2 izquierda (esto significa que Dk f (x) 6= f (x)Dk ). Entonces podemos enunciar sin temor a equivocarnos la siguiente propiedad general: ”Los factores de un operador lineal de la forma (5) son conmutativos” Operador aniquilador.- Si Ln es un operador diferencial con coeficientes constantes como (5) y f (x) es una funci´on suficientemente diferenciable de modo tal modo que Ln (f (x)) = 0
(6)
entonces Ln es un operador aniquliador de la funci´on f (x). Enunciaremos algunos operadores aniquiliadores y las funciones que se anulan por los mismos. i).- El operador diferencial Dn aniquila a las siguientes funciones: 1, x, x2 , ..., xn−1 ii).- El operador diferencial (D − α)n aniquila cada una de las siguientes funciones: eαx , xeαx , x2 eαx , ..., xn−1 eαx iii).- El operador diferencial [D2 − 2αD + (α2 + β 2 )]n aniquila cada una de las siguientes funciones: eαx cos(βx), xeαx cos(βx), x2 eαx cos(βx), ..., xn−1 eαx cos(βx) eαx sen(βx), xeαx sen(βx), x2 eαx sen(βx), ..., xn−1 eαx sen(βx) Por u ´ltimo el operador diferencial que anula a una funci´on no es u ´nico, ya que si se tiene un operador aniquilador Ln que anule a una funci´on f (x), tambien el operador Ln Lm podr´ıa hacerlo. Sin embargo, siempre se estar´a interesado en conocer el operador aniquilador m´ınimo. En la siguiente secci´on se dar´a soluci´on detallada a 2 problemas diversos y posteriormente se proponen varios problemas con solucion para inter´es del lector. Problemas 1.-Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial usando el m´etodo del operador aniquilador. 000
00
0
y − 3y + 3y − y = ex − x + 16 ´ SOLUCION: Vemos que ´esta ecuaci´on diferencial se puede expresar como (D3 − 3D2 + 3D − 1)y = ex − x + 16
(7)