Systematische Natuurkunde Keuzekatern vwo 4 ( Relativiteit)

K ATERN

Ton van den Broeck René de Jong Arjan Keurentjes John van Polen Mark Bosman Maarten Duijnstee Nicole ten Broeke Torsten van Goolen René Hazejager Kees Hooyman Koos Kortland Michel Philippens Mariska van Rijsbergen Hein Vink Eindredactie Harrie Ottink Eindredactie Digitaal Evert-Jan Nijhof

V WO

COLOFON

Bureauredactie Lineke Pijnappels, Tilburg Beeldresearch Verbaal Visuele Communicatie BV, Velp Technische illustraties Jeannette Steenmeijer / Verbaal Visuele Communicatie BV, Velp

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen.

Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt.

Samen leren vernieuwen.

Vormgeving basisontwerp Studio Bassa, Culemborg

www.thiememeulenhoff.nl

Vormgeving en opmaak Crius Group

ISBN 978 90 06 84099 5 Negende druk, eerste oplage, 2021 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2021 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een ­ penbaar geautomatiseerd gegevensbestand, of o gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door ­fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voor­ afgaande schriftelijke toestemming van de ­u itgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk ver­ schuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd.

Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk.

Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Inhoud Relativiteit 1 Tijdrek en lengtekrimp 2 Ruimtetijd-diagram 3 Gelijktijdigheid 4 Energie 5 Algemene relativiteit 6 Afsluiting

7 8 18 29 43 50 58

Leerdoelen 62 Lijst van uitkomsten 65 Register 66

In een casino je nooit of je de Werken metweet Systematische Natuurkunde jackpot wint. Dit is afhankelijk van

Alle leerstof die je nodig hebt voor het examen vind je in de leerboeken. Daarnaast toeval. De eigenaar weet wel hoe gebruik je nog het tabellenboek BINAS. vaak de jackpot gemiddeld valt. Ook

Wat kom je verder tegen een leerboek? bij het vervallen vaninkernen heb je te maken met toeval. Hoe zit dat

Theorie

precies?

In de theorie hebben belangrijke begrippen een blauwe kleur. Achter in dit boek staan deze begrippen bij elkaar in het register. Daarmee vind je snel terug waar een begrip besproken is.

Figuur 12.23

Het stralingsvermogen dat per oppervlakte-eenheid wordt ontvangen, noem je de intensiteit van de straling. Er geldt:

12.4 Halveringstijd en activiteit Pbron I = _ 4π r 2

Radioactiviteit is een toevalsproces ▪ ▪ ▪

I is de intensiteit van de straling in W m−2.

Radon-220 is een radioactief edelgas. Het komt vrij uit bouwmaterialen, en is in alle P bron is het stralingsvermogen in W. gebouwen aanwezig. Radon-220 vervalt onder uitzending van een alfadeeltje. De r is de afstand tussen de ontvanger en de220 bron in m. vergelijking van de vervalreactie is 86 Rn → 216 Po + 42 α.

84

De gemiddelde intensiteit van de elektromagnetische straling die vanaf de zon de Je kunt niet voorspellen wanneer een bepaalde kern vervalt: de ene radonkern aarde bereikt, heet de zonneconstante. De zonneconstante op aarde is gelijk aan vervalt binnen een microseconde, een andere radonkern blijft misschien meer dan 1,368·103 W m−2. Zie BINAS tabel 32C. duizend jaar bestaan.

Over één enkele kern kun je dus niets zeggen. Bestudeer je echter een grote groep Eenhedenvan in de astrofysica dan blijkt dat de helft daarvan binnen 55,6 s is vervallen. radon-220-kernen, Welke kernen vervallen weet je niet vanop tevoren, alleen dat nade 55,6 s nog maar de Een applet is een nabootsing van eenworden experiment de computer.

Via methodeOm grote getallen te vermijden, in de astrofysica afwijkende eenheden helft van het radon-220 over is. site kungebruikt, je de applet uitvoeren.

De opdrachten bij een applet krijg je via je docent. bijvoorbeeld voor afstand en vermogen. Soms wordt een eenheid gebaseerd op waarden van de zon.

De gemiddelde afstand van het midden van de aarde tot het midden van de zon heet Halveringstijd de astronomische eenheid AE. Door de ellipsvormige baan van de aarde om de zon ▶ applet De tijdsduur waarin de helft van de radioactieve isotopen vervalt, noem je de fluctueert de afstand tot de zon van 1,47∙1011 m tot 1,52∙1011 m. In BINAS tabel 5 vind halveringstijd halveringstijd met symbool t_. Na 55,6 s is de helft van radon-220 vervallen. je: 1 AE = 1,49598·1011 m. Afstanden tot sterren kun je in veel gevallen handig en activiteit Daarna kunnen de overgebleven radonkernen nog steeds vervallen. Na nog eens uitdrukken in AE. 55,6 s is ook van deze kernen de helft vervallen, en dit gaat zo door. In figuur 12.24 Een andere eenheid om afstanden in het heelal uit te drukken is lichtjaar. Dit is de zie je de grafiek die het verband geeft tussen het aantal kernen radon-220 en de tijd. afstand die het licht in één jaar aflegt. Zoals aangegeven in BINAS tabel 5 is een Zo’n grafiek noem je een vervalkromme. lichtjaar gelijk aan 9,461∙1015 m.

De massa’s van sterren kun je uitdrukken in aantal zonmassa. Grootheden van de zon geef je vaak weer met index ʘ in plaats van index zon. Uit BINAS tabel 32C volgt dus Mʘ = 1,9884·1030 kg.

1 2

Voorbeeld Het stralingsvermogen van de zon staat in BINAS tabel 32C vermeld achter Medische beeldvorming ‘uitgestraald vermogen’ met de waarde 3,85∙1026 W. Toon aan dat deze waarde volgt uit andere gegevens in BINAS tabel 32C. Uitwerking Pbron I= _ SysNat_6_vwo_H12.indd 73 4π r 2 3 W m−2 1,368·10 I= r = 1 AE = 1,496·1011 m Pzon

73

7/04/2020

1,0 = 1,0 ⋅ cos (50° ) + h Dus h =0,357 m.

E zw = 0,050 × 9,81 × 0,357 = 0,175 J. Afgerond: 0,18 J.

Staat het icoon practicum in de kantlijn, dan is op de docentensite een practicum beschikbaar. Je docent bepaalt op welke manier je een practicum aangeboden krijgt.

Veerenergie ▶ practicum Muizen­ valwagen

Tegen een ingedrukte spiraalveer is een kogel gelegd. Zie figuur 8.24a. Zodra de veer zich kan ontspannen, werkt er op de kogel een resulterende kracht. Door deze kracht gaat de kogel bewegen. Dus verricht de kracht arbeid. Zie figuur 8.24b.

De energie van een ingedrukte veer noem je veerenergie.

Opgaven en uitkomsten Bij sommige opgaven staat het icoon tekenblad. Dan moet er getekend worden in a b een figuur. Tekenbladen Opgaven vind je in je eigen digitale omgeving.

Figuur 8.24

33 In de Radon Health Mine in de Ook een uitgerekte veer bezit veerenergie. Rek je een veer uit, dan verricht jouw Amerikaanse staat Montana kunnen spierkracht positieve arbeid. De toename van de veerenergie is dan gelijk aan de arbeid mensen radontherapie ondergaan. die de spierkracht heeft verricht. De formule voor de veerenergie leid je als volgt af.

Tien dagen lang verblijven ze enkele uren per dag in een ondergrondse Arbeid en energie mijntunnel waar de lucht een hoge concentratie aan radioactief radon bevat. De straling waaraan de mensen blootgesteld Op het hulpblad wordt worden in stappen duidelijkheeft gemaakt hoe je een vraag kunt beanteen heilzame werking, zo wordt woorden. Een hulpblad kun je navragen bij je docent.

Opgaven beweerd. Het radon in de mijn is de isotoop radon-222. In figuur 12.35 is ▶ hulpblad 37 Het mogelijk atomen af te (A,Z)remmen met behulp van lasers. Deze techniek wordt hetisverval vanom Rn-222 in een gebruikt extreem lagemet temperaturen diagramom weergegeven een pijl. te bereiken.

Een methoe eenuit energie 1,59blijkt eV passeert een atoom van 85 Rb. Als het atoom niet a foton Leg uit figuurvan 12.35 beweegt, is de energie van het foton dat bij het verval van Rn-222 net eente klein om het atoom in aangeslagen toestand te brengen. Als het atoom met een snelheid van 0,500 m s−1 het foton tegemoet komt, α-deeltje vrijkomt. wordt het atoom wel aangeslagen. Dit komt door de dopplerverschuiving van licht.

De kern die bij dit verval ontstaat, is Figuur 12.35 a Leg uit hoe de dopplerverschuiving verklaart dat het atoom aangeslagen raakt, ook instabiel en vervalt korte tijd ondanks het feit dat de energie van het foton eigenlijk te klein is. later. Dit proces herhaalt zich een Korte tijd later valt het atoom terug uit zijn aangeslagen toestand door een foton uit aantal malen. Bij een mogelijke vervalreeks van deze kern komen zo te zenden. Na het uitzenden van het foton heeft het atoom nog een snelheid van Achter in dit boek vind je een lijsteen vanα-deeltje, een β-deeltje, een β-deeltje en een α-deeltje vrij. achtereenvolgens 0,495 m s−1.

Lijst van uitkomsten b Toon Bepaal welke isotoop ontstaat door dezehet vervalreeks.

Geeffoton daartoe de leerdoelen bij bdit katern.

Je kunt aan dat het frequentieverschil tussen geabsorbeerde en het 5 vervalreeks weer met pijlen. daarmee controleren of je de stof uitgezonden foton gelijk is aan 5·10 Hz. De activiteit van het Rn-222om in de mijnafbedraagt Bq per liter lucht. begrepen hebt.Deze Daarna volgt een lijst Hoofdstuk techniek wordt gebruikt eenAmerikaanse wolk11 van atomen te koelen.65Daarvoor wordt DeJe α-straling wordt meerdere vooral door het longweefsel geabsorbeerd.

In de longen van een een wolkje vanuit richtingen met lasers bestraald. met uitkomsten. kuntgas daarmee −17 −1 25 b 1,5·10 1 (gemiddeld) c 210worden K s persoon bevindt zich 6,0 L lucht.Zelfs als het atoom Rb-atomen kunnen niet eindeloos afgekoeld. na controleren of De jebepaald een vraag goed hebt 2 b 8,7 jaar d 14 miljard−12 Als gevolg van verval van één Rn-222-kern absorbeert het longweefsel 3,1·10 jaarJ van hethet foton stilstaat, krijgt het bij het uitzenden van een foton toch weer beantwoord. absorptie c links 26 a 3·106 m s−1 snelheid. stralingsenergie. d 25 d 6,0·109 jaar cc Leg dit met uit. een berekening aan Toon dat Rhet longweefsel per uur 4,4·10 −6eJ 2,9∙108 m s−1 e 0,153 Wil je de volledige uitwerking van ʘ Na het uitzenden van het foton3heeft het atoom in ieder geval een impuls net zo stralingsenergie absorbeert. b 46% 27die b nee een vraag inzien, dan krijg je die via je groot is als de impuls van het uitgezonden foton. c 53 c 2,5 m Iemand verblijft tijdens zijn therapie 32 uur in de mijn. De massa van zijn longen is docent.

4door d jalaserkoeling niet verder kan worden afgeremd f 3·104 m s−1 d9,5·10 Laat2 g. zien dat een Rb-atoom De stralingsweegfactor van de α-deeltjes is gelijk aan 20.

7 5 b 1,1·10 J 28 b Venus, Aarde, Mars tot eende snelheid van 6,02 mm s−1.zijn d dan Bereken equivalente dosis die longen hierdoor ontvangen. c Lisa e waterdamp Laserkoeling wordt toegepast om te proberen Rb-atomen in een gezamenlijke Speciaal voor mijnwerkers is6 ala vijftig 3 4,53·10jaar f 2049 ten K geleden voor het stralingsniveau quantumtoestand (Bose-Einsteincondensatie) te krijgen. Hierbij wordt de golflengte gevolge van radon en zijn vervalproducten de eenheid WL (working level) ingevoerd. b roder die bij afzonderlijke atomen hoort zo groot dat de golven van verschillende deeltjes nee acceptabel geacht voor mijnwerkers.

