Relación de Equivalencia. Definición. Sea un conjunto dado no vacío y una relación binaria definida sobre una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de
. Se dice que
es
está relacionado consigo mismo. Es decir,
.
Simetría: Si un elemento de
está relacionado con otro, entonces ese otro elemento
también se relaciona con el primero. Es decir, .
Transitividad: Si un elemento de está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, .
Notación: En aritmética modular la relación de equivalencia entre dos elementos x e y se denota x = y (mod R) que se lee « x es equivalente a y módulo R ». Una relación de equivalencia
sobre un cuerpo
puede denotarse con el par
.
Clase de equivalencia o Relación de equivalencia En lógica de clases y análisis matemático, la relación de equivalencia disjuntos en llamados clases de equivalencia: Dado un elemento la clase:
, el conjunto dado por todos los elementos relacionados con
se le llama la clase de equivalencia asociada al elemento Al elemento
define subconjuntos definen
.
se le llama representante de la clase.
Se llama orden al número de clases que genera una relación de equivalencia; si éste es finito, se dice que la relación es de orden finito. El concepto de clase de equivalencia tiene importancia en ciencia, dado un conjunto de objetos o entidades abstractas (potencialmente infinitas), pueden establecerse relaciones de equivalencia en