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Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica Desde la prehistoria al siglo XV

Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica Desde la prehistoria al siglo XV María Victoria Veguín Casas

Barcelona · Bogotá · Buenos Aires · Caracas · México

Registro bibliográfico (ISBD) Veguín Casas, María Victoria Historia de las matemáticas en la península ibérica : desde la prehistoria al siglo XV / María Victoria Veguín Casas. – Barcelona : Reverté, 2011 XVI, 431 p. : il. ; 24 cm.

Bibliografía.

DL B-40205-2010. – ISBN 978-84-291-5173-2 1. Matemáticas – Historia. I. Título.

51(091)

Copyright © María Victoria Veguín Casas

Esta edición: Copyright © Editorial Reverté, S. A., 2011 ISBN: 978-84-291-5173-2 DISEÑO Y MAQUETACIÓN: JESÚS SALAS PARRILLA

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GOBIERNO DE ESPAÑA

MINISTERIO DE CULTURA

Índice Introducción

XIII

1. Los comienzos del pensamiento matemático 1.1 La Prehistoria 1.1.1 El Paleolítico 1.1.2 El Epipaleolítico y el Mesolítico 1.1.3 El Neolítico 1.1.4 La Edad de los Metales 1.2 El pensamiento matemático de los primeros pobladores 1.2.1 El nacimiento de la aritmética 1.2.2 Los comienzos de la geometría 1.2.3 La ciencia de las estrellas 1.3 La arqueastronomía

1 1 1 4 4 5 7 12 17 20 24

2. El pensamiento matemático durante la Protohistoria 2.1 La Protohistoria 2.1.1 Las primeras colonizaciones en la Península 2.1.2 Las áreas histórico-culturales 2.1.3 Las lenguas y escrituras prerromanas 2.2 Las matemáticas en las primeras culturas 2.2.1 Las numeraciones prerromanas 2.2.2 Las monedas prerromanas 2.2.3 Los sistemas de medida prerromanos 2.2.4 La astronomía en estas culturas

27 27 28 29 32 33 36 44 46 51

3. Las matemáticas en Hispania 3.1 La romanización de la Península 3.2 La educación en Hispania 3.3. El legado matemático romano 3.3.1 Lucio Apuleyo 3.3.2 Anatolio Alejandrino 3.3.3 Victorio de Aquitania 3.3.4 Marciano Mineo Félix Capella 3.3.5 Anicio Manlio Torcuato Severino Boecio 3.3.6 Flavio Magno Aurelio Casiodoro 3.4 La aritmética romana 3.4.1 La numeración romana 3.4.2 El origen de las cifras romanas 3.4.3 Operaciones con el ábaco 3.4.4 La dactilonomía

53 53 54 57 57 58 58 58 58 59 60 60 64 67 70

VII

María Victoria Veguín Casas

3.5 3.6

3.7

3.8

3.9

El sistema monetario Sistemas de medidas 3.6.1 Medidas de longitud 8QLGDGHV GH VXSHUÀFLH 3.6.3 Medidas de volumen 3.6.4 Medidas de capacidad 3.6.5 Medidas de peso Los conocimientos geométricos 3.7.1 Los diez libros de arquitectura de Marco Vitrubio 3.7.2 Los mosaicos romanos 3.7.3 Vasija de Clunia La astronomía 3.8.1 El calendario romano 3.8.2 La semana 3.8.3 La era hispánica y la indicción 3.8.4 Los relojes romanos Escritores hispanorromanos con conocimientos matemáticos 3.9.1 Cayo Julio Higinio 3.9.2 Lucio Anneo Séneca 3.9.3 Lucio Julio Moderato Columela 3.9.4 Moderato de Cádiz

71 73 74

77 77 78 79 80 82 83 83 83 86 87 88 90 90 91 92 95

4. Las matemáticas en el reino visigodo 4.1 Introducción histórica 4.2 La educación en el reino visigodo 4.3 Las matemáticas durante estos siglos 4.4 Una cuestión pendiente de estudio: los numerales en las pizarras visigodas 4.5 El sistema monetario 4.6 Un texto romano leído en el medioevo hispano: la aritmética de Boecio 4.7 San Isidoro de Sevilla 4.7.1 El Libro III de las Etimologías 4.7.2 Pesos y medidas 4.7.3 La difusión de las Etimologías 4.8 El misticismo numérico y el Libro de los números 8Q SUREOHPD GH FDOHQGDULR ÀMDU OD 3DVFXD GH 5HVXUUHFFLyQ 4.10 ¿Qué conocimientos geométricos tenían los arquitectos visigodos?

4.11 El legado visigodo

107 112 113 120 122 123

127 130

5. Las matemáticas en al-Ándalus 5.1 Al-Ándalus: introducción histórica 5.1.1 El emirato Omeya (756-929) 5.1.2 El califato de Córdoba (929-1031)

133 133 133 135

VIII

97 97 99 101 102 106

Índice

5.2 5.3 5.4

5.1.3 Los reinos de taifas (1031-1086) 5.1.4 Las invasiones almorávide y almohade (1086-1232) 5.1.5 El reino nazarí de Granada (1232-1492) La educación en al-Ándalus Fuentes para el estudio de las matemáticas en al-Ándalus Las numeraciones en al-Ándalus 5.4.1 La notación literal 5.4.2 La numeración alfabética árabe 5.4.3 La numeración sexagesimal 5.4.4 La numeración decimal

136 137 138 139 142 147 147 148 150 152

6. Primer y segundo periodo de las matemáticas en al-Ándalus 6.1 Periodos de las matemáticas en al-Ándalus 6.2 Primer periodo (711-821): supervivencia de la tradición latina 6.3 Segundo periodo (822-1031): la recepción de la matemática griega y árabe en al-Ándalus 6.4 Las obras de al-Jwarizmi 6.4.1 Libro del cálculo con los números hindúes (Kitab al-hisab al-adad al-hindi) 6.4.2 Libro conciso del cálculo de restauración y oposición ($O 0XMWDVDU À KLVDE DO MDEDU ZD O PXTDEDOD) 6.4.3 Las tablas astronómicas 6.4.4 La recepción de estas obras en al-Ándalus 6.5 La astronomía en al-Ándalus 6.5.1 La asimilación del Almagesto 6.5.2 Las tablas astronómicas 6.6 Matemáticos andalusíes de este periodo 6.6.1 Maslama 6.6.2 Los discípulos de Maslama 6.7 El Seudo Maslama

155 155 156

162 167 167 170 170 174 174 175 176 180

7. Tercer periodo: las matemáticas en los reinos de taifas 7.1 Características del periodo 7.2 Matemáticos notables 7.2.1 Ibn Muad (taifa de Jaén) 7.2.2 Al-Mutaman (taifa de Zaragoza) 7.2.3 Azarquiel (taifa de Toledo) 7.2.4 Ibn Sayyid (taifa de Valencia) 7.2.5 Ibn al-Sid (taifa de Badajoz) /D FODVLÀFDFLyQ GH ODV FLHQFLDV

183 183 186 186 192 195 201 202

8. Los periodos de decadencia 8.1 Cuarto periodo (1086-1232) 8.2 La obra de Avicena llega a al-Ándalus

205 205 206

157 159 159

,;

MarĂ­a Victoria VeguĂ­n Casas

8.3

8.5 8.6

Los matemĂĄticos de este periodo <DELU ,EQ $Ă DK 8.3.2 Abu al-Salt de Denia 8.3.3 Los discĂ­pulos de Azarquiel /RV Ă&#x20AC;OyVRIRV VX FUtWLFD DO Almagesto 8.4.1 Avempace (Ibn Bayyah) 8.4.2 Ibn Tufayl (Abentofail) $YHUURHV ,EQ 5XVKG

8.4.4 Alpetragio (al-Bitruyi) Quinto periodo (1232-1492) 8.5.1 MatemĂĄticos de este periodo El legado andalusĂ­ allende el AtlĂĄntico

208

210 210 211 211 212

215 215 217 222

9. El islam y las matemĂĄticas /D LQĂ XHQFLD GHO LVODP HQ ODV PDWHPiWLFDV 9.2 La astronomĂ­a sagrada 9.2.1 La orientaciĂłn de la alquibla 9.2.2 Las horas de oraciĂłn 9.2.3 El calendario musulmĂĄn 9.2.4 El calendario de CĂłrdoba 9.3 AstrologĂ­a 9.4 Ciencias ocultas 9.5 El Derecho y la particiĂłn de herencias 9.6 La moneda en al-Ă ndalus 9.7 El arte 241

223

223 224 227 229 230 231 233 234 239

10. Las matemĂĄticas en los primeros siglos de la Reconquista 10.1 La formaciĂłn de las monarquĂ­as cristianas 10.1.1 La Orden de Cluny /D 5HFRQTXLVWD HQ ORV VLJORV ;,, \ ;,,, 10.1.3 Siglos ;,9 y ;9: la ĂŠpoca de los cinco reinos 10.2 La educaciĂłn en los reinos cristianos 10.3 Periodos de las matemĂĄticas en los reinos cristianos 10.4 Primer periodo: siglos 9,,, ;, 10.4.1 Los primeros contactos entre al-Ă ndalus y Europa /RV PDQXVFULWRV GH 5LSROO 10.4.3 Un matemĂĄtico formado en la PenĂ­nsula: Gerberto de Aurillac 10.4.4 La introducciĂłn del sistema de numeraciĂłn decimal en los reinos cristianos

243 243 245

248 249 251 252 254

11. Las traducciones del ĂĄrabe al latĂ­n 11.1 Las traducciones 11.2 Traductores en el norte peninsular 11.3 Traductores en Toledo

265 265 268 269

;

259 263

Ă?ndice

11.4 Las traducciones matemĂĄticas de Gerardo de Cremona 11.5 Un ejemplo de transmisiĂłn: Las traducciones de Los elementos 11.5.1 Las versiones griegas 11.5.2 Las versiones ĂĄrabes 11.5.3 Las versiones latinas 11.5.4 Las versiones en imprenta 11.5.5 Ediciones en lenguas vernĂĄculas 11.5.6 EdiciĂłn crĂ­tica /D LQĂ XHQFLD GH OD SHUHJULQDFLyQ MDFREHD HQ OD GLIXVLyQ del saber matemĂĄtico 12.1 La peregrinaciĂłn jacobea 12.2 Los caminos a Santiago 12.2.1 Por el interior de la PenĂ­nsula: el Camino francĂŠs 12.2.2 Fuera de la PenĂ­nsula: las cuatro rutas francesas 12.2.3 Los caminos por mar 12.3 El Camino: una vĂ­a comercial 12.3.1 Sistema de pesas y medidas 12.3.2 Sistemas monetarios 12.4 Los conocimientos matemĂĄticos de los constructores medievales 12.4.1 Huellas pitagĂłricas en la capital compostelana 12.4.2 FenĂłmenos de luz equinoccial 12.4.3 La aritmĂŠtica en las vidrieras de la catedral de LeĂłn /D LQĂ XHQFLD GH OD SHUHJULQDFLyQ MDFREHD HQ OD GLIXVLyQ del saber matemĂĄtico

271 274 278 278 279 282 284 285 287 287 289 290 291 292 292 293 295 296 299 301 302 303

13. Las matemĂĄticas en romance (siglos XIII-XV) 13.1 IntroducciĂłn histĂłrica 13.2 Las matemĂĄticas en la Corona de Castilla &RQWULEXFLyQ FLHQWtĂ&#x20AC;FD GH $OIRQVR ; HO 6DELR

13.2.2 Las matemĂĄticas en los siglos ;,9 ;9 13.3 Las matemĂĄticas en la Corona de AragĂłn 5DPyQ /OXOO &RQWULEXFLyQ FLHQWtĂ&#x20AC;FD GH 3HGUR HO &HUHPRQLRVR

/DV PDWHPiWLFDV HQ WLHPSR GH ORV 5H\HV &DWyOLFRV el descubrimiento del Nuevo Mundo

307 307 309

320 324

14. Las aritmĂŠticas mercantiles en la PenĂ­nsula IbĂŠrica 14.1 Antecedentes histĂłricos 14.2 AritmĂŠticas europeas en lenguas vernĂĄculas 14.3 Un manuscrito de aritmĂŠtica del siglo ;,9 en castellano: el manuscrito 46 de la Colegiata de San Isidoro de LeĂłn 14.3.1 Algunos problemas del manuscrito 14.3.2 Los problemas de aleaciones

333 333 334

329

337 340 343

XI

MarĂ­a Victoria VeguĂ­n Casas

14.4 La aritmĂŠtica de Francesc Santcliment 14.4.1 Las operaciones elementales 14.4.2 La prueba del nueve 14.4.3 La regla de tres 14.4.4 La regla de compaùías 14.4.5 Cambios de monedas y medidas 14.4.6 La regla de â&#x20AC;&#x153;la barataâ&#x20AC;?

14.4.7 La regla de la falsa posiciĂłn

346 347 350 353 355 356 358 358

15. Las matemĂĄticas en Sefarad 15.1 IntroducciĂłn histĂłrica 15.2 La educaciĂłn en Sefarad (O KHEUHR FRPR OHQJXD FLHQWtĂ&#x20AC;FD 15.3.1 El sistema de numeraciĂłn hebreo 15.3.2 La cĂĄbala 15.4 El calendario judĂ­o 15.5 Periodos de las matemĂĄticas en Sefarad 15.6 MatemĂĄticos notables 15.6.1 MosĂŠ SefardĂ­ (Pedro Alfonso) 15.6.2 Abraham Bar Hiyya (Savasorda) 15.6.3 Abraham Ibn Ezra 15.6.4 Avendaut 15.6.5 MaimĂłnides 15.6.6 Abraham Zacuto 15.7 El legado sefardĂ­

365 365 367

369 372 374 376 377 377 379 387 393 394 396 397

EpĂ­logo El rol de la PenĂ­nsula IbĂŠrica en la matemĂĄtica europea

399 399

ANEXO JosĂŠ Augusto SĂĄnchez PĂŠrez (1882-1958).

