Procesos Poisson

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA PROCESOS ESTOCÁSTICOS MARACAY – EDO. ARAGUA

REVISTA DIGITAL

INTEGRANTES: DÍAZ, JOSÉ V-27168881 VIELMA, NERIO V-27036932

NOVIEMBRE, 2020

BIOGRAFÍA DE MÁRKOV Andrey Andreyevich Markov, nació en Riazán en el año 1856, fue un matemático ruso que desarrolló la moderna teoría de procesos estocásticos. Trabajó en la casi totalidad de los campos de la matemática. En el campo de la la teoría de la probabilidad, profundizó en las consecuencias del teorema central del límite y en la ley de los grandes números. En su honor, lleva su nombre un tipo muy especial de procesos estocásticos.

Markov se graduó en la Universidad de San Petersburgo en 1878, fue alumno de Pafutny Chebyshev, quien ejerció una gran influencia en sus investigaciones. Impartió clases de matemáticas en esta Universidad desde 1886. Sus primeras investigaciones versaron sobre análisis y teoría de números, en particular sobre las fracciones continuas, límites de integrales, teoría de aproximaciones y convergencia de series.

Posteriormente, estudió las variables dependientes e introdujo el concepto de sucesos encadenados. Markov extendió los resultados clásicos de sucesos independientes a cierto tipo de sucesos encadenados, conocidos como sucesos markovianos, que son aquellos cuyo estado en un instante de tiempo depende de uno o varios estados cronológicamente anteriores. Este estudio, desarrollado por su discípulo Andrei Kolmogorov y por Norbert Wiener, se convirtió en una teoría general de procesos estocásticos y se ha aplicado con éxito en campos tan dispares como la biología, la sociología y la lingüística. Fue miembro de la Academia rusa de Ciencias desde 1896.

Márkov arrastró durante toda su vida problemas relacionados con una malformación congénita en la rodilla que le llevaría varias veces al quirófano y que, con el tiempo, fue la causa de su muerte cuando el 20 de julio de 1922 en San Petersburgo, en una de las muchas operaciones a las que se sometió le produjo una infección generalizada de la que no pudo recuperarse.

CADENAS DE MÁRKOV A TIEMPO CONTINUO Las nociones de cadenas de Markov se puede extender a un tiempo continuo t ≥ 0.

En tiempo continuo es complicado definir la distribución condicionada, dados todos los valores Xr para r ≤ s, por lo que decimos en su lugar que Xt, t ≥ 0, es una cadena de Markov si para cualquier 0 ≤ s0 < s1 < ... < sn < s y posibles estados i0,...,in, i, j se tiene que P (Xt+s = j | Xs = i, Xsn = in,...,Xs0 = i0) = P (Xt = j | X0 = i) es decir, dado el estado

actual, el resto del pasado es irrelevante para predecir el futuro.

En la definición se observa que la probabilidad de ir desde i en el tiempo s hasta j en el tiempo s + t solo depende de t, esto es, de las diferencias de tiempos.

EJERCICIO Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes:

1

2

3

1

0.8

0.1

0.1

2

0.03

0.95

0.02

3

0.2

0.05

0.75

Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?.

Respuesta En primer lugar definimos la variable aleatoria x n que representa la marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n. Dicha variable aleatoria puede adoptar los valores 1,2,3 en el mes n=0,1,2,3,..

Adicionalmente conocemos cuál es la distribución inicial y la matriz de

probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación:

Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula f n=PT ∗f n −1

Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente.

BIOGRAFIA DE SIMÉON DENIS POISSON Siméon Denis Poisson, nacio en Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781 y murio en Sceaux (Altos del Sena), Francia, 25 de abril de 1840 fue un físico y matemático francés al que se le conoce por sus diferentes trabajos en el campo de la electricidad y por sus publicaciones acerca de la geometría diferencial y la teoría de probabilidades.

En 1798, ingresó en la École Polytechnique en Paris como primero de su promoción, y de inmediato comenzó a atraer la atención de los profesores de la escuela, quienes le

dejaron libertad para tomar sus propias decisiones en cuanto a lo que iba a estudiar. En 1800, menos de dos años después de su ingreso, publicó dos libros de memorias, uno sobre el método de eliminación de Étienne Bézout, y el otro sobre el número de integrales de una ecuación en diferencias finitas.

Como profesor de matemáticas se dice de Poisson que tuvo un éxito extraordinario, como era de esperar tras su temprano desempeño como répétiteur en la École Polytechnique. Como trabajador científico, su productividad es prácticamente insuperable. A pesar de sus muchos deberes oficiales, encontró tiempo para publicar más de trescientas obras, varias de ellas extensos tratados; y muchas otras memorias dedicadas a tratar las ramas más abstrusas de la matemática pura, de la matemática aplicada, de la física matemática y de la mecánica racional.

PROCESO DE POISSON En estadística y simulación, un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con parámetro λ; cada uno de tales tiempos es independiente del resto. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781–1840).