Een stralingsniveau van 1,0 WLc wordt elkaar overlappen.

7 radonactiviteit b 7,1·1019 m 12 1,0 WL komt overeen met een van 2,0·10 −9 curie perHoofdstuk m 3 lucht. De ▶ tekenblad

e

17 Rb-atoom Leg uit hoe groot de golflengte een kan worden.

8 a van 5,5·10 kg m−3

29

Afsluiting De Afsluiting is de laatste paragraaf van elk hoofdstuk.

De Afsluiting begint met een samenvatting van de theorie.

Het absorptiespectrum van een element is ‘het omgekeerde’ van het 11.5 Afsluiting emissiespectrum van dat element. De golflengten die horen bij deze lijnen zijn uniek voor het element waaruit een gas bestaat.

Samenvatting Elektromagnetische straling bestaat uit fotonen: pakketjes energie. De energie van De straling afkomstig van de zon en andere sterren behoort tot het een foton is afhankelijk van de golflengte van de straling. Het spectrum van een elektromagnetisch spectrum. Naast zichtbaar licht worden onder andere element ontstaat wanneer elektronen in een atoom van het ene energieniveau uv-straling, infraroodstraling en röntgenstraling uitgezonden. Alle vormen van overgaan naar het andere. Het laagste energieniveau heet de grondtoestand. Andere elektromagnetische straling planten zich voort met de lichtsnelheid. mogelijke energieniveaus noem je aangeslagen toestanden.

De hoeveelheid straling die het oppervlak van een ster per seconde uitzendt, heet De lijnen in de spectra verschuiven doordat sterren bewegen. Dit verschijnsel heet hetvind uitgezonden vermogen of deformules lichtsterkte.

Verder je in de Afsluiting alle in het hoofdstuk zijn besproken. het dopplereffect.

De grootte van de rood- die of blauwverschuiving is een maat voor de De wet van Stefan-Boltzmann geeft aan hoe het uitgezonden vermogen van een Je ziet een overzicht van de BINAS-tabellen die van belang zijn bij de theorie vanster het hoofdstuk. radiale snelheid van een ster. afhangt van de temperatuur en de oppervlakte. De straling wordt uitgezonden in alle richtingen. Hierbij neemt het stralingsvermogen per vierkante meter af volgens de kwadratenwet.

Gegevens die betrekking hebben op dit hoofdstuk Het stralingsvermogen per vierkante meter heet de intensiteit.

De formules die in dit hoofdstuk zijn besproken, staan hieronder bij elkaar.

De intensiteit van de straling die een ster uitzendt, volgt uit de oppervlakte onder de planckkromme. = f ⋅ λ de wet van Wien een maat voor Delichtsnelheid golflengte met de grootste stralingspiek isc volgens de oppervlaktetemperatuur. k wet van Wien λ max = _w T Binnen de astrofysica worden veel eenheden gebaseerd op maten van de zon. van Stefan-Boltzmann = σ ⋅ A ⋅ T 4afstand van de aarde tot Dewet astronomische eenheid (AE) is gelijk aan Pde gemiddelde bron de zon. De zonneconstante is de intensiteit van de straling van de zon die de aarde Pbron intensiteit I = _ bereikt.

4π r 2 De opgaven in de Afsluiting gaankun over en zijn op examen Grote afstanden in het heelal je meerdere behalve in hoofdstukken de astronomische eenheid ook niveau. f het licht in een jaar aflegt.

Ef = h ⋅ die uitdrukken in de eenheid lichtjaar. Dit is de afstand fotonenergie h⋅c Ef = _ Opgaven λ Sterren hebben een levenscyclus waarin ze verschillende stadia doorlopen. Uit energie twee niveaus Ef =protoster. |Em − En| Tijdens de 27tussen Edwin Hubble maakte voor zijneen ▶ tekenblad samenklontering van gassen ontstaat eerst ontdekkingen gebruik van de Hooker gravitatiecontractie nemen de temperatuur en de dichtheid zodanig toe dat 13, 6 _ energieniveaus waterstof En =af−van (in eV) Telescope vanverdere het Mount Wilson kernfusies optreden.

Het verloop hangt n 2de massa van de ster. Een Observatory in Los Angeles. lichte ster zoals de zon verandert na miljarden jaren in een rode reus en eindigt Δλ ⋅ c dopplerverschuiving v = _ Toentertijd was dit dezware grootste uiteindelijk als witte dwerg.

Een ster eindigt λ via superreus en supernova wereld.

Zie uiteindelijk reflectietelescoop als neutronenster ter of zwart gat. figuur 11.36.

In een Hertzsprung-Russel-diagram zijn sterren geordend op basis van grootte, Deze formules staan in BINAS in de tabellen 35 B2, E1 en E2. a enLeg uit waarom de primaire spiegel temperatuur lichtsterkte.

In BINAS staan gegevens die horen bij dit hoofdstuk in verschillende tabellen. zo groot mogelijk moet zijn.

Het gaat hierbij om de tabellen 5, 7, 19, 21, 22, 31, 32 en 33.

Leg uit ofoptische de secundaire spiegel Astronomenb gebruiken telescopen, radiotelescopen en ruimtelescopen bij Figuur 11.36 ook zo Spectraalanalyse groot mogelijk moet de studie van sterren. vanzijn. het licht geeft informatie over de De resolutie is deEen kleinste hoekvoorwerp α tussen twee door decontinu telescoop nog als eigenschappen van een ster. gloeiend zoalssterren een sterdie geeft een afzonderlijke kunnen spectrum dat alle kleurensterren bevat. waargenomen Gaat het licht eerst doorworden. een gas, dan neem je een Voor de resolutie eenlijnen van reflectietelescoop geldt: absorptiespectrum met zwarte waar. λ α = 70 ⋅ _ d ▪ α is de hoek in graden.

▪ λ is de golflengte van het licht in m.

▪ d is de diameter van de primaire spiegel van de telescoop in m.

▶ teke

Relativiteit In 1905 schreef Einstein vier publicaties die de natuurkunde op zijn kop hebben gezet. In een van die publicaties presenteert hij de speciale relativiteitstheorie. Door aan te nemen dat de lichtsnelheid voor elke waarnemer gelijk is, leidt hij af dat ruimte en tijd gekoppeld zijn en elkaar beïnvloeden.

In dit katern lees je hoe bewegingen met zeer hoge snelheid lengte en tijd beïnvloeden. Daarnaast worden de bekendste formule van Einstein en het zwarte gat besproken.

Boven in onze atmosfeer ontstaan muonen. Deze deeltjes bestaan zo kort, dat het onmogelijk lijkt om ze op zeeniveau nog te detecteren.

Toch meet je muonen op het aardoppervlak. Hoe is dat mogelijk?

Figuur 1

1 Tijdrek en lengtekrimp Referentiestelsel, relatieve snelheid Je zit in een trein die stilstaat op het station. Rechts van je staat een andere trein ook stil. Als je op een bepaald moment naar rechts kijkt, lijkt het of jouw trein beweegt.

Kijk je naar links, naar het perron, dan zie je dat jouw trein stilstaat en dat de andere trein dus beweegt.

Jij ziet alle bewegingen in een stelsel waarvan jij het middelpunt bent. Zo’n stelsel noem je een referentiestelsel. Een referentiestelsel is een coördinatenstelsel waarmee je de plaats van voorwerpen vastlegt. In dit voorbeeld legt de trein naast je in jouw referentiestelsel een bepaalde afstand af in een bepaalde tijd en staat het perron stil. In jouw referentiestelsel zijn jij, jouw trein en het perron in rust ten opzichte van elkaar. Dat noem je een ruststelsel. Voor jou bevindt de andere trein zich in een bewegend stelsel.

Voor een passagier in de andere trein beweeg jij ten opzichte van hem. In het referentiestelsel van die passagier ben jij degene die een bepaalde afstand in een bepaalde tijd aflegt. De passagier en zijn trein zijn in rust ten opzichte van elkaar.

Dat is voor de passagier het ruststelsel. Voor hem bevinden jij, het perron en jouw trein zich in een bewegend stelsel.

Voorbeeld Floor staat op haar skateboard en rijdt met een snelheid van 6,0 m s−1 op Maxime af.

Floor gooit een bal met een snelheid van 4,0 m s−1 ten opzichte van het bewegende skateboard richting Maxime. Zie figuur 2. De richting naar rechts is de positieve richting. In tabel 1 zijn de gegevens verwerkt.

8 Kater n

Floor

Maxime

Figuur 2

Referentiestelsel Snelheid (m s−1)

Floor Floor

0

bal

+4,0

Maxime

−6,0

bal

Maxime +6,0

0 0

Tabel 1

a Leg uit waarom op de diagonaal telkens 0 staat. b Leg uit waarom de snelheid van Maxime in het referentiestelsel van Floor een minteken heeft. c Bereken de grootte en de richting van de snelheid van de bal in het referentiestelsel van Maxime. d Vul de lege cellen in het referentiestelsel van de bal in.

Uitwerking a In die situatie staat een persoon of de bal stil in het referentiestelsel van die persoon of bal, en beweegt de omgeving. b Floor beweegt naar rechts volgens Maxime. Dat is de gekozen positieve richting.

Maxime beweegt naar links volgens Floor. Dat geef je aan met hetzelfde getal, maar dan met een minteken. c De bal heeft voor Maxime twee snelheden: de snelheid van het skateboard en de snelheid van de bal ten opzichte van het skateboard. Beide zijn naar rechts gericht. De snelheid waarmee de bal op Maxime afkomt is dus: 6,0 + 4,0 = +10,0 m s−1. d In de rij Floor: −4,0.

De bal gaat voor Floor naar rechts met de snelheid +4,0 m s−1. Voor de bal beweegt Floor naar links met 4,0 m s−1 en dan komt er dus een minteken.

In de rij Maxime: −10,0.

De bal gaat met een snelheid van 10,0 m s−1 naar rechts. Dus komt Maxime met een snelheid van 10,0 m s−1 naar links op de bal op af en krijgt de snelheid een minteken.

Relativiteit 9

De grootte en de richting van de snelheid hangt dus af van het ruststelsel dat je kiest.

Je kunt dan niet spreken over ‘de’ snelheid van de bal. Snelheid is dus een relatief begrip. Dit staat bekend als het relativiteitsprincipe van Galilei. Dit principe gaat ervan uit dat de referentiestelsels met een constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen. Er werken dus geen krachten op het referentiestelsel. Zo’n referentiestelsel noem je een inertiaalstelsel.

Lichtsnelheid In 1887 deden Michelson en Morley een onderzoek naar de snelheid van licht. Zij vergeleken de snelheid van het licht evenwijdig aan de baan van de aarde met de snelheid van het licht loodrecht op de baan van de aarde. De aarde beweegt met een snelheid van 30 km s−1 rond de zon. Tot hun verbazing namen ze geen verschil in lichtsnelheid waar. De conclusie was uiteindelijk dat de lichtsnelheid onafhankelijk is van de beweging van de waarnemer.

In 1905 publiceerde Einstein hierover in de speciale relativiteitstheorie.

Einstein veronderstelde: ▪ dat in ieder inertiaalstelsel de wetten van Newton gelden; ▪ dat de lichtsnelheid in vacuüm in ieder inertiaalstelsel dezelfde constante waarde heeft.

Stel dat Floor op een skateboard staat dat beweegt met een snelheid van 1,5∙108 m s−1 richting Maxime. Floor zendt een lichtsignaal naar Maxime met een snelheid van 3,0∙108 m s−1. Volgens Galilei zou Maxime het licht op zich af zien komen met een snelheid van 4,5∙108 m s−1. Volgens Einstein gebeurt dat echter niet. Volgens Einstein ziet Maxime het licht met een snelheid van 3,0∙108 m s−1 op zich afkomen! Een snelheid groter dan de snelheid van het licht bestaat namelijk niet.

Speciale relativiteitstheorie Als Floor en Maxime ten opzichte van elkaar bewegen, is de enige waarneming die overeenkomt de grootte van de lichtsnelheid. Als de lichtsnelheid in elk inertiaalstelsel hetzelfde is, moeten afstand en tijd dus in elk inertiaalstelsel verschillen.

