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ESTADÍSTICA APLICADA ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES 2ª Edición

ROBERTO ESCUDER VALLÉS Catedrático de Economía Aplicada Estadística Económica y Empresarial Universidad de Valencia J. SANTIAGO MURGUI IZQUIERDO Catedrático de Economía Aplicada Estadística Económica y Empresarial Universidad de Valencia

tirant lo b anch Valencia, 2011

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© ROBERTO ESCUDER VALLÉS J. SANTIAGO MURGUI IZQUIERDO

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A María y Ana (†)

Índice Prólogo ...............................................................................................................................

15

Parte introductoria INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO, CONTENIDO, RELACIONES Y DESARROLLO HISTÓRICO DE LA ESTADÍSTICA Capítulo 1 Estadística: Notas conceptuales, metodológicas e históricas 1.0.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

Introducción. Plan general de este libro ...................................................................

Estadística. Concepto y contenido ............................................................................

Análisis estadístico. Conceptos de población y de muestra. Relacion de la Estadística con otras ciencias ......................................................................................................

Síntesis de la evolución histórica de la Estadística ...................................................

Fuentes de datos estadísticos. Principales publicaciones españolas y extranjeras ...

19 20 24 27 31

Primera Parte ANÁLISIS DE DATOS Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Capítulo 2 Datos estadísticos: características generales y representación 2.0.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

Justificación y contenido de la primera parte de este libro .......................................

Datos y series estadísticas. Clasificaciones. Escalas ................................................

Descripción numérica de las series estadísticas........................................................

Generalidades sobre la representación gráfica de las series estadísticas ..................

Gráficos semilogarítmicos y piramidales..................................................................

35 36 38 49 61

Capítulo 3 Análisis de datos unidimensionales 3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

Introducción ..............................................................................................................

Medidas de posición. Propiedades ............................................................................

Medidas de dispersión. Propiedades .........................................................................

Medidas de forma o perfil. Propiedades ...................................................................

Medidas de concentración-uniformidad. Propiedades ..............................................

Algunas consideraciones matemáticas: momentos y media general de orden m .....

73 73 92 100 109 117

Capítulo 4 Análisis de datos multidimensionales 4.1.

Introducción: distribuciones conjuntas, marginales y condicionadas.......................

129

10

ÍNDICE

4.2.

4.3.

4.4.

Vector de valores medios y matriz de covarianzas. Propiedades..............................

Dependencia, independencia e incorrelación. Propiedades ......................................

Correlación. Coeficientes de contingencia, de correlación ordinal y correlación lineal .........................................................................................................................

Métodos de regresión. Regresión lineal minimocuadrática simple. Análisis de la bondad de un ajuste ..................................................................................................

Regresión lineal múltiple ..........................................................................................

Extensiones del modelo de regresión lineal..............................................................

Notas sobre correlación total, parcial y múltiple ......................................................

5.5.

5.6.

5.7.

4.8.

135 142 146 156 171 185 197

Capítulo 5 Análisis de datos temporales 5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

Series temporales o cronológicas: definición, caracterización y metodologías ........

Técnicas matemáticas utilizadas: representatividad y capacidad predictiva de un modelo temporal .......................................................................................................

Tendencia secular. Hipótesis y modelos a considerar. Métodos para su determinación. Cambios de origen y de unidad........................................................................

Determinación de los índices de variación estacional ..............................................

Determinación de las componentes cíclicas .............................................................

Notas sobre predicción y análisis coyuntural ...........................................................

203 207 217 232 244 253

Capítulo 6 Números índices 6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

Introducción: indicadores económicos y números índices .......................................

Números índices simples y complejos. Análisis de los más importantes. Propiedades .............................................................................................................................

Criterios relativos a índices. Índices encadenados ...................................................

Números índices funcionales. Indice de Konüs ........................................................

Operaciones relativas a números índices: cambios de base, renovación, empalme y homogeneización. Valores nominales y reales. Tasas de variación, participación y repercusión ................................................................................................................

Elaboración e interpretación de números índices: el I.P.C. Español ........................