Primer historiador de las matemĂĄticas en al-Ă ndalus

401

Notas

407

BibliografĂ­a

421

XII

401

Introducción

El origen de esta obra fue la licencia por estudios concedida por la Comunidad de Madrid durante el curso 2000-2001. El tema de trabajo era la historia de las matemáticas en la Península Ibérica durante la Edad Media. Existía una Historia de las matemáticas en España, escrita en el año 1933 por Francisco Vera Fernández de Córdoba. Esta historia, muy breve, requería una ampliación que incorporase los estudios que sobre el tema se habían realizado en los últimos años. Fui consciente de que el trabajo era muy ambicioso y de que solamente podría realizar una pequeña parte durante la licencia por estudios.

La primera decisión que tomé fue la de secuenciar los capítulos diferenciando la lengua en la que estaban escritos los manuscritos; lo cual me permitía seguir mejor la sucesión de maestros y discípulos y, por tanto, la evolución del pensamiento matemático. Así pues, el estudio de las matemáticas en la Edad Media se dividió en tres bloques: las matemáticas en al-Ándalus, las matemáticas en los reinos cristianos y las matemáticas en Sefarad.

El paso siguiente fue revisar los estudios que sobre estos temas se habían publicado.

Los primeros estudios sobre las matemáticas en al-Ándalus se deben a don José Augusto Sánchez Pérez (1882-1958), que unía a su formación matemática los conocimientos de lengua árabe que había adquirido con los arabistas Julián Ribera y Miguel Asín Palacios. Descubrí que Sánchez Pérez había sido catedrático de matemáticas en el Instituto Beatriz Galindo de Madrid hasta el año de su jubilación. Al trabajar yo en este mismo centro de enseñanza, también como catedrática de matemáticas, me sentí más motivada para revisar su obra y para darla a conocer. El Anexo I está dedicado a este matemático.

XIII

María Victoria Veguín Casas

El relevo en el estudio de la ciencia andalusí, en torno a los años 1940-1950, vino de don José Mª Millás Vallicrosa, a quien se debe el Assaig d’història de les idees físiques i matemàtiques a la Catalunya medieval, escrito en catalán, que puso de manifiesto que la ciencia árabe había sido conocida en la Cataluña medieval muy tempranamente. La rama de las matemáticas que más estudió Millás fue la astronomía, probablemente porque fue la rama de las matemáticas que más se practicó en al-Ándalus y en la que hubo alguna figura tan notable como la de Azarquiel. Millás creó escuela en Barcelona, siendo sus discípulos más notables Juan Vernet Ginés y Julio Samsó Moya. Ambos continuaron la línea de su maestro con estudios sobre la ciencia medieval y profundizaron en la ciencia en al-Ándalus.

En el bloque de las matemáticas en los reinos cristianos en los ocho siglos que duró la Reconquista decidí dividir el estudio en varios periodos teniendo en cuenta dos factores: el primero, algunos hitos de la Reconquista, como la toma de Toledo en 1085; y el segundo, la lengua en la que estaban escritos los manuscritos. En este bloque he introducido un capítulo dedicado a la influencia de la peregrinación jacobea en la difusión del saber matemático. En los años 1989 y 1992 peregriné a Santiago de Compostela. En la segunda peregrinación me pregunté algunas cuestiones que relacionaban las matemáticas con el Camino de Santiago, y las respuestas a dichas cuestiones cristalizaron en la producción de un libro titulado Matemáticas y Camino de Santiago, que se publicó en el año 1998.

Concluido el estudio de las matemáticas en la Edad Media decidí ampliarlo y abordarlo desde la Prehistoria hasta el reino visigodo. Ante la ausencia de obras de referencia he incorporado en estos temas algunas investigaciones de historiadores españoles relacionadas con las matemáticas. Los dos primeros capítulos, las matemáticas en la Prehistoria y en las primeras culturas, se han abordado con información extraída de las investigaciones de arqueólogos que se pueden relacionar con las matemáticas.

También se ha incorporado en este libro información sobre diversas piezas: relojes de sol, astrolabios, lápidas sepulcrales con fechas en distintos sistemas de numeración empleados en la Península Ibérica, pesos, medidas de capacidad, etc., que se encuentran depositadas en museos españoles y que están relacionadas con el conocimiento matemático.

Todavía hay que hacer un gran esfuerzo para completar la historia de las matemáticas en la Península Ibérica, ya que quedan manuscritos sin traducir que requieren del trabajo de especialistas en las distintas lenguas.

Mi agradecimiento a todas las personas que han hecho posible que esta obra se terminase, entre ellas: a don Jesús Salas Parrilla, por su apoyo en todo momento, su

XIV

Introducción

elaboración de varios gráficos, su maquetación del libro y su aportación de varias fotografías; a don Javier Peralta Coronado, por avalar mi proyecto de investigación; a don José Antonio Viñayo, que fue abad de San Isidoro de León, por sus sugerencias sobre las Etimologías de San Isidoro; a don José Luis del Valle Merino, director de la Real Biblioteca del Monasterio de El Escorial, por su amabilidad y la numerosa información que me proporcionó; a doña Carmen Cacho Quesada, conservadora jefe del departamento de Prehistoria del Museo Arqueológico Nacional, por sus informaciones acerca de objetos que pudieron ser calendarios en la Prehistoria; a los conservadores de los museos de Mérida, del Numantino de Soria, de León, de Burgos, de Cuenca, de Cáceres y del Museo de los Caminos de Astorga (León), por su ayuda; al Ayuntamiento de Tudela (Navarra), por la cesión de una fotografía; a doña Rosario Delicado, por su ayuda en la traducción del latín al castellano de poema de Gerberto; a doña Ana Jiménez de Garnica, por su ayuda con las pizarras visigodas; a doña Virginia Martínez Aramberri y a don Raúl Ibáñez Torres, por su ayuda con la numeración vasca; a don Miguel Salas Parrilla, por una primera corrección del texto; a todo el personal de la Biblioteca Nacional, por su amabilidad durante estos años; a doña Mariló Caballer Gil, por su corrección final del libro y sus sugerencias; a don José Antonio Fernández Llana, director del I.E.S. Beatriz Galindo, por su apoyo; a la Comunidad de Madrid, por concederme, en su día, la licencia por estudios, que me permitió iniciar esta investigación; y, finalmente, al Director de Área Territorial de Madrid Capital, don Bonifacio Alcañiz, por el interés que se tomó en que este trabajo llegara a publicarse.

Madrid, 2010

XV

Capítulo

I

Los comienzos del pensamiento matemático

1.1 La Prehistoria La Prehistoria es el periodo de tiempo transcurrido desde el inicio de la evolución humana hasta la aparición de los primeros documentos escritos. En la Península Ibérica este periodo se extiende desde los tiempos en que llegaron los primeros pobladores hasta aproximadamente el siglo V a.C. El estudio de este tiempo se divide en cuatro periodos: Paleolítico, Mesolítico, Neolítico y Edad de los Metales, estando cada uno de ellos dividido en subperiodos.

1.1.1 El Paleolítico Este término, proveniente del griego y cuyo significado es “edad antigua de la piedra”, fue creado en 1865 por el arqueólogo alemán J. Lubbock. Abarca el periodo más largo de la evolución del ser humano. Su comienzo se sitúa en los tiempos de los primeros trabajos en piedra atribuidos al género Homo, y su final en el momento en que los grupos humanos se vuelven sedentarios y son capaces de mantenerse de la agricultura y la ganadería. Los investigadores manejan diversas fechas para situar los comienzos del Paleolítico peninsular. Unos lo inician hace 1.500.000 años a.C. con la posible penetración del Homo erectus en la Península; otros, en torno a 1.000.000 a.C. El estudio de este extenso periodo de tiempo se suele dividir en tres subperiodos: Inferior, Medio y Superior. Algunos autores prolongan este periodo hasta el año 6000 a.C., mientras que otros distinguen los últimos 4000 años aproximadamente con una nueva denominación: Epipaleolítico o Mesolítico.

1

María Victoria Veguín Casas

1.1.1.1 Paleolítico Inferior Comprende desde el comienzo hasta el 125.000 a.C. Se han encontrado más de cincuenta yacimientos. Los más importantes son los de la sierra de Atapuerca, en la provincia de Burgos. En ella se han descubierto los restos humanos más antiguos de Europa, pues tienen casi un millón de años. Los yacimientos más investigados son la Gran Dolina y la Sima de los Huesos.

Los restos encontrados en la Gran Dolina tienen una antigüedad estimada en 800.000 años. Los científicos han concluido que no pertenecen a nuestra especie ni tampoco son neardentales, por lo cual, les han bautizado con el nombre de Homo antecesor.

Los instrumentos de piedra que manejaban eran los más sencillos, sin que se hayan encontrado bifaces.

La Sima de los Huesos es el yacimiento con más fósiles humanos del mundo. Entre ellos, se han identificado restos de al menos treinta y dos personas que vivieron aproximadamente hace 400.000 años a.C. Al hombre de la Sima de los Huesos se le ha dado el nombre de Homo heilderbengensis, puesto que se ha asociado con el hombre del que se encontró una mandíbula en Mauer, cerca de Heilderberg.

Los cadáveres aquí almacenados nos plantean la siguiente pregunta: ¿Existía una práctica de enterramientos hace 400.000 años? Una respuesta afirmativa podría conducirnos a la existencia de un planteamiento religioso, lo cual implicaría el desarrollo de un proceso de pensamiento complejo. Por otra parte, podría suceder que estos cadáveres se hubiesen amontonado allí como consecuencia de algún tipo de desastre natural que les hubiese provocado la muerte.

A lo largo de este extenso periodo se fue produciendo la evolución física y cultural de los seres humanos y se fueron perfeccionando los modos técnicos de trabajar la piedra. La aparición del Homo neradentalensis marca el final del mismo y la aparición de una nueva etapa. El descubrimiento más notable del periodo fue el fuego, del cual no se puede estimar con precisión la fecha ni el lugar.

1.1.1.2 Paleolítico Medio Comprende desde el 125.000 a.C. hasta el 35.000 a.C. Uno de los yacimientos más importantes es la Cueva del Castillo en Puente Viesgo, provincia de Santander, en la cual además de existir estratos de este periodo los hay también de periodos anteriores y superiores, con lo cual es un yacimiento privilegiado para seguir la evolución del Paleolítico. Otros yacimientos notables se han localizado en las terrazas del Manzanares, en las cuevas del Diablo y en la de Gorham, en Gibraltar, muy rica en restos y datada en unos 47.500 años de antigüedad.

2

Los comienzos del pensamiento matemático

En este periodo, el trabajo de la piedra adquiere una mayor complejidad mediante la técnica llamada Levallois. Con ella se preparaba un núcleo de piedra para obtener a partir de él un amplio número de utensilios, entre ellos lascas, láminas o puntas de formas predeterminadas. Ello implicaba que se debía planificar primero la forma del núcleo, del cual se podían obtener las piezas, siendo la capacidad de planificación algo característico de la inteligencia humana.

1.1.1.3 Paleolítico Superior Comprende desde el 35.000 a.C. hasta el 10.000 a.C. La aparición del Homo sapiens sapiens, una especie humana que provenía de África, marca su inicio. A partir de aquí se producen cambios trascendentales en la resolución de los problemas para sobrevivir, puesto que este homo posee ya una gran imaginación que le lleva a buscar nuevas soluciones y nuevos instrumentos. Atendiendo a esta evolución y diversificación se divide el periodo en subperiodos, de acuerdo con la secuencia establecida en la Europa occidental. Estos subperiodos son: Auriñacense, Gravetiense, Solutrense y Magdaleniense.

En la tabla 1.1 se muestran algunas de las herramientas que se fueron utilizando en el Paleolítico Superior.

Tabla 1.1 Herramientas de diversos periodos

30.000 años a.C.

Punzón de hueso

25.000 años a.C.

Punta losángica

15.000 años a.C.

10.000 años a.C.

Punta de azagaya

Arpón con dos hileras de dientes

Punta de azagaya

Raspador sobre hoja

Punta de base cóncava

Punta pedunculada

3

María Victoria Veguín Casas

Desde el punto de vista de la abstracción del pensamiento, tema clave para las nociones matemáticas, el hombre de este periodo posee ya un complejo mundo cultural en el cual han emergido el sentimiento religioso y el sentimiento artístico. Las representaciones artísticas más arcaicas de la humanidad provienen de este periodo.

Se han encontrado un gran número de yacimientos de este periodo, sobre todo en la cornisa cantábrica. Entre ellos destaca la Cueva de Altamira, considerada la Capilla Sixtina del arte paleolítico. Esta cueva ha sido fechada con el método del Carbono 14 con una antigüedad de 14.000 años aproximadamente. Otras cuevas notables de esta zona son Tito Bustillo (Asturias), El Castillo (Santander) o Santimamiñe (Vizcaya).

En la región mediterránea hay que destacar la de Parpalló, en Gandía (Valencia), y la de la Pileta, en Málaga. En el oeste peninsular, en Cáceres se encontró la de Maltravieso, y muy cerca de Escora se encuentra la de Escoural (Evora); en ambas cuevas hay importantes representaciones pictóricas.

1.1.2 El Epipaleolítico y el Mesolítico La arqueología tradicional elaboró estos términos para designar las culturas que se desarrollan entre el final del Paleolítico Superior y del Neolítico. Su duración abarca aproximadamente desde el año 10.000 a.C. hasta el año 6000 a.C. El concepto de Epipaleolítico, que etimológicamente quiere decir “fin del Paleolítico”, hace referencia a las poblaciones que sobrevivían apoyándose exclusivamente en los recursos naturales; es decir, como lo hacían los del periodo anterior. El Mesolítico es una etapa de transición en la cual algunos grupos humanos comienzan a experimentar nuevos modos de vida que les conducirán a obtener alimentos a través de la agricultura y la ganadería.

Durante esta época se desarrolló un nuevo arte rupestre que, a diferencia del arte del Paleolítico, no se encontraba en el interior de las cuevas, sino al aire libre, aunque fuese al abrigo. Se han encontrado bellos ejemplares de este arte en el Levante español y en algunas zonas interiores: Cogull en Lérida, Alpeda y Minateda en el sur de Albacete.

1.1.3 El Neolítico Entre el año 6000 y el 5000 a.C. sucedió la llamada revolución Neolítica en la Península. Los pobladores se adaptaron a las nuevas formas de vida que ya se habían extendido por Europa desde Oriente Próximo y se convirtieron en sedentarios que practicaban la agricultura y la ganadería con animales previamente domesticados.

