Pienter 3 - XL 5u deel 2 - leerwerkboek (ed. 2024)

Proefversie©VANIN

Inhoudsopgave (deel 1 & 2)

Proefversie©VANIN

Hoofdstuk 1 De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 2 De reële getallen

Hoofdstuk 3 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

Hoofdstuk 4 Rekenen met reële getallen

Hoofdstuk 5 Inleiding tot reële functies

Hoofdstuk 6 Eerstegraadsvergelijkingen, eerstegraadsongelijkheden en formules omvormen

Hoofdstuk 7 Gelijkvormigheid

Hoofdstuk 8 Eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 9 Beschrijvende statistiek

Hoofdstuk 10 Vectoren

Hoofdstuk 11 Stelsels van vergelijkingen

Hoofdstuk 12 De cirkel

Proefversie©VANIN

HOOFDSTUK 9 I BESCHRIJVENDE STATISTIEK

Proefversie©VANIN

9.1.1

Statistieken

Meestal denk je bij het woord ‘statistiek’ aan tabellen en grafieken.

Tabellen en grafieken noem je inderdaad ‘statistieken’.

Proefversie©VANIN

Je kunt geen krant of weekblad openslaan zonder daarmee geconfronteerd te worden.

Ook de televisie en het internet geven informatie die met statistieken visueel gemaakt wordt.

Sporen van stimulerende middelen in het afvalwater

Het gemiddeld aantal doelpunten per wedstrijd

Bron: katholiekonderwijs.vlaanderen

Bron: rtlnieuws.nl

9.1.2

Doel van statistiek

De waaier aan activiteiten die elk statistisch onderzoek met zich meebrengt, kun je in twee grote categorieën verdelen.

beschrijvende statistiek verklarende statistiek

• informatie verzamelen

• informatie verwerken en voorstellen

• informatie analyseren

Proefversie©VANIN

• verdere analyse

• betrouwbaarheid van de informatie nagaan

• conclusies formuleren

Statistiek is voor de huidige samenleving van groot belang.

Voorbeelden

• Hoe weten confectiebedrijven welke maten ze het meest moeten produceren?

• Hoe plannen fabrikanten van desktops hun productie op lange termijn?

• Hoe weet een land welke accenten het moet leggen in het verkeersbeleid?

• Hoe kun je verschillende prestaties op het gebied van school, sport, arbeid ... met elkaar vergelijken?

Zowel economie, politiek, psychologie, pedagogie, geneeskunde als exacte wetenschappen maken gebruik van de statistiek als werkinstrument.

Al in de oudheid was er sprake van statistische activiteit. Onze voorouders beseften dat de landbouwopbrengst afhankelijk was van de grootte van het stuk land.

Toch heeft het geduurd tot de 16e à 17e eeuw vooraleer regeringen echt nood hadden aan de verwerking van grote hoeveelheden gegevens (sterfte, geboorte, dopen, huwelijken, handel, landbouw ...).

Graunt, Fermat en Pascal gelden daar als de voornaamste figuren.

In de 18e eeuw werden de wiskundige fundamenten van de statistiek gelegd door gebruik te maken van de kansrekening. Bernoulli, Huygens, de Moivre, de Witt, Legendre en Gauss zijn stuk voor stuk wetenschappers die op dat vlak baanbrekend werk geleverd hebben.

In de 19e eeuw vind je naast klinkende namen als Laplace en Galton ook die van een Belg terug. Adolphe Quetelet leverde belangrijk werk in de ‘sociale statistiek’.

Quetelet is vooral bekend omdat hij het begrip Body Mass Index (BMI) introduceerde.

Hij verzamelde ook bevolkingsgegevens en analyseerde die.

In 1841 richtte hij het eerste openbare statistische bureau ter wereld op: de Centrale Commissie voor de Statistiek.

Quetelet is ook de eerste die de grafische weergave van statistische gegevens wetenschappelijk verantwoordde.

In de 20e eeuw was er een verdere ontwikkeling van de mathematische statistiek.

Karl Pearson, Ronald Fisher, Jerzy Neyman en Egon Pearson ontwikkelden de methode van de statistische toetsing. Abraham Wald ontwikkelde de statistische beslissingstheorie.

Met de komst van de computer werd het mogelijk zeer grote hoeveelheden gegevens op korte tijd te verwerken.

Statistiek wordt meer en meer als een aparte wetenschappelijke discipline beschouwd.

9.1.3 Misleidende diagrammen

Soms misbruikt men grafische voorstellingen om een bepaalde conclusie op te dringen of te versterken.

•

aantal geboortes in België en Nederland in 2022

Er zijn steeds meer oudere mensen in Europa en steeds minder jonge mensen. Men zegt dat de vergrijzing een probleem is.

De grafische voorstelling toont het aantal geboortes in België en Nederland in 2022.

Het lijkt alsof de vergrijzing in Nederland minder erg is dan in België. Maar is dat zo?

Proefversie©VANIN

België

• De evolutie van het aantal klachten over nachtlawaai is op twee manieren voorgesteld.

Op de linkse grafiek zie je een duidelijk dalende tendens. Op de rechtse grafiek lijkt het aantal klachten sterk te stijgen. Welke ingrepen deed men om dat idee te versterken?

Je ziet een voorstelling van de leeftijdsverdeling bij de Vlaamse bloedgevers.

Deze grafische voorstelling wil ons doen geloven dat de meeste bloedgevers tussen de 20 en 40 jaar zijn. Wat heeft men gedaan om dat te tonen?

Oefeningen

REEKS A

1 Waarom zijn deze statistieken misleidend?

a) Ik weet wanneer

ik genoeg gestudeerd heb.

Proefversie©VANIN

b) geoogste hoeveelheid fruit

banaan

appel

kers

c) vermageren met CALORIEVRETER

d) Bij 'De Lustige Shotters' zijn er de minste blessures bij de 40-plussers.

2 Om aan te tonen hoezeer een stadsbestuur heeft gefaald in zijn beleid om de uitgaven drastisch terug te schroeven, publiceert een oppositiepartij in haar maandblad het onderstaande diagram.

begrotingstekort

a) Welke indruk wil dit diagram wekken?

Proefversie©VANIN

begrotingstekort

begrotingstekort

begrotingstekort ( × 10 000 euro)

b) Het stadsbestuur nuanceert de kritiek met de nevenstaande voorstelling.

Hoe heeft het stadsbestuur zijn voorstelling verkregen?

jaartal

3 Aan een aantal leerlingen werd gevraagd naar hun favoriete schoolvak. Hoewel alle vakken even populair bleken te zijn, wekt het diagram toch de indruk dat Nederlands de meeste stemmen kreeg. Hoe komt dat?

4 Omschrijf kort hoe het diagram erin slaagt de indruk te wekken dat het procentuele aantal allochtonen in de VS historisch hoog was op het einde van de twintigste eeuw.

allochtonen in de VS in aantal en percentage

aantal in miljoen jaartal

5 Het diagram laat uitschijnen dat België zijn best doet om de CO2-uitstoot tegen te gaan. We bevinden ons helemaal onderaan de lijst.

a) Waarom zet dit diagram ons op het verkeerde been?

Landen die het meest CO2 uitstoten (miljoen ton)

China 9.839

VS 5.270

India 2.467

Rusland 1.693

Japan 1.205

Duitsland 799

Iran 672

Saoedi-Arabië 635

Zuid-Korea 616

Canada

573

België 100

Bronnen: EEA, Global Carbon Atlas

b) Welk land is relatief de grootste vervuiler?

Proefversie©VANIN

6 Verklaar de schijnbare tegenstelling tussen beide grafieken.

8

7 Oudere mensen ervaren hun gezondheid slechter dan jongere mensen. Welke ingrepen heeft men gedaan bij het onderstaande diagram om die gedachte nog te versterken?

9.1.4 Procent en procentpunt

Voorbeeld 1

Stel: je betaalt 20 % belasting. Daarna stijgt de belasting naar 21 %. Hoeveel procent is de belasting gestegen?

• De stijging van 20 % naar 21 % is 1 procentpunt, want 21 % – 20 % = 1 %.

• De stijging van 20 % naar 21 % is 5 procent, want 21 20 = 1,05 = 105 % = 100 % + 5 %.

Definitie Procentpunt

Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee procentuele waarden.

Voorbeeld 2

Stel: op de totale beroepsbevolking van 6 000 000 mensen zijn er 300 000 werklozen.

• Bereken het werkloosheidspercentage.

• De werkloosheid neemt toe met 2 %. Hoeveel werklozen zijn er nu?

• Hoeveel bedraagt het nieuwe werkloosheidspercentage?

• Met hoeveel procentpunt is het werkloosheidspercentage toegenomen?

Proefversie©VANIN

• Als het werkloosheidspercentage met 2 procentpunt stijgt, hoeveel werklozen zijn er dan?

Oefeningen

REEKS A

8 Vul de tabel aan.

Proefversie©VANIN

procentpunt procent

a) Van 80 % naar 88 % is een stijging van

b) Van 100 % naar 95 % is een daling van

c) Van 50 % naar 70 % is een stijging van

d) Van 80 % naar 60 % is een daling van

e) Van 60 % naar 63 % is een stijging van

REEKS B

9 In 2012 is de btw gestegen van 19 % naar 21 %.

a) Hoeveel procent is de btw gestegen? Rond af op 0,01 %

b) Hoeveel procentpunt is de btw gestegen?

c) Als de btw met 2 % steeg, hoeveel zou ze dan bedragen?

10 Je hebt een woonkrediet bij de bank met een jaarlijks veranderlijke rentevoet. De huidige rentevoet bedraagt 3,6 %.

a) Na een jaar daalt de rentevoet met 0,4 procentpunt. Hoeveel bedraagt de nieuwe jaarlijkse rentevoet?

b) Met hoeveel procent is de jaarlijkse rentevoet gedaald? Rond af op 0,01 %

c) Als de oorspronkelijke rentevoet met 0,7 procentpunt stijgt, hoeveel bedraagt dan de procentuele toename?

11 In 2023 bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten 3,67 %. Dat was een stijging met 0,51 procentpunt ten opzichte van 2022. De inflatie daalde van 9,59 % in 2022 naar 4,10 % in 2023.

a) Hoeveel bedroeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in 2022?

b) Met hoeveel procent steeg de gemiddelde rentevoet voor woonkredieten in één jaar tijd? Rond af op 0,01 %.