Propiedades A partir de la definición, es posible demostrar que:

EJERCICIO El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehiculo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50000 kilómetros .Si el vehiculo recorre 100000 km, se pide: a) probabilidad de que no tenga pinchazos

b) Probabilidad de que tenga menos de tres pinchazos c) Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066

Respuesta Si λ = 0.3 para 50000 km, entonces para 10000km tendremos una X→Po(0.6).

a) P(X=0) = 0.5488

b) P(x<3) = P(X=0) + P(x=1) + P(X=2) =0.5488 + 0.3292 + 0.09878 = 0.9767

c) P(X=0) = e-λ =0.4066. Por tanto, ln e-λ = ln 0.4066 y λ= 0.9 Si 0.3→ 50000 km, 0.9→ x km, y por tanto x = 150000km

PROCESO DE POISSON COMPUESTO Un proceso de Poisson compuesto es un proceso estocástico que combina un proceso de Poisson con otra variable aleatoria independiente, de tal manera que para cada salto discontinuo del proceso de Poisson la otra variable asume un valor real. El modelo es muy usado para modelizar, por ejemplo, una cartera de seguros, en este modelizado las reclamaciones por daños a la aseguradora sigue un proceso de Poisson ordinario, pero la cuantía de la reclamación es una variable aleatoria adicional, de tal manera que el monto de las reclamaciones es un proceso de Poisson compuesto de la forma:

El proceso de Poisson compuesto (4.3) cumple las siguientes propiedades:

EJERCICIO Una empresa de distribución de energía eléctrica ha decidido enfrentar el invierno venidero con un Plan de Solución de Fallas Criticas. De las estadísticas recopiladas de los a˜nos anteriores, se puede concluir que las fallas criticas tienen dos orígenes posibles: Domiciliario y de Alumbrado Publico. Ambas fallas se presentan según procesos de Poisson independientes, de tasa λD[fallas/día] para fallas domiciliarias y λA[fallas/día]para fallas de Alumbrado Publico. Como parte del diseño del plan, se conformo un equipo de empleados altamente capacitados en la reparación de fallas en redes eléctricas. Este equipo acude a reparar las fallas reportadas demorándose un tiempo exponencialmente distribuido de media T[hrs] por cada una, incluyendo en este lapso el tiempo de transporte al lugar de la falla. a) Si durante el primer mes de funcionamiento del Plan se han reportado F fallas, ¿cu al es el numero esperado de fallas para el segundo mes?. b) ¿Cual es la probabilidad de que la primera falla que se registre en un mes sea domiciliaria?.

Respuesta a)Como los meses son intervalos disjuntos de tiempo estas probabilidades son

independientes. La esperanza del numero de fallas ser´a 30 · (λD + λA) en 1 mes. b) Esta es la típica pregunta tipo “¿Cual es la probabilidad que pase A antes de B?”.

Si TD es el tiempo en que ocurre la primera falla domiciliaria y TA es el tiempo en que ocurre la primera falla de alumbrado publico sabemos que TD --> exp(λD) y TA --> exp(λA)

P(TD < TA) = λD / (λD + λA)

PROCESO DE POISSON MIXTO En esta generalizaci´on del proceso de Poisson se considera que el par´ametro λ no es constante sino una variable aleatoria.

PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE

En el contexto de teoría de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.

El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que tienen el sistema de colas en el tiempo t Supuesto 1 Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro ln Atención: ln= la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistema Supuesto 2 Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro mn Atención: mn = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema.

Supuesto 3 La variable aleatoria de la suposición 1 ( tiempo que falta hasta el próximo nacimiento ) y la variable aleatoria de la suposición 2 ( tiempo que falta hasta la próxima muerte ) son mutuamente independientes. Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte

EJERCICIO La banda criolla “Jorge y los Markovianos” finalmente han alcanzado el éxito a nivel nacional. Es así como se aprestan a realizar un concierto en el Estadio Nacional a modo de celebración. Jorge como buen alumno, ocupar´a sus conocimientos para estudiar la dinámica del numero de personas que asiste al concierto. Jorge sabe que sus fanáticos son de dos tipos específicos. El primer grupo llegar´a al estadio de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa β . Una persona de este tipo es tal que si llega al estadio y encuentra este con su capacidad nominal completa (suponga esta capacidad igual a N personas) se retirará indignado. Sin embargo, existe otro tipo de fanático a los que no les importa ir a ver tocar a Jorge sino que se motivan de acuerdo a la gran afluencia de publico. Se puede suponer que los tiempos entre llegadas de este grupo están exponencialmente distribuidos y dependen linealmente del numero de personas que ya se encuentran en el estadio. De esta manera, el tiempo esperado hasta que llegada el siguiente de estos fan, cuando hay solo una persona en el estadio, es 1/λ , mientras que si hay i es 1/(λ · i). A este grupo no les interesa que el estadio ya haya sobrepasado su capacidad, dado que debido a la falta de seguridad ingresan al recinto de todas formas hasta que este esta por reventar, lo que ocurre cuando el numero de personas es 3 · N. Finalmente se tiene, que independiente del tipo de fan que se trate, éste se aburre y regresa del estadio en un tiempo exponencialmente distribuido de media 1/µ . Suponga para efectos de este problema que el repertorio de Jorge no se acaba nunca.

