¬HÉ°ûàdG
ﺗﻌﺮﻳﻒ
١
ﱠ ﺗﺤﻘﻖ ﻣﺎﻳﻠﻰ: ﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ أﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺎن إذا ﻳﻘﺎل ِ
ﺯﻭﺍﻳﺎﻫﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ. ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺃﺿﻼﻋﻬﻤﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ. ﻣﺜﺎل ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ Cﺏ ﺏ ﺟـ ﺟـ E C E = ، ٣١ = = = Cﺏ ﺏ ﺟـ ﺟـ E C E
’:¿CG ßM
ِ ﺑﻨﺴﺒﺔ اﻟﺘﱠﻜﺒﻴﺮ ﺃﻭ ﻣﻘﻴﺎس اﻟﺮﺳﻢ. ١ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔُ ﺍﻟﺜﺎﺑﺘﺔُ ﺑﻴﻦ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ٢ﻻﺣﻆ أن :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻧﺴﺒﺔُ ﺍﻟﺘﻜﺒﻴﺮ = ١ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﻴﻦ ﻳﺘﻄﺎﺑﻘﺎﻥ. ِ ﺍﻟﻤﻀﻠﻌﺎﺕ ﺍﻟﻤﻨﺘﻈﻤﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻌﺪﺩ ﻣﻦ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺗﻜﻮﻥ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﺔ .ﻟﻤﺎﺫﺍ؟ ٣ﻛﻞ
ِ ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ. ُ ﻗﻴﺎﺳﺎﺕ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ، ٤ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ﻓﺈﻥ
ﺗﺸﺎﺑﻪ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ُ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺮﻳ
ﺗﻮﻓﻓﺮ أﺣ ُﺪ ﱠ ﺜﻠﺜﺎن إذا ﺗ ﱠ اﻟﺘﺎﻟﻴﻴﻦ: ﻦ: ﺮﻃﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟ اﻟﺸ ﻃ ﻦ ﺘﺸﺎ ﺸ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ﻳﺘﺸﺎﺑﻪﻪ اﻟ ﺜ ِ
ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔٌ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ.
ﺃﻃﻮﺍﻝ ﺍﻷﺿﻼﻉِ ﺍﻟﻤﺘﻨﺎﻇﺮﺓ ﻣﺘﻨﺎﺳﺒﺔ. ُ
ﻣﺜﺎل
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C :ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ Cﺏ = ٥ﺳﻢ ،ﺏ ﺟــ = ٦ﺳﻢ، ﻓﻰ ِ Cﺟـ = ٤ﺳﻢ C ∋ E ،ﺏ ﺑﺤﻴﺚ ٣ = C Eﺳﻢ، Eﻫـ //ﺏ ﺟـ E،ﻫـ ∩ Cﺟـ } = ،ﻫـ{ أ ﺑﺮﻫﻦ أن E C bﻫـ Cbﺏ ﺟـ .
~
٢ ﺗﺪرب
٦ﺳﻢ
ﺑﺮﻫﻦ أن
ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام اﻟﻤﻌﻄﻴﺎت ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ أ
E bﻫـ ﻭ ~
C bﺏ ﺟـ
ﺳﻢ ٤ﺳ
٩ﺳﻢ
٦ﺳﻢ
٥ﺳﻢ ٧٫٥ﺳﻢ
’ ¿CG ßMﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻰ ﻣﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ = ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ.
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٤ - ٤
اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ أوﺟﺪ اﻟﻘﻴﻤَ ﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻜ ﱟﻞ ﻣﻦ س ،ص )اﻷﻃﻮال ﻣﻘﺪرة ﺑﺎﻟﺴﻨﺘﻴﻤﺘﺮات( ١ﻓﻰ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻦ ِ ب
أ
٣
٩
س
١٢ ٢
١٢
٩ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
C c) Xﻫـ c) X = (Eﺏ( ٣ = E C ،ﺳﻢ، Cﻫـ = ٤٫٥ﺳﻢ ،ﺏ ٦ = Eﺳﻢ أوﻻ ً :ﺑﺮﻫﻦ ﺃﻥ E C bﻫـ ~ C bﺟـ ﺏ ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻫـ ﺟـ
٤
س
س
ص
١+
٨
٥
٨
٢
٣ﺳﻢ
٤٫٥ﺳﻢ
٦ﺳﻢ
اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻮﺣﺪة
١أﻛﻤﻞ ﻣﺎﻳﺄﺗ : ﻣﺎﻳﺄﺗﻰ: د ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔُ ﺑﻴﻦ ﻃﻮﻟﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻰ ﻣﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﺸﺎﺑﻬﻴﻦ ﺗﺴﺎﻭﻯ ١ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ................. و ﺇﺫﺍ ﺗﺸﺎﺑﻪ ﻣﻀﻠﻌﺎﻥ ،ﻭﻛﺎﻧﺖ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮﻳﻦ ﻓﻴﻬﻤﺎ ٤ : ٣ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻴﻬﻤﺎ ﻫﻰ .................
