lineasdeespera by oscar may

TEORÍA DE LINEAS DE ESPERA (COLAS) OSCAR MAYO LEYTE

preliminar

Contenido

➢Características líneas de espera

sistema

➢Características de las llegadas ➢Características de la línea de espera ➢Características del dispositivo servicio ➢Medida del funcionamiento de colas ➢Costos de las colas

las

Contenido ➢Tipos de modelos de colas ➢Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio ➢Modelo B: modelo de cola muticanal ➢Modelo C: modelo constante

de tiempo

de servicio

➢Modelo D: modelo de población limitada

➢Otros enfoques de las colas ➢Modelos de decisión de colas 3

Definici贸n de L铆nea de Espera

Objetivo de su estudio

Modelo matemรกtico

Sistema de líneas de espera

Llegadas

Sistema de servicio

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Líneas de espera ➢ Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913: ➢ Análisis de los servicios telefónicos.

➢ Área de conocimiento denominada teoría de colas: ➢ Cola es otra denominación para línea de espera.

➢ Problema de decisión: ➢ Equilibrio entre el costo de suministrar un buen servicio y el costo de tiempo de espera de los clientes. 16

Costos de las lĂneas de espera

Costo

Costo del tiempo en cola (clientes)

Ă&#x201C;ptimo

Nivel de servicio 17

Terminología de las líneas de espera ➢Cola: línea de espera. ➢Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio. ➢Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio. ➢Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio. ➢Fase: número de pasos a seguir en el servicio. 18

Características de la llegada

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de la llegada Distribución de la llegada:  Poisson  Otras

 Patrón de las llegadas: Aleatoria Secuencia conocida

➢ Tamaño de la población: ➢ Limitada ➢ Ilimitada

➢ Comportamiento de las llegadas: ➢ Ponerse a la cola y esperar a ser

servido ➢ Se niegan a colocarse en la cola ➢ Reniegan, abandonan la cola

Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Tamaño

Ilimitado

Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Tamaño

Ilimitado

Número fijo de aviones para revisión

Limitado

Caracter铆sticas de las llegadas

Origen de las llegadas (poblaci贸n) Tama帽o

Ilimitado

Limitado

Patr贸n de llegadas Aleatorio

No aleatorio

Caracter铆sticas de las llegadas

Origen de las llegadas (poblaci贸n) Patr贸n de llegadas

Tama帽o

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

Llegadas aleatorias

➢Los clientes llegan de forma aleatoria

➢Distribución discreta ➢x es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto) ➢E{x} = número promedio de llegadas por unidad de tiempo

Distribución de Poisson ➢ Número de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempo: ➢Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos.

➢ Media =  (por ejemplo: 5/hora)

 = 0,5

P(X) 0,6 0,3 0,0

X 0

 = 6,0

P(X) 0,6

0,3 0,0

Distribución Poisson

➢La función de probabilidad:

P(x  k) 





➢La media y la varianza son:

Ex 

Varx  26

Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada 0,30

0,25

0,20

0,20 Probabilidad

Probabilidad

0,30

0.15 0,10 0,05

0,15 0,10 0,05

0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

ď Ź=2

0,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

ď Ź=4

Probabilidad de llegada de clientes

➢En una instalación de servicio llegan los clientes de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa de 4/minuto. ➢¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en cualquier intervalo dado de 30 segs.? 28

Probabilidad de llegada de clientes

30segs  4 / 2  2clientes / 30segs. e 2 2 0 P ( x  0)   0 .1353 0!

Px  11 Px  01 0.1353  0.8647 29

Caracter铆sticas de las llegadas Origen de las llegadas (poblaci贸n)

Patr贸n de llegada

Tama帽o

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Comportamiento

Paciente

Impaciente

Otros

Características de las llegadas Origen de las llegadas (población)

Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

Comportamiento

Paciente

Impaciente

Rehúsa

Origen de las llegadas ¡La cola era demasiado larga!

Rehusar Sistema de servicio Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

Comportamiento

Paciente Rehúsa

Impaciente Reniega

Renegar Origen de las llegadas

Sistema de servicios Línea de espera

Dispositivo de servicio

¡Me voy!

