Funktsiooni uurimine Funktsiooni y=f(x) uurimine 1. funktsiooni määramispiirkond X 2. funktsiooni muutumispiirkond Y 3. funktsiooni nullkohad Xo 4. funktsiooni negatiivsuspiirkond X ja positiivsuspiirkond X+ 5. funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 6. kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X↓ 7. funktsiooni käänukohad Xk 8. kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 9. toetudes leitud andmetele, funktsiooni graafiku skitseerimine Funktsiooni määramispiirkond Funktsiooni y=f(x) määramispiirkond X on argumendi x väärtuste hulk. Funktsiooni muutumispiirkond Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkond Y on sõltuva muutuja y väärtuste hulk. Funktsiooni nullkohad Funktsiooni y=f(x) nullkohaks on argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Funktsiooni positiivsuspiirkond Funktsiooni y=f(x) positiivsuspiirkonnaks on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. Funktsiooni negatiivsuspiirkond Funktsiooni y=f(x) negatiivsuspiirkonnaks on argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. Funktsiooni ekstreemum (maksimum, miinimum) Funktsiooni y=f(x) ekstreemumiks nimetatakse argumendi x väärtust, kus funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või kahanemine läheb üle kasvamiseks. Funktsioonil y=f(x) on argumendi väärtusel x=x0 maksimum, kui leidub selline arvu x0 ümbrus, et kõigi sellesse ümbrusesse kuuluvate argumendi x väärtuste korral f(x)<f(x0). Kui funktsiooni f’(x0)=0 ja f’’(x0)<0, siis on x0 funktsiooni y=f(x) maksimumkoht. Funktsioonil y=f(x) on argumendi väärtusel x= x0 miinimum, kui leidub selline arvu x0 ümbrus, et kõigi sellesse ümbrusesse kuuluvate argumendi x väärtuste korral f(x)>f(x0). Kui funktsiooni f’(x0)=0 ja f’’(x0)>0, siis on x0 funktsiooni y=f(x) miinimumkoht. Funktsiooni kasvamis- ja kahanemispiirkond Funktsioon on y=f(x) kasvav kohal x0 , kui leidub seda kohta sisaldav ümbrus (x0-ε; x0+ε), milles see funktsioon kasvab. Kui f’(x0)>0, siis on funktsioon kasvav kohal x0. Funktsioon on y=f(x) kahanev kohal x0 , kui leidub seda kohta sisaldav ümbrus (x0-ε; x0+ε), milles see funktsioon kahaneb. Kui f’(x0)<0, siis on funktsioon kahanev kohal x0. Funktsiooni käänukoht Funktsiooni y=f(x) käänukohaks nimetatakse argumendi x väärtust, kus funktsiooni kumerus läheb üle nõgususeks või nõgusus läheb üle kumeruseks. 2 Materjali koostas: Laine Aluoja
Funktsiooni uurimine Kui funktsiooni y=f(x) teine tuletis f’’(x0)=0 muudab kohal x0 märki, siis on funktsiooni graafikul kohal x0 käänukoht. Funktsiooni nõgusus- ja kumeruspiirkond Kui f’’(x0)>0, siis on tegemist nõgususpiirkonnaga Kui f’’(x0)<0, siis on tegemist kumeruspiirkonnaga NÄIDE Funktsiooni y=x3-3x2 uurimine 1. funktsiooni määramispiirkond X Määramispiirkonnaks on reaalarvudehulk
2. funktsiooni nullkohad X0 Nullkohtade leidmiseks lahendada võrrand y=0 x3-3x2=0 x2(x-3)=0 x1=x2=0 x3=3 Funktsiooni nullkohad on X0={0;3} -
3. funktsiooni negatiivsuspiirkond X ja positiivsuspiirkond X+ Negatiivsuspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y<0 x3-3x2<0 x2(x-3)<0 x2>0 x<3 Negatiivsuspiirkonnaks on X =(- ;0) (0;3) Positiivsuspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y>0 x3-3x2>0 x2(x-3)>0 x2>0 x>3 + Positiivsuspiirkonnaks on X =(3; ) -
X =(+
X =(3;
;0) (0;3) )
4. funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid Ekstreemumkohtade leidmiseks lahendada võrrand y’=0 yÿ=(x3-3x2)ÿ=3x2-6x 3x2-6x=0 3x(x-2)=0 x1=0 x2=2 Ekstreemumkohtadeks on Xe={0;2} Määrata ekstreemumid 3 Materjali koostas: Laine Aluoja
Funktsiooni uurimine Ekstreemumi määramiseks leida funktsiooni teine tuletis kohal x=0 ja x=2 y’’=(3x2-6x)’=6x-6 y’’(0)= -6 => Kuna y’’(0)<0, siis on tegemist maksimumkohaga Ymax= x3-3x2=03-3·02=0 y’’(2)= 6 => Kuna y’’(2)>0, siis on tegemist miinimumkohaga Ymin= x3-3x2=23-3·22=8-12= -4 Xe={0;2} Ymax= 0 Ymin= -4 5. leida kasvamispiirkond X↑ ja kahanemispiirkond X↓ Kasvamispiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y’>0 y’=(x3-3x2)’=3x2-6x 3x2-6x>0 3x(x-2)>0 x1>0 x2>2 või x1<0 x2<2 Kasvamispiirkond on X↑=(- ;0) (2; ) Kahanemispiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y’<0 y’=(x3-3x2)’=3x2-6x 3x2-6x<0 3x(x-2)<0 x1>0 x2<2 Kahanemispiirkond on X↓=(0;2) X↑=(- ;0) (2; ) X↓=(0;2) 6. leida funktsiooni käänukoht Xk Käänukoha leidmiseks lahendada võrrand y’’=0 y’’=(x3-3x2)’’=6x-6 6x-6=0 x=1 Käänukoht on Xk={1} Xk={1} 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond Kumeruspiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y’’<0 y’’=(x3-3x2)’’=6x-6 6x-6<0 x<1 Kumeruspiirkond on (- ;1) Nõgususpiirkonna leidmiseks lahendada võrratus y’’>0 y’’=(x3-3x2)’’=6x-6 6x-6>0 x>1 Nõgususpiirkond on (1; ) 4 Materjali koostas: Laine Aluoja
Funktsiooni uurimine Kumeruspiirkond on (n천gususpiirkond on (1;
;1) ja )
8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik
Vaata 체lesande lahendamist veebip천hise tarkvaraga Wiris http://www.hot.ee/aluojalaine/FunktsiooniUurimine.htm
5 Materjali koostas: Laine Aluoja