) (٢فى الشكل المقابل :ا ب //ء ھـ ،ا ب = ١٥سم ،ء ھـ = ٥سم ،ء حـ = ٤سم أثبت أن ∆ :ا ب حـ ~ ∆ ھـ ء حـ
ا
ثم أوجد محيط ا ب حـ ،نسبة التكبير التى تجعل ∆ ھـ ء حـ صورة ∆ ا ب حـ ء
ب
ح ھ
ارﺗﻔﺎعُ ﻣﺘﻮازى ا ﺿﻼع:
١
اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت
ﻃﻮل Eﻫـ ارﺗﻔﺎع ﻣﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة ﺏ ﺟـ
ارﺗﻔﺎع ﻗﺎﻋﺪة
ارﺗﻔﺎع
ﻭﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﺒﺮﻧﺎ Cﺏ ﻗﺎﻋﺪﺓ ﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ، ﻭﻛﺎﻥ Eﻭ = Cﺏ ﻓﻴﻜﻮﻥ: ﻃﻮل Eﻭ ارﺗﻔﺎع ﻣﻨﺎﻇﺮ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة Cﺏ
ﻗﺎﻋﺪة
ﻧﻈﺮﻳﺔ ١
ﺳﻄﺤﺎ ﻣﺘﻮازﻳﻰ ا#ﺿﻼع اﻟﻤﺸﺘﺮﻛﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪةِ واﻟﻤﺤﺼﻮرﻳﻦ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ أﺣﺪﻫﻤﺎ ﻳﺤﻤﻞ ﻫﺬه اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺘﺴﺎوﻳﺎن ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ.
` ﻣﺴﺎﺣﺔ
Cﺏ ﺟـ = Eﻣﺴﺎﺣﺔ
ﻫـ ﺏ ﺟـ ﻭ
èFÉàf ﻧﺘﻴﺠﺔ ١ ُ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻣﻌﻪ ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى ا#ﺿﻼع ﺗﺴﺎوى ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ اﻟﻘﺎﻋﺪةِ واﻟﻤﺤﺼﻮر ﻣﻌﻪ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ . ُ ’:¿CG ßM ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ ﻧﺘﻴﺠﺔ ٢
= ﺍﻟﻄﻮﻝ * ﺍﻟﻌﺮﺽ
ُ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى ا#ﺿﻼع = ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة * اﻻرﺗﻔﺎع ﻧﺘﻴﺠﺔ ٣ ﻣﺘﻮازﻳﺎت ا#ﺿﻼعِ اﻟﻤﺤﺼﻮرةِ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ وﻗﻮاﻋﺪﻫﻤﺎ اﻟﺘﻰ ﻋﻠﻰ ُ أﺣﺪ ﻫﺬﻳﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ﻓﻰ اﻟﻄﻮل ﺗﻜﻮن ﻣﺴﺎﺣﺎﺗﻬﺎ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ. ﻧﺘﻴﺠﺔ ٤ ُ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺴﺎوى ﻧﺼﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮازى ا#ﺿﻼع اﻟﻤﺸﺘﺮك ﻣﻌﻪ ﻓﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ
٢
ﻧﺘﻴﺠﺔ ٥ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ = ١٢ﻃﻮل ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ * ارﺗﻔﺎﻋﻪ
ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻘﻄﻌﺔ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ َّﻳﺔ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻣﻦ ِ ﻉ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻫﻮ ُ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﻬﺎ. ﺭﺃﺱ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺇﻟﻰ ِّ ’ ١ :¿CG ßMﺍﺭﺗﻔﺎ ُ ﺗﺪرب ٢أﻛﻤﻞ ٤٨ﺳﻢ
ب
أ
٣٠ﺳﻢ
٤٠ﺳﻢ
٠٫٥م
١٫٧م٢
٢٤ﺳﻢ
٢٤٠٠ﺳﻢ٢
ﺱ ﺹ = ...............
ﻫﻴﺎ ﻧﻔﻜﺮ ﱠ ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ :ﺏ ﺟـ C //ﻭ ، ِ
Eﺟـ Cﻭ
= ............... = ...............
ﺃﺿﻼﻉ Cﺏ ﺟـ ،Eﻫـ ﺏ ﺟـ ﻭ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﺎﺎ ﺃ ﻼ ﻫـ ﺟـ ﻗﻄﺮ ﻓﻰ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻫـ ﺏ ﺟـ ﻭ = .........ﻣﺴﺎﺣﺔ ` ﻣﺴﺎﺣﺔ △ ﻫـ ﺏ ﺟـ ﻫـ ﺏ ﺟـ ﻭ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ......... ` ﻣﺴﺎﺣﺔ = .........ﻣﺴﺎﺣﺔ ` ﻣﺴﺎﺣﺔ △ ﻫـ ﺏ ﺟـ
ﻫـ ﺏ ﺟـ ﻭ Cﺏ ﺟـ E
ﺗﺪرب
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C :ﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ = E C ،Cﺏ ﺟـ ١ﻓﻰ ِ اﻛﻤﻞ:
ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ ﺟـ =
C ١٢ﺏ
*
...........
ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ ﺟـ =
٢ﺏ ﺟـ *
...........
١
` Cﺏ * = ...........ﺏ ﺟـ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ Cﺏ = ٤ﺳﻢ C ،ﺟـ = ٣ﺳﻢ ،ﻓﻤﺎ ﻃﻮﻝ EC؟ ........... *
...........
