HOOFDSTUKVRAAG EN SAMENVATTING

De hoofdstukvraag is: Hoe zijn de cirkelbewegingen van de planeten in ons zonnestelsel te verklaren, en welke regelmaat vertonen deze bewegingen?

Geef een uitgebreid en compleet antwoord op deze vraag.

Maak een samenvatting van dit hoofdstuk door antwoord te geven op de volgende vragen.

a Wat is een eenparige cirkelbeweging?

b Welke formule geeft het verband tussen baansnelheid, baanstraal en omlooptijd bij een eenparige cirkelbeweging?

c Welke eigenschappen moet de (netto)kracht op een voorwerp hebben om het voorwerp een eenparige cirkelbeweging te laten uitvoeren?

d Welke formule geeft de grootte van deze benodigde middelpuntzoekende kracht?

e Welke kracht werkt als middelpuntzoekende kracht bij de cirkelbeweging van planeten rond de zon, en van manen rond een planeet?

f Welke eigenschappen heeft de gravitatiekracht?

g Welke formule geeft de grootte van de gravitatiekracht?

h Hoe hangt de valversnelling aan het oppervlak van een planeet (of een ander hemellichaam) af van de massa en de straal van de planeet? Op welke manier is de formule voor het verband tussen deze grootheden af te leiden?

i Hoe hangt de baansnelheid van een planeet (of een ander hemellichaam) af van de baanstraal en de massa van het hemellichaam waar het omheen draait? Op welke manier is de formule voor het verband tussen deze grootheden af te leiden?

j Welke eigenschappen heeft de geostationaire baan van satellieten?

k Wat is de relatie tussen de gravitatiekracht op en de gravitatie-energie van een voorwerp?

l Met welke formule kun je de gravitatie-energie van een voorwerp berekenen? Wat is daarbij het nulpunt van de gravitatie-energie?

m Wat versta je onder de ontsnappingssnelheid van een voorwerp op een planeet?

n Hoe hangt de ontsnappingssnelheid vanaf het oppervlak van een planeet (of een ander hemellichaam) af van de massa en de straal van de planeet? Op welke manier is de formule voor het verband tussen deze grootheden af te leiden?

Begrippenkaart

Ga na of je van elk begrip goed weet wat het betekent.

Formules, grootheden en eenheden

Noteer bij elk symbool in de formule de naam van de grootheid en de eenheid. Vermeld in welke situatie(s) de formule gebruikt wordt.

Samenvatting

Bestudeer de samenvatting.

Zelftoets

Test je kennis over dit hoofdstuk.

Keuzeonderwerpen

1 Satellietbanen

2 Getijden

3 Exoplaneet

4 Kermis- en pretparkattracties

5 Geocentrisch en heliocentrisch wereldbeeld

6 Newton of Kepler

Eindopgaven

De ruimtecapsule Apollo-8 werd in 1968 in een vrijwel cirkelvormige baan rond de maan gebracht op een hoogte van 112 km boven het maanoppervlak. De capsule had een omlooptijd van 120,5 minuten.

Bereken met deze gegevens de massa van de maan.

Spot-4 is een aardobservatiesatelliet die tot 2013 in werking was. Spot-4 bewoog in een cirkelbaan rond de aarde met een omlooptijd van 1 uur, 39 minuten en 44 seconden.

Bereken de hoogte van de satellietbaan boven het aardoppervlak.

Het internationale ruimtestation ISS dat rond de aarde cirkelt, is gedeeltelijk afgeleid van de ideeën van de Duits-Amerikaanse raketwetenschapper Wernher von Braun. Deze ontwierp in de jaren 50 van de vorige eeuw een wielvormig ruimtestation (zie figuur 48).

Doordat het ruimtewiel in zijn baan rond de aarde ook om zijn eigen rotatie-as draait, ondervindt een astronaut op de omtrek van het wiel een soort ‘kunstmatige zwaartekracht’. In figuur 49 is een astronaut getekend die op de ‘vloer’ van het ruimtewiel staat.

a Leg uit hoe deze kunstmatige zwaartekracht op de astronaut ontstaat. Je mag daarbij gebruik maken van figuur 49.

De straal van het ruimtewiel is 40 m. In het ontwerp is ervan uitgegaan dat de grootte van de kunstmatige zwaartekracht een derde van de zwaartekracht op het aardoppervlak moet zijn.

b Bereken de omlooptijd die het ruimtewiel moet hebben voor deze kunstmatige zwaartekracht.

Naar examen vwo 2008-I, opgave 4

De sterren S1 en S2 vormen samen een dubbelster: ze bewegen in cirkelbanen rond een gemeenschappelijk zwaartepunt Z, zoals weergegeven in figuur 50. De omlooptijd T is voor beide sterren gelijk. De onderlinge gravitatiekracht houdt elk van de sterren in zijn cirkelbaan, en werkt dus als de benodigde middelpuntzoekende kracht.

( a

Astronomen kunnen de omlooptijd en de baansnelheden van beide sterren meten. In deze opgave ga je na hoe je uit deze metingen de massa’s van beide sterren kunt bepalen.

Bij een dubbelster geldt het volgende verband tussen de massa en de baanstraal van de twee sterren: m1 · r1 = m2 · r2 b Leid dit af met behulp van de formules van vraag a c Leg uit dat het gemeenschappelijk draaipunt zich het dichtst bij de ster met de grootste massa bevindt.

Bij een dubbelster geldt ook het volgende verband tussen de massa’s, de baanstralen en de omlooptijd van de twee sterren: r 1 + r 2) 3

T 2 = G (m 1 + m 2)

4 π 2 d Toon dit aan. e Bereken de baanstraal van elk van beide sterren. f Bereken de massa van elk van beide sterren. Aanwijzing: bereken eerst de som van de massa’s en de verhouding van de massa’s van de sterren.