De ruimte en de tijd zijn aan elkaar gekoppeld en vormen samen de ruimtetijd. Die koppeling zorgt ervoor dat voor elke waarnemer overal in de ruimte de waarde voor de lichtsnelheid gelijk is aan (afgerond) 3,0∙108 m s−1.

Door botsingen van deeltjes uit de ruimte met moleculen in de atmosfeer ontstaan boven in de atmosfeer muonen. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van slechts 2,2 μs in zijn ruststelsel en beweegt met bijna de lichtsnelheid. Een muon kan dus maximaal een afstand afleggen van x = c · t = 3,0·108 × 2,2·10 −6 = 660 m. De atmosfeer is 10 km dik. Muonen zouden dus op het oppervlak van de aarde niet waargenomen kunnen worden, terwijl dat wel het geval is.

10 Katern

De klassieke mechanica van Newton werkt hier kennelijk niet. Einsteins speciale relativiteitstheorie verklaart het waarnemen van de muonen wel. Einstein stelt dat de afstanden in het referentiestelsel van de muonen zijn gekrompen ten opzichte van die in het referentiestelsel van een waarnemer op aarde. Tegelijkertijd is de gemiddelde levensduur van de muonen gerekt in het referentiestelsel van de waarnemers op aarde ten opzichte van die in het referentiestelsel van de muonen.

De afstanden en tijden in het referentiestelsel van de muonen en in het referentiestelsel van de waarnemers op aarde komen dus niet meer overeen. De theorie heet ‘speciaal’ omdat hij enkel werkt voor referentiestelsels die eenparig ten opzichte van elkaar bewegen. De algemene relativiteitstheorie beschrijft ook versnelde bewegingen en het effect van de zwaartekracht op de ruimtetijd. Een heel klein stukje daarvan komt aan bod in paragraaf 5.

Tijdrek Licht kun je opgebouwd denken uit deeltjes die bewegen met de lichtsnelheid. Deze deeltjes noem je fotonen. Een lichtklok bestaat uit twee spiegels waartussen een foton heen en weer beweegt. De lichtklok is een voorbeeld van een proces. Voor een proces is tijd nodig. De tijd die een foton nodig heeft om van de ene spiegel naar de andere en weer terug te bewegen is de periode T. Alina zit in een trein naast de lichtklok, terwijl de trein Bruce op het perron voorbij rijdt. Zie figuur 3. Je kunt de situatie zowel vanuit Alina als vanuit Bruce bekijken.

Alina Alina, de lichtklok en de trein zijn in rust ten opzichte van elkaar. Voor hen bevinden Bruce en het perron zich in een bewegend stelsel.

Bruce Bruce en het perron zijn in rust ten opzichte van elkaar. Dat is voor Bruce het ruststelsel. Voor hem bevinden Alina, de lichtklok en de trein zich in een bewegend stelsel.

Figuur 3

Relativiteit 11

Alina ziet gedurende een periode de lichtklok zoals in figuur 4. In het stelsel van Bruce ziet de lichtklok eruit zoals in figuur 5. Voor Alina en Bruce beweegt het foton met dezelfde snelheid, namelijk de lichtsnelheid. Volgens Alina legt het foton gedurende één periode de afstand 2d af. Volgens Bruce is deze afstand dus groter dan 2d. Als ze allebei met behulp van de lichtsnelheid de periode T berekenen, is de periode die Bruce berekent groter dan de periode die Alina berekent. Volgens Bruce doet het foton er dus langer over om tussen de twee spiegels heen en weer te bewegen dan volgens Alina. Kortom: een proces in een stelsel dat beweegt ten opzichte van jou, duurt voor jou langer dan voor een waarnemer in dat stelsel zelf.

Dit verschijnsel noem je tijdrek.

Figuur 5

Figuur 4

De tijd die een waarnemer meet als hij zich in het ruststelsel van het proces bevindt, noem je de eigentijd ∆te. De tijd in het stelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het proces noem je ∆tb. De tijd ∆tb is altijd gerekt ten opzichte van de tijd ∆te.

Je berekent de tijdrek met: ​Δ ​tb​ ​​ = γ ⋅ Δ ​te​ ​​​ ▪ ▪ ▪

12 Katern

∆tb is de tijd van een proces in s in het referentiestelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het proces. ∆te is de eigentijd van een proces in s in het ruststelsel van het proces. γ is de gammafactor.

De gammafactor heet ook wel lorentzfactor, omdat aan het begin van de twintigste eeuw de Nederlands natuurkundige Hendrik Lorentz deze factor gebruikte. De gammafactor heeft geen eenheid en is altijd groter dan of gelijk aan 1. Er geldt: 1 ​​ _ ​γ = ​ _______ v​ ​​ 2 ​ ​​ ​ 1 − ​ _ ​c​​ 2​

√

▪ ▪ ▪

γ is de gammafactor. v is de relatieve snelheid van de twee systemen ten opzichte van elkaar in m s−1. c is de lichtsnelheid in m s−1.

Voorbeeld In het ruststelsel van de muonen is de gemiddelde levensduur van de muonen 2,2 μs.

De muonen bewegen met een snelheid van 99,9% van de lichtsnelheid. De dikte van de aardatmosfeer is 10 km. a Toon aan dat de gammafactor gelijk is aan 22,4. b Toon aan dat een onderzoeker op aarde door tijdrek het muon nu zeker kan detecteren.

Uitwerking 1 ​​ _ a ​ γ = ​ _ v​ ​​ 2 ​ ​​ ​ 1 − ​ _ ​c​​ 2​ v = 0,999c 1 ___________

​ = 22,4​ ​γ = ​ _____________ (​​ 0,999c)​​​ 2​ _ ​ 1 − ​

​ ​ ​c​​ 2​ b s = v ∙ t Het muon beweegt met 99,9% van de lichtsnelheid. v = 0,999 × 2,998∙108 = 2,995∙108 m s−1 In het ruststelsel van het muon bestaat het muon 2,2 μs. De aarde beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het muon. In het referentiestelsel van de aarde bestaat het muon dus langer: ∆tb = γ ∙ ∆te = 22,4 × 2,2∙10 −6 = 4,928∙10 −5 s De afstand die het muon af kan leggen is dus: s = v ∙ ∆tb = 2,995∙108 × 4,928∙10 −5 = 1,475∙104 m Afgerond: 15 km.

De muonen kunnen dus de atmosfeer met een dikte van 10 km passeren.

√

√

Opmerking Je kunt de tijdrek van een proces niet meten, alleen berekenen. Als je de tijd van een proces wilt meten moet je namelijk wel bij dat proces zijn. Heeft het proces zich tijdens de meting ten opzichte van jou verplaatst, dan kost het ook nog tijd voordat de informatie van het proces bij jou is. Daardoor kun je nooit de juiste tijd meten.

Relativiteit 13

Lengtekrimp De tijd die twee waarnemers meten hangt af van hun referentiestelsel. Ook afstanden in de bewegingsrichting hangen af van het referentiestelsel van een waarnemer. In figuur 6a zie je een telefoon als de telefoon stilstaat ten opzichte van jou. In figuur 6b zie je de telefoon overdreven weergegeven als die ten opzichte van jou naar links of naar rechts beweegt. Een voorwerp dat ten opzichte van jou beweegt, neem je smaller waar. Dit verschijnsel heet lengtekrimp.

Deze lengtekrimp geldt alleen voor de richting waarin het voorwerp beweegt.

Daarom is de breedte kleiner, maar de hoogte niet. Dat geldt dus ook voor figuren.

a

b

Figuur 6

De lengte van een voorwerp in het ruststelsel noem je de eigenlengte ℓe. De lengte in het bewegende stelsel bereken je met: ℓe ℓb = _ γ ▪ ▪ ▪

ℓb is de lengte in m in het referentiestelsel dat beweegt ten opzichte van het ruststelsel van het voorwerp. ℓe is de eigenlengte in m in het ruststelsel van het voorwerp. γ is de gammafactor.

Opmerking Figuur 6 is sterk overdreven: de gammafactor γ is bijna gelijk aan 1 bij snelheden lager dan 0,25c. Zie figuur 7.

14

Kater n

v (m s–1) Figuur 7

Voorbeeld Arthur beweegt met een snelheid van 0,60c ten opzichte van Berna. Dat wil zeggen met 60% van de lichtsnelheid. Beiden zien in de bewegingsrichting in hun eigen stelsel een liniaal van 40 cm liggen. Ze vergelijken de lengtes met elkaar.

Arthur zegt: ‘Jouw liniaal is korter dan die van mij’. a Bereken de lengte die de liniaal van Berna heeft in het stelsel van Arthur.

Berna beweert ‘Nee, hoor, jouw liniaal is korter’. b Heeft Berna gelijk? Licht je antwoord toe. c Is er een situatie mogelijk waarin in het stelsel van Arthur de liniaal van Berna korter is, terwijl ze in het stelsel van Berna even lang zijn?

Uitwerking ℓ​ e​ ​​ a ​​ℓ​ b​​ = ​ _ γ ​​ ℓe = 40 cm 1 ​​ _ ​γ = ​ _ v​ ​​ 2 ​ ​​ ​ 1 − ​ _ ​c​​ 2​ v = 0,60c 1 ___________ ​ = 1,25​ ​γ = ​ ___________ (​​ 0,60c)​​​ 2​ _ ​ 1 − ​

​ ​ ​c​​ 2​ Dit levert voor de lengte van de liniaal van Berna in het stelsel van Arthur: ℓ​ e​ ​​ _ 40 ​​ℓb​ ​​ = ​ _ γ ​ = ​ 1,25 ​ = 32 cm​. b Ja, want in het stelsel van Berna beweegt de liniaal van Arthur. Dus in het stelsel van Berna is de liniaal van Arthur ook korter en dus 32 cm lang. c Dat kan als de liniaal van Arthur loodrecht staat op de bewegingsrichting van Berna: een lengtekrimp treedt alleen op in de bewegingsrichting.

√

√

Relativiteit 15

Opgaven 1 Een piloot vliegt in een straaljager met een lengte van 15 m. Stel dat hij zou kunnen vliegen met een snelheid van 50% van de lichtsnelheid. a Bereken hoe lang de straaljager is in het stelsel van een waarnemer op de grond. b Bereken hoe groot de snelheid van de straaljager is wanneer in het stelsel van een waarnemer op de grond de straaljager slechts 7,5 m lang is.

2 Astronaut Buzz reist met 80% van de lichtsnelheid naar de ster Proxima Centauri.

Proxima Centauri staat op 4,0∙1016 m van de aarde. Zijn zus Lola neemt de reis vanaf de aarde waar. a Toon aan dat de reis in het stelsel van Lola 5,3 jaar duurt. b Bereken hoe groot de afstand tussen de aarde en Proxima Centauri is in het stelsel Buzz. c Bereken hoelang de reis duurt in het stelsel van Buzz.

3 Astronaut Buzz reist met 60% van de lichtsnelheid van de aarde weg. Buzz heeft contact met een controlepost op aarde. Hij vertelt gedurende 45 s aan de controlepost dat alles in orde is. a Bereken hoelang de boodschap in het stelsel van de controlepost duurt. b Leg uit dat zijn stem lager klinkt in de controlepost.

De hartslag van astronaut Buzz is 70 slagen per minuut. Zijn hartslag wordt door de controlepost op aarde beluisterd. c Bereken hoeveel slagen zijn hart per minuut maakt in het stelsel van de controlepost.

4 In een trein vinden op dezelfde plek na elkaar twee gebeurtenissen plaats. De tijdsduur tussen deze twee gebeurtenissen is 0,60 s. Ole staat op een station. In zijn referentiestelsel is de tijdsduur tussen die twee gebeurtenissen 0,80 s. a Bereken de snelheid van de trein.

Ole kan die tijdsduur van 0,80 s niet meten, alleen beredeneren. b Leg dit uit.

5 Harry Potter vliegt op zijn bezemsteel Nimbus met 60% van de lichtsnelheid onder een brug door. Zijn vriendin Ginny Wemel staat op de brug en zwaait naar Harry.

Harry vliegt op de Nimbus, die in zijn stelsel een lengte heeft van 2,00 m. Neem aan dat de plaats van Harry samenvalt met achterkant van Nimbus.

De breedte van de brug is in het stelsel van Ginny 1,60 m.