ﺏ ﺟـ = ...............
٥٠ﺳﻢ
٢ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C :ﺏ ﺟـ Eﻣﺮﺑﻊ ﻣﺤﻴﻄﻪ = ٢٤ﺳﻢ ،ﻫـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ ِ Cﺏ = .......ﺳﻢ ،ﺟـ ﻫـ = .......ﺳﻢ اﻛﻤﻞ: ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﻫـ ﺟـ = .......ﺳﻢ٢
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(١ - ٥
١ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
= E Cﺟـ ﺏ ،ﺏ ﻫـ = Cﺟـ C ،ﺟـ = ١٦ﺳﻢ.
١٦ﺳﻢ
ﺏ ﺟـ = ١٠ﺳﻢ ٨ = E C ،ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ: أوﻻ ً :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ ﺟـ
ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﻃﻮﻝ ﺏ ﻫـ
٨ﺳﻢ
٢ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
Cﺏ ﺟـ Eﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺤﻴﻄﻪ ٤٨ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = C ٢ﺏ، ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Cﺏ ﺟـ = ٥٦ﺳﻢ٢
ﻫـ ﻣﻨﺘﺼﻒ ﺏ ﺟـ .أوﺟﺪ:
أوﻻ ً :ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﺎ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ Cﺏ ﺟـ E ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﻫـ ﺟـ
ø«ã∏ãeo ≈à nMÉ°ùe ihÉ°ùJ
ﻧﻈﺮﻳﺔ ٢
٣
واﺣﺪة ورأﺳﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن ٍ ٍ ِ ِ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازى ﻫﺬه اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻳﻜﻮﻧﺎن ﻣﺘﺴﺎوﻳﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ.
ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Cﺏ ﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Eﺏ ﺟـ
ﺗﺪرب أﻛﻤﻞ وﻓﺴﺮ إﺟﺎﺑﺘﻚ:
أ ﻣﺴﺎﺣﺔ △ E Cﺏ = ﻣﺴﺎﺣﺔ .........ﻷﻥ ب ﻣﺴﺎﺣﺔ △ C Eﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ .........ﻷﻥ ......... ﻣﺴﺎﺣﺔ △ C Eﻡ = ﻣﺴﺎﺣﺔ .........ﻷﻥ ......... .........
١٠ﺳﻢ
٢ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
Cﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ،ﺱ ∋ Cﺏ ،ﺹ ∋ Cﺟـ ﺱ ﺹ //ﺏ ﺟـ ،ﻡ ∋ ﺏ ﺟـ أﻛﻤﻞ :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ ﺱ ﻡ ﺹ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ......... ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ Cﺱ ﻡ ﺹ = ﻣﺴﺎﺣﺔ .........ﻟﻤﺎﺫﺍ؟ èFÉàf
ُ ُ ١ اﻟﻄﻮل واﻟﻤﺤﺼﻮرة ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﺘﻰ ﻗﻮاﻋﺪﻫﺎ ِ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮازﻳﻴﻦ ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ. ٢ﻣﺘﻮﺳ ُ ِ ﻂ اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻳﻘﺴﻢ ﺳﻄﺤَ ﻪ إﻟﻰ ﺳﻄﺤـﻰ ﻣﺜﻠﺜﻴﻦ ﻣﺘﺴﺎوﻳﻴﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ.
’:¿CG ßM E Cﻣﺘﻮﺳﻂ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ Cﺏ ﺟـ ) ﺏ E = Eﺟـ = ﻝ( ` ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ = Eﻣﺴﺎﺣﺔ△ E Cﺟـ = ١٢ﻝ * ﻉ
ُ ٣ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﺘﻰ أﻃﻮال ﻗﻮاﻋﺪﻫﺎ ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ ،وﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ واﺣﺪ وﻣﺸﺘﺮﻛﺔ ﻓﻰ اﻟﺮأس ،ﺗﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ.
ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ ﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺟـ = Eﻣﺴﺎﺣﺔ △ E Cﻫـ ﺗﺪرب
Cﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ E Cﻣﺘﻮﺳﻂ ،ﻫـ ∋ ، E Cﺭﺳﻢﺏ ﻫـ ،ﺟـ ﻫـ ﺑﺮﻫﻦ أن :ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Cﺏ ﻫـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Cﺟـ ﻫـ ﻣﺜﺎل ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
// E Cﺏ ﺟـ ،ﻫـ ∋ ﺏ ﺟـ ،ﻭ ∋ ﺏ ﺟـ ﺣﻴﺚ: ﺏ ﻫـ = ﺟـ ﻭ C ،ﻭ ∩ ﻫـ } =Eﻡ{ ﺑﺮﻫﻦ أن:
أوﻻ :ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Cﻡ ﻫـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ △ Eﻡ ﻭ ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ Cﺏ ﻫـ ﻡ = ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ Eﺟـ ﻭ ﻡ
٤
٥
ﻧﻈﺮﻳﺔ ٣
اﻟﻤﺜﻠﺜﺎن اﻟﻤﺘﺴﺎوﻳﺎن ﻓﻰ ﻣﺴﺎﺣﺘﻴﻬﻤﺎ ،واﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺎن ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪة واﺣﺪة وﻓﻰ ﺟﻬﺔ ِ واﺣﺪة ﻣﻦ ﻫﺬه اﻟﻘﺎﻋﺪة ،ﻳﻜﻮن رأﺳﺎﻫﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻮازى ﻫﺬه اﻟﻘﺎﻋﺪة.