257 258 270 274

279 285

Segunda Parte INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA MATEMÁTICA DE LA PROBABILIDAD, A LOS MODELOS Y A LAS CONVERGENCIAS Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS Capítulo 7 Introducción a la teoría matemática de la probabilidad 7.0.

7.1.

Justificación de la segunda parte...............................................................................

Introducción al concepto matemático de probabilidad .............................................

299 299

7.2.

7.3.

7.4.

ÍNDICE

11

Primeras propiedades de las probabilidades .............................................................

Probabilidades condicionadas. Dependencia e independencia aleatoria o estocástica .......................................................................................................................

Teoremas de la intersección, de la partición (o de las probabilidades totales) y de Bayes.........................................................................................................................

313 318 320

Capítulo 8 Modelos univariantes 8.1.

8.2.

8.3.

8.4.

8.5.

8.6.

Introducción a la modelización estocástica: variables aleatorias y distribuciones de probabilidad. Concepto de función de distribución. Clasificación de las distribuciones de probabilidad ..........................................................................................

Distribuciones univariantes discretas y continuas. Funciones de cuantía y de densidad. Propiedades ....................................................................................................

Probabilidades sobre intervalos. Correcciones por continuidad. Uso de paquetes informáticos, hojas de cálculo y tablas .....................................................................

Transformaciones entre distribuciones de probabilidad univariantes. Propiedades Esperanza matemática y momentos. Desigualdades de Markov y de Tchebychev.

Propiedades ...............................................................................................................

Funciones característica y generatriz de momentos. Propiedades ............................

327 331 342 349 364 373

Capítulo 9 Modelos univariantes específicos 9.1.

9.2.

9.3.

9.4.

9.5.

9.6.

Distribución causal o de un solo punto .....................................................................

Distribuciones binaria, binomial e hipergeométrica .................................................

Distribución de Poisson. Propiedades.......................................................................

Distribución uniforme o rectangular. Breve referencia al caso discreto ...................

Distribución normal. Propiedades ............................................................................

Otras distribuciones en R ..........................................................................................

377 379 392 395 398 412

Capítulo 10 Modelos multivariantes 10.1. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad multivariantes. Distribuciones marginales y condicionadas. Dependencia e independencia .................................... n 10.2. Funciones de variables aleatorias en R . Transformaciones .....................................

10.3. Esperanza matemática como operador sobre una función de variables aleatorias.

Momentos, matrices de varianzas-covarianzas y de correlación. Distribuciones incorreladas y singulares...........................................................................................

10.4. Transformaciones lineales: propiedades de las matrices, varianzas y covarianzas y de correlación. Dos transformaciones a destacar ......................................................

10.5. Funciones características y generatrices de momentos. La propiedad de convolución.

Distribuciones reproductivas ....................................................................................

423 442

453 468 480

12

ÍNDICE

Capítulo 11 Modelos multivariantes específicos 11.1. La distribución normal multinormal general y reducida. Caracterización y propiedades. Distribuciones marginadas y condicionadas deducidas ............................

11.2. Función característica y transformaciones lineales. Propiedades .............................

11.3. El problema de la obtención de los ejes o componentes principales ........................

11.4. Formas cuadráticas de variables aleatorias normales. Teorema de Cochran. Otras n distribuciones de probabilidad en R .......................................................................

489 500 507 522

Capítulo 12 Convergencias y procesos estocásticos. El teorema central del límite 12.1. Convergencias estocásticas. Tipos. Significado e implicaciones .............................

12.2. El teorema central del límite. Utilidad. Aproximación entre distribuciones de probabilidad ...................................................................................................................

12.3. Principales teoremas de convergencia débil y fuerte. Significado............................

12.4. Procesos estocásticos ................................................................................................

525 530 536 543

Tercera Parte INFERENCIA ESTADÍSTICA Capítulo 13 Inferencia estadística 13.0.

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.

13.6.

13.7.

Justificación de la tercera parte. Ejemplos introductorios ........................................

Población y muestra en universos finitos..................................................................