Proefversie©VANIN

c) Met hoeveel procentpunt daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022?

d) Met hoeveel procent daalde de inflatie in 2023 ten opzichte van die in 2022? Rond af op 0,01 %.

12 De consumentenbond stelt regelmatig een tabel op die laat zien hoe het ervoor staat met de prijzen bij verschillende supermarkten.

Supermarkt A zit, voor de huismerken, op 90 % van de gemiddelde supermarktprijs en supermarkt B op 108 %. A maakt reclame dat ze 18 % goedkoper is dan B.

Toon aan dat dat niet klopt.

13 ‘Wij betalen uw btw: 21 procent korting op alles!’ Klopt die reclame?

14 Fatima verdient 5 % meer dan Kevin. Verdient Kevin dan 5 % minder dan Fatima?

15 Het diagram toont de resultaten van de verkiezingen voor het Vlaams Parlement in 2019. De grijze balkjes eronder geven het resultaat van 2014 weer.

Lijst

Open Vld

N-VA

VLAAMS BELANG

CD&V

PVDA

PVDA+

UF

GROEN sp.a Bron: www.hln.be

% van de stemmen

Proefversie©VANIN

a) Met hoeveel procent is het resultaat van Open Vld gedaald ten opzichte van 2014? Rond af op 0,01 %.

b) Zijn de volgende uitspraken juist of fout?

juist fout

Het verkiezingsresultaat van N-VA lag in 2019 7,05 procent lager dan in 2014. r r

Het verkiezingsresultaat van Groen lag in 2014 1,41 procentpunt lager dan in 2019. r r

c) Met hoeveel procent is het resultaat van Vlaams Belang gestegen ten opzichte van 2014?

d) Sp.a en CD&V leden in 2019 allebei verlies. Voor welke partij was dat verlies het grootst ten opzichte van 2014?

9.2 Soorten gegevens

9.2.1 Elementen, kenmerken en gegevens

In de statistiek verzamel je gegevens door kenmerken van elementen te onderzoeken.

De elementen zijn de objecten (personen, dieren, goederen ...) waarover je informatie wenst te verkrijgen.

De kenmerken zijn de eigenschappen van een element. Kenmerken noem je ook variabelen of veranderlijken.

Het geheel van de verkregen gegevens noem je de gegevensverzameling

Voorbeeld

naam aantal puppy's kleur lengte (cm) gehoorzaamheid

Bobby 3 zwart 56 goed

Rex 8 wit 83 zeer goed

Lexy 5 bruin 34 zwak

De gegevens of data zijn de hoedanigheden of getallen die je verkrijgt na een statistisch onderzoek.

Proefversie©VANIN

9.2.2

Soorten gegevens

categorische gegevens

Dat zijn gegevens die een hoedanigheid weergeven. Die gegevens noem je ook kwalitatieve gegevens.

Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.

Voorbeeld:

• veranderlijke: kleur

• gegevens: zwart, wit ...

Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.

Voorbeeld:

• veranderlijke: gehoorzaamheid

• gegevens: goed, zwak ...

numerieke gegevens

Dat zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen. Die gegevens noem je ook kwantitatieve gegevens.

Discrete numerieke gegevens beperken zich tot een aantal waarden.

Voorbeeld:

• veranderlijke: aantal puppy's

• gegevens: 3, 8 ...

Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.

Voorbeeld:

• veranderlijke: lengte in cm

• gegevens: 56, 83 ...

Oefeningen

REEKS A

16 Welk soort gegevens verkrijg je bij de volgende onderzoeksonderwerpen? categorisch numeriek

Proefversie©VANIN

onderzoeksonderwerp + gegevens nietgeordend geordend discreet continu

a) de tevredenheid van de leerlingen van onze school over hun leerkracht wiskunde

gegevens: tevreden, ontevreden ...

b) het aantal verkeersboetes in onze stad per jaar tussen 2010 en 2020

gegevens: 215, 190, 307 ...

c) de gemiddelde levensduur van een nieuw soort lampen

gegevens: 2 428 h, 2 369 h, 2 526 h ...

d) de frisdrank die jongeren meestal drinken bij hun middagmaal

gegevens: cola, limonade, fruitsap ...

e) de massa van de boekentas van de leerlingen van het eerste jaar

gegevens: 8,1 kg; 7,6 kg; 6,8 kg ...

f) het onveiligheidsgevoel bij bejaarden in onze stad

gegevens: klein, matig, groot ...

g) de maximale dagtemperatuur in Brussel in de maand mei

gegevens: 18 °C, 22 °C, 19 °C ...

h) het merk van smartphone bij de 18-jarigen van onze school

gegevens: Samsung, iPhone, Huawei ...

i) het aantal huisdieren in een gezin

gegevens: 0, 1, 2, 3 ...

j) het geboorteland van de allochtonen die nu in onze stad wonen

gegevens: Albanië, Italië, Rusland ...

17 Geef drie gegevens die je kunt verkrijgen bij de volgende onderzoeksonderwerpen. Benoem het soort gegevens zo nauwkeurig mogelijk.

a) de favoriete sport van de 15-jarigen van onze gemeente mogelijke gegevens:

soort gegevens:

Proefversie©VANIN

b) de bakwijze van een steak

mogelijke gegevens:

soort gegevens:

c) de snelheid van de wagens op de E313 tussen 22 uur en 23 uur mogelijke gegevens:

soort gegevens:

d) het aantal valpartijen per dag in de vorige Ronde van Frankrijk mogelijke gegevens:

soort gegevens:

e) de schoenmaat van de leerlingen van de klas mogelijke gegevens:

soort gegevens:

f) de hobby’s bij 16-jarigen

mogelijke gegevens:

soort gegevens:

g) de massa van de pasgeboren baby’s in Vlaanderen

mogelijke gegevens:

soort gegevens:

h) de mate waarin een sporter bijgelovig is

mogelijke gegevens:

soort gegevens:

9.3 Statistisch onderzoek

9.3.1 Context

Als je een onderzoek wilt starten, moet je eerst goed nadenken over de context

Zo zul je bij een onderzoek naar ‘de tevredenheid over het openbaar vervoer’ moeten weten welke vragen je zult stellen, aan wie, hoe en wanneer.

Wat zijn de elementen van het onderzoek?

(Wie of wat wordt onderzocht?)

Wat zijn de kenmerken?

(Wat wordt er onderzocht bij de elementen?)

Met welk soort gegevens heb je te maken?

Wat wil je weten?

Waarom voer je het onderzoek?

Proefversie©VANIN

de tevredenheid over het openbaar vervoer

Hoe, waar en met welke middelen ga je het onderzoek voeren?

9.3.2 Enquête

Om gegevens te verzamelen, neem je een enquête af.

Dat kan op heel wat manieren: schriftelijk, telefonisch, via het internet, een persoonlijk interview ...

De ondervraagde mensen noem je de respondenten

Het aantal mensen dat antwoordt, vormt de respons van de enquête.

9.3.3 Vraagstelling

Je moet goed nadenken over de vragen die je stelt in een enquête.

Ze moeten kort, eenvoudig, duidelijk en begrijpbaar zijn.

Open vragen

Geef je mening over de dienstverlening bij De Lijn.

De respondent mag het antwoord zelf formuleren.

De antwoorden kunnen soms heel verschillend zijn. Ze zijn soms moeilijk samen te vatten en moeilijk te beoordelen. Het is wel mogelijk dat je veel informatie krijgt.

Gesloten vragen

Met welk openbaar vervoer kun je het best vanuit je woonplaats de school bereiken?

r bus r trein r tram r geen

De antwoordmogelijkheden zijn beperkt, gemakkelijk samen te vatten en te beoordelen.

Je moet goed nakijken of alle mogelijke antwoorden opgenomen zijn.

9.3.4 Steekproef en populatie

Om de kijkcijfers in Vlaanderen te bepalen, worden uiteraard niet alle tv-kijkers ondervraagd. Dat is onmogelijk.

Er worden een aantal gezinnen uitgekozen die een schaalmodel vormen voor tv-kijkend Vlaanderen.

Proefversie©VANIN

Het Centrum voor Informatie over de Media of CIM is een Belgische instelling die gegevens verzamelt en levert voor de reclamemarkt. De tv-studie van CIM meet op een continue en gestandaardiseerde manier het televisiekijken in Vlaanderen. Daarvoor doet ze een beroep op een panel van 1 500 gezinnen. Bij elk van die gezinnen is een kijkmeter geïnstalleerd.

Dat toestel registreert het kijkgedrag van de verschillende leden van het gezin en eventuele gasten in Vlaanderen en Brussel. In totaal staat het panel voor 3 700 personen.

Op die manier hoopt men zicht te krijgen op alle kijkers van vier jaar en ouder.

Sinds januari 2016 bepaalt men het totaal van het rechtstreekse tv-kijken en het uitgestelde tv-kijken op de dag van uitzending tot zeven dagen na uitzending.

De totale verzameling ‘alle tv-kijkers in Vlaanderen’ noem je de populatie

De kijkers zijn de elementen

In veel gevallen heeft men niet de middelen, de tijd en/of het geld om een volledige populatie te onderzoeken. Daarom bekijkt men een deel van de populatie.

Een deel van de populatie noem je een steekproef.

De steekproef moet een voldoende omvang hebben en representatief zijn voor de populatie, zodat je de vaststellingen kunt veralgemenen.

Soorten steekproeven

100 willekeurig gekozen scholieren van 16 jaar vullen een enquête in over hun studeergewoontes.

In iedere Vlaamse provincie wordt aan 60 stedelingen en 40 plattelandbewoners gevraagd naar hun afkomst.

Elke tiende persoon van een lijst wordt ondervraagd over de vrijetijdsbesteding.

de aselecte steekproef de gerichte steekproef de systematische steekproef

Elk element van de steekproef is bij toeval gekozen en elk element heeft evenveel kans om gekozen te worden.

De populatie wordt onderverdeeld in deelgroepen. Binnen elke deelgroep doe je een aselecte steekproef.

De steekproefelementen worden uit de populatie gekozen volgens een bepaald systeem.

