Unidad 7.
BACHILLERATO
Límites de funciones. Continuidad
Matemáticas II
39 Estudia la continuidad en x = 0 de esta función: |x | f (x) = 2x + x ¿Qué tipo de discontinuidad tiene? En x = 0, la función no está definida, luego es discontinua. Como: y= )
2x – 1 si x < 0 , entonces: 2x + 1 si x > 0
lím (2x – 1) = –1;
x 8 0–
lím (2x + 1) = 1
x 8 0+
Por tanto, hay una discontinuidad de salto (finito) en x = 0. Página 236 40 Se define la función f del modo siguiente: f (x) = )
ln x – 1 si x > 1 2x 2 + ax + b si x ≤ 1
Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. • Para que la gráfica de f (x) pase por el origen de coordenadas, ha de ser f (0) = 0, es decir: f (0) = b = 0. • Para que la función sea continua (para x ≠ 1, es una función continua), tenemos que: lím f (x) = lím – (2x 2 + ax) = 2 + a
x 8 1–
x 81
lím + f (x) = lím + (ln x – 1) = –1
x 81
x 81
f (1) = 2 + a
4 Han de ser iguales, es decir: 2 + a = –1 → a = –3
Por tanto, si a = –3 y b = 0, la función es continua; y su gráfica pasa por el origen de coordenadas. 41 a) Comprueba que b) Calcula
lím [ln (x + 1) – ln (x)] = 0.
x 8+∞
lím x [ln (x + 1) – ln (x)].
x 8+∞
a) x 8 lím+∞ [ln (x + 1) – ln (x)] = x 8 lím+∞ ln d x + 1 n = ln x 8 lím+∞ x + 1 = ln 1 = 0 x x b) x 8 lím+∞ x [ln (x + 1) – ln (x)] = (+ ∞) · (0) = x 8 lím+∞ x ln d x + 1 n = x 8 lím+∞ ln >d x + 1 n H = x x x
= ln x 8 lím+∞ >d x + 1 n H = x 8 lím+∞ >d 1 + 1 n H = ln e = 1 x x x
x
42 Al estudiar el tamaño de una bacteria, los investigadores han comprobado que su diámetro (en micras) varía con el tiempo según esta función: t +a si t < 8 horas D (t ) = * –3 + 3t – 15 si t > 8 horas t –8 a) Analiza si es posible encontrar un valor de a para el cual el crecimiento se mantenga continuo. b) Estudia cuál será el diámetro de una bacteria si la observamos al cabo de varias semanas. a) Para que la función sea continua en t = 8, debe cumplirse que lím T (t ) = T (8). t 88
Calculamos el límite:
lím T (t ) = lím – t + a = 8 + a
t 8 8–
t 88
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