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٢ - ٥
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ١ﻓﻰ ِ
// E Cﺏ ﺟـ ،ﻫـ ∋ ﺏ ﺟـ C ،ﺟـ E //ﻫـ ، Cﺟـ ∩ ﺏ } =Eﻡ{
ﺑﺮﻫﻦ أن: أوﻻ ً :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Cﺏ ﻡ = ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Eﺟـ ﻡ = ﻣﺴﺎﺣﺔ△ ﻫـ ﻡ ﺟـ
ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Eﺏ ﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ △ ﻫـ ﺏ ﻡ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ٢ﻓﻰ ِ
Cﺏ ﺟـ Eﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ،ﻫـ ∋ ﺟـ ﺏ ﺣﻴﺚ ﺏ ﺟـ = ﺏ ﻫـ ﺑﺮﻫﻦ أن:
ﻣﺴﺎﺣﺔ△ ﻭ ﻫـ ﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ
Cﺏ ﺟـ E
o á«s °Sóæ¡dG ∫Éμ°TC p ’G ¢†©H p äÉMÉ°ùe ُ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻴﻦ: ُ ِ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ * ارﺗﻔﺎﻋﻪ. ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻴﻦ = ﻃﻮل ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻴﻦ = ١٢ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﻃﻮﻟﻰ ﻗﻄﺮﻳﻪ. ٨ﺳﻢ
ﺗﺪرب
َ أوﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﻌﻴﻦ Cﺏ ﺟـ E ١ ِ أ ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔُ = ..............
ب ُ ﻣﺤﻴﻂ ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ Cﺏ ﺟـ ٢٤ = Eﺳﻢ E ،ﻫـ = ٥ﺳﻢ
ﺍﻟﻤﺴﺎﺣﺔ
= .........
١٠ﺳﻢ
٦ ُ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺮﺑﻊ = ١٢ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل ﻗﻄﺮه.
مساحة المربع = طول الضلع × نفسه َ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ: ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻛ ﱟﻞ ﻣﻦ أوﺟﺪ ﺗﺪرب ِ ِ ١ ٢ ٣ ٤ ٥
ﻣﻌﻴﻦ ﻃﻮﻝ ﺿﻠﻌﻪ ١٢ﺳﻢ ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ٨ﺳﻢ. ٌ ﻣﻌﻴﻦ ﻃﻮﻻ ﻗﻄﺮﻳﻪ ٨ﺳﻢ ١٠ ،ﺳﻢ. ٌ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮه ٨ﺳﻢ. ٌ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻪ ٥٢ﺳﻢ ﻭﻃﻮﻝ ﺃﺣﺪ ﻗﻄﺮﻳﻪ ١٠ﺳﻢ. ٌ o ﻣﻌﻴﻦ ﻣﺤﻴﻄﻪ ٦٠ﺳﻢ ﻭﻗﻴﺎﺱ ﺇﺣﺪﻯ ﺯﻭﺍﻳﺎه . ٦٠ ٌ
تدريب : أيھما أكبر فى المساحة مربع طول قطره سم أم مربع طول ضلعه ١٠سم
±ôëæªdG ôëæªdG ¬Ñ ¬o °TTp
ﻗﺎﻋﺪة ﺻﻐﺮى
وﻳﺴﻤﻰ ﻛ ﱡﻞ رﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ ﺿﻠﻌﺎن ﻣﺘﻮازﻳﺎن ﻳُﻌﺮﻓﺎن ﺑﻘﺎﻋﺪﺗﻴﻪ ،وﻳﺴﻤ ﻫﻮ ﺷﻜ ٌﻞ رﺑﺎﻋ ﱞ ﺿﻠﻊ ﻣﻦ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﺘﻮازﻳﻴﻦ "ﺳﺎﻗﺎ". ٍ ِ ِ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ = ع اﻟﻤﻨﺤﺮف ﻟﻪ ارﺗﻔﺎ ٌع واﺣ ٌﺪ ﻫﻮ اﻟﺒﻌُ ﺪ اﻟﻌﻤﻮدىﱡ ﺑﻴﻦ ِﺷﺒ ُﻪ
ﻗﺎﻋﺪة ﻛﺒﺮى
اﻟﻤﻨﺤﺮف اﻟﻤﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ: ﺷﺒﻪ ُ ِ ﻛﻞ ﻣﻦ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻘﻴﺎﺱ ١ﺯﻭﺍﻳﺘﺎ ِّ
٢ﻗﻄﺮﺍه ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ ﻓﻰ ﺍﻟﻄﻮﻝ Cﺟـ = ﺏ E ٍ ٍ ﻳﻨﺼﻒ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ. ٣ﻟﻪ ﻣﺤﻮﺭ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻭﺍﺣﺪ )ﻝ( ِّ ُ ِ اﻟﻤﻨﺤﺮف . اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ﻟﺸﺒﻪ اﻟﻘﺎﻋﺪ ُة ُ ُ ُ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ﺱ ﺹ ِ اﻟﻘﻄﻌﺔ ﻫﻰ اﻟﻮاﺻﻠﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﻰ اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻰ ِﺷﺒﻪ اﻟﻤﻨﺤﺮف Cب ﺟـ . E ِ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ = ١ﻣﺠﻤﻮع ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻴﻦ اﻟﻤﺘﻮازﻳﺘﻴﻦ. اﻟﻤﻨﺤﺮف :ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة ُ ﺒﻪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ ِ ﺷ ِ ٢ ُ ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ ِ اﻟﻤﻨﺤﺮف = ١ﻣﺠﻤﻮ ُع ﻃﻮﻟﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ اﻟﻤﺘﻮازﻳﺘﻴﻦ * اﻻرﺗﻔﺎع. ﺷﺒﻪ ٢ ُ ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ ِ اﻟﻤﻨﺤﺮف = ﻃﻮل اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ * اﻻرﺗﻔﺎع. ﺷﺒﻪ `
٧ أ
ﺗﺪرب ِ اﻟﻌﻼﻣﺎت اﻟﻤﻌﻄﺎ َة ﻋﻠﻰ اﻟﺮﺳﻢ ﻹﻳﺠﺎد ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ: اﻷﺷﻜﺎل اﻵﺗﻴﺔ اﺳﺘﺨﺪم ﻓﻰ ﻛ ﱢﻞ ﻣﻦ ِ ب
د
٨ﺳﻢ
٧ﺳﻢ
٥ﺳﻢ
٨ﺳﻢ
١٢ﺳﻢ
١٠ﺳﻢ
٥ﺳﻢ ١٢ﺳﻢ
٧ﺳﻢ
o٤٥
o٦٠
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٣ - ٥
ٍ ﻣﻨﺤﺮﻑ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ٤٥٠ﺳﻢ ٢ﻭﻃﻮﻻ ﻗﺎﻋﺪﺗﻴﻪ ﺍﻟﻤﺘﻮﺍﺯﻳﺘﻴﻦ ٢٤ﺳﻢ١٢ ،ﺳﻢ ﺃﻭﺟﺪ ﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ. ١ﺷﺒ ُﻪ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ
١ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C :ﺏ E //ﻫـ ،ﺱ ،ﺹ ∋ Cﺏ . ﺱ Eﻫـ ﺹ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ // E C ،ﺏ ﻫـ. ً أوﻻ :ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﺸﻜﻞ Cﺏ ﻫـ . E ﺛﺎﻧﻴًﺎ :ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ٣٠ = E Cﺳﻢ ﻓﺄﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻨﺎﺯﻝ ﻣﻦ ﺏ ﻋﻠﻰ . E C
اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻮﺣﺪة
١أﻛﻤﻞ:
٢٤ﺳﻢ ١٢ﺳﻢ
أ ﻣﺴﺎﺣﺔَ ب ﻗﻄﺮﺍ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ ﻣﺘﺴﺎﻭﻯ ﺍﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ......... ﻣﺴﺎﺣﺔُ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ ﺍﻟﺬﻯ ﻃﻮﻝ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﺍﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺔ ٧ﺳﻢ ،ﻭﺍﺭﺗﻔﺎﻋﻪ ٦ﺳﻢ =......... ﺍﻟﻤﻌﻴﻦ ﺍﻟﺬﻯ ﻃﻮﻻ ﻗﻄﺮﻳﻪ ٦ﺳﻢ٨ ،ﺳﻢ = .........
د ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ ﺍﻟﺘﻰ ﻗﻮﺍﻋﺪﻫﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔٌ ُ
ﻓﻰ ﺍﻟﻄﻮﻝ ،ﻭﺍﻟﻤﺤﺼﻮﺭﺓ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ ﻣﺘﻮﺍﺯﻳﻴﻦ ﺗﻜﻮﻥ .........
ُ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﻳﻘﺴﻢ ﺳﻄﺤﻪ ﺇﻟﻰ ......... و ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺴﺎﺣﺘﻪ ٥٠ﺳﻢ ،٢ﻓﺈﻥ ﻃﻮﻝ ﻗﻄﺮه = .........ﺳﻢ. اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ٣ﻓﻰ ِ ﺑﺮﻫﻦ أن:
△ Cﺏ ﺟـ ﻓﻴﻪ Eﻣﻨﺘﺼﻒ Cﺏ ،ﻫـ ﻣﻨﺘﺼﻒ Cﺟـ ً أوﻻ :ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Eﺏ ﺟـ = ﻣﺴﺎﺣﺔ△ ﻫـ ﺏ ﺟـ
١
o §bÉ°ùªdG º«≤à°ùe ≈∏Y á£≤f §≤°ùe
ﻝ
ﺗﺴﻤﻰ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ )ﻭﻫﻰ ﻣﻮﻗﻊ ﺍﻟﻌﻤﻮﺩ ﺍﻟﻤﺮﺳﻮﻡ ﻣﻦ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ Cﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ(
ﺑﺎﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﻌﻤﻮدى ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ Cﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ .
∵ﺏ∋ﻝ ∴ ﻣﺴﻘﻂ ﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ﻫﻮ ﻧﻔﺲ ﺍﻟﻨﻘﻄﺔ ﺏ. ﺗﺪرب
ﻣﺴﻘ ُ ٍ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﻴ ٍﻢ ﻫﻮ ﻣﻮﻗ ُﻊ اﻟﻌﻤﻮد ﻂ اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ ﻫﺬه اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ. ُ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺗﻘ ُﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴ ِﻢ ﻓﺈن ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ﻋﻠﻰ ﻫﺬا اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻫﻮ ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ. ل ل
ل
ﻣﺴﻘﻂ ﺟـ Eﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ﻫﻮ ......................
ﻣﺴﻘﻂ ﻫـ ﻭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ﻣﺴﻘﻂ ﺱ ﺹ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻝ ﻫﻮ ...................... ﻫﻮ ......................
ﺗﺪرب )(٢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ﻓﻰ ِ
Cﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻓﻴﻪ Cﺏ = Cﺟـ = ٥ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٦ﺳﻢ أوﺟﺪ :أ ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ Cﺏ ﻋﻠﻰﺏ ﺟـ
.
ب ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ Cﺏ ﺟـ
٥ﺳﻢ ٦ﺳﻢ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(١ - ٦ ٢أوﺟﺪ:
أ ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ Cﺏ ﻋﻠﻰ Cﺟـ ب ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ ﺟـ Eﻋﻠﻰ E C
١٣ﺳﻢ
١٥ﺳﻢ
٢
¢SQƒZÉã«a ájô¶f ¢ùμY ِ ﻧﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮﺭﺱ ﺃﻧﻪ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ Cﺏ ﺟـ ﻋﻠﻤﻨﺎ ﻣﻦ ِ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ﺏ ﻓﺈﻥ: ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ٌ ) Cﺟـ( C) = ٢ﺏ() + ٢ﺏ ﺟـ(٢ :¢SQƒZÉã«a ájô¶f ¢ùμY
اﻟﻤﻨﺸﺄﻳﻦ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺮﺑﻌﻴﻦ إذا ﻛﺎن ﻣﺠﻤﻮ ُع ﻣﺴﺎﺣﺘﻰ ﺿﻠﻌﻴﻦ ﻓﻰ ِ ِ ِ َ ِ ٍ اﻟﺜﺎﻟﺚ ،ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻀﻠﻊ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺮﺑﻊ ِاﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ ﻣﺜﻠﺚ ﻳﺴﺎوى ِ ُ ُ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻬﺬا اﻟﻀﻠﻊ ﻗﺎﺋﻤﺔ. اﻟﺰاوﻳﺔ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٢ - ٦ ١أﻛﻤﻞ ووﺿﺢ أى اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻗﺎﺋ َﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ: ب
أ ٧ﺳﻢ
١٢ﺳﻢ
٥ﺳﻢ
٥ﺳﻢ
١٣ﺳﻢ ٦ﺳﻢ
)ﻡ ﻥ(......... = ٢
) Eﻭ (.... = ٢ ) Eﻫـ() + ٢ﻫـ ﻭ(... = ٢ ∴ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ........
)ﻡ ﻝ ( ) + ٢ﻥ ﻝ(......... = ٢
د
٣٤ ٣ﺳﻢ
∴ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ......... ٧ﺳﻢ ٣ﺳﻢ
٥ﺳﻢ
٥ﺳﻢ ∴ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .........
∴ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ .........
٣
ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ: ﺷﻜﻞ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C :ﺏ ﺟـ E ٢ﻓﻰ ٌ ِ ٌ
٨ﺳﻢ
c) Xﺏ( = C ،°٩٠ﺏ = ٩ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٢ﺳﻢ ،ﺟـ ١٧ = Eﺳﻢ،
١٧ﺳﻢ
٨ = C Eﺳﻢ ،أﺛﺒﺖ ﱠ أن:
ِ ﺍﻟﺸﻜﻞ Cﺏ ﺟـ .E C Ec) Xﺟـ( = °٩٠ﺛﻢ ،ﺃﻭﺟﺪ ﻣﺴﺎﺣﺔَ
٩ﺳﻢ
o p ¢Só«∏bEG ájô¶f
:¢Só«∏bEG ájô¶f
١٢ﺳﻢ
ُ ِ ِ ِ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻳﺴﺎوى اﻟﻤﺜﻠﺚ إﻟﻰ ﻗﺎﺋ ِﻢ اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺮﺑﻊ اﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ أﺣ ِﺪ ﺿﻠﻌﻰ ﻣﺴﺎﺣﺔ ِ وﻃﻮل اﻟ ﺗ اﻟﻮﺗﺮ ﻃ ل اﻟﻀﻠﻊ ﻠ ﻫﺬا اﻟﻀﻠ ﻣﺴﻘﻂ ﺬا ُﻌﺪاه ﻫﻮ ﻘﻂ ِاﻟﺬى ﺑُ ا اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ اﻟﺬ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟ ﺘﻄ ﻞ ﺎ َﺔ اﻟﻮﺗﺮ. ﻋﻠﻰ اﻟ ﺗ ِ
ِ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ،C ﺃﻯ ﺃﻥ :ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ Cﺏ ﺟـ ﺍﻟﻘﺎﺋ ِﻢ ﺇﺫﺍ ﺭﺳﻢ = E Cﺏ ﺟـ ﻓﺈﻥ:
)ﺏ = ٢(Cﺏ * Eﺏ ﺟـ )ﺟـ = ٢(Cﺟـ * Eﺟـ ﺏ :áé«àf
) E = ٢(E Cﺏ × Eﺟـ ﺗﺪرب
اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ﻓﻰ ِ
ِ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ E ،Eﻥ = ﻫـ ﻭ ، ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ Eﻫـ ﻭ ٌ ﻫـ ﻥ = ٩ﺳﻢ ،ﻥ ﻭ = ١٦ﺳﻢ أﻛﻤﻞ: )
Eﻫـ(٢
= ﻫـ ﻥ × ﻫـ ﻭ ......... × ........