Muestra aleatoria simple y distribución muestral en poblaciones finitas .................

Poblaciones no finitas, modelo generador y muestra aleatoria simple .....................

Estadísticos muestrales .............................................................................................

Estadísticos ordenados ..............................................................................................

Inferencia estadística ................................................................................................

Estadísticos suficientes .............................................................................................

555 556 563 567 571 591 595 598

Capítulo 14 Estimación 14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

Estimaciones y estimadores ......................................................................................

Propiedades de los estimadores ................................................................................

Estimadores insesgados óptimos ..............................................................................

Función de verosimilitud y estimadores máximo-verosímiles .................................

Otros métodos de construcción de estimadores ........................................................

612 618 624 644 654

ÍNDICE

13

Capítulo 15 Intervalos de estimación y precisión de las estimaciones 15.1. Intervalos aleatorios e intervalos de confianza .........................................................

15.2. Construcción de intervalos de confianza ..................................................................

15.3. Intervalos para la media de una población ...............................................................

15.4. Intervalos para dos poblaciones ................................................................................

15.5. Determinación del tamaño muestral ..........................................................................

662 666 669 686 696

Formulario resumen de intervalos de confianza.................................................................

703

Capítulo 16 Contrastes de hipótesis paramétricas 16.1.

16.2.

16.3.

16.4.

16.5.

16.6.

Elementos básicos de la contrastación de hipótesis ..................................................

Contrastes de hipótesis simples ................................................................................

Contrastes unilaterales ..............................................................................................

Construcción de tests unilaterales .............................................................................

Contrastes bilaterales ................................................................................................

Contrastes de significación e intervalos de estimación.............................................

708 716 727 735 759 766

Formulario resumen de tests paramétricos ........................................................................

784

Capítulo 17 Contrastes de hipótesis no paramétricas 17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

Características generales de los contrastes no paramétricos.....................................

Test de la χ2 ..............................................................................................................

Test de Kolmogorov-Smirnov ..................................................................................

Otros tests no paramétricos .......................................................................................

792 793 822 835

Tablas ..................................................................................................................................

865

Índice de Materias ..............................................................................................................

879

Bibliografía .........................................................................................................................

885

Prólogo a la primera edición La implantación de los nuevos planes de estudios que se viene realizando en las Universidades españolas en los últimos años ha exigido una revisión de las materias que se imparten en las distintas titulaciones. Este texto se presenta en el marco de adecuación a los nuevos planteamientos docentes, incorporando la experiencia acumulada por los autores como profesores de Estadística en el entorno socioeconómico.

El texto va dirigido a los estudiantes de Economía y Ciencias Empresariales y Sociales en general. Siendo los programas de la materia troncal de Estadística en las diferentes diplomaturas y licenciaturas, los temas se han organizado en tres partes. La primera y la tercera, de las que es autor R. Escuder, incluyen el Análisis Descriptivo de Datos, la Modelización Estocástica y algunos temas complementarios de contenido específico.

Ambas partes permitirán cubrir el programa de un primer semestre en cualquiera de las titulaciones indicadas. La segunda parte, de la que es autor J. S. Murgui, está dedicado a la Inferencia Estadística y corresponde a un segundo semestre.

El carácter complementario de los temas incluidos en la tercera parte del texto viene impuesto por las limitaciones que introduce la restricción a dos semestres. En un análisis de prioridades orientado hacia los intereses de los estudiantes, los autores proponen la ampliación de estos temas en materias optativas con objetivos más específicos.

Con el fin de mejorar la accesibilidad del texto, los conceptos se desarrollan atendiendo una doble dirección: potenciar los argumentos intuitivos frente a los formalismos matemáticos y destacar el análisis crítico que exigen las aplicaciones de las técnicas estadísticas. No obstante, al objeto de mantener el rigor científico necesario, se han incluido las demostraciones de las principales proposiciones y resultados. El lector no interesado en la fundamentación teórica puede evitarlas sin que ello interfiera en el nivel comprensivo de los temas.