En este periodo hubo importantes innovaciones tecnológicas ya que la agricultura y la ganadería requerían nuevas técnicas: la industria lítica creó azuelas y arados para

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Los comienzos del pensamiento matemático

trabajar la tierra, dientes de hoz para la siega, molinos para el grano, mangos para los instrumentos agrícolas elaborados por los carpinteros, corrales y abrevaderos para el ganado, entramados para las paredes y techumbres de las casas, telares para los textiles y la alfarería. El descubrimiento y desarrollo de la alfarería permitió mejorar las condiciones de vida, ya que los recipientes cerámicos facilitaban el almacenamiento de productos, su transformación y su transporte. Los recipientes se modelaban dependiendo de la función a la que estaban destinados, lo cual implicaba una forma y unas dimensiones concretas. Uno de los temas clave en matemáticas ha sido siempre el tema de la medida, y algunos recipientes que se utilizaban constituían unidades de medida de sólidos y líquidos.

La mayor parte de los recipientes neolíticos carecen de decoración, pero hay excepciones atractivas realizadas con técnicas diversas: impresiones, incisiones, pinturas, etc. Los motivos son variados y, en ocasiones, son de tipo geométrico. La cerámica ha sido empleada como uno de los fósiles más importantes a la hora de reconocer grupos culturales en el espacio y en el tiempo.

Entre los tejidos, el esparto se mostró como uno de los favoritos, ya que con él se podían construir piezas flexibles y versátiles. La decoración de algunas cestas se consiguió simplemente con la tradición de entremezclar fibras con diferentes colores.

El proceso de cambio a la nueva forma de vida neolítica fue diferente en las diversas zonas peninsulares. Los primeros asentamientos plenamente neolitizados se han encontrado en la franja mediterránea, en Levante y Andalucía. Una de las cuevas más interesantes por su antigüedad y por los restos encontrados en ella es la cueva de L’Or en Alicante, en la cual se ha encontrado cerámica cardial datada hace unos 4500 años a.C. La cerámica cardial recibe este nombre por estar decorada con impresiones de conchas de berberechos, un bivalvo llamado Cardium, ya que su forma recordaba a un corazón.

1.1.4 La Edad de los Metales La Península entró en la economía de los metales aproximadamente en el tercer milenio a.C. Los buscadores de metales provenientes de las costas del Mar Egeo y del Asia Menor llegaron al sureste peninsular. En un principio se establecieron en las costas almerienses, para introducirse después en las comarcas del interior que eran ricas en cobre, estaño y plata.

La Edad de los Metales se divide en tres etapas que reciben el nombre de los metales que se fueron utilizando progresivamente: el cobre, el bronce y el hierro. Aunque las fechas sean poco precisas se podría decir que la Edad del Cobre se desarrolló durante

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el tercer milenio a.C.; la del Bronce, durante el segundo, y la del Hierro, durante el primero. Al igual que en el Neolítico, no todas las regiones de la Península se incorporaron al mismo tiempo al conocimiento de los metales y a su metalurgia.

1.1.4.1 Edad del Cobre Durante esta fase llegan a la Península todas las corrientes civilizadoras que estaban surgiendo en el Mediterráneo oriental. De esta época es el vaso campaniforme que fue una creación hispana, según la opinión de H. Schmdit1. Tuvo su origen en el valle del Guadalquivir y desde allí se difundió por toda la Península alcanzando también otras islas mediterráneas y algunas zonas europeas. Una de las funciones de los vasos campaniformes encontrados en las necrópolis parece ser que era la de guardar objetos personales que pertenecían al difunto.

Vaso campaniforme de Ciempozuelos.

Museo Arqueológico Nacional.

Los vasos campaniformes se han dividido en dos grandes tipos atendiendo a su forma: los que tienen un fondo plano y un perfil suave, que se han encontrado fundamentalmente en la vertiente occidental de la Península; y los que tienen un fondo abombado y un cuello más alto en forma de embudo, que se han encontrado mayoritariamente en la vertiente oriental y en la Meseta. Aunque hay que decir que entre estos dos modelos hay otras muchas variantes.

En el vaso campaniforme, el espacio a decorar se distribuye en cuadrantes rellenos de líneas entrecruzadas que forman rombos, líneas onduladas, espigas, redes de líneas verticales o inclinadas, etc.

Durante milenios, la cerámica se trabajó a mano pero con la llegada de pueblos colonizadores, fenicios y griegos, se comenzó a emplear el torno, y con ello la actividad pasó de ser doméstica a artesanal especializada.

1.1.4.2 Edad del Bronce Hacia el segundo milenio a.C. existe un cambio en la metalurgia al incorporarse el bronce. Esta aleación se forma cuando al cobre se le añade otro metal, que es generalmente estaño. Una buena proporción para la aleación es el 90% de cobre y el 10% de estaño. La producción del bronce implica una compleja división del trabajo, ya que se necesitaban especialistas en la búsqueda del metal, en la fundición y en la realización de aleaciones. A esta diversidad de oficios se le añadirían otros, los cuales

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Los comienzos del pensamiento matemático

llevarían a una jerarquización social que se evidencia en las tumbas y en los ajuares funerarios.

La cultura más característica de esta etapa es la desarrollada en el sudeste peninsular, llamada “cultura de El Argar”, que se extiende por las provincias de Granada, Almería, Jaén y Murcia. Esta cultura se supone que es de origen anatolio, lo cual puede ser cierto ya que en aquellas fechas existía comercio marítimo entre ambos extremos del Mediterráneo. Una prueba de ello es que se encontraron en poblados argáricos peninsulares collares de pasta vítrea fabricados en Egipto hacia el año 1300 a.C. 1.1.4.3 Edad del Hierro Abarca aproximadamente desde el año 1000 a.C. hasta el siglo III a.C. Dos acontecimientos importantes se dieron: la llegada de tribus indoeuropeas, entre ellos los celtas, y la de los colonizadores fenicios y griegos. A ello nos referiremos en el segundo capítulo.

1.2 El pensamiento matemático de los primeros pobladores Cualquier conjetura sobre el pensamiento matemático de los hombres prehistóricos que habitaban la Península Ibérica es un atrevimiento, ya que debe hacerse a través de los restos arqueológicos disponibles, y estos son muy escasos. A pesar de ello aventuraremos algunas preguntas: ¿Desde cuándo los hombres tienen pensamiento consciente? ¿Qué papel juega el lenguaje en la formación del pensamiento? ¿Cuáles son las relaciones entre pensamiento y lenguaje? ¿Los hombres de la Gran Dolina tenían un pensamiento consciente? ¿Y los de la Sima de los Huesos? ¿Cuál es la esencia del pensamiento matemático? ¿Desde cuándo se podría decir que algunos hombres que habitaban en la Península tenían un pensamiento relacionado con el mundo matemático?

Nunca podremos responder a estas preguntas con seguridad, aunque se hayan escrito páginas y páginas a lo largo de los siglos sobre la mente y aunque los psicólogos actualmente aborden las relaciones entre pensamiento y lenguaje.

Fernando Savater opina que el primer gran descubrimiento del ser humano que le hizo consciente fue el descubrimiento de la inevitabilidad de su propia muerte al razonar que, si todos los seres humanos mueren, yo también moriré. Esto requiere la formación de la conciencia del yo como algo diferente a los otros. No sabemos quiénes fueron los primeros hombres conscientes de ello, pero en opinión de J.L. Arsuaga, los que vivieron en la Sima de los Huesos ya se habían familiarizado con esta idea2.

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El entierro de los seres vivos expresa una actividad que se planifica; por lo tanto, es una actividad consciente. Si los cadáveres encontrados en la Sima de los Huesos fueron enterrados allí de forma planificada, se podría afirmar que estos hombres tenían ya un cierto sentimiento hacia la muerte y un cierto pensamiento religioso.

El pensamiento matemático requiere un grado de abstracción y complejidad. Todos los investigadores están de acuerdo en que el desarrollo de un pensamiento complejo está atestiguado en el Paleolítico Superior, en el cual el hombre fue capaz de crear imágenes y signos dando lugar al nacimiento del arte. El pensamiento religioso, el artístico y el matemático, como formas de pensamiento con un cierto grado de abstracción y desvinculado de la satisfacción de las necesidades inmediatas, posiblemente surgiesen de forma muy paralela.

Para profundizar en la esencia del pensamiento matemático citamos algunas opiniones sobre esta disciplina dadas por grandes pensadores de diversas épocas3: •

Aristóteles: Es la ciencia de la cantidad.

•

René Descartes: Es la ciencia del orden y de la medida.

•

Carl F. Gauss: Es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas.

•

Eric T. Bell: Es la reina y la sirvienta de las ciencias.

•

Felix Klein: Es la ciencia de las cosas evidentes e incontrovertibles.

•

Gustav Jacobi: Es la ciencia de lo que es claro de por sí.

•

Henri Poincaré: La matemática no estudia objetos, sino relaciones entre objetos; podemos reemplazar un objeto por otros, siempre y cuando la relación entre ellos no cambie.

•

David Hilbert: Es un juego con reglas muy sencillas que deja marcas sin significado en un papel.

•

Alfred N. Whitead: En su significado más amplio es el desarrollo de todo tipo de razonamiento formal, necesario y deductivo.

•

Bertrand Russell: Se puede definir como la materia en la que nunca se sabe de qué se habla ni si lo que se dice es cierto.

•

Julio Rey Pastor: Es la “ciencia de los conjuntos”. De los conjuntos finitos nace, por abstracción, el concepto de número, fundamento de toda la matemática.

Las matemáticas van cambiando a lo largo de los siglos; por lo tanto, las concepciones que se tienen de esta disciplina también van evolucionando con el tiempo,

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Los comienzos del pensamiento matemático

República del Congo hace unos cincuenta años. Actualmente se encuentran depositados en el Museo de Historia Natural de Bruselas. Recientemente, en el año 2007 han sido examinados de nuevo por varios investigadores y, aunque con el Carbono 14 no se ha podido datar su antigüedad, no se descarta que sea de 20.000 años, ya que en los terrenos circundantes se han encontrado objetos con una antigüedad cercana a los 20.000 años. Contienen tres filas de incisiones. En una de ellas están los números 9, 19, 21 y 11; en otra fila 11, 13, 17 y 19 incisiones. Algunos sugieren que podría ser un registro de números primos. En una tercera fila están los números 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7.

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Simulación de los huesos Ishango.

Otros estudiosos han intentando forzar la imaginación para intentar agrupar las muescas en base 12, apoyándose en que muchas poblaciones actuales africanas como los yasgua de Nigeria emplean la base 12, de modo que para ellos el número 13 es 12 más uno.

La base 12 permite contar con los dedos hasta 60 con cierta facilidad. Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los demás dedos (1, 2 y 3 en el índice; 4, 5 y 6 en el medio; 7, 8 y 9 en el anular; y 10, 11 y 12 en el meñique). Al llegar al 12, se levanta un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Quizás esta forma de contar dio lugar a la base 60, que sabemos que fue la base empleada por los babilonios y que hoy persiste en nuestra división del tiempo.

En el Museo Arqueológico Nacional de Madrid hay varios huesos con incisiones que se han interpretado como posibles incisiones numéricas. También en las cuevas prehistóricas se encuentran muchas líneas y puntos pintados, cuyo significado desconocemos pero que es posible que tuviesen alguna función numérica. En la Cueva del Castillo, en Puente Viesgo (Cantabria), hay dibujados en color ocre rojo numerosos ideomorfos de unos 30 a 60 cm de longitud. Algunos están pintados mediante tra-

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drico, jarras de forma troncocónica, etc. Pero, ¿qué formas geométricas se conocían? En el Museo Ashmolean en Oxford se pueden ver representaciones de algunos cuerpos fechados en el Neolítico y que se han identificado como los cinco poliedros regulares que, en opinión de K. Critchow12, eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las primeras culturas históricas europeas.

Los neolíticos no solamente iban dominando las formas para que éstas fuesen funcionales, sino que además las iban adornando para hacerlas más bellas valiéndose en muchas ocasiones de combinaciones de puntos y líneas; es decir, de figuras geométricas.

En ocasiones, la decoración identifica un grupo cultural, pero otras veces las mismas formas y los mismos diseños se extienden por todo el Mediterráneo. Por ejemplo, la cerámica cardial se extendió por los pueblos neolíticos del Mediterráneo. Esta cerámica es de incisión, el motivo que se repite en las incisiones es una concha de Cardium edule.

En la Edad de los Metales, los conocimientos geométricos se van consolidando, ya que los avances tecnológicos requieren un mayor dominio de las formas. En esta época, los hombres tuvieron la necesidad de pesar. Los metales suponían un elemento de intercambio y de riqueza y, por lo tanto, era imprescindible pesarlos.

Vaso geminado con decoración cardial de la cueva de Sabemos que hacia el IV milenio L’Or (Alicante). Museo Arqueológico de Valencia. a.C. surgieron sistemas ponderales en Mesopotamia y en Egipto. Los intercambios comerciales exigían sistemas de medida fijos en el Mediterráneo. En Oriente, hacia el III milenio a.C. ya se empleaba el shekel fenicio, que equivalía a unos 7,50 g. Algunos estudios realizados en joyas y hachas del último periodo de la Edad de Bronce han creído identificar el sistema ponderal en el cual se diseñaron13. En el Tesoro de Villena (Alicante) se ha encontrado un patrón que se puede relacionar con el talento micénico. Los navegantes micénicos debieron difundir por el Mediterráneo su sistema de pesos.

1.2.3 La ciencia de las estrellas En Occidente se supone que la astronomía como ciencia nació en Mesopotamia, pero es fácil conjeturar que al hombre del Paleolítico le fascinaría la contemplación

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Los comienzos del pensamiento matemático

de la bóveda celeste y que le intrigaría el curso del Sol, de la Luna y de las miles de estrellas del cielo nocturno. La mera contemplación de esta bóveda provocaría en la conciencia primitiva muchas preguntas que serían la base de una iniciación religiosa y también la base de un pensamiento abstracto.

La sucesión de los días y las noches y de las sucesivas fases de la luna llevarían a la humanidad a la gestación de una de las ideas que ha sido frecuentemente empleada en diversas áreas de conocimiento: la periodicidad. Convencida la mente humana de la existencia de esa periodicidad, el paso siguiente era comprenderla para poder, de esta forma, dominarla. Ello llevaría a la humanidad un largo periodo de tiempo hasta conseguir la elaboración de los calendarios, que siempre han estado asociados a fiestas religiosas.

