Metodo simplex dual

METODO SIMPLEX DUAL PRESENTADO POR: YEISSON GUTIERREZ MARLON DIAZ

TUTOR: FRANKLIN ALBEIRO GOMEZ ASIGNATURA: INGENIERIA DE SISTEMAS

UNIREMINGTON COORPORACION UNIVERSITARIA CTCUCUTA NORTE DE SANTANDER 2017

HISTORIA DE LA PROGRAMACION LINEAL

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos, como Newton, Leibnitz, Bernoulli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente, el matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1 776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1 939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual programación lineal. En ese año, el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida, llamada hoy en día programación lineal.

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de KoopmansKantorovftch.

Koopmans, Dantzig y Kantorivich

Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de régimen alimenticio optimal.

En los años posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaba necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la programación lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las técnicas de computación y los ordenadores, instrumentos que harían posible la resolución y simplificación de los problemas que se estaban gestando.

En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse SCOOP

(Scientific Computation Programs).

of

Optimum

Respecto al método simplex, que estudiaremos después, señalaremos que su estudio comenzó en 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudándose de varios modelos de ordenador de la firma International Business Machines (IBM).

Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al

METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ).

La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema.

CONDICION DE FACTIBILIDAD . La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las

matemático norteamericano de origen húngaro John (Janos) Von Neumann (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo Teoría de juegos. En 1 947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos.

La influencia de este respetado matemático, discípulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1 930, catedrático de la Universidad de Princeton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

variables básicas son no negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible).

CONDICION DE OPTIMIDAD. La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue.

Tome los cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale.

Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización (rompa los empates arbitrariamente).

Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.

EJERCICIOS RESUELTOS V INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Método Simplex Dual

Considere

el

siguiente

modelo

de

Programación Lineal:

Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se obtiene la siguiente A tabla inicial.

Paso 1:

A

B

C

S

S

S

1

2

3

1

0

0

variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cual de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {-Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/-2, 50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cuociente, por tanto A entra a la base.

Paso

3: Se

actualiza

la

B

C

S1

S2

S3

1

2/15

1/15

1/15

0

0

40/3

0

-2

-1/2

-1/2

1

0

-50

0

-4/3

-2/3

-1/3

0

1

160/3

0

68

29

21

0

0

4.200

-15

-2

-1

20 0 -

-7,5

-3

-1

0

1

0

15 0 -

-5

-2

-1

0

0

1

12 0

31

11

5

5

0

0

Paso

2:

derecho indicará

0

0

0

0

Se selecciona el lado "más negativo" lo cual cuál de las actuales

tabla

anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente: Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas

iteraciones se obtiene la siguiente tabla final: A

B

S2

son

de

1000,

1500

y

1200

automóviles, la demanda trimestral en los dos centros de demanda son

C

S1

S3

0

1/10

8

de 2300 y 1400 vehículos. El costo

1

0

0

1/10

0

1

0

1/4

-1

3/4

10

0

0

1

0

2

-3

60

0

0

0

4

10

36

6.620

La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V(P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado). También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado en el tutorial de solver, esto dado que dicho modelo resulta ser el problema dual de nuestro ejemplo.

de transporte en dólares es: Planta/Almacén 1 2 3

1 80 100 102

2 215 108 68

Sea xij el número de automóviles transportados desde la fuente i al destino

j.

Como

la

oferta

total

(1000+1500+1200 = 3700) es igual a la demanda total (2300+1400 = 3700) el modelo de transporte está equilibrado.

Por lo tanto el siguiente modelo representa la situación descrita: Min z = 80x11 + 215x12 + 100x21 + 108x22 + 102x31 + 68x32 Sujeto a: x11 + x12 = 1000

EJEMPLO DE APLICACIÓN EN LA VIDA COTIDIANA METODO DE TRANSPORTE Considere

La

Empresa

y

dos

Gerconsa

centros

x31 + x32 = 1200 x11 + x21 + x31 = 2300 x12 + x22 + x32 = 1400

productora de automóviles de tres plantas

x21 + x22 = 1500

de

distribución. Las capacidades de las tres plantas durante un trimestre

xij >= 0 para toda i, j.

Un

método

más

resumido

para

representar el modelo de transporte consiste

en

utilizar

los

que

se

llama tabla de transporte, esta es una

matriz

donde

las

filas

representan

las

fuentes

y

(unidades por micro nanosegundo, segundos.. o lo que sea, siempre y cuando se maneje la misma unidad temporal en todo el problema).

Los costos de enviar desde cualquier fábrica a cualquier almacén se pueden ver en la tabla abajo.

las

columnas el destino. En cada celda se

especifica

la

cantidad xij y

el

costo cij.:

Fuente/destino 1 1 x11 2 x21 3 x31 Demanda 2300

2 x12 x22 x32 1400

80 100 102

El método de transporte es un problema

clásico

dentro

de

la

Oferta Capacidad de Producción (u/t) 215 1000 Fabrica 1 Fabrica 2 Fabrica 3 108 1500 25 25 10 68 1200 Demanda 3700de los Almacenes (u/t) Almacén Almacén Almacén Almacén 4 1 2 3 20 15 20 5

costo mínimo de transportar una

Costo de Transporte desde la Fabrica i al almacén j Almacé $/uni Almac Almac Almac n

serie de productos desde n fábricas,

d

programación

matemática;

se

analiza la manera de obtener el

hasta m almacenes; cada envío tiene un costo particular que estará en función de la distancia, el tipo de carretera,

la

cantidad

y

otras

variables.

Como siempre, se entiende mejor con un ejemplo: 



La más famosa empresa dentro de las aulas universitarias, la Empresa Gerconsa, tiene tres fábricas donde manufactura su famosísimo producto P, con capacidades de producción de 25 (unidades por micro nanosegundo, por segundo, hora, año… no importa, es lo mismo para todos), 25,10 y debe surtir a 4 almacenes con demandas de 20,15,20,5

én 1

Fabri 2 ca 1 Fabri 5 ca 2 Fabric 6 a3

én 2

én 3

2

0

4

9

8

3

4

3

2

4

Ahora la pregunta es cuánto se debe enviar desde cada fábrica a cada almacén con el fin de obtener el mínimo costo.

Min Z = 2X11 + 2X12 +0X13 +4X14 +5X21 +9X22 +8X23 +3X24

+6X31+4X32 + 3X33

+2X24 Sujeto a: 1. Satisfacer la demanda de los

almacenes: X11+X21+X31 >= 20 X12+X22+X32 >= 15 X13+X23+X33 >= 20 X14+X24+X34 >= 5 2. No sobrepasar la capacidad disponible de las fabricas X11+X12+X13+X14 <= 25 X21+X22+X23+X24 <= 25 X31+X32+X33+X34 <= 10

Las variables de decisión están en el

3. Por supuesto la condición de no negatividad y todas las

rango [B4-E6]. La celda objetivo

variables

sería

enteras.

algo

así

como

esto:

=

B4*B10+ C4*C10+… pero eso sería

Bueno, aquí la formulación es un

muy largo. La manera corta es:=

poco diferente a como lo hicimos en

SUMAPRODUCTO

los dos ejemplos anteriores. La idea

B10:E12).La cantidad entregada a

aquí es la de tener dos matrices y

cada almacén se ve en la fila 8. Por

dos

se

ejemplo

corresponderá con las variables de

fórmula

decisión, y la otra matriz con los

restricción de la capacidad de las

costos.

dejamos

fabricas la escribiremos en función

simplemente señalada, con algún

del consumo en la columna G; por

formato para distinguirla, y la otra

ejemplo

la digitamos. La celda objetivo será

G4:=B4+C4+D4+E4.

la suma del producto de cada una

restricciones las escribiremos en el

de las posiciones de cada matriz con

cuadro

su correspondiente en la otra; esto

entregado debe ser mayor o igual a

lo podemos hacer rápidamente con

lo requerido, y lo consumido debe

la

del

ser menor igual que lo disponible,

Excel. Las restricciones estarán en

tal como se puede ver en la captura

las columnas de “Consumo” y de

siguiente:

vectores;

La

función

una

primera

“suma

matriz

la

producto”

“entregado”. Primero preparemos el formato del problema, así:

para

la

(B4:E6,

celda

B8,

es:=B4+B5+B6.

para

de

diálogo

la

su La

celda Las como

lo

que a cada tarea se

le

puede

asignar sólo un recurso, pueden sobrar recursos o podrían sobrar tareas pero no se le puede asignar dos recursos a una misma tarea, o tres… por ejemplo si se tienen tres operarios con diferentes tiempos de operación en cuatro máquinas el Las variables de decisión deben ser

modelo nos diría como asignar los

enteras. Luego de introducir los

tres operarios a tres máquinas (nos

datos en éste cuadro de diálogo y

sobraría una) de manera que se

de hacer click en resolver, se hallará

minimice el tiempo total, pero no

la siguiente solución:

nos

V.

EL

PROBLEMA

DE

LA

diría

como

asignar

dos

operarios a dos máquinas y el otro

ASIGNACIÓN

operario a las otras dos máquinas

El Problema de la Asignación es un

Ejemplos

problema clásico de la Investigación

Operarios a Tareas, Máquinas a

de

Operarios, Nadadores a Estilos, etc.

Operaciones

particular

del

y

es

un

caso

Problema

del

de

Asignaciones:

El Problema de la Asignación se basa

en

una

información

comparativa para tomar la decisión de que asignar a que, por ejemplo una matriz de costos, una matriz de tiempos, de ingresos, etc. Cuando la matriz no está balanceada, es decir, cuando no es cuadrada, cuando sobran filas o columnas, se debe Transporte.

balancear para que tenga solución mediante la inclusión de filas o

Este problema se trata de asignar

columnas ficticias, con valores de

una serie de Recursos a una serie

cero en dicha matriz.

de tareas. Tiene una limitante y es