statya-raschet-uprugoj-xarakteristiki-gofrirovannoj-v-okruzhnom-i-radialnom-napravleniyax-membrany

u r n.

УДК 62-278

i k a

РАСЧЕТ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГОФРИРОВАННОЙ В

v u .

ОКРУЖНОМ И РАДИАЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИЯХ МЕМБРАНЫ В.Ф. УВАКИН, В.Б. ОЛЬКОВА

w w

Институт техники, технологии и управления

w

Балаково

Полученные ранее нелинейные дифференциальные уравнения плоской

u r . n i k

анизотропной мембраны в области больших перемещений решены с использованием метода «наложения», найдено аналитическое выражение для

a v .u

упругой характеристики гофрированной в окружном и радиальном направлениях мембраны, дан анализ свойств мембран нового типа, определены

w w

выражения для коэффициентов анизотропии k1i и kjp для синусоидального

r. u

профиля волн гофр.

n i k a v u . w w w

w

Cистема нелинейных дифференциальных уравнений в безразмерных

параметрах плоской анизотропной мембраны в больших перемещениях имеет вид:

где ψ = −

ρψ "+ψ '− β 2 ⋅ ρϑ"+ϑ '− β 2 ⋅

ψ k1r ϑ 2 = ⋅ ; ρ k tp 2

(1)

pR 2  ϑ R  ρ ; =  − ψEhϑ + 2 ρ Dпр   2

Tr r r - функция радиального усилия; ρ = - безразмерный радиус EhR R

мембраны; β = 2

k rp k1r k tp k1t

u r . in

- безразмерный параметр; ϑ - угол поворота норма-

k a v u .

ли к срединной поверхности мембраны; Dпр = D ⋅

w w

w

(1 − µ ) 2

⋅

u r . n i k

k tp

 k k  k 1 − µ 2 1r 1t  1r  k tp k rp  

a v .u

- приве-

денное значение изгибной жесткости гофрированной по двум направлени-

w w

ям мембраны; Tr - растягивающая сила в радиальном направлении, отне-

w

сенная к единице длины дуги; р – давление на мембрану; Е – модуль упругости материала мембраны; µ - коэффициент Пуассона; h – толщина мем-

u r n.

браны; R, r – наружный и текущий радиусы мембраны; k1r, krp и k1t, ktp –

i k a

коэффициенты анизотропии в радиальном и окружном направлениях пло-

v u .

ской анизотропной мембраны, зависящие только от геометрии профиля волн гофр и толщины мембраны (символ ()' означает производную

w w

w

d () ). dρ

Нелинейные уравнения (1) можно решить с использованием метода «наложения».

u r . n i k

Основная идея метода наложения заключается в том, что сопротивление мембраны внешней нагрузке рассматривается как сумма сопротивле-

a v .u

ний изгибу и растяжению.

Сопротивление мембраны изгибу определяется по линейной теории, а

w w

r. u

сопротивление растяжению – из расчета абсолютно гибкой мембраны. Ис-

w

n i k a v u . w w w

комое решение определяется «наложением» этих двух решений, т.е. приравниванием суммы сопротивлений мембраны на изгиб и на растяжение внешней нагрузке:

где р =

p = pи + р р ,

рR 4 - безразмерный параметр давления; р и характеризует сопроЕh 4

тивление мембраны изгибу, а р р - сопротивление растяжению. Предположим, что упругая характеристика гофрированной мембраны описывается кубическим уравнением

n i k

.ru

p=a

a v .u

ϖ0 h

+b

ϖ 03 h3

,

(2)

u r . n i k

где линейный член соответствует сопротивлению эквивалентной анизотропной мембраны изгибу и определяется из решения задачи о малых про-

w w

a v .u

гибах мембраны, кубический член характеризует сопротивление мембра-

w

ны растяжению, для его определения необходимо рассмотреть задачу об

w w

абсолютно гибкой анизотропной мембране; ϖ0 – прогиб центра мембраны под действием давления р.

w

u r n.

Уравнения мембраны при малых прогибах и абсолютно гибкой мем-

i k a

браны можно получить как предельные случаи из дифференциальных

v u .

уравнений (1) плоской анизотропной мембраны в больших перемещениях. Проведем решение для мембраны, защемленной по наружному конту-

w w

ру, без жесткого центра, с постоянными глубинами волн гофр в окружном

w

и радиальном направлениях.

Полагая при малых прогибах функцию растягивающего усилия ψ=0,

u r . n i k

получим из системы (1) линейное уравнение плоской анизотропной мембраны ρϑ"+ϑ '− β 2

где λ p =

ϑ = λpρ 2, ρ

r. u

pR 3 - параметр нагрузки.

Dпр

n i k a v u . w w w

a v .u

w w

w

Решение этого линейного уравнения запишем в виде  ρ3 β −β ϑ = λ р  С1 ρ + d 1 ρ + 9−β2 

  . 

(3)

Постоянные интегрирования С1 и d1 определяются из следующих гра-

ничных условий: в центре (ρ=0) и на контуре (ρ=1) угол поворота ϑ = 0 . Отсюда С1 = −

1 и d1=0.