Los autores

Prólogo a la segunda edición

Han transcurrido varios años desde la primera edición de este texto destinado a los estudiantes de Estadística en las titulaciones de Economía, Administración y Dirección de Empresas, Ciencias Actuariales y Financieras, Investigación y Técnicas de Mercado, Ciencias Empresariales, Relaciones Laborales, etc. A lo largo de este tiempo los autores hemos ido acumulando nuevas experiencias, tanto en la investigación como en la docencia de esta materia. Por otra parte, son muchos los cambios que se vienen produciendo en la Universidad, de manera destacada los que se derivan de la adaptación a un nuevo plan de estudios y una nueva forma de enfocar la docencia. Estos dos elementos son los que nos han impulsado a presentar esta segunda edición revisada.

Los cambios que el lector va a encontrar no afectan de manera significativa a los contenidos, sino a la forma en que se presentan. Hemos pretendido acercar más los conceptos y técnicas estadísticas que se desarrollan a la realidad cotidiana que envuelve la vida universitaria, en parte marcada por la aparición de nuevas especializaciones y salidas profesionales, y siempre con la necesidad de asimilar mayores niveles de información.

Por ello, la estructuración final de esta nueva edición, la presentamos en una introducción metodológica e histórica y tres partes de contenidos específicos hasta un determinado nivel, en las que se analizan respectivamente temas correspondientes a Estadística Descriptiva y Análisis de Datos, a Teoría Matemática de la Probabilidad, y a Inferencia Estadística, que si bien podrían estudiarse separadamente, creemos que se consiguen muchas economías de escala en cuanto a la comprensión y asimilación de la ciencia Estadística, analizándolas conjuntamente.

Esperamos haberlo conseguido.

Valencia, diciembre de 2010

Parte introductoria

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO, CONTENIDO, RELACIONES Y DESARROLLO HISTÓRICO DE LA ESTADÍSTICA

Capítulo 1 ESTADÍSTICA: NOTAS CONCEPTUALES, METODOLÓGICAS E HISTÓRICAS 1.0. Introducción. Plan general de este libro.

1.1. Estadística. Concepto y contenido.

1.2. Análisis estadístico. Conceptos de población y de muestra. Relaciones de la Estadística con otras ciencias.

1.3. Síntesis de la evolución histórica de la Estadística.

1.4. Fuentes estadísticas. Principales publicaciones españolas y extranjeras.

1.0. INTRODUCCIÓN. PLAN GENERAL DE ESTE LIBRO Como hemos indicado en el prólogo este libro pretende ayudar a los alumnos universitarios, en especial a los de las Facultades de Ciencias Económicas y Empresariales, a la comprensión de un curso básico de Estadística en sus tres vertientes: Análisis de datos y Estadística Descriptiva, Teoría Matemática de la Probabilidad, e Inferencia Estadística.

Consiguientemente, el libro está estructurado en tres partes fundamentales, tras una introducción metodológica, con los siguientes contenidos: La parte inicial o introductoria, que consta de un único capítulo , que ahora desarrollamos, sobre connotaciones filosóficas del concepto de la ciencia Estadística, un resumen de su evolución histórica, y unas sucintas notas sobre sus fuentes bibliográficas.

La primera, que abarca los capítulos 2 a 6 que versan sobre Análisis de Datos y Estadística Descriptiva.

La segunda constituida por los capítulos 7 a 12, con los que se introduce la Teoría Matemática de la Probabilidad, el análisis de las distribuciones de probabilidad más importantes, así como unas notas sobre convergencias y procesos estocásticos; y, finalmente La tercera y última parte con los capítulos 13 a 17, sobre Inferencia Estadística.