) Eﻭ(٢
= ﻭ ﻥ × ......... ......... × .......
) Eﻥ( = ٢ﻥ ﻫـ × ﻥ ﻭ ......... × .......
)ﺇﻗﻠﻴﺪﺱ( ∴ Eﻫـ = .........ﺳﻢ )ﺇﻗﻠﻴﺪﺱ(
٩ﺳﻢ
١٦ﺳﻢ
∴ Eﻭ = .........ﺳﻢ )(........................ ∴ Eﻥ = .........ﺳﻢ
ﻫﻞ Eﻥ × ﻫـ ﻭ = Eﻫـ × Eﻭ؟
ﻭﻟﻤﺎذا؟
٤
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٣ - ٦
اﻟﺸﻜﻞ اﻟ ﻘﺎ ١ﻓﻓﻰ ﺟـ( = ،°٩٠ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞﻞ △ Cﺏ ﺟـ ﻓﻓﻴﻪ Cc) X :ﺏ ( ِ Cﺏ = ٤ﺳﻢ C ،ﺟـ = ٥ﺳﻢ ،ﺏ C = Eﺟـ أﻛﻤﻞ:
أ ﺏ ﺟـ = .......ﺳﻢ
٤ﺳﻢ
ب ....... = E Cﺳﻢ د
٥ﺳﻢ
ﻣﺴﺎﺣﺔ△ Eﺏ ﺟـ = ......ﺳﻢ٢
ﺏ ....... = Eﺳﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C:ﺏ ﺟـ Eﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ: ٢ﻓﻰ ِ c) Xﺏ ﺟـ c) X = (Eﺏ °٩٠ = (E C
١٥ﺳﻢ
Cﻫـ = ﺏ ،Eﺏ ﺟـ = ٧ﺳﻢ ،ﺟـ ٢٤ = Eﺳﻢ C ،ﺏ = ١٥ﺳﻢ. أوﺟﺪ:
أ ﻃﻮﻝ ﻛﻞ ﻣﻦ :ﺏ E C ،E
٧ﺳﻢ ٢٤ﺳﻢ
ب ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ Cﺏ ﻋﻠﻰ ﺏ E ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ E Cﻋﻠﻰ Cﻫـ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ C:ﺏ ﺟـ Eﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ، ٣ﻓﻰ ِ Cﺏ = ٦ﺳﻢ١٠ = E C ،ﺳﻢ E،ﺏ = Cﺏ ، ﺭﺳﻢ Eﻫـ = ﺏ ﺟـ أوﺟﺪ:
١٠ﺳﻢ ٦ﺳﻢ
أ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺍﻷﺿﻼﻉ Cﺏ ﺟـ .E ب ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ Eﺏ ﻋﻠﻰ ﺏ ﺟـ . ﻃﻮﻝ Eﻫـ . اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺗﺤﺪﻳﺪ ﻧﻮع ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺰواﻳﺎه ﻣﺘﻰ ﻋﻠﻤﺖ أﻃﻮال أﺿﻼﻋﻪ اﻟﺜﻼﺛﺔ: ِ ِ ُ
ِ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ و ﻧُﻘﺎرن ﺑﻴﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻷﻛﺒﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﻰ ﻃﻮﻟﻰ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻷﺧﺮﻳﻦ: ِ
ﻓﻰ △ Cﺏ ﺟـ:
) Cﺟـ( C ) = ٢ﺏ() + ٢ﺏ ﺟـ(٢
∴ cب ﻗﺎﺋﻤﺔ
ﻓﻰ △ Cﺏ ﺟـ:
) Cﺟـ( C ) < ٢ﺏ() + ٢ﺏ ﺟـ(٢
∴ cب ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ
ﻓﻰ △ Cﺏ ﺟـ:
) Cﺟـ( C ) > ٢ﺏ() + ٢ﺏ ﺟـ(٢
∴ cب ﺣﺎدة ﻭﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺣﺎﺩ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ .ﻟﻤﺎﺫﺍ؟