9−β2

Подставляя постоянные интегрирования С1 и d1 в выражение (3) для ϑ , получим угол поворота ϑ=

k a v u .

u( r . in λp

9−β2

ρ 3 − ρ β ).

(4)

u r . n i k

Угол поворота ϑ нормали к срединной плоскости пластинки является

w w

производной вертикального прогиба ϖ по радиусу r:

w

ϑ=

dϖ . dr

w w

a v .u

Тогда относительный прогиб центра мембраны определяется как ϖ0 R

0

= ∫ ϑdρ .

1

w

(5)

u r n.

Подставляя сюда угол поворота из формулы (4), получим ту часть дав-

i k a

ления, которая определяет сопротивление мембраны изгибу  pR  4  Eh

4

v u .

2k tp (3 + β )(1 + β ) ϖ 0   = ⋅ . h   k k и 3k1r 1 − µ 2 1r 1t   k tp k rp  

w w

(6)

w

Для определения кубического члена характеристики (2) при весьма больших прогибах гофрированной мембраны запишем уравнения абсо-

u r . n i k

лютно гибкой мембраны, которые получаются из системы (1), если положить в ней изгибную жесткость Dпр=0

ψ k1r ϑ 2 ⋅ ; ρψ "+ψ '− β ⋅ = ρ k tp 2

a v .u

2

r. u

ψϑ = p 0 ρ 2 ,

n i k a v u . w w w где p 0 =

pR - параметр нагрузки.

2 Eh

w w

(7)

w

Уравнения (7) решаем методом Бубнова-Галеркина, задаваясь законом

изменения угла поворота ϑ = Cρ ,

(8)

это соответствует упругой поверхности, близкой к сферической. Подставляя ϑ из (8) в первое уравнение системы (7), после интегриро-

вания получим C 2 k1r ψ= 2k tp

k a v u .

 ρ3 β −β   9 − β 2 + aρ + bρ 

u r . in

 .  

(9)

Постоянная интегрирования b=0, т.к. в центре мембраны (ρ=0) растяги-

u r . n i k

вающее усилие имеет конечное значение (ψ≠∝). Постоянная а зависит от способа закрепления мембраны по наружному контуру. Если радиальное

w w

a v .u

смещение невозможно, то на контуре окружная деформация εtp=0. Вели-

w

w w

чина εtp связана с усилиями Тr и Тt законом Гука ε tp =

w

 k tp   Tt − k1r µTr  .  k tp k1r Eh  

Граничное условие ε tp

ρ =1

u r n.

= 0 , выраженное в безразмерных величинах

имеет вид

i k a

v u .

ψ '− µ

w w

k1r ψ ⋅ k tp ρ

=0.

(10)

ρ =1

Из этого равенства находим постоянную а

w

a=−

(3k tp − µk1r ) 1 ⋅ .

9 − β 2 (βk tp − µk1r )

u r . n i k

Подставляя угол поворота ϑ (8) и функцию ψ (9) во второе уравнение

a v .u

системы (7), умножим его на ρ в соответствии с методом БубноваГалеркина и проинтегрируем в пределах изменения ρ, т.е. от 0 до 1. В ре-

w w

зультате получим

r. u

n i k a v u . w w w

w

1  p0 3k tp − µk1r C k1r . −  = k tp (9 − β 2 )  6 ( βk tp − µk1r )( β + 3)  2 3

(11)

Постоянную С можно выразить через прогиб ϖ0 центра мембраны с

помощью выражений (5), (8)

откуда C = −

0

0

ϖ 0 = ∫ ϑdr = CR ∫ ρdρ = − R

1

CR , 2

2ϖ 0 .

R

Используя последние соотношения, находим кубический член характеристики (2)  pR 4  4  Eh

u r . in

 3k tp − µk1r  32k1r 1  ϖ 03  = − ⋅ 3 .

2   p k tp (9 − β )  ( βk tp − µk1r )( β + 3) 6  h

k a v u .

(12)

u r . n i k

Суммируя выражения (6) и (12) в соответствии с методом наложения, получим уравнение упругой характеристики гофрированной по двум ко-

w w

a v .u

ординатным осям мембраны в больших перемещениях

w

pR

4

Eh

4

=a

ϖ0 h

+

ϖ 03 b 3 h

,

w

w w

(13)

где а =

2k tp (3 + β )(1 + β )  k k  3k1r 1 − µ 2 1r 1t   k tp k rp  

u r n.

 3k tp − µk1r 1 −  . (14) 2  ( βk − µk )( β + 3) 6 k tp (9 − β )   tp 1r 32k1r

; b=

i k a

v u .