9.3.5 Wat er kan mislopen bij een onderzoek

Problemen met de vraagstelling

Bij een onderzoek is de vraagstelling heel belangrijk.

Een vraag moet duidelijk zijn en niet voor interpretatie vatbaar.

Wat is er verkeerd aan de volgende vraag?

Ben je voor of tegen de besparingspolitiek van de regering?

Proefversie©VANIN

Problemen met de respons

De respons moet groot genoeg zijn. Anders zijn de conclusies niet betrouwbaar.

Een krant doet een onderzoek over ‘voor of tegen het gebruik van kernenergie’.

Uit de onlineantwoorden blijkt dat 70 % voor is.

Is dat cijfer betrouwbaar, als de respons maar 10 % bedraagt?

Problemen met de steekproef

De steekproef moet evenwichtig samengesteld zijn.

Anders krijg je vertekende resultaten.

Om het cultuurprogramma van een stad te bepalen, worden honderd inwoners tussen 30 en 40 jaar bevraagd.

Wat is er fout aan die steekproef?

REEKS A

18 Bepaal de populatie en het soort steekproef. Geef in het geval van een gerichte steekproef vier deelgroepen.

a) de bloedgroep van pasgeborenen in Vlaanderen populatie:

steekproef:

Proefversie©VANIN

b) de schoenmaat van de Vlaamse scholier populatie:

steekproef:

c) de favoriete voetbalploeg uit de Jupiler Pro League populatie:

steekproef:

d) de inhoud in ml van melkflessen populatie: steekproef:

e) het aantal uren per week dat de Brusselse scholier studeert populatie:

steekproef:

9.4 Categorische gegevens verwerken

9.4.1

Frequentietabel

Tim vroeg aan een aantal 16-jarigen naar het merk van hun droomauto:

De resultaten van zijn onderzoek heeft hij in een tabel gezet.

Het is niet altijd eenvoudig om uit zo’n tabel ruwe gegevens af te lezen.

Daarom verwerk je de gegevens in een frequentietabel

x i n i f i

Proefversie©VANIN

• Je plaatst de verschillende gegevens in de eerste kolom.

notatie: x i

• Je telt het aantal keer dat elk gegeven voorkomt, en noteert dat in de tweede kolom. Dat is de absolute frequentie

notatie: n i

notatie: f i 7 7 60 ≈ 0,116 7 = 11,67 %

Definitie Absolute frequentie

De som van alle absolute frequenties is gelijk aan de omvang n van de steekproef.

• Als je de absolute frequentie deelt door de omvang van de steekproef, verkrijg je de relatieve frequentie

De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat het gegeven voorkomt.

Definitie Relatieve frequentie

De relatieve frequentie f i van het gegeven x i f i = n n i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef.

9.4.2 Grafische voorstellingen

Staafdiagram

• Op de horizontale as zie je de verschillende antwoordmogelijkheden.

• De hoogte van de verticale staafjes komt overeen met de (relatieve) frequentie.

Proefversie©VANIN

Cirkeldiagram

• De hoekgrootte van de cirkelsectoren wordt bepaald door de relatieve frequenties. Daarvoor worden die met 360º vermenigvuldigd.

• Een legende toont de verschillende antwoordmogelijkheden.

9.4.3 Categorische gegevens verwerken met ICT

Excel

Frequentietabel

Open het bestand ‘DROOM.xlsx’ en ga als volgt te werk.

Proefversie©VANIN

Staafdiagram

Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.

• Invoegen – Kolom – Gegroepeerde kolom.

• Rechtermuisklik op de horizontale as: Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken –Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i

• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘staafdiagram’.

• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.

• Grafiekelementen – Gegevenslabels – Einde, buitenkant.

De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

Cirkeldiagram

Open het bestand ‘DROOM.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de relatieve frequentieverdeling.

• Invoegen – Cirkel – Eerste subtype (cirkel).

• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i

• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘cirkeldiagram’.

• Grafiekelementen – Grafiektitel: typ een passende titel in.

• Gegevenslabels toevoegen.

De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

GEOGEBRA

Oefeningen

REEKS A

19 Via een steekproef peilde de directie naar de kwaliteit van de middagmalen op school. De leerlingen konden voor hun oordeel kiezen uit: zeer slecht − slecht − neutraal − lekker − zeer lekker.

x i n i f i

zeer slecht 5

slecht 11

neutraal 19

lekker 26

zeer lekker 9 70

Proefversie©VANIN

a) Vervolledig de frequentietabel met de relatieve frequentie.

b) Teken met ICT:

• een staafdiagram voor de relatieve frequentie,

• een cirkeldiagram.

c) Hoeveel leerlingen vinden de kwaliteit van het middagmaal slecht of zeer slecht?

d) Hoeveel procent van de leerlingen vindt het eten niet zeer lekker?

20 Van 400 mensen werd de kleur van hun ogen genoteerd.

x i n i f i

%

a) Vervolledig de frequentietabel met de absolute frequentie.

b) Teken met ICT:

• een staafdiagram voor de absolute frequentie,

• een cirkeldiagram.

c) Hoeveel mensen hebben groene of bruine ogen?

21 Steeds meer mensen schakelen over op een elektrische wagen. Het staafdiagram toont het aantal ingeschreven volledig elektrische auto’s in 2023.

Aantal elektrische wagens in België

Vlaanderen

Proefversie©VANIN

Brussel

Wallonië

totaal

a) Hoeveel elektrische wagens zijn er in Brussel en Wallonië samen ingeschreven?

b) ‘Er rijden 63,48 % meer elektrische wagens in Vlaanderen dan in Wallonië.’ Klopt die bewering?

c) Teken met ICT een cirkeldiagram.

22 In een Vlaamse stad zijn er 26 749 mensen die een sport beoefenen. Na onderzoek bleken de sportactiviteiten verdeeld zoals in het cirkeldiagram is weergegeven.

totaal

a) Vul de frequentietabel in.

b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

c) Hoeveel ondervraagde mensen beoefenen geen voetbal en geen tennis?

23 Je voert een onderzoek uit naar het merk van smartphone dat de leerlingen van jouw klas bezitten.

a) Stel een frequentietabel op.

merk

b) Teken met ICT:

• een staafdiagram voor de absolute frequentie,

• een cirkeldiagram.

c) Welk merk komt het meest voor?

d) Hoeveel leerlingen van jouw klas hebben dat merk niet?

turven n i f i

Proefversie©VANIN

e) Hoeveel procent van de leerlingen heeft de twee meest voorkomende merken?

f) Denk je dat dit een goede steekproef is die je kunt veralgemenen naar alle leerlingen van een tweede graad in Vlaanderen?

Waarom (niet)?

24 Van 50 mensen werd de bloedgroep in een tabel genoteerd. A AB A O B

a) Maak een frequentietabel.

Proefversie©VANIN

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

d) Hoeveel mensen hebben bloedgroep A of B?

e) Hoeveel procent van de mensen heeft een andere bloedgroep dan A of O?

f) Hoeveel keer meer kans heb je om bloedgroep B te hebben dan bloedgroep AB?

25 Van 70 mensen werd de maat van hun T-shirts in een tabel genoteerd.

a) Maak een frequentietabel.

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

d) Hoeveel procent van de mensen heeft een T-shirtmaat groter dan M?

e) Hoeveel mensen hebben een T-shirtmaat die kleiner is dan of gelijk aan L?

f) Hoeveel procent meer mensen heeft maat M dan L?

26 Aan 80 leerlingen wordt bij het invullen van het formulier voor de schooladministratie gevraagd hoe ze naar school komen: te voet (VO), per fiets (FI), met de bus (BU), met de trein (TR), met de wagen (WA), met de bromfiets (BF) of met een ander vervoermiddel (AN).

BU BF FI BF FI BU FI VO

BU BF FI BU FI VO BU FI

FI VO WA BF BU BF BU BU

TR BF FI BF FI BF BU WA

BU FI TR VO BU WA FI TR

FI BF FI BF BU BF WA FI

TR VO BU BF TR VO BU BU

FI BF FI BF AN FI FI BU

AN WA TR WA FI BF BU TR

FI BF TR BF BU VO FI BU

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de relatieve frequentie.

a) Maak een frequentietabel.

vervoermiddel n i f i VO FI BU TR WA BF AN

d) Welk vervoermiddel wordt het meest gekozen om naar school te komen?

e) Hoeveel procent van de leerlingen komt te voet of met de bus naar school?

f) Hoeveel leerlingen komen met de trein of met de fiets naar school?

g) Twee vervoermiddelen maken samen de helft van de steekproef uit. Welke?

27 Aan 60 mensen wordt gevraagd bij welke smartphoneoperator ze aangesloten zijn: Base (B), Orange (O), Proximus (P), Telenet (T) of andere (A).

a) Maak een frequentietabel. operator n i f i andere

b) Teken met ICT een cirkeldiagram.

c) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

d) Hoeveel mensen kiezen niet voor Proximus?

e) Hoeveel procent marktaandeel halen Base en Orange samen?

f) Hoeveel procent is het marktaandeel van Proximus groter dan dat van Telenet?

9.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken

9.5.1

Frequentietabel

Op een toets wiskunde op 10 behaalden de leerlingen de onderstaande punten:

Proefversie©VANIN

Naar analogie met de categorische gegevens kun je voor elk gegeven de absolute en relatieve frequentie bepalen.

Om te weten hoeveel leerlingen de helft niet behaalden, moet je de frequenties optellen van de eerste vijf gegevens.

Dat aantal is gelijk aan

2 + 3 + 2 + 4 + 3 = 14

Je zegt dat 14 de cumulatieve absolute frequentie is van het vijfde gegeven.

Je noteert die frequentie als cn 5

Definitie Cumulatieve absolute frequentie

De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle absolute frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n 1 + n 2 + . . . + n i

Weten dat er 14 leerlingen zijn die 4 op 10 of minder halen, zegt niet zoveel als je niet weet dat er 36 leerlingen de toets hebben gemaakt. 14 van de 36 leerlingen of 38,89 % noem je de cumulatieve relatieve frequentie van het vijfde gegeven. Je noteert die frequentie als cf 5

Definitie Cumulatieve relatieve frequentie

De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en cfi = cn n i de omvang n van de steekproef.