٥ ﻣﺜﺎل ﺣﺪﺩ ﻧﻮﻉ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺘﻰ ﻟﻬﺎ ﺃﻛﺒﺮ ﻗﻴﺎﺱ ﻓﻰ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ Cﺏ ﺟـ ،ﺣﻴﺚ: Cﺏ = ٨ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٠ﺳﻢ ،ﺟـ ٧ = Cﺳﻢ ﻭﻣﺎ ﻧﻮﻉ ﻫﺬﺍ ﺍﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎه؟
ﺗﻤﺎرﻳﻦ )(٤ - ٦ ِ ﺣﺪد ﻧﻮ َع اﻟﺰاوﻳﺔ ) Cﺣﺎدة أو ﻗﺎﺋﻤﺔ أو ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ( ﻓﻰ△ Cب ﺟـ إذا ﻛﺎن:
أ Cﺏ = ٨ﺳﻢ
ﺏ ﺟـ = ١٠ﺳﻢ
Cﺟـ = ٦ﺳﻢ
ب Cﺏ = ١٢ﺳﻢ
ﺏ ﺟـ = ١٣ﺳﻢ
Cﺟـ = ٧ﺳﻢ
ﺏ ﺟـ = ٧ﺳﻢ
Cﺟـ = ٥ﺳﻢ
Cﺏ = ٣ﺳﻢ
ﺗﻤﺎرﻳﻦ ﻋﺎﻣﺔ ١ﺣﺪد ﻧﻮع اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺘﻰ ﻟﻬﺎ أﻛﺒﺮ ﻗﻴﺎس ﻓﻰ Cب ﺟـ ،ﺣﻴﺚ:
أ Cﺏ=٩ ب Cﺏ=٥ Cﺏ=٧
، ، ،
ﺏ ﺟـ = ١٠ ﺏ ﺟـ = ١٢ ﺏ ﺟـ = ١٦
، ، ،
Cﺟـ = ١٢ Cﺟـ = ١٣ Cﺟـ = ١٤
وﺑﻴﻦ ﻧﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺰواﻳﺎه. ٢ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
١٧ﺳﻢ
٨ﺳﻢ
Cﺏ ﺟـ Eﺷﻜﻞ ﺭﺑﺎﻋﻰ ﻓﻴﻪ Cﺏ = ٨ﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ٩ﺳﻢ، ﺟـ ١٢ = Eﺳﻢ١٧ = E C ،ﺳﻢ E ،ﺏ = Cﺏ أ ﺃﻭﺟﺪ ﻃﻮﻝ ﻣﺴﻘﻂ E Cﻋﻠﻰ ﺏ E ب ﺑﻴﻦ ﻧﻮﻉ △ ﺏ ﺟـ Eﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﺰﻭﺍﻳﺎه. ٣ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
Cﺏ ﺟـ Eﻣﺘﻮﺍﺯﻯ ﺃﺿﻼﻉ ﻓﻴﻪ ﺏ ﺟـ = ١٥ﺳﻢ ،ﺟـ ٨ = Eﺳﻢ C ،ﺟـ = ١٩ﺳﻢ أﺛﺒﺖ أن C c:ﺏ ﺟـ ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ.
١٢ﺳﻢ
٩ﺳﻢ
١٩
ﺳﻢ
٨ﺳﻢ
٦
٦ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ:
ﻓﻰ △ Cﺏ ﺟـ c) X :ﺏ Cﺟـ ( = ،°٩٠ = E Cﺏ ﺟـ C ،ﺏ = ٨ﺳﻢ C ،ﺟـ = ٦ﺳﻢ أوﺟﺪ ٍّ ﻛﻼ ﻣﻦ ﺏ ،Eﺟـ E C ،E
اﺧﺘﺒﺎر اﻟﻮﺣﺪة اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ: ١ﻓﻰ ِ Cب ﺟـ Eﺷﺒﻪ ﻣﻨﺤﺮف ﻓﻴﻪ
Cﺏ E //ﺟـ E = E C ،ﺟـ ،
١٣ﺳﻢ ١٢ﺳﻢ
١٢ = E Cﺳﻢ ،ﺏ ﺟـ = ١٣ﺳﻢ، Eﺟـ =٣٣٫٨ﺳﻢ ،ﺏ ﻫـ = Eﺟـ
٣٣٫٨ﺳﻢ
ً أوﻻ :أوﺟﺪ
ﻛﻞ ﻣﻦ ﺟـ ﻫـ C ،ﺏ َ ﻃﻮﻝ ٍّ أ ِ ﻣﺴﻘﻂ Eﺟـ ﻋﻠﻰ Cﺏ ﻃﻮﻝ
ب ﻃﻮﻝ Eﺏ د ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺷﺒﻪ ﺍﻟﻤﻨﺤﺮﻑ Cﺏ ﺟـ E
ﺛﺎﻧﻴًﺎ :أﺛﺒﺖ أن E c) X :ﺏ ﺟـ( = °٩٠
٢ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ Cﺏ ﺟـ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺍﻟﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﻰ ،C = E Cﺏ ﺟـ ،ﺏ ١٦ = Eﺳﻢ E ،ﺟـ = ٩ﺳﻢ أوﺟﺪ ﻃﻮ َل ﻛ ﱟﻞ ﻣﻦ Cﺏ C ،ﺟـ E C ، واﺣﺴﺐ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ Cب ﺟـ
١٦ﺳﻢ
٩ﺳﻢ