

Teoría de Módulos

Módulos libres
Palacios, Tiffani
Panamá, Julio 2023
Licenciatura en Matemáticas
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
UNACHI - CRUTA
Teoría de Módulos
Módulos libres
Palacios, Tiffani
Panamá, Julio 2023
Licenciatura en Matemáticas
Facultad de Ciencias Naturales y Exactas
UNACHI - CRUTA
Dentro del amplio mundo de las matemáticas se nos presenta una rama que se encarga de estudiar todos los sistemas o estructuras algebraicas existentes, conocida como algebra abstracta.
Dentro de la algebra abstracta una de sus estructuras fundamentales es el módulo.
A rasgos generales, podemos definir un módulo sobre un anillo como una generalización de la noción de espacio vectorial sobre un cuerpo.
Más específicamente, se nos dice que un módulo sobre un cuerpo �� es un espacio vectorial, así como un módulo sobre el anillo ℤ de los números enteros en un grupo abeliano.
Dentro de las diversas estructuras que conforman los módulos también se nos presenta la noción de módulo libre, estos son específicamente aquellos módulos que presentan una base libre.
En la presente guía didáctica presentaremos dos secciones.
La primera sección detalla definiciones, proposiciones, ejemplos y problemas propuestos sobre la estructura de módulos.
Mientras que, la segunda sección presentará definiciones, proposiciones, ejemplos y problemas propuestos sobre la noción de módulos libres.
Objetivo General
• Analizar conceptos generales de Módulos libres
Objetivo Especifico
• Definir los conceptos de Módulos y Módulos libres
• Analizar proposiciones de los Módulos libres
• Desarrollar ejemplos de Módulos libres
Sea (��,+) un grupo abeliano y (��,+,.,1) un anillo. Se dice que �� es un módulo a la izquierda sobre ��; también conocido como �� ��ó��������������������������, denotado por AM; si existe una acción del anillo �� en el grupo abeliano ��
Es decir, una función ∙ entre los elementos de �� y ��: �� ×�� →�� (��,��)↦��∙��
que cumple las siguientes condiciones, ∀��,�� ∈�� y ∀��,��,�� ∈��:
i. ��(��+��)=����+����
ii. ��(����)=(����)��
iii. (��+��)�� =����+����
iv. 1�� =��
Si, además, �� posee un elemento unitario 1, tal que 1∙�� =��,∀�� ∈��; se dice que �� es un �� ��ó������������������������.
NOTA: este mismo concepto se aplica para denotar un Módulo derecho.
Sean �� un grupo abeliano y �� un anillo. Existe una correspondencia biyectiva entre las estructuras de �� ��ó�������� a izquierda en �� y los morfismos de anillos ��→��������(��). Además, si �� tiene identidad, los �� ��ó���������� unitarios se corresponden con los morfismos de anillo con identidad.
Demostración.
Sea �� un grupo abeliano y �� un anillo. Demostremos que existe una correspondencia biyectiva entre las estructuras de �� ��ó�������� a izquierda en �� y los morfismos de anillos �� →��������(��)
Además, si �� tiene identidad, los �� ��ó���������� unitarios se corresponden con los morfismos de anillo con identidad.
• Sea �� un �� ��ó��������, ∃�� ∈������������������(��)=(����) (1)
• Así pues ���� ∈������ℤ(��) ya que:
����(��+��)=��(��+��)
=(����+����)
=����(��)+����(��)
• Además, se tiene que ������ =���� ∘���� ya que:
������(��)=(����)��
→por (1)
→Propiedad distributiva
→ por (1)
→ por (1) =��(����)
→Propiedad distributiva =����(����(��))
→ por (1)
• Luego la función �� ↦���� es un morfismo de anillos �� →������ℤ(��).
• Además, si �� tiene elemento identidad y �� es unitario se cumple que ��1 =������
Por otro lado, por reciprocidad tenemos que:
• Sea �� un grupo abeliano y �� ∶��→������ℤ(��) un homomorfismo de anillo, definimos
���� = ��(��)(��) (2)
• Entonces tenemos que: (����)�� =��(����)(��)
=(��(��)∘��(��))(��)
=��(��)((��(��)(��))
→ por (2)
→Propiedad distributiva
→Propiedad asociativa
=��(����)
→ por (2)
→ por (2) y ��(��+��)=��(��)(��+��)
=��(��)(��)+��(��)(��)
=����+����
• Por lo tanto, se tiene que �� es un �� ��ó��������.