-Modele el numero de personas en el recinto como un proceso de nacimiento y muerte. ¿Cual es la condición de estacionalidad?.

Respuesta

Respecto a la condición de estacionaridad, estamos frente a una cadena finita, por lo que existirán probabilidades estacionarias (dado que es irreductible)

PROCESO DE NACIMIENTO PURO Consideremos una sucesión de números positivos {lk}. Se define un proceso de nacimiento puro como un proceso de Markov que satisface los siguientes postulados:

X( t ) denota el valor de estado que puede tomar el proceso en el tiempo t. En lo que respecta a la teoría de confiabilidad el valor de estado denotará el estado de degradación en que incurre el sistema, entendiendo el 0 como el estado óptimo, y los sucesivos estados como etapas de degradación creciente, hasta llegar a un estado N que significará el estado de colapso, no obstante con el objeto de aplicar directamente la teoría de los procesos de nacimiento puro, consideraremos el espacio de estado infinito {0, 1, 2, ...}.

El término o1,k(h) y o2,k(h) son "infinitesimales" de orden h, esto es

MODELO DE MUERTE PURA Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson: p n ( t) ( t) ( N e n)! N n t n= 1,2 N N p t p t 0 ) 1 n ( ) n1 ( MUERTE PURA

PROCESO YULE Considere un proceso de Yule empezando de un solo individuo, y suponga que con probabilidad P(s) un individuo nacido en el instante s será robusto. Calcule la distribución del numero de individuos robustos nacidos en (0, t).

BIOGRAFÍA DE JOSEPH DOOB Doob nació en Cincinnati, Ohio,el 27 de febrero de 1910, hijo de una pareja judía, Leo Doob y Mollie Doerfler Doob. La familia se mudó a Nueva York antes de los tres años. Los padres sintieron que estaba recibiendo una educación pobre en la escuela primaria y lo colocaron en la Escuela de Cultura Etica,de la que se graduó en

1926. Luego pasó a Harvard, donde recibió una licenciatura en 1930, una maestría en 1931, y un doctorado(Valores límite de funciones analíticas,asesor Joseph L. Walsh)en 1932.

Doob es más conocido por su trabajo sobre martingalas y teoría probabilística de potencial. Después de retirarse, Doob escribió un libro de más de 800 páginas: Teoría de potencial clásico y su contraparte probabilística. [4] La primera mitad de este libro trata de la teoría potencial clásica y la segunda mitad con la teoría de la probabilidad,especialmente la teoría de la martingala. Al escribir este libro, Doob muestra que sus dos temas favoritos, los martingales y la teoría potencial, pueden ser estudiados por las mismas herramientas matemáticas.

MARTINGALA En teoría de probabilidad, un proceso estocástico de tipo martingala (galicismo de martingale) es una secuencia de variables aleatorias en la que, en un tiempo dado, la esperanza condicional del siguiente valor de la secuencia, dado todos los valores anteriores, es igual al valor presente.

Vamos a estudiar una clase de procesos que pueden verse como la fortuna de un jugador que juega repetidamente un juego justo. Así que, pensemos que Mn es la fortuna luego de n rondas.

Decimos que M0, M1, . . . es una martingala si para cualquier n ≥ 0 1. E|Mn| < ∞ 2. para cualquier sucesión de posibles valores m0, m1, . . . , mn E[Mn+1|M0 = m0, M1 = m1, . . . , Mn = mn] = mn La segunda propiedad equivalente a 0 = E[Mn+1 − mn|M0 = m0, M1 = m1, . . . , Mn = mn] = E[Mn+1 − Mn|M0 = m0, M1 = m1, . . . , Mn = mn]

Es decir, condicionando al pasado, la ganancia neta esperada luego del turno siguiente es cero. Lo cual se entiende como que el juego es justo.

Referencias

Barbosa Correa, R., & Llinás Solano, H. Procesos estocásticos con aplicaciones.

Devore, J. (2019). Introducción a la probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Cengage Learning.

Halweb.uc3m.es. (2020). Retrieved 19 November 2020, from http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/jmmarin/esp/PEst/tema5pe.pdf.

Lya.fciencias.unam.mx. (2020). Retrieved 19 November 2020, from http://lya.fciencias.unam.mx/lars/libros/procesos2012.pdf.

Perez Gutierrez, L. (1985). Cadenas de markov. Universidad Nacional de Colombia.

Proceso de Poisson. Es.wikipedia.org. (2020). Retrieved 19 November 2020, from https://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_Poisson#:~:text=En%20estad %C3%ADstica%20y%20simulaci%C3%B3n%2C%20un,a%20lo%20largo%20del %20tiempo.