Hoeveel procent van de leerlingen behaalt minder dan 6 op 10?

Hoeveel leerlingen behalen meer dan 7 op 10?

Hoeveel procent van de leerlingen scoort 6 of 7 op 10?

9.5.2 Grafische voorstellingen

Staafdiagram aantal leerlingen in procent

%

%

toets wiskunde

• De werkwijze is dezelfde als die van categorische gegevens.

• De hoogte van de verticale staven komt overeen met de (relatieve) frequentie.

%

5,00 % 15,00 %

0,00 %

Lijndiagram

Cumulatief staafdiagram en cumulatief lijndiagram

• Bij niet-gegroepeerde numerieke gegevens worden de staven zo smal mogelijk getekend.

• Op de horizontale as zie je de verschillende waarden van x i , in stijgende volgorde.

• De verticale as bevat de frequenties.

• Een gebroken lijn verbindt de punten (x i , n i ) of (x i , f i ).

toets wiskunde

op 10

Frequentietabel

Open het bestand ‘WISK.xlsx’ en ga als volgt te werk.

Proefversie©VANIN

Staafdiagram

Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de relatieve frequenties en werk naar analogie met paragraaf 9.4.3.

• Om de staven te versmallen:

• Rechtermuisklik op een van de staven.

• Gegevensreeks opmaken: breedte tussenruimte: kies voor 500 %.

Lijndiagram

Open het bestand ‘WISK.frequentietabel.xlsx’ en ga als volgt te werk.

• Selecteer de cellen met de absolute frequentieverdeling.

• Invoegen – 2D-lijn – Lijn met markeringen.

• Gegevens selecteren – Horizontale aslabels – Bewerken – Aslabelbereik: selecteer de cellen met de waarden van x i

• Grafiek verplaatsen naar een Nieuw Blad: ‘lijndiagram’.

• Grafiekelementen – Grafiektitel en Astitels: typ passende titels in.

• De primaire maatstrepen van de horizontale as zet je op de juiste plaats: As opmaken – Aspositie: op maatstreepjes.

De verdere opmaak doe je naar eigen voorkeur.

GEOGEBRA

REEKS A

28 Tijdens het kamp van de jeugdbeweging wordt naar de leeftijd van de deelnemers gevraagd.

leeftijd deelnemers kamp

a) Maak een frequentietabel.

Proefversie©VANIN

b) Hoeveel deelnemers van het kamp zijn 10 jaar of jonger?

c) Van welke leeftijden zijn er meer dan 10 deelnemers?

29 Aan de leerlingen van een klas van het derde jaar werd gevraagd hoeveel stukken fruit ze per dag eten.

a) Maak een frequentietabel.

b) Hoeveel leerlingen telt de klas van het derde jaar?

c) Hoeveel leerlingen eten minder dan vier stukken fruit per dag?

d) Hoeveel procent van de leerlingen eet meer dan drie stukken fruit per dag?

30 Op een dag in de soldenperiode wordt op straat aan een aantal mensen gevraagd naar het aantal gekochte kledingstukken.

Proefversie©VANIN

a) Maak een frequentietabel.

b) Teken met ICT:

• een staafdiagram voor de absolute frequentie,

• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.

c) Hoeveel mensen hebben hoogstens vier kledingstukken gekocht?

d) Hoeveel procent van de mensen kocht drie of vier kledingstukken?

e) Hoeveel mensen kochten minstens één kledingstuk?

f) Er zijn meer mensen die drie kledingstukken kopen dan vier. Hoeveel procent meer?

9.6.1 Het gemiddelde

Definitie (Rekenkundig) gemiddelde

Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen.

Notatie

Proefversie©VANIN

De som van termen van de vorm x i , waarbij de index i varieert van 1 tot n, noteer je kort x i

Voorbeeld

Het gemiddelde van de rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9: x = 2+4+2+4+7+4+4+ 9 8 = 36 8 = 4,5

Afspraak

Je rondt het gemiddelde af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens.

• Het aantal leerlingen dat slechter scoort dan het gemiddelde is

Verdeelt het gemiddelde de resultaten in twee even grote groepen?

Het gemiddelde heeft de fysische betekenis van een evenwichtspunt.

Anders gezegd: als je alle punten in een pot doet en daarna gelijk verdeelt onder alle leerlingen, dan krijgt elke leerling het gemiddelde.

• Vervang je het resultaat 9 door 50, dan wordt het gemiddelde Dat illustreert dat één resultaat het rekenkundig gemiddelde sterk kan beïnvloeden. Excel

GEOGEBRA

Je gebruikt de Excelfunctie ‘gemiddelde’.

Selecteer de cellen met de gegevens waarvan je het gemiddelde wilt berekenen.

Druk op enter en rond af op één cijfer meer na de komma dan de gegevens.

9.6.2 Het gemiddelde berekenen uit een frequentietabel

De rij 2, 4, 2, 4, 7, 4, 4, 9

kun je ook met een frequentietabel weergeven:

Proefversie©VANIN

Het gemiddelde kun je dan als volgt berekenen:

n

x i i

k n Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en n = n i

Voorbeeld

De punten voor een toets wiskunde in het vierde jaar vind je in de tabel.

9.6.3 De mediaan

In de gerangschikte rij van 9 getallen 0, 2, 3, 3, 6, 6, 6, 6, 7 is het middelste getal het getal uit die rij. Dat getal noem je de mediaan.

In de gerangschikte rij van 10 getallen 0, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7 zijn er twee middelste getallen, het en het getal uit die rij.

Het gemiddelde van die twee getallen, dus , is de mediaan.

Definitie Mediaan

De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde n +1 2

De mediaan verdeelt een gegevensrij in twee delen met evenveel elementen.

De helft van de gegevens is hoogstens de mediaan, de andere helft minstens de mediaan.

Excel

GEOGEBRA

Proefversie©VANIN

Je gebruikt de Excelfunctie ‘mediaan’.

Selecteer de cellen met de gegevens waarvan je de mediaan wilt bepalen.

De gegevens moeten niet gerangschikt zijn.

9.6.4 De mediaan bepalen uit een frequentietabel

Om de mediaan te bepalen van gegevens die in een frequentietabel gegeven worden, gebruik je de cumulatieve absolute frequentie.

Voorbeeld

De mediaan van getallen is het getal met rangorde

Dus Me =

Betekenis: de helft van de gegevens is hoogstens 5, de andere helft is minstens 5.

9.6.5 De modus

Definitie Modus

De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.

Voorbeeld

9.6.6 Voor- en nadelen van gemiddelde en mediaan

• Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens. Die centrummaat is heel geschikt bij wetenschappelijk onderzoek.

Proefversie©VANIN

Besluit

De tabel toont de punten van een klas van 12 leerlingen voor een eenvoudige toets Frans op 10 punten.

9 10 9 8 9 10 9 10 9 0 10 9 x =

Hoeveel leerlingen scoren beter dan het gemiddelde?

Verwijder de ‘uitschieter’ en bereken opnieuw het gemiddelde.

• Bepaal de mediaan voor de punten Frans in de bovenstaande tabel.

Me =

De mediaan is gedefinieerd als het middelste gegeven en is dus niet vatbaar voor uitschieters.

• Dezelfde klas van 12 leerlingen maakte ook een toets wiskunde op 10 punten. Je ziet de resultaten in de onderstaande tabel.

Welke centrummaat geeft het best weer dat in die klas bijna de helft van de leerlingen heel goed heeft gescoord?

Het gemiddelde houdt rekening met alle gegevens, maar is vatbaar voor uitschieters. De mediaan ligt altijd in het midden, maar houdt enkel rekening met de volgorde van de gegevens.

Rond 1980 verwierpen bepaalde natuurvorsers het ontstaan van een gat in de ozonlaag van de atmosfeer boven de Zuidpool op basis van satellietgegevens. Later onderzoek bracht aan het licht dat de ozonmetingen boven de Zuidpool zo laag waren dat de gebruikte computersoftware ze systematisch als fout verwierp. Het systematisch verwijderen van uitschieters is geen goede wetenschappelijke onderzoekshouding.

Oefeningen

REEKS A

31 Alle leerlingen van het derde jaar van een school kregen dezelfde oriënterende toets wiskunde. De tabel toont de punten op 20.

Proefversie©VANIN

i

a) Bepaal de mediaan.

b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bereken het gemiddelde.

d) Hoeveel procent van de leerlingen haalde meer dan het gemiddelde?

32 Aan een aantal Vlaamse gezinnen werd gevraagd naar het aantal kinderen.

i

a) Bepaal de mediaan.

b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bereken het gemiddelde.

d) Geef de betekenis van het gemiddelde.

33 Aan 45 jongeren werd gevraagd hoeveel dagen per week ze sporten. x i n i f i cn i cf i 0 4

Proefversie©VANIN

a) Vul de frequentietabel verder aan.

b) Hoeveel procent van de jongeren sport vier dagen in een week?

c) Hoeveel jongeren sporten hoogstens drie dagen in een week?

d) De helft van de jongeren sport minstens dagen in een week.

e) Bepaal de modus.

f) Bereken het gemiddelde.

34 De resultaten op 10 voor een toets worden cumulatief voorgesteld.

op 10

a) Bepaal de mediaan.

b) Geef de betekenis van de mediaan.

c) Bepaal de modus.

d) Als alle leerlingen evenveel punten hadden, hoeveel zou dat dan zijn?

35 In een jeugdbeweging werd de hemdsmaat van een aantal jongens genoteerd. 36 38 39

Proefversie©VANIN

a) Maak een frequentietabel.

x i n i f i cn i cf i

b) Teken met ICT:

• een staafdiagram voor de absolute frequentie,

• een lijndiagram voor de relatieve frequentie.

c) Hoeveel jongeren hebben hoogstens 39 als hemdsmaat?

d) Hoeveel procent van de jongeren heeft minstens 40 als hemdsmaat?

e) Hoeveel procent van de jongeren heeft een hemdsmaat 38 of 39?

f) Bepaal de mediaan en geef de betekenis.

g) Schat de som van de hemdsmaten als je 150 jongeren had ondervraagd.