Op t = 0 s ziet Ginny dat de voorkant van de Nimbus precies gelijk is met de voorkant van de brug. Zie figuur 8 voor een bovenaanzicht. a Toon aan dat de breedte van de brug in het stelsel van Harry 1,28 m is. b Bereken de lengte van de Nimbus in het stelsel van Ginny. c Bereken hoelang de tocht onder de brug duurt in het stelsel Harry. d Bereken hoelang de tocht duurt in het stelsel Ginny.

16 Katern

achter

voor

links

rechts

Figuur 8

▶ hulpblad

6 Anjali staat bij een staaf van 1,2 m. De staaf staat onder een hoek van 30° evenwijdig aan de weg. Ramazan vliegt met een snelheid van 0,70c over de weg. a Toon aan dat de lengte van de staaf in het stelsel van Ramazan 0,95 m is. b Bereken onder welke hoek de staaf staat in het stelsel van Ramazan.

7 De afstand tussen de spiegels van de lichtklok op pagina 12 is d, de periode in het stelsel van Alina is TA en de periode in het stelsel van Bruce is TB. 2d .​​ a Toon aan dat de lichtklok in het stelsel van Alina een periode heeft van ​​T​ A​​ = ​ _ c b Toon aan dat de lichtklok in het stelsel van Bruce een periode heeft van 2d ​​ _ ​​TB​ ​​ = ​ _ . ​√​c ​​ 2​ − ​v​​ 2​ ​ c Leid uit de formules voor TA en TB af dat geldt ​​T​ B​​ = γ ⋅ ​TA​ ​​​.

Relativiteit 17

Het ontploffen van de eerste vuurpijl tijdens oud en nieuw gebeurt op een specifieke plaats en een specifieke tijd. Het is een gebeurtenis die je kunt weergeven in een ruimtetijd-diagram. Wat is een ruimtetijd-diagram?

Figuur 9

2 Ruimtetijd-diagram (tijd, plaats)-diagram Bij de mechanica heb je geleerd om bewegingen grafisch weer te geven in een (plaats, tijd)-diagram. Daarbij staat de plaats verticaal en de tijd horizontaal. In de relativiteitstheorie maak je gebruik van een (tijd, plaats)-diagram, waarbij de tijd verticaal staat en de plaats horizontaal.

In figuur 10 weet je niet waar het huis zich bevindt ten opzichte van de boom: er is geen assenstelsel aangegeven. In figuur 11 is dat wel het geval: de voordeur bevindt zich 8 meter links van de boom.

In feite bevestig je een horizontaal assenstelsel aan de boom, met de boom in de oorsprong. Dit is het referentiestelsel van de boom, met de boom als referentie voor alle plaatsen. Omdat het huis niet beweegt ten opzichte van de boom, bevindt het huis zich in het ruststelsel van de boom.

–12

Figuur 10

18 Katern

–8

Figuur 11

–4

0

4

Als de hond gaat lopen, verandert zijn plaats ten opzichte van de boom. In figuur 12 zie je de hond 10 seconden later. Zijn snelheid is dus: + 4 ​ − 12 − ​ ​ = − Δx _ _ 1,6 m ​s​​ −1​​ ​v = ​ Δt ​ = ​ 10 (

)

Het minteken geeft aan dat de hond naar links is gelopen. De hond beweegt ten opzichte van het ruststelsel van de boom naar links.

–12

–8

–4

0

4

Figuur 12

Wanneer je op de x-as van figuur 12 op punt 0 m een verticale t-as zet, dan zie je hoe de hond ten opzichte van de boom en het huis als functie van de tijd beweegt, gezien vanuit de boom. Je krijgt dan een (tijd, plaats)-diagram zoals je in figuur 13 ziet. De afstand is horizontaal uitgezet en de tijd verticaal. Je ziet dat de voordeur niet beweegt ten opzichte van de boom: de zwarte grafiek loopt evenwijdig aan de blauwe lijn. De hond beweegt wel ten opzichte van de boom: de rode grafiek Δx ​​ de snelheid, dan loopt schuin. Bereken je met ​​ _ Δt is de uitkomst weer −1,6 m s−1.

De rode, de zwarte en de blauwe lijn zijn voorbeelden van wereldlijnen. Een wereldlijn beschrijft de beweging van een voorwerp in een (tijd, plaats)-diagram.

Figuur 13

Gebeurtenis Een punt in een (tijd, plaats)-diagram noem je een gebeurtenis. De gebeurtenis ‘de hond loopt voorbij de voordeur’ is in figuur 13 het snijpunt S van de rode en de zwarte lijn. Een gebeurtenis vindt dus plaats op één bepaalde plaats en één bepaald tijdstip. Je leest af dat de hond in het ruststelsel van de boom op t = 7,5 s het huis op 8,0 m links van de boom passeert.

Opmerkingen 1 Alle gebeurtenissen die op één plaats gebeuren liggen op een wereldlijn die evenwijdig aan de t-as loopt.

2 Alle gebeurtenissen die op hetzelfde tijdstip plaatsvinden liggen op een lijn evenwijdig aan de x-as.

Relativiteit 19

In het ruststelsel van de hond ziet het (tijd, plaats)-diagram eruit zoals in figuur 14.

Je ziet dat de hond nu hoort bij alle punten waarvoor geldt x = 0 m. De wereldlijn van de hond valt dus samen met de t-as.

In figuur 14 is de gebeurtenis ‘de hond loopt voorbij de voordeur’ het snijpunt S van de zwarte lijn met de t-as. Voor de hond beweegt dus het huis. Het huis en de boom bewegen ten opzichte van de hond met dezelfde constante snelheid, zodat de wereldlijnen van de voordeur en de boom evenwijdig lopen. Bereken je voor deze Δx ​​ dan is de uitkomst +1,6 m s−1. De waarde is dezelfde, maar nu positief. wereldlijnen ​​ _ Δt Dit komt doordat het huis en de boom ten opzichte van de hond naar rechts bewegen.

–12

–8

–4

0

4

8

12

Figuur 14

Ruimtetijd-diagram, lichtkegel Als een voorwerp niet beweegt ten opzichte van een referentiestelsel, is de wereldlijn van dat voorwerp evenwijdig aan de t-as. Hoe sneller een voorwerp beweegt, des te groter is de hoek tussen de wereldlijn en de t-as. Het is niet mogelijk om sneller te bewegen dan de lichtsnelheid.

De wereldlijn van een foton valt in het (tijd, plaats)-diagram van figuur 14 vrijwel samen met de horizontale as. Om zo’n wereldlijn goed zichtbaar te kunnen weergeven in een diagram, vermenigvuldig je de eenheid van de t-as met de lichtsnelheid c. De grootheid langs de verticale as is dan ct met als eenheid m, omdat je snelheid vermenigvuldigt met tijd. De t-as verandert dus in een ct-as. De afstand in m op de ct-as is dan een maat voor de tijd. Wil je de tijd weten, dan deel je de afstand in m door de lichtsnelheid in m s−1.

Een diagram met een x-as en een ct-as noem je een ruimtetijd-diagram of minkowski-diagram.

In zo’n diagram is de waarde van de breedte van een hokje gelijk aan die van de hoogte. Zie figuur 15a.

20 Katern

De hoek die de wereldlijn van een voorwerp maakt met de ct-as is een maat voor de snelheid van het voorwerp: Δx _ tan​ ​ (α)​ = ​ Δct ​​ Δx ​ = ​ _ Δx _ v 1 ​ ⋅ ​ _ _ ​tan​(α)​ = ​ c ⋅ Δt c Δt ​ = ​ c ​​ Δx ​​ _ v ​​ = ​ ​​ __ c ​ Δct Δx _ v ​ = ​ _ 20 In figuur 15a is ​​ _ c Δct ​ = ​ 60 ​ = 0,33​. Dus v = 0,33c.

De snelheid van snel bewegende voorwerpen druk je meestal uit in de lichtsnelheid c.

Je hoeft 0,33c dus niet om te rekenen naar m s−1. ct (m) 60

60

ct (m)

foton 40

foton 40

α

20

–40

–20

20

0

20

40

x (m)

a

–40

–20

α

0

20 x (m)

40

b

Figuur 15

Voor de tangens van de hoek die een wereldlijn van een bewegend voorwerp maakt met de ct-as geldt dus: Δx ​ = ​ _ v ​​ ​tan​(α)​ = ​ _ Δct c ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

α is de hoek tussen de wereldlijn en de ct-as in graden. ∆x is de afsnijding van de horizontale as in m. ∆ct is de afsnijding van de verticale as in m. v is de snelheid van het voorwerp uitgedrukt in c. c is de lichtsnelheid.

De snelheid van een foton is gelijk aan de lichtsnelheid. Als v = c dan is tan(α) = 1 en dus α = 45°. De wereldlijn van een foton is dus een rechte lijn door de oorsprong onder een hoek van 45°. Zie figuur 15b.

Relativiteit 21

Voorbeeld In figuur 16 zie je wereldlijnen van een aantal bewegende voorwerpen A, B en C die in O gestart zijn.

Voorwerp A beweegt met een snelheid van 0,33c zoals je gezien hebt bij figuur 15a. a Beredeneer of de snelheid van voorwerp B groter of kleiner is dan de snelheid van voorwerp A. b Beredeneer waarom de wereldlijn van voorwerp C niet kan bestaan.

ct (m) 60

B

A

foton

foton 40 C 20

–40

–20

0

20

40

x (m) Figuur 16

Uitwerking a Bij dezelfde ∆ct heeft B een grotere ∆x dan A. Dus de snelheid van B is groter dan die van A. b Uit het antwoord van vraag a volgt dat de snelheid toeneemt als hoek α tussen de wereldlijn en de ct-as toeneemt. De grootst mogelijke snelheid is de lichtsnelheid, die wordt weergegeven door de wereldlijn van het foton. De hoek van lijn C is groter dan 45°. Dat betekent dat de snelheid van voorwerp C groter zou zijn dan de lichtsnelheid, en dat kan niet.

Teken je in een punt S de wereldlijnen van een naar links en een naar rechts bewegend foton. dan ontstaat figuur 17. Het gekleurde gebied tussen de wereldlijnen noem je de lichtkegels van S. Iemand in S kan de gebeurtenissen waarnemen die in de onderste lichtkegel plaatsvonden. Die gebeurtenissen zijn in het verleden geweest: de ct-tijd is kleiner dan de ct-tijd bij de persoon in S. Hij kan dus de gebeurtenis in T wel zien, maar niet de gebeurtenis in R. Iemand in S kan geen enkele gebeurtenis waarnemen in de bovenste lichtkegel, want die zijn voor hem de toekomst . Hij kan wel naar een gebeurtenis in de bovenste lichtkegel toe reizen. Hij kan wel naar P reizen, maar niet naar Q, want dan zou de snelheid van de reiziger groter zijn dan de lichtsnelheid. En dat is onmogelijk. toekomst

P

Q S

R

T Figuur 17

22 Katern

verleden

ct (km)

60 Voorbeeld foton foton In figuur 18 is de gebeurtenis L het begin van een lichtshow. Olga staat in de oorsprong.

40 Vanuit dit punt zijn de twee wereldlijnen van fotonen getekend.

20 Olga kan niet bij het begin van de lichtshow aanwezig zijn.

L a Leg uit waarom niet.

–40 –20 0 20 40 Olga Wil Olga de show live bijwonen, dan moet ze x (km) ernaartoe reizen. Daarvoor heeft ze tijd Figuur 18 nodig. Olga reist met 0,8c. b Bepaal de tijd in s die Olga daarvoor nodig heeft.

Aan het begin van de lichtshow L wordt een lichtsignaal naar Olga gezonden. Olga blijft op haar plek staan. c Bepaal in figuur 18 op welke ct-tijd Olga het lichtsignaal ziet. Licht je antwoord toe.

Uitwerking a Op t = 0 s valt gebeurtenis L buiten de lichtkegel van Olga. b De wereldlijn met snelheid 0,8c gaat door punt (40, 50). Zie de zwarte lijn in figuur 19a. Het snijpunt van de zwarte lijn met de groene wereldlijn van de lichtshow bepaalt de ct-tijd. Deze lees je af op de ct-as van Olga. Zie de streeplijn in figuur 19a.

Dus de ct-tijd is 44 km = 44∙103 m.