El control del tiempo es un tema que ha preocupado siempre a la humanidad y que para los cazadores del Paleolítico representaría un auténtico desafío. La calidad de la luz nocturna depende de las fases de la luna, por lo cual es de suponer que comenzarían tanteando cómo medir el tiempo que pasaba entre una luna llena y otra luna llena o entre una luna nueva y otra luna nueva. Si la primera unidad de tiempo establecida es el día; la segunda, probablemente, fue el mes lunar. Lo que sí se sabe con certeza es que todas las culturas antiguas han adorado a la Luna.

Alexander Marshack14 estudió cientos de huesos paleolíticos intentando ver en ellos una grabación del ciclo lunar. Un hueso de la Dordoña, que data de hace 30.000 años aproximadamente, parece que contiene marcas que corresponden a un ciclo lunar completo. Otro hueso encontrado en Le Placard, cuya edad se estima en unos 11.000 años, contiene grupos de siete muescas cada uno. Esto se puede interpretar como una Colgante de hueso, en la Cueva Morín (Cantabria). aproximación al paso de la luna nueva al cuarto Museo Arquelógico Nacional. creciente, a la luna llena, al cuarto menguante y otra vez a la luna nueva. Aunque se puede pensar que es una pura casualidad, los arqueólogos continúan encontrando esquemas de muescas parecidas en piedras y huesos en distintos lugares de África y Europa. En el Museo Arqueológico Nacional se conserva un colgante de hueso encontrado en Cueva Morín, en Cantabria, cuyas incisiones se están interpretando como un posible calendario.

Los egipcios, como todos los pueblos primitivos, tenían un calendario lunar por el cual se regían sus fiestas religiosas, pero descubrieron durante el neolítico que el año

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solar tenía 365 días. Esto dio lugar a un calendario de 12 meses de 30 días cada mes, con 5 días adicionales, que según la mitología egipcia eran añadidos por el dios Tot. Los historiadores piensan que el Nilo fue el detonante de la comprensión del ciclo de las estaciones. Todos los años, el Nilo se desbordaba desde finales de junio a finales de septiembre, llevando barro útil para que los cultivos creciesen de octubre a febrero y se cosecharan entre febrero y junio. Éstas eran las tres estaciones de cuatro meses cada una: la riada, la plantación y la cosecha. Los cambios en el Nilo se relacionaron con determinados sucesos astronómicos; por ejemplo, la aparición de la estrella Sirio en Menfis al atardecer del 14 de julio de cada año.

Otra cuestión es saber el momento del día en el cual nos encontramos, y la sombra jugó un papel importante en la elaboración de este concepto. Cualquier persona que ha caminado durante varias jornadas sabe del valor de verse acompañado por la propia sombra, siendo ésta un elemento importante de observación y reflexión.

Probablemente, el primer mecanismo para medir la hora del día es el que apareció en una tumba egipcia de hace unos 3500 a.C. Fue una estaca clavada en la tierra que al proyectar su sombra sobre el suelo permitía observar fácilmente el movimiento de la sombra. Con este dispositivo elemental se puede ver que en las épocas de calor el sol está muy alto y la sombra es más pequeña, mientras que en los días más fríos la sombra es más alargada.

El reloj más antiguo que ha llegado hasta nosotros está compuesto por dos listones que forman una T, cuya barra mayor se ponía en la dirección este-oeste para que la sombra de la barra menor se proyectara sobre la otra que contiene las marcas de algunos momentos del día: media mañana, al mediodía, media tarde, etc. Las primeras divisiones del día que aún se conservan en el lenguaje cotidiano serían de este tipo de aproximación.

La división del día en 24 horas nació entre los sabios de Mesopotamia. Ellos dividieron el día en 12 horas y la noche en otras 12 horas, aunque este concepto de hora era diferente del nuestro, ya que el intervalo de tiempo asignado a cada hora variaba a lo largo del año porque estaba condicionado por las horas de luz y las de oscuridad en las diferentes estaciones. Estas horas se llaman “horas temporales”. ¿Por qué tomaron el 12 para dividir las horas de luz? Posiblemente, la base 12 fue una de las primeras en emplearse y por ese motivo llegaron al acuerdo de elegirla para este fin. Una vez elegido el criterio de dividir el tiempo se fabricaron relojes de sol y de agua.

El reloj de sol pudo ayudar a comprender el ciclo anual del Sol y a establecer las estaciones, lo cual fue importante para deducir los intervalos de tiempo adecuados

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Los comienzos del pensamiento matemático

para cada una de las tareas agrícolas. La historia nos dice que los primeros calendarios agrícolas se crearon en Mesopotamia y Egipto, y que estuvieron en manos de las minorías dirigentes civiles y religiosas.

Los primeros pobladores peninsulares, como todos los pueblos cazadores, tendrían un calendario lunar. Las zonas peninsulares que se incorporaron a la neolitización se incorporaron también al conocimiento del calendario agrícola y a ser conscientes de los equinoccios y los solsticios.

Además del sol y de la luna, a los hombres les fascinaban las estrellas. Otra característica del pensamiento científico es la necesidad de clasificar un conjunto desordenado para comprenderlo mejor. Los hombres agruparon las estrellas mediante líneas imaginarias, en las llamadas constelaciones. El proceso que siguieron en esencia sería el mismo que en el siglo XX explicaría la escuela psicológica de la Gelstat al informarnos del procedimiento que se sigue en la formación de imágenes. En la formación de imágenes, el cerebro recurre a experiencias que ha tenido para elegir formas conocidas.

Luna llena. Cercedilla. Año 2009.

Fotografía: Jesús Salas Parrilla.

La cultura occidental ha mantenido los nombres, en muchos casos, de las constelaciones que se habían ido formando y admitiendo en Egipto y Mesopotamia y que luego se trasmitieron oralmente por todo el Mediterráneo. En otras culturas se unieron las estrellas de forma diferente a la occidental, de modo que las constelaciones indias o chinas son diferentes.

Una bonita hipótesis es la que sostiene en su tesis doctoral Luz Antequera Congregado, para la cual el techo de Altamira sería una representación de algunas constelaciones identificando, por ejemplo, al bisonte hembra con la Osa Mayor o al bisonte que vuelve la cabeza con Perseo15. Esta representación no querría decir que estos cazadores tuviesen grandes conocimientos astronómicos, sino que agrupaban lo que ellos conocían y les era importante: los animales y el cielo.

Por último, tenemos que señalar que la astronomía estuvo desde sus orígenes muy relacionada con la astrología, ya que existía en las mentes humanas la intuición, posiblemente cierta, de que los astros influyen en la vida de las personas.

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1.3 La arqueastronomía La arqueastronomía es una ciencia interdisciplinar que tiene por objeto estudiar los conocimientos astronómicos de las civilizaciones antiguas. En 1984, el astrónomo británico Sir W. Loycker publicó el libro The Down of Astronomy, en el cual establecía hipótesis sobre posibles relaciones entre ciertas construcciones egipcias y algunos fenómenos astronómicos. Posteriormente se comprobó que muchas hipótesis establecidas en este texto eran falsas, lo cual paralizó durante decenios este tipo de estudios. En 1965, la publicación de la obra de G. Hawkins, titulada Stonhenge Decoded, que obtuvo un gran éxito, propició el reconocimiento de la arqueastronomía a nivel internacional.

Monmento de Stonhenge en Wiltshire (Inglaterra).

Stonehenge es el monumento prehistórico megalítico más famoso de Inglaterra. Fue un observatorio astronómico que se construyó durante un largo periodo de tiempo, ya que los especialistas han determinado en él tres fases. Aunque su estado de conservación no es ni mucho menos perfecto, se han podido observar en los sucesivos círculos de piedra que lo componen algunos conocimientos astronómicos, entre ellos un marcador solsticial. Una línea recta marcada por dos postes, construida en torno al III milenio a.C., indicaba la salida del sol en el solsticio de verano.

Los marcadores solsticiales y equinocciales han interesado en todas las culturas. A veces se han buscado lugares privilegiados para colocarlos y, en otras ocasiones, se han fabricado a propósito santuarios en honor del sol. El sol es vital para la humanidad y el hombre, consciente de ello, le ha homenajeado desde la Prehistoria.

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Pueblos prerromanos.

El área ibera estaba formada por un conjunto de pueblos prerromanos sin unidad política pero profundamente infl fluidos por los fenicios y los griegos. Geográficafi mente esta área ocupaba la franja mediterránea de la Península Ibérica y el sudoeste.

En ella se pueden distinguir dos zonas: la primera, la zona ibera propiamente dicha, incluye Levante y Cataluña y está profundamente influida fl por la colonización griega; la segunda, que abarcaría la Andalucía actual en casi toda su extensión así como el Algarve portugués, estuvo infl fluida por las culturas tartésica y púnica.

Las formas de organización política eran diversas predominando la monarquía en los asentamientos andaluces, y los gobiernos aristocráticos y oligárquicos en las regiones mediterráneas.

Un elemento unificador fi era la religión de carácter sincrético y con un panteón de dioses similares, aunque en ocasiones tenían nombres diferentes. Los rituales funerarios eran parecidos, con incineración de cuerpos y depósito de las cenizas en urnas a las que en muchas ocasiones se les acompañaba de objetos, joyas, armas, cerámica, pequeñas estatuillas, etc.

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El pensamiento matemático durante la Protohistoria

La economía se basaba en la agricultura, pero las actividades ganaderas y la minería tenían importancia en las zonas montañosas. El comercio adquirió gran magnitud en las zonas costeras, siendo el motor del conocimiento en muchas ocasiones.

La cultura ibera abarca aproximadamente cuatro siglos entre el VI y el II a.C., ya que estos pueblos se vieron inmersos en las luchas entre Cartago y Roma.

El área indoeuropea se llama así porque en ella se hablaban lenguas indoeuropeas.

Corresponde geográficamente a las dos mesetas: el norte y el oeste de la Península.

Los principales pueblos eran cántabros, astures, galaicos, vetones, vacceos, carpetanos y celtíberos.

Las diferencias entre las formas de vida de los diferentes pueblos eran notables, ya que mientras unos eran esencialmente agricultores, como los vacceos, otros eran esencialmente ganaderos.

La civilización celta destacó en la metalurgia del hierro. Uno de sus inventos fue la herradura para los caballos. Durante un tiempo se pensó que habían sido precisamente los celtas quienes habían introducido la metalurgia del hierro en la Península Ibérica; pero esto ya no se admite, ya que se ha encontrado una pieza de hierro del siglo VIII a.C. en Almuñécar (Granada) siendo ésta una colonia fenicia.

Los celtas valoraban mucho los objetos de adorno personal, como lo prueba el hecho de que uno de los elementos distintivos de las clases sociales sea el torques o collar pesado. Estaba formado por una varilla maciza que solía ir decorada y en los extremos se ponía una pieza más gruesa o remache. El torques era de origen oriental.

Originariamente, los torques eran regalos e intercambios pero poco a poco sirvieron Torques de Ribadeo (Lugo). de unidad de cuenta, de pago y capitalizaMuseo Arqueológico Nacional. ción. Estas joyas fueron abundantes en la Meseta Norte y en la Vía de la Plata, y se elaboraban dentro de un único sistema de pesos, que era el mismo que el de los ponderales de bronce encontrados en el yacimiento tartésico Cancho Roano. Esto aporta la idea de que pudo existir un sistema metrológico hispanooccidental basado en el fenicio.

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hombres o en sus cacerías para obtener comida, debía evaluar de alguna manera la posibilidad que tenía de salir airoso, y esta posibilidad era la que guiaría su conducta.

Esta evaluación sería muy subjetiva, pero en la actualidad también es muy subjetiva la evaluación que hacen la mayoría de las personas sobre sus posibilidades de triunfar en un trabajo o en aspectos emocionales. No sabemos la consciencia que tendrían aquellos seres humanos de los sucesos seguros y de los sucesos imposibles.

2.2.1 Las numeraciones prerromanas A pesar de la escasez de datos se podrían clasificar los sistemas de numeración prerromanos empleados en la Península, del mismo modo que se ha hecho con las lenguas, en dos grandes grupos: los empleados por las colonizaciones históricamente documentadas y los elaborados por los pueblos indígenas.

2.2.1.1 La numeración fenicia Las inscripciones fenicias que se han encontrado en la Península son muy escasas.

Ello ha llevado a algunos investigadores a cuestionar si fueron los fenicios los que habían introducido la escritura en la Península. José Ángel Zamora López expone que el no haber encontrado muchos restos no quiere decir que no existiese la práctica de escribir, sino que los soportes que se emplearon eran perecederos7. Admitiendo este razonamiento se puede pensar que los fenicios emplearon en sus colonias el sistema de numeración escrito que habían aprendido y que, según G. Ifrah, es muy similar al empleado por distintos pueblos semitas8. En este sistema de base 10, la unidad era representada por un trazo vertical y se procedía de forma aditiva, de modo que para representar nueve unidades se pondrían nueve líneas verticales, una a continuación de otra; aunque para facilitar la comprensión del número de un solo vistazo se separarían mediante grupos de tres, tal y como se muestra en el dibujo.

Número 9 Para representar la decena se trazaría una línea horizontal, y para representar varias decenas se repetiría este símbolo de la siguiente forma: 10

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El pensamiento matemático durante la Protohistoria

Los números analizados por Ifrah para el 10 y el 20 en documentos fenicios no son exactamente así. Este investigador explica las diferencias teniendo en cuenta los diversos factores que intervienen a la hora de escribir. Según la evolución gráfica normal, común a todas las escrituras cursivas que se realizaban con caña de punta ancha sobre pergamino, y debido a la velocidad en la escritura, el trazo horizontal se inclinaba en ocasiones; por lo cual, las representaciones que se han encontrado para el 10 en los documentos fenicios muestran un trazo algo inclinado. Del mismo modo, el número 20 tampoco aparece como dos líneas horizontales paralelas, sino algo inclinadas y unidas por un extremo.