• Además, si ��es unitario se tiene que ��(1)=������
→Propiedad distributiva
→ por (2)
∴ Así se tiene que existe una correspondencia biyectiva entre las estructuras de �� ��ó�������� a izquierda en �� y los morfismos de anillos �� →��������(��) ∎
1.3.1. Ejemplo 1
Cualquier anillo �� es un módulo sobre sí mismo.
Solución.
Cualquier anillo �� es un módulo sobre sí mismo, tanto a la izquierda como a la derecha si:
• Primero definimos σ(a,b)=ρ(a,b)∶=���� → Operación de multiplicación en ��
• Luego tenemos que las propiedades i-iv de la definición 1 corresponden a las leyes distributivas, asociativas y de elemento de identidad de la definición que conocemos de anillo.
Por lo que podemos concluir que anillo �� es un módulo sobre sí mismo.
1.3.2. Ejemplo 2
Sean un grupo abeliano �� y el anillo ℤ de los números enteros, �� tiene una estructura de ℤ
�������� izquierdo.
Solución.
• Primero definimos �� ∶ ℤ→��������(��), siendo ��������(��)un anillo de endomorfismos derecho, con regla de correspondencia �� ↦ ��(��) y ��(��):�� →��, donde se define recursivamente para �� ∈ℤ+ por:
a) ��(1)(��)=1⋅�� ∶=��
b) ��(��)(��)=��⋅�� ∶=(�� 1)⋅��+��, com �� ≥2
c) ��(0)(��)=0 �� ∶=0, y
d) ��( ��)(��)=( ��)∙( ��)
Donde �� ∈��
1.4.1. Demuestre que si �� es un ideal a la izquierda en un anillo ��, entonces M es un �� ��������.
1.4.2. Sea �� un grupo abeliano y ℤ el conjunto de los números enteros, con �� ∈�� y �� ∈ ℤ, definimos ���� así: ��0=�� y ��(��+1)=����+��, con ��≥0
• Compruebe por inducción con �� =0
• Compruebe por inducción con �� =5
• Compruebe por inducción con �� =��
• Compruebe por inducción con �� =��+1
Sean �� un anillo, �� un ��−��ó�������� y �� un subconjunto de ��
�� es un submódulo de �� si:
• �� es n subgrupo de (��,+)
• ��,�� ∈��,∀�� ∈��,�� ∈��.
NOTA: Si �� es un submódulo de ��, entonces ��, es en sí mismo un �� ��ó��������
Sea �� un módulo sobre el anillo �� y �� ={��1,…,����} un subconjunto finito de ��.
• Se dice que �� es linealmente dependiente, si ∃��1,…,���� ∈�� ≠0 tal que ��1 ∙ ��1 +⋯+���� ∙���� =0
• Y se dirá que �� es linealmente independiente, si para cualesquiera elementos ��1, ,���� de �� se cumple que
1 ∙ ��1 =0⇔ ��1 =0 �� ��=1 ,����������������1≤�� ≤��
NOTA: Un subconjunto no vació de �� de �� se dice linealmente dependiente si contiene al menos un subconjunto finito linealmente dependiente. Por otro lado, se dirá que �� es
linealmente independiente si cada subconjunto finito de �� es linealmente independiente. El conjunto vacío es linealmente independiente.
2.3.Definición 4
Sean �� un anillo, �� un �� �������� y �� un subconjunto de A.
Se define n submódulo generado por ��: 〈��〉=∩{�� ∶��������������ó������������������
NOTAS:
Sean �� un anillo, �� un �� ��������
a) Si (����)��∈�� es una familia de submódulos de ��, entonces∩��∈�� ���� es también un submódulo de ��. Por lo tanto, en la definición anterior tiene sentido hablar de submódulo generado.
b) 〈��〉 es el meno submódulo de �� que contiene a ��.
c) 〈��〉=〈∑ �������� �� ��=1 ,���������� ∈��,���� ∈��,�� ∈ℕ〉
2.4.Definición 5
Sean �� un anillo, �� un �� �������� y �� un subconjunto de ��
Decimos que �� genera a �� si �� =〈��〉
2.5.Definición 5
Sean �� un anillo, �� un �� �������� y �� un subconjunto de ��
Decimos que �� es una base de ��, sí y solo sí, es linealmente independiente y �� genera a ��.
Un �� ���������� se dice que es libre si �� admite una base.