De tijd in s bereken je door de ct-tijd te delen door de lichtsnelheid: ct ​ = ​ _ 44⋅​10​​ 3​ ​ −4 ​t = ​ _ 8 = 1,46⋅​10​​ ​ s​ c 3,00⋅​10​​ ​ Afgerond: 1,5∙10 −4 s. c De wereldlijn van de stilstaande Olga valt samen met de ct-as. Het lichtsignaal verplaatst zich met de lichtsnelheid. De wereldlijnen van fotonen lopen onder een hoek van 45° vanuit punt L. Het snijpunt van de wereldlijn naar links met de ct-as is de ct-tijd waarop Olga het lichtsignaal ziet. Aflezen in figuur 19b levert ct = 35 km. ct (km) 60

ct (km) 60

foton

foton

foton

foton

40

40

20

20 L

L –40

–20

0 Olga

20

–40

40

x (km)

a

–20

0 Olga

20

40

x (km)

b

Figuur 19

Relativiteit 23

Oorzaak en gevolg Als een schutter met een geweer een bierfles wil kapot schieten, dan heeft hij even de tijd nodig om te mikken. Dit is gebeurtenis M in figuur 20. De gebeurtenis B ‘bierfles breekt’ vindt plaats in het referentiestelsel van de schutter na de gebeurtenis T ‘trekker overhalen’.

Verbind je T met B, dan zie je dat de lijn TB binnen de lichtkegel vanuit T valt, want de kogel heeft een kleinere snelheid dan de lichtsnelheid. Dat betekent dat gebeurtenis T en bierfles B oorzaak en gevolg van elkaar zijn. De toekomstkegel van de gebeurtenis T is dus de verzameling van alle gebeurtenissen die het gevolg kunnen zijn van gebeurtenis T.

Figuur 20

Opgaven ▶ tekenblad

8 Figuur 21 is het begin van een ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van het huis. De afstand tussen het huis en de hond is 12 m. De hond loopt naar links met een constante snelheid van 1,6 m s−1. In figuur 21 ontbreken de verticale as, het as-bijschrift en de wereldlijnen van de hond, de boom en van het huis.

Maak het ruimtetijd-diagram van figuur 21 af.

Figuur 21

9 Een luipaard ligt achter een bosje en ziet een antilope. De luipaard en de antilope beginnen te rennen met constante snelheid. De luipaard is sneller dan de antilope en krijgt haar te pakken. a Teken het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van het bosje en schets daarin de wereldlijnen van de luipaard en de antilope. b Teken het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van de antilope en teken daarin de wereldlijnen van het bosje en de luipaard. Stem de steilheid van de wereldlijnen af op die van je antwoord bij vraag a.

24 Katern

▶ tekenblad

10 In onderstaande vragen staat telkens de plaats van een waarnemer en de snelheid waarmee hij beweegt. In figuur 22 zie je een leeg ruimtetijd-diagram.

Teken in figuur 22 de wereldlijnen voor elke waarnemer. a v = 0,1c en x 0 = −60 m b v = −0,3c en x 0 = 60 m c v = 0,8c en x 0 = 30 m d v = −0,9c en x 0 = −30 m

–100

–80

–60

–40

–20

0

20

40

60

80

100

Figuur 22 ▶ tekenblad

11 Een schutter bevindt zich op 80 m van een bierfles. Hij schiet een kogel af met een snelheid van 27% van de lichtsnelheid. a Toon aan dat het 9,9∙10 −7 s duurt voordat de kogel de bierfles bereikt.

In figuur 23 is de gebeurtenis ‘trekker overhalen’ aangegeven met de letter T. De gebeurtenis ‘bierfles breekt’ is aangegeven met de letter B. b Bereken de afstand tussen schutter en bierfles in het referentiestelsel van de kogel. c Bereken hoelang het duurt, na het lossen van het schot, tot de schutter ziet dat de bierfles breekt.

Een tweede schutter beweert dat de eerste schutter miste en dat hij degene was die de fles kapot schoot. De gebeurtenis ‘de tweede schutter haalt zijn trekker over’ is aangegeven met de letter X. d Bepaal op twee manieren of de tweede schutter gelijk kan hebben.

Figuur 23

Relativiteit 25

▶ tekenblad

12 In tabel 2 staan de gegevens die uit opgave 5 volgen. De plaats van Ginny valt samen met de voorkant van de brug.

In figuur 24 is de situatie getekend in het ruststelsel van Ginny. Neem aan dat de plaats van Harry samenvalt met de achterkant van de Nimbus.

De snelheid van de Nimbus is 0,60c.

De breedte van de brug in het stelsel van Harry is 1,28 m.

achter

voor

links

rechts

Figuur 24

Achterkant Nimbus

Ruststelsel Ginny

Ruststelsel Harry

x (m)

x (m)

−1,60

0,00

Voorkant Nimbus

0,00

2,00

Linkerkant brug

0,00

Rechterkant brug

1,60

Tabel 2

In figuur 25 zie je de lege ruimtetijd-diagrammen voor Ginny en Harry. a Voer de volgende drie opdrachten uit: 1 Teken in figuur 25a in het ruimtetijd-diagram van Ginny de wereldlijnen van de voor- en achterkant van de Nimbus.

2 Doe hetzelfde voor de linker- en rechterkant van de brug.

3 Teken in figuur 25a de Nimbus als een lijnstuk op het moment dat in het stelsel van Ginny de voorkant van de Nimbus bij de rechterkant van de brug is. b Voer de volgende drie opdrachten uit: 1 Teken in figuur 25b in het ruimtetijd-diagram van Harry de wereldlijnen van de voor- en achterkant van de Nimbus.

2 Doe hetzelfde voor de linker- en rechterkant van de brug.

3 Teken in figuur 25b de Nimbus als een lijnstuk op het moment dat in het stelsel van Harry de voorkant van de Nimbus bij de rechterkant van de brug is. c Welk verschil valt je op aan je tekeningen in de figuren in 25a en 25b als je let op de Nimbus?

26 Katern

Ginny ct (m)

–2

–1

Harry ct (m)

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2 x (m)

a

3

–2

–1

0

1

2

3

x (m)

b

Figuur 25

▶ tekenblad

13 Een supernova is het verschijnsel dat je waarneemt als een ster explodeert. In 1604 was een supernova met het blote oog waar te nemen. De explosie vond plaats op een afstand van 2,0·103 lichtjaar. a Bereken in welk jaar deze supernova plaatsvond.

Bij sommige supernova’s blijft een neutronenster over op de plek van de zware ster. In figuur 26 is de zwarte lijn de wereldlijn van een supernova in het ruimtetijd-diagram van een ruimtereiziger op de aarde. Gebeurtenis A is het begin van de explosie en gebeurtenis B is het ontstaan van de neutronenster.

Het is theoretisch onmogelijk voor de ruimtereiziger om vanuit O de O gebeurtenissen in A en B ter plekke mee te maken, als hij ernaar toe zou reizen.

Figuur 26 b Leg dit uit. c Leg aan de hand van het ruimtetijddiagram uit dat de zware ster al een neutronenster is op het moment dat de supernova op aarde wordt waargenomen.

Relativiteit 27

De wereldlijn van Pluto geeft aan dat Pluto verder van de supernova af staat dan de aarde. d Leg uit dat een waarnemer op Pluto de supernova later waarneemt.

Voor een waarnemer op Pluto duurt het bestaan van de supernova even lang als voor een waarnemer op aarde. e Leg dit uit met behulp van lichtkegels. ▶ tekenblad

14 Ramon gooit een tennisbal met een snelheid van 10 m s−1 naar een muur die zich 5 m van hem af bevindt. Aimee staat naast Ramon. Zodra Ramon de bal gegooid heeft, rent ze naar de muur met een snelheid van 3 m s−1. Als ze de bal bereikt, vangt ze deze en stopt ze direct met rennen.

In het referentiestelsel van Ramon is in figuur 27 de beweging van de bal tot aan de muur getekend. Neem aan dat de bal na het stuiteren tegen de muur met dezelfde snelheid beweegt. Neem aan dat Aimee op dezelfde plaats staat als Ramon. a Teken de beweging van Aimee in het ruimtetijd-diagram van Ramon.

De gebeurtenis ‘Aimee vangt de bal’ noem je V. b Construeer gebeurtenis V. c Schets het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van de tennisbal met de wereldlijnen van Aimee en Ramon en geef daarin gebeurtenis V aan.

Figuur 27

28 Katern

Soms slaat de bliksem op twee plaatsen tegelijkertijd in.

Toch zal niet iedereen de twee inslagen tegelijkertijd waarnemen.

Hoe komt dat?

Figuur 28

3 Gelijktijdigheid Gelijktijdigheid in een ruimtetijddiagram Een trein rijdt met 50% van de lichtsnelheid langs een perron. In de trein zitten Ina, René en Anita. René zit in het midden tussen de andere twee. Op het perron staat Ruud. René stuurt op het moment dat hij Ruud passeert tegelijkertijd een lichtsignaal naar Anita en Ina. Ruud kijkt naar de lichtsignalen. Zie figuur 29.

Ina

René

Anita

Ruud Figuur 29

Relativiteit 29

In het ruimtetijddiagram van figuur 30 zie je in het referentiestelsel van René de blauwe wereldlijnen van Ina en Anita. Deze lopen evenwijdig aan de wereldlijn van René omdat zij ten opzichte van hem stilstaan.

Voor René beweegt Ruud naar links. Dus voor de groene wereldlijn van Ruud Δx ​ = ​ −0,5c _ geldt ​​ _ ​= −0,5​. Daardoor gaat de lijn door het punt (−5, 10). c Δct De rode lijnen zijn de wereldlijnen van het foton, die altijd een hoek van 45° met de ct-as maken.

René ct (m) Ina Ruud

Anita

10

8 foton

foton

6

P

Q

4

2

–8

–6

–4

–2

R

2

4

6

8

10

12

x (m) Figuur 30

Je ziet in figuur 30 de volgende gebeurtenissen: ▪ R: René zendt tegelijkertijd een lichtpuls naar Anita en naar Ina. ▪ P: Ina ontvangt de lichtpuls.

▪ Q: Anita ontvangt de lichtpuls.

In het ruststelsel waarin zich Anita, Ina en René bevinden zijn de gebeurtenissen P en Q gelijktijdig. Het licht doet er even lang over om van René naar Anita te gaan als van René naar Ina. Je ziet dat de verbindingslijn PQ evenwijdig aan de x-as loopt.

Alle gebeurtenissen op de lijn PQ vinden in het ruststelsel van Anita, Ina en René op hetzelfde tijdstip plaats. Gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden liggen dus op een lijn evenwijdig aan de x-as. Op die evenwijdige lijnen aan de x-as kun je afstanden aflezen tussen wereldlijnen. De gebeurtenissen P en Q vinden gelijktijdig plaats. Dus op het moment dat Ina en Anita het lichtsignaal ontvangen is de afstand tussen hen in het stelsel van René gelijk aan PQ = 12 m.

30 Katern

Voorbeeld In figuur 30 is de afstand tussen Ina en René in het stelsel van René gelijk aan 6 m.

Bepaal in het stelsel van René in figuur 30 de afstand tussen Ina en Ruud op het moment dat de lichtstraal Ina bereikt.

Uitwerking Om de afstand tussen Ina en Ruud te bepalen moet de gebeurtenis Ruud op de lijn PQ liggen. Dat is het snijpunt van de wereldlijn van Ruud met PQ. De afstand tussen het snijpunt en punt P is de gevraagde afstand en dus 3,0 m.

Gelijktijdigheid, of toch niet?

In figuur 31 staat het ruimtetijd-diagram van het ruststelsel van Ruud met daarin de wereldlijnen van Ina, René en Anita. In het stelsel van Ruud beweegt de trein met 0,5c naar rechts. De wereldlijn van René gaat dus door het punt (5, 10). Doordat de trein beweegt ten opzichte van Ruud, is de afstand Ina-René en René-Anita in zijn ℓ​ e​ ​​ stelsel kleiner dan 6,0 m. Met ​​ℓ​ b​​ = ​ _ γ ​​ bereken je dat de afstand IR en RA gelijk is aan 5,2 m. Daardoor begint de wereldlijn van Ina in (−5,2; 0) en die van Anita in (5,2; 0).

