf bevat geen cykels.
Een deelgraaf die aan die voorwaarden voldoet, noem je een opspannende boom
Om de lengte van de rioolbuizen te beperken, zoek je een minimaal opspannende boom.
Definitie Minimaal opspannende boom
Een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:
• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat;
• een boom met het kleinste totale gewicht.
Om de minimaal opspannende boom te zoeken in een graaf, bestaan meerdere algoritmes. Het bekendste is het algoritme van Kruskal.
11.5.3 Algoritme van Kruskal
Het algoritme van Kruskal werkt als volgt:
1)Start met de boog met het kleinste gewicht.
2)Selecteer de boog met het kleinste gewicht die nog over is, en voeg die toe. Let op: als de boog met het kleinste gewicht een cykel creëert, duid je die aan in een andere kleur en neem je de volgende boog.
3)Ga zo verder met het toevoegen van bogen tot alle knopen verbonden zijn.
Voorbeeld
Bepaal met behulp van het algoritme van Kruskal de minimaal opspannende boom in deze graaf.
• Bogen AD en CE met gewicht 5 zijn de kortste bogen. Je kiest er willekeurig een uit, in dit geval AD
• CE is de kortste nog niet gekozen boog.
• DF is de kortste nog niet gekozen boog.
• Bogen AB en BE met gewicht 7 zijn de kortste nog niet gekozen bogen. Je kiest willekeurig AB
BD vormt met AB en AD een cykel. Die sluit je daarom uit in het verdere proces.
• BE is de kortste nog niet gekozen boog.
Sluit alle bogen (BC, DE en EF) die een cykel vormen, uit.
• EG is de kortste nog niet gekozen boog.
Daarmee zijn alle knopen verbonden.
Toegepast op het rioolnetwerk
Pas het algoritme toe op het rioolnetwerk uit de probleemstelling.
Hoeveel meter rioolbuizen zal de aannemer moeten leggen?
Oefeningen
REEKS A
23 Creëer een minimaal opspannende boom in de volgende grafen.
24 In een nieuwbouwwijk moet er glasvezelkabel komen. In de onderstaande graaf zie je waar de kabels kunnen komen, met de bijbehorende afstanden (in m).
a)Vind een netwerk waarin zo weinig mogelijk glasvezelkabel wordt gebruikt.
b) Hoeveel meter kabel moet minstens worden voorzien?
REEKS B
25 In de tabel vind je de afstanden (in mijl) tussen zes plaatsen in Ierland.
a) Teken een graaf en bepaal een routenetwerk waardoor de steden onderling verbonden zijn met een zo klein mogelijke afstand.
b) Wat is de minimale afstand van het routenetwerk?
Kortste pad
11.6 Graafkleuringen
11.6.1
Vierkleurenstelling
Je wilt de gebieden van een landkaart inkleuren, zodat twee aaneengrenzende gebieden eenverschillende kleur krijgen. ‘Aaneengrenzend’ betekent dat ze een stuk grens gemeen hebben enniet enkel een grenspunt.
Dat probleem kun je vertalen naar een grafenprobleem.
Je voorziet voor elk gebied een knoop en je verbindt twee knopen met een boog als de gebieden aan elkaar grenzen.
Als je de knopen van een graaf wilt kleuren zodat elke twee buren een verschillende kleur hebben, hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?
Francis Guthrie stelde in 1852 dat het mogelijk is om elke willekeurige landkaart in te kleuren met vier kleuren.
In 1890 slaagde Percy Heawood erin om dat te bewijzen voor vijf kleuren.
Pas in 1976 werd de vierkleurenstelling bewezen door Appel en Haken met behulp van een computer.
Er is helaas geen efficiënt algoritme bekend om dat voor een willekeurige graaf te doen met een minimaal aantal kleuren.
Wel zijn er snelle algoritmen die vaak, maar niet altijd, het minimale aantal kleuren opleveren.
1)Noteer de graad van elke knoop.
Kleur de knopen op volgorde van hun graad. De knoop met de hoogste graad kleur je eerst. Voor knopen met een gelijke graad kies je een willekeurige onderlinge volgorde.
2)Kleur de knopen zo zuinig mogelijk.