Características de la línea de espera

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de la línea de espera Tamaño de la cola:  Limitado (Ej. cola de proceso)  Ilimitado (Ej. pedidos de correo)

Prioridad del servicio: orden en el cual los clientes seleccionan una cola:  FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served)  LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served)  SIRO (Service in Random Order)  Otros (Prioridad Ej. Trabajos urgentes)

Características de la línea de espera

Línea de espera

Duración

Ilimitada

Características de la línea de espera

Línea de espera

Duración

Ilimitada

Limitada

Características de la línea de espera

Línea de espera

Disciplina de cola

Duración

Ilimitada

Limitada

FIFO (FCFS)

Aleatorio (SIRO)

Prioridad

LIFO (LCFS) 38

Características del dispositivo de servicio Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características del dispositivo de servicio

 Número de canales:

 Único (un solo servidor)  Múltiple (varios servidores en paralelo)

 Número de fases en el sistema de servicio:  Único Múltiple

Distribución del tiempo de servicio: Exponencial negativo  Otros

Características del servicio

Dispositivo de servicio

Configuración Canal único

Multicanal

Fase única

Atención al cliente aleatoria

➢El tiempo de servicio es aleatorio ➢Se modela mediante la distribución exponencial negativa ➢La función de distribución es

f (t)  e

 t

t0 41

Distribución exponencial negativa

➢ Tiempo de servicio : ➢Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos. ➢ Tasa de servicio media = ➢Por ejemplo: clientes/hora. ➢ Tiempo de servicio medio = 1/

Probabilidad t>x

0,4

=1 =2 =3 =4

0,3 0,2 0,1 0

Distribución exponencial negativa 00.,0066

Tiempo de servicio medio = 1 hora

Probabilidad

00.,0055

=1 cliente/hora

00.,0044 00.,0033

Tiempo de servicio medio = 20 minutos

00.,0022

=3 cliente/hora

00.,0011 0 0

120

150

180

Tiempo de servicio en minutos

Tiempo de servicio

➢Probabilidad

P(x  t)  e

 µt

➢La media y la varianza

Et



Vart

2 44

Tiempo de servicio ➢ Una máquina expendedora de refrescos presenta una falla cada 40 minutos promedio. ➢Determine el número promedio de fallas en una semana, si el servicio se ofrece 24 horas, los 7 días de la semana.

➢Determine la probabilidad siguiente falla no ocurra horas.

de que la dentro de 3

Tiempo de servicio

60    1.5 fallas /hora 40

Efallas / semana 1.5* 24*7  252 f / sem Px3 e1.5*3  0.0111

Recuerde:  y  son valores ➢  = número medio de llegadas por período de tiempo. ➢ Ejemplo: 3 unidades/hora

Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces µ es 4 clientes/hora.

➢  = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo. ➢ Ejemplo: 4 unidades/hora

•1/ = 15 minutos/unidad 47

Sistema de un canal, una fase Sistema de servicio

Llegadas

Barcos en el mar

Cola

Dispositivo de servicio

Sistema de descarga de barcos Línea de espera de los barcos

Unidades servidas

Barcos vacíos

Bahía

Sistema de un canal, multifase Sistema de servicio Llegadas

Autos en el área

Cola

Dispositivo de servicio

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Autos en cola Pago

Unidades servidas

Autos y comida

Recogida

Sistema multicanal, una fase Sistema de servicio Llegadas

Cola

Dispositivo de servicio

Unidades servidas

Dispositivo de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una Ăşnica cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas. 50

Sistema multicanal, multifase Sistema de servicio Llegadas

Cola

Dispositivo de servicio

Unidades servidas

Ejemplo: en una lavanderĂa, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y despuĂŠs, una de las diferentes secadoras. 51

Definiciones ➢Número de clientes en el sistema= n ➢Tasa de llegada nominal de clientes =  ➢Tasa de llegada efectiva de clientes =efectiva

➢= efectiva + pérdida

➢Tasa de salida de clientes = 

➢ = efectiva / 

suponemos <1

(estabilidad)

➢Probabilidad de n clientes en el sistema = pn

Medidas de rendimiento

➢Tiempo medio en la cola, Wq. ➢Longitud media de la cola, Lq. ➢Tiempo medio en el sistema, Ws. ➢Número medio de clientes en el sistema, Ls. ➢Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté desocupado, p0. 53

Medidas de rendimiento ➢Tamaño de las colas 

Ls   npn n1

Lq 



 n  c p

nc1

➢Fórmulas de Little

Ls  eff Ws

Lq  eff Wq 54

Medidas de rendimiento

➢Tiempo en el sistema y tamaño de la cola:

Ws  Wq 



efectiva Ls  Lq   55

Medidas de rendimiento

➢Número promedio de servidores ocupados:

efectiva c  Ls  Lq  

➢Porcentaje de utilización de los servidores:

Notación Kendall

a / b / c: d / e / f  a= b=

descripción de la distribución de llegadas (M = Poisson) descripción de la distribución de salidas (M = Exponencial negativa, D= tiempo constante)

c = número de servidores paralelos d = disciplina de la cola (FIFO, LIFO, SIRO, GD) e = número máximo de clientes permitido en el sistema (N) f = tamaño de la fuente generadora de clientes (N o )

Características del modelo de colas básico ➢ Las llegadas se sirven con disciplina primero que llega, primero que se sirve (FIFO). ➢ Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores. ➢ Los patrones de llegada se describen mediante una distribución de probabilidad de Poisson. Los clientes provienen de una población muy grande. ➢ Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio. ➢ Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa. ➢ El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas (<1).