Percatados de la dificultad de definir cualquier disciplina antes de conocerla o aprehenderla, y más aún de la Ciencia Estadística tanto por la generalidad de su objeto material como por las peculiaridades de su objeto formal, en este capítulo introductorio, vamos

20

R. ESCUDER – S. MURGUI

a intentar proporcionar una definición de nuestra disciplina aunque sea provisional y siempre sujeta a revisión, para que el lector pueda comenzar su estudio con una visión más o menos global de la misma. Pero sin pretensión de desanimar, queremos dejar bien sentado, que el concepto de Estadística, se asimilará o aprehenderá mucho mejor después de un estudio profundo de la misma, puesto que la definición de cualquier ciencia, no es ni debe ser, el punto de partida para su conocimiento, sino probablemente la meta del mismo. Opinamos que solo cuando se posee un conocimiento profundo del contenido de una ciencia, es cuando puedo aprehenderse su concepto.

Por ello en este capítulo de introducción, realizamos en primer lugar un esbozo de su concepto, de algunas ideas en cuanto al análisis estadístico y sus posibles interrelaciones con otros, que creemos ayudará mucho al lector a comprender el alcance y situación de la Estadística dentro del árbol científico general, y también, en su relación con la ciencia de la Economía en particular. Seguimos con una breve síntesis histórica, y concluimos con un resumen en cuanto a sus fuentes que junto a la Bibliografía adjuntada al final del libro, le facilitará el lector poder profundizar en cualquiera de los contenidos estadísticos que desee.

1.1. ESTADÍSTICA: CONCEPTO Y CONTENIDO Introducción metodológica Las ciencias estudian diferentes tipos de entes, hechos, datos, acontecimientos, fenómenos, elementos etc. etc., y se caracterizan por sus objetos material y formal. El objeto material de una ciencia está constituido por los elementos o entes objeto de estudio de la misma, y el formal, por los modos, formas, puntos de vista, o más precisamente niveles de abstracción, desde los cuales la ciencia analiza su objeto material.

Un mismo elemento u ente, puede formar parte del objeto material de diferentes ciencias, pero cada una de ellas lo analizará considerando unos aspectos y prescindiendo de otros, esto es con diferentes niveles de abstracción (objeto formal). Por ello es fundamentalmente el objeto formal de una ciencia el que la caracteriza y la diferencia de las demás.

Así un fenómeno tan cotidiano como puede ser la compra-venta de un libro y su entorno, podría ser estudiado por diferentes ciencias, pongamos por caso: el Derecho, la Ética, la Psicología, la Economía etc., pero cada una de ellas, considerará unos aspectos, que en los casos citados podríamos denominar respectivamente: jurídicos, éticos, psicológicos y económicos, y prescindirá de los otros. Lo que acabamos de decir no es privativo de las ciencias de tipo social o humano, sino también de las ciencias de la naturaleza o naturales; así ante un determinado elemento o fenómeno propio de las mismas, la Química, delimita unos contenidos y prescinde de otros, la Geología otros etc.

ESTADÍSTICA: NOTAS CONCEPTUALES, METODOLÓGICAS E HISTÓRICAS

21

La actividad científica se basa en la investigación mediante observación y/o experimentación de una o varias características sobre los elementos de un determinado conjunto o colectivo, y su objetivo es elaborar leyes sobre las regularidades constatadas en los mismos.

En cada una de las observaciones o experimentaciones concretas a realizar en una determinada investigación, puede ocurrir que controladas unas determinadas condiciones pueda predecirse o no el resultado final a obtener. Consecuentemente, tanto los propios fenómenos analizados, como los razonamientos, interpretaciones y leyes que puedan elaborarse, reciben las denominaciones de causales o deterministas, en el primer caso y de inciertas o con incertidumbre, en el segundo.

No vamos a tomar posiciones epistemológicas extremas y conceptualizar todos los fenómenos, leyes, razonamientos e interpretaciones, exclusivamente como: •

•

causales, apareciendo la incertidumbre, por no poder controlar todas ( absolutamente todas) las causas que puedan incidir en el proceso, dadas las limitaciones tanto de nuestros sentidos como de nuestra tecnología sea cual sea el grado de sofisticación de la misma, o bien como inciertos (as), pero que al prescindir de (pocos o muchos) aspectos, algunos fenómenos en cuanto a los aspectos retenidos podrían ser asimilados a causales,

sino que en relación con unas determinadas causas o condiciones bajo control (esto es, retenidas o controladas unas determinadas causas), los o las, consideraremos bien causales, bien con incertidumbre, según que para cada prueba o manifestación individual, pueda predecirse adecuadamente o no el resultado final.