• Als A niet verbonden is met B, dan krijgt B dezelfde kleur als A
• Als C wel met B, maar niet met A verbonden is, dan krijgt C dezelfde kleur als A,
behalve als B al dezelfde kleur had als A
Dan krijgt C een nieuwe kleur.
• Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn.
Voorbeeld
Zo pas je het algoritme toe op de kaart van België.
• Je noteert de graad van elke knoop.
• Je kleurt de knoop met graad 7 (bv. geel).
• Er zijn twee knopen met graad 5, dus je kiest willekeurig een van de knopen.
De linkerknoop met graad 5 is een buur van de gele knoop, dus je moet een andere kleur gebruiken (bv. rood).
• De twee knopen met graad 5 zijn onderling niet verbonden, maar wel met de geel gekleurde knoop. Je kunt de kleur rood dus hergebruiken.
• Twee knopen met graad 4 zijn verbonden met geel en rood gekleurde knopen, dus moet je een nieuwe kleur gebruiken (bv. groen).
• Voor de laatste knoop met graad 4 kun je de kleur geel hergebruiken.
• Blijf dat herhalen totdat alle knopen gekleurd zijn.
Opmerking
De volgorde waarin je knopen met dezelfde graad kiest, kan een verschillend resultaat opleveren. Kleur de knopen alfabetisch in.
11.6.2 Planningsroosters
Knoopkleuringen van grafen hebben ook nog andere toepassingen. Je kunt ze bijvoorbeeld gebruiken bij planningsproblemen, zoals het opstellen van lessenroosters en werkroosters.
Stel je voor dat vijf leerlingen A, B, C, D, E een aantal taken moeten maken.
In totaal zijn er vijf groepstaken en twee individuele taken.
Er zijn groepstaken voor het trio A, B, C, voor de duo’s A, D ; B, E ; C, D en C, E en individuele taken voor de leerlingen B en D
Hoeveel verschillende momenten zijn er minstens nodig om de taken af te werken, als op zo’n moment de leerlingen maar met één taak bezig mogen zijn?
Je kunt die situatie voorstellen met een graaf.
Daarbij komen de zeven knopen overeen met het aantal taken.
Er staat een boog tussen twee taken als er minstens één leerling is die beide taken moet maken.
Een correcte knoopkleuring (zoals op de tekening rechts) geeft een mogelijke planning, waarbij elke kleur overeenkomt met een moment.
Planning
moment 1
moment 2
moment 3
Is er bij dit voorbeeld een planning mogelijk met maar twee momenten?
Zijn er andere combinaties mogelijk met drie momenten?
Opmerking
Het kleurgetal van een graaf is het kleinste aantal kleuren dat nodig is om de graaf te kleuren. In dit geval is het kleurgetal 3.
REEKS A
26 Kleur de grafen in, zodat buren niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal.
a) d)
kleurgetal = kleurgetal = b) e)
c)
kleurgetal = kleurgetal =
f)
kleurgetal = kleurgetal = Vul aan.
• Alle grafen in deze kolom zijn
• Is er een verband tussen het aantal knopen en het kleurgetal bij dat type grafen?
g) kleurgetal =
27 Kleur de figuren zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Noteer het kleurgetal.
kleurgetal = kleurgetal = b)
kleurgetal = kleurgetal =
kleurgetal = kleurgetal =
d) h)
kleurgetal = kleurgetal =
28 Kleur de figuur zo dat aangrenzende gebieden niet dezelfde kleur hebben. Gebruik maximaal vier verschillende kleuren.
29 Hieronder vind je een kaart van de regio’s van Frankrijk. Kleur de kaart zo in dat aangrenzende regio’s een andere kleur hebben. Gebruik daarbij zo weinig mogelijk verschillende kleuren.
30 In een bepaalde regio installeerde men nieuwe zendmasten.
Op de figuur krijg je een beeld van de plaats en het bereik van elke mast.
Zendmasten waarbij het bereik overlapt, mogen niet op dezelfde frequentie uitzenden om storingen te vermijden.
Hoeveel verschillende frequenties heb je minimaal nodig om zo weinig mogelijk storing te hebben?