De wereldlijnen van de fotonen die René uitzond lopen nog steeds onder een hoek van 45° met de ct-as omdat de lichtsnelheid voor Ruud hetzelfde is als voor René.

Ruud ct (m) Ina

René

Anita

Q

10

8 foton

foton

6

4 P 2

–8

–6

–4

–2

R

2

4

6

8

10

12

x (m)

Figuur 31

Relativiteit 31

Je ziet dat de gebeurtenissen P en Q in het stelsel van Ruud niet op één lijn evenwijdig aan de x-as liggen. In het stelsel van Ruud komt het lichtsignaal eerder bij Ina aan dan bij Anita. Dat zie je in figuur 31 omdat de ct-tijd van gebeurtenis P kleiner is dan de ct-tijd van gebeurtenis Q. Doordat Ruud beweegt ten opzichte van Ina, René en Anita, is gelijktijdigheid voor Ruud niet hetzelfde als voor hen.

In het dagelijks leven merk je hier echter niets van doordat het verschil in gelijktijdigheid verwaarloosbaar klein is. Dat komt doordat de snelheden waarmee je beweegt op aarde veel kleiner zijn dan de lichtsnelheid. Pas wanneer snelheden in de orde van grootte van de lichtsnelheid zijn, moet je er rekening mee houden dat gelijktijdigheid alleen maar kan bestaan voor waarnemers die stilstaan ten opzichte van elkaar.

Ruimtetijd-diagram met twee referentiestelsels Je kunt in één ruimtetijd-diagram een tweede assenstelsel tekenen om daarmee het bewegende stelsel weer te geven. Dit assenstelsel heeft een ct’-as als tijd-as en een x’-as als ruimte-as.

Figuur 31 op pagina 31 is het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van Ruud.

Het referentiestelsel van René voeg je als volgt eraan toe.

De wereldlijn van René in figuur 31 is de ct’-as van zijn referentiestelsel. Zie figuur 32.

Ruud ct (m) Ina

René ct' (m)

Anita

Q

10

8 foton

foton

6

x' (m)

4

P

2

–8

–6

–4

–2

R

2

4

6

8

10 x (m)

Figuur 32

32 Katern

12

Je weet dat gebeurtenis P en gebeurtenis Q in het stelsel van René gelijktijdig zijn.

Dat betekent dat de x’-as van René in figuur 32 evenwijdig aan de lijn PQ moet lopen.

De x’-as gaat door het punt (10, 5). Je ziet dat de hoek tussen de ct’-as en de ct-as even groot is als de hoek tussen de x’-as en de x-as.

Een ruimtetijd-diagram met twee referentiestelsels construeer je dus op de volgende manier: ▪ In een leeg ruimtetijd-diagram valt de wereldlijn van het ruststelsel samen met de ct-as.

▪ Teken de wereldlijn van het bewegende stelsel in dit ruimtetijd-diagram.

De steilheid volgt uit de verhouding van de snelheid en de lichtsnelheid.

▪ De ct’-as valt samen met deze wereldlijn.

▪ De hoek tussen de x’-as en de x-as is dezelfde als die tussen de ct’-as en de ct-as.

Voorbeeld In het referentiestelsel van Ginny heeft de Nimbus op ct = 0 m de lengte AB. Neem aan dat Harry in punt A op de Nimbus zit. Op ct = 2,7 m past de Nimbus precies geheel onder de brug. De Nimbus is weergegeven met de blauwe lijn in figuur 33.

De gebeurtenissen C en D vinden gelijktijdig plaats in het stelsel van Ginny.

Leg met behulp van het ruimtetijd-diagram uit of de gebeurtenissen C en D in het stelsel van Harry ook gelijktijdig plaatsvinden. Voer daarvoor de volgende opdrachten uit: 1 Voeg in figuur 33 het referentiestelsel van Harry toe.

2 Geef op de ct’-as de tijdstippen van de gebeurtenissen C en D aan.

3 Trek de conclusie.

Ginny ct (m) Blinks

Brechts Nachter E

5

Nvoor

4

3 D

C

2

1 A –2

B –1

0

1

2

3

x (m) Figuur 33

Relativiteit 33

Uitwerking De ct’-as van Harry valt samen met de wereldlijn van de achterkant van de Nimbus.

De x’-as van Harry maakt dezelfde hoek met de x-as als de ct’-as met de ct-as. Deze lijn gaat door punt A en heeft een steilheid van 0,6. Zie figuur 34.

In het stelsel van Harry zie je dat gebeurtenis D op de ct’-as ligt. Het tijdstip van gebeurtenis C construeer je door een lijn evenwijdig aan de x’-as door punt C te tekenen. Het snijpunt C’ van deze lijn met de ct’-as is het tijdstip waarop gebeurtenis C in het stelsel van Harry plaatsvindt. Dus in het stelsel van Harry vinden de gebeurtenissen C en D niet gelijktijdig plaats.

Ginny ct (m)

Harry ct' (m) Brechts Nachter

Blinks

E

5

Nvoor

4

3 D

Harry x' (m)

C

2 C'

A –2

1 B

–1

0

1

2

3

x (m) Figuur 34

Assenstelsel in een ruimtetijd-diagram Figuur 35 is dezelfde figuur als figuur 32 maar dan met rasterlijnen in het stelsel van René. Je kunt op twee manieren een raster aanbrengen in het referentiestelsel van René.

1 Je maakt gebruik van een bekende afstand op een van de assen.

Je weet dat in het stelsel van René de afstand tussen René en Anita 6,0 m is. In figuur 35 is dat RA: de afstand tussen de oorsprong en het snijpunt van de wereldlijn van Anita met de x’-as. Dat betekent dat de wereldlijn van Anita samenvalt met de rasterlijn x’= 6 m. Opmeten van deze afstand in figuur 35 levert dat 6,0 m overeenkomt met 4,4 cm. Dus op 4,4 cm van R ligt de rasterlijn x’= 6,0 m en deze loopt evenwijdig aan de ct’-as.

34 Katern

4,4 De rastergrootte is dus _ ​​ ​ = 0,73 cm ​m​​ −1​​. Dat wil zeggen dat de afstand tussen de 6,0 rasterlijnen 0,73 cm is, wat in werkelijkheid gelijk is aan 1 m.

De afstanden tussen de rasterlijnen op de ct’-as moeten altijd gelijk zijn aan die op de x’-as. Deze lijnen lopen evenwijdig aan de x’-as op onderlinge afstand van 0,73 cm.

Zie figuur 35. In figuur 35 zijn de rasterlijnen bij 2, 4 en 6 getekend. Het is dus een ruitvormig raster waarbij de afstand tussen de rasterlijnen in werkelijkheid 2 m is.

2 Je maakt gebruik van de gammafactor.

Je kunt alleen met behulp de gammafactor rasterlijnen bepalen als beide stelsels dezelfde oorsprong hebben. In figuur 35 is dat punt R. Als je door een punt op de x-as een lijn evenwijdig aan de ct-as tekent, dan snijdt ___________ deze de x’-as. Er geldt dan de formule voor de lengtekrimp: ​waarde x’-as = ​ waarde x-as

γ ​​.

Kijk je bijvoorbeeld naar de x’-as loodrecht boven het punt 12 op de x-as, dan kom je uit bij punt B op de x’-as. Bij een snelheid van 0,5c is de gammafactor gelijk aan 1,15.

12 ​ = 10,4​. Opmeten van de afstand RB ​​ 12 De x’-waarde van punt B is gelijk aan _ _ γ ​ = ​ 1,15 7,6 levert 7,6 cm op. De rastergrootte is dan weer ​​ _ ​ = 0,73 cm ​m​​ −1​​.

10,4 Ruud ct (m) Ina

René ct' (m)

Anita

10

8 6

René x' (m) B

6 4

4

6 2

2

–8

–6

–4

–2

A

4 2

R

2

4

6

8

10

12

x (m)

Figuur 35

Lengtekrimp in een ruimtetijd-diagram In paragraaf 1 heb je gelezen over de lengtekrimp: het verschijnsel dat voorwerpen in een bewegend stelsel kleiner zijn dan in hun ruststelsel. Je kunt het verband tussen eigenlengte en de lengte in een bewegend stelsel ook zien in een ruimtetijddiagram.

Relativiteit 35

Als de lengte in referentiestelsel A op één tijdstip bekend is, construeer je de lengte in referentiestelsel B als volgt: ▪ Teken de wereldlijnen van de uiteinden van een voorwerp in stelsel A. ▪ Bepaal de afstand tussen deze twee wereldlijnen op één tijdstip in referentiestelsel B. Meestal gebruik je daarvoor de snijpunten van de wereldlijnen van de uiteinden met de ruimte-as van referentiestelsel B. Voorbeeld Harry zit achterop de Nimbus en beweegt richting Ginny. Op t = 0 s passeert hij Ginny.

In figuur 36 zie je het referentiestelsel van Ginny met het referentiestelsel van Harry.

Het lijnstuk AB is de lengte van de Nimbus in het stelsel van Ginny.

Bepaal de lengte van de Nimbus in het stelsel van Harry door de volgende opdrachten uit te voeren: a Construeer de lengte van de Nimbus in het stelsel van Harry. b Toon aan dat de rastergrootte in het stelsel van Harry gelijk is aan 1,47 ​cm ​m​​ −1​​. c Bepaal de lengte van de Nimbus in het stelsel van Harry.

Ginny ct (m) Harry ct' (m) Nachter

5

Nvoor

4

3 Harry x' (m) 2

1 A

B 0

1

2

3

4

x (m) Figuur 36

Uitwerking a Nvoor snijdt de x’-as in C. Zie figuur 37.

Nachter snijdt de x’-as in A. De afstand AC is de lengte van de Nimbus in het referentiestelsel van Harry. b De verticale lijn door x = 4 snijdt de x’-as in P. De coördinaat van de x’-as bereken je met de gammafactor.

Bij een snelheid van 0,6c is de gammafactor 1,25.

Dus bij x = 4 hoort voor x’ de waarde 4 ​ = ​ _ 4 ​ = 3,2 m​. ​​ _ γ 1,25 De lengte OP is 4,7 cm.

Dus de rastergrootte is 4,7 _ ​​ ​ = 1,47 cm ​m​​ −1​​.

3,2 c OC = 2,9 cm.

2,9 Dus OC is ​​ ____ ​​ = 1,97 m.

1,47 Afgerond: 2,0 m.

Ginny ct (m)

5

Nvoor

4

3 Harry x' (m) P

2 C 1 A

B 0

1

2

3 x (m)

Figuur 37

36 Katern

Harry ct' (m) Nachter

4

Tijdrek in een ruimtetijd-diagram Ook het verband tussen de eigentijd van een gebeurtenis op één plaats en de tijdsduur van die gebeurtenis in een bewegend stelsel is aan te geven in een ruimtetijd-diagram. De tijdsduur kan ook de tijd tussen twee gebeurtenissen op één plaats zijn.

Als de eigentijd op één plaats in ruststelsel A bekend is, construeer je de tijdsduur in referentiestelsel B als volgt: 1 Teken twee hulplijnen evenwijdig aan de ruimte-as van het referentiestelsel B door het begin en het eind van de tijdsduur in stelsel A. 2 Bepaal het tijdsinterval tussen de twee hulplijnen op één plaats in referentiestelsel B. Meestal gebruik je daarvoor de snijpunten van de hulplijnen met de tijd-as van referentiestelsel B. Ginny ct (m)

Voorbeeld Figuur 38 is gelijk aan figuur 34 met de referentiestelsels van Ginny en Harry inclusief de rasterlijnen voor het stelsel van Harry. De rasterlijnen gebruik je als hulplijnen. a Toon aan dat de ct-tijd die de Nimbus erover doet om de brug te passeren in het referentiestelsel van Harry gelijk is aan 2,1 m. b Bepaal de ct-tijd die de Nimbus erover doet in het stelsel van Ginny.

Harry ct' (m) Brechts Nachter

Blinks

E

5

Nvoor

4

4 3 3 D 2

C

2

Harry x' (m) 3

2 1

A –2

1

1 B

–1

0

1

2

3

x (m) Figuur 38

Uitwerking a De tijd die de Nimbus nodig heeft om de brug te passeren in het referentiestelsel van Harry bepaal je met de tijdstippen van de gebeurtenissen D en E: de snijpunten van de wereldlijn van de achterkant van de Nimbus met de wereldlijnen van de zijden van de brug. Gebeurtenis D en E liggen beide op de ct’-as. Aflezen levert 4,2 − 2,1 = 2,1 m.