Como vamos a analizar en el subepígrafe siguiente los fenómenos inciertos o con incertidumbre, constituyen el objeto material de la estadística, pero antes de abordar su concepto hemos de dilucidar algunas cosas más Los fenómenos inciertos o con incertidumbre, o fenómenos que se caracterizan porque no se puede predecir su resultado final, como pueden ser por ejemplo: el lanzamiento de un dado, los beneficios anuales de una empresa, la cotizaciones diarias de una bolsa de valores, comportamientos humanos etc., pueden escindirse en general en dos grandes grupos: a) Los susceptibles de repetición tantas veces como se desee y bajo las mismas condiciones. En este grupo, se da la circunstancia de que si bien no se podrá predecir el resultado de cada manifestación, al repetir el experimento un número de veces suficientemente grande, puede constatarse si las frecuencias relativas de cada posible resultado se estabilizan, propiedad que se conoce con el nombre de ley de estabilización de las frecuencias relativas o ley de regularidad estadística. Como veremos, sobre esta clase de fenóme-

22

R. ESCUDER – S. MURGUI

nos, caben interpretaciones probabilísticas en términos frecuenciales, y fueron la base empírica sobre la que se construyó la Teoría Matemática de la Probabilidad, que es la lógica sobre la que se fundamenta una de las modelizaciones estadísticas, llamada clásica u objetivista. Ejemplos concretos de fenómenos con regularidad estadística son: los juegos de azar por antonomasia, las producciones en serie, algunas experimentaciones de laboratorio etc., y b) Los que no poseen la propiedad anterior, bien por no ser susceptibles de repetición en las mismas condiciones, bien por otras causas. que podemos denominar fenómenos inciertos en general. Sobre este grupo que es extensísimo, caben diferentes interpretaciones y posibilidades de formalización (algunas de ellas con partes implicadas entre sí), bien: •

de tipo probabilístico, esto es, cuando sin poder constatar la estabilización de las posibles frecuencias relativas pueda asociarse a los mismos, como veremos en su momento, una distribución de probabilidad por algún criterio más o menos objetivo o subjetivo, • en función de estrategias decisionales, • en función de la llamada lógica borrosa o teoría de los conjuntos borrosos etc., por lo tanto en la caracterización de la incertidumbre pueden adoptarse distintas modelizaciones.

Cuando a un fenómeno incierto, con regularidad estadística o no, pueda asociarse un modelo probabilístico, (bien desde un punto de vista frecuencial, bien lógico, bien subjetivo, etc) estamos ante el punto de vista o criterio estadístico. Lo que hay que tener muy presente es que las regularidades o leyes , así como los razonamientos obtenidos corresponderán al conjunto de elementos analizado o susceptible de analizar, y no a cada uno de los entes o elementos que los formen (puesto cualquier coincidencia con singularidades o resultados individualizados en caso de producirse será por casualidad). Estas son las leyes estadísticas, aleatorias o estocásticas, las que evidentemente no son causales y constituyen una forma o criterio de tratar la incertidumbre. Este criterio, es el que dilucidará el objeto formal de nuestra ciencia.

Otra cuestión más vinculada al punto de vista o criterio estadístico, es la consideración de los colectivos investigados, puesto que unas veces el colectivo investigado es el colectivo final o de referencia de la investigación, o población; pero muchas otras, por imperativos de tiempo y de dinero, no, esto es que el colectivo realmente investigado es tan solo una parte o muestra de la población (en su momento daremos la definición de muestra, y más específicamente la de muestra aleatoria), lo que dará lugar como vamos a ver a dos fases o dos tipos de investigación estadística : la descriptiva o poblacional y la muestral o inferencial. Como veremos tanto para su fundamentación como para sus interrelaciones hay que recurrir a la Teoría Matemática de la Probabilidad