REEKS C
31 In een vierde jaar kunnen de leerlingen uit zes sporten kiezen voor de sportdag. Ze mogen twee voorkeuren doorgeven aan de leerkracht LO. In de tabel vind je de keuzes van de leerlingen terug. Is het mogelijk om de sporten te verdelen over de volgende tijdstippen, zodat elke leerling aan zijn twee opgegeven voorkeuren kan deelnemen? Een activiteit duurt twee uur:
• 8.30 – 10.30 uur
• 10.30 – 12.30 uur
• 13.30 – 15.30 uur
handbalvoetbaltennishockeypadelpaardrijden
MarthaMarthaLen EmmaFons Jelle
Emma Len Enya Enya Otis Daan
Fons Daan OtisWilmaWilmaThierry
Jelle Liv Nore NoreThierryLoena
LoenaJulie Julie Fin Dirk Liv
FinCharlotteCharlotteGreetGreet
a)Stel de situatie voor met een graaf.
Dirk
b)Stel een mogelijke planning op.
8.30 – 10.30 uur:
10.30 – 12.30 uur:
13.30 – 15.30 uur:
32 Tijdens de week vóór de aanvang van een nieuw schooljaar zijn er op maandag, dinsdag, donderdag en vrijdag opfrissingscursussen voor wiskunde, natuurwetenschappen, aardrijkskunde, geschiedenis, Engels, Frans en Duits. Elke cursus duurt een volledige dag.
Er zijn drie docenten: de ene geeft zowel wiskunde als natuurwetenschappen, de andere geeft geschiedenis en aardrijkskunde, en de derde geeft de talen.
Sommige leerlingen willen twee vakken volgen. Zo zijn er leerlingen die wiskunde willen combineren met Frans, aardrijkskunde of geschiedenis. Verder zijn er bij elke taal leerlingen die ook aardrijkskunde of geschiedenis willen volgen. Tot slot zijn er nog leerlingen die naast natuurwetenschappen ook Engels willen volgen.
Is het mogelijk om een planningsrooster op te stellen zodat elke leerling zijn gekozen cursus(sen) kan volgen? Elke opfrissingscursus gaat maar één keer door.
a)Stel de situatie voor met een tabel.
docent 1
b)Stel de situatie voor met een graaf.
docent 2
c)Stel, indien mogelijk, een planning op. maandag dinsdag donderdag vrijdag
Hamiltongrafen
Handelsreizigersprobleem of ‘Travelling Salesman Problem’ (TSP)
docent 3
11.1 Begripsvorming
Een graaf is een figuur die bestaat uit punten die je knopen noemt en verbindingslijnen die je bogen noemt.
Een enkelvoudige graaf is een graaf waarbij geen lussen en maximaal één boog tussen twee knopen zijn toegelaten.
Een multigraaf is een graaf waarbij lussen en meerdere bogen tussen twee knopen zijn toegelaten.
Een graaf is samenhangend als elke twee knopen van de graaf verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een graaf is niet-samenhangend als een of meerdere knopen van de graaf niet verbonden zijn door een rij van aansluitende bogen.
Een gewogen graaf is een graaf waarbij alle bogen voorzien zijn van een positief getal.
Een gerichte graaf is een graaf waarbij minstens één boog een oriëntatie heeft.
Een lus is een boog die een knoop met zichzelf verbindt.
Een knoop is een buur van een andere knoop als de knopen met elkaar verbonden zijn door minstens één boog.
De graad van een knoop A is het aantal bogen dat vertrekt of toekomt in die knoop.
Een graaf G 1 is een deelgraaf van graaf G 2 als de knopen en bogen van G 1 ook knopen en bogen zijn van G 2
Een wandeling tussen twee verbonden knopen A en B is een rij verbonden knopen waarvan A de beginknoop en B de eindknoop is.
Een pad is een wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn.
De knopen worden maximaal één keer doorlopen.
Een cykel is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde knopen verschillend zijn, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Een spoor is een wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
De bogen worden maximaal één keer doorlopen.
Een circuit is een gesloten wandeling waarbij alle gepasseerde bogen verschillend zijn.
Een volledige graaf is een graaf waarin elke knoop met elke andere knoop verbonden is.
Een planaire (of vlakke) graaf is een graaf die in een vlak kan worden getekend zonder dat de bogen van de graaf elkaar snijden.