Hetzelfde antwoord vind je als je uitgaat van de gebeurtenissen B en C. b De gemeten tijd is de eigentijd in het stelsel van Harry. Om de tijd in het stelsel van Ginny te meten trek je (in gedachten) een lijn door E evenwijdig aan de x-as.

Deze lijn snijdt de ct-as in 5,3 m. Dus is ct-tijd 5,3 m. Punt D ligt al op de ct-as van Ginny met tijdstip 2,7 m. De tijdsduur in het stelsel van Ginny is dus 5,3 − 2,7 = 2,6 m.

Relativiteit 37

Opgaven ▶ tekenblad

15 Figuur 39 is een ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van William met daarin zes gebeurtenissen. Bovendien zie je de wereldlijn van Jurgen. a Bepaal welke gebeurtenissen in het stelsel van William op dezelfde plek plaatsvinden. b Bepaal welke gebeurtenissen in het stelsel van William gelijktijdig plaatsvinden. c Bepaal welke gebeurtenissen in het stelsel van Jurgen op dezelfde plek plaatsvinden. d Bepaal welke gebeurtenissen in het stelsel van Jurgen gelijktijdig plaatsvinden.

Figuur 39

16 Meryam en een lamp bevinden zich in een raket. Op t = 0 s passeert Meryam Enes met een snelheid van 0,5c. Van ct = 2,0 m tot ct = 6,0 m laat Meryam de lamp branden.

In figuur 40 zie je de referentiestelsels van Meryam en Enes. De rode lijn geeft het branden van de lamp weer in het referentiestelsel van Meryam.

Meryam en Enes bespreken hoe ze uit dit diagram de tijdsduur van het branden van de lamp in het stelsel van Enes moeten bepalen. In figuur 40 staan twee mogelijkheden.

Leg uit in welk figuur de juiste manier is aangegeven.

Meryam ct (m)

Meryam ct (m) Enes ct' (m)

12

8

Enes ct' (m)

12

8

S Enes x' (m)

4

4 R 0

Enes x' (m)

Q

0

P 4

8

12

Meryam x (m)

a Figuur 40

38 Katern

0

0

4

8

Meryam x (m)

b

12

▶ tekenblad

17 Fatima onderzoekt gelijktijdigheid bij een snelle trein. In de wagon zitten Anton en Victor. Victor zit voor in de wagon en Anton zit achterin. Fatima heeft twee sensoren langs het spoor geplaatst. De sensoren registreren het tijdstip waarop Anton of Victor passeert. Fatima staat zelf bij sensor 2. Op t = 0 bereikt Victor sensor 2.

In het referentiestelsel van Fatima blijkt het tijdstip waarop Victor sensor 1 passeert hetzelfde te zijn als het tijdstip waarop Anton sensor 2 passeert. In figuur 41 zie je een schematische weergave van deze situatie in het referentiestelsel van Fatima.

Figuur 41

Figuur 42 is het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van Fatima, met de wereldlijnen van Anton en Victor. a Geef in figuur 42 de volgende gebeurtenissen weer: A: ‘Anton passeert sensor 2’ B: ‘Victor passeert sensor 1’ Anton en Victor bepalen beiden met een klok het moment waarop ze de sensoren passeren. b Teken in figuur 42 de assen van het referentiestelsel van Victor. c Toon met behulp van figuur 42 aan dat in het referentiestelsel van Victor het tijdstip waarop Victor sensor 1 passeert, niet gelijk is aan tijdstip A’ waarop Anton sensor 2 Figuur 42 passeert.

Als de wagon stilstaat, dan is de afstand tussen Anton en Victor groter dan de afstand tussen de twee sensoren. d Leg dit uit.

De snelste treinen halen slechts een snelheid van 430 km h−1. e Leg uit waarom de gebeurtenissen A’ en B dan vrijwel samenvallen in het stelsel van Victor.

Relativiteit 39

▶ tekenblad

18 Figuur 43 is het ruimtetijd-diagram van het referentiestelsel van Yuen met de wereldlijnen van Bart en Auke. a Bepaal de snelheid van Bart en Auke ten opzichte van Yuen. b Teken in figuur 43 de x’-as van het referentiestelsel van Auke.

–100

–80

–60

–40

–20

20

40

60

80

100

Figuur 43

Op het moment dat Auke zich bevindt op x = 30 m slaat de bliksem in zowel boven zijn hoofd als boven het hoofd van Bart. In het referentiestelsel van Bart en Auke vonden beide inslagen tegelijktijdig plaats. c Geef in figuur 43 in het referentiestelsel van Bart en Auke de inslag boven Auke weer met A en boven Bart met B. d Leg uit dat in het referentiestelsel van Yuen de twee inslagen nooit tegelijkertijd hebben kunnen plaatsvinden.

19 Deze opgave gaat over de trein van figuur 29 op pagina 29.

Figuur 44 geeft de situatie in de trein weer volgens het stelsel van Ruud.

Op een bepaald moment is de lichtstraal die René heeft uitgezonden bij Ina. Ruud staat op dat moment op 3,5 m van Ina. a Toon dat aan. b Bereken in s hoelang het duurt voordat Ruud ziet dat de lichtstraal vanuit René bij Ina is aangekomen.

40 Katern

Ruud ct (m) Ina

René ct' (m)

Anita

Q

10

8 foton

foton

6

x' (m)

4

P

2

–8

–6

–4

–2

R

2

4

6

8

10

12

x (m) Figuur 44

▶ tekenblad

20 In figuur 45 is het ruimtetijd-diagram van Ginny in het referentiestelsel van Harry.

De zwarte wereldlijn van Ginny valt samen met de groene wereldlijn van de linkerkant van de brug.

Harry ct (m) Ginny ct (m) a Hoe zie je in figuur 45 dat de Blinks Brechts Nvoor Nachter Nimbus in het stelsel van Harry niet onder de brug past? b Bepaal de ct-tijd die de 5 achterkant van de Nimbus erover doet om de brug te 4 passeren in het referentiestelsel van Harry.

3 c Geef in het referentiestelsel van Ginny de achterkant van de Nimbus aan met de letter P en 2 de voorkant met de letter Q. Voer daarvoor de volgende 1 opdrachten uit: 1 Voeg het referentiestelsel van Ginny toe aan figuur 45.

–2 –1 0 1 2 3 2 Geef de lengte PQ aan in het x (m) referentiestelsel van Ginny.

4

Figuur 45

Relativiteit 41

▶ tekenblad

21 In figuur 46 staan het ruststelsel van Harry en het referentiestelsel van Ginny.

De zwarte ct-as van Ginny valt samen met de groene wereldlijn van de linkerkant van de brug. De afstand PQ is de lengte van de Nimbus in het stelsel van Ginny. a Voer de volgende opdrachten uit: 1 Teken in figuur 46 de rasterlijn voor x’= 1,0 m en x’= 2,0 m. Licht je antwoord toe.

2 Teken in figuur 46 de rasterlijnen voor ct’ = 1,0 m en ct’ = 2,0 m. Licht je antwoord toe.

Ginny ct' (m) Blinks

Harry ct (m) Brechts

Nvoor

Nachter

5

4

3 Ginny x' (m)

2

1

–2

–1

P

0

1

2

Q

3

4

x (m)

Figuur 46

Op een bepaald moment ct’1 ziet Ginny dat de achterkant van de Nimbus onder de linkerkant van de brug verdwijnt. b Teken in het referentiestelsel van Ginny in figuur 46 de Nimbus op ct’1. c Beschrijf hoe je met figuur 46 kunt bepalen hoelang de achterkant van de Nimbus erover doet om de brug te passeren in het referentiestelsel van Ginny.

42 Katern

Bij een supernova komt veel energie vrij. Daarmee krijgen deeltjes een zeer grote kinetische energie. Waarom kan een deeltje bij voortdurende toevoer van energie toch nooit sneller gaan dan het licht?

Figuur 47

4 Energie Energie en massa In BINAS tabel 7B staat dat de rustmassa van een elektron (afgerond) 9,1∙10 −31 kg is en dat daarbij 0,51 MeV of 8,2∙10 −14 J aan energie hoort. Er is dus een relatie tussen rustmassa en energie.

De relatie tussen massa en energie geef je weer met de bekendste formule van Einstein.

E = m ∙ c2 ▪ ▪ ▪

E is de energie in J. m is de massa in kg. c is de lichtsnelheid in m s−1.

De rustmassa is de massa van een deeltje in zijn ruststelsel. Het symbool ervan is m 0.

Bereken je de energie met de rustmassa van een elektron dan is de energiewaarde van 8,2∙10 −14 J de rustenergie van het elektron. Dit is de energie van een deeltje als het niet beweegt: het heeft dan geen kinetische energie. De rustenergie heeft symbool E 0.

Dus E 0,elektron = 8,2∙10 −14 J. Voorbeeld Bij positronannihilatie reageert een elektron met een positron. Hierbij verdwijnen de deeltjes en wordt hun massa volledig omgezet in energie. De rustmassa van een positron is gelijk aan die van een elektron.

Bereken in vier significante cijfers de hoeveelheid energie in J die vrijkomt bij deze reactie.

Relativiteit 43

Uitwerking E = m ∙ c2 m 0,elektron = m 0,positron = 9,1093∙10 −31 kg c = 2,9979∙108 m s−1 ​E = 2 × 9,1093⋅​10​​ −31​ × ​​(2,9979⋅​10​​ 8​ )​​​ 2​ = 1,6373⋅​10​​ −13​ J​

Zie BINAS tabel 7.

Zie BINAS tabel 7.

Afgerond: 1,637∙10 −13 J. Dezelfde uitkomst vind je door de rustenergie van een elektron in BINAS tabel 7B met twee te vermenigvuldigen.

Kinetische energie Als het elektron beweegt, heeft het ook kinetische energie. Voor de totale energie geldt dan: Etot = E 0 + Ek. In figuur 48 zie je de totale energie als functie van de snelheid van het deeltje.

De vorm van de grafiek komt overeen met die van figuur 7 op pagina 15.

E0

v (m s–1) Figuur 48

Bij het berekenen van de totale energie speelt de gammafactor dus een rol. Er geldt: Etot = E 0 + Ek = γ ∙ E 0 = γ ∙ m 0 ∙ c2 = mrel ∙ c2 ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪

44 Katern

Etot is de totale energie van een deeltje in J. E 0 is de rustenergie van een deeltje in J. Ek is de kinetische energie van een deeltje in J. γ is de gammafactor. m 0 is de rustmassa in kg. c is de lichtsnelheid in m s−1. mrel is de relativistische massa in kg.

Voorbeeld Een pion is een deeltje dat lichter is dan een proton. Het ontstaat onder andere bij de botsing tussen twee zeer snelle protonen. Een neutraal pion heeft een rustenergie van 135 MeV. Het pion beweegt met 70% van de lichtsnelheid. a Bereken de rustmassa van het pion. b Bereken de kinetische energie van het pion in MeV in twee significante cijfers.

Uitwerking a De rustmassa van het pion bereken je met de formule van Einstein.

E 0 = 135 MeV = 135∙106 eV E0 = m0 ∙ c2 1 eV = 1,602∙10 −19 J Zie BINAS tabel 5.

135∙106 × 1,602∙10 −19 = m 0 × (2,998∙108)2 m 0 = 2,406∙10 −28 kg Afgerond: 2,41∙10 −28 kg. b De kinetische energie is het verschil tussen de totale energie en de rustenergie.

De totale energie bereken je met de rustenergie en de gammafactor γ.

1 ___________ ​γ = ​ ___________ ​ = 1,40​ ​ 0,70c)​​ 2​ (_ ​ 1 − ​

​ ​ ​c​​ 2​ De totale energie van het pion is dus gelijk aan: Etot = γ ∙ E 0 = 1,40 × 135 = 189 MeV Etot = E 0 + Ek 189 = 135 + Ek Ek = 54 MeV

√

Optellen van snelheden In paragraaf 1 heb je gelezen hoe je de relatieve snelheid van de bal ten opzichte van Maxime berekent. Omdat beide bewegingen dezelfde kant op gaan, tel je de snelheid van de bal op bij de snelheid van Floor.