Los números comprendidos entre el 1 y el 99 se formaban con estos símbolos de forma aditiva. Para el número 100 existía un símbolo. Para representar las sucesivas centenas empleaban un principio multiplicativo, de modo que para poner 200 escribían el símbolo del 100 y luego, como una especie de superíndice, las dos rayas verticales para el 2 que indicaba 100 · 2.

En las fuentes fenicias que contienen numerales no se ha encontrado ningún símbolo para el 1000 ni para el 10.000, aunque esto no quiere decir que no tuviesen estos símbolos, pues posiblemente necesitaron escribir números grandes, y se han encontrado símbolos para estos números en otras fuentes semitas diferentes a las fenicias.

2.2.1.2 La numeración griega Los griegos emplearon varios sistemas de numeración a lo largo de su historia. Los dos más notables son el sistema de numeración ático y el jónico. En el sistema ático se emplea un signo gráfico diferente para 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10.000 y 50.000.

En esta notación, la unidad se representaba por un trazo vertical, y 5, 10, 100, 1000 y 10.000, por una letra. Estas letras son las iniciales de los nombres griegos de los números correspondientes. A esto se le llama “principio de acrofonía”. En la siguiente tabla se resume el sistema de numeración ático9: Letra griega

Valor atribuido

Inicial de la palabra

Nombre del número

Pi

5

PENTE

Cinco

Delta

10

DECA

Diez

H

Eta

100

HEKATON

Cien

X

XI

1000

KHILIOI

Mil

M

MY

10.000

MURIOL

Diez mil

Signo

37

María Victoria Veguín Casas

Para escribir los números compuestos se empleaba el sistema aditivo, y también una especie de sistema multiplicativo. Por ejemplo, el número M H III significaba 1103.

Para formar los números 50, 500, 5000 y 50.000 se empleaba una combinación de las letras que se utilizan para expresar el 5 y las potencias de 10 según un principio multiplicativo. En el siguiente cuadro se puede ver cómo se escribían los números.

1

5

10

50.000

50

100

5000

500

1000

1000 1000

50

5000

5

10.000

1

El número expresado en la segunda línea es 50.000 + 5000 + 1000 + 1000 + 50 + 5 + 1 = 57.056. Este sistema fue empleado en metrología y para expresar sumas de dinero.

Taza ática.

Real Academia de la Historia.

Entre las inscripciones epigráficas conservadas en la Real Academia de la Historia (RAH) hay una que contiene números escritos en numeración griega ática. Se encuentra en una base de un esquifos o taza de cerámica de dos asas empleada para beber. Esta taza se halló durante una excavación y procede de la necrópolis de Ampurias. Fue donada a la RAH por don Martín Almagro Gorbea. Lo interesante desde el punto de vista matemático es que contiene, en la parte de la base, grabado un número expresado en letras alfabéticas griegas. El número es Ƌ Ǥ ƐƐƐ, que se lee como 10 + 5 + 1 + 1 + 1; es decir, 18.

En opinión de Martín Almagro10, este 18 podría referirse al precio del artículo, pero también al número de tazas contenidas en un determinado envío. También podría reflejar el número de orden de la taza en una serie de tazas.

Progresivamente, el sistema ático fue desplazado por el jónico o alfabético. Este sistema empleaba veintisiete letras del alfabeto griego para designar las unidades, las decenas y las centenas. Para formar un número se empleaba el principio aditivo.

Un número se podía multiplicar por 1000 si se precedía de una coma. El alfabeto

38

María Victoria Veguín Casas

2.2.2 Las monedas prerromanas La moneda, como unidad de cambio en el sentido que la conocemos actualmente, es uno de los inventos más relevantes de la humanidad. Ahora bien, todos los pueblos pasaron por un periodo previo a la monetización en el cual determinados objetos servían de valor de referencia, de unidad de pago y de valor atesorable.

El primer modelo de intercambio entre los miembros de una comunidad y entre diversas comunidades fue el trueque o intercambio directo de unos bienes por otros. Cuando las comunicaciones entre diversos grupos humanos se hicieron más frecuentes, esta práctica resultaba arbitraria y molesta, por lo cual surgió la necesidad de crear un sistema con una unidad de referencia y unas tablas de equivalencia. En La Ilíada de Homero se puede observar que el buey era una unidad de referencia en el cambio. La palabra “pecunio” que viene de la latina pecus, ganado, nos informa que el ganado sirvió como dinero en la cultura prerromana. No obstante, el ganado, al igual que el grano, presenta dificultades de conservación y a veces de reparto, por lo que se convierte en una moneda de cambio poco funcional.

Un primer paso para el establecimiento de la moneda fue el descubrimiento de los metales como patrón de referencia para el intercambio. En un primer momento, los metales se intercambiaban en lingotes o en objetos de adorno. Un segundo paso fue el encontrar un diseño adecuado al crear unas pequeñas piezas de metal de forma de almendra. Un tercer paso fue grabar unas marcas con el peso y la ley que debía cumplir.

Existen diversas hipótesis sobre el nacimiento de la moneda. Parece ser que surgió en Grecia y Anatolia en torno al siglo VII a.C. y posteriormente se extendió a las distintas ciudades-Estado griegas. Según Herodoto, el padre de la Historia, los primeros que acuñaron moneda fueron los lidios, un pueblo griego que estaba asentado en las costas de Asia Menor, en Anatolia. Existía una tradición que asociaba a este pueblo con una gran abundancia de metales preciosos.

Los sistemas premonetarios y monetarios han estado relacionados con los sistemas de pesas y medidas y con los sistemas de numeración. La enigmática base 60 que emplearon algunos pueblos antiguos sirvió para establecer los múltiplos del siclo, el peso patrón de fenicios y babilonios.

1 mina = 60 siclos 1 talento = 60 minas = 3600 siclos

44

El pensamiento matemático durante la Protohistoria

Los habitantes de la Península siguieron la misma línea evolutiva que el resto de los pueblos. En un principio practicaron el trueque con aquellos productos que poseían y, después, al conocer los metales incorporaron éstos a su trueque, bien en lingotes, armas o joyas. Está documentado por Estrabón que las poblaciones de la cornisa cantábrica empleaban trozos de metal como moneda en los trueques que realizaban.

También las hachas del bronce atlántico y los torques funiculares y las pulseras acintadas pudieron ser dineros premonetales.

En la fotografía se reproduce una torta de fundición de plata maciza que se encuentra en el Museo Arqueológico Nacional. Esta torta procede de Drieves, provincia de Guadalajara, y fue encontrada en el año 1945. Tiene una forma ovoide, ligeramente irregular, un diámetro máximo de 8,4 cm, un grosor de 1,4 cm y un peso de 450 g. Una torta parecida se encontró en el Tesoro de Magón, en la provincia de Jaén.

Torta de fundición.

En cuanto a las monedas tal y como las Museo Arqueológico Nacional. conocemos ahora sabemos que a finales del siglo VI a.C. ya existían monedas en la Península, porque se han encontrado algunas piezas acuñadas en ciudades del Mediterráneo oriental. Estas monedas llegarían con los colonizadores.

Las primeras emisiones propiamente dichas se realizaron en torno al siglo IV a.C. en Emporion y Rhode, situadas en el golfo de Rosas, en la provincia de Gerona. En el Museo Arqueológico de Barcelona se pueden ver dracmas griegos de este periodo.

Otro de los focos de acuñación estuvo en el sur peninsular, en la zona que había sido colonizada por los fenicios. Han aparecido monedas de bronce anepígrafas –es decir, sin leyenda– que se supone que fueron emitidas para uso de la comunidad. También se acuñaron monedas de plata. En el Museo Arqueológico de Cádiz se pueden encontrar algunos ejemplares de estas monedas.

Posteriormente, en la época de dominación cartaginesa, se acuñó moneda de plata en abundancia: trisiclo (trishekel), disiclo (dishekel), siclo (shekel), siclo y medio, medio siclo, cuarto de siclo y el óbolo, que se cita en la Biblia. Uno de los fines de estas monedas era pagar a los mercenarios que actuaban en el ejército cartaginés.

Una de las cecas más famosas era la de Cartagonova.

45

María Victoria Veguín Casas

En la fotografía se reproduce un dishekel hispano cartaginés. En el anverso lleva la cabeza de MelqartHeracles, con barba, corona de laurel y clava en el hombro derecho a la izquierda. En el reverso contiene un elefante. Procede del Tesoro de Mazarrón, en Murcia, hallado en 1861. Está datada en 237-227 a.C. Es una moneda de plata de 14,76 g. Y está depositada en el Museo Arqueológico Nacional.

Anverso de un dishekel.

Museo Arqueológico Nacional.

Reverso de un dishekel.

Museo Arqueológico Nacional.

El mundo ibero fue poco a poco evolucionando hacia una economía que comenzaba a ser urbana y, por influencia de los colonizadores, comenzó también a emitir moneda. En la zona catalana, las acuñaciones indígenas sintieron la influencia griega ampuritana y copiaron la metrología helena, aunque escribieron el topónimo en letras ibéricas. En el sur, las acuñaciones están sometidas a la influencia fenicia y cartaginesa.

También hay que señalar que posteriormente se incorporaron a la acuñación de monedas diversas cecas situadas en puntos del interior; entre ellos, en el Valle del Ebro. Algunas de estas monedas llevan alfabeto ibérico. Los celtíberos también acuñaron monedas.

2.2.3 Los sistemas de medida prerromanos Al igual que se ha hecho en apartados anteriores, se clasifican los sistemas metrológicos en dos grandes grupos: los empleados por los pueblos colonizadores y los que utilizaron los iberos y los celtas.

2.2.3.1 Medidas de longitud Las unidades de longitud eran antropomórficas, pero en este periodo cada sociedad urbana tenía ya sus propias medidas oficiales: su propio “pie”, su propio “codo”...

En el año 594 a.C. Solón, uno de los siete sabios de Grecia, llevó a cabo una unificación de las medidas en el que impuso para las unidades de longitud el pie ático, que era de 29,6 cm.

Respecto a las medidas empleadas por los griegos en la Península, los datos existentes son muy escasos, aunque cabe suponer que los jonios que fundaron Emporión emplearon en sus construcciones un pie jonio de 29,4 cm.

46

Capítulo

X

Las matemáticas en los primeros siglos de la Reconquista

10.1 La formación de las monarquías cristianas Con el término de “Reconquista” se denomina el periodo de la historia peninsular comprendido desde la batalla de Covadonga, en torno al 718, hasta la rendición de Granada en 1492. En este largo periodo se podrían distinguir tres fases: en la primera, el predominio territorial de la Península es musulmán; en la segunda, existía un equilibrio territorial entre musulmanes y cristianos: y, en la tercera, el predominio territorial fue claramente cristiano. Dos sucesos importantes sirven como referencia en esta división convencional: la toma de Toledo por Alfonso VI en 1086, que marcaría el comienzo de la segunda fase, y la batalla de las Navas de Tolosa en 1212, que señala el comienzo de la tercera fase.

Durante los ocho siglos que comprende la Reconquista, las guerras se sucedieron entre cristianos y musulmanes, pero también las hubo entre los distintos reinos cristianos. Los musulmanes tenían también conflictos internos entre sí y, en ocasiones, Monumento a Pelayo, en Covadonga (Asturias). eran aliados de algún bando cristiano.

Fotografía: Jesús Salas Parrilla.

243

María Victoria Veguín Casas

Antes o después de la batalla de Covadonga, don Pelayo había sido nombrado rey en Cangas de Onís. Puede ser que la ceremonia se hiciese por el rito godo, en un intento de hacer revivir las antiguas instituciones. A don Pelayo, que murió en el año 737, le sucedió su hijo Favila, el cual –según cuenta la leyenda– murió en una cacería atacado por un oso. Sucede a Favila su cuñado Alfonso I. Su reinado (739-757) coincidió con un momento de crisis entre los musulmanes, lo cual le permitió ocupar con facilidad todo el noroeste de la Península, antiguo dominio de celtas y suevos.

Más tarde tomó Astorga, el norte de Portugal, León, Zamora, Simancas, Salamanca y Segovia. La población hispanogoda apenas había tenido tiempo de ser islamizada.

El rey adoptó la difícil decisión de arrasar gran parte de las tierras conquistadas, llevándose a toda la población a la franja norte y creando un desierto, una tierra de nadie, entre su reino y los musulmanes.

Entre los reyes asturianos que le sucedieron destacan Alfonso II el Casto, que reinó casi cincuenta años, y Alfonso III el Magno.

Alfonso II el Casto (791-842) trasladó la capital de Cangas de Onís a Oviedo, y Alfonso III (866-910) la trasladó a León, que desde ese momento iba a ser considerada como la capital imperial de las distintas formaciones políticas que se iban gestando en la Península.

En el noreste se fueron formando condados de pequeña extensión: Barcelona, Gerona, Ampurias, Rosellón, Besalú, Ausona, Urgell, Ribagorza, que más tarde se unificaron en el Condado de Barcelona. Los vascones y los navarros llegaron a consolidar una dinastía con capital en Pamplona. Por otra parte, en el siglo IX, un caudillo desconocido, de nombre Aznar, se apoderó de Jaca y fundó el Condado de Aragón. El Condado de Castilla surge en la primera mitad del siglo IX, al principio dependiente de León pero alcanzó su independencia con Fernán González, que gobernó durante cuarenta años desde el 930 al 970.

El Reino de Navarra alcanzó su esplendor con Sancho III el Mayor, el monarca del año 1000, ya que gobernó desde el 1000 al 1035. Muchas circunstancias le favorecieron y pusieron en su poder una gran extensión territorial. Murió en el año 1035 y repartió su territorio entre sus hijos. El mayor, García, heredó Navarra; el segundo, Fernando, heredó Castilla; el tercero, Gonzalo, recibió los condados de el Sobrarbe y Ribagorza. Su bastardo, Ramiro, obtuvo el pequeño Condado de Aragón.

Bermudo III, el rey leonés, intentó recuperar los territorios que le habían sido arrebatados por Sancho el Mayor, pero los hijos de éste, García y Fernando, se unieron para derrotarle en la batalla de Támara. Bermudo III murió, y con él la dinastía asturiana de los reyes de Asturias y León.

244

María Victoria Veguín Casas

tamente a Roma, escapando a la tutela episcopal. Ellos deseaban una centralización de la Iglesia, y precedieron con su reforma a la propia reforma de Roma. Fernando I apoyó la tesis de Cluny y propició el auge benedictino en la abadía de Sahagún. Para mantener las buenas relaciones con los monarcas cristianos y con Cluny, Roma aceptaba la situación.