Uit metingen aan beide sterren volgt een omlooptijd T van 2,5 · 109 s, een baansnelheid v1 van 4,8 km s–1 en een baansnelheid v2 van 3,6 km s–1.

Figuur 54 De gemeten lichtsterkte van de ster bij een

Nieuwe exoplaneet ontdekt naam ster Corot-exo-7 naam planeet Corot-exo-7b

T Op 3 februari 2009 meldde ESA (European Space Agency) de ontdekking van de exoplaneet Corot-exo-7b. Een exoplaneet is een planeet die niet rond de zon, maar rond een (andere) ster draait. Een planeet in een ander zonnestelsel dus. In de tabel van figuur 51 staat een aantal gegevens van de ster en van deze exoplaneet.

5

Figuur 51 Gegevens van de exoplaneet Corot-exo-7b en zijn ster a Bereken hoe groot in dat geval de massa van de planeet is, uitgedrukt in de massa van de aarde. b Bepaal met behulp van de figuur op het tekenblad hoe lang een ‘jaar’ op deze planeet duurt. Ga na of je antwoord overeenkomt met de waarde die in de tabel van figuur 51 is vermeld. c Laat met een berekening zien dat deze baanstraal inderdaad 2,5 · 109 m is. d Laat met een berekening zien dat de baansnelheid van de exoplaneet dan 2,2 · 105 m s 1 is. e Laat met behulp van de figuur op het tekenblad zien dat de straal van de ster inderdaad 4,4 · 108 m is. Neem daarbij aan dat de diameter van de planeet te verwaarlozen is ten opzichte van de diameter van de ster. f Laat met behulp van de figuur op het tekenblad zien dat de straal van de exoplaneet inderdaad 1,3 · Raarde is. g Leg uit waardoor deze transitmethode bij veel exoplaneten (bij andere sterren) niet kan worden gebruikt.

Corot-exo-7b is de kleinste exoplaneet die tot nu toe is waargenomen. Zijn straal is maar 1,8 keer zo groot als die van de aarde. Over de massa van de planeet bestaat nog veel onzekerheid (zie de tabel van figuur 51). Veronderstel dat de planeet ‘aardachtig’ is. Dat wil zeggen dat de dichtheid van de planeet (ongeveer) gelijk is aan die van de aarde.

Corot-exo-7b is ontdekt met behulp van de transitmethode. Telkens als de planeet in zijn baan voor de ster langskomt, dekt hij een klein deel van de ster af (zie figuur 52). Daardoor verandert de lichtsterkte van de ster periodiek (zie figuur 53).

Een ‘jaar’ duurt op deze planeet erg kort.

De straal van de planeetbaan in de tabel van figuur 51 is berekend uit de berekende massa van de ster en de gemeten omlooptijd van de exoplaneet.

In figuur 54 is een deel van figuur 53 uitvergroot. De getrokken lijn is de trendlijn door de meetpunten. De straal van de ster in de tabel van figuur 51 is berekend uit de in figuur 54 weergegeven meting.

De straal van de exoplaneet in de tabel van figuur 51 is berekend uit de straal van de ster en de in figuur 54 weergegeven meting.

De gegevens over de exoplaneet Corot-exo-7b zijn vastgesteld met behulp van de transitmethode.

Naar examen havo 2010-I (pilot), opgave 3 a Leg uit waardoor het verband tussen de gravitatiekracht en de afstand tot het middelpunt van de aarde in figuur 55 lineair lijkt te zijn. b Bepaal met behulp van figuur 55 de arbeid van de gravitatiekracht op het ISS bij een val vanuit zijn baan naar het aardoppervlak. c Bereken met je antwoord op vraag b de gravitatie-energie van het ISS in zijn baan rond de aarde. d Controleer je antwoord bij vraag c met een berekening van deze gravitatieenergie. a Laat met een berekening zien dat de waarde van de gravitatieconstante G volgens de metingen van Cavendish 6,74 ∙ 10−11 N m2 kg−2 is. b Bereken hoeveel procent deze waarde afwijkt van de op dit moment bekende waarde van de gravitatieconstante. c Bereken hoe groot volgens Cavendish de massa van de aarde is. d Bereken hoe groot volgens Cavendish de dichtheid van de aarde is. e Bereken hoeveel procent deze waarden afwijken van de op dit moment bekende waarden van de massa en dichtheid van de aarde.

Het International Space Station (ISS) draait in een baan rond de aarde op een hoogte h van 408 km boven het aardoppervlak. Dit ruimtestation heeft een massa m van 2,80 · 105 kg. In het diagram van figuur 55 zie je de gravitatiekracht Fg van de aarde op het ruimtestation als functie van de afstand r tot het middelpunt van de aarde.

Zo’n tweehonderd jaar geleden (in 1798) lukte het Henry Cavendish als eerste om de gravitatiekracht te meten tussen twee loden bollen met bekende massa’s op een bekende onderlinge afstand. Uit die metingen kon hij de gravitatieconstante berekenen, en daarmee de massa van de aarde bepalen: de aarde was voor het eerst gewogen.

Cavendish gebruikte twee loden bollen met massa’s van 0,730 en 158 kg op een onderlinge afstand van 230 mm tussen de middelpunten. Met zijn zeer gevoelige balans kon hij de zeer kleine kracht meten die de twee bollen op elkaar uitoefenen. Die kracht bleek 1,47 ∙ 10−7 N te zijn.

In de tijd van Cavendish waren de waarden van de valversnelling g bij het aardoppervlak en de straal R van de aarde bekend: g = 9,81 m s−2 en R = 6,37 ∙ 103 km. Met behulp van deze gegevens kon Cavendish de massa en de dichtheid van de aarde bepalen.