36 Van een aantal worpen met twee dobbelstenen werd de som van het aantal ogen genoteerd.

9 2 6 2 10

7 9 5 4 5 7 8 6 8 10 3 9 11 5 6 6 8 8 9 7

a) Maak een frequentietabel.

b) Stel dat je een weddenschap hebt afgesloten, waarbij je voor elke keer dat je 9 of meer ogen gooit, 0,50 euro ontvangt. In andere gevallen betaal je 0,20 euro. Zul je winst of verlies maken?

c) Vul de frequentietabel aan met de theoretische kansen op basis van de onderstaande tabel.

d) Vergelijk de resultaten. Wat kun je daaruit besluiten?

e) Bij hoeveel procent van de worpen is de som van het aantal ogen meer dan 9?

f) De helft van de worpen leverde minstens ogen op.

g) Bereken het gemiddelde en geef de betekenis.

37 Gedurende drie maanden werd een verscherpte controle op zwartrijden (rijden zonder geldig vervoerbewijs) uitgevoerd op de trein Oostende – Brussel. Het aantal betrapte zwartrijders per dag vind je in de onderstaande tabel.

a) Maak een frequentietabel.

Proefversie©VANIN

b) Teken met ICT een staafdiagram voor de absolute frequentie.

c) Teken met ICT een lijndiagram voor de relatieve frequentie.

d) Hoeveel dagen waren er minder dan drie zwartrijders?

e) Hoeveel procent van de dagen was er geen enkele zwartrijder?

f) Hoeveel dagen hadden er vijf of meer mensen geen geldig vervoerbewijs?

g) Als een boete voor zwartrijden 75 euro bedraagt, wat is dan de ‘opbrengst’ bij die verscherpte controle?

38 In een klas zitten 20 leerlingen. Tijdens een toets wiskunde was één leerling ziek. Het gemiddelde van de toets was 6,5 op 10. De zieke leerling haalde de toets later in. Wat zijn de minimale en de maximale waarde voor het nieuwe gemiddelde?

Proefversie©VANIN

39 In de tabel lees je de resultaten van een toets Nederlands op 20 punten.

a) Bereken x en y, als het gemiddelde 12 is.

x i n i

7 6

8 x

9 10

10 3x

11 19

12 22

13 26

14 y

15 9

16 9 17 6 150

b) Bepaal de mediaan.

40 Van een steekproef met 5 waarden is het rekenkundig gemiddelde 10 en de mediaan 12. Wat is de kleinst mogelijke waarde van het verschil tussen de grootste en de kleinste steekproefwaarde?

Bron: VWO, editie 1994, tweede ronde

STUDIEWIJZER Beschrijvende statistiek

9.1 Inleiding

Een procentpunt is een punt op een procentenschaal en is het absolute verschil tussen twee waarden uitgedrukt in procenten.

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Uitleggen waarom bepaalde statistieken misleidend zijn.

Het verschil tussen de begrippen ‘procent’ en ‘procentpunt’ uitleggen.

9.2 Soorten gegevens

KENNEN

Categorische gegevens zijn gegevens die een hoedanigheid van een kenmerk weergeven.

Geordende categorische gegevens hebben een natuurlijke ordening.

Niet-geordende categorische gegevens hebben geen natuurlijke ordening.

Numerieke gegevens zijn gegevens die het resultaat zijn van tellingen en metingen.

Discrete numerieke gegevens hebben slechts een beperkt aantal waarden.

Continue numerieke gegevens zijn reële waarden tussen bepaalde grenzen.

KUNNEN

Een onderscheid maken tussen elementen, kenmerken en gegevens.

Een onderscheid maken tussen categorische en numerieke gegevens.

Een onderscheid maken tussen geordende en niet-geordende categorische gegevens.

Een onderscheid maken tussen discrete en continue numerieke gegevens.

9.3 Statistisch onderzoek

KENNEN

De populatie is de verzameling van alle elementen van een statistisch onderzoek.

Een deel van de populatie noem je een steekproef.

KUNNEN

Een omschrijving geven van de onderzoeksvraag, de populatie en de steekproef.

Een onderscheid maken tussen een aselecte, een gerichte en een systematische steekproef.

Problemen in verband met de steekproef en de vraagstelling omschrijven.

9.4 Categorische gegevens verwerken

KENNEN

De absolute frequentie n i van het gegeven x i is het aantal keer dat dat gegeven voorkomt.

De relatieve frequentie f i van het gegeven x i is het quotiënt van de absolute frequentie n i en de omvang n van de steekproef: fi = n i n

KUNNEN

De frequenties van categorische gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.

ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.

9.5 Niet-gegroepeerde numerieke gegevens verwerken voor de leerling voor de leerkracht

KENNEN

De cumulatieve absolute frequentie cn i van het gegeven x i is de som van alle frequenties van het eerste tot en met het i-de gegeven: cn i = n1 + n2 + + ni

De cumulatieve relatieve frequentie cf i van het gegeven x i is het quotiënt van de cumulatieve absolute frequentie cn i en de omvang n van de steekproef: cfi = cn i n

Proefversie©VANIN

KUNNEN

Een frequentietabel opstellen die de absolute frequentie, de relatieve frequentie, de cumulatieve absolute frequentie en de cumulatieve relatieve frequentie bevat.

De enkelvoudige frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen en die voorstelling lezen en interpreteren.

De cumulatieve frequenties van niet-gegroepeerde numerieke gegevens grafisch voorstellen.

ICT gebruiken om een frequentietabel op te stellen en die grafisch voor te stellen.

9.6 Centrummaten

KENNEN

Het gemiddelde van een rij getallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen:

Het gemiddelde uit een frequentietabel:

Daarbij is k het aantal verschillende gegevens en

De mediaan Me van een gerangschikte rij van n getallen is het getal met rangorde n + 1 2

De modus Mo is het gegeven met de grootste frequentie.

KUNNEN

De centrummaten gemiddelde, mediaan en modus bepalen en de informatie die ze bieden, interpreteren.

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Jantje liegt op zes dagen van de week, maar op één dag spreekt hij altijd de waarheid.

De volgende uitspraken deed hij op drie opeenvolgende dagen:

• dag 1: ‘Ik lieg op maandag en dinsdag.’

• dag 2: ‘Vandaag is het donderdag, zaterdag of zondag.’

• dag 3: ‘Ik lieg op woensdag en vrijdag.’

Op welke dag van de week spreekt Jantje de waarheid?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

Proefversie©VANIN

3. Louise gaat met enkele vrienden iets drinken en bestelt ook een portie bitterballen. Die worden enkel in porties van 6, 9 of 20 geserveerd. Wat is het grootste aantal bitterballen dat je niet kunt bestellen met die porties?

2. Bereken de natuurlijke getallen x en y, als 3x 2 – 3y 2 = 2 397.

HOOFDSTUK 11 I STELSELS VAN VERGELIJKINGEN

Proefversie©VANIN

11.1 Algemene vergelijking van een rechte 70

11.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen 77

11.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen 80

11.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen 89

11.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden

100

Studiewijzer 120 Pienter problemen oplossen 122

11.1 Algemene vergelijking van een rechte

11.1.1 Rechten door de oorsprong

Teken de rechten r en s in het assenstelsel.

Proefversie©VANIN

Algemeen

Definitie

De grafiek van een functie met vergelijking y = ax (a ∈ r0) is een rechte door de oorsprong. Je noemt die vergelijking ook de vergelijking van de rechte.

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.

rc r = rc s =

Richtingscoëfficiënt

De richtingscoëfficiënt van een rechte door de oorsprong is de verandering (toename of afname) van de functiewaarde als het argument met één eenheid toeneemt. In de vergelijking y = ax van de rechte r is a de richtingscoëfficiënt.

Besluit De richtingscoëfficiënt van een rechte bepaalt de helling van de grafiek:

• stijgende rechten hebben een positieve richtingscoëfficiënt;

• dalende rechten hebben een negatieve richtingscoëfficiënt.

• Horizontale rechten hebben een richtingscoëfficiënt gelijk aan 0.

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

11.1.2 Rechten die de beide assen snijden buiten de oorsprong

Teken de rechten k en l in het assenstelsel.

Proefversie©VANIN

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van elke rechte.

rc k = rc l =

• Bepaal de coördinaat van het snijpunt van elke rechte met de x-as en de y-as.

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

snijpunt x-as: ( , )

snijpunt y-as: ( , )

Algemeen De grafiek van een functie met voorschrift f (x) = ax + b (a, b ∈ r0) is een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong. In de vergelijking y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en (0, b) de coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de y-as.

Horizontale en verticale rechten

• Een horizontale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking y = r en als richtingscoëfficiënt 0.

• Een verticale rechte door het punt met coördinaat (s, r) heeft als vergelijking x = s en heeft geen richtingscoëfficiënt.

Vergelijking van de vorm ux + vy + w = 0

De grafiek van een eerstegraadsfunctie is een rechte met als vergelijking y = ax + b (met a ∈ r 0 , b ∈ r ). Horizontale rechten hebben een vergelijking van de vorm y = r, verticale rechten van de vorm x = s (met r, s ∈ r).

Toon aan dat elke rechte een vergelijking heeft van de vorm ux + vy + w = 0, waarbij u, v, w ∈ r en u en v niet tegelijk 0 zijn.

Proefversie©VANIN

een rechte die de oorsprong bevat en niet evenwijdig is met de x-as of y-as

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

een rechte die beide assen snijdt buiten de oorsprong

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

een rechte evenwijdig met de x-as t ↔ y = 2 t ↔ y = r 1–1–2–3–4–5

Proefversie©VANIN

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

een rechte evenwijdig met de y-as z ↔ x = 3 z ↔ x = s 1–1–2–3–4–5

Omvorming van de vergelijking: Omvorming van de vergelijking:

Besluit Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0. Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

Voorbeeld 1 u ≠ 0

Voorbeeld 1 w ≠ 0 d ↔ 2x − y + 4 = 0

Teken d in het assenstelsel. x y

Proefversie©VANIN

2x − y + 4 = 0 – y = – 2x – 4 y = 2x + 4

Voorbeeld 2 u = 0

Teken e in het assenstelsel.

Voorbeeld 2 w = 0 e ↔ 2y + 6 = 0

2y + 6 = 0

2y = y =

Algemeen

• Als u ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een schuine rechte.