Real Monasterio de San Zoilo, en Carrión de los Condes (Palencia).

Fotografía: Jesús Salas Parrilla.

Alfonso VI donaba regularmente una cantidad de dinero a esta abadía, y en el año 1073 contrajo matrimonio con Constance, que era sobrina del abad de Cluny, Hugo de Semur. En aquellos momentos, el abad de Cluny tenía casi tanto poder como el papa de Roma. La reina Constance trajo a la Península a un grupo de intelectuales franceses. En este grupo vino Bernardo de Sauvetat, al que se le encomendó la dirección del monasterio de Sahagún en el año 1080, uno de los monasterios más importantes en aquellos momentos del Camino de Santiago. Ese mismo año se había celebrado un concilio en Burgos, en el cual se había aprobado el cambio de la liturgia mozárabe al rito romano.

Posteriormente, cuando Alfonso VI conquistó Toledo impuso a Bernardo como arzobispo de Toledo, en contra de los mozárabes toledanos. Bernardo de Sauvetat fue

246

Las matemáticas en los primeros siglos de la Reconquista

El número de campanadas que, en opinión del investigador Simoni, se tocaban en cada una de las horas canónicas para llamar a los monjes a la oración eran5: N.º campanadas

Tipo hora

Efecto

3

Prima

Al salir el sol

2

Tercia

A media mañana

1

Sexta

A mediodía

2

Nona

A la tarde

3

Vísperas

A la puesta del sol

4

Completas

Cuando ha oscurecido

Las figuras de algunos relojes actuales –por ejemplo, las del Ayuntamiento de Astorga– recuerdan esta costumbre de tocar las campanas.

Por otra parte, durante los primeros siglos de la Reconquista coexistían en la Península varios calendarios: el árabe, el hebreo y el empleado por los reinos cristianos. En este último, los documentos se fechaban haciendo referencia a la Era Hispánica. Por ejemplo, la fecha del documento 136 de la Colegiata de San Isidoro de León, dice: “Las infantas Doña Sancha y Doña Elvira, hijas de Alfonso VI y de la reina Doña Isabel, donan a San Pelayo y a San Isidoro, los lugares de San Roman, San Julián, y Villacelama y siete hombres de Gusendos que servían en San Roman. VIII idus de Aug. Era MCXXXII”.

El tema del calendario se repite en manifestaciones muy diversas del arte. Ya desde la cultura grecorromana se habían dedicado a los distintos meses del

Calendario agrícola de San Isidoro de León.

253

María Victoria Veguín Casas

Victor de Marsella, pero hay indicios que lo atribuyen al monje Oliva de Ripoll. Este monje es un personaje diferente al abad Oliva. Entre los indicios para la atribución a este autor está el hecho de que en el manuscrito se encuentran dos epístolas redactadas por este monje10. En el manuscrito se utilizan textos de Higinio, Isidoro y Beda, todos ellos conocidos en el monasterio catalán.

El manuscrito número 19 de la Biblioteca Nacional de Madrid. No se conoce la procedencia de este manuscrito, pero los investigadores opinan que podría haber sido elaborado en Ripoll. Este manuscrito ha sido estudiado por Millás Vallicrosa11.

Tiene 203 folios en pergamino de gran formato formado por series de cuadernos de 8 folios. Está escrito con letra de principios del siglo XII a una sola mano, con títulos, epígrafes y capitulares en color rojo. Está escrito a dos columnas de 47 líneas y tiene bellas ilustraciones.

El manuscrito es un corpus de materias afines, ya que contiene cuestiones de cronología, geografía, astronomía, cosmografía, medicina y materia de índole eclesiástica.

Entre las fuentes del manuscrito están Beda, San Isidoro, Orígenes y Aratos de Solí. El autor más seguido es Beda.

El manuscrito contiene 61 capítulos de contenidos misceláneos. Empieza con De computo vel loquela digitorum, también llamada De indigitatione, de Beda. Tiene Manuscrito 19, folio 2V. interés desde el punto de vista matemático Biblioteca Nacional. porque permite conocer los sistemas de numeración que se empleaban en los reinos cristianos en aquellos primeros siglos de la Reconquista. Estos sistemas eran el cálculo con los dedos, descrito por Beda, la numeración romana y la numeración griega ática, aunque esta numeración debía de ser conocida solamente por una minoría.

Los folios están numerados mediante el sistema de numeración decimal, pero se podría afirmar que esta paginación se efectuó después de estar elaborado el manuscrito, o al menos sus primeros capítulos. Si el anónimo autor hubiese paginado en el recuadro del folio 2v que establece la equivalencia entre los sistemas de numeración

258

Las matemáticas en los primeros siglos de la Reconquista

matemáticas, ya que al parecer sustituyó las fichas de valor unidad por otras fichas de cálculo, cada una de las cuales llevaba grabado un dígito entre el 1 y el 9.

Cifra

Nombre

1

Igin

2

Andras

3

Ormis

4

Arbas

5

Quimas

6

Calctis

7

Zenis

8

Temenias

9

Sipos

Los nombres particulares de las cifras cuyo origen no está del todo aclarado son las de la siguiente tabla.

Según sus discípulos, para recordar el nombre de las cifras empleaba, al modo árabe, los versos siguientes12: Ordine primigeno... nomen possidet Igin.

Andras esse locum previndicat ipse secundum.

Ormis post numerus non compositus sibi primus.

Denique bis binos succedens indicat Arbas.

Significat quinos ficto de nomine Quinas.

Sexta tenet Calctis perfecto munere gaudens.

Zenis enim digne septeno fulget honore.

Octo beatificos Temenias exprimit unus.

Hinc sequitur sipos est qui rota mamque vocatur.

La traducción es la siguiente: El primero en el orden se llama Igin (1) El mismo Andras (2) reclama que está en segundo lugar Después Ormis (3) primer número que no se completa a sí mismo Finalmente pasando dos veces dos se consigue el Arbas (4) Sobre el nombre inventado Quimas (5) significa cinco veces Gozosa Calctis (6) con su trabajo terminado posee el sexto lugar En efecto Zenis (7) resplandece dignamente siete veces Sólo Tesmenias (8) origina felices ochos A continuación sigue Sipos (9) denominado así porque es como una rueda

No se sabe si Gerberto conoció la existencia del cero pero no lo empleó.

El ábaco de Gerberto tenía veintisiete columnas que terminaban en arcos pitagóricos.

En las tres primeras columnas de la derecha se colocaban las unidades, las decenas y las centenas. En las tres columnas siguientes, las unidades, las decenas y las centenas de mil. En las siguientes, las unidades, decenas y centenas de miles de miles, y así sucesivamente.

Gerberto da en su libro veinte reglas para multiplicar que se reducen a explicar el resultado del producto según el número de cifras que tenga el multiplicando

261

María Victoria Veguín Casas

y el multiplicador. Hay que hacer la observación de que en la Alta Edad Media, cuando tan extendido estaba el contar con los dedos, se llamaba “dígitos” a los nueve primeros números, y “articulados” al resto.

Se reproducen algunas reglas para multiplicar que aparecían en el texto13: “En las multiplicaciones y divisiones hay que saber y observar cuidadosamente en qué columna se deben colocar los dígitos y en cuál los articulados, porque si un número de unidades es multiplicador de un número de decenas, se colocan los dígitos en las decenas y los articulados en las centenas; si el mismo número es multiplicador de un número de centenas, se colocan los dígitos en las centenas y los articulados en los millares; si el multiplicador es un número de millares, se colocan los dígitos en los millares y los articulados en los diezmillares y si el multiplicador es un número de cienmillares se colocan los Folio 35v. Codex 379. Erlangen. dígitos en los cienmillares y los articulados en Siglo XI. los milmillares; pero si un número de decenas es multiplicador de un número de decenas, se colocan los dígitos en la columna marcada ciento y los articulados en los millares; si el multiplicador es un número de centenas, se colocan los dígitos en los millares y los articulados en los diezmillares; si el multiplicador es un número de millares, se colocan los dígitos en la columna de los diezmillares y los articulados en la de los cienmillares, y si el multiplicador es un número de cienmillares se colocan los dígitos en los milmillares y los articulados en los diezmilmillares, y análogamente si el multiplicador es un número de centenas”.

Gerberto da también reglas para efectuar la división que se traducen en el método de dividir utilizando diferencias.

Se piensa que Gerberto aprendió estas técnicas a través de la Cataluña medieval, que ya las conocía. Posiblemente estarían en el libelo de José el Hispano, al cual se refiere en dos de sus cartas.

Los nombres para designar los números árabes que empleó Gerberto se pueden ver en el manuscrito de Erlangen, que transmite una geometría falsamente atribuida a Boecio. Las cifras árabes se emplean para numerar las columnas del ábaco. Los dibujos de las cifras van acompañados por nombres en la columna superior, y estos nombres son los mismos que aparecían en la obra de Gerberto14.

262

Las matemáticas en los primeros siglos de la Reconquista

Entre los discípulos de Gerberto sobresale Fulberto, que fundó la escuela catedralicia de Chartes en el año 990, escuela que posteriormente sobresalió por sus conocimientos en el quadrívium15.

10.4.3 La introducción del sistema de numeración decimal en los reinos cristianos No se conocen las sin duda numerosas vías por las cuales se difundieron los números hinduarábigos desde al-Ándalus a los reinos cristianos. El documento europeo más antiguo en el cual aparecen estos numerales es el folio 12v del Códice Vigilanus, Vigilano o Vigilan, llamado también Codex Conciliorum Albeldense16. Los nombres de este códice aluden a su escriba, el moje Vigila o Vigilan, que lo copió en el desaparecido monasterio riojano de San Martín de Albelda. De este códice son autores, además de Vigila, Sarracino, que es el que crea la mayor parte de las miniaturas y que escribió la tercera parte del códice, y García, que era ayudante y discípulo. Los nombres y las imágenes de estos tres personajes nos han llegado en una miniatura en el propio códice.

Del monje Vigilan se conocen muy pocos detalles. Solamente se sabe que en el año 983 fue abad de San Martín, aunque en el 988 ya no lo era, porque en ese momento ocupaba el cargo un tal García, que podría ser el otro escriba, pero también podría ser otro, ya que García era corriente en aquellos tiempos. Tampoco se sabe cuáles fueron sus maestros en la técnica copista. En Albelda había dos amanuenses: Gomesario y Salvo, y a este último le dedica en el propio códice una biografía, en la cual lo describe como menudo de cuerpo y escaso de fuerzas pero de una gran virtud. Otro copista que estuvo por aquel tiempo en Albelda fue Jimeno de San Millán de la Cogolla.

Se conoce la fecha en la cual se terminó de escribir el manuscrito, porque consta en él que fue acabado: “siendo el primero de mayo y en el curso 25 de la luna corriendo la era según cuentas de novecientos más otros setenta años añadidos a ellos otros seis más en curso, cuando el círculo recorrido se ha cumplido”17. Si el códice se terminó de escribir en el año 976, es posible que se elaborase entre el 974 y 976.

Este códice latino escrito en pergamino con letra visigótica a dos columnas tiene 429 folios. Las dimensiones del manuscrito son 445 · 325 mm.

El códice es un misceláneo que contiene una colección de cánones hispanos con noticias de diversos concilios nacionales y extranjeros y con leyes judiciales importantes, ya que contiene el Lex Visigothorum.

Vigilan acompaña a las nueve cifras de la siguiente glosa:

263

María Victoria Veguín Casas

“Y también, a propósito de las cifras de la aritmética es necesario saber que los indios posen una inteligencia extremadamente sutil, y que los restantes conceptos les ceden el paso en lo que concierne a la aritmética, la geometría y demás disciplinas liberales.

Esto se pone de manifiesto de la mejor manera en las nueve cifras a través de las cuales expresan cada grado de no importa qué nivel. Ésta es la forma de las cifras”.

Folio 12v del Códice Vigilano, en la Biblioteca de El Escorial.

A continuación escribe las cifras del 1 al 9. Se puede observar que las cifras 3, 4 y 5 son algo diferentes a las actuales, pero el resto tienen la forma actual. Todavía no aparece el 0.

No se sabe dónde aprendió estos números este monje. Algunos historiadores opinan que pudo ser en el monasterio de Ripoll, ya que podría haber asistido algunos años atrás a una consagración a este monasterio.

El segundo registro escrito de los actuales números se encuentra en otro códice: el Emilianense, que es una copia del anterior realizada unos años después por encargo del monasterio en San Millán de la Cogolla. En este caso, también se conocen los nombres de los autores –el escriba Velasco, el notario Sisebuto y el responsable del manuscrito, llamado también Sisebuto, abad del monasterio y posteriormente obispo de Pamplona–. En él aparecen de nuevo las cifras hinduarábigas en el folio 9v.

264

Las traducciones del árabe al latín

Si hubiese existido una escuela dirigiendo el proceso traductor llevado a cabo en Toledo durante casi dos siglos, es de suponer que hubiese impuesto una misma metodología. Tradicionalmente se mantuvo la hipótesis de que en Toledo se traducían los manuscritos mediante la colaboración de un judío o un mozárabe que sabía árabe y de un cristiano que sabía latín. Esta hipótesis se basaba en un fragmento del prólogo a la traducción de De Anima de Avicena. En él se explicaba que la traducción la había realizado Avendauth, el judío, en colaboración con el arcediano Domingo Gundisalvo.

Avendauth traducía cada palabra árabe dando su equivalente en una lengua que se interpretó como lingua tholetana, la lengua vulgar romance que se hablaba en Toledo en aquel instante, y Gundisalvo llevaba esta palabra al latín. La hipótesis de que la lengua común fuese la romance ha sido puesta en duda por algunos investigadores de la ciencia que opinaban que la lengua común podría haber sido un latín vulgar7.

El número de obras traducidas al latín fue considerable. Entre los autores traducidos se encuentran Euclides, Ptolomeo, Aristóteles, Galeno, al-Farabi y Avicena. Se sabe que Avendaut –probablemente, Juan de Sevilla– hizo traducciones de astrología.