Als Floor de bal weggooit met 0,4c en de snelheid van Floor op haar skatebord is 0,6c, dan mag je de snelheden niet meer bij elkaar optellen om de snelheid van de bal ten opzichte van Maxime te berekenen. Doe je dat wel, dan wordt de snelheid gelijk aan de lichtsnelheid. Bij andere waarden kan de snelheid zelfs groter worden dan de lichtsnelheid. En dat kan niet volgens Einstein. Je kunt op twee manieren erachter komen wat de totale snelheid is.

1 Je kunt de snelheden grafisch optellen met behulp van een ruimtetijd-diagram met twee referentiestelsels.

2 Je kunt de snelheid berekenen met een speciale formule.

Relativiteit 45

1 Grafisch bepalen met ruimtetijd-diagram Maxime bevindt zich in het ruststelsel. De wereldlijn van het foton gaat door het punt (10, 10). Floor beweegt met de snelheid 0,6c ten opzichte van Maxime. De ct’-as gaat door punt (6, 10) en de x’-as gaat door punt (10, 6).

De bal beweegt met snelheid 0,4c in het bewegende stelsel van Floor.

De verhouding x’ : ct’ = 4 : 10 = 2 : 5. De ct’-as en de x’-as worden door het raster in het stelsel van Maxime in gelijke stukken verdeeld. Daar maak je gebruik van bij de constructie. Zie figuur 49.

Teken in het snijpunt van x = 2 met de x’-as een lijn evenwijdig aan de ct’-as.

Teken in het snijpunt van ct = 5 met de ct’-as een lijn evenwijdig aan de x’-as tot aan de wereldlijn van het foton.

Vervolgens teken je een lijn door punt (0, 0) en het snijpunt van de twee lijnen.

Zie de groene lijn in figuur 49.

Je ziet dat de lijn evenwijdig aan de x’-as tussen de ct’-as en de wereldlijn van het 3 ​​wordt verdeeld. Dit geldt voor elke lijn, tussen de ct’-as 2 ​​ : ​​ __ foton in de verhouding ​​ __ 5 5 en de wereldlijn van het foton, die evenwijdig aan x’-as loopt. Je kunt ook deze manier gebruiken om een punt van de wereldlijn van de bal te bepalen.

Maxime ct (m) Floor ct' (m)

bal

foton

8

Floor x' (m)

6

4

2 A 0

2

4

6

8

10

Maxime x (m) Figuur 49

Je ziet meteen dat de snelheid van de bal ten opzichte van Maxime kleiner is dan de lichtsnelheid. De snelheid van de bal ten opzichte van Maxime kun je aflezen met behulp van de wereldlijn van de bal in het stelsel van Maxime.

46 Katern

2 Berekenen met een formule Je kunt de snelheid van de bal in het ruststelsel van Maxime berekenen met: u + v ​​ ​w = ​ _ u ⋅ v 1 + ​ _

​ ​c​​ 2​ ▪ ▪ ▪ ▪

w is de snelheid van een bewegend deeltje in het ruststelsel in m s−1. u is de snelheid van het bewegende deeltje in het bewegende stelsel in m s−1. v is de snelheid van het bewegende stelsel ten opzichte van het ruststelsel in m s−1. c is de lichtsnelheid in m s−1.

Opmerking Je moet in deze formule ook rekening houden met de richting van de snelheden.

Voorbeeld Floor beweegt op haar skatebord met 0,60c richting Maxime. Zij gooit de bal weg met 0,40c richting Maxime. a Bepaal met figuur 49 de snelheid van de bal in het referentiestelsel van Maxime. b Bereken de snelheid van de bal in het referentiestelsel van Maxime.

Uitwerking Δx ​ c​ v = ​ _ a ​ Δct ∆x en ∆ct lees je af in figuur 49 voor het ruststelsel van Maxime. ct = 10 m x = 8,1 m Invullen levert v = 0,81c. ​ bal, Floor u ​ ​​ + v b ​​w​ bal, Maxime​​ = ​ ___________

​​ u ​ ​ bal, Floor ​​ ⋅ v 1 + ​ _

​ ​c​​ 2​ ubal,Floor = 0,40c v = 0,60c 0,40c + 0,60c ​​wbal, Maxime ​ ​​ = ​ _______________

​ = 0,806c​ 0,40c × 0,60c 1 + ​ ___________

​ ​c​​ 2​ Afgerond: 0,81c.

Klassieke of relativistische mechanica De kinetische energie bereken je gewoonlijk met E​ ​​ k​​ = ​ _12 ​ m ⋅ ​v​​ 2​​. Deze manier van de kinetische energie berekenen hoort bij de klassieke mechanica. Ook de wetten van Newton zijn onderdeel van de klassieke mechanica. De klassieke mechanica is van toepassing op de beweging van voorwerpen die een lage snelheid hebben ten opzichte van de lichtsnelheid. Je moet dan denken aan snelheden kleiner dan 25% van de lichtsnelheid. Zie ook figuur 48 op pagina 44.

Relativiteit 47

Aan de hand van de energie van een voorwerp bepaal je of je de klassieke mechanica kunt toepassen of dat je relativistische mechanica nodig hebt. Wanneer de kinetische energie minder dan 5% van de rustenergie is, leveren zowel de klassieke mechanica als de relativistische mechanica een correct antwoord. Daarboven moet je relativistische mechanica gebruiken.

Dat betekent dat je moet rekenen met Etot = E 0 + Ek = γ ∙ mrust ∙ c2 = mrel ∙ c2.

Opgaven ▶ tekenblad

22 In figuur 50 zie je hoe de totale energie van een deeltje afhangt van zijn snelheid. a Schets in figuur 50 hoe de kinetische energie van een deeltje afhangt van zijn snelheid. b Leg aan de hand van figuur 50 uit dat een deeltje nooit sneller kan gaan dan het licht.

E0

v (m s–1) Figuur 50

23 Ruimteschip Enterprise vliegt met een snelheid van 0,2c in het Alfa-kwadrant.

Plotseling wordt de Enterprise ingehaald door het oorlogsschip Bird of Prey, dat met een snelheid van 0,8c door het Alfa-kwadrant vliegt. Direct wordt door de commandant van de Enterprise een 0,7c-projectiel op het oorlogsschip afgevuurd.

Even later vernietigt de raket het oorlogsschip.

Controleer of dit verhaal waar kan zijn.

24 In de Large Hadron Collider worden twee protonenbundels versneld tot bijna de lichtsnelheid. Elk proton in de bundel heeft een maximale energie van 7,0 TeV. a Toon aan dat de snelheid van de protonen (bijna) gelijk is aan de lichtsnelheid.

Elke bundel heeft een totale energie die gelijk is aan de kinetische energie van een personenauto van 1200 kg die met een snelheid van 90 km h−1 rijdt. b Bereken hoeveel protonen zich in één bundel bevinden.

48 Katern

25 Een kern He-4 krijgt tijdens een supernova een totale energie van 3,5 nJ. De rustmassa van een kern He-4 bedraagt 6,6463∙10 −27 kg. a Toon aan dat de rustenergie van een kern He-4 gelijk is aan 6,0·10 −10 J. b Toon aan dat je de snelheid van de kern He-4 moet berekenen met relativistische mechanica. c Bereken de snelheid van de kern He-4.

26 Stel dat een ruimteschip vanuit stilstand versnelt tot 20% van de lichtsnelheid. a Bereken met hoeveel procent de totale energie van het ruimteschip toeneemt.

Geef je antwoord in een significant cijfer.

Het ruimteschip versnelt vervolgens totdat zijn totale energie verdubbeld is. b Bereken in twee significante cijfers de snelheid van het ruimteschip bij deze hoeveelheid energie. ▶ hulpblad

27 Valentina en Neil gaan met hun raket en planeetlander op weg naar planeet Ikusasa.

De snelheid van de raket is 0,40c. In de buurt van de planeet schiet Neil de planeetlander met Valentina erin weg met een snelheid van 0,26c ten opzichte van de raket. a Toon aan dat de snelheid van de planeetlander in het stelsel van Ikusasa gelijk is aan 0,60c.

Vanuit Ikusasa wordt een ontvangstraket met een snelheid van 0,50c naar de planeetlander gestuurd. b Bepaal met een ruimtetijd-diagram de snelheid waarmee Valentina de ontvangstraket ziet naderen.

▶ hulpblad

28 Bij een vervalreactie is de totale massa na het verval kleiner dan voor het verval.

Dit verschil in massa wordt geheel omgezet in kinetische energie van de ontstane deeltjes.

Een bundel instabiele K+-mesonen passeert met een snelheid van 0,886c twee tellers die 12,0 m uit elkaar staan. De eerste teller telt 2000 gepasseerde mesonen, de tweede teller telt er 500. a Bereken de halveringstijd van het K+-meson.

Een K+-meson in rust vervalt tot drie π-mesonen volgens: K+ → 2 π+ + π− Alle π-mesonen hebben een snelheid van 0,53c.

De rustmassa van elk π-meson is 140 MeV. b Bereken de rustmassa van het K+-meson in MeV.

Relativiteit 49

Leerdoelen Hierna vind je een overzicht van de leerdoelen per paragraaf. Ga voor jezelf na of je de leerdoelen beheerst. Geef aan met welke leerdoelen je nog moeite hebt en wat je hiermee gaat doen.

Paragraaf 1 Tijdrek en lengtekrimp Ik kan

Acties

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: referentiestelsel, ruststelsel, bewegend stelsel, inertiaalstelsel, ruimtetijd, speciale relativiteitstheorie, algemene relativiteitstheorie, fotonen, lichtklok, proces, tijdrek, gammafactor, lorentzfactor, lengtekrimp



bewegingen beschrijven vanuit een ruststelsel en vanuit een bewegend stelsel



de speciale relativiteitstheorie beschrijven met de begrippen lichtsnelheid, tijdrek en lengtekrimp



berekeningen maken en redeneren met de formules voor tijdrek en lengtekrimp: ℓ​ e​ ​​ ​Δ ​tb​ ​​ = γ ⋅ Δ ​te​ ​​​ ; ​​ℓb​ ​​ = ​ _ γ ​​



Paragraaf 2 Ruimtetijd-diagram Ik kan

Acties

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: ruimtetijd-diagram, wereldlijn, gebeurtenis, minkowskidiagram, lichtkegel, verleden, toekomst, oorzaak, gevolg



een beweging grafisch weergeven in een ruimtetijddiagram



de snelheid van een gebeurtenis in een ruimtetijd-diagram bepalen



uitleggen of een gebeurtenis in het verleden of in de toekomst ligt



uitleggen of een gebeurtenis de oorzaak of een gevolg is berekeningen maken en redeneren met de formule voor de hoek die een wereldlijn maakt met de ct-as: Δx ​ = ​ _ v ​​ ​tan​(α)​ = ​ _ Δct c

62 Katern





Paragraaf 3 Gelijktijdigheid Ik kan

Acties

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: gelijktijdig(heid)



een ruststelsel en een bewegend stelsel grafisch weergeven in één ruimtetijd-diagram, en een assenstelsel toevoegen in het bewegende stelsel



de plaats en tijd van een gebeurtenis bepalen in een ruimtetijd-diagram met een ruststelsel en een bewegend stelsel, zowel voor het ruststelsel als voor het bewegende stelsel



Paragraaf 4 Energie Ik kan

Acties

de volgende begrippen beschrijven en toepassen: rustenergie, kinetische energie, totale energie, relativistische snelheid, klassieke mechanica, relativistische mechanica



beschrijven dat de totale energie van een deeltje oneindig wordt als de snelheid in de buurt van de lichtsnelheid komt



de relativistische snelheid bepalen met behulp van een ruimtetijd-diagram



beschrijven dat de massa van een deeltje afhangt van de snelheid waarmee het beweegt



berekeningen maken en redeneren met de formule van Einstein en de formules voor totale energie en samenstellen van snelheden: u + v ​​ E = m ∙ c2 ; Etot = E 0 + Ek = γ ∙ m 0 ∙ c2 = mrel ∙ c2; ​w = ​ _ u ⋅ v ​ 1 + ​ _

​c​​ 2​



L e erd o el en

63