Tipos de modelos de colas ➢Simple (M/M/1) : (GD//) ➢ Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes.

➢ Multicanal (M/M/c) : (GD//) ➢ Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea.

➢ Servicio constante (M/D/1) : (GD/N/) ➢ Ejemplo: túnel de lavado de autos.

➢ Población limitada (M/M/c) : (GD/N/N) ➢ Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras.

➢ Auto servicio (M/M/) : (GD//) 59

Características del modelo simple (M/M/1) : (GD//) ➢ Modelo: sistema de un canal, una fase.

➢ Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. ➢ Distribución de llegada: Poisson. ➢ Cola: ilimitada, una sola cola.

➢ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ➢ Distribución del servicio: exponencial negativa.

➢ Relación: servicio y llegada independientes. ➢ Ritmo de servicio > ritmo de llegada 60

Ecuaciones del modelo simple (M/M/1) : (GD//)

Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1) : (GD//) Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema, es decir, que el sistema esté desocupado:



P0 = 1 -  = 1  Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema, P = n>k

()  

k+1

donde n es el número de unidades en el sistema.

Características del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD//) ➢ Tipo: sistema multicanal. ➢ Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. ➢ Distribución de llegada: Poisson. ➢ Cola: ilimitada, colas múltiples. ➢ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ➢ Distribución del servicio: exponencial negativa. ➢ Relación: servicio y llegada independientes. ➢  Ritmo de servicio > ritmo de llegada 63

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/ď&#x20AC;ş/ď&#x20AC;ş) Probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema: NĂşmero medio de personas o unidades en el sistema:

Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema: 64

Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD//) Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

Lq  Ls 

 

Wq  Ws 

 

Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD//) ➢ Modelo: sistema de un canal, una fase.

➢ Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. ➢ Distribución de llegada: Poisson. ➢ Cola: ilimitada, una única cola.

➢ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ➢ Distribución del servicio: exponencial negativa.

➢ Relación: llegada y servicio independiente. ➢  Ritmo de servicio > ritmo de llegada 66

Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD//) Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

 Lq    

Wq 

  

  Número medio de personas Ls  L q  o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema:

Ws  Wq 

  67

Características del modelo de población limitada (M/M/c) : (GD/N/N) ➢ Modelo: sistema de un canal, una fase.

➢ Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega. ➢ Distribución de llegada: Poisson. ➢ Cola: ilimitada, una única cola. ➢ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ➢ Distribución del servicio: exponencial negativa. ➢ Relación: servicio y llegada independientes.

➢  Ritmo de servicio > ritmo de llegada 68

Modelos de decisión de colas

➢Modelos de costos ➢Modelo de aspiración de nivel medidas Utilizan las de rendimiento desarrolladas para conseguir un balance entre los factores en conflicto: ➢ Nivel de servicio ➢ Espera 69

Modelos de costos

➢Intentan balancear dos costos en conflicto ➢El costo de ofrecer el servicio ➢El costo de retraso en la oferta del servicio (tiempo de espera del cliente) ETC (x) = EOC(x) + EWC(x)

donde: x= nivel de servicio (medido por  o por c) ETC = Costo Total esperado por unidad de tiempo EOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempo EWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempo 70

Costos de las lĂneas de espera Costo por Unidad de tiempo

Costo del tiempo en cola (clientes) (EWC) Ă&#x201C;ptimo

Nivel de servicio (x) 71

Modelo siguiendo funciones lineales

â&#x17E;˘Las formas mĂĄs simples son: EOC(x) = C1 x donde:

EWC(x) = C2 Ls

C1 = costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo C2 = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en espera) x = medido por ď o por c

Modelo de nivel de aspiración

➢ Trabaja directamente con las medidas de rendimiento arrojadas por el modelo de colas. ➢ Se determina el rango aceptable para el nivel de servicio (medido por  o por c) especificando límites razonables sobre las medidas de rendimiento en conflicto. ➢Estos límites son los niveles de aspiración que se desea lograr. 73

Ilustración de nivel de aspiración

➢Para el modelo de servidor múltiple: ➢Medidas de desempeño: Ws = tiempo de espera promedio en el sistema X = porcentaje de ociosidad de los servidores

Ilustración nivel de aspiración

➢El modelo se reduce a determinar el número de servidores c tal que

Ws  

X 

donde  y  son los

niveles de aspiración especificados por el responsable de las decisiones 75

Gráfico de valores de aspiración ➢Ws y X se grafican en función del nivel de servicio c. ➢Si las dos condiciones no se satisfacen simultáneamente, entonces una o ambas restricciones deben liberarse. Rango aceptable para c