Een graaf indelen in de juiste categorie: enkelvoudige graaf, multigraaf, samenhangende graaf, gewogen graaf, gerichte graaf.
In een graaf:
• de graad van elke knoop bepalen;
• de verschillende deelgrafen tekenen en/of herkennen.
Een wandeling indelen in de juiste categorie: pad, cykel, spoor, circuit.
Onderzoeken (met ICT) of een graaf planair is.
11.2 Eigenschappen van grafen
KENNEN
Een knoop in een graaf met n knopen heeft maximaal n – 1 buren.
De som van de graden in een graaf met n bogen is 2n Het aantal knopen met oneven graad in een graaf is altijd even.
11.3 Tweedelingsgrafen
KENNEN
Een tweedelingsgraaf is een graaf waarvan je de knopen in twee groepen kunt verdelen, op zo’n manier dat elke boog van de graaf een knoop van de ene groep verbindt (matcht) met een knoop van de andere groep.
Er mogen geen bogen zijn tussen knopen van dezelfde groep.
Bij een tweedelingsgraaf G met groepen X en Y bestaat een matching die alle elementen van X matcht met elementen van Y, als en slechts als elke k elementen van X samen ten minste k verschillende buren hebben in Y (voor elke k = 1, 2, …).
11.4
KUNNEN
Onderzoeken of grafen tweedelingsgrafen zijn.
De stelling van Hall toepassen om te analyseren of een bepaalde planning mogelijk is.
Eulergrafen
KENNEN
Een eulerspoor is een open wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Samenhangende grafen hebben een eulerspoor als en slechts als alle knopen een even graad hebben, met uitzondering van de begin- en eindknoop.
Een eulercircuit is een gesloten wandeling die alle bogen juist één keer doorloopt.
Samenhangende grafen hebben een eulercircuit als en slechts als alle knopen een even graad hebben.
Een eulergraaf is een graaf met een eulercircuit.
KUNNEN
Met behulp van eigenschappen analyseren of een graaf een eulerspoor of eulercircuit bevat.
Met het algoritme van Hierholzer een eulerspoor of eulercircuit bepalen.
11.5 Minimaal opspannende boom voor de
KENNEN
Een boom is een samenhangende graaf zonder cykels.
Een graaf is een boom als en slechts als:
• er tussen elk paar knopen juist één pad is;
• de graaf samenhangend is en het aantal knopen van de graaf één meer is dan het aantal bogen van de graaf.
Een minimaal opspannende boom van een samenhangende, gewogen graaf is:
• een deelgraaf die alle knopen van de oorspronkelijke graaf bevat;
• een boom met het kleinste totale gewicht.
KUNNEN
Een boom herkennen met behulp van de eigenschappen.
Een minimaal opspannende boom bepalen in een gewogen graaf.
11.6 Graafkleuringen
KUNNEN
Gebieden inkleuren met zo weinig mogelijk verschillende kleuren, zodat de aaneengrenzende gebieden verschillende kleuren hebben.
Een planningsrooster opstellen door de theorie van de graafkleuringen toe te passen.
Pienter problemen oplossen
Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?
Piet liegt altijd op donderdag, vrijdag en zaterdag, en niet op de overige dagen.
Op een dag zegt Jan tegen Piet: ‘Morgen zal ik liegen.’
Piet reageert: ‘Morgen zal ik ook liegen.’
Op welke dag vond dat gesprek plaats?
2.Mieke, Lotte, Jef, Leo en Fleur zijn de vijf kinderen van Stijn. Stijn heeft in totaal vijftien kleinkinderen. Mieke is de tante van dertien van die kleinkinderen, Lotte de tante van twaalf, Jef de nonkel van elf en Leo de nonkel van tien.
Hoeveel kinderen heeft Fleur?
3.Wat is de som van alle getallen van rij 1 tot en met rij 2 022 in de volgende tabel?
rij 1
rij 2
rij 3
rij 41–11–1
rij 51–11–11
4.Maurenz rijdt van Kalmthout naar Snellegem, een traject van 130 km. Het eerste uur rijdt hij 10 km/h. Hij verdubbelt elk uur zijn snelheid.
Hoelang doet hij erover om Snellegem te bereiken (in minuten)?