• Als u = 0 , dan is dat de vergelijking van een horizontale rechte (evenwijdig met de x-as).

Als in de vergelijking y = –u v x –w v

Algemeen

• Als w ≠ 0, dan is dat de vergelijking van een verticale rechte (evenwijdig met de y-as).

• Als w = 0, dan is dat de vergelijking van de y-as.

• u en v hetzelfde teken hebben, dan is de rechte dalend;

• u en v een verschillend teken hebben, dan is de rechte stijgend.

Oefeningen

REEKS A

1 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.

a) −2x + y = 0 d) 3x + 6 = 0

Proefversie©VANIN

−5y + 10 = 0

b) x + 7y = 0 e) 4x + 16y = 0 c) 8y + 9 = 0

REEKS B

2 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s.

a) 4x + 8y + 12 = 0 e) 8x − 13y + 7 = 0 b) −2x + 8y – 3 = 0 f) −2y − 6 = 0 c) −5x − 11y − 4 = 0

3x + 10y + 20 = 0 d) −7x − 14 = 0 h) −9x − 18y + 27 = 0

3 Vorm de algemene vergelijking van de rechte om tot een vergelijking van de vorm y = ax + b, y = ax, y = r of x = s

Bepaal, indien mogelijk, de richtingscoëfficiënt van de rechte.

Bepaal de coördinaat van de snijpunten met x-as en y-as.

Vink aan of de rechte stijgend (s), dalend (d), horizontaal (h) of verticaal (v) is.

a) −3x + 6y − 5 = 0

=

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

e) 5x − 7y + 2 = 0

Proefversie©VANIN

=

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v

b) 6x + 12y = 0 f) −2y − 5 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

=

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v

c) −2x + 9 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

g) 6x + 7y + 14 = 0

rc = rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v

d) −4x − 9y − 1 = 0

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

h) 4x − 6y + 24 = 0

rc = rc =

snijpunt met x-as:

snijpunt met y-as:

r  s r  d r  h r  v r  s r  d r  h r  v

11.2.1 Inleidend voorbeeld

Gert-Jan koopt een Nintendo Switch ter waarde van 320 euro. Hij betaalt met briefjes van 5 en van 10 euro en heeft in totaal 38 briefjes nodig.

Hoeveel briefjes van 5 euro en hoeveel briefjes van 10 euro heeft hij nodig?

Keuze van de onbekenden:

• x is het aantal briefjes van 5 euro,

• y is het aantal briefjes van 10 euro.

Opstellen van de vergelijkingen:

• Het totaal aantal briefjes is gelijk aan 38, dus x + y = 38

Proefversie©VANIN

• De waarde van het aantal briefjes van 5 euro is gelijk aan 5x; de waarde van het aantal briefjes van 10 euro is gelijk aan 10y; de waarde van alle briefjes samen is 320 euro, dus 5x + 10y = 320

Zoeken naar het aantal briefjes van 5 euro en van 10 euro houdt in dat beide vergelijkingen tegelijkertijd voldaan moeten zijn.

Zo verkrijg je een stelsel (S) van twee vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden x en y, kortweg een 2 x 2-stelsel

Je noteert + = xy 38 S + =5 x 10y 320

Opmerking

Naast 2x2-stelsels bestaan er nog andere types van stelsels, zoals:

3 x 3-stelsel 4 x 2-stelsel

S x + y + z = 6

4x + 2y + 6z = 26

2x – y + 3z = –1

S x + y = 3

–3x + 9y = –5

8x + 2y = 12

x – y = 4

11.2.2 Standaardvorm en benamingen

Algemeen

Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm S ax + by = c dx + ey = f

Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.

Benamingen

• x en y noem je de onbekenden

• a, b, d en e noem je de coëfficiënten

• c en f noem je de constanten

Voorbeeld

Noteer de volgende stelsels in de standaardvorm.

S 2x + 4y −22 = 0

−3y + x + 19 = 0 S x − 2y + 10 = 0 y = 4 − x S

11.2.3 Oplossing van een 2x2-stelsel

Gegeven: S x + y = 38 5x + 10y = 320

Je zoekt alle koppels (x,y) die tegelijkertijd aan beide vergelijkingen voldoen.

(5,33) is geen oplossing van het stelsel, want

S (12,26) is een oplossing van het stelsel, want

S

Proefversie©VANIN

Je noteert V =

11.3.1 Grafische interpretatie van een 2x2-stelsel

Voorbeeld: S 5x – 6 y = 2

3x + 8 y = 7

Proefversie©VANIN

1, 1 2 is een oplossing van het stelsel, want

Elk van de vergelijkingen uit het 2x2-stelsel kun je opvatten als de vergelijking van een rechte.

a ↔ 5x – 6y = 2 –6y =–5x +2 –5x +2 y = –6 yx–= 5 6 1 3 b ↔ 3x + 8y = 7 8y =–3x +7

(5, –1) (–3, 2)

Het punt met coördinaat 1, 1 2 is het enige snijpunt van a ↔ 5x − 6y = 2 en b ↔ 3x + 8y = 7

Het stelsel heeft dus één oplossing, die je als volgt kunt noteren: V = 1, 1 2 {}

Deze grafische interpretatie kan je gebruiken om een 2x2-stelsel op te lossen.

11.3.2 Aantal oplossingen van een stelsel

Voorbeeld 1

S x – y = –3

2x + y = –6

Je bepaalt twee punten op de rechte

a ↔ x − y = −3 of y = x + 3

x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ 2x + y = −6 of y = −2x − 6

x y Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een bepaald stelsel

V = controle:

Voorbeeld 2

S x – y = 4

x – y = 0

Proefversie©VANIN

a ↔ x y = 4 of y = x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ x y = 0 of y =

x y

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een strijdig stelsel

V =

Voorbeeld 3

S 2x – y = 4

4x – 2y = 8

Je bepaalt twee punten op de rechte

a ↔ 2x y = 4 of y =

x y

Je bepaalt twee punten op de rechte

b ↔ 4x 2y = 8 of y =

x y

Wat is de onderlinge ligging van de rechten a en b?

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel?

Dit is een onbepaald stelsel

V =

Proefversie©VANIN

Besluit

snijdende rechten

evenwijdige rechten

disjuncte rechten samenvallende rechten

bepaald stelsel

aantal oplossingen: strijdig stelsel aantal oplossingen: onbepaald stelsel aantal oplossingen:

11.3.3 Nadelen van de grafische oplossingsmethode

Voorbeeld 1

Het stelsel S 9x – 14y = –1

6x + 7y = 4 heeft als oplossing 1 3 , 2 7 = (0,33... ; 0,285 714 285 714 ...).

Het snijpunt is onmogelijk exact op een figuur af te lezen.

Proefversie©VANIN

Voorbeeld 2

Het stelsel S 38x – 5y = –1 000 6x – y = –2 200 heeft als oplossing (1 250, 9 700)

Het is niet altijd eenvoudig om een geschikt grafisch venster te vinden.

Oefeningen

REEKS A

4 Los grafisch op: S y = 2 x – 4 y = x

Proefversie©VANIN

↔ y = 2x − 4

y

=

–2–4–6–8–10–12

V = controle:

5 Los grafisch op: S y = 3 x – 3 y = –3 x + 9

↔ y = 3x − 3

y

↔ y = – 3x + 9

V = controle:

6 Los grafisch op: S 2 x + y = 4 x + y =0

Proefversie©VANIN

grafisch op: S

= controle:

8 Los grafisch op: S 0, 25 x + 1, 5y = 2 2 x + 6y =1

Proefversie©VANIN

9 Los grafisch op: S –3 x + 6y = –9

Om de oplossingsverzameling van een stelsel te bepalen met behulp van GeoGebra, zijn er verschillende mogelijkheden.

Je kunt de functie Snijpunten(vergelijking 1, vergelijking 2) gebruiken.

Je kunt de rechten ook in een assenstelsel tekenen en zo het snijpunt bepalen.

Proefversie©VANIN

10 Los op met ICT.

a) S 2x + y = 4 x + 2y = 1 e) S x – y = 0 2x – 5y + 250 = 0

V = V =

b) S 7x + 9y = 5 7x – 18y = –1 f) S 21x – 16y = 240 –10x + 9y = –77 V = V = c) –2x –3y +6= 0 3x +4y –7 =0 S g) y = + 12–2 x 4x –2y =–24 S V = V =

3x + y =–3 x =2 S h) –2x +8y +5 =0 x –3y –2 =0 S V = V =

11.4.1 De gelijkstellingsmethode

Voorbeeld

Los op: S x – y = –3

2x + y = –6

• Je plaatst dezelfde onbekende in beide vergelijkingen apart.

y = x + 3

y = –2x – 6

• Je stelt die waarden aan elkaar gelijk, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat.

Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.

3

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

y = x + 3

x + 2x = –6 – 3

y = x + 3

3x = –9

y = x + 3

x = –3

Proefversie©VANIN

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ y = x + 3 en s ↔ y = – 2x – 6.

Door de gelijkstellingsmethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ x = – 3. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t

• Je vult de gevonden waarde in de andere vergelijking in.

y = + 3

x = –3 –3

• Je leest de oplossing van het stelsel af.

x = –3

y = 0

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(– 3, 0)}

De gelijkstellingsmethode is vooral aangewezen als je in de twee vergelijkingen dezelfde onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.

Dat is het geval als de coëfficiënt van x of y gelijk is aan 1 of −1.

