Estratto della relazione di calcolo - Analisi dinamica lineare con spettro di risposta - TimberTech

Relazione di calcolo strutturale

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Azioni orizzontali Analisi modale

ch .it

L’analisi modale porta alla determinazione dei modi di vibrare della struttura, che forniscono importanti informazioni sul comportamento sismico dell’edificio e sono alla base dell’analisi dinamica lineare.

La determinazione dei modi di vibrare implica la risoluzione del problema agli autovalori generalizzato: [đ?‘˛đ?‘˛ − đ?œ´đ?œ´2 đ?‘´đ?‘´]đ?š˝đ?š˝ = đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

rte

dove đ?‘˛đ?‘˛ è la matrice di rigidezza, đ?‘´đ?‘´ la matrice delle masse, đ?œ´đ?œ´2 è la matrice diagonale degli autovalori e đ?š˝đ?š˝ è la matrice dei corrispondenti autovettori o modi di vibrare (massa normalizzati); le masse sismiche dei singoli piani sono calcolate sulla base della seguente combinazione dei carichi gravitazionali: G1 + G2 + ďż˝ Ďˆ2j â‹… Q kj j

be

Il singolo autovalore, ricavato dalla soluzione del problema agli autovalori generalizzato, è pari al quadrato della pulsazione angolare đ??Žđ??Ž legata al periodo, T, e la frequenza, f, secondo le relazioni: đ?‘‡đ?‘‡ =

1 đ?‘“đ?‘“

e đ?‘“đ?‘“ =

đ?œ”đ?œ” 2đ?œ‹đ?œ‹

m

A ciascun modo i-esimo è associata una massa partecipante nelle due direzioni principali X e Y e attorno all’asse verticale Z pari a:

w .ti

������ =

w w

������

dove:

đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘–đ?‘– [%] ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľ,đ?‘—đ?‘—

đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Śđ?‘–đ?‘– = [%] ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Ś,đ?‘—đ?‘—

������ =

������ = ������ = ������ =

đ?‘šđ?‘šđ?‘§đ?‘§đ?‘–đ?‘– [%] ∑ đ??źđ??źđ?‘§đ?‘§,đ?‘—đ?‘— đ?‘ťđ?‘ť

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?‘ťđ?‘ť

đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?‘ťđ?‘ť

đ?&#x;?đ?&#x;?

���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��

���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��

���� �� � �� ���� � [�� �� ]�� �� �� ��

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e in cui ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Ľđ?‘Ľ,đ?‘—đ?‘— , ∑ đ?‘šđ?‘šđ?‘Śđ?‘Ś,đ?‘—đ?‘— e ∑ đ??źđ??źđ?‘§đ?‘§,đ?‘—đ?‘— rappresentano la somma delle masse agenti in direzione X e Y e delle masse polari di tutti i j-esimi gradi di libertĂ non vincolati della struttura.

Periodo [s]

Frequenza [Hz]

MX [%]

Somma MX [%]

MY [%]

Somma MY [%]

MZ [%]

Somma MZ [%]

Modo 1

0,52

1,91

1,34

1,34

75,13

75,13

4,01

4,01

Modo 2

0,38

2,66

48,90

50,24

7,05

82,18

32,60

36,61

Modo 3

0,29

3,50

45,38

95,61

1,43

Modo 4

0,22

4,51

0,12

95,74

15,97

Modo 5

0,15

6,47

2,93

98,67

0,40

Modo 6

0,10

9,66

1,33

100,00

0,01

L’analisi dinamica lineare consiste:

83,62

48,00

84,62

99,58

4,21

88,82

99,99

9,38

98,20

100,00

1,80

100,00

rte

Analisi dinamica lineare

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Modo di vibrare

nel calcolo degli effetti dell’azione sismica, rappresentata dallo spettro di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare ricavato dall’analisi modale;

-

nella combinazione di questi effetti.

be

-

Il calcolo degli effetti dell’azione sismica si basa sull’applicazione delle forze esterne equivalenti alla struttura secondo la formulazione seguente:

e

������ = ���� ���� (���� ) �� �� ��

w .ti

dove:

m

������ = ���� ���� (���� ) �� �� ��

������ e ������ sono le forze esterne riferite all’i-esimo modo di vibrare e dovute all’azione sismica agente rispettivamente lungo X e lungo Y ���� (���� ) è l’ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo i-esimo

w w

�� �� è il modo di vibrare i-esimo

Γ���� �� Γ���� sono i coefficienti di partecipazione dell’i-esimo modo di vibrare definiti come: Γ����

đ?‘ťđ?‘ť

đ?‘ťđ?‘ť

��� �� � �� ���� ��� �� � �� ���� �� = e à = �� [�� �� ]�� �� �� �� [�� �� ]�� �� �� ��

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La combinazione degli effetti relativi ai singoli modi è eseguita utilizzando una combinazione quadratica completa degli effetti relativi a ciascun modo, cosÏ come definita nell’espressione seguente: 1/2

đ?‘—đ?‘—

con:

đ?‘–đ?‘–

đ??¸đ??¸đ?‘—đ?‘— valore dell’effetto relativo al modo j;

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đ??¸đ??¸ = �� ďż˝ đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ∙ đ??¸đ??¸đ?‘–đ?‘– ∙ đ??¸đ??¸đ?‘—đ?‘— ďż˝

đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– coefficiente di correlazione tra il modo i e il modo j, calcolato con la formula: đ?œŒđ?œŒđ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– =

(1 + đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– )��1 − đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ��

rte

đ?œ‰đ?œ‰ smorzamento viscoso dei modi i e j;

3/2

8 đ?œ‰đ?œ‰ 2 đ?›˝đ?›˝đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–

������ è il rapporto tra l’inverso dei periodi di ciascuna coppia i-j di modi (������ = ���� /���� ).

be

Nella tabella seguente si riportano le proprietĂ degli impalcati della struttura.

Quota rispetto al piano di fondazione zi [m]

xG,sisma [m]

yG,sisma [m]

Massa i [kg]

1

3,20

7,71

3,75

68621

2

6,69

7,62

3,62

61793

m

Impalcato

w w

w .ti

In tabella sono riportati, per ciascun modo di vibrare, il periodo corrispondente e l’ordinata spettrale agli Stati Limite di Salvaguardia della Vita e agli Stati Limite di Danno.

Periodo [s]

Ordinata spettro SLV [g]

Ordinata spettro SLD [g]

Modo 1

0,54

0,10

0,06

Modo 2

0,35

0,12

0,10

Modo 3

0,30

0,12

0,11

Modo 4

0,23

0,12

0,11

Modo 5

0,14

0,12

0,11

Modo 6

0,11

0,11

0,10

Modo di vibrare

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Deformazione

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Modo

w .ti

m

Modo 2

be

rte

Modo 1

w w

Modo 3

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Modo 4

w .ti

m

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Modo 5

w w

Modo 6

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