Gundisalvo realizó traducciones de filosofía, tradujo a Avicena y al-Farabi. Marcos de Toledo, que sabía árabe, efectuó una segunda traducción del Corán y produjo también traducciones de medicina, especialmente de Galeno. Salió, canónico de Padua, tradujo astrología y geomancia. Miguel Scoto en Toledo ejecutó la traducción de De animalibus de Aristóteles y de parte de la obra astronómica del andalusí al-Bitruyi; posteriormente se marchó a Bolonia y Sicilia. Herman el Alemán traduce a Aristóteles, Avicena, al-Farabi y Averroes8. El inglés Daniel de Morley no aprendió árabe, pero escribió sobre filosofía griega y árabe. En una de sus obras narra una controversia que tuvo sobre astrología con Gerardo de Cremona9.

11.4 Las traducciones matemáticas de Gerardo de Cremona De todos los traductores que trabajaron en Toledo el que más libros vertió al latín fue Gerardo de Cremona. Sus discípulos le atribuyen en torno a ochenta títulos de los más variados temas, y algunos seguidores han aumentado esta cifra a más de un centenar. Llevó a cabo traducciones de filosofía mediante textos de Aristóteles, astronomía, astrología –a la cual era aficionado–, matemáticas, óptica, medicina, alquimia y geomancia. También plasmó la versión latina del Calendario de Córdoba.

Se conocen algunos detalles de su biografía a través de un escrito elaborado por sus colegas y discípulos. Su interés por traducir el Almagesto de Ptolomeo le llevó a visitar Toledo. Al llegar a esta ciudad y ver el gran número de manuscritos que allí se encontraban decidió quedarse allí a vivir y dedicarse por completo a la labor de

271

Las traducciones del árabe al latín

Luis Vega ha realizado una recopilación de las diversas traducciones y versiones, más o menos fieles, que se han realizado de esta obra al castellano. Algunas de estas traducciones se imprimieron, y otras se conservan en manuscritos depositados en diversas bibliotecas. Estas traducciones fueron realizadas por matemáticos con conocimientos de la lengua latina18.

11.5.6 Edición crítica El texto que hoy día se considera más aproximado al original griego es la edición crítica que realizó Heiberg en 1886, para ello contrastó siete manuscritos griegos y otros materiales. Los manuscritos griegos procedían de los siglos IX, X, XI y XII. Esta edición Los seis libros primeros de la ha sido revisada en 1977 por E. S. Stamatis. geometría de Euclides.

La Editorial Clásica Gredos ha publicado una traducción castellana de Los elementos realizada por María Luisa Puertas Castaño, que está basada en esta edición crítica.

En la actualidad existe una página web en la cual es posible leer en varios idiomas el texto de Euclides. La dirección de la página es http://www.euclides.org.

285

La influencia de la peregrinación jacobea en el saber matemático

Iglesia de San Juan, en Castrogeriz (Burgos).

cual está inscrito el pentágono estrellado que ayuda a ordenar el espacio del recinto.

Una exposición detallada de este tema se encuentra en la obra de Ghyka.

Los egipcios imprimían correspondencias numéricas sutiles en sus templos, aunque las mantenían en secreto. La mística de los números se transmitió a la Edad Media tanto en Occidente como en Oriente. En la catedral compostelana algunos autores han encontrado un homenaje al número 9, que por ser el que precede al 10 nos indica que estamos a punto de alcanzar la perfección.

12.4.1 Huellas pitagóricas en la capital compostelana La catedral actual es el resultado de sucesivas transformaciones en el espacio y en el tiempo. La historia arquitectónica de este edificio comienza en el siglo IX, cuando Alfonso II mandó edificar una iglesia de piedras y barro para cobijar los restos del apóstol.

A finales del siglo IX, Alfonso III construyó una nueva iglesia, mucho más grande y que contenía en su interior los restos de la otra. Esta iglesia fue destruida por Almanzor en su campaña contra Galicia a finales del siglo X. A los seis años de su destrucción se comenzó una nueva reconstrucción.

Diego Peláez y, sobre todo, el arzobispo Diego Gelmírez dieron el impulso necesario para que la catedral se convirtiese en la maravilla que hoy día se contempla. Muchos

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Francesc Santcliment dice en su libro que, hay que tener en cuenta tres cuestiones en los problemas de este tipo: las aportaciones de cada miembro de la compañía, el tiempo que dura la aportación y la ganancia que se ha generado. Este tipo de problemas, aclara el autor, se pueden resolver también por medio de reglas de tres. A la regla de la compañía le dedica el autor desde el folio 84r hasta el 91v, en los cuales expone varios problemas. Uno de estos problemas es el siguiente17: Tres mercaderes han hecho compañía fijando un plazo de dos años comenzando a ingresar dinero al mismo tiempo. El primero ingresa en la compañía cada mes 75 ducados a razón de 24 sueldos el ducado y permanece en la compañía 1 año y 5 meses. El segundo pone en la compañía 15 escudos a razón de ser un escudo igual a 22 sueldos y en lugar de los dos años que debía estar en la compañía está solamente 1 año y 9 meses. El tercero ha aportado a la compañía 13 alfonsinos a razón de 36 sueldos el alfonsino y ha permanecido en la compañía los dos años que en principio se habían pactado. Se ganan 33 florines. De ellos, ¿qué parte le corresponde a cada uno teniendo en cuenta lo que cada uno puso al mes y el tiempo que estuvo?

En las aritméticas escritas en catalán en siglos posteriores se suelen incluir uno o varios capítulos dedicados a la regla de compañías. En la aritmética de Andrés Puig, citada anteriormente, se incluyen tres capítulos: uno de ellos similar al de la obra que estamos estudiando, y en los otros dos se ponen ejemplos de compañías de arrendamientos y de compañías de ganado.

14.4.5 Cambios de monedas y de medidas Hasta finales del siglo X circulaban muy pocas monedas por los reinos cristianos y se utilizaba el trueque en los intercambios comerciales. A partir del siglo XI se produce la recuperación económica y se comienza a acuñar moneda. En cada reino se emplearon sistemas monetarios diferentes, que estaban influidos por sistemas monetarios coexistentes en reinos próximos. En muchas ocasiones, cada rey acuñaba un tipo de moneda con alguna variación sobre la moneda anterior, con lo cual el número de monedas circulantes fue muy elevado.

En los condados catalanes es patente la influencia franca, que empleaba el sistema que instauró Carlomagno con la equivalencia siguiente: 1 libra = 20 sueldos 1 sueldo = 12 dineros de vellón

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Las matemáticas mercantiles en la Península Ibérica

Además del sueldo y el dinero fueron muchas las monedas de los distintos reinos que circularon por Aragón y Cataluña durante la Edad Media, siendo la equivalencia entre monedas uno de los temas que trataban los aritméticos de la época.

En esta obra, las monedas a las que se hace referencia –además de la libra catalana, el sueldo y el dinero– son el ducado, el alfonsí, el escudo y el florín. El ducado era una moneda de oro, que tuvo su origen en Venecia en el siglo XIII y que posteriormente fue imitada por Moneda de Pedro IV. varios estados europeos. El florín también era una moneda de oro que tuvo su origen en Florencia y que fue imitada por diversos monarcas. Pedro IV de Aragón acuñó florines en 1346 por primera vez. La fotografía reproduce una moneda de Pedro IV que se encuentra en el Gabinete Numismático de Barcelona.

El autor señala que estos problemas se pueden resolver mediante la regla de tres. Uno de los problemas que plantea es: Si 57 ducados, 3 sueldos y 5 dineros valen 39 alfonsinos 7 sueldo 9 dineros, ¿cuánto vale un alfonsino?

El autor resuelve el problema transformando la primera cantidad a dineros teniendo en cuenta que un ducado equivale a 24 sueldos y un sueldo a 12 dineros. De esta cantidad resta los 7 sueldos y 9 dineros, convertidos a dineros, y quedan 16364 dineros. Éstos los divide entre 39. En el margen izquierdo se reproduce la forma de estar colocadas las operaciones, por el interés que tiene la división, en la cual las operaciones se sitúan de forma muy diferente a la actual18.

En la parte de la izquierda están desarrolladas las multiplicaciones y la sus-

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Capítulo

XV

Las matemáticas en Sefarad

15.1 Introducción histórica Sefarad es el nombre con el que se designa la Península Ibérica. Sefardita o sefardí es el judío de origen español o portugués. Se desconoce en qué momento llegaron y se asentaron en la Península los primeros grupos de judíos, pero lo que se sabe con certeza es que, hacia el año 300, ya existían comunidades israelitas en nuestro suelo. Una prueba de ello es que en el Concilio de Elvira hubo varios cánones que estaCiudades con juderías en la Edad Media. blecían límites entre las relaciones de cristianos y judíos; por ejemplo, el canon 16 prohibía los matrimonios mixtos entre doncellas cristianas e israelitas.

En los primeros tiempos de la monarquía visigoda, con los reyes arrianos, los judíos gozaron de una relativa bonanza, lo cual provocó un cierto sentimiento antisemita en el resto de la población. La situación cambió a partir de que Recaredo I se convirtiese al catolicismo, porque con los últimos reyes godos los judíos perdieron los pocos derechos que tenían y fueron reducidos a la esclavitud.

La llegada de los musulmanes a la Península favoreció a los judíos, que se integraron en el nuevo estado que se fue formando porque se sintieron más unidos a las

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Las matemáticas en Sefarad

o no, siguieron despertando recelos en el pueblo por la situación social que tenían muchos de ellos o por sus proselitismos.

Los Reyes Católicos publicaron, el 30 de marzo de 1492, el edicto de expulsión de los judíos de Castilla y Aragón. Tenían un plazo de tres meses para convertirse o para marcharse. Si se iban, se podían llevar todos sus bienes. Se estima que de los 400.000 judíos existentes se marcharon unos 160.000. Los lugares de destino fueron el norte de África, Portugal, Francia, Italia, etc. Ni Portugal ni Francia fueron buenos refugios, ya que de Portugal fueron expulsados en 1496, y de la Provenza francesa, en 1498.

Los sefardíes, nombre con el que se designa a los judíos cuyo origen es Sefarad, nombre hebreo para nuestra Península Ibérica, conservaron su lengua y sus costumbres en aquellos países en los que se asentaron.

15.2 La educación en Sefarad Los judíos se han mantenido unidos a lo largo de los siglos por la religión, que era el motor de su vida, de sus costumbres y de sus celebraciones, y que forjó la cultura de este pueblo. La Biblia, término que procede del griego y significa “los libros”, es un conjunto de libros escritos en diversas épocas y por varios autores que recogen la tradición histórica, religiosa y moral del pueblo judío. El núcleo principal Sinagoga de El Tránsito, en Toledo. está formado por los cinco libros Fotografía: Jesús Salas Parrilla. del Pentateuco, palabra griega que alude literalmente a “cinco cajas”. Para los hebreos esta parte de la Biblia es la Ley o la Torá. Estos libros son: Génesis, que narra el origen del mundo y la historia de los patriarcas; Éxodo, donde se narra la huida de Egipto; Levítico, en el cual se dan normas para lo que el pueblo debe hacer por su Dios y para la realización de sacrificios; Números y Deuteronomio, donde se narran las últimas palabras y hechos de Moisés. Números, que es el nombre griego dado a la traducción de un libro hebreo titulado En el desierto. Los griegos le llamaron así porque en él se recoge que Dios ordenó realizar a Moisés el censo de todas las tribus de Israel.

También es importante para el judaísmo la Mishná, que se basa en las enseñanzas orales que se fueron transmitiendo, de generación en generación, y que se formali-

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zaron por escrito hacia el siglo II d.C. En siglos posteriores se continuó el proceso de estudiar, comentar y desarrollar la ley oral, dando lugar al Talmud, que es una compilación de leyes.

En la Sefarad medieval, los judíos seguían fieles a su tradición y en la educación primaba el estudio de la Torá y del Talmud. A la edad de 13 años, los niños adquirían el compromiso de respetar todos los preceptos de la ley judía y podían decidir ingresar en una escuela rabínica para dedicarse de lleno al estudio de la Torá y la exégesis bíblica. No obstante, un porcentaje relativamente alto decidía continuar la profesión ejercida por el padre. Una de las profesiones que tenía mayor prestigio social era la de médico; de hecho, muchos intelectuales que sobresalieron en matemáticas eran médicos.

La teología pesaba sobre la ciencia dificultando la investigación. En el contexto del judaísmo, las matemáticas eran una ciencia auxiliar de la cual solamente interesaban algunas reglas para resolver los problemas prácticos de la vida cotidiana. No obstante, algunas cuestiones relacionadas con las matemáticas, como el sistema de numeración, el calendario o el diseño geométrico empleado en la decoración de las sinagogas, estuvieron condicionadas por el judaísmo.

15.3 El hebreo como lengua científica El hebreo como lengua científica nació en nuestra península y en el sur de Francia.

Los musulmanes se habían preocupado por estudiar la lengua árabe y por elaborar tratados de filología para entender correctamente el Corán; de la misma forma, los hebreos durante la época del Califato de Córdoba se preocuparon de sentar las bases de la filología para entender correctamente la Biblia. El hebreo era considerado una lengua sagrada.

Hasta muy avanzado el siglo XII, los filósofos y científicos judíos tanto peninsulares como orientales preferían el árabe para sus trabajos intelectuales. El hebreo no había acuñado los términos científicos, del mismo modo que tampoco los habían acuñado ni el latín ni las lenguas romances. Por otra parte, hasta muy avanzado el siglo XIII, los judíos que vivían en la Corona de Aragón no conocían el latín, ya que no tenían acceso a las universidades, por lo que se vieron obligados a realizar traducciones del árabe al hebreo. Lomba Fuentes distingue tres escuelas de traducción consecutivas1.

La primera sería purista, en el sentido de que pretendía crear un lenguaje hebreo propio desvinculado del árabe y basado en la Biblia y en la tradición mesiánica y talmúdica. A esta escuela pertenecerían Abraham Bar Hiyya y Abraham Ibn Erza.

Un ejemplo de trasvase de conceptos nos lo ofrece la palabra hebrea “musaq” que literalmente significa “sólido”, estable o fijo y que sirvió para designar el centro de la

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Júpiter y el Sol. Los dos círculos más pequeños contienen cuadrados mágicos en los que están escritas las letras del alfabeto hebreo en función de su valor numérico. En el círculo central están escritos los nombres hebreos de tres ángeles y parte de los salmos 91 y 121. El salmo 91 se rezaba por las noches para ahuyentar a los demonios, y el 121 aparece en numerosos conjuros contra Lilit, que era una diablesa que causaba mal a los recién nacidos5.