Es decir, si �� ={���� ∶��∈��} es un conjunto cualquiera, sea ��〈��〉 el conjunto de funciones de �� ∶
�� ⟶�� tal que ��(��)=0 salvo para un número finito de elementos de S.
Para �� ∈��,�� ∈��, se denota por ���� a la función �� ↦��,�� ↦0������ ≠0.
Bajo la suma puntual de funciones, cualquier elemento de ��〈��〉 es de la forma ��1����1 +����2����2 +⋯+������������, con ����1,…,������ ∈�� y ����1,…,������ ∈��
Entonces ��〈��〉 es un �� ��ó�������� libre, del cual �� es la base.
Se dice también que ��〈��〉 es un �� ��ó�������� libremente generado por ��
Sea �� ��ó����������y�� ∈��.
�� es un elemento de torsión si ∃�� ∈��∖{0}, tal que ���� =0
Sea �� no nulo y ∅≠�� ⊂��. �� es una base de M si, y solo si, cada elemento de �������� tiene una representación única en la forma �� =��1 ∙ ��1 +⋯+���� ∙����, con ��1 ∈��, ��1 ∈��,1≤�� ≤��
Demostración.
Demostremos que �� no nulo y ∅≠�� ⊂��. �� es una base de M si, y solo si, cada elemento de �������� tiene una representación única.
• Supongamos que ∃�� =��1 ∙ ��1 +⋯+���� ∙����, con ���� ∈��; ���� ∈��;1≤�� ≤��.
• Supongamos también que {��1, ,����}={��1, ,����}, por lo que ∃��1 =��1, con 1≤��
Entonces tenemos que:
Donde, por independencia lineal, ��
• Por otro lado, por definición sabemos que {��⟩=��
∴ Podemos demostrar que existe una única representación de
Sean un �� un ��−��ó�������� no nulo y ∅≠�� ⊂��. �� es una base, sí y solo sí,
=∑ ⊕ ��∈�� {��⟩��������(��)≔{�� ∈��/��∙�� =0}=0∀�� ∈��
Demostración.
Demostremos que �� un �� ��ó�������� no nulo y ∅≠�� ⊂�� �� es una base, sí y solo sí, �� =∑ ⊕ ��∈�� {��⟩��������(��)≔{�� ∈��/��∙�� =0}=0∀�� ∈��
• Por definición tenemos que �� =∑ ⊕��∈�� {��⟩.
• Ya que �� es linealmente independiente tenemos que ��∙�� =0, con �� ∈�� y �� ∈�� Lo que implica que �� =0
Por otro lado,
• �� =∑ ⊕��∈�� {��⟩ implica que {��⟩=��.
• Entonces, sean ��1, ,���� elementos distintos de �� y ��1, ,���� ∈��, tal que
• Supongamos que ∃���� ≠0 y por lo tanto, ��1
• Por contradicción, tenemos que
• Por lo que ��1 =⋯=
∴ Se ha demostrado �� es una base de ��. ∎
2.10.1. Ejemplo 1
Sea �� un anillo.
Si �� =��, el conjunto {1} es linealmente independiente
Si �� ∈��∖{0} es un divisor de cero, es decir, ∃�� ∈��∖{0},���������������� =0. Entonces {��} es linealmente dependiente.
2.10.2. Ejemplo 2
Consideramos el anillo ℤ/�� ≡ℤ/��ℤ={0,1,2,…,�� 1} de residuos de enteros bajo división
por un número entero �� ≥2.
ℤesunℤ ��ó��������,es decirungrupo abeliano,bajola acciónde ���� ∶= ���� para�� ∈ℤ,�� ∈ ℤ/��
Este anillo posee un solo generador, 1, es decir que es un grupo cíclico. Pero {1} no es una base porque ��1=0 en ℤ/�� aunque �� ≠0 en ℤ.
∴ el ℤ ��ó��������ℤ/�� no es libre, debido al fenómeno de torsión.
2.11.1.Si �� =ℤ y ��=ℤ��. Demostrar que ningún subconjunto de �� es linealmente independiente.
2.11.2.Sean �� =ℤ y ��=ℚ, con 0≠�� ∈ ℚ. Demostrar que {��} es linealmente independiente.
2.11.3.Pruebe que �� ∶�� →�� un isomorfismo de �� ��ó��������, con �� modulo libre.
2.11.4.Compruebe que el submódulo �� =�� =��2(ℤ), que es ��−��ó������������������ con base {(1 0 0 1)} no es libre.
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