REEKS A

11 Los op met de gelijkstellingsmethode.

a) S 4x – y = 7 y = 3x – 8

b) S 3x – y = 4 y = 4x – 6

Proefversie©VANIN

12 Los op met de gelijkstellingsmethode.

a) S x – 3y = 4 x + 2y = 6

b) S x = 2y – 4 5y = x + 3 V = V = controle: controle:

Proefversie©VANIN

13 Bepaal de coördinaat van het snijpunt van de rechten en controleer grafisch.

a) S y = –3x + 6 y = 2 5 x –4 5

b) S y = 3,5x + 4,5 y = 2x – 1,5

Proefversie©VANIN

snijpunt: snijpunt:

11.4.2 De substitutiemethode

Voorbeeld

Los op: S x – 3y = –2

3x + 2y = 5

• Je plaatst een onbekende in een van de vergelijkingen apart. –3–2–1

x = 3y – 2

3x + 2y = 5

• Je vervangt (substitueert) die onbekende in de andere vergelijking, zodat er een vergelijking in één onbekende ontstaat. Je noteert als tweede vergelijking de vergelijking waarin een onbekende werd afgezonderd.

x =

3 () + 2y = 5 3y – 2 3y – 2

• Je lost de vergelijking in één onbekende op.

x = 3y – 2

9y – 6 + 2y = 5

x = 3y – 2

11y = 11

x = 3y – 2

Proefversie©VANIN

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ x – 3y = – 2 en s ↔ 3x + 2y = 5.

y = 1 –3–2–1 –4 –3

Door de substitutiemethode te gebruiken, vervang je de rechte s door de rechte t ↔ y = 1. r en s hebben hetzelfde snijpunt als r en t

• Je substitueert de gevonden waarde voor de onbekende in de andere vergelijking.

x = 3y – 2

y = 1

x = 3 – 2

y = 1 1

x = 1

y = 1

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, 1)}

De substitutiemethode is vooral aangewezen als je in een van de vergelijkingen een onbekende op een eenvoudige manier apart kunt plaatsen.

Opmerking

De gelijkstellingsmethode is een bijzonder geval van de substitutiemethode.

REEKS A

14 Los op met de substitutiemethode.

a) S x = 2x + 3y = 11 3 + y b) S 3x – 2y = 4 y = 5 – 2x

Proefversie©VANIN

15 Los op met de substitutiemethode.

a) S x – 3y – 3 = 0 –2x + y = 4

b) S 2x – 7y = 5 x – 4y = –1

Proefversie©VANIN

V = V = controle: controle:

a) S –4x – 3y = 4

4x + 2y = 6

b) S 1 3 x –1 4 y = 1

–4x + y = 4 V = V = controle:

Proefversie©VANIN

17 Los op met de substitutiemethode.

a) S 2x + y = 3

8x + 4y = 9

b) S –3x – 9y = –6

x + 3y = 2 V = V = REEKS C

18 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ↔ 2x + y = – 3

s ↔ 6x + 3y = – 12

Proefversie©VANIN

b) r ↔ x – 4y = 6

s ↔ 3x – 12y = 18

11.4.3 De combinatiemethode

Voorbeeld

Los op: S 3x – 2y = 7(V 1 ) 2x + 3y = –4 (V 2 )

• Met de combinatie 3 V1 + 2 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van y gelijk aan 0 wordt.

3x – 2y = 7 3 2x + 3y = –4 2 9x – 6y = 21 4x + 6y = –8 13x + 0y = 13 13x = 13 x = 1 + –3–4–2–1 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 1234 y x 3x – 2y = 7 2x + 3y = –4 s r

Om het stelsel op te lossen, zoek je algebraïsch de coördinaat van het snijpunt van de rechten r ↔ 3x – 2y = 7 en s ↔ 2x + 3y = – 4.

Proefversie©VANIN

• Met de combinatie 2 V1 – 3 V2 zorg je ervoor dat de coëfficiënt van x gelijk aan 0 wordt.

3x – 2y = 7 2 2x + 3y = –4 (–3) + 6x – 4y = 14 0x – 13y = 26 –13y = 26 y = –2 –6x – 9y = 12

x + 3y = – 4 u t s r x = 1 y = –2

Het snijpunt van de rechten r en s is gelijk aan het snijpunt van de rechte t ↔ x = 1 en de rechte u ↔ y = – 2.

De oplossingsverzameling van het stelsel is V = {(1, – 2)}

De combinatiemethode is (vooral) aangewezen als je de andere methoden (gelijkstellingsmethode en substitutiemethode) niet of moeilijk kunt gebruiken.

Opmerking

Nadat je één onbekende hebt bepaald, kun je die gebruiken om met behulp van de substitutiemethode de tweede onbekende te vinden.

x = 1

2x + 3y = –4 x = 1 y = –6 3

x = 1

2 1 + 3y = –4 x = 1 y = –2

x = 1

3y = –4 – 2

Oefeningen

REEKS A

19 Los op met de combinatiemethode.

a) S –4x – 5y = –4

2x + 3y = 2

b) S –2x + 7y = 5

10x + 6y = 16

Proefversie©VANIN

a) S 2x + 3y = 7

5x + 7y = 8

b) S 4x + 7y = –8 –3x – 5y = 3

Proefversie©VANIN

a) S –2,7x + 4,5y = 35,1 8,1x – 9y = –78,3

b) S 1 5 x + 1 4 y = 3 4 1 4 x + 5y = 6

Proefversie©VANIN

V = V = controle: controle:

a) S –3x + 4y = –7

9x – 12y = 21

b) S 3x – 8y = 3

–6x + 16y = –12 V = V =

REEKS C

23 Gebruik een stelsel om de onderlinge ligging van de rechten r en s te bepalen.

a) r ↔ 2x + 3y = 1

s ↔ 8 3 x + 4y = 2

Proefversie©VANIN

b) r ↔ – 5x + 11y = – 5

s ↔ 3x – 8y = 3

11.4.4 Gemengde oefeningen

Modeloefening 1

Los op: S x – 3y = 19 –x + 2y = –14

De coëfficiënt van x is in beide vergelijkingen 1 of – 1. Je kunt de gelijkstellingsmethode gebruiken.

Proefversie©VANIN

V =

Modeloefening 2

Los op: S 2x + 5y = 2 3x – 4y = –3

De coëfficiënten van x en y zijn niet gelijk aan 1 of – 1. Je gebruikt het best de combinatiemethode.

V =

Modeloefening 3

Los op: S 6x – y = –10 4x + 3y = 41

De coëfficiënt van y in de eerste vergelijking is – 1. Je kunt de substitutiemethode gebruiken.

V =

REEKS A

24 Los op met een methode naar keuze.

a) S 3x – y = 1 5x + 2y = 9

b) S 5x + 2y = 3 2x – 4y = 6

Proefversie©VANIN

a) S 6x + 5y = 1

7x + 6y = 2

b) S 3x – y = 6 2x – y = –5 V = V = controle: controle:

Proefversie©VANIN

a) S 4x – 7y = 8 3x – 5y = 4

b) S 5x – 3y = 1 3x + 2y = –7 V = V = controle: controle:

Proefversie©VANIN

27 Los op met een methode naar keuze.

a) S 2x + 5y = 1

5x – 4y = 0

b) S 4x – 8y = 9

–2x + 4y = –5

Proefversie©VANIN

a) S 8x – 16y = –24

–2x + 4y = 6

b) S 2x – 2y = 6 3x + 4y = –5 V = V =

Proefversie©VANIN

a) S x –y 2 = –4 x 2 – y = 2

b) S 3x – y = 1 x –2 3 y = 7 2

Proefversie©VANIN

V = V = controle: controle:

a) S x – 2y = 5

–4x + 8y = –20

b) S –x + 8y = 10 3x – 24y = –40 V = V = controle: controle:

Proefversie©VANIN

11.5.1 Modeloefening 1

x is y is S

Vier broodjes met kaas en vijf broodjes met zalm kosten samen 37 euro. Koop je drie broodjes met kaas en zeven broodjes met zalm, dan betaal je 42,05 euro.

Hoeveel betaal je voor tien broodjes met kaas en vijftien met zalm?

Proefversie©VANIN

antwoord:

11.5.2 Modeloefening 2

Een verkoper wil een mengsel van twee koffies op de markt brengen.

De koffie van merk A kost 7 euro per kg.

De koffie van merk B kost 12 euro per kg.

De kostprijs van het mengsel moet 9 euro per kg bedragen. Hoeveel kg koffie van elke soort moet de verkoper gebruiken om 250 kg te verkrijgen?

x is y is S

antwoord:

Oefeningen

REEKS A

31 Kies de veranderlijken en stel het stelsel op dat leidt tot de oplossing van het vraagstuk. Je hoeft het stelsel niet op te lossen.

a) De som van het dubbele van een eerste getal en het vijfvoud van een tweede getal is 99. Het eerste getal is 9 minder dan het dubbele van het tweede getal. Bepaal deze getallen.

Proefversie©VANIN

b) Op pi-dag trakteert een leerkracht wiskunde zijn 24 leerlingen op taartjes. Ze mogen daarbij kiezen tussen een kriekentaartje en een appeltaartje. Voor 16 kriekentaartjes en 8 appeltaartjes betaalt de leerkracht 47,20 euro. Als evenveel leerlingen een kriekentaartje als een appeltaartje zouden nemen, zou de leerkracht exact 2,80 euro minder moeten betalen. Hoeveel kost een kriekentaartje?

c) In een grote kist zitten in totaal 150 ruimtefiguren. Elke ruimtefiguur is een kubus of een balk. De kubussen hebben allemaal een massa van 0,8 kg en de balken hebben allemaal een massa van 1,2 kg. De kist zelf weegt 12 kg. Bereken het aantal kubussen en balken als je weet dat de totale massa van de kist 176 kg bedraagt.

d) Een student scheikunde krijgt als opdracht een mengsel te maken van 100 liter met een alcoholpercentage van exact 30%. Hij krijgt hiervoor twee grote hoeveelheden vloeistof ter beschikking. Vloeistof 1 heeft een alcoholpercentage van 50%, vloeistof 2 van 12%.

Hoeveel liter vloeistof heeft hij nodig van elk?

32 Enkele vrienden kochten samen het winnende lot van Big Bang! Ze zijn het erover eens dat ze een deel van hun winst zullen schenken aan het goede doel. Als iedere deelnemer 950 000 euro krijgt, dan is er 150 000 euro over voor het goede doel. Als iedere deelnemer 960 000 euro krijgt, dan is er 20 000 euro over voor het goede doel. Onder hoeveel deelnemers werd de winst verdeeld en hoe groot was die?

antwoord:

controle:

33 Je betaalt 46 euro met muntstukken van 0,50 euro en van 2 euro. Hoeveel muntstukken zijn er van elk, als er in totaal 41 muntstukken zijn?

antwoord:

controle:

34 In het voorjaar kocht Wim 24 geraniums en 18 petunia’s. Zijn vrouw Lotte kocht die dag in dezelfde winkel nog eens 6 geraniums en 2 petunia’s. Wim noch zijn vrouw herinnert zich de kostprijs per stuk van elke bloemsoort. Wel weten ze nog het totaalbedrag van hun aankoop. Wim betaalde 53,40 euro en Lotte 9,60 euro. Hoeveel kostte elke bloemsoort?