15.4 El calendario judío Los judíos que vivieron en Sefarad conservaron la costumbre de escribir determinadas fechas que tenían importancia para ellos empleando el calendario característico de su pueblo. Como prueba de ello han quedado muchas inscripciones tanto en textos como en sinagogas y lápidas sepulcrales. La fecha de fundación de una sinagoga o la del fallecimiento de una persona se escribían siempre en caracteres hebreos y empleando el calendario judío.

Lápida sepulcral que donó la familia García de Arriba al Museo de León.

Se han descubierto varios cementerios judíos y, entre ellos, el del arrabal de Puente Castro en León. Aquí existió una aljama judía que no debió de ser muy grande y cuyos habitantes se dedicaban a actividades agrarias y a talleres relacionados con el curtido de pieles. Seguidamente se muestra la traducción de una losa sepulcral que se encuentra en la actualidad en el Museo de León. Ésta es la sepultura de Mar Selomó bar / Mar David ben Parnaj fallecido / a la edad de cuarenta años en el día cuarto / tres días del mes de Ab año / cuatro mil ocho-

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su existencia porque fueron ampliamente citadas durante siglos. Por ejemplo, las citan, entre otros, Roger Bacon, Nicolás Cusa y Henri Bate. A partir del siglo XVI ya no se utilizan.

Manual para el uso del astrolabio. Tuvo diferentes versiones en hebreo y en latín. En las versiones hebreas incluyó el nombre en hebreo de las estrellas que aparecían en el Almagesto de Ptolomeo. Derivó este nombre del nombre árabe.

Libro de la intercalación. Era, como su nombre indica, un libro dedicado a cuestiones de calendario, y por lo tanto, al movimiento del Sol y la Luna. Explica lo importante que es dar el momento de entrada del Sol en el signo de Aries, ya que ello marca el comienzo de un nuevo año solar. Según la tradición judía, el mundo se creó cuando los siete planetas se encontraban en el signo de Aries. El autor señala que ya desde la antigüedad su pueblo había tenido escuelas de rabinos que estudiaban estos temas del calendario.

15.6.3.3 Obras de astrología Su obra astrológica fue la que le proporcionó un mayor reconocimiento, pues se difundió muy pronto entre sus correligionarios. Su creencia en la astrología estaba supeditada a la religión; opinaba que, aunque los astros influyen en el ser humano, no determinan del todo su conducta, pues la ayuda divina puede neutralizar en parte los designios de las estrellas. No obstante, interesa conocer estas predicciones ya que es posible, con la ayuda de Dios, evitar en parte los males que pueden acaecer.

Principio de la sabiduría. Fue su obra más famosa. Es una obra de tipo enciclopédico en la que pretendía reunir todos los conocimientos básicos de la astrología.

Trata de la esfera celeste, de los signos del zodiaco y de los planetas y sus influencias sobre los seres vivos.

Libro de los fundamentos de la astrología. Completa los temas anteriores explicando las causas de las conexiones que se detallaban en el texto anterior; entre ellas, las razones por las que se asocian a determinados pueblos de la Tierra ciertos signos del zodíaco.

Libro de los nacimientos. En él expone las teorías que se aplican para predecir el futuro de una persona teniendo en cuenta la posición de los astros en el momento del nacimiento.

Libro de las interrogaciones. En este libro expone una gran diversidad de pautas de las posibles respuestas que tendrían las preguntas que los ciudadanos de su época le hacían.

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tores distintos: uno de temas filosóficos que trabajó con Domingo Gundisalvo y otra persona diferente fue la interesada en temas científicos.

Sus traducciones abarcan temas de filosofía, matemáticas, astronomía, astrología y ciencias ocultas. Dos de sus traducciones en ciencias ocultas son el Secretum secretorum, con alusiones a la cábala, cuadrados mágicos y talismanes, y De imaginibus de Thabit Ibn Qurra18.

Una de sus traducciones más famosas es Liber alghoarismi de practica arismetrice que es una reelaboración de la famosa obra de al-Jwarizmi, en la cual se expone nuestro actual sistema de numeración decimal. En esta obra, al igual que en la original, se tratan también las fracciones egipcias; es decir, las fracciones de numerador 1 y también aquellas que se pueden obtener a partir de las fracciones egipcias mediante operaciones aritméticas.

El cálculo con fracciones egipcias tenía mucha importancia en aquellos tiempos, puesto que intervenía en la partición de herencias. También incluyó el autor reglas para trabajar con fracciones sexagesimales que eran necesarias para los cálculos astronómicos. Esta traducción es aproximadamente cincuenta años anterior al Liber abaci de Fibonacci (1202), que fue la obra con la cual, según los historiadores italianos, se difundió en Europa nuestra aritmética actual. Fibonacci sin duda conoció esta obra, igual que conoció la geometría de Savasorda, de la cual toma incluso, en algunos casos, los mismos ejemplos.

Millás Vallicrosa estudió también una obra astronómica desconocida pero posiblemente de este autor19.

15.6.5 Maimónides Maimónides, el gran filósofo y médico cordobés, ampliamente citado en la historia del pensamiento, tiene también un hueco en la historia de la matemática, aunque su producción en este campo no alcance la categoría que tuvo ni en la medicina ni en la filosofía.

Maimónides nace en Córdoba, en torno al año 1135. Su padre era juez y descendía de una familia de jueces, por lo que su formación correspondió a la de los intelectuales del siglo XII en al-Ándalus. Como Averroes, fue un gran conocedor de la obra de Aristóteles, a través de Avicena. Tuvo que abandonar la Península por la intolerante actitud de los almohades y se trasladó a Marruecos, en concreto a Fez. Más tarde viajó a Palestina, y de allí al Cairo, donde adquirió gran prestigio como médico. Fue nombrado médico del sultán Saladino.

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Las matemáticas en Sefarad

Su producción consta de siete obras de medicina, dos de filosofía y tres de contenido matemático.

También se conservan numerosas epístolas suyas y dictámenes jurídicos-religiosos. Su obra más famosa es La guía de perplejos, de naturaleza filosófica, en la cual intenta conciliar la razón y la fe. Tuvo una gran difusión en círculos hebreos; a partir de ella, los intelectuales judíos se dividieron en dos bandos: a favor de Maimónides y en su contra. En su guía sigue las enseñanzas de Avicena y de Averroes e intenta hacer compatibles las teorías de Aristóteles con el dogma hebreo.

En esta obra se puede observar que conocía bien las teorías astronómicas de Aristóteles y de Ptolomeo. Se declara partidario de Aristóteles y Estatua de Maimónides en Códoba. niega la existencia de epiciclos y excéntricas. Sin Fotografía: Jesús Salas Parrilla. embargo, no deja de asombrarse al reconocer que con las teorías de Ptolomeo se hacen precisiones muy exactas, con lo cual llega a declarar que es incapaz de resolver las dudas que él mismo se plantea. “El mayor homenaje que puedo rendir a la verdad es haber declarado las dudas que en todos estos asuntos me ponen y haber dicho que no he oído ni conozco demostración alguna de ellas”20.

Como médico hay que resaltar la variedad de temas que despertaron su interés. Trata el asma, las hemorroides, el coito, las drogas, los venenos, etc. Su obra más famosa fue La guía de la buena salud. Hay que poner de manifiesto que su medicina era una medicina psicosomática, ya que siempre tenía en cuenta los estados afectivos.

Sus tres obras de contenido astronómico están escritas en hebreo y sus títulos traducidos son21: Tratado sobre el calendario judío (1158). En él se plantea un problema que ya habían intentado resolver otros científicos judíos: el de intercalar días en el año para armonizar el ciclo lunar con el ciclo solar.

Reglas de la consagración de la neomenia (antes de 1180). Trata del inicio del mes lunar.

Carta a los rabinos de Marsella sobre astrología (1194). Fue la que tuvo mayor difusión. La escribió preocupado ante el auge que estaba adquiriendo la astrología en el

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Epílogo

El rol de la Península Ibérica en la matemática europea

¿Qué se debe a España? Desde hace siglos, desde hace cuatro, desde hace seis, ¿qué ha hecho por Europa? Estas preguntas las realizó Nicolas Masson de Morvilliers en 1782 en un artículo sobre España en la Encyclopédie méthodique en el cual se preguntaba qué se había hecho en nuestro suelo desde hacía siglos por el avance de la ciencia. El deseo del autor era atacar la censura a la actividad científica que la Inquisición había realizado en España.

El artículo desencadenó una viva polémica entre los intelectuales españoles sobre si habían nacido en nuestro suelo auténticos científicos. Esa polémica continuó en el siglo XIX y alcanzó uno de sus puntos álgidos después del 11 de marzo de 1866, fecha en la que tuvo lugar el discurso de ingreso en la Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de don José Echegaray. Este discurso versó sobre la historia de las matemáticas puras en España. En líneas generales la tesis del discurso era que en nuestro suelo no habían nacido matemáticos importantes, aunque hacía alguna excepción en astronomía y en matemática aplicada destacando la figura de Jorge Juan Santacilia, que había adquirido prestigio internacional.

Este discurso fue replicado por varios intelectuales; entre ellos, Felipe Picatoste, profesor del Instituto San Isidro de Madrid, para quien era importante elogiar las aportaciones a las matemáticas de los nacidos en nuestro suelo, aunque no fuesen matemáticos de primera línea. En esta postura, que se clasificó como conservadora, estaban Menéndez Pelayo, Laverde y Pidal, entre otros. La otra postura, la progresista, estaba liderada por Echegaray, Revilla y Azcárate, y trataba de poner en evidencia que el atraso de la ciencia se debía a la situación política.

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ANEXO

José Augusto Sánchez Pérez (1882-1958). Primer historiador de las matemáticas en al-Ándalus José Augusto Sánchez Pérez nació en Madrid, el 30 de noviembre de 1882, en el seno de una familia dedicada a la enseñanza. Su padre, Mariano Sánchez Bruil, era catedrático de Instituto de Segunda Enseñanza y auxiliar de la Universidad.

Sus estudios de primaria y secundaria los realizó en Zaragoza, ciudad en la que ejercía su padre.

También en esta ciudad comenzó la licenciatura en Ciencias, sección de Matemáticas. Posteriormente se trasladó a Madrid.

Durante los cursos 1903-1904 y 1904-1905 impartió clases en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central como encargado de curso en las asignaturas de Geometría Métrica y Geometría descriptiva. En José Augusto Sánchez Pérez. el año 1905 realizó su tesis doctoral. El título de su tesis fue Memoria sobre los cuaternios, bicuaternios y enecuaternios.

También cursó la Licenciatura en Ciencias Químicas y una asignatura de lengua arábiga en la facultad de Filosofía y Letras de la Facultad Central en el año 1905.

Continuando la tradición familiar se presentó a las oposiciones de catedrático de instituto y obtuvo la plaza de Matemáticas en Baeza en el año 1908. Después se trasladó a Jaén y posteriormente a Guadalajara. Más tarde consiguió, por traslado, la plaza de catedrático en el Instituto Beatriz Galindo de Madrid, en el que permaneció hasta su jubilación en el año 1952.

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cio del siglo XX. Estas cifras guardan cierto parecido con las de origen griego y parece ser que las empleaban también los coptos, que fueron los encargados de llevar la contabilidad en el mundo musulmán. Se introducirían en la Península como consecuencia de la difusión cultural y fueron utilizados por los notarios de Toledo.

Sánchez Pérez estudió un manuscrito árabe, que se encuentra en la biblioteca del Escorial con el número 1933 y que contiene estas cifras. Es un opúsculo de 9 folios de 147 · 100 milímetros con unas 16 o 17 líneas en cada página. No se conoce el nombre del autor, pero el interés del manuscrito radica en que explica el sistema de numeración con estas cifras rumíes dando cincuenta signos diferentes.

Estos cincuenta signos se distribuyen en: ° ° ° ° ° ° ° ° °

9 signos para las unidades simples abstractas que sirven también para las unidades de los dinares de plata.

9 signos para decenas abstractas y para decenas de dinares de plata.

9 signos para centenas abstractas y para centenas de dinares de plata.

Un signo para multiplicar por mil un número que consiste en subrayar la cantidad.

9 signos para unidades de dírhams de plata.

4 signos para representar fracciones de dírham.

1 signo para que cualquier número entero pueda representar dinares de oro.

1 signo para representar una mitad de un octavo de dinar (jarŗba).

7 signos para octavos de dinar de oro (tomines).

Se exponen los símbolos para las unidades, decenas, centenas y el símbolo del millar que coincide con el de la unidad y tiene una raya debajo. Con estos símbolos se pueden formar los números utilizando el sistema aditivo y teniendo en cuenta que para multiplicar un número por mil se le subraya con una línea. El lector interesado puede consultar el resto de los símbolos en el correspondiente artículo de J.A. Sánchez Pérez (Al-Andalus, tomo III, págs. 97-124).

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•

(1954) La Ciencia árabe en la Edad Media. En esta obra de madurez hace un recorrido por las aportaciones más importantes de los árabes a la evolución de las ciencias nombrando a los científicos más destacados.

•

(1955) La personalidad científica y los relojes de Alfonso X el Sabio. En las páginas de este estudio reproduce los cinco relojes que el rey Sabio incluyó en Los Libros del saber de astronomía.

Otras obras de este autor relacionadas con las matemáticas son las siguientes: •

(1914) Los inventos de Torres Quevedo.

•

(1921) Notas de metodología matemática.

•

(1929) San Isidoro arzobispo de Sevilla y su cultura matemática.

•

(1932) Echegaray.

•

(1936) Estudios sobre Lorenzo Hervás y Panduro.

•

(1943) La aritmética en Babilonia y en Egipto.

•

(1945) Cabalgata histórico-matemática desde los primeros albores de la ciencia hasta la geometría proyectiva superior.

•

(1946) La aritmética en Grecia.

También escribió otras obras que no tenían nada que ver con las matemáticas. Entre ellas: Cien cuentos populares, Mosaico baturro, El culto mariano en España y Supersticiones españolas.

Murió en Madrid el 13 de noviembre de 1958.

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