Анализ показывает, что гофрированные по двум координатным осям

w w

мембраны по сравнению с мембранами, гофрированными только в окруж-

w

ном направлении [1, 2], позволяют:

u r . n i k

- путем изменения параметров волн гофр в окружном и радиальном направлениях в широких пределах изменять свойства мембран по отношению к внешним возмущениям – резко увеличить изгибную жесткость и

a v .u

снизить жесткость на растяжение по двум координатным осям, что позво-

w w

ляет увеличить линейный участок упругой характеристики в 2…5 раз и

r. u

собственную частоту колебаний мембраны в 1,5…2 раза [3];

w

n i k a v u . w w w

- в 5…10 раз уменьшить металлоемкость конструкций, в которых гофрированные мембраны используются в качестве фланцев, крышек, днищ. Применение гофрированных по двум координатным осям мембран по-

зволяет улучшить технические характеристики измерительных преобразователей (датчиков давления, расхода, и т.д.), уменьшить расход дефицитных материалов для изготовления мембран. Известны гофрированные мембраны с трапецеидальными, пильчатыми и синусоидальными профилями волн гофр, для которых в работах [1] и [2]

u r . in

приведены аналитические выражения для коэффициентов анизотропии k1 и k2, включая и пологий синусоидальный профиль волн гофр, которые по

k a v u .

u r . n i k

методу наложения в первом приближении справедливы для гофр в окружном и радиальном направлениях.

w w

Наиболее технологичным профилем волн гофр является синусоидаль-

a v .u

ный, для которого нет аналитических выражений для коэффициентов ани-

w

зотропии k1 и k2=kp при отношении

w w

H 1 > (Н – глубина волн гофр, равная l 8

w

удвоенному значению амплитуды синусоиды; l – длина волн гофр). В ряде случаев для малогабаритных изделий требуются мембраны с малой тол-

u r n.

H   щиной и более крутыми волнам гофр  0,125 < < 1 . В этом случае коl  

i k a

v u .

эффициенты k1 и k2 определяются через полные эллиптические интегралы I и II рода.

w w

k1 =

w

H2 2 k2 = 2 ⋅ h π 1− a2

где F0 =

π /2

dα

∫

1 − a sin α 2

0

и E0 =

2

π 1− a2

⋅ E0 ;

(15)

 1 1   2 1− a2   ⋅  2 − 1 F0 +  2 − 2  E 0  + F0 , π a      a

π /2

∫

u r . n i k

1 − a 2 sin α dα - полные эллиптические инте-

a v .u

0

πH

гралы I и II рода; a =

r. u

n i k a v u . w w w ∫

(16)

l  πH  1+    l 

2

w w

- модуль эллиптических интегралов;

w

x α = 2π - аргумент; x-текущая координата синусоиды. l

Полные эллиптические интегралы I и II рода можно представить в виде

рядов [4]:

F0 =

2 2 2  1  1⋅ 3  1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅  2 4 6 = 1 +   ⋅ a +   ⋅a +  ⋅a ; 2⋅4  2⋅4⋅6  1 − a 2 sin α 2   2 

π /2

0

E0 =

π /2

∫ 0

π

dα

π

2 2 2 4 6 1  1⋅ 3  a  1⋅ 3 ⋅ 5  a  2 1 − a sin α dα = 1 −   ⋅ a −   ⋅ −  ⋅ .

2   2   2 ⋅ 4  3  2 ⋅ 4 ⋅ 6  5  2

u r . in

(17) (18)

Подставив значения полных эллиптических интегралов (17), (18) в выражения (15), (16) для коэффициентов k1 и k2, получим

k a v u .

 a 2 3a 4 45a 6  k1 = − − 1 − ; 4 64 2304  1− a2  1

k

2

=

H h

2 2

⋅

w w

3

w

2 1− a

2

 3a 2 1 − 8 

−

5a

4

64

−

35a

6

384

+ 

u r . n i k

(19)

1− a

2

 1 + 

a

2

4

+

a v .u

9a

w w

4

64

+

225a

2304

Последние соотношения будут справедливы при отношениях

w

6

  . (20) 

H ≤ 1. l

u r n.

На рис. 1 представлены графики изменения коэффициентов анизотропии K1=k1 и

K2= k 2'

=

k2 ⋅ h2 H2

a v .u

H при относиl

H > 8 , из которых видно, что с возрастанием h

w w

тельной глубине волн гофр отношения

ki

в зависимости от отношения

w

H увеличивается диапазон допустимой деформации растяжеl

ния до 0,05…0,15,

u r . n i k

коэффициент анизотропии k2 также возрастает на

10…15%.

a v .u

ЛИТЕРАТУРА

w w

1. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. – М.: Машгиз, 1962. – 456 с.

r. u

w

n i k a v u . w w w

2. Пономарев С.Д., Андреева Л.Е. Расчет упругих элементов машин и

приборов. – М.: Машиностроение, 1980. – 326 с.

3. Электрические измерения неэлектрических величин. Под ред. П.В.

Новицкого. – Л.: Энергия, 1975. – 576 с.

4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работни-

ков и инженеров). М.: Наука, 1974. – С. 757.

w w

k a v u .

u r . in

u r . n i k

a v .u

w

w

w w

K1,K2

3

i k a

v u .

w w

2,5

u r n.

w

2

u r . n

1,5

i k a v .u

1

n i k a v u . w w w 0

w w

r. u

0,5

0

w

0,1 0,2 0,3 0,4

w w

K1 K2

k a v u .

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

u r . in

1

H/l

u r . n i k

a v .u

w

w

w w