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

35 12 500 betalende toeschouwers wonen een voetbalwedstrijd bij.

Voor een zitplaats betaal je 25 euro en voor een staanplaats 16 euro. De totale opbrengst bedraagt 237 890 euro. Hoeveel toeschouwers hebben betaald voor een zitplaats en hoeveel voor een staanplaats?

antwoord:

controle:

36 Xavi zit op een terrasje en bekijkt wat de mensen aan de omringende tafels bestellen. Aan de ene tafel bestellen ze vier cola’s en drie glazen wijn. Ze betalen 24,95 euro.

Aan een andere tafel bestellen ze drie cola’s en twee glazen wijn. Zij betalen 17,40 euro.

Wat is de prijs van een cola en van een glas wijn?

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

37 Joris wil tuinverlichting installeren. De tuinarchitect doet twee voorstellen:

• drie verlichtingspaaltjes langs de oprit en twee verstralers aan de kant van de garage kosten samen 350 euro;

• met vier verlichtingspaaltjes volstaat één verstraler, maar dan loopt de prijs op tot 403,75 euro.

Bepaal de prijs van elk type verlichtingstoestel.

antwoord:

controle:

38 Een snoephandelaar wil een mengeling van winegums en zuurtjes verpakken in zakjes van 340 g en ze verkopen voor de prijs van 2,50 euro. De winegums kosten 10 euro per kg en de zuurtjes 7 euro per kg. Hoeveel gram moet hij van elke snoepsoort gebruiken per zakje?

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

39 Louis is een liefhebber van vleesetende planten. Dergelijke planten maken gebruik van vallen om aan voedsel te komen. Voor drie planten met een kleefval en vijf met een bekerval is de normale kostprijs 98,60 euro. De winkelier was echter verstrooid en verwisselde de prijzen van de planten. Daardoor kreeg Louis een voordeel van 14 euro. Hoeveel kost een plant met een kleefval en een plant met een bekerval?

antwoord:

controle:

40 Elise doet mee aan de WK-pronostiek voetbal en moet de eindscore van de wedstrijden voorspellen. Een juiste voorspelling levert 10 punten op. Een foute voorspelling levert 2 minpunten op. Ze zou normaal gezien 88 punten gescoord hebben, maar het telsysteem slaat tilt en rekent maar 5 punten voor een juiste voorspelling. Daardoor behaalt Elise een teleurstellende score van – 2. Hoeveel eindscores heeft Elise juist voorspeld?

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

41 De klemspanning van een batterij is het spanningsverschil U tussen de twee polen van de batterij. Voor de klemspanning U geldt: U = Ub – Ri ? I. Daarbij is Ub de bronspanning (in volt), Ri de inwendige weerstand (in ohm) en I de stroomsterkte (in ampère).

Bij een stroomsterkte van 1,5 ampère is de klemspanning 10 volt.

Bij een stroomsterkte van 3 ampère is de klemspanning 8 volt. Bereken de bronspanning en de inwendige weerstand van die batterij.

antwoord:

controle:

Los de vraagstukken op met ICT.

a) Enkele leerkrachten Nederlands maakten tijdens de grote vakantie een eigen cursus. Voor het derde jaar bestaat de cursus uit 140 pagina’s en voor het vierde jaar uit 165 pagina’s.

In totaal moeten er 62 075 kopieën gemaakt worden.

In de tweede graad zitten 410 leerlingen.

Hoeveel leerlingen zitten er in het derde jaar en hoeveel in het vierde jaar?

Proefversie©VANIN

antwoord:

b) Arthur en Fenne kopen een Nintendo Switch en betalen er samen 330 euro voor.

Arthur kan hem kopen als Fenne 3 5 van haar spaargeld bijlegt, en Fenne kan hem kopen als Arthur 4 9 van zijn spaargeld bijlegt. Hoeveel spaargeld heeft elk?

antwoord:

c) Drie jaar geleden was Soufian drie keer zo oud als Yassine. Volgend jaar zal Soufian dubbel zo oud zijn als Yassine. Hoe oud zijn ze nu?

antwoord:

d) Bepaal een natuurlijk getal van twee cijfers, als je weet dat de som van de cijfers gelijk is aan 11. Het cijfer van de tientallen is 3 eenheden groter dan het cijfer van de eenheden.

antwoord:

43 Bereken de coördinaten van de hoekpunten van driehoek ABC, waarvan de zijden gelegen zijn op de rechten:

Proefversie©VANIN

44 Om een stelsel van meer dan 2 vergelijkingen op te lossen, los je het stelsel op dat bestaat uit 2 willekeurig gekozen vergelijkingen en controleer je nadien of de gevonden oplossing voldoet aan de andere vergelijking(en). Los de volgende stelsels op:

7x +2y =17

a) x – y =14

2x +3y =–17

2x + y =2

b) –3x – y =0

–x +5y =32

3x –6y =–6

Proefversie©VANIN

45 Een wielertoerist kan met de wind in de rug een snelheid van 36 km/h aanhouden. Op de terugweg rijdt hij met de wind op kop 24 km/h. Hij vertrekt thuis om 9 h en wil om 11 h 30 terug thuis zijn. Hoeveel kilometer kan hij zich van huis verwijderen?

antwoord:

controle:

46 Noa wil een nieuwe auto kopen en twijfelt tussen een elektrische wagen van 48 000 euro en een hybride van 39 000 euro. De gemiddelde verbruiksprijs per km is 0,06 euro voor de elektrische versie en 0,11 euro voor de hybride.

Na hoeveel kilometer is de totale kostprijs voor beide wagens gelijk? Hoeveel bedragen die kosten?

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

47 Een klein metaalbedrijf heeft 6 machines om bouten te modelleren en 14 machines om bouten te bedraden. Er worden 2 types bouten geproduceerd. Om een lot (1 000 stuks) van het kleinste type te produceren, moet men 3 minuten modelleren en 8 minuten bedraden. Voor het grootste type zijn voor beide bewerkingen 8 minuten nodig. Hoeveel loten van elk type moet men per uur produceren om de machines optimaal te benutten?

antwoord:

controle:

48 Het water van een rivier stroomt tegen 4 km/h. De tijd die nodig is om 24,5 km stroomopwaarts te varen, is hetzelfde als de tijd die nodig is om 52,5 km stroomafwaarts te varen.

Bereken die tijd en de snelheid van het schip in stilstaand water.

Proefversie©VANIN

antwoord:

controle:

49 Om op reis te gaan, heeft Jürgen de keuze tussen een hogesnelheidstrein met een gemiddelde snelheid van 200 km/h en het vliegtuig met een gemiddelde snelheid van 700 km/h.

Gaat hij met het vliegtuig, dan verliest hij twee uur bij vertrek en aankomst (inchecken en bagage afgeven).

De tijd om naar en van het station of het vliegveld te rijden, laat je hier buiten beschouwing.

Voor welke afstand zijn de reistijden van trein en vliegtuig gelijk?

antwoord:

controle:

50 Drie rechten zijn concurrent als ze door hetzelfde punt gaan. Onderzoek of de rechten r, s en t concurrent zijn.

Proefversie©VANIN

51 De snijpunten van de rechten r, s en t vormen een driehoek ABC.

Toon aan dat die driehoek rechthoekig is.

Proefversie©VANIN

STUDIEWIJZER Stelsels van vergelijkingen

11.1 Algemene vergelijking van een rechte

KENNEN

Elke vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s

kun je schrijven in de vorm ux + vy + w = 0.

Proefversie©VANIN

Dat noem je de algemene vergelijking van de rechte.

KUNNEN

Een vergelijking van de vorm y = ax, y = ax + b, y = r of x = s omvormen tot de vorm ux + vy + w = 0 en omgekeerd.

11.2 Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

KENNEN

Elk 2x2-stelsel kan worden herleid tot de vorm

S ax + by = c dx + ey = f met a, b, c, d, e, f ∈ r

Je noemt dit de standaardvorm van een stelsel van 2 vergelijkingen van de eerste graad in twee onbekenden.

• x en y noem je de onbekenden.

• a, b, d en e noem je de coëfficiënten.

• c en f noem je de constanten.

11.3 Een 2x2-stelsel grafisch oplossen

KENNEN

De vergelijkingen van een stelsel zijn de vergelijkingen van rechten.

Om een stelsel grafisch op te lossen, bepaal je de eventuele snijpunten van die rechten.

Een 2x2-stelsel heeft

• juist één oplossing: bepaald stelsel (snijdende rechten);

• geen oplossing: strijdig stelsel (disjuncte rechten);

• oneindig veel oplossingen: onbepaald stelsel (samenvallende rechten). KUNNEN

Een stelsel herleiden naar zijn standaardvorm.

Een 2x2-stelsel grafisch oplossen.

Een 2x2-stelsel grafisch oplossen met ICT.

11.4 Een 2x2-stelsel algebraïsch oplossen

Een stelsel oplossen met de gelijkstellingsmethode.

Een stelsel oplossen met de substitutiemethode.

Een stelsel oplossen met de combinatiemethode.

Aandacht besteden aan de efficiëntste methode om een stelsel algebraïsch op te lossen.

11.5 Vraagstukken met twee vergelijkingen in twee onbekenden

KUNNEN

Vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een 2x2-stelsel.

Welke heuristiek(en) gebruik je om de onderstaande problemen op te lossen?

❑ concreet materiaal

❑ schets

❑ schema/tabel

❑ vereenvoudig

❑ gok verstandig

1. Een ingeschreven vierkant

verdeelt een groter vierkant met zijde 5 in een geel vierkant en vier congruente driehoeken waarbinnen telkens een rood vierkant met zijde 1 is getekend.

Wat is de oppervlakte van het gele vierkant?

❑ filter

❑ patroon

❑ kennis

❑ logisch nadenken

❑

Proefversie©VANIN

2. Een rechthoek is verdeeld in negen kleinere rechthoeken. In sommige van die rechthoeken staat hun respectievelijke omtrek. Wat is de omtrek van de grote rechthoek?